MANUEL RACINE MATH
6 périodes / semaine
MANUEL
RACINE MATH
, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants
La plate-forme te donne, par exemple*, accès à :
– des exercices en ligne pour t’entraîner, – un aperçu de tes progrès et de tes résultats, – du matériel de cours, – des vidéos et des audios, – et bien plus encore...
* En fonction de la méthode
Crée-toi un compte sur www.ididdit.be/fr et accède à ton contenu à l’aide du code d’activation ci-dessous :
CODE ÉLÈVE
VIQF32KD8NRZF7
Cette licence est valable pendant 1 an à partir de la date d’activation.
Comment activer ton code sur ?
Ce support pédagogique fait partie de la collection Racine math des Éditions VAN IN. Il a été développé dans le but que chaque élève puisse s’identifier et se sentir à l’aise avec les images et les textes utilisés. En cas de remarques, vous pouvez contacter les Éditions VAN IN.
Ce support pédagogique peut être mis à disposition en version numérique via NumaBib, le service destiné aux élèves ayant des difficultés de lecture ou d’écriture. Vous pouvez en faire la demande sur www.numabib.be.
RACINE MATH 6 6 périodes/semaine – m anuel
Composition de Racine Math 6 6 périodes/semaine
Pour l’élève – 1 manuel – un accès au manuel numérique et à des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) – un guide de l’enseignant(e) – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques
Auteures : Anne-Laure Andrieu, Justine Bellistrì et Pauline Pirenne
Couverture : Nord Compo
Mise en page : Nord Compo
Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent.
La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.
En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes.
Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.
C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.
L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.
© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2026. Tous droits réservés.
En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.
L’exploration de textes et de données (TDM) n’est pas autorisée.
1re édition : 2026
ISBN 978-94-651-4303-3
D/2026/0078/271
Art. 611308/01
Mode d’emploi simplifié pour accéder aux outils numériques
Démarre avec iDiddit !
Ton ouvrage VAN IN te permet d’accéder à iDiddit, la plateforme d’apprentissage en ligne de VAN IN. Tu trouveras ci-dessous les étapes à suivre pour te connecter.
ATTENTION : iDiddit est accessible en ligne uniquement, depuis un ordinateur ou une tablette. Certains exercices ne sont pas compatibles avec un smartphone.
1. Connecte-toi sur www.myvanin.be ou scanne le code QR
My VAN IN est le portail d’administration qui te permet de gérer ton compte, d’activer tes licences et de rejoindre ta classe.
Inscription
Tu n’as pas encore de compte ?
Crée ton compte avec ton adresse e-mail* ou via tes identifiants Smartschool.
* Assure-toi d’avoir accès à cette adresse, un e-mail d’activation te sera envoyé.
2. Lie ton compte à ton école
Connexion
Cette étape est nécessaire pour rejoindre les classes de ton enseignant(e).
Lors de ton inscription :
– Clique sur « Me lier en tant qu’élève ».
Saisis le code de liaison à 6 car actères
Tu n’as pas encore reçu ce code ?
Clique sur « Passer cette étape » : tu pourras te lier plus tard.
Tu as déjà un compte
My VAN IN ou Udiddit ?
Connecte-toi avec tes identifiants (e-mail, Smartschool, Google ou Microsoft).
Si tu as oublié ton mot de passe, ne crée pas de nouveau compte. Clique simplement sur « Mot de passe oublié ? »
Tu as déjà un compte ?
– Vér ifie que tu es bien lié(e) à la bonne école.
– Saisis le code de liaison à 6 car actères pour rejoindre cette nouvelle classe.
Tu n’as pas encore reçu ce code ?
Tu pourras rejoindre ta classe plus tard.
3. Active ta licence élève
Pour accéder aux contenus de ton ouvrage : – clique sur « Ajouter une méthode » ; – introduis le code d’activation de ta méthode, puis clique sur « Ajouter » ;
V IQF 3 2KD8NRZF7
– ta méthode apparait maintenant dans l’onglet « Mes méthodes » ; – sélectionne-la pour être redirigé(e) directement vers la plateforme iDiddit.
À partir de maintenant, accède à iDiddit depuis My VAN IN ou depuis iDiddit directement : ton identifiant est identique pour les deux plateformes.
www.ididdit.be/fr ou via le code QR
Besoin d’aide ?
– Consulte nos tutoriels, vidéos et questions fréquentes sur www.vanin.be/ididdit-aide ou via le code QR.
– Depuis iDiddit, clique sur l’icône « ? » pour ouvrir la page d’aide.
Sésame – Tes contenus numériques à portée de main !
En complément d’iDiddit, tu retrouveras l’application Sésame ; la passerelle interactive entre ton ouvrage VAN IN et ses contenus numériques.
Comment cela fonctionne ?
– Installe l’application sur le store.
– Scanne un code QR repéré sur une page.
– Accède à des vidéos, GeoGebra et autres documents supplémentaires.
Apprends où et quand tu veux !
Dans le bus, à la maison, à la bibliothèque ou en attendant tes amis, tes contenus sont toujours accessibles.
En savoir plus : https://www.vanin.be/sesame ou via le code QR
Introduction
Bienvenue dans Racine Math 6
Pour utiliser au mieux le potentiel de ce manuel, voici quelques informations sur sa structure et sur les compléments numériques qui l’accompagnent.
Ce manuel rassemble les sept UAA (Unités d’Acquis d’Apprentissage) du programme de mathématiques 6 périodes/semaine de 6e année.
Prérequis
Certaines UAA sont introduites par une partie « Prérequis » afin de rappeler les notions nécessaires à la découverte de la matière.
Introduction historique
Afin de donner du sens à l’apprentissage, chaque UAA commence par une mise en contexte historique de la matière et par des exemples de son application dans le quotidien.
Toujours dans l’idée d’ancrer les concepts mathématiques dans la réalité, un défi t’est proposé à la fin de cette introduction. Tu seras en mesure de le résoudre au terme du chapitre grâce aux connaissances que tu auras acquises.
Découverte
La matière de chaque UAA est divisée en plusieurs parties cohérentes et structurées afin de garantir un apprentissage progressif et clair. Tu es ainsi invité(e) à découvrir la nouvelle matière de chaque partie via des activités, à la fin desquelles la rubrique πG conclut ce qui a été découvert.
Théorie
La partie « Théorie » reprend les notions essentielles à la compréhension de la matière. Celles-ci sont classées dans différentes rubriques :
Définition Propriété Vocabulaire
Exercices
Les exercices permettent d’appliquer la théorie vue.
Tous les schémas nécessaires à la réalisation d’un exercice sont disponibles en ligne sur en PDF imprimable. Les schémas concernés sont signalés par ce logo : .
Des exercices dits de « dépassement » sont parfois proposés et sont reconnaissable à ce logo :
Pour chaque chapitre, tu trouveras également une série d’exercices complémentaires sur la plateforme iDiddit afin de t’exercer.
Synthèse et Exercices récapitulatifs
Chaque chapitre se conclut avec une synthèse claire et précise. Celle-ci est suivie d’exercices récapitulatifs qui te permettent de retravailler de façon transversale toutes les notions vues durant le chapitre.
GeoGebra
bi zz=c - || () Opérations dans £ Puissances de i : Si • alors 1 ii ii Opérations de base dans £ Forme algébrique Soient +b a+ bi où a, b, b Forme trigonométrique
La visualisation de certaines notions et concepts mathématiques est rendue possible grâce à l’utilisation de l’application GeoGebra. Soit via des manipulations, soit via des vidéos, tu es invité(e) à découvrir une notion, comprendre la construction d’un schéma ou faire un exercice. Les GeoGebra sont proposés via des codes QR, mais sont également disponibles sur la plateforme numérique
Table des matières
3.
4.
5 UAA COPYRIGHTVANIN
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Objectifs
Connaître
• Interpréter une fonction réciproque comme processus inversant une suite d’opérations.
• Tracer le graphique des fonctions cyclométriques.
• Établir les dérivées des fonctions cyclométriques.
Appliquer
• Vérifier si une fonction f : E → F est injective, surjective, bijective.
• Calculer le domaine et la dérivée de fonctions cyclométriques.
Transférer
• Choisir si nécessaire une restriction d’une fonction donnée, en déterminer la réciproque et représenter ces deux fonctions sur un même graphique.
• Apparier des graphiques et des expressions analytiques de fonctions cyclométriques.
Introduction historique
Dès l’Antiquité, les mathématiciens s’intéressent aux relations entre les angles et les longueurs dans les triangles. Les Grecs, notamment Hipparque et Ptolémée, établissent des tables trigonométriques afin de résoudre des problèmes d’astronomie et de géométrie. Ces travaux conduisent à l’apparition des premières fonctions trigonométriques, comme le sinus et le cosinus, bien avant qu’elles soient formalisées comme des fonctions au sens moderne.
À partir de la Renaissance, avec le développement de l’algèbre et de la géométrie analytique, les mathématiciens cherchent à comprendre comment inverser ces fonctions : comment retrouver un angle connaissant la valeur de son sinus, de son cosinus ou de sa tangente ? Cette question apparaît naturellement dans des problèmes concrets de navigation, d’arpentage ou de cartographie.
Au XVIIe siècle, des mathématiciens tels que Descartes et Newton contribuent à préciser la notion de fonction. Ils introduisent l’idée de fonction réciproque : une fonction qui permet d’inverser un calcul et de retrouver la valeur initiale à partir du résultat, à condition que cette inversion soit possible.
Les fonctions cyclométriques apparaissent alors comme les fonctions réciproques des fonctions
trigonométriques sur des intervalles bien choisis. Elles permettent d’associer à un nombre réel un angle, exprimé en radians, et jouent un rôle fondamental dans la résolution d’équations trigonométriques.
Au fil du temps, ces fonctions deviennent des outils incontournables en mathématiques et en sciences. Elles sont utilisées pour déterminer des angles à partir de mesures, analyser des signaux périodiques, décrire des phénomènes oscillatoires ou encore résoudre des problèmes de physique et d’ingénierie.
Aujourd’hui, les fonctions réciproques et cyclométriques interviennent dans de nombreux domaines :
• en mathématiques : résolution d’équations, étude des fonctions et des variations ;
• en physique : optique, mécanique, ondes et mouvements périodiques ;
• en ingénierie : traitement du signal, électronique, télécommunications ;
• en informatique et graphisme : calcul d’angles, rotations et modélisation 3D ;
• dans la vie quotidienne : navigation GPS, mesures d’angles, imagerie médicale.
Lors d’une séance de cinéma en plein air, un écran LED vertical est installé. L’écran a une hauteur de 4 m et son bord inférieur se trouve à 2 m au-dessus du sol. Les yeux d’un spectateur sont situés à 1,2 m au-dessus du sol. Le spectateur se place face à l’écran, à une certaine distance horizontale de celui-ci.
À quelle distance doit-il se placer pour que l’angle de vue, formé par les deux droites reliant son œil au bord inférieur et au bord supérieur de l’écran, soit maximal ?
Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET
Prérequis
TEST DIAGNOSTIQUE
Connaître
1. Représente graphiquement la fonction sinus.
2. Complète les caractéristiques des fonctions suivantes.
(a) Soit la fonction f définie par f ( x ) = tan( x ).
• dom f = …
• Zéros
• im f = …
• Périodicité
• Le graphe de f admet une infinité d’asymptotes … d’équations …
(b) Soit la fonction g définie par g( x ) = 4sin( x ) + 1.
• dom g = …
• Minima en x = …
• Périodicité
(c) Soit la fonction h définie par h( x ) = cos(3x).
• dom h = …
• Minima en x = …
• Périodicité
Appliquer
1. Résous les équations et inéquations suivantes.
• im g = …
• Maxima en x = …
• im h = …
• Maxima en x = …
(a) sin( x ) = 3 2 (b) 2cos 2 6 2 x += -
(c) tan(π – 3x) = –1 (d) sin( x ) ≥ 0
2. En utilisant la formule fondamentale, détermine cos(α ) sachant que sin(α ) = 3 4 et que α∈ QII.
3. Calcule les dérivées suivantes.
(a) (sin(4x + 9))′ (b) tan3( x ) ′
(c) (cos(5x) sin(2x))′ (d) tan4 x
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
THÉORIE
Définition
Fonction sinus
La fonction sinus, notée sin, est définie par : sin : ° → ° : x ↦ sin( x )
Propriété
Caractéristiques de la fonction sinus
dom sin ° im sin [–1; 1]
Zéro(s) k π où k ∈ ¢
Ordonnée à l’origine 0
Parité impaire
Minima en x = …
Maxima en x =
Périodicité périodique de période 2π
Définition
Fonction cosinus
La fonction cosinus, notée cos, est définie par : cos : ° → ° : x ↦ cos( x )
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Propriété
Caractéristiques de la fonction cosinus dom cos ° im cos [–1; 1]
Zéro(s) π 2 + k ⋅π où k ∈ ¢
Ordonnée à l’origine 1
Parité paire
Minima en x = … π + k 2π où k ∈ ¢
Maxima en x = … k 2π où k ∈ ¢
Périodicité périodique de période 2π
Définition
Fonction tangente
La fonction tangente, notée tan, est définie par :
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Propriété
Caractéristiques de la fonction tangente
dom tan °\ 2 + kk | ¢ im tan °
Zéro(s) k ⋅π où k ∈ ¢
Ordonnée à l’origine 0
Parité impaire
Extrema en x = … pas d’extrema
Périodicité périodique de période π
Équations des asymptotes verticales x = π 2 + k ⋅π où k ∈ ¢
Propriétés
Relations fondamentales de la trigonométrie
Pour tout réel x :
• Formule fondamentale : sin2( x ) + cos2( x ) = 1
• Relation entre les nombres trigonométriques : tan( x ) = sin( ) cos( ) x x si x ≠ π 2 + k π où k ∈ ¢
Propriétés
Formules de dérivation des fonctions trigonométriques
• (sin( x ))′ = cos( x ) • (sin( f ( x )))′ = cos( f ( x )) ⋅ f ′( x )
• (cos( x ))′ = –sin( x ) • (cos( f ( x )))′ = –sin( f ( x )) f ′( x )
• (tan( x ))′ = 1 2 cos( ) x = 1 + tan2( x ) • (tan( f ( x )))′ = 1 2 cos( ) () fx f ′( x ) = 1 + tan2( f ( x )) f ′( x )
1. Réciproque d’une fonction
DÉCOUVERTE
Activité 1 Notion de fonction réciproque
Aux États-Unis, la température est exprimée en degrés Fahrenheit (°F), tandis qu’en Europe, on utilise les degrés Celsius (°C). La relation entre ces deux unités est donnée par :
• 0°C = 32°F ;
• Une augmentation de la température de 1°C correspond à une augmentation de 1,8°F.
1. Donne l’expression analytique de la fonction f qui donne la température en degrés Fahrenheit en fonction de la température en degrés Celsius.
2. Si la température extérieure est de 68°F, quelle est sa valeur en degrés Celsius ?
3. Déduis de la question précédente l’expression de la fonction g qui donne la température en degrés Celsius en fonction de la température en degrés Fahrenheit.
4. À partir du tableau de valeurs de f donné ci-dessous, déduis-en un tableau de valeurs de g .
5. Dans un même repère, représente les fonctions f et g
6. Quelle symétrie unit les graphes des fonctions f et g ?
7. Détermine l’expression analytique de fg o et gf o . Que constates-tu ?
La fonction g est appelée la fonction réciproque de la fonction f . On note gf = 1 . Leurs graphes sont symétriques par rapport à l’axe d’équation yx = .
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Activité 2 La réciproque d’une fonction est-elle toujours une fonction ?
Soient la fonction f définie par f ( x ) = x2 et sa relation réciproque, toutes deux représentées dans le repère ci-dessous.
1. Nous remarquons que la réciproque de f n’est pas une fonction. Pourquoi ?
2. Sans tracer la réciproque, aurions-nous pu prévoir qu’elle ne serait pas une fonction ? Explique.
3. Détermine l’expression analytique de la relation réciproque de f
4. Si on restreint le domaine de f à °–, alors sa réciproque est une fonction.
(a) Détermine l’expression analytique de cette fonction réciproque.
(b) Donne le domaine et l’ensemble-image de f et de sa réciproque f –1. Que constates-tu ?
(c) Donne une autre restriction possible du domaine de f pour laquelle sa réciproque est une fonction.
Lorsque nous avons restreint le domaine de f, nous nous sommes assurés que tout élément de son ensemble-image ait un unique antécédent par f . Une telle fonction est appelée une fonction injective. Lorsqu’une fonction est injective, sa réciproque est une fonction.
Activité 3 Dérivée de la réciproque d’une fonction
Considérons les fonctions f : ° → ° : x ↦ x3 et g : ° → ° : x ↦ x5 .
1. Détermine l’expression analytique des fonctions f –1 et g –1, les fonctions réciproques respectivement de f et de g.
2. Calcule :
(a) f ′( x ) et f –1 ′ ( x ) ;
(b) g ′( x ) et g –1 ′( x ).
πG
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
3. Sur la base de la question 2, conjecture la formule qui permet de calculer f –1 ′ ( x ) à partir de f ′( x ) et f –1( x ), et vérifie ensuite que cette formule s’applique à g –1 ′ ( x ).
La dérivée de la réciproque d’une fonction f est donnée par la formule f –1 ′ ( x ) = sous certaines hypothèses. 1 1 ff x () -
4. Sur la base de ce résultat, calcule la dérivée de la réciproque de la fonction h : ° → ° : x ↦ x19 en ne calculant que h′( x ) et h–1( x ).
THÉORIE
Notation et vocabulaire
Si f : E → F est une fonction, alors dom f ⊆ E et im f ⊆ F.
• E est appelé l’ensemble de départ de f et F est appelé l’ensemble d’arrivée de f.
• Si E = dom f, on dit que f est une application
Injectivité, surjectivité et bijectivité
Définition
Fonction injective
Une fonction f : E → F est injective si ∀x1, x2 ∈ dom f, x1
Remarques
• La définition d’une fonction injective est équivalente à la définition suivante : ∀x1, x2 ∈ dom f, f ( x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
• Graphiquement, une fonction f est injective si toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f.
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Exemples et contre-exemples
f : ° → ° : x ↦ 2 3 x + 1 est injective g : ° → ° : x ↦ 2x2 – 4 n’est pas injective –4–3–2–11234
h :22 ; → [–1; 1] : x ↦ sin( x ) est injective i : ° → [–1; 1] : x ↦ sin( x ) n’est pas injective 1 h x y
Tu peux visualiser les exemples de manière animée en suivant le code QR ci-contre.
Propriété
Monotonie et injectivité
Si une fonction est strictement monotone, alors elle est injective.
Remarque
La réciproque de la propriété précédente est fausse.
GeoGebra
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Exemple
Soit f définie par f ( x ) = xx xx si < -+ si 01 41 2 et représentée ci-dessous.
La fonction f est bien injective, mais n’est pas strictement monotone.
Définition
Fonction surjective
Une fonction f : E → F est surjective si
Autrement dit, f : E → F est surjective si im f = F.
Exemples et contre-exemples
Définition
Fonction bijective
Une fonction f : E → F est bijective si f est injective et surjective.
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Exemple
f : [1; +∞[ → °+ : x ↦ x -1 est bijective
10234567891011
Propriété
Bijectivité de la transformée d’une fonction bijective
La transformée, au sens de ce qui a été vu en 4e année, d’une fonction bijective est bijective.
Réciproque
Définition
Relation réciproque
La relation réciproque d’une fonction f : E → F est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f, la ou les valeur(s) de x dont y est l’image par f
Autrement dit, R est la relation réciproque de f si R = {(b; a) ∈ F × E | f (a) = b}.
Propriété
Condition pour que la relation réciproque d’une fonction soit une fonction
Soit f une fonction.
La relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.
Définition
Fonctions réciproques l’une de l’autre
Soient f : E → F et g : F → E deux fonctions injectives telles que dom f = im g et dom g = im f
Les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si :
1. ∀x ∈ dom f, ( g ∘ f )( x ) = x ;
2. ∀x ∈ dom g, ( f ∘ g)( x ) = x
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Notation
f –1 est la notation de la fonction réciproque d’une fonction f, éventuellement restreinte pour qu’elle soit injective.
Remarques
• Il ne faut pas confondre la réciproque et l’inverse d’une fonction : f –1( x ) ≠ 1 fx() = ( f ( x ))–1.
• Le domaine d’une fonction f doit parfois être restreint à un ensemble A ⊂ dom f afin de rendre cette fonction injective sur A et de trouver la réciproque de cette fonction restreinte, appelée « restriction de f à A » et notée f|A
Propriété
Réciprocité de deux fonctions
Soient les applications bijectives f : E → F et g : F → E f et g sont réciproques l’une de l’autre si
Propriété
Symétrie des graphes de fonctions réciproques
Soient f une fonction injective et f –1 sa réciproque.
• Les graphes des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation y = x.
• (a; b)
Illustration
Tu peux le visualiser en scannant le code QR ci-contre et en déplaçant le point du graphe de f.
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Corollaire
Soient f et f –1 deux fonctions réciproques l’une de l’autre.
• dom f = im f –1 et im f = dom f –1 .
• Le graphe de f –1 a pour équation x = f ( y ).
Propriété
Monotonie et continuité de fonctions réciproques
Soit f : E → F une application.
Si f est continue et strictement monotone, alors la relation réciproque de f est une fonction définie et continue sur f (E ), et est de même sens de variation que f.
Méthodo
Déterminer l’expression analytique d’une fonction réciproque
Soit f : E → F une fonction bijective.
Pour déterminer l’expression analytique de sa fonction réciproque, il faut :
1. écrire l’équation du graphe de f –1 : x = f ( y ) ;
2. isoler y dans l’équation ;
3. donner l’expression analytique de f –1 : F → E.
Exemple
Considérons l’application f : [1; +∞[ →
• f est bien bijective, car f est injective vu que f est strictement croissante sur [1; +∞[ et f est surjective vu que im f = °+ .
• Une équation du graphe de f –1 est x = 2( y – 1)2
On a que
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
• Vérification graphique : f et f –1 sont représentées dans le repère ci-dessous.
Par définition de fonctions réciproques l’une de l’autre, on sait que f f –1( x ) = x Dès lors, f f –1( x ) ′ = ( x )′⇔ f ′ f –1( x ) f –1 ′ ( x ) = 1 ⇔ f –1 ′ ( x ) = 1 1 f fx()COPYRIGHTVANIN
Remarques
• Il est également possible d’établir l’expression analytique d’une fonction réciproque en inversant la suite des opérations calculatoires.
Exemple
Reprenons l’application injective f : [1; +∞[ → °+ : x ↦ 2( x – 1)2 x x − 1(x − 1)22(x − 1)2 − 1appliquer appliquer x22 x +11 2 + ±1± ± x 2 x 2 x x 2
Comme im f –1 = dom f = [1; +∞[, f –1( x ) = x 2 + 1.
• Il est nécessaire de préciser les ensembles E et F pour lesquels l’application f : E → F est bijective afin de déduire directement le domaine et l’ensemble-image de f –1 : F → E
Propriété
Dérivée de la réciproque d’une fonction
Soient f : ° → ° une fonction injective et x ∈ dom f –1 . Si f est dérivable en f –1( x ) et si f ′ f –1( x ) ≠ 0, alors : f –1 ′ ( x ) = 1 1 ff x () -
Démonstration
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Interprétation géométrique et illustration
Si la pente de la tangente au graphe de f au point (a; f (a)) vaut un réel m, alors la pente de la tangente au graphe de f –1 au point ( f (a); a) vaut 1 m
Cela vient du fait que les graphes de f et de f –1 sont symétriques par rapport à l’axe y = x et donc, si y = mx + p est l’équation de la tangente au graphe de f au point (a; f (a)), alors une équation de la tangente au graphe de f –1 au point ( f (a); a) est donnée par :
EXERCICES
1. Représente graphiquement une fonction f et une fonction g telles que : (a) f : ° → 0 + est bijective ; (b) g : ° → ° est surjective, mais pas injective.
2. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives et/ou bijectives ? Justifie.
(a) f : ° → [–1; 3] : x ↦ 2 2 1 sin x + (b) g : ° → ° : x ↦ x +1 3
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
(c) h : ° → ° : x ↦ x2 – 9x + 18 (d) i : ° → ° : x ↦ 1 2 x -
3. Détermine des ensembles E et F, les plus grands possible, afin que la fonction f : E → F soit bijective si :
(a) f : E → F : x ↦ x2 + 4 (b) g : E → F : x ↦ –|x + 3| – 5
(c) h : E → F : x ↦ cos+ 3 2 x (d) i : E → F : x ↦ 28 3 x x-
4. Considérons la fonction f : [a; +∞[ → F : x ↦ –2x3 – 9x2 + 60x + 13. Détermine le plus petit réel a et l’ensemble F pour lesquels la fonction f est bijective.
5. Considérons les fonctions injectives f et g définies par f ( x ) = 2 1 3 x + et g( x ) = 1 2 x + 9 où dom f = °∖{–1} et dom g = ] –∞; 0[.
(a) Décompose ces fonctions à l’aide de fonctions de référence.
(b) Déduis-en leur fonction réciproque, tout en exprimant les conditions d’existence.
6. Après avoir restreint, si nécessaire, le domaine de chaque fonction f définie ci-dessous,
• détermine l’expression analytique de sa fonction réciproque ;
• précise le domaine et l’ensemble-image de f –1 .
Vérifie ensuite la symétrie de leur graphe en les représentant dans un même repère. (a) f :
2. Fonctions cyclométriques
DÉCOUVERTE
Activité Les fonctions cyclométriques, réciproques des fonctions trigonométriques
1. Dans le repère ci-dessous est représenté le graphe de la fonction sinus.
(a) Représente la relation réciproque de la fonction sinus dans le repère ci-dessus.
(b) Cette réciproque est-elle une fonction ? Justifie.
(c) Sur ta calculatrice, tu as déjà utilisé plusieurs fois la touche arcsin (ou asin ou sin–1). Cette fonction, appelée arcsinus, permet de calculer un angle à partir de la valeur de son sinus.
I. En observant le graphique de la relation réciproque, quel est le domaine de la fonction arcsinus ?
II. À l’aide de la calculatrice, calcule en radians :
• arcsin(–1)
• arcsin1 2
• arcsin 2 2
• arcsin3 2
• arcsin(0)
• arcsin 3 2
• arcsin2 2
• arcsin 1 2
• arcsin(1)
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
(d) En observant les valeurs obtenues au point (c) II., sur quel intervalle a-t-on restreint le domaine de la fonction sinus pour définir la fonction arcsinus ?
(e) En utilisant une autre couleur que celle utilisée au point (a), mets en évidence le graphe de la fonction arcsinus sur le graphique.
Tu viens de tracer la fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle
Cette fonction est appelée la fonction arcsinus, notée arcsin, et est définie par :
[–1; 1]
x ).
2. Dans le repère ci-dessous sont représentés le graphe de la fonction cosinus, en mauve, et sa relation réciproque, en vert.
(a) La relation réciproque est-elle une fonction ? Justifie.
(b) Sur ta calculatrice, tu as déjà utilisé plusieurs fois la touche arccos (ou acos ou cos–1). Cette fonction, appelée arccosinus, permet de calculer un angle à partir de la valeur de son cosinus.
I. En observant le graphique de la relation réciproque, quel est le domaine de la fonction arccosinus ?
II. À l’aide de la calculatrice, calcule en radians :
• arccos(–1)
• arccos1 2
• arccos 2 2
• arccos3 2
• arccos(0)
• arccos 3 2
• arccos2 2
• arccos 1 2
• arccos(1)
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
(c) En observant les valeurs obtenues au point (b) II., sur quel intervalle a-t-on restreint le domaine de la fonction cosinus pour définir la fonction arccosinus ?
(d) Mets en évidence le graphe de la fonction arccosinus sur le graphique.
Tu viens de tracer la fonction réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle [0; π]. Cette fonction est appelée la fonction arccosinus, notée arccos, et est définie par : arccos : [–1; 1] → [0; π] : x ↦ arccos( x ).
3. Dans le repère ci-dessous sont représentés le graphe de la fonction tangente, en mauve, et sa relation réciproque, en vert.
(a) La relation réciproque est-elle une fonction ? Justifie.
(b) Sur ta calculatrice, tu as déjà utilisé plusieurs fois la touche arctan (ou atan ou tan–1). Cette fonction, appelée arctangente, permet de calculer un angle à partir de la valeur de sa tangente.
I. En observant le graphique de la relation réciproque, quel est le domaine de la fonction arctangente ?
II. À l’aide de la calculatrice, calcule en radians :
arctan -3
arctan(–1)
arctan3 3
arctan(0)
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
(c) En observant les valeurs obtenues au point (b) II., sur quel intervalle a-t-on restreint le domaine de la fonction tangente pour définir la fonction arctangente ?
(d) Mets en évidence le graphe de la fonction arctangente sur le graphique.
πG
Tu viens de tracer la fonction réciproque de la fonction tangente restreinte à l’intervalleππ 22 ;
. Cette fonction est appelée la fonction arctangente, notée arctan, et est
définie par :
THÉORIE
Remarque
: x ↦ arctan( x ).
Lorsque l’on recherche l’image d’un réel par une fonction cyclométrique, il est important de choisir le mode « Radian » de la calculatrice.
Fonction arcsinus
Définition
Fonction arcsinus
La fonction arcsinus, définie par arcsin : [–1; 1] →22 ; : x ↦ arcsin( x ) est telle que : arcsin( x ) = y ⇔ x = sin( y ) où22 y
Exemples
• arcsin 2
• Tableau des valeurs remarquables,
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Remarque
Le nom « arcsinus » a été donné à cette fonction, car arcsin( x ) est associée à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique, comprise entreπ 2 et π 2 , dont le sinus est x.
Propriété
Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arcsinus
La représentation graphique de la fonction arcsinus est :
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Propriété
Réciprocité des fonctions sinus et arcsinus
• La fonction sinus restreinte à22 ; et la fonction arcsinus sont réciproques l’une de l’autre.
• ∀x ∈ [–1; 1], sin(arcsin( x )) = x
• ∀x ∈22 ; , arcsin(sin( x )) = x
Exemples
• sinarcsin 1 2 1 2 =
• arcsin sin 1616 =
Attention
Il faut être attentif au domaine de validité de ces propriétés !
Exemples
• arcsin sinarcsin 2
• sinarcsin 11 10 n’existe pas, car la fonction arcsinus est définie sur [–1; 1].
Propriété
Dérivée de la fonction arcsinus
∀x ∈ ] –1; 1[, (arcsin( x ))′ = 1 1 2 - x
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Démonstration
Soit x ∈ ] –1; 1[.
Par la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction, (arcsin( x ))′ = 11 1 1 2 sin( = ( =′ arcsin())cos arcsin())xx x
En effet, par la formule fondamentale de la trigonométrie, cos2(arcsin( x )) + sin2(arcsin( x )) = 1
⇔ cos2(arcsin( x )) = 1 – sin2(arcsin( x ))
⇔ cos2(arcsin( x )) = 1 – x2 (car sin(arcsin( x )) = x si –1 ≤ x ≤ 1)
⇔ cos(arcsin( x )) = ±1 2 x
⇔ cos(arcsin( x )) = 1 2 - x
Remarques
(car arcsin( x ) ∈22 ; et le cosinus d’un angle compris entreπ 2 et π 2 est positif )
• Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ] –1; 1[, alors (arcsin( f ( x )))′ =
- (()) () fx fx
• La dérivée de la fonction arcsinus n’est pas définie en –1 et en 1, car les tangentes au graphe de la fonction arcsinus aux points d’abscisses –1 et 1 sont verticales.
En effet, lim arcsin() arcsin()
Par le théorème de l’Hospital, lim arcsin()
Le calcul est analogue pour lim arcsin() arcsin() x x x →1 1 1-
• Cette démonstration montre également que pour tout réel x compris entre –1 et 1, cos(arcsin( x )) = 1 2 - x
Fonction arccosinus
Définition
Fonction arccosinus
La fonction arccosinus, définie par arccos : [–1; 1] → [0; π] : x ↦ arccos( x ) est telle que : arccos( x ) = y ⇔ x = cos( y ) où 0 ≤ y ≤π
Exemples
• arccos 3
• arccos() 0
• Tableau des valeurs remarquables,
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Remarque
Le nom « arccosinus » a été donné à cette fonction, car arccos( x ) est égale à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique, comprise entre 0 et π, dont le cosinus est x
Propriété
Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arccosinus
La représentation graphique de la fonction arccosinus est :
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
dom arccos [–1; 1] im arccos [0; π]
Zéro 1
Parité ni paire ni impaire
Variation strictement décroissante
Minimum en x = … 1
Maximum en x = … –1
Point d’inflexion 0 2 ;
Propriété
Réciprocité des fonctions cosinus et arccosinus
• La fonction cosinus restreinte à [0; π] et la fonction arccosinus sont réciproques l’une de l’autre.
=arccos(
• ∀x ∈ [–1; 1], cos(arccos( x )) = x
• ∀x ∈ [0; π], arccos(cos( x )) = x
Exemples
• cosarccos 1 2 1 2 =
• arccos cos 7 8 7 8 =
Attention
Il faut être attentif au domaine de validité de ces propriétés !
Exemples
• arccos cosarccos 5 4 2 2 3 4 =- = car cos 3 4
=- et 3
π ∈ [0; π].
• cos(arccos(–2)) n’existe pas, car la fonction arccosinus est définie sur [–1; 1].
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET
Propriété
Dérivée de la fonction arccosinus
∀x ∈ ] –1; 1[, (arccos( x ))′ =1 1 2 x
Démonstration
Soit x ∈ ] –1; 1[.
Par la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction, (arccos( x ))′ = 11 1 1 2 cos( = -( =-′ arccos())sin arccos( )) xx x
En effet, par la formule fondamentale de la trigonométrie, sin2(arccos( x )) + cos2(arccos( x )) = 1
⇔ sin2(arccos( x )) = 1 – cos2(arccos( x ))
⇔ sin2(arccos( x )) = 1 – x2 (car cos(arccos( x )) = x si –1 ≤ x ≤ 1)
⇔ sin(arccos( x )) = ±1 2 x
⇔ sin(arccos( x )) = 1 2 - x (car arccos( x ) ∈ [0; π] et le sinus d’un angle compris entre 0 et π est positif)
Remarques
• Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ] –1; 1[, alors (arccos( f ( x )))′ =1 1 2(()) () fx fx
• La dérivée de la fonction arccosinus n’est pas définie en –1 et en 1, car les tangentes au graphe de la fonction arccosinus aux points d’abscisses –1 et 1 sont verticales. Le calcul qui le démontre est analogue à celui fait pour la fonction arcsinus.
• Cette démonstration montre également que pour tout réel x compris entre –1 et 1, sin(arccos( x )) = 1 2 - x .
Fonction arctangente
Définition
Fonction arctangente
La fonction arctangente, définie par arctan : ° →22 ; : x ↦ arctan( x ) est telle que :
arctan( x ) = y ⇔ x = tan( y ) où -< < ππ 22 y
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Exemples
• arctan() 1 4 = π car tan 4 1 = et 42 2 -;
• arctan -3-= 3 car tan- =3 3 et 32 2 ; .
• Tableau des valeurs remarquables,
Remarque
Le nom « arctangente » a été donné à cette fonction, car arctan( x ) est associée à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique, strictement comprise entreπ 2 et π 2 , dont la tangente est x
Propriété
Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arctangente
La représentation graphique de la fonction arctangente est :
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
dom arctan ° im arctan22 ;
Zéro 0
Parité impaire
Variation strictement croissante
Extrema en x = … pas d’extrema
Point d’inflexion (0; 0)
Asymptotes
Propriété
Réciprocité des fonctions tangente et arctangente
• La fonction tangente restreinte à22 ; et la fonction arctangente sont réciproques l’une de l’autre.
y = tan( x ) y
• ∀x ∈ °, tan(arctan( x )) = x
• ∀x ∈22 ; , arctan(tan( x )) = x
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Exemples
• tan(arctan(100)) = 100
• arctan tan- =5 12 5 12
Attention
Il faut être attentif au domaine de validité de ces propriétés !
Exemple
f7( x ) = arccos(1 – 2x ) COPYRIGHTVANIN
Propriété
Dérivée de la fonction arctangente ∀x ∈ °, (arctan( x ))′ = 1 1 2 + x
Démonstration
Soit x ∈ °.
Par la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction, (arctan( x ))′ = 11 1 1 1 22 tan( = + = + ′ arctan())tanarctan() )( xx x car, pour tout réel x, tan(arctan( x )) = x
Remarque
Si f est une fonction dérivable en x, alors
(arctan( f ( x )))′ = 1 1 2 + (()) fx f ′( x )
EXERCICES
1. Apparie chaque graphique à l’expression analytique de la fonction qui lui correspond.
f1( x ) = arccos( x )
f2( x ) = π 2 – arcsin( x )
f3( x ) = 2arccos( x ) – π 2
f4( x ) = –arccos x 2
f5( x ) = arcsin x 22 +
f6( x ) = arcsin(1 – 2x )
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
2. Laquelle des fonctions suivantes est représentée ci-dessous ? Justifie. −10−8−6−4−2246810
f ( x ) = arctan( x – 2) + π g( x ) = arctan( x – π) + 2 h( x ) = 2arctan( x – 2) + π i( x ) = 2arctan( x – π) + 2
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
3. Considérons les fonctions f et g définies par f ( x ) = arcsin(sin( x )) et g ( x ) = sin(arcsin( x )).
Associe chaque fonction à sa représentation graphique et justifie. x
4. Considérons les fonctions f : ° →
et g :
(a) Restreins les fonctions f et g afin de les rendre injectives.
: x ↦ cos x +3 1.
(b) Détermine la réciproque des fonctions restreintes f et g au point (a) et précise leur domaine et leur ensemble-image.
5. Sans calculatrice, donne, si elle existe, la valeur de :
(a) arctan3 3
(c) arccos1 2
(e) sinarcsin 4 3
(g) cos(arccos(–0,3))
(i) arctan tan 2
(k) arcsin cos 3
(b) arcsin(1)
(d) arcsin sin 4 3
(f) arccos cos8
(h) sin(arcsin(2))
(j) tan(arctan(14))
(l) sinarccos- 1 3
6. Résous les équations et inéquations suivantes dans °
(a) arcsin( x ) =π 3
(c) 2arctan( x ) = π 3 ²
(f) sin(arccos( x )) = 1 2
(h) 2arccos(1 – x ) < 4 3 π
(b) arccos(2x ) + arccos 1 24 =
(e) arctan(2x – 1) = arctan x2
(g) arcsin( x ) ≤ π 4
(i) arctan( x ) >5 4 π
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
7. Détermine le domaine de définition et la dérivée des fonctions suivantes.
(a) f ( x ) = arccos(4x – 1)
(c) f ( x ) = arcsin( x ) ⋅ arccos( x )
(e) fx x () arccos = 1
(g) f ( x ) = arcsin sin x2
(i) fx x x () =+ arctan 2 3
(k) f ( x ) = arcsin() arctan 2 x x ()
(m) f ( x ) = arcsin() x
(o) f ( x ) = arcsin() 34 x -+ π
(b) f ( x ) = arcsin x2 – 3
(d) f ( x ) = 1 arccos() x
(f) f ( x ) = (arctan( x ))2
(h) f ( x ) = sin(arccos(3x ))
(j) fx x x () arccos() = 2
(l) f ( x ) = arcsin x
(n) f ( x ) = arctan + () x π 4
(p) f ( x ) = arccos( )- 4 6 x π
8. Dresse le tableau de variations de la fonction f définie par f ( x ) = arctan x2 – 3
9. On veut placer une caméra de surveillance sur un mur d’une longueur de 5 mètres. Les murs perpendiculaires au mur de 5 mètres mesurent 2 mètres et 3 mètres comme illustré sur le schéma ci-dessous
COPYRIGHTVANIN
C 3m 2m x m 5m θ (x)
(a) Donne l’expression analytique de θ ( x ), l’angle qui donne le champ de vision de la caméra en fonction de x
(b) Démontre que () ( ) x xx 3 9 2 2254 +-+
(c) À quelle distance x du mur de 3 mètres la caméra doit-elle se trouver afin que l’angle θ ( x ) soit le plus grand possible ? Arrondis ta réponse au centimètre près.
10. Démontre que pour tout réel x compris entre –1 et 1, arcsin( x ) + arccos( x ) = π 2 . Illustre ensuite cette identité graphiquement.
11. (a) Démontre que, pour tout réel x strictement positif, arctan( x ) + arctan 1 2 x = .
(b) Le résultat est-il le même si x est strictement négatif ?
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
12. Étudie les limites aux bornes du domaine des fonctions suivantes :
(a) fx x () arctan = 1
(c) fx x x () arcsin() = -1
13. Montre les identités suivantes :
(a) arctanarctan 1 2 1 34 +=
(c) arcsin arcsin 4 5 3 52 +=
(e) arctanarcsin 4 3 3 52 +=
(b) fx x () arctan() = 1
(d) fx x x () arcsin() 1 2
(b) arctanarctan()() 23 3 4 += π
(d) arccos arccos 5 13 12 13 2 +=
Synthèse
Injectivité, surjectivité et bijectivité
• Une fonction f : E → F est injective si ∀x1, x2 ∈ dom f, x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1) ≠ f ( x2).
Cela signifie que toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f
Propriété :
Si une fonction est strictement monotone, alors elle est injective.
• Une fonction f : E → F est surjective si ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, f ( x ) = y
Autrement dit, f : E → F est surjective si im f = F.
• Une fonction f : E → F est bijective si f est injective et surjective.
Réciproque
• La relation réciproque d’une fonction f est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f, la ou les valeur(s) de x dont y est l’image.
• Condition d’existence d’une fonction réciproque : la relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.
• Soient f et g deux fonctions injectives telles que dom f = im g et dom g = im f
Les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si ∀x ∈ dom f, ( g ∘ f )( x ) = x et ∀x ∈ dom g,
( f ∘ g)( x ) = x.
• Notation : la fonction réciproque d’une fonction f injective est notée f –1
• Propriétés des fonctions réciproques :
• Les applications bijectives f : E → F et g : F → E sont des fonctions réciproques l’une de l’autre si
∀x ∈ E, ∀y ∈ F, f ( x ) = y ⇔ x = g ( y ).
• Les graphes des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation y = x
• (a; b) ∈ Gr f ⇔ (b; a) ∈ Gr f –1 .
• dom f = im f –1 et im f = dom f –1
• Le graphe de f –1 a pour équation x = f ( y ).
• Monotonie et continuité de fonctions réciproques :
Si f : E → F est une fonction continue et strictement monotone, alors sa relation réciproque est une fonction définie et continue sur f (E ) et de même sens de variation que f
• Dérivée de la réciproque d’une fonction :
Soit f une fonction injective et dérivable en f –1( x ) telle que f ′ f –1( x ) ≠ 0. () () fx ff x= 1 1 1
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Fonction arcsinus
• La fonction arcsinus, définie par arcsin : [–1; 1] →22 ; : x ↦ arcsin( x ) est telle que :
arcsin( x ) = y ⇔ x = sin( y ) où22 y
• Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arcsinus :
dom arcsin [–1; 1] im arcsin22 ; Zéro 0
Parité impaire
Variation strictement croissante
Minimum en x = … –1
Maximum en x = … 1
Point d’inflexion (0; 0)
• Propriétés :
• La fonction sinus restreinte à22 ; et la fonction arcsinus sont réciproques l’une de l’autre.
• x ∈ [–1; 1] ⇔ sin(arcsin( x )) = x
• x ∈22 ; ⇔ arcsin(sin( x )) = x
• Dérivée de la fonction arcsinus :
∀x ∈ ] –1; 1[, (arcsin( x ))′ =1 1 2 x
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Fonction arccosinus
• La fonction arccosinus, définie par arccos : [–1; 1] → [0; π] : x ↦ arccos( x ) est telle que : arccos( x ) = y ⇔ x = cos( y ) où 0 ≤ y ≤π.
• Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arccosinus :
=arccos( x )
dom arccos [–1; 1] im arccos [0; π]
Zéro 1
Parité ni paire ni impaire
Variation strictement décroissante
Minimum en x = … 1
Maximum en x = … –1
Point d’inflexion 0 2 ;
• Propriétés :
• La fonction cosinus restreinte à [0; π] et la fonction arccosinus sont réciproques l’une de l’autre.
• x ∈ [–1; 1] ⇔ cos(arccos( x )) = x
• x ∈ [0; π] ⇔ arccos(cos( x )) = x
• Dérivée de la fonction arccosinus :
∀x ∈ ] –1; 1[, (arccos( x ))′ =1 1 2 x
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
Fonction arctangente
• La fonction arctangente, définie par arctan : ° →22 ; : x ↦ arctan( x ) est telle que :
arctan( x ) = y ⇔ x = tan( y ) où -< < ππ 22 y
• Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arctangente :
−7−6−5−4−3−2−11234567 y =arctan( x ) 0 x
dom arctan ° im arctan22 ; Zéro 0
Parité impaire
Variation strictement croissante
Extrema en x = … pas d’extrema
Point d’inflexion (0; 0)
Asymptotes AH y=& = π 2 et AH y + = & = π 2
• Propriétés :
• La fonction tangente restreinte à22 ; et la fonction arctangente sont réciproques l’une de l’autre.
• x ∈ ° ⇔ tan(arctan( x )) = x
• x22 ; ⇔ arctan(tan( x )) = x
• Dérivée de la fonction arctangente : ∀x ∈ °, (arctan( x ))′ = + 1 1 2 x
EXERCICES RÉCAPITULATIFS
1. Sur la base des représentations graphiques des fonctions f : ° → ° et g : ° → °, indique si elles sont injectives ou non.
−9−8−7−6−5−4−3−2−11 0 23456789
2. Vérifie si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives et/ou bijectives.
(a) f : °+ → °+ : x ↦ x2 + 1 (b) g : ° → ° : x ↦ (2x – 4)3 + 8
(c) h : [–π; π] → [–2; 2] : x ↦ sin(2x ) (d) i : 0 2 ; : x ↦ |arctan( x )|
3. Choisis si nécessaire une restriction de la fonction f, détermines-en la réciproque et représente la fonction f et sa réciproque dans un même repère.
(a) f : ° → ° : x ↦ 42 - x
(c) f : ° → ° : x ↦|1 – x| – 2
(b) f : ° → ° : x ↦ –2x2 + 3
f : ° → ° : x ↦ 1 3 53 3 + x
(e) f : ° → ° : x ↦ cos(2x + π) (f) f : ° → ° : x ↦ 2arccos( x ) + π
(g) f : ° → ° : x ↦ 1 24 tanx
(i) f : ° → ° : x ↦ 10 3 21 x x + +
4. Considérons la fonction f définie par f ( x ) = x 2 1.
(h) f : ° → ° : x ↦ 1 24 arctan - () x π
(j) f : ° → ° : x ↦ 2x2 – 12x + 14
(a) Détermine le plus grand réel a possible afin que la restriction de la fonction f à l’intervalle ] –∞; a] soit injective.
(b) Après avoir décomposé f à l’aide de fonctions de référence, déduis-en la fonction réciproque de f restreinte à l’intervalle déterminé en (a).
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
5. Apparie chaque expression analytique à la représentation graphique qui lui correspond.
f1( x ) = 2arsin( x + 1)
f2( x ) = arcsin(2x + 1)
f3( x ) = arccos(1 – x )
f4( x ) = –arccos( x ) + π 4
f5( x ) = 1 24 arcsin() xπ
f6( x ) = π 2 1 +-arcsin() x
f7( x ) = arccos(–1 – 2x )
FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES
6. Considérons la fonction f représentée ci-dessous.
(a) Dans le repère ci-dessus, représente la fonction arctangente.
(b) Donne l’expression analytique de f sachant qu’il s’agit d’une transformée de la fonction arctangente.
7. Détermine le domaine de définition et la dérivée des fonctions suivantes.
(a) f ( x ) = arctan 3x2 + 4x – 7
(c) f ( x ) = arcsin 1 3 x +
(e) f ( x ) = 1 2 - x ⋅ arccos( x )
(g) f ( x ) = arccos+ )( x x 1
(i) f ( x ) = arccos( )- 2 3 x π
DÉFI
8. Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?
(b) f ( x ) = arcsin(5 – 10x )
(d) f ( x ) = arccos 4x2
(f) f ( x ) = x x arcsin()
(h) f ( x ) = arctan 31 43 x x+
(j) f ( x ) = π 3 2 -arcsin() x
Lors d’une séance de cinéma en plein air, un écran LED vertical est installé. L’écran a une hauteur de 4 m et son bord inférieur se trouve à 2 m au-dessus du sol. Les yeux d’un spectateur sont situés à 1,2 m au-dessus du sol. Le spectateur se place face à l’écran, à une distance horizontale x, exprimée en mètres, de celui-ci.
À quelle distance x doit-il se placer pour que l’angle de vue θ ( x ), formé par les deux droites reliant son œil au bord inférieur et au bord supérieur de l’écran, soit maximal ?
Arrondis la distance recherchée au centimètre près.
Tu es maintenant capable de répondre !
Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.
ISBN : 978-94-651-4303-3 611308 vanin.be