Issuu

MANUEL RACINE MATH

4 périodes / semaine

MANUEL 6e RACINE MATH

Anne-Laure Andrieu

Justine Bellistrì

Pauline Pirenne

, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants

La plate-forme te donne, par exemple*, accès à :

–des exercices en ligne pour t’entraîner, –un aperçu de tes progrès et de tes résultats, –du matériel de cours, –des vidéos et des audios, –et bien plus encore...

*En fonction de la méthode

Crée-toi un compte sur www.ididdit.be/fr et accède à ton contenu à l’aide du code d’activation ci-dessous : CODE ÉLÈVE

VI2PMHSHM8W7TD

Cette licence est valable pendant 1 an à partir de la date d’activation.

Comment activer ton code sur ?

Ce support pédagogique fait partie de la collection Racine math des Éditions VAN IN. Il a été développé dans le but que chaque élève puisse s’identifier et se sentir à l’aise avec les images et les textes utilisés. En cas de remarques, vous pouvez contacter les Éditions VAN IN.

Ce support pédagogique peut être mis à disposition en version numérique via NumaBib, le service destiné aux élèves ayant des difficultés de lecture ou d’écriture. Vous pouvez en faire la demande sur www.numabib.be.

RACINE MATH 6 4 périodes/semaine – m anuel

Composition de Racine Math 6 4 périodes/semaine

Pour l’élève –1 manuel –des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) –un guide de l’enseignant(e) – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques

Auteures : Anne-Laure Andrieu, Justine Bellistrì et Pauline Pirenne

Couverture : Nord Compo

Mise en page : Nord Compo

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes.

Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.

C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

L’exploration de textes et de données (TDM) n’est pas autorisée.

1re édition : 2026

ISBN 978-94-651-4302-6

D/2026/0078/270

Art. 611307/01

Introduction

Bienvenue dans Racine Math 6

Pour utiliser au mieux le potentiel de ce manuel, voici quelques informations sur sa structure et sur les compléments numériques qui l’accompagnent.

Ce manuel rassemble les cinq UAA (Unités d’Acquis d’Apprentissage) du programme de mathématiques 4 périodes/semaine de 6e année.

Prérequis

Certaines UAA sont introduites par une partie « Prérequis » afin de rappeler les notions nécessaires à la découverte de la matière.

Introduction historique

Afin de donner du sens à l’apprentissage, chaque UAA commence par une mise en contexte historique de la matière et par des exemples de son application dans le quotidien.

Toujours dans l’idée d’ancrer les concepts mathématiques dans la réalité, un défi t’est proposé à la fin de cette introduction. Tu seras en mesure de le résoudre au terme du chapitre grâce aux connaissances que tu auras acquises.

Découverte

La matière de chaque UAA est divisée en plusieurs parties cohérentes et structurées afin de garantir un apprentissage progressif et clair. Tu es ainsi invité(e) à découvrir la nouvelle matière de chaque partie via des activités, à la fin desquelles la rubrique πG conclut ce qui a été découvert.

Théorie

La partie « Théorie » reprend les notions essentielles à la compréhension de la matière. Celles-ci sont classées dans différentes rubriques :

Définition

Propriété Vocabulaire Démonstration

Exercices

Les exercices permettent d’appliquer la théorie vue.

Tous les schémas nécessaires à la réalisation d’un exercice sont disponibles en ligne sur en PDF imprimable. Les schémas concernés sont signalés par ce logo :

Des exercices dits de « dépassement » sont parfois proposés et sont reconnaissable à ce logo :

Pour chaque chapitre, tu trouveras également une série d’exercices complémentaires sur la plateforme iDiddit afin de t’exercer.

Synthèse et Exercices récapitulatifs

Chaque chapitre se conclut avec une synthèse claire et précise. Celle-ci est suivie d’exercices récapitulatifs qui te permettent de retravailler de façon transversale toutes les notions vues durant le chapitre.

GeoGebra

deux

et si||||||||| ij k =1

ux iy jz =+ + alors le vecteur u a pour composantes y

yz () ;; BxBByz(; ;) sont deux points de l’espace, alors le vecteur AB a pour composantes yy zzBA-Opérations sur les vecteurs en termes de composantes : Soient y et deux vecteurs de l’espace et un réel.

• Les

La visualisation de certaines notions et concepts mathématiques est rendue possible grâce à l’utilisation de l’application GeoGebra. Soit via des manipulations, soit via des vidéos, tu es invité(e) à découvrir une notion, comprendre la construction d’un schéma ou faire un exercice. Les GeoGebra sont proposés via des codes QR, mais sont également disponibles sur la plateforme numérique

Table des matières

4 UAA COPYRIGHTVANIN

Connaître

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES COPYRIGHTVANIN

Objectifs

• Démontrer des propriétés des fonctions logarithmes.

• Comparer les croissances des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances sur ° 0 +

Appliquer

• Résoudre une équation exponentielle simple.

• Résoudre une équation logarithme simple.

• Calculer des limites, des dérivées (et des primitives) de fonctions exponentielles et logarithmes.

• Extraire des informations d’un graphique en coordonnées logarithmique ou semi-logarithmique.

Transférer

• Choisir une échelle adéquate pour représenter les données d’un problème.

• Utiliser une fonction logarithme ou exponentielle pour résoudre un problème.

• Modéliser un nuage de points par une fonction exponentielle.

• Reconnaître, parmi tous ceux déjà rencontrés, le modèle adéquat à la situation proposée.

Introduction historique

Depuis l’Antiquité, les mathématiciens cherchent à comprendre comment évoluent des quantités qui augmentent ou diminuent rapidement. Ils s’intéressent, par exemple, au doublement d’une population, à l’accumulation de richesses ou à la transmission d’un phénomène dans le temps.

Au XVIIe siècle, avec l’essor du commerce, de la navigation et des sciences expérimentales, ces questions deviennent centrales : Comment décrire précisément un capital placé à intérêts composés ? Comment modéliser la croissance d’une population ?

Ces problèmes conduisent naturellement à l’introduction des fonctions exponentielles, qui modélisent des évolutions où une grandeur est multipliée par un même facteur à intervalles réguliers. Contrairement aux fonctions linéaires, la croissance n’est plus constante : elle s’accélère ou ralentit avec le temps. Parallèlement, un autre besoin apparaît : simplifier les calculs. Avant l’invention des calculatrices, multiplier de grands nombres ou manipuler des puissances élevées était extrêmement coûteux en temps et en efforts. C’est dans ce contexte que Napier, au début du XVIIe siècle, introduit les logarithmes, permettant de transformer des multiplications en additions. Les logarithmes ne sont d’abord qu’un outil pratique, mais leur portée mathématique va rapidement s’imposer.

Au XVIIIe siècle, les travaux d’Euler marquent un tournant décisif. Il introduit le nombre e, aujourd’hui appelé nombre d’Euler, et montre

que la fonction exponentielle de base e possède une propriété exceptionnelle : sa dérivée est égale à elle-même. Cette propriété fait de l’exponentielle un outil fondamental pour décrire des phénomènes continus d’évolution.

À partir du XIXe siècle, les fonctions exponentielles et logarithmiques deviennent des piliers de la modélisation scientifique. Elles permettent non seulement de décrire des phénomènes complexes, mais aussi de changer de point de vue, grâce aux échelles logarithmiques qui rendent lisibles des variations extrêmement grandes.

Aujourd’hui, les fonctions exponentielles et logarithmes sont présentes dans de nombreux domaines :

• en biologie et en médecine : croissance bactérienne, évolution de tumeurs, propagation de virus ;

• en physique : désintégration radioactive, atténuation des ondes ;

• en chimie : cinétique des réactions, échelle du pH ;

• en économie et en finance : intérêts composés, inflation, modèles de croissance ;

• en sciences de la Terre : intensité des séismes, niveaux sonores (décibels) ;

• en informatique et en intelligence artificielle : apprentissage automatique, complexité algorithmique.

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé pour la datation de fossiles vieux d’au plus 50 000 ans. Sa période radioactive, aussi appelée demi-vie, est de 5 730 ans.

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de dater un organisme à l’aide du carbone 14 et d’expliquer pourquoi cette méthode ne peut pas être utilisée pour les dinosaures !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Appliquer

1. Écris sous la forme a n où n ∈ 

(a) aa46 ⋅

(b) a a 21 3

(e) aa 3 2 (f ) a a 2 8

2. Calcule les quatre premiers termes des suites définies ci-dessous et précise laquelle est une suite géométrique.

(a) u n n • 0 est telle que un n =+45 (b) v () n n •0 est telle que v n n=+45

3. Les suites géométriques suivantes sont-elles croissantes ou décroissantes ?

(a) u () n n •0 définie par u n n=2

4. Calcule les dérivées suivantes.

(a) (( )) xx +sin ′

(b) v () n n • 0 définie par v n n = 1 4

(b) xx 2 cos( )

(e) (4 1)3 x + (f ) 1- x

THÉORIE

Suites

Définition

Suite numérique

Une suite numérique, notée u ( ) n n • 0 , est une fonction 0 →  : n ↦ u n

Autrement dit, une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels.

Définition

Suite géométrique

La suite u () n n • 0 est une suite géométrique si tout terme, à partir du deuxième, est obtenu en multipliant le terme précédent par une même constante q, appelée raison

En langage mathématique, la suite u () n n • 0 est une suite géométrique si ∃q °, ∀nunnuq01,= + • .

Propriété

Terme général d’une suite géométrique

Le terme général d’une suite géométrique u n n 0 de raison q est donné par la formule :

Propriété

Variation d’une suite géométrique

La variation d’une suite géométrique u n n 0 de raison q est donnée dans le tableau suivant :

q >1 u n n 0 est strictement croissante et croît de façon exponentielle

10234567891011121314 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 u n

u n n 0 est strictement décroissante et décroît de façon exponentielle

1234567891011121314

10234567891011121314

u1 0 > u1 0 <

u n n 0 est strictement décroissante et décroît de façon exponentielle

u n n 0 est strictement croissante et croît de façon exponentielle

1234567891011121314

01 << q

1 0 234567891011121314 10 20 30 40 50 60 70 80 90

q =0 u n n 0 est décroissante 1 0 234567891011121314

50 u n

u n n 0 est croissante

70 u n n q <0

234567891011121314

n n 0 est alternée 1234567891011121314

Dérivée

Propriétés

Dérivée des fonctions de référence

Fonctions puissances

• () k ′ =0 où k est une constante

• x x 2 2 =

• x x = 1 2

Fonctions trigonométriques

• (sin())cos() xx ′ =

• (tan()) cos tan () () x x x ′ == + 1 1 2 2

Propriétés

Formules de dérivation

• () x ′ =1

• xnxnn = -1 où n § 0

• 11 2 xx =-

• (cos())sin() xx ′ =-

Soient k un réel et f et g deux fonctions dérivables en un réel x

• () ()() () fg xf xg x += + ′′ ′

• () ()() () fg xf xg x -=′′ ′

• () ()()()() () fg xf xg xf xg x =+

• () () () kf xk fx =

• 1 2 f x fx fx () () (()) =- si fx() ≠ 0

• f g x fx gx fx gx gx () ()()() () (( )) =2 si gx() ≠ 0

• () ()(( )) ()()() () fg x ffgxgx gx  ==

Propriété

Lien entre le signe de la dérivée première d’une fonction et sa croissance

Soient a et b deux réels et f une fonction continue sur [; ]ab et dérivable sur ]; [ab

• f est croissante sur [; ]ab si et seulement si ′ f est positive sur ]; [ab .

• f est décroissante sur [; ]ab si et seulement si ′ f est négative sur ]; [ab

• Si ′ f est strictement positive sur ]; [ab , alors f est strictement croissante sur [; ]ab

• Si ′ f est strictement négative sur ]; [ab , alors f est strictement décroissante sur [; ]ab .

Propriété

Lien entre la dérivée première d’une fonction et ses extrema

Soient c un réel appartenant à ]; [ab et f une fonction continue sur [; ]ab et dérivable sur ]; [{ } ab ∖ c .

• Si le signe de ′ f passe de positif à négatif en c , alors fc() est un maximum de f sur [; ]ab

• Si le signe de ′ f passe de négatif à positif en c , alors fc() est un minimum de f sur [; ]ab .

Exemple

Considérons la fonction f définie par fx xx x () =- +-3269 5

On a que ′ fx xx () =- + 3129 2 .

Zéros de ′ fx x :3 12 9 2 -+ =0 ⇔ xx 2 43 0 -+ = =- -= > ()44 13 40 2

Tableau de signes de ′ f et tableau de variations de f : x 1 3

′ fx() +0−0+ fx

1. Fonctions réciproques l’une de l’autre

DÉCOUVERTE

Activité Relation réciproque d’une fonction

1. Considérons la fonction racine cubique représentée ci-dessous.

(a) Dans le même repère, représente la fonction cube.

(b) Il est possible de passer du graphe de l’une au graphe de l’autre par une symétrie orthogonale. Donne l’équation de l’axe de symétrie et représente-le dans le repère.

Rappelle-toi, si les graphes de deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d’équation yx = , on dit que ces fonctions sont réciproques l’une de l’autre.

D’un point de vue analytique, f et g sont des fonctions réciproques l’une de l’autre si :

1. ∀ xdom fg fx x ∈ ,( )=  () ;

2. ∀ xdom gf gx x ∈ ,( )( )  = .

2. Soient la fonction f définie par fx x () = 2 et sa relation réciproque, toutes deux représentées dans le repère ci-dessous.

(a) Nous remarquons que la réciproque de f n’est pas une fonction. Pourquoi ?

(b) Sans tracer la réciproque, aurions-nous pu prévoir qu’elle ne serait pas une fonction ? Explique.

(d) Si on restreint le domaine de f à ° -, alors sa réciproque est une fonction.

I. Détermine l’expression analytique de cette fonction réciproque.

II. Donne le domaine et l’ensemble-image de f et de sa réciproque f -1. Que constates-tu ?

III. Donne une autre restriction possible du domaine de f pour laquelle sa réciproque est une fonction.

Lorsque nous avons restreint le domaine de f , nous nous sommes assurés que tout élément de son ensemble-image ait un unique antécédent par f . Une telle fonction est appelée une fonction injective.

Lorsqu’une fonction est injective, sa réciproque est une fonction.

THÉORIE

Définition

Fonction injective

Une fonction f est injective si ∀ xx domf f x fx xx 12 12 12 ,, ==

Remarque

Graphiquement, une fonction f est injective si toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f .

Exemples et contre-exemples

f définie par fx x () =+ 2 3 1 sur  est injective. –4–3–2–11234

g définie par gx x () =-24 2 sur  n’est pas injective. –4–3–2–11234

h définie par hx x () sin( ) = sur22 ; est injective.

i définie par ix x () sin( ) = sur  n’est pas injective.

Tu peux visualiser les exemples de manière animée en suivant le code QR ci-contre.

GeoGebra

Propriété

Monotonie et injectivité

Si une fonction est strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante), alors elle est injective.

Remarque

La réciproque de la propriété précédente est fausse.

Exemple

Soit f une fonction définie par fx

La fonction f est bien injective, mais n’est pas strictement monotone.

Définition

Relation réciproque

La relation réciproque d’une fonction f est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f , la ou les valeur(s) de x dont y est l’image par f .

Remarque

Passer d’une fonction à sa relation réciproque revient à inverser le rôle de la variable dépendante et de la variable indépendante.

Propriété

Condition pour que la relation réciproque d’une fonction soit une fonction

Soit f une fonction.

La relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.

Définition

Fonctions réciproques l’une de l’autre

Soient f et g deux fonctions injectives telles que domf im g = et domg im f =

Les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si :

1. ∀ xdom fg fx x ∈ , ()()  = ;

2. ∀ xdom gf gx x ∈ , ()()  = .

f -1 est la notation de la fonction réciproque d’une fonction f , éventuellement restreinte pour qu’elle soit injective. Notation

Remarques

• Il ne faut pas confondre la réciproque et l’inverse d’une fonction : fx fx fx -= 1 1 1 () () ))

• Le domaine d’une fonction f doit parfois être restreint à un ensemble E ⊂ domf afin de rendre cette fonction injective sur E et de trouver la réciproque de cette fonction restreinte, appelée « restriction de f à E ».

Illustration

La fonction f définie par fx x () = 2 n’est pas injective sur , mais la restriction de f à + est injective et sa réciproque est la fonction fx x - = 1()

Propriété

Réciprocité de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions telles que domf im g = et im fdom g = f et g sont réciproques l’une de l’autre si

∀ xdom f ∈ , ∀ yimf fx yx gy ,( )( ) ==

Propriété

Symétrie des graphes de fonctions réciproques

Soient f une fonction injective et f -1 sa réciproque.

• Les graphes des fonctions f et f -1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation yx = .

• (; )( ;) ab Gr fb aGrf -1 .

• domf im f = -1 et im fdom f = -1 .

Tu peux le visualiser en scannant le code QR ci-contre et en déplaçant le point du graphe de f

1. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont injectives ? Justifie.

GeoGebra

2. Soit la fonction f représentée dans le repère ci-dessous.

(a) Justifie que la réciproque de f est une fonction.

(b) Construis cette réciproque dans le repère ci-dessus.

3. Soit la fonction f représentée dans le repère ci-dessous.

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

(a) Comment restreindre le domaine de f pour que la réciproque de f soit une fonction ?

(b) Représente le graphe de f -1 dans le repère ci-dessus en tenant compte de ta restriction choisie en (a).

4. Soit la fonction f définie par fx x () =- + 48 3 telle que domf =+ [; [ 2 & et im f =+ [; [ 3 &

(a) Justifie que f est injective.

(b) Détermine l’expression analytique de f -1 .

(d) Le graphe de f -1 est-il une parabole ? Justifie.

(e) Sachant que (;35) est un point du graphe de f , quel est son symétrique sur le graphe de f -1 ?

2. Fonctions exponentielles

DÉCOUVERTE

Activité 1 Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Dans un laboratoire de biologie, une culture bactérienne est placée dans un milieu nutritif optimal (température, pH et nutriments contrôlés).

Au début de l’observation, la culture contient 1 000 bactéries.

Tant que les conditions restent idéales et que les ressources ne sont pas limitées, la population double chaque jour par division cellulaire.

On note u n le nombre de bactéries, exprimé en milliers, n jours après le début de l’observation.

1. Calcule u0, u1, u2… jusqu’à u5 .

2. Justifie que ces termes sont ceux d’une suite géométrique.

3. Donne le terme général de cette suite. Simplifie l’expression au maximum.

4. Représente les premiers termes de cette suite dans un repère du plan.

5. Il n’est pas obligatoire de considérer des jours complets pour donner le nombre de bactéries présentes dans la culture.

Calcule le nombre de bactéries dans les situations suivantes :

(a) 24 h avant le début de l’observation.

(b) 48 h avant le début de l’observation.

(d) Un jour et demi après le début de l’observation.

On est amenés à prolonger la suite u n n =2 définie sur  à une fonction définie sur , donnée par ux x () =2 .

On dit que la fonction u est la fonction exponentielle de base 2.

6. Représente la fonction u définie sur  dans un repère du plan.

Tu viens de tracer le graphe de la fonction exponentielle de base 2.

De manière générale, on peut effectuer ce travail pour n’importe quelle base a où a + { ; } 0 \ 1 .

Activité 2 Étude graphique des fonctions exponentielles

Scanne le code QR ci-contre qui donne la représentation graphique de la fonction f définie par fx a x () = où a + { ; } 0 \ 1 sur GeoGebra. Fais varier les valeurs de a afin de répondre aux questions suivantes. Discute les différentes valeurs possibles de a lorsque c’est nécessaire.

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Quel est l’ensemble-image de f ?

3. La fonction f possède-t-elle des zéros ?

4. Quel est le signe de f ?

5. Quelle est la variation de f ?

6. Le graphe de f possède-t-il des asymptotes ? Si oui, donne leurs équations.

πG

Tu viens de découvrir qu’il existe deux catégories de fonctions exponentielles :

• les fonctions exponentielles strictement décroissantes, dont la base est strictement comprise entre 0 et 1 ;

• les fonctions exponentielles strictement croissantes, dont la base est strictement plus grande que 1.

THÉORIE

Définition

Croissance ou décroissance exponentielle

Une croissance est exponentielle si le taux de croissance est constant sur des intervalles de longueur constante donnée.

Exemples x 1234 + 1+ 1+ 1 y 24816

Remarque

Si, pour un accroissement constant et positif de la variable indépendante,

• le rapport des valeurs de la variable dépendante est constant et strictement supérieur à 1, alors il s’agit d’une croissance exponentielle ;

• le rapport des valeurs de la variable dépendante est constant et strictement compris entre 0 et 1, alors il s’agit d’une décroissance exponentielle

Définition

Fonction exponentielle de base a

Soit a + { ; } 0 \ 1

f : °° est une fonction exponentielle de base a, notée expa , si pour tout réel x , fx a x () =

Remarque

Le domaine d’une fonction exponentielle doit être  et cette fonction doit modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.

Cela explique que la base a ne peut donc pas valoir :

• 1, car 11 x = pour toute valeur de x . On obtient alors une fonction constante et non une fonction qui modélise un phénomène exponentiel ;

• 0, car 0 x vaut 0 si x >0 et n’est pas défini pour tout x . On obtient alors une fonction constante définie sur ° 0 + et non une fonction qui modélise un phénomène exponentiel ;

• un nombre strictement négatif, car a x n’est pas définie pour tous les réels x lorsque a <0 . Par exemple, -2 1 2 n’est pas définie dans les réels.

Propriété

Fonctions à croissance exponentielle

Les fonctions à croissance exponentielle sont de la forme fx a x () = k où >0 k et a + { ; } 0 \ 1

Propriété

Règles de calculs sur les exponentielles

Soient a + { ; } 0 \ 1 et xy , °.

aa a xy xy = + • a a a x y xy = -

aa x y xy

• () ab xxab x =

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques des fonctions exponentielles

Soit a + { ; } 0 \ 1

Voici quelques-unes des caractéristiques de la fonction f définie par fx a x () = 01 << a a >1

Représentation graphique

dom aexp

im aexp ° 0 + Zéro �

Croissance Strictement décroissante Strictement croissante

Limites aux bornes du domaine et asymptote

Propriété

Points particuliers du graphe d’une fonction exponentielle

Soient a + { ; } 0 \ 1 et f la fonction définie par fx a x () =

Les points (;01), )1(; a et -1 1 ; a appartiennent au graphe de f

Démonstration

Soient a + { ; } 0 \ 1 et f la fonction définie par fx a x () = .

Par définition du graphe d’une fonction, les points du graphe de f sont de la forme ; xa x pour tout xdom f ∈ .

• Comme fa()01 0 == , le point (;01) appartient au graphe de f .

• Comme fa a () 1 1 == , le point (; ) 1 a appartient au graphe de f

• Comme fa a ()-= = - 1 1 1 , le point -1 1 ; a appartient au graphe de f .

Propriété

Symétrie des graphes des fonctions expa et exp 1 a

Soit a + { ; } 0 \ 1 .

Les graphes des fonctions f et g définies par fx a x () = et gx a x () = 1 sont symétriques par rapport à l’axe Oy .

Exemple

Remarque

Cette propriété découle des propriétés sur les puissances et des transformations de fonctions vues en 4e année.

En effet, g x a aa fx x x x () () == ==1 1 . Pour obtenir le graphe de g , le graphe de f a donc bien

subi une symétrie orthogonale d’axe Oy

Propriété

Injectivité d’une fonction exponentielle

Soit a + { ; } 0 \ 1

La fonction exponentielle de base a est injective.

Autrement dit, pour tous réels x et y : aa xy xy== ⇔

Remarque

Cette propriété est très utile pour résoudre des équations exponentielles.

Exemple

381 x = ⇔ 334 x = ⇔ x =4 car la fonction exponentielle de base 3 est injective

Donc S ={ } 4 .

EXERCICES

1. Sachant que les fonctions représentées ci-dessous sont des fonctions exponentielles, détermine leur expression analytique.

2. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les fonctions fg h ,, et i définies par fx x () =2, 1 , gx x () =1, 8 , hx x () =0, 12 et ix x () =0, 21

Associe chaque fonction à sa représentation graphique. Justifie.

3. Résous les équations suivantes dans 

4. Sachant que 550 1 x + = , calcule 25 x .

5. Une ville compte 5 personnes infectées par un virus le 1er mars. Le nombre d’infectés triple tous les jours. Ce modèle n’est valable que pendant les premiers jours de l’épidémie.

(a) Donne l’expression de la fonction in() qui donne le nombre d’infectés n jours après le 1er mars.

(b) Combien d’infectés y aura-t-il le 11 mars ?

6. À 8 h du matin, un yaourt est laissé à température ambiante dans un laboratoire. On s’intéresse uniquement aux bactéries indésirables qui s’y développent et qui sont initialement très rares : on estime qu’il y en a 200 dans 1 g de ce yaourt à 8 h.

Dans ces conditions particulières, on observe que le nombre de bactéries indésirables double toutes les demi-heures.

On considère qu’au-delà de 12 800 bactéries indésirables par gramme, il y a un risque non négligeable pour la santé de consommer ce yaourt.

(a) Donne l’expression de la fonction Bt() qui modélise le nombre de bactéries indésirables t heures après 8 h.

(b) Jusqu’à quelle heure peut-on consommer ce yaourt sans risque pour la santé ?

7. Une entreprise spécialisée dans la location de trottinettes électriques vise une augmentation annuelle de son chiffre d’affaires de 10 %. Son chiffre d’affaires à la fin de l’année 2025 était de 35 millions d’euros.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction ct() qui donne le chiffre d’affaires espéré, exprimé en millions d’euros, à la fin de l’année t .

(b) Si son objectif est atteint, justifie que c’est au cours de l’année 2033 que son chiffre d’affaires serait doublé par rapport à celui de 2025.

8. Afin de valoriser l’ancienneté de ses employés, une entreprise accorde une augmentation salariale tous les deux ans.

Le tableau suivant donne le montant du salaire de Milo ces dernières années :

Année2020202220242026

Salaire2 854,52 €2 911,61 €2 969,84 €3 029,24 €

(a) Justifie que l’augmentation salariale de Milo suit une croissance exponentielle.

(b) Modélise l’évolution du salaire de Milo par une fonction exponentielle en fonction de l’année paire n

3. Fonctions logarithmes

DÉCOUVERTE

Activité 1 Résolution d’équations exponentielles

1. Considérons l’équation x +=12 3

(a) Résous l’équation suivante dans 

(b) Quelle fonction faut-il appliquer à chaque membre de l’équation pour passer de x +1 3 à x +1 ? Que représente cette fonction par rapport à la fonction racine cubique ?

Si f est une fonction injective et qu’on résout une équation du type fx b () = où bimf ∈ , on applique la fonction réciproque de f pour trouver x :

2. Considérons l’équation 26 x = dans 

(a) Représente graphiquement la fonction fx x () =2 et déduis-en la solution de l’équation donnée à 10-1 près.

(b) 6 ne pouvant pas être exprimé comme 2m où m §, quel outil te manque-t-il pour résoudre cette équation ?

Activité 2 Réciproque des fonctions exponentielles

1. Soit la fonction exponentielle f définie par fx x () =2 et représentée ci-dessous.

(a) La réciproque de f est-elle une fonction ? Justifie.

(b) Représente cette réciproque sur le graphique ci-dessus.

Tu viens de construire le graphe de la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base 2.

Cette fonction réciproque est appelée fonction logarithme de base 2.

De manière générale, la fonction réciproque d’une fonction exponentielle de base a où a + { ; } 0 \ 1 est une fonction, et son expression analytique est notée f xx a () log( ) = .

2. Scanne le code QR ci-contre qui donne la représentation graphique de la fonction f définie par fx x a () log( ) = où a + { ; } 0 \ 1 sur GeoGebra.

Fais varier les valeurs de a afin de répondre aux questions suivantes. Discute des différentes valeurs possibles de a lorsque c’est nécessaire.

(a) Quel est le domaine de définition de f ?

(b) Quel est l’ensemble-image de f ?

(d) Quelle est la variation de f ?

(e) Le graphe de f possède-t-il des asymptotes ? Si oui, donne leurs équations.

THÉORIE

Définition

Fonction logarithme de base a

Soit a + { ; } 0 \ 1

La fonction logarithme de base a, notée log a , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a

Dès lors, la fonction logarithme de base a est la fonction qui, à chaque réel x strictement positif, associe l’exposant auquel il faut élever a pour obtenir x .

Cela signifie que : log( ) a y xy xa== ⇔

GeoGebra

Illustrations

Vocabulaire et notation

Le logarithme de base 10 est appelé le logarithme décimal et se note log

Propriétés

Réciprocité des fonctions exponentielle de base a et logarithme de base a où a \ + { ; 01}

• ∀ x °, log a x a x =

• ∀ x ° 0 + , ax a x log( ) = .

Remarque

Cette propriété découle de la définition de fonctions réciproques l’une de l’autre.

Exemples

• loglog () 22 4 16 ==24

• log( )log 1000 000106 6 ==

• loglog 55 1 1 5 ==51-

• loglog log () 99 9 1 2 39 9 1 2 == =

• 37 3 7 log( ) = car 7 03 ° + = dom log

Démonstration

Soient ab , { ; } \ + 01 et x ° 0 +

Comme x ° 0 + , on a que :

ax a x log( ) = (par réciprocité des fonctions expa et log a )

loglog () log( ) b x b ax a = (par injectivité de la fonction log b )

log( )log log( ) () ab b xx a = (par le logarithme d’une puissance)

⇔ log( ) log( ) log( ) a b b x x a = (car log( ) b a ≠ 0 vu que a ≠ 1)

Remarques

• Les calculatrices étant limitées à quelques fonctions logarithmes, la propriété du changement de base permet d’approximer n’importe quel logarithme en utilisant le logarithme décimal, disponible sur les calculatrices scientifiques.

Exemple

log log( ) log( ) , () 5 9 9 5 1 36521 = ≈

• On exploite les propriétés précédentes pour résoudre des équations exponentielles ou logarithmes.

Exemples

• 38 3338 x x ==loglog () (car la fonction logarithme de base 3 est injective)

x == log log( ) log( ) , () 3 8 8 3 1 89279

Donc S =log () 3 8 {}.

• log( )log log () () 22 2 21 2 xx x ++ =+

CE : x >0 et 21 0 x +> et x +>20

⇔ x >0 et 21 x >- et x >-2

⇔ x >0 et x >1 2 et x >-2

⇔ x >0

On a que :

log( )log log () () 22 2 21 2 xx x ++ =+

log(())log () 22 21 2 xx x += + (par le logarithme d’un produit)

loglog () 2 2 2 22 xx x += +

⇔ 22 2 xx x += + (car la fonction logarithme de base 2 est injective)

⇔ 22 2 x =

⇔ x 2 1 =

⇔ x =±1

Comme 1 vérifie la CE mais pas -1, S = 1 {} .

4. Calcul de limites et de dérivées

DÉCOUVERTE

Activité Dérivée des fonctions exponentielles

Scanne le code QR ci-contre pour découvrir la formule de la dérivée de la fonction exponentielle f définie par fx a x () = où a + {} 01 ;

(a) Quel lien y a-t-il entre le graphe de f et celui de sa dérivée ?

(b) En affichant la fonction dérivée sur l’animation GeoGebra, donne la forme générale de la dérivée de fx a x () =

(c) Intéressons-nous maintenant à une fonction exponentielle particulière : fx e x () = où e est le nombre d’Euler qui vaut approximativement 2,71828.

I. À l’aide de l’animation GeoGebra, observe le graphe de f et celui de sa dérivée. Que peux-tu en déduire sur la dérivée de f ?

II. Sachant que ln est une fonction logarithme, appelée logarithme népérien, déduis-en sa base en exploitant tes réponses aux questions (b) et (c) I.

πG

La dérivée de la fonction exponentielle f () = xa x où a + {0;1} est égale à fx aa x () =ln( ) où ln désigne le logarithme népérien.

Le logarithme népérien est le logarithme de base e où e est le nombre d’Euler qui vaut approxivativement 2 71828 , .

Dès lors, la dérivée de fx e x () = est égale à fx e x ′() = .

THÉORIE

Fonction exponentielle et logarithme de base e

Définition

Nombre d’Euler

Le nombre d’Euler, noté e, est défini par la limite

e n n n =+ + lim & 1 1

GeoGebra

FONCTIONS

Remarques

• Le nombre e est un nombre irrationnel, au même titre que π et 2 par exemple.

• e ≈ 2 71828 ,

Définition

Fonction exponentielle népérienne

La fonction exponentielle de base e est appelée fonction exponentielle népérienne

Remarque

Comme e > 1, les caractéristiques de la fonction exponentielle népérienne sont les mêmes que celles des fonctions exponentielles de base strictement plus grande que 1.

Définition

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme de base e, notée ln, est appelée fonction logarithme népérien

Remarque

Comme e > 1, les caractéristiques de la fonction logarithme népérien sont les mêmes que celles des fonctions logarithmes de base strictement plus grande que 1.

Propriété

Réciprocité des fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien

Les fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien sont réciproques l’une de l’autre.

On a donc que :

• ∀ x °, ∀ y ey xy x ° 0 + == ,ln( )

• ∀ xe x x ,ln=

• ∀ xe x x ° 0 + =, ln()

Propriété

Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

Pour tout réel x, ee x x =

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x, alors ee fx fx fx ()() () =

Exemples

• ee xe x xx x 22 2 2 2 ==

• ee xe x xx x sin( )sin() sin( ) (sin() ==)cos()

Propriété

Dérivée de la fonction logarithme népérien

Pour tout réel x strictement positif, n( ()) x x = 1

Démonstration

Soit x > 0

Puisque expe et ln sont réciproques l’une de l’autre, on a que ex x ln() = pour tout x > 0

Dès lors,

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ° 0 + , alors () () () fx fx fx = 1

Exemples

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes

Propriété

Dérivées des fonctions logarithmes de base a + {0;1}

Soit a + {} 01 ; .

Pour tout réel x strictement positif,

Exemples

• lim x x x → + + = + + & & & 2 2 CI

Comme fx x () =2 et gx x () =+ 2 sont dérivables sur , comme fx() et gx() tendent vers +& lorsque x tend vers +& et comme gx x () =+() = 21 0, on peut appliquer la règle de l’Hospital :

• lim ln() x x x →1 2 1 0 0= CI

Comme fx x () ln() = et gx x () =2 1 sont dérivables sur ° 0 + , comme fx() et gx() tendent vers 0 lorsque x tend vers 1 et comme gx xx () =- = 2 12 0 sur ° 0 + , on peut appliquer la règle de l’Hospital :

Propriété

Comparaison de la croissance de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions définies sur ° 0 +

• Si lim () () x fx gx → + =+ & &, alors il existe un nombre réel à partir duquel f croît plus vite que g.

• Si lim () () x fx gx → + = & 0, alors il existe un nombre réel à partir duquel g croît plus vite que f

EXERCICES

1. Sans utiliser la calculatrice, calcule :

(a) ln e 2 (b) eln() 3

(e) eln()57ln() + (f ) ln ln()e e

2. Résous dans  les équations suivantes.

(a) ee x 21 3 4 + = (b) e x 3 2 =

(e) ln() ln() ln() 41 21 10 xx x ++ -= + (f ) 23 54 ln() =-ln() x

3. Calcule les dérivées suivantes.

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

(a) 5 2 x (b) (log( )) 8 x

(e) e x tan( ) (f ) 42 )( x

(g) log 4 2 1 x - (h) ln() 12 2 - x

(i) ln () 12 2 - x ( j) cos( ) x x 3

(k) 3e x (l) x x ln()

(m) ()xe x -3 2 (n) e e x x+ 1 1

4. Calcule les limites suivantes et vérifie ta réponse à l’aide de GeoGebra.

(a) lim x x → - & 7 (b) lim x x → + & 7

(e) lim x x e x →

lim x x e x → 0

(g) lim x x e x → + & (h) lim ln() x x x → 0 2 (i) lim ln() x x x

(k) lim x

1 2 5 8 (l) lim x x x → + & 5 3 (m) lim log( ) log( ) x x x →1 9 3 (n) lim log( ) log( ) x x x → + & 1 2 1 5 (o) lim x x xe& (p) lim x x xe +& (q) lim log( ) x x x →1 1+ (r) limlog( ) x x x →

5. Soient les fonctions f, g et h définies par fx x () =2 , gx x () = 2 et hx x () log( ) = 2 . (a) À l’aide du calcul de limites, compare la croissance sur ° 0 + de ces trois fonctions.

(b) Compare leur comportement lorsque x → 0+.

6. Considérons les fonctions exponentielles f et g définies par fx x () =5 et gx x () =3 .

(a) Calcule f ′ et g ′

(b) Compare :

I. f ′() 1 et g ′() 1 ;

II. f ′() 10 et g ′() 10 ;

III. f ′() 100 et g ′() 100

(d) Généralise ton raisonnement pour les fonctions h et i définies par hx a x () = et ix b x () = où ab>> 1

7. Considérons les fonctions logarithmes f et g définies par fx x () log( ) = 5 et gx x () log( ) = 3 .

(a) Montre que pour tout réel x > 0, fx gx () ()

(b) Compare leur croissance sur ° 0 +

(c) Généralise ton raisonnement pour les fonctions h et i définies par hx x a () log( ) = et ix x b () log( ) = où ab>> 1.

8. Recherche les limites aux bornes du domaine de la fonction f définie par fx x x () () = ln et déduis-en le graphique sur lequel cette fonction est représentée.

y y y

9. Détermine la croissance et les extrema des fonctions f, g et h définies par fx e x () =2 , gx xe x () = et hx xx () ln() =2

FONCTIONS EXPONENTIELLES

On verse du thé dans une tasse dans une pièce dont la température ambiante est de 20 °C. Juste après avoir été servi, le thé est à 90 °C. On admet que le refroidissement de ce thé peut être modélisé par la loi de refroidissement de Newton : Tt e kt () =+ - 2070

où Tt() donne la température du thé en °C, t minutes après avoir été servi, et où k est une constante.

(a) Après 10 minutes, le thé est à 60 °C. Déduis-en la valeur de k.

(b) Calcule la température du thé au bout de 20 minutes.

(d) Calcule lim () t Tt →+ & et interprète cette limite dans ce cas concret.

On modélise la pression atmosphérique (en Pa) en fonction de l’altitude x (en m) par px e x () = - 101325 0 00012

Une équipe de secours utilise un drone pour repérer une personne disparue en montagne. Plus le drone monte, plus la zone visible augmente, mais plus l’air est rare et plus le drone doit dépenser de l’énergie pour rester stable. De plus, monter très haut augmente le risque de perdre des détails (la personne devient trop petite à l’image) : au-delà d’une certaine altitude, l’efficacité des recherches diminue.

On modélise l’efficacité des recherches par Ex xe px x () () =1000 101325

(a) Simplifie Ex() sous la forme Ex xe kx () = - où k est une constante.

(b) Calcule Ex ′().

5. Repères logarithmique et semi-logarithmique

DÉCOUVERTE

Activité Échelle des décibels

Les sons qui nous entourent peuvent être extrêmement différents les uns des autres. Le bruissement d’une feuille, une conversation normale, un aspirateur ou encore une fusée au décollage ne produisent évidemment pas la même intensité sonore.

En physique, cette intensité se mesure en watts par mètre carré ( Wm / 2).

Le tableau suivant donne plusieurs bruits, ainsi que leur intensité sonore.

1. Est-il pertinent de représenter l’intensité de ces différents bruits sur une échelle linéaire ?

Lorsqu’on compare les intensités acoustiques de différents sons, on constate que leurs valeurs peuvent varier énormément : certaines sont très proches de zéro, tandis que d’autres sont des millions, voire des milliards de fois plus grandes. Il devient alors peu pertinent de représenter toutes ces valeurs sur une même droite graduée de façon linéaire.

Pour résoudre ce problème, on utilise une échelle logarithmique qui permet de comparer des mesures où l’ordre de grandeur varie sur une échelle très étendue.

C’est sur ce principe qu’est construite l’échelle des décibels, utilisée pour mesurer les niveaux sonores. Cette échelle permet de représenter, sur un même axe, aussi bien les sons très faibles que les sons extrêmement intenses, tout en restant lisible et exploitable.

2. Le niveau sonore L, exprimé en décibels et associé à une intensité sonore I, est défini par la formule :

L I =10 10 12 log

où I est exprimée en watts par mètre carré (W/m2).

Complète le tableau donné dans l’énoncé en calculant le niveau sonore de chaque bruit.

3. Complète l’axe suivant en faisant correspondre la valeur du niveau sonore à sa bonne intensité.

Intensité I (W/m2)

Niveau sonore L (dB)

4. Sachant que l’intensité acoustique d’un concert de rock est de 10 3 2W/m2, place le point C sur l’axe de la question 3 pour représenter cette intensité.

THÉORIE

Définition

Repère semi-logarithmique

Un repère semi-logarithmique est un repère dans lequel un axe est gradué de façon logarithmique, tandis que l’autre axe est gradué de façon linéaire.

Définition

Repère logarithmique

Un repère logarithmique est un repère dans lequel les deux axes sont gradués de façon logarithmique.

Remarques

• Un repère semi-logarithmique est utilisé pour représenter des phénomènes exponentiels ou des mesures qui varient énormément, parfois sur plusieurs ordres de grandeur.

• Un repère logarithmique (log-log) est adapté lorsqu’on étudie des phénomènes pour lesquels les variables dépendante et indépendante varient dans de grands intervalles.

Exemple

On utilise un repère log-log pour représenter la force gravitationnelle F en fonction de la distance r entre deux masses m1 et m2 où FG mm r = ⋅ 12 2 avec G, la constante universelle de gravitation.

En effet, cette distance peut varier sur des échelles extrêmement différentes : elle est très petite à l’échelle atomique et immense à l’échelle astronomique (planètes, étoiles).

Un repère log-log permet alors de visualiser ces variations sur un même graphique.

Propriété

Représentation d’une fonction exponentielle dans un repère semi-logarithmique

Dans un repère semi-logarithmique, une droite non verticale est la représentation graphique d’une fonction à croissance exponentielle et réciproquement.

Démonstration

Soit f la fonction représentée dans un repère semi-logarithmique de base a où a + {;01} . f est représentée par une droite non verticale si et seulement s’il existe des réels m et p tels que log( ) () a fx mx p =+ . On a que :

log( )( ) () a mx p fx mx pf xa =+ = + ⇔

(par définition de loga) fx aa mx p () = (règles de calcul sur les exponentielles) f xa a pm x () = (règles de calcul sur les exponentielles)

Dès lors, f est représentée par une droite non verticale si et seulement si f est une transformée d’une fonction exponentielle par affinité et donc, si et seulement si f est à croissance exponentielle.

Exemple

Soit la fonction f définie par fx x () =10

Cette fonction est représentée dans un repère linéaire et dans un repère semi-logarithmique.

Synthèse

Injectivité et fonctions réciproques

Soit f une fonction.

• f est injective si ∀ xx domf fxfx xx 12 12 12 ,, ==

Cela signifie que toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f.

• Propriété : si f est strictement monotone, alors elle est injective.

• La relation réciproque de f est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f , la ou les valeur(s) de x dont y est l’image par f

• Condition pour que la relation réciproque d’une fonction soit une fonction : la relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.

• Les fonctions injectives f et g telles que domf im g = et domg im f = sont réciproques l’une de l’autre si :

• ∀ xdom fg fx x ∈ , ( )( )  = ;

• ∀ xdom gf gx x ∈ , ()()  = .

• Notation : la fonction réciproque d’une fonction injective f est notée f -1

• Symétrie des graphes de fonctions réciproques :

• Les graphes des fonctions f et f -1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation yx = .

• (; )( ;) ab Gr fb aGrf -1 .

• domf im f = -1 et im fdom f = -1 .

• ∀ xdom f ∈ , ∀ ydom f ∈ -1 , fx yx fy () () == - ⇔ 1 .

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Fonctions exponentielles

Soit a + {;01}.

• f : °° est une fonction exponentielle de base a, notée expa , si fx a x () =

• La représentation graphique et les caractéristiques d’une fonction exponentielle sont :

Représentation

dom aexp ° im aexp

Zéro / Croissance

Strictement décroissante

Strictement croissante

Limites aux bornes du domaine

Asymptotes

• Les points du graphe d’une fonction exponentielle de base a sont de la forme xa x ; pour tout x ° et donc, en particulier, les points (;01), (; ) 1 a et -1 1 ; a appartiennent au graphe de cette fonction.

• La fonction exponentielle de base a est injective.

Autrement dit, pour tous réels x et y : aa xy xy== ⇔

Fonctions logarithmes

Soit a + {} 01 ; .

• La fonction logarithme de base a, notée log a , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a

Dès lors, la fonction logarithme de base a est la fonction qui, à chaque réel x strictement positif, associe l’exposant auquel il faut élever a pour obtenir x.

Cela signifie que :

log( ) a y xy xa== ⇔

• Propriétés de réciprocité des fonctions exponentielle et logarithme de même base :

• ∀ xa x a x ,log =

• ∀ xa x a x ° 0 + =, log( )

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Soit f la fonction exponentielle telle que le point 1 3 2 ; appartient au graphe de f.

(a) Précise si f est croissante ou décroissante.

(b) Calcule f () 4 .

(d) Donne l’expression analytique de la fonction réciproque de f

2. Sans utiliser la calculatrice, calcule.

log 2 16 ()

ln e 6

log 3 3395

3. Résous les équations suivantes dans 

Série 1

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Série 2

(a) log( ) 1 3 2 x =- (b) 42 14 10 16 log( ) x +- =

(d) log( )log ()xx += + 11

(e) 22 39 5 25 25 loglog () ()xx += (f) loglog () () 44 63 32 3 xx +- -=

(g) ln () ln () ln () xx x +- =- 12 2102 (h) 32 43 0250 25 025 loglog log ,, , () () () xx x =++-

(i) loglog log 3 2 33 18 () () =+xx x (j) ln ln () () 3310 2 2 -= - xx x

(k) log( ) x x 21 2 -= (l) (log ()) x 2 1 =

(m) 54 10 2 (( )) () lnlnxx+- = (n) (lo og 4 2 4 12 64 0 ())( ) xx = gl

4. Donne l’expression analytique de la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

(a) fx x () =10 (b) fx x () log( ) = 4

(e) fx e x () = 2 (f) fx xe x () =2

(g) fx x e x () = 2 (h) fx x () log( ) =+ 6 21

(i) fx x () ln =-53 2 (j) fx x () (ln( ))=-53 2

(k) fx x () (( )) =sinln (l) fx x () (( )) =lncos

(m) fx xx () = - 53 1 ⋅ (n) fx x ()()=+ log 25 1

(o) fx x x () ln() = 2

5. Calcule les limites suivantes.

(a) lim () x x →+& log 1 5

lim x x + & 6 7

(e) lim x x x →+ & 4 9 2 (f) lim x x e x →+ + & 2 5

(g) lim x x e x → 0 1-

& ln (i) lim () x x e x → 0 ln

(k) lim () x x x → 0 4 5 ln

lim () x x x e →

6. Considérons la fonction f définie par fx e x x () = +3

(a) Recherche les équations des asymptotes horizontale(s) et verticale(s) au graphe de f et précise les limites associées.

(b) Dresse le tableau de variations de f