247
§ 9. Перпендикулярність прямої та площини
Приклад розв’язування задач Задача. Через точки A і B проведено прямі, перпендикулярні до площини α , які перетинають її в точках C і D відповідно. Знайдіть відстань між точками A і B, якщо AC = 3 м, BD = 2 м, CD = 2, 4 м і відрізок AB не перетинає площину α . Розв’язання
Коментар
Оскільки дві прямі, перпендикулярні до пло-
щини α , паралельні, то AC BD , отже, ABDC — трапеція (рис. 9.2, а). За умовою AC ⊥ α , тоді AC ⊥ CD , тобто трапеція ABDC прямокутна. Рис. 9.2
A B
A a
K
B
C
D
D
C а
б
Проведемо у трапеції ABDC з точки B перпендикуляр BK до сторони AC (рис. 9.2, б). Одержимо прямокутник BKCD (оскільки у чотирикутника BKCD усі кути прямі), отже, CK = BD = 2 м і KB = CD = 2, 4 м. Тоді AK = AC − CK = 3 − 2 = 1 (м). Із прямокутного трикутника AKB:
AB = AK 2 + BK 2 = 12 + 2, 42 = = 6,76 = 2,6 (м). Відповідь: 2,6 м.
За зображенням просторо вої конфігурації (рис. 9.2) ми не можемо визначити, чи лежить чотирикутник ABDC в одній площині (отже, не знаємо, чи можна до його елементів застосовувати відомі з планіметрії співвідношення). Оскільки паралельні прямі лежать в одній площині, то для обґрунтування того, що цей чотирикутник плоский, достатньо довести паралельність двох його сторін. Слід також урахувати, що для розв’язання багатьох стереометрич них задач часто доцільно виконувати виносні рисун ки розглядуваних плоских фігур (рис. 9.2, б), на яких зручно здійснювати певні побудови, обчислення та обґрунтування.