Funciones Exponenciales

2. Ahora consideremos a los precios como las entradas. Vemos que dos elementos del menú tienen el mismo precio. Esto significa que las entradas tienen más de un valor de salida asignado, por lo tanto no representa a una función. Los elementos no son una función del precio.

EJEMPLO 2

Determina si es que el siguiente diagrama de mapeo representa a una función.

Solución:

Fácilmente podemos observar que cada valor de entrada corresponde a un solo valor de salida, entonces, el diagrama de mapeo sí representa a una función.

FUNCIONES DE PRIMER GRADO (LINEALES)

Una ecuación de primer grado es una ecuación cuya solución viene dada por Primero, el producto de sus variables (en este caso, x), y el valor medio de sus fórmulas integrales, como la matriz integral. Así, una solución de una ecuación de primer grado será siempre la suma de sus variables, mientras que las soluciones de una ecuación de segundo grado serán siempre iguales a los valores de primer grado de sus correspondientes variables. Además, las soluciones de las ecuaciones de tercer grado también son iguales a los valores de sus correspondientes variables, pero esto ocurre raramente.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita poseen la forma:

ax + b = c

Siendo a ≠ 0. Es decir, ‘a’ no es cero. ‘b’ y ‘c’ son dos constantes. Esto es, dos números fijos. Por último, ‘x’ es la incógnita (el valor que no sabemos). En tanto que, las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas poseen la forma:

mx + b = y.

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1 Quitar paréntesis.

2 Quitar denominadores.

3 Agrupar los términos en en un miembro y los términos independientes en el otro.

4 Reducir los términos semejantes.

5 Despejar la incógnita.

EJEMPLO:

FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICAS)

Las funciones son la forma representativa de las ecuaciones. Entonces, una función cuadrática será lo mismo que una ecuación cuadrática. Tal que así:

Como se puede comprobar, ambas expresiones son la misma, lo único que la primera está más orientada a ser dibujada y, la segunda, se utiliza más en cálculo.

Propiedades de la función cuadrática

La función cuadrática siempre estará comprendida en el primer y cuarto cuadrante de una gráfica. Esto es debido a que para cualquier valor de X introducido a la función, esta devolverá un valor positivo siempre. La función cuadrática forma una parábola simétrica con el eje vertical. El signo del elemento que contiene el grado indica si se trata de una función convexa o cóncava.

Si el signo es positivo -> la función tendrá un mínimo en la X, y por tanto, será cóncava.

Si el signo es negativo -> la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa.

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EJEMPLO:

Grafica la función cuadrática

Una función cúbica es una función polinomial de grado 3. Puede ser escrita en la forma f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0. También puede ser escrito como f ( x ) = a ( x + b ) 3 + c , donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

EJEMPLOS:

1. Grafique la función f ( x ) = –2( x + 1) 3 – 3

2. Grafique la función f ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 12 x – 3

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador. La forma general de una función racional es ,

donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios y q ( x ) ≠ 0.

La función padre de una función racional es y la gráfica es una hipérbola .

El dominio y rango es el conjunto de todos los números reales excepto 0.

Valor Excluido

En una función racional, un valor excluído es cualquier valor de x que hace al valor de la función y no definido. Así, estos valores deben ser excluidos del dominio de la función. Por ejemplo, el valor excluido de la función es –3. Esto es, cuando x = –3, el valor de y no está definido. Así, el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales excepto –3.

Asíntotas

Una asíntota es una recta que se acerca a la gráfica de la función, pero nunca la toca. En la función padre ,

tanto los ejes x y y son asíntotas. La gráfica de la función padre se acercará más y más pero nunca tocará las asíntotas.

Una función racional de la forma tiene una asíntota vertical en el valor excluído, o x = b , y una asíntota horizontal en y = c .

Ejemplos:

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial es aquella que a cada valor real le asigna la potencia con y . Esta función se expresa

el número se denomina base.

Estudiemos el comportamiento de la función exponencial de acuerdo a su base

Construimos una tabla de valores para

Las funciones exponenciales se emplean para modelar una amplia variedad de fenómenos como el crecimiento de poblaciones y las tasas de interés.

Características de las funciones exponenciales:

1) Su dominio es el conjunto de números reales.

2) Su alcance es el conjunto de números reales mayores de cero.

3) Si 0<a<1, entonces su gráfica tienen comportamiento decreciente en todo su dominio

4) Si a>1,entonces su gráfica tiene comportamiento creciente en todo su dominio.

5) Pasa por el punto (1,a), intercepto en el eje de y es igual a 1, no hay interceptos en el eje de x.</a