Физика за 1. разред гимназије - 21199 by Zavod za udžbenike

Milan O. Raspopovi}

FIZIKA

ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE

Milan O. Raspopovi}

FIZIKA

ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE

Recenzenti

Urednik

Tatjana Bobi}

Odgovorni urednik

Dr Tatjana Kosti}

Glavni urednik

Dr Milorad Marjanoviћ

Za izdava~a

Dr Milorad Marjanoviћ, v. d. direktora

Ministar prosvete, nauke i tehnolo{kog razvoja Republike Srbije, re{ewem broj 650-02-411/2018-03 od 27. 03. 2019. godine, odobrio je ovaj uxbenik za izdavawe i upotrebu.

ISBN 978-86-17-20940-5

Fizika kao nauka o prirodi .......................... 7

prou~avawa u fizici ........................... 8 Fizi~ke veli~ine ................................................ 10

Osnovne i izvedene veli~ine ............................ 11

Fizi~ki zakoni ................................................... 12

Vektori i osnovne operacije sa vektorima ................................................ 13

Skalarne i vektorske fizi~ke veli~ine ........................................... 13 Operacije sa vektorima .................................... 16 Rezime ................................................................ 20

Pitawa i zadaci ................................................20

2. KINEMATIKA

........................................... 21

Mehani~ko kretawe ........................................... 21

Relativnost kretawa ...................................... 22

Referentni sistem ........................................... 22

Vektor polo`aja ................................................ 24

Pravolinijsko i krivolinijsko kretawe .. 24

Putawa i put ...................................................... 24

Ravnomerno i neravnomerno kretawe .............26

Pomeraj .................................................................. 26

Brzina i ubrzawe tela .................................. 28

Sredwa vrednost brzine ................................... 30

Trenutna brzina ................................................. 31

Klasi~an zakon slagawa (sabirawa) brzina ................................................................ 32

Sredwe ubrzawe ................................................... 34

Trenutno ubrzawe .............................................. 35

Normalna (radijalna) i tangencijalna komponenta ubrzawa ..................................... 36

Ravnomerno-promenqivo pravolinijsko kretawe ......................................................... 37

Pre|eni put pri kretawu tela sa stalnim ubrzawem ........................................................... 39

Zavisnost brzine od puta ................................ 41

Kretawe materijalne ta~ke po kru`noj putawi ........................................................... 42 Ugaoni pomeraj i opisani ugao ........................ 42 Ugaona brzina ......................................................

DINAMIKA TRANSLACIONOG

Inercijalni referentni sistem (sistem referencije) ....................................

Galilejev princip relativnosti kretawa

Neinercijalni referentni sistemi. Sila inercije ..................................................

Inercijalna sila (sila inercije)

Dinamika kru`nog kretawa.

4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA

Analogija izme|u veli~ina i relacija dinamike

Pitawa

Po{tovani u~enici

Fizika vam ne predstavqa novu nauku. U osnovnoj {koli imali ste prilike da upoznate osnovne elemente ove prirodne nauke.

U toku prve tri godine gimnazije pro{iri}ete i produbiti svoje znawe u domenu klasi~ne fizike, nauke o prirodi formirane do po~etka HH veka. Ona obuhvata tri krupne oblasti: mehaniku (nauku o mehani~kom kretawu), termodinamiku (nauku o toplotnim pojavama) i elektrodinamiku (nauku o naelektrisanim telima –~esticama i fizi~kim poqima).

U prvoj polovini HH veka revolucionarna otkri}a mewaju na{ pogled na svet. U toku tog perioda formirana je nova fizika koja se, za razliku od klasi~ne, naziva savremena fizika. Osnove savremene fizike upozna}emo u zavr{nom razredu gimnazije.

Uxbenik sadr`i sedam tematskih celina:

1. UVOD

2. KINEMATIKA

3. DINAMIKA TRANSLACIONOG KRETAWA

4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA

5. RAVNOTE@A TELA

6. GRAVITACIJA

7. ZAKONI ODR@AWA

Na kraju svake tematske celine dati su kratak pregled pre|enog gradiva (rezime), pitawa i zadaci. U rezimeu su ponovqeni svi bitni pojmovi, veli~ine i zakoni. Pitawa i zadaci su nameweni za samostalan rad u~enika, samoproveru i ocenu znawa. U zadacima se povezuju osnovne fizi~ke veli~ine i ilustruje se primena zakona u re{avawu prakti~nih problema.

U Uxbeniku su obra|ene i neke teme namewene u~enicima koji se vi{e interesuju za fiziku kao i onima koji u~estvuju na takmi~ewima. Preporu~uju se i u~enicima prirodno-matemati~kog usmerewa. Nastavnici, prema sopstvenoj proceni, mogu da izaberu koje }e od tih tema obra|ivati na redovnim ili dodatnim ~asovima ili ih izostaviti.

Pitawa i zadaci ozna~eni zvezdicom (*) nameweni su, pre svega, u~enicima koji su vi{e zainteresovani za izu~avawe fizike.

Fizika daje velike mogu}nosti za samou~ewe, jer je ona nauka koja budi radoznalost i interesovawe za upoznavawe tajni prirode. Weni rezultati su utkani u savremenu tehniku, bez koje se ne bi mogao zamisliti `ivot dana{weg ~oveka. Re{avawe prakti~nih, svakodnevnih problema nu`no pretpostavqa poznavawe ove prirodne nauke. U~ewe fizike ne pro{iruje samo znawe o prirodi i mogu}nosti primene tog znawa ve} oboga}uje logiku, stil mi{qewa, ma{tu do granica fantazije, doprinose}i tako svestranom razvoju li~nosti.

Veliki filozof i nau~nik drevne Gr~ke, Demokrit (460–370 pre nove ere) govorio je: „Vi{e bih voleo da otkrijem jedan zakon prirode nego da postanem kraq Persije”.

@ele}i vam uspeh, dragi sredwo{kolci, navodimo misli rimskog filozofa Seneke s po~etka na{e ere: „Sposobnosti ~ovek mo`e proveriti samo kroz delo.” Va{e delo, dragi u~enici, jeste u~ewe, sticawe znawa, upoznavawe prirode – najve}e kwige i wenog ukrasa – ~oveka.

Autor }e biti zahvalan profesorima, u~enicima i roditeqima na primedbama i predlozima koji bi pomogli da se slede}e izdawe Uxbenika poboq{a.

Autor

KAKO U^ITI FIZIKU?

Saznawa u fizici dobrim delom su ugra|ena u druge prirodne nauke: hemiju, biologiju, geologiju, astronomiju. U tehnici, medicini i ekologiji primewuju se, tako|e, zakonitosti fizike. Sve ve}a isprepletenost fizike s ostalim naukama jedno je od osnovnih obele`ja fizike. Stoga, izu~avaju}i fiziku upoznajemo i druge nauke.

Nastava fizike je vi{ekomponentna. Ona ukqu~uje teoriju, eksperiment i izra`enu primenu matematike. Osim toga, fizika je veoma `iva i dinami~na nauka. Samo u toku jedne godine fizi~ari objave nova nau~na otkri}a na vi{e od milion stranica nau~nih ~asopisa i kwiga. U takvim okolnostima pred u~enicima i nastavnicima je izazov: Kako u~iti fiziku?

U~enik treba, pre svega, da ovlada osnovnim idejama, zakonima i teorijama u kojima je sadr`ana fizi~ka su{tina. Sporedno ne treba da zamagquje osnovno.

Nastava fizike treba da bude razumqiva, zanimqiva, o~igledna i uverqiva. To pretpostavqa ravnopravnost teorije i eksperimenta.

Uxbenik fizike treba pa`qivo ~itati i posebno se zadr`avati na formulacijama osnovnih pojmova, veli~ina i zakona. Ne treba ostaviti ni{ta nerazja{weno. Tako ne{to ostavqa praznine koje kasnije dolaze sve vi{e do izra`aja i, kona~no, prekidaju kontinuitet u procesu izu~avawa fizike.

Nau~eno treba da postane sopstveno znawe, da se „oboji“ sopstvenom kreacijom, tako da se mo`e primeniti u procesu usvajawa novih saznawa i konkretizovati u re{avawu prakti~nih problema. Dakle, ciq nije samo znawe nego i osposobqavawe za budu}e trajno sticawe novih znawa.

Jedna od va`nih uloga nastave fizike je da u~enika nau~i da u~i, da u~enik zna da koristi kwige kao izvor znawa, da u literaturi na|e, obradi i usvoji neka nova znawa, da zna kako da preko ra~unarske mre`e i baze podataka dobije potrebne informacije.

1. UVOD

FIZIKA KAO NAUKA O PRIRODI

U vreme drevne Gr~ke pod pojmom „fizika” (od gr~ke re~i – priroda) podrazumevalo se celokupno znawe o prirodi (zemaqskim i nebeskim pojavama). Dakle, fizika se smatrala op{tom naukom o prirodi (filozofija prirode). Postepenim prikupqawem eksperimentalnog materijala, wegovim uop{tavawem i razvitkom metoda istra`ivawa iz op{te nauke o prirodi izdvajaju se posebne prirodne nauke: astronomija, fizika, hemija, geologija, biologija i druge.

Fizika kao nauka u dana{wem smislu po~ela je uspe{no da se razvija tek od Galilea Galileja (1564–1642), koji se smatra prvim tvorcem nau~nog metoda istra`ivawa. Galilej i wegov sledbenik Isak Wutn (1642–1727) osniva~i su u~ewa o mehani~kom kretawu tela. U poznatom Wutnovom delu: Matemati~ki principi filozofije (1687) sistematizovano je izlo`ena klasi~na mehanika. Od tog perioda se u okviru fizike izdvajaju i razvijaju i ostale oblasti fizike (elektrodinamika, termodinamika, teorija relativnosti, kvantna mehanika, atomska i nuklearna fizika...).

U drugoj polovini XIX veka, a posebno u XX veku, fizika se razvijala takvim tempom i dostigla takve rezultate koje nije postigla nijedna druga prirodna nauka. U drugoj polovini XIX veka formirane su kineti~ka teorija gasova i teorija elektromagnetnog poqa, otkriveni su i izu~eni elektromagnetni talasi.

Na tim osnovama po~eo je buran razvoj elektrotehnike i radiotehnike.

Po~etkom XX veka utemeqene su kvantna mehanika i teorija relativnosti, koje su postale teorijska osnova atomske i nuklearne fizike, fizike ~vrstog stawa, laserske fizike i drugih oblasti savremene fizike.

Ledzagrevawem prelazi u vodu, a voda u paru

Elektri~nepojave uatmosferi

PREDMET FIZIKE

Fizika je osnovna prirodna nauka koja izu~ava:

– najop{tije (osnovne) oblike kretawa materije (mehani~ko kretawe, toplotno kretawe, elektri~ne pojave, magnetne, svetlosne i druge);

– utvr|uje zakone tih kretawa (pojava) i wihovu uzajamnu povezanost i uslovqenost;

– osnovna svojstva i strukturu materije.

Kretawa materije koja prou~ava fizika uop{teno se nazivaju fizi~ki procesi ili fizi~ke pojave.

ZADATAK FIZIKE

Postoje dva osnovna zadatka fizike: da otkrije nau~nu istinu o objektima i pojavama koje prou~ava i da to znawe usmeri na re{avawe prakti~nih i svakodnevnih potreba.

Prou~iti fizi~ku pojavu zna~i utvrditi uzrok wenog nastanka, uslove u kojima se odvija i zakone kojima se pokorava.

Fizika sve vi{e pronalazi mogu}nosti, forme i metode kori{}ewa zakona fizi~kih pojava i svojstava tela za re{avawe prakti~nih problema. Na tim osnovama formirana je primewena ili tehni~ka fizika. Zahvaquju}i brzom i uspe{nom razvitku tehni~ke fizike, svaki zakon i oblast fizike postaje osnova projekata koji se odnose na razvoj i usavr{avawe raznih tehni~kih ure|aja (sistema) i raznih grana proizvodwe.

METODE PROU^AVAWA U FIZICI

Do po~etnih saznawa u fizici mo`e se do}i neposrednim posmatrawem pojave u prirodnim uslovima. Ali, neposredno, pasivno posmatrawe jedne pojave u prirodi naj~e{}e daje nepotpune, a ponekad i pogre{ne predstave i zakqu~ke. Mnoge pojave u prirodi me|usobno su toliko povezane i isprepletene da ih nije mogu}e u toj prirodnoj celini pouzdano prou~iti. Pojave se, stoga, moraju izolovati iz prirodnog kompleksa pa planski i sistematski prou~iti u posebno pripremqenim i strogo kontrolisanim uslovima (npr. u laboratorijskim uslovima). Takvo izu~avawe pojave je eksperimentalno istra`ivawe.

Prou~avawe pojava u posebno pripremqenim i kontrolisanim uslovima, naziva se fizi~ki eksperiment (ogled).

Eksperimentalno istra`ivawe je osnovni metod prou~avawa pojava u fizici. U ovom metodu su eliminisani sporedni uticaji na pojavu koja se prou~ava. Posmatra se i ispituje veza date pojave, pre svega, sa onim objektom ili pojavom koja uzrokuje wen nastanak i bitno (su{tinski) uti~e na weno odvijawe.

Uo~avamo, na primer, da sva tela padaju na Zemqinu povr{inu ako ih ispustimo sa proizvoqne visine. Jednostavno se zakqu~uje da tela slobodno padaju usled Zemqinog privla~nog delovawa (koje je i uzrok slobodnog pada tela). Ali se pokazuje da u prirodnim uslovima teà tela padaju brè, a lak{a sporije. Na osnovu toga, moglo bi se pogre{no zakqu~iti da Zemqa teìm telima daje ve}e ubrzawe, a lak{im telima mawe. Da vidimo {ta pokazuje eksperiment koji se moè izvesti u svakoj {kolskoj laboratoriji.

Razna tela pu{taju se da slobodno padaju u zatvorenoj staklenoj cevi (istovremeno i sa iste visine). Kada je u cevi vazduh, onda }e, na primer, gvozdena kuglica pasti pre nego par~e papira (ili perce), {to zna~i da je ubrzawe kuglice ve}e od ubrzawa par~eta papira. Ako se vazduh potpuno izvu~e pumpom iz cevi, kuglica i par~e papira (perce i bilo koje drugo telo) kreta}e se istim ubrzawem i istovremeno dospevati na dno cevi.

U laboratoriji su postojali posebni uslovi u kojima je uticaj vazduha eliminisan, tako da je bilo mogu}e posmatrati i prou~avati izolovano pojavu kretawa tela (slobodni pad) samo pod uticajem Zemqine te`e.

Eksperimentalno prou~avawe ima veliku prednost nad obi~nim neposrednim posmatrawem. Eksperiment se mo`e vi{e puta ponoviti na isti na~in, tako da se wegovi rezultati mogu proveravati. Osim toga, mogu se mewati uslovi u kojima se pojava odvija i tako utvrditi uticaji raznih faktora na posmatranu pojavu. Na osnovu toga se dolazi do pouzdanih kvalitativnih i kvantitativnih veza izme|u date pojave i wenog uzroka i uslova u kojima se ona odvija.

Postoje dve osnovne vrste eksperimentalnog rada u nastavi fizike: demonstracioni ogledi, koje, uglavnom, priprema i izvodi nastavnik prilikom obrade nastavnog gradiva, i laboratorijske ve`be, koje, po pravilu, izvode u~enici, naravno, uz kontrolu nastavnika. Oba vida eksperimenta se dopuwavaju i imaju komplementarne efekte u nastavi fizike. Eksperimentalni zadaci se daju i za doma}i rad ili se izvode u okviru vannastavnih aktivnosti.

Pored eksperimentalnog metoda postoji i drugi isto toliko bitan metod u fizi~kim prou~avawima, a to je teorijski metod Osnovni ciq teorijskog metoda, koji se oslawa na rezultate eksperimenta, jeste formirawe nau~ne teorije.

Skup sistematizovanih saznawa o odre|enoj grupi srodnih pojava, wihovoj povezanosti i uzajamnoj uslovqenosti naziva se fizi~ka teorija.

KositorawuPizisa kojegseispu{tajutela

Eksperiment Satelit

Izvo|ewe eksperimenta

Primeri fizi~ke teorije: klasi~na mehanika, teorija relativnosti, kvantna teorija, teorija o atomu, atomskom jezgru itd.

Teorija se obi~no ne izvodi neposredno iz eksperimentalnih podataka (~iwenica), ona se stvara da bi se objasnili rezultati eksperimenta. Na primer, ideja da se supstancija sastoji od atoma nije nastala na osnovu toga {to je neko video atom, ona je, uglavnom, plod stvarala~kog razmi{qawa i teorijskih konstrukcija, kasnije i eksperimentalno potvr|enih.

Teorija i eksperiment su podjednako zna~ajni u prou~avawima fizike i treba da budu saglasni. [to eksperiment poka`e, teorija treba da objasni. I obratno, {to teorija predvi|a, eksperiment treba da proveri (potvrdi).

Fizika je, dakle, eksperimentalna, teorijska i primewena nauka.

FIZI^KE VELI^INE

Za prou~avawe i opisivawe svojstava tela i pojava u fizici koriste se fizi~ke veli~ine . Kretawe tela, na primer, opisuje se veli~inama: put, brzina, ubrzawe, vreme . Masa je veli~ina ko jom se odre|uje svojstvo inertnosti tela. Pritisak , zapremina i te m pe ratura su veli~ine kojima se opisuje stawe nekog gasa u zatvorenom sudu.

Pojmovi kojima se opisuju svojstva tela, wihova stawa, kretawe tela i uop{te fizi~ke pojave nazivaju se fizi~ke veli~ine.

Fizi~ka veli~ina se izra`ava kao proizvod broj~ane vrednosti (~isti broj) i odgovaraju}e jedinice mere.

Fizi~ka veli~ina = broj~ana vrednost × jedinica. Za fizi~ku veli~inu simboli~no ozna~enu sa a, navedena relacija mo`e da bude prikazana u obliku:

a= {a}[a], gde je sa a ozna~ena broj~ana vrednost za a, dok  a predstavqa mernu jedinicu za a

Na primer, masa tela je 10 kg. Uz broj~anu vrednost napisali smo i mernu jedinicu – kg; broj~ana vrednost veli~ine ne bi imala smisla bez merne jedinice.

Kada se fizi~ke veli~ine kombinuju mno`ewem ili deqewem, tada se uobi~ajena pravila aritmetike primewuju i na broj~anu vrednost i na mernu jedinicu.

Do brojne vrednosti fizi~ke veli~ine dolazi se merewem.Merewem se utvr|uje koliko je puta vrednost date veli~ine ve}a ili mawa od vrednosti iste takve veli~ine koja je, dogovorom, izabrana za jedinicu.

Na primer, kada se meri duìna table, upore|uje se sa lewirom duìne jedan metar. Neka je ustanovqeno da je duìna table 2,5 puta ve}a od duìne lewira. Tada kaèmo da tabla ima duìnu 2,5 m

OSNOVNE I IZVEDENE VELI^INE

Sve fizi~ke veli~ine mogu da se podele u dve osnovne grupe: osnovne i izvedene. Ta podela se odnosi i na merne jedinice, tako da postoje osnovne i izvedene jedinice.

Postoji sedam osnovnih fizi~kih veli~ina. Sve druge fizi~ke veli~ine mogu da se izraze pomo}u wih.

U Me|unarodnom sistemu jedinica (SI), koji je po zakonu obavezan i u na{oj zemqi, osnovne fizi~ke veli~ine i wihove jedinice prikazane su u tabeli.

Tabela 1

VREME t SEKUNDA s

DU`INA l,s,r METAR m

MASA m KILOGRAM kg

TEMPERATURA T KELVIN K

ELEKTRI~NA STRUJA I AMPER A

JA~INA SVETLOSTI J KANDELA cd

KOLI~INA SUPSTANCIJE n m MOL mol

Ostale fizi~ke veli~ine su izvedene pomo}u ovih sedam osnovnih veli~ina i zovu se izvedene veli~ine. Wihove jedinice se izra`avaju pomo}u osnovnih jedinica.

Primeri izvedenih veli~ina su brzina i ubrzawe, ~ije se jedinice izraàvaju preko jedinica za duìnu i vreme: jedinica za brzinu je , a za ubrzawe . Jedinica za silu je wutn (N). Izraàva se preko jedinica za masu, duìnu i vreme: itd.

FIZI^KI ZAKONI

Osnovni zadatak fizike je da ustanovi pravilnosti po kojima se odvijaju fizi~ke pojave. Te pravilnosti iskazuju se fizi~kim zakonima.

Fizi~ki zakon kvantitativno izra`ava vezu izme|u fizi~kih veli~ina koje opisuju svojstvo tela, odre|enu pojavu ili skup pojava.

U fizici se zakoni obi~no utvr|uju uop{tavawem eksperimentalnih rezultata. Postoji i mogu}nost da se do fizi~kog zakona do|e i teorijskim putem. Ali, tada predstoji wegova eksperimentalna potvrda da bi dobio status nau~nog zakona.

Fizi~ki zakon karakteri{u matemati~ka forma, odre|ena simbolika i formulacija.

Kao primer fizi~kog zakona moè da se navede Zakon slobodnog pada tela u poqu Zemqine teè. Wime se uspostavqa veza izme|u visine sa koje se telo ispu{ta, ubrzawa Zemqine teè i vremena padawa. Prikazuje se formulom:

hgt2

U svojstvu drugog primera neka bude Drugi Wutnov zakon mehanike: proizvod mase i ubrzawa tela jednak je rezultuju}oj sili koja deluje na telo. Zapisuje se u matemati~kom obliku:

Prema stepenu op{tosti, fizi~ki zakoni mogu da budu posebni i op{ti. Tipi~an primer za posebni zakon je Omov zakon za deo elektri~nog kola. Upoznali smo ga jo{ u osnovnoj {koli. Ovaj zakon uspostavqa vezu izme|u elektri~ne struje kroz dati provodnik (koji je deo elektri~nog kola), napona na krajevima tog provodnika i elektri~ne otpornosti (otpora) provodnika:

Elektri~na struja kroz provodnik upravno je srazmerna naponu izme|u krajeva provodnika, a obrnuto srazmerna elektri~nom otporu tog provodnika. Op{ti zakoni va`e za sve pojave u prirodi i ~ine osnovu svih prirodnih nauka. U te zakone spadaju zakoni odr`awa energije, impulsa, koli~ine naelektrisawa

VEKTORI I OSNOVNE OPERACIJE SA VEKTORIMA

SKALARNE I VEKTORSKE FIZI^KE VELI^INE

Fizi~ke veli~ine su razli~ite prirode. Mi }emo razmatrati samo skalarne i vektorske veli~ine

Fizi~ke veli~ine koje su potpuno odre|ene brojnom vredno{}u i odgovaraju}om mernom jedinicom nazivaju se skalarne veli~ine ili, kratko, skalari. Vrednost skalarne veli~ine odre|ena je brojem i mernom jedinicom. U grupu takvih veli~ina spadaju, na primer: du`ina, povr{ina, zapremina, temperatura, masa, vreme, rad, energija itd.

Kada se kaè da je rastojawe izme|u dva tela 5 m, potpuno je odre|ena veli~ina – duìna, koja izraàva me|usobno rastojawe tih tela. Ili, na primer, na osnovu informacije da neko telo ima masu 10 kg, imamo potpunu predstavu o – masi tog tela.

U drugu grupu spadaju one fizi~ke veli~ine koje nisu potpuno odre|ene samo brojnom vredno{}u (intenzitetom) ve} je za wihovo definisawe potrebno znati jo{ dva odre|ewa: pravac i smer. Takve veli~ine su, na primer: brzina, ubrzawe, sila, impuls itd.

Ako znamo, na primer, da se automobil kretao brzinom od 80 km/h, jo{ nemamo sve podatke o brzini: potrebno je znati pravac i smer kretawa tog automobila. Nije svejedno da li se taj automobil kretao, recimo, na putu Beograd–Ni{ ili po nekom drugom putu (pravac). Uz to, potrebno je znati da li se kretao od Beograda ka Ni{u ili od Ni{a ka Beogradu (smer).

Fizi~ka veli~ina koju potpuno odre|uju vrednost (intenzitet), pravac i smer kao i merna jedinica, naziva se vektorska veli~ina ili, kratko, vektor.

Grafi~ka predstava vektorske veli~ine (vektora) jeste usmerena du`. Mera te du`i odre|uje brojnu vrednost (intenzitet, apsolutnu vrednost ili modul) vektora. Pravom kojoj pripada du` defini{e se pravac vektora, a strelicom se ozna~ava wegov smer. Ta~ke A i B ozna~avaju po~etak i kraj vektora (sl. 1.1).

intenzitet (vektor) pravac smer AB

Sl.1.1.Grafi~kapredstavavektora

Vektori se naj~e{}e ozna~avaju latini~nim slovima sa horizontalnom strelicom iznad slova. Na primer: (brzina), (ubrzawe), (sila) itd. Vektori se mogu ozna~avati i na druge na~ine.

Vrednost (intenzitet) vektora ozna~ava se istim slovima bez strelica, na primer: (intenzitet brzine), (intenzitet ubrzawa), (intenzitet sile) itd., ili stavqawem simbola odgovaraju}eg vektora me|u dve paralelne crte, na primer: , , i sli~no.

Dva vektora jednaka su ako imaju jednake intenzitete (vrednosti), paralelne pravce i isti smer. Takvi su, na primer, vektori na slici 1.2.

Mogu se upore|ivati vektori iste prirode (sa istim fizi~kim dimenzijama) kada imaju isti pravac i smer. Wihovo upore|ivawe se svodi na upore|ivawe wihovih intenziteta. Na slici su prikazane brzine dva tela. Brzina prvog tela je , a drugog tela .

Sl.1.2.Vektorikojiimajujednakeintenzitete, paralelne pravce i isti smer va |v||a||| 1 m s v v 1 m s

Vidimo da je intenzitet brzine prvog tela dva puta ve}i od intenziteta drugog tela:

Sl.1.3.Suprotnivektori

Ako dva vektora imaju iste intenzitete, paralelne pravce i suprotne smerove, nazivamo ih suprotnim vektorima. Takvi su, na primer, vektori na slici 1.3.

Simboli~ki: vektoru suprotan je vektor i obratno.

Skalarna veli~ina je stalna ako se u toku vremena ne mewa wena vrednost. Me|utim, da bi vektorska veli~ina bila konstantna, pored wene vrednosti (intenziteta) moraju da budu stalni pravac i smer. Na primer, neka se automobil kre}e brzinom stalnog intenziteta v =60 po krivolinijskoj putawi (sl. 1.4).

1.4. 33 v2 v3

Brzina automobila u vektorskom smislu nije stalna jer se wen pravac i smer mewaju u toku vremena. Stoga se mo`e napisati:

Na slici 1.5 prikazana je kuglica koja se najpre kotrqa niz strmu ravan, zatim po horizontalnoj podlozi i, posle udara o prepreku, vra}a se unazad brzinom istog intenziteta kao i pre udara. Vektori i su jednaki. Simboli~ki: . Vektori i su suprotni. Simboli~ki:

v3 v4 v3 v2 =v3 =–v4.

Sl.1.5.Kuglicasekotrqanizstrmuravanipohorizontalnojpodlozi

Sl.

Sl.1.6.Projekcija vektora

Vektori koji le`e na paralelnim pravama (istoj pravoj) s istim ili suprotnim smerovima, nazivaju se kolinearni vektori Kolinearni vektori sa istim intenzitetom i smerom su jednaki, a s istim intenzitetom i suprotnim smerom razlikuju se jedan od drugog po predznaku. Na primer, me|u vektorima predstavqenim na slici postoji slede}i odnos:

PROJEKCIJA VEKTORA. Neka su u ravni x0y dati vektori , i . Wihove projekcije na koordinatne ose dobijaju se tako {to se iz wihovog po~etka i kraja povla~e normale na x, odnosno y-osu (sl. 1.6).

Projekcije se ozna~avaju istim slovima kao i odgovaraju}i vektori, ali sa dodavawem indeksa koji ozna~ava pravac (osu) na koji je projektovan dati vektor. Ako vektor obrazuje s datim pravcem (osom) o{tar ugao, projekcija vektora je pozitivna. Kada vektor obrazuje s osom tup ugao, projekcija vektora je negativna. Ako je vektor normalan na dati pravac (osu), wegova projekcija jednaka je nuli.

OPERACIJE SA VEKTORIMA

Matemati~ke operacije s vektorima razlikuju se od operacija s obi~nim brojevima. To se odmah uo~ava kod sabirawa vektora.

SABIRAWE VEKTORA. Za sabirawe ma koja dva vektora mo`e se primeniti pravilo paralelograma. Nad vektorima i koji se sabiraju (vektori sabirci) konstrui{e se paralelogram. Rezultat sabirawa predstavqamo vektorom koji se poklapa sa dijagonalom paralelograma (sl. 1.7). To je, drugim re~ima, rezultanta zbira dva vektora. Vektori sabirci i rezultanta imaju zajedni~ki po~etak.

Sl.1.7.Sabirawedvavektoraprimenompravila paralelograma

Sabirawe vektora simboli~ki se predstavqa: ,

gde je R – rezultanta, i b – vektori sabirci.

Intenzitet rezultante zavisi ne samo od intenziteta vektora sabiraka ve} i od ugla koji ovi vektori zaklapaju. Kada je taj ugao 0, intenzitet rezultante je najve}i i jednak je zbiru intenziteta vektora sabiraka:

7cm

Pove}awem ugla intenzitet rezultante se smawuje. Kada je taj ugao 90, dobija se:

Na primer, na slici:

Daqim pove}awem ugla rezultanta se jo{ vi{e smawuje. Za ugao od 180 intenzitet rezultante ima najmawu vrednost i ona je jednaka razlici intenziteta vektora sabiraka (sl. 1.8a):

R=a–b. R=b–a= 1cm

Dva vektora mogu da se sabiraju i tako {to se na kraj prvog vektora nadovezuje drugi vektor. Suma oba vektora je vektor ~iji je po~etak u po~etku prvog vektora, a kraj mu se poklapa s krajem drugog vektora – pravilo trougla (sl. 1.8b).

Sl.1.8.Sabirawevektora

Za sabirawe vi{e od dva vektora obi~no se koristi pravilo poligona: nadovezivawe po~etka slede}eg na kraj prethodnog vektora i tako redom. Rezultanta tih vektora spaja po~etak i kraj izlomqene linije (sl. 1.9). Treba posebno ista}i da rezultat sabirawa vektora ne zavisi od izbora metoda.

Sl.1.9.Sabirawe vektora primenom pravila poligona

Projekcija sume vektora na neki pravac (osu) jednaka je zbiru projekcija na taj isti pravac (osu).

To je o~igledno na slici 1.10. Za dati primer mo`e se napisati:

ODUZIMAWE VEKTORA. Svodi se na sabirawe ako se ima u vidu definicija suprotnog vektora. Simboli~ki:

Grafi~ki prikaz oduzimawa vektora dat je na slici 1.11.

Sl.1.10.Projekcija vektora na x-osu

Sl.1.11.Oduzimawevektora:a)metodparalelogramai b)metodpoligona(vektorskitrougao)

MNO@EWE VEKTORA SKALAROM. Proizvod skalara k i vektora simboli~no ka , daje rezultat koji zavisi od vrednosti k:

1) Ako je k = 0, tada je k (nulti vektor ~iji je intenzitet jednak nuli, a pravac i smer neodre|eni).

2) Za k  0, imamo: a) ka ima isti pravac kao vektor ; b) smer k je isti kao smer vektora a za k > 0, a suprotan od smera vektora za k < 0.

3) Intenzitet od k jednak je proizvodu intenziteta vektora i modula (apsolutne vrednosti) skalara k

DEOBA VEKTORA SKALAROM k:

svodi se na mno`ewe vektora a skalarom k sa negativnim eksponentom.

Rezultat mno`ewa vektora skalarom nije uvek ista fizi~ka veli~ina kao pre operacije. Na primer, u relaciji koja povezuje ubrzawe i vreme sa brzinom imamo:

Vektori pre i posle mno`ewa skalarom jesu kolinearni vektori, ali mogu imati razli~itu prirodu.

RAZLAGAWE VEKTORA. Prilikom re{avawa raznih problema ~esto je potrebno umesto datog vektora posmatrati wegove komponente . Postupak odre|ivawa tih komponenata naziva se razlagawe vektora (sl. 1.12). Razlagawe vektora svodi se na konstrukciju paralelograma ~ija je dijagonala poznata (dati vektor koji se razlaè). Budu}i da moèmo konstruisati veoma mnogo paralelograma sa jednakom dijagonalom, taj zadatak ima beskona~no mnogo re{ewa. Da bi zadatak o razlagawu sila bio odre|en, to jest da bi imao samo jedno re{ewe, osim sile koja se razlaè potrebno je znati i pravce komponenata na koje se ona razlaè. Obi~no se uzimaju pravci koji zaklapaju ugao od 90. Takav slu~aj razlagawa vektora prikazan je na slici.

Sl.1.12.Razlagawevektora

Postoje i druge operacije sa vektorima, o kojima }e kasnije biti re~i.

REZIME

PITAWA I ZADACI

1. Koja su osnovna odre|ewa fizike kao nauke? [ta fizika izu~ava?

2. Da li me|u naukama postoje prirodne granice?

3. Ukratko opi{ite odnos fizike sa drugim naukama.

4. Zbog ~ega je fizika va`na nauka?

5. Da li je fizika teorijska ili eksperimentalna nauka?

6. Opi{ite uzajamni odnos teorije i eksperimenta.

7. [ta je fizi~ka veli~ina? Navedite primere nekih fizi~kih veli~ina.

8. [ta je fizi~ki zakon, a {ta fizi~ka teorija?

9. Koji elementi odre|uju skalarne, a koji elementi vektorske veli~ine?

10. Mo`e li se kombinacijom dve skalarne veli~ine dobiti vektorska veli~ina i obrnuto?

11. Da li je projekcija vektorske veli~ine skalar ili vektor?

2. KINEMATIKA

Oblast mehanike koja izu~ava metode opisivawa mehani~kih kretawa ne ulaze}i u uzroke wihovog nastajawa i postojawa naziva se kinematika

Postoje jo{ dve osnovne oblasti mehanike: dinamika i statika. Sve te tri oblasti izu~ava}emo posebno.

Pri kretawu telo (materijalna ta~ka) mewa polo`aj u toku vremena. Zna~i, mewaju se vrednosti veli~ina koje karakteri{u dato kretawe. Formule (zakoni kretawa) koje povezuju veli~ine koje karakteri{u kretawe omogu}uju da se to kretawe kvantitativno opi{e, to jest da se odredi ne samo polo`aj tela u bilo kojem trenutku u prostoru nego i da se odrede vrednosti veli~ina kao {to su putawa, put, brzina, ubrzawe i vreme kretawa tela (kinemati~ke veli~ine).

MEHANI^KO KRETAWE

Neposrednim posmatrawem uo~avamo razna kretawa tela. Divimo se oblacima koji „plove” plavim nebom. Radoznalo pratimo let aviona, jato ptica koje se sele u toplije krajeve. Nestrpqivo do~ekujemo ili ispra}amo vozove i autobuse. Qutimo se na voza~e automobila koji nam ugroàvaju bezbednost na putu. Posmatrali smo pad jabuke sa drveta na zemqu, kretawe klikera po podu, oscilovawe tela obe{enih o elasti~nu oprugu itd. [ta je zajedni~ko svim navedenim primerima? Re~i plovi, pliva, leti, pomera se, osciluje..., mogu da se zamene op{tim nazivom –tela se kre}u. Kod svih primera op{te je to {to tela mewaju poloàje u odnosu na druga tela. Oblak, avion, automobil, jabuka mewaju poloàje u odnosu na odre|ena mesta na Zemqi.

Na osnovu navedenih primera mo`e da se izvede slede}i zakqu~ak.

Mehani~ko kretawe tela je promena polo`aja tog tela u odnosu na bilo koje drugo telo u toku vremena.

Kretawede~aka,avionai nebeskih tela

RELATIVNOST KRETAWA

Sl.2.1.Putniku vagonujeustawu

mirovawa u odnosu na voz, ali u odnosu na ~ovekakojistoji poredprugekre}ese zajednosavozom

U prirodi se sve de{ava negde i nekada: u prostoru (gde?) i vremenu (kada?).

Svako telo u bilo kom momentu vremena zauzima odre|en polo`aj u prostoru u odnosu na druga tela. Da li se i kako se neko telo kre}e zavisi od toga u odnosu na koje telo se odre|uje wegov polo`aj. Putnik u vagonu je u stawu mirovawa u odnosu na voz, ali se u odnosu na stanicu kre}e zajedno s vozom (sl. 2.1). U odnosu na neki drugi voz to kretawe je druga~ije. U tome se i ogleda relativnost kretawa tela

Ako se polo`aj tela ne mewa u odnosu na telo na koje vr{imo posmatrawe, ono se nalazi u stawu mirovawa.

Da bismo poznavali kretawe tela, treba da znamo kako se mewa wegov polo`aj u prostoru u toku vremena prema telu u odnosu na koje pratimo to kretawe. Da li je potrebno poznavati sve polo`aje deli}a tog tela? Kada se svi deli}i tela kre}u na isti na~in, dovoqno je poznavati kretawe samo jednog, bilo kog deli}a (ta~ke) da bi kretawe tela kao celine bilo poznato. U tom slu~aju kretawe tela predstavqa jedan wegov deli} – materijalna ta~ka. Tada se ne uzimaju u obzir ni oblik ni dimenzije tela.

Materijalna ta~ka predstavqa telo ~iji se oblik i dimenzije u datom kretawu mogu zanemariti.

Telo se moè poistovetiti sa materijalnom ta~kom i kada se wegove dimenzije mogu zanemariti u pore|ewu sa putawom koju ono prelazi. Na primer, kada se prati kretawe Zemqe oko Sunca, Zemqa se moè posmatrati kao materijalna ta~ka jer je wen pre~nik oko deset hiqada puta mawi od pre~nika wene putawe (orbite) oko Sunca. Ali, kada se posmatra obrtawe Zemqe oko ose koja prolazi kroz wene polove, ne mogu se zanemariti weni oblik i dimenzije. Dakle, isto telo u nekim kretawima moè da se posmatra kao materijalna ta~ka, a u drugim to nije korektno.

REFERENTNI SISTEM

Kako se moè odrediti poloàj tela (materijalne ta~ke) u prostoru? O poloàju, pa prema tome i o promeni poloàja – kre tawu tela, moè da se govori samo ako se odredi dru go telo, refe rentno telo , u odnosu na koje se posmatra dato kre tawe.

Telo u odnosu na koje se kretawe posmatra i opisuje naziva se referentno telo.

Iako je izbor referentnog tela slobodan, obi~no se odabira ono telo u odnosu na koje se polo`aj i kretawe tela (materijalne ta~ke) najjednostavnije odre|uju. Pri posmatrawu kretawa tela na Zemqi i u wenoj okolini, za referentno telo obi~no se uzima upravo Zemqa ili neko mesto, odnosno telo na wenoj povr{ini (ku}a, drvo, brdo, planina). Kretawa u kosmi~kim prostorima naj~e{}e se posmatraju u odnosu na Sunce ili zvezde „nekretnice”, ~iji se uzajamni polo`aji ne mewaju (prakti~no) u toku vremena.

Odabranom referentnom telu pridru`uje se odgovaraju}i koordinatni sistem.

Koordinatni sistem u ~ijem po~etku se nalazi referentno telo naziva se sistem referencije ili referentni sistem.

Postoje razni koordinatni sistemi: Dekartov koordinatni sistem, polarni, sferni, cilindri~ni i drugi. Mi }emo koristiti samo Dekartov pravougli koordinatni sistem. ^ine ga tri uzajamno normalne ravni, odnosno tri uzajamno normalne ose (x,y,z), ~iji presek 0 ozna~ava koordinatni po~etak.

Sl.2.2.Dekartovpravouglikoordinatnisistem a)uprostoruib)uravni

Polo`aj, na primer, ta~ke A u ovom koordinatnom sistemu odre|en je pomo}u tri broja, koji se nazivaju koordinate ta~ke A(x,y,z). To su rastojawa ta~ke A od ravni z0y, z0x i y0x. Na slici 2.2 prikazan je Dekartov sistem u prostoru i u ravni. Kao realan primer kretawa tela u trodimenzionom prostoru mo`e da se uzme let aviona ili ptice, a u dvodimenzionom kretawe klikera po podu.

Sl.2.3.Putawanekih

tela

VEKTOR POLO@AJA

Poloàj materijalne ta~ke u Dekartovom koordinatnom sistemu moè jednozna~no da se odredi vektorom poloàja ili radijus-vektorom.

Vektor polo`aja materijalne ta~ke je vektor koji spaja koordinatni po~etak i datu ta~ku; usmeren je od koordinatnog po~etka ka datoj ta~ki.

Vektor poloàja ta~ke A(x,y,z) jeste usmerena dijagonala kvadra ~ije su stranice x,y i z (sl. 2.2). Intenzitet vektora poloàja u prostoru ta~ke A(x,y,z), odnosno u ravni, moè se izra~unati pomo}u koordinata x,y i z, odnosno x i y, i to na osnovu Pitagorine teoreme:

Kada se telo (materijalna ta~ka) kre}e po pravoj liniji, ta prava linija se ~esto uzima za koordinatnu osu. Polo`aj tela je tada odre|en jednom koordinatom – rastojawem od neke izabrane ta~ke (koordinatnog po~etka 0) na toj osi. (U na{em primeru za ta~ku B, x = 3.)

PRAVOLINIJSKO I KRIVOLINIJSKO KRETAWE

PUTAWA I PUT

U toku kretawa telo (materijalna ta~ka) neprekidno mewa polo`aj u prostoru. Da bismo dobili celovitu sliku o polo`ajima kroz koje prolazi telo (materijalna ta~ka) u toku kretawa, uvodimo pojam putawa.

Putawa je linija koju telo (materijalna ta~ka) opisuje u toku kretawa u datom referentnom sistemu.

Putawa je linija koja povezuje uzastopne polo`aje tela (materijalne ta~ke) u toku kretawa.

Putawa (trag koji za sobom ostavqa telo) mo`e u nekim slu~ajevima da se posmatra neposredno. Tada je posmatra~u omogu}eno da vidi istovremeno sve ta~ke u kojima se telo prethodno nalazilo. Na primer, ~esto na vedrom nebu vidimo trag iza aviona koji leti na velikim visinama. Vrh olovke ostavqa trag na listu hartije, a kreda na {kolskoj tabli. Sve {to je ispisano u na{im sveskama predstavqa putawu slo`enog kretawa vrha olovke u vreme pravqewa zapisa.

U raznim sistemima referencije telo mo`e da ima razli~ite oblike putawe. Na primer, telo pu{teno iz aviona pada po vertikalnoj liniji u odnosu na avion, odnosno posmatra~a iz aviona, ali je za posmatra~a sa zemqe putawa toga tela kriva linija (sl. 2.4).

Putawa ta~ke A na periferiji to~ka koji se kotrqa po ravnoj podlozi je kru`nica u odnosu na sistem referencije vezan za osovinu to~ka. U odnosu na drugi sistem referencije vezan za podlogu, putawa je cikloida (sl. 2.5).

Navedimo i drugi primer. Putawa ve{ta~kog satelita u odnosu na Zemqu je kru`nica.

U sistemu referencije vezanom za Sunce, putawa je zavojnica koja obavija Zemqinu orbitu. Ova zavojnica asocira (podse}a, li~i) na istegnutu metalnu oprugu (sl. 2.6).

O kretawu tela (materijalne ta~ke) i obliku putawe mo`e se govoriti samo u okviru odre|enog sistema referencije.

Deo putawe koji telo (materijalna ta~ka) pre|e u odre |e nom intervalu vremena naziva se put.

Put se meri du` putawe u smeru kretawa tela.

Merna jedinica puta je metar (m).

Sl.2.6.Putawasatelita:u odnosunaZemqujekru`nica, auodnosunaSuncezavojnica

Sl.2.4.Razli~itiobliciputaweistogtelaza posmatra~e iz aviona i sa zemqe

Sl.2.5.Oblikputawetelazavisiodsistema referencijeizkojegsekretaweposmatra:putawa ta~keAjekru`nicauodnosunaosovinuto~ka, a u odnosu na podlogu – cikloida

Sl.2.7.Primeri krivolinijskogi pravolinijskogkretawa

tela

Vrednosti puta mogu da budu samo pozitivne. Na primer, ako telo pre|e po pravoj putawi 50 m u jednom smeru, a zatim se po istoj putawi vrati u po~etni polo`aj, pre|eni put je 100 m. Ili, ako atleti~ar pretr~i stazu oko fudbalskog igrali{ta dva puta u jednom i dva puta u suprotnom smeru, put koji je pre{ao jednak je ~etvorostrukom obimu igrali{ta.

Zavisno od oblika putawe (puta), kretawa mogu da budu: pravolinijska i krivolinijska (sl. 2.7).

Pravolinijsko kretawe je kretawe kod kojeg je putawa tela prava linija (kretawe automobila po horizontalnom i pravom putu).

RAVNOMERNO I NERAVNOMERNO KRETAWE

Pravolinijsko kretawe mo`e da bude ravnomerno i neravnomerno (promenqivo). Kod pravolinijskog ravnomernog kretawa telo (materijalna ta~ka) za iste intervale vremena prelazi jednaka rastojawa, a pri pravolinijskom promenqivom kretawu za iste intervale vremena razli~ita rastojawa.

Krivolinijsko kretawe je kretawe tela (materijalne ta~ke) po krivoj liniji (kru`nica, parabola, spirala itd.).

Neravnomerno se kre}u prevozna sredstva (vozovi, autobusi, automobili) pri polasku i zaustavqawu, sanke i kolica niz padinu, projektili (zrna) ispaqeni iz oru`ja, sateliti i Mesec oko Zemqe, planete oko Sunca itd.

POMERAJ

Poznavawe osnovnih kinemati~kih pojmova i veli~ina omogu}ava, u principu, da se odredi poloàj tela u svakom trenutku. U te pojmove spadaju: putawa, put, vektor poloàja, vektor pomeraja (kratko: pomeraj), brzina i ubrzawe. Upoznali smo pojmove putawa, put i vektor poloàja. Predstoji upoznavawe ostalih pojmova (veli~ina).

Sa pojmom putawa,put tesno je povezan pojam vektor pomeraja (pomeraj). Pretpostavimo da je telo po~elo kretawe iz ta~ke A i posle odre|enog vremena dospelo u polo`aj B (sl. 2.8). Pri tom kretawu telo (ta~ka) obi{lo je luk Δs. Vektor pomeraja, koji odgovara tom luku je .

Sl.2.8. Poda)pomerajmaterijalneta~ke,b)pomerajmaterijalneta~kekadase smawujevremenskiinterval(Δt)

Intenzitet pomeraja jednak je du`ini tetive koja spaja ta~ke u kojima se telo nalazilo u po~etnom i kona~nom momentu vremena.

Interval vremena u kome se prati kretawe moè da se mewa (smawuje). Neka je, na primer, u po~etnom trenutku telo bilo u ta~ki A, a kroz neko (veoma kratko) vreme pre{lo u ta~ku B. Pomeraj u ovom slu~aju je usmerena du` . Na analogan (sli~an) na~in moè da se na|e pomeraj za bilo koji interval vremena (sl. 2.8a i b). U grani~nom slu~aju, kada se vremenski interval toliko smawi da se moè poistovetiti sa trenutkom, pravac pomeraja se poklapa sa pravcem tangente na putawi u odgovaraju}oj ta~ki (sl. 2.8b).

Put i pomeraj se principijelno razlikuju. Put je veli~ina koja ima samo pozitivne vrednosti, a vrednosti pomeraja (vektorske veli~ine) mogu da budu i pozitivne i negativne. Putevi izme|u dve ta~ke mogu da budu razli~iti, ali se pomeraj ne mewa (uvek je isti). Iz ta~ke A u ta~ku B telo mo`e da se kre}e po putu a, b ili c ; dakle, put zavisi od oblika putawe. Pri tome vektor pomeraja ostaje nepromewen. On ima usmerewe od A prema B. Ako se telo kretalo od A do B, pa onda od B do A, pre|eni put je jednak dvostrukom rastojawu izme|u ta~aka A i B, a pomeraj je jednak nuli. U slu~aju da se telo (ta~ka) kretalo po zatvorenom putu i vratilo u po~etan polo`aj, onda je wegov pomeraj, tako|e, jednak nuli, dok put odgovara obimu putawe (sl. 2.9).

Kod pravolinijskog kretawa, nezavisno da li je re~ o ravnomernom ili o neravnomernom kretawu, pravac i smer pomeraja se poklapaju sa pravcem i smerom kretawa tela i tada je vrednost pomeraja jednaka pre|enom putu. Ali, ako se telo kre}e i po pravoj liniji u jednom, a zatim u suprotnom smeru, pomeraj i put se razlikuju.

Put koji telo pre|e od ta~ke A do ta~ke B jednak je rastojawu izme|u ovih ta~aka mereno du` putawe kojom se telo kretalo.

Put, dakle, ne zavisi samo od polo`aja po~etne i kona~ne ta~ke, ve} i od oblika putawe kojom se telo kretalo.

Vrednost pomeraja (pomaka) odre|uje najkra}a udaqenost od po~etne do kona~ne ta~ke (od A do B), bez obzira na to kojom putawom se kretalo telo.

Δr AB Δ

Ako se telo pomeri iz ta~ke A u ta~ku B pa zatim iz B u A, telo }e se na}i u po~etnoj ta~ki (polo`aju), pa je ukupan pomeraj jednak nuli. Dakle:

{to je prikazano na slici 2.9. U op{tem slu~aju vektor pomeraja je:

Δr = r2 – r1 i definicija: vektor pomeraja je jednak razlici radus vektora krajweg i po~etnog polo`aja materijalne ta~ke (tela).

Sl. 2.9. Put i pomeraj ne mogu se poistovetiti B a b c A rAB+ rBA=0, AB

Intenzitet pomeraja izra`ava se u metrima.

PRIMER

Materijalna ta~ka u ravni pre|e iz poloàja A (–2, 1) u poloàj B (2, 4). Odredite intenzitet pomeraja u jedinicama duìne.

RE[EWE: Sa slike se vidi da se intenzitet (du` AB ) pomeraja mo`e odrediti pomo}u Pitagorine teoreme:

B(2,4) A(–2,1) y y1 x1 x2 x y2 (x2– x1)2+(y2 –y1)242cm2+32cm2 5cm.

Sl.2.10.Ravnomernopravolinijsko kretawe tela

BRZINA I UBRZAWE TELA

Brzina je jedna od karakteristika mehani~kog kretawa. Ona izra`ava su{tinu kretawa, defini{e razliku koja postoji izme|u tela koja se kre}u i tela koja se nalaze u stawu mirovawa u istom referentnom sistemu. Kod pravolinijskog ravnomernog kretawa brzina tela (sl. 2.10) odre|uje se odnosom pre|enog puta i vremena za koje se vr{i kretawe. Kori{}ewem uobi~ajenih oznaka za brzinu v, put s i vreme t, dobija se:

Vrednost (intenzitet) brzine odre|ena je odnosom puta i vremena.

Brzina je vektorska veli~ina koja je, kao i svaka druga vektorska veli~ina, odre|ena intenzitetom, pravcem i smerom. Kod ravnomernog pravolinijskog kretawa (najjednostavnijeg oblika mehani~kog kretawa) pravac brzine se poklapa sa pravom du` koje se telo (materijalna ta~ka) kre}e, a smer brzine se poklapa sa smerom kretawa.

Pretpostavimo da se telo kre}e po krivolinijskoj putawi (sl. 2.11). Ona se mo`e izdeliti na kratke delove puta Δs koje telo prelazi u intervalima vremena Δt. U tim kratkim intervalima vremena nastale promene brzine mogu se zanemariti i uzeti da se na tim malim delovima puta telo pribli`no kre}e ravnomerno pravolinijski. U tom slu~aju mo`e se napisati: Ova formula odre|uje samo intenzitet brzine, a ostaju neodre|eni pravac i smer brzine. Put i vreme su skalarne veli~ine i wihov odnos daje, tako|e, skalarnu veli~inu, a znamo da je brzina vektorska veli~ina.

Sl.2.11.Krivolinijsko kretawe tela

Sl.2.12.Odre|ivawebrzineprekopomeraja

Op{tiji izraz za brzinu tela defini{e se preko pomeraja. On mo`e da se primeni i na slo`enija kretawa tela, ~ije putawe imaju krivolinijski oblik (sl. 2.12):

Vektorski karakter brzine ovde neposredno proisti~e iz vektorske prirode pomeraja. Intenzitet (vrednost) brzine tela defini{e se odnosom intenziteta pomeraja i vremena u toku kojeg je napravqen pomeraj.

SREDWA VREDNOST BRZINE

U realnim uslovima tela se naj~e{}e kre}u neravnomerno i du` putawe proizvoqnog oblika. Prevozna sredstva pri polasku (u toku kretawa) i zaustavqawu mewaju brzinu. Brzinu mewaju i saonice koje se kre}u niz padinu, ili telo ba~eno uvis, odnosno telo pri slobodnom padu itd. Za opisivawe takvog kretawa uvodi se sredwa vrednost (sredwi intenzitet) brzine.

Rastojawe od 240 km izme|u Beograda i Ni{a jedan automobil pre|e za tri sata, a drugi za dva sata. Prvi automobil se kretao prose~nom brzinom od 80 , a drugi 120 . U toku kretawa automobili se nisu

kretali neprekidno. Pri polascima su se kretali ubrzano, a pri zaustavqawu usporeno. Stajali su na semaforima i ispred naplatnih rampi... [ta onda karakteri{u wihove sredwe vrednosti brzine? Sredwe vrednosti brzina mogu da poslu`e za upore|ivawe wihovih kretawa, odnosno za izra~unavawe wihovog pre|enog puta za odre|eno vreme. Kretawe tela (materijalne ta~ke) prikazano je na slici 2.13. U toku vremena t1 telo prelazi put s1, a za vreme t2 put s2. Sa slike se vidi da je Δs = s2 – s1. To je put koji je telo pre{lo za vremenski interval Δt = t2 – t1 Na osnovu toga izraz za sredwu vrednost brzine mo`e se napisati u obliku:

Sredwa vrednost brzine tela jednaka je koli~niku pre|enog puta i intervala vremena za koji je taj put pre|en.

Sredwa vrednost brzine moè se definisati i na slede}i na~in: Sredwa vrednost brzine promenqivog kretawa je ona vrednost brzine pri ravnomernom kretawu kojom bi telo pre{lo isti put za isto vreme kao i pri promenqivom kretawu. Sredwa vrednost brzina je veli~ina o ~ijem pravcu i smeru nema smisla govoriti. Kada je re~ o sredwoj vrednosti brzine, uvek se misli na wen sredwi intenzitet. Dakle, sredwa vrednost brzina je skalarna veli~ina. Mnoèwem sredwe vrednosti brzine i vremena dobija se duìna pre|enog puta:

Sl.2.13.Odre|ivawe sredwe vrednosti brzine

Napomena. – Naziv „brzina” ~esto se pogre{no koristi kada se govori o

intenzitetu brzine. Ka`e se, na primer, da se voz kretao brzinom 80 , a kretao se brzinom intenziteta 80 . Razlika postaje naro~ito uo~qiva ako se voz

kretao po krivoj putawi, gde se neprestano mewaju pravac i smer brzine, i kada je pri tome stalan intenzitet brzine.

Sli~no tome, sredwa brzina se pogre{no poistove}uje sa sredwim intenzitetom brzine.

TRENUTNA BRZINA

Na osnovu sredwe vrednosti brzine moè se odrediti poloàj tela (materijalne ta~ke) na datoj putawi samo u krajwem trenutku (na kraju) vremenskog intervala za koji je ta brzina odre|ena. Poloàj tela (materijalne ta~ke) u bilo kom drugom trenutku ne moè da se odredi poznavawem sredwe vrednosti brzine, jer je kod promenqivog (neravnomernog) kretawa vrednost sredwe brzine razli~ita za razne intervale vremena, tj. za pojedine delove puta. Za odre|ivawe poloàja tela (materijalne ta~ke) u bilo kom trenutku vremena potrebno je poznavati trenutnu brzinu.

Da bismo odredili trenutnu brzinu tela (materijalne ta~ke), po}i }emo od izraza za brzinu definisanu preko pomeraja:

Brzinometaru automobilupokazuje vrednosti trenutne brzine

Sa skra}ivawem vremenskog intervala Δt smawuje se i intenzitet pomeraja Δr (sl. 2.14). U grani~nom slu~aju, kada se vremenski interval svodi na trenutak , dobija se brzina u trenutku t – trenutna brzina (sl. 2.14b). Ona se mo`e zapisati u obliku:

Sl.2.14.Trenutnabrzina

Sl.2.15.Trenutnabrzinakod ravnomernogpravolinijskog kretawa

1 v2 v3

Sl.2.16.Trenutnabrzina promenqivogpravolinijskog kretawa

Trenutna brzina je brzina tela u ta~ki putawe, u konkretnom trenutku.

Trenutna brzina ne karakteri{e kretawe na celom putu, ve} samo u datoj ta~ki putawe.

Trenutna brzina karakteri{e kretawe u jednom (datom) trenutku, u jednoj ta~ki putawe.

Kada je kretawe ravnomerno, intenzitet trenutne brzine je u svim trenucima isti i jednak sredwoj vrednosti brzine na celom putu (sl. 2.15).

Kod pravolinijskog promenqivog kretawa trenutna brzina se mewa i ima razli~ite vrednosti u raznim trenucima vremena (sl. 2.16).

Trenutna brzina tela (materijalne ta~ke) jeste vektorska veli~ina ~iji se pravac poklapa sa pravcem tangente u datoj ta~ki putawe, a smer sa smerom kretawa.

Sl. 2.18

Sl. 2.17 u v’

Ako se zna trenutna brzina, mogu da se odrede pre|eni put i polo`aj materijalne ta~ke u svakom trenutku, a time i putawa.

Trenutna brzina krivolinijskog kretawa kada se telo kre}e brzinom stalnog intenziteta, prikazana je na slici 2.17.

Svako krivolinijsko kretawe je promenqivo kretawe i trenutna brzina je razli~ita u raznim ta~kama putawe (sl. 2.18).

KLASI^AN ZAKON SLAGAWA (SABIRAWA) BRZINA

Ustanovili smo da o mehani~kom kretawu tela (~estice) ima smisla govoriti samo ako se ono posmatra u odre|enom referentnom sistemu. Ako je brzina (kao va`na karakteristika mehani~kog kretawa) poznata u odnosu na jedan sistem referencije, kako je odrediti u odnosu na drugi sistem referencije?

Dakle, treba odrediti formulu kojom se brzine tela (materijalne ta~ke) povezuju u sistemima referencije.

Jedna~ina kojom su brzine tela (materijalne ta~ke) povezane u referentnim sistemima naziva se klasi~an zakon sabirawa brzina. Neka je referentni sistem S vezan za obalu jezera (za neko mesto na obali), a sistem S’ za brod koji se kre}e pravolinijski stalnom brzinom u odnosu na obalu (sl. 2.19). Na brodu, u smeru kretawa kre}e se kugla brzinom , u odnosu na brod. Brzina kugle u odnosu na obalu , mo`e se odrediti na osnovu odgovaraju}ih pomeraja, izvr{enih u toku vremena Δt = t2 – t1. Ako je pomeraj broda u odnosu na obalu, a pomeraj kugle u odnosu na brod, onda }e pomeraj kugle u odnosu na obalu biti:

Deobom ove jedna~ine vremenom Δt dobija se:

Kako su: brzina kugle u odnosu na obalu, brzina broda u odnosu na obalu i brzina kugle u odnosu na brod, dobija se:

v = u + v’ .

Ovaj izraz predstavqa klasi~an zakon slagawa (sabirawa) brzina.

Brzina tela u odnosu na referentni sistem S jednaka je zbiru brzine tela u odnosu na referentni sistem S’ i brzine sistema S’ u odnosu na sistem S.

v’ u

Po{to su vektori i u navedenom primeru istog pravca, vektorske oznake se mogu izostaviti, ali se mora voditi ra~una o wihovom smeru. Kada su oni istog smera, onda i imaju isti znak, pa klasi~ni zakon sabirawa brzina, mo`e da se izrazi preko intenziteta datih vektora:

v’ u

v = u + v’

Kada su ovi vektori suprotnih smerova, sledi:

v = u – v’ , po{to je smer brzine broda u pozitivan.

Na osnovu zakona klasi~nog sabirawa brzina, mo`e se odrediti vrednost bilo koje brzine: v, u ili v’ ako su poznate vrednosti druge dve brzine.

PRIMER

Brzina ~amca u odnosu na vodu je 5 , a brzina re~nog toka 3 . Kolika je brzina ~amca u odnosu na obalu ako se on kre}e a) nizvodno; b) uzvodno; v) normalno na obale (kada prelazi sa jedne na drugu obalu reke)?

v=v’ +uv=v’ uv=v’2 u2

v’ v’ v’ uuu v ’ ’

Sl.2.19.Dva referentnasistema

RE[EWE:

a) Kada ~amac plovi nizvodno, brzine i imaju isti pravac i smer, pa brzina ~amca u odnosu na obalu ima intenzitet:

v’8ms. v’ – 2m s

b) Ako ~amac plovi uzvodno, brzine i imaju isti pravac, ali suprotne smerove, pa je intenzitet brzine ~amca u odnosu na obalu:

Da je brzina toka reke bila ve}a u > v’, onda bi se ~amac kretao nizvodno (reka je br`a od ~amca pa ga nosi, iako ~ovek u ~amcu poku{ava da se kre}e u suprotnom smeru). Za vrednosti u < v’ ~amac se kre}e u smeru suprotnom od smera re~nog toka (uzvodno).

v) Kada ~amac treba da pre|e sa jedne obale reke na drugu u pravcu normale na obale, onda on mora da dr`i odre|en kurs u odnosu na taj pravac. Iz pravouglog trougla, intenzitet brzine ~amca u odnosu na obalu odre|uje se na osnovu Pitagorine teoreme: v’ u uv’

’2 –u2 – 25m2 s29m2 s24m s

SREDWE UBRZAWE

U toku kretawa telo (automobil) mewa brzinu. Pri polasku automobil pove}ava, a pri zaustavqawu smawuje brzinu. Brzina automobila mo`e da se mewa po intenzitetu, pravcu i smeru. Za kvantitativno odre|ivawe svih tih izmena neophodno je uvesti novu veli~inu. Ta veli~ina je ubrzawe tela.

Fizi~ka veli~ina koja odre|uje promene brzine tela u toku vremena naziva se ubrzawe tela.

Ako je u trenutku t1 brzina tela , a u trenutku t2 telo ima brzinu , tada }e promena brzine u toku vremenskog intervala t2 – t1 = Δt (sl. 2.20) biti:

Sl.2.20.Odre|ivawesredwegubrzawa

Odnos promene brzine i vremenskog intervala u toku kojeg se ta promena desila naziva se sredwe ubrzawe, to jest:

odnosno

Dakle, sredwe ubrzawe je vektor ~iji se pravac i smer poklapaju s pravcem i smerom promene brzine ().

U slu~aju pravolinijskog kretawa, brzina ima stalan pravac, a taj pravac ima i sredwe ubrzawe, pa se formula za sredwe ubrzawe mo`e pisati u skalarnom obliku:

Intenzitet sredweg ubrzawa jednak je promeni intenziteta brzine u jedinici vremena.

Promena brzine ima istu jedinicu kao brzina , pa je na osnovu izraza , jedinica sredweg ubrzawa .

TRENUTNO UBRZAWE

Da bismo mogli govoriti o ubrzawu tela (materijalne ta~ke) u nekom trenutku, potrebno je posmatrati promene brzine u veoma kratkom vremenskom intervalu (koji se mo`e pribli`no poistovetiti sa trenutkom). U tom slu~aju:

Trenutno ubrzawe je grani~ni slu~aj sredweg ubrzawa kada se vremenski interval mo`e svesti na trenutak. Umesto trenutno ubrzawe, ~esto se ka`e samo – ubrzawe.

U slu~aju pravolinijskog kretawa, ubrzawe u svakom trenutku ima pravac kretawa tela. Smer ubrzawa se poklapa sa smerom brzine ako se intenzitet brzine pove}ava, a ubrzawe je suprotnog smera od smera brzine kada se intenzitet brzine smawuje.

Sl. 2.21

NORMALNA (RADIJALNA) I TANGENCIJALNA

KOMPONENTA UBRZAWA

U op{tem slu~aju brzina tela ima pravac tangente u datoj ta~ki putawe, a pravac ubrzawa se poklapa sa pravcem promene brzine. Na slici 2.21 prikazane su brzine materijalne ta~ke u dva trenutka pri nekom kretawu po krivoj putawi. U trenutku t1 materijalna ta~ka je u polo`aju A i ima brzinu , a u trenutku t2 ona je u polo`aju B i ima brzinu .

Da bismo odredili ubrzawe, treba da na|emo promenu brzine. Prene}emo vektor brzine u ta~ku A (mogli smo i ravnopravno vektor brzine preneti u ta~ku B). Nakon toga, nalazimo promenu brzine . U istom pravcu i smeru je i ubrzawe

U op{tem slu~aju, ubrzawe ima dve komponente: jedna je u pravcu tangente na putawu u datoj ta~ki (A), a druga u pravcu normale na tu tangentu u istoj ta~ki.

Kod ravnomernog krivolinijskog kretawa ubrzawe ima pravac normalan na tangentu putawe i usmereno je ka centru krivine putawe. Ovo ubrzawe se zbog svog pravca zove normalno ubrzawe

Pretpostavimo da se materijalna ta~ka kre}e po krivoj putawi brzinom promenqivog intenziteta, {to je prikazano na slici 2.22. Tada pored normalnog ubrzawa postoji i tangencijalno ubrzawe. Tangencijalno ubrzawe mo`e imati isti i suprotan smer u odnosu na smer trenutne brzine: ako su smerovi isti, intenzitet brzine materijalne ta~ke se pove}ava, tj. ona se kre}e ubrzano; ako su smerovi brzine i tangencijalnog ubrzawa suprotni, materijalna ta~ka se usporava.

U op{tem slu~aju ubrzawe ima normalnu i tangencijalnu komponentu:

Normalno ubrzawe odre|uje promenu pravca brzine, a tangencijalno ubrzawe promenu intenziteta brzine.

Intenzitet ubrzawa odre|uje se pomo}u Pitagorine teoreme (sl. 2.22):

Sl.2.22.Odre|ivawe normalnog i tangencijalnogubrzawa

Intenzitet ubrzawa materijalne ta~ke kod krivolinijskog kretawa jednak je kvadratnom korenu iz zbira kvadrata intenziteta normalnog i tangencijalnog ubrzawa. Kada ubrzawe nema tangencijalnu komponentu, kretawe je ravnomerno kru`no. Ako pak ne postoji normalna komponenta, kretawe tela (materijalne ta~ke) je pravolinijsko.

RAVNOMERNO-PROMENQIVO PRAVOLINIJSKO KRETAWE

Kretawe tela kod kojeg se brzina mewa u toku vremena naziva se neravnomerno kretawe. Na primer, kretawe voza ili autobusa mewa se u toku kretawa. Pri polasku brzina se pove}ava, a pri zaustavqawu smawuje, i to se ponavqa od stanice do stanice.

Kretawe tela ~ija se brzina mewa u toku vremena naziva se promenqivo (neravnomerno) kretawe

Uglavnom postoje promenqiva kretawa tela ~ije se brzine mewaju u toku vremena.

Ako je kod promenqivog kretawa putawa prava linija, onda je to promenqivopravolinijsko kretawe.

Najjednostavniji oblik promenqivog kretawa je ravnomerno promenqivo pravolinijsko kretawe. To je kretawe tela po pravoj liniji brzinom koja se ravnomerno mewa u toku vremena (stalno ubrzawe).

Kad se brzina tela ravnomerno uve}ava u toku vremena (uve}ava se za iste vrednosti u jednakim intervalima vremena), takvo kretawe je ravnomerno pravolinijsko ubrzano, a ako se brzina ravnomerno smawuje, to je ravnomerno pravolinijsko usporeno kretawe

Kretawe kuglice niz `leb koso postavqene daske (sl. 2.23) ili slobodno padawe tela, primeri su ravnomerno ubrzanog pravolinijskog kretawa. Primeri jednako usporenog pravolinijskog kretawa su kretawe kuglice uz `leb koso postavqene daske (sl. 2.23) ili kretawe tela ba~enog vertikalno uvis.

Pri ravnomernom promenqivom pravolinijskom kretawu vektor ubrzawa je kolinearan (istog pravca) s vektorom brzine. Promena brzine , mo`e se tada pisati bez vektorskih oznaka, pa je intenzitet ubrzawa: ,

gde je: v – brzina u trenutku t, i v0 – brzina u po~etnom trenutku. Obi~no se uzima da je t0 = 0, jer se vreme meri od trenutka kada je kretawe zapo~eto.

Tada se dobija: v = v0 + at

Ovo je zakon brzine kod ravnomerno-ubrzanog pravolinijskog kretawa.

Sl.2.23.Jednakoubrzanoi jednakousporeno pravolinijskokretawetela

Sl.2.24.Grafikonbrzine ravnomernoubrzanog pravolinijskogkretawa v0 v v v0 v= vat =v0 +at v=v0 at

k t

Sl.2.25.Grafikonbrzine ravnomerno usporenog pravolinijskogkretawa

Izraz v=v0 +at predstavqa zavisnost brzine od vremena pri pravolinijskom kretawu sa stalnim ubrzawem (sl. 2.24). Zavisnost ima linearni karakter, tipa y = kx + b, gde zavisno promenqivoj y odgovara brzina v, koeficijentu k – ubrzawe a, nezavisno promenqivoj x – vreme t i konstanti b –po~etna brzina v0. Grafikon takve funkcije upoznali smo u osnovnoj {koli.

Ako je po~etna brzina jednaka nuli (v0 = 0), tada je v = at

Odgovaraju}i grafikon je prava linija koja polazi iz koordinatnog po~etka. Po{to je kod pravolinijskog ravnomerno ubrzanog kretawa brzina linearna funkcija vremena, wen grafikon je prava linija.

Kod pravolinijskog ravnomerno usporenog kretawa brzina se smawuje (brzina i ubrzawe imaju suprotne smerove), pa ubrzawe ima negativan predznak. Za takvo kretawe je

v = v0 – at,

~iji je grafikon prikazan na slici 2.25. Uop{teno se mo`e napisati:

v = v0 ± at,

gde se znak plus (+) odnosi na ravnomerno ubrzano, a znak minus (–) na ravnomerno usporeno pravolinijsko kretawe. Poznavaju}i po~etnu brzinu v0 i ubrzawe a mo`e da se odredi brzina tela (~estice) u svakom trenutku vremena.

Zavisnost brzine od vremena kod ravnomerno usporenog kretawa je prava linija, ali se brzina stalno smawuje i u tre nu t ku postaje jednaka nuli. To zna~i da se telo u trnutku tk zaustavilo, u slede}em trenutku t vrednost brzine bi}e negativna {to zna~i da se telo kre}e u suprotnom smeru od prvobitnog smera kretawa. Telo ba~eno vertikalno navi{e kre}e se jednako usporeno do odre|ene visine na kojoj se za trenutak zaustavqa i posle toga slobodno pada (zapo~iwe) pravolinijsko jednako ubrzano kretawe, {to je ilustrovano na slici 2.26.

Treba imati na umu da se grafi~ki mogu prikazati samo intenziteti vektorskih veli~ina, na primer, intenzitet brzine i intenzitet ubrzawa u funkciji vremena.

PRE\ENI PUT PRI KRETAWU TELA

SA STALNIM UBRZAWEM

Na osnovu grafikona jedne veli~ine moè se odrediti vrednost druge veli~ine. Na primer, iz grafikona brzine moè se odrediti duìna puta, a na osnovu grafikona puta moè da se odrede brzina (pomo}u koeficijenta pravca linije), promene brzine u toku vremena – ubrzawe tela itd.

Odredi}emo grafi~ki vrednosti puta i odgovaraju}e formule zakona puta za neke karakteristi~ne slu~ajeve: a) ravnomerno pravolinijsko (stalna brzina); b) ravnomerno ubrzano sa po~etnom brzinom i v) ravnomerno usporeno kretawe tela koje se nije zaustavilo.

a) Kada se telo kre}e ravnomerno pravolinijski (v = const), grafikon brzine je prava linija paralelna apscisnoj osi (sl. 2.27). Osen~ena povr{ina na toj slici je v ⋅ t. Taj proizvod brojno je jednak pre|enom putu za vreme t Vidi se da je to povr{ina pravougaonika ~ije su stranice v i t (obojeni deo), tj. da je s = v ⋅ t.

Pre|eni put brojno je jednak povr{ini ispod grafikona zavisnosti brzine od vremena. To va`i za bilo koji drugi oblik kretawa tela (materijalne ta~ke).

b) Kada se telo kre}e ravnomerno ubrzano pravolinijski, put je, tako|e, jednak odgovaraju}oj povr{ini ispod grafikona zavisnosti brzine od vremena (sl. 2.28).

Sl.2.26.Jednakousporenoi jednakoubrzanopravolinijsko kretawe

v v

Sl.2.27.Grafi~koodre|ivawe puta kod ravnomerno pravolinijskogkretawa

Sl.2.28.Grafi~koodre|ivaweputa kodravnomernoubrzanog pravolinijskogkretawa

Sl.2.29.Grafi~koodre|ivaweputa kod ravnomerno usporenog pravolinijskogkretawa

Ali, sada je to povr{ina trapeza, ~ije su osnovice v0 i v, a visina t. Povr{ina tog trapeza jednaka je zbiru povr{ine pravougaonika ~ije su stranice v0 i t i trougla osnovice (v – v0) i visine t. Na osnovu toga, pre|eni put za vreme t iznosi

Ako je v = v0 + at, dobija se :

Zakon puta kod ravnomerno ubrzanog pravolinijskog kretawa:

Proizvod v0t je put koji bi telo pre{lo za vreme t kada ne bi bilo ubrzawa, to jest kada bi se stalno kretalo po~etnom brzinom v0. Ali, kako se brzina pove}ava tokom vremena (jednako ubrzano kretawe; i imaju isti smer), onda }e telo pre}i za isto vreme put koji je od v0t ve}i za

v) Ako se brzina tela smawuje u toku kretawa (ravnomerno usporeno kretawe; suprotnog smera od ), tada je v = v0 – at, a pre|eni put }e za isto vreme biti mawi od v0t za , to jest:

Sa grafikona brzine za ravnomerno usporeno pravolinijsko kre tawe (sl. 2.29) vidi se da je povr{ina trapeza, koja je brojno jednaka pre|enom putu, mawa od povr{ine pravougaonika v0t. Navedena formula predstavqa Zakon puta kod ravnomerno usporenog pravolinijskog kretawa

Objediwavawem zakona puta ravnomerno ubrzanog i ravnomerno usporenog pravolinijskog kretawa dobija se op{ta formula za pre|eni put:

Predznak plus (+) va`i za ubrzano, a predznak minus (–) za usporeno kretawe.

ZAVISNOST BRZINE OD PUTA

U re{avawu odre|enih zadataka ~esto se zahteva da se odredi brzina tela na kraju odre|enog puta (krajwa brzina). Formula koja pokazuje zavisnost brzine od puta za ravnomerno ubrzano kretawe dobija se kombinovawem izraza za brzinu i put:

v = v0 + at i

Iz prvog izraza zamenom u izraz za put, posle odre|enih operacija za ravnomerno ubrzano pravolinijsko kretawe dobija se:

v 2= v02+2as, ili

0 + +

Kada je po~etna brzina jednaka nuli (v0 = 0), zavisnost brzine od puta je:

–sa 2 = .

Za ravnomerno usporeno kretawe, to jest kada ubrzawe ima smer suprotan od po~etne brzine, sledi:

Ova formula va`i samo za vrednosti puta (s) do zaustavqawa tela.

O usporenom kretawu bez po~etne brzine nema smisla govoriti (nema fizi~ki smisao).

KRETAWE MATERIJALNE TA^KE

PO KRU@NOJ PUTAWI

Kru`nokretawetela

Upoznali smo pravolinijsko kretawe sa stalnim ubrzawem kod kojeg se tokom vremena mewao samo intenzitet brzine tela (materijalne ta~ke). Sada }emo razmotriti kretawe pri kojem se mewa pravac brzine, a wen intenzitet ostaje stalan.

Kada smo izu~avali normalno (radijalno) i tangencijalno ubrzawe, ustanovili smo da kru`no kretawe nastaje kada ubrzawe ima samo normalnu (radijalnu) komponentu, a tangencijalna komponenta je jednaka nuli.

Najjednostavniji oblik krivolinijskog kretawa materijalne ta~ke je kru`no kretawe. Za opisivawe tog kretawa koriste se pomeraj, put, brzina i ubrzawe. Kada se brzina i ubrzawe odnose na kru`no kretawe, nazivaju se linijska brzina i linijsko ubrzawe. Osim ovih veli~ina za opisivawa kru`nog kretawa mogu da se koriste i takozvane ugaone veli~ine: ugaoni pomeraj, ugaona brzina, ugaono ubrzawe.

UGAONI POMERAJ I OPISANI UGAO

Polo`aj materijalne ta~ke na kru`nici odre|uje radijus-vektor. To je vektor koji spaja centar kru`ne putawe i datu materijalnu ta~ku (sl. 2.30a). Pri kretawu materijalne ta~ke po kru`noj putawi wen radijus-vektor u toku datog vremena opi{e odre|eni ugao i napravi odgovaraju}i ugaoni pomeraj (Δθ).

Sl. 2.30

Ugaoni pomeraj je ugao izme|u po~etnog i krajweg radijus-vektora materijalne ta~ke.

Na slici 2.30 b) materijalna ta~ka u po~etnom trenutku t0 je u poloàju A, a u nekom drugom trenutku t je u poloàju B. Ugao izme|u radijus-vektora ta~aka A i B je ugaoni pomeraj i jednak je opisanom uglu, obeleèn na slici sa Δθ. Ako materijalna ta~ka A pri kretawu po kru`nici u istom smeru napravi mawe od jednog obrtaja, onda su ugaoni pomeraj i opisani ugao isti; u suprotnom, opisani ugao je ve}i od ugaonog pomeraja.

Ukupni ugao koji opi{e radijus-vektor materijalne ta~ke, nezavisno od toga da li je tokom kretawa po kru`noj putawi ona mewala smer, naziva se opisani ugao

Merna jedinica za opisani ugao i ugaoni pomeraj je radijan (rad).

Jedan radijan je ugao koji na kru`nici zahvata luk ~ija je du`ina jednaka polupre~niku kru`nice.

Proizvoqni ugao, u radijanima, jednak je koli~niku du`ine odgovaraju}eg kru`nog luka i polupre~nika kru`nice:

Pun ugao izra`en u stepenima iznosi 360°. Wegova vrednost u radijanima je:

Veza izme|u puta (luka) koji pre|e materijalna ta~ka na kru`nici i ugla koji pri tome opi{e je:

Put (du`ina kru`nog luka) koji materijalna ta~ka pre|e po kru`nici jednak je proizvodu polupre~nika kru`nice i ugla koji ona opi{e.

UGAONA BRZINA

Pomo}u opisanog ugla definisa}emo sredwu vrednost ugaone brzine i trenutnu ugaonu brzinu, koja se naj~e{}e naziva samo ugaona brzina.

Sredwa vrednost ugaone brzine jednaka je koli~niku ugla i vremena u toku kojeg je taj ugao opisan.

Kada materijalna ta~ka od trenutka t0 do trenutka t opi{e ugao θ (sl. 2.31), onda je wena sredwa vrednost ugaone brzine: rad θ θ Δ Δ

Kada se uzme da je po~etni trenutak t0 = 0, a proteklo vreme t, izraz za sredwu vrednost ugaone brzine mo`e se zapisati u obliku:

U toj formuli vreme t je proizvoqno: od velikog vremenskog intervala do veoma malog vremenskog intervala koji se mo`e svesti na trenutak.

Trenutna ugaona brzina je ugaona brzina u odre|enom (datom) trenutku vremena:

Trenutna ugaona brzina izra‘ava promenu ugaonog pomeraja u vremenu. Jedinica ugaone brzine je radijan u sekundi

VEZA IZME\U BRZINE I UGAONE BRZINE

Polaze}i od definicija ugaone brzine i opisanog ugla, mo`e se odrediti veza izme|u linijske (ili periferijske) i ugaone brzine:

Kako je sledi:

Periferijska (linijska) brzina jednaka je proizvodu polupre~nika kru`nice i ugaone brzine materijalne ta~ke.

Prethodne relacije odnose se na intenzitete navedenih veli~ina.

UGAONO UBRZAWE

Kru`no kretawe materijalne ta~ke mo`e da bude ravnomerno i promenqivo. Kod ravnomerno kru`nog kretawa ugaona brzina ima stalnu vrednost, a kod promenqivo kru`nog kretawa ona se mewa u toku vremena.

Veli~ina kojom se opisuju promene ugaone brzine u jedinici vremena zove se ugaono ubrzawe.

Sredwe ugaono ubrzawe je koli~nik promene ugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg se ta promena desila:

gde su ω1 i ω2 – ugaone brzine u trenucima t 1 i t 2

Trenutno ugaono ubrzawe (ili kratko, ugaono ubrzawe) jeste ugaono ubrzawe u veoma malom vremenskom intervalu (koji se mo`e svesti na trenutak). Mo`e da se zapi{e u obliku:

Jedinica ugaonog ubrzawa je radijan u sekundi na kvadrat

VEZA TANGENCIJALNOG I UGAONOG UBRZAWA

Materijalna ta~ka koja izvodi promenqivo kru`no kretawe mewa intenzitet linijske brzine u toku vremena. To zna~i da ona ima i tangencijalno ubrzawe. Kakva je veza izme|u tangencijalnog i ugaonog ubrzawa? Odgovor se nalazi sli~no kao i pri povezivawu linijske (periferijske) brzine i ugaone brzine:

Tangencijalno ubrzawe materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednako je proizvodu polupre~nika kru`nice i ugaonog ubrzawa.

Prethodne relacije odnose se na intenzitete navedenih veli~ina. t tt rad s2 () ; ; s

Sl.2.32.Ravnomerno kru`no kretawe

(v = const i

ω = const)

RAVNOMERNO KRU@NO KRETAWE

Mo`e se navesti mnogo primera ravnomernog kru`nog kretawa. Kuglica vezana za kanap koji dr`imo u ruci i ravnomerno vrtimo iznad glave, kre}e se ravnomerno po kru`nici. Kretawe vrha kazaqke sata, Meseca oko Zemqe, Zemqe oko Sunca... kretawa su koja se pribli`no mogu posmatrati kao ravnomerno kru`no kretawe.

Ravnomerno kru`no kretawe je kretawe tela (materijalne ta~ke) po kru`nici brzinom stalnog intenziteta (sl. 2.32).

Kod ravnomerno kru`nog kretawa konstantna je i ugaona brzina (ω = const).

Intenzitet brzine materijalne ta~ke pri ravnomernom kru`nom kretawu jednak je koli~niku pre|enog puta (du`ine kru`nog luka) i vremena kretawa:

Odgovaraju}a ugaona brzina jednaka je koli~niku opisanog ugla i proteklog vremena kretawa:

PERIOD I FREKVENCIJA

Ravnomerno kru`no kretawe je tipi~an primer periodi~nog kretawa –ponavqa se na isti na~in u odre|enim vremenskim intervalima. Taj interval vremena naziva se period obrtawa Period je vreme za koje materijalna ta~ka obi|e kru`nicu, to jest napravi jedan obrtaj. Obi~no se obele`ava sa T. Izra`ava se u jedinicama vremena.

U toku perioda T materijalna ta~ka obi|e kru`nicu, to jest za to vreme pre|e put jednak obimu kru`nice. Stoga je pri ravnomerno kru`nom kretawu intenzitet brzine tela:

a period kru`nog kretawa:

gde je: r – polupre~nik kru`nice.

Osim perioda (T), ravnomerno kru`no kretawe karakteri{e veli~ina koja se naziva u~estanost (frekvencija). Obi~no se obele`ava sa f (ili ν). U~estanost je jednaka recipro~noj vrednosti perioda:

Frekvencija pokazuje koliko ima perioda u jedinici vremena, odnosno koliko puta u toku jedne sekunde telo obi|e kru`nicu.

Jedinica frekvencije (u~estanosti) je herc (Hz).

Za vreme jednog perioda materijalna ta~ka opi{e pun ugao pa je wena ugaona brzina:

CENTRIPETALNO (NORMALNO) UBRZAWE

Linijska (periferijska) i ugaona brzina materijalne ta~ke pri ravnomernom kru`nom kretawu imaju konstantne vrednosti, odnosno tangencijalno i ugaono ubrzawe jednako je nuli. Me|utim, neprekidno se mewa pravac brzine, pa postoji normalno ubrzawe materijalne ta~ke

Pokazali smo da normalno ubrzawe ima pravac normale na tangentu na putawi i smer ka centru krivine putawe. Kod kru`nog kretawa normalno ubrzawe materijalne ta~ke usmereno je du` polupre~nika ka centru kruga, pa se zato naziva i radijalno, a ~esto i centripetalno ubrzawe.

Pretpostavimo da se u trenutku tA telo (materijalna ta~ka) nalazi u polo`aju

vA vA

vA vB vB vB vB v

A sa brzinom . U momentu tB telo je dospelo u polo`aj B i ima brzinu (sl. 2.33). Po{to su i slobodni vektori, oni se mogu preme{tati pod uslovom da wihovi intenziteti i pravci ostanu nepromeweni. Pomerawem vektora u ta~ku B, nalazimo razliku izme|u ta dva vektora ().

Vektori i imaju pravac tangente u ta~kama A i B kru`nice pa su zato normalni na odgovaraju}e polupre~nike kru`nice. Stoga je ugao θ izme|u tih polupre~nika jednak uglu izme|u pravaca vektora i . Intenziteti brzina vA i vB su jednaki (brzina kretawa tela je stalnog intenziteta, mewa se samo wen pravac).

vA, vB v

Na osnovu toga, ravnokraki trougao OAB koji grade polupre~nici date kru`nice i odgovaraju}i pomeraj , sli~an je ravnokrakom trouglu koji ~ine i (vA = vB = v, po{to je kretawe ravnomerno, a uglovi izme|u jednakih krakova u oba trougla jednaki). vA vA

vB vA vA

Sl.2.33.Brzinakod ravnomerno kru`nog kretawa mewa pravac i smer v

Sl.2.34.Brzinai ubrzaweravnomerno kru`nog kretawa

Na osnovu sli~nosti trouglova va`i: .

Odavde je intenzitet vektora promene brzine:

Deqewem leve i desne sredine sa Δt nalazi se:

Smawewem intervala vremena Δt, ta~ke A i B su sve bli`e jedna drugoj, intenzitet pomeraja sve mawe se razlikuje od puta (luka) Δs, a sredwe ubrzawe a s = sve je pribli`nije trenutnom ubrzawu a c.

Upisali smo indeks „c”. Mogli smo ravnopravno uzeti indekse „n” i „r” jer se koriste sva tri naziva: centripetalno, normalno i radijalno ubrzawe.

U grani~nom slu~aju intenzitet pomeraja Δr postaje jednak putu Δs, a sredwe ubrzawe postaje jednako trenutnom. Stoga je trenutno ubrzawe:

Kako je kretawe ravnomerno, koli~nik je jednak intenzitetu brzine tela (ta~ke): pa se zamenom u navedenom izrazu dobija:

Dakle, intenzitet ubrzawa pri ravnomerno kru`nom kretawu srazmeran je kvadratu brzine tela (materijalne ta~ke), a obrnuto srazmeran polupre~niku kru`ne putawe.

Intenzitet centripetalnog ubrzawa pri ravnomerno kru`nom kretawu se ne mewa u toku kretawa, ali mu se mewa pravac od ta~ke do ta~ke na putawi, tako da uvek ima pravac polupre~nika, {to se i zapa`a na slici 2.34.

Intenzitet centripetalnog ubrzawa povezan je sa veli~inama: brzinom, periodom i frekvencijom

Ranije smo ustanovili da je v = ωr (veza linijske, periferijske i ugaone brzine). Zamenom u izrazu centripetalnog ubrzawa:

Koordinate polo`aja tela koje se kre}e ravnomerno po kru`nici posle vremena koje odgovara periodu, ponavqaju vrednosti. To se odnosi i na intenzitete i pravce brzine i ubrzawa.

Mnogobrojni su primeri kru`nog kretawa. Ve{ta~ki sateliti oko Zemqe pribli`no se kre}u po kru`noj putawi. Pribli`no se po kru`noj putawi kre}e Mesec oko Zemqe, kao i planete oko Sunca. Kru`no se kre}u i deli}i to~kova oko osovine, deli}i gramofonskog diska, kazaqke ~asovnika itd.

PRIMER

Sl.2.35.Primer kru`nog kretawa planetaokoSunca

Materijalna ta~ka kre}e se u ravni x0y po kru`noj putawi polupre~nika 15 cm. Pri tome obi|e kru`nicu 2,5 puta za 4 s. Odredite put, sredwu vrednost brzine i intenzitet pomeraja. Materijalna ta~ka po~iwe kretawe iz polo`aja 1.

RE[EWE: Pri jednom obrtaju materijalna ta~ka pre|e put jednak obimu kruga, a nakon 2,5 obrtaja pre|eni put je:

Sredwa vrednost brzine:

s =2,5·2πr =2,355m. 2,355m4s0,589m ss 30cm.

Intenzitet pomeraja materijalne ta~ke nakon 2,5 obrtaja (polo`aj 2) jednak je:

TRANSLACIONO I ROTACIONO KRETAWE

Prilikom prou~avawa mehani~kog kretawa tela nismo obra}ali pa`wu na dimenzije i oblik tela. Ustanovili smo da se telo moè poistovetiti sa materijalnom ta~kom kada wegove dimenzije mogu da se zanemare u odnosu na duìnu puta koju prelazi. Na primer, Zemqa na pribli`no kru`noj putawi (pre~nika oko 300 ⋅ 106 km) oko Sunca moè da se poistoveti sa materijalnom ta~kom po{to se wen pre~nik moè zanemariti u odnosu na pre~nik wene putawe.

Postoje i drugi slu~ajevi kada se telo mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom. To se mo`e u~initi kada svi deli}i (~estice) tela vr{e istovetno kretawe: kre}u se paralelnim putawama, imaju jednake brzine i ubrzawa. Takvo kretawe se naziva translaciono kretawe (sl. 2.36).

Sl.2.36.Translacionokretawe

Translaciono se kre}u, na primer, liftovi, vozovi, automobili, brodovi... na pravolinijskom putu. Pri translatornom kretawu, linije za koje se vezuju kretawa pojedinih ~estica tela ne mewaju me|usobne polo`aje, uvek ostaju me|usobno paralelne. Ako postoji kretawe ijedne ~estice tela koja ne ispuwava taj uslov, kretawe nije translatorno.

Kretawe u toku kojega se svi delovi (~estice) tela kre}u po me|usobno paralelnim linijama i imaju jednake brzine i ubrzawa, naziva se translaciono kretawe.

Po{to se pri translacionom kretawu sve ta~ke tela kre}u na istovetan na~in, dovoqno je poznavati kretawe bilo koje ta~ke da bi se dobila potpuna slika kretawa ostalih ta~aka tela. To daje za pravo da se kretawe tela kao celine zameni kretawem bilo koje wegove ~estice (deli}a), {to se pokazuje veoma pogodnim.

Pri translacionom kretawu nije potrebno pratiti kretawe svih ~estica (deli}a) tela. Dovoqno je uzeti samo jedan deli} (materijalnu ta~ku) tela koji }e reprezentovati kretawe tela kao celine.

Drugi osnovni oblik mehani~kog kretawa tela je rotaciono kretawe.

ROTACIONO KRETAWE TELA OKO NEPOKRETNE OSE

Kretawe kazaqki ~asovnika, propelera, raznih to~kova, gramofonskih plo~a (sl. 2.37) predstavqa rotaciono kretawe.

Kretawe pri kome se ~estice (deli}i) tela kre}u po koncentri~nim kru`nicama, koje se nalaze u me|usobno paralelnim ravnima, a centri tih kru`nica le`e na osi rotacije, naziva se rotaciono kretawe.

Najjednostavniji oblik rotacionog kretawa je rotacija tela oko nepokretne, fiksirane ose. Razmatrawe rotacionog kretawa ograni~i}emo na kruto telo i wegovu rotaciju oko nepokretne (fiksirane) ose.

Telo koje pri kretawu ne mewa oblik, odnosno ~iji svi deli}i u toku kretawa ostaju u istim me|usobnim polo`ajima, naziva se kruto telo.

Rotaciono kretawe ne mo`e da se opisuje veli~inama koje karakteri{u translatorno kretawe (put, brzina, ubrzawe). Zato je neophodno uvesti nove veli~ine.

Kada telo rotira oko utvr|ene ose, razne ta~ke tog tela za isto vreme prelaze razli~ite puteve. Deli}i (ta~ke) najudaqeniji od ose rotacije prelaze najdu`i put, dok je put ta~aka (deli}a) na osi jednak nuli (sl. 2.38). To se odnosi i na pomeraje raznih ta~aka tela. Me|utim, sve ta~ke tela za isto vreme opisuju iste uglove i sve imaju jednake ugaone pomeraje Zato ove veli~ine karakteri{u rotaciju celog tela.

Sl. 2.38. Kada telo rotira oko nepokretne ose,razneta~ke(deli}i)

tog tela za isto vreme prelaze razli~ite puteve,aopisuju jednakeuglove

Po{to razne ta~ke tela za isto vreme prelaze razli~ite puteve, one imaju razli~ite linijske brzine. Ali sve ta~ke tela za isto vreme opisuju jednake uglove i zato imaju iste ugaone brzine.

rotacionog kretawa

Sl.2.37.Primeri

Ugaona brzina je, dakle, veli~ina kojom se mo`e opisivati rotaciono kretawe tela kao celine. Za sve ta~ke rotacionog tela iste su i promene ugaone brzine za isto vreme, odnosno sve ta~ke (deli}i) tela imaju jednako ugaono ubrzawe. Prema tome, promenqivo rotaciono kretawe tela opisuje se i ugaonim ubrzawem.

Prilikom prou~avawa kru`nog kretawa materijalne ta~ke upoznali smo definicije ugaonog pomeraja, ugaone brzine i ugaonog ubrzawa. Sada }emo potpunije upoznati ove veli~ine, koje se koriste i za opisivawe rotacionog kretawa tela.

UGAONI POMERAJ I OPISANI UGAO

Kada telo rotira oko fiksirane ose, svaki deli} (ta~ka) tela kre}e se po kru`nici ~iji je centar na osi rotacije. Polo`aj ta~ke A mo`e da se odredi pomo}u radijus-vektora koji spaja centar kru`ne putawe sa ta~kom A (sl. 2.39a). Opisani ugao defini{e se u odnosu na neki stalan pravac, na primer, u odnosu na x-osu (sl. 2.39b).

Sl. 2.39

Neka je u trenutku t1 data ta~ka u polo`aju A, a u trenutku t2 u polo`aju A’. Tada je wen radijus-vektor, u vremenskom intervalu Δt = t2 – t1, napravio ugaoni pomeraj Δθ.

Ugaoni pomeraj je ugao izme|u po~etnog i krajweg radijus-vektora proizvoqne ta~ke (deli}a) tela.

Ukupni ugao koji opi{e radijus-vektor proizvoqne ta~ke tela nezavisno od toga da li se tokom kretawa mewa smer rotacije jeste opisani ugao. Sli~no tome, pre|eni put kod translacionog kretawa je ukupna du`ina putawe, bez obzira na to da li je telo mewalo smer kretawa u toku vremena.

VEKTORSKA PRIRODA UGAONOG POMERAJA

Ugaoni pomeraj je vektorska veli~ina, kao {to je vektorska veli~ina i pomeraj pri translacionom kretawu. Puna definicija ugaonog pomeraja za rotaciju tela oko nepokretne ose sadr`i: – intenzitet jednak uglu (u radijanima) izme|u po~etnog i krajweg radijus- vektora proizvoqne ta~ke tela; – pravac ose rotacije; – smer odre|en pravilom desne ruke.

Sl. 2.40

Pravilo desne ruke glasi: ako se prsti desne ruke postave tako da obuhvataju osu rotacije, a da se smer savijenih prstiju poklapa sa smerom rotacije tela, onda ispru`eni palac pokazuje smer ugaonog pomeraja (sl. 2.40a). Smer ugaonog pomeraja mo`e da se odredi i pravilom desnog zavrtwa: ugaoni pomeraj ima smer u kojem bi napredovao desni zavrtaw kada bi se obrtao u smeru rotacije tela (sl. 2.40b).

UGAONA BRZINA

Pri razmatrawu kretawa materijalne ta~ke po kru`noj putawi definisali smo sredwu vrednost ugaone brzine i trenutnu ugaonu brzinu, pri ~emu smo uzeli u obzir samo intenzitet ugaone brzine kadaSada }emo je definisati kao vektorsku veli~inu:

Iz definicije sledi da ugaona brzina ima isti pravac i smer kao ugaoni pomeraj. Po{to ugaona brzina ima stalan pravac (pravac nepokretne ose rotacije), ona se opravdano mo`e izraziti preko wenog intenziteta, tj. skalarno:

Jedinica ugaone brzine je radijan u sekundi

UGAONO UBRZAWE

Kod promenqivog kru`nog kretawa materijalne ta~ke ugaono ubrzawe smo definisali skalarno. To se odnosi i na sredwe i trenutno ugaono ubrzawe. Ovom prilikom, za opisivawe promenqivog rotacionog kretawa uze}emo u obzir wegovu vektorsku prirodu.

Sredwe ugaono ubrzawe je koli~nik promene ugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg se ta promena desila.

Dakle:

gde su: i – ugaone brzine u trenucima t1 i t2.

Trenutno ugaono ubrzawe (ili samo: ugaono ubrzawe):

Iz definicije sledi da ugaono ubrzawe ima isti pravac kao i promena ugaone brzine, odnosno pravac ose rotacije. Ako je smer ugaonog ubrzawa isti kao i smer ugaone brzine, telo rotira ubrzano. U slu~aju da je ugaono ubrzawe suprotnog smera od ugaone brzine, rotacija tela je usporena. Intenzitet ugaonog (trenutnog) ubrzawa je:

Kada se pretpostavi da je t1 = 0 i ω1 = 0 i iskqu~i indeks 2, dobija se izraz za intenzitet ugaonog ubrzawa:

Jedinica ugaonog ubrzawa je radijan u sekundi na kvadrat .

rad s2

ANALOGIJA TRANSLACIONOG I ROTACIONOG KRETAWA

Upoznali smo veli~ine kojima se opisuje rotaciono kretawe tela. Nije te{ko uo~iti wihovu analogiju sa veli~inama koje karakteri{u translaciono kretawe. Sve ta~ke tela pri translacionom kretawu prelaze jednake puteve i imaju iste pomeraje; sve ta~ke tela koje rotira za isto vreme opisuju jednake uglove i imaju iste ugaone pomeraje. Stoga se mo`e smatrati da su, u odre|enom smislu, opisani ugao i ugaoni pomeraj kod rotacionog kretawa veli~ine analogne pre|enom putu i pomeraju kod translacionog kretawa.

Ugaona brzina rotacionog kretawa odre|ena je preko ugaonog pomeraja na analogan na~in kao {to se brzina translacionog kretawa defini{e preko pomeraja tela. Prema tome, ugaona brzina rotacionog kretawa je analogna brzini translacionog kretawa. Iz analogije brzine rotacionog i brzine translacionog kretawa proisti~e i analogija odgovaraju}ih ubrzawa.

Tabela 2

KINEMATIKA

TRANSLACIONO KRETAWE ROTACIONO KRETAWE put (s) opisani ugao (θ) pomeraj () ugaoni pomeraj ()

ugaono ubrzawe ubrzawe brzinaugaona brzina

U navedenoj tabeli dat je pregled analognih veli~ina za opisivawe translacionog i rotacionog kretawa.

Ustanovili smo analogiju izme|u veli~ina koje opisuju translaciono kretawe i veli~ina koje karakteri{u rotaciono kretawe tela oko nepokretne ose. U tom smislu mo`e da se napravi i analogija izme|u odgovaraju}ih zakona kretawa.

TRANSLACIONO KRETAWE

Ravnomerno pravolinijsko kre ta we (v = const). Put: s = vt.

Ravnomerno ubrzano pravolinijsko kretawe (a = const).

Brzina:

v=v0+ at,

ROTACIONO KRETAWE OKO NEPOKRETNE OSE

Ravnomerno rotaciono kre ta we (ω = const). Opisani ugao:

θ = ωt.

Ravnomerno ubrzano rotaciono kretawe (α =const).

Ugaona brzina:

ω = ω0+ αt,

put: , brzina na kraju pre|enog puta (s): opisani ugao: , ugaona brzina nakon {to se opi{e ugao θ:

Za jednako usporeno kretawe u oba slu~aja ostaju iste formule, samo {to se umesto znaka plus (+) stavqa znak minus (–).

REZIME

Osnovni pojmovi i veli~ine u kinematici su: materijalna ta~ka, sistem referencije, put, pomeraj, brzina i ubrzawe. Na osnovu tih pojmova i veli~ina opisuju se razne vrste mehani~kog kretawa.

• Telo, ~ije dimenzije i oblik, a time i wegova struktura mogu da budu zanemareni u datim uslovima kretawa, naziva se materijalna ta~ka.

• Bez prethodnog izbora referentnog sistema (sistema referencije) nije mogu}e pratiti i opisati kretawe tela (materijalne ta~ke).

Sistem referencije ukqu~uje slede}e elemente: referentno telo, koordinatni sistem (Dekartov pravougli koordinatni sistem), povezan sa referentnim telom, po~etak ra~unawa vremena, po~etni polo`aj tela (po~etne koordinate polo`aja).

Izbor sistema referencije je proizvoqan, ali ga treba izabrati tako da opisivawe kretawa tela bude najjednostavnije pri datim uslovima. Na primer, kretawe pe{aka, automobila, aviona i drugih transportnih objekata pogodno je opisivati i izu~avati u sistemu referencije koji se vezuje za Zemqu a ne za Sunce ili neka druga nebeska tela, ali kretawe planeta i Zemqe u tom smislu treba izu~avati i opisivati u sistemu referencije, vezanom za Sunce.

O kretawu tela ima smisla govoriti samo u odnosu na odre|eni sistem referencije. Izvan sistema referencije svako kretawe tela (~estice) gubi fizi~ki smisao. Na primer, ako ka`emo da se ~ovek kre}e, {ta to zna~i? To kretawe je potpuno neodre|eno. Da bismo mogli da to kretawe opi{emo, potrebno je prethodno odrediti sistem referencije.

Neka, na primer, putnik sedi u vagonu voza, koji se kre}e ravnomerno pravolinijski. Da li je u tom slu~aju zaista putnik u stawu mirovawa ili je u stawu kretawa? On se nalazi u stawu mirovawa u odnosu na vagon (u odnosu na wegove prozore, zidove, pod), ali se ravnomerno pravolinijski kre}e u odnosu na stanicu (posmatra~a sa stanice). U datom slu~aju za jedno isto telo (~oveka) ka`emo da se nalazi u stawu mirovawa i da se kre}e ravnomerno pravolinijski. Oba tvr|ewa su ispravna u odgovaraju}im sistemima referencije.

• Putawa (trajektorija) je linija koju telo (materijalna ta~ka) opisuje tokom kretawa, odnosno skup uzastopnih polo`aja kroz koje telo (materijalna ta~ka) pro|e u toku kretawa. Prema obliku putawe kretawa tela (materijalne ta~ke) mogu da budu pravolinijska i krivolinijska. Putawa istog tela (materijalne ta~ke) zavisi od izbora sistema referencije. Na primer, telo je ispu{teno iz voza ili aviona: za posmatra~a iz voza (aviona) telo slobodno pada na Zemqu i ima pravolinijsku putawu, a za posmatra~a sa Zemqe to je krivolinijska putawa.

Prema tome, putawa tela (materijalne ta~ke) je relativan pojam. Putawa istog tela (materijalne ta~ke) ima razli~ite oblike u raznim sistemima referencije. Dakle, pojam putawa (trajektorija), kao i brzina tela, ima fizi~ki smisao samo u odnosu na odre|en (izabran) sistem referencije.

• Pojmovi put i pomeraj principijelno se razlikuju. Put je skalarna, a pomeraj vektorska veli~ina. Put je uvek pozitivna veli~ina, a pomeraj mo`e da ima pozitivne i negativne vrednosti. Putevi izme|u dve ta~ke mogu da budu razli~iti, ali pomeraj pri tom ostaje jedan te isti. U slu~aju da se telo (materijalna ta~ka) kretalo po zatvorenom putu i vratilo u po~etni polo`aj, onda je pomeraj jednak nuli, dok put odgovara obimu putawe.

• Brzina tela. Jedna od osnovnih karakteristika kretawa tela (~estice) jeste brzina. Ona se kod ravnomerno pravolinijskog kretawa odre|uje odnosom pre|enog puta i vremena za koje se vr{i kretawe:

Intenzitet (vrednost) brzine odre|en je odnosom pre|enog puta i vremena. Pravac brzine poklapa se sa pravcem putawe (prave linije) po kojoj se telo kre}e. Pri tome se uvek ka`e da se telo kre}e od jednog ka drugom mestu (ta~ki) po datoj pravoj putawi; time je definisan i smer brzine.

Prethodna formula za brzinu ne mo`e da se primeni na slo`enije oblike kretawa tela. To se isto odnosi i na izraz dat u obliku:

Ova formula odre|uje, tako|e, intenzitet brzine: nedostaju pravac i smer. Put i vreme su skalarne veli~ine i operacije sa wima ne mogu da daju vektorsku veli~inu, a znamo da je brzina vektorska veli~ina.

Pojam brzina dobija potpuniji smisao kada se izrazi preko pomeraja:

gde je: – pomeraj, Δt – interval vremena kretawa tela (materijalne ta~ke).

Vektorski karakter brzine ovde neposredno proisti~e iz vektorske prirode pomeraja. Intenzitet brzine se defini{e odnosom intenziteta pomeraja i vremena u toku kojeg telo (materijalna ta~ka) vr{i kretawe. Pravac i smer brzine poklapaju se s pravcem i smerom pomeraja.

U realnim uslovima tela se obi~no kre}u promenqivom brzinom i po putevima razli~itog oblika (okuke, uzbrdica, padovi). Prevozna sredstva pri polasku kre}u se ubrzano, a pri zaustavqawu, usporeno.

Za opisivawe i kvantitativno prikazivawe promenqivog kretawa uvode se veli~ine: sredwa vrednost brzine, trenutna brzina i ubrzawe.

• Sredwa vrednost brzine tela jednaka je koli~niku pre|enog puta i intervala vremena za koji se taj put prelazi:

Sredwa vrednost brzine je skalarna veli~ina, jer se defini{e odnosom dve skalarne veli~ine (put i vreme). Dakle, sredwu vrednost brzine karakteri{e samo intenzitet (vrednost); o wenom pravcu i smeru nema smisla govoriti.

Kod ravnomerno promenqivog pravolinijskog kretawa sredwa vrednost brzine se mo‘e odrediti kao aritmeti~ka sredina po~etne i krajwe brzine (linearna zavisnost brzine od vremena):

gde se znak plus (+) odnosi na ubrzano, a znak minus (–) na usporeno kretawe.

• Trenutna brzina je brzina tela u datom trenutku.

Trenutna brzina karakteri{e kretawe u datoj ta~ki putawe. Na primer, brzinometar automobila pokazuje intenzitet trenutne brzine, koji se u toku vremena mewa (igla brzinometra se pomera na ve}e ili mawe vrednosti).

Trenutna brzina karakteri{e kretawe u jednom (datom) trenutku u datoj ta~ki putawe.

Trenutna brzina je vektorska veli~ina ~iji se pravac poklapa sa pravcem tangente u datoj ta~ki putawe, a smer sa smerom kretawa tela. Zato i kod ravnomernog kretawa po krivoj liniji i kada je intenzitet brzine konstantan, postoji ubrzawe koje odre|uje promene pravca i smera brzine tela. Jedino kod ravnomernog pravolinijskog kretawa trenutna brzina ne mewa ni intenzitet ni pravac ni smer. U tom slu~aju se govori samo o brzini tela (materijalne ta~ke).

• Ubrzawe tela je fizi~ka veli~ina koja odre|uje promenu brzine tela u toku vremena. Ta promena se odnosi na intenzitet, pravac i smer brzine:

Odnos promene brzine i intervala vremena u toku kojeg se ta promena desila naziva se sredwe ubrzawe.

Dakle, sredwe ubrzawe je vektorska veli~ina ~iji se pravac i smer poklapaju s pravcem i smerom vektora promene brzine.

Ako je interval vremena veoma mali, tako da se mo`e svesti na trenutak, onda sredwe ubrzawe „prelazi” u trenutno ubrzawe ili samo ubrzawe tela (materijalne ta~ke) u datoj ta~ki putawe.

Pri ravnomerno ubrzanom pravolinijskom kretawu ubrzawe ima isti pravac kao i brzina tela, pa se mo`e napisati:

gde je: v – intenzitet brzine u trenutku t, a v0 – brzine u po~etnom trenutku za koji se obi~no uzima da je jednak nuli (t0 = 0). Tada se dobija:

v = v0 + at.

Ovaj izraz predstavqa zavisnost intenziteta brzine od vremena kod pravolinijskog kretawa sa stalnim ubrzawem.

Ako je po~etna brzina jednaka nuli (v0 = 0), onda je:

v = at. ––

Kod ravnomerno usporenog pravolinijskog kretawa brzina se smawuje, pa je ubrzawe (usporewe) sa negativnim predznakom. Intenzitet brzine je u tom slu~aju odre|en izrazom:

v = v0 – at

• Pre|eni put. Na osnovu izraza za sredwu vrednost brzine:

dobija se formula za put kod ravnomerno promenqivog pravolinijskog kretawa:

U re{avawu odre|enih zadataka ~esto se zahteva da se odredi brzina tela na kraju pre|enog puta (krajwa brzina). Izraz koji povezuje zavisnost vrednosti brzine od puta za odre|enu po~etnu brzinu (v0) i stalno ubrzawe (a) ima oblik:

Znak plus (+) je za ubrzana, a znak minus (–) za usporena kretawa. Kada je po~etna brzina jednaka nuli (v0 = 0), tada je:

Grafi~ko prikazivawe mehani~kog kretawa, odnosno veli~ina koje karakteri{u to kretawe je izuzetno zna~ajno. Grafi~ke prikaze mogu da „~itaju” i oni koji ne poznaju jezik na kojem je kwiga napisana.

Treba ista}i da se grafici mogu konstruisati samo za skalarne veli~ine. Mogu se, dakle, prikazati samo intenziteti brzine i ubrzawa u funkciji vremena.

Na osnovu grafikona puta mo`e da se odredi brzina (pomo}u koeficijenta pravca krive – prave), promena brzine u toku vremena (ubrzawe), a na osnovu tih podataka i du`ina pre|enog puta.

Kretawe tela (materijalne ta~ke) po kru`noj putawi ne opisuje se samo pomo}u linearnih veli~ina (puta, luka) i brzine, ve} se koriste ugao obrtawa (θ), polupre~nik kru`nice (r) i ugaona brzina (ω). Veza izme|u intenziteta linearne i ugaone brzine izra`ena je formulom:

v = ωr.

Intenzitet centripetalnog ubrzawa definisan je izrazom: s s s

PITAWA I ZADACI

1. Pod kojim uslovima se realno telo mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom? Navedite primere.

2. Kada se fudbalska lopta mo`e smatrati materijalnom ta~kom, a kad ne mo`e?

3. [ta je referentni sistem i koje osnovne elemente sadr`i?

4. Postoji li razlika izme|u koordinatnog sistema u matematici i referentnog sistema u fizici?

5. [ta je radijus-vektor i {ta on odre|uje?

6. ^emu je jednak intenzitet radijus-vektora: a) u ravni; b) u prostoru?

7*. Da li od izbora referentnog sistema zavisi: a) oblik putawe; b) put; v) brzina; g) ubrzawe; d) pomeraj? Navedite primere.

8. Koje su osnovne kinemati~ke veli~ine?

9. Koja je razlika izme|u puta i pomeraja?

10. Postoji li razlika izme|u puta i putawe?

11. Kako se dele mehani~ka kretawa?

12. Mo`e li brzina krivolinijskog kretawa tela biti nepromewena, stalna?

13. Da li je brzina tela skalarna ili vektorska veli~ina?

14. [ta je sredwa vrednost brzine? Da li je ona skalarna ili vektorska veli~ina?

15. Kako se defini{e trenutna brzina?

16. Mewa li se trenutna brzina kod ravnomerno pravolinijskog kretawa?

17*. Mo`e li trenutna brzina kod krivolinijskog kretawa biti nepromewena?

18. Da li je sredwe ubrzawe skalarna ili vektorska veli~ina?

19. Kako glasi klasi~an zakon sabirawa brzina?

20. Navedite osnovne zakone ravnomerno pravolinijskog i ravnomerno promenqivog pravolinijskog kretawa.

21*. Koje veli~ine mogu da se odrede na osnovu grafikona puta?

22*. Na koja dva na~ina mo`e da se odredi pre|eni put kod ravnomerno pravolinijskog i ravnomerno promenqivog pravolinijskog kretawa?

23*. Da li je kod kru`nog kretawa centripetalno (normalno) ubrzawe uvek usmereno ka centru kru`nice?

24. Kada se telo ravnomerno kre}e, da li je uvek i wegovo ubrzawe jednako nuli?

25. Da li se kod ravnomernog kru`nog kretawa mewa brzina tela?

26. Mewa li se radijalno ubrzawe kod ravnomerno kru`nog kretawa?

27. Kako je intenzitet brzine kod ravnomerno kru`nog kretawa povezan s periodom i frekvencijom?

28. Kako se mewa tangencijalno ubrzawe kod ravnomerno kru`nog kretawa?

29. Kojom formulom su povezani centripetalno ubrzawe, brzina i polupre~nik kru`nice?

30. Napi{ite analogne formule za translaciono i rotaciono kretawe, odnosno izraze za odgovaraju}e veli~ine koje opisuju ova dva oblika mehani~kog kretawa.

?

PRIMER

Voz je pre{ao prvu polovinu puta brzinom 106 , a drugu brzinom 36 Kolika je sredwa vrednost brzine voza na celom putu?

RE[EWE: Vreme za koje voz pre|e prvu polovinu puta je: , a drugu polovinu za

Na osnovu toga sredwa vrednost brzine iznosi:

h km h s ++ km h

PRIMER

Telo se kre}e ubrzawem 0,5 i za 20 s pre|e put 200 m. Kolika je brzina tela na po~etku, a kolika na kraju tog puta?

RE[EWE: Iz zakona puta jednako ubrzanog pravolinijskog kretawa:

dobija se: , a brzina na kraju puta:

PRIMER

Po~etna brzina tela koje se kre}e jednako usporeno je 20 , a ubrzawe (usporewe) je 4 . Koliki put pre|e telo do zaustavqawa?

RE[EWE: Put se dobija iz izraza v 2 = v0 2 – 2as. Kada se telo zaustavi, tada je v = 0, pa je

PRIMER

Na osnovu datog grafikona zavisnosti ubrzawa od vremena, nacrtati grafikon zavisnosti brzine od vremena. Po~etna brzina tela je v0 = 1 i istog je smera kao po~etno ubrzawe.

RE[EWE:

Kako je po~etna brzina istog smera kao i po~etno ubrzawe, ona je na grafikonu . U toku prve sekunde ubrzawe , pa je u trenutku t1 = 1 s, brzina intenziteta

Tokom naredne dve sekunde ubrzawe je jednako nuli, pa se brzina ne mewa. Od tre}e sekunde ubrzawe je negativno, odnosno ima suprotan smer od smera brzine, pa se brzina smawuje i posle toga 2 s, odnosno 5s od po~etka kretawa jednaka je nuli.

PRIMER

Materijalna ta~ka se kre}e ravnomerno po kru`noj putawi polupre~nika 2 m brzinom 4 . Koliko je normalno ubrzawe?

RE[EWE: Normalno ubrzawe i brzina povezani su formulom:

PRIMER

Materijalna ta~ka kre}e se ravnomerno po kru`nici polupre~nika 50 cm. Period rotacije je 4 s. Koliki je intenzitet brzine materijalne ta~ke?

RE[EWE:

PRIMER

Kolika je ugaona brzina: a) sekundne kazaqke sata; b) minutne kazaqke sata?

RE[EWE: Sekundna kazaqka opi{e krug za 60 s, pa je wen period T s = 60 s, a minutna za T m = 1 h = 3 600 s, pa je:

PRIMER

a minutne kazaqke:

v=v0 – gt.

Telo je ba~eno vertikalno navi{e i vratilo se na Zemqu posle 8 s. Odredite brzinu posle 2 s od po~etka kretawa, brzinu kojom pada na Zemqu i ukupno pre|eni put.

RE[EWE: Prvo }emo na}i po~etnu brzinu tela. Kako je ukupno kretawe trajalo 8 s, sledi da je ono do najve}e visine stiglo za 4 s. Znamo da je brzina kod jednako usporenog kretawa:

U polo`aju najve}e visine v = 0, pa je v0 = gt = 9,81 ⋅ 4 s,

v0 = 39,24.

Ovu vrednost po~etne brzine telo ima i u trenutku pada na Zemqu. Brzina tela u trenutku t = 2 s je:

v=v0 – gt= 19,62.

Ukupno pre|eni put za 8 s je H = 2 h = 2 · 78,48 m = 156,96 m. m s 0,785

Drugi deo kretawa tela je slobodni pad; vreme traje, tako|e, 4 s, pa pre|eni put, odnosno visina sa koje je telo palo:

h=gt2 = 78,48m.

0,105 rad s s s m m rad s 1,74·10 ==–3 m m m 1 s2 s s 2

3. DINAMIKA TRANSLACIONOG KRETAWA

Upoznali smo veli~ine kojima se opisuje mehani~ko kretawe tela (materijalne ta~ke) u odre|enom referentnom sistemu. Prou~ili smo i zakone pravolinijskog, kru`nog i rotacionog kretawa. Ali pri tome nismo se bavili pitawima kao {to su: kada se telo (materijalna ta~ka) nalazi u stawu mirovawa, za{to se neka tela kre}u ravnomerno pravolinijski (stalna brzina), a druga ravnomerno promenqivo pravolinijski (ubrzawe konstantno), {ta uzrokuje kru`no i rotaciono kretawe tela, kada tela mewaju oblik i dimenzije... Na ovakva i sli~na pitawa odgovore daje deo mehanike koji se naziva dinamika. Uvo|ewe osnovnih veli~ina dinamike mase, impulsa i sile, wihovo povezivawe sa kinemati~kim veli~inama (put, pomeraj, brzina i ubrzawe) omogu}ava potpunije opisivawe mehani~kog kretawa tela. Dok se u kinematici kretawa tela samo opisuju, u dinamici se opisuju i obja{wavaju. Dinamika translacionog kretawa zasniva se na tri osnovna zakona koje je ustanovio engleski fizi~ar Isak Wutn. Ovi zakoni su kasnije nazvani Wutnovi zakoni, odnosno Zakoni klasi~ne mehanike.

ISAK WUTN, najistaknutiji fizi~ar, matemati~ar i astronom svoga doba. Formulisao je tri osnovna zakona, to su poznati Wutnovi zakoni klasi~ne mehanike.

Izuzetno mesto u Wutnovom nau~nom opusu zauzima wegov Zakon op{te gravitacije. Na osnovu tog zakona Wutn je opisao i objasnio kretawe nebeskih tela, wihovih satelita i kometa i time potvrdio Kopernikovo shvatawe i Keplerove zakone. Tako je Wutn postao tvorac mehanike neba. Dao je veliki doprinos i u prou~avawima svetlosnih pojava.

Wutnovi matemati~ki radovi su naro~ito zna~ajni jer su dovedeni u vezu sa re{avawem problema u fizici. (On je uveo diferencijalni i integralni ra~un, koji ~ine osnovu vi{e matematike.)

Wutn je bio neobi~an ~ovek. Sam sebi dovoqan. Bio je izuzetno strpqiv i uporan. Kada je radio, zaboravqao je na san i hranu, za wega je bilo prirodno utro{iti 20 godina na ostvarivawe jedne ideje.

Pri~a se da se Wutn samo jednom zaqubio, i to kao sredwo{kolac. Tada je bio na pragu ènidbe, ali je izbegao bra~nu vezu i do kraja ìvota ostao usamqen. Kao da je sledio tezu (kao i na{ Nikola Tesla) da ~ovek u ìvotu ne moè da ima vi{e od jedne qubavi.

Na Wutnovom nadgrobnom spomeniku pi{e:

Qudi sebi ~estitaju

[to je postojao takav

I toliki ukras qudskog roda...

U ~ast velikog Wutna uvedena je jedinica za silu (wutn) I u tome ima simbolike.

Isaac Newton (1642–1727)

Faksimilnaslovnestrane Wutnovogepohalnogdela Matemati~kiprincipi filozofijeprirode

Sl.3.1.Dvekuglenale}u jednanadrugu

Sl.3.2.Delovawe Zemqinegravitacije

Sl.3.4.Uzajamno delovawe naelektrisanih tela

UZAJAMNO DELOVAWE (INTERAKCIJA) TELA. SILA

Uzajamna delovawa tela mogu da budu veoma razli~ita. Neka od wih upoznali smo u osnovnoj {koli (gravitaciono, elektri~no i magnetno delovawe). Sada }emo ta saznawa pro{iriti i upotpuniti. Prvo }emo razmatrati ona uzajamna delovawa koja uzrokuju i uslovqavaju pojavu i promenu mehani~kog kretawa tela.

Jedan od oblika uzajamnog delovawa ostvaruje se neposrednim kontaktom tela. To se mo`e ilustrovati raznim primerima. @elezni~ki vagoni po~iwu kretawe kada ih lokomotiva povu~e. Fudbalska lopta mewa stawe mirovawa ili kretawa pri „susretu” sa fudbalerom. Ovakav slu~aj neposrednog kontakta naziva se sudar tela. Tipi~an primer sudara je kada dve kugle nale}u jedna na drugu (sl. 3.1). Pri wihovom sudaru mewa se brzina kretawa oba tela.

Tela mogu uzajamno da deluju iako nisu u neposrednom kontaktu. Op{te je poznato da Zemqa privla~i tela koja se nalaze iznad wene povr{ine (sl. 3.2).

Na slici je prikazan magnet koji privla~i gvozdenu kuglu ili gvozdene predmete (sl. 3.3). Delovawe magneta mewa brzinu kugle.

Sl.3.3.Delovawemagnetanagvozdenukuglu

Kod naelektrisanih tela uzajamno delovawe mo`e da bude privla~no i odbojno (sl. 3.4). Dve pozitivno naelektrisane kuglice me|usobno se odbijaju, kao i dve negativno naelektrisane. Ako su raznoimeno naelektrisane, one se privla~e.

Ako je jedna kuglica pozitivno naelektrisana, a druga negativno, one se privla~e. Uzajamno delovawe naelektrisanih tela, tako|e, uslovqava promenu wihovog stawa relativnog mirovawa ili kretawa. Promena stawa kretawa tela uzrokovana je delovawem drugih tela.

Uzajamno delovawe koje uzrokuje promenu stawa kretawa tela (promenu wegove brzine) naziva se dinami~ko uzajamno delovawe.

Uzajamno delovawe koje izaziva samo deformaciju tela (promenu wegovog oblika i zapremine) jeste stati~ko uzajamno delovawe.

Tipi~an primer stati~kog uzajamnog delovawa tela prikazan je na slici 3.5. U slu~aju a) opruga je bez tegova i nije deformisana. U primerima pod b) opruga je optere}ena tegovima (sa jednim, odnosno dva tega) i usled toga je deformisana, zavisno od broja tegova.

SILA

Uzajamna delovawa tela razli~ito se ispoqavaju. Metalnu oprugu vi{e }e izdu`iti gvozdeni tegovi nego tegovi od drveta iste zapremine. Isti magnet razli~ito privla~i gvozdene predmete raznih dimenzija na jednakim rastojawima. Sudar dve kugle je „`e{}i” ako su se pre sudara kretale ve}im brzinama itd. Za opisivawe uzajamnog delovawa tela koristi se fizi~ka veli~ina – sila.

Sila je kvantitativna mera uzajamnog delovawa (interakcije) tela (~estica).

Usled uzajamnog delovawa (interakcije) nastaje deformacija tela. Nekada su deformacije veoma uo~qive: tegovi izdu`uju oprugu, pod malim pritiskom deformi{u se gumeni baloni, veoma je vidqivo ugibawe trambuline kada na wu stane gimnasti~ar itd.

Sila je uzrok deformacije tela.

Osim {to izaziva deformisawe tela, sila uzrokuje i promene brzine tela ({to se odnosi na wen intenzitet, pravac i smer). (O tome }emo detaqnije govoriti u okviru Drugog Wutnovog zakona.) Jedinica sile je wutn (N).

Sila je vektorska veli~ina odre|ena intenzitetom, prav cem i smerom. Na pri mer, pravci delovawa Zemqine te`e na te la koja slobodno padaju na wenu povr{inu poklapaju se sa pra v ci ma polupre~nika Zemqe sa smerom ka wenom centru (sl. 3.6).

Stati~ka metoda merewa sile

Pozitivno i negativno naelektrisane kuglice uzajamno deluju silom u pravcu koji prolazi kroz centre kuglica, a smer sile je od jedne prema drugoj kuglici.

Svako ispoqavawe delovawa sile, u principu, mo`e da se iskoristi za weno merewe. U praksi se koriste dva osnovna metoda merewa sile: stati~ki i dinami~ki metod. Dinami~kim metodom se na osnovu merewa mase i ubrzawa tela odre|uje sila koja na wega deluje.

Merewe ubrzawa tela nije najpogodnije, pa se u praksi, uglavnom, primewuje stati~ki metod merewa sile (merewe sile pomo}u dinamometra). Merewem promene du`ine elasti~ne opruge odre|uje se intenzitet sile. Merewe sile dinamometrom upoznali smo u osnovnoj {koli.

MASA TELA

Sl.3.7.Pre|eniputeviibrzine kolicaimajujednakevrednosti

Sl.3.8.Pre|eniputeviibrzine kolicaimajurazli~itevrednosti

Posmatra}emo dvoja kolica koja su identi~na i izgra|ena od istog materijala: kolica 1 i kolica 2. Na jedna od tih kolica pri~vr{}ena je metalna elasti~na opruga. Opruga se u sabijenom stawu odr`ava pomo}u konca. Opruga i konac ne naru{avaju identi~nost kolica (sl. 3.7).

Ako kolica 2 naslonimo na sabijenu oprugu pri~vr{}enu za kolica, pa posle toga prekinemo konac, onda }e istezawe opruge pokrenuti i jedna i druga kolica (sl. 3.7). Dakle, da bi kolica po~ela da se kre}u, potrebno je da postoji wihovo uzajamno delovawe, koje se u posmatranom slu~aju ostvaruje pomo}u sabijene opruge.

Merewem se mo`e zakqu~iti da su pre|eni putevi kolica 1 i kolica 2 jednaki, odnosno da wihove brzine u toku jednakih intervala vremena imaju iste intenzitete a suprotne smerove.

U nastavku ogleda i daqe }emo zadr`ati kolica 1, a kolica 2 zameni}emo kolicima koja su dva puta te`a (sl. 3.8). Sada }emo konstatovati da je brzina kolica 1 ostala nepromewena, a da je brzina drugih kolica upola mawa (prelaze upola kra}i put za isto vreme).

Da su druga kolica bila tri puta ve}a, onda bi wihova brzina bila tri puta mawa, a pre|eni putevi tri puta kra}i itd.

Analogni ogledi mogu da se izvedu i sa kuglicama. Prvo se posmatra uzajamno delovawe dve identi~ne kuglice, a zatim uzajamno delovawe dve kuglice izra|ene od istog materijala, s tim da je jedna od wih dva, tri... puta te`a. Konstatova}emo, kao i u ogledima sa kolicima, slede}e: pri istim uzajamnim delovawima, te`a tela sporije se kre}u.

Na osnovu prethodnih ogleda, zakqu~ujemo:

Odnos intenziteta brzina postignutih uzajamnim delovawem (ostvareno posredstvom sile elasti~nosti opruge) dva tela (kolica) obrnuto je srazmeran wihovim masama

Za telo koje pri uzajamnom delovawu sa drugim telom dobija mawu brzinu ka`emo da je inertnije Inertnost tela, dakle, vezuje se za brzinu koju ono dobije pri uzajamnom delovawu sa drugim telom. Inertnost je te`wa telâ da se odupru promeni stawa kretawa.

Ili:

Nastojawe telâ da ostanu u relativnom stawu mirovawa ili ravnomerno pravolinijskog kretawa naziva se inertnost.

Veli~ina kojom se kvantitativno karakteri{e inertnost tela naziva se masa.

Masa je mera inertnosti tela kada se ono translaciono kre}e (ukqu~uju}i i stawe relativnog mirovawa).

Posebno treba ista}i razliku izme|u inertnosti i inercije tela (~estice). Inertnost je svojstvo tela koje se manifestuje u tome da tela s ve}om masom sporije „prihvataju” promenu kretawa (promenu brzine, ubrzawe), a inercija je pojava koja se ispoqava u odr`avawu stawa relativnog mirovawa ili jednako pravolinijskog kretawa pod uslovom da su iskqu~ena delovawa (ili me|usobno poni{tena, kompenzovana) drugih tela na telo koje se posmatra.

Masa tela je mera wegove inertnosti.

Masa je skalarna i uvek pozitivna veli~ina. Ona je i aditivna veli~ina. To zna~i da je ukupna masa skupa tela ili slo`enog tela jednaka zbiru masa pojedinih tela (delova). Jedinica mase je kilogram (kg).

IMPULS TELA

Konstatovali smo da je odnos intenziteta brzina dva tela (kao dvoja kolica na sl. 3.8) koja su uzajamno delovala obrnuto srazmeran wihovim masama, tj. da je:

Odavde je:

m1v1 = m2v2.

Proizvod mase i intenziteta brzine prvih kolica jednak je proizvodu mase i intenzitetu brzine drugih kolica.

Fizi~ka veli~ina koja se odre|uje proizvodom mase i brzine tela naziva se impuls tela (~estice).

Jedinica impulsa je kilogram puta metar u sekundi

Budu}i da je masa skalarna veli~ina, a brzina vektorska, wihov proizvod je vektorska veli~ina. To zna~i da je impuls tela (~estice) vektorska veli~ina.

Ako se impulsi tela (kolica) u prethodnom primeru napi{u u vektorskom obliku, sledi:

ili:

Vektorski zbir impulsa pre uzajamnog delovawa kolica (kada su bila u stawu mirovawa) i posle wihovog uzajamnog delovawa jednak je nuli.

Impuls se obi~no obele`ava sa . U op{tem slu~aju izraz za impuls tela (~estice) zapisuje se u obliku:

Pravac i smer impulsa poklapaju se sa pravcem i smerom brzine tela, a wegov intenzitet jednak je proizvodu mase i intenziteta brzine.

p=mv.

Impuls je jedna od veli~ina kojom se opisuje translatorno kretawe tela. p mkgs –v2 m1 v1 m2 = = +

PRVI WUTNOV ZAKON (ZAKON INERCIJE)

Svakodnevno iskustvo pokazuje da se tela iz stawa mirovawa ne mogu pokrenuti sama od sebe, ve} je za to potrebno delovawe drugih tela. Kliker, na primer, na glatkoj horizontalnoj podlozi ostaje u stawu mirovawa dok se ne gurne odre|enom po~etnom brzinom. Nakon toga kliker }e se kretati pravolinijski usporeno, i posle odre|enog vremena se zaustaviti (sl. 3.9a). Sli~no se de{ava sa kolicima (sl. 3.9b), `elezni~kim vagonom itd.

Kod svih primera zna~ajno je to da sva tela ostaju u stawu mirovawa do po~etka delovawa drugih tela, kao i to da se pokrenuta tela kre}u i posle prestanka delovawa drugih tela (noge na loptu, ruku na kolica, nogu na pedale bicikla, sile vu~e).

Zaustavqawe je posledica delovawa podloge na telo koje se po woj kre}e (trewe), kao i otpora vazduha. Name}e se pitawe: {ta bi se desilo kada bi se uklonila ova delovawa. U narednom ogledu mo`emo da prona|emo odgovor. Niz strminu sa `lebom spu{ta se metalna kuglica. Strmina prelazi na horizontalnu podlogu posutu peskom. Sa prelaskom na podlogu brzina kugle se naglo smawuje, a kugla prelazi kratak put dok se ne zaustavi (sl. 3.10). Kugla prelazi znatno du`i put kada je podloga od drveta, jer je tada trewe izme|u kuglice i podloge mawe.

Ako je podloga od stakla, trewe je jo{ mawe i kuglica prelazi najdu`i put. Mo`e se zakqu~iti da bi se kuglica neograni~eno dugo kretala kada bi se u potpunosti uklonilo trewe izme|u kuglice i podloge, kao i otpor vazduha.

Na osnovu razmatrawa ovakvih i sli~nih ogleda Wutn je formulisao Prvi zakon dinamike, odnosno Zakon inercije:

Telo se kre}e ravnomerno pravolinijski ili se nalazi u sta wu relativnog mirovawa ako na wega ne deluju druga tela (ili se delovawa drugih tela me|usobno poni{tavaju).

Sl.3.10.Silatrewazavisiodvrste podloge

Sl. 3.9 a) b)

Moè se navesti dosta primera da se telo nalazi u stawu relativnog mirovawa ili ravnomerno pravolinijskog kretawa kada se delovawa drugih tela uzajamno poni{tavaju. Na primer, kwiga miruje na stolu (sl. 3.11), a znamo da je privla~i Zemqa. Me|utim, to privla~ewe poni{teno je delovawem stola na kwigu (sila reakcije podloge). Kada drìmo kofer u ruci, uzajamno se poni{tavaju sila mi{i}a ruku i teìna kofera.

Zakon inercije u fizici ima vi{estruki zna~aj. Pre svega, on otkriva osnovno svojstvo tela –inertnost. Zatim pokazuje ekvivalentnost stawa mirovawa i ravnomernog pravolinijskog kretawa, jer se oba stawa posti`u ako je ispuwen jedan isti uslov: da su iskqu~ena ili uzajamno poni{tena delovawa drugih tela. Kona~no, to je univerzalni zakon: primenqiv je na sva tela i ~estice, od zvezda i planeta, tela na Zemqi do atoma, protona, elektrona.

DRUGI WUTNOV ZAKON

Drugi Wutnov zakon jedan je od osnovnih zakona mehanike. Uspostavqa vezu izme|u va`nih fizi~kih veli~ina: sile, mase i ubrzawa, odnosno u op{toj formulaciji izme|u brzine promene impulsa i sile.

Veza izme|u ubrzawa, mase i sile mo`e se ustanoviti na slede}i na~in. Laka kolica postavqena su na horizontalne ugla~ane {ine (tako da se trewe mo`e zanemariti). Kolica su preko dinamometra vezana neistegqivim koncem zanemarqive mase, preba~enim preko kotura (sl. 3.12). Kada se za konac prika~i teg, kolica se pokre}u, a dinamometar pokazuje intenzitet sile zatezawa koja uzrokuje kretawe kolica. Pomo}u trake sa milimetarskom podelom i preciznim merewem vremena mogu da se mere pre|eni putevi kolica i odgovaraju}a vremena. Ako su du` stola postavqeni fotosenzori povezani sa mera~em vremena, merni podaci su mnogo precizniji.

Ubrzawe kolica izra~unava se pomo}u rastojawa koja ona prelaze u jednakim intervalima vremena. Masa kolica i tegova meri se terazijama. Mewawem mase tegova koji se ve{aju o konac mewa se intenzitet sile zatezawa konca, a time i ubrzawe kolica. Merewa pokazuju da je ubrzawe kolica upravo srazmerno intenzitetu sile koji pokazuje dinamometar:

Kada se na kolica dodaju tegovi da bi se mewala (uve}avala) masa kolica, merewa pokazuju da je ubrzawe kolica obrnuto srazmerno masi:

Objediwavawem navedenih izraza, a uzimaju}i u obzir da je sila vektorska veli~ina, dobija se:

Ubrzawe tela srazmerno je sili koja na wega deluje, a obrnuto srazmerno masi tela.

Ili:

Proizvod mase i ubrzawa jednak je sili koja deluje na to telo. Ovo je jedna od mogu}ih formulacija Drugog Wutnovog zakona.

Kada na telo deluje vi{e sila, proizvod mase i ubrzawa tela jednak je rezultanti tih sila.

Jedinica sile je wutn (N).

Jedan wutn je sila koja telu mase jednog kilograma daje ubrzawe jedan metar u sekundi na kvadrat

U eksperimentima sa kolicima (sl. 3.12) uvek je jedna veli~ina (sila ili masa) bila konstantna. Me|utim, masa tela ne mora uvek da bude stalna. Masa ki{ne kapi, na primer, koja se kre}e kroz vla`nu atmosferu stalno se uve}ava. Promenqivu masu imaju i reaktivne rakete: motor rakete izbacuje gasove nastale sagorevawem goriva. Ovi gasovi deluju na raketu reaktivnom silom pa se ona kre}e u smeru suprotnom od smera isticawa gasova. U tom slu~aju masa rakete se stalno smawuje. U takvim i sli~nim slu~ajevima ne mogu da se primene formulacije Drugog Wutnovog zakona. Zato je neophodna op{tija formulacija ovog osnovnog zakona dinamike. m s N2 =kg

Iz izraza:

sledi:

Kona~no:

Koli~nik promene impulsa tela i vremenskog intervala jednak je rezultuju}oj sili koja na to telo deluje tokom tog vremena.

Ako je t proizvoqno veliki vremenski interval, uzima se sredwa vrednost sile koja je tokom tog vremena delovala na telo.

Kada je t veoma mali vremenski interval (tako da se mo`e smatrati trenutkom), uzima se sila koja deluje na telo u tom trenutku.

OSNOVNA JEDNA^INA DINAMIKE TRANSLACIJE

Na telo mo`e istovremeno da deluje vi{e sila. Tada je rezultuju}a sila jednaka vektorskom zbiru svih sila koje deluju na dato telo. U tom slu~aju Drugi Wutnov zakon za translaciono kretawe ima oblik:

Kada na telo istovremeno deluje vi{e sila, ono dobija ubrzawe jednako ubrzawu koje bi mu saop{tila odgovaraju}a rezultanta sila.

Navedeni izraz je osnovna jedna~ina dinamike translacionog kretawa tela.

Osnovni zadatak dinamike je odre|ivawe zakona kretawa tela (materijalne ta~ke) ako su poznate sile koje na wega deluju, kao i po~etni uslovi. Pod po~etnim uslovima podrazumevaju se koordinate polo`aja i brzine ili impulsa u trenutku kada po~iwe posmatrawe kretawa tela (~estice), tj. kada je t = 0.

Za re{avawe tog zadatka u op{tem obliku neophodno je po}i od osnovne jedna~ine dinamike. Na osnovu Drugog Wutnovog zakona nalazi se ubrzawe tela (materijalne ta~ke). Zatim se pomo}u poznatih formula kinematike nalaze odgovaraju}i izrazi za brzinu i trajektoriju materijalne ta~ke u funkciji vremena. Kada se poznaju, na primer, sile uzajamnog delovawa Sunca i planeta, koordinate wihovog polo`aja i brzine u datom trenutku vremena (po~etni uslovi), mogu jednozna~no da se defini{u putawe wihovog kretawa. Mogu da se predvide takve pojave kao {to su pomra~ewa Sunca i Meseca, vreme kada }e Zemqa (ili neka druga planeta) i Sunce biti na minimalnom me|usobnom rastojawu itd.

TRE]I WUTNOV ZAKON

(ZAKON AKCIJE I REAKCIJE)

Poku{amo li da pomerimo te`ak sto, oseti}emo da i sto deluje na nas (sl. 3.13). Ako je sto dovoqno masivan, a podloga na kojoj stojimo glatka, umesto stola, po~e}emo da klizimo unazad.

Magnet privla~i gvozdeni predmet, ali i predmet privla~i magnet. Merewa pokazuju da su sile koje deluju na magnet i predmet istog intenziteta i pravca, ali suprotnih smerova (sl. 3.14).

Uop{te, ako jedno telo deluje na drugo telo, onda i drugo telo deluje na prvo telo.

Sila kojom jedno telo deluje na drugo telo jednaka je po intenzitetu i pravcu sili kojom drugo telo deluje na prvo, ali je suprotnog smera:

Navedeni izraz predstavqa Tre}i Wutnov zakon (Zakon akcije i reakcije).

Obi~no se delovawe datog tela na drugo telo naziva sila akcije, a delovawe drugog tela na prvo sila reakcije (sl. 3.15). Otuda se Tre}i Wutnov zakon ~esto naziva i Zakonakcije i reakcije.

Sila akcije jednaka je sili reakcije po intenzitetu i pravcu, ali je suprotno usmerena.

Tre}i Wutnov zakon pokazuje da se sile usled uzajamnosti delovawa tela uvek pojavquju u parovima. One nastaju i i{~ezavaju istovremeno i imaju istu prirodu. Ubrzawa tela koja poti~u od sile akcije i sile reakcije, tako|e, imaju suprotna usmerewa.

Treba podvu}i da sile o kojima se govori u Tre}em Wutnovom zakonu deluju na razna tela i zato se ne mogu uzajamno kompenzovati. Me|usobno mogu da se poni{te samo sile koje deluju na jedno isto telo.

Sl.3.14.Silaakcijei reakcijemagnetai gvo`|a

Sl.3.15.Silaakcijei reakcije

Sl. 3.13

INERCIJALNI REFERENTNI SISTEM (SISTEM REFERENCIJE)

Sl. 3.17. Voz se kre}eubrzano

Sl.3.16.Vozu stawu mirovawa

Posmatra}emo dva referentna sistema: jedan vezan za voz u stawu mirovawa u stanici (sl. 3.16) i drugi sistem referencije koji se vezuje za voz koji ubrzano izlazi iz stanice (sl. 3.17). Putnici sede u jednom i drugom vozu.

Putnik u prvom vozu je u stawu mirovawa u odnosu na stanicu, odnosno na Zemqu. Sile koje deluju na wega me|usobno se poni{tavaju (koje su to sile?). Me|utim, za putnika iz drugog voza, odnosno iz referentnog sistema koji se vezuje za taj voz koji se kre}e ubrzano, putnik u prvom vozu nije u stawu mirovawa, ve} se zajedno sa vozom kre}e ubrzano u suprotnom smeru u odnosu na voz koji napu{ta stanicu. Imali smo priliku da se u to uverimo. Zna~i, za posmatra~a u referentnom sistemu vezanom za voz koji ubrzano napu{ta stanicu (drugi voz), Zakon inercije ne va`i jer se putnik u prvom vozu kre}e, tako|e, ubrzano (ubrzawem istog intenziteta), ali u suprotnom smeru.

Su{tina Zakona inercije, to jest Prvog Wutnovog zakona mehanike, upravo je u tome {to ukazuje na bitno svojstvo po kojem se me|usobno razlikuju sistemi referencije. Ovaj zakon otkriva dve vrste referentnih sistema: inercijalni i neinercijalni.

Referentni sistemi u kojima va`i Zakon inercije nazivaju se inercijalni referentni sistemi, ili:

Sistemi referencije u odnosu na koje se tela nalaze u stawu mirovawa ili se kre}u ravnomerno pravolinijski kada na wih ne deluju druga tela, ili su wihova delovawa uzajamno poni{tena (kompenzovana) nazivaju se inercijalni sistemi.

Sistemi referencije koji se kre}u ravnomerno pravolinijski u odnosu na dati inercijalni sistem, tako|e su inercijalni.

Prema tome, inercijalnih sistema ima neograni~eno mnogo. Na primer, ako Zemqu mo`emo smatrati inercijalnim sistemom, takav }e biti i sistem vezan za voz koji se kre}e ravnomerno po pravoj pruzi, brod koji plovi po pravoj putawi stalnom brzinom, avion i raketa koji lete konstantnom brzinom du` prave linije u odnosu na Zemqu.

GALILEJEV PRINCIP RELATIVNOSTI KRETAWA

Galileo Galilej, poznati italijanski fizi~ar i astronom, sa ~uvenog kosog torwa u Pizi prou~avao je slobodno padawe tela. Ustanovio je Zakon slobodnog padawa tela i Zakon slagawa kretawa

Formulisao je dva osnovna principa mehanike koji su imali zna~ajnu ulogu u razvoju fizike: princip relativnosti mehani~kog kretawa i princip konstantnosti ubrzawa Zemqine te`e (sva tela u vakuumu imaju jednaka ubrzawa). Uveo je pojam inercijalnog sistema

Galilej je zastupao Kopernikovo u~ewe, to jest heliocentri~ni sistem, i znatno doprineo da shvatawe Nikole Kopernika potisne pogre{no mi{qewe da je Zemqa centar na{e vasione. Zbog toga je Galilej izveden na sud inkvizicije u Rimu i osu|en na tamnicu, u kojoj je proveo nekoliko godina.

Galilejeva uloga u istoriji fizike je veoma velika. Sa Wutnom je osnovao klasi~nu mehaniku. Uvo|ewem eksperimenta i teorijskom obradom wegovih rezultata Galilej je prvi potvrdio da je fizika eksperimentalno-teorijska nauka.

Mogu li se me|usobno razlikovati inercijalni sistemi? Postoji li „najboqi” ili neki inercijalni sistem koji ima bilo kakve prednosti u pore|ewu sa ostalima? Odgovore na ovo pitawe daje princip relativnosti mehani~kog kretawa, koji se jo{ naziva i Galilejev princip relativnosti

Kada se nalazimo u vagonu voza koji se kre}e ravnomerno pravolinijski, kroz prozor vagona vidimo kako promi~u telegrafski stubovi. No, to {to vidimo moè se protuma~iti na razli~ite na~ine. Moèmo tvrditi da se stubovi kre}u u suprotnom smeru od smera kretawa voza, a voz da stoji u mestu. U stvari, moè da se govori samo o relativnom kretawu stubova i voza. Jo{ teè moèmo utvrditi stawe na{eg kretawa ako se nalazimo u avionu koji se kre}e, tako|e, ravnomerno pravolinijski na velikim visinama. Zamislimo da se nalazimo u avionu koji se kre}e ravnomerno pravolinijski. Putnicima u tom avionu nisu potrebni nikakvi dodatni napori da odrè ravnoteù u stoje}em stawu kao kada je avion u stawu mirovawa. A kako izgleda kretawe predmeta koji putnik ispusti u avionu kada se kre}e ravnomerno pravolinijski? Predmet slobodno pada isto kao u avionu koji je u stawu mirovawa. Ispu{teno sa jednakih visina telo u oba slu~aja po vertikalnoj liniji dospeva na podlogu za isto vreme. Ako putnik u avionu u stawu mirovawa sko~i 2 m udaq, isto toliko }e mo}i da sko~i i u avionu koji se kre}e ravnomerno pravolinijski. Doskok ne}e biti nimalo duì ako ska~e u smeru kretawa aviona, niti kra}i ako ska~e u suprotnom smeru.

Galileo Galilei (1564–1642)

TorawuPizisakojegje

Galilejvr{iooglede

Kretawe bilijarske ili ping-pong lopte u toku igre u mlaznom avionu koji se kre}e konstantnom brzinom, na primer, 800 po pravoj putawi, isto je kao i u slu~aju kada avion stoji na pisti. Matemati~ko klatno u oba slu~aja osciluje na istovetan na~in.

Umesto u avionu, ogledi su se mogli izvoditi u vozu, brodu ili nekom drugom transportnom objektu. Galilej je analogne eksperimente izvodio na brodu kada je bio u stawu mirovawa i kada se kretao ravnomerno pravolinijski (stalnom brzinom).

Svi takvi i sli~ni eksperimenti pokazuju da ne postoji nijedna mehani~ka pojava koja bi omogu}ila posmatra~u da ustanovi da li se on i wegov sistem referencije kre}u ravnomerno pravolinijski ili su u stawu mirovawa. Na osnovu posmatrawa mehani~kih pojava ne mo`e se, dakle, ustanoviti razlika izme|u stawa ravnomernog pravolinijskog kretawa i stawa mirovawa tela. Na tim ~iwenicama utemeqen je jedan od osnovnih zakona prirode – princip relativnosti kretawa.

U svim inercijalnim referentnim sistemima mehani~ke pojave de{avaju se na isti na~in.

Po{to se mehani~ka kretawa (pojave) opisuju na osnovu zakona mehanike (Wutnovi zakoni), princip relativnosti kretawa mo`e se definisati i na slede}i na~in.

Zakoni mehanike imaju isti matemati~ki oblik u svim inercijalnim referentnim sistemima.

Zakoni klasi~ne mehanike ne zavise od inercijalnog sistema referencije. Zna~i da su svi inercijalni sistemi referencije podjednako „dobri“, „ekvivalentni“, „ravnopravni“, i da ne postoji nijedan privilegovan inercijalan sistem referencije.

Princip relativnosti izra`ava jedno od najfundamentalnijih svojstava prirode: nezavisnost zakona klasi~ne mehanike (Wutnovih zakona) od inercijalnog sistema referencije.

Zakoni mehanike ne zavise od inercijalnih sistema.

U klasi~noj mehanici eksperimenti u razli~itim inercijalnim sistemima pod jednakim uslovima daju iste rezultate. Pojmovi apsolutnog stawa mirovawa i apsolutnog ravnomernog pravolinijskog kretawa tela (~estica) li{eni su fizi~kog smisla.

Posledice principa relativnosti kretawa su slede}e:

U svim inercijalnim sistemima ostaju nepromewene dimenzije, zapremina i masa tela. Ne mewa se ni vreme trajawa (vremenski interval) date pojave. Sila, ubrzawe i potencijalna energija, tako|e, ostaju stalni. Me|utim, jedno isto kretawe posmatrano iz razli~itih inercijalnih sistema ne}e imati jednake ostale karakteristike. km h

Polo`aj, putawa, pre|eni put, brzina, impuls i kineti~ka energija nisu istovetni. Na primer, telo ispu{teno iz aviona koji se kre}e ravnomerno pravolinijski za posmatra~a sa Zemqe ima krivolinijsku putawu, a za putnika iz aviona telo pada vertikalno (putawa je prava linija), {to je prikazano na slici 3.18.

NEINERCIJALNI REFERENTNI SISTEMI. SILA INERCIJE

Na{a saznawa o sili i Wutnovim zakonima dinamike bi}e kompletna tek kada prou~imo neinercijalni referentni sistem. Kretawe tela (materijalne ta~ke) mo`e se uvek posmatrati u odnosu na neki inercijalni sistem referencije. Ali, mnogi zadaci re{avaju se jednostavnije ako se kretawe posmatra iz neinercijalnog referentnog sistema.

Referentni sistem koji se u odnosu na neki inercijalni sistem kre}e ubrzano naziva se neinercijalni referentni sistem

Neinercijalni sistemi vezuju se za tela koja se kre}u promenqivim brzinama ili po krivolinijskim putawama. Automobil, voz, avion i raketa kada zapo~iwu kretawe ili se zaustavqaju, kada pove}avaju ili smawuju brzinu, kao i kada se kre}u po zakrivqenim putawama, primeri su neinercijalnih sistema.

Postoje bitne razlike izme|u inercijalnog i neinercijalnog sistema. Tela koja se u odnosu na inercijalne sisteme kre}u stalnom brzinom, u odnosu na neinercijalne sisteme kre}u se promenqivom brzinom. Mnogo ve}e razlike utvrdi}emo razmatrawem kretawa istog tela u odnosu na jedan i drugi sistem referencije.

Neinercijalni sistem neka bude vezan za motorno vozilo veoma duga~ke karoserije, koje se kre}e po gvozdenim {inama po pravolinijskoj pruzi konstantnim ubrzawem u odnosu na inercijalni sistem koji se vezuje za stanicu ili neko drugo mesto pored pruge (sl. 3.19).

Na podu karoserije, koji je dovoqno izgla~an da se trewe mo`e zanemariti, nalaze se dva tela ~ije su mase m i M. Telo mase m preko opruge dinamometra (D) vezano je za kabinu vozila, dok je telo mase M slobodno.

Sl.3.18.Razli~itiobliciputaweistog telazaposmatra~aizaviona(helikoptera) i za posmatra~a sa zemqe a a

Posmatra~ pored pruge (inercijalni referentni sistem) vidi da se telo m kre}e zajedno s vozilom ubrzawem , dok se telo mase M nalazi u stawu mirovawa u odnosu na prugu (sl. 3.19a).

Sl. 3.19

Posmatra~ koji se nalazi u vozilu (neinercijalni sistem) vidi ne{to sasvim suprotno: telo m se nalazi u stawu mirovawa (ne pomera se u odnosu na vozilo), a telo mase M se kre}e ka zadwem delu karoserije vozila ubrzawem , u odnosu na vozilo (sl. 3.19 b). Oba posmatra~a vide da dinamometar pokazuje silu intenziteta F

Opa`awe posmatra~a iz inercijalnog sistema (stanica, mesto pored pruge) u skladu je sa Wutnovim zakonima dinamike. Telo mase m kre}e se ubrzawem jer na wega deluje sila elasti~nosti rastegnute opruge dinamometra, tako da je , u skladu sa Drugim Wutnovim zakonom. Telo M nalazi se u stawu mirovawa po{to na wega ne deluje nikakva sila (izme|u tog tela i poda nema trewa), {to je u saglasnosti sa Prvim Wutnovim zakonom (Zakonom inercije).

Za posmatra~a iz neinercijalnog sistema telo mase M kre}e se ubrzano iako na wega ne deluje nikakva sila, {to je suprotno Zakonu inercije. Na telo mase m deluje sila elasti~nosti istegnute opruge dinamometra, ali ono je u stawu mirovawa za ovog posmatra~a, {to je u suprotnosti sa Drugim Wutnovim zakonom dinamike. Razmatrawem kretawa u odnosu na sisteme vezane za tela koja rotiraju ili se kre}u po krivolinijskim putawama dolazi se do istog zakqu~ka.

U neinercijalnim sistemima referencije ne va`e Wutnovi zakoni mehanike.

Za posmatra~e iz neinercijalnog sistema brzina tela mo`e se promeniti i kada nema uzajamnog delovawa, i obratno: uzajamno delovawe ne mora uzrokovati promenu brzine ili deformaciju tela (opruge).

INERCIJALNA SILA (SILA INERCIJE)

Mogu li se Wutnovi zakoni dinamike modifikovati tako da postanu primenqivi i u neinercijalnim sistemima? Pokazalo se da je to mogu}e ako se pojam sile pro{iri, to jest ako se pored pojma sila, kao mera uzajamnog delovawa tela uvede pojam tzv. sile inercije (ili inercijalna sila).

U neinercijalnom sistemu referencije osim realne sile postoji i sila inercije koja ne poti~e od uzajamnog delovawa tela, ve} je posledica ubrzanog (usporenog) kretawa referentnog sistema.

Definicija inercijalne sile mo`e da se izvede na osnovu razmotrenog primera neinercijalnog sistema – motornog vozila koje se kre}e ubrzano, sa ubrzawem .

Iako na telo mase M ne deluju druga tela (ta~nije, delovawa su uzajamno poni{tena), ono se u tom referentnom sistemu, ipak, kre}e ubrzawem . Da bi Drugi Wutnov zakon va`io za to kretawe, na telo mase M mora delovati sila . To je sila inercije koja deluje na telo mase M. U odnosu na vozilo, telo mase m nalazi se u stawu mirovawa, pa na wega mora delovati, pored „realne” sile elasti~nosti , i sila inercije u skladu sa zakonom inercije (Prvi Wutnov zakon). Samo, tada je rezultuju}a sila koja deluje na telo m jednaka nuli, to jest. Zna~i, sila inercije koja deluje na telo mase m je .

Sila inercije zavisi od mase tela i ubrzawa kojim se kre}e neinercijalni sistem referencije za koji se vezuje posmatrawe. U odnosu na bilo koji inercijalni sistem, to ubrzawe ima istu vrednost.

Prema tome, u neinercijalnom referentnom sistemu, osim „prave” (realne), „prave” u smislu da je sila mera me|usobnog delovawa tela, deluje i „fiktivna” sila inercije (inercijalna sila).

Inercijalna sila je posledica ubrzanog kretawa referentnog sistema i deluje na tela samo u neinercijalnom sistemu. Intenzitet inercijalne sile jednak je proizvodu mase tela i ubrzawa sistema, pravac je isti kao pravac ubrzawa sistema, a smer je suprotan: .

Inercijalna sila jednaka je proizvodu mase tela i ubrzawa referentnog sistema u odnosu na koji se to kretawe opisuje.

Prvi i Drugi Wutnov zakon mogu da se primene i u neinercijalnim sistemima referencije, kada se uzmu u obzir i sile inercije koje postoje samo u neinercijalnim sistemima.

Ako je m masa posmatranog tela, wegovo ubrzawe u odnosu na neinercijalni sistem referencije, a rezultanta svih realnih sila koje deluju na telo, Drugi Wutnov zakon dinamike u neinercijalnom sistemu referencije je:

F+Fi =mai, gde je inercijalna sila koja u tom referentnom sistemu deluje na posmatrano telo. Naveli smo da je , gde je ubrzawe kojim se kre}e neinercijalni sistem. Prema tome, Drugi Wutnov zakon za neinercijalne sisteme mo`e se napisati i u obliku:

Svako telo, bez izuzetka, u neinercijalnom referentnom sistemu izlo`eno je delovawu inercijalne sile.

Videli smo da je inercijalna sila posledica ubrzanog kretawa referentnog sistema, odnosno da ne poti~e od uzajamnog delovawa tela. Stoga se inercijalna sila ne pokorava Wutnovim zakonima mehanike.

Posmatra~ iz neinercijalnog sistema mo`e da otkrije ubrzano kretawe svog sistema na osnovu merewa inercijalnih sila. Merewem inercijalnih sila i poznavawem realnih sila mo`e se odrediti ubrzawe kojim se kre}e neinercijalni sistem.

Pod dejstvom inercijalnih sila u datom neinercijalnom referentnom sistemu sva tela, nezavisno od svoje mase, imaju jednako ubrzawe. To ubrzawe je jednako ubrzawu referentnog sistema, ali ima suprotan smer.

Inercijalna sila se svakodnevno ispoqava: pri naglom pokretawu ili ko~ewu voza, autobusa, automobila, putnici pole}u unapred, odnosno unazad. To svakodnevno do`ivqavamo, naro~ito ako se vozimo autobusima ili tramvajima gradskog saobra}aja. Sa stanovi{ta putnika (posmatra~a iz neinercijalnog sistema), „poletawe” unazad ili unapred posledica je delovawa inercijalnih sila. Sa stanovi{ta posmatra~a koji stoji pored pruge, puta (posmatra~ iz inercijalnog sistema), „poletawe” je posledica inertnosti putnika.

Inercijalna sila je nerealna (fiktivna) u smislu da nije izazvana delovawem drugih tela, ali delovawe inercijalne sile ima realne efekte (posledice). Weno delovawe se ispoqava realno (dobro je ose}aju putnici) pri polasku autobusa (voza), prilikom naglog ko~ewa, na svakoj krivini puta... Kako inercijalna sila nije izazvana delovawem drugih tela na dato telo, u neinercijalnom sistemu ne va`i ni Tre}i Wutnov zakon: za inercijalnu silu kao „silu akcije” ne postoji „sila reakcije”.

DINAMIKA KRU@NOG KRETAWA.

CENTRIPETALNA SILA

Prilikom ravnomernog kru`nog kretawa intenzitet brzine tela (materijalne ta~ke) je stalan. Me|utim, pravac brzine neprekidno se mewa, {to uslovqava da takvo kretawe bude promenqivo (ubrzano). Ubrzawe usmereno ka centru kru`ne putawe (centripetalno ubrzawe), ima intenzitet:

gde je: v – intenzitet brzine tela, r – polupre~nik kru`ne putawe. Na telo koje se kre}e ubrzawemdeluje, prema Drugom Wutnovom zakonu dinamike, sila (sl. 3.20), tako da je:

gde je: m – masa tela. Silaje istoga pravca i smera kao ubrzawe, dakle usmerena je uvek ka centru kru`ne putawe. Zbog toga se naziva centripetalna sila. F c a c

Wen intenzitet F c jednak je:

Sl.3.20.Centripetalna sila

Sl. 3.21. Sila elasti~nosti ima ulogu centripetalne sile

Centripetalna sila je srazmerna proizvodu mase tela i kvadratu brzine, a obrnuto srazmerna polupre~niku kru`ne putawe i usmerena je ka centru kru`nice.

Centripetalno ubrzawe mo`e da uzrokuje sila elasti~nosti rastegnute opruge pri~vr{}ene za telo (sl. 3.21). Kru`ewe Zemqe oko Sunca i Meseca, kao i ve{ta~kih satelita oko Zemqe, uslovqava gravitaciona sila Sunca, odnosno Zemqe (sl. 3.22).

Svaka sila, bez obzira na to kakve je prirode (elasti~na, magnetna, gravitaciona, sila trewa), mo`e biti centripetalna, pod uslovom da deluje uvek ka istoj ta~ki. Naziv centripetalna ne odnosi se na prirodu sile, ve} na to da ta sila deluje ka istoj ta~ki na celoj putawi tela.

CENTRIFUGALNA SILA

Sl.3.22.Kru`eweZemqe okoSuncaiMeseca

Prilikom razmatrawa neinercijalnog sistema ustanovqeno je da u svakom referentnom sistemu koji se kre}e ubrzano u odnosu na inercijalni sistem deluje inercijalna sila. Referentni sistem koji se vezuje za telo koje se kre}e ravnomerno po kru`noj putawi ima normalno (centripetalno) ubrzawe. To zna~i da i u tom sistemu deluje inercijalna sila.

Inercijalna sila koja deluje u referentnom sistemu koji se kre}e po kru`noj putawi naziva se centrifugalna sila.

Sl.3.23.Centripetalna(a) icentrifugalnasila(b)

Centrifugalna sila ima pravac polupre~nika kru`ne putawe, a smer od centra, suprotan smeru normalnog (centripetalnog) ubrzawa (sl. 3.23). Intenzitet centrifugalne sile odre|uje se (kao i kod centripetalne sile) formulom:

Sl. 3.24

gde je: m – masa tela, r – polupre~nik kru`nice, v – intenzitet brzine tela po kru`nici, ω – intenzitet ugaone brzine obrtawa referentnog sistema.

Centripetalna i centrifugalna sila su razli~itog porekla. Centripetalna sila je realna sila (izazvana uzajamnim delovawima tela), a centrifugalna sila je kao i svaka druga inercijalna sila nerealna (fiktivna) u smislu da nije izazvana delovawem drugih tela, ali su weni efekti (posledice) realni (~iwenice). To potvr|uju mnogobrojne primene centrifugalne sile. Centrifugalni separatori koriste se za razdvajawe ~estica razli~itih masa (muqa od vode, soli iz vode, masti od mleka, sastojaka krvi itd.). Ma{ina za prawe rubqa, tako|e, funkcioni{e na principu primene centrifugalne sile.

Treba ista}i da centripetalna i centrifugalna sila postoje (ispoqavaju se) u dva principijelno razli~ita referentna sistema. U inercijalnom (laboratorijskom) sistemu postoji samo centripetalna, a u neinercijalnom samo centrifugalna sila. Ne mo`e se desiti da u jednom od tih sistema postoje obe sile. Stoga se centripetalna i centrifugalna sila ne mogu uzajamno poni{tavati.

SKALARNI I VEKTORSKI PROIZVOD

VEKTORA

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA

Da bi se definisale neke slo`ene fizi~ke veli~ine, potrebno je koristiti skalarno mno`ewe vektora.

Neka su i dva slobodna vektora preneta u polo`aj sa zajedni~kim po~etkom. Skalarni proizvod simboli~ki se ozna~ava ta~kom izme|u vektora koji se skalarno mno`e. Skalarni proizvod dva vektora je skalar (skalarna veli~ina).

Skalarnim mno`ewem dve vektorske veli~ineidobija se skalarna veli~ina a:

Skalarni proizvod dva vektora jednak je proizvodu intenziteta jednog vektora i projekcije drugog vektora na pravac prvog (sl. 3.24), to jest:

a = bcb,

gde je sa cb ozna~ena projekcija vektora na pravac vektora . Ako je ugao izme|u vektora i o{tar, skalarni proizvod je pozitivan, a za tupe uglove skalarni proizvod je negativan (sl. 3.25), to jest:

a = –bcb

Kada su vektori uzajamno normalni, tada je cb = 0, a samim tim je i a = 0.

Vrednost skalarnog proizvoda zavisi od intenziteta vektora i i od wihove uzajamne orijentacije. Jedna od osobina skalarnog proizvoda jeste da je on komutativan, odnosno da je: .

To, u stvari, zna~i da je:

a = bcb = b c c,

gde je sa b c ozna~ena projekcija vektora na pravac vektora (sl. 3.26).

Skalarni proizvod vektorske veli~ine sa wom samom jednak je kvadratu intenziteta tog vektora, to jest:

Tipi~na fizi~ka veli~ina definisana skalarnim proizvodom dve vektorske veli~ine jeste rad (), gde je sila koja vr{i rad, a pomeraj tela (rad je skalarna veli~ina).

VEKTORSKI PROIZVOD DVA VEKTORA

Vektorski proizvod vektora i jednak je vektoru , {to se simboli~no zapisuje kao:

Intenzitet vektora jednak je povr{ini paralelograma konstruisanog nad vektorima i (s tim {to vektori i treba da budu dovedeni na zajedni~ki po~etak).

Pravac vektora normalan je na ravan odre|enu vektorima i Smer vektora definisan je pravilom desnog zavrtwa: vektor ima onaj smer u kome bi napredovao desni zavrtaw kada se vrti najkra}im putem u smeru rotacije vektora ka vektoru (sl. 3.27).

Intenzitet vektorskog proizvoda dva kolinearna vektora jednak je nuli.

Tada se vektori i poklapaju pa je povr{ina paralelograma konstruisanog nad wima jednaka nuli.

Iz definicije vektorskog proizvoda dva vektora proizlazi da on nije komutativan, tj. da je:

Kao primer vektorskog proizvoda dva vektora nave{}emo vezu izme|u ugaone i periferijske brzine. Na slici 3.28 prikazani su vektori koji zadovoqavaju uslov:

Pri tome je v= ωr (ako ugao izme|u radijus-vektora i vektora ugaone brzine iznosi 90o).

Vektor ugaone brzine, dakle, ima isti pravac kao i normala na ravan kru`nice, a smer mu je odre|en pravilom desnog zavrtwa.

REZIME

• Osnovne veli~ine dinamike su: masa, impuls i sila. Wihovo povezivawe sa kinemati~kim veli~inama (put, brzina i ubrzawe) omogu}ava potpunije opisivawe mehani~kog kretawa tela (materijalne ta~ke).

U kinematici se kretawa tela samo opisuju, dok se u dinamici opisuju i obja{wavaju.

Dinamika se zasniva na tri osnovna zakona koje je ustanovio engleski fizi~ar Isak Wutn. To su poznati Wutnovi zakoni dinamike, op{tije klasi~ne mehanike.

• Veli~ina koja karakteri{e inertnost tela kod translacionog kretawa, naziva se masa. Masa je mera inertnosti tela.

• Veli~ina koja karakteri{e delovawe jednog tela na drugo telo naziva se sila

Kretawe je prirodno stawe materije, weno svojstvo, a sila je uzrok promene stawa kretawa tela (materijalne ta~ke). a Sl. 3.28 v –. =. abba

Pojam sila moè da se uvede na dva na~ina: stati~kim i dinami~kim metodom. Stati~ko uvo|ewe pojma sila vr{i se merewem deformacije elasti~ne metalne opruge pod uticajem drugih tela (tegova). Promene duìne opruge odre|uje intenzitet sile elasti~nosti (F = kx), gde je k – koeficijent elasti~nosti opruge, x – promena wene duìne.

Dinami~ko uvo|ewe pojma sila zasniva se na merewu promene brzine u toku vremena (ubrzawa) uzrokovane uzajamnim delovawem tela. Na osnovu rezultata ogleda dobija se zakon dinamike:

Sila je jednaka odnosu promene impulsa i intervala vremena u toku kojeg se vr{i ta promena.

Navedena formula izra`ava Drugi Wutnov zakon mehanike . Vektorska priroda sile ukqu~uje se posredstvom impulsa ().

Uop{tavawem oba postupka sledi:

Sila je kvantitativna mera uzajamnog delovawa (interakcije) tela koje uzrokuje promenu stawa kretawa (pojavu ubrzawa) ili deformaciju tela (metalne opruge).

• U klasi~noj mehanici obi~no se uzajamno delovawe poistove}uje s delovawem jednog tela na drugo. Na primer, na telo koje slobodno pada deluje Zemqina teà (Zemqa), ali i telo koje slobodno pada deluje na Zemqu (oba delovawa su ravnopravna po intenzitetu i pravcu, ali su suprotna po smeru). Me|utim, delovawe tela na Zemqu toliko se malo ispoqava da ga Zemqa ne „ose}a” i ono se u datom slu~aju moè prakti~no zanemariti. Ovde je onda opravdano re}i da na telo deluje Zemqina teà. U tom slu~aju se ~esto za silu koristi izraz:

. Sila je jednaka proizvodu mase i ubrzawa tela (materijalne ta~ke). Ovde se masa pojavquje u svojstvu koeficijenta proporcionalnosti izme|u sile i ubrzawa.

Navedena formula predstavqa konkretizovani (pojednostavqeni) oblik Drugog Wutnovog zakona.

• Wutnovi zakoni mehanike omogu}avaju da se re{i bilo koji zadatak mehanike. Kada su poznati sila (sile) koja deluje na telo i wegova masa, mo`e se odrediti ubrzawe tela u svakoj ta~ki putawe u bilo kojem trenutku

• Prvi Wutnov zakon (Zakon inercije), glasi: Telo odr`ava stawe mirovawa ili jednako pravolinijskog kretawa u inercijalnom sistemu referencije ako na wega ne deluju druga tela ili ako su delovawa drugih tela me|usobno poni{tena (kompenzovana).

Matemati~ka formula Prvog Wutnovog zakona ima oblik: = 0 ili = const; za vv n i 0 .

• Tre}i Wutnov zakon: Sila kojom jedno telo deluje na drugo telo jednaka je po intenzitetu i pravcu sili kojom drugo telo deluja na prvo, ali suprotnog smera:

Ili: Sila akcije jednaka je sili reakcije po intenzitetu i pravcu, ali je suprotno usmerena.

Wutnovi zakoni mehanike imaju isti matemati~ki oblik i va`e u svim inercijalnim sistemima referencije.

• Referentni sistemi u kojima va`i Zakon inercije nazivaju se inercijalni referentni sistemi, ili:

Sistemi referencije koji se kre}u ravnomerno pravolinijski u odnosu na dati inercijalni sistem, tako|e su inercijalni.

• Princip relativnosti kretawa mo`e se definisati na slede}i na~in.

Zakoni mehanike imaju isti matemati~ki oblik u svim inercijalnim referentnim sistemima.

Princip relativnosti izra`ava jedno od najfundamentalnijih svojstava prirode: nezavisnost zakona klasi~ne mehanike (Wutnovih zakona) od inercijalnog sistema referencije.

Zakoni mehanike ne zavise od inercijalnih sistema.

• Referentni sistem koji se u odnosu na neki inercijalni sistem kre}e ubrzano naziva se neinercijalni referentni sistem.

Neinercijalni sistemi vezuju se za tela koja se kre}u promenqivim brzinama ili po krivolinijskim putawama. Automobil, voz, avion i raketa kada zapo~iwu kretawe ili se zaustavqaju, kada pove}avaju ili smawuju brzinu, kao i kada se kre} u po zakrivqenim putawama, primeri su neinercijalnih sistema.

Postoje bitne razlike izme|u inercijalnog i neinercijalnog sistema. Tela koja se u odnosu na inercijalne sisteme kre}u stalnom brzinom, u odnosu na neinercijalne sisteme kre}u se promenqivom brzinom.

• Inercijalna sila je posledica ubrzanog kretawa referentnog sistema i deluje na tela samo u neinercijalnom sistemu. Intenzitet inercijalne sile jednak je proizvodu mase tela i ubrzawa sistema, pravac je isti kao pravac ubrzawa sistema, a smer je suprotan: .

Inercijalna sila jednaka je proizvodu mase tela i ubrzawa referentnog sistema u odnosu na koji se to kretawe opisuje.

• Centripetalna sila je srazmerna proizvodu mase tela i kvadratu brzine, a obrnuto srazmerna polupre~niku kru`ne putawe i usmerena je ka centru kru`nice.

• Inercijalna sila koja deluje u referentnom sistemu koji se kre}e po kru`noj putawi naziva se centrifugalna sila.

Centrifugalna sila ima pravac polupre~nika kru`ne putawe, a smer od centra, suprotan smeru normalnog (centripetalnog) ubrzawa. Intenzitet centrifugalne sile odre|uje se (kao i kod centripetalne sile) formulom:

gde je: m – masa tela, r – polupre~nik kru`nice, v – intenzitet brzine tela po kru`nici, ω – intenzitet ugaone brzine obrtawa referentnog sistema.

PITAWA I ZADACI

1. [ta je osnovni zadatak dinamike?

2. Koje su osnovne veli~ine dinamike?

3. Kako se defini{e impuls tela? Da li je impuls skalarna ili vektorska veli~ina?

4. Kako glasi Prvi Wutnov zakon (Zakon inercije)?

5. Za{to se telo ne mo`e trenutno pokrenuti ili zaustaviti, ve} je za to potrebno izvesno vreme?

6. Za{to je opasno iskakati iz vozila koje se kre}e?

7. Kako glasi Drugi Wutnov zakon i kako se kvantitativno iskazuje?

8. Da li se Prvi Wutnov zakon mo`e izvesti iz Drugog Wutnovog zakona?

9. Koja su osnovna svojstva inercijalnog sistema referencije?

10. Navedite primere kojima se potvr|uje Tre}i Wutnov zakon (Zakon akcije i reakcije).

11. Kako se mo`e ustanoviti da li je neki referentni sistem inercijalan?

12. Da li inercijalne sile deluju: u vozu koji se kre}e ravnomerno pravolinijski, avionu koji sle}e na pistu, satelitu koji kru`i oko Zemqe stalnom brzinom?

13. Koja je razlika izme|u inertnosti i inercije tela?

14. Mo`e li se masa tela poistovetiti sa koli~inom supstancije?

15. Kakvo je kretawe tela na koje deluje stalna sila?

16. Kako }e se kretati telo na koje deluje sila ~iji se intenzitet ravnomerno smawuje u toku vremena?

17. Koja se ispoqavawa sile, u principu, mogu koristiti za weno merewe?

18. U liftu koji se spu{ta vertikalno nani`e stalnom brzinom ~ovek ispusti neki predmet. Da li }e taj predmet br`e pasti na pod lifta nego kad bi lift bio u stawu mirovawa?

19. Koji uslovi treba da budu ispuweni da bi se telo kretalo ravnomerno po kru`noj putawi?

20*. Nalazimo se u vozu bez prozora. Na osnovu ~ega mo`emo ustanoviti da se voz pokre}e, da se nalazi u krivini i da se zaustavqa na stanici?

21. Navedite primere centripetalne sile. Pomo}u koje formule se izra~unava wen intenzitet kod ravnomernog kru`nog kretawa?

22*. Da li je centripetalna sila kod kru`nog kretawa uvek usmerena ka centru kru`nice?

Pod dejstvom sile 2 N telo pre|e put 40 m za 10 s. Po~etna brzina tela je nula. Kolika je masa tela?

RE[EWE: Iz izraza za put nalazimo ubrzawe:

Zamenom u F=ma, dobijamo: m = 2,5 kg.

4. DINAMIKA ROTACIONOG

KRETAWA KRUTOG TELA

MOMENT SILE

Kada smo opisivali kretawe usled delovawa sile ili vi{e sila, obi~no smo telo posmatrali kao materijalnu ta~ku. Pri tome nismo obra}ali pa`wu na dimenzije, oblik i strukturu tela. Ustanovili smo da se telo moè poistovetiti sa materijalnom ta~kom kada se wegove dimenzije mogu zanemariti u odnosu na pre|eni put. Telo se moè identifikovati sa materijalnom ta~kom (deli}em) i kada svi delovi (ta~ke) za isto vreme prelaze jednake duìne puta, imaju istu brzinu i ubrzawe. U tom slu~aju svaka materijalna ta~ka (deli}) moè da predstavqa kretawe tela kao celine.

Telo se mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom samo kada se telo kre}e translaciono. U slu~aju rotacionog kretawa to se ne mo`e u~initi (gubi fizi~ki smisao).

Na slici 4.1, pod a) prikazano je telo na koje se deluje silom F u ta~ki A du` wegove ose. U tom slu~aju telo }e se kretati translaciono. Ako se istom silom u ta~ki A deluje normalno na osu, telo se ne}e kretati translaciono.

Postoji samo jedan pravac du` kojeg mo`e da se deluje na telo u ta~ki A da bi se ono kretalo translaciono. To se odnosi i na sve ostale ta~ke (deli}e) tela.

Na slici 4.1 pod b) na telo deluju sile ~iji se produèni pravci presecaju u ta~ki T (teì{te tela) i one mogu da uzrokuju translaciono kretawe tela. Delovawe sila ~iji se pravci ne presecaju u ta~ki T (teì{te tela) izaziva obrtawe tela.

Pravci delovawa sila koje uzrokuju translaciono kretawe presecaju se u jednoj ta~ki, koja se naziva te`i{te tela.

Svaka sila odgovaraju}eg intenziteta ~iji pravac ne prolazi kroz te`i{te tela (npr. pravac delovawa sile trewa), mo`e da uzrokuje prevrtawe ili obrtawe tela.

Kada smo kretawe tela poistovetili sa kretawem materijalne ta~ke, pretpostavqeno je da pravac sile (ili rezultante vi{e sila) prolazi kroz te`i{te tela. U tom slu~aju te`i{te tela „zamewuje” realno telo.

Obrtawe tela razmotrili smo jo{ u osnovnoj {koli, na jednostavnim primerima (klackalica, prosta poluga, terazije, kantar).

Za opisivawe obrtawa tela tada smo uveli veli~inu – moment sile: proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmawe (normalno) rastojawe od ose rotacije do pravca delovawa sile. Tada smo upoznali i uslove ravnote`e poluge. Upoznali smo osnovne kinemati~ke veli~ine koje karakteri{u (opisuju) rotaciono kretawe tela: ugaoni pomeraj, ugaona brzina, ugaono ubrzawe.

Sl. 4.1.

DINAMIKA ROTACIONOG

Sada }emo razmotriti osnovne dinami~ke zakone rotacionog (obrtnog) kretawa krutog tela.

Pod krutim telom podrazumevamo telo kod kojeg rastojawa izme|u wegovih ~estica (deli}a) ostaju stalna (nepromewena) i u toku delovawa sile (sila). Ova definicija mo`e da se primeni u praksi i tehnici kada su deformacije realnih tela zanemarqivo male.

Kod translatornog kretawa telo dobija ubrzawe du` pravca delovawa sile. Pravac delovawa sile (ili rezultante sila), a time i pravac kretawa tela, kod translacionog kretawa nisu ograni~eni (mogu biti proizvoqni).

Da bi telo koje mo`e da se obr}e samo oko nepokretne ose ubrzano rotiralo, sila ne mo`e da deluje du` bilo kojeg ve} samo du` odre|enog pravca.

Posmatra}emo specijalan slu~aj rotacije tela oko ose ~iji je polo`aj fiksiran u prostoru (nepokretna osa). Sila deluje na spoqa{wi obod to~ka homogenog sastava normalno na radijus (sl. 4.2). Veli~ina koja karakteri{e rotaciju to~ka naziva se moment sile.Obi~no se ozna~ava sa .

Intenzitet momenta sile u ovom posebnom slu~aju je:

M = rF .

Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmaweg rastojawa od ose rotacije do napadne ta~ke sile.

U op{tem slu~aju sila nije normalna na radijus , ali se moè rastaviti na dve komponente: jednu paralelnu radijusu (u wegovom produètku) i drugu normalnu na wega (sl. 4.3). Paralelna komponenta sile moè samo translaciono da pomera osovinu ili da je deformi{e, ali ne uti~e na rotaciju tela. Moment ove komponente je nula, pa je intenzitet momenta sile jednak samo momentu wene normalne komponente :

M = rF n.

U skladu sa definicijom intenziteta vektora koji je jednak vektorskom proizvodu druga dva vektora, vidimo da se moment sile mo`e smatrati vektorskim proizvodom vektora i :

Sl.4.3.Odre|ivawe momenta sile

Na slici 4.3 geometrijski je prikazan moment sile kao vektorski proizvod.

Intenzitet momenta sile odre|en je formulom:

gde je: r – intenzitet radijus-vektora napadne ta~ke sile, F n – je intenzitet komponente sile koja je normalna na radijus r ; pravac momenta sile je normalan na ravan definisanu vektorima i a smer se odre|uje pravilom desnog zavrtwa.

Sl. 4.2. Moment sile

Jedinica momenta sile je wutn puta metar(Nm)

Razmotri}emo primer prikazan na slici 4.4. Vrata su u~vr{}ena {arkama kroz koje prolazi osa oko koje se ona obr}u. Osa je vertikalna. Na ivicu vrata se deluje silom tako da pravac sile i radijus zaklapaju ugao od 90

Nepokretna osa prolazi kroz {arke na vratima. Sila koja deluje na vrata paralelno s osom rotacije ne moè da ubrzava kretawe vrata oko ose, kao ni sila koja deluje na vrata bo~no, u pravcu normale na osu rotacije. Jedino sila (ili komponenta neke druge sile) ~iji je pravac normalan na ravan vrata, na nekom rastojawu (r ) od ose rotacije moè da mewa ugaonu brzinu, odnosno da ubrzava rotaciju vrata. Rotaciju vrata izaziva dejstvo momenta sile, koji na razli~itim rastojawima od ose rotacije uzrokuje razli~ita ugaona ubrzawa vrata. Zbog toga za opisivawe obrtnog kretawa nije dovoqno poznavati samo silu koja uslovqava to kretawe ve} je neophodno poznavati i moment sile (). Znamo da moment sile zavisi od intenziteta sile i duìne kraka. Jedan isti moment sile moè da bude ostvaren mawom silom, ali sa duìm krakom i sa silom ve}eg intenziteta sa krakom mawe duìne. Devoj~ica sa slike 4.4 koristi mawu silu mi{i}a (F2) ali na ve}em rastojawu (r2) od ose rotacije. De~ak deluje na vrata silom mi{i}a (F1) na kra}em rastojawu (r1).

MOMENT INERCIJE

Masa je mera inertnosti tela kod translacionog kretawa. Analogno tome, mera inertnosti kod rotacionog kretawa je moment inercije

[ta se mo`e re}i o inertnosti tela koja rotiraju oko fiksirane ose rotacije (ili ~iju rotaciju treba izazvati ili zaustaviti)? Odgovor }emo potra`iti u ogledu, sli~no kao {to je i definicija za masu utvr|ena na osnovu eksperimenata izvedenih u okviru prou~avawa translacionog kretawa.

Posmatra}emo dva diska, jedan aluminijumski, a drugi gvozdeni istih dimenzija (sl. 4.5). Treba delovati silom na periferiju jednog i drugog diska da bi oba rotirala jednakim ugaonim brzinama.

Sl.4.5.Rotacijaokofiksiraneose AlFe

Sl. 4.4. Razli~iti momenti sile

Sl.4.6.Odre|ivawe momentainercije

Nije te{ko zakqu~iti da }e za rotaciju diska od aluminijuma biti potrebna sila maweg intenziteta. To zna~i da je gvozdeni disk inertniji (tromiji), tj. da ima ve}u masu. Ako diskovi imaju jednake mase, lak{e je zavrteti mawi, gvozdeni disk. Sada je ovaj disk mawe trom, mawe inertan; disk od aluminijuma je inertniji. Sli~an ogled mo`e da se izvede sa diskom i prstenom. Kada se na disk i prsten istih masa i jednakih polupre~nika deluje istim tangencijalnim silama, sporije }e rotirati prsten, {to zna~i da je inertniji nego disk.

Na osnovu ovih i sli~nih ogleda mo`e se zakqu~iti da inertnost tela ne zavisi samo od mase nego i od wenog rasporeda u odnosu na osu rotacije. Stoga se za opisivawe inertnosti tela pri rotacionom kretawu uvodi nova veli~ina (analogna masi). Ta veli~ina je moment inercije.

Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretawu.

Moment inercije razmatra}emo na primeru to~ka homogenog sastava, koji rotira oko svoje ose simetrije (sl. 4.6). Posmatrani to~ak izdeli}emo na deli}e sa masama: m1, m2, m3 m n. Na svaki taj deli} (materijalnu ta~ku) deluju odgovaraju}i momenti sila koji uslovqavaju obrtawe (rotaciju) to~ka. Intenzitet momenta sile koji deluje na deli} (~esticu) mase m1, iznosi:

M1 = F1 ·r1 = m1ar1, gde je: a – intenzitet tangencijalnog ubrzawa ~estice, koji je s intenzitetom ugaonog ubrzawa povezan relacijom:

a = αr1.

Zamenom dobijamo:

Sl. 4.7. Moment inercijematerijalne ta~ke u odnosu na centar kru`nice O

M1 =m1r 2α

Izraz m1r 2 predstavqa moment inercije materijalne ta~ke (~estice deli}a) u odnosu na osu rotacije, koji }emo ozna~iti sa I1 (I1 = m1r1 2). U op{tem slu~aju, moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu (slika 4.7):

I = mr 2 .

Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu wene mase i kvadrata wenog rastojawa od te ose rotacije.

Ukupni moment inercije tela (~estice) dobija se sabirawem momenata inercije svih deli}a (~estica) u odnosu na izabranu osu rotacije:

I=m1r 2 +m2r 2 +...+m n r 2 =

Moment inercije homogenog to~ka (prstena), koji rotira oko ose simetrije jednak je proizvodu wegove mase i polupre~nika na kvadrat.

Moment inercije karakteri{e inertnost tela (to~ka) koji se obr}e (rotira). Jedinica momenta inercije je kilogram puta metar na kvadrat (kgm2).

U op{tem slu~aju, odre|ivawe momenta inercije nije jednostavno. Kod tela nepravilnog geometrijskog oblika i nehomogenog sastava izra~unavawe momenta inercije je slo`en matemati~ki zadatak. Zato se ~esto moment inercije odre|uje samo eksperimentalno.

Me|utim, i za tela pravilnog geometrijskog oblika i homogenog sastava moment inercije nema istu vrednost u odnosu na razli~ite ose rotacije. Za takva tela najjednostavnije je izra~unati moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz te`i{te tela. U tabeli su navedene formule momenta inercije za neka tela. Na osnovu definicije momenta inercije, intenzitet momenta sile je:

M = I 

Intenzitete momenta sile jednak je proizvodu momenta inercije i intenziteta ugaonog ubrzawa tela koje rotira.

DINAMIKA ROTACIONOG

MOMENT IMPULSA TELA

Op{ti zakon dinamike tela koje se kre}e pravolinijski (translaciono), zapisuje se (skalarno) u obliku:

Treba na}i odgovaraju}u relaciju u dinamici rotacije tela oko utvr|ene ose. Najjednostavnije je po}i od formule za intenzitet momenta sile u kojoj figuri{e moment inercije:

M=Iα

gde je

Kombinacijom sa prethodnim izrazom, dobija se:

U formulama (1) i (2) sila i moment sile su analogne veli~ine, pa sledi da je impulsu kod translacionog kretawa analogna veli~ina I, moment impulsa. Obi~no se ozna~ava sa L. Na osnovu toga, formula (2) mo`e da se napi{e u obliku:

Moment impulsa tela koje rotira oko fiksirane ose jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela:

Jedinica momenta impulsa je: kilogram puta metar na kvadrat u sekundi

kg m2 s

Vidi se da su impuls i moment impulsa analogne veli~ine ne samo po svojoj „ulozi” u formulama (1) i (2) nego i po definicijama: impuls je proizvod mase i brzine tela (), a moment impulsa je proizvod momenta inercije i ugaone brzine (). ––α (2) –

MOMENT IMPULSA MATERIJALNE TA^KE

Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke mase m koja se kre}e po kru`noj putawi polupre~nika r je:

L = I  = mr 2 

Kako je r  = v, dobija se:

L=mvr,

odnosno:

L=pr.

Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednak je proizvodu intenziteta wenog impulsa i polupre~nika putawe.

Vektor momenta impulsa materijalne ta~ke kod kru`nog kretawa je

L=rp .

Moment impulsa je vektorska veli~ina ~iji se pravac i smer poklapaju sa pravcem i smerom ugaone brzine (sl. 4.8):

OSNOVNI ZAKON DINAMIKE ROTACIJE

Ranije smo ustanovili da je osnovni Zakon dinamike translacionog kretawa (Drugi Wutnov zakon):

Osnovni zakon dinamike rotacije je:

Koli~nik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo.

Kod rotacije oko fiksirane ose moment sile i moment impulsa imaju pravce ose rotacije. S obzirom na to, Zakon dinamike rotacije mo`e da se zapi{e i u skalarnom obliku:

Sl. 4.8. Moment impulsamaterijalne ta~ke u odnosu na centar kru`nice

ANALOGIJA IZME\U VELI^INA I RELACIJA

DINAMIKE TRANSLACIONOG I ROTACIONOG KRETAWA

Kada uporedimo veli~ine i relacije koje karakteri{u kretawe materijalne ta~ke (ili tela koje se kre}e translaciono) s odgovaraju}im veli~inama i wihovim relacijama koje opisuju rotaciju tela oko odre|ene ose, zapazi}emo da me|u wima postoji analogija. Pri razmatrawu rotacije tela oko ose u vi{e navrata obra}ali smo pa`wu na ovu analogiju. Uporedne veli~ine i relacije za translaciju i rotaciju date su u tabeli.

TRANSLACIONO KRETAWE OBRTNO (ROTACIONO) KRETAWE

Veli~ina Oznaka (formula) Veli~ina Oznaka (formula) put s opisani ugao θ brzina ugaona brzina ubrzawe

masa m moment inercije I sila moment sile impuls moment impulsa

osnovna jedna~ina dinamike osnovna jedna~ina dinamike v a = ugaono ubrzawe

REZIME

• Moment sile je proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmawe (normalno) rastojawe od ose rotacije do pravca delovawa sile.

• Pod krutim telom podrazumevamo telo kod kojeg rastojawa izme|u wegovih ~estica (deli}a) ostaju stalna (nepromewena) i u toku delovawa sile (sila). Ova definicija mo`e da se primeni u praksi i tehnici kada su deformacije realnih tela zanemarqivo male.

• Intenzitet momenta sile je:

M = rF

Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmaweg rastojawa od ose rotacije do napadne ta~ke sile.

• Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretawu.

• Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu:

I = mr 2

Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu wene mase i kvadrata wenog rastojawa od te ose rotacije.

• Moment inercije homogenog to~ka (prstena), koji rotira oko ose simetrije jednak je proizvodu wegove mase i polupre~nika na kvadrat.

• Intenzitet momenta sile je:

M = I 

Intenzitete momenta sile jednak je proizvodu momenta inercije i intenziteta ugaonog ubrzawa tela koje rotira.

• Moment impulsa tela koje rotira oko fiksirane ose jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela:

Jedinica momenta impulsa je: kilogram puta metar na kvadrat u sekundi

Koli~nik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo. kg m2 s

• Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednak je proizvodu intenziteta wenog impulsa i polupre~nika putawe.

L=pr

• Osnovni zakon dinamike rotacije je:

PITAWA I ZADACI

1*. Telo rotira oko nepokretne ose. Da li su tada uvek isti pravac i smer: a) momenta sile i ugaone brzine; b) momenta sile i ugaonog ubrzawa; v) momenta impulsa i ugaone brzine i g) momenta impulsa i ugaonog ubrzawa?

2. Da li se telo uvek kre}e u pravcu i smeru sile koja na wega deluje? Ilustrujte primerom.

3. Kako se defini{e moment inercije materijalne ta~ke (~estice)?

4. Da li moment inercije tela u odnosu na razne ose rotacije ima iste vrednosti?

5. Da li su jednaki momenti inercije gvozdene kugle i gvozdene {ipke ako one imaju iste mase?

6. Od ~ega zavisi moment sile i kako se defini{e ova veli~ina?

7. Kako glasi Zakon dinamike rotacije ~vrstog tela?

8. Koje su veli~ine i relacije u dinamici translacije analogne veli~inama i wihovim izrazima u dinamici rotacije?

PRIMER

Odrediti moment impulsa Zemqe pri kretawu oko Sunca; masa Zemqe je m = 5,98 · 10 24 kg, a polupre~nik putawe 1,5 · 1011 m.

Zamenom brojnih vrednosti, nalazi se: kg m2 s gde

5. RAVNOTE@A TELA

UVOD

Prou~ili smo uzajamno delovawe tela koje dovodi do promene stawa wihovog kretawa. To se, u stvari, svodilo na slu~ajeve kada delovawe sile (sila) uzrokuje promenu brzine (ubrzawe) tela. Upoznali smo zakone tog kretawa (Wutnovi zakoni dinamike translacije i rotacije). Me|utim, u mnogim situacijama veoma je va`no poznavati uslove pri kojima tela, iako na wih deluju sile, ne dobijaju ubrzawe. Za takva tela se ka`e da su u stawu ravnote`e.

Postoje dinami~ka i stati~ka ravnoteà. Telo koje se kre}e ravnomerno pravolinijski (stalnom brzinom, ubrzawe jednako nuli) nalazi se u stawu dinami~ke ravnoteè. Ako telo na koje deluju sile ostaje u stawu mirovawa u odnosu na inercijalni referentni sistem, ono je u stawu stati~ke ravnoteè

Telo u stawu mirovawa je primer stati~ke ravnoteè (sl. 5.1a). Telo je u stawu ravnoteè i kada se ravnomerno pravolinijski kre}e po horizontalnom putu, pri ~emu je sila trewa jednaka sili vu~e – dinami~ka ravnoteà (sl. 5.1b).

Oblast klasi~ne mehanike u kojoj se prou~avaju uslovi i vrste ravnote`e tela (materijalne ta~ke) naziva se statika.

Statika predstavqa specijalan slu~aj dinamike. Zakoni dinamike svode se na zakone statike u slu~aju relativnog mirovawa ili ravnomernog pravolinijskog kretawa tela (materijalne ta~ke).

Poznavawe uslova stati~ke ravnoteè tela ili sistema tela veoma je zna~ajno za re{avawe mnogih prakti~nih problema, na primer, konstrukcija gra|evinskih objekata (zgrada, mostova), televizijskih torweva, raznih ma{ina, pribora itd. (U daqem izlagawu umesto stati~ka ravnoteà govori}emo samo ravnoteà.)

v= const, a= 0

Sl.5.1.Stati~karavnote`aidinami~karavnote`a

Obi~no se u mehanici, a naro~ito u statici, ne obra}a pa`wa na fizi~ka svojstva i strukturu ~vrstih tela, ukoliko se to izri~ito ne zahteva. Time se opravdava kori{}ewe uvedenog pojma materijalna ta~ka. Pored tog pojma, u statici (opet zbog jednostavnosti) postoji i pojam idealno kruto telo; kra}e – kruto telo, a ponekad i samo telo.

Statika krutog tela mnogo je jednostavnija od statike realnih tela koja se deformi{u pod uticajem spoqa{wih sila. Iako idealno kruto telo ne postoji u stvarnosti, statika toga tela mo`e da se primeni i na realna tela, pod uslovom da se wihove deformacije, izazvane delovawem spoqa{wih sila, mogu prakti~no zanemariti. Realna kruta tela su, na primer: gvozdena tela, cigla, ~ak i tela od drveta itd.

Statika se deli na statiku u ravni i prostoru. Statika u ravni prou~ava uslove ravnote`e materijalne ta~ke i tela na koje deluju spoqa{we sile ~iji pravci le`e u istoj ravni. Za razliku od toga, kod statike u prostoru pravci delovawa spoqa{wih sila su u razli~itim ravnima. Na{a razmatrawa odnosi}e se samo na statiku u ravni.

Prvo }emo upoznati uslove ravnote`e materijalne ta~ke, a zatim uslove ravnote`e krutog tela.

RAVNOTE@A MATERIJALNE TA^KE

U najjednostavnijem slu~aju, kada na materijalnu ta~ku deluju samo dve sile, ravnote`a je mogu}a jedino ako su te dve sile jednake po intenzitetu, istog pravca a suprotnog smera (kolinearne sile na slici 5.2.)

Kada na materijalnu ta~ku deluju tri ili vi{e sila, ona }e biti u ravnote`i ako je rezultanta dve sile jednaka tre}oj sili po intenzitetu i pravcu, ali suprotnog smera.

Ravnoteà materijalne ta~ke na koju deluju tri sile prikazana je na slici 5.3. Ta~ka A vezana je sa tri konca (neistegqiva i zanemarqive teìne), preko kojih se prenosi delovawe tri sile. Intenziteti tih sila odre|eni su teìnom niza tegova vezanih za suprotne krajeve konca (teìne tegova su jednake). Ta~ka A bi}e u ravnoteì ako je: . Sl. 5.2. Ravnoteà materijalneta~ke F=–

Ova ravnoteà moè se proveriti pomo}u trougla sila, kao {to je predstavqeno na slici 5.3. Tada }e intenzitet rezultante bilo kojih dveju sila biti jednak intenzitetu tre}e sile, ima}e isti pravac ali suprotan smer. Prema pravilu slagawa sila, u ovom slu~aju }e tri sile ~initi trougao. Spoqa{wim delovawem ta~ka A moè da se izvede iz tog poloàja, ravnoteà }e se poremetiti, ali posle prestanka tog delovawa ona }e se ponovo vratiti u isti poloàj ravnoteè. Me|utim, kad se intenziteti sila promene, uspostavi}e se novi poloàj ravnoteè, pri druga~ijem rasporedu sila (sl. 5.3a). Ravnoteà ta~ke A u slu~aju kada je F3 = 0 (sredi{wi konac s tegom otklowen) prikazana je na slici 5.3b. Ovde se ravnoteà svodi na slu~aj ravnoteè kada na materijalnu ta~ku A deluju dve sile.

Uslovi ravnote`e materijalne ta~ke mogu se predstaviti u pravouglom koordinatnom sistemu u ravni. Sve sile koje deluju na materijalnu ta~ku razla`u se na komponente u pravcu koordinatnih osa. Kada je rezultanta svih sila jednaka nuli, onda je i zbir komponenata u pravcu koordinatnih osa, tako|e, ravan nuli.

Sl.5.3.Ilustrativniprikazravnote`ematerijalneta~keA

2 ’

U op{tem slu~aju, uslov ravnoteè materijalne ta~ke kada na wu deluje vi{e sila ~iji pravci leè u istoj ravni, moè se zapisati u obliku:

Materijalna ta~ka nalazi se u stawu ravnote`e ako je vektorski zbir svih sila koje deluju na wu, a ~iji pravci le`e u istoj ravni, jednak nuli, odnosno ako je poligon konstruisan od tih sila zatvoren.

Razmatrali smo ravnoteù materijalne ta~ke pod pretpostavkom da sve sile koje deluju na wu imaju zajedni~ku napadnu ta~ku (ona se, u stvari, poklapa sa materijalnom ta~kom). Me|utim, kod krutog tela sile imaju naj~e{}e razli~ite napadne ta~ke. Wihovo slagawe (dobijawe rezultante) ~esto zahteva sloènije postupke. Razmotri}emo neke karakteristi~ne slu~ajeve slagawa sila sa razli~itim napadnim ta~kama, {to je neophodno za odre|ivawe uslova ravnoteè krutog tela.

SLAGAWE DVE PARALELNE SILE ISTIH SMEROVA

Da bismo odredili rezultantu dve paralelne sile i koje deluju na telo u ta~kama A i B, ne mo`emo direktno primeniti pravilo paralelograma sila, jer te dve sile nemaju zajedni~ku napadnu ta~ku (po{to se pravci sila F1 i F2 ne seku). Stoga }emo u ta~kama A i B u pravcu uvesti dve dodatne („pomo}ne”) sile F1 ’ i F2 ’ istog intenziteta i pravca a suprotnog smera (sl. 5.4). Rezultanta tih sila jednaka je nuli. Dodatne sile su pasivne i ne mewaju uslove pod kojima se telo nalazi.

Sl.5.4.Slagawedveparalelne sile sa istim smerom F2 F2 F2 ’

Slagawem sila i , odnosno i , dobi}emo dve sile i koje }emo pomerawem du` wihovih pravaca delovawa dovesti u zajedni~ku napadnu ta~ku O’. Razlagawem sila R1 i R2 u ta~ki O’ na wihove komponente, dobi}emo da u ta~ki O’ deluju dve kolinearne sile F1 i F2 i dve uravnote`ene sile F1 ’ i F2 ’ , koje se mogu ukloniti a da se delovawe na telo ne promeni. Tako smo odre|ivawe rezultante dve paralelne sile sveli na utvr|ivawe rezultante dve kolinearne sile. Rezultantu tih sila odre|ujemo tako {to u ta~ki O’ na kraj sile F1 nanosimo silu F2 i time ustanovqavamo intenzitet, pravac i smer rezultante R. Kori{}ewem svojstva kolinearnih sila, dobija se: F1 F2 F1 F1 ’ F2 F2 ’ R1 R2,

Rezultanta dve paralelne sile istih smerova sa razli~itim napadnim ta~kama jednaka je wihovom vektorskom zbiru.

Pravac rezultante R paralelan je pravcima komponenata F1 i F2 i ima isti smer kao i te komponente.

Napadna ta~ka rezultante nalazi se izme|u napadnih ta~aka datih paralelnih sila, i to na kra}em rastojawu od napadne ta~ke ve}e sile. Polo`aj napadne ta~ke rezultante O odredi}emo iz sli~nosti trouglova: AOO’~ ENO’ i BOO’~ MDO’.

Iz sli~nosti tih trouglova sledi: .

Koriste}i jednakosti EN=DM= F1’= F2’;O’N= F1 i O’D= F2 (naravno, ovde je re~ o intenzitetima sila) i deobom prve proporcije s drugom, dobijamo:

Napadna ta~ka rezultante deli rastojawe izme|u napadnih ta~aka sila koje se sla`u, u odnosu obrnuto proporcionalnom intenzitetima tih sila.

1 F1 ’ F2

Sl.5.5.Slagawedveparalelne sile suprotnih smerova

SLAGAWE DVE PARALELNE SILE

SUPROTNIH SMEROVA

Pretpostavimo da u ta~kama A i B krutog tela deluju dve paralelne sile suprotnih smerova i da je F1 > F2 (sl. 5.5). Postupak za slagawe ovih sila principijelno je isti kao postupak slagawa paralelnih sila istih smerova. U ta~kama A i B doda}emo, tako|e, par uravnote`enih sila F1 i F2 Kada se obavi slagawe odgovaraju}ih sila, dobija se da u ta~ki O’ deluju dve kolinearne sile suprotnih smerova, pa je rezultanta jednaka razlici komponenata, odnosno datih sila:

Polo`aj napadne ta~ke O rezultante R odre|ujemo iz sli~nosti trouglova: AOO' i O'DE; BOO' i O'HM, odakle sledi:

Rezultanta dve paralelne sile koje su suprotnih smerova jednaka je razlici komponenata, odnosno datih sila. Pravac rezultante paralelan je s pravcima datih sila (komponenata), a smer se poklapa sa smerom ve}e komponente.

Napadna ta~ka rezultante nalazi se na produ`enom pravcu du`i (du` koja spaja napadne ta~ke datih sila) sa strane sile ve}eg intenziteta.

Rastojawa od napadne ta~ke rezultante do napadnih ta~aka komponenata obrnuto su proporcionalna intenzitetima antiparalelnih sila F1 i F2 i odre|ena su formulom koja se dobija iz prethodne relacije:

2 B F A1 d

Sl.5.6.Spregsila

1 F2 R F2 F1 F1– F2 R –F2 F1 –. ' '

SPREG SILA. Prou~i}emo delovawe na telo dve paralelne sile F1 i F2 , istih intenziteta a suprotnih smerova (sl. 5.6). Intenzitet wihove rezultante je:

R = F1– F2=0,

jer su intenziteti datih sila jednaki. U tom slu~aju napadna ta~ka O rezultante nalazi se formalno u beskona~nosti.

Na osnovu relacije izvedene kod slagawa paralelnih sila suprotnih smerova:

dobija se:

Me|utim, iako je rezultanta ovih sila jednaka nuli, telo se ne nalazi u ravnote`i jer sile ne deluju u istoj ta~ki. Kruto telo pod dejstvom dve paralelne sile istih intenziteta a suprotnih smerova vr{i}e obrtno kretawe. Za opisivawe tog obrtnog kretawa uveden je nov pojam u statici – spreg sila

Dve paralelne sile istih intenziteta a suprotnih smerova, koje deluju na kruto telo na nekom rastojawu, ~ine spreg sila.

Da bismo potpunije prikazali obrtni efekat delovawa sprega sila, uvodimo veli~inu moment sprega sila.

Moment sprega sila obele`avamo velikim pisanim slovom M da bismo wegovu oznaku (simbol) razlikovali od oznake momenta sile, ozna~enog {tampanim velikim slovom M

Intenzitet momenta sprega sila odre|uje se zbirom intenziteta momenata obe sile, jer one obr}u telo u istom smeru (sl. 5.6). Ako posmatramo intenzitete momenata sila u odnosu na osu upravnu na ravan crte`a, dobijamo:

Intenzitet momenta sprega sila jednak je proizvodu intenziteta jedne od sila sprega i normalnog rastojawa izme|u pravaca sila (kraka sprega).

Tipi~an primer delovawa momenta sprega sila predstavqa okretawe volana automobila (sl. 5.7).

Jedinica momenta sprega u SI sistemu je Nm (wutn metar), isto kao i za rad (energiju), ali moment sprega sila treba razlikovati od rada jer su to dve razli~ite fizi~ke veli~ine.

RAVNOTE@A KRUTOG TELA

Kruto telo je u ravnote`i kada je u stawu mirovawa ili se kre}e ravnomerno pravolinijski u odnosu na neki inercijalni sistem, odnosno kada su ubrzawe i ugaono ubrzawe jednaki nuli.

Prema tome, postoje dva uslova ravnote`e.

1. Vektorski zbir svih sila koje deluju na telo jednak je nuli:

gde je: n – ceo broj.

Sl.5.7.Primersprega sila

Sl. 5.8. Ravnote`a tela kadanawegadeluje vi{e sila sa zajedni~komnapadnom ta~kom

2. Vektorski zbir svih momenata sile koji deluju na telo jednak je nuli:

gde je: m – ceo broj, ali m  n

Kada su sve sile u istoj ravni, neka tu ravan odre|uju x i y-osa koordinatnog sistema. U tom slu~aju svaka sila mo`e da se zameni svojim komponentama u pravcu x i y-ose. Sada se uslovi ravnote`e svode na tri jedna~ine u skalarnom obliku: F1x + F2x + F3x +...+ F nx =0; F1y + F2y + F3y +...+ F n y =0; M1+ M2+ M3+...+ M m =0.

Kruto telo je u ravnote`i ako su sume svih komponenata sila u pravcu x-ose i u pravcu y-ose i zbir svih momenata sila jednaki nuli.

Predznak sile je pozitivan (+) ako je wen smer u smeru x-ose, a negativan (–) ako je suprotno usmerena. Kada moment sile izaziva rotaciju u smeru suprotnom od smera obrtawa kazaqke na satu, to jest, kada je u smeru z-ose, wegov predznak je pozitivan (+), a ako izaziva rotaciju u smeru kazaqke na satu, moment se uzima sa negativnim (–) predznakom.

Kada sve sile deluju u jednoj ravni i imaju zajedni~ku napadnu ta~ku, tada su momenti svih sila u odnosu na tu ta~ku jednaki nuli. Tada je dovoqan uslov ravnote`e da zbir svih sila bude jednak nuli, odnosno da sume projekcija sila na koordinatne ose budu jednake nuli (sl. 5.8).

Ovaj uslov ravnoteè vaì i kada sile nemaju zajedni~ku napadnu ta~ku, ali se wihovi pravci seku u jednoj ta~ki. U odnosu na tu ta~ku preseka moment svake sile je jednak nuli pa, ako je zbir sila jednak nuli, onda je i rezultantni moment sila u odnosu na bilo koju ta~ku, tako|e, nula, pa je telo u ravnoteì.

VRSTE RAVNOTE@E

Ustanovili smo op{te uslove ravnoteè krutog tela. Pored toga, u re{avawu prakti~nih problema veoma je bitno utvrditi stepen stabilnosti ravnoteè posmatranog tela. U tom pogledu razlikujemo tri poloàja ravnoteè tela: stabilan, nestabilan(labilan) i indiferentan.

Ako se telo izvede iz poloàja ravnoteè, a potom, prepu{teno samom sebi, ponovo vrati u prvobitan poloàj, tada je taj poloàj ravnoteè tela stabilan (sl. 5.9).

Sl.5.9.Stabilnaravnote`a

Sl.5.10.Nestabilnaravnote`a

Rezultanta te`ine tela i sile otpora (reakcije) usmerena je tako da se pod wenim delovawem telo vra}a u raniji polo`aj.

Telo se nalazi u nestabilnom (labilnom) poloàju ravnoteè ako izvedeno iz tog poloàja, pa prepu{teno samom sebi, nastavqa i daqe da se udaqava od prvobitnog poloàja. U tom slu~aju i neznatno pomerawe tela (kuglice) od wegovog ravnote`nog poloàja dovodi do toga da ono sklizne nadole, {to je uslovqeno delovawem rezultante teìne tela i sile reakcije podloge (sl. 5.10).

Ako se telo izvede iz indiferentnog u drugi poloàj, ono, prepu{teno samom sebi, ostaje i daqe u tom novom poloàju. U tom slu~aju je rezultanta teìne tela i sile reakcije podloge uvek jednaka nuli (sl. 5.11).

Razni oblici ravnote`e mogu da se ilustruju i na primeru tela koja imaju u~vr{}enu osu rotacije. Kao primer uzmimo obi~an lewir koji se mo`e obrtati u vertikalnoj ravni oko ose koja se nalazi na jednom od wegovih krajeva ili oko ose koja prolazi kroz wegovo sredi{te (sl. 5.12). Sa A je ozna~ena ta~ka kroz koju prolazi osa rotacije a S je centar mase tela.

O~igledno je da je polo`aj ravnote`e lewira prikazan na slici 5.12 pod a) stabilan, pod b) nestabilan, a pod v) indiferentan.

Sl.5.11.Indiferentna ravnote`a

Sl.5.12.Stabilna,nestabilnai indiferentnaravnote`a

Primerstrmeravni

RAVNOTE@A TELA NA STRMOJ RAVNI. Svaka ravan nagnuta prema horizontalnoj ravni naziva se strma ravan. Ovde se ravan poistove}uje sa podlogom. Daska oslowena na zid, putevi u brdskim predelima, stepeni{ta, samo su neki realni primeri strme ravni.

Strmu ravan grafi~ki predstavqamo kao pravougli trougao. Osnova trougla AB je osnova strme ravni, strana BC – visina strme ravni, a hipotenuza AC –duìna strme ravni. Duìna strme ravni obi~no se obeleàva sa l, visina sa h i osnova sa a (sl. 5.13).

Posmatra}emo ravnoteù tela u obliku vaqka ili kugle na strmoj ravni nagnutoj prema horizontalnoj ravni pod uglom. Prepu{teno samome sebi, telo }e da se kotrqa niz strmu ravan. Intenzitet sile koja deluje paralelno s duìnom strme ravni, a pod ~ijim uticajem se telo kre}e, moèmo meriti dinamometrom. S pove}awem nagibnog ugla raste i intenzitet aktivne sile, {to se potvr|uje dinamometrom, i obratno. Pri stalnoj vrednosti nagibnog ugla, intenzitet ove sile se ne mewa, ostaje stalan.

Da bismo grafi~ki odredili silu koja uzrokuje kretawe tela niz strmu ravan, teìnu tela na strmoj ravni razlaèmo na dve komponente. Jedna od tih komponenata ima pravac paralelan s duìnom strme ravni, a druga je na wu normalna . Delovawe normalne komponente kompenzuje se silom otpora strme ravni (ona uslovqava samo pritisak tela na strmu ravan). Paralelna komponenta je aktivna; weno delovawe izaziva kretawe tela niz strmu ravan (sl. 5.13).

Da bi se telo nalazilo u stawu ravnote`e na strmoj ravni, treba delovati silom istog intenziteta i pravca, ali u suprotnom smeru u odnosu na komponentu . Intenziteti tih sila su jednaki (P = F ).

Na slici se vidi da je QTP ~ ABC. Na osnovu toga je: F:Q=h:l.

Sl.5.13.Ravnote`anastrmoj ravni

Ovo je matemati~ki izraz za uslov ravnoteè na strmoj ravni kada sila koja odràva ravnoteù tela deluje paralelno sa duìnom strme ravni.

Odnos intenziteta sile koja odràva ravnoteù tela na strmoj ravni i intenziteta teìne tela jednak je odnosu visine i duìne strme ravni. Ili: ravnoteà tela na strmoj ravni postoji kada je sila kojom se odràva ta ravnoteà mawa od teìne onoliko puta koliko je visina mawa od duìne strme ravni, to jest:

Odnos visine i du`ine strme ravni naziva se uspon strme ravni i obi~no se izra`ava u procentima:

POLUGA

Ma{ine koje se koriste u tehnici i u svakodnevnoj praksi veoma su raznovrsne i ~esto vrlo sloène. Me|utim, pored veoma sloènih, postoje i vrlo jednostavne, tzv. proste ma{ine: poluga, kotur, to~ak, strma ravan, klin, zavrtaw itd. Wihovom kombinacijom dobijaju se sloènije mehani~ke ma{ine, a mogu se koristiti i kao samostalni elementi. Me|u osnovnim elementima mehani~kih ma{ina naj~e{}e se koriste poluga, strma ravan i kotur.Kotur i to~ak su izvesne modifikacije poluge, a klin i zavrtaw posebni slu~ajevi strme ravni. Stoga }emo se ograni~iti na opisivawe tih dveju vrsta prostih ma{ina, tj. na polugu i strmu ravan. O ravnoteì tela na strmoj ravni ve} smo govorili. O strmoj ravni kao prostoj ma{ini moè se raspravqati tek posle upoznavawa pojma rada

U principu, svako kruto telo koje mo`e da se obr}e oko ta~ke oslonca, odnosno ose obrtawa jeste primer poluge. U strogom smislu, pod polugom se podrazumeva {ipka od ~vrstog materijala ~ije se popre~ne dimenzije mogu zanemariti u odnosu na wenu du`inu (sl. 5.14).

Razmotri}emo uslov ravnoteè tela koje moè da se obr}e oko nepokretne ose na primeru homogene {ipke, ~ija osa rotacije prolazi kroz ta~ku O normalno na ravan crteà (sl. 5.15).

Sl.5.14.Primenapoluge

Sl.5.15.Polugaustawuravnote`e

Poluga je u ravnoteì (u horizontalnoj ravni) ako je moment teìne de~aka i devoj~ice (sl. 5.15) jednak momentu teìne mla|eg de~aka. Ta dva momenta teìne imaju suprotne smerove du` ose rotacije poluge i iste intenzitete, pa im je zbir jednak nuli.

Poluga mo`e da se nalazi u stawu ravnote`e ne samo u slu~aju kada na wene krajeve deluju normalno dve sile ve} i kada na wu deluju tri (ili vi{e) sile na razli~itim rastojawima od ose rotacije, kao {to je prikazano na slici 5.16. Dovoqno je samo da algebarski zbir momenata sila du` vertikale, koje na wu deluju, bude jednak nuli.

Polugom ({ipkom) mo‘emo podi}i veoma te‘ak teret (slika 5.16a) – neophodno je da moment sile kojom delujemo na jedan kraj poluge bude jednak momentu sile tereta na drugom kraju poluge:

Fa=Qb.

TREWE. SILA TREWA

Iz iskustva znamo da se svako telo koje se kre}e po nekoj podlozi (putu) posle odre|enog vremena zaustavqa ako to kretawe ne podr`ava neka sila, na primer: sila vu~e motora, sila elasti~nosti, Zemqina te`a itd. Uzrok zaustavqawa tela je sila trewa.

Sila trewa pojavquje se pri svakom neposrednom kontaktu tela. Wen pravac nalazi se u ravni dodirne povr{ine, a smer te sile uvek je suprotan pomerawu tela. Sila trewa ispoqava se u vi{e oblika: sila trewa mirovawa, sila trewa klizawa, sila trewa kotrqawa i sila otpora sredine (voda, vazduh).

Trewe koje se pojavquje pri dodiru ~vrstih tela naziva se spoqa{we trewe Trewe koje nastaje me|u slojevima te~nosti ili gasa, koji se kre}u jedan u odnosu na drugi, naziva se unutra{we trewe(viskoznost). Viskoznost se pojavquje i kada se telo kre}e kroz te~nost ili vazduh (gas).

Pri kretawu ~vrstih tela u fluidima (te~nostima i gasovima), na wih deluje i sila otpora sredine, koju mo`emo smatrati posebnim tipom sile trewa.

Ovom prilikom ograni~i}emo se samo na razmatrawe trewa koje se pojavquje pri neposrednom kontaktu ~vrstih tela.

SILA TREWA MIROVAWA

Razmotrimo ogled na osnovu kojeg se mo`e prou~iti sila trewa pri relativnom stawu mirovawa tela. Na stolu se nalazi telo. Za to telo je prikqu~en dinamometar, koji vu~emo paralelno s podlogom. Telo se nalazi u stawu mirovawa iako na wega deluju sile. Telo deluje silom pritiska na sto, ali delovawe te sile kompenzuje sila reakcije (sila otpora stola). Pored toga, deluju sila trewa i sila vu~e (paralelno dodirnoj povr{ini), {to je predstavqeno na slici 5.17.

S pove}awem sile vu~e pove}ava se i sila trewa mirovawa sve dok se pri nekoj odre|enoj vrednosti te sile telo ne pokrene i ne po~ne da klizi. Zna~i da u svakom slu~aju postoji maksimalna vrednost sile trewa mirovawa.

Sila trewa mirovawa (stati~kog trewa) jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotnog smera sili koja deluje na telo paralelno sa dodirnom povr{inom tog tela s drugim telom (podlogom).

Ako je ta sila (u navedenom slu~aju, sila vu~e ) jednaka nuli, sila trewa mirovawa ne postoji.

Sl.5.17.Merewesiletrewamirovawa

Sila trewa mirovawa mo`e se ilustrovati mnogim primerima. To je sila koja nas spre~ava da pokrenemo te{ke predmete: gvozdene grede, kamene blokove, te{ke sanduke itd. Iako ta te{ka tela ne mo`emo pokrenuti s mesta, pri poku{ajima da to u~inimo, ipak se javqa sila trewa, ali je ona mawa od maksimalne sile trewa mirovawa. Kada ne delujemo na ta tela, sila trewa mirovawa jednaka je nuli.

SILA TREWA KLIZAWA I KOTRQAWA

Kada sila koja deluje na telo du` dodirne povr{ine postane ve}a od maksimalne sile trewa mirovawa (makar to bilo i neznatno), telo po~ne da se kre}e i dobija ubrzawe. U trenutku kada telo po~ne da se pomera, sila trewa mirovawa „prelazi” u silu trewa klizawa. Da bismo prou~ili od ~ega zavisi sila trewa klizawa, posmatra}emo ogled prikazan na slici 5.18. Na telo iz prethodnog eksperimenta stavili smo dopunski teg (kwigu) da bismo pove}ali silu pritiska na sto. Time se pove}ava sila koja je normalna na dodirnu povr{inu tela i stola.

Sila trewa klizawa srazmerna je sili pritiska, odnosno sili koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela (podlogu).

Ozna~imo intenzitet sile trewa sa Ft, a intenzitet sile koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela sa N; tada je:

Ft= μN, gde je: μ – koeficijent trewa klizawa.

Intenzitet sile trewa jednak je proizvodu koeficijenta trewa i sile (ili rezultante sila) koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela (podlogu).

Sl.5.18.Primer

merewa sile trewa mirovawa i klizawa

Koeficijent trewa karakteri{e obe dodirne povr{ine tela i zavisi od prirode materijala od kojeg su tela izra|ena, kao i od stepena ugla~anosti wihovih dodirnih povr{ina. Wegova vrednost zavisi i od ~isto}e tih povr{ina. Koeficijent trewa odre|uje se eksperimentalno. Wegova vrednost je neimenovan broj, mawi od jedinice. To zna~i da je, po pravilu, sila trewa mawa od sile pritiska na podlogu.

Sila trewa klizawa suprotnog je smera od brzine kretawa tela.

Ubrzawe koje telu saop{tava sila trewa tako|e je usmereno suprotno od smera kretawa, to jest sila trewa klizawa uvek dovodi do smawewa brzine tela. Sa izmenom smera brzine tela mewa se i smer sile trewa.

Eksperimentalno je ustanovqeno i da sila trewa klizawa ne zavisi od veli~ine dodirne povr{ine (sl. 5.19).

Sl.5.19.Merewepokazujedasilatrewanezavisiodveli~inedodirnepovr{ine

Pojavqivawe sile trewa moè se, pojednostavqeno, objasniti na slede}i na~in. Na povr{ini ~vrstog tela, ~ak i kad je dobro ugla~ana, nalaze se ispup~ewa i udubqewa (male pukotine) mikroskopskih razmera. Uz to, ta povr{ina je ~esto pokrivena tankim slojem oksida, gasa ili te~nosti. Zato se, pri dodiru tela pojavquju dva uzroka koja oteàvaju pomerawe jednog po povr{ini drugog tela. Jedan od uzroka je „usa|ivawe” mikroispup~ewa u mikroudubqewa, a drugi poti~e od toga {to na nekim mestima dodirnih povr{ina, posebno ako se izme|u wih nalaze oksidi, gasovi ili slojevi te~nosti, dolaze do izraàja privla~na delovawa molekulskih sila. I jedan i drugi uzrok poti~u od teìne tela ili wene normalne komponente (ako se telo nalazi na strmoj ravni), ili bilo koje druge sile koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela.

Sila trewa mawa je kada su povr{ine ugla~ane, a pove}ava se kada su dodirne povr{ine tela grubo obra|ene. Me|utim, to va`i samo do izvesnih granica. Kada su povr{ine jako ugla~ane, tela se vi{e priqubquju jedno uz drugo, {to izaziva nagli porast koeficijenta trewa, i to usled pove}anog me|umolekulskog privla~ewa.

Sila trewa mirovawa ote`ava, a u nekim slu~ajevima, ~ak, i spre~ava kretawe tela. Me|utim, postoje mnogobrojni primeri kad upravo sila trewa mirovawa omogu}ava kretawe tela. Na primer, hodawe omogu}ava upravo sila trewa mirovawa (sl. 5.20). Da ne postoji sila trewa mirovawa, predmeti se ne bi mogli pomeriti, automobili se ne bi mogli pokrenuti bez obzira na intenzitet vu~ne sile motora, ali ni zaustaviti pri ko~ewu. Kai{evi na mnogim prenosnim ure|ajima raznih transmisija ne bi mogli da se pokre}u bez delovawa sile trewa.

Sl.5.20.Silatrewakodklizawa

Sl.5.21.Silatrewa kotrqawa

[tetne posledice trewa su brojne. Navedimo samo neke. Na{a odela nosili bismo neograni~eno vreme kada ne bi postojalo trewe. Zagrevawe dodirnih povr{ina ~vrstih tela prouzrokovano je, tako|e, trewem itd. Da bi se izbegle {tetne posledice trewa, u tehnici se primewuju razli~ite metode za smawivawe trewa. To se posti`e podmazivawem dodirnih povr{ina ~vrstih delova raznim vrstama uqa, a ~esto i time {to se trewe klizawa zamewuje trewem kotrqawa (sl. 5.21).

KRETAWE TELA POD UTICAJEM SILE TREWA. Pretpostavimo da se pred motornim vozom (ili automobilom) iznenadno na|e neka prepreka. U tom trenutku ma{inovo|a iskqu~uje motor i ukqu~uje sistem za ko~ewe. Od tog momenta na kompoziciju voza deluje sila trewa izme|u ko~nica i to~ka te to~ka i {ina. Te`ina voza kompenzovana je silom reakcije {ina, a sila otpora vazduha prakti~no je zanemarqiva. Ostaje, dakle, da na kompoziciju voza deluje samo sila trewa. Pod uticajem te sile voz se zaustavqa po{to je pre{ao odre|eno rastojawe – put ko~ewa. Usled sile trewa voz se kre}e usporeno, negativnim ubrzawem:

gde je: Ft intenzitet sile trewa, a m – masa voza. Izaberimo koordinatnu x-osu, tako da se wen pozitivan smer poklapa sa smerom brzine kretawa voza (sl. 5.22). Po{to je sila trewa suprotno usmerena od smera brzine voza, i ubrzawe koje ona saop{tava suprotno je orijentisano u odnosu na smer brzine. To ubrzawe je negativno, dakle, usporewe:

Sl.5.22.Ko~ewekod voza

gde je v0 – intenzitet brzine voza u trenutku po~etka ko~ewa t0, v – intenzitet brzine na putu ko~ewa voza u trenutku t. Krajwa vrednost brzine voza je nula (v =0). Dakle: Odavde je vreme od po~etka ko~ewa do zaustavqawa voza:

Sada se mo`e na}i put ko~ewa (l). Za to se koristi formula:

Po{to je v =0, to je:

Iz formule vidimo da je pre|eni put, kada na telo deluje sila trewa – put ko~ewa, srazmeran kvadratu brzine. Ako se intenzitet brzine udvostru~i, put ko~ewa pove}ava se ~etiri puta. To treba da imaju na umu voza~i svih prevoznih sredstava.

OTPOR VAZDUHA I GRANI^NA BRZINA

Padobranac, po{to pro|e odre|eno vreme posle otvarawa padobrana, vi{e ne pada ubrzano, ve} se spu{ta konstantnom brzinom ~ija vrednost zavisi od tipa padobrana i od mase padobrana. Kada padobranac u padu postigne odre|enu grani~nu brzinu, on posle toga nema ubrzawe (a= 0) i nastavqa ravnomerno kretawe (v =const). To vaì za svako telo koje pada u vazduhu, npr. kap ki{e, kuglica leda, pero, kamen, avionska bomba itd. Kako to razumeti? Obja{wewe je u tome {to se sila otpora vazduha pove}ava sa uve}awem brzine. Pri mawim brzinama pribli`no vaì F o =kv, a pri ve}im brzinama F o =kv2 (k – zavisi od oblika i povr{ine popre~nog preseka). Telo u po~etku ubrzava, a sa pove}awem brzine sve vi{e se pove}ava i sila otpora vazduha. Pri odre|enoj brzini tela sila otpora vazduha postaje jednaka po pravcu i intenzitetu Zemqinoj teì, ali suprotnog smera, pa se ove dve sile uravnoteùju i telo, nakon toga kre}e se ravnomerno, tj. konstantnom brzinom. Ta brzina naziva se grani~na brzina. Telo koje se kre}e grani~nom brzinom nalazi se u stawu dinami~ke ravnoteè. Sila otpora vazduha, osim od brzine, zavisi i od aerodinami~kog oblika tela, povr{ine normalnog popre~nog preseka itd. Grani~na brzina za razli~ita tela veoma je razli~ita; najvi{e zbog wihovog razli~itog aerodinami~kog oblika. Za ki{ne kapqice grani~na brzina iznosi izme|u 3 i 7 , zavisno od wihove mase. Otpor vazduha {titi nas od mnogo ve}eg ubrzawa ki{nih kapqica, koje bi, da ne postoji otpor vazduha, imale razorne efekte po povr{ini Zemqe (bili bi to ki{ni projektili).

m s m s

REZIME

• Oblast klasi~ne mehanike u kojoj se prou~avaju uslovi i vrste ravnoteè tela pod dejstvom sila naziva se statika. Poznavawe uslova stati~ke ravnoteè tela ili sistema tela veoma je zna~ajno za re{avawe mnogih prakti~nih problema, na primer, pri konstrukciji i izgradwi gra|evinskih torweva, raznih ma{ina, pribora itd. Va`no je poznavati i uslove dinami~ke ravnoteè pri kojoj se uspostavqa konstantnost brzine, na primer, transportnih objekata. Konstantnost brzine na brzinometru automobila, na primer, govori o tome da su sila optora i sila vu~e motora izjedna~ene po intenzitetu i pravcu, a imaju suprotne smerove. Tada nastaje takozvana dinami~ka ravnoteà. Analogna je situacija i kod drugih prevoznih sredstava.

U op{tem slu~aju, uslov ravnoteè materijalne ta~ke kada na wu deluje ve}i broj sila ~iji pravci leè u istoj ravni, moè se zapisati u obliku: .

• Materijalna ta~ka se nalazi u stawu ravnote`e ako je zbir svih sila koje deluju na wu, a ~iji pravci le`e u istoj ravni i presecaju se u istoj ta~ki, jednak nuli.

U op{tem slu~aju da bi telo bilo u ravnote`i, treba da budu ispuwena dva uslova istovremeno, {to se zapisuje u obliku: ; , gde je n  m.

• Kruto telo na koje deluje vi{e sila nalazi se u stawu ravnote`e ako je vektorski zbir tih sila ravan nuli i kada je vektorska suma momenata tih sila u odnosu na bilo koju izabranu ta~ku koja se nalazi u ravni odre|enoj pravcima datih sila, tako|e, jednaka nuli.

Ova dva uslova va`e samo za stabilne i indiferentne ravnote`e, koje u praksi imaju poseban zna~aj.

• Sila trewa mirovawa (stati~kog trewa) jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotnog smera sili koja deluje na telo paralelno sa dodirnom povr{inom tog tela s drugim telom (podlogom).

• Sila trewa klizawa srazmerna je sili pritiska, odnosno sili koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela (podlogu).

Ozna~imo intenzitet sile trewa sa Ft, a intenzitet sile koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela sa N; tada je:

Ft= μN, gde je: μ – koeficijent trewa klizawa. n nm

Intenzitet sile trewa jednak je proizvodu koeficijenta trewa i sile (ili rezultante sila) koja normalno deluje na dodirnu povr{inu tela (podlogu).

1. Kada nastupa stati~ka, a kad dinami~ka ravnote`a tela?

2. Od ~ega zavisi intenzitet rezultante dveju sila ako se wihovi intenziteti ne mewaju?

3. Kako se nalazi zajedni~ka napadna ta~ka i rezultanta dveju sila koje deluju na telo pod uglom u dve napadne ta~ke?

4. Kada se telo koje mo`e da vr{i samo translaciono kretawe nalazi u stawu stati~ke, odnosno dinami~ke ravnote`e?

5. Kako se grafi~ki dobija rezultanta paralelnih sila (koje imaju isti smer)? Kako se odre|uju wen intenzitet, pravac i smer?

6. [ta je krak sile, a {ta moment sile?

7. Za{to se matica zavrtwa lak{e obr}e ako se koristi du`i kqu~?

8. Kada nastaje spreg sila? [ta je moment sprega sila?

9. Koja dva uslova treba da budu istovremeno ispuwena da bi se kruto telo (koje mo`e da izvodi translaciono i rotaciono kretawe) nalazilo u stawu ravnote`e?

PITAWA I ZADACI ?

10. Da li je telo uvek u ravnote`i ako je rezultanta sila koje na wega deluju jednaka nuli?

11*. Koji je uslov ravnote`e na strmoj ravni kada sila deluje na telo pod uglom u odnosu na du`inu strme ravni?

12. Navedite primere za razne vrste ravnote`e tela.

13. Kad je poluga na koju deluju dve sile u ravnote`i?

14. Za{to pri dizawu tereta polugom delujemo silom na du`i krak?

15. Navedite primere primene raznih vrsta poluga.

16*. U odnosu na koju ta~ku rezultantni moment sile treba da bude jednak nuli da bi telo bilo u ravnote`i?

17. Navedite primere kretawa tela pod uticajem sile trewa.

18. Kako je usmereno ubrzawe tela koje uzrokuje sila trewa?

19. Mo`e li se kretawe tela pod uticajem sile trewa smatrati ravnomerno usporenim?

20*. Kako }e se kretati telo po strmoj ravni ako je projekcija sile te`e na pravu paralelna strmoj ravni po intenzitetu jednaka sili trewa?

21*. Kojem osnovnom tipu interakcija pripada sila trewa?

22*. Sila trewa i sila elasti~nosti pripadaju istom tipu interakcije. Ali, me|u tim silama, ipak, postoje odre|ene razlike. Navedite te razlike.

23*. Sila trewa me|u to~kovima bicikla i puta skoro da ne zavisi od brzine. Ukoliko biciklista razvije ve}u brzinu, utoliko ve}om silom mora da deluje na pedale. S ~im je to povezano?

24. Navedite korisna i {tetna dejstva sile trewa.

25*. Kako biste opisali svet u kome ne postoji sila trewa?

Fot Fot

Fot< mgFot= mg

PRIMER

Ki{na kap ima masu 0,1g. Kolika sila otpora vazduha deluje na kap u blizini Zemqine povr{ine?

RE[EWE: Grani~na brzina ki{ne kapi je postignuta na ve}im visinama, pa se ona kre}e (pada) u blizini Zemqine povr{ine ravnomerno (konstantnom brzinom). Sile koje tada deluju na ki{nu kap su uravnote`ene.

Fot= mg.

F ot=0,1 ⋅ 10–3kg ⋅ 9,81

F ot=9,81 ⋅ 10–4N.

mgmg a = 3,206 b h

PRIMER

Koliko je ubrzawe tela na strmoj ravni nagiba 30 ako je koeficijent trewa 0,2?

RE[EWE: U re{avawu ovog zadatka koristi}emo odnose stranice i visine datog trougla.

Kod date strme ravni intenziteti sila i su jednaki:

pa je intenzitet sile trewa:

Tada je:

Posle zamene podataka, dobija se: F n N F n Ft

F p F p m s2 ––().

6. GRAVITACIJA

Poqski nau~nik Nikola Kopernik , tvorac heliocentri~nog sistema, ozna~io je kraj dominacije pogre{ne geocentri~ne teorije, po kojoj se sve planete, Sunce i Mesec kre}u oko Zemqe.

Su{tina Kopernikovog sistema (heliocentri~nog sistema) izra`ena je u stavovima:

1) Planete se kre}u ravnomerno po kru`nim putawama oko Sunca. Ta kretawa su neprekidna i vremenski neograni~ena.

2) Polupre~nik Zemqe je neznatan u odnosu na polupre~nik wene putawe oko Sunca (polupre~nik Zemqe je oko 6 400 km, a polupre~nik Zemqine putawe oko Sunca iznosi oko 150 000 000 km).

3) Prividno kretawe nebeskih tela, pa i Sunca, posledica je obrtawa Zemqe oko sopstvene ose i istovremenog kretawa oko Sunca.

4) Godi{we prividno pomerawe Sunca u odnosu na zvezde posledica je kretawa Zemqe oko Sunca, sa periodom od jedne godine. Smewivawe dana i no}i uslovqeno je obrtawem Zemqe oko svoje ose i time {to je osvetqena Sun~evom svetlo{}u.

Jedan od najistaknutijih boraca za usvajawe Kopernikovog pogleda na svemir bio je znameniti italijanski mislilac \ordano Bruno. On je Kopernikovo u~ewe preneo {irom Evrope. Pro{irio je Kopernikovo shvatawe tvrde}i da ni Sunce nije sredi{te svemira, nego da je svemir beskrajan i ispuwen zvezdama, da je Sunce samo jedna zvezda me|u milionima drugih i da postoji jo{ mnogo svetova sli~nih na{em Sun~evom sistemu. Zbog naprednih shvatawa, koja su bila u suprotnosti sa tada{wim crkvenim verovawima, \ordana Bruna je osudila Inkvizicija i posle osmogodi{weg tamnovawa i mu~ewa spalila ga na loma~i 1600. godine.

Kona~nom usvajawu Kopernikovog pogleda na svet najvi{e je doprineo, tako|e, italijanski fizi~ar i astronom Galileo Galilej (1564–1642). On je po~etkom XVII veka mno{tvom ~iwenica dokazao ispravnost Kopernikovih i Brunovih ideja. ^ak je konstruisao i poseban durbin za posmatrawe nebeskih tela. Pomo}u wega je otkrio da na Mesecu postoje planine, {to je potvrdilo da ima i drugih nebeskih tela sli~nih Zemqi.

NikolaKoppernick (1473–1543)

Merkur

Neptun Venera

Mars Jupiter Uran Zemqa Saturn

Zatim je otkrio ~etiri Jupiterova satelita, koji oko wega kruè sli~no kao Mesec oko Zemqe. Time je pobijena stara tvrdwa da se sva nebeska tela kre}u oko Zemqe. Ustanovio je, tako|e, da se Venera kre}e po putawi oko Sunca, a ne oko Zemqe, kao {to se ranije mislilo. U svojim daqim istraìvawima otkrio je i Saturnov prsten. Na osnovu promena poloàja Sun~evih pega pokazao je da se i Sunce obr}e oko svoje ose. Usmeriv{i svoj durbin na Kumovu slamu, ustanovio je da se ona sastoji od miliona zvezda, veoma udaqenih, i time potvrdio Brunovu pretpostavku da je svemir beskrajan i ispuwen zvezdama.

Posle Galilejevih otkri}a postalo je jasno da „mala” Zemqa ne mo`e da bude sredi{te svemira oko koga bi se kretala ostala nebeska tela. Galilej je svojim otkri}ima, dakle, doprineo kona~nom usvajawu heliocentri~nog sistema.

KEPLEROVI ZAKONI

JohannKepler (1571–1630)

Johan Kepler, nema~ki astronom, matemati~ar i fizi~ar, jedan od tvoraca nebeske mehanike, ustanovio je zakone kretawa planeta (Keplerovi zakoni) i time definitivno utvrdio ispravnost Heliocentri~nog sistema.

Johan Kepler je na osnovu astronomskih podataka o kretawu planeta u Sun~evom (Kopernikovom) sistemu koje je sakupio Tiho Brahe ustanovio da su putawe planeta elipti~nog* a ne kru`nog oblika. On je definisao zakone kretawa planeta oko Sunca, koji su nazvani Keplerovi zakoni.

Prvi zakon. – Planete se kre}u oko Sunca po elipti~nim putawama; u zajedni~koj `i`i tih elipsi nalazi se Sunce.

Ta~ka na elipti~noj putawi u kojoj je planeta najbli`a Suncu naziva se perihel; woj je suprotna ta~ka afel (najudaqenija od Sunca).

Drugi zakon. – Svaka planeta se kre}e tako da du` koja spaja planetu sa Suncem za isto vreme prebri{e jednake povr{ine (sl. 5.2). To zna~i da su osen~ene povr{ine:

S1 = S2 = S3 = ... = const.

* Elipsa je zatvorena kriva linija koja podse}a na izdu`enu kru`nicu.

Povr{ina koju du` (radijus-vektor) Sunce – planeta prebri{e u jedinici vremena zove se sektorska brzina. Primenom pojma sektorske brzine, Drugi Keplerov zakon glasi:

Sektorska brzina planete je konstantna:

= const.

B2A2

B A n n u op{tem slu~aju : r6

r4 r3

A1B1

Sl. 6.2

Tre}i zakon. –Kvadrati vremena obila`ewa ma koje dve planete oko Sunca srazmerni su kubovima velikih poluosa (pribli`no polupre~nika) wihovih elipti~nih orbita.

Ako je planeta udaqenija od Sunca, wen period je ve}i.

Kada je re~ o kretawu dve planete:

perihel afel = const. = const. ; r5

Keplerovi zakoni omogu}avaju da se na osnovu poznavawa poloàja jedne planete u odnosu na Sunce i odgovaraju}ih vremena obilaèwa oko Sunca (perioda) izra~una poloàj druge planete.

Na osnovu Drugog Keplerovog zakona zakqu~uje se da se planeta br`e kre}e ukoliko je bli`a Suncu i da ima najve}u brzinu u perihelu, a najmawu u afelu.

Kretawe planeta oko Sunca prikazano je na slikama 6.1 i 6.2.

Sl.6.1.PutawaplaneteokoSunca

WUTNOV ZAKON GRAVITACIJE

Po~etkom XVII veka ve}ina nau~nika kona~no prihvata Heliocentri~ni sistem. Me|utim, nau~nicima toga vremena nisu bili jasni ni zakoni kretawa ni uzroci koji dovode do kretawa planeta Sun~evog sistema (Heliocentri~nog sistema).

Johan Kepler je otkrio i formulisao zakone kretawa planeta oko Sunca na osnovu brojnih rezultata merewa koje je izvr{io Tiho Brahe, kao i vlastitih merewa. Trebalo je, zatim, definisati silu koja odre|uje kretawe planeta. Ali, ni Kepler ni wegovi savremenici to nisu uspeli da u~ine. Problem je re{io genijalni engleski nau~nik Isak Wutn (1642–1727).

Ideju da sila koja uzrokuje slobodno padawe tela na Zemqu i sila koja reguli{e kretawe nebeskih tela imaju istu prirodu Wutn je pokrenuo jo{ dok je bio student. Ali, prva izra~unavawa nisu dala adekvatne rezultate po{to su u to vreme podaci o rastojawu od Zemqe do Meseca bili neta~ni. Ne{to kasnije ti podaci su ispravqeni. Na osnovu toga su ura|eni novi prora~uni, koji se nisu odnosili samo na kretawe Meseca nego i na sve u to vreme otkrivene planete Sun~evog sistema, komete, kao i na slobodno padawe tela na Zemqinu povr{inu i na pojavu plime i oseke. Na osnovu tih rezultata, Wutn je formulisao Zakon gravitacije , kasnije nazvan Wutnov zakon gravitacije

Intenzitet gravitacione sile proporcionalan je masama dva tela, odnosno: F ∼ m1m2.

^uvenaWutnovajabuka. Premalegendi,Wutnje posmatraopadjabukesa drvetaido{aonaideju kojagajedovelado otkri}aZakona gravitacije. ω : :: :

Budu}i da se elipti~ne putawe planeta ne razlikuju mnogo od kru`nica (za koje va`i: ), mo`e se napisati:

gde su: a1 i a2 – intenziteti centripetalnih ubrzawa planeta; T1 i T2 – vremena obila`ewa planeta oko Sunca i r1 i r2 – polupre~nici wihovih orbita. Odavde sledi:

Kako je po Tre}em Keplerovom zakonu T1 2 : T2 2 = r1 3 : r23, dobijamo

a to zna~i da je u op{tem slu~aju:

Dakle, centripetalno ubrzawe planeta obrnuto je proporcionalno kvadratu rastojawa planeta od Sunca.

Kako je gravitaciona sila (kao i sila uop{te) proporcionalna ubrzawu tela (planete), proizlazi da je i gravitaciona sila obrnuto srazmerna kvadratu udaqenosti planeta od Sunca, ili:

Wutn je na taj na~in otkrio zavisnost gravitacione sile od udaqenosti planeta od Sunca.

Koriste}i obe zavisnosti gravitacione sile: od masa Sunca i planete i od wihovog me|usobnog rastojawa, Wutn je formulisao Op{ti zakon gravitacije, koji va`i za sva nebeska tela i za sva tela uop{te:

Intenzitet sile uzajamnog privla~ewa dve materijalne ta~ke, ili dva homogena tela sfernog oblika, srazmeran je proizvodu wihovih masa i obrnuto srazmeran kvadratu rastojawa me|u tim materijalnim ta~kama (sfernim telima*).

Pravac te sile prolazi kroz materijalne ta~ke (odnosno kroz centre sfera), a smer ove sile koja deluje na oba tela je ka centru drugog tela (sl. 6.3).

Koeficijent γ, u Zakonu gravitacije naziva se gravitaciona konstanta. Ona je brojno jednaka sili izme|u tela jedini~nih masa na jedini~nom rastojawu

Sl.6.3.Gravitacionasilaizme|u dvata~kastatelaiizme|udva sfernahomogenatela mm MM r r γ 6,7Nm2 kg2 –::,

Sunce i planete, Zemqa i Mesec, na primer, mogu se smatrati materijalnim ta~kama u odnosu na radijuse wihovih putawa pri izra~unavawu wihovog uzajamnog delovawa. Tela sfernog oblika privla~e se istom silom, kao i materijalne ta~ke odgovaraju}ih masa koje se nalaze u centru tela, ~ak i kada im dimenzije nisu zanemarqive u odnosu na wihovo me|usobno rastojawe – rastojawe izme|u wihovih centara.

* Mo`e se smatrati da je masa tela sfernog oblika i homogenog sastava, koncentrisana u centru, pa se zato ta tela mogu poistovetiti sa materijalnom ta~kom.

Ako tela imaju druge oblike i velike dimenzije u odnosu na wihovo me|usobno rastojawe, intenzitet sila uzajamnog delovawa ne moè se prikazati tako jednostavnom relacijom koja vaì za ta~kasta ili sferna tela. U tim sloènim slu~ajevima sila gravitacionog delovawa me|u telima nalazi se po principu superpozicije: vektorskim sabirawem sila, uzajamnog gravitacionog delovawa svih ta~kastih elemenata jednog tela sa svim elementima drugog tela.

Prema Wutnovom zakonu gravitacije, sila uzajamnog privla~ewa tela ne zavisi od wihove relativne brzine, ve} samo od wihovih me|usobnih rastojawa (polo`aja). Va`no je ista}i i da gravitacione sile izme|u dva tela ne zavise ni od prirode sredine izme|u tih tela. To zna~i da }e gravitaciona sila izme|u dva tela biti ista nezavisno od toga da li se ona nalazi u vazduhu ili u vodi, pod pretpostavkom da je wihovo me|usobno rastojawe u oba slu~aja isto.

[ta su{tinski predstavqaju gravitacione sile? Kakva je wihova uloga, koje je wihovo mesto u prirodi? Daqe, kakvo je wihovo fizi~ko poreklo i kakva im je priroda? Odgovoriti na ta pitawa nije tako jednostavno. âk ni do danas to nije ura|eno do kraja. Tek se mogu o~ekivati adekvatniji odgovori. Ali, to ne osporava nau~nu vrednost Wutnove formulacije Zakona gravitacije. Jedno od najbitnijih svojstava sile gravitacije je da se ona javqa me|u svim telima nezavisno od wihove mase i dimenzija: me|u telima nebeskih razmera kao i me|u najsitnijim ~esticama. Za gravitacione sile ne postoji prepreka kojom se moè spre~iti, zaustaviti wihovo delovawe. To nije slu~aj, na primer, sa elektri~nim silama. Metalni ekran moè biti dovoqna prepreka za delovawe elektri~nih sila.

Gravitacione sile me|u obi~nim telima su vrlo slabog intenziteta. One dolaze do izra`aja (postaju dominantne) tek kod kosmi~kih tela (tela velikih masa).

Domet delovawa gravitacionih sila u teorijskom smislu je beskona~no veliki. Me|utim, u prakti~nom smislu domet delovawa je, ipak, ograni~en. Na primer, delovawe Zemqine gravitacije na rastojawima od nekoliko stotina hiqada kilometara mo`e se prakti~no zanemariti. Zahvaquju}i velikom dometu, gravitacione sile „vezuju” sva tela u vasioni.

Gravitaciona sila koja poti~e od jednog tela (Zemqe, Meseca, Sunca i sli~no) u istim ta~kama saop{tava jednako ubrzawe svim drugim telima, nezavisno od wihove mase, strukture, oblika i zapremine. To je, tako|e, jedna od bitnih karakteristika gravitacionih sila koje ne poseduju drugi tipovi sila.

Saglasno Drugom Wutnovom zakonu mehanike, ubrzawe tela je srazmerno sili koja deluje na wega, a obrnuto je srazmerno masi tog tela:

Da bi ubrzawe bilo nezavisno od mase tela, neophodno je da si la bude srazmerna masi, tako da odnos sile i mase ostaje uvek sta lan. Koliko se uve}a (smawi) masa tela, toliko se pove}a (smawi) sila, tako da ubrzawe (odnos sile i mase) ostaje stalan, ne promewen. To je slu~aj kod gravitacionih sila.

To svojstvo ne poseduju drugi tipovi sila. Ilustrujmo to i slede}im primerom. Uzmimo dva tela: pingpong lopticu i olovnu kuglu iste zapremine. Masa prvog tela je, recimo, oko 300 puta mawa od mase drugog tela. Zna~i, da bismo saop{tili olovnoj kugli ubrzawe, jednako kao i pingpong loptici, na wu je potrebno delovati 300 puta ve}om silom (vremena delovawa su, naravno, jednaka). Me|utim, pod uticajem Zemqine te`e, i pingpong loptica i olovna kugla padaju jednakim ubrzawem u vakuumu. Dakle, gravitaciono privla~ewe je regulisano u skladu s masama tela: koliko puta je masa olovne kugle ve}a od mase pingpong loptice, toliko puta je ve}e i weno privla~ewe od strane Zemqe, tako da intenzitet ubrzawa gravitacione sile ne zavisi od mase tela: (g= ).

PRIMER

Dve olovne kugle imaju masu po 100 kg. Rastojawe izme|u wihovih centara je 1 m Kolika je gravitaciona sila uzajamnog privla~ewa ovih tela?

RE[EWE:

GRAVITACIONA SILA U BLIZINI

ZEMQINE POVR[INE

Iz svakodnevnog iskustva znamo da sva tela padaju na Zemqu (sl. 6.4) ako to kretawe ne spre~avaju druga tela (podloga, tela oka~ena o spiralu, kanap, konac itd.). [ta je uzrok padawu tela? Uzrok je gravitaciona sila Zemqe Na telo koje se nalazi nad Zemqinom povr{inom Zemqa deluje silom intenziteta:

gde je m – masa tela, M – masa Zemqe, R – polupre~nik Zemqe, h – visina na kojoj se dato telo nalazi.

Sl.6.4.Telaslobodno padajunaZemqinu povr{inu

6.5

Ova sila ima pravac Zemqinog polupre~nika na mestu (ta~ki) gde se telo u datom trenutku nalazi, a smer ka centru Zemqe (sl. 6.5).

Ako je telo na Zemqinoj povr{ini ili se nalazi na relativno maloj visini iznad Zemqine povr{ine (h << R), gravitaciona sila ima intenzitet:

Ova formula nije sasvim ta~na, jer Zemqa nije idealna kugla niti je homogenog sastava. Gravitaciona sila koja deluje na isto telo u raznim polo`ajima nije ista: ve}eg je intenziteta na povr{ini mora nego na visokoj planini, nema iste vrednosti na ekvatoru i na polovima. Te razlike utvr|ene su merewima, ali se obi~no zanemaruju.

ZEMQINA TE@A

Znamo da telo ispu{teno sa neke visine bez po~etne brzine (v0 = 0) ubrzano pada prema Zemqinoj povr{ini. Takvo kretawe je slobodan pad

Sila koja uzrokuje slobodan pad tela naziva se Zemqina te`a (ili sila te`e).

Zemqina te`a se predstavqa formulom:

gde je: m – masa tela, a g – ubrzawe slobodnog pada.

Zemqina te`a i gravitaciona sila, strogo posmatrano, ne mogu se poistovetiti. Zemqa se obr}e oko svoje ose, pa na sva tela deluje i odgovaraju}a centrifugalna sila koja uti~e na kretawe tela pri slobodnom padu.

Posmatrano iz obrtnog referentnog sistema vezanog za Zemqu:

Zemqina te`a (sila te`e) rezultanta je gravitacione i centrifugalne sile koje deluju na telo:

Pravac ove sile ne prolazi kroz centar Zemqe. U skladu s tim mewa se i wen smer (sl. 6.6). Ovde je centrifugalna sila inercijalna sila koja se javqa usled Zemqine rotacije. Usled wenog delovawa, u strogom smislu, telo koje slobodno pada (kao i telo koje se kre}e vertikalno navi{e), kre}e se po krivolinijskoj putawi. Me|utim, ova krivolinijska putawa se obi~no, ako nije re~ o preciznim prora~unima, aproksimira pravom linijom (mali intenzitet centrifugalne sile). Sl. 6.6

UBRZAWE SLOBODNOG PADA

Zemqina te`a (sila te`e) uzrokuje slobodni pad tela (po~etna brzina v0 = 0).

Ubrzawe tela pri slobodnom padu je:

Ako se zanemari delovawe centrifugalne sile, onda je:

Ubrzawe slobodnog pada ne zavisi od mase tela. Svakako, to va`i za slobodan pad tela u vakuumu, jer u svakoj sredini na kretawe tela uti~e i sila otpora, pa u sredinama kao {to su vazduh (atmosfera) i voda tela padaju sa razli~itim ubrzawima.

TE@INA TELA

Usled delovawa Zemqine teè sva tela, kada su spre~ena slobodno da padaju, pritiskaju podlogu koja ih zadràva ili zateù konac, nit, metalnu oprugu o koju su obe{ena.

Sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu, isteè metalnu oprugu, zateè konac, nit i sli~no usled delovawa Zemqine teè u inercijalnom sistemu referencije, naziva se teìna tela.

Iako je Zemqina teà uzrok teìne tela, ove dve veli~ine ne moèmo poistovetiti. Dakle, treba razlikovati teìnu tela i Zemqinu teù.

Zemqina teà i teìna tela imaju jednake intenzitete ( F g = Q ), pravac i smer samo na povr{ini Zemqe, uz pretpostavku da su tela u stawu mirovawa ili se kre}u ravnomerno pravolinijski u odnosu na Zemqu i da se Zemqa ne obr}e oko svoje ose. Ali, ni tada nemaju istu napadnu ta~ku. Napadna ta~ka Zemqine teè nalazi se u telu, i to u teì{tu, a teìna tela u ta~ki oslonca ili u ta~ki ve{awa (sl. 6.7).

Sl. 6.7. Sila te`e i te`ina tela na povr{iniZemqe(kadasezanemari wenarotacija)imajuistiintenzitet, pravacismer,alinemajuistunapadnu ta~ku

Sl.6.8.Utoku

slobodnog padawa na teloidaqedeluje Zemqina te`a, a wegovate`inaje jednakanuli

Sl. 6.9

Ako se prekine konac o kome visi telo, Zemqina teà i daqe deluje na telo i ono pada na Zemqu, ali teìna tela je jednaka nuli (Q = 0), jer ono vi{e ne zateè konac (ne deluje u ta~ki ve{awa, sl. 6.8).

Kada slobodno pada podloga na kojoj se nalazi telo, telo ne pritiskuje podlogu i te`ina tela je, tako|e, jednaka nuli, ali Zemqina te`a i daqe deluje i na podlogu i na telo.

Jedinica za merewe te`ine tela je ista kao i jedinica za merewe sile (wutn).

Stoga se te`ina tela, kao i sila uop{te, meri dinamometrom.

Obi~no se posmatra teìna tela koje se nalazi u stawu mirovawa u odnosu na Zemqu, koja na wega deluje gravitacionom silom. Isti rezultati se dobijaju i kad se teìna tela meri u bilo kojem referentnom sistemu koji se u odnosu na Zemqu kre}e ravnomerno pravolinijski (stalnom brzinom). Uticaj Zemqine rotacije na teìnu tela uzima se u obzir samo kod preciznih merewa.

Me|utim, te`ina tela se mewa ako se meri u sistemu koji se kre}e ubrzano u odnosu na Zemqu. (O tome }emo posebno govoriti.)

Teìna tela odre|ena je rezultantom svih sila koje deluju na telo, a ne samo silom gravitacije (Zemqinom te‘om). Tako je teìna tela u vodi ili u vazduhu zbog postojawa sile potiska mawa nego u vakuumu. Postoji su{tinska razlika me|u pojmovima: Zemqina teà i teìna tela. Prvo, Zemqina teà odraàva uzajamno delovawe tela i Zemqe, a teìna tela je rezultat uzajamnog delovawa tela i podloge, opruge, konca... Drugo, teìna tela zavisi od ubrzawa podloge na kojoj se telo nalazi, ili opruge o koju je telo obe{eno, a Zemqina teà u tim uslovima ostaje nepromewena. Ako, na primer, telo slobodno pada sa ubrzawem Zemqine teè, teìna tela bi}e jednaka nuli (sl. 6.9), a Zemqina teà }e i daqe delovati (postojati). Najzad, teìna tela na polovima i ekvatoru nije ista zbog obrtawa Zemqe oko svoje ose, odnosno postojawa centrifugalne sile.

MASA I TE@INA TELA

Pojmove masa i teìna upoznali smo jo{ u osnovnoj {koli. Ali nije suvi{no jo{ jednom ista}i razliku izme|u ove dve veli~ine. Teìna tela je sila, a masa je svojstvo tela (~estice). Masa je mera inertnosti tela (supstancije). Inertnost je osnovno svojstvo tela da se odupire svakoj promeni stawa (relativnog mirovawa ili kretawa) i zavisi od koli~ine sadràja supstancije u telu. Dato telo sadrì isti broj molekula, atoma nezavisno od toga da li se telo nalazi na Zemqi, Mesecu ili negde u kosmi~kom prostoru.

Masa tela ostaje stalna, neizmewena, nezavisno od toga gde se telo nalazi. Ali, to ne vaì za teìnu tela, ona se mewa zavisno od ubrzawa referentnog sistema u kojem se meri wena vrednost ili mesta u kome se ona odre|uje. Teìna istog tela na povr{ini Zemqe i na povr{ini Meseca nije ista. Teìna tela karakteri{e gravitacionu silu koja na wega deluje, a masa wegovo svojstvo inertnosti. Teìna istog tela, na raznim nebeskim telima nema istu vrednost, a masa tog tela, pri tome, ostaje nepromewena.

Na povr{ini Zemqe i Meseca te`ina istog tela nije jednaka, zato {to je gravitaciona sila Zemqe koja deluje na to telo oko {est puta ve}eg intenziteta od intenziteta gravitacione sile Meseca (sl. 6.10).

U dalekom kosmi~kom prostoru, gde je gravitaciona sila neznatnog intenziteta, te`ina tela mo`e da se zanemari (prakti~no je jednaka nuli), a masa istog tela u svim slu~ajevima ostaje stalna (nepromewena).

GRAVITACIONO POQE

U prostoru oko svakog tela, bez obzira na wegovu masu, postoji gravitaciono poqe. Ono ne deluje neposredno na na{a ~ula, pa ga ne mo`emo pomo}u wih opa`ati, ve} ga registrujemo na osnovu wegovog delovawa na druga tela. Ako se u neku ta~ku tog prostora unese telo, gravitaciono poqe }e se ispoqiti tako {to }e delovati na to telo privla~nom silom. Telo koje se unosi u gravitaciono poqe drugog (masivnijeg tela) ima, sa svoje strane, sopstveno gravitaciono poqe. Ono }e se, tako|e, ispoqavati gravitacionim delovawem na telo ve}e mase, ali se ono obi~no ne uzima u razmatrawe (zanemaruje se).

Gravitaciono poqe je prenosilac gravitacione interakcije (uzajamnog delovawa) tela.

Gravitaciono poqe treba shvatiti kao posebno fizi~ko stawe prostora oko tela. To stawe karakteri{u posebna fizi~ka svojstva. Fizi~ka svojstva gravitacionog poqa opisuju se sa dve fizi~ke veli~ine: ja~inom gravitacionog poqa i potencijalom gravitacionog poqa.

Sl. 6.10. Te`ina ~oveka naMesecu jeoko{est puta mawa od wegove te`ine na povr{ini Zemqe

Sl. 6.11

Sl. 6.12

JA^INA GRAVITACIONOG POQA

Tela (~estice) mogu uzajamno da deluju: neposredno kontaktom (sudar tela, sila vu~e, sila trewa, sila otpora sredine) ili posredno preko fizi~kog poqa – prenosnika uzajamnog delovawa tela. Svakoj vrsti sila odgovara odre|eno poqe: gravitacionoj sili – gravitaciono poqe, elektri~noj sili – elektri~no poqe, magnetnoj sili – magnetno poqe Ovom prilikom upozna}emo osnovne karakteristike gravitacionog poqa, sa posebnim osvrtom na gravitaciono poqe Zemqe. Za opisivawe gravitacionog poqa uvodi se fizi~ka veli~ina –ja~ina gravitacionog poqa, koja se obi~no ozna~ava sa .

Fizi~ka veli~ina brojno jednaka gravitacionoj sili koja u datoj ta~ki poqa deluje na probno telo jedini~ne mase naziva se ja~ina gravitacionog poqa u toj ta~ki:

gde je: m0 – masa probnog tela, – gravitaciona sila koja na wega deluje, ja~ina gravitacionog poqa u datoj ta~ki.

Ja~ina gravitacionog poqa je vektorska veli~ina istog pravca i smera, kao i gravitaciona sila u toj ta~ki (sl. 6.11).

Jedinica za ja~inu gravitacionog poqa je wutn po kilogramu

JA^INA GRAVITACIONOG POQA MATERIJALNE TA^KE

Na osnovu Wutnovog Zakona gravitacije mo`e se izvesti formula za ja~inu gravitacionog poqa materijalne ta~ke.

Posmatra}emo gravitaciono poqe tela mase m zanemarqivih dimenzija u odnosu na udaqenost ta~ke M (sl. 6.12). Da bi se odredila ja~ina gravitacionog poqa u ta~ki M, na rastojawu r od tela treba odrediti silu koja u toj ta~ki deluje na probno telo mase m0:

Ja~ina poqa u ta~ki M ima isti pravac i smer kao gravitaciona sila , a intenzitet ja~ine gravitacionog poqa je:

odnosno:

Intenzitet ja~ine poqa zavisi od mase tela koje „proizvodi” to poqe (ne zavisi od mase probnog tela) i rastojawa do posmatrane ta~ke u poqu (M).

Navedena formula va`i i za ja~inu poqa homogenog sfernog tela mase m na rastojawu r od wenog centra, ali da se posmatrana ta~ka nalazi izvan sfernog tela (sl. 6.13).

Iz date formule se vidi da intenzitet ja~ine gravitacionog poqa sfernog homogenog tela opada sa kvadratom rastojawa od centra sfernog tela (kugle) do posmatrane ta~ke u poqu, {to je ilustrovano na slici 6.14.

GRAVITACIONO POQE ZEMQE.

Zemqa, kao i svako drugo telo (nebesko), ima sopstveno gravitaciono poqe. Ono se ispoqava delovawem Zemqine gravitacione sile na svako telo koje se nalazi u domenu tog poqa.

Intenzitet ja~ine gravitacionog poqa, a time i ubrzawe Zemqine gravitacione sile (ubrzawe slobodnog padawa), zavisi od visine na kojoj se telo nalazi u odnosu na Zemqinu povr{inu. Kada se telo nalazi na nivou mora, tada ga Zemqa privla~i silom intenziteta:

gde su: M i R – masa i polupre~nik Zemqe, m – masa tela, g0 – intenzitet ubrzawa Zemqine te`e na nivou mora.

Na telo koje se nalazi na visini h iznad morske povr{ine deluje Zemqina gravitaciona sila intenziteta:

Odavde sledi da se intenzitet Zemqine gravitacione sile i intenzitet ubrzawa Zemqine te`e mewaju sa visinom po istom zakonu.

Na relativno malim visinama ove promene se mogu zanemariti i smatrati da gravitaciona sila i ubrzawe tela pri slobodnom padawu imaju nepromewene vrednosti. Tako, na primer, na visini od nekoliko stotina kilometara iznad morske povr{ine samo izuzetno osetqivi instrumenti mogu da registruju promenu gravitacione sile i ubrzawa slobodnog padawa u odnosu na wihove vrednosti na nivou morske povr{ine.

Ako su poznati intenzitet ubrzawa slobodnog padawa tela u gravitacionom poqu Zemqe na nivou morske povr{ine g0, gravitaciona konstanta i polupre~nik Zemqe, mo`e se odrediti masa Zemqe. Iz relacije:

sledi:

Sl.6.14.Ja~inagravitacionog poqasmawujeseudaqavawem odtela(Zemqe)

Sl. 6.13

Na sli~an na~in mo`e se izra~unati i masa Sunca. Polupre~nik Zemqine orbite oko Sunca je r = 149,5 · 109 m i period rotacije T = godina = 31,56 · 106 s. Na osnovu tih podataka mo`e se izra~unati intenzitet centripetalnog ubrzawa Zemqe koje joj saop{tava sila gravitacije Sunca:

Na osnovu toga sledi:

Sl. 6.15. Centripetalno ubrzaweZemqekoje uzrokujegravitaciona silaSunca

Sl. 6.16. Te`ina tela naZemqinoj povr{ini zavisi od geografske{irine

Dakle, masa Sunca je oko 330 000 puta ve}a od mase Zemqe.

UBRZAWE ZEMQINE TE@E U ZAVISNOSTI OD GEOGRAFSKE

[IRINE. Izveli smo obrazac koji odre|uje zavisnost ubrzawa Zemqine te`e od visine tela iznad nivoa morske povr{ine. Me|utim, nismo uzeli u obzir uticaj Zemqine rotacije oko sopstvene ose. Stoga su nu`ne odre|ene korekcije.

Zemqina te`a (ili sila te`e) uzrokuje slobodno padawe tela ().

Strogo posmatrano iz obrtnog referentnog sistema vezanog za Zemqu, kao {to smo ranije pokazali, Zemqina te`a je rezultanta gravitacione i centrifugalne sile koje deluju na telo:

Intenzitet ove sile najve}i je na Zemqinom polu, jer je centrifugalna sila jednaka nuli, a najmawa na ekvatoru – centrifugalna sila najve}eg intenziteta deluje u istom pravcu kao gravitaciona sila, ali u suprotnom smeru (sl. 6.16).

Precizna merewa pokazuju da ubrzawe Zemqine te`e na polovima

iznosi gp= 9,83 , a na ekvatoru ge = 9,78 .

Intenzitet ubrzawa tela koje slobodno pada na Zemqu na geografskoj {irini od 45 pribli`no je:

g45 = 9,81

Ova vrednost ubrzawa Zemqine teè obi~no se uzima kao sredwa vrednost za celu povr{inu Zemqe. Teìna tela na povr{ini Zemqe (posmatrano iz referentnog sistema vezanog za Zemqu) bila bi jednaka Zemqinoj teì (Zemqinoj gravitaciji) samo u slu~aju da Zemqa ne rotira oko svoje ose.

ODRE\IVAWE RASTOJAWA IZME\U SUNCA I PLANETA. Primenom Zakona gravitacije mogu se izra~unati rastojawa izme|u Sunca i planeta. Zbog jednostavnosti, pretpostavimo da se planete kre}u oko Sunca po kru`nim putawama (sl. 6.17). Naravno, to }e se odraziti na ta~nost rezultata, jer putawe planeta oko Sunca nisu kru`nog, ve} elipti~nog oblika. Sunce deluje gravitacionom silom na planetu mase m i ona dobija centripetalno ubrzawe intenziteta:

S druge strane:

Na osnovu toga je:

gde je: M – masa Sunca, r – radijus orbite (kru`ne putawe) planete oko Sunca, T – period obrtawa planete oko Sunca. Odatle je:

const. c c

Dakle, kubovi sredweg rastojawa od Sunca do planeta sraz me rni su kvadratima perioda kretawa planeta oko Sunca (Tre}i Keplerov zakon). Iz navedenog izraza sledi:

Sl.6.17.Odre|ivawe rastojawaizme|uSuncai planeta M m r θ

Kako se periodi rotacije planeta mogu sasvim ta~no meriti, to je za odre|ivawe rastojawa od Sunca do svake planete dovoqno izmeriti rastojawe do jedne – bilo koje planete. Rastojawe od Sunca do Zemqe uzeto je kao jedinica za ovakvo merewe i naziva se Astronomska jedinica du`ine (AJ) i iznosi pribli`no 149,5 · 109 m.

Podudarawe rezultata astronomskih (tradicionalnih) i savremenih (radarskih) merewa velika je potvrda Wutnovog Zakona gravitacije.

Sl.6.18.Vertikalni hitac nani`e g

KRETAWE TELA U POQU ZEMQINE TE@E

U razmatrawu kretawa u gravitacionom poqu ograni~i}emo se samo na kretawe tela (materijalne ta~ke) pod uticajem Zemqine teè. Zanemaruju se otpor vazduha i gravitaciono delovawe drugih nebeskih tela. Uzimaju se relativno male visinske razlike iznad Zemqine povr{ine, tako da se moè smatrati da se intenzitet Zemqine teè ne mewa u toku delovawa na telo koje se kre}e. Pretpostavqa se da je Zemqa sfernog oblika i homogenog sastava. Zbog jednostavnosti smatra}emo da se telo (materijalna ta~ka) kre}e u ravni xOy inercijalnog sistema referencije vezanog za Zemqu.

Ako su ispuweni svi ti uslovi, moè da se konstatuje da delovawe Zemqine teè uzrokuje samo promenu vertikalne komponente brzine materijalne ta~ke (komponente brzine du` y-ose), dok wena horizontalna komponenta (u pravcu x-ose) ostaje nepromewena, odnosno zadràva po~etnu vrednost u toku celog kretawa. Iz toga sledi da postoji samo vertikalna komponenta ubrzawa materijalne ta~ke, dok je komponenta ubrzawa du` horizontalnog pravca (x-ose) uvek jednaka nuli, budu}i da u tom pravcu ne deluju nikakve sile.

VERTIKALNI HITAC NANI@E

Kretawe tela ba~enog s odre|ene visine nekom po~etnom brzinom usmerenom vertikalno nani`e jeste vertikalni hitac nani`e (sl. 6.18).

Telo se kre}e ravnomerno ubrzano pravolinijski sa ubrzawem Zemqine te`e

koje se obi~no obele`ava sa g (g = 9,81 ). Za to kretawe mogu da se primene poznate formule za trenutnu brzinu, sredwu vrednost brzine i pre|eni put tela:

Posledwa formula povezuje trenutnu brzinu i pre|eni put do datog trenutka.

Kada se prava po kojoj se kre}e telo uzme za y-osu sa usmerewem navi{e, a koordinatni po~etak na Zemqi, zakon polo`aja tela je:

gde je: y – koordinata tela u trenutku t.

SLOBODAN PAD

Telo ispu{teno s odre|ene visine bez po~etne brzine, izvodi kretawe koje se zove slobodan pad (sl. 6.19). Na ovo kretawe primewuju se iste formule kao i na vertikalni hitac nani`e, samo {to je po~etna brzina v0 = 0:

Polo`aj tela odre|uje se formulom:

PRIMER

Telo se pusti da slobodno pada sa visine h = 19,62 m. Posle kog vremena }e telo pasti na zemqu? Kolika }e biti wegova brzina u trenutku kontakta sa podlogom?

RE[EWE: Pre|eni put kod slobodnog pada je odakle je tra`eno vreme:

Brzina tela u trenutku pada iznosi:

Sl.6.20.Vertikalni

hitac navi{e (hitacuvis)

VERTIKALNI HITAC NAVI[E

Kretawe tela ba~enog po~etnom brzinom vertikalno navi{e naziva se vertikalni hitac navi{e (sl. 6.20).

Kako se telo kre}e nasuprot Zemqinoj te`i (stalne sile), vertikalni hitac predstavqa jednako usporeno kretawe.

Polaze}i iz po~etnog polo`aja brzinom intenziteta v0, telo }e posle izvesnog vremena sti}i do polo`aja na visini h, kre}u}i se jednako usporeno.

U polo`aju sa maksimalnom visinom telo }e imati krajwu brzinu v = 0, to jest ono }e se u jednom trenutku zaustaviti. Posle toga }e telo, tako|e, pod uticajem Zemqine te`e padati slobodno, to jest jednako ubrzano bez po~etne brzine prema Zemqi.

Polaze}i od obrazaca za trenutnu, sredwu vrednost brzine i put jednako usporenog kretawa i stavqaju}i a = g, dobijaju se formule za odgovaraju}e veli~ine kod vertikalnog hica navi{e:

Telo dosti`e maksimalnu visinu u trenutku kada je v = 0, pa je:

0= v0– gt,

ili: Vreme za koje telo dostigne najve}u visinu srazmerno je po~etnoj brzini, a obrnuto srazmerno ubrzawu Zemqine te`e.

Kombinacijom izraza za trenutnu brzinu i izraza za du`inu puta, odnosno visinu, dobija se:

Maksimalna visina tela pri vertikalnom hicu navi{e srazmerna je kvadratu po~etne brzine, a obrnuto srazmerna ubrzawu Zemqine te`e.

Kako je od polo`aja maksimalne visine prema povr{ini Zemqe kretawe tela slobodan pad, to }e vreme padawa tela biti isto kao i vreme uspona. Zbog toga }e i krajwa brzina pri padu (udaru o podlogu) biti ista kao po~etna brzina sa suprotnim usmerewem.

PRIMER

Telo se baci vertikalno navi{e po~etnom brzinom v0. Posle pre|enog puta h = 200 m brzina tela je v = 150 .

a) Kolika je po~etna brzina tela?

b) Do koje visine }e dospeti telo?

v) Posle kog vremena }e pasti na zemqu?

Otpor vazduha zanemariti.

RE[EWE: Brzina tela na visini h = 200 m je:

1354 m

v) U najvi{oj ta~ki putawe brzina tela jednaka je nuli, to jest: v = 0 = v0 – gt (t je vreme kada telo dostigne maksimalnu visinu).

Odavde je:

Telo }e ponovo pasti na zemqu posle vremena:

HORIZONTALNI HITAC

Nakon napu{tawa horizontalnog stola kliker kome je prethodno saop{tena po~etna brzina izvodi kretawe koje se zove horizontalni hitac.

Horizontalni hitac je kretawe tela ba~enog u horizontalnom pravcu nekom po~etnom brzinom.

U toku kretawa na telo deluje samo Zemqina te`a. Ovo kretawe je slo`eno od dva nezavisna pravolinijska kretawa: ravnomerno pravolinijskog u horizontalnom pravcu i slobodnog pada u vertikalnom pravcu. U horizontalnom pravcu (du` x-ose) nema ubrzawa pa se telo kre}e konstantnom po~etnom brzinom.

GRAVITACIJA

Sl.6.21.Putawa horizontalnog hica

U vertikalnom pravcu telo nema po~etnu brzinu, a ima ubrzawe Zemqine te`e g , pa za kretawe u vertikalnom pravcu (du` y -ose) va`e zakoni slobodnog pada.

Neka je u nekom trenutku t telo u ta~ki M Tada su wegove koordinate polo`aja x i y, a komponente brzine su v x i v y (sl. 6.21).

U datom koordinatnom sistemu zakoni polo`aja i brzine tela su:

Predznak minus (–) ispred ubrzawa g ozna~ava da je to ubrzawe usmereno suprotno y-osi; zato je komponenta brzine v y u svakom trenutku negativna (ima suprotan smer od smera y-ose).

U trenutku pada tela na podlogu y-koordinata tela je jednaka nuli: pa vreme kretawa tela iznosi:

Domet kretawa (pre|eno rastojawe u horizontalnom pravcu) jednako je x-koordinati ta~ke u kojoj je telo dospelo na podlogu:

Jedna~ina putawe tela dobija se kombinacijom izraza:

Ona ima oblik:

Ova kriva naziva se parabola.

KOSI HITAC

Granata ispaqena iz topa ~ija cev zaklapa o{tar ugao sa horizontalom, ko{arka{ka lopta nakon slobodnog bacawa ili kugla koju takmi~ar baca udaq itd., primeri su kretawa koje se naziva kosi hitac

Svako telo izba~eno s odre|enom po~etnom brzinom pod izvesnim uglom u odnosu na horizontalni pravac izvodi kretawe koje nazivamo kosi hitac.

Na slici 5.22 prikazana je putawa tela (materijalne ta~ke) koja opisuje kosi hitac. (Otpor vazduha je zanemaren.)

Kosi hitac je sloèno kretawe: ravnomerno pravolinijsko po Zakonu inercije i ravnomerno promenqivo u vertikalnom pravcu pod uticajem Zemqine teè. Oba kretawa izvode se istovremeno, tako da telo ne}e vr{iti ni jedno ni drugo kretawe pojedina~no, ve} rezultantno sloèno kretawe po krivoj putawi (parabola).

Na telo (materijalnu ta~ku) deluje Zemqina te`a intenziteta:

F = mg, ili F x = 0 i F y = – mg

(Predznak je „minus” jer su smerovi y -ose i Zemqine te`e suprotni.)

Prema tome, Zakon dinamike primewen na dato kretawe ima oblik:

F x = ma x = 0 i F y = ma y = – mg, gde su projekcije ubrzawa:

a x = 0 i a y = – g.

Stoga je:

v x = v0x = const, odnosno: x = v x t.

U pravcu y-osetelo (materijalna ta~ka) kre}e se konstantnim ubrzawem jer je Zemqina te`a stalna (a=g= const) i uzrokuje ravnomerno promenqivo pravolinijsko kretawe sa po~etnom brzinom v0y. Na osnovu toga, dobija se:

yy yy–;–y

Kona~no, putawa tela (materijalne ta~ke) koje izvodi kosi hitac u poqu Zemqine te`e mo`e da se opi{e jedna~inama:

Maksimalna visina tela odre|uje se iz uslova da je komponenta brzine du` y-ose jednaka nuli (v y = 0), to jest:

gde je: t p – vreme za koje je telo dostiglo maksimalnu visinu. Vidimo da je vreme uspona srazmerno vertikalnoj komponenti po~etne brzine, a obrnuto srazmerno ubrzawu Zemqine te`e.

Ukupno vreme kretawa tela koje izvodi kosi hitac nalazi se iz uslova da je y = 0, odnosno

gde je: t u – ukupno vreme kretawa tela.

Maksimalna visina tela iznosi: , a maksimalni domet: . Pokazuje se da je najve}i domet kosog hica ako se telo izbaci pod uglom od 45 u odnosu na horizontalan pravac. Najve}idometteloimakadaseizbacipoduglomod45

BESTE@INSKO STAWE

Do sada smo posmatrali te`inu tela koje se nalazi u stawu mirovawa u odnosu na Zemqu, koja na wega deluje gravitacionom silom. Isti rezultati dobijaju se i kad se te`ina meri u bilo kojem referentnom sistemu koji se u odnosu na Zemqu kre}e ravnomerno pravolinijski (inercijalni sistem).

Me|utim, te`ina tela se mewa ako se meri u neinercijalnom sistemu, na primer, u liftu koji se kre}e po vertikalnoj putawi sa ubrzawem u odnosu na Zemqu.

Neka se posmatra~ nalazi u kabini koja ima ubrzawe intenziteta a u odnosu na inercijalni sistem (na primer, u odnosu na povr{inu Zemqe). Tada te`inu posmatra~a uzrokuju Zemqina te`a i inercijalna sila. Karakteristi~ni slu~ajevi kretawa lifta po vertikali prikazani su na slici 6.23.

Na slici a) prikazan je lift u stawu mirovawa ili u stawu ravnomernog pravolinijskog kretawa, kada je wegova brzina jednaka nuli ili ima stalnu vrednost (v = 0 ili v = const). Tada je te`ina tela:

b) Ako se kabina ubrzava vertikalno navi{e (sl. pod b), tada je te`ina posmatra~a (tela) u kabini ve}a od te`ine koju bi telo imalo u slu~aju da se kabina nalazi u stawu relativnog mirovawa ili da se kre}e ravnomerno pravolinijski, to jest:

Q1 = Q + Fi = mg + ma = m(g + a ).

Ako se kabina ubrzava vertikalno nadole (sl. pod v), te`ina tela u kabini je:

Q2 = Q – Fi = mg – ma = m(g – a ).

Interesantna situacija nastaje kada je intenzitet ubrzawa kabine nadole jednak intenzitetu ubrzawa Zemqine teè, tj. kada je a = g (sl. pod g). Tada je teìna tela (posmatra~a) u kabini jednaka nuli, jer Zemqina teà i inercijalna sila imaju jednake intenzitete, a suprotne smerove. Posmatra~ je u besteìnskom stawu:

Q3 = mg – ma = m(g – a ) = 0.

Ako bi se kabina kretala nadole ubrzawem ve}im od ubrzawa Zemqine te`e, te`ina tela bi promenila smer (~ovek bi glavom pritiskao plafon kabine, slika 6.24).

Gravitaciona sila Zemqe ispoqava se u referentnom sistemu vezanom za Zemqu. Ona „i{~ezava” (ne mo`e se zapaziti, registrovati ni na koji na~in) ako se nalazimo u sistemu (kabini) koji slobodno pada u poqu wenog delovawa. Razume se, ona ne „i{~ezava” istovremeno u celom prostoru oko Zemqe, ve} samo u ograni~enom prostoru kabine.

GRAVITACIJA

Ne treba misliti da zidovi kabine igraju neku ulogu neprobojne barijere za gravitacionu silu. Samo je re~ o tome da u uslovima koji vladaju u prostoru kabine ni na koji na~in ne mo`e da se registruje gravitaciona sila, jer se weno delovawe u odnosu na te`inu tela ne ispoqava. Weno delovawe se kompenzuje inercijalnom silom koja deluje na telo koje sa kabinom slobodno pada.

mg+ 0)=mg

= m( Qg+a)

Stawemirovawailiravnomerno pravolinijskogkretawa (v = 0, ili v = const)

Kabinasekre}evertikalnonavi{e ubrzawem

Q = m(g–a)Q = m(g–a)= 0

Kabinasekre}evertikalnonani`e ubrzawem

Kabinasekre}evertikalnonani`e ubrzawem = (beste`inskostawetela)

Sl.6.23.Te`inatelaureferentnomsistemukojisekre}eravnomerno promenqivodu`vertikalneputaweuodnosunaZemqu

Kako bi posmatra~ u liftu koji slobodno pada (a = g) objasnio da tela (kao i on sam) nemaju te`inu, to jest, da je:

Q = m (g – a) = 0?

Posmatra~ u liftu koji slobodno pada ne opaà da se lift kre}e; za wega je lift, kao i telo u wemu, u stawu mirovawa. Na primer, wegov mobilni telefon, koji je pored wega, tako|e je u stawu mirovawa (kao da je obe{en o nekom nevidqivom koncu). Kako to objasniti? Na posmatra~a u datom liftu deluju Zemqina teà i inercijalna sila. Rezultanta tih sila kod svih tela u liftu koji slobodno pada jednaka je nuli i zato se mobilni telefon (kao i ostala tela) nalazi u stawu mirovawa (ne mewa poloàj u odnosu na lift). Vaga u~vr{}ena za pod lifta ili dinamometar obe{en o plafon lifta pokazuju da je teìna tela u liftu jednaka nuli. U takvom liftu ~ovek bi mogao da nosi na ramenima i tonu tereta i da ne oseti nikakvu teìnu (naravno, teìna tereta izmerena je na Zemqinoj povr{ini).

Za posmatra~a u inercijalnom sistemu vezanom za Zemqu (izvan lifta) mobilni telefon (kao i ostala tela u liftu) slobodno pada jer na wega deluje samo Zemqina te`a.

Tela u liftu koji slobodno pada ubrzawem Zemqine teè (a = g), nemaju teìnu. Bez teìne su i tela u satelitu koji se kre}e po kru`noj putawi oko Zemqe ubrzawem g. Za kosmonauta satelit je u stawu mirovawa i na tela u wemu deluje Zemqina te à ka cen tru Zemqe i centrifugalna sila istog intenziteta u suprotnom smeru.

Tela koja se u odnosu na Zemqu kre}u ubrzawem Zemqine te`e, bez obzira na wihov oblik putawe, nemaju te`inu.

Sl.6.24.Kabinasekre}evertikalno nani`eubrzawem a > g

GRAVITACIJA

REZIME

• Kretawe planeta, kometa, satelita oko Sunca opisuje se i obja{wava na osnovu Keplerovih zakona i Wutnovog zakona gravitacije.

Keplerovi zakoni

I Planete se kre}u oko Sunca po elipti~nim (pribli`no kru`nim) putawama. U zajedni~koj `i`i tih elipsi nalazi se Sunce.

II. Radijus-vektor koji spaja centre Sunca i planete u jednakim intervalima vremena prebri{e jednake povr{ine (sektorska brzina je konstantna):

3 2 a T = = const. const.

III. Koli~nik kvadrata perioda obilaska planete oko Sunca i tre}eg stepena du`e poluose (ili pribli`no polupre~nika) putawe svih planeta je stalan:

Ovaj zakon mo`e se primeniti i na kretawe satelita oko planeta.

• Wutnov zakon gravitacije. Gravitaciona sila kojom se privla~e dve materijalne ta~ke ili tela sfernog oblika i homogenog sastava srazmerna je proizvodu masa tih tela (materijalnih ta~aka), a obrnuto proporcionalna kvadratu wihovog me|usobnog rastojawa:

Nm2 kg2 =

gde je: γ = 6,67 10 –11 – gravitaciona konstanta, r – rastojawe izme|u materijalnih ta~aka ili izme|u centara sfernih tela.

• Ja~ina gravitacionog poqa brojno je jednaka gravitacionoj sili koja deluje na telo jedini~ne mase postavqeno u ta~ki u kojoj se odre|uje ja~ina poqa:

Intenzitet ja~ine gravitacionog poqa materijalne ta~ke mase m na rastojawu r odre|en je formulom:

• Slobodno padawe tela uzrokuje Zemqina teà. Aproksimativno se moè uzeti da je Zemqina teà jednaka gravitacionoj sili kojom Zemqa deluje na tela koja nisu suvi{e udaqena od wene povr{ine: ,

gde su: M i R – masa i polupre~nik Zemqe, m – masa tela, h – visina tela iznad Zemqine povr{ine i g – ubrzawe Zemqine te`e (odnosno slobodnog pada).

Izjedna~avawem relacija:

dobija se: .

Kada je visina mnogo mawa od polupre~nika Zemqe (h << R), ubrzawe slobodnog pada je:

• Teìna tela je sila kojom telo, usled Zemqinog privla~ewa, pritiska horizontalnu podlogu na kojoj se nalazi ili zateè vertikalni konac (spiralu) za koji je vezano. Intenzitet teìne tela u inercijalnom referentnom sistemu odre|uje se formulom:

Q = mg.

PITAWA I ZADACI

1. Koje su osnovne karakteristike gravitacione sile?

2. Navedite slu~ajeve u kojima je sila gravitacije centripetalna sila.

3. Strogo uzev{i, u kojim slu~ajevima va`i Wutnov Zakon gravitacije?

4.* Da li za gravitacione sile va`i princip superpozicije?

5*. Da li gravitacione sile zavise od relativne brzine tela i karakteristika sredine izme|u tih tela?

6*. Istakli smo da gravitaciona sila svim telima, nezavisno od wihovog oblika i mase, saop{tava isto ubrzawe. Da li to svojstvo imaju i drugi tipovi sila?

7. Kako mo`emo da odredimo rastojawe izme|u Sunca i planeta?

8*. Zbog ~ega se gravitaciono poqe ne mo`e poistovetiti s prostorom oko tela?

9. S kojom se veli~inom mo`e formalno izjedna~iti ja~ina gravitacionog poqa?

10. U kojem bi slu~aju vrednost te`ine tela na povr{ini Zemqe (posmatrano iz referentnog sistema vezanog za Zemqu) bila jednaka Zemqinoj te`i? Da li se napadne ta~ke tih sila tada poklapaju?

11*. Gde je ve}i intenzitet ubrzawa tela pri slobodnom padu u poqu Zemqine te`e: na polovima ili na ekvatoru?

12. Na kojoj se visini iznad Zemqine povr{ine gravitacija, koja deluje na telo, umawuje dva puta?

13. Da li se analogno teìni tela u poqu Zemqine teè moè definisati i teìna tela u poqu neke druge sile?

14*. Po ~emu se razlikuju ubrzawa saop{tena telu Zemqinom te`om i drugim silama? Trewe zanemariti.

15. Zbog ~ega ubrzawe koje saop{tava telu Zemqina te`a ne zavisi od wegove mase? Da li to va`i za bilo koja rastojawa tela od Zemqe?

16. Na gorwem delu rama koji mo`e da klizi bez trewa po dvema vertikalno postavqenim metalnim {inama o dve jednake metalne opruge obe{ena su dva tela razli~itih masa. Kada se prekine u`e kojim je u~vr{}en ram, on slobodno pada i opruge se skupqaju. Objasniti ~ime je to uslovqeno.

17*. Zemqina te`a koja deluje na dato telo zavisi od geografske {irine i nadmorske visine. Da li isti faktori uti~u i na ubrzawe tela pri slobodnom padu?

18. Telo je obe{eno o tanku nit. Za dowi deo tela privezana je ista takva nit. Ako lagano povla~imo dowu nit, u odre|enom momentu, kao {to smo i o~ekivali, prekinu}e se gorwa nit jer wu optere}uju te`ina kugle i sila zatezawa. Me|utim, ako dowu nit naglo povu~emo, trgnemo, prekinu}e se ba{ ona, {to, na prvi pogled, izgleda neobi~no. Kako to objasniti?

19. Staklena cev~ica postavqena je na dva papirna prstena. Ako naglo udarimo po cev~ici metalnom {ipkom, cev~ica se lomi, dok papirni prstenovi ostaju ~itavi. Objasniti za{to se nisu pokidali papirni prstenovi. [ta bi se desilo da smo metalnom {ipkom cev~icu pritiskali postepeno?

20*. Za{to ne ose}amo delovawe sile gravitacije Sunca?

21*. Da li se telo ba~eno vertikalno uvis u toku kretawa nalazi u beste`inskom stawu? Otpor vazduha zanemariti.

22. Da li se telo ba~eno horizontalno ili pod nekim uglom u odnosu na horizontalnu ravan u toku kretawa nalazi u beste`inskom stawu? Otpor vazduha zanemariti.

23*. Kako zami{qate oscilovawe matemati~kog klatna u beste`inskom stawu?

24*. Kada lift po~iwe da se kre}e ili se zaustavqa, ose}amo nelagodnost. Za{to?

25*. Kako bi se kretalo pokrenuto telo u prostoru koji karakteri{e beste`insko stawe (sila otpora vazduha se zanemaruje)?

GRAVITACIJA

PRIMER

Engleski fizi~ar Kevendi{ ( HenryCavendich,1731–1810) eksperimentalno je odredio vrednost gravitacione konstante. Tom prilikom je izjavio da merewem gravitacione konstante, u stvari, meri masu Zemqe. Da li je bio u pravu?

RE[EWE: Te`ina tela mase m na povr{ini Zemqe je mg i ona je jednaka gravitacionoj sili izme|u tela i Zemqe ~ija je masa M. Kako je Zemqa pribli`no sfernog oblika, mo`e se smatrati da se ova tela nalaze na rastojawu jednakom polupre~niku Zemqe za koji }emo uzeti da iznosi R = 6 370 km. Dakle:

odakle se nalazi masa Zemqe:

Prema tome, Kevendi{ je bio u pravu.

PRIMER

Neka je Zemqina kugla homogenog sastava polupre~nika R = 6 370 km i mase M = 5,97 · 10 24 kg. Odrediti ubrzawe slobodnog pada na polu i ekvatoru.

RE[EWE: Ubrzawe tela koje slobodno pada zavisi od geografske {irine zbog delovawa centrifugalne sile na to telo. Kada se telo nalazi na polu, centrifugalna sila je jednaka nuli, pa je Zemqina te`a jednaka gravitacionoj sili:

ubrzawe slobodnog pada na polu je: p p

9,816,37() 6,67 5,97 106 10–11 1024kg m s2m Nm2 kg2 g; 9,813m s2

Centrifugalna sila ima najve}i intenzitet na ekvatoru, pa ubrzawe tela koje slobodno pada ima najmawu vrednost:

Period Zemqine rotacije je 24 h. Zamenom podataka dobija se vrednost ubrzawa slobodnog pada na ekvatoru:

Razlike u vrednostima ubrzawa slobodnog pada, kao {to vidimo, veoma su male. Zato se uticaj centrifugalne sile na slobodni pad tela obi~no zanemaruje. Za ubrzawe slobodnog pada za relativno male visine iznad Zemqine povr{ine ( h<<R) naj~e{}e se uzima vrednost:

PRIMER

Neistegqiva nit preba~ena je preko kotura zanemarqive mase. Za krajeve niti obe{ena su tela masa 1,4 kg i 1,6 kg. Na}i ubrzawe tela i silu zatezawa niti.

RE[EWE: Na slici su prikazane sile koje deluju na tela. Kada je masa kotura zanemarqiva, sila zatezawa niti je ista sa obe strane kotura. Kako je m2 > m1, to }e telo mase m2 padati, dok }e se telo mase m1 podizati istim ubrzawem. Prema tome:

Sabirawem ovih relacija dobija se:

a(m1 + m2) = g(m2 – m1), odnosno: egcf e e ––

m1a = T – m1g i m2a = m2g – T

GRAVITACIJA

Zamenom vrednosti:

PRIMER

Na telo mase m = 1 kg deluje sila stalnog intenziteta F = 10,81 N vertikalno navi{e. Za koliko }e se telo podi}i ako na wega deluje ta sila u toku t = 10 s?

Uzeti da je ubrzawe slobodnog pada tela g = 9,81 .

RE[EWE: Telo se kre}e pod dejstvom rezultuju}e sile intenziteta FR = F – mg. Prema Drugom Wutnovom zakonu:

Odavde je:

FR = ma = F – mg.

Zamenom u izraz za put i uno{ewem datih podataka, dobija se: s = 50m.

PRIMER

0,2kg () 3kg9,810,65mm s2s2 14,65N. ––10,81N1kg9,81m s2100s2 m s2 m s2

ôvek mase 70 kg nalazi se u liftu kojim se podiè iz prizemqa na 12. sprat. Neka je ubrzawe lifta na startu (pri polasku) i pri zaustavqawu 2 . Kako }e vaga u tom liftu registrovati ~ovekovu teìnu

a) u stawu mirovawa lifta; b) pri po~etnom ubrzawu lifta; v) u vreme kada se lift kretao stalnom brzinom; g) pri zaustavqawu lifta?

RE[EWE:

a) Q = mg = 686,7 N.

b) Q = mg + ma = 826,7 N.

v) Ako je lift krenuo iz prizemqa i kretao se do 12. sprata, tada je brzina izme|u 2. i 10. sprata sigurno bila konstantna. Dakle, izme|u 2. i 10. sprata ~ovekova te`ina bi}e ista kao i kada je lift mirovao: Q = 686,7N.

g) Q = mg – ma = 546,7N.

U povratku sa 12. sprata ~ovekova teìna se, tako|e, mewa u pojedinim fazama kretawa lifta. Koriste}i iste podatke m = 70 kg i a = 2 , izra~unajte ~ovekovu teìnu u svim tim slu~ajevima (ilustrovati svaki slu~aj crteòm).

Prema tome, dok smo u liftu koji se kre}e izme|u spratova, na{a teìna se mewa: kada lift polazi, teìna je ve}a od mg; kada uspostavi ravnomerno kretawe, teìna ponovo postaje mg, potom lift usporava i na{a teìna se smawuje; kada se lift zaustavi, teìna nam je opet mg. Neprijatni ose}aj koji imamo pri polasku i zaustavqawu lifta posledica je promene na{e teìne.

PRIMER

Sa torwa visine H = 50 m baci se telo vertikalno navi{e brzinom v0 = 4,9 .

a) Koliku }e visinu dosti}i telo?

b) Posle kog vremena }e pasti na zemqu?

v) Kolika }e biti brzina tela pri padu?

RE[EWE:

a) Telo }e dosti}i visinu

u odnosu na vrh torwa:

a u odnosu na zemqu: 51,2m.

b) Put do najvi{e ta~ke na putawi telo }e pre}i za vreme t1:

a put za vreme:

Ukupno vreme kretawa tela je:

v) Brzina tela pri padu na zemqu je: AB

0,5s,

3,2s.

t = t1 + t2  3,7 s

31,7m s

7. ZAKONI ODR@AWA

Prvo }emo se podsetiti na neke elemente sadràja fizike koje smo prou~avali u VII razredu osnovne {kole, a koji su tesno povezani sa zakonima odràwa u fizici (mehanici). Po~e}emo od mehani~kog rada, kineti~ke i potencijalne energije i snage. Govori}emo o povezanosti mehani~ke energije (kineti~ke i potencijalne) i mehani~kog rada. Bi}e posebno obra|eni: Zakon odràwa impulsa, Zakon odràwa momenta impulsa i Zakon odràwa energije

MEHANI^KI RAD

U svakodnevnom `ivotu re~ rad veoma ~esto se koristi, i to u razli~itom smislu. Govori se o fizi~kom, i intelektualnom radu qudi, o radu ma{ina, `ivotiwa... U fizici rad je veli~ina koja ima konkretno zna~ewe.

Najjednostavnija definicija rada vezuje se za pojam sila. ^ovek deluju}i silom mi{i}a ruku pomera kolica, saonice ili neko drugo telo i pri tome vr{i rad. Wegov rad zavisi od optere}ewa kolica i pre|enog puta.

Sl.7.2.Primerpozitivnog rada

Rad je ve}i ako je ja~a sila kojom se deluje i du`i put koji telo (kolica) prelazi.

Kada na telo deluje sila konstantnog intenziteta, pravca i smera, rad te sile jednak je proizvodu komponente te sile paralelne sa putem i pre|enog puta (sl. 7.1):

A = F p ·s.

Jedinica rada je wutn puta metar (Nm) i naziva se xul (J).

Rad od jednog J izvr{i sila od jednog N na putu du`ine jedan m ako deluje u pravcu puta.

Kada se izrazi preko osnovnih jedinica, xul je:

Sl.7.1.Mehani~kirad

Rad je skalarna veli~ina ~ija vrednost mo`e da bude pozitivna, negativna i jednaka nuli.

Kada sila deluje pod o{trim uglom u odnosu na pravac du` kojeg se telo kre}e, rad je pozitivan. Primeri pozitivnog rada su: rad sile kojom dete vu~e sanke (sl. 7.2), rad sile kojom dizalica podi`e teret na neku visinu, rad sile te`e pri klizawu tela niz strmu ravan itd.

Ako sila deluje pod tupim uglom u odnosu na pravac kretawa tela, rad sile je negativan.

Negativan rad vr{i sila prikazana na slici 7.3. Sile otpora sredine i sila trewa uvek vr{e negativan rad. Negativan je rad sile te`e pri podizawu tela na neku visinu ili uz strmu ravan itd.

Sl.7.3.Negativanrad

Sl.7.4.Radjednaknuli

Kada sila deluje pod pravim uglom u odnosu na pravac kretawa tela ili ako se telo nalazi u stawu mirovawa, rad sile je jednak nuli (sl. 7.4). Dizalica koja dr`i teret na nekoj visini ne vr{i rad jer je teret u stawu mirovawa (put jednak nuli). Kada se teret kre}e u horizontalnoj ravni, rad sile kojom dizalica dr`i teret, tako|e je nula, jer je pravac sile normalan na pravac kretawa tela.

PRIMER

Koliki je najmawi intenzitet sile koji treba da deluje na telo da bi na putu duga~kom 5 m izvr{ila rad 981 J?

RE[EWE:

F =196,2N.

KINETI^KA ENERGIJA

Pojam mehani~ka energija upoznali smo u osnovnoj {koli. Tada smo posebno govorili o kineti~koj i gravitacionoj potencijalnoj energiji tela (~estice). Sada }emo detaqnije razmotriti ove oblike energije sa osvrtom i na potencijalnu energiju sile elasti~nosti. Posle toga }emo govoriti o op{tem Zakonu odr`awa energije u mehanici

Jedan od oblika mehani~ke energije koji smo izu~avali u osnovnoj {koli jeste energija koju imaju tela (~estice) u stawu kretawa. Ta energija naziva se kineti~ka energija. Izraz za kineti~ku energiju (Ek) tela, mase m i brzine v, ima oblik:

Ek mv2 .

Kineti~ka energija jednaka je poluproizvodu mase tela i kvadrata wegove brzine.

Jedinica kineti~ke kao i potencijalne energije je xul (J).

Mehani~ko kretawe tela moè da se opi{e i pomo}u fizi~kih veli~ina: jedne vektorske – impulsa, i jedne skalarne – kineti~ke energije. Kakva veza moè da se uspostavi izme|u jedne vektorske i jedne skalarne veli~ine? Ako se impuls skalarno pomnoì sa samim sobom: , dobija se p 2 = m 2v 2 kao skalar. Ako ga zamenimo u izraz za kineti~ku energiju, imamo:

Ek mv2 m2v2 p2 mm

Kineti~ka energija tela jednaka je kvadratu impulsa podeqenim sa dvostrukom masom tela (~estice).

Izvedeni izraz za kineti~ku energiju odnosi se na translatorno kretawe tela (materijalne ta~ke).

Na jednostavnom primeru mo`e da se poka`e da impuls nije dovoqan za potpuno opisivawe izvesnih procesa u klasi~noj fizici. Dve kuglice od plastelina kre}u se jedna drugoj u susret jednakim brzinama i ~eono se sudare. Pri sudaru one se deformi{u, slepe se i ostanu u stawu mirovawa (sl. 7.5).

U sudaru kuglica wihovo kretawe se izmenilo: one su se zaustavile, ali su se pri zaustavqawu deformisale i zagrejale. Ako pratimo samo impuls tokom ovog procesa, konstatova}emo da on ne opisuje navedene promene. Ne postoji direktna veza izme|u promene temperature kuglice usled sudara i impulsa koje su one imale. U posmatranom procesu kineti~ka energija kuglica pri sudaru u celini prelazi u energiju kretawa molekula plastelina – unutra{wu energiju, usled ~ega se mewa temperatura deformisanih, slepqenih kuglica.

Sl. 7.5. Neelasti~an sudar tela

Sl.7.6.Telokoje rotiraokoutvr|ene ose

KINETI^KA ENERGIJA ROTACIJE

Ve} smo razmatrali kineti~ku energiju translacionog kretawa tela (~estice).

Sada }emo posmatrati telo koje rotira oko nepokretne ose (sl. 7.6). Razni deli}i tog tela imaju razli~ite brzine, odnosno kineti~ke energije. Ukupna kineti~ka energija tela dobija se sabirawem kineti~ke energije svih wegovih deli}a:

Ako znamo da je veza izme|u brzine i ugaone brzine: v = ω r, dobijamo:

gde je:

Kona~no:

1r1 2 + m2r2 2 + ... + m n r n 2 = I (moment inercije tela).

Kineti~ka energija rotacionog kretawa tela oko nepokretne ose jednaka je polovini proizvoda momenta inercije tela i kvadrata ugaone brzine.

Sl.7.7.Kuglakoja istovremeno izvodi translaciono kretawe i ravnomerno rotaciono kretawe

Kori{}ewem analogije sile i momenta sile, odnosno pre|enog puta i opisanog ugla, nalazi se rad kod rotacionog kretawa:

A = M θ

Ova formula za rad va`i samo kada je moment sile konstantan, kao {to je i rad kod translacionog kretawa jednak proizvodu sile i puta samo kada je sila stalna.

Telo mo`e istovremeno da vr{i translaciono i ravnomerno rotaciono kretawe. Neka se, na primer, homogena kugla pravolinijski kre}e po ravnoj povr{ini rotiraju}i oko osovine koja prolazi kroz wen centar, a normalna je na ravan crte`a (sl. 7.7). Kineti~ka energija pri takvom kretawu tela je:

to jest, ona se sastoji od zbira kineti~ke energije translacionog i kineti~ke energije rotacionog kretawa u inercijalnom referentnom sistemu.

RAD I KINETI^KA ENERGIJA

U razmatrawu veze izme|u rada i kineti~ke energije po}i }emo od najjednostavnijeg izraza za rad (sila konstantna i wen pravac se poklapa sa pravcem kretawa tela):

A = F · s.

Prema Drugom Wutnovom zakonu je ma = F, pa je:

A = mas.

Uzimaju}i u obzir formulu koja povezuje brzinu i pre|eni put ravnomerno ubrzanog kretawa do datog trenutka: , nalazi se: odnosno:

A = Ek.

Rad sile jednak je razlici krajwe i po~etne kineti~ke energije, odnosno promeni kineti~ke energije tela pri translacionom kretawu.

Kad je rad sile pozitivan (vr{i se rad na telu), kineti~ka energija tela se pove}ava, a ukoliko je rad sile negativan, telo vr{i rad pa mu se kineti~ka energija smawuje. Recimo, pri slobodnom padu tela Zemqina teà vr{i rad i pove} ava brzinu, odnosno kineti~ku energiju tela. Me|utim, kad bacimo telo vertikalno navi{e nekom po~etnom brzinom, telo vr{i rad protiv sile teè (Zemqine teè), pa se usled toga smawuje kineti~ka energija tela.

SNAGA

[koli je dopremqeno 100 stolica i 50 klupa, koje treba od kamiona ispred {kole preneti u u~ionice. To mo`e da uradi jedan radnik ili ve}i broj radnika. U jednom i drugom slu~aju vr{i se isti rad. Me|utim, vreme za koje se izvr{i taj rad nije isto. Ve}em broju radnika potrebno je mnogo kra}e vreme.

Mogu se navesti i drugi primeri. Recimo, dok jedan de~ak podi`e teret mase 30 kg na visinu od jednog metra, diza~ tegova, za isto vreme, na istu visinu, podi`e teret mase 150 kg

Primeri pokazuju da za isto vreme razli~ite sile vr{e razli~ite radove, kao i da jedan isti rad jedna sila izvr{i za kra}e vreme nego druga sila. Stoga se za opisivawe i prikazivawe brzine vr{ewa rada uvodi fizi~ka veli~ina koja se naziva snaga – tom veli~inom se opisuje brzina vr{ewa rada.

Sredwa snaga je jednaka koli~niku rada i vremena za koji se taj rad izvr{i.

Kako je rad jednak promeni energije, snaga predstavqa brzinu promene energije:

Jedinica za snagu je vat (W). Snaga je jednaka jednom vatu ako se rad od jednog xula izvr{i za jednu sekundu

Za izra`avawe snage automobila, motornih ~amaca i drugih prevoznih sredstava kao jedinica snage motora koristi se kowska snaga: KS  735 W

Polaze}i od izraza za snagu u kratkom intervalu vremena (kada se mo`e uzeti da sila ima stalnu vrednost):

Snaga kod translacionog kretawa je jednaka proizvodu intenziteta stalne sile i stalne brzine tela.

Znamo da sili kod translacionog kretawa odgovara moment sile kod rotacionog kretawa , a brzini kod translatornog kretawa analogna je ugaona brzina kod rotacije . Na osnovu ove analogije izraz za snagu rotacionog kretawa tela (~estice)glasi:

Snaga kod rotacionog kretawa jednaka je proizvodu intenziteta momenta sile i ugaone brzine.

POTENCIJALNA ENERGIJA

U mehanici postoje dva osnovna oblika energije: kineti~ka i potencijalna energija. Kineti~ku energiju tela smo razmatrali. Treba da upoznamo i potencijalnu energiju.

Potencijalna energija zavisi od uzajamnog delovawa tela, odnosno ~estica. Uzajamno delovawe zavisi od me|usobnog polo`aja tela (~estica). Stoga se energija koja zavisi od polo`aja ili stawa tela naziva potencijalna energija Zavisno od vrste uzajamnog delovawa (interakcije), postoji: gravitaciona potencijalna energija, potencijalna energija sile elasti~nosti (deformacije) tela, elektrostati~ka potencijalna energija...

Na{e razmatrawe }emo ograni~iti na gravitacionu potencijalnu energiju, odnosno potencijalnu energiju Zemqine te`e i potencijalnu energiju sile elasti~nosti metalne opruge i wihovu povezanost sa radom.

Dok se kineti~ka energija vezuje za jedno telo, potencijalna energija se odnosi na sistem najmawe dva tela. Na primer, gravitaciona potencijalna energija u poqu Zemqine te`e odnosi se na sistem Zemqa–telo, a potencijalna energija sile elasti~nosti na sistem opruga–telo. Stoga nema smisla govoriti o potencijalnoj energiji samo jednog tela.

KONZERVATIVNE SILE

Odredi}emo rad koji vr{i Zemqina teà kada telo slobodno pada sa neke visine mnogo kra}e od Zemqinog polupre~nika (h << R). Tada se moè smatrati da na telo u toku slobodnog pada deluje stalna Zemqina teà (sl. 7.9a).

Pri prelasku tela iz poloàja (1) u poloàj (2) Zemqina teà izvr{i rad:

A = mgh.

Neka se isto to telo kre}e pod dejstvom Zemqine teè po strmoj ravni. Visina strme ravni tako|e neka je h, a ugao strme ravni  (sl. 7.9b). Du` strme ravni }e delovati komponenta Zemqine teè paralelna strmoj ravni F p, normalna komponenta Zemqine teè je poni{tena silom reakcije podloge. Paralelna komponenta (aktivna komponenta) je stalna jer se ne mewa ugao strme ravni. Pri tome je rad Zemqine teè (sile teè):

A = F p ·s.

Sl. 7.9. Rad Zemqine te`e

Sl.7.10.Kretawetela pokrivolinijskoj putawi

Iz sli~nosti trouglova sledi:

Dakle, i u ovom slu~aju rad Zemqine te`e (sile te`e) je:

A = mgh = E r

Telo mase m na visini h ima gravitacionu potencijalnu energiju mgh. Jedinica potencijane enegrgije je xul (J).

Moè se posmatrati kretawe istog tela (kuglice) po putawi bilo kakvog oblika, pri ~emu visinska razlika po~etnog i krajweg poloàja tela ostaje jednaka h (nepromewena). Krivolinijska putawa tela moè da se izdeli na delove koji predstavqaju male strme ravni (sl. 7.10). Ukupan rad sile teè na celom putu je:

A = A1 + A2 + ... + A n

A = mgh1 + mgh2 + ... + mgh n

odnosno: A = mgh.

Sl.7.11.RadZemqine te`e ne zavisi od oblikaputawe

Dakle, rad Zemqine te`e ne zavisi od oblika putawe kojom se telo kre}e, nego samo od visinske razlike po~etnog i krajweg polo`aja tela.

Pretpostavimo da se telo mase m spu{ta iz ta~ke (1) u ta~ku (2) po nekoj krivolinijskoj putawi a. Zatim se ono iz ta~ke (poloàja) (2) podiè u ta~ku (1) po putawi b (sl. 7.11). Zemqina teà pri tim kretawima vr{i rad. Na putawi a ona vr{i pozitivan rad, a na delu b pri podizawu, delovawem neke druge sile, Zemqina teà vr{i negativan rad.

Ukupan rad Zemqine te`e na delovima putawe a i b (zatvorenoj putawi) jednak je nuli.

Rad Zemqine te`e pri kretawu tela po zatvorenoj putawi jednak je nuli.

Ovo zna~ajno svojstvo Zemqine te`e imaju i gravitacione sile uop{te. Pored gravitacione sile to svojstvo imaju sila elasti~nosti, sila elektri~nog poqa i druge sile.

Sila ~iji rad zavisi samo od po~etnog i krajweg polo`aja tela zove se konzervativna sila.

Konzervativne sile mogu da se defini{u i na slede}i na~in.

Konzervativna sila je takva sila ~iji je rad na zatvorenoj putawi (kada se telo vrati u po~etni polo`aj) jednak nuli.

Kada rad zavisi od oblika putawe po kojoj telo prelazi iz jednog u drugi polo`aj, sile koje vr{e taj rad su nekonzervativne sile.Takve su, na primer, sile trewa ili sile otpora neke sredine, ~iji rad na zatvorenoj putawi nije jednak nuli. Stoga se zakqu~uje slede}e:

Potencijalna energija mo`e da se defini{e samo u onim sistemima u kojima izme|u tela deluju konzervativne sile. Defini{e se preko rada koji konzervativne sile izvr{e pri promeni polo`aja tela u sistemu.

Kada sistem tela prelazi iz jednog po~etnog polo`aja (1) u kona~an polo`aj (2), rad konzervativne sile jednak je razlici potencijalnih energija sistema:

A = E p1 – E p2 , odnosno:

A = – E p

Promena vrednosti neke veli~ine je razlika wene krajwe i po~etne vrednosti i zato je promena potencijalne energije u posledwoj formuli sa negativnim predznakom (wena po~etna vrednost je uvek ve}a od kona~ne vrednosti, naravno, ako deluju samo konzervativne sile).

Kineti~ka energija se odnosi na jedno telo, a potencijalna energija karakteri{e sistem tela koja me|usobno interaguju. Kineti~ka energija zavisi od brzine i takvu energiju imaju pojedina~na tela. Potencijalna energija je uslovqena interakcijom tela, a interakcija (uzajamno delovawe) postoji najmawe izme|u dva tela i potencijalnu energiju imaju ta dva tela (ili ve}i broj tela) kao celina, odnosno fizi~ki sistem.

POTENCIJALNA ENERGIJA

GRAVITACIONE SILE ZEMQE

Gravitaciona potencijalna energija na nekoj visini nad Zemqinom povr{inom znatno mawoj od wenog polupre~nika jednaka je radu koji Zemqina te`a izvr{i pri slobodnom padu tela:

E p = mgh, gde je: m – masa tela, g – intenzitet ubrzawa Zemqine teè i h – visina tela. Da li ovo moè biti potencijalna energija tela ako znamo da se potencijalna energija odnosi na najmawe dva tela koja uzajamno deluju (interaguju)? U ovom slu~aju je re~, tako|e, o potencijalnoj energiji sistema telo–Zemqa. Me|utim, zbog velike razlike u masama, gravitaciona interakcija se ispoqava samo u kretawu tela. Zato se moè re}i da je E p = mgh potencijalna energija tela. Pri tome se uzima da je na povr{ini Zemqe potencijalna energija jednaka nuli. Za nultu vrednost potencijalne energije mogla se uzeti i energija tela u nekom drugom poloàju.

Potencijalna energija se odre|uje u odnosu na neki referentni polo`aj tela.

F g1

F g2

PRIMER

De~ak stoji na balkonu ku}e i dr`i loptu mase 0,1 kg na visini h1 = 0,5 m iznad ograde balkona, a od poda balkona h2 = 1,5 m i od povr{ine zemqe h3 = 6m Na}i potencijalnu energiju lopte u odnosu na sva tri nivoa.

RE[EWE: Ako posmatramo pad lopte samo do ograde balkona, potencijalna energija iznosi:

E p1 = mgh1  0,5 J. Potencijalna energija u odnosu na pod balkona je:

E p2 = mgh2  1,5 J, a u odnosu na povr{inu zemqe:

E p3  6 J.

Pri re{avawu svakog zadatka neophodno je prethodno izabrati referentni nivo, u odnosu na koji se ra~una potencijalna energija. Potencijalna energija tela na referentnom nivou jednaka je nuli.

POTENCIJALNA ENERGIJA TELA NA VELIKOM

RASTOJAWU OD ZEMQE

U op{tem slu~aju Zemqina gravitaciona sila nije konstantna, ve}, prema Wutnovom zakonu gravitacije, opada sa kvadratom rastojawa tela od centra Zemqe.

Neka se telo mase m udaqava iz polo`aja 1 u polo`aj 2 od centra Zemqe ~ija je masa M (sl. 7.12). Pri tome se vr{i rad na savla|ivawu delovawa Zemqine gravitacione sile:

A g = F g (r2 – r1), gde je: F g – sredwa vrednost Zemqine te`e (Zemqine gravitacije).

Prema Wutnovom Zakonu gravitacije, koji strogo re~eno va`i za sferna ili ta~kasta tela:

Sl.7.12.Rad gravitacionesilejednak jenegativnojpromeni gravitacione potencijalneenergije g,

gde je: γ – gravitaciona konstanta brojno jednaka sili kojom se privla~e dva tela ~ije su mase po jedan kilogram, a nalaze se na me|usobnom rastojawu od jednog metra.

Gravitaciona konstanta ima vrednost:

Intenziteti Zemqine teè (gravitacione sile) u poloàjima 1 i 2 nisu jednaki. Intenzitet gravitacione sile (Zemqine teè) opada sa kvadratom rastojawa. Kod takvog oblika zavisnosti uzima se sredwa geometrijska vrednost:

Zamenom u izraz za gravitacionu silu dobija se sredwa vrednost ove sile na relaciji izme|u polo`aja tela 1 i 2:

Rad gravitacione sile jednak je negativnoj promeni gravitacione potencijalne energije:

Kada (r2 te`i beskona~nosti), drugi ~lan navedene relacije te`i nuli, pa se wegovim zanemarivawem u op{tem slu~aju dobija:

Ova formula odre|uje potencijalnu energiju tela mase m na rastojawu r od centra Zemqe.

Na slici 7.13 prikazan je grafikon zavisnosti gravitacione potencijalne energije za sistem telo–Zemqa. U blizini povr{ine Zemqe gravitaciona potencijalna energija se mewa relativno brzo, ali na ve}im rastojawima iznad Zemqe, na primer, reda veli~ine nekoliko desetina hiqada kilometara veome sporo, pribli`avaju}i se nuli. Znak „minus” zna~i da je re~ o privla~noj sili (negativna potencijalna energija).

6,710–11Nm2 kg2 –g p p

Svako telo u blizini povr{ine Zemqe nalazi se u svojevrsnoj „potencijalnoj jami”. Qudi na Zemqi su u odre|enom smislu „zato~enici” gravitacione sile.

Sli~no tome, i oko drugih nebeskih tela postoje potencijalne jame.

* Za brojeve, recimo 4 i 9 geometrijska sredina je . Kada bi se polo`aj 1, na primer, nalazio na rastojawu 40 000 km, a polo`aj 2 na 90 000 km od centra Zemqe, tada bi sredwa geometrijska udaqenost od centra Zemqe iznosila 60 000 km.

Sl. 7.13. Zemqina gravitaciona potencijalnaenergija

Poznavawe karaktera zavisnosti potencijalne energije od me|usobnog rastojawa tela ima velikog zna~aja za re{avawe prakti~nih zadataka. Na primer, kojom brzinom treba uputiti (lansirati) telo sa Zemqine povr{ine da bi ono dospelo do Marsa, Venere ili neke druge planete Sun~evog sistema? (O tome }e biti re~i ne{to kasnije kada }emo upoznati kosmi~ke brzine na osnovu Zakona odr`awa energije).

POTENCIJAL GRAVITACIONOG POQA (ZEMQE)

U prostoru oko Zemqe (kao i svih drugih tela) postoji gravitaciono poqe. Posredstvom tog poqa Zemqa privla~i tela koja se u wemu nalaze.

Osnovna veli~ina kojom se opisuje (odre|uje) gravitaciono poqe jeste ja~ina gravitacionog poqa. Ja~ina gravitacionog poqa je vektorska veli~ina i odre|uje silu koja deluje na telo u datoj ta~ki poqa.

Za opisivawe gravitacionog poqa, pored ja~ine poqa, uvodi se i skalarna veli~ina koja se naziva potencijal poqa.

Fizi~ka veli~ina jednaka odnosu potencijalne energije tela u gravitacionom poqu i wegove mase naziva se potencijal gravitacionog poqa:

Potencijal gravitacionog poqa brojno je jednak potencijalnoj energiji tela jedini~ne mase u datoj ta~ki poqa.

Rad gravitacione sile mo`e se izra~unati preko potencijala. Naime, ako se telo mase m pomera iz ta~ke 1 u ta~ku 2 poqa (sl. 6.12), rad gravitacione sile je:

A = E p1 – E p2 = m (ϕ1 – ϕ2).

Razlika potencijala izme|u dve ta~ke brojno je jednaka radu gravitacione sile pri pomerawu tela jedini~ne mase iz jedne u drugu ta~ku poqa.

Ako je ta~ka (sl. 6.12) veoma udaqena od Zemqe (r ima veliku vrednost), tada je E p2 = 0; izostavqawem indeksa, dobija se:

Potencijal gravitacionog poqa brojno je jednak radu koji treba izvr{iti protiv gravitacione sile pri pomerawu tela jedini~ne mase iz date ta~ke poqa u beskona~nost ili obrnuto.

Potencijal poqa izra`ava energijsko stawe poqa.

Gravitacioni potencijal izra`ava se u xulima po kilogramu ()

J kg

POTENCIJALNA ENERGIJA PRI ELASTI^NIM

DEFORMACIJAMA

Sila kojom se isteè elasti~na metalna opruga moè da bude teìna tela oka~enog o oprugu (sl. 7.14), delovawe na{e ruke (sl. 7.15) itd. Intenzitet spoqa{we sile (teìna tela, sila mi{i}a ruke) izraàva se istom formulom kojom se predstavqa intenzitet sile elasti~nosti F e = –kx, ali sa suprotnim predznakom:

F = kx, gde je: k – koeficijent elasti~nosti, x – apsolutna promena du`ine opruge. Po{to je intenzitet sile srazmeran rastojawu x (linearna zavisnost), wena sredwa vrednost jednaka je aritmeti~koj sredini dveju odre|enih vrednosti, to jest:

Za koordinatni po~etak obi~no se uzima polo`aj tela kada opruga nije deformisana, pa je x0 = 0. Tada se dobija izraz za sredwu vrednost intenziteta sile:

Na osnovu toga mo`e se napisati formula za rad sile koji treba izvr{iti da bi se opruga istegla ili sabila za du`inu x:

Sl.7.15.Silaelasti~nostizavisiodpromenedu`ineopruge

Sl.7.14.Opruge optere}ene razli~itim tegovima

Dakle, deformisana opruga mo`e da vr{i rad, odnosno ima odgovaraju}u energiju. Grafi~ki prikaz dat je na slici 7.16.

Potencijalna energija elasti~ne opruge jednaka je radu koji ona mo`e da izvr{i prelaze}i iz deformisanog u nedeformisano stawe.

Rad sile elasti~nosti, tj. sile kojom opruga deluje na telo, i pri istezawu i pri sabijawu jednak je:

Znak „minus” u ovom slu~aju uslovqen je time {to je sila elasti~nosti uvek suprotno usmerena u odnosu na smer sile koja vr{i deformaciju opruge.

1 F2

F1 =kx1 F2 =kx2 0 x2 x1

Sl.7.16.Radsileelasti~nosti

Kada je x0 = x1 i x = x2, rad sile elasti~nosti ima oblik:

Rad sile elasti~nosti jednak je negativnoj promeni potencijalne energije sile elasti~nosti opruge:

A = E p1 – E p2 .

Upore|ivawem dveju posledwih relacija dobija se op{ti izraz za potencijalnu energiju sile elasti~nosti:

Potencijalna energija sile elasti~nosti opruge jednaka je poluproizvodu koeficijenta elasti~nosti i kvadrata promene du`ine opruge.

PRIMER

Koliki rad treba da izvr{i sila da bi se telu mase 10 kg brzina pove}ala sa 4 na 6 ?

RE[EWE:

Ek ()–100J.

PRIMER

Na telo mase 40 kg deluje vertikalno navi{e sila 500 N. Kolika je kineti~ka energija na visini 100 m ako je u po~etku telo bilo u stawu mirovawa?

RE[EWE: Kineti~ka energija na datoj visini jednaka je razlici radova koje izvr{i sila intenziteta F i Zemqina te`a (sila te`e) intenziteta F g :

Ek = AF – AFg = (F – mg)h.

Ek = 10760 J.

PRIMER

De~ak na klizaqkama stoji na ledu iza sanki. On gu rne sanke brzinom v 0 = 10 . Koliki rad je izvr{ila sila mi {i }a de~aka ako je masa sanki m 1 = 15 kg , a masa de~aka m 2 = 45 kg ?

RE[EWE: Kada gurne sanke, de~ak po~iwe da se kre}e u suprotnom smeru od smera kretawa sanki, tako da je:

odakle je:

Izvr{eni rad jednak je ukupnoj promeni kineti~ke energije sistema de~ak–sanke:

Ek m ms s m s

A = 1kJ

ZAKONI ODR@AWA U MEHANICI

U fizici postoje zakoni koji imaju op{te zna~ewe. Vaè u svim oblastima fizike (kao i drugim naukama) od mikrosveta (molekula, atoma i wihovih sastavnih ~estica) do sveta ogromnih kosmi~kih objekata. To su zakoni odràwa vrednosti nekih fizi~kih veli~ina: impulsa, energije, momenta impulsa... Zakoni odràwa su pouzdan kriterijum ispravnosti fizi~ke teorije i svake teorijske pretpostavke. Ako teorija ili projekat (model) tehni~kog ure|aja (ma{ine) nisu u saglasnosti sa zakonima odràwa, onda ta teorija nije dobra niti }e projektovana ma{ina mo}i da funkcioni{e. Na osnovu zakona kretawa mogu da se re{avaju zadaci mehanike, ako su poznate sile. Me|utim, u mnogim slu~ajevima zakone mehanike nije mogu}e koristiti za re{avawe zadataka ba{ zato {to nisu poznate sile koje uzrokuju to kretawe. Na primer, pri sudaru dva tela (dve kuglice, dva automobila, dva aviona itd.), te{ko je odrediti vrednost sile. Ovde deluju sile elasti~nosti. Ali deformacija u tim slu~ajevima nije jednostavna kao kod elasti~nih opruga. Uz to, vreme delovawa sile prilikom sudara tela je veoma kratko. Kori{}ewem zakona odràwa u tim slu~ajevima pojednostavquje se re{avawe problema i znatno brè dolazi do re{ewa nego pomo}u Wutnovih zakona.

Neke veli~ine ~ije se vrednosti odràvaju pod odre|enim uslovima su skalarne (masa, energija), dok su druge (impuls, moment impulsa), vektorske veli~ine. Kod skalarnih veli~ina odràva se wihova vrednost, a kod vektorskih veli~ina pored intenziteta, odràvaju se wihovi pravac i smer.

Sl. 7.17. Sistem Zemqa–satelit

Svi zakoni odr`awa odnose se na izolovan (zatvoren) sistem.

Fizi~ki sistem je skup dva ili vi{e tela (~estica) koja mogu uzajamno da deluju, ali i da uzajamno deluju i sa telima izvan tog sistema.

Sile koje deluju izme|u tela (~estica) unutar sistema nazivaju se unutra{we sile. Unutra{we sile imaju „izvor” u sistemu. Spoqa{we sile su one kojima tela (~estice) sistema uzajamno deluju sa telima izvan sistema.

Mo`emo uzeti, na primer, da su Zemqa i wen ve{ta~ki satelit izolovan sistem u kome postoji unutra{wa sila: gravitaciona sila kojom Zemqa deluje na satelit.

Gravitaciona sila Sunca u ovom slu~aju je spoqa{wa sila koja deluje na sistem Zemqa–satelit (sl. 7.17).

IZOLOVAN SISTEM

Izolovan (zatvoren) sistem je skup tela koja uzajamno deluju samo unutra{wim silama. Na tela izolovanog sistema ne deluju spoqa{we sile ili je rezultanta spoqa{wih sila jednaka nuli ili su te sile mnogo slabije od unutra{wih sila.

Takvi sistemi su, na primer, ~ovek u ~amcu na mirnoj povr{ini vode (sl. 7.18), top i projektil u wegovoj cevi, raketa i gorivo za weno lansirawe, telo–Zemqa, Zemqa i wen ve{ta~ki satelit.

Zakoni odràwa vaè u izolovanom sistemu kao celini, ali ne vaè i u delovima, podsistemima izolovanog sistema. Ako se vrednost neke veli~ine, koja se odràva, pove}a u nekom delu (podsistemu) datog izolovanog sistema, vrednost te veli~ine }e se smawiti u „ostatku” sistema za istu vrednost. Pri tom se ukupna vrednost te veli~ine za ceo izolovani sistem ne mewa, ostaje stalna.

U op{tem slu~aju Zakon odr`awa formuli{e se na slede}i na~in:

Ukupna vrednost date fizi~ke veli~ine u izolovanom sistemu tela (~estica) ne mewa se bez obzira na promene unutar tog sistema.

Zakon odr`awa mo`e se i druga~ije definisati: Ne postoji proces koji bi u izolovanom sistemu doveo do promene ukupne vrednosti date fizi~ke veli~ine.

ZAKON ODR@AWA IMPULSA

Na osnovu Wutnovih zakona dinamike, u principu, mo`e da se re{i svaki zadatak mehanike, opi{e svaki oblik mehani~kog kretawa tela.

Me|utim, postoje velike grupe prakti~nih zadataka koji ne zahtevaju poznavawe svih detaqa pri opisivawu mehani~kog kretawa tela. Za re{avawe tih zadataka dovoqno je odrediti samo kona~no stawe kretawa na osnovu poznavawa po~etnog stawa. Drugim re~ima, potrebno je odrediti kona~ni rezultat delovawa sile.

Posmatra}emo, jednostavnosti radi, izolovani sistem dva tela u inercijalnom sistemu, koja samo uzajamno interaguju (sl. 7.19).

Sl. 7.19 F12, F21 1 2

’

U trenutku t sila kojom telo 1 deluje na telo 2 je a telo 2 deluje na telo 1 silom . Odgovaraju}i impulsi tela u tom trenutku su i . Usled delovawa sila, posle vremenskog intervala t impulsi tela bi}e promeweni: i .

Prema Drugom Wutnovom zakonu: a na osnovu Tre}eg Wutnovog zakona: , pa je: i kona~no: .

Ukupan impuls dva tela u izolovanom sistemu u inercijalnom referentnom sistemu u toku vremena se ne mewa (isti je u trenutku t+ t, kao i u trenutku t). Ovo tvr|ewe va`i i za sistem sastavqen od proizvoqno mnogo tela.

Uop{teno, Zakon odr`awa impulsa glasi:

Ukupan impuls izolovanog sistema tela (~estica) u inercijalnom referentnom sistemu tokom vremena se ne mewa (ostaje konstantan):

Delovawem unutra{wih sila izolovanog sistema mogu da se mewaju impulsi pojedinih delova sistema (ili pojedinih tela, ~estica), ali samo tako da ukupan impuls sistema ostaje stalan, nepromewen. Vrednosti ukupnog impulsa mogu da promene samo spoqa{we sile ako sistem nije izolovan.

Prvi Wutnov zakon dinamike (Zakon inercije) moè da se smatra i posledicom Zakona odràwa impulsa. Ako u inercijalnom referentnom sistemu postoji izolovan sistem koji se sastoji samo iz jednog tela (~estice) mase m koje se kre}e brzinom v, onda se impuls toga tela odràva:

gde je: – rezultanta spoqa{wih sila.

Kako je u klasi~noj mehanici masa tela stalna, ima nepromewenu vrednost, mo`e da se napi{e:

Ovo je izraz Prvog Wutnovog zakona dinamike (Zakona inercije).

Op{ta formula Zakona odr`avawa impulsa glasi:

Ukupan impuls izolovanog sistema u inercijalnom referentnom sistemu ne mewa se u toku vremena, ima stalnu vrednost:

gde je: – rezultanta spoqa{wih sila. i

Sl. 7.20. Uzmak ili reaktivnitrzajtela

PRIMERI PRIMENE ZAKONA ODR@AWA IMPULSA

UZMAK. Dva kliza~a stoje na ledu (sl. 7.20a). Jedan od kliza~a odgurne rukama drugog kliza~a. Odgurnuti kliza~ dobija brzinu v1, ali i drugi kliza~ dobija brzinu v2 u suprotnom smeru (sl. 7.20b). Ta pojava se naziva uzmak ili reaktivni trzaj. Impulsi kliza~a iznose: .

Ukupan impuls na po~etku je bio jednak nuli

odakle je:

odnosno:

Odavde se dobija odnos intenziteta brzina kliza~a:

Sl. 7.22. Reaktivni trzaj(uzmak)de~akai ~amca

Uzmak se de{ava i prilikom dejstva vatrenog oru`ja. Na primer, prilikom opaqivawa pi{toqa, pu{ke, te{kog oru|a, ose}a se trzaj unazad preko kundaka ili postoqa topa (sl. 7.21). Pri tome je impuls zrna (projektila) po intenzitetu i pravcu jednak impulsu pi{toqa, pu{ke (te{kog oru|a) a suprotnog je smera (u skladu sa Zakonom odr`awa impulsa).

Zato se, na primer, kundak pu{ke (ili pi{toqa) dr`i prislowen uz rame (ili pi{toq u ruci) pa se tako masa sistema pove}ava, a brzina uzmaka (trzaj unazad) kundak – telo ~oveka se smawuje.

Mo`e se navesti i primer de~aka koji stoji u ~amcu na povr{ini mirne vode jezera i baca telo na obalu u horizontalnom pravcu, a ~amac dobija impuls unazad (sl. 7.22) u skladu sa relacijom:

ttææ –mv z Mv, vt væ mæ

gde su: mt i – masa i brzina izba~enog tela, a i – masa ~amca i ~oveka i wihova brzina unazad.

U mikrosvetu pri raspadu atomskih jezgara ili elementarnih ~estica, otkrivena je, tako|e, pojava uzmaka koja se odvija u skladu sa Zakonom odr`awa impulsa.

Sl.7.21.Pojava uzmaka(reaktivnog

REAKTIVNO KRETAWE

Obi~na kretawa tela ostvaruju se uzajamnim delovawima sa drugim telima (podlogom). Automobili se kre}u zahvaquju}i uzajamnom delovawu wegovih to~kova sa podlogom; ~ovek, kao rezultat delovawa sile wegovih mi{i}a sa putem po kojem se kre}e; ptice i ribe se kre}u potiskuju}i vazduh, odnosno vodu. Postoje i kretawa bez uticaja podloge (puta) i sredine. Na primer, rakete se kre}u velikim brzinama, ~ak i u bezvazdu{nom prostoru, a na sli~an na~in kre}u se i reaktivni avioni, neke morske ribe (meduza, sipa)...

Reaktivno kretawe ostvaruje se tako {to se iz tela izbacuje neki gas ili te~nost u jednom smeru, a telo tada dobija brzinu u suprotnom smeru. Takvo kretawe naziva se reaktivno kretawe

Tipi~an primer reaktivnog kretawa je kretawe rakete (sl. 7.23).

Raketa je sistem od dva uzajamno deluju}a tela: telo rakete i gorivo za weno lansirawe. Usijani gas nastao sagorevawem goriva u posebnoj komori je deo koji se odvaja od rakete.

Pre starta rakete wen impuls u odnosu na Zemqu jednak je nuli. Raketa dobija impuls izbacivawem gasova sagorelih u komori. Kada se raketa posmatra kao zatvoreni (izolovani) sistem – wen ukupni impuls i posle lansirawa je, tako|e, jednak nuli (zakon odr`awa impulsa). Raketa i sve {to se u woj nalazi dobijaju impuls jednak po intenzitetu impulsu sagorelog gasa, ali suprotnog smera.

Rakete mogu da se kre}u i bez interakcije sa drugim telima, osim sa produktima sopstvenog goriva (gasova oslobo|enih pri sagorevawu goriva).

U prirodi i tehnici ~esti su primeri da se promene brzine sti~u (ostvaruju) tako {to se neki fluid (voda, mlaz usijanih gasova) izbacuju iz tela koje pri tom dobija prira{taj brzine u suprotnom smeru. Neke morske `ivotiwe (ribe) tako se kre}u. Rakete i mlazni avioni ostvaruju kretawe tako {to mlaz usijanih gasova izbacuju velikom brzinom, a ova tela pri tome dobijaju brzinu u suprotnom smeru. Takvo kretawe se ostvaruje isprekidanim ili ne pre kidnim (kontinualnim) nizom uzmaka (trzaja). Na primer, ako ~ovek iz ~amca izbacuje predmet po predmet, ~amac se kre}e u trzajima (isprekidanim uzmacima) i pri izbacivawu svakog predmeta dobija prira{taj brzine. Na taj na~in ~ovek ne veslaju}i mo`e da stigne do obale. Takvo kretawe je i jedini na~in kretawa raketa-nosa~a ili kosmi~kih brodova kroz bezvazdu{ni prostor.

Sl. 7.23. Raketa

ZAKON ODR@AWA MOMENTA IMPULSA

Sl.7.24.Momentimpulsa

Sl.7.25.Odr`awemomenta impulsa(izvo|ewepiruete)

Podsetimo se da je moment impulsa vektorska veli~ina jednaka proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela (~estice):

Materijalna ta~ka mase m koja se kre}e po kru`nici radijusa r brzinom intenziteta v ima intenzitet momenta impulsa u odnosu na centar kru`nice (sl. 7.24):

L=mvr.

Kada je re~ o makroskopskom telu koje rotira (kugla, vaqak, to~ak i sli~no) ili sistem ve}eg broja tela koja rotiraju, moment impulsa se izra~unava tako {to se telo (sistem tela) podeli na veliki broj delova (~estica). Nakon toga se odrede momenti impulsa svih deli}a i wihov vektorski zbir je moment impulsa tela (sistema) kao celine:

U inercijalnom referentnom sistemu ukupan moment impulsa izolovanog sistema ~estica (tela) ne mewa se u toku vremena, ostaje stalan:

pod uslovom da je ukupan spoqa{wi moment sila jednak nuli (M s = 0).

Ukupan moment impulsa izolovanog sistema ostaje stalan. Me|utim, to ne zna~i da pojedini delovi sistema delovawem unutra{wih sila ne mogu da mewaju momente impulsa. Mogu, ali uvek tako da se u jednom delu sistema moment impulsa smawi kad se u drugom delu sistema moment impulsa pove}a za istu vrednost.

Ako se delovawem unutra{wih sila u sistemu (telu) razmaknu delovi sistema (uve}a wihovo me|usobno rastojawe), ~ime se pove}ava moment inercije (I), smawuje mu se ugaona brzina (ω) i obrnuto. Ali, pri tome, ostaje stalan moment impulsa ( ). Na osnovu Zakona odràwa momenta impulsa obja{wava se izvo|ewe piruete (sl. 7.25). Kliza~ica prvo ra{iri ruke i udaqi jednu nogu od tela te tako postiè maksimalnu vrednost momenta inercije (I1) i po~iwe da se obr}e na drugoj nozi ugaonom brzinom (ω1). Privla~ewem ruku i sastavqawem nogu, kliza~ica smawuje moment inercije (I2) i postiè maksimalnu ugaonu brzinu (ω2). Pri tome proizvod momenta inercije i ugaone brzine ostaje stalan: I1ω1 =I2ω2, pri ~emu je I1 > I2, a ω1 < ω2

ZAKON ODR@AWA ENERGIJE U MEHANICI

Mehani~ka energija opisuje stawe kretawa (kineti~ka energija) i uzajamno delovawe tela ili ~estica (potencijalna energija). Na primerima smo se uverili da je energijski na~in opisivawa pojava ili procesa ~esto jednostavniji od dinami~kog (pomo}u Wutnovih zakona dinamike), a neki put i jedini mogu}i na~in, iako daje mawe informacija o kretawu.

Analizira}emo sistem tela (~estica) koja uzajamno deluju samo konzervativnim silama. Kada je sistem izolovan, tela (~estice) sistema uzajamno deluju samo unutra{wim silama. Pri tome mogu da se mewaju wihove brzine i polo`aji (koordinate). Drugim re~ima, mogu da se mewaju wihova i kineti~ka i potencijalna energija.

Pretpostavimo da je u proizvoqnom trenutku t1 potencijalna energija sistema tela koja uzajamno deluju E p1, a wihova ukupna kineti~ka energija Ek1, u nekom slede}em trenutku t2 ove energije bi}e E p2 i Ek2

Rad (A) izvr{en konzervativnim silama, pri uzajamnom delovawu tela, jednak je negativnoj promeni potencijalne energije svih tela:

A=–(Ep2 –E p1)=Ep1 –E p2 .

Isti rad tih sila jednak je, s druge strane, promeni kineti~ke energije svih

tela:

A=Ek2 –Ek1

Sledi da je promena kineti~ke energije jednaka promeni potencijalne energije, sa suprotnim predznakom:

A=E p1 –E p2 =Ek2 –Ek1 .

Formula mo`e da se napi{e na slede}i na~in:

Ek1 +E p1 =Ek2 +E p2 .

Zbir kineti~ke i potencijalne energije izolovanog sistema tela koja uzajamno deluju konzervativnim silama ostaje stalan.

U ovom iskazu sadr`an je Zakon odr`awa energije u mehanici.

Zbir kineti~ke i potencijalne energije naziva se ukupna (totalna) energija mehani~kog sistema tela (E):

E=Ek +E p

Zakon odr`awa energije u mehanici mo`e da se izrazi i na slede}i na~in:

Sl. 7.26. Zakon odr`awaenergijeu sistemuZemqa–telo k k0 p0 v v1 v0 h1 h0 h m m m Ek0 mgh 2 mv 2 0 E 2 mv 2 1 mgh1 mgh E ph mgh

E=Ek +E p = const, pod uslovom da su: 1) spoqa{we sile iskqu~ene (kompenzovane); 2) unutra{we sile konzervativne.

Ukupna energija izolovanog sistema tela u kome deluju unutra{we konzervativne sile ostaje stalna (nepromewena).

Zakon odr`awa i uzajamnog pretvarawa energije omogu}uje boqe razumevawe fizi~kog zna~ewa rada. Kako jedan isti rad dovodi do pove}awa kineti~ke energije i istovremeno do isto tolikog smawewa potencijalne energije, sledi da je: rad jednak energiji koja se pretvorila iz jednog oblika u drugi, i na taj na~in rad karakteri{e proces uzajamnog pretvarawa energije.

PRIMER. Zakon odr`awa energije primenimo na vertikalni hitac navi{e (sl. 7.26). Koliku najve}u visinu h dosti`e telo mase m ba~eno uvis po~etnom brzinom v0?

Sistem Zemqa–telo mo`e se smatrati izolovanim i da Zemqa i telo deluju uzajamno gravitacionim silama, koje su konzervativne. Za po~etak ra~unawa (nulti nivo) potencijalne energije tela u odnosu na Zemqu uze} emo ta~ku na putawi u kojoj je po~etna brzina tela . U toj ta~ki potencijalna energija tela jednaka je nuli, a wegova kineti~ka energija je:

Ukupna mehani~ka energija tela je:

Kada telo postigne najve}u visinu h (zaustavi se), wegova potencijalna energija je E p =mgh, a kineti~ka energija mu je jednaka nuli (v= 0).

Ukupna energija tela u ta~ki na visini h jeste:

E=Ek +E p = 0 +mgh=mgh.

pa je:

Na osnovu Zakona odr`awa energije:

Ovaj isti izraz za maksimalnu visinu kod vertikalnog hica navi{e dobili smo ranije u kinematici.

Zbir potencijalne i kineti~ke energije u izolovanom sistemu je konstantan, pod uslovom da ta tela uzajamno deluju konzervativnim silama. Ali svaka od tih energija ponaosob je promenqiva, to jest prelazi iz jednog oblika u drugi. Kada se telo baci vertikalno navi{e, pove}ava se wegova potencijalna energija, a smawuje kineti~ka energija. U najvi{oj ta~ki putawe kineti~ka energija jednaka je nuli, potencijalna je maksimalna. Pri padu tela potencijalna energija se transformi{e u kineti~ku.

Kada mehani~ki sistem tela nije izolovan (F sp  0), promena wegove ukupne energije jednaka je radu spoqa{wih sila A sp :

E=E2 –E1 =Asp; za F sp  0.

U neizolovanom mehani~kom sistemu tela (~estica) ukupna energija se mewa, ne odr`ava se.

Ako u sistemu tela deluju sile koje nisu konzervativne (sila trewa, otpor sredine), mehani~ka energija sistema, tako|e, nije konstantna (ne odr`ava se).

ANALOGIJA IZME\U ENERGIJSKIH VELI^INA

TRANSLACIONOG I ROTACIONOG KRETAWA

Analogiju izme|u energijskih veli~ina ova dva oblika mehani~kog kretawa prikaza}emo tabelarno.

TRANSLACIJA

Kineti~ka energija:

ROTACIJA

Kineti~ka energija:

Rad: A=Fs

Snaga: P=Fv

Snaga: P=M ω kk I

Rad: A=M θ

KOSMI^KE BRZINE

Sl.7.27.Prvakosmi~kabrzina

Sl.7.28.Kosmi~kibrodupu}ennaMesec I m s2 km s 7,9

Za jedan kraj kanapa vezujemo telo, a drugi wegov kraj ~vrsto dr`imo u ruci. Zatim posredstvom kanapa obr}emo telo oko ruke. Kada se postigne dovoqno velika brzina, telo }e se kretati po kru`noj putawi. Tada }e se kanap zategnuti i oseti}emo kako telo „vu~e na{u ruku” dok opisuje krugove. Uzrok tome, kao {to znamo, jeste centrifugalna sila koja se javqa pri svakom kretawu tela po krivolinijskoj putawi.

Minimalna brzina kojom treba izbaciti telo sa povr{ine Zemqe da bi se ono kretalo po kru`noj putawi oko Zemqe, pod uslovom da je visina tela iznad Zemqine povr{ine znatno mawa od polupre~nika Zemqe (h << R), naziva se prva kosmi~ka brzina.

Kretawe satelita oko Zemqe je ravnomerno kru`no kretawe (intenzitet brzine se ne mewa). Stoga se vrednost prve kosmi~ke brzine (vI) mo`e dobiti izjedna~avawem intenziteta centrifugalne sile sa intenzitetom Zemqine gravitacione sile:

odakle je: .

Za vreme kretawa ve{ta~kog satelita oko Zemqe ulogu „sile u kanapu” (sile mi{i}a ruke) ima privla~na sila na{e planete, a wenom delovawu se suprotstavqa centrifugalna sila satelita.

Po{to je h<<R, to je R+h  R, pa je: Kako je dobija se izraz za prvu kosmi~ku brzinu:

Zamenom brojnih vrednosti: R= 6370km i g= 9,81 , nalazi se vrednost prve kosmi~ke brzine:

Druga kosmi~ka brzina je minimalna brzina kojom treba izbaciti telo sa Zemqe da bi ono napustilo Zemqino gravitaciono poqe.

Za odre|ivawe druge kosmi~ke brzine koristi se Zakon odr`awa energije:

gde je r – udaqenost tela na kojem se zanemaruje Zemqina te`a.

Kako je r>>R, to je Veli~ina je konstantna, pa sledi da je: brzina vII minimalna kada je v= 0, to jest brzina tela je na velikoj udaqenosti od Zemqe zanemarqive vrednosti. Na osnovu toga je:

ÁriŸ Alekseevi~ Gagarin (1934–1968),prvi~ovek u kosmosu

odnosno:

Zamenom vrednosti za R i g nalazi se vrednost druge kosmi~ke brzine:

Analognim putem mo`e da se re{i problem upu}ivawa kosmi~kog broda na nebeska tela izvan Sun~evog sistema. Treba odrediti uslove pri kojima se brod izvodi iz sfere delovawa gravitacije Sunca:

Ovde je a – normalno ubrzawe Zemqe na kru`noj putawi oko Sunca uslovqeno gravitacionim delovawem Sunca i R – radijus Zemqine orbite oko Sunca. Kona~no, u tom slu~aju v – ozna~ava brzinu broda u odnosu na Sunce.

Brzina neophodna za izvo|ewe broda iza granica Sun~evog sistema naziva se tre}a kosmi~ka brzina.

Kosmi~ke brzine ne zavise od mase tela (raketa, vasionskih brodova). To se vidi iz wihovih formula u kojima ne figuri{e masa. Sa slike 7.29. vidi se slede}e: a) kada je brzina lansiranog tela jednaka prvoj kosmi~koj brzini, onda se ono kre}e po kru`noj putawi oko Zemqe; b) kada se brzina lansiranog tela pove}ava iznad prve kosmi~ke brzine (v> 7,9 km s ), telo se kre}e po sve izdu`enijim elipti~nim putawama oko Zemqe. Ako telo dostigne drugu kosmi~ku brzinu (v= 11,2km s ), ono po paraboli napu{ta Zemqu i odlazi u kosmi~ki prostor Sun~evog sistema.

Sl.7.29.ObliciputawatelakojaselansirajusaZemqine povr{inebrzinom v  7,9 km s

REZIME

• Kod translacionog kretawa tela, rad stalne sile jednak je proizvodu komponente u pravcu kretawa (aktivne komponente) i puta koji telo pre|e:

A = F p s.

• Pri rotaciji tela oko nepokretne ose, rad konstantnog momenta sile jednak je proizvodu tog momenta sile i ugla koji telo opi{e:

A = Mθ

• Brzina kojom se vr{i rad odre|uje se veli~inom koju nazivamo snaga. Sredwa snaga je koli~nik rada i vremena u toku kojeg je taj rad izvr{en:

• Kod translacionog kretawa, trenutna snaga jednaka je proizvodu aktivne komponente sile i brzine tela u tom trenutku:

P = F p v.

• Pri rotacionom kretawu tela, sredwa snaga jednaka je proizvodu momenta sile i ugaone brzine tela u datom trenutku:

P = M

• Kineti~ka energija translacionog kretawa tela jednaka je polovini proizvoda mase i kvadrata brzine tela:

• Kineti~ka energija tela koje rotira jednaka je polovini proizvoda momenta inercije i kvadrata ugaone brzine tela:

• Rad sile (odnosno momenta sile) na telu jednak je promeni kineti~ke energije tela:

A = Ek = Ek2 – Ek1, gde je: Ek1 – po~etna, a Ek2 – krajwa (kona~na) kineti~ka energija tela.

• Sila ~iji rad zavisi samo od po~etnog i krajweg polo`aja tela (a ne zavisi od oblika i du`ine putawe) naziva se konzervativna sila.

• Potencijalnu energiju imaju tela izme|u kojih deluju konzervativne sile. s k k

Rad konzervativne sile (u sistemu tela, na primer Zemqa–telo, opruga–telo) jednak je razlici po~etne i krajwe gravitacione potencijalne energije sistema tela:

A = –E p = E p1 – E p2 .

Potencijalna energija dva sferna tela (materijalne ta~ke) izme|u kojih deluje gravitaciona sila definisana je izrazom:

gde su: m1 i m2 – mase tela (materijalnih ta~aka), r – rastojawe izme|u centara sfernih tela, odnosno izme|u materijalnih ta~aka.

Kada je udaqenost tela od Zemqine povr{ine znatno mawa od polupre~nika Zemqe (h << R), gravitaciona potencijalna energija tela odre|ena je formulom:

E p = mgh, gde je: m – masa tela, h – visina tela iznad Zemqe, g = 9,81

Formula va`i ako se uzima da je potencijalna energija tela na Zemqinoj povr{ini jednaka nuli.

• Rad koji se izvr{i protiv gravitacione sile pri pomerawu tela jedini~ne mase iz date ta~ke u beskona~nost, naziva se potencijal gravitacionog poqa.

Rad gravitacione sile izra`en preko gravitacionog potencijala poqa u datim ta~kama je:

A = m (ϕ1 – ϕ2).

Potencijal gravitacionog poqa materijalne ta~ke mase m na udaqenost r je: .

• Potencijalna energija sile elasti~nosti opruge definisana je formulom:

gde je: k – koeficijent elasti~nosti, x – promena du`ine opruge.

• Izolovan (zatvoren) sistem je skup tela koja uzajamno deluju samo unutra{wim silama. Na tela izolovanog sistema ne deluju spoqa{we sile ili je rezultanta spoqa{wih sila jednaka nuli ili su te sile mnogo slabije od unutra{wih sila.

• Ukupan impuls izolovanog sistema u inercijalnom referentnom sistemu ne mewa se u toku vremena, ima stalnu vrednost:

gde je: – rezultanta spoqa{wih sila.

• Reaktivno kretawe ostvaruje se tako {to se iz tela izbacuje neki gas ili te~nost u jednom smeru, a telo tada dobija brzinu u suprotnom smeru.

Tipi~an primer reaktivnog kretawa je kretawe rakete.

• U inercijalnom referentnom sistemu ukupan moment impulsa izolovanog sistema ~estica (tela) ne mewa se u toku vremena, ostaje stalan:

pod uslovom da je ukupan spoqa{wi moment sila jednak nuli (M s = 0).

• Zbir kineti~ke i potencijalne energije izolovanog sistema tela koja uzajamno deluju konzervativnim silama ostaje stalan.

U ovom iskazu sadr`an je Zakon odr`awa energije u mehanici.

• Minimalna brzina kojom treba izbaciti telo sa povr{ine Zemqe da bi se ono kretalo po kru`noj putawi oko Zemqe, pod uslovom da je visina tela iznad Zemqine povr{ine znatno mawa od polupre~nika Zemqe (h<<R), naziva se prva kosmi~ka brzina.

Izra~unata vrednost prve kosmi~ke brzine je:

• Druga kosmi~ka brzina je minimalna brzina kojom treba izbaciti telo sa Zemqe da bi ono napustilo Zemqino gravitaciono poqe.

Izra~unata vrednost druge kosmi~ke brzine je:

Izra~unata vrednost tre}e kosmi~ke brzine je: km s 7,9 km s km s

• Brzina neophodna za izvo|ewe broda iza granica Sun~evog sistema naziva se tre}a kosmi~ka brzina

PITAWA I ZADACI

1. Kako se defini{e mehani~ki rad?

2. U kojem slu~aju stalna sila du` istog puta vr{i rad: a) maksimalan; b) pozitivan; v) negativan; g) jednak nuli?

3. Zavisi li rad od izbora referentnog sistema?

4. Jedinica za rad je ista kao i jedinica za energiju. Po ~emu se razlikuju te dve fizi~ke veli~ine?

5. Navedite primere konzervativnih i nekonzervativnih sila.

6. Da li je rad sile elasti~nosti pozitivan ili negativan?

7. Da li rad sile te`e zavisi od oblika putawe po kojoj se telo kre}e?

8. Koliki je rad sile te`e na zatvorenoj putawi?

9. Ako se dva tela me|usobno privla~e, na primer, gravitacionim silama, kakav se rad vr{i (pozitivan ili negativan) pri udaqavawu tih tela?

10*. Kolika je gravitaciona potencijalna energija tela u centru Zemqe?

11. Da li potencijalna energija elasti~ne metalne opruge zavisi od brzine deformacije opruge i od na~ina na koji smo je deformisali, ili samo zavisi od veli~ine deformacije?

12. Kako je rad sile te`e povezan s gravitacionom potencijalnom energijom?

13. ^emu je jednak rad sile elasti~nosti ako telo na koje ona deluje prelazi neko rastojawe i vra}a se u po~etni polo`aj?

14*. Opi{ite kretawe tela koje je upalo u tunel ~iji ulaz i izlaz spajaju mesta na Zemqi du` wenog pre~nika.

15. Koji uslovi treba da budu ispuweni da bi se mogli primeniti Zakoni odr`awa?

16. Nabrojte osnovne Zakone odr`awa vrednosti fizi~kih veli~ina.

17. Kako se uop{teno mogu izraziti Zakoni odr`awa vrednosti veli~ina?

18. Va`i li Zakon odr`awa impulsa u izolovanom sistemu u kome deluju sile koje nisu konzervativne?

19. Kakva je razlika izme|u unutra{wih i spoqa{wih sila sistema?

20. Za{to artista moè da izdrì udarac maqem po nakovwu koji se nalazi na wegovim grudima, a ne moè da izdrì taj udarac direktno na telo?

21. Kako se mo`e izmeniti ukupan impuls izolovanog sistema?

22. Koji od Wutnovih zakona mehani~kog kretawa mo`e da se predstavi kao posledica Zakona odr`awa impulsa?

23*. Rad konzervativnih sila mewa vrednost odre|enih veli~ina koje karakteri{u mehani~ki sistem tela. Koje su to veli~ine?

24. [ta se mewa u sistemu tela ako se mewaju wihovi uzajamni polo`aji?

25. Koja veli~ina mewa vrednost ako se u sistemu mewaju brzine tela?

26. U izolovanom sistemu tela u kojem deluju samo konzervativne sile nastaju odre|ene transformacije. O kojim je transformacijama re~?

27. [ta se podrazumeva pod ukupnom energijom mehani~kog sistema tela?

28. Kako se odre|uje rad pri pretvarawu jednog oblika energije u drugi?

29. Kada se energija u mehani~kom sistemu ne odr`ava?

30. [ta karakteri{e snaga?

31. Koje smo kosmi~ke brzine upoznali?

32. Kako se defini{u prva, druga i tre}a kosmi~ka brzina?

PRIMER

Neka je telo mase m iz prethodnog primera u~vr{}eno za kraj {tapa ~ija se te`ina, tako|e, mo`e zanemariti.

RE[EWE: U ovom slu~aju {tap obezbe|uje reakciju Zemqinoj te`i, tako da brzina tela u ta~ki B mo`e da bude jednaka nuli (vB = 0). Tada je:

EkB = 0; E pB =2mgl i

kona~no:

PRIMER

Automobil brzinom 72 (20 ) udara u stablo pored puta (sre}om, bez povre|enih). Automobil se zaustavio 0,03s nakon udara u drvo. ^emu je jednak sredwi intenzitet sile koja je delovala na automobil prilikom sudara? Masa automobila je 1,5t.

RE[EWE:

Ft=p2 –p1 =mv,

Dobijena vrednost sile oko 70 puta prevazilazi te`inu automobila.

PRIMER

A kgm ,s kmm ss s N. m s2

Telo mase m= 20kg padne sa visine h= 10m. Za koliko se promenila wegova potencijalna energija ako je ubrzawe slobodnog pada na tom mestu g= 9,81 ? Kolike su kineti~ka energija i brzina u trenutku pada na zemqu ako je telo po~elo da pada iz stawa mirovawa?

RE[EWE: Pri padu sa visine h telo smawuje potencijalnu energiju:

E p =mgh= 1962J.

U trenutku pada na zemqu, na osnovu Zakona odr`awa energije:

Ek = E p = 1962J.

Brzina tela u trenutku pada tela nalazi se iz jednakosti:

PRIMER

Kolikom brzinom treba lansirati telo sa povr{ine Zemqe da bi ono postalo wen satelit koji kru`i po orbiti 2 R (R= 6400km,g= 9,81 )?

RE[EWE: Prema Zakonu odr`awa mehani~ke (kineti~ke i potencijalne) energije:

Iz navedene dve jedna~ine dobija se: – γ – γ km s γ m s m s2

E1 =E2; Ek1 +E p1 =Ek2 +E p2,

gde je: E1 – ukupna energija u trenutku lansirawa tela sa Zemqine povr{ine, E2 – ukupna energija tela na orbiti po kojoj telo kru`i oko Zemqe: Prema Drugom Wutnovom zakonu je:

ZAKQU^AK

Klasi~na mehanika je veoma va`na oblast fizike. Upoznali smo wene osnovne elemente, a to su: kinematika, dinamika, statika, gravitacija, rad i energija, kao i zakone odr`awa u mehanici (impulsa, momenta impulsa i energije).

Osnovu klasi~ne mehanike ~ine Wutnovi zakoni. Ovi zakoni defini{u odnose izme|u veli~ina: ubrzawa, mase, impulsa, sile i dr. Na osnovu tih relacija re{avaju se razni zadaci u klasi~noj mehanici.

Do kraja XIX veka niko nije sumwao u apsolutnu ta~nost Wutnovih zakona i wihovu univerzalnu primenu. Znamo da su Wutnovi zakoni ustanovqeni u periodu kada su qudi po~eli {iroko da koriste razne ma{ine, aparate, i da izra|uju sve impozantnije gra|evinske objekte. I u dana{we vreme po Wutnovim zakonima prora~unavaju se konstrukcije slo`enih ma{ina i mehanizama, od te{kih turbina i raketa do preciznih instrumenata, pribora, ~ija masa ne prelazi jedan gram.

Po~etkom XX veka dokazano je da Wutnovi zakoni ne mogu da se primene kada se tela kre}u brzinom uporedivom sa brzinom svetlosti u vakuumu (c =300000 ).

Ajn{tajn, koga nazivaju Wutnom XX veka, formulisao je op{tije zakone koji se mogu primeniti i za opisivawe kretawa tela ~ije su brzine bliske brzini svetlosti u vakuumu. Ti zakoni le`e u osnovi takozvane relativisti~ke mehanike ili teorije relativnosti, koju }emo upoznati u zavr{nom razredu gimnazije.

Postavqa se pitawe mesta Wutnovih zakona pa i cele klasi~ne mehanike u Ajn{tajnovoj teoriji relativnosti. Wutnovi zakoni i klasi~na mehanika u celini su konkretan primer, odnosno specijalan slu~aj ove op{tije teorije i mogu da se primene na kretawa tela (~estica) ~ije su brzine znatno mawe od brzine svetlosti u vakuumu. Wutnovi zakoni klasi~ne mehanike „otkazuju” i pri razmatrawu kretawa unutar molekula, atoma. Naime, ni u na~elu nije mogu}e pratiti kretawa sastavnih delova atoma, pa ni sam wutnovski pristup i na~in razmi{qawa na subatomskom nivou nije mogu}e primeniti. Za razmatrawe takvih pojava i procesa gde je udaqenost izme|u ~estica mawa od 10–10m (polupre~nik atoma), odgovorno je drugo podru~je fizike, kvantna mehanika (koju }emo, tako|e, izu~avati u IV razredu gimnazije). Wutnova mehanika mo`e da se primeni na interakcije izme|u ~estica uzajamno udaqenih vi{e od 10–10m. Relativisti~ka i kvantna ograni~ewa ne umawuju ogromnu va`nost klasi~ne mehanike. Za opisivawe mehani~kog kretawa tela (~estica), makroskopskih pojava i procesa klasi~na (Galilej–Wutnova) mehanika i daqe je nezamenqiva. Ste~eno znawe u prou~avawu klasi~ne mehanike koristi}emo pri izu~avawu svih ostalih oblasti fizike, kao i nekih poglavqa hemije, biologije, astronomije i drugih prirodnih nauka.

Neka je sre}no! km s

REGISTAR IMENA

AJN{TAJN ALBERT (EinsteinAlbert, 1879–1955) 189

GALILEJ GALILEO (GalileiGalileo, 1564–1642) 7, 77, 78, 121, 122, 189

DEKART RENE (DescartesRené, 1596–1650) 23, 24, 56

DEMOKRIT (Demokrit, 460–370 p. n. e.) 5

\ORDANO BRUNO (BrunoGiordano, 1548–1600) 121, 122

GAGARIN JURIJ ALEKSEJEVI~ (ÁriŸ Alekseevi~ Gagarin, 1934–1968) 181

KEVENDI{ (CavendichHenry, 1731–1810) 150

KEPLER JOHAN (KeplerJohann, 1571–1630) 65, 122, 123, 124, 125, 135, 146

KOPERNIK NIKOLA (NikolaKoppernick , 1473––1543) 65, 77, 121, 122

WUTN ISAK (NewtonSirIsaac, 1642–1727) 7, 12, 65, 67, 71–82, 97, 99, 100, 101, 103, 124–126, 132, 135, 146, 148, 152, 159, 164, 170, 172, 173, 177, 186, 188, 189

O M G EORG S IMON ( OhmGeorgSimon , 1787––1854) 12

NIKOLA TESLA 65

PITAGORA (PythagorasofSamos, 570 p. n. e. ––495 p. n. e.) 28, 36

SENEKA (LuciusAnnaeusSeneca, 4 p. n. e. ––65 n. e.) 5

TIHO BRAHE (BracheTycho, 1546–1601) 124

REGISTAR POJMOVA

Astronomska jedinica du`ine (AJ) 131

Beste`insko stawe 143–144, 147

Brzina 28–29, 32–33, 38–39, 41, 46, 48, 57

linijska (periferijska) 42, 44, 47, 59

kosmi~ke brzine 180, 182

prva kosmi~ka 180, 182

druga kosmi~ka 181–182 tre}a kosmi~ka 181

sektorska brzina 123, 146

sredwa vrednost 30–32, 49, 58, 60, 61, 136

sredwa vrednost ugaone brzine 43, 44, 53

stalna brzina 39, 55, 78–79

trenutna brzina 31–32, 58–59

trenutna ugaona brzina 44, 53

ugaona brzina 43–44, 46–47, 53, 55–56

Brzinometar 31, 59

Vat (jedinica snage) 160

Vektori 13–16, 33 operacije sa vektorima 16–20, 84–86

Vektor pomeraja 26, 27, 31–32, 58

Vertikalni hitac navi{e (hitac uvis) 138, 148

Vertikalni hitac nani`e 136

Geometrijska sredwa vrednost 165

Gravitaciona konstanta 125, 150, 164

Grafikon zavisnosti brzine od vremena 39, 38–40, 63

Grafikon zavisnosti ubrzawa od vremena 63

Dekartov pravougli koordinatni sistem 23, 24, 56

Dinamika 65, 74 osnovna jedna~ina (translacija) 74 rotacije 91–95, 97–99

Energija (mehani~ka) 155, 157–158, 161

elektrostati~ka potencijalna 161

kineti~ka (translacije) 157–158, 183

kineti~ka (rotacije) 158, 183 potencijalna (gravitaciona) 161, 163–165, 184

potencijalna sila elasti~nosti 167–168, 184

unutra{wa 157

Zakon 12

Zakoni odràwa 170 odràwa impulsa 172–174 odràwa momenta impulsa 176 odràwa energije (u mehanici) 177–179, 181

Impuls 65, 69–70, 74, 97–99, 157

Inertnost tela 69, 72, 99

Inercija 69

Keplerovi zakoni 122, 123, 146

Prvi zakon 122, 146

Drugi zakon 122, 146

Tre}i zakon 123–125, 146

Kinematika 21, 55, 65

Kowska snaga 160

Kosi hitac 141, 142

Kru`no kretawe 36, 42–49, 63–64, 82

Kruto telo 91, 102

Masa tela 68–70, 98, 130–132

Matemati~ko klatno 78

Materijalna ta~ka 22, 26, 90–91

Mehani~ko kretawe 21, 32–41

pravolinijsko 26, 32, 37–41 krivolinijsko 26, 32, 57

rotaciono (obrtno) 50–52, 54–56, 98 translaciono kretawe 50, 54–56, 91, 98

Moment impulsa 96, 97 materijalne ta~ke 97 Zemqe 97

Moment inercije 93–96

Moment sile 88–92, 96 krak sile 91–93

Napadna ta~ka 103–106, 129

Nepokretna (utvr|ena, fiksirana) osa 51

Wutn (jedinica sile) 67, 73

Wutnovi zakoni 65, 99–100

Prvi zakon (Zakon inercije) 70–71, 87

Drugi zakon 72–74, 81, 87, 126

Tre}i zakon (Zakon akcije i reakcije)

75, 87

Op{te gravitacije 124–128, 146, 164

Osa rotacije 51–52

Periodi~no kretawe 46

Pomeraj 26–29

ugaoni pomeraj 42–43, 51–53, 55

Potencijalna jama 165

Pravilo desne ruke 53

Pravilo desnog zavrtwa 53

Princip superpozicije 126

Put 24–26, 39–43, 55–57, 60

Putawa 24–26

Ravnote`a 101, 102 dinami~ka 101 indiferentna 108–109, 112 krutog tela 107, 112 labilna 108–109 materijalne ta~ke 102–103, 112 poluge 111–112 stabilna 108, 112

stati~ka 101, 102 tela na strmoj ravni 109–110

Rad 155–156 gravitacione sile (Zemqine te`e) 161–166, 184

mehani~ki (rotaciono kretawe) 158, 183

mehani~ki (translaciono kretawe) 155–156, 159, 161–163 sile elasti~nosti 168

Radijus-vektor (vektor polo`aja) 24, 42–43

Raketa 79, 175 kosmi~ka 74, 79

Reaktivno kretawe 175

Referentni sistem (sistem referencije) 22–23, 56 inercijalni 76–78, 84 neinercijalni 79–84

Referentno telo 22, 23

Sila 65, 67, 72–75, 97–100 akcije 75, 82, 100 gravitaciona 124–125, 127–130, 146–147, 178

elasti~nosti 80–81, 83, 162 elektri~na 66, 162

Zemqine te`e 128–130, 134, 162, 165 inercije (inercijalna sila) 79–84, 143–145 konzervativna 161–163 reakcije 75, 82, 100 centripetalna 82–84 centrifugalna 83–84, 128, 134, 145

Slagawe (sabirawe vektora) 16 antiparalelnih 106–107

paralelnih sa istim smerovima 104 pravilo paralelograma 16–18 pravilo poligona 17–18, 103 pravilo trougla 17–18

Slobodni pad 137

Snaga 159–160, 183

Spreg sila 106

moment sprega sila 106–107

Statika 101–102, 113

Strma ravan 110

Te`ina tela 129–131, 134

Te`i{te tela 91, 129 Temperatura 157

Trewe 113 klizawa 113–116 kotrqawa 113, 116 mirovawa 113–115 otpor sredine 117, 156 sila trewa 113–118

Ubrzawe 28, 48–49, 55, 59, 73, 126 Zemqine te`e (gravitacione sile) 129, 134, 147 sredwe 34–35, 48, 59 sredwe ugaono 45, 54 stalno 37, 39, 59 tangencijalno (periferijsko, linijsko) 36, 42, 45, 94 trenutno 35, 48, 59 trenutno ugaono 45 ugaono 42, 45, 54–55, 94 centripetalno (normalno, radijalno) 36, 47–49, 60, 82–84, 135 Uzajamno delovawe (interakcija) 65–68, 99–100 gravitaciono 65–66, 136 dinami~ko 67 elektri~no 65–67 magnetno 66–67

neposredno 65–66 stati~ko 67

Fizi~ke veli~ine 10–11 vektorske 13–16 dinami~ke (rotacija) 88–94, 96, 98 dinami~ke (translacija) 65, 98

energijske (translacija i rotacija) 179 izvedene 11

kinemati~ke (rotacija) 55–56, 98 kinemati~ke (translacija) 21, 55–56, 65, 98 osnovne 11 skalarne 13

Fizi~ki eksperiment (ogled) 8–10

Fizi~ko poqe 136 gravitaciono poqe 131–133, 146 gravitaciono poqe Zemqe 133, 136–145, 147

elektri~no 132

ja~ina gravitacionog poqa 132 potencijal gravitacionog poqa (Zemqe) 166 potencijal gravitacionog poqa materijalne ta~ke 184

Fizi~ki sistem 170 izolovan (zatvoren) 171

Heliocentri~ni sistem 77, 121–122 Horizontalni hitac 139–140

Xul (jedinica rada i energije) 155–156, 160, 166

Dr Milan O. Raspopovi}

FIZIKA

za prvi razred gimnazije

^etvrto izdawe, 2023. godine

Izdava~

ZAVOD ZA UXBENIKE , BEOGRAD

Obili}ev venac 5 www.zavod.co.rs

Likovni urednik, dizajn i korice

Biqana Savi}

Ilustracije

Igor Milentijevi}

Zoran Pe{kan Igor Kekeqevi}

Grafi~ki urednik

Miroslav Radi}

Lektor

Branislava Markovi}

Korektori

Sla|ana Mila~i}

Marijana Vasi} Stjepanovi}

Format: 20,5 × 26,5 cm

Obim: 25 {tamparskih tabaka

Tira`: 4.000 primeraka

Rukopis predat u {tampu: avgusta 2023. godine [tampawe zavr{eno: avgusta 2023. godine [tampa

JP SLU@BENI GLASNIK, Beograd