§ 31. Поняття похідної, її фізичний і геометричний зміст
4. Обчислимо похідну функції y = (тобто f ( x ) =
1 x
). 1
1) ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) =
x0 ) =
1 x0 + ∆x
−
1
x0 − ( x0 + ∆x )
=
x0
2)
=
( x0 + ∆x ) x0
∆y ∆x
=
− ∆x
x0 + ∆x
( x0 + ∆x ) x0
− ∆x
( x0 + ∆x ) x0 ∆x
=
−1
1
−
x0
6
1 x
=
x0 − ( x0 + ∆Ураховуючи x) − ∆x означення похідної функ= ∆x ) x ∆x ) x0 результати, одержаy0= f ( x( x),0 +запишемо ( x0 + ції
.
( x0 + ∆x ) x0
.
3) При ∆x → 0 значення x0 + ∆x → x0 . Тоді
∆y
∆x
→
−1
x0 x0
=−
1
x02
Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції y = f (x)
.
ні при розгляді дотичної до графіка функції (рис. 31.7). Як було обґрунтовано вище, тангенс кута ϕ нахилу дотичної в точці M з абсцисою x0 (рис. 31.7) обчислюють за формулою lim
Це означає, що y′ ( x0 ) = −
1
. Тоді по-
∆x → 0
tg ϕ = lim ∆y ∆x
∆x → 0
∆y
∆x
.
З
іншого
боку,
= f ′ ( x0 ) . Тоді f ′ ( x0 ) = tg ϕ.
Нагадаємо, що в рівнянні прямої y = kx + b кутовий коефіцієнт k дорівнює 1 у довільній точці x з її хідна функції y = тангенсу кута ϕ нахилу прямої до осі Ox. x 1 Якщо k — кутовий коефіцієнт дотичної, то області визначення (при x ≠ 0) y′ ( x ) = − 2 . x k = tg ϕ = f ′ ( x0 ) . Отже, значення похідної 1 1 ′ Отже, = − 2 . в точці x0 дорівнює тангенсу кута нахилу x x дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0 і дорівнює кутовому коефіцієн5. Обчислимо похідну функції y = x ту цієї дотичної (кут відлічують від додат( ) (тобто f x = x ). ного напрямку осі Ox проти годинникової 1) ∆y = f (x0 + ∆x ) − f (x0 ) = x0 + ∆x − x0 . стрілки). Помножимо і поділимо одержаний виОтже, якщо y = kx + b — рівняння дораз на суму x0 + ∆x + x0 та запишемо тичної до графіка функції y = f ( x ) у точці ∆y так: M з координатами ( x0 ; f ( x0 ) ) і k = f ′ ( x0 ) , x0 + ∆x − x0 x0 + ∆x + x0 x0 + ∆xто − xy 0 = f ′ ( x0 ) x + b . Оскільки дотична прохо∆y = = = x0 + ∆x + x0 x0 + ∆xдить + x0 через точку M ( x0 ; f ( x0 ) ), то її координати задовольняють останнє рівняння, x0 + ∆x + x0 x0 + ∆x − x0 ∆x тобто f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) x0 + b . Звідси знаходимо . = = x0 + ∆x + x0 + x0 x0 + ∆x + x0 b = f ( x0 ) − f ′ ( x0 ) x0 , і записуємо рівняння дотичної: ∆y ∆x 1 = = . 2) y = f ′ ( x0 ) x + f ( x0 ) − f ′ ( x0 ) x0 . ∆x x0 + ∆x + x0 x0 + ∆x + x0 ∆x Його зручно записати у вигляді: 3) При ∆x → 0 значення x0 + ∆x → x0 . y = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ( x − x0 ).
(
x02
)(
)
)
(
Тоді
∆y
∆x
→
)
1
x0 + x0
=
1
2 x0
Це означає, що y′ ( x0 ) =
.
y 1
(звичай-
f (x0 + ∆x)
но, при x0 ≠ 0 ). Тоді похідна функції y = x у довільній точці x з її області визначення, крім x = 0 (тобто при x > 0 ), 1 1 ′ . Отже, ( x ) = y′ ( x ) = . 2 x 2 x
f (x0)
2 x0
y = f (x)
ϕ 0
∆y
M ∆x
x0 x0 + ∆x Рис. 31.7 A
x
205