Домашняя работа по алгебре за 8 класс к учебнику «Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений» Ю.Н. Макарычев и др. — М.: «Просвещение», 2001 г.
учебно-практическое пособие
ГЛАВА I. Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства. 1. Рациональные выражения №1. a 2 − 2ab 1 2 a b; (x − y )2 − 4 xy ; . 12 3 m+3 8 2 Дробными выражениями являются: ; ; (c + 3)2 + . m − 3 x2 + y2 c
Целыми выражениями являются:
№2. a 1 2 1 2 ; m − n . 9 4 3 12 b a Дробными выражениями являются: ,a (a − b ) − , − 8. b 3a a + 3
Целыми выражениями являются: 7 x 2 − 2 xy ;
№3.
При y = 3 :
y −1 3 −1 2 = = ; y 3 3
При y = 1 :
y −1 1−1 = = 0; y 1
При y = −5 :
y − 1 −5 − 1 1 = =1 ; y −5 5
1 −1 1 y −1 2 При y = : = = −1; 1 2 y 2 y − 1 −1,6 − 1 При y = −1,6 : = = 1,625; y − 1,6
При y = 100 :
y − 1 100 − 1 = = 0 ,99; y 100
№4. При a = −2 : При b = 3 :
−2 − 8 −10 a −8 = −10; = = 20 + 5 2(− 2 ) + 5 − 4 + 5
b 2 + 6 32 + 6 9 + 6 1 = = =2 ; 2b 2⋅3 6 2
1 8 1 8 1 8⋅2 1 1 : x+ = + = − 16 = −15 ; = − 2 x −1 2 1 2 1⋅1 2 2 −1 2 1,5 + 3 1,5 4 ,5 1,5 y+3 y + = + = + = 3 + 1 = 4; При y = 1,5 : 1,5 1,5 − 3 3 − 1,5 y y−3
При x =
№5. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (разность квадратов):
(a + b)2 − 1 = (a + b − 1)(a + b + 1) ;
a2 +1 a2 +1 (− 3 − 1 − 1)(− 3 − 1 + 1) = (− 5)(− 3) = 15 = 1,5; 9 +1 10 (− 3)2 + 1
Воспользуемся формулой сокращенного умножения с разностью квадратов:
(1,5 + 0,5 − 1)(1,5 + 0,5 + 1) = 2
1,5 + 1
1⋅ 3 3 300 = = ≈ 0 ,92. 2 ,25 + 1 3,25 325
№6. x + 5 −13 + 5 −8 1 = = = ; x − 3 − 13 − 3 − 16 2 x + 5 −5 + 5 0 при x = −5 : = = = 0; x −3 −5−3 −8 x + 5 −0 ,2 + 5 4 ,8 при x = −0,2 : = = = −1,5; x − 3 − 0,2 − 3 − 3,2 x+5 0+5 2 при x = 0 : = = −1 ; x−3 0−3 3
1) при x = −13 : 2) 3) 4)
5) при
1 +5 1 x + 5 17 86 50 86 ⋅ 17 86 36 18 x= : = =− ÷ =− =− = −1 = −1 ; 1 17 x − 3 17 17 50 ⋅ 17 50 50 25 −3 17 x + 5 1+ 5 = = −3; x − 3 1− 3 2 5 +5 2 x+5 32 8 32 ⋅ 3 при x = 5 : = 3 = ÷ = = 4; 2 3 x−3 3 3 3⋅8 5 −3 3
6) при x = 1 : 7)
8) при x = 7 : №7.
x+5 7+5 = = 3; x−3 7−3
1 1 1 = = ≈ 1 − α = 1 − 0,01 = 0,99; 1,01 1 + 0,01 1 + α 1 1 1 б) = = ≈ 1 − α = 1 − 0,002 = 0,998; 1,002 1 + 0,002 1 + α 1 1 1 в) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,01) = 1,01; 0 ,99 1 − 0,01 1 + α 1 1 1 г) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,003) = 1,003. 0 ,997 1 − 0,003 1 + α
а)
№8. s t
Запишем формулу для средней скорости: v = ; получаем: 180 = 60 (км/ч); 3 225 б) t = 2 ,5; s = 225; тогда v = = 90 (км/ч); 2 ,5
а) t = 3; s = 180; тогда v =
№9. Исходя из условия задачи можно составить уравнения: v1t + v 2 t = s; t (v1 + v 2 ) = s; t =
s ; (v1 + v 2 )
а) s = 250, v1 = 60, v 2 = 40; 250 250 = = 2 ,5 (ч); 60 + 40 100 б) s = 310, v1 = 75, v 2 = 80; t=
t=
310 310 = = 2 (ч). 75 + 80 155
Ответ: а) t=2,5 часа; б) t=2 часа. №10. Соответствующими дробными выражениями будут: а)
xy ; x+ y
б)
a−b . ab
№11.
Рациональное выражение имеет смысл, если его знаменатель отличен от нуля. а) При x − 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2; б) при b - любое число, т.к. b 2 + 7 > 0 всегда; в) при y ≠ 0; y ≠ 3; г) при a ≠ 0; a ≠ 1; №12. а) x - любое число; б) 6x − 3 ≠ 0; 6x ≠ 3; x ≠
3 1 ; x≠ ; 6 2
в) x - любое число; г) x ≠ 0; x ≠ −1; д) x - любое число; x 2 + 25 всегда больше; е) x ≠ −8; x ≠ 0. №13. 5y − 8 ; y - любое число 11 25 б) ; y − 9 ≠ 0, т.е. y ≠ 9; y−9
а)
в)
y2 + 1
=
y2 + 1 ; y( y − 2) ≠ 0 , т.е. y ≠ 0; y ≠ 2 ; y( y − 2)
y2 − 2y y − 10 г) 2 , y - любое число, посколько y 2 + 3 всегда больше нуля; y +3 y 15 + ; y − 6 ≠ 0, y + 6 ≠ 0, т.е. y ≠ −6; y ≠ 6; д) y−6 y+6
е)
32 y + 1 − ; y ≠ 0, y + 7 ≠ 0; т.е. y ≠ 0, y ≠ −7 y y+7
№14. 1 ; область определения: x ≠ 2; x−2 2x + 3 б) y = ; область определения: x ≠ 0; x ≠ −1; x(x + 1)
а) y =
в) y = x + №15.
1 ; область определения: x ≠ −5. x+5
а)
x−3 x−3 = 1; 5 − 1 = 0 ⋅ 5; 5 5
5(x − 3) 5
− 5 = 0; x − 3 − 5 = 0; x = 8;
Ответ: x = 8; x−3 x − 3 = 0; 5 = 0 ⋅ 5; 5 5 x − 3 = 0; x = 3;
б)
Ответ: x = 3; x−3 x − 3 = −1; 5 = (−1) ⋅ 5; 5 5 x − 3 = −5; x = −2 ;
в)
Ответ: x = −2; x−3 x − 3 = 3; 5 = 3 ⋅ 5; 5 5 x − 3 = 15; x = 18;
г)
Ответ: x = 18; №16. y−5 = 0; y − 5 = 0; y = 5; Ответ: y = 5; 8 2y + 3 1 1 = 0; 2 y + 3 = 0; y = −1 ; Ответ: y = −1 ; б) 10 2 2 x(x − 1) = 0; x(x − 1) = 0; 1) x = 0; 2 ) x − 1 = 0; x = 1; в) x+4 при x = 0 и x = 1, x + 4 ≠ 0, получаем:
а)
Ответ: x = 0 ; x = 1. x(x + 3)
= 0; x(x + 3) = 0; 1) x = 0; 2 ) x + 3 = 0; x = −3; x−5 при x = 0 и x = −3, x − 5 ≠ 0, получаем:
г)
Ответ: x = 0 ; x = −2 №17. a > 0; b a б) < 0; b
а)
a < 0; b a г) > 0; b
в)
№18. 3
а)
2
x +1 −5
б)
> 0, поскольку 3 > 0 и x 2 + 1 > 0 при всех x ; < 0, поскольку − < 0 и y 2 + 4 > 0 при всех y ;
y2 + 4
в)
(a − 1)2
г)
(b − 3)2
a 2 + 10 2
−b − 1
≥ 0, поскольку (a − 1) ≥ 0 и a 2 + 10 > 0 при всех a ; 2
(
)
≤ 0, поскольку (b − 3) ≥ 0 и − b 2 + 1 < 0 при всех b 2
№19. а) При
x = 2 ,47:
2 x − 3 2 ⋅ 2 ,47 − 3 4 ,94 − 3 1,94 = = = ≈ 0,20616365... ≈ 0,21; 3x + 2 3 ⋅ 2 ,47 + 2 7 ,41 + 2 9 ,41
б) При , : x = 318
, + 9 22 ,26 + 9 31,26 7 x + 9 7 ⋅ 318 = ≈ 0,2790507... ≈ 0,28 = = 8x − 1 8 ⋅ 318 , − 1 25,44 − 1 24 ,44
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №20. а) (x − 10)(x + 10) = = x 2 − 10x + 10x − 100 =
(
)
= x 2 − 100;
б) (2a + 3)(2a − 3) = = 4a 2 − 6a + 6a − 9 = 4a 2 − 9 ; в) ( y − 5b)( y + 5b) =
= y 2 + 5by − 5by − 25b 2 =
(y
2
)
− 25b 2 ;
г) ( y + 8x)( y − 8x) =
= y 2 + 8xy − 8xy − 64 x 2 = = y 2 − 64 x 2 ;
д) (x + 7) = x 2 + 14 x + 49 ; 2
е) (b + 5) = b 2 + 10b + 25; 2
ж) (a − 2 x) = a 2 − 4ax + 4 x 2 ; 2
з) (ab − 1) = a 2 b 2 − 2ab + 1. 2
№21. а) 15ax + 20ay = 5a(3x + 4 y); б) 36by − 9cy = 9 y(4b − c); в) x 2 − xy = x(x − y); г) xy − y 2 = y(x − y); д) a 2 + 5ab = a(a + 5b); е) 15c − 10c 2 = 5c(3 − 2c) №22. а) x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5); б) 16 − c 2 = (4 − c)(4 + c); в) a 2 − 6a + 9 = (a − 3) ; 2
г) ÷ 2 + 8 ÷ +16 = (÷ + 4) ; 2
(
) + 27 = (b + 3)(b − 3b + 9).
д) a 3 − 8 = (a − 2) a 2 + 2a + 4 ; е) b
3
№23.
2
2x 2 = ; 3x 3 15x 3x б) Общий множитель: 5; = ; 25y 5y
а) Общий множитель: x;
6a 1 = ; 24a 4 7ab a г) Общий множитель: 7b; = ; 21bc 3c
в) Общий множитель: 6a ;
д) Общий множитель: xy; е) Общий множитель: 8 xy; №24. а) б)
10xz 2 x = ; 15yz 3y 6ab 2
=
2ab
; 3c 3 y3 y3 в) = = − ; 2ab −4a 3b −2ab −6 p 2 q 3 p 2 г) = 2 ; −2 q 3 q
д) е) ж) з)
9bc 2 2ay 3
ax − ax 2 =− ; xy y 3axy 6ay
3
x
=
2y2
;
24a 2 c 2 2ac = ; 36ac 3 63x 3 y 3
=
42 x 6 y 4
3 2x4 y
.
№25. а) б) в) г) д)
4a 2 b 3 4 2
2a b
3xy 2 6x 3 y 3
= =
24 p 4 q 4 48 p 2 q 2
2b a2
;
1 2x2 y =
;
p2q 2 ; 2
36m 2 n = 2m; 18mn −32b 5 c 4 2
12b c
=
8b −8b =− ; 3c 3c
−2 xy 2
5x y
=−
2 ; 5x
8 x 2 y 2 xy = 24 xy 3
е)
−6ax 1 = . −18ax 3
№26.
8b b = ; 24c 3c 5ay a б) = ; 15by 3b
а)
в) г) д) е) ж) з)
4a 2 2a = ; 6ac 3c 7x 2 y 21xy
a 5b 3 a b x6 y4
б)
=
x4 y6
a2
35mn 5 25 p 4 q 5
100 p q 816 1612 8125 27 33
;
b2 x2
;
y2
56m 2 n 5
№28.
3 8m = 1 m; 5 5
=
1 . 4p
=
(2 ) = 2 = (2 ) 2 (3 )25 = 3 = (3 ) 3
а)
a(b − 2)
б)
3( x + 4)
в)
x ; 3y
= =
3 5
№27. а)
2
3 16
4 12 4
5(b − 2)
=
a ; 5
c( x + 4)
=
3 ; c
a b( y + 3) 2
48
100
3 33
ab( y + 3)
48
=
1 ; a
99
= 1;
= 31 = 3.
г)
15a(a − b)
20b(a − b)
3a . 4b
=
№29.
3a + 12b 3(a + 4b) a + 4b = + ; 6ab 6ab 2ab 15b − 20c 5(3b − 4c) 3b − 4c б) = = ; 10b 10b 2b 2(a − 2) 2 2a − 4 = = ; в) 3(a − 2) (a − 2) 3
а)
г) д) е)
5x( y + 2) 6 y + 12 a − 3b
a 2 − 3ab
= =
5x( y + 2) 6( y + 2)
=
5x ; 6
a − 3b 1 = ; a(a − 3b) a
3x + 15xy 3x( x + 5y) = = 3x . x + 5y x + 5y
№30. а) б) в) г) д) е)
y 2 − 16 ( y − 4)( y + 4) y − 4 = = ; 3y + 12 3( y + 4) 3 5x − 15y
5( x − 3y)
=
=
5
;
(x − 3y)(x + 3y) x + 3y 2 (c + 2) (c + 2)2 c + 2 = = ; 7c 7c 2 + 14c 7c(c + 2) 6cd − 18c 6c(d − 3) 6c = = ; 2 2 d −3 (d − 3) (d − 3) (a + 5)2 a 2 + 10a + 25 a+5 = = ; 2 (a − 5)(a + 5) a − 5 a − 25 ( y − 3)( y + 3) y + 3 y2 − 9 = = . 2 y−3 y − 6y + 9 ( y − 3)2 2
x − 9y
2
№31. а)
a 2 − ab + b 2 3
a +b
3
=
a 2 − ab + b 2
(a + b)( a
2
− ab + b
2
)
=
1 ; a+b
(
)
2 2 a 3 − b 3 (a − b) a + ab + b = a 2 + ab + b 2 = б) a−b a−b
№32. а) =
15a 2 − 10ab 3ab − 2b
2
=
5a(3a − 2b) b(3a − 2b)
5a 5(−2) −10 = = = 100; b −0,1 −0,1
Ответ: 100; б)
=
9c 2 − 4d 2 2
2
=
18c d − 12cd 3c + 2d 1 1 = + = 6cd 2d 3c
(3c − 2d )(3c + 2d ) = 6cd (3c − 2d ) 1 1 2⋅ 2
+
1 1 1 1 = + =1 ; 2 1 2 2 3⋅ 3
1 2
Ответ: 1 ; 6x( x + 2 y) = = 5xy + 10 y 2 5y( x + 2 y) 2 6⋅ 6x 3 = 4 = −2 = = 5y 5(−0,4) −2
в)
6x 2 + 12 xy
Ответ: -2; г) =
x 2 + 6xy + 9 y 2 4 x 2 + 12 xy
−0,2 + 3(−0,6) 4(−0,2)
=
=
( x + 3y) 2 = x + 3y = 4 x( x + 3y) 4x
−0,2 − 18 , −2 2 = = = 2 ,5 −0,8 −0,8 0,8
Ответ: 2,5. №33. а) б) в)
x( y − 7)
y( y − 7)
=
x ; y
10a − 15b 5(2a − 3b) 5 = = ; 16a − 24b 8(2a − 3b) 8 2m + 14 2
m − 49
=
2(m + 7) 2 = ; (m − 7)(m + 7) m − 7
p 2 − 25q 2 ( p − 5q )( p + 5q ) p + 5q = = ; 2 p − 10q 2( p − 5q ) 2
г)
( x − 2) 2 x − 2 = ; x( x − 2) x x 2 − 2x 3y 2 + 24 y 3y( y + 8) 3y = = ; 2 2 y +8 y 16 y + 64 ( y + 8) x 2 − 4x + 4
д) е)
a2 + a + 1
ж) з)
3
a −1 b+2 b3 + 8
=
=
a2 + a + 1
(a − 1)( a
2
(b + 2)(b
2
)
+a +1
b+2
№34.
( (9 x =
=
− 2b + 4
)
=
=
1 ; a −1 1
b 2 − 2b + 4
) ) = (3x − y)(3x + y) = 3x − y;
а) 9 x 2 − y 2 : (3x + y) = 2
− y2
(3x + y) (3x + y) б) (2ab − a ): ( 4b 2 − 4b + 1) = a(2b − 1) a 2ab − a = 2 = ; = 2 2b − 1 4b − 4b + 1 (2b − 1)
(
)(
)
в) x 2 + 2 x + 4 : x 3 − 8 = =
x 2 + 2x + 4
(x − 2)( x
(
)
2
+ 2x + 4
)
=
1 ; x−2
г) 1 + a 3 : (1 + a ) =
(
)
2 1 + a 3 (1 + a ) 1 − a + a = 1− a + a2 . = = 1+ a (1 + a )
№35. а) =
2 x + bx − 2 y − by 2( x − y) + b( x − y) = = 7x − 7 y 7( x − y)
(x − y)(2 + b) = 2 + b ; 7( x − y) 7
.
б)
8a + 4b
=
2
2ab + b − 2ad − bd
(2ab + b ) − (2ad + bd ) 2
=
4(2a + b) 4 = ; (2a + b)(b − d ) b − d 2 xy − x + y − y 2 ( xy − y ) − ( x − y) = = в) (x − y)(x + y) x2 − y2 y( x − y) − ( x − y) ( x − y)( y − 1) y − 1 = = ; = (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x + y (a + c)2 a 2 + 2ac + c 2 = = г) 2 a + ac − ax − cx ( a 2 + ac) − (ax + cx) =
=
4(2a + b)
4(2a + b)
b(2a + b) − d (2a + b)
=
(a + c)2 (a + c)2 a+c = = . a(a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x
№36. а) Ответ:
−x −x ; − ; −y y
б) Ответ:
−x x ; y − y.
№37. а) б) в) г)
a−b
=−
b−a = −1; b−a
(a − b)2 = (a − b)2 (b − a )2 (a − b)2 (a − b)2 (b − a )2 =
b−a a−b
(b − a )
b−a a−b
=
= 1; = b − a; =
1 ; a−b
(a − b) 2 (−a − b) ((−1)(a + b)) (−1)2 (a + b)2 2
2
2
д) е)
a+b
=
a+b
=
a+b
(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 = = (−a − b)2 ((−1)(a + b))2 (a + b)2
= 1.
= a + b;
№38. а)
a ( x − 2 y)
б)
5x( x − y)
в) г) =
д) =
е)
b(2 y − x)
x ( y − x) 3
з)
=−
5x( x − y)
=
7b − 14b 2 2
42b − 21b 7b(1 − 2b)
−21b(1 − 2b)
− x 3 ( x − y)
=
a ; b 5
−x2
=−
5 x2
;
7b(1 − 2b)
=
21b(2b − 1)
=
1 1 =− ; −3 3
=
25 − a 2 (5 − a )(5 + a ) = = 3a − 15 3(a − 5)
−(a − 5)(a + 5) 3(a − 5)
3 − 3x 2
x − 2x + 1
(x − 1)
=
a( x − 2 y)
−b( x − 2 y)
3(a − 12) 3a − 36 3(a − 12) 3 = = =− ; 12b − ab b(12 − a ) −b(a − 12) b
−3( x − 1)
ж)
=
2
=−
=
=−
3(1 − x)
(x − 1)2 3
(x − 1)
8b 2 − 8a 2 2
a − 2ab + b
5+ a ; 3
2
−8(a − b)(b + a )
=
;
=
(
8 b2 − a2
(a − b) 8(b + a ) 2
=−
(a − b)2 (b − 2)3 (b − 2)3 = (2 − b)2 (b − 2)2
a−b
) = 8(b − a)(b + a) = =
(a − b)2 8(b + a ) b−a
;
= b − 2.
№39. а) =
ax + bx − ay − by (ax − ay) + (bx − by) = = bx − by b( x − y)
a( x − y) + b( x − y) b( x − y)
=
(x − y)(a + b) a + b = ; b( x − y) b
б) =
в)
ab − 3b − 2a + 6 (ab − 3b) − (2a − 6) = = 15 − 5a 5(3 − a )
b(a − 3) − 2(a − 3) 5(3 − a )
7 p − 35 7( p − 5) = = 15 − 3 p 3(5 − p)
=−
г) =
д) е)
=
7(5 − p)
=−
3(5 − p)
18a − 3a 2 8a − 48a
−3a(a − 6) 8a(a − 6)
3a(6 − a )
=
2
7 1 = −2 ; 3 3
б)
в)
г)
=
8a(a − 6)
3 =− ; 8
4 − x 2 (2 − x)(2 + x) 2 + x = = ; 10 − 5x 5(2 − x) 5
a 2 − 6a + 9 27 − a 3
(a − 3)2 = (3 − a )( 9 + 3a + a 2 )
=
(3 − a )2 3− a = . 2 (3 − a )( 9 + 3a + a ) 9 + 3a + a 2
№40. а)
(a − 3)(b − 2) b − 2 2 − b = = ; −5(a − 3) −5 5
=
x6 + x4 4
x +x
=
2
y6 − y8 4
y −y
=
2
b −b
2
c6 − c4 c3 + c2
x
2
(
)
2
)=x
x +1
(
y4 y2 1 − y2 y
2
(y
2
)
−1
2
=
b7 1 − b3 2
4
3
2
c 2 (c + 1)
;
) = −y
( ) = −b ; b (b − 1) c ( c − 1) = =.
b 7 − b 10 5
(
x2 x2 x2 + 1
5
2
;
=
c 4 (c + 1)(c − 1) c 2 (c + 1)
№41. а)
a8 + a5 5
a +a
при a = −
( ) =a a ( a + 1) a5 a3 + 1
=
2
= c 2 (c − 1) = c 3 − c 2
2
3;
3
1 получаем: 2 3
1 1 a3 = − = − ; 2 8 1 8
Ответ: − ; б)
b 10 − b 8 8
b −b
=
6
( b (b
) =b − 1)
b8 b 2 − 1 6
2
2
, получаем: при b = −01
b 2 = (−01 , ) = 0,01; 2
Ответ: 0,01; №42. а) =
б) =
(2a − 2b)2 (2(a − b)) =
a−b
4(a − b)
2
2
= 4(a − b);
a−b
(3c + 9d )2 (3(c + 3d )) =
c + 3d
9(c + 3d ) c + 3d
=
a−b
2
2
=
c + 3d
= 9(c + 3d );
(3x + 6 y)2 (3(x + 2 y)) в) = 5x + 10 y 5( x + 2 y) 2 9( x + 2 y ) 9( x + 2 y) = = ; 5( x + 2 y) 5
2
=
г)
4x 2 − y 2
=
(2 x − y)(2 x + y) = (5(2 x + y))2
(10x + 5y) (2 x − y)(2 x + y) 2 x − y = . 2 25(2 x + y) 25(2 x + y) 2
№43. а)
5b 8a 3 7a
=
5b ⋅ 3b 2 8a 3 ⋅ 3b 2 7a ⋅ 8a 3
=
15b 3 24a 3b 2 56a 4
;
= = ; 3b 2 3b 2 ⋅ 8a 3 24a 3b 2 1 12a 2 b 12a 2 b в) = = ; 2ab 2ab ⋅ 12a 2 b 24a 3b 2 2 2 ⋅ 24a 48a = . г) 2 2 = 2 2 a b a b ⋅ 24a 24a 3b 2
б)
№44.
2a + b (2a + b)b = ; 1 1 2a + b (2a + b)5 = ; б) 2a + b = 1 5 2a + b (2a + b)3a в) 2a + b = = ; 1 3a 2a + b (2a + b)(2a − b) = . г) 2a + b = 1 2a − b
а) 2a + b =
№45. а)
x(a − b) x(a − b) x = = ; a − b (a − b)(a − b) (a − b) 2
б)
y( x + a ) y( x + a ) y = = ; x − a ( x − a )( x + a ) x2 − a2
в)
2y x2 + x + 1 2y x2 + x + 1 2y = = ; x − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 x3 − 1
г)
(
3a 2
a + ab + b
2
)
(
=
(a
(
(
)
3a(a − b)
2
)
)
+ ab + b 2 (a − b)
)
=
3a(a − b) a3 − b3
;
д)
7 7 =− ; y−b b− y
a a =− ; a − 10 10 − a p(2 + p) p(2 + p) p =− =− ж) ; p−2 (2 − p)(2 + p) 4 − p2
е)
з)
a+3 a+3 =− = 6 − 2a 2(a − 3)
=−
(a + 3)(a + 3) (a + 3)2 =− . 2(a − 3)(a + 3) 2( a 2 − 9)
№46. а) б)
8 3xy b
2
= =
8 ⋅ 5x 2
3xy ⋅ 5x b ⋅ 5ac 2
=
40x 15x 2 y 2 =
;
5abc 2
7a 2 c 7a 2 c ⋅ 5ac 2 35a 3 c 3 a a⋅a a2 = = 2 в) ; a − 2 a(a − 2) a − 2a
;
г)
1 x2 − x + 1 x2 − x + 1 = = ; x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x3 + 1
д)
12 12 =− ; y−x x−y
е)
a(4 + a ) a 4a + a 2 =− =− . a−4 (4 − a )(4 + a ) 16 − a 2
(
)
УПРАЖНЕНИЯДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №47. −16 1 = −3 ; 5 5 1 1 б) x = :2 = ; 5 10 1 в) x = 4: = 12; 3
а) x =
−2 1 =− ; 4 2 6 10 10 д) x = 3:0,6 = 3: = 3 ⋅ = = 5; 10 6 2 1 10 50 7 е) x = 5: (−0,7) = −5 = −5 ⋅ = − = −7 . 7 7 7 10
г) x =
№48. а) 6b 2 − (2b + 5)(3b − 7) =
(
)
= 6b 2 − 6b 2 + b − 35 = 2
2
= 6b − 6b − b + 35 = −b + 35;
б) 16x 2 − (4 x + 0,5)(4 x − 0,5) =
= 16x 2 − 16x 2 + 0,25 = 0,25; , x) − 5( x + 4 y)( y − x) = в) 2 y( y − 15
(
)
= 2 y 2 − 3xy − 5 4 y 2 − x 2 − 3xy =
= 2 y 2 − 3xy + 5x 2 + 15xy − 20 y 2 = = 5x 2 − 18 y 2 + 12 xy;
г) 3(a − 2b)(2b + a ) − 0,5b(a − 24b) =
(
)
= 3 a 2 − 4b 2 − 0,5ab + 12b 2 = 2
2
= 3a − 12b − 0,5ab + 12b 2 = 3a 2 − 0,5ab.
№49. а) 5bc − 5c = 5c(b − 1); б) 10n + 15n 2 = 5n(2 + 3n);
в) 8ab + 12bc = 4b(2a + 3c); г) 5y − 5x + y 2 − xy =
( )
= (5y − 5x) + y 2 − xy = 5( y − x) + y( y − x) = = ( y − x)(5 + y);
д) pq − 4 p + 12 − 3q =
= ( pq − 4 p) + (12 − 3q ) =
= p(q − 4) + 3(4 − q ) = = p(q − 4) − 3(q − 4) = = (q − 4)( p − 3);
е) a 2 − 9 = (a − 3)(a + 3); ж) x 2 + 10x + 25 = = ( x + 5) = ( x + 5)( x + 5); 2
з) y 2 − 2 y + 1 = = ( y − 1) = ( y − 1)( y − 1); 2
(
)
и) a 3 + 64 = (a + 4) a 2 − 4a + 16 ;
(
)
к) b 3 − 1 = (b − 1) b 2 + b + 1 . №50.
5⋅ 7 < 0; 16 5 5 6 5⋅1 5 1 :6 = : = = ⋅ > 0; 2) 16 16 1 6 ⋅ 16 16 6 5 5⋅ 1 5 1 ⋅ 0,1 = = ⋅ > 0; 3) 16 16 ⋅ 10 16 10 5⋅ 7 5⋅1 5⋅1 , , . Ответ: − 16 10 ⋅ 16 6 ⋅ 16
1) −
2. Сумма и разность дробей 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями №51. x y x+ y ; + = 3 3 3 a b a−b ; б) − = 5 5 5 a 2a 3a в) + = ; y y y
а)
г)
5b 2 13b 2 5b 2 − 13b 2 8b 2 − = =− ; a a a a
x+ y x x+ y−x y − = = ; 9 9 9 9 2c − x x 2c − x − x е) − = = b b b 2c − 2 x 2(c − x) = . b b
д)
№52. а)
m m − p m (− m) + p − = + = p p p p
=
m−m+ p p = = 1; p p
a + b a − 2b a + b − a + 2b 3b b − = = = ; 6 6 6 6 2 x + 5 x + 2 x + 5− x − 2 3 1 − = = = ; в) 9 9 9 9 3 11x − 5 3x − 2 11x − 5 + 3x − 2 + = = г) 14 x 14 x 14 x 14 x − 7 2 x − 1 = = ; 14 x 2x 7 y − 13 2 y + 3 7 y − 13 − 2 y − 3 5y − 16 − = = ; д) 10 y 10 y 10 y 10 y
б)
8c + 25 5 − 2c 8c + 25 + 5 − 2c + = = 6c 6c 6c 6c + 30 c + 5 = = . 6c c
е)
№53. а)
2 x − 3y 11y − 2 x + = 4 xy 4 xy
=
2 x − 3y + 11y − 2 x 8 y 2 = = ; 4 xy 4 xy x
б) =
5a + b 5 5a − 7b 5 − = 8b 8b 5a + b 5 − 5a + 7b 5 8b 5 = = b4 ; 8b 8b
в)
3x − y 4 4y5
−
y 4 + 3x 4y5
3x − y 4 − y 4 − 3x
= 2y4
1 =− ; 2y 4y 4y5 a − 2 2a + 5 3 − a г) + − = 8a 8a 8a a − 2 + 2a + 5 − 3 + a 4a 1 = = = ; 8a 8a 2 7 y − 5 10 y − 19 10 − 15y − + = д) 12 y 12 y 12 y =
5
=−
=
7 y − 5 − 10 y + 19 + 10 − 15y = 12 y
=
−18 y + 24 4 − 3y ; = 12 y 2y
11a − 2b 2a − 3b a − b + − = 4a 4a 4a 11a − 2b + 2a − 3b − a + b = = 4a 12a − 4b 4(3a − b) 3a − b = = . 4a 4a a
е)
№54. 17 − 12 x 10 − x + = x x 17 − 12 x + 10 − x 27 − 13x ; = = x x 12 p − 1 1 − 3 p б) − = 3p 2 3p 2 12 p − 1 − 1 + 3 p 15 p − 2 ; = = 3p 2 3p 2 6y − 3 y + 2 6y − 3 − y − 2 в) − = = 5y 5y 5y
а)
=
5y − 5 5( y − 1) y − 1 = = ; 5y 5y y
г)
b 3a − 2b b − 3a + 2b − = = 6 6 6
3b − 3a 3(b − a ) b − a = = ; 6 6 2 3 p − q 2 p + 6q p − 4q д) − + = 5p 5p 5p 3 p − q − 2 p − 6q + p − 4q 2 p − 11q = ; 5p 5p 5c − 2d 3d d − 5c − + = 4c 4c 4c 5c − 2d − 3d + d − 5c 4d d = =− =− ; 4c 4c c 2a 1 − 6a 13 − 8a ж) − + = b b b 2a − 1 + 6a + 13 − 8a 12 = = ; b b 4 b − 2 2b − 1 1 з) − + = 3b 3b 3b 4b − 2 − 2b + 1 + 1 2b 2 = = = . 3b 3b 3
е)
№55. 16 16 − x 2 x2 − = = x−4 x−4 x−4 −(4 − x)(4 + x) = = −(4 + x); 4−x
а)
a2 25 25 − a 2 − = = a+5 a+5 a+5 (5 − a )(5 + a ) = 5 − a; a+5 3a − 1 3b − 1 3a − 1 − 3b + 1 в) 2 − 2 = = 2 2 a −b a −b a2 − b2 3(a − b) 3a − 3b 3 = 2 ; = = 2 (a − b)(a + b) a + b a −b
б)
г)
x−3 2
+
11 2
=
x − 3 + 11
x − 64 x − 64 x 2 − 64 x+8 1 = = ; (x − 8)(x + 8) x − 8
=
д)
2a + b
+
2b − 5a
2a + b + 2b − 5a
=
=
(a − b) (a − b)2 3(b − a ) 3b − 3a 3 3 ; = =− =− = 2 b a b a a b b a − + − − ( )( ) (a − b)
е) =
(a − b)
2
13x + 6 y
( x + y)
2
−
2
11x + 4 y
=
( x + y) 2
13x + 6 y − 11x − 4 y
( x + y) 2( x + y) 2 = = . 2 ( x + y) x + y 2
2x + 2 y
=
( x + y) 2
=
№56. а)
(a + b)2 − (a − b)2
=
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 4ab = = 4; ab ab
ab
ab
=
(a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 + (a − b)2
= + a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 = = a2 + b2
б)
=
2 a 2 + 2b 2 2
a +b
2
=
(
2 a2 + b2 2
a +b
№57.
2
=
) = 2.
x2 + 1 10 x 2 + 1 − 10 − = = x−3 x−3 x−3 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = = x + 3, x−3 x−3 при x = 97 получаем: x + 3 = 97 + 3 = 100;
а)
Ответ: 100; y+7
−
2y + 2
=
y + 7 − 2y − 2
= y − 25 y − 25 y 2 − 25 5− y y−5 1 = =− =− ; ( y − 5)( y + 5) ( y − 5)( y + 5) y + 5
б)
2
2
при y = −51 , получаем:
−
1 1 1 1 =− =− = = 10; y+5 (−51, ) + 5 −0,1 0,1`
Ответ: 10. №58. a 2 − 43 7 a 2 − 43 + 7 + = = a−6 a−6 a−6 a 2 − 36 (a − 6)(a + 6) = = = a + 6; a−6 a−6 при a = 10,25 получаем: a + 6 = 10,25 + 6 = 16,25; Ответ: 16,25; 9b − 1 6b − 10 9b − 1 − 6b + 10 б) 2 − = = b − 9 b2 − 9 b2 − 9 3(b + 3) 3b + 9 3 = = = ; b − 3 b + 3 b − 3 b + 3 b − 3 ( )( ) ( )( )
а)
при b = 3,5 получаем:
3 3 3 1 = = = 3: = 3 ⋅ 2 = 6; b − 3 3,5 − 3 0,5 2
Ответ: 6. №59. а)
5 5 x x x−5 ; + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1 y − 1
a 6 a 6 a+6 − = + = ; c − 3 3− c c − 3 c − 3 c − 3 2m 2n 2m 2n + = − = в) m−n n−m m−n m−n 2m − 2n 2(m − n) = = = 2; m−n m−n 5p 10 5p 10 г) + = − = 2q − p p − 2q 2q − p 2q − p
б)
=
д)
5( p − 2q ) 2q − p
=−
5(2q − p) 2q − p
a 2 + 16 8a a 2 + 16 8a + = − = a−4 4−a a−4 a−4 a 2 − 8a + 16 (a − 4) = = a − 4; a−4 a−4 2
=
= −5;
е)
x 2 + 9 y 2 + (−6xy) x2 + 9y2 6xy = + = x − 3y 3y − x x − 3y
=
x 2 + 9 y 2 − 6xy x 2 − 6xy + 9 y 2 = = x − 3y x − 3y
=
( x − 3y ) 2 x − 3y
= x − 3y.
№60. а) =
10 p 3p 10 p 3p + = − = p−q q− p p−q p−q 10 p − 3 p 7p = ; p−q p−q
5a 5b 5a 5b + = − = a−b b−a a−b a−b 5a − 5b 5(a − b) = = = 5; a−b a−b 2 2 x−3 x−3 в) + = − = x − 1 1− x x − 1 x − 1 x − 3+ 2 x −1 = 1; = = x−1 x−1 a 3a − b a 3a − b г) = = − + 2a − b b − 2a 2a − b 2a − b a − 3a + b b − 2a 2a − b = = =− = −1; 2a − b 2a − b 2a − b 3 3 a a д) 2 + = 2 − 2 = 2 a −9 9−a a −9 a −9 a−3 1 ; = = (a − 3)(a + 3) a + 3
б)
е)
1 1 y2 y2 + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1
=
y 2 − 1 ( y − 1)( y + 1) = y + 1. = y−1 y−1
№61. а)
3x + 5 7 x + 3 3x + 5 7 x + 3 + = − = 2x − 1 1 − 2x 2x − 1 2x − 1
3x + 5 − 7 x − 3 −4 x + 2 −2(2 x − 1) = = = −2 ; 2x − 1 2x − 1 2x − 1 не зависит от x; =
5x + 1 x + 17 5x + 1 x + 17 + = − = 5x − 20 20 − 5x 5x − 20 5x − 20 5x + 1 − x − 17 4 x − 16 4( x − 4) 4 = = = = ; 5x − 20 5( x − 4) 5( x − 4) 5
б)
не зависит от x. №62. а)
x2
x2
=
25
−
(5 − x) (x − 5) (x − 5)2 x 2 − 25 ( x − 5)( x + 5) x + 5 ; = = = (x − 5)2 (x − 5)(x − 5) x − 5
б)
(x − 5)
25
−
2
x 2 + 25
(x − 5)
2
10x
+
=
2
x 2 + 25
10x
−
(5 − x) (x − 5) (x − 5)3 2 1 x 2 − 10x + 25 ( x − 5) . = = = 3 3 (x − 5) x − 5 (x − 5) 3
№63. а) =
б) =
x2 x 2 − 16
−
3
8( x − 2) x 2 − 16
3
x 2 − 8x + 16
=
x 2 − 16
( x − 4) 2 x−4 = ; (x − 4)(x + 4) x + 4 64 − 2ab
(a − 8)2
+
2ab − a 2
(8 − a )2
64 − 2ab + 2ab − a 2
=
=
64 − 2ab
(a − 8)2
64 − a 2
(a − 8)2 (a − 8)2 (a − 8)(8 + a ) 8 + a = . (8 − a )(8 − a ) 8 − a
№64. а) подставим c = x: a+b a b = + ; x x x
=
=
=
=
+
2ab − a 2
(a − 8)2
=
б) подставим c = x: 2a 2 + a 2a 2 a = + ; y y y
в) подставим c = x: x 2 + 6y 2 x2 6y 2 x 3y = + = + ; 2 xy 2 xy 2 xy 2 y x
г) подставим c = x: 12a + y 2 12a y 2 2 y = + = + . 6ay 6ay 6ay y 6a
№65. а)
x2 + y2 x4
=
x2
+
x4
y2 x4
=
1 x4
+
y2 x4
б)
2x − y 2x y = − ; b b b
в)
a2 + 1 a2 1 a 1 = + = + ; 2a 2a 2a 2 2a
г)
a 2 − 3ab a
3
=
a2 a
3
−
3ab a
3
=
;
1 3b − ; a a2
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№66. а) подставим a = 2:
3a 2 3⋅ 22 12 = = = 4; 2a − 1 2 ⋅ 2 − 1 3
Ответ: 4; 1 3
б) подставим a = − : 2
1 1 3⋅ − 3⋅ 3 3a 9 = = = 2 2a − 1 1 2 ⋅ − − 1 − − 1 3 3 2
=
1 5 1⋅ 3 1 : − = − =− ; 3 3 3⋅ 5 5 1 5
Ответ: − . №67. а) 3(5x − 4) − 8x = 4 x + 9; 15x − 12 − 8x = 4 x + 9; 3x = 21; x = 7;
Ответ: x = 7; б) 19 x − 8( x − 3) = 66 − 3x; 19 x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 3x = 66 − 24;
14 x = 42; x = 3;
Ответ: x = 3; в) 0,2(0,7 x − 5) + 0,02 = 1,4( x − 1,6); 014 , x − 1 + 0,02 = 1,4 x − 2 ,24; 014 , x − 0,98 = 1,4 x − 2 ,24; 1,26 = 126 , x; x = 1;
Ответ: x = 1; г) 2 ,7(01 , x + 3,2) + 0,6(1,3 − x) = 16,02; 0,27 x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x = 16,02 − 8,64 − 0,78; −0,33x = 6,6; x = 6,6: (−0,33); x=−
66 100 660 ⋅ = = −20; 10 33 33
Ответ: x = −20. №68. а) 8 x 2 − 16 x 3 y = 8 x 3 (x − 2 y );
(
)
б) 15xy 5 + 10 y 2 = 5 y 2 3xy 3 + 2 ; 2
2
(
2
в) 8a − 50 y = 2 4a − 25 y = 2(2a − 5 y )(2a + 5 y );
2
)=
(
)
г) 18b 2 − 98a 2 = 2 9b 2 − 49a 2 = = 2(3b − 7a )(3b + 7a );
(
)
д) x 3 − 125 = (x − 5) x 2 + 5 x + 25 ;
(
)
е) y + 8 = ( y + 2 ) y − 2 y + 4 ; ж) ab + 8a + 9b + 72 = a (b + 8) + 9(b + 8) = 3
2
= (b + 8)(a + 9 ); з) 6m − 12 − 2n + mn = 6(m − 2 ) + n (m − 2 ) = = (m − 2 )(6 + n ).
№69. Достаточно выяснить, когда знаменатель дроби отличен от нуля. а) 2a + 25 ≠ 0; 2a ≠ −25; a ≠ −
25 ; a ≠ −12 ,5; 2
б) y − любое число, так как 9 + y 2 > 0 при всех y ; в) 3x (x + 12 ) ≠ 0; 1 ) 3x ≠ 0; x ≠ 0; 2 ) x + 12 ≠ 0; x ≠ −12; Итак: x ≠ 0; x ≠ −12; г) (a + 1)(a − 4 ) ≠ 0; 1 ) a + 1 ≠ 0; a ≠ −1; 2 ) a − 4 ≠ 0; a ≠ 4; Итак: a ≠ −1; a ≠ 4. 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями №70. а)
x y 3x + 2 y ; + = 2 3 6
б)
c d 3c − d ; − = 4 12 12
в)
p q p2 + q2 ; + = q p qp
г)
a b2 a 2 − b3 ; − = b a ab
д)
3 2 9−4 5 − = = ; 2 x 3x 6x 6x
е)
a 3a 4a + 15a 19a + = = ; 5c 4c 20c 20c
ж)
5x x 5x + 2 x 7 x + = = ; 8y 4 y 8y 8y
з)
17 y 25y 51y − 50 y y − = = ; 24c 36c 72c 72c
и)
5a 7a 25a − 14a 11a − = = . 18b 45b 90b 90b
№71. а)
=
б)
=
в)
=
г)
5y − 3 y + 2 + = 6y 4y 2(5y − 3) + 3( y + 2)
=
13y 13 = ; 12 y 12
=
14 x 2 = ; 105x 15
12 y 3x + 5 x − 3 + = 35x 21x 3(3x + 5) + 5( x − 3) 105x b + 2 3c − 5 − = 15b 45c 3c(b + 2) − b(3c − 5) 45bc 8b + y 6 y + b − = 40b 30 y
=
6c + 5b ; 45bc
=
24by + 3y 2 − 24by − 4b 2 3y 2 − 4b 2 ; = 120 y 120 y
№72. а)
3x 5x 27 x − 20x 7 x − = = ; 4 9 36 36
б)
6a 3a 24a − 15a 9a − = = ; 5 4 20 20
в)
7a 2a 35a − 8a 27a 9a ; − = = = 12b 15b 60b 60b 20b
г)
9 p 7 p 54 p − 35 p 19 p ; − = = 10 12 60 60
д)
15a − b a − 4b − = 12a 9a
=
45a − 3b − 4a + 16b 41a + 13b = ; 36a 36a
е)
7 x + 4 3x − 1 − = 8y 6y
=
21x + 12 − 12 x + 4 9 x + 16 = . 24 y 24 y
№73. а)
б)
b a2
−
1− x x3
1 b−a = 2 ; a a +
1 x2
=
1− x + x x3
=
1 x3
;
в)
=
г)
=
д)
=
е)
=
1
4 − 2a 3
+
2a 7
a 3 + 8 − 4a 3 2a 10 a+b a
2
=
a 10 =
8 − 3a 3
;
2a 10
a−b = ab
+
ab + b 2 + a 2 − ab a 2b 2a − 3b 2
a b
+
a2 + b2
=
4a − 5b ab 2
a 2b
=
2ab − 3b 2 + 4a 2 − 5ab a 2b 2 x − 2y xy
2
−
2y − x x2 y
;
=
4a 2 − 3ab − 3b 2 a 2b 2
=
x 2 − 2 xy − 2 y 2 + xy 2 2
x y
x 2 − 2 y 2 − xy
=
x2 y2
.
№74. а)
=
б)
2 xy − 1 4x
3
−
3y − x 6x 2
=
6xy − 3 − 6xy + 2 x 2 12 x 3
=
2x 2 − 3 12 x 3
(
)
;
2 3 1 − b 2 2b 3 − 1 2 b 1 − b + 2 b − 1 + = = 3ab 6ab 2 6ab 2
;
=
в)
г)
2b − 2b 3 + 2b 3 − 1 6ab 1 3a 3 b2 6x 5
−
−
2
2 5a 5 b 3x 6
=
=
=
2b − 1
5a 2 − 6 15a 5
6ab 2
;
;
xb 2 − 2b 6x 6
.
№75. а)
1 1 1 c b a a+b+c + + = + + = ; ab ac bc abc abc abc abc
б)
ab − b ab − a a 2 − b 2 − − = a b ab
=
b(ab − b) − a(ab − a ) − a 2 + b 2 ab
=
=
ab 2 − b 2 − a 2 b + a 2 − a 2 + b 2 = ab
=
ab 2 − a 2 b = b − a; ab
в)
b−a c−b c−a + − = ab bc ac
=
cb − ac + ac − ab − bc + ab = 0; abc
г)
3ab + 2b 2 a + 2b a − 2b − + = ab a b
=
3ab + b 2 b(a + 2b) a(a − 2b) − + = ab ab ab
=
3ab + 2b 2 − ab − 2b 2 + a 2 − 2ab a 2 a = = . ab ab b
№76. а)
=
б)
в)
=
г)
=
д)
=
x − y x − z zx − zy − yx + yz − = = xy xz xyz zx − yx z − y = ; xyz yz a − 2b b − 2a a 2 − 2ab − b 2 + 2ab a 2 − b 2 − = = ; 3b 3a 3ab 3ab p−q
p+q
−
3 2
p q
=
p2q3
qp − q 2 − p 2 − pq
=−
p 3q 3 3m − n 2
3m n
−
2n − m 2mn
2
=
q2 + p2
6m 2 n 2
6m 2 n 2
2
9b c
−
2c − 5b 6bc 2
=
3m 2 − 2n 2 6m 2 n 2
=
6bc + 4c 2 − bc + 15b 2 18b 2 c 2
;
2m(3m − n) − 3m(2n − m)
6mn − 2n 2 − 6mn + 3m 2
3b + 2c
p 3q 3
=
4c 2 + 15b 2 18b 2 c 2
;
;
=
2x − 7 y
е)
=
2
2x y
−
5y − 8x 5xy 2
=
10xy − 35y 2 − 10xy + 16x 2 10x 2 y 2
=
16x 2 − 35y 2 10x 2 y 2
№77. 1 x 1 xy + 1 = + = ; y 1 y y
а) x +
б)
1 1 a 1− a2 −a= − = ; a a 1 a
в) 3a −
a 3a a 12a − a 11a = − = = ; 4 1 4 4 4
г) 5b −
2 5b 2 5b 2 − 2 = − = ; b 1 b b
д)
=
a2 + b a2 + b a −a= − = 1 a a a2 + b − a2 b = ; a a
е) 2 p −
=
ж)
4 p2 + 1 2 p 4 p2 + 1 = − = 2p 1 2p
(
) = 4p
4 p2 − 4 p2 + 1 2p
(a − b)2 2a
+b=
2
(a − b)2 2a
− 4p2 − 1 1 ; =− 2p 2p b = 1
;
=
a 2 − 2ab + b 2 + 2ab a 2 + b 2 ; = 2a 2a
з) c −
=
(b + c)2 2b
c (b + c) − = 1 2b 2
=
(
2bc − b 2 + 2bc + c 2 2b
)=
=
2bc − b 2 − bc − c 2 = 2b
=
−b 2 − c 2 b 2 + c2 =− . 2b 2b
№78. а) 5 −
c 5 c 10 − c = − = ; 2 1 2 2
б) 5y 2 −
15y 2 − 1 15y 2 − 15y 2 + 1 1 = = ; 3 3 3
в) a + b −
=
a−3 a b a−3 = + − = 3 1 1 3
3a + 3b − (a − 3) 3
=
3a + 3b − a + 3 = 3
=
2a + 3b + 3 ; 3
г)
2b 2 − 1 2b 2 − 1 − b 2 + 5b − b + 5= = b b
=
b 2 + 5b − 1 . b
№79. а) 1 −
a b 1 a b 20 − 4a − 5b ; − = − − = 5 4 1 5 4 20
б) 12 −
в)
=
a−2 a−3 a−2 1 a−3 − 1− = − − = 2 3 2 1 3 3a − 6 − 6 − 2a + 6 a − 6 = ; 6 6
г) 4a −
=
д)
1 1 12 1 1 12ab − b − a ; − = − − = a b 1 a b ab
a − 1 a + 2 4a a − 1 a + 2 − = − − = 4 3 1 4 3
48a − 3a + 3 − 4a − 8 41a − 5 = ; 12 12 a+b a + b a b 5b − 3a −a+b= − + = ; 4 4 1 1 4
е) a + b −
=
a2 + b2 a b a2 + b2 = + − = 1 1 a a
(
a 2 + ab − a 2 + b 2 a
) = ab − b a
2
.
№80. а) x −
x− y x+ y x x− y x+ y + = − + = 2 4 1 2 4
=
б)
=
4 x − 2 x + 2 y + x + y 3x + 3y = ; 4 4 3 5 3 2 5 −2− = − − = x x x 1 x 3 − 2x − 5 2x + 2 ; =− x x
в) 3 −
2x − y x + 4 y 3 2x − y x + 4 y + = − + = 4 12 1 4 12
=
36 − 6x + 3y + x + 4 y 36 − 5x + 7 y = ; 12 12
г)
6a − 4b b + 7a 6a − 4b b + 7a 2 − −2= − − = 5 3 5 3 1
=
18a − 12b − 5b − 35a − 30 17a + 17b + 30 . =− 15 15
№81. а)
(b + c)(b − c) + b 2 b−c b + = = b b+c b(b + c)
=
b 2 − c 2 + b 2 2b 2 − c 2 ; = b(b + c) b(b + c)
б)
=
x + 1 x + 3 x( x + 1) − ( x − 2)( x + 3) − = = x−2 x ( x − 2 )x 6 x2 + x − x2 − x + 6 = ; x( x − 2) x( x − 2)
в)
(m + n)m − n(m − n) m n − = = m−n m+n (m − n)(m + n)
=
m 2 + mn − mn + n 2 m 2 + n 2 = 2 ; (m − n)(m + n) m − n2
г)
2a(2a + 1) − (2a − 1) 2a 1 = − = 2a − 1 2a + 1 (2a − 1)(2a + 1)
=
4 a 2 + 2 a − 2 a + 1 4a 2 + 1 = ; (2a − 1)(2a + 1) 4a 2 − 1
д)
=
е)
=
a(a − 2) − a(a + 2) a a − = = a+2 a−2 (a + 2)(a − 2) a 2 − 2a − a 2 − 2a a2 − 4
=
4a 4 − a2
;
p(3 p + 1) − p(3 p − 1) p p − = = 3p − 1 3p + 1 (3 p − 1)(3 p + 1) 3p 2 + p − 3p 2 + p 9 p2 − 1
=
2p 9 p2 − 1
.
№82. а)
3x 2y 9 x − 10 y − = ; 5( x + y) 3( x + y) 15( x + y)
б)
a2 b2 4a 2 − 5b 2 − = ; 5(a − b) 4(a − b) 20(a − b)
в)
3 2 + = ax − ay by − bx
=
3 2 3b − 2a ; − = a( x − y) b( x − y) ab( x − y)
г)
13c 12b − = bm − bn cn − cm
=
13c 12b 13c 2 + 12b 2 ; + = b(m − n) c(m − n) bc(m − n)
д)
a a a a − = − = 2 x + 4 3x + 6 2( x + 2) 3( x + 2)
=
3a − 2a a = ; 6( x + 2) 6( x + 2)
е)
p 1 + = 7a − 14 2 − a
=
p 1 p−7 . − = 7(a − 2) a − 2 7(a − 2)
№83. а)
p(3x − 2) − p(2 x + 1) p p − = = 2 x + 1 3x − 2 (3x − 2)(2 x + 1)
=
p( x − 3) 3xp − 2 p − 2 xp − p = ; (3x − 2)(2 x + 1) (3x − 2)(2 x + 1)
б)
=
6a( x + y) + 2a( x − 2 y) 6a 2a + = = x − 2y x + y (x + y)(x − 2 y) 2a(4 x + y) 8ax + 2ay = ; (x + y)(x − 2 y) (x + y)(x − 2 y)
в)
a a a a + = + = 5x − 10 6x − 12 5( x − 2) 6( x − 2)
=
6a + 5a 11a = ; 30( x − 2) 30( x − 2)
г)
5b b 5b b − = + = 12a − 36 48 − 16a 12(a − 3) 16(a − 3)
=
20b + 3b 23b . = 48(a − 3) 48(a − 3)
№84. а)
=
5y + 3 7 y + 4 5y + 3 7y + 4 = − = − 2 y + 2 3y + 3 2( y + 1) 3( y + 1) 15y + 9 − 14 y − 8 y+1 1 = = , 6( y + 1) 6( y + 1) 6
не зависит от y; б)
=
11y + 13 15y + 17 11y + 13 15y + 17 = + = − 3y − 3 4 − 4y 3( y − 1) 4( y − 1) 44 y + 52 − 45y − 51 −y + 1 = = 12( y − 1) 12( y − 1)
=−
y−1 1 , =− 12( y − 1) 12
не зависит от y; №85.
а)
=
б)
a2 ax − x 2
+
x a2 x = − = x − a x(a − x) a − x
a 2 − x 2 (a − x)(a + x) a + x = = ; x(a − x) x(a − x) x b 2 − 4by 2 y 2 − by
−
4y b 2 − 4by 4y + = = b − 2 y y(2 y − b) 2 y − b
2y − b b 2 − 4by + 4 y 2 (b − 2 y) ; = = y(2 y − b) y(2 y − b) y 2
=
в)
=
г)
=
b 2
2a − ab
−
4a 2ab − b
2
b 4a − = a(2a − b) b(2a − b)
=
(b − 2a )(b + 2a ) b + 2a b 2 − 4a 2 = =− ; ab(2a − b) ab(2a − b) ab 4y 2
3x + 2 xy
−
9x 3xy + 2 x
2
=
4 y(3y + 2 x) − x(3x + 2 y) x(3x + 2 y)(3y + 2 x)
=
4y 9x − = x(3x + 2 y) x(3y + 2 x) 12 y 2 − 10xy − 27 x 2 ; x(3x + 2 y)(3y + 2 x)
№86. а)
=
=
x − 25 x − 25 3x + 5 3x + 5 + = + = 5x − 25 x 2 − 5x 5( x − 5) x( x − 5) x( x − 25) + 5(3x + 5) 5x( x − 5)
(x − 5)2 = x − 5 ; 5x( x − 5) 5x
=
x 2 − 10x + 25 = 5x( x − 5)
б)
12 − y 6 12 − y 6 − = − 2 = 6 y − 36 y − 6 y 6( y − 6) y( y − 6)
( y − 6) 12 y − y 2 − 36 =− = 6 y( y − 6) 6 y( y − 6) 2
=
=−
в)
=
г)
=
y − 6 6− y = ; 6y 6y 1 2
a + ab
+
1 ab + b
2
=
1 1 + = a(a + b) b(a + b)
2
=
1 1 − = b(b − a ) a(b − a )
b+a 1 ; = ab(a + b) ab 1 2
b − ab
−
1 ab − a
a b a−b 1 − = = . ab(b − a ) ab(b − a ) ab(b − a ) ab
№87. а) 1 −
=
б)
=
a + b 1 a + b a − b − (a + b) = − = = a−b 1 a−b a−b
a−b−a−b 2b = ; a−b b−a 2 2 a2 + b2 a 2 + b 2 a a + b − a(a − b) −a= − = = a−b a−b a−b 1
b 2 + ab b(b + a ) = ; a−b a−b
в) m − n +
=
n2 m n n2 = − + = m+n 1 1 m+n
m(m + n) − n(m + n) + n 2 m+n
=
m2 ; m+n
(
)
2 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) − a + b = ; г) a + b − = a+b a+b a+b 2
д) x −
=
9 x 9 3 − 3= − − = x−3 1 x−3 1
x 2 − 3x − 9 − 3x + 9 x 2 − 6x = ; x−3 x−3
е) a 2 −
=
=
(
a4 + 1 a2 − 1
)−a
a2 a2 − 1 a2 − 1
+ 1=
4
a2 a4 + 1 1 − 2 + = 1 a −1 1
+1
a2 − 1
+
a2 − 1 a2 − 1
a4 − a2 − a4 − 1+ a2 − 1 a2 − 1
=−
= 2 a2 − 1
=
2 1− a2
.
№88. а)
=
б)
a 2 + 3a a a 2 + 3a a − = − = ab − 5b + 8a − 40 b + 8 (a − 5)(b + 8) b + 8 a 2 + 3a − a(a − 5)
(a − 5)(b + 8)
=
a 2 + 3a − a 2 + 5a 8a = ; (a − 5)(b + 8) (a − 5)(b + 8)
y 3y y 3y − = − = 3x − 2 6xy + 9 x − 4 y − 6 3x − 2 (2 y + 3)(3x − 2)
=
y(2 y + 3) − 3y
(2 y + 3)(3x − 2)
=
2 y 2 + 3y − 3y 2y2 = . (2 y + 3)(3x − 2) (2 y + 3)(3x − 2)
№89. а)
x2 x x2 x − = − = 3ax − 2 − x + 6a 3a − 1 (3a − 1)( x + 2) 3a − 1 x 2 − x( x + 2)
=
(3a − 1)(x + 2)
=
(1 − 3a )(x + 2)
б)
2x
=
x2 − x2 − 2 2x =− = (3a − 1)(x + 2) (3a − 1)(x + 2)
;
3x x 2 + 3x 3x x 2 + 3x + = + = 2 y + 3 4 xy − 3 − 2 y + 6x 2 y + 3 2 x(2 y + 3) − (2 y + 3)
=
3x(2 x − 1) + x 2 + 3x 3x x 2 + 3x = = + 2 y + 3 (2 y + 3)(2 x − 1) (2 y + 3)(2 x − 1)
=
7x 2 . (2 y + 3)(2 x − 1)
№90. а)
x 2 − 3xy + y( x + y) x 2 − 3xy y + = = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x − y)
=
( x − y) = ( x − y) ; x 2 − 2 xy + y 2 = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x + y)
б)
2 c b 2 − 3bc c(b + c) + b − 3bc + 2 = = b − c b − c2 b 2 − c2
2
=
c(b + c) + b 2 − 3bc
(b − c)(b + c)
=
bc + c 2 + b 2 − 3bc = (b − c)(b + c)
(b − c) b 2 − 2bc + c 2 b−c = = ; (b − c)(b + c) (b − c)(b + c) b + c 2
=
(
)
2 a − 2 y y 2 − 5ay (a − y)(a − 2 y) − y − 5ay = − 2 = в) a+y (a − y)(a + y) a − y2
=
a 2 − 2ay − ay + 2 y 2 − y 2 + 5ay y 2 + 2ay + a 2 = = (a − y)(a + y) (a − y)(a + y)
=
(a + y)2 = a + y ; (a − y)(a + y) a − y
a+3 a2 − 1 =
=
−
1 a2 + a
=
a(a + 3) − (a − 1) a(a − 1)(a + 1)
a+3
(a − 1)(a + 1) =
−
1 = a(a + 1)
a 2 + 2a + 1 = a(a − 1)(a + 1)
(a + 1)2 = a + 1 . (a − 1)(a + 1) a(a − 1)