Page 1

Домашняя работа по алгебре за 8 класс к учебнику «Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений» Ю.Н. Макарычев и др. — М.: «Просвещение», 2001 г.

учебно-практическое пособие


ГЛАВА I. Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства. 1. Рациональные выражения №1. a 2 − 2ab 1 2 a b; (x − y )2 − 4 xy ; . 12 3 m+3 8 2 Дробными выражениями являются: ; ; (c + 3)2 + . m − 3 x2 + y2 c

Целыми выражениями являются:

№2. a 1 2 1 2 ; m − n . 9 4 3 12 b a Дробными выражениями являются: ,a (a − b ) − , − 8. b 3a a + 3

Целыми выражениями являются: 7 x 2 − 2 xy ;

№3.

При y = 3 :

y −1 3 −1 2 = = ; y 3 3

При y = 1 :

y −1 1−1 = = 0; y 1

При y = −5 :

y − 1 −5 − 1 1 = =1 ; y −5 5

1 −1 1 y −1 2 При y = : = = −1; 1 2 y 2 y − 1 −1,6 − 1 При y = −1,6 : = = 1,625; y − 1,6

При y = 100 :

y − 1 100 − 1 = = 0 ,99; y 100

№4. При a = −2 : При b = 3 :

−2 − 8 −10 a −8 = −10; = = 20 + 5 2(− 2 ) + 5 − 4 + 5

b 2 + 6 32 + 6 9 + 6 1 = = =2 ; 2b 2⋅3 6 2


1 8 1 8 1 8⋅2 1 1 : x+ = + = − 16 = −15 ; = − 2 x −1 2 1 2 1⋅1 2 2 −1 2 1,5 + 3 1,5 4 ,5 1,5 y+3 y + = + = + = 3 + 1 = 4; При y = 1,5 : 1,5 1,5 − 3 3 − 1,5 y y−3

При x =

№5. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (разность квадратов):

(a + b)2 − 1 = (a + b − 1)(a + b + 1) ;

a2 +1 a2 +1 (− 3 − 1 − 1)(− 3 − 1 + 1) = (− 5)(− 3) = 15 = 1,5; 9 +1 10 (− 3)2 + 1

Воспользуемся формулой сокращенного умножения с разностью квадратов:

(1,5 + 0,5 − 1)(1,5 + 0,5 + 1) = 2

1,5 + 1

1⋅ 3 3 300 = = ≈ 0 ,92. 2 ,25 + 1 3,25 325

№6. x + 5 −13 + 5 −8 1 = = = ; x − 3 − 13 − 3 − 16 2 x + 5 −5 + 5 0 при x = −5 : = = = 0; x −3 −5−3 −8 x + 5 −0 ,2 + 5 4 ,8 при x = −0,2 : = = = −1,5; x − 3 − 0,2 − 3 − 3,2 x+5 0+5 2 при x = 0 : = = −1 ; x−3 0−3 3

1) при x = −13 : 2) 3) 4)

5) при

1 +5 1 x + 5 17 86 50 86 ⋅ 17 86 36 18 x= : = =− ÷ =− =− = −1 = −1 ; 1 17 x − 3 17 17 50 ⋅ 17 50 50 25 −3 17 x + 5 1+ 5 = = −3; x − 3 1− 3 2 5 +5 2 x+5 32 8 32 ⋅ 3 при x = 5 : = 3 = ÷ = = 4; 2 3 x−3 3 3 3⋅8 5 −3 3

6) при x = 1 : 7)


8) при x = 7 : №7.

x+5 7+5 = = 3; x−3 7−3

1 1 1 = = ≈ 1 − α = 1 − 0,01 = 0,99; 1,01 1 + 0,01 1 + α 1 1 1 б) = = ≈ 1 − α = 1 − 0,002 = 0,998; 1,002 1 + 0,002 1 + α 1 1 1 в) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,01) = 1,01; 0 ,99 1 − 0,01 1 + α 1 1 1 г) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,003) = 1,003. 0 ,997 1 − 0,003 1 + α

а)

№8. s t

Запишем формулу для средней скорости: v = ; получаем: 180 = 60 (км/ч); 3 225 б) t = 2 ,5; s = 225; тогда v = = 90 (км/ч); 2 ,5

а) t = 3; s = 180; тогда v =

№9. Исходя из условия задачи можно составить уравнения: v1t + v 2 t = s; t (v1 + v 2 ) = s; t =

s ; (v1 + v 2 )

а) s = 250, v1 = 60, v 2 = 40; 250 250 = = 2 ,5 (ч); 60 + 40 100 б) s = 310, v1 = 75, v 2 = 80; t=

t=

310 310 = = 2 (ч). 75 + 80 155

Ответ: а) t=2,5 часа; б) t=2 часа. №10. Соответствующими дробными выражениями будут: а)

xy ; x+ y

б)

a−b . ab

№11.


Рациональное выражение имеет смысл, если его знаменатель отличен от нуля. а) При x − 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2; б) при b - любое число, т.к. b 2 + 7 > 0 всегда; в) при y ≠ 0; y ≠ 3; г) при a ≠ 0; a ≠ 1; №12. а) x - любое число; б) 6x − 3 ≠ 0; 6x ≠ 3; x ≠

3 1 ; x≠ ; 6 2

в) x - любое число; г) x ≠ 0; x ≠ −1; д) x - любое число; x 2 + 25 всегда больше; е) x ≠ −8; x ≠ 0. №13. 5y − 8 ; y - любое число 11 25 б) ; y − 9 ≠ 0, т.е. y ≠ 9; y−9

а)

в)

y2 + 1

=

y2 + 1 ; y( y − 2) ≠ 0 , т.е. y ≠ 0; y ≠ 2 ; y( y − 2)

y2 − 2y y − 10 г) 2 , y - любое число, посколько y 2 + 3 всегда больше нуля; y +3 y 15 + ; y − 6 ≠ 0, y + 6 ≠ 0, т.е. y ≠ −6; y ≠ 6; д) y−6 y+6

е)

32 y + 1 − ; y ≠ 0, y + 7 ≠ 0; т.е. y ≠ 0, y ≠ −7 y y+7

№14. 1 ; область определения: x ≠ 2; x−2 2x + 3 б) y = ; область определения: x ≠ 0; x ≠ −1; x(x + 1)

а) y =

в) y = x + №15.

1 ; область определения: x ≠ −5. x+5


а)

x−3 x−3  = 1; 5 − 1 = 0 ⋅ 5;  5  5

5(x − 3) 5

− 5 = 0; x − 3 − 5 = 0; x = 8;

Ответ: x = 8; x−3  x − 3 = 0; 5  = 0 ⋅ 5;  5  5 x − 3 = 0; x = 3;

б)

Ответ: x = 3; x−3  x − 3 = −1; 5  = (−1) ⋅ 5;  5  5 x − 3 = −5; x = −2 ;

в)

Ответ: x = −2; x−3  x − 3 = 3; 5  = 3 ⋅ 5;  5  5 x − 3 = 15; x = 18;

г)

Ответ: x = 18; №16. y−5 = 0; y − 5 = 0; y = 5; Ответ: y = 5; 8 2y + 3 1 1 = 0; 2 y + 3 = 0; y = −1 ; Ответ: y = −1 ; б) 10 2 2 x(x − 1) = 0; x(x − 1) = 0; 1) x = 0; 2 ) x − 1 = 0; x = 1; в) x+4 при x = 0 и x = 1, x + 4 ≠ 0, получаем:

а)

Ответ: x = 0 ; x = 1. x(x + 3)

= 0; x(x + 3) = 0; 1) x = 0; 2 ) x + 3 = 0; x = −3; x−5 при x = 0 и x = −3, x − 5 ≠ 0, получаем:

г)

Ответ: x = 0 ; x = −2 №17. a > 0; b a б) < 0; b

а)


a < 0; b a г) > 0; b

в)

№18. 3

а)

2

x +1 −5

б)

> 0, поскольку 3 > 0 и x 2 + 1 > 0 при всех x ; < 0, поскольку − < 0 и y 2 + 4 > 0 при всех y ;

y2 + 4

в)

(a − 1)2

г)

(b − 3)2

a 2 + 10 2

−b − 1

≥ 0, поскольку (a − 1) ≥ 0 и a 2 + 10 > 0 при всех a ; 2

(

)

≤ 0, поскольку (b − 3) ≥ 0 и − b 2 + 1 < 0 при всех b 2

№19. а) При

x = 2 ,47:

2 x − 3 2 ⋅ 2 ,47 − 3 4 ,94 − 3 1,94 = = = ≈ 0,20616365... ≈ 0,21; 3x + 2 3 ⋅ 2 ,47 + 2 7 ,41 + 2 9 ,41

б) При , : x = 318

, + 9 22 ,26 + 9 31,26 7 x + 9 7 ⋅ 318 = ≈ 0,2790507... ≈ 0,28 = = 8x − 1 8 ⋅ 318 , − 1 25,44 − 1 24 ,44

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №20. а) (x − 10)(x + 10) = = x 2 − 10x + 10x − 100 =

(

)

= x 2 − 100;

б) (2a + 3)(2a − 3) = = 4a 2 − 6a + 6a − 9 = 4a 2 − 9 ; в) ( y − 5b)( y + 5b) =

= y 2 + 5by − 5by − 25b 2 =

(y

2

)

− 25b 2 ;

г) ( y + 8x)( y − 8x) =


= y 2 + 8xy − 8xy − 64 x 2 = = y 2 − 64 x 2 ;

д) (x + 7) = x 2 + 14 x + 49 ; 2

е) (b + 5) = b 2 + 10b + 25; 2

ж) (a − 2 x) = a 2 − 4ax + 4 x 2 ; 2

з) (ab − 1) = a 2 b 2 − 2ab + 1. 2

№21. а) 15ax + 20ay = 5a(3x + 4 y); б) 36by − 9cy = 9 y(4b − c); в) x 2 − xy = x(x − y); г) xy − y 2 = y(x − y); д) a 2 + 5ab = a(a + 5b); е) 15c − 10c 2 = 5c(3 − 2c) №22. а) x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5); б) 16 − c 2 = (4 − c)(4 + c); в) a 2 − 6a + 9 = (a − 3) ; 2

г) ÷ 2 + 8 ÷ +16 = (÷ + 4) ; 2

(

) + 27 = (b + 3)(b − 3b + 9).

д) a 3 − 8 = (a − 2) a 2 + 2a + 4 ; е) b

3

№23.

2

2x 2 = ; 3x 3 15x 3x б) Общий множитель: 5; = ; 25y 5y

а) Общий множитель: x;

6a 1 = ; 24a 4 7ab a г) Общий множитель: 7b; = ; 21bc 3c

в) Общий множитель: 6a ;


д) Общий множитель: xy; е) Общий множитель: 8 xy; №24. а) б)

10xz 2 x = ; 15yz 3y 6ab 2

=

2ab

; 3c 3 y3 y3 в) = = − ; 2ab −4a 3b −2ab −6 p 2 q 3 p 2 г) = 2 ; −2 q 3 q

д) е) ж) з)

9bc 2 2ay 3

ax − ax 2 =− ; xy y 3axy 6ay

3

x

=

2y2

;

24a 2 c 2 2ac = ; 36ac 3 63x 3 y 3

=

42 x 6 y 4

3 2x4 y

.

№25. а) б) в) г) д)

4a 2 b 3 4 2

2a b

3xy 2 6x 3 y 3

= =

24 p 4 q 4 48 p 2 q 2

2b a2

;

1 2x2 y =

;

p2q 2 ; 2

36m 2 n = 2m; 18mn −32b 5 c 4 2

12b c

=

8b −8b =− ; 3c 3c

−2 xy 2

5x y

=−

2 ; 5x

8 x 2 y 2 xy = 24 xy 3


е)

−6ax 1 = . −18ax 3

№26.

8b b = ; 24c 3c 5ay a б) = ; 15by 3b

а)

в) г) д) е) ж) з)

4a 2 2a = ; 6ac 3c 7x 2 y 21xy

a 5b 3 a b x6 y4

б)

=

x4 y6

a2

35mn 5 25 p 4 q 5

100 p q 816 1612 8125 27 33

;

b2 x2

;

y2

56m 2 n 5

№28.

3 8m = 1 m; 5 5

=

1 . 4p

=

(2 ) = 2 = (2 ) 2 (3 )25 = 3 = (3 ) 3

а)

a(b − 2)

б)

3( x + 4)

в)

x ; 3y

= =

3 5

№27. а)

2

3 16

4 12 4

5(b − 2)

=

a ; 5

c( x + 4)

=

3 ; c

a b( y + 3) 2

48

100

3 33

ab( y + 3)

48

=

1 ; a

99

= 1;

= 31 = 3.


г)

15a(a − b)

20b(a − b)

3a . 4b

=

№29.

3a + 12b 3(a + 4b) a + 4b = + ; 6ab 6ab 2ab 15b − 20c 5(3b − 4c) 3b − 4c б) = = ; 10b 10b 2b 2(a − 2) 2 2a − 4 = = ; в) 3(a − 2) (a − 2) 3

а)

г) д) е)

5x( y + 2) 6 y + 12 a − 3b

a 2 − 3ab

= =

5x( y + 2) 6( y + 2)

=

5x ; 6

a − 3b 1 = ; a(a − 3b) a

3x + 15xy 3x( x + 5y) = = 3x . x + 5y x + 5y

№30. а) б) в) г) д) е)

y 2 − 16 ( y − 4)( y + 4) y − 4 = = ; 3y + 12 3( y + 4) 3 5x − 15y

5( x − 3y)

=

=

5

;

(x − 3y)(x + 3y) x + 3y 2 (c + 2) (c + 2)2 c + 2 = = ; 7c 7c 2 + 14c 7c(c + 2) 6cd − 18c 6c(d − 3) 6c = = ; 2 2 d −3 (d − 3) (d − 3) (a + 5)2 a 2 + 10a + 25 a+5 = = ; 2 (a − 5)(a + 5) a − 5 a − 25 ( y − 3)( y + 3) y + 3 y2 − 9 = = . 2 y−3 y − 6y + 9 ( y − 3)2 2

x − 9y

2

№31. а)

a 2 − ab + b 2 3

a +b

3

=

a 2 − ab + b 2

(a + b)( a

2

− ab + b

2

)

=

1 ; a+b


(

)

2 2 a 3 − b 3 (a − b) a + ab + b = a 2 + ab + b 2 = б) a−b a−b

№32. а) =

15a 2 − 10ab 3ab − 2b

2

=

5a(3a − 2b) b(3a − 2b)

5a 5(−2) −10 = = = 100; b −0,1 −0,1

Ответ: 100; б)

=

9c 2 − 4d 2 2

2

=

18c d − 12cd 3c + 2d 1 1 = + = 6cd 2d 3c

(3c − 2d )(3c + 2d ) = 6cd (3c − 2d ) 1 1 2⋅ 2

+

1 1 1 1 = + =1 ; 2 1 2 2 3⋅ 3

1 2

Ответ: 1 ; 6x( x + 2 y) = = 5xy + 10 y 2 5y( x + 2 y) 2 6⋅ 6x 3 = 4 = −2 = = 5y 5(−0,4) −2

в)

6x 2 + 12 xy

Ответ: -2; г) =

x 2 + 6xy + 9 y 2 4 x 2 + 12 xy

−0,2 + 3(−0,6) 4(−0,2)

=

=

( x + 3y) 2 = x + 3y = 4 x( x + 3y) 4x

−0,2 − 18 , −2 2 = = = 2 ,5 −0,8 −0,8 0,8

Ответ: 2,5. №33. а) б) в)

x( y − 7)

y( y − 7)

=

x ; y

10a − 15b 5(2a − 3b) 5 = = ; 16a − 24b 8(2a − 3b) 8 2m + 14 2

m − 49

=

2(m + 7) 2 = ; (m − 7)(m + 7) m − 7


p 2 − 25q 2 ( p − 5q )( p + 5q ) p + 5q = = ; 2 p − 10q 2( p − 5q ) 2

г)

( x − 2) 2 x − 2 = ; x( x − 2) x x 2 − 2x 3y 2 + 24 y 3y( y + 8) 3y = = ; 2 2 y +8 y 16 y + 64 ( y + 8) x 2 − 4x + 4

д) е)

a2 + a + 1

ж) з)

3

a −1 b+2 b3 + 8

=

=

a2 + a + 1

(a − 1)( a

2

(b + 2)(b

2

)

+a +1

b+2

№34.

( (9 x =

=

− 2b + 4

)

=

=

1 ; a −1 1

b 2 − 2b + 4

) ) = (3x − y)(3x + y) = 3x − y;

а) 9 x 2 − y 2 : (3x + y) = 2

− y2

(3x + y) (3x + y) б) (2ab − a ): ( 4b 2 − 4b + 1) = a(2b − 1) a 2ab − a = 2 = ; = 2 2b − 1 4b − 4b + 1 (2b − 1)

(

)(

)

в) x 2 + 2 x + 4 : x 3 − 8 = =

x 2 + 2x + 4

(x − 2)( x

(

)

2

+ 2x + 4

)

=

1 ; x−2

г) 1 + a 3 : (1 + a ) =

(

)

2 1 + a 3 (1 + a ) 1 − a + a = 1− a + a2 . = = 1+ a (1 + a )

№35. а) =

2 x + bx − 2 y − by 2( x − y) + b( x − y) = = 7x − 7 y 7( x − y)

(x − y)(2 + b) = 2 + b ; 7( x − y) 7

.


б)

8a + 4b

=

2

2ab + b − 2ad − bd

(2ab + b ) − (2ad + bd ) 2

=

4(2a + b) 4 = ; (2a + b)(b − d ) b − d 2 xy − x + y − y 2 ( xy − y ) − ( x − y) = = в) (x − y)(x + y) x2 − y2 y( x − y) − ( x − y) ( x − y)( y − 1) y − 1 = = ; = (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x + y (a + c)2 a 2 + 2ac + c 2 = = г) 2 a + ac − ax − cx ( a 2 + ac) − (ax + cx) =

=

4(2a + b)

4(2a + b)

b(2a + b) − d (2a + b)

=

(a + c)2 (a + c)2 a+c = = . a(a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x

№36. а) Ответ:

−x −x ; − ; −y y

б) Ответ:

−x x ; y − y.

№37. а) б) в) г)

a−b

=−

b−a = −1; b−a

(a − b)2 = (a − b)2 (b − a )2 (a − b)2 (a − b)2 (b − a )2 =

b−a a−b

(b − a )

b−a a−b

=

= 1; = b − a; =

1 ; a−b

(a − b) 2 (−a − b) ((−1)(a + b)) (−1)2 (a + b)2 2

2

2

д) е)

a+b

=

a+b

=

a+b

(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 = = (−a − b)2 ((−1)(a + b))2 (a + b)2

= 1.

= a + b;


№38. а)

a ( x − 2 y)

б)

5x( x − y)

в) г) =

д) =

е)

b(2 y − x)

x ( y − x) 3

з)

=−

5x( x − y)

=

7b − 14b 2 2

42b − 21b 7b(1 − 2b)

−21b(1 − 2b)

− x 3 ( x − y)

=

a ; b 5

−x2

=−

5 x2

;

7b(1 − 2b)

=

21b(2b − 1)

=

1 1 =− ; −3 3

=

25 − a 2 (5 − a )(5 + a ) = = 3a − 15 3(a − 5)

−(a − 5)(a + 5) 3(a − 5)

3 − 3x 2

x − 2x + 1

(x − 1)

=

a( x − 2 y)

−b( x − 2 y)

3(a − 12) 3a − 36 3(a − 12) 3 = = =− ; 12b − ab b(12 − a ) −b(a − 12) b

−3( x − 1)

ж)

=

2

=−

=

=−

3(1 − x)

(x − 1)2 3

(x − 1)

8b 2 − 8a 2 2

a − 2ab + b

5+ a ; 3

2

−8(a − b)(b + a )

=

;

=

(

8 b2 − a2

(a − b) 8(b + a ) 2

=−

(a − b)2 (b − 2)3 (b − 2)3 = (2 − b)2 (b − 2)2

a−b

) = 8(b − a)(b + a) = =

(a − b)2 8(b + a ) b−a

;

= b − 2.

№39. а) =

ax + bx − ay − by (ax − ay) + (bx − by) = = bx − by b( x − y)

a( x − y) + b( x − y) b( x − y)

=

(x − y)(a + b) a + b = ; b( x − y) b


б) =

в)

ab − 3b − 2a + 6 (ab − 3b) − (2a − 6) = = 15 − 5a 5(3 − a )

b(a − 3) − 2(a − 3) 5(3 − a )

7 p − 35 7( p − 5) = = 15 − 3 p 3(5 − p)

=−

г) =

д) е)

=

7(5 − p)

=−

3(5 − p)

18a − 3a 2 8a − 48a

−3a(a − 6) 8a(a − 6)

3a(6 − a )

=

2

7 1 = −2 ; 3 3

б)

в)

г)

=

8a(a − 6)

3 =− ; 8

4 − x 2 (2 − x)(2 + x) 2 + x = = ; 10 − 5x 5(2 − x) 5

a 2 − 6a + 9 27 − a 3

(a − 3)2 = (3 − a )( 9 + 3a + a 2 )

=

(3 − a )2 3− a = . 2 (3 − a )( 9 + 3a + a ) 9 + 3a + a 2

№40. а)

(a − 3)(b − 2) b − 2 2 − b = = ; −5(a − 3) −5 5

=

x6 + x4 4

x +x

=

2

y6 − y8 4

y −y

=

2

b −b

2

c6 − c4 c3 + c2

x

2

(

)

2

)=x

x +1

(

y4 y2 1 − y2 y

2

(y

2

)

−1

2

=

b7 1 − b3 2

4

3

2

c 2 (c + 1)

;

) = −y

( ) = −b ; b (b − 1) c ( c − 1) = =.

b 7 − b 10 5

(

x2 x2 x2 + 1

5

2

;


=

c 4 (c + 1)(c − 1) c 2 (c + 1)

№41. а)

a8 + a5 5

a +a

при a = −

( ) =a a ( a + 1) a5 a3 + 1

=

2

= c 2 (c − 1) = c 3 − c 2

2

3;

3

1 получаем: 2 3

1  1 a3 = −  = − ;  2 8 1 8

Ответ: − ; б)

b 10 − b 8 8

b −b

=

6

( b (b

) =b − 1)

b8 b 2 − 1 6

2

2

, получаем: при b = −01

b 2 = (−01 , ) = 0,01; 2

Ответ: 0,01; №42. а) =

б) =

(2a − 2b)2 (2(a − b)) =

a−b

4(a − b)

2

2

= 4(a − b);

a−b

(3c + 9d )2 (3(c + 3d )) =

c + 3d

9(c + 3d ) c + 3d

=

a−b

2

2

=

c + 3d

= 9(c + 3d );

(3x + 6 y)2 (3(x + 2 y)) в) = 5x + 10 y 5( x + 2 y) 2 9( x + 2 y ) 9( x + 2 y) = = ; 5( x + 2 y) 5

2

=


г)

4x 2 − y 2

=

(2 x − y)(2 x + y) = (5(2 x + y))2

(10x + 5y) (2 x − y)(2 x + y) 2 x − y = . 2 25(2 x + y) 25(2 x + y) 2

№43. а)

5b 8a 3 7a

=

5b ⋅ 3b 2 8a 3 ⋅ 3b 2 7a ⋅ 8a 3

=

15b 3 24a 3b 2 56a 4

;

= = ; 3b 2 3b 2 ⋅ 8a 3 24a 3b 2 1 12a 2 b 12a 2 b в) = = ; 2ab 2ab ⋅ 12a 2 b 24a 3b 2 2 2 ⋅ 24a 48a = . г) 2 2 = 2 2 a b a b ⋅ 24a 24a 3b 2

б)

№44.

2a + b (2a + b)b = ; 1 1 2a + b (2a + b)5 = ; б) 2a + b = 1 5 2a + b (2a + b)3a в) 2a + b = = ; 1 3a 2a + b (2a + b)(2a − b) = . г) 2a + b = 1 2a − b

а) 2a + b =

№45. а)

x(a − b) x(a − b) x = = ; a − b (a − b)(a − b) (a − b) 2

б)

y( x + a ) y( x + a ) y = = ; x − a ( x − a )( x + a ) x2 − a2

в)

2y x2 + x + 1 2y x2 + x + 1 2y = = ; x − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 x3 − 1

г)

(

3a 2

a + ab + b

2

)

(

=

(a

(

(

)

3a(a − b)

2

)

)

+ ab + b 2 (a − b)

)

=

3a(a − b) a3 − b3

;


д)

7 7 =− ; y−b b− y

a a =− ; a − 10 10 − a p(2 + p) p(2 + p) p =− =− ж) ; p−2 (2 − p)(2 + p) 4 − p2

е)

з)

a+3 a+3 =− = 6 − 2a 2(a − 3)

=−

(a + 3)(a + 3) (a + 3)2 =− . 2(a − 3)(a + 3) 2( a 2 − 9)

№46. а) б)

8 3xy b

2

= =

8 ⋅ 5x 2

3xy ⋅ 5x b ⋅ 5ac 2

=

40x 15x 2 y 2 =

;

5abc 2

7a 2 c 7a 2 c ⋅ 5ac 2 35a 3 c 3 a a⋅a a2 = = 2 в) ; a − 2 a(a − 2) a − 2a

;

г)

1 x2 − x + 1 x2 − x + 1 = = ; x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x3 + 1

д)

12 12 =− ; y−x x−y

е)

a(4 + a ) a 4a + a 2 =− =− . a−4 (4 − a )(4 + a ) 16 − a 2

(

)

УПРАЖНЕНИЯДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №47. −16 1 = −3 ; 5 5 1 1 б) x = :2 = ; 5 10 1 в) x = 4: = 12; 3

а) x =


−2 1 =− ; 4 2 6 10 10 д) x = 3:0,6 = 3: = 3 ⋅ = = 5; 10 6 2 1 10 50 7 е) x = 5: (−0,7) = −5 = −5 ⋅ = − = −7 . 7 7 7 10

г) x =

№48. а) 6b 2 − (2b + 5)(3b − 7) =

(

)

= 6b 2 − 6b 2 + b − 35 = 2

2

= 6b − 6b − b + 35 = −b + 35;

б) 16x 2 − (4 x + 0,5)(4 x − 0,5) =

= 16x 2 − 16x 2 + 0,25 = 0,25; , x) − 5( x + 4 y)( y − x) = в) 2 y( y − 15

(

)

= 2 y 2 − 3xy − 5 4 y 2 − x 2 − 3xy =

= 2 y 2 − 3xy + 5x 2 + 15xy − 20 y 2 = = 5x 2 − 18 y 2 + 12 xy;

г) 3(a − 2b)(2b + a ) − 0,5b(a − 24b) =

(

)

= 3 a 2 − 4b 2 − 0,5ab + 12b 2 = 2

2

= 3a − 12b − 0,5ab + 12b 2 = 3a 2 − 0,5ab.

№49. а) 5bc − 5c = 5c(b − 1); б) 10n + 15n 2 = 5n(2 + 3n);

в) 8ab + 12bc = 4b(2a + 3c); г) 5y − 5x + y 2 − xy =

( )

= (5y − 5x) + y 2 − xy = 5( y − x) + y( y − x) = = ( y − x)(5 + y);

д) pq − 4 p + 12 − 3q =

= ( pq − 4 p) + (12 − 3q ) =


= p(q − 4) + 3(4 − q ) = = p(q − 4) − 3(q − 4) = = (q − 4)( p − 3);

е) a 2 − 9 = (a − 3)(a + 3); ж) x 2 + 10x + 25 = = ( x + 5) = ( x + 5)( x + 5); 2

з) y 2 − 2 y + 1 = = ( y − 1) = ( y − 1)( y − 1); 2

(

)

и) a 3 + 64 = (a + 4) a 2 − 4a + 16 ;

(

)

к) b 3 − 1 = (b − 1) b 2 + b + 1 . №50.

5⋅ 7 < 0; 16 5 5 6 5⋅1 5 1 :6 = : = = ⋅ > 0; 2) 16 16 1 6 ⋅ 16 16 6 5 5⋅ 1 5 1 ⋅ 0,1 = = ⋅ > 0; 3) 16 16 ⋅ 10 16 10 5⋅ 7 5⋅1 5⋅1 , , . Ответ: − 16 10 ⋅ 16 6 ⋅ 16

1) −

2. Сумма и разность дробей 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями №51. x y x+ y ; + = 3 3 3 a b a−b ; б) − = 5 5 5 a 2a 3a в) + = ; y y y

а)

г)

5b 2 13b 2 5b 2 − 13b 2 8b 2 − = =− ; a a a a


x+ y x x+ y−x y − = = ; 9 9 9 9 2c − x x 2c − x − x е) − = = b b b 2c − 2 x 2(c − x) = . b b

д)

№52. а)

m m − p m (− m) + p − = + = p p p p

=

m−m+ p p = = 1; p p

a + b a − 2b a + b − a + 2b 3b b − = = = ; 6 6 6 6 2 x + 5 x + 2 x + 5− x − 2 3 1 − = = = ; в) 9 9 9 9 3 11x − 5 3x − 2 11x − 5 + 3x − 2 + = = г) 14 x 14 x 14 x 14 x − 7 2 x − 1 = = ; 14 x 2x 7 y − 13 2 y + 3 7 y − 13 − 2 y − 3 5y − 16 − = = ; д) 10 y 10 y 10 y 10 y

б)

8c + 25 5 − 2c 8c + 25 + 5 − 2c + = = 6c 6c 6c 6c + 30 c + 5 = = . 6c c

е)

№53. а)

2 x − 3y 11y − 2 x + = 4 xy 4 xy

=

2 x − 3y + 11y − 2 x 8 y 2 = = ; 4 xy 4 xy x

б) =

5a + b 5 5a − 7b 5 − = 8b 8b 5a + b 5 − 5a + 7b 5 8b 5 = = b4 ; 8b 8b


в)

3x − y 4 4y5

y 4 + 3x 4y5

3x − y 4 − y 4 − 3x

= 2y4

1 =− ; 2y 4y 4y5 a − 2 2a + 5 3 − a г) + − = 8a 8a 8a a − 2 + 2a + 5 − 3 + a 4a 1 = = = ; 8a 8a 2 7 y − 5 10 y − 19 10 − 15y − + = д) 12 y 12 y 12 y =

5

=−

=

7 y − 5 − 10 y + 19 + 10 − 15y = 12 y

=

−18 y + 24 4 − 3y ; = 12 y 2y

11a − 2b 2a − 3b a − b + − = 4a 4a 4a 11a − 2b + 2a − 3b − a + b = = 4a 12a − 4b 4(3a − b) 3a − b = = . 4a 4a a

е)

№54. 17 − 12 x 10 − x + = x x 17 − 12 x + 10 − x 27 − 13x ; = = x x 12 p − 1 1 − 3 p б) − = 3p 2 3p 2 12 p − 1 − 1 + 3 p 15 p − 2 ; = = 3p 2 3p 2 6y − 3 y + 2 6y − 3 − y − 2 в) − = = 5y 5y 5y

а)

=

5y − 5 5( y − 1) y − 1 = = ; 5y 5y y

г)

b 3a − 2b b − 3a + 2b − = = 6 6 6


3b − 3a 3(b − a ) b − a = = ; 6 6 2 3 p − q 2 p + 6q p − 4q д) − + = 5p 5p 5p 3 p − q − 2 p − 6q + p − 4q 2 p − 11q = ; 5p 5p 5c − 2d 3d d − 5c − + = 4c 4c 4c 5c − 2d − 3d + d − 5c 4d d = =− =− ; 4c 4c c 2a 1 − 6a 13 − 8a ж) − + = b b b 2a − 1 + 6a + 13 − 8a 12 = = ; b b 4 b − 2 2b − 1 1 з) − + = 3b 3b 3b 4b − 2 − 2b + 1 + 1 2b 2 = = = . 3b 3b 3

е)

№55. 16 16 − x 2 x2 − = = x−4 x−4 x−4 −(4 − x)(4 + x) = = −(4 + x); 4−x

а)

a2 25 25 − a 2 − = = a+5 a+5 a+5 (5 − a )(5 + a ) = 5 − a; a+5 3a − 1 3b − 1 3a − 1 − 3b + 1 в) 2 − 2 = = 2 2 a −b a −b a2 − b2 3(a − b) 3a − 3b 3 = 2 ; = = 2 (a − b)(a + b) a + b a −b

б)

г)

x−3 2

+

11 2

=

x − 3 + 11

x − 64 x − 64 x 2 − 64 x+8 1 = = ; (x − 8)(x + 8) x − 8

=


д)

2a + b

+

2b − 5a

2a + b + 2b − 5a

=

=

(a − b) (a − b)2 3(b − a ) 3b − 3a 3 3 ; = =− =− = 2 b a b a a b b a − + − − ( )( ) (a − b)

е) =

(a − b)

2

13x + 6 y

( x + y)

2

2

11x + 4 y

=

( x + y) 2

13x + 6 y − 11x − 4 y

( x + y) 2( x + y) 2 = = . 2 ( x + y) x + y 2

2x + 2 y

=

( x + y) 2

=

№56. а)

(a + b)2 − (a − b)2

=

a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 4ab = = 4; ab ab

ab

ab

=

(a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 + (a − b)2

= + a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 = = a2 + b2

б)

=

2 a 2 + 2b 2 2

a +b

2

=

(

2 a2 + b2 2

a +b

№57.

2

=

) = 2.

x2 + 1 10 x 2 + 1 − 10 − = = x−3 x−3 x−3 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = = x + 3, x−3 x−3 при x = 97 получаем: x + 3 = 97 + 3 = 100;

а)

Ответ: 100; y+7

2y + 2

=

y + 7 − 2y − 2

= y − 25 y − 25 y 2 − 25 5− y y−5 1 = =− =− ; ( y − 5)( y + 5) ( y − 5)( y + 5) y + 5

б)

2

2

при y = −51 , получаем:


1 1 1 1 =− =− = = 10; y+5 (−51, ) + 5 −0,1 0,1`

Ответ: 10. №58. a 2 − 43 7 a 2 − 43 + 7 + = = a−6 a−6 a−6 a 2 − 36 (a − 6)(a + 6) = = = a + 6; a−6 a−6 при a = 10,25 получаем: a + 6 = 10,25 + 6 = 16,25; Ответ: 16,25; 9b − 1 6b − 10 9b − 1 − 6b + 10 б) 2 − = = b − 9 b2 − 9 b2 − 9 3(b + 3) 3b + 9 3 = = = ; b − 3 b + 3 b − 3 b + 3 b − 3 ( )( ) ( )( )

а)

при b = 3,5 получаем:

3 3 3 1 = = = 3: = 3 ⋅ 2 = 6; b − 3 3,5 − 3 0,5 2

Ответ: 6. №59. а)

5 5 x x x−5 ; + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1 y − 1

a 6 a 6 a+6 − = + = ; c − 3 3− c c − 3 c − 3 c − 3 2m 2n 2m 2n + = − = в) m−n n−m m−n m−n 2m − 2n 2(m − n) = = = 2; m−n m−n 5p 10 5p 10 г) + = − = 2q − p p − 2q 2q − p 2q − p

б)

=

д)

5( p − 2q ) 2q − p

=−

5(2q − p) 2q − p

a 2 + 16 8a a 2 + 16 8a + = − = a−4 4−a a−4 a−4 a 2 − 8a + 16 (a − 4) = = a − 4; a−4 a−4 2

=

= −5;


е)

x 2 + 9 y 2 + (−6xy) x2 + 9y2 6xy = + = x − 3y 3y − x x − 3y

=

x 2 + 9 y 2 − 6xy x 2 − 6xy + 9 y 2 = = x − 3y x − 3y

=

( x − 3y ) 2 x − 3y

= x − 3y.

№60. а) =

10 p 3p 10 p 3p + = − = p−q q− p p−q p−q 10 p − 3 p 7p = ; p−q p−q

5a 5b 5a 5b + = − = a−b b−a a−b a−b 5a − 5b 5(a − b) = = = 5; a−b a−b 2 2 x−3 x−3 в) + = − = x − 1 1− x x − 1 x − 1 x − 3+ 2 x −1 = 1; = = x−1 x−1 a 3a − b a 3a − b г) = = − + 2a − b b − 2a 2a − b 2a − b a − 3a + b b − 2a 2a − b = = =− = −1; 2a − b 2a − b 2a − b 3 3 a a д) 2 + = 2 − 2 = 2 a −9 9−a a −9 a −9 a−3 1 ; = = (a − 3)(a + 3) a + 3

б)

е)

1 1 y2 y2 + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1

=

y 2 − 1 ( y − 1)( y + 1) = y + 1. = y−1 y−1

№61. а)

3x + 5 7 x + 3 3x + 5 7 x + 3 + = − = 2x − 1 1 − 2x 2x − 1 2x − 1


3x + 5 − 7 x − 3 −4 x + 2 −2(2 x − 1) = = = −2 ; 2x − 1 2x − 1 2x − 1 не зависит от x; =

5x + 1 x + 17 5x + 1 x + 17 + = − = 5x − 20 20 − 5x 5x − 20 5x − 20 5x + 1 − x − 17 4 x − 16 4( x − 4) 4 = = = = ; 5x − 20 5( x − 4) 5( x − 4) 5

б)

не зависит от x. №62. а)

x2

x2

=

25

(5 − x) (x − 5) (x − 5)2 x 2 − 25 ( x − 5)( x + 5) x + 5 ; = = = (x − 5)2 (x − 5)(x − 5) x − 5

б)

(x − 5)

25

2

x 2 + 25

(x − 5)

2

10x

+

=

2

x 2 + 25

10x

(5 − x) (x − 5) (x − 5)3 2 1 x 2 − 10x + 25 ( x − 5) . = = = 3 3 (x − 5) x − 5 (x − 5) 3

№63. а) =

б) =

x2 x 2 − 16

3

8( x − 2) x 2 − 16

3

x 2 − 8x + 16

=

x 2 − 16

( x − 4) 2 x−4 = ; (x − 4)(x + 4) x + 4 64 − 2ab

(a − 8)2

+

2ab − a 2

(8 − a )2

64 − 2ab + 2ab − a 2

=

=

64 − 2ab

(a − 8)2

64 − a 2

(a − 8)2 (a − 8)2 (a − 8)(8 + a ) 8 + a = . (8 − a )(8 − a ) 8 − a

№64. а) подставим c = x: a+b a b = + ; x x x

=

=

=

=

+

2ab − a 2

(a − 8)2

=


б) подставим c = x: 2a 2 + a 2a 2 a = + ; y y y

в) подставим c = x: x 2 + 6y 2 x2 6y 2 x 3y = + = + ; 2 xy 2 xy 2 xy 2 y x

г) подставим c = x: 12a + y 2 12a y 2 2 y = + = + . 6ay 6ay 6ay y 6a

№65. а)

x2 + y2 x4

=

x2

+

x4

y2 x4

=

1 x4

+

y2 x4

б)

2x − y 2x y = − ; b b b

в)

a2 + 1 a2 1 a 1 = + = + ; 2a 2a 2a 2 2a

г)

a 2 − 3ab a

3

=

a2 a

3

3ab a

3

=

;

1 3b − ; a a2

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

№66. а) подставим a = 2:


3a 2 3⋅ 22 12 = = = 4; 2a − 1 2 ⋅ 2 − 1 3

Ответ: 4; 1 3

б) подставим a = − : 2

 1 1 3⋅ −  3⋅  3 3a 9 = = = 2 2a − 1  1 2 ⋅ −  − 1 − − 1 3  3 2

=

1  5 1⋅ 3 1 : −  = − =− ; 3  3 3⋅ 5 5 1 5

Ответ: − . №67. а) 3(5x − 4) − 8x = 4 x + 9; 15x − 12 − 8x = 4 x + 9; 3x = 21; x = 7;

Ответ: x = 7; б) 19 x − 8( x − 3) = 66 − 3x; 19 x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 3x = 66 − 24;


14 x = 42; x = 3;

Ответ: x = 3; в) 0,2(0,7 x − 5) + 0,02 = 1,4( x − 1,6); 014 , x − 1 + 0,02 = 1,4 x − 2 ,24; 014 , x − 0,98 = 1,4 x − 2 ,24; 1,26 = 126 , x; x = 1;

Ответ: x = 1; г) 2 ,7(01 , x + 3,2) + 0,6(1,3 − x) = 16,02; 0,27 x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x = 16,02 − 8,64 − 0,78; −0,33x = 6,6; x = 6,6: (−0,33); x=−

66 100 660 ⋅ = = −20; 10 33 33

Ответ: x = −20. №68. а) 8 x 2 − 16 x 3 y = 8 x 3 (x − 2 y );

(

)

б) 15xy 5 + 10 y 2 = 5 y 2 3xy 3 + 2 ; 2

2

(

2

в) 8a − 50 y = 2 4a − 25 y = 2(2a − 5 y )(2a + 5 y );

2

)=


(

)

г) 18b 2 − 98a 2 = 2 9b 2 − 49a 2 = = 2(3b − 7a )(3b + 7a );

(

)

д) x 3 − 125 = (x − 5) x 2 + 5 x + 25 ;

(

)

е) y + 8 = ( y + 2 ) y − 2 y + 4 ; ж) ab + 8a + 9b + 72 = a (b + 8) + 9(b + 8) = 3

2

= (b + 8)(a + 9 ); з) 6m − 12 − 2n + mn = 6(m − 2 ) + n (m − 2 ) = = (m − 2 )(6 + n ).

№69. Достаточно выяснить, когда знаменатель дроби отличен от нуля. а) 2a + 25 ≠ 0; 2a ≠ −25; a ≠ −

25 ; a ≠ −12 ,5; 2

б) y − любое число, так как 9 + y 2 > 0 при всех y ; в) 3x (x + 12 ) ≠ 0; 1 ) 3x ≠ 0; x ≠ 0; 2 ) x + 12 ≠ 0; x ≠ −12; Итак: x ≠ 0; x ≠ −12; г) (a + 1)(a − 4 ) ≠ 0; 1 ) a + 1 ≠ 0; a ≠ −1; 2 ) a − 4 ≠ 0; a ≠ 4; Итак: a ≠ −1; a ≠ 4. 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями №70. а)

x y 3x + 2 y ; + = 2 3 6

б)

c d 3c − d ; − = 4 12 12

в)

p q p2 + q2 ; + = q p qp

г)

a b2 a 2 − b3 ; − = b a ab


д)

3 2 9−4 5 − = = ; 2 x 3x 6x 6x

е)

a 3a 4a + 15a 19a + = = ; 5c 4c 20c 20c

ж)

5x x 5x + 2 x 7 x + = = ; 8y 4 y 8y 8y

з)

17 y 25y 51y − 50 y y − = = ; 24c 36c 72c 72c

и)

5a 7a 25a − 14a 11a − = = . 18b 45b 90b 90b

№71. а)

=

б)

=

в)

=

г)

5y − 3 y + 2 + = 6y 4y 2(5y − 3) + 3( y + 2)

=

13y 13 = ; 12 y 12

=

14 x 2 = ; 105x 15

12 y 3x + 5 x − 3 + = 35x 21x 3(3x + 5) + 5( x − 3) 105x b + 2 3c − 5 − = 15b 45c 3c(b + 2) − b(3c − 5) 45bc 8b + y 6 y + b − = 40b 30 y

=

6c + 5b ; 45bc


=

24by + 3y 2 − 24by − 4b 2 3y 2 − 4b 2 ; = 120 y 120 y

№72. а)

3x 5x 27 x − 20x 7 x − = = ; 4 9 36 36

б)

6a 3a 24a − 15a 9a − = = ; 5 4 20 20

в)

7a 2a 35a − 8a 27a 9a ; − = = = 12b 15b 60b 60b 20b

г)

9 p 7 p 54 p − 35 p 19 p ; − = = 10 12 60 60

д)

15a − b a − 4b − = 12a 9a

=

45a − 3b − 4a + 16b 41a + 13b = ; 36a 36a

е)

7 x + 4 3x − 1 − = 8y 6y

=

21x + 12 − 12 x + 4 9 x + 16 = . 24 y 24 y

№73. а)

б)

b a2

1− x x3

1 b−a = 2 ; a a +

1 x2

=

1− x + x x3

=

1 x3

;


в)

=

г)

=

д)

=

е)

=

1

4 − 2a 3

+

2a 7

a 3 + 8 − 4a 3 2a 10 a+b a

2

=

a 10 =

8 − 3a 3

;

2a 10

a−b = ab

+

ab + b 2 + a 2 − ab a 2b 2a − 3b 2

a b

+

a2 + b2

=

4a − 5b ab 2

a 2b

=

2ab − 3b 2 + 4a 2 − 5ab a 2b 2 x − 2y xy

2

2y − x x2 y

;

=

4a 2 − 3ab − 3b 2 a 2b 2

=

x 2 − 2 xy − 2 y 2 + xy 2 2

x y

x 2 − 2 y 2 − xy

=

x2 y2

.

№74. а)

=

б)

2 xy − 1 4x

3

3y − x 6x 2

=

6xy − 3 − 6xy + 2 x 2 12 x 3

=

2x 2 − 3 12 x 3

(

)

;

2 3 1 − b 2 2b 3 − 1 2 b 1 − b + 2 b − 1 + = = 3ab 6ab 2 6ab 2

;


=

в)

г)

2b − 2b 3 + 2b 3 − 1 6ab 1 3a 3 b2 6x 5

2

2 5a 5 b 3x 6

=

=

=

2b − 1

5a 2 − 6 15a 5

6ab 2

;

;

xb 2 − 2b 6x 6

.

№75. а)

1 1 1 c b a a+b+c + + = + + = ; ab ac bc abc abc abc abc

б)

ab − b ab − a a 2 − b 2 − − = a b ab

=

b(ab − b) − a(ab − a ) − a 2 + b 2 ab

=

=

ab 2 − b 2 − a 2 b + a 2 − a 2 + b 2 = ab

=

ab 2 − a 2 b = b − a; ab

в)

b−a c−b c−a + − = ab bc ac

=

cb − ac + ac − ab − bc + ab = 0; abc

г)

3ab + 2b 2 a + 2b a − 2b − + = ab a b


=

3ab + b 2 b(a + 2b) a(a − 2b) − + = ab ab ab

=

3ab + 2b 2 − ab − 2b 2 + a 2 − 2ab a 2 a = = . ab ab b

№76. а)

=

б)

в)

=

г)

=

д)

=

x − y x − z zx − zy − yx + yz − = = xy xz xyz zx − yx z − y = ; xyz yz a − 2b b − 2a a 2 − 2ab − b 2 + 2ab a 2 − b 2 − = = ; 3b 3a 3ab 3ab p−q

p+q

3 2

p q

=

p2q3

qp − q 2 − p 2 − pq

=−

p 3q 3 3m − n 2

3m n

2n − m 2mn

2

=

q2 + p2

6m 2 n 2

6m 2 n 2

2

9b c

2c − 5b 6bc 2

=

3m 2 − 2n 2 6m 2 n 2

=

6bc + 4c 2 − bc + 15b 2 18b 2 c 2

;

2m(3m − n) − 3m(2n − m)

6mn − 2n 2 − 6mn + 3m 2

3b + 2c

p 3q 3

=

4c 2 + 15b 2 18b 2 c 2

;

;

=


2x − 7 y

е)

=

2

2x y

5y − 8x 5xy 2

=

10xy − 35y 2 − 10xy + 16x 2 10x 2 y 2

=

16x 2 − 35y 2 10x 2 y 2

№77. 1 x 1 xy + 1 = + = ; y 1 y y

а) x +

б)

1 1 a 1− a2 −a= − = ; a a 1 a

в) 3a −

a 3a a 12a − a 11a = − = = ; 4 1 4 4 4

г) 5b −

2 5b 2 5b 2 − 2 = − = ; b 1 b b

д)

=

a2 + b a2 + b a −a= − = 1 a a a2 + b − a2 b = ; a a

е) 2 p −

=

ж)

4 p2 + 1 2 p 4 p2 + 1 = − = 2p 1 2p

(

) = 4p

4 p2 − 4 p2 + 1 2p

(a − b)2 2a

+b=

2

(a − b)2 2a

− 4p2 − 1 1 ; =− 2p 2p b = 1

;


=

a 2 − 2ab + b 2 + 2ab a 2 + b 2 ; = 2a 2a

з) c −

=

(b + c)2 2b

c (b + c) − = 1 2b 2

=

(

2bc − b 2 + 2bc + c 2 2b

)=

=

2bc − b 2 − bc − c 2 = 2b

=

−b 2 − c 2 b 2 + c2 =− . 2b 2b

№78. а) 5 −

c 5 c 10 − c = − = ; 2 1 2 2

б) 5y 2 −

15y 2 − 1 15y 2 − 15y 2 + 1 1 = = ; 3 3 3

в) a + b −

=

a−3 a b a−3 = + − = 3 1 1 3

3a + 3b − (a − 3) 3

=

3a + 3b − a + 3 = 3

=

2a + 3b + 3 ; 3

г)

2b 2 − 1 2b 2 − 1 − b 2 + 5b − b + 5= = b b


=

b 2 + 5b − 1 . b

№79. а) 1 −

a b 1 a b 20 − 4a − 5b ; − = − − = 5 4 1 5 4 20

б) 12 −

в)

=

a−2 a−3 a−2 1 a−3 − 1− = − − = 2 3 2 1 3 3a − 6 − 6 − 2a + 6 a − 6 = ; 6 6

г) 4a −

=

д)

1 1 12 1 1 12ab − b − a ; − = − − = a b 1 a b ab

a − 1 a + 2 4a a − 1 a + 2 − = − − = 4 3 1 4 3

48a − 3a + 3 − 4a − 8 41a − 5 = ; 12 12 a+b a + b a b 5b − 3a −a+b= − + = ; 4 4 1 1 4

е) a + b −

=

a2 + b2 a b a2 + b2 = + − = 1 1 a a

(

a 2 + ab − a 2 + b 2 a

) = ab − b a

2

.

№80. а) x −

x− y x+ y x x− y x+ y + = − + = 2 4 1 2 4


=

б)

=

4 x − 2 x + 2 y + x + y 3x + 3y = ; 4 4 3 5 3 2 5 −2− = − − = x x x 1 x 3 − 2x − 5 2x + 2 ; =− x x

в) 3 −

2x − y x + 4 y 3 2x − y x + 4 y + = − + = 4 12 1 4 12

=

36 − 6x + 3y + x + 4 y 36 − 5x + 7 y = ; 12 12

г)

6a − 4b b + 7a 6a − 4b b + 7a 2 − −2= − − = 5 3 5 3 1

=

18a − 12b − 5b − 35a − 30 17a + 17b + 30 . =− 15 15

№81. а)

(b + c)(b − c) + b 2 b−c b + = = b b+c b(b + c)

=

b 2 − c 2 + b 2 2b 2 − c 2 ; = b(b + c) b(b + c)

б)

=

x + 1 x + 3 x( x + 1) − ( x − 2)( x + 3) − = = x−2 x ( x − 2 )x 6 x2 + x − x2 − x + 6 = ; x( x − 2) x( x − 2)


в)

(m + n)m − n(m − n) m n − = = m−n m+n (m − n)(m + n)

=

m 2 + mn − mn + n 2 m 2 + n 2 = 2 ; (m − n)(m + n) m − n2

г)

2a(2a + 1) − (2a − 1) 2a 1 = − = 2a − 1 2a + 1 (2a − 1)(2a + 1)

=

4 a 2 + 2 a − 2 a + 1 4a 2 + 1 = ; (2a − 1)(2a + 1) 4a 2 − 1

д)

=

е)

=

a(a − 2) − a(a + 2) a a − = = a+2 a−2 (a + 2)(a − 2) a 2 − 2a − a 2 − 2a a2 − 4

=

4a 4 − a2

;

p(3 p + 1) − p(3 p − 1) p p − = = 3p − 1 3p + 1 (3 p − 1)(3 p + 1) 3p 2 + p − 3p 2 + p 9 p2 − 1

=

2p 9 p2 − 1

.

№82. а)

3x 2y 9 x − 10 y − = ; 5( x + y) 3( x + y) 15( x + y)

б)

a2 b2 4a 2 − 5b 2 − = ; 5(a − b) 4(a − b) 20(a − b)

в)

3 2 + = ax − ay by − bx


=

3 2 3b − 2a ; − = a( x − y) b( x − y) ab( x − y)

г)

13c 12b − = bm − bn cn − cm

=

13c 12b 13c 2 + 12b 2 ; + = b(m − n) c(m − n) bc(m − n)

д)

a a a a − = − = 2 x + 4 3x + 6 2( x + 2) 3( x + 2)

=

3a − 2a a = ; 6( x + 2) 6( x + 2)

е)

p 1 + = 7a − 14 2 − a

=

p 1 p−7 . − = 7(a − 2) a − 2 7(a − 2)

№83. а)

p(3x − 2) − p(2 x + 1) p p − = = 2 x + 1 3x − 2 (3x − 2)(2 x + 1)

=

p( x − 3) 3xp − 2 p − 2 xp − p = ; (3x − 2)(2 x + 1) (3x − 2)(2 x + 1)

б)

=

6a( x + y) + 2a( x − 2 y) 6a 2a + = = x − 2y x + y (x + y)(x − 2 y) 2a(4 x + y) 8ax + 2ay = ; (x + y)(x − 2 y) (x + y)(x − 2 y)


в)

a a a a + = + = 5x − 10 6x − 12 5( x − 2) 6( x − 2)

=

6a + 5a 11a = ; 30( x − 2) 30( x − 2)

г)

5b b 5b b − = + = 12a − 36 48 − 16a 12(a − 3) 16(a − 3)

=

20b + 3b 23b . = 48(a − 3) 48(a − 3)

№84. а)

=

5y + 3 7 y + 4 5y + 3 7y + 4 = − = − 2 y + 2 3y + 3 2( y + 1) 3( y + 1) 15y + 9 − 14 y − 8 y+1 1 = = , 6( y + 1) 6( y + 1) 6

не зависит от y; б)

=

11y + 13 15y + 17 11y + 13 15y + 17 = + = − 3y − 3 4 − 4y 3( y − 1) 4( y − 1) 44 y + 52 − 45y − 51 −y + 1 = = 12( y − 1) 12( y − 1)

=−

y−1 1 , =− 12( y − 1) 12

не зависит от y; №85.


а)

=

б)

a2 ax − x 2

+

x a2 x = − = x − a x(a − x) a − x

a 2 − x 2 (a − x)(a + x) a + x = = ; x(a − x) x(a − x) x b 2 − 4by 2 y 2 − by

4y b 2 − 4by 4y + = = b − 2 y y(2 y − b) 2 y − b

2y − b b 2 − 4by + 4 y 2 (b − 2 y) ; = = y(2 y − b) y(2 y − b) y 2

=

в)

=

г)

=

b 2

2a − ab

4a 2ab − b

2

b 4a − = a(2a − b) b(2a − b)

=

(b − 2a )(b + 2a ) b + 2a b 2 − 4a 2 = =− ; ab(2a − b) ab(2a − b) ab 4y 2

3x + 2 xy

9x 3xy + 2 x

2

=

4 y(3y + 2 x) − x(3x + 2 y) x(3x + 2 y)(3y + 2 x)

=

4y 9x − = x(3x + 2 y) x(3y + 2 x) 12 y 2 − 10xy − 27 x 2 ; x(3x + 2 y)(3y + 2 x)

№86. а)

=

=

x − 25 x − 25 3x + 5 3x + 5 + = + = 5x − 25 x 2 − 5x 5( x − 5) x( x − 5) x( x − 25) + 5(3x + 5) 5x( x − 5)

(x − 5)2 = x − 5 ; 5x( x − 5) 5x

=

x 2 − 10x + 25 = 5x( x − 5)


б)

12 − y 6 12 − y 6 − = − 2 = 6 y − 36 y − 6 y 6( y − 6) y( y − 6)

( y − 6) 12 y − y 2 − 36 =− = 6 y( y − 6) 6 y( y − 6) 2

=

=−

в)

=

г)

=

y − 6 6− y = ; 6y 6y 1 2

a + ab

+

1 ab + b

2

=

1 1 + = a(a + b) b(a + b)

2

=

1 1 − = b(b − a ) a(b − a )

b+a 1 ; = ab(a + b) ab 1 2

b − ab

1 ab − a

a b a−b 1 − = = . ab(b − a ) ab(b − a ) ab(b − a ) ab

№87. а) 1 −

=

б)

=

a + b 1 a + b a − b − (a + b) = − = = a−b 1 a−b a−b

a−b−a−b 2b = ; a−b b−a 2 2 a2 + b2 a 2 + b 2 a a + b − a(a − b) −a= − = = a−b a−b a−b 1

b 2 + ab b(b + a ) = ; a−b a−b


в) m − n +

=

n2 m n n2 = − + = m+n 1 1 m+n

m(m + n) − n(m + n) + n 2 m+n

=

m2 ; m+n

(

)

2 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) − a + b = ; г) a + b − = a+b a+b a+b 2

д) x −

=

9 x 9 3 − 3= − − = x−3 1 x−3 1

x 2 − 3x − 9 − 3x + 9 x 2 − 6x = ; x−3 x−3

е) a 2 −

=

=

(

a4 + 1 a2 − 1

)−a

a2 a2 − 1 a2 − 1

+ 1=

4

a2 a4 + 1 1 − 2 + = 1 a −1 1

+1

a2 − 1

+

a2 − 1 a2 − 1

a4 − a2 − a4 − 1+ a2 − 1 a2 − 1

=−

= 2 a2 − 1

=

2 1− a2

.

№88. а)

=

б)

a 2 + 3a a a 2 + 3a a − = − = ab − 5b + 8a − 40 b + 8 (a − 5)(b + 8) b + 8 a 2 + 3a − a(a − 5)

(a − 5)(b + 8)

=

a 2 + 3a − a 2 + 5a 8a = ; (a − 5)(b + 8) (a − 5)(b + 8)

y 3y y 3y − = − = 3x − 2 6xy + 9 x − 4 y − 6 3x − 2 (2 y + 3)(3x − 2)


=

y(2 y + 3) − 3y

(2 y + 3)(3x − 2)

=

2 y 2 + 3y − 3y 2y2 = . (2 y + 3)(3x − 2) (2 y + 3)(3x − 2)

№89. а)

x2 x x2 x − = − = 3ax − 2 − x + 6a 3a − 1 (3a − 1)( x + 2) 3a − 1 x 2 − x( x + 2)

=

(3a − 1)(x + 2)

=

(1 − 3a )(x + 2)

б)

2x

=

x2 − x2 − 2 2x =− = (3a − 1)(x + 2) (3a − 1)(x + 2)

;

3x x 2 + 3x 3x x 2 + 3x + = + = 2 y + 3 4 xy − 3 − 2 y + 6x 2 y + 3 2 x(2 y + 3) − (2 y + 3)

=

3x(2 x − 1) + x 2 + 3x 3x x 2 + 3x = = + 2 y + 3 (2 y + 3)(2 x − 1) (2 y + 3)(2 x − 1)

=

7x 2 . (2 y + 3)(2 x − 1)

№90. а)

x 2 − 3xy + y( x + y) x 2 − 3xy y + = = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x − y)

=

( x − y) = ( x − y) ; x 2 − 2 xy + y 2 = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x + y)

б)

2 c b 2 − 3bc c(b + c) + b − 3bc + 2 = = b − c b − c2 b 2 − c2

2


=

c(b + c) + b 2 − 3bc

(b − c)(b + c)

=

bc + c 2 + b 2 − 3bc = (b − c)(b + c)

(b − c) b 2 − 2bc + c 2 b−c = = ; (b − c)(b + c) (b − c)(b + c) b + c 2

=

(

)

2 a − 2 y y 2 − 5ay (a − y)(a − 2 y) − y − 5ay = − 2 = в) a+y (a − y)(a + y) a − y2

=

a 2 − 2ay − ay + 2 y 2 − y 2 + 5ay y 2 + 2ay + a 2 = = (a − y)(a + y) (a − y)(a + y)

=

(a + y)2 = a + y ; (a − y)(a + y) a − y

a+3 a2 − 1 =

=

1 a2 + a

=

a(a + 3) − (a − 1) a(a − 1)(a + 1)

a+3

(a − 1)(a + 1) =

1 = a(a + 1)

a 2 + 2a + 1 = a(a − 1)(a + 1)

(a + 1)2 = a + 1 . (a − 1)(a + 1) a(a − 1)

Алгебра 8кл макарычев 2001 1 90  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you