APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003
XIX. Con la expresión “nueva álgebra” no nos estamos refiriendo al álgebra abstracta sino que nuestra intención es, por un lado, hacer hincapié en los nuevos desarrollos algebraicos que se dieron en ese período los cuales fueron de índole muy distinta al álgebra que les precedió, y, por otro, subrayar el hecho de que este nuevo simbolismo preparaba el camino hacia la abstracción y la generalización. Sin embargo, no debemos olvidar que esta nueva álgebra tiene sus fuentes en el Ars Magna de Cardano y en el Artem Analyticem de Vieta, textos de los cuales ya hemos hablado; asimismo, se caracteriza por nuevos resultados, los objetos con los que se trabaja, su justificación metodológica y una relación muy diferente con la geometría pues ya no dependerá más de ésta última para la confirmación de sus resultados.
3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Una manera de enunciar el Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) es como sigue: Toda ecuación polinomial de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas. Con esto queremos decir lo siguiente: Si consideramos el polinomio de grado n, p( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 , donde ai C para i = 0, ..., n, entonces existen n números complejos z1 ,, z n que satisfacen la ecuación polinomial p (x) 0 , esto es p( z k ) 0 para k = 1, ..., n. Algunas formas equivalentes de enunciar el teorema son: El polinomio p se factoriza en un producto de factores lineales como p( x) an ( x z1 )( x z 2 )( x z n ) . El campo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Otra versión menos general que la anterior, pero también bastante conocida es la siguiente: “Todo polinomio en una variable con coeficientes reales se puede factorizar como un producto de factores reales de primero o segundo grado”, donde por “factores reales” entendemos polinomios con coeficientes reales. Damos un ejemplo para ilustrar esto: el p( x) x 5 6 x 4 12x 3 12x 2 11x 6 polinomio se factoriza como 2 p( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 1) , siendo sus cinco raíces 1, 2, 3, i, –i. En adelante a un polinomio con coeficientes reales lo llamaremos un polinomio real. Podemos decir que los algebristas italianos del siglo XVI asumían que dada una ecuación de grado menor al quinto, con coeficientes enteros, siempre se podían encontrar sus raíces. Además, se tienen muchos ejemplos por parte de ellos en los que se dan soluciones particulares para ecuaciones muy específicas de grado mayor al cuarto. Esto nos indica que había cierta conciencia de que una ecuación cuadrática tiene dos raíces, una cúbica, tres, y una bicuadrática, cuatro. Sin embargo, el primero en establecer de forma explícita que una ecuación polinomial de grado n deberá tener n raíces es Albert Girard (1595-1632), quien en 1629 publica un pequeño tratado de álgebra, Invention Nouvelle en l’Algebra, en el cual 49