1300 Math Formulas = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = fp_k= =VVQVNMTTQN= = `çéóêáÖÜí=«=OMMQ=^KpîáêáåK=^ää=oáÖÜíë=oÉëÉêîÉÇK=

= qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=

i

Preface = = = = qÜáë= Ü~åÇÄççâ= áë= ~= ÅçãéäÉíÉ= ÇÉëâíçé= êÉÑÉêÉåÅÉ= Ñçê= ëíìÇÉåíë= ~åÇ= ÉåÖáåÉÉêëK= fí= Ü~ë= ÉîÉêóíÜáåÖ= Ñêçã= ÜáÖÜ= ëÅÜççä= ã~íÜ=íç=ã~íÜ=Ñçê=~Çî~åÅÉÇ=ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë=áå=ÉåÖáåÉÉêáåÖI= ÉÅçåçãáÅëI=éÜóëáÅ~ä=ëÅáÉåÅÉëI=~åÇ=ã~íÜÉã~íáÅëK=qÜÉ=ÉÄççâ= Åçåí~áåë= ÜìåÇêÉÇë= çÑ= Ñçêãìä~ëI= í~ÄäÉëI= ~åÇ= ÑáÖìêÉë= Ñêçã= kìãÄÉê= pÉíëI= ^äÖÉÄê~I= dÉçãÉíêóI= qêáÖçåçãÉíêóI= j~íêáÅÉë= ~åÇ= aÉíÉêãáå~åíëI= sÉÅíçêëI= ^å~äóíáÅ= dÉçãÉíêóI= `~äÅìäìëI= aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåëI=pÉêáÉëI=~åÇ=mêçÄ~Äáäáíó=qÜÉçêóK== qÜÉ= ëíêìÅíìêÉÇ= í~ÄäÉ= çÑ= ÅçåíÉåíëI= äáåâëI= ~åÇ= ä~óçìí= ã~âÉ= ÑáåÇáåÖ= íÜÉ= êÉäÉî~åí= áåÑçêã~íáçå= èìáÅâ= ~åÇ= é~áåäÉëëI= ëç= áí= Å~å=ÄÉ=ìëÉÇ=~ë=~å=ÉîÉêóÇ~ó=çåäáåÉ=êÉÑÉêÉåÅÉ=ÖìáÇÉK=== = =

ii

Contents = = = = 1 krj_bo=pbqp= NKN= pÉí=fÇÉåíáíáÉë==1= NKO= pÉíë=çÑ=kìãÄÉêë==5= NKP= _~ëáÅ=fÇÉåíáíáÉë==7= NKQ= `çãéäÉñ=kìãÄÉêë==8= = 2 ^idb_o^= OKN= c~ÅíçêáåÖ=cçêãìä~ë==12= OKO= mêçÇìÅí=cçêãìä~ë==13= OKP= mçïÉêë==14= OKQ= oççíë==15= OKR= içÖ~êáíÜãë==16= OKS= bèì~íáçåë==18= OKT= fåÉèì~äáíáÉë==19= OKU= `çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~ë==22= = 3 dbljbqov= PKN= oáÖÜí=qêá~åÖäÉ==24= PKO= fëçëÅÉäÉë=qêá~åÖäÉ==27= PKP= bèìáä~íÉê~ä=qêá~åÖäÉ==28= PKQ= pÅ~äÉåÉ=qêá~åÖäÉ==29= PKR= pèì~êÉ==33= PKS= oÉÅí~åÖäÉ==34= PKT= m~ê~ääÉäçÖê~ã==35= PKU= oÜçãÄìë==36= PKV= qê~éÉòçáÇ==37= PKNM= fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ==38= PKNN= fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ==40= PKNO= qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ==41=

iii

PKNP= háíÉ==42= PKNQ= `óÅäáÅ=nì~Çêáä~íÉê~ä==43= PKNR= q~åÖÉåíá~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä==45= PKNS= dÉåÉê~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä==46= PKNT= oÉÖìä~ê=eÉñ~Öçå==47= PKNU= oÉÖìä~ê=mçäóÖçå==48= PKNV= `áêÅäÉ==50= PKOM= pÉÅíçê=çÑ=~=`áêÅäÉ==53= PKON= pÉÖãÉåí=çÑ=~=`áêÅäÉ==54= PKOO= `ìÄÉ==55= PKOP= oÉÅí~åÖìä~ê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ==56= PKOQ= mêáëã==57= PKOR= oÉÖìä~ê=qÉíê~ÜÉÇêçå==58= PKOS= oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ==59= PKOT= cêìëíìã=çÑ=~=oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ==61= PKOU= oÉÅí~åÖìä~ê=oáÖÜí=tÉÇÖÉ==62= PKOV= mä~íçåáÅ=pçäáÇë==63= PKPM= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê==66= PKPN= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê=ïáíÜ=~å=lÄäáèìÉ=mä~åÉ=c~ÅÉ==68= PKPO= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==69= PKPP= cêìëíìã=çÑ=~=oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==70= PKPQ= péÜÉêÉ==72= PKPR= péÜÉêáÅ~ä=`~é==72= PKPS= péÜÉêáÅ~ä=pÉÅíçê==73= PKPT= péÜÉêáÅ~ä=pÉÖãÉåí==74= PKPU= péÜÉêáÅ~ä=tÉÇÖÉ==75= PKPV= bääáéëçáÇ==76= PKQM= `áêÅìä~ê=qçêìë==78= = = 4 qofdlkljbqov= QKN= o~Çá~å=~åÇ=aÉÖêÉÉ=jÉ~ëìêÉë=çÑ=^åÖäÉë==80= QKO= aÉÑáåáíáçåë=~åÇ=dê~éÜë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==81= QKP= páÖåë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==86= QKQ= qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë=çÑ=`çããçå=^åÖäÉë==87= QKR= jçëí=fãéçêí~åí=cçêãìä~ë==88=

iv

QKS= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==89= QKT= mÉêáçÇáÅáíó=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==90= QKU= oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==90= QKV= ^ÇÇáíáçå=~åÇ=pìÄíê~Åíáçå=cçêãìä~ë==91= QKNM= açìÄäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==92= QKNN= jìäíáéäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==93= QKNO= e~äÑ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==94= QKNP= e~äÑ=^åÖäÉ=q~åÖÉåí=fÇÉåíáíáÉë==94= QKNQ= qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=mêçÇìÅí==95= QKNR= qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=pìã==97=== QKNS= mçïÉêë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==98= QKNT= dê~éÜë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==99= QKNU= mêáåÅáé~ä=s~äìÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==102= QKNV= oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==103= QKOM= qêáÖçåçãÉíêáÅ=bèì~íáçåë==106= QKON= oÉä~íáçåë=íç=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==106= = = 5 j^qof`bp=^ka=abqbojfk^kqp= RKN= aÉíÉêãáå~åíë==107= RKO= mêçéÉêíáÉë=çÑ=aÉíÉêãáå~åíë==109= RKP= j~íêáÅÉë==110= RKQ= léÉê~íáçåë=ïáíÜ=j~íêáÅÉë==111= RKR= póëíÉãë=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë==114= = = 6 sb`qlop= SKN= sÉÅíçê=`ççêÇáå~íÉë==118= SKO= sÉÅíçê=^ÇÇáíáçå==120= SKP= sÉÅíçê=pìÄíê~Åíáçå==122= SKQ= pÅ~äáåÖ=sÉÅíçêë==122= SKR= pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí==123= SKS= sÉÅíçê=mêçÇìÅí==125= SKT= qêáéäÉ=mêçÇìÅí=127= = = 7 ^k^ivqf`=dbljbqov= TKN= låÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==130=

v

TKO= qïç=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==131= TKP= píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=mä~åÉ==139= TKQ= `áêÅäÉ==149= TKR= bääáéëÉ==152= TKS= eóéÉêÄçä~==154= TKT= m~ê~Äçä~==158= TKU= qÜêÉÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==161= TKV= mä~åÉ==165= TKNM= píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=pé~ÅÉ==175= TKNN= nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë==180= TKNO= péÜÉêÉ==189= = = 8 afccbobkqf^i=`^i`rirp= UKN= cìåÅíáçåë=~åÇ=qÜÉáê=dê~éÜë==191= UKO= iáãáíë=çÑ=cìåÅíáçåë==208= UKP= aÉÑáåáíáçå=~åÇ=mêçéÉêíáÉë=çÑ=íÜÉ=aÉêáî~íáîÉ==209= UKQ= q~ÄäÉ=çÑ=aÉêáî~íáîÉë==211= UKR= eáÖÜÉê=lêÇÉê=aÉêáî~íáîÉë==215= UKS= ^ééäáÅ~íáçåë=çÑ=aÉêáî~íáîÉ==217= UKT= aáÑÑÉêÉåíá~ä==221= UKU= jìäíáî~êá~ÄäÉ=cìåÅíáçåë==222= UKV= aáÑÑÉêÉåíá~ä=léÉê~íçêë==225= = = 9 fkqbdo^i=`^i`rirp= VKN= fåÇÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä==227= VKO= fåíÉÖê~äë=çÑ=o~íáçå~ä=cìåÅíáçåë==228= VKP= fåíÉÖê~äë=çÑ=fêê~íáçå~ä=cìåÅíáçåë==231= VKQ= fåíÉÖê~äë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==237= VKR= fåíÉÖê~äë=çÑ=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==241= VKS= fåíÉÖê~äë=çÑ=bñéçåÉåíá~ä=~åÇ=içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë==242= VKT= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==243= VKU= aÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä==247= VKV= fãéêçéÉê=fåíÉÖê~ä==253= VKNM= açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä==257= VKNN= qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä==269=

vi

VKNO= iáåÉ=fåíÉÖê~ä==275= VKNP= pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä==285= = = 10 afccbobkqf^i=bnr^qflkp= NMKN= cáêëí=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==295= NMKO= pÉÅçåÇ=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==298= NMKP= pçãÉ=m~êíá~ä=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==302= = = 11 pbofbp= NNKN= ^êáíÜãÉíáÅ=pÉêáÉë==304= NNKO= dÉçãÉíêáÅ=pÉêáÉë==305= NNKP= pçãÉ=cáåáíÉ=pÉêáÉë==305= NNKQ= fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë==307= NNKR= mêçéÉêíáÉë=çÑ=`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉë==307= NNKS= `çåîÉêÖÉåÅÉ=qÉëíë==308= NNKT= ^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë==310= NNKU= mçïÉê=pÉêáÉë==311= NNKV= aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=~åÇ=fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë==312= NNKNM= q~óäçê=~åÇ=j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë==313= NNKNN= mçïÉê=pÉêáÉë=bñé~åëáçåë=Ñçê=pçãÉ=cìåÅíáçåë==314= NNKNO= _áåçãá~ä=pÉêáÉë==316= NNKNP= cçìêáÉê=pÉêáÉë==316= = = 12 mol_^_fifqv= NOKN= mÉêãìí~íáçåë=~åÇ=`çãÄáå~íáçåë==318= NOKO= mêçÄ~Äáäáíó=cçêãìä~ë==319= = = = = =

vii

= qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK= =

viii

Chapter 1

Number Sets = = = =

1.1 Set Identities = pÉíëW=^I=_I=`= råáîÉêë~ä=ëÉíW=f= `çãéäÉãÉåí=W= ^′ = mêçéÉê=ëìÄëÉíW= ^ ⊂ _ == bãéíó=ëÉíW= ∅ = råáçå=çÑ=ëÉíëW= ^ ∪ _ = fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ëÉíëW= ^ ∩ _ = aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=ëÉíëW= ^ y _ = =

= 1.

= 2.

= 3. 4. 5.

^ ⊂ f= ^ ⊂ ^=

^ = _ =áÑ= ^ ⊂ _ =~åÇ= _ ⊂ ^ .=

= bãéíó=pÉí= ∅⊂^= = råáçå=çÑ=pÉíë== ` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ çê ñ ∈ _}= =

1

CHAPTER 1. NUMBER SETS

=

=====

= Figure 1.

6.

= 7. = 8.

= `çããìí~íáîáíó= ^∪_ = _∪^= ^ëëçÅá~íáîáíó= ^ ∪ (_ ∪ ` ) = (^ ∪ _ ) ∪ ` = fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=pÉíë= ` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ ~åÇ ñ ∈ _} = =

=

=====

= Figure 2.

9.

= 10.

=

= `çããìí~íáîáíó= ^∩_ = _∩^= ^ëëçÅá~íáîáíó= ^ ∩ (_ ∩ ` ) = (^ ∩ _ ) ∩ ` =

=

2

CHAPTER 1. NUMBER SETS

11.

= 12. = 13. = 14.

aáëíêáÄìíáîáíó= ^ ∪ (_ ∩ ` ) = (^ ∪ _ ) ∩ (^ ∪ ` ) I= ^ ∩ (_ ∪ ` ) = (^ ∩ _ ) ∪ (^ ∩ ` ) K= fÇÉãéçíÉåÅó= ^ ∩ ^ = ^ I== ^∪^ = ^= açãáå~íáçå= ^ ∩ ∅ = ∅ I= ^∪f= f= fÇÉåíáíó= ^ ∪ ∅ = ^ I== ^∩f= ^ =

15.

16.

17.

18.

`çãéäÉãÉåí= ^′ = {ñ ∈ f ö ñ ∉ ^} = `çãéäÉãÉåí=çÑ=fåíÉêëÉÅíáçå=~åÇ=råáçå ^ ∪ ^′ = f I== ^ ∩ ^′ = ∅ = = aÉ=jçêÖ~å∞ë=i~ïë (^ ∪ _ )′ = ^′ ∩ _′ I== (^ ∩ _ )′ = ^′ ∪ _′ = = aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=pÉíë ` = _ y ^ = {ñ ö ñ ∈ _ ~åÇ ñ ∉ ^} = =

3

CHAPTER 1. NUMBER SETS

=

=====

= Figure 3.

= 19.

_ y ^ = _ y (^ ∩ _ ) =

20.

_ y ^ = _ ∩ ^′

21.

^y^=∅

22.

^ y _ = ^ =áÑ= ^ ∩ _ = ∅ .

= =

=

=====

= Figure 4.

= 23.

(^ y _) ∩ ` = (^ ∩ `) y (_ ∩ `)

24.

^′ = f y ^

25.

`~êíÉëá~å=mêçÇìÅí ` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _} = =

4

=

CHAPTER 1. NUMBER SETS

1.2 Sets of Numbers =

26.

27.

= 28.

= 29.

= 30.

k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=k= tÜçäÉ=åìãÄÉêëW= kM = fåíÉÖÉêëW=w= mçëáíáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w + = kÉÖ~íáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w − = o~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=n= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=o== `çãéäÉñ=åìãÄÉêëW=`== = = k~íìê~ä=kìãÄÉêë `çìåíáåÖ=åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K= tÜçäÉ=kìãÄÉêë `çìåíáåÖ=åìãÄÉêë=~åÇ=òÉêçW= k M = {MI NI OI PI K} K= fåíÉÖÉêë tÜçäÉ=åìãÄÉêë=~åÇ=íÜÉáê=çééçëáíÉë=~åÇ=òÉêçW= w + = k = {NI OI PI K}I= w − = {KI − PI − OI − N} I= w = w − ∪ {M} ∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI PI K} K= o~íáçå~ä=kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ=çê=íÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëW== ~   n = ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ M K= Ä  

fêê~íáçå~ä=kìãÄÉêë kçåêÉéÉ~íáåÖ=~åÇ=åçåíÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëK

=

5

CHAPTER 1. NUMBER SETS

31.

oÉ~ä=kìãÄÉêë== råáçå=çÑ=ê~íáçå~ä=~åÇ=áêê~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=oK=

= 32.

`çãéäÉñ=kìãÄÉêë ` = {ñ + áó ö ñ ∈ o ~åÇ ó ∈ o}I== ïÜÉêÉ=á=áë=íÜÉ=áã~Öáå~êó=ìåáíK

= 33.

k⊂ w⊂n⊂ o ⊂ `= =

===

=

= Figure 5.

= = = = = =

6

CHAPTER 1. NUMBER SETS

1.3 Basic Identities = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å= = = 34.

^ÇÇáíáîÉ=fÇÉåíáíó= ~+M=~ = =

35.

^ÇÇáíáîÉ=fåîÉêëÉ= ~ + (− ~ ) = M = =

36.

`çããìí~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå= ~ +Ä= Ä+~ =

37.

^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå= (~ + Ä) + Å = ~ + (Ä + Å ) =

=

= 38.

aÉÑáåáíáçå=çÑ=pìÄíê~Åíáçå= ~ − Ä = ~ + (− Ä) = =

39.

= 40.

41. 42.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fÇÉåíáíó= ~ ⋅N = ~ = jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fåîÉêëÉ= N ~ ⋅ = N I= ~ ≠ M ~ = jìäíáéäáÅ~íáçå=qáãÉë=M ~ ⋅M = M = `çããìí~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå= ~ ⋅Ä = Ä⋅~ = =

7

CHAPTER 1. NUMBER SETS

43.

^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå= (~ ⋅ Ä)⋅ Å = ~ ⋅ (Ä ⋅ Å ) = aáëíêáÄìíáîÉ=i~ï= ~ (Ä + Å ) = ~Ä + ~Å =

44.

= 45.

aÉÑáåáíáçå=çÑ=aáîáëáçå= ~ N = ~⋅ = Ä Ä = = =

1.4 Complex Numbers = k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= fã~Öáå~êó=ìåáíW=á= `çãéäÉñ=åìãÄÉêW=ò= oÉ~ä=é~êíW=~I=Å= fã~Öáå~êó=é~êíW=ÄáI=Çá= jçÇìäìë=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW=êI= êN I= êO = ^êÖìãÉåí=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW= ϕ I= ϕN I= ϕO = = = 46.

= 47. = 48.

áN = á = á O = −N = á P = −á = áQ = N=

áR = á = á S = −N = á T = −á = áU = N =

á Q å +N = á = á Q å+ O = −N = á Q å + P = −á = á Qå = N =

ò = ~ + Äá =

`çãéäÉñ=mä~åÉ= =

8

CHAPTER 1. NUMBER SETS

=

=====

= Figure 6.

= 49. = 50. = 51. =

(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + (Ä − Ç)á = (~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á = ~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç = + ⋅á = Å + Çá Å O + Ç O Å O + Ç O

52.

= 53.

(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + (Ä + Ç )á =

`çåàìÖ~íÉ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë= |||||||

~ + Äá = ~ − Äá = = 54.

~ = ê Åçë ϕ I= Ä = ê ëáå ϕ == =

9

CHAPTER 1. NUMBER SETS

=

= Figure 7.

55.

= 56.

= mçä~ê=mêÉëÉåí~íáçå=çÑ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë= ~ + Äá = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = jçÇìäìë=~åÇ=^êÖìãÉåí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= fÑ= ~ + Äá =áë=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêI=íÜÉå= ê = ~ O + ÄO =EãçÇìäìëFI== Ä ϕ = ~êÅí~å =E~êÖìãÉåíFK= ~

= 57.

= 58.

mêçÇìÅí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= ò N ⋅ ò O = êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) ⋅ êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) = = êNêO [Åçë(ϕN + ϕO ) + á ëáå(ϕN + ϕO )] = `çåàìÖ~íÉ=kìãÄÉêë=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= |||||||||||||||||||||

ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = ê[Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] =

= 59.

fåîÉêëÉ=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= N N = [Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) ê

10

CHAPTER 1. NUMBER SETS

60.

= 61. = 62. = 63.

= 64.

nìçíáÉåí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= ò N êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) êN = [Åçë(ϕN − ϕO ) + á ëáå(ϕN − ϕO )] = = ò O êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) êO mçïÉê=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= å ò å = [ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)] = ê å [Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)] = cçêãìä~=±aÉ=jçáîêÉ≤= (Åçë ϕ + á ëáå ϕ)å = Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ) = kíÜ=oççí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= ϕ + Oπâ ϕ + Oπâ   å ò = å ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = å ê  Åçë + á ëáå  I== å å   ïÜÉêÉ== â = MI NI OI KI å − N K== bìäÉê∞ë=cçêãìä~= É áñ = Åçë ñ + á ëáå ñ = = =

11

Chapter 2

Algebra = = = =

2.1 Factoring Formulas = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å== k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= = = 65. = 66. = 67. = 68. = 69. = 70. = 71.

= 72.

~ O − ÄO = (~ + Ä)(~ − Ä) = ~ P − ÄP = (~ − Ä)(~ O + ~Ä + ÄO ) = ~ P + ÄP = (~ + Ä)(~ O − ~Ä + ÄO ) = ~ Q − ÄQ = (~ O − ÄO )(~ O + ÄO ) = (~ − Ä)(~ + Ä)(~ O + ÄO ) = ~ R − ÄR = (~ − Ä)(~ Q + ~ P Ä + ~ O ÄO + ~ÄP + ÄQ ) = ~ R + ÄR = (~ + Ä)(~ Q − ~ P Ä + ~ O ÄO − ~ÄP + ÄQ ) = fÑ=å=áë=çÇÇI=íÜÉå= ~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K − ~Äå −O + Äå −N ) K== fÑ=å=áë=ÉîÉåI=íÜÉå== ~ å − Äå = (~ − Ä)(~ å −N + ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO + K + ~Äå−O + Äå −N ) I==

12

CHAPTER 2. ALGEBRA

~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K + ~Äå−O − Äå −N ) K= = = =

2.2 Product Formulas

73. = 74. = 75. = 76. = 77. = 78. = 79.

= 80. = 81.

oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å== tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=â= = = (~ − Ä)O = ~ O − O~Ä + ÄO =

(~ + Ä)O = ~ O + O~Ä + ÄO = (~ − Ä)P = ~ P − P~ O Ä + P~ÄO − ÄP = (~ + Ä)P = ~ P + P~ OÄ + P~ÄO + ÄP = (~ − Ä)Q = ~ Q − Q~ P Ä + S~ O ÄO − Q~ÄP + ÄQ = (~ + Ä)Q = ~ Q + Q~ P Ä + S~ OÄO + Q~ÄP + ÄQ = _áåçãá~ä=cçêãìä~= (~ + Ä)å = å` M~ å + å`N~ å−NÄ + å` O~ å−OÄO + K + å` å−N~Äå−N + å` å Äå I å> ïÜÉêÉ= å ` â = =~êÉ=íÜÉ=Äáåçãá~ä=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK= â> (å − â )>

(~ + Ä + Å )O = ~ O + ÄO + Å O + O~Ä + O~Å + OÄÅ = (~ + Ä + Å + K + ì + î )O = ~ O + ÄO + Å O + K + ì O + î O + = + O(~Ä + ~Å + K + ~ì + ~î + ÄÅ + K + Äì + Äî + K + ìî ) =

13

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.3 Powers = _~ëÉë=EéçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëFW=~I=Ä== mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã= = = ~ ã ~ å = ~ ã+å =

82. = 83.

~ã = ~ ã −å = å ~

= 84. =

(~Ä)ã = ~ ã Äã =

85.

~ã ~   = ã = Ä  Ä

ã

= 86. = 87. = 88. =

(~ )

ã å

= ~ ãå =

~ M = N I= ~ ≠ M = ~N = N = ~ −ã =

89.

N = ~ã

= ã å

~ = å ~ã =

90.

= = = = =

14

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.4 Roots =

91. =

_~ëÉëW=~I=Ä== mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã= ~ I Ä ≥ M =Ñçê=ÉîÉå=êççíë=E å = Oâ I= â ∈ k F= = = å ~Ä = å ~ å Ä =

92. =

å

~ ã Ä = åã ~ ã Äå =

93.

å

~ å~ = I= Ä ≠ M = Ä åÄ

= 94.

= 95. = 96. =

~ åã ~ ã åã ~ ã I= Ä ≠ M K= = = ã Äå Ä åã Äå å

(~ ) å

ã

( ~) å

å

é

= å ~ ãé =

=~= åé

97. =

å

~ã =

98. =

å

~ =~ =

99. =

ã å

100. =

ã å

ã

~ = ãå ~ =

( ~) å

~ ãé =

ã

= å ~ã =

15

CHAPTER 2. ALGEBRA

N å ~ å −N = I= ~ ≠ M K= å ~ ~

101.

= ~± Ä =

102.

~ + ~O − Ä ~ − ~O − Ä ± = O O

= N ~m Ä = = ~−Ä ~± Ä

103.

= = =

2.5 Logarithms =

104.

105. 106. 107. 108. 109.

mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI=óI=~I=ÅI=â= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å== = = aÉÑáåáíáçå=çÑ=içÖ~êáíÜã= ó = äçÖ ~ ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= ñ = ~ ó I= ~ > M I= ~ ≠ N K= = äçÖ ~ N = M = = äçÖ ~ ~ = N = = − ∞ áÑ ~ > N äçÖ ~ M =  = + ∞ áÑ ~ < N = äçÖ ~ (ñó ) = äçÖ ~ ñ + äçÖ ~ ó = = ñ äçÖ ~ = äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó = ó

16

CHAPTER 2. ALGEBRA

110. äçÖ ~ (ñ å ) = å äçÖ ~ ñ = = N 111. äçÖ ~ å ñ = äçÖ ~ ñ = å = äçÖ Å ñ 112. äçÖ ~ ñ = = äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I= Å > M I= Å ≠ N K= äçÖ Å ~ = N 113. äçÖ ~ Å = = äçÖ Å ~ = 114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ = = 115. içÖ~êáíÜã=íç=_~ëÉ=NM= äçÖ NM ñ = äçÖ ñ = = 116. k~íìê~ä=içÖ~êáíÜã= äçÖ É ñ = äå ñ I== â

 N ïÜÉêÉ= É = äáã N +  = OKTNUOUNUOUK = â →∞  â = N 117. äçÖ ñ = äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ = äå NM = N 118. äå ñ = äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ = äçÖ É = = = = =

17

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.6 Equations = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=éI=èI=ìI=î= pçäìíáçåëW= ñ N I= ñ O I= ó N I= ó O I= ó P = = = 119. iáåÉ~ê=bèì~íáçå=áå=låÉ=s~êá~ÄäÉ= Ä ~ñ + Ä = M I= ñ = − K== ~ = 120. nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå= − Ä ± ÄO − Q~Å ~ñ + Äñ + Å = M I= ñ NI O = K= O~ = 121. aáëÅêáãáå~åí= a = ÄO − Q~Å = = 122. sáÉíÉ∞ë=cçêãìä~ë= fÑ= ñ O + éñ + è = M I=íÜÉå== ñ N + ñ O = −é K=  ñ ñ = è N O  = Ä 123. ~ñ O + Äñ = M I= ñ N = M I= ñ O = − K= ~ = Å 124. ~ñ O + Å = M I= ñ NI O = ± − K= ~ = 125. `ìÄáÅ=bèì~íáçåK=`~êÇ~åç∞ë=cçêãìä~K== ó P + éó + è = M I== O

18

CHAPTER 2. ALGEBRA

ó N = ì + î I= ó OI P = −

N (ì + î ) ± P (ì + î ) á I== O O

ïÜÉêÉ== O

ì=P −

O

O

O

è è è  é  è  é +   +   I= î = P − −   +   K== O O  O P  O P

= =

2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò= ~ I ÄI ÅI Ç oÉ~ä=åìãÄÉêëW=  I=ãI=å= ~N I ~ O I ~ P I KI ~ å aÉíÉêãáå~åíëW=aI= añ I= aó I= aò == = = 126. fåÉèì~äáíáÉëI=fåíÉêî~ä=kçí~íáçåë=~åÇ=dê~éÜë== = fåÉèì~äáíó= fåíÉêî~ä=kçí~íáçå= dê~éÜ= [~I Ä]= ~ ≤ ñ ≤ Ä= ~ < ñ ≤ Ä=

(~I Ä] =

=

~ ≤ ñ < Ä=

[~I Ä) =

=

~ < ñ < Ä=

(~I Ä) =

=

− ∞ < ñ ≤ Ä I= ñ≤Ä= − ∞ < ñ < Ä I= ñ<Ä= ~ ≤ ñ < ∞ I= ñ≥~= ~ < ñ < ∞ I= ñ >~=

(− ∞I Ä] =

= =

(− ∞I Ä) =

=

[~I ∞ ) =

=

(~I ∞ ) =

=

19

CHAPTER 2. ALGEBRA

127. = 128. = 129. = 130. = 131. = 132. = 133. =

fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= Ä < ~ K= fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ − Ä > M =çê= Ä − ~ < M K= fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Å K= fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ − Å > Ä − Å K= fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Ç K= fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ − Ç > Ä − Å K= fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå= ã~ > ãÄ K=

134. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå=

~ Ä > K= ã ã

= 135. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã < M I=íÜÉå= ã~ < ãÄ K= = ~ Ä 136. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã < M I=íÜÉå= < K= ã ã = 137. fÑ= M < ~ < Ä =~åÇ= å > M I=íÜÉå= ~ å < Äå K= = 138. fÑ= M < ~ < Ä =~åÇ= å < M I=íÜÉå= ~ å > Äå K= = 139. fÑ= M < ~ < Ä I=íÜÉå= å ~ < å Ä K= = ~+Ä I== 140. ~Ä ≤ O ïÜÉêÉ= ~ > M =I= Ä > M X=~å=Éèì~äáíó=áë=î~äáÇ=çåäó=áÑ= ~ = Ä K== = N 141. ~ + ≥ O I=ïÜÉêÉ= ~ > M X=~å=Éèì~äáíó=í~âÉë=éä~ÅÉ=çåäó=~í= ~ = N K= ~

20

CHAPTER 2. ALGEBRA

142.

å

~N~ O K~ å ≤

~N + ~ O + K + ~ å I=ïÜÉêÉ= ~N I ~ O I KI ~ å > M K= å

= Ä 143. fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ > M I=íÜÉå= ñ > − K= ~ = Ä 144. fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ < M I=íÜÉå= ñ < − K== ~ = 145. ~ñ O + Äñ + Å > M = = = ~ > M= = = = = a>M=

= = = a=M=

= = = a<M=

= ñ < ñ N I= ñ > ñ O = =

ñ N < ñ I= ñ > ñ N = =

= −∞< ñ <∞= =

21

~ <M= =

= ñN < ñ < ñ O =

= ñ ∈∅ =

= = ñ ∈∅ =

=

=

=

CHAPTER 2. ALGEBRA

~+Ä ≤ ~ + Ä =

146. = 147. = 148. = 149. = 150. =

fÑ= ñ < ~ I=íÜÉå= − ~ < ñ < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K= fÑ= ñ > ~ I=íÜÉå= ñ < −~ =~åÇ= ñ > ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K= fÑ= ñ O < ~ I=íÜÉå= ñ < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K= fÑ= ñ O > ~ I=íÜÉå= ñ > ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=

151. fÑ=

=

Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) > M Ñ (ñ ) > M I=íÜÉå=  K= Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M

Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) < M Ñ (ñ ) < M I=íÜÉå=  K= Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M

152.

= = =

2.8 Compound Interest Formulas = cìíìêÉ=î~äìÉW=^= fåáíá~ä=ÇÉéçëáíW=`= ^ååì~ä=ê~íÉ=çÑ=áåíÉêÉëíW=ê= kìãÄÉê=çÑ=óÉ~êë=áåîÉëíÉÇW=í= kìãÄÉê=çÑ=íáãÉë=ÅçãéçìåÇÉÇ=éÉê=óÉ~êW=å= = = 153. dÉåÉê~ä=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~= åí  ê ^ = ` N +  =  å =

22

CHAPTER 2. ALGEBRA

154. páãéäáÑáÉÇ=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~= fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=çåÅÉ=éÉê=óÉ~êI=íÜÉå=íÜÉ=éêÉîáçìë= Ñçêãìä~=ëáãéäáÑáÉë=íçW= í ^ = `(N + ê ) K= = 155. `çåíáåìçìë=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí= fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=Åçåíáåì~ääó=E å → ∞ FI=íÜÉå== ^ = `É êí K= = =

23

Chapter 3

Geometry = = = =

3.1 Right Triangle = iÉÖë=çÑ=~=êáÖÜí=íêá~åÖäÉW=~I=Ä= eóéçíÉåìëÉW=Å= ^äíáíìÇÉW=Ü= jÉÇá~åëW= ã ~ I= ã Ä I= ã Å = ^åÖäÉëW= α I β = o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 8.

= 156. α + β = VM° = =

24

CHAPTER 3. GEOMETRY

157. ëáå α =

~ = Åçë β = Å

= 158. Åçë α =

Ä = ëáå β = Å =

159. í~å α =

~ = Åçí β = Ä =

Ä 160. Åçí α = = í~å β = ~ = Å 161. ëÉÅ α = = Åçë ÉÅ β = Ä = 162. Åçë ÉÅ α =

Å = ëÉÅ β = ~ =

163. móíÜ~ÖçêÉ~å=qÜÉçêÉã= ~ O + ÄO = Å O =

= 164. ~ = ÑÅ I= Ä = ÖÅ I== ïÜÉêÉ= Ñ= ~åÇ= Å= ~êÉ= éêçàÉÅíáçåë= çÑ= íÜÉ= äÉÖë= ~= ~åÇ= ÄI= êÉëéÉÅíáîÉäóI=çåíç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK= = O

=

O

=

===== Figure 9.

=

25

CHAPTER 3. GEOMETRY

165. Ü O = ÑÖ I=== ïÜÉêÉ=Ü=áë=íÜÉ=~äíáíìÇÉ=Ñêçã=íÜÉ=êáÖÜí=~åÖäÉK== = O O ~ Ä 166. ã O~ = ÄO − I= ã OÄ = ~ O − I=== Q Q ïÜÉêÉ= ã ~ =~åÇ= ã Ä =~êÉ=íÜÉ=ãÉÇá~åë=íç=íÜÉ=äÉÖë=~=~åÇ=ÄK== =

=

= Figure 10.

= Å 167. ã Å = I== O ïÜÉêÉ= ã Å =áë=íÜÉ=ãÉÇá~å=íç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK= = Å 168. o = = ã Å = O = ~ +Ä−Å ~Ä = = 169. ê = O ~ +Ä+Å = 170. ~Ä = ÅÜ = = =

26

CHAPTER 3. GEOMETRY

171. p =

~Ä ÅÜ = = O O

= = =

3.2 Isosceles Triangle = _~ëÉW=~= iÉÖëW=Ä= _~ëÉ=~åÖäÉW= β = sÉêíÉñ=~åÖäÉW= α = ^äíáíìÇÉ=íç=íÜÉ=Ä~ëÉW=Ü= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 11.

= 172. β = VM° −

α = O =

173. Ü O = ÄO −

O

~ = Q

27

CHAPTER 3. GEOMETRY

174. i = ~ + OÄ =

= 175. p =

O

~Ü Ä = ëáå α = O O

= = =

3.3 Equilateral Triangle = páÇÉ=çÑ=~=Éèìáä~íÉê~ä=íêá~åÖäÉW=~= ^äíáíìÇÉW=Ü= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 12.

= 176. Ü =

~ P = O =

28

CHAPTER 3. GEOMETRY

O ~ P = 177. o = Ü = P P = N ~ P o = = 178. ê = Ü = P S O =

179. i = P~ =

= 180. p =

O

~Ü ~ P = = O Q

= = =

3.4 Scalene Triangle E^=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=åç=íïç=ëáÇÉë=Éèì~äF= = = páÇÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW=~I=ÄI=Å= ~ +Ä+Å == pÉãáéÉêáãÉíÉêW= é = O ^åÖäÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW= αI βI γ = ^äíáíìÇÉë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= Ü ~ I Ü Ä I Ü Å = jÉÇá~åë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= ã ~ I ã Ä I ã Å = _áëÉÅíçêë=çÑ=íÜÉ=~åÖäÉë= αI βI γ W= í ~ I í Ä I í Å = o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= ^êÉ~W=p= = =

29

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

=====

= Figure 13.

= 181. α + β + γ = NUM° = 182. ~ + Ä > Å I== Ä + Å > ~ I== ~ + Å > Ä K= = 183. ~ − Ä < Å I== Ä − Å < ~ I== ~ − Å < Ä K=

=

= 184. jáÇäáåÉ= ~ è = I= è öö ~ K= O =

=

=

===== Figure 14.

=

30

CHAPTER 3. GEOMETRY

185. i~ï=çÑ=`çëáåÉë= ~ O = ÄO + Å O − OÄÅ Åçë α I= ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçë β I= Å O = ~ O + ÄO − O~Ä Åçë γ K= = 186. i~ï=çÑ=páåÉë= ~ Ä Å = = = Oo I== ëáå α ëáå β ëáå γ ïÜÉêÉ=o=áë=íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉK== = ~ Ä Å ÄÅ ~Å ~Ä ~ÄÅ = = = = = = 187. o = = O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I== 188. ê O = é N N N N = + + K= ê Ü~ ÜÄ ÜÅ = (é − Ä)(é − Å ) I= α 189. ëáå = O ÄÅ Åçë

α é(é − ~ ) I= = O ÄÅ

í~å

α = O

(é − Ä)(é − Å ) K= é(é − ~ )

= O 190. Ü ~ = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I= ~ O é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I= ÜÄ = Ä O ÜÅ = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) K= Å

31

CHAPTER 3. GEOMETRY

191. Ü ~ = Ä ëáå γ = Å ëáå β I= Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáå α I= Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáå α K=

= Ä +Å ~ − I== O Q O O ~ + Å ÄO ã OÄ = − I== O Q O O ~ + Ä ÅO O ãÅ = − K= O Q

192. ã O~ =

O

O

O

=

=

=

===== Figure 15.

= O O O 193. ^j = ã ~ I= _j = ã Ä I= `j = ã Å =EcáÖKNRFK= P P P = QÄÅé(é − ~ ) 194. í O~ = I== (Ä + Å )O Q~Åé(é − Ä) í OÄ = I== (~ + Å )O Q~Äé(é − Å ) í OÅ = K= (~ + Ä)O =

32

CHAPTER 3. GEOMETRY

~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å = = I== O O O ~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α I== p= = = O O O p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) =EeÉêçå∞ë=cçêãìä~FI= p = éê I== ~ÄÅ p= I= Qo p = Oo O ëáå α ëáå β ëáå γ I= α β γ p = éO í~å í~å í~å K= O O O

195. p =

= = =

3.5 Square páÇÉ=çÑ=~=ëèì~êÉW=~= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= =

=

= Figure 16.

33

CHAPTER 3. GEOMETRY

196. Ç = ~ O ==

= 197. o =

Ç ~ O = = O O =

~ 198. ê = = O 199. i = Q~ =

= =

200. p = ~ = = = = O

3.6 Rectangle = páÇÉë=çÑ=~=êÉÅí~åÖäÉW=~I=Ä= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 17.

= 201. Ç = ~ O + ÄO ==

34

CHAPTER 3. GEOMETRY

202. o =

Ç = O =

203. i = O(~ + Ä) =

=

204. p = ~Ä = = = =

3.7 Parallelogram = páÇÉë=çÑ=~=é~ê~ääÉäçÖê~ãW=~I=Ä= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = `çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= αI β = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = ^äíáíìÇÉW=Ü== mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

=====

=

Figure 18.

= 205. α + β = NUM° = 206. Ç + Ç = O(~ + Ä ) = O N

O O

O

=

O

=

35

CHAPTER 3. GEOMETRY

207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáå β = 208. i = O(~ + Ä) = 209. p = ~Ü = ~Ä ëáå α I== N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K= O = = =

= =

3.8 Rhombus = páÇÉ=çÑ=~=êÜçãÄìëW=~= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = `çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= αI β = ^äíáíìÇÉW=e= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

=

===== Figure 19.

=

36

CHAPTER 3. GEOMETRY

210. α + β = NUM° =

= 211. Ç + Ç = Q~ = O N

O O

O

= 212. Ü = ~ ëáå α =

ÇNÇ O = O~ =

Ü ÇÇ ~ ëáå α 213. ê = = N O = = O Q~ O

=

214. i = Q~ =

= 215. p = ~Ü = ~ ëáå α I== N p = ÇNÇ O K= O = = = O

3.9 Trapezoid = _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= ^êÉ~W=p= = =

37

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 20.

= 216. è = 217. p =

~+Ä = O ~+Ä ⋅ Ü = èÜ = O

=

= = =

3.10 Isosceles Trapezoid = _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= iÉÖW=Å= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= ^êÉ~W=p= = =

38

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 21.

= 218. è =

~+Ä = O =

219. Ç = ~Ä + Å = = N O 220. Ü = Å O − (Ä − ~ ) = Q O

= Å ~Ä + Å O = (OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä) = ~+Ä 222. p = ⋅ Ü = èÜ = O = = = = = = 221. o =

39

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle = _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= iÉÖW=Å= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 22.

= 223. ~ + Ä = OÅ = = ~+Ä 224. è = =Å= O = 225. Ç = Ü + Å = O

O

O

=

40

CHAPTER 3. GEOMETRY

226. ê =

Ü ~Ä = = O O =

Ä ÅÇ ÅÇ Å Å Å ~+Ä ~ N+ ÜO + Å O = = = = +S+ = OÜ Qê O ~Ä OÜ U Ä ~ = 228. i = O(~ + Ä) = QÅ = = (~ + Ä) ~Ä = èÜ = ÅÜ = iê == ~+Ä ⋅Ü = 229. p = O O O = = = 227. o =

O

3.12 Trapezoid with Inscribed Circle = _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= i~íÉê~ä=ëáÇÉëW=ÅI=Ç= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= =

41

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 23.

= 230. ~ + Ä = Å + Ç = ~+Ä Å+Ç = = 231. è = O O 232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç ) =

=

= =

~+Ä Å+Ç ⋅Ü = ⋅ Ü = èÜ I== O O N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K= O

233. p =

= = =

3.13 Kite = páÇÉë=çÑ=~=âáíÉW=~I=Ä= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉëW= αI βI γ = mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

42

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 24.

=

234. α + β + Oγ = PSM° = 235. i = O(~ + Ä) =

= =

236. p =

ÇNÇ O = O

= = =

3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ = o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p=

43

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 25.

=

237. α + γ = β + δ = NUM° =

= 238. míçäÉãó∞ë=qÜÉçêÉã= ~Å + ÄÇ = ÇNÇ O = 239. i = ~ + Ä + Å + Ç =

=

= N (~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ ) I== 240. o = Q (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) i ïÜÉêÉ= é = K= O = N 241. p = ÇNÇ O ëáå ϕ I== O p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I== i ïÜÉêÉ= é = K= O = = =

44

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.15 Tangential Quadrilateral = páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 26.

= 242. ~ + Å = Ä + Ç = = 243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O(Ä + Ç ) = = ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é ) I== Oé i ïÜÉêÉ= é = K== O = O

O

244. ê =

45

CHAPTER 3. GEOMETRY

N 245. p = éê = ÇNÇ O ëáå ϕ = O = = =

3.16 General Quadrilateral = páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ = mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

=

======= Figure 27.

=

246. α + β + γ + δ = PSM° = 247. i = ~ + Ä + Å + Ç =

= =

46

CHAPTER 3. GEOMETRY

N 248. p = ÇNÇ O ëáå ϕ = O = = =

3.17 Regular Hexagon = páÇÉW=~= fåíÉêå~ä=~åÖäÉW= α = pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 28.

= 249. α = NOM° = = 250. ê = ã =

~ P = O

47

CHAPTER 3. GEOMETRY

251. o = ~ =

=

252. i = S~ =

= O

~ P P I== O i ïÜÉêÉ= é = K= O = = =

253. p = éê =

3.18 Regular Polygon = páÇÉW=~= kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å= fåíÉêå~ä=~åÖäÉW= α = pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p= = =

48

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 29.

= 254. α =

255. α =

å−O ⋅ NUM° = O =

å−O ⋅ NUM° = O

= 256. o =

~

π O ëáå å

= =

257. ê = ã =

~ O í~å

π å

= oO −

~O = Q

=

258. i = å~ =

= 259. p =

åo Oπ ëáå I== O å O

p = éê = é o O −

~O I== Q

49

CHAPTER 3. GEOMETRY

ïÜÉêÉ= é =

i K== O

= = =

3.19 Circle = o~ÇáìëW=o= aá~ãÉíÉêW=Ç= `ÜçêÇW=~= pÉÅ~åí=ëÉÖãÉåíëW=ÉI=Ñ= q~åÖÉåí=ëÉÖãÉåíW=Ö= `Éåíê~ä=~åÖäÉW= α = fåëÅêáÄÉÇ=~åÖäÉW= β = mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = = α 260. ~ = Oo ëáå = O =

=

= Figure 30.

=

50

CHAPTER 3. GEOMETRY

261. ~N~ O = ÄNÄO = =

=

= Figure 31.

=

262. ÉÉN = ÑÑN = =

=

=

===== Figure 32.

= 263. Ö O = ÑÑN = =

51

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

=====

= Figure 33.

= 264. β =

α = O

=

=

= Figure 34.

= 265. i = Oπo = πÇ = = 266. p = πo O =

io πÇ = == Q O O

=

52

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.20 Sector of a Circle = o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o= ^êÅ=äÉåÖíÜW=ë= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW= α = mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 35.

=

267. ë = oñ = 268. ë =

=

πoα = NUM°

=

269. i = ë + Oo =

= 270. p =

oë o ñ πo α = = == O O PSM° O

O

= =

53

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.21 Segment of a Circle = o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o= ^êÅ=äÉåÖíÜW=ë= `ÜçêÇW=~= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW= α = eÉáÖÜí=çÑ=íÜÉ=ëÉÖãÉåíW=Ü= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =

=

= Figure 36.

= 271. ~ = O OÜo − Ü O =

= N 272. Ü = o − Qo O − ~ O I= Ü < o = O = 273. i = ë + ~ = =

54

CHAPTER 3. GEOMETRY

O O N [ëo − ~(o − Ü )] = o  απ − ëáå α  = o (ñ − ëáå ñ ) I== O O  NUM°  O O p ≈ Ü~ K= P

274. p =

= = =

3.22 Cube = bÇÖÉW=~== aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

=

=== Figure 37.

= 275. Ç = ~ P =

= ~ 276. ê = = O =

55

CHAPTER 3. GEOMETRY

277. o =

~ P = O =

278. p = S~ = O

= 279. s = ~ == = = = P

3.23 Rectangular Parallelepiped = bÇÖÉëW=~I=ÄI=Å== aá~Öçå~äW=Ç= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

=

===== Figure 38.

= 280. Ç = ~ O + ÄO + Å O = 281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ ) = 282. s = ~ÄÅ ==

= =

56

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.24 Prism = i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=ä= eÉáÖÜíW=Ü= i~íÉê~ä=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

=

===== Figure 39.

= 283. p = p i + Op_ K== = 284. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~=oáÖÜí=mêáëã= p i = (~ N + ~ O + ~ P + K + ~ å )ä = = 285. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~å=lÄäáèìÉ=mêáëã= p i = éä I== ïÜÉêÉ=é=áë=íÜÉ=éÉêáãÉíÉê=çÑ=íÜÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçåK= =

57

CHAPTER 3. GEOMETRY

286. s = p_ Ü =

= 287. `~î~äáÉêáDë=mêáåÅáéäÉ== dáîÉå=íïç=ëçäáÇë=áåÅäìÇÉÇ=ÄÉíïÉÉå=é~ê~ääÉä=éä~åÉëK=fÑ=ÉîÉêó= éä~åÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçå=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ÖáîÉå=éä~åÉë=Ü~ë=íÜÉ=ë~ãÉ= ~êÉ~=áå=ÄçíÜ=ëçäáÇëI=íÜÉå=íÜÉ=îçäìãÉë=çÑ=íÜÉ=ëçäáÇë=~êÉ=Éèì~äK= = = =

3.25 Regular Tetrahedron = qêá~åÖäÉ=ëáÇÉ=äÉåÖíÜW=~= eÉáÖÜíW=Ü= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

= Figure 40.

= 288. Ü =

O ~= P

=

58

CHAPTER 3. GEOMETRY

289. p_ =

P~ O = Q =

290. p = P~ = = N ~P 291. s = p_ Ü = K== P S O = = = O

3.26 Regular Pyramid = páÇÉ=çÑ=Ä~ëÉW=~= i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=Ä= eÉáÖÜíW=Ü= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã== kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å== pÉãáéÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=é= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉ=çÑ=Ä~ëÉW=ê= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

59

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 41.

= 292. ã = ÄO −

~O = Q =

293. Ü =

π O −~ å = π O ëáå å

QÄO ëáå O

= N N 294. p i = å~ã = å~ QÄO − ~ O = éã = O Q = 295. p_ = éê = = 296. p = p_ + p i = = N N 297. s = p_ Ü = éêÜ == P P = = =

60

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.27 Frustum of a Regular Pyramid = ~N I ~ O I ~ P IKI ~ å = _~ëÉ=~åÇ=íçé=ëáÇÉ=äÉåÖíÜëW=  ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå eÉáÖÜíW=Ü= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã== ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = mÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉëW= mN I= mO = pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

= Figure 42.

= 298.

ÄN ÄO ÄP Ä Ä = = =K= å = = â = ~N ~ O ~ P ~å ~ =

61

CHAPTER 3. GEOMETRY

299.

pO = âO = pN =

ã(mN + mO ) = 300. p i = O

=

301. p = p i + pN + pO =

= Ü 302. s = pN + pNpO + pO = P = O Üp  Ä  Ä   Üp 303. s = N N + +    = N N + â + â O = P  ~  ~   P = = =

(

)

[

]

3.28 Rectangular Right Wedge = páÇÉë=çÑ=Ä~ëÉW=~I=Ä= qçé=ÉÇÖÉW=Å= eÉáÖÜíW=Ü= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

62

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 43.

= N (~ + Å ) QÜO + ÄO + Ä ÜO + (~ − Å )O = O = 305. p_ = ~Ä = = 306. p = p_ + p i = = ÄÜ (O~ + Å ) = 307. s = S = = = 304. p i =

3.29 Platonic Solids = bÇÖÉW=~= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

63

CHAPTER 3. GEOMETRY

308. cáîÉ=mä~íçåáÅ=pçäáÇë= qÜÉ= éä~íçåáÅ= ëçäáÇë= ~êÉ= ÅçåîÉñ= éçäóÜÉÇê~= ïáíÜ= Éèìáî~äÉåí= Ñ~ÅÉë=ÅçãéçëÉÇ=çÑ=ÅçåÖêìÉåí=ÅçåîÉñ=êÉÖìä~ê=éçäóÖçåëK== = kìãÄÉê= kìãÄÉê= pÉÅíáçå= pçäáÇ= kìãÄÉê= çÑ=sÉêíáÅÉë çÑ=bÇÖÉë= çÑ=c~ÅÉë= qÉíê~ÜÉÇêçå== Q= S= Q= PKOR= `ìÄÉ= U= NO= S= PKOO= lÅí~ÜÉÇêçå= S= NO= U= PKOT= fÅçë~ÜÉÇêçå= NO= PM= OM= PKOT= açÇÉÅ~ÜÉÇêçå= OM= PM= NO= PKOT= = =

Octahedron =

=

= Figure 44.

= 309. ê =

~ S = S

= 310. o =

~ O = O

=

64

CHAPTER 3. GEOMETRY

311. p = O~ O P = = ~P O 312. s = = P = =

Icosahedron =

=

= Figure 45.

= 313. ê =

(

= 314. o =

)

~ P P+ R = NO

(

)

~ O R+ R = Q

= 315. p = R~ O P = = R~ P P + R 316. s = = NO = =

(

)

65

CHAPTER 3. GEOMETRY

Dodecahedron =

=

= Figure 46.

317. ê =

(

~ NM OR + NN R = O

= 318. o =

)

=

(

)

~ P N+ R = Q

=

(

)

319. p = P~ O R R + O R = = ~ P NR + T R 320. s = = Q = = =

(

)

3.30 Right Circular Cylinder = o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=

66

CHAPTER 3. GEOMETRY

eÉáÖÜíW=e= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

=====

= Figure 47.

= 321. p i = Oπoe = = Ç  322. p = p i + Op_ = Oπo(e + o ) = πÇ e +  = O  = 323. s = p_ e = πo O e = = = =

67

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face = o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= qÜÉ=ÖêÉ~íÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= ÜN = qÜÉ=ëÜçêíÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= Ü O = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

= Figure 48.

=

324. p i = πo(ÜN + Ü O ) = = O

 Ü − ÜO  325. p_ = πo + πo o +  N  =  O  = O

O

68

CHAPTER 3. GEOMETRY

O  ÜN − Ü O    O 326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o +   =  O    = πo O (ÜN + ÜO ) = 327. s = O = = =

3.32 Right Circular Cone o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç= eÉáÖÜíW=e= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

=

= Figure 49.

69

CHAPTER 3. GEOMETRY

328. e = ã O − o O = = πãÇ 329. p i = πoã = = O = 330. p_ = πo O = =

N  Ç 331. p = p i + p_ = πo (ã + o ) = πÇ ã +  = O  O = N N 332. s = p_ e = πo O e = P P = = =

3.33 Frustum of a Right Circular Cone = o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW=oI=ê= eÉáÖÜíW=e= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

70

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 50.

= 333. e = ã O − (o − ê ) = = o 334. =â= ê = p oO 335. O = O = â O = pN ê = 336. p i = πã(o + ê ) = = 337. p = pN + pO + p i = π o O + ê O + ã(o + ê ) = = Ü 338. s = pN + pNpO + pO = P = O ÜpN  o  o   ÜpN 339. s = N+ â + âO = N + +    = P  ê  ê   P = = = O

[

(

]

)

[

71

]

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.34 Sphere = o~ÇáìëW=o= aá~ãÉíÉêW=Ç= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= =

=

= Figure 51.

= 340. p = Qπo O = = Q N N 341. s = πo P e = πÇ P = po = P S P = = =

3.35 Spherical Cap o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o= o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=ê= eÉáÖÜíW=Ü= ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=Ñ~ÅÉW= p_ = ^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW= p` = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

72

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 52.

= 342. o =

ê O + ÜO = OÜ

= 343. p_ = πê O = = 344. p` = π(Ü O + ê O )= = 345. p = p_ + p` = π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + ê O ) = = π π 346. s = Ü O (Po − Ü ) = Ü(Pê O + Ü O ) = S S = = =

3.36 Spherical Sector = o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o= o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉ=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW=ê= eÉáÖÜíW=Ü= qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= =

73

CHAPTER 3. GEOMETRY

======

=

===

=

Figure 53.

= 347. p = πo(OÜ + ê ) = = O 348. s = πo O Ü = P = kçíÉW= qÜÉ= ÖáîÉå= Ñçêãìä~ë= ~êÉ= ÅçêêÉÅí= ÄçíÜ= Ñçê= ±çéÉå≤= ~åÇ= ±ÅäçëÉÇ≤=ëéÜÉêáÅ~ä=ëÉÅíçêK= = = =

3.37 Spherical Segment = o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o= o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW= êN I= êO = eÉáÖÜíW=Ü= ^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=ëìêÑ~ÅÉW= pp = ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= pN I= pO = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= =

74

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

=====

= Figure 54.

= 349. pp = OπoÜ = = 350. p = pp + pN + pO = π(OoÜ + êNO + êOO ) = = N 351. s = πÜ(PêNO + PêOO + Ü O )= S = = =

3.38 Spherical Wedge = o~ÇáìëW=o= aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ÇÉÖêÉÉëW=ñ= aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ê~Çá~åëW= α = ^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=äìåÉW= p i = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =

75

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

= Figure 55.

= 352. p i =

πo O α = Oo O ñ = VM

= 353. p = πo O +

πo O α = πo O + Oo O ñ = VM

= 354. s =

πoP O α = oP ñ = OTM P

= = =

3.39 Ellipsoid = pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Å= sçäìãÉW=s=

76

CHAPTER 3. GEOMETRY

=

=======

= Figure 56.

= Q 355. s = π~ÄÅ = P = = =

Prolate Spheroid = pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ > Ä F= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = = ~ ~êÅëáå É   356. p = OπÄ Ä +  I== É   ïÜÉêÉ= É =

~ O − ÄO K= ~

= Q 357. s = πÄO~ = P =

77

CHAPTER 3. GEOMETRY

Oblate Spheroid = pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ < Ä F= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =   ÄÉ   ~ ~êÅëáåÜ      ~   I== 358. p = OπÄ Ä +   ÄÉ L ~     ïÜÉêÉ= É =

ÄO − ~ O K= Ä

= Q 359. s = πÄO~ = P = = =

3.40 Circular Torus = j~àçê=ê~ÇáìëW=o= jáåçê=ê~ÇáìëW=ê= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= =

78

CHAPTER 3. GEOMETRY

==

Picture 57.

= 360. p = QπOoê = = 361. s = OπOoê O = = =

79

=

Chapter 4

Trigonometry = = = = ^åÖäÉëW= α I= β = oÉ~ä=åìãÄÉêë=EÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=éçáåíFW=ñI=ó== tÜçäÉ=åìãÄÉêW=â= = =

4.1 Radian and Degree Measures of Angles = 362. N ê~Ç =

= 363. N° =

= 364. N D =

= 365. N ? =

= 366. = =

= =

=

NUM° ≈ RT°NT DQR? = π

π ê~Ç ≈ MKMNTQRP ê~Ç = NUM π ê~Ç ≈ MKMMMOVN ê~Ç = NUM ⋅ SM π ê~Ç ≈ MKMMMMMR ê~Ç = NUM ⋅ PSMM ^åÖäÉ= EÇÉÖêÉÉëF= ^åÖäÉ= Eê~Çá~åëF=

M=

PM= QR= SM= VM= NUM= OTM= PSM=

M=

π = S

π = Q

80

π = P

π = O

π=

Pπ = O

Oπ =

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric Functions =

=

=

= Figure 58.

= 367. ëáå α =

ó = ê

= 368. Åçë α =

ñ = ê

= 369. í~å α =

ó = ñ

= 370. Åçí α =

ñ = ó

=

81

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

371. ëÉÅ α =

ê = ñ

= 372. ÅçëÉÅ α =

ê = ó =

373. páåÉ=cìåÅíáçå= ó = ëáå ñ I= − N ≤ ëáå ñ ≤ N K= =

= Figure 59.

= 374. `çëáåÉ=cìåÅíáçå== ó = Åçë ñ I= − N ≤ Åçë ñ ≤ N K=

82

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

= Figure 60.

= 375. q~åÖÉåí=cìåÅíáçå=

π ó = í~å ñ I= ñ ≠ (Oâ + N) I= − ∞ ≤ í~å ñ ≤ ∞K = O =

=

= Figure 61.

=

83

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

376. `çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = Åçí ñ I= ñ ≠ âπ I== − ∞ ≤ Åçí ñ ≤ ∞ K= =

=

= Figure 62.

= 377. pÉÅ~åí=cìåÅíáçå=

π ó = ëÉÅ ñ I= ñ ≠ (Oâ + N) K= O ==

84

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

= Figure 63.

= 378. `çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = Åçë ÉÅ ñ I= ñ ≠ âπ K=

= Figure 64.

85

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.3. Signs of Trigonometric Functions 379. = =

= = 380. =

nì~Çê~åí=

=

f= ff= fff= fs=

páå α= H= H= = =

`çë α= H= = = H=

q~å α= H= = H= =

`çí α= H= = H= =

pÉÅ α= H= = = H=

`çëÉÅ= α= H= H= = =

=

= Figure 65.

= = = = = = = = = =

86

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.4 Trigonometric Functions of Common Angles 381. = α° = α ê~Ç = M= M= π = PM= S π = QR= Q π = SM= P π = VM= O Oπ = NOM= P NUM= π= Pπ = OTM= O PSM= Oπ = = = = = = = = = = = = = =

O = O P = O

Åçë α = N= P = O O = O N = O

N=

M=

P = O M=

N − = O − N=

− N= M=

ëáå α = M= N = O

í~å α = Åçí α M= ∞= N = P= P

ëÉÅ α = N= O = P

ÅçëÉÅ α =

∞= O=

N=

N=

P=

N = P

O=

O = P

M=

∞=

N=

∞=

O=

O=

M=

N P ∞=

− N=

O = P ∞=

M=

∞=

M=

∞=

− N=

N=

M=

∞=

N=

∞=

− P=

87

−O=

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

382. = α° = α ê~Ç = π = NR= NO

ëáå α =

Åçë α =

í~å α =

Åçí α =

S− O = Q

S+ O = Q

O− P =

O+ P =

R−O R = R

R+O R =

NU=

π = NM

R −N = Q

NM + O R Q

PS=

π = R

NM − O R Q

R +N = Q

RQ=

Pπ = NM

R +N = Q

NM − O R Q

TO=

Oπ = R

NM + O R Q

R −N = Q

TR=

Rπ = NO

S+ O = Q

S− O = Q

= = =

4.5 Most Important Formulas = 383. ëáå O α + Åçë O α = N = = 384. ëÉÅ O α − í~å O α = N = = 385. ÅëÅ O α − Åçí O α = N = = ëáå α = 386. í~å α = Åçë α

88

NM − O R R +N

R +N NM − O R

R +N NM − O R = NM − O R R +N =

R+O R =

R−O R R =

O+ P =

O− P =

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

387. Åçí α =

Åçë α = ëáå α

= 388. í~å α ⋅ Åçí α = N = = N 389. ëÉÅ α = = Åçë α = N 390. ÅçëÉÅ α = = ëáå α = = =

4.6 Reduction Formulas = 391. = =

= = = = =

β= −α= VM° − α = VM° + α = NUM° − α NUM° + α OTM° − α OTM° + α PSM° − α = PSM° + α

ëáå β = − ëáå α = + Åçë α = + Åçë α = + ëáå α = − ëáå α = − Åçë α = − Åçë α = − ëáå α = + ëáå α =

89

Åçë β = + Åçë α = + ëáå α = − ëáå α = − Åçë α = − Åçë α = − ëáå α = + ëáå α = + Åçë α = + Åçë α =

í~å β = − í~å α = + Åçí α = − Åçí α = − í~å α = + í~å α = + Åçí α = − Åçí α = − í~å α = + í~å α =

Åçí β = − Åçí α = + í~å α = − í~å α = − Åçí α = + Åçí α = + í~å α = − í~å α = − Åçí α = + Åçí α =

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.7 Periodicity of Trigonometric Functions =

392. ëáå(α ± Oπå ) = ëáå α I=éÉêáçÇ= Oπ =çê= PSM° K= = 393. Åçë(α ± Oπå ) = Åçë α I=éÉêáçÇ= Oπ =çê= PSM° K= = 394. í~å(α ± πå ) = í~å α I=éÉêáçÇ= π =çê= NUM° K= = 395. Åçí(α ± πå ) = Åçí α I=éÉêáçÇ= π =çê= NUM° K= = = =

4.8 Relations between Trigonometric Functions = 396. ëáå α = ± N − Åçë O α = ±

α O = = α N + í~å O O

N (N − Åçë Oα ) = O Åçë O  α − π  − N = O  O Q

O í~å

= =

397. Åçë α = ± N − ëáå O α = ±

α O= = α N + í~å O O

N (N + Åçë Oα ) = O Åçë O α − N = O O

N − í~å O

= = 398. í~å α =

ëáå α ëáå Oα N − Åçë Oα = ± ëÉÅ O α − N = = = Åçë α N + Åçë Oα ëáå Oα

90

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

α N − Åçë Oα O = =± = N + Åçë Oα O α N + í~å O O í~å

= =

Åçë α N + Åçë Oα ëáå Oα = ± ÅëÅ O α − N = = = ëáå α ëáå Oα N − Åçë Oα α N − í~å O N + Åçë Oα O= = = =± α N − Åçë Oα O í~å O

399. Åçí α =

=

α N O= 400. ëÉÅ α = = ± N + í~å O α = α Åçë α N − í~å O O = α N + í~å O N O= 401. ÅëÅ α = = ± N + Åçí O α = α ëáå α O í~å O = = = N + í~å O

4.9 Addition and Subtraction Formulas = 402. ëáå(α + β) = ëáå α Åçë β + ëáå β Åçë α = = 403. ëáå(α − ó ) = ëáå α Åçë β − ëáå β Åçë α = = 404. Åçë(α + β ) = Åçë α Åçë β − ëáå α ëáå β = = 405. Åçë(α − β ) = Åçë α Åçë β + ëáå α ëáå β =

91

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

406. í~å(α + β ) =

= 407. í~å(α − β ) =

= 408. Åçí(α + β) =

= 409. Åçí(α − β) =

í~å α + í~å β = N − í~å α í~å β í~å α − í~å β = N + í~å α í~å β N − í~å α í~å β = í~å α + í~å β N + í~å α í~å β = í~å α − í~å β

= = =

4.10 Double Angle Formulas =

410. ëáå Oα = O ëáå α ⋅ Åçë α = = 411. Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α = N − O ëáå O α = O Åçë O α − N = = O í~å α O 412. í~å Oα = = = O N − í~å α Åçí α − í~å α = Åçí O α − N Åçí α − í~å α = = 413. Åçí Oα = O Åçí α O = = = = = =

92

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.11 Multiple Angle Formulas = 414. ëáå Pα = P ëáå α − Q ëáå P α = P Åçë O α ⋅ ëáå α − ëáåP α = = 415. ëáå Qα = Q ëáå α ⋅ Åçë α − U ëáå P α ⋅ Åçë α = = 416. ëáå Rα = R ëáå α − OM ëáå P α + NS ëáå R α = = 417. Åçë Pα = Q ÅçëP α − P Åçë α = Åçë P α − P Åçë α ⋅ ëáå O α = = 418. Åçë Qα = U Åçë Q α − U Åçë O α + N = = 419. Åçë Rα = NS Åçë R α − OM Åçë P α + R Åçë α = = P í~å α − í~å P α 420. í~å Pα = = N − P í~å O α = Q í~å α − Q í~å P α = 421. í~å Qα = N − S í~å O α + í~å Q α = í~å R α − NM í~å P α + R í~å α = 422. í~å Rα = N − NM í~å O α + R í~å Q α = Åçí P α − P Åçí α 423. Åçí Pα = = P Åçí O α − N = N − S í~å O α + í~å Q α == 424. Åçí Qα = Q í~å α − Q í~å P α =

93

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

425. Åçí Rα =

N − NM í~å O α + R í~å Q α = í~å R α − NM í~å P α + R í~å α

= = =

4.12 Half Angle Formulas = 426. ëáå

α N − Åçë α = =± O O

= 427. Åçë

α N + Åçë α = =± O O

= 428. í~å

α N − Åçë α ëáå α N − Åçë α =± = = = ÅëÅ α − Åçí α = O N + Åçë α N + Åçë α ëáå α

= 429. Åçí

α N + Åçë α ëáå α N + Åçë α =± = = = ÅëÅ α + Åçí α = O N − Åçë α N − Åçë α ëáå α

= = =

4.13 Half Angle Tangent Identities =

α O = 430. ëáå α = α N + í~å O O = O í~å

94

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

α O= 431. Åçë α = O α N + í~å O = α O í~å O = 432. í~å α = α N − í~å O O = α N − í~å O O= 433. Åçí α = α O í~å O = = = N − í~å O

4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product = 434. ëáå α + ëáå β = O ëáå

= 435. ëáå α − ëáå β = O Åçë

α+β α −β = Åçë O O α +β α −β = ëáå O O

= 436. Åçë α + Åçë β = O Åçë

α+β α −β = Åçë O O

= 437. Åçë α − Åçë β = −O ëáå

α +β α −β = ëáå O O

=

95

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

438. í~å α + í~å β =

= 439. í~å α − í~å β =

= 440. Åçí α + Åçí β =

= 441. Åçí α − Åçí β =

ëáå(α + β ) = Åçë α ⋅ Åçë β ëáå(α − β ) = Åçë α ⋅ Åçë β ëáå(β + α ) = ëáå α ⋅ ëáå β ëáå(β − α ) = ëáå α ⋅ ëáå β

= π  π  442. Åçë α + ëáå α = O Åçë − α  = O ëáå + α  = Q  Q  = π  π  443. Åçë α − ëáå α = O ëáå − α  = O Åçë + α  = Q  Q  = Åçë(α − β) = 444. í~å α + Åçí β = Åçë α ⋅ ëáå β = Åçë(α + β ) = 445. í~å α − Åçí β = − Åçë α ⋅ ëáå β = α 446. N + Åçë α = O Åçë O = O = α 447. N − Åçë α = O ëáå O = O =

96

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

π α 448. N + ëáå α = O Åçë O  −  = Q O = π α 449. N − ëáå α = O ëáå O  −  = Q O = = =

4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum = 450. ëáå α ⋅ ëáå β =

Åçë(α − β) − Åçë(α + β ) = O

= 451. Åçë α ⋅ Åçë β =

= 452. ëáå α ⋅ Åçë β =

= 453. í~å α ⋅ í~å β =

= 454. Åçí α ⋅ Åçí β =

= 455. í~å α ⋅ Åçí β =

Åçë(α − β ) + Åçë(α + β ) = O ëáå(α − β ) + ëáå(α + β ) = O í~å α + í~å β = Åçí α + Åçí β Åçí α + Åçí β = í~å α + í~å β í~å α + Åçí β = Åçí α + í~å β

= = =

97

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.16 Powers of Trigonometric Functions = 456. ëáå O α =

= 457. ëáå P α =

= 458. ëáå Q α =

= 459. ëáå R α =

= 460. ëáå S α =

= 461. Åçë O α =

= 462. Åçë P α =

= 463. Åçë Q α =

= 464. Åçë R α =

= 465. Åçë S α =

N − Åçë Oα = O P ëáå α − ëáå Pα = Q Åçë Qα − Q Åçë Oα + P = U NM ëáå α − R ëáå Pα + ëáå Rα = NS NM − NR Åçë Oα + S Åçë Qα − Åçë Sα = PO N + Åçë Oα = O P Åçë α + Åçë Pα = Q Åçë Qα + Q Åçë Oα + P = U NM Åçë α + R ëáå Pα + Åçë Rα = NS NM + NR Åçë Oα + S Åçë Qα + Åçë Sα = PO

=

98

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.17 Graphs of Inverse Trigonometric Functions = 466. fåîÉêëÉ=páåÉ=cìåÅíáçå== ó = ~êÅëáå ñ I= − N ≤ ñ ≤ N I= −

π π ≤ ~êÅëáå ñ ≤ K= O O

=

=

= Figure 66.

= 467. fåîÉêëÉ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅçë ñ I= − N ≤ ñ ≤ N I= M ≤ ~êÅÅçë ñ ≤ π K= =

99

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

=

= Figure 67.

= 468. fåîÉêëÉ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅí~å ñ I= − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I= −

π π < ~êÅí~å ñ < K= O O

=

=

=

===== Figure 68.

100

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

469. fåîÉêëÉ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅ Åçí ñ I= − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I= M < ~êÅ Åçí ñ < π K=

=====

= Figure 69.

= 470. fåîÉêëÉ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==  π  π  ó = ~êÅëÉÅ=ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ëÉÅ ñ ∈ MI  ∪  I πK  O  O 

= Figure 70.

101

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

471. fåîÉêëÉ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

 π   π ó = ~êÅÅëÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ÅëÅ ñ ∈ − I M  ∪  MI K  O   O

=

= Figure 71.

= =

4.18 Principal Values of Inverse Trigonometric Functions 472.

ñ=

M=

N = O PM° = SM° = O − O

~êÅëáå ñ = M° = ~êÅÅçë ñ = VM° N − ñ= O − PM° ~êÅëáå ñ = − QR° = NOM° ~êÅÅçë ñ = NPR° = =

O = O QR° = QR° = P − O

P O SM° PM°

VM° M° =

− N=

=

− VM° = NUM° NRM° = =

− SM°

102

N=

= =

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

473.

ñ=

M=

P P

N=

~êÅí~å ñ =

M° =

PM°

QR°

SM°

~êÅ Åçí ñ = VM°

SM°

QR°

PM°

P= −

P P

4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions =

474. ~êÅëáå(− ñ ) = − ~êÅëáå ñ = = π 475. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë ñ = O = 476. ~êÅëáå ñ = ~êÅÅçë N − ñ O I= M ≤ ñ ≤ N K= = 477. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë N − ñ O I= − N ≤ ñ ≤ M K= = ñ O I= ñ < N K= 478. ~êÅëáå ñ = ~êÅí~å O N− ñ = N− ñO I= M < ñ ≤ N K= ñ

= 480. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí

N− ñO − π I= − N ≤ ñ < M K= ñ

= 481. ~êÅÅçë(− ñ ) = π − ~êÅÅçë ñ =

103

− P=

− QR° − SM° = = NPR° NOM° = NRM° = =

− PM°

= = =

479. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí

− N=

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

482. ~êÅÅçë ñ =

π − ~êÅëáå ñ = O

= 483. ~êÅÅçë ñ = ~êÅëáå N − ñ O I= M ≤ ñ ≤ N K= = 484. ~êÅÅçë ñ = π − ~êÅëáå N − ñ O I= − N ≤ ñ ≤ M K= = 485. ~êÅÅçë ñ = ~êÅí~å

N− ñO I= M < ñ ≤ N K= ñ

= N− ñO I= − N ≤ ñ < M K= ñ

486. ~êÅÅçë ñ = π + ~êÅí~å

= 487. ~êÅÅçë ñ = ~êÅ Åçí

ñ N− ñO

I= − N ≤ ñ ≤ N K=

=

488. ~êÅí~å(− ñ ) = − ~êÅí~å ñ = = π 489. ~êÅí~å ñ = − ~êÅ Åçí ñ = O = ñ = 490. ~êÅí~å ñ = ~êÅëáå N+ ñO = N I= ñ ≥ M K= 491. ~êÅí~å ñ = ~êÅÅçë N+ ñO = N I= ñ ≤ M K= 492. ~êÅí~å ñ = − ~êÅÅçë N+ ñO =

104

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

493. ~êÅí~å ñ =

π N − ~êÅí~å I= ñ > M K= O ñ

=

π N 494. ~êÅí~å ñ = − − ~êÅí~å I= ñ < M K= O ñ = N 495. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí I= ñ > M K= ñ = N 496. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí − π I= ñ < M K= ñ = 497. ~êÅ Åçí(− ñ ) = π − ~êÅ Åçí ñ = = π 498. ~êÅ Åçí ñ = − ~êÅí~å ñ = O = N I= ñ > M K= 499. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅëáå N+ ñO = N I= ñ < M K= 500. ~êÅ Åçí ñ = π − ~êÅëáå N+ ñO = ñ = 501. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅÅçë N+ ñO = N 502. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅí~å I= ñ > M K= ñ = N 503. ~êÅ Åçí ñ = π + ~êÅí~å I= ñ < M K= ñ = =

105

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.20 Trigonometric Equations

504. 505. 506. 507.

= tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= = = å ëáå ñ = ~ I= ñ = (− N) ~êÅëáå ~ + πå = = Åçë ñ = ~ I= ñ = ± ~êÅÅçë ~ + Oπå = = í~å ñ = ~ I= ñ = ~êÅí~å ~ + πå = = Åçí ñ = ~ I= ñ = ~êÅ Åçí ~ + πå = = = =

4.21 Relations to Hyperbolic Functions

508. 509. 510. 511. 512.

= fã~Öáå~êó=ìåáíW=á= = = ëáå(áñ ) = á ëáåÜ ñ = = í~å(áñ ) = á í~åÜ ñ = = Åçí(áñ ) = −á ÅçíÜ ñ = = ëÉÅ(áñ ) = ëÉÅÜ ñ = = ÅëÅ(áñ ) = −á ÅëÅÜ ñ = = = =

106

Chapter 5

Matrices and Determinants = = = = j~íêáÅÉëW=^I=_I=`= bäÉãÉåíë=çÑ=~=ã~íêáñW= ~ á I= Äá I= ~ áà I= Äáà I= Å áà = aÉíÉêãáå~åí=çÑ=~=ã~íêáñW= ÇÉí ^ = jáåçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= ~ áà W= j áà = `çÑ~Åíçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= ~ áà W= ` áà = ú qê~åëéçëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^ q I= ^ = ^Çàçáåí=çÑ=~=ã~íêáñW= ~Çà ^ = qê~ÅÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= íê ^ = fåîÉêëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^ −N = oÉ~ä=åìãÄÉêW=â= oÉ~ä=î~êá~ÄäÉëW= ñ á = k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=å=== = =

5.1 Determinants = 513. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí= ~ ÄN ÇÉí ^ = N = ~ N Ä O − ~ O ÄN = ~ O ÄO = = = = =

107

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

514. qÜáêÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí= ~NN ~NO ~NP ÇÉí ^ = ~ ON ~ OO

~ OP = ~NN~ OO~ PP + ~NO~ OP~ PN + ~ NP~ ON~ PO − =

~ PN ~ PO ~ PP − ~NN~ OP~ PO − ~NO~ ON~ PP − ~ NP~ OO~ PN =

= 515. p~êêìë=oìäÉ=E^êêçï=oìäÉF=

=

= Figure 72.

= 516. k-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí= ~NN ~NO K ~Nà ~ ON ~ OO K ~ O à K K K K ÇÉí ^ = ~ áN ~ á O K ~ áà K K K K ~ åN ~ å O K ~ åà

K ~Nå K ~ Oå K K K ~ áå

=

K K K ~ åå

= 517. jáåçê= qÜÉ=ãáåçê= j áà =~ëëçÅá~íÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåí= ~ áà =çÑ=å-íÜ=çêÇÉê=

ã~íêáñ= ^= áë= íÜÉ= (å − N) -íÜ= çêÇÉê= ÇÉíÉêãáå~åí= ÇÉêáîÉÇ= Ñêçã= íÜÉ=ã~íêáñ=^=Äó=ÇÉäÉíáçå=çÑ=áíë=á-íÜ=êçï=~åÇ=à-íÜ=ÅçäìãåK=== =

108

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

518. `çÑ~Åíçê= á +à ` áà = (− N) j áà =

= 519. i~éä~ÅÉ=bñé~åëáçå=çÑ=å-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí= i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=á-íÜ=êçï= å

ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I= á = NI OI KI å K= à=N

i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=à-íÜ=Åçäìãå= å

ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I= à = NI OI KI å K== á =N

= = =

5.2 Properties of Determinants = 520. qÜÉ==î~äìÉ==çÑ=~=ÇÉíÉêãáå~åí=êÉã~áåë==ìåÅÜ~åÖÉÇ=áÑ=êçïë=~êÉ= ÅÜ~åÖÉÇ=íç=Åçäìãåë=~åÇ=Åçäìãåë=íç=êçïëK= ~ ~ O ~N ÄN = == = N ÄN ÄO ~ O ÄO = 521. fÑ=íïç==êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉ=ëáÖå=çÑ= íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=áë=ÅÜ~åÖÉÇK= ~N ÄN ~ ÄO =− O = ~ O ÄO ~N ÄN = 522. fÑ=íïç=êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áÇÉåíáÅ~äI=íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ= ÇÉíÉêãáå~åí=áë=òÉêçK= ~N ~N = M= ~O ~O =

109

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

523. fÑ==íÜÉ===ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó=êçï==Eçê=ÅçäìãåF=~êÉ=ãìäíáéäáÉÇ=Äó===== ~==Åçããçå==Ñ~ÅíçêI==íÜÉ==ÇÉíÉêãáå~åí==áë==ãìäíáéäáÉÇ==Äó==íÜ~í= Ñ~ÅíçêK= â~ N âÄN ~ ÄN =â N = ~ O ÄO ~ O ÄO = 524. fÑ==íÜÉ==ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó==êçï==Eçê==ÅçäìãåF=~êÉ=áåÅêÉ~ëÉÇ=Eçê= ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó=Éèì~ä=ãìäíáéäÉë=çÑ=íÜÉ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë= çÑ=~åó=çíÜÉê=êçï==Eçê=ÅçäìãåFI==íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí= áë=ìåÅÜ~åÖÉÇK= ~N + âÄN ÄN ~N ÄN = = ~ O + âÄO ÄO ~ O ÄO = = =

5.3 Matrices = 525. aÉÑáåáíáçå= ^å= ã × å =ã~íêáñ=^=áë=~=êÉÅí~åÖìä~ê=~êê~ó=çÑ=ÉäÉãÉåíë=EåìãÄÉêë=çê=ÑìåÅíáçåëF=ïáíÜ=ã=êçïë=~åÇ=å=ÅçäìãåëK==  ~ NN ~ NO K ~ Nå  ~ ~ OO K ~ Oå  ON  ==  ^ = ~ áà =  M M M    ~ ãN ~ ã O K ~ ãå  = 526. pèì~êÉ=ã~íêáñ=áë=~=ã~íêáñ=çÑ=çêÇÉê= å× å K== = 527. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ== ~ áà ==áë==ëóããÉíêáÅ==áÑ== ~ áà = ~ àá I==áKÉK==áí==áë=

[ ]

[ ]

ëóããÉíêáÅ=~Äçìí=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK== = 528. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ= ~ áà =áë=ëâÉï-ëóããÉíêáÅ=áÑ= ~ áà = −~ àá K== =

[ ]

110

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

529. aá~Öçå~ä=ã~íêáñ==áë==~=ëèì~êÉ==ã~íêáñ=ïáíÜ=~ää==ÉäÉãÉåíë==òÉêç= ÉñÅÉéí=íÜçëÉ=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK== = 530. råáí=ã~íêáñ==áë==~=Çá~Öçå~ä==ã~íêáñ==áå=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåíë=çå= íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~ä=~êÉ=~ää=ìåáíóK=qÜÉ=ìåáí=ã~íêáñ=áë=========== ÇÉåçíÉÇ=Äó=fK== = 531. ^=åìää=ã~íêáñ=áë=çåÉ=ïÜçëÉ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=~ää=òÉêçK= = = =

5.4 Operations with Matrices = 532. qïç=ã~íêáÅÉë=^=~åÇ=_=~êÉ=Éèì~ä=áÑI=~åÇ=çåäó=áÑI=íÜÉó=~êÉ=ÄçíÜ= çÑ==íÜÉ==ë~ãÉ==ëÜ~éÉ== ã × å ==~åÇ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ= Éèì~äK= = 533. qïç=ã~íêáÅÉë==^=~åÇ=_==Å~å=ÄÉ=~ÇÇÉÇ=Eçê=ëìÄíê~ÅíÉÇF=çÑI=~åÇ= çåäó=áÑI=íÜÉó=Ü~îÉ=íÜÉ=ë~ãÉ=ëÜ~éÉ= ã × å K=fÑ==  ~NN ~NO K ~Nå  ~ ~ OO K ~ Oå   I== ^ = ~ áà =  ON  M M M    ~ ãN ~ ã O K ~ ãå   ÄNN ÄNO K ÄNå  Ä ÄOO K ÄOå   I== _ = Äáà =  ON  M M M    ÄãN Äã O K Äãå  = = = = =

[ ]

[ ]

111

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

íÜÉå==

~NO + ÄNO K ~Nå + ÄNå   ~NN + ÄNN ~ +Ä ~ OO + ÄOO K ~ Oå + ÄOå  ON ON  K=  ^+_=   M M M   ~ ãN + ÄãN ~ ã O + Äã O K ~ ãå + Äãå  = 534. fÑ=â=áë=~=ëÅ~ä~êI=~åÇ= ^ = ~ áà =áë=~=ã~íêáñI=íÜÉå=

[ ]

 â~NN â~NO K â~Nå   â~ â~ OO K â~ Oå  ON  K=  â^ = â~ áà =  M M M    â~ ãN â~ ã O K â~ ãå  = 535. jìäíáéäáÅ~íáçå=çÑ=qïç=j~íêáÅÉë= qïç= ã~íêáÅÉë= Å~å= ÄÉ= ãìäíáéäáÉÇ= íçÖÉíÜÉê= çåäó= ïÜÉå= íÜÉ= åìãÄÉê= çÑ= Åçäìãåë= áå= íÜÉ= Ñáêëí= áë= Éèì~ä= íç= íÜÉ= åìãÄÉê= çÑ= êçïë=áå=íÜÉ=ëÉÅçåÇK== = fÑ=  ~NN ~NO K ~Nå  ~ ~ OO K ~ Oå   I== ^ = ~ áà =  ON  M M M    ~ ãN ~ ã O K ~ ãå   ÄNN ÄNO K ÄNâ  Ä ÄOO K ÄO â   I= _ = Äáà =  ON  M M M    ÄåN Äå O K Äåâ  = = = = =

[ ]

[ ]

[ ]

112

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

íÜÉå==  ÅNN ÅNO K ÅNâ  Å Å OO K Å O â  ON  I==  ^_ = ` =  M M M    Ä ãN Å ã O K Å ãâ  ïÜÉêÉ== å

Å áà = ~ áNÄNà + ~ á O ÄO à + K + ~ áå Äåà = ∑ ~ á λ Äλ à = E á = NI OI KI ã X à = NI OI KI â FK== = qÜìë=áÑ=

[ ]

~ NN ^ = ~ áà =  ~ ON

~ NO ~ OO

λ =N

 ÄN  ~ NP  I= _ = [Ä á ] = Ä O  I==  ~ OP  ÄP 

íÜÉå== ~ NN ~ NO ^_ =  ~ ON ~ OO

Ä  ~ NP   N  ~ NNÄN ⋅ Ä = ~ OP   O  ~ ONÄN ÄP 

~ NO Ä O ~ OO Ä O

~ NP ÄP  K== ~ OP ÄP 

= 536. qê~åëéçëÉ=çÑ=~=j~íêáñ= fÑ=íÜÉ=êçïë=~åÇ=Åçäìãåë=çÑ=~=ã~íêáñ=~êÉ=áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉå= íÜÉ=åÉï=ã~íêáñ=áë=Å~ääÉÇ=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñK=== fÑ= ^= áë= íÜÉ= çêáÖáå~ä= ã~íêáñI= áíë= íê~åëéçëÉ= áë= ÇÉåçíÉÇ= ^ q = çê= ú ^ K== = 537. qÜÉ=ã~íêáñ=^=áë=çêíÜçÖçå~ä=áÑ= ^^ q = f K== = 538. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå== (^_ )q = _ q ^ q K= = =

113

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

539. ^Çàçáåí=çÑ=j~íêáñ= fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å× å ã~íêáñI=áíë=~ÇàçáåíI=ÇÉåçíÉÇ=Äó= ~Çà ^ I= áë=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=çÑ=ÅçÑ~Åíçêë= ` áà =çÑ=^W=

[ ]

~Çà ^ = ` áà K== = 540. qê~ÅÉ=çÑ=~=j~íêáñ= fÑ= ^= áë= ~= ëèì~êÉ= å × å ã~íêáñI= áíë= íê~ÅÉI= ÇÉåçíÉÇ= Äó= íê ^ I= áë= ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==íÜÉ=ëìã=çÑ==íÜÉ=íÉêãë=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äW= íê ^ = ~NN + ~ OO + K + ~ åå K= = 541. fåîÉêëÉ=çÑ=~=j~íêáñ= fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å× å ã~íêáñ=ïáíÜ=~=åçåëáåÖìä~ê=ÇÉíÉêãáå~åí= ÇÉí ^ I=íÜÉå=áíë=áåîÉêëÉ= ^ −N =áë=ÖáîÉå=Äó= ~Çà ^ ^ −N = K= ÇÉí ^ = 542. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå== (^_)−N = _ −N^ −N K= = 543. fÑ==^==áë=~=ëèì~êÉ=== å × å ==ã~íêáñI==íÜÉ==ÉáÖÉåîÉÅíçêë==u===ë~íáëÑó= íÜÉ=Éèì~íáçå= ^u = λu I== ïÜáäÉ=íÜÉ=ÉáÖÉåî~äìÉë= λ =ë~íáëÑó=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå= ^ − λf = M K=== = = = q

5.5 Systems of Linear Equations = = s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ñ O I K = oÉ~ä=åìãÄÉêëW= ~ N I ~ O I ~ P I ÄN I ~ NN I ~ NO I K =

114

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

aÉíÉêãáå~åíëW=aI= añ I= aó I= aò == j~íêáÅÉëW=^I=_I=u= = =

~ ñ + ÄNó = ÇN I== 544.  N ~ O ñ + ÄO ó = Ç O aó a =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI== ñ = ñ I= ó = a a ïÜÉêÉ== ~ ÄN a= N = ~NÄO − ~ O ÄN I== ~ O ÄO Ç ÄN añ = N = ÇNÄO − Ç O ÄN I== Ç O ÄO ~ ÇN aó = N = ~NÇ O − ~ OÇN K== ~ O ÇO = 545. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW== aó a K= ñ = ñ I= ó = a a fÑ= a = M = ~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M FI= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = åç== ëçäìíáçåK= fÑ= a = añ = aó = M I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = áåÑáåáíÉäó= = ã~åó== ëçäìíáçåëK= = ~Nñ + ÄNó + ÅNò = ÇN=  546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I== ~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç P P P  P ñ=

aó añ a I= ó = I= ò = ò =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI== a a a

=

115

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

ïÜÉêÉ== ~N ÄN a = ~ O ÄO ~ P ÄP

ÅN

ÇN

ÄN

ÅN

Å O I= añ = Ç O

ÄO

Å O I=

ÅP

ÄP

ÅP

ÇP

~N

ÇN

ÅN

~N

ÄN

ÇN

aó = ~ O ~P

ÇO ÇP

Å O I= aò = ~ O ÅP ~P

ÄO ÄP

Ç O K== ÇP

= 547. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW== aó a a I= ò = ò K= ñ = ñ I= ó = a a a fÑ= a = M =~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M =çê= aò ≠ M FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã= Ü~ë=åç=ëçäìíáçåK= fÑ= a = añ = aó = aò = M I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= áåÑáåáíÉäó= ã~åó=ëçäìíáçåëK= = 548. j~íêáñ=cçêã=çÑ=~=póëíÉã=çÑ=å=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=áå================= å=råâåçïåë= qÜÉ=ëÉí=çÑ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçåë== ~NNñ N + ~ NO ñ O + K + ~ Nå ñ å = ÄN ~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä  ON N OO O Oå å O =  K K K K K K K K K K K K  ~ åNñ N + ~ å O ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=ã~íêáñ=Ñçêã=  ~ NN ~ NO K ~ Nå   ñ N   ÄN         ~ ON ~ OO K ~ Oå   ñ O   Ä O  I== = ⋅  M M M   M   M             ~  åN ~ å O K ~ åå   ñ å   Ä å  áKÉK== ^ ⋅ u = _ I==

116

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

ïÜÉêÉ==  ~ NN  ~ ^ =  ON M  ~  åN

~ NO K ~ Nå   ñN   ÄN       ~ OO K ~ Oå   ñO   ÄO  u _ I= I= = =  M   M  K== M M       ñ  Ä  ~ å O K ~ åå   å  å

= 549. pçäìíáçå=çÑ=~=pÉí=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= å × å = u = ^ −N ⋅ _ I== ïÜÉêÉ= ^ −N =áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=çÑ=^K= = =

117

Chapter 6

Vectors = = = = r r r r → sÉÅíçêëW= ì I= î I= ï I= ê I= ^_ I=£= r r sÉÅíçê=äÉåÖíÜW= ì I= î I=£= r r r råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â = r kìää=îÉÅíçêW= M = r `ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= ì W= uN I vN I wN = r `ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= î W= u O I vO I wO = pÅ~ä~êëW= λ I µ = aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=îÉÅíçêëW= θ = = =

6.1 Vector Coordinates = 550. råáí=sÉÅíçêë= r á = (NI MI M) I= r à = (MI NI M) I= r â = (MI MI N) I= r r r á = à = â = N K= =

r r r r → 551. ê = ^_ = (ñ N − ñ M ) á + (ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â = =

118

CHAPTER 6. VECTORS

======= =

= Figure 73.

= → r ê = ^_ =

552.

(ñ N − ñ M )O + (óN − ó M )O + (òN − ò M )O =

= → → r r 553. fÑ= ^_ = ê I=íÜÉå= _^ = − ê K= =

=

= Figure 74.

r 554. u = ê Åçë α I= r v = ê Åçë β I= r w = ê Åçë γ K=

=

119

CHAPTER 6. VECTORS

=

=====

= Figure 75.

= r r 555. fÑ= ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I=íÜÉå== u = uN I= v = vN I= w = wN K== == =

r r r 556. ï = ì + î = =

=

==

= Figure 76.

120

CHAPTER 6. VECTORS

=

==

= Figure 77.

=

r r r r r 557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ì å = =

=

=

== Figure 78.

= 558. `çããìí~íáîÉ=i~ï= r r r r ì+ î =î+ì= = 559. ^ëëçÅá~íáîÉ=i~ï= (ìr + îr ) + ïr = ìr + (îr + ïr ) = = r r 560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO ) = = = = = = =

121

CHAPTER 6. VECTORS

6.3 Vector Subtraction =

r r r r r r 561. ï = ì − î =áÑ= î + ï = ì K= =

=

= Figure 79.

=

=

==

= Figure 80.

=

r r r r 562. ì − î = ì + (− î ) = = r r r 563. ì − ì = M = (MI MI M ) = = r 564. M = M =

= r r 565. ì − î = (uN − u O I vN − vO I wN − w O ) I== = = =

6.4 Scaling Vectors = r r 566. ï = λì =

122

CHAPTER 6. VECTORS

=

= Figure 81.

= 567.

r r ï = λ⋅ì=

=

r 568. λì = (λuI λv I λw ) = = r r 569. λì = ìλ = = r r r 570. (λ + µ ) ì = λì + µì = = r r r 571. λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì = = r r r r 572. λ(ì + î ) = λì + λî = = = =

6.5 Scalar Product = r r 573. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î = r r r r ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçë θ I== r r ïÜÉêÉ= θ =áë=íÜÉ=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=îÉÅíçêë= ì =~åÇ î K==== =

123

CHAPTER 6. VECTORS

=

=

= Figure 82.

= 574. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= r r fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå== r r ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wNwO K= = 575. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë== r r fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå== uNu O + vNvO + wNw O K= Åçë θ = O O O O O O uN + vN + wN u O + vO + w O = 576. `çããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r ì⋅î = î ⋅ì= = 577. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó= (λìr ) ⋅ (µîr ) = λµìr ⋅ îr = = 578. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r r r r ì ⋅ (î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï = = π r r r r 579. ì ⋅ î = M =áÑ= ì I î =~êÉ=çêíÜçÖçå~ä=E θ = FK= O = π r r 580. ì ⋅ î > M =áÑ= M < θ < K= O =

124

CHAPTER 6. VECTORS

π r r 581. ì ⋅ î < M =áÑ= < θ < π K= O = r r r r 582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î = = r r r r r r 583. ì ⋅ î = ì ⋅ î =áÑ= ì I î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ = M FK= = r 584. fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I=íÜÉå== r r r rO O O O ì ⋅ ì = ì O = ì = uN + vN + wN K= = r r r r r r 585. á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N = = r r r r r r 586. á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M = = = =

6.6 Vector Product = r r 587. sÉÅíçê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î = r r r ì × î = ï I=ïÜÉêÉ== π r r r • ï = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ I=ïÜÉêÉ= M ≤ θ ≤ X= O r r r r • ï ⊥ì= ~åÇ= ï ⊥ î X= r r r • =sÉÅíçêë= ì I= î I= ï =Ñçêã=~=êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ=ëÅêÉïK= =

125

CHAPTER 6. VECTORS

=

=======

= Figure 83.

=

r á r r r 588. ï = ì × î = u N uO

r à vN vO

r â wN = wO

= uN wN uN vN  r r r  v wN = 589. ï = ì × î =  N I− I  v w u w u v O O O O O O   = r r r r 590. p = ì × î = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ =EcáÖKUPF= = 591. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë=EcáÖKUPF= r r ì× î ëáå θ = r r = ì⋅î = 592. kçåÅçããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r ì × î = −(î × ì ) == = 593. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó= (λìr )× (µîr ) = λµìr × îr = = =

126

CHAPTER 6. VECTORS

594. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r r r r ì × (î + ï ) = ì × î + ì × ï = = r r r r r 595. ì × î = M =áÑ= ì =~åÇ= î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ = M FK= = r r r r r r r 596. á × á = à × à = â × â = M = = r r r r r r r r r 597. á × à = â I= à × â = á I= â × á = à = = = =

6.7 Triple Product 598.

599. 600. 601.

= pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí= [ìr îrïr ] = ìr ⋅ (îr × ïr ) = îr ⋅ (ïr × ìr ) = ïr ⋅ (ìr × îr ) = = [ìr îrïr ] = [ïr ìr îr ] = [îrïr ìr ] = −[îrìr ïr ] = −[ïr îrìr ] = −[ìr ïr îr ] = = r r r rr r âì ⋅ (î × ï ) = â[ìîï ] = = pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= uN vN wN r r r ì ⋅ (î × ï ) = u O vO w O I== uP vP wP

ïÜÉêÉ== r r r ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I= ï = (uP I vP I wP ) K== = 602. sçäìãÉ=çÑ=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= r r r s = ì ⋅ (î × ï ) = =

127

CHAPTER 6. VECTORS

=

============

= Figure 84.

= 603. sçäìãÉ=çÑ=móê~ãáÇ= Nr r r s = ì ⋅ (î × ï ) = S =

=

= Figure 85.

= r r r r r r 604. fÑ== ì ⋅ (î × ï ) = M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë== ì I= î I=~åÇ= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó= r r r ÇÉéÉåÇÉåí=I=ëç= ï = λì + µî =Ñçê=ëçãÉ=ëÅ~ä~êë= λ =~åÇ= µ K== = r r r r r r 605. fÑ== ì ⋅ (î × ï ) ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë== ì I= î I=~åÇ= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó= áåÇÉéÉåÇÉåíK= =

128

CHAPTER 6. VECTORS

606. sÉÅíçê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí= r r r r r r r r r ì × (î × ï ) = (ì ⋅ ï )î − (ì ⋅ î )ï == = = = = = = = =

129

Chapter 7

Analytic Geometry = = = =

7.1 One-Dimensional Coordinate System = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñ N I= ñ O I= ó M I= ó N I= ó O = oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= = = 607. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë= Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O = =

=

= Figure 86.

= 608. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ = ñ + λñ O ^` I= λ = ñM = N I= λ ≠ −N K= N+ λ `_ =

=

======== Figure 87.

130

=

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

609. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí= ñ + ñO ñM = N I= λ = N K= O = = =

7.2 Two-Dimensional Coordinate System = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñ N I= ñ O I= ó M I= ó N I= ó O = mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= êI ϕ = oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI== aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= ^êÉ~W=p= = = 610. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë= Ç = ^_ = =

(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O =

=

= Figure 88.

131

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

611. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ = ñ + λñ O ó + λó O ñM = N I= ó M = N I== N+ λ N+ λ ^` λ= I= λ ≠ −N K= `_ =

======= =

= Figure 89.

= =

132

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

======= =

= Figure 90.

= 612. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí= ñ + ñO ó + óO I= ó M = N I= λ = N K= ñM = N O O = 613. `ÉåíêçáÇ=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=jÉÇá~åëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ + ñ O + ñP ó + óO + óP I= ó M = N ñM = N I== P P ïÜÉêÉ== ^(ñ N I ó N ) I== _(ñ O I ó O ) I==~åÇ== `(ñ P I ó P ) ==~êÉ=îÉêíáÅÉë=çÑ= íÜÉ=íêá~åÖäÉ= ^_` K= = =

133

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

========= =

= Figure 91.

= 614. fåÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^åÖäÉ=_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ~ñ + Äñ O + Åñ P ~ó + Äó O + Åó P I= ó M = N ñM = N I== ~ +Ä+Å ~ +Ä+Å ïÜÉêÉ= ~ = _` I= Ä = `^ I= Å = ^_ K== =

======== =

= Figure 92.

134

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

615. `áêÅìãÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=páÇÉ=mÉêéÉåÇáÅìä~ê====================== _áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ NO + ó NO ó N N ñ N ñ NO + ó NO N ñ OO + ó OO ó O N ñ O ñ OO + ó OO N ñ PO + ó PO ó P N ñ P ñ PO + ó PO N ñM = I= ó M = = ñN óN N ñN óN N

O ñO ñP

óO N óP N

O ñO ñP

óO N óP N

=

=

======== == Figure 93.

= = = = = = =

135

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

616. lêíÜçÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^äíáíìÇÉëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ó N ñ O ñ P + ó NO N ñ NO + ó O ó P ñ N N ó O ñ P ñ N + ó OO N ñ OO + ó P ó N ñ O N ó P ñ Nñ O + ó PO N ñ PO + ó Nó O ñ P N I= ó M = = ñM = ñN óN N ñN óN N ñO óO N ñO óO N ñP óP N ñP óP N =

=

====== = Figure 94.

= 617. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ N óN N N N ñ O − ñN p = (± ) ñ O ó O N = (± ) O O ñ P − ñN ñP óP N = = =

136

ó O − óN ó P − óN

=

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

618. ^êÉ~=çÑ=~=nì~Çêáä~íÉê~ä= N p = (± ) [(ñ N − ñ O )(ó N + ó O ) + (ñ O − ñ P )(ó O + ó P ) + = O + (ñ P − ñ Q )(ó P + ó Q ) + (ñ Q − ñ N )(ó Q + ó N )] = =

=== =

= Figure 95.

= kçíÉW=få=Ñçêãìä~ë=SNTI=SNU=ïÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç= íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ=~åëïÉê=Ñçê=~êÉ~K== = 619. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= Ç = ^_ = êNO + êOO − OêNêO Åçë(ϕ O − ϕN ) = =

137

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 96.

= 620. `çåîÉêíáåÖ=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ñ = ê Åçë ϕ I= ó = ê ëáå ϕ K= =

=

= Figure 97.

= 621. `çåîÉêíáåÖ=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ó ê = ñ O + ó O I= í~å ϕ = K= ñ

138

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

7.3 Straight Line in Plane = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=uI=vI=ñI= ñ M I= ñ N I== ó M I= ó N I= ~N I= ~ O I=£== oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=~I=ÄI=éI=íI=^I=_I=`I= ^N I= ^ O I=£= ^åÖäÉëW= α I= β = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ = r kçêã~ä=îÉÅíçêW= å = r r r mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê I= ~ I= Ä = = = 622. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M = = 623. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= r qÜÉ=îÉÅíçê= å(^I _ ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=äáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M K= =

=

= Figure 98.

= 624. bñéäáÅáí=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí=cçêãF= ó = âñ + Ä K==

139

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

qÜÉ=Öê~ÇáÉåí=çÑ=íÜÉ=äáåÉ=áë= â = í~å α K= =

=

= Figure 99.

= 625. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=iáåÉ== ó − óN â = í~å α = O = ñ O − ñN =

=

= Figure 100.

140

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

626. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=dáîÉå=~=mçáåí=~åÇ=íÜÉ=dê~ÇáÉåí= ó = ó M + â (ñ − ñ M ) I== ïÜÉêÉ=â=áë=íÜÉ=Öê~ÇáÉåíI= m(ñ M I ó M ) =áë=~=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉK= =

=

= Figure 101.

= 627. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=qÜ~í=m~ëëÉë=qÜêçìÖÜ=qïç=mçáåíë= ó − óN ñ − ñN = == ó O − óN ñ O − ñN çê= ñ ó N ñ N ó N N = M K= ñO óO N =

141

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 102.

= 628. fåíÉêÅÉéí=cçêã= ñ ó + =N= ~ Ä =

=

= Figure 103.

= =

142

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

629. kçêã~ä=cçêã= ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M = =

=

= Figure 104.

= 630. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã= ñ − ñ N ó − óN = I== u v ïÜÉêÉ= (uI v ) = áë= íÜÉ= ÇáêÉÅíáçå= çÑ= íÜÉ= äáåÉ= ~åÇ= mN (ñ N I ó N ) = äáÉë= çå=íÜÉ=äáåÉK= =

143

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 105.

= 631. sÉêíáÅ~ä=iáåÉ= ñ =~= = 632. eçêáòçåí~ä=iáåÉ= ó=Ä= = 633. sÉÅíçê=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= r r r ê = ~ + íÄ I== ïÜÉêÉ== l=áë=íÜÉ=çêáÖáå=çÑ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉëI= u=áë=~åó=î~êá~ÄäÉ=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== r ~ =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=^=çå=íÜÉ=äáåÉ=I= r Ä =áë=~=âåçïå=îÉÅíçê=çÑ=ÇáêÉÅíáçåI=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI== í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêI== r → ê = lu =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~åó=éçáåí=u=çå=íÜÉ=äáåÉK== =

144

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 106.

= 634. píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã= ñ = ~N + íÄN I==  ó = ~ O + íÄO ïÜÉêÉ== (ñ I ó ) ~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== (~N I ~ O ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== (ÄN I ÄO ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=îÉÅíçê=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI== í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêK= =

145

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

Figure 107.

= 635. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=iáåÉ= qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= m(~ I Ä) =íç=íÜÉ=äáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M =áë== ^~ + _Ä + ` K= Ç= ^ O + _O =

=

= Figure 108.

146

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

636. m~ê~ääÉä=iáåÉë= qïç=äáåÉë= ó = â Nñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== â N = â O K= qïç= äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M = ~åÇ= ^ O ñ + _O ó + ` O = M = ~êÉ= é~ê~ääÉä=áÑ= ^N _N = K= ^ O _O =

=

= Figure 109.

= 637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë= qïç=äáåÉë= ó = â Nñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ== N â O = − =çêI=Éèìáî~äÉåíäóI= â Nâ O = −N K= âN qïç= äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M = ~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` O = M = ~êÉ= éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ= ^N^ O + _N_ O = M K= =

147

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 110.

= 638. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=iáåÉë= â − âN í~å ϕ = O I== N + â Nâ O ^N^ O + _N_ O Åçë ϕ = K= ^NO + _NO ⋅ ^ OO + _ OO =

148

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 111.

= 639. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë= fÑ=íïç=äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` O = M =áåíÉêëÉÅíI=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=éçáåí=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= − `N_ O + ` O_N − ^N` O + ^ O`N ñM = I= ó M = K= ^N_ O − ^ O_N ^N_ O − ^ O_N = = =

7.4 Circle = o~ÇáìëW=o= `ÉåíÉê=çÑ=ÅáêÅäÉW= (~ I Ä) = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI= ñ N I= ó N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í=

149

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

640. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ= cçêãF= ñ O + ó O = oO =

======

=

=

Figure 112.

= 641. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~I Ä)

(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O = o O

Figure 113.

150

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

642. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã ñO + óO ñ ó N ñ NO + ó NO ñ N ó N N =M ñ OO + ó OO ñ O ó O N ñ PO + ó PO ñ P ó P N =

=

= Figure 114.

= 643. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã ñ = o Åçë í I= M ≤ í ≤ Oπ K  ó = o ëáå í = 644. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M =E^=åçåòÉêçI= aO + b O > Q ^c FK== qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I Ä) I=ïÜÉêÉ== a b ~=− I= Ä = − K= O^ O^ qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=áë

151

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

o=

aO + b O − Q ^c K O^

= = =

7.5 Ellipse = pÉãáã~àçê=~ñáëW=~= pÉãáãáåçê=~ñáëW=Ä= cçÅáW= cN (− ÅI M) I= cO (ÅI M) = aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= = bÅÅÉåíêáÅáíóW=É== oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = = 645. bèì~íáçå=çÑ=~å=bääáéëÉ=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF ñO óO + =N ~ O ÄO

=

= Figure 115.

152

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

646. êN + êO = O~ I= ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó==éçáåí== m(ñ I ó ) ==çå= íÜÉ=ÉääáéëÉ=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK= =

=

= Figure 116.

= 647. ~ O = ÄO + Å O = 648. bÅÅÉåíêáÅáíó Å É = <N= ~ = 649. bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë ~ ~O ñ=± =± = É Å = 650. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã ñ = ~ Åçë í I= M ≤ í ≤ Oπ K  ó = Ä ëáå í = =

153

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

651. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` < M K= = 652. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= ^` > M K = 653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ i = Q~b(É ) I== ïÜÉêÉ==íÜÉ==ÑìåÅíáçå=b==áë==íÜÉ=ÅçãéäÉíÉ==ÉääáéíáÅ=áåíÉÖê~ä==çÑ= íÜÉ=ëÉÅçåÇ=âáåÇK== = 654. ^ééêçñáã~íÉ=cçêãìä~ë=çÑ=íÜÉ=`áêÅìãÑÉêÉåÅÉ i = π NKR(~ + Ä) − ~Ä I==

(

i = π O(~ O + ÄO ) K= = 655. p = π~Ä = = = =

)

7.6 Hyperbola = qê~åëîÉêëÉ=~ñáëW=~= `çåàìÖ~íÉ=~ñáëW=Ä= cçÅáW= cN (− ÅI M) I= cO (ÅI M) = aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= = bÅÅÉåíêáÅáíóW=É== ^ëóãéíçíÉëW=ëI=í= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=íI=â= = = =

154

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

656. bèì~íáçå=çÑ=~=eóéÉêÄçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF= ñO óO − = N= ~ O ÄO =

=

= Figure 117.

=

657.

êN − êO = O~ I= ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó=éçáåí== m(ñ I ó ) ==çå= íÜÉ=ÜóéÉêÄçä~=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK= =

155

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 118.

658.

659. 660.

661.

= bèì~íáçåë=çÑ=^ëóãéíçíÉë= Ä ó=± ñ= ~ = Å O = ~ O + ÄO = = bÅÅÉåíêáÅáíó Å É = > N= ~ = bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë ~ ~O ñ=± =± = É Å = = =

156

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

662. m~ê~ãÉíêáÅ=bèì~íáçåë=çÑ=íÜÉ=oáÖÜí=_ê~åÅÜ=çÑ=~=eóéÉêÄçä~= ñ = ~ ÅçëÜ í I= M ≤ í ≤ Oπ K  ó = Ä ëáåÜ í = 663. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` > M K= = 664. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= ^` < M K= 665. ^ëóãéíçíáÅ=cçêã= ÉO ñó = I== Q çê== ÉO â ó = I=ïÜÉêÉ= â = K= ñ Q få= íÜáë= Å~ëÉ= I= íÜÉ= ~ëóãéíçíÉë= Ü~îÉ= Éèì~íáçåë= ñ = M = ~åÇ= ó = M K== =

157

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 119.

= = =

7.7 Parabola = cçÅ~ä=é~ê~ãÉíÉêW=é= cçÅìëW=c= sÉêíÉñW= j(ñ M I ó M ) = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=éI=~I=ÄI=Å= = = 666. bèì~íáçå=çÑ=~=m~ê~Äçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF ó O = Oéñ =

158

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

= Figure 120.

= bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ é ñ = − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë= é  c I M  I= O  `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= j(MI M) K= = 667. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` = M K= = N 668. ó = ~ñ O I= é = K= O~ bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ

159

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

é ó = − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=  é c MI  I=  O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= j(MI M) K= =

=

= Figure 121.

= 669. dÉåÉê~ä=cçêãI=^ñáë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáë== ^ñ O + añ + bó + c = M =E^I=b=åçåòÉêçFI== N ó = ~ñ O + Äñ + Å I= é = K== O~ bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ é ó = ó M − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=

160

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

é  c ñ M I ó M +  I= O  `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= Ä Q~Å − ÄO K= ñ M = − I= ó M = ~ñ OM + Äñ M + Å = O~ Q~ =

=

= Figure 122.

= = =

7.8 Three-Dimensional Coordinate System = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= ó N I= ò N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= ^êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= =

161

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

670. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=

Ç = ^_ = =

=

(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O + (ò O − òN )O =

=

=== Figure 123.

= 671. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ = ñ + λñ O ó + λó O ò + λò O ñM = N I= ó M = N I= ò M = N I== N+ λ N+ λ N+ λ ïÜÉêÉ= ^` λ= I= λ ≠ −N K= `_ =

162

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

======== =

= Figure 124.

=

= Figure 125.

163

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

672. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí= ñ + ñO ó + óO ò +ò ñM = N I= ó M = N I= ò M = N O I= λ = N K= O O O = 673. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= qÜÉ=~êÉ~=çÑ=~=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) I=~åÇ= mP (ñ P I ó P I ò P ) =áë=ÖáîÉå=Äó== p=

N O

O

óO

òO N + òO

ñO N + ñO

ó O N K=

óP

òP

ñP

óP

òP

ñN N N

ñN ñP

óN N

O

òN N N

òN

O

óN

N

= 674. sçäìãÉ=çÑ=~=qÉíê~ÜÉÇêçå= qÜÉ=îçäìãÉ=çÑ=~=íÉíê~ÜÉÇêçå=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) I= mP (ñ P I ó P I ò P ) I=~åÇ= mQ (ñ Q I ó Q I ò Q ) =áë=ÖáîÉå=Äó== ñ N óN òN N N ñO óO òO N s=± I== S ñ P óP òP N ñQ óQ òQ N çê= ñ N − ñ Q óN − ó Q òN − ò Q N s = ± ñ O − ñ Q ó O − ó Q ò O − ò Q K= S ñP − ñ Q óP − ó Q òP − òQ kçíÉW=tÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ= ~åëïÉê=Ñçê=îçäìãÉK== =

164

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

==== =

= Figure 126.

= = =

7.9 Plane = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= ó N I= ò N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI= ^N I= ^ O I=~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I= λ I=éI=íI=£== r r r kçêã~ä=îÉÅíçêëW= å I= åN I= å O = aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ = aáëí~åÅÉ=Ñêçã=éçáåí=íç=éä~åÉW=Ç= = = 675. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M = = =

165

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

676. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=mä~åÉ= r qÜÉ=îÉÅíçê= å (^I _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M K= =

=

=

=== Figure 127.

= 677. m~êíáÅìä~ê=`~ëÉë=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M = = fÑ= ^ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñ-~ñáëK= fÑ= _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáëK= fÑ= ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ò-~ñáëK= fÑ= a = M I=íÜÉ=éä~åÉ=äáÉë=çå=íÜÉ=çêáÖáåK== = fÑ= ^ = _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= fÑ= _ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=óò-éä~åÉK= fÑ= ^ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñò-éä~åÉK= =

166

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

678. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã= ^(ñ − ñ M ) + _(ó − ó M ) + `(ò − ò M ) = M I== ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= m(ñ M I ó M I ò M ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=~åÇ=íÜÉ=îÉÅíçê= (^I _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK=== =

=

=

==== Figure 128.

= 679. fåíÉêÅÉéí=cçêã= ñ ó ò + + = N= ~ Ä Å =

167

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 129.

= 680. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã= ñ − ñP ó − óP ò − òP ñ N − ñ P ó N − ó P ò N − ò P = M I== ñ O − ñ P ó O − óP ò O − òP çê== ñ ó ò N ñN óN òN N = M K= ñO óO òO N ñP óP òP N =

168

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 130.

= 681. kçêã~ä=cçêã= ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I== ïÜÉêÉ==é==áë==íÜÉ==éÉêéÉåÇáÅìä~ê==Çáëí~åÅÉ==Ñêçã==íÜÉ=çêáÖáå=íç= íÜÉ=éä~åÉ=I=~åÇ= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë= çÑ=~åó=äáåÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK== =

169

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

======

= Figure 131.

= 682. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã= ñ = ñ N + ~Në + ~ O í  ó = ó N + ÄNë + ÄO í I== ò = ò + Å ë + Å í N N O  ïÜÉêÉ= (ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå= íÜÉ=äáåÉ=I=íÜÉ=éçáåí= m(ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=íÜÉ=îÉÅíçêë= (~N I ÄN I ÅN ) =~åÇ= (~ O I ÄO I Å O ) =~êÉ=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=éä~åÉK= =

170

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 132.

= 683. aáÜÉÇê~ä=^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mä~åÉë= fÑ=íÜÉ=éä~åÉë=~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M I== ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M I== íÜÉå=íÜÉ=ÇáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉã=áë== r r åN ⋅ å O ^N^ O + _N_ O + `N` O Åçë ϕ = r r = K= åN ⋅ å O ^NO + _NO + `NO ⋅ ^ OO + _ OO + ` OO =

171

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

======

= Figure 133.

= 684. m~ê~ääÉä=mä~åÉë= qïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== ^N _N `N = = K= ^ O _O `O = 685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=mä~åÉë= qïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ== ^N^ O + _N_ O + `N` O = M K= = 686. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= m(ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ=m~ê~ääÉä=qç= íÜÉ=sÉÅíçêë= (~N I ÄN I ÅN ) =~åÇ= (~ O I ÄO I Å O ) =EcáÖKNPOF=

172

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

ñ − ñN ~N ~O

ó − óN ò − òN ÄN ÅN = M = ÄO ÅO

= 687. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= mN (ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ= mO (ñ O I ó O I ò O ) I= ~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=íÜÉ=sÉÅíçê= (~ I ÄI Å ) = ñ − ñ N ó − óN ò − òN ñ O − ñN ~

ó O − óN ò O − òN = M = Ä Å

=

= Figure 134.

= 688. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=mä~åÉ= qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =íç=íÜÉ=éä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M =áë==

173

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Ç=

^ñ N + _ó N + `òN + a ^O + _O + `O

K= =

=

=

====== Figure 135.

= 689. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=mä~åÉë= fÑ=íïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M = áåíÉêëÉÅíI= íÜÉ= áåíÉêëÉÅíáçå= ëíê~áÖÜí= äáåÉ=áë=ÖáîÉå=Äó= ñ = ñ N + ~í  ó = ó N + Äí I== ò = ò + Åí N  çê== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = I== Ä Å ~ ïÜÉêÉ==

174

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

~=

_N _O Ä

aN aO

Å

aN aO

~

aN aO

ñN =

óN =

òN =

`N ` I= Ä = N `O `O

^N ^ I= Å = N ^O ^O

_N I== _O

`N a _N −Å N `O aO _ O I== O O ~ + Ä + ÅO ^N a `N −~ N ^O aO ` O I== O O ~ + Ä + ÅO a ^N _N −Ä N _O aO ^ O K== O O ~ + Ä + ÅO

= = =

7.10 Straight Line in Space = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£= aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I=íI=£== r r r aáêÉÅíáçå=îÉÅíçêë=çÑ=~=äáåÉW= ë I= ëN I= ëO = r kçêã~ä=îÉÅíçê=íç=~=éä~åÉW= å = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ = = 690. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = I== Ä Å ~ ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=äáåÉI=~åÇ= (~ I ÄI Å ) =áë= íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉK== =

175

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 136.

= 691. qïç=mçáåí=cçêã= ñ − ñN ó − óN ò − òN = = == ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN =

=====

Figure 137.

176

=

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

692. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã== ñ = ñ N + í Åçë α  ó = ó N + í Åçë β I== ò = ò + í Åçë γ N  ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉI= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå= îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉI=íÜÉ=é~ê~ãÉíÉê=í=áë=~åó=êÉ~ä=åìãÄÉêK== =

=

=====

= Figure 138.

= 693. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=píê~áÖÜí=iáåÉë= r r ë ⋅ë ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O Åçë ϕ = r N rO = = O ëN ⋅ ëO ~N + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO =

177

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 139.

= 694. m~ê~ääÉä=iáåÉë= qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== r r ëN öö ëO I== çê== ~ N ÄN ÅN = = K= ~ O ÄO Å O = 695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë= qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== r r ëN ⋅ ëO = M I== çê== ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = M K= = 696. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë= ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = =~åÇ= qïç=äáåÉë= ~N ÄN ÅN

178

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

ñ − ñO ó − óO ò − òO = = =áåíÉêëÉÅí=áÑ== ~O ÄO ÅO ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN ~N ÄN ÅN = M K= ~O ÄO ÅO = 697. m~ê~ääÉä=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = =~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ= qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ= Ä Å ~ ^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ= r r å ⋅ ë = M I== çê== ^~ + _Ä + `Å = M K= =

=

===== = Figure 140.

= =

179

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = =~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ= qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ= Ä Å ~ ^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ= r r å öö ë I== çê== ^ _ ` = = K= ~ Ä Å =

==== =

= Figure 141.

= =

7.11 Quadric Surfaces = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=èì~ÇêáÅ=ëìêÑ~ÅÉëW=ñI=óI=ò= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=~I=ÄI=ÅI= â N I â O I â P I=£=

180

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

699. dÉåÉê~ä=nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå= ^ñ O + _ó O + `ò O + Ocóò + Odòñ + Oeñó + Omñ + Onó + Ooò + a = M = 700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå=çÑ=nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë= = `~ëÉ= o~åâEÉF= o~åâEbF= â=ëáÖåë= qóéÉ=çÑ=pìêÑ~ÅÉ= ∆= N= P= Q= p~ãÉ= oÉ~ä=bääáéëçáÇ= <M= O= P= Q= p~ãÉ= fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ= > M= P= P= Q= eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí= > M = aáÑÑÉêÉåí= Q= P= Q= eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë= < M = aáÑÑÉêÉåí= R= S= T= U= V= NM= NN= NO= NP= NQ= NR= NS= NT=

P= P= O= O= O= O= O= O= O= N= N= N= N=

P= P= Q= Q= P= P= P= O= O= P= O= O= N=

= =

<M= > M= = = = = = = = = =

aáÑÑÉêÉåí= p~ãÉ= p~ãÉ= aáÑÑÉêÉåí= p~ãÉ= p~ãÉ= aáÑÑÉêÉåí= aáÑÑÉêÉåí= p~ãÉ= = = = =

oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ= fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ= bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ= eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ= oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê= fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê= eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê= oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë= fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë= m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê= oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë= fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë= `çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=

= eÉêÉ== ^ e n m    ^ e d    e _ c n É =  e _ c  I= b =  I= ∆ = ÇÉí(b ) I== d c ` o  d c `      m n o a   â N I â O I â P =~êÉ=íÜÉ=êççíë=çÑ=íÜÉ=Éèì~íáçåI== ^−ñ e d e _−ñ c = M K= d c `−ñ = =

181

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

701. oÉ~ä=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=NF= ñO óO òO + + = N= ~ O ÄO Å O =

=

=====

= Figure 142.

= 702. fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=OF= ñO óO òO + + = −N = ~ O ÄO Å O = 703. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=E`~ëÉ=PF= ñO óO òO + − = N= ~ O ÄO Å O =

182

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 143.

= 704. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=E`~ëÉ=QF= ñO óO òO + − = −N = ~ O ÄO Å O =

=

=

= Figure 144.

183

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

705. oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=RF= ñO óO òO + − =M= ~ O ÄO Å O =

=

==

= Figure 145.

= 706. fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=SF= ñO óO òO + + =M= ~ O ÄO Å O = 707. bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=TF= ñO óO + −ò = M= ~ O ÄO =

184

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

======

Figure 146.

=

708. eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=UF= ñO óO − −ò = M= ~ O ÄO

====

Figure 147.

185

=

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

709. oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=VF= ñO óO + = N= ~ O ÄO =

=

=====

= Figure 148.

= 710. fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NMF= ñO óO + = −N = ~ O ÄO = 711. eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NNF= ñO óO − = N= ~ O ÄO =

186

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

======

= Figure 149.

= 712. oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NOF= ñO óO − =M= ~ O ÄO = 713. fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NPF= ñO óO + = M= ~ O ÄO = 714. m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NQF= ñO −ó =M= ~O =

187

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

=

=====

= Figure 150.

= 715. oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NRF= ñO = N= ~O = 716. fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NSF= ñO = −N = ~O = 717. `çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=E`~ëÉ=NTF= ñO = M = = = = = =

188

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

7.12 Sphere = o~Çáìë=çÑ=~=ëéÜÉêÉW=o= mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£= `ÉåíÉê=çÑ=~=ëéÜÉêÉW= (~ I ÄI Å ) = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=aI=bI=cI=j= = = 718. bèì~íáçå=çÑ=~=péÜÉêÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ= cçêãF= ñ O + ó O + ò O = oO = =

=

======

= Figure 151.

= 719. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~ I ÄI Å )

(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O + (ò − Å )O = o O 720. aá~ãÉíÉê=cçêã (ñ − ñ N )(ñ − ñ O ) + (ó − óN )(ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I==

189

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

ïÜÉêÉ== mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) =~êÉ=íÜÉ=ÉåÇë=çÑ=~=Çá~ãÉíÉêK== = 721. cçìê=mçáåí=cçêã= ñO + óO + òO ñ ó ò N ñ NO + ó NO + ñ NO ñ N ó N ò N N ñ OO + ó OO + ñ OO ñ O ó O ò O N = M = ñ PO + ó PO + ñ PO ñ P ó P ò P N ñ OQ + ó OQ + ñ OQ ñ Q ó Q ò Q N = 722. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M =E^=áë=åçåòÉêçFK== qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I ÄI Å ) I=ïÜÉêÉ== a b c ~=− I= Ä = − I= Å = − K= O^ O^ O^ qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=áë aO + b O + c O − Q ^ O j K o= O^ = =

190

Chapter 8

Differential Calculus = = = = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î= ^êÖìãÉåí=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉFW=ñ= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=Ç= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= ^åÖäÉW= α = fåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ −N = = =

8.1 Functions and Their Graphs 723.

724.

725.

726.

= bîÉå=cìåÅíáçå= Ñ (− ñ ) = Ñ (ñ ) = = lÇÇ=cìåÅíáçå= Ñ (− ñ ) = −Ñ (ñ ) = = mÉêáçÇáÅ=cìåÅíáçå= Ñ (ñ + åq ) = Ñ (ñ ) = = fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ ) =áë=~åó=ÑìåÅíáçåI= ñ = Ö(ó ) =çê= ó = Ñ −N (ñ ) =áë=áíë=áåîÉêëÉ= ÑìåÅíáçåK== =

191

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=====

= Figure 152.

= 727. `çãéçëáíÉ=cìåÅíáçå= ó = Ñ (ì ) I= ì = Ö(ñ ) I= ó = Ñ (Ö(ñ )) =áë=~=ÅçãéçëáíÉ=ÑìåÅíáçåK= = 728. iáåÉ~ê=cìåÅíáçå= ó = ~ñ + Ä I== ñ ∈ o I== ~ = í~å α ==áë=íÜÉ=ëäçéÉ=çÑ=íÜÉ=äáåÉI==Ä==áë= íÜÉ=ó-áåíÉêÅÉéíK= =

192

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

======

= Figure 153.

= 729. nì~Çê~íáÅ=cìåÅíáçå== ó = ñ O I= ñ ∈ o K= =

=

======

= Figure 154.

=

193

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

730. ó = ~ñ O + Äñ + Å I= ñ ∈ o K= =

=

=

=== Figure 155.

= 731. `ìÄáÅ=cìåÅíáçå== ó = ñ P I= ñ ∈ o K= =

194

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=

= Figure 156.

= 732. ó = ~ñ P + Äñ O + Åñ + Ç I= ñ ∈ o K= =

195

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

==

= Figure 157.

= 733. mçïÉê=cìåÅíáçå== ó = ñ å I= å∈ k K= =

196

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

======

Figure 158.

=

=

Figure 159.

=

197

=

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

734. pèì~êÉ=oççí=cìåÅíáçå== ó = ñ I= ñ ∈ [MI ∞ ) K= =

=======

Figure 160.

=

= 735. bñéçåÉåíá~ä=cìåÅíáçåë= ó = ~ ñ I= ~ > M I= ~ ≠ N I= ó = É ñ =áÑ= ~ = É I= É = OKTNUOUNUOUQSK = =

=

=

= Figure 161.

198

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

736. içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë= ó = äçÖ ~ ñ I= ñ ∈ (MI ∞ ) I= ~ > M I= ~ ≠ N I= ó = äå ñ =áÑ= ~ = É I= ñ > M K= =

= Figure 162.

= 737. eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå== Éñ − É−ñ ó = ëáåÜ ñ I= ëáåÜ ñ = I= ñ ∈ o K= O =

199

=

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

====

= Figure 163.

= 738. eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå== Éñ + É−ñ ó = Åçë Ü ñ I= Åçë Ü ñ = I= ñ ∈ o K= O

=

=

====== Figure 164.

200

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

739. eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ ó = í~åÜ ñ I= ó = í~åÜ ñ = = I= ñ ∈ o K= ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ =

=

======

= Figure 165.

= 740. eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ ó = Åçí Ü ñ I= ó = Åçí Ü ñ = = I= ñ ∈ o I= ñ ≠ M K= ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ =

201

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

======

= Figure 166.

= 741. eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå== N O ó = ëÉÅ Ü ñ I= ó = ëÉÅ Ü ñ = = ñ − ñ I= ñ ∈ o K= ÅçëÜ ñ É + É

Figure 167.

202

=

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

742. eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå== N O = ñ − ñ I= ñ ∈ o I= ñ ≠ M K= ó = ÅëÅÜ ñ I= ó = ÅëÅÜ ñ = ëáåÜ ñ É − É =

=

======

= Figure 168.

= 743. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå== ó = ~êÅëáåÜ ñ I= ñ ∈ o K= =

203

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=====

= Figure 169.

= 744. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅçëÜ ñ I= ñ ∈ [NI ∞ ) K= =

=

=====

= Figure 170.

= 745. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅí~åÜ ñ I= ñ ∈ (− NI N) K= =

204

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=====

= Figure 171.

= 746. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅçíÜ ñ I= ñ ∈ (− ∞I − N) ∪ (NI ∞ ) K== =

205

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

=====

= Figure 172.

= 747. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I= ñ ∈ (MI N] K= =

206

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 173.

=

= 748. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I= ñ ∈ o I= ñ ≠ M K==

Figure 174.

=

207

=

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.2 Limits of Functions = cìåÅíáçåëW= Ñ (ñ ) I= Ö(ñ ) = ^êÖìãÉåíW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=~I=â= = = 749. äáã[Ñ (ñ ) + Ö(ñ )] = äáã Ñ (ñ ) + äáã Ö (ñ ) = ñ →~

ñ →~

ñ →~

= 750. äáã[Ñ (ñ ) − Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) − äáã Ö (ñ ) = ñ →~

ñ →~

ñ →~

= 751. äáã[Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) ⋅ äáã Ö (ñ ) = ñ →~

=

ñ →~

ñ →~

Ñ (ñ ) Ñ (ñ ) äáã = ñ →~ I=áÑ= äáã Ö(ñ ) ≠ M K= ñ →~ ñ → ~ Ö (ñ ) äáã Ö(ñ )

752. äáã

ñ →~

=

753. äáã[âÑ (ñ )] = â äáã Ñ (ñ ) = ñ →~

ñ →~

(

=

)

754. äáã Ñ (Ö (ñ )) = Ñ äáã Ö (ñ ) = ñ →~

ñ →~

=

755. äáã Ñ (ñ ) = Ñ (~ ) I=áÑ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ ) =áë=Åçåíáåìçìë=~í= ñ = ~ K= ñ →~

= ëáå ñ = N= ñ →M ñ

756. äáã

= 757. äáã ñ →M

í~å ñ =N= ñ

= ëáå −N ñ = N= ñ →M ñ

758. äáã

208

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

í~å −N ñ = N= ñ →M ñ

759. äáã

=

äå(N + ñ ) = N= ñ →M ñ

760. äáã

= ñ

 N 761. äáã N +  = É = ñ →∞  ñ = ñ  â 762. äáã N +  = É â = ñ →∞  ñ = 763. äáã ~ ñ = N = ñ →M

= = =

8.3 Definition and Properties of the Derivative = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíW=â= ^åÖäÉW= α = = = Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ ) ∆ó Çó 764. ó′(ñ ) = äáã == = äáã = ∆ñ → M ∆ñ →M ∆ñ ∆ñ Çñ =

209

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

==

= Figure 175.

= Çó = í~å α == Çñ

765.

= 766.

= 767.

= 768.

Ç(ì + î ) Çì Çî = + = Çñ Çñ Çñ Ç(ì − î ) Çì Çî = − = Çñ Çñ Çñ Ç(âì ) Çì =â = Çñ Çñ

= 769. mêçÇìÅí=oìäÉ= Ç(ì ⋅ î ) Çì Çî = ⋅ î + ì ⋅ == Çñ Çñ Çñ = =

210

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

770. nìçíáÉåí=oìäÉ= Çì Çî ⋅î −ì⋅ Ç  ì  Çñ Çñ =  = O Çñ  î  î = 771. `Ü~áå=oìäÉ= ó = Ñ (Ö(ñ )) I= ì = Ö(ñ ) I== Çó Çó Çì = ⋅ K= Çñ Çì Çñ = 772. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå= Çó N = I== Çñ Çñ Çó ïÜÉêÉ= ñ (ó ) áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçå=çÑ= ó (ñ ) K== = 773. oÉÅáéêçÅ~ä=oìäÉ= Çó Ç  N   = − ÇñO = Çñ  ó  ó = 774. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå= ó = Ñ (ñ ) I= äå ó = äå Ñ (ñ ) I== Çó Ç = Ñ (ñ ) ⋅ [äå Ñ (ñ )] K= Çñ Çñ = =

8.4 Table of Derivatives = fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=Å= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=

211

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Ç (` ) = M = Çñ

775.

= Ç (ñ ) = N = Çñ

776.

= Ç (~ñ + Ä) = ~ = Çñ

777.

= 778.

= 779.

= 780.

Ç (~ñ O + Äñ + Å ) = ~ñ + Ä = Çñ Ç å ( ñ ) = åñ å −N = Çñ Ç −å å ( ñ ) = − å +N = ñ Çñ

= Ç N N  =− O = Çñ  ñ  ñ

781.

= 782.

Ç Çñ

( ñ ) = O Nñ =

Ç Çñ

( ñ )=

= 783.

N

å

å å ñ å −N

=

= Ç (äå ñ ) = N = ñ Çñ

784.

= Ç (äçÖ ~ ñ ) = N I= ~ > M I= ~ ≠ N K= ñ äå ~ Çñ

785.

=

212

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Ç ñ ( ~ ) = ~ ñ äå ~ I= ~ > M I= ~ ≠ N K= Çñ

786.

= 787.

Ç ñ ( É ) = Éñ = Çñ

= Ç (ëáå ñ ) = Åçë ñ = Çñ

788.

= Ç (Åçë ñ ) = − ëáå ñ = Çñ

789.

= Ç (í~å ñ ) = NO = ëÉÅ O ñ = Çñ Åçë ñ

790.

= Ç (Åçí ñ ) = − NO = − ÅëÅ O ñ = Çñ ëáå ñ

791.

= Ç (ëÉÅ ñ ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ = Çñ

792.

= Ç (ÅëÅ ñ ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ = Çñ

793.

= Ç (~êÅëáå ñ ) = N O = Çñ N− ñ

794.

= Ç (~êÅÅçë ñ ) = − N O = Çñ N− ñ

795.

= Ç (~êÅí~å ñ ) = N O = N+ ñ Çñ

796.

=

213

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Ç (~êÅ Åçí ñ ) = − N O = Çñ N+ ñ

797.

= Ç (~êÅ ëÉÅ ñ ) = NO = Çñ ñ ñ −N

798.

= Ç (~êÅ ÅëÅ ñ ) = − NO = Çñ ñ ñ −N

799.

= Ç (ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ = Çñ

800.

= Ç (ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ = Çñ

801.

= Ç (í~åÜ ñ ) = N O = ëÉÅÜ O ñ = ÅçëÜ ñ Çñ

802.

= Ç (ÅçíÜ ñ ) = − N O = −ÅëÅÜ O ñ = Çñ ëáåÜ ñ

803.

= Ç (ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ = Çñ

804.

= Ç (ÅëÅÜ ñ ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ = Çñ

805.

= Ç (~êÅëáåÜ=ñ ) = NO = Çñ ñ +N

806.

= 807.

Ç (~êÅÅçëÜ=ñ ) = ON = Çñ ñ −N

214

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Ç (~êÅí~åÜ=ñ ) = N O I= ñ < N K= Çñ N− ñ

808.

= Ç (~êÅÅçíÜ=ñ ) = − ON I= ñ > N K= Çñ ñ −N

809.

= 810.

Ç î Çì Çî ( + ì î äå ì ⋅ = ì ) = îì î −N ⋅ Çñ Çñ Çñ

= = =

8.5 Higher Order Derivatives

811.

812.

813. 814. 815.

= cìåÅíáçåëW=ÑI=óI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= = = pÉÅçåÇ=ÇÉêáî~íáîÉ= O  Çó  ′ Ç  Çó  Ç ó ′ Ñ ′′ = (Ñ ′) =   =  = O =  Çñ  Çñ  Çñ  Çñ = eáÖÜÉê-lêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉ= Çå ó (å ) Ñ = å = ó (å ) = (Ñ (å −N) ) ′ = Çñ = (ì + î )(å ) = ì (å ) + î (å ) = = (ì − î )(å ) = ì(å ) − î (å ) = = iÉáÄåáíò∞ë=cçêãìä~ë= (ìî )′′ = ì′′î + Oì′î′ + ìî′′ =

215

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

(ìî )′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′ = (ìî )(å ) = ì (å ) î + åì (å−N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å ) = N⋅ O

=

(ñ )( ) = (ãã−>å)> ñ ã

816.

= =

ã −å

=

(ñ )( ) = å> = å

817.

å

å

å −N ( − N) (å − N)> (äçÖ ~ ñ ) = = å

(å )

818.

ñ äå ~

= 819.

å −N (äå ñ )(å ) = (− N) (åå − N)> =

ñ

=

(~ )( ) = ~ å

ñ

äå å ~ =

(É )( ) = É

ñ

=

ñ

820.

=

ñ

821.

=

(~ )( ) = ã ~ ãñ

822.

å

å

å ãñ

äå å ~ =

=

(ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ  =

823.

O 

=

(Åçë ñ )(å ) = Åçë ñ + åπ  =

824.

O 

= = =

216

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.6 Applications of Derivative = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó= mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë== sÉäçÅáíóW=î= ^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= qáãÉW=í= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= = = 825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå= ë = Ñ (í ) =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ= ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI== î = ë′ = Ñ ′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI= ï = î′ = ë′′ = Ñ ′′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ= íÜÉ=çÄàÉÅíK== = 826. q~åÖÉåí=iáåÉ= ó − ó M = Ñ ′(ñ M )(ñ − ñ M ) = =

217

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

= Figure 176.

= 827. kçêã~ä=iáåÉ= N (ñ − ñ M ) =EcáÖ=NTSF= ó − óM = − Ñ ′(ñ M ) = 828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK== fÑ= Ñ ′(ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñ N I= ñ O < ñ FI= fÑ= Ñ ′(ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ N < ñ < ñ O FI= fÑ= Ñ ′ (ñ M ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK== =

218

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=

= Figure 177.

= 829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~= ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= ñ N =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ N =ëìÅÜ=íÜ~í= Ñ (ñ N ) ≥ Ñ (ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK== = ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ O =ëìÅÜ=íÜ~í= Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK= = 830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë= ^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= ñ M =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê= Ñ ′ (ñ M ) =áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå∞í=ÉñáëíK= = 831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K= fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ ) > M F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä= (~I ñ N ] ==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ ) < M F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= = [ñ N I Ä) I= = íÜÉå= ÑEñF= Ü~ë= ~= = äçÅ~ä= ã~ñáãìã= = ~í= = ñ N = EcáÖKNTTFK==

219

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ ) < M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä= (~I ñ O ]=~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ ) > M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= [ñ O I Ä) I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O K== EcáÖKNTTFK= = 833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K= fÑ= Ñ ′ (ñ N ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ N ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã= ~í== ñ N K= fÑ= Ñ ′ (ñ O ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ O ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= ~í= ñ O K=EcáÖKNTTF= = 834. `çåÅ~îáíóK== ÑEñF= áë= = ÅçåÅ~îÉ= ìéï~êÇ= ~í= = ñ M = = áÑ= = ~åÇ= = çåäó= = áÑ= = Ñ ′ (ñ ) = áë============ áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M =EcáÖKNTTI= ñ P < ñ FK=== ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== ñ M ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ ′ (ñ ) ==áë=============== ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖKNTTI= ñ < ñ P FK=== = 835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK== fÑ= Ñ ′′(ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñ M K== fÑ= Ñ ′′(ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= ñ M K= fÑ= Ñ ′′(ñ ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= = 836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë= fÑ== Ñ ′ (ñ P ) ==Éñáëíë==~åÇ== Ñ ′′(ñ ) ==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñ P I==íÜÉå= íÜÉ= éçáåí= (ñ P I Ñ (ñ P )) = áë= ~å= áåÑäÉÅíáçå= éçáåí= çÑ= íÜÉ= Öê~éÜ= çÑ= Ñ (ñ ) K=fÑ= Ñ ′′(ñ P ) =Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= Ñ ′′(ñ P ) = M = EcáÖKNTTFK= = 837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ= M Ñ (ñ ) Ñ ′(ñ ) äáã = äáã =áÑ= äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö (ñ ) =  K== ñ → Å Ö (ñ ) ñ →Å Ö ′(ñ ) ñ →Å ñ →Å ∞ =

220

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.7 Differential = cìåÅíáçåëW=ÑI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ ) I= Ñ ′(ñ ) = oÉ~ä=Åçåëí~åíW=`= aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ ) W=Çó= aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ñW=Çñ= pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=ñW= ∆ñ = pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ∆ó = = = 838. Çó = ó′Çñ = = 839. Ñ (ñ + ∆ñ ) = Ñ (ñ ) + Ñ ′(ñ )∆ñ = =

=

= Figure 178.

221

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

840. pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó= ∆ó = Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ ) = = 841. Ç(ì + î ) = Çì + Çî = = 842. Ç(ì − î ) = Çì − Çî = = 843. Ç(`ì ) = `Çì = = 844. Ç(ìî ) = îÇì + ìÇî = =  ì  îÇì − ìÇî 845. Ç  = = îO î = = =

8.8 Multivariable Functions = cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= ò (ñ I ó ) I= Ñ (ñ I ó ) I= Ö (ñ I ó ) I= Ü(ñ I ó ) == ^êÖìãÉåíëW=ñI=óI=í= pã~ää=ÅÜ~åÖÉë=áå=ñI=óI=òI=êÉëéÉÅíáîÉäóW= ∆ñ I= ∆ó I= ∆ò K= = = 846. cáêëí=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë= qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ñ= ∂Ñ ∂ò = Ñ ñ =E~äëç= = ò ñ FI= ∂ñ ∂ñ qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ó= ∂Ñ ∂ò = Ñ ó =E~äëç= = ò ó FK= ∂ó ∂ó = =

222

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

847. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë= ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ = Ñ ññ I==  = ∂ñ  ∂ñ  ∂ñ O ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ  = = Ñ óó I== ∂ó  ∂ó  ∂ó O

∂  ∂Ñ  ∂ OÑ = Ñ ñó I==  = ∂ó  ∂ñ  ∂ó∂ñ ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ  = = Ñ óñ K== ∂ñ  ∂ó  ∂ñ∂ó fÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=~êÉ=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉå== ∂ OÑ ∂ OÑ = K== ∂ó∂ñ ∂ñ∂ó = 848. `Ü~áå=oìäÉë== fÑ= Ñ (ñ I ó ) = Ö(Ü(ñ I ó )) =EÖ=áë=~=ÑìåÅíáçå=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉ=ÜFI=íÜÉå== ∂Ñ ∂Ü ∂Ñ ∂Ü = Ö′(Ü(ñ I ó )) I= = Ö′(Ü(ñ I ó )) K== ∂ó ∂ñ ∂ñ ∂ó = ∂Ñ Çñ ∂Ñ Çó + K== fÑ= Ü(í ) = Ñ (ñ (í )I ó (í )) I=íÜÉå= Ü′(í ) = ∂ñ Çí ∂ó Çí = fÑ= ò = Ñ (ñ (ìI î )I ó (ìI î )) I=íÜÉå== ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó + K== + = I= = ∂ì ∂ñ ∂ì ∂ó ∂ì ∂î ∂ñ ∂î ∂ó ∂î = 849. pã~ää=`Ü~åÖÉë= ∂Ñ ∂Ñ ∆ò ≈ ∆ñ + ∆ó = ∂ñ ∂ó = =

223

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~= Ñ (ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= (ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) ≤ Ñ (ñ M I ó M ) = Ñçê=~ää= (ñ I ó ) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñ M I ó M ) K== = Ñ (ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= (ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ Ñ (ñ M I ó M ) = Ñçê=~ää= (ñ I ó ) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñ M I ó M ) K= = 851. pí~íáçå~êó=mçáåíë= ∂Ñ ∂Ñ = = M K= ∂ñ ∂ó içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK= == 852. p~ÇÇäÉ=mçáåí= ^=ëí~íáçå~êó==éçáåí==ïÜáÅÜ==áë==åÉáíÜÉê==~==äçÅ~ä==ã~ñáãìã= åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= = 853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë= ∂Ñ ∂Ñ = = M FK== iÉí= (ñ M I ó M ) =ÄÉ=~=ëí~íáçå~êó=éçáåí=E ∂ñ ∂ó Ñ ññ (ñ M I ó M ) Ñ ñó (ñ M I ó M ) K== a= Ñ óñ (ñ M I ó M ) Ñ óó (ñ M I ó M )

= fÑ= a > M I= Ñ ññ (ñ M I ó M ) > M I== (ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K= fÑ= a > M I= Ñ ññ (ñ M I ó M ) < M I== (ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K= fÑ= a < M I= (ñ M I ó M ) =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK= fÑ= a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= = 854. q~åÖÉåí=mä~åÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñ I ó ) = ~í= (ñ M I ó M I ò M ) =áë== ò − ò M = Ñ ñ (ñ M I ó M )(ñ − ñ M ) + Ñ ó (ñ M I ó M )(ó − ó M ) K= =

224

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñ I ó ) =~í= (ñ M I ó M I ò M ) =áë== ñ − ñM ó − óM ò − òM = = K= Ñ ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ó (ñ M I ó M ) −N

= = =

8.9 Differential Operators = r r r råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW= á I= à I= â = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= ì(ñ N I ñ O I KI ñ å ) = dê~ÇáÉåí=çÑ=~=ëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇW= Öê~Ç ì I= ∇ì = ∂Ñ aáêÉÅíáçå~ä=ÇÉêáî~íáîÉW= = ∂ä r sÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=EîÉÅíçê=ÑáÉäÇFW= c (mI nI o ) = r r aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî c I= ∇ ⋅ c = r r `ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Åìêä c I= ∇ × c = i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= ∇ O = = = 856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=  ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ  Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  I I  I==  ∂ñ ∂ó ∂ò   ∂ì ∂ì ∂ì   K= Öê~Ç ì = ∇ì =  I IKI ∂ñ å   ∂ñ N ∂ñ O = 857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ= ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ = Åçë α + Åçë β + Åçë γ I== ∂ä ∂ñ ∂ó ∂ò

225

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= r ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I= Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K== = 858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r r ∂m ∂n ∂o + + = Çáî c = ∇ ⋅ c = ∂ñ ∂ó ∂ò = 859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r r r á à â r r ∂ ∂ ∂ = Åìêä c = ∇ × c = ∂ñ ∂ñ ∂ñ m n o  ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r  á +  − =  − − â =  à +   ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó 

= 860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê= ∂ OÑ ∂ OÑ ∂ OÑ ∇ OÑ = O + O + O = ∂ò ∂ó ∂ñ = r r 861. Çáî Åìêä c = ∇ ⋅ ∇ × c ≡ M = = 862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M = = 863. Çáî (Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇ OÑ = = r r r r r 864. Åìêä Åìêä c = Öê~Ç Çáî c − ∇ Oc = ∇ ∇ ⋅ c − ∇ Oc = = =

(

)

(

)

(

)

(

)

226

( )

Chapter 9

Integral Calculus = = = = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëW=ñI=íI= ξ = fåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ )Çñ I= ∫ Ö (ñ )Çñ I=£=

aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ ) I= Ñ ′(ñ ) I= c′(ñ ) I=£= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=ÅI=ÇI=â= k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=åI=áI=à= = =

9.1 Indefinite Integral = 865.

= 866.

= 867.

= 868.

= 869.

∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ ) + ` =áÑ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K=

(∫ Ñ (ñ )Çñ ) ′= Ñ (ñ ) = ∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ = ∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ =

= 870.

N

∫ Ñ (~ñ )Çñ = ~ c(~ñ ) + ` = 227

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

N

∫ Ñ (~ñ + Ä)Çñ = ~ c(~ñ + Ä) + ` =

871.

= N ∫ Ñ (ñ )Ñ ′(ñ )Çñ = O Ñ (ñ ) + ` = O

872.

=

Ñ ′(ñ )

∫ Ñ (ñ ) Çñ = äå Ñ (ñ ) + ` =

873.

= 874. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå= ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ì(í ))ì′(í )Çí =áÑ= ñ = ì(í ) K= = 875. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë= ∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I==

ïÜÉêÉ= ì(ñ ) I= î (ñ ) =~êÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåëK== = = =

9.2 Integrals of Rational Functions =

∫ ~Çñ = ~ñ + ` =

876.

=

∫ ñÇñ =

877.

ñO +`= O

= 878.

O ∫ ñ Çñ =

ñP +`= P

é ∫ ñ Çñ =

ñ é +N + ` I= é ≠ −N K= é+N

= 879.

=

228

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

å +N ( ~ñ + Ä) ∫ (~ñ + Ä) Çñ = ~(å + N) + ` I= å ≠ −N K= å

880.

=

881.

Çñ = äå ñ + ` = ñ

= Çñ

N

∫ ~ñ + Ä = ~ äå ~ñ + Ä + ` =

882.

=

~ñ + Ä

~

∫ Åñ + Ç Çñ = Å ñ +

883.

ÄÅ − ~Ç äå Åñ + Ç + ` = ÅO

= Çñ

ñ+Ä

N

∫ (ñ + ~ )(ñ + Ä) = ~ − Ä äå ñ + ~ + ` I= ~ ≠ Ä K=

884.

= N ñÇñ ∫ ~ + Äñ = Ä (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ ) + ` =

885.

O

= ñ OÇñ N N  O O ∫ ~ + Äñ = ÄP  O (~ + Äñ ) − O~(~ + Äñ ) + ~ äå ~ + Äñ  + ` =

886.

= Çñ

N

∫ ñ (~ + Äñ ) = ~ äå

887.

~ + Äñ +`= ñ

= 888.

Çñ

N

Ä

∫ ñ (~ + Äñ ) = − ~ñ + ~ O

O

äå

~ + Äñ +`= ñ

= 889.

ñÇñ

∫ (~ + Äñ )

O

=

N ~  äå ~ + Äñ + +`= O  Ä  ~ + Äñ 

=

229

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ñ OÇñ N ~O   +`= = + − + − ~ Äñ O ~ äå ~ Äñ ∫ (~ + Äñ )O ÄP  ~ + Äñ 

890.

= Çñ

∫ ñ (~ + Äñ )

891.

O

=

N N ~ + Äñ + O äå +`= ~ (~ + Äñ ) ~ ñ

=

∫ñ

892.

Çñ N ñ −N +`= = äå O −N O ñ +N

= Çñ

∫ N− ñ

893.

O

N N+ ñ = äå +`= O N− ñ

= 894.

Çñ N ~+ñ +`= = äå O O~ ~ − ñ −ñ

∫~

O

∫ñ

O

= 895.

ñ−~ Çñ N +`= = äå O O~ ñ + ~ −~

= Çñ

∫ N+ ñ

896.

O

= í~å −N ñ + ` =

= 897.

∫~

O

∫ñ

O

= 898.

N ñ Çñ = í~å −N + ` = O ~ ~ +ñ

N ñÇñ = äå(ñ O + ~ O ) + ` = O +~ O

= Çñ

∫ ~ + Äñ

899.

O

=

 Ä N  + ` I= ~Ä > M K= ~êÅí~å ñ  ~ ~Ä  

=

230

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ñÇñ

∫ ~ + Äñ

900.

O

=

~ N äå ñ O + + ` = Ä OÄ

= Çñ N ñO = äå ∫ ñ (~ + Äñ O ) O~ ~ + Äñ O + ` =

901.

=

∫~

902.

O

Çñ N ~ + Äñ = äå +`= O O −Ä ñ O~Ä ~ − Äñ

= Çñ N O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å 903. ∫ O = äå + ` I= ~ñ + Äñ + Å ÄO − Q~Å O~ñ + Ä + ÄO − Q~Å

ÄO − Q~Å > M K= =

Çñ O O~ñ + Ä ~êÅí~å + ` I= = + Äñ + Å Q~Å − ÄO Q~Å − ÄO ÄO − Q~Å < M K=

∫ ~ñ

904.

O

= = =

9.3 Integrals of Irrational Functions = 905.

Çñ O ~ñ + Ä + ` = = ~ñ + Ä ~

~ñ + Ä Çñ =

ñÇñ O(~ñ − OÄ) = ~ñ + Ä + ` = P~ O ~ñ + Ä

= 906.

= 907.

P O (~ñ + Ä) O + ` = P~

=

231

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ñ

908.

~ñ + Ä Çñ =

P O(P~ñ − OÄ) (~ñ + Ä) O + ` = O NR~

= ~ñ + Ä − Ä − ~Å Çñ N äå = + ` I== ~ñ + Ä + Ä − ~Å ~ñ + Ä Ä − ~Å Ä − ~Å > M K=

∫ (ñ + Å )

909.

= ~ñ + Ä Çñ N = ~êÅí~å + ` I== ~Å − Ä ~ñ + Ä ~Å − Ä Ä − ~Å < M K=

∫ (ñ + Å )

910.

= 911.

N ~ñ + Ä (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − = Çñ = Åñ + Ç Å ~Ç − ÄÅ äå ~ (Åñ + Ç ) + Å(~ñ + Ä) + ` I= ~ > M K= − Å ~Å

~ñ + Ä N Çñ = Åñ + Ç Å

= 912.

~ (Åñ + Ç ) ~Ç − ÄÅ ~êÅí~å + ` I=E ~ < M I= Å > M FK== Å(~ñ + Ä) Å ~Å

= O ∫ ñ ~ + Äñ Çñ =

913.

=

914.

(~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − =

O(U~ O − NO~Äñ + NRÄO ñ O ) NMRÄP

(~ + Äñ )P + ` =

ñ OÇñ O(U~ O − Q~Äñ + PÄO ñ O ) = ~ + Äñ + ` = NRÄP ~ + Äñ

=

∫ñ

915.

Çñ N ~ + Äñ − ~ = + ` I= ~ > M K= äå ~ + Äñ ~ ~ + Äñ + ~

=

232

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ñ

916.

Çñ O ~ + Äñ = ~êÅí~å + ` I= ~ < M K= −~ ~ + Äñ −~

= 917.

~−ñ Çñ = Ä+ ñ

~+ñ Ä−ñ Çñ = − (~ + ñ )(Ä − ñ ) − (~ + Ä)~êÅëáå +`= Ä−ñ ~+Ä

N+ ñ Çñ = − N − ñ O + ~êÅëáå ñ + ` = N− ñ

(~ − ñ )(Ä + ñ ) + (~ + Ä)~êÅëáå

ñ+Ä +`= ~+Ä

= 918.

= 919.

= Çñ

∫ (ñ − ~ )(Ä − ~ ) = O ~êÅëáå

920.

=

921.

OÅñ − Ä ~ + Äñ − Åñ O + = QÅ ÄO − Q~Å OÅñ − Ä + ~êÅëáå +`= U ÅP ÄO + Q~Å

~ + Äñ − Åñ O Çñ =

= Çñ

922.

~ñ O + Äñ + Å ~ > M K=

=

N äå O~ñ + Ä + O ~ (~ñ O + Äñ + Å ) + ` I== ~

=

923.

ñ −~ +` = Ä−~

Çñ ~ñ + Äñ + Å O

=−

N O~ñ + Ä O ~êÅëáå Ä − Q~Å + ` I= ~ < M K= Q~ ~

=

924.

ñ O + ~ O Çñ =

ñ O O ~O ñ + ~ + äå ñ + ñ O + ~ O + ` = O O

=

233

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ñ

925.

ñ O + ~ O Çñ =

N O O PO (ñ + ~ ) + ` = P

=

∫ñ

926.

ñ O + ~ O Çñ =

O

ñ ( Oñ O + ~ O ) ñ O + ~ O − = U

~Q äå ñ + ñ O + ~ O + ` = U

=

927.

ñO + ~O ñO + ~O Çñ = − + äå ñ + ñ O + ~ O + ` = ñO ñ

=

928.

Çñ ñ +~ O

O

= äå ñ + ñ O + ~ O + ` =

= 929.

ñ O + ~O ñ Çñ = ñ O + ~ O + ~ äå +`= ñ ~ + ñ O + ~O

ñÇñ

= 930.

ñ +~ O

O

= ñ O + ~O + ` =

=

931.

ñ OÇñ ñ O + ~O

=

ñ O O ~O ñ + ~ − äå ñ + ñ O + ~ O + ` = O O

=

∫ñ

932.

Çñ

N ñ = äå +`= ñ O + ~O ~ ~ + ñ O + ~O

=

933.

ñ O − ~ O Çñ =

ñ O O ~O ñ − ~ − äå ñ + ñ O − ~ O + ` = O O

= 934.

∫ñ

ñ O − ~ O Çñ =

N O O PO (ñ − ~ ) + ` = P

234

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

935.

ñO − ~O ~ Çñ = ñ O − ~ O + ~ ~êÅëáå + ` = ñ ñ

ñO − ~O ñ O − ~O Çñ =− + äå ñ + ñ O − ~ O + ` = O ñ ñ

= 936.

=

937.

Çñ ñ −~ O

= äå ñ + ñ O − ~ O + ` =

O

=

938.

ñÇñ ñ −~ O

= ñ O − ~O + ` =

O

=

939.

ñ OÇñ

ñ O O ~O = ñ − ~ + äå ñ + ñ O − ~ O + ` = O O O O ñ −~

= Çñ

N ~ = − ~êÅëáå + ` = ~ ñ ñ −~

∫ñ

940.

O

O

= Çñ

∫ (ñ + ~ )

941.

ñ O − ~O

=

N ñ −~ +`= ~ ñ+~

= Çñ

∫ (ñ − ~ )

942.

ñ −~ O

O

=−

N ñ+~ +`= ~ ñ −~

=

∫ñ

943.

Çñ O

ñ O − ~O

=

ñ O − ~O +`= ~Oñ

=

∫ (ñ

944.

Çñ

O

− ~O ) O P

=−

ñ ~O ñ O − ~O

+`=

=

235

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ (ñ

945.

O

− ~ O ) O Çñ = − P

ñ ( Oñ O − R~ O ) ñ O − ~ O + = U

P~ Q + äå ñ + ñ O − ~ O + ` = U =

946.

~ O − ñ O Çñ =

ñ ~O ñ O ~ − ñ O + ~êÅëáå + ` = ~ O O

= O O ∫ ñ ~ − ñ Çñ = −

947.

P N O ( ~ − ñO ) O + ` = P

= O O O ∫ ñ ~ − ñ Çñ =

948.

ñ ~Q ñ ( Oñ O − ~ O ) ~ O − ñ O + ~êÅëáå + ` = U U ~

= 949.

~O − ñ O ñ Çñ = ~ O − ñ O + ~ äå +`= ñ ~ + ~O − ñ O

ñ ~O − ñO ~O − ñO Çñ = − − ~êÅëáå + ` = O ~ ñ ñ

= 950.

=

951.

Çñ

= ~êÅëáå ñ + ` =

N− ñO

=

952.

Çñ ~O − ñO

= ëáå

ñ +`= ~

=

953.

ñÇñ ~ −ñ O

O

= − ~O − ñ O + ` =

= 954.

ñ OÇñ ~O − ñ O

=−

ñ O ~O ñ ~ − ñ O + ~êÅëáå + ` = O O ~

236

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Çñ

∫ (ñ + ~ )

955.

~O − ñ O

=−

N ~−ñ +`= O ~+ñ

=−

N ~+ñ +`= O ~−ñ

= Çñ

∫ (ñ − ~ )

956.

~O − ñ O

= Çñ

∫ (ñ + Ä )

957.

~O − ñ O

N

=

ÄO − ~ O

~êÅëáå

Äñ + ~ O + ` I= Ä > ~ K= ~ (ñ + Ä )

= Çñ

∫ (ñ + Ä )

958.

~ −ñ O

O

N

=

~ −Ä O

O

äå

ñ+Ä ~ −Ä O

O

~ O − ñ O + ~ O + Äñ

Ä < ~ K=

=

∫ñ

959.

Çñ O

~O − ñO

=−

~O − ñO +`= ~Oñ

=

∫ (~

960.

O

− ñ O ) O Çñ = P

ñ O P~ Q ñ ( R~ − Oñ O ) ~ O − ñ O + ~êÅëáå + ` = U U ~

=

∫ (~

961.

Çñ O

−ñ

O

)

P

= O

ñ ~O ~O − ñ O

+`=

= = =

9.4 Integrals of Trigonometric Functions =

∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + ` =

962.

= 963.

∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` = 237

+ `I =

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ ëáå

964.

O

ñ Çñ =

ñ N − ëáå Oñ + ` = O Q

ñ Çñ =

ñ N + ëáå Oñ + ` = O Q

=

∫ Åçë

965.

O

=

∫ ëáå

966.

P

N N P ñ Çñ = Åçë P ñ − Åçë ñ + ` = Åçë Pñ − Åçë ñ + ` = P NO Q

=

∫ Åçë

967.

P

N N P ñ Çñ = ëáå ñ − ëáå P ñ + ` = ëáå Pñ + ëáå ñ + ` = P NO Q

= Çñ

ñ

Çñ

ñ

∫ ëáå ñ = ∫ ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å O + ` =

968.

= π

∫ Åçë ñ = ∫ ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å O + Q  + ` =

969.

= Çñ

∫ ëáå

970.

O

ñ

= ∫ ÅëÅ O ñ Çñ = − Åçí ñ + ` =

ñ

= ∫ ëÉÅ O ñ Çñ = í~å ñ + ` =

ñ

= ∫ ÅëÅ P ñ Çñ = −

ñ

= ∫ ëÉÅP ñ Çñ =

= Çñ

∫ Åçë

971.

O

= Çñ

∫ ëáå

972.

P

Åçë ñ N ñ + äå í~å + ` = O O ëáå ñ O O

= Çñ

∫ Åçë

973.

P

ëáå ñ N  ñ π + äå í~å +  + ` = O O Åçë ñ O O Q

= 974.

N

∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − Q Åçë Oñ + ` = 238

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ ëáå

975.

O

N ñ Åçë ñ Çñ = ëáå P ñ + ` = P

=

∫ ëáå ñ Åçë

976.

O

N ñ Çñ = − ÅçëP ñ + ` = P

=

∫ ëáå

977.

O

ñ Åçë O ñ Çñ =

ñ N − ëáå Q ñ + ` = U PO

=

∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + ` =

978.

= ëáå ñ N Çñ = + ` = ëÉÅ ñ + ` = O ñ Åçë ñ

∫ Åçë

979.

= ëáå O ñ  ñ π ∫ Åçë ñ Çñ = äå í~å O + Q  − ëáå ñ + ` =

980.

=

∫ í~å

981.

O

ñ Çñ = í~å ñ − ñ + ` =

=

∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + ` =

982.

= Åçë ñ N Çñ = − + ` = − ÅëÅ ñ + ` = O ñ ëáå ñ

∫ ëáå

983.

= Åçë O ñ ñ Çñ = äå í~å + Åçë ñ + ` = 984. ∫ ëáå ñ O = 985. ∫ Åçí O ñ Çñ = − Åçí ñ − ñ + ` =

= 986.

Çñ

∫ Åçë ñ ëáå ñ = äå í~å ñ + ` = 239

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫ ëáå

987.

O

Çñ N  ñ π =− + äå í~å +  + ` = ñ Åçë ñ ëáå ñ O Q

= Çñ

∫ ëáå ñ Åçë

988.

O

ñ

=

N ñ + äå í~å + ` = Åçë ñ O

=

∫ ëáå

989.

O

Çñ = í~å ñ − Åçí ñ + ` = ñ Åçë O ñ

=

ëáå(ã + å )ñ

∫ ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − O(ã + å)

990.

+

ëáå(ã − å )ñ + ` I= O(ã − å )

Åçë(ã − å )ñ + ` I= O(ã − å )

ã O ≠ å O K= =

Åçë(ã + å )ñ

∫ ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = − O(ã + å)

991.

ã O ≠ å O K= =

ëáå(ã + å )ñ

∫ Åçë ãñ Åçë åñ Çñ = O(ã + å)

992.

ã O ≠ å O K= =

∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + ` =

993.

=

∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + ` =

994.

= å ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = −

995.

Åçë å+N ñ +`= å +N

= ëáå å +N ñ 996. ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = +`= å +N = å

240

+

ëáå(ã − å )ñ + ` I= O(ã − å )

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

997.

∫ ~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ +

N− ñO + ` =

∫ ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ −

N− ñO + ` =

= 998.

=

∫ ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − O äå(ñ N

999.

O

+ N) + ` =

=

N 1000. ∫ ~êÅ Åçí ñ Çñ = ñ ~êÅ Åçí ñ + äå(ñ O + N) + ` = O = = =

9.5 Integrals of Hyperbolic Functions = 1001. ∫ ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + ` =

= 1002. ∫ ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + ` =

= 1003. ∫ í~åÜ ñ Çñ = äå ÅçëÜ ñ + ` =

= 1004. ∫ ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + ` =

= 1005. ∫ ëÉÅÜ O ñÇñ = í~åÜ ñ + ` =

= 1006. ∫ ÅëÅÜ O ñÇñ = − ÅçíÜ ñ + ` =

= 1007. ∫ ëÉÅÜñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜñ + ` =

=

241

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1008. ∫ ÅëÅÜñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜñ + ` =

= = =

9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions = 1009. ∫ É ñ Çñ = É ñ + ` =

= ~ñ 1010. ∫ ~ Çñ = +`= äå ~ = É ~ñ 1011. ∫ É ~ñ Çñ = +`= ~ = É ~ñ 1012. ∫ ñÉ ~ñ Çñ = O (~ñ − N) + ` = ~ = 1013. ∫ äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + ` = ñ

= Çñ

∫ ñ äå ñ = äå äå ñ + ` =

1014.

=  äå ñ N  1015. ∫ ñ å äå ñ Çñ = ñ å +N  +`= − O  å + N (å + N)  = ~ ëáå Äñ − Ä Åçë Äñ ~ñ 1016. ∫ É ~ñ ëáå Äñ Çñ = É +`= ~ O + ÄO =

242

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1017. ∫ É ~ñ Åçë Äñ Çñ =

~ Åçë Äñ + Ä ëáå Äñ ~ñ É +`= ~ O + ÄO

= = =

9.7 Reduction Formulas = 1018. ∫ ñ å É ãñ Çñ =

N å ãñ å ñ É − ∫ ñ å −NÉ ãñ Çñ = ã ã

= É ãñ É ãñ ã É ãñ Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K= ∫ ñå (å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å−N

1019.

= 1020. ∫ ëáåÜ å ñÇñ =

= Çñ

∫ ëáåÜ

1021.

å

ñ

=−

= 1022. ∫ ÅçëÜ å ñÇñ =

= Çñ

∫ ÅçëÜ

1023.

å

ñ

=−

N å −N ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ − ëáåÜ å −O ñÇñ = ∫ å å ÅçëÜ ñ å−O Çñ − I= å ≠ N K= å −N ∫ (å − N) ëáåÜ ñ å − N ëáåÜ å−O ñ N å −N ëáåÜ ñ ÅçëÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ + ÅçëÜ å −O ñÇñ = ∫ å å ëáåÜ ñ å−O Çñ + I= å ≠ N K= å −N ∫ (å − N) ÅçëÜ ñ å − N ÅçëÜ å−O ñ

= ëáåÜ å +N ñ ÅçëÜ ã −N ñ 1024. ∫ ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñÇñ = = å+ã ã −N + ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã −O ñÇñ = ∫ å+ã = ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ã +N ñ 1025. ∫ ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã ñÇñ = = å+ã å

ã

243

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

å −N ëáåÜ å −O ñ ÅçëÜ ã ñÇñ = ∫ å+ã

= 1026. ∫ í~åÜ å ñÇñ = −

N í~åÜ å −N ñ + ∫ í~åÜ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N

= 1027. ∫ ÅçíÜ å ñÇñ = −

N ÅçíÜ å −N ñ + ∫ ÅçíÜ å − O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N

= 1028. ∫ ëÉÅÜ å ñÇñ =

ëÉÅÜ å −O ñ í~åÜ ñ å − O + ëÉÅÜ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= ∫ å −N å −N

=

N å −N 1029. ∫ ëáå å ñÇñ = − ëáå å −N ñ Åçë ñ + ëáå å −O ñÇñ = ∫ å å = Çñ Åçë ñ å−O Çñ 1030. ∫ =− + I= å ≠ N K= å å −N ∫ (å − N) ëáå ñ å − N ëáå å−O ñ ëáå ñ = N å −N 1031. ∫ Åçë å ñÇñ = ëáå ñ Åçë å −N ñ + Åçë å −O ñÇñ = ∫ å å = Çñ ëáå ñ å−O Çñ 1032. ∫ = + I= å ≠ N K= å å −N ∫ Åçë ñ (å − N) Åçë ñ å − N Åçë å −O ñ = ëáå å+N ñ Åçë ã −N ñ 1033. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ = = å+ã ã −N + ëáå å ñ Åçë ã −O ñÇñ = å+ã∫ = ëáå å −N ñ Åçë ã +N ñ 1034. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ = − = å+ã

244

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

+

å −N ëáå å −O ñ Åçë ã ñÇñ = ∫ å+ã

= 1035. ∫ í~å å ñÇñ =

N í~å å −N ñ − ∫ í~å å −O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N

= 1036. ∫ Åçí å ñÇñ = −

N Åçí å −N ñ − ∫ Åçí å−O ñÇñ I= å ≠ N K= å −N

= 1037. ∫ ëÉÅ å ñÇñ =

ëÉÅ å −O ñ í~å ñ å − O + ëÉÅ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= ∫ å −N å −N

= 1038. ∫ ÅëÅ å ñÇñ = −

ÅëÅ å −O ñ Åçí ñ å − O + ÅëÅ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= ∫ å −N å −N

= 1039. ∫ ñ å äå ã ñÇñ =

ñ å +N äå ã ñ ã − ñ å äå ã −N ñÇñ = å +N å +N ∫

= äå ã ñ äå ã ñ ã äå ã −N ñ Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K= ∫ ñå (å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å

1040.

= 1041. ∫ äå å ñÇñ = ñ äå å ñ − å ∫ äå å −N ñÇñ =

= 1042. ∫ ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ∫ ñ å −N ÅçëÜ ñÇñ =

= 1043. ∫ ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ∫ ñ å −N ëáåÜ ñÇñ =

= 1044. ∫ ñ å ëáå ñÇñ = − ñ å Åçë ñ + å ∫ ñ å −N Åçë ñÇñ =

= 1045. ∫ ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ∫ ñ å −N ëáå ñÇñ =

245

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1046. ∫ ñ å ëáå −N ñÇñ =

N ñ å +N ñ å +N Çñ = ëáå −N ñ − å + N ∫ N− ñO å +N

= 1047. ∫ ñ å Åçë −N ñÇñ =

ñ å +N N ñ å +N Åçë −N ñ + Çñ = å +N å + N ∫ N− ñO

= 1048. ∫ ñ å í~å −N ñÇñ =

ñ å +N N ñ å +N í~å −N ñ − Çñ = å +N å + N ∫ N+ ñO

= ñ å Çñ ñ Ä Çñ 1049. ∫ å = − ∫ å = ~ñ + Ä ~ ~ ~ñ + Ä = Çñ − O~ñ − Ä 1050. ∫ = = å O O (~ñ + Äñ + Å ) (å − N)(Ä − Q~Å )(~ñ O + Äñ + Å )å−N O(Oå − P)~ Çñ I= å ≠ N K= − O ∫ O (å − N)(Ä − Q~Å ) (~ñ + Äñ + Å )å−N =

∫ (ñ

1051.

Çñ

+~ å ≠ N K= O

)

O å

=

ñ

O(å − N)~ O (ñ O + ~

)

O å −N

+

Oå − P O(å − N)~ O

=

∫ (ñ

1052.

Çñ

O

=−

ñ

= å −N O(å − N)~ O (ñ O − ~ O ) Oå − P Çñ − I= å ≠ N K= O ∫ O(å − N)~ (ñ O − ~ O )å−N −~

)

O å

= = = = =

246

∫ (ñ

Çñ

O

+ ~O )

å −N

I

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

9.8 Definite Integral = Ä

Ä

~

~

aÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ )Çñ I= ∫ Ö (ñ )Çñ I=£= å

oáÉã~åå=ëìãW= ∑ Ñ (ξ á )∆ñ á == á =N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á == ^åíáÇÉêáî~íáîÉëW= c(ñ ) I= d(ñ ) == iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=ÅI=Ç= = = Ä

1053. ∫ Ñ (ñ )Çñ = ~

å

äáã

∑ Ñ (ξ )∆ñ

å→∞ ã~ñ ∆ñ á →M á =N

á

á

I==

ïÜÉêÉ== ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I== ñ á −N ≤ ξ á ≤ ñ á K== =

=

= Figure 179.

=

247

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Ä

1054. ∫ NÇñ = Ä − ~ = ~

= Ä

Ä

~

~

1055. ∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ =

= Ä

Ä

Ä

~

~

~

Ä

Ä

Ä

~

~

~

∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ =

1056.

=

∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ =

1057.

= ~

1058. ∫ Ñ (ñ )Çñ = M = ~

= Ä

~

~

Ä

1059. ∫ Ñ (ñ )Çñ = − ∫ Ñ (ñ )Çñ =

= Ä

Å

Ä

~

~

Å

1060. ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ =Ñçê= ~ < Å < Ä K=

= Ä

1061. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≥ M =áÑ= Ñ (ñ ) ≥ M =çå= [~ I Ä] K= ~

= Ä

1062. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≤ M =áÑ= Ñ (ñ ) ≤ M =çå= [~ I Ä] K= ~

= = = =

248

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1063. cìåÇ~ãÉåí~ä=qÜÉçêÉã=çÑ=`~äÅìäìë= Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ )

Ä ~

= c(Ä) − c(~ ) =áÑ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K=

~

= 1064. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå== fÑ= ñ = Ö (í ) I=íÜÉå== Ä

Ç

~

Å

∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (Ö(í ))Ö′(í )Çí I== ïÜÉêÉ= Å = Ö −N (~ ) I= Ç = Ö −N (Ä) K= = 1065. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë= Ä

Ä

∫ ìÇî = (ìî ) ~ − ∫ îÇì = ~

Ä

~

= 1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ= Ä å −N Ä−~   ( ) ( ) Ñ ñ Çñ Ñ ( ñ ) Ñ ñ O Ñ (ñ á ) = = + + ∑ M å  ∫~ Oå  á =N  =

249

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 180.

= 1067. páãéëçå∞ë=oìäÉ== Ä Ä−~ ∫~ Ñ (ñ )Çñ = På [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + = + OÑ (ñ Q ) + K + QÑ (ñ å −N ) + Ñ (ñ å )] I== ïÜÉêÉ== Ä−~ ñá = ~ + á I= á = MI NI OI KI å K== å =

250

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 181.

= 1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ= Ä

p = ∫ Ñ (ñ )Çñ = c(Ä) − c(~ ) I== ~

ïÜÉêÉ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K= =

251

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 182.

= 1069. ^êÉ~=_ÉíïÉÉå=qïç=`ìêîÉë= Ä

p = ∫ [Ñ (ñ ) − Ö (ñ )]Çñ = c(Ä) − d(Ä) − c(~ ) + d(~ ) I== ~

ïÜÉêÉ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) I= d′(ñ ) = Ö (ñ ) K= =

252

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 183.

= = =

9.9 Improper Integral = Ä

1070. qÜÉ=ÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä== ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=Å~ääÉÇ=~å=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~ä= ~

áÑ== ~=çê=Ä=áë=áåÑáåáíÉI= Ñ (ñ ) ==Ü~ë==çåÉ==çê==ãçêÉ=éçáåíë=çÑ==ÇáëÅçåíáåìáíó= =====áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä= [~ I Ä] K= = 1071. fÑ= Ñ (ñ ) =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= [~ I ∞ ) I=íÜÉå== • •

å

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K= ~

å →∞

~

=

253

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 184.

= 1072. fÑ= Ñ (ñ ) =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= (− ∞I Ä] I=íÜÉå== Ä

Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K=

−∞

å→ −∞

å

=

=

= Figure 185.

254

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ=ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ=íÜÉ=äáãáíë=Éñáëí=~åÇ=~êÉ=ÑáåáíÉX=çíÜÉêïáëÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=~êÉ= ÇáîÉêÖÉåíK= = ∞

Å

−∞

−∞

Å

∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ =

1073.

=

=

= Figure 186.

= fÑ=Ñçê=ëçãÉ=êÉ~ä=åìãÄÉê=ÅI=ÄçíÜ=çÑ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=áå=íÜÉ=êáÖÜí= ∞

ëáÇÉ= ~êÉ= ÅçåîÉêÖÉåíI= íÜÉå= íÜÉ= áåíÉÖê~ä=

∫ Ñ (ñ )Çñ = áë= ~äëç=====

−∞

ÅçåîÉêÖÉåíX=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë=ÇáîÉêÖÉåíK= = 1074. `çãé~êáëçå=qÜÉçêÉãë= iÉí== Ñ (ñ ) =~åÇ== Ö(ñ ) ==ÄÉ==Åçåíáåìçìë==ÑìåÅíáçåë==çå=íÜÉ=ÅäçëÉÇ= áåíÉêî~ä= [~ I ∞ ) K= pìééçëÉ= íÜ~í= M ≤ Ö (ñ ) ≤ Ñ (ñ ) = Ñçê= ~ää= ñ= áå= [~I ∞ ) K=

255

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

~

~

fÑ= ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ö (ñ )Çñ =áë=~äëç=

=====ÅçåîÉêÖÉåíI= •

~

~

fÑ= ∫ Ö (ñ )Çñ =áë=ÇáîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=

= 1075. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= = ∞

~

~

fÑ= ∫ Ñ (ñ ) Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå=íÜÉ=áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK=== = 1076. aáëÅçåíáåìçìë=fåíÉÖê~åÇ= iÉí= Ñ (ñ ) =ÄÉ=~=ÑìåÅíáçå=ïÜáÅÜ=áë=Åçåíáåìçìë=çå=íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~I Ä) =Äìí=áë=ÇáëÅçåíáåìçìë=~í= ñ = Ä K=qÜÉå== Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ~

ε →M +

Ä−ε

∫ Ñ (ñ )Çñ = ~

=

=

= Figure 187.

256

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1077. iÉí= Ñ (ñ ) =ÄÉ=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=Ñçê=~ää=êÉ~ä=åìãÄÉêë==ñ==áå= íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~ I Ä] ==ÉñÅÉéí==Ñçê==ëçãÉ=éçáåí==Å==áå= (~ I Ä) K=qÜÉå= Å −ε

Ä

Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ + äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K= ~

ε →M +

δ →M +

~

Å +δ

=

=

= Figure 188.

= = =

9.10 Double Integral = cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó ) I= Ñ (ìI î ) I=£= açìÄäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó I= ∫∫ Ö (ñ I ó )ÇñÇó I=£= o

ã

å

o

(

)

oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑ Ñ ì á I î à ∆ñ á ∆ó à = á =N à=N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á I= ∆ó à = oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=oI=p== mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ =

257

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

^êÉ~W=^= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= j~ëë=çÑ=~=ä~ãáå~W=ã= aÉåëáíóW= ρ(ñ I ó ) = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñ I= j ó = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fM = `Ü~êÖÉ=çÑ=~=éä~íÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñ I ó ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó = ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= µ = = 1078. aÉÑáåáíáçå=çÑ=açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä= qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]× [ÅI Ç] =áë=ÇÉÑáåÉÇ= íç=ÄÉ==

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = äáã

[~ I Ä ]×[Å I Ç ]

(

)

∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó ã

å

ã~ñ ∆ñ á →M ã~ñ ∆ó à → M á =N à=N

á

à

á

à

I==

ïÜÉêÉ= ì á I î à =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=êÉÅí~åÖäÉ= (ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à I=~åÇ= ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I= ∆ó à = ó à − ó à−N K= =

===

(

)

Figure 189.

258

=

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä=êÉÖáçå=o=áë== ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ I== o

[~ I Ä ]×[Å I Ç ]

ïÜÉêÉ=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]× [ÅI Ç] =Åçåí~áåë=oI== Ö(ñ I ó ) = Ñ (ñ I ó ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) =áë=áå=o=~åÇ= Ö(ñ I ó ) = M =çíÜÉêïáëÉK= =

=

= Figure 190.

= 1079.

∫∫ [Ñ (ñ I ó ) + Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ = o

= 1080.

o

∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ − ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ = o

= 1081.

o

o

o

∫∫ âÑ (ñ I ó )Ç^ = â ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I== o

o

ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1082. fÑ= Ñ (ñ I ó ) ≤ Ö(ñ I ó ) =çå=oI=íÜÉå= ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ö (ñ I ó )Ç^ K= o

= 1083. fÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ M =çå=o=~åÇ= p ⊂ o I=íÜÉå=

259

o

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K= p

o

=

=

= Figure 191.

= 1084. fÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ M =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå-çîÉêä~ééáåÖ= êÉÖáçåëI=íÜÉå=

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K==

o ∪p

o

p

eÉêÉ= o ∪ p =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=o=~åÇ=pK= =

=

= Figure 192.

= =

260

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1085. fíÉê~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=~åÇ=cìÄáåá∞ë=qÜÉçêÉã= Ä è(ñ )

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫( Ñ) (ñ I ó )ÇóÇñ == o

~é ñ

Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=fI== o = {(ñ I ó ) ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ ) ≤ ó ≤ è(ñ )} K= =

=

= Figure 193.

=

Ç î (ó )

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó == o

Å ì(ó )

Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=ffI= o = {(ñ I ó ) ö ì(ó ) ≤ ñ ≤ î (ó )I Å ≤ ó ≤ Ç} K= =

261

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 194.

= 1086. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=oÉÅí~åÖìä~ê=oÉÖáçåë= = fÑ=o=áë=íÜÉ=êÉÅí~åÖìä~ê=êÉÖáçå= [~I Ä]× [ÅI Ç] I=íÜÉå== Ä Ç Ç Ä        ∫ Ñ (ñ I ó )Çñ Çó K== ( ) ( ) = = Ñ ñ I ó ÇñÇó Ñ ñ I ó Çó Çñ ∫∫o ∫~  ∫Å ∫    Å~   = få=íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ=ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ= Ñ (ñ I ó ) =Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=~ë= Ö (ñ )Ü(ó ) =ïÉ=Ü~îÉ==

Ä Ç      K== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Ñ ñ I ó ÇñÇó Ö ñ Ü ó ÇñÇó Ö ñ Çñ Ü ó Çó ∫∫o ∫∫o ∫ ∫  ~ Å  = 1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=

∂ (ñ I ó )

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ [ñ (ìI î )I ó(ìI î )] ∂(ìI î ) ÇìÇî I== o

p

∂ñ ∂ñ ∂ (ñ I ó ) ∂ì ∂î ïÜÉêÉ= = ≠ M áë= íÜÉ= à~ÅçÄá~å= çÑ= íÜÉ= íê~åë∂ (ìI î ) ∂ó ∂ó ∂ì ∂î Ñçêã~íáçåë= (ñ I ó ) → (ìI î ) I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=o=ïÜáÅÜ=

262

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Å~å=ÄÉ=ÅçãéìíÉÇ=Äó= ñ = ñ (ìI î ) I= ó = ó (ìI î ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=oK== = 1088. mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ñ = ê Åçë θ I= ó = ê ëáå θ K== =

=

= Figure 195.

= 1089. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= = qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇó=Ñçê=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=áë== ∂ (ñ I ó ) ÇñÇó = ÇêÇθ = êÇêÇθ K== ∂ (êI θ) = iÉí=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= M ≤ Ö (θ) ≤ ê ≤ Ü(θ) I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ K== qÜÉå== β Ü (θ )

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K= o

α Ö (θ )

=

263

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 196.

= fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ÖáîÉå=Äó== M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ I=== íÜÉå== β Ä

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K== o

α ~

=

=

= Figure 197.

= =

264

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1090. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå= Ä Ñ (ñ )

^ = ∫ ∫ ÇóÇñ =EÑçê=~=íóéÉ=f=êÉÖáçåFK= ~ Ö (ñ )

=

=

= Figure 198.

=

Ç è(ó )

^ = ∫ ∫ ÇñÇó =EÑçê=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçåFK= Å é( ó )

=

=

= Figure 199.

= =

265

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1091. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ= s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K== o

=

=

= Figure 200.

= fÑ=o=áë=~=íóéÉ=f=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ñ = ~ I= ñ = Ä I= ó = Ü(ñ ) I= ó = Ö (ñ ) I=íÜÉå== Ä Ö(ñ )

s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇóÇñ K== o

~ Ü(ñ )

= fÑ=o=áë=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ó = Å I= ó = Ç I= ñ = è(ó ) I= ñ = é(ó ) I=íÜÉå= Ç è(ó )

s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó K== o

Å é( ó )

=

266

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fÑ== Ñ (ñ I ó ) ≥ Ö (ñ I ó ) ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ= íÜÉ= ëçäáÇ= ÄÉíïÉÉå= òN = Ñ (ñ I ó ) = ~åÇ= ò O = Ö(ñ I ó ) = çîÉê= o= áë= ÖáîÉå=Äó= s = ∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ K== o

= 1092. ^êÉ~=~åÇ=sçäìãÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= fÑ=p=áë=~=êÉÖáçå=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÄçìåÇÉÇ=Äó= θ = α I= θ = β I= ê = Ü(θ) I= ê = Ö (θ) I== íÜÉå== β Ö (θ )

^ = ∫∫ Ç^ = ∫ ∫ êÇêÇθ I== p

α Ü(θ )

s = ∫∫ Ñ (êI θ)êÇêÇθ K== p

=

=

= Figure 201.

= 1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~= p = ∫∫ o

O

 ∂ò   ∂ò  N +   +   ÇñÇó =  ∂ñ   ∂ó  O

=

267

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~= ã = ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ I== o

ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í= ~=éçáåí=EñIóF=áë= ρ(ñ I ó ) K=== = 1095. jçãÉåíë= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ-~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçêãìä~= j ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K== o

= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= j ó = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ K= o

= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=áë= f ñ = ∫∫ ó Oρ(ñ I ó )Ç^ K== o

= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= f ó = ∫∫ ñ Oρ(ñ I ó )Ç^ K== o

= qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë= fM = ∫∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó )Ç^ K== o

= 1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë= jó

N ñ= = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ = ã ã o

∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ o

∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o

268

I==

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

j N ó = ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ = ã ã o

∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ o

∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^

K==

o

= 1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ= n = ∫∫ σ(ñ I ó )Ç^ I== o

ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë= ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= σ(ñ I ó ) K=== = 1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå= N µ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I== po ïÜÉêÉ= p = ∫∫ Ç^ K== o

= = =

9.11 Triple Integral = cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= Ö (ñ I ó I ò ) I=£= qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I= ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs I=£= d

ã

d

å

é

(

)

oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑∑ Ñ ì á I î à I ï â ∆ñ á ∆ó à ∆ò â = á =N à=N â =N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á I= ∆ó à I= ∆ò â = iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë= oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p== `óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I=ò= péÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I= ϕ = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=

269

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã== aÉåëáíóW= µ(ñ I ó I ò ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò I= fM = = = 1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä= qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] = áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==

∫∫∫

Ñ (ñ I ó I ò )Çs =

[~ I Ä ]×[Å I Ç ]×[ê I ë ]

(

) )

∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò ã

äáã

é

å

ã~ñ ∆ñ á →M ã~ñ ∆ó à →M á =N à=N â =N ã~ñ ∆ò â →M

á

à

â

á

à

â

I

ïÜÉêÉ= ì á I î à I ï â =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= (ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I=~åÇ= ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I= ∆ó à = ó à − ó à−N I= ∆ò â = ò â − ò â −N K= = 1100. ∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) + Ö (ñ I ó I ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs + ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs

(

d

d

d

= 1101.

∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) − Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs − ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs d

d

d

= 1102.

∫∫∫ âÑ (ñ I óI ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I== d

d

ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1103. fÑ== Ñ (ñ I ó I ò ) ≥ M =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ= êÉÖáçåëI=íÜÉå== ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs K== d∪q

d

q

eÉêÉ= d ∪ q =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK= =

270

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë= fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í= = (ñ I ó )∈ oI χ N (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=íÜÉå==

 χ O ( ñ I ó ) = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫∫  ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò  ÇñÇó I==  d o   χN ( ñ I ó ) ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= = fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í= ~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN (ñ ) ≤ ó ≤ ϕO (ñ )I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=íÜÉå==

∫∫∫ d

 ϕO ( ñ )  χ O ( ñ I ó )   Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫  ∫  ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ ==    ~     ϕN ( ñ )  χN ( ñ I ó ) Ä

= 1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~ I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] I=íÜÉå= Ä Ç ë      Çó Çñ K== ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ñ ñ I ó I ò Çò =  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫   d ~ Å  ê   = få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== Ñ (ñ I ó I ò ) ==Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë= Ö (ñ ) Ü(ó ) â (ò ) =ïÉ=Ü~îÉ== Ä  Ç  ë      ∫ â (ò )Çò  K== ( ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ö ñ Çñ Ü ó Çó = ∫∫∫  ∫  ∫  d  ~  Å  ê = 1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë= ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = = d

= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )] p

271

∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇòI = ∂ (ìI î I ï )

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ì ∂î ∂ï ∂ (ñ I ó I ò ) ∂ó ∂ó ∂ó = ≠ M ==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ= ïÜÉêÉ== ∂ (ìI î I ï ) ∂ì ∂î ∂ï ∂ò ∂ò ∂ò ∂ì ∂î ∂ï íÜÉ= íê~åëÑçêã~íáçåë= (ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìääÄ~Åâ= çÑ= d= ïÜáÅÜ= Å~å= ÄÉ= ÅçãéìíÉÇ= Äó= ñ = ñ (ìI î I ï ) I= ó = ó (ìI î I ï ) = ò = ò (ìI î I ï ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK= = = 1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë== ∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K== ∂ (êI θI ò ) = iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= (ñ I ó )∈ oI χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I= ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå== ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò = d

p

χ O ( ê Åçë θ Iê ëáå θ )

  ( ) Ñ ê Åçë I ê ëáå I ò Çò θ θ  êÇêÇθ K=  ∫∫  χ (ê Åçë∫θIê ëáå θ ) o ( ê Iθ )  N  eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK= = 1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë== ∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ == ∂ (êI θI ϕ) = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = = =

d

272

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

========= = ∫∫∫ Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I== p

ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ== θ ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== Oπ I==íÜÉ==~åÖäÉ== ϕ = ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç= π K== =

=

=======

=

Figure 202.

= 1109. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ= s = ∫∫∫ ÇñÇóÇò = d

= 1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò = p ( ê I θ Iò )

= 1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= s = ∫∫∫ ê O ëáå θÇêÇθÇϕ = p ( ê I θ Iϕ )

=

273

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ= ã = ∫∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çs I== d

ïÜÉêÉ= íÜÉ= ëçäáÇ= çÅÅìéáÉë= ~= êÉÖáçå= d= ~åÇ= áíë= ÇÉåëáíó= ~í============ ~=éçáåí= (ñ I ó I ò ) =áë= µ(ñ I ó I ò ) K=== = 1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ= j óò j ñó j ñ= I= ó = ñò I= ò = I== ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ∫∫∫ ñµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d

j ñò = ∫∫∫ óµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d

j ñó = ∫∫∫ òµ(ñ I ó I ò ) Çs = d

~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí==íÜÉ==ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I= ó = M I= ò = M I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK== = 1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI=óò-éä~åÉ== E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F= f ñó = ∫∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d

f óò = ∫∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d

f ñò = ∫∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò ) Çs K== d

= 1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= f ñ = f ñó + f ñò = ∫∫∫ (ò O + ó O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I== d

f ó = f ñó + f óò = ∫∫∫ (ò O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I== d

274

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fò = f ñò + f óò = ∫∫∫ (ó O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs K== d

= 1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~= fM = f ñó + f óò + f ñò = ∫∫∫ (ñ O + ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò ) Çs = d

= =

9.12 Line Integral = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= c(ñ I ó I ò ) I= c(ñ I ó ) I= Ñ (ñ ) = pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ì(ñ I ó I ò ) = `ìêîÉëW=`I= `N I= ` O = iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI= α I= β = m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë= mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ = r sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) = r mçëáíáçå=îÉÅíçêW= ê (ë ) = r r r r råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â I= τ = ^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p= iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i= j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã= aÉåëáíóW= ρ(ñ I ó I ò ) I= ρ(ñ I ó ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fò = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= tçêâW=t= r j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW= _ = `ìêêÉåíW=f= bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW= ε = j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW= ψ =

275

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= r r iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I= M ≤ ë ≤ p I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K== qÜÉå== p r ∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I== M

`

`

ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK== = 1118. ∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë = `N ∪ ` O

`N

`O

=

=

= Figure 203.

= r r 1119. fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó= ê = ê (í ) I= α ≤ í ≤ β I=íÜÉå== β

∫ c(ñ I ó I ò )Çë = ∫ c(ñ (í )I ó(í )I ò(í )) (ñ ′(í )) + (ó′(í )) + (ò′(í )) Çí K= O

O

O

α

`

= 1120. fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ ) I= ~ ≤ ñ ≤ Ä I=íÜÉå== Ä

∫ c(ñ I ó )Çë = ∫ c(ñ I Ñ (ñ )) N + (Ñ ′(ñ )) Çñ K== O

`

~

= 1121. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

276

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

β

O

 Çê  ∫` c(ñ I ó )Çë = ∫α c(ê Åçë θI ê ëáå θ) ê +  Çθ  Çθ I== ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=éçä~ê=ÑìåÅíáçå= êEθF K= = 1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r r iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I= M ≤ ë ≤ p K=qÜÉå== r Çê r = τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) == Çë áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK== = O

=

= Figure 204.

= r iÉí= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c (mI nI o ) = áë= ÇÉÑáåÉÇ= çîÉê= íÜÉ= ÅìêîÉ= `K= r qÜÉå=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ= c =~äçåÖ=íÜÉ=ÅìêîÉ= `=áë== p

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çë K= `

M

= =

277

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1123. mêçéÉêíáÉë=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë= r r r r c ⋅ Ç ê = − c ∫ ∫ ⋅ Çê I==

(

)

−`

(

)

`

ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK= = r r r r r r r r ∫ c ⋅ Çê = ∫ c ⋅ Çê = ∫ c ⋅ Çê + ∫ c ⋅ Çê I==

(

)

(

) (

`N ∪ ` O

`

) (

`N

)

`O

ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= `N =~åÇ= ` O K== = r 1124. fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó= ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I= α ≤ í ≤ β I=íÜÉå==

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = = `

β

Çó Çñ Çò   = ∫  m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) Çí Çí Çí Çí  α = 1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ ) I= íÜÉå== Ä ÇÑ   mÇñ nÇó + = ∫` ∫~  m(ñ I Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) Çñ Çñ K==

= 1126. dêÉÉå∞ë=qÜÉçêÉã=  ∂n ∂m  ∫∫o  ∂ñ − ∂ó ÇñÇó = ∫` mÇñ + nÇó I== r r r ïÜÉêÉ= c = m(ñ I ó ) á + n(ñ I ó ) à = áë= ~= Åçåíáåìçìë= îÉÅíçê= ÑìåÅ∂m ∂n íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë= I= =áå=~= ∂ó ∂ñ ëçãÉ= Ççã~áå= oI= ïÜáÅÜ= áë= ÄçìåÇÉÇ= Äó= ~= ÅäçëÉÇI= éáÉÅÉïáëÉ= ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K== = =

278

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`= N p = ∫∫ ÇñÇó = ∫ ñÇó − óÇñ = O` o = 1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë= r r r r qÜÉ= äáåÉ= áåíÉÖê~ä= çÑ= ~= îÉÅíçê= ÑìåÅíáçå= c = m á + n à + oâ = áë= ë~áÇ=íç=ÄÉ=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåíI=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=mI=nI=~åÇ=o=~êÉ= Åçåíáåìçìë= áå= ~= Ççã~áå= aI= ~åÇ= áÑ= íÜÉêÉ= Éñáëíë= ëçãÉ= ëÅ~ä~ê= ÑìåÅíáçå== ì = ì(ñ I ó I ò ) ==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í= r ∂ì ∂ì ∂ì = n I= c = Öê~Ç ì I=çê= = o K== = m I= ∂ò ∂ñ ∂ó qÜÉå== rr r ∫ c(ê ) ⋅ Çê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^ ) K== `

`

= 1129. qÉëí=Ñçê=~=`çåëÉêî~íáîÉ=cáÉäÇ= r ^=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=çÑ=íÜÉ=Ñçêã= c = Öê~Ç ì =áë=Å~ääÉÇ=~=ÅçåëÉêî~íáîÉ= r r r r ÑáÉäÇK=qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= c = m á + n à + oâ = áë=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåí=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== r r r á à â r ∂ ∂ ∂ r Åìêä c = = M K== ∂ñ ∂ó ∂ò m n o = fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í== ∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^ ) I== `

íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñçê=ÇÉíÉêãáåáåÖ=áÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ= Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=íÜÉ=Ñçêã== ∂m ∂n = K== ∂ó ∂ñ =

279

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ= r O O O β β Çó Çê (í ) Çí = ∫  Çñ  +   +  Çò  Çí I= i = ∫ Çë = ∫ Çí Çí   Çí   Çí  ` α α  ïÜÉêÉ=`=á~=~=éáÉÅÉïáëÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëár íáçå=îÉÅíçê= ê (í ) I= α ≤ í ≤ β K= = fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå= r O O β β Çê  Çñ   Çó  (í ) Çí = ∫   +   Çí K== i = ∫ Çë = ∫ Çí Çí   Çí  ` α α  = fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ ) =áå=íÜÉ=ñóéä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä) I=íÜÉå== Ä

i=∫ ~

O

 Çó  N +   Çñ K==  Çñ 

= 1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= β

O

 Çê  i = ∫   + ê O Çθ I== Çθ  α  ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ê = ê(θ) I= α ≤ θ ≤ β =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK=== = 1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ= ã = ∫ ρ(ñ I ó I ò )Çë I== `

ïÜÉêÉ= ρ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK= = fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå r ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I==íÜÉå==íÜÉ==ã~ëë==Å~å==ÄÉ==ÅçãéìíÉÇ=Äó= íÜÉ=Ñçêãìä~=

280

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

β

O

O

O

 Çñ   Çó   Çò  ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))   +   +   Çí K==  Çí   Çí   Çí  α = fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=ïáêÉ=áë=ÖáîÉå= Äó== ã = ∫ ρ(ñ I ó )Çë I= `

çê= β

ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í )) α

O

O

 Çñ   Çó    +   Çí =Eáå=é~ê~ãÉíêáÅ=ÑçêãFK=  Çí   Çí 

= 1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ= j óò j ñó j ñ= I= ó = ñò I= ò = I= ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ∫ ñρ(ñ I ó I ò )Çë I== `

j ñò = ∫ óρ(ñ I ó I ò )Çë I== `

j ñó = ∫ òρ(ñ I ó I ò )Çë K= `

= 1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~= qÜÉ=ãçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= ~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë= f ñ = ∫ (ó O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I== `

f ó = ∫ (ñ O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I== `

f ò = ∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó I ò )Çë K== `

=

281

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1135. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ= N p = ∫ ñÇó = − ∫ óÇñ = ∫ ñÇó − óÇñ K== O` ` ` =

=

= Figure 205.

= fÑ=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã= r ê (í ) = ñ (í )I ó (í ) I=íÜÉå=íÜÉ=~êÉ~=Å~å=ÄÉ=Å~äÅìä~íÉÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~= β β β Çó Çó Çñ N  Çñ  p = ∫ ñ (í ) Çí = − ∫ ó (í ) Çí = ∫  ñ (í ) − ó (í ) Çí K== Çí Çí O α Çí Çí  α α = 1136. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ= ~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë= π s = − π ∫ ó OÇñ = −Oπ ∫ ñóÇó = − ∫ OñóÇó + ó OÇñ == O` ` ` =

282

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=

= Figure 206.

= 1137. tçêâ= r tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ= c =çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ= `=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä= r r t = ∫ c ⋅ Ç ê I= `

r r ïÜÉêÉ= c =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑçêÅÉ=ÑáÉäÇ=~ÅíáåÖ=çå=íÜÉ=çÄàÉÅíI= Ç ê =áë= íÜÉ=ìåáí=í~åÖÉåí=îÉÅíçêK==

=

= Figure 207.

283

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=áë=ãçîÉÇ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=`=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉI=íÜÉå= r r t = ∫ c ⋅ Ç ê = ∫ mÇñ + nÇó I== `

`

= fÑ= ~= é~íÜ= `= áë= ëéÉÅáÑáÉÇ= Äó= ~= é~ê~ãÉíÉê= í= Eí= çÑíÉå= ãÉ~åë= íáãÉFI=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=Å~äÅìä~íáåÖ=ïçêâ=ÄÉÅçãÉë= β

Çñ Çó Çò   t = ∫ m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))  ÇíI Çí Çí Çí  α

ïÜÉêÉ=í=ÖçÉë=Ñêçã= α =íç= β K== = r fÑ= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c = áë= ÅçåëÉêî~íáîÉ= ~åÇ= ì(ñ I ó I ò ) = áë= ~= ëÅ~ä~ê= éçíÉåíá~ä= çÑ= íÜÉ= ÑáÉäÇI= íÜÉå= íÜÉ= ïçêâ= çå= ~å= çÄàÉÅí= ãçîáåÖ= Ñêçã=^=íç=_=Å~å=ÄÉ=ÑçìåÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~= t = ì(_ ) − ì(^ ) K== = 1138. ^ãéÉêÉ∞ë=i~ï= r r _ ∫ ⋅ Çê = µMf K== `

r qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ã~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇ= _ =~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=é~íÜ= `= áë= Éèì~ä= íç= íÜÉ= íçí~ä= ÅìêêÉåí= f= ÑäçïáåÖ= íÜêçìÖÜ= íÜÉ= ~êÉ~= ÄçìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=é~íÜK== =

Figure 208.

284

=

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1139. c~ê~Ç~ó∞ë=i~ï= r r Çψ = ε = ∫ b ⋅ Çê = − Çí ` = qÜÉ= ÉäÉÅíêçãçíáîÉ= ÑçêÅÉ= EÉãÑF= ε = áåÇìÅÉÇ= ~êçìåÇ= ~= ÅäçëÉÇ= äççé=`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~åÖÉ=çÑ=ã~ÖåÉíáÅ=Ñäìñ= ψ = é~ëëáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=äççéK=== =

=

= Figure 209.

= = =

9.13 Surface Integral = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= ò (ñ I ó ) = r r mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê (ìI î ) I= ê (ñ I ó I ò ) = r r r råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â = pìêÑ~ÅÉW=p= r sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) = r r aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî c = ∇ ⋅ c =

285

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r `ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Åìêä c = ∇ × c == r sÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW= Çp = r kçêã~ä=íç=ëìêÑ~ÅÉW= å = pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^= j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã= aÉåëáíóW= µ(ñ I ó I ò ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= r cçêÅÉW= c = dê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíW=d= rr cäìáÇ=îÉäçÅáíóW= î (ê ) = cäìáÇ=ÇÉåëáíóW= ρ = r mêÉëëìêÉW= é(ê ) = j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW= Φ = pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñ I ó ) = r j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW= b = = = 1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= iÉí=~=ëìêÑ~ÅÉ=p=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I== ïÜÉêÉ= (ìI î ) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìI î ) = çÑ= íÜÉ= ìîéä~åÉK= qÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==áåíÉÖê~ä==çÑ==~==ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå== Ñ (ñ I ó I ò ) =çîÉê= íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë== r r ∂ê ∂ê ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Ñ ñ I ó I ò Çp Ñ ñ ì I î I ó ì I î I ò ì I î ÇìÇî I== = × ∫∫p ∫∫ ì î ∂ ∂ a(ì I î ) r r ∂ê ∂ê ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ= =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ∂ì ∂î

286

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r r ∂ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â I== ∂ì ∂ì ∂ì ∂ì r r r ∂ó r ∂ò ∂ ê ∂ñ = (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â = ∂î ∂î ∂î ∂î r r ∂ê ∂ê ~åÇ= × =áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK== ∂ì ∂î = 1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñ I ó ) =ïÜÉêÉ= ò (ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå=íÜÉ=Ççã~áå= a(ñ I ó ) I= íÜÉå==

∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çp = (∫∫ ) Ñ (ñ I ó I ò(ñ I ó )) p

a ñ Ió

O

 ∂ò   ∂ò  N +   +   ÇñÇó K==  ∂ñ   ∂ó  O

= r 1142. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= c =çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p= • fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=çìíï~êÇI=íÜÉå== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp = p

======

p

r r r  ∂ê ∂ê  = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K==  ∂ì ∂î  a( ì I î )

= fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=áåï~êÇI=íÜÉå== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp = •

p

====== =

p

r r r  ∂ê ∂ê  = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K==  ∂î ∂ì  a( ì I î )

r r Çp = åÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí= ãÉ~åë= = íÜÉ= = ëÅ~ä~ê= = éêçÇìÅí= = çÑ= = íÜÉ= = ~ééêçéêá~íÉ= = îÉÅíçêëK= r r ∂ê ∂ê qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ== =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ∂ì ∂î

287

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r r ∂ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â I== ∂ì ∂ì ∂ì ∂ì r r r ∂ó r ∂ò ∂ ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â K== ∂î ∂î ∂î ∂î

= 1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò (ñ I ó ) I=ïÜÉêÉ= ò (ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= a(ñ I ó ) I= íÜÉå== • fÑ= p= áë= çêáÉåíÉÇ= ìéï~êÇI= áKÉK= íÜÉ= â-íÜ= ÅçãéçåÉåí= çÑ= íÜÉ= åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=éçëáíáîÉI=íÜÉå=== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp = p

p

=

======

r  ∂ò r ∂ò r r   − ( ) c ñ I ó I ò ⋅ á− à + â ÇñÇó I== ∫∫ ∂ó  ∂ñ  a( ñ I ó )

= fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ= åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=åÉÖ~íáîÉI=íÜÉå=== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp •

p

p

r  ∂ò r ∂ò r r  = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅  á + à − â ÇñÇó K== ∂ó  ∂ñ  a( ñ I ó )

====== = 1144.

∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = r r

p

p

= ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I== p

ïÜÉêÉ= m(ñ I ó I ò ) I= n(ñ I ó I ò ) I= o(ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅçãéçåÉåíë=çÑ= r íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c K== Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ ==~êÉ=íÜÉ= ~åÖäÉë= ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=çìíÉê=ìåáí= r åçêã~ä=îÉÅíçê= å =~åÇ=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáëI=êÉëéÉÅíáîÉäóK= =

288

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1145. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= r ê (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I==íÜÉå==íÜÉ==ä~ííÉê=Ñçêãìä~=Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë==

m n o ∂ñ ∂ó ∂ò ÇìÇî I ∫∫p ∫∫ ∂ ∂ ∂ ì ì ì p a(ì Iî ) ∂ñ ∂ó ∂ò ∂î ∂î ∂î ïÜÉêÉ= (ìI î ) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìI î ) = çÑ= íÜÉ= ìîéä~åÉK= = 1146. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã= r r r c ⋅ Ç p = ∇ ⋅ c Çs I== ∫∫ ∫∫∫

( )

r r c ⋅ å Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =

(

p

)

d

ïÜÉêÉ== r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) === áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ== Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== r ∂m ∂n ∂o ∇⋅c = + + == ∂ñ ∂ó ∂ò r r áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ== c I==~äëç==ÇÉåçíÉÇ== Çáîc K==qÜÉ==ëóãÄçä= ∫∫ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ= ëìêÑ~ÅÉK== = 1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=  ∂m ∂n ∂o   ÇñÇóÇò K== + + = + + mÇóÇò nÇñÇò oÇñÇó ∫∫p ∫∫∫ ∂ ∂ ∂ ñ ó ò  d  = 1148. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã= r r r r c ⋅ Ç ê = ∇ × c ⋅ Çp I== ∫ ∫∫

(

`

)

p

289

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ïÜÉêÉ== r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) === áë==~=îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ=o==Ü~îÉ= Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== r r r á à â r ∂ ∂ ∂  ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r á +  ∇×c= = − − − â à + ∂ñ ∂ñ ∂ñ  ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó  m n o r r áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ= c I=~äëç=ÇÉåçíÉÇ= Åìêä c K== qÜÉ=ëóãÄçä== ∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê= ~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK== = 1149. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = `

 ∂o ∂n   ∂n ∂m  ∂m ∂o  ÇóÇò +  − = ∫∫  − − ÇñÇó ÇòÇñ +  ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó  p  == 1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~= ^ = ∫∫ Çp = p

= 1151. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê== r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I== íÜÉå=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë== r r ∂ê ∂ê ^ = ∫∫ × ÇìÇî I== ∂ì ∂î a( ì I î )

r ïÜÉêÉ== a(ìI î ) ==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ê (ìI î ) =áë= ÇÉÑáåÉÇK== =

290

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1152. fÑ=p=áë=ÖáîÉå=ÉñéäáÅáíäó=Äó=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ò (ñ I ó ) I==íÜÉå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë== O

 ∂ò   ∂ò  ^ = ∫∫ N +   +   ÇñÇó I==  ∂ñ   ∂ó  a( ñ I ó ) ïÜÉêÉ= a(ñ I ó ) =áë=íÜÉ=éêçàÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=çåíç=íÜÉ=ñóéä~åÉK== = 1153. j~ëë=çÑ=~=pìêÑ~ÅÉ= ã = ∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çp I== O

p

ïÜÉêÉ= µ(ñ I ó I ò ) = áë= íÜÉ= ã~ëë= éÉê= ìåáí= ~êÉ~= = EÇÉåëáíó= ÑìåÅíáçåFK= = 1154. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pÜÉää= j óò j ñó j ñ= I= ó = ñò I= ò = I== ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ∫∫ ñµ(ñ I ó I ò )Çp I== p

j ñò = ∫∫ óµ(ñ I ó I ò )Çp I== p

j ñó = ∫∫ òµ(ñ I ó I ò )Çp = p

~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí===íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I= ó = M I= ò = M I==êÉëéÉÅíáîÉäóK== µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK= = 1155. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI==óò-éä~åÉ== E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F= f ñó = ∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò )Çp I== p

f óò = ∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò )Çp I== p

291

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

f ñò = ∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò )Çp K= p

= 1156. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= f ñ = ∫∫ (ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I== p

f ó = ∫∫ (ñ O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I== p

fò = ∫∫ (ñ O + ó O )µ(ñ I ó I ò )Çp K== p

= 1157. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=pìêÑ~ÅÉ= s=

N ñÇóÇò + óÇñÇò + òÇñÇó == P ∫∫ p

= 1158. dê~îáí~íáçå~ä=cçêÅÉ= r r ê c = dã ∫∫ µ(ñ I ó I ò ) P Çp I= ê p ïÜÉêÉ=ã=áë=~=ã~ëë=~í=~=éçáåí= ñ M I ó M I ò M =çìíëáÇÉ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉI== r ê = ñ − ñ M I ó − ó M I ò − ò M I==

µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåI== ~åÇ=d=áë=Öê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíK= = 1159. mêÉëëìêÉ=cçêÅÉ= r r r c = ∫∫ é(ê )Çp I== p

r ïÜÉêÉ=íÜÉ=éêÉëëìêÉ== é(ê ) ==~Åíë==çå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==ÖáîÉå==Äó= r íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= ê K= = 1160. cäìáÇ=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF= r r r Φ = ∫∫ î (ê ) ⋅ Çp I== p

292

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r ïÜÉêÉ= î (ê ) =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=îÉäçÅáíóK= == 1161. j~ëë=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF= r r r Φ = ∫∫ ρî (ê ) ⋅ Çp I== p

r r ïÜÉêÉ= c = ρî =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇI= ρ =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=ÇÉåëáíóK= = 1162. pìêÑ~ÅÉ=`Ü~êÖÉ= n = ∫∫ σ(ñ I ó )Çp I== p

ïÜÉêÉ= σ(ñ I ó ) =áë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíóK= = 1163. d~ìëë∞=i~ï= qÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=Ñäìñ=íÜêçìÖÜ=~åó=ÅäçëÉÇ=ëìêÑ~ÅÉ=áë=éêçéçêíáçå~ä= íç=íÜÉ=ÅÜ~êÖÉ=n=ÉåÅäçëÉÇ=Äó=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= r r n Φ = ∫∫ b ⋅ Çp = I== εM p ïÜÉêÉ== Φ =áë=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñI== r b =áë=íÜÉ=ã~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇ=ëíêÉåÖíÜI= c ε M = UIUR × NM −NO =áë=éÉêãáííáîáíó=çÑ=ÑêÉÉ=ëé~ÅÉK== ã = =

293

Chapter 10

Differential Equations = = = = cìåÅíáçåë=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉW=óI=éI=èI=ìI=ÖI=ÜI=dI=eI=êI=ò== ^êÖìãÉåíë=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëFW=ñI=ó= cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó ) I= j(ñ I ó ) I= k(ñ I ó ) = Çó cáêëí=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉW= ó ′ I= ì′ I= ó& I= I=£= Çí Ç Of pÉÅçåÇ=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉëW= ó′′ I= &ó& I= O I=£= Çí O ∂ì ∂ ì m~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëW= I= O I=£= ∂í ∂ñ k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= m~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçåëW= ó N I= ó é = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=íI=`I= `N I= ` O I=éI=èI= α I= β = oççíë=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåëW= λN I= λ O = qáãÉW=í= qÉãéÉê~íìêÉW=qI=p= mçéìä~íáçå=ÑìåÅíáçåW= m(í ) == j~ëë=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ã= píáÑÑåÉëë=çÑ=~=ëéêáåÖW=â= aáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãW=ó= ^ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=^= cêÉèìÉåÅóW= ω = a~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíW= γ = mÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= δ = ^åÖìä~ê=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= θ = mÉåÇìäìã=äÉåÖíÜW=i=

294

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

^ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóW=Ö= `ìêêÉåíW=f= oÉëáëí~åÅÉW=o= fåÇìÅí~åÅÉW=i= `~é~Åáí~åÅÉW=`= = =

10.1 First Order Ordinary Differential Equations = 1164. iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= Çó + é(ñ )ó = è(ñ ) K== Çñ = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ∫ ì(ñ )è(ñ )Çñ + ` I== ó= ì (ñ ) ïÜÉêÉ== ì(ñ ) = Éñé ∫ é(ñ )Çñ K=

(

)

= 1165. pÉé~ê~ÄäÉ=bèì~íáçåë= Çó = Ñ (ñ I ó ) = Ö (ñ )Ü(ó ) = Çñ = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó= Çó ∫ Ü(ó ) = ∫ Ö(ñ )Çñ + ` I== çê= e(ó ) = d(ñ ) + ` K= = = =

295

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1166. eçãçÖÉåÉçìë=bèì~íáçåë=

Çó = Ñ (ñ I ó ) = áë= ÜçãçÖÉåÉçìëI= áÑ= Çñ íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ I ó ) =áë=ÜçãçÖÉåÉçìëI=íÜ~í=áë== Ñ (íñ I íó ) = Ñ (ñ I ó ) K== = ó qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = =EíÜÉå= ó = òñ F=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=ëÉé~ê~ÄäÉ= ñ Éèì~íáçå= Çò ñ + ò = Ñ (NI ò ) K== Çñ = 1167. _Éêåçìääá=bèì~íáçå= Çó + é(ñ )ó = è(ñ )ó å K== Çñ = qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = ó N−å =äÉ~Çë=íç=íÜÉ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå== Çò + (N − å )é(ñ ) ò = (N − å )è(ñ ) K== Çñ = 1168. oáÅÅ~íá=bèì~íáçå= Çó = é(ñ ) + è(ñ ) ó + ê(ñ ) ó O = Çñ = fÑ=~=é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= ó N =áë=âåçïåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Å~å=ÄÉ=çÄí~áåÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÜÉäé=çÑ=ëìÄëíáíìíáçå= N ò= I=ïÜáÅÜ=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=Ñáêëí=çêÇÉê=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå== ó − óN Çò = −[è(ñ ) + Oó Nê(ñ )] ò − ê(ñ ) K== Çñ = = = qÜÉ= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçå=

296

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1169. bñ~Åí=~åÇ=kçåÉñ~Åí=bèì~íáçåë= qÜÉ=Éèì~íáçå== j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = M == áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí=áÑ== ∂j ∂k = I== ∂ó ∂ñ ~åÇ=åçåÉñ~Åí=çíÜÉêïáëÉK= = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ∫ j(ñ I ó )Çñ + ∫ k(ñ I ó )Çó = ` K==

= 1170. o~Çáç~ÅíáîÉ=aÉÅ~ó= Çó = − âó I== Çí ïÜÉêÉ= ó (í ) =áë=íÜÉ=~ãçìåí=çÑ=ê~Çáç~ÅíáîÉ=ÉäÉãÉåí=~í=íáãÉ=íI=â= áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=ÇÉÅ~óK== = qÜÉ=ëçäìíáçå=áë== ó (í ) = ó M É − âí I=ïÜÉêÉ= ó M = ó (M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=~ãçìåíK= = 1171. kÉïíçå∞ë=i~ï=çÑ=`ççäáåÖ= Çq = − â (q − p ) I== Çí ïÜÉêÉ= q(í ) =áë=íÜÉ=íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=~å=çÄàÉÅí=~í=íáãÉ=íI=p=áë=íÜÉ= íÉãéÉê~íìêÉ= çÑ= íÜÉ= ëìêêçìåÇáåÖ= ÉåîáêçåãÉåíI= â= áë= ~= éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíK== = qÜÉ=ëçäìíáçå=áë= q(í ) = p + (qM − p) É −âí I== ïÜÉêÉ= qM = q(M) = áë= íÜÉ= áåáíá~ä= íÉãéÉê~íìêÉ= çÑ= íÜÉ= çÄàÉÅí= ~í= íáãÉ= í = M K== = =

297

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1172. mçéìä~íáçå=aóå~ãáÅë=EiçÖáëíáÅ=jçÇÉäF= Çm m  = âm N −  I== Çí  j ïÜÉêÉ= m(í ) =áë=éçéìä~íáçå=~í=íáãÉ=íI=â=áë=~=éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíI= j=áë=~=äáãáíáåÖ=ëáòÉ=Ñçê=íÜÉ=éçéìä~íáçåK== = qÜÉ=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçå=áë== jmM m(í ) = I=ïÜÉêÉ= mM = m(M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=éçéìmM + (j − mM )É − âí ä~íáçå=~í=íáãÉ= í = M K=== = = =

10.2 Second Order Ordinary Differential Equations = 1173. eçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=`çÉÑÑáÅáÉåíë== ó′′ + éó′ + èó = M K== qÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=áë== λO + éλ + è = M K== = fÑ= λN = ~åÇ= λ O = ~êÉ= ÇáëíáåÅí= êÉ~ä= êççíë= çÑ= íÜÉ= ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ= Éèì~íáçåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = `NÉ λNñ + ` OÉ λ O ñ I=ïÜÉêÉ== `N =~åÇ= ` O =~êÉ=áåíÉÖê~íáçå=Åçåëí~åíëK== == é fÑ= λN = λ O = − I=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== O é − ñ

ó = (`N + ` O ñ )É O K== = fÑ= λN =~åÇ= λ O =~êÉ=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêëW=

298

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

λN = α + β á I= λ O = α − β á I=ïÜÉêÉ== Qè − é O é α = − I= β = I== O O íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = É αñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå β ñ ) K== = 1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí======================= `çÉÑÑáÅáÉåíë== ó′′ + éó′ + èó = Ñ (ñ ) K== = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó== ó = ó é + ó Ü I=ïÜÉêÉ== ó é =áë==~=é~êíáÅìä~ê==ëçäìíáçå=çÑ==íÜÉ=áåÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå= ~åÇ= ó Ü =áë=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=~ëëçÅá~íÉÇ=ÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå=EëÉÉ=íÜÉ=éêÉîáçìë=íçéáÅ=NNTPFK= = fÑ=íÜÉ=êáÖÜí=ëáÇÉ=Ü~ë=íÜÉ=Ñçêã== Ñ (ñ ) = É αñ (mN (ñ )Åçë β ñ + mN (ñ )ëáå βñ ) I== íÜÉå=íÜÉ==é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= ó é =áë=ÖáîÉå=Äó== ó é = ñ â É αñ (oN (ñ )Åçë βñ + o O (ñ )ëáå β ñ ) I==

ïÜÉêÉ= íÜÉ= éçäóåçãá~äë= oN (ñ ) = ~åÇ= o O (ñ ) = Ü~îÉ= íç= ÄÉ= ÑçìåÇ= Äó=ìëáåÖ=íÜÉ=ãÉíÜçÇ=çÑ=ìåÇÉíÉêãáåÉÇ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK== • fÑ= α + β á =áë=åçí=~=êççí=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåI=íÜÉå= íÜÉ=éçïÉê= â = M I= • fÑ= α + β á =áë=~=ëáãéäÉ=êççíI=íÜÉå= â = N I= • fÑ= α + β á =áë=~=ÇçìÄäÉ=êççíI=íÜÉå= â = O K== = 1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ó=jáëëáåÖ= ó′′ = Ñ (ñ I ó′) K== pÉí= ì = ó′ K=qÜÉå=íÜÉ=åÉï=Éèì~íáçå=ë~íáëÑáÉÇ=Äó=î=áë== ì′ = Ñ (ñ I ì ) I== ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK=

299

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ñ=jáëëáåÖ= ó′′ = Ñ (ó I ó′) K== pÉí= ì = ó′ K=páåÅÉ== Çì Çì Çó Çì ó′′ = = = ì I== Çñ Çó Çñ Çó ïÉ=Ü~îÉ= Çì ì = Ñ (ó I ì ) I== Çó ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK== = 1177. cêÉÉ=råÇ~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë= qÜÉ=ãçíáçå=çÑ=~=j~ëë=çå=~=péêáåÖ=áë=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå== ã&ó& + âó = M I== ïÜÉêÉ== ã=áë=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI= â=áë=íÜÉ=ëíáÑÑåÉëë=çÑ=íÜÉ=ëéêáåÖI= ó=áë=Çáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãK= = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = ^ Åçë(ωM í − δ ) I== ïÜÉêÉ== ^=áë=íÜÉ=~ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíI= Oπ I= ωM =áë=íÜÉ=ÑìåÇ~ãÉåí~ä=ÑêÉèìÉåÅóI=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q = ωM δ =áë=éÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíK= qÜáë=áë=~å=Éñ~ãéäÉ=çÑ=ëáãéäÉ=Ü~êãçåáÅ=ãçíáçåK== = 1178. cêÉÉ=a~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë= ã&ó& + γó& + âó = M I=ïÜÉêÉ== γ =áë=íÜÉ=Ç~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíK== qÜÉêÉ=~êÉ=P=Å~ëÉë=Ñçê=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçåW= =

300

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

`~ëÉ=NK γ O > Qâã =EçîÉêÇ~ãéÉÇF= ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I== ïÜÉêÉ== λN =

− γ − γ O − Q âã − γ + γ O − Q âã I= λ O = K== Oã Oã

= `~ëÉ=OK= γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó=Ç~ãéÉÇF= ó (í ) = (^ + _í )É λí I== ïÜÉêÉ== γ λ=− K= Oã = `~ëÉ=PK= γ O < Qâã =EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF== ó (í ) = É

γ í Oã

^ Åçë(ωí − δ ) I=ïÜÉêÉ==

ω = Qâã − γ O K== = 1179. páãéäÉ=mÉåÇìäìã= Ç Oθ Ö + θ = M I= Çí O i ïÜÉêÉ= θ = áë= íÜÉ= ~åÖìä~ê= Çáëéä~ÅÉãÉåíI= i= áë= íÜÉ= éÉåÇìäìã= äÉåÖíÜI=Ö=áë=íÜÉ=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóK= = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Ñçê=ëã~ää=~åÖäÉë= θ =áë== Ö i θ(í ) = θã~ñ ëáå í I=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q = Oπ K== i Ö = 1180. oi`=`áêÅìáí= Ç Of Çf N i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I= Çí Çí `

301

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

ïÜÉêÉ=f=áë=íÜÉ=ÅìêêÉåí=áå=~å=oi`=ÅáêÅìáí=ïáíÜ=~å=~Å=îçäí~ÖÉ= ëçìêÅÉ= s(í ) = b M ëáå(ωí ) K=== = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I= ïÜÉêÉ== Qi − o ± oO − ` I== ê NI O = Oi ωb M ^= I== O N  O  O O  iω −  + o ω `   N   iω ϕ = ~êÅí~å −  I==  o o`ω  `N I= ` O =~êÉ=Åçåëí~åíë=ÇÉéÉåÇáåÖ=çå=áåáíá~ä=ÅçåÇáíáçåëK= = = =

10.3. Some Partial Differential Equations = 1181. qÜÉ=i~éä~ÅÉ=bèì~íáçå= ∂ Oì ∂ Oì + = M= ∂ñ O ∂ó O ~ééäáÉë=íç=éçíÉåíá~ä=ÉåÉêÖó=ÑìåÅíáçå= ì(ñ I ó ) ==Ñçê==~==ÅçåëÉêî~íáîÉ= ÑçêÅÉ= ÑáÉäÇ= áå= íÜÉ= ñó-éä~åÉK= m~êíá~ä= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=ÉääáéíáÅK== = 1182. qÜÉ=eÉ~í=bèì~íáçå= ∂ O ì ∂ O ì ∂ì + = = ∂ñ O ∂ó O ∂í

302

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

~ééäáÉë= íç= íÜÉ= íÉãéÉê~íìêÉ= ÇáëíêáÄìíáçå= ì(ñ I ó ) = áå= íÜÉ= ñóéä~åÉ=ïÜÉå=ÜÉ~í=áë=~ääçïÉÇ=íç=Ñäçï=Ñêçã=ï~êã=~êÉ~ë=íç=Åççä= çåÉëK=qÜÉ=Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=é~ê~ÄçäáÅK== = 1183. qÜÉ=t~îÉ=bèì~íáçå= ∂ Oì ∂ Oì ∂ Oì + = = ∂ñ O ∂ó O ∂í O ~ééäáÉë=íç=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåí= ì(ñ I ó ) =çÑ=îáÄê~íáåÖ=ãÉãÄê~åÉë= ~åÇ= çíÜÉê= ï~îÉ= ÑìåÅíáçåëK= qÜÉ= Éèì~íáçåë= çÑ= íÜáë= íóéÉ= ~êÉ= Å~ääÉÇ=ÜóéÉêÄçäáÅK== = =

303

Chapter 11

Series = = = =

11.1 Arithmetic Series = fåáíá~ä=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~ å = aáÑÑÉêÉåÅÉ=ÄÉíïÉÉå=ëìÅÅÉëëáîÉ=íÉêãëW=Ç= kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på = = = 1184. ~ å = ~ å −N + Ç = ~ å −O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç = = 1185. ~N + ~ å = ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å +N−á = = ~ +~ 1186. ~ á = á −N á +N = O = ~ +~ O~ + (å − N)Ç 1187. på = N å ⋅ å = N ⋅å= O O = = = = =

304

CHAPTER 11. SERIES

11.2 Geometric Series = fåáíá~ä=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~ å = `çããçå=ê~íáçW=è= kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på = pìã=íç=áåÑáåáíóW=p= = = 1188. ~ å = è~ å −N = ~Nè å −N = = 1189. ~N ⋅ ~ å = ~ O ⋅ ~ å −N = K = ~ á ⋅ ~ å +N−á = = 1190. ~ á = ~ á −N ⋅ ~ á +N = = ~ å è − ~N ~N (è å − N) 1191. på = = = è −N è −N = ~ 1192. p = äáã på = N = å →∞ N− è cçê= è < N I=íÜÉ=ëìã=p=ÅçåîÉêÖÉë=~ë= å → ∞ K= = = =

11.3 Some Finite Series = kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= = =

305

CHAPTER 11. SERIES

1193. N + O + P + K + å =

å(å + N) = O

=

1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N) = = 1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O = = 1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) =

= 1197. NO + OO + PO + K + å O =

å(Oâ + å − N) = O

å(å + N)(Oå + N) = S

=

 å(å + N)  1198. NP + OP + PP + K + åP =  =  O  = å(Qå O − N) O O O O 1199. N + P + R + K + (Oå − N) = = P = P 1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N) = å O (Oå O − N) = = N N N N 1201. N + + + + K + å + K = O = O Q U O = N N N N 1202. + + +K+ +K = N= N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q å(å + N) = N N N N 1203. N + + + + K + +K = É = (å − N)> N> O> P> = = = O

306

CHAPTER 11. SERIES

11.4 Infinite Series = pÉèìÉåÅÉW= {~ å }= cáêëí=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~ å = = = 1204. fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= ∞

∑~ å =N

å

= ~N + ~ O + K + ~ å + K =

= 1205. kíÜ=m~êíá~ä=pìã= å

på = ∑ ~ å = ~N + ~ O + K + ~ å = å =N

= 1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= ∞

∑~ å =N

å

= i I=áÑ= äáã på = i = å →∞

= 1207. kíÜ=qÉêã=qÉëí= ∞

fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë= ∑ ~ å áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= äáã ~ å = M K== å→∞

å =N

fÑ= äáã ~ å ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëÉêáÉë=áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å→∞

= = =

11.5 Properties of Convergent Series = ∞

å =N

å =N

`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉëW= ∑ ~ å = ^ I= ∑ Äå = _ = oÉ~ä=åìãÄÉêW=Å=

307

CHAPTER 11. SERIES

å =N

å =N

å =N

1208. ∑ (~ å + Ä å ) = ∑ ~ å + ∑ Ä å = ^ + _ =

= ∞

∑ Å~

1209.

å =N

å

= Å∑ ~ å = Å^ K== å =N

= = =

11.6 Convergence Tests = 1210. qÜÉ=`çãé~êáëçå=qÉëí= ∞

å =N ∞

å =N

iÉí= ∑ ~ å =~åÇ= ∑ Äå =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= M < ~ å ≤ Äå =Ñçê=~ää=åK== •

fÑ= ∑ Äå áë=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑ ~ å áë=~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK== å =N ∞

å =N

å =N

å =N

fÑ= ∑ ~ å áë=ÇáîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑ Äå áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=

= 1211. qÜÉ=iáãáí=`çãé~êáëçå=qÉëí= ∞

å =N

å =N

iÉí= ∑ ~ å =~åÇ= ∑ Äå =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= ~ å =~åÇ= Äå =~êÉ=éçëáíáîÉ=Ñçê=~ää=åK== ∞ ∞ ~å • fÑ= M < äáã < ∞ = íÜÉå= ∑ ~ å = ~åÇ= ∑ Äå ~êÉ= ÉáíÜÉê= ÄçíÜ= å →∞ Ä å =N å =N å ÅçåîÉêÖÉåí=çê=ÄçíÜ=ÇáîÉêÖÉåíK= ∞ ∞ ~å • fÑ= äáã = M =íÜÉå= ∑ Äå ÅçåîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑ ~ å =áë= å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK=

308

CHAPTER 11. SERIES

∞ ∞ ~å = ∞ =íÜÉå= ∑ Äå ÇáîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑ ~ å =áë= å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=

fÑ= äáã

= 1212. é-ëÉêáÉë= ∞

N =ÅçåîÉêÖÉë=Ñçê= é > N =~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=Ñçê= é å =N å M < é ≤ N K= = 1213. qÜÉ=fåíÉÖê~ä=qÉëí= iÉí= Ñ (ñ ) = ÄÉ= ~= ÑìåÅíáçå= ïÜáÅÜ= áë= ÅçåíáåìçìëI= éçëáíáîÉI= ~åÇ= ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=Ñçê=~ää= ñ ≥ N K=qÜÉ=ëÉêáÉë== é-ëÉêáÉë= ∑

∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å) + K = å =N

ÅçåîÉêÖÉë=áÑ= ∫ Ñ (ñ )Çñ ÅçåîÉêÖÉëI=~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=áÑ= N

å

∫ Ñ (ñ )Çñ → ∞ =~ë= å → ∞ K= N

= 1214. qÜÉ=o~íáç=qÉëí= ∞

iÉí= ∑ ~ å =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK= å =N

∞ ~ å +N < N =íÜÉå= ∑ ~ å áë=ÅçåîÉêÖÉåíK= å →∞ ~ å =N å

fÑ= äáã

fÑ= äáã

∞ ~ å +N > N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å →∞ ~ å =N å ∞ ~ fÑ= äáã å +N = N = íÜÉå= ∑ ~ å = ã~ó= ÅçåîÉêÖÉ= çê= ÇáîÉêÖÉ= ~åÇ= å →∞ ~ å =N å íÜÉ= ê~íáç= íÉëí= áë= áåÅçåÅäìëáîÉX= ëçãÉ= çíÜÉê= íÉëíë= ãìëí= ÄÉ= ìëÉÇK==

=

309

CHAPTER 11. SERIES

1215. qÜÉ=oççí=qÉëí= ∞

iÉí= ∑ ~ å =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK= å =N

fÑ= äáã å ~ å < N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÅçåîÉêÖÉåíK= å →∞

å =N ∞

fÑ= äáã å ~ å > N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å →∞

å =N ∞

fÑ= äáã å ~ å = N =íÜÉå= ∑ ~ å =ã~ó=ÅçåîÉêÖÉ=çê=ÇáîÉêÖÉI=Äìí= å →∞

å =N

åç=ÅçåÅäìëáçå=Å~å=ÄÉ=Çê~ïå=Ñêçã=íÜáë=íÉëíK= = = =

11.7 Alternating Series = 1216. qÜÉ=^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë=qÉëí=EiÉáÄåáò∞ë=qÜÉçêÉãF= = iÉí= {~ å }=ÄÉ=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=éçëáíáîÉ=åìãÄÉêë=ëìÅÜ=íÜ~í= ~ å+N < ~ å =Ñçê=~ää=åK= äáã ~ å = M K== å→∞

qÜÉå= íÜÉ= ~äíÉêå~íáåÖ= ëÉêáÉë=

∑ (− N) ~ å =N

å

å

= ~åÇ=

∑ (− N) å =N

å −N

~å =

ÄçíÜ=ÅçåîÉêÖÉK==== = 1217. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= ∞

^= ëÉêáÉë=

∑~ å =N

å

= áë= ~ÄëçäìíÉäó= ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= ëÉêáÉë=

∑~ å =N

å

=áë=ÅçåîÉêÖÉåíK==

310

CHAPTER 11. SERIES

fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë= ∑ ~ å áë=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå=áí=áë=Åçå-

å =N

îÉêÖÉåíK= = 1218. `çåÇáíáçå~ä=`çåîÉêÖÉåÅÉ= ∞

^= ëÉêáÉë=

∑~ å =N

å

áë= ÅçåÇáíáçå~ääó= ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= ëÉêáÉë= áë=

ÅçåîÉêÖÉåí=Äìí=áë=åçí=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK= = = =

11.8 Power Series = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI= ñ M = ∞

å =M

å =M

mçïÉê=ëÉêáÉëW= ∑ ~ å ñ å I= ∑ ~ å (ñ − ñ M ) = å

tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o= = 1219. mçïÉê=pÉêáÉë=áå=ñ= ∞

∑~ å =M

å

ñ å = ~ M + ~Nñ + ~ O ñ O + K + ~ å ñ å + K =

= 1220. mçïÉê=pÉêáÉë=áå= (ñ − ñ M ) = ∞

∑ ~ (ñ − ñ ) å =M

å

å

M

= ~ M + ~ N (ñ − ñ M ) + ~ O ( ñ − ñ M ) + K + ~ å (ñ − ñ M ) + K O

= 1221. fåíÉêî~ä=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=== qÜÉ=ëÉí=çÑ=íÜçëÉ=î~äìÉë=çÑ=ñ=Ñçê=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ∞

Ñ (ñ ) = ∑ ~ å (ñ − ñ M ) =áë=ÅçåîÉêÖÉåí=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ==áåíÉêî~ä=çÑ= å

å =M

ÅçåîÉêÖÉåÅÉK=

311

å

CHAPTER 11. SERIES

1222. o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= fÑ=íÜÉ=áåíÉêî~ä=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉ=áë== (ñ M − oI ñ M + o ) ==Ñçê==ëçãÉ= o ≥ M I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉK==fí=áë=ÖáîÉå= ~ë= ~ N =çê= o = äáã å K== o = äáã å →∞ å ~ å →∞ ~ å +N å = = =

11.9 Differentiation and Integration of Power Series = `çåíáåìçìë=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) = ∞

mçïÉê=ëÉêáÉëW= ∑ ~ å ñ å = å =M

tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o= = = 1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë= ∞

iÉí= Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K =Ñçê= ñ < o K== å =M

qÜÉåI= = Ñçê= ñ < o I= Ñ (ñ ) = áë= ÅçåíáåìçìëI= íÜÉ= ÇÉêáî~íáîÉ= Ñ ′(ñ ) = Éñáëíë=~åÇ= Ç Ç Ç Ñ ′(ñ ) = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K = Çñ Çñ Çñ ∞

= ~N + O~ O ñ + P~ P ñ O + K = ∑ å~ å ñ å −N K= å =N

= = =

312

CHAPTER 11. SERIES

1224. fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë= ∞

iÉí= Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K =Ñçê= ñ < o K== å =M

qÜÉåI==Ñçê= ñ < o I=íÜÉ=áåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä= ∫ Ñ (ñ )Çñ Éñáëíë=~åÇ==

∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ ~ Çñ + ∫ ~ ñÇñ + ∫ ~ ñ Çñ + K = O

M

= ~ M ñ + ~N

N

O

∞ ñO ñP ñ å +N + ~O + K = ∑ ~å + ` K= O P å +N å =M

= = =

11.10 Taylor and Maclaurin Series = tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) = oÉã~áåÇÉê=íÉêãW= o å = = = 1225. q~óäçê=pÉêáÉë= ∞ (ñ − ~ )å = Ñ (~ ) + Ñ ′(~ )(ñ − ~ ) + Ñ ′′(~ )(ñ − ~ )O + K Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (~ ) å> O> å=M ==

+

Ñ (å ) (~ )(ñ − ~ ) + o å K== å> å

= 1226. qÜÉ=oÉã~áåÇÉê=^ÑíÉê=åHN=qÉêãë=áë=ÖáîÉå=Äó== å +N Ñ (å +N) (ξ )(ñ − ~ ) I=== ~ < ξ < ñ K= oå = (å + N)> = 1227. j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë=

313

CHAPTER 11. SERIES

Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (M ) å =M

ñå Ñ ′′(M)ñ O Ñ (å ) (M )ñ å = Ñ (M) + Ñ ′(M)ñ + +K+ + oå å> O> å>

= = = =

11.11 Power Series Expansions for Some Functions = tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ= = = ñO ñP ñå 1228. É ñ = N + ñ + + +K+ + K= O> P> å> = O P (ñ äå ~ )å + K = ñ äå ~ (ñ äå ~ ) (ñ äå ~ ) 1229. ~ ñ = N + + + +K+ N> O> P> å> = å ( ñ O ñP ñ Q − N) ñ å+N 1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − + K + ± K I= − N < ñ ≤ N K= O P Q å +N =   ñP ñR ñT N+ ñ = O ñ + + + + K I= ñ < N K= 1231. äå N− ñ P R T   =  ñ − N N  ñ − N P N  ñ − N  R  1232. äå ñ = O +   K I= ñ > M K=  +   ñ + N P  ñ + N  R  ñ + N   = (− N)å ñ Oå ± K = ñO ñQ ñS 1233. Åçë ñ = N − + − + K + (Oå )> O> Q> S> =

314

CHAPTER 11. SERIES

(− N) ñ Oå+N ± K = ñP ñR ñT 1234. ëáå ñ = ñ − + − + K + (Oå + N)> P> R> T> = ñ P Oñ R NT ñ T SOñ V π 1235. í~å ñ = ñ + + + + + K I= ñ < K= O P NR PNR OUPR =  N  ñ ñ P Oñ R Oñ T 1236. Åçí ñ = −  + + + + K I= ñ < π K= ñ  P QR VQR QTOR  = ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N 1237. ~êÅëáå ñ = ñ + + +K+ + K I= O⋅P O⋅ Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N) ñ < N K= =  π  ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N + +K+ + KI 1238. ~êÅÅçë ñ = −  ñ + O  O⋅P O⋅Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)  å

ñ < N K= = 1239. ~êÅí~å ñ = ñ −

(− N) ñ Oå+N ± K I= ñ ≤ N K= ñP ñR ñT + − +K+ P R T Oå + N å

= 1240. ÅçëÜ ñ = N +

ñO ñQ ñS ñ Oå + + +K+ + K= (Oå )> O> Q> S>

= 1241. ëáåÜ ñ = ñ +

ñP ñR ñT ñ O å +N + + +K+ + K= (Oå + N)> P> R> T>

= = = = =

315

CHAPTER 11. SERIES

11.12 Binomial Series = tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã= oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ= `çãÄáå~íáçåëW= å ` ã = = = å 1242. (N + ñ ) = N + å`Nñ + å` O ñ O + K + ã ` å ñ ã + K + ñ å = = å(å − N)K[å − (ã − N)] 1243. å ` ã = I= ñ < N K= ã> = N 1244. = N − ñ + ñ O − ñ P + K I= ñ < N K= N+ ñ = N 1245. = N + ñ + ñ O + ñ P + K I= ñ < N K= N− ñ = ñ ñ O N ⋅ Pñ P N ⋅ P ⋅ Rñ Q 1246. N + ñ = N + − + − + K I= ñ ≤ N K= O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U = ñ N ⋅ Oñ O N ⋅ O ⋅ Rñ P N ⋅ O ⋅ R ⋅ Uñ Q 1247. P N + ñ = N + − + − + K I= ñ ≤ N K= P P⋅S P⋅S⋅V P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO = = =

11.13 Fourier Series = fåíÉÖê~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) = cçìêáÉê=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW= ~ M I= ~ å I= Äå = tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å==

316

CHAPTER 11. SERIES

~ 1248. Ñ (ñ ) = M + ∑ (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ ) = O

å =N

= π

N 1249. ~ å = ∫ Ñ (ñ )Åçë åñ Çñ == π −π = π N Ä = Ñ (ñ )ëáå åñ Çñ == 1250. å π −∫π = =

317

Chapter 12

Probability = = = =

12.1 Permutations and Combinations = mÉêãìí~íáçåëW= å mã = `çãÄáå~íáçåëW= å ` ã = tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã= = = 1251. c~Åíçêá~ä= å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å = M> = N = = 1252. å må = å> = = å> 1253. å mã = = (å − ã )> = 1254. _áåçãá~ä=`çÉÑÑáÅáÉåí= å å> å = ` ã =   =  ã  ã> (å − ã )> = 1255. å ` ã = å ` å −ã = = 1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N = =

318

CHAPTER 12. PROBABILITY

1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å = Oå = = 1258. m~ëÅ~ä∞ë=qêá~åÖäÉ= = oçï=M= = = = = = = oçï=N= = = = = = N= oçï=O= = = = = N= = oçï=P= = = = N= = P= oçï=Q= = = N= = Q= = oçï=R= = N= = R= = NM= oçï=S= N= = S= = NR= = = = =

N= = = = N= = O= = N= = P= = S= = Q= = NM= = OM= = NR=

12.2 Probability Formulas = bîÉåíëW=^I=_= mêçÄ~ÄáäáíóW=m= o~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=uI=vI=w= s~äìÉë=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò= bñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=uW= µ = ^åó=éçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêW= ε == pí~åÇ~êÇ=ÇÉîá~íáçåW= σ = s~êá~åÅÉW= σ O = aÉåëáíó=ÑìåÅíáçåëW= Ñ (ñ ) I= Ñ (í ) = = = 1259. mêçÄ~Äáäáíó=çÑ=~å=bîÉåí= ã m(^ ) = I== å ïÜÉêÉ== ã=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëI== å=áë=íÜÉ=íçí~ä=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK= =

319

= = = N= = R= =

= = = = N= = S=

= = = = = N= =

= = = = = = N=

CHAPTER 12. PROBABILITY

1260. o~åÖÉ=çÑ=mêçÄ~Äáäáíó=s~äìÉë= M ≤ m(^ ) ≤ N = = 1261. `Éêí~áå=bîÉåí= m( ^ ) = N = = 1262. fãéçëëáÄäÉ=bîÉåí= m( ^ ) = M = = 1263. `çãéäÉãÉåí= m(^ ) = N − m(^ ) = = 1264. fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë= m(^ L _ ) = m(^ ) I== m(_ L ^ ) = m(_ ) = = 1265. ^ÇÇáíáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë= m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) = = 1266. jìäíáéäáÅ~íáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë= m(^ ∩ _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ ) = = 1267. dÉåÉê~ä=^ÇÇáíáçå=oìäÉ= m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) − m(^ ∩ _ ) I== ïÜÉêÉ== ^ ∪ _ =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_I== ^ ∩ _ =áë=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_K= = 1268. `çåÇáíáçå~ä=mêçÄ~Äáäáíó= m(^ ∩ _ ) m( ^ L _ ) = = m(_ ) = 1269. m(^ ∩ _ ) = m(_ ) ⋅ m(^ L _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ L ^ ) =

320

CHAPTER 12. PROBABILITY

1270. i~ï=çÑ=qçí~ä=mêçÄ~Äáäáíó= ã

m(^ ) = ∑ m(_ á )m(^ L _ á ) I== á =N

ïÜÉêÉ= _ á =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíëK== = 1271. _~óÉë∞=qÜÉçêÉã= m(^ L _ ) ⋅ m(_ ) m(_ L ^ ) = = m(^ ) = 1272. _~óÉë∞=cçêãìä~= m(_ ) ⋅ m(^ L _ á ) m(_ á L ^ ) = ã á I== ∑ m(_ á ) ⋅ m(^ L _ á ) â =N

ïÜÉêÉ== _ á =áë=~=ëÉí=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíë=EÜóéçíÜÉëÉëFI= ^ =áë=íÜÉ=Ñáå~ä=ÉîÉåíI== m(_ á ) =~êÉ=íÜÉ=éêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëI= m(_ á L ^ ) =~êÉ=íÜÉ=éçëíÉêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëK= = 1273. i~ï=çÑ=i~êÖÉ=kìãÄÉêë= p  m å − µ ≥ ε  → M =~ë= å → ∞ I==  å  p  m å − µ < ε  → N =~ë= å → ∞ I==  å  ïÜÉêÉ== på =áë=íÜÉ=ëìã=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëI= å =áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK= = 1274. `ÜÉÄóëÜÉî=fåÉèì~äáíó= s(u ) m( u − µ ≥ ε ) ≤ O I== ε ïÜÉêÉ= s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uK=

321

CHAPTER 12. PROBABILITY

1275. kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= ( ñ −µ ) O

− N O ϕ(ñ ) = É Oσ I== σ Oπ ïÜÉêÉ=ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉK= = 1276. pí~åÇ~êÇ=kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= O

N − òO É = ϕ(ò ) = Oπ ^îÉê~ÖÉ=î~äìÉ= µ = M I=ÇÉîá~íáçå= σ = N K= =

=

=====

= Figure 210.

= 1277. pí~åÇ~êÇ=w=s~äìÉ= u−µ w= = σ = 1278. `ìãìä~íáîÉ=kçêã~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå= ñ

− N c(ñ ) = É ∫ σ Oπ −∞

( í −µ ) O OσO

Çí I==

322

CHAPTER 12. PROBABILITY

ïÜÉêÉ== ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI== í =áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK= =  α −µ β−µ 1279. m(α < u < β ) = c  I=  − c  σ   σ  ïÜÉêÉ= u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI= c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåI== m(α < u < β ) =áë=áåíÉêî~ä=éêçÄ~ÄáäáíóK= = ε 1280. m( u − µ < ε ) = Oc  I== σ ïÜÉêÉ== u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI= c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåK= = 1281. `ìãìä~íáîÉ=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå= ñ

c(ñ ) = m(u < ñ ) = ∫ Ñ (í )Çí I== −∞

ïÜÉêÉ=í=áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK= = 1282. _Éêåçìääá=qêá~äë=mêçÅÉëë= µ = åé = I= σ O = åéè I== ïÜÉêÉ== å =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ÉñéÉêáãÉåíëI== é =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëë=çÑ=É~ÅÜ=ÉñéÉêáãÉåíëI= è =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K= = 1283. _áåçãá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=======  å Ä(åI éI è ) =   é â è å − â I== â

323

CHAPTER 12. PROBABILITY

µ = åé I= σ O = åéè I=

Ñ (ñ ) = (è + éÉ ñ ) I== ïÜÉêÉ== å=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=íêá~äë=çÑ=ëÉäÉÅíáçåëI= é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëëI= è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K= = 1284. dÉçãÉíêáÅ=aáëíêáÄìíáçå= m(q = à) = è à−Né I== N è µ = I= σ O = O I== é é ïÜÉêÉ== q=áë=íÜÉ=Ñáêëí=ëìÅÅÉëëÑìä=ÉîÉåí=áë=íÜÉ=ëÉêáÉëI= à=áë=íÜÉ=ÉîÉåí=åìãÄÉêI= é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=íÜ~í=~åó=çåÉ=ÉîÉåí=áë=ëìÅÅÉëëÑìäI== è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K= = 1285. mçáëëçå=aáëíêáÄìíáçå= λâ −λ m(u = â ) ≈ É I= λ = åé I== â> O µ = λ I= σ = λ I== ïÜÉêÉ== λ =áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=çÅÅìêêÉåÅÉI= â=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëK= = 1286. aÉåëáíó=cìåÅíáçå== å

Ä

m(~ ≤ u ≤ Ä) = ∫ Ñ (ñ )Çñ == ~

= 1287. `çåíáåìçìë=råáÑçêã=aÉåëáíó= ~+Ä N I== I= µ = Ñ= Ä−~ O

324

CHAPTER 12. PROBABILITY

ïÜÉêÉ=Ñ=áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK= = 1288. bñéçåÉåíá~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= Ñ (í ) = λÉ −λí I= µ = λ I= σ O = λO = ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI= λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK= = 1289. bñéçåÉåíá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå= c(í ) = N − É −λí I== ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI= λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK= = 1290. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë= å

µ = b(u ) = ∑ ñ á éá I== á =N

ïÜÉêÉ= ñ á =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI= é á =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK= = 1291. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë= ∞

µ = b(u ) = ∫ ñÑ (ñ )Çñ == −∞

= 1292. mêçéÉêíáÉë=çÑ=bñéÉÅí~íáçåë= b(u + v ) = b(u ) + b(v ) I== b(u − v ) = b(u ) − b(v ) I= b(Åu ) = Åb(u ) I== b(uv ) = b(u ) ⋅ b(v ) I== ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1293. b(u O ) = s(u ) + µ O I== ïÜÉêÉ== µ = b(u ) =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉI=== s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉK= = = =

325

CHAPTER 12. PROBABILITY

1294. j~êâçî=fåÉèì~äáíó= b(u ) m(u > â ) ≤ I== â ïÜÉêÉ=â=áë=ëçãÉ=Åçåëí~åíK= = 1295. s~êá~åÅÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=

[

]

å

σ O = s(u ) = b (u − µ ) = ∑ (ñ á − µ ) éá I== O

O

á =N

ïÜÉêÉ== ñ á =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI= é á =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK= = 1296. s~êá~åÅÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=

[

] ∫ (ñ − µ) Ñ (ñ )Çñ ==

σ = s(u ) = b (u − µ ) = O

O

O

−∞

= 1297. mêçéÉêíáÉë=çÑ=s~êá~åÅÉ= s(u + v ) = s(u ) + s(v ) I== s(u − v ) = s(u ) + s(v ) I= s(u + Å ) = s(u ) I= s(Åu ) = Å O s(u ) I= ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1298. pí~åÇ~êÇ=aÉîá~íáçå=

[

]

a(u ) = s(u ) = b (u − µ ) = = 1299. `çî~êá~åÅÉ= Åçî (uI v ) = b[(u − µ(u ))(v − µ(v ))] = b(uv ) − µ(u )µ(v ) I== ïÜÉêÉ== u =áë=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI== s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI== µ =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=u=çê=vK= O

326

CHAPTER 12. PROBABILITY

= 1300. `çêêÉä~íáçå= Åçî (uI v ) I== ρ(uI v ) = s(u )s(v ) ïÜÉêÉ== s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI== s(v ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=vK= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

327

= iççâ=Ñçê=çíÜÉê=Ü~åÇÄççâë=~åÇ=ëçäîÉÇ=éêçÄäÉã=ÖìáÇÉë=~í= ïïïKã~íÜ-ÉÄççâëKÅçãK= = = = =

aaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa