WL2017R13_103_3.pdf

13_103_3 WL rapporten

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid WP 1.3 Basismodel getij en zout DEPARTEMENT MOBILITEIT & OPENBARE WERKEN

waterbouwkundiglaboratorium.be

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Brouwer, R.L.; Schramkowski, G.P.; Verwaest, T.; Mostaert, F.

Cover figuur © R.L. Brouwer, 2017 Juridische kennisgeving Het Waterbouwkundig Laboratorium is van mening dat de informatie en standpunten in dit rapport onderbouwd worden door de op het moment van schrijven beschikbare gegevens en kennis.

De standpunten in deze publicatie zijn deze van het Waterbouwkundig Laboratorium en geven niet noodzakelijk de mening weer van de Vlaamse overheid of één van haar instellingen.

Het Waterbouwkundig Laboratorium noch iedere persoon of bedrijf optredend namens het Waterbouwkundig Laboratorium is aansprakelijk voor het gebruik dat gemaakt wordt van de informatie uit dit rapport of voor verlies of schade die eruit voortvloeit.

Copyright en wijze van citeren © Vlaamse overheid, Departement Mobiliteit en Openbare Werken, Waterbouwkundig Laboratorium 2017 D/2017/3241/245 Deze publicatie dient als volgt geciteerd te worden: Brouwer, R.L.; Schramkowski, G.P.; Mostaert, F. (2017). Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel getij en zout. Versie 2.0. WL Rapporten, 13_103_3. Waterbouwkundig Laboratorium: Antwerpen.

Overname uit en verwijzingen naar deze publicatie worden aangemoedigd, mits correcte bronvermelding.

Documentidentificatie Opdrachtgever: Keywords (3-5): Tekst (p.): Vertrouwelijk:

Vlaams-Nederlandse Scheldecommissie Ref.: WL2017R13_103_3 (VNSC) Getij, zout, estuaria 49 Bijlagen (p.): 29 ☒ Nee ☒ Online beschikbaar

Auteur(s):

Brouwer, R.L.; Schramkowski, G.P.

Controle Naam Revisor(en):

de Swart, H.E.; Plancke, Y.

Projectleider:

Schramkowski, G.P.

Goedkeuring Afdelingshoofd:

F-WL-PP10-1 Versie 7 Geldig vanaf 03/01/2017

Mostaert, F.

Handtekening

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Abstract In dit rapport wordt een geïdealiseerd hydrodynamisch model beschreven dat de breedtegemiddelde waterbeweging onder invloed van ge j, rivierafvoer en zoutverdeling beschrij . Het model wordt toegepast op het Schelde-estuarium tussen Vlissingen en Gentbrugge, waarbij calibra e geschiedt op basis van het ver kale 𝑀2 -en 𝑀4 -ge j. Het blijkt dat de amplitude en fase van deze componenten redelijk goed wordt beschreven, en ook de waargenomen asymmetrie van de waterstand wordt kwalita ef gereproduceerd. De harmonische componenten 𝑀2 en 𝑀4 van gemeten cross-sec oneel gemiddelde snelheid worden gebruikt ter valida e van het model. Hierbij blijken de waargenomen en berekende amplitudes qua orde van groo e overeen te komen, maar qua langsverloop is er minder overeenstemming. De horizontale ge j-asymmetrie komt goed overeen voor de Westerschelde, maar niet voor de Zeeschelde waar me ngen een grote spreiding laten zien.

Er wordt beargumenteerd dat deze ma ge overeenkomst tussen model en waarnemingen teruggevoerd kan worden op de te korte lengte van de gebruikte jdreeks voor snelheidsme ngen. Voor de verdeling van de reststroming wordt gevonden dat deze bij hoge afvoeren door de rivierstroming wordt gedomineerd, terwijl bij lage afvoeren de Stokes terugkeerstroming de grootste bijdrage levert. De gravita onele circula e gee een geringe bijdrage aan de reststroming en lijkt van onderschikt belang.

Final version

WL2017R13_103_3

III

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Inhoudsopgave Abstract................................................................................................................... III Lijst van figuren .......................................................................................................... VII Lijst van tabellen......................................................................................................... VIII 1 Inleiding ..............................................................................................................

1

2 Samenva ng ........................................................................................................

2.1 Modelopzet .....................................................................................................

2.1.1 Modelgeometrie ...........................................................................................

2.1.2 Specifieke aannames ......................................................................................

2.1.3 Aanvullende veronderstellingen .........................................................................

2.1.4 Oplossingsmethode .......................................................................................

2.2 Gebruikte gebiedsgegevens ...................................................................................

2.2.1 Geometrie ..................................................................................................

2.2.2 Waterstanden ..............................................................................................

2.2.3 Snelheden ..................................................................................................

2.2.4 Zoutverdeling en rivierafvoer ............................................................................

2.3 Modelcalibra e .................................................................................................

2.4 Resultaten .......................................................................................................

2.4.1 Asymmetrie van het ver kale ge j ......................................................................

2.4.2 Ge jstroming...............................................................................................

2.4.3 Reststroming ...............................................................................................

2.5 Kwaliteit van harmonische analyse van de snelheidsdata .................................................

2.6 Toekoms ge ontwikkelingen van het basismodel ..........................................................

2.6.1 Accuratere beschrijving van de bodemruwheid .......................................................

2.6.2 Nauwkeuriger beschrijving voor ondiepere delen. ....................................................

2.6.3 Turbulen emodel..........................................................................................

2.6.4 Ge j-asymmetrie door jdsa ankelijke ver kale menging ..........................................

2.7 Conclusies .......................................................................................................

2 2 2 3 3 4 4 4 5 7 7 8 10 10 11 12 15 17 17 17 17 18 18

3 Hydrodynamic model...............................................................................................

3.1 Model formula on .............................................................................................

3.2 Perturba on analysis and solu ons ..........................................................................

3.2.1 Leading order system of equa ons and solu ons .....................................................

3.2.2 First order system of equa ons and solu ons .........................................................

19 19 22 22 24

4 Data Scheldt Estuary................................................................................................

4.1 Model domain ..................................................................................................

4.2 Bo om and width profile ......................................................................................

4.3 Water levels .....................................................................................................

4.4 Flow veloci es ..................................................................................................

4.5 Salinity profile...................................................................................................

4.6 River discharge..................................................................................................

30 30 31 31 33 34 34

5 Calibra on ........................................................................................................... 36

Final version

WL2017R13_103_3

V

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 6 Results................................................................................................................

6.1 Water levels .....................................................................................................

6.1.1 Calibrated water levels ....................................................................................

6.1.2 Asymmetry of the ver cal de ...........................................................................

6.2 Tidal velocity ....................................................................................................

6.2.1 Amplitudes of the flow cons tuents ....................................................................

6.2.2 Asymmetry of the horizontal de........................................................................

6.2.3 𝑀4 velocity component ..................................................................................

6.3 Residual flow ....................................................................................................

6.3.1 Winter condi ons .........................................................................................

6.3.2 Summer condi ons........................................................................................

37 37 37 37 40 40 41 41 41 41 44

7 Conclusions .......................................................................................................... 46 Referen es ............................................................................................................... 47 A1 Reduc on and solu on of the model equa ons ................................................................ A1 A1.1 Perturba on analysis........................................................................................... A1 A1.1.1 Scaling the model equa ons ............................................................................. A2 A1.1.2 Scaling the boundary condi ons ......................................................................... A4 A1.1.3 Perturba on technique ................................................................................... A4 A1.2 Solu ons......................................................................................................... A6 A1.2.1 Leading order solu ons ................................................................................... A6 A1.2.2 First order solu ons .......................................................................................A12 A2 Along-channel velocity and least square harmonic fit ..........................................................A27

VI

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Lijst van figuren Figuur 1

Geometrie van het ge jbekken zoals gebruikt in het geïdealiseerde model, (a): zijaanzicht, (b): bovenaanzicht. ........................................................................................ 2 Figuur 2 Kanaalbreedte (boven) en breedtegemiddelde bodemligging (onder) als func e van posi e in het Schelde estuarium. ................................................................................. 5 Figuur 3 Longitudinale verdeling van de breedte -en ge jgemiddelde zoutverdeling in het Scheldebekken. 8 Figuur 4 Amplitude (links) en fase (rechts) van het gecalibreerde M2 (boven) -en M4 -ge j (onder). ...... 9 Figuur 5 Faseverschil tussen het ver kale 𝑀2 -en 𝑀4 -ge j als func e van de loca e langs het Schelde estuarium.................................................................................................... 10 Figuur 6 Vergelijking tussen berekende en waargenomen ge jstroming. ..................................... 11 Figuur 7 Amplitude (linksboven) en fase (rechtsboven) van de 𝑀4 -snelheid als func e van posi e in het Scheldebekken. ........................................................................................ 13 Figuur 8 Berekende restcomponent van de langsgerichte stroming 𝑢 als func e van loca es 𝑥 en hoogte 𝑧 in de Schelde, gebaseerd op wintercondi es. ........................................................ 14 Figuur 9 Berekende reststroming als func e van loca es 𝑥 en hoogte 𝑧 voor zomercondi es.............. 15 Figuur 10 Kwaliteit van de 𝑀2 -waterstand te Vlissingen. ......................................................... 16 Figuur 11 Geometry of the dal basin as adopted by the idealized model: (a) side view, (b): top view. .... 19 Figuur 12 Figuur 13 Figuur 14 Figuur 15

The Scheldt Estuary. .......................................................................................

Channel width (top panel) and depth (bo om panel) of the Scheldt Estuary in 2013. ............

Tidally averaged salinity throughout the Scheldt Estuary. .............................................

Daily averaged discharge in Melle during 2009. ........................................................

Figuur 16 Amplitude (le panels) and phase (right panels) of the calibrated M2 (top panels) and M4 de (bo om panels) as a func on of the distance to Vlissingen. ....................................

Figuur 17 Phase difference between M2 and M4 de as a func on of the distance to Vlissingen. ..........

Figuur 18 Comparison between computed and observed dal flow. ............................................

Figuur 19 𝑀4 amplitude (top le ) and phase (top right) as func on of posi on inside the Scheldt basin. .

Figuur 20 Calculated residual along-channel flow veloci es (contours/colors) for winter condi ons based on data from the Scheldt Estuary as a func on of channel depth 𝑧 and distance to Vlissingen 𝑥......................................................................................................

Figuur 21 Phase difference 𝜓M2 − 𝜑M2 between the horizontal M2 de or horizontal M2 flow velocity and the ver cal M2 de as a func on of the distance to Vlissingen. ................................

Figuur 22 Calculated residual flow veloci es (contours/colors) for summer condi ons based on data from the Scheldt Estuary as a func on of channel depth 𝑧 and distance to Vlissingen 𝑥. .........

30 32 35 35 38 39 40 42

43 44 45

Figure 23 Comparison between measured depth averaged along-estuary velocity (red) and least square fit according to Eq. (352) (blue) for the six most seaward loca ons..................................A28 Figure 24 Comparison between measured depth averaged along-estuary velocity (red) and least square fit according to Eq. (352) (blue) for the five most landward loca ons. ..............................A29

Final version

WL2017R13_103_3

VII

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Lijst van tabellen Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3 Tabel 4 Tabel 5 Tabel 6

Coëfficiënten behorende bij de beste fits voor Vgl. (5) en (6) zoals getoond in Fig. 2. ..............

Amplitude en fase van het M2 -en M4 ge j voor diverse waterstandssta ons in het Schelde estuarium. ....................................................................................................

Loca e en jds p van de gebruikte snelheidsme ngen in de Schelde. ...............................

Parameterwaarden behorende bij voorschri (7)........................................................

6 6 7 8

Tabel 7 Tabel 8

Water level sta ons in the Scheldt Estuary. ..............................................................

Amplitude and phase for the ver cal M2 and M4 de at the water level sta ons in the Scheldt Estuary. .......................................................................................................

Loca on and me of velocity measurement campaigns in the Scheldt Estuary. .....................

Parameter values for the best fit for the salinity profile of the Scheldt Estuary. .....................

Table 9

Typical variable scales. ...................................................................................... A2

VIII

WL2017R13_103_3

31 33 33 34

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

1 Inleiding Dit rapport betre de oplevering van deliverable 1.3 van WL-project 13_103 ”Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid”. Dit rapport beschrij het hydrodynamische gedeelte van het geïdealiseerde model dat zal worden gebruikt om later in het project de overgang van lage naar hoge hypertroebelheid te bestuderen. Naast de waterbeweging door ge j zijn ook effecten van zoutverdeling op de stroming in dit model verdisconteerd.

Omdat de feitelijke beschrijving vrij technisch is, is besloten om de globale opzet en resultaten afzonderlijk samen te va en in Hoofdstuk 2. In de daarop volgende hoofdstukken 3 tot en met 6 worden respec evelijk de modelopzet de gebruikte meetgegevens, de calibra eprocedure en de modelresultaten in meer detail in het Engels beschreven. De wiskundige details van de benaderingen die aan het model ten grondslag liggen, alsmede de gebruikte oplossingsmethode, worden separaat in Appendix A1 behandeld.

Final version

WL2017R13_103_3

1

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

2 Samenva ng 2.1

Modelopzet

2.1.1

Modelgeometrie

Het model is gebaseerd op het werk van Ianniello, (1977), Ianniello, (1979) en Chernetsky e.a., (2010) en beschrij de breedtegemiddelde waterbeweging in een ge jkanaal van eindige lengte 𝐿. Hierbij wordt met ”waterbeweging” feitelijk de breedtegemiddelde horizontale snelheid 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡), de breedtegemiddelde verkale snelheid 𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) en de breedtegemiddelde waterstand 𝜁(𝑥, 𝑡) bedoeld. Het zeegat is gesitueerd op 𝑥 = 0 waar een harmonische waterstand wordt voorgeschreven die enkel een 𝑀2 -en 𝑀4 -component bevat, ergo 𝜁(0, 𝑡) = 𝐴M2 cos(𝜎𝑡) + 𝐴M4 cos(2𝜎𝑡 − 𝜑) ,

(1)

Hierbij zijn 𝐴M2 en 𝐴M4 de amplitude van de 𝑀2 -en 𝑀4 -waterstand op de rand en is 𝜑 het bijbehorende faseverschil tussen beide ge jcomponenten. De grootheid 𝜎 is de cirkelfrequen e van het 𝑀2 -ge j (periode 𝑇 ≈ 12.4 uur) en is gegeven door 𝜎 = 2𝜋/𝑇 ≈ 1.41 × 10−4 rad s−1 .

Op de landwaartse rand (𝑥 = 𝐿) is een stuw gelokaliseerd die een constante rivierafvoer 𝑄 onderhoudt. De ver kale posi e 𝑧 is opwaarts posi ef georiënteerd, waarbij 𝑧 = 0 samenvalt met het gemiddelde zeeniveau.

De breedtevaria e wordt aangegeven als 𝐵(𝑥) terwijl de bodem op het niveau 𝑧 = −𝐻(𝑥) ligt. Deze geometrische karakteris eken zijn weergegeven in Fig. 1. Zowel breedtevaria e als bodemligging kunnen willekeurig worden gekozen.

Figuur 1 – Geometrie van het ge jbekken zoals gebruikt in het geïdealiseerde model, (a): zijaanzicht, (b): bovenaanzicht.

Bovenaanzicht

Zijaanzicht z x

z = ζ(x)

rivier B(x)

H0 zee z = −H(x)

x

zee

u

rivier

Het onderhavige model kent een aantal belangrijke uitbreidingen ten opzichte van het recente werk van Chernetsky e.a., (2010). Zo kan in principe een willekeurige breedtevaria e van het ge jkanaal worden voorgeschreven. Ook kan de bodemruwheid per ge jcomponent van de stroming verschillend worden voorgeschreven, hetgeen een realis schere beschrijving van de waterbeweging gee .

2

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 2.1.2

Specifieke aannames

De waterbeweging wordt beschreven door de vergelijking van impulsbalans voor de horizontale snelheid en de vergelijking voor massabehoud. Deze vergelijkingen zijn vanwege hun niet-lineaire karakter in het algemeen niet eenvoudig op te lossen. Door een aantal specifieke veronderstellingen is het het echter mogelijk om de vergelijkingen middels een schalingsprocedure te vereenvoudigen, waarna het mogelijk wordt om rela ef eenvoudig benaderende oplossingen voor de waterbeweging te vinden. Het voordeel van deze vereenvoudigde beschrijving is dat de modelresultaten op een gestructureerde wijze kunnen worden geanalyseerd in termen van fysische mechanismen.

Waterbeweging De eerste vereenvoudiging die wordt toegepast is de aanname dat de amplitude van het ver kale 𝑀2 -ge j klein is ten opzichte van de typische bodemdiepte. Specifiek wordt dit weergegeven door de condi e 𝐴M2 𝜖= ≪1, 𝐻0 waarbij 𝐻0 = 𝐻(𝑥 = 0) de breedtegemiddelde diepte ter hoogte van het zeegat voorstelt. Deze aanname is doorgaans gerechtvaardigd in rela ef diepe delen van het bekken, maar kan minder nauwkeurig zijn in ondiepe gebieden nabij de landwaartse rand.

Tevens wordt aangenomen dat het extern opgelegde 𝑀4 -ge j klein is ten opzichte van de 𝑀2 -forcering in de zin dat de verhouding tussen beide ge j-amplitudes ongeveer van dezelfde groo e-orde is als 𝜖.

Tot slot wordt er ook van uitgegaan dat de waterbeweging ge jgedomineerd is, specifiek wordt aangenomen dat de typische groo e van optredende res romingen (bijvoorbeeld door rivierafvoer) een orde 𝜖 kleiner is dan de 𝑀2 -stroomsnelheid. Deze aanname is technisch gezien niet juist nabij de stuw aangezien de ge jsnelheid daar nul is maar de rivierafvoer niet. In de prak jk is dit echter geen groot probleem aangezien het model de rivierstroming nabij de stuw wel correct oplost.

Turbulen emodel De interne wrijving die de stroming ondervindt wordt beschreven door het vereenvoudigde algebraische turbulen emodel van Chernetsky e.a., (2010). Hierbij wordt de ver kale viscositeit 𝐴v uitsluitend a ankelijk genomen van de bodemdiepte via 𝐴𝑣 (𝑥) = 𝐴𝑣0 (

𝐻(𝑥) ) 𝐻0

m

,

(2)

waarbij 𝐴𝑣0 constant is. De bodemruwheid wordt beschreven middels de parameter 𝑠𝑓 die op een soortgelijke wijze van de bodemdiepte a angt via n

𝐻(𝑥) 𝑠𝑓 = 𝑠𝑓0 ( ) , 𝐻0

(3)

waarbij 𝑠𝑓0 wederom constant is. Beide parameters zijn onderling gerelateerd door de bodemrandvoorwaarde voor de horizontale snelheid 𝜕𝑢 𝐴𝑣 = 𝑠𝑓 𝑢 , (4) 𝜕𝑧 zodat de bodemschuifspanning lineair a angt van snelheid aan de bodem. Condi e (4) wordt ook wel de par ële slip randvoorwaarde genoemd.

2.1.3

Aanvullende veronderstellingen

Naast de aannames dat het de ver kale ge j-amplitude klein is ten opzichte van de bodemdiepte en de stroming ge j-gedomineerd is zijn er nog een zestal aanvullende veronderstellingen die er feitelijk op neerkomen dat specifieke effecten (vooralsnog) niet worden meegenomen. Deze aanvullende aannames zijn

Final version

WL2017R13_103_3

3

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 1. het zoutveld is jdsona ankelijk en diagnos sch (dwz. voorgeschreven) en ver kaal goed doorgemengd, 2. de invloed van stra fica e op ver kale menging wordt niet beschouwd, 3. het effect van platen (droogvallende gebieden) is niet meegenomen, 4. geen krommingseffecten, 5. geen windeffecten, 6. geen golfwerking.

2.1.4

Oplossingsmethode

Door bovengenoemde aannames is het mogelijk om benaderende oplossingen voor de waterbeweging te verkrijgen. In het bijzonder geldt dat de stroomsnelheid en waterstand in eerste benadering door het externe 𝑀2 -ge j worden gedreven, terwijl de rest -en 𝑀4 -component van een rela eve groo e 𝜖 zijn. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt door de expansie 𝜁 = 𝜁 0 + 𝜁1 + … , 𝑢 = 𝑢 0 + 𝑢1 + … , 𝑤 = 𝑤0 + 𝑤 1 + … , waarbij grootheden met subindex 0 enkel met de 𝑀2 -periode variëren terwijl grootheden met subindex 1 residuele -en 𝑀4 -bijdragen kennen. Bovengenoemde benaderingen lopen in feite oneindig lang door, en er kunnen dus ook bijdragen met rela eve sterkte 𝜖2 en 𝜖3 worden gevonden. Deze worden niet in het onderhavige model opgelost, maar zullen wel worden bestudeerd in het kader van WL-project 15_039 ”Uitbreiding geïdealiseerd procesmodel ondiep water” om het effect van ondiepere gebieden nauwkeuriger mee te kunnen nemen.

2.2

Gebruikte gebiedsgegevens

2.2.1

Geometrie

Het model is toegepast op het gehele Scheldebekken van Vlissingen tot Gentbrugge, het betre hier een gebied met een lengte van 160 km. De gebruikte topo-bathymetrische data zijn a oms g van het 2DH-model dat door Coen e.a., (2016) is beschreven. Het betre hier de meeste recente bodemgegevens die geheel gebiedsdekkend zijn. Op basis hiervan is de breedtevaria e 𝐵(𝑥) op het niveau van gemiddeld hal ij bepaald alsmede de bijbehorende breedtegemiddelde bodemligging 𝐻(𝑥). Deze vertonen echter nog een zeer grillig langsverloop die niet in een geïdealiseerd model kan worden meegenomen (Chernetsky e.a., 2010). Er wordt daarom gebruikt gemaakt van gladdere fits. Voor de breedtefit 𝑝𝐵 (𝑥) is gekozen voor een exponent van een ra onele func e 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑝𝐵 (𝑥) = exp ( ), (5) 𝑘3 𝑥2 + 𝑘4 𝑥 + 𝑘5 waarbij 𝑝𝐵 (𝑥) is uitgedrukt in km en 𝑥 in m. De func onele vorm (5) is gekozen om algemenere breedtevariaes toe te laten dan het vaak gebruikte louter exponen ële verloop. Deze is voor de Schelde namelijk minder accuraat aangezien de exponentële convergen elengte voor het Scheldebekken niet constant is (Kuijper en Van Rijn, 2011). Voor de fit van de bodemdiepte 𝑝𝐻 (𝑥) is een vijfde orde polynoom is gebruikt: 𝑝𝐻 (𝑥) = 𝑑1 𝑥5 + 𝑑2 𝑥4 + 𝑑3 𝑥3 + 𝑑4 𝑥2 + 𝑑5 𝑥 + 𝑑6 .

4

WL2017R13_103_3

(6)

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Hierbij zijn 𝑝𝐻 (𝑥) en 𝑥 uitgedrukt in meter. In Fig. 2 zijn de gladde benaderingen 𝑝𝐵 (𝑥) en 𝑝𝐻 (𝑥) grafisch weergegeven.

Figuur 2 – Kanaalbreedte (boven) en breedtegemiddelde bodemligging (onder) als func e van posi e in het Schelde estuarium.

De blauwe punten zijn de langsvaria e van het model van Coen e.a., 2016, de rode lijnen de beste fits volgens Vgl. (5) resp. (6).

De waarden voor de parameters in Vgl. (5) en (6) voor de geometrie zoals weergegeven in Fig. 2 staan in Tabel 1 vermeld.

2.2.2

Waterstanden

Op de open zeerand wordt randvoorwaarde (1) opgelegd met 𝐴M2 = 1.77 m, 𝐴M4 = 0.14 m en 𝜑 = −1.3∘ de 𝑀2 -en 𝑀4 astronomische ge jcomponenten te Vlissingen. De amplitude en fase van deze componenten

Final version

WL2017R13_103_3

5

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Tabel 1 – Coëfficiënten behorende bij de beste fits voor Vgl. (5) en (6) zoals getoond in Fig. 2.

Parameter

Eenheid

Waarde

𝑘1

m−1

−2.742 × 10−5

𝑘2

−

1.8973

𝑘3

m

−2

4.9788 × 10−11

𝑘4

m−1

−9.213 × 10−6

𝑘5

−

1

−4

−2.9013 × 10−24

𝑑1

m

𝑑2

m−3

1.4030 × 10−18

𝑑3

m−2

−2.4218 × 10−13

𝑑4

m−1

1.7490 × 10−8

𝑑5

−

−5.2141 × 10−4

𝑑6

m

15.332

zijn in Tabel 2 zijn voor diverse loka es langs de Schelde weergegeven. Deze harmonische data zijn bepaald uit jdreeksen van het jaar 2009 (Maximova e.a., 2013) met behulp van het programma T_TIDE (Pawlowicz e.a., 2002). De gegevens in Tabel 2 zijn gebruikt voor de calibra e van het model.

De amplitude van de 𝑀2 -waterstand in het meest stroomopwaartse deel van het Scheldebekken (sta ons

Tabel 2 – Amplitude en fase van het M2 -en M4 ge j voor diverse waterstandssta ons in het Schelde estuarium.

Loca e

Afstand tot

M2 amplitude (m)

M2 fase (∘ )

M4 amplitude (m)

M4 fase (∘ )

Vlissingen (km) Vlissingen

0

1.77

0

0.14

-1.3

Terneuzen

18.5

1.98

10.4

0.12

12.3

Hansweert

33.8

2.03

20.5

0.11

39.4

Bath

49.8

2.18

31.1

0.11

58.7

Prosperpolder

54

2.19

33.1

0.12

62.2

Lie enshoek

61.1

2.26

35.6

0.12

65.1

Antwerpen

75.6

2.31

44.3

0.13

74.6

Temse

97.3

2.28

62.7

0.16

88.2

St. Amands

106.8

2.22

73.4

0.24

101.7

Dendermonde

119.8

1.69

93.3

0.25

128.7

Schoonaarde

130.6

1.31

116.4

0.24

164.3

We eren

142.7

1.09

143.4

0.21

212.6

Melle

148.8

1.02

157.4

0.22

242.9

De fasen zijn gemeten ten opzichte van hoogwater van het 𝑀2 -ge j te Vlissingen.

We eren en Melle) kent overigens een seizoensa ankelijke varia e van 5 à 10 cm vanwege de invloed van rivierafvoer (Schramkowski e.a., 2017).

6

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 2.2.3

Snelheden

Er is gebruik gemaakt van dezelfde snelheidsgegevens als Nnafie e.a., (2016). Dit betre me ngen die middels een gesleepte ADCP zijn verricht langsheen een el al raaien. De loca e en jds ppen van deze me ngen zijn in Tabel 3 opgelijst. Uit de gemeten drie-dimensionale snelheidsvelden zijn door middeling over een sec e de cross-sec oneel gemiddelde horizontale snelheidscomponenten bepaald. De component langsheen het bekken is tot slot berekend door deze snelheidsvector te projecteren langs de curve die de kilometrering van de Schelde weergee .

Van de aldus verkregen longitudinale snelheid zijn de harmonische componenten 𝑀0 (restsignaal), 𝑀2 en 𝑀4 bepaald door gebruik te maken van een kleinste kwadratenbenadering. Deze benadering en de vergelijking met de gemeten langssnelheden worden in Appendix A2 nader besproken.

Tabel 3 – Loca e en jds p van de gebruikte snelheidsme ngen in de Schelde.

Loca e

Afstand tot Vlissingen (km)

Start meetcampagne

Einde meetcampagne

Terneuzen

17

06-Jul-2011 05:38:19

06-Jul-2011 18:10:22

Gat van Ossenisse

28

09-Mei-2012 05:01:36

09-Mei-2012 17:47:13

Schaar van de Waarde

40

24-Apr-2013 05:39:17

24-Apr-2013 18:26:28

Zuidergat

40

25-Apr-2013 06:22:56

25-Apr-2013 19:09:42

Lie enshoek

63

25-Jun-2013 06:29:45

25-Jun-2013 19:16:03

Oosterweel

74

27-Jun-2013 06:26:47

27-Jun-2013 19:03:47

Kruibeke

85

30-Mei-2013 06:11:14

30-Mei-2013 19:06:25

Driegoten

102

12-Jun-2013 06:54:02

12-Jun-2013 19:14:04

Dendermonde

120

17-Apr-2014 07:50:51

17-Apr-2014 19:50:00

Schoonaarde

132

27-Mei-2013 08:18:12

27-Mei-2013 20:05:01

Schellebelle

140

15-Apr-2014 07:58:24

15-Apr-2014 19:10:29

2.2.4

Zoutverdeling en rivierafvoer

Er zijn ge jgemiddelde zoutverdelingen gebruikt die zijn gebaseerd op meetcampagnes uit februari en oktober 2009 (zie Schramkowski e.a., 2017). Deze situa es komen overeen met rivierafvoeren 𝑄 = 110 m3 s−1 respec evelijk 𝑄 = 15 m3 s−1 . De situa e uit februari 2009 is typisch voor wintercondi es, terwijl oktober 2009 representa ef is voor zomercondi es.

De me ngen in februari betroffen een me ng jdens snelheidskentering na hoogwater op 4 februari en een kentering na laagwater op 10 februari. Uitgaande van deze conduc viteitsme ngen is het zoutgehalte bepaald met behulp van de UNESCO-formulering (Fofonoff en Millard, 1983), waarbij een watertemperatuur van 7∘ C is aangenomen op basis van de gegevens die in Fe weis e.a., (1997) staan vermeld. Vervolgens is de ge jgemiddelde saliniteit per sta on verkregen door de me ngen van 4 en 10 februari te middelen.

Voor de me ngen van oktober geldt analoog dat er op 5 oktober conduc viteit is bepaald jdens een snelheidskentering na laagwater en op 13 oktober jdens een kentering na hoogwater. De saliniteit is op dezelfde wijze bepaald als voor de gegevens uit februari, waarbij nu een watertemperatuur van 19∘ C is aangenomen (Fe weis e.a., 1997).

De gemeten ge jgemiddelde zoutverdeling 𝑠(𝑥) wordt in het model voorgeschreven middels een fit die ook in de literatuur wordt gebruikt (zie Warner e.a., 2005; Talke e.a., 2009), te weten 𝑠(𝑥) =

Final version

𝑠̂ 𝑥 − 𝑥𝑐 [1 − tanh ( )] .

2 𝑥𝐿 WL2017R13_103_3

(7)

7

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout De parameters 𝑠,̂ 𝑥𝑐 en 𝑥𝐿 zijn voor winter -en zomercondi es afzonderlijk bepaald, zie Tabel 4. De betekenis van deze grootheden is als volgt: 𝑠 ̂ is de zoutconcentra e op open zee, 𝑥𝑐 is de loca e van de maxmimale zoutgradiënt terwijl 𝑥𝐿 een maat is voor de afme ng van het overgangsgebied tussen zoet rivierwater en zout zeewater. Gebruik van fit (7) veronderstelt dat de waterkolom gedurende een ge jcyclus goed is doorgemengd, dat wil zeggen dat ver kale varia es in de zoutverdeling klein zijn ten opzichte van de dieptegemiddelde waarde.

Tabel 4 – Parameterwaarden behorende bij voorschri (7).

Parameter

Wintercondi es

Zomercondi es

𝑠 ̂ (psu)

28.9131

30.3296

𝑥𝑐 (km)

48.2068

60.4140

𝑥𝐿 (km)

24.5097

27.1020

De gemeten zoutwaarden en het bijbehorende verloop volgens Vgl. (7) zijn in Fig. 3 voor zowel zomer -als wintercondi es weergegeven.

Figuur 3 – Longitudinale verdeling van de breedte -en ge jgemiddelde zoutverdeling in het Scheldebekken.

De punten geven de gemeten waarden weer voor zomer (blauw) en winter (rood). De blauwe en rode lijnen zijn de bijbehorende beste fits volgens Vgl. (7) op basis van Tabel 4. Het gebied met nega eve 𝑥-waarden is geen onderdeel van het modeldomein.

2.3

Modelcalibra e

Het model is gecalibreerd door op male waarden voor de turbulen eparameters 𝐴𝑣0 en 𝑠𝑓0 te bepalen zodanig dat de waargenomen 𝑀2 en 𝑀4 -waterstanden zo goed mogelijk worden beschreven. Hierbij is de dieptevaria e in Vgl. (2) en (3) niet meegenomen (𝑚 en 𝑛 zijn dus beiden nul gesteld) aangezien dit geen meerwaarde bleek te geven bij de afregeling.

Daarnaast is eerder vastgesteld (Schramkowski e.a., 2017) dat het 𝑀4 -ge j door het model waarschijnlijk overschat wordt vanwege de gebruikte bodemrandvoorwaarde (4). Deze overscha ng komt door de aanname dat

8

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 𝑠𝑓 voor alle ge jcomponenten gelijk is. Echter, zoals in Hoofdstuk 5 wordt besproken is de bodemruwheid zoals geformuleerd in Vgl. (4) het gevolg van een linearisa eprocedure en derhalve a ankelijk van de beschouwde ge jcomponent (Ianniello, 1977). Om deze reden is de bodemruwheid voor M0 en 𝑀4 tweemaal groter genomen dan voor 𝑀2 , dus 𝑠𝑓0,M = 𝑠𝑓0,M = 2𝑠𝑓0,M .

0

4

2

Het blijkt dat de meest op male waarden voor de turbulen eparameters 𝐴𝑣0 = 0.061 m2 s−1 en 𝑠𝑓0,M = 2

0.003 m s−1 zijn. De bijbehorende verdelingen van amplitude en fase langsheen het Scheldebekken zijn in Fig. 4 weergegeven.

Figuur 4 – Amplitude (links) en fase (rechts) van het gecalibreerde M2 (boven) -en M4 -ge j (onder).

Rode punten geven me ngen weer en blauwe lijnen corresponderen met modelresultaten.

De door het model berekende fase van het ver kale 𝑀2 -en 𝑀4 -ge j komt kwan ta ef goed overeen met de me ngen. Voor de amplitude van het 𝑀2 -ge j geldt het kwalita eve verloop langs het bekken (eerst ver-

Final version

WL2017R13_103_3

9

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout sterking, meer stroomopwaarts sterke demping) goed wordt gereproduceerd. De gemodelleerde piek in 𝑀2 amplitude is wat landwaarts verschoven ten opzichte van de me ngen. Tot slot is de 𝑀4 -amplitude van het gecalibreerde model van dezelfde groo e-orde als de me ngen, hoewel er in de Westerschelde en Beneden Zeeschelde nog steeds sprake is van een aanmerkelijke overscha ng door het model. Tot slot wijken zowel de 𝑀2 -als 𝑀4 -amplitude ter hoogte van de landwaartse rand (stuw) behoorlijk af van de waarnemingen.

2.4

Resultaten

2.4.1

Asymmetrie van het ver kale ge j

Het verloop van de waterstand is in het algemeen asymmetrisch, dat wil zeggen dat bijvoorbeeld de jdsduur van s jging 𝑡fall (van hoog -naar laagwater) en daling 𝑡rise (van laag -naar hoogwater) ongelijk zijn. Deze soort ge j-asymmetrie kan worden gekwan ficeerd door de parameter 𝛿asym welke is gedefinieerd als 𝛿asym =

𝑡fall . 𝑡rise

(8)

Voor 𝛿asym > 1 duurt s jging korter dan daling, terwijl bij 𝛿asym < 1 de daling korter duurt (Friedrichs, 2010).

Het verloop van de 𝑀2 -en 𝑀4 -waterstandscomponenten langsheen het Schelde estuarium kan worden weergegeven als 𝜁(𝑥, 𝑡) = 𝐴M2 (𝑥) cos(𝜎𝑡 − 𝜑M2 (𝑥)) + 𝐴M4 cos(2𝜎𝑡 − 𝜑M4 (𝑥)) , en het faseverschil Δ𝜑 tussen beide ge jcomponenten is gegeven door Δ𝜑 = 𝜑M4 −2𝜑M2 . Voor het onderhavige model (waarin het 𝑀4 -ge j rela ef zwak is ten opzichte van 𝑀2 ) kan 𝛿asym aan Δ𝜑 worden gerelateerd via 8 𝐴M4 (𝑥) sin(Δ𝜑) . 𝛿asym = 1 − 𝜋 𝐴M2 (𝑥) In Fig. 5 is het faseverschil tussen 𝑀2 -en 𝑀4 -ge j langs het Scheldebekken weergegeven. Hoewel er tussen modelresultaat en me ngen afwijkingen tot ca 20∘ optreden, is het faseverschil als zodanig tussen −80 en nul graden. Dit betekent dat 𝛿asym > 1 zodat de s jging van het ge j korter duurt dan de daling. Dit resultaat komt kwalita ef goed overeen met de analyse van gemeten hoog -en laagwaters die ook een ge j impliceren waarbij s jging korter duurt dan daling (Vandenbruwaene e.a., 2016a). Het geïdealiseerde model gee dus een redelijk goede beschrijving van de asymmetrie van het ver kale ge j.

Figuur 5 – Faseverschil tussen het ver kale 𝑀2 -en 𝑀4 -ge j als func e van de loca e langs het Schelde estuarium.

Rode punten geven me ngen weer, de blauwe lijn het modelresultaat.

10

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 2.4.2

Ge jstroming

Amplitudes van de stromingscomponenten In de bovenste twee panelen van Fig. 6 is een vergelijking weergegeven tussen de waargenomen amplitudes van de horizontale 𝑀2 -en 𝑀4 -stroming (zie Appendix A2) enerzijds en de modelresultaten anderzijds. Hoewel de amplitudes qua orde van groo e goed overeenkomen is er geen nauwkeurige trendma ge overeenkomst te zien. De 𝑀4 -snelheid in het achterste deel van het bekken wordt door het model overschat.

Figuur 6 – Vergelijking tussen berekende en waargenomen ge jstroming.

Boven: amplitude van de dieptegemiddelde M2 -snelheid (links) en de dieptegemiddelde M4 -snelheid (rechts) langsheen het Scheldebekken. De onderste paneel gee de langsvaria e van het faseverschil ∆𝜙 tussen de M2 -en M4 stromingscomponent. Rode bollen verwijzen naar waarnemingen terwijl blauwe lijnen modelresultaten zijn.

Asymmetrie van het horizontale ge j Net als bij het ver kale ge j (waterstanden) kan de dieptegemiddelde ge jsnelheid 𝑢 langs het bekken worden benaderd door 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢M2 (𝑥) cos(𝜎𝑡 − 𝜙M2 (𝑥)) + 𝑢M4 (𝑥) cos(2𝜎𝑡 − 𝜙M4 (𝑥)) .

(9)

Deze stroming is doorgaans asymmetrisch, dat wil zeggen dat de typische eb -en vloedsnelheid in het algemeen verschillend zullen zijn. Dit hee implica es voor met name ne o sedimen ransport, en daarmee ook voor

Final version

WL2017R13_103_3

11

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout zaken als globale slibbalans en de dynamica van estuariene troebelheidsmaxima. Ook bij de omslaghypothese die voor het ontstaan van hypertroebelheid is voorgesteld speelt asymmetrie van ge jsnelheid een belangrijke rol (Winterwerp en Wang, 2013).

Het effect van horizontale ge j-assymetrie op sedimen ransport kan worden geïllustreerd door aan te nemen dat de instantane sedimen lux 𝑞sed op cubische wijze a angt van de dieptegemiddelde snelheid volgens 𝑞sed = 𝑝𝑢3 . De ne o (dus ge j-gemiddelde) sedimen lux ⟨𝑞sed ⟩ is dan met snelheidsveld (9) gegeven door de uitdrukking 3 ⟨𝑞sed ⟩ = 𝑝𝑢2M2 𝑢M4 cos(Δ𝜙) , (10) 4 waarbij Δ𝜙 = 𝜙M4 − 2𝜙M2 het faseverschil is tussen de horizontale 𝑀2 -en 𝑀4 -ge jsnelheid. Als ⟨𝑞sed ⟩ posi ef is, dan is de ne o flux landwaarts gericht en spreekt men van vloeddomina e. Dit treedt op als Δ𝜙 tussen −90∘ en 90∘ ligt. Voor nega eve waarden van ⟨𝑞sed ⟩ is de ne o sedimen lux zeewaarts gericht en is er sprake van ebdomina e. Alleen voor Δ = ±90∘ is er een symmetrisch horizontaal ge j zonder ne o sedimen lux.

Het onderste paneel van Fig. 6 laat een vergelijking zien tussen het berekende verloop van Δ𝜙 langs het estuarium en de waarden bepaald uit de snelheidsme ngen (zie Appendix A2). De overeenkomst is redelijk goed voor de Westerschelde (𝑥 < 60𝑘𝑚), waar het ge j redelijk symmetrisch is (Δ𝜙 ≈ 90∘ ). Meer landwaarts gee het model aan dat er sprake is van vloeddomina e terwijl de me ngen hier een grote spreiding laten zien.

De modelresultaten komen voor wat betre het kwalita eve verloop van de ge j-asymmetrie (vloeddomina e in de Zeeschelde) goed overeen met de resultaten van Winterwerp e.a., (2015) die gebaseerd zijn op numerieke berekeningen met Del 3D. Dominante bijdragen aan de 𝑀4 -snelheid In Fig. 7 is het longitudinale en ver kale verloop van de amplitude en fase van de 𝑀4 -snelheid weergegeven en zijn ook de individuele bijdrage van verschillende mechanismen aangegeven. Hieruit blijkt dat er een 𝑀4 snelheidsmaximum in de Westerschelde is. De 𝑀4 -snelheid wordt hier vooral bepaald door het externe ge j te Vlissingen. In de Boven Zeeschelde treedt een tweede lokale maximum van de 𝑀4 snelheid op. Dit maximum wordt grotendeels veroorzaakt door de Stokes-stroming (correla e tussen 𝑀2 -waterstand en 𝑀2 -snelheid) en door de schuifspanning aan het wateroppervlak.

2.4.3

Reststroming

Stroomcomponenten Het geïdealiseerde model kan ook de residuele (of rest) stroming uitrekenen, dit is het jdsona ankelijke deel van de waterbeweging. De reststroming kent diverse componenten, waarvan we er hier drie zullen bespreken.

De eerste is de reststroming ten gevolge van de rivierafvoer. Dit is de totale stroming als er geen ge j of zoutverdeling is. De tweede bijdrage is de gravita onele circula e, welke het gevolg is van de varia e van het zoutgehalte langsheen het ge jbekken. Deze stroming is landwaarts gericht nabij de bodem en zeewaarts nabij het wateroppervlak, terwijl de ver kaal gemiddelde circula esnelheid nul is. De gravita onele circula e transporteert dus ne o geen water.

De derde bijdrage is de Stokes terugkeer-stroming. Deze treedt op als de ge jgolf deels een lopend karakter hee . Er wordt dan jdens hoogwater meer water landwaarts getransporteerd dan jdens laagwater zeewaarts. Het gevolg is een ne o landwaarts transport van water dat aanleiding zou geven tot een voortdurende accumula e van water nabij de stuw. Dit treedt niet op omdat er een zeewaarts gerichte reststroming wordt opgezet die het landwaartse transport balanceert. Deze zeewaartse stroming wordt de Stokes terugkeerstroming genoemd.

Wintercondi es In Fig. 8 is de totale reststroming als func e van diepte en afstand langs de Schelde weergegeven voor de in Sect. 2.2.4 besproken wintercondi es. Ook zijn hierbij vijf individuele bijdragen aange-

12

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Figuur 7 – Amplitude (linksboven) en fase (rechtsboven) van de 𝑀4 -snelheid als func e van posi e in het Scheldebekken.

De andere vier panelen geven de individuele bijdragen aan de 𝑀4 -snelheid weer als gevolg van het externe 𝑀4 -ge j (midden links), de versnellingstermen (midden rechts), de Stokesstroming (linksonder) en schuifspanning aan het wateroppervlak (rechtsonder).

geven. Het blijkt dat in dit geval de totale reststroming wordt gedomineerd door de rivierbijdrage (maximale stroomsnelheid ∼ −0.9 m s−1 ). De bijdrage die vervolgens belangrijk is (Stokes terugkeerstroming) kent een maximale sterkte van slechts −0.15 m s−1 .

Zomercondi es Fig. 9.

De bijdragen aan de reststroming bij zomercondi es (zie Sect. 2.2.4) zijn weergegeven in

De totale reststroming is nu aanzienlijk lager (maximaal ca. ∼ −0.19 m s−1 ), hetgeen een directe weergave is van de rivierafvoer die ongeveer een orde van groo e lager is (maximum snelheid ∼ −0.12 m s−1 ). De dominante bijdrage aan de totale stroming is nu de Stokes terugkeerstroming, die ongeveer een factor twee sterker is dan de rivierstroom (zie Fig. 8).

Gravita onele circula e De gravita onele circula e gee zowel jdens winter -als zomercondi es een zeer geringe bijdrage aan de residuele stroming: maximale stroomsnelheden zijn in beide gevallen hooguit 2.5 mm s−1 .

Enkel de loka e van de maximale circula esnelheid verandert: bij hoge afvoer is zij meer zeewaarts als bij lage

Final version

WL2017R13_103_3

13

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Figuur 8 – Berekende restcomponent van de langsgerichte stroming 𝑢 als func e van loca es 𝑥 en hoogte 𝑧 in de Schelde, gebaseerd op wintercondi es.

Het paneel linksboven gee de totale reststroming. De panelen rechts zijn (van boven naar beneden) de rivierbijdrage, Stokes terugkeerstroming en gravita onele circula e.

afvoer. Dit is in overeenstemming met het feit dat de circula esnelheid schaalt als d𝑠(𝑥)/d𝑥, en de loca e van deze maximale zoutgradiënt is meer zeewaarts bij hogere debieten (zie Sect. 2.2.4).

14

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Figuur 9 – Berekende reststroming als func e van loca es 𝑥 en hoogte 𝑧 voor zomercondi es.

Van boven naar beneden zijn achtereenvolgens de totale reststroming, de rivierbijdrage en gravita onele circula e getoond.

2.5

Kwaliteit van harmonische analyse van de snelheidsdata

De resultaten in Sect. 2.4 laten zien dat er grote verschillen kunnen optreden tussen de 𝑀2 -en 𝑀4 -ge jcomponenten van de snelheid zoals bepaald uit waarnemingen enerzijds en model anderzijds. Waar de modelresultaten een duidelijke trend laten zien, zowel in amplitude als qua asymmetrie (zie Fig. 6), vertonen de me ngen een grote spreiding. In de Zeeschelde is op basis van de gebruikte me ngen niet te zeggen of er sprake is van eb -danwel vloeddomina e. Deze spreiding is wellicht het gevolg van een gebruik van te korte jdseries. Meer specifiek lijkt een jdserie van 13 uur bij lange na niet voldoende voor een nauwkeurige harmonische analyse. Deze uitspraak kan worden gerechtvaardigd door te kijken naar harmonische analyse van waterstanden. Hiervoor is gebruik gemaakt van een jdserie van gemeten waterstanden voor Vlissingen gedurende de eerste 120 dagen van 2001. Deze meetreeks is gegeven met een interval van 10 minuten. In Fig. 10 zijn de resultaten weergegeven voor de 𝑀2 -amplitude zoals berekend met de kleinste kwadratenprogramma T_TIDE van Pawlowicz e.a., (2002). Dit programma gee ook een scha ng van de fout waarmee een ge jcomponent is bepaald. Uit de linkerpaneel van Fig. 10 kan worden afgeleid dat deze fout voor meetseries korter dan ca. der g dagen vrij groot is (tot ca. 40 cm) om daarna plots af te nemen tot ongeveer 5 cm. Deze fout verandert vervolgens niet meer. In de rechterplaat van Fig. 10 is te zien dat de 𝑀2 -ge jamplitude zelf ook pas

Final version

WL2017R13_103_3

15

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout bij jdseries met een lengte van tenminste 30 dagen convergeert naar een min of meer constante waarde.

Deze analyse impliceert dat de harmonische componenten van het ver kale ge j pas nauwkeurig bepaald kunnen worden bij een voldoend lange jdserie van tenminste een maand. Omdat de methode voor harmonische analyse van de snelheid dezelfde is als voor waterstand roept dit de vraag op of bij jdseries van ca 13 uur wel nauwkeurig ge jcomponenten van de snelheid bepaald kunnen worden. Dit zou betekenen dat de grote spreiding in de waargenomen horizontale ge j-asymmetrie en het grillige verloop van de amplitudes van 𝑀2 -en 𝑀4 -snelheden (Fig. 6) veroorzaakt worden door een intrinsiek grote fout in de harmonische analyse.

De oplossing ligt klaarblijkelijk in het gebruik van langere jdseries. Deze gegevens zijn beschikbaar, maar zijn doorgaans puntme ngen (en dus niet direkt vertaalbaar in cross-sec oneel gemiddelde snelheden). Bovendien zijn dergelijke me ngen ruimtelijk schaarser dan der enuurs me ngen. Deze op e zal nader worden bekeken in het kader van het nu te ontwikkelen sedimen ransportmodel.

Figuur 10 – Kwaliteit van de 𝑀2 -waterstand te Vlissingen.

Links: fout in de berekende 𝑀2 -ge jamplitude van waterstand (m) als func e van de lengte van de jdserie die is gebruikt voor harmonische analyse (in dagen).

Rechts: verloop van de amplitude van het ver kale 𝑀2 -ge j versus gebruikte lengte van de jdserie.

16

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

2.6

Toekoms ge ontwikkelingen van het basismodel

Hieronder zal kort worden ingegaan op ontwikkelingen van het basismodel die de komende jd zullen worden geïmplementeerd, en de mogelijke effecten daarvan op de modelresultaten.

2.6.1

Accuratere beschrijving van de bodemruwheid

Zoals in Sect. 2.3 aangegeven moet de bodemruwheid 𝑠𝑓 voor de 𝑀2 -stroming enerzijds en de 𝑀0 -en 𝑀4 waterbeweging anderzijds verschillend worden gekozen. Voor het onderhavige model (waarbij de 𝑀0 -en 𝑀4 ge jsnelheid klein zijn ten opzichte van de 𝑀2 -stroming) is dit in Hoofdstuk 5 nader uitgewerkt. Echter, om een lineaire rela e tussen bodemschuifspanning en bodemsnelheid (Vgl. 4) te rechtvaardigen dient 𝑠𝑓 ook van de amplitude van de lokale 𝑀2 -bodemsnelheid af te hangen (Zimmerman, 1982). Om het stromingsprobleem op te lossen dient dan een itera ef oplossingsschema te worden gebruikt waarbij een beschrijving in termen van lineaire differen aalvergelijkingen niet langer mogelijk is. Een dergelijke itera eve aanpak zal worden ontwikkeld binnen WL-project 15_039 dat een uitbreiding van het hydrodynamische model beoogt.

Door een accuratere beschrijving van de bodemruwheid kan de calibra e van het model mogelijk verbeterd worden.

2.6.2

Nauwkeuriger beschrijving voor ondiepere delen.

Kombergingsbreedte Een eenvoudige manier om droogval mee te nemen is door naast een stroomvoerende breedte ook een kombergingsbreedte in te voeren. Dit leidt tot modifica e van de massabehoudsvergelijking (Winterwerp en Wang, 2013). Dit zal met name van belang zijn voor de voortplan ngssnelheid van het ge j, en daarmee de fasering van de verschillende ge jcomponenten.

Nauwkeuriger benadering van de oplossing In Sect. 2.1.4 is aangegeven dat de oplossing voor de waterbeweging wordt verkregen door een successieve benadering van een feitelijk oneindige reeks. Het idee is dat doorgaans enkel de eerste twee termen van deze reeks van belang zijn aangezien de verhouding 𝜖 van ge j-amplitude over bodemdiepte klein is. In ondiepe delen geldt deze aanname echter niet meer: weliswaar zal daar gelden dat 𝜖 < 1, maar 𝜖 is niet langer klein.

Er dienen dan meer bijdragen aan de reeksontwikkeling voor waterstand en snelheid te worden berekend. Dit kan met name een rol spelen bij de beschrijving van de ge jbeweging in de landwaartse, ondiepe delen van het Scheldebekken. Deze aanpak zal nader worden uitgewerkt in bovengenoemd WL-project 15_039.

2.6.3

Turbulen emodel

in het model wordt tot dusverre gebruik gemaakt van een ”par al slip” turbulen emodel dat gekenmerkt wordt door een constante ver kale viscositeit 𝐴v . In de toekomst zal het model worden uitgebreid met een viscositeitsprofiel dat parabolisch a angt van de hoogte. Dit is realis scher en komt ook meer overeen met de menging zoals die uit complexe numerieke modellen volgt. Dit betekent dat er een betere vergelijking mogelijk zal worden tussen het geïdealiseerde model enerzijds en complexe modellen anderzijds.

Final version

WL2017R13_103_3

17

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 2.6.4

Ge j-asymmetrie door jdsa ankelijke ver kale menging

In een ge jstroming kan door advec e van isohalinen een jdsa ankelijke ver kale stra fica e optreden, welke ertoe leidt dat de ver kale menging van sediment en snelheid jdens eb en vloed verschillend is (Simpson e.a., 1990). Dit mechanisme van Strain Induced Periodic Stra fica on (SIPS) is een addi onele bron van horizontale en ver kale ge j-asymmetrie die niet in het onderhavige model is meegenomen. Omdat ge jasymmetrie door het SIPS-mechanisme van belang wordt geacht voor het ontstaan van hypertroebelheid zal dit effect ook in het sedimen ransportmodel worden meegenomen.

2.7

Conclusies

Op basis van de modelresultaten kunnen de volgende conclusies worden getrokken: 1. Het model gee een redelijk goede kwan ta eve beschrijving van de fase van het ver kale 𝑀2 -en 𝑀4 ge j.

2. Het model gee een goede kwalita ve beschrijving van de amplitude van het ver kale 𝑀2 -ge j.

3. De amplitude van de 𝑀4 -waterstand is van dezelfde groo e-orde als de gemeten waarden.

4. De amplitudes voor het horizontale 𝑀2 -en 𝑀4 -ge j (snelheid) komen qua orde van groo e goed overeen met de gemeten ge jcomponenten maar er is geen duidelijke trendma ge overeenkomst. De sterkte van het 𝑀4 -ge j in het achterste deel van het bekken wordt door het model overschat.

5. De horizontale ge j-asymmetrie zoals berekend door het model komt voor de Westerschelde goed overeen met me ngen. In de Zeeschelde voorspelt het model horizontale vloeddominan e, maar me ngen laten hier een grote spreiding zien die zowel eb -als vloeddominan e kan impliceren.

6. Het 𝑀4 -snelheidsveld in de Westerschelde wordt overwegend bepaald door het externe 𝑀4 -ge j te Vlissingen. De 𝑀4 -stroming in de Boven Zeeschelde is daarentegen het gevolg van de Stokesstroming en de bodemschuifspanning aan het wateroppervlak.

7. Voor wintercondi es (hoog debiet) wordt de reststroming gedomineerd door de bijdrage van de rivierafvoer.

8. Voor zomercondi es (laag debiet) gee de Stokes terugkeerstroming de voornaamste bijdrage aan de reststroming, deze is ongeveer tweemaal zo groot als de rivierstroming.

9. Gravita onele circula e gee geen belangrijke bijdrage aan de res roming.

18

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

3 Hydrodynamic model This chapter describes the hydrodynamic model that is part of the idealized sediment transport model that will be developed within WL project 13_103 on hyperturbidity in dal estuaries. The model is based on an earlier model developed by Schu elaars and De Swart, (2000) and Chernetsky et al., (2010) and is expanded where appropriate. First, the formula on is introduced and subsequently the solu on method and corresponding solu ons for the water level and horizontal and ver cal flow veloci es are given.

3.1

Model formula on

The hydrodynamic two-dimensional, width-averaged (2DV) model calculates eleva on 𝜁(𝑥, 𝑡), horizontal flow velocity 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) and ver cal flow velocity 𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) in a straight channel of length 𝐿 with varying longitudinal bed profile 𝐻(𝑥) and channel width 𝐵(𝑥) (see Fig. 11). The bo om profile 𝐻(𝑥) and channel width 𝐵(𝑥) are allowed to vary gradually over the 𝑥-direc on, i.e. with length scales corresponding to the length of the dal wave. The sidewalls of the channel are assumed to be ver cal and dal flats are not present. The seaward boundary of the estuary is located at 𝑥 = 0 and the landward boundary is located at 𝑥 = 𝐿, where the channel is constrained by a weir with a constant discharge 𝑄. There are no tributaries considered in the model.

Figure 11 – Geometry of the dal basin as adopted by the idealized model: (a) side view, (b): top view.

Top view

Side view z x

z = ζ(x)

weir B(x)

H0

x

u

weir

z = −H(x)

It is assumed that the water mo on in the estuary is dominated by dal forcing, with effects of river discharge being rela vely small. Moreover, the effect of wind stress and wind waves on the water mo on is neglected.

Under the above men oned assump ons, momentum and mass balance is expressed by the width-averaged shallow water equa ons:

Final version

WL2017R13_103_3

19

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

𝜁

𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑤𝑢𝑧 = −𝑔𝜁𝑥 − 𝑔 ∫ 𝑧

𝜌𝑥 𝑑𝑧 + (𝐴𝑣 𝑢𝑧 )𝑧 , 𝜌0

𝐵 𝑢𝑥 + 𝑤𝑧 + 𝑥 𝑢 = 0. 𝐵

(11) (12)

In these equa ons, 𝑡 is me, 𝑔 is gravita onal accelera on, 𝜌 is density, 𝜌0 is a constant reference density and 𝐴𝑣 is ver cal eddy viscosity coefficient. The subscripts (.)𝑥 , (.)𝑧 and (.)𝑡 denote the deriva ve of a variable in the respec ve dimension. In Eq. (11), the le -hand side contains iner a (first term) and advec on (second and third term). The exer ng forces are found on the right-hand side, represen ng barotropic pressure gradient force, baroclinic pressure gradient force and internal fric onal force, respec vely.

Eqs. (11) and (12) are subject to several boundary condi on. At the free surface 𝑧 = 𝜁, the boundary condi ons are the no stress condi on and the kinema c boundary condi on

𝐴𝑣 𝑢𝑧 = 0,

(no stress)

(13)

𝑤 = 𝜁𝑡 + 𝑢𝜁𝑥 .

(kinema c)

(14)

At the bo om 𝑧 = −𝐻, we assume the bed to be impermeable and prescribe a par al slip condi on (Schramkowski and Swart, 2002)

𝑤 = −𝑢𝐻𝑥 ,

(impermeable bed)

(15)

𝐴𝑣 𝑢𝑧 = 𝑠𝑓 𝑢.

(par al slip)

(16)

Note that the par al slip condi on is evaluated at the top of the constant stress layer instead of at the true bed.

Here, the parameter 𝑠𝑓 is the so-called stress parameter that can s ll depend on the longitudinal coordinate.

Following Friedrichs and Hamrick, (1996) and Schramkowski and Swart, (2002), this dependency is taken to be linear in the local water depth 𝑛

𝑠𝑓 = 𝑠𝑓0 (

𝐻(𝑥) ) , 𝐻0

(17)

where 𝑠𝑓0 is constant and 𝑛 a factor that generally varies between 1 and 3/2, and 𝐻0 is the water depth at the entrance of the estuary. Note that the bo om boundary condi on is a linear rela on between bed shear stress and velocity, which is a result of a Lorentz lineariza on procedure (Zimmerman, 1982).

The water mo on is forced by a prescribed dal eleva on on the seaside of the estuary at 𝑥 = 0 that consists of a semi-diurnal (M2 ) and a M4 cons tuent 𝜁 = 𝐴M2 cos(𝜎𝑡) + 𝐴M4 cos(2𝜎𝑡 − 𝜑),

(18)

where 𝐴M2 and 𝐴M4 are the amplitudes of the M2 and M4 dal cons tuents, respec vely, 𝜑 = 𝜑M4 − 2𝜑M2 the phase difference between the M2 and M4 dal cons tuents and 𝜎 the dal frequency.

20

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout At the riverine side 𝑥 = 𝐿, a constant river discharge 𝑄 is prescribed and the dal discharge is required to vanish, so 𝜁

𝐵(𝑥) ∫ 𝑢𝑑𝑧 = −𝑄.

(19)

−𝐻

The con nuity equa on (12) will also be used in depth-averaged form to derive the ordinary differen al equaon for the water level. Using Eqs. (12), (14) and (15), it is given by 𝜁

𝐵 𝑑 + 𝑥 ) ∫ 𝑢𝑑𝑧 = 0. 𝜁𝑡 + ( 𝑑𝑥 𝐵

(20)

−𝐻

The channel density 𝜌(𝑥, 𝑧, 𝑡) of the estuarine water varies in general due to the salinity 𝑠, suspended sediment concentra on 𝑐 and temperature 𝑇 . In this report, we neglect density gradients caused by suspended sediment and temperature and, thus, density only varies due to salinity. The equa on of state for the channel density is taken to be linear (Chernetsky et al., 2010), and is given by 𝜌 = 𝜌0 (1 + 𝛽𝑠 𝑠),

(21)

where 𝑠 is salinity in psu and 𝛽𝑠 ∼ 7.7 × 10−4 psu−1 a constant that converts salt to density. It is assumed that the salinity is ver cally well-mixed, which means that the ver cal varia ons of the salinity field are small compared to its depth- and me-averaged value. Hence, we can write 𝑠 ≃ ⟨𝑠(𝑥)⟩, where angular brackets ⟨.⟩ denote a dal average. In this report, the hydrodynamic model is diagnos c in salinity (hence density), where the expression for longitudinal salinity profile is given by (Talke et al., 2009; Warner et al., 2005) 𝑠(𝑥) =

𝑥 − 𝑥𝑐 𝑠̂ [1 − tanh ( )] , 2 𝑥𝐿

(22)

where 𝑠 ̂ is the salinity at sea in psu, 𝑥𝑐 is the loca on in the estuary in meters where the salinity gradient is largest and 𝑥𝐿 is the length scale in meters over which the salinity decays (a measure for the size of the salt wedge).

Under the above men oned assump ons, the baroclinic pressure gradient term in Eq. (11) can be rewri en as 𝜁

𝑔∫ 𝑧

𝜌𝑥 𝑑𝑧 ≃ 𝑔𝛽𝑠 ⟨𝑠𝑥 ⟩(𝜁 − 𝑧). 𝜌0

(23)

Following Friedrichs and Hamrick, 1996, the ver cal eddy viscosity coefficient 𝐴𝑣 is parameterized as 𝐴𝑣 (𝑥) = 𝐴𝑣0 (

𝐻(𝑥) ) 𝐻0

𝑚

,

(24)

where 𝐴𝑣0 is constant, 𝑚 is a factor that generally varies between 0 and 3/2. Hence, it is assumed that 𝐴𝑣 is independent of height 𝑧 and can be taken out of the parentheses in Eq. (11). Furthermore, asymmetry in mixing that is a result of me-dependent stra fica on (Cheng et al., 2010; Stacey et al., 2010, 2001) is neglected.

Final version

WL2017R13_103_3

21

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

3.2

Perturba on analysis and solu ons

To reveal the rela ve importance of the various mechanisms that control the water mo on in an estuary, the system of equa ons introduced in the previous sec on is approximated using a perturba on analysis to obtain (semi-)analy cal solu ons. In this sec on, a short outline is given of the procedure used to construct the reduced system of equa on and the corresponding solu ons. A detailed descrip on of the scaling and the method to solve the system is given in Appendix A1.

First, a scaling analysis is performed to assess the rela ve importance of the various terms in the model equaons. One of the dimensionless parameters that appears in the scaled equa ons is the ra o of the M2 dal amplitude 𝐴M2 and the undisturbed water depth 𝐻0 . This ra o, denoted by 𝜖, is much smaller than one, i.e. 𝜖 = 𝐴M2 /𝐻0 ≪ 1. The other dimensionless parameters are compared to this small parameter 𝜖.

Next, we approximate the solu on of the dimensionless equa ons and the boundary condi ons by expanding the physical variables in power series of the small parameter 𝜖. This expansion is subs tuted in the scaled equa ons and terms of each order of 𝜖 are collected. This results in a leading order, 𝒪(𝜖0 ), and a first order, 𝒪(𝜖1 ), system of equa ons.

3.2.1

Leading order system of equa ons and solu ons

At leading order, the dimensional system of equa ons describing the water mo on reads

𝐴𝑣 𝑢0𝑧𝑧 − 𝑢0𝑡 = 𝑔𝜁𝑥0 , 𝐵 𝑢0𝑥 + 𝑤𝑧0 + 𝑥 𝑢0 = 0, 𝐵

(25) (26)

0

𝑑 𝐵 𝜁𝑡0 + ( + 𝑥 ) ∫ 𝑢0 𝑑𝑧 = 0. 𝑑𝑥 𝐵

(27)

−𝐻

The superscript denotes the order of 𝜖. Note that in the momentum equa on (25) at leading order, the advecon terms 𝑢𝑢𝑥 and 𝑢𝑤𝑧 do not reappear. Addi onally, the assump on that the horizontal density gradient is small has the consequence that the baroclinic pressure is of order 𝜖 and is not present in Eq. (25).

The corresponding boundary condi ons read

𝜁 0 = 𝐴M2 cos(𝜎𝑡),

at 𝑥 = 0,

(28)

at 𝑥 = 𝐿,

(29)

at 𝑧 = 0,

(30)

at 𝑧 = 0,

(31)

= 𝑠𝑓 𝑢 ,

at 𝑧 = −𝐻,

(32)

𝑤 = −𝑢0 𝐻𝑥 ,

at 𝑧 = −𝐻.

(33)

0

∫ 𝑢0 𝑑𝑧 = 0, −𝐻 0

𝑤 = 𝜁𝑡0 , 𝐴𝑣 𝑢0𝑧 𝐴𝑣 𝑢0𝑧 0

= 0, 0

The solu on to Eqs. (25)-(33) describes the propaga on of a dal wave in a medium with effec vely a homo-

22

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout geneous density and a varying depth and width. They are solved by assuming solu ons of the form (𝑢0 , 𝑤0 , 𝜁 0 ) = ℜ {(𝑢̂0 (𝑥, 𝑧), 𝑤̂ 0 (𝑥, 𝑧), 𝜁 0̂ (𝑥, 𝑧)) 𝑒𝑖𝜎𝑡 } ,

(34)

where ℜ{.} denotes the real part of the expression between braces and 𝑖 is the imaginary unit. 𝑢̂0 (𝑥, 𝑧), 𝑤̂ 0 (𝑥, 𝑧) and 𝜁 0̂ (𝑥, 𝑧) are the complex amplitudes of the spa al variables. Next, the momentum equa on (25) is solved resul ng in an expression for 𝑢̂0 as a func on of the water level 𝜁 0̂ 𝑢̂0 =

𝑔𝜁𝑥0̂ (𝛼M2 cosh(𝑟M2 𝑧) − 1) , 𝑖𝜎

(35)

with

𝛼M2 (𝑥) =

𝑠𝑓 (𝐴𝑣 𝑟M2 sinh(𝑟M2 𝐻) + 𝑠𝑓 cosh(𝑟M2 𝐻))

𝑟M2 (𝑥) = √

,

𝑖𝜎 . 𝐴𝑣

(36)

(37)

Subsequently, subs tu ng Eq. (35) into the depth-averaged con nuity equa on (27) leads to a second order linear ODE for 𝜁 0̂ 0 ̂ + 𝑇2 𝜁𝑥0̂ − 𝑇3 𝜁 0̂ = 0, 𝑇1 𝜁𝑥𝑥

(38)

with

𝑇1 =

𝛼M2 𝑟M2

sinh(𝑟M2 𝐻) − 𝐻,

(39)

2 𝐻𝑥 𝑟M + (𝛼M2 𝑟M2 ,𝑥 − 𝛼M2 ,𝑥 𝑟M2 ) sinh(𝑟M2 𝐻) − 𝛼M2 𝑟M2 (𝐻𝑥 𝑟M2 + 𝐻𝑟M2 ,𝑥 ) cosh(𝑟M2 𝐻) 𝐵𝑥 2 𝑇1 − , 𝑇2 = 2 𝐵 𝑟M 2 (40)

𝑇3 =

𝜎2 . 𝑔

(41)

This equa on generally needs to be solved numerically because of the non-constant coefficients in the ODE. Finally, we find the solu on for 𝑤̂ 0 from the con nuity equa on (26) 0 ̂ − 𝑇 ′ 𝜁𝑥0̂ − 𝑇3 𝜁 0̂ , 𝑤̂ 0 = 𝑇1′ 𝜁𝑥𝑥 2

(42)

with

𝑇1′ = 𝑇2′ =

𝛼M2 𝑟M2

sinh(𝑟M2 𝑧) + 𝑧,

(43)

𝛼M2 𝑟M2,𝑥 𝐵𝑥 ′ 𝛼M2 ,𝑥 𝑟M2 − 𝛼M2 𝑟M2,𝑥 𝑇1 + sinh(𝑟 𝑧) + 𝑧 cosh(𝑟M2 𝑧).

M 2 2 𝐵 𝑟M2 𝑟M

(44)

2

(45)

Final version

WL2017R13_103_3

23

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout A special case in which an analy cal solu on for 𝜁 0̂ can be found is when 𝛼, 𝑟M2 , 𝐻 and 𝐵𝑥 /𝐵 are uniform in the 𝑥-direc on. Eq. (38) then reduces to 0 ̂ + 𝐵𝑥 𝑇1 𝜁𝑥0̂ − 𝑇3 𝜁 0̂ = 0, 𝑇1 𝜁𝑥𝑥 𝐵

(46)

and the solu on to this equa on is 𝜁 0̂ = [

Γ cosh(𝛽Γ(𝑥 − 1)) + sinh(𝛽Γ(𝑥 − 1)) −𝛽𝑥 ]𝑒 , Γ cosh(𝛽Γ) − sinh(𝛽Γ)

(47)

with

1 𝐵𝑥 , 2 𝐵 √ √1 + Γ=√ 𝛽=

⎷

(48) 𝜎2 𝛼 𝑔𝛽 2 ( 𝑟MM2 2

.

sinh(𝑟M2 𝐻) − 𝐻)

(49)

Subsequently, for this special case, the expressions for 𝑢̂0 , Eq. (35), and 𝑤̂ 0 , Eq. (42) can be rewri en using the expression for 𝜁 0̂ , Eq. (47).

3.2.2

First order system of equa ons and solu ons

At first order, 𝒪(𝜖1 ), the dimensional momentum and con nuity equa ons are given by

𝐴𝑣 𝑢1𝑧𝑧 − 𝑢1𝑡 = 𝑔𝜁𝑥1 + 𝜉 − 𝑔𝛽𝑠 ⟨𝑠𝑥 ⟩𝑧, 𝐵 1 𝑢1𝑥 + 𝑤𝑥 + 𝑥 𝑢1 = 0, 𝐵

(50) (51)

0

𝜁𝑡1

𝑑 𝐵 ⎜∫ 𝑢1 𝑑𝑧 + 𝛾 ⎞ ⎟ = 0, +( + 𝑥)⎛ 𝑑𝑥 𝐵 ⎝−𝐻 ⎠

(52)

where we have introduced the following simplifying nota ons

𝜉(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑢0 (𝑥, 𝑧, 𝑡)𝑢0𝑥 (𝑥, 𝑧, 𝑡) + 𝑤0 (𝑥, 𝑧, 𝑡)𝑢0𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑡), 𝛾(𝑥, 𝑡) = 𝜁 0 (𝑥, 𝑡)𝑢0 (𝑥, 𝑡)∣ 𝜒(𝑥, 𝑡) = 𝜁

0

,

𝑧=0 (𝑥, 𝑡)𝑢0𝑧𝑧 (𝑥, 𝑡)∣ 𝑧=0

(53) (54)

.

(55)

Here, 𝜉 represents advec on of momentum and 𝛾 is related to the dal return flow or Stokes return flow, which is the result of a posi ve correla on between the zeroth order ver cal and horizontal de. Finally, 𝜒 originates from the first order contribu on of the stress free boundary condi on.

The boundary condi ons for the system of equa ons at first order read

24

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

𝜁 1 = 𝐴M4 cos(2𝜎𝑡 − 𝜑),

at 𝑥 = 0,

(56)

at 𝑥 = 𝐿,

(57)

𝑤 + 𝑤𝑧0 𝜁 0 = 𝜁𝑡1 + 𝑢0 𝜁𝑥0 ,

at 𝑧 = 0,

(58)

𝐴𝑣 𝑢1𝑧 𝐴𝑣 𝑢1𝑧 1

at 𝑧 = 0,

(59)

= 𝑠𝑓 𝑢 ,

at 𝑧 = −𝐻,

(60)

𝑤 = −𝑢1 𝐻𝑥 ,

at 𝑧 = −𝐻.

(61)

0

∫ 𝑢1 𝑑𝑧 = −

𝑄 − 𝛾, 𝐵

−𝐻 1

= −𝐴𝑣 𝜒, 1

As is apparent from Eq. (50)-(61), the first order velocity and water level are forced externally by an M4 dal component and a constant river discharge and internally by the salinity gradient, the leading order advecon, and dal return flow (Stokes return flow). Since we assumed solu ons with a M2 dal frequency in Sec on 3.2.1, Eq. (34), the product of two forcing terms with that M2 frequency result in a residual (M0 ) and a M4 frequency (see Appendix A1.2.2). The general solu on is of the form Φ1 = Φ10 + Φ14 ,

(62)

where Φ = (𝜁, 𝑢, 𝑤) and the first and second superscript denote the order of 𝜖 and the dal component, respec vely. In Eq. (62), Φ10 denotes the dally averaged part and Φ14 is given by Φ14 = ℜ {Φ̂ 14 𝑒2𝑖𝜎𝑡 }

(63)

The equa ons and solu ons for both frequencies are given below.

Residual flow velocity (M0 ) The equa ons for the residual flow are obtained by taking the de-averaged component of the first order equa ons. Let ⟨.⟩ denote de-averaging, the momentum equa on with its boundary condi ons is then given by

10 ̂ ̂ 𝐴𝑣 𝑢̂10 ̂ ⟩𝑧, 𝑧𝑧 = 𝑔 𝜁𝑥 + ⟨𝜉⟩ − 𝑔𝛽𝑠 ⟨𝑠𝑥 10 𝜁 ̂ = 0, 0

∫ 𝑢̂10 𝑑𝑧 = −

𝑄 − ⟨𝛾⟩, ̂ 𝐵

(64) at 𝑥 = 0,

(65)

at 𝑥 = 𝐿,

(66)

at 𝑧 = 0,

(67)

at 𝑧 = −𝐻,

(68)

−𝐻

̂ 𝐴𝑣 𝑢̂10 𝑧 = −𝐴𝑣 ⟨𝜒⟩, 𝐴𝑣 𝑢̂10 𝑧

10

= 𝑠𝑓 𝑢̂ ,

where the first number in the superscript refers to the order and the second number to the frequency. Since the solu on to 𝑢̂10 is linear, it can be constructed by adding the contribu ons of the different forcing terms to the residual velocity, i.e., 𝑢̂10 = 𝑢salt + 𝑢adv + 𝑢no-stress + 𝑢river + 𝑢stokes .

Final version

WL2017R13_103_3

(69)

25

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout The expressions for the contribu on of each forcing term to the residual velocity are derived by taking into account only the terms in the momentum equa on and appropriate boundary condi ons for each contribuon. Here, only the resul ng expressions are given. For a detailed analysis, the reader is referred to Appendix A1.

Salinity field: The contribu on of the salinity field to the residual flow velocity is 𝑢salt = [

3 3 2 1 𝑧2 1 𝐻2 𝐻 ̂ − [ 1 𝑧 + 1 𝐻 + 𝐻 ] 𝑔𝛽𝑠 ⟨𝑠𝑥̂ ⟩, − − ] 𝑔𝜁𝑥salt 2 𝐴𝑣 2 𝐴𝑣 𝑠𝑓 6 𝐴𝑣 6 𝐴𝑣 2𝑠𝑓

(70)

with 𝛽𝑠 ⟨𝑠𝑥̂ ⟩ [ ̂ =− 𝜁𝑥salt

1 𝐻4 1 𝐻3 + ] 8 𝐴𝑣 2 𝑠𝑓

1 𝐻3 𝐻2 [ + ] 3 𝐴𝑣 𝑠𝑓

.

(71)

This contribu on is also referred to as gravita onal circula on.

Advec on of momentum: The contribu on of the advec on of momentum to the residual flow velocity is 0

𝑢

adv

1 𝑧2 1 𝐻2 𝐻 ̂ − 1 [𝑧 + 𝐻 + 𝐴𝑣 ] ∫ ⟨𝜉⟩𝑑𝑧 ̂ =[ − − ] 𝑔𝜁𝑥adv 2 𝐴𝑣 2 𝐴𝑣 𝑠𝑓 𝐴𝑣 𝑠𝑓 −𝐻 𝑧

𝑧

+

(72)

1 ⎡ ̂ ′ − ∫ ⟨𝜉⟩𝑧 ̂ ′ 𝑑𝑧 ′ ⎤ 𝑧 ∫ ⟨𝜉⟩𝑑𝑧 ⎥, 𝐴𝑣 ⎢ ⎣ −𝐻 ⎦ −𝐻

with 0

̂ 𝜁𝑥adv

𝑧

0

𝑧

𝐻 1 𝐻2 1 ′ ′ ′⎤ ̂ ̂ ̂ 𝑧 ∫ ⟨ 𝜉⟩𝑑𝑧 − ∫ ⟨ 𝜉⟩𝑧 ∫ ⎡ 𝑑𝑧 𝑑𝑧 − [ + ] ∫ ⟨𝜉⟩𝑑𝑧 ⎢ ⎥ 𝐴𝑣 2 𝐴𝑣 𝑠𝑓 ⎦ −𝐻 −𝐻 ⎣ −𝐻 −𝐻 = .

3 2 1𝐻 𝐻 𝑔[ + ] 3 𝐴𝑣 𝑠𝑓

(73)

Stress free boundary condi on: The contribu on of the stress free boundary condi on to the residual flow velocity is 𝑢no-stress = [

𝐴 1 𝑧2 1 𝐻2 𝐻 ̂ − [𝑧 + 𝐻 + 𝑣 ] ⟨𝜒⟩, − − ] 𝑔𝜁𝑥no-stress ̂ 2 𝐴𝑣 2 𝐴𝑣 𝑠𝑓 𝑠𝑓

(74)

with, ⟨𝜒⟩̂ [ 𝐻2 + 𝐴𝑠𝑣𝑓𝐻 ] 2

̂ 𝜁𝑥no-stress

=−

3 2 𝑔 [ 31 𝐻 +𝐻 𝑠𝑓 ] 𝐴

.

(75)

𝑣

26

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout River ou low: The contribu on of the river ou low to the residual flow velocity is 𝑢river = [

1 𝑧2 1 𝐻2 𝐻 ̂ , − − ] 𝑔𝜁𝑥river 2 𝐴𝑣 2 𝐴𝑣 𝑠𝑓

(76)

with, ̂ = 𝜁𝑥river

𝑄 .

1 𝐻3 𝐻2 𝑔𝐵 [ + ] 3 𝐴𝑣 𝑠𝑓

(77)

Stokes return flow: The contribu on of the Stokes return flow to the residual flow velocity is 𝑢stokes = [

1 𝑧2 1 𝐻2 𝐻 ̂ , − − ] 𝑔𝜁𝑥stokes 2 𝐴𝑣 2 𝐴𝑣 𝑠𝑓

(78)

with, ̂ 𝜁𝑥stokes =

⟨𝛾⟩̂ .

1 𝐻3 𝐻2 𝑔[ + ] 3 𝐴𝑣 𝑠𝑓

(79)

The residual (constant) water level associated with each contribu on can be obtained by numerically integrating the water level gradients with respect to 𝑥.

M4 flow velocity The equa ons for the M4 flow velocity are obtained by taking the M4 component of a signal, denoted by [.] (see Appendix A1 for further details). The momentum equa on with its boundary condi ons is then given by 14 ̂ + 2[𝜉],̂ 𝐴𝑣 𝑢̂14 = 𝑔𝜁𝑥14 𝑧𝑧 − 2𝑖𝜎 𝑢̂ ̂ = 𝐴𝑀 𝑒−𝑖𝜑 , 𝜁 14

(80) at 𝑥 = 0,

(81)

at 𝑥 = 𝐿,

(82)

̂ 𝐴𝑣 𝑢̂14 𝑧 = −2𝐴𝑣 [𝜒],

at 𝑧 = 0,

(83)

14 𝐴𝑣 𝑢̂14 𝑧 = 𝑠𝑓 𝑢̂ ,

at 𝑧 = −𝐻.

(84)

4

0

∫ 𝑢̂14 𝑑𝑧 = −2[𝛾], ̂ −𝐻

(85) Note that, in contrast to the residual velocity, the M4 flow velocity does not contain the forcing terms due to the river ou low and the salinity field. The solu on to 𝑢̂14 can be constructed by adding the contribu ons of the different forcing terms to the M4 flow velocity, i.e. 𝑢̂14 = 𝑢

de

+ 𝑢adv + 𝑢no-stress + 𝑢stokes .

(86)

The expressions for the flow veloci es for each contribu on together with the associated water levels are given below.

Final version

WL2017R13_103_3

27

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout External M4 de: The contribu on of the external M4 de to the M4 flow velocity is similar to the solu on derived for the leading order flow velocity. It reads

𝑢

de

=

𝑔𝜁𝑥̂ de (𝛼M4 cosh(𝑟M4 𝑧) − 1) , 2𝑖𝜎

(87)

with

𝛼M4 =

𝑠𝑓 (𝐴𝑣 𝑟M4 sinh(𝑟M4 𝐻) + 𝑠𝑓 cosh(𝑟M4 𝐻))

𝑟M4 = √

,

(88)

2𝑖𝜎 . 𝐴𝑣

(89)

The complex water level amplitude 𝜁 de due to the external de is obtained by subs tu ng the expression for 𝑢 de into the depth-integrated con nuity equa on (52). What follows is a second order ordinary differen al equa on (ODE) that needs to be solved numerically, ̂ de + 𝐹2 𝜁𝑥̂ de − 𝐹3 𝜁 ̂ 𝐹1 𝜁𝑥𝑥

de

= 0,

(90)

with

𝐹1 =

𝛼M4 𝑟M4

sinh(𝑟M4 𝐻) − 𝐻,

(91)

𝑑 𝐵 + 𝑥 ) 𝐹1 , 𝑑𝑥 𝐵 4𝜎2 𝐹3 = , 𝑔 𝐹2 = (

Advec on of momentum:

𝑢adv =

(92) (93)

The contribu on of advec on of momentum to the M4 flow velocity is

̂ 𝛼M4 𝐺2 𝐺1 𝑔𝜁𝑥adv (𝛼M4 cosh(𝑟M4 𝑧) − 1) + − (𝐴 𝑟 cosh(𝑟M4 (𝑧 + 𝐻)) + 𝑠𝑓 sinh(𝑟M4 (𝑧 + 𝐻))), 2𝑖𝜎 𝐴𝑣 𝑟M4 𝐴𝑣 𝑟M4 𝑠𝑓 𝑣 M4 (94)

with 𝑧

𝐺1 = 𝑒

𝑟M4 𝑧

̂ ∫ [𝜉]𝑒

𝑧 −𝑟M4 𝑧′

′

𝑑𝑧 − 𝑒

−𝑟M4 𝑧

−𝐻

′

̂ 𝑟M4 𝑧 𝑑𝑧 ′ , ∫ [𝜉]𝑒

(95)

−𝐻 0

0

̂ −𝑟M4 𝑧 𝑑𝑧 + ∫ [𝜉]𝑒 ̂ 𝑟M4 𝑧 𝑑𝑧. 𝐺2 = ∫ [𝜉]𝑒 −𝐻

(96)

−𝐻

The ODE for the corresponding water level reads adv ̂ + 𝐹2 𝜁𝑥adv ̂ − 𝐹3 𝜁 adv ̂ = 𝐹adv , 𝐹1 𝜁𝑥𝑥

28

WL2017R13_103_3

(97)

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout with,

𝐹adv =

2 𝐴𝑣 𝑟M 4

𝑔

0

𝑑 𝐵 𝐺2 1 ⎜ ⎟, ( + 𝑥)⎛ (1 − 𝛼M4 ) − ∫ 𝐺1 𝑑𝑧⎞ 2 𝑑𝑥 𝐵 𝐴𝑣 𝑟M4 𝐴𝑣 𝑟M 4 ⎝ ⎠ −𝐻

(98)

Stress free boundary condi on: The contribu on of the stress free boundary condi on to the M4 flow velocity is

𝑢no-stress =

̂ 2𝛼M4 𝑔𝜁𝑥no-stress (𝛼M4 cosh(𝑟M4 𝑧) − 1) − [𝜒]̂ (𝐴𝑣 𝑟M4 cosh(𝑟M4 (𝑧 + 𝐻)) + 𝑠𝑓 sinh(𝑟M4 (𝑧 + 𝐻))) .

2𝑖𝜎 𝑟M4 𝑠𝑓 (99)

The ODE for the corresponding water level reads no-stress ̂ ̂ ̂ 𝐹1 𝜁𝑥𝑥 + 𝐹2 𝜁𝑥no-stress − 𝐹3 𝜁 no-stress = 𝐹no-stress ,

(100)

with

𝐹no-stress =

̂ M4 𝛼M4,𝑥 + 2𝑟M4,𝑥 (1 − 𝛼M4 )) (1 − 𝛼M4 ) [𝜒](𝑟 2𝑖𝜎 𝐵 − (( 𝑥 [𝜒]̂ + [𝜒]̂ 𝑥 ) ), 2 3 𝑔 𝐵 𝑟M 𝑟 M 4

(101)

4

Stokes return flow: The contribu on of the Stokes return flow to the M4 flow velocity is 𝑢stokes =

̂ 𝑔𝜁𝑥stokes (𝛼M4 cosh(𝑟M4 𝑧) − 1).

2𝑖𝜎

(102)

The ODE for the corresponding water level reads stokes ̂ ̂ ̂ 𝐹1 𝜁𝑥𝑥 + 𝐹2 𝜁𝑥stokes − 𝐹3 𝜁 stokes = 𝐹stokes ,

(103)

with 𝐹stokes = −

Final version

𝐵 4𝑖𝜎 ([𝛾]̂ 𝑥 + 𝑥 [𝛾]) ̂ . 𝑔 𝐵

WL2017R13_103_3

(104)

29

G eï d e alis e er d e pr o c esst u di e v a n s yst e e m o v er g a n g e n n a ar h y p ertr o e b el h ei d: W P 1. 3 B asis m o d el g e j e n z o ut

4

D at a S c h el dt Est u ar y

T h e i d e aliz e d h y dr o d y n a mi c m o d el d es cri b e d i n t h e pr e vi o us s e c o n is us e d t o r e pr o d u c e t h e w at er m o o n i n t h e S c h el dt Est u ar y as cl os e as p ossi bl e. I n t his s e c o n, t h e d at a us e d f or t h e f or m ul a o n of t h e m o d el s c h e m a z a o n, b o u n d ar y c o n di o ns a n d m o d el c ali br a o n ar e pr es e nt e d.

4. 1

M o d el d o m ai n Fi g ur e 1 2 – T h e S c h el dt Est u ar y.

Vlissi n g e n H a ns w e ert B at h

T er n e u z e n

Pr os p er p ol d er

Li ef k e ns h o e k

T e ms e

G e nt

A nt w er p e n

R u p el m o n d e

G e nt br u g g e St. A m a n ds M ell e W ett er e n

D e n d er m o n d e S c h o o n a ar d e

T h e m o d el d es cri b es t h e S c h el dt Est u ar y fr o m Vlissi n g e n t o G e nt br u g g e, w hi c h h as a t ot al l e n gt h of 1 6 0 k m ( Fi g. 1 2 ). T h e S c h el dt Est u ar y c a n b e di vi d e d i nt o t hr e e s e c o ns, t h e W est er n S c h el dt ( D ut c h p art) a n d t h e L o w er a n d U p p er S e a S c h el dt ( B el gi a n p art). T h e tr a nsi o ns ar e sit u at e d at t h e D ut c h- B el gi a n b or d er ( 5 4 k m fr o m Vlissi n g e n) f or t h e W est er n S c h el dt a n d t h e L o w er S e a S c h el dt, a n d at R u p el m o n d e ( 8 9 k m fr o m Vlissi n g e n) f or t h e L o w er a n d t h e U p p er S e a S c h el dt.

30

WL 2 0 1 7 R 1 3 _ 1 0 3 _ 3

Fi n al v ersi o n

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

4.2

Bo om and width profile

The model uses a one-dimensional bo om 𝐻(𝑥) and width 𝐵(𝑥) profile. To determine these profiles, use is made of an earlier study with the 2DH model of Coen et al., (2016). The width-averaged bo om is derived from this model using many channel sec ons defined throughout the Scheldt Estuary. These sec ons were used previously in a study by Plancke et al., (2014). For every sec on, the we ed cross-sec onal area and width are determined at local high and low water level. Subsequently, the width profile 𝐵(𝑥) for mean water level follows from averaging the width for local high and low water level. The width-averaged bo om profile 𝐻(𝑥) is obtained by taking the ra o of the we ed cross-sec onal area and the width for each sec on. Both the bo om and width profile are presented in Fig. 13. It turns out that these profiles are s ll jagged. Since the idealized model only allows the channel bo om and width to vary gradually over the 𝑥-direc on, a polynomial is fi ed through the data (see Fig. 13). For the width profile, the following polynomial was used 𝑝𝐵 (𝑥) = exp (

𝑘3

𝑘1 𝑥 + 𝑘2 ), + 𝑘 4 𝑥 + 𝑘5

𝑥2

(105)

with coefficients 𝑘1 = −2.742 × 10−5 , 𝑘2 = 1.8973, 𝑘3 = 4.9788 × 10−11 , 𝑘4 = −9.213 × 10−6 , 𝑘5 = 1, and 𝑥 in m. For the depth profile, a fi h order polynomial is used 𝑝𝐻 (𝑥) = 𝑑1 𝑥5 + 𝑑2 𝑥4 + 𝑑3 𝑥3 + 𝑑4 𝑥2 + 𝑑5 𝑥 + 𝑑6 ,

(106)

with coefficients 𝑑1 = −2.9013×10−24 , 𝑑2 = 1.4030×10−18 , 𝑑3 = −2.4218×10−13 , 𝑑4 = 1.7490×10−8 , 𝑑5 = −5.2141 × 10−4 , 𝑑6 = 15.332, and 𝑥 in m.

4.3

Water levels Table 5 – Water level sta ons in the Scheldt Estuary.

Name sta on

Distance to Vlissingen (km)

Sec on

Vlissingen

0

Western Scheldt

Terneuzen

18.5

Western Scheldt

Hansweert

33.8

Western Scheldt

Bath

49.8

Western Scheldt

Prosperpolder

54

Lower Sea Scheldt

Lie enshoek

61.1

Lower Sea Scheldt

Antwerpen

75.6

Lower Sea Scheldt

Temse

97.3

Upper Sea Scheldt

St. Amands

106.8

Upper Sea Scheldt

Dendermonde

119.8

Upper Sea Scheldt

Schoonaarde

130.6

Upper Sea Scheldt

We eren

142.7

Upper Sea Scheldt

Melle

148.8

Upper Sea Scheldt

The water levels used for the boundary condi ons and the calibra on are those from the year 2013 and are known with intervals of 10 minutes. The data for the Western Scheldt and the Sea Scheldt are provided by

Final version

WL2017R13_103_3

31

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 13 – Channel width (top panel) and depth (bo om panel) of the Scheldt Estuary in 2013.

Blue dots denote measurements and red lines correspond to the best fit according to Eqs. (105) and (106) for the width and depth, respec vely.

Hydro Meteo Centrum Zeeland (HMCZ) and Hydrologisch Informa eCentrum (HIC), respec vely. Use is made of 12 water level sta ons, which are listed in Table 5.

Based on the me series of the water level at each sta on, a harmonic analysis is performed using the Matlab program t_ de to obtain the M2 and M4 dal components (see Table 6). Based on Table 6, this implies that the model is forced at the open boundary (Vlissingen) according to Eq. (18), with 𝐴M2 = 1.77 m, 𝐴M4 = 0.14 m and 𝜑 = −1.3∘ .

32

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Table 6 – Amplitude and phase for the ver cal M2 and M4 de at the water level sta ons in the Scheldt Estuary.

M2 amplitude (m)

M2 phase (∘ )

M4 amplitude (m)

M4 phase (∘ )

Vlissingen

1.77

0

0.14

-1.3

Terneuzen

1.98

10.4

0.12

12.3

Hansweert

2.03

20.5

0.11

39.4

Bath

2.18

31.1

0.11

58.7

Prosperpolder

2.19

33.1

0.12

62.2

Lie enshoek

2.26

35.6

0.12

65.1

Antwerpen

2.31

44.3

0.13

74.6

Temse

2.28

62.7

0.16

88.2

St. Amands

2.22

73.4

0.24

101.7

Dendermonde

1.69

93.3

0.25

128.7

Schoonaarde

1.31

116.4

0.24

164.3

We eren

1.09

143.4

0.21

212.6

Melle

1.02

157.4

0.22

242.9

Name sta on

Phases are with respect to M2 high de in Vlissingen.

4.4

Flow veloci es

A comparison has been made between the computed and the measured 𝑀2 and 𝑀4 components of width averaged dal water mo on. The temporal width averaged veloci es are taken from the dataset used by Nnafie et al., (2016) who have used data from eleven measurement campaigns along transects. From the twodimensional horizontal velocity components the along-estuary velocity was obtained by projec on along the curve that defines that distance to Vlissingen.

The loca on and me of the ADCP campaigns are listed in Table 7.

Table 7 – Loca on and me of velocity measurement campaigns in the Scheldt Estuary.

Loca on

Distance to Vlissingen (km)

Start me

End me

Terneuzen

17

06-Jul-2011 05:38:19

06-Jul-2011 18:10:22

Gat van Ossenisse

28

09-May-2012 05:01:36

09-May-2012 17:47:13

Schaar van de Waarde

40

24-Apr-2013 05:39:17

24-Apr-2013 18:26:28

Zuidergat

40

25-Apr-2013 06:22:56

25-Apr-2013 19:09:42

Lie enshoek

63

25-Jun-2013 06:29:45

25-Jun-2013 19:16:03

Oosterweel

74

27-Jun-2013 06:26:47

27-Jun-2013 19:03:47

Kruibeke

85

30-May-2013 06:11:14

30-May-2013 19:06:25

Driegoten

102

12-Jun-2013 06:54:02

12-Jun-2013 19:14:04

Dendermonde

120

17-Apr-2014 07:50:51

17-Apr-2014 19:50:00

Schoonaarde

132

27-May-2013 08:18:12

27-May-2013 20:05:01

Schellebelle

140

15-Apr-2014 07:58:24

15-Apr-2014 19:10:29

From the width averaged longitudinal velocity the corresponding residual, 𝑀2 and 𝑀4 components have been determined by adop ng a least square fit with these three cons tuents. In appendix A2 the adopted least

Final version

WL2017R13_103_3

33

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout square fit is briefly discussed and the comparison with the measured along-channel velocity is shown for each loca on. Based on visual inspec on the agreement between velocity measurements and least square approxima on appears to be reasonable. Only for the loca ons Kruibeke and Driegoten the velocity signal is too noisy for an accurate fit.

4.5

Salinity profile

The dally averaged salinity profile throughout the Scheldt Estuary is determined based on conduc vity measurements carried out in February and October 2009. The measurements in Februari were performed during high water slack on February 4th and during low water slack on February 10th . Based on these conduc vity measurements, the salinity is determined using the UNESCO formula on (Fofonoff and Millard, 1983). A water temperature of 7∘ C is assumed according to data found in Fe weis et al., (1997). Subsequently, a dally averaged salinity for each sta on is obtained by averaging the values of 4 and 10 February. Similarly, the salinity at each sta on in October is determined based on measurements during low water slack on October 5th and during high water slack on October 13th . Here, a water temperature of 19∘ C is assumed (Fe weis et al., 1997).

The salinity in February and October 2009 represent winter and summer condi ons, respec vely (Vandenbruwaene et al., 2016b). To use the salinity data in the model, the dally averaged profiles were fi ed using Eq. (22). The corresponding values for the parameters 𝑠,̂ 𝑥𝑐 and 𝑥𝐿 for winter and summer condi ons are listed in Table 8. The measured dally averaged salinity and corresponding best fit are shown in Fig. 14.

Table 8 – Parameter values for the best fit for the salinity profile of the Scheldt Estuary.

4.6

Parameter

Winter

Summer

𝑠 ̂ (psu)

28.9131

30.3296

𝑥𝑐 (km)

48.2068

60.4140

𝑥𝐿 (km)

24.5097

27.1020

River discharge

At the landward boundary (Gentbrugge) a river discharge needs to be prescribed. The measured daily averaged discharge at Melle (approximately 2 km downstream of Gentbrugge) is shown in Fig. 15. The moments of the salinity measurements in February and October are also shown. It follows that the salinity measurements in February were performed during a period with high river discharges, whereas in October low river discharges were measured.

For the model, a constant river discharge needs to be imposed. Ideally, this discharge is consistent with the measured salinity distribu on. Therefore, for the constant river discharge a dis nc on is made between winter (February) and summer condi ons (October). This results in a constant discharge in winter of approximately 110 m3 s−1 (the average of the two salinity data in February) and in summer of approximately 15 m3 s−1 (the average of the two salinity data in October).

34

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 14 – Tidally averaged salinity throughout the Scheldt Estuary.

Blue and red dots denote measured values for summer (blue) and winter (red) condi ons, respec vely. Blue and red lines correspond to the best fit according to Eq. (22) for summer (blue) and winter (red) condi ons. The area with nega ve 𝑥-values is not part of the model domain.

Figure 15 – Daily averaged discharge in Melle during 2009.

The dates of the salinity measurements in February and October are denoted with blue and red stars, respec vely.

Final version

WL2017R13_103_3

35

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

5 Calibra on The idealized model introduced in Sec on 3 is calibrated based on the data of the Scheldt Estuary discussed in the previous chapter. This calibra on is done by op mizing the constant turbulence parameters ver cal eddy viscosity, 𝐴𝑣0 , and stress parameter, 𝑠𝑓0 , such that the observed ver cal M2 and M4 des are op mally reproduced for both amplitude and phase. Here, the depth dependence of 𝐴𝑣 and 𝑠𝑓 has not been considered, i.e. 𝑚 = 𝑛 = 0.

In prac ce, the calibra on involves minimizing the following cost func on (Jones and Davies, 1996) ̂ 𝜁 mod ̂ (1 − cos Δ𝜑). 𝑓cost = √(Δ𝜁)̂ 2 + 2𝜁 obs

(107)

Here, the superscripts (.)obs and (.)mod denote the observed and modeled value of that quan ty, respec vely. ̂ − 𝜁 mod ̂ and Δ𝜑 = 𝜑obs − 𝜑mod .

Furthermore, Δ𝜁 ̂ = 𝜁 obs It turns out that the calibra on is an ambiguous exercise. Both the 𝑀2 and 𝑀4 component have their own cost func on that should be minimized. In general, a sa sfactory fit for the M2 water level leads to a worse fit for the M4 water level and vice versa. In par cular, the amplitudes of the M4 water level are strongly overes mated.

To alleviate this issue, the boundary condi on at the bo om, Eq. (16) is adapted. This boundary condi on assumes a linear rela onship between the shear stress and the flow velocity at the bo om. Moreover, this condi on is the same for each dal component, i.e. 𝐴𝑣 𝑢M2 ,𝑧 = 𝑠𝑓 𝑢M2 , 𝐴𝑣 𝑢M4 ,𝑧 = 𝑠𝑓 𝑢M4 , etc. Hence, the stress parameter 𝑠𝑓 is independent of the dal component, which is not jus fied a priori. According to, e.g., Godin, (1999), residual (M0 ) and M4 dal flow require a larger value of the stress parameter than the M2 dal flow. This can be illustrated by considering the boundary condi on (16) which is actually a linearisa on of the more commonly adopted rela on 𝐴𝑣 𝑢𝑧 = 𝑐d |𝑢|𝑢 .

(108) This equa on expresses the fact that the bed shear stress is a non-linear func on of velocity. If we now use the expansion for the bo om velocity, i.e. 𝑢 ≈ 𝑢0 + 𝑢1 , we can write Eq. (108) approximately as 𝐴𝑣 𝑢0𝑧 + 𝐴𝑣 𝑢1𝑧 = 𝑐d |𝑢0 |𝑢0 + 2𝑐d |𝑢0 |𝑢1 .

Collec ng terms of the same order (i.e. 𝑂(1) and 𝑂(𝜖)) one finds 𝐴𝑣 𝑢0𝑧 = 𝑐d |𝑢0 |𝑢0 , 𝐴𝑣 𝑢1𝑧 = 2𝑐d |𝑢0 |𝑢1 .

From this it follows that the instantaneous non-linear fric on coefficient 2𝑐d |𝑢0 | ac ng on the first order velocity field is in fact twice as high as the coefficient for the dominant zeroth order flow. Therefore, it is assumed that the linearised fric on coefficient has the same dependency so that 𝑠𝑓0,M = 𝑠𝑓0,M = 2𝑠𝑓0,M , which 0 2 4 indeed leads to an improvement of the calibra on.

Based on minimizing the cost func on, Eq. (107), for both the M2 and M4 de, it follows that best results are obtained with 𝐴𝑣0 = 0.061 m2 s−1 and 𝑠𝑓0,M = 0.003 m s−1 . The corresponding values of the cost 2 func on are 𝑓cost, M = 0.21 m and 𝑓cost, M = 0.09 m for the M2 and M4 de, respec vely. In the next sec on, 2 4 results will be presented based on the calibrated values for the constant turbulence parameters presented in this sec on.

36

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

6 Results 6.1

Water levels

6.1.1

Calibrated water levels

Figure 16 shows the longitudinal distribu on of the amplitude and phase of the 𝑀2 and 𝑀4 water level that follows from the calibra on as described in the previous sec on. For both cons tuents the phase is reasonably well reproduced by the model. For the amplitudes the quan ta ve agreement is less, but the qualita ve features (in par cular the amplifica on and damping of the 𝑀2 de) are recovered. Notably, at the end of the estuary, where the parameter 𝜖 = 𝐴𝑀2 /𝐻 is not necessarily much smaller than one, the model results for both the 𝑀2 and 𝑀4 amplitude deviate from the observa ons. For the 𝑀4 de, model results overes mate the amplitude by a factor of approximately two, which was also found with a similar model used by Schramkowski et al., (2017).

6.1.2

Asymmetry of the ver cal de

At any loca on in the Scheldt estuary one can write the instantenous water level 𝜁(𝑥, 𝑡) as 𝜁(𝑥, 𝑡) = 𝐴M2 (𝑥) cos(𝜎𝑡 − 𝜑M2 (𝑥)) + 𝐴M4 (𝑥) cos(2𝜎𝑡 − 𝜑M4 (𝑥)) .

(109)

The shape of the water level curve is in general non-symmetric so that, for instance, the fall me 𝑡fall elapsed between high water (HW) and low water (LW) is not equal to the rise me 𝑡rise elapsed from LW to HW. This asymmetry can be expressed through the quan ty 𝛿asym which is defined as the ra o of fall to rise me, i.e.

(Friedrichs, 2010) 𝑡 𝛿asym = fall . 𝑡rise If 𝛿asym > 1 the water level rises faster than it falls. On the other hand, if 𝛿asym < 1 the fall of the de lasts shorter than the rise. The asymmetry can be related to the phase difference Δ𝜑 = 𝜑M4 (𝑥)−2𝜑M2 (𝑥). Indeed, from the assump on that 𝑀4 de is rela vely weak compared to the 𝑀2 contribu on if follows that 𝑡fall ≈

𝑃 4 𝐴M4 (𝑥) (1 − sin Δ𝜑) , 2 𝜋 𝐴M2 (𝑥)

𝑡rise ≈

𝑃 4 𝐴M4 (𝑥) (1 + sin Δ𝜑) , 2 𝜋 𝐴M2 (𝑥)

so that 𝛿asym ≈ 1 −

8 𝐴M4 (𝑥) sin(Δ𝜑) . 𝜋 𝐴M2 (𝑥)

Figure 17 shows the phase difference Δ𝜑 from both model and measurements. While the data and model results show local devia ons up to 20∘ , the phase difference is typically between −80∘ and zero degrees. From this it follows that the phase difference as shown in Fig. 17 actually corresponds to 𝛿asym > 1 so that the ver cal de is rising faster than it falls. This agrees with the observed full dal characteris cs (i.e. with all cons tuents included, see Vandenbruwaene et al., 2016a) so that the idealized model is able to reproduce observed qualita ve asymmetry of the ver cal de.

Final version

WL2017R13_103_3

37

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 16 – Amplitude (le panels) and phase (right panels) of the calibrated M2 (top panels) and M4 de (bo om panels) as a func on of the distance to Vlissingen.

Red dots denote measurements and blue lines correspond to the model results.

38

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 17 – Phase difference between M2 and M4 de as a func on of the distance to Vlissingen.

Red dots denote measurements and the blue line corresponds to the model results.

Final version

WL2017R13_103_3

39

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

6.2

Tidal velocity

6.2.1

Amplitudes of the flow cons tuents

The top panels in Fig. 18 show a comparison between the amplitude of the computed and measured M2 and M4 flow velocity. While in both cases the order of magnitude roughly agrees, there is no accurate match. Note, however, that even though the ver cal 𝑀4 dal amplitude is overes mated by a factor of approximately two (Fig. 16 middle le panel), the 𝑀4 horizontal flow velocity amplitude shows remarkable agreement with the observa ons.

Figure 18 – Comparison between computed and observed dal flow.

Top panels: amplitude of the M2 (le ) and M4 (right) depth averaged velocity as a func on of the distance to Vlissingen.

The bo om panel shows the along-channel varia on of the phase difference between M2 and M4 dal velocity.

Red dots denote measurements and blue lines correspond to the model results.

40

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout 6.2.2

Asymmetry of the horizontal de

Similar to Eq. (109) one can write the depth averaged dal flow velocity as 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢M2 (𝑥) cos(𝜎𝑡 − 𝜙M2 (𝑥)) + 𝑢M4 (𝑥) cos(2𝜎𝑡 − 𝜙M4 (𝑥)) .

(110)

In general this flow is asymmetric which means, for instance, that ebb and flood flow veloci es are of unequal magnitude. This has profound implica ons for the net transport of sediment and thus for, e.g., the dynamics of turbidity maxima and bed evolu on (morphology). Horizontal dal asymmetry is also one of the factors that plays a part in the regime shi hypothesis by Winterwerp and Wang, (2013) To illustrate the effect of horizontal dal asymmetry further we compute the net sediment flux by assuming a cubic rela on between sediment flux 𝑞sed and depth averaged velocity 𝑢, i.e. 𝑞sed = 𝑝𝑢3 . The net (i.e. dally averaged) sediment flux ⟨𝑞sed ⟩ according to Eq. (110) is given by 3 ⟨𝑞sed ⟩ = 𝑝𝑢2M2 𝑢M4 cos(Δ𝜙) , 4

(111)

where Δ𝜙 = 𝜙M4 − 2𝜙M2 is the phase difference between horizontal M2 and M4 de. From this it follows that ⟨𝑞sed ⟩ > 0 (i.e. flood dominant flux) if Δ𝜙 is between −90∘ and 90∘ and ⟨𝑞sed ⟩ < 0 (ebb dominant flux) otherwise. Only for 𝜙 = −90∘ , or 𝜙 = 90∘ one finds the net sediment flux to be zero.

In the bo om panel of Fig. 18 the along-channel varia on of the dal asymmetry Δ𝜙 is shown along with the values as obtained from the velocity measurements. It is seen that there is a reasonable agreement between model and data for the Western Scheldt part of the estuary (𝑥 < 60 km) where the dal asymmetry angle lies along 90∘ , which implies a near-symmetric situa on. In the Sea Scheldt the model gives flood dominant dal asymmetry while the data show a large sca er with so that that here the comparison is inconclusive.

6.2.3

𝑀4 velocity component

Figure 19 shows the varia on of the 𝑀4 velocity amplitude and phase as a func on of along-channel posi on 𝑥 and height 𝑧. From these panels it is seen that the main contribu on to the 𝑀4 velocity in the Western Scheldt is due to the externally imposed 𝑀4 de (middle panel le ). On the other hand, the Stokes flow (bo om panel le ) and the flow associated with the stress free surface condi on (bo om panel right) are the main contributers to the 𝑀4 velocity in the Upper Sea Scheldt.

6.3

Residual flow

Below, the residual flow pa erns for both winter and summer condi ons will be discussed.

6.3.1

Winter condi ons

River flow Figure 20 shows both the total residual flow and the individual flow components for the 2009 winter condi ons (i.e. 𝑄 = 110 m3 s−1 ). The total flow is directed outward everywhere, with maximum veloci es ∼ −0.9 m s−1 occurring near the weir. It follows that the flow near the landward boundary is predominantly a result of the river flow (top right panel).

Stokes return flow The next important contribu on is due to the Stokes return flow (middle panel on the right). It is always nega ve and for the calibrated model it can reach values up to −0.14 m s−1 . This flow is generated by a nonzero correla on between the water level and surface velocity (i.e. the quan ty 𝛾, see Sect.

Final version

WL2017R13_103_3

41

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Figure 19 – 𝑀4 amplitude (top le ) and phase (top right) as func on of posi on inside the Scheldt basin.

The other four panels give the individual contribu ons of external 𝑀4 de (middle le ), accelera on (middle right), Stokes flow (bo om le ) and no-stress boundary condi on (bo om right).

3.2.2). Physically, this correla on expresses the fact that (on average) more water is flowing landward during high water than seaward during low water. Hence, the de induces a net landward transport, which would lead to an unbounded accumula on of water near the weir. This is counteracted by a net return flow, which is the flow denoted by 𝑢stokes . The strength of 𝑢stokes scales linearly with 𝛾, which stems from the product of 𝑀2 water level and surface velocity. These quan es can be expressed as 𝜁 = 𝒜 cos(𝜎𝑡 − 𝜑M2 ) , 𝑢 = 𝒰 cos(𝜎𝑡 − 𝜓M2 ) , so that 𝛾 = 21 𝒜𝒰 cos(𝜓M2 − 𝜑M2 ). Hence, the Stokes return flow depends on the phase difference between surface velocity and water level. This quan ty is shown in Fig. 21. Clearly, 𝜓M2 − 𝜑M2 is 90∘ at the weir, which is due to the local standing wave character of the dal wave since both landward propaga ng and reflected wave have nearly equal amplitude. Furthermore, it is seen that the phase difference has a minimum ∼ 55∘ around 𝑥 = 125 km which implies a rela vely strong correla on with 𝛾. At this loca on also a local maximum of Stokes flow strength is observed in the model, so it appears that this maximum return flow is related to the rela vely low value of the phase difference between water level and surface velocity.

42

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 20 – Calculated residual along-channel flow veloci es (contours/colors) for winter condi ons based on data from the Scheldt Estuary as a func on of channel depth 𝑧 and distance to Vlissingen 𝑥.

The top le panel depicts the total residual flow, and the other panels depict a contribu on to this total residual flow in isola on, i.e. the contribu on of the river discharge (top right panel), the advec on of momentum (middle le panel), the Stokes flow (middle right panel), the stress free boundary condi on (bo om le panel) and the gravita onal circula on (bo om right panel).

Gravita onal circula on A remarkable result is that the gravita onal circula on is fairly weak (Fig. 20, bottom right panel), yielding maximum flow veloci es up to 2.5 mm s−1 . Note that the maximum flow veloci es occurs around 𝑥 = 50 km, which is to be expected since gravita onal circula on scales with the local salinity gradient which has a maximum around 𝑥 = 𝑥c = 48 km (see Sect. 4.5).

Flow induced by the no-stress surface condi on The residual flow that results because of the no-stress boundary condi on at the mean water level 𝑧 = 0 is shown in the bo om le panel of Fig. 20. Like gravita onal circula on it is fairly weak (maximum flow veloci es well below 1 cm s−1 ). The along-channel loca on of the flow maximum can be understood by considering the corresponding forcing, namely the quan ty 𝜒(𝑥, 𝑡) (Sect. 3.2.2). Closer inspec on of this term reveals that it’s along-channel varia on is governed by 𝜁0 𝜕𝜁0 /𝜕𝑥.

Assuming that the ver cal 𝑀2 de is a predominantly propaga ng wave, it’s func onal form can be wri en as 𝜁0 = 𝒜(𝑥) cos(𝜎𝑡 − 𝜑M2 (𝑥)) , Final version

WL2017R13_103_3

43

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Figure 21 – Phase difference 𝜓M2 − 𝜑M2 between the horizontal M2 de or horizontal M2 flow velocity and the ver cal M2 de as a func on of the distance to Vlissingen.

so that

𝜕𝜁0 1 d𝒜 1 d𝒜2 ⟩= 𝒜 = . 𝜕𝑥 2 d𝑥 4 d𝑥 Hence the maximum flow velocity will occur where the 𝑀2 dal amplitude has a maximum gradient. From the top le panel of Fig. 16 it is seen that this maximum gradient occurs around 𝑥 = 120 km, where the dal wave is strongly damped. This is also the posi on where the maximum no-stress residual flow component is found. ⟨𝜁0

6.3.2

Summer condi ons

Figure 22 shows the residual flow pa erns for summer condi ons (𝑄 = 15 m3 s−1 ). Note that the discharge only affects the river flow component and gravita onal circula on, as the other contribu ons are forced by the 𝑀2 de which is unaffected by the river flow. Compared to winter condi ons the total residual flow is much weaker now (maximum veloci es ∼ −0.19 m s−1 ), and the river flow contribu on is much smaller (∼ −0.12 m s−1 ) which reflects the much lower river discharge. In fact, the Stokes return flow is the most important contributor to the total residual transport with maximum flow veloci es up to −0.14 m s−1 (Fig. 22, middle panel right). Hence, the rela ve importance of the Stokes return flow is now approximately twice that of the river flow.

The strength of gravita onal circula on has not altered compared to the winter situa on, although the locaon of the maximum has now shi ed landward to 𝑥 = 60 km. This posi on agrees with the loca on of the maximum salinity gradient d𝑠(𝑥)/d𝑥 (Sect. 4.5).

44

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 22 – Calculated residual flow veloci es (contours/colors) for summer condi ons based on data from the Scheldt Estuary as a func on of channel depth 𝑧 and distance to Vlissingen 𝑥.

The top panel depicts the total residual flow, the middle panel depicts the contribu on of the river discharge and the bo om panel depicts the contribu on of the gravita onal circula on.

Final version

WL2017R13_103_3

45

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

7 Conclusions From the results of the calibrated model the following conclusions are drawn, 1. The model gives a reasonable quan ta ve agreement with the observed 𝑀2 and 𝑀4 phase of the vercal de throughout the Scheldt estuary.

2. The model gives a good qualita ve agreement with the observed amplitude varia on of the 𝑀2 water level along the basin.

3. The magnitude of the calculated 𝑀4 dal amplitude is overes mated by a factor of approximately two compared to measurements.

4. The amplitudes of the horizontal 𝑀2 and 𝑀4 de (velocity) are of similar order of magnitude as the values obtained from measurements. However, the spa al (i.e. along-estuary) distribu on shows no clear agreement. Furthermore, even though the ver cal 𝑀4 dal amplitude is overes mated by a factor two, the horizontal 𝑀4 dal amplitude shows remarkable agreement with observa ons.

5. In the Western Scheldt the asymmetry of the horizontal de is in reasonable agreement with data. For the Sea Scheldt the model predicts a flood dominant situa on while the measurements show a large sca er that allows no conclusion regarding the dal asymmetry.

6. The 𝑀4 flow in the Western Scheldt is mainly driven by the external 𝑀4 de, while the Stokes flow and the flow due to the stress free boundary condi on are the primary contributers of the 𝑀4 velocity in the Upper Sea Scheldt.

7. For winter condi ons (high discharge) the residual flow is predominantly a result of river runoff.

8. For summer condi ons (low discharge) the Stokes return flow gives the largest contribu on to the residual flow pa ern, with river flow being a factor two smaller.

9. Gravita onal circula on does not give an important contribu on to the total residual flow .

46

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Referen es Cheng, P.; Valle-Levinson, A.; Swart, H. E. de (2010). Residual Currents Induced by Asymmetric Tidal Mixing in Weakly Stra fied Narrow Estuaries. J. Phys. Oceanogr. 40: 2135–2147 Chernetsky, A. S.; Schu elaars, H. M.; Talke, S. A. (2010). The effect of dal asymmetry and temporal se ling lag on sediment trapping in dal estuaries. Ocean Dynamics 60 (5): 1219–1241. DOI: 10.1007/s10236-0100329-8 Coen, L.; De Maerschalck, B.; Plancke, Y.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2016). Sedimentstrategie BenedenZeeschelde. Deelrapport 1 – Opzet en valida e slibmodel. Versie 4.0. WL Rapporten, 14_025. Waterbouwkundig Laboratorium: Antwerpen, België Fe weis, M.; Sas, M.; Monbaliu, J.; Taverniers, E. (1997). Langdurige me ng van slibconcentra e, saliniteit en temperatuur te Prosperpolder (Beneden Zeeschelde). Water 92: 15–26 Fofonoff, N. P.; Millard, R. C. (1983). Algorithms for computa on of fundamental proper es of seawater. report, 44. UNESCO Division of Marine Sciences Friedrichs, C. T. (2010). Barotropic des in channelized estuaries. in: Valle-Levinson, A. (Ed.). Contemporary Issues in Estuarine Physics. Cambridge University Press, Cambridge, UK. pp. 27–61 Friedrichs, C. T.; Hamrick, J. M. (1996). Effects of channel geometry on cross sesec on vvaria on n along channel velocity in par ally stra fied estuaries. in: Aubrey, D. G.; Friedrichs, C. T. (Eds.). Buoyancy efffects on coastal and estuarine dynamics. AGU. Washington, D.C. pp. 283–300 Godin, G. (1999). The propaga on of des up rivers with special considera ons on the upper Saint Lawrence river. Estuarine Coastal Shelf Sci. 48: 307–324 Ianniello, J. P. (1977). Tidally induced residual currents in estuaries of constant breadth and depth. J. Mar. Res. 35: 755–786 Ianniello, J. P. (1979). Tidally Induced Residual Currents in Estuaries of Variable Breadth and Depth. J. Phys. Oc. 9: 962–974 Jones, J.; Davies, A. (1996). A High-resolu on, Three-dimensional Model of the M2, M4M6, S2, N2, K1and O1Tides in the Eastern Irish Sea. Estuarine, Coastal and Shelf Science 42 (3): 311–346. DOI: 10.1006/ecss.

1996.0022 Kuijper, K.; Van Rijn, L. C. (2011). Analy cal and numerical analysis of des and salini es in estuaries; part II: salinity distribu ons in prisma c and convergent dal channels. Ocean Dynamics 61: 1743–1765 Maximova, T.; Vanlede, J.; Plancke, Y.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2013). Habitatmapping ondiep water Zeeschelde: Deelrapport 2 - Numeriek 2D model. Versie 2.0. WL Rapporten, 00_028. Flanders Hydraulics Research: Antwerp, Belgium Nnafie, A.; Van Oyen, T.; De Maerschalck, B.; Plancke, Y.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2016). Modeling effects of geometry, ini al bathymetry and sediment availability on the morphodynamic evolu on of the Scheldt mouth area. Versie 4.0. WL Rapporten, 14_094. Flanders Hydraulics Research: Antwerp, Belgium

Final version

WL2017R13_103_3

47

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Pawlowicz, R.; Beardsley, B.; Lentz, S. (2002). Classical dal harmonic analysis including error es mates in MATLAB using T_TIDE. Computers and Geosciences 28: 929–937 Plancke, Y.; Schramkowski, G.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2014). Kubatuurberekening voor het Schelde-estuarium; karakteris eke ge jden uit het decennium 1991 - 2000 en topo-bathymetrische gegevens uit 2001.

Versie 3.0. WL Rapporten, 00_157. Waterbouwkundig Laboratorium: Antwerpen, België Schramkowski, G. P.; Brouwer, R. L.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2017). Geı ̈dealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid. WP 2.1 Modelopzet scenario’s stortstrategie Beneden-Zeeschelde.

Versie 2.0. WL Rapporten, 13_103_2. Waterbouwkundig Laboratorium: Antwerpen, België Schramkowski, G. P.; Swart, H. E. de (2002). Morphodynamic equilibrium in straight dal channels: Combined effects of the Coriolis force and external over des. Journal of Geophysical Research: Oceans 107 (C12): 20-1– 20-17. DOI: 10.1029/2000JC000693 Schu elaars, H. M.; De Swart, H. E. (2000). Mul ple morphodynamic equilibria in dal embayments. J. Geophys. Res. 105: 24105–24118 Simpson, J.; Brown, J.; Ma hews, J.; Allen, G. (1990). Tidal Straining, Density Currents, and S rring in the Control of Estuarine Stra fica on. Estuaries 13: 125–132 Stacey, M. T.; Brennan, M. L.; Burau, J. R.; Monismith, S. G. (2010). The dally averaged momentum balance in a par ally and periodically stra fied estuary. J. Phys. Oceanogr. 40 (11): 2418–2434 Stacey, M. T.; Burau, J. R.; Monismith, S. G. (2001). Crea on of residual flows in a par ally stra fied estuary.

J. Geophys. Res. 106: 17013–17037 Stokes, G. G. (1847). On the theory of oscillatory waves. Transac ons of the Cambridge Philosophical Society 8: 441–455 Talke, S. A.; Swart, H. E. de; Jonge, V. N. de (2009). An Idealized Model and Systema c Process Study of Oxygen Deple on in Highly Turbid Estuaries. Estuaries and Coasts 32 (4): 602–620. DOI: 10.1007/s12237-009-9171y Vandenbruwaene, W.; Meire, D.; Vanlede, J.; Plancke, Y.; Vanlierde, E.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2016a).

Integraal Plan Boven-Zeeschelde: Deelrapport 2 – Ge jrapport Boven-Zeeschelde, Rupel en Durme. Versie 6.0.

WL Rapporten, 13_131. Waterbouwkundig Laboratorium: Antwerpen, België Vandenbruwaene, W.; Vanlede, J.; Plancke, Y.; Verwaest, T.; Mostaert, F. (2016b). Slibbalans Zeeschelde: Deelrapport 4 - Historische evolu e SPM. Versie 6.0. WL Rapporten, 00_029_4. Waterbouwkundig Laboratorium & Antea: Antwerpen Warner, J. C.; Geyer, W. R.; Lerczak, J. A. (2005). Numerical modeling of an estuary: A comprehensive skill assessment. J. Geophys. Res. 110: C05001 Winterwerp, J. C.; Lucas Pardo, M. A. de; Maren, B. van; Vroom, J.; Wang, Z. B. (2015). Transport of fine sediments in a narrow converging estuary - the Sea Scheldt. in: E-proceedings of the 36th IAHR World Congress 2015, The Hague, the Netherlands. IAHR. pp. 53–56 Winterwerp, J. C.; Wang, Z. B. (2013). Man-induced regime shi s in small estuaries I: theory. Ocean Dyn. 63: 1279–1292

48

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Zimmerman, J. T. F. (1982). On the Lorentz lineariza on of a quadra cally damped forced oscillator. Phys. Le .

89A: 123–124

Final version

WL2017R13_103_3

49

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

A1 Reduc on and solu on of the model equaons This appendix is an extension of Sec on (3.2). It gives a detailed analysis according to the perturba on method introduced in that sec on. A er deriving the dimensionless model equa ons and subsequent ordering according to the rela ve importance of the various terms, this appendix gives the dimensionless analy cal solu ons to the model equa ons. No ce that this is different than the solu ons given in the main text, which are dimensional. The reason to do so is that the dimensionless equa ons are useful to iden fy specific important system parameters, whereas the dimensional equa ons and solu ons reach a more general public.

A1.1 Perturba on analysis For clarity of the analysis, we repeat the model equa ons (11)-(20)

𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑤𝑢𝑧 = −𝑔𝜁𝑥 + 𝑔𝛽𝑠 ⟨𝑠𝑥 ⟩(𝑧 − 𝜁) + 𝐴𝑣 𝑢𝑧𝑧 , 𝐵 𝑢𝑥 + 𝑤𝑧 + 𝑥 𝑢 = 0, 𝐵

(112) (113)

𝜁

𝐵 𝜕 𝜁𝑡 + ( + 𝑥 ) ∫ 𝑢𝑑𝑧 = 0, 𝜕𝑥 𝐵

(114)

−𝐻

and boundary condi ons

𝜁 = 𝐴M2 cos(𝜎𝑡) + 𝐴M4 cos(2𝜎𝑡 − 𝜑),

at 𝑥 = 0,

(115)

at 𝑥 = 𝐿,

(116)

𝑤 = 𝜁𝑡 + 𝑢𝜁𝑥 ,

at 𝑧 = 𝜁,

(117)

𝐴𝑣 𝑢𝑧 = 0,

at 𝑧 = 𝜁,

(118)

𝐴𝑣 𝑢𝑧 = 𝑠𝑓 𝑢,

at 𝑧 = −𝐻,

(119)

𝑤 = −𝑢𝐻𝑥 ,

at 𝑧 = −𝐻.

(120)

𝜁

∫ 𝑢𝑑𝑧 = −

𝑄 , 𝐵

−𝐻

For the perturba on analysis, first the model equa ons and boundary condi ons are scaled according to typical ̃ The typical scales variable scales denoted in Table 9. Dimensionless variables are denoted with a lde, (.). for the horizontal and ver cal velocity are derived scales that follow from the depth-integrated and regular con nuity equa ons (see below for details).

Final version

WL2017R13_103_3

A1

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Table 9 – Typical variable scales.

Physical quan ty

Typical scale

Symbol

Variable

Time

M2 dal frequency

𝜎

𝑡 = 𝜎−1 𝑡 ̃

Surface eleva on

M2 dal amplitude

𝐴M2

𝜁 = 𝐴M2 𝜁 ̃

Horizontal coordinate

Estuary length

𝐿

𝑥 = 𝐿𝑥 ̃

Ver cal coordinate

Average estuary depth at entrance

𝐻0

𝑧 = 𝐻0 𝑧 ̃

Local water depth

Average estuary depth at entrance

𝐻0

Local channel width

Average estuary width at entrance

𝐵0

𝐻 = 𝐻0 𝐻̃ 𝐵 = 𝐵0 𝐵̃

Salinity gradient

Typical salinity gradient

𝒮𝑥

𝑠𝑥 = 𝒮𝑥 𝑠𝑥̃ ̃

Physical quan ty

Derived typical scale

Symbol

Variable

Horizontal velocity

Typical horizontal velocity of the M2 de

𝑈=

Ver cal velocity

Typical ver cal velocity of the 𝑀2 de

𝑊

A1.1.1

𝜎𝐴𝑀2 𝐿 𝐻0 𝐻0 𝑈 = 𝐿 =

𝑢 = 𝑈 𝑢̃ 𝜎𝐴M2

𝑤 = 𝑊 𝑤̃

Scaling the model equa ons

Subs tu ng the scaled variables from Table 9 into the depth-integrated con nuity equa on (114) and wri ng 𝜁 ∫ 𝑢𝑑𝑧 = 𝐻 𝑢,̄ where the bar denotes the depth-integrated quan ty, yields −𝐻

𝐻 𝑈 𝐵̃ 𝑥̃ ̃ ̃ 𝐻 𝑈 ̄̃ + 0 𝜎𝐴M2 𝜁𝑡̃ ̃ + 0 (𝐻̃ 𝑢) 𝐻 𝑢̄ = 0. 𝑥̃ 𝐿 𝐿 𝐵̃

(121)

Thus, it follows that an appropriate scale 𝑈 for the velocity is 𝑈=

𝜎𝐴M2 𝐿 𝐻0

.

(122)

Similarly, the derived ver cal velocity scale 𝑊 follows from subs tu ng the scaled variables into Eq. (113) 𝑈 𝑊 𝑈 𝐵̃ 𝑥̃ 𝑢̃𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑧̃ + 𝑢̃ = 0, 𝐿 𝐻0 𝐿 𝐵̃

(123)

and thus 𝑊 =

𝐵 𝐻0 𝑈 ⋅ max (1, 𝑥 ) . 𝐿 𝐵

(124)

The dimensionless momentum equa on is obtained by subs tu ng the scaled variables into Eq. (112) 𝜎𝑈 𝑢̃𝑡̃ +

𝑔𝐴M2 𝑊𝑈 𝑈2 𝑈 𝑢̃𝑢̃𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑢̃𝑧̃ = − 𝜁𝑥̃ ̃ + 𝑔𝛽𝑠 𝒮𝑥 ⟨𝑠𝑥̃ ̃ ⟩(𝐻0 𝑧 ̃ − 𝐴M2 𝜁)̃ + 2 𝐴𝑣 𝑢̃𝑧𝑧̃ ̃. 𝐿 𝐻0 𝐿 𝐻0

(125)

Rewri ng leads to 𝑢̃𝑡̃ +

A2

𝐴M2 𝐻0

[𝑢̃𝑢̃𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑢̃𝑧̃] = −

𝐴M2 1 ̃ 1 𝜁 + 𝜇⟨ 𝑠 ̃ ⟩( 𝑧 ̃ − 𝜁)̃ + 𝐴 𝑢̃ , 𝑥̃ 𝑥̃ 2 𝜆 𝐻0 𝜎𝐻02 𝑣 𝑧𝑧̃ ̃

WL2017R13_103_3

(126)

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout where

𝜆=

𝐿 𝜎𝐿 , = 𝐿𝑤 √𝑔𝐻0

(127)

𝑔𝐻0 𝛽𝑠 𝒮𝑥 . 𝑈 𝜎

(128)

and

𝜇=

Here, 𝜆 is the ra o of the estuary length 𝐿 and the fric onless dal wave length 𝐿𝑤 up to a factor 2𝜋. Furthermore, 𝜇 is a factor determining the magnitude of the salinity gradient.

The ra o between the dal wave amplitude and the average entrance depth, 𝐴M2 /𝐻0 , that mul plies the advec on term on the le -hand side in Eq. (126) is the barotropic nonlinearity parameter (Stokes, 1847), and denoted by

𝜖=

𝐴M2 𝐻0

.

(129)

Although 𝜖 may approach unity in very shallow systems, it is small but finite in most systems and is thus appropriate as a perturba on expansion parameter.

The other factors that appear in the dimensionless momentum equa on (126) can be related to the magnitude of 𝜖. Firstly, 𝜆 is approximately 1 when the estuary length is of the same order as the fric onless dal wave length. For most estuaries including the Schelde (𝜆 = 1.8) this is a good approxima on. Secondly, it is assumed that the factor 𝜇 in front of the salinity gradient is of order 𝜖. From observa ons in well-mixed estuaries it usually follows that currents driven by the salinity gradient are small compared to dally driven currents. Thirdly, a typical scale for the eddy viscosity follows from the sta onary barotropic momentum balance 𝐴𝑣 𝑢𝑧𝑧 = 𝑔𝜁𝑥 . Assuming that the fric onal boundary layer thickness is approximately equal to the water depth (good approxima on for the estuaries that are of interest in the project, i.e. Schelde and Ems estuaries) and 𝐴𝑣 is independent of 𝑧, it follows that 𝐴𝑣 ∼ 𝜎𝐻02 and the factor in front of 𝑢̃𝑧𝑧̃ ̃ becomes 1.

Finally, subs tu ng the scaled variables from Table 9 and the small parameter 𝜖 into Eqs. (112)-(114) and rearranging terms leads to the following dimensionless model equa ons

𝑢̃𝑡̃ + 𝜖 [𝑢̃𝑢̃𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑢̃𝑧̃] = − 𝑢̃𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑧̃ +

1 ̃ 𝜁 + 𝜇⟨𝑠𝑥̃ ̃ ⟩(𝑧 ̃ − 𝜖𝜁)̃ + 𝛿 𝑢̃𝑧𝑧̃ ̃, 𝜆2 𝑥̃

𝐵̃ 𝑥̃ 𝑢̃ = 0, 𝐵̃

(130) (131)

𝜖𝜁 ̃

𝐵̃ 𝜕 𝜁𝑡̃ ̃ + ( + 𝑥̃ ) ∫ 𝑢𝑑 ̃ 𝑧 ̃ = 0, 𝜕 𝑥̃ 𝐵̃

(132)

−𝐻̃

where 𝛿 = 𝐴𝑣 /(𝜎𝐻02 ) is the squared ra o of the thickness of the Stokes boundary layer and the water depth.

Final version

WL2017R13_103_3

A3

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout A1.1.2

Scaling the boundary condi ons

Similar to the model equa ons, the boundary condi ons Eq. (115)-(120) are scaled according to the scaled variables from Table 9 and the small parameter 𝜖. This results in the following dimensionless boundary condions

𝜁 ̃ = cos 𝑡 ̃ +

𝐴M4 𝐴M2

cos(𝑡 ̃ − 𝜑),

at 𝑥̃ = 0,

(133)

at 𝑥̃ = 1,

(134)

at 𝑧 ̃ = 𝜖𝜁,̃ at 𝑧 ̃ = 𝜖𝜁,̃

(135)

at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃

(137)

𝜖𝜁 ̃

∫ 𝑢𝑑 ̃ 𝑧̃= − −𝐻̃

𝑄 𝐵0 𝐻0 𝑈 𝐵̃

,

𝑤̃ = 𝜁𝑡̃ ̃ + 𝜖𝑢̃𝜁𝑥̃ ̃ , 𝐴𝑣 𝑢̃𝑧̃ = 0, 𝑢̃𝑧̃ = 𝜃𝑢,̃ 𝑤̃ = −𝑢̃𝐻̃𝑥̃ ,

(136) (138)

where 𝜃 = 𝑠𝑓 𝐻0 /𝐴𝑣 is the dimensionless slip parameter. If 𝜃 ≪ 1 then the bo om is stress free. If on the other hand 𝜃 ≫ 1 the velocity at the bed vanishes and the boundary condi on reduces to the no-slip condi on.

A1.1.3

Perturba on technique

The final step before obtaining the ordered system of equa ons, is to approximate the solu on of the dimensionless Eqs. (130)-(132) together with the appropriate boundary condi ons Eqs. (133)-(138) for 𝜖 ≪ 1.

Hereby, it is assumed that the following parameters are related to 𝜖 as followed: 𝐴M4 /𝐴M4 = 𝒪(𝜖), 𝜆 = 𝒪(1), 𝜇 = 𝒪(𝜖), 𝛿 = 𝒪(1), 𝐵𝑥 /𝐵 = 𝒪(1) and 𝜃 = 𝒪(1). Expanding the physical variables 𝑢,̃ 𝑤̃ and 𝜁 ̃ in power series of the small parameter 𝜖 results in

𝑢̃ = 𝑢̃0 + 𝑢̃1 + 𝑢̃2 + …

0

1

2

𝑤̃ = 𝑤̃ + 𝑤̃ + 𝑤̃ + … 𝜁 ̃ = 𝜁 0̃ + 𝜁 1̃ + 𝜁 2̃ + …

(139) (140) (141)

Here, superscripts denote the order of 𝜖. Subs tu ng these expansions in the dimensionless model equa ons and boundary condi ons and collec ng terms of equal powers of 𝜖, results in the system of equa ons at different orders. In this study, we are interested in the dynamics of the system at leading order, 𝒪(1), and first order, 𝒪(𝜖1 ).

The leading order system is given by

A4

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

1 0̃ 𝜁 , 𝜆2 𝑥̃

(142)

𝐵̃ 𝑥̃ 0 𝑢̃ = 0, 𝐵̃

(143)

𝛿 𝑢̃0𝑧𝑧̃ ̃ − 𝑢̃0𝑡̃ = 𝑢̃0𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑧0̃ +

0

𝜁𝑡0̃ ̃

𝐵̃ 𝜕 + 𝑥̃ ) ∫ 𝑢̃0 𝑑𝑧 ̃ = 0, +( 𝜕 𝑥̃ 𝐵̃

(144)

−𝐻̃

with boundary condi ons

𝜁 0̃ = cos 𝑡,̃

at 𝑥̃ = 0,

(145)

at 𝑥̃ = 1,

(146)

𝑤̃ 0 = 𝜁𝑡0̃ ̃ ,

at 𝑧 ̃ = 0,

(147)

𝐴𝑣 𝑢̃0𝑧̃ = 0,

at 𝑧 ̃ = 0,

(148)

𝑢̃0𝑧̃ = 0

at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(149)

0

∫ 𝑢̃0 𝑑𝑧 ̃ = 0, −𝐻̃

0

𝜃𝑢̃ ,

𝑤̃ = −𝑢̃0 𝐻̃𝑥̃ ,

(150)

The first order system is given by

𝛿 𝑢̃1𝑧𝑧̃ ̃ − 𝑢̃1𝑡̃ = 𝑢̃1𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑧1̃ +

1 1̃ 𝜁 + 𝑢̃0 𝑢̃0𝑥̃ + 𝑤̃ 0 𝑢̃0𝑧̃ − 𝜇⟨𝑠𝑥̃ ̃ ⟩𝑧,̃ 𝜆2 𝑥̃

(151)

𝐵̃ 𝑥̃ 1 𝑢̃ = 0, 𝐵̃

(152) 0

𝜕 𝐵̃ ⎞ ⎛ ⎟ 𝜁𝑡1̃ ̃ + ( + 𝑥̃ ) ⎜ ∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧 ̃ + 𝜁 0̃ 𝑢̃0 ∣ ⎟ = 0, ⎜ 𝑧=0 ̃ 𝜕 𝑥̃ 𝐵̃ ⎝−𝐻̃ ⎠

(153)

with boundary condi ons

𝜁 1̃ =

𝐴M4

cos(2𝑡 ̃ − 𝜑),

at 𝑥̃ = 0,

(154)

at 𝑥̃ = 1,

(155)

𝑤̃ 1 = 𝜁𝑡1̃ ̃ + 𝑢̃0 𝜁𝑥0̃ ̃ − 𝜁 0̃ 𝑤̃ 𝑧0̃,

at 𝑧 ̃ = 0,

(156)

𝐴𝑣 𝑢̃1𝑧̃ = −𝐴𝑣 𝜁 0̃ 𝑢̃0𝑧𝑧̃ ̃,

at 𝑧 ̃ = 0,

(157)

𝑢̃1𝑧̃ = 𝜃𝑢̃1 ,

at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(158)

𝐴M2

0

∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧 ̃ + 𝜁 0̃ 𝑢̃0 ∣

𝑧=0 ̃

=−

−𝐻̃

𝑄 𝐵0 𝐻0 𝑈 𝐵̃

,

𝑤̃ = −𝑢̃ 𝐻̃𝑥̃ , 1

Final version

1

WL2017R13_103_3

(159)

A5

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout In deriving the ordered depth-integrated expressions appearing in the depth-integrated con nuity equa on (132) and the boundary condi on at the riverine side (134), use is made of a Taylor series expansion as exemplified below. Star ng with a nondimensional integral form (in this case the integral on the right-hand side of Eq. (132)) and using the expansions of the physical variables leads to the following expression for the depthintegrated velocity 𝐼, 𝜖𝜁0̃ +𝜖2 𝜁1̃

𝐼=

(𝑢̃0 + 𝜖𝑢̃1 )𝑑𝑧.̃

∫

(160)

−𝐻̃

Introducing 𝜂

𝜂

0

0

𝐹 (𝜂) = ∫ 𝑢̃ 𝑑𝑧 ̃

1

𝐹 (𝜂) = ∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧,̃

and

−𝐻̃

(161)

−𝐻̃

where 𝜂 = 𝜖𝜁 0̃ + 𝜖2 𝜁 1̃ , Eq. (160) can now be rewri en as 𝐼 = 𝐹 0 (𝜂) + 𝜖𝐹 1 (𝜂).

(162)

Using a Taylor series expansion results in 𝐼 = 𝐹 0 (0) + 𝜂

𝜕𝐹 0 (0) 𝜕𝐹 1 (0) + 𝜖𝐹 1 (0) + 𝜖𝜂 + h.o.t. 𝜕𝑧 𝜕𝑧

(163)

where h.o.t. denote higher order terms. Resubs tu ng the expressions for 𝐹 0 and 𝐹 1 from Eq. (162) leads to 0

𝐼 = ∫ 𝑢̃0 𝑑𝑧 ̃ + (𝜖𝜁 0̃ + 𝜖2 𝜁 1̃ ) 𝑢̃0 ∣

0

𝑧=0 ̃

+ 𝜖 ∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧 ̃ + (𝜖2 𝜁 0̃ + 𝜖3 𝜁 1̃ ) 𝑢̃1 ∣ −𝐻̃

−𝐻̃

𝑧=0 ̃

.

(164)

Collec ng terms up to 𝒪(𝜖1 ) finally results in 0

0

⎡ ⎤ 𝐼 = ∫ 𝑢̃ 𝑑𝑧 ̃ + 𝜖 ⎢∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧 ̃ + 𝜁 0̃ 𝑢̃0 ∣ ⎥. 𝑧=0 ̃ ⎣−𝐻̃ ⎦ −𝐻̃ 0

(165)

A1.2 Solu ons A1.2.1

Leading order solu ons

Since the leading order equa ons are forced by a single M2 dal component and the differen al equa ons do not contain me-dependent coefficients, solu ons are of the following form 0

0 0 ̂ (𝑢̃0 , 𝑤̃ 0 , 𝜁 0̃ ) = ℜ {(𝑢̂̃ (𝑥,̃ 𝑧), ̃ 𝑤̂̃ (𝑥,̃ 𝑧), ̃ 𝜁 ̃ (𝑥,̃ 𝑧)) ̃ 𝑒𝑖𝑡 ̃ } ,

A6

WL2017R13_103_3

(166)

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout where ℜ{.} denotes the real part of the expression between braces and 𝑖 is the imaginary unit. In Eq. (166), 0 0 0 ̂ 𝑢̂̃ , 𝑤̂̃ , 𝜁 ̃ are the dimensionless complex amplitudes of the horizontal velocity, the ver cal velocity and the surface eleva on, respec vely.

Subs tu ng the trial solu on Eq. (166) into the momentum and con nuity equa ons, Eqs. (142)-(144), leads to

0

0

𝛿 𝑢̂̃𝑧𝑧̃ ̃ − 𝑖𝑢̂̃ =

1 0̂̃ 𝜁 , 𝜆2 𝑥̃

(167)

0 0 𝐵̃ 0 𝑢̂̃𝑥̃ + 𝑤̂̃ 𝑧̃ + 𝑥̃ 𝑢̂̃ = 0, 𝐵̃

(168)

0

0 𝐵̃ 𝜕 + 𝑥̃ ) ∫ 𝑢̂̃ 𝑑𝑧 ̃ = 0, 𝑖𝜁 + ( 𝜕 𝑥̃ 𝐵̃ 0

̂̃

(169)

−𝐻̃

Horizontal velocity First, the momentum equa on (167) is solved to obtain an expression for the horizontal velocity amplitude 0 𝑢̂̃ . This equa on is subject to the no stress boundary condi on (148) at the free surface 𝑧 ̃ = 0 and the par al slip boundary condi on (149) at the bo om 𝑧 ̃ = −𝐻.̃ Using the solu on (166), these boundary condi ons transform into

0 𝐴𝑣 𝑢̂̃𝑧̃(𝑥,̃ 0) = 0, 0 𝑢̂̃𝑧̃(𝑥,̃ −𝐻)̃

(170) 0

− 𝜃𝑢̂̃ (𝑥,̃ −𝐻)̃ = 0,

(171)

respec vely. The general solu on of Eq. (167) can be expressed in the form 0 𝑢̂̃ = 𝑢̃0𝑐 + 𝑢̃0𝑝 ,

(172)

where the par cular solu on 𝑢̃0𝑝 is any specific func on that sa sfies the nonhomogeneous equa on (167) and the complementary solu on 𝑢̃0𝑐 is a general solu on of the corresponding homogeneous equa on. As it is assumed here that the ver cal eddy viscosity is independent of 𝑧,̃ the homogeneous equa on can be wri en as 0 𝑖 0 𝑢̂̃𝑧𝑧̃ ̃ − 𝑢̂̃ = 0, 𝛿

(173)

and the characteris c equa on is 2 𝑟M ̃ 2−

𝑖 = 0. 𝛿

(174)

Consequently, the complementary solu on 𝑢̃0𝑐 reads 𝑢̃0𝑐 = 𝐶1 𝑒𝑟̃M2 𝑧̃ + 𝐶2 𝑒−𝑟̃M2 𝑧̃,

Final version

WL2017R13_103_3

(175)

A7

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout with 𝑖 𝑟M ̃ 2 =√ . 𝛿

(176)

0 ̂ From Eq. (167) it follows that 𝑢̃0𝑝 is of the form 𝐶3 𝜁 𝑥̃ ̃ and, thus, 𝑢̃0𝑝,𝑧̃ = 𝑢̃0𝑝,𝑧𝑧̃ ̃ = 0. Subs tu on in Eq. (167) leads to

0 1 0̂ ̂ −𝑖𝐶3 𝜁 𝑥̃ ̃ = 2 𝜁 𝑥̃ ̃ , 𝜆

(177)

0 1 0̂ 𝑢̂̃ = 𝐶1 𝑒𝑟̃M2 𝑧̃ + 𝐶2 𝑒−𝑟̃M2 𝑧̃ − 2 𝜁 𝑥̃ ̃ . 𝑖𝜆

(178)

and thus 𝐶3 = −1/(𝑖𝜆2 ).

0 The general solu on of 𝑢̂̃ is thus

To obtain the coefficients 𝐶1 and 𝐶2 , the boundary condi ons (170) and (171) are used. Subs tu ng Eq. (178) into Eq. (170) yields 𝐴𝑣 (𝑟M ̃ 2 𝐶1 − 𝑟M ̃ 2 𝐶2 ) = 0,

(179)

implying that 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶. Subsequently, subs tu ng Eq. (178) into Eq. (171) and solving for 𝐶 leads to

𝐶=

0 1 1 𝜃 ̂̃ 𝜁 . 𝑥̃ ̃ ̃ 2 𝑖𝜆2 𝑟M ̃ 2 sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻) + 𝜃 cosh(𝑟M ̃ 2 𝐻)

(180)

0 Subs tu ng Eq. (180) into the general equa on for 𝑢̂̃ , Eq. (178), and rewri ng in terms of hyperbolic func ons 0 results in the expression for the horizontal velocity amplitude 𝑢̃̂ , i.e.

0 1 0̂ ̃ 2 cosh(𝑟M ̃ 2 𝑧)̃ − 1) , 𝑢̂̃ = 2 𝜁 𝑥̃ ̃ (𝛼M 𝑖𝜆

(181)

with

𝛼M ̃ 2 (𝑥)̃ =

𝜃 . ̃ 𝑟M ̃ 2 sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻) + 𝜃 cosh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃

(182)

Surface eleva on 0 Next, the solu on (166) along with the solu on for 𝑢̂̃ are subs tuted into the depth-averaged con nuity equa on (169). With the third term on the le -hand side of Eq. (169)

A8

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

0

𝛼M ̃ 2 0 𝐵̃ 𝑥̃ 1 0̂ 𝐵̃ ̃ 2 𝑧))] ̃ ∫ 𝑢̂̃ 𝑑𝑧 ̃ = 𝑥̃ [− 2 𝜁 𝑥̃ ̃ (𝑧 ̃ − sinh(𝑟M 𝑖𝜆 𝑟M ̃ 2 𝐵̃ 𝐵̃ −𝐻̃

=

0

,

(183)

−𝐻̃

𝛼M ̃ 2 𝐵̃ 𝑥̃ 1 0̂̃ ̃ , 𝜁 ( sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ − 𝐻) ̃ 𝐵̃ 𝑖𝜆2 𝑥̃ 𝑟M

(184)

2

and the second term on the le -hand side of Eq. (169)

0

𝛼M ̃ 0 1 0̂ ⎛ ⎞ ̃ ⎜ ̃ = ( 2 𝜁 𝑥̃ ̃ ( 2 sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ − 𝐻)) , ⎜∫ 𝑢̂̃ 𝑑𝑧⎟ ⎟ 𝑖𝜆 𝑟M ̃ 2 𝑥̃ ⎝−𝐻̃ ⎠𝑥̃ =−

(185)

0 0 0 𝛼̃ 1 M2 ̂̃ ̃ + 𝜁 ̂̃ 𝐻̃𝑥̃ − 𝜁 ̂̃ [ 𝐻 ̃ 2 𝐻)̃ 𝜁 sinh(𝑟M 2 𝑥 ̃ 𝑥 ̃ 𝑥 ̃ 𝑥 ̃ 𝑥 ̃ 𝑖𝜆 𝑟M ̃ 2

(186)

0 𝛼M ̃ ,𝑥̃ 𝑟M ̃ 2 − 𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 𝛼M ̃ 2 ̂ ̃ ̃ 𝑟M − 𝜁 𝑥̃ ̃ ( 2 sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ + ̃ 2 𝐻̃𝑥̃ + 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 𝐻))] . cosh(𝑟M ̃ 2 𝐻)( 2 𝑟M ̃ 2 𝑟M ̃ 2

(187) 0

̂

Eq. (169) then gives a second-order linear ordinary differen al equa on (ODE) as a func on of 𝜁 ̃ 0 0 0 ̂ ̂ ̂ 𝑇1̃ 𝜁 𝑥̃ ̃ 𝑥̃ + 𝑇2̃ 𝜁 𝑥̃ ̃ − 𝜆2 𝜁 ̃ = 0,

(188)

with

𝑇1̃ =

𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2

𝑇2̃ = (

sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ − 𝐻,̃

𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 𝐻̃ 𝑟̃

(189)

+ 𝛼M ̃ 2 𝐻̃𝑥̃ ) cosh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ −

𝛼M ̃ 𝐵̃ 𝑥̃ 𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 1 (− 2 ) sinh(𝑟M − 𝛼M ̃ 2 ,𝑥̃ + ̃ 2 𝐻)̃ 𝑟M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 𝐵̃ (190)

−

𝐵̃ 𝑥̃ ̃ 𝐻 − 𝐻̃𝑥̃ . 𝐵̃

Eq. (188) is subject to the boundary condi ons at the seaward, 𝑥̃ = 0, and landward side of the estuary, 𝑥̃ = 1,

0 ̂ 𝜁 ̃ (0) = 1,

(191)

0 ∫ 𝑢̂̃ (1)𝑑𝑧 ̃ = 0.

(192)

0

−𝐻̃

Final version

WL2017R13_103_3

A9

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Eq. (188) generally needs to be solved numerically because of the non-constant coefficients in the ODE. A 0 ̂ special case in which an analy cal solu on for 𝜁 ̃ can be found is when 𝛼M ̃ 2 , 𝑟M ̃ 2 , 𝐻̃ and 𝐵̃ 𝑥̃ /𝐵̃ are uniform in the 𝑥-direc ̃ on and thus their deriva ves w.r.t. 𝑥̃ are zero. A er rearranging terms, Eq. (188) then reduces to 0 𝐵̃ 0̂ ̂ 𝜁 𝑥̃ ̃ 𝑥̃ + 𝑥̃ 𝜁 𝑥̃ ̃ − 𝐵̃

𝜆2 𝛼̃ M2 𝑟̃M2

sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ − 𝐻̃

0 ̂ 𝜁 ̃ = 0.

(193)

0 ̂ Assuming 𝜁 ̃ = 𝑒𝑝𝑡̃ to be a solu on to Eq. (193), it follows that 𝑝 must be a root of the characteris c equaon

𝑝2 +

𝐵̃ 𝑥̃ 𝑝− 𝐵̃

𝜆2 𝛼̃ M2 𝑟̃M2

sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ − 𝐻̃

= 0,

(194)

which has solu ons ̃

̃

2

− 𝐵𝑥̃ ̃ ± √( 𝐵𝑥̃ ̃ ) + 𝐵 𝐵 𝑝1,2 =

𝛼̃ M 2 𝑟̃M 2

4𝜆2 ̃ 𝐻̃ sinh(𝑟̃M2 𝐻)−

2

.

(195)

0 ̂ The general solu on of 𝜁 ̃ thus reads 0 ̂ 𝜁 ̃ = 𝑐1 𝑒𝑝1 𝑥̃ + 𝑐2 𝑒𝑝2 𝑥̃ .

(196)

Using the boundary condi on at the seaward side of the estuary, Eq. (191), it follows that 𝑐1 + 𝑐2 = 1. From 0 ̂ the landward boundary condi on, Eq. (192), it follows that 𝜁 𝑥̃ ̃ (1) = 0. Se ng the deriva ve of Eq. (196) equal to zero, leads to the following expressions for 𝑐1 and 𝑐2 :

𝑐1 = − 𝑐2 =

𝑝2 𝑒𝑝2 , 𝑝1 𝑒𝑝1 − 𝑝2 𝑒𝑝2 𝑝1 𝑒𝑝1 . 𝑝1 𝑒𝑝1 − 𝑝2 𝑒𝑝2

(197) (198)

0 ̂ The solu on for 𝜁 ̃ is 0 ̂ 𝜁̃ = −

𝑝1 𝑒𝑝1 𝑝2 𝑒𝑝2 𝑝1 𝑥̃ 𝑒 + 𝑒𝑝2 𝑥̃ . 𝑝1 𝑒𝑝1 − 𝑝2 𝑒𝑝2 𝑝1 𝑒𝑝1 − 𝑝2 𝑒𝑝2

(199)

For readability Eq. (199) can be rewri en in hyperbolic form. Introducing 𝑝1,2 = −𝛽 ± 𝛽Γ,

(200)

with

A10

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

1 𝐵̃ 𝑥̃ , 2 𝐵̃ √ Γ=√ √1 + 𝛽=

⎷

(201) 𝜆2 𝛼̃ ̃ 𝛽 2 ( 𝑟̃ M2 sinh(𝑟M ̃ 2 𝐻)̃ − 𝐻)

,

(202)

M2

0 ̂ the hyperbolic expression for the surface eleva on 𝜁 ̃ of a converging channel with constant coefficients is

0 Γ cosh (𝛽Γ(𝑥̃ − 1)) + sinh (𝛽Γ(𝑥̃ − 1)) −𝛽𝑥̃ ̂ 𝜁̃ = [ ]𝑒 . Γ cosh (𝛽Γ) − sinh (𝛽Γ)

(203)

Ver cal velocity 0 0 Finally, the ver cal velocity 𝑤̂̃ can be found by subs tu ng the expression for 𝑢̂̃ into the con nuity equa0 on (168). This results in an expression for 𝑤̂̃ : 𝑧̃

0 0 0 1 𝐵̃ 1 𝐵̃ ̂ ̂ ̃ 2 𝑧)) ̃ 𝜁 𝑥̃ ̃ 𝑥̃ − 2 ((𝛼M ̃ 2 ) cosh(𝑟M ̃ 2 𝑧)̃ + 𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 𝑧 ̃ sinh(𝑟M ̃ 2 𝑧)̃ + 𝑥̃ ) 𝜁 𝑥̃ ̃ . 𝑤̂̃ 𝑧̃ = 2 (1 − 𝛼M ̃ 2 cosh(𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ + 𝑥̃ 𝛼M 𝑖𝜆 𝑖𝜆 𝐵̃ 𝐵̃ (204)

Integra ng Eq. (204) results in

0 𝛼M ̃ 2 0 1 ̂ 𝑤̂̃ = 2 (𝑧 ̃ − sinh(𝑟M ̃ 2 𝑧)) ̃ 𝜁 𝑥̃ ̃ 𝑥̃ 𝑖𝜆 𝑟M ̃ 2

−

0 𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 1 𝐵̃ 𝑥̃ 𝐵̃ 𝑥̃ ̂̃ (( 𝛼 ̃ − ) sinh( 𝛼 ̃ − 𝑟 ̃ 𝑧) ̃ + 𝛼 ̃ 𝑟 ̃ 𝑧 ̃ cosh( 𝑟 ̃ 𝑧) ̃ + 𝑟 ̃ 𝑧) ̃ 𝜁 + 𝐼, M2 ,𝑥̃ M2 M2 M2 M2 ,𝑥̃ M2 M2 2 𝑥 ̃ 𝑖𝜆 𝑟M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 𝐵̃ 𝐵̃ (205)

where 𝐼 is an integra on constant that can be determined using the kinema c boundary condi on at the free surface 𝑧 ̃ = 0 0

0 ̂ 𝑤̂̃ (𝑥,̃ 0) = 𝑖𝜁 ̃ .

(206)

0 ̂ It follows that 𝐼 = 𝑖𝜁 ̃ and, consequently, the expression for the ver cal velocity amplitude is

0 0 0 ̂ ̂ ̂ 𝑤̂ 0 = 𝑇1̃ ′ 𝜁 𝑥̃ ̃ 𝑥̃ + 𝑇2̃ ′ 𝜁 𝑥̃ ̃ − 𝜆2 𝜁 ̃ ,

(207)

with

Final version

WL2017R13_103_3

A11

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

𝑇1̃ ′ = 𝑧 ̃ − 𝑇2̃ ′ = −

A1.2.2

𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2

̃ 2 𝑧), ̃ sinh(𝑟M

(208)

𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 𝐵̃ 1 𝐵̃ ̃ 2− ̃ 2 𝑧) ̃ 2 𝑧)̃ + 𝛼M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 ,𝑥̃ 𝑧 ̃ cosh(𝑟M ̃ 2 𝑧)̃ + 𝑥̃ 𝑟M ̃ . ((𝛼M ̃ 2 ,𝑥̃ − 𝑥̃ 𝛼M ) sinh(𝑟M 𝑟M ̃ 2 𝑟M ̃ 2 𝐵̃ 𝐵̃ (209)

First order solu ons

For ease of reference, the first order system of equa ons is repeated here

𝛿 𝑢̃1𝑧𝑧̃ ̃ − 𝑢̃1𝑡̃ = 𝑢̃1𝑥̃ + 𝑤̃ 𝑧1̃ +

1 1̃ 𝜁 + 𝜉 ̃ − 𝜇⟨𝑠𝑥̃ ̃ ⟩𝑧,̃ 𝜆2 𝑥̃

(210)

𝐵̃ 𝑥̃ 1 𝑢̃ = 0, 𝐵̃

(211) 0

𝜕 𝐵̃ ⎛ ⎞ ∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧 ̃ + 𝛾̃ ⎟ 𝜁𝑡1̃ ̃ + ( + 𝑥̃ ) ⎜ ⎜ ⎟ = 0, 𝜕 𝑥̃ 𝐵̃ ⎝−𝐻̃ ⎠ where we have introduced the following simplifying dimensionless quan

es

̃ 𝜉(̃ 𝑥,̃ 𝑧,̃ 𝑡)̃ = 𝑢̃0 (𝑥,̃ 𝑧,̃ 𝑡)̃ 𝑢̃0𝑥̃ (𝑥,̃ 𝑧,̃ 𝑡)̃ + 𝑤̃ 0 (𝑥,̃ 𝑧,̃ 𝑡)̃ 𝑢̃0𝑧̃(𝑥,̃ 𝑧,̃ 𝑡), ̃ 𝛾(̃ 𝑥,̃ 𝑡)̃ = 𝜁 0̃ (𝑥,̃ 𝑡)̃ 𝑢̃0 (𝑥,̃ 𝑡)∣ , 𝑧=0 ̃

̃ 𝜒(̃ 𝑥,̃ 𝑡)̃ = 𝜁 0̃ (𝑥,̃ 𝑡)̃ 𝑢̃0𝑧𝑧̃ ̃(𝑥,̃ 𝑡)∣

𝑧=0 ̃

(212)

.

(213) (214) (215)

Here, 𝜉 ̃ represents advec on of momentum and 𝛾̃ is related to the dal return or stokes flow, which is the result of a posi ve correla on between the zeroth order ver cal and horizontal de. Finally, 𝜒̃ originates from the first order contribu on of the stress free boundary condi on.

The corresponding boundary condi ons are

𝜁 1̃ =

𝐴M4

cos(2𝑡 ̃ − 𝜑),

at 𝑥̃ = 0,

(216)

at 𝑥̃ = 1,

(217)

𝑤̃ 1 = 𝜁𝑡1̃ ̃ + 𝜁𝑥0̃ ̃ 𝑢̃0 − 𝜁 0̃ 𝑤̃ 𝑧0̃,

at 𝑧 ̃ = 0,

(218)

𝐴𝑣 𝑢̃1𝑧̃ = −𝐴𝑣 𝜒,̃

at 𝑧 ̃ = 0,

(219)

𝑢̃1𝑧̃ = 𝜃𝑢̃1 ,

at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(220)

𝐴M2

0

∫ 𝑢̃1 𝑑𝑧 ̃ + 𝛾̃ = − −𝐻̃

𝑄 𝐵0 𝐻0 𝑈 𝐵̃

,

𝑤̃ = −𝑢̃ 𝐻̃𝑥̃ , 1

A12

1

WL2017R13_103_3

(221)

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout As is apparent from Eq. (210)-(221), the first order velocity and water level are forced externally by an M4 dal component and a constant river discharge and internally by the salinity gradient, the leading order advec on, and dal return flow (stokes flow). Since we assumed solu ons with a M2 dal frequency, Eq. (166), the product of two leading order forcing terms, Eqs. (213)-(215), with an M2 frequency result in a residual (M0 ) and a M4 frequency as follows. The solu ons, Eq. (166), can be wri en in the following form 0

(𝑢̃0 , 𝑤̃ 0 , 𝜁 0̃ ) =

1 2

0 0 ̂ (𝑢̂̃ (𝑥,̃ 𝑧), ̃ 𝑤̂̃ (𝑥,̃ 𝑧), ̃ 𝜁 ̃ (𝑥)) ̃ 𝑒𝑖𝑡̃ +

∗

1 2

0∗

∗

0 0 ̂ (𝑢̂̃ (𝑥,̃ 𝑧), ̃ 𝑤̂̃ (𝑥,̃ 𝑧), ̃ 𝜁 ̃ (𝑥)) ̃ 𝑒−𝑖𝑡̃,

(222)

where the superscript (.)∗ denotes the complex conjugate (c.c.) of that quan ty. The product of two leading order variables appearing in the forcing terms Eqs. (213)-(215), e.g. 𝛾̃ = 𝜁 0̃ 𝑢̃0 ∣ , thus result in a residual 𝑧=0 ̃ (M0 ) and a M4 contribu on

0

𝛾̃ = =

1 4

̂̃

𝑖𝑡 ̃

[𝜁 𝑒

0∗

∗

0 ̂ + 𝜁 ̃ 𝑒−𝑖𝑡̃] [ 𝑢̂̃ ∣

0 𝑒𝑖𝑡̃ + 𝑢̂̃ ∣ 𝑧=0 ̃

0∗ 0 ̂

0 0∗ ̂

𝑒−𝑖𝑡̃] , 𝑧=0 ̃ 0∗

0 0 ̂

∗

̂ 0 [ 𝜁 ̃ 𝑢̂̃ ∣ + 𝜁 ̃ 𝑢̂̃ ∣ 𝑒2𝑖𝑡̃ + 𝜁 ̃ 𝑢̂̃ ∣ ] + 14 [ 𝜁 ̃ 𝑢̂̃ ∣ 𝑒−2𝑖𝑡̃], 𝑧=0 ̃ 𝑧=0 ̃ 𝑧=0 ̃ 𝑧=0 ̃ ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 1 4

M0

(223)

M4

= ⟨𝛾⟩̃ + [𝛾], ̃

(224)

In the following analysis we will derive the equa ons and solu ons for the residual and M4 contribu ons to the surface eleva on and the ver cal and horizontal veloci es. Thereby, we will use ⟨.⟩ and [.] to denote the residual (M0 ) or me-averaged and M4 contribu on, respec vely.

Residual flow velocity (M0 ) The equa ons for the residual flow are obtained by taking the de-averaged component of the first order equa ons. The momentum equa on with its boundary condi ons is then given by

10 𝜇 1 10 1 ̂ ̂ 𝑢̂̃𝑧𝑧̃ ̃ = 2 𝜁 𝑥̃ ̃ + ⟨𝜉⟩̃ − ⟨𝑠𝑥̂̃ ̃ ⟩𝑧,̃ 𝛿𝜆 𝛿 𝛿 10 ̂̃ 𝜁 = 0,

at 𝑥̃ = 0,

(226)

at 𝑥̃ = 1,

(227)

̂̃ = −⟨𝜒⟩,

at 𝑧 ̃ = 0,

(228)

10 = 𝜃𝑢̂̃ ,

at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃

(229)

0 10 ∫ 𝑢̂̃ 𝑑𝑧 ̃ = − −𝐻̃ 10 𝑢̂̃𝑧̃ 10 𝑢̂̃𝑧̃

(225)

𝑄 𝐵0 𝐻0 𝑈 𝐵̃

̂̃ − ⟨𝛾⟩,

where the first number in the superscript refers to the order and the second number to the frequency. Since 10 the solu on to 𝑢̂̃ is linear, it can be constructed by adding the contribu ons of the different forcing terms to the residual velocity, i.e.

10 𝑢̂̃ = 𝑢̃salt + 𝑢̃adv + 𝑢̃no-stress + 𝑢̃river + 𝑢̃stokes .

Final version

WL2017R13_103_3

(230)

A13

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout The expressions for the contribu on of each forcing term to the residual velocity can be derived by taking into account only the terms in the momentum equa on and appropriate boundary condi ons for each contribuon. For the remainder of this appendix, the contribu on name in the superscript of a quan ty denotes its (dimensionless) complex amplitude.

Salinity field For the salinity field contribu on, the equa ons become 1 salt 𝜇 𝜁 ̃ − ⟨𝑠𝑥̂̃ ̃ ⟩𝑧,̃ 𝛿𝜆2 𝑥̃ 𝛿 = 0,

𝑢̃salt 𝑧𝑧 ̃ ̃ = ̃ 𝜁 salt

(231) at 𝑥̃ = 0,

(232)

at 𝑥̃ = 1,

(233)

= 0,

at 𝑧 ̃ = 0,

(234)

= 𝜃𝑢̃salt ,

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(235)

0

∫ 𝑢̃salt 𝑑𝑧 ̃ = 0, −𝐻̃ 𝑢̃salt 𝑧̃ salt 𝑢̃𝑧̃

Integra ng Eq. (231) twice leads to 1 salt 1𝜇 ̂ 2 ⟨𝑠 ̃ ⟩𝑧 ̃ + 𝐶 salt , 𝜁𝑥̃ ̃ 𝑧 ̃ − 2 𝛿𝜆 2 𝛿 𝑥̃ 1 1 salt 1𝜇 ̂ 3 = ⟨𝑠 ̃ ⟩𝑧 ̃ + 𝐶 salt 𝑧 ̃ + 𝐷salt , 𝜁 ̃ 𝑧2̃ − 2 𝛿𝜆2 𝑥̃ 6 𝛿 𝑥̃

𝑢̃salt 𝑧̃ =

(236)

𝑢̃salt

(237)

where 𝐶 salt (𝑥)̃ and 𝐷salt (𝑥)̃ are integra on constants to be determined using the boundary condi ons. From the boundary condi on at 𝑧 ̃ = 0, Eq. (234), it follows that 𝐶 salt = 0. Subs tu ng Eqs. (236) and (237) into the boundary condi on at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ Eq. (235), and using 𝐶 salt = 0, results in the following expression for 𝐷salt :

𝐷salt = −

̃2 ̃ 𝐻̃ 1 𝐻̃ salt ̃ − 𝜇𝐻 ( 1 + 𝐻 ) ⟨𝑠𝑥̂̃ ̃ ⟩. + ) 𝜁 ( 𝑥̃ 2 𝛿𝜆 𝜃 2 2𝛿 𝜃 3

(238)

Subs tu ng 𝐶 salt = 0 and 𝐷salt , Eq. (238), into Eq. (237) results in

𝑢̃salt =

3 ̃3 ̃2 1 1 𝑧2̃ 𝐻̃ 2 𝐻̃ ̃ − ( 𝑧 ̃ + 𝐻 + 𝐻 ) 𝜇⟨𝑠𝑥̂̃ ̃ ⟩] . [ 2( − − ) 𝜁𝑥salt ̃ 𝛿 𝜆 2 2 𝜃 6 6 2𝜃

(239)

̃ is obtained by subs tu ng Eq. (239) into the boundary condi on at 𝑥̃ = 1, Eq. (233).

The expression for 𝜁𝑥salt ̃ Integra ng Eq. (239) and equalling to zero leads to

̃ =− 𝜁𝑥salt ̃

𝐻̃ 4 𝐻̃ 3 𝜆2 𝜇⟨𝑠𝑥̂̃ ̃ ⟩ ( + ) 8 2𝜃 𝐻̃ 3 𝐻̃ 2 ( + ) 3 𝜃

.

(240)

This is also referred to as gravita onal circula on. Numerically integra ng Eq. (240) with respect to 𝑥̃ leads to ̃ due to the the baroclinic pressure gradient and the constraint of an expression for the water level set-up 𝜁 salt no net transport.

A14

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Advec on of momentum:

For the advec on of momentum contribu on, the equa ons become

1 adv 1 ̂̃ 𝜁 ̃ + ⟨𝜉⟩, 𝛿𝜆2 𝑥̃ 𝛿 = 0,

𝑢̃adv 𝑧𝑧 ̃ ̃ = ̃ 𝜁 adv

(241) at 𝑥̃ = 0,

(242)

at 𝑥̃ = 1,

(243)

= 0,

at 𝑧 ̃ = 0,

(244)

= 𝜃𝑢̃adv ,

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(245)

0

∫ 𝑢̃adv 𝑑𝑧 ̃ = 0, −𝐻̃ 𝑢̃adv 𝑧̃ adv 𝑢̃𝑧̃

̂ Since the advec on term 𝜉 ̃ on the right-hand side of Eq. (241) is a func on of 𝑧,̃ we use the method of varia on of parameters to find a solu on for 𝑢̃adv . First, we must solve the homogeneous equa on 𝑢̃adv 𝑧𝑧 ̃ ̃ = 0, which leads to adv,h 𝑢̃adv ⋅ 𝑧 ̃ + 𝐷adv,h , ℎ =𝐶

(246)

where 𝐶 adv,h (𝑥)̃ and 𝐷adv,h (𝑥)̃ are integra on constants. Second, we solve the par cular equa on for the adv 2 ̃ water level forcing, 𝑢̃adv 𝑧𝑧 ̃ ̃ = 𝜁𝑥̃ /𝛿𝜆 , which leads to 𝑢̃adv ̃ = 𝑝,𝜁

1 1 adv 𝜁 ̃ 𝑧2̃ + 𝐶 adv,p 𝑧 ̃ + 𝐷adv,p , 2 𝛿𝜆2 𝑥̃

(247)

where 𝐶 adv,p (𝑥)̃ and 𝐷adv,p (𝑥)̃ are integra on constants. Third, we solve the par cular equa on for the ad̂̃ ̂̃ vec ve forcing, 𝑢̃adv ̃ so that 𝑧𝑧 ̃ ̃ = ⟨𝜉⟩/𝛿. Since 𝜉 is a func on of 𝑧,̃ we seek a pair of func ons, 𝑓(𝑥,̃ 𝑧)̃ and 𝑔(𝑥,̃ 𝑧), the par cular solu on reads 𝑢̃adv ̃ = 𝑓 𝑧 ̃ + 𝑔, 𝑝,𝜉

(248)

which has the same form as the homogeneous solu on, Eq. (246). The first deriva ve of 𝑢̃adv ̃ with respect to 𝑝,𝜉 𝑧 ̃ is (𝑢̃adv ̃ )𝑧̃ = 𝑓𝑧̃𝑧 ̃ + 𝑓 + 𝑔𝑧̃. 𝑝,𝜉

(249)

Now, let us assume that whatever 𝑓 and 𝑔 are, they will sa sfy the following 𝑓𝑧̃𝑧 ̃ + 𝑔𝑧̃ = 0.

(250)

The first deriva ve (𝑢̃adv ̃ )𝑧̃ is now equal to 𝑓 and the second deriva ve (𝑢̃adv ̃ )𝑧𝑧̃ ̃ equals 𝑓𝑧̃. Plugging the la er 𝑝,𝜉 𝑝,𝜉 into the original momentum equa on, Eq. (241), gives 1 ̂̃ 𝑓𝑧̃ = ⟨𝜉⟩. 𝛿 Final version

WL2017R13_103_3

(251)

A15

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Subs tu ng Eq. (251) into Eq. (250) gives 1 ̂ 𝑔𝑧̃ = − ⟨𝜉⟩̃ 𝑧.̃ 𝛿

(252)

Integra ng Eqs. (251) and (252) and subs tu ng into Eq. (248) leads to 𝑧̃

𝑢̃adv ̃ 𝑝,𝜉

𝑧̃

1⎡ ⎤ ̂̃ ′ ̂ = ⎢𝑧 ̃ ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 𝑧 ̃ − ∫ ⟨𝜉⟩̃ 𝑧′̃ 𝑑𝑧′̃ ⎥ . 𝛿 ⎣ −𝐻̃ ⎦ −𝐻̃

(253)

Adding Eqs. (246), (247) and (253), results in the full expression for 𝑢̃adv , viz. 𝑧̃

adv

𝑢̃

𝑧̃

1⎡ 1 ̃ 2 ⎤ ̂̃ ′ ̂ adv = ⎢ 2 𝜁𝑥adv 𝑧 ̃ − ∫ ⟨𝜉⟩̃ 𝑧′̃ 𝑑𝑧′̃ ⎥ , ⋅ 𝑧 ̃ + 𝐷adv + 𝑧 ̃ ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 ̃ 𝑧̃ + 𝐶 𝛿 2𝜆 ⎣ ⎦ −𝐻̃ −𝐻̃

(254)

where 𝐶 adv = (𝐶 adv,h + 𝐶 adv,p )𝛿 and 𝐷adv = (𝐷adv,h + 𝐷adv,p )𝛿. From the boundary condi on at 𝑧 ̃ = 0, Eq. (244), it follows that 0

𝐶

adv

̂̃ (𝑥)̃ = − ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 𝑧.̃

(255)

−𝐻̃

Subs tu ng Eq. (254) and Eq. (255) into the boundary condi on at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ Eq. (245), results in the following expression for 𝐷adv 0

𝐻̃ 1 𝐻̃ ̂̃ ̃ − [ 1 + 𝐻] ̃ ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 𝑧.̃ 𝐷adv (𝑥)̃ = − 2 [ + ] 𝜁𝑥adv ̃ 𝜆 𝜃 2 𝜃

(256)

−𝐻̃

Subs tu ng the expressions for 𝐶 adv and 𝐷adv into Eq. (254) results in 0

adv

𝑢̃

𝑧̃

𝑧̃

1⎡ 1 𝐻̃ 2 𝐻̃ 𝑧2̃ ⎤ ̂̃ ̂̃ ′ ̂ ̃ − (𝑧 ̃ + 𝐻̃ + 1 ) ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 = ⎢ 2( − − ) 𝜁𝑥adv 𝑧 ̃ + 𝑧 ̃ ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 𝑧 ̃ − ∫ ⟨𝜉⟩̃ 𝑧′̃ 𝑑𝑧′̃ ⎥ . ̃ 𝛿 𝜆 2 2 𝜃 𝜃 ⎣ ⎦ −𝐻̃ −𝐻̃ −𝐻̃

(257)

̃ is obtained by subs tu ng Eq. (257) into the boundary condi on at 𝑥̃ = 1, Eq. (243).

The expression for 𝜁𝑥adv ̃ Integra ng Eq. (257) and equalling to zero leads to 0

̃ 𝜁𝑥adv ̃

𝑧̃

𝑧̃

0

𝐻̃ 2 𝐻̃ ⎡ ⎤ ̂̃ ̂̃ ′ ̂ 𝜆2 ∫ ⎢𝑧 ̃ ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 + ) ∫ ⟨𝜉⟩𝑑 𝑧̃ 𝑧 ̃ − ∫ ⟨𝜉⟩̃ 𝑧′̃ 𝑑𝑧′̃ ⎥ 𝑑𝑧 ̃ − 𝜆2 ( 2 𝜃 ̃ ⎣ −𝐻̃ ⎦ −𝐻 −𝐻̃ −𝐻̃ = .

3 2 𝐻̃ 𝐻̃ ( + ) 3 𝜃

(258)

Numerically integra ng Eq. (258) with respect to 𝑥̃ leads to an expression for the water level set-up or set-down ̃ due to the advec on of momentum. 𝜁 adv

A16

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout Stress free boundary condi on: For the contribu on of the stress free boundary condi on, the equa ons become

1 no-stress 𝜁̃ , 𝛿𝜆2 𝑥̃ = 0,

𝑢̃no-stress = 𝑧𝑧 ̃ ̃ ̃ 𝜁 no-stress

(259) at 𝑥̃ = 0,

(260)

at 𝑥̃ = 1,

(261)

̂̃ 𝑢̃no-stress = −⟨𝜒⟩, 𝑧̃

at 𝑧 ̃ = 0,

(262)

𝑢̃no-stress = 𝜃𝑢̃no-stress , 𝑧̃

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(263)

0

∫ 𝑢̃no-stress 𝑑𝑧 ̃ = 0, −𝐻̃

Integra ng Eq. (259) twice leads to

1 no-stress 𝑧 ̃ + 𝐶 no-stress , 𝜁̃ 𝛿𝜆2 𝑥̃ 1 1 no-stress = 𝑧2̃ + 𝐶 no-stress 𝑧 ̃ + 𝐷no-stress , 𝜁̃ 2 𝛿𝜆2 𝑥̃

𝑢̃no-stress = 𝑧̃

(264)

𝑢̃no-stress

(265)

where 𝐶 no-stress (𝑥)̃ and 𝐷no-stress (𝑥)̃ are integra on constants to be determined using the boundary condi ons.

From the boundary condi on at 𝑧 ̃ = 0, Eq. (262), it follows that ̂̃ 𝐶 no-stress = −⟨𝜒⟩.

(266)

Subs tu ng Eqs. (264) and (265) into the boundary condi on at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ Eq. (263), and using the expression for 𝐶 no-stress , yields

𝐷no-stress = −

1 𝐻̃ 1 𝐻̃ ̂̃ ̃ ̃ ⟨𝜒⟩. ( + ) 𝜁𝑥no-stress − ( + 𝐻) ̃ 2 𝛿𝜆 𝜃 2 𝜃

(267)

Subs tu ng the expressions for 𝐶 no-stress and 𝐷no-stress into Eq. (265) results in

𝑢̃no-stress =

1 𝑧2̃ 𝐻̃ 2 𝐻̃ 1 ̂̃ ̃ ( − − ) 𝜁𝑥no-stress − (𝑧 ̃ + 𝐻̃ + ) ⟨𝜒⟩. ̃ 2 𝛿𝜆 2 2 𝜃 𝜃

(268)

̃ The expression for 𝜁𝑥no-stress is obtained by subs tu ng Eq. (268) into the boundary condi on at 𝑥̃ = 1, Eq. (261). ̃ Integra ng Eq. (268) and equalling to zero leads to

̃ =− 𝜁𝑥no-stress ̃

𝐻̃ 2 𝐻̃ 𝛿𝜆2 ⟨𝜒⟩̂̃ ( + ) 2 𝜃 𝐻̃ 3 𝐻̃ 2 ( + ) 3 𝜃

.

(269)

Numerically integra ng Eq. (269) with respect to 𝑥̃ leads to an expression for the water level set-up or set-down ̃ 𝜁 no-stress due to the stress free boundary condi on.

Final version

WL2017R13_103_3

A17

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout River ou low: For the contribu on of the river flow, the equa ons become

1 river 𝜁̃ , 𝛿𝜆2 𝑥̃ = 0,

𝑢̃river 𝑧𝑧 ̃ ̃ = ̃ 𝜁 river

(270)

0

∫ 𝑢̃river 𝑑𝑧 ̃ = − −𝐻̃ 𝑢̃river 𝑧̃ 𝑢̃river 𝑧̃

𝑄 𝐵0 𝐻0 𝑈 𝐵̃

,

= 0, river

= 𝜃𝑢̃

,

at 𝑥̃ = 0,

(271)

at 𝑥̃ = 1,

(272)

at 𝑧 ̃ = 0,

(273)

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(274)

Integra ng Eq. (270) twice leads to

1 river 𝜁 ̃ 𝑧 ̃ + 𝐶 river , 𝛿𝜆2 𝑥̃ 1 1 river = 𝜁 ̃ 𝑧2̃ + 𝐶 river 𝑧 ̃ + 𝐷river , 2 𝛿𝜆2 𝑥̃

𝑢̃river = 𝑧̃

(275)

𝑢̃river

(276)

where 𝐶 river (𝑥)̃ and 𝐷river (𝑥)̃ are integra on constants to be determined using the boundary condi ons. From the boundary condi on at 𝑧 ̃ = 0, Eq. (273), it follows that 𝐶 river = 0. Subs tu ng Eqs. (275) and (276) into the boundary condi on at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ Eq. (274), and using the expression for 𝐶 river , yields

𝐷river = −

𝐻̃ 1 𝐻̃ ̃ . + ) 𝜁𝑥river ( ̃ 𝛿𝜆2 𝜃 2

(277)

Subs tu ng the expressions for 𝐶 river and 𝐷river into Eq. (276) results in

𝑢̃river =

1 𝑧2̃ 𝐻̃ 2 𝐻̃ ̃ . ( − − ) 𝜁𝑥river ̃ 𝛿𝜆2 2 2 𝜃

(278)

̃ can be obtained by subs tu ng Eq. (278) into the boundary condi on at 𝑥̃ = 1, The expression for 𝜁𝑥river ̃ Eq. (272). This leads to

̃ 𝜁𝑥river = ̃

𝛿𝜆2 𝑄 . 𝐻̃ 3 𝐻̃ 2 ̃ 𝐵0 𝐻0 𝑈 𝐵 ( + ) 3 𝜃

(279)

̃ Numerically integra ng Eq. (279) with respect to 𝑥̃ leads to an expression for the water level set-up 𝜁 river due to river ou low.

Stokes return flow: For the contribu on of the Stokes return flow, the equa ons become

A18

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

1 stokes , 𝜁̃ 𝛿𝜆2 𝑥̃ = 0,

𝑢̃stokes = 𝑧𝑧 ̃ ̃ ̃ 𝜁 stokes

(280) at 𝑥̃ = 0,

(281)

at 𝑥̃ = 1,

(282)

at 𝑧 ̃ = 0,

(283)

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(284)

0

̂̃ ∫ 𝑢̃stokes 𝑑𝑧 ̃ = −⟨𝛾⟩, −𝐻̃ 𝑢̃stokes 𝑧̃ 𝑢̃stokes 𝑧̃

= 0, stokes

= 𝜃𝑢̃

,

Integra ng Eq. (280) twice leads to

1 stokes 𝑧 ̃ + 𝐶 stokes , 𝜁̃ 𝛿𝜆2 𝑥̃ 1 1 stokes 𝑧2̃ + 𝐶 stokes 𝑧 ̃ + 𝐷stokes , = 𝜁̃ 2 𝛿𝜆2 𝑥̃

𝑢̃stokes = 𝑧̃

(285)

𝑢̃stokes

(286)

where 𝐶 stokes (𝑥)̃ and 𝐷stokes (𝑥)̃ are integra on constants to be determined using the boundary condi ons.

From the boundary condi on at 𝑧 ̃ = 0, Eq. (283), it follows that 𝐶 stokes = 0. Subs tu ng Eqs. (285) and (286) into the boundary condi on at 𝑧 ̃ = −𝐻,̃ Eq. (284), and using the expression for 𝐶 stokes , yields

𝐷stokes = −

𝐻̃ 1 𝐻̃ ̃ . ( + ) 𝜁𝑥stokes ̃ 𝛿𝜆2 𝜃 2

(287)

Subs tu ng the expressions for 𝐶 stokes and 𝐷stokes into Eq. (286) results in

𝑢̃stokes =

1 𝐻̃ 2 𝐻̃ 𝑧2̃ ̃ − − ) 𝜁𝑥stokes . ( ̃ 𝛿𝜆2 2 2 𝜃

(288)

̃ The expression for 𝜁𝑥stokes can be obtained by subs tu ng Eq. (288) into the boundary condi on at 𝑥̃ = 1, ̃ Eq. (282). This leads to ̃ = 𝜁𝑥stokes ̃

𝛿𝜆2 ⟨𝛾⟩̂̃ . 𝐻̃ 3 𝐻̃ 2 ( + ) 3 𝜃

(289)

̃ Numerically integra ng Eq. (289) with respect to 𝑥̃ leads to an expression for the water level set-up 𝜁 stokes due to the landward net transport of water induced by the de.

M4 flow velocity The equa ons for the M4 flow are obtained by taking the M4 -component of the first order equa ons. The momentum equa on, depth-averaged con nuity equa on and the appropriate boundary condi ons are then given by

Final version

WL2017R13_103_3

A19

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

14 14 1 14 ̂ ̂ 𝛿 𝑢̂̃𝑧𝑧̃ ̃ − 2𝑖𝑢̂̃ = 2 𝜁 𝑥̃ ̃ + 2[𝜉],̃ 𝜆

(290)

0

𝜕 𝐵̃ ⎛ ⎞ ∫ 𝑢̃14 𝑑𝑧 ̃ + 2[𝛾]̂̃ ⎟ + 𝑥̃ ) ⎜ 2𝑖𝜁 + ( ⎜ ⎟ = 0, 𝜕 𝑥̃ 𝐵̃ ⎝−𝐻̃ ⎠ 14 𝐴M4 ̂ 𝜁̃ = 𝑒−𝑖𝜑 , 𝐴M2 14

̂̃

(291)

at 𝑥̃ = 0,

(292)

at 𝑥̃ = 1,

(293)

at 𝑧 ̃ = 0,

(294)

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(295)

0 14 ̂̃ ∫ 𝑢̃̂ 𝑑𝑧 ̃ = −2[𝛾], −𝐻̃ 14 𝑢̂̃𝑧̃ 14 𝑢̂̃𝑧̃

̂̃ = −2[𝜒], 14

= 𝜃𝑢̂̃ ,

14 Similar to the residual velocity, the solu on to 𝑢̂̃ is linear and can therefore be constructed by adding the contribu ons of the different forcing terms, i.e.

14 𝑢̃̂ = 𝑢̃

de

+ 𝑢̃adv + 𝑢̃no-stress + 𝑢̃stokes

(296)

No ce, that the salinity field and the river ou low have no M4 component and that an addi onal forcing due to the externally imposed M4 - de is present. To derive the expressions for the different M4 velocity contribu ons only the appropriate terms due to the specific forcing are taking into account. Since an addi onal iner a term 14 (2𝑖𝑢̂̃ ) is present in the momentum equa on (290), solving it requires the same approach as was done for the M2 flow velocity. In the following, the different velocity contribu ons are derived.

M4 external de The solu on for the M4 flow velocity is derived in the same way as was done for the M2 flow velocity in Sec on A1.2.1. The only difference is that the forcing frequency is different, i.e. 𝑒2𝑖𝑡̃ instead of 𝑒𝑖𝑡̃. The equa ons for the M4 de are given by

𝛿 𝑢̃𝑧de 𝑧 ̃ ̃ − 2𝑖𝑢̃ 𝜁̃

de

=

de

=

1 ̃ de 𝜁 , 𝜆2 𝑥̃

𝐴𝑀4 −𝑖𝜑 𝑒 , 𝐴𝑀2

(297) at 𝑥̃ = 0,

(298)

at 𝑥̃ = 1,

(299)

at 𝑧 ̃ = 0,

(300)

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(301)

0

∫ 𝑢̃ −𝐻̃ 𝑢̃𝑧de ̃ de 𝑢̃𝑧̃

de

𝑑𝑧 ̃ = 0,

= 0, = 𝜃𝑢̃

de

,

Following the same deriva on steps as in Sec on A1.2.1, the solu on for the M4 flow velocity amplitude is 𝑢̃

A20

de

=

1 ̃ de 𝜁 (𝛼M ̃ 4 cosh(𝑟M ̃ 4 𝑧)̃ − 1), 2𝑖𝜆2 𝑥̃ WL2017R13_103_3

(302)

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout with

𝛼M ̃ 4=

𝜃 𝑟M ̃ 4 sinh(𝑟M ̃ 4 𝐻)̃ + 𝜃 cosh(𝑟M ̃ 4 𝐻)̃

𝑟M4 = √

,

2𝑖 . 𝛿

(303) (304)

To obtain the expression for 𝜁𝑥̃ de ̃ , Eq. (302) is subs tuted in the depth-averaged con nuity equa on (291). This leads to the following second-order linear homogeneous ODE for the water level 2 ̃ ̃ ̃ de 𝐹1̃ 𝜁𝑥̃ de ̃ 𝑥̃ + 𝐹2 𝜁𝑥̃ − 4𝜆 𝜁

de

= 0,

(305)

with

𝐹1̃ =

𝛼M ̃ 4 𝑟M ̃ 4

⎜ 𝐹2̃ = ⎛ ⎝ −

̃ 4 𝐻)̃ − 𝐻,̃ sinh(𝑟M

𝛼M ̃ 4 𝑟M ̃

̃

4 𝑥̃ 𝐻

𝑟M ̃ 4

(306)

𝛼M ̃ 𝐵̃ 𝑥̃ 𝛼M ̃ 4 𝑟M ̃ 4 ,𝑥̃ 1 ⎟ cosh(𝑟M + 𝛼M ̃ 4 𝐻̃𝑥̃ ⎞ (− 4 − 𝛼M ̃ 4 ,𝑥̃ + ) sinh(𝑟M ̃ 4 𝐻)̃ − ̃ 4 𝐻)̃ ̃ 𝑟M ̃ 4 𝑟M ̃ 4 𝐵 ⎠ (307)

𝐵̃ 𝑥̃ ̃ 𝐻 − 𝐻̃𝑥̃ . 𝐵̃

No ce that Eq. (305) is equal to Eq. (188) for the M2 water level, i.e. same coefficients 𝑇1̃ and 𝑇2̃ , except for a factor 4 in front of 𝜁 ̃ de due to the higher frequency of the M4 de. Eq. (305) needs to be solved numerically since the variables 𝛼M ̃ 4 , 𝑟M ̃ 4 and 𝐻̃ are func ons of the longitudinal coordinate 𝑥.̃ Advec on of momentum: sidered, become

The equa ons when the contribu on of the advec on of momentum is con-

adv 𝛿 𝑢̃adv = 𝑧𝑧 ̃ ̃ − 2𝑖𝑢̃

1 adv ̂ 𝜁𝑥̃ ̃ + 2[𝜉],̃ 2 𝜆

̃ = 0, 𝜁 adv

(308) at 𝑥̃ = 0,

(309)

at 𝑥̃ = 1,

(310)

at 𝑧 ̃ = 0,

(311)

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(312)

0

∫ 𝑢̃adv 𝑑𝑧 ̃ = 0, −𝐻̃ 𝑢̃adv 𝑧̃ 𝑢̃adv 𝑧̃

= 0, = 𝜃𝑢̃

adv

,

Deriving the expression for 𝑢̃adv , we can add the solu ons to the momentum equa on (308) due to the different forcing terms on the right-hand side of that equa on, i.e. adv adv 𝑢̃adv = 𝑢̃adv ℎ + 𝑢̃𝑝,𝜁 + 𝑢̃𝑝,𝜉 ,

Final version

WL2017R13_103_3

(313)

A21

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout adv where 𝑢̃adv ℎ is the solu on of the homogeneous equa on, 𝑢̃𝑝,𝜁 the solu on due to the water level forcing and 𝑢̃adv 𝑝,𝜉 the solu on due to the advec on of momentum. The steps to find a solu on for the first two contribu ons was already done for the leading order system in Sec on A1.2.1, and read for the homogeneous solu on

𝑟̃M4 𝑧̃ 𝑢̃adv + 𝐶2 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃, ℎ = 𝐶1 𝑒

(314)

with unknown factors 𝐶1 and 𝐶2 . The par cular solu on for the water level forcing is given by 𝑢̃adv 𝑝,𝜁 = −

1 adv 𝜁̃ , 2𝑖𝜆2 𝑥̃

(315)

Next, the solu on due to the advec on of momentum is found using the method of varia on of parameters.

This method was already introduced in the sec on on the contribu on of advec on of momentum to the residual flow velocity. What the method boils down to is finding a solu on that has a similar form as the solu on to the homogeneous equa on, but with different factors in front of the func ons 𝑓(𝑥,̃ 𝑧)̃ = 𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ and 𝑔(𝑥,̃ 𝑧)̃ = 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃. Hence, we seek func ons 𝐴(𝑥,̃ 𝑧)̃ and 𝐵(𝑥,̃ 𝑧), ̃ such that 𝑢̃adv 𝑝,𝜉 = 𝐴𝑓 + 𝐵𝑔,

(316)

is a general solu on of the non-homogeneous equa on. We need only to calculate the integrals

𝑧̃

𝐴(𝑥,̃ 𝑧)̃ = − ∫

1 𝑔(𝑥,̃ 𝑧′̃ )𝑏(𝑥,̃ 𝑧′̃ )𝑑𝑧′̃ , 𝑊

(317)

−𝐻̃ 𝑧̃

𝐵(𝑥,̃ 𝑧)̃ = ∫

1 𝑓(𝑥,̃ 𝑧′̃ )𝑏(𝑥,̃ 𝑧′̃ )𝑑𝑧′̃ , 𝑊

(318)

−𝐻̃

where 𝑊 is the Wronskian of the func ons 𝑓 and 𝑔 given by

𝑊 =∣

𝑓 𝑓

′

𝑔 𝑔

′

∣=∣

𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ 𝑟M ̃ 4𝑒

𝑟̃M4 𝑧̃

𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃ −𝑟̃M4 𝑧̃

−𝑟M ̃ 4𝑒

∣ = −𝑟M ̃ 4 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ − 𝑟M ̃ 4 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ = −2𝑟M ̃ 4 . (319)

̂ Furthermore, 𝑏(𝑥,̃ 𝑧)̃ = 2[𝜉]̃ is the non-homogeneous forcing term. Subs tu ng 𝑊 , 𝑓, 𝑔 and 𝑏 in Eqs. (317) and (318), results in

𝑧̃

1 ̂̃ −𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ , 𝐴(𝑥,̃ 𝑧)̃ = 𝑟M ̃ 4

(320)

−𝐻̃

𝑧̃

1 ̂̃ 𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ 𝐵(𝑥,̃ 𝑧)̃ = − ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ , 𝑟M ̃ 4

(321)

−𝐻̃

A22

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout The final general solu on to Eq. (241) can be found by adding Eqs. (314), (315) and (316) and reads 𝑢̃adv = 𝐶1 𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ + 𝐶2 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃ +

1 1 adv 𝐺 − 𝜁̃ , 𝑟M ̃ 4 1 2𝑖𝜆2 𝑥̃

(322)

with 𝑧̃

𝑧̃

𝐺1 = 𝑒

𝑟̃M4 𝑧̃

̂̃ 𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ ̂̃ −𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ 𝑑𝑧 ̃ − 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃ ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ . ∫ [𝜉]𝑒

(323)

−𝐻̃

−𝐻̃

The unknowns 𝐶1 and 𝐶2 are obtained using the boundary condi ons at the free surface, Eq. (311), and at the bo om, Eq. (312). At the free surface, 𝑢̃adv 𝑧̃ = 0. Taking the deriva ve of Eq. (322) with respect to 𝑧 ̃ and equalling to zero results in

0

𝐶1 𝑟M ̃ 4 − 𝐶2 𝑟M ̃ 4

0

1 ⎛ ̂̃ −𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ ̂ ̂̃ 𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ ⎞ ⎜ [𝜉]∣̂̃ + + 𝑟M ̃ 4 ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ − [𝜉]∣̃ + 𝑟M ̃ 4 ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ ⎟ ⎟ = 0. 𝑟M ̃ 4 ⎜ 𝑧=0 ̃ 𝑧=0 ̃ ⎝ ⎠ −𝐻̃ −𝐻̃

(324)

Rearranging this equa on leads to 𝐶2 = 𝐶 1 +

1 𝐺 , 𝑟M ̃ 4 2

(325)

with 0

0

̂̃ −𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ ̂̃ 𝑟̃M4 𝑧′̃ ′ 𝐺2 = ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ + ∫ [𝜉]𝑒 𝑑𝑧 ̃ . −𝐻̃

(326)

−𝐻̃

adv At the bo om, 𝑢̃adv . Subs tu ng the expression for 𝑢̃adv into Eq. (312) and rearranging results in 𝑧̃ = 𝜃𝑢̃

𝐶1 = −

̃ 4 1 adv 1 𝛼M 𝜃 ̃ ((1 + ) 𝐺2 𝑒𝑟̃M4 𝐻 − 𝜁̃ ).

2 𝜃 𝑟M ̃ 4 2𝑖𝜆2 𝑥̃

(327)

Subs tu ng the expressions for 𝐶1 and 𝐶2 into Eq. (322) gives

𝑢̃adv =

̃ 4 𝐺2 1 adv 𝐺1 𝛼M ̃ (𝛼̃ cosh(𝑟M ̃ + 𝜃 sinh(𝑟M ̃ 𝜁 ̃ − (𝑟M ̃ 4 cosh(𝑟M ̃ 4 (𝑧 ̃ + 𝐻)) 𝑧)−1)+ ̃ ̃ 4 (𝑧 ̃ + 𝐻))) . (328) 4 2𝑖𝜆2 𝑥̃ 𝑟M ̃ 4 𝜃 𝑟M ̃ 4

̃ , Eq. (328) is subs tuted into the depth-averaged con nuity equa on (291).

To obtain the expression for 𝜁𝑥adv ̃ This leads to the following second-order linear non-homogeneous ODE for the water level 2 adv ̃ = 𝐹adv ̃ + 𝐹2̃ 𝜁 adv ̃ ̃ , 𝐹1̃ 𝜁𝑥adv ̃ 𝑥̃ 𝑥̃ − 4𝜆 𝜁

Final version

WL2017R13_103_3

(329)

A23

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout with 0

̃ 𝐺2 1 ⎞ ̃ = ( 𝑑 + 𝐵𝑥̃ ) ⎛ ⎜ 𝐹adv (1 − 𝛼M ̃ 4) − ∫ 𝐺1 𝑑 𝑧 ⎟ ̃ , ⎜ ⎟ 2 𝑑𝑥 𝑟M ̃ 4 𝑟M ̃ 𝐵̃ 4 ⎝ ⎠ −𝐻̃

(330)

and 𝐹1̃ and 𝐹2̃ defined by Eqs. (306) and (307), respec vely. Eq. (329) needs to be solved numerically since the variables 𝛼M ̃ 4 , 𝑟M ̃ 4 and 𝐻̃ are func ons of the longitudinal coordinate 𝑥.̃ Stress free boundary condi on: The equa ons due to the contribu on of the stress free boundary condi on are given by

𝛿 𝑢̃no-stress − 2𝑖𝑢̃no-stress = 𝑧𝑧 ̃ ̃

1 no-stress 𝜁̃ , 𝜆2 𝑥̃

(331)

̃ = 0, 𝜁 no-stress

at 𝑥̃ = 0,

(332)

at 𝑥̃ = 1,

(333)

̂̃ 𝑢̃no-stress = −2[𝜒], 𝑧̃

at 𝑧 ̃ = 0,

(334)

𝑢̃no-stress = 𝜃𝑢̃no-stress , 𝑧̃

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(335)

0

∫ 𝑢̃no-stress 𝑑𝑧 ̃ = 0, −𝐻̃

The general solu on to the momentum equa on (331) is given by the contribu on due to the homogeneous equa on and the water level forcing. This solu on is obtained by adding Eqs. (314) and (315) and reads 𝑢̃no-stress = 𝐶1 𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ + 𝐶2 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃ −

1 no-stress 𝜁̃ .

2𝑖𝜆2 𝑥̃

(336)

The unknowns 𝐶1 and 𝐶2 are obtained using the boundary condi ons at the free surface and the bo om.

From the boundary condi on at the free surface, Eq. (334), it follows that

𝐶2 = 𝐶 1 +

2[𝜒]̂̃ . 𝑟M ̃ 4

(337)

Subsequently, it follows from the bo om boundary condi on, Eq. (335), that

𝐶1 =

𝛼M ̃ 4 𝜃

(

𝜃 𝜃 no-stress ̂̃ 𝑟̃M4 𝐻̃ ) . 𝜁𝑥̃ ̃ − (1 + ) [𝜒]𝑒 2 4𝑖𝜆 𝑟M ̃ 4

(338)

Subs tu ng the expressions for 𝐶1 and 𝐶2 , Eqs. (338) and (337), respec vely, into Eq. (336) results in

𝑢̃no-stress =

A24

2𝛼M ̃ 4 1 no-stress ̃ ̃ + 𝜃 sinh(𝑟M ̃ 𝜁 ( 𝛼 ̃ [𝜒]̂̃ (𝑟M ̃ 4 cosh(𝑟M cosh( 𝑟 ̃ ̃ 4 (𝑧 ̃ + 𝐻)) 𝑧) ̃ − 1) − ̃ 4 (𝑧 ̃ + 𝐻))) .

M4 M4 2𝑖𝜆2 𝑥̃ 𝜃𝑟M ̃ 4 (339)

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout ̃ To obtain the expression for 𝜁𝑥no-stress , Eq. (339) is subs tuted into the depth-averaged con nuity equa on (291). ̃ This leads to the following second-order linear non-homogeneous ODE for the water level ̃ ̃ ̃ ̃ 𝐹1̃ 𝜁𝑥no-stress + 𝐹2̃ 𝜁𝑥no-stress − 4𝜆2 𝜁 no-stress = 𝐹no-stress , ̃ 𝑥̃ ̃

(340)

with ̃ 𝐹no-stress =(

𝐵̃ 𝑑 2[𝜒]̂̃ + 𝑥̃ ) ( (1 − 𝛼M ̃ 4 )) , 𝑑𝑥 𝑟M ̃ 4 𝐵̃

(341)

and 𝐹1̃ and 𝐹2̃ defined by Eqs. (306) and (307), respec vely. Eq. (340) needs to be solved numerically since the variables 𝛼M ̃ 4 , 𝑟M ̃ 4 and 𝐻̃ are func ons of the longitudinal coordinate 𝑥.̃ Stokes return flow: The equa ons due to the contribu on of the Stokes return flow are given by

𝛿 𝑢̃stokes − 2𝑖𝑢̃stokes = 𝑧𝑧 ̃ ̃

1 stokes , 𝜁̃ 𝜆2 𝑥̃

(342)

̃ 𝜁 stokes = 0,

at 𝑥̃ = 0,

(343)

at 𝑥̃ = 1,

(344)

= 0,

at 𝑧 ̃ = 0,

(345)

= 𝜃𝑢̃stokes ,

at 𝑧 ̃ = −𝐻.̃

(346)

0

̂̃ ∫ 𝑢̃stokes 𝑑𝑧 ̃ = −2[𝛾], −𝐻̃ 𝑢̃stokes 𝑧̃ 𝑢̃stokes 𝑧̃

The general solu on to the momentum equa on (342) is given by the contribu on due to the homogeneous equa on and the water level forcing. This solu on is equal to Eq. (268) and reads 𝑢̃stokes = 𝐶1 𝑒𝑟̃M4 𝑧̃ + 𝐶2 𝑒−𝑟̃M4 𝑧̃ −

1 stokes 𝜁̃ .

2𝑖𝜆2 𝑥̃

(347)

The unknowns 𝐶1 and 𝐶2 are obtained using the boundary condi ons at the free surface and the bo om.

From the boundary condi on at the free surface, Eq. (345), it follows that 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶.

Subsequently, it follows from the bo om boundary condi on, Eq. (346), that

𝐶=

𝛼M ̃ 4 4𝑖𝜆2

̃ . 𝜁𝑥stokes ̃

(348)

Subs tu ng the expression for 𝐶, Eq. (348), into Eq. (347) results in 𝑢̃stokes =

1 stokes 𝜁̃ (𝛼M ̃ 4 cosh(𝑟M ̃ 4 𝑧)̃ − 1).

2𝑖𝜆2 𝑥̃

(349)

̃ To obtain the expression for 𝜁𝑥stokes , Eq. (349) is subs tuted into the depth-averaged con nuity equa on (291). ̃ This leads to the following second-order linear non-homogeneous ODE for the water level ̃ ̃ ̃ ̃ 𝐹1̃ 𝜁𝑥stokes + 𝐹2̃ 𝜁𝑥stokes − 4𝜆2 𝜁 stokes = 𝐹stokes , ̃ 𝑥̃ ̃ Final version

WL2017R13_103_3

(350)

A25

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout with ̃ = −( 𝐹stokes

𝑑 𝐵̃ ̂̃ + 𝑥̃ ) 2[𝛾], 𝑑𝑥 𝐵̃

(351)

and 𝐹1̃ and 𝐹2̃ defined by Eqs. (306) and (307), respec vely. Eq. (350) needs to be solved numerically since the variables 𝛼M ̃ 4 , 𝑟M ̃ 4 and 𝐻̃ are func ons of the longitudinal coordinate 𝑥.̃

A26

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

A2 Along-channel velocity and least square harmonic fit The observed along-channel depth averaged velocity 𝑢obs (𝑥, 𝑡) was used to determine the harmonic cons tuents of the horizontal de. To this end, the temporal velocity was approximated by a series 𝑢app (𝑥, 𝑡) that includes only residual, 𝑀2 and 𝑀4 components, i.e. 𝑢app (𝑥, 𝑡) = 𝒜M0 + 𝒜M2 cos(𝜎𝑡) + ℬM2 sin(𝜎𝑡) + 𝒜M4 cos(2𝜎𝑡) + ℬM4 sin(2𝜎𝑡) .

(352)

Next the harmonic components 𝒜M0 , … , ℬM4 were determined for a loca on at posi on 𝑥 by minimiza on of the quan ty N

Δ = ∑[𝑢obs (𝑥, 𝑡i ) − 𝑢app (𝑥, 𝑡i )]2 , i=1

where {𝑡i } denotes the set of mes for which ADCP measurements are available. The minimiza on leads to a linear matrix problem that is typical of least square approxima ons.

The values for the harmonic components thus obtained can be converted to amplitude and phase informa on.

For instance, the 𝑀2 amplitude 𝑢M2 and phase 𝜙M2 follow from 𝑢M2 = √𝒜2M2 + ℬ2M2 , tan 𝜙M2 =

ℬM2 . 𝒜M2

Figures 23 and 24 show, for each loca on in Table 7, the measured temporal along-channel veloci es and the harmonic approxima on according to Eq. (352) above. Here posi ve and nega ve veloci es correspond to horizontal flood and ebb, respec vely.

Final version

WL2017R13_103_3

A27

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 23 – Comparison between measured depth averaged along-estuary velocity (red) and least square fit according to Eq. (352) (blue) for the six most seaward loca ons.

A28

WL2017R13_103_3

Final version

Geïdealiseerde processtudie van systeemovergangen naar hypertroebelheid: WP 1.3 Basismodel ge j en zout

Figure 24 – Comparison between measured depth averaged along-estuary velocity (red) and least square fit according to Eq. (352) (blue) for the five most landward loca ons.

Final version

WL2017R13_103_3

A29

DEPARTEMENT MOBILITEIT & OPENBARE WERKEN Waterbouwkundig Laboratorium Berchemlei 115, 2140 Antwerpen T +32 (0)3 224 60 35 F +32 (0)3 224 60 36 waterbouwkundiglabo@vlaanderen.be www.waterbouwkundiglaboratorium.be