Teorema de los residuos. Aplicaciones.
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∗ si z ∈ C \ , Ind (z) = 0 por hip´otesis, Ind 0 (z) = 0 porque cuando z∈ / D(a j ; R j ) es Indγj (z) = 0 (1 ≤ j ≤ n), y tenemos D(a j ; R j ) ⊆ ; ∗ si z ∈ A \ A0 , Ind (z) = 0 por la definici´on de A0 ; y como para 1 ≤ j ≤ n es D(a j ; R j ) ∩ A = {a j }, igual que antes z ∈ / D(a j ; R j ), Indγj (z) = 0 , Ind 0 (z) = 0; ∗ si z = am ∈ A0 , Indγm (am ) = 1, Indγj (am ) = 0 si j = m (am ∈ / D(a j ; R j )), luego Ind 0 (am ) = Nm = Ind (am ). Como f ∈ H( \ A), se sigue del teorema homol´ogico de Cauchy que 1 2πi
1 f (z) dz = 2πi
0
n 1 f (z) dz = Nj f (z) dz. 2πi j=1 γj
Usando ahora que f ∈ H D(a j ; 0, R j ) , 1 ≤ j ≤ n, del teorema de Laurent 1 f (z) dz = Res( f ; a j ) 2πi γj con lo cual, finalmente, n n 1 f (z) dz = N j Res( f ; a j ) = Ind j (a j ) Res( f ; a j ) 2πi j=1 j=1 = Ind (a) Res( f ; a) = Ind (a) Res( f ; a). a∈A0
a∈A
Corolario 9.3. Sea un abierto no vac´ıo de C y f una funci´on meromorfa en , y sea A el conjunto de los puntos de en los que f tiene polos. Para todo ciclo hom´ologo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ se verifica 1 f (z) dz = Res( f ; a) Ind (a). 2πi a∈A Esta es la versi´on que da Rudin, ob. cit., Teor. 10.24, pp. 254–255, con una l´ınea de demostraci´on ligeramente distinta que se apoya en las partes singulares de f en los puntos de A0 . Inciso. Como se dice en Conway, ob. cit., p. 113, ‘el teorema de los residuos es una espada de dos filos; si se pueden calcular los residuos de una funci´on, se pueden calcular ciertas integrales y viceversa. La mayor parte de las veces, sin embargo, se usa como un medio de calcular integrales. Para utilizarlo en esta direcci´on se necesita un m´etodo para calcular el residuo de una funci´on’.