الكفاءات المستهدفة توظيف المشتقات لحل مشكالت . استعمال المشتقات لدراسة خواص دالة والمنحني الممثل ليا ( التغيرات ،التقريب الخطي ،نقطة االنعطاف.)...، حساب مشتق دالة مركبة. حل معادلة تفاضمية من
الشكل y '' f x ، y ' f x
.حيث
f
دالة مألوفة
ٚعثز انتفاضم عٍ انًعذل انذ٘ تتغٛز تّ لًٛح َ yتٛجح تغٛز لًٛح xتٕجذ تًُٓٛا عاللح رٚاضٛح أٔ دانح رٚاضٛح . ٔتعزف انًشتمح تأَٓا يٛم انًًاس نًُحُٗ ) f ( xعُذ أ٘ َمطح تشزط ٔجٕد ْذِ انًشتمح أٔ ْ ٙانضزعح انهحظٛح أٔ يعذل انتغٛٛز انهحظ ٙنهذانح َ .ضتخذو انزيز Δنهذالنح عهٗ انتغٛز ف ٙانكًٛح ٚٔ .كٌٕ يعذل انتغٛز ْٕ َٓاٚح َضثح dy Vy ًٚ.كٍ أٌ َكتة يشتك yتانُضثح نـ ( : xتزيٛز الٚثُز) و ىو المفضل عند الفيزيائيين . تغٛز yإنٗ َضثح تغٛز : x dx Vx · d f d يمكن التعبير عن المشتق بعدة طرق f ( x ) ، f '( x) : . x ، Dx f ، ، d x dx غوتفريد فيمهيمم من اليبنتز (أيضاً اليبنتز) 1716 - 1646فيمسوف ألماني، عالم طبيعة ،عالم رياضيات ،دبموماسي ،مكتبي ،ومحامي.
ِ بالتعبير دالة رياضية "( ،)1694التي كان يصف بيا كل يرتبط اسم اليبنتز
كمية ُمتَ َعمّقة ب منحنى ،مثل ميل المنحنى أَونقطة معينة عمى المنحنى. يعتبر اليبنتز مع نيوتن أحد مؤسسي عمم التفاضل و التكامل و بخاصة تطوير مفيوم التكامل و قاعدة الجداء ،كما طور لمفيوم الحديث لمبدأ انحفاظ الطاقة. غوتفريد اليبنتز 1716 - 1646
39
نشاط أول رسمنا في الشكل الموالي المنحنيين
C و C f
g
الممثمين لدالتين fو g
معرفتين و قابمتين لالشتقاق عمى المجال
2;3و بعض مماساتيما.
.1أحسب األعداد المشتقة التالية:
g 1
f 1
g 2
f 2
2
3 1 fg 2 f g 1 f .2من أجل كل xمن المجال 0; 2نضعh x f 2x 1 :
f g
3 أحسب h 0 و . h 2
نشاط ثان T
)1في الشكل المقابل M ،نقطة من القوس IJلنصف الدائرة
المركزية المرفقة بالمعمم . O ; I , J xقيس بالراديان لمزاوية الموجية OI ,OMو لتكن النقطة T
J
M
تقاطع المستقيم OM مع المستقيم العمودي عمى OI في . I ما ىي القيم التي تأخذىا x؟ ما ىي قيم xالتي يكون من أجميا IT 0؟ IT 1؟ حدد القوس الذي يشمل النقط Mبحيث يكون . IT 1
عبر عن المسافة ITبداللة cos xو . sin x sin x ِ f x )2نعتبر الدالة fالمعرفة عمى المجال 0; بـ cos x 2 أحسب f ، f 0 و . f 3 4 باستعمال السؤال 1أعط تفسي ار ىندسيا لـِ . f x
x I
O
بواسطة قراءة عمى الدائرة المثمثية ضع تخمينا حول اتجاه تغير الدالة fعمى المجال . 0; 2 تحقق من صحة تخمينك باستعمال حاسبة بيانية.
أحسب . lim f x أعط تفسي ار بيانيا لمنتيجة المحصل عمييا. 2
x
40
+
نشاط ثالث
uو vدالتان معرفتان عمى و 0; عمى الترتيب بـِ u x x x 1و v x x 2
)1تعيين الدالة المركبة
v u
لدينا المخطط التالي:
v b u a v b v u a
u
a
بين أن الدالة v uمعرفة عمى .
من أجل كل عدد حقيقي ، aعبر بداللة aعن .v u a
)2حساب u a و v b
الدالة uقابمة لالشتقاق عمى و الدالة vقابمة لالشتقاق عمى . 0; عين الدالتين u و .v
أرسم و أتمم الجدول الموالي ( تدور النتائج إلى .) 103يمكننك استعمال مجدول.
)3حساب
v u a
أنقل ثم باستعمال حاسبة بيانية أتمم الجدول الموالي: ( تدور النتائج إلى ) 103
v u a
a -2
1,5 -1
0,5 0
0,5 1
1,5 2
خمن عالقة بين v b ، u a من جية و v u a من جية ثانية.
41
االشتقاقية .1العدد المشتق -الدالة المشتقة
تعريف f :دالة معرفة عمى مجال Iمن a . و a hعددان حقيقيان من Iمع . h 0
f a h f a نقول أن fتقبل االشتقاق عند aإذا قبمت النسبة h تسمى ىذه النياية العدد المشتق لمدالة fعند aو نرمز ليا بالرمز . f a
نياية محدودة لما يؤول hإلى.0
f a h f a لدينا إذن: h
f a lim h 0
f x f a أو x a
f a limو ذلك بوضع x a h x a
مالحظة :إذا قبمت الدالة fاالشتقاق عند كل عدد حقيقي xمن Iنقول أنيا تقبل االشتقاق عمى Iو تسمى الدالة
f : x f x الدالة المشتقة لمدالة . f
.2مماس منحني دالة
تعريف و خاصية f :دالة معرفة عمى مجال Iمن و ليكن
C تمثيميا البياني في معمم . O ; I , J
إذا قبمت fاالشتقاق عند x 0فإن C يقبل عند النقطة A x 0 ; f x 0
مماسا T معامل توجييو f x 0 و معادلتو:
y f x 0 x x 0 f x 0
.3المشتقات المتتابعة
تعاريف f :دالة معرفة و قابمة لالشتقاق عمى مجال Iمن . إذا قبمت الدالة f ىي األخرى االشتقاق عمى Iفإن دالتيا المشتقة f تسمى المشتقة الثانية لمدالة fو نرمز ليا
بالرمز . f إذا قبمت الدالة f ىي األخرى االشتقاق عمى Iفإن دالتيا المشتقة f تسمى المشتقة الثالثة لمدالة f n
و نرمز ليا بالرمز . f تسمى الدوال ،...، f ، f ، f
ِ 1 مثال :لتكن fالدالة المعرفة عمى 0بـ x 2 1 نذُٚاf x 6x 3 ، f x 3x 2 2 : x x
...، fالمشتقات المتتابعة لمدالة
.f
f x x 3 ،
6 x4
. f x 6
.4االشتقاقية و االستمرارية
خاصية :إذا كانت دالة fقابمة لالشتقاق عمى مجال Iفإنيا مستمرة عمى ىذا المجال. مالحظة :عكس ىذه الخاصية ليس دائما صحيحا فمثال الدالة x x :مستمرة عند 0و لكن غير قابمة لالشتقاق
h h h limو 1 ال تقبل نياية عند 0ألن 1 عند .0لدينا lim x 0بينما النسبة x 0 h 0 h h h
42
. lim
h 0
تمرين محمول :1أدرس قابمية اشتقاق الدوال التالية g ، fو kعند 1مفس ار بيانيا في كل مرة النتيجة المحصل عميها:
2
k x 2x x 1 ، g x x 1 ، f x x 2 2x 3
f a h f a طريقة :نذراصح لاتهٛح اشتماق دانح fعند aندرس نياية النسبة h
لما يؤول hإلى.0
2 2 2 f 1 h f 1 1 h 2 1 h 3 4 h h 4 ومنو الحل: h h h f 1 h f 1 . limإذن الدالة fتقبل االشتقاق عند 1و لدينا . f 1 0 lim h h 2 4 0 h 0 h 0 h المنحني C f يقبل عند النقطة ذات الفاصمة 1مماسا معامل توجييو 0و ىو موازي لمحور الفواصل. 2
g 1 h g 1 g 1 h g 1 h 1 من أجل لدينا: ومنو h 0 h h h h g 1 h g 1 إذن الدالة gغير قابمة لالشتقاق عند . 2بما أن نياية النسبة ىي h فإن معامل توجيو المستقيم A M حيث A 1;0 و Mنقطة من C g فاصمتيا 1 h
lim y 2
1
يصبح كبي ار جدا لما يؤول hإلى 0و ىذا يعني أن C g يقبل عند النقطة A 1;0
مماسا موازيا لحامل محور التراتيب.
x
5
4
3
2
1
f a h f a طريقة :إذا كانت نياية النسبة h النقطة ذات الفاصمة aمماسا موازيا لحامل محور التراتيب.
لما يؤول hإلى 0غير منتيية فإن المنحني C f يقبل عند
k 1 h k 1 2 h 1 h من أجل 2 h 1 ، h 0 h h k 1 h k 1 2 h 1 h و من أجل 2 h 1 ، h 0 h h نالحظ أن ىذه النسبة تقبل نياية من اليمين عند 0مساوية لـِ 2و نياية من اليسار عند 0مساوية لـِ . 2
نقول أن kتقبل االشتقاق عند 1من اليمين و من اليسار و أن عددىا المشتق من اليمين عند 1ىو 2و عددىا المشتق من k 1 h k 1 ال تقبل نياية عند.)0 اليسارعند 1ىو 2و بما أنيما مختمفان فيي غير قابمة لالشتقاق عند (1النسبة h المنحني C k يقبل عند النقطة A 1;0 نصفي مماسين معامال توجيييما 2و . 2 تمرين محمول :2نعتبر الدالة fالمعرفة عمى بـِ f x x 2 xو ليكن
C fتمثيمها البياني.
.1مثل عمى شاشة حاسبة بيانية المنحني C f و مماس C f عند النقطة Aذات الفاصمة . 2 .2عين معادلة لـِ .
الحل .1أنظر الشكل المقابل.
.2الدالة fقابمة لالشتقاق عمى و لدينا f x 2x 1 :و منو f 2 3
بتطبيق الدستور y f a x a f a :مع a 2نجد . y 3x 4
43
0
المشتقات و العمميات .1مشتقات دوال مألوفة مجاالت قابمية االشتقاق
f x
f x
0
( kحيث kثابت حقيقي)
1
x n ( x nو) n 2 1 x
nx n 1 1 2 x 1
; 0و 0; 0;
x
2 x
sin x
cos x
cos x
sin x
.2المشتقات والعمميات عمى الدوال
uو vدالتان قابمتان لالشتقاق عمى مجال Iمن و kعدد حقيقي.
u v
1 v v 2 v
( الدالة vال تنعدم عمى ) I
u ' v v' u v2
uv
ku
u v
الدالة
u’ v + v’ u
’k u
’u’ + v
المشتقة
نتائج: الدوال كثيرات الحدود قابمة لالشتقاق عمى .
الدوال الناطقة قابمة لالشتقاق عمى كل مجال محتوى في مجموعة تعريفيا.
.3مشتقة الدالةx u ax b :
مبرهنة a :و bعددان حقيقيان مع u . a 0دالة قابمة لالشتقاق عمى مجال Iمن . Rليكن Jالمجال المكون من األعداد الحقيقية xحيث ax bينتمي إلى . I
الدالة ) f : x u(ax bقابمة لالشتقاق عمى Jو لديناf ' x au '(ax b ) :
أمثمة:
الدالة fالمعرفة عمى بـِ f x sin ax b قابمة لالشتقاق عمى و لدينا: f x a cos ax b
الدالة gالمعرفة عمى بـِ g x cos ax b قابمة لالشتقاق عمى و لدينا: g x a sin ax b
44
تمرين محمول :1عين مشتقة كل دالة من الدوال التالية المعرفة عمى I 0; بـِ:
sin x 1 ، g x x 1 x ، f x x 3 3x 2 x 3 x 2
h x
طريقة :نحضاب يشتمح دانح نقوم أوال بالتعرف عمى شكميا.
الحل:
الدالة fقابمة لالشتقاق عمى ألنيا دالة كثير حدود و منو فيي قابمة لالشتقاق عمى Iو لدينا: 3 f x x 2 6x 1 2 الدالة gقابمة لالشتقاق عمى Iألنيا جداء دالتين قابمتين لالشتقاق عمى Iو لدينا: 1 3x 1 g x x x 1 2 x 2 x الدالة hىي حاصل قسمة دالتين قابمتين لالشتقاق عمى و بما أن الدالة المقام x x :ال تنعدم عمى I
فإن الدالة hتقبل االشتقاق عمى Iو لدينا:
x cos x sin x x2
hx
1 تمرين محمول :2لتكن fدالة قابمة لالشتقاق عمى حيث x x 1 نعتبر الدالتين gو hالمعرفتين عمى بـِ g x f x و h x f 2x 1 2
. f x
بدون تعيين الدالتين gو hعين الدالتين g و . h
الحل:
من أجل كل xمن x ، ينتمي إلى ومنو فالدالة gقابمة لالشتقاق عمى و لدينا:
1 x x 1 2 4x 2x 1 2
x x 1 2x 1ينتمي إلى ومنو فالدالة h
2
من أجل كل xمن ،
1
g x f x
2
1
2x 1 2x 1 1 2
قابمة لالشتقاق عمى و لدينا:
h x 2f 2x 1 2
تمرين محمول :3من أجل x 0و nعدد طبيعي نضع f n x x n x
بين أن الدالة f nتقبل االشتقاق عمى 0; ثم عبر عن f n1 x بداللة nو . f n x
الحل :الدالة x x nتقبل االشتقاق عمى بينما الدالة x xتقبل االشتقاق عمى 0; و منو
فالدالة f nجداؤىما تقبل االشتقاق عمى . 0;
1 لدينا f n 1 x x n 1 x :و منو 2 x 1 3 و بالتالي x x n x n x n x 2 2 3 و نجد ىكذاf n1 x n f n x : 2
f n1 x n 1 x n x x n 1 f n1 x n 1 x n
45
اتجاه تغير دالة .1المشتقة و اتجاه تغير دالة
مبرهنة ( دون برهان ) f :دالة قابمة لالشتقاق عمى مجال Iمن .
إذا كان من أجل كل xمن f x 0 ، Iما عدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم الدالة fمن أجميا ،فإن الدالة fمتزايدة تماما عمى . I
إذا كان من أجل كل xمن f x 0 ، Iما عدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم الدالة fمن أجميا ،فإن الدالة fمتناقصة تماما عمى . I
إذا كان من أجل كل xمن f x 0 ، Iفإن الدالة fثابتة عمى . I مالحظة :لتكن fالدالة المعرفة عمى بـِ f x x 3
الدالة fقابمة لالشتقاق عمى و لدينا f x 3x 2و منو: من أجل كل xمن f x 0 ، و f 0 0
إذن الدالة fمتزايدة تماما عمى
.2القيم الحدية المحمية
تعاريف f :دالة معرفة عمى مجال Iمن و x 0عدد حقيقي من . I
القول أن f x 0 قيمة حدية محمية عظمى لمدالة fيعني أنو يوجد مجال مفتوح Jمحتوى في Iو يشمل x 0 بحيث من أجل كل xمن . f x f x 0 ، J
القول أن f x 0 قيمة حدية محمية صغرى لمدالة fيعني أنو يوجد مجال مفتوح Jمحتوى في Iو يشمل x 0 بحيث من أجل كل xمن . f x f x 0 ، J
القول أن f x 0 قيمة حدية محمية لـِ fيعني أن f x 0 قيمة حدية محمية عظمى أو صغرى.
1 3 مثال :لتكن fالدالة المعرفة عمى 6; 4بـِ x 3x 2 9x 5 27 و ليكن في الشكل المقابل تمثيميا البياني. f 3 قيمة حدية محمية عظمى لمدالة f 5 و f 1 1قيمة حدية محمية صغرى لمدالة . f
y 6 5 4 3 2 1
f x
1 2 3 x
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
مبرهنة ( دون برهان ) f :دالة معرفة و قابمة لالشتقاق عمى مجال مفتوح Iمن و x 0عدد حقيقي من . I
إذا انعدمت الدالة المشتقة f عند x 0مغيرة إشارتيا فإن f x 0 قيمة حدية محمية لمدالة . f
x0 -
0 f x 0
+
x0
x f x
+
0
f x
-
x f x
f x
f x 0
46
تمرين محمول :1لتكن fالدالة المعرفة عمى بـِ f x x 3 3x 2 4
.1أدرس اتجاه تغير . fأحسب . f 1شكل جدول تغيرات الدالة fثم استنتج إشارتها عمى .
1 2 4 .2باستعمال السؤال 1أدرس اتجاه تغير الدالة gالمعرفة عمى ; 0بـِ x 3x 2 x
g x
الحل:
.1الدالة fقابمة لالشتقاق عمى و لدينا f x . f x 3x 2 6x 3x x 2 :كثير حدود من الدرجة
الثانية جذراه 0و 2و بالتالي فإشارتو من نفس إشارة 3بين الجذرين أي سالبة عمى المجال 0; 2 3 2 لديناf 1 1 3 1 4 0 :
2
0
-1
0
0
x إشارة f x
4
f x
0
0 من جدول التغيرات نستنتج أن f x 0عمى ; 1و f x 0عمى . 1;
4 x 3 3x 2 4 f x .2الدالة gقابمة لالشتقاق عمى ; 0و لدينا: x2 x2 x2 إذن إشارة g x ىي من نفس إشارة f x عمى ; 0أي سالبة عمى ; 1و موجبة عمى . 1;0 g x x 3
نستنتج ىكذا أن الدالة gمتناقصة تماما عمى ; 1و متزايدة تماما عمى . 1;0
تمرين محمول :2بدراسة اتجاه تغير دالة fمختارة بشكل مناسب قارن بين العددين: 1 1 A 0,999998 و 0,999999 0,999998 1 الحل :نعتبر الدالة fالمعرفة مثال عمى 0; بـِ f x x x 1 x 2 1 . f x 1 2 و بالتالي فإن إشارة f x ىي من نفس الدالة fقابمة لالشتقاق عمى 0; و لدينا: x x2 إشارة x 2 1الذي يقبل جذرين ىما 1و 1و منو B 0,999999
1 0
1 0
x
+ + x 1 نستنتج ىكذا أن الدالة fمتناقصة تماما عمى المجال 0;1و متزايدة تماما عمى المجال 1; نالحظ أن
A f 0,999998
و
B f 0,999999
و بما أن العددين 0,999998و 0,999999ينتميان إلى المجال 0;1 مع 0,999998 0,999999فإن f 0,999998 f 0,999999
و ىكذا فإن A B
47
2
اشتقاق دالة مركبة .1مشتقة الدالة v u
مبرهنة ( دون برهان ) :إذا قبمت الدالة uاالشتقاق عمى مجال Iمن و قبمت الدالة vاالشتقاق عمى u I
فإن الدالة v uتقبل االشتقاق عمى Iو لدينا من أجل كل xمن : I
v u x v u x u x مثال :لتكن fالدالة المعرفة عمى بـِ f x 2 x 2 3 1 2
نالحظ أن f v uحيث u : x x 2 3
و v : x 2x 2 1و منو f x v x 2 1 u x
بعد الحساب نجدf x 4 x 2 3 2x 8x x 2 3 :
.2تطبيقات مشتقة الدالة u x
x
إذا كانت الدالة uقابمة لالشتقاق عمى مجال Iمن و كانت موجبة تماما عمى Iفإن الدالة u u . u عمى Iو لدينا: 2 u
تقبل االشتقاق
البرهان :نضع f uو منو f v uحيث v : x x
1 الدالة vتقبل االشتقاق عمى 0; و لدينا 2 x 1 u االشتقاق عمى Iو لدينا: f u 2 u 2 u
.v x بما أن من أجل كل xمن u x 0 ، Iفإن fتقبل
مشتقة الدالة n ( x u x عدد طبيعي يحقق ) n 2 إذا كانت الدالة uقابمة لالشتقاق عمى مجال Iمن فإن الدالة u nتقبل االشتقاق عمى Iو لدينا: n
. u n n u u n 1
البرهان :نضع f u nو منو f v uحيث v : x x n
الدالة v n 2 تقبل االشتقاق عمى و لدينا .v x nx n 1إذن الدالة fتقبل االشتقاق عمى Iولدينا:
f nu n 1 u nu u n 1
مشتقة الدالة
1 u x n
n ( x عدد طبيعي يحقق ) n 1
1 إذا كانت الدالة uقابمة لالشتقاق عمى مجال Iمن وال تنعدم عمى Iفإن الدالة un nu 1 و لدينا. n n 1 : u u
48
تقبل االشتقاق عمى I
تمرين محمول :1التمثيل البياني المقابل هو لدالة gقابمة لالشتقاق عمى 1;3 .1عين بيانيا إشارة g x ثم إشارة . g x 2 .2نعتبر الدالة fالمعرفة عمى 1;3بـِ . f x g x أحسب f x بداللة g x و g x ثم استنتج إشارة . f x
y 3 2 1
3 x
2
1
0
-1
-1
الحل:
.1نالحظ أن منحنى الدالة gيقع فوق محور الفواصل من أجل x 1; 0 2;3و تحتو من أجل x 0; 2
و منو g x 0من أجل x 1; 0 2;3و g x 0من أجل . x 0; 2
بما أن الدالة gمتناقصة تماما عمى 1;1و متزايدة تماما عمى 1;3و تقبل مماسا موازيا لمحور الفواصل عند النقطة ذات الفاصمة 1فإن g x 0من أجل 1;1و g x 0من أجل x 1;3و . g 1 0
.2الدالة gمعرفة و قابمة لالشتقاق عمى 1;3و منو فالدالة f g 2معرفة و قابمة لالشتقاق عمى 1;3 و لدينا . f x 2 g x g x :باستعمال الجدول الموالي نحصل عمى إشارة f x 3
2 +
0
+ +
0
1 -
-1
0 -
+
0
-
-
0
+
+
0
g x
-
f x
-
0
x g x
تمرين محمول :2عين مشتقات الدوال اآلتية: .1
4
f : x 2x 2 x 3عمى .
.2
1
3
1
2
x
g : x عمى . 1;
h : x x ² 4 .3عمى . 2;
الحل:
.1نالحظ أن f u 4مع . u x 2x 2 x 3الدالة uقابمة لالشتقاق عمى و لدينا u x 4x 1
إذن fقابمة لالشتقاق عمى و لدينا f 4u u 3و منو من أجل كل xمن f x 4 4x 1 2x 2 x 3 ، 3
1 .2نالحظ أن u3
g مع u x x 2 1كما أن u x 0من أجل xمن . 1; الدالة uقابمة لالشتقاق
3u عمى 1; و لدينا . u x 2xإذن gقابمة لالشتقاق عمى 1; و لدينا u4 3 2x 6x كل xمن ، g x 4 4 2 2 x 1 x 1
g و منو من أجل
.3نالحظ أن h uمع . u x x 2 4الدالة uقابمة لالشتقاق عمى 2; مع . u x 0إذن hقابمة x u . hx h ومنو من أجل كل xمن ، 2; لالشتقاق عمى 2; و لدينا 2 2 u x 4
49
التقريب التآلفي – طريقة أولر .1التقريب التآلفي
خاصية f :دالة معرفة عمى مجال مفتوح . I إذا قبمت fاالشتقاق عند xمن Iفإنو توجد دالة بحيث من أجل كل عدد حقيقي hحيث x hينتمي إلى I
لديناf x h f x hf x h h :
. lim h 0
مع
h 0
من أجل hقريب من 0نكتب عندئذf x h f x hf x :
يسمى f x hf x التقريب التتلفي لـِ f x h من أجل hقريب من ، 0المرفق بالدالة . f
f x h f x البرهان :ليكن xمن ، Iمن المعطيات لدينا fقابمة لالشتقاق عند xو منو f x h 0 h f x h f x بوضع f x h يكون لدينا lim h f x f x 0 h 0 h f x h f x إذن h f x و منو . f x h f x hf x h h h
lim
الكتابة التفاضمية :بوضع x x h x :و
f x h f x hf x h h
كما يمي:
y f x h f x تكتب المساواة
) y f (x )x x (x
و منو التقريب y f (x )xعندما يكون xقريبا من . 0 dy f (x ) أو . dy f (x ) dx نصطمح الصياغة التفاضمية التالية: dx
df يستعمل ىذا الترميز في العموم الفيزيائية و بصفة عامة نكتب: dx
d 2f بدال من f وىكذا و dx 2
d nf بدال من dx n
) (n
بدال من f
.f
.2طريقة أولر تسمح طريقة أولر بإنشاء تمثيالت بيانية تقريبية لدالة fبمعرفة f و ) . y 0 f (x 0ترتكز ىذه الطريقة عمى التقريب
التتلفي لمدالة fبحيث من أجل hقريب من 0لدينا. f x 0 h f x 0 hf x 0 :
انطالقا من النقطة A 0 x 0 ; y 0 بحيث f x 0 0ننشئ النقطة A1 x 1 ; y 1 ذات الفاصمة x 1 x 0 hو التي تنتمي إلى المستقيم الذي معامل توجييو f x 0 والمار من A0و بالتالي: y 1 f x 0 hf x 0 و بما أن f x 0 h f x 0 hf x 0
من أجل hقريب من 0فإن النقطة A1 x 1 ; y 1 قريبة من C f منحني . f
بنفس الطريقة يمكن إنشاء ،انطالقا من ، A1النقطة . A 2 x 1 h ; f x 1 hf x 1
و ىكذا يمكن عمى التوالي إنشاء النقط A n x n ; y n حيث x n x n 1 h و y n f x n 1 hf x n 1 مع . n 1بربط النقط ...، A2 ، A1 ، A0نحصل
عمى تمثيل بياني تقريبي لـِ fمرتبط باختيار hالذي يسمى الخطوة .و نحصل عمى أكثر دقة كمما كان hأقربا إلى . 0
50
تمرين محمول :1كرة حديدية نصف قطرها 8cmتتمدد عند ارتفاع دراجة الحرارة. .1ما هو تغير حجمها لما يرتفع نصف قطرها بـِ 1mm؟ .2ما هو تغير مساحتها في نفس الظروف ؟
الحل:
.1ليكن Vحجم الكرة بـِ cmو ليكن Rنصف قطرىا بـِ . cmلنعين Vتغير حجم الكرة الحاصل بسبب dV 4 4 R 0,1تغير نصف القطر في حالة . R 8cmلدينا V R 3 :و منو 3R 2 4 R 2 dR 3 3 2 أي dV 4 R 2dRو بما أن ( R 0,1قريب من ) 0يمكننا أن نكتب V 4 R R 3
و ىكذا نجد:
V 4 8 0,1 80و منو يرتفع الحجم بحوالي . 80cm 3 2
.2لتكن Sمساحة الكرة بـِ cm 2و منو S 4 R 2و بالتالي dS 8 RdRيمكننا أن نكتب
S 8 R Rمن أجل . R 0و ىكذا . S 20ترتفع المساحة بحوالي . 20cm 2 تمرين محمول :2لتكن fدالة تحقق f 0 1 :و . f x x
.1باستعمال طريقة أولر و باختيار خطوة h 0,5شكل جدوال يتضمن القيم التقريبية لـِ f x من أجل x
ينتمي إلى 0;5ثم أنشئ تمثيال تقريبيا لمدالة . fتدور النتائج إلى . 0,01عين قيمة مقربة لمعدد . f 4 .2باختيار خطوة جديدة h 0,1عين قيمة مقربة لمعدد . f 4
2 .3نبرهن أن x x 1 3 مع القيم المقربة المحصل عميها سابقا بالخطوتين 0,5و . 0,1
. f x تحقق أن f 0 1و . f x xأحسب f 4 ثم قارن النتيجة
طريقة :إليجاد قيمة مقربة لـِ f a h نستعمل التقريب f a h f a hf a حيث hقريب من.0
الحل:
.1لديناf 1 f 0,5 0,5f 0,5 1 0,5 0,5 1,354 ، f 0,5 f 0 0,5f 0 1 :
لدينا . f 4 5, 765
.2نجد باستعمال مجدول أو برنامج حاسبة بيانية . f 4 6, 227 2 x 2 3 f x x .3من الواضح أن f 0 1كما أن x x 3 2 x 3 2 2 19 نذُٚا ٔ f 4 4 4 1 تاصتعًال حاصثح َجذ َ . f 4 6,333الحظ أٌ انمًٛح انًمزتح انًحصم عهٓٛا 3 3 تانخطٕج 0,1ألزب يٍ انمًٛح انًمثٕطح نـ ِـ f 4 يٍ انمًٛح انًمزتح انًحصم عهٓٛا تانخطٕج . 0,5
51
دراسة دالة مثمثية .1تذكير حول الدالتين " جيب " و " جيب التمام "
الدالتان x cos xو x sin xمعرفتان عمى .
من أجل كل xمن x 2 ، ينتمي إلى و لدينا cos x 2 cos xو sin x 2 sin x
نقول أن الدالتين x cos xو x sin x دوريتان دورىما . 2
من أجل كل xمن cos x cos x ،
و sin x sin x
.2الدالة " ظل " ِ sin x تعريف :الدالة " ظل " و التي نرمز إلييا بالرمز " " tanمعرفة بـ cos x يختمف عن k
2
tan x من أجل كل عدد حقيقي x
حيث kعدد صحيح . k
خواص :من أجل كل xيختمف عن k من أجل كل xيختمف عن k
. tan x tan x ،إذن الدالة" ظل " دورية دورىا .
. tan x tan x ،إذن المنحني الممثل لمدالة "ظل" متناظر
2 2
بالنسبة إلى مبدأ المعمم.
دراسة الدالة "ظل" :من الخاصيتين السابقتين يمكن اقتصار دراسة الدالة "ظل" عمى المجال 0; 2 cos2 x sin 2 x 1 من أجل كل xيختمف عن 1 tan 2 x ، k tan x 2 2 2 cos x cos x بما أن tan x 0فإن الدالة "ظل" متزايدة تماما عمى كل مجال معرفة فيو.
lim لدينا lim sin x 1و lim cos x 0و بما أن من أجل كل xمن cos x 0 ، 0; فإن ta n x x 2 x 2 x 2 2 نستنتج أن المستقيم ذو المعادلة x مستقيم مقارب لممنحني الممثل لمدالة "ظل". 2 0 x 2 + tan x
tan x
0
52
تمرين محمول :لتكن fالدالة المعرفة عمى بـِ f x sin 2 xو ليكن C تمثيمها البياني في معمم متعامد . O ; i , j
.1بين أن الدالة fدورية دورها و أن محور التراتيب محور تناظر لممنحني . C .2أدرس تغيرات الدالة fعمى المجال . 0; 2 3 .3أرسم المنحني C عمى 0; ثم عمى . ; 2 2 2
الحل: .1من أجل كل xمن f x sin 2 x sin x sin 2 x f x ، و منو الدالة f 2
دورية دورىا .
من أجل كل xمن f x sin 2 x sin x sin x sin 2 x f x ، و منو الدالة f 2
2
زوجية و بالتالي فإن محور التراتيب محور تناظر لممنحني . C .2بما أن الدالة x sin xقابمة لالشتقاق عمى فإن الدالة fقابمة لالشتقاق عمى ( جداء دالتين ) فيي إذن قابمة لالشتقاق عمى 0; و لدينا :من أجل كل xمن f x 2sin x cos x ، 2 و بما أن العددين sin xو cos xموجبان عمى 0; 2 مع sin 0 0و cos 2 0فإن f x 0عمى 0; 2 و بالتالي فالدالة fمتزايدة تماما عمى المجال . 0; 2
2 0
+
1
.3نرسم في البداية المنحني نرسم المنحني عمى 2 ; 2 3 المجال . ; 2 2
0
x
0
f x f x
0 الممثل لمدالة fعمى المجال 0; ثم باستعمال التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب 2 و بما أن الدالة fدورية دورىا نقوم بانسحاب شعاعو iلرسم المنحني C عمى
مالحظة :لرسم C عمى نجري انسحابات متتالية أشعتيا k iحيث kعدد صحيح( من )
53
المقارنة بين دوال وتعيين األوضاع النسبية لمنحنياتهما x3 نعتبر الدالتين fو gالمعرفتين عمى 0; كما يمي: 6 و ليكن C f و C g تمثيمييما البيانيين عمى الترتيب في معمم متعامد و متجانس . O ; I , J
f x x و g x sin x
.1مماس مشترك
بين أن لممنحنيين C f و C g مماسا مشتركا
Tعند النقطة Oيطمب تعيين معادلة لو.
.2دراسة األوضاع النسبية لممنحنيات C f و C g و T نعتبر الدالة uالمعرفة عمى المجال 0; بـِ u x sin x x
أدرس اتجاه تغير الدالة u
استنتج إشارة u x عمى 0; محددا وضيعة المنحني C g بالنسبية لممماس . T
ِ x3 نعتبر الدالة vالمعرفة عمى المجال 0; بـ 6 أحسب v x ثم v x من أجل xينتمي إلى . 0;
عين إشارة v x ثم استنتج اتجاه تغير الدالة .v
عين إشارة v x ثم استنتج اتجاه تغير الدالة .v
حدد إشارة .v x
x3 بين أنو من أجل كل xمن sin x x ، 0; 6 حدد األوضاع النسبية لممنحنيات C g ، C f و . T
v x sin x x
طريمة
عندما يتعذر إيجاد إشارة المشتقة مباشرة يمكن دراسة اتجاه تغير الدالة المشتقة لتحديد إشارتيا.
x
أنشئ في نفس المعمم O ; I , J المنحنيات C g ، C f و . T
تطبيق :1نعتبر الدالة fالمعرفة عمى بـِ f x 2 cos x 2 x 2
أدرس اتجاه تغير الدالة f عمى .
استنتج تغيرات الدالة fعمى .
x2 قارن بين الدالتين u : x cos xو 2
v : x 1
تطبيق :2نعتبر الدالة f nالمعرفة عمى 0 , بـِ f n x 1 x 1 nxحيث n 0;1 n
أدرس اتجاه تغير الدالة f nعمى . 0 ,
أثبت صحة " متباينة برنولي " التالية:
1705 /8/16 – 1654/12/21
جاكوب برنولي
من أجل كل xمن 0 , و من أجل كل nمن 1 nx ،
54
n
1 x
دراسة دالة صماء
.1نعتبر الدالة gالمعرفة عمى بـِ g x 2x 1 x 2
أدرس اتجاه تغير الدالة . g
بين أن المعادلة g x 0تقبل حال وحيدا يطمب تعيينو .استنتج إشارة gعمى .
.2نعتبر الدالة fالمعرفة عمى بـِ f x 2 1 x 2 xو ليكن C f تمثيميا البياني في معمم متعامد. نعتبر المستقيمين D : y 3xو x
D : y
أدرس نيايتي الدالة fعند و عند . g x . f x استنتج جدول تغيرات الدالة . f بين أنو من أجل كل xمن ، 1 x 2 أحسب . lim f x 3x فسر بيانيا النتيجة المحصل عمييا.
بين أن المستقيم D مستقيما مقاربا لممنحني C f عند .
x
أدرس وضعية C f بالنسبة إلى D و . D أرسم
D ، C fو . D
تقريب دالة بواسطة مجدول أو حاسبة بيانية 1 لتكن fدالة تحقق f 1 0و من أجل كل xمن ، 0; x .1بإتباع " طريقة أولر " أنجز ورقة الحساب الموالية باختيار خطوة h 0,01ثم أكمل الجدول التالي: f x
f x
x
0,695653
2
3 4
5
.2أنشئ تقريبا لمنحني الدالة fعمى المجال . 1;5 .3أعد إنجاز نفس الجدول السابق باختيار خطوة . h 0,001قارن بين النتائج المحصل عمييا مع تمك
التي تقدميا الحاسبة باستعمال الممسة
55
مىضىع محهىل. تمرين :
b نعتبر الدالة fالمعرفة تـ ِـ : 4x 2 مع aو bعددان حقيقيان. .1أ ـ عين D fمجموعة تعريف الدالة . f ب ـ ّبين أن الدالة fتقبل االشتقاق عمى كل مجال من المجموعة . D f جـ ـ عين العددين aو bبحيث من أجل كل ، x Df 3 7 f ' 0 و . f 0 2 2 .2أ ـ أحسب النيايات عند حدود المجموعة . D f ب ـ ّبرر أنو من أجل كل . f ' x 0 ، x Df f x ax
جـ ـ أنجز جدول تغيرات الدالة . f .3نسمي C fالمنحني الممثل لمدالة fفي معمم متعامد ومتجانس . O ; i ; j 1 أ ـ برىن أن المستقيم ذي المعادلة y xىو مستقيم 2 مقارب لممنحني . C f ب ـ أكتب معادلة لمماس المنحني C fعند النقطة ذات الفاصمة . 0 1 1 أن النقطة ذات اإلحداثيتين ; جـ ـ برىن ّ 2 4 ىي مركز تناظر لممنحني . C fأرسم المنحني . C f
جعـانيـك.
حل مخحصر. .1أ ـ D f ; 12 12 ;
استعمال المبرىنة حول مشتق مجموع دالتين .
x تقبل
b ب ـ لدينا من أجل كل 4x 2 0 ، x Dfإذن الدالة الناطقة 4x 2 االشتقاق عند كل قيمة من D f؛ الدالة كثير حدود x axتقبل االشتقاق عمى إذن تقبل االشتقاق عند كل قيمة من D fولدينا مجموع ىاتين الدالتين ىو الدالة f؛ إذن الدالة fتقبل االشتقاق عند كل قيمة من . D f 7 7 4b f ' x a ؛ f ' 0 معناه a b ؛ جـ ـ 2 2 2 4x 2
3 1 b 3 f 0 معناه وبالتالي نجد b 3و 2 2 2 2 f x lim؛ ؛ ؛ ـ أ .2 lim f x lim f x 1 . a
x بـ
x
f . lim
12 2
4x 2
x 2
x
x 12
1 2
+
f ' x 1 مجموع عددين موجبين 2
تماما إذن من أجل كل . f ' x 0 ، x Df
لمحصول عمى النتائج نطبق المبرىنات عمى النيايات .
+
x 'x
f
f x
.3أ ـ lim f x و lim f x 1 x 0إذن المستقيم ذي المعادلة x x
1 x 2
2
y ىو مستقيم مقارب لممنحني . C f
y 3
7 3 ب ـ معادلة المماس ىي . y x 2 2 Mنقطة من C fحيث x ; y إحداثيتييا في المعمم O ; i ; jو x '; y ' إحداثيتييا في المعمم ; i ; j 1 من M OM O ينتج x ' x
تطبيق مباشر لممعادلة المعروفة
2
y f ' x 0 x x 0 f x 0
1
3x
2
1
0 -1 -2
2
-3
1 4 1 1 و y ' y ثم نجد y ' x ؛ 2 4x 2 4 4 1 1 1 1 g : x x ىي فردية . y ' x 'ونبرىن أن الدالة 2 'x 2 x
56
-1
-2
-3
مع العمم أن المعامالت أعطيت في .1 جـ ـ اصتعًهُا طزٚمح تغٛٛز انًعهى يٍ انًثذأ Oإنٗ انًثذأ ؛ ًٚكٍ اصتعًال طزق أخزٖ
مىضىع مىجه. تنثيه.
تمارين اإلستمثال (التوسع إلى أبعد حد) يطمب فييا تعيين القيم المثمى (العظمى الحدية أو الصغرى) وىذا يؤدي بنا إلى إنشاء دالة نستخرج من دراستيا القيم ّ
حسب المطموب .
نستفيد من االستمثال في الحياة االقتصادية (مثل شراء كمية كبيرة من البضائع بأقل ثمن) .نريد في الموضوع المقترح استخراج روافد خشبية من جذع شجرة بدون تبذير . جمرين( .تكانٕرٚا) من جذع شجرة دائري المقطع قطره ، Dنريد الحصول عمى رافد مستطيل المقطع قاعدتو xوارتفاعو . h نحصل عمى المقاومة القصوى (العظمى) في االنحناء كمما كان المقدار xh 2كبي ار مع . h x
9 3 (I fىي الدالة المعرفة عمى المجال ِ 0; ـتـ . f x x 3 x : 4 2 Cالمنحني الممثل لمدالة fفي معمم متعامد O ; i ; jحيث يؤخذ . || i || 2 || j || 2cm
x D
.1أحسب f ' x وأنجز جدول تغيرات الدالة . f .2أكتب معادلة ِـنـ t1مماس المنحني Cعند النقطة Oثم معادلة ِـنـ t 2مماس المنحني Cعند نقطتو Aذات
3 3 ؛ ثم أدرس عمى المجال 0; الوضعية النسبية لممنحني Cبالنسبة ِـنـ t1وبالنسبة ِـنـ . t 2 الفاصمة 2 2 .3أنشئ المماسين t1و t 2ثم المنحني . C (IIتطبيق :نضع D ( . D 1,5mىو قطر المقطع الدائري لجذع الشجرة) 9 .1اشرح لماذا . x 2 h 2 4 .2أحسب xh 2بداللة . x
.3استعمل الجزء (Iإليجاد xو hبحيث تكون لمرافد أقصى مقاومة لالنحناء .
جىجيهات .1 (Iحمل f ' x إلى جداء عاممين ثم استنتج إشارتو بسيولة . طبق مباشرة معادلة المماس ولدراسة الوضعية ،أدرس إشارة العبارة f x t x ّ .2
حيث y t x ىي معادلة لممماس .
.1 (IIاستعمل مبرىنة فيثاغورس إليجاد العالقة بين h ، xو . D .2استخرج h 2من العالقة السابقة ثم قم بتعويضيا تحصل عمى . xh 2 f x الحدية العظمى . .3استعمل جدول تغيرات الدالة fلتعيين القيمة ّ
57
h
جمارين جطثيمية. 1ـ االشحمالية
1
fالدالة المعرفة عمى ِ ـتـ . f x x 2 3
أ ـ تحقق ّأنو من أجل كل hغير معدوم يكون : f 1 h f 1 h 2 . h h 2 2h 4 2 مبينا . f ' 1 ب ـ استنتج أن الدالة fتقبل االشتقاق عند ّ 1 (أنظر التمرين المحمول ) 1
2
)3أعط تفسي ار ىندسيا لمجواب عن السؤال )2؛ ثم أكتب معادلتي نصفي المماسين لممنحني C fفي ىذه الحالة .
8
fالدالة المعرفة عمى تِــ . f x x
عمما أن المنحني الممثل في معمم ،لمدالة ، fيمر بالنقطة . A 1; 3
f 2 h )1أحسب h 0 h )2ىل الدالة fتقبل االشتقاق عمى يمين 2؟ . lim
فسر ىندسيا إجابتك .
9
أكتب معادلة لمماس ىذا المنحني عند النقطة . A
Iمجال من يشمل العدد الحقيقي ، aو fدالة
قابمة لالشتقاق عند aحيث f ' a lمع . l
4ليكن C fالتمثيل البياني لمدالة fالمعرفة عمى
وقابمة لالشتقاق عند . 0 المستقيم Tذو المعادلة ، y 2 3xىو المماس لممنحني C fعند النقطة . A 0; 2
f x f a g x إذا نعتبر الدالة gالمعرفة بـ x a كان x I aو . g a l أ ـ أثبت أن الدالة gمستمرة عند . a
)1حدد f 0 و . f ' 0
f x 2 )2فسر ىندسيا العدد x f x 2 . lim )3برر وجود x 0 x 5إليك التمثيل البياني لدالة ، f
ب ـ من أجل ، x I aأكتب f x بداللة x
جـ ـ أحسب . lim f x ماذا تستنتج ؟ x a
10نعتبر الدالة fالدالة المعرفة عمى تـِـ : 1 . f x x x )1برىن أنو من أجل ، h 0 f 1 h 2 h 2 3h 3 2 . h 1 h 1 h 1
y 3 T2
)1حدد القيم التالية ، f 1 ، f 0 : . f ' 1 ، f ' 0
و . g x
من أجل . x 0
T1و T 2مماسان لو .
2 T1 1
2x
1
)2أكتب معادلة لكل من المستقيمين T1و . T 2
0
-1
C fالتمثيل البياني لدالة fيشمل النقطة A 2;3
Tالمماس لممنحني C fعند النقطة Aوالموازي لممستقيم
أن الدالة fتقبل االشتقاق عند . 1 ّ )2بين ّ )3استنتج أن الدالة fمستمرة عند . 1 11لتكن fالدالة المعرفة عمى تـ ِـ :
. f x 3x x 2 4
ذي المعادلة . 3x 2 y 1 0 أكتب معادلة لممستقيم . T
7
fالدالة المعرفة عمى 2; تـِـ : . f x x 2
أن الدالة fال تقبل االشتقاق عند . 0 أثبت ّ f 3دالة قابمة لالشتقاق عند 1حيث f ' 1 2
6
)1أثبت أنو من أجل h 0لدينا : h f 1 h 1 . h2 h h f 1 h 1 )2ىل العبارة تقبل نياية عندما يؤول h h إلى 0؟
C fمنحني الدالة fالمعرفة عمى تـ ِـ : . f x x x 1 2
)1تحقق من أن الدالة fمستمرة عند . 2 1 1 )2برىن ّأنو من أجل ، h ;0 0, 2 2
58
h f 2 h 6 3 4 h h h )3ىل الدالة fتقبل االشتقاق عند . 2
.
17أ ـ f x 2x 4 ؛ . D 5
ب ـ f x x 4؛ . D 4;
جـ ـ f x 2x 4؛ . D ; 2
2ـ انمشحمات وانعمهيات عهيها أن 12في كل حالة من الحاالت المقترحة أدناه ّ ،برر ّ الدالة fتقبل االشتقاق عمى ثم أعط عبارة مشتقتيا . مع اعتبار xو mعددان حقيقيان . 1 أ ـ . f x x 5 x 4 3x 3 x 2 4x 6 2 2 x 3 x 2 4x 6 . f x بـ 4 جـ ـ . f x 2mx 3 3m 3x 2 m 2 x m 2 د ـ . f m 2mx 3 3m 3x 2 m 2 x m 2
18المستوي منسوب إلى معمم . g ، fو hدوال معرفة كالتالي :
f x x 2 3x 4معرفة عمى . 1 g x 1 معرفة عمى . x h x 4 x 6 xمعرفة عمى . 0;
أن منحنيات ىذه الدوال تقبل نفس المماس عند النقطة برىن ّ ذات الفاصمة . 1 19في كل من الحاالت التالية ،أحسب الدوال المشتقة مرة المتتابعة األولى ،الثانية والثالثة لمدالة ّ f مبيناً في كل ّ
مبيناً 13أحسب الدالة المشتقة لكل من الدوال التالية ّ مجموعة التي تجرى الحسابات عمييا .
المجموعة التي تجرى عمييا الحساب .
x 2 4x 3 x 1 . f x 2ب ـ أـ 2 x 1 x x 3 1 x 1 . f x د ـ . f x x x جـ ـ x x من التمرين 14إلى ، 17المطموب حساب الدالة
ب ـ . f x x x 1 . f x جـ ـ 2x 1 f 20الدالة المعرفة عمى تـ . f x cos x :
. f x
المشتقة لمدالة fعمى المجال المعطى . D
أ ـ . f x 2 x 3 x 2 5x 1
عين ' ، f " ، f أ) ّ لمدالة . f
3
fو
4
fالدوال المشتقة المتتابعة
14أ ـ f x x x cos x؛ . D ب ـ f x sin x cos x؛ . D
ب) أعط تخميناً ،حسب قيم العدد الطبيعي غير المعدوم ، n n لعبارة . f x
sin x جـ ـ x 1 f x ؛ . D 0; 15أ ـ sin x sin x f x ؛ . D ; بـ cos x 2 2 cos x f x ؛ . D 0; جـ ـ 1 sin x 2 16أ ـ f x cos 3x ؛ . D 5 1 ب ـ f x sin x ؛ . D 2 جـ ـ f x 3x sin x ؛ . D 5
21نعتبر الدالة f : x x nمع . n ـ من أجل n 1أحسب f ' x و . f " x
f x ؛ . D
ـ من أجل n 2أحسب f " x ، f ' x و x ـ من أجل n 3أحسب x ، f " x ، f ' x 4 و . f x
3 3
.f
f
من أجل كل ، n أعط تخمينا حول أصغر قيمة لمعدد pالتي يكون من أجميا
x 0
p
f
1 22من أجل كل x نضع x 1 n و g x x 2 ؛ f n و g الدالتان x المشتقتان ذاتين الرتبة العدد الطبيعي غير المعدوم . n f x
عين أصغر عدد nالذي من أجمو يكون g n
59
n
. f
المعرفتين عمى تـ ِـ : 23نعتبر الدالتين fو g ّ f x sin xو g x cos xمع . أ ـ ّبين أن . f " x 2 f x ب ـ ّبين أن . g " x 2 g x
جـ ـ من أجل كل عددين حقيقيين aو bنضع : h x af x bg x
أن . h " x 2 h x ّبين ّ f 24الدالة المعرفة عمى تِــ :
1 x 2 f 'x f x
.
3ـ اججاه جغّير دانة 25في كل من الحاالت التالية أدرس اتجاه تغير الدالة . f أ ـ . f x 2x 4 27 x 7 ب ـ . f x 2x 3 x
2x 3 1 1 ْـ ـ . f x دـ x 1 x x f 26الدالة المعرفة عمى تـ : 1 1 1 . f x x 4 x 3 x 2 x 1 12 6 2 )1أحسب f ' x و ، f " x من أجل . x
f x
)2أ ـ استنتج إشارة . f ' x
27الشكل المقابل ىو المنحني C f
y 4 3 2 1
لدالة fقابمة لالشتقاق عند كل قيمة 1 2 3 4 x
-4 -3 -2 -1 0 -1
من بين المنحنيات الثالث ،ما ىو الذي يمثل ' fالدالة 3
1 2 3x
y 3 2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3
2 1 2 3 4 x
f 29الدالة المعرفة عمى ِ 1ـتـ :
f x
حدية محمية عظمى معدومة . f 1قيمة ّ )1لماذا f ' 1 0و f 1 0؟
)2أوجد إذن aو ، bثم تحقق أن الدالة المحصل عمييا تحقق اليدف .
30نعتبر الدالة fالمعرفة عمى 1تـ : 1 f x 2 x 1 Cىو تمثيميا البياني
البيانية .
.1شكل جدول تغيرات الدالة . f
.2استنتج تغي ار ت الدالتيتن التاليتين (مع الشرح) 1 2 ، f1 : x f 2 :x 2 2 2 x 1 x 1 f 31الدالة المعرفة عمى تِــ :
. f x x 3 3x 1
ب ـ أنجز جدول تغيرات الدالة . f
المشتقة لمدالة f؟
)3ىل الدالة fمحدودة عمى ؟
المرسوم عمى شاشة الحاسبة
جـ ـ . f x x cos x
y 3 2 1
حدية محمية ؟ )2ىل الدالة fتقبل قيم ّ
اليدف من التمرين ىو إيجاد إن أمكن aو bحيث يكون
)2استنتج ّأنو من أجل كل عدد حقيقي ، x . 1 x 2 f " x xf ' x f x 0
من المجموعة . 2; 2
)1أدرس تغيرات الدالة fونيايتييا عند وعند .
ax 2 bx 1 x 1 مع aو bعددين حقيقيين.
. f x x 1 x 2 )1تحقّق ّأنو من أجل كل عدد حقيقي ، x
f 28الدالة المعرفة عمى ِ ـتـ : f x 2x 3 12x 2 1
1
1 2 3 4 x -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
y 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
عين النيايتين لمدالة fعند وعند . ّ )1 )2أدرس تغيرات الدالة f؟
)3برىن أن المعادلة f x 0تقبل ثالث حمول . )4أعط حص ار بتقريب إلى 101لكل حل .
f 32الدالة المعرفة عمى ِ ـتـ : . f x 3x 4 4x 3 12x 2 4
)1أنجز جدول تغيرات الدالة . f
)2ما ىو عدد حمل المعادلة f x 0؟ )3أعط حص ار لكل حل بتقريب
60
1
. 10
n 33عدد طبيعي غير معدوم a ،عدد حقيقي . )1أدرس حسب شفعية ، nتغيرات الدالة . f n : x x n
دالتيا المشتقة .
)3ناقش حسب قيم nو ، aعدد حمول المعادلة ذات
أجل كل ، x I
)2أدرس النيايات لمدالة f nعند و عند . المجيول . x n a ، x
x
n 1
x nf ' x f
n
. f
صحيح غير معدوم . n
34الدوال المقترحة أدناه معرفة عمى ؛ المطموب
حساب الدالة المشتقة لكل منيا .
أ ) . f x x 2 2x 3
ب) . g x 2x 2 x 1 4
1
5
3
8
2
u
39باستعمال حاسبة بيانية مثّمنا المنحنيين الذين معادلتييما
y x x 1 1 1 و . y x 2 x 4 4 )1ما ىو التخمين الذي يمكن وضعو حول المنحنيين عند 2
3
. t u
في التمارين 33 ، 32و 34؛ المطموب حساب الدالة
المشتقة لمدالة المقترحة fالمعرفة عمى المجال Iالمعطى.
x 2 f x و . I 1; 35أ) x 1 3 4 x 2 f x و . I ; ب) 3 3x 4 3
ج) 3x 2 1 f x و . I ; 2 2 4x 2 3
د) f x 4x 2 3x 2 و . I 3
)1أثبت أنو من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم nومن )2برىن ّأنو يمكن تمديد ىذه القاعدة من أجل كل عدد
4ـ اشحماق دانة مركثة
ج) . h t t 3 t 1د)
38لتكن fدالة قابمة لالشتقاق عمى مجال Iو ' f
2
36أ ) f x sin 1 x 2 و . I
النقطة ذات الفاصمة 1؟
المعرفتان عمى تـ : f )2و gالدالتان ّ 1 1 f x x 2 x 1و . g x x 2 x 4 4 أن الدالتين fو gقابمتان لالشتقاق عمى . أ ـ برىن ّ ب ـ أحسب f ' 1 ، g 1 ، f 1و . g ' 1 ج ـ برىن التخمين الموضوع سابقا .
C f 40ىو التمثيل البياني ،في معمم متعامد ومتجانس ،
لمدالة fمعرفة عمى تـ . f x 4x 2 3 أن محور التراتيب ىو محور تناظر لممحني . C f أ ) برىن ّ ب) أحسب الدالة المشتقة لمدالة . fأنشئ جدول تغيرات الدالة fعمى المجال . 0;
f x cos و . I ب) 2x ج) f x cos3 xو . I
أن المستقيم ذي المعادلة y 2xىو مقارب ج) برىن ّ لممنحي C fبجوار .
د) f t tan 3 tو . I 0; 2
5ـ انحمرية انحآنفي
37أ ) ب) ج) د)
f x x 2 3و . I 2x 1 f x و . I x 2 x 2 2 t f t و . I 1; 2 1 t f x cos xو . I 0; 2
د) أرسم المنحني C fومستقيمو المقارب .
ّ 41برر التقريب التتلفي المحمي عند 0في كل الحالة من الحاالت التالية : x 3 ب) . 1 x 1 أ ) . 1 x 1 3x 2 1 ج) 1 x د) . sin x x . 1 x f 42الدالة المعرفة عمى تـ . f x x 2 :
61
أ ) عين التقريب التتلفي لعبارة f 2 h من أجل h مبينا االرتياب المرتكب . قريب من 0؛ ّ ب) أحسب ذىنيا قيمة مقربة لمعدد . 2,0292
مجموعة تعريفيا
43أعط تقريبا تتلفيا لعبارة f a h من أجل | | h مبينا االرتياب المرتكب من أجل . | h | 103 قريب من 0؛ ّ
f x 3x 2 5x 1 )1و . a 2 1 f x و . a 2 )2 x 2 f x x 2 1 )3و. a 1
Bو Cنقطتان من ) (C f
اليندسي ( BCDشبو مثمث قائم) ،
بداللة ) f '( x0و . h
النقطة C؟ 47في كل حالة Cىو التمثيل البياني لدالة fو Aنقطة من Cفاصمتيا . 1
1 y 1
x
C -1
0 -1
أ ) ىل الدال fتقبل االشتقاق عند 1؟
-2
ب) عين العدد المشتق في حالة وجوده.
-3
A
-4
C
Dنقطة حيث ) ( BDيعامد ). (CD
)1أعط قيمة مقربة لمساحة الشكل
عين العدد المشتق لمدالة fعند كل من .2بقراءة بيانية ّ 9 1 أن ترتيب النقطة Bىو . -3 ، و -2عمماً ّ 4 2 .4استنتج معادالت المماسات لممنحني C fعند B ، Aو .C y
النقطة ، Aو ) (Tمماس لممنحني ) (C fعند النقطة . A
الترتيب حيث h 0وقرب من . 0
.1عين مجموعة تعريف الدالة . f
.5ىل توجد مماسات أخرى لممنحني C fموازية لمماسو عند
44في المستوي المنسوب إلى معمم متعامد ومتجانس نعتبر ) (C fمنحني دالة fقابمة لالشتقاق عند x0فاصمة
فاصمتاىما x0 hو x0 hعمى
المنحني البياني C fالتالي ىو لدالة fقابمة لالشتقاق عمى
A D
3
3
2
B
2
C
1
0
C
3
2
1
A
x
x
y 4
y 4
y 4
A
11
x -1
A
1
0
-1
2x
2
1 01
1
C
0
-1
)2أحسب ىذه القيمة من أجل h 0.03ومعامل
معرفة عمى المجال 2; 2تـ : 48الدالة ّ f
عين العدد 45بدون حساب وباستعمال التقريب التتلفي ّ ، المشتق لمدالة fعند ، aفي كل من الحالتين التاليتين :
)1الحظ عمى شاشة الحاسبة البيانية ،منحني الدالة f
توجيو المستقيم ) (Tىو . 9
أ ـ f : x 1 2x 3x tan xو . a 0
ب ـ x 4 3
2
f : x 2x x 1و. a 1
تمارين نهثّع ّمك.
. f x 4 x 2
وأعط تخميناتك عول قابمية االشتقاق عند 2وعند . 0
)2برىن كل تخمين باستعمال تعريف االشتقاقية . في التمرينين أذكر إن كانت الدالة المقترحة fقابمة
لالشتقاق عند . 0
49أ ) . f x x x
1ـ االشحمالية
50أ ) | . f x x | x
y
46
A
1 x
1
ب) . f x x 2 x
C
0 B
. f x x 2 sin
ب) x 1 معرفة عمى المجال تـ f 0 0 : 51الدالة ّ f 1 ومن أجل كل . f x x 2 cos ، x 0 x )1ىل الدالة fتقبل االشتقاق عند 0؟ )2أحسب f ' x من أجل . x 0
62
a 56عدد حقيقي .نعتبر الدالة fالمعرفة عمى تـ : . f x ax 3 3x 2 3x
C f 52ىو المنحني الممثل في معمم متعامد ومتجانس ،
المعرفة عمى تـ . f x | x 2 1| : لمدالة f ّ )1أرسم المنحني C fعين نقطتو Aذات الفاصمة . 1
حدية محمية ، ىل يوجد عدد aحيث تكون لمدالة fقيمة ّ من أجل x 1؟
)2أ ) ّبين أن الدالة fتقبل االشتقاق عمى يمين . 1 عين معادلة ،عمى اليمين ،لمماس المنحني C fعند ب) ّ
57ليكن Cالمنحني ذي المعادلة :
xy 4x 3y 7 0
النقطة ، Aثم أرسمو .
أن Cيقبل برىن أن النقطة A 2;1تنتمي إلى ، Cو ّ مماسا عند النقطة Aيطمب تعيين معادلة لو .
)3أ ) ّبين أن الدالة fتقبل االشتقاق عمى يسار . 1 عين معادلة ،عمى اليسار ،لمماس المنحني C fعند ج) ّ النقطة ، Aثم أرسمو .
58
)4ىل الدالة fتقبل االشتقاق عند . 1
المعرفة عمى المجال ، 0; 2تمثيميا f 53الدالة ّ البياني Cىو عبارة عن نصف دائرة
y 1
fىي الدالة المعرفة عمى تـ : f x x3 3x 2 3x 3
عمى شاشة الحاسبة البيانية نرسم المنحني Cالممثل لمدالة f
والمماس Tعند النقطة Aالتي فاصمتيا . 0
مبين في الشكل . كما ىو ّ )1بقراءة بيانيةّ ،برر أن الدالة fال تقبل االشتقاق عند . 0 x
2
1
0
أن :تكون النقطة M x ; y تنتمي إلى ، Cإذا ّ )2برر ّ 2 وفقط إذا ،كانت x 1 y 2 1و . y 0 أكتب عبارة f x من أجل كل . x 0; 2
)3جد بالحساب النتيجة المحصل عمييا في السؤال . )1 2ـ انمشحمات وانعمهيات عهيها
ّ )2برر أن الدالة fتقبل االشتقاق عمى المجال واحسب f ' x عمى ىذا المجال .
.2خمن عمى الشاشة وضعية المنحني Cبالنسبة لممماس .T .3تحقق أن من أجل كل عدد حقيقي : x
. f x 3 x 3 x 2 x 3
54لتكن fالدالة . x x sin x : )1عين D fمجموعة تعريف الدالة . f
.1عين معادلة لممماس .T
.4ادرس إشارة f x 3 x 3ثم استنتج وضعية
0;
مبيناً قيمة )3برىن أن الدالة fتقبل االشتقاق عند ّ 0 . f ' 0 )4أعط تعريف الدالة ' fعمى المجموعة . D f a 55و bعددان حقيقيان .نعتبر الدالة fالمعرفة عمى 3x 3 ax b f x ؛ نسمي C fتمثيميا تـ : x 2 1 البياني في معمم . ىل يوجد عددان aو bحيث تكون لمماس المنحني ، C f
المنحني Cبالنسبة لممماس .T
59لتكن b ، aو cأعداد حقيقية حيث a 0وليكن Pالقطع المكافئ ذي المعادلة . y ax 2 bx c
)1ليكن x 0عدد حقيقي ،و M 0نقطة من Pفاصمتيا x 0 عين معادلة لممماس Tلممنحني Pعند النقطة . M 0 ّ أن Pيقع فوق كل مماساتو . )2برىن ّ
)3عين مجموعة النقط ، Mذات اإلحداثيات ، x ; y حيث يوجد مماس لممنحني Pعند النقطة . M
3 x 3 f : x ثم عين مجموعة تعريف الدالة ّ )1 60 1 x أحسب دالتيا المشتقة . 3 x )2استنتج الدالة المشتقة لمدالة 1 x مبينا المجموعة التي تقام فييا الحساب . ّ
معادلة y 4x 3عند نقطتو ذات الفاصمة 0؟
3
63
g :x
61الشكل الموالي ىو التمثيل البياني لدالة fمعرفة وقابمة لالشتقاق عمى
0;5
y 2 1 5x
4
3
2
0
1
-1 -2 -3 -4
المستقيمان المرسومان في الشكل ىما المماسان لممنحني عند 16 . النقطتين المتين فاصمتاىما 1و 9 .1بقراءة بيانية عين f 1و . f ' 1 .2حل بيانيا في المجال 0;5المتراجحات التالية (القيم المقروءة في التمثيل تعطى بالتقريب إلى ) 101 ب) ، f ' x 0
أ) ، f x 0
ج) . f x 1
.3نقبل أنو من اجل كل عدد حقيقي xمن : 0;5
f x a bx 2 x
أ -بين أنو من اجل كل عدد حقيقي xمن ، 0;5 3 f ' x b 2 x 2 ب -باستعمال قيم f 1و f ' 1المحصل عمييا في
عين aو . b السؤالّ 1 n 62عدد طبيعي غير معدوم ،و xعدد حقيقي
يختمف عن . 1
)1بسط المجموع . 1 x x 2 ... x n
)1من أجل كل عدد حقيقي ، xأحسب ، f ' x
f " x و x
3
. f
)2برىن بالتراجع ّأنو من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم ، nومن أجل كل عدد حقيقي ، x n n n cos x n 1 2 2
x x cos x
66الدالة fمعرفة عمى 1;1تـ : 2x . f x 2 x 1 )1جد عددين حقيقيين aو bحيث من أجل كل عدد حقيقي xمن المجموعة ، 1;1
a b x 1 x 1 n )2عدد طبيعي غير معدوم . باستعمال النتيجة السابقة ،أعط عبارة نـ ِـ :
x
n
x t
فاصمة الجسم عند المحظة ، tالقانون الزمني لمحركة يعطى
. f
3ـ اججاه جغّير دانة 67في الشكل المقابل C f ،ىو المنحني
y 4
الممثل في معمم متعامد ومتجانس لدالة f
3
قابمة لالشتقاق عمى ؛ والمماسان نـ C f عند نقطتيو Aو ، Bفاصمتييما 1و . 0
2 1
2x
1
القيم ، f 1 عين ّ )1بقراءة بيانية ّ ، f ' 0 ، f ' 1 ، f 1 ، f 0 و . f ' 1
)2استنتج تبسيطا لمعبارة :
بالعالقة . x t 3cos 2t 4 برىن أن التسارع متناسب مع الفاصمة .
برىن ،باستعمال االستدالل بالتراجع ّ ،أنو من أجل كل عدد n ! 1 n n . f x طبيعي غير معدوم ، n x n 1 65الدالة fمعرفة عمى تـ . f x x cos x :
. f x
aو bعددان حقيقيان نريد حسابيما.
1 2x 3x 2 ... nx n 1 63جسم يتحرك عمى المحور . Ox نضع
1 64من أجل كل x نضع x المشتقة ذات الرتبة العدد الطبيعي غير المعدوم nلمدالة . f ، f x
n
f
3 3 )2حل بينيا ،في المجال : ; 2 2 أ ) المعادلة . f x 0
ب) المعادلة . f ' x 1 ج) المتراجحة . f ' x 4
64
0 -1
-1
f
مرتين وتحقق f 68دالة معرفة عمى ، تقبل االشتقاق ّ الشرطين التاليين f 0 0 *:؛ . f ' 0 1
* ' ( fالدالة المشتقة األولى لمدالة ) fمتزايدة عمى 0; ومتناقصة عمى . ; 0
أرسم منحن لمدالة . f f 69ىي الدالة المعرفة عمى I 1; تـ : 1 x . f x x 1 )1أدرس تغيرات الدالة fعمى المجال . I )2أ ـ استنتج أن المعادلة f x 0تقبل حال وحيدا في المجال . 1; 2
مقربة إلى 101لمحل . ب ـ أعط قيمة ّ f 70الدالة المعرفة عمى تـ : . f x x 4 6x 2 8x
أ ) أدرس نيايات الدالة fعند أطراف مجموعة تعريفيا . ب) أدرس إشارة كثير الحدود 2
p x 4 x 2 x 1
عين الدالة المشتقة ' fلمدالة . f ج) ّ د) أنشئ جدول تغيرات الدالة . f
71
أ ـ أدرس تغيرات الدالة . f ب ـ برىن أن 6ىو عنصر حاد من األسفل لمدالة fعمى المجال . 0; y 72بكانىريا A 9 8 الشكل الموالي ىو 7 التمثيل البياني Cلدالة 6 5 fمعرفة و قابمة 4 3 لالشتقاق عمى المجال 2 1 3;3في معمم
متعامد ومتجانس O; I , J
3 x
2
B
حيث c ، b ، aو dأعداد حقيقية . أ -بين باستعمال الشروط السابقة أن : 1 c 3 ، b 1، a و d 0 3 ب-حمل f ' x و استنتج اتجاه تغير الدالة . f f mالدالة المعرفة عمى 1;1بـِ :
73
x mx x 2 1 أ ) من أجل أي قيمة لمعدد mحيث 2
0 -1 -2
-1
-2
-3
المنحني Cيحقق الشروط التالية : يمر بمبدأ المعمم ، Oو يشمل النقطة ، A 3;9 يقبل
محمية ؟ ّ ب) من أجل أي قيمة لمعدد mحيث
.2نفرض أن fمعرفة عمى 3;3تـ:
حدية f mال تقبل قيم ّ f mتقبل قيمتين
حديتين محميتين إحداىما صغرى واألخرى عظمى ؟ ّ B ، A 74و Cثالث نقط من المستوي ليست في استقامية k .عدد حقيقي من المجال . 1;1
نسمي G kمرّجح النقط المثقمة ، A , k 2 1 و . C , k
B , k
وأنشئ النقطتين G1و . G 1
)2أ ـ برىن ّأنو من أجل كل ، k 1;1يكون : k BC . AG k 2 k 1 المعرفة عمى 1;1تـِـ : تغيرات الدالة f ب ـ أنشئ جدول ّ ّ x . f x 2 x 1 ج ـ استنتج مجموعة النقط G kلماّ kيمسح . 1;1 75نعتبر قرصا مركزه Oونصف قطره ، Rانقص منو قطاعا زاويا OA ;OBقياسو xمقد ار بالراديان ،عندما
نمصق القطعتين OA و OB مع بعضيما نحصل عمى مخروط دوراني نصف قطر قاعدتو rوارتفاعو . h r
في النقطة Bالتي فاصمتيا 1مماسا أفقيا و يقبل المستقيم OA كمماس عند النقطة . O
.1ما ىو معامل توجيو المستقيم OA ؟
f m x مع mعدد حقيقي .
)1مثل النقط C ، B ، Aو Iمنتصف القطعة . BC
fالدالة المعرفة عمى تـ f x x 3 2x 2 4
1
f x ax 3 bx 2 cx d
A B
h O
O
R
x A
عبر عن rو hبداللة xو . R ّ )1
65
R
B
)2برىن أن حجم المخروط الدوراني معرف بالعالقة :
R3 2 x 4 2 x 2 24 2 )3أـ أدرس تغيرات الدالة Vعمى المجال . 0; 2 . V x
1 f u 2؛ g u3؛ u عين مجموعة تعريف لكل دالة من الدوال h ، g ، f أ) ّ
h؛ k u
و .k
ب ـ من أجل أي قيمة لمعدد xيكون حجم المخروط أكبر ما
عبر عن كل من h x ، g x ، f x و ب) ّ k x بداللة u x و . u x
ABCD 76مربع ضمعو . 1
ج) استنتج جدول تغيرات لكل دالة من الدوال h ، g ، f
يمكن ؟ أحسبو بداللة . R
Cىو الربع الدائرة ذات المركز Aونصف القطر ، AB المرسوم داخل المربع .
A
B N T
C M C Tنقطة من Cمختمفة عن Bو . Dالمماس لـ C D
عند Tيقطع DC في Mويقطع BC في . N نضع x DMو . y BN أن . MN 2 x 2 y 2 2x 2 y 2 : )1أ ـ برىن ّ أن . MN MT TN x y : ب ـ برىن ّ عبر عن yبداللة . x جـ ـ مما سبق ّ ، د ـ أحسب إذن MNبداللة . x
و .k
المعرفة عمى )1 78أحسب الدالة المشتقة لمدالة f ّ x 2 1 . f x 1تـ : x 1 )2استنتج الدالة المشتقة لكل من الدوال المقترحة التالية :
x 1 أ) x 1
.g :x
x 1 ب) x 2 1 4
.h :x
x 2 1 sin 2 x 1 د) . u :x ج) x 1 sin x 1 )1 79إذا كانت دالة fزوجة وقابمة لالشتقاق فما ىي
.v : x
شفعية دالتيا المشتقة ' f؟
)2إذا كانت دالة gفردية وقابمة لالشتقاق فما ىي
شفعية دالتيا المشتقة ' g؟
x 2 1 المعرفة عمى 0;1تـ f )2ىي الدالة ّ x 1 أ ـ أدرس تغيرات الدالة . f
f x
80في كل من الحاالت التالية أحسب الدالة المشتقة لمدالة مرة المجموعة التي تجرى عمييا fالمقترحة ّ مبيناً في كل ّ
الحسابات .
ب ـ ما ىي وضعية النقطة Mالتي من أجميا المسافة
1 أ ) . f x cos3 2xج) sin 3x 1 . f x ب) . f x sin 3 3xد) 3 cos 4x
77جدول التغيرات الموالي ىو لدالة uمعرفة عمى Du 2;3
5ـ دراسة انذوال .
MNأصغر ما يمكن ؟ 4ـ اشحماق دانة مركثة .
3
2
+
1 0 0 +ـ
2 1 x u x ـ + 0 3
0
u x
2
0
1 عين إشارة . u x ّ )1 )2نعتبر الدوال h ، g ، fو kالمعرفة كما يمي : 2
4
المعرفة تـ : 81لتكن الدالة f ّ
x 3 2x 2 2
x 1
. f x
. f x
نسمي C fالمنحني الممثل ليا في معمم متعامد ومتجانس . O ;i ; j
)1أدرس تغيرات الدالة . fاستنتج أن المنحني C fيقبل مستقيما مقاربا عموديا .
)2بين أن المستقيم ذي المعادلة y xىو مقارب مائل لممنحني . C f
66
)3أدرس وضعية المنحني C fبالنسبة إلى المستقيم المقارب لو المائل .
84من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم ، nنعتبر الدالة f nالمعرفة عمى بـ . f n x x 2 2x : n
)4أحسب إحداثيات نقطتي تقاطع المنحني C fمع حامل
)1أحسب نيايتي الدالة f nعند و .
)5أكتب معادلة لممماس عند النقطة ذات الفاصمة . 1
ميز الحالتين nزوجي ثم فردي )2أدرس تغيرات الدالة ّ ( f n ).
محور الفواصل. )6أنشئ ثم المنحني . C f
)3نسمي C nالمنحني الممثل لمدالة f nفي معمم متعامد
المعرفة عمى 2تـ : f 82الدالة ّ x x 1 . f x x 2 C fالمنحني الممثل لمدالة fفي معمم .
ومتجانس . أن المستقيم ذي المعادلة x 1ىو محور أ ـ تحقق من ّ تناظر لممنحني . C n
)1أدرس تغيرات الدالة . f )2أ ـ ّبرر أن المستقيم dذي المعادلة ، y x 3ىو مقارب مائل لممنحني . C fأدرس الوضعية النسبية نـ C f بالنسبة لمستقيمو المقارب المائل .
ثم . C f ب ـ أرسم ّ d عين حسب ّقيم الوسيط الحقيقي ، m )3أ ـ استعمل ّ ، C f 2 عدد حمول المعادلة . x 1 m x 2m 0 ب ـ استنتج حسب ّقيم الوسيط الحقيقي ، mعدد حمول المعادلة cos 2u 2 1 m cos u 4m 1 0مع . u 0; 2
4x 2 5x المعرفة تـ: 83لتكن الدالة f ّ 2x 2 5x 2 نسمي C fالمنحني الممثل ليا في معمم متعامد ومتجانس .
. f x
)1عين مجموعة تعريف الدالة f )2عين األعداد الحقيقية b ، aو ، cبحيث م ن أجل كل عدد حقيقي xمن مجموعة تعريف الدالة : f b b . f x a 2x 1 x 2 )3أدرس تغيرات الدالة fثم أكتب معادلة لكل من المستقيمات المقاربة لممنحني . C f
)4أكتب معادلة لمماس المنحني C fعند النقطة ذات الفاصمة . 0 )5عين إحداثيات نقطتي تقاطع المنحني C fوحامل محور
يمر من أربع نقط إحداثياتيا مستقمة عن ب ـ ّبرر ّ أن ّ C n العدد الطبيعي . nأحسب إحداثيات ىذه النقط . أرسم في نفس المعمم المنحنيين C 1و . C 7
x 2 2x 15 المعرفة تـ: 85نعتبر الدالة f ّ x 2 2x 3 يرمز Cإلى المنحني الممثل لمدالة fفي المستوي المنسوب إلى معمم متعامد ومتجانس . O ; i ; j
f x
تغيرات الدالة . fاستنتج معادلة لكل من )1أدرس ّ المستقيمين المقاربين لممحني . C )2أكتب معادلة لمماس المنحني Cعند نقطتو ذات الفاصمة . 5
)3أثبت أن المستقيم ذي المعادلة x 1ىو محور
تناظر لممنحني . Cأرسم المنحني . C المعرفة تـ : )4نعتبر الدالة f m ّ x 2 mx 15 f m x 2حيث mوسيط حقيقي . x mx 3 ـ أدرس تغيرات الدالة f mواستنتج المستقيمين القاربين لمنحنيا . C m ـ بين ّأنو توجد نقطة وحيدة تنتمي إلى كل المنحنيات . C m ـ ما ىو المنحني الذي يشمل النقطة ذات اإلحداثيتين 4;1 ؟ (I 86نعتبر الدالة gالمعرفة عمى المجال تـ ِـ :
g x 2x 3x 1 2
3
و ليكن C g تمثيميا البياني في معمم.
الفواصل. )6أرصى انًُحُ. ٙ
67
1;
)1الحظ C g عمى شاشة الحاسبة البيانية ثم ضع تخمينا حول عدد جذورىا و حول
)2أدرس تغيرات الدالة gثم شكل جدول تغيراتيا.
مقاربا مائال لممنحني C f عند و عند .
)3بين أن المعادلة g x 0تقبل حال وحيدا
أدرس وضعية المنحني C f بالنسبة لممستقيم المقارب
محصو ار بين 1,6و . 1,7
)4استنتج ،حسب قيم ، xإشارة g x عمى . 1;
(IIنعتبر الدالة fالمعرفة عمى المجال 1; تـ ِـ 1 x f x 3 x 1 و ليكن C f تمثيميا البياني في معمم متعامد و متجانس ( O ; I , J الوحدة.) 4cm : )1بين أن lim f x
ثم أحسب . lim f x x
أعط تفسي ار بيانيا لمنتيجتين. )2بين أنو من كل xمن ، 1;
g x
2
1
3
x
)5بين أن المعادلة f x 0تقبل حال وحيدا في
المجال 1;1يطمب إيجاد ،باستعمال حاسبة بيانية ،حصر لو سعتو . 0,1
)6أرسم المستقيمات المقاربة و المنحني . C f )7من مالحظة C f خمن وجود مركز تناظر لممنحني C f ثم أثبت صحة أو عدم صحة تخمينك.
f x
ذات الفاصمة.0
)5تحقق أنو من أجل كل xمن ، 1; 1
x 3 x 1 x 3 1 )6بعد دراسة إشارة f x x 1استنتج وضعية
. f x x 1
المنحني
المائل .
(I 88
)3استنتج اتجاه تغير الدالة fثم شكل جدول تغيراتيا. )4عين معادلة لـِ مماس المنحني C f عند النقطة
)3أكتب معادلة لممماس C f عند النقطة ذات الفاصمة .0 )3بين أنو من أجل كل xمن ، D f x f x x 1 2 x 1 )4بين أن المستقيم ذو المعادلة y x 1مستقيما
إشارتيا.
x 1
)2أدرس اتجاه تغير الدالة fثم شكل جدول تغيراتيا.
C fبالنسبة لممماس . ماذا تالحظ ؟
)7ارسم المستقيم و المنحني . C f 87نعتبر الدالة fالمعرفة عمى D fتـ ِـ :
x 3 x 2 1 f x x 2 1 حيث D f ; 1 1;1 1; ؛ و ليكن C f تمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس . O ; I , J )1أحسب نيايات الدالة fعند أطراف مجموعة تعريفيا .
المعرفة عمى 2تـ : fالدالة ّ x 3 3x 6 . f x 2 x 2
Cالمنحني الممثل لمدالة fفي معمم متعامد ومتجانس . )1برىن ّأنو يوجد عددان حقيقيان aو bحيث من أجل b 2 . f x a x 1 كل ، x 2تكون x 2 )2أ ـ أدرس نيايات الدالة fعند حدود مجموعة تعريفيا. تغيرات الدالة . f ب ـ أنشئ جدول ّ
1 2 (IIنسمي القطع المكافئ ذي المعادلة x 1 2 حيث . x 2
y
Pو Mنقطتان من و Cعمى الترتيب ،ليما الفاصمة xمشتركة .
)1أحسب مرّكبتي الشعاع . PM فإن أن ،لما xيؤول إلى أو ّ استنتج ّ فسر ىذه النتيجة ىندسيا . المسافة PMتؤول إلى ّ . 0 )2أرسم في نفس الشكل المنحنيين و . C
استنتج المستقيمات المقاربة الموازية لمحور التراتيب.
68
89
المعرفة عدد حقيقي موجب تماما f .الدالة ّ
عمى المجال I 0; تـ :
2 2 C ، f x x تمثيميا البياني في معمم . x x3 )1أ ـ أدرس نيايتي الدالة f عند حدود المجال . I ب ـ برىن ّأنو يوجد مستقيم مقارب مائل لممنحني C وأدرس وضعيتييما النسبية .
تغيرات الدالة f عمى المجال . I )2أ ـ أدرس ّ حدية تبمغيا عند عدد حقيقي ب ـ برىن أن f تقبل قيمة ّ . x
P )3نقطة من C فاصمتيا . x
أن مجموعة النقط Pمحتواة في المستقيم ذي أ ـ برىن ّ 16 المعادلة . y x 9 ب ـ ما ىي مجموعة النقط Pعندما يمسح المجال . I 90تكانىريا. المعرفة عمى المجموعة Dfتـ ِـ : fىي الدالة ّ . f x x 1 x 2 4x
مع Df ; 4 0; ؛ و Cتمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس . O ; i ; j
)1أحسب النيايتين لمدالة fعند و . أن المستقيم ذي المعادلة ، y 2x 3ىو ّ )2بين ّ مستقيم مقارب لممنحني Cبجوار . )3ىل الدالة fتقبل االشتقاق عند 0؟ عند 4؟
)4أحسب f ' x من أجل . x Df 4;0 غيرات لمدالة . f )5أنشئ جدول التّ ّ ثم المنحني . C )6أرسم المستقيم المقاربة ّ 91تكانىريا. معرفة وقابمة لالشتقاق عمى حيث F 0 0 Fدالة ّ 1 . F 'x 2 ومن أجل كل عدد حقيقي x 1 أن الدالة Fموجودة وال نريد إيجاد عبارتيا . F x نقبل ّ نسمي Cتمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس .
المعرفة عمى تـ ِـ : G )1الدالة ّ . G x F x F x
أن Gتقبل االشتقاق عمى وأحسب G ' x من أ ـ ّبرر ّ أجل . x
ب ـ أحسب G 0 واستنتج أن الدالة Fفردية .
المعرفة عمى المجال I 0; تـِـ : H )2الدلة ّ 1 . H x F x F x أن Hتقبل االشتقاق عمى Iوأحسب H ' x من أ ـ ّبرر ّ أجل . x I
ب ـ برىن ّأنو من أجل كل . H x 2F 1 ، x I ج ـ استنتج أن . lim F x 2F 1 x
د ـ ماذا ينتج عن المنحني C؟
المعرفة عمى ; تـِـ : T )3الدالة ّ 2 2 . T x F tan x x
أ ـ أحسب . T ' x ماذا ينتج عن الدالة T؟
ب ـ أحسب . F 1
تغيرات الدالة Fعمى . )4أنجز جدول ّ )5أرسم المنحني ، Cمستقيماتو المقاربة ومماساتو عند النقط ذات الفواصل 0 ، 1و . 1 المعرفة عمى ; تـِـ : f 92ىي الدالة ّ 2 2 . f t 2 tan t 1 Cتمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس .
أ ـ عين معادلة لممماس Tلممنحني Cعند النقطة ذات
الفاصمة . 0
ب ـ أدرس الوضعية النسبية لممنحني Cبالنسبة نـِـ . T المعرفة عمى تـ : 93نعتبر الدالة f ّ
. f x sin 2 x وليكن Cتمثيميا البياني في معمم متعامد . O ; i ; j
أن الدالة fدورية ذات الدور . أ ـ برىن ّ أن محور التراتيب ىو محور لممنحني . C ب ـ برىن ّ تغيرات الدالة fعمى المجال . 0; ج ـ أدرس ّ 2
69
د ـ أرسم المنحني الذي يمثل الدالة fعمى المجال 0; 2 3 3 ثم عمى المجال . ; 2 2 المعرفة عمى تـ ِـ : f 94ىي الدالة ّ
. f x sin 3x 3sin x
الجزء األول :
)1أ ـ أدرس عمى المجال ، I 0; تغيرات الدالة 3 . u : x tan x x
ب ـ استنتج إشارة tan x xعمى المجال . I
)1قارن بين f x وكل من f x ، f x 2
)2أ ـ ّبرر أنو يوجد عدد حقيقي وحيد في المجال I حيث . tan 2 2 1
برىن إذن ّأنو يكفي دراسة الدالة fعمى . 0; 2 )2برىن ّأنو من أجل كل عدد حقيقي ، x
تغيرات الدالة v : x tan x x 2واستنتج ج ـ أدرس ّ إشارة v x عمى المجال . I
و . f x
. f ' x 6sin x sin 2x
الجزء الثاني : 3
x x tan x x عمى تغيرات الدالة )1أدرس ّ 3 المجال ، Iواستنتج ّأنو من أجل كل ، x I
تغيرات الدالة fعمى . 0; )3أدرس ّ 2 )4أرسم منحني الدالة fعمى . 2 ; 2
المعرفة عمى تـ : 95نعتبر الدالة f ّ 1 . f x cos 2x cos x 2 وليكن Cتمثيميا البياني في معمم متعامد . O ; i ; j
ب ـ استنتج إشارة tan 2 x 1 2عمى المجال . I
أن الدالة fدورية ذات الدور . 2 )1أ ـ برىن ّ أن محور التراتيب ىو محور لممنحني . C ب ـ برىن ّ عين ' fالدالة المشتقة لمدالة . f )2أ ـ ّ ب ـ ّبرر أنو من أجل كل عدد حقيقي ، x . f ' x sin x 1 2 cos x
x3 tan x 3 )2بإتباع نفس الطريقة لمسؤال ّ )1برر ّأنو من أجل كل 2x 3 . tan x x ، x I 3 )3من شفعية الدالة ّ ، tanبرر ّأنو من أجل كل . x
، x ;0 3 المعرفة عمى المجموعة Dلألعداد f 97ىي الدالة ّ 3
الحقيقية xحيث
ج ـ أدرس إشارة f ' x من أجل . x 0;
)3أ ـ أنجز جدول تغيرات لمدالة fعمى . 0;
ب ـ أرسم المنحني الذي يمثل الدالة fعمى . ;
ج ـ كيف يمكن استنتاج المنحني . C
96اليدف من التمرين ىو تقريب محمي بجوار 0لمدالة tanمع كثيرات الحدود .
المعرفتين عمى تـ ِـ : نعتبر الدالتين fو g ّ 3 x3 2x . g x x f x x و 3 3 باستعمال حاسبة بيانية أعط تخمينا حول وضعية منحنيات الدوال g ، fو . tan
3
x 2x tan x x 3 3 k
. x
x مع ، k تـِـ :
4 2 . f x tan 2x
)1أ ـ برىن أن الدالة fدورية ذات الدور 2 ب ـ برىن أنو من أجل كل xمن ، D
.
. f x f x
أن المنحني Cالممثل لمدالة fفي معمم متعامد استنتج ّ ومتجانس ،متناظر بالنسبة لمبدأ المعمم . )2أ ـ أحسب f ' x من أجل . x 0; 4 تغيرات الدالة fعمى المجال . 0; ب ـ استنتج جدول ّ 4 )3أ ـ عين معادلة لممماس Tلممنحني عند مبدأ المعمم .
70
ب ـ أدرس وضعية Cبالنسبة إلى Tعمى . ; 4 4 )4أرسم Tوالمنحني الذي يمثل الدالة fعمى . ; 4 4
واشرح كيف ينتج المنحني . C
يحقق 2 )1أحسب بداللة ، tan فاصمة النقطة ، Aترتيب النقطة
98المستوي منسوب إلى معمم متعامد ومتجانس مباشر y . O ;i ; j
رأسو ، A 1; 0 محيط بالدائرة ذات المركز Oونصف القطر . 1
H x
النقطة Bتقع فوق المحور ، Ox
1
O0
A
C
و Hالمسقط العمودي لمنقطة Aعمى . BC
1 تغير . f . f x 2 x 1 2x أدرس اتجاه ّ حدية صغري يطمب تحديدىا. استنتج أن الدالة fتقبل قيمة ّ مما سبق أصغر مساحة ممكنة لممثمث . OAB )3استنتج ّ
أرسم المستقيم A B في ىذه الحالة .
مقد ار بالراديان لمزاوية ليكن قيسا رئيسيا موجبا ّ . i ,OB
. 0
ثم مساحة المثمث . OAB ّ ، B المعرفة عمى 0; تـ : )2لتكن الدالة f ّ
1
مثمث ABCمتساوي الساقين
الترتيب ؛ حيث ترتيب النقطة يكون أكبر من . 1 نضع القياس بالراديان لمزاوية OABوالذي
مـسـائـم.
B
يقطع كل من Ox و Oy في النقطتين Aو Bعمى
100نضع كرة ذات نصف القطر Rداخل مخروط دوراني ،قياس نصف الزاوية إلى رأسو ىي حيث
)1ـ عين إحداثيتي النقطة . B
عبر عن المسافتين BHو AHبداللة . ـ ّ ـ استنتج بداللة مساحة المثمث . ABC
. 0
2 نفرض أن الكرة والمخروط الدوراني متماسان .
المعرفة عمى 0; تـ : )2نعتبر الدالة f ّ . f x sin x 1 cos x
ونقبل أن حجمو Vيحقق
R 3 1 sin 3sin 1 sin 2
أ ـ عين الدالة المشتقة لمدالة fوبرىن ّأنو من أجل كل . f ' x 2 cos 2 x cos x 1 x 0;
.V
O
ب ـ أدرس اشارة ، f ' x ثم أنجز جدول تغيرات الدالة . f
)3برىن ّأنو توجد قيمة لمعدد التي من أجميا تكون مساحة المثمث ABCأكبر ما يمكن ،المطموب تحديد ىذه المساحة .ما ىي إذن طبيعة المثمث . ABC
99المستوي منسوب إلى معمم متعامد ومتجانس مباشر y . O ;i ; j
اإلحداثيتين . 2;1
مستقيم يشمل النقطة p
اليدف من التمرين ىو تعيين ارتفاع المخروط الدواراني بحيث يكون حجمو أصغر ما يمكن .
)1برىن أن االرتفاع hوالحجم Vلممخروط الدوراني
P
A x
1
1
O0
h3
يحقّقان العالقة : 3 )2أدرس اتجاه تغير الدالة fالمعرفة عمى 0;1تـ :
tan 2
1 x x x 1 x
.V
2
B
نعتبر النقطة pذات
h R
استنتج ّأنو من أجل كل ، x 0; . f ' x 2 cos 1 cos x 1
. f
)3أ ـ استنتج من السؤال السابق ّ ،أنو يوجد مخروط دوراني لو أصغر حجم ؛ نرمز تـ 0إلى قياس نصف الزاوية إلى حدد القيمة V 0ألصغر حجم . رأسو ّ .
71
ب ـ أحسب االرتفاع h0لممخروط الدوراني الذي لو أصغر حجم .
1 101في الشكل لدينا منحن ذي المعادلة x . x 0
y مع
y
أن المثمث ABCتقايس أضالع مركزه . O )2برىن ّ عين مجموعة النقط Mمن الفضاء المتباعدة )3أ ـ ّ عين مجموعة النقط Nمن الفضاء المتباعدة المسافتين بـ ّ لكل من النقطتين Bو . C ج ـ برىن أن مجموعة النقط Pمن الفضاء المتباعدة
1
المسافات لكل من النقط B ، Aو Cىي حامل المحور . O ;k
O0
)4برىن ّأنو توجد نقطة وحيدة Dراقميا موجب حيث يكون الرباعي ABCDمنتظما وأحسب إحداثياتيا .
M
x
1
A
تعيين إن أمكن نقطة Mبحيث اليدف من التمرين ىو ّ تكون المسافة AMأصغر ما يمكن . )1أ ـ ّبرر ّأنو إذا أخذت AMأصغر قيمة فإن AM 2 تأخذ أصغر قيمة .
ب ـ أحسب بداللة d x ، xحيث
2
. d x AM
2f x )2برىن أنو من أجل كل ، x 0 x3 حيث fىي دالة كثير حدود من الدرجة الرابعة .
d 'x
)3دراسة الدالة . f
أ ـ أدرس تغيرات الدالة fعمى . I 0;
أن المعادلة f x 0تقبل حال وحيدا في ب ـ برىن ّ عين حص ار لمعدد نصف قطره . 102 المجال ّ . I
)5لتكن Mنقطة كيفية من القطعة المستقيمة . CD نضع CM CDمع . 0;1
2 2 2 1 أن أ ـ برىن ّ 2 2 1
)4استنتج مما سبق تغيرات الدالة dوأعط خالصة . ّ )5برر ّأنو إذا كانت Mأقرب من النقطة Aفإن المستقيم A M يكون عموديا عمى مماس المنحني المعطى سابقا في نقطتو . M 102في الفضاء المنسوب إلى معمم متعامد ومتجانس ، O ; i ; j ; kنعتبر النقط ، A 2; 0; 0
3 ;0
; B 1و . C 1; 3 ;0
. cos AMB
نعرف الدالة fعمى المجموعة تـ : ّ 2 2 1 1 . f 1 2 2 2 1 2 1 2
ب ـ أدرس تغيرات الدالة . f ج ـ استنتج وضعية النقطة Mالتي من أجميا تكون الزاوية AMBأكبر ما يمكن . AMB؟ د ـ ما ىي القيمة ألكبر زاوية
(I 103
fالدالة المعرفة عمى 0;1تـ ِِ : x3 . f x 1 x
ج) استنتج إشارة f x عمى المجال . I
المسافتين لكل من النقطتين Aو . B
1 Aو Mنقطتان حيث A 1; 1و . M x ; x
x
)1مثل النقط B ، Aو Cفي المستوي . p O ; i ; j
)1ىل الدالة fتقبل االشتقاق عند . 0 )2شكل جدول تغيرات الدالة . f )3نسمي C 1المنحني الممثل لمدالة fفي معمم متعامد ومتجانس . O ; i ; j
أكتب معادلة لممماس Tلممنحني C 1عند النقطة ذات 1 . الفاصمة 2
72
ثم المنحني C 2نظير )4في نفس المعمم أرسم ّ T ، C 1 C 1بالنسبة إلى محور الفواصل . )5نضع = C1 C 2ولتكن M x ; y نقطة من أن M إذا وفقط إذا كان المستوي .برىن ّ 2 E ... x x y 2 y 2 0 المنحني يسمى المنحني المبالبي نذٚكهٕٚش (. )cissoïde de Dioclès I (IIالنقطة ذات اإلحداثيتين C ، 1; 0 الدائرة ذات
القطر OI و المماس لمدائرة Cعند النقطة . I
dالمستقيم الذي يشمل النقطة Oومعامل توجييو العدد الحقيقي . t
عين إحداثيتي Mنقطة تقاطع الدائرة Cوالمستقيم d ّ )1 حيث . M O عين إحداثيتي ' Mنقطة تقاطع المنحني والمستقيم ّ )2 dحيث . M ' O أحسب إحداثيتي نقطة تقاطع المستقيمين و . d )3استنتج طريقة إلنشاء المنحني نقطة بنقطة انطالقا من النقطتين Mو . N
تغيراتيا . تغيرات الدالة gوأنشئ جدول ّ أ ـ أدرس ّ ب ـ استنتج إشارة g x عمى . 0;
المعرفة عمى 0; تـ : )2لتكن الدالة f ّ sin x f x من أجل x 0و . f 0 1 x تغيرات الدالة fعمى . 0; أدرس ّ
)3اليدف من السؤال ىو دراسة قابمية االشتقاق عند 0 لمدالة . f
أ ـ ّبين ّأنو من أجل كل عدد موجب ، x x3 . 0 x sin x 6 من أجل ذلك نعتبر الدالة المعرفة عمى 0; تـِـ : 3
x 6 أحسب المشتقات المتتابعة
. x sin x x
" x ، ' x و "' x
واستنتج إشارة .
ب ـ برىن أن الدالة fتقبل االشتقاق عند 0وأحسب . f ' 0
)4أنشئ المنحني Cالممثل لمدالة fفي معم متعامد
أنشئ المنحني )1 (IIIالمستقيم IM 'يقطع محور التراتيب في . P أن ، NM . NO NI . NO NI 2 : أ ـ برىن ّ . OM .ON ON .OI OI 2 و أن ، NI 2 OM ' NO : ب ـ استنتج ّ و . OI 2 OM ON
' OP OM ' OM أن : ج ـ برىن ّ NI M ' N OM أن : د ـ استنتج من السؤالين ب و ج ّ ،
. g x x cos x sin x
.
. OP OI 2 OP IN 3
)2نختار OP 2وبالتالي يكون . IN 3 2 اشرح كيف يمكن لممنحني المبالبي نـ ِـ ديوكمي أن يحل
مكعبا ذي الحرف ، aأنشئ حرفا x المشكل التالي :ليكن ّ لمكعب حيث يكون حجمو ضعف حجم المكعب األول .
المعرفة عمى 0; تـ : g )1 104ىي الدالة ّ
ومتجانس حيث تأخذ وحدة الرسم . 3cm
المعرفة تـ ِـ : g )1 105ىي الدالة ّ 1 g 0 0و g x x 2 sinمن أجل x 0 x أن gتقبل االشتقاق عند . 0 أ ـ برىن ّ
ب ـ Cىو منحني الدالة gالممثل في معمم متعامد O ; i ومتجانس ; j أن محور الفواصل ىو من تحقق . ّ
مماس لممنحني Cعند المبدأ . O
1 g من أجل كل . k أن 0 )2أ ـ برىن ّ k ب ـ عدد حقيقي موجب تماما وصغير بقدر ما نريده.
لماذا يوجد عدد غير منتو من األعداد 1تنتمي إلى k المجال ، 0; مع . k أن مماس في نقطة Aلممنحني ، Cال )3ىل صحيح ّ يقطع Cإالّ في النقطة Aوىذا بجوار . A
73
أصحيخ أو خاطئ ؟
اخحيار من محعـذد 106في كل سؤال اقتراحات موضوعة يمكن أن تكون أكثر من جممة صحيحة؛ المطموب اختيار الجمل الصحيحة مبر ار ذلك. ّ
fدالة قابمة لالشتقاق عمى 0; حيث
108
يعطى جدول تغيراتيا .
f )1دالة قابمة لالشتقاق عمى مجال . I حدية عظمى عند aمن المجال ، I أ ـ إذا قبمت fقيمة ّ فإن . f ' a 0 ّ
حدية عند . a فإن fتقبل قيمة ّ ب ـ إذا كانت ّ ، f ' a 0 جـ ـ الدالة fمستمرة عمى المجال . I f )2ىي الدالة المعرفة تـ . f x x 3 x 1 أ ـ المعادلة x 3 x 1 0تقبل حال وحيدا في .
ب ـ الدالة fمتزايدة تماما عمى . ;
د ـ من أجل كل عدد حقيقي موجب ، kالمعادلة f x k
تقبل عمى األقل حال .
107في الشكل C fىو منحني الدالة fقابمة لالشتقاق عمى ، ومماسين عند كل من النقطتين Oو . A A y 2 1
x
4
5
3
2
O0 -1
تعيينو في كل السؤال ،بالضبط اقتراح واحد صحيح المطموب ّ
.
)1العدد المشتق لمدالة fعند 0يساوي : أ ـ . 2
ب ـ .0
)2أ ـ . f 0 2 جـ ـ . f ' 0 0
جـ ـ . 1
ب ـ . f 1 0
دـ . 4
د ـ . f ' 1 0
الحدية العظمى لمدالة fىي . 2 )3أ ـ القيمة ّ ب ـ . f ' 2 0 الحدية الصغرى لمدالة fعمى ، ىي . 0 جـ ـ القيمة ّ )4أ ـ . lim f x 0ب ـ . lim f x 0 x
جـ ـ . lim f x x 0
ـ
0 1
+
f x
مبر ار ذلك. ميز بين الجمل الصحيحة والجمل الخاطئة ّ
)1من أجل كل . f x 1 ، x 0;1
)2المستقيم ذو المعادلة x 0ىو مماس لمنحني الدالة . f فإن . f a 1 )3إذا كان ّ ، a 1 )4يكون مماس منحني الدالة fعند نقطتو ذات الفاصمة 1 موازيا لحامل محور التراتيب .
جـ ـ الدالة fتقبل االشتقاق عمى . ;
1
1
0
x f 'x
x
د ـ . lim f x f 1 x 0
. lim f x )5 x 0
مبر ار ذلك 109أذكر إن كانت الجممة صحيحة أم خاطئة ّ )1الدالة fالمعرفة عمى 0; تـ f x x x غير قابمة لالشتقاق عند . 0 sin x 1 )2 . lim x 0 x 3 )3الدالة fالمعرفة عمى I ; تـ : 2 2 f x 1 tan xمتناقصة تماما عمى . I )4الدالة fالمعرفة عمى تـ . f x x 13 110المطموب التمييز بين الجمل الصحيحة والخاطئة مبر ار ذلك. ّ
f x f 2 فإن 4 )1إذا كان ّ f ' 2 4 x 2 )2إذا كانت fقابمة لالشتقاق عمى فإن الدالة g
lim x 2
المعرفة تـ g x f tan x :تقبل االشتقاق عمى ّ ; ولدينا g ' x f ' tan x 2 2
)3المعادلة tan x xتقبل ما النياية من الحمول عمى . )4إذا كان ' f ' gعمى مجال Iفإن f gىي دالة ثابتة عمى المجال . I
74