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RÊsolution des Êquations diffÊrentielles en physique RÊdiger par @gor – http://web-in-pocket.blogspot.com/ Notation: On utilisera u pour les exemples ci-dessous mais on peut l'appliquer aux autres unitÊs (distance avec x(t) par ex.). On notera que a et A ou B et b ne dÊsignent pas les mêmes choses. 

Aussi:    et

  



 

 

Equa diff du 1er degrĂŠ:

Elles ont pour forme:     oĂš Ď„ peut ĂŞtre composĂŠ de plusieurs ĂŠlĂŠments (exemple: R.C) La solution est du type:



    .  

Info: dans le cas particulier oĂš b=0, la solution devient   .  / On dĂŠtermine A et B: B est le plus simple:   On le trouve en ĂŠvaluant u(t) en +oo (en trouvant ce qu'il vaut). Soit   !" A se trouve en t=0+, soit: #    .  $/    . 1  &  ' Connaissant dĂŠjĂ B, on peut alors trouver A. Ainsi:   ∞  .  / Quand u(0)=0, alors on a:

Equa diff du 2nd degrĂŠ: Type: *

   

+

 



 ,  0 ./  + . ,  ¡  ¡ 0 . / * . *

Forme canonique:

On introduit 2Ν et ω0:

OĂš 2Îť =

 4

et 5# 6 

7 8

./ .  22.  3$ /.   0 . / .

donc 5#  9

7 8

On peut aussi introduire le facteur de qualitĂŠ Q avec 6:  DĂŠmonstration de la solution: La solution gĂŠnĂŠrale est du type: U(t) =.  > On calcul les dĂŠrivĂŠes:  



  ∞ ) ∞.    ∞1 )   

 =. ?.  >  ?. @

   

;# <



4

 =. ? / .  >  ? / . @


? /.   22. ?.   3$ /.   0

On remplace dans l'ĂŠquation:

? /  22. ?  3$ /  0 On rĂŠsout alors cette ĂŠquation comme un polynĂ´me du 2nd degrĂŠ Calcul du discriminant (rappel: Î&#x201D;=b²-4.a.c ): â&#x2C6;&#x2020;  22/ ) 4.1. 3C /  422/ ) 3C /  3 solutions possibles: Si â&#x2C6;&#x2020;D 0 => RĂŠgime pseudo-pĂŠriodique Si â&#x2C6;&#x2020; 0 => RĂŠgime critique Si â&#x2C6;&#x2020;E 0 => RĂŠgime ApĂŠriodique On le calcul en remplaçant 2Îť et Ď&#x2030;0 par leur ĂŠquivalent (contenant a, b ou c ici) On simplifie par u:

On sait que 6F 

5# G

H

 8 on peut donc exprimer G 

De lĂ : J Si I D => RĂŠgime pseudo pĂŠriodique

Si I 

Si I E

/ J / J /

5# 6F

=> RĂŠgime critique

=> RĂŠgime apĂŠriodique

Une fois qu'on connait le rĂŠgime, il est possible de trouver la solution u(t) qui convient. 1/RĂŠgime Pseudo-pĂŠriodique: On est dans le cas mathĂŠmatique oĂš le Î&#x201D; indique qu'il y a 2 solutions complexes conjuguĂŠes. On dĂŠtermine ces solutions (rappel: J 

KLâ&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2020; ; en /N

physique i=j ):

)22 ) Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22 ) QR)42/ ) 3$ /  )22 ) 2QR3$ / ) 2/    ): ) SR;# 6 ) :6 2 2 2 )22  Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22  2QR3$ / ) 2/  O6    ):  SR;# 6 ) :6 2 2 Note: Il est prĂŠfĂŠrable de ne pas oublier le j â&#x20AC;Ś

OP 

La solution s'exprime alors de 3 façons possibles: La compliquÊe:   .  >T .  .  >.   U. . V.  WRXY

 U .

 .  !WRXY

 U .

Z

L'usuelle:

   U. . V. cos ^R3$ / ) 2/. _  . sin R3$ / ) 2/. Z La compacte (il faut dĂŠterminer Ď&#x2022;, ce qui ne sera pas aborder dans ce document):   . cos 3$.   b Il faut dĂŠsormais dĂŠterminer A et B, on utilise pour cela les conditions initiales: On doit nous donner u(o) et

cd ce

pour pouvoir trouver A et B, on pose aussi: f  R;# 6 ) :6

On utilise la solution usuelle (par exemple), et on la dĂŠtermine en 0 tel que: #   U.$. V. cos ^R3$ / ) 2/. 0_  . sin ^R3$ / ) 2/ . 0_Z  1. g. cosh  . sin0i  &


De lĂ , on peut facilement dire que A=u0 car on a: A=u(o)=u0 (valeur initiale) Pour trouver B, il faut dĂŠriver cette solution u(t), on arrive Ă  ce rĂŠsultat (rappel: f  R;# 6 ) :6 : .  g. j ) AÎť. cosj. t ) A. j  B. Îť. sinj. ti. ep.q .

On nous donne 0  r 0 (Ne pas utiliser cette notation, on remplace par les valeurs numÊriques), on  procède comme prÊcÊdemment:

#  g. â&#x201E;Ś ) AÎť. cosâ&#x201E;Ś. 0 ) A. â&#x201E;Ś  B. Îť. sinâ&#x201E;Ś. 0i. ep.$  '. j ) tF

 

Soit: '   r 0 

u.U v

  r 0 

Y.U v

 r # 

# .;# 6.<.f

 r 0 

Y.XY

/.w.RXY  U

Infos: On a souvent u'(0)=0, ce qui simplifie la chose. De plus, vous ĂŞtes libre d'utiliser l'une des expressions ci-dessus, tout dĂŠpend du niveau de dĂŠveloppement souhaitĂŠ. Il reste finalement Ă remplacer A et B par leurs valeurs, on va ĂŠviter ici afin de ne pas avoir une expression super lourde qui se simplifierait si on avait des valeurs numĂŠriques. Le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique offre un panel d'ĂŠtudes assez vaste, voir plus bas pour la dĂŠtermination d'autres ĂŠlĂŠments tels que le dĂŠcrĂŠment log., les manières de dĂŠterminer Q, To, T, Ď&#x2030;0 et Ď&#x2030;. 2/RĂŠgime critique: C'est le rĂŠgime le plus simple, la solution a pour forme:    U. . .    On procède de la mĂŞme façon pour dĂŠterminer A et B, soit: B=u0 La dĂŠrivĂŠe est: .   U. . )2.   '     U. . )2.   d#    . Donc: r#   U.$ . )2. 0  $     ):. #  & LĂ  encore, on remplacera A et B par les valeurs trouvĂŠes. 3/RĂŠgime apĂŠriodique: Il se rĂŠsout de la mĂŞme manière que le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique. La nuance se situe sur le discriminant car il indique 2 solutions rĂŠelles et non plus complexe. On a donc les 2 solutions: )22 ) â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2020; )22 ) R42/ ) 3$ / )22 ) 2R2/ ) 3$ / ?J     )2 ) R2/ ) 3$ / 2 2 2 )22  Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22  2R2/ ) 3$ / ?/    )2  R2/ ) 3$ / 2 2 La solution s'exprime alors:

  .  >T .  .  >.   U. . V.  RU XY .  .  !RU XY . Z On remarque la similaritĂŠ avec le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, sauf que cette fois c'est l'unique solution. 








Il faut lĂ aussi dĂŠterminer A et B: #   U.$. V.  RU

On calcul la dĂŠrivĂŠe:

 X  .$ Y

r   )2.  U. . V.  RU 

U.

 X  . Y

 .  !RU

 X  .$ Y

 .  !RU

. V). R2/ ) 3$ / . 

 X  . Y

RU XY  .

Z &'

Z (Le marron met en valeur ce qui rĂŠsulte de la dĂŠrivation)

 . R2/ ) 3$ / .  !RU

 X  . Y

Après factorisation (ouf!) en posant f  R:6 ) ;# 6 :

Z

r    U. x&y) v. 2  z{  'y v. )2  z{|

Et on rÊsout u'(0): r #  )2.0 V ^))z.02  z_   ^z.0 )2  z_Z  )&:  f  '):  f On rÊsout alors un système à l'aide de u(0) et u'(0) pour dÊterminer A et B.   .~, On notera que r   qu'on peut trouver par exemple avec: }  ,. 



L Â&#x20AC;



 

ElĂŠments supplĂŠmentaires pour le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique: DĂŠtermination de Ď&#x2030; et Ď&#x2030;0: Pour Ď&#x2030; (pseudo-pulsation): On peut en rĂŠalitĂŠ directement lire Ď&#x2030; car il s'agit de la partie imaginaire des solutions r1 et r2:

X

Ceci car 2  /.wY

3  R3$ / ) 2/  Â 3$ / )

3$ / 1  3$ Â 1 ) / 4. I 4. I/

Pour Ď&#x2030;0 (pulsation propre): On a 2 manières simples Ă condition de connaĂŽtre les valeurs de a, b, c ou Q (cf. ĂŠquation plus haut): Â&#x201A; 3$ +  ;#  9  22   .~, ;#  . < 4 I * 4 Si on connait T0: 6Â&#x192; ;#  Â&#x201E;# Dans ce cas, il faudra dĂŠterminer T0 DĂŠtermination de T0 et T: 6Â&#x192; 6Â&#x192; Le plus simple si on connait dĂŠjĂ  Ď&#x2030;0 et/ou Ď&#x2030;: Â&#x201E;#  ; et Â&#x201E;  ; #

Si on ne les connait pas, on les trouve Ă l'aide de la relation qui lie T et T0, dĂŠmonstration: 3  3$ Â 1 )

1 2. Â&#x2026;  4. I/ Â&#x2020;

1 2. Â&#x2026; 2. Â&#x2026; Â 1 )  .~, Â&#x201E;  / Â&#x2020;$ 4. I Â&#x2020;

Â&#x201E;#

P Â&#x2021;<6 On utilise alors cette relation pour dĂŠterminer l'un des 2 Ă partir de l'autre. 9P )


Une question peut vous tracasser l'esprit: Quelle est la diffĂŠrence entre T et T0 ainsi que Ď&#x2030; et Ď&#x2030;0? En fait, cette distinction est due au rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, et surtout au pseudoâ&#x20AC;Ś En effet, ce rĂŠgime est proche d'un rĂŠgime pĂŠriodique pure (une sinusoĂŻde), mais pas identique! Il y a une petite diffĂŠrence entre la pulsation propre caractĂŠrisant un rĂŠgime pĂŠriodique et la pseudo-pulsation (mĂŞme chose pour la pĂŠriode) qui est due Ă l'attĂŠnuation. C'est d'ailleurs pour cela que quand Q>>1 on peut dire que Ď&#x2030;â&#x2030;&#x2C6;Ď&#x2030;0 (de mĂŞme avec T et T0) DĂŠtermination du dĂŠcrĂŠment logarithmique:  Â&#x2C6;  2.   ln Â&#x160; Â&#x2039;   Â&#x2020; On remarquera que cos(S.t)=cos(S.(t+T)) car cos est pĂŠriodique: Â&#x2C6;  ln Â&#x152;

 U.!Â? . V. cos ^R3$ /

Â?  ln Â? Â&#x2C6;

 U. . V. cos^R3$ / ) 2/. _  . sin^R3$ / ) 2/. _Z

X X  Y .! Y .!Â? /w /w Â&#x2018;

2. Â&#x2026;



) 2/. 

 Â&#x2020;_  . sin R3$ )

3$ ;# . Â&#x201E;  )   Â&#x2020;  2I 6<

R4. I/ ) 1

Cette dernière Êcriture se justifie par 3$ 

/Â&#x2019; Â?Y

/

2/ . 

 Â&#x2020;Z

Â&#x17D;  ln  U.!U.!Â? 

J

et que Â&#x2020;$  Â&#x2020;. 91 ) Â&#x201C;w 

DĂŠtermination de Q: Il est parfois demander de dĂŠterminer Q, car il n'est pas nĂŠcessaire de le connaĂŽtre pour trouver le rĂŠgime et donc engager une rĂŠsolution. LĂ encore, on dispose de plusieurs mĂŠthodes. Â&#x20AC;

La plus simple (rappel: 3$  9N ):

3$ + ;# . 4 â&#x2C6;&#x161;,. * 2Â&#x2026;. *  . Â&#x201D;Ă ~ *: <    I *  + Â&#x2020;$ . + Attention toutefois car T0 contient aussi Q si vous cherchez Ă  le dĂŠterminer, donc il vaut mieux ĂŠviter de tourner en rond ^^. 22 

A l'aide du dĂŠcrĂŠment logarithmique: 2. Â&#x2026; Â&#x2C6; R4. I/ ) 1 2Â&#x2026; R4. I / ) 1  Â&#x2C6; / 1 2Â&#x2026; I/  . Â&#x160;Â? Â&#x2018;  1Â&#x2039; 4 Â&#x2C6; 1 4. Â&#x2026; / I  . /  1 2 Â&#x2C6;

Dans ce cas, il faut dĂŠterminer le dĂŠcrĂŠment graphiquement.

Résolution des équations différentielles en physique  

Explique comment résoudre les équations différentielles du 1er et 2eme degré du point du vue physique.