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RÊsolution des Êquations diffÊrentielles en physique RÊdiger par @gor – http://web-in-pocket.blogspot.com/ Notation: On utilisera u pour les exemples ci-dessous mais on peut l'appliquer aux autres unitÊs (distance avec x(t) par ex.). On notera que a et A ou B et b ne dÊsignent pas les mêmes choses. 

Aussi:    et

  



 

 

Equa diff du 1er degrĂŠ:

Elles ont pour forme:     oĂš Ď„ peut ĂŞtre composĂŠ de plusieurs ĂŠlĂŠments (exemple: R.C) La solution est du type:



    .  

Info: dans le cas particulier oĂš b=0, la solution devient   .  / On dĂŠtermine A et B: B est le plus simple:   On le trouve en ĂŠvaluant u(t) en +oo (en trouvant ce qu'il vaut). Soit   !" A se trouve en t=0+, soit: #    .  $/    . 1  &  ' Connaissant dĂŠjĂ  B, on peut alors trouver A. Ainsi:   ∞  .  / Quand u(0)=0, alors on a:

Equa diff du 2nd degrĂŠ: Type: *

   

+

 



 ,  0 ./  + . ,  ¡  ¡ 0 . / * . *

Forme canonique:

On introduit 2Ν et ω0:

OĂš 2Îť =

 4

et 5# 6 

7 8

./ .  22.  3$ /.   0 . / .

donc 5#  9

7 8

On peut aussi introduire le facteur de qualitĂŠ Q avec 6:  DĂŠmonstration de la solution: La solution gĂŠnĂŠrale est du type: U(t) =.  > On calcul les dĂŠrivĂŠes:  



  ∞ ) ∞.    ∞1 )   

 =. ?.  >  ?. @

   

;# <



4

 =. ? / .  >  ? / . @


? /.   22. ?.   3$ /.   0

On remplace dans l'ĂŠquation:

? /  22. ?  3$ /  0 On rĂŠsout alors cette ĂŠquation comme un polynĂ´me du 2nd degrĂŠ Calcul du discriminant (rappel: Î&#x201D;=b²-4.a.c ): â&#x2C6;&#x2020;  22/ ) 4.1. 3C /  422/ ) 3C /  3 solutions possibles: Si â&#x2C6;&#x2020;D 0 => RĂŠgime pseudo-pĂŠriodique Si â&#x2C6;&#x2020; 0 => RĂŠgime critique Si â&#x2C6;&#x2020;E 0 => RĂŠgime ApĂŠriodique On le calcul en remplaçant 2Îť et Ď&#x2030;0 par leur ĂŠquivalent (contenant a, b ou c ici) On simplifie par u:

On sait que 6F 

5# G

H

 8 on peut donc exprimer G 

De lĂ : J Si I D => RĂŠgime pseudo pĂŠriodique

Si I 

Si I E

/ J / J /

5# 6F

=> RĂŠgime critique

=> RĂŠgime apĂŠriodique

Une fois qu'on connait le rĂŠgime, il est possible de trouver la solution u(t) qui convient. 1/RĂŠgime Pseudo-pĂŠriodique: On est dans le cas mathĂŠmatique oĂš le Î&#x201D; indique qu'il y a 2 solutions complexes conjuguĂŠes. On dĂŠtermine ces solutions (rappel: J 

KLâ&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2020; ; en /N

physique i=j ):

)22 ) Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22 ) QR)42/ ) 3$ /  )22 ) 2QR3$ / ) 2/    ): ) SR;# 6 ) :6 2 2 2 )22  Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22  2QR3$ / ) 2/  O6    ):  SR;# 6 ) :6 2 2 Note: Il est prĂŠfĂŠrable de ne pas oublier le j â&#x20AC;Ś

OP 

La solution s'exprime alors de 3 façons possibles: La compliquÊe:   .  >T .  .  >.   U. . V.  WRXY

 U .

 .  !WRXY

 U .

Z

L'usuelle:

   U. . V. cos ^R3$ / ) 2/. _  . sin R3$ / ) 2/. Z La compacte (il faut dĂŠterminer Ď&#x2022;, ce qui ne sera pas aborder dans ce document):   . cos 3$.   b Il faut dĂŠsormais dĂŠterminer A et B, on utilise pour cela les conditions initiales: On doit nous donner u(o) et

cd ce

pour pouvoir trouver A et B, on pose aussi: f  R;# 6 ) :6

On utilise la solution usuelle (par exemple), et on la dĂŠtermine en 0 tel que: #   U.$. V. cos ^R3$ / ) 2/. 0_  . sin ^R3$ / ) 2/ . 0_Z  1. g. cosh  . sin0i  &


De lĂ , on peut facilement dire que A=u0 car on a: A=u(o)=u0 (valeur initiale) Pour trouver B, il faut dĂŠriver cette solution u(t), on arrive Ă  ce rĂŠsultat (rappel: f  R;# 6 ) :6 : .  g. j ) AÎť. cosj. t ) A. j  B. Îť. sinj. ti. ep.q .

On nous donne 0  r 0 (Ne pas utiliser cette notation, on remplace par les valeurs numÊriques), on  procède comme prÊcÊdemment:

#  g. â&#x201E;Ś ) AÎť. cosâ&#x201E;Ś. 0 ) A. â&#x201E;Ś  B. Îť. sinâ&#x201E;Ś. 0i. ep.$  '. j ) tF

 

Soit: '   r 0 

u.U v

  r 0 

Y.U v

 r # 

# .;# 6.<.f

 r 0 

Y.XY

/.w.RXY  U

Infos: On a souvent u'(0)=0, ce qui simplifie la chose. De plus, vous ĂŞtes libre d'utiliser l'une des expressions ci-dessus, tout dĂŠpend du niveau de dĂŠveloppement souhaitĂŠ. Il reste finalement Ă  remplacer A et B par leurs valeurs, on va ĂŠviter ici afin de ne pas avoir une expression super lourde qui se simplifierait si on avait des valeurs numĂŠriques. Le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique offre un panel d'ĂŠtudes assez vaste, voir plus bas pour la dĂŠtermination d'autres ĂŠlĂŠments tels que le dĂŠcrĂŠment log., les manières de dĂŠterminer Q, To, T, Ď&#x2030;0 et Ď&#x2030;. 2/RĂŠgime critique: C'est le rĂŠgime le plus simple, la solution a pour forme:    U. . .    On procède de la mĂŞme façon pour dĂŠterminer A et B, soit: B=u0 La dĂŠrivĂŠe est: .   U. . )2.   '     U. . )2.   d#    . Donc: r#   U.$ . )2. 0  $     ):. #  & LĂ  encore, on remplacera A et B par les valeurs trouvĂŠes. 3/RĂŠgime apĂŠriodique: Il se rĂŠsout de la mĂŞme manière que le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique. La nuance se situe sur le discriminant car il indique 2 solutions rĂŠelles et non plus complexe. On a donc les 2 solutions: )22 ) â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2020; )22 ) R42/ ) 3$ / )22 ) 2R2/ ) 3$ / ?J     )2 ) R2/ ) 3$ / 2 2 2 )22  Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22  2R2/ ) 3$ / ?/    )2  R2/ ) 3$ / 2 2 La solution s'exprime alors:

  .  >T .  .  >.   U. . V.  RU XY .  .  !RU XY . Z On remarque la similaritĂŠ avec le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, sauf que cette fois c'est l'unique solution. 








Il faut lĂ  aussi dĂŠterminer A et B: #   U.$. V.  RU

On calcul la dĂŠrivĂŠe:

 X  .$ Y

r   )2.  U. . V.  RU 

U.

 X  . Y

 .  !RU

 X  .$ Y

 .  !RU

. V). R2/ ) 3$ / . 

 X  . Y

RU XY  .

Z &'

Z (Le marron met en valeur ce qui rĂŠsulte de la dĂŠrivation)

 . R2/ ) 3$ / .  !RU

 X  . Y

Après factorisation (ouf!) en posant f  R:6 ) ;# 6 :

Z

r    U. x&y) v. 2  z{  'y v. )2  z{|

Et on rÊsout u'(0): r #  )2.0 V ^))z.02  z_   ^z.0 )2  z_Z  )&:  f  '):  f On rÊsout alors un système à l'aide de u(0) et u'(0) pour dÊterminer A et B.   .~, On notera que r   qu'on peut trouver par exemple avec: }  ,. 



L Â&#x20AC;



 

ElĂŠments supplĂŠmentaires pour le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique: DĂŠtermination de Ď&#x2030; et Ď&#x2030;0: Pour Ď&#x2030; (pseudo-pulsation): On peut en rĂŠalitĂŠ directement lire Ď&#x2030; car il s'agit de la partie imaginaire des solutions r1 et r2:

X

Ceci car 2  /.wY

3  R3$ / ) 2/  Â 3$ / )

3$ / 1  3$ Â 1 ) / 4. I 4. I/

Pour Ď&#x2030;0 (pulsation propre): On a 2 manières simples Ă  condition de connaĂŽtre les valeurs de a, b, c ou Q (cf. ĂŠquation plus haut): Â&#x201A; 3$ +  ;#  9  22   .~, ;#  . < 4 I * 4 Si on connait T0: 6Â&#x192; ;#  Â&#x201E;# Dans ce cas, il faudra dĂŠterminer T0 DĂŠtermination de T0 et T: 6Â&#x192; 6Â&#x192; Le plus simple si on connait dĂŠjĂ  Ď&#x2030;0 et/ou Ď&#x2030;: Â&#x201E;#  ; et Â&#x201E;  ; #

Si on ne les connait pas, on les trouve Ă  l'aide de la relation qui lie T et T0, dĂŠmonstration: 3  3$ Â 1 )

1 2. Â&#x2026;  4. I/ Â&#x2020;

1 2. Â&#x2026; 2. Â&#x2026; Â 1 )  .~, Â&#x201E;  / Â&#x2020;$ 4. I Â&#x2020;

Â&#x201E;#

P Â&#x2021;<6 On utilise alors cette relation pour dĂŠterminer l'un des 2 Ă  partir de l'autre. 9P )


Une question peut vous tracasser l'esprit: Quelle est la diffĂŠrence entre T et T0 ainsi que Ď&#x2030; et Ď&#x2030;0? En fait, cette distinction est due au rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, et surtout au pseudoâ&#x20AC;Ś En effet, ce rĂŠgime est proche d'un rĂŠgime pĂŠriodique pure (une sinusoĂŻde), mais pas identique! Il y a une petite diffĂŠrence entre la pulsation propre caractĂŠrisant un rĂŠgime pĂŠriodique et la pseudo-pulsation (mĂŞme chose pour la pĂŠriode) qui est due Ă  l'attĂŠnuation. C'est d'ailleurs pour cela que quand Q>>1 on peut dire que Ď&#x2030;â&#x2030;&#x2C6;Ď&#x2030;0 (de mĂŞme avec T et T0) DĂŠtermination du dĂŠcrĂŠment logarithmique:  Â&#x2C6;  2.   ln Â&#x160; Â&#x2039;   Â&#x2020; On remarquera que cos(S.t)=cos(S.(t+T)) car cos est pĂŠriodique: Â&#x2C6;  ln Â&#x152;

 U.!Â? . V. cos ^R3$ /

Â?  ln Â? Â&#x2C6;

 U. . V. cos^R3$ / ) 2/. _  . sin^R3$ / ) 2/. _Z

X X  Y .! Y .!Â? /w /w Â&#x2018;

2. Â&#x2026;



) 2/. 

 Â&#x2020;_  . sin R3$ )

3$ ;# . Â&#x201E;  )   Â&#x2020;  2I 6<

R4. I/ ) 1

Cette dernière Êcriture se justifie par 3$ 

/Â&#x2019; Â?Y

/

2/ . 

 Â&#x2020;Z

Â&#x17D;  ln  U.!U.!Â? 

J

et que Â&#x2020;$  Â&#x2020;. 91 ) Â&#x201C;w 

DĂŠtermination de Q: Il est parfois demander de dĂŠterminer Q, car il n'est pas nĂŠcessaire de le connaĂŽtre pour trouver le rĂŠgime et donc engager une rĂŠsolution. LĂ  encore, on dispose de plusieurs mĂŠthodes. Â&#x20AC;

La plus simple (rappel: 3$  9N ):

3$ + ;# . 4 â&#x2C6;&#x161;,. * 2Â&#x2026;. *  . Â&#x201D;Ă  ~ *: <    I *  + Â&#x2020;$ . + Attention toutefois car T0 contient aussi Q si vous cherchez Ă  le dĂŠterminer, donc il vaut mieux ĂŠviter de tourner en rond ^^. 22 

A l'aide du dĂŠcrĂŠment logarithmique: 2. Â&#x2026; Â&#x2C6; R4. I/ ) 1 2Â&#x2026; R4. I / ) 1  Â&#x2C6; / 1 2Â&#x2026; I/  . Â&#x160;Â? Â&#x2018;  1Â&#x2039; 4 Â&#x2C6; 1 4. Â&#x2026; / I  . /  1 2 Â&#x2C6;

Dans ce cas, il faut dĂŠterminer le dĂŠcrĂŠment graphiquement.


Résolution des équations différentielles en physique