Универсальный сборник задач для поступающих и сдающих ЕГЭ by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЦЕНТР ДОВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Р.Р.АБЗАЛИМОВ, В.Ф.ШАМШОВИЧ, А.В.СТОЛЯРОВ, Н.Ю. ФАТКУЛЛИН

Математика Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора Р.Н. Бахтизина

Универсальный задачник для поступающих в вузы

Уфа 2010

УДК 51(07) ББК 22.1я7 А 13 Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ в качестве учебного пособия

Рецензенты: Доктор физико-математических наук, профессор А.М. Ахтямов Учитель математики лицея №83 г. Уфы, Отличник просвещения РФ, Заслуженный Учитель РБ С.Ю. Байрамгулов

А 13

Абзалимов Р.Р., Шамшович В.Ф., Столяров А.В., Фаткуллин Н.Ю. Математика: учеб. пособие./Р.Р. Абзалимов, В.Ф. Шамшович, А.В. Столяров, Н.Ю. Фаткуллин – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2010. – 344 с. ISBN 978-5-7831-0856-3 Данный задачник предназначен для подготовки учащихся к ЕГЭ и к вступительным испытаниям проводимым в УГНТУ. Задачник включает уровни «А», «В», «С» и «D» всех разделов школьной математики с ответами.

УДК 51(07) ББК 22.1я7 ISBN 978-5-7831-0856-3

От авторов Задачник (состоит из нескольких частей), предлагаемый вниманию абитуриентов, не случайно назван универсальным. Благодаря своей удобной модульной структуре и четкому делению каждой темы на 4 уровня («А», «В», «С» и «D»), он может быть полезен как самым «продвинутым» старшеклассникам, интересующимся высшей математикой, так и тем, чья скромная задача – сдать ЕГЭ на «троечку». Однако авторы, подбирая и составляя задачи, надеялись на то, что постепенное продвижение от простого к сложному увлечет будущих абитуриентов, поможет им поверить в свои силы и преодолеть страх перед математикой, а, может быть, и полюбить эту прекраснейшую из наук. Задачи успешно апробированы в различных образовательных программах довузовской подготовки, организованных в Уфимском государственном нефтяном техническом университете для разных категорий абитуриентов (подготовительные курсы, университетские классы, «Вечерний лицей», «Школа выходного дня», «Рабфак», «Альтернативный репетитор» и др.). Авторы надеются, что решение предложенных задач поможет учащимся ликвидировать пробелы в своих знаниях, успешно сдать ЕГЭ и вступительный экзамен по математике (для заочной формы обучения) и с легкостью освоить в дальнейшем вузовский курс высшей математики! Ни пуха, ни пера! Будем очень признательны, если Вы все замечания и предложения напишите нам по электронной почте: Аbzalimovrr@mail.ru – Абзалимов Рамиль Рафикович, к.ф.-м.н., доцент кафедры математики УГНТУ. Shamshovich@mail.ru – Шамшович Валентина Федоровна, к.э.н., Почетный работник общего образования РФ, доцент кафедры математики УГНТУ. kl11b@yandex.ru – Столяров Александр Викторович, Отличник образования РБ, Победитель нацпроекта образования 2006, учитель математики гимназии №93 г. Уфы. Nick_IDPO@mail.ru – Фаткуллин Николай Юрьевич, к.э.н., доцент кафедры математики УГНТУ.

ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Арифметические действия и преобразования выражений. §1.1. Арифметические действия. §1.2. Преобразования алгебраических выражений. §1.3. Тригонометрические действия и преобразования. §1.4. Обратные тригонометрические выражения. §1.5. Логарифмические действия и преобразования.

Глава 2. Уравнения, неравенства и системы. §2.1. Рациональные уравнения и неравенства. §2.2. Уравнения и неравенства с модулем. §2.3. Иррациональные уравнения и неравенства. §2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства. §2.5. Обратные тригонометрические уравнения и неравенства. §2.6. Показательные уравнения и неравенства. §2.7. Логарифмические уравнения и неравенства. §2.8. Системы уравнений. §2.9. Совокупности и системы неравенств.

Глава 3. Функция. §3.1. Область определения функции. §3.2. Область значения функций. §3.3. Четность и нечетность функций. §3.4. Периодичность функций. §3.5. Сравнение функций. §3.6. Производная. Применение производной. §3.7. Касательная. §3.8. Монотонность функций. §3.9. Максимумы и минимумы. §3.10. Наибольшее и наименьшее значения функции. §3.11. Первообразная и неопределенный интеграл. §3.12. Функциональные уравнения и задачи. §3.13. Построение и преобразование графиков функций.

Глава 4. Векторная алгебра и геометрия. §4.1. Векторы. §4.2. Планиметрия. §4.3. Стереометрия.

Глава 5. Задачи на параметры. §5.1. Параметры в линейных уравнениях, неравенствах. §5.2. Квадратичный многочлен. §5.3. Параметры в рациональных уравнениях, неравенствах. §5.4. Задачи на параметры с модулем. §5.5. Параметры в иррациональных уравнениях, неравенствах. §5.6. Параметры в логарифмических и показательных уравнениях, неравенствах. §5.7. Параметры в тригонометрических уравнениях, неравенствах. §5.8. Системы с параметрами. §5.9. Смешанные задачи.

Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности. §6.1. Текстовые задачи. §6.2. Задачи на прогрессии и последовательности.

Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ-2010. Глава 9. Типовые варианты заданий УГНТУ. Приложение А. Основные формулы. Ответы: Глава 1. Арифметические действия и преобразования выражений. Глава 2. Уравнения, неравенства и системы. Глава 3. Функция. Глава 4. Векторная алгебра и геометрия. Глава 5. Задачи на параметры. Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности. Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ-2010. Глава 9. Типовые варианты заданий УГНТУ.

Список литературы

Глава 1. Арифметические действия и преобразования выражений §1.1. Арифметические действия Тренировочные задания Вычислите: 1. 9-14 5. -8-22 9. 7+(–5) 13. -18+(-15) 17. –20:(-5) 21. 2,76+4,897 24. -8,17+(-(-2,9)) 27. -1,79-5,4 30. 3,4∙2,05 33. 3,08∙(-1,2) 36. -2,8:(-1,2) 39. 42. 45. 48. 52. 56. 60.

5 7  3 1 5 5 1 2 4 6 3 5

2. 6. 10. 14. 18. 22. 25. 28. 31. 34.

15-90 3. -17-35 7. -52+11 11. 6-(-5) 15. -13:5 19. -2,76+1,3 2,98-1,37 -12,76-(-4,247) -3,08∙(-49) -6,2:(-0,5) 2 3 37. 4  7 5 1 1  40.    8   5 6 2   7  11  43. - 2    6  18  36 

2  2 2  3 8    4  46.  1 :    3  5 3  13  1 2 49. 1  2,3  4,5  3 7 4 2 53. 1   1,4 2 : (−0,6) 5 7  3 0,1 :    57. (–0,2)3  7 (-1)2010 61. (-1)2011

64. 3-2

1 65.   3

3

31-60 -102-13 -11+13 -12-(-3) -5∙(-11)

4. 8. 12. 16. 20. 23. 26. 29. 32. 35.

90-101 -93-29 13+(-41) 6∙(-3) -90:4 -3,124+(-6,98) 8,9-11,78 8,2-(-(-45,89)) -3,6:0,04 3,1:6 1 5 38.  3 6 5 1 41.  8 2 24 44. - 39  42 35 47.

50. 54.

1 4 2  1,75 : 3

0,79  2

58.

62. 2

1 2 3

3 66.   4

51. 55. 59.

2 1  2,3 7 1 1  0,25 3 1    0,3 4 5 2

63. 4 1

−

-1

3 67.   4

7 2

 1 68.     3

 1 69.     3

3

 1 70.     3

 1 71.     3

72.

73.

 25

74.

4 81

76.

143 2

77.

(143) 2

78.

−𝟏𝟒𝟑𝟐

4

169 2025

75.

Уровень А Вычислите: 3 3 79. 1,7  2,4

82. 85.

1 3  36    9 5 3 5 5 2 5 10 1 2



80.

1,8 2 3,6 2

83.

1 2



2 7

81.

27  64

84.

 0,64

 47 : 4 7



1 3

1 2

 0,027

Уровень В Вычислите значение выражения: 86. 89. 92.

12 30 18∙ 24 5,9−6,2 2 −0,2∙4,5 18 75  10 6∙ 45

87. 90. 93.

1 −2 ∙ −2 2 4

−2,5∙0,16 7,9−8,1 2

88.

3,17−3,08 12 30∙ 75  5 45∙ 10 30 6  5 10∙ 12

48∙ 72  6 12 15 18  10∙ 15

91. 94.

Вычислите значение выражения: 2

95.

7−4

97.

8−5 2

99.

3− 7

−

29  12 5  2 5

101. 103. 105.

−

7−5 2 7−4

96.

2 3−3

98.

2− 2

104.

21  12 3 

106.

2 3

– 4

2 3−4

−

2 − 1,5

−

2− 3

16  6 7  7  2

102.

12  6 3  3 2

3−3

100.

28 − 16 3 114 − 80 2

2 2

+2 3 +5 2

2 2

1 3

107. 109.





2  3  5 6 3 2 2

4  15    3

111.

108.



6  10  4  15

2  2 3  6 14  4 6

 3 10  1





2 1  2  9  4 2

110.

4 

112.

114.

 4,53 49 7  2,5 73 49  11    



1  2 3  6 13  4 3  3

74 3  2 3 12

113.

4 7−8∙

8 + 4 7 ∙ 36

Уровень С Вычислите: 115. −

116.

117.

118. 119. 120.

−6,1 3 −1,08 3 +5,1(6) + 0,5

 2,008  3 2,008  3  9 2,008  2,008 3     2,008  3 2,008 2,008  3 2,008  2,008  9    2,009  1 2,009  1  2,009   :  2 2,009  2 2 2,009  2  4  4  2,009    20,09  3 20,09  3  2 20,09   :  20,09  3 20,09  3  9  20,09   201,1  2 2  201,1  2  201,1  8     4  2 201,1 4  2 201,1  201,1  4    1,234 3  8  1,234 2 1,234    2 2  2,468  1,234  1,234  2 2  1,234 

9,876  3

121.

0,5

9,876

 9,876 3  27  9,876 :   9,876   2 3  9,876  3  9,876 

Уровень D 122. Вычислите 13  30 2  9  4 2  3 2 123. Вычислите

6

847 3 847  6 27 27

1 2 3 11

Докажите тождества: 124.

9  80  3 9  80  3

125.

8  2 10  2 5  8  2 10  2 5  20  4 5

126.

6m  2 9m 2  n 2  6m  2 9m 2  n 2  2 3m  n 3

127.



130.

131.



a 1 1

1  3





a  2 a 1



a 1 1



1 3

 2 a 1

10 p  2 25 p 2  q 2  10 p  2 25 p 2  q 2  2 5 p  q

128. 129.

a  2 a 1





5  2 6  5  2 6 49  20 6

 1

27  3 18  3 12  8 1 1 1 1 n    2  6 12 20 n  3n  2 2n  4

Найдите сумму

1 2!

+ 3! + ⋯ +

𝑛−1 𝑛!

§1.2. Преобразования алгебраических выражений Тренировочные задания Упростить: 1. 2 x  3x

a3  a4

a 1, 4 a 5,8

10.

13. k 3,5 

2

4x  x a7 a3

a 

5x  2 x

7 x  6 x

a 

a1, 4  a 5,8

12.

d 7 d3

2 5

11. x 3  x14

1, 4 5 , 8

14. x 3, 2  x 2,5

Разложить на множители: 17. 2 x 2  3x 19. a 3b  2a 2 21. x 2  b 2 23. 16  a 2 25. 100 x 2  b 4 27. 81x 2  64b 2 6

15.

d 7,2 d  2 ,8

18. 20. 22. 24. 26. 28.

4 x 4  8x 2 5a 2 b 3  25ab x 2  25 9  4b 2 25x 2  16 16b 4  a 2

k 

7 2 , 3

16.

29. 16 x 2  25n 4 31. x 2  4 x  4 33. 4 x 2  20ax  25a 2

30. x 2  10 x  25 32. 4a 2  12a  9 2 2 4 34. 4a  20ab  25b

Представить в виде многочлена стандартного вида: 2 2 35. a  3 36. x  4 37. 38. 3x  2

39.

41.  22 x  4

42.

44. 5xx  2

45.

47.  3x  5x  4

48.

50. 5x  42 x  3

51.

53. 3x  25x  4

54.

56. 3x  22 x  3

2a  5b 34 x  2 2 x  5x  4 1  23x  4 5x  10x  2 1  4xx  2 2

40. 43. 46. 49. 52. 55.

4a  1 4  a  2 x5x  4 5  5  4 x   3  62 x  4 44  3x   12 x 2x  45  x 2

Уровень А Упростите выражение: a 1, 4 57. a1, 4  a 5,8 58. 5,8 a

59. a 1, 4 

60. 32  x 15 

5,8



Уровень В Найдите значения выражений: 2

 61. 2 t 1, 75 : t 

3 1 4

 , åñëè t  2,8 

62. 4

1 1   13   3a   a 3   2

a3 63. 64.

k 0,5 3k 0,5  ïðè k  4 k 0,5  3 k  9

ab a b 2



a a

, если a  16, b  25 .

a 2

 x y  x y 65.        , если x  1,234; y  1,234 .  y x  y x x y x y y :  66. , если x  73; y  22 . x y y x y

, åñëè a  2

2 5

x  81 7 x  9  , если x  9 . 9 x  81 9 x  x 2  x 2  y 2  x2  y2   y    xy  5 ,если x  2009; y  2009 . 68.  x  x  y  x  y   67.

x 2 y 1  x 1 y 2  y  x    , если x  3; y  2 . x 2  y 2  2  x 2  y 2  : x 1  y 1  , если x  321; y  320 . 70. xy 69.

1   16 x 2   71.  4 x  1    3x , если x  121 .  :  4 x   4x  1   4 x  1  

 ab 1 ab  2 : 72.  2 2 2  a  ab a  b b  a 

 a  b 2 a   , если a  33; b  10 . b 2 3a  b 

 a 3  27b 3   a  3b  73.   3ab    2   3a  3b , если a  1234; b  1234 . 2  a  3b   a  9b  2

74.

1  x y  x  2y    , если x  1000; y  100 . x  y  y x  xy

a   ab b b  ab   75.  :   3a  b , если a  13; b  39 . b a  b a a b a    x 2  x  xy  y x 2  x  xy  y x  y :   1 , если x  12; y  8 . 76. 2 x  x  xy  y x 2  x  xy  y x  y

Уровень С Упростите выражения: 2 77. x 9  7 x 6  16 x 3  : x 3  x 3  4  x 3 78. 79. 80. 81.

2 a  b a ab 1  b   2  2  :   2    b   a b a b  a  ab a  b b  ab   a 2a 16a 2 b  2ab 2 b 2  6ab 2b   2  1 3 3 2 2a  b b  8a 4a  2ab  b 2b  a 2  1 1 2  1 1   a  b   2  2      :   b a  b  a b    ab  a

x

 2 xy  y 2 

x

 xy 



x x  y 

 y  x 

3 2

 x3 8

82. 83. 84. 85. 86. 87.

  x 2  4x  4 6 2 x  2     2  x  5 x  4 x  1x  2 x  2x  4  2  1 1 2 9c  1  1 1 3c   2 2   2      a  b  3c  :  2  2  b ab a b  ab  a b ab  a

1   1 1 1  a  1 1 1   2  3  : 1   2  3   a   a a a  a 1  a a 2 2 x  x 1 x  x 1 2x 3  3  4 3 2 2 x  x  x 1 x  x  x 1 x 1 x  x 2  x 3  ... x 2009 x 1  x 2  x 3  ... x 2009 x y z y xz    y  z z  x  x  y z  x  x  y  y  z  1

88. 89.

90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97.

  x2 y2 z2    1    x  y x  z   y  x  y  z  z  x z  y     x3 y3 z3      x  y x  z   y  x  y  z  z  x z  y   x4 y4 z4   x  y x  z   y  x  y  z  z  x z  y  xx  y   y  y  z   z x  z 

1

x  y  z 

 x 3 y  xy 3  y 3 z  yz 3  z 3 x  zx 3   xyz   2   2 2 2 2 2    x y  xy  y z  yz  z x  zx   x  y  z  3 6 12 24 48   3 96         1  x  3 3 6 12 24 1 x 1  x 48  1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Известно, что a   3 . Найти a 2  2 . a a 1 1 3 Известно, что a   3 . Найти a  3 . a a 1 1 Известно, что a   3 . Найти a 4  4 . a a 1 1 Известно, что a   3 . Найти a 5  5 . a a 1 1 2008 Известно, что a   2 . Найти a  2008 . a a

98. Известно, что a 

1 1  2 . Найти a 2009  2009 . a a

Уровень D Докажите тождества: 2 2 2 2 99. a  b  c   a  b  c   a  b  c    a  b  c   4a 2  b 2  c 2  100. a  b  b  c   c  a   3a  bb  c c  a  3

101. a  b  c   a 3  b 3  c 3  3a  bb  c c  a  3

102. a  b  c   a  b  c   a  b  c    a  b  c   24abc 103. Числа 𝛼 и 𝛽 удовлетворяют равенствам 𝛼 3 − 3𝛼 2 + 5𝛼 = 1, 𝛽 3 − 3𝛽 2 + 5𝛽 = 5. Найдите 𝛼 + 𝛽. 104. Найдите все значения, которое может принять выражение 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , если 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑦 = 1/3.. 3

§1.3. Преобразования тригонометрических выражений Тренировочные задания Вычислите: 1. 6.

 6  tg 4 sin

2. 7.

 2  tg 8. 6 Уровень А

 2  ctg 2

cos

sin

4. 9.

 3  ctg 6

cos

 3  10. ctg 3 5.

sin

Упростите: 11. sin 4   sin 2  cos 2   cos 2  13. sin 4   cos 4   2 sin 2  cos 2  15. cos 4   sin 4   2 sin 2  Вычислите:



 ctg



17.

20.

5tg35  ctg 35

18. 21.

3tg

12. 14. 16.

 7

 ctg



7 3 tg1,5  ctg 2 10

sin 2   sin 2  cos 2   cos 4  sin 4   cos 4   sin 2   cos 2  cos 4   sin 2  cos 2   cos 2   1

19.

tg 4,2  ctg 4,2

Упростите выражение:  3    22. cos 2      cos 2  2   24. 25.

26. 27. 28. 29. 32. 35. 36. 37.

sin 2 cos 4  sin 6  sin 4 cos 2 2   

 sin  cos  2 2  1  sin  sin 2,5 cos 1,5  sin 1,5 cos 2,5  cos4   

cos 4 cos 6  sin 4 sin 6  cos 2  2  sin 2 1  cos 2  cos  30. 31. 2 sin  1  cos 2 sin 3 cos 3 sin 9 cos 9    2 34. 33. sin 3 cos 3 sin  cos  sin 3   sin 3 cos 3   cos 3  sin  sin  1  sin 4   cos 4  sin 2 2 sin cos   cos  sin  2  cos  cos   sin sin  2

40. 41.

2 cos 2  1  cos 2 cos 6 sin 6  2 cos 2 sin 2

sin   sin    cos   cos   sin 2

39.

tg 2 270     sin 2 180   

 3  sin 3 sin 2  cos 3 cos 2  cos     2 

38.

23.

  2

tg  tg ctg      tg  tg ctg     tgtg  tg  tg ctg     3  2     2  sin 2   2    cos 2    cos 2  3     3 

Вычислите: sin 26  sin 34 42. cos 2 2  cos 2 88 sin 55 sin 9  cos 55 sin 81 44. cos 2 32  sin 2 32 sin18 cos 36  sin 72 sin 36 46. sin 9 cos 9

43. 45.

sin 2 27  sin 2 63 sin 18 cos 18 cos 48 cos 22  sin 48 cos 68 cos 2 13  sin 2 13

Упростите выражение: 47. 48. 49. 50.

 3  sin 3 sin 2  cos 3 cos 2  cos    2    sin 2 sin 4  cos 2 cos 4  sin    2  sin 4 cos 3  sin 3 cos 4  sin6   

sin 2,5 cos 1,5  sin1,5 cos 2,5  cos4   

51. sin 6   3sin 4  cos 2   3sin 2  cos 4   cos 6  Найдите значение выражения:        52. sin 2     2 cos     cos 2    при   3 4 4  2   53. 54.

      2   3 cos 2   sin    3 sin 2   cos    при   3  6 3  6 3        sin   cos    2 cos      sin    cos  при   2 2 3    

     sin  sin    2 sin     cos  cos   при   2 2 3   Найдите значение:  1 56. tg , если cos   и    0 2 5 57. sin  , если cos   0,6 и     0 3   58. cos  , если ctg   и     4 2 2 3 59. 50 sin 2 x , если cos x   и   x  0 5 2   60. 9 5 sin 2 x , если sin x   и   x  3 2 2 Найдите значение выражения: 1    tg 2tg    tg   2  при   61. 2 3 2  55.

62.

  tg  tg     4     2tg при   3   1  tgtg     4   12

Вычислите: 2   63. tg     , если tg  3 4 

64.

4   tg     , если ctg  3 2    tg , если tg     =3 4 

  tg     , если ctg  1,6 66. 4  Найдите:  5  67. sin 2t , если sin t  ,  t   68. cos 2 x , если cos x  0.8,0  x  2 13 2  5  69. ctg 2t , если sin t  ,  t   70. tg2 x , если cos x  0.8,0  x  2 13 2 3 3 5  71. cos 2t , если sin t  ,  t   72. sin 2 x , если tgx  ,   x  4 2 13 2 4 3  x  2 73. ctg2 x , если ctgx   , 3 2   74. Если sin x  0,6 è x   ;  , то значение выражения sin 2 x равно 2   3  75. Если cos x  0,8 è x    ; , то значение выражения sin 2 x равно 2   Упростите выражение: 65.

76. 77. 78.



t  2 3  t  2 1  cos 2t  1  cos 2t , если 2 1  cos 2t  1  cos 2t , если

1  cos 2t  1  cos 2t , если 0  t 

 2

Представьте в виде произведения: 1 3  cos t 79.  sin t 80. 2 2 82.

cos t  sin t

83.

sin x 

81. 1 2 cos t

3 2

Уровень В Найдите значение выражения: sin 70  sin 10 84. cos 10  cos 70 86. sin 20  sin 40  cos 10

85. 87. 13

sin 110  sin 10 sin 110  cos 10 cos 85  cos 35  cos 25

88. 89. 90.

sin 2 10  sin 2 130  sin 2 110 5 sin 2   2 cos 2  , если cos   0.1 2 sin 2   6 cos 2  , если sin   0.2

91.

3 sin 2   7 cos 2  , если cos   0.1

92.

93. 5 sin 2   1 , если cos 2   0.3 3 cos 2   1 , если sin 2   0.2   5 sin     cos    , если sin   0.5 2     4 sin     cos     , если cos   0.9 2    sin     4 cos     , если cos   0.4 2  3  2  162 cos 2  6   , если cos 3  2  3  2 18 cos 2 2 , если cos 3  4   3 5  21 sin  , если cos    ,   21 2

94. 95. 96. 97. 98. 99. 100.

19 sin  , если cos   

3 3 ,    2 19

101.

15 sin  , если cos   

11  ,   15 2

5  ,   21 2 2   103. 9 5 sin 2 , если sin    и     3 2 2 Вычислить: 19 17 25 8 sin sin 104. 2 3 sin 105. 2 6 cos 3 6 4 3 19 13      cos 106. 2 3 cos 107. 96 3 sin cos cos cos cos 3 6 48 48 24 12 6 4 2      cos cos  cos sin 108. 8 cos 109. sin cos 9 9 9 5 20 5 20 2 5 2 5     cos  sin sin 110. cos 111. sin cos  cos sin 7 7 7 7 12 4 12 4

102.

21 cos  , если sin  

112. sin

 12

cos

11  11  cos sin 12 12 12

113. cos

2  2  cos  sin sin 15 5 15 5

Найдите значение выражения: 5 3 5 3    114.  cos cos  sin sin  cos 8 8 8 8 4    2    2 115.  sin cos  cos sin  sin 5 15 5 3  15 116. cos



cos



 sin



sin



cos  cos sin 12 4 12 4 2 5 2 5 cos  sin sin 118. cos 7 7 7 7

117. sin

Вычислите: 119. 2 sin10 sin 70  cos 80 121. 8 sin10 sin 50 sin 70 123. cos 2 3  cos 2 1  cos 4 cos 2

120. 2 cos 20 cos 40  cos 20 122. cos 70  2 sin 65 sin15 124. sin 2 10  sin 2 130  sin 2 110

125. cos 2 35  cos 2 25  cos 2 5

126. cos 2 3  cos 2 1  cos 4 cos 2 tg 60  4 cos 100 128. sin 40

127. sin 2 10  cos 50 cos 70

Уровень С Упростить выражение:

  2   2   1 1  tg  ctg 2  2     130. sin 4  2 õ    sin 4 2 õ  cos 4 õ     1 2  131. 8 sin 4 õ  90 0   4 sin90 0  2 õ  cos 4 õ 129.

1  tg 2 

 2tg 2 2  sin 4  1 . 1  tg 2 2 2

132.

133. cos 2 õ  270 0   tg 90 0  õ  cos 2 õ  3

õ  õ õ  134. 2 sin  45 0     sin  cos  2  2 2  cos 2 4  3   4 cos 2 2     3 135. . cos 2 4  3   4 cos 2 2     1 2

136.

   5   cos  4   sin  2  2  2  . 137. 1  cos 2 1  cos 4 

sin 4   2 sin   cos   cos 4  tg 2  1

138. cos 4 2  6 cos 2 2 sin 2 2  sin 4 2 .

1  sin 4  cos 4 139. . 1  cos 4  sin 4

141.

140.

sin   sin 3 . cos   cos 3

142.

sin 4  sin 5  sin 6 . 144. cos 4  cos 5  cos 6 cos 3  cos 4  cos 5 . 145. 146. sin 3  sin 4  sin 5 1  cos(8  3 ) 147. . 148. tg 2  ctg 2 sin 2  sin 3  sin 4 . 149. 150. cos 2  cos 3  cos 4 cos 4  cos 2 . 151. sin 2  sin 4 Вычислить значение выражения: 152. sin 3   cos 3  , если sin   cos   n 153. sin 3   cos 3  , если sin   cos   n 154. sin 6   cos 6  , если sin   cos   n 143.

  tg 2  2    1 4  5   tg 2  2   1 4    5   5  tg   4  sin 2   4   4   4  1  2 cos 2 4 sin 3  sin 5  sin 7 . cos 3  cos 5  cos 7 sin 2  cos 2  cos 6  sin 6 sin 4  2 sin 2 2  1 sin 2  sin 2   sin    sin    sin   3 sin 2  sin 3 . cos   3 cos 2  cos 3

155. sin   cos  , если sin   cos   n . 0    1  3  156. sin   cos  , если sin 2  ,    ;  3  2

157. cos 2 , если sin   cos   n . 16

 . 2

158. ctg , если

sin    p  sin    q

159. tg , если

cos     p  cos     q

1  x  160. tg   , если sin x  cos x  161. tg  ctg , если cos     a 5 4 2  1  cos 2 162. , если sin   cos   m     ctg    tg   2 2 2 sin 2  3 cos 2 163. , если tg  3 4 sin 2  5 cos 2 cos 45 0    164. , если cos   sin   a . cos 2 sin 2 2  4 sin 2  165. , если tg  m . 4 cos 2   4 sin 4  Упростить выражение: 166. sin 3 2 cos 6  cos 3 2 sin 6 167. 3 sin  cos 3  9 sin  cos   sin 3 cos 3  3 sin 3 cos  168. 4sin 4 x  cos 4 x   4sin 6 x  cos 6 x   1 169. Преобразовать в произведение cos 22  3 cos 18  3 cos 14  cos 10 Найти наибольшее значение выражения:   15   17   4   sin 2   4 , ïðè 0    170. sin 2  8 8 8     171.

cos 2  1 ctg

 2

 tg



при 0   

 2

Найти наименьшее значение выражения: ctg 2  tg 2  172. , ïðè 0    8  5  1  sin  8   2  ctg  tg  173. при 0    cos 4  1 4

§1.4. Обратные тригонометрические выражения Уровень А Вычислите: 1.

arcsin

2 2

1  sin arcsin  4 

  1  cos  arcsin     2  

  1  sin arccos     4  

  1  cos  arcsin     5  

  3   sin arccos   2     

Вычислить в градусах:  3   3arcctg  1 arccos  9.  2   

10.

11.

 3   arcctg 3 3arctg   3   

12.

13.

1 arccos  1  2arctg 3 2

14.

15.

 1 3 arccos     arctg 3  2

16.

17.

arccos 0  3arcctg  3

 

  1  sin arcsin     2     3   cos  arccos   2     

 1    2arcctg 3 arccos   2   1 3  arcsin    2arctg1   4  2    1  2   2 arcsin    arcctg    2   3  

 1   1 1  arcsin     arctg   2 3    3

Уровень В Вычислите:   2   18. tg  arccos   2        1  20. ctg  arcsin     2   22.

 3  5  cos  arcsin    arcsin    5  13    18

19.

  3  sin 2 arcsin     5  

21.

  3  cos  2 arcsin     5  

23.

  10 arctg  tg    13

   

24. 26. 28. 30. 32. 34. 36. 38.

 4  3  sin arcsin    arccos    5    5     12   3  tg  arcsin     arcsin     13   5     3  12   tg  arccos     arccos     5  13      4  cos  arcsin     5  

  1  sin arccos     3   1  1  cos  arcsin     8  2 1  5  cos  arcsin    2  13      4   arcsin  sin     7 

40.

  11 arccos  cos    9

42.

arcsin sin 5

44. 45. 46.

25.

arctg tg5

27.

arccos sin12

29.

arcsin cos 8

31.

  1  tg  arccos     3  

33.

  3  3 tg  arccin    4 2 

35.

sinarctg  3

37.

cos arctg 2

39.

   

41. 43.

arccos cos 4

  11   arccos  cos      9    3   ctg  arcsin 1  2 arccos    2     



 

tg 2 arccos 1  2arctg  3

   2   1 tg  arcsin    arccos     arctg1  2     2     arcsin sin 2

 

48.

  1  cos  arcctg  3  arctg  3  arcsin      2   arctg ctg 7 49. arcsin cos 10

50.

arccos sin15

51.

52.

1  4  cos  arccos     5  2

53.

47.

  

1  3  sin arccos     5  2   3    tg  2  arctg     3  3     

54.

  3    tg  2  arcctg         3  3 

55.

56.

  1  tg 2  arccos      4  

57.

58.

4   3  tg    arcsin     3   5 

59.

60.

  3  5 sin  arcsin      5  2

     3  arcsin  sin    arcsin       3   2    3 3  tg 2  5  arctg    0,25 arcsin  3   2        1 log  arccos     arctg  3   2  

 

Уровень С Вычислите:   1  15  tg  arcsin    61.  4   63.

  4  7 33  sin arccos     7  

65.

    ctg  arccos  1        4     

    tg  arcsin  1        4     

2

67.

    sin arctg  1        5     

2

69.

62.

  4  4  tg  arccos     5  

64.

    tg  arcsin  1        3     

66.

    sin arctg  1        2     

    ctg  arccos  1        5     

2

68.

    ctg  arccos  1        8     

2

70.

2

§1.5. Логарифмические действия и преобразования Тренировочные задания Вычислите: 1. log 2 4

log 2 16

log 2 8

log5 25

log3 81

log 2 23

log 4 43

log 2 28

log 7 7 9

10. log 2 2 2

11. 3 log 2 23

12. 3 log 2 25

13. 3 log3 33

14. 4 log 2 23

15. 3 log5 54

16. 2 log11112

17.  4 log11112

19. 2 log17 17 3

20.  3 log11112

1 8 1 25. log3 81 22. log 4

23. log8

1 16

18. 2 log11112 1 21. log 5 5 1 24. log 9 81

Уровень А Вычислите: 26. 25log5 3 29. 16log16 3 32. 42log4 3 35. 41log4 4 38. 23 log2 3 41. log6 3  log6 2 44. log6 12  log36 9 47. log 5

1 5 5

27. 30. 33. 36. 39. 42.

25log5 4 25log5 2 32log3 2

43 log2 3 log2 3

8 log6 72  log6 2 1 45. log 0 ,3 0,09

48. log 2

28. 31. 34. 37. 40. 43.

16log4 3 32log3 4 31log3 4

42 log2 3 43 log4 3 5 log4 5  log5 4

46. lg 0,001 49. log 5

4 2

1 3

0,16

Найдите значение выражения: 3 51. 2 log 1 10  log 1 28  log 1 3 49 2 5 5 5

50. log8 12  log8 15  log8 20 52.

log

  1  log 4 64  log3 27 53.  log 4 27 3  3 

36  log3 2log6 3

54. log3 21  log7 3  log6 3  log7 6 Вычислите: 55. 5log5 3  log 2 8

56. 4log2 3  log3 27

57. 3log3 4  log 2 16

58. 9log3 5  log2 4

59. 5log5 3  log3 9

61. log 2 8

62. log3 243

60. log3 27 1 63. log3 27

64. log 2

1 8

65. log 5

35 75  log 5 3 7 21

66. log3

39 45  log3 5 13

20 24  log 2 3 5

67. log 2

68. log3

21 12  log3 4 7

Найдите значение выражения: 70. log3 9a  , если log3 a  5

69. log 2

34 12  log 2 3 17

71. log 4 64c  , если log 4 c  0,5 73. lg 2a  lg 5b , если lg ab  5

72. lg a  lg b , если lg0,01ab  2,5 Вычислите значение выражения: 74.

 3

log 3 5 log3 81

2 log25 8 log 1 5

77. 5

log 5 4log5 2 2 log25 3

75. 5

78. 16log4 30.25log2 3

log2 5 log 1 10 4 76. 4 log 3 15  1 79. log 3 125

80.

log 6 16 log 6 72  2

81.

log 6 25 log 6 30  1

82.

log 5 175  2 log 5 49

83.

lg16  log 2 3 lg 27

84.

log5 16  log 2 3 log5 27

85.

log5 16  log 4 9 log5 27

86.

log 7 27  log3 2 log 7 32

Укажите числовое значение выражения: 87. log4 58log25 64  88. log3 2 4log4 81  90. log4 37 log9 64 

89. log4 58log2516 

91. log2 48log1664 

Вычислите значение выражения:        2     arccos 1 93. log 2 sin arccos   2   arccos 0 92. log 2 cos  arccos   2   2             

Уровень В Найдите значение выражения: log 6 5  log 6 7,2  4 log2 5 94. log 1 25

95.

log5 0,5 log5 24  log5 3

97.

2 log0,3 4  log 0,3 0,5 log 0,3 6  log 0,3 12

96.

log 2 0,2 log8 50  log8 0,5

1 log 6 30  log 6 150 2 98. 1 log 7 14  log 7 56 3

99. log 4 a 5 , если log2 a 5  10 .

log 1 m

100. 5

101. 5

, если m  2

102. log0,5 2a 4  , если log0,5 a  4

a b

b3 , если  logb a  4 a a2 105. 3 log b2 , если log a b  2 b a

b , если loga b  5 a

108. 73 loga6 b b , если log a b  log

, если m  53

103. log b

104. log a 103 , если lg a  4 106.  3 log

log5 m

107.  21log

1 6

109. 4 log

4log5 2 2 log25 3

b a2

a b 3 a

111. 312 3  91

110. 5 5 112. (3 log 7 2  log 7 24) : (log 7 3  log 7 9)

113. 9  4

ln a  2,

e 5 , если

ln b 2  4

, если loga b  9

log2 5 2 log0 , 25 3

Уровень С 114. Упростите выражение log3 2  log4 3  log5 4  ...log10 9 . 115. Прологарифмируйте по основанию а выражение: 25b 3 4 c 7

при a  5 ,

b  5 , c  625

0,0016b 4

116. Прологарифмируйте по основанию а выражение:

c7 c 2

при

a  0.2 , b  5 , c  57 117. Найдите значение выражения

lg tg1  lg tg 2  lg tg3   lg tg88  lg tg89

Уровень D Упростите выражения, указав допустимые значения букв: 1 log 5 a log4 a 2 3    1 118. 2 2  3log27 ( a 1)  2a :  7 4 log49 a  5 2  





119.

log a a 2  1  log 21

a2  1 a

log a 2 (a 2  1)  log3 a 6 a 2  1

120. 23

2 1 logb a

b  2a

loga b 1

logb a 1

 ab

2 1 loga b

121. 122.

(log a b ď&#x20AC;Ť logb a ď&#x20AC;Ť 2)(log a b ď&#x20AC; logab b) logb a ď&#x20AC; 1 1 ď&#x20AC; log3a b

ď&#x20AC;¨log

b ď&#x20AC;Ť logb a ď&#x20AC;Ť 1ď&#x20AC;Šlog a

1 ď&#x20AC; log a ď&#x20AC;1

a b

123.

1 ď&#x20AC;Ť log 2a (a ď&#x20AC; b) 2 ď&#x20AC;¨a ď&#x20AC; b ď&#x20AC;Š

1 ď&#x20AC; log a (a ď&#x20AC; b) ď&#x20AC;Ť log 2a (a ď&#x20AC; b)

ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;Đ¸Ń&#x201A;Đľ Đ˛Ń&#x2039;Ń&#x20AC;Đ°ĐśĐľĐ˝Đ¸Ń? Đ¸ Ń&#x192;ĐşĐ°ĐˇĐ°Ń&#x201A;Ń&#x152;, ĐżŃ&#x20AC;Đ¸ ĐşĐ°ĐşĐ¸Ń&#x2026; ĐˇĐ˝Đ°Ń&#x2021;ĐľĐ˝Đ¸Ń?Ń&#x2026; ĐąŃ&#x192;ĐşĐ˛ Đ˛ĐžĐˇĐźĐžĐśĐ˝Ń&#x2039; ĐżŃ&#x20AC;ĐľĐžĐąŃ&#x20AC;Đ°ĐˇĐžĐ˛Đ°Đ˝Đ¸Ń?: 124.

logb4 a ď&#x20AC;Ť log 4a b ď&#x20AC;Ť 2 ď&#x20AC; 2 ĐżŃ&#x20AC;Đ¸ 1 ď&#x20AC;ź a ď&#x20AC;ź b .

125.

logb4 a ď&#x20AC;Ť log 4a b ď&#x20AC;Ť 2 ď&#x20AC;Ť 2 ď&#x20AC; logb a ď&#x20AC; log a b

126. 127.

1 ď&#x20AC;3 log log x log24 x 4 ď&#x20AC;Ť 2 0,5 2 2 Đ&#x201D;ĐžĐşĐ°ĐśĐ¸Ń&#x201A;Đľ, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž Đ´ĐťŃ? ĐťŃ&#x17D;ĐąĐžĐłĐž Đ˝Đ°Ń&#x201A;Ń&#x192;Ń&#x20AC;Đ°ĐťŃ&#x152;Đ˝ĐžĐłĐž đ?&#x2018;&#x203A; Đ˛Ń&#x2039;ĐżĐžĐťĐ˝ĐľĐ˝Đž Ń&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;Đ˛Đž log2 2 x 2 ď&#x20AC;Ť log2 x ď&#x192;&#x2014; x log x (log2 xď&#x20AC;Ť1) ď&#x20AC;Ť

ď &#x203A; n ď ?ď&#x20AC;Ť ď &#x203A; n ď ?ď&#x20AC;Ť ď &#x203A; n ď ?ď&#x20AC;Ť ...ď&#x20AC;Ť ď &#x203A; n ď ? ď&#x20AC;˝ ď &#x203A;log nď ? ď&#x20AC;Ť ď &#x203A;log nď ? ď&#x20AC;Ť ...ď&#x20AC;Ť ď &#x203A;log nď ? , ĐłĐ´Đľ 3

ĐžĐąĐžĐˇĐ˝Đ°Ń&#x2021;Đ°ĐľŃ&#x201A; Ń&#x2020;ĐľĐťŃ&#x192;Ń&#x17D; Ń&#x2021;Đ°Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ° đ?&#x2018;Ľ .

đ?&#x2018;Ľ

Глава 2. Уравнения, неравенства и системы §2.1. Рациональные уравнения и неравенства Рациональные уравнения. Тренировочные задания Решите уравнение: 1. x  5  11 5 5 4. 14  y  10 8 6 7. 10. 13. 16.

2x = –3 2 x  0,5  0 7 x 2  1,44 4 x 2  0,1  0,06 

x  7  11

4,2  x  2

3  2x  5

-0,7x=0

5y =  2

5 8

-0,15x+6=51

11.

x2  4

12.

x 2  4

14. 17.

x2  7 x  ( x  0,3)  0

15. x 2  16  0 18. 3x(2x–0,1)=0

Решите уравнение: 1 19. ( x  0,3)( x  )  0 7 21.

(4  5x)(3x  4)  0

Решите уравнение: 23. x 2  3x  0 26. 29.

 2 x 2  5x 2 x 2  5x  2  0

32.

5x 2  7 x  3  0

35. 38. 41.

2  4x 0 x  0,5 x 2  8x  7 0 x 8 x5 0 x 2  3x  10

20.

(2 x  3)( x  4)  0

22.

4 1 3( z  10,5)( 5 z  2 )  0 5 2

24. x 2  5x  0 27. 1,8x  0,2 x 2 30.

6 x 2  17 x  3  0

25. 28. 31.

33.

 3x 2  2 x  1  0

34.

36. 39. 42.

2(3  x) 0 12  4 x x 2  6x  8 0 2x  4 2 x 2  5x  2 0 x2  x  6 25

37. 40.

43.

2x 2  x x 2  5x  6  0 2 x 2  5x  11  0 3  2x 0 2 x x 2  8x 0 x 8 x3 0 x2  7x  6 2 x 2  5x 0 x 2  6x

Уровень А Решите уравнения: 4 x  5,5 0 44. 5 x  3(2 x  1,5) 5 1 47.  0 5  5x 6  x 50.  4,5x 2  0 53.



1 1  ( x) 2  0 25 3

2  x 

 18 2 59. (x-2)(x-6)=5

56.

3 4  0 x 4 x 3 3 2  48. x  6 2x  9 45.

51. x 2  16  0

4  5(3x  2,5) 0 3x  9,5 4 2 5 x 1 x  9  0 57. 49 7 54.

46.

2 7  x  4 2x  1

49. 4 x 2  0,1  0,06 52. 17,1  9 x 2  1 55.

1 10

15 1  0 8 z z

58. (2 x  1) 2  2  2  6 x 2

60. x 2  2(1  8 ) x  8 2  0

( x  2)( x  5) 11x  12 x2   2 62. x 4  3x 2  28  0 3 10 3 63. 9 x 4  23x 2  12  0 (в ответе укажите сумму всех корней). 64. 4 y 4  37 y 2  9  0 (в ответе укажите сумму всех корней). 61.

2 x 4  5x 2  2  0 (в ответе укажите сумму всех корней). 3x 4  13x 2  4  0 (в ответе укажите произведение всех корней). 160 x 2  168x  328  0 68. 972 x 2  3240 x  972  3240 2 1008x  880 x  880  1008 70. 7425x 2  2835x  7425  2835  0 3 47 3 47 17 x  12  2 0 71. 0,34 x 2  0,32674 x   0,32674  0 72. 12 x 2  2 7 49 7 49 50 65. 66. 67. 69.

Уровень В 73. 74. 75. 76.

Решите уравнение ( x  5)( 4 x 2  4 x  1)  (4 x  5)( x 2  2 x  1) . В ответе укажите сумму корней уравнения. Решите уравнение (1  2 x)( 4 x 2  2 x  1)  (2  2 x)( 4  4 x)( x  2) . В ответе укажите сумму корней уравнения. Решите уравнение (8x  16)( x 2  1)  (4 x 2  2 x  1)( 2 x  1) . В ответе укажите сумму корней уравнения. Решите уравнение ( x  0,2)( x 2  x  2)  (2  x) 2 (2 x  0,4) . В ответе укажите произведение всех различных корней уравнения. 26

77. 78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

Решите уравнение ( x  2) 2 ( x  0,5)  (6 x  3)( x 2  x  2) . В ответе укажите произведение всех различных корней уравнения. 16 30   3 . В ответе укажите наименьший из Решите уравнение x  3 1 x корней. 3 4  1 Решите уравнение . В ответе укажите наименьший из 2t  1 2t  1 корней. 36 12 6  Решите уравнение . В ответе укажите наименьший из x2 x3 корней. 4 3 1   . В ответе укажите произведение Решите уравнение y2 y 2 всех различных корней уравнения. 4 7 2   . В ответе укажите произведение Решите уравнение x  2 x  3 15 всех различных корней уравнения. 3 6 3   . В ответе укажите произведение Решите уравнение x2 x4 x всех различных корней уравнения. 3 5 7   Решите уравнение . В ответе укажите наибольший из 4 x x 3 x корней. 21 16 6   . В ответе укажите наибольший из Решите уравнение x 1 x  2 x корней. 1 2 2   Решите уравнение . В ответе укажите наибольший x6 x2 x6 из корней. 7 1 5   Решите уравнение . В ответе укажите наибольший x3 x6 x6 из корней. 4 5 1    1 . В ответе укажите Решите уравнение x 3 3 x x 3 наибольший из корней. x3 x2   2,5 . В ответе укажите сумму из Решите уравнение x2 x3 корней. 27

90.

Решите уравнение

x  2 x 1 1   4 . В ответе укажите сумму из x 1 x  2 4

корней. 91.

Решите уравнение

2x  2 x  3   5 . В ответе укажите наибольший из x 3 3 x

корней. 92. 93.

94. 95.

96.

97.

98.

99.

100. 101.

3x  1 x 1  1 . В ответе указать сумму корней. x2 x2 x3 x5   3 . В ответе указать сумму корней, Решите уравнение x x3 округленную до сотых. 5 Решите уравнение  2 . В ответе указать сумму корней. 2 2 y  y  2,5 3  1 . В ответе укажите наименьший Решите уравнение 2 15 x  22 x  40 из корней. 13 Решите уравнение  5 . В ответе укажите 1,3  1,6 x  0,3x 2 наименьший из корней. 1 Решите уравнение  20 . В ответе укажите наибольший 1 0,4  x  x 2 5 из корней. 2 11 1 3 Решите уравнение  2 . В ответе укажите наибольший 1 2 3 3 x  x 8 3 2 из корней. (3  x) 2  16 . В ответе укажите наибольший из Решите уравнение 1  2x  x 2 корней. 2 x 2  ( x  1) 2  3 . В ответе указать сумму корней. Решите уравнение x2  2 (1  3x)(1  2 x) Решите уравнение  2. 7 x(  3x) 2 Решите уравнение

102.

Решите уравнение

x2 5  0,5 . В ответе укажите наибольший ( x  5)( 4 x  2)

из корней. 103.

Решите уравнение

(2 x  1)(1  2 x)  2 . В ответе указать сумму 3 2 x 2

квадратов корней. Решите уравнения: 5x 2  7 x  6 5 x 2  4 x  33 104. 105.  x4.  x4. x2 x3 106. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения 4 x 2  14 x  12  x  5 принадлежит промежутку: 1)(2,3;2,4); 2)[1,9;2]; x2 3)(5,6;5,7); 4)(3,6;3,7). 107. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения 7 x 2  10 x  8  x3 принадлежит промежутку: 1)[-2;-1,9); x2 2)(1,1;1,2); 3)(0,8;0,9); 4)(-1,2;-1,1). 108. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения 4 x 2  2 x  42  x4 принадлежит промежутку: 1)(-2,2;-2,1); x3 2)(0,3;0,4); 3)[-3,1;-3]; 4)(3,3;3,4). Решите уравнения: 1 1 1 1  0  109. . 110. x 2  5x  4 2 x 2  9 x  7 2 x 2  9 x  10 x 2  3x  2 1 1 1 1  2 0  0 111. 112. 2 2 2 x  6 x  4 3x  15 x  18 12 x  7 x  1 1  4 x  3x 2 4 5   0 . В ответе укажите 113. Решите уравнение x 2  6x  5 x 2  6x  8 квадрат наименьшего из корней.

Уровень С 6x 11x   2 . В ответе укажите 114. Решите уравнение x 2  2x  3 x 2  7 x  3 сумму всех положительных корней. 29

4x 3x  2  1 . В ответе укажите 4 x  8 x  7 4 x  10 x  7 сумму всех положительных корней. 2x 7x   1 . В ответе укажите Решите уравнение 3x 2  x  2 3x 2  5 x  2 сумму всех отрицательных корней. 2x 3x 5  2   0 . В ответе укажите Решите уравнение 2 x  4x  2 x  x  2 4 сумму всех отрицательных корней. 4x 5x   1,5 . В ответе укажите Решите уравнение x 2  x  3 x 2  5x  3 сумму всех отрицательных корней. x2  x x2  x  2   1 . В ответе укажите Решите уравнение x2  x 1 x2  x  2 количество целочисленных корней. x 2  2x  1 x 2  2x  2 7   . В ответе укажите Решите уравнение 2 x  2x  2 x 2  2x  3 6 количество целочисленных корней. x 2  13x  15 x 2  15x  15 1    . В ответе Решите уравнение x 2  14 x  15 x 2  16 x  15 12 укажите произведение всех корней. 12 x 2  30 x  21 3x  7 6 x  5   Решите уравнение . В ответе укажите 16 x 2  9 3  4x 4x  3 произведение всех корней. x 1 x  2 x  4 x  5    Решите уравнение . В ответе укажите x2 x3 x5 x6 произведение всех корней. x 2  10 x  15 4x  2 Решите уравнение . В ответе укажите 2 x  6 x  15 x  12 x  15 произведение всех корней. 5x 2  2 x  1 2x  Решите уравнение . Укажите сумму всех 5 x 2  46 x  1 5 x 2  4 x  1 отрицательных корней. 5x 2  5x  4 x  Решите уравнение . Укажите сумму всех 5 x 2  75 x  4 5 x 2  3x  4 отрицательных корней.

115. Решите уравнение

116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

2x 2  6x  3 x . Укажите сумму всех  2 2 2 x  8x  3 2 x  2 x  3 отрицательных корней. x 2  2 x  15 3x  2  0 . Укажите сумму всех Решите уравнение 2 x  16 x  15 x  4 x  15 целочисленных корней. x 2  x  15 x  Решите уравнение 2 . Укажите сумму всех x  14 x  15 x 2  2 x  15 целочисленных корней. Решите уравнение ( x  1) 4  x 2  2 x  73  0 . Укажите сумму всех целочисленных корней. 1   1  2 x 2  2   3 x    1 . В ответе укажите Решите уравнение x   x  минимальную длину отрезка, в которую входят все корни. 1 1  x 2  2  2 x    6 . В ответе укажите Решите уравнение x x  минимальную длину отрезка, в которую входят все корни. 1  11  Решите уравнение 2 x 2  2   11x   8  0 . В ответе укажите x x   минимальную длину отрезка, в которую входят все корни. 1  1    2 Решите уравнение 7 2 x    9  2 4 x  2  . В ответе укажите 2 x 4 x     минимальную длину отрезка, в которую входят все корни. 4   2  Решите уравнение 2 x 2  2   3 x    13  0 . Укажите разность x   x  между наибольшим и наименьшим корнями. Решите уравнение x  1x  2x  3x  4  100 . Укажите разность между наибольшим и наименьшим корнями. Решите уравнение x  2x  1x  2x  3  60 . Укажите разность между наибольшим и наименьшим корнями. Решите уравнение xx  1x  2x  3  120 . Укажите разность между наибольшим и наименьшим корнями. Решите уравнение xx  1x  2x  3  15 . Укажите разность между наибольшим и наименьшим корнями. Решите уравнение x  1xx  1x  2  24 . Укажите разность между наибольшим и наименьшим корнями.

127. Решите уравнение

128.

129. 130.

131.

132.

133.

134.

135. 136. 137. 138. 139. 140.

141. Решите уравнение x  2x  3x  8x  12  4 x 2 . В ответе укажите минимальную целочисленную длину отрезка, в которую входят все корни. 142. Решите уравнение 4x  5x  6x  10x  12  3x 2  0 . В ответе укажите минимальную целочисленную длину отрезка, в которую входят все корни. 143. Решите уравнение x  3x  6x 2  2 x  8  126 x 2 . В ответе укажите минимальную целочисленную длину отрезка, в которую входят все корни. 144. Решите уравнение x  3x  9x 2  4 x  12  300 x 2 . В ответе укажите минимальную целочисленную длину отрезка, в которую входят все корни. 145. Решите уравнение x  3x  6x  8x  4  100 x 2 . В ответе укажите минимальную целочисленную длину отрезка, в которую входят все корни.

Уровень D Решите уравнения: 146. x 3  6 x 2  11x  6  0 148. x 3  x 2  9 x  6  0 150. x 3  9 x 2  26 x  24  0 3 152. x 4  2 x 3  x 2  2 x  1  0 4 154. 2 x 4  x 3  11x 2  x  2  0 1 1 1 1    0 156. x6 x4 7 x x2 1 1 1 1    158. x 1 x  2 x  3 x  4 4 160. x  2  x 4  82

147. 149. 151.

x 3  2 x 2  3x  6  0 x 3  11x 2  39 x  45 x 4  2x 3  x 2  2x  1  0

153.

6 x 4  5x 3  38x 2  5x  6  0

155.

x 4  x 3  10 x 2  x  1  0 1 1 1 1    x  2 x 3 x  4 x 5

157. 159. 161.

162.

x 4  x  1  97

164.

x  2   x  4

165.

Сумма двух рациональных чисел

163.

5  x  2  x x  3  x  5 4

 17

 16

 64

обратных к ним чисел быть 𝑥 и 𝑦?

x 4  x  2  17

𝑥

𝑦

𝑥 и 𝑦 – натуральное число, сумма

– тоже натуральное число. Какими могут

1 3

166.

Решите уравнение 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 = − .

167.

Докажите, что уравнение 4𝑥 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦 2 относительно натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 не имеет решений. Докажите, что уравнение 4𝑥 2 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦 2 относительно натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 имеет по крайней мере два решения. Докажите, что уравнение 4𝑥 2 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦 2 относительно натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 имеет бесконечное множество решений. Докажите, что уравнение 4𝑥 𝑛 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦 2 относительно натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 не имеет решений для натуральных 𝑛 ≥ 3.

168. 169. 170.

1 𝑥

1 𝑦

Докажите, что при любом натуральном 𝑎 ≠ 1 уравнение

172.

имеет по крайней мере три решения в натуральных числах 𝑥 и 𝑦. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение вида:

173. 174. 175.

1 𝑥

+ =

1 𝑎

171.

+ 𝑦 = 2008 ?

Найдите хотя бы одно решение уравнения 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 в натуральных числах. Докажите, что уравнение 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = 𝑛𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 имеет натуральное решение только при 𝑛 = 1 и 𝑛 = 3. Найдите все решения уравнения 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 в натуральных числах. 1 𝑥

176.

Решите уравнение 𝑥 +

177.

Найдите все решения в целых числах (𝑥, 𝑦) уравнения 𝑥 3 − 13𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 13. (Р. Женодаров) Существуют ли такие натуральные числа 𝑥 и 𝑦, что НОД 𝑥; 𝑦 + НОК 𝑥; 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1999? Существуют ли такие натуральные числа x, y, z , что

178. 179.

= 1, где 𝑎 – дробная часть числа 𝑎.

НОДx, y, z   НОКx  1; y  1; z  1  НОКx  2; y  2; z  2?

Рациональные неравенства. Тренировочные задания Решите неравенства: 180. 2 x  4 183. –7x ≤ –14 186. –9x > 4 189. –9 ≥ –6x ≥ –10 192. 2x+7 ≤ 5 195. 2 x  1  5x  1 198. x  2  x  3 201. x  4  x  3

–3x ≥ 5 4x > –5 8x > 9 –10 <7x ≤ 14 3  2x  1 5x  4  x  7 x2  x3 202. x  4  x  3 181. 184. 187. 190. 193. 196. 199.

4x ≤ –6 10x < –3 –8 ≤ 3x ≤ 10 0 ≤ –3x < 15 2x  2  x  1 2x  4  3x  1 2x  5  2x  5

182. 185. 188. 191. 194. 197. 200.

Уровень А Решите неравенства: 3−4𝑥 5−4𝑥 203. ≥ 206. 208. 210. 213. 216. 219. 222. 225. 228. 231. 234.

4 𝑥+4

−

8 3𝑥−1

5 5−2𝑥

2 𝑥+2

7𝑥−1

≤0

𝑥 −9 𝑥−3 𝑥+9 2𝑥−5 3−6𝑥 𝑥+5 2𝑥−4

≥0 ≤0

x ≤64 6x-2-4x2>0 4−𝑥 1−2𝑥 𝑥 2 −5𝑥+4

211. 214. 217.

𝑥 2 +6𝑥+8

2−𝑥 −4

𝑥+3

≤2 𝑥−1

≥ − 9 15 (x-1)·(x+4)<0 (x-12)·(1-x)≤0 𝑥−4

204.

≤0 >0

220. 223. 226. 229. 232. 235.

205.

𝑥+1

207.

−

7−2𝑥 3 4𝑥+1 5

−5 <−

≤

2𝑥+1

3 7−3𝑥

209. (x-5)·(x+7)>0 (x+4)·(x+6)≥0 212. (x+12)·(x-1)≤0 4−𝑥 215. ≤0 (x-5)·(6-2x)>0 𝑥+11

𝑥−8 3−𝑥

𝑥+5 −2𝑥−4

218. >0

x >1 2x2≥-4 3x2-4x-7>0 𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥−10

𝑥 2 −6𝑥+8

≤0

221. 224. 227. 230. 233.

𝑥 −9 𝑥−11

≥0

𝑥−15 4𝑥+1 𝑥 −3 12−2𝑥

x >x x2-4x+3≤0 3x-2-x2≤0 4𝑥−𝑥 2 +5 6𝑥+21

≥0

Уровень В 236. 237. 238.

Найти сумму всех целых решений неравенства принадлежащих промежутку −3; 5 Найти количество целых решений неравенства принадлежащих отрезку −100; 100 Найти количество целых решений неравенства принадлежащих отрезку −7; 7 34

𝑥−2 3 2𝑥+1

3𝑥−5 3 𝑥+5 2 2𝑥−4 𝑥+1 4 −6−𝑥 5

> 0, 3 3𝑥−2

≤ 0,

239.

𝑥−3 2 𝑥+1 8 𝑥−2 4 𝑥+3 10

Найти количество целых решений неравенства

≤ 0. Если

таких решений бесконечно много – в ответе напишите «∞».

3𝑥−9 4 𝑥+5 3 2𝑥−4

≥ 0,

240.

Найти количество целых решений неравенства

241.

принадлежащих отрезку −7; 7 Найти сумму решений вида n+0,5, где n – целое число, неравенства 1−2𝑥 7 3−2𝑥 4 2𝑥−5 5

242.

𝑥 +1 4 𝑥 −7 5

≤ 0, принадлежащих отрезку 0; 10

Найти количество целых решений неравенства

𝑥 2 −3𝑥+1 𝑙𝑛 0,3

≤−

таких решений бесконечно много – в ответе напишите «∞». 243.

Найти количество целых решений неравенства

𝑥 2 −3𝑥+1 𝑙𝑛 0,3

≥−

1 𝑙𝑛 0,3 1 𝑙𝑛 0,3

. Если . Если

250.

таких решений бесконечно много – в ответе напишите «∞». Найти сумму всех целых решений неравенства sin 1970 ∙ 2𝑥 − 3 ≥ 4 sin 1970 , принадлежащих промежутку −1; 9 Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑙𝑜𝑔4 0,3 ∙ 2𝑥 − 3 < 𝑙𝑜𝑔4 0,3 ∙ 𝑥 + 1 , принадлежащих промежутку −2; 6 Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑡𝑔2 ∙ 7𝑥 − 1 < 𝑡𝑔2 ∙ 𝑥 + 5 , принадлежащих промежутку −2; 4 Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑐𝑡𝑔1930 ∙ 7𝑥 − 1 < 𝑐𝑡𝑔1930 ∙ 𝑥 + 5 , принадлежащих промежутку −2; 4 8 1 Найти количество всех целых решений неравенства ≥ . Если 9−𝑥 2 2 целых решений бесконечно много – в ответе напишите «∞». 3𝑥−1 Найти сумму всех целых решений неравенства > 3. Если целых 2𝑥+5 решений бесконечно много – в ответе поставьте «∞». 30 4 Найдите наибольшее целое решение неравенства − ≤ −1

251.

Найти наименьшее целое решение неравенства

252.

Найти количество целых решений принадлежащих отрезку −20; 20

253.

Найти количество целых решений неравенства ≥ 0, 𝑥 −10 принадлежащих отрезку −20; 20 𝑥+7 Найти количество целых решений неравенства < 𝑥 + 1, 𝑥+3 принадлежащих отрезку −20; 20 1 Найти количество целых решений неравенства 𝑥 + ≤ −2, 𝑥+1 принадлежащих отрезку −20; 20

244. 245. 246. 247. 248. 249.

254. 255. 256.

𝑥 +3 𝑥−4 𝑥−3 𝑥−4

𝑥−4 𝑥+5

𝑥+3 𝑥+4

𝑥−5 1

≤

неравенства

𝑥−7

≤

1 2𝑥−1

𝑥+5 6

𝑥 2 −9𝑥+17

Найти количество всех целых решений неравенства 2 ≤− . 𝑥 −4𝑥+3 𝑥−3 Если целых решений бесконечно много – в ответе напишите «∞». 35

14๐ ฅ

257.

ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ะฒั ะตั ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ < ๐ ฅ+1 ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป.

258.

ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ

259.

ะฟั ะธะฝะฐะดะปะตะถะฐั ะธั ะพั ั ะตะทะบั โ 5; 6 ะ ะฐะนั ะธ ะฝะฐะธะผะตะฝั ั ะตะต ั ะตะปะพะต ั ะตั ะตะฝะธะต ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ

9๐ ฅโ 30 ๐ ฅโ 4

. ะ ั ะปะธ

๐ ฅ+4 2 โ 8๐ ฅโ 25 ๐ ฅ โ 6 4

3๐ ฅ+2 ๐ ฅ 2 +๐ ฅโ 2 36

> 0,

< โ 1

260. 261.

ะ ะฐะนะดะธั ะต ะฝะฐะธะฑะพะปั ั ะตะต ั ะตะปะพะต ั ะตั ะตะฝะธะต ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ 2 โ ฅ ๐ ฅ 2 โ 4๐ ฅ ๐ ฅ โ 4๐ ฅ ะ ะฐะนั ะธ ั ั ะผะผั ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ ๐ ฅ โ 3 ๐ ฅ 2 โ 4๐ ฅ โ ฅ 0, ะฟั ะธะฝะฐะดะปะตะถะฐั ะธั ะฟั ะพะผะตะถั ั ะบั โ 1; 4

262.

ะ ะฐะนั ะธ ั ั ะผะผั ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ โ ค 0. ะ ั ะปะธ ั ะตะปั ั ๐ ฅ +9 ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป.

263.

ะ ะฐะนั ะธ ั ั ะผะผั ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ

264.

ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป. ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ ๐ ฅ 2 โ 6๐ ฅ + 4 +

๐ ฅ โ 2 ๐ ฅ +5

5+4๐ ฅโ ๐ ฅ 2

> 0. ะ ั ะปะธ ั ะตะปั ั

๐ ฅโ 1

1 ๐ ฅโ 2

โ ค

โ 1. ะ ั ะปะธ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป. 1 ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ ๐ ฅ 2 + 3๐ ฅ โ 1 โ < ๐ ฅโ 2

265.

๐ ฅ+1

3โ . ะ ั ะปะธ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ๐ ฅ+1 ยซโ ยป.

ะฃั ะพะฒะตะฝั ะก ๐ ฅโ 1

2โ ๐ ฅ

266.

ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ โ ค 0. ะ ั ะปะธ ๐ ฅ +7 ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป.

267.

ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ โ ค 0. ะ ั ะปะธ ๐ ฅ+3 ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป.

268.

ะ ะฐะนั ะธ ั ั ะผะผั ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ โ ค 0. ะ ั ะปะธ ๐ ฅ+4 ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป. ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ 2๐ ฅ โ 4 โ ๐ ฅ โ 12 โ ค 0. ะ ั ะปะธ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฑะตั ะบะพะฝะตั ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ โ ะฒ ะพั ะฒะตั ะต ะฝะฐะฟะธั ะธั ะต ยซโ ยป. ะ ะฐะนั ะธ ะบะพะปะธั ะตั ั ะฒะพ ั ะตะปั ั ั ะตั ะตะฝะธะน ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ 2๐ ฅ โ 4 โ ๐ ฅ + 12 โ ค 0, ะฟั ะธะฝะฐะดะปะตะถะฐั ะธั ะพั ั ะตะทะบั โ 20; 20 ะ ะฐะนะดะธั ะต ะฝะฐะธะฑะพะปั ั ะตะต ั ะตะปะพะต ั ะตั ะตะฝะธะต ะฝะตั ะฐะฒะตะฝั ั ะฒะฐ 5๐ ฅ+4 1 โ ฅ 2 2 2

269. 270. 271.

๐ ฅ+1

๐ ฅ +2

๐ ฅ +10๐ ฅ+24 ๐ ฅ +6๐ ฅ+5

๐ ฅ +11๐ ฅ+30

๐ ฅ 2 +2๐ ฅ

๐ ฅ 2 +4๐ ฅ+3

272.

Найти

сумму

𝑥 2 −11𝑥+28

273.

≤

275.

277. 278. 279.

𝑥 +8𝑥+15 𝑥 +3𝑥

ответе напишите «∞». Найти количество целых решений неравенства 𝑥 − 2 𝑥 + 1 𝑥 + 4 𝑥 + 7 ≤ 63, Если целых решений бесконечно много – в ответе напишите «∞». Найти количество целых решений неравенства 𝑥 2 −5𝑥−6 3𝑥 2 −2𝑥−1

−2; 7 276.

𝑥 2 −8𝑥+16 𝑥 2 −9𝑥+14

много – в ответе напишите «∞». Найти количество целых решений неравенства 1 5𝑥+4 ≤ 2 . Если целых решений бесконечно много – в 2 2 𝑥 +6𝑥+9

274.

5−𝑥

281.

282. 283.

≤

𝑥 2 −5𝑥−6 2+2𝑥−4𝑥 2 5−𝑥

, принадлежащих промежутку 4𝑥 2 −1

Найти количество целых решений неравенства 2 > 1 − 2𝑥, 𝑥 −3𝑥+2 принадлежащих промежутку 0; 20 12 3 Найти количество целых решений неравенства 2 − 2 > 1. 𝑥 +2𝑥 𝑥 +2𝑥−2 Если целых решений бесконечно много – в ответе напишите «∞». 𝑥 2 −5

Найти количество целых решений неравенства 𝑥 2 + 1 > 2 , 𝑥 +2 принадлежащих отрезку −20; 20 Найти сумму чисел вида n+0,5, где n   , являющихся решениями 𝑥 2 −𝑥

280.

целых решений неравенства . Если целых решений бесконечно

8𝑥−37

𝑥 2 −𝑥+2

неравенства 2 > 2 +1 𝑥 −𝑥+1 𝑥 −𝑥−2 Найти количество целых решений неравенства 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑥 2 + 3𝑥 − 3 ≥ 5, принадлежащих промежутку −5; 5 Найти сумму длин интервалов, на которых выполняется неравенство 36 𝑥 2 − 𝑥 > 2 . Если неравенство выполняется на неограниченном 𝑥 −𝑥 множестве, то в ответ запишите знак «-». Найти количество целых решений неравенства x4-15x2+10x>-24 принадлежащих промежутку −20; 20 1 4 4 1 Найти количество целых решений неравенства − + − < 1 30

𝑥−1

𝑥−2

𝑥−3

𝑥−4

, принадлежащих промежутку −20; 20

Уровень D 284. 285.

Доказать, что неравенство 𝑥 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+3 +2≥0 выполняется при любых действительных x. Доказать, что неравенство x 8  x 5  x 2  x  1  0 выполняется при любых действительных x . 37

286. 287. 288.

Доказать, что неравенство x12  x 9  x 4  x  1  0 выполняется при любых действительных x . 3 4 Доказать, что при a>0 выполняется неравенство 𝑎10 + 2 + ≥ 8 𝑎 𝑎 Доказать, что для любых действительных чисел x, y выполняется неравенство x 2  2 xy  3 y 2  2 x  6 y  3  0 .

289.

Доказать, что неравенство 4 x 2  20 xy  26 y 2  12 x  34 y  14  0 выполняется при любых действительных x и y .

290.

Доказать,

5x 2  5 y 2  5z 2  6 xy  8xz  8 yz  0 ,

если

x 2  19 y 2  6 z 2  8xy  4 xz  12 yz  0

если

что

x y z 0 2

291.

Доказать,

что

x y z 0 2

292.

Доказать, что если x  0 , y  0 и x  y  1 , то 𝑥 8 + 𝑦 8 ≥ . 128

293.

Доказать, что если x 2  y 2  1 , то  2  x  y  2 .

294.

Доказать, что при 𝑎𝑏 + 6 2𝑎 + 3𝑏

9 𝑎2

𝑏2

выполняется неравенство

≥ 288.

Доказать,

296.

a  b  2c  4abc . Доказать, что если a  0, b  0, c  0 , то (a  b)(b  c)(c  a)  8abc

297.

Доказать неравенство

при

295.

что

a  0, b  0 любых

a, b, c

выполняется

неравенство

a 3  b3  a  b    , где a  0, b  0 2  2  Доказать, что для любого натурального числа n  1 справедливо N 1  2 N 1 1 неравенство n 1 n 3

298.



299.





Доказать, что для любого натурального числа N 1 1  неравенство 2 4 n 1 2n  1

n 1

справедливо



 n 1 Доказать, что n!   , где n - целое число, больше 1.  2  Доказать, что для любого действительного числа   1 и любого n

300. 301.

n верно неравенство 1   n  1  n . 302. Пусть a  b  2 , где a и b - действительные числа. Доказать, что натурального

a4  b4  2 . 38

303. 304.

305.

306.

Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c выполняется неравенство a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca . Доказать, что для любых положительных и неравных между собой a, b, c действительных чисел выполняется неравенство  1 1 1 a  b  c      9 . a b c Доказать, что для любых положительных и неравных между собой a, b, c действительных чисел выполняется неравенство 2 2 2 a  b  ca  b  c   9abc . Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c выполняется неравенство a 2  b 2  c 2  3  2(a  b  c) . n

307.

Доказать

справедливость

неравенства

любом целом положительном

1   1  1    1   , n 2n   

при

n 1 1 1    1 , при n 1 n  2 3n  1

308.

Доказать справедливость неравенства

309.

любом натуральном n . Доказать, что при любых положительных a и b и любом натуральном

n справедливо неравенство a  bn  2 n a n  b n  .

§2.2. Уравнения и неравенства с модулем Уравнения с модулем. Тренировочные задания 1.

x 1

x  1

x 1  2

1 x  3  0

x  5 1  0

2x  1  1  2

3  4x  2  0

4x  6  0

4x  6  7  1

10.

x 2  2x  3

11.

x 2  2x  0

12.

x2  3 1  5

13.

x2  3  5  3

14.

2 x 2  3x  2

Уровень А Решите уравнения: x 2  x 3  0 15.

16.

x 2  x 3  0

x 2  x 3  0 Решите уравнения и в ответе укажите количество корней: 2  3x  3  2 x  2 4 x 3  5 x 18. 19. 17.

20.

x  3  2  2x  1

21.

2 x  3  5x  2

x  1  2x  1 Решите уравнения и в ответе укажите наибольший корень: x 1  x  2  x x2  2 x 1  0 23. 24. 22.

x2  3 x  2  0 Решите уравнения и в ответе укажите сумму всех корней: 2 27. 4 x  52  5 x  5  6  0 26. x 1 25.

28.

Решите уравнение

3 1  0 x 1

29.

Решите уравнение

1  x  0 . В ответе укажите целую часть корня. 5 x

30.

Решите уравнение

4 x 3. В 3 x

ответе укажите сумму всех корней.

Уровень В 31. Решите уравнение 2 x  1  1  3x  4  5x . В ответе укажите целую часть корня. 32. Решите уравнение 4 x  1  2 x  1  3x  2  3 . В ответе укажите сумму целых частей корней. Решите уравнения и в ответе укажите количество корней: 33. 2 x  1  1  5x  4  3x 35. 1  x 2  x  1 34. 2 x 2  4 x  1  5

36.  x  x 2  2 x

Решите уравнения и в ответе укажите произведение всех корней: 37. 4 x 2  2 x  1  3 38.  x 2  1  10 40

Решите уравнения: 39.  1  x  x 2   x  1

40. x 2  5x  6  x 2  5x  6

41. x 2  5  x  2  x 2  x Сколько целых корней имеют уравнения? 42. 36 x 2  48x  1  1  48x  36 x 2 43. x 2  5x  6  x 2  2 x  8  0 44. x 2  3x  2  1  3x  4 x 2  0 . 45. Решите уравнение 2 x  x 2  x 2  2 x  1  3x  1 . В ответе укажите целую часть наибольшего корня. 46. Решите уравнение x 2  1  x 2  2 x  4  1  x  x 2 . В ответе укажите наибольший корень. 47. Решите уравнение x  x 2  1  x 2  x  4  0 . В ответе укажите количество различных корней. 5 x 48. Решите уравнение  2  3x . В ответе укажите целую часть корня. 1  2x 49. Решите уравнение

x 1 x  . x 1 x

Решите уравнения и в ответе укажите наибольший корень: 50. x  2  3  5 51. 3  x  4  3

Уровень С 1 3   2 . В ответе укажите наибольший 52. Решите уравнение x 1 3  x корень. 53. Решите уравнение

1 2   1 . В ответе укажите наименьший 1  2x 3  x

корень. Решите уравнения: 54. 5x  1  2  5x  4 56.

55. x  x  5  2 x  1

x  2x 2  1  2x 2  x

57.

2  x 2  3x  3x  4 x  5

3 3 58. Решите уравнение x  5x  6  1  x  5x  1 . В ответе укажите

иррациональное решение. 41

59. Решите уравнение 2 x 3  x 2  x  1  x  1  2 x 3  x 2  x . В ответе укажите сумму всех корней.

x 2x  1 . В ответе укажите количество x 1 2 x 1

60. Решите уравнение различных корней. 61. Решите уравнение

2 x  x   1 2

x 1 2

Неравенства с модулем. Уровень А Решите неравенства: 62. x  2

63. x  2

64. x  1  1

65. x  1  2

66. 1  x  2 x

67. 5  x  3x  1

68. 2  x  x  5x  1

69. 2  x 2  x  x  1

70. 3  x  x 2  x 2  x

71. 2 x  x 2  x 2  1

Уровень В 72. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 1  x  3  x  6 . 73. Решите неравенство

2  x  3  x  3 . В ответе укажите количество

целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что x  5 . 74. Решите неравенство 5  x  4  x  6 . В ответе укажите количество целочисленных значений удовлетворяющих неравенству, при условии, что x  5 . 75. Решите неравенство x  1  2 x  1  3 . В ответе укажите количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 5  x  5 . 76. Решите неравенство 5x 2  2 x  1  3x  5x 2  1  3 . В ответе укажите количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 5  x  5 .

77. Решите неравенство

3x 2  2 x  2 x  3x 2  1  2 . В ответе укажите

количество целочисленных отрицательных чисел удовлетворяющих неравенству. 78. Сколько целочисленных значений удовлетворяют неравенству, 4x 2  2x  1  2x  4x 2  1  2x 2  x  3 при условии, что 10  x  10 . 79. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 1  x 2  x  2 x 2  2 x  1  x  3x 2 при условии, что 2  x  1 . 80. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 5  x  x  4  1 x  7 81. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 3  x  1  x  2x  1  3

1  x  2  2 x  3  x  1 . В ответе укажите количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 100  x . 83. Решите неравенство x 2  2 x  1  0 . В ответе укажите количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 100  x  100 . 84. Решите неравенство x 2  x  2 x  x 2  1  0 . В ответе укажите 82. Решите

неравенство

количество целочисленных значений удовлетворяющих неравенству. 85. Решите неравенство x 2  1  x 2  2  0 . В ответе укажите количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 100  x  1 .

86. Решите неравенство x  3  x  3  2  0 . В ответе укажите количество 2

целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 20  x  10 . 3 87. Решите неравенство  0 . В ответе укажите количество x 1 целочисленных значений удовлетворяющих неравенству.

Уровень С 4 2 88. Решите неравенство   0 . В ответе укажите количество всех 1 x x3 целочисленных решений. 89. Решите неравенство

2 4   0 . В ответе укажите 1  3x  x 2 2x 2  2x  1

количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 10  x  10 . 1 1 90. Решите неравенство  2  0 . В ответе укажите 2 1 x  x x x количество всех целочисленных решений. 2 3 91. Решите неравенство   1 . В ответе укажите количество 1 x 2  x целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 5  x  3 . 1 1 92. Решите неравенство   2 . В ответе укажите количество 1 x 1 x целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии, что 1  x  2 . 1 1 93. Решите неравенство   1 . В ответе укажите количество 2 x  1 1  3x всех целочисленных решений. 94. Решите неравенство x x  1  2 3  x  1  0 . В ответе укажите количество

37  3 . 2 Решите неравенство 2 x  1 x  1  x x  1  3  0 . В ответе укажите наименьшее число являющееся решением неравенства. Решите неравенство x 1  x  x  1 x  2  3 . В ответе укажите наименьшее положительное число являющееся решением неравенства. Решите неравенство x  2 3  2 x  2 x  11  2 x  4 . В ответе укажите наименьшее положительное число являющееся решением неравенства. Решите неравенство 2 x  x 2  3  x 3  2 x  1  0 всех целочисленных решений удовлетворяющих условию x 

95. 96. 97. 98.

99. Решите неравенство x 2  x  2  4  2 x  x 3  0

100. Решите

неравенство

2 x 2  3x  1  4  x  x 2 .

ответе

укажите

наименьшее положительное число являющееся решением неравенства. 101. Решите неравенство 2 x 3  x 2  1  2 x 3  x 2  1 . В ответе укажите наименьшее положительное число являющееся решением неравенства. 102. Решите неравенство Укажите количество 1  4x  1  2x  1 . целочисленных решений. 103. Решите неравенство 2 x  1  5x  6  4 x  1 .

ответе

количество интервалов входящих в решение.

Уровень D Решите неравенства: 104.

4x 2  4x  1  2x 2  x  1  x 2  x  1  2x  1

105.

5x  x 2  7  x 2  5x  8  2 x  x 2  5

106.

3x 2  2 x  2 x 2  x  1  x  x 2  1

107.

2x  x 2  2x  x 2  2  x 2  x  1

108.

3x 2  4 x   3x  x 2  2  2 x 2  𝑥 2 −5 𝑥 +6

x  1  1  2x  1 2

x 2  3x  2 0 3  4 x  x2

110.

111.

 x  3 2 x  1  7  0

112.

113.

x 3  2 x 2  2 x  4  x 3  3x 2  1  x 3  2 x 2  2 x  4  x 3  x 2  4 x  1  0

114.

x 3  x  1  x 3  x 2  2x  2  x 3  x  1  x 3  x 2  4x  2  0

109.

𝑥 2 −8𝑥+16

1 x  3

 2  x  3 x  5  0 1  x  2x

укажите

§2.3. Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения. Тренировочные задания 1.

x 1

6  7 x  1

4  x  3

x 1  2

x 1  3

11.

5 x 1

10.

1  x  2

13.

x 1  1

14.

16.

2x  3  0

17.

19.

1 x  0

20.

x2 0

22.

 x 1  3

5  3x  1  4x  3  0

1 x  2

12.

3  4 x  1

2 x  2

15.

3  2 x  5

1 x  2

18.

1  x  2

21.

x2 2

x  2  2

Уровень А

23. Решите уравнение 𝑥 3/2 = 8. Решите уравнения и в ответе укажите произведение корней: 24. 26.

𝑥+1 4

2 3

2 x  1

25.

2

27.

28. Решите уравнение

3  2 x 

(3  2 x) 2  2 4

1  5x

1

1.

Уровень В Решите уравнения (если корней несколько, то в ответе укажите произведение корней): 30. 1 − 𝑥 + 𝑥2 𝑥 + 1 = 0 1  x x 2  3x  2  0 29. 31. Решите уравнение 3x  5 x  4  0 . Если корней несколько, то в ответе укажите произведение всех корней умноженную на 3. Решите уравнения (если корней несколько, то в ответе укажите сумму корней): 32.

1  x x 2  5x  6  0

33.

1  x  x 2 x 2  1  0

34.

1 x 5  x  0

35.

1  x5  x  0

1  2 x  x 2 3  x 2  0 . В ответе укажите значение

36. Решите уравнение

выражения x02  2 , где 37. Решите уравнение

x 0 наибольший корень уравнения. 2  x  x 2 1  x  0 . В ответе укажите значение

выражения x02  3x0  4 , где

x

38. Решите уравнение

x 0 наибольший корень уравнения.

 3x  13  2 x  0 . В ответе укажите значение

выражения x0 x1  3x1  x0   5 , где x 0 наибольший, а x1 наименьший корни уравнения. 39. Решите уравнение

1  x5  x  x   0 . 2

2  x 4  x  1  0 . В ответе укажите значение

40. Решите уравнение

выражения 3x0 x1  2 x1  x0 , где x 0 наибольший, а x1 наименьший корни уравнения. 41. Решите уравнение





1  x 2  3  x  0 . В ответе укажите значение

выражения 2 x02  4 x0  2 , где



x 0 корень уравнения.



x  1 3  5  x  0 . В ответе укажите значение выражения  x  x0  1 , где x 0 корень уравнения.

42. Решите уравнение

2 0

x3 5  x  x 2  0 . В ответе укажите значение 2 выражения  3x03  80 , где x 0 корень уравнения. 2

43. Решите уравнение

44. Решите уравнение x  1

5/ 2

выражения  x

1/ 2 0

4 

 x  1 , где 2 0

45. Решите уравнение 2  3x 

2/7

46. Решите уравнение



x  2  0 . В ответе укажите значение

x 0 наибольший корень уравнения.

1 



x 5  0.

x 1   x .

Решите уравнения и в ответе укажите целую часть

x 0 , где x 0 корень

уравнения: 47. 49.

3 x  x  0

48.

 x  2  2  3x  0

51. Решите уравнение корней.

50.

2x  1  1  x  0

x  2x  3

3x  5  x  7 . В ответе укажите сумму всех 2

1  2 x  4  x  0 . В ответе укажите произведение

52. Решите уравнение всех корней.

2  x  2 x  1 . В ответе укажите сумму всех 53. Решите уравнение корней умноженную на 6. 54. Решите уравнение корней.

3  x  1  x . В ответе укажите количество целых

55. Решите уравнение целых корней.

 x  5   x  1 . В ответе укажите количество 4

56. Решите уравнение корней. 57. Решите уравнение

58. Решите уравнение целых корней. 59. Решите уравнение

1  x  2x  1  0 . 6

2  2 x  4 1  x . В ответе укажите количество

1  2 x  3 x  1  0 . В ответе укажите количество

x2  x 1  3 1 x .

60. Решите уравнение 3 2 x  x 2  1  3 x 2  2 x  1  0 . В ответе укажите количество целых корней принадлежащих отрезку  3;2 . Решите уравнения и в ответе укажите количество корней уравнения. 61. 63.

x2  x 1  3 2  x  0 x  1 4x  1  2x  1

62.

x  1 2x  6  x  3 .

64.

3 x 5 x  x  2 .

65. Решите уравнение

38x  3x  20  6 x .

66. Решите уравнение

x  1x  2  2x

 2 x  10 . В ответе укажите

сумму всех корней. 67. Решите уравнение

1  x x 2  24  x  1 .

1  2x  1 1 x 3   x 1  3 . В ответе укажите количество 69. Решите уравнение x 1 корней. 68. Решите уравнение

70. Решите уравнение

x0 

x 1 1 1 x

5 . 2

 1 . В ответе укажите значение выражения

x

 2 . В ответе укажите сумму целых x  2 1 значений, которые ближе всего расположены к корню уравнения слева и справа.

71. Решите уравнение

72. Решите уравнение x 2  x  x 2  x  4  2 . наименьшее решение уравнения.

ответе

укажите

73. Решите уравнение 2 x 2  3x  1  3x  2 x 2  3  1 . В ответе укажите целое число, наиболее ближе расположенного к наименьшему решению уравнения. 74. Решите уравнение количество корней.

 x 2  2 x  x 2  2 x  1  4 . В ответе укажите

75. Решите уравнение x 2  5x  16  3 x 2  5x  20  0 . В ответе укажите произведение всех корней.

8x 3  6 x  2  2 x  3 . В ответе укажите сумму 2x  1 целых значений, которые ближе всего расположены к корню уравнения слева и справа.

76. Решите уравнение

77. Решите уравнение всех корней.

4  x  5  x  3 . В ответе укажите произведение

78. Решите уравнение корней.

1  x  2  x  2 . В ответе укажите количество

79. Решите уравнение 1  x  x 2  1  x  x 2  4 . В ответе укажите целое число, наиболее ближе расположенного к наибольшему решению уравнения. 80. Решите уравнение корней.

3  x  7  x  2 . В ответе укажите количество

x  5  2 x  4 . В ответе укажите сумму всех 81. Решите уравнение корней умноженную на 9. 82. Решите уравнение

x  x  x  x  4 . В ответе укажите значение

выражения 15x0  63 , где

x 0 - корень уравнения. 49

83. Решите уравнение

1  x  1  1  x  1  1

84. Решите уравнение x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1. укажите количество всех целых решений уравнения.

ответе

1  x  2 x  1  2  x  1 . В ответе укажите

85. Решите уравнение

значение выражения 9 x0  4 , где x 0 - корень уравнения.

x  1x  2  x  3x  4 

86. Решите уравнение

2 . Чему равна

сумма всех целых корней уравнения? 87. Решите уравнение

3x  4  x  5  1 .

Уровень С Решите уравнения:

x  5  x  3  2x  7

88. 90. 92. 94.

7 x  1  3x  18  2 x  7 2 4  0 3 x 1 x x  1  1 x  0 5 x

89.

1  x   x  2  3  2x .

91.

x2  x 1  x  x 1 . 1 2  0. x 1 2 x x 1  2 x  0. 2x  1

93. 95.

96.

3 x 4x  4  3  0 x 1 3 x

97.

x

98.

4 x  x 1

99.

6 x 8  1  2 x2 6 x

100. x

2/3

x 1 2 4 x

 7  18x 2 / 3

106. 108.

x 1 x 1 x 1 x 1



x 1 x 1

1

105.

 5 x

1 x  x  2 1 x  x  2



x 20 x2 1

101. 3  x  3  44 x  3 1 1 103.  4 2 x  x  x x  x2  x

102. x  x  1  0 104.

1  x

107.

1 x 1

109.

x 1 x 1

x 1 1 2

 4

4 2 x  x  x 2 x  x  x 3x  x 2



x2  x2 2 x  x2



x 2

x2  x  4  x2  x 1

110.

x2  x  4  x2  x 1

 x2  x  3

111.

x  1  2  x  2x  1  4  2x

112.

x 2  x  x  2x  x 2  2x

113.

115.

x 1  3 8  x  3

114.

x  1  3 9  x  2

1 x  3 1 x  2

116.

x 1  3 7  x  2

x  1  3 3x  1  3 x  1

117.

x  45  3 x  16  1

118.

119.

2x  1  3 x  2  3 x  1

120.

x 2  4x  3  x 2  4x  3   x

121.

2 x 2  5x  3  2 x 2  5x  3  2 x

122.

2 x x  1  x2  x  2  2  x x

123.

7 x 2  8x  10  7 x 2  8x  10  2x

124.

x  1  4 x  16  3

125.

 x  1  4 15  x  2

126.

x  17  4 1  x  2

127.

1 x 4 1 x  2 1 x 1 x

128.

x  1  4 1  x  24 1  x 2

129.

130.

131.

1  x 8  x

 43 1  x   53 1  x 2

 3 27  x   7  3 8  x 27  x 

4 x 2  1  4 x  23 4 x  4 x 2  1  33 1  4 x 2

132.

x  1

133.

x 2  4 x  4  2 x 2  5x  6  x 2  6 x  9

134.

16  8x  x 2  x 2  2 x  3  x  4

135.

 1  x  x 2  4x 2  4x  1  1  2x



2x  1

 2 x  12 x  1

Уровень D Решите уравнения:





136. x 2  3x  2 2 x  6  0

137. 2 x 3 / 2  x  3  2 x  1

138. x 2  5x  2 2 x  2  10  0

139. x 2  2 x x  3x  8  2 x 141. x  2  x x  1  2 x

140. x 2  2 x  2 x x  x  42 142.

x2 1  2

x





1 1 3  x2 1  x2 1  2

x

143.

1 7  x 4

1 2  x 1 3 1 25 2 x   13 x 1  3  2x 

144. 4

145.

x  3  3 4  x 1

146.

147.

1 x  1 x2

148.

x 2  2x  5  1  2x  x 2

149.

8  x4  2  x2

150.

36  35 x  25 x 2  24  x  1 x

151.

4  3x  8  9 x 2  x x  1 x

152.

9  15  16 x 2  8 x  x 2  5 x  6 x

153.

1 1 1 x  x

154.

1 1 1 x  x2 1

1 3 1 3 1 x  x

156.

x x 2  1  1  x 2  x

155.





Сколько корней имеет уравнение: 157.

158. x 5  x  1  0

1  3 x  1  x3 1

Решите уравнения:  x  3 x  1   159.   x  1  x 2 / 3  1  4    161. 8x 7 / 2  x  1x 2  1x 4  1 162.

160.

8 x 13/ 12

x  1x

2/3



 1

 1 x  1

nx  2n  1 x  3 2 x  5 3x  7 4 x  9 5 x  11 1 ...  n x  4 2 x  6 3x  8 4 x  10 5 x  12 nx  2n  2 2

163. При каких целых m и n выполняется равенство 3+5 2

𝑛

164. При каких целых m и n выполняется равенство 𝑛

5+3 2 𝑎+𝑏 𝑑

𝑚

= =

𝑏 + 𝑎 𝑑 , где 𝑎 и 𝑏 (𝑎 ≠ 𝑏) - взаимно простые натуральные числа, а 𝑑 > 1 - натуральное число, среди делителей которого нет квадратов простых чисел? 165. Найдите 8 натуральных чисел 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎8 , таких, что a1  a1  1 

a2  a2  1  ...

a8  a8  1  2

Иррациональные неравенства. Уровень А Решите неравенства: 166.

x 1

167.

169.

 x  1  2

170.

x 1  2

173.

2  x x  1  0 .

176.  2x  1 2 x  1  0

2  x  x  1  0

179.

172.

175. 178.

x  2

168.

x 4

171.

2  x 1.

174.

 x 2 x  1  0

177.

x  12  x   0 .

x 1  5 . 3

x  1.

3  x  2  x   0 .

Уровень В 180. Укажите наименьшее целое число являющееся решением неравенства

x 1  2  x .

 x  1  x . В ответе укажите количество 181. Решите неравенство целочисленных значений удовлетворяющих неравенству. 182. Укажите длину интервала неотрицательной части решения неравенства 1 x 1  2x  1  . 2 2 x3 183. Решите неравенство  0.5 x  1 . В ответе укажите количество 2 целочисленных значений удовлетворяющих неравенству. 184. Укажите длину интервала неотрицательной части решения неравенства x 1  1. 2 2 x 2x  1,5  1 . В ответе укажите длину промежутка 185. Решите неравенство  x 1 8 являющегося решением неравенства и умноженную на . 41 x  2 . В ответе укажите наименьшее целое 186. Решите неравенство 3 x положительное число являющееся решением неравенства.

187. Сколько

целочисленных

x  5 1  0,5 . 2x 188. Сколько отрицательных неравенству

значений

удовлетворяют

целочисленных

значений

неравенству

удовлетворяют

x 3x  1. x5 x5

2  x  x 2  6 . В ответе укажите количество 189. Решите неравенство целых чисел принадлежащих промежутку  2;1 и удовлетворяющих неравенству.  x 2  x  1  1 . В ответе укажите количество 190. Решите неравенство целочисленных значений удовлетворяющих неравенству. 191. Решите неравенство 2 x 2  x  1  1  x . В ответе укажите количество целых чисел принадлежащих промежутку  3;4 и удовлетворяющих неравенству.

x2  2  x  1. В 192. Решите неравенство промежутка отрицательной части решения. 193. Решите неравенство

ответе

укажите

длину

4  x 2  x . В ответе укажите длину промежутка

решения умноженную на 2  2 .

 x  x 2  1  x . В ответе укажите количество 194. Решите неравенство целочисленных значений, меньших 10, удовлетворяющих неравенству.

1  x  x 2  2 x  1  0 . В ответе укажите 195. Решите неравенство количество целочисленных значений, меньших 10, удовлетворяющих неравенству. 196. Решите неравенство x  1x  1  1  x . В ответе укажите количество целочисленных значений, меньших 20, удовлетворяющих неравенству.

Уровень С Решите неравенства: 197.

2x  1 1  x  x2 2 x

198.

x 2  x  1 2  3x  3x  1 1  3x

199.

x  x 1 1 2x  1

200.

 x2 2 x 1 3 x

201.

2x  1  x 2  x  1  0,5 6  4x

202.

5  2x  2 x  x 2  1 2 x 1

x2  x 1  3  x2  x 1

204.

205.

2 x  1  3x  1  0

206.

x  1  x 2  3x  2  0

207.

1 x  1 x  0

208.

x 2  x  1  2x 2  x  2  0

209.

1 x  x 1  1

210.

2 x  x 3  2

211.

1 x  x2  1 x  x2  4

212.

2x  1  x 2  x

213.

1  2x  x 2  1  x  x 2  1  x

214.

4  4 x  x 2  5x  2  x  2

215.

3  x  1 x  2  x

216.

x 1  x  2  x

203.

217.

2x  1



0

3 x

x2  2 x

219.

2 x  2 x

x3  x3

221.

3 x  x 3

0

1

225. 2 x  x 2  x 2  2 x  1  0

1 x 

1 2 1 x

218. 220.

2x  x 2  3 x 2  2x  1  0

4 x  x 1 2



2 0 x 1

x5  x5 5 x  5 x

0

222. x  2 x  1  0

223. x  2 x  1  0

227.

224. x 2  x  2 x 2  x  1  0 3 1 226. 2 x  1  2x  1

2

Уровень D Решите неравенства: 7 1 228. x   229. 2  x  x 2  2 x 4 x 2  4 16  x 230. 231. 4 x  3  3 4  x  1 1 x 232. Докажите, что для любых положительных чисел 𝑎 и 𝑏 выполняется 3 5 неравенство 2 𝑎 + 3 𝑏 ≥ 5 𝑎𝑏. 233. Докажите, что при любом натуральном 𝑛 выполняется неравенство: 1 1 1 1 + + + ⋯+ < 2. 2

3 2

4 3

(𝑛+1) 𝑛

§2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства Тригонометрические уравнения.

Тренировочные задания Решите уравнения: 1. cos x  1 tgx  0 4. tgx  1 7. 10.

ctgx  0

13.

sin x 

16.

tgx 

19.

sin x  

22. 25.

2 2

2. 5. 8.

cos x  1 sin x  0 cos x  0

11.

sin x 

14.

tgx   3

17.

sin x  

20.

ctgx  3

23.

cos x  

1 3

2 2 1 sin x   2 cos x  

1 2

26.

tgx  

1 2

3 2

2 2

3. 6. 9.

sin x  1 sin x  1

12.

cos x  

15.

cos x 

18.

cos x 

21.

tgx  3

24.

ctgx  

tgx  1 3 2

1 2 2 2

1 3

Уровень А Решите уравнения:   27. sin 2 x    0 6 

28.

x  sin    1 3 4

29.

  tg  3x    1 3 

30.

 x 2  ctg     1 2 3 

31.

 x 3  1 sin   6 4  2

32.

5  3  cos  5 x   12  2 

33.

 x 3  tg    3 3 4 

34.

  ctg  4 x     3 9 

35.

   sin x    3 6 

36.

   cos  2 x    4 4 

Уровень В Найти решение уравнения на указанном промежутке (в ответе знак градусной меры не писать): 2x 1   38. cos  0 , 180  x  270 37. cos 2 x  , 0  x  90 5 2 3x 39. tg3x  1 , 0  x  50 40. ctg  0 , 0  x  90 2 4x 3x   42. sin  0 , 90  x  180 41. sin  1 , 0  x  270 3 2 1 5x 43. cos 3x   , 0  x  75 44. tg   3 , 0  x  90 2 2 2x 1   46. tg  3 , 0  x  180 45. sin 2 x  , 0  x  75 5 2

2 , 0  x  120 2 Найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько, на указанном промежутке: 48. sin x  2  0 , 0  x  4 49. cos  x  3  1 , 4  x  6 47.

cos 3x 

50.

tg x  4  0 , 3  x  6

51.

52.

  cos  ( x  1)   1 , 0  x  9 3 

53.

54.

  cos  ( x  2)   0 , 2  x  7 2  

55.

56.

  ctg  ( x  1)   1 , 1  x  7 4 

57.

  ctg  ( x  1)   0 , 1  x  5 2     sin ( x  3)   1 , 3  x  9 2    tg  ( x  3)   1 , 5  x  9 4    x  3  2 cos    0 , 8  x  20  9 

 x  58. 1  2 sin   0 , 2  x  4  3

 x  59. 1  2 cos    0 , 5  x  20  15 

 x  60. 1  2 cos    0 , 3  x  10  8 

 4x  61. 1  2 sin   0 , 0  x 1  3 

62.

 x  3  2 cos    0 , 15  x  30  15 

 2x  63. 1  2 sin   0 , 1 x  2  3 

Укажите наименьший положительный корень уравнения: 1  x  3  x  64. cos     65. cos     2  12  6 2   66.

1  x  sin    2  6

67.

1  x  sin    2  12  Решить уравнение и в ответе укажите

1  x  cos     2  6

68.



 x0 :

1 , где x0 - наименьший положительный корень. 2 1 70. ctg 2 x  , где x0 - наименьший положительный корень. 3 3 71. sin 2 x  , где x0 - наименьший отрицательный корень. 4 1 2 72. tg x  , где x0 - наименьший отрицательный корень. 3 3 73. cos 2 x  , где x0 - наименьший отрицательный корень. 4 Решить уравнение и в ответе укажите произведение 322 x1  x2 , где x1 69.

cos 2 x 



наибольший отрицательный корень, x2 - наименьший положительный корень: 1 75. tg 2 x  1 74. sin 2 x  2 Решить уравнение и в ответе укажите сумму 32( x1  x 2 ) , где x1 

наибольший отрицательный корень, x2 - наименьший положительный корень: 76. 2 cos 2 x  5 sin x  4  0 . 77. 2 sin 2 2 x  7 sin 2 x  4  0 78. 3 sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0 79. 2 sin 2 x  sin x  1  0 Решите уравнение и в ответе укажите количество корней принадлежащих промежутку a; b : 80.

cos 2 x  sin x  1  0 , 0;2 

82.

cos x 

1 2

81.

tgx  0 ,  ;  

83.

2 sin x  ctgx  0 , 0;   1 cos 2 x  sin x   0 , 3;0 4

5 sin 2 x ď&#x20AC;˝ 2 ď&#x20AC; cos 2 x , ď &#x203A;ď&#x20AC;1;1ď ? 87. sin 2 x ď&#x20AC; 3 cos 2 x ď&#x20AC;˝ 0 , ď &#x203A;0;2ď ° ď ?

cos 2 x ď&#x20AC;Ť sin x cos x ď&#x20AC;˝ 1 , ď &#x203A;1; ď ° ď ? 86. cos 2 x ď&#x20AC; sin 2 x ď&#x20AC;˝ 0 , ď &#x203A;0;1ď ? 88. 3 sin 2 x ď&#x20AC;˝ cos 2 x , ď &#x203A;ď&#x20AC;ď ° ; ď ° ď ? 84.

85.

Đ ĐľŃ&#x2C6;Đ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; Ń&#x192;Ń&#x20AC;Đ°Đ˛Đ˝ĐľĐ˝Đ¸Đľ Đ¸ Đ˛ ĐžŃ&#x201A;Đ˛ĐľŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;ĐşĐ°ĐśĐ¸Ń&#x201A;Đľ ĐşĐžĐťĐ¸Ń&#x2021;ĐľŃ Ń&#x201A;Đ˛Đž ĐžŃ&#x201A;Ń&#x20AC;Đ¸Ń&#x2020;Đ°Ń&#x201A;ĐľĐťŃ&#x152;Đ˝Ń&#x2039;Ń&#x2026; ĐşĐžŃ&#x20AC;Đ˝ĐľĐš, ĐşĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đľ Đ˝Đľ ĐźĐľĐ˝Ń&#x152;Ń&#x2C6;Đľ đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; : 89. sin 2 x ď&#x20AC;Ť sin x cos x ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;2ď ° . 90. cos 2 x ď&#x20AC; sin x cos x ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;ď ° . ď ° ď&#x20AC;2ď ° 91. cos(6 x ď&#x20AC; 60 ď Ż ) cos 2 x ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC; . 92. sin(9 x ď&#x20AC; 45ď Ż ) sin 2 x ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ . 3 3 ď&#x20AC;5ď ° ď&#x20AC;3ď ° 93. tgx cos(3x ď&#x20AC;Ť 60 ď Ż ) ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ . 94. sin 2 x cos(45ď Ż ď&#x20AC; x) ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ . 2 2 ď&#x20AC;2ď ° 95. cos(3x ď&#x20AC; 30 ď Ż ) sin 5x ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ . 3 Đ ĐľŃ&#x2C6;Đ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; Ń&#x192;Ń&#x20AC;Đ°Đ˛Đ˝ĐľĐ˝Đ¸Đľ Đ¸ Đ˛ ĐžŃ&#x201A;Đ˛ĐľŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;ĐşĐ°ĐśĐ¸Ń&#x201A;Đľ ĐşĐžĐťĐ¸Ń&#x2021;ĐľŃ Ń&#x201A;Đ˛Đž ĐżĐžĐťĐžĐśĐ¸Ń&#x201A;ĐľĐťŃ&#x152;Đ˝Ń&#x2039;Ń&#x2026; ĐşĐžŃ&#x20AC;Đ˝ĐľĐš, ĐşĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đľ Đ˝Đľ ĐąĐžĐťŃ&#x152;Ń&#x2C6;Đľ x 0 : 96.

cos( x ď&#x20AC;Ť 120 ď Ż ) sin 4 x ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ 2ď ° .

97.

sin(4 x ď&#x20AC; 60ď Ż ) cos( x ď&#x20AC;Ť 30ď Ż ) ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ 3ď ° .

98.

sin(3x ď&#x20AC;Ť 135ď Ż ) cos( 2 x ď&#x20AC; 60ď Ż ) ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ ď ° . x tg (2 x ď&#x20AC; 60 ď Ż ) cos ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ 2ď ° . 2 3ď ° ď&#x192;Śx ď&#x192;ś ctg (3x ď&#x20AC;Ť 120 ď Ż ) sinď&#x192;§ ď&#x20AC; 60 ď Ż ď&#x192;ˇ ď&#x20AC;˝ 0 , x 0 ď&#x20AC;˝ . 2 3 ď&#x192;¨ ď&#x192;¸ 4ď ° . sin( x ď&#x20AC; 30ď Ż ) cos 2 x ď&#x20AC;˝ sinď&#x20AC;¨x ď&#x20AC; 30ď Ż ď&#x20AC;Š , x 0 ď&#x20AC;˝ 5 5ď ° . sin 3x cos 2x ď&#x20AC;˝ cos 2 x , x 0 ď&#x20AC;˝ 3 2ď ° . 2 cos( x ď&#x20AC;Ť 60ď Ż ) cos 3x ď&#x20AC;˝ cos ď&#x20AC;¨x ď&#x20AC;Ť 60ď Ż ď&#x20AC;Š , x 0 ď&#x20AC;˝ 5 sin 5x cos 6 x ď&#x20AC;˝ sinď&#x20AC;¨5x ď&#x20AC;Ť 180 ď Ż ď&#x20AC;Š , x 0 ď&#x20AC;˝ 3ď ° .

99. 100. 101. 102. 103. 104.

2ď ° . 3 106. Đ ĐľŃ&#x2C6;Đ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; Ń&#x192;Ń&#x20AC;Đ°Đ˛Đ˝ĐľĐ˝Đ¸Đľ tgx sin(2 x ď&#x20AC;Ť 30ď Ż ) ď&#x20AC;˝ tg ď&#x20AC;¨x ď&#x20AC;Ť 180ď Ż ď&#x20AC;Š . Đ&#x2019; ĐžŃ&#x201A;Đ˛ĐľŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;ĐşĐ°ĐśĐ¸Ń&#x201A;Đľ ĐˇĐ˝Đ°Ń&#x2021;ĐľĐ˝Đ¸Đľ Đ˛Ń&#x2039;Ń&#x20AC;Đ°ĐśĐľĐ˝Đ¸Ń? sin x0 , ĐłĐ´Đľ x0 - Đ˝Đ°Đ¸ĐźĐľĐ˝Ń&#x152;Ń&#x2C6;Đ¸Đš ĐşĐžŃ&#x20AC;ĐľĐ˝Ń&#x152;. 105. cos( 4 x ď&#x20AC;Ť 90ď Ż ) sin(2 x ď&#x20AC; 180ď Ż ) ď&#x20AC;˝ sin 4 x , x 0 ď&#x20AC;˝

107. Решить уравнение sin(2 x  180 ) cos( 4 x  90 )  sin 2 x . В ответе укажите значение выражения cos 3x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень.

2 cos 2 x sin(5x  90 )  cos 2 x . В ответе укажите значение выражения sin 20 x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень. x x  109. Решить уравнение 3 sin  2 cos   270  sin 3x . В ответе укажите 3 3  значение выражения sin 9 x 0 , где x0 - наибольший отрицательный 108. Решить уравнение

корень. 110. Решить

уравнение

cos( 2 x  270 )tgx   sin 2 x .

ответе

укажите

значение выражения sin x0  , где x0 - наибольший отрицательный корень. cos x 111. Решить уравнение  0 . В ответе укажите значение выражения 1  sin x 2 sin x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень. 2

sin 2 x  0 . В ответе укажите значение выражения 1  cos 2 x sin x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень.

112. Решить уравнение

sin( x  45 )  0 . В ответе укажите значение    cos x  2   2   выражения cos 4 x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень.

113. Решить уравнение

cos( x  60 )  0 . В ответе укажите значение   3  cos x    2   выражения sin 60 x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень.

114. Решить уравнение

cos 2 x  0 . В ответе укажите значение выражения 1  sin 2 x sin 40 x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень.

115. Решить уравнение

sin x  0 . В ответе укажите значение выражения 1  cos x sin10 x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень.

116. Решить уравнение

117. Решить уравнение

cos x  0,5  0 . В ответе укажите значение cos( x  30 )

выражения sin 2 x0 , где x0 - наибольший отрицательный корень. sin x  0,5 118. Решить уравнение  0 . В ответе укажите значение cos( x  60 ) выражения sin 6 x0 , где x0 - наименьший положительный корень.

3 2  0 . В ответе укажите значение 119. Решить уравнение sin x  0,5 выражения cos 6 x0 , где x0 - наименьший положительный корень. cos x 

sin x  0,5

 0 . В ответе укажите значение 3 2 выражения sin x0 , где x0 - наименьший положительный корень. 121. Решить уравнение sin 2 x  sin 3x . В ответе укажите значение выражения 120. Решить

уравнение

cos x 

sin 5x0  2 , где

x0 - наименьший положительный корень.

x  cos 2 x . В ответе укажите значение выражения 3 sin 7 x0 , где x0 - наименьший положительный корень. 123. Решить уравнение tgx  tg 4 x . В ответе укажите значение выражения

122. Решить уравнение cos

sin 2 x0 , где x0 - наименьший положительный корень. Найти решение уравнения на указанном промежутке (в ответе знак градусной меры не писать): 124. cos 3x  sin 2 x , 75  x  150 125. cos 4 x  sin 2 x , 0  x  60 126. cos 4 x  sin 6 x , 45  x  90 127. cos 4 x  sin 5x  0 , 270  x  350 128. cos 6 x  sin 3x , 90  x  170 129. cos 2 x  sin 8x  0 , 0  x  45    130. cos2 x  630   sin4 x  540  , 90  x  180 131. sin3x  450   sin6 x  540  , 10  x  45

132. cosx  360   cos2 x  270  , 270  x  360 133. cos 3x  180   sinx  450  , 0  x  180

134. cos 5x  180   sin4 x  630  , 40  x  90 135. cos 3x  360   sin9 x  810  , 0  x  30 61

136. cos4 x  180   sin2 x  90  , 180  x  270 137. cos2 x  90   sinx  720  , 180  x  360 sin 6 x    1 , 170  x  200 sin 4 x sin 4 x   140.  1 , 80  x  150 cos 5 x sin 2 x   142.  1 , 0  x  90 cos 3x cos 5 x   144.  1 , 80  x  120 sin 4 x

cos 3x    1 , 180  x  280 sin 2 x sin 2 x   141.  1 , 150  x  240 sin 7 x sin 24 x   143.  1 , 25  x  30 cos 6 x

138.

139.

Найдите число корней уравнения: 145. cos 4x  1  15x  4 x 2  4 x 3 146. 3cos 2 2 x  4 sin 2 x  3 24  x 2  0 147. 3  tg 2 3x  4  x 2  0

Решите уравнение и в ответе укажите сумму корней , принадлежащих промежутку 0;2  , умноженная на величину 1 :



cos x 148. tgx  cos x

sin x 149. ctgx  sin x

ctgx

151. sin x 

152. ctgx  

2ctgx

150. cos x 

tgx 2tgx

sin x 3 sin x

Уровень С Решите уравнения: 3x 5 15 x 2 156. 16  5 x  2  4  cos 2 4 158. 2 3 cos10x  3 cos10x   8  (20 x  3)2

2x 5 5  x 2 155. 16  2 x  3  4  cos 2 3 157. 2 2 cos15x  2 cos15x   4  (10 x  1)2

153.

16  4 x  5  4  cos 2

159. 3

2 sin 15x



2 sin 15x

154.

9  2 x  7   3  cos 2

  9  (5x  3)2

14x  14x   160. 16 x 2  24 x  12   3  cos  3  cos  3  3   62

5x  5x   161. 25 x 2  60 x  39   3  cos  3  cos  4  4   5x  5x   162. 25 x 2  20 x  6   2  cos  2  cos  4 4    163. cos 16x  sin 4x 1  0 164. cos 4x  sin 5x 1  0 165. sin x  1  ctgx  1  0 167. 1 

166. cos x  1  tgx  1  0

sin 2 x  cos 2 x cos x

168. cos 2 x  3sin 2 x  2 2  sin x 170. sin x  cos x  cos 2 x

169. 3 cos 2 x  sin 2 x  2 2  cos x 171. 4tgx  3 tgx  sin 2 x

Найдите положительный корень (или сумму таких корней, если их несколько) уравнения: x x 172. cos 173. cos  31,5 x4  4 x3,5  22 x5 x  15 x4 x x  130  2 x 175. 63 cos 1 174. sin  1,5  log0,5 x x4 2x  8 176. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения

1  2 cos 2

x 2





 33  x  7 x  2  0

x  3 1

Найдите все значения x  0;2  , при которых имеет место равенство:

1 1 1 1  1 1 1 1 x   cos x  sin . 178.   cos x  cos . 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 179. Найдите положительный корень (или сумму таких корней, если их  8  2 несколько) уравнения  tg   5x  6 x  0 x   Решите уравнения: 1  tgx  tg 2 x  tg 3 x    tg n x    1  sin 2 x, tgx  1 180. 1  tgx  tg 2 x  tg 3 x    (1) n tg n x   177.

181.

1  sin x  1  sin x  1  cos x

182.

1 1  cos 2 x  4  cos 2 x  1 2 2

183. 2  sin x 

1  sin x  1  sin x



cos 2 x  1  sin 2 x  2 sin x  cos x

184.

1  sin x  1  sin x 185. sin x  cos x  1.4

186. sin5 x  cos 5 x  2  sin4 x



2   187. sin x  3 cos x  5  cos   4 x  3 

188. 2  3 sin 2 x  cos 2 x  2 sin 2

189. 2  3 cos x  sin x  4 sin 2 x

190. 2  3 sin x  cos x  4 cos 2 x

191.

2  cos x  sin x  2 2 sin 2 x

cos 3 x  sin 3x  sin 2 x  cos x  6 cos 2 x  cos 2 x sin x cos 3 x  sin 3x sin3 x  cos 3x 193.   3 sin 2 x  cos x cos x cos 2 x sin3 x  cos 3x 194.  cos 2 x  sin 3x  6 cos 2 x  sin 2 x cos x sin3 x  cos 3x 195.  cos 2 x  sin 3x  6 cos 2 x  sin 2 x cos x

192.

196. sin x 1  cos x  2 sin x  sin x  cos x 197. cos x 1  sin x  2 cos x   sin x  cos x 198. sin x 1  cos x  2 sin x  sin x  cos x 199. cos x 1  sin x  2cox  sin x  cos x

2 sin 3x cos 6 x  sin x cos 2 x 2 sin 3x cos 6 x 202.  sin x cos 2 x 200.

204.

sin 3x 3 sin x   2 sin x sin 3x

201.

sin 6 x cos 3x  sin 4 x cos x

203.

sin 6 x cos 3x  sin 4 x cos x

205.

cos 3x 2 cos x   1 cos x cos 3x

cos 3x 3 cos x   1 cos x cos 3x sin 6 x  cos 6 x 7 209.  cos 4 x  sin 4 x 10 sin 3x sin x 211.   2 cos 2 x sin x sin 3x 213. cos 3x  cos x  sin 2 x

sin 3x 3 sin x   2 sin x sin 3x 2 sin 4 x  3 cos 2 x 10 208.  2 cos 4 x  sin 2 x 7 cos x cos 5 x 210.   8 sin x sin 3x cos 3x cos x 212. sin 3x  sin x  sin 2 x 206.

207.

x 2

Найдите все корни уравнения: sin 6 x cos 6 x   214.  , принадлежащих интервалу  0; . sin x  cos x cos x  sin x  2

3 cos x  sin x 3 sin x  cos x     , принадлежащих интервалу   ;0 . cos 6 x sin 6 x  2  Решите уравнения: 13 7 217.  cos 2 x  ctgx  0 216.  sin 2 x  sin x  cos x 3 2 cos 2 x  cos x 3 219.  tg 2 x 218.  cos 2 x  sin x  cos x sin 2 x  tgx 2 215.

ctgx  tgx  ctg 2 x 3 sin x  cos 2 x ctgx  tgx 222.  ctg 2 x cos x  3 cos 2 x

221.

220.

224.

17  7 sin 2 x  3 cos x  5 sin x

226.

17  7 sin 2 x  5 cos x  3sin x

2 cos x  sin 2 x  tg 2 x ctgx  sin 2 x

223.

5  cos 2 x  cos x  3sin x

225.

5  cos 2 x  sin x  3 cos x

Найдите наименьшее натуральное число n, при котором выполняется равенство: 227. sinn  80   sinn  40   sinn  70   cos 25  0 228. cos n  20   cos n  80   sinn  80   sin15  0 229. sinn  100   sinn  20   sinn  50   cos 5  0

230. cosn  50   cosn  10   sinn  130   sin 75  0 Решите уравнения: 231. 4  3 cos x  cos 2 x  6 sin x 233.

7  cos x  6 cos 2 x  4 sin x

235.

5tgx  10 

237.

12  6 2tgx  3 sin x 

5 1 sin x  2 cos x

2 cos x

232.

4 sin x  cos 2 x  5  2 2 cos x

234.

8 sin x 

236.

7  4 2 sin x  2 cos x  2tgx

13  2 cos x  2tgx 3

Уровень D 238. Решите уравнение tgx  ctgx  tg 2 x  ctg 2 x  tg 3 x  ctg 3 x  6 239. Сколько корней имеет уравнение x 2  2 x sin xy  1  0 в прямоугольнике 1  x  1, 0  y  2 ? 240. Сколько корней имеет уравнение прямоугольнике 1  x  1, 0  y  2 ? 241. Сколько

x  0,5

242. Сколько

x2  y 2 

x4  2 x2 cos xy  1  0

уравнения

sin   x  y   0

принадлежит

кругу

1 ? 4 корней уравнения

sin   x  y   0

принадлежит

кругу

корней

 y2 

1 ? 2

243. Сколько корней уравнения

x 2   y  0,5  2

   x  y    0 принадлежит кругу cos   2  

1 ? 4

Сколько корней имеет уравнение: 244. 5x  5 x  2cos x ?

245. 3x  3 x  2

cos2 x

x

1 1 246.       2cos x ? 2 2 x

247. 10x  10 x  1  2sin x ?

x

 1   1       3  2sin x ? 248.   7  7 Решите уравнения: 249.

cos 4 x  cos 3x  cos 2 x  cos x  sin 4 x  sin 3x  sin 2 x  sin x

250.

sin 4 x  sin 3x  sin 2 x  sin x  cos 4 x  cos 3x  cos 2 x  cos x

2 1  2 sin 2 x   sin x  sin  x  4  cos 2 x

  2 sin x  sin  x  4  66

2  1  2 cos 2 x

251.

cos 4 x  cos 3x  cos 2 x  cos x  sin 4 x  sin 3x  sin 2 x  sin x

252.

sin 4 x  sin 3x  sin 2 x  sin x  cos 4 x  cos 3x  cos 2 x  cos x

253.

2 sin 3x  sin 5 x 1 sin x

254.

 3  1sin 3x  sin 5x 

2 cos 3x  cos 5 x 1 cos x

256.

 3  1cos 3x  cos 5x 

255.

  sin x  cos   x  4   cos 2 x

   2 sin x  cos   x   4 

sin x

cos x

257. 2 sin5 x  3cos10 x  5 259. sin54 x  cos 47 x  1 3x 6 261. 5 cos 7 x  cos 2 263. cos x  cos 7 x  cos 9 x  3

258. sin20 x  cos 36 x  1 260. sin11 3x  cos 3110 x  2

265. cos 4 x  cos 2 x 2  4  cos 2 3x

266. sin2 2 x  1  cos 2 3x  0 1  2  tg 2 x  9  268. cos x  cos x 2tgx  y 2  6 y  10 270. 2 1  tg x

262. sin 2x  sin 3x  sin 4x  3 264. 9 x6  sin8 2 x  cos14 2 x  1

267. sin 6x sin 2 x  1 269. cos 2 x  1  y 2

1  tg 2 x  y 2  8 y  17 1  tg 2 x 273. 6 sin x  sin x cos x  6(1  cos x) 271.

272. 5 sin x  12 cos x  3 y 2 18 y  40

275. sin x  cos x  1  sin 2x

274. 7  sin 2x  7 sin x  7 cos x 276. sin x  cos x  sin 2 x 1

Тригонометрические неравенства. Уровень А Решите неравенства: 277. cos x  1 280. cos x  1 283. cos x  0

278. cos x  1 281. sin x  1 284. cos x  0 67

279. cos x  1 282. sin x  1 285. sin x  0

286. sin x  0 289. ctgx  0

287. tgx  0 290. ctgx  0

292. cos x  1

293. sin x  1 1 296. sin x  2

1 295. sin x  2 2 2 1 301. cos x   2 298. sin x 

304. cos x 

2 2

288. tgx  0 291. cos x  1 294. sin x  1

3 2 1 302. cos x   2 299. sin x 

305. cos x  

307. tgx  1

308. tgx   3

310. сtgx  1

311. сtgx  3

2 2 3 sin x  2 2 cos x  2 1 tgx   3 1 сtgx  3

297. sin x 

3 2

300. 303. 306. 309.

Все решения неравенства образуют промежуток, определите его длину:   5 312. arccos x  313. arccos x  314. arccos x  3 6 6 2 315. arccos x  3 Решите неравенства: 1 3 316. sin 2 x  317. 2 sin 3x  1 318. cos 3x  2 2

3 2   322. tg  2 x     3 4  325. tg 4 x  3 319. sin 3x 

 1  320. sin x    6 2  3 x  323. ctg     3 6 3   326. cos 4 x  4

2 x  321. sin     2 3 4 4 324. sin x  9

327. sin 3x  3

Уровень В Найти наименьшее неотрицательное целое число являющееся решением неравенства на промежутке   ;   : 1 328. sin x  сosx  329. 4 cos x  sin 2 x  0 330. 3 sin x  sin 2 x  0 4 68

1 . 4 Найти наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства: 1 333. sin x  1 . 334. cos x  . 332. 2 cos x  2 . 2 335. 2 cos x  1 . 336.  sin x  0,5 . Найти число целых решений неравенства: 337. sin x  0,5 3 на промежутке  2 ;0 .  3 3  ; . 338. cos( x)  0,5 3 на промежутке   2 2 331.  sin x  сosx  

339.  sin( x)  0,5 3 на промежутке  2 ;0 . Решите неравенство и в ответе укажите количество целочисленных решений, принадлежащих отрезку a, b :    340. 2tg 2 x  3tgx ,  ;   4 4 342. 4 cos x  sin 2 x  0 ,   ;  

   341. 3tg 2 x  5tgx ,  ;   4 4 343. 3 sin x  sin 2 x  0 ,   ;  

  7  344. cos 2 x  5 sin x  2  0 ,  ;   6 6     346. sin x  sin 2 x ,  ;   2 2

   345. 2 cos 2 x  sin x  1  0 ,  ;   4 4    347. 3 sin x  2 cos 2 x ,  ;   2 2

   348. 2 sin 2 x  7 sin x  3  0 ,  ;   2 2    350. 2 sin 2 x  5 cos x  4  0 ,  ;   2 2

   349. 2 sin 2 x  5 cos x  4  0 ,  ;   2 2    351. 4 cos 2 x  3 sin x  3 ,  ;  .  2 2

 2 2  ;  352. 2 sin 2 x  cos x  1  0 ,   3 3 

 4  ;0 . 353. cos x  3 sin x  1 ,   3   3  355. 3 cos x  sin x  2 , 0;  .  2 

354. sin x  3 cos x  1 , 0;   . 356.

19 25 

; 3 cos x  sin x  2 ,    12 12 

358. cos x  3 sin x  2 , 0;   .

 5   ;  357. cos x  3 sin x  2 ,   3 2 359. sin x  3sin 3x  sin 5x  0 , 0;  

  360. cos 2x  cos 4x  3 cos 3x  0 , 0;   2   362. 2 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2 , 0;   4

   361. cos x  5 cos 2x  cos 3x  0 ,  ;   2 2 2 363. 3 sin x  6 sin x  cos x  7 cos 2 x  2 ,   0; 4   

364. 7 sin 2 x  8 sin x cos x  cos 2 x , 0;  .

365. 1  4 cos 2 x  2 sin x cos x , 0;   .

366. 6 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  1 ,   0; 2  .  

  367. 4 cos 2 x  2 sin x cos x  3 , 0;  .  2

368. 7 sin 2 x  3sin x cos x  2 cos 2 x  4 ,   0; 2  .  

  5  369. cos 6 x  sin 6 x  0 ,  ;  .  24 24 

 3  370. cos 2x  cos x  0 , 0;  .  2 

372.

  371. 2 cos x  8 cos x  sin 2 x  3 , 0;  .  4    373. 2 cos 2  x    3 cos 2 x  0 , 4 

sin x  cos x , 0;   .

374. sin

2x 3  3 2

  0; 2    3x 3x  cos 375. sin 2 2

  , 0;  . 2 



  , 0;  . 2 



Уровень С Решите неравенства:     3 3 376. sin 3 x  sin  3x   cos 3 x  cos   3x   8 2  2      377. ctgx  ctg  x    2ctg  x    0 2 3  

378. 2 sin 2 x  sin x  sin 3x  1 380. 4 sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x cos 2 2 x  3tgx 382. cos 2 x

379. ctgx  tgx  2tg 2 x  4tg 4 x  8 3

381. sin2 x  10    sinx  10    sin x  0 383. 3 cos 2 x  sin x  sin 3 x  0,5

cos x  2 cos 2 x  cos 3x 1 cos x  2 cos 2 x  1 386. 2 sin x  1 . 388. tg 3 x  tg 2 x  tgx  1  0 .

385. 8 sin 4 x  8 sin 2 x  sin x  1  0

384.

sin x   cos x .

387.

389. 2 sin x  1  6 sin 2 x  6 sin x  12 .

390. 2 cos x  1  8 cos 2 x  8 cos x  12 . 391. cos 2 x  sin 2 x  3  cos x  2  0, x  392. sin 2 x  cos 2 2 x  1  2 . 394.

7  cos 4 x  2 cos x 2

396.

5  3 cos 4 x   cos x 8

 4

393.

5  3 cos 4 x   sin x 8

395.

7  cos 4 x  2 sin x 2

Уровень D Докажите неравенства:

27 256

397. 1  cos x  sin 2 x

398. sin 2 x  cos 6 x 

399. sin x  cos x  1

400. sin x  sin 2 x  sin 3x 

1 1 sin 2 x  sin 3x  0, x  0;   2 3 1   , x   0;  402. 1  tgx  1  sin x  2 403. sin x  sin 2 x  ...  sin nx  n, n  2 401. sin x 

  404. sin x  tgx  2 x, x   0;   2 405. sinx1  x2  ...  xn   sin x1  sin x2  ...sin xn , x1 , x2 , ...,xn  0;   406. sin x1  sin x2  ...  sin x n  sin

x1  x2  ...  x n , x1 , x2 , ...,xn  0;   n

3 4

§2.5. Обратные тригонометрические уравнения и неравенства Обратные тригонометрические уравнения. Уровень А Решите уравнения:  1. arcsin x  6 4.



arcsin x 

arcsin x  

10.

arccos x 

13. 16.

arctg x  arctg x 

2 .



arcctg x 

 3



arcctg x   arcctg x  

 6



arcsin x 

arcsin x  

11.

arccos x 

14.

arctg x 



 3

arctg x   arctg x  

23.

arcctg x 

 6



arcctg x  



20.

26.



arcsin x  

17.

22.

28.



arctg x  

25.



19.

 2



arcsin x 

arcsin x  

arccos x 

12.

arccos x 



2 .



15.

arctg x 

18.

arctg x  

 2



21.

arcctg x 

24.

arcctg x 

27.

arcctg x  



 3

Уровень В 29. 30. 31.

Найти значение величины arccos x  arctg 3 .

10x0 , где x0 – корень уравнения

Найти корень уравнения arcsin 3x 2  4 x  1  arcsin x  1 или сумму корней, если их несколько. Решить уравнение arccos 4 x 2  3x  2  arccos 3x 2  8x  4   . В ответе указать значение величины 7n  p , где n – наибольший корень уравнения, p – количество корней этого уравнения. 72

32. 33. 34.

Решить уравнение arctg 4 x 2  8x  9  arctgx 2  0 . Если корней несколько, то в ответе указать сумму всех корней. x 2  4x  3 x3  arcsin  0 . Если корней Решить уравнение arcsin 3 3 несколько, то в ответе указать сумму всех корней. Решить уравнение arcsin 2 x 3  2 x 2  3x  0,2  arcsin 3x 2  2 x  0,2 . В ответе указать сумму корней, умноженную на их количество.

Решить уравнение (если корней несколько, то в ответе указать сумму всех корней): x 2  5x  6arcsin x  0 . x  22 x 2  7 x  3arccos x  0 35. 36. 2 2 7  2 arccos x  arccos x  0 38. 37. 12 arcsin 2 x  3 arcsin x  2  0 6 5 arcsin 2 x  arccos 2 x   2 39. 4 40. 12 arcsin 2 x  6 arccos x  2 arccos x  0

Уровень С Решите уравнения: 41. cos arccos( 4 x  9)  x 2  5x  5 43. 45.

arccos x    x 2  1

arcsin x 2  4  arcsin 2 x  4

2 arcsin x  arcsin 2x x  49. arcsin x  arcsin  2 2 2 53. 55.

sinarcsin( x  1)  x 2  4 x  5

44.

2 arcsin x    x  1

46.

arccos( 3x  16)  arccos x 2  26

2 arcsin 3x  arcsin 2x x  50. arcsin x  arcsin  3 2

47.

51.

42.

48.

arcsin x  arccos x 

52.

18 1 arcsin  x    x 4  2 x 3  x 2  2 2 6 arcsin 3  x   1  x 2  3x  2

54.

1 arcsin    2  x 2  x  2

  x 3 arcsin x  1  3  4 x 4  4 x 3  4 x 2 



Сколько корней имеет уравнение: 56. arcsin 0,5x   sin 6 x  cos 6 x   0

57. 73

arccos 0,5x   sin 5 x  cos 5 x   0

Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения: 58. arcsin 0,25x   lg9  x 2   0 . 59. arcsin x 2  4  ln9  x 2   0 . Решите уравнения: 2x 1  60. arctg  arcsin x  x 2 x 1  62. arctg  arcsin 3x  3x 2 64. arctg 3x  arccos 8x 66.

61. 63.

x 1   arccos 2 x  2x 2 2x 1  arctg  arcsin x  x 2

arcctg

2 arcsin 2x  arccos 7 x 7 67. 2 arccos x  arccos x 3 65.

arcsin 5x  arcctg 6 x

Уровень D Решите уравнения: 1 7 2 4 68. arctg  arctg  arctgx 69. arctg  arctg  arctgx 3 3 3 3 Решить уравнение (если корней несколько, то в ответе указать сумму всех корней): 70.

arcsin sin x   2 x  1

72.

arcsin x  arcsin 2 x 

74.

arccos x  arctg 4 x  

75.

76.

arcsin 3x  2  arcctg 2 x  2

77.

78.

2arctg x  arcctgx  1

79.

80.

cos arccos x  3  2 x  1 

82.

arcctg 3x  2  arctg 2 x  1

71.

2 3

73.

13 2

81. 83.

  6x  arcsin x 3   arcsin x  2

arcsin x 3 

7x  2 4x  3  arccos 13 13 2 arcsin x  arccos x 19 sinarcsin x  2  4 x  1  4 2x  3 arctan 3  x  arccos 2 2 arcsin 2x  arccos 7 x arcsin

Решите уравнения (если корней несколько, то в ответе указать сумму всех корней умноженную на количество корней): 84. arccos x  1  2 arccos x 85. arcsin x  arccos 1  x 86. Решить уравнение arcsin x  2 arctan x . В ответе указать произведение наименьшего корня на количество корней этого уравнения. 74

87. Решить уравнение arccos 3x  4  2 arctan 5  3x  . Если несколько, то в ответе указать сумму всех корней. 5 arcsin 2 x  arccos 6 x  2  88. Решить уравнение . Если 6 несколько, то в ответе указать сумму всех корней. 89. Решить уравнение arcsin x  1  arcsin  y  1   . В ответе значение величины a+b, где (a;b) – решение этого уравнения. 90. Решить уравнение arccos x  y   arccos x  y    . В ответе значение величины a+b, где (a;b) – решение этого уравнения. 91. Решить уравнение

arcsin 1  2 cos x   arccos 1  3tgx 



корней корней указать указать

. В ответе

7   указать количество корней этого уравнения принадлежащие   ;  . 2  

92. Решить уравнение

arcsin x



1  arcsin x   arcsin x       ...  . 5      

Неравенства. Уровень D Найти сумму наибольшего и наименьшего числа, удовлетворяющих неравенству: 7 94. arcsin x 2  2 x  1  arcsin 2 x  4 93. arcsin 2 x 2  x  1  arcsin 8 95. Найти сумму наибольшего и наименьшего числа, удовлетворяющих 2 неравенству arccos 16 x 2  10 x  1  . 3 Решите неравенства: 96. 98.

arccos( 2 x  1)  arcsin( 2  3x) 



100. arcsin( 3x  2)  arcsin( 5x  3)

arccos 2 x 

99.

arccos( 4  7 x) 

101. arctg



97.

1  arctgx x

5 6

§2.6. Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения. Тренировочные задания Решите уравнения: 1. 2. 3 x  35 6 x  63 5. 132 x  134 6. 8 2 x 3  87 3 x 7 2 x 5 9. 10. 1319 x  11x6 5 5 13. 5 x  1 14. 9 x  81 x 4 17. 5  25 18. 52 x7  5 21. 9 x  4  1 22. 57 x8  0

3. 7 x  77 7. 33 x1  3x5 11. e 4 x6  e x3 15. 3 x  27 19. 125 x8  144 23. e 4 x6  1

4. 8 x1  85 8. 114 x  115 x 12. 5 x  125 16. 3 x  0 20. 125 x8  144

Уровень А Решите уравнения: 24.

313 x 

1 3

25.

43x  2

27.

52x  125

28.

3 2 x 5 

7 x 7  49 7 5 33. 3 5 2 x 3  4 5 2 36. 3 8 x 1  2 8 39. 5 4 x  4  2 Решите уравнения: 9 42. 32 x 1  5 3

31.

8 x4  2 2 10 10 2 x  6  4 10 27 4 9 x 5  5 3 49 3 7 4 x 3  7

30.

34. 37. 40.

1 27

9 x2  27

29.

6 x 1 

32.

5 x 4

35. 38.

25 2 x 1 

41.

2 5 x2 

4 x1  11 4 x2  15  24 7  6 x  6 x1  62 7  2 x1  5  2 x3  468 325 2  6 x  3  6 x 3  3

45. 47. 49.

50.

5 x  9  5 x3  580

51.

6 5

2 x  5  2 x1  7  25

5 x2  12  5 x1  565 7 x  5  7 x2  378 3x3  8  3x2  33

1 216  25

36 x 5 

43.

44. 46. 48.

26.

4 2

22 52. 81 Решите уравнения: 2x 3 3  25  54.      5  9  3 x  2  15  3 x 2 

57.

4   5

60.

16

63.

x2

5   4

53. 3x

55.

4  27      3    64 

58.

4 3     9 2

4

3

1   4 x 1 2 2 x 7 6 0 x 3

61. 64.

1   3

32 x8  2 x4  0

67.

69.

 1  2x 5 x 1  3  4  0 4  

70. 16 6

3 x2

75.

x 1   6 3  0 4 2,5  4 x  8  5 x1

78.

32 x1  1944  22 x1

x 1

4   7

7

1 3    8 2  

59.

5  36      6  25 

x 1

62. 65.

x2

0 , 5

56.

5

9 4     2  81  3x 2 x 5 7  0

66.

72.

 49     16 

13

 16  3     9 4 x 2 4 2 x 2 3 0

2 x 1

 52 x4  0

68.

1   2

 4  5x  0

71.

52 x  36 x  0

 512 x  0

73.

8  3x  243  2 x2

74.

17 x 1  102  6 x 4

76.

3  7 x  51 x  7  3x

77.

7 x 1  105 15 x

79.

5 x1  1625 13 x3

80.

2 2 x8  152 19 2 x2

81. 35  7 2 x4  25 x1 82. 3  1,5  3x1  23 x1 Решите уравнения: 83. 9 x  75  3x1  54  0 84. 4 x1  15  2 x1  1  0 85. 25 x  175  5 x2  60  0 86. 49 x1  55  7 x 1  56  0 x2 x 1 88. 100𝑥 − 70 ∙ 10−𝑥 − 300 = 0 87. 4  30  2  1  0 89. 25 x  120  5 x1  25  0 90. 9 x1  26  3x  3  0 x x 1 91. 4  30  2  16  0 92. 25 x1  49  5 x  2  0 93. 23 x10  33 x9  33 x7  23 x9  0 94. 2 2 x8  52 x7  2 2 x10  52 x8  0 x x 2 x 2 x 3 95. 3  2  3  7  2  7  0 96. 24 x3  24 x  7 4 x1  7 4 x2  0 97. - 3  52 x 2  2 22 x  52 x1  2 2 x  0 98. 2  23 x  33 x2  4  23 x2  33 x  0 x 1 x x 1 x 99. 5  7  4  3  3  2  7  0 100. 4  6 x1  5 x  5 x1  6 x2  0 101. 52 x1  22 x  52 x  22 x2  0 102. 4  34 x  24 x1  34 x1  24 x  0 103. 21 x   1  2

x 3



1 2

x4



1 4

x 5

104. 3 x 1   1 

 130

3

1 x

 9 x2 

1 9 3 x

 258

105.  1   5 ( x 1)  5

1 25 x  2

 725  0

106. 6

2 x

1 107.   2

108.  1 

 2 x 3  80  4 x 4

109.  1   41 2 x  4 ( 2 x 1)  4

1 16

2x2

2 x 1

7

110.

 1328

1   6

1 2 x

 36 x 1  1326

1 4 x

 7 4 x  49 2 x 1  399  0

1 5 4 x 1    5

1 4 x

 25 2 x 

1  770 5 24 x

2 x

1 1  297 111.    3 x 3  9 4 x  3 Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 1 112. 6 x 1  1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2] 6 1). (-1;0) 2). (-1;-0,25] 3). (-2;-1] 4). (1;2] 113. 16 x 1  8 5 x 8 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2] 114. 12  144 1 115. 310x 2   0 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2] 9 1 0 116. 5 6 x 2  1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2] 25 1 117. 2 6 x 3   0 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2] 8 118. 10 6 x4  0,0001  0 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2] 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (2;4] 119. 815 x  32 x  0 5 x 2x 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (2;4] 120. 81  9  0 x 2  4 x 12 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;7) 4). [-2;6] 1 121. 5 122. 0,1x 123. 3

2  4 x 12

1

x 2  2 x 11

 95

x 2  2 x 9

 25

x 2  2 x 9

 16

124. 5 125. 4

2). (-8;-1] 3). (-1;7) 4). [-2;6]

1). [-6;-4] 2). (-8;-1] 3). (-1;7) 4). [0;6] 1). [-6;-4] 2). (-8;-1] 3). (-1;7) 4). [0;6]

1). [-6;-4] 2). (-8;-1] 3). (-1;0) 4). [0;6]

 1   126. (0,25)    2 1 2

1). [-6;2]

x

1   127. (0,36) 2   1 

 0,6   

1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (2;4] x

1). (1;3) 2). (-2;-1,5] 3). (-3;-2,5) 4). (0;1]

Уровень В Определите число корней уравнений: x

128. 2 x  2  x 131. 2 x 

1 1 x

134. 10 x  x  2 137. 3x1  x  10

129. 5 x  4  x 2

1 1 130.     x 2 4 2

132. 3 x  x  12

133. 6 x  1  2 x

135. 40,5 x1  1  x

136. 5 x1  3  x

Решите уравнения: 138. 3  9 x1  2  3x1  1  0 140. 6 2 x1  11 6 x  2  0

139. 7 x4  8  7 4 x  7  0 141. 5  25 x  3 10 x  2  4 x

142. 5  9 x  2 15 x  3  25 x  0 3 3 1 144. 4 4 x  1  12  4 x

143.

5x 1  7  5x

145.

6x  2  8  6x

146. 3 3 x 1  5  33  3 x 3 3  148. 4 x  1  3  4 x

147.

5𝑥 − 25 = 5 − 5𝑥−1

149.

6 x  2  2  8  36  6 x

151.

3 x  5  11  3 x

150.

2x  7  9  2x

152.

2 x 1  7  9  2  2 x

Найдите значение выражений: 153. 5 x  5 x , если 25 x  25 x  a 155. 5 x  5 x , если 25 x  25 x  11 157. 7 x  7  x , если 49 x  49  x  23 159. 4 x  4  x , если 16 x  16  x  142 161. 3x  3 x , если 81x  81 x  194

154. 156. 158. 160. 162.

2 x  2  x , если 16 x  16  x  527 3x  3 x , если 6 x  6  x , если 2 x  2  x , если 5 x  5 x , если

9 x  9  x  14 36 x  36  x  34 16 x  16  x  47 625 x  625 x  47

Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

 28  163.    5 

 21  165.    6

28x 5

29 x 8 x

 5     28 

5 x 2 127

 6    21 

 19  164.   7

8 x 2  29 x

19x 3

 37  166.    5 

71 x 3

7    19 

3 x 2 19

 5     28 

3 x  293

167.  33 

33 x 1 10

 34 

169.  51 

19 x 1

3

21x  x 2

12 x 1 12, 5

5    14 

7

 9  171.    23 

 34     33 

x 1

 23     9 

 14  168.    5

107

 25  170.    2 

19 x 1

 3 172.    17 

5

 5    14 

25x  4 x 2

x

1 x

160

 2     25 

 17     3

4 x 6 x 2

 x 1

Уровень С Решите уравнения: 173. 32 x3  33 x1  625 x2  600 x7 175. 29 x9  37 x3  56 x  720 x3 177. 213 x  3112 x  593 x  3603 x5 179. 38 x12  47 x10  252 x3  3603 x5 181. 3x1  4 x1  53 x5  5403 x 183. 4 x  7  2

x 3 2

3x16  4 4 x  53 x  5408 x 25 x18  34 x11  73 x4  504 x7 45 x  374 x  49 23 x  5042 x3 510  73 x6  82 x4  70043 x 52 x5  92 x  64 x1  600 4 x1 2x    x 0 , 25  2  3 3  30, 5 x 184. 9 6

174. 176. 178. 180. 182.

 2x

185. 6  5 2 x 3  5  5 187. 4  4 x 2  7  2

x 3 2

x 1 2

5x 2x 186. 7  2   3 1,5  2 2 x  4   3 

 5 x

 24  2x

189. 6 4 x  6  x  5  6

188. 5

3 x 1 2

1 2 x

 3

 x

 5 x  4  5



 2x

0, 5

190. 7  x1,5  71,51,5 x  342  7 2 x 3

3x2



 5x



x

1 2 x

191. 3  81x  3 2  26  3 2 192. 2 6  2 2  2 3 Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько: 2

193. 9  5 x  2  15 x  75  3 x  0 195. 64  9 x  84 12 x  27 16 x  0

194. 3 16 x  2  81x  5  36 x

197. 5  9

198. 2  7 x  14 x  21 2 x  0

x2

 22  15 1

x2

 15  25

x2

196. 4 x  6 x  2  9 x 4

0

2 4

200. 5  4 x  3 10 x  2  25 x  0

199. 3  2 x  6 x  2  3 x  0 201. 4  25 x  9  20 x  5 16 x  0

202. 9 16 x  2 12 x  32  9 x  0

Уровень D Укажите число целых корней уравнения 203.

1000  2 x  1000  2 x

204. 80

900  3 x  900  3 x

205.

800  4 x  800  4 x

207.

500  5 x  500  5 x

1000  6 x  1000  6 x

206.

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнений: x 9 x 209. 4 0,5  4 8  208. 4 0,5  4 8  40,5 2





 1  256 210.  4  4 27    3  3   x 36 212. 4 0,2  4 125  5



211.

 0,2  4



125



 257,2



Показательные неравенства. Тренировочные задания Решите неравенства: x

 10   10  216.      7 7

1 1 215.      3 3

214. 5 x  53

213. 4 x  47 9

7 7 217.       10   10 

218. 0,4 x  0,48 x

219. 4  4 x

220. 5  5 x

 10   10  222.      7 7 225. 4 x  16 x

1 1 228.    3 9

9

1 1 221.      3 3

7 7 223.       10   10  226. 9 x  81

224. 0,4 x  0,48 227. 3x  27

8 2 229.     5  125

230. 5 x  25

1 1 231.    49 7

232. 0,4 x  0,16

233. 2 x  32

234. 2  32

235. 2  0

1 1 236.     3 9  

5

237. 3  9

1 1 239.     49 7

238. 3  9

1 1 240.     7 49  

Уровень А Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству 5 10 1 242. 3 5 2 x 3  243. 10 2 x  6  241. 4 2 x 5  4 4 5 10 64 2 5 4 2 x 1 5 x2 x 1 4 3 3 244. 8  245. 25 246. 2   5 2 2 247. 2 x  5  2 x1  7  2 5 248. 4 x1  11 4 x2  15  2 4 249. 7  6 x  6 x1  62 250. 7  2 x1  5  2 x3  468

251. 2  6 x  3  6 x 3 

3

4  27  254.      3  64 

5   4

4

4 3 257.      9 2

9 4 259.      2    81 

 16  260.   9

3  25  253.      5  9  4 256.   5

x2

x 1

 49  252.    16 

325 3

7

4   7

1 3 255.    8 2

5

3   4

x 1

5  36  258.      6  25 

13

261. 7 x1  6 22 x  0

x2

2 x 1

262. 2 x2  342 x

1 263.   3

265. 52 x  36 x  0

266.

17 x 1  102  6 x 4

1 264.    512 x  0 2 267. 2,5  4 x  8  5 x1

268. 3  7 x  51 x  7  3x

269.

7 x 1  105 15 x

270. 32 x1  1944  22 x1

271. 5 x1  1625 13 x3

272.

2 2 x8  152 19 2 x2

273. 35  7 2 x4  25 x1

 52 x4

274. 3  1,5  3x1  23 x1 Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству 275. 22 x8  52 x7  22 x10  52 x8 276. 5  7 x1  4  3x  3x1  2  7 x  0

1 278. 21 x    2

277. 52 x1  22 x  52 x  2 2 x2

x 3



1 2

x4



1 4 x 5

 130

1 x

1 1 279. 3     9 x  2   258 3 93  x

1 280.   7

x 1

1 4 x

 7 4 x  49 2 x 1  399 1 2 x

281. 8  3  243  2 x

1 282. 6     36 x 1  1326 6 284. 2 4 x3  24 x  7 4 x1  7 4 x2 2 x 1

x 2

283. 4  34 x  24 x1  34 x1  24 x

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенству: x x 1 1 x2 286. 8  287.    4 285. 4 3  16 8 2 x

 1 5 288.    3 9

289. 5  25 3x

1 2 1 x 294. 5  125 1 297. 6 x 1  216

292. 4 5 

300. 5 x4  25

301.

291. 2 3 

303.

x4



1 3 290.    6 6

x 4

1 3

293. 9

298. 7 x 7  49 7

299. 8 x 4  2 2

36 x 5  7

4 x 3



302.

6 49

309. 5 x  9  5 x3  580

310. 3 x  2  15  3 x 2 

312. 53 x  7 2 x

313. 32 x8  2 x4

 45

1 316.   4

3 x2

6

305.

7 x x 2 307. 7  5  7  378

315. 16

1 3

296. 93x  3

304.



295. 3 x  27

2 x2 306. 5  12  5 x1  565

x 0,5 6

2 x 7

22 81

9 x 5  3

308. 3

2 x 1

x 3



 83

311. 16

x 3

5 x2

3  33 3

1 314.    32 x  4 5 x 1 4 x

2 3

320.  1   5 ( x 1)  5

3 9

1   4

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенству: 318. 3  52 x2  2 22 x  52 x1  2 2 x 317. 3 x  2  3 x 2  7 x2  2  7 x3 319. 4  6 x1  5 x  5 x1  6 x2  0

27 5

1 25x  2

 725

321.  1   41 2 x  4 ( 2 x 1)  4

323.  1   3

1 16

2 x

3

x 3



2x  2

1 9

4 x

322.

 1328

324.  1 

 297

2

325. 2  2 3x  33 x 2  4  2 3x 2  33x  0

335. 4

2  4 x 12

x 2  2 x 9

337. 310x 2  339. 5 x

2  4 x 12

2 x

 2 x 3  80  4 x  4

1 0 8 332. 815 x  9 2 x  0 330. 2 6 x 3 

334. 3x

2  2 x 11

 95

1  1   336. (0,25) 2    2

x

1 0 9

338. 10 6 x4  0,0001  0

1

340. 5 x

1   341. (0,36) 2   1 

2  2 x 9

 254

x

342. 9 x  75  3x1  54  0

 0,6   

343. 345. 347. 349. 351.

1  770 52  4 x

328. 125 x8  144

1

 16

 252 x 

326. 23 x10  33x 9  33x 7  23 x9  0

Решите неравенства: 1 327. 6 x 1  6 1 6 x2  0 329. 5 25 331. 815 x  32 x  0 333. 0,1x

1 4 x

1 54 x 1    5

4 x1  15  2 x1  1  0 49 x1  55  7 x1  56  0 4 x2  30  2 x1  1  0 25 x  120  5 x1  25  0 4 x  30  2 x1  16  0

344. 346. 348. 350.

25𝑥 + 175 ∙ 5𝑥−2 − 60 ≥ 0 25 x1  49  5 x  2  0 100 x  70 10 x1  30  0 9 x1  26  3x  3  0

Уровень В Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенству: 81 80 352. 3  5 x 1  6  5( x 1)  x 1 353. 5  4 x  2  x  2  0 4 5 31 x4 5 x x 5 355. 4  3  19  3( x  4 )  x  4 354. 162  3  2  3  0 3 3 357. 163  2  x  5  2 x  x 356. 54  33 x  2  3x3  0 2 84

358. 3  5 x3  75  5( x3)  0

359. 2  3 x 

360. 7  2 x4  448  2  x4  0

361.

362. 5  4 x  2 

7  61 3 x 3x

81  2  6 x  9  6x 6x

80 0 4 x2

Решите неравенства: 2 x 1

 1  1 x  1  363.     5 5

366. 0,5

x 1 x 1

3

364. 0,2 x 2  3 x 3

1 365.   3

1 5

x2

 3  x 5 7 368.    3 7 x 1

 2  3 3 x 9 369.    4 3

 27

x 1

1

1  1 x 367.    8 2

1  32

x 1 x

 1  1 2 x 370.    36 6

3  3  x2 371.    2 4

x2

 2  3 3 x 9 372.    4 3

Решите неравенства: 373. 3x (3x  31x  4)  0

374. 0,1x1 (0,1x  0,11 x  11)  0

375. 0,2 x (5  x  51 x  6)  0

376. 5 x (5 x  54x  130)  0





x

377. 6 x   1   62  x  37   0  6    

378. 72 x (7 x 1  7 x  8)  0

379. 4 x (2 x  25x  37)  0

380. 2  x (0,5 x  2 x3  6)  0

381. 3x (3x  33x  28)  0

382. 2 x (2 x  23x  6)  0

383. 3  9 x1  2  3x1  1  0

384. 7 x4  8  7 4 x  7  0

385. 6

2 x 1

 28  386.    5 

 11 6  2  0

 19  387.   7

19 x 3

 37  389.    5 

71 x 3

7    19 

3 x 2 19

 5     28 

388.  21 

29 x 8 x

 33  390.    34 

33 x 1 10

 6

3 x  293

28x 5

 5     28 

 6    21 

5 x 2 127

8 x 2  29 x

 34     33 

12 x 1 12, 5

391.  14  5 393.  25 

28 x

5

25x  4 x 2

 2     25 

 2 

 3 395.    17 

1 397.   3

x

x2 2 x

1   9

1 1 399.      2 4

2 401.   5 2 403.   7

1 405.   3

 51  392.   7

 9  394.    23 

 x 1

3 396.   4

1 398.   2

400.  3 

19 x 1

3

21x  x 2



 4     49 

1   9

x ( x 3 ) 2

 1  404.    64 

x 1

107

19 x 1

27 64

1   2

2 x 2 3 x  6

402. 0,8

25 4

 23     9 

 2 x 1

5    14 

6 x 10 x 2

 10 



x2 2 x

160

16 x

25x 2  20 x 10

 1 3 x    3

4 x 6 x 2

 17     3

5    14 

x 2  2 x 1

243 100000

 0,64

3, 5 x  3

1   8

 x2

6 5 x

x 16

 2  25 x 25 406.    4 5

Уровень С Решите неравенства: 6 x 407.  6 x 1 x 1 3 x 3 410.  3 x 3 3 3x  3 7 x 2 413.  7 x 1 x 4 x 1 416.  2 2 ( x 1) x 419. ( x  0,2) x 422. ( x  0,5)

2 0 , 04

x2 4

1

5 x  5 x 2 x 3 x 1 411.  3 x 1 x 4 x 2 1 414.  4 x 2 2 16 x

408.

417. ( x  0,5) x 420. ( x  2) x 423. ( x  1)

2 0 , 25

2 1

x 2 1

1

2 x 1  2 x 1 3 4x 5 x 1 412.  5 x 1 2 5x 10 x 1  2 415.  10 x 1 1 x 1

409.

418. ( x  2) x

2 4

1

421. ( x  4) x

2 9

1

424. ( x  1)

x 2 9

1

425. ( x  3) x

2 16

428. x 2  27

1

426. ( x  3) x

2  3 x   3

3 

429. x 2  4

2 9

x2  2  4 0 , 5 x 22 x 430. x 2  9 x  32  x 2 

1

 4

x 1

427. 

Решите неравенства: 431. x 2  5x  2 433. 4

 x 2  22

435. 0,04 437. 439. 441. 443. 445. 447. 449. 451.

 0,5 3 x   2 x 2

x2 8 x 2 x 434.  2 2 2 x  4 x x2  x 436.  0,5 x 1 2 x 438. 157x  15 440. 3 x1  3  0 442. 32 x3  33 x1  625 x2  600 x7 444. 29 x9  37 x3  56 x  720 x3 446. 213 x  3112 x  593 x  3603 x5 448. 38 x12  47 x10  252 x3  3603 x5 450. 3x1  4 x1  53 x5  5403 x

x 1

432. 0,125



x2 25 x  0,1



103 x 1 263 x  8 0,13 x 1  0,1  0 3x16  4 4 x  53 x  5408 x 25 x18  34 x11  73 x4  504 x7 45 x  374 x  49 23 x  504 2 x3 510  73 x6  82 x4  70043 x 52 x5  92 x  64 x1  6004 x1



Уровень D Решите неравенства: 452. 52 x  2  3x 453.

( x  2)2 2 x  7  2 x  10  x  1 2 2 x  7  2 x  10 

1 454.   2 1 456.   3

x2 x 1

x 2 6 x  6

 x 2  5 x  16

455. 4  2,57 x  21  3x  1

x2 4 x2

 x 2  3x  12

§2.7. Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения. Тренировочные задания Решить уравнения: 1. log4 x  1

log5 x  3

log0,5 x  2

log 0,3 x  1

log 4 x  2

log 1 x  3

log 3 (3x)  3 log 2 (8x)  4 log 1 x  log 1 3

14.

log 4 (16 x)  1 log 2 x  log 2 3 log11 x  log11 6

15.

log 4 (4 x)  2 log 7 (2 x)  log 7 4 log 2 (3x)  log 2 3

17.

log 3 x  2  2

18.

log 2 3x  2  3

10. 13.

16. 19. 22.

11.

log 0,1 x  2  2 log 2 2  x   3 log 1  x   3

20.

log 4  x   2

log 0,5 x  2  2

21.

23.

log 3  x  1  1

26.

log 2 2  3x   2

25.

12.

24.

log 2  2 x  8  2

log 2  x   1

Уровень A Решить уравнения: 27. log 2  2 x  3  log 2 x 2

32.

log 2 x  12  log 2 x 2 log 4 (2 x)  log 4 3  log 4 12 log 5 x  log 5 6  log 5 3

34.

log 3 ( x  3)  1

log 3 ( x  1)  2

36.

log 3 2 x  1  1

log 2 x  3  1

38.

log 1

28. 30.

33.

log 4 x  log 4 3  log 4 15 log 5 x  log 5 6  log 5 3 ln(x  4)  ln(x  3)  ln 3

35. 37.

29. 31.

x  1  1

40.

log 3 (1  2 x)  4

41.

log 5 (2 x  3)  4

ln x 2  0

43. 45.

log3 ( x  3) 2  2

42. 44.

log

46.

log 2 1  x  log 2 x  2  3  log 2 4

39.

log 1

log

5 x

10  2

5 2 x

92

47.

log2 1  x   log2 x  1

48.

7log7  x2   5x  4

log 5 x 1 50. log 9 x 2  3x   log 9 3x  5 0,8 0,8  2x  5 3 log2 x  log4 x  1 51. 2 Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или сумму корней, если их несколько: 5 52. lgx 2  x   lg10  2 x  53. log2 ( x  1)  log4 ( x  1)  2 2 Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или произведение корней, если их несколько: 54. 1  lg(x 2  6)  0 55. 1  lg x 2  0

49.

Уровень B Решить уравнения: 56. log 1 3  log3 ( x  2)   0

57.

58.

59.

log 2 x1 3  1  0

61.

7 x

60.

1 0 2

log 64 8 

66. 68. 70. 72.

log 1 log5 5 x  0 5

log 1 log2 (6  x)  2

63.

log7 log4 log2 x  0

65.

log16 x  log4 x  log2 x  7

67.

log5 x  log25 x  log125 x 

69.

log3 2  3x  21  4  x

64.

log 3 6  1  0 2x

2 x

62.

log 1 7  log3 x   2

log15 log2 log2 x  0 1 log3 x  3 log27 x  2 log9 x  7 3 log2 24x  2 x  7  3  x

log6 6 x  5  1  x log 0,5 2 x  2  x  6

71.

11 6

log3 3  x   x  2

Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или сумму корней, если их несколько: 73. 13log1313x   22  7 x  x2 74. 4log4 5 x   x2  6 2 2 75. log x1 x 2  x  6  4 76. log x1 x 2  2 x  1  2 77.

log2 x x 2  x   4

78.

2 log216 x  log16 x  1  0

79.

log25 x  log5 x  2  0

80.

lg2 ( x  3)  lg(x  3)  0

81.

log2 2 x  log2 x  0 log3 x  logx 9  3

82.

log3 9  log2 4 ( x  2)  log4 ( x  2)  0

83.

Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или произведение корней, если их несколько: 85. lg2 x  lg x 2  3  0 84. 7log7 11x   27  7 x  x 2 86.

log2 4  log2 4 (4 x)  log4 (4 x)  0

87.

log2 2 ( x  1)  log3 9  log2 ( x  1)  0

88.

52log13 x   6  5log13 x   5  0

89. 91.

32log11x   4  3log11x   3  0 2 log32 x 2  5 log232  x   1  0

90. 52log7 x   6  5log7 x   5  0 92. 2 lg x 2  lg2  x   4 93. 2 log4 x 2  4 log2 4  x   1  0 Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или наибольший из корней, если их несколько: 94. 11log115 x8   x 2  6 95. log3 x 2  2 log3 x  8  0 2

96. 98.

log x

100. x

log3 x2

x 2lg 2

 3 log3 x  10  0

97.

 27

99.

 20

101.

log x

log2 x

x lg

 2 log2 x  15  0

 16 x  10

Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или наименьший из корней, если их несколько: 102. log8 ( x  1)  8  7 logx1 8 103. 9log9  x5   25  10 x  x2 104. 3 log2 x 2  log2 2  x   5  0

Уровень C Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или сумму корней, если их несколько: 1 x 1  cos x  log x  3 2  e x 1  0 105. 3 x 106.

x 1 2x

 sin x  log x  2 2  e



1 x

0 1

107. log2 (3  x)  tgx  log x  2 2  e 2  x  0 1

108. log3 (3  2 x)  ctgx  log x  3 5  e 2 x 1  0 1

109. log3 (3  2 x)  cos x  log x  5 5  5 2 x 1  0 110. log3 log2 2 x  3   log3 lg0,12 x 1   1

  1  2 x 1  111. log3 log7 7 x  3   log3 log11     1   11     112. log4 log13 13x  2   log4 log5 254  x  2

113. cos 20x  1  lg32 x  20 x 2  2  0 Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или произведение корней, если их несколько: 2x log3

114. 3

 x log3 x  162

115. 10

log2 x

116. 5 5  4 x log5 x  5 Решить уравнения: 118. x

2x log5

122.

117. 9  10

 x  10

120. log x 2 x 2  x  2  3



lg 2 x



lg 2 x

 x lg x  100 log x 2

119. 7 logx 7  x 7  56 121. log x1  x 2  12 x  19  3



log x 3x 2  6 x  6  log x x 2  2 x  6

123. log 4 x3 2 x  3x  1  log 4 x3 x  2 x  5 2

 x lg x  20



124. log x 2 x 2  x  6  2

125. log 7 3  2 x   log x 3  2 x   log 7 3  2 x   log 7 x

Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он единственный или наибольший из корней, если их несколько: 126. log7 2 x  1  log7 2 x  7  1 127. x  log 2 9  2 x   3 128. 1  log3 3 x  6  x

129. log3 4  3 x  1  2 x  1

130. log3 4 x  3  log3 4 x  1  1

131. Решить уравнение log13 x (1  7 x  12 x 2 )  log14 x (1  6 x  9 x 2 )  2 . В ответе указать значение 9x. 132. Решить уравнение 1  log x2  (3x  10)  log 3 x10 (3x 2  16 x  20) . В ответе указать значение x 2 , где x  целочисленный корень уравнения. 133. Решить уравнение log3 3x  log3 4 x  1  log 4 x2  x 9 . В ответе указать сумму всех корней умноженную на 3. 134. Укажите наименьший корень уравнения log3 log5 5x  3   log3 log7 72 x 1   1 135. Укажите среднее арифметическое корней уравнения log 4 log3 3x2   log 4 log 2 4 4 x  2

Решить уравнения: 136. 2 x  log7 x  3  3  2 x  3 log7 x  3  0 137. 3x  log3 3  x  20  6 x  10 log3 3  x

x  138.   7  3 

x  lg   7  3 

139.

3x log 3 x 4 

140.

log

 10

1 27

 9  16 x   2  log 4

3 4 x

1  3  4x 2 

141. 2 log12  x  6   log12  3  2   3. x  5   x  2 x  3 142.

0, 4  28  2    9  5 log 2 5 2    log x 2  x   

143.

7



1  2 log 4 0,5 x log x 4

144. cos2(x  sinx) = 1 +



log 52 x 2  x  1 .

145. log24 2  x    4 log4 2  x   1  6  0 2

146. log 02,5 2 x  3 





log 0,5 2 x  3  1  7  0 2

147. 2  log 0, 2 x  3  1  log 5 x 148.

4 log22 x  12 log2 x  9  log22 x  4 log2 x  4  2 log2 x  4

149.

4  4 log 1 x  log21 x  3 log21 x  2 log 1 x  1  log 1 x  11 2

150. lgx  10  lgx  10  lgx 2  100  1

151. x  1log32 x  4 x log3 x  16  0

152. log3 2 x 2  3x  1  22 x 2  3x   log3 8x  1  16 x

153. log3 1  x  sinlog3 1  x  sinx  3  x  3 154. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций

y  log 2 x  4  log 4 x  4 и y  log2 x 2  11x  28 155. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y  log9 x  1  log9 1  x  и y  2 log9 2 x  3 92

156. Найдите нули функции





y  ln 2 x 2  3x  9  4 x 3  8x  8 .





157. Найдите нули функции y  log x  3x  3  2 x  3x  1 . 4 5

158. Найти все x, при которых выражения

2 log 3 x  log 32 x и

log 3 x  1 принимают равные значения. x log 3 3 2 159. Найти все x, при которых выражения log 2 x  1  x  log 2 x  1 и 3

4-2x принимают равные значения. 160. Найти количество корней уравнения log 52 1  x   4 log 5 1  x   log 2 x  3 log 22 x  0

Уровень D Решить уравнения: 161. 2 x 2  log 2 7  2 x  x 2   4  x 4 162. log 2 x1  x   sin

 x

2

163. log 2 4 x 2  1  log 2 x  8x1  x 164. log x 3x  2  2  log2x 3x  2  4 log x 

x    3x  2 

165. log x 6 x  5  2  log2x 6 x  5  4 log x  6 x  5  



166. log  x2 6 x sin 3x  sin x   log  x2 6 x sin 2 x  10

167. log 6 x  x 2  cos x  cos 3x   log 6 x  x 2  cos 2 x  11

168. log6 cos x  cos 3x  2 log36 sin 2 x  1 1  2x  9  2 169. log 49 x  1  log 7  0 2  7x  9  1  2x  5  2 170. log 9 x  4  log 3  0 2  20  x  171. log 3 6 sin x  4 log 5 6 sin x  4  log 3 6 sin x  4  log 5 6 sin x  4

172. log3 5sin x  6log7 5 sin x  6  log3 5sin x  6  log7 5 sin x  6

173. log5 7 cos x  8log9 7cox  8  log5 7 cos x  8  log9 7 cos x  8 93

 25  log 4 x 2  x 5  log 5  2  1,  4x  x  удовлетворяющие неравенству cos x  tg3x .

174. Найти все корни уравнения

1   log 1  x 2  x   log 36x 2 6 x 6  1 , 6  6 удовлетворяющие неравенству sin 6 x  tgx .

175. Найти все корни уравнения

Логарифмические неравенства. Уровень A Решите неравенства: 176. log 4 x  1 178. log 4 (16 x)  1

177. log 3 (3x)  3 179. log 1 x  1

180. log 1 (3x)  3

181. log 1 (16 x)  1

182. log 2 x  log 2 3 184. log 1 x  log 1 3 2

183. log 7 (2 x)  log 7 4 185. log 1 (5 x)  log 1 5 3

186. log 3 x  2  2

187. log 4 x  3  2

1  188. log 1  2 x    3 8 2 190. log 2 3x  3  log 2 x  5

189. log 1 x  11  0 3

192. log 2 2 x  3  log 2 x  6

191. log13 2 x  3  log13 x  6 193. log 1 3x  3  log 1 x  5

194. log 1 2 x  3  log 1 x  6

195. log 4 x  log 4 3  log 4 15

196. log 7 x  log 7 3  log 7 12 198. log 1 x  log 1 3  log 1 15 11

197. log 4 (2 x)  log 4 3  log 4 12 199. log 0, 2 (2 x)  log 0, 2 3  log 0, 2 12

200. log 0,6 (3x)  log 0,6 3  log 0,6 18

201. log 3 (1  2 x)  4

202. log 1 (1  2 x)  4

203. log 1 (1  2 x)  4 2

204. log 5 (2 x  3)  4

205. log 3

 x  2

207. log 1  x   3

206. log 2  2 x  8  2

208. log  x  1  1 1

log0 , 2  x  7 

 5x  3

log0 , 8 5 x 1

 2x  5

209. 0,2

210. 11log11 x 4   6 x  10

211. 0,8

Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенствам: 212. ln( x  2)  ln( x  3)  ln 2 213. ln( x  4)  ln( x  3)  ln 2 215. log (15 x  10)  log 5  log 13 214. ln( x  6)  ln( x  4)  ln 2 1 1 1 2

216. log0,9 (20 x  16)  log0,9 4  log0,9 18

217. log

218. log 4  3  x   log 4 x  6  1

x  2  2  log

219. log 2 1  x   log 2 x  1

2 3

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенствам: 220. log 2 3  x   log 2 x  2  1 221. log 2 1  x   log 2 x  2  3  log 2 4

Сколько целых чисел являются решениями неравенства? 222. log 3 x  4 223. log 3 x  2 224. log 2 4  x   1 225. log 2 5  x   2

228. log 0, 2 10 x   2

226. log 0,5 x  2

227. log 0, 25 x  1

Уровень B Решить неравенства. В ответе укажите количество целых чисел, удовлетворяющих решению неравенства: 229. 1  lg(x 2  1)  0 230. 1  lg x 2  0 232. log18 2 x 2  2 x   log18 10 x  32

231. log 2 ( x  2) 2  3

234. log 6 x 2  x   log 6  3x  3 7 236. log 2 x  log 4 x  4 2

233. lgx 2  x   lg10  2 x  3 235. log 2 x  log 4 x  1 2

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенствам: 238. log 1 (

237. log 5 ( x  2)  1 239. log 241. log

5 2 x

x 6

x  1)  2

92

240. log

92

242. log 2 x 1 3  1  0

3 x

2 x

42

244. log 1 5  log 3 x   2

243. log 3 6  1  0 2x

245. log 1 7  log 3 x   2

246. log 1 log 5 5 x  0

247. log 1 log 5 x  1

248. log 1 log 2 (6  x)  2 2

249. log 7 log 4 log 2 x  0

250. log11 log3 log 2 x  0

253. log 2 x 2  2 log 2 x  15  0

254. x log3 x 2  27

251. log3 x 2  2 log3 x  8  0 255. x log2

252. log3 x 2  3 log3 x  10  0

 16 x

256. x lg x  10 258. log16 x  log 4 x  log 2 x  7

257. x lg x  1 1 259. log 3 x  3 log 27 x  2 log 9 x  7 3 261. log 2 2 4 x  2 x  7  3  x

260. log 3 x  log

x  log 1 x  6 3

262. log3 2  3  7  2  x x

263. log 6 6  5  1  x

264. log 7 2 x  1  log 7 2 x  7  1

x

265. log3 4 x  3  log3 4 x  1  1

266. x  log 2 9  2 x   3

Решите неравенства. В ответе укажите произведение a∙b, если решением неравенства является отрезок a; b : 267. 5 2log13 x   6  5log13 x   5  0 2

268. 32log11 x   4  3log11 x   3  0 270. lg 2 x  3 lg x  2  0 2

269. 112log3 x   12  11log3 x   11  0 271. lg 2 x  lg x 2  3  0 2

272. log 2 4  log 2 4 (4 x)  log 4 (4 x)  0

273. 2 log 4 x 2  4 log 2 4  x   1  0

274. 3 lg x 2  lg 2  x   9

275. log 2 2 ( x  1)  log3 9  log 2 ( x  1)  0 Решите неравенства. В ответе укажите произведение a+b, если решением неравенства является отрезок a; b : 276. 2 log 216 x  log16 x  1  0

277. log 2 5 x  log5 x  2  0

278. lg 2 ( x  3)  lg(x  3)  0

279. log 2 2 x  log 2 x  0

280. log3 9  log 2 4 ( x  2)  log 4 ( x  2)  0 Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству: 281. log 6 x 2  1  0 282. log x 2  1  0 3 x

283. log 1 3  log 3 ( x  2)   0

  284. log 2  2  log 1 ( x  3)   0 3   286. log9 log 2 log3 x  0 288. log 1 log 5 (2 x  3)  0

285. log 4 log3 log 2 x  0 287. log 1 log 2 log 2 x  0 15

289. log 1 log 2 ( x  7)  0 7

Решите неравенства. В ответе укажите количество целых решений неравенства, принадлежащих промежутку 0;9 : 290. log 3 x  1  1 1 291. log 2 3x  1  1 3

292. log 2 x  1  1

293. log 1

x  2  1

Решите неравенства. В ответе укажите количество целых решений неравенства, принадлежащих промежутку 0;10 : 294. ln(x  5) 2  1

295. ln x 2  1

296. log 2 ( x  5) 2  1

297. log 1

x  1  1

298. log3 x 2  2 x   log3 2 x  12 300. log

3 1 3

299.

5 log 3 x  log 9 x  3 2

x  1  1

Решите неравенства. В ответе укажите число неравенства, принадлежащих промежутку  4;4 : 301. 1  lg(x 2  6)  0

целых

решений

302. 3  log 2 ( x 2  1)  0

303. 1  lg(x 2  1)  0

Уровень C Найдите наибольшее число, удовлетворяющее неравенству : 304. log x 2 x 2  x  2  3 305. log 4 x 3 2 x 2  3x  1  log 4 x 3 x 2  2 x  5 306. log x 2 x 2  x  6  2 Все решения неравенства равна: 307. x log2 x  16 309. x log5 x  5

образуют промежуток, длина которого 308. x log4 x  4 310. x log3 x  3 97

Решите неравенства. В ответе укажите произведение a∙b, если решением неравенства является отрезок  a; b . log 2 x

log 2 x

lg x 311. 3 3  x log3 x  162 313. 5 5  4 x log5 x  5 312. 10  x lg x  20 Найти сумму целочисленных решений неравенства: 2 2 314. log x 1 x 2  x  6  4 315. log x 1 x 2  2 x  1  2

316. log x 2 2 x 2  13x  18  2 Решить неравенство:

317. log x 3 x 2  4 x   4

318. 2 320.

log 4  25x 4 10x 2 1   

 4  log 4  x 2  4 

 x2   1   2 319. x    2 1 5  321. x log 1   2 x   1  2 2 1 323. log x 2 3x  1  2

 4x

1 9  log 7   2  7  x   1 x 2 

322. log 2 x 1 x 2  2



324. log 5 31  6  5 2 x



 x



325. log 1 3  2  x  1  x

9 2

326. 32 x  4  32 x  7  1

327. 3 x

1 x



 1  1  3 3x  1

Уровень D Решить неравенства: 328. 4 log 2 x 1 5x  3  log 329. 4 log 2 x 1 5x  3  log  330.  log 1  2 x 2 

2 x  1  0 2 x  1  0

5 x 3

1 x 1   1  4  x  1 log  x  log    9  3 1 4   4  2x  2

1  331. log 8   x  log 1 2 x 3   3

1 x 3

1    x   log 2 3   3

332. log

1

6 x 25

1   2x   3 

6   x  2 log x 1  x  1 25  

333. log x

334. 5  3 3 x  1  10  3 x 1

x 1  2 log x 1 x 12 x 12

335. 2 2 x  4  5  2 x 1  1 98

336. log x  2 4  x  1  log x  2 2  x  1  log x  2 2  x 1  1

337. log x 2 9 x  4 x   log x 2 3 x  2 x   log x 2 3 x 2  2 x  338. log 1 log 2 3

340.

x 2  x  12 x3

0

339. log 7 log 1 3

1 1  log 2 2 x  2 log 4 x 2  1

341.

342. log 2 x 9  24  2 x  x 2   log 343. log 202 x  99  2 x  x 2   log 344. log

x 1

24 2 x  x 2

99 2 x  x 2



x6

1 1  x log 8 x 3  2 log 2  3 2

x6   1 345. log 1 x 3   0 2   x  2x  3  3



x 1  9  x  1

347. 2 log 2 x 8





x 3  7  x 1

348. 3 lg x  lg x  2  lg x  lgx  2 2

349. 3 ln 2 x  2  ln 2 x  2  lnx  2  ln x 2

350.

351.

log x 2 9 1 3  log x 2 x  1  2 2 log x 2 4



1 1  log x 6  x  1  6 2 2 x 2x 0 352. log 1 log 8 x 3 2

2 log 3 x  1  log 9 x 4



0

2x  9  3 20  2x  3

x 8    2 20  x  2x  3 

346. 2 log 2 x 12

x 2  x  30

6 log 2  x  1  log 4 x 4

353. log 5 log 1 2

x2  4 x x 7

0

§2.8. Системы уравнений Тренировочные задания Решите системы уравнений:  x  y  1, 1. 4.  x  y  3

3x  4 y  2,  3x  2 y  8

2 x  y  1,  3x  6 y  9

4 x  y  6,  3x  7 y  11

 x  3 y  3,   x  y  1

2 x  y  1,  4 x  2 y  3

 x  3 y  1,  3x  9 y  0  x  2 y  7,  2 x  4 y  10 2 x  3 y  1,  6 x  4 y  16

Уровень А x  y  5 10. Решите систему уравнений  . В ответе укажите сумму всех  xy  6 значений x и y являющиеся решениями системы.

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму квадратов всех значений x и y являющиеся решениями системы: 11.

x  y  4 .   xy  4

12.

 x 2  y 2  41  x  y  9

13.

x 2  y 2  5 .   xy  2

 x 2  y 2  10 . В ответе укажите   xy  3 произведение всех значений x и y являющиеся решениями системы. Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму всех значений x и y являющиеся решениями системы: 14. Решите

систему

уравнений

15.

 x 2 y  xy 2  2 .  x  y  2

16.

x 2  y 2  5   x  y  xy  5

18.

 y 2  xy  12  0  2  x  xy  28

19.

 xy 2  x 2 y  6  0   xy  x  y  5

100

17.

 x 2  y 2  10   x  y  xy  1

 x 2  y 2  x  y  102 20. Решите систему уравнений  . В ответе укажите  x  y  xy  69 x произведение значений для всех пар x и y являющиеся решениями y системы. x 2  y 2  y  x 21. Решите систему уравнений  . В ответе укажите x  y  8  0 произведение всех значений x и y являющиеся решениями системы.

Уровень В Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму значений x  y , для всех пар

x и y являющиеся решениями системы:

x  y  y 2  x  0  2 y  x  6

 x 2  y  20 .  2  y  x  20 3x 2  2 xy  y 2  11 Решите систему уравнений  2 . В ответе укажите 2  x  2 xy  3 y  17 количество решений.  x2 y2  18   Решите систему уравнений  y . В ответе укажите сумму x  x  y  12  2

22. 24.

25.

23.

x  y значений      , для всех пар 4  4 системы.

x и y являющиеся решениями

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму значений x  y , для всех пар x и y являющиеся решениями системы:

26.

x  2 xy  3 y  15    xy  x  15 y 

27.

x 3  y 3  9 .  x  y  3

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму значений x 2  y 2 , для всех пар x и y являющиеся решениями системы. 101

28.

 x 3  y 3  28 .   xy  3

29.

x 3  y 3  2  x  y  2

30.

 x 4  y 4  17  x  y  3

Решите системы уравнений и в ответе укажите произведение всех значений x и y являющиеся решениями системы: 31.

 x 4  y 4  82 .  x  y  4

32.

 x 3  y 3  35  2 2  x y  y x  30

Решите системы уравнений и в ответе укажите количество решений: 5 x 2  6 xy  5 y 2  29  x 3 y  xy 3  78 33. . 34.  2  4 2 4 7 x  8 xy  7 y  43  x  y  97 x  y x 2  y 2   16 . В ответе укажите 35. Решите систему уравнений  2 2 x  y x  y   40

36.

37.

38.

произведение всех полученных значений x и y являющиеся решениями системы.  x 2  y 2  2 x  2 y  98 Решите систему уравнений  . В ответе укажите x  1  y  1  0 сумму всех значений x и y являющиеся решениями системы.

 x 2  2 xy  2 y 2  2 x  8 y  10  0 . В ответе Решите систему уравнений  2 2 2 x  7 xy  3 y  13x  4 y  7  0 укажите x  2 y . Решите системы уравнений произведение всех значений

 x 2  2 x  y  1 . В ответе укажите  2  x  | y |  1 и y являющиеся решениями системы.

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму всех значений y являющиеся решениями системы:

x и

2  y  2 x  3  0  y  xy  2  0 40. .   2 8  x 2  x  2 y   y  x  3  0 Решите систему уравнений и укажите наибольшее значение x  y из всех полученных решений:

39.

102

 x y 5    x 2  y  x  y  5 3 3   x  y 3 3 2 2 3 3   x  xy  y  2

41.

 3 x y  3 y x  12 .    xy  64

42.

43.

3 x  3 y  4   x  y  28

44.

45.

 3 x  2 y  3 x  y  2  3   2 x  y  7

46.

Решите

47.

Решите

48.

1 1  1 3  3  6 x y Решите систему уравнений  . Укажите наименьшее 3  xy  6

 x 2  2 y  x 2  y  1  1 .   2 x  y  2  наибольшее значение x  y из всех полученных решений. систему

уравнений

2 2  x  y  x  4 y  2 .  5 2 2 x x  4 y  0   наибольшее значение x  y из всех полученных решений.

систему

уравнений

Укажите

значение x  y из всех полученных решений. 49.

Решите систему уравнений

2   x  y xy  36 . Укажите значение  2 y  x xy  72  

4 x  y . 50. 51.

52.

 x x  3 y x  36 x Решите систему уравнений  . Укажите значение . y  y y  3x y  28 Чему равно значение выражения x  y , где x и y - наибольшие значения входящие в решения системы уравнений  3x  xy  2 y  29 .  2 x  xy  y  20   Чему равно значение выражения x  y , где x - наименьшее, а y наибольшее из значений входящих в решения системы уравнений 103

 x2  y2  x2  y2 5  7    x2  y2  x2  y2 5  7  3 3  x  2 y  118 Решите системы уравнений: 3 y  2 x  972 53. . В ответе указать сумму х+у.  y  x  3 54. 55.

56.

57. 58.

59.

log 2 x  log 2  y  1  3 . В ответе указать разность х - у.  2 x  y  1  0

 x y  10 x . В ответе указать произведение всех значений   y  lg x  3 являющиеся решениями системы.  y x  27 . В ответе указать произведение всех значений  2 log 3 y  3x являющиеся решениями системы. log 4 x  log 2 y  0 . В ответе указать сумму х + у.  2 2 x  2 y  8

x и y

2 x  3 y  12 x . В ответе указать частное .  y x y 2  3  18 x  y  2  x  1  17 . В ответе указать сумму х + у. y    2 2  8  

60.

2 x  2  2 y  2  3 . В ответе указать сумму х + у.  x  y  5

61.

х  у  4 . Найдите 2у2 + х + 1, если х и у решения системы  х у 2  2  2  9

62. 63.

 х  у  1 . Найдите 2х2 – у + 1, где х и у – решения системы  х у 2  2  24 õ  ó  5 . Найдите х2 –2у + 20, где х и у – решения системы  õ ó 2  2  4 104

64. 65.

66. 67.

 х  у  1 . Найдите х2 + у + 3, где х и у – решения системы  1 х 1 у 3  3  26

х  у  1 . Найдите 4х2 – 4у3 + 1, где х и у – решения системы  х у 2  2  1 х  у  4  Найдите |х – у2|, где х и у – решения системы   х у 4 3  2  9  Найдите сумму всех значений х и у, где х,у – решения системы х  у  5 .  х у 2  2  12

Решите системы уравнений:  ху  36 68. . В ответе укажите сумму всех значений  0, 5( х  у )  1024 2

69.

70.

71.

72.

73.

74.

x и y

являющиеся решениями системы. х  у  5 и в ответе укажите сумму всех значений x и y  х у 2  2  12 являющиеся решениями системы. log 5 x  log 5 y  2  2 log 5 4, . В ответе указать значение x+y, где (x;y) –  log 81 ( y  x)  0,5 решение системы. log 3 x  2 y  y  3, . В качестве ответа указать сумму x 2  y 2 .  y y y  2  2  log x  4 3  y  x  243,  2 1   2 x  . В качестве ответа укажите сумму х+у. 1024 y     3  

log 2 x  2 log 2 y  3, . В ответе указать x4+y4.  2 4 x  y  16   y  lg x 2  2, . В ответе укажите произведение xy, где (x;y) –   y  4 lg x  28 решение системы. 105

75. 76.

lg4 x 2  y 2   lg15  1, . В ответе указать x1x2+y1y2.  lg2 x  y   lg2 x  y   lg 0,5  2 lg x  lg y  lg 4, . В ответе указать сумму x+y, где (x;y) – решение  2 lg x  2 lg y  lg16 системы.

Уровень С Решите систему уравнений и в ответе укажите сумму всех значений y являющиеся решениями системы: 77.

x  y  z  5   x  2 y  z  1 2 x  y  z  2 

79.

x  2 y  z  1  2 x  3 y  z  1 . x  y  2z  0 

Решите системы уравнений: 3x  y  3z  2  80. В  x  y  3z  2 . 2 x  2 y  3z  0 

78.

ответе

x и

x  y  2z  2  2 x  y  3 z  3  x  2 y  3z  3 

укажите

значение

выражения

x2  y2  z2 .

81.

x  y  2z  2 x y  2 x  y  3 z  3 . В ответе укажите значение выражения   2 z . 5 7 3x  2 y  3z  5 

82.

x  y  2z  3   x  4 y  z  1 . В ответе укажите значение выражения x  2 y  z . 2 x  5 y  z  4 

83.

2 x  y  2 z  0  3x  2 y  4 z  0 . Сколько решений имеет система. 5 x  y  2 z  2 

84.

  x  y  3 x  y  6, . В ответе укажите значение выражения x  y . 6 3 2   ( x  y ) ( x  y )  8. 106

85.

86.

87.

88.

89.

  x 2  2 y  x 2  2 y  1  1, . В ответе укажите значение выражения    2 x  y  2. x2  2y  x 2  5  y 2  5  5, . В ответе укажите произведение всех значений  2  x  y 2  13. x и y являющиеся решениями системы.   x  y  1  1, . Сколько решений имеет система.    x  1  y  1.   x  y  4 x  y  8, . В ответе укажите сумму всех значений 4 3 2 2 3   x  x y  xy  y  12. и y являющиеся решениями системы.

  x 2  xy  xy  y 2  3( x  y ), . В ответе укажите значение выражения  2 2   x  y  41.

x . y 90.

91.

92.

93.

 x  y  x  y  2, 20 x  . В ответе укажите значение выражения .  17 y  y  x  y  x  1. sin x  cos y  0   2 1 . В ответе укажите значение выражения x  y , где sin x  cos 2 y   2  x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. 9 2tgx cos y  3 . В ответе укажите значение выражения x  y (целая  cos y tgx 9  81  2 часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. 5  x  y  . В ответе укажите значение выражения 5 x  y (целая 3  sin x  2 sin y  часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. 107





94.

95.

96.

97.

sin x cos y  0.25 . В ответе укажите значение выражения x  2 y   sin y cos x  0.75 (целая часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. 1  x y    3 . В ответе укажите значение выражения x  y  1  cos 2 x  sin 2 x  1  2  (целая часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы.    x  y  4 . В ответе укажите значение выражения x  y , где x  tgxtgy  1  6 наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы.  2 sin x  sin y . В ответе укажите значение выражения 6 x  4 y   2 cos x  3 cos y

(целая часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. y  x tg  tg  2 98. . В ответе укажите значение выражения y  x , где 2  2  ctgx  ctgy   1 . 8  x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. 2 cos x  2 cos y  5  99. . В ответе укажите значение выражения 3 y  2 x , где  cos x cos y  4 2  2 x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. sin x sin y  0.75 100.  . В ответе укажите значение выражения x  y , где x tgxtgy  3 - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа входящие в решения системы. 1

1

108

101.

2 x 3  x 2  3 x  2  y 2   y  . В ответе указать значение величины arcsin x  arccos  2 2  где

a, b – решение

a  b,

системы.

  arcsin x  arcsin y  12 . В ответе указать x1 y 2  x2 y1 .  2 arccos x  arccos y    24 log x  log 4  log 5  log 1 2 y  4 x ,  4 3 3 3  . В ответе указать значение  1 log 3 x  y   log 1  3 log 27 2  xy  3 y  величины 3xy, где (x;y) – решение системы.  xy  xy 4  32, . В ответе указать x+y, где (x;y) – решение  log 3 x  y   1  log 3 x  y  2

102.

103.

104.

105.

106.

107.

системы.  x x  y  y x  y , 3 3 3 3 . В ответе указать 3  3  3  3 .  x1 x 2 y1 y 2  x  y  1  x 2  y 2  25,  . В ответе указать x1y1+x2y2 1  log 0, 5  y  x   log 2 y  2  lg x  lgx  y   lg y  lgx  y  . В качестве ответа указать сумму  lg y  lgx  y   lg x  lgx  y 

x2  y2 . 108.

  1   log 2 y   log 2 x, log12 x   . В ответе указать x1+x2+y1+y2. log 2  x    log 2 x  log 3 x  y   3 log 3 x

109

Уровень D Решите системы уравнений:  x  4  y  z  4  6,  109. 2 x  4  y  4 z  4  12,  x  y  z  14. 

 20 y  x  y  x  y,   x 110.   16 x  x  y  x  y .   5y

 4 x  3 y  9  4 2 y  x  11  3, 111.    2 y  x  11  3 y  x  9  3.  x  2 y  3z  9  113.  x 2  4 y 2  9 z 2  189. 3xz  4 y 2    x2   y2   x   log 1   y   2 log 3  115.   3 x  y  log x  y  1  2

  x 2  y 2  x 2  y 2  2, 112.  2   xy  2 2 .  2 1 2 2 log 2 x y  2 xy   log 1     4 y  2 x 114.  log xy  0  5 6   1 2  2 xy 2  log 2  x y    log 1  x  y   3 2    2  116.  log xy  0  1 6  5

  x2   y2   x   log 1  y  2 log 3  x  117.  3  y  log x  y  1  2 Решить системы уравнений 2 log 3 2 x  2 y   log 1 x  2 y  log 1 x  y   log 3 2 x  y ,  3 3 118.   x 2  xy  2 y 2  9. 2 log 2 2 x  y   log 1 x  y  log 1 x  2 y   2 log 2 2 x  2 y ,  2 2 119.  2 2  x  xy  2 y  4 .  log 3 2 x  2 y   log 1 x  2 y  log 1 x  y   2 log 3 2 x  y ,  3 3 120.   x 2  xy  2 y 2  4.

110

121.

2 log 3 2 x  y   log 1 x  y  log 1 x  2 y   log 2 2 x  2 y ,  2 2   x 2  xy  2 y 2  9.

122.

3 x  y 1  7  3 y  2  8,   x  y 2  x  y.

124.

126.

127.

128.

129.

130.

123.

2 x  y 1  7  2 y 5  4,   2 x  y 2  x  y.

x  y 1 5 x  y 1  16  5 y 5  10,   16  3 y 3  10, 3 125.   2   x  y 2  x  y.  2 x  y  x  y.  log 5 5 x  3 y  1 log 2 5  3x  4 y   1  ,  log 2 3x  y  1  log 5 2 y  x  3  y 2  2 x 2  3xy  x  1.  log3 2 x  y   1  log2 x  2 y  5  ,      log  2 y  3 x  1 log  2 3 2x  y  4  y 2  xy  1  2 x 2  2 y  x.   log 2  3x  2 y  4  1 log 7 3x  5 y  1  ,  log 7  2 x  y  3  log 2 3 y  x  1 2 y 2  3xy  x 2  y  1.  log5 2 x  y  5  log3  3x  4 y  2  1  ,  log5  2 x  3 y  1  log3  2 y  x  4 2 y 2  3xy  2 x  x 2  y  1.  x  4x  1  y  y  5 x  2x  3  y  y  5   131. x x2     log 2  y  2  x log x  2 2  y   y 2 y  

x  3x  4  y  y  7   132.  x 1 log x 1 2  y   y 2 

x  1x  5  y  y  6  133.  x 1 log x 1 2  y   y 2   3x  y  0, log x    . 135.   9  y x  9  y  21   y  2log  x 8   6 sin x cos y  2 cos x sin y  3, 137.  5 sin x cos y  3 cos x sin y  1.

4 log 22 x  1  2 log 2 y, . 134.  2 log 2 x  log 2 y

3 cos x cos y  7 sin x sin y  4, 136.  5 cos x cos y  3 sin x sin y  3.

111

9 cos x cos y  5 sin x sin y  6, 138.  7 cos x cos y  3 sin x sin y  4.     cos  3x     2 cos y,   4 140.  3  3 cos 2 y  2 sin 2 x  4  2 sin 2 x.

3 sin x cos y  7 cos x sin y  6, 139.  7 sin x cos y  5 cos x sin y  2.  sin 3x   2 sin y,  141.  3 2 cos 2 y  2 cos 2 x sin 2 x  . 4 

    sin 3x    sin y  cos y,   4 142.  3  3 sin 2 y  2 sin 2 x  4  2 sin 2 x.

 cos 3x  sin y  cos y,  143.  3 2 2 sin 2 x cos 2 x    sin 2 y. 4    145.      147.   

 10 cos 2 x  2  7 cos x cos 2 y, 144.   sin x  cos x sin y.  17 cos 2 x  7  21sin x cos 2 y, 146.   cos x  3 sin x cos y.

2tgx  4ctgx  3tgy, 2 sin 2 x 

4 sin x cos y. 3

ctgx  3tgx  4ctgy , 4 sin 2 x  cos x  sin y. 3

148.

Докажите, что система уравнений 15  3 2 4 x  9 x  2 x  7  0  2 y 5  2 x  y  2   5  7  y  9 x  y  16 x 3  72 x 2  105 x  49   x  имеет хотя бы два различных решения.

149.

Докажите, что система уравнений 3x 3  13x 2  20 x  14  0   7y y x y 3 2 17  6 x   5  x  5  9 x  51x  91x  49   имеет единственное решение.

150.

Докажите, что система уравнений

112

16 x 3  40 x 2  29 x  6  0   3 9   16 x 2  8 x  15  log13 4 x  5 y  10    7  5 y  12 xy  log13 4 x y  x x   имеет единственное решение.

151.

152.

153.

154. 155.

Докажите что система уравнений 10 x 3  63x 2  48 x  9  0   3 169 2  100 x 2  160 x  169  cos 4 y 7 x  1,1 sin y   9  x  3,7 y  x x  1  имеет единственное решение. Докажите что система уравнений  y  2 xy  x 2 y  x 3  0   10 2 2 x  x log 2 y  5 log 32 0,125 y   7  имеет два решения. Решите систему уравнений 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 5 = 3𝑥1 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥1 5 = 3𝑥2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥5 5 = 3𝑥3 . 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 5 = 3𝑥4 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 5 = 3𝑥5 Решите систему уравнений 𝑥 1 + 𝑦 = 𝑦 1 + 𝑧 = 𝑧 1 + 𝑥 = 2. Решите систему уравнений 𝑥 + 𝑧 = 𝑦 + 𝑥 = 𝑧 + 𝑦 = 1. 𝑥=

156.

Решите систему уравнений 𝑦 = 𝑧=

𝑦𝑧 𝑦 +𝑧 𝑥𝑧 𝑥+𝑧 𝑦𝑥 𝑦+𝑥

113

§2.9. Системы и совокупности неравенств Тренировочные задания Решите системы/совокупности неравенств:  x  3,  x  6, 1. 2.   x  5   x  5 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. 25. 28.

 x  3,   x  10  x  7,  x 5

 x  7,  x  7  x  6,  x  5   x  7, x5   x  9,  x  15   2 x  6  0, 4 x  20  0  3x  4  2,   2  2x  4  3  x  1, 2 x  5  10 

5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29.

 x  7,  x 5  x  9,   x  15  x  7,  x  7  x  3,  x  1   x  13  x5   x  5,  x0  2 x  4  5,   2  x  3x 3x  4  2,  2  2x  4 

3x  6  1  2 x,   4  5 x  2  3x

3. 6.

 x  3,   x  1  x  13  x5

 x  5,   x0

12.

 x  3, x5 

15.

 x  3,  x  10 

18.

 x  7, x 5 

21. 24. 27. 30.

 2 x  6  0,  4 x  20  0 2 x  4  5,  2  x  3x 

 3  x  1,  2 x  5  10 3x  6  1  2 x,  4  5 x  2  3x 

Уровень А Решите системы/совокупности неравенств: 2𝑥 − 6 > 0, 2𝑥 −6>0, 32. 31. 4𝑥−20<0 4𝑥 − 20 < 0 3𝑥 + 6 > 1 − 2𝑥, 0 < 1 − 3𝑥 < 1, 34. 33. 4 − 5𝑥 ≥ 2 − 3𝑥 3 − 4𝑥 < 2 𝑥 2 − 3𝑥 + 3 ≥ 0, 3𝑥+6>1−2𝑥, 35. 36. 4−5𝑥≤2−3𝑥 𝑒 2𝑥−1 > 𝑒 𝑥 114

37. 39.

23−𝑥 < 1024, 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 < 2 𝑙𝑛 5𝑥 − 1 ≤ 𝑙𝑛 3𝑥 − 2 , −4 < 2𝑥 ≤ 3

38.

2 3−𝑥 >1024 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥<2

40.

𝑙𝑛 5𝑥−1 ≤𝑙𝑛 3𝑥−2 −4<2𝑥≤3

Уровень В 41.

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее системе неравенств 𝑥 3

−

3𝑥−1

𝑥> 42.

6 5𝑥−4 10

2−𝑥

−

𝑥+1

+ 3,

− 2,5.

Найти наименьшее натуральное x, удовлетворяющее совокупности 3−𝑥 2𝑥 −1

1+ ≤ , 3 5 −1>4𝑥−4

неравенств 43.

−

12 2 3𝑥−1

Найти сумму всех −3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 7,

целых

чисел,

удовлетворяющих

условию

𝑥≤−1, 𝑥≥3

44.

Найти сумму всех натуральных чисел, удовлетворяющих условию 𝑥 <6,3,

𝑥 −9 𝑥 −1 𝑥 −2 −𝑥< − , 4 2 3

2−𝑥>2𝑥−8

45.

46. 47.

Найти число целых решений следующей совокупности

Найти число целых решений системы Найти

количество

совокупности 48.

целых

3 ≤1, 3−2𝑥 −𝑥 2 11𝑥−𝑥 2 >28

2𝑥+10≤0, 𝑥>−7 𝑥+4≥0, 3−𝑥≥0, 𝑥 2 −7𝑥+5>0

4𝑥 2 − 4𝑥 − 3 ≤ 0, 1 2 ≥ 1, 𝑥

3𝑥 2 − 20𝑥 − 7 < 0 чисел, не являющихся решениями

Найти длину промежутка (или сумму длин промежутков, если их 𝑥 2 − 3𝑥 + 3 ≥ 0, несколько), являющихся решением системы 2 𝑒𝑥 ≤ 𝑒𝑥

Уровень С 49.

Найти длину промежутка (или сумму длин промежутков, если их несколько), являющихся решением системы 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑥 2 + 3𝑥 − 3 ≥ 5, 𝑥 2 +𝑥−6 𝑥

≤ 0.

𝑥 < 10 115

50.

Найти количество целых решений совокупности

𝑥 −1 −𝑥 2 +𝑥 +6≤0, 5≤2𝑥<10

−10 ≤ 𝑥 < 5

51.

Найти количество целых решений системы

52.

Найти количество целых решений системы 𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥 − 2 + 1 ≥ 𝑙𝑜𝑔0,1 0,3,

4𝑙𝑜𝑔 2 2 𝑥 ≥0, 𝑥 2 −2 2 2 2 2 3 𝑥 +2 −5 𝑥 −1 >5 𝑥 +1 +3 𝑥 −1

53.

𝑙𝑜𝑔3 𝑥 2 − 9 − 𝑥 + ≥ 1 3 Найти произведение всех чисел, не являющихся решениями совокупности

54.

27 𝑥 −3 2𝑥 +1 +2∙3 𝑥 ≥0, 1−𝑥 2 𝑥2 4

𝜋−3

≤ 𝜋−3

Найти середину интервала, являющегося решением системы 2𝑥 2 + 5𝑥 − 6 > 2 − 𝑥 2𝑥+4 2𝑥 + 1 < 2−𝑥

55.

56.

Уровень D

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1, системой неравенств 𝑦 ≥ 𝑥 −1 Найти все пары натуральных x и y, удовлетворяющих системе 𝑥 + 3𝑦 − 11 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 − 8 ≤ 0, 𝑥 − 2𝑦 + 4 ≥ 0.

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств: 57. 59. 61. 63.

𝑥 2 +𝑦 2 ≤1, 𝑥 ≤0, 𝑦 ≥0, 𝑥−𝑦+1≤0.

58.

𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ −8 𝑥 + 𝑦 + 2 7𝑦 − 𝑥 − 4 3𝑦 − 5𝑥 + 12 ≤ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 2, 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑥 𝑥 2 − 𝑦 2 + 16 − 8𝑥 ≥ 0 𝑙𝑜𝑔𝑦−𝑥 2𝑦 − 2𝑥𝑦 ≤ 2, 𝑥 ≤4−𝑦

60. 62. 64.

116

𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 2 + 𝑦2 ≥ 4 𝑥 + 𝑦 − 1 𝑦 − 3𝑥 − 2 3𝑦 − 𝑥 + 2 ≤ 0 𝑥 + 𝑦 ≤ 5, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 5 2𝑥 − 2𝑦 − 5 7𝑥 + 3𝑦 + 15 𝑥 + 4𝑦 − 5 ≤ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 2, 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑦 𝑥 2 − 𝑦 2 + 16 + 8𝑥 ≥ 0 𝑙𝑜𝑔𝑥 2 +𝑦 2 −1 𝑥𝑦 ≤ 0,5, 𝑥+𝑦 ≤3

Гл лава 3. Функция Ф Тр ренировочные задания я на графиком м, определитте: Фуункция задан а) б) в) г) д) е) ж) з) и)

областьь определени ия; областьь значения функции; промеж жутки возрасттания; промеж жутки убыван ния; точки максимума м функции; ф точки минимума м фу ункции; наиболльшее значени ие функции; наимен ньшее значен ние функции; являетсся ли функци ия четной или и нечетной; к) количеество касательных к графи ику функци ии, которые наклонены н по од 0 углом 45 4 с оси ОХ; x , для л) все те значения з д которых выполн няется неравеенство ; x , для м) все те значения з д которых выполн няется неравеенство ;

онечном Фуункция y = f (x) опредеелена на ко промежутке (по ( график ку), на рисунке р график ее произзводной изоображен опр ределите: а) б) в) г) д)

количеество промеж жутков возрасстания; количеество промеж жутков убыван ния; количеество точек максимума м фу ункции; количеество точек минимума м фун нкции; количеество касательных к графи ику

117 7

прямой функци ии, которые параллельны п y = 3x + 1 или совпаадают с ней; 7. е)

количеество касательных к графи ику функци ии, которые наклонены н по од 0 углом 45 4 с оси ОХ; 8.

§3.1. Облаасть опред деления фу ункции Уровен нь А На айдите облассть определеения функци ий x +1 9. y = x. 10. y = 2 13..

y=3 x

14.

y= x

1 x

11.

15.

19.

x2 −1 y= x

y= 2 20.

x x −1

y = tg ( x)

y= 2 24.

sin( x) x+3

17..

y = 3− x

18.

1 y= x + 1,5

21..

y = 3x 2 + x

22.

y = 3 x 5 + 3 x 2 − 1 23.

25..

y = log 2 x .

26.

y= x 1 12.

y = x −1 1 16.

x ln(x)

Уровен нь В айдите облассти определеения функци ий: На x x 27.. y = 2 . y= 2 28. 2 . x + x −1 x −4 1 x 3 − 3x + 2 30.. y = . 31. 3 . y= 2 sin x x − 3x + 2 1 y= 34. 3 . 33.. y = 2 x − x . 4 4 1− x 36..

y = log 3 loog 2 x .

37. 3

y = 2 x − 3x . 118 8

29.

− x −1 . x

32.

x − 2x .

35.

log 2 x 3 . y= x−3

38.

y = arcsin(x + 3)

x sin( x) . x4 +1

40.

y = log 1

x2 + x +1 .

41.

y = log3 log1 (x2 + x)

39.

42.

⎛1+ x ⎞ y = lg⎜ ⎟. 1 − x ⎝ ⎠

43.

y = log x 3 − log 3 x .

44.

45.

y = 1− 2x .

46.

y = 2 − 0.1x .

47.

y = 1 − 0.2 2 x +3 .

48.

⎛⎛ 1 ⎞x ⎞ y = log 2 ⎜ ⎜ ⎟ − 3 ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

51.

49.

y = 2x

−1

50.

x−3 1 − 3x + 2 x 2

Уровень С Найдите области определения функций: log x x 53. 52. y = 2 x −x 54.

y = arccos (log − x x

)

57.

sin x 2 − 9 y= arccos(x + 5)

58.

y = x 2 − x − 2 + arcsin x + 1 (x 2 − x )

59.

y = log x log sin x x

x+2 1− x 2 x −4

arcsin

y = ln lg log x (x + 1)

61.

arcsin(2 x + 1) log x −1 (2 x + 1)

55.

56.

2− x + 1 + ln( x + 1) 2+ x

60.

y = log x

x2 + x − 2

62.

⎛ x −1 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 1⎟ y = lg ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ x +1⎠ ⎟ ⎝ ⎠

§3.2. Область значений функций Уровень А Найдите области значений функций: y = x −1 . 1. 2. 3.

y = log1 / 2 x .

y = log 2 x . y = 3 − log1 / 3 x .

y = −2 + log 2 x .

y = 3 ln(x + 1) +

119

1 . 2

11 9

sin x − 1 . x −1

1 − sin( x) . 1 + cos( x)

10.

1 sin x . 4 y = 2 sin x + 5 .

12.

y = x +1 .

y = x+2 .

14.

y = x + 3 + x2 .

15.

y = x2 − x +1.

16.

y = x 2 − 3x + 2 .

17.

y = −2 x 2 + 3 x + 5 .

1 . x +1 y = cos x + 2 .

11.

y=−

13.

sin 3x . 6

Уровень В Найдите наименьшие целые значения функций: 18.

y = x2 + x +1

19.

20. 22.

| | 2 y = sin x − cos x

21.

1 x +1 y = sin x + cos x + 1

23.

y = sin 2 x + cos 2 x

24.

y = (sin x + cos x )

25.

27.

26.

y = 0 .1 x − 5

28.

y = − x 2 + 2x + 3

30.

x −1 x −1

1 +1 2x x

29.

x y = sgn x

31.

y = x+ x

Найдите наибольшие целые значения функций: y = 5 sin x − 12 cos x y = sin x cos x 32. 33. 34.

y = 2 sin x + 5

35.

y = arcsin(2 x + 1)

Уровень С Найдите области значений функций: 2x + 1 y= 2 36. x + x +1 8 x2 38. y= 2 + x 2 x +1 y= 2 40. x y = 2 − x − x2 42.

37. 39. 41. 43.

120

x −1 x − x +1 x2 y= x +1 1 y = x+ x −1 y=

y = 4 x5 + 1

44.

y = x−2 + x+2

46.

y = 1 − 2x − 2

48.

y = sin x

50.

52.

x2 −1 y = arcsin 2 x +1

53.

y = arcsin

54.

⎛ sin x + 3 cos x + 2 ⎞ ⎟ y = arccos⎜ ⎜ ⎟ 3 2 ⎝ ⎠

55.

56.

⎛ x +1⎞ y = ln⎜ ⎟ ⎝ x −1⎠

57.

x+3 −4

sin x sin x

1 1− x

58.

y=2

60.

⎛7⎞ y=⎜ ⎟ ⎝3⎠

45.

y = x − 3 + 23 − x

47.

y = tg 2 x

49.

y = cos x

51.

59.

1 arcsin x x2 −1 x2 +1

log 2 x x

⎛ ⎞ 1 ⎟ y = log1 / 3 ⎜ ⎜ 2 + 1 + lg x ⎟ ⎝ ⎠

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠

x 2 −3 x + 2

− x2 −x+2

§3.3. Четность и нечетность функций Уровень А Укажите графики четных и нечетных функций соответственно, если функция четная, то в ответе укажите «Ч», нечетная – «Н», ни четная и ни нечетная – «О»: 1.

121

8. 9.

Укажите, какая из заданных функций является четной. 1) y = x

10. 11. 12.

13.

3) y = x + 1

2) y = x 2

2 x

Укажите, какая из заданных функций является четной. 2) y = − x 3) y = x 3 4) y = x 1) y = 1 Укажите, какая из заданных функций является четной. 2) y = sin x 3) y = cos x 4) y = sin 2 x 1) y = tg x Укажите, какая из заданных функций является четной. 1 1 2) y = 3) y = x 4) y = 1) y = ln x x +1 x Укажите, какая из заданных функций является четной. 122

4) y =

ln x sin x sin x ln x 2) y = 3) y = 4) y = x x x x Укажите, какая из заданных функций является четной. 2) y = x + x + ln x 1) y = x 2 + x + ln x 2

1) y = 14.

3) y = x 2 + x + 1 − ln(x + 1) 15.

4) y = x 3 − x − 2 ln x

Укажите, какая из заданных функций является четной. 1) y = x 2 + 2 x + 1 − sin x 2) y = − x + x 2 − cos x 3) y = x − 1 + x + sin x

4) y = x 2 + 2 x − 3 + cos x

16.

Укажите, какая из заданных функций является нечетной. 1) y = − x 2) y = x 3) y = x 4) y = 1

17.

Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

18.

1) y = x 2) y = 3 x 3) y = 4 x 4) y = 8 x Укажите, какая из заданных функций является нечетной. 2) y = cos x 3) y = sin x 4) y = cos x 1) y = sin x

19.

Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

20.

2) y = 3 sin 2 x 3) y = sin 3x 4) y = cos 3x 1) y = 3 cos 2 x Укажите, какая из заданных функций является нечетной. 1) y = 3 x − x 5 + x sin x + x5 − x 3) y = x

2) y = x 3 + 2 x + 1 1 4) y = 2 + x 3 − x x

Уровень В 21. 22.

23.

24.

Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x)=6+(x-5)·f(x-5) вычислить g(4)+3·g(5)+g(6) Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для f (2,5 − x) вычислить g(2)+ g(3) функции g ( x) = 6 x − 2 + x − 2,5 Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≥0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=7x(x-5)(x+4)(2x-6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0? Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≤0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=7x(x-5)(x+4)(2x-6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0? 123

25. 26.

27.

28.

29.

Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x)=(x-1)·f(x-3)-f(x-1)-0,5x вычислить g(0)+4·g(1)+2g(2)+g(4) Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения x значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=x(x6)(x+6)(x+7). Найти значение выражения m×n, где m – сумма квадратов всех корней, а n – количество корней уравнения f(x)=0. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого x≥1 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=(x-6)(x+6)(x+7)(x-4,5). Найти количество целых корней уравнения f(x)=0. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≥0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=x2-4x+2. Найти наименьший корень уравнения f(x)=-1. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≥0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=x2-7x. Найти наименьший корень уравнения f(x)=12.

§3.4. Периодичность функций Уровень А Укажите наименьший положительный период функции: 2. 3. y = cos x y = tg x y = sin x 1. x 4. y = ctg x y = sin 2 x 5. y = sin 6. 3 x 1 1 y = cos y = sin 4 x y = sin (x + 1) 7. 8. 9. 4 3 6 y = cos(2 x − 3) 10. y = sin x y = cos x 11. 12. 13.

y = sin

16.

x +4 3

14.

y = cos(2 x + 6) − 5

3 cos x 2

124

15.

y = 3 sin x

Уровень В Укажите наименьший положительный период функций умноженную на

y = sin x + cos x x x y = sin + cos 2 2 x x y = sin − cos 3 2 x 1 3x y = 3 sin + cos 3 2 2 1 y= sin x + 1

18.

27.

y = tg x +ctg x

28.

29. 30.

y = sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x y = cos x + cos 2 x + cos 3x + cos 4 x

17. 19. 21. 23. 25.

20. 22.

y = sin x cos x . x x y = 2 sin + cos 3 3 x x y = 2 sin + 3 cos 4 5

24.

y = sin x + sin 2 x

26.

1 cos x + 1 x x y = tg +ctg 2 2

y = f (x) определена для всех В (31-35) периодическая функция действительных чисел. 31. Период функции y = f (x) равен 3 и f (2) = 1 . Найдите значение выражения −2 f (5) + f (−7) . 32.

Период функции y = f (x) равен выражения

33.

5 3

f (−1) .

2 f (1025) −

f (1) =

3 2

. Найдите значение

f (−3) .

2 Период функции y = f (x) равен 2 и выражения 2 f (1) − 7 f (−1) .

125

f (5) = 2 . Найдите значение

2 f (−111) − 8 f (131) .

Период функции y = f (x) равен 4 и выражения

35.

Период функции y = f (x) равен 2 и выражения

34.

3 f (5) −

3 ⎛1⎞ и f ⎜ ⎟ = 3 . Найдите значение 2 ⎝2⎠

f (121) = 1 . Найдите значение

36. 37.

38. 39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

Периодическая нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Её период равен 5 и f(1)=3, f(2)=-4. Найдите значение выражения f(10)+f(-8)+f(4). Периодическая функция y=f(x) с периодом равным 4определена на всей числовой прямой. На (− 1;3] её значения совпадают с соответствующими значениями функции y=-x3+x2+3. Найти значение выражения f(-17)+2f(24). Найти наименьший положительный период функции y = −0,5 sin (8πx + 4) − 7 Функция y=f(x) является периодической. Её наименьший положительный период равен 7. Найти, чему равен наименьший положительный период функции y = 2 cos(0,5πx − 9) − f ( x) + 8 Периодическая функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Её период равен 6, а на [− 3;3] её значения совпадают с соответствующими значениями функции y=x2-4. Найти f(11)-5f(-5) Периодические функции y=f(x) и y=g(x) непрерывные на всей числовой прямой имеют наименьшие положительные периоды 6 и 8 соответственно. Найти наименьший положительный период функции y=6f(0,5x-9)+3g(2x+2)-8,6 Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На [0;3] функция задана формулой f ( x ) = 2 + x − x 2 . Определите количество

нулей этой функции на отрезке [− 5;4] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является нечетной периодической функцией с периодом, равным 4. На (0;2) функция задана формулой f ( x ) = 1 + 3 x + x 2 . Определите количество

нулей этой функции на отрезке [− 4;7] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является

четной периодической функцией с периодом, равным 8. На [0;4] функция задана формулой f ( x ) = x 2 − 4 . Определите количество нулей

этой функции на [− 8;3] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является нечетной периодической функцией с периодом, равным 2. На (0;1) функция задана формулой f ( x ) = x 2 − x − 3 . Определите количество нулей этой функции на [− 2;4] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является 126

периодической функцией с периодом, равным 4. На [− 2;2] функция задана формулой f ( x ) = 4 − x 2 . Определите количество нулей этой 47.

функции на [− 8;6] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической функцией с периодом, равным 3. На (− 2;1] функция

задана формулой f ( x ) = x 2 − x . Определите количество нулей этой 48.

функции на [− 4;4] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является

периодической функцией с периодом, равным 5. На [− 2;3) функция

задана формулой 49.

функции на [− 7;8] . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является

периодической функцией с периодом, равным 4. На (− 3;1] функция

задана формулой 4 f (13) − 2 f (10) . 50.

f ( x ) = 1 + x + x 2 . Найдите значение выражения

Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической функцией с периодом, равным 3. На (− 1;2] функция задана формулой

51.

f ( x ) = x 2 . Определите количество нулей этой

f ( x) = 2 x 2 − 4 .

Найдите значение выражения

2 f (11) − 4 f (2) . Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической функцией с периодом, равным 5. На [− 2;3) функция задана формулой

f ( x ) = 4 − x 2 + x . Найдите значение выражения

3 f (23) − 5 f (4) . 52.

Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при x ∈ [− 2;2] . Найдите значение выражения f (−10) ⋅ f (0) + f (21)

53.

Функция y = f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 7. На рисунке изображен график этой функции при x ∈ − 3;4 . Найдите значение выражения f (−52) ⋅ f (8) − 2 f ( f (11))

[

)

127

54..

Функцияя y = f ( x) определена о на н всей числ ловой прямой и является периодическо п ой с периодо ом 7. На рисун нке изображеен график эттой функции и при x ∈ [− 4;3] . Найди ите значен ние выраж жения f ( f (17 )) ⋅ f ( f (21)) + f (23) ⋅ f (13)

55..

Функцияя в y = f (xx ) определена на всей числовой й прямой и является пеериодической й с периодом м 6. На рису унке изображ жен график этой э функции и при x ∈ [− 4;2 ) . Най йдите значение выражен ния f ( f (14)) ⋅ f (0) + 3 f (9)

Уровен нь D Яв вляются ли функции ф пер риодическим ми (ответ обо оснуйте): x x x y = x + siin y = + sin 2 x + 1 y = x 3 + sin 56.. 57. 5 58. 2 2 3 y = x + {x} y = x + [x ] y = x{x} 59.. 60. 6 61. 62..

y = [x] + sin s x

65..

y = x coss x + sin

63. 6

y = {x} + cos x

64.

x 2

§3.5. «Сравнение» функц ций Уровен нь А 1.

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f ( x) и y = g ( x) , заданных наа [-6;6). Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≤ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f ( x) и y = g ( x) , заданных наа (6;5]. Укаж жите начения x , для которы ых выполняеется все те зн неравенствво f ( x) ≤ g ( x)

128 8

y = x sin x + cos

x 2

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа (-6;6]. Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≤ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа [-5;5]. Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≥ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа (-5;5). Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≥ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа (-6;6]. Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≥ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа [-5;4). Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≤ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа (0;6). Укаж жите начения x , для которы ых выполняеется все те зн неравенствво f ( x) ≤ g ( x)

На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа [-4;5]. Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≥ g ( x)

129 9

10.. На рису унке изобраажены граф фики функкций y = f (x) и y = g (x) , заданных наа [-4;5]. Укаж жите все те зн начения x , для которы ых выполняеется неравенствво f ( x) ≥ g ( x) 11.. При каких х значениях

f (xx ) = x + 1 рассположен нее x график функции ф

выше граф фика функции и g ( x) = −2 − 3x . 12.. При каких х значениях

x график функции f (x) = x 2 + 1 раасположен нее

выше граф фика функции и g ( x) = − x 2 + 2 x . 13.. При каких х значениях x график функции f ( x) = − x рассположен нее выше граф фика функции и g ( x) = − x 2 + x − 1 . f ( x) = 3 + 2 x рассположен нее 14.. При каких х значениях x график функции ф выше граф фика функции и g ( x) = x 3 + 2 x + 3 . 15.. При каких х значениях

x график функции ф

н f (x ) = x 2 − x + 1 расположен

не выше гр рафика функц ции g ( x ) = x 2 − x 3 + x + 1 f (xx ) = x + 1 рассположен нее 16.. При каких х значениях x график функции ф выше граф фика функции и g ( x) = x 3 + 1 .

Уровен нь В 17.. При каких х значениях x график функции ф н f (xx ) = ln (x 2 + 1) расположен

не выше гр рафика функкции g ( x ) = lnn (x 2 + x + 1) . В ответе укаажите общую ю длину интеервалов, удоввлетворяющи их неравенсттву x ≤ 10 . 18.. При каки их значенияях x граафик функц ции f ( x ) = llog 1 / 2 (x 2 + 2 ) расположеен не ниже гр рафика функц ции g ( x ) = − log 2 (x 2 − x + 3) . В ответее укажите об бщую длину интервалов, удовлетворяяющих неравеенству x ≥ 0 . 19.. При каки их значени иях x граафик функц ции f ( x ) = log 3 (x 2 − 3 x ) расположеен не выше графика фу ункции g (x) = log 3 (x + 122) . В ответее укажите об бщую длину интервалов. 20.. При каки их значенияях x граафик функц ции f (x ) = log l 5 (4 x − x 2 ) расположеен не ниже графика г фун нкции g ( x) = − log1 / 5 (x + 2) . В ответее укажите об бщую длину интервалов умноженную у ю на 4 + 130 0

5 + 17 . 2

21. При каких значениях x график функции f ( x ) = −4

расположен не

выше графика функции g ( x ) = 4 ⋅ 2 x + x + 4 x +1 . В ответе укажите общую длину интервалов, удовлетворяющих неравенству x ≤ 10 .

Уровень С 22. При каких значениях

x график функции

ниже графика функции g ( x ) = 8 ⋅ 3 23. При каких значениях

x +x

x +1

f ( x ) = −9 x расположен не

x график функции f ( x) = sin 2 x расположен не

выше графика функции g ( x) = cos x . 24. При каких значениях

x график функции

f ( x ) = sin 2 x расположен не

выше графика функции g ( x ) = cos 2 x . 25. При каких значениях x график функции f ( x ) = sin x расположен не выше графика функции g ( x ) = cos x . 26. При каких значениях

x график функции

не выше графика функции g ( x ) = 3 27. При каких значениях

11− x

x график функции

не выше графика функции g ( x ) = 2

9− x

f ( x ) = 4 x − x 2 − 2 расположен x −5

f ( x ) = 6 x − x 2 − 7 расположен

x+2

28. При каких значениях

x график функции

f ( x ) = x ⋅ 2 x расположен не

29. При каких значениях

x график функции

f ( x ) = x ⋅ 3 x расположен не

выше графика функции g ( x ) = x (4 − x ) + 3(2 x − 1) .

выше графика функции g ( x ) = x (3 − x ) + 2(3 x − 1) . 30. При каких значениях x > 0 график функции f ( x) = log 3 (log 3 (x + 2) + 2 ) расположен не ниже графика функции g ( x) = x . 31. При каких значениях x > 0 график функции f ( x) = log 2 (log 2 (x + 1) + 1) расположен не ниже графика функции g ( x) = x . 32. При каких значениях x график функции

⎛1⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

⎛1⎞ расположен не ниже графика функции g ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

131

−x

+ arccos (x 2 )

+ arccos(− x ) .

33. При каких значениях

x график функции

расположен не выше графика функции g ( x ) = 2

f ( x) = 2

−x

+ arcsin (x

− arcsin x .

§3.6. Производная. Применение производной Уровень А Найдите производные функций: 1. y = 1 2. y = x

y = ex

4. y = 2 x 7. y = cos x 10. y = arcsin x

8. y = tgx 11. y = arccos x

6. y = sin x 9. y = ctgx 12. y = arctgx

13. y = x − x x + 1

14. y = x + sin x − 1

15. y = x + 2 x 2 − 2

16. y = x 3 + 3 x

17. y = e 2 x + 5 x + 1

18. y = e − x + x 3 − x

19. y = 3 x 5 − e 3 x +1 − x

20. y = e x + cos x − 2 x

22. y = e −2 x + x + x

23. y = cos x + sin 2 x − x

21. y = e x + sin 2 x − 3 x 24. y = x − e − x + cos 2

y = ln x

Найдите производные функций: 25. y = e x + 2 cos x − 56 x 2 27.

y = tgx − 2 x + 7 x 3

28.

29.

y = 5 cos x + sin x − x 200

30.

y = x − 5 sin x + 32 x 2 1 y = + 4x − 6 x x y = 13 x 10 − ctgx + e x

31.

y = 3 sin x − 2 x + x

32.

y = −2 sin x + 3 x 2 − e x

33.

y = 3 sin x + 5 cos x − 3 x

34.

35. 37.

Найти y ′(0) , если y = e x − 2 cos x + 7 x − 432 Найти y ′(0) , если y = 5 sin x − e x + 2 x 2 − 531 Найти y ′(0) , если y = 7 cos x − 3 x 4 + e x − 976

38.

Найти

36.

39. 40.

26.

⎛π ⎞ 2 y ′⎜ ⎟ , если y = 2 cos x − 121 ⎝4⎠ 1 ⎛ π⎞ Найти y ′⎜ − ⎟ , если y = tgx 3 ⎝ 3⎠ Найти

, если y = 3 sin x + 1 132

1 + 5 x 10 − tgx x

)

41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.

1 ⎛π ⎞ y ′⎜ ⎟ , если y = ctg x − 654 5 ⎝3⎠ ⎛π ⎞ Найти y ′⎜ ⎟ , если y = 2 sin x − 13 ⎝2⎠ ⎛π ⎞ Найти 2 y ′⎜ ⎟ , если y = 4 cos x + 1 ⎝4⎠ Найти

Найти y ′(9) , если y = x + 4 Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=0,5t2t+4, где x(t) - координата точки в момент времени t. Найти мгновенную скорость точки в момент времени t0=2. Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=0,5t2-t+4 , где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени тело остановится? Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=5t2-7t+2 , где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени тело остановится? Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=2t2-7t+3 , где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени тело остановится?

Уровень В Найти значение: y ′(3) , если y = ln( x + 2) + ln( x − 2) . 49. 3y ′(4) , если y = ln( x 2 − 4) . 50. 51. 52.

y ′(π ) , если y = sin 2 2 x . y ′(0) , если y = x sin x + x 2 .

54.

y ′(0) , если y = arcsin x + xe x . y ′(π ) , если y = xe x + cos 2 x .

55.

y ′(0) , если y = x 2 e − x − sin x cos x .

56.

y ′(0) , если y = x e − x + x sin x .

57.

y ′(1) , если y =

53.

58.

x2 . 1+ x 1 y ′(0) , если y = 2 . x −4

133

59.

y ′(1) , если y =

x . x +1

60.

2 y ′(1) , если y = 3 x − x 3 .

61.

2 y ′(0) , если y = 2 + x − x 2 .

62. 63.

y ′(0) , если y =

1− x . 1+ x

15y ′(2) , если y = ( x 2 − 1)(9 − x 2 ) .

Уровень С Найти производную функций: 64. 66. 68. 70. 71.

65.

ex 1⎞ ⎛ y = ⎜ 7 − ⎟(6 x + 1) 67. x⎠ ⎝ x3 69. y= 2x + 4 sin x y= x 100 Найти f ′(1) , если f ( x) = 4(2 x − 1)

⎛1 ⎞ y = ⎜ + 1⎟(2 x − 3) ⎝x ⎠ ⎛1 ⎞ y = ⎜ + 8 ⎟(5 x − 2) ⎝x ⎠ 2 x y= 2 x −1

74.

⎛π ⎞ Найти f ′⎜ ⎟ , если f ( x) = tg 3 x ⎝4⎠ ln x Найти f ′(e ) , если f ( x) = x +1 Найдите производную функции y = x x

75.

Найдите производную функции y = x ln x .

76.

Найдите производную функции y = x 2 x +1 .

77.

Найдите производную функции значение выражения y ′(1) .

78.

Найдите производную функции y = sin x x + e x sin x . В ответе укажите

72. 73.

⎛π ⎞ значение выражения y ′⎜ ⎟ . ⎝2⎠ 134

y = (x + 1)

x 2 + x +1

. В ответе укажите

79. 80.

81.

82.

83.

84. 85. 86.

87.

Дана прямоугольная трапеция с острым углом 45 и периметром 4 см. При каком значении длины высоты эта трапеция имеет наибольшую площадь? Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с острым углом ϕ . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 300 и имеют длину 8 см. При каком значении ϕ объем этой пирамиды будет наибольшим? Вычислить этот наибольший объем. Криволинейная трапеция ограничена кривой y=ex и прямыми y=0; x=0; x=1. В какой точке кривой y=ex (0<x<1) следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади? Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника. Точка А лежит на графике функции y=f(x), точка В – на оси абсцисс, и её абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А. найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где точка О – 3π 9π ≤x≤ начало координат, а f ( x) = 7 + 3 sin x − (3 x + 1) cos x , при 4 8 Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции. При каком угле наклона площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей? На окружности радиуса 4 дана точка А. На каком расстоянии от А надо провести хорду ВС так, что прямая ВС параллельна касательной в точке А и площадь треугольника АВС – наибольшая? Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей. Имеется участок площадью 2900 м2, который состоит из частей, в виде прямоугольников, и имеет форму многоугольника ABCDFGHM, изображенного на рисунке, где BC=20м., DC=10м., GH=40м. и HM 45м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AK, AL и HM, при которых периметр является наименьшим. 135

88.

89.

Имеется участок площадью 700 м , который состоит из частей, в виде прямоугольников, и имеет форму многоугольника ABCDEFGK, изображенного на рисунке, где BC=10м., DC=15м., GH=35м. и DE 20м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AK, AL и DE, при которых периметр является наименьшим. Имеется участок площадью 2650 м2, который состоит из 4 частей, в виде прямоугольников, и имеет форму многоугольника ABDGHKMLNP, изображенного на рисунке, где KH=10м., KL=10м., ML=20м., GH=25м. и MN 35м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AB, BD и MN, при которых периметр является наименьшим.

§3.7. Касательная Уровень А Составьте уравнение касательной к графику функции 1. y = x 2 + 1 , в точке P(1;2) . 2. 3. 4.

y = x 3 + x 2 + 1 , в точке P(− 1;1) .

y = x 2 − x + 1 , в точке P(1;1) . y = ln x , в точке P(1;0) .

y = x + sin x , в точке P(π ; π ) .

y = x 2 + x , в точке с абсциссой x0 = 1 .

y = x − ln x , в точке с абсциссой x0 = e .

y = log 2 x , в точке с абсциссой x 0 = 2 .

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции, в точке с абсциссой x 0 9.

y = x 3 + x 2 − 2 x , x0 = 2 .

10.

y = − x 3 + 3 x 2 − x + 1 , x0 = 1 .

11.

y = x + cos x , x0 = π .

12.

y = 2 x 3 − 4 x + 3 , x0 = 1

13.

y = x 2 + 2 x − 1 , x0 = 0

14.

y = x 3 − 3 x + 2 , x 0 = −1

136

15.

y = x + 3 x − 4 , x0 = 1

17.

y = tg x + 4 , x0 = −

π 4

16.

y = x − 9 x + 7 , x0 = 2

18.

y = 2ctg x , x 0 =

π 3

Уровень В 19.

20. 21.

22.

Пусть

y = ax + b

- уравнение касательной к графику функции

f ( x) = 3 − x в точке с абсциссой x0 = −1 . Найти сумму коэффициентов a и b. Касательная к графику функции f ( x ) = − x 2 + 2 перпендикулярна прямой x − y + 1 = 0 . Найти сумму координат точки касания. Найти сумму абсцисс точек касания, в которых касательные к графику x +1 параллельны прямой y = x + 5 . функции y = x+2 Найти сумму абсциссы и ординаты точки, в которой нужно провести касательную к графику функции y = x + 3 , чтобы она пересекала ось x

23.

ординат в точке (0;6) . Найти сумму абсциссы и ординаты точки, в которой пересекаются 1 2 касательные к параболе y = (x − 1) , проведенные в точках (− 1;2) и 2 (2;0,5) .

Найти абсциссу точки графика функции y = 0,5 x 2 − 3 x + 1234 в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна оси Ох. 25. Найти абсциссу точки графика функции y = 2 x 2 + 3 x − 5 в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна оси Ох. Найти абсциссу точки графика функции, в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна оси Ох. В ответе указать ближайшее целое к полученному числу: 26. 28. y = 3x 2 + 5 x − 2 y = 6x 2 + x − 1 24.

27.

y = 3x 2 + 2 x − 5

30.

Найти абсциссу точки графика функции y = 0,5 x 2 − 3 x + 1234 в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой y = 4 x − 32 .

31.

Найти абсциссу точки графика функции y = x − x в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой y = x+5.

29.

137

y = 3x 2 + 7 x − 6

32.

Найти абсциссу точки графика функции y = x + 3x в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой y = 4x − 1 .

33.

Найти абсциссу точки графика функции y = 2 x 2 − 3 x − 2 в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой y = x − 25 .

34.

Найти абсциссу точки графика функции y = 3 x 2 + 5 x − 2 в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой y = −x − 9 .

35.

Найти абсциссу точки графика функции y = 2 x 2 + 3 x − 5 в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой y = −5x + 1 .

Составить уравнение касательной к графику функции в точке М. В ответе указать значение y кас (0) : 36.

f ( x ) = 2 x − x 3 , М(1;1).

37.

f ( x ) = 2 − x − x 3 , М(0;2)

38.

f ( x ) = x 3 , М(1;1)

39.

f ( x ) = −3 x + x 2 + 5 , М(-1;0)

40.

f ( x) =

41.

f ( x) =

42. 43.

3x − 2 , М(2;4) 3− x 3 f ( x) = , М(-1;-3) x

Касательная к графику функции

2x − 5 , М(4;5) 5− x

y = x2 − x +1

перпендикулярна

44.

прямой y = 2 x + 1 . Укажите значение выражения x 02 + y 02 , где (x0 ; y 0 ) − точка касания. Касательная к графику функции y = x 3 − 2 x + 1 перпендикулярна

45.

прямой 2 y + x − 3 = 0 . Укажите значение выражения x 02 + y 02 , где (x0 ; y0 ) − точка касания. В ответе указать ближайшее целое к полученному числу. Касательная к графику функции y = x 2 − 4 x − 2 перпендикулярна прямой 3x − 2 y = 1 . Укажите целую часть значения выражения x 02 + y 02 , где (x0 ; y 0 ) − точка касания.

138

46.

Касательная к графику функции y = −3 x − 2 x + 4 перпендикулярна 2

прямой 2 y = − x + 1 . Укажите целую часть значения выражения x 02 + y 02 , где 47.

48.

49.

50.

(x0 ; y 0 ) − точка касания.

Касательная к графику функции y = −3 x + x 2 перпендикулярна прямой

3 − 5 y + x = 0 . Укажите значение выражения x 02 + y 02 , где (x0 ; y 0 ) − точка касания. Касательная к графику функции y = −2 + x + x 2 имеет угловой коэффициент k = 2 . Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ. 1 Касательная к графику функции y = −2 + x + x 4 имеет угловой 4 коэффициент k = 3 . Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ. Касательная к графику функции y = − x 2 + x − 1 проходит через начало координат. Найдите значение выражения x 0 − y 0 , где (x0 ; y 0 ) − точка касания, при условии, что x 0 > 0 .

51.

Касательная к графику функции y = 2 x 2 − x + 3 проходит через начало ⎛ 3 ⎞⎟ 2 x − 3 y 0 , где координат. Найдите значение выражения ⎜18 + 5 ⎜ ⎟ 0 2 ⎝ ⎠ (x0 ; y0 ) − точка касания, при условии, что x0 > 0 .

52.

Касательная к графику функции y = 3 x 2 − 2 x − 1 проходит через начало −1

⎛ 17 − 6 3 ⎞ ⎟ ⋅ x 02 − 3y 0 , где координат. Найдите значение выражения ⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ (x0 ; y0 ) − точка касания, при условии, что x0 > 0 .

53.

Касательная к графику функции y = x 2 − x проходит через точку

(− 2;5) .

Найдите значение выражения

x 0 − y 0 , где

(x ; y ) − точка 0

касания, при условии, что x0 > 1 . 54.

Касательная к графику функции y = − x 2 − 3 x + 2 проходит через точку

(− 1;6) . Найдите значение выражения точка касания, при условии, что

x0 > 0 .

139

(7 + 2 2 ) x

2 0

− y 02 , где (x0 ; y 0 ) −

55.

56.

графикам

функции

y = x + x −1

−x

проведены

x касательные в точках с абсциссой x0 = 1 . Найдите тангенс угла между этими касательными. К графикам функции y = ln x + 3 x − 1 и y = − ln x + x 2 + 3 проведены касательные в точках с абсциссой x0 = 1 . Найдите тангенс угла между этими касательными.

§3.8. Монотонность функций Уровень А Укажите промежутки возрастания и убывания функций: 1. y=x y= x 2. 3. y = x2 4.

y = 2x +

3 2

y = 1− 3x

y = xx

y = log1 / 3 x y = x +1 y = tgx

11.

1 x +1 y = log π (x + 3)

y = sin x

14.

y = cos x

12. 15.

16.

y = arcsin x

17.

y = 3x 2 + 5 x + 4 .

18.

y = 5x 2 − 8x + 3 .

19.

y = 5x 2 − 8x − 4 .

20.

y = x 2 − 7x − 8 .

21.

y = x 2 − 8x + 7 .

22.

y = 9x 2 − 6x + 1 .

23.

y = −x 2 + 2x + 8 .

24.

y = 2 x 2 + 3x − 2 .

25.

y = 3x 2 + 7 x − 6 .

26.

10.

1 x y = log e x

13.

Уровень В 27.

28.

На [− 3;3] укажите общую длину промежутков, на которых функция x y= 2 является возрастающей. x +1 На [− 4;0] укажите общую длину промежутков, на которых функция 1 y = x+ является возрастающей. x −1 140

29.

30.

31. 32. 33. 34.

⎡ 3 ⎤ На ⎢− ;5⎥ укажите общую длину промежутков, умноженную на ⎣ 4 ⎦ 1⎞ x2 +1 ⎛ является убывающей. ⎜ 2 + ⎟ , на которых функция y = 4⎠ x +1 ⎝ 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ На ⎢− 4;− ⎥ U ⎢ ;4⎥ укажите общую длину промежутков, на которых 2⎦ ⎣2 ⎦ ⎣ x+2 функция y = 2 является убывающей. x Укажите количество промежутков, на которых функция y = x 3 − 3 x является убывающей. Укажите количество промежутков, на которых функция 3 2 y = x − 3 x + 2 является возрастающей. 1 Укажите количество промежутков, на которых функция y = 2 x −4 является возрастающей. Укажите количество промежутков, на которых функция 2 y = x − 2 x + 3 является убывающей.

35.

Укажите длину промежутков, в которой

функция y = x − 1 − x + 1

36.

является постоянной. Укажите количество промежутков, y = 2 x + 1 − 3 x + 2 является убывающей.

на

37.

Укажите количество промежутков, на которых функция y = 2 x − 3

38.

является возрастающей. На [− 3;3] укажите общую длину промежутков, на которых функция

39.

На [− 1;2] укажите общую длину промежутков, на которых функция

40.

На [− π ;3π ] укажите количество промежутков, на которых функция

которых

функция

y = sin(πx ) является возрастающей. y = cos(πx ) является убывающей. y = tgx является возрастающей.

41. 42.

На [− 3π ; π ] укажите количество промежутков, на которых функция y = sin 2 x является убывающей. На [− π ; π ] укажите количество промежутков, на которых функция

y = cos 2 x является возрастающей. 141

43.

На

[− 5;5]

укажите количество промежутков, на которых функция

y = tg 2 x является убывающей.

44. 45. 46.

На [− 2;4] укажите количество промежутков, на которых функция y = ctg 3 x является убывающей.

На [− 4 − π ;10 − π ] укажите общую длину промежутков, на которых функция y = x + sin x является возрастающей. На [1;5] укажите общую длину промежутков, на которых функция y = x + ln x является возрастающей.

Уровень С 47. 48. 49.

x 2 − 6x + 1 . x −1 x2 − x +1 Найдите промежутки убывания функции y = . x−2 1 Найдите промежутки убывания функции y = 2 . x + x

Найдите промежутки возрастания функции y =

50.

Найдите промежутки возрастания функции y = x 2 − 3 x + 2 .

51.

Найдите промежутки возрастания функции y = x 2 − 2 x + 3 .

52.

Найдите промежутки убывания функции y = sin x + 2 cos x .

53.

Найдите промежутки возрастания функции y = sin x .

54.

Найдите промежутки возрастания функции y = cos x .

55.

Укажите количество промежутков убывания функции y = x sin x на

56.

отрезке [− 10;10] . Укажите количество промежутков убывания функции y = x cos x на

57.

Найдите промежутки возрастания функции y = arcsin x 2 + 1 .

58.

Найдите промежутки возрастания функции y = arccos x 2 + x + 1 .

59.

x 3 − 2x 2 + x − 1 Найдите промежутки убывания функции y = . x+3

отрезке [− 10;10] .

142

§3.9. Точки максимума и минимума Уровень А Найти точки максимума функции (если таких точек несколько, то указать их сумму): 1. y = 2x + 1 y=x 3. 2. y = x2 4.

y = −x 4

y = −x

y = x 3 − 3x 2

y = −x 2 + 2x

y = −x − x2

y = 4 − x2

Найти точки минимума функции (если таких точек несколько, то указать их сумму): y= x 12. 10. 11. y = 2x 2 + 1 y = 2x 2 + x − 1 13.

y = x 3 + 2x 2 + x

16.

y = x5 − x

14.

1 x2 +1

15.

y = x3 − x

Найти точки максимума и минимума функции: 17. 18. f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 − 18 x + 12 . f ( x) = x 2 − 2 x + 8 . 19.

f ( x) = − x 2 + 5 x + 4 .

20.

f ( x) = − x 3 + 3x − 2 .

21.

f ( x) = x 3 − 3x + 2 .

22.

y = x 2 − 6x + 5 .

23.

y = 5x 3 − 3x 5 .

24.

y = 4x 2 − x 4 .

25.

26.

y = 3x 2 − x 3 .

27.

1 2 1 1 x + x+ . 4 16 4 4 2 y = x − 2x − 3 .

Уровень В 28. Найти количество точек максимума функции y = sin x , при x ∈ [− π ;2π ] .

29. Найти количество точек максимума функции y = cos x , при x ∈ [− 2π ; π ]

πx

⎡ 1 3⎤ , при x ∈ ⎢− ; ⎥ . 2 ⎣ 2 2⎦ x 31. Найти сумму точек максимума функции y = 2 cos , при x ∈ [− π ; π ] . 3 32. Найти сумму точек максимума функции y = 6 x − x 6 .

30. Найти сумму точек минимума функции y = sin

143

33. Найти сумму точек максимума функции y =

x +1 , умноженную на 2x + 1 2

5 +1 . 2 34. Найти сумму точек максимума функции y =

x . x +1 2

Уровень С Найти точки максимума и минимума функции: −3x −12 x 35. y = 2 , при x − 2 ≤ 8 36. y = 2 , при x − 1.5 ≤ 5.5 . x +9 x +4 x −1 −x + 3 37. y = 2 , при x − 1 ≤ 5 . 38. y = 2 , при x − 3 ≤ 6 . x +9 x +1 7x 40. y = log 1 / 2 (x 2 − 3 x + 2 ) . 39. y = 2 , при x + 4 ≤ 4 . x +4 41. y = log 1 / 3 (x 2 − 5 x + 6 ) . 42. y = log 2 (1 − x 2 ) . 43.

y = log 3 (x − x 2 ) .

44.

y = x − 1 ln x .

45.

y = e x sin x .

46.

y = e x cos x .

47.

y = ln (x + 1) − e x .

48.

y = ln (2 x + 1) − e 2 x .

49.

y = cos x + x + e x .

50.

y = sin x + x − e − x .

51.

y = x+

1 x2 −1

52. Найдите максимум функции

log

f ( x) = 5

x 2 − 3 x +1

log

53. Найдите максимум функции f ( x ) = 3 54. Найдите минимум функции

f ( x) = 2

144

x 3 −3 x − log 0.2 ( x + 5 ) x +5

log 2

x +1

x 3 − 3 x +1 x 2 +1

− log1 / 3 ( x +1)

− log 0.5 ( x 2 +1)

§3.10. Наибольшее и наименьшее значение функции Уровень А Найдите наибольшее значение функции 2. 1. y = x , при x + 5 ≤ 7 . 3. 5.

y = x , на [− 2;2]

y = x 2 + 2 x , на [− 3;2]

y = ln x , на [1; e]

y = sin x

6. 8. 10.

y = − x , на [− 3;6]

y = − x + 1 , на [− 1;2]

y = x + x 3 , на [− 1;2]

y = ln (x 2 + 1) , на [− 1;1] y = cos x

Найдите наибольшее целое значение функции 11. y = cos x − x , на [− π ; π ] 12.

y = 3 sin (2 x − 1) + 1

Найдите наименьшее значение функции y = 2 x − 1 , при x − 1 ≤ 3 13. 14. 15.

y = −2 x + 3 x 2 , на [− 1;4]

17.

, при x ∈ [1;2]

16. 18.

y = x 2 + 1 , при x ∈ [1;3]

y = ln(x + 1) , на 2 2 3

Найдите наименьшее целое значение функции x y = sin + 2 19. 2 y = x + sin x , на [− π ; π ] 20.

Уровень В Найдите наименьшее значение функции 21. y = ln x + x 2 , на [1;2] y = 24 sin x + 7 cos x 22. 23. 24. 25.

y = tg 2 6 x + cos2 6 x + 1

y = 2 x − 1 − 3 x + 3 , на [− 5;2]

y = x + 1 + x + 2 + x + 3 , на [− 4;1]

145

[0;1]

27.

1 x + 2 − 3 − x + x , на [0;4] 2 y = 2 x + x − 3 , на [1;2]

28.

y = 10 ⋅ 2cos x cos 3 x + sin x sin 3 x −1

29.

y = 8 ⋅ e− x

30.

y = 2 ⋅ e −2 x

26.

+ 2 x +1 2

, при x ∈ [− 2,3] .

+3x + 2

, при x ∈ [− 3,1]

Найдите наибольшее значение функции ⎡ 1 1⎤ 31. y = log 2 (1 − x 2 ) , на ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ 32. 33. 34. 35. 36.

π ⎞ π⎞ ⎛ ⎛ y = sin⎜ 3x + ⎟ − sin⎜ 3x + ⎟ , умноженную на 10 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ y = x + x + 1 , на [− 3;3]

y = 4 x − 2 x + 1 − 2 1 − x , на [− 1;2]

40 на промежутке [1; 7]. 2 + 3х Найдите наибольшее целое значение функции y=

y = 25 ⋅ 3cos 4 x cos 3 x + sin 4 x sin 3 x − 2 Уровень С Найдите наименьшее значение функции −2 x y= 2 , при x − 1 ≤ 5 . 37. x +9 −x y= 2 38. , при x − 2.5 ≤ 3.5 . x +4 39.

f ( x) = 1 − x 8 − 2 + 1 − x 8 + x 3 − x + 3

40.

f ( x) =

41.

f ( x ) = 9 + 6 x + x 2 + 2 x 3 − x 2 + 3 x − 3 + x , при x ≤ 3

42.

f ( x ) = − 2 x + 1 + x 2 − x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1 − x , при x + 1 ≤ 2

43.

f ( x) = 3x 8 / 5 + 7 x −8 / 5 − 2 , при x ≥ 1

(4 − x )

2 2

− 2 x 3 − 3 x 2 + 1 − 4 − x 2 , при x − 1 ≤ 3

146

44.

f ( x) = 2 x 11 + 13 x −11 − 1 , при x ≥ 1

45.

f ( x) = x 19 / 3 + 14 x −19 / 3 − 3 , при x ≥ 1

46.

f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x

47. 48. 49.

x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x + 5 f ( x) = x2 + x + 2 4 x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 2x + 2 f ( x) = 2x 2 + x + 1

f ( x) = x 2 − 1 + arcsin x

Найдите наибольшее значение функции x +1 y= 2 50. , при x − 2 ≤ 4 . x +1 x+3 y= 2 51. , при x − 1 ≤ 4 . x +9 52.

f ( x) = 1 − x 2 − 3 + 1 − x 2 + x 3 − 2 x 2

53.

f ( x) =

4 − x 2 − 3 + 4 − x 2 − x 3 − 3x 2 + x − 1

54.

f ( x) =

(1 − x − x )

55.

f ( x) = 1 + 4 x + 4 x 2 − x 3 − x 2 + x − 1 + 2 x , при x ≤ 2

56.

2 2

f ( x) = 3 + 5

−

2 x +1

57.

f ( x) = 7 x + 3

−

4 x+2

58.

f ( x) = 5 + 2

−

6 x+2

59. 60.

+ x 3 − 4 x 2 + x − 1 − x − x 2 , при x − 1.5 ≤ 2.5

− 12 , при x ≤ −4

− 10 , при x ≤ −5

− 16 , при x ≤ −3 1 f ( x) = 4 sin 2 x + 3 sin x + 2 f ( x ) = 2 sin 4 x + 3 cos 4 x . x

62.

f ( x) = (5 − x )(x − 1)(x + 2)(x + 6) f ( x) = x − 1 + arccos x

63.

f ( x) = 2 sin x + cos x +

64.

f ( x) =

61.

1 2

3 sin x − 3 cos x + 12 4 147

§3.11. Первообразная и неопределенный интеграл Уровень А Найдите первообразную для функции y (x) , проходящую через точку Р(x,y): y = 0 , Р(1;1). y = 1 , Р(2;-1). 1. 2.

1 , Р (e;1). x 1

y = x , Р (-2;2).

7. 9.

1 , Р (1;1). 1+ x2 y = 3 x , Р (1;2). y = sin x , Р (π ;1) .

8. 10.

y = e x , Р (-1;0).

y = cos x , Р (− π ;1) .

11.

⎛π ⎞ ⎜ ;1⎟ . ⎝2 ⎠

12.

1 , Р (0;1). cos 2 x

13.

, Р (1;1) .

14.

1 , Р (-3;3). x −4

16.

y = x 2 + x − 1 , Р (0;1)

18.

3. 5.

15. 17. 19. 21. 23.

1 ,Р sin 2 x 1

x +1 1 y= , Р (-2;-1). 1− x x +1 y= , Р (1;4). x 1 , Р (-2;0). y= ( x + 1) 2 sin x + cos x ⎛π ⎞ y= , Р ⎜ ;0 ⎟ . sin x ⎝3 ⎠ 2

20. 22.

1− x2

, Р (0;1).

, Р (3;1).

x +1 1 , Р (1;1). y= ( x + 1) 3 y = e x + x − 3 x , Р (0;1).

y = 2 x − x 3 + e −2 x , Р (0;2).

Уровень В Найдите первообразную F (x) для функции , проходящую через точку А , (24-37): x +1 y= 24. , А(-1;1). В ответе укажите значение F(3) + ln5 - 2. x+2

148

2x , А(4;1). В ответе укажите значение F(5) - 6ln2 + 14. x−3 x2 , А(3;-2). В ответе укажите значение F(3) + 19. x −1 x2 , А(1;0). В ответе укажите значение F(2) – ln(3/2). x +1 x , А(0;0). В ответе укажите значение F (1) + ln 2 . x +1 1 , А(-2;2). В ответе укажите значение -2ln(2) + 2 – F(2). x( x + 1) 1 , А(3;1). В ответе укажите значение F(-3) + ln2 – ln5. ( x + 1)( x + 2) 1 , А(2;0). В ответе укажите значение F(2). ( x − 1)( x + 1)

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

y = cos 2 x , А(0;0). В ответе укажите значение F (1) − 0,25 sin 2 .

33. 34. 35. 36. 37.

cos x ⎛π ⎞ √ , А ⎜ ;0 ⎟ . В ответе укажите значение . 3 3 sin x ⎝ ⎠ sin x ⎛π ⎞ √ y= , А ⎜ ;1⎟ . В ответе укажите значение 2. 2 cos x ⎝6 ⎠ 1 1 ⎛π ⎞ ⎛π π ⎞ y= , А ⎜ ; ⎟ . В ответе укажите значение - F ⎜ ⎟ π ⎝4⎠ sin x cos x sin 2 x ⎝4 2⎠ sin 2 x y= , А(0;1). В ответе укажите значение F (π ) - 2. sin x sin 2 x y= , А (1;1) . В ответе укажите значение F (− 1) . sin x cos x y=

Уровень С Вычислите:

38. 41. 44. 47.

xdx ∫ ( x + 1)( x + 2) sin x + cos xdx . cos x dx x2 + x +1 dx 2 − 2x + 2x + 1

39.

xdx ∫ ( x − 1)( x + 1)

40.

∫

42.

∫ cos

43.

∫

45.

∫

46.

∫

48.

∫ xe dx.

49.

∫ x cos xdx.

xdx.

dx x2 + x − 2 x

149

dx . sin 2 x cos 2 x ln x dx. x dx x 2 + 3x + 4

50.

∫ x sin xdx. §3.12. Функциональные уравнения и задачи Уровень А

Заданы функции: f ( x) = x и g ( x ) = x 2 + 1 . Найдите f (g (x )) . 1. 2.

f ( x) = x и g ( x) = 2 x + 2 . Найдите f (g (x )) .

f ( x) = 2 x − 1 и g ( x) = x 2 + 1 . Найдите f (g (x )) . 1 f ( x) = 3 x и g ( x) = x + . Найдите f (g (x )) . x +1 f ( x) = 3 x и g ( x ) = x 2 + 1 . Найдите f (g (x )) .

f ( x) = x + 1 и g ( x) = 3 x . Найдите f (g 3 (x )) .

7. 8. 9.

f ( x) = x − 1 и g ( x) = x 2 + 1 . Найдите f (g 2 (x )) . x f ( x) = и g ( x) = x + 1 . Найдите f (g 4 (x )) . 3 x 3 f ( x) = и g ( x) = (x 2 + 1) . Найдите f 3 g (x ) . x +1

(

10.

f ( x) = x и g ( x) = 4 x . Найдите f

11.

f ( x) =

12. 13.

(

)

g (x ) .

x −1 и g ( x) = sin x . Найдите f (g 2 (x )) . x +1 1− x f ( x) = и g ( x) = cos x . Найдите f (g 2 (x )) . 1+ x и

g ( x) =

cos x . Вычислите значение выражения

f ( x) = 2 x + 1 и

g ( x) =

sin x . Вычислите значение выражения

f ( x) = x 2 − 1

f (g (π )) . 14.

f (g 2 (π )) .

15.

f ( x) = 1 − x + x 2

16.

f ( x) =

f (1 + g (8)) .

g ( x) = 3 x .

значение

выражения

1 − x и g ( x ) = x 2 . Вычислите значение выражения f (g (1)) . 1+ x

150

Вычислите

17.

f ( x) = f

(

1− x 1+ x

g ( x) =

)

x +1 . Вычислите значение выражения 2

g (− 1) .

Уровень В Заданы функции: 18. 19.

20.

21.

f ( x) = x x − 1 и g ( x ) = x 2 . Решите уравнение f (g (x )) = −1 .

f ( x ) = x 2 + x и g ( x) = cos x . Решите уравнение f (g (x )) = 0 . Укажите количество корней, если их бесконечное множество, то в ответе запишите «∞». f ( x ) = x − x 2 и g ( x) = sin x . Решите уравнение f (g (x )) = 0 . Укажите количество корней, если их бесконечное множество, то в ответе запишите «∞». e f ( x ) = x 2 − 1 и g ( x) = ln . Решите уравнение f (g (x )) = 0 . В ответе x

укажите сумму всех корней умноженную на (1 + e 2 ) . −1

22.

g ( x) = sin x . В ответе укажите целое положительное число наиболее близкое к наименьшему положительному корню уравнения f (g (x )) = 1 .

23.

f ( x) = x − x + 1 и g ( x ) = cos 2 x . В ответе укажите целое число наиболее близкое к наименьшему положительному корню уравнения f (g (x )) = 1 . Найдите значение функции f (x )g (− x ) − f (− x )g (x ) в точке x 0 , если известно, что функция f - четная, а функция g - нечетная, причем f (x0 ) = 1 , g (x 0 ) = −2 .

24.

25.

f ( x) = x 2 − x + 1

Найдите значение функции 2 f (− x ) g (− x ) − f (− x ) g (− x ) в точке

x0 ,

если известно, что функция f - четная, а функция g - нечетная, причем f (x0 ) = −3 , g (x 0 ) = 3 .

26.

Найдите значение функции

f (x ) f (− x ) + в точке x 0 , если известно, g (− x ) g (x )

что функция f - четная, а функция g - нечетная, причем f (x0 ) = −2 ,

g (x0 ) = 1 .

151

Известно, что:

29.

⎛1⎞ f (3x − 1) = 6 x + 2 и f (g (x )) = 3 − 4 x . Найдите g ⎜ ⎟ . ⎝4⎠ f (−3+ x) = 3x +1 и f (g(x)) = 4 − 2x . Найдите g (3) . f (5 x − 2) = 3 + 2 x и f (g (x )) = 4 + x . Найдите g (0 ) .

30.

f (4 + x ) = x и f (g (x )) = x + 1 . Найдите g (0 ) .

31.

f (1 + 3x ) = x и f (g (x )) = 3x + 3 . Найдите g (− 1) . 1 1 f (x − 1) = и f (g (x )) = . Найдите g (1) . x + 2 x

27. 28.

32. 33.

f (− x + 1) = 3 x − 1 и f (g (x )) = 2 − x . Найдите g (2 ) .

34.

f (x ) =

35.

2x − 1 . 4− x

Упростите

выражение

вычислите его значение при x = 1 . 2x − 4 / x f (x ) = . Упростите выражение 3x − 2 / x вычислите его значение при x = 1 .

⎛ x −3⎞ 2 f⎜ ⎟ + f (x + 4 ) ⎝ 1− x ⎠

⎛ x −3⎞ 3f ⎜ ⎟ + 3 f (x − 1) ⎝ 1− x ⎠

Уровень С f (g (x )) + g (3 + f (x )) = 30 ,

36.

Решите уравнение

если

известно, что

37.

⎧25, x ≥ 4 1 4 ⎪ f (x ) = x − 4 x + 5 и g (x ) = ⎨ x . 9 2 2 + , x < 4 ⎪⎩ 5− x Решите уравнение f (g (x )) + g (5 + f (x )) = 16 , если

известно, что

38.

⎧15, x ≥ 3 ⎪ . f (x ) = x − x + 1 и g (x ) = ⎨ x 2 + , x < 3 3 ⎪⎩ 2−x Решите уравнение f (g (x )) + 2 g (17 + f (x )) = 23 ,

известно, что

39.

⎧10, x ≥ 0 1 4 ⎪ f (x ) = x − 9 x + 3 и g (x ) = ⎨ x . 11 3 2 + , x < 0 ⎪⎩ 2− x Решите уравнение f (g (x )) + g (2 + f (x )) = 31 ,

152

если

известно, что

⎧5, x ≥ 6 ⎪ . f (x ) = x − 8 x + 26 и g (x ) = ⎨ x 24 4 + , x < 6 ⎪⎩ 7−x Даны числа x1 , x 2 ,..., x 27 , которые удовлетворяют рекуррентному 2

40.

соотношению x k +1 = f (x k ) , k = 1,2,...,26 , причем известно, что x 27 = 0 4 − ⎧ x x +1 − 6, x ≤ −3 ⎪5 + 3 а . f (x ) = ⎨ 21 ⎪ − 3, x > −3 ⎩x +3 x15 + 2 x11 − x 4 .

41.

Даны числа

Найдите

значение

выражения

x1 , x 2 ,..., x 49 , которые удовлетворяют рекуррентному

соотношению x k +1 = f (x k ) , k = 1,2,...,48 , причем известно, что x 49 = 0

42.

1 − ⎧ x x+6 − 1, x ≤ −7 ⎪2 + 5 . Найдите значение выражения а f (x ) = ⎨ 91 ⎪ − 7 , x > −7 ⎩x + 7 x 42 + 2 x31 − x 24 . Известно, что функция y = f (x) определена на всей числовой оси и

43.

f удовлетворяет условию 2 f (x ) + f (1 − x ) = x 2 . Задайте функцию формулой. Известно, что функция y = f (x) определена на всей числовой оси и

44.

f удовлетворяет условию f ( f (x )) − f (x ) = x . Задайте функцию формулой. Функция y = f (x) определена на всей числовой оси и удовлетворяет условиям

45.

46.

f ( f (x )) = 4 x и

f (1) = 2 . Найдите значение выражения

f (2) − f (3) . Функция y = f (x) определена на всей числовой оси и удовлетворяет f ( f (x )) = x + 2 . условию Найдите значение выражения f (2009) − f (2008) . Функция y = f (x) определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех n ∈ Ν выполняется равенство f ( f (n )) + f (n ) = 2n + 3 . Найдите значение выражения f (2009) .

153

47.

48.

49.

50.

Функция y = f (x) определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех n ∈ Ν выполняется равенство f ( f (n )) + f (n ) = 6n . Найдите значение выражения f (1000) . Функция y = f (x) определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех n ∈ Ν выполняется равенство f ( f (n )) + f 2 (n ) = n 2 + n . Найдите значение выражения

f (2009) . Функция y = f ( x) определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех n ∈ Ν выполняется равенство f ( f (n )) + f 2 (n ) = n 2 + 5n + 8 . Найдите значение выражения f (2009) .

Известно, что функция y = f (x) возрастает на (− ∞;+∞) , а y = g (x ) возрастает на (0;+∞ ) . Решите уравнение f (x 3 + x 2 − x ) − g (2 − x 2 ) = f (2 − x 2 ) − g (x 3 + x 2 − x )

51.

Известно, что функция y = f (x) возрастает на (− ∞;+∞) , а y = g (x ) возрастает на (0;+∞ ) . Решите уравнение f (x 3 − x 2 − x ) − g (x 2 − 2) = f (x 2 − 2) − g (x 3 − x 2 − x )

154

§3.13. Построение и определение графиков функций Уровень А 1.

Для каждого графика (представлено схематично) установите вид функции/уравнения (хотя бы один).

155

Уровень С Постройте графики функций (схематично):

а) y =

1 1− x

1 x 1 ж) y = x − x 1 к) y = 2 x +1 г) y = x +

в) y = x +

д) y = x cos x

е) y = x sin x

з) y = 2 x − 4 + 3 − x

и) y =

л) y = x − 1 + x + 1

н) y = 2 ln( x + 4)

о) y =

р) y = cos( x − 1) + 1

с) y =

у) y = tg x

x x

1 cos x x ф) y = 2 x −1

156

б) y = x 3 − 4 x

1 x2 −1

м) y = 2

1 x

п) y = x 2 − x − 2 т) y =

1 sin x

Глава 4. Векторная алгебра и геометрия. §4.1. Векторы Тренировочные задания Найти координаты вектора , если: A(2; 6), B(6; 8). 2. A(-11; 7), B(3; 5). 1. 3. A(2; -4; 6), B(-3; 6; 8). 4. A(-5; 1; 7), B(3; 5; 0). 5. A(-11;7), B(3;5). 6. A(-5; 1; 7), B(3; 5; 0). Точка C – середина отрезка AB. Найти координаты точки С, если: 7. A(2;6), B(6;8). 8. A(-11;7), B(3;5). 9. A(2; -7; -1), B(6; -5; 7). 10. A(-1; 9; 8), B(3; 5; -8). 11. 3; 5 , 1; 4 . Найти 12. 3; 5 , 1; 5 . Найти 13. 3; 0; 7 , 9; 6; 4 . Найти 14. 3; 5; 7 , 3; 1; 5 . Найти 15. 3; 5 , 1; 5 . Найти 16. 8; 1 . Найти 4 17. 6; 4 . Найти 5 . 18. 7; 3; 2 . Найти 4 19. 6; 4; 2 . Найти 5 .

Уровень A 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

Даны точки A(-2;-3) и B(1;1). Найти длину отрезка АВ. Даны точки A(-2;3;√12) и B(1;1;0). Найти длину отрезка АВ. Даны точки A(9;0;√12) и B(12;-2;0). Найти . Даны точки A(4;5;0) и B(-2;-3;0). Найти . Дан вектор а={–3;4} . Найти |а|. Дан вектор а 4; 5 . Найти √41 · |а|. Дан вектор а 4; 5; 3 . Найти √2 · |а|. Дан вектор а 1; 3; 4 . Найти √26 · |а|.

Найти |а|, если: 28. а 4 5. 31.

Пусть а

29. 3

2 . Найти 157

3. .

30.

√59 .

Найти скалярное произведение векторов а и , если: 1; 4 и 3; 1 . 33. а={-3;2} и 5;-1}. 32. а 34. а 1; 4; 3 и 3; 1; 2 . 35. а 2;3;-5} и -1;4;1}. Найти скалярное произведение векторов а и , если |а| 3√2, 36. 5, а а; 45 |а| 6, 37. 7, а а; 60 |а| 2√3, 38. 3, а а; 150 Найти x1+y1+r, где (x1;y1) – центр окружности, а r – ее радиус, если: 5 4 40. 5 8 16 39. 41. 3 1 25 Найти угловой коэффициент прямой , параллельной прямой : 42. y kx k, y 5x 4. 43. y kx 3k, y 5,8x 444. Найти свободный коэффициент прямой , параллельной прямой : 44. y kx k, y 5x 4. 45. y kx 3k, y 5,8x 444. Найти угловой коэффициент прямой , перпендикулярной прямой : 46. y kx 3k, y 5,8x 444. 47. y kx 20, y 2x 5. Найти тангенс угла между прямой , и осью абсцисс: 48. – 0,2 18 49. 50.

Уровень B Найти сумму координат точки С, если известно: АС 51. А 2; 1 , В 4; 0 , а точка С лежит на отрезке АВ, причем

СВ

52. 53.

А 0; 1 , В 4; 0 , а точка С лежит на отрезке АВ, причем

АС СВ

При каких k векторы а и перпендикулярны, если: 2; 1 и 3к; 3 56. а 7; 4 и 2к; 7 55. а 57. а 4; 3; и 2 ; 5; 3 58. а 3к; 3к; 5 и 59. а 3к 1; 8к; 4к и к; 1; к При каких m векторы а и

АС

А 2; 1; 2 , В 4; 0; 1 , а точка С лежит на отрезке АВ, причем СВ А 2; 0; 0,5 Ошибка! Закладка не определена. , В 1; 0,5; 1 , АС . точка С лежит на отрезке АВ, причем СВ

54.

коллинеарны, если: 158

. а

1; к; 3к

60.

6; 3

61.

;

3; 2

Найти сумму m и n, при которых векторы, а и коллинеарны, если: 62. 4; ; 6 и 6; 3; 63. 2; 3; 0,5 , 3; 0,5 ; 1,5 64. При каких m векторы 5 ; 2 и 1; 2 сонаправлены? В ответе указать величину . √ 65. При каких m векторы {3m;1}и {1;m} сонаправлены? В ответе указать величину √3m. 66. При каких m векторы {3m;-1} и{-2;2m} противоположно направлены? В ответе указать величину √3m. 67. При каких m векторы {4m;2} и{6;2m} противоположно направлены? В ответе указать величину 1,5m. 68. Найти сумму координат единичного вектора, сонаправленного вектору{3;-4}. 69. Найти сумму координат единичного вектора, сонаправленного вектору 12; 9 70. Даны векторы а 1; 3 и 2; 2 . Найти скалярное и 2 . произведение векторов 3 71. Даны векторы а 4; 0 и 5; 1 . Найти скалярное произведение векторов 2 и4 2 . 72. Даны векторы а 2; 1; 0} и 1; 4; 3 . Найти скалярное 3 и . произведение векторов 2 73. Даны векторы а 3; 1; 2 и 1; 3; 1 . Найти скалярное произведение векторов 2 и 2 . 74. Даны точки А(5;-3;1), В(4;2;0), С(-3;1;1) и вектор 2; 1; 2 . Найти 2 3ВС . 75. Даны точки А(1;-2;4), В(5;0;-2), С(3;2;-1) и вектор 1; 1; 2 . Найти 3 2ВС . 76. Пусть 5; 7 , 1; 4 . Найдите √5 2 3 . 77. Пусть 7; 5 , 4; 1 . Найдите √10 2 . 78. При каком отрицательном p выполняется равенство | | √14, если 2 3 ? 79. При каком положительном p выполняется равенство | | √101, если 4 2 ? Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В: 80. 1; 2 и 1; 5 81. 1; 1 и 1; 3 159

Прямая y=kx+b проходит через точки M и N, найдите сумму k+b: M(2;-1), N(-1;5) 83. M(-3;2) и N(1;-1) 82. 84. Прямая y=kx+b, параллельная прямой y = –2x+8 проходит через точку M(2;–1). Найдите сумму k+b. 85. Прямая y=kx+b, параллельная прямой y=3x–5 проходит через точку M(–3;1). Найдите сумму k+b. 86. Прямая y=kx+b, параллельная прямой y=0,5x+6 проходит через точку M(6;–1). Найдите сумму k+b. 87. Прямая y=kx+b, перпендикулярная прямой y=0,5x+7 проходит через точку M(2;-1). Найдите сумму k+b. 88. Прямая y=kx+b, перпендикулярная прямой y = –0,2x–17 проходит через точку M(3;–1). Найдите сумму k+b. При каких k точки А, В, С лежат на одной прямой, если известно: 89. A(1;2), B(3;6), C(7;k) 90. A(-2;6), B(8;-4), C(k;-4) 91. A(4;8), B(-2;4), C(-8;k) 92. Найти косинус наибольшего угла треугольника с вершинами 2; 1 , 3; 0 , 1; 5 . В ответе указать значение найденной величины, умноженной на √34. 93. Найти косинус угла А треугольника с вершинами А(-2;4) , В(1;3) , С(2;5). В ответе указать значение найденной величины, умноженной на √170 . 94. Даны точки А(1;3;-2), В(3;2;-1) и С(2;2;0). Найти 6 cos , где α - угол между векторами АВ и АС. 95. Даны точки А(1;3;0), В(2;1;0) и С(2;3;0). Найти √5 cos , , где α - угол между векторами АВ и АС. 96. Дан треугольник АВС со сторонами АВ=4, АС=5, ВС=√21. Найти скалярное произведение векторов АВ и АС. 97. Дан треугольник АВС со сторонами АВ=2, АС=5, ВС=√14. Найти скалярное произведение векторов АВ и АС. 98. Найти угол между векторами и , если A(1; 1), B(3; 1), C(2; 2) 99. Найти площадь треугольника АВС, если А(-4; -1), В(0; 4), С(8; 2) 100. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках А(-8;3), В(4;3), С(2;9), D(-4;9).

Уровень C 101.

· 3 Найти скалярное произведение | | 2, | | 1, и угол между векторами и

102.

Найти (5а + 3b ) ⋅ (2a − b ) , если a =2, b =3, a ⊥ b . 160

, если известно, что равен 1200.

Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с π ними углы, равные .Зная, что a = 1, b = 2, c = 5 . Найти 3 3a − 2b (3c − 4a ) . 104. Найти скалярное произведение векторов m − 3n и 2n + m , если ∧ m = 1 , n = 2 и ⎛⎜ m , n ⎞⎟ = 45 o . ⎝ ⎠ 105. В четырехугольнике ABCD 4; 1; 5 , 2; 8; 1 , 3; 4; 2 . Найти модуль скалярного произведения векторов, заданных диагоналями этого четырехугольника. В 106-107 найти сумму координат вершины D параллелограмма ABCD, если известны координаты его остальных вершин: 106. 2; 1; 7 , 4; 3; 5 , 2; 1; 6 . 107. 1; 1; 1 , 2; 2; 1 , 3; 1; 5 . 108. Найти острый угол ϕ между диагоналями параллелограмма,

103.

(

109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119.

)

построенного на векторах a = {2;1; 0} и b = {0; − 1;1} . Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = {3; − 4; 5} и b = {2; 3; 9} . Найти , если | | 11, 23, 30. Найти , если | | 13, 19, 24. Найти| |, если =14, , 7, 12. Найти | | , если 17, 10, 19. Найти значение выражения · 3 √5 , где P – периметр треугольника с вершинами А(2;-3;2), В(3;-3;2), С(2;-1;2). Точки А(1;0;2), В(2;1;0), С(1;2;0) – три последовательные вершины р параллелограмма ABCD. Длина диагонали BD равна р. Найти . √

Найти сумму коэффициентов разложения вектора а 5; 9 векторам{2;3} и {3;-1}. Найти произведение коэффициентов разложения вектора 14; 2; 25 по векторам{0;0;1}, {3;1;-4} и {1;3;6}. Найти сумму коэффициентов разложения вектора а 1; 15; 1 векторам {1;2;1}, {2;-4;1} и {0;1;-2}. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, О – точка пересечения диагоналей. Найти сумму коэффициентов разложения вектора векторам , ,и .

161

по

а по его по

120.

121. 122. 123. 124. 125. 126.

127.

Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на 5 2 , 3 , если | | 2√2, | | 3, , векторах 45 . В ответе указать меньшую из длин. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(-2;-3), B(1;4), С(8;7), D(5;0). Вычислить · · · Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(-2;-3), B(1;4), С(8;7), D(5;0). Найти радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник. При каких y векторы 2; 1; 3 , 3; 4; 2 , 10; ; 2} компланарны? Прямая задана двумя точками A(-1;2;1) и B(2;1;-1). Найти сумму координат точки М, лежащей на этой прямой, если ее абсцисса – 3√14. отрицательная и Найти уравнение прямой x+ay+b=0, содержащей биссектрису угла B треугольника ABC, если A(4;6), B(-4;0), C(-1;-4). В ответе написать сумму a+b. Дан треугольник ABC. О – точка пересечения его медиан. Выразить вектор через вектора и . В ответе записать произведение коэффициентов разложения. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если 5 , 3 , | | 1, | | 2, ; . В ответе указать значение найденной площади, увеличенной в √3 раз.

Уровень D 128. 129. 130. 131.

Две стороны квадрата лежат на прямых x-2y+2=0 и x-2y-5=0. Найти диагональ квадрата. Вычислить модуль векторного произведения векторов а 3; 6; 2 и 2; 3; 6 . Найти смешанное произведение векторов а 5; 7; 2 , 1; 1; 1 , 2; 2; 1 . r r Вектор x , перпендикулярный к векторам a = {5; 0; − 6} и r b = {− 3; 0; − 7} , образует с осью

Oy тупой угол. Зная длину вектора

r x = 53 , найти сумму его координат.

132.

r r r Вектор x , перпендикулярный к векторам a = {6; 8; 6} и b = {0; 0; 8} ,

образует с осью Oy тупой угол. Зная длину вектора сумму его координат. 162

r x = 40 , найти

133.

На материальную точку действуют силы L1 = 3i + 4 j + k , L2 = 3 j − 4k

134.

, L3 = i + j + k . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения А(1,5,-5) в положение В(-1,3,-4). На материальную точку действуют силы P1 = i − j + k , P2 = j − k , P3 = 3i − 4 j − 5k . Найти работу равнодействующей этих сил при

перемещении точки из положения А(0,1,2) в положение В(2,3,-1). 135. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором 90 , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFB и AFC. Найдите объем пирамиды AMLC (решить задачу, используя векторный или координатный метод) Используя векторы, решить систему уравнений: 2, 1, 136. . 137. 4, 8 0, 1 2 1 0, 138. 4 1 2 1 4 Решить задачи 139-141, используя векторный или координатный метод: 139. Ребро куба имеет длину 5√3. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба. 140. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3, где A1(-3;4;-7); A2 (1;5;-4); A3 (-5;-2;0); A4 (2;5; 4). 141. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA = 3 . Плоскость α параллельна прямым SC и AC, плоскость β параллельна прямым SC и AB. Определите величину угла между плоскостями α и β. 142. Найти угол между плоскостью P1 , проходящей через точки A1 (2;−4;1),

A2 (−1;2;0), 143. 144.

A3 (0;−2;3), и плоскостью

5 x + 2 y − 3 z + 1 = 0. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z - 3 = 0. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-1;2) и перпендикулярную прямой пересечения плоскостей 3x-y-z-1=0, 2x+y+3z+4=0.

163

P2 , заданной уравнением

145.

Вычислить расстояние от точки А(2;1;1) до прямой пересечения плоскостей 3x-y-z-1=0, 2x+y+3z+4=0. 146. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан этого треугольника (решить задачу, используя метод координат) 147. В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки M и N – середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что DK=2KC. Найти: 1) Расстояние от точки N до прямой AK; 2) Расстояние между прямыми MN и AK; 3) Расстояние от точки A1 до плоскости треугольника MNK. (Решить задачу, используя векторный и (или) координатный методы) Решить задач 148-149, используя векторный и (или) координатный методы: 148. В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки E и F – середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка P расположена на ребре DC так, что CP=3PD. Найти: Расстояние от точки F до прямой AP; 1) 2) Расстояние между прямыми EF и AP; 3) Расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EFP. 149. Дан тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Найти радиус сферы, описанной около тетраэдра, если DA=3, DB=4, DC=5. 150. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P,Q сторон AB, CD и S,T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найти длину отрезка MN (решить задачу, используя векторный метод) Решить задачи, используя векторное произведение векторов 151. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

a = 6i + 3 j − 2k и b = 3i − 2 j + 6k . Вычислить площадь треугольника с вершинами: 153. А(1;2;0), В(3;0;-3), С(5;2;6). 152. А(2;2;2), В(4;0;3), С(0;1;0). Найти векторное произведение a × b , если: 154.

a = {2; 3; − 2}, b = {3; 0;1}

155.

156.

Даны векторы a = 3i − j − 2k

и b = i + 2 j − k . Найти векторное

(

) (

)

произведение 2a − b × a + 2b .

164

a = {2; 3; 3}, b = {3; − 4; − 1}

Решить задачи, используя смешанное произведение векторов объем 157. С помощью смешанного произведения вычислить параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 если известно, что AB = {− 2; 0; − 5} , AC = {− 1; 5; − 1} , AA1 = {3; 5; 6}

158.

С помощью смешанного произведения вычислить объем пирамиды ABCA1 если известно, что AB = {− 2; − 2; − 5} , AC = {− 1; 5; − 1} , AA1 = {3; 3; 6} .

159.

160. 161. 162.

С помощью смешанного произведения вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах ⎯ а = i + 2 j , b = 3i − 4 j и с = {− 1; 4; 3} . При каком значении m точки A(0; 2;1) , B(− 1;1; 0) , C (3; m; 5) и

D(1; − 2; 3) лежат в одной плоскости? При каком значении m точки A(2; 2;1) , B(4; 4;3) , C (4; m; 6) и D(3; 4;1) лежат в одной плоскости? Найти смешанное произведение векторов a b c : a = {4; − 1; 4} ,

b = {3; 0 − 1} , c = {1;1; − 5} 163. 164.

165.

166.

Найти смешанное произведение векторов

a = {0; − 2; − 1} ,

b = {2;1; − 3} , c = {− 1; 2; 3} При каком значении m объем параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 равен 56 , если A(− 1; 3; 2 ) , B(m; − 4; 2) , C (3; 0; 1) , D(−5; 3; 1) . В ответе укажите наименьшее из значений. 28 При каком значении m объем пирамиды ABCD равен , если 3 A(− 1; 3; 2) , B(m; − 4; 2) , C (3; 0;1) , D(− 5; 3;1) . В ответе укажите наименьшее из значений. Даны вершины тетраэдра OABC: О(-5;-4;8), А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7). Вычислить длину h высоты, опущенной из вершины О на грань АВС (решить задачу, используя смешанное и векторное произведение векторов).

165

ab c :

§4.2. Планиметрия. Уровень А 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

Найти катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5, а другой катет равен 4. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 12, а другой 16. Найти катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10, а другой катет равен 8. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 18, а другой 24. Найти катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 25, а другой катет равен 20. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 4,5. Найти медиану прямоугольного треугольника проведенную из вершины прямого угла, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 5. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 11. Найти медиану прямоугольного треугольника проведенную из вершины прямого угла, если диаметр описанной около этого треугольника окружности равен 8. Найти радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, если гипотенуза равна 12. Найти диагональ квадрата, сторона которого равна √2. Найти сторону квадрата, если диагональ его равна 72. Найти диагональ квадрата, сторона которого равна 2√2. Найти сторону квадрата, если диагональ его равна 50. Найти диагональ квадрата, сторона которого равна 3√2. Один углов на 300 больше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов на 220 меньше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов на 400 больше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов на 100 меньше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов на 1040 больше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов в 2 раза меньше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов 2 раза больше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов в 3 раза меньше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов 9 раз больше смежного к нему. Найти этот угол. Один углов в 4 раза меньше смежного к нему. Найти этот угол. 166

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 450. Найти больший угол этого треугольника. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 300. Найти больший угол этого треугольника. В равностороннем треугольнике угол при основании равен 600. Найти углы этого треугольника. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 150. Найти больший угол этого треугольника. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 650. Найти меньший угол этого треугольника. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 2 раза меньше другого. Найти меньший из этих углов. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 3 раза меньше другого. Найти меньший из этих углов. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 5 раз меньше другого. Найти больший из этих углов. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 8 раз больше другого. Найти меньший из этих углов. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 17 раз меньше другого. Найти больший из этих углов. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 8, равна 3. Найти периметр этого треугольника. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 16, равна 6. Найти периметр этого треугольника. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 4, равна 1,5. Найти периметр этого треугольника. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 24, равна16. Найти периметр этого треугольника. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 32, равна 12. Найти периметр этого треугольника. Угол между медианой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 400. Найти угол при основании этого треугольника. Угол между высотой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 250. Найти угол при вершине этого треугольника. 167

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65.

Угол между медианой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 330. Найти угол при основании этого треугольника. Угол между биссектрисой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 470. Найти угол при основании этого треугольника. Угол между медианой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 890. Найти угол при основании этого треугольника. В треугольнике MNB MN=5, NB=6, sin 0,2. Найти sin . В треугольнике MNB MN=15, NB=18, sin 0,2. Найти sin . В треугольнике MNB MN=20, NB=23, sin 0,23. Найти sin . В треугольнике MNB MN=6, NB=9, sin 0,26. Найти sin . В треугольнике MNB MN=6, NB=18, sin 0,25. Найти sin . В треугольнике MNB MN=5, sin М 0,24, sin 0,2. Найти NB. В треугольнике MNB MN=8, sin М 0,2425 sin 0,2. Найти NB. В треугольнике MNB MN=12, sin М 0,243 , sin 0,2,1 Найти NB. В треугольнике АВС sin С 0,2, а радиус описанной окружности равен 4. Найти АВ. В треугольнике АВС sin С 0,25 а радиус описанной окружности равен 16. Найти АВ. В треугольнике АВС sin С 0,2, а радиус описанной окружности равен 65. Найти АВ. В треугольнике АВС АВ=3, ВС=2, а косинус угла между сторонами АВ и ВС равен (-0,25). Найти длину стороны АС. В треугольнике АВС АВ=9, ВС=6, а косинус угла между сторонами АВ и ВС равен (-0,25). Найти длину стороны АС. В треугольнике АВС АС=3, АВ=2, а косинус угла между сторонами АС и АВ равен (-0,25). Найти длину стороны АС. В треугольнике АВС АВ=4, ВС=7. Сколько натуральных значений может принимать длина стороны АС? В треугольнике АВС АВ=7, ВС=7. Сколько натуральных значений может принимать длина стороны АС? В треугольнике АВС АВ=15, ВС=10. Сколько натуральных значений может принимать длина стороны АС? АЕ – медиана треугольника АВС, О – точка пересечения его медиан, АЕ=6. Найти ЕО. АЕ – медиана треугольника АВС, О – точка пересечения его медиан, АЕ=15. Найти АО. АЕ – медиана треугольника АВС, О – точка пересечения его медиан, АЕ=21. Найти ЕО. 168

66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86.

ВК – биссектриса треугольника АСВ, АВ=2, ВС=4, АК=1. Найти КС. ВК – биссектриса треугольника АСВ, АВ=6, ВС=12, АК=3. Найти КС. ВК – биссектриса треугольника АСВ, АВ=10, ВС=20, АК=5. Найти КС. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 3, а высота, проведенная из точки С, равна 0,2. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 12, а высота, проведенная из точки С, равна 2. Найти площадь треугольника АВС, если сторона ВС равна 6, а высота, проведенная из точки А, равна 5. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 3, сторона ВС равна 4, а угол АВС равен 300. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 5, сторона ВС равна 6, а угол АВС равен 300. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 10, сторона ВС равна 8, а угол АВС равен 450. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 4, сторона ВС равна 6, а угол АВС равен 600. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 9, сторона ВС равна 14, а угол АВС равен 300. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 18, а радиус вписанной окружности равен 1. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 56, а радиус вписанной окружности равен 2. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 24, а радиус вписанной окружности равен 3. Найти произведение всех сторон треугольника, если его площадь равна 4, а радиус описанной окружности равен 10. Найти произведение всех сторон треугольника, если его площадь равна 8, а радиус описанной окружности равен 5. Найти произведение всех сторон треугольника, если его площадь равна 5, а радиус описанной окружности равен 7. Найти большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8, а меньшее основание 6. Найти меньшее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8, а большее основание 12. Найти большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 13, а меньшее основание 6. Площади подобных треугольников относятся, как 4:9. Найти отношение большей стороны второго треугольника к большей стороне первого. 169

87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95.

Площади подобных треугольников относятся, как 1:36. Найти отношение большей стороны первого треугольника к большей стороне второго. Площади подобных треугольников относятся, как 1:64. Найти отношение большей стороны второго треугольника к большей стороне первого. Площади подобных треугольников относятся, как 25:64. Найти отношение большей стороны первого треугольника к большей стороне второго. Площади подобных треугольников относятся, как 4:25. Найти отношение большей стороны второго треугольника к большей стороне первого. Найдите радиус круга, если его площадь 169 . Найдите диаметр круга, если его площадь 625 . Найдите радиус круга, если его площадь 125 . Найдите диаметр круга, если его площадь 81 . Найдите радиус круга, если его площадь 144 .

Уровень В 96.

Точка К лежит на стороне АС треугольника АВС, причем

АК КС

Найти площадь треугольника АВК, если площадь треугольника СВК равна 12. 2 . КС 3 Найти площадь треугольника АВК, если площадь треугольника СВК равна 14. 2 АК 98. Точка К лежит на стороне АС треугольника АВС, причем . КС 5 Найти площадь треугольника АВК, если площадь треугольника СВК равна 16. 99. Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь 432 см2. Найти в см радиус вписанной в треугольник окружности. 100. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а его площадь 108 см2. Найти в см радиус вписанной в треугольник окружности. 101. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 6 и 10, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника.

97.

Точка К лежит на стороне АС треугольника АВС, причем

170

АК

102. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 1 и 3, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника. 103. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 2 и 6, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника. 104. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 12 и 18, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника. 105. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 8 и 16, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника. 106. В прямоугольном треугольнике АВС катет СВ равен 4,5, а синус угла ВАС равен . Найти площадь треугольника. 107. В прямоугольном треугольнике АВС катет СВ равен 0,5, а синус угла ВАС равен . Найти площадь треугольника. 108. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 21 и 3,25. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника. 109. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 42 и 6,5. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника. 110. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 31,5 и 6,5. Вычислить диаметр круга, описанного около треугольника 111. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 10,5 и 1,625. Вычислить диаметр круга, описанного около треугольника. 112. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 63 и 9,75. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника. 113. В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна 10√3. Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. АТ 1: 3. Найдите катет ВС, если ТС 114. В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна 20√3. Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. АТ 1: 3. Найдите катет ВС, если ТС 115. 1.3В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна5√3 . Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. АТ 1: 3. Найдите катет ВС, если ТС 116. В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна 30√3. Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. АТ 1: 3. Найдите катет ВС, если ТС

171

117. В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна40√3 . Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. АТ 1: 3. Найдите катет ВС, если ТС 118. В равнобедренной трапеции диагональ длины 4 образует с основанием угол 150. Найдите площадь трапеции. 119. В равнобедренной трапеции диагональ длины 6 образует с основанием угол 300. Найдите √3S трапеции. 120. В равнобедренной трапеции диагональ длины 8 образует с основанием угол 150. Найдите площадь трапеции. 121. В равнобедренную трапецию с площадью 60 вписан круг радиуса 2,5. Найти радиус круга, описанного вокруг этой трапеции. 122. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 2м и 5м. 123. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1м и 2,5м. 124. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 4м и 10м. 125. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 6м и 15м. 126. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 8м и 20м. 127. Площадь треугольника АВС равна 20√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5. 128. Площадь треугольника АВС равна 5√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 4 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 2,5. 129. Площадь треугольника АВС равна 45√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 12 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 7,5. 130. Площадь треугольника АВС равна80√3 . Найдите АС, если сторона АВ равна 16 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 10. 131. Площадь треугольника АВС равна 180√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 24 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 15. 132. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 24√3, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности. 172

133. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 96√3 , вписана окружность. Найдите диаметр этой окружности. 134. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 30°, а Найдите √3R этой площадь равна 24√3, вписана окружность. окружности. 135. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 216√3, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности. 136. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 30°, а площадь равна 96√3, вписана окружность. Найдите √3R этой окружности. 137. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =3√2, ВС = 10, ∠МАС = 45°. 138. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =6√2, ВС = 20, ∠МАС = 45°. 139. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =18√2, ВС = 60, ∠МАС = 45°. 140. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =4,5√2, ВС = 15, ∠МАС = 45°. 141. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =7√2, ВС = 25, ∠МАС = 45°. 142. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 15, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен . 143. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 5, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен . 144. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 7.5, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен . 145. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 30, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен . 146. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 45, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен .

173

147. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. 148. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 80, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. 149. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 12,8 , а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. 150. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 1280, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. 151. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 2880, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. 152. Равнобедренная трапеция с острым углом 600 описана около окружности. Найти отношение ее большего основания к меньшему. 153. Равнобедренная трапеция с острым углом α описана около окружности. Найти отношение ее большего основания к меньшему, если ctg

=5.

154. Равнобедренная трапеция с острым углом α описана около окружности. Найти отношение ее большего основания к меньшему, если ctg

=13

155. Равнобедренная трапеция с острым углом α описана около окружности. Найти отношение ее большего основания к меньшему, если ctg

=√7.

156. Равнобедренная трапеция с острым углом 600 описана около окружности. Найти отношение ее меньшего основания к большему. 157. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=3:1. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 15. Найти площадь параллелограмма ABCD. 158. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=2:3. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 10. Найти площадь параллелограмма ABCD. 159. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=3:2. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 9. Найти площадь параллелограмма ABCD.

174

160. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=1:3. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 10. Найти площадь параллелограмма ABCD. 161. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=3:4. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 4,5. Найти площадь параллелограмма ABCD. 162. Трапеция, не являющаяся равнобочной, описана около круга. Диаметр этого круга, перпендикулярный основаниям трапеции, делит ее площадь делит ее площадь в отношении 1:2. Найти отношение синусов острых углов трапеции. 163. Трапеция, не являющаяся равнобочной, описана около круга. Диаметр этого круга, перпендикулярный основаниям трапеции, делит ее площадь делит ее площадь в отношении 1:3. Найти отношение синусов острых углов трапеции. 164. Трапеция, не являющаяся равнобочной, описана около круга. Диаметр этого круга, перпендикулярный основаниям трапеции, делит ее площадь делит ее площадь в отношении 2:3. Найти отношение синусов острых углов трапеции. 165. Трапеция, не являющаяся равнобочной, описана около круга. Диаметр этого круга, перпендикулярный основаниям трапеции, делит ее площадь делит ее площадь в отношении 2:5. Найти отношение синусов острых углов трапеции. 166. Трапеция, не являющаяся равнобочной, описана около круга. Диаметр этого круга, перпендикулярный основаниям трапеции, делит ее площадь делит ее площадь в отношении 4:3. Найти отношение синусов острых углов трапеции.

Уровень С 167. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=2, CD=8. Указание: треугольники АВС и ADC подобные. 168. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=3, CD=12. Указание: треугольники АВС и ADC подобные. 169. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=4, CD=16. Указание: треугольники АВС и ADC подобные. 170. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=5, CD=20. Указание: треугольники АВС и ADC подобные. 175

171. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=8, CD=18. Указание: треугольники АВС и ADC подобные.

§4.3. Стереометрия Уровень А 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами √2, 3 и 5. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами √19, 3 и 6. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами √15, 3 и 5. Периметр основания прямой призмы равен 40 см, а боковое ребро призмы равно 3. Найти площадь боковой поверхности этой призмы. Периметр основания прямой призмы равен 55 см, а боковое ребро призмы равно 7. Найти площадь боковой поверхности этой призмы. Периметр основания прямой призмы равен 37 см, а боковое ребро призмы равно 13. Найти площадь боковой поверхности этой призмы. Высота призмы равна 4см, а основание — квадрат со стороной 2 см. Найти объем призмы. Объем пирамиды 180 см3 , а основание- квадрат со стороной 3 см. Найдите высоту пирамиды. Высота призмы равна 6см, а основание — квадрат со стороной 5 см. Найти объем призмы. Объем пирамиды 108 см3 , а основание- квадрат со стороной 6 см. Найдите высоту пирамиды. Высота призмы равна 3см, а основание — квадрат со стороной 5 см. Найти объем призмы. Объем призмы равен 600 см3, а боковое ребро 6 см. Найдите площадь перпендикулярного сечения призмы. Объем призмы равен 800 см3, а боковое ребро 20 см. Найдите площадь перпендикулярного сечения призмы. Объем призмы равен 540 см3, а высота пирамиды 12 см. Найдите площадь перпендикулярного сечения призмы. Объем призмы равен 900 см3, а площадь перпендикулярного сечения призмы 200см2. Найдите боковое ребро призмы. Объем призмы равен 1500 см3, а площадь перпендикулярного сечения призмы 300см2. Найдите боковое ребро призмы. 176

17. Найти площадь основания пирамиды, если ее объем равен 250 м , а высота равна 15 м. 18. Найти высоту пирамиды, если ее объем равен 360 см3, а площадь основания 36 см2. 19. Найти площадь основания пирамиды, если ее объем равен 600 м3, а высота равна 18 м. 20. Найти площадь основания пирамиды, если ее объем равен 441 м3, а высота равна 27 м. 21. Найти высоту пирамиды, если ее объем равен 540 см3, а площадь основания 45 см2. 22. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3м, а площади оснований – 2 м2 и 8 м2. 23. Найти высоту усеченной пирамиды, если ее объем равен 156 см3, а площади оснований – 4 м2 и 25 м2. 24. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 9м, а площади оснований – 12 м2 и 3 м2. 25. Найти высоту усеченной пирамиды, если ее объем равен 175 см3, а площади оснований – 5 м2 и 20 м2. 26. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 6м, а площади оснований – 16 м2 и 4 м2. 27. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если ее апофема равна 4 см, а периметр основания – 10 см. 28. Найти апофему правильной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 36 см2, а периметр основания 24см. 29. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если ее апофема равна 6 см, а периметр основания – 12 см. 30. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если ее апофема равна 7 см, а периметр основания – 18 см. 31. Найти апофему правильной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 100 см2, а периметр основания 40см. 32. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 3√2. 33. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 6√2. 34. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 9√2. 35. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 2√6 см. 36. Найти радиус окружности, описанной около одной из граней правильного тетраэдра с ребром 2√6 см. 37. Найти √2h правильного тетраэдра с ребром 6√3 см (где h-высота тетраэдра). 38. Найти √10h правильного тетраэдра с ребром 5√15 см (где h-высота тетраэдра). 39. Боковая поверхность цилиндра равна 3π см2, а высота равна 1 см. Найти радиус основания цилиндра. 177

40. Найти высоту цилиндра, если боковая поверхность цилиндра равна 6π см2, а радиус основания равен 2 см. 41. Боковая поверхность цилиндра равна 10π см2, а высота равна 4 см. Найти радиус основания цилиндра. 42. Найти высоту цилиндра, если боковая поверхность цилиндра равна 12π см2, а радиус основания равен 3 см. 43. Боковая поверхность цилиндра равна 15π см2, а высота равна 5 см. Найти радиус основания цилиндра. 44. Объем цилиндра равен 338π, а высота равна 2. Найти радиус основания цилиндра. 45. Объем цилиндра равен 56π, а радиус основания равен 2. Найти высоту цилиндра. 46. Объем цилиндра равен 1200π, а высота равна 3. Найти радиус основания цилиндра. 47. Объем цилиндра равен 576π, а радиус основания равен 12. Найти высоту цилиндра. 48. Объем цилиндра равен 450π, а радиус основания равен 15. Найти высоту цилиндра. 49. Боковая поверхность конуса равна 140π м2, а радиус его основания равен 7 м. Найти образующую конуса. 50. Боковая поверхность конуса равна 128π м2, а образующая равна 8 м. Найти радиус основания конуса. 51. Боковая поверхность конуса равна 180π м2, а радиус его основания равен 10 м. Найти образующую конуса. 52. Радиус основания конуса равен 5 м, а его образующая 7 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 53. Боковая поверхность конуса равна 150π м2, а радиус его основания равен 15 м. Найти образующую конуса. 54. Объем конуса равен 392π, а радиус его основания – 14. Найти высоту конуса. 55. Объем конуса равен 288π, а его высота 6. Найдите радиус основания конуса. 56. Объем конуса равен 100π, а радиус его основания – 5. Найти высоту конуса. 57. Радиус основания конуса 9 м, а высота равна 7 м. Найдите объем конуса. 58. Объем конуса равен 245π, а радиус его основания – 7м. Найти высоту конуса. 59. Площадь сферы равна 400π. Найти радиус сферы. 60. Радиус сферы 5 м. Найдите площадь сферы. 61. Площадь сферы равна 196π. Найти диаметр сферы. 62. Радиус сферы 15 м. Найдите площадь сферы. 63. Площадь сферы равна 576π. Найти радиус сферы. 178

64. Объем шара равен 36π см . Найти радиус шара. 65. Радиус шара равен 6 м. Найти объем шара. 1 66. Объем шара равен 85 π см3. Найти радиус шара. 3 67. Радиус шара равен 7 м. Найти объем шара. 2 68. Объем шара равен 166 π см3. Найти радиус шара. 3

Уровень В 69. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 4 см, а диагональ основания равна 6√2 см. 70. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, объем которой равен 252 см3, а диагональ основания равна 6√2 см. 71. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 5 см, а диагональ основания равна 5√2 см. 72. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, объем которой равен 392 см3, а диагональ основания равна 7√2 см. 73. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 6 см, а диагональ основания равна 3√2 см. 74. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 6. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 75. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 10, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания 300. Найти √3a, где асторона основания. 76. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна √3, а боковое ребро равно 2. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 77. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 2, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания 450. Найти √2a, где асторона основания. 78. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, а боковое ребро равно 4. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 79. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 12, а боковое ребро призмы равно 10. Найдите площадь полной поверхности призмы. 80. Площадь полной поверхности призмы 240 м2, а катеты основания равны 6 м и 2,5м. Найдите боковое ребро призмы. 179

81. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4, а боковое ребро призмы равно 6. Найдите площадь полной поверхности призмы. 82. Площадь полной поверхности призмы 585 м2, а катеты основания равны 18 м и 7,5м. Найдите боковое ребро призмы. 83. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 и 8, а боковое ребро призмы равно 12. Найдите площадь полной поверхности призмы. 84. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8, боковое ребро равно 10. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 85. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания 600. Найдите d, где d- диагональ параллелепипеда . 86. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4, боковое ребро равно 5. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 87. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания 600. Найдите d, где d- диагональ параллелепипеда . 88. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 5, боковое ребро равно 13. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 89. Площадь сферы равна 100π м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 м. Найдите радиус сечения. 90. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 10 м, а радиус сечения 26 м. Найдите площадь сферы. 91. Площадь сферы равна 200π м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 5 м. Найдите радиус сечения. 92. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 3 м, а радиус сечения 4 м. Найдите площадь сферы. 93. Площадь сферы равна 676π м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 5 м. Найдите радиус сечения. 94. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол 450. Найти (√3 1)S, где S-площадь полной поверхности . 95. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Найти √3L, где L- апофема пирамиды, если она образует с высотой угол 300 96. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а апофема образует с высотой угол 450. Найти (√3 1)S, где S-площадь полной поверхности . 180

97. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3 см. Найти √3L, где L- апофема пирамиды, если она образует с высотой угол 300 98. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема 32√15), где S-площадь полной образует с высотой угол 600. Найти ( поверхности.

Уровень С 99. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр сечения равен 6√2 4√5. 100. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите (7,5√2-5√5)Р, где Р- периметр сечения, если площадь полной поверхности куба равна 150. 101. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр сечения равен 6√5+9√2. 102. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите (2√5-3√2)Р, где Р- периметр сечения, если площадь полной поверхности куба равна 24. 103. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр сечения равен 8√5+12√2. 104. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 и 12, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 450. Найдите объем пирамиды. 105. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4, а объем пирамиды равен 2√3 .Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания. 106. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 10 и 24, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 450. Найдите объем пирамиды. 107. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 450. Найдите объем пирамиды. 108. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, а объем пирамиды равен 16. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания. 109. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 600. Высота конуса равна 4√3, а радиус основания равен 5. Найдите площадь сечения конуса. 181

110. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 300. Высота конуса равна 4, а площадь сечения конуса 32. Найдите радиус основания . 111. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 600. Высота конуса равна 2√3, а радиус основания равен 2,5. Найдите площадь сечения конуса. 112. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 300. Радиус основания конуса равен 2√57, а высота равна 8. Найдите площадь сечения конуса. 113. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 600. Высота конуса равна 6√3, а радиус основания равен 7,5. Найдите площадь сечения конуса. 114. Угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, равен 300. Высота конуса равна 9√3, а радиус основания равен 45. Найдите площадь сечения конуса. 115. Высота конуса равна 3√3, а радиус основания равен 15. Найдите угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, если площадь сечения конуса 8√33 . 116. Угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, равен 450. Высота конуса равна 9√3, а радиус основания равен 9√6. Найдите √2S, где S-площадь сечения конуса. 117. Высота конуса равна 3√3, а радиус основания равен 3√6. Найдите угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, если площадь сечения конуса 27√2 . 118. Угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, равен 600. Высота конуса равна 27, а радиус основания равен 16. Найдите √39S, где S-площадь площадь сечения конуса. 119. Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6 √3 2 . 120. Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания и равен √3. Найдите (2-√3)S, где S- площадь боковой поверхности призмы. 121. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 122. Найдите ребро наклонной четырехугольной призмы, если перпендикулярным сечением является квадрат, сторона которого равна 10 см, площадь боковой поверхности призмы 300см2. 182

123. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 5√3 см, а перпендикулярным сечением является квадрат со стороной 2√3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 124. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а площадь боковой поверхности равна 36√2. Найдите объем пирамиды. 125. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а объем пирамиды равен 36. Найдите √2S, где Sплощадь боковой поверхности пирамиды. 126. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 30°, а площадь боковой поверхности равна 64√3. Найдите объем пирамиды. 127. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а площадь боковой поверхности равна 16√2. Найдите 3V, где V-объем пирамиды. 128. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 60°, а площадь боковой поверхности равна 72. Найдите √3V, где V-объем пирамиды. 129. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна 14√2, а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С. 130. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 12,5, длина отрезка ВС равна 7√2, а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С. 131. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 5, длина отрезка ВС равна 5,6 , а угол между прямой ВС и образующей цилиндра равен 30º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С. 132. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна 28, а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 60º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С. 133. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 50, длина отрезка ВС равна 28√2 , а угол между прямой ВС и образующей цилиндра равен 45º. Найдите 183

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140. 141. 142.

расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6√5 и 12√5. Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 24√5 и 12√5. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD, а косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен 0,6. Найдите высоту призмы. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 3√5 и 6√5. Высота призмы равна 4. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6√5 и 12√5. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD, а синус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен 0,8. Найдите высоту призмы. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 2√5 и 4√5. Высота призмы равна 1,5. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите синус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 8, а сторона основания равна 6√2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD. Найдите высоту правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1, если сторона основания равна 3√2, а расстояние от вершины A до плоскости A1BD равно 2,4. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4, а сторона основания равна 3√2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD ,если высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 7,2 , а сторона основания равна 9√2.

184

143. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 12, а сторона основания равна 9√2 . Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD.

Уровень D

144. Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2√7. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса. 145. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором 90 , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFВ и AFС. Найдите объем пирамиды AMLC. 146. Дана правильная призма АВСА1В1С1, где АА1, ВВ1 и СС1 – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА1, пересекает ребро А1С1 в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ1. Известно, что АВ = 12, А1М : МС1 = 3 : 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 147. Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АC = 1. 148. Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором ∠А = 60°. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость α, параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP:PO=2:3. В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью α. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен 9 √3.

185

ГЛАВА 5. Задачи на параметры. §5.1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами. Линейные уравнения с параметрами.

Уровень А В зависимости от значений параметра a решить уравнения: 2. 3. 1. ax = 0 . ax = 1 . ax = a . 4. При каких значениях параметра a , уравнение ax + 1 = 0 имеет решение. 5. Укажите все значения a , при которых уравнение a 2 x + a = 0 имеет более одного решения. 6. При каких значениях параметра p уравнение ( p + 1)x − 3 = 0 не имеет решений. 7. Найдите все значения параметра чтобы уравнение p,

(3 p − 1)x + 4 = 2 x − 1

не имело решений, если их несколько, то в ответе укажите сумму всех таких значений. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (a 2 − 1) x = a + 1 имеет более одного корня.

При каких a прямая l проходит через точку A : l : y = 3 x + a , А(− 1; 5) . 10. l : y = ax − 3 , А(− 2; 9) . 9. 11. При каких а уравнение (а+1)x-2=0 не имеет корней? 12. Найти такие а, при которых уравнение (а2-4а+3)x=0 имеет более одного корня? x 1 = 3 , при всех значениях параметра a . 13. Решите уравнение − 4 a +1 14. Укажите количество целых отрицательных значений параметра a , при (a + 2)x + 3 = 4 не имеет решений. которых уравнение 5 a +1 При каких значениях параметра a , x = x 0 является решением уравнения: ax + 1 3a − ax 15. − ax + a 2 = a − 1 , x 0 = 1 . = + 1 , x 0 = −1 . 16. a−3 5+a 3x − a x = 17. , x0 = 1 . 2 a −1 a −1 186

18. Найдите все значения параметра a , при которых вся числовая ось 2a − x x + 2a − = 0. является решением уравнения a −3 3+ a

Уровень В При каких значениях параметра b уравнение имеет решение для любого значения a : 20. (2a − 1) x = b + a − 1 . 19. (a + 2) x = 3b + a + 1 . 21. (a + 1) x = 2b − a . При каких значениях параметра a уравнение имеет бесконечное множество решений: 22. 6(ax − 1) + a = 3(a − x ) − 5 2 4 3 ( x − 1) = + a(3 − x ) . В ответе указать a . 23. 3 3 2 При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней: x−a =0 25. (a 2 − 1) x = a + 1 24. x+2 При каких значениях параметра a функция: 26. y = (a − 3) x + 5a − 1 является нечетной? 27. y = (a − 1) x + 5a − 1 является четной? 28. 29. 30. 31.

y = (2a − 4) x + a − 5 является четной? y = (2a − 1) x − 6a + 5 является нечетной? В ответе указать значение 6а. y = (2 − а ) x − 8a + 4 является нечетной? 6 y = (2a − 1) x − 6a + 5 является нечетной? В ответе указать a . 5

Линейные неравенства с параметрами. Уровень А 32. Решить неравенство ax < 1 , при a < 0 . 33. Решите неравенство x + a ≥ 0 при всех значениях параметра a . x a − ≤ 0 не имеет 34. При каких значениях параметра a неравенство a 5 решений. 187

35. Найдите все такие значения параметра a , при которых x = a является a2 − x решением неравенства ≥0. a +1 36. Найдите все такие значения параметра a , при которых x = a 2 + a + 1 a 3 − ax является решением неравенства <0. 3−a a2 + a 37. При каких значениях параметра a неравенство x + 1 ≥ 0 не имеет 3 решений. 38. При каких значениях параметра p , решением неравенства 5 px − > 0 является вся действительная числовая ось. 2 p + 4 1 − p2

Уровень В Решите неравенства при всех значениях параметра : 1 41. 39. ax − 1 < 0 40. ax − > 0 3 42.

a(ax + 1) ≤ 0

43.

(a + 4)(x + 3a ) > 0

44.

ax ≥3 5−a ax + 3a 2 ≤0 4−a

⎛a+3 ⎞ x + 1⎟(a + 1) ≥ 0 ⎜ ⎝ 4 ⎠ При каких значениях параметра a неравенство: a +1 x − 1 ≥ a − 4 , имеет только положительные решения. 46. 5 a−x ≤ 0 , имеет только положительные решения. 47. a+5 a 2 − ax 48. ≥ 0 , имеет только отрицательные решения. a+3 1 49. ax + ≤ a 2 , имеет только неотрицательные решения. 3 2a − 3 x + 4 ≥ a 2 , имеет только неположительные решения. 50. 5

45.

Уровень С Для каждого значения параметра а решите неравенства: 51. (3a − 7) x > 5a − 3 . 52. ( 2 − 3a ) x < 3a − 1 . 188

53. Найдите все такие значения параметра a , при которых числа x1 = a + 4 2a − 1 + x ≥0. и x2 = 2 a являются решениями неравенства a−2 Найдите все такие значения параметра a , при которых решение неравенство содержит в себе отрезок [a,b]: 1 3x − a 54. ax + ≥ a + 1 , [a, b ] = [0,1] . 55. a 2 x + 1 ≥ , [a, b ] = [−1,1] . 3 5 Найдите все такие значения параметра p , при которых решение неравенства: x+4 56. < 5 содержит в себе промежуток [3,5) . p +1 x− p 57. < 1 содержит в себе [0;+∞) . p +1 x+3 58. > p − 1 не содержит положительных значений x . p+5 3 − px px − 1 59. − < 0 не содержит отрицательных значений x . p +1 1− p

§5.2. Квадратичный многочлен Квадратичные уравнения с параметрами. Уровень В При каких значениях параметра a , уравнение: 1. x2+2x+3a-4=0 не имеет корней? 2. (а - 2)x2 + (4 - 2а)х +3 = 0 имеет единственное решение? 3. ах2 - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня? 4. х2 - 2х(b + 1) + 6b - 3 имеет корни, среди которых только один корень больше 2. 5. а(а +3)х2 + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня? 6. ax 2 + 1 = 0 имеет хотя бы один корень. (a + 1)x 2 − 1 = 0 имеет два корня. 7. 8. 9. 10.

(a − 2)x (a − 2)x

− a 2 + 4 = 0 имеет один корень.

− a 2 + 4 = 0 имеет более двух корней.

1 2 1 x − 2 = 0 имеет хотя бы один корень. a a 189

11.

ax + (a + 1)x = 0 имеет один корень.

12. 13.

x 2 + ax + 1 = 0 имеет два корня. x 2 + (2a − 1)x + a = 0 имеет корни различных знаков.

Найдите все значения параметра k , при которых уравнения: 14. kx 2 − kx + 1 = 0 имеет два положительных корня. 15. (3 − k )x 2 + x − 5 − k = 0 имеют одинаковые знаки. 16. 17.

k 2 x 2 + kx − 3 = 0 имеют отрицательные знаки. ⎛ k +1 ⎞ x2 − ⎜ ⎟ x + 1 = 0 имеют положительные знаки. ⎝k +2⎠

18. При каких значениях параметра

параболы

y = x 2 − 4ax + 5 и

y = −2 x 2 + 3ax − 4 пересекаются в точке с абсциссой x 0 = −1 ? 19. При каких значениях параметра

параболы

y = ax 2 − 7 x + 3 и

y = 0,5ax 2 − 4 x + 3,5 пересекаются в точке с ординатой y 0 = 2 ? 20. При каких значениях параметра a функция y = −ax 2 + (4a + 5) x + 3 является четной? 21. Определить, при каких значениях параметра уравнения a x 2 + ax + 1 = 0, x 2 + x + a = 0 имеют один общий корень. Найдите все значения параметра а, при которых: 22. уравнения х2 + х + 4а = 0 и а2х2 + ах + 4а = 0 имеют общий действительный корень. 23. корни уравнения (a 2 − 1) x 2 + (2a + 1) x − 3 = 0 лежат по разные стороны от точки x0 = 1 .

24. квадратный трехчлен (a − 2) x 2 − 2ax + 2а − 3 имеет 2 различных корня одного знака. 25. корни квадратного трехчлена (a 2 + 3a − 4) x 2 − (3a + 1) x + 1 имеют разные знаки и расположены по разные стороны от числа 1. 26. уравнение x 2 − (2a + 6) x + 4a + 12 = 0 имеет по крайней мере один корень, и каждый корень уравнения меньше 1. 27. два корня уравнения x 2 − 4ax + 1 − 2a + 4a 2 = 0 различны и каждый из них больше 1. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень: 28. ax 2 − (2a + 6) x + 3a + 3 = 0 . 29.

ax 2 + (4a + 2) x + 3a + 1,5 = 0 . 190

Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет 2 различных действительных корня: 31. bx 2 − 2 x 15 − b 2 − 2 = 0 30. (b − 1) x 2 + 2 x 11 − b 2 + 1 = 0 Найдите все значения параметра а, при которых сумма 2 различных действительных корней уравнения: 32. ax 2 + 4 x − 3 = 0 больше 10. 33. ax 2 − 5 x + 2 = 0 меньше 21.

Уровень С 34. Найдите а, если x1 и x 2 - корни уравнения 2 x 2 + (2a − 1) x + a − 1 = 0 удовлетворяют соотношению 3x1 − 4 x 2 = 11 .

35. Найдите а, если x1 и x2 - корни уравнения ax 2 − (a + 3) x + 3 = 0 удовлетворяют соотношению

x1 = 1,5 . x2

36. Определите b, если один из корней уравнения 4 x 2 − 15 x + b = 0 является квадратом другого. 37. Определите p, если сумма кубов корней уравнения 2 x 2 − 8 x + p = 0 равна 34. 38. Найдите коэффициенты a и b в уравнении каждой прямой y = ax + b , проходящей через точку А(0;2) и имеющей с параболой y = 1 − 4 x − x 2 единственную общую точку. 39. Найдите коэффициент a в уравнении параболы y = 3 − ax + x 2 , имеющей единственную общую точку с прямой y = 2 x − 1 .

Найдите все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен имеет 2 различных действительных корня: 40. 0,5 x 2 − 2 x − 5a + 1 , причем сумма кубов которых меньше 40. 41. − 2 x 2 + 4 x − 3a + 1 , причем сумма кубов которых меньше 20. Найдите все значения параметра а, при которых функция: 42. f ( x) = ax 2 − 6 x + 3 имеет наименьшее значение, и это значение меньше 2,5. 43. f ( x) = ax 2 + 4 x + 5 имеет наибольшее значение, и это значение больше 5,5. 191

Уровень D 44. Докажите, что уравнение c + bx + x 2 = 0 имеет действительных корня, если 0,25 + c < 0,5b . 45. Докажите, что уравнение c + bx + x 2 = 0 имеет действительных корня, если 2,25 + 1,5b + c < 0 .

различных

46. Графики квадратичных функций y = c1 + b1 x + a1 x 2 и y = c 2 + b2 x + a 2 x 2 пересекаются в точках с абсциссами 0 и 3. Докажите, что если a1 > a 2 , то b1 < b2 .

47. Графики квадратичных функций y = c1 + b1 x + a1 x 2 и y = c 2 + b2 x + a 2 x 2 имеют единственную общую точку, абсцисса которой равна 0. Докажите, что если b1b2 < 0 , то a1 = a 2 .

Квадратичные неравенства с параметрами. Уровень С 48. Найти наименьшее а, при котором неравенство x2+ax-7a<0 выполняется при всех x ∈ (1;2) . 49. Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству (2a − 1)x 2 < (a + 1)x + 3a при любом значении параметра a , принадлежащем промежутку a ∈ (1;2) Найдите все значения параметра а, при которых неравенства: 50. (a + 4) x 2 − 2ax + 2a − 6 < 0 выполняется не при всех действительных х.

51. (a − 3) x 2 − (a + 1) x + a + 1 ≥ 0 выполняется при всех действительных х. Для каждого значения параметра а решите неравенства: 53. (a + 1) x 2 + (2a − 1) x + a + 2 > 0 . 52. ax 2 + (2a − 3) x + a + 1 ≤ 0 .

x 2 − (3a + 6) x + 2a 2 + 11a + 5 < 0 55. x 2 − (4a + 2) x + 3a 2 + 8a − 3 > 0 . . x−a 3 − 5x ≥0. ≥ 0. 56. 57. 2x + 1 x−a Найдите все значения параметра а, при которых: x−2 < 0 удовлетворяют неравенству 58. все решения неравенства x−5 x 2 + ( 4 − a ) x − 4a + 4 > 0 . 54.

192

59. неравенство x − (a − 2) x − 2a − 4 < 0 выполняется при всех х, для 2

которых x + 1 < 2 .

60. множество решений неравенства x 2 + 3 x − 4 > 0 содержит все решения неравенства ax 2 + (8a 2 − 1) x − 8a > 0 . 61. из неравенства ax 2 − (2 + a 2 ) x + 2a > 0 следует неравенство x < −1 . Найдите все пары (a;b), для которых выполняется условие равносильности неравенств: 62. x 2 − (3 − a) x − 3a ≤ 0 и x − 2 ≤ b . 63. x 2 − (5 + b) x + 5b ≤ 0 и x − 7 ≤ a .

§5.3. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами. Рациональные уравнения с параметрами. Уровень В 1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

х−а = 0 относительно параметра. х −1 x−a = 0 относительно параметра. Решить уравнение x+2 При каких а уравнение 0 не имеет корней? c Уравнение х – 6 = имеет два различных действительных корня, если с x принадлежит множеству x 2 − ax + 1 При каких а уравнение = 0 имеет единственное решение? х+3 3 5 Решить уравнение относительно 1− = х + a − 1 (x + a − 1)(x + 1) параметра. а −1 2х + 7 При каких значениях а все решения уравнения: = х + 6 ( х + 2) 2 − х − 22 неположительные? Найти утроенное произведение всех значений параметра а, при которых Решить уравнение

уравнение

0 имеет единственное решение?

193

Найти сумму всех значений параметра b, при которых уравнение

0 имеет единственное решение (равные корни считать за один).

Уровень С 10. Решите уравнение x 3 + (1 − a 2 ) x + a = 0 относительно параметра. 11. Решите уравнение на множестве действительных чисел 2 2 x( x − 2) = a( x + 2ax + 2) . 12. Найдите все значения параметра а, при которых количество корней уравнения (2,5-а)x3-2x2+x=0 равно количеству общих точек линий x2+y2=a и y=3-|x-1|. 13. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число 2 больше числа различных корней уравнения 3 различных корней уравнения 4 6 9 0. 14. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число 4 меньше числа различных корней уравнения 2 различных корней уравнения 6 4 2 0. 15. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 3; 1 значение выражения 8 2 не равно значению выражения . 16. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 1; 2 значение выражения 3 не равно значению выражения 9 . 17. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 2; 3 значение выражения 8 не равно значению выражения 2 1 . 18. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 1; 2 значение выражения 3 не равно значению выражения .

Рациональные неравенства с параметрами. Уровень В 19. Найти все значения х, при которых для всех положительных значений (a − 1) ⋅ x − 1 4 < 0. параметра а > -2 выполняется неравенство ax − 1 194

20. Найти

те значения m, при которых неравенство x − x + 25 < 0 выполняются для любых действительных mx 2 + 2(m + 1)x + 9m + 4 значений х. 2

21. При каких а неравенство

выполняется при любых x?

22. При каких а неравенство

выполняется при любых x?

23. При каких а неравенство

выполняется при любых x?

24. При каких а неравенство

выполняется при любых x?

25. При каких а неравенство 1≤x≤2.

0 выполняется при всех x, таких, что

26. При каких значениях параметра а неравенство

2 − ax − x 2 ≤ 3 верно при 1 + x + 4x 2

всех значениях переменной? 27. При каких значениях параметра а система 2 х + ах − 2 −3< 2 < 2 удовлетворяется для всех значений х? х − х +1

неравенств

§5.4. Задачи на параметры с модулем. Параметры в уравнениях с модулем. Уровень В 1. Для каждого значения параметра a решить уравнение |x - a| = x - 2; Определите значения параметра а, при которых количество корней уравнения x − a + 2 x − 2 = 4 равно: 2.

Установите, при каких значениях параметра a уравнение |x − a| + |x − 2a| = 3a: 5. не имеет корней. 6. имеет единственный корень. 7. имеет не более двух корней. Установите, при каких значениях параметра a уравнение |x| + |x − 2| + a = 0: 9. имеет бесконечное множ-во корней. 8. не имеет корней. 10. имеет не менее двух корней. 195

Установите, при каких значениях параметра a уравнение |5x + 2| + |5x − 2| = ax + 2: 12. имеет ровно два корня. 11. имеет ровно один корень. 13. не имеет корней. Установите, при каких значениях параметра a уравнение |3x+4|+|3x−4| = ax+8 имеет ровно: 14. один корень. 15. два корня. При каких значениях параметра а уравнение |x2 + 2ax| = 1: 16. имеет четыре корня? 17. имеет два корня? 18. не имеет корней? Определите значения параметра а, при которых количество корней уравнения x − 2 x − 3 = a равно: 19. 0. 20. 2. 21. 3. 22. 4. 2 23. При каких значениях параметра а уравнение х + 4 х − 2 | х − а | +2 − а = 0 имеет два решения. 24. Для каждого значения параметра a решить уравнение a − | x |= 1 − a 2 x. 25. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x⋅ | x + 2a | +1 − a = 0 имеет единственное решение 26. Для каждого значения параметра a определите число решений уравнения | x 2 − 2 x − 3 |= a.

Уровень С При каких значениях параметра а уравнение |x2 + 5x + 4| + |x2 + 5x + 6| = a: 27. не имеет решений. 28. имеет ровно три решения. 29. имеет ровно четыре решения. 30. имеет ровно два решения. 31. При каких значениях параметра а корни уравнения | х - а2 | = -а2 + 2а + 3 имеют одинаковые знаки? 32. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х - а = 2| 2|х| - а2 | имеет три различных корня. 33. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни: x − a = 2 | 2 | x | −a 2 | . 34. Укажите все значения параметра 0, при которых графики функций y 2 = |x − 2ax| и y = 3a имеют только две общие точки. 196

35. Укажите все значения параметра 0, при которых графики функций y |и /6 имеют только две общие точки. = |3 36. Укажите все значения параметра a, при которых графики функций | | и y = (x+a)2 имеют одну общую точку. 37. Укажите все значения параметра a, при которых графики функций | | и y = |x + a| имеют одну общую точку. –

38. Найти все значения параметра а, для которых числа х положительные и (a + 1)⋅ x − (2a − 1) + x− | 1 − a | + 1 = 0 . удовлетворяют уравнению x −1 2 39. При каких а минимум функции f (x ) = x + a + x − a на отрезке [− 1;1] больше максимума функции g (x ) = x 2 + ax на этом же отрезке?

Параметры в неравенствах с модулем. Уровень В 40. При каких значениях параметра а неравенство

х + 3 > − a 2 имеет

решение? 41. При каких а уравнение ах = а2 равносильно неравенству | х-3| ≥ а ? При каких значениях параметра а неравенство |x − 3a| − |x + a| < 2a: 42. имеет только положительные решения. 43. имеет только отрицательные решения. 44. не имеет решений. При каких значениях параметра а неравенство |x + 2| − |2x + 8| > a: 46. имеет единственное решение. 45. не имеет решений. 47. выполняется для всех х 20; 15 .

Уровень С 5 6| не 48. При каких значениях параметра а неравенство | имеет решений. 49. При каких значениях параметра a неравенство |ax2 − ax + 1|≤1 выполняется для всех значений x из промежутка [0;1]? 50. При каких значениях параметра a неравенство 3−|x−a| > x2 имеет по крайней мере одно отрицательное решение? 51. Найдите все значения параметра a , при которых множество решений неравенства x( x − 2) ≤ (a + 1)( x − 1 − 1) содержит все члены некоторой 197

бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем. 52. Найдите все значения параметра a , при которых множество решений содержит все члены неравенства x ( x − 2) ≤ ( a + 1)( x − 1 − 1) некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.

§5.5. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Иррациональные уравнения с параметрами. Уровень В x + a = x имеет два корня?

При каких значениях а уравнение

2. 3.

При каких а уравнение ( х -1)(х - а) = 0 имеет единственное решение? Найти количество всех целых 3; 100 при которых уравнение 9 0 имеет единственное решение? √

Найти рациональные решения уравнения х + а = x а + a2 , где а – рациональный параметр. 5. Найти положительное а (или их сумму, если таких а несколько), при 2 1 √ 4 0 имеет единственное котором уравнение 1 решение. Если таких а бесконечно много в ответе запишите «много». 6. При каких значениях параметра а уравнение x + 2 a x + 1 − a + 3 = 0 имеет решение? 7. При каких а уравнения х2 – а = 0 и х – а = 0 равносильны? 8. Найти число всех целых а (-100≤ а≤100), при которых уравнение 1 2 имеет единственный корень. √ √2 При каких значениях параметра а уравнение: 9. x + a + x − 1 = 3 имеет решение?

10.

x − a − x = 2 не имеет решения?

11.

x − a − x = 2 имеет решение?

12.

x + 1 − a − x = 1 не имеет решения?

13.

x + 1 − a − x = 1 имеет решение?

14. 1 + x + 2 lg a = x − 1 имеет решение? 198

Уровень С В зависимости от значений параметра a решите уравнение: 15. ·√ 1 16. √1 1 √ . √1 √ 17. При каких значениях параметра a корни x +1 имеют разные знаки? x 2 − x − 2a 2 + 2a + 2 = 2 При каких значениях параметра a уравнение: 18.

. уравнения

x2 x2 5a + 5 a − x − +x+ = 0 имеет решение? 4 4

19.

x = a − a 2 − x x 2 + a 2 не имеет решения?

20.

x = a − a 2 − x x 2 + a 2 имеет решение?

21.

( x − 3)( x + 1) + 3( x − 3)

x +1 = (a + 2)(a − 1) не имеет решения? x−3

22.

( x − 3)( x + 1) + 3( x − 3)

x +1 = (a + 2)(a − 1) имеет решение? x−3

23.

x + a + 1 − 2a + 2a 2 − a 3 + x + a 2 + 2a − 3 = a 1 − x имеет решение?

x + a + 1 − 2a + 2a 2 − a 3 + x + a 2 + 2a − 3 = a 1 − x не имеет решения? 25. a 2 x 2 + 2a( 2 − 1) x + x − 2 = 2 2 − 3 имеет решение? 26. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения 24.

х+ х+

1 1 + х+ =а . 2 4

Уровень D 27. При каких значениях параметров a и b уравнение

a−x 4 b+ x =2 + b+ x a−x

имеет решение? 28. Найдите все пары (a;b), при которых областью определения функции y = ax 2 + (b 2 + 4b) x − a + 7b + 10

является

M : {x | x ∈(− ∞;−2] ∪[1;+∞)} .

199

множество

29. Найдите все пары (a;b), при которых области определения функций

f ( x) = (2 − x)( x + 3) и q( x) =

ax 2 + (a 2 − 2b) x + 4b − 16 совпадают. b

Иррациональные неравенства с параметрами. Уровень В 30. Найти сумму трех наибольших целых а, при которых неравенство 3 0 имеет единственное решение. √ Для каждого значения параметра а решите неравенства: 32. √5 3 31. (а – 1) х ≤ 0. При каких значениях параметра а, неравенство не имеет решений: 34. 2√ 1. 0. 33. 2 √ 35. √1 2 .

Уровень С В зависимости от значений параметра а решите неравенства: 36. 3 √ 5 3 37. √ √ √6 38. 4 5√ 39. √2

§5.6. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Тригонометрические уравнения с параметрами. Уровень В 1. 2. 3.

y = ax − sin x Найдите все значения а, при которых функция возрастает на всей числовой оси Найдите все значения а, при которых функция y = a sin x − 2 x убывает на всей числовой оси Найдите наибольшее отрицательное значение α , удовлетворяющее 1 при некоторых значениях a > 0 . соотношению 2 sin α = a + a

200

5. 6.

7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Найдите наименьшее положительное значение α , удовлетворяющее 1 при некоторых значениях a > 0 . соотношению 2 sin α = a + a ⎧sin x = a Найдите все значения a и b, при которых система уравнений ⎨ ⎩ tgx = b имеет решение. Найдите все значения m и n, при которых система уравнений ⎧cos x = m имеет решение. ⎨ tgx = n ⎩ ⎧cos x = a Найдите все значения a и b, при которых система уравнений ⎨ ⎩ ctgx = b имеет решение. Найдите все значения m и n, при которых система уравнений ⎧sin x = m имеет решение. ⎨ ctgx = n ⎩ Найти сумму всех целых 10; 10 , при которых уравнение 3 0 имеет единственное решение. Найти количество всех целых a, при которых уравнение 1 arccos 0 имеет единственное решение. Если таких а бесконечно много, в ответе напишите «много». Найти наибольшее целое а, при котором уравнение 10 sin 8 cos имеет корни. Найти количество целых а, при которых уравнение 15 sin 3 7 cos 3 имеет корни. Найти наименьшее целое а, при котором уравнение 14 sin 5 имеет корни. 9 cos 5 Найти сумму всех целых положительных а, при которых уравнение 8 sin 10 3 cos 10 имеет более одного корня. Найти наибольшее целое отрицательное а, при котором уравнение 9 sin 20 15 cos 20 не имеет корней. Найти наименьшее целое положительное а, при котором уравнение 17 sin 2010 10 cos 2010 не имеет корней.

Установите, при каких значениях параметра а уравнение имеет решение, и решите его: 17. cos x + cos 5 x = a 2 − 2a + 3 . 18. sin x − cos 2 x = 4a 2 + 4a + 3 .

201

Определите при каких значениях параметра а уравнение: 1⎞ ⎛ 19. ⎜ cos x + ⎟(sin x − a ) = 0 имеет 2 корня на промежутке [0;2π ] . 2⎠ ⎝ 20. 21. 22. 23. 24.

1⎞ ⎛ ⎜ cos x + ⎟(sin x − a ) = 0 имеет 3 корня на промежутке [0;2π ] . 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ ⎜ cos x + ⎟(sin x − a ) = 0 имеет 4 корня на промежутке [0;2π ] . 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ ⎜ sin x − ⎟(cos x − a ) = 0 имеет 2 корня на промежутке [0;2π ] . 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ ⎜ sin x − ⎟(cos x − a ) = 0 имеет 3 корня на промежутке [0;2π ] . 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ ⎜ sin x − ⎟(cos x − a ) = 0 имеет 4 корня на промежутке [0;2π ] . 2⎠ ⎝

Найдите значение параметра а (или произведение таких значений, если их несколько), при которых период функции: 25.

y = cos 2 ((a 2 + 2a − 28 )x ) равен

26.

y = sin ((2a + 5)x ) равен

27.

y = sin 2 ((a 2 − 4a − 21)x ) равен

28.

y = sin ((2a + 5)x ) равен

29.

y = cos((2a − 11)x ) равен

π 2

π 24

. 4 30. При каких а (-1 ≤ а ≤ 1) уравнение 4 решение?

·2

0 имеет

Уровень С 31. Найдите все действительные значения параметра b, при которых

y = 5b 2 + 8b − sin 2 4π 2 − x 2 − 4b sin 4π 2 − x 2 − 1 функция определена лишь в конечном (ненулевом) числе точек вещественной оси. 202

32. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции y = sin x − a ⋅ sin 2 x содержится в точности 4 однозначных натуральных числа. 33. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции y = cos x − a ⋅ cos 2 x содержится в точности 3 однозначных натуральных числа.

Решить уравнения относительно параметра: 34. m(sin 2 x − 5 cos 2 x ) = cos x 3m 2 + 5m 2 tg 2 x . 35. 37.

π⎞ ⎛ tg 4 x − tg ⎜ 2 x − ⎟ = c − 1 . 4⎠ ⎝

36.

1 − 2 sin 2 x = (a − 1)tgx . 1 + sin 2 x

(1 + 2 sin x )tgx + a = 2a cos⎛⎜ π − x ⎞⎟ sin⎛⎜ π + x ⎞⎟ . ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ sin 2 x (sin x + cos x ) = a (cos x + sin x ) . 2

3 3 38. 39. Найти все такие значения параметра а, при которых уравнение не ( а 2 − 6а + 9)(2 + 2 sin x − cos 2 x ) + (12 а − 18 − а 2 )(1 + sin x ) + a + 3 = 0 имеет решений. 40. При каких а промежуток [a;0] содержит не менее 3 корней уравнения 2 cos 2 x − 2 cos x − 1 = −1 ?

41. Найти а, при которых уравнение 2 cos 2 x − 2 cos x − 1 = −1 имеет на

⎡ π 5π ⎤ отрезке ⎢ ; ⎥ ровно 4 корня. ⎣8 8 ⎦ 42. Найти а, при которых уравнение sin(2( x − π )) − sin(3x − π ) = a sin x ⎡ π⎤ имеет на отрезке ⎢0; ⎥ единственное решение. ⎣ 2⎦ 43. Найти а, при которых уравнение 2 cos 2 x + 2 a sin x + a − 1 = 0 имеет на ⎛ π ⎞ интервале ⎜ − ;0 ⎟ единственное решение. ⎝ 2 ⎠ При каких значениях параметра а уравнение: 2 + 1 + 3a = 0 имеет более 44. (1 − a)tg 2 x − cos x ⎛ π⎞ интервале ⎜ 0; ⎟ ? ⎝ 2⎠ 203

одного

решения

на

a 1⎞ ⎛ sin 2 3x − ⎜ a + ⎟ sin 3x + = 0 имеет ровно 3 корня, расположенных на 2⎠ 2 ⎝ ⎡ 2π ⎤ отрезке ⎢ ; π ⎥ ? ⎣ 3 ⎦ 7⎞ ⎛ 46. cos 2 3x + ⎜ 2a 2 − ⎟ cos 3x + a 2 − 2 = 0 имеет ровно 5 корней, 2⎠ ⎝ ⎡ π π⎤ расположенных на отрезке ⎢− ; ⎥ ? ⎣ 6 2⎦ a − 3 sin x a − 3 cos x = 47. Определить число корней уравнения на отрезке a cos x − 3 a sin x − 3 [40π ;49π ] . При каких значениях параметра а уравнения равносильны: 48. sin 2 x = 1 ; a cos x = sin 2 x 49. sin x = 2 sin 2 x ; sin 3 x = (a + 1) sin x − 2(a − 1) sin 2 x 45.

50. 4 cos 2 x − cos 3x = a cos x − (a − 4)(1 + cos 2 x) ; 2 cos x ⋅ cos2x = 1 + cos2x + cos3x 51. При каких действительных а множества решений уравнений a 4 cos 2 x = a 2 − 6 и 1 − cos 2 x = совпадают? 6 52. Найти все положительные числа а, при которых все различные неотрицательные значения х, удовлетворяющие уравнению cos((19a − 7) x ) = cos((17a + 13) x ) и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию. Найти все целые значения параметра, при которых уравнение имеет решения: ⎛ x⎞ ⎛π x ⎞ 53. cos kx = 1 + 2 cos 2 ⎜ + ⎟ . 54. 5 − 4 sin 2 x − 8 cos 2 ⎜ ⎟ = 3k . ⎝2⎠ ⎝ 4 2⎠ 55. 1 + a cos x = (a + 1) . 2

56. При каких a > 0 уравнение 4 x + 2 = a ⋅ 2 x ⋅ sin πx имеет ровно одно решение? 57. Решить уравнение sin x + 2 cos ax = 3 . 58. При каких значениях a, b, c равенство π⎞ 3π ⎞ ⎛ ⎛ a cos⎜ 3x − ⎟ + b sin 2⎜ x + ⎟ + c sin( x + π ) = 0 выполняется при всех 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 ≤x≤ ? 8 3 204

59. При каких значениях a, b, c, d равенство a cos 2 x = b cos x + c ⋅ cos x + d является тождеством? 60. При каких значениях параметра а уравнение 2 · cos 0 имеет единственное решение? 61. Найти все пары (a;b), для которых неравенство sin sin выполняется при любом x. 2

62. Найти все значения а, при которых уравнение sin sin √ имеет хотя бы одно действительное решение. 63. При каких а число π является периодом функции ?В ответе указать значение а, если а – единственное, сумму всех а, если их несколько.

Тригонометрические неравенства с параметрами. Уровень С 64. Пусть 43; 18 . Найти количество целых а, при каждом из которых неравенство 5 5 3 cos 0 выполняется для всех x. 65. При каких а неравенство sin cos 0 выполняется при любых x? 66. При каких а утверждение: «Неравенство 2 2 cos 2 верно при любом x» не является истинным. 67. При каких а решение неравенства sin 2 sin содержит промежуток ; ? 68. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 9 cos 2 x − 6(a − 2) sin x + 2a − 4 ≤ 9 верно при всех значениях переменной х. 69. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство ( a − 4) cos x ⎛ a ⎞ верно при всех значениях cos 2 x + − ⎜ − 1⎟ ≤ 1 2 ⎝2 ⎠ переменной х. 70. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство sin x cos x + 1 − a sin 2 x ≤ 1,5 верно при всех значениях переменной х.

71. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство a a sin x cos x + − cos 2 x ≤ 2,5 верно при всех значениях переменной х. 2 205

72. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство a cos 4 x + 2 sin 2 x + 4a > 5 верно при всех значениях переменной х. 73. Найти все значения параметра a, для которых неравенство 2π 1 1 . sin x − − ≤ a выполняется при всех х, таких что 0 ≤ x ≤ 3 3 3 74. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство a sin 2 x + 2(a − 3) sin x + a + 7 > 0 верно при всех значениях переменной х. 75. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 2 2a − 4 + a(3 − sin 2 x ) + cos 2 x < 0 верно при всех значениях переменной х. 76. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство x 2 +ax +12

⎛6 o ⎞ ≤ 1 верно для любого значения переменной x ∈ [− 6;2] ⎜ cos 20 ⎟ ⎝5 ⎠ . 77. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 3 x 2 + 6 ax −10 −14

⎛4 o ⎞ ≥ 1 верно для любого значения переменной ⎜ tg 20 ⎟ ⎝9 ⎠ x ∈ [− 4;2] . 78. Найти все значения параметра а, при которых неравенство − 5 + 5a + sin 2 x + a (3 − cos x ) 3 > 0 выполняется при всех х. 79. Найти все значения параметра b, при которых неравенство ( a 2 − 9) cos x + 6a sin x ≤ ab имеет решение при любом а. 80. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 3 sin 2 x + 2a sin x cos x + cos 2 x + a ≤ 3 выполняется при всех х.

81. Найти все значения параметра а, при которых неравенство sin 2 x − 2(a − 1) sin x cos x + 3 cos 2 x − a + 1 ≤ 3 выполняется при всех х.

206

§5.7. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения с параметрами. Уровень В 1. 2.

Найти количество всех целых a 3; 100 , при которых уравнение x a log x 0 имеет единственное решение. Пусть a 1; 0,5 . Найти сумму всех таких а, при которых уравнение 0 не имеет корней или имеет более одного корня.

3. 4.

Найти количество неотрицательных значений а, при которых уравнение 2x a log x 0 имеет ровно один корень. Найти количество таких целых значений параметра а, что уравнение x 2a не имеет корней, а значение параметра √x a log

находится в промежутке √2; 163 . 5. При каких а уравнение 4 a 3 2 4a 4 0 имеет один корень? В ответе указать сумму таких целых а, если a 8; 5 . 6. Пусть a 43; 18 . Найти количество целых а, при каждом из которых значения функции y a · 4 a 2 ·2 2 неположительны для всех x из промежутка 0; 1 . 7. Найти произведение наибольшего и наименьшего значений параметра а, при которых уравнение 4 a 5 ·2 a 9 0 не имеет корней. 4x a 4 имеет решение? 8. При каких а уравнение log √ 9. Найти все а, при которых уравнение lg sin x 2a · lg sin x a 2 0 не имеет корней. 10. Найти все значения а, при которых уравнение log x 4x 8 4 a имеет корни. 11. Найти все значения а, при которых уравнение log 3 sin x 4 cos x 14 a не имеет корней. 12. Найдите количество целых значений параметра а, при которых a не имеет корней. уравнение 13. Найдите количество целых положительных значений параметра а, при которых уравнение a имеет единственный корень. 14. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет более одного корня. 207

15. Найти сумму всех целых а, при которых уравнение √2 более одного корня.

a имеет

16. Найти все а, при которых уравнение √2 a не имеет корней. 17. Найти сумму всех таких а, при которых уравнение log |x 1| |x 1 | 3 2a имеет более одного корня a 1 18. Найти все а, при которых уравнение log |x 1| |x 1| 3 не имеет корней. | | 19. При каких а уравнение log a имеет единственное решение? 20. Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению log a x log 3 √x 1 при любых значениях параметра 5a x √6 x а. Определить, при каких целых значениях параметра а уравнение имеет 2 различных действительных корня: 21. 4 x − 4 ⋅ 2 x = a 22. 2 ⋅ 32 x − 3 x +1 = a . 23. 2 ⋅ 2 −2 x −2 − 2 − x + 2 = 4a . 24. 3 ⋅ 25 x − 5 x +1 = 2a . a 26. 5 2 x +1 − 5 x +1 = . 25. 7 ⋅ 9 − x − 2 ⋅ 3 − x +1 = 0,5a . 3 3a 28. 9 x − 3 x +1 = . 27. 2 2 x +1 − 2 x + 2 = a . 2 29. 81− x − 9 0,5− x = −a . 30. 7 2 x − 7 x +1 = −7a . 31. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (− 1;1] значение выражения 16 x + 5a ⋅ 4 x не равно значению выражения 5 + ( a + 1) ⋅ 4 x +1 32. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (2;3] значение выражения 4 x + 2 x не равно значению выражения

a ⋅ 2x +1 33. При каких значениях параметра а уравнение x x 2 25 − ( a − 4)5 − 2a + 10 a − 12 = 0 не имеет действительных корней? 34. При каких значениях параметра а уравнение x x 2 36 + ( a − 1)6 + a − 2a = 0 имеет 2 действительных и различных корня?

208

Уровень С Решить уравнение относительно параметра: 3x + 5 3x − 7 2b x x x 36. ? = x + x 4 − 6 ⋅ 2 +1 = 2 − a ? 35. x 3 − 3 3 + 1 9 − 2 ⋅ 3x − 3 x x 37. 144 − 2 ⋅ 12 + a = 0 ? ⎞ ⎛5 2 38. (a − 2)⎜ ⋅ 2 2 x a + 1⎟ = 2 (a − 2) (1 − 4 x a ) ? ⎠ ⎝3

⎛ a − 1 + 3x ⎞ ⎛ a −1 ⎞ 2 + ⋅ = ⎜⎜ a a 9 ⎟⎟ ? ⎜ x ⎟ x 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 40. Найдите все положительные значения параметра a, при которых в −0 , 5 есть двузначные области определения функции y = (a x − a ax+ 2 ) натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа. 41. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются log 0, а остальные не решениями неравенства log , являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий. 39.

Логарифмические и показательные неравенства с параметрами. Уровень С 42. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [0;3] 2

3 a + ax ≤ 81 . 43. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [0;3] 2

2 a −ax ≤ 16 . 44. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 2

9 x + 2(a − 1)3 x + a 2 − 2 > 0 выполняется для любых значений х. 45. Найти все а, при которых неравенство 9 2 2a 1 3 4a 3 0 выполняется для всех x. 46. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 9 20 · 3 a имеет хотя бы одно целочисленное решение. 47. При каких значениях параметра а числа 2 a − 1 и 3a − 3 , являются

решениями неравенства a

2 x+4 x −1

≥a

4 x +8 x +1

209

48. При каких значениях параметра а числа 4 − 2 и 2 − 1 , являются a

решениями неравенства a

3 x −1 x−2

≥a

2 x +1 x+2

49. Найти а, при которых каждое решение неравенства

x 2 + 4x + 7 ≤ x + 3

является решением уравнения 2 x + 2 − 2 x +1 − a = 2 x +1 + 1 ? 50. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство x 2 −( 5 a −6 ) x + 4 a 2

⎛1⎞ ≤ 1 выполняется при любом действительном значении х. ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 51. Найти сумму всех целых а, при которых среди решений неравенства | | | | log , log x 100 log содержится единственное целое число.

§5.8. Системы уравнений и неравенств с параметрами. Системы уравнений с параметрами. Уровень В При каких значениях параметра a , система уравнений: ⎧ax + 2 y = 7 1. , имеет решение. ⎨ x − y = a ⎩ ⎧a 2 x − (a + 1) y = 1 2. , не имеет решений. ⎨ ⎩ax + y = 4 a +1 ⎧ y=2 ⎪x − , имеет более одного решения. 3. 2 ⎨ ⎪⎩4 x − 2 y = 8 ⎧x ⎪⎪ a − y = 4 4. , имеет одно решение. ⎨ x a + ⎪ +y=0 ⎪⎩ 2 ⎧(a + 3) x + 4 y = 5 − 3a, 5. Определить число решений системы ⎨ в ⎩2 x + (5 + a) y = 8. зависимости от значений параметра а.

210

6. 7. 8.

2 6, При каких значениях a и b система уравнений имеет 6 10 бесконечно много решений. В ответе указать произведение ab. Найти такое «а» (или сумму всех таких «а», если их несколько), при 4 16 ; котором система имеет более одного решения. 4 9 27 Найти все а, при которых для любого b существуют четыре различных ⎧5 x + by = c 2 + a, имеет хотя бы одно значения с, при которых система ⎨ 2 5 x 2 y bc + = ⎩ решение.

При каких значениях параметра a , система уравнений ⎧ x − 3a ⎪⎪ 5 + 2 y = a 9. , имеет решение удовлетворяющее условию x + y > 0 . ⎨ ax ⎪ + (4 − a ) y = 1 ⎪⎩ 3 ⎧ x + a = 2 y + 3a 2 , имеет решение удовлетворяющее условию xy > 0 . 10. ⎨ 2 x 4 ay a − + = ⎩ ⎧3x + (a − 1) y = a + 1 11. ⎨ имеет решения? ⎩(a + 1) x + y = 3 ⎧3x + y = a 12. При каких значениях параметра b система ⎨ имеет хотя бы ⎩ax − y = b одно решение при любом значении параметра a? 13. При каких значениях параметра a найдется по крайней мере одно ⎧2 x + by = ac 2 + c имела хотя значение параметра с такое, чтобы система ⎨ + 2 = − 1 bx y c ⎩ бы одно решение при любом значении параметра b? ⎧2 x + by = ac 2 + c имеет 14. При каких значениях параметра b система ⎨ + 2 = − 1 bx y c ⎩ решение при любом значении параметра a? Пусть ; . Найти количество всех целых a, при которых система уравнений: | | | | 1, 15. имеет ровно четыре различных решения. | |

211

| |

16. 17. 18. 19.

имеет одно решение.

| |

имеет одно решение. имеет ровно два различных решения. имеет ровно восемь различных решений.

При каких значениях параметра а система ⎧⎪ x 2 + y 2 = 2 20. ⎨ имеет 2 решения? ⎪⎩ y − x = a ⎧⎪ x + y − a − 2 = 0 21. ⎨ имеет 2 решения? ⎪⎩ y 2 − x 2 = a (2 x + a ) 2 2 2 ⎪⎧(x − 2a + 1) + y = a 22. ⎨ 2 имеет 4 различных решения? ⎪⎩ y = 2 x

Уровень С ⎧⎪ y (ax − 1) = 2 x + 1 + 2 xy имеет 23. При каких значениях параметра а система ⎨ ⎪⎩ yx + 1 = x − y решения? При каких значениях параметра а система имеет решение: ⎧y = x2 +1 ⎧y = x2 +1 ⎪ 25. ⎨ 2 24. ⎨ 2 y x 2 2 y x ay ax − − − + − − 1 = 0 ⎩ x − y + (a − 1) y + (a + 1) x + a = 0 ⎪ a a ⎩ ⎧⎪ x = a + y ⎨ 2 ⎪⎩ x − y 2 − 2 x + 4 y + 3 = 0

⎧⎪ y (ax + 1) + 13x − a (1 + y ) = 0 ⎨ ⎪⎩ x − xy + 2 + y = 0 ⎧ 3 ⎛a 3 3⎞ ⎪ x + y = a⎜ + y ⎟ 28. При каких значениях параметра а система ⎨ имеет ⎝2 ⎠ ⎪ x 3 + (a − 1) x 2 y + xy 2 = 1 ⎩ решения, удовлетворяющие условию x + y = 0 ? 26.

27.

212

29. При каких значениях параметра а система

⎧⎪ x − y = a ⎨ ⎪⎩ y x = 1 − a

имеет

единственное решение?

⎧⎪ x − y = a 30. При каких значениях параметра а система ⎨ имеет решение, ⎪⎩ y x = 1 − a удовлетворяющее условию x ≥ y 2 ? 31. При каких значениях параметра а система ⎧3 y + 2 + xy = 0 имеет единственное решение? ⎨ x ( y + 1 − a ) + y ( 2 a − 3 ) + a + 3 = 0 ⎩ ⎧⎪2 x + 2(a − 1) y = a − 2 имеет 32. При каких значениях параметра а система ⎨ ⎪⎩2 x + 1 + ay = 2 единственное решение? ⎧2bx + y = a 33. При каких значениях параметра a система ⎨ 2 ⎩(1 − b) x + by − z − z = 0 имеет решения для любых значений параметра b? 34. Найти сумму всех рациональных значений параметра а, при которых 1,5 0, система имеет единственное решение. 2 1 0 1, | | 35. При каких а система имеет единственное 2 15 0 решение? 36. При каких значениях параметра а система уравнений ⎧⎪(a − 1) y 2 − 2(3a + 1) y + 9a = 0, имеет решения? ⎨ ⎪⎩ y = − x − 3 + 2 ⎧⎪ х + а − у + b = 1, 37. Решить систему уравнений ⎨ ⎪⎩ y + a − x + b = 1. 38. Найти значение параметра а (или произведение таких значений, если их 2 1 , несколько), при котором система имеет 1 1 решение при любом b.

213

2x ⎧ ⎪y = x − x 39. При каких значениях параметра а система ⎨ имеет ⎪( x + a) 2 + y + a = 3 ⎩ единственное решение? 40. При каких значениях параметров а и b система ⎧bx(2 x − y ) + ( y − 1)(2 x − y ) = bx + y − 1 имеет не менее 5 решений? ⎨ 2 2 + 4 + = 1 y x axy ⎩ ⎧⎪5 ⋅ 2 x + 3 x − 2 = 5 y + 3x 2 − 5a 41. При каких значениях параметра а система ⎨ ⎪⎩ x 2 + y 2 = 1 имеет единственное решение? 42. При каких значениях параметра а произведение x ⋅ y , где (x;y) решение

системы

⎧x + y = a − 1 ⎨ 2 2 2 ⎩ x + y = 5a − 3a + 0,5

принимает

наибольшее

значение? При каких значениях параметра a система: ⎧⎪ x 2 − x 1 − y 4 = a 3 43. ⎨ не имеет решений? 4 4 ⎪⎩ x 1 − y + y = a + 1 ⎧⎪ x 2 − x 1 − y 4 = a 3 44. ⎨ имеет конечное множество решений? 4 4 ⎪⎩ x 1 − y + y = a + 1 ⎧⎪ x 2 − x 1 − y 4 = a 3 45. ⎨ имеет бесконечно много решений? 4 4 ⎪⎩ x 1 − y + y = a + 1 ⎧ ⎪x 2 = y 2 = z 2 ⎪ 46. ⎨ x + y + z = 3a имеет решения, удовлетворяющие условию xyz ≥ 0 ? ⎪ 4 ⎪ xy = z − 9 ⎩ 47. В зависимости от значений параметров a, b, c решить систему ⎧ x 2 + y 2 = bx + ay − cz ⎪ 2 2 ⎨ z + y = −ax + cy + bz . ⎪ x 2 + z 2 = cx − by + az ⎩

214

48. При каких целых значениях параметра а система arccos arcsin

arcsin · arccos

имеет решения?

Системы неравенств с параметрами. Уровень В 49. При каких целых а существуют ровно пять целых чисел, являющихся 20, решениями системы ? В ответе указать все такие целые а без 1 запятых и пробелов. Для каждого значения параметра a решите систему неравенств: ⎧x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⎧x 2 − 6x − 7 ≥ 0 50. ⎨ 2 51. ⎨ 2 2 2 x a − < 0 ⎩ ⎩x − a > 0 При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решения: ⎧⎪ x 2 − 9 < 0 ⎧⎪16 − x 2 > 0 52. ⎨ 53. ⎨ ⎪⎩ x − 4 < a ⎪⎩ x − 3 > a При каких значениях параметра a , система неравенств: ⎧3 y − ax + 3 ≤ 0 54. ⎨ , имеет хотя бы одно решение. x + y ≥ 1 ⎩ ⎧ x − ay ≤ 0 55. ⎨ , не имеет решений. ⎩(a + 1)x − y ≥ 3

Уровень С При каких значениях параметра a , система неравенств: ⎧x − y ≤ a 56. ⎨ , имеет решения содержащие отрезок [0,1] оси ОХ. ax + y ≥ 0 ⎩ ⎧x −a y −a + ≤1 ⎪ 57. ⎨ 2 , имеет решения содержащие отрезок [0,1] оси ОY. 3 ⎪⎩ x + y ≥ a

215

⎧− x − a ⎪⎪ 4 + y ≥ −1 − a 58. ⎨ , имеет решения содержащие множество [0,1]× [0,1] y ⎪2 x − ≤ a ⎪⎩ 3 плоскости ОХY. ⎧ a ⎪⎪− 2 x + y ≥ −4 59. ⎨ , имеет решения содержащие множество [− 1,1]× [− 1,1] 1 ⎪ x + 3y − 2 ≥ 0 ⎪⎩ a плоскости ОХY.

Решите смешанные системы при всех значениях параметра p : 60.

⎧ px + ( p − 3) y ≥ 1 ⎨ ⎩x + y = p

61.

p+3 ⎧ y≤ p ⎪x + 2 ⎨ ⎪⎩ px − y = 3

62.

⎧2 px − y ≥ p 2 ⎨ ⎩− x + py = 2

63. Найти значение параметра а (или произведение таких значений, если их 3

несколько), при котором система

2 2

имеет

единственное решение.

§5.9. Смешанные задачи Уровень С 1.

Известно, что уравнение (2 p + 3) x 2 + ( p + 3) x + 1 = 0 имеет хотя бы один корень. Найдите все значения параметра p , при которых число различных корней этого уравнения равно числу различных корней 2x + 1 1 = уравнения . 21 − p x−3 +3

Даны два уравнения:

4; 4

3 3 5. Значение параметра p выбирается так, что 3и дает число различных корней первого уравнения в сумме с числом 3 число различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом. 3.

Даны два уравнения:

Значение параметра p выбирается так, что 3 216

; 2

0 и число

различных корней первого уравнения равно сумме числа 3 и числа различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом. Даны два уравнения 54 3 3 2 ; 37 73 3 24 19 1

3 и

0 имеет решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство |

0 не имеет решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство |

. Значение параметра p выбирается так, что

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство |

2 и число различных корней первого уравнения равно сумме числа числа различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство |

0 не имеет решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство | | 0 не имеет решение. ·

10. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство ·

0 не имеет решение.

11. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции принадлежат промежутку 6; log 1 | |

12. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции принадлежат промежутку 2; log 1 | |

13. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции 4; log принадлежат промежутку 2 | |

217

Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности. §6.1. Текстовые задачи Тренировочные задания Задачи на движение 1. Неутомимый мальчик прошел с одинаковой скоростью 60 км за 8 часов. С какой скоростью шел неутомимый мальчик? 2. Неутомимый мальчик прошел 60 км с постоянной скоростью 12 км/ч. За сколько часов прошел этот путь неутомимый мальчик? 3. Неутомимый мальчик шел 13 часов с постоянной скоростью 4 км/ч. Какое расстояние прошел неутомимый мальчик? 4. Автомобиль «Запорожец» проехал 610 км с постоянной скоростью за 5 часов. С какой скоростью ехал автомобиль «Запорожец»? 5. Автомобиль «BMW» проехал 294км с постоянной скоростью 42 км/ч. Какое время затратил на этот путь автомобиль «BMW»? 6. На соревнованиях среди асфальтоукладочных катков победитель ехал 8 часов с постоянной скоростью 52 км/ч. Какое расстояние проехал победитель? 7. Алихан и Асия, расстояние между которыми 17,5 км начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 3 км/ч и 4 км/ч. Через сколько часов после начала движения Алихан сможет обнять Асию? 8. Алихан и Асия, расстояние между которыми 17,5 км, начинают двигаться в противоположных друг другу направлениях со скоростями 3 км/ч и 4 км/ч.Какое расстояние будет между ними через 1,5 часа 9. Алихан и Асия, расстояние между которыми 6,5 км, начинают двигаться со скоростями 5 км/ч и 3 км/ч так, что Алихан догоняет Асию. Через сколько часов после начала движения Алихан сможет обнять Асию? 10. Алихан и Асия, расстояние между которыми 6,5 км, начинают двигаться со скоростями 5 км/ч и 3 км/ч так, что Алихан убегает от Асии. Какое расстояние будет между ними через 3,5 часа? 11. Велосипедист и мотоциклист, расстояние между которыми 227,5 км, выехали одновременно навстречу друг другу со скоростями 12 км/ч и 53 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 12. Из одной точки в противоположных направлениях ползут две улитки со скоростями 6 см/ч и 8 см/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 1м 68 см? 218

13. Том, увидев Джерри на расстоянии 165 метров, начал погоню. Скорость Тома 500 м/мин, а скорость Джерри 420 м/мин. Сможет ли Том закусить Джерри, если через 2 минуты мультфильм закончится? 14. Терминатор – 2, скорость которого 350 км/ч и терминатор – 3, который бежит со скоростью 320 км/ч, двигаются в одном направлении. В 14-00 расстояние между ними было 55 км, причем терминатор – 2 бежал впереди. Какое расстояние будет между ними в 17-30 того же дня? Задачи на движение по реке 15. Собственная скорость катера 22 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Какова скорость катера против течения реки? 16. Собственная скорость катера 22 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Какова скорость катера по течению реки? 17. Скорость катера по течению реки – 26 км/ч, а против течения – 20 км/ч. Какова скорость течения реки? 18. Собственная скорость катера 24 км/ч, а его скорость по течению реки – 26 км/ч. Какова скорость катера против течения реки? 19. Собственная скорость катера 22 км/ч, а его скорость против течения реки – 19 км/ч. Какова скорость катера по течению реки? 20. Скорость катера по течению реки 20 км/ч, а против течения – 18 км/ч. Какова собственная скорость катера? Задачи на работу. 21. Работая с производительностью 20 баклашек в час, Будулай сделал 450 баклашек. Сколько часов работал Будулай? 22. Аппарат «Вася» потребляет за час 0,5 литров жидкости. Сколько литров жидкости потребит «Вася» за 3,5 часа? 23. Работая с постоянной производительностью, Дима за 8 часов обработал 976 бумаг. Какова производительность Димы? 24. Ирина за час делает 0,1 всей работы, а Саша – 0,15 этой же работы. За сколько часов Ирина и Саша сделают всю работу, работая вместе? 25. Дима надувает 6 шариков за минуту, а Оля – 8 шариков за минуту. За сколько минут они надуют вместе 574 шарика? 26. Ваня надувает 5 шариков за минуту, а Люда – 2 шарика. Сколько шариков они надуют вместе за 10 минут? 27. Тракторист Сабир за час обрабатывает 1,5 гектара картошки. За рабочий день Сабир обработал 13,5 гектаров картошки. Сколько часов работал в этот день Сабир? 28. Ненасытный ребенок съедает за минуту 16 грамм шоколада. Сколько грамм шоколада съест этот ненасытный ребенок за 23 минуты? 29. Корова Умница из вредности даёт одинаковое количество молока в сутки. За 12 дней она дала 180 литров молока. Какова производительность Умницы (в литрах в сутки)? 219

30. Первая труба наполняет 0,07 бассейна за час, а вторая – 0,13 бассейна. За какое время наполнится бассейн, если открыть обе трубы? 31. Оля за неделю делает 7 феничек, а Люда – 4 фенички. За сколько недель они сделают вместе 154 фенички? 32. Дима за сутки побеждает 13 компьютерных монстров, а Ваня – 11 таких же монстров. Сколько монстров они победят за неделю? Задачи на проценты 33. Найти 40% числа 13 34. Найти 130% числа 26 35. Найти 0,6% числа 1200 36. Найти 28% числа 20,5 37. Найти 125% числа 350 38. Найти число, если 40% его равно 2. 39. Найти число, если 25% его равно 54,5. 40. Найти число, если 150% его равно 36. 41. Найти число, если 28% его равно 0,14. 42. Найти число, если 500% его равно 35. 43. Найти, сколько процентов составляет число 4 от числа 25. 44. Найти, сколько процентов составляет число 7,5 от числа 50. 45. Найти, сколько процентов составляет число 324 от числа 30. 46. Найти, сколько процентов составляет число 1,2 от числа 1,6. 47. Найти, сколько процентов составляет число 0,28 от числа 0,2.

Уровень A 48. 49. 50. 51.

52.

Задачи на движение Расстояние в 240 км автобус проехал за 5 часов, причем последние три часа он ехал со скоростью на 5 км/ч большей, чем первые два часа. Найти скорость автобуса в первые два часа пути. С туристической базы вышел пешеход, его скорость 4 км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы автомобиль догонит пешехода? Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние. Легковой и грузовой автомобили проезжают расстояние между двумя сельскими пунктами соответственно за 3 ч и 4 ч. Определите их скорости, если скорости, легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузового. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, он пройдет намеченный путь за 2,5 ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 2 ч. Найдите длину пути. 220

53. Из порта одновременно вышли два катера, один — на юг, другой на север. Через 3 ч расстояние между ними составило 96 км. Найдите скорость первого катера, если она на 10 км/ч больше скорости второго катера. 54. 55. 56. 57.

58. 59. 60. 61. 62.

Задачи на движение по реке. Скорость судна в стоячей воде 50 км/ч. На путь от А до В по течению реки оно тратит 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость течения реки? Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от М до N по течению реки судно тратит 3 ч, а на обратный путь 4.5 ч, Какова скорость судна в стоячей воде? Моторная лодка плыла по течению реки 3 ч, а на тот же путь против течения реки моторная лодка затратила 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 10 км/ч? Катер проходит одно и то же расстояние по течению реки за 3 ч, а против течения — за 3,5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч. Задачи на работу Три цеха изготовили вместе 79 деталей, причем второй цех изготовил в три раза больше деталей, чем первый, а третий – на 5 деталей меньше, чем второй. Сколько деталей изготовил третий цех? Бригада рабочих ежедневно перевыполняла норму на 16 деталей, поэтому она выполнила заказ за 4 дня, вместо шести по плану. Сколько деталей изготовляла бригада ежедневно? Две бригады изготовили 116 деталей, причем первая бригада изготовила на 4 детали больше, чем вторая. Сколько деталей изготовила каждая бригада? Трое рабочих сделали 105 тумбочек. Первый рабочий сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий вместе, а второй рабочий — на 5 больше, чем третий. Сколько тумбочек сделал каждый? На станции технического обслуживания трое автомехаников отремонтировали 68 автомобилей. Первый починил на 10 автомобилей меньше, чем второй, а третий — на 15 больше, чем второй. Сколько автомобилей починил каждый механик?

Задачи на проценты 63. При выполнении контрольной работы по математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе? 221

64. На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, причем 35% всех изготовленных машин — легковые. Определите число изготовленных машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых. 65. Первое число равно 0,6, а второе 0,2. Сколько процентов первое число составляет от суммы этих чисел? 66. Первое число равно 3,6, а второе 9. На сколько процентов второе число больше первого? 67. Цена товара дважды увеличивалась на 25%. На сколько процентов увеличилась цена товара по сравнению с первоначальной? 68. Цена товара дважды снижалась на 20%. На сколько процентов снизилась цена товара по сравнению с первоначальной? 69. Цена товара сначала снизилась на 30%, а потом повысилась на 30%. На сколько процентов изменилась цена товара? 70. Цена товара понизилась на 10%, а потом еще на 20%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? 71. Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания последовательно на 120%, 200% и 100% его конечная стоимость составила 264 р. 72. Длина прямоугольника увеличилась на 20%, а ширина уменьшилась на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника? 73. Найти, на сколько процентов увеличится объем параллелепипеда с квадратным основанием, если сторону квадрата в основании увеличить на 40%, а высоту параллелепипеда увеличить на 10%. 74. Капуста дороже свеклы на 25%. На сколько процентов свекла дешевле капусты? 75. Баран глупее осла на 50%. На сколько процентов осел умнее барана? 76. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% своей массы. Сколько килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения? 77. При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42% и стал равным 71 л. Определите первоначальный объем раствора. 78. Ученики девятых и десятых классов посадили 176 деревьев. Сколько деревьев посадили десятиклассники, если они посадили на 20% больше деревьев, чем девятиклассники? 79. Ученики седьмых и восьмых классов получили в библиотеке 168 учебников, причем восьмиклассники получили на 10% книг больше, чем семиклассники. Сколько учебников получили семиклассники? 80. Из молока получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько килограммов молока нужно взять, чтобы получить 126 кг масла?

222

81. Собрали 100 кг ягод. 60% из них поступили в магазин. В магазине 11% поступивших ягод испортились и не поступили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано? 82. Смешали 5 литров 17%-ого раствора кислоты, 2 литра 30%-ого раствора и 3 литра 20%-ого. Найти концентрацию полученного раствора. 83. Смешали 20 кг раствора кислоты с концентрацией 70% и 22,5 кг такого же раствора с концентрацией 50%. Определить концентрацию нового раствора (в процентах). 84. Купили бананы, ананасы и киви. Вес купленных ананасов бал на 12% больше веса бананов, а вес киви был на 20% меньше веса бананов. Сколько килограммов бананов купили, если вся покупка весила 14,6 кг? 85. 86. 87.

88. 89. 90. 91. 92. 93.

Разные задачи Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в отдельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста равна 120 кг. В трех поселках живут 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке? В трех универсальных магазинах работает 168 человек. Во втором магазине работает на 4 человека больше, чем в третьем магазине, а в третьем магазине на 7 человек больше, чем в первом магазине. Сколько человек работает в каждом магазине? Три числа относятся, как 4:7:8, а их сумма равна 38. Найдите большее из этих чисел. Стороны треугольника относятся, как 6:8:12. Найти длину меньшей стороны, если его периметр равен 104. Найти большее из трех последовательных нечетных чисел, сумма которых равна 81. Матери 50 лет, дочери 28. Сколько лет тому назад дочь была в 2 раза моложе матери? Среднее арифметическое пяти чисел равно 25. Найти сумму этих чисел. Среднее арифметическое пяти последовательных чисел равно 22. Найти большее из этих чисел.

Уровень В Задачи на движение 94. Из города А в город Б выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 120 км? 223

95. Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. 96. Два туриста отправились одновременно из А в В. Расстояние между А и В 24 км. Скорость первого туриста была на 2 км/ч больше скорости второго туриста, а поэтому второй турист пришел в В на 2 часа позже первого. Найти скорость первого туриста (в км/ч). 97. Автомобиль был задержан в пути на 0,2 ч, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля. 98. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 ч быстрее товарного и на 1 ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет 0,625 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого. 99. Из городов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два товарных поезда. Они встретились через 24 часа после начала движения. Первый поезд прибыл в В на 20 часов позднее, чем второй прибыл в А. Сколько часов был в пути первый поезд? 100. Из пункта А в пункт В выехал автомобилист и одновременно из В в А выехал велосипедист. Автомобилист, доехав до В, тотчас повернул назад и догнал велосипедиста через 2 часа после момента их первой встречи. Сколько часов после момента первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5 всего расстояния между А и В? 101. 102.

103. 104.

Задачи на движение по реке Теплоход прошел 4 км против течения роки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч? Глиссер, собственная скорость которого равна 20 км/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь глиссер затратил 6,25 ч. Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем путь против течения. Найдите скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 224

105. Катер, собственная скорость которого 15 км/ч, отправился от речного причала вниз по течению реки и, пройдя 36 км, догнал плот, который за 10 часов до отправления катера отплыл от того же причала. Найти скорость течения реки (в км/ч). 106.

107.

108. 109. 110. 111.

112. 113. 114.

115.

Задачи на работу Две бригады рабочих должны к некоторому сроку изготовить по 300 деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 10 деталей больше второй, затратила на выполнение задания на 1 день меньше. Сколько деталей в день изготовляла каждая бригада? Вода, поступающая в первую трубу, может наполнить бассейн за 8 ч, а вода, вытекающая из второй трубы, может его опорожнить за 15. За сколько часов наполнится бассейн, если обе трубы будут одновременно открыты? На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 0,7ч, если первый обрабатывает за это время на одну деталь больше, чем второй. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 ч, если первый обрабатывает за это время на 8 болтов больше? Ученик тратит на обработку одной болванки на 12 мин больше, чем мастер. Сколько болванок обработает каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает за это время на 5 болванок меньше, чем мастер? Двое рабочих, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут отремонтировать квартиру за 7 дней. Если бы ремонт выполнял каждый в отдельности, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них, работая в отдельности, может выполнить ремонт квартиры? Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба? Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за 3 ч. За сколько часов может наполнить аквариум первая трубка, если ей требуется для этого на 2,5 ч меньше, чем второй? Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как первый экскаватор проработал 2 часа, его сменил второй экскаватор, который за 3 часа закончил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 часа быстрее, чем один первый экскаватор. За сколько минут выполнят всю работу оба экскаватора, работая вместе? Урожай с участка сначала убирал один комбайн. Через 4 часа после начала работы к нему присоединился второй, и, проработав совместно 8 ч, они закончили уборку урожая с участка. За сколько часов мог бы убрать урожай 225

с участка первый комбайн, работая отдельно, если известно, что для этого ему понадобилось бы на 8 часов больше, чем второму? 116. Бак заполняется водой за 3 часа 20 минут с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся, как 2:5:8. Сколько процентов объема бака будет заполнено за 2 часа 24 минуты совместной работы второго и третьего насосов? 117. Двум переводчикам поручили перевести книгу объемом 108 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 58 страниц, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 29 дней, а второй свою – за 20 дней. На сколько страниц меньше должен был взять себе первый переводчик (увеличив число страниц второго), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней? 118. Насосы №1,№2 и №3, работая вместе, наполняют бассейн за 7,5 часов; №1,№3 и №5 – за 5 часов; №1,№3 и №4 – за 6 часов; №2,№4 и №5 – за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн все пять насосов, работая вместе? 119. 120.

121. 122. 123. 124. 125. 126.

Задачи на проценты Осенью цена на свеклу понизилась на 15% по сравнению с летом. На сколько процентов больше нужно продать свеклы осенью, чтобы выручка от ее продажи увеличилась на 2% по сравнению с летом? Зимой цена на свеклу повысилась на 20% по сравнению с осенью. На сколько процентов заготовителю нужно уменьшить количество приобретаемой зимой свеклы, чтобы затраты на ее покупку увеличились только на 2% по сравнению с осенью? Фермер предполагает продать огурцов на 15% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов ему надо повысить цену на свои огурцы, чтобы получить за них на 2% больше денег, чем в прошлом году? Осенью цена на морковь снизилась на 10% по сравнению с летом. На сколько процентов больше нужно продать моркови осенью, чтобы выручка от ее продажи увеличилась на 8% по сравнению с летом? Влажность фруктов 80%, а сухофруктов – 24%. Сколько нужно фруктов (в килограммах), чтобы получить 5 кг сухофруктов? Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса? Рабочие кооператива решили работать 7 часов вместо 8. На сколько процентов им нужно повысить производительность труда, чтобы заработная плата (при тех же расценках) повысилась на 5%? Раньше расходы предприятия на зарплату составляли 40% общих расходов. Сколько процентов будут составлять расходы на зарплату от общих расходов, если расходы на зарплату возрастут на 80%, а прочие расходы – на 30%. 226

127. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Указать большее из полученных чисел. 128. Смешали раствор 78%-ой (по массе) соляной кислоты и 84%-ый раствор той же кислоты, в результате чего получили 82%-ый раствор. Найти отношение массы первого раствора к массе второго. 129. Сплавили два вида лома: в первом содержание цинка было 70%, а во втором – 82% и получили сплав с 80%-ым содержанием цинка . Найти отношение количества первого вида лома к количеству лома второго вида. 130. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%? 131. Сколько нужно добавить грамм 20%-ого раствора спирта к 30 граммам 80%-ого раствора, чтобы получить 40%-ый раствор спирта? 132. Сколько воды нужно выпарить из 100 кг раствора соли с концентрацией 10%, чтобы получить раствор с концентрацией 20%? 133. Летом цена сиропа уменьшилась на 50%, а газированной воды увеличилась на 50%, в результате чего цена стакана воды с сиропом увеличилась на 25%. На сколько процентов цена газированной воды была больше цены сиропа до изменения цен? 134. Сплавлено 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой пробы и получено золото 62-й пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61-й пробы? 135. В результате увеличения стоимости обедов в ресторане, число посетителей уменьшилось на 25%, а выручка ресторана (за обеды) уменьшилась на 6,25%. На сколько процентов увеличилась стоимость обедов? 136. Цена билета на стадион выросла на 40%, а выручка снизилась на 16%. На сколько процентов уменьшилось число зрителей? 137. Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.? 138. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых.. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 227

50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? 139. Для приготовления фирменного коктейля из бутылки вина отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили фруктовой водой так, что бутылка оказалась заполненной на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде, если в вине содержание спирта 10%, а во фруктовой воде – 0%? 140. Рабочие кооператива решили работать 7 часов вместо 8. На сколько процентов им нужно повысить производительность труда, чтобы заработная плата (при тех же расценках) повысилась на 5%? 141. 142. 143. 144.

Разные задачи Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, а вторую половину со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость (в км/ч) автомобиля на всем пути? В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 2 евро за килограмм и 3 евро за килограмм. Сколько будет стоить смесь этих конфет (в евро за килограмм)? Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число. Если к двузначному натуральному числу приписать справа и слева цифру 4, то полученное четырехзначное число станет в 54 раза больше первоначального. Найти первоначальное двузначное число.

Уровень C Задачи на движение 145. Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через ¾ ч из А в В выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти 3/8 всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на половине пути из пункта А в пункт В, а скорости велосипедиста и пешехода постоянны? 146. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 70 км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, двигавшийся со скоростью 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии 20 км от пункта А. Прибыв в пункт В, мотоциклист через 48 мин выехал обратно в пункт А и встретился с велосипедистом спустя 2 ч 40 мин после выезда велосипедиста из пункта А. Найдите скорость велосипедиста. 147. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 20 км, выехал велосипедист, а через 15 мин вслед за ним со скоростью 15 км/ч 228

148.

149. 150.

151.

отправился другой велосипедист, который, догнав первого, повернул назад и возвратился в А за 45 мин до прибытия первого велосипедиста в В. Найдите скорость первого велосипедиста. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановки, встретились через 24 ч после начала движения и продолжи ли свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 ч позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в пути первый поезд? Переднее колесо велосипеда стирается через 400 км пробега, а заднее – через 600 км. Какое максимальное расстояние (в километрах) можно проехать на этом велосипеде, если вовремя поменять колеса? По течению с полным баком моторная лодка может проехать 60 км, а против течения – 40 км. На какое максимальное расстояние (в километрах) можно отплыть на этой лодке от пристани, чтобы вернуться назад? (По течению, не включая мотор, плыть нельзя). Из пункта А в пункт С, находящийся на расстоянии 80 км от А, выехал мотоциклист. Навстречу ему и одновременно с ним из пункта В, находящегося между А и С на расстоянии 5 км от С, выехал велосипедист, а из пункта С — автомобиль. Через какое время встретились мотоциклист и велосипедист, если известно, что это произошло через 20 мин после того, как автомобиль догнал велосипедиста, а мотоциклист до встречи с автомобилем провел в пути вдвое больше времени, чем велосипедист до того, как его догнал автомобиль?

Задачи на движение по реке 152. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки? 153. Из пункта А по реке отправляется плот. Через час из пункта А вниз по течению отправляется катер. Найдите время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт А, если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки. Задачи на работу 154. Урожай с участка сначала убирал один комбайн. Через 4 часа после начала работы к нему присоединился второй, и, проработав совместно 8 ч, они закончили уборку урожая с участка. За сколько часов мог бы убрать урожай с участка первый комбайн, работая отдельно, если 229

155.

156.

157.

158.

159.

известно, что для этого ему понадобилось бы на 8 часов больше, чем второму? Три цистерны одинакового объема начинают одновременно заполняться водой, причем в первую цистерну поступает 120 л воды в минуту, а во вторую — 40 л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, а объем воды в третьей цистерне в 2 раза меньше, чем во второй, и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Сколько литров воды поступает в одну минуту в третью цистерну? Два трактора разной мощности, работая одновременно, вспахали поле за 2 ч 40 мин. Если бы первый трактор увеличил скорость вспашки в 2 раза, а второй — в 1,5 раза, то поле было бы вспахано за 1 ч 36 мин. За какое время вспахал бы поле первый трактор, работая с первоначальной скоростью? Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем 2 из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 ч. Если бы 3 комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 ч. За какое время 2 комбайна могут убрать первое поле? Три бригады вспахали два поля общей площадью 96 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней второй и третьей бригадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивает первая бригада? Две машинистки, работая вместе, печатают в час 44 страницы текста. Первые 25% двухсотстраничной рукописи печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась вторая, а последние 20% текста печатала только вторая машинистка. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка, если на перепечатывание всей рукописи ушло 6 ч 40 мин, а первая машинистка работает быстрее второй?

Задачи на проценты 160. Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли? 161. Фляга наполнена 96%-ным раствором соляной кислоты. Из нее отлили 12 л кислоты и дополнили флягу водой. Потом из фляги отлили еще 18 л и снова дополнили ее водой, после чего концентрация кислоты во фляге составила 32%. Найдите объем фляги. 162. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаковое. 230

Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве. 163. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве. Разные задачи 164. Если двузначное число А записать впереди двузначного числа В и полученное четырехзначное число разделить на В, то в частном получится 121. Если же число В написать впереди числа А и полученное четырехзначное число разделить на А, то в частном получится 84, а в остатке 14. Найти число А. 165. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число. 166. Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на 1 больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. Найдите это двузначное число.

Уровень D Задачи на движение 167. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист? 168. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода прибыл в пункт В велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста? 169. Из А в В выехали одновременно «Жигули», «Москвич» и «Запорожец». «Жигули», доехав до В, повернул назад и встретил «Москвич» в 18 км, а 231

«Запорожец» - в 25 км от В. «Москвич», доехав до В, также повернул назад и встретил «Запорожец» в 8 км от В. Найти расстояние (в километрах) от А до В. Задачи на работу 170. К двум бассейнам проведены по трубе (разного диаметра). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это вместе ушло 16ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько она текла через вторую, а через вторую – столько, сколько она текла через первую, то через первую трубу налилось бы воды на 320 м3 меньше, чем через вторую. Если бы через первую трубу проходило в час воды на 10 м3 меньше, а через вторую – на 10 м3 в час больше, то чтобы налить в оба бассейна поочередно первоначальные объемы, ушло бы 20 часов. Сколько часов лилась вода через вторую трубу? 171. Цех по пошиву игрушек получил заказ на изготовление 14000 чебурашек и 2000 крокодилов. Каждый из 146 рабочих затрачивает на изготовление крокодила то же время, за которое он мог бы изготовить двух чебурашек. Каким образом следует разделить рабочих на две бригады так, чтобы заказ был выполнен за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая бригада будет изготовлять игрушки только одного типа (либо чебурашек, либо крокодилов)? 172.

173. 174. 175.

Задачи на проценты За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежегодно: сначала в размере 5% в год, затем 100/9% в год, затем 50/7% и, наконец, 12% в год. Известно, что под воздействием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число лет, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определить срок хранения вклада. Определить наименьшее возможное число участников кружка по изучению башкирской рок – музыки, если процент девочек в это кружке составляет от 96,7% до 96,8%. В кружке мягкой игрушки, где занимается Аделина, более 94% мальчики. Определить наименьшее возможное количество участников кружка. Имеется три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% меди, второй – 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 232

40% марганца. Какое наибольшее и какое наименьшее количество меди (в процентах) может быть в этом новом сплаве? 176. 177.

178.

179.

Разные задачи На какое натуральное число надо разделить 180, чтобы остаток составил 25% частного? В двух ящиках находится боле 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее, чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике? Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика – на один час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ? Когда Джордж пытался построить своих солдатиков в колонну по 4, по 5 или по 6, то у него всегда один солдатик оставался лишним, а когда он их построил в колонну по 7, то никого лишнего не осталось. Какое наименьшее количество солдатиков могло быть у Джорджа?

§6.2. Последовательности и прогрессии. Тренировочные задания Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. Последовательность задана формулой an=3аn-1-2, а1=2. Найти a5. Последовательность задана формулой an=(-1)n·n. Найти a7. Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. Дана арифметическая прогрессия 2; 4;… Найти ее разность. Дана арифметическая прогрессия -5; -9;… Найти ее разность. Пятый член арифметической прогрессии равен 2, а ее разность равна 3. Найти шестой член этой прогрессии. 8. Пятый член арифметической прогрессии равен 2, а ее разность равна (3). Найти четвертый член этой прогрессии. 9. Восьмой член арифметической прогрессии равен (-11), а ее разность равна 4. Найти девятый член этой прогрессии. 10. Восьмой член арифметической прогрессии равен (-11), а ее разность равна 4. Найти седьмой член этой прогрессии. 11. Дана геометрическая прогрессия 2; 8;… Найти ее знаменатель. 233 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

12. 13. 14. 15.

Дана геометрическая прогрессия 2; 0,5;… Найти ее знаменатель. Дана геометрическая прогрессия 2; -8;… Найти ее знаменатель. Дана геометрическая прогрессия -0,5; -2;… Найти ее знаменатель. Пятый член геометрической прогрессии равен 4, а ее знаменатель 0,5. Найти шестой член этой прогрессии. 16. Пятый член геометрической прогрессии равен 4, а ее знаменатель (-0,5). Найти четвертый член этой прогрессии. 17. Одиннадцатый член геометрической прогрессии равен (-4), знаменатель равен 5. Найти десятый член этой прогрессии. 18. Одиннадцатый член геометрической прогрессии равен (-4), знаменатель равен (-5). Найти двенадцатый член этой прогрессии.

равен равен а ее а ее

Уровень А 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. Последовательность задана формулой an=3аn-1-2, а1=2. Найти a5. Последовательность задана формулой an=(-1)n·n. Найти a7. Последовательность задана формулой an=n3-. Найти a8. Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=3, сn+1=3сn-2. Найти с4. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=2, сn+1=3сn-1-2. Найти с5. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=2, сn+1=сn+4. Найти с5. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=4, сn+1=2сn. Найти с6. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=1, сn=3сn-1-1. Найти с4. Первый член арифметической прогрессии равен 8, а ее 33-й член равен 104. Найти сумму первых 33 членов этой прогрессии. Первый член арифметической прогрессии равен (-10), а ее 2-й член равен (-6). Найти сумму первых 9 членов этой прогрессии. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 25-й член равен (-163). Найти сумму первых 25 членов этой прогрессии. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 100-й член равен 509. Найти сумму первых 100 членов этой прогрессии. Первый член арифметической прогрессии равен 7, а ее 50-й член равен (-385). Найти сумму первых 50 членов этой прогрессии. Первый член арифметической прогрессии равен 8, а ее 33-й член равен 104. Найти разность этой прогрессии. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 25-й член равен (-163). Найти разность этой прогрессии. 234

36. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 100-й член равен 509. Найти разность этой прогрессии. 37. Первый член арифметической прогрессии равен 7, а ее 50-й член равен (-385). Найти разность этой прогрессии. 38. Первый член арифметической прогрессии равен 4, а ее 33-й член равен 100. Найти разность этой прогрессии. 39. Первый член арифметической прогрессии равен 11, а ее разность равна 8. Найти сумму первых 17-и членов этой прогрессии. 40. Первый член арифметической прогрессии равен 137, а ее разность равна (-7). Найти сумму первых 23 членов этой прогрессии. 41. Первый член арифметической прогрессии равен 25, а ее разность равна (-2). Найти сумму первых 12-и членов этой прогрессии. 42. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее разность равна 2. Найти сумму первых 12-и членов этой прогрессии. 43. Первый член арифметической прогрессии равен 7, а ее разность равна (-8). Найти сумму первых 50-и членов этой прогрессии. 44. Первый член арифметической прогрессии равен (-5), а сумма ее первых 23 членов равна 1909. Найти разность этой прогрессии. 45. Первый член арифметической прогрессии равен 81, а сумма ее первых 34 членов равна 510. Найти разность этой прогрессии. 46. Первый член арифметической прогрессии равен 8, а сумма ее первых 15 членов равна 435. Найти разность этой прогрессии. 47. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а сумма ее первых 23 членов равна (-149). Найти разность этой прогрессии. 48. Первый член арифметической прогрессии равен 4, а сумма ее первых 50 членов равна 2650. Найти разность этой прогрессии. 49. В арифметической прогрессии двадцать третий член равен (-149), а разность равна (-7). Найти первый член этой прогрессии. 50. В арифметической прогрессии 15 член равен 50, а разность равна 3. Найти первый член этой прогрессии. 51. В арифметической прогрессии 20 член равен 59, а разность равна 3. Найти первый член этой прогрессии. 52. В арифметической прогрессии 10 член равен (-8), а разность равна (-5). Найти первый член этой прогрессии. 53. В арифметической прогрессии 25 член равен (-12), а разность равна (-4). Найти первый член этой прогрессии. 54. В арифметической прогрессии первый член равен 3, а восьмой – 24. Найти разность этой прогрессии. 55. В арифметической прогрессии первый член равен 8, а 33-й 104. Найти разность этой прогрессии. 56. В арифметической прогрессии первый член равен 5, а 25-й (-163). Найти разность этой прогрессии. 235

57. В арифметической прогрессии первый член равен 137, а 23-й (-17). Найти разность этой прогрессии. 58. В арифметической прогрессии первый член равен 96, а 24-й 4. Найти разность этой прогрессии. 59. В геометрической прогрессии (bn) , 81. Найти знаменатель прогрессии. 60. В геометрической прогрессии (bn) b1=0,5, b10=256 . Найти знаменатель прогрессии. 61. В геометрической прогрессии (bn) b1=80, b5=10 . Найти знаменатель прогрессии. 1 62. В геометрической прогрессии (bn) b1=90 , b4=3 . Найти знаменатель 3 прогрессии. 63. В геометрической прогрессии (bn) b1=2 , b10=1024. Найти знаменатель прогрессии. 64. В геометрической прогрессии (bn) , q=2. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии. 65. В геометрической прогрессии (bn) b1=6 , q=2. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии. 66. В геометрической прогрессии (bn) b1=4, q=-2. Найти сумму первых трех членов этой прогрессии. 1 67. В геометрической прогрессии (bn) b4= , q=0,5. Найти сумму первых 24 шести членов этой прогрессии. 68. В геометрической прогрессии (bn) b5=0,75, q=-2. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии. 243, . Найти шестой член 69. В геометрической прогрессии (bn) этой прогрессии. 70. В геометрической прогрессии (bn) b1=-1,5 q=2 , . Найти 7-ой член этой прогрессии. 71. В геометрической прогрессии (bn) b1=3, q=2. Найти 5-ый член этой прогрессии. 72. В геометрической прогрессии (bn) b1=6, q=-2. Найти 8-ой член этой прогрессии. 73. В геометрической прогрессии (bn) b1=96, q= 0,5. Найти шестой член этой прогрессии. 74. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с . первым членом 16 и знаменателем 236

75. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с 1 первым членом (-20) и знаменателем . 7 76. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с 1 первым членом 15 и знаменателем . 6 77. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 18 и знаменателем (-0,2). 78. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с 3 первым членом 130 и знаменателем . 7 79. Найти первый член бесконечной геометрической прогрессии, если ее знаменатель равен , а сумма всех ее членов равна 80. 80. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, если ее 1 знаменатель равен ,а b2=7. 3 81. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, если ее 1 знаменатель равен (- ), а b1=25. 4 82. Найти первый член бесконечной геометрической прогрессии, если ее 3 знаменатель равен , а сумма всех ее членов равна 42. 7 83. Найти cумму бесконечной геометрической прогрессии, если ее 1 знаменатель равен (- ), а b1=16. 4 84. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 18, а сумма всех ее членов 15. – 85. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен (-20), а сумма всех ее членов (1 23 ). 3 86. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 16, а сумма всех ее членов 12,8. – 87. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 15, а сумма всех ее членов 18. 88. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 24, а сумма всех ее членов 42.

237

Уровень В 89. Дана 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107.

последовательность

номер

члена

последовательности, равного 1 . Дана последовательность an=n3-n . Найти номер члена последовательности, равного 24. Дана последовательность an=n(n-1). Найти номер члена последовательности, равного 110. 2п − 1 Дана последовательность an= . Найти номер члена 3 последовательности, равного 31. n2. Найти номер члена Дана последовательность an= последовательности, равного 576. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой 10 18 2 . Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой an=4n-3-n2 . Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой an=6n-7-n2 . Найдите наименьший член последовательности, заданной формулой an=3n2+5n-2 . Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой an=-n2+2n+8 . В арифметической прогрессии 25-й член равен (-12), а сумма первых 25и первых членов равна 900. Найти разность прогрессии. В арифметической прогрессии 33-й член равен 104, а сумма первых 33-х п членов равна 1848. Найти разность прогрессии. В арифметической прогрессии 25-й член равен (-163), а сумма первых 25-и членов равна -1975. Найти разность прогрессии. В арифметической прогрессии 50-й член равен (-385), а сумма первых 50-и членов равна -9450. Найти разность прогрессии. В арифметической прогрессии 17-й член равен 139, а сумма первых 17-и членов равна 1275. Найти разность прогрессии. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 170,которые делятся на 6. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200,которые делятся на 8. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 400,которые делятся на 9. 238

Найти

108. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 370,которые делятся на 7. 109. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, кратных 7. 110. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 150. 111. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и не превосходящих 300. 112. Найти сумму всех натуральных чисел, не кратных 6 и не превосходящих 200. 113. Найти сумму всех натуральных чисел, не кратных 3 и не превосходящих 250. 114. Найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке единицу. 115. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно. 116. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 120? 117. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 50 до 120 включительно. 118. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 105? 119. Найти сумму всех трехзначных чисел, не превосходящих 200, которые при делении на 5 дают в остатке 3. 120. Найти сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: -7,1; -6,3… 121. Какое наибольшее число последовательных нечетных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма осталась меньше 300 ? 122. Найти сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: 6,3; 5,8… 123. Какое наименьшее число последовательных нечетных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 500? 124. Числа 1 и √3 являются четвертым и седьмым членами геометрической прогрессии. Найти десятый член этой прогрессии. 125. Числа 315 и 317 являются двенадцатым и четырнадцатым членами геометрической прогрессии. Найти первый член этой прогрессии. 126. Числа 48 и 192 являются пятым и седьмым членами геометрической прогрессии. Найти второй член этой прогрессии. 127. Числа 2-12 и 2-14 являются восьмым и десятым членами геометрической прогрессии. Найти первый член этой прогрессии. 128. Числа 1024 и 4096 являются десятым и двенадцатым членами геометрической прогрессии. Найти первый член этой прогрессии. 239

129. Найдите номер наименьшего положительного члена арифметической прогрессии, если ее второй член равен 2,9, а разность равна (-0,1). 130. Найдите номер первого положительного члена арифметической прогрессии, если ее второй член равен (-9,5), а разность равна 0,7. 131. Найдите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии, если ее второй член равен 11,2, а разность равна 1,3. 132. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии 96,4; 91,8,…? 133. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии -38,5; 35,8…? 134. В арифметической прогрессии а4=4, а9=11. Найдите разность этой прогрессии. 135. В арифметической прогрессии а4=16, а12=88. Найдите разность этой прогрессии. 136. В арифметической прогрессии а5=12, а9=20. Найдите разность этой прогрессии. 137. В арифметической прогрессии а4=4, а9=19. Найдите разность этой прогрессии. 138. В арифметической прогрессии а3=13,5, а5=10,5. Найдите разность этой прогрессии. 139. Первый и пятидесятый члены арифметической прогрессии асоответственно равны 4 и 102. Найти сумму первых 50 ее членов. 140. Третий и седьмой члены арифметической прогрессии соответственно равны 1,1 и 2,3. Найти сумму первых десяти ее членов. 141. Первый и сороковой члены арифметической прогрессии соответственно равны 74 и (-43). Найти сумму первых 40 ее членов. 142. Первый и двадцатый члены арифметической прогрессии соответственно равны 2 и 59. Найти сумму первых 20 ее членов. 143. Первый и десятый члены арифметической прогрессии соответственно равны 37 и (-8). Найти сумму первых десяти ее членов. 144. Найти произведение √2 · √2 · √2 · √2 · … 145. Найти произведение 9900·0,23676767… 146. Найти произведение 3300·0,214151515… 147. Найти произведение 9·7,777… 148. Переведите в несократимую дробь число 0,(45) и найдите числитель этой дроби. 149. В геометрической прогрессии b7=0,125, q=0,5. Найдите b2. 1 1 150. В геометрической прогрессии b4=3 , q= . Найдите b2. 3 3 151. В геометрической прогрессии b6=81, q=3. Найдите b2. 152. В геометрической прогрессии b10=1024, q=2. Найдите b2. 240

153. В геометрической прогрессии b10=1, q=0,5. Найдите b7. 154. Сколько членов арифметической прогрессии 5; 9; 13; 17;…, чтобы получить сумму, равную 10877? 155. Сколько членов арифметической прогрессии -10; -6; -2; 2;…, чтобы получить сумму, равную 54? 156. Сколько членов арифметической прогрессии 4; 6; 18; …, чтобы получить сумму, равную 2650? 157. Сколько членов арифметической прогрессии 74; 71; 68; …, чтобы получить сумму, равную 620? 158. Сколько членов арифметической прогрессии 37; 32; 27; …, чтобы получить сумму, равную 145? 159. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 8, а сумма третьего и седьмого равна 14. Найти разность этой прогрессии. 160. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 40. Найти а3+а7+а11. 161. Сумма третьего и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 20. Найти а7. 162. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 38. Найти а2+а5+а8. 163. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а1=3, а15=31. 164. Сумма первых шести членов возрастающей арифметической прогрессии равна 90, а разность пятого и второго ее членов равна 12. Найти шестой член этой прогрессии. 5 65 165. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а1+а5= , а3а4= . 3 72 Найдите сумму первых 17 членов арифметической прогрессии. 166. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а9=5а2, а13=2а6+5. Найдите а1. 167. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а3+а9=8. Найдите сумму первых 11 членов арифметической прогрессии. 168. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а13=3а3, а18=2а7+8. Найдите а1. 169. Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, если сумма третьего и девятого ее членов равна 10. 170. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если S3=0, а S4=1 . 171. Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, если а1 +а4+а13=-23? 172. Найти сумму первых 27 членов арифметической прогрессии, если S15+8=S12. 241

173. Найти сумму первых 14 членов арифметической прогрессии, если а12-а6=14, а6+а3=4. 174. Найти первый член арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 27, сумма их квадратов равна 275, а разность прогрессии отрицательная. 175. Дана арифметическая прогрессия (аn).Найдите (а9-а7)2, если а8а4+27=а7а5. 176. Найти сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, если а2=3а9 . 177. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если а2=3,1, а3=2,7. 178. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если а2+а5=41, а1а3=144. 179. Найти сумму членов с десятого по девятнадцатый включительно арифметической прогрессии -3;-1;… 180. Дана арифметическая прогрессия (аn).Найдите S28, если S8=32, S21=200. 181. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 27,5, а сумма следующих пяти ее членов равна 90. Найдите сумму членов этой прогрессии с 11 по 15 включительно. 182. Дана арифметическая прогрессия (аn).Найдите S35, если S15=20, S20=15. 183. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 95, а сумма следующих десяти ее членов равна 295. Найдите сумму членов этой прогрессии с 21 по 30 включительно. 184. Найти сумму членов с третьего по шестой включительно геометрической прогрессии ; ; … 185. Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b5, если q=3, S6=1820. 186. Дана геометрическая прогрессия (bn). Сумма первых ее трех членов равна 9, а сумма следующих ее трех членов равна (-72). Найдите b8. 187. В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. 188. Найти сумму членов с 15 по 21 включительно геометрической прогрессии , если S7=14, а S14=18. 10 ⋅ а 25 а . 189. В арифметической прогрессии (an) 133 = 17 . Найдите а 47 а5 190. В арифметической прогрессии (an)

а 44 13 ⋅ а 25 . = 15 . Найдите а2 а 47

242

191. В арифметической прогрессии (an)

а 49 32 ⋅ а 20 . = 10 . Найдите а31 а4

а38 42 ⋅ а15 = 8 . Найдите . а3 а 40 Три различных числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, а числа a+b, b+c, a+c образуют арифметическую прогрессию. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии? Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если последнее из них уменьшить вдвое, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель q этой прогрессии. Три положительных числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, а числа a-b, b+c, b-c образуют арифметическую прогрессию. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии? Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой разностью равен 60. Известно, что первый, седьмой и двадцать пятый члены образуют геометрическую прогрессию. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии? Определить наименьшее число членов прогрессии 3, 5, 7,… которое нужно взять, чтобы их сумма была больше 143. Дана арифметическая прогрессия (аn). Известно, что а1=429, d=-22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069 ? Дана арифметическая прогрессия (аn). Известно, что а1=111, d=-6. Какое наименьшее число последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была отрицательной ? Дана арифметическая прогрессия (аn). Известно, что а1=-100, d=8. Какое наименьшее число последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была положительной ? Сколько надо взять последовательных натуральных чисел, кратных трем, начиная с трех, чтобы их сумма была равна 165?

192. В арифметической прогрессии (an) 193. 194.

195. 196.

197. 198. 199. 200. 201.

Уровень С 202. Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов? 203. За первый час работы Джону заплатили 3 доллара, а за каждый последующий платили на 4 доллара больше, чем за предыдущий.

243

204.

205. 206.

207.

208.

Сколько долларов заплатили Джону за последний день работы, если за всю работу он получил в сумме 820 долларов? Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них умножить на , то получится арифметическая прогрессия. Найти знаменатель исходной геометрической прогрессии, при условии, что он меньше единицы. Сумма второго, шестого и десятого членов арифметической прогрессии равна 36, а произведение шестого и девятого членов равно 216. Найти сумму первых пятидесяти членов этой прогрессии. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии, все члены которой натуральные числа, меньше 24, а сумма второго и третьего членов больше 16. Найти сороковой член этой прогрессии, если ее разность равна 4. Члены геометрической прогрессии – натуральные числа. Третий член этой прогрессии равен кубу первого, а сумма первых трех ее членов в 7 раз больше первого члена. Найти сумму первого члена и знаменателя этой прогрессии. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 70. Если из них вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых двенадцати членов геометрической прогрессии.

Уровень D 209. Вычислить

210. Вычислить · · · 211. Три различных числа x,y,z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+z, z+y образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии. 212. Три целых числа составляют геометрическую прогрессию. Если из них третий член уменьшить на 64, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Если затем второй член этой арифметической прогрессии уменьшить на 8, то получится геометрическая прогрессия. Определить меньшее из этих чисел. 213. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 8, а сумма квадратов ее членов равна . Найти отношение первого члена к знаменателю прогрессии.

244

Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Тренировочные задания Вычислите: 1. 2! 6.

6 8

11. A8 16. Р2

2. 7.

3. 3 6 3

12. A6 17. Р3

4. 2 5

13. A5 18. Р4

4! 5 8

14. A8 19. Р5

10.

C73 3

15. A7 20. Р6

Уровень А Найти среднее арифметическое заданных числовых рядов: 21. 1; 3; 4; 3; -2; 4; 8; 4; 5; 4; -3. 22. 2; -5; 4; -3; -2; 1. 23. -2; -2; 3; 3; 3; 5; 5. 24. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников фирмы. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2 сотрудников Найти среднее арифметическое рассматриваемой совокупности. 25. Найти среднее значение случайной величины X, заданной частотным распределением: X -1 3 2 5 7 -3 8 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5 Найти среднее значение этой величины. Найти моду заданных числовых рядов: 26. 1; 3; 4; 3; -2; 4; 8; 4; 5; 4; -3. 27. 1, 3, 5, 3, -2, 5, 8, 5, 5, 5, -3. 28. 1, -9, 0, 0, 9, 1, 7, -3, 9, 0, 7, 1 (или среднее арифметическое мод, если их несколько) 29. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников фирмы. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2

245

сотрудников Найти моду рассматриваемой совокупности. 30. Найти моду (или сумму мод, если их несколько) совокупности X, где случайная величина X задается частотным распределением: X

-1

-3

M 6 5 1 5 3 10 10 5 Найти размах заданных числовых рядов: 31. 1, 3, 4, 3, -2, 4, 8, 4, 5, 4, -3. 32. 2,4; 4,7; -1; 8,2. 33. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников фирмы. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2 сотрудников Найти размах рассматриваемой совокупности. 34. Найти размах ряда, где случайная величина X, задается частотным распределением: X -1 3 2 5 7 -3 8 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5 35. Дан ряд чисел: 1, 3, 4, 3, -2, 4, 8, 4, 5, 4, -3. Найти медиану этого ряда. 36. Дан ряд чисел: 12,2; 13,2; 13,7; 18; 18,6; 12,2; 18,5; 12,4; 14,2; 17,8. Найти медиану этого ряда. 37. Дан ряд чисел: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 9. Найти медиану этого ряда. 38. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников фирмы. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2 сотрудников Найти медиану рассматриваемой совокупности. 39. Найти медиану ряда случайных величин, где случайная величина X, задается частотным распределением: X -1 3 2 5 7 -3 7 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5 40. В партии из 1000 лампочек обнаружено 35 бракованных. Найти относительную частоту появления бракованной лампочки. 41. В сентябре было 27 солнечных дней. Первоклассник Ваня наугад выбирает даты (с 1 по 30 сентября). Какова относительная частота появления той даты, в которой был солнечный день. 42. Препарат «Ремнин» излечил от лени 872 пациента из 1000. Какова относительная частота исцеления в рассмотренном исследовании? 246

43. В партии из 1000 лампочек обнаружено 35 бракованных. Найти процентную частоту появления бракованной лампочки. 44. В сентябре было 27 солнечных дней. Первоклассник Ваня наугад выбирает даты (с 1 по 30 сентября). Какова процентная частота появления той даты, в которой был солнечный день. 45. Препарат «Ремнин» излечил от лени 872 пациента из 1000. Какова процентная частота исцеления в рассмотренном исследовании? 46. Найти вероятность (в процентах) выборки красного шара из корзины, содержащей 4 белых, 8 зеленых и 8 красных шаров. 47. Для проведения лотереи отпечатали 75 билетов, среди которых 6 выигрышных. Найти вероятность (в процентах) того, что билет окажется без выигрыша? 48. Найти вероятность (в процентах) того, что при бросании шестигранного игрального кубика выпадет более двух очков. 49. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50 (включительно). Найти вероятность (в процентах) того, что взятый наугад билет имеет двузначный номер. 50. В коробке находятся 4 красных, 7 синих и 5 зеленых карандашей. Найти вероятность (в процентах) того, что взятый наугад карандаш окажется синим. 51. В коробке находятся 4 красных, 7 синих и 5 зеленых карандашей. Найти вероятность (в процентах) того, что взятый наугад карандаш окажется не синим. 52. Всхожесть семян конопли определенного сорта равна 0,85. Посадили 900 семян этого сорта. Найти ожидаемое число проросших семян. 53. Всхожесть семян конопли определенного сорта равна 92%. Посадили 900 семян этого сорта. Найти ожидаемое число проросших семян. 54. При опросе учеников первых классов на уроке математики вероятность верного ответа составляет 84%. Найти ожидаемое число верных ответов при опросе 26 первоклассников. 55. При опросе учеников первых классов на уроке математики вероятность верного ответа составляет 0,9. Найти ожидаемое число верных ответов при опросе 20 первоклассников. 56. Вероятность выигрыша в одну из лотерей составляет 0,07. Какова вероятность проигрыша в этой лотереи? Выразите полученную вероятность в процентах. 57. Вероятность вытащить невыученный билет для Васи Хулиганова составляет 0,92. Найти вероятность того, что Вася Хулиганов вытащит билет, который он выучил. Выразить полученную вероятность в процентах. 58. Вычислить

247

59. Вычислить 12 · 60. Вычислить 12 · 61. Сколькими различными способами можно построить 9 солдат в шеренгу? 62. Сколько различных анаграмм можно получить, переставляя буквы в слове «черника»? 63. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры в числе 14367? 64. Сколькими различными способами можно из группы в 7 человек выбрать троих? 65. В магазине имеется 15 видов украшений для елки. Сколько различных комплектов подарков из 3 видов украшений можно скомпоновать? 66. Сколькими различными способами в классе из 25 человек можно назначить двух дежурных? 67. Сколькими различными способами в классе из 25 человек можно назначить двух дежурных, один из которых – старший дежурный? 68. У разведчика есть 7 сигнальных ракет разного цвета. Сколько условных сигналов 5 ракетами последовательно он сможет подать? 69. В некотором алфавите содержится 10 букв. Сколько слов из 4 различных букв можно составить? 70. Сколькими различными способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали среди 13 участников соревнований по художественному скалолазанию? 71. У отца есть 5 различных книг, которые он дарит 8 сыновьям, причем каждому сыну – не более одной книги. Сколькими различными способами он может это сделать?

Уровень В Найти дисперсию выборки 10; 12; 7; 11 Найти дисперсию выборки 5; 12; 7; 8; 18 Найти дисперсию выборки 6; 8; 10; 12; 9 Сколькими различными способами можно записать в виде произведения простых множителей число 210? 76. Сколько различных анаграмм можно получить, переставляя буквы в слове «математика»? 77. На окружности отмечено 10 различных точек. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках? 72. 73. 74. 75.

248

78. На окружности отмечено 10 различных точек. Сколько различных выпуклых четырехугольников можно провести с концами в отмеченных точках? 79. Сколькими различными способами можно расставить белые фигуры (два коня, два слона, две ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски? 80. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими различными способами это может быть сделано? 81. В компании из 18 человек каждый обменялся с каждым рукопожатием. Сколько всего было рукопожатий? 82. В чемпионате Англии по футболу участвуют 22 команды в один круг (каждая команда играет с каждой по одной игре). Сколько всего игр английского чемпионата играется за один сезон? 83. На плоскости отметили 12 точек. Сколько можно провести различных отрезков с концами в данных точках? 84. Найти количество диагоналей у выпуклого 100-угольника. 85. В продаже имеется 7 видов конвертов и 5 видов марок. Сколькими различными способами можно выбрать конверт с маркой? 86. Из пункта А в пункт В ведут 12 дорог, а из В в С – 5 дорог. Сколькими различными путями можно попасть из А в С через В? 87. Однажды 5 штангистов и 8 сумоистов встретились и сыграли каждый с каждым по одной партии в шашки. Сколько было партий в которых встречались штангист и сумоист? 88. Из 12 английских, 8 французских и 20 башкирских слов выбирают по одному слову каждого языка. Сколькими способами можно сделать этот выбор? 89. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 0 (цифры можно повторять)? 90. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 0 (цифры можно повторять)? 91. Сколько различных трехзначных нечетных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 0 (цифры можно повторять)? 92. Сколько различных трехзначных четных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 0 (цифры можно повторять)? 93. Сколькими различными способами можно из 5 старших, 8 младших научных сотрудников и трех лаборанток отправить в командировку 2 старших, 1 младшего научного сотрудников и двух лаборанток? 94. На почте продается 5 различных конвертов без марок и 4 марки. Сколькими способами можно выбрать конверт с двумя марками для отправки письма?

249

95. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки класса требуется выделить трех девочек и четырех мальчиков. Сколькими различными способами это можно сделать? 96. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Чтобы сделать уборку в классе, классный руководитель Виктор Александрович назначает 3 девочек или 4 мальчиков. Сколькими различными способами Виктор Александрович может назначить дежурных? 97. Из отдела, в котором работают 8 человек, шеф хочет направить двоих на уборку территории, а троих – на покраску забора. Сколькими различными способами он может это сделать? 98. Из отдела, в котором работают 8 человек, шеф хочет направить двоих на уборку территории или троих – на покраску забора. Сколькими различными способами он может это сделать? 99. На уроке математики Вася Хулиганов и Дуся Отличникова всегда сидят за одной партой. Сколькими различными способами можно их рассадить, если в классе 15 двухместных парт? 100. У отца есть 5 книг, которые он дарит 8 сыновьям. Сколькими различными способами он может это сделать? 101. После того, как в лифт зашли 6 человек, он останавливается на четырех этажах. Сколькими различными способами эти 6 человек могут выйти из лифта? 102. Каждый их шести одноклассников собирается вечером пойти либо в казино, либо зарабатывать деньги. Сколькими различными способами эти шесть одноклассников смогли бы провести вечер? 103. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? 104. Случайным образом выбрали двузначное число. Какова вероятность того, что оно состоит из одинаковых цифр (выразить вероятность в процентах)? 105. Из 28 костей домино случайно выбрали одну. Найти вероятность того, что на ней не выпала «пятерка» (выразить вероятность в процентах). 106. В корзине находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Из коробки наугад выбирают два шара. Какова вероятность того, что сумма номеров на них равна 3? Выразить полученный результат в процентах. 107. Из пяти карт: четырех тузов разной масти и дамы пик случайным образом вытащили две карты. Найти вероятность того, что среди выбранных карт есть бубновый туз. Выразить полученную вероятность в процентах. 108. В одной партии деталей 4% бракованных, а в другой – 7% бракованных. Наугад берут по одной детали из каждой партии. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными (выразить вероятность в процентах)? 250

109. В семье трое детей. Какова вероятность (в процентах), что все они – мальчики? Считать, что вероятность рождения мальчика – 60%. 110. При изготовлении детали совершается две операции. Вероятность брака при первой операции 2%, а при второй – 5%. Найти вероятность того, что после двух операций деталь окажется стандартной (выразить вероятность в процентах). 111. При стрельбе по мишени первый стрелок попадает 800 раз из тысячи, а второй – 750 из тысячи. Оба стрелка выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность (в процентах) того, что мишень будет поражена?

Уровень С 112. Сколько различных четных чисел можно составить, переставляя цифры в числе 123450? 113. Сколько различных четных чисел можно составить, переставляя цифры в числе 122345000? 114. На окружности отмечено 10 различных точек А1, А2, …,А10. Сколько различных треугольников можно провести с концами в отмеченных точках, не имеющих общих точек с прямой А1А5? 115. Семь мальчиков, в число которых входят Тагир и Риф, становятся в ряд, причем Тагир и Риф должны стоять рядом. Найдите число возможных комбинаций таких расстановок. 116. Учитель физкультуры хочет построить в ряд 9 человек, среди которых Вася Хулиганов, Дуся Отличникова и Кеша Ударников. Сначала учитель поставил рядом Васю, Дусю и Кешу рядом в некотором порядке, а затем в один ряд с ними – оставшихся 6 человек. Сколькими способами учитель может построить учеников таким образом? 117. 12 ученикам даны два варианта контрольной работы. Сколькими различными способами можно посадить учеников в два ряда так, чтобы у сидящих рядом были разные варианты, а у сидящих друг за другом – один и тот же вариант. 118. Сколькими различными способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга? 119. У англичан принято давать детям несколько различных имён. Сколькими различными способами можно назвать ребенка, если общее число имён равно 300, а ему дают не более трех имён (порядок важен, т.е. имена Вася – Саша и Саша – Вася различные)? 120. В племени Тумба - Юмба принято давать детям несколько различных имён. Сколькими различными способами можно назвать ребенка, если общее число имён равно 300, а ему дают не более трех имён (порядок не важен, т.е. имена Вася – Саша и Саша – Вася не различаются)?

251

121. Сколько различных натуральных чисел, содержащих не более трех разрядов, можно составить из цифр 0, 1,2,3,4? 122. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра? 123. Сколько существует различных натуральных четырехзначных чисел, в десятичной записи которых имеется цифра 3? 124. Сколькими различными способами первоклассник Ваня может выложить в тетради цветок из шести лепестков различного цвета? 125. В ящике находятся 4 белых и 2 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты 2 белых шара (выразить вероятность в процентах). 126. В ящике находятся 4 белых и 2 черных и 3 красных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты 2 красных шара. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа. 127. В ящике находятся 4 белых и 2 черных и 3 красных шара. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты 2 красных и 1 белый шар. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа. 128. В ящике находятся 4 зеленых и 6 красных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров 2 окажутся красными, а один - зеленым. Выразить вероятность в процентах. 129. В ящике находятся 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары одинакового цвета. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа. 130. В ящике находятся 4 белых и 2 черных и 3 красных шара. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет хотя бы один красный шар. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа. 131. В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. Наугад выбирают три гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной? Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа. 132. При подготовке к коллоквиуму студент выучил 30 вопросов из 35. Какова вероятность того, что он ответит на все 3 вопроса в билете? 133. В мастерскую для ремонта поступили 10 часов. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берет первые попавшиеся 5 часов. Определить вероятность того, что двое из этих часов нуждаются в общей чистке механизма.

252

134. Из комнаты, в которой 9 отличников и 7 двоечников, случайно выбирают 7 человек. Какова вероятность того, что будут отобраны 5 отличников и 2 двоечника?

Уровень D 135. Садовнику необходимо высадить 14 саженцев в течении 5 дней, причем каждый день он обязан высаживать хотя бы один саженец. Сколькими способами он может это сделать? 136. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так , чтобы ни один ящик не оказался пустым? 137. Садовнику необходимо высадить 14 саженцев в течении 5 дней. Сколькими способами он может это сделать? 138. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров. 139. Сколько различных бус можно составить из шести бусинок разного цвета? 140. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет разделить 12 человек на пары. Сколькими различными способами она сможет это сделать? 141. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет разделить 12 человек на пары и построить эти пары в колонну. Сколькими различными способами она сможет это сделать? 142. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет разделить 6 мальчиков и 6 девочек на пары для исполнения парного танца. Сколькими различными способами она сможет это сделать? 143. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет 6 мальчиков и 6 девочек рассадить за 6 парт так, чтобы каждый мальчик сидел за одной партой с девочкой? 144. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет 6 мальчиков и 6 девочек рассадить за 6 парт так, чтобы каждый мальчик сидел слева, а девочка справа? 145. Найти вероятность того, что при четырех бросаниях игрального кубика «пятерка» выпадет ровно два раза. 146. Найти вероятность того, что при четырех бросаниях игрального кубика «пятерка» выпадет ровно три раза. 147. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если их общее число шесть. 148. Баскетболист попадает в кольцо с вероятностью 0,9. За игру он произвел 6 бросков. Найти вероятность того, что он попал в кольцо 1 раз.

253

149. В первой урне содержится 4 черных и 3 белых шаров, во второй урне 6 черных и 2 белых шара, в третьей урне 7 черных и 5 белых шаров. Из случайно выбранной урны наудачу извлекли один шар. Найти вероятность того, что шар белый. 150. В первой коробке содержится 3 неокрашенных и 5 окрашенных деталей, во второй коробке 2 неокрашенных и 7 окрашенных деталей, в третьей коробке 3 неокрашенных и 2 окрашенных детали. Из случайно выбранной коробки наудачу извлекли одну деталь, оказавшуюся неокрашенной. Найти вероятность того, что она извлечена из первой коробки. 151. В четырех домиках живут жувчики – хрямзики и мымрики. В первом домике находятся 4 хрямзика и 6 мымриков, во втором – 3 хрямзика и 7 мымриков, в третьем – 2 хрямзика и 8 мымриков, в четвертом – 1 хрямзик и 9 мымриков. Из случайно выбранного домика случайным образом извлекли жувчика. Найти вероятность того, что выбранный жувчик является хрямзиком. 152. В четырех домиках живут жувчики – хрямзики и мымрики. В первом домике находятся 4 хрямзика и 6 мымриков, во втором – 3 хрямзика и 7 мымриков, в третьем – 2 хрямзика и 8 мымриков, в четвертом – 1 хрямзик и 9 мымриков. Из случайно выбранного домика случайным образом извлекли жувчика, который оказался хрямзиком. Найти вероятность того, что выбранный хрямзик жил в первом домике. 153. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый. 154. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары. 155. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

254

Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) базового уровня по материалу курса математики. К каждому заданию А1–А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1–В3 надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4–В11, С1, С2) по материалу курса математики. К заданиям В4–В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение.

Вариант №1 Часть 1 A1. A2. A3. A4.

Упростите выражение 1. 2. 3. 4. Вычислите: 1. 2. 3. 3 4. 18 Вычислите: 1. 2. 3. -1 4. 0 На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.

255

A5.

A6.

3. Найдите производную функции 1. 3.

4. 2. 4.

Найдите множество значений функции 1. 2. ( 3. (-∞;+∞)

A8.

На рисунке изображены графики функций y f (x) и y g (x) , заданных на [-5;5]. Укажите все те значения x , для которых выполняется неравенство f ( x) g ( x) 1. 2. 3. 4. [ Решите неравенство

A9.

1. 3. Решите уравнение

A7.

2. 4.

1. 3. A10. Решите неравенство 1. 3.

2. 4. 2. 4.

B1.

Вычислите

B2.

Решите уравнение 3

B3.

Найдите значение выражения

, если

Часть 2 В4.

Решите уравнение . (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите произведение корней).

256

В5.

Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции на промежутке .

В6.

Найдите значение выражения

B7.

Найдите количество целочисленных решений неравенства

В8.

Функция определена на множестве всех действительных чисел и является периодической с периодом 5. На промежутке [ она задается формулой . Найдите значение выражения . B9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 4 : 5 : 7. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 7% и из второй – тоже на 7%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился? B10. Высота цилиндра равна 15, а радиус равен 2. На окружности основания отмечены точки А, В и С так, что , и . Отрезок CC1 – образующая цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью ABC 1. B11. Точка М лежит на стороне СD параллелограмма ABCD так, что CМ : МD = 2 : 3. Прямая AM пересекает луч ВC в точке Т, а площадь треугольника CТМ равна 8. Найдите площадь параллелограмма ABCD. С1. Найдите наибольшее значение функции при . C2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения и принимают равные значения.

Часть 3 C3.

Найдите все значения

, при каждом из которых неравенство не имеет решений.

C4.

Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен 23. В основание этого конуса вписан четырехугольник ABCD так, что углы BMA, CMB, DMC, AMD равны 60° каждый. На дуге BC 257

C5.

окружности основания конуса, не содержащей точки A, выбрана точка F так, что объем пирамиды MABFCD наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости MAB . Для чисел верны равенства Найдите , если известно, что ,а

Вариант №2 Часть 1 A1. A2. A3. A4.

Упростите выражение 1. 2.

Вычислите: 1. 4 2. 3. 5 4. 10 Вычислите: 1. 2. 3. -1 4. 4 На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

A5.

A6.

3. 4. Найдите производную функции 1. 2. 3. 4. Найдите множество значений функции 1. 2. (5 3. (-∞;+∞) 258

A7.

Укажите рисунок, на котором изображен график функции, принимающей на промежутке (− 3; 3) только отрицательные значения.

A8.

Решите неравенство 2. 4.

A9.

1. 3. Решите уравнение 1.

A10. Найдите область определения функции 1. 2. 3. 4. B1. Вычислите , если B2. Решите уравнение B3.

Найдите значение выражения

, если cos

Часть 2 В4.

Решите уравнение . (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите произведение корней).

В5.

В6.

Найдите значение выражения

. 259

B7.

Найдите количество целочисленных решений неравенства

. Функция определена на множестве всех действительных чисел и является периодической с периодом 4. На промежутке [ она задается формулой . Найдите значение выражения . B9. Два маляра, работая вместе, могут за 1 ч покрасить стену площадью 40 м2. Первый маляр, работая отдельно, может покрасить 50 м2 стены на 4 ч быстрее, чем второй покрасит 90 м 2 такой же стены. За сколько часов первый маляр сможет покрасить 100 м 2 стены? B10. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – параллелограмм ABCD, в котором , ∠BAD = 120° . Высота призмы равна 6. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ADC1. B11. Дан ромб ABCD с острым углом С. Его сторона равна , а косинус угла С равен . Высота ВТ пересекает диагональ АС в точке К. Найдите длину отрезка КТ. С1. Найдите наибольшее значение функции при . C2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения и принимают равные В8.

значения. Часть 3 C3.

Найдите все значения

, при каждом из которых неравенство

не имеет решений. C4.

C5.

Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен 22. На окружности его основания выбраны точки A, B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны 900 каждый. Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A, так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости MAB . Для чисел верны равенства Найдите , если известно, что ,а

260

Вариант №3 Часть 1 A1.

Упростите выражение 1. 2.

A2.

Вычислите:

A3.

1. Вычислите: 1.

A4.

A5.

A6.

A7.

3. 3

3. -1

4. 0

На рисунке изображен график одной из перечисленных функций. Укажите эту функцию. 1.

Найдите производную функции 1. 2. 3. 4. Найдите множество значений функции 1. [2;4] 2. [-1;1] 3. (-∞;+∞) Хозяйка установила на утюге режим «хлопок». В этом режиме спираль утюга нагревается до 80°С, и терморегулятор размыкает цепь. Когда утюг остывает до 70°С, цепь снова замыкается, и утюг нагревается опять до 80°С, и т.д. На рисунке представлен график зависимости температуры T утюга в промежутке времени t между двумя последовательными размыканиями цепи. Сколько секунд цепь находилась в разомкнутом состоянии? 1. 80 2.50 3. 30 4. 10 261

4. [1;3]

Решите неравенство 1. 3. A9. Решите уравнение 1. 3. A10. Решите неравенство 1. 3. B1. Найдите значение выражения B2. Решите уравнение A8.

B3.

2. 4. 2. 4. 2. 4. , если

Для наружной окраски стен и двери газетного киоска с окнами только спереди (см. рисунок) необходимо приобрести краску, которая продается в банках по 3 кг. Сколько банок потребуется купить для выполнения этой работы, если средний расход краски равен 100 г. на 1 м2?

Часть 2 В4.

Решите уравнение . (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму корней).

В5.

В6.

Найдите значение выражения

В7.

Функция определена на множестве всех действительных чисел и является периодической с периодом 5. Найдите значение выражения , если и . Найдите все значения , при каждом из которых выполняется cоотношение (Если таких значений более одного, то в бланке ответов запишите наибольшее значение)

B8.

262

В9.

Магазин выставил на продажу товар с наценкой 45% от закупочной цены (стоимости единицы товара). После продажи 0,75 всего товара магазин снизил назначенную цену на 45% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной стоимости товара составила прибыль магазина? B10. Угол между образующими CA и CB конуса равен 60° , высота конуса равна 1, а радиус основания равен . Найдите градусную меру угла между плоскостью ABC и плоскостью основания конуса. B11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника ADK, если AD = 12, СD = 32, РК = 30. С1.

C2.

Найдите абсциссы всех точек графика функции касательные в которых параллельны прямой или совпадают с ней. Найдите все значения х, при каждом из которых произведение значений выражений и положительно.

Часть 3 C3.

C4.

C5.

Найдите все значения

, при каждом из которых хотя бы

одно значение функции не принадлежит промежутку . Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AB = 7, AD = 8, AA1 = . Точка M лежит на диагонали BC1, точка N лежит на диагонали BD, прямые AM и A1N пересекаются. Определите тангенс угла между прямой MN и плоскостью ABC , если BN:ND = 3:8. Решите уравнение

Вариант №4 Часть 1 A1. A2.

Упростите выражение 1. 2.

Вычислите: 1.

2. 263

A3. A4.

Вычислите: 1. 2. 3. -1 На рисунке изображен график одной из перечисленных функций. Укажите эту функцию. 1.

4. 0

3. 4. Найдите производную функции 1. 2. 3. 4. A6. Найдите множество значений функции 1. [2;4] 2. [-1;1] 3. (-∞;+∞) A7. Хозяйка установила на утюге режим «хлопок». В этом режиме спираль утюга нагревается до 80°C, и терморегулятор размыкает цепь. Когда утюг остывает до 70°C, цепь снова замыкается, и утюг нагревается опять до 80°C, и т.д. На рисунке представлен график зависимости температуры T утюга в промежутке времени t между двумя последовательными размыканиями цепи. Через сколько секунд после замыкания цепи температура утюга достигает заданной максимальной величины? 1. 80 2. 50 3. 30 4. 40 A8. Решите неравенство 1. 2. 3. 4. A9. Решите уравнение sin 1. 2. 3. 4. A10. Решите неравенство 1. 2. 3. 4. B1. Найдите значение выражения B2. Решите уравнение A5.

264

4. [1;3]

, если

B3.

Для наружной окраски стен и двери газетного киоска с окнами только спереди (см. рисунок) необходимо приобрести краску, которая продается в банках по 2 кг. Сколько банок потребуется купить для выполнения этой работы, если средний расход краски равен 100 г. на 1 м2?

Часть 2 В4. В5.

В6.

Решите уравнение . (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму корней). Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции на промежутке . Найдите значение выражения

В7.

Функция определена на множестве всех действительных чисел и является периодической с периодом 3. Найдите значение выражения , если и . B8. Найдите все значения , при каждом из которых выполняется cоотношение (Если таких значений более одного, то в бланке ответов запишите наибольшее значение). В9. Магазин выставил на продажу товар с наценкой 55% от закупочной цены (стоимости единицы товара). После продажи 0,75 всего товара магазин снизил назначенную цену на 70% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной стоимости товара составила прибыль магазина? B10. Угол между образующими CA и CB конуса равен 90° , высота конуса равна 1, а радиус основания равен . Найдите градусную меру угла между плоскостью ABC и плоскостью основания конуса. B11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника ADK, если AD = 22, СD = 42, РК = 40. С1.

Найдите абсциссы всех точек графика функции касательные в которых параллельны прямой совпадают с ней. 265

или

C2.

Найдите все значения значений выражений 3

х, при каждом из которых произведение и положительно.

Часть 3 C3.

C4.

C5.

Найдите все значения одно значение функции

, при каждом из которых хотя бы принадлежит промежутку

[ ). Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AB = , AD = 12, AA1= 16 . Точка M лежит на отрезке BC1, точка N лежит на отрезке BD, прямые AM и A1N пересекаются. Определите угол между прямой D1M и плоскостью BCC1, если BN:ND = 1:4. Решите уравнение

Вариант №5 Демонстрационный вариант 2010 года Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового уровня по материалу курса математики. Ответом на задания этой части работы является целое число или конечная десятичная дробь. Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ. Желаем успеха!

Часть 1 В1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

266

В2. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа. B3. Найдите корень уравнения 3 B4. Найдите

x−2

= 27.

если

В5. Велосипедист собирается проехать из пункта A в пункт E, в который ведут три маршрута: через B, через С и через D. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через B, то средняя скорость будет равна 16 км/ч, если ехать через D – то 18 км/ч, а если ехать через С – то 20 км/ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы доехать до E за наименьшее время. Сколько часов он пробудет в пути? B6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. В7. Вычислите значение выражения

B8. На рисунке изображен график функции и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 2. Найдите значение производной этой функции в точке . B9. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой (h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. 267

B10. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. B11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке . B12 Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Часть 2 C1. Решите систему уравнений С2. К диагонали куба провели перпендикуляры из остальных вершин куба. На сколько частей и в каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ? С3. Решите неравенство . C4. На стороне BA угла ABC, равного 300 , взята такая точка D, что AD =2 и BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC. С5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень. С6. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного .

268

Глава 9. Типовые варианты УГНТУ. Вариант №1 9⎞ 1 ⎛1 : ⎜ ⋅1,25 − ⎟ . 12 ⎝ 3 16 ⎠ Ответы: 1)-9/28; 2)-13/36; 3)-5/28; 4) −0,315 ; 5) нет прав. ответа.

Вычислить 0,25 +

b⎞ a+b ⎛a b⎞ ⎛a . Упростите выражение ⎜ − ⎟ : ⎜ − 2 + ⎟ : a⎠ a−b ⎝b a⎠ ⎝b

Ответы: 1) ab ; 2) a 2 − b 2 ; 3)1; 4); −2ab 5) a + b . Два трактора, работая вместе, могут вспахать поле за 6 ч. Один трактор, работая отдельно, может вспахать это поле на 5 ч быстрее, чем второй. За сколько часов может каждый трактор, работая отдельно, вспахать поле? В качестве ответа дать сумму полученных часов. Ответы: 1)12; 2)28; 3)42; 4)25; 5)15. Площадь ромба равна Q, а острый угол α . Найти радиус вписанной окружности. Ответы:1) 0,5 Q sin α ; 2) 0,25 Q sin α ; 3) Q sin α ; 4) 2 Q sin α ; 5)нет

правильного ответа. Решить неравенство 5 2 x +1 > 5 x + 4 . Ответы: 1) (− 1;0) ; 2) .(0;1) ; 3) (0;5) ; 4) (0;+∞ ) ; 5) (− 1;5) .

Вычислить без таблиц sin 2000 cos 500 + cos 200 sin 500 .

Ответы: 1) -0,5; 2)0,5; 3) 3 2 ; 4) − 3 2 ; 5) 2 2 . Найти наименьшее значение x , удовлетворяющее log1 3 x + log1 3 (x − 1) ≤ log1 3 6 , и вычислить y = 2 x − 5 .

8. 9.

Ответы: 1) – 3; 2) – 1; 3) 1; 4) 3; 5) 5. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии. Ответы: 1) 28; 2) 33; 3) 36; 4) 40; 5) 44. На кривой y = x 2 − x + 1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой y = 3x − 1 . Ответы: 1) (2;3) ; 2) (1;1) ; 3) (− 1;3) ; 4) (3;7 ) ; 5) (0;1) .

10. Найти точку максимума функции f (x ) = x + ln(1 − 2 x ) . Ответы: 1)– 2; 2) – 1; 3) − 1 2 ; 4)0; 5) − 1 2 + ln 2 . 269

неравенству

11. Найти

длину

вектора

c = 2a − 5b ,

если

a = 3i − 6 j + 2k ,

b = −2i − j + 2k . Ответы:1). 195 ; 2) 341 ; 3) 295 ; 4) 390 ; 5)нет прав. ответа. x 3x 5 4 x > − 12. Решить неравенство 2 − + . 2 4 2 3 Ответы: 1) (6 / 19;1) ; 2) ∅ ; 3) (1 / 19; ∞ ) ; 4) (− ∞;1) ; 5) (6 / 19; ∞ ) . 13. Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 5 и 9 см, то площадь сферы (в кв. см) равна Ответы: 1)120 π ; 2) 122 π ; 3)124 π ; 4)126 π ; 5) 128 π . ⎧5 x + 7 y = 30 14. Решить систему ⎨ , в ответе указать x + y . 10 x − 5 y = 3 ⎩ Ответы: 1)6; 2) 2 5 ; 3) 20 5 ; 4) 24 5 ; 5)нет такого ответа.

⎧⎪2(2 x − 1) ≥ 3(1 + x ) 15. Решить систему неравенств ⎨ . 1 3 1 − x < x − 4 ⎪⎩ 2 4 Ответы: 1) (− ∞;0) ; 2) (− ∞;5] ; 3) [0;5] ; 4) [5; ∞ ) ; 5) [0; ∞ ) . 16. Найти число, если 13% его составляют 32,5% от 8,5. 5 Ответы: 1) 63,75; 2)42,5; 3)106,25; 4) 10 ; 5)21,25. 8

17. Найти область определения функции y =

x + 6 x 2 + 2 x − 15

⎛x ⎞ log 0,1 ⎜ + 5 ⎟ ⎝2 ⎠ Ответы: 1) {− 6;−5;3}U (− 10;−8) ; 2) {− 6;−5;3} ; 3) (− 10;8) ; 4) {− 5;3}U (− 10;8) ; 5) {− 6;−5;3} U (−10;8] . 18. Найти интервал, которому принадлежат решения

уравнения

2 x 2 − 6 x + 5 − 2 x 2 + 4 x − 2 = 7 − 10 x . Ответы:1)(0;1/2); 2)(1/2;1); 3)(-1/2;0); 4)(0;1/3); 5) (-1/2; 0]. 13 − 3 x + x 2 − x − 6 19. Решить неравенство > 1 . Указать сумму целых 5− x решений неравенства, принадлежащих отрезку [− 3; 8] . Ответы: 1) 10; 2) 13; 3)17; 4) 7; 5) 3.

270

значениях параметра a неравенство ⎛ sin x + 3 cos x + a − 5 ⎞ ⎟ > 0 выполняется при любых значениях log 2 a −15 ⎜ ⎟ ⎜ 5 5 ⎠ ⎝ x? Ответы: 1) a ∈ (7;8) U (10; ∞ ) ; 2) a ∈ (7,5;8) U (12; ∞ ) ;

20. При

каких

3) a ∈ (8;9 ) ;

4) a ∈ (8;12 ) ;

5) a ∈ (8,5;9) U (10;8) .

Вариант №2 1.

5 4 3⎞ ⎛ Вычислить 1,4 + 3,6⎜ − 6 − 1 + 5 ⎟ 5⎠ ⎝ 18 15 Ответы:1)-31/15; 2)-184/5; 3)48/25; 4)-48/5; 5) нет прав. ответа −1

5. 6. 7.

⎞ ⎛ a − b1/ 2 a + b1/ 2 ⎞ ⎛ a ⎜ ⎟ . ⎟ ⋅ Упростите выражение ⎜⎜ − 1/ 2 a − b1/ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2(a 2 − b ) ⎟⎠ ⎝a+b

Ответы: 1)6; 2) − 8 b ; 3) a b ; 4) 8a ; 5) 2(a 2 − b ) . Найдите двузначное число, зная, что цифра единиц искомого числа на 2 больше числа его десятков, а произведение этого числа на сумму его цифр равно 144 . В ответе укажите сумму цифр этого числа. Ответы: 1) 4; 2)6; 3)9; 4)12; 5)14. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 150 и 60 0 . Найти площадь треугольника.

R2 3 R2 3 R2 3 R2 3 Ответы:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)нет прав. ответа 16 8 4 2 Решить неравенство 9x − 10 ⋅ 3x ≤ −9 . Ответы: 1) [0;1] ; 2) [0;2] ; 3) [1;2] ; 4) [− 1;1] ; 5) [− 1;2] . Вычислить без таблиц (cos 50 cos 250 − sin 50 sin 1550 ) . 2

Ответы: 1) 1 4 ; 2) 3 4 ; 3)1/2; 4) 3 8 ; 5) нет правильного ответа. Найти наибольшее целое отрицательное значение x из решения 2x − 8 ≥ 0. уравнения log 2 x−2 Ответы: 1) – 2; 2) – 1; 3) - 3 ; 4) – 4; 5) такого ответа нет. Третий член возрастающей геометрической прогрессии равен 9, а сумма первого и пятого ее членов равен 82. Найти произведение второго и пятого членов прогрессии. Ответы: 1) 27; 2) 81; 3) 243; 4) 729; 5) 2187. 271

Найдите уравнение касательной к параболе y = x 2 − 7 x + 3 , если эта касательная параллельна прямой 5 x + y − 3 = 0 . Ответы: 1) y = −5 x − 3 ; 2) y = −5 x + 3 ; 3) y = −5x + 2 ; 4) y = 0,2 x + 6 5) y = −0,2 x + 2 .

10. Найти наименьшее значение функции

отрезке [− 1;2] . Ответы: 1)2; 2)3; 3)0; 4) – 6; 5) – 9. 11. При каком значении m справедливо

12.

13.

14.

15.

16.

равенство

a = 7,

на

если

a = mi − 6 j + 2k ? Ответы: 1) ±2 ; 2)4; 3) ±4 ; 4) ±3 ; 5)– 5. 9x + 6 ≤ 4 − 2x Решить неравенство . Ответы: 1) (− ∞;− 10 7] ; 2) [− 2 11; ∞ ) ; 3) ∅ ; 4) [− 10 7 ; − 2 11] ; 5) (− ∞; ∞ ) . Если сфера радиуса 4,5 см проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 4 и 8 см, то площадь полной поверхности этого параллелепипеда (в кв. см) равна Ответы: 1)82; 2)84; 3)86; 4)88; 5)90. ⎧ x 2 + xy = 6 Решить систему ⎨ , в ответе указать сумму значения y1 + y2 . ⎩ y − 2x = 3 Ответы: 1)1; 2)– 2; 3)5; 4)4; 5)нет такого ответа. ⎧3 − 2x 5 − 2x ⎪ 4 ≥ 8 . Решить систему неравенств ⎨ 4 x − 15 2 ⎪ > −4 3 ⎩ 3 Ответы: 1) (0;0,5] ; 2) (0,25;0,5] ; 3) [0,25;2,5] ; 4) (0;2,5] ; 5) ∅ Яблоки при сушке потеряли 84% своей массы. Из 400 кг свежих яблок сушеных получится Ответы: 1) 75 кг; 2)64 кг; 3). 51 кг 4). 36 кг 5). 45 кг

17. Найти область определения функции y = ⎡ − 1 + 13 ⎞⎟ Ответы:1) ( −∞;−2] ; 2) ⎢− 1; U {1} ; ⎟ 6 ⎢⎣ ⎠

272

f (x ) = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 2

x −1 x 2 − x + 1 − x 2 + 3x + 2 + 1

⎡ ⎛ − 1 + 13 ⎞ − 1 + 13 ⎞⎟ ⎟ U {1} ; 5) (− ∞;−2 ) . 3) (−∞;−2] U ⎢− 1; U {} 1 ; 4) ⎜1; ⎜ ⎟ ⎟ 6 6 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎠ 18. Найти интервал, которому принадлежат решения уравнения

(

)(

x +9 −3 ⋅

)

x + 9 + x 2 + 3x − 25 = x .

Ответы: 1) (− 3;2 ) ; 2) (− 8;0 ) ; 3) [0;5] ; 4) (1;10) ; 5) (− 8;5) . 7 − 3 x + x 2 + 3x − 4 19. Решить неравенство < −1 . Указать сумму целых x−3 решений неравенства, принадлежащих отрезку [− 5; 8] . Ответы: 1) 13; 2)15; 3)19; 4)12; 5) 22. 20. Найдите все значения параметра a , при которых для любого b уравнение cos (b + a b + b x ) + 2 cos b 2 x = 3 a 2 имеет хотя бы одно решение.

Ответы: 1) {− 1} ;

2) {1} ;

3) {1 6}, b ≠ 0 ;

4) {0}

; 5) {π } .

Вариант №3 1.

14 ⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 5 5 ⎞ ⎛ 1 Вычислить ⎜ 7 − 2 ⎟ : ⎜ 2 + 1 ⎟ − ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ . 15 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 4 20 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠ ⎝ 9 11 35 3 35 Ответы: 1) ; 2) 1 ; 3) − ; 4) ; 5)нет правильного ответа. 20 47 30 48 −1

⎛ x3/ 2 − y 3/ 2 ⎞ ⎛ x3/ 2 + y 3/ 2 ⎞ ⎜ − xy ⎟ ⋅ ⎜ + xy ⎟ . Упростите выражение ⎜ x− y ⎟ ⎜ x+ y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ответы: 1)

xy ; 2) x + y ; 3)1; 4)2; 5) x − y .

Заводу было заказано изготовить 105 двигателей. Чтобы выполнить этот заказ на два дня раньше срока, завод изготовлял ежедневно на 6 двигателей больше, чем предусматривалось планом. Сколько двигателей изготовлял завод каждый день? Ответы: 1)12; 2)22; 3)21; 4)18; 5)14. Если в треугольнике АВС заданы AB = 5, BC = 6, CA = 7 , то синус угла А равен.

8 6 9 6 10 6 ; 2) ; 3) ; 35 35 35 Решить неравенство и найти x x x 3⋅ 4 + 2 ⋅ 9 ≤ 5⋅ 6 . Ответы: 1)2; 2)1,5; 3)1; 4)0,5; 5)0. Ответы:1)

273

11 6 12 6 ; 5) . 35 35 наименьшее его решение 4)

6. 7.

Вычислить без таблиц cos1850 cos1150 + cos 2750 sin 1150 . Ответы:1) − 3 2 ; 2) −1 2 ; 3) 1 2 ; 4) 3 2 ; 5) нет правильного ответа. Найти наименьшее целое значение x из решения неравенства lg(x 2 + 21) ≥ 1 + lg x и вычислить y = 2 x + 3 . Ответы: 1) 9; 2)7; 3)5; 4) 1; 5) нет такого решения. Найти величину d 3 + 3d , где d − разность арифметической прогрессии, у которой сумма первого и пятого членов равна (−2) , а сумма второго и шестого членов равна 2. Ответы:1) 4; 2) 14; 3) 36; 4) 76; 5)140. Прямая y = −2 x − 1 параллельна касательной к параболе y = − x + 2x 2 . Найдите координаты точки касания. Ответы: 1) (− 1 4 ; 3 8) ; 2) (− 1 2 ;1) ; 3) (1 4 ;− 1 8) ; 4) (1 2 ;0) ; 5) (1;1) .

10. Найти наибольшее значение функции f (x ) = 2 x − x 2 на отрезке [1 2 ;2] . Ответы: 1)0; 2) 1 2 ; 3) 3 4 ; 4)1; 5) 3 2 . 11. Даны векторы a = {2;−1;2}, b = {0;2;−2}, c = {2;−2;−3}. Найти косинус угла

между векторами a + c и b + c . 12 13 15 18 Ответы:1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) нет прав. ответа. 154 754 546 746

5 − 4 x ≥ 2 − 3x 12. Решить неравенство . Ответы: 1) (− ∞; ∞ ) ; 2) (1;3) ; 3) [3; ∞ ) ; 4) [1;3] ; 5) (− ∞;1] . 13. Если диагональ куба равна 6 см, то объем (в куб см) шара, касающегося всех граней этого куба равен Ответы: 1) 3 3π ; 2) 3,5 3π ; 3) 4 3π ; 4) 4,5 3π ; 5) 5 3π . ⎧2 x − y = 5 14. Решить систему ⎨ , в ответе указать x + y . ⎩3 x + 2 y = 4 Ответы: 1) – 1; 2)3; 3)2; 4)1; 5)нет такого ответа. ⎧ 2x − 3 x + 1 ⎪ − 2 ≤ 3 +1 . 15. Решить систему неравенств ⎨ 3x − 1 1 − 4 x ⎪ > −5 ⎩ 2 Ответы: 1) ∅ ; 2) (− ∞;1 8] ; 3) [1 8 ; 3 7] ; 4) (− ∞; 3 8) ; 5) (3 7 ; ∞ ) .

274

16. Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены на Ответы:1) 60%; 2)33,(3)%; 3)66,(6)%; 4) 122,(2)%; 5)150%. 17. Найти область определения функции y =

2x + 1 − 3 3 − 1+ 2

1⎞ ⎛ Ответы: 1) ⎜ − ∞;− ⎟ ; 2) (−∞;− 1 2] ; 3) [1;3); 4) (−∞;−2] U [1;3) ; 5) (1;3) . 2⎠ ⎝ 18. Найти интервал, которому принадлежат решения уравнения

x 2 − 4 x + 4 − x 2 − 3x + 2 = 2 − x . Ответы:1) [0;1] ; 2) [0;2] ; 3) [1;3] ; 4) [1;2] ; 5) [2;3] . 19. Решить неравенство

13 − 6 x + 4 x 2 − 2 x − 6 5−2x

> 1 . Указать сумму целых

решений неравенства, принадлежащих отрезку [− 3; 5] . Ответы: 1) 10; 2)3; 3)5; 4) 7; 5) 12. 20. Найти все значения параметра a , при которых неравенство 3 sin 2 x + 2 a sin x ⋅ cos x + cos 2 x + a ≤ 3 выполняется для любых значений

Ответы:1) [− 5;0] ; 2) (− 5;1) ; 3) [− 12 5 ;0] ; 4) [0;1] ;

275

5) [− 5;12 5) .

Приложение.

Основные формулы 1. Степени и корни

(a ⋅ b)

= a n ⋅ bn

a n ⋅ a m = a n+ m n

a = b

( a)

n n

a b

(a)= n

n m

a n⋅ k

n m

= a n⋅m

a = n⋅m a

an ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠

a =a n

n m

⎧a, при a ≥ 0 a2 = a = ⎨ ⎩- a, при a < 0

= a, a ≥ 0

a 2n = a

(a )

a⋅b = n a ⋅n b

2 n +1

− a = − 2 n +1 a , a ≥ 0

2. Формулы сокращенного умножения.

(a + b) (a − b)

= a 2 + 2ab + b 2

(a + b)

= a 2 − 2ab + b 2

(a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3

= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

a 3 − b3 = ( a − b)(a 2 + ab + b 2 )

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

3. Арифметическая прогрессия. a n +1 = a n + d Sn =

a1 + a n n 2

a n = a1 + (n − 1) ⋅ d Sn =

2 ⋅ a1 + d (n − 1) n 2

4. Геометрическая прогрессия. bn = bn −1 ⋅ q

bn + k = bn ⋅ q k

bn = bk ⋅ q n − k , 1 < k < n − 1

bn = b1 ⋅ q n−1

Sn =

bn ⋅ q − b1 , q ≠1 q −1

S∞ =

276

bn = bn−1bn+1 2

b1 , 0 < q <1 q −1

Тригонометрия. 1. Значения тригонометрических функций для некоторых углов. π

Градусы

cos α

2 2

sin α

3 2 1 2

tgα

ctgα

Радианы

3π 2

2π

18 0

270

360

1 2

-1

2 2

3 2

-1

3 3

2. Формулы привидения. ⎛π ⎛π ⎞ ⎞ sin ⎜ ± α ⎟ = cos α cos⎜ ± α ⎟ = m sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ ± α ⎟ = m ctgα ⎝2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ± α ⎟ = − cos α sin ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ± α ⎟ = m ctgα tg ⎜ ⎝ 2 ⎠ sin (π ± α ) = m sin α

sin (2π ± α ) = ± sin α tg (π ± α ) = ±tgα tg (2π ± α ) = ±tgα

⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ctg ⎜ ± α ⎟ = m tgα ⎝2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ± α ⎟ = ± sin α cos⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ± α ⎟ = m tgα ctg ⎜ ⎝ 2 ⎠ cos(π ± α ) = − cos α

cos(2π ± α ) = cos α ctg (π ± α ) = ±ctgα ctg (2π ± α ) = ±ctgα

3. Тригонометрические тождества. tgα =

sin 2 α + cos 2 α = 1

ctgα =

cos α sin α

(α ≠ πn)

cos ecα = 277

sin α cos α

π ⎛ ⎞ ⎜ α ≠ + πn ⎟ 2 ⎝ ⎠

1 sin α

(α ≠ πn)

1 π ⎛ ⎞ ⎜ α ≠ + πn ⎟ cos α ⎝ 2 ⎠ 1 (α ≠ πn) 1 + ctg 2α = sin 2 α sec α =

1 + tg 2α =

1 π ⎛ ⎞ ⎜ α ≠ + πn ⎟ 2 cos α ⎝ 2 ⎠

tgα ⋅ ctgα = 1

4. Формулы сложения. sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ctgα ⋅ ctgβ m 1 tgα ± tgβ ctg (α ± β ) = tg (α ± β ) = ctgα ± ctgβ 1 m tgα ⋅ tgβ 5. Формулы кратных аргументов. 2 ⋅ tgα sin 2α = 2 ⋅ sin α ⋅ cosα = 1 + tg 2α 1 − tg 2α 2 2 cos 2α = cos α − sin α = = 2 cos 2 α − 1 2 1 + tg α ctg 2α − 1 ctgα − tgα 2 ⋅ tgα 2 ctg α = = 2 tg 2α = = 2 ⋅ tgα 2 1 − tg 2α ctgα − tgα sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α 3 ⋅ tgα − tg 3α tg 3α = 1 − 3 ⋅ tg 2α

cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α ctg 3α − 3 ⋅ ctgα ctg 3α = 3 ⋅ ctg 2α − 1

6. Формулы суммы и разности тригонометрических функций. α ±β αmβ ⋅ cos sin α ± sin β = 2 ⋅ sin 2 2 α +β α −β ⋅ cos cos α + cos β = 2 ⋅ cos 2 2 α +β α −β ⋅ sin cos α − cos β = −2 ⋅ sin 2 2 sin(α ± β ) sin(α ± β ) tgα ± tgβ = ctgα ± ctgβ = ± cosα ⋅ cos β cosα ⋅ cos β

7. Произведения тригонометрических функций. cos(α + β ) cos(α − β ) = cos 2 β − sin 2 α sin (α + β ) sin (α − β ) = cos 2 β − cos 2 α 1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 cos α ⋅ cos β = [cos(α − β ) + cos(α + β )] 2

sin α ⋅ sin β =

278

1 [sin(α − β ) + sin(α + β )] 2 ctgα + ctgβ tgα + tgβ ctgα ⋅ ctgβ = tgα ⋅ tgβ = tgα + tgβ ctgα + ctgβ

sin α ⋅ cos β =

8. Степени тригонометрических функций. 1 − cos 2α tg 2α 2 sin α = = 2 1 + tg 2α 1 + cos 2α 1 cos 2 α = = 2 1 + tg 2α 1 − cos 2α 1 + cos 2α tg 2α = ctg 2α = 1 + cos 2α 1 − cos 2α 3 sin α − sin 3α 3 cos α + cos 3α sin 3 α = cos 3 α = 4

9. Формулы половинного аргумента. 1 − cos α α α sin

1 + cos α 2 2 sin α α tg = 2 1 + cos α α 1 + cos α ctg = 2 sin α cos

1 − cos α 2 sin α sin α α ctg = 2 1 − cos α

=±

10. Обратные тригонометрические функции. sin x = a ⇒ x = (−1) n ⋅ arcsin a + πn, n ∈ Ζ cos x = a ⇒ x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Ζ tgx = a ⇒ x = arctga + πn, n ∈ Ζ ctgx = a ⇒ x = arcctga + πn, n ∈ Ζ

11. Решение простейших уравнений и неравенств. sin x = 0, если x = πk , k ∈ Z ;

sin x = −1, если x = −

π 2

+ 2πk ,k ∈ Z ;

+ 2πk ,k ∈ Z ; 2 sin x > 0, если 2πk < x < π + 2πk ,k ∈ Z ; sin x = 1, если x =

sin x < 0, если − π + 2πk < x < 2πk ,k ∈ Z

cos x = −1, если x = π + 2πk ,k ∈ Z ;

+ πk ,k ∈ Z ; 2 cos x = 1, если x = 2πk ,k ∈ Z ;

cos x = 0, если x =

279

cos x > 0, если 2πk −

+ 2πk ,k ∈ Z ; 2 3 π cos x < 0, если 2πk + < x < π + 2πk , k ∈ Z . 2 2 2

tg x > 0, если πk < x <

<x<

+ πk ,k ∈ Z ;

tg x < 0, если πk −

π 2

Логарифмы. 1. Основное логарифмическое тождество a loga x = x, x > 0

2. Формула перехода к новому основанию log b x =

log a x , log a b

b > 0; b ≠ 1

3. Логарифм произведения log a xy = log a x + log a y, x > 0, y > 0

4. Логарифм частного log a

x = log a x − log a y, x > 0, y > 0 y

5. Свойства log a a x = x log a b x = x ⋅ log a b 1 log a b x = log a x, x > 0 b log a 1 = 0 log10 a = lg a

log a a = 1

log e a = ln a

a ϕ ( x ) = a f ( x ) , a > 0; a ≠ 1 ⇒ f ( x) = ϕ ( x) . ⎧a > 0, a ≠ 1 , то a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ f ( x) log c a = g ( x) log c b ⎨ ⎩b > 0, b ≠ 1

log a f ( x) = log a ϕ ( x) ⇒ f ( x) = ϕ ( x), при f ( x) > 0, ϕ ( x) > 0

log a ( f ( x) ⋅ g ( x)) = log a f ( x) + log a g ( x) ⎛ f ( x) ⎞ ⎟⎟ = log a f ( x) − log a g ( x) log a ⎜⎜ ( ) g x ⎝ ⎠ log a ( f ( x)) p = p ⋅ log a f ( x) , p − четное число.

280

< x < πk , k ∈ Z ;

Применение координат. Векторы. 1. Прямоугольная система координат на плоскости Расстояние между A1 ( x1 , y1 ) и A2 ( x 2 , y 2 ) : A1 A2 =

− x1 ) + ( y 2 − y1 ) 2

x 2 + x1 y + y1 ,y = 2 2 2 Уравнения прямых: y = kx + b, k = tgα , где α - угол между

Координаты середины отрезка x =

прямой и осью Ох. ax + by + c = 0 - общее уравнение прямой. Уравнение окружности: (x − x 0 ) + ( y − y 0 ) = R 2 , где R - радиус окружности (x0 , y 0 ) - координаты центра окружности. Уравнение параболы: y = ax 2 + bx + c , если a > 0 тогда ветки параболы направлены вверх, если a < 0 тогда ветки параболы направлены вверх. 2

2. Прямоугольная система координат в пространстве Расстояние между точками A1 ( x1 , y1 , z1 ) и A2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) A1 A2 =

− x1 ) + ( y 2 − y 1 ) + ( z 2 − z 1 ) 2

Координаты середины отрезка: x =

x 2 + x1 y + y1 z + z1 ,y= 2 ,z = 2 2 2 2

r a = x2 + y2 + z2 r r Скалярное произведение a ( x a , y a , z a ) и b ( xb , y b , z b ) Модуль вектора a ( x, y, z ) :

(ar, br ) = ar ⋅ br ⋅ cosα = x

⋅ xb + y a ⋅ y b + z a ⋅ z b , где α - угол между r r a ( x , y , z ) и b ( xb , y b , z b ) . векторами a a a r r Угол между векторами a ( xa , y a , z a ) и b ( xb , yb , z b ) r r x a xb + y a y b + z a z b (a , b ) cos ϕ = r r = x a2 + y a2 + z a2 ⋅ xb2 + y b2 + z b2 a⋅b a

Условие перпендикулярности векторов: r r (a, b ) = 0 или xa xb + y a y b + z a z b = 0 281

Площадь треугольника заданный координатами ее вершин S=

1 (x2 − x1 ) ⋅ ( y3 − y1 ) − (x3 − x1 ) ⋅ ( y 2 − y1 ) 2

Планиметрия. 1. Треугольник произвольный Обозначения: a,b,c - стороны треугольника; α,β,γ противолежащие им углы; р – полупериметр; R – радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S – площадь; hа,hb,hc - высоты проведенные к соответствующим сторонам; mа,mb,mc - медианы проведенные к соответствующим биссектрисы проведенные к сторонам; lа,lb,lc соответствующим сторонам;sа,sb,sc - медианы проведенные к соответствующим сторонам; Площадь треугольника: 1 1 1 a ⋅b⋅c h a a = h bb = h cc S = S = p⋅r 2 2 2 4⋅ R 1 1 1 α S = a ⋅ c ⋅ sin β = a ⋅ b ⋅ sin γ = b ⋅ c ⋅ sin α S = p( p − a)tg 2 2 2 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c ) , формула Герона

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

Теорема косинусов: Теорема синусов: Радиусы: R =

abc - центр описанной окружности находится на 4S

пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника. r =

S - центр вписанной окружности p

находится в точке пересечения биссектрис. 2 2 2 ⎛ ca ⎞ c(c + a − b ) la = c + ⎜ ⎟ − c + b c+b ⎝ ⎠ 2

Биссектриса:

282

⎛ a2 + c2 − b2 ha = c 1 − ⎜⎜ 2ca ⎝ 1 ma = 2b 2 + 2c 2 − a 2 2

Высота: Медиана:

⎞ ⎟⎟ ⎠

2. Прямоугольный треугольник Обозначения: a,b - катеты треугольника; с – гипотенуза; R – радиус описанной окружности; S – площадь; ac,bc - проекции катетов на гипотенузу; S=

Площадь треугольника:

1 ab 2

Зависимости сторон: c 2 = b 2 + a 2 - теорема Пифагора; hc = a c bc ; a 2 = cac ; b 2 = cbc Зависимости сторон и углов: a = c sin α ; a = c cos β ; a = b ⋅ tgα ; a = b ⋅ ctgβ Радиусы: R =

c a+b−c , r= 2 2

3. Равносторонний и равнобедренный треугольник Обозначения:a - сторона треугольника; R – радиус описанной окружности; S – площадь; r - радиус вписанной окружности; S – площадь; hа,hb,hc - высоты проведенные к соответствующим сторонам; a2 3 Площадь: S = - для равностороннего треугольника 4 a 3 a Радиусы: r = ; R= - для равностороннего треугольника 6 3

Стороны: a = 2r 3 ; a = R 3 - для равностороннего треугольника 4. Произвольный четырехугольник Обозначения: d1 , d 2 - диагонали; ϕ - угол между диагоналями. 1 2

Площадь: S = d1 d 2 sin ϕ

283

5. Правильный многоугольник Обозначения: an - сторона правильного n-угольника; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; Pn периметр n-угольника 1 1 2 360 o Площадь: S = Pn r = R n sin 2 2 n

6. Трапеция Обозначения: d1 , d 2 - диагонали; ϕ - угол между диагоналями; h высота; a, b - основания; d - средняя линия 1 a+b d1 d 2 sin ϕ = h 2 2 a+b Средняя линия: d = 2

Площадь:

7. Параллелограмм Обозначения: d1 , d 2 - диагонали; ϕ - угол между диагоналями;

ha , hb - высоты; a, b - стороны 1 d 1 d 2 sin ϕ 2 d12 = a 2 + b 2 − 2ab cos(∠A) S=

Площадь: S = a ⋅ ha = b ⋅ hb

Свойства: d12 + d 22 = 2(a 2 + b 2 ) 8. Ромб Обозначения: d1 , d 2 - диагонали; h - высота; a - сторона; r радиус вписанной окружности. Площадь: S = a ⋅ h

1 d1 d 2 2 r = h/2 S=

S = a 2 sin(∠A)

Свойства: d12 + d 22 = 4a 2 9. Прямоугольник и квадрат Обозначения: d - диагональ; a - сторона; r - радиус вписанной окружности; R - радиус описанной окружности Площадь: S = a Радиусы: r =

a 2

d2 S= 4 d R= 2

284

10. Окружность и круг Обозначения: R - радиус Площадь круга: S = πR 2 l = 2πR Длина окружности:

Стереометрия. 1. Произвольная призма Обозначения: l - боковое ребро; P - периметр основания; S Hвысота; Pсеч периметр площадь основания; перпендикулярного сечения; S бок - площадь боковой поверхности;

V - объем Основные формулы: 2. Прямая призма Основная формула:

S бок = Pсеч l

V = SH

S бок = Pl

3. Параллелепипед Обозначения: a, b, c - длины ребер; d - диагональ Основные формулы: S бок = PH V = abc d 2 = a2 + b2 + c2 4. Куб Обозначения: a - длина ребра Основные формулы:

V = a3

d =a 3

5. Произвольная пирамида Обозначения: S - площадь основания; H - высота; V - объем Основная формула:

1 SH 3

6. Правильная пирамида Обозначения: S бок - площадь боковой поверхности; P - периметр основания; l - апофема 285

Основные формулы:

S бок =

1 Pl 2

1 SH 3

7. Произвольная усеченная пирамида Обозначения: S1 , S 2 - площади оснований; H - высота; V - объем Основная формула:

(

1 H S1 + S 2 + S1 S 2 3

)

8. Правильная усеченная пирамида Обозначения: P1 , P2 - периметры оснований; l - апофема; S бок площадь боковой поверхности Основная формула:

S бок =

1 (P1 + P2 )l 2

9. Цилиндр Обозначения: R - радиус основания; H - высота; V - объем; S бок площадь боковой поверхности Основные формулы: S бок = 2πRH V = πR 2 H 10. Конус Обозначения: R - радиус основания; H - высота; V - объем; S бок площадь боковой поверхности; l - образующая Основные формулы:

S бок = πRl

1 V = πR 2 H 3

11. Усеченный конус Обозначения: R - радиус основания; H - высота; V - объем; S бок площадь боковой поверхности; l - образующая Основные формулы: S бок = π ( R + r )l

1 V = πH ( R 2 + R ⋅ r + r 2 ) 3

12. Шар, сфера Обозначения: R - радиус шара; S - площадь сферической поверхности; V - объем Основные формулы:

S = 4πR 2

286

V =

4 3 πR 3

13. Шаровой сегмент Обозначения: R - радиус шара; S - площадь сферической поверхности; V - объем; h - высота сегмента Основные формулы:

S = 2πRh

1 ⎞ ⎛ V = πh 2 ⎜ R − h ⎟ 3 ⎠ ⎝

14. Шаровой сектор Обозначения: R - радиус шара; V - объем; h - высота сегмента Основная формула:

2 2 πR h 3

15. Тетраэдр Обозначения: a - длина ребра; H - высота; R - радиус описанной сферы; r - радиус вписанной сферы; S - площадь поверхности Объем:

a3 2 V= 12

Площадь поверхности: S = a 2 3 Радиусы: Высота:

a 6 4 a 6 H = 3 R=

287

a 6 12

ОТВЕТЫ Глава 1. Арифметические действия и преобразования выражений. §1.1. Арифметические действия 1. 6. 11. 16. 21. 26.

-5 -52 2 -18 7,657 -2,88

31. 150,92 36. 41. 46. 51. 56.

1 3 1 1 8 7 2 9 1 3 7  30 2

61. -1

2. 7. 12. 17. 22. 27.

-75 -115 -28 4 -1,46 -7,19

32. -90

24 35 11 42. 10 15 1 47.  1 70 37.

3. 8. 13. 18. 23. 28.

-29 -122 -33 -2,6 -10,104 -8,513

33. -3,696



43.

8

48.

25 36 5 4 6

52. -4

53. -5

57. -0,008

58. 1

62. 8

63. 0,25

67. 1

7 9

71. 81

72. 5

73. ∅

76. 143 79. 4,083 84. -3/8

77. 143 80. 0,25 85. 50

78. ∅ 81. 12

89. -0,1

90. 60

94. 9

68.

1 27



-11 2 11 55 -5,27 -37,69

34. 12,4

2 5 11 44. 2 35 2 49. 1  2.3 7 39.

6

54. -2,625

7 9

1 3

66. 1

1 2

38.

4. 9. 14. 19. 24. 29.

59. 64.

25 49 1 9

69. -27 74.

2 9

5. 10. 15. 20. 25. 30.

-30 -41 -9 -22,5 1,61 6,97 31 35. 60 2 40. 2 3 45. 36 50. 3,04 55. 0,075 60. 1 65. 27 70. 75.

1 81 13 45

82. 21 87. -30

83. 0,25 88. -10

91. 4

92. 30

93. 15

95. 1

96. 1

97. 1

98. 0,5

99. -1

100. 1

101. 3

102. 1

103. 3

104. 4

105. 3

106. 8

107. -7

108. 1

109. -2

110. -3

111. 1

112. 1

113. 12

86.

288

114. 49

115. 4,6

116. -2

117. 8

118. -6

119. -2

120. 0

121. 1

122. 5

123. 3

131. 1  1 n!

§1.2. Преобразования алгебраических выражений. 1. 5x

2. 3x

3. -3x

4. -13x

6. a 4 11 11. x

7. a 10 10 12. d 17. x2 x  3

8. a 7 ,.2

9. a 4, 4

16,1

16. k 21. x  b x  b 24. 27. 30.

5, 7

13. k 14. x 2 2 2   4 x x  2 18. 19. a ab  2 22. x  5  x  5 23.

3  2b  3  2b 25. 10 x  b   10 x  b  9x  8b  9x  8b 28. 4b  a   4b  a  x  5 31. x  2 32. 2a  3 2

2a  5b 

2 2

5. a 7 8 ,12 10. a

26.

5x  4  5x  4

33.

2 x  5a 

29. 4 x  5n 2   4 x  5n 2  2

2 37. 16a  8a  1 38. 9 x 2  12 x  4 39. 4a 2  20ab  25b 2 40. 16  8a  a 2 41. –4x-8 42. 12x–6 43. 10 x 2  8x 2 44. –3x+4 46. 4x 47. 2x–4 45.  5x  10 x 48. –6x–7 49. 12x–27 50. –3x+12 51. 15x+20 2 52. 16 53. 15x 2  2 x  8 54.  4 x  7 x  2 55.  2 x 2  14 x  20 7,2 -4,4 8,12 2 57. а 58. а 59. а 56. 6 x  13x  6 60. х-6/4 61. 2 62. 36 63. 1,6 64. -4 65. 4 66. 0 67. ∅ 69. 0,5 70. 1 71. -121 72. 0,1 73. 1 74. 0,001 75. 1 68. ∅ 76. 5 77. 0 78. 0 79. а/(2а-b) 80. 1 81. 0 82. 0,5 83. 3 84. 1/(а-1) 85. 0 86. х2010 87. 0 88. 0 89. 1 90. 1 91. xyz 92. 96 93. 7 94. 18 95. 47 96. 123 97. 2 98. 2 103. 2 104. 0; 0,5

34.

35.

a 2  6a  9

15. d 2 20. 5abab  5 4  a  4  a

36.

x 2  8a  16

§1.3. Преобразования тригонометрических выражений 1.

0,5

13. 1 14. 0 19. 1 20. 5 24.  cos 5  sin 

3 3

9. 15. 1 21. 1 25. 0

0,5

3 3 16. -1 22. 1 26. 1 10.

289

5. 11. 1

3 2

12. 1

17. 1 18. 3 2 23. cos  27. sin 4  cos 

28. 2 cos 2 33. 0 34. 0 39. 2 40. 1 45. -1 46. -2

50.

cos   sin 4

31. 1 32. 37. 1 38. 43. -2 44. 48. cos   cos 6 52. 51. 1

54. 2

55.

 3

56. -2

57. -0,8

60. -20

61.

62. 1 2 3

63.

1 5

66. -2

67.

7 25

69.



49.

sin   sin 7

53.



3 2

59. 48 65. 71. 76. 79. 81. 83. 87. 93. 99.

3 13 119 169 

29. ctg 2 30. 0 35. 3 36. 0,5 41. 0 42. 1 47.  cos 5  sin 

72.

24 25

73.

  2 sin t   77. 4  t  t  2 sin    cos   2 6 2 6

3 2 120  169 7  24  2 sin 4 

68.

74. 0,96

 t  80.

t  t  4 cos    cos   2 6   2 6 t  t  2 sin    sin   2 6 2 6 0 88. 1,5 89. 4,97 2,5 94. -3 95. -2,7 4 100. -4 101. 2

91. 2,9 97. 27 103. -20

92. 1,4 98. 15 104. 1,5

109.

114. 120. 126. 131.

144. tg5

145. tg5

75. -0,96

90. 5,84 96. -2 102. -4

113. 119. 125. 130.

140.  sin 4

70.

86. 0

112. 0 118. -1 124. 2

139. tg 2

119 120

4 3 24 7



85. -1

111. 117. 123. 129.

135. tg 4 2

64.

84. 0

108. 1

134. 2

58. -0,6

  2 sin t   4 

82.

107. 9

133. 4

 3

  2 sin t   4  t  t  2 sin    cos    2 6 2 6

106. 1,5

0,5 1 0,5 1

78.

105. 3 -0,5 0,5 1 2 ctg

2 4 -1

2 2 115. 0,75 121. 1 127. 0,25

0,5 0,5 1 4

137. tg

142. 

146. 2 sin 2 290

116. 0,5 122. 0,5 128. 1,5

132.  2 sin 2 2

136. cos 2

141. tg 2

110. -1

1 2

138. cos 8 143. tg5 147. tg 4

148. sin    152.

3 n n 2

155.

2  n2

149. tg3

163. 

9 4

151. tg

1  6n 2  3n 4 4 pq ctg 158. pq

153. 156. 

160. {2,1 / 3}

2 2a

164.

154.

157.  n 2  n 2

q p ctg q p

159.

150. tg 2

3 n n 2

161.

165.  m 4

2a 2  1

166.

162.

3 sin 8 4

167. 2 sin 3 2

169. 8 cos 16 cos 3 2

168.  cos 3 2 x

1  171. , ïðè   2 4

172. 2, ïðè  

m2 1 2

170.

, ïðè  



173. 2, ïðè  

 16

 8

§1.4. Обратные тригонометрические выражения. 1.

 4

0,5

13. 210 24 19. 25 25. 5  2

31. 2 2

37.

5 43.  3 49.

0,25

2 6 5 14. -30

20.

26. 

33 56

2 2 32. 3

3 7 44. 2  4 38.

56. 15

15 4

3 2

0,5

435

10. 195

11. 120

15. 420 7 21. 25 9  12 27. 2

16. -20 63 22. 65

17. -360 18. 1 24 3 23.  24. 13 25 5 3 8 29. 30. 2 5

7 33.  3

3 34. 4

39.

7 9

45.  3

11 5  10 50.  15 51. 2 2

55. 0

3 2

57. 1

5 5

28. 

40.

33 56

7 9

12. 75

35. 

36.

26 42. 5  2

41.

46. 2  

47. 

1 2

3 10 10

53. 0

54. 0

59. 1

60. 4

52.

58. 1 291

48. 2,5  7

61. 1 67. 15

62. 3 68. 24

63. 33 69. 26

64. 8 70. 63

65. 15

66. 5

§1.5. Логарифмические действия и преобразования. 1. 2 7. 3 13. 9 19. 6 25. -4 31. 36 37. 81 43. 5 49. 2/3 55. 9 61. 1,5 67. 5 73. 6 79. 1/3 85. 4/3 91. 24 97. -3 103. 7 109. -2,5

2. 4 8. 8 14. 12 20. -6 26. 9 32. 48 38. 27 44. 50. 4/3 56. 27 62. 2,5 68. 2 74. 45 80. 4 86. 0,6 92. -0,5 98. 0,75 104. 0,75 110. 24

3. 3 9. 9 15. 12 21. -1 27. 16 33. 18 39. 27 45. -2 51. -2 57. 16 63. -1,5 69. 3 75. 24 81. 2 87. 12 93. 8 99. -5 105. 0 111. 27

115. 12

116. 9

117. 0

118. a 2  a  1 , где a  0 и a 

4. 2 10. 2 16. -4 22. -1,5 28. 9 34. 12 40. 27 46. -3 52. 2 58. 50 64. -1,5 70. 7 76. 2,5 82. 0,5 88. 8 94. 11,5 100. -0,5 106. 1 112. -1/3

5. 4 11. 9 17. 8 23. -4/3 29. 3 35. 16 41. 1 47. -1.5 53. 4,5 59. 6 65. 3 71. 2,5 77. 1,6 83. 4/3 89. -0,5 95. -3 101. 125 107. 15 113. 25

6. 3 12. 15 18. 4 24. -2 30. 4 36. 64 42. 2 48. -2,5 54. 1 60. 1,5 66. 3 72. 4,5 78. 3 84. 4/3 90. 7 96. -0,5 102. 15 108. -146 114. lg 2

1 5 2

119. log a a 2  1 , где a  1 и a  2

120. aba  b  , где a  0 , a  1 , b  0 , b  1 2

121. loga b , где a  0 , a  1 , b  0 , b  1 и ab  1 122. loga b , где a  0 , a  1 , b  0 , b  1 и a  b

123. 1) 1  loga (a  b) , если a  0;1, b   ;0 или a  1; , b  0; a  ; 2)

loga (a  b)  1 , если a  0;1, b  0; a  или a  1; , b   ;0 124. loga b  logb a 125. 1  log 2 x  , где x  1 . 3

126. 1) 0, если 0  a  1, 0  b  1 или a  1, b  1 ; 2)  2logb a  loga b ,

a  1, 0  b  1 или 0  a  1, b  1

292

если

Глава 2. Уравнения, неравенства и системы §2.1. Рациональные уравнения и неравенства 19 24

-300

10. 1,75

14.

 7

15. Ø

18. 0; 0,05

19.

0,3; 

1 1 22. 13 ; 8 2

23. 0; 3

24. 0; -5

25. 0; 0,5

26. 0; -2,5

27. 0; 9

28. 1; -6

29. 2; 0,5

30.

31. Ø 36. Ø 41. Ø

32.  0.7  1.09 37. 0 42. 0,5

33. -1; 1/3 38. 7; 1 43. 2,5

34. 1,5 39. 4 3 44. 1

35. -0,5 40. 3 45. 7

46. -10

47. ∅

48. 3

49. ±

50. 0

-16

-4

-1,5

11.

2

12. Ø

13.

17. ±0,2

16. 0; -0,3 21.

0,8; 1

1 3

51. 56. 61. 66.

∅ -4;8 -2,7; 8 4/3

52. ±1

71. 76. 81. 86. 91. 96. 101. 106. 111. 116. 121.

-1; 0,039 -2 -12 18 5 1 0,125 4 -2,2 11 − 3 225

72. 77. 82. 87. 92. 97. 102. 107. 112. 117. 122.

1 3

57. -10,5 62. 2; -2 67. -2,05; 1 58

1; 87 1,6 -9 12 6 0,5 0 2 0,8 −4 3 10

126. -2

127. −

131. 1,5

132. 3+ 3

136.

5 + 4 101

2,2

21 40 1,2 

3 4

53. ±

3 5

8 1

54. −

5 17 30

1 7

-1

20. 1,5; -4

3; 

55. −

1 6

4 7

58. ∅ 63. 0 1 68. -4 ; 1

59. 1;7 64. 0 1 69. -1;

60. -4 2; -2 65. 0 34 70. -1;

73. 78. 83. 88. 93. 98. 103. 108. 113. 118. 123.

74. 79. 84. 89. 94. 99. 104. 109. 114. 119. 124.

75. 80. 85. 90. 95. 100. 105. 110. 115. 120. 125.

11 -5 -4 1 -0,67 1,5 4 4 49 −5 2

0,5 0 10 5 0,5 1,4 1,75 -4 4 2 375

-0,5 -4 6 1 -1 -1 1,75 -3 4 2 -1,2

128. −8

129. 2

130. 2

133. 2,5+ 5

134. 0,75

135.

137. 7

138. 7

139.

293

13+ 57 4

140. 5

141. 10

142. 6

145. 25

146. 1;2;3

147. -2

150. 2; 3; 4

151.

154.

3 5 . 2

1 3 5 ; 2; . 2 2

143. 26

3  21 149. 3;5 . 2 1 1 ; 2;  3;  . 153. 2 3

148.  2;

152. 0,5; 2. 155.

144. 39

3 5 ;  2  3. 2

156. 5,2; 10.

33 160. -3; 1. 3 2 161. 3; 4. 162. -2;3. 163. -5; -3. 164. 2; 4. 165. (1;1),(2;2) 1 175. (1;1;1), 166. − 3 172. 92 173. 1;2;3 176. 2+ 3 1+ 2 (1;2;3) 177. (7,5); (7,6); (7, -11);(1,-3);(1,-1);(1,4);(-5,2). 178. нет 179. нет 5 180. 2; ∞ 181. −∞; − 182. −∞; −1,5 3 183. 2; ∞ 184. −1,25; ∞ 185. −∞; −0,3 4 1 1 186. −∞; − 187. 1 ; ∞ 188. 1 ; ∞ 9 8 8 157. 0,5.

158. 2,5.

8 10

189. − ; 3

159.  1 

190. 1,5;

191. −

10 7

192. −5; 0

193. −∞; −0,3

194. 1;  

195. 1; 

 2  196.   ;    3  199.  ; 

5   ; 1  197.  6 200. Ø

201. 204. −∞; 7 207. −2,6; ∞

202. Ø 205. −6,5; ∞ 208. −0,2; ∞

203. −∞; 0,25 206. 1; ∞ 209. −∞; −7 ∪ 5; ∞

210. −4; 1

211. −∞; −6 ∪ −4; ∞

212. −12; 1

213. −∞; 1 ∪ 12; ∞

214. 3; 5

215. −∞; 4 ∪ 9; ∞

216. 4; 9

217. −∞; −11 ∪ 8; ∞

218. −∞; 11 ∪ 15; ∞

219. −9; 2,5 ∪ 3; ∞

220. −5; −2 ∪ 3; ∞

221. −0,25; 3 ∪ 6; ∞

222. −5; 0,5 ∪ 2; ∞

223. −1; 1

224. −∞; 0 ∪ 1; ∞

225. −8; 8

226. −∞; −2 ∪ 0; ∞

198.

 ; 1  ; 

228. 0,5; 1 231. −4; −2 ∪ 4; ∞ 234. 0,5; 1 ∪ 4; ∞

229. −∞; −1 ∪

7 3

;∞

232. −∞; −3 ∪ 1; 3 235. 2; 4 ∪ 10; ∞ 294

227. 1; 3 230. −∞; 1 ∪ 2; ∞ 233. −∞; −3,5 ∪ −1; 5

236. 10

237. 101

238. 8

239. 2

240. 10

241. 50

242. ∞

243. 2

244. 6

245. 11

246. 11

247. -1

248. 5

249. -12

250. 3

251. 6

252. 21

253. 11

254. 19

255. 19

256. 2

257. 2

258. 4

259. -3

260. 5

261. 6

262. -24

263. 9

264. 4

265. 3

266. 9

267. 3

268. -8

269. 11

270. 1

271. 0

272. 25

273. 4

274. 10

275. 7

276. 18

277. 0

278. 41

279. 1

280. 9

281. 4

282. 35

283. 33

1. 6. 11. 16. 21. 26. 31. 36. 41. 46.

1 0; 1 0; 2 ∅ 1 -20 0 2 1.5 1

51. 2 56.

−1± 5 4

61. 1

§2.2. Уравнения и неравенства с модулем. 2. 7. 12. 17. 22. 27. 32. 37. 42. 47.

 0,25; 1,25 3 2.5 0 -2 -1 -1 2 0

71. 75. 80. 85. 90. 95.

 3  2

1; –3 –1,5  2 ∅ 2 -9 1 0 29−5

4. 9. 14. 19. 24. 29. 34. 39. 44. 49.

4; –2  2; –0,5 1 −1 + 2

0 4 0 1 0.5

52. 2 + 7

53.

57. 2 ± 7

58. − 4

62. (-2; 2)

63.

 ;  2  2;  

66.

1  3 ;    

65. (-∞; -3)U(1; +∞) 68.

3. 8. 13. 18. 23. 28. 33. 38. 43. 48.

3;  3  2 3



 1 3  ;     2  11 76. 5 8 81. 5 102 86. 31 0 91. 6 10 5 1 96. 2

2 3

5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50.

 –1; 3 0.5 1 ∅ −31/4 2 0 3 0

54. -0.1

55. 3

59. 0

60. 0 64. [-2; 0]

67. (-∞; 1) 70.

69. [1; 3]U{-1}

1 7 1 7    ;  2  2  

72. 5

73. 4

74. 0

77. 82. 87. 92.

0 101 0 1

78. 83. 88. 93.

79. 84. 89. 94.

97.

3  33 12

98. 1

295

19 200 2 1

0 0 10 1

99. 2

100. 1

101.

 107.  2 

4 2

102. 2



105.  4  10 ;  4  10  6  4 2 ; 6  4 2



103. 2



108. [-2,5; 0] 7;3  2 2 110. (-∞; -3)U(-1; 1)U(1; 2]U(3; + ∞) 113.  112. (-∞;-5)

104. R

106. 0 109. (-∞; -3)U(-2; 2)U(3; 4)U(4; + ∞) 111. (-∞; -4)U(-3; 3)U(3; +∞) 114. -1

§2.3. Иррациональные уравнения и неравенства. 1. 7. 13. 19. 25. 31. 37. 43. 49. 55. 61. 67. 73. 79. 85.

1 Ø 2 1 1.25 -20 2 -112 0 0 0 7 -2 2 -1

90. 9 95.

5  37 6

99. 2

2. 8. 14. 20. 26. 32. 38. 44. 50. 56. 62. 68. 74. 80. 86.

-8 26 -14 62 -3.75 -4

2 1 1 4 0 0 5

91. 0

3. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. 57. 63. 69. 75. 81. 87. 92.

4/3 -7 Ø Ø 0 0 -1 ∅ 3 0 0 1 4 130 4 

4. 10. 16. 22. 28. 34. 40. 46. 52. 58. 64. 70. 76. 82.

Ø 9 -1,5 -2

5. 11. 17. 23. 29. 35. 41. 47. 53. 59. 65. 71. 77. 83.

-1 -12 ∅ -1 0 1 -0.5 -1 1

3 -4 -31 4 2 -6 8 -2 2 0 -2.5 -1 -20 -1/4

88.  4  5 / 2 . 93. -0,4 94. -0,5

1 5  2 2

96. 1; -0,2

97.

100. 27

101. 4; 84

105.  111. 2; 1

106.  112. 0

107. -1 113. 0

115. 0

116. 7; -1

117. 80

118. -1

119.

124. 0

125. -1

130. -19; 0

131. 

5 5

126. -1

5 3 17  8 8 127. 0 128. 0

132. 2

133. -2,5

108. 2  2 3 114. 1

7  3 33 12

122. 

296

3 5  2 2

102.

104.  110. -1; 0

121. -3/8; 4; 0

¾ 1 33 -7 -1 5 -21 0 0 6 1 0 0 6 -3

98. 1,5

103.  109. ±2

120. 0

6. 12. 18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. 66. 72. 78. 84. 89.

134. 3; -1

123. 0; ±1 129. 0; 63/65 135. 

1 5 2

 5  1

136. 2 142. 

137. 1

65 4

148. -1

154. 157. 163. 166. 170. 174. 178. 182. 188. 194. 198.

138. 3

139. 1

140. 4

141.

143. 4

144. 2

145. 4

146. 196

147. 0

149. 0

150. 1

151. 1

152. 1

153.

1 5  2 2

1 2 1 5 1 5 155. 3 108  12 69   156. 0;  3 6 108  12 69 2 2 2 2 1 158. 1 159. 1 160. 1 161. 1 162. -2 m=0, n=0 164. 165. 𝑎𝑘 = 2𝑘 + 1 2 , 𝑘 = 1,2, … ,8 (1;+∞) 168. [24; +∞) 169. (-∞;-1] 167.  (-∞;-64) 171. (-∞; 1] 172. [15; +∞) 173. (-∞; 1] 177. {1}U[2; (-∞; -0,5]U{0} 175. {-2}U[1; +∞) 176. [-0,5; 1] +∞) (-1; 2) 179. [2; 3] 180. 1 181. 0 0,5 183. 0 184. 1 185. 2 186. 1 187. 4 4 189. 3 190. 0 191. 7 192. 0,5 193. 2 8 195. 9 196. 18 197. [-0,5; 2)U(4; +∞)       ;  5  1   5 ;    199. (0,5; 3] 200.   ;  4  15    3; 2    2   8 2    

   5  1  3 1  6    1  6     1; 201.   ; 202.   ;     ;        2   2 2   2     204.  203. R 205. [0,5; +∞) 206. {1}U[2; +∞) 207. [0; 1] 208. (-∞; -1)U(-1; +∞) 209. [-1; 1] 210.   4 5 4 5  ; 211.     5 5  

212. (0,5; +∞)

 9  21 ; 213.    10 

214. [-0,4; +∞)

215. [-1; +∞)

 2 3  216. 2;1  3  

217. (0,5; 3) 220.



 9  3 5  9  3 5  ;   218. 1;   2   2   221. 3



219. [2; +∞)

222. 3  2 2 ;  

297



223. 2

5  1  2 



 

224. -2; 1

225.  ;1  2  1  2 ;  

3  227.   6 ;    2  

228. (0; 4)

229. 4

 1 9  13   226.  ; 2 4  



 1 231.   ;  2 

230. (-1; 0)

§2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства. x    2k , k  Z  x    2k , k  Z 2

x  2k , k  Z

x    2k , k  Z

x  k , k  Z

x

x

10.

x

11.

x   1



 k , k  Z

12.

x

13.

x   1



 k , k  Z

14.

x

15.

x

16.

x

17.

x   1

18.

x

20.

x

22.

x   1

24.

x

26.

x

1. 3.

19. 21. 23. 25. 27.

 4

 k , k  Z



 k , k  Z



 2k , k  Z



 k , k  Z 3 k 1  x   1  k , k  Z 4 k 1

x

 3

 k , k  Z

5  2k , k  Z 4 2 x  2k , k  Z 3  n x   ,nZ 12 2 x

28.

298

 2



 6

 2k , k  Z  k , k  Z  k , k  Z

5  2k , k  Z 6



 k , k  Z



 2k , k  Z

 k , k  Z k 1

 6



 6

 k , k  Z

 k , k  Z 6 3 x  6n, n  Z 4

5   2 

29. 31. 33.

7 n  ,nZ 36 3 9 n x   1    6n, n  Z 2 5 x  3n, n  Z 4 x

35.

x

37. 43. 49. 55. 61. 67. 73. 79. 85. 91. 97. 103. 109. 115. 121. 127. 133. 139. 145. 151. 157.

30 10 5 8 0,8 4 -6 -12 2 3 11 2 0 0 -2 310 90 234 3 2 -0,1

163. x 

 3

  1 arcsin n

38. 44. 50. 56. 62. 68. 74. 80. 86. 92. 98. 104. 110. 116. 122. 128. 134. 140. 146. 152. 158.

 8





k 2

225 48 9 8 17,5 14 -2 4 1 13 6 23 0,5 0 0 130 80 110 7 0 -0,15

 6

, kZ

x

32.

x

34.

 n, n  Z 39. 45. 51. 57. 63. 69. 75. 81. 87. 93. 99. 105. 111. 117. 123. 129. 135. 141. 147. 153. 159.

30.

36.

45 15 6 10,5 1,75 9 -2 1 2 9 5 3 -2 0,75 0,75 27 15 216 10 -1,25 -0,6

40. 46. 52. 58. 64. 70. 76. 82. 88. 94. 100. 106. 112. 118. 124. 130. 136. 142. 148. 154. 160.

 6



 2n, n  Z







2n ,nZ 5

12 30 17 n x  ,nZ 72 4  1  x   arccos  n, n  Z 8 2 4 60 150 8 3,5 8 12 -32 2 3 5 6 0,5 0 0 90 150 210 54 1 -3,5 -0,75

164. x 

 2

41. 47. 53. 59. 65. 71. 77. 83. 89. 95. 101. 107. 113. 119. 125. 131. 137. 143. 149. 155. 161.

180 105 12 10 5 -12 -16 2 4 5 1 0 -1 -1 15 30 240 27 2 1,5 -1,2

42. 48. 54. 60. 66. 72. 78. 84. 90. 96. 102. 108. 114. 120. 126. 132. 138. 144. 150. 156. 162.

135 6 8 6 7 -6 0 1 2 10 5 0 0 -0,5 81 330 198 110 1 -0,4 0,4

 2k , k  Z

3  2n, n  Z 4 3  2n, n  Z 166. x    2k , k  Z , x  4  k  k 167. x  k , k  Z 168. x   , k  Z 169. x   , k  Z 4 2 4 2 171. x  k , k  Z ,  170. x  k , k  Z , x   n, n  Z  x    n, n  Z 4 4 177. 0;  172. 3 173. 2 174. 2 175. 10 176. 573 165. x 

 2k , k  Z , x 

299

178.  ;2  182.

 6

179. 20,8

3k  1

185.  2 arctan

190. 191. 192. 193. 194. 195.

186.

 2

4k  1

184.

4k  1

187.

 4

 6

 5  2 2k

4k  1;

6k  1

11 4 4   2k , x    2k , x    2k , k  Z 9 9 3 4 17 7 29 x  2k , x    2k , x    2k , x    2k , k  Z 6 18 6 18  1 4 8 x    2k , x    2k , x    2k , x    2k , k  Z 3 9 3 9  11 13 7 x   2k , x    2k , x    2k , x    2k , k  Z 4 12 12 4   n  x   n, x   , x    2n, n  Z 2 4 2 3 n  x  , x    2n, n  Z 2 3  n n  x  n, x   , x   1  n, n  Z 4 2 6  n n1  x  n, x   , x   1  n, n  Z 4 2 6

188. x   189.



183.

1 k  2 2

181.  2k  1; arccos

180. k

 2k , x 

1 5  2n, n  Z 2 1  5 n x   1 arcsin  n, n  Z 2 1  5 x   arccos  2n, n  Z 2 1  5 n x   1 arcsin  n, n  Z 2 1 1 6 1 2 1 x   arccos  n, x   arccos  n, n  Z 2 2 2 2  1  1 x    n, x  arccos     n, n  Z 6 2  4

196. x   arccos 197. 198. 199. 200. 201.

1 6 2 1 n 1 n 1 1 202. x   1  arccos  n, x   1  arccos  n, n  Z 2 2 2 2

300

2k



1  1  n, x   arccos      2n  1, n  Z 2  4  3 204. x    2n, n  Z 205. x    2n, n  Z 2 4

203. x  

3  2n, x    2n, n  Z 4 4 2  2n, x    2n, n  Z 207. x   3  n  n 208. x    , n  Z 209. x    , n  Z 6 2 6 2  n  210. x  n, x   n, n  Z 211. x   , n  Z 4 2 8 206. x  



212. x  n; , x 

 2

 2n, x 

213. x    2n, x  214.



 2

9 20 20

 4

 n, n  Z

 n, x 

 6

 n, n  Z 215. 

216. x 



 2n, x    arctg 5  2n, n  Z

217. x  arctg

1 5

 n, n  Z

3  2n, x    arctg 3  2n, n  Z 4 3 x   arccos  2n, n  Z 4  n n  x   , x   1  n, n  Z 4 2 6 1 x    arccos  2n, n  Z 3  n 5 x   , x   arccos  2n, n  Z 4 2 6  5 x    2k , x    2k , k  Z 8 8

218. x  219. 220. 221. 222. 223.

301

11 30

224. x  

227. 231. 232. 233. 235. 237. 239. 245. 249. 250. 251. 252. 253. 254.



 2k , x  

5  2k , k  Z 8

3  2k , k  Z 8 8  3 x    2k , x   2k , k  Z 8 8 228. n  235 229. n  165 n  105 1 x    2n, x  arccos  2n, n  Z 4  1 x    2n, x  arccos  2n, n  Z 2 3  3 234. x  2n, x  arccos     2n, n  Z  4 1 1 x   arccos  k ; x  arccos  2k , k  Z 236. 5 5 1 1 x   arccos  k ; x    arccos  2k , k  Z 3 3 2 240. 2 241.  242.  243. 1 246. 1 247. 1 248. 1 1  5 x  arctg  n, x   n, x   n, n  Z 2 14 14 1 x  arctg 2  n, n  Z 2 1 3 x  arctg  n, x  arctg  n, n  Z 2 2 1 x  arctg 2  n, n  Z 2 2   3   x    2n, n  Z ,    ; ;  ;  ;   2 3 3  4 4 5 7    3  x    2n, n  Z ,    ; ;  ;  ;  2 12 12  4 4

225. x   226.



 2k , x 

230. n  65

x x 238.

 6

 3

 4



 2k , k  Z  k , k  Z

4k  1 244. 1

3    255. x    2n, n  Z ,    ;0;   6 4  

3    256. x    2n, n  Z ,    ;0;   4   12

302

257. 

258. x 

k 2

, kZ

259. ๐ ฅ = 2๐ ๐ , ๐ โ ๐ , x ๏ ฝ

๏ ฐ 2

261. x ๏ ฝ 4๏ ฐk , k ๏ Z

260. x ๏ ฝ ๏ ญ

262. ๏

๏ ฐ

266. x ๏ ฝ ๏ ฐk , k ๏ Z ๏ ซ ๏ ฐn, n ๏ Z 2 269. ๐ ฅ = ๐ ๐ , ๐ โ ๐ , รณ ๏ ฝ 0 268. x ๏ ฝ 2๏ ฐk , k ๏ Z 265. x ๏ ฝ

264. 0 267. ๏ 270. x ๏ ฝ

๏ ฐ

๏ ซ 2๏ ฐn, n ๏ Z 2 263. x ๏ ฝ 2๏ ฐk , k ๏ Z

๏ ซ ๏ ฐn, n ๏ Z

๏ ฐ 4

272. x ๏ ฝ arctg

5 ๏ ซ 2๏ ฐn, n ๏ Z , รณ ๏ ฝ 3 12

273. x ๏ ฝ ๏ ฐ ๏ ซ 2๏ ฐk , k ๏ Z , x ๏ ฝ 274. x ๏ ฝ 2๏ ฐk , k ๏ Z , x ๏ ฝ 275. x ๏ ฝ 2๏ ฐk , k ๏ Z , x ๏ ฝ 276. x ๏ ฝ 2๏ ฐk , k ๏ Z , x ๏ ฝ 277. x ๏ ฝ ๏ ฐ ๏ ซ 2๏ ฐk , k ๏ Z 279. ๏ 282. x ๏ ฝ ๏ ญ

271. x ๏ ฝ ๏ ฐk , k ๏ Z , y ๏ ฝ ๏ ญ4

๏ ซ ๏ ฐn, n ๏ Z , รณ ๏ ฝ 3

๏ ฐ 2

๏ ฐ

๏ ซ 2๏ ฐn, n ๏ Z

๏ ซ 2๏ ฐn, n ๏ Z , x ๏ ฝ ๏ ญ

๏ ฐ 2

๏ ซ ๏ ฐ๏ ฌ, ๏ ฌ ๏ Z

๏ ซ ๏ ฐ๏ ฌ, ๏ ฌ ๏ Z 4 278. x ๏ ฝ 2๏ ฐk , k ๏ Z

๏ ซ 2๏ ฐn, n ๏ Z , x ๏ ฝ

280. ๏

๏ ฐ

281. x ๏ ฝ

๏ ฐ 2

๏ ซ 2๏ ฐk , k ๏ Z

3๏ ฐ ๏ ฉ๏ ฐ ๏ น 283. x ๏ ๏ ช ๏ ซ 2๏ ฐk ; ๏ ซ 2๏ ฐk ๏ บ, k ๏ Z 2 ๏ ซ2 ๏ ป

๏ ซ 2๏ ฐk , k ๏ Z

๏ ฐ ๏ ฉ ๏ ฐ ๏ น 284. x ๏ ๏ ช๏ ญ ๏ ซ 2๏ ฐk ; ๏ ซ 2๏ ฐk ๏ บ, k ๏ Z 2 2 ๏ ซ ๏ ป

285. x ๏ ๏ ๏ ฐ ๏ ซ 2๏ ฐk; 2๏ ฐ ๏ จk ๏ ซ 1๏ ฉ๏ , k ๏ Z

286. x ๏ ๏ 2๏ ฐk;๏ ฐ ๏ ซ 2๏ ฐk ๏ , k ๏ Z

๏ ฆ ๏ ฐ ๏ ถ 287. x ๏ ๏ ง ๏ ญ ๏ ซ ๏ ฐk ; ๏ ฐk ๏ ท, k ๏ Z ๏ จ 2 ๏ ธ

๏ ฐ ๏ ฆ ๏ ถ 288. x ๏ ๏ ง ๏ ฐk ; ๏ ซ ๏ ฐk ๏ ท, k ๏ Z 2 ๏ จ ๏ ธ

๏ ฉ๏ ฐ ๏ ถ 289. x ๏ ๏ ช ๏ ซ ๏ ฐk ; ๏ ฐ ๏ จk ๏ ซ 1๏ ฉ๏ ท, k ๏ Z 2 ๏ ซ ๏ ธ

๏ ฐ ๏ ฆ ๏ ถ 290. x ๏ ๏ ง ๏ ฐk ; ๏ ซ ๏ ฐk ๏ ท, k ๏ Z 2 ๏ จ ๏ ธ

291. x ๏ R

292. x ๏ R

๏ ฐ ๏ ฆ 3๏ ฐ ๏ ถ 293. x ๏ ๏ ง ๏ ญ ๏ ซ 2๏ ฐk ; ๏ ซ 2๏ ฐk ๏ ท, k ๏ Z 2 ๏ จ 2 ๏ ธ

303

3    294. x     2k ;  2k , k  Z 2  2 

  7  295. x     2k ;  2k , k  Z 6  6 

5   296. x    2k ;  2k , k  Z 6 6 

  5  297. x     2k ;  2k , k  Z 4  4 

3   298. x    2k ;  2k , k  Z 4 4 

  4  299. x     2k ;  2k , k  Z 3  3 

2   300. x    2k ;  2k , k  Z 3 3  

4  2  301. x    2k ;  2k , k  Z 3 3  

2  2  302. x    2k ;  2k , k  Z 3  3 

7   303. x    2k ;  2k , k  Z 4 4 

    304. x    2k ;  2k , k  Z 4  4 

7  5  305. x    2k ;  2k , k  Z 6  6 

    306. x     k ;  k , k  Z 2) 6  2 

    307. x     k ;  k , k  Z 4  2 

    308. x     k ;  k , k  Z 2 3  

  309. x     ;  k  1, k  Z 3  

  310. x     ;  k  1, k  Z 4 

  311. x     ;  k  1, k  Z 6 

  7  316.   n;  n, n  Z 12  12 

1 3 315. 2 2   2n 7 2n  317.    ;  , n  Z 3 18 3   18

  2n  2n  318.    ;  , n  Z 3 18 3   18

 4 2n  2n  319.    ;  , n  Z 3 9 3   9

2   320.  2n;  2n , n  Z 3  

 9  321.   6n;6 n  1, n  Z 2  

 7 n  n  322.   ;  , n  Z  24 2 8 2 

    323.    3n;  3n , n  Z 2  2 

312.

324.

3 2

313.

3 2

314. 1

4 4      arcsin  2n; arcsin  2  2n  9 9  nZ 



326.  332. 1 338. 2

327.  333. 1 339. 1

328. 0 334. 2 340. 1

329. 0 335. 2 341. 1 304

325.

1

  4 arctg 3  nZ

330. 0 336. 3 342. 3

n  ;

4 8

331. 0 337. 1 343. 0



n   4 

344. 350. 356. 362. 368.

4 1 2 0 1

345. 351. 357. 363. 369.

374. 0

0 0 7 0 0

375. 1

346. 352. 358. 364. 370.

1 347. 1 348. 5 353. 4 354. 0 359. 3 360. 0 365. 2 366. 4 371. 1 372.  n   n    376.   ,  , n  Z  2 12 2 6 

2 2 1 1 1

349. 355. 361. 367. 373.

1 4 1 1 1

   2    5   377.  n  , n     n, n     n  , n  , n  Z 3 9  9   2 9        3   5 5   378.    2n  ,2n     2n  , 2n     2n  , 2n   4 6 4 4 6 4        n   n n   379.  ,  , n  Z  8 8 48      3   5 5   380.  2n  ,2n     2n  , 2n     2n  , 2n  , n  Z 4 6 4 4 6 4               381. 360  n  95 ,360  n 10   360  n  85 , 360  n  180 , n  Z 7      382. n  , n     n  ,  n, n  Z 12 2  2 12   2n 7 2n     383.  384.  2n  ,2n  , n  Z  ,  , n  Z 18 3 18  3 3  3 

385. x  2n 



, nZ

2 3   387.   2k ;  2k , k  Z 2 4   389. 

 2

392.  394.

396.



 2n, n  Z

    5  386. 2k ;  2k     2k ;   2k , k  Z 6    6          388.    n;  n      n;  n , n  Z 2 4 4 4            391.  ;    ; , n  Z  4 6 6 4  5   2n  x   2n, n  Z 4 4

390.   2n, n  Z 393.

3 3  2n  x   2n, n  Z 4 4

305

395.



 4

 2n  x 

5  2n, n  Z 4

§2.5. Обратные тригонометрические уравнения и неравенства. 1.

0,5



3 2



3 2 3 2

3. 2 2

2 2

-0,5

10. 0

11. 0,5

-1

12.

2 2

14. 

15.

16. 1

17. 

19.  3

20. -1

21.

22. 0

23.

25.  3

26. 0

27. 

28. -1

29. 1

30. -1

31. -3 37. 1,5 43. -1 2 49. 5

32. 0,4 38. 1 44. -1 3 50. 10

33. 1 39. -1 45. -2 2 51. 5

34. 2 40. -1,5 46. 5

35. 2 41. 2 47. 0

36. 0,5 42. 2 48. 0

52. 1

53. -1

54. 0

55. -2

56. 3

57. 4

58. -8

59. -4

60. x 

13.

61. x  67. 73. 79. 85.

2 5

∅ 0,5 1,25 2

91. 2

62. x  68. 74. 80. 86.

---0 3,5 -3

92. 0,5

 1 1 97.  ;   4 2

100.  ;1  0;1

1 3

1 5

63. x  69. 75. 81. 87.

---2 2 3

93. 0,5

4 5

64. 70. 76. 82. 88.

1 3

1 6 2 1 1 1 0,25

94. 4,5

2 2  98.   ;1 3 6   2 1  101.  ;  5 2 

65. 71. 77. 83. 89.

1 8 0 0,5 0,125 2

95. -0,625

18.  24. 1

66.

4 5

3 5 0,5 1 1 1  3 96. 0;   4 72. 78. 84. 90.

3 4 3  99.  ;    7 7 14 

§2.6. Показательные уравнения и неравенства. 1. 7. 13. 19.

5 3 0 2

2. 8. 14. 20.

3 1 2 Ø

3. 9. 15. 21.

7 -2 3 –4

4. 10. 16. 22. 306

4 -0,5 Ø Ø

5. 11. 17. 23.

2 3 6 1,5

6. 12. 18. 24.

2 3 Ø 0,5

25. 31. 37. 43. 49. 55. 61. 67. 73. 79. 85. 91. 97. 103. 109. 115. 121. 127. 133. 139. 145. 151. 157. 163. 169.

175. 181. 187. 193. 199. 205. 211. 216.

2,5 3,5 0,6 -4 5 7 -8 -2 5 -2 1 4 -1,5 -6 -2 3 4 1 1 4 1 2 5 0

26. -0,5 27. 32. 6 33. 38. 0,875 39. 44. 2 45. 50. 4 51. 56. 1,8 57. 62. -3 63. 68. 0,5 69. 74. 3 75. 80. 0,5 81. 86. -1 87. 92. -2 93. 98. 1 99. 104. 4 105. 110. 0,75 111. 116. 3 117. 122. 1 123. 128. 1 129. 134. 2 135. 140. -1 141. 146. 3 147. 152. 2 153. 158. 6 159. 164. 0 165. -0,96 170. -5,5 171. 0,6 176. 1,5 177. 2 182. 0,5 183. 3 188. 1,5 189. 0,25 194. 0,5 195. 1 200. 0 201. 5 206. 3 207. 213. 4 212. 2 9;  217. ; 7

221.  5; 

222. ;  9

231. 2;  

232.  ; 2

226. 2;   236. 241. 247. 253. 259.

; 

-3 -4 3 -8

-1 2,625 2,25 0 -1 2 1 0 2 1,5 -4 -2 2 -4 7 3 2 2 1 0 2

a2 12 1 1 1,75 0,5 0,2 3 1 5 7; 

227.  ; 3 237. Ø 242. 3 248. 0 254. 7 260. -3

28. 34. 40. 46. 52. 58. 64. 70. 76. 82. 88. 94. 100. 106. 112. 118. 124. 130. 136. 142. 148. 154. 160. 166. 172. 178. 184. 190. 196. 202. 208. 214.

243. 249. 255. 261.

218.  ; 8 223. 7;  

228. 2;  

233. ; 5

238.  ;  -3 244. 2 -2 250. 5 2 256. 2 1 262. 2 307

-4 -2,25 0,375 3 -3 2,5 0 0 1 -0,5 2 -3 3 1,5 1 3 2 0 1 1 2 5 3 16 9 0,125 -1,5 6 0 2 4 3; 

29. 35. 41. 47. 53. 59. 65. 71. 77. 83. 89. 95. 101. 107. 113. 119. 125. 131. 137. 143. 149.

-4 7,8 1,6 -2 -5,5 6,5 2 0 1 3 2 4 1 8 1 4 4 2 0 1 -1

30. 36. 42. 48. 54. 60. 66. 72. 78. 84. 90. 96. 102. 108. 114. 120. 126. 132. 138. 144. 150. 156. 162. 168. 174. 180. 186. 192. 198. 204. 210.

155. 161. 167. 173. 179. 185. 191. 197. 203. 209. 215.

13 4 1,25 3 -1 -1 0,6 -1 9 4  ;  5

9,5 1,5 1,3 -1 3 4,5 4 2/3 -2 -3 -2 0,75 0,25 0,75 4 4 1 2 -2 2 3 4 4 0,04 2 -1/3 4,5 0,75 2 5 4

219.  ; 7

220. ; 3

229. ; 3

230. ; 2

224. 8;  

234. Ø 239.  ;  245. 1 251. -1 257. -3 263. -2

225. 2;  

235. ;  240. Ø 246. 2 252. -5 258. 6,5 264. 0,5

265. 271. 277. 283. 289. 295. 301. 307. 313. 319. 325.

0 -1 1 1 7 3 7 3 4 2 0

266. 4 272. 1 278. -6 284. 1 290. 2 296. 2 302. 0 308. -1 314. 0 320. -4 326. -2

330. [3;2)

267. 273. 279. 285. 291. 297. 303. 309. 315. 321.

10   331.   ;  3  336.  ;2

3 2 2 0 -2 1 2 4 0 -3

268. 0 269. 2 274. 0 275. -3 280. 1 281. 6 286. -4 287. 1 292. -1 293. 1 298. 10 299. -3 304. 0,375 305. 1 310. -3 311. 2,5 316. 2/3 317. 4 322. 0 323. 7 328. (;2] 327. [2; )

270. -1 276. 2 282. 2 288. -3 294. -4 300. 6 306. 1 312. 0 318. -2 324. 8 329. (0; )

332. [2,5; )

333. [-6;2]

334. (-8;-1)

337. (0; )

338. (;0]

341. (2; )

342. [3; )

343. (;0,25)

347. [4; )

348. [2; )

352. 357. 362. 367.

353. -2 358. -3 363. (1;4)

384. (;0,25)

(2; ) (;4) 4 0 (1;1,5) 371. (4;2) 375. (1;0) 380. (2;1) 385. [1; )

339. [-2;6] 344. [1; ) 349. (;2)

389. [16; ) 394. {1}

335. [0;6] 340. -1 345. [1; ) 350. 355. 360. 365.

(;2) -4 -2 (0;0,4) (0,5;0,4)

346. 351. 356. 361. 366.

-1 2 -2 (0;0,5)

368. (5;2)

354. 359. 364. 369.

6 1 (0,5;2) (0,8;1)

372. (;0,8)  (1;) 377. [0;2] 376. (1;3)

373. (0;1)

381. (0;3)

382. [1;2]

386. (2;2)

387. (1;1)

383. [2; ) 388. (0;1)

390. [1,25; )

391. (0;0,04]

392. (1;0,96]

393. [0;2,9]

396. (1;7)

399. (0;0,5)

395. {9} 400. (0,5;1)

401. (0,4;1,2)

397. (8;4) 402. (1;4)

398. (0;4) 403. (0,5;1)

404. (6;1)

405. (4;8)

406. (2;0,4)

407. [0;5)

408. (0;0,04)

409. [1;2)

410. [3;8)

411. (0;9)

412. [1;5)

413. (0;7)

414. [2;4) 419. (0;3)

415. [1;9)

417. (0,5;1,5)

420. [2;3)

416. (0;16) 421. [4;5)

418. (2;3) 423. (1;2)

424. (0;3) 429. [0;2] 434. [0;4]

425. (2;4) 430. [0;9] 435. [0;1]

426. (3;4) 431. [0;6] 436. [0;2)

439. 

440. (; )

441. 

370.

374. (1;0) 379. [2;3]

308

422. (0,5;2) 427. [0;2] 432. [0;1]

378. [1;0]

428. [0;3] 433. [0;0,5]

437. (; )

438. (; )

442. [3; )

443. [2; )

444. [0,6; )

445. [1,5; )

446. [1,75; )

447. [0,125;)

448. [1; )

 1  449.   ;   3 

450. [2; )

451. [0,5; )

452. (1; )

453. (1;2]

454. (; )

 1  455.  ;5  3 

456. (; )

§2.7. Логарифмические уравнения и неравенства. 1.

125

0,25

7. 9 13. 3

8. 0,25 14. 6

9. 4 15. 1

10. 2 16. 98

19. –6

20. –1,75

21. –6

22.

25. –16

26.



27. -3;1

31. 37. 43. 49. 55. 61. 67. 73.

18 1 -6;0 2 -10 5 5 -6

32. 38. 44. 50. 56. 62. 68. 74.

2 26 -2 5 11 -10 3 5

33. 39. 45. 51. 57. 63. 69. 75.

79. 85. 91. 97. 103. 109.

25,2 0,01 16 32 6 ∅

80. 86. 92. 98. 104. 110.

17 0,125 -100 27 -32 -2,5

81. 87. 93. 99. 105. 111.

115. 1

120. 126. 132. 137. 142. 147.

2 3

116. 1

1 16 11. 3 17. 11

1 3



1 27

12. 2 18. 2

23. –4

24. –0,5

28. 4; -3

29. 5

30. 2

-2,5 15 -5 2 9 16 1 1

34. 40. 46. 52. 58. 64. 70. 76.

36 4 0 3 -6 4 0 1

35. 41. 47. 53. 59. 65. 71. 77.

64 14 1 3 9 16 2 0,2

36. 42. 48. 54. 60. 66. 72.

5 -1;1 1,5 -16 -7 27 3

78.

16,25

3 0 -0,5 16 3 -2,5

82. 88. 94. 100. 106. 112.

-1 13 7 20 1 2

83. 89. 95. 101. 107. 113.

12 11 81 100 1 12

84. 90. 96. 102. 108. 114.

-16 7 243 7 -3,5 1

117. 1

118. 5

119. 7;

1  ;7 7

1 2

2 121. 3 122. 4 123. 4 124. 2 125. 0,5 3 127. 3 128. 2 129. 0 130. 1 131. 2 4 133. 2,5 134. -2,5 135. 1 136. –1,5; 4 138. 9; –20,7 –6 139. 1; 9 140. ±0,5 141. 6;11 1/16 143. 64 144. 0 145. –2 146. 1,5625 25;  148. 2; 8 150. 20 151. 3; 1/81 149. 0,25; 216

152. 2,5

153. -2

154. 8

155.

157. 1

158. 1/9

159. 1; –0,75

160. 2

309

5 1 2

156. –2 161. 1

162. 0,5

164.  2 ;1  1;2

163. 0,5

165.  5 ;1  1;5

3 

166. x 

6 

5 3

 5 3 2 ; 168. x    arcsin  2n; x  arcsin  2n, n  Z 4 3 3 3 169. x1  7; x2  0; x3  3 170. x1  0; x2  2; x3  5  n 1   n, n  Z 171. x   1 172. x    2n, n  Z 167.

177. 0;9

178. 0;0,25

179. 0;0,25

1 3 180. 9; 

186. 7; 

187. 3;19

189. 11;12

190. 1;4

191. 1,5;9 196. 4; 201.  ;4

192. 6; 

 1  188.   ;0  16  193. 4; 

194. 9; 

195. 5; 

173. x    2n, n  Z 176. 4; 

181. 0;0,25

206.  ;6

0,2;2 1 81 2 3 1 5 243 16 3 1000 0 -1 4 4 5 2 2 310. 2 3 211. 216. 222. 228. 234. 240. 246. 252. 258. 264. 270. 275. 280. 286. 292. 298. 304.

316. 18

183. 2; 

182. 0;3

197. 0;2 202. 4;

207.  ;8

198. 0;5 203.  0,5;1,5 208.  4;1

212. 8 217. 3 218. 223. 9 224. 229. 5 230. 235. 1 236. 241. 15 242. 247. 25 248. 253. 32 254. 259. 27 260. 265. 1 266. 271. 0,01 276. 16,25 281. 3 282. 287. 3 288. 293. 7 294. 299. 8 300. 305. 4 306.

213. -2 7 219. 2 225. 6 231. 2 237. 2 243. 4 249. 27 255. 27 261. 3 267. 272. 0,125 277. 25,2 1 283. 3 289. 3 295. 9 301. 2 307.

311. 1 317. -1

175.

174. -1

312. 1

184. 3; 

199. 2; 204. 1,5;14 209.  7;1

214. 5 220. 226. 232. 238. 244. 250. 256. 262. 268. 273. 0,25 278. 17 3 284. -4 290. 2 296. 2 302. 3,75 308. 1 4 4 49 9 15 16 3 13

313. 1

185. 1; 

200. 2;  205.  9;0

210. 2,8; 

215. 5 221. 0 227. 3 233. 6 239. 1 245. 9 251. 81 257. 1 263. 0 269. 3 274. 1000000 279. 3 0 285. 3 10 291. 9 3 297. 0 4 303. 2 3,75 309. 4,8 -1 3 9 64 3 8 100 0 11

314. 1

 1   1 1       1;  ; 318.   ;    5  5 5  310

315. 1



 



 2  319.  ; 2   2 ;0   0;   2;  3  4 1 321. log 5 2  x  1; x  1 320. log 7  x  log 7 ; 0  x  log 7 4 2 9 2 1 1 1 322.   x  0 323.  1  x   ;   x  0; 0  x  1 2 4 3 325.  log 2 10  x  1 324. x  1; log 5 6  x  2 12 3  21 x 1 327. log 3 ; x 1 5 2 1 2 2 1 1 1   x   ;   x  0; x  0 329.   x   ;   x  0; x  0 2 5 7 2 3 5 3 1 2 1 x ;  x0 331. x   ; 0  x  4 12 3 12 25 25 5 1 x ;  x 1 333.  x  1; 3  x  11 9 4 4 3 x  1; log 3 2  x  log 3 10  1 335. 1  x  0; x  log 2 17  1

326. x  log 32 328. 330. 332. 334.

336.  3;2   1;0 338.  15  x  340.

1  73 ;5 x6 2

1 1  x  ; x  1; x  2 8 2

337. 0;1  2;3

339. 1  37  x  341. 0  x 

2  292 16 ; x6 3 3

1 1 ;  x  1; 4  x  16 4 4

19 ;  3  x  15 ; 1  2 6  x  6 5 43  11  x  1  3 11;  79  x  7;  x  79 ;  1  3 11  x  9 5 11 3  x  2; x  8 345. x  6; 0  x  7 7 13 9 6 x ; 7 x8 347. 4  x  ; 5  x  6 2 2 349. 0  x  1; 1  x  2; 2  x  3; x  4 x  2; x  0

342.  4  x  1  2 6 ;  15  x   343. 344. 346. 348.

1 5 5 1 5 1  x  0; 0  x  ;1 x  2 2 2 1 5 1 5 5 1 351.   x  1;  x  0; 0  x  2 2 2 7 7 352. 6  x  4; 4  x  6 353.   x  1; 1  x  2 2

350.

311

§2.8. Системы уравнений. 1.

2; 1

1; 1  1; 3

0; 1  2;  1

7. Ø 13. 10 19. 25. 10 31. 9 37. 8

8. 14. 20. 1 26. 24 32. 36 38. 0

9. 15. 2 21. 27. 4 33. 4 39. 3

43. 27

44. 8

45. 

49. 0 55. 20 61. 6 67. 10 73. 72

50. 9 56. 27 62. 15 68. 40 74. 0,36

79. 0

80.

85. 8 91.

 6

96.

arctg

99.

9

2; 1

1; 2

6. Ø

10. 10 16. 6 22. 12 28. 20 34. 4 40. 0

11. 8 17. 8 23. 18 29. 1 35. 9 41. 64

12. 82 18. 24. 4 30. 10 36. 0 42. 4

46. 0

47. 6

48. 19

51. 36 57. 6 63. 30 69. 30 75. 5 2 81. 35

52. 12 58. 2 64. 8 70. 41 76. 5 8 82. 3

53. 7 59. 0 65. 5 71. 6561 77. 5

54. -3 60. 10 66. 2 72. 8 78. 0

83. 0

84. 64

86. 36

87. 1

88. 36

89.

92. 2

93. 1

94. -1

95. -1

1 1  arctg   3 2 100. 

2 9

65 9

97. 6

98.

2arctg

90. 1

5 1  2arctg 2 2

101. -3

102. 1,25

103. 2 108. 16.

104. 3.

105. 34.

106. 8,5

107. 1

109. (5,4,5)

110. (5,4)

111. (1,3)

112.

 x  12; y  3; z  1 113.   x  3; y  3; z  4

114. 2;3,  6;1

116. 1;6,  3;2

 3 1 117.   ; , 3;1  2 2  11 21  120. 2;0,  ;  2 4

 43 21  119. 2;0,  ;   4 4

5 4

312

 2; 2 

3 1 115.  ; ,  3;1 2 2  1459 728  ; 118. 3;0,   27   27  731 728  ; 121. 3;0,   27   27

36   49 9  ; log 3  122.  0; log 3 ,  log 3 17 27 7   250   124.  0; log 5 , 2 log 5 8  3;2  log 5 8 141  

128   123.  0; log 2 , 2 log 2 7  6;4  log 2 7 71   270   125.  0; log 3 , 2 log 2 8  4;3  log 3 8 97  

 1  1  1;  2  126.  3 3 2  2 

 1  1  1;  2  127.  3 3 3  3 

 1  1  2;  1 129.  3 3 3   3

130.

132.

5;2

133.

3;2

 1  1  2;  1 128.   3 3 2 2  

4;2

131. 134.

 2;2

6;2 135. (9;3).

   136.  x    n  k , ; y    n  k , n  Z , k  Z 6 6   k  k  k  k 1  137.  x     1  n  , y     1  n  , n  Z , k  Z 4 12 2 4 12 2 

     138.  x     n  k , y     n  k , n  Z , k  Z 6 2 6 2    n   n 139.  x    1n 1  k  , y     1n 1  k  , n  Z , k  Z 4 12 2 4 12 2  k 3  k 1  140.  x   1  , k  Z; y    2n, n  Z 12 2 4 

  n 1  141.  x    k , k  Z ; y   1  n, n  Z 6 4 

k   k  n  142.  x   1  , k  Z ; y    1  n, n  Z 12 2 4 4     n  143.  x    k , k  Z ; y     1  n, n  Z 3 4 4   2 m 144.  x  arccos  2k , k  Z ; y   1 arcsin 3 

5  m, m  Z 6

  3  k    145.  x  arctg 4  k , k  Z ; y  arccos    k  2   1m  1 , m  Z  4   2    

313

  4 15   k    146.  x  arcsin  k , k  Z ; y   arccos    k  2   1m  1 , m  Z 5 10   2        1 k    147.  x  arctg  k , k  Z ; y  arctg 2 2    k  2   1m  1 , m  Z   3 2      153. (0;0;0;0;0) (1/3;1/3;1/3;1/3;1/3); (-1/3;-1/3;-1/3;-1/3;-1/3) 154. (1;1;1) 156. (1/2;1/2;1/2); (-1/2;-1/2;-1/2).

§2.9. Совокупности и системы неравенств. 1.

3; 5

5. 9.

Ø  5; 0

6. Ø 10. 7

22.

 ;  1  ; 7  ; 

 ;  1

26.

 ; 2

27. Ø

28.

 1; 1

30.

 ; 

31. (3;5)

32.

−∞; ∞

−1; 1

35.

−1; ∞

36. (1; ∞)

−∞; −7 ∪ 0; 9

39.

0,2; 1,5

40.

21. 25. 29.

17.

33.

 ;  3  ; 5

3; 10  9;   ;   ; 5  7;   ;  0,5;   ; 2  2,5; 

 5;   ; 5  13;  3; 5

13.

6; 

1 1

;

14. 18.

34. 38.

4 3

37. (0;9) 41. 5 46. 1 51. 5

42. 3 47. 2 52. 1

3. 7.

4. 8.

11. Ø 15.  ; 

12.

19.

20.

23.

43. 6 48. 1 53. -1

16.

 15;  4,5; 

24.

44. 21 49. 1 54. 1,5

56. (2;3), (3;3), (4;3), (4;4), (5;2), (5;3), (6;2), (6;3) 58. 6-π 59. 4(6-π) 60. 6,25(6-π) 61. 4π+4 π 63. 10 − 64. π-1

−2; 2 45. 7 50. 6 π+2 55. π

57. − 4 2 62. 4π+4

Глава 3. Функция 9.

 ; 

12. [0; +∞) 15.  ; 

§3.1. Область определения функции. 10. 13.

 ;   ; 

16. [1; +∞) 314

11. (-∞; 0)U(0; +∞) 14.  ;  17. (-∞; 3]

18. (-∞; -1,5)U(-1,5; +∞) 21.

 ; 

19. (-∞; 0)U(0; +∞) 22.

 ; 

20. (-∞; 1)U(1; +∞)



 k , k  Z 2 26. (0; 1)U(1; +∞) 23.

x

24. (-∞; -3)U(-3; +∞) 25. (0; +∞)  1  5   1  5 1  5   1  5    ; ;  27.   ; 28. [0; 2)U(2; +∞)    2   2  2 2       30. x  k , k  Z 29. (-∞;-1] 31. (-∞; 1)U(2; +∞) 34. (-∞; -1)U(-1; 1)U(1; +∞) 32. (-∞; 0] 33. [0; +∞) 35. (0; 3)U(3; +∞) 36. (1; +∞) 37. (-∞; 0]     2k ;   2k  39.     2k ;2k    38. [-4;-2]  k    k   



43.

 1  0;   1;3  3

46.

 lg 2; 

49.

(-∞; -1)U(-1;1)U(1; + ∞)

 1 5   1  ;1   0;  2   2    1  44.  ;1  3;  2   3  47.  ;   2  50. (1; +∞)

52.

0;1  1; 

53.

56.



60.

0;1

 ; 

 ;1  1; 

 1 1  4 ; 4   

1;3

10.

3;7

11.

12.

1; 

13.

0; 

14.

11   4 ;   

15.

16.

 1   4 ;   

17.

49     ;  8 

18. 1

41.

40. (-∞;+∞)

57.



58. 61.

5   

42.

0;1

45. (-∞;0] 48. (-∞;-1) 51.

x    k , k  Z

1    2;  2  1 e   ;1  2;  ;2  59.   e  62.  ;1   1;0  

54.



55.

§3.2. Область значения функций.

 1 1  6 ; 6    3   4 ;   

19. 1 315

20. 0

21. 0 25. 2 29. -1

22. -1 26. -4 30. -1

23. 0 27. -1 31. 0

38.

4; 

39.

 ; 

42.

 ;2

43.

 1; 

24. 0 28. 0 32. 13  2 3 2 3  ; 36.   3   3  1  40.  ;   4  44. 4; 

33. 0

34. 7

35. 1

41.

1   1; 3     ; 

45.

0; 

46.

 7   4 ;   

47.

0; 

48.

0;1

49.

0;1

50.

 1

51.

 ; 

52.

    2 ; 2   

53.

  0; 2   

54.

56.

 ;0  0; 

  2 2   0; arccos   3    

60.

  7 3 / 4   0;      27    

37.

57.

log

55.

2; 

58.

 ;e ln 2 log e ln 2

0; 

59.

0; 2  4

§3.3. Четность и нечетность функций. 1. ННЧО 5. ЧНОО 11. 2 17. 2 23. 5 29. 3

2. ЧНОО 6. ЧНОЧ 12. 1 18. 1 24. 3

3. ОЧОН 7. 2 13. 4 19. 2 25. -2

4. ЧНОО 8. 1 14. 3 20. 1 26. 850

3. ЧООО 9. 3 15. 2 21. 30 27. -4

4. ОНЧО 10. 3 16. 3 22. 26 28. -3

§3.4. Периодичность функций. 1. 2 7. 8 13. 3 19. 4 25. 2 31. -1. 37. -9

2. 2

 8. 2  14. 2

20. 6 26. 2 32. 2.6 38. 0,25

3. 

4. 

5. 

6. 6

9. 2

10. 

11. 

12. 

15. 

16. 2

17. 2

18. 1

21. 12 27. 1 33. -2 39. 28

22. 40 28. 2 34. 1.5 40. 12

23. 12 29. 2 35. -5 41. 12

24. 2 30. 2 36. -7 42. 4

316

43. 0 49. -8 55. -3

44. 3 50. 6

45. 0 51. -16

46. 3 52. -8

47. 6 53. -10

48. 4 54. 5

§3.5. «Сравнение» функций. 1. [-6;1] 5. 4;1 2;4 9.

4 1;1 5

2. [2;5] 6. [-5;0]U{4}

3. [-5;-4]U[4;5] 7.  5;2  2;4

4. (-6;-4]U[2;5] 8. 1;5

10.  4 5

3  11.   ;  4 

12. 

13. 1

14. 0; 

17. 10

18. 1 22. ∅

21. 10







16. 1;0 1;  15.  ; 2  0; 2 19. 5 20. 14     5       2k   23.     2n;  2n       2k ; n n   6 6    2    2

        24.    n;  n 25.    n;  n n n 4 4  4   4  27. 2;9 28. 0;3 29. 0;2 31. 0;1 32. 1;0 33. 1;0

26. 5;11 30. 0;1

§3.6. Производная. Применение производной.

1. y  0 1 5. y   x

1 sin 2 x 3 x 1 13. y    2 9. y  

2. y   1

3. y   e x

6. y   cos x

7. y   sin x

10. y  

1 1 x

11. y   2

14. y  1 cos x

1 1 x2

15. y  1 4 x

4. y  2 x ln 2 1 8. y   cos 2 x 1 12. y   1 x2 1 16. y   3x 2  x 2 / 3 3

17. y  2e 2 x  5

18. y   e  x  3x 2 

20. y  e x  sin x  2

21. y  e x  2 cos 2 x

23. y   sin x  2 cos 2 x  1

1 x x 24. y   1  e  x  sin 25. y   e  2 sin x  112 x 2 2 1 1 1 3   21x 2 28. y    2  4  27. y   2 cos x x x x

26. y  

1 2 x

 5 cos x  64 x

29. y  5 sin x  cos x  200 x199

2 x

30. y   130 x 9  317

19. y  15x 4  3e 3 x1  1 22. y   2e 2 x  1 

1  ex sin 2 x

1 2 x

31. y   3 cos x  2 

1 2 x

33. y   3 cos x  5 sin x  35. 8

36. 4

2 41.  15 47. 0,7 53. 2 59. 0,25

32. y  2 cos x  6 x  e x

34. y   

2 x 37. 1

42. 0

43. -4

48. 1,75 54. e  e

49. 1.2 55. -1

38. -2 1 44. 6 50. 2 56. ∅.

60. 0

61. 1/2

62. -1

65. y   2 

3 x2 x 2 ( x  3) 68. y   ( x  2) 2 71. 800

66. y   42 

1 x2 2x 69. y    2 ( x  1) 2 72. 6

74. y  x x ln x  x x

75. y   2 ln x  x ln x 1

77. 24 ln 2  12

78. e / 2



80. 45 , 64

81. 0,5; e 2 84. 83. 16+6π 3 86. 12 дм, 12 дм и 9 дм 87. р= 89. р=320, AB=60, BD=60, MN=35.

1 1  50 x 9  2 x cos 2 x 39. 4/3 40. -0,5 45. 5 51. 0 57. 0,75

52. 0 58. 0 1 2 x 64. y   x 63. 4 e 2 x 2 67. y   40  2 x x cos x  sin x 70. y   x2 73. 0,5 1   76. y    2 ln x   2  x 2 x 1 x   79.



46. 1

2  1 см

82. 22/3 85. 6 88. р=190, AК=40, AL=40, DE=20.

§3.7. Касательная. 1. y  2 x 5. y   9. 14 15. 5 21. -4 27. 0 33. 1 39. 4

2. y  x  2

4. y  x  1

3. y  x

5 1  1 7. y  1   x x 2 2  e 10. 2 11. 1 12. 2 2 18.  2 16. -24 17. 2 3 22. 5 23. -0,5 24. 3 28. 0 29. -1 30. 7 34. -1 35. -2 36. 2 40. -10 41. -17 42. -6 6. y 

318

8. y  13. 2

1 1 x 1 2 ln 2 ln 2 14. 0

19. 1,5

20. 1,25

25. -0,75 31. 0,0625 37. 2 43. ≈0,72

26. -1 32. 0,25 38. -2 44. 1

45. 37 51. 286,5

46. 16 52. 1

47. 17 53. 15

48. 1,125 54. 205

49. -0,75 55. 2,4

§3.8. Монотонность функций. № 1.

Возрастает  ; 

0;  0;   ; 

∅

2. 3.

6. 7.

 ;0

∅

;0  ;0

∅

 ;  ∅

Убывает ∅

 ;0; 0;  0;  0; 

0;   3;   1; 

∅

     2  2k ; 2  2k , k    

3    2  2k ; 2  2k , k    

14.

   2k; 2k , k  

15.

 

2k;   2k , k   ∅

10. 11. 12. 13.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

∅ ∅



    k ;  k , k   2  2  ∅

 5   6 ;   

0,8;  0,8;  3,5;  4;  1   3 ;     ;1

 1;1 5    ;  6   ;0,8

 ;0,8  ;3,5 ;4

1    ;  3  1;  319

50. 2 56. 0,6

24. 25. 26. 27. 33. 39. 45.

0,75; 

 ;0,75

 7   6 ;    2,5;  2 28. 1 34. 1,5 40. 14. 46.

7    ;  6   ;2,5 1,9375 30. 3,5 2 36. 1 4 42. 2  ;1; 1;  48.

0 1 5

29. 35. 41. 47.

50.

3   2 ;   

53.

   2k ; 2  2k , k    

55. 4 59.

51.

56. 4

1; 

54.

57.

 ;2  2 2 ;  12 ;2

52.

1; 2 

31. 1 37. 1 43. 3

 2;2  3 

32. 2 38. 3 44. 3 49. 0; 

  2 3 2  2k ;  arcsin  2k , k     arcsin 2 5 5 2      2  2k ;2k , k     1 5  ;1 58.   2 

 2  2 

§3.9. Точки максимума и минимума. 1. Pmax= нет 4. Pmax= 0 7. Pmax= 1 10. Pmin= 0

2. Pmax= нет 5. Pmax= 0 8. Pmax= -0.5 11. Pmin= -0.25

3. Pmax= нет 6. Pmax= 0 9. Pmax= 0 12. Pmin= 0

13. Pmin= −1/3

14. Pmin= нет

15. Pmin=

17. Pmin= 1; Pmax= -1,5

18. Pmin= 1; Pmax= нет

16. Pmin=

1 5

19. Pmin= нет; Pmax= 2,5 22. Pmin= -4; Pmax= нет 25. Pmin= -0,125; Pmax= нет 28. 1 29. 2 34. 1 37. Pmin= 1 2 ; Pmax= 1 39. Pmin= -2; Pmax= 2 42. Pmin= нет; Pmax= 0

1 3

20. Pmin= -1; Pmax= нет 21. Pmin= нет; Pmax= 1 23. Pmin= -1; Pmax= 1 24. Pmin= 0; Pmax= ± 2 26. Pmin= 0; Pmax= 2 27. Pmin= ±1; Pmax= 0 30. 1,25 31. 0 32. 1 33. 1 35. Pmin= 3; Pmax= -3 36. Pmin= 2; Pmax= -2 38. Pmin= 3  3 2 ; Pmax= 3  3 2 2 40. Pmin= 1,5; Pmax= нет 41. Pmin= 2,5; Pmax= нет 43. Pmin= нет; Pmax= 0,5 44. Pmin= 1; Pmax= нет 320

45. Pmin= 



; Pmax= нет 4 48. Pmin= нет; Pmax= 0 51. Pmin= нет; Pmax= 0 54. Pmin= 3

46. Pmin= нет; Pmax=

 4

47. Pmin= нет; Pmax= 0

49. Pmin= нет; Pmax= нет 52. Pmax= 2

50. Pmin= нет; Pmax= нет 53. Pmax= 5/4

§3.10. Наибольшее и наименьшее значение функции.

1. 2 7. 1 13. -5 19. 1 25. 2 31. 0 37. −

2. 3 8. ln2 14. 2 20. -3 26. -3 32. 2 1

38. −

43. 1 + 7

58. 64.

39.

16 3

−1

9 60001

4. 1 10. 1 16. 0 22. -25 28. 2 34. 0

5. 8 11. 2 17. -1 23. 2 29. 1 35. 8

6. 10 12. 2 18. -5 24. -13 30. 1 36. -

40. −175

41. −72

42. −

45. 1 + 14 − 3

50.

54. 4 59.

125 3 14

2 3

44. 1 + 13 49. –

48. 2 53.

3. 2 9. 1 1 15. − 3 21. 1 27. 0 33. 7

16 23

46. 0.5

51.

4−2 2

971

55. 2

56. −

60. 3

61. 196

47.

3 2

200 +44 22

65 28

52. 3

36−18 2 3

+ 25

57. −6

62. π

63. 4 2 + 2

§3.11. Первообразная и неопределенный интеграл.

1. 1

2. x  3

4. y  ln x

5. y  arctg x 

3x 3  2 ln 3 ln 3 10. y  sin x  1

3. x 2  2

 4

6. y  arcsin x  1

1

1 e 11. y  ctg x  1

7. y 

9. y   cos x

8. y  e x 

12. y  tg x  1

14. y 

1  x2 1 ln   ln 5  3 4  x2 4

15. y   ln1  x   ln 3  1

16. y 

1 3 1 2 x  x  x 1 3 2

2 3/ 2 4 x 2 x  3 3 1 1 19. y   x 1

18. y  2 x  1  3

13. y  arcsin x 

 2

1

17. y 

21. y  x  lnsin x  

 3

 ln

20. y   3 2

2x  1

22. y  e x  321



9 8

1 2 x  2x 3 / 2 2

23. y   24. 1 30. -1

1 2 x 1 4 5 e  x  x2  2 4 2 25. 17 26. 17 31. 0 32. 0,5

27. -0,5 28. 1 29. 0 33. 0 34. -1 35. -0,5 x  2   38. 2 ln   C , где C  R . 36. -1 37. -3  x 1  1 2  2ctg x  C , где C  R . 39. lnx 2 1  C , где C  R . 40. 2 sin 2 x 3 3 1 41.  lncos x   x  C , где C  R . 42. x  sin 2 x  cos 3 x sin x  C , где C  R . 8 16 4  2 2 x  1 1   C , где C  R . arctg  44. 43. ln 2 x  C , где C  R .  2 3  3  45.

1  x 1  ln   C , где C  R . 3  x2

47.  arctg 2 x  1  C , где C  R . 49. sin x  x cos x  C , где C  R .

 2x  3    C , где C  R . arctg   7  7  48. xe x  e x  C , где C  R . 50. cos x  x sin x  C , где C  R . 46.

§3.12. Функциональные уравнения и задачи. 1. x 2  1

2x  2

3. 2 x 2  1  1

x 1

7. x 2

x

1 x 1

x  1

x 1

x 1 2

10.

x2  2

13. 0 19. ∞ 25. -9 31. 1 37. -1.

47. 2000. 51. 1; -1.

14. 1 20. ∞ 26. 0 32. 8 38. -2.

43. f ( x) 

3 cos x sin 2 x 11.  12. 2 1  sin x 1  cos 2 x 16. 0 17. 1 18. 0. 22. 2 23. 2 24. 4 28. -4 29. 0,5 30. 5 34. -11 35. 8 36. -1. 1 41. 0. 42. f ( x)  x 2  2 x  1 3 2

1 5 x 2

15. 7 21. 1 27. -1 33. 0 39. 2

40. -4.

44. -2.

45. 1.

46. 2010.

48. 2009.

49. 2011

50. 2.

322

§3.13. Построение и определение графиков функций.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

323

р)

с)

у)

ф)

т)

Глава 4. Векторная алгебра и геометрия. §4.1. Векторы. 1. {4; 2} 2. {14; -2} 5. {-14; 2} 6. {-8; -4; 7} 9. (4; -6; 3) 10. (1; 7; 0) 13. {12; -6; -11} 14. {0; 6; -12} 17. {-30; -20} 18. {-28; 12; -8} 21. 5 22. 5 23. 10 27. 26 29. 5 28. 41 33. -17 34. 7 35. 5 39. -3 40. 17 41. 3 45. 17,4 46. -0,2 47. 0,5 51. 3,25 52. 3 53. 1,5 57. -3 58. 0 или 4 59. 0 или 1 63. 7 64. 0,2 65. 1 69. 1,4 70. 54 71. 76 75. -34 76. 65 77. 10 81. 2 82. 1 83. -1 87. 1 88. -11 89. 14 93. 11 94. 5 95. 1 99. 24 100. 54 101. 9 105. 3 110. 20

106. -5 111. 22

3. {-5; 10; 2} 7. (4; 7) 11. {2; 9} 15. {-4; -10} 19. {-30; 20; 10} 24. 5 25. 41 30. 10 31. 38 36. 15 37. 21 42. 5 43. -5,8 48. -0,2 49. -2 54. 2 55. 0,5 60. -2 61. -1,6 66. 1 67. -1,5 72. -62 73. -30 78. -1 79. 9 84. 1 85. 13 90. 8 91. 0 96. 10 97. 7,5 102. 13 103. -19,5

4. {8; 4; -7} 8. (-4; 6) 12. {4; 0} 16. {-32; 4} 20. 5 26. 10 32. 1 38. -9 44. -5 50. 3 56. -2 62. 7 68. -0,2 74. 61 80. 1,5 86. -3,5 92. -5 98. 450 104. -12 22 109. arccos 107. -1 108. arccos 0,2 111  33 112. 11 113. 25 114. 4 115. 0,4 324

116. -1 122.

200 29

128. 7 0,4 134. 15 138. 0; 0; − 142. arccos 146. 1

117. -5

118. 2

119. -0,5

120. 15

121. 200

123. 6

124. 2

125. 11

126. -6

127. 48

131. -53

132. -24

133. -26

129. 49

130. 0

135. 1 2 17 703

128

41 1

, 0; ; − .

136. 139. 5

1 1 1

; ;

140. V =

143. 11х-7у-2z-21=0.

147. 6

17 33

;

18 53

;

137. Ø

3 3 3

150. 0,25

151. 49

153. 14

154. 3 i  8 j  9 k

151

,h=

2265

141. arccos 1/5

144. 2x+11y-5z+19=0

148. 6

173

151

13 17

;

16 77

;

36 93

145.

149.

1 2

65 2 155. 9;11;  17

152.

157. 30 156. 25i  5 j  35k 159. 30 160. m  0 161. m  1 164. -1 165. -1 166. 11

158. 3 162. 2

163. 1

§4.2. Планиметрия. 1. 3 6. 9 11. 2 16. 1050 21. 600 26. 900 31. 600 36. 18 41. 500 46. 0,24 51. 6 56. 13 61. 13 66. 2 71. 15 76. 31,5 81. 160 86. 1,5 91. 13 96. 30 101. 240 106. 5,4

2. 20 7. 5 12. 6 17. 790 22. 1200 27. 1200 32. 450 37. 36 42. 500 47. 0,24 52. 10 57. 4 62. 24 67. 6 72. 3 77. 9 82. 140 87. 6 92. 25 97. 35 102. 10 107. 0,216

3. 6 8. 22 13. 4 18. 700 23. 450 28. 600, 600 33. 1500 38. 9 43. 570 48. 0,345 53. 36 58. 12 63. 2 68. 10 73. 7,5 78. 56 83. 10 88. 8 93. 15 98. 56 103. 160 108. 10,625 325

4. 30 9. 4 14. 5 19. 850 24. 1620 29. 1500 34. 200 39. 64 44. 430 49. 0,9 54. 0,8 59. 4 64. 10 69. 0,3

5. 15 10. 6 15. 6 20. 380 25. 360 30. 500 35. 1700 40. 72 45. 10 50. 0,5 55. 8 60. 12 65. 7 70. 12

74. 20 2 79. 36 84. 4 89. 0,625 94. 9 99. 8 104. 640 109. 21,25

75. 6 3 80. 160 85. 20 90. 2,5 95. 12 100. 4 105. 360 110. 31,875

1,5

111. 116. 121. 126. 131. 136. 141. 146. 151. 156. 161. 166. 171.

10,625 90 15,6 384 42 6 122,5 36 30 1/3 42 0,75 12

112. 117. 122. 127. 132. 137. 142. 147. 152. 157. 162. 167.

31,875 120 24 14 3 21 12 10 3 80 2 4

113. 118. 123. 128. 133. 138. 143. 148. 153. 158. 163. 168.

30 4 6 7 12 84 4 5 25 100 3 6

114. 119. 124. 129. 134. 139. 144. 149. 154. 159. 164. 169.

60 27 96 21 3 756 6 2 169 48 1,5 8

115. 120. 125. 130. 135. 140. 145. 150. 155. 160. 165. 170.

15 16 216 28 9 47,25 24 20 7 160 2,5 10

§4.3. Стереометрия. 1. 6 6. 481 11. 75 16. 5 21. 36 26. 56 31. 5 36. 2 41. 1,25 46. 20 51. 18 56. 12 61. 8 66. 4 71. 125 76. 300 81. 84 86. 450 91. 6 96. 100 101. 216 106. 160 111. 6 116. 486. 121. 240 126. 32 131. 4,8 136. 0,6

2. 8 7. 16 12. 100 17. 50 22. 14 27. 20 32. 9 37. 12 42. 2 47. 4 52. 35π 57. 100π 62. 900π 1 67. 457 π 3 72. 8 77. 15 82. 10 87. 30 92. 100π 97. 6 102. 2 107. 5 112. 96 117. 450 122. 7,5 127. 32 132. 24 137. 8

3. 6 8. 20 13. 40 18. 30 23. 12 28. 3 33. 72 38. 50 43. 1,5 48. 2 53. 10 58. 15 63. 12

4. 120 9. 150 14. 45 19. 100 24. 63 29. 36 34. 243 39. 1,5 44. 13 49. 20 54. 6 59. 10 64. 3

5. 385 10. 3 15. 4,5 20. 49 25. 15 30. 63 35. 4 40. 1,5 45. 14 50. 16 55. 12 60. 100π 65. 288π

68. 5

69. 144

70. 7

73. 54 78. 2 83. 336 88. 450 93. 13 98. 192 103. 384 108. 450 113. 54 118. 702. 123. 120 128. 36 133. 48 138. 0,8

74. 600 79. 360 84. 450 89. 3 94. 64 99. 96 104. 20 109. 24 114. 648. 119. 3 124. 36 129. 24 134. 0,6 139. 4,8

75. 15 80. 15 85. 15 90. 2704π 95. 12 100. 62,5 105. 600 110. 8 115. 300 120. 6 125. 36√2 130. 12 135. 16 140. 4

326

141. 2,4

142. 12

143. 7,2

146. 324 3

147. 250

148.

144. 1

145.

128 41

Глава 5. Задачи на параметры. §5.1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами. 1. при a  0 , x  R ; при a  0 , x  0

2. при а = 0,  ; при а  0, х =

1 а

3. при a  0 , x  R ; при a  0 , x  1 4. a  0 6. 7. p   1 p 1 5. a  0 8. -1 9. a  8 10. a  6 11. -1 12. 1; 3 4 1 129 15. a  1 , a  1 14. 1 13. x  12  16. a   a 1 2 6 18. a  0 19. -1 20. 0.5 21. -0.5 17.  22. -0.5 23. -1 24. -2 25. 1 26. 0.2 27. 1 28. 2 29. 5 30. 1 31. 0.5 1  33.  a;  35. a   1;0  1;  32.  ;  34.  a  37. a  0;  1 38. p  0 36. a   1;0  3; 

1 1   39. при a  0 ,   ;  ; при a  0 ,  ;  ; при a  0 , R . a a   1    1  40. при a  0 ,   ;  ; при a  0 ,  ;  ; при a  0 , R . 3 a 3 a     15  15   41. при a  0;5 , x    3;  ; при a   ;0  5;  , x    ;  3 ; a a    при a  0 и a  5 ,  . 1  42. при a  0 , x  R ; при a  0 , x    ;  . a  43. при a  4 ,  , при a  4 , x   3a;  ; при a  4 , то x   ;3a  . 44. при a  4 ,  ; при a  0 , x  R ; при a  0;4 , x   ;3a ; при a   ;0  4;  , x   3a;  .

327

4   45. при a  3 ,  ; при a  1 , то x  R ; при a   3;1 , x    ; ; 3  a   4   ;  . при a   ;3   1;  , x    a3  48. a   ;3 46. a  3 47. a  0

 1  ;0  50. a   ;2 49. a    3  5a  3 7 7 5a  3 7 при a  ;  при a  ; x  при a  . 51. x  3a  7 3 3a  7 3 3 2 3a  1 2 3a  1 2 при a  ; x  R при a  x  при a  . 52. x  2  3a 3 2  3a 3 3 53. a   ;1  2;  55. a  0;1. 54.  4  56. p   ;1   ;  5  



57. p   ;1

58. p   ;1



59. p   2  2 3;5

§5.2. Квадратичный многочлен. 5  1.  ;  3  4. b ≤ 3/2 или b = 2. 7. a>-1 8. -2 12. (-∞;-2)U(2;+∞)

2. а = 5.

3. -4<а<0 или 0<а<1.

5. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0. 6. а<0 9. 2 10. a>0 11. {0}U{-1} 13. а<0 14. k>4 15. (-∞;-5)U(3;+∞) 12 19. a  3,25 20. a  1,25 16.  18. a   17. (-3;-2)U(-2;-5/3) 7 21. a  2 22. а = 0, или а = -1/2, или а = -3/2. 23. (-3;1) 25. a   4;2

24. a  1;1,5  2;6 28. a   1,5;0;3



31. b   3;0  0; 15 34. 37. p  5



26. a   3,5;3



29. a   2;0,5;0

30. b   11;1  1;3

32. a   1;0  0;1,6

25   1   33. a    ;   1;3  21   8  

35. a  2;4,5

36. b   62,5;13,5

38. a  2; b  2 или a  6; b  2 40. a   0,2;0 41. a   1;1 43. a   8;0



27. a  1; 

48. 0,8 328

39. a  6 или a  2 42. a  0;18 49. 1;2

50. a  6

51. a  4

1 3

  3  2a  9  16a   3  2a  9  16a ;  при a  0 ; 52.   ;    2a 2a     1    3 ;  при a  0 ;    3  2a  9  16a 3  2a  9  16a  9 9 ; ;  при a  .   при 0  a  2 a 2 a 16 16     1  2a   7  16a   1  2a   7  16a 7 53.   ;  ;  при - 1  a  - ;     2a 2a 16     1   - ;  при a  1 ; 3 

54. 55. 56. 57.

 1  2a   7  16a 1  2a   7  16a    при a  1 ; R при a   7 . ;   2 a 2 a 16   2a  1; a  5 при a  4 ;  при a  4 ; a  5;2a  1 при a  4 .  ;3a  1  a  3;  при a  2 ;  ; a  3  3a  1;  при a  2  ; a   0,5;  при a  0,5 ; R \ -0,5 при a  0,5 ;  ;0,5;   a;  при a  0,5 . a;0,6 при a  0,6 ;  при a  0,6 ; 0,6;a  при a  0,6 .

2  58. a    ;2  3  61. a   2;1

 1  59. a   ;1  3  62. a  1; b  1

60. a  0,5;1 63. a  2; b  9

§5.3. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами. 1. если а  1, то х = а; если а = 1, то нет решений. 2. если a  2 , то x  a ; если a  2 , то корней нет 1 3. − 3

4. 5. 6. 7. 8. 9.

с (-9; 0)(0; +). а = ±2 или а = -10/3. при а = -3, х = 2; при а = 0, х = 4; при а ≠ 0 и а ≠ -3, х = 4 или х = -а -1. -4/3 ≤ а < 14/9 или 14/9 < а < 3. 10 40 (±2, − ) 3 -1,5 (b=-2 или b=0,5) 329

10. (−∞; −9) ∪

7 9

; +∞

11. x1  a , x2  (a  a  2), x3  a  a  2 . 12. 1. Если 2  a  2 , то уравнение имеет один корень x = -a. 2. Если a = 2 a или a = -2, то уравнение имеет два корня x1  a, x2  . 3. Если a < -2 2 или a > 2, тогда уравнение имеет три корня: x1  a , 2

a  a2  4 a  a2  4 , x3  2 2 13. (-0,75; -0,5)U(-0,5;0) 14. (-∞;-10/9)U[0;+∞) 16. (-∞;5]U(0,5;+∞) 17. (-∞;-0,5]U(2/3;+∞) 1  1 1  19. x   ;   20.   ;  2 4 2    x2 

22.

10 3

;∞

23. −∞;

21.

14 3

;∞

24. −∞;

§5.4. Задачи на параметры с модулем. 1. 1. Если a = 2, тогда x  [2, ). 2. Если a > 2, тогда x 

a  2, то «нет решений». 2. a  2 и a  6 . 3. a  2 и 5. a < 0. 6. a = 0 8. a > −2 9. a = −2 11. a ∈ (−∞;−10] и a ∈ [10;+∞) 13. a ∈ (−5; 5) 15. a ∈ (−6; 0) и a ∈ (0;6) 17. 𝑎 < 1 18. ∅ 20. a  0 и a  1,5

21. a  1,5

1 3

27.  1;2

26.  1;7

25. (0,5;1)

15. (-∞;-9)U[7/9;+∞) 18. (-∞;-3)U[-0,5;+∞)

a2 . 3. Если 2

a 6

4. 2  a  6 7. 𝑎 ∈ 𝑅 10. 𝑎 ≤ −2 12. a ∈ (−10;−5] и a ∈ [5;10) 14. a ∈ (−∞;−6] и a ∈ [6;+∞) 16. 𝑎 ≥ 1 19. a<0.  7  22. 0  a  1,5 23.   ;1  3 

1 . 2. Если 1  a  1, тогда уравнение не a 1 имеет решений. 3. Если a = 1, тогда x [0; ). 4. Если a > 1, тогда 1 a x 2 . a 1 25. 1. при a  0, нет корней. 2. при a  0 и a  4, два корня. 3. при a  4, три корня. 4. при 0  a  4, четыре корня. 24. 1. Если a  1 , тогда x  

330

26. a 

5 1 , a  1. 2

27. a < 2

28. a = 5/2

29. a ∈ (2;5/2)

31.  1  a  1  7 или 1  7  a  3.

30. a > 5/2

33. 1. a  2, x1  2, x2  34. a ∈ (0;3). 37. a ∈ [−6;−4) 40. 𝑎 ∈ 𝑅 43. a < 0 46. 𝑎 = 2 49. 0 ≤ 𝑎 ≤ 8 52. (; 0,7]

32. а = -2 или а = -1/2.

26 14 14 26 , x3  . 2. a  2, x1  2, x2   , x3   . 15 5 5 15 35. a ∈ (−2;0). 36. a ∈ [6;8). 9  41   38.  ;1  1;  39.  1;  4   41. а = 0. 42. a > 0 44. a = 0 45. 𝑎 > 2 47. 𝑎 < −4 48. −2 − 6 ≤ 𝑎 ≤ 0 51. −13/4 < a < 3. 50. −∞; 0,7

§5.5. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами. 1. -1/4 < а ≤ 0.

2. а = 1 или а < 0.

4. при а = ± 1, х = 1; а ≠ ± 1, ∅. 7. а ≤ 0. 11. a  2

5. 4

8. 102 12. a<0

3. 4 a < 0; a = 81 6. a  2

9. a   10;8 13. a  0

10. a<2 14. a  0;1

15. При a ∈ (−∞; 0] ∪ [1;+∞) : решений нет, если a ∈ (0; 1) 𝑥 = 16. Если a≤0, a>2 : решений нет; если 0 < a ≤ 2, 𝑥 = 17. 1  a  0,5 , 1,5  a  2 20. a  0

18. a   0,05;0 21. a<0

𝑎 4/5 1−𝑎 4/5 3

3𝑎 2 ± 3𝑎 8−𝑎 3 6𝑎

−1

19. a<0 22. a  0

1 2 2 26. Если а < 1/4 , нет решений; если а ≥ 1/4, то уравнение имеет единственное решение. 28. a  60; b  10 29. a  4; b  10 27. a  b  0 30. -12 (а≤-3) 31. если а  1, то х  0, если а > 1, то х = 0. 𝑎 33. 𝑎 = 0 34. 𝑎 ≤ 0 32. 𝑥 ≥ − 35. 𝑎 > 5 24. a  1

23. a=1

3−𝑎

25. a 

36. если 𝑎 < 3, 𝑥 ≥ ; 𝑎 = 3, 𝑥 ≥ 0; 𝑎 > 3, 𝑥 ≥ 𝑎 − 3 5 37. если 𝑎 ≤ 0 и 𝑎 ≥ 4, ∅; если 0 < 𝑎 < 2, −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎; 𝑎 = 2, −2 < 𝑥 < 2; 2 < 𝑎 < 4, −

𝑎 𝑎 4−𝑎 2

<𝑥<

𝑎 𝑎 4−𝑎 2

331

38. Если 𝑎 < 0 : решений нет, если 𝑎 = 0 ∶ 𝑥 > 0, если 𝑎 > 0 ∶ 𝑥 ∈ [0; 𝑎) ∪ (16𝑎; +∞). 2

39. Если a < 0 : 𝑎 1 + 𝑥 ≤ 2𝑎

≤ 𝑥 ≤ 0; если a = 0 : x = 0; если a > 0 : 𝑎 1 −

2 2

≤

§5.6. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.  3

1. a  1 5.

2. 2  a  2

a  1, b  R

9. 7 (a<-4; a≥-2) 13. -16

10. много 14. 36

11. 12 15. -18

4. 8.

m  1, n  R

12. 33 16. 20

1  18. a   , x   2k , k  Z 2 2 3 3 20. a  1, a  21. a  1, a  2 2

19. a  1 22. a  1 26. 2,25

30. −1;

2 7. a  1, b  R

m  1, n  R

17. a  1, x  2k , k  Z

25. 384

3. 

−1+ 13

3 2

24. a  1, a 

27. -135

29. 14,25 1   1 ; 32.    sin 2 sin 1 

31. b  

3 2 28. 225

23. a  1, a 

2  14 1 ,b  5 9

1   1 ; 33.    cos 6 cos 7  3   2k , m  0, x    2k , k  Z 2 4 4 1 c  2 k  k 35. c   ;0  2;   0, x   arctg  ; c  0, x   2 c 2 4 2 34. m  0, x  R, x 





 k ; m  0, x  

 



a   ;2  2 2   2  2 2 ;1  1;   0, x  arctg 36.





a  a 2  4a  4  k ; 2(1  a)

  k ; a   2  2 2 ;2  2 2 ,  4 1 1 2a  1   k , k  Z . 37. a    ; , x  k ; a   ; , x  k ; x   arccos 2 2 a 1  2  a  1, x 

332

2   a    ;   2; , x    k ; 3 4  38.  2a k  2  k 1 a   ;2, x    k ; x   1 arcsin  , k  Z. 3 4 2 a 2 2   5   40. a    ; . 3  42. a   ;1  5; 

39. a   ;3  1;6 41. a  2;4. 43. a   ;3   2  1; 

1 1 1  44. a   ;    ;1 3 2 2 

46. a   2 . 49. a  ;0  2;3 4; 

47. 9

45. 1



 

50. a  ;1  3;4 5; 



51. a   ; 10   6 ;0  3 12;  54. k  1;0;1

53. k  4,   Z 56. a  2 2

57. a 

59. b  2a, d  a, c  0 62. 𝑎 ∈ −0,25; 0

48. a  2

2 1  7 17 52. a   ; ;27; ;  9 5 11 35   55. a  3;2;1;0

4n  , x   2k ; k , n  Z . 4k  1 2 60. 0; 𝑡𝑔1 63. 0

64. 18 (a>5/9)

58. a  b  c  0 61. (-1;0), (0;0), (1;0) 1 1

65. − ;

2 2

66. −2 − 6; 2

67. −∞; 1

68. 2

69. 4

70. 0;2,4

 7 11  71.  1 ;2   8 12 

 1  72.   ;   4 

73. a 

74. 1; 

3  75.   ;  11  

76. 4

77. 1

5 13

79. 6  b  6

80. 

78. a 

12 a0 5

1 3

81. 1  a 

17 5

§5.7. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства с параметрами. 1. 5 (а≤0, а=1) 5. -30 (а≤1, а=5) 9.

−1; 2

13. 1 17. 0,5

2. -1 6. 42 (а≤-2) 10. −∞; 2 14. 8; ∞ 18. 5

3. 2 4. 1 (-1) 7. -9 8. −8; −3 ∪ 3; ∞ 11. −∞; 2 ∪ 12. 10 log 3 19; ∞ 15. 6 16. −∞; 0 ∪ 4; ∞ 19. 2; ∞ 20. −∞; −1 ∪ 0; ∞ 333

21. -3;-2;-1 25. -2;-1 29. 1;2

22. -1 26. -3;-2;-1 30. 1

23. -3;-2;-1 24. -1 27. -1 28. -1 31. a  (;1,25)  [23,75;) 33. a  2;3

32. a  (;4,75]  (8,875; )



 



35. a   1;3  2 2  3;3  2 2 , x  log2

b   ;12  16, решений нет;



 1 1 1 34. a   0;    ;   3  3 2

a2 1 2(a  3)







36. b  12;13, x  log3 1  b  12 или x  log3 1  b  12 ;

  37. a   ;1, x  log 1  1  a или x   log 1  b  13;16  16; , x  log3 1  b  12 12



1  a ; a  1; , 

 3  9  38. a   ;0  16, x  log4   ; a  0;2, ; a  2, x  R; a  2; , x  log4    a  25a 

 2(1  a)   2(1  a)  ; a  0;1 , ; a  0, x  R; a  1; , x  log 3   39. a   ;0, x  log 3      33  1   33  1  41. (2; 2,5) 42. 1 40. 0,8 ; 0,98 44. a  (1; ) 45. −∞; −1 ∪ 0; ∞ 43. a   1;2 46. −99; ∞ 47. a  log 3 2;1  2 log 3 2;1  log 3 2 48. a  0,5;1  log 2 3;  51. a   2;1

49. a  1

50. a  1;2;3;4;5;6

§5.8. Системы уравнений и неравенств с параметрами. 1 3. a  0 4. a  2 2 5. Если а ≠ -7 и а ≠ -1, то система имеет единственное решение (заметим, что значение а = -5 учтено); если а = -1, то решений бесконечно много; если а = -7, то решений нет. 6. 36 7. – 0,75 8. 0 < а < 1.  3 3 10 12   3 3 10   1 1 1 1  ;   ;  10. a   0;    ;    ;  9. a       8 13   2 8  6 4 2 2  2  11. a  ;2  2;  13. a   1;0 12. b=3 1. a  2

14. 0  b  2

2. a  0; 

15. 14 (а>1)

16. 1 (а=1)

334

17. 2 (а=±1)

18. 1(а=1)

19. 0 (𝑎 ∈

;0 )

22. a>3

23. a  0, a  5  4 2

3 4 28. a  0, a  2

26. a  3, a 

25. a 

31. a 

29. a  1, a  2 2  32. a   ;2  3 

11 , a  1, a  3 12

35. −5; 3 ∪

34. 0,5

7  21. a   1;  8   4  3  24. a   ;0    ;   3  4 

20. a   2 ;0  a  1

3 4

27. a  10, a 

1 2

30. a  0 33. 0,5  a  0,25 15 2

36. -1/15 ≤ а ≤ 8.

38. -1

(a  b  1)  b ; если а < b + 1, то решений нет. 4 39. a   2;1  2 40. a=-4, b – любое; a=4, b=2.

41. a=0,4

42. a=0

37. Если а ≥ b + 1, то x  y 

44.

43. a 

1 5 1 5  a  0,  a, x  2 2

a a3  a

,y

1 5 1 5 ,0  a  2 2 a2  a 1 a2 1

45. a  0, x  1  y 4 , y   1 : 1

4 4 4 4 46. a   , x   , y  , z   9 3 3 3 a  b  c a bc abc ,y ,z  47. x  48. 2 49. 15 2 2 2 50. a;1  4;a  при a  4 ; a;1 при - 4  a  -1 ; a;-a  при - 1  a  0 ;

 при a  0 ; - a; a  при 0  a  1 ; - a;1 при 1  a  4 ;

 a;1 4; a при

a  4.

51.  при a  -7 и при a  7 - a;7 при - 7  a  -1 , ,  1; a   a;7  при - 1  a  0 ;  1;a  a;7  при 0  a  1

a;7 при

1 a  7 .

52. a  1

53. a  7

54. a  1

56. a  1

 4  57. a   ;0  5 

58. a  2

335

55. a 

 1 5 2

59. a   6;1  1;6

  1 p2 3 ; x  y  p ; p , если то y  2p 3 2     1 p2 3 ; x  y  p  , при p  - система не имеет решений. y  2p 3 2   61. если p  1 , то y   x  3 ; если p  2 - система не имеет решений; если 60. Если

p

3 , 2

то

  5p  9 ; y  px  3 ; если x  2 p  3p  2     5p  9 ; y  px  3 p   ;2   1;  , тогда  x  2 p  3p  2   1 1 1 62. если p   , то x   - система не имеет y  2 ; если p  2 2 2 p   2;1 ,

тогда

решений; если

 1 1    5p  , тогда  y  ; x  py  2 ; если p    ; 2 2 p 1 2 2   

    1   1 5p    p    ; ;  , тогда  y  ; x  py  2 2 2 p  1 2  2     63. 2,25

§5.9. Смешанные задачи. 1. – 1,5; – 1 2. 1 5. −∞; −2 U(4 15; +∞) 7. [−4; 2 10] 8. [−4 2; 3] 11. a>4 12. a>49

3. 2,5 4. 5 6. −∞; 2 15 U(4; +∞) 10. [−4 2; 2) 9. (−1; 4 5] 13. a>27

Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности. §6.1. Текстовые задачи. 1. 7,5 км/ч 6. 416 км 11. 3,5 16. 24 км/ч 21. 22,5 26. 70 31. 14 36. 5,74 41. 0,5

2. 5 7. 2,5 12. 12 17. 3 км/ч 22. 1,75 27. 9 32. 168 37. 437,5 42. 7

3. 52 км 8. 28 км 13. Нет 18. 22 км/ч 23. 15,25 б/час 28. 368 33. 5,2 38. 5 43. 16 336

4. 122 км/ч 9. 3,25 14. 160 км 19. 25 км/ч 24. 4 29. 15 34. 33,8 39. 218 44. 15

5. 7 ч 10. 13,5 км 15. 20 км/ч 20. 19 км/ч 25. 41 30. 5 ч 35. 7,2 40. 24 45. 1080

46. 75 51. 50 и 30 км/ч 56. 40 км/ч 61. 70, 20 и 15 66. 150 71. 20 76. 50 81. 53,4 86. 2600 91. 6 96. 6 101. 32,5 км/ч 106. 60 и 50 111. 14 и 11 116. / 121. 20 126. 90 131. 60 136. 40 141. 37,5 146. 25 км/ч 151. 5/8 ч 156. 8 161. 36 166. 83 171. 33 и 113 176. 11

47. 140 52. 10 км 57. 25/13 км/ч 62. 11, 21 и 36 67. 56,25 72. 8 77. 50 82. 20,5 87. 50, 61 и 57 92. 125 97. 60 км/ч 102. 5 км/ч 107. 10 112. 36 117. / 122. 20 127. 450 132. 50 137. 20,2 142. 2,4 147. 10 км/ч 152. 0,4 157. 9 162. 170 167. 2 172. 12 лет 177. 24 и 7

48. 45 км/ч 53. 21 км/ч 58. 31 63. 25 68. 36 73. 115,6 78. 96 83. 40 88. 16 93. 24 98. 50 и 100 км/ч 103. 4 км/ч 108. 7 и 6 113. 5 118. 3 123. 19 128. 0,5 133. 200 138. 16550 143. 48 148. 60 ч 153. 2 ч 158. 5 163. 220 168. 48 173. 31 178. 24

49. 19 км/ч 54. 10 км/ч 59. 48 64. 800 69. 9 74. 20 79. 80 84. 5 89. 24 94. 20 км/ч 99. 60 104. 6 км/ч 109. 28 и 8 114. 160 119. 20 124. 50 129. 0,2 134. 56 и 66 139. 8 144. 91 149. 480 154. 24 159. 26,4 и 17,6 164. 42 169. 60 174. 17 179. 301

50. 125 км 55. 25 км/ч 60. 60 и 56 65. 25 70. 28 75. 100 80. 2500 85. 80 и 20 кг 90. 29 95. 40 км/ч 100. 8,75 105. 3 110. 10 и 15 115. 24 120. 15 125. 50 130. 40 и 100 т 135. 20 140. 20 145. 2 ч 150. 24 155. 80 160. 2 165. 83 170. 6 175. 40% и 43 1/3%

§6.2. Последовательности и прогрессии. 1. 39 6. -4 11. 4 16. -8 21. -7 26. 18 31. -1975 56 36. 11 41. 168 46. 3 51. 2 56. -7

2. 82 7. 5 12. 0,25 17. -0,8 22. 39 27. 128 32. 25700

3. -7 8. 5 13. -4 18. 20 23. 39 28. 14 33. -9450

4. 39 9. -7 14. 4 19. 39 24. 55 29. 1848 34. 3

5. 2 10. -15 15. 2 20. 10 25. 82 30. 54 35. -7

37. -8

38. 10

39. 1275

40. 1380

42. 192 47. -7 52. 37 57. -7

43. -9450 48. 2 53. 84 58. -4

44. 8 49. 5 54. 3 59. 3

45. -4 50. 8 55. 3 60. 2

337

61. 0,5 66. 12

1 3 21 67. 32 62.

63. 2 68. -

63 64

64. -190,5

65. 186

69. -32

70. -96 75. -23

71. 48

72. -768

73. 3

74. 12,8

76. 18

77. 15

78. 42

79. 130

81. 20

82. 24

83. 12,8

84. 0,2

86. 0,25

87.

91. 11 96. 2 101. 106. 111. 116. 121. 126. 131. 136. 141. 146. 151. 156.

-7 2600 9150 15 17 -6 -0,5 2 620 7067 1 50

1 6 92. 47

1 97. -4 12 102. -8 107. 8910 112. 3825 117. 6035 122. 42,9 127. 2-5,-2-5 132. 19 137. 3 142. 610 147. 7 152. 4 157. 40

3 7 93. 24 88.

98. 9 8 9646 26965 14 23 2 15 -1,5 145 5 8 10

89. 16

90. 3

94. 50

95. 1

99. -4

100. 3

104. 109. 114. 119. 124. 129. 134. 139. 144. 149. 154. 159.

105. 110. 115. 120. 125. 130. 135. 140. 145. 150. 155. 160.

161. 10

162. 57

163. 28

164. 25

166. 3

167. 44

168. 12

169. 55

2436 3825 4335 -35,1 34,-34 0,3 9 18,5 2344 30 9 60 119 165. 3 170. 17,5

172. 55

173. 126

174. 13

175. 36

177. 17 182. -35

178. 1089 183. 495 1 188. 1 7

179. 36 184. 3,5

180. 392 185. 405

189. 5,6

190. 22 195.

1 171. -84 3 176. 0 181. 152,5

103. 108. 113. 118. 123. 128. 133. 138. 143. 148. 153. 158.

1 3 80. 31,5 1 85. 7

4905 70336 1210 6020 3 30 1,4 2650 2 4 73 2

186. -384

187. 2

191. 21

192. 17

193. -2

194. 2+√2

196. 3 201. 10 206. 159

197. 12 202. 25 207. 4

198. 9 или 31 203. 79 208. 40950

199. 39 204. 0,75 209. 0,99

338

1 3 200. 27 205. 2550 210. 8

211. -2

212. 4

213.

Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. 1. 2 6. 28 11. 56 16. 2 31 21.

2. 120 7. 20 12. 120 17. 6 22. -0,5

3. 1 8. 10 13. 60 18. 24 15 23.

4. 24 9. 56 14. 336 19. 120 24. 12

5. 720 10. 35 15. 210 20. 720 112 25.

26. 4 31. 11 36. 13,95 41. 0,9 46. 40 51. 56,25 56. 93 61. 362880 66. 300 71. 6720 76. 151200 81. 153 86. 60 91. 40 96. 2040 101. 4096 106. 10 111. 95 116. 30240 121. 124 126. 8 131. 78 136. 11628 141. 10395·6!

27. 5 32. 9,2 37. 4 42. 0,872 47. 92 52. 765 57. 8 62. 5040 67. 600 72. 3,5 77. 120 82. 231 87. 40 92. 60 97. 560 102. 64 107. 40 112. 312 117. 2(6!)2 122. 884375 127. 14 116 132. 187 137. 3060 142. 720

28. 3 33. 24 38. 11 43. 3,5 2 48. 66 3 53. 828 58. 5,8 63. 120 68. 2520 73. 22,4 78. 210 83. 66 88. 1920 93. 240 98. 84 103. 1024 108. 0,28 113. 11760 118. 3612 123. 3168 128. 50 5 133. 21 138. 53130 143. (6!)2·26

29. 19 34. 11 39. 2 44. 90 49. 82 54. 21,84 59. 96 64. 840 69. 5040 74. 4 79. 5040 84. 4950 89. 100 94. 30 99. 30 104. 10 109. 21,6 114. 21 119. 26820600 124. 120 129. 46 1323 134. 5720 139. 60 144. (6!)2

30. 5 35. 3,5 40. 0,035 45. 87,5 50. 43,75 55. 18 60. 2 65. 455 70. 1716 75. 24 80. 1260 85. 35 90. 1080 95. 400400 100. 32768 105. 75 110. 93,1 115. 1440 120. 4500250 125. 40 130. 76 135. 715 140. 10395 25 145.

148. 0,000054

149.

146.

20 64

151. 0,25

147.

64 243

152. 0,4

7 10

153.

47 330

339

154.

23 63 7 47

150.

216 135 431

155. 0,37

Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ. Вариант-1 А1 1

А2 3

B1 4

B2 0,5 C1

160.9375

А3 1 B3 -3

А4 1 B4 6

A5 4 B5 1

C2 𝜋 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 4

A6 2 B6 0.5

A7 1 B7 7

B8 -13

C3 (2;

A8 1 B9 9

A9 4

A10 1

B10 5

B11 68

C4 23 2 3

211 − 5]

C5 -4

Вариант-2 А1 3

А2 2

B1 0.16

B2 88

А3 2 B3 3

А4 4 B4 7

12960

0; -1

A5 1 B5 1

A6 2 B6 1

A7 4 B7 5

B8 -62

C3 [−2;

A8 3 B9 4

A9 4

A10 2

B10 0.5

B11 1

C4 22 6 3

320 − 6)

C5 -2

Вариант-3 А1 1 B1 2

А2 3 B2 0.4

А3 1 B3 1

B4 1.75

А4 3 B5 4

A5 2

A6 1

A7 3

A8 2

B6 -4

B7 -26,25

B8 4

B9 28,6875

A9 2

A10 4

B10 30

B11 42

6; -6

−5; −𝜋 𝑈 −𝜋; 0 𝑈(0; 2]

−∞; −1 𝑈(1; +∞)

11/4

13; -1; −6 ± 23

Вариант-4 А1 4

А2 1

А3 4

А4 4

A5 3

A6 1 340

A7 3

A8 2

A9 3

A10 1

B1 2.8

B2 1 C1

B3 1

B4 1

B5 5

B6 -2

C2 𝜋 𝜋 1 −4; − 𝑈 − ; 2 2 2

B7 -3

B8 2

B9 27,875

B10 45

B11 89.1

(1;27)

600

4; 2; −3 ± 17

Вариант 5 B1 5 C1 C2 C3 C4 C5 C6

B2 14

B3 5

B4 3.2

B5 2

B6 10

B7 6

B8 2

𝜋 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 4 на три части в отношении 1:1:1 [−2; −1), [0; 1] 1 или 7 −8 ≤ а ≤ 6 𝑎 = 2, 𝑏 = 5 𝑥 = 2, 𝑦 = −1

𝑛

341

B9 2.4

B10 9

B11 -13

B12 20