Cutnell, Johnson, Young, Stadler - La fisica di Cutnell e Johnson.verde

John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, David Young, Shane Stadler

La fisica di Cutnell e Johnson.verde

Laboratorio sulle nuove edizioni e novità 2021

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L’equilibrio dei solidi La Torre Eiffel, simbolo di Parigi e della Francia, non è solo il monumento più visitato al mondo. Ma anche quello più ecosostenibile. Dal 2016 infatti l’energia elettrica necessaria alle attività commerciali della torre è prodotta da due turbine eoliche che si trovano a un’altezza di circa 120 metri da terra. ◼◼Come funziona il sistema di turbine eoliche che alimenta la Torre Eiffel?

La risposta è a pagina ??

Esempio 5

La figura 1 mostra una ginnasta impegnata alla trave. Per eseguire un esercizio come questo occorre un grande senso dell’equilibrio, perché la trave è larga appena 10 cm. La ginnasta ferma sulla trave è un esempio di corpo in equilibrio statico.

Un corpo è in equilibrio statico quando è fermo e continua a restare fermo, nonostante siano applicate a esso delle forze.

La parte della fisica che studia l’equilibrio dei corpi si chiama statica. In questo capitolo studieremo le condizioni necessarie perché un corpo stia in equilibrio.

© Michele Morrone (Shutterstock)

1. Il punto materiale e il corpo rigido

Figura 1 X Una impegnata alla trave.

Punto materiale Un corpo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dell’ambiente nel quale è inserito, come un aereo in volo, può essere trattato come un punto materiale.

Un punto materiale è un oggetto che possiamo rappresentare con un punto quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto all’ambiente che lo circonda.

point mass

A differenza di un punto geometrico, il punto materiale ha una massa, che è pari a quella dell’oggetto che rappresenta. Il punto materiale è dunque un modello, che ci consente di descrivere in modo semplificato il comportamento di un oggetto reale in particolari condizioni.

105

4

L’equilibrio dei solidi

HAI CAPITO?

◾◾ Il pallone fermo sul dischetto è in equilibrio perché: A la forza di attrito tra il pallone e il terreno è molto elevata.

B la reazione vincolare del terreno è uguale e opposta al peso del pallone.

C la reazione vincolare del terreno è nulla.

D la forza di attrito tra il pallone e il terreno è nulla.

forza di attrito Fv Fa

reazione vincolare

3. L’equilibrio su un piano inclinato Consideriamo una scatola in equilibrio su un piano inclinato, rispetto all’orizzontale, di un angolo θ (figura 9).

P

peso

θ

Le forze che agiscono sulla scatola sono tre:

Figura 9 X

•• la forza-peso P diretta verso il basso;

Le forze che agiscono su una scatola inCap_04_07 equilibrio su un piano inclinato. la forza di attrito bilancia la componente P x

•• la reazione vincolare F V perpendicolare al piano inclinato; •• la forza di attrito F a che impedisce al pacco di scivolare lungo il piano inclinato.

la reazione vincolare bilancia la componente P y y

A

Fa

Py

Fv C' Px

Py = P cosθ A' B' = P sinθ

x θ

A'

B

Visto che F V è perpendicolare al piano inclinato e la forza di attrito Fa è parallela a esso, conviene scomporre P nelle componenti P x e P y , introducendo un sistema di riferimento in cui gli assi x e y sono rispettivamente parallelo e perpendicolare al piano inclinato (figura 10).

Per determinare P x e P y , notiamo che l’angolo A'Ct ' B' è uguale a θ. Considerando il triangolo rettangolo A'C ' B' , possiamo scrivere:

θ P

B'

Per stabilire le condizioni di equilibrio, consideriamo la scatola un punto materiale e trasliamo le forze nel suo baricentro.

C

Ma A' B' = Px, quindi Py = P cosθ Px = P sinθ

Figura 10 X Diagramma di corpo libero per un puntoCap_04_06 materiale in equilibrio su un piano inclinato.

Poiché la scatola è in equilibrio, la forza risultante che agisce sulla scatola è nulla; in particolare, è nulla la sua componente x: Px − Fa = 0 da cui segue

MATEMATICA Relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB e angolo retto nel vertice C si ha: BC = AB sin i

θ

110

[2]

Anche la componente y della forza risultante è nulla: da cui segue

B

C

x

Fa = Px = P sinθ FV − Py = 0

AC = AB cos i

A

FV = Py = P cosθ

[3]

Dalla formula [2] si deduce che tanto più il piano è inclinato, cioè quanto più grande è l’angolo θ, tanto maggiore deve essere la forza di attrito Fa per mantenere il punto materiale in equilibrio.

L’equilibrio dei solidi

Esempio 2

Equilibrio su un piano inclinato

Una scatola di massa 0,55 kg è posta su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. La scatola è ferma a causa dell’attrito. ▸▸ Calcola l’intensità della forza di attrito Fa che agisce sulla scatola.

La soluzione

y

Sulla scatola agiscono la forza di attrito Fa , il peso P e la reazione vincolare F V del piano. → → F F Introduciamo un sistema di riferimento in C' C' → P cui gli assi x e y sono rispettivamente paral→ P lelo e perpendicolare al piano inclinato; nel → P x diagramma di corpo libero della scatola sono B' 30° A' B C mostrate le componenti della forza-peso lungo gli assi.

Per determinare Px e Py , notiamo che A'Ct ' B' = 30°. Si ha quindi 30° Px = P sin 30° Py = P cos A

a

v

x

y

4

MATEMATICA Gli assi cartesiani in un diagramma di corpo libero La scelta degli assi x e y deve essere fatta nel modo che risulta più conveniente per la risoluzione del problema.

Nell’esempio 2 gli assi sono stati scelti in modo che F a sia diretta lungo l’asse x e F V sia diretta lungo l’asse y.

Visto che la scatola è ferma, la forza risultante è nulla; in particolare è nulla la componente x: Fx = Px − Fa = 0 da cui segue Fa = Px = mg sin 30° = (0,55 kg)(9,81 N/kg) sin 30° = 2,7 N

HAI CAPITO?

◾◾ Quale di questi fattori non influenza la condizione di equilibrio di un oggetto su un piano inclinato?

A Il peso dell’oggetto.

B L’inclinazione del piano.

C il coefficiente di attrito statico tra l’oggetto e il piano.

D La lunghezza del piano.

4. La somma di più forze su un corpo rigido Abbiamo visto che la risultante delle forze che agiscono su un punto materiale è data dalla loro somma vettoriale. Nel caso di un corpo rigido la situazione è più complicata, perché le forze possono essere applicate in punti diversi del corpo.

Vediamo dove si trova il punto di applicazione della forza risultante in tre casi significativi: forze che agiscono sulla stessa retta, forze concorrenti, forze parallele.

Forze che agiscono sulla stessa retta Quando due forze agiscono sulla stessa retta d’azione, il vettore che le rappresenta si trova sulla stessa retta. In questa situazione è possibile spostare una delle due forze lungo la retta fino a far coincidere i punti di applicazione delle due forze, come accade, per esempio, a questa canoa.

111

4

L’equilibrio dei solidi

Corpo rigido Ci sono situazioni nelle quali le dimensioni di un corpo non possono essere trascurate per descrivere il suo comportamento. Pensa, per esempio, a una palla da basket: per descrivere in modo attendibile l’esito di un tiro dobbiamo considerare le sue dimensioni rispetto a quelle del canestro (figura 2).

Figura 1 V

In questo caso è conveniente considerare la palla come un corpo rigido, cioè come un corpo esteso indeformabile di cui non possiamo trascurare le dimensioni.

La dimensione della palla non è trascurabile rispetto a quella del canestro.

rigid body

Un corpo rigido è un oggetto esteso nel quale la distanza tra due punti qualsiasi rimane invariata.

Anche il corpo rigido è un modello, perché non esistono corpi realmente indeformabili; nella maggior parte dei casi, però, questo modello è utile per descrivere l’equilibrio dei corpi estesi.

Visto che il punto materiale e il corpo rigido sono modelli, lo stesso oggetto può essere considerato un punto materiale o un corpo rigido a seconda delle situazioni. Consideriamo nuovamente la palla da basket: se vogliamo studiare il suo moto di traslazione tra un giocatore e l’altro possiamo considerarla un punto materiale; se invece vogliamo descrivere il suo moto nei pressi del canestro dobbiamo rappresentarla come un corpo rigido.

Baricentro Un corpo rigido può essere pensato come l’insieme di molti punti materiali sui quali agisce la forza-peso (figura 3). Il peso di un corpo rigido può quindi essere pensato come la somma vettoriale dei pesi dei suoi costituenti elementari, applicata in un punto detto baricentro del corpo.

La somma dei pesi dei costituenti elementari...

Baricentro

Figura 2 V Un corpo rigido può essere pensato come l’insieme di tanti punti materiali.

... è uguale al peso del corpo applicato al baricentro

Si dice baricentro o centro di gravità di un corpo rigido il punto di applicazione della forza-peso del corpo.

Il punto materiale che usiamo in molte situazioni per rappresentare un oggetto coincide dunque col suo baricentro.

Come vedremo in questo capitolo, il baricentro è una variabile da tenere in considerazione quando si parla di equilibrio di un corpo rigido.

114

L’equilibrio dei solidi

4

In generale è laborioso determinare il baricentro di un corpo rigido. Solo nel caso in cui il corpo sia omogeneo e abbia un centro di simmetria è immediato determinarne la posizione, perché esso coincide con il centro di simmetria (fi­gura 4).

HAI CAPITO?

◾◾ Per studiare il moto di un’auto durante una manovra di parcheggio, devi considerare l’auto: A n punto materiale.

B un corpo rigido.

C un oggetto privo di baricentro.

D un punto geometrico.

Figura 3 X Nei corpi dotati di un centro di simmetria, il baricentro coincide proprio col centro di simmetria.

1. L’equilibrio di un punto materiale © Marcin Kadziolka (Shutterstock)

Prima che un giocatore tiri un calcio di rigore, il pallone è fermo sul dischetto e fino a quando l’arbitro non fischia continua a rimanere fermo (figura 5). In questa situazione, il pallone è un punto materiale in equilibrio statico.

Che cosa possiamo dire delle forze che agiscono su un punto materiale in equilibrio statico? L’esperienza ci mostra che: •• se la risultante delle forze applicate a un punto materiale fermo è nulla, il punto

materiale rimane fermo;

Figura 4 X

•• viceversa, se il punto materiale è fermo e continua a rimanere fermo vuol dire

che la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla.

Prima del fischio dell’arbitro il pallone è fermo sul dischetto del rigore.

La condizione di equilibrio di un punto materiale risulta così la seguente: un punto materiale rimane fermo, cioè si trova in equilibrio statico, se e solo se la risultante F tot delle forze che agiscono su di esso è nulla:

F tot = F 1 + F 2 + … + Fn = 0

[1]

PER ESEMPIO Se F1 = 10 N, F2 = 5 N e d1 = 50 cm: d2 = (F1/F2) d1 = 1 m

L’equilibrio statico di un punto materiale «si rompe» non appena la risultante delle forze che agiscono su di esso diventa diversa da zero. Per esempio, il pallone smette di essere in equilibrio statico nell’istante in cui il giocatore calcia il rigore, cioè quando esercita su di esso una forza.

Vincoli e reazioni vincolari Una lampada sul comodino e un quadro appeso a una parete sono in equilibrio statico, perciò la risultante delle forze che agisce su ciascuno di essi è nulla. La forza-peso «spinge» la lampada e il quadro verso il basso, ma il comodino e il chiodo nella parete esercitano una forza uguale e opposta. Il comodino e il chiodo sono esempi di vincolo e la forza che esercitano si chiama reazione vincolare.

Un vincolo è un corpo che impedisce a un altro corpo di compiere alcuni movimenti, esercitando su di esso una forza chiamata reazione vincolare.

Sono vincoli il pavimento sul quale camminiamo, la catena alla quale è appesa l’ancora di una nave, il ripiano di un tavolo e i cardini di una porta.

Quando si calcola la risultante delle forze che agiscono su un corpo, bisogna sempre ricordarsi di includere le reazioni vincolari.

115

2

La misura di una grandezza

Errori sistematici systematic errors

Se vogliamo pesare degli spaghetti, prima di appoggiarli sul piatto della bilancia dobbiamo controllare che la lancetta dello strumento sia allineata con lo zero della scala. Infatti, se la lancetta si trova a destra dello zero, la misura avrà un valore più grande di quello reale; se invece la lancetta si trova a sinistra dello zero, otterremo un valore minore. Nel primo caso la misura sarà sempre sovrastimata, nel secondo caso sempre sottostimata. se la bilancia è tarata male in difetto…

1,1

0

1kg

0,1 0,2

0,9

0,3

0,8

0,4 0,7

se si guarda una bilancia analogica da una posizione laterale, la lancetta posta sullo zero sembra segnare un valore maggiore

… la misura è sottostimata: la massa indicata dalla lancetta è minore della massa reale degli spaghetti

0,6

0,5

1,1

0

1kg

0,1 0,2

0,9

0,3

0,8

0,4 0,7

0,6

0,5

Il mancato allineamento della lancetta sullo zero di una bilancia da cucina è un esempio di errore sistematico.

Gli errori sistematici avvengono sempre nello stesso verso: o sempre per eccesso o sempre per difetto.

Gli errori sistematici non sono causati solo dalla mancata taratura dello strumento. Vediamo altri esempi: •• malfunzionamento dello strumento di misura; •• errore di utilizzo dello strumento; •• errore di parallasse, che si commette quando si legge la misura di uno stru-

mento analogico e non ci si posiziona esattamente di fronte alla scala graduata (figura 1).

Figura 1 X Errore di parallasse.

Anche se non abbiamo la certezza di poterli eliminare del tutto, gli errori sistematici possono essere ridotti con un po’ di esperienza e attenzione.

Errori casuali Consideriamo nuovamente la misura del tempo di caduta della pallina da tennis. Quando ripetiamo l’esperimento, non otteniamo sempre lo stesso risultato perché commettiamo errori. A volte capiterà di far partire il cronometro un po’ in anticipo, altre in ritardo. Lo stesso vale alla fine: alcune volte fermeremo il cronometro in anticipo rispetto all’istante in cui la pallina tocca terra, altre volte in ritardo. Inoltre, più la sensibilità del cronometro è elevata, maggiore è la possibilità che queste differenze siano rilevate.

Quelli che abbiamo appena descritto sono esempi di errori casuali.

Gli errori casuali influenzano il risultato di una misura in modo imprevedibile: a volte per eccesso, altre per difetto.

118

La misura di una grandezza

Gli errori casuali sono causati dunque dall’imprecisione di chi compie la misura, ma anche da variazioni imprevedibili della grandezza misurata, oppure dalla variazione delle condizioni in cui avviene l’esperimento. Nel caso della pallina da tennis, per esempio, l’altezza da cui viene lasciata cadere può variare tra una ripetizione e l’altra e questo influenza il risultato della misura.

2

random errors

Non è possibile eliminare gli errori casuali, perché sono imprevedibili e perché dipendono da molte variabili. Come vedremo, però, una tecnica efficace per ridurre i loro effetti è quella di ripetere molte volte la misura.

HAI CAPITO?

◾◾ Se usi uno strumento tarato male, le misure saranno sicuramente affette da: A un errore sistematico.

C un errore di parallasse.

B un errore casuale.

D un errore imprevedibile.

1. L’incertezza nelle misure Visto che gli errori di misura non possono essere eliminati, non è possibile misurare il valore esatto della grandezza che stiamo misurando. Il risultato di una misura è il valore più attendibile di quella grandezza, a cui dobbiamo sempre associare un’incertezza.

Quando eseguiamo una misura: •• stimiamo il valore più attendibile della grandezza in esame; •• valutiamo quantitativamente l’incertezza del risultato.

•• x = (1,67 ± 0,02) m

Il risultato della misura di una grandezza x si esprime come:

x = x ± Δx [1]

dove x è il valore più attendibile della misura e Δx (si legge «delta x») è la sua incertezza.

L’espressione [1] indica che il valore esatto della misura è compreso, con buona approssimazione, tra il valore x − Δx e il valore x + Δx.

Le regole che si usano per stimare il valore più attendibile di una grandezza e la sua incertezza dipendono dalla grandezza in esame, dagli strumenti di misura e dal numero di misure che sono state eseguite.

L’incertezza in una misura singola Misuriamo con un righello la larghezza di questo libro. Il risultato della misura è 21,0 cm. Quanto vale l’incertezza? In questo caso consideriamo come incertezza la sensibilità del righello, cioè 0,1 cm.

9 20 21 22 2

La misura della larghezza del libro è dunque: l = (21,1 ± 0,1) cm

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

In altre parole, stimiamo che la larghezza del libro sia compresa tra 20,0 cm e 21,2 cm.

Il risultato di una misura singola di una grandezza x si esprime come: x = valore misurato ± sensibilità dello strumento

119

4

L’equilibrio dei solidi

Rispetto al centro del volante, la coppia di forze ha un momento di modulo M = Fr + Fr = F ∙ 2r = Fd dove d = 2r è la distanza fra le due rette d’azione delle forze.

→

Figura 1 V Per sterzare si può applicare una coppia di forze al volante.

A (A)

© Andrey Popov / Shutterstock

F

→

F

B (B)

r

r

In generale si dimostra che: PER ESEMPIO

Se F = 10 N e d = 0,25 m: M = (10 N)(0,25 m) = 2,5 Nm

il modulo del momento di una coppia di forze F e −F è momento della coppia

M = Fd

intensità delle forze distanza fra le rette d’azione delle due forze

Esempio 5 Le turbine eoliche della Torre Eiffel L’energia elettrica necessaria alle attività commerciali della Torre Eiffel è prodotta da due turbine eoliche verticali, posizionate a un’altezza di circa 120 metri per sfruttare al meglio al forza del vento. Le due turbine ad asse verticale sono formate da tre pale sagomate che distano dall’asse di rotazione 1,6 m, come mostra la foto.

Quando ha una velocità di 15 m/s, il vento esercita su ciascuna pala della turbina una forza media di 1500 N. ▸▸ Calcola il modulo del momento totale delle forze che agiscono sulla turbina eolica.

La soluzione ▸▸ Per calcolare il momento totale che agisce sulla turbina dobbiamo sommare i tre momenti che agiscono su ciascuna delle tre pale della turbina: Mtot = M1 + M2 + M3 ▸▸ Visto che la sagomatura delle pale garantisce una forza media costante esercitata dal vento e che le tre pale sono identiche, possiamo dire che il modulo del momento totale è: Mtot = M1 + M2 + M3 = 3M dove M è il modulo del momento esercitato dalla forza media F del vento su ciascuna pala. ▸▸ Conosciamo la forza del vento F che agisce su una pala e la distanza b = 1,6 m di una pala dall’asse di rotazione. Per calcolare il modulo M applichiamo dunque la definizione del momento di una forza: M = F ∙ b = (1500 N) ∙ (1,6 m) = 2400 N ∙ m ▸▸ Il modulo del momento totale che agisce sulla turbina è dunque: Mtot = 3M = 3 ∙ (2400 N ∙ m) = 2700 N ∙ m

120

4

L’equilibrio dei solidi

MAPPA DEI FONDAMENTALI L’EQUILIBRIO DEI SOLIDI un corpo è in equilibrio statico quando è fermo e continua a stare fermo i solidi si possono trattare come un

Punto materiale

Corpo rigido

Quando l’oggetto è di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dell’ambiente

Quando l’oggetto è esteso e la distanza tra due suoi punti rimane invariata

per cui si può definire la

su cui possono agire

Momenti delle forze

Forze

La risultante delle forze agenti sul corpo è nulla:

Possono essere: •• sulla stessa retta •• concorrenti •• parallele

F tot = F 1 + F 2 + f + F n = 0

Retta d’azione della forza →

F Asse di rotazione

b

Condizione di equilibrio

si può applicare a un

45° 90° Braccio della forza = b

Corpo appeso

Corpo su un piano orizzontale

momento della forza (N • m) M=

T

Fv

forza (N)

Fb

braccio della forza (m) per cui si definiscono le

P

Condizioni di equilibrio Sia la risultante delle forze che la risultante dei momenti sono nulle:

P

T =-P

Cap_09_ese_63

F v =-P

tensione

F=0

forza-peso

si applicano nello studio delle

Corpo su un piano inclinato y A

Fa

Py B' B

•• lungo x: •• lungo y:

M=0

Leve Fulcro

Fv

→

FM

C' Px →

FR

θ P A'

Fa = Px = P sin i Fv = Py = P cos i Cap_04_06

x θ

Condizione di equilibrio: C

FM bM = FR bR •• leve vantaggiose: FM < FR •• leve svantaggiose: FM > FR •• leve indifferenti: FM = FR

121

3. il vettore C = A + B ha la coda coincidente con

4

A e B e direzione e modulo della diagonale del parallelogramma:

Esercizi

1. Scalari e vettori 3 Disegna su un foglio il vettore somma C = A + B

2. Operazioni con i vettori

usando il metodo del parallelogramma.

1 PER COMINCIARE

A

Alle 10:45 Yuri parte per fare un giro in bicicletta.

Dopo 5 minuti, si è spostato di 1,5 km in direzione sud-ovest. ▸▸ Indica quali grandezze sono scalari e quali vettoriali.

Grandezza scalare

Grandezza vettoriale

Alle 10:45 (istante di tempo)

□

□

Dopo 5 minuti (intervallo di tempo)

□

□

Spostamento di 1,5 km in direzione sud-ovest

□

□

Problema guidato 2 Disegna su un foglio il vettore somma C = A + B

usando la regola del parallelogramma.

A

B

4 Disegna su un foglio il vettore - A .

Cap_03_pag_02_ese_01 A

5 Usando il metodo punta-coda disegna i vettori (la

somma racchiusa tra parentesi va eseguita per prima): ▸▸ D = ^ A + B h + C ▸▸ E = ^B + C hCap_03_pag_02_ese_03 +A ▸▸ I due risultati sono identici?

A B

B

Soluzione

La regola del parallelogramma si applica in tre pasCap_03_pag_02_ese_02 saggi: 1. si trasla uno dei due vettori, per esempio A , facendo in modo che le code si trovino nello stesso punto; 2. si costruisce il parallelogramma che ha per lati i due vettori A e B ;

C

6 Disegna su un foglio i vettori 2V , 3V e - 4V .

Cap_03_pag_02_ese_04 V

7 Disegna su un foglio due vettori A e B che soddisfa-

no la relazione A + B = 0.

Cap_03_ese_06

74

I vettori e le forze

Problema guidato

4

Problema svolto Operazioni con i vettori

8 La figura mostra i vettori A e B .

11 La figura mostra i vettori A e B .

B

B A A

▸▸ Disegna il vettore C = -^ A + B h .

Soluzione Cap_03_pag_02_ese_06 1. Riscriviamo l’espressione per il vettore C in que-

sto modo: C = - … + …

2. Ora applichiamo il metodo punta-coda per tro-

vare la soluzione:

▸▸ Disegna il vettore C = 2A + B .

RISOLVIAMO PER PASSI Per ottenere il vettore C procediamo come segue.

Cap_03_pag_02_ese_08 1. Come nel calcolo algebrico, la moltiplicazione 2A ha la precedenza sulla somma e deve essere eseguita per prima. Il vettore 2A ha la stessa direzione e verso di A , ma lunghezza (intensità) doppia.

2A

2. Aggiungiamo il vettore B al vettore 2A con il

metodo punta-coda, facendo in modo che la coda di B tocchi la punta di 2A .

Cap_03_pag_03_ese_08a

B

9 La figura mostra i vettori A e B .

B A

2A

3. Il vettore richiesto C va dalla coda di 2A alla

punta di B .

▸▸ Disegna il vettore C = 3A + 2B .

10 La figura mostra i vettori A e B .

B Cap_03_pag_03_ese_09 A

C

B

Cap_03_pag_03_ese_08b 2A

12 PROVA TU Il vettore C è dato dalla somma dei vetto-

ri A e B : C = A + B .

▸▸ Disegna il vettore C = - A + 2B .

C Cap_03_pag_03_ese_08c

Cap_03_pag_83_provatu

A

▸▸ Disegna il vettore B .

13 PROVA TU Disegna il vettore C che soddisfa la rela-

C = 0. zione A + B +Cap_03_pag_02_ese_06

75

4

I vettori e le forze

60 Il peso di una persona su Marte è di 296,8 N. (Usare

la tabella a pagina XXX) ▸▸ Calcola la massa della persona.

[80,0 kg]

61 Una torta pesa 2,55 N ed ha una massa di 260 g. ▸▸ Calcola la costante di gravità.

[9,81 N/kg] 62 Una roccia pesa 843,2 N ed ha una massa di 34 kg.

▸▸ Calcola la costante di gravità. ▸▸ Su quale pianeta si trova? (Confronta con la tabella a pagina 67).

[24,8 N/kg; Giove]

1. Le forze di attrito 63 PER COMINCIARE

Se appoggi un portachiavi su una bilancia leggi la misura della sua massa/forza–peso misurata in N/kg mentre, appendendo il portachiavi a un dinamometro, misuri la sua forza–peso/massa espressa in kg/N.

Problema guidato 64 Una macchina di massa 1520 kg è ferma al semafo-

ro. Il coefficiente di attrito statico tra i pneumatici e l’asfalto è μs = 0,34. ▸▸ Calcola la forza che deve esercitare il motore per far partire la macchina.

[5070 N] Soluzione

La forza perpendicolare all’asfalto è uguale al peso dell’auto: F= = pauto = mg = (........ kg) · (9,81 N/kg) = ........ N La forza che deve esercitare il motore per mettere in moto l’auto è uguale in modulo alla massima forza di attrito statico: Fauto = Fatt = μspauto = (........) · (........ N) = ........ N 65 Un pacco di massa m = 3,78 kg giace sul pavimento.

▸▸ Calcola il modulo della forza con cui il pacco preme sul pavimento.

[37,1 N]

66 Un libro di massa m = 1,42 kg è appoggiato su un ta-

volo e viene premuto con una forza F = 15 N verso il tavolo. ▸▸ Calcola il modulo della forza con cui il libro preme sul tavolo.

[29 N]

67 Una cassa di massa m = 8,3 kg giace sul pavimento. Il

coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento è μs = 0,32. ▸▸ Calcola il modulo della forza necessaria a spostare la cassa.

[26 N]

68 Un corpo è posto su un piano orizzontale con attrito

statico μs = 0,71. Per spostarlo è necessaria una forza di 1000 N. ▸▸ Calcola la massa del corpo.

[143,6 kg]

76

69 Un oggetto di massa 130 g si muove su un piano oriz-

zontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra l’oggetto e il piano è μd = 0,46. ▸▸ Quale forza bisogna esercitare perché l’oggetto rimanga in movimento?

[0,587 N]

70 Per spostare un masso posto su un piano orizzontale

è necessaria una forza di 2480 N. Il coefficiente di attrito statico tra il masso e il piano è μs = 0,12. ▸▸ Calcola la massa del masso.

[2919 kg]

71 Una cassa pesa 147 N è ferma su un piano orizzonta-

le. Per spostarla è necessario spingerla con una forza di 120 N. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito statico tra la cassa ed il pavimento.

[0,816]

Problema guidato 72 La forza necessaria per mettere in moto un libro so-

pra una scrivania è di 10 N. Il libro ha una massa m = 0,5 kg. Il coefficiente di attrito statico tra libro e scrivania è 2 volte maggiore del coefficiente di attrito dinamico. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito dinamico tra libro e scrivania.

Soluzione

La forza per spostare il libro è uguale alla forza di attrito statico massima tra libro e scrivania.

A sua volta, la forza di attrito massima è data da questa relazione: Fatt = μs plibro = μsmlibrog Dall’espressione precedente possiamo ricavare il coefficiente di attrito statico tra libro e scrivania: Fatt ......... N ns = m libro g = ^......... kgh^9,81 N/kgh = .........

Il coefficiente di attrito dinamico è dunque: nd =

ns

3 =

........

3

= ........

73 Una macchinina di massa 500 g è ferma su un piano

orizzontale. Per spostarla è necessario spingerla con una forza di 2,00 N. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito statico tra la cassa ed il pavimento.

[0,408]

74 Una cassa di massa 22,0 kg è spinta su un piano oriz-

zontale, per muoverla è necessario spingerla con una forza di 215 N. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito statico tra la cassa ed il pavimento.

[0,996]

I vettori e le forze

Problema svolto

4

La forza-peso

75 Paola tenta di spostare una grossa cassapanca piena di vestiti, di massa totale 24 kg, tirandola con una forza oriz-

zontale di modulo 40 N. Il coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento è 0,22. ▸▸ Dimostra che Paola non riesce a spostare la cassapanca. ▸▸ Per riuscire a spostare la cassapanca, Paola decide di svuotarla parzialmente. Calcola la massa di vestiti che Paola deve togliere dalla cassapanca per riuscire a spostarla.

TRADUCIAMO IL TESTO I DATI

LE INCOGNITE

•• Massa della cassa •• Coefficiente di attrito statico tra la cassa

m = 24 kg

•• Massa di vestiti da togliere

mv = ?

μs = 0,22

e il pavimento •• Modulo della forza che tira la cassa

F = 40 N

RISOLVIAMO PER PASSI •• La cassa si muove?

Per sapere se Paola riesce a spostare la cassapanca, calcoliamo la forza di attrito statico massima fs,max tra la cassapanca e il pavimento. La forza premente sul pavimento è la forza-peso della cassapanca:

F= = mg La forza di attrito statico massima è:

fs,max = ns F= = ns mg = 0,22 $ ^24 kg h $ ^9,81 N/kg h = 52 N

La forza applicata da Paola ha modulo 40 N, quindi è inferiore alla forza di attrito massima:

F 1 fs,max Per cui, quando Paola tira la cassapanca, si genera una forza di attrito, anch’essa di modulo 40 N, che controbilancia la forza applicata: la cassapanca non si muove.

•• Massa da rimuovere

Per poter muovere la cassapanca con la stessa forza applicata da Paola, la forza di attrito massima deve essere ridotta a un valore inferiore a 40 N: la situazione limite oltre cui la cassa si muove è data da f s' ,max = 40N. Per diminuire la forza di attrito statico massima, da fs,max a f s' ,max , è necessario diminuire la forza premente, e quindi la massa. La massa totale della cassa e dei vestiti deve essere al massimo: f 's,max 40 N m' = n g = = 19 kg 0,22 $ ^9,81 N/kgh s La massa di vestiti da togliere quindi è:

m v = m - m' = ^24 kgh - (19 kg) = 5 kg

76 PROVA TU Un grande vaso in ceramica è collocato

all’ingresso di un ufficio. Il coefficiente di attrito statico tra il vaso e il pavimento è 0,24. Quando il vaso è vuoto, basta una forza orizzontale di modulo 8,2 N per spostarlo. ▸▸ Calcola la forza che bisogna applicare al vaso quando contiene una pianta di massa 1,2 kg.

[11 N]

77 PROVA TU Andrea ha una massa di 60 kg ed è seduto

sopra una poltrona. In questo caso per spostare la

poltrona bisogna esercitare una forza di 350 N. Il coefficiente di attrito statico tra una poltrona e il pavimento è 0,35. ▸▸ Calcola la massa della poltrona.

[???]

78 Per spostare un armadio di massa m appoggiato sul

pavimento è necessaria una forza orizzontale di almeno 300 N. Per mantenerlo in movimento, è necessaria una forza orizzontale di almeno 240 N. Il coefficiente di attrito statico tra armadio e pavimento è 0,6.

77

I vettori e le forze

60 Il peso di una persona su Marte è di 296,8 N. (Usare

la tabella a pagina XXX) ▸▸ Calcola la massa della persona.

[80,0 kg]

61 Una torta pesa 2,55 N ed ha una massa di 260 g. ▸▸ Calcola la costante di gravità.

[9,81 N/kg] 62 Una roccia pesa 843,2 N ed ha una massa di 34 kg.

▸▸ Calcola la costante di gravità. ▸▸ Su quale pianeta si trova? (Confronta con la tabella a pagina 67).

[24,8 N/kg; Giove]

4

68 Un oggetto di massa 130 g si muove su un piano oriz-

zontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra l’oggetto e il piano è μd = 0,46. ▸▸ Quale forza bisogna esercitare perché l’oggetto rimanga in movimento?

[0,587 N]

69 Per spostare un masso posto su un piano orizzontale

è necessaria una forza di 2480 N. Il coefficiente di attrito statico tra il masso e il piano è μs = 0,12. ▸▸ Calcola la massa del masso.

[2919 kg]

70 Una cassa pesa 147 N è ferma su un piano orizzonta-

le. Per spostarla è necessario spingerla con una forza di 120 N. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito statico tra la cassa ed il pavimento.

1. Le forze di attrito Problema guidato

[0,816]

63 Una macchina di massa 1520 kg è ferma al semafo-

ro. Il coefficiente di attrito statico tra i pneumatici e l’asfalto è μs = 0,34. ▸▸ Calcola la forza che deve esercitare il motore per far partire la macchina.

[5070 N] Soluzione

La forza perpendicolare all’asfalto è uguale al peso dell’auto: F= = pauto = mg = (........ kg) · (9,81 N/kg) = ........ N La forza che deve esercitare il motore per mettere in moto l’auto è uguale in modulo alla massima forza di attrito statico: Fauto = Fatt = μspauto = (........) · (........ N) = ........ N 64 Un pacco di massa m = 3,78 kg giace sul pavimento.

▸▸ Calcola il modulo della forza con cui il pacco preme sul pavimento.

[37,1 N]

65 Un libro di massa m = 1,42 kg è appoggiato su un ta-

volo e viene premuto con una forza F = 15 N verso il tavolo. ▸▸ Calcola il modulo della forza con cui il libro preme sul tavolo.

Problema guidato 71 La forza necessaria per mettere in moto un libro so-

pra una scrivania è di 10 N. Il libro ha una massa m = 0,5 kg. Il coefficiente di attrito statico tra libro e scrivania è 2 volte maggiore del coefficiente di attrito dinamico. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito dinamico tra libro e scrivania.

Soluzione

La forza per spostare il libro è uguale alla forza di attrito statico massima tra libro e scrivania.

A sua volta, la forza di attrito massima è data da questa relazione: Fatt = μs plibro = μsmlibrog Dall’espressione precedente possiamo ricavare il coefficiente di attrito statico tra libro e scrivania: Fatt ......... N ns = m libro g = ^......... kgh^9,81 N/kgh = .........

Il coefficiente di attrito dinamico è dunque: nd =

ns

3 =

........

3

= ........

[29 N] 66 Una cassa di massa m = 8,3 kg giace sul pavimento. Il

coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento è μs = 0,32. ▸▸ Calcola il modulo della forza necessaria a spostare la cassa.

72 Una macchinina di massa 500 g è ferma su un piano

[26 N]

orizzontale. Per spostarla è necessario spingerla con una forza di 2,00 N. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito statico tra la cassa ed il pavimento.

[0,408]

67 Un corpo è posto su un piano orizzontale con attrito

73 Una cassa di massa 22,0 kg è spinta su un piano oriz-

statico μs = 0,71. Per spostarlo è necessaria una forza di 1000 N. ▸▸ Calcola la massa del corpo.

[143,6 kg]

zontale, per muoverla è necessario spingerla con una forza di 215 N. ▸▸ Calcola il coefficiente di attrito statico tra la cassa ed il pavimento.

[0,996]

81

4

I vettori e le forze

SEI PRONTO PER LA VERIFICA?

In 1 ora

Domande … /5

1 Definisci il prodotto scalare tra vettori.

… /5

2 Spiega cosa sono e come si indicano le componenti cartesiane di un vettore.

… /5

3 Fornisci il modulo, la direzione e il verso della forza di attrito radente statico e di quella di attrito radente

dinamico.

Test … /10

4 Un aereo si sposta di 70 km verso ovest e di 100 km verso nord. Il suo spostamento complessivo è

rappresentato da un vettore orientato verso nord-ovest di modulo A 170 km B 122 km C 30 km

… /10

170 km

5 Considera nel piano cartesiano i vettori A = (5, 2) e B = (2, 5) . Il vettore B - A ha componenti A

… /10

D

(−3, 3)

B

(3, 3)

C

(3,−3)

D

(7, 7)

6 Se sulla Terra un oggetto A pesa il doppio di un oggetto B, allora sulla Luna

B C D A

l’oggetto A pesa la metà dell’oggetto B l’oggetto A pesa come l’oggetto B l’oggetto A pesa il doppio dell’oggetto B la massa dell’oggetto A è uguale alla massa dell’oggetto B

… /10

7 Un dinamometro a cui è appeso un carrello da laboratorio segna all’equilibrio 2,5 N. La massa del carrello è

… /10

8 Un oggetto di massa m = 2 kg è appoggiato su un piano orizzontale e collegato ad una molla di costante

A

2,5 kg

B

250 g

C

2,50 g

D

2500 g

elastica k = 200 N/. L’attrito statico tra l’oggetto e il piano è ms = 0,23. Se la molla viene compressa di una lunghezza = 0,15 m, la forza elastica è sufficientemente grande da vincere la forza di attrito?

… /10

9 Un oggetto di massa m = 4 kg è appoggiato su un piano e attaccato a una molla di costante elastica k = 150

N/m. Il coefficiente di attrito statico tra l’oggetto e il piano è 0,88. ▸▸ Calcola il minimo allungamento necessario affinché la forza elastica vinca la forza di attrito. … /10 10 Una molla appesa al soffitto si allunga di 0,13 m quando viene appeso alla sua estremità un oggetto di12 kg. ▸▸ Qual è la costante elastica della molla?

Problemi … /10 11 Un’auto di 1700 kg è parcheggiata in una strada in salita con una pendenza di 15°.

▸▸ Calcola il modulo della forza normale e della forza di attrito che il suolo esercita su di essa.

[1,6 ∙ 104 N; 4,3 ∙ 103 N]

… /10 12 Un blocco di massa 450 g giace su un tavolo. Il coefficiente di attrito statico tra il blocco e il tavolo è 0,17.

Si vuole spostare il blocco comprimendo una molla orizzontale attaccata al blocco. La costante elastica della molla è 25 N/m. ▸▸ Calcola di quanto si deve comprimere la molla. [più di 3,0 cm]

............ /100

84