233
§ 34. Застосування похідної до дослідження функцій
У завданнях 34.1.6, 34.1.7 знайдіть проміжки зростання і спа дання функції.
34.1.6. 1°) f ( x ) = x 2 - 2x ; 3) f ( x ) = x 4 - 2x 2 ; 1 2) f ( x ) = x 3 - 24x + 2 ; 4) f ( x ) = x + ; 2) y = x - x5;
6*) f ( x ) = 7 x 3 .
x
34.1.7. 1) y = x 3 - 27x + 1;
5) f ( x ) = 5 x 4 ;
3*) y = x + 2cos x ; 4*) y = x - sin2x .
34.1.8*. Знайдіть усі значення параметра a, при яких функція зростає на всій числовій прямій: 1) f ( x ) = x 3 - 3ax ; 2) f ( x ) = ax + cos x ; 3) f ( x ) = x 3 + ax 2 + 3ax - 5 .
34.1.9*. Доведіть, що рівняння має єдиний корінь, і знайдіть цей корінь. 1) 2x 3 + 3x - 5 = 0 ; 3
3) 5x - cos 3x - 5p = 1 ;
2
4) x 3 - x5 - x = 1 .
2) x - x + x = 0 ;
34.1.10°. За графіком функції y = f ( x ) , зображеним на рис. 34.1.12, зна йдіть точки максимуму і мінімуму функції f ( x ) . Чи існує по хідна в кожній із цих точок? Якщо існує, то чому дорівнює її значення?
34.1.11°. Відомо, що похідна деякої функції y = f ( x ) , заданої на множині всіх дійсних чисел, має такі знаки, як показано на рис. 34.1.13, і f ′ ( −5) = f ′ (5) = 0 . Укажіть критичні точки, точку максимуму і точку мінімуму цієї функції. 34.1.12°. Користуючись даними про похідну f ¢ ( x ) , наведеними в таблиці, укажіть: 1) проміжки зростання і спадання функції f ( x ) ; 2) точки максимуму і точки мінімуму функції f ( x ) . x
( - ¥; - 2)
–2
( -2; 1)
1
(1; 5)
5
(5; + ¥ )
f¢(x)
+
0
–
0
+
0
+
34.1.13. Функція y = f ( x ) означена на проміжку ( -6; 3) . На рис. 34.1.14 зображено графік її похідної. Знайдіть критичні точки функції. Які з них є точками максимуму, які — точками мінімуму?
У завданнях 34.1.14, 34.1.15 дослідіть функцію на екстремуми.
34.1.14°. 1) f ( x ) = 1 + 12x - x 3 ; 2) f ( x ) = x 4 - 2x 2 - 5 ; 34.1.15. 1) y = 1 - x 2 ;
3) f ( x ) = x 4 - 8x 3 ; 4) f ( x ) = 5x - x5 .
2) y = x - x ;
3) y = x +
1 x
;
4) y =
x+2 x
.
У завданнях 34.1.16, 34.1.17 визначте проміжки монотонності, точки екстремуму функції та значення функції в точках екстре муму.
34.1.16. 1°) f ( x ) = x 2 - 6x + 5 ; 2°) f ( x ) = x 4 - 2x 2 ;
34.1.17*. 1) y =
x
x2 + 4
;
2) y = x 2 - x - 1 ;
3) f ( x ) = x +
4
x
;
4) f (x ) = x − 1 + 3 − x . 3) y = 6x 3 - 2 x - 1 ; 4) y = sin x +
1 2
sin 2x .