CQFD 6 (4p/s) - Chapitre 2

4 pĂŠriodes / semaine

manuel 4 pĂŠriodes / semaine

Udiddit, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants La plate-forme Udiddit te donne, par exemple*, accès à : – des exercices en ligne pour t’entraîner, – un aperçu de tes progrès et de tes résultats, – du matériel de cours, – des jeux captivants, – et bien plus encore...

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© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

2e édition 2018 ISBN 978-2-8041-9728-5 D/2018/0078/187 Art. 580418/01

Avant-propos

Arrivés à la fin d’une démonstration, on écrit souvent : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») !

Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Décrire, Définir, Développer, Démystifier… Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent…

Cette nouvelle édition du manuel CQFD 6e (4 périodes/semaine) intègre les compétences et les ressources telles qu’elles sont décrites dans le document « Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques : humanités générales et technologiques », diffusé par la Fédération WallonieBruxelles, référentiel appliqué progressivement depuis septembre 2015.

Les ressources et compétences énumérées dans les cinq unités d’acquis d’apprentissage (UAA) des « Mathématiques générales » en classe de 6e année sont développées dans les sept chapitres de ce manuel. Les correspondances sont indiquées dans le tableau des pages VI-VII. Dans chaque chapitre, un parcours identique structure les apprentissages : – l’introduction situe la nouvelle matière dans le parcours scolaire et/ou dans l’histoire, – l’exploration fournit des informations et des pistes de travail pour l’apprentissage des nouvelles notions, – la synthèse, organisée en questions-réponses, permet de structurer et de fixer les concepts ; elle donne des définitions, des exemples et des procédures, – les exercices, classés par compétences (Connaître, Appliquer, Transférer), testent les connaissances, développent l’habileté calculatoire ou procédurale ainsi que la capacité à résoudre des problèmes.

Dans un monde où les technologies sont en constante évolution, on ne peut passer sous silence l’apport des calculatrices et de l’outil informatique dans l’apprentissage. Dans plusieurs chapitres, une rubrique « Outils numériques » développe quelques pistes d’utilisation de logiciels en rapport avec le contenu du chapitre pour l’illustrer ou pour résoudre l’un ou l’autre exercice.

Des tableaux et des graphiques de ce manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiqués par le symbole et peuvent être téléchargés gratuitement par le professeur via Udiddit.

La sélection des activités présentées vise à développer, chez l’élève, de multiples compétences : maîtriser ses connaissances, conjecturer, vérifier, argumenter avec un langage propre aux mathématiques, produire et analyser un graphique, un tableau, résoudre un problème.

Nous souhaitons aux élèves qui utilisent ce livre de progresser et, pourquoi pas, de prendre goût et développer un réel intérêt pour les mathématiques !

Plusieurs passages de ce manuel sont le fruit d’une collaboration antérieure avec Françoise Van Dieren, directrice de collection, Sabine Hausmann et Emmanuel Bourgeois. Qu’ils en soient ici remerciés.

Nos remerciements s’adressent aussi à Olivier Ruol et Rémi Bertrand, des éditions Van In (De Boeck), pour leur écoute et leur soutien.

Les auteurs Avant-propos

V

Correspondance entre les chapitres et les UAA 6G UAA1 Probabilité Ressources

Chapitres

Outils d’appropriation et de calcul de probabilités arbre, diagramme de Venn, simulation, tableau Expérience aléatoire, catégorie d’épreuve, événements Probabilité d’un événement Propriétés des probabilités

Chapitre 5 Probabilités

Probabilité conditionnelle Événements indépendants Outils d’appropriation et de calcul de probabilités : analyse combinatoire – arrangements avec et sans répétitions – combinaisons sans répétitions – permutations avec et sans répétitions

Chapitre 6 Analyse combinatoire

6G UAA2 Lois de probabilités Ressources

Chapitre

Variable aléatoire Espérance mathématique Écart-type Distribution de probabilité Fonction de répartition Loi uniforme Espérance mathématique et écart-type Loi binomiale Épreuve et schéma de Bernoulli Espérance mathématique et écart-type Distribution de probabilité Loi normale Espérance mathématique et écart-type Graphique de la distribution de probabilité Table de la loi normale et outil informatique

VI

Avant-propos

Chapitre 7 Variables aléatoires et lois de probabilités

6G UAA3 Intégrale Ressources

Chapitre

Encadrement d’une aire, d’un volume Intégrale définie Théorème fondamental Primitives

Chapitre 2 Intégrales et primitives

Aire d’une surface plane Volume d’un solide de révolution

6G UAA4 Fonctions exponentielles et logarithmes Ressources

Chapitre

Fonctions exponentielles Fonctions logarithmes Relation de réciprocité des fonctions exponentielles et logarithmes Fonctions exponentielles et logarithmes de base e Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes

Chapitre 1 Fonctions exponentielles et logarithmes

Règle de l’Hospital Coordonnées logarithmique et semi-logarithmique

6G UAA5 Géométrie analytique de l’espace Ressources

Chapitres

Repère orthonormé Vecteurs de l’espace Coordonnées d’un point dans l’espace Addition de deux vecteurs Multiplication d’un vecteur par un réel

Chapitre 3 Calcul vectoriel dans l’espace

Distance entre deux points Condition analytique d’orthogonalité de deux vecteurs Condition d’alignement de trois points Condition de coplanarité de quatre points Équations vectorielle, paramétriques et cartésienne d’un plan Équations vectorielle, paramétriques et cartésiennes d’une droite dans l’espace Vecteur normal à un plan Condition de parallélisme de deux droites, de deux plans

Chapitre 4 Géométrie analytique de l’espace

Intersection de droites et de plans Avant-propos

VII

5

Probabilité

Les questions suscitées par les jeux de hasard, en vogue dans la bourgeoisie du xviie siècle, sont à l’origine de l’étude des Probabilités. Le vocabulaire utilisé en probabilités y fait d’ailleurs référence : le mot hasard tient son origine dans l’arabe az-zaher (« dé à jouer »), le mot latin alea signifie « jeu de dés » et chance vient du latin cadere (« tomber »).

Comment s’y prendre ?

On situe généralement la naissance des probabilités à l’échange de correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1601-1665) ; ils y relataient leur raisonnement en réponse à une question du Chevalier de Méré, joueur assidu, qui se demandait comment répartir les mises d’un jeu dont les parties avaient dû être interrompues avant la fin.

ploration

Le premier traité de probabilités est publié par Christiaan Huygens (1629-1695) en 1657. Il est suivi par l’Ars Conjectandi (« L’art de conjecturer »), œuvre posthume de Jacques Bernoulli (1654-1705) à qui l’on doit la loi des grands nombres. Cette loi Un candidat est éliminé s’il a moins de quatre bonnes réponses. permet de définir une probabilité ab.posteriori : lorsqu’on répète d’eux au hasard une expérience un très grand nombre L’un de fois, la répond fréquence d’un à chacune des questions. Quelle est la probabilité qu’il soit éliminé ? résultat se stabilise vers une valeur qu’on appelle « probabilité »

Le manuel est structuré en 7 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique. c. On désigne par X le nombre de réponses exactes fournies par un candidat qui répond au hasard et par xi les différentes valeurs de X. Recopier et compléter le tableau suivant.

de ce résultat.

Blaise Pascal à l’âge de 25 ans.

Gravure de Domat (Paris, 1845)

Le concept de probabilité s’est progressivement mathématisé sous l’impulsion d’autres mathématiciens. On peut citer Pierre-Simon de laPlace (1749-1827), Adolphe Quételet (1796-1874), Andreï Kolmogorov (1903-1987).

0

xi

1

2

3

4

5

P ( X = xi ) d. Dans la situation qui vient d’être décrite, X ne peut prendre que des valeurs isolées. On dit que X est une variable aléatoire discrète. La variable X désigne le nombre de « succès » lors de n épreuves identiques et indépendantes : « choisir une réponse à chaque question ». Chaque épreuve ne comporte que deux éventualités :

La notion de probabilité apparaît sous deux formes. D’une part, la probabilité d’un événement peut être une valeur théorique, « limite » d’une fréquence, établie à la suite d’un très grand nombre d’expériences ; c’est ainsi qu’ont été découvertes plusieurs lois scientifiques, que sont construites des tables d’assurance…

D’autre part, la probabilité d’un événement peut être déduite de symétries ou de régularités dans l’énoncé du problème : ainsi, lorsqu’on lance un dé parfaitement équilibré, on a une chance sur six d’avoir le résultat 1 (ou n’importe quel autre résultat de 1 à 6).

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

– avoir une réponse exacte, avec une probabilité p,

– avoir une réponse fausse, avec une probabilité q =1 – p.

1) Déterminer la valeur de p dans le problème posé.

Les domaines d’application des probabilités sont nombreux et variés : contrôle de qualité ou de fabrication, diagnostic médical, finances, assurances… sans oublier les jeux de hasard.

2) Vérifier que P ( X = 1) = 5 p (1 − p)4 et que P ( X = 3) = 10 p3 (1 − p)2.

3) Écrire sous la même forme P ( X = 0 ), P ( X = 2), P ( X = 4 ) et P ( X = 5).

Introduction 157 e. Utiliser la fonction « loi binomiale » d’un tableur (voir « Outils numériques ») pour déterminer la loi de probabilité lorsque le questionnaire compte 8 questions et qu’il y a 3 réponses possibles (une seule correcte) pour chaque question. Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâtons.

Synthèse 4 Outils numériques Ba Exercices 4, 9 à 18

9 Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

Exploration

Tourner la roue

3 y

Une roue est graduée de 1 à 12 (fig. 1). La flèche est positionnée initialement sur 0, ce qui correspond à la graduation 12. On lui donne une « bonne » impulsion ; on considère l’expérience aléatoire « point de la roue où s’est immobilisée la flèche ». b a a. Quelles sont les éventualités de cette expérience ? x 1 b. Pierre donne une impulsion à la flèche ; quelle est la probabilité qu’elle s’arrête sur 2,576 ? sur 5,891 ? sur n’importe quelle valeur entre 0 et 12 ?

y

En classe, avec le professeur UA et les autres élèves, tu découvres les nouvelles y = f(x)

notions.

1 0

est la probabilité que la flèche s’arrête entre 1 et 2 ? entre c. Quelle y = f(x) 10 et 12 ? entre 5 et 8 ? entre 1,5 et 6,25 ?

1 0

toires et lois de probabilités

1 a

b

UA

x

Exploration

∫

b

a

f ( x) dx

∫

f ( x) ≤ 0

10 Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions ?

b

a

f ( x) dx

y UA

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

2 y = f(x) 1

b

f ( x) ≥ g( x)

∫

b

a

( f ( x) − g( x) ) dx

0

–1

a

1

2

x

y = g(x)

fig. 27

80

VIII

2. Intégrales et primitives

Comment s’y prendre ?

217

fig. 26

fig. 25

f ( x) ≥ 0 Synthèse

fig. 1

Outils Outils numériques

numériques

Utiliser un tableur pour calculer une valeur approchée d’une intégrale Exemple On demande de calculer une valeur approchée de l’intégrale

∫ ( 0,1x

Tu découvres quelques utilisations des tableurs et logiciels graphiques.

3

3

−3

)

− 0, 9 x + 2 dx .

La fonction f : x → 0,1x3 − 0, 9 x + 2 est positive sur l’intervalle donné.

On utilise le haut de la feuille pour y inscrire les données.

Cellule

Contenu

Commentaires

B2

Fonction

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite.

C2

f(x)=0,1x^3-0,9x+2

Expression de la fonction

B3

Nombre d’intervalles

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

C3

15

Valeur de n (nombre de rectangles)

D2

origine

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

E2

-3

Valeur de a

Données : une fonction f, un intervalle [a ; b] que l’on subdivise en n parties de même longueur.

Analyse : avant de calculer l’approximation, il faut déterminer la longueur des intervalles et les milieux.

1) Longueur des sous-intervalles : la longueur l est le quotient

b− a . n

l ; tous les 2 milieux suivants sont séparés l’un de l’autre de la longueur d’un sous-intervalle.

2) Milieux des sous-intervalles : le premier milieu est a +

Exercices

l l

5

a

À chaque graphique sa fonction exponentielle !

f3

f1

a+ 3l 2

b

Remarques 1) Si la fonction donnée est positive sur l’intervalle [a ; b], la démarche ci-dessous peut être appliquée pour approximer l’« aire sous une courbe ».

On a dessiné le graphique (fig. 38) de quatre fonctions dans un même repère. Associer chaque expression au graphique correspondant. y

a+ l 2

2) La démarche se rapporte à l’approximation par la méthode du « point milieu ».

f4 f2

82

a. f ( x) = 10 x

2. Intégrales et primitives

b. f ( x) = 10 x + 3 c. f ( x) = 2 + 10 x

1

d. f ( x) = 10( x −1) − 1 0

1

4

x

Vecteurs dans un parallélépipède

Tracer et lire un graphique

b. u + v +

1 t 2

c.

x

3 2 graphique cartésien des fonctions f : x →   et g : x →   . 2 3

F

1 u + v  + t 2

D

d. u + v – t

Exercices

a. Dans un repère orthonormé du plan, dessiner point par point le x

E

Construire les vecteurs a. u + v + t

G

H

Dans le parallélépipède rectangle ABCDEFGH (fig. 15), on définit les vecteurs u = AB, v = AD et t = AE.

fig. 38

6

Les exercices Connaître permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.

C B

A

fig. 15

b. Au départ de l’un de ces graphiques et sans effectuer de calcul, 2 construire le graphique des fonctions définies par h( x) =   3 x 9 i( x) =   et j( x) = 2 ⋅ f ( x) − 1. 4

x−2

Avec les exercices Appliquer, tu acquiers un « savoirfaire » qui s’appuie sur les énoncés et les méthodes découverts.

Appliquer

,

c. Pour chacune des fonctions, préciser 1) le domaine

5

3) les racines éventuelles

4) les asymptotes éventuelles

H

G

E

F

Vérifier que les points E, M et C sont alignés.

5) les limites en + ∞ et en – ∞.

34

Points alignés ? Points coplanaires ? a. Dans le cube ABCDEFGH (fig. 16), on considère M, point de rencontre des diagonales du quadrilatère ABGH.

2) l’ensemble image

b. Cinq points A, B, C, D et E de l’espace sont tels que AE + 2 BE = 0 et CE + 3 DE = 0.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Vérifier que les points A, B, C et D sont coplanaires.

D

C

A

B fig. 16

6

Exercices

Coordonnées de points, composantes de vecteurs On donne le cube OABCDEFG (fig. 17) de côté 2, sur lequel on a construit un repère orthonormé.

z D

a. Préciser les coordonnées des sommets de ce cube. b. Calculer les coordonnées du point :

Transférer Une application topographique…

Les courbes de niveau Lorsqu’on coupe une surface de l’espace par un plan d’équation z = k, on obtient une courbe plane. Cette courbe plane, projetée dans le plan xOy, est appelée courbe de niveau k. Cette représentation est utilisée en géographie pour représenter les reliefs et la profondeur des lacs et océans. Le relief étudié est coupé à intervalles réguliers par des plans horizontaux, qui sont projetés sur le plan de niveau zéro. Lorsqu’on se promène le long d’une courbe de niveau, on ne change pas d’altitude.

3) Q, centre de la face BCGF ;

EN PLAN 1/10 000 ligne de coupe

4) R, centre du cube.

150 145 140 135 130 125 120

Les courbes isothermes et isobares, représentées 115 sur les cartes météorologiques, sont construites sur le même principe ; les premières donnent les points de même température, les secondes les points de même pression atmosphérique.

E

distance en m 1/10 000

fig. 48

118

3. Calcul vectoriel dans l’espace

G F

Les problèmes proposés dans les exercices Transférer mobilisent les concepts dans des situations variées.

c. Calculer les composantes des vecteurs AB, AC, AG et DB.

EN COUPE

altitude en m 1/1 000

23

1) M, centre de la face OABC ; 1 2) P, tel que OP = OB ; 4

C

O

x

A

y

B

fig. 17

a. Les figures ci-dessous donnent la représentation, réalisée par un tableur, d’une surface conique et de ses courbes de niveau.

Les légendes, à droite des graphiques, permettent de repérer sur les graphiques, les zones comprises entre deux courbes de niveau. Expliquer pourquoi les courbes de niveau sont des cercles concentriques équidistants.

4-5

5

3-4

4 3

2-3

2 1

1 –1

0 4 –3 –2 –1 –5 –-4 –1 0 –2 –3

1

2

3

4

–5 5

1-2 0-1 -1-0 -2--1 -3--2

fig. 49

19

Section plane d’un cube On considère un cube OABCDEFG dont les arêtes sont de longueur 3. a. Dessiner le cube en perspective cavalière. b. Placer sur les arêtes les points P, Q et R définis par les relations 2 2 1 suivantes : AP = AB, FQ = FG, DR = DG. 3 3 3

152

4. Géométrie analytique de l’espace

Comment s’y prendre ?

IX

Sommaire

X

1.

Fonctions exponentielles et logarithmes

1

2.

Intégrales et primitives

3.

Calcul vectoriel dans l’espace

105

4.

Géométrie analytique de l’espace

121

63

5. Probabilité

157

6.

Analyse combinatoire

195

7.

Variables aléatoires et lois de probabilités

215

Sommaire

Intégrales et primitives

2

En cinquième, la notion de dérivée a été abordée à partir de rapports dont le numérateur et le dénominateur devenaient de plus en plus petits. On a ainsi pu définir le concept de nombre dérivé et résoudre alors des problèmes de vitesse instantanée, de taux d’accroissement ponctuel, de pente d’une tangente…

Dans ce chapitre-ci, on introduit la notion d’intégrale au départ de sommes dont le nombre de termes augmente indéfiniment, alors que ces termes deviennent de plus en plus petits. Cela conduit au calcul d’aires curvilignes, de volume de solides, d’espace parcouru en fonction de la vitesse…

Archimède (287-212 avant J.-C.) fut un précurseur en la matière : on lui doit notamment le calcul de l’aire comprise entre un segment de parabole et une droite, et le rapport entre le volume d’une sphère et celui du cylindre circonscrit.

La définition de l’intégrale, comme celle du nombre dérivé, utilise la notion de limite : limite d’une somme pour l’intégrale, limite d’un quotient pour le nombre dérivé.

En passant du nombre dérivé à la fonction dérivée nous avons introduit des techniques de dérivation. La recherche des primitives d’une fonction – ce qu’on appelle intégration ou primitivation – permettra de résoudre plus rapidement des problèmes de calcul intégral. Dérivation et intégration sont des opérations réciproques ; dans le monde anglophone, on rencontre d’ailleurs le terme anti-dérivation pour désigner l’intégration.

Le découpage de la surface vitrée sous la coupole du bâtiment de la Défense à Paris illustre une des méthodes utilisées pour déterminer l’aire sous une courbe.

Introduction

63

Exploration 1

Approvisionnement en mazout A. En prévision de l’hiver, l’économe a fait remplir la citerne de l’école. Le débit du camion de livraison est de 500 litres de mazout par minute. Ce débit est représenté par le graphique (fig. 1). débit (en litres par minute)

100 0

f (t)

t (en minutes) 1

fig. 1

a. Écrire l’expression de la fonction f qui donne le débit (en litres par minute) en fonction du temps écoulé. b. Combien de litres de mazout a-t-on livré après 3 minutes, 7 minutes ? c. Sur ce graphique (fig. 1), comment peut-on représenter le volume de mazout livré après 7 minutes ? d. Soit la fonction V « volume de mazout livré en fonction du temps écoulé ». Donner l’expression de cette fonction V et la représenter graphiquement.

B. Répondre aux mêmes questions si le graphique de la fonction débit est celui de la fig. 2. débit (en l/min)

100 0

64

1

2. Intégrales et primitives

t (en minutes)

fig. 2

2

De la vitesse à l’espace parcouru Lors du salon de l’auto, Philippe a pu tester un nouveau véhicule.

Le vendeur a relevé la vitesse toutes les cinq secondes et les valeurs obtenues ont été reportées dans le tableau ci-dessous. t (en s)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

v (en m/s)

0

11

18,7

23,8

27

29

30,5

32,2

34,7

À l’aide d’un tableur, on a pu obtenir le graphique (fig. 3) d’une fonction qui modélise l’évolution de la vitesse au cours de ces quarante secondes.

On demande d’estimer la distance totale parcourue par le véhicule pendant ces 40 secondes.

Durant les 5 premières secondes, la vitesse passe de 0 à 11 m/s, la distance parcourue est donc comprise entre 5 × 0 et 5 × 11 m.

Ce raisonnement peut être répété pour chaque intervalle de temps. La procédure s’achève par la somme des estimations.

a. Compléter le tableau suivant ( Intervalle de temps en secondes

Vitesse (en m/s) sur l’intervalle

v 35 30 25 20 15 10 5 0

5

10 15 20 25 30 35 40

tab. 1).

t

fig. 3

Distance parcourue (en m)

min

max

min

max

[0, 5]

0

11

0

5 × 11 = 55

[5, 10]

11

18,7

5 × 11 = 55

5 × 18,7 = 93,5

[10, 15] [15, 20] [20, 25] [25, 30] [30, 35] [35, 40]

tab. 1

b. Donner un encadrement de la distance totale parcourue pendant ces 40 secondes. c. Compléter les graphiques ( fig. 4 et 5) pour qu’ils correspondent aux valeurs reprises dans les deux dernières colonnes du tableau 1.

Exploration

65

v

v 35

35

30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

0

5 10

15 20 25

30 35 40 t

0

5

10 15

fig. 4

20 25 30 35 40 t

fig. 5

d. Utiliser le graphique de la fig. 3 pour estimer la vitesse de 2,5 en 2,5 secondes ; en déduire une meilleure approximation de la distance parcourue durant les 40 secondes. e. Comment peut-on représenter sur le graphique de la fig. 3 la distance parcourue pendant les 40 secondes de l’observation ?

3

Approximation de l’aire sous une courbe a. On souhaite déterminer l’aire de la surface colorée sur le graphique de la fig. 6. Cette surface est limitée par la courbe d’équation y = x2 et les droites d’équation x = 1, x = 2, y = 0.

y

L’unité d’aire (UA) est le rectangle construit sur une unité de chacun des axes.

Estimer cette aire en se basant sur le quadrillage du graphique. b. Différentes méthodes numériques illustrées par les graphiques suivants (fig. 7 à 10) conduisent à de meilleures estimations. Pour ce faire, on a partagé l’intervalle [1 ; 2] en quatre parties égales et on cherche une valeur approchée de l’aire par une somme d’aires de rectangles ou de trapèzes.

4 UA 3

2

1) Comment peut-on déterminer avec précision les hauteurs des rectangles dans les fig. 7 et 8 ?

1

2) Calculer la somme des aires des rectangles dans la fig. 7.

3) Calculer la somme des aires des rectangles dans la fig. 8.

–1

0

1

2 fig. 6

66

2. Intégrales et primitives

x

–1

y

y

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

x

–1

0

1

2

x

fig. 8

fig. 7

4) Dans la fig. 9, la hauteur des rectangles est donnée par l’image du point milieu du sous-intervalle correspondant. Calculer la somme des aires de ces rectangles.

5) Calculer la somme des aires des trapèzes dans la fig. 10.

6) Utiliser un tableur pour répéter la même démarche qu’en 4) et en 5) lorsqu’on partage l’intervalle [1 ; 2] en 8, puis en 16 parties égales.

7) Trouver une fonction F(x) dont f(x) = x2 est la dérivée.

Calculer F(2) – F(1) et comparer la réponse avec les valeurs obtenues en 6).

–1

y

y

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1 fig. 9

2

x

–1

0

1

2

x

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 3, 7 et 8, 26 Outils numériques

fig. 10

Exploration

67

4

Dérivée et primitives a. Sur la fig. 11, les fonctions représentées en noir ont été obtenues x3 - 9 x , tracé en par translation du graphique de f : x → f ( x) = 10 rouge. En observant les variations de ces courbes, que peut-on dire des dérivées de ces fonctions ? y 6 5 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

x

–2 –3 –4 –5

fig. 11

b. Donner l’expression de quelques fonctions F dont la dérivée est définie par f (x) = 4x3. Écrire, sous une forme générale, l’expression de ces fonctions F telles que F ′( x) = 4 x3 .

Ces fonctions F telles que F ′ = f , s’appellent primitives de f. c. Parmi les primitives de la fonction f telle que f (x) = 4 x3, quelle est celle qui s’annule pour x = 1 ? d. Vrai ou faux ?

1) Les fonctions définies par tives de 2x.

2) Les fonctions définies par de la même fonction.

( x + 2 )2

et x2 - 3 sont des primi-

2 3x + 2 et 5 + sont des primitives x x

3) 2 sin 2 x est une primitive de cos 2x .

1 x 5) La fonction produit d’une primitive de f et d’une primitive de g est une primitive de f · g.

4) ln x et ln 5x sont des primitives de

68

2. Intégrales et primitives

Synthèses 5 à 8 Exercices 9 à 18, 27 et 28

5

Aire et intégrale a. Le plan de la parcelle de terrain de François est représenté sur la fig. 12. Calculer l’aire de ce terrain en utilisant les outils de la Géométrie.

60 m 25 m

60 m

fig. 12

b. Représenter ce plan dans un repère orthonormé gradué en dizaines de mètres. Calculer ensuite l’aire du terrain en utilisant

∫

b a

f ( x) dx . Comparer la réponse avec le résultat obtenu en a.

c. Calculer

∫

6 1

( - x + 4) dx . Comparer ce résultat avec l’aire de la

surface colorée sur la fig. 13.

Est-il possible de calculer cette aire par intégrale ? y

1 0

1

x

fig. 13

Synthèses 9 à 11 Exercices 4 à 6, 19 à 25, 29 à 38

Exploration

69

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on intégrale définie ?

y

[ a ; b]

y = f(x) A

[ a; b] bx

a fig. 14

[ a ; b] f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x

A = lim ( f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x ) n→+ ∞

= lim ( f ( a1 ) + f ( a2 ) + ... + f ( an ) ) ⋅ ∆ x n→+ ∞

=

∫

b

a

f ( x) dx

2.1 Intégrale définie lim ( f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x )

∫

b

a

f ( x)

n→+ ∞

[ a; b]

70

2. Intégrales et primitives

Remarques 1)

[ a; b]

2) 3)

[ a ; b]

4)

2 2 f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x ≤ A ≤ f ( b1 ) ⋅ ∆x + f ( b2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( bn ) ⋅ ∆x y

y f (b2)

y f (a2) y = f(x) A

f (a5)

a a1

bx

a

a2

fig. 15

a3

a

b x a4 a5

fig. 16

∫

b

a

f ( x) dx = lim

n→+ ∞

n

∑ i =1

b1 b2 b3

b4

b5

b x

fig. 17

f ( ai ) ⋅ ∆x = lim

n→+ ∞

n

∑ f (b ) ⋅ ∆x i

i =1

∫

∫

b

a

f ( x) dx

∫

b

a

f ( t) dt

∫

b

a

f (u) du ...

Synthèse

71

2

Comment approcher numériquement une intégrale définie ? synthèse 1

fig. 18

y 7 Approximation de l’intégrale = 33,1

y 7 Approximation de l’intégrale = 30,33

y 7 Approximation de l’intégrale : 31,627

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 x

0

1

2

fig. 18

3

4

5

6

7

8

9 x

0

fig. 19

2

3

4

5

6

7

fig. 20

fig. 21

f ( xi ) ⋅ ∆x

f ( xi )

1

[ −2 ; 3] fig. 22 1 ( f ( xi ) + f ( xi+1 ) ) ∆x 2 f ( xi ) f xi+1 y

y y = f(x)

y = f(x)

1 0

1 x

1

x

fig. 21

∫

3

-2

72

2. Intégrales et primitives

f ( x )dx

fig. 22

∫

3

-2

f ( x )dx

8

9 x

3

Quelles sont les propriétés de l’intégrale d’une fonction ?

∫ b. ∫ a.

a a b

a

y

f ( x) dx = 0 f ( x) dx = −

∫

a

b

y = f(x)

f ( x) dx

∫

c.

a

b

b

b

a b

a

a

∫ ( f ( x) + g( x)) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ e. ∫ c ⋅ f ( x) dx = c ⋅ ∫ f ( x) dx f. ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx d.

b

f ( x) dx

g( x) dx

a

c

b

2 2

x

b

a b

c

a

b

a

a

c

fig. 23

fig. 23

4

Qu’appelle-t-on primitive d’une fonction ?

2.2 Primitive d’une fonction Exemples

est une primitive de

F : x → F( x) = x2 + 3 x + 5 f : x → f ( x) = x + ( x2 + 3 x + 5)′ = x + F : x → F ( x) = x2 + 3 x − 2

f : x → f ( x) = x +

F

2

( x + 3 x − 2 )′ = 2 x + 3 F : x → F( x) = ln 3 (ln 3 x)′ =

f : x → f ( x) =

3 1 = 3x x

F : x → F( x) = sin x

1 x

f ( x) = cos

2.3 Intégrale indéfinie d’une fonction F : x → F( x) F( x) +

f est la dérivée de

(sin x)′ = cos x

f : x → f (x

∫ f ( x) dx

Remarque

∫ f ( x)

∫

b

a

f ( x)

Synthèse

73

5

Quel est le lien entre l’intégrale définie et les primitives d’une fonction ?

2.4 Théorème d’existence

[ a ; b] A( x) =

a; b

∫

x

a

[ a ; b]

f ( t) dt

A′( x) = f ( x) y

[ a ; b] [ a ; b] y = f(t) y=f(t)

∫

A( x) =

x

a

f ( t) dt aire = A(x)

a; b

x

a

b

t

fig. 24

2.5 Lien entre primitives et intégrale

∫

x

A( x) =

∫

A( x) =

f ( t) dt = F( x) − F( a)

a

∫

b

a

f ( t) dt = F( b) − F( a)

Justification

=

A( a) = F ( a) + k =

2. Intégrales et primitives

a

f ( t) dt = F( x) + k

k = −F a

x = b A( b) = F( b) + k = F( b) − F( a)

74

x

A( x) =

∫

x

a

f ( t) dt = F( x) − F ( a)

Remarque

[ a ; b] G( x) = F( x) + k

G( b) − G( a) = F( b) + k − F( a) − k = F( b) − F( a) Notation

2 2 ∫

b

a

f ( x) dx = [ F( x)]a = F( b) − F( a) b

Exemple

∫

2

2

(

) (

)

(4 x3 + 2 x) dx =  x4 + x2  = 24 + 22 − ( −1)4 + ( −1)2 = 20 − 2 = 18 −1 −1

6

Quelles sont les primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées ? a. Fonctions usuelles

cx+ k

sin x

− cos x + k

x2 +k 2

cos x

sin x + k

xn ( n ≠ −1)

xn+1 +k n +1

cos2 x

1 x

ln x + k

f ( x) + g( x)

F( x) + G( x) + k

ex

ex + k

c ⋅ f ( x)

c ⋅ F( x) + k

ax

ax +k ln a

1

= 1 + tan 2 x

tan x + k

Synthèse

75

Exemples 1) ⌠ 

dx

⌡ x

=

∫

x−1/ 2 dx =

x1/ 2 +k=2 x+k 1 2

4 1  2) ⌠   2 sin x +  dx = 2 sin x dx + 4⌠ dx = −2 cos x + 4 ln x + k ⌡ x x ⌡

∫

x3 3 x2 + − 10 x + k 3 2

3)

2 ∫ ( x − 2) ( x + 5) dx = ∫ ( x + 3x − 10 ) dx =

4)

x2 + 2 ( x2 − 9) + 11 ⌠  x + 3 + 11  dx = x2 + 3 x + 11 ln x − 3 + k ⌠ dx = ⌠ dx =      x−3 x−3 ⌡ x−3 ⌡ ⌡

Remarque x2 +

x−

b. Fonctions composées Fg

( F ( g( x)) )′ = F ′ ( g( x)) ⋅ g′( x) = f ( g( x)) ⋅ g′( x)

∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x) dx = F ( g( x)) + k

76

∫ f (u) ⋅ u′ dx = F(u) + k

u′ ⋅ un

un+1 +k n +1

u′ sin u

− cos u + k

u′ u

ln u + k

u′ cos u

sin u + k

u′ eu

eu + k

u′

tan u + k

u′au

au +k ln a

2. Intégrales et primitives

cos2 u

Exemples

1)

∫ 2x sin x

2

dx = − cos x2 + k u′ = 2 x

2) ⌠

4x − 3

⌡ 2x − 3x + 5 2

dx = ln 2 x2 − 3 x + 5 + k

2 2

1) 1 −2 ⌠ dx = ∫ ( 2 x − 3) dx  2 ⌡ ( 2 x − 3) =

1 2

∫ 2 ( 2 x − 3)

−2

dx

u′ ⋅ un

1  ( 2 x − 3)  +k   −1 2   −1 +k = 2 ( 2 x − 3) −1

u′ = 2 x

2)

7

∫

x e4 x

=

2

−2

dx =

2 2 1 1 8 x e4 x −2 dx = e4 x −2 + k 8 8

∫

Quelles autres méthodes peut-on utiliser pour calculer des primitives ?

a. Intégration par substitution

∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x) dx ∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x)dx = F( g( x)) + k ∫ f (t)dt = F(t) + k

Synthèse

77

∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x) dx = ∫ f ( t ) dt = F ( t ) + k = F ( g(

Exemple

)) +

1 ⌠ dx  ⌡ x+3

1

− 1 1 ⌠ dx = ⌠   dt = ∫ t 2 dt = 2 t + k = 2 x + 3 + k ⌡ x+3 ⌡ t

b. Intégration par changement de variable

∫ f ( x) dx = ∫ f ( g(t)) ⋅ g′(t) dt

Exemple

⌠ x dx  2 ⌡ ( x + 1)

⌠ x dx = ⌠ t − 1 dt = ⌠  1 − t−2  dt = ln t + 1 + k    2 t ⌡ t2 ⌡ t  ⌡ ( x + 1) = ln x + 1 +

1 +k x +1

c. Intégration par parties

( f ( x) ⋅ g( x) )′ = f ′( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g′( x) f ( x) ⋅ g( x) =

∫ f ′( x) ⋅ g( x) dx + ∫ f ( x) ⋅ g′( x) dx ∫ f ( x) ⋅ g′( x) dx = f ( x) ⋅ g( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g( x) dx

Exemple

78

2. Intégrales et primitives

∫ x cos x dx

∫ x cos x dx = x sin x − ∫ 1⋅ sin x dx = x sin x + cos x + k

2 2

8

Comment calculer une intégrale définie par substitution ou changement de variable ?

[ a ; b]

∫

b

a

f ( x) dx = [ F( x)]a = F( b) − F( a) b

Exemple e

1 ⌠ dx  2 ⌡1 x (1 + ln x )

= 1 + ln

dt =

1 x

1 1 1 dt ⌠ +k dx = ⌠ 2 = ∫ t −2 dt = − + k = −  2 + t 1 ln x ⌡t ⌡ x (1 + ln x ) e

e

1 1  1 1  ⌠ = − +1 = dx =  −   2 2 2  1 + ln x 1 ⌡1 x (1 + ln x ) t = 1 + ln 1 = 1 t = 1 + ln e = 2 e

2

2 2 1 1 dt 1  1 ⌠ dx = ⌠ 2 = ∫ t −2 dt =  −  = − + 1 =  2 1 t 2 2 ⌡  1 1 t ⌡1 x (1 + ln x )

Synthèse

79

9

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

y

y 1

UA

b

a 0

x

1

y = f(x)

y = f(x)

1 0

1 a

b

UA

x

fig. 26

fig. 25

∫

f ( x) ≥ 0

b

a

f ( x) dx

10

∫

f ( x) ≤ 0

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions ?

b

a

f ( x) dx

y UA

2 y = f(x) 1

b

f ( x) ≥ g( x)

∫

b

a

( f ( x) − g( x) ) dx

0

–1

a

1

2

x

y = g(x)

fig. 27

80

2. Intégrales et primitives

11

Comment utiliser le calcul intégral pour calculer le volume des solides de révolution ? y

y= f x

f(xi)

fig. 28

y = f(x) xi

f ( xi )

0 fig. 29

∆x

xi

a

b

2 2

x

∆x

f xi

fig. 28

π ( f ( xi ) ) ⋅ ∆ x 2

y

y

y = f(x)

0

xi

a

b

y = f(x)

0

x

xi

a

fig. 29

(

= π lim

n→∞

2

2

(( f ( x )) 1

2

2

⋅ ∆ x + ( f ( x2 ) ) ⋅ ∆ x + ... + ( f ( xn ) ) ⋅ ∆ x 2

V =π

∫

x

fig. 30

V = lim π ( f ( x1 ) ) ⋅ ∆ x + π ( f ( x2 ) ) ⋅ ∆ x + ... + π ( f ( xn ) ) ⋅ ∆ x n→∞

b

b a

2

)

)

( f ( x) )2 dx Synthèse

81

Outils numériques Utiliser un tableur pour calculer une valeur approchée d’une intégrale Données : une fonction f, un intervalle [a ; b] que l’on subdivise en n parties de même longueur.

Analyse : avant de calculer l’approximation, il faut déterminer la longueur des intervalles et les milieux.

1) Longueur des sous-intervalles : la longueur l est le quotient

b- a . n

l ; tous les 2 milieux suivants sont séparés l’un de l’autre de la longueur d’un sous-intervalle.

2) Milieux des sous-intervalles : le premier milieu est a +

l l a

a+ 3l 2

a+ l 2

b

Remarques 1) Si la fonction donnée est positive sur l’intervalle [a ; b], la démarche ci-dessous peut être appliquée pour approximer l’« aire sous une courbe ».

2) La démarche se rapporte à l’approximation par la méthode du « point milieu ».

Exemple On demande de calculer une valeur approchée de l’intégrale

∫ ( 0,1x 3

-3

3

)

- 0, 9 x + 2 dx .

La fonction f : x → 0,1x3 - 0, 9 x + 2 est positive sur l’intervalle donné.

On utilise le haut de la feuille pour y inscrire les données.

82

Cellule

Contenu

Commentaires

B2

Fonction

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite.

C2

f(x)=0,1x^3-0,9x+2

Expression de la fonction

B3

Nombre d’intervalles

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

C3

15

Valeur de n (nombre de rectangles)

D2

origine

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

E2

-3

Valeur de a

2. Intégrales et primitives

D3

extrémité

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

E3

3

Valeur de b

B4

Longueur d’un sousintervalle

Ce qu’on va calculer dans la cellule voisine

C4

=(E3-E2)/C3

Formule

B7

Milieu du sous-intervalle

Titre de la colonne

C7

Image du point milieu Titre de la colonne

D7

Produit longueur par image

b- a , à partir des données introduites n

Titre de la colonne

A8, A9… 1,2…15

On numérote les intervalles. En A8, écrire 1, en A9, écrire 2.

Sélectionner les cellules A8 et A9, puis tirer vers le bas jusqu’à la valeur de n (15 dans cet exemple).

B8

=E2+C4/2

Milieu du 1er sous-intervalle

B9

=B8+$C$4

Milieu du 2e sous-intervalle

B10…

C8

Pour obtenir les milieux suivants, sélectionner la cellule B9, faire apparaître la petite croix dans l’angle inférieur droit et double-cliquer. La colonne B se remplit automatiquement. =0,1*B8^3-0,9*B8+2

C9…

D8

On introduit la formule de la fonction pour calculer l’image du premier milieu.

Pour obtenir les images des milieux suivants, sélectionner la cellule C8, faire apparaître la petite croix dans l’angle inférieur droit et double-cliquer.

La colonne C se remplit automatiquement.

=C8*$C$4

D9…

On multiplie la longueur du sous-intervalle par l’image du milieu.

Pour obtenir les produits suivants, sélectionner la cellule D8, faire apparaître la petite croix dans l’angle inférieur droit et double-cliquer. La colonne D se remplit automatiquement.

C23

Somme

Ce qu’on va calculer dans la cellule de droite

D23

=somme(D8:D22)

Calcule la somme des nombres repris dans les cellules D8 à D22 ; c’est l’approximation cherchée.

Outils numériques

83

Voici la feuille de calculs (fig. 31) de l’exemple ci-dessus.

fig. 31

84

2. Intégrales et primitives

Exercices Connaître 1

Aire sous une courbe Tracer, dans un repère orthonormé, le graphique de la fonction f : x → x3 sur l’intervalle [0 ; 2]. À l’aide de rectangles, encadrer l’aire de la surface comprise entre la courbe, les axes et la droite d’équation x = 2, lorsqu’on divise l’intervalle [0 ; 2] a. en 4 parties égales, b. en 8 parties égales.

Exprimer l’aire sous la courbe à l’aide d’une limite.

2

Justifier !

Justifier les propriétés de l’intégrale énoncées en synthèse 3, a, b et c.

3

Choisir…

Si l’aire de la région limitée par la courbe y = f (x), l’axe Ox, les droites d’équation x = a et x = b est donnée par

∫

b a

f ( x) dx , quelles sont,

parmi les propositions suivantes, celles qui peuvent être vraies ? a. a < b et f (x) > 0 b. a < b et f (x) < 0 c. a > b et f (x) > 0 d. a > b et f (x) < 0

4

Vrai ou faux Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

L’aire de la surface limitée par la courbe d’équation y = x2 - 4 , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = – 2 et x = 2 est égale à

∫ (x 2

-2

2

)

- 4 dx .

Exercices

85

5

Aire d’une surface donnée On donne une partie de la courbe d’équation y = f (x).

La droite T, d’équation y = h (x), est tangente à la courbe au point B. Quelles sont, parmi les affirmations suivantes, celles qui sont correctes ?

L’aire (en UA) de la surface colorée (fig. 32) égale : a.

4

∫

1

( h( x) - f ( x) ) dx

4

4

2

4

∫ 0 [ f ( x) - h( x) ] dx - ∫ 1 [ f ( x) - h( x) ] dx

c.

∫ [ f ( x) - h( x) ] dx + ∫ [ f ( x) - h( x) ] dx

d.

∫

4 1

6

3

0 –1

f ( x) dx

T

4

1

2

y = f(x) UA

5

2

b.

1

y

B A

1

2

3

4

5

6

7

–2 fig. 32

e. 3,3.

6

Aire et intégrale définie Écrire les intégrales définies permettant de calculer l’aire de la surface colorée. a.

b. y 1 0

1

y

x 1 y = − x+2

0

fig. 33 fig. 34

86

8x

2. Intégrales et primitives

1

x

c.

d.

y

y y = x2 − 4

1 1

0

0

1

1

x

x fig. 35

fig. 36

e.

f.

y

y=

1 x+3

y

1 0

1

x

1

0

1 x y = –2x +1 3

fig. 38

fig. 37

Exercices

87

Appliquer 7

Approximation numérique d’une aire

y

a. Cet exercice peut être résolu à l’aide d’un tableur.

4

Quelle est la fonction dont le graphique est donné par la fig. 39 ?

3

y = f(x)

2

Partager l’intervalle [1 ; 5] en huit sous-intervalles de même longueur et calculer une approximation au dixième près de l’aire sous la courbe (aire grisée sur fig. 39) par une somme d’aires de rectangles ou la de trapèzes.

1 0

1

2

3

4

5

6

x

fig. 39

y 4

b. Partager l’intervalle [0 ; 6] en 12 sous-intervalles pour calculer une valeur approchée de

∫0 ln ( x 6

2

)

+ 1 dx

3

( fig. 40) par une des méthodes d’intégration numérique.

2 1 0

1

2

3

4

6 x

5

fig. 40

8

Approximation numérique Cet exercice peut être résolu à l’aide d’un tableur.

y

fig. 41 donne le graphique de la 2 sin x fonction f ( x) = . x p 3p Partager l’intervalle  ;  en dix sous4 2  intervalles de même longueur et calculer

1

La

une approximation de

⌠ ⌡

3p 2 p 4

2 sin x dx par x

la méthode du point milieu ou la méthode des trapèzes.

88

2. Intégrales et primitives

3π/2 0

π/4

x

fig. 41

9

Associer de graphiques…

Associer chaque graphique de fonction f (fig. 42 à 45) au graphique d’une primitive F (fig. 46 à 49). y

y

y y=f2(x)

y=f1(x)

1 0

1 0

1

x

x

1

1 0

x

1

fig. 42

y

y=f3(x)

fig. 44

fig. 43

y

y=f4(x)

y y=F2(x)

1

0

0

y=F1(x)

1

1

x

1

0

x

1

fig. 45

fig. 46

y

x

1

fig. 47

y

1 0

1

x

y=F4(x) 1 0

1

x

y=F3(x)

fig. 48

fig. 49

Exercices

89

10

Vérifier…

Vérifier si F est une primitive de f lorsque ces fonctions sont définies par les expressions suivantes. a. F( x) = 6 x3 - 5 x + 3 et f ( x) = 18 x2 - 5 x

(

2 b. F( x) = 3 x - 5

)

(

3

2 et f ( x) = 12 x 3 x - 5

2 c. F( x) = ln x - x + 3 et f ( x) =

d. F( x) = e e. F ( x) =

11

-3 x +1

et f ( x) = -3e

)

2

2x - 1 2

x - x+3

-3 x +1

1 sin ( 3 x + 5 ) et f ( x) = cos ( 3 x + 5 ) 3

Quelle primitive ?

Déterminer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée. a. f : x → f ( x) = 2 x + 5

F(1) = 0

-2 x c. f : x → f ( x) = 3 sin x

F( e) = 3

b. f : x → f ( x) =

12

F( p ) = 4

Primitives immédiates Déterminer les primitives de la fonction f définie par : Série 1 a. f ( x) = 7 x - 1

h. f ( t) = -5t4 + 3t2 - 4t

b. f ( x) = -2 x2 + 11x - 3

i. f ( x) =

c. f ( x) =

j. f ( x) = x2 - 1 ( 3 x - 5 )

q. f ( x) = x3 - 5 x2 + 3 x - 1

-2

k. f ( x) = x ⋅ (2 x - 3)

r. f ( x) = (3 x + 2)

1 x

l. f ( x) =

d. f ( x) =

x2

e. f ( x) = 5 + f. f ( x) =

-1 x

2

+ x3

g. f ( x) = 3 x5 + 7 x -

90

x

)

2. Intégrales et primitives

n. f ( x) =

2

3 x7 - 4 x2 x

m. f ( x) = 1 3 x

p. f ( x) = 2x + 3

+x

(

x 5

1

s. f ( x) = 1 -

2

1 x

2

+

3

x

3

x

4 x3 + 5 x 2

o. f ( x) = 3 x + 5e x

2 4 + 4 2 x x

(

t. f ( x) = ( x - 1) 2 x2 + 4

)

1  u. f ( x) = (2 x + 1)  - 3 x x 

Série 2 1 cos x - 3 4

d. f ( x) = 2 x - 3 +

b. f ( t) = - 4t3 + 5t2 - 4

e. f ( x) = e x + sin x

h. f ( t) = 5 sin t - 3 cos t

f. f ( x) = 12 sin x

i. f ( x) =

c. f ( x) = x2 +

13

4 x

a. f ( t) = 3t2 - 4t + 8

1 x2

g. f ( x) =

5 cos2 x

Primitives de fonctions composées Calculer les primitives suivantes, après ajustement numérique si nécessaire. a. b.

14

∫ ( 3x + 5 )

7

e.

dx

⌠ 5 dx ⌡ 2x - 1

2x ⌠ 2 x + 1 dx f. ⌠ dx 4  ⌡ x2 + x - 4 2 ⌡ ( 4x - 7 )

c.

∫ x⋅ e

x2 +1

d.

∫ x⋅

x2 + 1 dx

dx

g.

∫ 2x ( 3x

)

h.

1 ⌠ dx  ⌡ ( 3 x + 2 )4

3

2

- 5 dx

i.

∫ (e

j.

ex ⌠  x dx ⌡ e +1

2x

)

+ e- x dx

k.

⌠  ⌡

l.

∫ sin 3x dx

m.

 1 -5 x  + 7 e4 x  dx  e  3

∫ sin x ⋅ cos

3

x dx

n.

p  ⌠  cos  - t +  dt 3 ⌡

o.

∫ 3 sin(5t + p ) dt

p.

∫ tan x dx

Intégration par parties Calculer les primitives suivantes.

∫ 2x ⋅ e dx b. ∫ x ⋅ ln x dx c. ∫ ( x + 1) ⋅ sin x dx x

a.

15

d.

⌠ ln x dx ⌡ x

∫ (1 - x) ⋅ e dx h. ∫ ( x - 1) ⋅ ln x dx i. ∫ x ⋅ x - 1 dx g.

∫ e ⋅ sin x dx f. ∫ ln x dx e.

x

x

Intégration par substitution ou changement de variable Calculer les primitives suivantes. a.

∫ x⋅

b.

∫x

c.

x ⌠ dx (poser t = x + 1)  ⌡ x +1

2

x - 1 dx (poser t = x - 1)

( x - 3)5 dx

(poser t = x - 3 )

d.

⌠ 3x dx  2 ⌡ (5 x + 3 )

g.

dx ⌠  ⌡ 5x - 2

e.

1 ⌠ dx  3 ⌡ (5 - 2x )

h.

x ⌠ dx 4 ⌡ 3 + 4x

∫ (1 + x)

i.

f.

2 x + 3 dx

∫ x ( 2x + 1)

6

dx

Exercices

91

16

Fonction, dérivée et primitive

y

On donne les courbes (fig. 50) de trois fonctions f1, f2, f3. L’une est le graphique d’une fonction f, la deuxième est le graphique de sa dérivée f ′ et la troisième est le graphique d’une primitive F de f.

f3

a. Retrouver chaque courbe.

1

b. Donner l’expression analytique de f, de f ′ et de F.

f1 0

1

x

f2

17

fig. 50

Intégrer des fonctions…

Calculer les primitives suivantes Série 1 3  a. ⌠   3 x2 + 7 x -  dx x ⌡ 2x b. 3e + sin 3 x dx

∫(

c.

∫

)

 x 3  2 +  dx 2x  

d. ⌠ 

4 x3 + 5 x

e. ⌠ 

x2 - 15 dx x-4

⌡ ⌡

x2

dx

3 cos3 x + 2

f. ⌠ 

⌡

2

cos x

dx

∫ (5 + x ) dx h. ∫ x ( 5 x + 8 ) dx 5

x

g.

7

⌠

4x - 1

i. 

⌡ ( 2 x2 - x + 4 )

j. ⌠ 

3

cos2 x + 1

⌡ cos x 2

∫ ( x + 1) x + 2x - 3 dx l. ∫ sin ( 3 x + 1) dx 3

k.

m. ⌠ 

e3 x +1 + e x - 1

n. ⌠ 

x2 - 5 x + 1 dx x-2

⌡

dx

dx

2

⌡

ex

(

∫

o. 3 x sin x2 - 1 dx

Série 2

∫

a. 2x sin x dx 2x + 3 dx b. ⌠ ⌡ 2x + 1 c.

∫4

2 - 3x

dx

∫

d. x ( 2 x + 1) dx e. ⌠

4

x

⌡e

92

x

dx

2. Intégrales et primitives

∫ g. ∫ x cos ( 3 x

2

x

h. ⌠ 

⌡ 2x + 1

i.

∫ (4e

j. ⌠ 

⌡

x

)

+ 1 dx

m. ⌠ 

dx

)

3

5

1 + x - 7x x3

ln x

⌡ x

+ 1 e x dx 2

∫ l. ∫ ln ( 3x ) dx k. x ⋅ 3x dx

f. x cos 3 x dx

dx

)

dx

dx

∫

n. x2 1 - x dx

∫

o. x2 sin 2 x dx

Série 3

∫ b. ∫ x

∫

a. x ⋅ e x dx

c.

18

∫x

dx

2

ln x dx

e. ⌠ 

2

cos x dx

f. x x - 3 dx

⌡ 3x - 2

3

∫

g. x2 ( x - 3) dx

d. e x sin x dx

⌠ 1 + x dx 4 ⌡ (1 - x ) dx i. ⌠  ⌡ x+ 3 x

h. 

∫

Intégrales définies Calculer les intégrales définies suivantes Série 1 d.

4 ⌠ 1 dx ⌡1 x

g.

(1 - 2x ) dx -1

e.

4 ⌠ x - 1 dx ⌡1 x

h.

∫ ( 2x - x ) dx

f.

∫ ( 3x

d.

∫ (x

3

a.

∫

b.

∫

c.

(1 + 3x ) dx 1 4

2

2

0

Série 2

∫ (x b. ∫ ( x a.

2

-1 1

-1

c. ⌠ 

⌡

19

2

3

)

- 3 x dx

( x - 1)  x2 1 2

2

1

1

2

0 2

)

- 7 x + 4 dx

)

f.

-1

p 4 0 p 2

0

2 sin x dx

( sin x + 2 cos x ) dx

3

g.

x  + 1 dx 2 

1

∫ ∫

x dx

0

∫ ( e + 1) dx h. ∫ (2 + e ) dx

2

1 2  e. ⌠   x - + 2  dx x x ⌡1

∫

i.

+ 3 x dx

)

- 3 x2 + x dx

2

2

9

∫

x

1

ln 3

x

0

2 e x dx

i.

∫

p

0

(1 + sin 2 x) dx

Calcul d’aires Observer les graphiques ci-dessous (fig. 51 à 60) et utiliser le calcul intégral pour calculer l’aire de la surface colorée. y

y 2

f(x) = x + 2

f(x) = x 1 0 1 0

1

x fig. 52

1

x fig. 51

Exercices

93

y

y

f (x) = –x + 2 g (x) = x2 – 4

1

1

0

x

1

f (x) = 4 – x22 g (x) = 2 – x 2

0

x

1

fig. 53

fig. 54

y

y 1

1

π/2

0

x

π

x f (x) = ex fig. 56

f (x) = sin 2x

fig. 55

y 5

y 2

4 3

1

2 –2

–1

0

1

f ( x) = x + 2

2

3

x

1 0 1

fig. 57

f ( x) =

94

2. Intégrales et primitives

2

3

4

5 x

4 et g(x) = – x2 + 4 x + 1 x

fig. 58

y

y

4 3

1

2 1 x –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

x – π/2

π/2

0

–2 –3

f ( x) = cos 2 x +

–4

1 2

fig. 60

–5

f (x) = – x2 – 2x + 3 et g(x) = – 2x – 1 fig. 59

20

Vrai ou faux ?

Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

L’aire de la surface limitée par l’axe des abscisses, la courbe d’équation y = x3 – 2x2 – x + 2, les droites d’équation x = –1 et x = 2 mesure 37 unités d’aire.

12

21

Archimède et les calculs d’aires Archimède (287-212 avant J.-C.) aurait déjà démontré qu’on pouvait, à l’aide de deux courbes joignant les sommets opposés d’un carré, partager ce carré en trois parties d’aires égales.

y 1 A

Vérifier que les trois surfaces A, B et C (fig. 61) définies dans le carré de côté 1 par les courbes y = x2 et y = x ont la même aire.

B C 0

1

x

fig. 61

Exercices

95

22

Différentes aires Associer au calcul d’aire de chacune des surfaces colorées l’expression correspondante.

1

  - x4 A1 =  + x  4  -1

(

)

1

A2 = 2 2 ln x2 + 1   0 1

 3 x2 x 4  A3 = 2   4   2 0

1

 3  A4 =    2 - x  -1

y

y

1

0

1

x 1

0

1

x fig. 63

fig. 62 y

y

1

1

0

0

1

2. Intégrales et primitives

x

x

fig. 64

96

1

fig. 65

23

Calculer des aires Calculer l’aire de la surface comprise entre : a. la parabole y = 4 x - x2 et l’axe Ox ; b. la courbe y = x3 - 6 x2 + 8 x et l’axe Ox ; c. la courbe y = x3 , la droite y = 8 et l’axe Oy ; d. les courbes y = x2 , y =

24

x2 et la droite y = 2 x .

2

Calculer le volume d’un solide Le cylindre droit, la boule et le cône droit sont des solides de révolution. Utiliser le calcul intégral pour établir les formules permettant de calculer le volume a. d’un cylindre droit de rayon R et de hauteur h, b. d’une boule de rayon R, c. d’un cône droit de rayon R et de hauteur h,

25

Comparer des volumes a. Établir des relations entre les volumes des trois solides représentés ci-dessous (cône droit, boule et cylindre droit). Les dimensions sont précisées sur la fig. 66.

a

a

a

a fig. 66

b. Comparer le volume du paraboloïde engendré par la rotation autour de l’axe Ox du plan limité par le segment de la parabole y = 1, 5 x limité à l’intervalle [0 ; 9] et celui du cylindre de rayon 4,5 et de hauteur 9. Les données sont exprimées en cm.

Exercices

97

Transférer 26

Ralentissement d’un train Un train circule à une vitesse de 20 m/s lorsqu’il commence à freiner. Sa vitesse, t secondes plus tard, est modélisée par la fonction v( t) = 20 - 0, 2t2 . a. Construire le graphique de cette fonction. b. Par approximation numérique, en prenant des intervalles de temps de 2 secondes, estimer la distance parcourue par le train avant de s’arrêter.

27

Sécurité !

Dans l’État de l’Illinois, le programme de sécurité impose aux motocyclistes de pouvoir arrêter leur moto sur une distance de 45 pieds lorsqu’ils roulent à 20 miles à l’heure (44 pieds/sec). Quelle est la décélération nécessaire pour satisfaire à cette exigence ?

28

Coûts a. Le coût marginal d’un bien dépend de la quantité produite et est calculé à partir de la dérivée du coût total.

Le coût marginal de fabrication d’un produit est donné par la fonction f ( q) = 2 - 0, 004 q, dans laquelle q désigne la quantité produite.

Déterminer le coût total et le coût moyen de production de q unités, si l’on sait que les frais fixes s’élèvent à 20 UM. b. Pour une quantité x ∈ [0 ; 50], le coût marginal en € est défini par C( x) = 2 x +

50 . Sachant que les coûts fixes s’élèvent à 50 €, x +1

déterminer l’expression du coût total.

98

2. Intégrales et primitives

29

Allongement d’un ressort a. Exercice résolu Une force de 100 N est nécessaire pour allonger de 0,5 cm un ressort dont la longueur au repos est de 25 cm. Calculer le travail effectué pour l’allonger de 27 à 33 cm.

25 27 29 31 33

0 2 4 6 8

Lorsque l’étirement n’est pas trop important, la force nécessaire pour tendre un ressort est proportionnelle à son allongement.

La constante de proportionnalité k est appelée constante de rappel ou coefficient d’élasticité du ressort.

On note x, l’allongement et f (x) = kx, la force de rappel.

Le travail correspondant à un allongement supplémentaire Dx est W = f (x) · Dx. Le travail s’exprime en joules (1 joule = 1 newton × 1 mètre).

Pour allonger un ressort de a à b, le travail à fournir est une somme de quantités de travail Wi = f (xi) · Dx. La limite de cette somme est W =

∫

b

a

f ( x) dx .

Pour x = 0,5, f (x) = 100 ; on en déduit que k = 200 et que f (x) = 200 x. Le travail correspondant est 8

 x2  W = 200 x dx = 200   = 100 ⋅ (64 - 4) = 6000 N × cm = 60 J .

2  2 2 b. Suivre la même démarche pour résoudre le problème ci-dessous.

∫

8

Un ressort qui, au repos, mesure 20 cm, s’étire de 3 cm sous une traction de 18 N. Quel est le travail effectué lorsque le ressort est étiré de 20 cm à 28 cm ? de 23 cm à 31 cm ? Comparer les deux résultats.

30

Valeur moyenne d’une fonction La valeur moyenne d’une fonction f sur un intervalle [ a ; b ] est donb 1 née par f ( x) dx . b- a a

∫

a. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) = 0,1 x2 + 2,5 sur l’intervalle [1 ; 6 ]. b. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) = 2 ex sur l’intervalle [ 0 ; ln 4 ] .

Exercices

99

31

Stock moyen Une entreprise électronique dispose d’un stock de pièces identiques dont elle a besoin régulièrement. Le service gestion a établi qu’au cours des trente derniers jours, l’évolution de ce stock 1500 pouvait être modélisée par la fonction f ( t) = t + 15 (t en jours).

Quel est le stock moyen sur cette période ?

Indication Ce stock moyen est la hauteur du rectangle de base 30, qui a la même aire que la surface colorée dans la figure ci-contre (fig. 67).

nombre de pièces 100 stock moyen

80 60 40 20

0

5

10

15

25 t (en jours)

20

fig. 67

32

Problème de surplus La demande d’un bien par les consommateurs est modélisée par la fonction f (x) = e– 0,3 x+2 définie et dérivable sur [0 ; 8]. L’offre de ce même bien par les producteurs est donnée par la fonction g(x).

Soit x la quantité du bien exprimée en milliers d’unités ; f (x) et g(x) sont les prix unitaires exprimés en dizaines de milliers d’euros. À l’équilibre du marché, la quantité offerte par les producteurs est égale à la quantité demandée par les consommateurs, au prix d’équilibre P. Les consommateurs étaient prêts à payer plus cher, au-dessus du prix d’équilibre. L’ensemble des consommateurs a donc fait une économie appelée « surplus des consommateurs ». Les producteurs étaient prêts à vendre moins cher, en dessous du prix d’équilibre. L’ensemble des producteurs a donc un bénéfice supplémentaire appelé « surplus des producteurs ».

Prix

y 7 g(x)

6

f (x)

5 4 3 P 2

E

1 –1 0

1

a. Observer le graphique (fig. 68) et préciser le prix et la quantité d’équilibre. b. Calculer la valeur exacte du surplus des consommateurs (partie colorée du graphique) ; donner ensuite la valeur en euros. c. À l’aide de l’aire d’un triangle, préciser si le surplus des producteurs est supérieur ou inférieur à 16 000 euros.

100

2. Intégrales et primitives

2

3 Q 4

5

6

7 x Quantité fig. 68

33

Un pont au-dessus de la voie ferrée Pour fluidifier le trafic, on décide de construire un pont qui permettra à la route de passer audessus de la voie ferrée. La fig. 69 donne une vue de face de ce pont, dont voici les dimensions : longueur 8 m, hauteur 6 m. L’ouverture pour le passage de la voie ferrée est limitée par un arc de parabole de 4 m de haut et de 6 m de large. Pour des raisons de sécurité, l’aire de l’ouverture doit être inférieure ou égale au tiers de l’aire totale de la façade.

6m

4m 1

a. Vérifier que l’ouverture correspond au cahier des charges.

0

b. Quelle est la hauteur moyenne de l’ouverture ?

34

y 8m

1

x 3m fig. 69

Graduer un récipient Un gobelet a la forme d’un tronc de cône. Sa hauteur (intérieure) utile est de 12 cm ; le diamètre intérieur est de 6 cm au niveau 0 et de 8 cm à la hauteur utile. On voudrait le graduer de 100 en 100 ml. a. Quelle est la capacité maximale de ce gobelet ? b. Vérifier que les graduations doivent être placées à 3,2 cm, 6 cm, 8,5 cm et 10,7 cm de la base inférieure.

35

Une bille dans un verre Dans un verre de forme paraboloïdale de 9 cm de haut et de 9 cm de diamètre, rempli d’eau à ras bord, on introduit délicatement une bille de 3 cm de rayon. a. Quel est le volume d’eau expulsé par la bille ? b. Quel est la fraction du volume initial expulsée par la bille ? y

1 0

1

x

fig. 70

Exercices

101

36

Château d’eau Le réservoir sphérique d’un château d’eau a un rayon de 6 m. a. Calculer, en m3, la capacité maximum de ce réservoir. b. Calculer, en m3, le volume d’eau contenu dans la partie sphérique de ce réservoir lorsque la hauteur de l’eau y est 1) de 4 m, 2) de 7 m, 3) de x m (0 ≤ x ≤ 12).

37

Tour de refroidissement L’eau utilisée pour refroidir les centrales s’évapore au sommet de tours construites sur le site. La fumée qu’on aperçoit de loin est une vapeur d’eau ; ce n’est pas le résultat d’une combustion. La forme de ces tours est celle d’un hyperboloïde de révolution, c’est-à-dire un volume engendré par la rotation autour d’un axe d’une surface limitée par une partie de branche d’hyperbole.

Considérons une tour de refroidissement, haute de 150 m.

Les diamètres à la base et à la sortie sont respectivement de 150 m et de 90 m. On peut modéliser l’hyperbole qui la défi168, 75 , en prenant 10 mètres nit par la fonction y = x + 22, 5 comme unité de longueur sur chaque axe. a. Contrôler que les dimensions de la tour vérifient l’expression de la fonction. b. Calculer le volume de cette tour de refroidissement. y

1 0

1

x

102

2. Intégrales et primitives

fig. 71

38

Construire un terre-plein Au centre d’un rond-point1, on a construit un terre-plein. Ses dimensions sont indiquées sur la fig. 72.

1m

1m

3m fig. 72

Il est constitué d’une construction extérieure en béton ; le volume intérieur, de forme cylindrique, est rempli de terre. a. Déterminer le volume de terre nécessaire au remplissage du terre-plein. b. Le volume total de l’édifice peut être considéré comme le volume d’un solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface limitée par une courbe C, les axes Ox et Oy, ainsi que la droite d’équation x = 1 (fig. 73). On admet que l’équation de la courbe est y = 3 · e– 0,95 x.

Calculer le volume total de l’édifice. y 3 2 1

0

1

x

fig. 73

c. Calculer le volume de béton nécessaire à la construction de ce terre-plein.

1 D’après un énoncé du Bac

Exercices

103

Table des matières Avant-propos V Comment s’y prendre ?

VIII

Sommaire X 1.

Fonctions exponentielles et logarithmes

1

Introduction 1 Exploration 2 Synthèse 11 1.

2.

Qu’appelle-t-on réciproque d’une fonction ? Comment la déterminer ?

11

1.1 Réciproque d’une fonction

11

Comment procéder pour que la réciproque d’une fonction soit une fonction ?

12

1.2 Fonction injective

12

3.

Comment reconnaître une croissance ou une décroissance exponentielle ?

14

4.

Qu’appelle-t-on fonction exponentielle de base a ? 15 1.3 Fonction exponentielle de base a, définition

15

Quelles sont les propriétés des puissances à exposants réels ?

16

1.4 Propriétés des puissances à exposants réels

16

6.

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions exponentielles ?

16

7.

Qu’appelle-t-on exponentielle népérienne ?

17

1.5 Nombre d’Euler

17

1.6 Fonction exponentielle népérienne

17

Comment définir les fonctions logarithmes ?

18

1.7 Fonction logarithme de base a

18

1.8 Relation de réciprocité

18

1.9 Fonctions logarithmes usuelles

18

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions logarithmiques ?

20

5.

8.

9.

10. Quelles sont les propriétés des logarithmes ?

21

1.10 Propriétés immédiates

21

1.11 Logarithme d’un produit

21

1.12 Logarithme d’une puissance

21

1.13 Logarithme d’un quotient

22

1.14 Changement de base

22 Table des matières

255

11. Comment dériver les fonctions exponentielles et logarithmes ?

23

1.15 Dérivée des fonctions exponentielles

23

1.16 Dérivée des fonctions logarithmes

23

12. Comment calculer une limite avec la règle de l’Hospital ?

1.17 Règle de l’Hospital 13. Qu’est-ce qu’un repère semi-logarithmique ? Comment lire ou construire une échelle logarithmique ?

Outils numériques

24 24 25 27

Exercices 31

2.

Intégrales et primitives

63

Introduction 63 Exploration 64 Synthèse 70 1.

Qu’appelle-t-on intégrale définie ?

70

2.1 Intégrale définie

70

2.

Comment approcher numériquement une intégrale définie ?

72

3.

Quelles sont les propriétés de l’intégrale d’une fonction ?

73

4.

Qu’appelle-t-on primitive d’une fonction ?

73

2.2 Primitive d’une fonction

73

2.3 Intégrale indéfinie d’une fonction

73

Quel est le lien entre l’intégrale définie et les primitives d’une fonction ?

74

2.4 Théorème d’existence

74

5.

2.5 Lien entre primitives et intégrale

74

6.

Quelles sont les primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées ?

75

7.

Quelles autres méthodes peut-on utiliser pour calculer des primitives ?

77

8.

Comment calculer une intégrale définie par substitution ou changement de variable ?

79

9.

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

80

10. Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions ?

80

11. Comment utiliser le calcul intégral pour calculer le volume des solides de révolution ?

Outils numériques

81 82

Exercices 85

256

Table des matières

3.

Calcul vectoriel dans l’espace

105

Introduction 105 Exploration 106 Synthèse 111 1.

Comment repérer un point dans l’espace ?

111

2.

Comment calculer la distance d’un point à l’origine du repère ?

112

3.1 Distance d’un point à l’origine du repère

112

Comment caractériser un vecteur de l’espace ?

112

3.2 Unicité

112

3.3 Vecteurs égaux

112

3.4 Vecteurs colinéaires – Points alignés

113

3.5 Vecteurs coplanaires – Points coplanaires

113

Comment calculer et utiliser les composantes d’un vecteur de l’espace dans un repère orthonormé ?

113

3.6 Composantes d’un vecteur

113

3.7 Composantes d’un vecteur et opérations

113

3.8 Composantes d’un vecteur u = AB

114

3.9 Coordonnées du point milieu d’un segment

114

Comment calculer la distance entre deux points ? la norme d’un vecteur ?

115

3.10 Distance entre deux points et norme d’un vecteur

115

Comment vérifier l’orthogonalité de deux vecteurs lorsqu’on connaît leurs composantes ?

116

3.11 Vecteurs orthogonaux, définition

116

3.

4.

5.

6.

116 3.12 Vecteurs orthogonaux, propriété Exercices 117

4.

Géométrie analytique de l’espace

121

Introduction 121 Exploration 122 Synthèse 129 Qu’appelle-t-on vecteur directeur d’une droite ou d’un plan ?

129

4.1 Vecteur directeur

129

2.

Comment écrire les différents types d’équations d’une droite ?

129

3.

Comment écrire les différents types d’équations d’un plan ?

131

4.

Comment représenter un plan dont on connaît l’équation cartésienne ?

132

5.

Comment écrire une équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal et un point ?

132

4.2 Vecteur normal à un plan

132

6.

De la géométrie synthétique à la géométrie vectorielle : comment caractériser une droite ou un plan ?

133

1.

Table des matières

257

7.

8.

9.

Qu’appelle-t-on droites orthogonales dans l’espace ?

134

4.3 Droites orthogonales

134

Comment « traduire » en langage vectoriel le parallélisme et l’orthogonalité entre droites et plans dans l’espace ?

134

Comment déterminer l’intersection de deux plans ?

135

10. Quelles sont les positions relatives de trois plans dans l’espace ?

136

11. Comment résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues par la méthode de Gauss ? 137 12. Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de trois équations à trois inconnues ?

139

13. Comment résoudre un problème ?

Outils numériques

140 141

Exercices 145

5.

Probabilité 157 Introduction 157 Exploration 158 Synthèse 163

1.

2.

163

5.1 Expérience aléatoire

163

5.2 Catégorie d’épreuve(s)

163

5.3 Événement

163

5.4 Événement élémentaire

164

5.5 Événement impossible

164

5.6 Événement certain

164

5.7 Événements contraires

164

Quelles sont les notions importantes relatives aux événements ?

164

5.8 Opérations sur les événements

164

5.9 Événements indépendants

165

5.10 Événements incompatibles

165

3.

Qu’appelle-t-on probabilité d’un événement ? Comment la déterminer ?

165

4.

Quelles sont les propriétés des probabilités ?

167

5.

258

Qu’appelle-t-on expérience aléatoire ? Qu’appelle-t-on événement ?

Qu’appelle-t-on cas d’équiprobabilité ? Comment alors calculer la probabilité d’un événement ?

168

5.11 Équiprobabilité

168

6.

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré ?

169

7.

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un diagramme de Venn ?

171

8.

Comment calculer une probabilité à l’aide d’un tableau à double entrée ?

172

Table des matières

9.

Qu’appelle-t-on probabilité conditionnelle ?

172

5.12 Probabilité conditionnelle

173

5.13 Événements indépendants

173

10. Comment déterminer une probabilité conditionnelle ?

Outils numériques

173 175

Exercices 180

6.

Analyse combinatoire

195

Introduction 195 Exploration 196 Synthèse 198 1.

Que signifie dénombrer ? Comment caractériser un groupement ?

198

2.

Qu’est-ce qu’un arrangement ? Comment le reconnaître ?

198

6.1 Arrangement simple

198

6.2 Nombre d’arrangements simples

198

6.3 Arrangement avec répétitions,

199

6.4 Nombre d’arrangements avec répétitions

199

Qu’est-ce qu’une permutation ? Comment la reconnaître ?

200

6.5 Permutation simple

200

6.6 Nombre de permutations simples

200

6.7 Permutation avec répétitions

201

6.8 Nombre de permutations avec répétitions

201

Qu’est-ce qu’une combinaison simple ? Comment la reconnaître ?

202

6.9 Combinaison simple

202

6.10 Nombre de combinaisons simples

202

3.

4.

5.

7.

Comment aborder un exercice de dénombrement ?

203 Exercices 204

Variables aléatoires et lois de probabilités

215

Introduction 215 Exploration 216 Synthèse 221 1.

Qu’appelle-t-on variable aléatoire discrète ? Comment définir sa loi de probabilité et sa fonction de répartition ?

221

7.1 Variable aléatoire

221

7.2 Loi de probabilité

221

7.3 Fonction de répartition

222 Table des matières

259

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Quelles sont les caractéristiques d’une variable aléatoire discrète ?

222

7.4 Espérance mathématique

222

7.5 Variance et écart-type d’une variable aléatoire discrète

222

Qu’est-ce qu’une loi uniforme discrète ? Quelles sont ses caractéristiques ?

223

7.6 Loi uniforme discrète

223

7.7 Espérance et écart-type

224

Qu’est-ce qu’une loi binomiale ?

225

7.8 Épreuve de Bernoulli

225

7.9 Schéma de Bernoulli

225

7.10 Loi binomiale de paramètres n et p

225

7.11 Espérance mathématique, variance et écart-type d’une loi binomiale

226

7.12 Représentation graphique d’une loi binomiale

226

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire continue ? Comment définit-on sa densité de probabilité et sa fonction de répartition ?

227

7.13 Variable aléatoire continue

227

7.14 Densité de probabilité

227

7.15 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue

227

7.16 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire continue définie sur I = [u ; v]

228

Variable aléatoire discrète ? Variable aléatoire continue ?

228

Qu’est-ce qu’une loi uniforme continue ? Quelles sont ses propriétés ?

229

7.17 Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]

229

7.18 Espérance mathématique et variance d’une loi uniforme

229

7.19 Loi uniforme continue sur [0 ; 1]

230

Qu’est-ce qu’une loi (de distribution) normale ?

231

7.20 Loi de distribution normale

231

Comment calculer P (X ≤ a) pour une loi normale ?

232

10. Comment s’assurer qu’une distribution statistique suit une loi normale ?

233

11. Dans quelles circonstances est-on amené à approximer une loi binomiale par une loi normale ?

Outils numériques

233 234

Exercices 239

260

Table des matières