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Collection dirigée par Françoise Lucas

Ce guide est un outil bien utile pour expliquer les chiffres et les mots qui disent les nombres, et donc pour mieux calculer. Des approches nombreuses et complémentaires de la numération décimale aident l’enseignant à rendre les enfants de 2,5 à 12 ans plus performants en résolution de calculs. L’ouvrage propose : des activités de construction du sens de l’écriture en chiffres et en mots des nombres ; des procédures de calcul mental et écrit pour renforcer la maitrise du système décimal ; du matériel pertinent pour comprendre notre système décimal et pour représenter les nombres, de l’infiniment petit à l’infiniment grand. Nouvelle édition revue et mise en couleurs pour une meilleure compréhension des concepts. Accès gratuit au site instit.deboeck.com regroupant des documents en couleurs, du matériel, des prolongements, des activités supplémentaires et des films montrant des enfants en activité. Consultez cet ouvrage seul, en équipe de cycle, ou en équipe école, par le bout qui vous intéresse le plus !

ans

la numération pour mieux calculer

Élucider la numération pour mieux calculer

2,5/12

Élucider

Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même «nœud-matière» et d’un même réseau de compétences.

2,5/12 ans

Élucider

la numération pour mieux calculer Guide méthodologique

instit.deboeck.com

et documents reproductibles en ligne Françoise LUCAS Chantal VAN PACHTERBEKE Nathalie VAN DIJK

NUMGP ISBN 978-2-8041-9222-8

www.deboeck.com

Une collection dirigée par Françoise LUCAS, professeur de mathématiques en Haute École et formatrice en formation continue et complémentaire pour les enseignants du fondamental et du début du secondaire. Cet ouvrage a été réalisé avec l’équipe des auteurs suivants : Nathalie VAN DIJK : institutrice maternelle et maitre de formation pratique en Haute École en section maternelle ; formatrice dans le cadre de la formation continue. Chantal VAN PACHTERBEKE : professeur en didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles, formatrice dans le cadre de la formation continue et de la formation complémentaire. Nous remercions chaleureusement les enseignants expérimentateurs des activités dans leur classe qui ont contribué ainsi à les ajuster en les mettant à l’épreuve d’un public varié d’enfants. Aurore Bettinville à l’école Sainte-Marie à Namur. Brigitte Brau et Dominique Van Heuvel à l’école Saint Joseph de Malonne. Geoffrey Demeyer à l’école Don Bosco à Quiévrain. Michèle Destain et Annick Eloy à l’école libre de Gentinnes. Samira Ezzahir à l’école Saint Joseph de Couvin. Astrid Goessens à l’école Sainte Marie de Châtelineau. Eric Grignard à l’école Roi Baudouin de Spa. Christian Lallemand et Chantal Van Pachterbeke à l’école Saint Berthuin de Malonne. Anne Sophie Lannoy à l’école d’enseignement spécialisé T1 et 3 à Reumonjoie-Clair Val. Luc Louette aux Ursulines à Tournai. José Pirson à l’école primaire spéciale type 8, Saint Berthuin de Malonne. Charlotte Poucet dans la classe de Laurence Frippiat à l’école du Sacré Cœur à Bois de Villers. Romina Roman dans la classe de Régine Antoine à l’école Saint joseph de Bassenge. Nathalie Van Dijk dans son école de La Préalle à Herstal. Nous remercions les personnes qui ont permis l’élaboration de vidéos accessibles sur le site instit.deboeck.com : Valentine Ronveau avec Clémentine qui dénombre. Stéphanie Goffin avec Maureen, Lili-Rose et Manon qui dénombrent. Chantal Van Pachterbeke avec des enfants de 6e primaire manipulant le boulier pour résoudre une multiplication écrite.

SOMMAIRE

INTRODUCTION 1. 2. 3.

Math & Sens : une nouvelle collection Élucider la numération : un guide structuré Le projet

LA MATIÈRE

L’univers des nombres Le nombre naturel Notre numération décimale Le calcul mental et écrit Les autres numérations

1. 2. 3. 4. 5.

LA méthodologiE

Le matériel propice à une compréhension de la numération décimale Des liens entre l’éveil mathématique et l’éveil historique et géographique

1. 2.

ACTIVITÉS

Découvrir les nombres avec les tout petits Organiser le beaucoup, le raconter, l’écrire Exprimer le beaucoup grâce aux échanges Exprimer les nombres grâce au matériel Cuisenaire Élaborer des images mentales grâce aux mains Lier les mots et les chiffres avec le matériel Montessori Découvrir la numération chinoise Découvrir la numération romaine Découvrir des matériels d’autrefois Les hiéroglyphes égyptiens Les chimpus des Incas Les abaques à cailloux et les bouliers Travailler les nombres et le calcul grâce à ces matériels Démystifier la virgule

Éd

iti

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11.

LES DOCUMENTS REPRODUCTIBLES bibliographie

Sommaire

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Éd VA N

INTRODUCTION

MATH & SENS : UNE COLLECTION QUI SE RENOUVELLE

Son originalité réside dans sa visée « verticale » de la maternelle à la fin du primaire. Chaque livre de la collection s’attaque de manière articulée au développement d’un même réseau de compétences mathématiques,

à la construction d’un ou de plusieurs « nœud-matière » ressources à ces compétences.

La collection s’inscrit résolument dans une pédagogie du SENS, au triple « sens » du terme.

Fabrication de signification par les élèves en recherche sur des matériaux « interpellants » et « parlants » qui leur donnent le véritable gout des maths.

Continuité avec retour « cycliques » sur les mêmes compétences et matières dont le développement s’amplifie dans une même orientation, clairement perçue par les élèves.

Construction des « pourquoi ? », des « à quoi ça sert ? » c’est-à-dire de l’utilité et de la pertinence des outils que l’élève élabore, par de fréquentes analyses et prises de recul.

Math & Sens rejoint l’ambition de l’école actuelle de former des élèves réellement compétents.

Il s’agit de passer d’ensembles de savoirs ponctuels souvent étudiés pour eux-mêmes, à une réorganisation de ceux-ci autour de concepts fondamentaux, ressources au déploiement de compétences.

Le concept de compétence dans l’enseignement s’est précisé et stabilisé au cours des trente dernières années. Toutes les définitions se rejoignent pour faire valoir trois pôles en interaction.

iti

Le sujet compétent, ici, l’élève avec son potentiel, est celui qui va pouvoir mobiliser, c’est-à-dire aller chercher et METTRE EN RELATION de façon PERTINENTE, certaines ressources pour atteindre le but recherché : des situations problèmes à résoudre. Parmi ces ressources qui peuvent être de divers ordre (cognitives, matérielles, relationnelles, affectives, psychologiques, motrices…), il y a notamment les matières qui ne seront réellement mobilisables que si LE SENS en a été construit par l’élève.

Éd

Math & Sens propose des outils pour les enseignants au service de l’apprentissage de l’élève. JJ

Un cadre théorique explicitant les contenus mathématiques à enseigner et les choix méthodologiques favorisant la construction de SENS.

Des situations de recherche avec du matériel pour les élèves et des activités d’apprentissage analysées, opérationnelles pour plusieurs cycles en continuité.

De nombreuses démarches, réactions et productions d’élèves analysées.

Des documents reproductibles, nombreux, complémentaires et prêts à l’emploi sur le site instit.deboeck.com.

Le répertoire d’activités d’apprentissage proposé ne se veut pas exhaustif. Il cherche à couvrir les aspects les plus essentiels de la construction visée (matières et compétences) et à proposer des approches dynamiques sollicitant la réflexion et la mise en relation. Chaque enseignant stimulé par ce répertoire pourra se l’approprier, l’adapter à son contexte, l’amplifier d’idées nouvelles et complémentaires.

Introduction

2. ÉLUCIDER LA NUMERATION POUR MIEUX CALCULER1 JJ

Ce document commence par un sommaire présentant les grands chapitres abordés : il est délibérément succinct afin de montrer l’organisation générale. Une table des matières complète et détaillée figure en tête de chaque partie. Elle est repérable facilement car elle figure sur un fond gris.

Le chapitre « LES ACTIVITÉS », sans doute celui qui vous intéresse en priorité, est organisé en onze tiroirs d’activités traversant les diverses numérations et recourant à divers matériels aidant à la compréhension de notre système décimal. Chaque tiroir d’activités commence par une table des matières mentionnant l’enjeu global d’apprentissage qui y est poursuivi, la liste des activités et la progression d’obstacle en obstacle à travers cette suite d’activités.

Les obstacles

– – – –

Démarches possibles d’enfants

Les activités

Réflexions et outils méthodologiques

Nom de l’activité Plan Compétence visée Matière en construction Organisation Matériel Espace Temps Déroulement et consignes

Titre du tiroir Enjeux d’apprentissage

Ces activités sont opérationnelles pour vos classes. Le répertoire des activités est très vaste. Vous disposez ainsi de multiples approches complémentaires de la numération. À vous de faire votre choix dans ces approches et de construire votre propre cheminement avec votre public d’enfants. Pour les choisir et les articuler au mieux, pour en découvrir toutes les richesses, vous pouvez consulter les chapitres cadrant ce répertoire d’activités.

Éd

iti

¾¾ LA MATIÈRE –– qui se déplie en cinq volets importants : l’univers des nombres, les nombres naturels, notre numération décimale, le calcul mental et écrit, les autres numérations ; –– qui explicite les notions les plus élémentaires mais aussi les plus complexes ; –– qui offre beaucoup d’illustrations concrètes, des idées d’activités aussi ; –– qui propose en appendice sur le site instit.deboeck.com des notions à creuser, des analyses de matériels, des documents à utiliser avec les enfants (images de nombres,…). ¾¾ LA MÉTHODOLOGIE –– qui explicite les propriétés des matériels utiles pour construire et comprendre la numération décimale et qui les présente en progression (matériels de plus en plus proches de l’abstraction chiffrée au fil des cycles). –– qui développe trois façons de faire le lien entre éveil mathématique et éveil historique et géographique. ¾¾ LE MATÉRIEL REPRODUCTIBLE, sur le site instit.deboeck.com, fournit des compléments matières, des compléments d’activités et des supports colorés destinés à faciliter le travail de la préparation des activités.

L’ouvrage est orthographié selon les règles de la nouvelle orthographe.

Introduction

Vous le constatez donc, les différents chapitres sont complémentaires. À vous de voir quelle porte d’entrée vous ouvrez : commencer par lire les référents théoriques pour mieux cerner la matière, ou lire les activités pour tenter des essais pratiques, ou faire un va-et-vient entre les deux. Dès lors, installez-vous bien, prenez du papier quadrillé, un crayon, veillez à ce qu’on ne vous dérange pas (trop), et bonne découverte !

3. LE PROJET 3.1. Naissance du projet

Les nombres sont omniprésents dans notre quotidien et à l’école. Avoir une bonne appréciation de leur valeur, pouvoir les mettre en relation sont des compétences indispensables pour accéder au calcul. Il faut sortir de la perception des nombres comme des ensembles d’unités disloquées et aller vers la perception des nombres comme des totalités qui ont une FORME et qui sont elles-mêmes constituées d’autres totalités. Pour cerner des quantités, des nombres et pouvoir calculer sur ceux-ci, ils doivent être des entités organisées en sous quantités, perçues rapidement, vues dans la tête (images mentales).

De tout temps les hommes ont essayé de communiquer les quantités et les nombres le plus efficacement possible. Ils ont inventé des systèmes d’organisation, d’énonciation et de représentation multiples. Notre système décimal est issu de cette longue recherche. S’il est adopté universellement aujourd’hui, il n’en reste pas moins complexe aux yeux de bon nombre d’enfants à l’école.

Il est essentiel d’en élucider toutes les arcanes, d’aider à la maîtrise des petits comme des grands nombres, des entiers comme des nombres à virgule par un travail sérieux, approfondi et en continuité intra et inter cycles2.

iti

C’est ce que propose cet ouvrage avec de multiples portes d’entrée, de nombreux matériels, la référence à diverses numérations anciennes ou d’autres civilisations d’aujourd’hui, pour mieux comprendre notre décimalité.

Éd

3.2. Auteurs et collaborateurs du projet Le travail d’exploration de la numération décimale, des numérations tant sur le plan théorique que pratique est considérable. Les auteurs ont mis quelque sept ans pour aboutir notamment en mettant les activités à l’épreuve de classes d’enfants. Françoise LUCAS : professeur de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles pendant 31 ans, détachée au service pédagogique de la fédération de l’enseignement fondamental dans le réseau libre durant 7 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire des enseignants du maternel, du primaire, du premier degré différencié, de l’enseignant spécialisé.

Continuité à l’intérieur d’un cycle et entre les cycles.

Introduction

Nathalie VAN DIJK : institutrice maternelle depuis 20 ans et maitre de formation pratique en Haute École en section maternelle depuis 9 ans ; formatrice dans le cadre de la formation continue, auteur d’un mémoire remarquable d’école supérieure de pédagogie : « Quête d’une ombre, quête du nombre ! Projet d’apprentissages en 1re et 2e maternelles », présenté en juin 2005.

Au début et en cours de projet, des collaborations précieuses ont été apportées.

Chantal VAN PACHTERBEKE : professeur de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles depuis 27 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire. Elle est initiatrice du projet, car en recherche depuis 1995 sur ce domaine de la numération, assurant notamment de nombreuses lectures relatives à l’histoire de la numération et assurant de nombreuses expérimentations avec des enfants de classes du primaire.

Christian LALLEMANT, qui a fait sa carrière d’instituteur à Saint Berthuin à Malonne. Il a, à de très nombreuses reprises, mené avec ses différentes classes les expérimentations d’un bon nombre d’activités de cet ouvrage, nous renvoyant des critiques judicieuses et constructives.

Éric GRIGNARD, enseignant, maitre d’apprentissage à l’école Roi Baudouin de Spa, pratiquant dans toutes les classes et apportant une aide aux enfants en quête de compréhension. Toujours enthousiaste pour expérimenter des séquences et prêt à rebondir sur les trouvailles des enfants qui ouvrent souvent de multiples portes. Le groupe des MATHOPHILES, groupe de professeurs de mathématique et de didactique des mathématiques inter Hautes Écoles. Ce groupe se réunit cinq fois par an pour des échanges de pratiques et de compétences. Ce groupe est un lecteur assidu et critique de nos productions.

Pour découvrir au mieux la continuité des apprentissages proposés dans ce livre et en choisir, en combiner, en transformer les richesses, nous vous invitons aussi à travailler en équipe. 3.3. Intérêt de l’outil

iti

Un référent matière solide , rapatriant de façon fouillée et actualisée des notions « faussement » élémentaires comme celles de nombres3, de dénombrement, de schème mais aussi des notions plus complexes comme l’organisation de toutes les sortes de nombres, les fonctionnements des diverses numérations, le sens des procédés de calcul mental ou écrit.

Éd

Une réflexion méthodologique mettant en exergue de façon très pratique –– les matériels utiles et les liens à faire entre eux pour élucider vraiment la complexité de notre mode d’expression des nombres et –– les liens à faire, par cette matière spécifique, avec l’éveil historique et géographique.

Un répertoire d’activités qui propose beaucoup de matériels et d’approches complémentaires pour cheminer lentement mais sûrement vers plus de maîtrise de la décimalité. Il est impossible de tout faire. Chaque enseignant,en fonction de son public et de ses intérêts, peut choisir des approches pour un chemin cohérent avec les enfants. Le tiroir d’activités pour le cycle 2,5-5 est particulièrement fourni. Il s’agit de répondre à la curiosité naturelle des enfants de ce cycle pour les chiffres et les nombres en se mettant en perspective avec les cycles suivants.

Un matériel reproductible sur le site instit.deboeck.com, qui serait fastidieux à réaliser sans cela.

Nombres de diverses sortes !

Introduction

3.4. Logos

     Structure de chaque activité    

Plan de l’activité

Réflexions et outils méthodologiques

Démarches possibles d’enfants

Renvoi aux numéros d’activités permettant de travailler les contenus matières développés Renvoi à un autre tome de la collection

Éd

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Renvoi au site instit.deboeck.com

Introduction

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Éd VA N

iti

Éd VA N

LA MATIÈRE

L’univers des nombres 1.1. Un univers immense et varié...................................................................................................... 1.2. Un univers organisable en regardant l’écriture chiffrée........................................................... 1.3. Un univers organisable en s’appuyant sur le sens, la fonction des nombres............................ 1.4. Un univers organisable selon les deux points de vue................................................................. 1.5. Et le nombre zéro ?......................................................................................................................

Le nombre naturel 2.1. Les aspects du nombre naturel : cardinal et ordinal.................................................................. 2.2. La représentation du nombre par des chiffres............................................................................ 2.3. L’énonciation des nombres par des mots.................................................................................... 2.4. D’autres représentations des nombres : les schèmes.................................................................. 2.5. Les procédures de dénombrement..............................................................................................

21 25 33 37 43

Notre numération décimale 3.1. Une longue et lente construction................................................................................................ 3.2. Ce que nous disent des écritures dans différentes numérations................................................ 3.3. Les principes de notre numération décimale et les conséquences sur l’écriture...................... 3.4. Les nombres à virgule..................................................................................................................

53 53 57 64

Le calcul mental et écrit 4.1. Quelques idées générales à propos du calcul............................................................................. 4.2. La numération décimale intervient dans beaucoup de procédures de calcul mental ............. 4.3. Quelques exemples du recours à la numération décimale dans le calcul mental.................... 4.4. Les opérateurs décimaux............................................................................................................. 4.5. Le calcul écrit...............................................................................................................................

73 76 78 82 85

Les autres numérations 5.1. La numération chinoise.............................................................................................................. 5.2. La numération romaine ............................................................................................................. 5.3. La numération égyptienne.......................................................................................................... 5.4. Les chimpus................................................................................................................................. 5.5. Les bouliers et abaques à cailloux..............................................................................................

92 92 92 92 92

Éd

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pages 15 15 16 19 19

L’univers des nombres

L’univers des nombres est vaste et complexe. Nous vous proposons ici de regarder les nombres de manière large d’abord pour apprécier cet univers dans sa globalité. Nous nous limiterons ici à quelques explicitations des arcanes de cet univers. (Cf. les appendices matières pour les lecteurs qui veulent en savoir plus.) Nous développerons , dans ce point et les suivants, de façon plus détaillée, les différents aspects de cet univers et la numération des nombres qui nous intéressent principalement : les entiers positifs et les non entiers positifs.

1.1. Un univers immense et varié Lorsque nous évoquons l’idée de nombres, automatiquement, nous les percevons sous leur forme chiffrée. Nous savons qu’ils sont nombreux et de diverses sortes. Certains sont d’usage courant dans la vie quotidienne et d’autres sont davantage présents dans des domaines, des disciplines, des professions spécifiques.

–1

3 2

0,33…

2– 5

30 %

5348075

0,375

5,1 × 108

1 3

– 2,5

5 2

0,4285714…

3 10

√2̄

–

3√2̄7̄

–5

–

21 3

0,010020003…

– √2̄5̄

–

5 9

6 3

...

3 8

– 0,1011011101… 7

La liste suivante illustre cette immensité et cette variété de l’univers des nombres.

1.2. Un univers organisable en regardant l’écriture chiffrée

Éd

iti

Si nous essayons de mettre un peu d’ordre dans ce « tout en vrac », en regardant l’allure chiffrée de ces nombres, diverses catégories nous reviennent à l’esprit, suggérées par notre environnement (nombres négatifs comme dans les températures) ou par des souvenirs scolaires (nombres décimaux périodiques, quotient dans certaines divisions). –– Les nombres positifs et les nombres négatifs. –– Les nombres entiers et les nombres non entiers. –– Les nombres à virgule. –– Les nombres décimaux. –– Les nombres décimaux limités ou illimités, illimités périodiques ou non périodiques. –– Les nombres fractions. –– Les nombres avec exposant, puissance. –– Les nombres avec racines. –– Les nombres comme p. –– … Les qualificatifs ici donnés aux nombres sont effectivement induits par l’allure de leur écriture chiffrée. Des liens sont à faire entre eux. Cela s’impose lorsque nous essayons de réaliser un classement selon l’ensemble de ces différentes dénominations. Par ailleurs, dans les écritures données ci-dessus, plusieurs évoquent le même nombre, explicitant ainsi les liens à établir. 1 = 0,33… 3

32 = 25

3 = 0,375 8

– 2,5 = –

5 2

3 = 30 % 10

21 =7 3

– 5 = – √2̄5̄

1. L’unive r s de s nombr e s

Le double tri, positifs/négatifs, entiers/non entiers, amorce une première organisation sous forme de tableau à deux entrées. Nombres positifs

Nombres négatifs

Nombres entiers Nombres non entiers

Mais les qualificatifs suivants et certains nombres posent question. –– Qu’appelle-t-on « nombre décimal » ? Cette appellation, souvent limitée aux nombres à virgule en base dix, estelle adéquate ? Un nombre entier comme 32 n’est-il pas décimal ? –– Les fractions semblent liées aux dits « décimaux » limités ou illimités mais périodiques. Pourquoi ? Un non périodique ne peut-il s’écrire sous forme de fraction ? –– Ok, pour les puissances positives : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, mais que signifie une puissance négative ? –– Comment se calculent les nombres racines ? Que valent-ils ? –– p est souvent approché par 22 , une fraction, ou par 3,14, un décimal limité. Mais p, c’est quoi comme nombre ? 7 Vous trouverez sur le site instit.deboeck.com, dans l’appendice matière.

–– 1. Les nombres décimaux ou à virgule. –– 2. Les fractions et les nombres à virgule. –– 3. Les puissances. –– 4. Les racines. –– 5. Le nombre p.

Nous le voyons, nous ne sommes pas au bout de nos peines lorsque nous essayons d’organiser cet univers. Les questions posées appellent des développements parfois complexes.

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1.3. Un univers organisable en s’appuyant sur le sens, la fonction des nombres

Éd

1.3.1. Des ensembles de nombres où de plus en plus d’opérations sont possibles Un autre angle d’attaque pour organiser cet univers de nombres est de s’appuyer sur leur signification, sur leur fonction. C’est à l’école que nous les avons découvertes. La mathématique ensembliste (dite moderne) s’est mêlée de ce domaine selon un cheminement précis, rigoureux dont nous ne développerons pas les détails. Il nous en reste les dénominations suivantes. –– Les nombres naturels (N). –– Les nombres relatifs (Z). –– Les nombres rationnels (Q). –– Les nombres irrationnels (I). –– Les nombres réels (R).

L A MATI È RE

Ces ensembles de nombres correspondent à un élargissement progressif du premier ensemble des naturels pour résoudre des opérations (addition, multiplication, exponentiation ou puissance) non « solutionnables » avec les seuls nombres naturels, les entiers positifs. Un calcul1 comme 5 + ? = 3 appelle les nombres entiers négatifs qui complètent N et forment ainsi Z. Un calcul2 comme 6 × ? = 3 appelle les nombres rationnels qui complètent Z et forment ainsi Q. Un calcul3 comme 2 × 2 donne 4, mais le calcul ? × ? = 3 appelle les nombres irrationnels.

L’ensemble des réels rassemblent les rationnels et les irrationnels.

De manière simple et pour donner du sens à ces qualificatifs, nous pourrions dire ceci.

Les nombres relatifs

Les nombres rationnels

Les nombres irrationnels

Les nombres réels

Ce sont les nombres entiers positifs qui répondent à la nécessité naturelle, dès le début de l’humanité, de quantifier les collections d’objets et de les dénombrer, de répondre à la question : combien y-a-t-il de… ? Ce sont les entiers positifs et les entiers négatifs. Ces nombres sont positifs ou négatifs relativement à zéro. Ce sont les entiers mais aussi les non entiers positifs ou négatifs qui peuvent s’écrire sous forme de fraction ou de « ration ». Ce sont ceux qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction ou ration. Cela reprend tous les précédents et permet de rendre compte du réel qui nous entoure, notamment des grandeurs dans ce réel.

Les nombres naturels

1.3.2. Des ensembles de nombres sous forme de droites numériques

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2 –1

Éd

iti

–9

Ces ensembles peuvent aussi être visualisés sous forme de droite numérique qui se remplit de plus en plus. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z 0

9 Q

9 R

Tous ces ensembles sont infinis (pointillés d’un ou des deux côtés de la droite) N, Z, Q sont des ensembles discrets de points, ou discontinus. La droite des nombres n’est pas totalement remplie, il y a des trous. Pour passer d’un nombre au suivant, il faut « sauter ». Ces ensembles sont dénombrables même s’ils sont infinis. R est un ensemble continu de points, il n’y a plus de trous, la droite est totalement remplie. Il est infini mais pas dénombrable. L’ensemble Q présente une densité plus importante de points que N et Z, qui est partout la même. Qu’ajouter à un avoir de 5 € pour avoir 3 € ? On ajoute une dette de 2 €, un négatif de 2 €. Comment 6 € peuvent-ils devenir 3 € par la multiplication ? Il faut prendre moins d’une fois 6 €, il faut prendre la moitié, une demi-fois, le multiplicateur n’est plus entier. 3 Un carré de 4 cm² a un côté de 2 cm mais un carré de 3 cm² a un côté dont la mesure en cm est la racine carrée de 3 : √3 = 1,732050808…qui est un nombre illimité non périodique qui ne peut se mettre sous forme de fraction donc de ration, il est irrationnel. 1 2

1. L’unive r s de s nombr e s

Ces caractéristiques peuvent être explicitées et démontrées mathématiquement. Vous trouverez sur le site instit.deboeck.com, dans l’appendice matière 6. Les ensembles de nombres infinis ont des caractéristiques particulières. 1.3.3. Des nombres points ou segments qui cachent une foule de réalités

Si ces droites numériques nous sont familières sous forme de diverses graduations (instruments, graphiques…), cette représentation est néanmoins terriblement abstraite et demande à être construite4 avec les enfants lentement et sûrement. En effet, chaque point nombre de ces droites, cache un segment de droite, ici représenté par de l’orangé (différence entre aspect ordinal et aspect cardinal, nous y reviendrons) et recouvre une série de réalités différentes mais qui ont en commun une propriété numérique.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

          

a b c

tasses

assiettes

cuillères

Le nombre naturel 3 est la propriété commune à toutes les collections de 3 éléments, ces collections pouvant être mise en correspondance terme à terme.

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2 –1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z

iti

              

–9

Cf. Activité 5.3 et 5.6. Ordonnons les nombres jusque 10 ; de 10 à 20.

5€

4€

3€

15 €

dette

7€

6€

5€

17 €

Éd

avoir

Le nombre relatif – 2 est la propriété commune à toutes les situations d’avoirs et de dettes telles que la dette dépasse l’avoir de 2. On reste avec une dette de 2. 0

              

50 c 1 € 2

25 c

25 c 2 € 4

10 c 10 c 10 c 10 c

10 c

5 € 10

Le nombre rationnel 0,5 est la propriété commune aux situations de fractionnements équivalents. Il correspond à un ensemble de fractions équivalentes, ici 1 , 2 , 3 , 4 , 5 … 2 4 6 8 10 4

Cf. Math et Sens : Explorer les grandeurs, se donner des repères, l’activité 4.2. Fabriquons une droite graduée.

L A MATI È RE

Tous ces nombres, bien que familiers dans notre environnement, n’en restent pas moins des objets mathématiques terriblement abstraits. Les enfants ne pourront leur donner du sens qu’en partant de situations variées à comparer et à classer pour dégager la propriété numérique commune et abstraire le nombre.

1.4. Un univers organisable selon les deux points de vue L’écriture du nombre

Entiers

Non entiers

Positifs

Négatifs

Positifs

Négatifs

Fractions décimales : décimal limité

Si nous revenons à notre liste de nombres proposée en page 15, nous arrivons au classement suivant. Positifs

–1

5348075

–

5,1 × 108= 510 000 000

– √25 = – 5

6 =–2 3

Les relatifs

–

5 (= – 2,5) 2

3 = 0,375 8

1 =) 2– 5 = 0,03125 32

1 = 0,33… 3 3 ( =) 0,4285714… 7

–

5 (= 0,55…) 9

32 = 25

Les naturels

3 = 30 % (= 0,3) 10

(

√27 (= 3)

L’idée du nombre

3 (= 1,5) 2

21 3

Non fractions : nombre à virgule illimité non périodique

Fractions non décimales : nombre à virgule illimité périodique

Négatifs

iti

Les rationnels

p (= 3,14159…) √2 (=1,4142…) 0,010020003.…

– 0,1011011101…

Les irrationnels

Éd

Les réels

1.5. Et le nombre zéro ? Nous ne pouvons pas quitter ce paragraphe sans dire quelques mots de zéro. Zéro n’a pas été proposé dans la liste de départ mais il apparaît en écriture dans beaucoup de nombres. 1.5.1. Zéro est-il un nombre ? La plupart des civilisations qui nous précèdent se sont passé du zéro. En effet pour dénombrer des collections on commence à un et non à zéro. Lorsqu’une collection ne comprend pas un certain type d’élément, on dit qu’il n’y en a pas, qu’il n’y a aucun élément : il n’y a pas de garçon dans cette classe, il n’y en a aucun et pas il y a zéro garçon dans cette classe. On utilise d’autres mots que zéro. Le zéro n’est donc pas utile pour quantifier. Longtemps, il n’y a pas eu de nombre zéro.

1. L’unive r s de s nombr e s

Les mathématiques modernes ont néanmoins inventé l’ensemble vide et zéro apparaît alors comme nombre cardinal au même titre que les autres nombres. Il est le cardinal de l’ensemble vide. Le zéro permet ainsi d’exprimer le résultat d’une soustraction où l’on retire la totalité des élèments : 7 – 7 = ? ; 5 – 5= ? ; 24 – 24 = ? … zéro apparaît bien là comme nombre caractérisant le vide.

Cf. Activité 1.10. Devinons les nombres cachés. Cycle 2,5-5 1.5.2. Zéro est-il un chiffre ?

3 milliers, 5 centaines, 6 dizaines, 7 unités ou 3 5 6 7.

C’est en tout cas comme cela qu’il est apparu au 8e siècle chez les arabes concepteurs de la numération décimale toujours d’actualité. Pour quantifier de grandes quantités, ils pratiquaient des groupements par 10 et des échanges de 10 éléments pour 1 élément de valeur supérieure. Il leur suffisait alors de noter en chiffres, les nombres de ces groupements en commençant par la droite et en allant vers la gauche vers les groupements croissants : Ils durent inventer un signe manifestant l’absence de groupements d’un certain ordre pour éviter les confusions d’écriture : 3 5 7 est différent de 3 5 7 . Ce signe de l’absence et du silence est le signe zéro devenu aujourd’hui : 0. Zéro était donc un symbole, un chiffre important pour clarifier l’écriture des nombres.

On pourrait imaginer d’ailleurs une graphie différente pour le zéro dans l’écriture des nombres et le zéro comme cardinal d’une collection vide, résultat d’une opération. 1.5.3. Zéro5 peut-il être autre chose ?

Éd

iti

Zéro apparait aussi dans les graduations. Sur la latte graduée (0 cm), sur un thermomètre (0 °C), sur des cartes géographiques (altitude de 0 m, longitude de 0°)…. Il correspond à un trait unique de cette graduation. Ce trait sépare les grandeurs déclarées conventionnellement positives des grandeurs négatives. Penser ce zéro comme une quantité nulle n’a pas de sens. Ce zéro n’exprime pas l’absence, le rien, le vide ! Quand il y a une température de 0°, cette température existe bien, ce peut paraitre chaud ou froid selon les endroits et les saisons. Ce zéro correspond à la température de l’eau se transformant en glace. On aurait pu choisir la température zéro autrement, prendre une autre convention. Ce zéro est une origine de comptage ou de mesurage. Dans un sens, on a du positif ; dans l’autre sens, on a du négatif.

Cf. Illustration de l’histoire du zéro, de la page 23 du livre : « Les maths, c’est magique », Jhonny Ball, éditions France Loisirs.

L A MATI È RE

2. Le nombre naturel

2.1. Les aspects du nombre naturel : cardinal et ordinal La notion de nombre naturel se dégage de collections diverses d’objets que l’on essaye d’organiser : les classer et les ranger. Divers critères peuvent surgir. Le critère, retenu ici, sera le fait de contenir autant d’objets ou alors plus ou moins d’objets. 2.1.1. Prenons un exemple réalisable dans des classes maternelles

Dans un projet de gouter avec les grands-parents, les enfants ont réalisé des salades de fruits. Les fruits ont été achetés au marché, rassemblés en différentes sortes, observés puis utilisés. Ces collections de fruits étant riches en caractéristiques diverses, l’enseignant propose de les retrouver en vrac sous forme de vignettes (V) avec des dessins de fruits stylisés. Essayons d’organiser ce vrac, de classer les vignettes.

Divers critères sont possibles. –– Selon la couleur des dessins de fruits. –– Selon les sortes de fruits dessinés. –– Selon le nombre de fruits dessinés. –– Selon qu’ils ont une queue ou pas. –– Selon qu’ils ont une feuille ou pas. –– Selon qu’ils sont en grappe ou pas.

(Éviter les critères « forme et grandeur » peu déterminables ici.)

(Éviter les critères tels que « à pépins, à éplucher … » car il ne s’agit plus ici des vrais fruits mais de dessins de fruits.)

iti

L’enseignant invite à se pencher sur la caractéristique « nombre de fruits dessinés ». Les V de 4

Les V de 5

Les V de 2

Les V de 3

Les V de 1

Éd

Il faut classer les vignettes selon le nombre de fruits dessinés. On rassemble les vignettes ayant le même nombre de fruits dessinés. On les étale en colonnes. On obtient un tableau à une entrée. Ce même nombre peut être déterminé par correspondance terme à terme, par dénombrement ou par reconnaissance globale.

2 . Le nombre nat u re l

Selon le nombre selon le type de fruits

On obtient un tableau à deux entrées.

Les V de 2

Les V de 5

Les V de 1

Les V de 3

Bananes6 Prunes Mandarines

En gardant les colonnes selon le nombre, mais en classant en rangées selon le même type de fruits dessinés, l’organisation s’améliore.

Les V de 4

Raisins

Pommes vertes

Cerises Pommes rouges Selon le nombre

Les V de 3

Les V de 4

Les V de 5

Bananes

En gardant le double classement précédent, on peut, cette fois, ranger les colonnes de vignettes selon le nombre croissant de fruits dessinés : depuis celles qui contiennent le moins de fruits dessinés jusqu’à celles qui en contiennent le plus.

Les V de 2

selon le type de fruits

Les V de 1

Prunes

Éd

iti

Mandarines Raisins

Pommes vertes Cerises Pommes rouges

¾¾ Les colonnes montrent l’aspect cardinal de chaque nombre : chaque nombre est la propriété commune des collections qui peuvent être mises en correspondance terme à terme. Elles possèdent le même nombre cardinal d’objets. ¾¾ Les rangées montrent l’aspect ordinal de chaque nombre : chaque nombre à une même place dans la suite ordonnée, il est avant… et après… ¾¾ Le tableau à deux entrées croise les deux aspects. Ici, les enfants sont invités à compléter le tableau, à réaliser les vignettes manquantes, en réfléchissant à quelle colonne (nombre) elles appartiennent et à quelle rangée (type de fruits). 6

On dit les vignettes avec les bananes pour les vignettes avec les dessins de bananes. Idem pour les autres rangées de vignettes.

L A MATI È RE

2.1.2. Théorisons ces deux aspects du nombre Un nombre (naturel) dans son aspect cardinal, est un concept abstrait qui se dégage du classement de collections d’objets (concrets ou semi-concrets ou semi-abstraits) qui peuvent être mises en correspondance terme à terme.

Ainsi : le nombre trois est la propriété commune à toutes les collections qui peuvent être mises en correspondance terme à terme avec l’ensemble des petits cochons dont on parle dans notre histoire. Trois est leur cardinal. C’est le nombre d’objets de chacune de ces collections.

L’aspect cardinal de tout nombre naturel est mis en évidence en classant les collections selon leur même nombre d’éléments, en établissant une relation d’équivalence entre les collections : « J’ai le même nombre d’éléments que toi » (correspondance terme à terme possible).

Éd

iti

Trois cochons, trois maisons, trois sacs appartiennent au monde tangible des objets. Trois est bien une idée mathématique qui suppose la mise en relation de ces collections d’objets. Le nombre trois, s’il est familier, n’en est pas moins abstrait !

Quatre est la propriété commune de ces vignettes. C’est ce qui est le même : leur nombre de fruits dessinés

L’aspect cardinal des nombres ne se limite pas aux vingt ou cent premiers nombres ! On peut illustrer au cycle 3, au cycle 4 l’aspect cardinal de 1 000, de 10 000, 100 000, 1 000 000.

2 . Le nombre nat u re l

Un nombre (naturel) dans son aspect ordinal, est un concept abstrait qui se dégage du rangement de collections d’objets (concrets ou semi-concrets ou semi-abstraits) qui ne peuvent être mises en correspondance terme à terme. Ainsi, l’aspect ordinal du nombre trois est le fait qu’il pend une position précise dans la suite des nombres : après deux et avant quatre. Cela, parce que les collections s’ordonnent de cette manière : une collection de trois objets en contient moins qu’une collection de quatre, il en manque un ; une collection de trois objets en contient plus qu’une collection de deux, il y en a un de trop.

L’aspect ordinal de tout nombre naturel est mis en évidence en rangeant les collections selon leur nombre croissant (ou décroissant) d’éléments, en établissant une relation d’ordre entre les collections : « J’ai moins (plus) d’éléments que toi » (correspondance terme à terme impossible).

Éd

iti

Cf. Activité 4.2 : « Fabriquons une droite graduée. » Cycle 5-8. Explorer les grandeurs, se donner des repères, Math et Sens, Ed. De Boeck, F. Lucas, D. Colantonio, M. Larsimont.

L A MATI È RE

2.2. La représentation du nombre par des chiffres 2.2.1. Les chiffres : une représentation des nombres parmi d’autres Quand on évoque les nombres, on les voit pratiquement toujours sous leur forme chiffrée. Pour en parler, on utilise des mots. On les représente aussi par des schèmes (ensemble structuré spatialement, de points ou de barres) ou par des images.

Images

Cinq Vijf

Deux Twee Vingt sept Zeven en twinting

5 IV 2 II 27 XXVII

Mots Schèmes points ou barres Français / néerlandais /… Dé / binaire / main /…

Chiffres Arabes / romains /…

iti

Notre système d’écriture décimal des nombres est étonnamment économique : il compte seulement dix chiffres différents d’origine arabe : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 pour écrire absolument tous les nombres alors qu’ils sont une infinité. Nous éluciderons ceci au paragraphe 3 : notre numération décimale. 2.2.2. Nombre et chiffre, liés mais différents

Éd

Bien que profondément différents, nombre et chiffre sont souvent confondus. ¾¾ Les expressions suivantes en témoignent et doivent être corrigées. Incorrect –– Les chiffres, c’est de 0 à 9. Ensuite, ce sont des nombres. –– Un nombre se compose de plusieurs chiffres. –– Étudier le chiffre 8 en classe. –– Dire le chiffre du jour. –– Compter les présents et repérer le bon chiffre sur le référent. –– …

Correct –– Les nombres sont en infinité et s’écrivent dans notre système décimal avec un ou plusieurs chiffres. –– Étudier les différents aspects du nombre 8, apprendre à écrire le chiffre 8. –– Dire la date du jour (un nombre ordinal). –– Dénombrer les présents et repérer le nombre écrit en chiffres dans notre référent.

¾¾ Dans le langage courant, le mot chiffre est fréquemment utilisé en évoquant pourtant l’idée de nombre. Ceci contribue à la confusion. Par exemple « Cette population approche du chiffre 70 000. », « Le chiffre d’affaire de notre entreprise…», «Il faut chiffrer les dépenses. »…

2 . Le nombre nat u re l

¾¾ Le mot « chiffre » vient de l’arabe « Sifr » qui veut dire « zéro » et qui signifie « le vide ». Zéro est bien un signe qui a été créé pour signifier l’absence de certains regroupements dans l’organisation de quantités. Par exemple, 103 : 0 signifie qu’il n’y a pas de dizaines, que ce rang est vide. Qu’est-ce qu’un nombre, qu’est ce qu’un chiffre ? Qu’est-ce qui les distingue ? Le chiffre

Le signifié

Le signifiant

Le nombre

Un symbole, sa représentation écrite qui est culturelle (dépend du lieu, de l’époque) Les écritures de ce nombre en chiffres

Le nombre naturel 7,

Un chiffre arabe dans notre système décimal.

comme les 7 jours de la semaine, les 7 couleurs de l’arc en ciel, les 7 nains de l’histoire de Blanche Neige, leurs 7 chapeaux, leurs 7 pioches…

Le concept numérique qui est universel

Trois chiffres romains dont le chiffre V et le chiffre I répété deux fois.

IIIII II

Sept chiffres, le chiffre I répété sept fois, système primitif.

VII

Cf. aussi chiffres japonais, chiffres mayas, chiffres…

iti

2.2.3. Les chiffres dans le monde des représentations en général Les écrits chiffrés sont présents partout autour de nous, « noyés » dans d’autres éléments de communication : des écrits lettrés, des graphismes divers, des images.

Éd

Ils sont là pour nous dire quelque chose, pour nous informer, pour attirer notre attention. Il est important dès lors de les repérer, de les distinguer des autres éléments de communication : lettres, graphismes divers (logos, schémas, signes, symboles…), images (dessins, photos…). Les écrits chiffrés font partie des moyens très nombreux de représentation des choses inventés par l’homme.

En effet, les objets sont premiers autour de nous. Ils ne sont pas toujours disponibles. Nous ne les avons pas en permanence sous la main. Pour communiquer à leur sujet, nous usons alors de représentations de ceux-ci. Ces représentations peuvent, bien sûr, aussi être conservées et utilisées en présence des objets. Cela permet justement de renforcer leur lien logique avec l’objet et leur statut de représentation.

L A MATI È RE

Par exemple : Thomas n’est pas en classe ce matin. Pour faire valoir cette absence, pour tenir compte de lui dans une tâche à faire ensemble ou pour simplement parler de lui, on va faire référence à… –– sa photo, –– son cri d’animal –– son étiquette nom, –– l’énoncé oral de son prénom… –– son numéro écrit dans la liste des enfants de la classe –– le son d’instrument –– son étiquette totem qui lui est attribué Matérielles Durables Espace

–– le son de sa voix dans ma tête –– son sourire dont je me souviens –– sa bonne humeur que j’évoque

Mentales

Ex : Thomas

Fugaces Temps

On distingue là, l’objet (le sujet) réel, ici Thomas, de ses représentations diverses qui sont susceptibles de le « remplacer », de l’évoquer, de le faire exister qu’il soit ou ne soit pas là.

Ces représentations sont matérielles (à l’extérieur de soi) ou mentales (à l’intérieur de soi).

Les représentations matérielles peuvent être fugaces ou durables. •• Les représentations fugaces sont, par exemple, des sons, des paroles, des actions, des gestes qui, une fois émis, disparaissent. Elles appartiennent au temps qui s’écoule et ne sont donc pas permanentes. •• Les représentations durables sont des représentations qui s’inscrivent dans l’espace sur des supports matériels. Elles appartiennent à l’espace qui reste présent devant nous et sont donc permanentes, si du moins on ne vient pas les enlever, les effacer.

iti

Dans les représentations durables, on peut avoir différents registres de représentations : –– très « réalistes », très figuratives : la photo de Thomas, un dessin très détaillé proche de la photo ; –– plus schématiques, plus épurées : un dessin sommaire de Thomas (bonhomme) ; –– de l’ordre du symbole : le totem (écureuil galopant) de Thomas qui symbolise son énergie ; –– de l’ordre du signe conventionnel, culturel : le chiffre représentant son numéro dans la liste des enfants de la classe, les lettres, le mot de l’étiquette prénom de Thomas.

Éd

Dans les représentations durables, certaines évoquent des états et d’autres évoquent des actions :

Produit dangereux État

Passer sous la table Action

Lancer la balle

Laver à la main

Action

Route avec priorité de droite État

Rouler à du 30 km/h maximum Action

La plupart du temps, on a à faire à un système de signes : plusieurs signes sont articulés et l’articulation est, elle aussi, porteuse de signification.

2 . Le nombre nat u re l

Ainsi, dans notre environnement, les panneaux routiers qui sont circulaires et bordés de rouge indiquent une interdiction, mentionnée à l’intérieur (ici interdit de dépasser le 30 km/h). En mathématique, certains signes désignent des états et d’autres des actions. D’autres signes expriment des relations. 323

État, relation, état Systèmes de signes

État et relation implicite

État initial, action, état final

1 m = 100 cm

2.2.4. Les écrits chiffrés autour de nous ont trois significations différentes

La signification d’un écrit chiffré présent dans notre environnement ne peut être déterminée que grâce au contexte dans lequel il se trouve. Des chiffres seuls soit ne sont pas interprétables, soit sont interprétables de multiples façons selon le contexte qu’on leur prête. La signification distincte des écrits chiffrés se dégage d’une activité de classement de ceux-ci.

S’ils sont là, c’est pour nous informer. Quel genre d’information donnent-ils ? Que veulent-ils nous dire ? À quoi servent-ils ? S’ils n’étaient pas là, que ne saurions-nous pas ?

iti

Classons, mettons ensemble les écrits chiffrés qui donnent le même genre d’information.

Éd

Dit où est la maison Dit combien de km/h maximum on peut faire, dans la rue, de quel dit de combien peut être la vitesse. côté.

Dit quelle voiture c’est. C’est la mienne !

7 °C

Dit de combien est la température, dit de combien il fait chaud ou froid.

Dit quand ça ouvre dans la journée.

Dit quelle maison c’est, chez qui.

Dit combien de temps on peut stationner et combien on paie.

Dit le quantième prix donne droit à…

Dit quel bus c’est.

L A MATI È RE

Chiffres qui permettent de répondre à la question LE QUANTIÈME ? OU ? QUAND ?

Chiffres qui permettent de répondre à la question LE(LA) QUEL(LE) ? QUI ?

d’exprimer une QUANTITÉ

d’exprimer une POSITION dans une suite ordonnée, dans l’espace ou dans le temps

d’exprimer un NOM une désignation

Chiffres qui représentent un NOMBRE CARDINAL un NOMBRE QUANTITÉ

Chiffres qui représentent un NOMBRE ORDINAL un NOMBRE POSITION

Chiffres qui permettent de répondre à la question COMBIEN ?

Chiffres qui représentent un NUMÉRO

Les nombres cardinaux ou ordinaux peuvent aussi s’écrire en lettres. On peut calculer sur des nombres cardinaux ou ordinaux : (2 € + 3 € = 5 €) (case 3 + 5 = case 8).

Les numéros ne s’écrivent qu’en chiffres et on ne calcule pas sur des numéros. Les numéros ne sont pas des nombres. Il ne vous viendrait pas à l’idée de communiquer votre numéro de téléphone en mots, ou d’additionner des numéros de téléphones. Le pluriel et le singulier sont indicateurs de cardinaux et ordinaux. On dit par exemple :

–– les trois jours prochains, je serai à la mer et le deuxième jour, j’irai visiter Brugge ;

–– les trois classes du couloir sont très grandes et la première classe possède une mezzanine. Néanmoins, à l’audition en français, ce pluriel n’est pas audible comme il l’est en anglais ou le « s » se prononce7 : les trois chats de la photo sont gris → the three cat s on the picture are grey.

iti

Pire, en français, lorsqu’on demande aux enfants : « Combien y a-t-il de chats sur la photo ? » et que la réponse est : « Il y en a trois. », cette dernière expression n’est plus explicitement porteuse d’un pluriel.

Éd

Il est important dès lors, dans nos façons de nous exprimer, de faire valoir clairement le pluriel des cardinaux par opposition au singulier des ordinaux. Cela, en demandant et en répondant ce qui suit. Parle moi des chats de la photo, dis-moi combien ils sont et comment ils sont. Ils sont trois chats sur la photo et ils sont tous gris. Les trois chats de la photo sont gris. Beaucoup de situations peuvent se trouver « à cheval » sur les deux catégories position et nom, nombre ordinal et numéro. Par exemple, quand on dit qu’on doit se rendre au 52 de la rue St Léonard, –– ce « 52 » désigne un immeuble précis : c’est son nom, son numéro, c’est l’immeuble 52, je vais au 52 de la rue St Léonard ; –– ce « 52 » désigne aussi une position : l’immeuble se trouve du côté pair de la rue et à une certaine distance du début de la rue. Il en est de même pour les expressions: le train part du quai 3 de la gare, je dois aller au guichet 6… Par contre, les expressions: le bus 4, le joueur au dossard 13, la carte 2425, évoquent des numéros. Cf. Activité 1.12. Cherchons des chiffres autour de nous, cycle 2,5-5/5-8 7

Cf. Livre de Remi Brissiaud, « Premiers pas vers les maths. Les chemins de la réussite à l’école maternelle », éditions Retz.

2 . Le nombre nat u re l

Beaucoup de situations peuvent être interprétées de différentes façons. La page 7 de mon livre. –– C’est le nom de la page : je vais à la page 7 où il y a… 7 est un numéro. –– C’est la 7e page de mon livre. 7 est un nombre ordinal. –– Il y a 7 pages tournées avec celle-là. 7 est un nombre cardinal. Les crochets du porte-manteau numérotés8.

Je suis le 4e crochet

Sens du comptage Il y a 4 crochets jusqu’à celui de Tom.

2 3 4 5 6

Je suis le crochet numéro 4, de Tom.

2.2.5.Les chiffres, comment aider à les reconnaitre ?

Heureusement, dans notre numération décimale, ils ne sont que dix. Les lettres sont plus nombreuses et les autres signes encore davantage.

iti

Il semble difficile de leur attribuer une signification en dehors de la construction des notions de quantités et de position dans une suite ordonnée. Il reste que la graphie9 du chiffre reste quelque chose d’apparemment arbitraire. représente-t-il trois ? Ici il n’y a pas de lien entre l’idée mathématique trois (objets) et la graphie du

Éd

Pourquoi l’écrit chiffre.

Alors que la représentation par schème (points ou barres) a un lien avec la quantité.

Exemple de Sylvianne Pregardien - syllabus de formation continue « Calcul - doigts » 2010. Il ne nous semble pas essentiel de s’acharner sur une gestuelle stricte et unique pour assurer une graphie correcte des chiffres. Des gestes adéquats peuvent s’installer progressivement en fonction du potentiel et des spécificités des enfants (enfants gauchers). L’inversion peut se corriger par l’observation et la pratique d’un retournement.

8 9

L A MATI È RE

Certains chiffres ont une graphie qui peut s’expliquer en remontant à l’origine de l’écriture (histoire). Ainsi, les arabes écrivaient trois en superposant trois lignes :

Pour la plupart de nos chiffres arabes d’aujourd’hui, il n’y a pas de liens évolutifs de cette sorte.

Nous vous proposons deux pistes à creuser10.

La graphie du chiffre est donc arbitraire. Il faut la mémoriser. Certains enfants n’y arrivent pas. Comment les aider ?

En accélérant le geste d’écriture de ces trois traits, ils ont fini par se lier.

Éd

iti

1. Avec des situations, des images de situations à la fois porteuses de la quantité et de la graphie du chiffre.

L’oiseau a toujours deux ailes (ou deux Les feux sont toujours trois (chez nous), Une guitare a six cordes pattes). on passe du rouge à l’orange au vert ! Vous trouverez sur le site instit.deboeck.com, dans l’appendice matière 7. Une proposition d’un ensemble de ce type de cartes à améliorer.1011 Nous n’avons pas la prétention d’avoir trouvé les remèdes miracles. Ces idées ont été développées avec des enseignants du fondamental en recherche d’aides pour les enfants en difficultés majeures. Ce qui semble s’apprendre « naturellement » chez la plupart, semble d’une complexité absolue pour d’autres. C’est une énigme. Il faut donc chercher et essayer. 11 Image issue du livre « Les maths c’est magique ! » Johnny Ball, éditions France Loisirs, 2007. 10

2 . Le nombre nat u re l

Il sera important de jouer la graphie du chiffre (diverses gestuelles) tout en lui associant la quantité grâce à la situation, à son image. C’est à amplifier par des jeux de loto, de memory, de domino… Avantage de cette approche Inconvénient de cette approche Elle s’appuie sur des situations familières des enfants. Ces Ces situations n’ont aucun lien entre elles. objets se trouvent dans leur environnement. Ce sont dix situations disparates à retenir.

Geste Arrondi pouce index devant un œil.

Deux, c’est la paire, la symétrie, la répétition.

L’index et le majeur se plantant dans les deux yeux.

L’index pointant le nez L’index bien droit puis qui se replie.

Puis, l’index qui fait la forme du zig/zag.

iti

Le pouce, l’index et le majeur levés, le pouce qui montre le menton, l’index qui montre le nez, le majeur qui montre le front. La main ou l’index qui passe du haut, au milieu et en bas. L’index, le majeur, l’annulaire, l’auriculaire levés, Main gauche en l’air, main gauche qui frappe la cuisse gauche, main droite qui frappe la cuisse droite, main droite en bas Les cinq doigts de la main droite levés, puis de la main gauche repliés. La main droite qui fait sur cette main aux doigts repliés la graphie du cinq.

Éd

Trois, c’est le trio, la trinité. La symétrie +1

Quatre, c’est la stabilité, l’équilibre sur 4 pieds, 4 pattes.

Cinq, c’est comme les cinq doigts de chaque main.

L A MATI È RE

Comptine Zéro, il n’y a rien du tout, dans ce petit trou ! Un, comme mon nez, il est tout replié.

Idée Zéro, c’est le vide, l’absence, le trou sans rien. Un, c’est l’unicité, la singularité.

2. Partir d’une comptine et d’une gestuelle liée au corps, montrant à la fois la quantité et la graphie du chiffre.

Deux, comme mes yeux, qui font zig Zig

zag zag

Trois, le menton, le nez et le front, en haut, au milieu, en bas. Quatre, à quatre pattes. Un, deux, trois quatre !

Cinq, tous mes doigts levés, tous mes doigts repliés. Un, deux, trois, quatre, cinq.

Voici une proposition jusque cinq. Au-delà, cela semble difficile. On peut espérer que si ceci aide l’enfant à faire du nombre avec ces premiers chiffres, l’idée qu’un chiffre ou des chiffres nous disent du nombre, du nombreux, sera comprise et étendue aux autres écrits chiffrés.

Avantage de cette approche Inconvénient de cette approche Il y a une unité entre les situations. Elles font, toutes, Cette gestuelle peut être complexe pour certains enfants peu référence au corps. Dans notre corps il y a de l’unicité, des habiles de leurs mains. duos, du trio, du quatuor, et cinq doigts aux mains, aux Il est alors possible de travailler avec des photos ou un film pieds. de cette gestuelle. Il est difficile de poursuivre de 6 à 9.

Il faut bien sûr soutenir l’apprentissage, de cette comptine et de cette gestuelle, avec un support visuel en miroir de soi. Il faudra tenir compte des droitiers et des gauchers. La graphie se faisant avec la main dominante.

Vous trouverez sur le site instit.deboeck.com, dans l’appendice matière 7. Proposition de dessins de cette gestuelle nombre-chiffre. La recherche est à poursuivre.

2.3. L’énonciation des nombres par des mots

Pour évoquer les nombres, il faut en parler, les dire, les nommer. On utilise des mots auxquels adultes on ne réfléchit plus. Les mots sont ceux de notre langue : le français. Les nombres se disent dans d’autres langues bien sûr et cela plus ou moins logiquement. 2.3.1. Le côté arbitraire des mots nombres

iti

Les premiers mots pour dire les nombres paraissent tout aussi arbitraires que les chiffres pour les écrire. Pourquoi le mot trois sur la graphie et le nombre ?

Éd

Chaque langue a sa litanie de mots nombres et ces mots sont à mémoriser dans l’ordre en imitant les adultes qui les connaissent et par des comptines appropriées. Un, deux, trois, je m’en vais au bois. Quatre, cinq, six, cueillir des cerises. Sept, huit, neuf, dans mon panier neuf. Dix, onze, douze, elles seront toutes rouges.

La mémorisation est facilitée par la rythmique des trois mots, par les rimes et par l’histoire.

2.3.2. Combien de mots différents faut-il pour dire tous les nombres ? Notre système d’expression des nombres utilise dix chiffres et combien de mots pour cela ? Lorsqu’on énonce la litanie, on réalise qu’à partir de certains nombres, des mots reviennent et s’associent. De nouveaux mots nombres se construisent à partir des précédents. Voici les mots nombres différents, utilisés en français de chez nous (Communauté Française de Belgique).

2 . Le nombre nat u re l

Dizaines

dix<nombre<dix-sept

Puissances de dix

Autres

Dix

Onze

Cent

Deux

Vingt

Douze

Mille

Trois

Trente

Treize

Million

Quatre

Quarante

Quatorze

Milliard

Cinq

Cinquante

Quinze

…

Six

Soixante

Seize

Sept

Septante

Nombres < dix

Huit neuf

Nonante

Le mot zéro ne se dit que très peu souvent: –– pour des scores, on le dit : résultats du match : 0(zéro)-3, j’ai 0(zéro) sur 20 à mon test. –– pour les nombres décimaux ou entiers on ne le dit pas : 0,2 (deux dixièmes), 30 (trente)… –– pour les situations « sans », on dit d’autres mots : il n’y a pas de filles ici, il n’y en a aucune. Les autres mots sont des constructions : dix-sept, vingt-cinq, trois-cent-septante-six… Il semble qu’en allant jusqu’au milliard, vingt-sept mots autres que le « et » nous suffisent.

Nous, adultes, nous énonçons les nombres en mots avec une certaine facilité. Cela nous parait assez évident mais les deux questions suivantes méritent d’être posées.

1- Ces énonciations de nombres sont-elles vraiment logiques ? 2- Quelles sont les réelles difficultés de ce vocabulaire pour les enfants ? Analysons l’énonciation d’un nombre de l’ordre des milliers12.

Cinq

iti

mille

six

cent

Éd

On voit que, pour ces deux premiers chiffres, il y a chaque fois deux mots-nombres : – un mot qui dit le nom des groupements, – un mot qui dit le nombre de groupements. Ce dernier est déterminant du nom des groupements. Cela paraît logique.

quarante

deux

Ici, un seul mot nombre pour ce troisième chiffre 4. Mais, on n’entend que le début de ce quatre : qua… Le « ante » semble évoquer l’idée d’un groupement.

Ici, un seul mot nombre pour ce quatrième chiffre 2. Le mot dit le nombre évoqué par le chiffre. C’est un nombre de choses sous entendues : des « un »3.

Ce mot quarante en cache deux : deux uns quatre dix

L’énonciation tout à fait explicite et logique du nombre écrit ci-dessus devrait donc se composer systématiquement d’une succession de deux mots : –– l’un disant le nombre de groupements et –– le suivant le nom des groupements. Cinq

mille

six

cent

quatre

dix

deux

Des « un » plutôt que des unités, en référence au dénombrement totalisation de Rémi Brissiaud : un et un et encore un, c’est trois. Une totalité se construit sur l’énumération de uns. Ce mot est préférable au mot unité qui a d’autres significations dans d’autres domaines : celui des grandeurs, celui des fractions notamment.

L A MATI È RE

On doit bien constater que cette rythmique est souvent mise à mal notamment pour les nombres inférieurs à cent, nombres abordés au cycle 2.

Un Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit neuf

Un-un Deux-uns Trois-uns Quatre-uns Cinq-uns Six-uns Sept-uns Huit-uns Neuf-uns

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pas logique : un mot au lieu de deux. Le « e/ante » évoque le dix Dix Vingt Trente Quarante Cinquante Soixante Septante Quatre-vingts Nonante

On devrait dire

Un-dix Deux-dix Trois-dix Quatre-dix Cinq-dix Six-dix Sept-dix Huit-dix Neuf-dix

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Pas logique : un ou deux mots et il en faudrait quatre !

On devrait dire

Onze Douze Treize Quatorze Quinze Seize Dix-sept Dix-huit Dix-neuf

Un dix un un Un dix deux uns Un dix trois uns Un dix quatre uns Un dix cinq uns Un dix six uns Un dix sept uns Un dix huit uns Un dix neuf uns

On devrait dire

Pas logique : les uns13 sont sous-entendus

11 12 13 14 15 16 17 18 19

Les mots onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize14 présentent une certaine logique en se terminant par –ze. Ces mots ont une origine latine undecim (un et dix), duodecim (deux et dix), tredecim (trois et dix), quattuordecim (quatre et dix), quindecim (cinq et dix) , sedecim (six et dix) qui se sont déformés selon les régions. En Italien : undici, duodici, tredici, quattordici, quindici, sedici.

En espagnol : once, doce, trece, catorce, quince.

Le suffixe référent à dix se retrouve aussi en allemand (dreizehn, vierzehn…) et en anglais (thirtheen, fourteen…) Les mots dix-sept, dix-huit, dix-neuf amènent une certaine logique mais sont incomplets.

Éd

iti

Les mots trente, quarante, cinquante, soixante, septante, nonante présentent un début semblable au nombre de dix : « tr » de trois, « qua » de quatre, cinq, « soix » proche de six, sept, « non » pour neuf, et se terminent par « e/ante » qui évoque le dix. Dans vingt, on n’entend rien du deux. À la révolution française, le mot duande a été introduit mais n’a pas tenu. Le quatre-vingts est dit huitante ou octante chez les Suisses (logique des e/ante). Le mot quatre-vingts fait référence à la base vingt qui a été d’usage aussi et qui reste dans les dénominations françaises à partir de soixante : soixante-seize pour 76 = 60 + 16, quatre-vingt-douze pour 92 = 80 + 12. Notons encore une anomalie. Vingt-et-un, trente-et-un, quarante-et-un, cinquante-et-un, soixante-et-un, septante-et-un, nonante-et-un mais quatre-vingt-un ! Introduction du « et » pour une énonciation plus audible. Au-delà de cent, on ne rencontre plus que deux anomalies. –– On dit cent et non un cent, alors que l’on dit ensuite deux-cents, trois-cent, quatre-cents… –– On dit mille et non un mille, alors qu’on dit ensuite deux-mille, trois-mille, quatre-mille… 13 14

Nous décidons de mettre « un » au pluriel : plusieurs uns. Un et un et encore un, c’est trois c’est-à-dire trois uns ou trois fois, un. Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Tome 1, pages 86, 87.

2 . Le nombre nat u re l

Les énoncés logiques, complets, explicites qu’il faudrait dire sont précisément ceux utilisés par les Chinois qui sont, selon de nombreuses enquêtes faites, bien meilleurs calculateurs que les occidentaux. Cf. Plusieurs séries d’activités aboutissent à cette réflexion sur les mots nombres. 4. Exprimer les nombres grâce au matériel Cuisenaire. 6. Lier les mots et les chiffres avec le matériel Montessori. 7. Découvrir la numération chinoise.

2.3.3. Comment gérer l’apprentissage de cette complexité de nos mots nombres ?

La complexité de nos mots nombres, les nombreux illogismes qu’ils comportent ne favorisent pas la compréhension de leur succession, de la litanie en lien avec l’écriture chiffrée. C’est pourquoi, un auteur comme Stella Baruk15 propose un parcours sur les nombres qui fait d’abord saisir les séquences semi-logiques de cette litanie pour débusquer ensuite les parties illogiques. –– Elle aborde les nombres par du nombreux : cinq. Cela aussi en référence aux cinq doigts de la main, qui donnent une image mentale solide et accessible de ce repère. Du cinq, elle va vers les proches de cinq : quatre et trois, puis six et sept, puis huit et neuf, et enfin deux pour aborder la notion de paire et re-visiter les premiers nombres en les séparant en pairs et impairs. Elle termine par un pour refaire du dénombrement un par un de diverses manières, dans les deux sens et en changeant l’origine. –– Elle saute à trente-sept : car il se compose de trois dix (double main) et sept (doigts). Trois et sept sont alors connus des enfants. Elle varie ensuite les uns et les dix de façon croissante et décroissante, en sautant 87. Elle passe par 27 pour revenir après à 87 (quatre paires de dix, donne huit dix). Elle termine en redescendant sur 17, et de là, sur 16, 15, 14, 13, 12, 11 qui sont les plus illogiquement dénommés ! –– Elle travaille sur des nombres pleins avant de les vider de leurs uns pour arriver sur les dizaines : 30, 40, 50, 60, 70, 90, 20, 80, 10.

iti

31 32

Éd

33 34 35 36

↑

17←

27←

37→

↑ 97

↓

38 39

–– Elle remplit le nonante de uns jusque 99, puis un de plus : nonante dix ? « Dix dix » qui deviennent un cent. Un auteur comme Remi Brissiaud16 propose, lui, d’aborder les nombres comme Tchou, petit Chinois sympathique, qui nous autorise à dire momentanément les nombres en français mathématique. 15 16

Cf. Comptes pour petits et grands. Pour un apprentissage du nombre et de la numération fondé sur la langue et le sens. Éditions Magnard. Sous la direction de Rémi Brissiaud : J’apprends les maths avec Tchou, je calcule avec Tchou, CP, éditions Retz.

L A MATI È RE

2.3.4. Notons enfin les quelques règles d’orthographe et de grammaire –– Les adjectifs numéraux cardinaux sont invariables, excepté vingt et cent quand ils indiquent des vingtaines et des centaines entières : quatre-vingts, quatre-vingt-deux, cinq-cents, cinq-cent-trois livres. –– Mille est un adjectif numéral, toujours invariable. Millier, million, milliard, billion, trillion prennent le « s » au pluriel parce que ce sont des noms. Exemples : deux millions, deux milliards de livres. –– On met le trait d’union,

Vingt-cinq Vingt et un Quarante et unième Quatre mille deux cent trente-deux Deux millions cinq cent mille

dans la nouvelle orthographe, dans l’expression des entiers, tous les éléments qui ne sont pas des noms sont reliés par un trait d’union. Les noms ne sont ni précédés, ni suivis de traits d’union. Vingt-cinq Vingt-et-un Quarante-et-unième Quatre-mille-deux-cent-trente-deux Deux millions cinq-cent-mille

dans l’ancienne orthographe, entre les unités et les dizaines, sauf si elles sont unies par et

Dès lors dans la nouvelle orthographe, vingt et un tiers et vingt-et-un tiers ne désignent pas les mêmes écritures chiffrées : 20 + 1 ; 21 . 3 3

2.4. D’autres représentations des nombres : les schèmes

2.4.1. L’importance de l’organisation spatiale dans un espace réduit

iti

Le nombre évoqué oralement par un mot, n’en donne qu’une trace fugace. Celle-ci se stabilise bien sûr par l’écriture de ce mot, mais dans l’histoire des civilisations, ce type de trace écrite a mis beaucoup de temps à se réaliser. Une autre trace plus persistante a été le dessin des collections d’objets à quantifier. Ensuite, des dessins plus symboliques, plus épurés, plus synoptiques ont fait leur apparition. Cela évite, justement, de devoir redessiner tous les objets, toute la collection, et permet de percevoir plus globalement et plus rapidement la quantité sans nécessairement repasser par le dénombrement un à un.

Éd

Voici une activité17 intéressante à faire en formation pour prendre conscience de cette nécessaire organisation dans un espace limité. Proposer aux enseignants des récipients remplis de petits objets semblables (cure-dents ; cubes, trombones…) (il y en a beaucoup) et leur demander d’estimer les quantités au coup d’œil. Difficile évidemment. Puis, proposer à chaque enseignant d’organiser sur la table une des collections de façon à percevoir le plus rapidement possible le nombre d’objets. Enfin, chacun repasse devant toutes les organisations pour déterminer le nombre d’objets et comparer avec la première estimation. Le résultat est éloquent !

Activité proposée par le GEM, lors du colloque en l’honneur de Nicolas Rouche, le 11 novembre 2009, dans un atelier intitulé « Du comptage aux représentations structurées des nombres. » et animé par A. Chevalier, S. Bianco, C. Dayez, B. Halot et J. Koeks.

2 . Le nombre nat u re l

Il apparaît clairement que les organisations structurées en lignes, rangées, en paquets pas trop éloignés, pas trop dispersés, de 2, de 5 et de 10 favorisent clairement la perception globale de sous-quantités. Elles sont articulées opératoirement et permettent de déterminer le total. Ceci peut bien sûr être fait avec les enfants, notamment au cycle 3, pour réactiver le travail sur le système décimal. 2.4.2. Les schèmes barres et les schèmes points

Revenons au nombre cinq. Évoqué par la main et par des mains dessinées, il peut être représenté de façon épurée par des barres ou par des points. Juxtaposés en ligne

Structurés en 2 dimensions : des schèmes

Points

Barres

Systèmes primitifs, vite illisi- Les composantes de ces représentations sont d’abord dénombrées bles, fastidieux. souvent puis finissent par se fixer dans la mémoire et être adoptées comme « photos » sûres du nombre, photos de points ou de barres à ne plus dénombrer.

Les schèmes dits « appartements » sont composés de cases organisées dans l’espace. Les barres, les points sont des cases :

iti

Il est intéressant de faire fabriquer par les enfants cette notion de schème : organiser la quantité pour la voir d’un seul coup d’œil.

Éd

Exemple de la poule qui veut s’assurer qu’elle a tous ses poussins bien à vue autour d’elle ! En une seule ligne, on ne voit pas bien combien il y en a. Organisons-les autrement. Ensuite, le refaire avec des bouchons, des cailloux, des pailles (matériel semi-abstrait) sur des fiches cartonnées. Cf. Activités : 1.4. Organisons nos tas de cailloux en constellations. 1.5. Réalisons des constellations de gommettes. 1.7. Remplaçons nos tas de cailloux par des petits traits.

L A MATI È RE

2.4.3. Les différentes sortes de schèmes Dés

Cartes

Binaires horizontal

Binaires vertical

Linéaire

Mains

Formes géométriques

iti

Éd

Tableau représentatif de ce qui est utilisé dans les écoles. Cf. aussi les cartes Calcul’AS, éditions Atzéo. 2 . Le nombre nat u re l

2.4.4. Avantages et inconvénients de certaines sortes de schèmes Nous vous proposons ici la comparaison de deux types de schèmes assez courants dans les classes. Mais nous vous renvoyons aux appendices matières où vous trouverez une analyse systématique

N Dominos

Cartes

Dés

selon les mêmes critères de référence. –– Est-ce une image familière ? –– La perception globale est-elle facilitée ? –– Y voit-on la force du deux ou du quatre ou du cinq ? –– Y-a-t-il de multiples décompositions possibles et organisables ? –– Voit-on l’inclusion des nombres entre eux ? –– La propriété d’être double est-elle perceptible ? –– La relation à dix apparaît-elle ? –– L’expression des nombres supérieurs à dix est-elle possible ?

de chaque sorte de schèmes, –– Constellations du dé –– Constellations des cartes à jouer –– Les schèmes dominos –– Les schèmes à points binaires –– Les schèmes linéaires –– Les schèmes mains –– …

Linéaires

iti

Binaires

Éd

Mains

Vous trouverez sur le site instit.deboeck.com l’appendice matière 8. Analyse critique des différentes sortes de schèmes.

L A MATI È RE

La référence à des représentations schématiques des nombres est essentielle pour avancer dans la pensée calculatoire. En effet, il est impossible de calculer efficacement si les nombres restent des entités éclatées en de multiples petites unités séparées et dispersées. Des manuels proposent, par exemple, de travailler la soustraction ainsi. Barre les 7 pommes pourries.

13 – 7 = ?

Barre les 7 billes que tu donnes.

C’est totalement inutile et inefficace car l’enfant ne calcule pas mais va plutôt dénombrer. Il vaudrait mieux proposer ce qui suit.

Regarde bien ta boite remplie de 13. Cache mentalement 7.

(1)

(2)

13 – 7 = ?

Ici, le schème (1) qui privilégie la force du deux et du quatre favorise la mise en relation des deux nombres impairs du calcul. Alors que le schème (2) qui privilégie la force du cinq, ici, n’aide pas.

Éd

iti

Il est important donc de bien connaitre le potentiel calculatoire des schèmes et leurs limites pour en proposer plusieurs aux enfants. Selon les calculs à résoudre, il faut choisir le ou les schèmes les plus favorables à la mise en relation des nombres en présence. Cf. Chapitre 4. Le calcul mental et le calcul écrit.

2 . Le nombre nat u re l

Comparons les schèmes dominos et les schèmes binaires. dominos

binaires

Avantages •• Cette image est très visuelle, synoptique et familière. Elle •• Cette image est très cohérente dans sa construction, par groupe de 4 ,2 et 1, systématiquement. permet une appropriation globale rapide.

•• Il y a une variété d’images pour un même nombre. Pas d’image unique, stéréotypée. •• L’unicité de l’image d’un nombre peut être un repère On passe d’une image à l’autre par commutativité et par utile pour l’enfant. compensation. Ici, 9 : •• Il permet d’exploiter la variété immense des (dé)compositions possibles du nombre. Ici, pour 9, on a 4 + 5 ; 8 + 1 ; 6 + 3 ; 2 + 7 ; 4 + 4 + 1 = (2 × 4) + 1 ; (4 × 2) + 1 ; 2 + 2 + 5 = (2 × 2) + 5 ;……

•• La coupure en deux suggère la (dé)composition du nombre. Pour le premier domino, on a 9 = 4 + 5 = 5 + 4 ; 9 – 4 = 5 ; 9 – 5 = 4.

•• Le neutre de l’addition apparaît dans le domino avec •• Il y a des liaisons évidentes entre les nombres. Chaque case vide : ici, 5 + 0 = 5 = 0 + 5. nombre contient le précédent.

Éd

iti

•• La visualisation des nombres est possible au-delà de dix. Inconvénients •• La visualisation des nombres au-delà de douze (6 et 6) •• L’image est moins visuelle, moins synoptique au fur et à mesure que le nombre grandit. On reconnait moins 15 n’est pas possible. en binaire •• Les liens entre les nombres ne sont pas perceptibles systématiquement. Ici, on ne voit pas que 9 contient 8. qu’en domino.

•• Dans une seule image, on a peu de décompositions possibles. Pour le domino ci-dessus, on a 9 = 4 + 5 = 5 + 4 ; •• La trace de la (dé)composition n’est pas apparente. Il 9 – 4 = 5 et 9 – 5 = 4 mais pas 6 + 3 ou 7 + 2… faut la voir dans sa tête. On passe à une abstraction des •• Il y a moins de cohérence de construction des différentes opérations plus rapidement. images des nombres. •• Il y a risque de s’enfermer dans un seul type d’image du nombre. •• Le neutre de l’addition : 0, n’apparait pas dans ce type de schème.

L A MATI È RE

2.5. Les procédures de dénombrement 2.5.1. Le dénombrement pointage18 Vous trouverez sur le site instit.deboeck.com, dans l’appendice matière 9. Vidéos d’enfants qui dénombrent.

Le dénombrement des objets d’une collection se pratique souvent par le pointage des objets à dénombrer avec la main ou l’index pointeur. Ainsi, l’enseignant, spontanément, « compte » les enfants présents en passant la main sur chaque tête, fait « compter » les photos des absents en les faisant montrer chacune du doigt successivement. Qu’est-ce que cela recouvre ?

Nous pourrions dire de manière lapidaire que DÉNOMBRER c’est pour quantifier des collections II

utiliser des mots nombres I

et agir. III

Dénombrer, c’est utiliser des mots nombres selon deux premiers principes.

iti

L’aspect III ici énoncé19 est essentiel lors de cet apprentissage : il est important de dénombrer, non pas dans le vide, non pas pour répondre à une simple consigne scolaire, mais parce que c’est utile pour résoudre un problème, s’impliquer dans la réalité : –– Je dénombre pour verser dans la pâte le nombre de cuillères de sucre selon cette recette. –– Je dénombre mes cartes pour savoir si j’en ai plus que le copain et savoir si je gagne cette partie du jeu. –– …

Éd

1. Pratiquer l’adéquation unique.

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

2. Respecter l’ordre stable.

Pratiquer l’adéquation unique. C’est associer à chaque objet de la collection à dénombrer un seul « pointage », gestuel ou visuel, un seul mot (hop, hop, hop… ou touché, touché, touché…ou un et un et encore un….), sans en oublier et sans revenir plusieurs fois sur le même objet. Cette première étape devra être suivie de l’étape ou les mots dits seront différents et correspondront à la litanie des motsnombres (un, deux, trois…). 18 19

Procédure explicitée par Gelman R et Gallistel C.R., Meck E. et d’autres auteurs. Idée fortement défendue par Arlette Delaxe dans sa collection « Agir avec… », aux Ed. Labor. Notamment dans l’ouvrage « Agir avec le nombre ».

2 . Le nombre nat u re l

Cela demande de s’organiser dans l’espace. –– Décider de commencer par un objet de la collection, se donner une origine de parcours de tous les objets de la collection. –– Se donner une ligne de passage sur chaque objet de la collection pour ne pas en oublier, en pointant chaque objet successivement, en se dirigeant (direction) et en s’orientant (orientation, sens) dans l’espace.

Si les objets sont dessinés, ce pointage peut être marqué en barrant au passage chaque objet, en traçant la ligne passant sur chaque objet. –– Distinguer, séparer spatialement, en deux régions, les objets déjà pointés, des objets encore à pointer, pour ne pas revenir plusieurs fois sur les premiers. Cela en séparant effectivement l’objet pointé, des suivants : le sortir de la collection, le placer ailleurs

Si les objets sont dessinés, donc immobiles, il faut séparer mentalement les objets pointés, des objets encore à pointer, il faut voir dans sa tête les deux régions.

Respecter l’ordre stable.

C’est énoncer les mots nombres dans l’ordre de la litanie des noms des nombres : un, deux, trois, quatre, cinq, six … Cet ordre correspond à l’ordre des nombres, à l’ordre des collections ayant ces nombres d’éléments.

« Un, deux, trois, je m’en vais au bois.

La litanie des mots nombres peut être apprise en imitant l’adulte qui la dit ou en répétant des comptines mettant l’accent sur cet ordre. Quatre, cinq, six, cueillir des cerises… »

instable et incorrecte (stade 1) 2, 4, 6, 3 2, 5, 3, 6 3, 1, 2, 5

Éd

est … Premier essai Deuxième essai Troisième essai ……………

iti

L’appropriation de cette chaîne de mots (litanie) est un long apprentissage (étudié par Piaget20) pour les enfants qui passent par différents stades : la suite de mots utilisés plusieurs fois par l’enfant pour une même collection ( ) stable et incorrecte (stade 2) 6, 4, 5, 3 6, 4, 5, 3 6, 4, 5, 3

stable et correcte (stade 3) 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4

On peut distinguer différents niveaux de compréhension de cette chaîne stable et correcte de mots. –– Le niveau chapelet : les mots nombres successifs forment un tout, forment comme un seul mot : undeuxtroisquatre. Il est fort probable qu’à ce niveau, l’adéquation unique pose problème. –– Le niveau chaîne insécable : les mots sont perçus comme étant distincts mais l’enfant n’arrive à énoncer cette litanie qu’à partir de un. Il n’arrive pas à la poursuivre ou à la commencer à partir d’un mot de la série : cinq puis… –– Le niveau chaîne sécable : la litanie des mots nombres peut être entamée et poursuivie à partir de n’importe quel mot de la suite connue de l’enfant. –– Le niveau terminal : la litanie des mots peut être énoncée à partir de n’importe quel mot et dans les deux sens : ordre croissant et ordre décroissant. 20

Piaget J. & Szeminska, 1964, La genèse du nombre chez l’enfant. Delachaux et Niestlé.

L A MATI È RE

À ce stade du dénombrement, les mots nombres ne sont que des dossards attribués à des objets, des noms d’objets dits dans un certain ordre. Les mots nombres ne représentent pas encore des nombres qui permettent de désigner des quantités. Ils évoquent plutôt des numéros. L’application de ces deux premiers principes constitue la procédure de COMPTAGE et on parle de COMPTAGENUMEROTAGE Dénombrer, c’est quantifier des collections selon trois nouveaux principes.

A) Passer à la quantification, c’est d’abord cardinaliser.

C’est-à-dire, vraiment réaliser que les mots nombres représentent des nombres cardinaux : c’est-à-dire des nombres qui disent des quantités, qui disent combien d’objets il y a dans la collection.

Il s’agit donc de dépasser le comptage-numérotage : –– un objet/un mot nombre, –– les objets pointés successivement, la litanie dite dans l’ordre, pour aller vers l’attribution de chaque mot nombre dit à la collection des objets considérés.

1. Pratiquer l’adéquation unique.

Il s’agit de cardinaliser.

iti

2. Respecter l’ordre stable.

trois

quatre

cinq

six

sept

Éd

3. Cardinaliser

deux

Cardinaliser.

C’est considérer chaque mot nombre de la litanie comme évoquant le nombre d’objets déjà comptés, c’est-à-dire le cardinal de cette collection. B) Quantifier, c’est aussi abstraire ce cardinal et lui donner de la stabilité en percevant son invariance. Il faut en effet que ce cardinal qui répond à la question : « Combien y en a-t-il ? », acquière une permanence, une stabilité. L’enfant va devoir s’approprier et exprimer des propriétés de ce cardinal. Exprimer l’abstraction de ce cardinal, c’est réaliser qu’il reste le même pour des collections très différentes d’objets, mais qui effectivement sont constituées du même nombre d’objets. Ce cardinal est aussi le même pour des collections d’objets tout à fait hétérogènes, dont chacun est pris comme une unité de l’ensemble.

2 . Le nombre nat u re l

Les soucoupes, les tasses, les cuillères, les objets qui sont sur la table (boite de lait, sucrier, plateau, chiffon)

Cette abstraction du cardinal englobe aussi l’expression de l’invariance de ce cardinal : pouvoir dire que le cardinal de la collection, le nombre d’objets de la collection ne change pas si les objets changent de place ou d’allure.

Partir de cinq boules de plasticine, les transformer en boudins, les disposer autrement dans l’espace, et faire exprimer qu’il y en a toujours cinq.

Attention, l’invariance (ou la conservation) se construit lentement chez chaque enfant. L’enfant passe par différents stades : non conservateur, semi-conservateur, et conservateur.

Se convaincre qu’il y a toujours cinq objets quand on change leur allure ou leur disposition demande du temps à chaque enfant.

C’est en dénombrant longtemps pour vérifier si après changement il y en a encore cinq qu’ils vont progressivement avoir l’assurance que ces changements physiques n’influencent pas le nombre d’objets. Les enfants vont trouver, à des rythmes différents, des arguments pour justifier cette invariance. Situation II

iti

Situation I

Éd

Enoncés des enfants –– Ce n’est pas la même chose, il n’y a pas le même nombre. –– Ce sont les mêmes billes qu’on garde. –– Je peux des deux lignes en refaire une, revenir à une. –– On n’a rien ajouté et rien retiré. –– Il y a plus de lignes mais elles sont moins longues (plus courtes).

L A MATI È RE

Type d’argument Perception de situations totalement différentes

Stade Non conservateur

Recours à l’IDENTITÉ (conservation de l’objet)

Semi-conservateur

Recours à la RENVERSABILITÉ Recours à l’OPÉRATIVITÉ Recours à la COMPENSATION

Notion de REVERSIBILITÉ Conservateur Une opération dans un sens, la réciproque dans l’autre sens.

Bernadette Guéritte-Hess (comme Piaget21) (Les Math à toutes les sauces, Ed. Le pommier) distingue renversabilité et réversibilité :

Renversabilité : ayant fait une action dans un sens, on retourne au point de départ.

Réversibilité : ayant fait une opération dans un sens, je fais une autre opération dans l’autre sens, cet enchaînement opératoire constituant aussi une opération +2 +2 –2 –2 +0 Répétons que l’invariance ne s’enseigne pas comme un discours à transmettre aux enfants. Cela relève de nombreuses expériences personnelles répétées. Il faut que cela mature, qu’il y ait conflit socio cognitif entre les enfants (discussion, débat).

La notion d’invariance intervient aussi lorsque « un pluriel » devient « singulier ». Cinq uns

Cinq doigts (pluriel) c’est aussi une main (singulier), c’est numériquement égal. un cinq (une cinquaine).

devient

Il y a changement de « un », ou d’unité (on en reparlera dans le chapitre sur la numération décimale), comme plus tard, quand 10 cm deviennent 1 dm, par exemple. C) Quantifier, c’est enfin percevoir une dernière stabilité du cardinal : son indépendance par rapport au comptage.

Exprimer l’indépendance du cardinal par rapport au comptage, c’est exprimer que le nombre d’objets de la collection ne change pas, reste le même, si on se met à recompter à partir d’une autre origine, d’une autre ligne de comptage ou d’un autre sens du comptage.

iti

La compréhension de ce dernier principe tente à corriger les deux premiers en ce sens que les mêmes mots sont attribués à des objets différents et donc ne devraient plus être perçus comme le nom des objets.

Éd

Un, deux, trois, quatre, cinq

cinq , quatre, trois, deux, Un

Ceci fait aussi valoir que si le nombre cardinal, lui est indépendant de l’origine et du sens du comptage, le nombre ordinal cinquième, lui, est dépendant de l’origine et du sens du comptage. Le cinquième objet ne sera pas toujours le même.

Un, … cinq , quatre, trois, deux

En bref et pour retenir facilement : invariance : les objets bougent de place, le nombre reste ; indépendance : une main qui dénombre, bouge d’origine, de sens, le nombre reste.

Piaget J. & Szeminska, 1964, Le genèse du nombre chez l’enfant. Delachaux et Niestlé.

2 . Le nombre nat u re l

1. Pratiquer l’adéquation unique. 2. Respecter l’ordre stable. Un

deux

trois

cinq

six

sept

3. Cardinaliser.

quatre

L’application de tous ces principes constitue la procédure de DENOMBREMENT (POINTAGE)

4.a. Exprimer l’abstraction et l’invariance. 4.b. Exprimer l’indépendance du cardinal.

Le tableau suivant exprime, EN RÉSUME, ce qu’est cette procédure de dénombrement.

2) C’est respecter l’ordre stable COMPTER des mots nombres. NUMÉROTER 4) C’est exprimer a) l’abstraction, l’invariance et QUANTIFIER b) l’indépendance du cardinal.

1) C’est pratiquer l’adéquation unique. 3) C’est cardinaliser.

DÉNOMBRER

iti

V ous trouverez sur le site instit.deboeck.com, dans l’appendice matière 10. Vidéos sur le dénombrementpointage.

Éd

Et en quoi cela pose-t-il problème aux enfants ? ¾¾ Notons d’abord que, pour apprendre cette procédure de dénombrement, il faut déjà aborder « du nombreux », minimum quatre éléments. Il est préferable de chercher à percevoir et à articuler les différents principes de ce dénombrement sur des collections d’au moins 4 objets. –– Collection d’un objet : simple association d’un mot à un objet. Il n’est d’ailleurs pas sûr que ce mot pour l’enfant, évoque de la quantité. Ce peut être le nom qu’on donne aux objets solitaires, ce sont des « tout seuls », des « uns ». –– Collections de deux objets : simple juxtaposition de deux mots, le deuxième reprenant aussi le tout. Ceci peut être facilement imité par l’enfant. Le fait que le dernier mot dit ici reprend aussi le tout, ne se répète pas puisqu’il n’y a que deux objets. L’enfant ne peut donc généraliser ce principe et comprendre que, derrière les mots, il y a bien des quantités. –– Collections de trois objets : juxtaposition de trois mots, le deuxième et le troisième reprenant ce qui a déjà été compté. Ici, le principe de cardinalisation se répète mais pas suffisamment pour se généraliser. ¾¾ Cette procédure de dénombrement amène une contradiction entre la partie comptage et la quantification. En effet, le pointage de chaque objet successivement et les mots l’accompagnant donnent à croire que ces mots dits sont les noms des objets en quelque sorte, évoquent alors des numéros. Ils pourraient aussi évoquer des positions : un, le premier objet ; deux, le deuxième objet ; trois, le troisième objet…, mais en aucun cas, des cardinaux. Puis, lorsque le pointage et la litanie des mots s’arrêtent, le dernier mot doit évoquer la totalité comptée, cela devient un cardinal ! Le même mot dit, par exemple trois, signifie, en même temps, le troisième objet et les trois objets comptés, il désigne des choses totalement différentes. Il y a de quoi ne plus rien comprendre, c’est le cas de nombreux enfants. 48

L A MATI È RE

Une façon de s’en sortir est de modifier le geste associé à cette procédure de dénombrement. Il faudrait, lors du comptage, solliciter un autre geste que le pointage des objets considérés isolément pour adopter la désignation par les deux mains de la collection qui s’élargit. La main de gauche reste immobile, la main de droite se déplace vers la droite pour englober un objet de plus.

deux

trois

quatre

On associe alors le mot nombre d’emblée à la collection correspondante. Le mot nombre désigne bien un cardinal d’ensemble et non un élément d’ensemble.

Une autre façon de s’en sortir, en gardant le geste du pointage, est de demander de montrer les 4 objets dénombrés.

¾¾ Le principe d’abstraction est bien sûr important mais on peut se demander quelle est la pertinence de faire quantifier des collections d’objets hétéroclites, d’objets non homogènes.

Dans la réalité, c’est vrai que, s’il y a 4 convives à table, il sera important d’amener 4 soucoupes, 4 tasses et 4 cuillères. Le nombre 4 a toute sa raison d’être, il doit être déterminé, vérifié. Mais par contre, c’est beaucoup moins important de s’assurer qu’il y a aussi 4 autres objets tout à fait hétérogènes sur la table à savoir : une bouteille de lait, un sucrier, un plateau et un chiffon. Ces objets ont leur utilité chacun mais leur nombre ensemble est sans intérêt. Très souvent d’ailleurs, dans la vie, lorsqu’on dénombre, il s’agit de collections d’objets qui nécessitent d’être rassemblés et qui ont, quelque part, une propriété commune.

Ainsi, on dénombre les personnes d’une manifestation même si ce sont des personnes de toute sorte. Elles ont en commun d’être à cette manifestation. Mais a quoi cela rime-t-il de faire dénombrer les objets hétéroclites amassés dans un coin ?

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Ainsi, quand en maternel et au début du primaire, on réalise des boites-nombres, on place par exemple dans la boite deux, un sachet de deux gants ou de deux chaussettes appariées, un collier de deux perles ou une boite de deux bijoux. Les objets ont quelque chose à voir ensemble et sont mis en collections. Sur la boite, on dessinera des représentations schématiques de deux variées. La diversité des collections et des représentations suffit largement à construire l’abstraction deux sans devoir y ajouter ce pas supplémentaire que deux, c’est aussi deux n’importe quoi. Cela viendra naturellement plus tard.

2.5.2.Le dénombrement par construction de collections témoins de doigts22 Les recherches sur l’apprentissage du nombre et sur la procédure de dénombrement en particulier sont extrêmement nombreuses23 Nous retenons ici celle correspondant à l’ouvrage récent (2007) de Rémi Brissiaud qui prône la construction de collections témoins de doigts. Il met en effet les enfants dans une toute autre dynamique que le pointage.

Un et encore un, ça fait deux ; et encore un, c’est trois ; et encore un, quatre Remi Brissiaud. Premiers pas vers les maths, les chemins de la réussite à l’école maternelle, éditions Retz. Cf. Pour s’en convaincre, la bibliographie de l’ouvrage de Catherine Van Nieuwenhoven. Le comptage. Vers la construction du nombre. Chez De Boeck Université.

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2 . Le nombre nat u re l

Il s’agit de passer en revue chacun des objets de la collection à dénombrer, sans en oublier et sans en répéter. Chaque objet est une nouvelle unité composant la totalité recherchée et à ce titre est appelé un. Les objets se succèdent. Un doigt de plus se lève chaque fois. La prise en compte d’une unité de plus est renforcée. Les uns se composent, la totalité se fabrique et est chaque fois dite. Ici, l’on voit une parfaite cohérence entre le geste et la parole. Le geste fabrique une totalité qui s’exprime bien par un nombre cardinal.

Rémi Brissiaud, dans son livre, compare les deux procédures de dénombrement. Il se réfère à trois principes essentiels.

Le « un » dit pour chaque objet fait bien comprendre que ce n’est plus là le nom des objets mais que ces objets ont le même rôle dans la fabrication de la totalité, à savoir être une unité constituante de ce tout.

Pour pouvoir quantifier une collection, il faut, d’abord, pouvoir créer mentalement les unités numériques : IDENTIFIER LES UNS. Il s’agit de comprendre que chaque objet à la même valeur un, composante élémentaire de la totalité (cf. remarque 1 ci-dessous). Puis, pouvoir prendre en compte toutes les unités sans en oublier et en répéter : les ÉNUMÉRER. Enfin, pouvoir exprimer le nombre total d’objets de la collection : TOTALISER. Le pointage La construction de collections témoins de doigts

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Un deux trois quatre Il y en a quatre Il y a quatre balles Cf. remarque 3 ci-dessous.

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Permet d’IDENTIFIER Non LES UNS Chaque objet ayant un nom différent, l’idée qu’ils aient le même rôle, donc d’une même valeur dans la constitution d’un total, n’est pas perceptible. Permet d’ÉNUMÉRER Oui Pointage de chaque objet de la même façon : par le même doigt qui se déplace. Ils sont tous passés en revue. Permet de TOTALISER Non Jamais de totalité apparente ni dans le geste, ni explicitement dans les mots. De plus, un même mot semblerait devoir désigner un élément et la totalité. (Cf. remarque 2 ci-après.)

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Un et encore un, il y en a deux et encore un, il y en a trois et encore un, il y en a quatre. (Cf. remarque 3 ci-après). Oui Chaque objet a le même nom : un. Cette désignation commune aide à percevoir qu’ils ont le même rôle dans la fabrication du nombre total, la même valeur pour le constituer. Un à un successivement, ils composent le total. Oui Pointage de chaque objet de la même façon : par un doigt qui se lève. Ils sont tous passés en revue. Oui La totalité se construit progressivement dans le geste et dans les mots. Les nouveaux mots apparaissent : deux, trois, quatre désignant donc toujours une totalité.

Remarques. 1. Cette même valeur « un » attribuée à chaque objet est renforcée par le fait de reconnaitre aussi une propriété commune à ces objets. « Le tout objet » à du sens. Alors, « le tout nombre » en a aussi. Stella Baruk24 propose cet exercice aux enfants : par exemple, face à une collection d’une pomme, une orange et une banane, peut-on dire qu’il y en a trois ? Oui et non. Certains enfants diront oui en expliquant qu’il y a trois fruits ; d’autres diront non car il s’agit pour eux d’objets profondément différents sans lien perceptible pour eux. L’accès au nombre appelle aussi à une capacité d’abstraction sur les objets. Ici, il s’agit d’avoir accès au concept de fruit, caractéristique commune des objets présentés.

2. Certains enfants peuvent nous donner l’impression de quantifier la collection en concluant par le dernier mot nombre dit. Combien y en a-t-il ? Un, deux, trois ; trois ! L’enfant répète le dernier mot nombre comme il a entendu l’adulte le faire ou parce qu’il a compris ce que l’adulte attendait. Cette répétition ne signifie en rien que ce mot désigne du nombre, une totalité. Attention, dit Remi Brissiaud, à l’effet Canada Dry ! Il serait préférable d’entendre l’enfant dire : « Ensemble, ils sont trois, ou en tout ça fait trois. »

3. Le pointage devrait être remplacé par le geste d’enveloppement des mains, comme dit ci-avant, mais en énumérant les objets en disant un, comme le propose Rémi Brissiaud.

Un et encore un, deux ; et encore un, trois ; et encore un, quatre. Ce geste peut, pour certains enfants, être plus facile qu’égrener les doigts et les lever successivement. 2.5.3.Le subitizing sur les premiers nombres et les décompositions.

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« Faire du nombre » à partir de collections d’objets, c’est vraiment dégager le nombre comme une totalité constituée de uns qui s’ajoutent successivement. C’est établir ce lien entre une totalité et la suivante par ajout de un.

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C’est concevoir tout nombre comme contenant les précédents. Par exemple : Un et encore un, c’est deux ; et encore un, ça donne trois. Trois est conçu comme contenant deux et comme contenant un.

Cette énumération des uns pour constituer un tout peut être longue et fastidieuse. Nombrer (reconnaitre globalement), notamment des composantes de schèmes, va permettre des raccourcis. Je reconnais cinq et deux. Cinq et encore deux, ça forme sept en tout. Jusqu’à trois25 objets dans une collection, il est possible d’énumérer (les passer en revue tous sans en oublier, ni en répéter) ces trois objets de manière simultanée, immédiate, automatique et précise parce qu’il est possible, en un seul focus 24 25

Stella Baruk. Compte pour petits et grands. Pour un apprentissage du nombre et de la numération fondé sur la langue et sur le sens. Rémi Brissiaud. Premiers pas vers les maths. Les chemins de la réussite en maternelle, éditions Retz, chapitre 3, p. 34.

2 . Le nombre nat u re l

visuel, de capter le un (le premier objet considéré), et sa double relation avec deux autres. Cette dualité à partir d’un élément est gérable par l’esprit humain « d’un seul coup ». Il semble que cette capacité puisse s’étendre à quatre éléments, voire cinq éléments26. On y trouverait aussi une double association rapide : deux et deux, pour quatre puis pour cinq, à partir du un au milieu, deux et deux.

S’il y a plus d’éléments, il y a un arrêt après ces associations rapides, immédiates, simultanées et une reprise alors de l’énumération un à un des éléments suivants. Au-delà de ces premiers éléments (3, 4 voire 5), l’énumération n’est plus automatique. Elle devient procédurale et va articuler de plus en plus d’opérations (et encore un) au fur et à mesure que la collection compte de plus en plus d’éléments à considérer. Ici, et dans d’autres configurations spatiales, c’est un peu comme si ces deux anneaux associant de façon cumulative les deux uns suivants, au premier « un » considéré, s’appliquaient en même temps sur la situation.

Du milieu, j’étends à gauche J’étends à droite et encore à Du milieu, je vais en bas et Du haut, en bas d’un côté, et à droite… droite… en haut… en bas de l’autre

Cette capacité s’appelle le subitizing, du radical anglais subit, évoquant l’immédiateté de l’énumération de trois éléments.

Faire du nombre c’est aussi concevoir et articuler différentes décompositions possibles du même nombre. Ici, le trois c’est :

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un et un, deux et encore un ; un et un et encore un ; un et, un et encore un, deux.

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Cette capacité de subiziting fait véritablement « faire du nombre » en les faisant concevoir comme se contenant l’un l’autre d’une part et comme pouvant se décomposer de différentes façons articulées d’autres parts. En ce sens, cette approche des trois premiers nombres fait rentrer dans un système de nombres articulés (différent de la procédure traditionnelle de dénombrement). Ceci est à travailler en priorité avec les jeunes enfants du maternel. (Cf. proposition de Remi Brissiaud.)27 La capacité à faire valoir les compositions / décompositions montre aussi, dans la reconnaissance globale des schèmes, l’accès véritable au nombre. Un enfant peut dire : « C’est cinq. », par imitation et simple association d’un mot à un dessin sans concevoir du nombre. Si, par contre, il dit : « C’est cinq parce que je reconnais le 4, 2 en bas et 2 en haut, puis encore 1 au milieu. C’est donc cinq en tout. » Là, il fait du nombre, il les conçoit comme se contenant, il les articule opératoirement. « Je vois dix car je vois 2 rangées de 5 ou 5 colonnes de 2. » Mentionné en bas de page par Marie-Pascale Noël dans son article sur « Les troubles du calcul, la dyscalculie de l’enfant : une difficulté dans le calcul et le traitement du nombre. » dans l’ouvrage : « Traité de neuropsychologie de l’enfant » aux éditions Sodal. 27 Remi Brissiaud. Premiers par vers les maths. Les chemins de la réussite à l’école maternelle. Éditions Retz., p. 57 à 66. 26

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