Физика за 1. разред гимназије - 21199

Milan O. Raspopovi}

FIZIKA ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE

1.

Рецензенти Проф. др Јован Шетрајчић, професор Природно-математичког факултета у Новом Саду, Департман за физику Јовица Милисављевић, професор Математичке гимназије у Београду Биљана Влачић, професор гимназије „Лаза Костић” у Новом Саду Urednik Tatjana Bobi} Odgovorni urednik Tatjana Kosti} Glavni urednik Dragoqub Kojåiã Za izdava~a Dragoqub Kojåiã, direktor

Ministar prosvete, nauke i tehnolo{kog razvoja Republike Srbije odobrio je ovaj uxbenik svojim re{ewem broj 650-02-411/2018-03 od 27. 03. 2019. godine za upotrebu u prvom razredu gimnazije.

ISBN 978-86-17-20131-7

© ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ, Београд (2019) Ово дело не сме се умножавати, фотокопирати и на било који други начин репродуковати, ни у целини ни у деловима, без писменог одобрења издавача.

SADR@AJ Kako u~iti fiziku? .......................................... 6

Veza izme|u brzine i ugaone brzine ................ 44 Ugaono ubrzawe .................................................... 45 Veza tangencijalnog i ugaonog ubrzawa ....... 45

1. UVOD ................................................................. 7

Ravnomerno kru`no kretawe ....................... 46

Fizika kao nauka o prirodi .......................... 7

Period i frekvencija ........................................ 46 Centripetalno (normalno) ubrzawe ............ 47

Predgovor ............................................................ 5

Predmet fizike .................................................... 8 Zadatak fizike ..................................................... 8 Metode prou~avawa u fizici ........................... 8 Fizi~ke veli~ine ................................................ 10 Osnovne i izvedene veli~ine ............................ 11 Fizi~ki zakoni ................................................... 12

Vektori i osnovne operacije sa vektorima ................................................ 13 Skalarne i vektorske fizi~ke veli~ine ........................................... 13 Operacije sa vektorima .................................... 16

Rezime ................................................................ 20 Pitawa i zadaci ................................................ 20

2. KINEMATIKA ........................................... 21 Mehani~ko kretawe ...........................................

Relativnost kretawa ......................................

Referentni sistem ...........................................

Vektor polo`aja ................................................

21 22 22 24

Pravolinijsko i krivolinijsko kretawe .. 24 Putawa i put ...................................................... 24 Ravnomerno i neravnomerno kretawe .............26 Pomeraj .................................................................. 26

Brzina i ubrzawe tela .................................. 28 Sredwa vrednost brzine ...................................

Trenutna brzina .................................................

Klasi~an zakon slagawa (sabirawa) brzina ................................................................

Sredwe ubrzawe ...................................................

Trenutno ubrzawe ..............................................

Normalna (radijalna) i tangencijalna komponenta ubrzawa .....................................

30 31 32 34 35 36

Ravnomerno-promenqivo pravolinijsko kretawe ......................................................... 37

Translaciono i rotaciono kretawe .......... 50 Rotaciono kretawe tela oko nepokretne ose ...............................................

Ugaoni pomeraj i opisani ugao ........................

Vektorska priroda ugaonog pomeraja ............

Ugaona brzina ......................................................

Ugaono ubrzawe ....................................................

Analogija translacionog i rotacionog kretawa ............................................................

51 52 53 53 54 54

Rezime ................................................................ 56 Pitawa i zadaci ................................................ 61

3. DINAMIKA TRANSLACIONOG KRETAWA ..................................................... 65 Uzajamno delovawe (interakcija) tela. Sila ......................................................... 66 Sila ........................................................................ 67 Masa tela ............................................................. 68 Impuls tela ......................................................... 70

Prvi Wutnov zakon (Zakon inercije) ....... 71 Drugi Wutnov zakon ....................................... 72 Osnovna jedna~ina dinamike ............................ 74

Tre}i Wutnov zakon (Zakon akcije i reakcije) ................................................... 75 Inercijalni referentni sistem (sistem referencije) ....................................

Galilejev princip relativnosti kretawa ............................................................

Neinercijalni referentni sistemi.

Sila inercije ..................................................

Inercijalna sila (sila inercije) ...................

Dinamika kru`nog kretawa.

Centripetalna sila ....................................

Centrifugalna sila ..........................................

76 77 79 80 82 83

Pre|eni put pri kretawu tela sa stalnim ubrzawem ........................................................... 39 Zavisnost brzine od puta ................................ 41

Skalarni i vektorski proizvod vektora .... 84

Kretawe materijalne ta~ke po kru`noj putawi ........................................................... 42

Skalarni proizvod vektora ............................ 84 Vektroski proizvod dva vektora.................... 85

Ugaoni pomeraj i opisani ugao ........................ 42 Ugaona brzina ...................................................... 43

Rezime ................................................................ 86 Pitawa i zadaci ................................................ 90

3

4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA ............................................. 91 Moment Moment Moment Moment

sile ........................................................ inercije ................................................ impulsa tela ....................................... impulsa materijalne ta~ke ............

91 93 96 97

Osnovni zakon dinamike rotacije ........................... 97 Analogija izme|u veli~ina i relacija dinamike translacionog i rotacionog kretawa ............ 98

Rezime ......................................................................... 98 Pitawa i zadaci .............................................. 100

Rezime ....................................................................... 146 Pitawa i zadaci .............................................. 148

7. ZAKONI ODR@AWA ....................................... 155 Mehani~ki rad ........................................................ 155

5. RAVNOTE@A TELA .......................................... 101

Kineti~ka energija ................................................ 157

Uvod ........................................................................... 101

Rad i kineti~ka energija ...................................... 159

Ravnote`a materijalne ta~ke ............................... 102 Slagawe dve paralelne sile istih smerova ........................................................ 104 Slagawe dve paralelne sile suprotnih smerova ................................................ 106 Ravnote`a krutog tela ........................................... 107 Vrste ravnote`e ....................................................... 108 Poluga ............................................................................ 111

Snaga .......................................................................... 159

Kineti~ka energija rotacije ................................. 158

Potencijalna energija .......................................... 161

Sila trewa mirovawa ............................................... 113 Sila trewa klizawa i kotrqawa ......................... 114 Otpor vazduha i grani~na brzina .......................... 117

Konzervativne sile ................................................... 161 Potencijalna energija gravitacione sile ............................................................................ 163 Potencijalna energija tela na velikom rastojawu od Zemqe ............................. 164 Potencijal gravitacionog poqa (Zemqe) ..................................................................... 166 Potencijalna energija pri elasti~nim deformacijama ....................................................... 167

Rezime ....................................................................... 118

Zakoni odr`awa u mehanici ........................... 170

Trewe. Sila trewa ................................................. 113

Pitawa i zadaci .............................................. 119

Izolovan sistem ...........................................................171

6. GRAVITACIJA .................................................. 121

Zakon odr`awa impulsa ........................................172

Keplerovi zakoni .................................................. 122 Wutnov zakon gravitacije .................................... 124

4

Vertikalni hitac nani`e ...................................... 136 Slobodan pad ................................................................ 137 Vertikalni hitac navi{e ...................................... 138 Horizontalni hitac ................................................ 139 Kosi hitac ................................................................... 141 Beste`insko stawe ................................................... 143

Primeri primene zakona odr`awa impulsa ..................................................................... 174 Reaktivno kretawe ................................................... 175

Gravitaciona sila u blizini Zemqine povr{ine ................................................................. 127 Zemqina te`a ............................................................. 128 Ubrzawe slobodnog pada ............................................ 129 Te`ina tela ................................................................. 129 Masa i te`ina tela .................................................. 130

Zakon odr`awa momenta impulsa ...................... 176

Gravitaciono poqe ................................................ 131

Rezime ....................................................................... 183

Ja~ina gravitacionog poqa ..................................... 132 Ja~ina gravitacionog poqa materijalne ta~ke ............................................... 132

Pitawa i zadaci .............................................. 186

Kretawe tela u poqu Zemqine te`e ...................................................................... 136

Registar imena .........................................................190

Zakon odr`awa energije u mehanici ................. 177 Analogija izme|u energijskih veli~ina translacionog i rotacionog kretawa ......... 179 Kosmi~ke brzine .............................................. 180

Zakqu~ak ...................................................................189 Registar pojmova .................................................... 191

Po{tovani u~enici Fizika vam ne predstavqa novu nauku. U osnovnoj {koli imali ste prilike da upoznate osnovne elemente ove prirodne nauke.

U toku prve tri godine gimnazije pro{iri}ete i produbiti svoje znawe u domenu klasi~ne fizike, nauke o prirodi formirane do po~etka HH veka. Ona obuhvata tri krupne oblasti: mehaniku (nauku o mehani~kom kretawu), termodinamiku (nauku o toplotnim pojavama) i elektrodinamiku (nauku o naelektrisanim telima – ~esticama i fizi~kim poqima).

U prvoj polovini HH veka revolucionarna otkri}a mewaju na{ pogled na svet. U toku tog perioda formirana je nova fizika koja se, za razliku od klasi~ne, naziva savremena fizika. Osnove savremene fizike upozna}emo u zavr{nom razredu gimnazije.

Uxbenik sadr`i sedam tematskih celina: 1. UVOD 2. KINEMATIKA 3. DINAMIKA TRANSLACIONOG KRETAWA 4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA 5. RAVNOTE@A TELA 6. GRAVITACIJA 7. ZAKONI ODR@AWA Na kraju svake tematske celine dati su kratak pregled pre|enog gradiva (rezime), pitawa i zadaci.

U rezimeu su ponovqeni svi bitni pojmovi, veli~ine i zakoni. Pitawa i zadaci su nameweni za samostalan rad u~enika, samoproveru i ocenu znawa. U zadacima se povezuju osnovne fizi~ke veli~ine i ilustruje se primena zakona u re{avawu prakti~nih problema.

U Uxbeniku su obra|ene i neke teme namewene u~enicima koji se vi{e interesuju za fiziku kao i onima koji u~estvuju na takmi~ewima. Preporu~uju se i u~enicima prirodno-matemati~kog usmerewa. Nastavnici, prema sopstvenoj proceni, mogu da izaberu koje }e od tih tema obra|ivati na redovnim ili dodatnim ~asovima ili ih izostaviti.

Pitawa i zadaci ozna~eni zvezdicom (*) nameweni su, pre svega, u~enicima koji su vi{e zainteresovani za izu~avawe fizike.

Fizika daje velike mogu}nosti za samou~ewe, jer je ona nauka koja budi radoznalost i interesovawe za upoznavawe tajni prirode. Weni rezultati su utkani u savremenu tehniku, bez koje se ne bi mogao zamisliti `ivot dana{weg ~oveka. Re{avawe prakti~nih, svakodnevnih problema nu`no pretpostavqa poznavawe ove prirodne nauke. U~ewe fizike ne pro{iruje samo znawe o prirodi i mogu}nosti primene tog znawa ve} oboga}uje logiku, stil mi{qewa, ma{tu do granica fantazije, doprinose}i tako svestranom razvoju li~nosti.

Veliki filozof i nau~nik drevne Gr~ke, Demokrit (460–370 pre nove ere) govorio je: „Vi{e bih voleo da otkrijem jedan zakon prirode nego da postanem kraq Persije”. @ele}i vam uspeh, dragi sredwo{kolci, navodimo misli rimskog filozofa Seneke s po~etka na{e ere: „Sposobnosti ~ovek mo`e proveriti samo kroz delo.” Va{e delo, dragi u~enici, jeste u~ewe, sticawe znawa, upoznavawe prirode – najve}e kwige i wenog ukrasa – ~oveka.

Autor }e biti zahvalan profesorima, u~enicima i roditeqima na primedbama i predlozima koji bi pomogli da se slede}e izdawe Uxbenika poboq{a.

Autor

5

4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA MOMENT SILE Kada smo opisivali kretawe usled delovawa sile ili vi{e sila, obi~no smo telo posmatrali kao materijalnu ta~ku. Pri tome nismo obra}ali pa`wu na dimenzije, oblik i strukturu tela. Ustanovili smo da se telo mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom kada se wegove dimenzije mogu zanemariti u odnosu na pre|eni put. Telo se mo`e identifikovati sa materijalnom ta~kom (deli}em) i kada svi delovi (ta~ke) za isto vreme prelaze jednake du`ine puta, imaju istu brzinu i ubrzawe. U tom slu~aju svaka materijalna ta~ka (deli}) mo`e da predstavqa kretawe tela kao celine.

Telo se mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom samo kada se telo kre}e translaciono. U slu~aju rotacionog kretawa to se ne mo`e u~initi (gubi fizi~ki smisao).

Na slici 4.1, pod a) prikazano je telo na koje se deluje silom F u ta~ki A du` wegove ose. U tom slu~aju telo }e se kretati translaciono. Ako se istom silom u ta~ki A deluje normalno na osu, telo se ne}e kretati translaciono.

Postoji samo jedan pravac du` kojeg mo`e da se deluje na telo u ta~ki A da bi se ono kretalo translaciono. To se odnosi i na sve ostale ta~ke (deli}e) tela.

Na slici 4.1 pod b) na telo deluju sile ~iji se produ`eni pravci presecaju u ta~ki T (te`i{te tela) i one mogu da uzrokuju translaciono kretawe tela.

Delovawe sila ~iji se pravci ne presecaju u ta~ki T (te`i{te tela) izaziva obrtawe tela.

Pravci delovawa sila koje uzrokuju translaciono kretawe presecaju se u jednoj ta~ki, koja se naziva te`i{te tela.

Svaka sila odgovaraju}eg intenziteta ~iji pravac ne prolazi kroz te`i{te tela (npr. pravac delovawa sile trewa), mo`e da uzrokuje prevrtawe ili obrtawe tela.

Kada smo kretawe tela poistovetili sa kretawem materijalne ta~ke, pretpostavqeno je da pravac sile (ili rezultante vi{e sila) prolazi kroz te`i{te tela. U tom slu~aju te`i{te tela „zamewuje” realno telo.

Obrtawe tela razmotrili smo jo{ u osnovnoj {koli, na jednostavnim primerima (klackalica, prosta poluga, terazije, kantar).

Za opisivawe obrtawa tela tada smo uveli veli~inu – moment sile: proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmawe (normalno) rastojawe od ose rotacije do pravca delovawa sile. Tada smo upoznali i uslove ravnote`e poluge.

Upoznali smo osnovne kinemati~ke veli~ine koje karakteri{u (opisuju) rotaciono kretawe tela: ugaoni pomeraj, ugaona brzina, ugaono ubrzawe.

a) A

A

Sl. 4.1.

91

DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA

-

X

R

&

Sl. 4.2. Moment sile

Sada }emo razmotriti osnovne dinami~ke zakone rotacionog (obrtnog) kretawa krutog tela.

Pod krutim telom podrazumevamo telo kod kojeg rastojawa izme|u wegovih ~estica (deli}a) ostaju stalna (nepromewena) i u toku delovawa sile (sila). Ova definicija mo`e da se primeni u praksi i tehnici kada su deformacije realnih tela zanemarqivo male.

Kod translatornog kretawa telo dobija ubrzawe du` pravca delovawa sile.

Pravac delovawa sile (ili rezultante sila), a time i pravac kretawa tela, kod translacionog kretawa nisu ograni~eni (mogu biti proizvoqni).

Da bi telo koje mo`e da se obr}e samo oko nepokretne ose ubrzano rotiralo, sila ne mo`e da deluje du` bilo kojeg ve} samo du` odre|enog pravca.

Posmatra}emo specijalan slu~aj rotacije tela oko ose ~iji je polo`aj fiksiran u prostoru (nepokretna osa). Sila F deluje na spoqa{wi obod to~ka homogenog sastava normalno na radijus r (sl. 4.2). Veli~ina koja karakteri{e rotaciju to~ka naziva se moment sile. Obi~no se ozna~ava sa M .

Intenzitet momenta sile u ovom posebnom slu~aju je: M = r F. Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmaweg rastojawa od ose rotacije do napadne ta~ke sile.

U op{tem slu~aju sila F nije normalna na radijus r , ali se mo`e rastaviti na dve komponente: jednu paralelnu radijusu r (u wegovom produ`etku) Fp i drugu normalnu na wega Fn (sl. 4.3). Paralelna komponenta sile mo`e samo translaciono da pomera osovinu ili da je deformi{e, ali ne uti~e na rotaciju tela. Moment ove komponente je nula, pa je intenzitet momenta sile F jednak samo momentu wene normalne komponente Fn: M = r Fn. U skladu sa definicijom intenziteta vektora koji je jednak vektorskom proizvodu druga dva vektora, vidimo da se moment sile mo`e smatrati vektorskim proizvodom vektora r i F :

Sl. 4.3. Odre|ivawe momenta sile

= Na slici 4.3 geometrijski je prikazan moment sile kao vektorski proizvod.

Intenzitet momenta sile odre|en je formulom: M = r Fn, gde je: r – intenzitet radijus-vektora napadne ta~ke sile, Fn – je intenzitet komponente sile koja je normalna na radijus r ; pravac momenta sile M je normalan na ravan definisanu vektorima r i F, a smer se odre|uje pravilom desnog zavrtwa.

92

Jedinica momenta sile je wutn puta metar (Nm).

Razmotri}emo primer prikazan na slici 4.4. Vrata su u~vr{}ena {arkama kroz koje prolazi osa oko koje se ona obr}u. Osa je vertikalna.

Na ivicu vrata se deluje silom F tako da pravac sile i radijus r zaklapaju ugao od 90 Nepokretna osa prolazi kroz {arke na vratima. Sila koja deluje na vrata paralelno s osom rotacije ne mo`e da ubrzava kretawe vrata oko ose, kao ni sila koja deluje na vrata bo~no, u pravcu normale na osu rotacije. Jedino sila F (ili komponenta neke druge sile) ~iji je pravac normalan na ravan vrata, na nekom rastojawu (r ) od ose rotacije mo`e da mewa ugaonu brzinu, odnosno da ubrzava rotaciju vrata. Rotaciju vrata izaziva dejstvo momenta sile, koji na razli~itim rastojawima od ose rotacije uzrokuje razli~ita ugaona ubrzawa vrata.

Zbog toga za opisivawe obrtnog kretawa nije dovoqno poznavati samo silu koja uslovqava to kretawe ve} je neophodno poznavati i moment sile ( M ). Znamo da moment sile zavisi od intenziteta sile i du`ine kraka. Jedan isti moment sile mo`e da bude ostvaren mawom Sl. 4.4. Razli~iti momenti sile silom, ali sa du`im krakom i sa silom ve}eg intenziteta sa krakom mawe du`ine. Devoj~ica sa slike 4.4 koristi mawu silu mi{i}a (F2) ali na ve}em rastojawu (r2) od ose rotacije. De~ak deluje na vrata silom mi{i}a (F1) na kra}em rastojawu (r1).

MOMENT INERCIJE Masa je mera inertnosti tela kod translacionog kretawa. Analogno tome, mera inertnosti kod rotacionog kretawa je moment inercije. [ta se mo`e re}i o inertnosti tela koja rotiraju oko fiksirane ose rotacije (ili ~iju rotaciju treba izazvati ili zaustaviti)? Odgovor }emo potra`iti u ogledu, sli~no kao {to je i Al definicija za masu utvr|ena na osnovu eksperimenata izvedenih u okviru prou~avawa translacionog kretawa.

Posmatra}emo dva diska, jedan aluminijumski, a drugi gvozdeni istih dimenzija (sl. 4.5). Treba delovati silom na periferiju jednog i drugog diska da bi oba rotirala jednakim ugaonim brzinama.

Fe

Sl. 4.5. Rotacija oko fiksirane ose

93

DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA

Nije te{ko zakqu~iti da }e za rotaciju diska od aluminijuma biti potrebna sila maweg intenziteta. To zna~i da je gvozdeni disk inertniji (tromiji), tj. da ima ve}u masu. Ako diskovi imaju jednake mase, lak{e je zavrteti mawi, gvozdeni disk. Sada je ovaj disk mawe trom, mawe inertan; disk od aluminijuma je inertniji.

Sli~an ogled mo`e da se izvede sa diskom i prstenom. Kada se na disk i prsten istih masa i jednakih polupre~nika deluje istim tangencijalnim silama, sporije }e rotirati prsten, {to zna~i da je inertniji nego disk.

Na osnovu ovih i sli~nih ogleda mo`e se zakqu~iti da inertnost tela ne zavisi samo od mase nego i od wenog rasporeda u odnosu na osu rotacije. Stoga se za opisivawe inertnosti tela pri rotacionom kretawu uvodi nova veli~ina (analogna masi). Ta veli~ina je moment inercije.

Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretawu.

Moment inercije razmatra}emo na primeru to~ka homogenog sastava, koji rotira oko svoje ose simetrije (sl. 4.6). Posmatrani to~ak izdeli}emo na deli}e sa masama: m1, m2, m3... mn. Na svaki taj deli} (materijalnu ta~ku) deluju odgovaraju}i momenti sila koji uslovqavaju obrtawe (rotaciju) to~ka. Intenzitet momenta sile koji deluje na deli} (~esticu) mase m1, iznosi: M1 = F1 · r1 = m1ar1, gde je: a – intenzitet tangencijalnog ubrzawa ~estice, koji je s intenzitetom ugaonog ubrzawa povezan relacijom: a = αr1.

Zamenom dobijamo: M1 = m1r12α.

Sl. 4.6. Odre|ivawe momenta inercije

Izraz m1r 2 predstavqa moment inercije materijalne ta~ke (~estice deli}a) u odnosu na osu rotacije, koji }emo ozna~iti sa I1 (I1 = m1r12). U op{tem slu~aju, moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu (slika 4.7): I = mr 2.

F m r O

Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu wene mase i kvadrata wenog rastojawa od te ose rotacije.

Ukupni moment inercije tela (~estice) dobija se sabirawem momenata inercije svih deli}a (~estica) u odnosu na izabranu osu rotacije: n

I = m1r12 + m2r12 + ... + mnrn2 =

Sl. 4.7. Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na centar kru`nice O

94

r

2

Moment inercije homogenog to~ka (prstena), koji rotira oko ose simetrije jednak je proizvodu wegove mase i polupre~nika na kvadrat.

Moment inercije karakteri{e inertnost tela (to~ka) koji se obr}e (rotira).

Jedinica momenta inercije je kilogram puta metar na kvadrat (kg m2).

U op{tem slu~aju, odre|ivawe momenta inercije nije jednostavno. Kod tela nepravilnog geometrijskog oblika i nehomogenog sastava izra~unavawe momenta inercije je slo`en matemati~ki zadatak. Zato se ~esto moment inercije odre|uje samo eksperimentalno.

Me|utim, i za tela pravilnog geometrijskog oblika i homogenog sastava moment inercije nema istu vrednost u odnosu na razli~ite ose rotacije. Za takva tela najjednostavnije je izra~unati moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz te`i{te tela. U tabeli su navedene formule momenta inercije za neka tela.

Na osnovu definicije momenta inercije, intenzitet momenta sile je: M=I Intenzitete momenta sile jednak je proizvodu momenta inercije i intenziteta ugaonog ubrzawa tela koje rotira.

TELO

NA^IN ROTACIJE

MOMENT INERCIJE

Dve identi~ne kuglice spojene lakim {tapom

I = 2mR2

R

Obru~ ili tanak prsten

R

Disk (cilindar)

R

I = mR2

I=

I=

Kugla R

I=

Tanka {ipka

1 2

2 5

1 3

mR2

mR2

mL2

L

I=

Tanka {ipka L

1 12

mL2

95

DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA

MOMENT IMPULSA TELA Op{ti zakon dinamike tela koje se kre}e pravolinijski (translaciono), zapisuje se (skalarno) u obliku:

– Treba na}i odgovaraju}u relaciju u dinamici rotacije tela oko utvr|ene ose.

Najjednostavnije je po}i od formule za intenzitet momenta sile u kojoj figuri{e moment inercije: M = Iα gde je

–

α

Kombinacijom sa prethodnim izrazom, dobija se:

–

–

(2)

U formulama (1) i (2) sila i moment sile su analogne veli~ine, pa sledi da je impulsu kod translacionog kretawa analogna veli~ina I, moment impulsa.

Obi~no se ozna~ava sa L. Na osnovu toga, formula (2) mo`e da se napi{e u obliku:

=

–

=

Moment impulsa tela koje rotira oko fiksirane ose jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela:

Jedinica momenta impulsa je: kilogram puta metar na kvadrat u sekundi kg

m2 s

Vidi se da su impuls i moment impulsa analogne veli~ine ne samo po svojoj „ulozi” u formulama (1) i (2) nego i po definicijama: impuls je proizvod mase i brzine tela ( ), a moment impulsa je proizvod momenta inercije i ugaone brzine (

96

).

MOMENT IMPULSA MATERIJALNE TA^KE Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke mase m koja se kre}e po kru`noj putawi polupre~nika r je: L = I  = mr 2  Kako je r  = v, dobija se: L = mvr, odnosno: L = pr.

Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednak je proizvodu intenziteta wenog impulsa i polupre~nika putawe.

Vektor momenta impulsa materijalne ta~ke kod kru`nog kretawa je L = r p.

O

m v

Sl. 4.8. Moment impulsa materijalne ta~ke u odnosu na centar kru`nice

Moment impulsa je vektorska veli~ina ~iji se pravac i smer poklapaju sa pravcem i smerom ugaone brzine (sl. 4.8):

OSNOVNI ZAKON DINAMIKE ROTACIJE Ranije smo ustanovili da je osnovni Zakon dinamike translacionog kretawa (Drugi Wutnov zakon):

Osnovni zakon dinamike rotacije je:

Koli~nik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo.

Kod rotacije oko fiksirane ose moment sile i moment impulsa imaju pravce ose rotacije. S obzirom na to, Zakon dinamike rotacije mo`e da se zapi{e i u skalarnom obliku:

97

DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA

ANALOGIJA IZME\U VELI^INA I RELACIJA DINAMIKE TRANSLACIONOG I ROTACIONOG KRETAWA Kada uporedimo veli~ine i relacije koje karakteri{u kretawe materijalne ta~ke (ili tela koje se kre}e translaciono) s odgovaraju}im veli~inama i wihovim relacijama koje opisuju rotaciju tela oko odre|ene ose, zapazi}emo da me|u wima postoji analogija. Pri razmatrawu rotacije tela oko ose u vi{e navrata obra}ali smo pa`wu na ovu analogiju. Uporedne veli~ine i relacije za translaciju i rotaciju date su u tabeli.

TRANSLACIONO KRETAWE Oznaka Veli~ina (formula)

OBRTNO (ROTACIONO) KRETAWE Oznaka Veli~ina (formula)

put

s

opisani ugao

brzina

v

ugaona brzina

ubrzawe

a

masa

m

ugaono ubrzawe moment inercije

sila impuls osnovna jedna~ina dinamike

θ

α

I

moment sile

=

moment impulsa osnovna jedna~ina dinamike

REZIME • Moment sile je proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmawe (normalno) rastojawe od ose rotacije do pravca delovawa sile.

• Pod krutim telom podrazumevamo telo kod kojeg rastojawa izme|u wegovih ~estica (deli}a) ostaju stalna (nepromewena) i u toku delovawa sile (sila).

Ova definicija mo`e da se primeni u praksi i tehnici kada su deformacije realnih tela zanemarqivo male.

98

• Intenzitet momenta sile je: M = r F. Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmaweg rastojawa od ose rotacije do napadne ta~ke sile.

• Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretawu.

• Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu: I = mr 2.

Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu wene mase i kvadrata wenog rastojawa od te ose rotacije.

• Moment inercije homogenog to~ka (prstena), koji rotira oko ose simetrije jednak je proizvodu wegove mase i polupre~nika na kvadrat.

• Intenzitet momenta sile je: M=I Intenzitete momenta sile jednak je proizvodu momenta inercije i intenziteta ugaonog ubrzawa tela koje rotira.

• Moment impulsa tela koje rotira oko fiksirane ose jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela:

Jedinica momenta impulsa je: kilogram puta metar na kvadrat u sekundi m2 kg s • Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednak je proizvodu intenziteta wenog impulsa i polupre~nika putawe.

L = pr.

• Osnovni zakon dinamike rotacije je:

Koli~nik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo.

99

DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA

?

PITAWA I ZADACI 1*. Telo rotira oko nepokretne ose. Da li su tada uvek isti pravac i smer: a) momenta sile i ugaone brzine; b) momenta sile i ugaonog ubrzawa; v) momenta impulsa i ugaone brzine i g) momenta impulsa i ugaonog ubrzawa?

2. Da li se telo uvek kre}e u pravcu i smeru sile koja na wega deluje? Ilustrujte primerom.

3. Kako se defini{e moment inercije materijalne ta~ke (~estice)?

4. Da li moment inercije tela u odnosu na razne ose rotacije ima iste vrednosti?

5. Da li su jednaki momenti inercije gvozdene kugle i gvozdene {ipke ako one imaju iste mase?

6. Od ~ega zavisi moment sile i kako se defini{e ova veli~ina?

7. Kako glasi Zakon dinamike rotacije ~vrstog tela?

8. Koje su veli~ine i relacije u dinamici translacije analogne veli~inama i wihovim izrazima u dinamici rotacije?

PRIMER Odrediti moment impulsa Zemqe pri kretawu oko Sunca; masa Zemqe je m = 5,98 · 10 24 kg, a polupre~nik putawe 1,5 · 1011 m.

gde Zamenom brojnih vrednosti, nalazi se: kg

100

m2 s

6. GRAVITACIJA Poqski nau~nik Nikola Kopernik, tvorac heliocentri~nog sistema, ozna~io je kraj dominacije pogre{ne geocentri~ne teorije, po kojoj se sve planete, Sunce i Mesec kre}u oko Zemqe.

Su{tina Kopernikovog sistema (heliocentri~nog sistema) izra`ena je u stavovima: 1) Planete se kre}u ravnomerno po kru`nim putawama oko Sunca.

Ta kretawa su neprekidna i vremenski neograni~ena.

2) Polupre~nik Zemqe je neznatan u odnosu na polupre~nik wene putawe oko Sunca (polupre~nik Zemqe je oko 6 400 km, a polupre~nik Zemqine putawe oko Sunca iznosi oko 150 000 000 km).

3) Prividno kretawe nebeskih tela, pa i Sunca, posledica je obrtawa Zemqe oko sopstvene ose i istovremenog kretawa oko Sunca.

4) Godi{we prividno pomerawe Sunca u odnosu na zvezde posledica je kretawa Zemqe oko Sunca, sa periodom od jedne godine. Smewivawe dana i no}i uslovqeno je obrtawem Zemqe oko svoje ose i time {to je osvetqena Sun~evom svetlo{}u.

Jedan od najistaknutijih boraca za usvajawe Kopernikovog pogleda na svemir bio je znameniti italijanski mislilac \ordano Bruno. On je Kopernikovo u~ewe preneo {irom Evrope. Pro{irio je Kopernikovo shvatawe tvrde}i da ni Sunce nije sredi{te svemira, nego da je svemir beskrajan i ispuwen zvezdama, da je Sunce samo jedna zvezda me|u milionima drugih i da postoji jo{ mnogo svetova sli~nih na{em Sun~evom sistemu. Zbog naprednih shvatawa, koja su bila u suprotnosti sa tada{wim crkvenim verovawima, \ordana Bruna je osudila Inkvizicija i posle osmogodi{weg tamnovawa i mu~ewa spalila ga na loma~i 1600. godine.

Kona~nom usvajawu Kopernikovog pogleda na svet najvi{e je doprineo, tako|e, italijanski fizi~ar i astronom Galileo Galilej (1564–1642). On je po~etkom XVII veka mno{tvom ~iwenica dokazao ispravnost Kopernikovih i Brunovih ideja. ^ak je konstruisao i poseban durbin za posmatrawe nebeskih tela. Pomo}u wega je otkrio da na Mesecu postoje planine, {to je potvrdilo da ima i drugih nebeskih tela sli~nih Zemqi.

Nikola Koppernick (1473–1543)

Zemqa

Saturn Jupiter

Mars Merkur

Venera

Uran Neptun

121

GRAVITACIJA

Zatim je otkrio ~etiri Jupiterova satelita, koji oko wega kru`e sli~no kao Mesec oko Zemqe. Time je pobijena stara tvrdwa da se sva nebeska tela kre}u oko Zemqe. Ustanovio je, tako|e, da se Venera kre}e po putawi oko Sunca, a ne oko Zemqe, kao {to se ranije mislilo. U svojim daqim istra`ivawima otkrio je i Saturnov prsten. Na osnovu promena polo`aja Sun~evih pega pokazao je da se i Sunce obr}e oko svoje ose. Usmeriv{i svoj durbin na Kumovu slamu, ustanovio je da se ona sastoji od miliona zvezda, veoma udaqenih, i time potvrdio Brunovu pretpostavku da je svemir beskrajan i ispuwen zvezdama.

Posle Galilejevih otkri}a postalo je jasno da „mala” Zemqa ne mo`e da bude sredi{te svemira oko koga bi se kretala ostala nebeska tela. Galilej je svojim otkri}ima, dakle, doprineo kona~nom usvajawu heliocentri~nog sistema.

KEPLEROVI ZAKONI Johan Kepler, nema~ki astronom, matemati~ar i fizi~ar, jedan od tvoraca nebeske mehanike, ustanovio je zakone kretawa planeta (Keplerovi zakoni) i time definitivno utvrdio ispravnost Heliocentri~nog sistema.

Johan Kepler je na osnovu astronomskih podataka o kretawu planeta u Sun~evom (Kopernikovom) sistemu koje je sakupio Tiho Brahe ustanovio da su putawe planeta elipti~nog* a ne kru`nog oblika. On je definisao zakone kretawa planeta oko Sunca, koji su nazvani Keplerovi zakoni.

Prvi zakon. – Planete se kre}u oko Sunca po elipti~nim putawama; u zajedni~koj `i`i tih elipsi nalazi se Sunce.

Ta~ka na elipti~noj putawi u kojoj je planeta najbli`a Suncu naziva se perihel; woj je suprotna ta~ka afel (najudaqenija od Sunca).

Drugi zakon. – Svaka planeta se kre}e tako da du` koja spaja planetu sa Suncem za isto vreme prebri{e jednake povr{ine (sl. 5.2).

To zna~i da su osen~ene povr{ine: S1 = S2 = S3 = ... = const.

Johann Kepler (1571–1630) * Elipsa je zatvorena kriva linija koja podse}a na izdu`enu kru`nicu.

122

Povr{ina koju du` (radijus-vektor) Sunce – planeta prebri{e u jedinici vremena zove se sektorska brzina. Primenom pojma sektorske brzine, Drugi Keplerov zakon glasi: Sektorska brzina planete je konstantna: perihel

afel

= const.

Sl. 6.1. Putawa planete oko Sunca A

r1 r2

B

B2

r6

A2

r5 r4

r3 A1

B1

Tre}i zakon. – Kvadrati vremena obila`ewa ma koje dve planete oko Sunca srazmerni su kubovima velikih poluosa (pribli`no polupre~nika) wihovih elipti~nih orbita.

Sl. 6.2 Ako je planeta udaqenija od Sunca, wen period je ve}i. n

= const.

n

Kada je re~ o kretawu dve planete: ; u op{tem slu~aju :

= const.

Keplerovi zakoni omogu}avaju da se na osnovu poznavawa polo`aja jedne planete u odnosu na Sunce i odgovaraju}ih vremena obila`ewa oko Sunca (perioda) izra~una polo`aj druge planete.

Na osnovu Drugog Keplerovog zakona zakqu~uje se da se planeta br`e kre}e ukoliko je bli`a Suncu i da ima najve}u brzinu u perihelu, a najmawu u afelu.

Kretawe planeta oko Sunca prikazano je na slikama 6.1 i 6.2.

123

GRAVITACIJA

WUTNOV ZAKON GRAVITACIJE

^uvena Wutnova jabuka.

Prema legendi, Wutn je posmatrao pad jabuke sa drveta i do{ao na ideju koja ga je dovela do otkri}a Zakona gravitacije.

Po~etkom XVII veka ve}ina nau~nika kona~no prihvata Heliocentri~ni sistem. Me|utim, nau~nicima toga vremena nisu bili jasni ni zakoni kretawa ni uzroci koji dovode do kretawa planeta Sun~evog sistema (Heliocentri~nog sistema).

Johan Kepler je otkrio i formulisao zakone kretawa planeta oko Sunca na osnovu brojnih rezultata merewa koje je izvr{io Tiho Brahe, kao i vlastitih merewa.

Trebalo je, zatim, definisati silu koja odre|uje kretawe planeta. Ali, ni Kepler ni wegovi savremenici to nisu uspeli da u~ine. Problem je re{io genijalni engleski nau~nik Isak Wutn (1642–1727).

Ideju da sila koja uzrokuje slobodno padawe tela na Zemqu i sila koja reguli{e kretawe nebeskih tela imaju istu prirodu Wutn je pokrenuo jo{ dok je bio student. Ali, prva izra~unavawa nisu dala adekvatne rezultate po{to su u to vreme podaci o rastojawu od Zemqe do Meseca bili neta~ni. Ne{to kasnije ti podaci su ispravqeni. Na osnovu toga su ura|eni novi prora~uni, koji se nisu odnosili samo na kretawe Meseca nego i na sve u to vreme otkrivene planete Sun~evog sistema, komete, kao i na slobodno padawe tela na Zemqinu povr{inu i na pojavu plime i oseke. Na osnovu tih rezultata, Wutn je formulisao Zakon gravitacije, kasnije nazvan Wutnov zakon gravitacije.

Intenzitet gravitacione sile proporcionalan je masama dva tela, odnosno: F ∼ m1m2.

Budu}i da se elipti~ne putawe planeta ne razlikuju mnogo od kru`nica (za koje va`i:

ω

), mo`e se napisati: :

:

gde su: a1 i a2 – intenziteti centripetalnih ubrzawa planeta; T1 i T2 – vremena obila`ewa planeta oko Sunca i r1 i r2 – polupre~nici wihovih orbita. Odavde sledi: : :

124

Kako je po Tre}em Keplerovom zakonu T12 : T22 = r13 : r23, dobijamo :

:

,

a to zna~i da je u op{tem slu~aju:

Dakle, centripetalno ubrzawe planeta obrnuto je proporcionalno kvadratu rastojawa planeta od Sunca.

Kako je gravitaciona sila (kao i sila uop{te) proporcionalna ubrzawu tela (planete), proizlazi da je i gravitaciona sila obrnuto srazmerna kvadratu udaqenosti planeta od Sunca, ili: Wutn je na taj na~in otkrio zavisnost gravitacione sile od udaqenosti planeta od Sunca.

Koriste}i obe zavisnosti gravitacione sile: od masa Sunca i planete i od wihovog me|usobnog rastojawa, Wutn je formulisao Op{ti zakon gravitacije, koji va`i za sva nebeska tela i za sva tela uop{te: Intenzitet sile uzajamnog privla~ewa dve materijalne ta~ke, ili dva homogena tela sfernog oblika, srazmeran je proizvodu wihovih masa i obrnuto srazmeran kvadratu rastojawa me|u tim materijalnim ta~kama (sfernim telima*).

Pravac te sile prolazi kroz materijalne ta~ke (odnosno kroz centre sfera), a smer ove sile koja deluje na oba tela je ka centru drugog tela (sl. 6.3).

Koeficijent γ, u Zakonu gravitacije naziva se gravitaciona konstanta. Ona je brojno jednaka sili izme|u tela jedini~nih 2 6,7 – Nm2 masa na jedini~nom rastojawu γ kg

m

m r

M

M r

Sl. 6.3. Gravitaciona sila izme|u dva ta~kasta tela i izme|u dva sferna homogena tela

Sunce i planete, Zemqa i Mesec, na primer, mogu se smatrati materijalnim ta~kama u odnosu na radijuse wihovih putawa pri izra~unavawu wihovog uzajamnog delovawa. Tela sfernog oblika privla~e se istom silom, kao i materijalne ta~ke odgovaraju}ih masa koje se nalaze u centru tela, ~ak i kada im dimenzije nisu zanemarqive u odnosu na wihovo me|usobno rastojawe – rastojawe izme|u wihovih centara. * Mo`e se smatrati da je masa tela sfernog oblika i homogenog sastava, koncentrisana u centru, pa se zato ta tela mogu poistovetiti sa materijalnom ta~kom.

125

GRAVITACIJA

Ako tela imaju druge oblike i velike dimenzije u odnosu na wihovo me|usobno rastojawe, intenzitet sila uzajamnog delovawa ne mo`e se prikazati tako jednostavnom relacijom koja va`i za ta~kasta ili sferna tela. U tim slo`enim slu~ajevima sila gravitacionog delovawa me|u telima nalazi se po principu superpozicije: vektorskim sabirawem sila, uzajamnog gravitacionog delovawa svih ta~kastih elemenata jednog tela sa svim elementima drugog tela.

Prema Wutnovom zakonu gravitacije, sila uzajamnog privla~ewa tela ne zavisi od wihove relativne brzine, ve} samo od wihovih me|usobnih rastojawa (polo`aja). Va`no je ista}i i da gravitacione sile izme|u dva tela ne zavise ni od prirode sredine izme|u tih tela. To zna~i da }e gravitaciona sila izme|u dva tela biti ista nezavisno od toga da li se ona nalazi u vazduhu ili u vodi, pod pretpostavkom da je wihovo me|usobno rastojawe u oba slu~aja isto. [ta su{tinski predstavqaju gravitacione sile? Kakva je wihova uloga, koje je wihovo mesto u prirodi? Daqe, kakvo je wihovo fizi~ko poreklo i kakva im je priroda? Odgovoriti na ta pitawa nije tako jednostavno. ^ak ni do danas to nije ura|eno do kraja. Tek se mogu o~ekivati adekvatniji odgovori. Ali, to ne osporava nau~nu vrednost Wutnove formulacije Zakona gravitacije.

Jedno od najbitnijih svojstava sile gravitacije je da se ona javqa me|u svim telima nezavisno od wihove mase i dimenzija: me|u telima nebeskih razmera kao i me|u najsitnijim ~esticama. Za gravitacione sile ne postoji prepreka kojom se mo`e spre~iti, zaustaviti wihovo delovawe. To nije slu~aj, na primer, sa elektri~nim silama. Metalni ekran mo`e biti dovoqna prepreka za delovawe elektri~nih sila.

Gravitacione sile me|u obi~nim telima su vrlo slabog intenziteta. One dolaze do izra`aja (postaju dominantne) tek kod kosmi~kih tela (tela velikih masa).

Domet delovawa gravitacionih sila u teorijskom smislu je beskona~no veliki. Me|utim, u prakti~nom smislu domet delovawa je, ipak, ograni~en. Na primer, delovawe Zemqine gravitacije na rastojawima od nekoliko stotina hiqada kilometara mo`e se prakti~no zanemariti. Zahvaquju}i velikom dometu, gravitacione sile „vezuju” sva tela u vasioni.

Gravitaciona sila koja poti~e od jednog tela (Zemqe, Meseca, Sunca i sli~no) u istim ta~kama saop{tava jednako ubrzawe svim drugim telima, nezavisno od wihove mase, strukture, oblika i zapremine. To je, tako|e, jedna od bitnih karakteristika gravitacionih sila koje ne poseduju drugi tipovi sila.

Saglasno Drugom Wutnovom zakonu mehanike, ubrzawe tela je srazmerno sili koja deluje na wega, a obrnuto je srazmerno masi tog tela:

Da bi ubrzawe bilo nezavisno od mase tela, neophodno je da sila bude srazmerna masi, tako da odnos sile i mase ostaje uvek stalan. Koliko se uve}a (smawi) masa tela, toliko se pove}a (smawi) sila, tako da ubrzawe (odnos sile i mase) ostaje stalan, nepromewen. To je slu~aj kod gravitacionih sila.

126

To svojstvo ne poseduju drugi tipovi sila. Ilustrujmo to i slede}im primerom.

Uzmimo dva tela: pingpong lopticu i olovnu kuglu iste zapremine. Masa prvog tela je, recimo, oko 300 puta mawa od mase drugog tela. Zna~i, da bismo saop{tili olovnoj kugli ubrzawe, jednako kao i pingpong loptici, na wu je potrebno delovati 300 puta ve}om silom (vremena delovawa su, naravno, jednaka). Me|utim, pod uticajem Zemqine te`e, i pingpong loptica i olovna kugla padaju jednakim ubrzawem u vakuumu. Dakle, gravitaciono privla~ewe je regulisano u skladu s masama tela: koliko puta je masa olovne kugle ve}a od mase pingpong loptice, toliko puta je ve}e i weno privla~ewe od strane Zemqe, tako da intenzitet ubrzawa Fg gravitacione sile ne zavisi od mase tela: (g = ). m

PRIMER Dve olovne kugle imaju masu po 100 kg. Rastojawe izme|u wihovih centara je 1 m.

Kolika je gravitaciona sila uzajamnog privla~ewa ovih tela?

RE[EWE: g

γ

–

6,67 g

6,67

N

m kg –

kg m

kg

N

GRAVITACIONA SILA U BLIZINI ZEMQINE POVR[INE Iz svakodnevnog iskustva znamo da sva tela padaju na Zemqu (sl. 6.4) ako to kretawe ne spre~avaju druga tela (podloga, tela oka~ena o spiralu, kanap, konac itd.). [ta je uzrok padawu tela? Uzrok je gravitaciona sila Zemqe.

Na telo koje se nalazi nad Zemqinom povr{inom Zemqa deluje silom intenziteta: g

γ

gde je m – masa tela, M – masa Zemqe, R – polupre~nik Zemqe, h – visina na kojoj se dato telo nalazi.

Sl. 6.4. Tela slobodno padaju na Zemqinu povr{inu

127

GRAVITACIJA

Ova sila ima pravac Zemqinog polupre~nika na mestu (ta~ki) gde se telo u datom trenutku nalazi, a smer ka centru Zemqe (sl. 6.5).

Ako je telo na Zemqinoj povr{ini ili se nalazi na relativno maloj visini iznad Zemqine povr{ine (h << R), gravitaciona sila ima intenzitet: γ g Ova formula nije sasvim ta~na, jer Zemqa nije idealna kugla niti je homogenog sastava. Gravitaciona sila koja deluje na isto telo u raznim polo`ajima nije ista: ve}eg je intenziteta na povr{ini mora nego na visokoj planini, nema iste vrednosti na ekvatoru i na polovima. Te razlike utvr|ene su merewima, ali se obi~no zanemaruju.

Sl. 6.5

ZEMQINA TE@A Znamo da telo ispu{teno sa neke visine bez po~etne brzine (v0 = 0) ubrzano pada prema Zemqinoj povr{ini. Takvo kretawe je slobodan pad.

Sila koja uzrokuje slobodan pad tela naziva se Zemqina te`a (ili sila te`e).

Zemqina te`a se predstavqa formulom:

O

cf

g

R

gde je: m – masa tela, a g – ubrzawe slobodnog pada.

Zemqina te`a i gravitaciona sila, strogo posmatrano, ne mogu se poistovetiti. Zemqa se obr}e oko svoje ose, pa na sva tela deluje i odgovaraju}a centrifugalna sila koja uti~e na kretawe tela pri slobodnom padu.

Posmatrano iz obrtnog referentnog sistema vezanog za Zemqu: Zemqina te`a (sila te`e) rezultanta je gravitacione i centrifugalne sile koje deluju na telo: g

O

Sl. 6.6

128

cf

Pravac ove sile ne prolazi kroz centar Zemqe. U skladu s tim mewa se i wen smer (sl. 6.6). Ovde je centrifugalna sila inercijalna sila koja se javqa usled Zemqine rotacije. Usled wenog delovawa, u strogom smislu, telo koje slobodno pada (kao i telo koje se kre}e vertikalno navi{e), kre}e se po krivolinijskoj putawi. Me|utim, ova krivolinijska putawa se obi~no, ako nije re~ o preciznim prora~unima, aproksimira pravom linijom (mali intenzitet centrifugalne sile).

UBRZAWE SLOBODNOG PADA Zemqina te`a (sila te`e) uzrokuje slobodni pad tela (po~etna brzina v0 = 0).

Ubrzawe tela pri slobodnom padu je: g

odnosno :

cf

Ako se zanemari delovawe centrifugalne sile, onda je: g

Ubrzawe slobodnog pada ne zavisi od mase tela. Svakako, to va`i za slobodan pad tela u vakuumu, jer u svakoj sredini na kretawe tela uti~e i sila otpora, pa u sredinama kao {to su vazduh (atmosfera) i voda tela padaju sa razli~itim ubrzawima.

TE@INA TELA Usled delovawa Zemqine te`e sva tela, kada su spre~ena slobodno da padaju, pritiskaju podlogu koja ih zadr`ava ili zate`u konac, nit, metalnu oprugu o koju su obe{ena.

Q

T

Sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu, iste`e metalnu oprugu, zate`e konac, nit i sli~no usled delovawa Zemqine te`e u inercijalnom sistemu referencije, naziva se te`ina tela.

Iako je Zemqina te`a uzrok te`ine tela, ove dve veli~ine ne mo`emo poistovetiti. Dakle, treba razlikovati te`inu tela i Zemqinu te`u.

Zemqina te`a g i te`ina tela imaju jednake intenzitete (Fg = Q), pravac i smer samo na povr{ini Zemqe, uz pretpostavku da su tela u stawu mirovawa ili se kre}u ravnomerno pravolinijski u odnosu na Zemqu i da se Zemqa ne obr}e oko svoje ose. Ali, ni tada nemaju istu napadnu ta~ku. Napadna ta~ka Zemqine te`e nalazi se u telu, i to u te`i{tu, a te`ina tela u ta~ki oslonca ili u ta~ki ve{awa (sl. 6.7).

g

T g

Q

Sl. 6.7. Sila te`e i te`ina tela na povr{ini Zemqe (kada se zanemari wena rotacija) imaju isti intenzitet, pravac i smer, ali nemaju istu napadnu ta~ku

129

GRAVITACIJA

T

g

Sl. 6.8. U toku slobodnog padawa na telo i daqe deluje Zemqina te`a, a wegova te`ina je jednaka nuli

Ako se prekine konac o kome visi telo, Zemqina te`a i daqe deluje na telo i ono pada na Zemqu, ali te`ina tela je jednaka nuli (Q = 0), jer ono vi{e ne zate`e konac (ne deluje u ta~ki ve{awa, sl. 6.8).

Kada slobodno pada podloga na kojoj se nalazi telo, telo ne pritiskuje podlogu i te`ina tela je, tako|e, jednaka nuli, ali Zemqina te`a i daqe deluje i na podlogu i na telo.

Jedinica za merewe te`ine tela je ista kao i jedinica za merewe sile (wutn).

Stoga se te`ina tela, kao i sila uop{te, meri dinamometrom.

Obi~no se posmatra te`ina tela koje se nalazi u stawu mirovawa u odnosu na Zemqu, koja na wega deluje gravitacionom silom. Isti rezultati se dobijaju i kad se te`ina tela meri u bilo kojem referentnom sistemu koji se u odnosu na Zemqu kre}e ravnomerno pravolinijski (stalnom brzinom). Uticaj Zemqine rotacije na te`inu tela uzima se u obzir samo kod preciznih merewa.

Me|utim, te`ina tela se mewa ako se meri u sistemu koji se kre}e ubrzano u odnosu na Zemqu. (O tome }emo posebno govoriti.)

Te`ina tela odre|ena je rezultantom svih sila koje deluju na telo, a ne samo silom gravitacije (Zemqinom te‘om). Tako je te`ina tela u vodi ili u vazduhu zbog postojawa sile potiska mawa nego u vakuumu.

Postoji su{tinska razlika me|u pojmovima: Zemqina te`a i te`ina tela. Prvo, Zemqina te`a odra`ava uzajamno delovawe tela i Zemqe, a te`ina tela je rezultat uzajamnog delovawa tela i podloge, opruge, konca...

Drugo, te`ina tela zavisi od ubrzawa podloge na kojoj se telo nalazi, ili opruge o koju je telo obe{eno, a Zemqina te`a u tim uslovima ostaje nepromewena. Ako, na primer, telo slobodno pada sa ubrzawem Zemqine te`e, te`ina tela bi}e jednaka nuli (sl. 6.9), a Zemqina te`a }e i daqe delovati (postojati). Najzad, te`ina tela na polovima i ekvatoru nije ista zbog obrtawa Zemqe oko svoje ose, odnosno postojawa centrifugalne sile.

MASA I TE@INA TELA

Sl. 6.9

130

Pojmove masa i te`ina upoznali smo jo{ u osnovnoj {koli. Ali nije suvi{no jo{ jednom ista}i razliku izme|u ove dve veli~ine. Te`ina tela je sila, a masa je svojstvo tela (~estice). Masa je mera inertnosti tela (supstancije). Inertnost je osnovno svojstvo tela da se odupire svakoj promeni stawa (relativnog mirovawa ili kretawa) i zavisi od koli~ine sadr`aja supstancije u telu. Dato telo sadr`i isti broj molekula, atoma nezavisno od toga da li se telo nalazi na Zemqi, Mesecu ili negde u kosmi~kom prostoru.

Masa tela ostaje stalna, neizmewena, nezavisno od toga gde se telo nalazi. Ali, to ne va`i za te`inu tela, ona se mewa zavisno od ubrzawa referentnog sistema u kojem se meri wena vrednost ili mesta u kome se ona odre|uje. Te`ina istog tela na povr{ini Zemqe i na povr{ini Meseca nije ista. Te`ina tela karakteri{e gravitacionu silu koja na wega deluje, a masa wegovo svojstvo inertnosti. Te`ina istog tela, na raznim nebeskim telima nema istu vrednost, a masa tog tela, pri tome, ostaje nepromewena.

Na povr{ini Zemqe i Meseca te`ina istog tela nije jednaka, zato {to je gravitaciona sila Zemqe koja deluje na to telo oko {est puta ve}eg intenziteta od intenziteta gravitacione sile Meseca (sl. 6.10).

U dalekom kosmi~kom prostoru, gde je gravitaciona sila neznatnog intenziteta, te`ina tela mo`e da se zanemari (prakti~no je jednaka nuli), a masa istog tela u svim slu~ajevima ostaje stalna (nepromewena).

GRAVITACIONO POQE U prostoru oko svakog tela, bez obzira na wegovu masu, postoji gravitaciono poqe. Ono ne deluje neposredno na na{a ~ula, pa ga ne mo`emo pomo}u wih opa`ati, ve} ga registrujemo na osnovu wegovog delovawa na druga tela. Ako se u neku ta~ku tog prostora unese telo, gravitaciono poqe }e se ispoqiti tako {to }e delovati na to telo privla~nom silom. Telo koje se unosi u gravitaciono poqe drugog (masivnijeg tela) ima, sa svoje strane, sopstveno gravitaciono poqe. Ono }e se, tako|e, ispoqavati gravitacionim delovawem na telo ve}e mase, ali se ono obi~no ne uzima u razmatrawe (zanemaruje se).

Gravitaciono poqe je prenosilac gravitacione interakcije (uzajamnog delovawa) tela.

Gravitaciono poqe treba shvatiti kao posebno fizi~ko stawe prostora oko tela. To stawe karakteri{u posebna fizi~ka svojstva. Fizi~ka svojstva gravitacionog poqa opisuju se sa dve fizi~ke veli~ine: ja~inom gravitacionog poqa i potencijalom gravitacionog poqa.

Sl. 6.10. Te`ina ~oveka na Mesecu je oko {est puta mawa od wegove te`ine na povr{ini Zemqe

131 131

GRAVITACIJA

JA^INA GRAVITACIONOG POQA

m

m0 r

m

m0 r

Sl. 6.11

Tela (~estice) mogu uzajamno da deluju: neposredno kontaktom (sudar tela, sila vu~e, sila trewa, sila otpora sredine) ili posredno preko fizi~kog poqa – prenosnika uzajamnog delovawa tela. Svakoj vrsti sila odgovara odre|eno poqe: gravitacionoj sili – gravitaciono poqe, elektri~noj sili – elektri~no poqe, magnetnoj sili – magnetno poqe...

Ovom prilikom upozna}emo osnovne karakteristike gravitacionog poqa, sa posebnim osvrtom na gravitaciono poqe Zemqe.

Za opisivawe gravitacionog poqa uvodi se fizi~ka veli~ina – ja~ina gravitacionog poqa, koja se obi~no ozna~ava sa .

Fizi~ka veli~ina brojno jednaka gravitacionoj sili koja u datoj ta~ki poqa deluje na probno telo jedini~ne mase naziva se ja~ina gravitacionog poqa u toj ta~ki:

ja~ina gde je: m0 – masa probnog tela, – gravitaciona sila koja na wega deluje, gravitacionog poqa u datoj ta~ki.

Ja~ina gravitacionog poqa je vektorska veli~ina istog pravca i smera, kao i gravitaciona sila u toj ta~ki (sl. 6.11).

Jedinica za ja~inu gravitacionog poqa je wutn po kilogramu N kg

JA^INA GRAVITACIONOG POQA MATERIJALNE TA^KE

m0

m

M r

Sl. 6.12

Na osnovu Wutnovog Zakona gravitacije mo`e se izvesti formula za ja~inu gravitacionog poqa materijalne ta~ke.

Posmatra}emo gravitaciono poqe tela mase m zanemarqivih dimenzija u odnosu na udaqenost ta~ke M (sl. 6.12). Da bi se odredila ja~ina gravitacionog poqa u ta~ki M, na rastojawu r od tela treba odrediti silu koja u toj ta~ki deluje na probno telo mase m0:

Ja~ina poqa u ta~ki M ima isti pravac i smer kao gravitaciona sila , a intenzitet ja~ine gravitacionog poqa je: odnosno:

132

Intenzitet ja~ine poqa zavisi od mase tela koje „proizvodi” to poqe (ne zavisi od mase probnog tela) i rastojawa do posmatrane ta~ke u poqu (M).

Navedena formula va`i i za ja~inu poqa homogenog sfernog tela mase m na rastojawu r od wenog centra, ali da se posmatrana ta~ka nalazi izvan sfernog tela (sl. 6.13).

Iz date formule se vidi da intenzitet ja~ine gravitacionog poqa sfernog homogenog tela opada sa kvadratom rastojawa od centra sfernog tela (kugle) do posmatrane ta~ke u poqu, {to je ilustrovano na slici 6.14.

GRAVITACIONO POQE ZEMQE. Zemqa, kao i svako drugo telo (nebesko), ima sopstveno gravitaciono poqe. Ono se ispoqava delovawem Zemqine gravitacione sile na svako telo koje se nalazi u domenu tog poqa.

Intenzitet ja~ine gravitacionog poqa, a time i ubrzawe Zemqine gravitacione sile (ubrzawe slobodnog padawa), zavisi od visine na kojoj se telo nalazi u odnosu na Zemqinu povr{inu. Kada se telo nalazi na nivou mora, tada ga Zemqa privla~i silom intenziteta:

M

r

Sl. 6.13

g

gde su: M i R – masa i polupre~nik Zemqe, m – masa tela, g0 – intenzitet ubrzawa Zemqine te`e na nivou mora.

Na telo koje se nalazi na visini h iznad morske povr{ine deluje Zemqina gravitaciona sila intenziteta: g

Odavde sledi da se intenzitet Zemqine gravitacione sile i intenzitet ubrzawa Zemqine te`e mewaju sa visinom po istom zakonu.

Na relativno malim visinama ove promene se mogu zanemariti i smatrati da gravitaciona sila i ubrzawe tela pri slobodnom padawu imaju nepromewene vrednosti. Tako, na primer, na visini od nekoliko stotina kilometara iznad morske povr{ine samo izuzetno osetqivi instrumenti mogu da registruju promenu gravitacione sile i ubrzawa slobodnog padawa u odnosu na wihove vrednosti na nivou morske povr{ine.

Ako su poznati intenzitet ubrzawa slobodnog padawa tela u gravitacionom poqu Zemqe na nivou morske povr{ine g0, gravitaciona konstanta i polupre~nik Zemqe, mo`e se odrediti masa Zemqe. Iz relacije: z sledi: z

5,97

Sl. 6.14. Ja~ina gravitacionog poqa smawuje se udaqavawem od tela (Zemqe)

kg.

133

GRAVITACIJA

vz Z

az

S

Rz

Na sli~an na~in mo`e se izra~unati i masa Sunca. Polupre~nik Zemqine orbite oko Sunca je r = 149,5 · 109 m i period rotacije T = godina = 31,56 · 106 s.

Na osnovu tih podataka mo`e se izra~unati intenzitet centripetalnog ubrzawa Zemqe koje joj saop{tava sila gravitacije Sunca: az

5,9

–

m . s2

Na osnovu toga sledi: s

Sl. 6.15.

Centripetalno ubrzawe Zemqe koje uzrokuje gravitaciona sila Sunca

z

1,98

kg.

Dakle, masa Sunca je oko 330 000 puta ve}a od mase Zemqe.

UBRZAWE ZEMQINE TE@E U ZAVISNOSTI OD GEOGRAFSKE [IRINE. Izveli smo obrazac koji odre|uje zavisnost ubrzawa Zemqine te`e od visine tela iznad nivoa morske povr{ine. Me|utim, nismo uzeli u obzir uticaj Zemqine rotacije oko sopstvene ose. Stoga su nu`ne odre|ene korekcije.

Zemqina te`a (ili sila te`e) uzrokuje slobodno padawe tela ( ).

Strogo posmatrano iz obrtnog referentnog sistema vezanog za Zemqu, kao {to smo ranije pokazali, Zemqina te`a je rezultanta gravitacione i centrifugalne sile koje deluju na telo: g

Intenzitet ove sile najve}i je na Zemqinom polu, jer je centrifugalna sila jednaka nuli, a najmawa na ekvatoru – centrifugalna sila najve}eg intenziteta deluje u istom pravcu kao gravitaciona sila, ali u suprotnom smeru (sl. 6.16).

Precizna merewa pokazuju da ubrzawe Zemqine te`e na polovima m m iznosi gp= 9,83 2 , a na ekvatoru ge = 9,78 2 . s s

pol

g

g

Sl. 6.16. Te`ina tela na Zemqinoj povr{ini zavisi od geografske {irine

134

cf

cf

ekvator

Intenzitet ubrzawa tela koje slobodno pada na Zemqu na geografskoj {irini od 45 pribli`no je: m g45= 9,81 2 . s

Ova vrednost ubrzawa Zemqine te`e obi~no se uzima kao sredwa vrednost za celu povr{inu Zemqe.

Te`ina tela na povr{ini Zemqe (posmatrano iz referentnog sistema vezanog za Zemqu) bila bi jednaka Zemqinoj te`i (Zemqinoj gravitaciji) samo u slu~aju da Zemqa ne rotira oko svoje ose.

ODRE\IVAWE RASTOJAWA IZME\U SUNCA I PLANETA. Primenom Zakona gravitacije mogu se izra~unati rastojawa izme|u Sunca i planeta. Zbog jednostavnosti, pretpostavimo da se planete kre}u oko Sunca po kru`nim putawama (sl. 6.17). Naravno, to }e se odraziti na ta~nost rezultata, jer putawe planeta oko Sunca nisu kru`nog, ve} elipti~nog oblika.

Sunce deluje gravitacionom silom na planetu mase m i ona dobija centripetalno ubrzawe intenziteta:

m r θ

c

M S druge strane: c

Sl. 6.17. Odre|ivawe rastojawa izme|u Sunca i planeta

Na osnovu toga je:

gde je: M – masa Sunca, r – radijus orbite (kru`ne putawe) planete oko Sunca, T – period obrtawa planete oko Sunca. Odatle je: const.

Dakle, kubovi sredweg rastojawa od Sunca do planeta srazmerni su kvadratima perioda kretawa planeta oko Sunca (Tre}i Keplerov zakon). Iz navedenog izraza sledi:

Kako se periodi rotacije planeta mogu sasvim ta~no meriti, to je za odre|ivawe rastojawa od Sunca do svake planete dovoqno izmeriti rastojawe do jedne – bilo koje planete. Rastojawe od Sunca do Zemqe uzeto je kao jedinica za ovakvo merewe i naziva se Astronomska jedinica du`ine (AJ) i iznosi pribli`no 149,5 · 109 m.

Podudarawe rezultata astronomskih (tradicionalnih) i savremenih (radarskih) merewa velika je potvrda Wutnovog Zakona gravitacije.

135

GRAVITACIJA

KRETAWE TELA U POQU ZEMQINE TE@E U razmatrawu kretawa u gravitacionom poqu ograni~i}emo se samo na kretawe tela (materijalne ta~ke) pod uticajem Zemqine te`e. Zanemaruju se otpor vazduha i gravitaciono delovawe drugih nebeskih tela. Uzimaju se relativno male visinske razlike iznad Zemqine povr{ine, tako da se mo`e smatrati da se intenzitet Zemqine te`e ne mewa u toku delovawa na telo koje se kre}e. Pretpostavqa se da je Zemqa sfernog oblika i homogenog sastava. Zbog jednostavnosti smatra}emo da se telo (materijalna ta~ka) kre}e u ravni xOy inercijalnog sistema referencije vezanog za Zemqu.

Ako su ispuweni svi ti uslovi, mo`e da se konstatuje da delovawe Zemqine te`e uzrokuje samo promenu vertikalne komponente brzine materijalne ta~ke (komponente brzine du` y-ose), dok wena horizontalna komponenta (u pravcu x-ose) ostaje nepromewena, odnosno zadr`ava po~etnu vrednost u toku celog kretawa. Iz toga sledi da postoji samo vertikalna komponenta ubrzawa materijalne ta~ke, dok je komponenta ubrzawa du` horizontalnog pravca (x-ose) uvek jednaka nuli, budu}i da u tom pravcu ne deluju nikakve sile.

VERTIKALNI HITAC NANI@E

y v0 y=h g

Kretawe tela ba~enog s odre|ene visine nekom po~etnom brzinom usmerenom vertikalno nani`e jeste vertikalni hitac nani`e (sl. 6.18).

Telo se kre}e ravnomerno ubrzano pravolinijski sa ubrzawem Zemqine te`e m koje se obi~no obele`ava sa g (g = 9,81 2 ). Za to kretawe mogu da se primene s poznate formule za trenutnu brzinu, sredwu vrednost brzine i pre|eni put tela: ;

v

;

s

h

; 0

Sl. 6.18. Vertikalni hitac nani`e

Posledwa formula povezuje trenutnu brzinu i pre|eni put do datog trenutka.

Kada se prava po kojoj se kre}e telo uzme za y-osu sa usmerewem navi{e, a koordinatni po~etak na Zemqi, zakon polo`aja tela je: – gde je: y – koordinata tela u trenutku t.

136

–

y

v0 = 0

SLOBODAN PAD Telo ispu{teno s odre|ene visine bez po~etne brzine, izvodi kretawe koje se zove slobodan pad (sl. 6.19). Na ovo kretawe primewuju se iste formule kao i na vertikalni hitac nani`e, samo {to je po~etna brzina v0 = 0:

y=h

vs g

Polo`aj tela odre|uje se formulom: y=h –

1 2 gt 2

v

0 Sl. 5.19. Slobodan pad

PRIMER Telo se pusti da slobodno pada sa visine h = 19,62 m. Posle kog vremena }e telo pasti na zemqu? Kolika }e biti wegova brzina u trenutku kontakta sa podlogom?

RE[EWE: Pre|eni put kod slobodnog pada je

g

odakle je

tra`eno vreme:

m m 9,81 s2

h

h

t = 2 s.

Brzina tela u trenutku pada iznosi:

m s

137

GRAVITACIJA

VERTIKALNI HITAC NAVI[E

y v=0

g h

Kretawe tela ba~enog po~etnom brzinom vertikalno navi{e naziva se vertikalni hitac navi{e (sl. 6.20).

Kako se telo kre}e nasuprot Zemqinoj te`i (stalne sile), vertikalni hitac predstavqa jednako usporeno kretawe.

Polaze}i iz po~etnog polo`aja brzinom intenziteta v0, telo }e posle izvesnog vremena sti}i do polo`aja na visini h, kre}u}i se jednako usporeno.

U polo`aju sa maksimalnom visinom telo }e imati krajwu brzinu v = 0, to jest ono }e se u jednom trenutku zaustaviti. Posle toga }e telo, tako|e, pod uticajem Zemqine te`e padati slobodno, to jest jednako ubrzano bez po~etne brzine prema Zemqi.

Polaze}i od obrazaca za trenutnu, sredwu vrednost brzine i put jednako usporenog kretawa i stavqaju}i a = g, dobijaju se formule za odgovaraju}e veli~ine kod vertikalnog hica navi{e: –

0

Sl. 6.20. Vertikalni hitac navi{e (hitac uvis)

–

;

s

;

–

; –

Telo dosti`e maksimalnu visinu u trenutku kada je v = 0, pa je: 0 = v0 – gt, ili:

Vreme za koje telo dostigne najve}u visinu srazmerno je po~etnoj brzini, a obrnuto srazmerno ubrzawu Zemqine te`e.

Kombinacijom izraza za trenutnu brzinu i izraza za du`inu puta, odnosno visinu, dobija se:

Maksimalna visina tela pri vertikalnom hicu navi{e srazmerna je kvadratu po~etne brzine, a obrnuto srazmerna ubrzawu Zemqine te`e.

Kako je od polo`aja maksimalne visine prema povr{ini Zemqe kretawe tela slobodan pad, to }e vreme padawa tela biti isto kao i vreme uspona. Zbog toga }e i krajwa brzina pri padu (udaru o podlogu) biti ista kao po~etna brzina sa suprotnim usmerewem.

138

PRIMER Telo se baci vertikalno navi{e po~etnom brzinom v0. Posle pre|enog puta m h = 200 m brzina tela je v = 150 . s a) Kolika je po~etna brzina tela? b) Do koje visine }e dospeti telo? v) Posle kog vremena }e pasti na zemqu?

Otpor vazduha zanemariti.

RE[EWE: Brzina tela na visini h = 200 m je: –

a) b)

max

, odakle je:

163

v= 0

v0 h

m s

g

1354 m.

v) U najvi{oj ta~ki putawe brzina tela jednaka je nuli, to jest: v = 0 = v0 – gt (t je vreme kada telo dostigne maksimalnu visinu).

Odavde je: Telo }e ponovo pasti na zemqu posle vremena: 33 s.

HORIZONTALNI HITAC Nakon napu{tawa horizontalnog stola kliker kome je prethodno saop{tena po~etna brzina izvodi kretawe koje se zove horizontalni hitac.

Horizontalni hitac je kretawe tela ba~enog u horizontalnom pravcu nekom po~etnom brzinom.

U toku kretawa na telo deluje samo Zemqina te`a. Ovo kretawe je slo`eno od dva nezavisna pravolinijska kretawa: ravnomerno pravolinijskog u horizontalnom pravcu i slobodnog pada u vertikalnom pravcu. U horizontalnom pravcu (du` x-ose) nema ubrzawa pa se telo kre}e konstantnom po~etnom brzinom v0 .

139

GRAVITACIJA

y v 0 0 1’v0 1 –gt1 2

U vertikalnom pravcu telo nema po~etnu brzinu, a ima ubrzawe Zemqine te`e g, pa za kretawe u vertikalnom pravcu (du` y-ose) va`e zakoni slobodnog pada.

Neka je u nekom trenutku t telo u ta~ki M. Tada su wegove koordinate polo`aja x i y, a komponente brzine su vx i vy (sl. 6.21).

U datom koordinatnom sistemu zakoni polo`aja i brzine tela su:

x 2’v0

–gt2 3

;

M 3’ vx= v0

;

– vy = –gt2 4 –y

Sl. 6.21. Putawa horizontalnog hica

vM 4’

;

x

–

y

.

Predznak minus (–) ispred ubrzawa g ozna~ava da je to ubrzawe usmereno suprotno y-osi; zato je komponenta brzine vy u svakom trenutku negativna (ima suprotan smer od smera y-ose).

U trenutku pada tela na podlogu y-koordinata tela je jednaka nuli: – pa vreme kretawa tela iznosi:

Domet kretawa (pre|eno rastojawe u horizontalnom pravcu) jednako je x-koordinati ta~ke u kojoj je telo dospelo na podlogu: , Jedna~ina putawe tela dobija se kombinacijom izraza: – Ona ima oblik: – Ova kriva naziva se parabola.

140

.

KOSI HITAC Granata ispaqena iz topa ~ija cev zaklapa o{tar ugao sa horizontalom, ko{arka{ka lopta nakon slobodnog bacawa ili kugla koju takmi~ar baca udaq itd., primeri su kretawa koje se naziva kosi hitac.

Svako telo izba~eno s odre|enom po~etnom brzinom pod izvesnim uglom u odnosu na horizontalni pravac izvodi kretawe koje nazivamo kosi hitac.

Na slici 5.22 prikazana je putawa tela (materijalne ta~ke) koja opisuje kosi hitac. (Otpor vazduha je zanemaren.)

Kosi hitac je slo`eno kretawe: ravnomerno pravolinijsko po Zakonu inercije i ravnomerno promenqivo u vertikalnom pravcu pod uticajem Zemqine te`e. Oba kretawa izvode se istovremeno, tako da telo ne}e vr{iti ni jedno ni drugo kretawe pojedina~no, ve} rezultantno slo`eno kretawe po krivoj putawi (parabola).

Na telo (materijalnu ta~ku) deluje Zemqina te`a intenziteta: F = mg, ili Fx = 0 i Fy = – mg.

(Predznak je „minus” jer su smerovi y -ose i Zemqine te`e suprotni.)

Prema tome, Zakon dinamike primewen na dato kretawe ima oblik: Fx = max = 0 i Fy = may = – mg, gde su projekcije ubrzawa: y ax = 0 i ay = – g.

Stoga je: vx = v0x = const, odnosno: x = vxt.

U pravcu y-ose telo (materijalna ta~ka) kre}e se konstantnim ubrzawem jer je Zemqina te`a stalna (a = g = const) i uzrokuje ravnomerno promenqivo pravolinijsko kretawe sa po~etnom brzinom v0y. Na osnovu toga, dobija se: y

y

y

y–

;

y

–

vy v0y 0

v0

A

vA

v0x = vx vx vy=0

vx

A’ vy

vx vA = vA’ B v0x

v0x v0y

.

v0

Sl. 5.22. Kosi hitac

141

GRAVITACIJA

Kona~no, putawa tela (materijalne ta~ke) koje izvodi kosi hitac u poqu Zemqine te`e mo`e da se opi{e jedna~inama: x

y

–

Maksimalna visina tela odre|uje se iz uslova da je komponenta brzine du` y-ose jednaka nuli (vy = 0), to jest: y

y

–

p

,

:

y

p

gde je: tp – vreme za koje je telo dostiglo maksimalnu visinu. Vidimo da je vreme uspona srazmerno vertikalnoj komponenti po~etne brzine, a obrnuto srazmerno ubrzawu Zemqine te`e.

Ukupno vreme kretawa tela koje izvodi kosi hitac nalazi se iz uslova da je y = 0, odnosno y u–

u

y

ili :

u

gde je: tu – ukupno vreme kretawa tela.

Maksimalna visina tela iznosi: max

y p–

y y

p

y

–

y

max ,

a maksimalni domet: x max

x u

y max

.

Pokazuje se da je najve}i domet kosog hica ako se telo izbaci pod uglom od 45 u odnosu na horizontalan pravac. y

x

Dmax

Najve}i domet telo ima kada se izbaci pod uglom od 45

142

BESTE@INSKO STAWE Do sada smo posmatrali te`inu tela koje se nalazi u stawu mirovawa u odnosu na Zemqu, koja na wega deluje gravitacionom silom. Isti rezultati dobijaju se i kad se te`ina meri u bilo kojem referentnom sistemu koji se u odnosu na Zemqu kre}e ravnomerno pravolinijski (inercijalni sistem).

Me|utim, te`ina tela se mewa ako se meri u neinercijalnom sistemu, na primer, u liftu koji se kre}e po vertikalnoj putawi sa ubrzawem u odnosu na Zemqu.

Neka se posmatra~ nalazi u kabini koja ima ubrzawe intenziteta a u odnosu na inercijalni sistem (na primer, u odnosu na povr{inu Zemqe). Tada te`inu posmatra~a uzrokuju Zemqina te`a i inercijalna sila. Karakteristi~ni slu~ajevi kretawa lifta po vertikali prikazani su na slici 6.23.

Na slici a) prikazan je lift u stawu mirovawa ili u stawu ravnomernog pravolinijskog kretawa, kada je wegova brzina jednaka nuli ili ima stalnu vrednost (v = 0 ili v = const). Tada je te`ina tela:

b) Ako se kabina ubrzava vertikalno navi{e (sl. pod b), tada je te`ina posmatra~a (tela) u kabini ve}a od te`ine koju bi telo imalo u slu~aju da se kabina nalazi u stawu relativnog mirovawa ili da se kre}e ravnomerno pravolinijski, to jest: Q1 = Q + Fi = mg + ma = m(g + a ).

Ako se kabina ubrzava vertikalno nadole (sl. pod v), te`ina tela u kabini je: Q2 = Q – Fi = mg – ma = m(g – a ).

Interesantna situacija nastaje kada je intenzitet ubrzawa kabine nadole jednak intenzitetu ubrzawa Zemqine te`e, tj. kada je a = g (sl. pod g). Tada je te`ina tela (posmatra~a) u kabini jednaka nuli, jer Zemqina te`a i inercijalna sila imaju jednake intenzitete, a suprotne smerove. Posmatra~ je u beste`inskom stawu: Q3 = mg – ma = m(g – a ) = 0.

Ako bi se kabina kretala nadole ubrzawem ve}im od ubrzawa Zemqine te`e, te`ina tela bi promenila smer (~ovek bi glavom pritiskao plafon kabine, slika 6.24).

Gravitaciona sila Zemqe ispoqava se u referentnom sistemu vezanom za Zemqu. Ona „i{~ezava” (ne mo`e se zapaziti, registrovati ni na koji na~in) ako se nalazimo u sistemu (kabini) koji slobodno pada u poqu wenog delovawa. Razume se, ona ne „i{~ezava” istovremeno u celom prostoru oko Zemqe, ve} samo u ograni~enom prostoru kabine.

143

GRAVITACIJA

Ne treba misliti da zidovi kabine igraju neku ulogu neprobojne barijere za gravitacionu silu. Samo je re~ o tome da u uslovima koji vladaju u prostoru kabine ni na koji na~in ne mo`e da se registruje gravitaciona sila, jer se weno delovawe u odnosu na te`inu tela ne ispoqava. Weno delovawe se kompenzuje inercijalnom silom koja deluje na telo koje sa kabinom slobodno pada. a)

b)

Q = (mg + 0) = mg Stawe mirovawa ili ravnomerno pravolinijskog kretawa (v = 0, ili v = const)

v)

Q = m(g – a) Kabina se kre}e vertikalno nani`e ubrzawem a < g

Q = m(g + a) Kabina se kre}e vertikalno navi{e ubrzawem a > 0

g)

Q = m(g – a) = 0 Kabina se kre}e vertikalno nani`e ubrzawem a = g (beste`insko stawe tela)

Sl. 6.23. Te`ina tela u referentnom sistemu koji se kre}e ravnomerno promenqivo du` vertikalne putawe u odnosu na Zemqu

144

Kako bi posmatra~ u liftu koji slobodno pada (a = g) objasnio da tela (kao i on sam) nemaju te`inu, to jest, da je: Q = m (g – a) = 0?

Posmatra~ u liftu koji slobodno pada ne opa`a da se lift kre}e; za wega je lift, kao i telo u wemu, u stawu mirovawa. Na primer, wegov mobilni telefon, koji je pored wega, tako|e je u stawu mirovawa (kao da je obe{en o nekom nevidqivom koncu). Kako to objasniti? Na posmatra~a u datom liftu deluju Zemqina te`a i inercijalna sila. Rezultanta tih sila kod svih tela u liftu koji slobodno pada jednaka je nuli i zato se mobilni telefon (kao i ostala tela) nalazi u stawu mirovawa (ne mewa polo`aj u odnosu na lift). Vaga u~vr{}ena za pod lifta ili dinamometar obe{en o plafon lifta pokazuju da je te`ina tela u liftu jednaka nuli. U takvom liftu ~ovek bi mogao da nosi na ramenima i tonu tereta i da ne oseti nikakvu te`inu (naravno, te`ina tereta izmerena je na Zemqinoj povr{ini).

Za posmatra~a u inercijalnom sistemu vezanom za Zemqu (izvan lifta) mobilni telefon (kao i ostala tela u liftu) slobodno pada jer na wega deluje samo Zemqina te`a.

Tela u liftu koji slobodno pada ubrzawem Zemqine te`e (a = g), nemaju te`inu. Bez te`ine su i tela u satelitu koji se kre}e po kru`noj putawi oko Zemqe ubrzawem g. Za kosmonauta satelit je u stawu mirovawa i na tela u wemu deluje Zemqina te`a ka centru Zemqe i centrifugalna sila istog intenziteta u suprotnom smeru.

Tela koja se u odnosu na Zemqu kre}u ubrzawem Zemqine te`e, bez obzira na wihov oblik putawe, nemaju te`inu.

Sl. 6.24. Kabina se kre}e vertikalno nani`e ubrzawem a > g

145

GRAVITACIJA

REZIME • Kretawe planeta, kometa, satelita oko Sunca opisuje se i obja{wava na osnovu Keplerovih zakona i Wutnovog zakona gravitacije.

Keplerovi zakoni I. Planete se kre}u oko Sunca po elipti~nim (pribli`no kru`nim) putawama. U zajedni~koj `i`i tih elipsi nalazi se Sunce.

II. Radijus-vektor koji spaja centre Sunca i planete u jednakim intervalima vremena prebri{e jednake povr{ine (sektorska brzina je konstantna):

= const.

III. Koli~nik kvadrata perioda obilaska planete oko Sunca i tre}eg stepena du`e poluose (ili pribli`no polupre~nika) putawe svih planeta je stalan: T 2 const. = a3 Ovaj zakon mo`e se primeniti i na kretawe satelita oko planeta.

• Wutnov zakon gravitacije. Gravitaciona sila kojom se privla~e dve materijalne ta~ke ili tela sfernog oblika i homogenog sastava srazmerna je proizvodu masa tih tela (materijalnih ta~aka), a obrnuto proporcionalna kvadratu wihovog me|usobnog rastojawa:

= Nm2 – gravitaciona konstanta, r – rastojawe izme|u kg2 materijalnih ta~aka ili izme|u centara sfernih tela. gde je: γ = 6,67 10 –11

• Ja~ina gravitacionog poqa brojno je jednaka gravitacionoj sili koja deluje na telo jedini~ne mase postavqeno u ta~ki u kojoj se odre|uje ja~ina poqa:

146

Intenzitet ja~ine gravitacionog poqa materijalne ta~ke mase m na rastojawu r odre|en je formulom:

• Slobodno padawe tela uzrokuje Zemqina te`a. Aproksimativno se mo`e uzeti da je Zemqina te`a jednaka gravitacionoj sili kojom Zemqa deluje na tela koja nisu suvi{e udaqena od wene povr{ine: , gde su: M i R – masa i polupre~nik Zemqe, m – masa tela, h – visina tela iznad Zemqine povr{ine i g – ubrzawe Zemqine te`e (odnosno slobodnog pada).

Izjedna~avawem relacija: ’

dobija se: .

Kada je visina mnogo mawa od polupre~nika Zemqe (h << R), ubrzawe slobodnog pada je: m ≈ = 9,81 2 . s • Te`ina tela je sila kojom telo, usled Zemqinog privla~ewa, pritiska horizontalnu podlogu na kojoj se nalazi ili zate`e vertikalni konac (spiralu) za koji je vezano. Intenzitet te`ine tela u inercijalnom referentnom sistemu odre|uje se formulom: Q = mg.

• Бестежинско стање – само ако се подлога (односно тачка вешања) у односу на Земљу креће равномерно праволинијски или је у стању релативног мировања, тежина тела једнака је Земљиној тежи по интензитету, правцу и смеру. У лифту који слободно пада тела немају тежину, она су у бестежинском стању. Човек у таквом лифту је без тежине. Тада човек као и сва тела у лифту, не врши никакав притисак на подлогу, нити тела затежу конопац или уже о које су окачена. Тада тела „лебде“ у простору лифта и њихова тежина једнака је нули.

147

GRAVITACIJA

• Кретање тела у пољу Земљине теже. Постоје разни облици кретања тела (материјалне тачке) под дејством Земљине теже, али се обично разматрају карактеристични случајеви кретања: слободан пад, хитац навише (вертикални хитац), коси и хоризонтални хитац. Тело испуштено са одређене висине, без или са почетном брзином, врши кретање које се зове слободан пад. За описивање тог кретања примењују се закони равномерно убрзаног кретања (без или са почетном брзином) само што се уместо интензитета убрзања тела узима интензитет убрзања Земљине теже g.

• Хитац навише (вертикални хитац) – кретање тела са интензитетом почетне брзине вертикално навише. Пошто се тело креће у смеру супротном од смера деловања Земљине теже, хитац навише је једнако успорено праволинијско кретање. Применом закона једнако успореног кретања и заменом убрзања гравитационим убрзањем, добијају се формуле за одговарајуће величине којима се описује ово кретање. Кретање тела у пољу Земљине теже проучавали смо и у седмом разреду основне школе.

?

148

PITAWA I ZADACI 1. Koje su osnovne karakteristike gravitacione sile?

2. Navedite slu~ajeve u kojima je sila gravitacije centripetalna sila.

3. Strogo uzev{i, u kojim slu~ajevima va`i Wutnov Zakon gravitacije?

4.* Da li za gravitacione sile va`i princip superpozicije?

5*. Da li gravitacione sile zavise od relativne brzine tela i karakteristika sredine izme|u tih tela?

6*. Istakli smo da gravitaciona sila svim telima, nezavisno od wihovog oblika i mase, saop{tava isto ubrzawe. Da li to svojstvo imaju i drugi tipovi sila?

7. Kako mo`emo da odredimo rastojawe izme|u Sunca i planeta?

8*. Zbog ~ega se gravitaciono poqe ne mo`e poistovetiti s prostorom oko tela?

9. S kojom se veli~inom mo`e formalno izjedna~iti ja~ina gravitacionog poqa?

10. U kojem bi slu~aju vrednost te`ine tela na povr{ini Zemqe (posmatrano iz referentnog sistema vezanog za Zemqu) bila jednaka Zemqinoj te`i? Da li se napadne ta~ke tih sila tada poklapaju?

11*. Gde je ve}i intenzitet ubrzawa tela pri slobodnom padu u poqu Zemqine te`e: na polovima ili na ekvatoru?

12. Na kojoj se visini iznad Zemqine povr{ine gravitacija, koja deluje na telo, umawuje dva puta?

13. Da li se analogno te`ini tela u poqu Zemqine te`e mo`e definisati i te`ina tela u poqu neke druge sile?

14*. Po ~emu se razlikuju ubrzawa saop{tena telu Zemqinom te`om i drugim silama? Trewe zanemariti.

15. Zbog ~ega ubrzawe koje saop{tava telu Zemqina te`a ne zavisi od wegove mase? Da li to va`i za bilo koja rastojawa tela od Zemqe?

16. Na gorwem delu rama koji mo`e da klizi bez trewa po dvema vertikalno postavqenim metalnim {inama o dve jednake metalne opruge obe{ena su dva tela razli~itih masa. Kada se prekine u`e kojim je u~vr{}en ram, on slobodno pada i opruge se skupqaju.

Objasniti ~ime je to uslovqeno.

17*. Zemqina te`a koja deluje na dato telo zavisi od geografske {irine i nadmorske visine. Da li isti faktori uti~u i na ubrzawe tela pri slobodnom padu?

18. Telo je obe{eno o tanku nit. Za dowi deo tela privezana je ista takva nit. Ako lagano povla~imo dowu nit, u odre|enom momentu, kao {to smo i o~ekivali, prekinu}e se gorwa nit jer wu optere}uju te`ina kugle i sila zatezawa. Me|utim, ako dowu nit naglo povu~emo, trgnemo, prekinu}e se ba{ ona, {to, na prvi pogled, izgleda neobi~no. Kako to objasniti?

19. Staklena cev~ica postavqena je na dva papirna prstena. Ako naglo udarimo po cev~ici metalnom {ipkom, cev~ica se lomi, dok papirni prstenovi ostaju ~itavi. Objasniti za{to se nisu pokidali papirni prstenovi. [ta bi se desilo da smo metalnom {ipkom cev~icu pritiskali postepeno?

20*. Za{to ne ose}amo delovawe sile gravitacije Sunca?

21*. Da li se telo ba~eno vertikalno uvis u toku kretawa nalazi u beste`inskom stawu? Otpor vazduha zanemariti.

22. Da li se telo ba~eno horizontalno ili pod nekim uglom u odnosu na horizontalnu ravan u toku kretawa nalazi u beste`inskom stawu?

Otpor vazduha zanemariti.

23*. Kako zami{qate oscilovawe matemati~kog klatna u beste`inskom stawu?

24*. Kada lift po~iwe da se kre}e ili se zaustavqa, ose}amo nelagodnost.

Za{to?

25*. Kako bi se kretalo pokrenuto telo u prostoru koji karakteri{e beste`insko stawe (sila otpora vazduha se zanemaruje)?

?

149

GRAVITACIJA

PRIMER Engleski fizi~ar Kevendi{ (Henry Cavendich, 1731–1810) eksperimentalno je odredio vrednost gravitacione konstante. Tom prilikom je izjavio da merewem gravitacione konstante, u stvari, meri masu Zemqe. Da li je bio u pravu?

RE[EWE: Te`ina tela mase m na povr{ini Zemqe je mg i ona je jednaka gravitacionoj sili izme|u tela i Zemqe ~ija je masa M. Kako je Zemqa pribli`no sfernog oblika, mo`e se smatrati da se ova tela nalaze na rastojawu jednakom polupre~niku Zemqe za koji }emo uzeti da iznosi R = 6 370 km. Dakle:

odakle se nalazi masa Zemqe: 9,81 m2 ( 6,37 106 m) s 2 6,67 10–11 N m 2 kg 5,97 1024 kg Prema tome, Kevendi{ je bio u pravu.

PRIMER Neka je Zemqina kugla homogenog sastava polupre~nika R = 6 370 km i mase M = 5,97 · 10 24 kg. Odrediti ubrzawe slobodnog pada na polu i ekvatoru. m

M

RE[EWE: Ubrzawe tela koje slobodno pada zavisi od geografske {irine zbog delovawa centrifugalne sile na to telo.

Kada se telo nalazi na polu, centrifugalna sila je jednaka nuli, pa je Zemqina te`a jednaka gravitacionoj sili:

Fg m

R

p

Fcf

g

;

ubrzawe slobodnog pada na polu je: Fg p

150

9,813 m2 s

Centrifugalna sila ima najve}i intenzitet na ekvatoru, pa ubrzawe tela koje slobodno pada ima najmawu vrednost: e

–

g

–

cf

–

e

Period Zemqine rotacije je 24 h. Zamenom podataka dobija se vrednost ubrzawa slobodnog pada na ekvatoru: –

e

9,78

m s2

Razlike u vrednostima ubrzawa slobodnog pada, kao {to vidimo, veoma su male.

Zato se uticaj centrifugalne sile na slobodni pad tela obi~no zanemaruje. Za ubrzawe slobodnog pada za relativno male visine iznad Zemqine povr{ine (h << R) naj~e{}e se uzima vrednost: 9,81 m2 s

PRIMER Neistegqiva nit preba~ena je preko kotura zanemarqive mase. Za krajeve niti obe{ena su tela masa 1,4 kg i 1,6 kg. Na}i ubrzawe tela i silu zatezawa niti.

T T

RE[EWE: Na slici su prikazane sile koje deluju na tela. Kada je masa kotura zanemarqiva, sila zatezawa niti je ista sa obe strane kotura. Kako je m2 > m1, to }e telo mase m2 padati, dok }e se telo mase m1 podizati istim ubrzawem. Prema tome:

m1 m2

m1a = T – m1g i m2a = m2g – T. Sabirawem ovih relacija dobija se: a(m1 + m2) = g(m2 – m1),

m1g

odnosno: – +

m2g

151

GRAVITACIJA

Zamenom vrednosti: 0,2 kg 9,81 m2 0,65 m2 3 kg s s ( ) 14,65 N.

PRIMER Na telo mase m = 1 kg deluje sila stalnog intenziteta F = 10,81 N vertikalno navi{e. Za koliko }e se telo podi}i ako na wega deluje ta sila u toku t = 10 s? m Uzeti da je ubrzawe slobodnog pada tela g = 9,81 . s2 RE[EWE: Telo se kre}e pod dejstvom rezultuju}e sile intenziteta FR = F – mg.

Prema Drugom Wutnovom zakonu: FR = ma = F – mg.

Odavde je: –

–

Zamenom u izraz za put i uno{ewem datih podataka, dobija se: –

10,81 N – m 9,81 2 100 s2 1 kg s s = 50 m.

PRIMER ^ovek mase 70 kg nalazi se u liftu kojim se podi`e iz prizemqa na 12. sprat. Neka m . Kako }e vaga je ubrzawe lifta na startu (pri polasku) i pri zaustavqawu 2 s2 u tom liftu registrovati ~ovekovu te`inu a) u stawu mirovawa lifta; b) pri po~etnom ubrzawu lifta; v) u vreme kada se lift kretao stalnom brzinom; g) pri zaustavqawu lifta?

152

RE[EWE: a) Q = mg = 686,7 N. b) Q = mg + ma = 826,7 N. v) Ako je lift krenuo iz prizemqa i kretao se do 12. sprata, tada je brzina izme|u 2. i 10. sprata sigurno bila konstantna. Dakle, izme|u 2. i 10. sprata ~ovekova te`ina bi}e ista kao i kada je lift mirovao: Q = 686,7 N. g) Q = mg – ma = 546,7 N. U povratku sa 12. sprata ~ovekova te`ina se, tako|e, mewa u pojedinim fazama m , izra~unajte kretawa lifta. Koriste}i iste podatke m = 70 kg i a = 2 s2 ~ovekovu te`inu u svim tim slu~ajevima (ilustrovati svaki slu~aj crte`om).

Prema tome, dok smo u liftu koji se kre}e izme|u spratova, na{a te`ina se mewa: kada lift polazi, te`ina je ve}a od mg; kada uspostavi ravnomerno kretawe, te`ina ponovo postaje mg, potom lift usporava i na{a te`ina se smawuje; kada se lift zaustavi, te`ina nam je opet mg. Neprijatni ose}aj koji imamo pri polasku i zaustavqawu lifta posledica je promene na{e te`ine.

PRIMER Sa torwa visine H = 50 m baci se telo vertikalno navi{e brzinom v0 = 4,9

m . s2

a) Koliku }e visinu dosti}i telo? b) Posle kog vremena }e pasti na zemqu? v) Kolika }e biti brzina tela pri padu?

RE[EWE: a) Telo }e dosti}i visinu u odnosu na vrh torwa:

a u odnosu na zemqu:

51,2 m.

153

GRAVITACIJA

b) Put AB do najvi{e ta~ke na putawi telo }e pre}i za vreme t1: 0,5 s, a put BC za vreme: 3,2 s.

Ukupno vreme kretawa tela je: t = t1 + t2  3,7 s. v) Brzina tela pri padu na zemqu je: 31,7 m s

154