Racine Math 6ème - 4 heures/semaine - Complet by VAN IN

MANUEL RACINE MATH

4 périodes / semaine

MANUEL 6e RACINE MATH

Anne-Laure Andrieu

Justine Bellistrì

Pauline Pirenne

, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants

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–des exercices en ligne pour t’entraîner, –un aperçu de tes progrès et de tes résultats, –du matériel de cours, –des vidéos et des audios, –et bien plus encore...

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RACINE MATH 6 4 périodes/semaine – m anuel

Composition de Racine Math 6 4 périodes/semaine

Pour l’élève –1 manuel –des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) –un guide de l’enseignant(e) – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques

Auteures : Anne-Laure Andrieu, Justine Bellistrì et Pauline Pirenne

Couverture : Nord Compo

Mise en page : Nord Compo

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

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Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.

C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

L’exploration de textes et de données (TDM) n’est pas autorisée.

1re édition : 2026

ISBN 978-94-651-4302-6

D/2026/0078/270

Art. 611307/01

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Introduction

Bienvenue dans Racine Math 6

Pour utiliser au mieux le potentiel de ce manuel, voici quelques informations sur sa structure et sur les compléments numériques qui l’accompagnent.

Ce manuel rassemble les cinq UAA (Unités d’Acquis d’Apprentissage) du programme de mathématiques 4 périodes/semaine de 6e année.

Prérequis

Certaines UAA sont introduites par une partie « Prérequis » afin de rappeler les notions nécessaires à la découverte de la matière.

Introduction historique

Afin de donner du sens à l’apprentissage, chaque UAA commence par une mise en contexte historique de la matière et par des exemples de son application dans le quotidien.

Toujours dans l’idée d’ancrer les concepts mathématiques dans la réalité, un défi t’est proposé à la fin de cette introduction. Tu seras en mesure de le résoudre au terme du chapitre grâce aux connaissances que tu auras acquises.

Découverte

La matière de chaque UAA est divisée en plusieurs parties cohérentes et structurées afin de garantir un apprentissage progressif et clair. Tu es ainsi invité(e) à découvrir la nouvelle matière de chaque partie via des activités, à la fin desquelles la rubrique πG conclut ce qui a été découvert.

Théorie

La partie « Théorie » reprend les notions essentielles à la compréhension de la matière. Celles-ci sont classées dans différentes rubriques :

Définition

Propriété Vocabulaire Démonstration

Exercices

Les exercices permettent d’appliquer la théorie vue.

COPYRIGHTVANIN

Tous les schémas nécessaires à la réalisation d’un exercice sont disponibles en ligne sur en PDF imprimable. Les schémas concernés sont signalés par ce logo :

Des exercices dits de « dépassement » sont parfois proposés et sont reconnaissable à ce logo :

Pour chaque chapitre, tu trouveras également une série d’exercices complémentaires sur la plateforme iDiddit afin de t’exercer.

Synthèse et Exercices récapitulatifs

Chaque chapitre se conclut avec une synthèse claire et précise. Celle-ci est suivie d’exercices récapitulatifs qui te permettent de retravailler de façon transversale toutes les notions vues durant le chapitre.

GeoGebra

l’espace et composantes d’un vecteur de l’espace Soit () Oi jk un repère de l’espace. Ce repère est dit orthonormé si les

sont perpendiculaires deux à deux et si||||||||| ij k =1 O ij Si ux iy jz=++ alors le vecteur u a pour composantes y Si yz () ;; BxBByz (;;) sont deux points de l’espace, alors le vecteur AB a pour composantes yy zzBA-Opérations sur les vecteurs en termes de composantes : Soient y et deux vecteurs de l’espace et un réel.

• Les

La visualisation de certaines notions et concepts mathématiques est rendue possible grâce à l’utilisation de l’application GeoGebra. Soit via des manipulations, soit via des vidéos, tu es invité(e) à découvrir une notion, comprendre la construction d’un schéma ou faire un exercice. Les GeoGebra sont proposés via des codes QR, mais sont également disponibles sur la plateforme numérique

Table des matières

4 UAA COPYRIGHTVANIN

Connaître

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES COPYRIGHTVANIN

Objectifs

• Démontrer des propriétés des fonctions logarithmes.

• Comparer les croissances des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances sur ° 0 +

Appliquer

• Résoudre une équation exponentielle simple.

• Résoudre une équation logarithme simple.

• Calculer des limites, des dérivées (et des primitives) de fonctions exponentielles et logarithmes.

• Extraire des informations d’un graphique en coordonnées logarithmique ou semi-logarithmique.

Transférer

• Choisir une échelle adéquate pour représenter les données d’un problème.

• Utiliser une fonction logarithme ou exponentielle pour résoudre un problème.

• Modéliser un nuage de points par une fonction exponentielle.

• Reconnaître, parmi tous ceux déjà rencontrés, le modèle adéquat à la situation proposée.

Introduction historique

Depuis l’Antiquité, les mathématiciens cherchent à comprendre comment évoluent des quantités qui augmentent ou diminuent rapidement. Ils s’intéressent, par exemple, au doublement d’une population, à l’accumulation de richesses ou à la transmission d’un phénomène dans le temps.

Au XVIIe siècle, avec l’essor du commerce, de la navigation et des sciences expérimentales, ces questions deviennent centrales : Comment décrire précisément un capital placé à intérêts composés ? Comment modéliser la croissance d’une population ?

Ces problèmes conduisent naturellement à l’introduction des fonctions exponentielles, qui modélisent des évolutions où une grandeur est multipliée par un même facteur à intervalles réguliers. Contrairement aux fonctions linéaires, la croissance n’est plus constante : elle s’accélère ou ralentit avec le temps. Parallèlement, un autre besoin apparaît : simplifier les calculs. Avant l’invention des calculatrices, multiplier de grands nombres ou manipuler des puissances élevées était extrêmement coûteux en temps et en efforts. C’est dans ce contexte que Napier, au début du XVIIe siècle, introduit les logarithmes, permettant de transformer des multiplications en additions. Les logarithmes ne sont d’abord qu’un outil pratique, mais leur portée mathématique va rapidement s’imposer.

Au XVIIIe siècle, les travaux d’Euler marquent un tournant décisif. Il introduit le nombre e, aujourd’hui appelé nombre d’Euler, et montre

que la fonction exponentielle de base e possède une propriété exceptionnelle : sa dérivée est égale à elle-même. Cette propriété fait de l’exponentielle un outil fondamental pour décrire des phénomènes continus d’évolution.

À partir du XIXe siècle, les fonctions exponentielles et logarithmiques deviennent des piliers de la modélisation scientifique. Elles permettent non seulement de décrire des phénomènes complexes, mais aussi de changer de point de vue, grâce aux échelles logarithmiques qui rendent lisibles des variations extrêmement grandes.

Aujourd’hui, les fonctions exponentielles et logarithmes sont présentes dans de nombreux domaines :

• en biologie et en médecine : croissance bactérienne, évolution de tumeurs, propagation de virus ;

• en physique : désintégration radioactive, atténuation des ondes ;

• en chimie : cinétique des réactions, échelle du pH ;

• en économie et en finance : intérêts composés, inflation, modèles de croissance ;

• en sciences de la Terre : intensité des séismes, niveaux sonores (décibels) ;

• en informatique et en intelligence artificielle : apprentissage automatique, complexité algorithmique.

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé pour la datation de fossiles vieux d’au plus 50 000 ans. Sa période radioactive, aussi appelée demi-vie, est de 5 730 ans.

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de dater un organisme à l’aide du carbone 14 et d’expliquer pourquoi cette méthode ne peut pas être utilisée pour les dinosaures !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Appliquer

1. Écris sous la forme a n où n ∈ 

(a) aa46 ⋅

(b) a a 21 3

(d) a 43

(e) aa 3 2 (f ) a a 2 8

2. Calcule les quatre premiers termes des suites définies ci-dessous et précise laquelle est une suite géométrique.

(a) u n n • 0 est telle que un n =+45 (b) v () n n •0 est telle que v n n =+45

3. Les suites géométriques suivantes sont-elles croissantes ou décroissantes ?

(a) u () n n •0 définie par u n n=2

4. Calcule les dérivées suivantes.

(a) (()) xx +sin ′

(b) v () n n • 0 définie par v n n = 1 4

(b) xx 2cos()

(d) cos x 2

(e) (41)3 x + (f ) 1- x

THÉORIE

Suites

Définition

Suite numérique

Une suite numérique, notée u ( ) n n • 0 , est une fonction 0 →  : n ↦ u n

Autrement dit, une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels.

Définition

Suite géométrique

La suite u () n n • 0 est une suite géométrique si tout terme, à partir du deuxième, est obtenu en multipliant le terme précédent par une même constante q, appelée raison

En langage mathématique, la suite u () n n • 0 est une suite géométrique si ∃q °, ∀nunnuq01,= + • .

Propriété

Terme général d’une suite géométrique

Le terme général d’une suite géométrique u n n 0 de raison q est donné par la formule :

Propriété

Variation d’une suite géométrique

La variation d’une suite géométrique u n n 0 de raison q est donnée dans le tableau suivant :

q >1 u n n 0 est strictement croissante et croît de façon exponentielle

10234567891011121314 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 u n

u n n 0 est strictement décroissante et décroît de façon exponentielle

1234567891011121314

10234567891011121314

u1 0 > u1 0 <

u n n 0 est strictement décroissante et décroît de façon exponentielle

u n n 0 est strictement croissante et croît de façon exponentielle

1234567891011121314

01 << q

1 0 234567891011121314 10 20 30 40 50 60 70 80 90

q =0 u n n 0 est décroissante 1 0 234567891011121314

50 u n

u n n 0 est croissante

70 u n n q <0

234567891011121314

n n 0 est alternée 1234567891011121314

Dérivée

Propriétés

Dérivée des fonctions de référence

Fonctions puissances

• () k ′ =0 où k est une constante

• x x 22 =

• x x = 1 2

Fonctions trigonométriques

• (sin())cos()xx ′ =

• (tan()) cos tan ()() x x x ′ ==+ 11 2 2

Propriétés

Formules de dérivation

• () x ′ =1

• xnxnn=-1 où n § 0

• 11 2 xx =-

• (cos())sin()xx ′ =-

Soient k un réel et f et g deux fonctions dérivables en un réel x

• ()()()() fg xf xg x +=+ ′′ ′

• ()()()() fg xf xg x -=′′ ′

• ()()()()()() fg xf xg xf xg x =+

• ()()() kf xk fx =

• 1 2 f x fx fx ()() (()) =- si fx() ≠ 0

• f g x fx gx fx gx gx ()()()()() (()) =2 si gx() ≠ 0

• ()()(())()()()() fg x ffgxgx gx  ==

Propriété

Lien entre le signe de la dérivée première d’une fonction et sa croissance

Soient a et b deux réels et f une fonction continue sur [;] ab et dérivable sur ];[ ab

• f est croissante sur [;] ab si et seulement si ′ f est positive sur ];[ ab .

• f est décroissante sur [;] ab si et seulement si ′ f est négative sur ];[ ab

• Si ′ f est strictement positive sur ];[ ab , alors f est strictement croissante sur [;] ab

• Si ′ f est strictement négative sur ];[ ab , alors f est strictement décroissante sur [;] ab .

Propriété

Lien entre la dérivée première d’une fonction et ses extrema

Soient c un réel appartenant à ];[ ab et f une fonction continue sur [;] ab et dérivable sur ];[{} ab ∖ c .

• Si le signe de ′ f passe de positif à négatif en c , alors fc() est un maximum de f sur [;] ab

• Si le signe de ′ f passe de négatif à positif en c , alors fc() est un minimum de f sur [;] ab .

Exemple

Considérons la fonction f définie par fx xx x ()=-+32695

On a que ′ fx xx ()=-+ 31229.

Zéros de ′ fx x :31292-+=0 ⇔ xx2430-+==--=> ()441340 2

Tableau de signes de ′ f et tableau de variations de f : x 1 3

′ fx() +0−0+ fx

1. Fonctions réciproques l’une de l’autre

DÉCOUVERTE

Activité Relation réciproque d’une fonction

1. Considérons la fonction racine cubique représentée ci-dessous.

(a) Dans le même repère, représente la fonction cube.

(b) Il est possible de passer du graphe de l’une au graphe de l’autre par une symétrie orthogonale. Donne l’équation de l’axe de symétrie et représente-le dans le repère.

Rappelle-toi, si les graphes de deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d’équation yx = , on dit que ces fonctions sont réciproques l’une de l’autre.

D’un point de vue analytique, f et g sont des fonctions réciproques l’une de l’autre si :

1. ∀ xdom fg fx x ∈ ,( )=  () ;

2. ∀ xdom gf gx x ∈ ,( )( )  = .

2. Soient la fonction f définie par fx x ()=2 et sa relation réciproque, toutes deux représentées dans le repère ci-dessous.

(a) Nous remarquons que la réciproque de f n’est pas une fonction. Pourquoi ?

(b) Sans tracer la réciproque, aurions-nous pu prévoir qu’elle ne serait pas une fonction ? Explique.

(d) Si on restreint le domaine de f à ° -, alors sa réciproque est une fonction.

I. Détermine l’expression analytique de cette fonction réciproque.

II. Donne le domaine et l’ensemble-image de f et de sa réciproque f -1. Que constates-tu ?

III. Donne une autre restriction possible du domaine de f pour laquelle sa réciproque est une fonction.

Lorsque nous avons restreint le domaine de f , nous nous sommes assurés que tout élément de son ensemble-image ait un unique antécédent par f . Une telle fonction est appelée une fonction injective.

Lorsqu’une fonction est injective, sa réciproque est une fonction.

THÉORIE

Définition

Fonction injective

Une fonction f est injective si ∀ xx domf f x fx xx 121212 ,, ==

Remarque

Graphiquement, une fonction f est injective si toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f .

Exemples et contre-exemples

f définie par fx x ()=+ 2 3 1 sur  est injective.

–4–3–2–11234

1 2 3 4 0 f y x

h définie par hx x ()si=n() sur22 ; est injective.

g définie par gx x ()=-24 2 sur  n’est pas injective. –4–3–2–11234

–1 1 2 3 4 0 y x g

i définie par ix x ()si=n() sur  n’est pas injective.

Tu peux visualiser les exemples de manière animée en suivant le code QR ci-contre.

GeoGebra

Propriété

Monotonie et injectivité

Si une fonction est strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante), alors elle est injective.

Remarque

La réciproque de la propriété précédente est fausse.

Exemple

Soit f une fonction définie par fx

()=

La fonction f est bien injective, mais n’est pas strictement monotone.

Définition

Relation réciproque

La relation réciproque d’une fonction f est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f , la ou les valeur(s) de x dont y est l’image par f .

Remarque

Passer d’une fonction à sa relation réciproque revient à inverser le rôle de la variable dépendante et de la variable indépendante.

Propriété

Condition pour que la relation réciproque d’une fonction soit une fonction

Soit f une fonction.

La relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.

Définition

Fonctions réciproques l’une de l’autre

Soient f et g deux fonctions injectives telles que domf im g = et domg im f =

Les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si :

1. ∀ xdom fg fx x ∈ ,()()  = ;

2. ∀ xdom gf gx x ∈ ,()()  = .

f -1 est la notation de la fonction réciproque d’une fonction f , éventuellement restreinte pour qu’elle soit injective. Notation

Remarques

• Il ne faut pas confondre la réciproque et l’inverse d’une fonction : fx fx fx -1=1 ()1()))

• Le domaine d’une fonction f doit parfois être restreint à un ensemble E ⊂ domf afin de rendre cette fonction injective sur E et de trouver la réciproque de cette fonction restreinte, appelée « restriction de f à E ».

Illustration

La fonction f définie par fx x ()=2 n’est pas injective sur , mais la restriction de f à + est injective et sa réciproque est la fonction fx x -= 1()

Propriété

Réciprocité de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions telles que domf im g = et im fdom g = f et g sont réciproques l’une de l’autre si

∀ xdom f ∈ , ∀ yimf fx yx gy ,()() ==

Propriété

Symétrie des graphes de fonctions réciproques

Soient f une fonction injective et f -1 sa réciproque.

• Les graphes des fonctions f et f -1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation yx = .

• (;)(;) ab Gr fb aGrf -1 .

• domf im f =-1 et im fdom f =-1 .

Tu peux le visualiser en scannant le code QR ci-contre et en déplaçant le point du graphe de f

1. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont injectives ? Justifie.

GeoGebra

2. Soit la fonction f représentée dans le repère ci-dessous.

(a) Justifie que la réciproque de f est une fonction.

(b) Construis cette réciproque dans le repère ci-dessus.

3. Soit la fonction f représentée dans le repère ci-dessous.

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

(a) Comment restreindre le domaine de f pour que la réciproque de f soit une fonction ?

(b) Représente le graphe de f -1 dans le repère ci-dessus en tenant compte de ta restriction choisie en (a).

4. Soit la fonction f définie par fx x ()=-+483 telle que domf =+[;[ 2 & et im f =+[;[ 3 &

(a) Justifie que f est injective.

(b) Détermine l’expression analytique de f -1 .

(d) Le graphe de f -1 est-il une parabole ? Justifie.

(e) Sachant que (;) 35 est un point du graphe de f , quel est son symétrique sur le graphe de f -1 ?

2. Fonctions exponentielles

DÉCOUVERTE

Activité 1 Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Dans un laboratoire de biologie, une culture bactérienne est placée dans un milieu nutritif optimal (température, pH et nutriments contrôlés).

Au début de l’observation, la culture contient 1 000 bactéries.

Tant que les conditions restent idéales et que les ressources ne sont pas limitées, la population double chaque jour par division cellulaire.

On note u n le nombre de bactéries, exprimé en milliers, n jours après le début de l’observation.

1. Calcule u0, u1, u2… jusqu’à u5 .

2. Justifie que ces termes sont ceux d’une suite géométrique.

3. Donne le terme général de cette suite. Simplifie l’expression au maximum.

4. Représente les premiers termes de cette suite dans un repère du plan.

5. Il n’est pas obligatoire de considérer des jours complets pour donner le nombre de bactéries présentes dans la culture.

Calcule le nombre de bactéries dans les situations suivantes :

(a) 24 h avant le début de l’observation.

(b) 48 h avant le début de l’observation.

(d) Un jour et demi après le début de l’observation.

On est amenés à prolonger la suite u n n =2 définie sur  à une fonction définie sur , donnée par ux x () =2 .

On dit que la fonction u est la fonction exponentielle de base 2.

6. Représente la fonction u définie sur  dans un repère du plan.

Tu viens de tracer le graphe de la fonction exponentielle de base 2.

De manière générale, on peut effectuer ce travail pour n’importe quelle base a où a + { ; } 0 \ 1 .

Activité 2 Étude graphique des fonctions exponentielles

Scanne le code QR ci-contre qui donne la représentation graphique de la fonction f définie par fx a x ()= où a +{;} 0 \ 1 sur GeoGebra. Fais varier les valeurs de a afin de répondre aux questions suivantes. Discute les différentes valeurs possibles de a lorsque c’est nécessaire.

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Quel est l’ensemble-image de f ?

3. La fonction f possède-t-elle des zéros ?

4. Quel est le signe de f ?

5. Quelle est la variation de f ?

6. Le graphe de f possède-t-il des asymptotes ? Si oui, donne leurs équations.

πG

Tu viens de découvrir qu’il existe deux catégories de fonctions exponentielles :

• les fonctions exponentielles strictement décroissantes, dont la base est strictement comprise entre 0 et 1 ;

• les fonctions exponentielles strictement croissantes, dont la base est strictement plus grande que 1.

THÉORIE

Définition

Croissance ou décroissance exponentielle

Une croissance est exponentielle si le taux de croissance est constant sur des intervalles de longueur constante donnée.

Exemples x 1234 + 1+ 1+ 1 y 24816

Remarque

Si, pour un accroissement constant et positif de la variable indépendante,

• le rapport des valeurs de la variable dépendante est constant et strictement supérieur à 1, alors il s’agit d’une croissance exponentielle ;

• le rapport des valeurs de la variable dépendante est constant et strictement compris entre 0 et 1, alors il s’agit d’une décroissance exponentielle

Définition

Fonction exponentielle de base a

Soit a +{;} 0 \ 1

f : °° est une fonction exponentielle de base a, notée expa , si pour tout réel x , fx a x ()=

Remarque

Le domaine d’une fonction exponentielle doit être  et cette fonction doit modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.

Cela explique que la base a ne peut donc pas valoir :

• 1, car 11 x = pour toute valeur de x . On obtient alors une fonction constante et non une fonction qui modélise un phénomène exponentiel ;

• 0, car 0 x vaut 0 si x >0 et n’est pas défini pour tout x . On obtient alors une fonction constante définie sur ° 0 + et non une fonction qui modélise un phénomène exponentiel ;

• un nombre strictement négatif, car a x n’est pas définie pour tous les réels x lorsque a <0 . Par exemple, -2 1 2 n’est pas définie dans les réels.

Propriété

Fonctions à croissance exponentielle

Les fonctions à croissance exponentielle sont de la forme fx a x ()= k où >0 k et a +{;} 0 \ 1

Propriété

Règles de calculs sur les exponentielles

Soient a +{;} 0 \ 1 et xy , °.

aa a xy xy=+

a a a x y xy=-

() ab xxab x =

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques des fonctions exponentielles

Soit a +{;} 0 \ 1

Voici quelques-unes des caractéristiques de la fonction f définie par fx a x ()= 01 << a a

Représentation graphique

dom aexp  im aexp ° 0 + Zéro �

Croissance Strictement décroissante Strictement croissante

Limites aux bornes du domaine et asymptote

Propriété

Points particuliers du graphe d’une fonction exponentielle

Soient a +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx a x ()=

Les points (;) 01 , (;)1 a et -11 ; a appartiennent au graphe de f

Démonstration

Soient a +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx a x ()= .

Par définition du graphe d’une fonction, les points du graphe de f sont de la forme ; xa x pour tout xdom f ∈ .

• Comme fa ()01 0 == , le point (;) 01 appartient au graphe de f .

• Comme fa a ()11== , le point (;) 1 a appartient au graphe de f

• Comme fa a ()-==1-1 1 , le point -11 ; a appartient au graphe de f .

Propriété

Symétrie des graphes des fonctions expa et exp 1 a

Soit a +{;} 0 \ 1 .

Les graphes des fonctions f et g définies par fx a x ()= et gx a x ()=1 sont symétriques par rapport à l’axe Oy .

Exemple

Remarque

Cette propriété découle des propriétés sur les puissances et des transformations de fonctions vues en 4e année.

En effet, g x a aa fx x x x ()() ====11 . Pour obtenir le graphe de g , le graphe de f a donc bien

subi une symétrie orthogonale d’axe Oy

Propriété

Injectivité d’une fonction exponentielle

Soit a +{;} 0 \ 1

La fonction exponentielle de base a est injective.

Autrement dit, pour tous réels x et y : aa xy xy== ⇔

Remarque

Cette propriété est très utile pour résoudre des équations exponentielles.

Exemple

381 x = ⇔ 334 x = ⇔ x =4 car la fonction exponentielle de base 3 est injective

Donc S ={} 4 .

EXERCICES

1. Sachant que les fonctions représentées ci-dessous sont des fonctions exponentielles, détermine leur expression analytique.

2. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les fonctions fg h ,, et i définies par fx x (),=21 , gx x (),=18 , hx x (),=012 et ix x (),=021

Associe chaque fonction à sa représentation graphique. Justifie.

3. Résous les équations suivantes dans 

4. Sachant que 5510 x += , calcule 25 x .

5. Une ville compte 5 personnes infectées par un virus le 1er mars. Le nombre d’infectés triple tous les jours. Ce modèle n’est valable que pendant les premiers jours de l’épidémie.

(a) Donne l’expression de la fonction in() qui donne le nombre d’infectés n jours après le 1er mars.

(b) Combien d’infectés y aura-t-il le 11 mars ?

6. À 8 h du matin, un yaourt est laissé à température ambiante dans un laboratoire. On s’intéresse uniquement aux bactéries indésirables qui s’y développent et qui sont initialement très rares : on estime qu’il y en a 200 dans 1 g de ce yaourt à 8 h.

Dans ces conditions particulières, on observe que le nombre de bactéries indésirables double toutes les demi-heures.

On considère qu’au-delà de 12 800 bactéries indésirables par gramme, il y a un risque non négligeable pour la santé de consommer ce yaourt.

(a) Donne l’expression de la fonction Bt() qui modélise le nombre de bactéries indésirables t heures après 8 h.

(b) Jusqu’à quelle heure peut-on consommer ce yaourt sans risque pour la santé ?

7. Une entreprise spécialisée dans la location de trottinettes électriques vise une augmentation annuelle de son chiffre d’affaires de 10 %. Son chiffre d’affaires à la fin de l’année 2025 était de 35 millions d’euros.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction ct() qui donne le chiffre d’affaires espéré, exprimé en millions d’euros, à la fin de l’année t .

(b) Si son objectif est atteint, justifie que c’est au cours de l’année 2033 que son chiffre d’affaires serait doublé par rapport à celui de 2025.

8. Afin de valoriser l’ancienneté de ses employés, une entreprise accorde une augmentation salariale tous les deux ans.

Le tableau suivant donne le montant du salaire de Milo ces dernières années :

Année2020202220242026

Salaire2 854,52 €2 911,61 €2 969,84 €3 029,24 €

(a) Justifie que l’augmentation salariale de Milo suit une croissance exponentielle.

(b) Modélise l’évolution du salaire de Milo par une fonction exponentielle en fonction de l’année paire n

3. Fonctions logarithmes

DÉCOUVERTE

Activité 1 Résolution d’équations exponentielles

1. Considérons l’équation x += 312

(a) Résous l’équation suivante dans 

(b) Quelle fonction faut-il appliquer à chaque membre de l’équation pour passer de x 3+1 à x +1 ? Que représente cette fonction par rapport à la fonction racine cubique ?

Si f est une fonction injective et qu’on résout une équation du type fx b () = où bimf ∈ , on applique la fonction réciproque de f pour trouver x : f xb xf –1 b ()() == .

2. Considérons l’équation 26 x = dans 

(a) Représente graphiquement la fonction fx x ()=2 et déduis-en la solution de l’équation donnée à 101 - près.

(b) 6 ne pouvant pas être exprimé comme 2m où m §, quel outil te manque-t-il pour résoudre cette équation ?

Activité 2 Réciproque des fonctions exponentielles

1. Soit la fonction exponentielle f définie par fx x ()=2 et représentée ci-dessous.

(a) La réciproque de f est-elle une fonction ? Justifie.

(b) Représente cette réciproque sur le graphique ci-dessus.

Tu viens de construire le graphe de la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base 2.

Cette fonction réciproque est appelée fonction logarithme de base 2.

De manière générale, la fonction réciproque d’une fonction exponentielle de base a où a + { ; } 0 \ 1 est une fonction, et son expression analytique est notée f xx a ()lo=g().

2. Scanne le code QR ci-contre qui donne la représentation graphique de la fonction f définie par fx x a ()lo=g() où a +{;} 0 \ 1 sur GeoGebra.

Fais varier les valeurs de a afin de répondre aux questions suivantes. Discute des différentes valeurs possibles de a lorsque c’est nécessaire.

(a) Quel est le domaine de définition de f ?

(b) Quel est l’ensemble-image de f ?

(d) Quelle est la variation de f ?

(e) Le graphe de f possède-t-il des asymptotes ? Si oui, donne leurs équations.

THÉORIE

Définition

Fonction logarithme de base a

Soit a +{;} 0 \ 1

La fonction logarithme de base a, notée log a , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a

Dès lors, la fonction logarithme de base a est la fonction qui, à chaque réel x strictement positif, associe l’exposant auquel il faut élever a pour obtenir x .

Cela signifie que : log() a y xy xa== ⇔

GeoGebra

Illustrations

Vocabulaire et notation

Le logarithme de base 10 est appelé le logarithme décimal et se note log

Propriétés

Réciprocité des fonctions exponentielle de base a et logarithme de base a où a \ +{;} 01

• ∀ x °, log a x a x =

• ∀ x ° 0 + , ax a x log()= .

Remarque

Cette propriété découle de la définition de fonctions réciproques l’une de l’autre.

Exemples

• logl()og 2216424==

• log()l10og 00000106 6 ==

• loglog 55 11 5 51==-

• logloglo ()g 999 1 39291 2 ===

• 37 lo37g()= car 703 ° += dom log

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques des fonctions logarithmes

Soit a +{;} 0 \ 1

Voici quelques-unes des caractéristiques de la fonction f définie par fx x a ()lo )=g( . 01 << a a >1

Représentation

a log

Croissance

Limites aux bornes du domaine et asymptote

Strictement décroissante

Strictement croissante

Remarque

Comme le domaine de définition d’une fonction logarithme est ° 0 + , il faut tenir compte de conditions d’existence lorsqu’on travaille avec une telle fonction.

Exemple

Considérons la fonction f définie par fx x ()log()=+541 .

CE : 410411 4 xx x +>>->⇔⇔

Donc domf =-+ 1 4; &

Propriété

Points particuliers du graphe d’une fonction exponentielle

Soient a +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx x a ()lo )=g(

Les points (;) 10 , (;) a 1 et 11 a ;- appartiennent au graphe de f

Démonstration

Soient a +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx x a ()lo )=g(

Par définition du graphe d’une fonction, les points du graphe de f sont de la forme xx a ;log( () ) pour tout xdom f ∈

• Comme fa aa ()logl()og 10 10 === , le point (;) 10 appartient au graphe de f

• Comme f aa a aa ()logl()og ===11, le point (;) a 1 appartient au graphe de f .

• Comme f aa a aa 111 ==1=loglog , le point 11 a ;- appartient au graphe de f .

Propriété

Injectivité d’une fonction logarithme

Soit a +{;} 0 \ 1 .

La fonction logarithme de base a est injective. Autrement dit, pour tous réels x et y strictement positifs : log()log()aaxy xy== ⇔

Propriété

Logarithme d’un produit

∀a +{;} 0 \ 1 , ∀ xy , ° 0 + , loglog()lo ()g() aa a xy xy ⋅ =+

Démonstration

Soient a +{;} 0 \ 1 et xy , ° 0 +

Comme xy , ° 0 + , ax a x log()= et ay a y log()= par réciprocité des fonctions expa et log a

Dès lors, logl()oglog()log() aa xy xy aaaa =

=loglog()log() a x + y a aa (règles de calcul sur les exponentielles)

=+ log()log()aaxy (par réciprocité des fonctions expa et log a )

Propriété

Logarithme d’un quotient

∀ a +{;} 0 \ 1 , ∀ xy , ° 0 + , loglog()log() aa a x y xy=-

Démonstration

Soient a +{;} 0 \ 1 et xy , ° 0 +

Comme xy , ∈  0 + , ax a x log()= et ay a y log()= par réciprocité des fonctions expa et log a .

Dès lors,

loglog log() log() aa x y x y a a a a = = loglog()log() a xy a aa (règles de calcul sur les exponentielles)

=logl()og() aaxy (par réciprocité des fonctions expa et log a )

Propriété

Logarithme d’une puissance

∀a +{;} 0 \ 1 , ∀ x ° 0 + , ∀n °, loglog() a n a xn x =

Démonstration

Soient a +{;} 0 \ 1 , x ∈  0 + et n °

Comme x ° 0 + , ax a x log()= par réciprocité des fonctions expa et log a .

Dès lors,

logl()oglog() a n a x n xa a = =loglog() a nx a a (règles de calcul sur les exponentielles) = nx a log() (par réciprocité des fonctions expa et log a )

Propriété

Changement de base d’un logarithme

∀ab,{;} \ +01 , ∀ x ° 0 + , log() log() log() a b b x x a =

Démonstration

Soient ab,{;} \ +01 et x ° 0 +

Comme x ° 0 + , on a que :

ax a x log()= (par réciprocité des fonctions expa et log a )

loglloog() g() b x b ax a = (par injectivité de la fonction log b )

log()loglo()g() ab b xx a = (par le logarithme d’une puissance)

⇔ log() log() log() a b b x x a = (car log() b a ≠ 0 vu que a ≠ 1)

Comme 1 vérifie la CE mais pas -1, S =1{} . COPYRIGHTVANIN

Remarques

• Les calculatrices étant limitées à quelques fonctions logarithmes, la propriété du changement de base permet d’approximer n’importe quel logarithme en utilisant le logarithme décimal, disponible sur les calculatrices scientifiques.

Exemple

loglog()()log(), 599 5 =136521 ≈

• On exploite les propriétés précédentes pour résoudre des équations exponentielles ou logarithmes.

Exemples

• 3838 33 x x == loglog() (car la fonction logarithme de base 3 est injective)

x == loglog() 3()log(), 88 3 189279

Donc S =log() 38 {}.

• log()loglo()g()222212xx x ++=+

CE : x >0 et 210 x +> et x +>20

⇔ x >0 et 21 x >- et x >-2

⇔ x >0 et x >1 2 et x >-2

⇔ x >0

On a que :

log()loglo()g()222212xx x ++=+

log()l()og() 22212xx x +=+ (par le logarithme d’un produit)

logl 2og() 2 2 22 xx x +=+

⇔ 22 2 xx x +=+

⇔ 22 2 x =

⇔ x 21 =

⇔ x =±1

(car la fonction logarithme de base 2 est injective)

Propriété

Symétrie des graphes des fonctions log a et log 1 a

Soit a +{;} 0 \ 1 .

Les graphes des fonctions f et g définies par fx x a ()lo )=g( et gx x a ()lo=g() 1 sont symétriques par rapport à l’axe Ox .

Exemple

Remarque

Cette propriété découle de la propriété du changement de base d’un logarithme et des transformations de fonctions vues en 4e année.

En effet, g xx x

log()() a xf x . Pour obtenir le graphe de g , le graphe de f a donc bien subi une symétrie orthogonale d’axe Ox .

EXERCICES

1. Calcule sans utiliser la calculatrice.

(a) log() 525

(e) log() 44

(g) log 3 3 3

(b) log 8 1 8

(d) log() 100000

(f ) log,()2025

(h) log() 82

2. Donne le signe des logarithmes suivants, puis calcule-les, au centième près, à l’aide de la calculatrice.

(a) log 3 1 2

(b) log516()

(d) log 09900 , ()

3. Les fonctions f et g sont représentées dans le repère ci-dessous.

(a) Sachant que les fonctions f et g sont des fonctions logarithmes, détermine leur expression analytique.

(b) Calcule f () 16 et g () 16 .

4. Écris les expressions suivantes à l’aide d’un seul logarithme. On suppose que la condition d’existence de chaque logarithme est vérifiée.

(a) loglog 33 4 ()() xx ++

5. Résous les équations suivantes dans 

Série 1

(a) 550 x =

(b) logl20og()201 ()xx

(d) logl100og5()() xx

(b) 40021 ⋅ x =

(d) 41221xx=-

Série 2

(a) log()32 x =

(e) logl 100og51100380 ()() xx +--=

(g) logloglo ()g()()2223610xx x -++=

(i) 15113 44 +-=logl()og() xx

Série 3

(a) log x ()32 =

(e) logloglo 14g42 2=xx ()

(g) log()l5og() 4 2 5 4 2 xx =-

(b) log() x +=-11

(d) 2412 1 2 1 2 log()log )( xx=+

(f ) logl1og 2 1 2 342()() xx+--=-

(h) 23323 log()log ()log() xx x +--=-

(b) loglog xx 32 =

(d) logl 9og 2 9 21 xx x -=+()

(f ) 2940 2 2 lo2 glog ()() xx-+=

6. Un capital de 10 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 1,2 %.

(a) De quelle somme disposera-t-on dans 10 ans ?

(b) Combien d’années faudra-t-il pour que ce capital atteigne 15 000 € ?

7. Deux vidéos sont publiées sur un réseau social le même jour.

• La vidéo A est publiée par un compte peu connu, mais crée un buzz : elle démarre lentement, mais devient rapidement virale.

• La vidéo B est publiée par un compte très populaire : elle est beaucoup vue dès le départ, mais sa diffusion progresse ensuite plus lentement que la vidéo A.

Les premiers jours de diffusion de ces vidéos, on estime que At t (),=2000125 ⋅ donne le nombre de vues de la vidéo A après t heures et que Bt t (), =50000104 donne le nombre de vues de la vidéo B après t heures. A et B sont définies sur [;[ 1+& .

Après combien de temps ces deux vidéos auront-elles le même nombre de vues selon ces estimations ?

8. Lorsqu’un séisme se produit, il provoque des vibrations du sol qui se propagent sous forme d’ondes. Ces vibrations sont enregistrées par un appareil appelé sismographe, qui produit un sismogramme. Sur ce document, on peut mesurer l’amplitude maximale A des vibrations du sol. La magnitude d’un séisme est un nombre qui permet de mesurer sa force. La magnitude locale, notée ML , a été introduite par Charles Richter. Elle est définie par la formule

M A A L =log 0

où :

• A est l’amplitude maximale mesurée sur le sismogramme ;

• A0 est une amplitude de référence, mesurée à 100 km de l’épicentre.

(a) Calcule la magnitude d’un séisme pour lequel :

I. AA =100 ;

II. AA =1000 ;

III. AA =1 0000 .

(b) En utilisant tes réponses à la question (a), complète cette phrase : « La magnitude augmente de 1 unité lorsque l’amplitude est multipliée par … ».

(d) Deux séismes ont des amplitudes respectives A1 et A2 telles que AA 210=10 Calcule la différence de magnitude entre ces deux séismes.

9. Lorsqu’on étudie un élément radioactif, l’une de ses principales caractéristiques est sa période radioactive, aussi appelée demi-vie. Celle-ci correspond au temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon se désintègrent.

L’iode-131 est un isotope radioactif dont la période radioactive est d’environ 8,02 jours. Il est couramment utilisé en médecine nucléaire, notamment comme traceur pour le diagnostic des maladies de la thyroïde. En effet, une très faible quantité d’atomes radioactifs suffit pour suivre le comportement de l’iode dans l’organisme. Ces atomes s’intègrent à des molécules participant à la production des hormones thyroïdiennes. Des examens de scintigraphie permettent alors d’analyser l’activité de la thyroïde et de détecter d’éventuelles anomalies. Un médecin vient d’administrer une faible dose d’iode-131 à l’un de ses patients.

(a) Quelle proportion de la quantité reçue lors de l’injection restera-t-il au bout de 10 jours ?

Arrondis à 102 - % près.

(b) Au bout de combien de temps restera-t-il 5 % de la dose administrée ? Arrondis à l’heure près.

4. Calcul de limites et de dérivées

DÉCOUVERTE

Activité Dérivée des fonctions exponentielles

Scanne le code QR ci-contre pour découvrir la formule de la dérivée de la fonction exponentielle f définie par fx a x ()= où a +{} 01 ;

(a) Quel lien y a-t-il entre le graphe de f et celui de sa dérivée ?

(b) En affichant la fonction dérivée sur l’animation GeoGebra, donne la forme générale de la dérivée de fx a x ()=

(c) Intéressons-nous maintenant à une fonction exponentielle particulière : fx e x ()= où e est le nombre d’Euler qui vaut approximativement 2,71828.

I. À l’aide de l’animation GeoGebra, observe le graphe de f et celui de sa dérivée. Que peux-tu en déduire sur la dérivée de f ?

II. Sachant que ln est une fonction logarithme, appelée logarithme népérien, déduis-en sa base en exploitant tes réponses aux questions (b) et (c) I.

πG

La dérivée de la fonction exponentielle f () = xa x où a +{0;1} est égale à fx aa x () =ln( ) où ln désigne le logarithme népérien.

Le logarithme népérien est le logarithme de base e où e est le nombre d’Euler qui vaut approxivativement 2 71828 , .

Dès lors, la dérivée de fx e x () = est égale à fx e x ′() = .

THÉORIE

Fonction exponentielle et logarithme de base e

Définition

Nombre d’Euler

Le nombre d’Euler, noté e, est défini par la limite e n n n =+ + lim & 11

GeoGebra

FONCTIONS

Remarques

• Le nombre e est un nombre irrationnel, au même titre que π et 2 par exemple.

• e ≈ 271828 ,

Définition

Fonction exponentielle népérienne

La fonction exponentielle de base e est appelée fonction exponentielle népérienne exp:: + e x xe °° a 0

Remarque

Comme e > 1, les caractéristiques de la fonction exponentielle népérienne sont les mêmes que celles des fonctions exponentielles de base strictement plus grande que 1.

Définition

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme de base e, notée ln, est appelée fonction logarithme népérien lnln::() + °° 0 xx a

Remarque

Comme e > 1, les caractéristiques de la fonction logarithme népérien sont les mêmes que celles des fonctions logarithmes de base strictement plus grande que 1.

Propriété

Réciprocité des fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien

Les fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien sont réciproques l’une de l’autre.

On a donc que :

• ∀ x °, ∀ y ey xy x ° 0 +== ,ln()

• ∀ xe x x ,ln=

• ∀ xe x x ° 0 + =,ln()

Propriété

Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

Pour tout réel x, ee x x =

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x, alors ee fx fx fx ()()() =

Exemples

• ee xe x xx x 22222==

• ee xe x xx x sin()sin()si(sinn() () )cos ==()

Propriété

Dérivée de la fonction logarithme népérien

Pour tout réel x strictement positif, n( ()) x x = 1

Démonstration

Soit x > 0

Puisque expe et ln sont réciproques l’une de l’autre, on a que ex x ln()= pour tout x > 0

Dès lors, ex x ln()() = e x ln()=1 n( ()) x

() e x = n(1()) x x = n(1()) x

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ° 0 + , alors () () () fx fx fx = 1

Exemples

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes

Propriété

Dérivées des fonctions logarithmes de base a +{0;1}

Soit a +{} 01 ; .

Pour tout réel x strictement positif,

Démonstration

Soit x > 0

Par la propriété du changement de base d’un logarithme, ln() ln()ln()ln()ln x aa ax ==== 1111 ( ()ax log( () ) a x n( ()) x

Remarque

Si a +{} 01 ; et si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ° 0 + , alors log(() )ln()() () a fx af x fx = 1

Exemples

• ln() x = 1 10 log( () ) x

• log()log()log()log()ln 7( 3 7 2 77 2 331 7 xx xx== )) log() ln() x x x = 3 7 7 2 • logln 3() 2 2 432 51 3435 435 xx xx xx +-= ++= + +83 3435 2 x xx ln() ln()2 1 34 x = + ++ 35 83 x x ()

Propriété

Dérivées des fonctions exponentielles de base a +{0;1}

Soit a +{} 01 ; Pour tout réel x, aa a x x =ln()

Démonstration

Soit x °.

Puisque expa et log a sont réciproques l’une de l’autre, on a que log a x ax = pour tout réel x Dès lors, log() a x ax = 11 ln()aa a x x = aa a xx =ln()

Remarque

Si a +{} 01 ; et si f est une fonction dérivable en x, alors aa af x fx fx ()() ln =()()

Exemples

• 444 x x =ln()

• 99925992 252525 x xx x + ++ =+= ln()()ln()=+ 299ln25 () x

Calculs de limites

Propriétés

Limites des fonctions exponentielles et logarithmes

Soit a +{} 01 ;

• Si 01 << a :

• lim x x a →=+ & &

• lim x x a → + = & 0

• limlog() x a x → 0 =+&

• limlog()

x a x → + =& &

• Si a > 1 :

• lim

x x a →= & 0

• lim

x x a → + =+ & & • limlog()

x a x → 0 =-& • limlog() x a x → + =+ & &

Théorème

Règle de l’Hospital

Soient a ° ∪ {} -+&& ; et f et g deux fonctions dérivables au voisinage de a tels que gx()0 pour tout réel x au voisinage de a.

Supposons que lim() () xa fx gx → mène au cas d’indétermination 0 0 ou & &

Si lim() () xa fx gx existe, alors lim() () lim() () . xaxa fx gx fx gx =

Exemples

• lim x x x → ++ = + + & & & 2 2 CI

Comme fx x ()=2 et gx x ()=+2 sont dérivables sur , comme fx() et gx() tendent vers +& lorsque x tend vers +& et comme gx x ()()=+=210, on peut appliquer la règle de l’Hospital :

• limln() x x x →121 0 0= CI

Comme fx x ()ln=() et gx x ()=-21 sont dérivables sur ° 0 + , comme fx() et gx() tendent vers 0 lorsque x tend vers 1 et comme gx xx()=-=2120 sur ° 0 + , on peut appliquer la règle de l’Hospital :

Propriété

Comparaison de la croissance de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions définies sur ° 0 +

• Si lim() () x fx gx → + =+ & &, alors il existe un nombre réel à partir duquel f croît plus vite que g.

• Si lim() () x fx gx → + = & 0, alors il existe un nombre réel à partir duquel g croît plus vite que f

EXERCICES

1. Sans utiliser la calculatrice, calcule :

(a) ln e 2 (b) eln() 3

(e) eln()ln()57 + (f ) lnln() e e

2. Résous dans  les équations suivantes.

(a) ee x 213 +4 = (b) e x 32 =

(e) ln()ln()ln 41() 2110xx x ++-=+ (f ) 2354 ln()ln()=x

3. Calcule les dérivées suivantes.

FONCTIONS EXPONENTIELLES

(a) 5 2 x (b) (log()) 8 x

(e) e x tan() (f ) )(42 x

(g) log 4 21 x - (h) ln() 122 - x

(i) ln()122 - x ( j) cos() x x 3

(k) 3e x (l) x x ln()

(m) ()xe x -32 (n) e e x x+ 1 1

4. Calcule les limites suivantes et vérifie ta réponse à l’aide de GeoGebra.

(a) lim x x → - & 7 (b) lim x x → + & 7

(e) lim x x e x → - & (f ) lim x x e x → 0

(g) lim x x e x → + & (h) lim ln() x x x → 02

(i) limln() x x x → + & 2 (j) lim x x x → + + & 21 4

(k) lim x x x - & 1 2 5 8 (l) lim x x x → + & 5 3

(m) lim log() log() x x x →1 9 3 (n) lim log() log() x x x → + & 1 2 1 5

(o) lim x x xe& (p) lim x x xe +&

(q) limlog() x x x →1 1+ (r) limlog() x x x → + + & 1

5. Soient les fonctions f, g et h définies par fx x ()=2 , gx x ()=2 et hx x ()lo=g() 2 . (a) À l’aide du calcul de limites, compare la croissance sur ° 0 + de ces trois fonctions.

(b) Compare leur comportement lorsque x → 0+ .

6. Considérons les fonctions exponentielles f et g définies par fx x ()=5 et gx x ()=3 .

(a) Calcule f ′ et g ′

(b) Compare :

I. f ′() 1 et g ′() 1 ;

II. f ′() 10 et g ′() 10 ;

III. f ′() 100 et g ′() 100

(d) Généralise ton raisonnement pour les fonctions h et i définies par hx a x ()= et ix b x ()= où ab>> 1

7. Considérons les fonctions logarithmes f et g définies par fx x ()lo=g() 5 et gx x ()lo=g() 3 .

(a) Montre que pour tout réel x > 0, fx gx ()()

(b) Compare leur croissance sur ° 0 +

8. Recherche les limites aux bornes du domaine de la fonction f définie par fx x x () () = ln et déduis-en le graphique sur lequel cette fonction est représentée.

9. Détermine la croissance et les extrema des fonctions f, g et h définies par fx e x ()=-2 , gx xe x ()= et hx xx()ln=-() 2

FONCTIONS EXPONENTIELLES

On verse du thé dans une tasse dans une pièce dont la température ambiante est de 20 °C. Juste après avoir été servi, le thé est à 90 °C. On admet que le refroidissement de ce thé peut être modélisé par la loi de refroidissement de Newton : Tt e kt ()=+2070

où Tt() donne la température du thé en °C, t minutes après avoir été servi, et où k est une constante.

(a) Après 10 minutes, le thé est à 60 °C. Déduis-en la valeur de k.

(b) Calcule la température du thé au bout de 20 minutes.

(d) Calcule lim() t Tt →+ & et interprète cette limite dans ce cas concret.

On modélise la pression atmosphérique (en Pa) en fonction de l’altitude x (en m) par px e x ()=-101325000012

Une équipe de secours utilise un drone pour repérer une personne disparue en montagne. Plus le drone monte, plus la zone visible augmente, mais plus l’air est rare et plus le drone doit dépenser de l’énergie pour rester stable. De plus, monter très haut augmente le risque de perdre des détails (la personne devient trop petite à l’image) : au-delà d’une certaine altitude, l’efficacité des recherches diminue.

On modélise l’efficacité des recherches par Ex xe px x ()() =1000 101325

(a) Simplifie Ex() sous la forme Ex xe kx ()=- où k est une constante.

(b) Calcule Ex ′().

5. Repères logarithmique et semi-logarithmique

DÉCOUVERTE

Activité Échelle des décibels

Les sons qui nous entourent peuvent être extrêmement différents les uns des autres. Le bruissement d’une feuille, une conversation normale, un aspirateur ou encore une fusée au décollage ne produisent évidemment pas la même intensité sonore.

En physique, cette intensité se mesure en watts par mètre carré ( Wm/2).

Le tableau suivant donne plusieurs bruits, ainsi que leur intensité sonore.

1. Est-il pertinent de représenter l’intensité de ces différents bruits sur une échelle linéaire ?

Lorsqu’on compare les intensités acoustiques de différents sons, on constate que leurs valeurs peuvent varier énormément : certaines sont très proches de zéro, tandis que d’autres sont des millions, voire des milliards de fois plus grandes. Il devient alors peu pertinent de représenter toutes ces valeurs sur une même droite graduée de façon linéaire.

Pour résoudre ce problème, on utilise une échelle logarithmique qui permet de comparer des mesures où l’ordre de grandeur varie sur une échelle très étendue.

C’est sur ce principe qu’est construite l’échelle des décibels, utilisée pour mesurer les niveaux sonores. Cette échelle permet de représenter, sur un même axe, aussi bien les sons très faibles que les sons extrêmement intenses, tout en restant lisible et exploitable. πG

2. Le niveau sonore L, exprimé en décibels et associé à une intensité sonore I, est défini par la formule :

L I =10 1012 log

où I est exprimée en watts par mètre carré (W/m2).

Complète le tableau donné dans l’énoncé en calculant le niveau sonore de chaque bruit.

3. Complète l’axe suivant en faisant correspondre la valeur du niveau sonore à sa bonne intensité.

Intensité I (W/m2)

Niveau sonore L (dB)

4. Sachant que l’intensité acoustique d’un concert de rock est de 10 3 2W/m2, place le point C sur l’axe de la question 3 pour représenter cette intensité.

THÉORIE

Définition

Repère semi-logarithmique

Un repère semi-logarithmique est un repère dans lequel un axe est gradué de façon logarithmique, tandis que l’autre axe est gradué de façon linéaire.

Définition

Repère logarithmique

Un repère logarithmique est un repère dans lequel les deux axes sont gradués de façon logarithmique.

Remarques

• Un repère semi-logarithmique est utilisé pour représenter des phénomènes exponentiels ou des mesures qui varient énormément, parfois sur plusieurs ordres de grandeur.

• Un repère logarithmique (log-log) est adapté lorsqu’on étudie des phénomènes pour lesquels les variables dépendante et indépendante varient dans de grands intervalles.

Exemple

On utilise un repère log-log pour représenter la force gravitationnelle F en fonction de la distance r entre deux masses m1 et m2 où FG mm r = ⋅ 12 2 avec G, la constante universelle de gravitation.

En effet, cette distance peut varier sur des échelles extrêmement différentes : elle est très petite à l’échelle atomique et immense à l’échelle astronomique (planètes, étoiles).

Un repère log-log permet alors de visualiser ces variations sur un même graphique.

Propriété

Représentation d’une fonction exponentielle dans un repère semi-logarithmique

Dans un repère semi-logarithmique, une droite non verticale est la représentation graphique d’une fonction à croissance exponentielle et réciproquement.

Démonstration

Soit f la fonction représentée dans un repère semi-logarithmique de base a où a +{;} 01 . f est représentée par une droite non verticale si et seulement s’il existe des réels m et p tels que log()() a fx mx p =+ . On a que : log()() () a mx p fx mx pf xa =+=+ ⇔

(par définition de loga) fx aa mx p ()= (règles de calcul sur les exponentielles) f xa a pm x ()= (règles de calcul sur les exponentielles)

Dès lors, f est représentée par une droite non verticale si et seulement si f est une transformée d’une fonction exponentielle par affinité et donc, si et seulement si f est à croissance exponentielle.

Exemple

Soit la fonction f définie par fx x ()=10

Cette fonction est représentée dans un repère linéaire et dans un repère semi-logarithmique.

Graphiquement, il est très compliqué d’estimer l’image de f en x =-15 , dans le repère linéaire, car pour les valeurs négatives de x, les images sont proches de zéro et la courbe est donc très écrasée. Cette estimation est bien plus aisée dans le repère semi-logarithmique, car la fonction exponentielle est représentée par une droite.

EXERCICES

1. Place sur l’échelle logarithmique la taille des éléments suivants :

(a) Un atome d’hydrogène, sachant qu’il mesure 1010 - m.

(b) Une bactérie qui mesure 106 - m.

(d) Le joueur de tennis Carlos Alcaraz, qui mesure 1,83 m.

(e) L’Empire State Building, haut de 381 m.

(f) Le sommet de l’Himalaya, à 8 848 m d’altitude.

(g) La distance Terre-Lune, qui est de 384 400 km.

2. Le tableau suivant reprend, pour plusieurs villes et pays, leur superficie et leur nombre d’habitants recensés sur le site Wikipédia en janvier 2026.

(a) Pourquoi un repère logarithmique est-il adapté pour représenter l’ensemble de ces données ?

(b) Pour chaque ville et chaque pays repris dans le tableau, représente dans un repère logarithmique sa superficie en fonction de son nombre d’habitants.

3. En laboratoire, on suit la croissance d’une population de cellules tumorales placées dans un milieu de culture et on observe que, durant les premières heures de l’expérience, la croissance est exponentielle. On note Nt() le nombre de cellules présentes t heures après le début de l’expérience. Comme Nt() devient vite très grand, on ne représente pas directement Nt() : le graphique ci-dessous donne log(()) Nt en fonction de t

0 2345 1 2 (0; 1,699) (1; 1,841) (2; 1,983) (3; 2,125) (4; 2,267) 3 t log(N(t))

(a) Combien y avait-il de cellules au début de l’observation ?

(b) Combien y a-t-il eu de cellules en plus entre la 3e et la 4e heure d’observation ?

4. Le tableau suivant donne le nombre d’habitants au Mali de 2015 à 20241.

Année t Nombre d’habitants Nt() (en millions)

(a) Représente ces données dans un repère semi-logarithmique.

(b) Vérifie que le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique t t N ;log est supérieur à 0,9 et interprète-le dans ce contexte.

(c) La droite de régression linéaire obtenue par la méthode des moindres carrés de la série statistique t t N ;log a pour équation yt=-001432754 ,, . Sur la base de cette droite, estime le nombre d’habitants au Mali en 2025 et en 2030.

1. Source : https://www.donneesmondiales.com/afrique/mali/croissance-population.php

Synthèse

Injectivité et fonctions réciproques

Soit f une fonction.

• f est injective si ∀ xx domf fxfx xx 121212 ,, ==

Cela signifie que toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f.

• Propriété : si f est strictement monotone, alors elle est injective.

• La relation réciproque de f est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f , la ou les valeur(s) de x dont y est l’image par f

• Condition pour que la relation réciproque d’une fonction soit une fonction : la relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.

• Les fonctions injectives f et g telles que domf im g = et domg im f = sont réciproques l’une de l’autre si :

• ∀ xdom fg fx x ∈ ,()()  = ;

• ∀ xdom gf gx x ∈ ,()()  = .

• Notation : la fonction réciproque d’une fonction injective f est notée f -1

• Symétrie des graphes de fonctions réciproques :

• Les graphes des fonctions f et f -1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation yx = .

• (;)(;) ab Gr fb aGrf -1 .

• domf im f =-1 et im fdom f =-1 .

• ∀ xdom f ∈ , ∀ ydom f ∈ -1 , fx yx fy ()() ==⇔ 1 .

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Fonctions exponentielles

Soit a +{;} 01 .

• f : °° est une fonction exponentielle de base a, notée expa , si fx a x ()=

• La représentation graphique et les caractéristiques d’une fonction exponentielle sont :

Représentation

Zéro / Croissance

Strictement décroissante

Strictement croissante

Limites aux bornes du domaine

Asymptotes

• Les points du graphe d’une fonction exponentielle de base a sont de la forme xa x ; pour tout x ° et donc, en particulier, les points (;) 01 , (;) 1 a et -11 ; a appartiennent au graphe de cette fonction.

• La fonction exponentielle de base a est injective.

Autrement dit, pour tous réels x et y : aa xy xy== ⇔

Fonctions logarithmes

Soit a +{} 01 ; .

• La fonction logarithme de base a, notée log a , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a

Dès lors, la fonction logarithme de base a est la fonction qui, à chaque réel x strictement positif, associe l’exposant auquel il faut élever a pour obtenir x.

Cela signifie que :

log() a y xy xa== ⇔

• Propriétés de réciprocité des fonctions exponentielle et logarithme de même base :

• ∀ xa x a x ,log=

• ∀ xa x a x ° 0 + =,log()

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

• La représentation graphique et les caractéristiques d’une fonction logarithme sont :

Croissance Strictement décroissante Strictement croissante

Limites aux bornes du domaine

Asymptote

• Les points du graphe d’une fonction logarithme de base a sont de la forme (;log) ()xx a pour tout x ° 0 + et donc, en particulier, les points (;) 10 , (;) a 1 et 11 a ;- appartiennent au graphe de cette fonction.

• Propriétés :

• Logarithme d’un produit :

∀a +{;} 01 , ∀ xy xy xy aa a ,,logloglo ()g()() ° 0 +=+

• Logarithme d’un quotient :

∀a +{;} 01 , ∀ xy x y xy aa a ,,logloglo()g() ° 0 +=-

• Logarithme d’une puissance :

∀a +{;} 01 , ∀ x ° 0 + , ∀nx nx a n a ,loglo=g()

• Changement de base d’un logarithme :

∀a, b +{;} 01 , ∀ xx x a a b b ° 0 += ,log log log ()() ()

• La fonction logarithme de base a est injective. Autrement dit, pour tous réels x et y strictement positifs : logl()og() aaxy xy== ⇔

Nombre d’Euler, fonction exponentielle népérienne et fonction logarithme népérien

• Le nombre d’Euler, noté e, est défini par e n n n =+ + lim, & 11271828

• La fonction exponentielle de base e est appelée fonction exponentielle népérienne.

exp+ e x xe :: °° 0 a

• La fonction logarithme de base e, notée ln, est appelée fonction logarithme népérien

ln+::ln() °° 0 xx a

• Les fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien sont réciproques l’une de l’autre.

• Propriétés :

• ∀ x °, ∀ y ey xy x ° 0 +== ,ln() • ∀ xe x x ,ln=

∀ xe x x ° 0 += , ln()

Dérivées des fonctions exponentielles

Soient a +{;} 01 , x ° 0 + et f une fonction dérivable,

et logarithmes

• ee x x = • ee fx fxfx ()()() = • aa a x x =ln() • aa af x fx fx ()() ln =()()

Soient a +{;} 01 , x ° 0 + et f une fonction dérivable strictement positive

• x = n(1()) x • (( () () fx fx fx = 1 • ln() = ax lo1 g( () ) a x

Règle de l’Hospital

log()ln()() ()() a = fx af x fx 1

Soient a ° ∪ {;} -+&& et f et g deux fonctions dérivables au voisinage de a tels que lim() () xa fx gx existe et gx()0 pour tout réel x au voisinage de a

Si lim() () xa fx gx → mène au cas d’indétermination 0 0 ou & & , alors lim() () lim() () xaxa fx gx fx gx = .

Repères semi-logarithmique et logarithmique

• Un repère semi-logarithmique est un repère dans lequel un axe est gradué de façon logarithmique, tandis que l’autre axe est gradué de façon linéaire.

• Un repère logarithmique est un repère dans lequel les deux axes sont gradués de façon logarithmique.

• Dans un repère semi-logarithmique, une droite non verticale est la représentation graphique d’une fonction à croissance exponentielle et réciproquement.

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Soit f la fonction exponentielle telle que le point 13 2 ; appartient au graphe de f.

(a) Précise si f est croissante ou décroissante.

(b) Calcule f () 4 .

(d) Donne l’expression analytique de la fonction réciproque de f

2. Sans utiliser la calculatrice, calcule. (a) log 216()

log 1 1000 (c) ln e 6

eln() 7

log 3 9533

3. Résous les équations suivantes dans 

Série 1

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Série 2

(a) log() 1 3 2 x =-

(e) 22395 lo2525 gl()og() xx +=

(g) ln ()ln ()ln () xx x +-=122102

(b) 421410 lo16g() x +-=

(d) log()log()xx+=+11

(f) logl()og() 4463323xx+--=

(h) 3243 02502502 lo5 gloglog ,,, ()()() xx x =++-

(i) logloglo 3g 2 33 18()()=+xx x (j) lnln()() 33102 -=2xx x

(k) log() x x 212 -=

(m) 5410 ((2))()lnlnxx+-=

(l) (log ()) x 21 =

(n) (loog 4 2 ()124640 )() xx gl=

4. Donne l’expression analytique de la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

(a) fx x ()=10

(b) fx x ()lo=g() 4

(d) fx x x ()=1 2 2

(e) fx e x()=2 (f) fx xe x ()=2

(g) fx x e x ()=2

(h) fx x ()log()=+621

(i) fx x ()ln=-53 2 (j) fx x ()(ln()) =-532

(k) fx x ()(()) =sinln

(l) fx x ()(()) =lncos

(m) fx xx ()=-531 ⋅ (n) fx x ()()=+ log 251

(o) fx x x ()ln() = 2

5. Calcule les limites suivantes.

(a) lim() x x →+& log1 5 (b) lim x x → - & 7

(e) lim x x x →+ & 4 9 2 (f) lim x x e x →++ & 25

(g) lim x x e x → 0 1(h) lim() x x x e →+ & ln

(i) lim () x x e x → 0ln (j) lim x x x →& 73 3

(k) lim() x x x → 04 5 ln (l) lim() () x x x →+ & log log 3 4

6. Considérons la fonction f définie par fx e x x ()=+3

(a) Recherche les équations des asymptotes horizontale(s) et verticale(s) au graphe de f et précise les limites associées.

(b) Dresse le tableau de variations de f

FONCTIONS EXPONENTIELLES

7. Soient les fonctions f, g et h définies par fx e x ()= , gx x ()=2 et hx x ()() =ln .

(a) À l’aide du calcul de limites, compare la croissance sur ° 0 + de ces trois fonctions.

(b) Compare leur comportement lorsque x → 0+

8. L’échelle de pH est une échelle logarithmique qui indique la concentration en ions hydronium +HO 3 , exprimée en mol/L. Le pH est calculé de la manière suivante :

pH=-log+ HO 3

L’échelle de pH va de 0 à 14, où 0 est le plus acide et 14 est le plus basique. L’eau, dont le pH est 7, est considérée comme neutre.

(a) Représente sur une échelle adéquate les substances données ci-dessous :

Substance Jus de citron CaféLaitPomme Eau de mer DentifriceLessive +HO 3 (en mol/L) 6311 ,03

(b) Le blanc d’œuf a un pH compris entre 8 et 8,5. Complète : sa concentration en ions hydronium est donc comprise entre … et … mol/L.

9. Giacomo place un capital de 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 1,23 %.

(a) Combien de temps faudra-t-il pour que le capital triple ?

(b) Si son meilleur ami place un capital de 2 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,41 % au même moment, quand les deux capitaux seront-ils égaux ?

Certaines algues nuisibles peuvent se développer selon une croissance exponentielle lorsque les conditions environnementales sont favorables. Au Canada, des scientifiques mesurent régulièrement la concentration de chlorophylle-a dans un lac afin de suivre l’évolution de la biomasse algale. Le mois dernier, cette concentration était normale et s’élevait à 5 μg/L. Au cours des derniers jours, elle a fortement augmenté et a triplé en l’espace de 10 jours. La prolifération observée correspond à une phase de croissance exponentielle des algues.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction cn() qui donne la concentration de chlorophylle-a dans ce lac, exprimée en μg/L, n jours après le début de la prolifération en phase de croissance exponentielle.

(b) Si la phase de croissance exponentielle dure 21 jours, quelle sera la concentration en chlorophylle-a à la fin de cette phase ?

Lors de la charge rapide d’un smartphone, la puissance de charge dépend du temps de charge (le système réduisant la puissance pour protéger la batterie) et des limites physiques du courant. Un constructeur modélise la puissance instantanée de charge, exprimée en watts, en fonction du temps de charge, exprimé en heures, par la fonction

Pt te t ()=-4004

(a) Cette fonction est-elle bien positive pour tout réel t strictement positif ?

(b) Calcule lim() t Pt →+ & et interprète-le dans ce contexte.

On s’intéresse à la relation entre la masse corporelle M d’un animal (en kilogrammes) et sa puissance métabolique P (en watts), qui est la quantité d’énergie que l’animal consomme chaque seconde pour assurer ses fonctions vitales.

Le tableau ci-dessous donne des valeurs typiques pour différents animaux.

Animal

(a) Représente, dans un repère log–log, la puissance métabolique P en fonction de la masse M.

(b) Quelle est l’allure du nuage de points dans ce repère log–log ?

(c) On admet que la relation entre la puissance métabolique P et la masse M est de la forme Pk M = ⋅ 3 4 où k est une constante.

Cette relation se traduit graphiquement dans un repère log-log : 3 4 est-il la pente ou l’ordonnée de la droite qui ajuste ce nuage de points ?

La masse Mt() d’un solide, exprimée en grammes, restant à dissoudre dans un solvant a été mesurée au fil du temps t, exprimé en minutes.

(en g)

(a) Sur la base du tableau donné, estime la masse du solide restant à dissoudre au bout de 20 minutes. Arrondis ta réponse au milligramme près.

(b) Choisis le repère le plus adéquat entre un repère linéaire, un repère semi-logarithmique et un repère logarithmique pour représenter ces données.

(d) Au bout de combien de temps le solide sera-t-il dissous de moitié ? Arrondis ta réponse à la seconde près.

(e) Calcule lim() t Mt →+ & et interprète ce résultat.

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé pour la datation de fossiles vieux d’au plus 50 000 ans. Sa période radioactive est de 5 730 ans.

Concrètement, on estime que le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12, contenus dans le corps d’un organisme vivant, est stable à un niveau de 1121 ,012.

Lorsqu’un organisme meurt, il n’échange plus de carbone avec l’environnement :

• la quantité de carbone 14 commence à décroître de manière exponentielle à la suite de la désintégration radioactive ;

• la quantité de carbone 12 reste constante.

Rappel : la période radioactive d’un isotope est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon se désintègrent.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction rt() où rt() est le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12, t années après qu’un organisme meurt.

(b) En Chine, la momie de Xin Zhui, également connue sous le nom de marquise de Dai, est l’une des mieux conservées au monde. Elle est datée de 2 200 ans. Quel est le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12 qui a été trouvé par les scientifiques ?

(c) Ötzi est un homme préhistorique retrouvé dans un glacier des Alpes en 1991. Il s’agit de la plus vieille momie conservée naturellement à ce jour. Au moment de cette découverte, le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12 était d’environ 591013 , ⋅ - . Estime depuis combien de temps cet homme était décédé.

(d) Explique pourquoi la datation au carbone 14 ne peut pas être utilisée pour les dinosaures, disparus il y a environ 66 millions d’années.

Tu es désormais capable d’y répondre !

3 UAA COPYRIGHTVANIN

INTÉGRALE

Objectifs

Connaître

• Illustrer graphiquement (et justifier) la formule du calcul d’une aire, d’un volume d’un solide de révolution.

• Écrire les intégrales qui permettent de calculer l’aire d’une zone sélectionnée sur un graphique.

Appliquer

• Approximer une aire par une somme d’aires élémentaires à l’aide de l’outil informatique.

• Vérifier qu’une fonction donnée est une primitive d’une autre.

• Déterminer une primitive.

• Calculer une intégrale définie.

• Calculer la mesure d’une aire, d’un volume.

Transférer

• Utiliser le calcul intégral pour résoudre des problèmes.

L’histoire des intégrales remonte à l’Antiquité, lorsque des mathématiciens grecs, comme Eudoxe ou Archimède, cherchent à calculer l’aire de figures ou le volume de solides en procédant par approximations successives. Ces méthodes, appelées « méthodes d’exhaustion », préfigurent déjà la notion d’intégrale.

La naissance du calcul intégral moderne au XVIIe siècle est étroitement liée aux travaux de Newton et Leibniz. Newton l’utilise pour résoudre des problèmes liés au mouvement et à la gravitation, tandis que Leibniz développe un système de notation et de règles de calcul qui se rapproche de celui que nous utilisons encore aujourd’hui.

Au XVIIIe siècle, Euler et d’autres mathématiciens généralisent l’intégration à de nombreuses fonctions et introduisent des techniques de calcul qui permettent d’aller bien au-delà des simples aires ou volumes.

C’est au XIXe siècle que Riemann propose une définition rigoureuse de l’intégrale à l’aide de sommes qui portent aujourd’hui son nom. Ses

travaux, prolongés par Lebesgue et d’autres, posent les fondations de l’analyse moderne et élargissent encore le champ des fonctions intégrables.

Les intégrales sont aujourd’hui un outil fondamental dans de nombreux domaines scientifiques et techniques :

• en physique : pour calculer des distances parcourues à partir d’une vitesse qui varie dans le temps, pour calculer le travail d’une force ou encore pour déterminer l’intensité moyenne d’un courant alternatif ;

• en économie : pour déterminer une recette ou une dépense totale lorsque les coûts varient ;

• en médecine : pour évaluer le volume d’un organe ou pour traiter des signaux continus, comme les IRM ou les électroencéphalogrammes ;

• en géographie : pour estimer une surface de terrain ou la quantité d’eau dans un réservoir ;

• en informatique et design : pour tracer et lisser des courbes ou créer des animations réalistes.

Introduction historique COPYRIGHTVANIN

Un artisan conçoit une toupie en bois, appelée toupie pirouette. Elle est constituée de deux parties : un corps arrondi et creusé, et un manche permettant de la faire tourner.

Pour connaître la masse de la toupie, il doit calculer son volume !

À

la fin de chapitre, tu seras capable de calculer le volume de cette toupie !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Appliquer

1. Écris les monômes suivants sous la forme axn où a ∈ ° et n ∈ §

(a) 1 2 x

(b) 3 5 x

(d) x (e) x 53

(g) 7 89 x

2. Calcule les dérivées suivantes.

(f) 1 32 x

(h) x x 43

(a) x4 ′ (b) x ′

(d) 314 10 9 x xx -+ (e) (sin( x))′ (f) ( x cos( x))′

(g) 43 75 x x-

3x ⋅ (2x + 4)8 ′ (i) (tan(2x))′

( j) 47 x + ′ (k) ex2 ′ (l) ln(9x3 + 2) ′

THÉORIE

Outils algébriques

Propriétés

Puissances à exposants rationnels

Soient

Dérivée

Propriétés

Dérivée des fonctions de référence

Fonctions puissances

• (k)′ = 0 où k est une constante

• ( x )′ = 1

• x2 ′ = 2x • xn ′ = nxn–1 où n ∈ §0

• x x = 1 2 • 11 2 xx =-

Fonctions trigonométriques

• (sin( x ))′ = cos( x )

• (tan()) cos tan() () xx x ′ ==+ 11 2 2

Fonctions exponentielles et logarithmes

• ex ′ = ex

• (ln() x x ′ )=1

• (cos( x ))′ = –sin( x )

• =( aa a x x ln) où a ∈ °+\{0; 1}

• (log())ln) a x ax = ( 1 où a ∈ °+\{0; 1}

Propriétés

Formules de dérivation

Soient k un réel et f et g deux fonctions dérivables en un réel x

• ( f + g )′( x ) = f ′( x ) + g′( x )

• ( f – g )′( x ) = f ′( x ) – g′( x )

• ( f ⋅ g )′( x ) = f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g′( x )

• ( k f )′( x ) = k f ′( x )

• 1 2 f x fx fx ()() (()) =- si f ( x ) ≠ 0

• f g x fx gx fx gx gx ()()()()() (()) =2 si g ( x ) ≠ 0

• ( f ° g )′( x ) = ( f ( g ( x )))′ = f ′( g ( x )) g′( x )

Propriétés

Lien entre distance parcourue, vitesse et accélération d’un mobile

• La distance parcourue d d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer sa vitesse v : d′(t) = v(t).

• La vitesse v d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer son accélération a : v ′(t) = a(t).

1. Primitives et intégrale indéfinie

DÉCOUVERTE

Activité 1 Notion de primitive

1. Quelle fonction usuelle de référence, que l’on notera F, a-t-on dérivée pour obtenir la fonction f définie par f ( x ) = 2x ?

G

On dit que la fonction F est une primitive de f si F ′ = f.

• ò ex x d= car … COPYRIGHTVANIN

2. Donne si possible une fonction G, différente de F, qui est aussi une primitive de f

3. La fonction G est-elle unique ?

4. Exprime toutes les fonctions G dont la dérivée est f

πG

On dit que la famille de primitives de f est de la forme G ( x ) = x2 + c où c ∈ °

Lorsque l’on veut donner l’ensemble des primitives de f, on calcule l’intégrale indéfinie de f, notée ò fx x () d . Dans cet exemple, on a donc ò fx xG xc Fx c () ( )( ) d= += + où c ∈ °

Activité 2 Intégrale indéfinie des fonctions usuelles

1. En te basant sur le premier exemple résolu, calcule l’intégrale indéfinie de chaque fonction de référence ci-dessous.

• ò 1d=+ xx c où c ∈ ° car ( x + c)′ = 1.

• ò 2 xxd= … car …

• ò xx d = … car …

• ò 32xxd= … car …

• ò xx2d= … car …

• Si n ∈ °\{–1}, ò xx n d= car …

• ò 2 x x d= … car …

• ò cosd= ()xx … car …

• ò sind= ()xx … car …

• òò11 2 2 cos tan () (()) x xx x d=+d= … car …

2. Montre que ò 1 x xx c d=+ ln() || où c ∈ °

3. Considérons les fonctions F et G définies par F ( x ) = x3 et G ( x ) = sin( x ).

(a) Détermine l’expression analytique des fonctions f et g, qui sont les dérivées respectives de F et G.

(b) Déduis-en les intégrales indéfinies ò fx x () d et ò gx x () d .

(d) Déduis-en l’intégrale indéfinie ò sx x () d . Quel lien peux-tu faire avec ò fx x () d et ò gx x () d ?

(e) Détermine l’expression analytique de la fonction t, qui est la dérivée de la fonction 2 F.

(f) Déduis-en l’intégrale indéfinie ò tx x () d . Quel lien peux-tu faire avec ò fx x () d ?

(g) Détermine l’expression analytique de la fonction p, qui est la dérivée de la fonction F G

(h) Peux-tu conclure que ∫∫ ∫ ⋅ px xf xx gx x ()()() d=dd ?

πG

Si f et g sont deux fonctions intégrables, alors :

• ò òò (( )( )( )( ) fx gx xf xx gx x +) d=d+ d ;

• ∫∫ kf xx kf xx()() d= d .

Mais ∫ (( )( ) fx gx x)d ≠ ∫∫ fx xg xx()()dd .

THÉORIE

Définition

Primitive d’une fonction

Soient I un intervalle, f : I → ° une fonction et F : I → ° une fonction dérivable. F est une primitive de f si F ′ = f.

Exemples

• sin( x ) est une primitive de cos( x ) car (sin( x ))′ = cos( x ).

• x 2 2 +2 est une primitive de x car xx x 2 2 22 2 +=0+= .

Théorème

Théorème de non-unicité

Soient I un intervalle, f : I → ° une fonction et F : I → ° une fonction dérivable. Si F est une primitive de f, alors la famille de primitives de f est de la forme G ( x ) = F ( x ) + c où c ∈ ° pour tout réel x ∈ I.

Exemples

• 3x3 + 4x est une primitive de 9x2 + 4 car 3x3 + 4x ′ = 9x2 + 4.

• 3x3 + 4x – 2 est une primitive de 9x2 + 4 car 3x3 + 4x – 2 ′ = 9x2 + 4.

Vocabulaire et notation

Soient I un intervalle et f : I → ° une fonction.

• L’ensemble des primitives de f est appelé l’intégrale indéfinie de f et est noté ò fx x () d

• Si F : I → ° est une fonction primitive de f sur I, on note ò fx xF xc()()d=+ où c ∈ ° et on dit que f est intégrable

• Dans l’expression ò fx x () d , f ( x ) est appelée l’intégrande.

Propriétés

Intégrales indéfinies des fonctions usuelles

• ò 0d=xc où c ∈ °

• ò ax ax c d=+ où c ∈ ° si a ∈ °

• ò xx x n c n n d= + + +1 1 où c ∈ ° si n ∈ °\{–1}

• ò 1 x xx c d=+ ln(||) où c ∈ °

• ò exxxec d=+ où c ∈ °

• ò ax a a c x x d= () + ln où c ∈ ° si a ∈ °+\{0; 1}

• ò cos()sin() xx xcd=+ où c ∈ °

• ò sin()cos() xx xcd=-+ où c ∈ °

• ∫∫11 2 2 cos() tan()tan() x xx xx c d=+d=+ où c ∈ °

Remarque

Les formules précédentes sont valables pour tout x ∈ I, où I est un intervalle inclus dans le domaine de l’intégrande.

Par exemple :

• ò cos()sin() xx xcd=+ où c ∈ ° est valable pour tout réel x ∈ ° ;

• ò 1 x xx c d=+ ln() || où c ∈ ° est valable pour tout réel x ∈  0 + ou pour tout réel x ∈  0.

Démonstration

Dans chaque démonstration, on travaille sur un intervalle I inclus dans le domaine de l’intégrande.

• Pour tout réel c, (c)′ = 0 donc ò 0d=xc où c ∈ °.

• Pour tout réel c, (ax + c)′ = a donc ò ax ax c d=+ où c ∈ °.

• Pour tout réel c, x n c n nx x n nn + + += + (+)= 1 1 1 1 1 donc ò xx x n c n n d= + + +1 1 où c ∈ °

• Pour tout réel c,

• si x > 0, (ln(||)(ln() xc xc x +)=+)= ′′ 1 ;

• si x < 0, (l+)=(-)+)=n((-)== ||)(ln() xc xc x x xx 1111

Dès lors, (+= ln(||)) xc x ′ 1 , ce qui implique que ò 1 x xx c d=+ ln(||) où c ∈ °

• Pour tout réel c, (ex + c)′ = ex donc ò exxxec d=+ où c ∈ °.

• Pour tout réel c, a a c a aa a x xx lnln ln () += () 1()= donc ò ax a a c x x d= () + ln où c ∈ °

• Pour tout réel c, (sin( x ) + c)′ = cos( x ) donc ò cos()sin() xx xcd=+ où c ∈ °.

• Pour tout réel c, (– cos( x ) + c)′ = –(–sin( x )) = sin( x ) donc ò sin()cos() xx xcd=-+ où c ∈ °

• Pour tout réel c, (tan() cos() xc x +)= ′ 1 2 donc ò 1 co2s() tan() x xx c d=+ où c ∈ °

Propriétés

Linéarité des intégrales indéfinies

Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle du domaine de f et de g et k un réel.

• òò ò (()()()() fx gx xf xx gx x +) d=d+d • ∫∫ kfx xk fx x ()()d=d

Remarques

• La linéarité des intégrales indéfinies découle des propriétés des dérivées.

• La linéarité implique que òò ò (()()()() fx gx xf xx gx x -) d=d-d car

∫∫(()())(())()) fx gx xf xg xx -d=+(d1 .

• Attention, ∫ (()() fx gx x)d ≠ ∫∫ fx xg xx()()dd .

Dans ce chapitre, chaque intégrale indéfinie est supposée être calculée sur un intervalle I du domaine de l’intégrande.

EXERCICES

1. Calcule.

Série 1

(a) ò xx 6d

(e) ò 2 cos d 2() x x

(g) ò 1 2 x xd

(i) ò 13d u u 14

(k) ò 2 3 xx d

(m) ò 7 8 d t t

Série 2

(a) ò () 32xx -d

(b) ò 10 dx

(d) ò 8 5 3 x xd

(f) ò 5cosd ()xx

(h) ò 1 34 x xd

(j) ò xx d

(l) ò 1d 53 x x

(n) ò 5 2 d x x x 4

(b) ò () 15302 2 xx x+-d

(e) ò ()xx +d 52 (f) ò () 3222 yy -d

(g)

3 5 52 x x xx2 +d (h) ∫

-++d x x x x 8 23 4 2 7 3

(i) ò 1264 3 +d xx x x (j) ò 103 52tt t t t +d

Série 3

(a) ò 4 x xd

(b) ò 2 x xd

(e) ò 1d u u u (f) ò 2 3 x x xd

(g) ò 1 9 x xd

(h) ò ()412 x x+d

2. Détermine l’expression analytique de la fonction F, la primitive de la fonction f, si :

(a) f est définie par f ( x ) = x2 + 4x – 1 et F (3) = 2 ;

(b) f est définie par f ( x ) = 2cos( x ) + 5 et F (–π) = 0 ;

3. Considérons la fonction f définie par f ( x ) = 3x2 + 5x et la fonction F, une primitive de f, représentée ci-dessous.

(a) Détermine l’expression analytique de F

(b) Parmi les graphiques suivants, lequel est la représentation d’une autre primitive de f ? Justifie.

4. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des primitives de la fonction f ( x ) = sin( x ) – x ?

F1 ( x ) = cos( x ) – 1

Fx x x 3 2 ()2 co =-s()1

5. Vérifie qu’une primitive de 1 si2n() x est1 tan() x

F2 ( x ) = cos( x ) – x2 – 1

Fx x x 4 2 ()2 co =-s()-

6. Dans un parc d’attractions, Helena prend place dans une nacelle de la plus haute tour du parc. La nacelle monte alors jusqu’à 50 mètres de hauteur, s’arrête durant quelques secondes, puis est lâchée. La chute peut s’apparenter à une chute libre sur 15 mètres. Si Helena crie pendant ces 15 premiers mètres, pendant combien de temps a-t-elle crié ?

Pour rappel : en physique, une chute libre s’apparente à un mouvement rectiligne uniformément accéléré où l’accélération vaut g = 9,81 m/s2. De plus,

• la distance parcourue d d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer sa vitesse v : d′(t) = v(t) ;

• la vitesse v d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer son accélération a : v

7. Au volant de sa voiture, sur une route plane et se rapprochant d’un feu rouge, Timéo retire son pied de la pédale d’accélération. Il ralentit alors de façon constante, en raison des forces de frottement, avec une décélération de 1 m/s2. Sa vitesse initiale était de 20 km/h.

(a) Détermine l’expression analytique des fonctions a(t), v(t) et d(t) qui représentent respectivement l’accélération, la vitesse et la distance parcourue par la voiture t secondes après qu’il a lâché la pédale.

(b) Quelle distance parcourt-il avant de s’arrêter ? Arrondis ta réponse au centimètre près.

2. Méthodes d’intégration

DÉCOUVERTE

Activité 1 Primitives quasi immédiates

Dérive les fonctions suivantes et déduis-en l’intégrale indéfinie de chacune de ces fonctions dérivées.

1. F1 ( x ) = sin(2x)

2. F2 ( x ) = x2 + 3 8

3. F3 ( x ) = e

x )

Tu viens d’écrire les intégrales indéfinies de fonctions dérivées composées : on parle alors de primitives quasi immédiates, car on peut les retrouver très rapidement par reconnaissance de forme.

Autrement dit, si f et g sont deux fonctions dérivables, alors ò g′( f ( x )) f ′ ( x ) dx = g ( f ( x )) + c où c ∈ °

Activité 2 Intégration par substitution

Considérons l’intégrale indéfinie () 237xx x-d ∫

1. Peut-on utiliser la méthode des « primitives quasi immédiates » pour calculer cette intégrale ?

2. On introduit une variable intermédiaire, notée t, afin de réécrire toute l’intégrale en fonction de t, et non plus de x. Complète les pointillés.

Posons t = 2x – 3

dt = dx et x = … On dérive selon t On dérive selon x

3. Réécris l’intégrale en fonction de t, calcule-la et exprime la réponse finale en fonction de x

πG

Tu viens de résoudre une intégrale par la méthode de substitution.

Activité 3

Intégration par partie

Lorsque l’on souhaite calculer l’intégrale d’un produit de deux fonctions, les méthodes d’intégration quasi immédiates ou par substitution ne suffisent pas toujours. On peut alors utiliser une technique inspirée de la dérivée d’un produit, appelée intégration par partie.

1. Soient f et g deux fonctions dérivables. Trouve la formule de l’intégration par partie en suivant les indications données.

( f ( x ) g ( x ))′ = …(formule de la dérivée du produit de deux fonctions)

⇔ …(intégration des deux membres de l’égalité)

⇔ …(linéarité de l’intégrale sur la somme)

⇔ …(définition de primitive)

⇔ …(isoler ò f ( x ) g′( x ) dx)

2. Appliquons la formule de l’intégration par partie pour calculer ()() 43xx x +sind ∫

Choisissons f ( x ) = … f ′( x ) = … g′( x ) = … g ( x ) = …

On a alors que ()() 43xx x +sind=

Tu viens de résoudre une intégrale par la méthode d’intégration par partie. dériver intégrer

THÉORIE

Primitives quasi immédiates

Propriétés

Primitives quasi immédiates

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I où I est inclus dans le domaine de l’intégrande.

• ò fx fx x fx n c n n ()(())(()) d= + + +1 1 où c ∈ ° si n ∈ °\{–1}

• ò ′ fx fx xf x c () () ln(|() d=|)+ où c ∈ °

• ò f x ex fx ()()d = e f ( x ) + c où c ∈ °

• ò f x ax a a c fx fx ()ln() () () d=+ où c ∈ ° si a ∈ °+\{0; 1}

• ò fx fx x ()cos(())d = sin( f ( x )) + c où c ∈ °

• ò fx fx x ()sin(())d = –cos( f ( x )) + c où c ∈ °

• ò ′ fx fx x () cos()() 2 d = tan( f ( x )) + c où c ∈ °

Exemples

1. ò 222 xx x xc cossin ()()d=+ où c ∈ °

f ( x ) f ′( x ) f ( x )

2. ò 43 237 237 2 2 x xx xx xc + ++ d=+++ ln(||) où c ∈ °

f ( x )

f ′( x ) f ( x )

f ( x )

3. òò()()() 45445145 4 1 46 55 6 x x x x xc ++ + d=d=+ ⋅ où c ∈ °

f ( x ) f ′( x )

f ( x )

Intégration par substitution

Méthodo

Méthode d’intégration par substitution

Pour intégrer une fonction, qui dépend de x, par la méthode de substitution, il faut :

1. identifier une substitution pertinente et poser t = f ( x ) ;

2. exprimer dx en fonction de dt en dérivant membre à membre l’égalité t = f ( x ) ;

3. réécrire l’intégrale en remplaçant tous les termes qui dépendent de x par des termes en t ;

4. résoudre la nouvelle intégrale obtenue en t ;

5. revenir à la variable initiale en remplaçant t par f ( x ) dans la solution finale.

Exemples

1. ò () x x x+d 14

Posons t = x + 1

On a alors que

• x = t – 1 ;

• dx = dt.

Dès lors,

2. ò ln() () ln() x x x xd 4

Posons t = ln( x ) – 4

On a alors que • ln( x ) = t + 4 ;

• 1 x xtd=d .

Dès lors,

()() x t x t x t+dd 1=-1 44 ⋅ =-d ∫ tt t 54 =-+ tt c 65 65 où c ∈ ° =-+ ++ ()() xx c 11 65 65 où c ∈ °

òò ln() () ln() x t x xt xtdd = + 4 4

=+d ò t tt t 4

=+d ò 141 t t

= t + 4ln(| t |) + c où c ∈ ° = ln( x ) – 4 + 4ln(|ln( x ) – 4|) + c où c ∈ °

Remarque

Toutes les intégrales quasi immédiates ò gf xf xx(())() d peuvent être résolues par la méthode de substitution en posant t = f ( x ) et donc dt = f ′( x ) dx

Dès lors, ò g f x fx x ()()() d==+==+ d ò ′ gg tc gg c tt f x t ()()()() () où c ∈ °

Exemple

∫ xx x 23 cosd

Posons t = x3 .

On a alors que dt = 3x2 dx ⇔ 1 3 d=2d tx x

Dès lors,

òò xx t xt 231 3 cos()cos() dd==d=+ 1 3 1 3 ò cos()sin() tt tc =+ 1 3 si3 n x c où c ∈ °.

Intégration par partie

Propriété

Méthode d’intégration par partie

Soient f et g deux fonctions dérivables.

fx gx xf xg xf xg xx()()()()()() d=-d

Exemples

• ò ()si 21n() xx x+d

En choisissant

f ( x ) = 2x + 1 f ′( x ) = 2

g′( x ) = sin( x ) g ( x ) = –cos( x )

on a que ò ()si 21n() xx x+d = (2x + 1) ⋅ (–cos( x )) – ò 2(cos()) -dxx = –(2x + 1) ⋅ cos( x ) + 2 ò cos()xx d = –(2x + 1) ⋅ cos( x ) + 2sin( x ) + c où c ∈ °

• ò xx x 8 ⋅ ln() d

En choisissant

f ( x ) = ln( x ) ′ fx x ()=1

g′( x ) = x8 gx x ()= 9 9

On a que

òò xx x x x x x x 8 99 9 1 9 ⋅ ln()lnd=()-d

=-d x x xx 9 8 9 1 9 ln() ò =-+ x x x c 99 9 1 99 ln() où c ∈ °

=-+ x x x c 99 981 ⋅ln() où c ∈ °

EXERCICES

1. Calcule les intégrales quasi immédiates suivantes. Vérifie que l’expression finale est correcte en la dérivant ou en utilisant l’outil informatique.

(a) ò () 2455 xx +d

(e) ò 63 27 x xx x + ++ d

(g) cos()sin() cos()sin() xx xx x+ d ò

(i) ò 2 2 e e x x x + d

(k) xx x ⋅ ∫ 12-d

(m) ex x 4d ò

(o) ln() x x xd ò

(b) ∫ 51232xx x-d

(d) ò 1 co254 sd () π x x

(f) ∫ 63 27 x xx x + + d

(h) 5431430632 xx xx x+++d ∫

(j) ex x x 65 ∫ d

(l) sind 2()cos()xx x ∫

(n) 5ex x ex ⋅ ∫ d

(p) tan()xx d ò

2. Calcule en utilisant la méthode d’intégration par substitution.

(a) ()xx x-d 76 ∫

(e) 251 1 x x xd ò

(g) cos()(sin()) sin() xx x x ∫ 4+d

(b) () 482 4 xx x+d ⋅ ∫

(d) () 6552 xx xd ⋅ ∫

(f) 5035 57 x x x + + d ò

(h) 1 31 +d x x ò

3. Calcule en utilisant la méthode d’intégration par partie.

(a) 9 xx x ⋅ ∫ cos()d

(e) ln()xx d ò

4. Calcule par la méthode d’intégration adéquate.

(a) () 6325 xx x x++d ∫

(b) ()si 53n()-d xx x ∫

(d) xx x ∫ ln() d

(f) ex x x 3 ∫ sin()d

(b) 224 xx x ∫ ()+d

(d) 2 2 ln() x x xd ò

(e) cos93 4 xx -d π 

(g) sin() () x x x cos d 3 ò

(i) 41d sin()(sin())cos() xx xx ∫

(k) 33 xe x x ⋅ ∫ d

(m) x x xd 4 44 ò

(o) (ln()) x x x 2 d ò

(q) x x x 1+ d ò

(s) ()() 21212100xx x+-d ∫

(u) ex x x ∫ cos()4d

(f) 1 co22 s d () x x ò

(h) sin() xx x x2-d ∫

(j) xe x x ⋅ ∫ 2d

(l) 25 42 x x x + + d () ò

(n) x x x 3 41d ò

(p) ln() x x x 2 d ò

(r) x e x x d ò

(t) x x x 2 7+ d ò

(v) sin(ln()) xx d ò

5. Vérifie que la fonction g définie par gx x x ()sin() =1 est une primitive de la fonction f définie par fx x x x x ()sin()cos() =2

6. Zoé part de Binche à vélo pour rejoindre Mons. Ces deux villes sont distantes de 17 km. Elle se déplace sur une route supposée rectiligne et sa vitesse, exprimée en km/h, est donnée par vt t Z ()= + 40 2 où t est le temps, exprimé en heures. On considère que Zoé démarre de Binche en t = 0.

Au même moment, Maya part de Mons en direction de Binche, également à vélo en empruntant le même chemin dans le sens opposé. Sa vitesse, quant à elle, est donnée par vt t M ()() = + 35 12

(a) Soit dZ(t) la distance (en km) parcourue par Zoé après t heures. Détermine l’expression de dZ(t).

(b) Soit dM(t) la distance (en km) parcourue par Maya après t heures. Détermine l’expression de dM(t).

3. Intégrale définie

DÉCOUVERTE

Activité 1 Lien entre aire d’une surface et primitive

1. Considérons la fonction constante f ( x ) = 3 représentée ci-dessous.

(a) Calcule l’aire des surfaces colorées dans les situations suivantes.

(b) En te basant sur le point (a), donne la formule générale, qui dépend de x, qui permet de calculer l’aire de la surface colorée ci-dessous.

2. Considérons la fonction identité f ( x ) = x représentée ci-dessous.

(a) Calcule l’aire des surfaces colorées dans les situations suivantes.

(b) En te basant sur le point (a), donne la formule générale, qui dépend de x, qui permet de calculer l’aire de la surface colorée ci-dessous.

3. Sur la base des points 1 et 2, quel lien observes-tu entre la formule générale de l’aire trouvée et la fonction initiale f ?

Il existe un lien entre l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative d’une fonction f positive, l’axe Ox et les droites verticales d’équations x = 0 et x = a (où a > 0) et une primitive de la fonction f.

Activité 2 Aire d’une surface par la méthode des rectangles

L’objectif de cette activité est de déterminer l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation y = x2 + 1, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

1. Approxime l’aire recherchée en comptant le nombre de carrés de 1 unité de côté.

2. Pour obtenir une estimation plus précise, découpons la surface en plusieurs rectangles, dont nous pouvons facilement calculer l’aire. Voici trois méthodes différentes pour approcher cette aire à l’aide de 5 rectangles.

(a) Pour chacune des trois méthodes, les cinq rectangles ont tous la même base. Comment avons-nous procédé ?

(b) La hauteur de ces rectangles n’est cependant pas la même. Comment avons-nous procédé pour chacune des trois méthodes proposées ?

(c) Calcule l’aire approximative pour chacune des trois méthodes en effectuant la somme de l’aire des cinq rectangles représentés.

(d) Comment améliorer ces approximations ? Visualise-le en scannant le code QR ci-contre.

(e) Le tableau suivant donne l’approximation de la somme des aires des rectangles en augmentant le nombre de rectangles pour chacune des trois méthodes. Conjectures-en l’aire de la surface recherchée.

GeoGebra

Plus le nombre n de rectangles augmente, plus les trois méthodes d’approximation donnent des valeurs proches les unes des autres. Elles convergent vers la valeur exacte de l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation y = x2 + 1, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 2. Cette valeur est égale à 10 3

De façon générale, cette aire correspond à la limite d’une somme de rectangles très fins. On additionne les aires des rectangles : fx xf xx fx xf xx n i n i () () () () 12 1

+ + + = = où n est le nombre de rectangles, ∆x la largeur de chaque rectangle et xi une valeur prise dans chaque sous-intervalle.

3. Cherchons maintenant à calculer précisément cette aire.

(a) Détermine l’expression analytique de F, une primitive de la fonction f ( x ) = x2 + 1.

(b) Calcule F (1) et F (2). Quel lien peux-tu faire avec l’aire recherchée ?

(d) Calcule G (1) et G (2). Peux-tu tirer la même conclusion qu’à la question (b) ?

Si on considère la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe Ox et les droites verticales d’équations x = a et x = b (où a < b), l’aire de cette surface est donnée par la différence entre les valeurs d’une primitive de f entre a et b

Cette différence est appelée intégrale définie de f entre a et b, se note a b fx x ò () d et est définie par a b fx x ò () d = F (b) – F (a) où F est une primitive de f.

THÉORIE

Définition COPYRIGHTVANIN

Intégrale définie

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b et f une fonction intégrable sur l’intervalle [a; b].

Pour tout naturel n ∈ •0, considérons i n i fx x =1 () où n donne le nombre de subdivisions de l’intervalle [a; b], ∆x la longueur de chaque sous-intervalle égale à ba net xi une valeur choisie dans chaque sous-intervalle (où 1 ≤ i ≤ n).

L’intégrale définie de f sur [a; b], notée a b fx x ò () d , est la limite :

a b n i n i fx xf xx ò ()lim() d= + = & 1

Remarques

• Les xi peuvent être choisis tout à fait arbitrairement, comme le montraient les trois méthodes utilisées dans l’activité 2 de la découverte.

• On aurait également pu définir l’intégrale définie en choisissant des sous-intervalles de longueurs différentes.

• Le symbole ò , choisi pour la notion d’intégrale, rappelle la lettre « S » allongée, qui est la première lettre du mot « somme », tandis que « f ( x ) dx » rappelle « f ( xi ) ∆x ».

Interprétation géométrique de la définition

Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle [a; b] où a < b. L’intégrale définie a b fx x ò () d donne l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe Ox et les droites verticales d’équations x = a et x = b

Pour approximer cette aire, on subdivise l’intervalle [ a ; b ] en n sous-intervalles de longueur ∆x ba n =et on choisit une valeur xi (où 1 ≤ i ≤ n) dans chaque sous-intervalle afin de construire n rectangles de base ∆x et de hauteur f ( xi ). L’aire est donc approximée par la somme de l’aire de ces différents rectangles.

Plus on augmente le nombre de rectangles, plus l’approximation est précise. Lorsque l’on passe à la limite, l’erreur est nulle et donne l’aire.

Théorème

Théorème d’existence

Si f est une fonction continue sur [a; b] et F : [a; b] → ° est définie par Fx ft t a x ()()=d ò , alors F est une primitive de f sur [a; b].

Illustration

L’animation GeoGebra disponible en scannant le code QR ci-contre permet d’illustrer ce théorème.

Théorème

Lien entre primitives et intégrales définies

Si f est une fonction continue sur [a; b] et F est une primitive de f sur [a; b], alors

Notation

En application, on notera

afin de faire apparaître l’expression analytique de F

Exemple

Méthodo

Résolution d’une intégrale définie par substitution

Pour calculer une intégrale définie par la méthode d’intégration par substitution, on peut :

• Méthode 1 : traduire les bornes d’intégration suivant la nouvelle variable et effectuer le calcul intégral suivant cette nouvelle variable.

• Méthode 2 : garder les bornes suivant la variable initiale, calculer une primitive en fonction de la nouvelle variable, réexprimer le résultat en fonction de la variable initiale pour enfin calculer l’intégrale définie.

Exemple

0 2 23 ∫ ()xx x+d

• Méthode 1 :

0 2 23 ∫ ⋅ () x x x+d

Posons t = x + 2

On a alors que

• x = t – 2 ;

• dx = dt

Calcul de bornes : si x = 0, alors t = 0 + 2 = 2 et si x = 2, alors t = 2 + 2 = 4.

Dès lors,

• Méthode 2 :

0 2

23 ∫ () x x x+d

Posons t = x + 2

On a alors que

• x = t – 2 ;

• dx = dt.

Dès lors,

Méthodo

Résolution d’une intégrale définie par partie

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle [a; b].

Une intégrale définie par la méthode d’intégration par partie se calcule de la manière suivante :

Exemple

1 5 e xx ò ln() d

En choisissant f ( x ) = ln( x ) ′ fx x ()=1

g′( x ) = 5 g ( x ) = 5x on a que 1 1 1 1

ln()ln()ln d=()-d=-

(ln()ln())()

555 11 d=ln()

Propriétés

Soient I un intervalle, a, b, c des réels appartenant à I et f une fonction intégrable sur I.

1. a a fx x ò () d=0

2. a b b c a c fx xf xx fx x òò ò ()()() d+d=d y 0 x 1 1 f abc

3. a b b a fx xf xx òò()()d=-d

Démonstration

Comme f est intégrable sur I, nommons F une primitive de f sur I Par le théorème faisant le lien entre primitives et intégrales définies :

1. a a fx xF aF a ò ()()()d=-=0 ;

2. a b b c a c fx xF bF a fx xF cF b FcFa fx ò ò ò ()()()()()()()()(d-+=+=-=d-))dx ;

3. a b b a fx xF bF aF aF bf xx òò()()()(()())() d=-==-d

Remarques

Soient a  0 et f une fonction intégrable sur [–a; a].

• Si f est paire, alorsd=d a aa fx xf xx ∫∫()() 2

• Si f est impaire, alorsd= a a fx x ò ()0

EXERCICES

1. Calcule les intégrales définies suivantes.

Série 1

Série 2

(a) 0 3 5-63)d ∫ xx x (

(e) -8 -24 2-5 d ò x x x

(b) π π 2 sincos sin+1 d ∫ ()() () xx x x

(d) 1 2lnd e xx ∫ () x

(f)cos+d π π π ∫ ()() xx x

2. Considérons la fonction f définie par f ( x ) = cos2 (2x).

(a) À l’aide de l’outil informatique, détermine une primitive de f

(b) Déduis-en4 22 cos2d () π π ò xx

3. Détermine le réel a supérieur à 1 tel que 1 (4+3) d=15 a xx ò

4. Soient f, g et h les fonctions représentées ci-dessous où f et h sont paires et g est impaire, �� l’aire de la surface colorée en vert, ℬ l’aire de la surface colorée en orange et �� l’aire de la surface colorée en bleu.

Exprime, en fonction de ��, de ℬ ou de ��, les intégrales suivantes.

5. Considérons les fonctions f et g représentées ci-après. Donne le signe des intégrales définies suivantes et justifie.

6. Si une force constante F agit sur un objet qui se déplace de la position initiale xi mètres à la position finale xf mètres, alors le travail de cette force, exprimé en joules, est défini par W = F cos(θ) ( xf – xi)

où θ est l’angle compris entre la force et le vecteur déplacement. Lorsque l’angle θ est constant, mais que l’intensité de la force varie en fonction de la position x, on

note F = F ( x ). Le travail de la force est alors donné par l’intégrale x x i f Fx x ∫ ()cos() θ d .

F (x) cos() θ

Dans le cas d’un ressort, la loi de Hooke nous dit que le ressort exerce une force de rappel opposée au déplacement, dont l’intensité est donnée par F ( x ) = –k  x où k est la constante de raideur du ressort et x le déplacement du ressort par rapport à la position d’équilibre. Par exemple, le travail de la force pour comprimer un ressort sur 5 cm à partir de sa position d’équilibre, sachant que sa constante de raideur est k = 250 N/m, vaut Wx xx =d===J 0 005 2 0 005 25012512522 005125003125 , ,-, ∫

Un archer, en bandant son arc, applique une force opposée à la force de rappel de la corde, dont la constante de raideur vaut k = 204 N/m. Détermine le travail de la force qu’exerce l’archer lorsqu’il bande son arc sur 70 cm.

4. Calcul d’aires

DÉCOUVERTE

Activité 1 Calcul d’aires et intégrale définie

Soient les fonctions f, g et h définies par f (

ci-dessous.

À l’aide du calcul intégral, calcule l’aire des surfaces colorées ��1, ��2 et ��3 représentées ci-dessus.

πG

L’aire �� de la surface comprise entre la courbe représentative d’une fonction intégrable f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b vaut :

• =d a b fx x ò () si f est positive sur [a; b] ;

• =da b fx x ò () si f est négative sur [a; b].

Activité

2

Calcul de l’aire de la surface comprise entre deux courbes

1. Soient les fonctions f et g définies par f ( x ) = –x2 + 4x + 3 et g ( x ) = x2 – 2x + 3 représentées ci-dessous.

COPYRIGHTVANIN

(a) Considérons ��, l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de f et de g.

I. Calcule ��1, l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 3.

II. Calcule ��2, l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de g, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 3.

III. En utilisant ��1 et ��2, calcule ��.

IV. Exprime �� à l’aide d’une unique intégrale définie qui dépend de f et g

(b) Nous avons effectué plusieurs fois la même translation verticale aux graphes des fonctions f et g comme le montrent les graphiques ci-dessous.

Calcule précisément l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de f et g grâce à la propriété découverte au point 1. COPYRIGHTVANIN

I. Comment sont les aires de ces surfaces par rapport à l’aire �� calculée au point (a) ?

II. Le fait que les fonctions soient positives, négatives ou qu’elles coupent l’axe des abscisses sur l’intervalle [0; 3] a-t-il une influence sur la formule que tu as trouvée pour calculer l’aire comprise entre les courbes représentatives de ces fonctions ?

πG

Soient a et b deux réels tels que a < b. L’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de deux fonctions intégrables f et g et les droites d’équations x = a et x = b vaut =d a b fx gx x ò (( )( )) - si le graphe de f est situé au-dessus du graphe de g sur [a; b].

2. Soient les fonctions f et g définies par f ( x ) = x3 – 3x + 1 et g ( x ) = x2 – x + 1 représentées ci-dessous.

THÉORIE

Propriété

Aire de la surface comprise entre deux courbes

Soient a et b deux réels tels que a < b, et f et g deux fonctions telles que ∀x ∈ [a; b], f ( x ) ≥ g ( x ).

L’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g et les droites d’équations x = a et x = b est alors donnée par

(()())

Remarque

En application, lorsque l’on cherchera l’aire de la surface comprise entre deux courbes, on supposera que les bornes de l’intégrale sont données par les abscisses des points d′ intersection des courbes.

Méthodo

Calcul

de l’aire de la surface comprise entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions.

Pour calculer l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, il faut :

1. trouver les bornes de l’ (des) intégrale(s) en résolvant l’équation f ( x ) = g ( x ) qui donne les abscisses des points d’intersection entre le graphe de f et le graphe de g ;

2. comparer f et g sur les intervalles formés par les abscisses calculées au point 1 et en déduire si le graphe de f est au-dessus ou en dessous du graphe de g sur les intervalles considérés ;

3. calculer l’ (les) intégrale(s) qui permet(tent) de trouver l’aire recherchée.

Exemple

Calculons l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g définies par f ( x ) = 2x2 – 5x + 3 et g ( x ) = x2 – 2x + 3.

1. Recherche des bornes :

2. Comparaison de f et de g sur l’intervalle [0; 3] :

Algébriquement

Choisissons une valeur strictement comprise entre 0 et 3, par exemple 2. f g () () 2225231

car les fonctions f et g sont continues.

3. Calcul de l’aire :

Graphiquement

Corollaire

Aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox

Soit f une fonction intégrable sur [a; b].

L’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b dépend du signe de f sur [a; b].

• Si f est positive sur [a; b], alors =d a b fx x ò ()

• Si f est négative sur [a; b], alors =-d a b fx x ò ()

Illustrations

=d a b fx x ò ()=-d a b fx x ò ()=d-d a c c b fx xf xx òò()()

Exemple

Soit la fonction f définie par f ( x ) = sin( x ).

• L’aire de la surface bleue vaut =d=-=-=-(-)+=u

sin()cos()cos()(cos()) xx x . .a.

• L’aire de la surface orange vaut

sin()cos()cos()cos()c xx xx o os()() -==u.a. π 112

Remarques

• La propriété de l’aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox découle de la définition d’intégrale définie en termes de limites : ==d + = lim()() n i n i a b fx xf xx & 1 ò

• L’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b peut être approximée en décomposant cette surface à l’aide de figures géométriques élémentaires, telles que des rectangles ou des trapèzes, et en additionnant leurs aires.

Exemple

Soit la fonction f définie par f ( x ) = x2 – 3.

Approximons l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 3. Pour cela, décomposons la surface en cinq rectangles de même base ∆x = 0,4 et de hauteur égale à la valeur absolue de l’image par f de la valeur centrale de chaque sous-intervalle ainsi créé.

�� ≈ 0,4 |f (1,2)| + 0,4 |f (1,6)| + 0,4 |f (2)| + 0,4 |f (2,4)| + 0,4 |f (2,8)|

≈ 0,4 |1,22 – 3|+ 0,4 |1,62 – 3| + 0,4 |22 – 3| + 0,4 |2,42 – 3| + 0,4 ⋅|2,82 – 3|

≈ 2,64 u. a.

• Ces approximations peuvent être réalisées à l’aide d’outils numériques.

Par exemple, dans le logiciel GeoGebra, la commande SommeRectangles (Fonction, x initial, x final, Nombre Rectangles, Position pour Hauteur) permet d’estimer une intégrale définie en sommant les aires de plusieurs rectangles.

Le paramètre Position pour Hauteur indique à quel endroit du sous-intervalle la fonction est évaluée pour déterminer la hauteur de chaque rectangle. On doit entrer un nombre entre 0 et 1 :

• 0 pour une évaluation à la borne gauche ;

• 1 pour une évaluation à la borne droite ;

• 0.5 pour une évaluation au centre du sous-intervalle.

Comme cette commande donne une approximation de l’intégrale définie, il faut travailler avec la valeur absolue de la fonction si on veut une approximation de l’aire de la surface comprise entre le graphe de la fonction et l’axe Ox sur l’intervalle étudié.

EXERCICES

1. Les fonctions f, g et h sont représentées ci-dessous.

Note, sans en déterminer la valeur, le calcul intégral qui permet de calculer l’aire des surfaces colorées.

2. Sachant que les fonctions représentées sont des (transformées de) fonctions de référence, calcule l’aire de la surface colorée sur chaque graphique.

3. Approxime l’aire de la surface colorée sur chaque graphique par une somme d’aires élémentaires, avant de la déterminer algébriquement avec précision.

4. Considérons la surface délimitée par la courbe d’équation y = ln(3x), l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 7.

(a) À l’aide de la commande SommeRectangles(Fonction, x initial, x final, Nombre Rectangles, Position pour Hauteur) dans GeoGebra, calcule une approximation de l’aire de cette surface en prenant successivement 10, 25 et 50 rectangles.

(b) Calcule précisément l’aire de cette surface.

5. Calcule l’aire de la surface délimitée par :

(a) la courbe d’équation y = 16 – x2, l’axe Ox et les droites d’équations x = –4 et x = 1 ;

(b) la courbe d’équation y = ex – 1, l’axe Ox et les droites d’équations x = –2 et x = 2 ;

(d) la courbe d’équation y = 2x2 – 12x + 16, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 10 ;

(e) la courbe d’équation y = sin(2x), l’axe Ox et les droites d’équations x = –π et x = 2π ;

(f) la courbe d’équation y = ln( x ), l’axe Ox et les droites d’équations x = e et x = e2

6. Calcule l’aire de la surface délimitée par les courbes représentatives des fonctions f et g définies ci-dessous. Vérifie ensuite tes solutions à l’aide de GeoGebra.

(a) f ( x ) = x2 – 4x et g ( x ) = –2x + 3

(b) f ( x ) = x2 + 2x + 7 et g ( x ) = 4x2 + 8x + 7

(d) fx x ()=8 et g ( x ) = –4x + 12

(e) f ( x ) = 1 – cos( x ) et g ( x ) = cos( x ) où x ∈ -; 33

(f) fx x ()=1 2 et gx xx ()=--+ 3 2 9 2 21 sachant que f ( x ) = g ( x ) si et seulement si x = –2 ou x = 0.

7. Considérons les points A(–4; 2), B(5; 5) et C(2; –1) placés ci-dessous dans un repère orthonormé. Sachant que 1 unité ↔ 1 cm, détermine l’aire du triangle ABC à l’aide du calcul intégral.

y = 2x – 5 y = –1 x 2 y = 1 x + 10 33

8. Considérons la droite d d’équation y = 3x.

(a) Calcule l’aire de la surface comprise entre la droite d, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 4.

(b) Modélise dans un repère la surface dont l’aire est recherchée au point (a). Quelle figure est ainsi construite ?

(c) En t’aidant des points (a) et (b), démontre à l’aide du calcul intégral la formule de l’aire d’un triangle de base b et de hauteur h

9. Camille a acheté un bien immobilier composé d’une maison et d’un jardin. Son jardin est bordé par un ruisseau dont les limites peuvent être approximées à l’aide de la fonction f définie par f ( x ) = x3 – x2 – x + 3. Quelle est la superficie de son terrain, sachant qu’un carré de 1 unité de côté représente 1 are ?

Une boutique de vêtements de sport féminins vient d’ouvrir sa première boutique physique et le propriétaire souhaite reproduire son logo sur une enseigne lumineuse. Le logo est constitué de trois courbes représentatives de fonctions :

• la fonction f définie par f ( x ) = 3x2 sur [–1; 1] ;

• la fonction g définie par g ( x ) = 4x2 + 5x + 4 sur [–1; 0] ;

• la fonction h définie par h ( x ) = 4x2 – 5x + 4 sur [0; 1].

Les courbes sont inscrites dans un cercle de rayon 2 comme illustré ci-contre dans un repère orthonormé.

La partie illuminée correspond à la partie blanche du logo à l’intérieur du cercle, et l’unité de longueur choisie est le mètre. Quelle est l’aire de la surface illuminée ? On néglige l’épaisseur des contours.

Un léopard s’élance à la poursuite d’une proie. Un scientifique présent relève la vitesse de l’animal au cours de ses 12 premières secondes de foulée, ce qui lui permet de construire le graphique suivant où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde.

Donne la bonne réponse : à l’aide de ce graphique, on estime la distance parcourue par le léopard pendant ces 12 secondes à…

5. Calcul de volumes

DÉCOUVERTE

Activité Volume d’un solide de révolution par la méthode des cylindres

Soit la fonction f définie par f xx()= sur l’intervalle [0; 4] et représentée ci-dessous.

On effectue la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = f ( x ) et les droites d’équations x = 0, x = 4 et y = 0 afin d’obtenir un solide de révolution.

Cherchons à déterminer le volume de ce solide.

Souviens-toi : pour découvrir la définition d’une intégrale définie, nous avions utilisé la méthode des rectangles pour approximer l’aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox sur un certain intervalle.

Pour ce faire, nous avions subdivisé l’intervalle de départ en n sous-intervalles de même longueur ∆x et, dans chaque sous-intervalle, nous avions choisi un certain xi (1 ≤ i ≤ n) afin de construire des rectangles de base ∆x et de hauteur f ( xi ).

Dans notre exemple, plaçons-nous dans le cas où n = 5 et où xi (1 ≤ i ≤ 5) est le centre du i ème sousintervalle. Effectuons ensuite la rotation autour de l’axe Ox de chacun des cinq rectangles.

1. Quels solides générons-nous ?

2. Comment calculer le volume de chacun de ces solides ?

3. Comment approximer le volume du solide de révolution représenté au début de l’activité à l’aide du volume de ces cylindres ?

4. Que se passe-t-il si on augmente de plus en plus le nombre de cylindres ? Visualise-le en scannant le code QR ci-contre.

5. Sur la base de la définition d’intégrale définie, déduis-en la formule qui permet de calculer le volume de ce solide de révolution.

6. En utilisant ta réponse à la question précédente, calcule précisément son volume.

πG

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b]. Pour calculer le volume du solide de révolution obtenu par rotation autour de l’axe Ox de la courbe représentative de f sur l’intervalle [a; b], il suffit de calculer l’intégrale définie

 =( )d a b fx x ò () 2

THÉORIE

Propriété

Volume d’un solide de révolution

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b]. Le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = f ( x ) et les droites d’équations x = a, x = b et y = 0 vaut  =()d a b fx x ò ()2

Illustrations et interprétation

Approchons le solide de révolution par une série de cylindres très fins : on subdivise l’intervalle [a; b] en n sous-intervalles de longueur ∆x ba n =. Pour chaque sous-intervalle, on choisit une valeur xi et on construit un cylindre de rayon |f ( xi )| et de hauteur ∆x

Le volume de chaque cylindre est donné par : ii i fx xf xx==()|()|(). 22

En additionnant les volumes de tous ces cylindres, on obtient une approximation du volume du solide de révolution. Plus on augmente le nombre de cylindres, plus l’approximation devient précise.

En passant à la limite quand le nombre de cylindres tend vers l’infini, on obtient la formule exacte :  =(())=d + = lim(()) n i n i a b fx xf xx & 1 22 ò par définition d’intégrale définie.

GeoGebra

Exemple

Considérons le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = x2 + 3 et les droites d’équations x = –1, x = 1 et y = 0.

Le volume de ce solide vaut

EXERCICES

1. Illustre graphiquement et justifie la formule du volume d’un solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox et la surface colorée ci-dessous.

2. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre les courbes décrites ci-dessous et associe-les à leur représentation graphique.

(a) La courbe d’équation y = 2x + 4 et les droites d’équations x = –4, x = 0 et y = 0.

(b) La courbe d’équation y = x3 – 1 et les droites d’équations x = –1, x = 1 et y = 0.

(d) La courbe d’équation y = 2x et les droites d’équations x = –3, x = 1 et y = 0.

3. Considérons les surfaces colorées représentées ci-dessous.

(a) Précise la surface dont le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de cette surface est une sphère de rayon r.

(b) Retrouve la formule du volume d’une sphère à l’aide du calcul intégral.

Remarque : tu peux commencer par donner une valeur à r avant de généraliser.

4. Considérons la droite d d’équation y = 3x.

(a) Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la droite d et les droites d’équations x = 0, x = 4 et y = 0.

(b) Modélise dans un repère le solide dont le volume est recherché au point (a). Quel solide est ainsi construit ?

(c) En t’aidant des sous-questions précédentes, démontre à l’aide du calcul intégral la formule du volume d’un cône circulaire droit de hauteur h et dont la base a un rayon r

5. Détermine le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de chacune des surfaces colorées ci-dessous.

6. La gérante d’un bar à choux souhaite étendre sa carte et proposer des espressos. L’idée serait alors de déposer une fine coque de chou caramélisé sur le dessus de la tasse. Pour cela, elle a conceptualisé des tasses spécifiques d’une hauteur de 4 cm et qui sont modélisées ci-dessous (1 unité correspond à 1 cm).

Les tasses seront remplies à 50 % de leur contenance maximale. Quelle quantité d’espresso sera servie dans chaque tasse ?

Rappel : 1 cm3 correspond à 0,1 cl.

7. Une créatrice de bijoux souhaite fabriquer un pendentif en forme de perle ronde en céramique. Pour cela, elle imagine une forme obtenue par un solide de révolution creusé :

• la forme extérieure de la perle est définie par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe yx =-12 et l’axe Ox ;

• le trou pour faire passer le fil est défini par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe y = 0,6 et l’axe Ox

Les deux surfaces sont considérées sur l’intervalle4 5 4 5 ; et les unités sont exprimées en centimètres.

Sachant que la masse volumique de la céramique utilisée est de 2 g/cm3, calcule la masse d’une perle.

Synthèse

Primitives

Soit I un intervalle, f : I → ° une fonction continue et F : I → ° une fonction dérivable.

• F est une primitive de f si F ′ = f

• L’ensemble des primitives de f est appelé l’intégrale indéfinie de f, noté ò fx x () d , et est égal à : ò fx x () d = F ( x ) + c où c ∈ °

On dit que f est intégrable.

• Propriétés :

Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle I du domaine de f et de g et k un réel.

• (+)d=d+d fxgx xf xx gx x ()()()()òò ò

• kf xx kf xx ∫∫()()d=d

Méthodes de calculs des intégrales indéfinies

• Primitives immédiates et quasi immédiates

Fonctions usuelles

0d=xc ò

ax d ò = ax + c xx x n c n n d= + + + ò 1 1 si n ∈ °\{–1}

Composées de fonctions usuelles

∫ fx fx x fx n c n n ()(())(() d=) + + +1 1 si n ∈ °\{–1}

1 x xd ò = ln(|x|) + c ò ′ fx fx x () () d = ln(|f ( x )|) + c

ex x d ò = e x + c c e fx() =+ ∫ f x ex fx ()()d

ax a a c x x d= () + ò ln si a ∈ °+\{0; 1} ∫ f x ax a a c fx fx ()ln() () () d=+ si a ∈ °+\{0; 1}

cos()xx d ò = sin( x ) + c ∫ fx fx x ()cos(())d = sin( f ( x )) + c

sin()xx d ò = –cos( x ) + c ∫ fx fx x ()sin(())d = –cos( f ( x )) + c 11 2 2 cos tan ()() x x xx d=(+)dòò = tan( x ) + c

ò ′ fx fx x () cos() 2 () d = tan( f ( x )) + c

• Méthode d’intégration par substitution

Pour intégrer une fonction qui dépend de x par substitution, on pose t = f ( x ) et on réécrit l’intégrale en fonction de t, afin d’obtenir une nouvelle intégrale plus simple à calculer. Après avoir calculé cette intégrale, on revient à la variable initiale x.

• Méthode d’intégration par partie

Soient f et g deux fonctions dérivables sur leur domaine de définition. òò fx gx xf xg xf xg xx()()()()()() d=-d

Intégrale définie

• Définition

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b et f une fonction intégrable sur l’intervalle [a; b].

Soient n ∈ •0 le nombre de subdivisions de l’intervalle [a; b],

∆x la longueur de chaque sous-intervalle égale à ba net xi une valeur choisie dans chaque sous-intervalle (où 1 ≤ i ≤ n).

L’intégrale définie de f sur [a; b], notée a b fx x ò () d , est la limite : a b n i n i fx xf xx ò ()lim() d= + = & 1

• Théorème fondamental du calcul intégral

• Théorème d’existence :

Si f est une fonction continue sur [a; b] et F : [a; b] → ° est définie par F ( x ) = a x ft t ò () d , alors F est une primitive de f sur [a; b].

• Lien entre primitives et intégrales définies :

Si f est une fonction continue sur [a; b] et F est une primitive de f sur [a; b], alors a b fx x ò () d = F (b) – F (a)

• Méthodes particulières de résolution d’intégrales définies

• Résolution d’une intégrale définie par substitution :

– Méthode 1 : traduire les bornes d’intégration suivant la nouvelle variable et effectuer le calcul intégral suivant cette nouvelle variable.

– Méthode 2 : garder les bornes suivant la variable initiale, calculer une primitive en fonction de la nouvelle variable, réexprimer le résultat en fonction de la variable initiale pour enfin calculer l’intégrale définie.

• Résolution d’une intégrale définie par partie : a b a b a b fx gx xf xg xf xg xx òò()()()()()() d=-d

• Propriétés :

Soient I un intervalle, a, b, c des réels appartenant à I et f une fonction intégrable sur I

• a a fx x ò () d=0

• a b b c a c fx xf xx fx x òò ò ()()() d+d=d

• a b b a fx xf xx òò()()d=-d n =7

Aires

• Aire de la surface comprise entre deux courbes

Soient a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions telles que ∀x ∈ [a; b], f ( x ) ≥ g ( x ).

L’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g et les droites d’équations x = a et x = b est alors donnée par =(-) d a b fx gx x ò ()()

• Aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b].

L’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b dépend du signe de f sur [a; b].

• Si f est positive sur [a; b], alors =d a b fx x ò ()

• Si f est négative sur [a; b], alors =-d a b fx x ò ()

=d a b fx x ò ()=-d a b fx x ò ()=d-d

Volume d’un solide de révolution

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b].

Le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = f ( x ) et les droites d’équations x = a, x = b et y = 0 vaut  =()d a b fx x ò ()2

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Calcule les intégrales indéfinies suivantes dans un intervalle inclus dans le domaine de l’intégrande considérée dans chaque sous-question.

(a) Les intégrales sont immédiates.

I. xx x xx 32654 -++d

III. 48 8 x x xd ò

V. 1 4 2 2 +cos cos ()d () x x x ò

(b) Les intégrales sont quasi immédiates.

I. 8 21 x x x + d ò

III. 1 892 (-) d x x ò

V. sincosd()() xx x ∫ 3

I. xx x +(-)34d 3 ⋅ ∫

III. xx x 2260 ∫ (-)d

(d) Applique la méthode par partie.

I. ln ()d xx x ∫ 8

III. xx x 2 ∫ sin()d

(e) Choisis la méthode adéquate.

I. (-)d 32yy y ò



III. cos6 4 xx -d π 

V. cos()sin()xx x ∫ d

VII. xx x(+)d 21 ò

IX. xx x(-)d 126 ò

XI. 61 35 2 x xx x-+ d ò

XIII. ln() x x x 3 d ò

XV. 2 3 x x x + d ò

XVII. 82 2 xx x x + d ò

II. tt t t t 32 2 921+-+ d

IV. (+)d 2522 uu

VI. (sin++)d35 ()5 xx x x ò

II. ex x 5d ò

IV. (+)sin 42(+)d 2 xx xx

VI. ex xe x ∫ 4d

II. (+)(+) 10d 12 4 xx x ⋅ ∫

IV. ln() ln() x xx x (-) d 4 ⋅ ∫

II. ex x x ∫ (-)d 43

II. (-)d 64 cos()xx ò

IV. (-)()d 64xx x ⋅ ∫ cos

VI. cos() sin() x x xd ò

VIII. xx x(+)d 216 ò

X. 21 16 x x x + (+) d ò

XII. xx x 3 ∫ ln() d

XIV. 122 x xx x +(-) d 

XVI. ee x xx ∫ (+)d 711

XVIII. 52 4 x x xd ò

2. Montre qu’une primitive de 22 2 2 e e x x x - est e x x 2 -5.

3. Détermine l’expression analytique de la primitive F de la fonction f définie par fx x ()sin =-+4 6 1 telle que F () =05 8 .

4. Louis lance un caillou verticalement du haut d’un pont avec une vitesse initiale de 5 m/s. Il se trouve à 12 mètres audessus de la surface de l’eau.

On néglige les frottements de l’air et on approxime l’accélération due à la pesanteur à 9,81 m/s2

(a) À quel instant le caillou atteint-il l’eau ?

(b) Quelle est sa vitesse au moment de l’impact ?

5. Calcule les intégrales définies ci-dessous. (a)

6. Dans chaque repère, identifie quelle est la représentation d’une fonction f et quelle est celle d’une de ses primitives F.

7. Soient les fonctions f, g et h définies par f ( x ) = x3 – 6x + 2, g ( x ) = –2x + 2 et h ( x ) = x4 – 5x2 + 4 représentées ci-dessous.

Détermine l’aire de la surface colorée en jaune et de celle colorée en rose sur les graphiques cidessous.

8. Calcule l’aire de la surface délimitée par :

(a) la courbe d’équation y = x3 – 8, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 2 ;

(b) la courbe d’équation y = –x2 + 4x + 5, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 10 ;

(d) les courbes d’équations y = 5x et y = 4x + 1 sachant que ces courbes s’intersectent aux points (0; 1) et (1; 5).

9. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface plane délimitée par :

(a) la courbe d’équation y = 16 – x4, l’axe Ox et les droites d’équations x = –2 et x = 2 ;

(b) la courbe d’équation yx x =--+256 2 , l’axe Ox et les droites d’équations x = –6 et x = 1.

Considérons la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe Ox et les droites d’équations x = –1 et x = 1 où f ( x ) = x4 – x. Cette surface est représentée ci-contre.

(a) Approxime l’aire de cette surface par une somme d’aires élémentaires à l’aide de l’outil informatique.

(b) Vérifie cette approximation à l’aide du calcul intégral.

(c) Donne et illustre, graphiquement, la formule du calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de cette surface.

(d) Calcule avec précision le volume de ce solide.

y x

Considérons les courbes d’équations y = x et yx = .

(a) Représente ces courbes dans un même repère.

(b) Calcule l’aire de la surface comprise entre ces deux courbes et vérifie la cohérence de ta réponse avec la représentation faite au point (a).

(c) Détermine le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre les courbes d’équations y = x et yx =

Un verrier souhaite réaliser un vitrail en forme de croissant de lune. La partie vitrée est délimitée par les courbes d’équations y = 4 – x2 et y = –0,6x2 + 2,4 définies sur [–2; 2]. Une unité correspond à 10 cm. Le prix de chaque vitrail est fixé par la surface vitrée : chaque cm2 coûte 0,20 €. Quel est le prix de ce vitrail ?

y x 1

Maria a commandé une piñata pour l’anniversaire de son fils Rafael. La piñata est en forme de bonbon et peut être modélisée par le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface plane délimitée par le graphe de la fonction f ( x ) = x2 – 1 et les droites d’équations x = –1,4, x = 1,4 et y = 0 avec l’échelle suivante : 1 unité correspond à 25 cm. Quel est le volume maximal de bonbons que cette piñata peut contenir, sachant que seule la partie centrale est remplie ?

Considérons la surface délimitée par l’axe Ox, la droite d ≡ y = x + 2 et les droites d’équations x = 0 et x = 8.

(a) Quelle figure géométrique est ainsi formée ?

(b) Calcule son aire.

I. Donne la bonne réponse. Le solide ainsi construit est…

• un cylindre

• un cône

II. Calcule le volume de ce solide.

• un tore

• un cône tronqué

Utilise le calcul intégral pour vérifier que la formule du volume d’un cylindre de hauteur h et de base de rayon r est πr2h.

DÉFI

Te souviens-tu au début de ce chapitre ?

Un artisan conçoit une toupie en bois constituée de deux parties :

• Le corps est obtenu par rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation yx =4 5 42 définie sur [–0,5; 2] et l’axe Ox. Ce corps est creusé par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = 1 définie sur [–0,5; 1] et l’axe Ox

• Le manche est obtenu par rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = 0,3 définie sur [–2,5; 1] et l’axe Ox.

Ces courbes sont toutes tracées dans un repère orthonormé où 1 unité correspond à 1 cm.

COPYRIGHTVANIN

La masse volumique du bois utilisé pour fabriquer cette toupie est de 0,8 g/cm3. Quelle est alors la masse, exprimée en grammes, de cette toupie ?

Tu es maintenant capable de répondre à cette question !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

PROBABILITÉS Objectifs

Connaître

• Extraire d’un arbre, d’un tableau ou d’un diagramme donné la probabilité d’un événement.

• Identifier l’événement associé à une probabilité donnée à partir d’un arbre, d’un diagramme, d’un tableau.

• Identifier « expérience aléatoire, catégorie d’épreuve, événements particuliers » dans un énoncé.

Appliquer

• Utiliser les résultats de simulations faites avec un outil informatique ou des données statistiques pour calculer des probabilités a posteriori.

• Utiliser des tableaux, des diagrammes, des arbres ou des formules d’analyse combinatoire pour calculer une probabilité a priori, y compris conditionnelle.

• Vérifier si deux événements donnés sont dépendants ou indépendants.

Transférer

• Résoudre un problème de probabilité en utilisant une méthode de dénombrement.

• Utiliser le calcul des probabilités pour comprendre la portée d’informations chiffrées, les analyser et les critiquer, y compris dans le cadre de jeux de hasard.

Les probabilités permettent de mieux comprendre le hasard et les situations incertaines. Elles aident à évaluer les chances qu’un événement se produise, qu’il s’agisse de tirer une carte, de gagner à un jeu ou d’avoir un test médical positif. Elles sont devenues un outil fondamental pour modéliser, anticiper et prendre des décisions éclairées dans des situations aléatoires ou incertaines.

Les premières réflexions liées au hasard remontent à l’Antiquité, mais c’est à partir du XVIIe siècle que les probabilités prennent forme en tant que discipline mathématique. En 1654, la correspondance entre Pascal et Fermat à propos du problème du partage est devenue célèbre : comment répartir équitablement les gains d’un jeu de dés arrêté avant son terme ? Ce dialogue marque le point de départ des probabilités modernes.

Au XVIIIe siècle, Bernoulli démontre la loi des grands nombres, un résultat fondamental montrant que la fréquence d’un événement tend à se stabiliser autour de sa probabilité à mesure que l’expérience est répétée. De son côté, Bayes permet d’actualiser une probabilité en fonction d’une nouvelle information.

Au XIXe siècle, Laplace formalise ces idées, en parlant notamment d’équiprobabilité, et applique les probabilités à des domaines variés : astronomie, sciences sociales, physique…

Au XXe siècle, les travaux de Kolmogorov posent les fondements axiomatiques rigoureux de la théorie des probabilités, qui devient alors une branche des mathématiques à part entière.

Au fil du temps, les probabilités deviennent un outil essentiel dans de nombreux domaines :

• en jeux de hasard : pour calculer les chances de gagner, évaluer les stratégies ou comprendre le fonctionnement d’un tirage ;

• en assurances : pour estimer les risques, fixer les tarifs ou prévoir les événements rares ;

• en sciences : pour analyser des expériences, modéliser des phénomènes ou estimer les erreurs de mesure ;

• en médecine : pour évaluer la fiabilité des tests ou estimer les risques ;

• dans la vie quotidienne : la météo, les autotests médicaux, les paris sportifs, les prédictions d’heure d’arrivée des GPS…

Introduction historique COPYRIGHTVANIN

L’émission télévisée américaine « Let’s Make a Deal », animée par Monty Hall entre 1963 et 1977, a posé de nombreuses questions de mathématiques et a mis en lumière un célèbre paradoxe, celui de Monty Hall.

Voici les règles du jeu : un candidat participe à un jeu télévisé. Il se trouve face à trois portes : derrière une porte se cache une voiture, derrière chacune des deux autres portes se trouve une chèvre.

Durant le jeu, le candidat choisit une porte. L’animateur, qui sait ce qu’il y a derrière chaque porte, ouvre une des deux autres portes, derrière laquelle se trouve toujours une chèvre. Il propose alors au candidat de changer de porte ou de conserver son choix initial. Est-il plus avantageux pour le candidat de garder son choix de porte initial ou de changer de porte ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

1. Vocabulaire probabilistique

DÉCOUVERTE

Activité Opérations ensemblistes

Au mois de mai l’année dernière, un centre scolaire a proposé deux ateliers facultatifs pour aider les 107 élèves de rhéto à préparer leurs examens de fin d’année : un atelier de gestion du stress et un atelier de méthodologie du travail.

Après les ateliers, un sondage a été réalisé pour connaître la participation des élèves. Voici les résultats : 15 élèves ont uniquement participé à l’atelier de gestion du stress, 40 élèves ont uniquement participé à l’atelier de méthodologie du travail et 16 élèves ont participé aux deux ateliers.

On note S l’ensemble des élèves ayant participé à l’atelier de gestion du stress, M l’ensemble des élèves ayant participé à l’atelier de méthodologie du travail et R l’ensemble des 107 rhétos.

1. Illustre la situation dans le diagramme suivant, appelé diagramme de Venn, en complétant les pointillés par le nombre d’élèves appartenant à l’ensemble indiqué.

2. Complète le tableau suivant.

Condition

Notation mathématique

Ensemble des élèves ayant participé aux deux ateliers. S ∩ M

Ensemble des élèves ayant participé à l’atelier de gestion du stress ou à l’atelier de méthodologie du travail. S ∪ M

Ensemble des élèves n’ayant pas participé à l’atelier de gestion du stress. S

Ensemble des élèves n’ayant pas participé à l’atelier de méthodologie du travail.

Ensemble des élèves ayant uniquement participé à l’atelier de gestion du stress. S ∖ M ou S ∩ M

Nombre d’élèves répondant à la condition

Condition

Ensemble des élèves ayant uniquement participé à l’atelier de méthodologie du travail.

πG

Notation mathématique

Nombre d’élèves répondant à la condition

Tu viens de découvrir les différentes notations ensemblistes qui expriment des opérations sur les événements.

THÉORIE

Définition

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut répéter et dont le résultat ne peut pas être prévu, mais dont on connaît au préalable l’ensemble des résultats possibles.

Exemples

• Lancer un dé à 6 faces non truqué et observer le nombre affiché sur la face supérieure.

• Lancer deux pièces de monnaie équilibrées et compter le nombre de « piles » visibles.

Définition

Catégorie d’épreuve (ou univers)

La catégorie d’épreuve (ou univers), notée Ω, d’une expérience aléatoire est l’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.

Définition

Cardinal d’un ensemble

Le cardinal d’un ensemble A, noté #A, désigne le nombre d’éléments que l’ensemble contient.

Exemples

• Pour le lancer d’un dé non truqué à 6 faces : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et #Ω = 6.

• Pour le lancer d’une pièce parfaitement équilibrée : Ω = {pile; face} et #Ω = 2.

S ∩ M

Définition

Événement

Un événement d’une expérience aléatoire est un sous-ensemble de la catégorie d’épreuve.

Notation

Un événement est désigné par une lettre capitale : A, B, C…

Remarque

Un ensemble, et donc un événement, peut être défini :

• en extension, c’est-à-dire en donnant la liste de ses éléments (entre accolades lorsque Ω est un ensemble fini) ;

• en compréhension, c’est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

Exemples

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, les exemples suivants sont des événements :

• A : « obtenir un nombre pair » est écrit en compréhension et A = {2; 4; 6} est écrit en extension.

On a que #A = 3.

• B : « obtenir un nombre strictement inférieur à trois » est écrit en compréhension et B = {1; 2} est écrit en extension.

On a que #B = 2.

Notations et vocabulaire

Opérations sur les événements

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

• A ∩ B est l’événement appelé « A et B », qui se réalise si les événements A et B se produisent tous les deux.

On dit que A ∩ B est l’intersection de A et de B

• A ∪ B est l’événement appelé « A ou B », qui se réalise si l’événement A se produit ou si l’événement B se produit.

On dit que A ∪ B est l’union de A et de B

• A ∖ B est l’événement appelé « A sauf B », qui se réalise si l’événement A se produit, mais pas l’événement B

On dit que A ∖ B est la différence de A et de B

• A est l’événement contraire de A, qui se réalise si l’événement A ne se produit pas. On dit que A est le complémentaire de A, et on a que A = Ω ∖ A

Remarque

En mathématiques, le « ou » n’est pas exclusif : lorsqu’on dit que l’événement A ou l’événement B se réalise, cela signifie que A seul peut se produire, que B seul peut se produire ou que les deux événements peuvent se produire en même temps

Définition

Événement élémentaire

Un événement d’une expérience aléatoire est élémentaire s’il ne contient qu’un unique élément de la catégorie d’épreuve.

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, l’événement A : « obtenir un 3 » est un événement élémentaire.

En effet, A = {3} et #A = 1.

Définitions

Événement impossible et événement certain

• Un événement d’une expérience aléatoire est impossible s’il est défini par une condition qui ne se réalise jamais.

• Un événement d’une expérience aléatoire est certain s’il est défini par une condition qui se réalise toujours.

Exemples

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué,

• l’événement A : « obtenir un nombre strictement supérieur à 7 » est un événement impossible.

Dans ce cas, A = ∅ et #A = 0.

• l’événement B : « obtenir un nombre inférieur à 7 » est un événement certain.

Dans ce cas, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω et #B = #Ω = 6.

Définition

Événements incompatibles (ou disjoints)

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

Les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Autrement dit, leur intersection est vide : A ∩ B = ∅

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, l’événement A : « obtenir un nombre pair » et l’événement B : « obtenir un 3 » sont incompatibles.

En effet, comme A = {2; 4; 6} et B = {3}, on a bien A ∩ B = ∅.

Propriété

Événements contraires (ou complémentaires)

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

Les événements A et B sont contraires (ou complémentaires) s’ils sont incompatibles et si leur union forme la catégorie d’épreuve.

Autrement dit, A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω.

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, l’événement A : « obtenir un nombre pair » et l’événement B : « obtenir un nombre impair » sont contraires.

En effet, comme A = {2; 4; 6} et B = {1; 3; 5}, on a bien A ∩ B = ∅ et A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω.

On peut donc écrire B = A ou A = B

Remarque

Les jeux de cartes étant des jeux de hasard, nous en parlerons plusieurs fois dans ce chapitre. Le document disponible en scannant le code QR ci-contre permet de savoir de quoi est constitué un jeu de cartes.

EXERCICES

1. Une enquête est menée auprès de 100 personnes pour savoir si elles sont abonnées à Netflix ou à Disney+ : 49 sont uniquement abonnées à Netflix, 11 uniquement à Disney+ et 12 aux deux.

On note N : « être abonné à Netflix » et D : « être abonné à Disney+ ».

(a) Écris en compréhension les événements suivants :

• N ∩ D

• N ∖ D

• N ∩ D

(b) Exprime les événements suivants à l’aide d’opérations sur les événements N et D

• « ne pas être abonné à Netflix »

• « être abonné à Netflix ou à Disney+ »

• « être abonné soit à Netflix, soit à Disney+, mais pas aux deux »

• sont abonnées à Disney+ ?

• ne sont abonnées ni à Netflix ni à Disney+ ?

2. On lance un dé non truqué à huit faces numérotées de 1 à 8 et on note le nombre obtenu sur la face supérieure. Considérons les événements A : « obtenir un nombre pair » et B : « obtenir un nombre inférieur à 3 ».

(a) Donne la catégorie d’épreuve de cette expérience aléatoire.

(b) Écris les événements A et B en extension et donne leur cardinal.

• A ∪ B

• A ∩ B

• B

• B ∖ A

3. On tire une carte d’un jeu de 52 cartes et on regarde sa valeur et sa couleur (cœur, carreau, trèfle ou pique).

(a) Donne la catégorie d’épreuve de cette expérience aléatoire.

(b) Donne en compréhension et en extension un exemple d’événement élémentaire.

(d) Donne en compréhension et en extension un exemple d’événement certain.

(e) Donne en compréhension et en extension un exemple de deux événements incompatibles.

(f) Donne en compréhension un exemple de deux événements contraires.

4. Une vétérinaire spécialisée en chiens et chats ne prend en charge que ces animaux. Elle tient des statistiques sur les animaux qui viennent en consultation. Pour chaque animal, elle note s’il s’agit d’un chien ou d’un chat, s’il est vacciné et s’il est castré/stérilisé.

On note C : « l’animal est un chien », V : « l’animal est vacciné » et S : « l’animal est castré/stérilisé ».

(a) Exprime en compréhension les événements suivants :

• C ∩ V

• V ∩ S

• C ∩ V ∩ S

• CS ∪

• C ∖ V

(b) Exprime les événements suivants à l’aide d’opérations entre les événements C, V et S :

• « l’animal est un chien vacciné et castré/stérilisé »

• « l’animal est non vacciné ou non castré/stérilisé »

• « l’animal est un chat non castré/stérilisé »

• « l’animal est vacciné ou castré/stérilisé, mais pas les deux à la fois »

2. Probabilité d’un événement et propriétés

DÉCOUVERTE

Activité

Probabilités expérimentales

Une usine fabrique une très grande quantité de bonbons au citron, à la fraise et à l’orange. Thaïs préfère les bonbons à la fraise et se demande en quelle proportion ils sont fabriqués. Pour cela, elle commande des paquets de 100 bonbons qui contiennent les trois goûts de manière aléatoire, qu’elle verse dans une bonbonnière. Ensuite, elle tire au hasard un bonbon, écrit son goût et le remet dans la bonbonnière. Elle répète l’expérience 10 fois, 50 fois, 100 fois et 200 fois.

Voici les résultats qu’elle a obtenus :

10 tirages

Citron2

Fraise5

Orange3

50 tirages

Citron17

Fraise14

Orange19

100 tirages

Citron32

Fraise34

Orange34

200 tirages

Citron66

Fraise66

Orange68

1. Calcule la fréquence d’apparition des bonbons à la fraise dans chacun des quatre cas.

2. En scannant le code QR suivant, simule cette expérience aléatoire en augmentant le nombre de tirages.

Que constates-tu lorsque le nombre de tirages augmente ?

Documents

En calculant ces fréquences successives, tu viens de calculer des probabilités expérimentales

Ces probabilités te permettent d’estimer la chance qu’un événement se produise. Plus on fait d’essais, plus ces résultats deviennent fiables : on dit que la fréquence se stabilise autour d’une valeur qui se rapproche de la probabilité théorique. On parle de l’approche fréquentiste des probabilités.

3. Considérons l’événement F : « tirer un bonbon à la fraise ». Conjecture la probabilité que l’événement F se produise.

4. Quelle saveur semble la plus présente dans la bonbonnière ?

Si les événements « tirer un bonbon au citron », « tirer un bonbon à la fraise » et « tirer un bonbon à l’orange » ont la même probabilité de se réaliser, alors on dit qu’ils sont équiprobables.

5. Les probabilités expérimentales sont basées sur la notion de fréquence. Les propriétés des fréquences s’appliquent donc aussi aux probabilités. Réponds par vrai ou faux aux affirmations suivantes pour en découvrir quelques-unes.

(a) La probabilité d’un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

(b) Si un événement ne se produit jamais, sa probabilité est 0.

(d) La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

(e) Une probabilité peut être négative si l’événement est peu probable.

THÉORIE

Définition

Probabilité

Soit Ω une catégorie d’épreuve d’une expérience aléatoire.

Une probabilité est une fonction P qui, à chaque événement A de Ω, associe un nombre réel vérifiant les propriétés suivantes.

1. La probabilité d’un événement est un nombre positif inférieur à 1.

En langage mathématique : ∀A ⊆ Ω, 0 ≤ P( A ) ≤ 1.

2. La probabilité d’un événement certain est 1.

3. La probabilité de l’union de deux événements disjoints est la somme des probabilités de ces événements.

En langage mathématique : ∀A, B ⊆ Ω, A ∩ B = ∅ ⇒ P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ).

Remarques

• Les trois propriétés qui apparaissent dans la définition de probabilité sont appelées les axiomes de Kolmogorov

• Le deuxième axiome de Kolmogorov implique que P(Ω) = 1.

• La probabilité d’un événement peut être approchée par la fréquence observée lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire associée à cet événement. Dès lors, cela signifie que si A est un événement d’une expérience aléatoire, PA fA n n ()lim() = + → & où fn( A ) est la fréquence de l’événement A après n répétitions de l’expérience aléatoire.

Propriété

Probabilité d’un événement impossible

La probabilité d’un événement impossible est 0.

Corollaire

Probabilité de l’ensemble vide

La probabilité de l’ensemble vide est 0.

En langage mathématique : P(∅) = 0.

Démonstration

On a que ∅ ⊆ Ω, que Ω ⊆ Ω et que ∅ ∩ Ω = ∅.

Dès lors, par le 3e axiome de Kolmogorov, P(Ω) = P(∅ ∪ Ω) = P(∅) + P(Ω)

On en conclut que P(∅) = P(Ω) – P(Ω) = 0

Propriété

Probabilité de l’événement contraire

Si A est un événement d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors PA = 1 – P( A ).

Démonstration

On a que A ⊆ Ω, que A ⊆ Ω et que A ∩ A = ∅.

Dès lors, par les 2e et 3e axiomes de Kolmogorov, 1 = P(Ω) = P A ∪ A = P A + P( A )

On en conclut que P A = 1 – P( A )

Propriété

Somme des probabilités des événements élémentaires

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de Ω vaut 1. En langage mathématique : Ω = {e1; e2; e3; …; e n } ⇒ P({e1}) + P({e2}) + P({e3}) + … + P({e n}) = 1.

Propriété

Monotonie d’une probabilité

Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω

Si A ⊆ B, alors P( A ) ≤ P( B ).

Propriété

Loi de Boole

Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ).

Démonstration

• On a que A ∖ B ⊆ Ω, que B ⊆ Ω, que ( A ∖ B ) ∩ B = ∅ et que ( A ∖ B ) ∪ B = A ∪ B.

Dès lors, par le 3e axiome de Kolmogorov,

P(( A ∖ B ) ∪ B ) = P( A ∖ B ) + P( B )

⇔ P( A ∪ B ) = P( A ∖ B ) + P( B ) (1)

• On a que A ∖ B ⊆ Ω, que A ∩ B ⊆ Ω, que ( A ∖ B ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅ et que ( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ B ) = A.

Dès lors, par le 3e axiome de Kolmogorov,

P(( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ B )) = P( A ∖ B ) + P( A ∩ B )

⇔ P( A ) = P( A ∖ B ) + P( A ∩ B )

⇔ P( A ∖ B ) = P( A ) – P( A ∩ B ) (2)

• En remplaçant P( A ∖ B ) dans l’égalité (1) par l’égalité (2), on a :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

Définition

Équiprobabilité

Des événements d’une même expérience aléatoire sont équiprobables lorsqu’ils ont la même probabilité de se produire

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, les événements élémentaires sont équiprobables.

En effet, P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1 6

Propriété

Formule de Laplace

Si les événements élémentaires d’une expérience aléatoire sont tous équiprobables, alors la probabilité que l’événement se produise est donnée par la formule : PA A ()=nombred’issuesfavorables nombred’issuespossibl à e es = # # A

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, la probabilité de l’événement A : « obtenir un nombre pair » est donnée par PA A ()# # === Ω 3 6 1 2 vu que A = {2; 4; 6} et #A = 3

EXERCICES

1. Le tableau ci-dessous nous donne le nombre de naissances en Belgique de 2009 à 2015 en fonction du genre2

Année Nombre total de naissances

Nombre de naissances de sexe féminin

2009127 29762 100

2010129 17363 099

2011127 65562 289

2012126 99362 213

2013124 86260 877

2014124 41560 533

2015121 71359 428

Nombre de naissances de sexe masculin

Fréquence de naissances féminines

Fréquence de naissances masculines

65 19748,78 %51,22 %

66 07448,85 %51,15 %

65 36648,79 %51,21 %

64 78048,99 %51,01 %

63 98548,76 %51,24 %

63 88248,65 %51,35 %

62 28548,83 %51,17 %

(a) Estime la probabilité qu’une femme enceinte en Belgique le soit d’un garçon.

(b) En 2024, on a compté 108 150 naissances en Belgique. Estime le nombre de filles qu’il y a eu parmi ces naissances.

(c) Ces données permettent-elles de répondre à la question : « Si une femme en Belgique a déjà 3 filles, a-t-elle plus de probabilité d’avoir un garçon lors de sa 4e grossesse ? » ? Justifie.

2 Source : https://statbel.fgov.be/fr/themes/population/mouvement-de-la-population/naissances#figures

2. Au casino, le jeu de la roulette est un jeu de hasard qui consiste à miser sur le numéro qui sera tiré par le croupier. On suppose que chacun des 37 nombres possibles a la même probabilité de sortir.

(a) Sur une mise, quelle est la probabilité qu’un nombre compris entre 1 et 12 inclus sorte ?

(b) Tu as misé sur le 3, le 22 et le 25 et sur les cases rouges. Quelle est la probabilité que le numéro gagnant annoncé fasse partie d’au moins l’une de tes mises ?

(c) Dans ce jeu, les numéros pairs sont 2, 4, 6, …, 36, les numéros impairs sont 1, 3, 5, …, 35, et 0 est une case qui n’est ni paire ni impaire, c’est la case de la banque. Si tu mises sur « pair » ou sur « impair », tu gagnes une fois ta mise. Si un joueur mise sur « pair » ou sur « impair », qui a la plus grande probabilité de gagner : le joueur ou la table ? Justifie.

3. Dans une fête foraine, on te propose de faire tourner une roue divisée en 50 secteurs de même taille, répartis en 5 couleurs différentes. Chaque couleur correspond à un gain : « peluche », « bonbons », « porte-clés », « console de jeux » ou « rien ».

Le forain annonce que :

• tu as autant de chances de gagner une peluche que des bonbons ;

• tu as cinq fois plus de chances de gagner une peluche qu’un porte-clés ;

• tu ne gagnes rien qu’à un lancer sur dix ;

• tu as une chance sur cinquante de remporter une console d’une valeur de 500 €. Nommons les événements :

• A : « gagner une peluche »

• B : « gagner des bonbons »

• C : « gagner un porte-clés »

• D : « gagner une console »

• E : « ne rien gagner »

(a) Quelle est la probabilité de chacun de ces événements ?

(b) Quelle est la probabilité de gagner une peluche ou des bonbons ?

4. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.

On considère les événements :

• T : « tirer un trèfle »

• V : « tirer un valet »

Calcule les probabilités suivantes :

(a) P(T )

(e) PT

(g) PV ∩ T

(b) P(V )

(d) P(T ∪ V )

(f ) PV

(h) P ∩ T V

5. Soient a un nombre choisi au hasard dans l’ensemble {1; 2; 3; 4; 5} et b un nombre choisi au hasard dans l’ensemble {3; 4; 5; 6}.

(a) Quelle est la probabilité que les nombres a et b soient égaux ?

(b) Quelle est la probabilité que la somme a + b soit strictement supérieure à 8 ?

6. Considérons deux événements A et B d’une même expérience aléatoire tels que P( A ) = 0,2, P( B ) = 0,6 et P( A ∩ B ) = 0,1.

Calcule :

(a) P( A ∪ B )

(b) PA

(d) PA ∩ B

7. On lance deux dés non truqués et on fait la somme des chiffres obtenus sur la face supérieure des deux dés. On souhaite estimer la probabilité que cette somme soit égale à 4. Pour cela, on va simuler 200 lancers de dés à l’aide du tableur Excel en suivant la démarche suivante :

1. Dans la colonne A, génère les 200 lancers du premier dé avec la fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).

2. Dans la colonne B, génère les 200 lancers du deuxième dé avec la fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).

3. Dans la colonne C, additionne ligne par ligne les résultats obtenus dans les colonnes A et B.

4. Compte le nombre de 4 dans la colonne C en utilisant la fonction =NB.SI(C1:C200;4)

(a) À la fin de ta simulation, quelle proportion de lancers a donné comme résultat une somme égale à 4 ?

(b) Réalise une autre simulation de 200 lancers. Obtient-on le même résultat qu’au point (a) ?

(c) Réalise maintenant une simulation avec les autres élèves de ta classe : chacun lance deux dés et note la somme des points dix fois de suite. Quelle proportion de lancers a donné comme résultat une somme égale à 4 ?

(d) Compare et critique tes résultats obtenus aux points (a), (b) et (c) avec la probabilité théorique d’obtenir 4 en faisant la somme des points obtenus en lançant deux dés.

(e) Augmenter le nombre de lancers à l’aide du tableur Excel peut vite devenir fastidieux. Utilise une intelligence artificielle en ligne et demande-lui de simuler 4 000, 100 000 puis 5 000 000 de lancers de deux dés. Demande-lui ensuite de te donner la proportion du nombre de fois où la somme vaut 4. Donne les résultats et compare-les à la réponse trouvée au point (d).

3. Outils d’appropriation et de calcul de probabilités

DÉCOUVERTE

Activité 1 Calculs de probabilités à l’aide d’un diagramme en arbre

Mélanie envoie un message à des clients dans le cadre de son travail. Elle envoie 80 % de ses messages via WhatsApp et 20 % par e-mail. Lorsqu’elle envoie son message via WhatsApp, elle reçoit une réponse dans 75 % des cas, et lorsqu’elle envoie son message par mail, elle reçoit une réponse dans 60 % des cas.

On note W : « le message est envoyé par WhatsApp » et R : « le message a obtenu une réponse ».

1. Afin de mieux visualiser la situation, schématisons-la à l’aide d’un diagramme en arbre.

Complète ce diagramme en indiquant, sur chaque branche, la probabilité de l’événement associé.

2. Utilise cet arbre pour répondre aux questions suivantes.

(a) Quelle est la probabilité que Mélanie envoie son message par WhatsApp et qu’elle reçoive une réponse ?

(b) Quelle est la probabilité que Mélanie envoie un mail et n’obtienne pas de réponse ?

Dans un arbre de probabilités,

• lorsqu’un événement peut être atteint par un seul chemin à partir de la racine, sa probabilité est donnée en multipliant toutes les probabilités qui apparaissent sur ce chemin ;

• lorsqu’un événement est atteint par plusieurs chemins à partir de la racine, sa probabilité est donnée en additionnant les probabilités calculées pour chaque chemin qui définissent cet événement en partant de la racine.

πG

Activité 2

Calculs de probabilités à l’aide d’un tableau

Une étude est menée auprès de 150 élèves pour connaître leurs habitudes du matin. On leur a demandé :

• s’ils déjeunent le matin ou non ;

• s’ils se réveillent avant 7 h ou après 7 h.

Voici les résultats partiels :

• 96 élèves prennent un petit-déjeuner ;

• 42 élèves se lèvent après 7 h ;

• 28 élèves se lèvent après 7 h et ne prennent pas de petit-déjeuner.

Nommons D : « prendre un petit-déjeuner » et S : « se lever avant 7 h ».

1. Pourquoi ne peut-on pas facilement utiliser un diagramme en arbre dans cette situation ?

2. Afin de schématiser la situation, complète le tableau ci-dessous :

3. Utilise ce tableau pour calculer les probabilités suivantes :

• P ∩ D S

πG

• P( S )

• P ∪ S D

Un tableau permet de résumer clairement les résultats d’une expérience aléatoire. Il est particulièrement utile quand on a deux critères à analyser en même temps et qui n’arrivent pas forcément consécutivement, comme dans cet exemple : prendre ou non un petitdéjeuner et se lever ou non avant 7 h.

Activité 3 Calculs de probabilités à l’aide d’un diagramme de Venn

Un professeur de mathématiques interroge 25 élèves sur le matériel qu’ils ont dans leur cartable :

• 20 élèves ont une équerre ;

• 15 élèves ont une calculatrice ;

• 5 élèves ont un compas ;

• 13 élèves ont une équerre et une calculatrice ;

• 4 élèves ont une équerre et un compas ;

• 3 élèves ont une calculatrice et un compas ;

• 2 élèves ont une équerre, une calculatrice et un compas.

1. Si tu additionnes le nombre d’élèves repris dans les catégories ci-dessus, obtiens-tu les 25 élèves de la classe ? Commente ta réponse.

2. Nommons E : « avoir une équerre », C : « avoir une calculatrice » et O : « avoir un compas ». Complète le diagramme de Venn en tenant bien compte du fait que certains élèves sont comptés dans plusieurs catégories.

3. Utilise ce diagramme pour calculer les probabilités suivantes :

• C PE ∩∩ O

• E C P ∩∩ O

πG

• P(E ∖ O)

• P(O ∪ C )

Les diagrammes de Venn sont des outils visuels pour représenter des ensembles. Ils permettent de mieux comprendre les situations dans lesquelles des personnes ou des objets appartiennent à plusieurs ensembles en même temps et évitent de compter deux fois les mêmes éléments.

THÉORIE

Méthodo

Quel outil pour calculer des probabilités ?

Situation Outil

On connaît l’ordre chronologique des événements.

On a deux critères croisés.

On étudie l’appartenance à plusieurs groupes.

Remarque

Diagramme en arbre

Tableau

Diagramme de Venn

Pourquoi ?

L’arbre permet de visualiser les chemins successifs.

Le tableau permet de trier et compléter les données facilement. Il est particulièrement pratique si on connaît les effectifs ou les fréquences partiels

Le diagramme de Venn est utile pour visualiser les intersections, surtout quand il y a 3 ensembles

Plusieurs représentations sont parfois possibles pour un même énoncé.

Méthodo

Construire et exploiter un diagramme en arbre pour calculer des probabilités

• Pour construire un diagramme en arbre, on suit les étapes suivantes :

1. À partir d’un même point de départ, construis autant de branches qu’il y a d’issues possibles à la première étape.

Note le nom de l’issue au bout de chaque branche et écris la probabilité de chaque issue sur la branche correspondante.

2. À partir de chaque issue de l’étape 1, trace autant de branches que d’issues possibles pour l’étape 2.

Note le nom des issues et les probabilités associées.

3. Fais de même pour les étapes supplémentaires, s’il y en a.

• Pour calculer une probabilité à l’aide d’un diagramme en arbre, on suit les démarches suivantes :

• Pour calculer la probabilité d’une branche complète, on multiplie toutes les probabilités qui apparaissent sur cette branche.

• Si plusieurs branches mènent au même résultat, on additionne les probabilités de ces branches.

Exemple

Dans une urne, il y a 3 boules jaunes, 4 boules roses et 2 boules orange.

On tire successivement, mais sans remise, 2 boules dans cette urne.

On nomme Ji : « tirer une boule jaune au ie tirage », Ri : « tirer une boule rose au ie tirage » et Oi : « tirer une boule orange au ie tirage » où i ∈ {;} 12

Le diagramme en arbre associé à cette situation est le suivant :

La probabilité de tirer deux boules jaunes vaut PJ J 12 ∩ ()===

La probabilité de tirer une boule jaune au 2e tirage vaut

PJ P JJ P RJ P OJ 2121212 =++ ∩ ∩∩ ()()()() = =++==

EXERCICES

1. Dans une école, les résultats à l’examen de mathématiques de fin d’année des élèves de rhéto ayant 6 périodes de mathématiques par semaine ont été mis en lien avec leurs résultats moyens aux périodes.

EP et EE désignent respectivement un échec à la moyenne des périodes ou à l’examen, RP- ou RE- désignent respectivement un résultat compris entre 50 % et 60 % inclus à la moyenne des périodes ou à l’examen et RP+ ou RE+ désignent respectivement un résultat strictement supérieur à 60 % à la moyenne des périodes ou à l’examen.

(a) Donne en extension et en compréhension un événement dont la probabilité vaut 6,527 %. Sois précis(e) et cohérent(e) avec le contexte donné.

(b) Estime la probabilité qu’un rhéto math 6 pér./sem. de cette école réussisse ses périodes et son examen de fin d’année avec strictement plus de 60 %.

(d) Estime la probabilité qu’un élève améliore sa catégorie à l’examen par rapport à celle du cumul de ses périodes.

(e) Les résultats aux périodes permettent-ils de prédire ceux à l’examen ? Justifie.

2. Dans un hôtel qui compte 235 chambres, certaines disposent d’un balcon et certaines ont une baignoire plutôt qu’une douche à l’italienne.

La répartition des chambres est la suivante :

• 50 chambres ont à la fois une baignoire et un balcon ;

• 75 chambres ont une baignoire, mais pas de balcon ;

• 15 chambres ont une douche à l’italienne et un balcon

(a) Représente la situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’une chambre de cet hôtel possède un balcon ?

(d) Quelle est la probabilité qu’une chambre de cet hôtel possède une douche à l’italienne, mais pas de balcon ?

3. Des gamers belges ont été interrogés sur les jeux auxquels ils jouaient. Le diagramme de Venn illustre les résultats de cette étude où :

• C est l’événement « le joueur joue à Call of Duty » ;

• F est l’événement « le joueur joue à FIFA » ;

• M est l’événement « le joueur joue à Minecraft ».

(a) Indique combien de personnes ont été interrogées pour cette étude.

(b) Donne les événements dont les probabilités valent respectivement 93 500 et 9 80 . Sois précis(e) et cohérent(e) avec le contexte donné.

(c) Exprime les événements suivants à l’aide d’opérations entre les événements C, F et M et calcule leur probabilité sur la base de cette étude.

I. « Un joueur belge joue à FIFA ».

II. « Un joueur belge joue à Call of Duty ou à Minecraft ».

III. « Un joueur belge ne joue ni à Call of Duty ni à FIFA ».

IV. « Un joueur belge joue à Minecraft, mais pas à FIFA ».

V. « Un joueur belge joue à Call of Duty et à FIFA, mais pas à Minecraft ».

VI. « Un joueur belge joue au moins à l’un des trois jeux étudiés ».

4. Une urne opaque contient 1 bille rouge, 6 billes mauves et 9 billes turquoise indiscernables au toucher.

(a) On tire successivement deux billes de l’urne sans remettre la première bille après son tirage.

I. Représente la situation de manière adéquate.

II. Calcule la probabilité de tirer deux billes rouges.

III. Calcule la probabilité de tirer deux billes mauves.

IV. Calcule la probabilité de tirer une bille mauve, puis une bille turquoise.

V. Calcule la probabilité de tirer une bille mauve et une bille turquoise.

VI. Calcule la probabilité de tirer au moins une bille turquoise.

VII. Calcule la probabilité de tirer deux billes de couleurs différentes.

(b) Réponds aux mêmes sous-questions qu’en (a), mais cette fois en supposant que la première bille tirée est remise dans l’urne avant le 2e tirage.

5. Deux boutiques indépendantes ont récemment ouvert dans le centre de Mons : une boutique d’articles de mode fabriqués en Italie et une boutique d’accessoires faits main par des artisans autour de la Méditerranée. Le samedi, les deux boutiques partagent régulièrement leur clientèle : 45 % des passants se rendent dans la boutique d’articles de mode, 40 % dans celle d’accessoires et 30 % dans les deux boutiques.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un passant n’ait visité aucune de ces deux boutiques samedi dernier ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un passant n’ait visité qu’une de ces deux boutiques samedi dernier ?

6. Une école dispose de deux imprimantes : une imprimante couleur et une imprimante noir et blanc. La probabilité que l’imprimante couleur tombe en panne est de 0,3, indépendamment de l’état de l’imprimante noir et blanc. Si l’imprimante couleur fonctionne, la probabilité que l’imprimante noir et blanc soit en panne est de 0,04, mais si l’imprimante couleur est en panne, l’affluence reportée sur la seconde imprimante augmente sa probabilité d’être en panne, qui passe à 0,15.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Calcule la probabilité que les deux imprimantes soient en panne.

(d) Calcule la probabilité qu’au moins une imprimante fonctionne.

(e) En te rendant un jour au hasard dans cette école durant l’année scolaire, quelle imprimante a la plus grande probabilité d’être fonctionnelle ?

7. 500 étudiants belges ont été interrogés sur les différents festivals qu’ils ont fréquentés. Voici les résultats obtenus à la suite du sondage :

• 153 étudiants ont participé à Tomorrowland ;

• 137 étudiants ont participé à Rock Werchter ;

• 82 étudiants ont participé à Dour Festival ;

• 27 étudiants ont participé à Tomorrowland et à Rock Werchter ;

• 14 étudiants ont participé à Tomorrowland et à Dour Festival ;

• 11 étudiants ont participé à Rock Werchter et à Dour Festival ;

• 8 étudiants ont participé aux trois festivals.

On interroge au hasard un étudiant belge de cet échantillon.

(a) Représente cette situation de la manière la plus adéquate.

(b) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé ne soit allé à aucun de ces trois festivals.

(d) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé soit allé à Dour Festival et à Tomorrowland.

(e) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé soit allé à Tomorrowland ou à Rock Werchter.

(f) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé ne soit pas allé à Tomorrowland.

(g) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé soit allé à au moins deux de ces trois festivals.

8. Une enquête réalisée auprès des adolescents belges montre que :

• 19,75 % d’entre eux consomment au moins un soda par jour ;

• 14,6 % d’entre eux consomment au moins une boisson énergisante par jour ;

• 4,3 % d’entre eux consomment ces deux types de boissons quotidiennement.

Nommons S : « consommer au moins un soda par jour » et E : « consommer au moins une boisson énergisante par jour ».

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un adolescent belge consomme au moins un soda ou au moins une boisson énergisante par jour ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un adolescent belge consomme au moins un soda mais aucune boisson énergisante quotidiennement ?

(e) Sur 10 000 adolescents belges, estime combien d’entre eux consomment soit des sodas, soit des boissons énergisantes au moins une fois par jour, mais pas les deux.

9. Lorsque Carla se rend au restaurant, elle hésite toujours à prendre une entrée ou un dessert.

Nommons E : « Carla prend une entrée » et D : « Carla prend un dessert ». Le diagramme en arbre suivant montre les probabilités liées à ces événements.

(a) Détermine x si la probabilité que Carla prenne un dessert est de 1 6

(b) Quelle est la probabilité que Carla ne prenne ni entrée ni dessert ?

On tire au hasard deux cartes d’un jeu de 52 cartes, sans remise. Quelles sont les probabilités :

(a) d’obtenir deux rois ?

(b) d’obtenir un roi, puis une figure ?

(d) d’obtenir deux cartes de même couleur ?

Une professeure de français fait énormément participer ses élèves en classe. Si un élève interagit pendant un cours, il est motivé à interagir pendant le cours suivant avec une probabilité de 0,7. S’il n’interagit pas pendant un cours, la probabilité d’interagir pendant le prochain cours n’est plus que de 0,4.

Lucas a interagi pendant le 1er cours de la semaine. Quelle est la probabilité qu’il interagisse aussi pendant le 4e cours de la semaine ?

Kim a créé un logiciel qui permet à une souris virtuelle de se déplacer de point en point dans le carré ci-contre.

Lorsque la souris se trouve sur l’un des sommets du carré, elle peut se déplacer de deux manières différentes :

• vers un autre sommet relié par une arête du sommet sur lequel elle se trouve, chacun avec une probabilité de 0,25 ;

• vers le centre du carré.

Lorsque la souris se trouve au centre du carré, elle se dirige :

• vers le sommet A avec une probabilité de 0,4 ;

• vers les sommets B, C ou D de façon équiprobable.

La souris démarre du point A et effectue deux déplacements successifs.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’elle se retrouve au point B ?

(d) Quelle est la probabilité qu’elle passe ou qu’elle arrive au point E ?

On lance un dé parfaitement équilibré plusieurs fois de suite. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins un 6 soit supérieure à 97,5 % ?

4. Probabilité conditionnelle

DÉCOUVERTE

Activité 1 Calcul dʼune probabilité conditionnelle

Le tableau ci-dessous présente les résultats partiels d’une enquête menée ce matin auprès de 120 élèves de ton école. Chaque élève a indiqué son moyen de transport pour venir à l’école, ainsi que s’il est arrivé à l’heure ou en retard

Nommons V : « venir en voiture », B : « venir en bus », L : « venir à vélo » et H : « arriver à l’heure ».

(a) Complète le tableau sachant qu’aucun élève interrogé ne se rend à l’école avec un autre moyen de transport que ceux mentionnés.

(b) Un élève est choisi au hasard parmi les 120 interrogés. Quelle est la probabilité que cet élève :

I. soit venu en voiture ?

II. soit arrivé en retard ?

III. soit venu en voiture et arrivé en retard ?

(c) Si on choisit maintenant un élève au hasard parmi ceux qui sont arrivés en retard, quelle est la probabilité que cet élève soit venu en voiture ?

πG

Tu viens de calculer une probabilité conditionnelle, c’est-à-dire la probabilité qu’un événement se produise en sachant qu’un autre événement a déjà eu lieu.

Dans ce cas-ci, on sait déjà que l’événement H s’est produit. On cherche alors la probabilité que l’événement V se réalise dans ce contexte. On écrit P V

qui se lit « la probabilité de V sachant H ».

(d) Exprime H| 

(e) Calcule HV |

πG

à l’aide de H

. Obtient-on le même résultat que H|

Tu viens de découvrir que si A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire et que B n’est pas un événement impossible, alors

Activité 2 Événements indépendants

On lance une pièce équilibrée et, ensuite, on tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. On considère les événements F : « obtenir face sur la face supérieure de la pièce » et C : « tirer une carte cœur ».

1. Schématise la situation à l’aide d’un diagramme en arbre.

Une probabilité conditionnelle est bien une probabilité, car elle vérifie les axiomes de Kolmogorov. COPYRIGHTVANIN

2. Calcule P(F ), P(C ) et P(F ∩ C ).

3. Calcule P F|C et P C|F . Que constates-tu ?

4. Quel lien y a-t-il alors entre P(F ∩ C ), P(F ) et P(C ) ?

πG

On dit que les événements F et C sont indépendants, c’est-à-dire que la réalisation ou la nonréalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre.

De plus, comme les événements F et C sont indépendants, on a que P(F ∩ C ) = P(F ) ⋅ P(C ).

THÉORIE

Définition

Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire où B n’est pas un événement impossible.

La probabilité conditionnelle P A|B , qui se lit « la probabilité de A sachant B », est la probabilité de la réalisation de l’événement A, sachant que l’événement B s’est déjà réalisé, et se calcule par P A|B = PA B PB () () ∩

Remarque

Exemple

Soient les événements A et B d’une même expérience aléatoire dont les probabilités sont données par le diagramme en arbre suivant :

• P A|B = PA B PB () () ∩ = + = 0203 02030806 1 13 ,, ,,,, ⋅⋅

• P B|A = PB A PA () () ∩ == 0203 02 3 10 ,, , ⋅

Remarque

P A|B ≠ P B|A , comme le montre l’exemple précédent.

Théorème

Théorème de la multiplication

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire qui ne sont pas impossibles.

Illustration

Ce théorème explique pourquoi, dans un diagramme en arbre, on multiplie les probabilités situées sur une même branche pour obtenir la probabilité d’un enchaînement d’événements.

Définition

Événements indépendants

Deux événements d’une même expérience aléatoire sont indépendants si la réalisation ou la non-réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre.

Autrement dit, les événements A et B sont indépendants si P A|B = P( A ) et P B|A = P( B ).

Exemple

On lance un premier dé, puis un deuxième dé.

On nomme A : « le premier dé affiche un 3 » et B : « le deuxième dé affiche un 2 ou un 4 ».

On a :

• A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)} donc PA()== 6

;

• B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2); (1; 4); (2; 4); (3; 4); (4; 4); (5; 4); (6; 4)} donc PB()== 12 36 1 3 ;

• A ∩ B = {(3; 2); (3; 4)} donc P( A ∩ B ) == 2

Dès lors, P A|

Les événements A et B sont donc indépendants : le résultat du premier dé n’a aucun effet sur le résultat du deuxième. Condition pour que deux événements soient indépendants

Propriété

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire qui ne sont pas impossibles. A et B sont indépendants si et seulement si P( A ∩ B ) = P( A ) ⋅ P( B ).

Démonstration

On a que :

P( A ∩ B ) = P( A ) P( B )

⇔ P A|B ⋅ P( B ) = P( A ) ⋅ P( B ) (par le théorème de la multiplication)

⇔ P A|B = P( A ) (simplification par P( B ), qui est non nul vu que B n’est pas un événement impossible) et P( A ∩ B ) = P( A ) P( B )

⇔ P B|A P( A ) = P( A ) P( B ) (par le théorème de la multiplication)

⇔ P B|A = P( B ) (simplification par P( A ), qui est non nul vu que A n’est pas un événement impossible)

EXERCICES

1. Un parc aquatique compte 18 toboggans dont certains se font obligatoirement avec une bouée. De plus, ils sont classés selon trois catégories : « enfants », « familial » et « sensations fortes ». On a que :

• 7 toboggans se font avec une bouée ;

• 5 toboggans sont pour les enfants et 7 toboggans sont familiaux ;

• parmi les toboggans à sensations fortes, 4 nécessitent une bouée ;

• aucun toboggan pour enfants ne nécessite de bouée.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un toboggan se fasse sans bouée sachant qu’il s’agit d’un toboggan à sensations fortes ?

2. Lors d’un festival de jeux de société, un sondage est mené auprès de 155 personnes sur les jeux classiques auxquels ils ont déjà joué.

On considère les événements suivants :

• A : « la personne a déjà joué aux Aventuriers du Rail » ;

• C : « la personne a déjà joué à Catan » ;

• S : « la personne a déjà joué à Skyjo ».

Voici les résultats du sondage concernant les trois jeux cités :

• 18 personnes ont déjà joué aux trois jeux ;

• 23 personnes n’ont joué à aucun de ces trois jeux ;

• 10 personnes n’ont joué qu’à Catan ;

• 8 personnes n’ont joué qu’à Skyjo ;

• 50 personnes ont joué à Catan et aux Aventuriers du Rail ;

• 59 personnes ont joué à Catan et à Skyjo ;

• 34 personnes ont joué aux Aventuriers du Rail et à Skyjo

(a) Schématise la situation de la manière la plus adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un joueur ait joué aux Aventuriers du Rail ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un joueur n’ayant jamais joué aux Aventuriers du Rail ait déjà joué à Skyjo ?

(e) Sachant qu’un joueur a déjà joué à Catan ou aux Aventuriers du Rail, quelle est la probabilité qu’il ait également déjà joué à Skyjo ?

(f) Donne en compréhension un événement dont la probabilité vaut 59 83 . Justifie par calculs.

3. Dans une urne se trouvent 6 boules jaunes et 4 boules brunes. On tire deux boules de cette urne sans remettre la première.

(a) Les événements A : « la première boule tirée est jaune » et B : « la deuxième boule tirée est brune » sont-ils indépendants ? Justifie par calculs.

(b) Obtient-on la même réponse si, lors du tirage, on remet la première boule tirée dans l’urne ?

4. Une légende urbaine affirme que croiser un chat noir porte malheur. Un statisticien un peu sceptique mène une enquête auprès de 1 000 personnes pour la vérifier.

Voici les résultats qu’il recueille un jour donné :

• 120 personnes ont croisé un chat noir ce jour-là et parmi celles-ci, 45 déclarent avoir eu un petit malheur dans la semaine qui suit (perte de clés, oubli de portefeuille…) ;

• 280 personnes déclarent avoir eu un malheur cette même semaine.

On note :

• C : « la personne a croisé un chat noir » ;

• M : « la personne a eu un malheur ».

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’une personne ait croisé un chat noir si elle a eu un malheur ?

(d) La légende est-elle fondée ? Justifie par des calculs de probabilités.

5. On lance deux fois une pièce de monnaie qui est truquée. Nommons F : « obtenir face sur la face supérieure ». On a que PF PF ()=2

et que chaque lancer est indépendant du lancer précédent.

(a) Calcule la probabilité d’obtenir pile aux deux lancers.

(b) Calcule la probabilité d’obtenir pile sur la face supérieure au deuxième lancer, sachant qu’on a déjà obtenu pile sur la face supérieure au premier lancer.

6. En 2023, la Région de Bruxelles-Capitale comptait 49,78 % d’hommes et 50,22 % de femmes de 25 à 54 ans. Le graphique suivant donne leur niveau d’enseignement3

Niveau d’enseignement de la population de la Région de Bruxelles-Capitale de 25 à 54 ans

MoyenBas

En 2023, on a interrogé un Bruxellois ou une Bruxelloise de cette tranche d’âge au hasard.

(a) Quelle est la probabilité qu’il ou elle ait un haut niveau d’enseignement ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une femme ayant un bas niveau d’enseignement ?

(d) La personne interrogée n’a pas un haut niveau d’enseignement. Est-il plus probable qu’il s’agisse d’un homme ou d’une femme ? Justifie par calculs.

3 Source : https://statbel.fgov.be/fr/themes/emploi-formation/formation-et-enseignement/niveau-dinstruction#figures

7. Le fabricant d’un test de grossesse indique que la sensibilité est de 96 %, c’est-à-dire que parmi les femmes enceintes, 96 % auront un résultat positif, et que la spécificité est de 99 %, c’est-à-dire que parmi les femmes non enceintes, 99 % auront un résultat négatif. On considère un groupe de 1 000 femmes, parmi lesquelles 50 sont enceintes.

(a) Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans cet échantillon ait un test positif ?

(b) Quelle est la probabilité qu’une femme soit enceinte, sachant que le test est positif ?

(d) Une femme obtient un premier test positif, puis décide de faire un deuxième test, du même fabricant. Quelle est la probabilité qu’elle soit enceinte si ce deuxième test est également positif ? On suppose que les résultats affichés par les deux tests sont indépendants.

8. Une épicerie propose des pommes provenant de deux producteurs : un producteur local bio et un producteur industriel. Le producteur bio livre des pommes plus chères, mais seulement 2 % sont abîmées. Le producteur industriel propose des prix très bas, mais 12 % des pommes sont abîmées.

(a) L’épicerie s’approvisionne à 40 % chez le producteur bio et à 60 % chez le producteur industriel. I. Représente cette situation par un diagramme en arbre. II. On tire une pomme au hasard et on constate qu’elle est abîmée. Quelle est la probabilité qu’elle provienne du producteur industriel ?

(b) L’épicier souhaite que moins de 5 % des pommes vendues soient abîmées. Quelle proportion minimale de pommes doit-il commander auprès du producteur bio pour atteindre cet objectif ?

9. Deux parents ont tous les deux les yeux bruns. Cependant, chacun d’eux a un parent qui a les yeux bleus.

On rappelle que l’allèle « brun » est dominant (noté B) et que l’allèle « bleu » est récessif (noté b). La couleur des yeux dépend de deux allèles : un hérité de la mère, l’autre du père. Une personne a les yeux bruns si elle possède au moins un allèle B (génotype BB ou Bb), et les yeux bleus uniquement si elle a deux allèles b (génotype bb).

En supposant que les deux parents ont pour génotype Bb et que chaque parent transmet l’un de ses deux allèles avec la même probabilité, détermine :

(a) la probabilité qu’ils aient un enfant aux yeux bleus ;

(b) la probabilité qu’un enfant possède l’allèle b sans le savoir s’il a les yeux bruns ;

Sally Clark, une avocate britannique, a été accusée en 1999 du meurtre de ses deux enfants morts subitement à quelques mois d’intervalle. On estimait que la probabilité qu’un enfant meure de mort subite du nourrisson dans une famille sans facteur de risque particulier est de 1 sur 8 543. L’expert présent lors du procès a alors affirmé que la probabilité d’avoir deux morts naturelles successives était de 1 8543 1 72982849 1 73000000 2 = .

À partir de cette estimation, l’accusation a prétendu qu’un tel événement était quasiment impossible, ce qui suggérait que les décès ne pouvaient être qu’intentionnels.

(a) Explique pourquoi l’argument de l’expert calcul de 1 8543 2 repose sur une hypothèse fausse.

(b) Supposons maintenant que, si un premier enfant meurt de mort subite du nourrisson, la probabilité qu’un second enfant en meure aussi passe à 1 sur 100 Calcule alors la probabilité d’un double décès naturel dans ces conditions.

(c) Dans les affaires de double décès infantile, environ 1 cas sur 9 est un double homicide, les autres décès étant naturels.

Calcule la probabilité qu’un double décès soit naturel, sachant qu’un tel événement s’est produit, et explique l’importance du calcul de cette probabilité dans cette affaire.

(d) Les calculs des probabilités aux points (b) et (c) permettent-ils de dire que Sally Clark était innocente ?

5. Probabilité et analyse combinatoire

Il n’est pas toujours facile de compter le nombre d’issues possibles ou favorables dans certaines expériences aléatoires lorsque le nombre de résultats possibles est grand.

L’analyse combinatoire est un outil qui permet de dénombrer efficacement toutes les issues possibles, sans devoir les énumérer une à une. Cet outil est donc essentiel dans le calcul de probabilités.

THÉORIE

Définition

Factorielle

La factorielle de n, notée n!, est le produit de tous les nombres naturels non nuls inférieurs ou égaux à n

Exemples

• 3! = 3 2 1 = 6

Remarque

Par convention, 0! = 1.

EXERCICES

1. Simplifie sans utiliser ta calculatrice.

(a) 12 11 ! !

(e) () ! ! k k +1

(b) 12 10 ! !

(d) n n ! ()-1!

(f) () ! () ! n n +1 1

2. Écris les expressions suivantes à l’aide d’une unique factorielle.

(a) 14 13!

(b) n ⋅ (n − 1)!

DÉCOUVERTE

Activité 1 Permutations et arrangements

L’ouverture de la porte d’entrée d’un immeuble à appartements est sécurisée par un code composé de lettres. À côté de la porte se trouve un clavier avec quatre lettres possibles : A, B, C et D.

1. Si le code est constitué de quatre lettres différentes,

(a) combien y a-t-il de codes possibles ?

Pour répondre à cette question, suis les étapes suivantes :

• représente le code par quatre tirets ;

• pour chaque tiret, indique combien de choix de lettres sont possibles, en tenant compte du fait qu’on ne peut pas répéter une même lettre ;

• multiplie les possibilités pour obtenir le nombre total de codes.

(b) exprime la multiplication obtenue au point (a) à l’aide d’une factorielle ;

Tu viens de calculer les permutations possibles entre ces quatre lettres.

Si l’on dispose de n éléments différents, alors il existe n! façons de les permuter. On parle de permutations sans répétition

2. Si le code ne contient plus que deux lettres différentes, combien y a-t-il de codes possibles ? Exprime ton résultat à l’aide d’une ou plusieurs factorielle(s).

Tu viens de calculer les arrangements sans répétition de 2 lettres parmi 4.

Quand l’ordre compte et qu’on ne répète pas les éléments, il y a n np ! () !façons de former un code de p éléments parmi n choix.

3. Si le code est formé de trois lettres qui peuvent se répéter, combien y a-t-il de codes possibles ?

Tu viens de calculer les arrangements possibles avec répétition entre ces quatre lettres. Quand les éléments peuvent être répétés et que l’ordre compte, il y a np façons de former un code de p éléments parmi n choix.

4. On sait maintenant que le code contient trois lettres : deux fois la lettre A et une fois la lettre B.

Combien y a-t-il alors de codes possibles ?

Pour répondre à cette question, utilise deux couleurs différentes pour écrire les lettres A et élimine ensuite les codes qui se répètent.

5. On sait maintenant que le code contient quatre lettres : trois fois la lettre A et une fois la lettre B. Combien y a-t-il alors de codes possibles ?

Choisis la bonne réponse parmi les propositions suivantes :  4! = 24 codes  4 2 ! ! = 12 codes  4 3 ! ! = 4 codes

Aux questions 4 et 5, tu as calculé des permutations avec répétition

Si l’on dispose de p éléments dont l’un est répété n1 fois, un autre n2 fois, … , un autre n p fois, alors il existe n nn n p ! !! ! 12 ... façons de les permuter où n1 +

Activité 2 Combinaisons

Adrien, Nils, Zoé, Emeric et Chloé se présentent pour l’élection du comité des élèves de rhéto.

1. Combien de façons y a-t-il d’élire un président, un sous-président et un trésorier parmi ces élèves ?

2. Combien de façons y a-t-il d’élire un comité de trois élèves sans leur attribuer un rôle spécifique ?

Comment peux-tu adapter ta réponse à la question précédente ?

πG

Lorsque l’ordre n’est plus important, on calcule les combinaisons sans répétition de p éléments parmi n. Pour cela, on divise les arrangements sans répétition par le nombre de permutations possibles des p éléments : n n – pp ! () !!

THÉORIE

Définition

Permutation sans répétition

Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments.

Propriété

Calcul du nombre de permutations sans répétition

Le nombre de permutations sans répétition de n éléments différents, noté P n, se calcule par : P n = n!

Illustration

Exemple

Il y a P6 = 6! = 720 façons de placer 6 personnes en file indienne.

Définition

Permutations avec répétition

Une permutation avec répétition de n éléments dont l’un est répété n1 fois, un autre n2 fois, …, un autre n p fois, où n1 + n2 + … + n p = n, est une suite ordonnée de ces n éléments.

Propriété

Calcul du nombre de permutations avec répétition

Le nombre de permutations avec répétition de p éléments dont l’un est répété n1 fois, un autre n2 fois, …, un autre n p fois, où n1 + n2 + … + n p = n, noté P n nn n p 12;;; , se calcule par : P

Exemple

Il y a P6 3216 321 ;;60 ! !!! == possibilités de permuter les lettres du mot « ananas ».

Définition

Arrangement sans répétition

Un arrangement sans répétition de p éléments parmi n éléments distincts où p ≤ n est une suite ordonnée de p éléments différents choisis parmi les n disponibles.

Propriété

Calcul du nombre d’arrangements sans répétition

Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments différents parmi n éléments distincts (p ≤ n), noté A n p, se calcule par : A n np n p =! () !

Illustration

n (n − 1)(n − 2) (n – p + 1) =n np ! () ! p tirets

Exemple

Il y a A20 320 17 ==2019186840 = ! ! ⋅⋅ podiums possibles pour les 20 pilotes en lice d’une course de Formule 1.

Remarque

Si p = n, on a A n nn nn nP n n n ===== ! () ! ! ! !! 01 . On retrouve alors le cas des permutations sans répétition.

Définition

Arrangement avec répétition

Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n éléments distincts est une suite ordonnée de p éléments, pas forcément différents, choisis parmi les n disponibles.

Propriété

Calcul du nombre d’arrangements avec répétition

Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments, pas forcément différents, parmi n éléments distincts noté α n p, se calcule par : α n p p n =

Illustration

n n n n = np p tirets

Exemple

Il y a α10 4 = 104 = 10 000 codes à 4 chiffres possibles pour déverrouiller son téléphone mobile.

Définition

Combinaison sans répétition

Une combinaison sans répétition de p éléments parmi n éléments distincts où p ≤ n est un ensemble de p éléments différents choisis parmi les n disponibles.

Remarque

La définition parle d’ensemble, ce qui implique que l’ordre n’est pas important.

Propriété

Calcul du nombre de combinaisons sans répétition

Le nombre de combinaisons sans répétition de p éléments différents parmi n éléments distincts (p ≤ n), noté C n p, se calcule par :

Exemple

Il y a C 52 552 5525 52 547 =2598960== ! !()! ! !! façons de tirer simultanément 5 cartes dans un jeu de 52 cartes.

Remarque

Lorsqu’on travaille dans une catégorie d’épreuve où le nombre d’issues est obtenu par le calcul du nombre d’arrangements, le nombre de permutations ou le nombre de combinaisons sans répétition, les issues sont alors équiprobables, ce qui rend possible l’utilisation de la formule de Laplace dans les exercices de probabilité.

Propriété

Nombre de combinaisons simples : cas particuliers

Démonstrations

Remarque

C n p est parfois noté n p dans d’autres ouvrages ou applications mobiles dédiées aux mathématiques.

Méthodo

Quelle formule d’analyse combinatoire utiliser ?

Y a-t-il des répétitions ?

Utilise-t-on tous les éléments ?

L’ordre est-il important ?

Y a-t-il des répétitions ?

Permutations avec répétition = n! n1!·n2!·…·n p ! P n n1;n2;…;np

Permutations sans répétition P n = n!

Arrangements avec répétition = n p α n p

Arrangements sans répétition n! (n p)! = A n p

Combinaisons sans répétiton n! p!·(n p)! = C n p

EXERCICES

Dénombrement

1. Pour chaque situation, indique le type de groupement dont il s’agit. Sois précis(e).

(a) Le choix des 6 danseurs pour accompagner les élèves de la Star Academy lors de leur tournée.

(b) Le classement des équipes à la fin du championnat de Belgique de hockey sur gazon.

(c) Le tirage au sort de deux gagnants différents pour la tombola d’une fête scolaire. Le premier lot est une console de jeux et le deuxième lot est des places de cinéma.

(d) Une image sur laquelle on choisit la couleur de chaque pixel.

(e) La disposition de 4 cupcakes au chocolat, 6 cupcakes à la vanille et 5 cupcakes à la fraise dans le comptoir d’un salon de thé.

2. Six amis, Lilou, Matthias, Lana, Bilal, Guy et Thomas, vont au cinéma. Ils s’assoient à la dernière rangée, aux sièges numérotés de 1 à 6.

(a) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir sur ces sièges ?

(b) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si Bilal veut s’asseoir sur le siège no 2 ?

(d) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si les deux filles, Lilou et Lana, veulent chacune être à l’une des deux extrémités ?

(e) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si Lana et Thomas veulent s’asseoir l’un à côté de l’autre ?

(f) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si tous les garçons veulent être les uns à côté des autres ?

(g) Si les sièges numérotés de 7 à 10 sont finalement libres et qu’ils peuvent aussi s’y installer, de combien de façons différentes peuvent-ils s’asseoir sur ces 10 sièges ?

3. Lors d’un séjour sportif à Durbuy, chaque élève doit choisir 4 activités différentes à réaliser parmi 9. L’espace propose :

• 4 activités aériennes : accrobranche, via ferrata, escalade et saut sur airbag ;

• 5 activités terrestres : VTT, laser game, parcours spéléo, labyrinthe et escape game.

(a) Combien de choix différents de 4 activités un élève peut-il faire parmi les 9 proposées ?

(b) Un élève qui a le vertige refuse de faire les activités aériennes. Combien de sélections d’activités peut-il alors constituer ?

(d) Si Valentina souhaite faire au moins deux activités aériennes, combien de sélections sont possibles pour elle ?

(e) Si le VTT est obligatoire, combien de combinaisons différentes restent possibles ?

(f) Si le laser game et l’escape game ne peuvent pas faire partie de la même sélection d’activités, combien de choix différents un élève a-t-il ?

4. On forme un nombre de cinq chiffres distincts dont le premier ne peut pas être 0.

(a) Combien de nombres peut-on former ?

(b) Combien de nombres ne contenant pas de 0 peut-on former ?

(d) Combien de nombres strictement inférieurs à 40 000 peut-on former ?

(e) Combien de nombres impairs peut-on former ?

(f) Combien de nombres divisibles par 20 peut-on former ?

(g) Combien de nombres aurait-on pu former si les chiffres qui les composent peuvent être identiques ?

5. Donne le nombre d’anagrammes, ayant du sens ou non, qui peuvent être formés à l’aide des mots suivants.

(a) Fourmi

(b) Chameau

(d) Colocolo4

6. De combien de manières différentes peut-on attribuer tes deux premières heures du lundi à tes dix professeurs, sachant qu’un même professeur peut assurer les deux heures consécutives ?

4 Aussi appelé Chat des pampas, le colocolo est un chat sauvage du Chili.

Calcul de probabilités exploitant l’analyse combinatoire

1. Francesco se rend au restaurant. Joueur, il demande au serveur de lui choisir au hasard son menu en prenant un élément dans chaque catégorie. Les plats qu’il apprécie ont été mis en gras. Quelle est la probabilité que Francesco aime tout dans son menu ?

ANTIPASTI

Assortiment de 4 bruschette

Foccacia

Burrata et tomates cerises jaunes

Assiette de charcuterie italienne

PASTA

Troﬁe au pesto

Mafaldine sauce à la truﬀe

Penne carbonara

Spaghetti cacio e pepe

Linguine au citron

Macaroni alla norma

DESSERTS

Tiramisu

Cannolo

Panna cotta

Glace aux noisettes

Sabayon

Chinotto

Eau plate

BOISSONS

Eau pétillante

Limonade

Orangeade

Gioia

Bruxelles

Rue des Cannelloni

2. Lors de la rentrée scolaire, la classe de rhéto de Lauranne, Oscar et Aiko est composée de 24 élèves : 13 filles et 11 garçons. Leur professeur de mathématiques désigne au hasard 3 élèves pour aller chercher à l’économat les manuels Racine Math 6 commandés pour la classe.

(a) Calcule la probabilité que 3 filles soient désignées.

(b) Quelle est la probabilité qu’au moins 2 garçons soient désignés ?

(d) Quelle est la probabilité que Lauranne et Oscar soient tous les deux désignés ?

(e) Quelle est la probabilité que Lauranne soit désignée, mais pas Oscar ?

(f) Si Lauranne et Aiko sont les deux seules élèves de la classe qui ne s’entendent pas, quelle est la probabilité qu’elles ne soient pas désignées toutes les deux ?

(g) Quelle est la probabilité qu’Oscar soit désigné si le professeur a annoncé que Lauranne était désignée ?

3. On demande à une intelligence artificielle d’écrire au hasard 7 lettres successivement.

(a) Quelle est la probabilité que le mot formé commence et se termine par la lettre A ?

(b) Quelle est la probabilité que le mot formé ne contienne que des lettres différentes les unes des autres ?

(d) Quelle est la probabilité que le mot formé contienne au moins un X ?

(e) Quelle est la probabilité que le mot formé contienne exactement un X ?

(f) Quelle est la probabilité que le mot formé soit une anagramme, ayant du sens ou non, du mot « sagesse » ?

4. Eden a réservé une chambre d’hôtel pour lui et son compagnon Nolan. Celui-ci sait que leur chambre est située au 3e étage, mais ne connaît pas le numéro de la chambre. Il teste successivement les chambres de l’étage à l’aide de son badge pour retrouver la leur. L’étage est composé de 14 chambres.

(a) Calcule la probabilité que Nolan trouve leur chambre lors du 6e essai.

(b) Calcule la probabilité que leur chambre soit la dernière qu’il teste.

5. L’ordre de passage des 8 filles d’une classe pour la visite médicale est choisi de manière aléatoire. Gina, Mathilde et Marta sont des filles de cette classe.

(a) Quelle est la probabilité que toutes les filles de la classe soient appelées dans l’ordre alphabétique ?

(b) Quelle est la probabilité que la dernière fille à passer soit Marta ou Mathilde ?

(d) Quelle est la probabilité que Marta ne soit pas appelée dans les 3 premières ?

(e) Quelle est la probabilité que Mathilde passe juste avant Marta ?

(f) Quelle est la probabilité que Mathilde et Marta passent l’une après l’autre ?

(g) Quelle est la probabilité que Gina soit appelée avant Marta ?

(h) Le médecin vient d’appeler Marta pour être la première à passer, quelle est alors la probabilité que Mathilde soit l’avant-dernière à passer ?

6. Une boîte opaque contient 12 billes noires, 6 billes jaunes et 2 billes rouges indiscernables au toucher.

(a) On tire successivement 4 billes, sans remettre la bille tirée après chaque tirage.

I. Calcule la probabilité que 2 billes soient jaunes et 2 billes soient noires.

II. Calcule la probabilité que les 4 billes tirées soient de la même couleur.

III. Calcule la probabilité de tirer 1 bille noire suivie de 2 billes jaunes suivies de 1 bille rouge.

(b) On tire successivement 4 billes, en remettant la bille tirée après chaque tirage.

I. Calcule la probabilité de tirer 1 bille rouge suivie de 3 billes jaunes.

II. Calcule la probabilité qu’aucune bille tirée ne soit noire.

7. On tire successivement, sans remise, 6 cartes au hasard d’un jeu de 52 cartes.

(a) Quelle est la probabilité de tirer la dame de cœur ?

(b) Quelle est la probabilité de ne tirer aucun trèfle ?

8. Lors de chaque tirage du Lotto, 6 numéros et 1 numéro bonus sont tirés au sort dans un tambour contenant 45 boules numérotées de 1 à 45. Les joueurs doivent essayer de prédire quels numéros sortiront du tambour et choisissent 6 numéros sur une grille.

Voici le tableau de répartition des gains du Lotto que l’on trouve sur le site loterie-nationale.be5

1 6 / Variable Jackpot de minimum 1 000 000,00 € 8 145 060

2 5 1

Variable50 000,00 €1 357 510

3 5 0 Variable1 250,00 € 35 724 4 4

(a) Pour gagner le gros lot (1er rang), il faut avoir les 6 bons numéros.

Montre que la probabilité de gagner le gros lot est bien de 1 8145060 comme indiqué sur le site de la Loterie Nationale.

(b) Pour gagner le deuxième lot (2e rang), il faut avoir choisi 5 bons numéros parmi les 6 tirés, et avoir également choisi le numéro bonus. Montre que la probabilité de gagner le deuxième lot est bien de 1 1357510 comme indiqué sur le site de la Loterie nationale.

(d) Quelle est la vraie probabilité de gagner un gain quelconque, c’est-à-dire d’avoir un des 9 rangs ?

(e) Quelle est la probabilité de ne rien gagner en jouant 1,50 € ?

5 https://www.loterie-nationale.be/info/questions-frequemment-posees/nos-jeux/lotto/jackpot-gains-et-resultats/lotto-gains

9. Adrianne a acheté 5 œufs Kinder Surprise qui contiennent une collection exclusive : 16 super-héros en Playmobil. Chaque personnage a la même probabilité d’être dans un œuf Kinder Surprise.

(a) Quelle est la probabilité qu’elle ait 5 super-héros différents ?

(b) Sachant qu’il ne manque que Wonder Woman à sa collection, quelle est la probabilité que ce personnage apparaisse au moins une fois parmi les 5 œufs achetés ?

(c) Combien d’œufs aurait-elle dû acheter au minimum pour que la probabilité d’avoir au moins une fois le personnage de Wonder Woman soit supérieure à 50 % ?

Une personne daltonienne place des flacons de parfum aléatoirement sur une étagère. Les flacons ne diffèrent que par leur couleur : trois flacons sont roses, quatre sont verts et sept sont jaunes.

COPYRIGHTVANIN

(a) Quelle est la probabilité que les trois flacons roses soient les plus à gauche sur l’étagère ?

(b) Quelle est la probabilité que les trois flacons roses soient côte à côte sur l’étagère ?

(d) Quelle est la probabilité qu’aucun flacon rose ne soit à une extrémité de l’étagère ?

(e) Quelle est la probabilité que les flacons soient tous regroupés par couleur ?

Une boutique d’ours en peluche conçoit des blind boxes (boîtes surprises) contenant l’ourson phare de la boutique sous forme de porte-clés. L’extérieur de la boîte montre les 5 couleurs possibles, mais la couleur exacte de l’ourson reste une surprise lors de l’achat.

La boutique a commandé 1 500 boîtes réparties comme suit :

• 600 contiennent l’ourson en brun ;

• 350 en rose poudré ;

• 250 en vert sauge ;

• 200 en lavande ;

• 100 en jaune citron.

Chacun des 1 500 oursons a une particularité qui le rend unique. Lucie achète les 4 premières blind boxes de cette boutique.

(a) Calcule la probabilité que tous ses oursons soient de couleur lavande.

(b) Calcule la probabilité que Lucie n’ait acheté aucun ourson vert sauge.

(d) Calcule la probabilité qu’une seule boîte contienne un ourson brun.

(e) Calcule la probabilité qu’au plus deux de ses oursons soient rose poudré.

(f) Calcule la probabilité qu’au moins deux de ses oursons soient de couleurs différentes.

(g) Calcule la probabilité qu’elle ait un seul ourson brun et un seul ourson rose poudré, sachant que son meilleur ami Jules, qui a acheté 2 blind boxes juste après elle, a eu un ourson brun et un ourson lavande.

Synthèse

Expérience aléatoire, catégorie d’épreuve, événements

• Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut répéter et dont le résultat ne peut pas être prévu, mais dont on connaît au préalable l’ensemble des résultats possibles.

• La catégorie d’épreuve (ou univers), notée Ω, d’une expérience aléatoire est l’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.

• Le cardinal d’un ensemble A, noté #A, désigne le nombre d’éléments qu’il contient.

• Un événement d’une expérience aléatoire est un sous-ensemble de la catégorie d’épreuve.

• Opérations sur les événements :

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

• L’événement « A et B », noté A ∩ B, est l’événement qui se réalise si les événements A et B se produisent tous les deux.

On dit que A ∩ B est l’intersection de A et de B.

• L’événement « A ou B », noté A ∪ B, est l’événement qui se réalise si l’événement A se produit ou si l’événement B se produit.

On dit que A ∪ B est l’union de A et de B

• L’événement « A sauf B », noté A ∖ B, est l’événement qui se réalise si l’événement A se produit, mais pas l’événement B

On dit que A ∖ B est la différence de A et de B.

• L’événement contraire de A, noté A , est l’événement qui se réalise si l’événement A ne se produit pas.

On dit que A est le complémentaire de A

• Événements particuliers :

• Un événement d’une expérience aléatoire est élémentaire s’il ne contient qu’un unique élément de la catégorie d’épreuve.

• Un événement d’une expérience aléatoire est impossible s’il est défini par une condition qui ne se réalise jamais.

• Un événement d’une expérience aléatoire est certain s’il est défini par une condition qui se réalise toujours.

• Les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Autrement dit, leur intersection est vide : A ∩ B = ∅.

Définition et propriétés sur les probabilités

• Soit Ω une catégorie d’épreuve d’une expérience aléatoire.

Une probabilité est une fonction P qui, à chaque événement A de Ω, associe un nombre réel, noté P(A), vérifiant les axiomes de Kolmogorov.

• Axiomes de Kolmogorov :

1. La probabilité d’un événement est un nombre positif inférieur à 1.

En langage mathématique : ∀A ⊆ Ω, 0 ≤ P( A ) ≤ 1.

2. La probabilité d’un événement certain est 1.

3. La probabilité de l’union de deux événements disjoints est la somme des probabilités de ces événements.

En langage mathématique : ∀A, B ⊆ Ω, A ∩ B =

• Propriétés :

• P(Ω) = 1 (par le deuxième axiome de Kolmogorov).

• La probabilité d’un événement impossible est 0.

Cela implique que P(∅) = 0.

• Probabilité de l’événement contraire :

Si A est un événement d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors .

• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de Ω vaut 1.

En langage mathématique : Ω = {e1; e2; e3; ; e n} ⇒ P({e1}) + P({e2}) + P({e3}) + + P({e n}) = 1.

• Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω.

Si A ⊆ B, alors P( A ) ≤ P( B ).

• Loi de Boole

Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ).

Équiprobabilité

• Des événements d’une même expérience aléatoire sont équiprobables lorsqu’ils ont la même probabilité de se produire.

• Formule de Laplace

Si les événements élémentaires d’une expérience aléatoire sont équiprobables, alors la probabilité que l’événement se produise est donnée par la formule :

PA AA () # # = nombredi’ssuesfavorables nombredissuespossibles = à ’

Outils d’appropriation pour calculer des probabilités

Situation Outil

On connaît l’ordre chronologique des événements.

On a deux critères croisés.

On étudie l’appartenance à plusieurs groupes.

Diagramme en arbre

Tableau

Diagramme de Venn

Pourquoi ?

L’arbre permet de visualiser les chemins successifs.

Le tableau permet de trier et compléter les données facilement. Il est particulièrement pratique si on connaît les effectifs ou les fréquences partiels

Le diagramme de Venn est utile pour visualiser les intersections, surtout quand il y a 3 ensembles

Probabilité conditionnelle et événements indépendants

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire qui ne sont pas impossibles.

• La probabilité conditionnelle P A|B , qui se lit « A sachant B », est la probabilité de la réalisation de l’événement A, sachant que l’événement B s’est déjà réalisé et se calcule par B B =

• Théorème de la multiplication : P(A ∩ B) = P A|B P(

• Les événements A et B sont indépendants si P A|B = P( A ) et P B|A = P( B )

• Condition d’indépendance de deux événements : A et B sont indépendants si et seulement si P( A ∩ B ) = P( A ) P( B ).

Analyse combinatoire

L’ordre est-il important ?

Y a-t-il des répétitions ?

Utilise-t-on tous les éléments ?

Y a-t-il des répétitions ?

Permutations avec répétition = n! n1!·n2!·…·n p ! P n n1;n2;…;np

Permutations sans répétition P n = n!

Arrangements avec répétition = n p α n p

Arrangements sans répétition n! (n p)! = A n p

Combinaisons sans répétiton n! p!·(n p)! = C n p

• Propriétés de combinaisons

CC nn n 01 ==

CC n nn n 11 == -

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. The Crew est un jeu de société composé de 40 cartes :

• 9 cartes roses numérotées de 1 à 9 ;

• 9 cartes bleues numérotées de 1 à 9 ;

• 9 cartes jaunes numérotées de 1 à 9 ;

• 9 cartes vertes numérotées de 1 à 9 ;

• 4 cartes noires numérotées de 1 à 4.

(a) On tire une carte au hasard dans ce jeu de cartes.

I. Donne un événement élémentaire.

II. Donne le cardinal de l’événement NP : « tirer une carte noire de numéro pair ».

III. Donne deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires.

IV. Donne l’événement complémentaire de l’événement S5 : « tirer une carte dont le numéro est supérieur à 5 ».

V. Donne un événement équiprobable à l’événement « tirer un 5 ».

VI. Calcule la probabilité de l’événement B ∪ V : « tirer une carte bleue ou une carte verte ».

(b) Bertrand, ses parents et sa sœur jouent ensemble à ce jeu. Ils reçoivent chacun 10 cartes.

I. Quelle est la probabilité que Bertrand ait toutes les cartes noires ?

II. Quelle est la probabilité que Bertrand ait exactement trois cartes roses ?

III. Quelle est la probabilité que Bertrand ait au moins un 9 ?

2. On lance un dé à six faces parfaitement équilibré et on regarde le nombre de points sur la face supérieure.

On considère les événements :

• A : « avoir un nombre impair » ;

• B : « avoir un nombre supérieur à 4 ».

(a) Calcule les probabilités suivantes :

I. P( A )

IV. P( A ∪ B )

VII. P A|B

II. P( B )

V. P( A ∖ B )

(b) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie par calculs.

III. P( A ∩ B )

VI. PA

3. Marius consulte régulièrement les réseaux sociaux. Soient I : « Marius se connecte à Instagram aujourd’hui » et T : « Marius se connecte à TikTok aujourd’hui ». Voici le diagramme en arbre lié à ces événements.

(a) Complète les valeurs manquantes sur le diagramme.

(b) Donne en extension et en compréhension un événement dont la probabilité vaut 3 5 . Justifie ton choix par calculs.

(d) Quelle est la probabilité que Marius se connecte à TikTok aujourd’hui ?

(e) Quelle est la probabilité que Marius se rende sur TikTok ou sur Instagram aujourd’hui ?

(f) Quelle est la probabilité que Marius se connecte à TikTok aujourd’hui sachant qu’il s’est déjà connecté à Instagram dans la journée ?

(g) Quelle est la probabilité que Marius ne se rende pas sur Instagram aujourd’hui s’il s’est déjà rendu sur TikTok ce matin ?

4. Un sondage a été mené auprès de jeunes filles belges sur les bijoux qu’elles portaient quotidiennement. Nommons B r l’événement « la jeune fille porte un bracelet » et B o l’événement « la jeune fille porte des boucles d’oreilles ». Les résultats sont repris dans le diagramme de Venn suivant.

(a) Traduis le diagramme de Venn à l’aide d’un tableau.

(b) Sur la base de ce sondage, calcule :

I. la probabilité qu’une jeune fille belge ne porte pas de bracelet ;

II. la probabilité qu’une jeune fille belge porte un bracelet et des boucles d’oreilles ;

III. la probabilité qu’une jeune fille belge porte un bracelet ou des boucles d’oreilles ;

IV. la probabilité qu’une jeune fille belge porte soit un bracelet, soit des boucles d’oreilles, mais pas ces deux types de bijoux en même temps ;

V. la probabilité qu’une jeune fille belge ne porte pas de bracelet si elle ne porte pas de boucles d’oreilles ;

VI. la probabilité qu’une jeune fille belge qui porte des boucles d’oreilles porte aussi un bracelet.

5. Solène a acheté il y a quelques mois une maison à rénover et partage chaque semaine une vidéo courte sur Instagram afin de montrer l’évolution des travaux.

La plateforme lui communique les statistiques suivantes :

• 30 % des personnes qui regardent ses vidéos sont abonnées à son compte.

• Si la personne est abonnée à son compte, elle like la vidéo dans 35 % des cas.

• Cependant, si elle n’est pas abonnée, la personne like la vidéo uniquement dans 17 % des cas.

(a) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard, parmi celles qui regardent ses vidéos, soit abonnée à son compte et ait liké sa vidéo ?

(b) Estime la probabilité qu’une personne choisie au hasard, parmi celles qui ont regardé sa dernière vidéo, lui ait mis un like.

6. L’an dernier, la lecture d’un livre spécifique était imposée pour un examen lié au cours de neuroscience. Sur les 95 étudiants :

• 60 ont lu le livre et 54 d’entre eux ont réussi l’examen ;

• 27 ont lu uniquement un résumé sur Internet et 15 d’entre eux ont réussi l’examen ;

• 8 n’ont rien lu en lien avec le livre ;

• 80 % des étudiants ont réussi l’examen.

(a) Sur la base de ces résultats, estime :

I. la probabilité qu’un étudiant ayant ce cours n’ait pas lu le livre et réussisse l’examen ;

II. la probabilité qu’un étudiant ayant ce cours qui n’a pas lu le livre réussisse l’examen.

(b) La réussite des étudiants dépend-elle de la lecture du livre ? Justifie.

7. Deux plateformes de streaming proposent des podcasts. Les podcasts de la première plateforme sont écoutés jusqu’à la fin par 62 % des utilisateurs, tandis que ceux de la seconde le sont par 54 % des utilisateurs. Un utilisateur se rend 2 fois sur 3 sur la première plateforme et le reste du temps sur la seconde.

(a) S’il écoute ce soir un podcast,

I. quelle est la probabilité qu’il se rende sur la première plateforme et qu’il écoute le podcast jusqu’à la fin ?

II. quelle est la probabilité qu’il écoute le podcast proposé jusqu’à la fin ?

III. quelle est la probabilité qu’il se soit rendu sur la première plateforme sachant qu’il a écouté le podcast jusqu’à la fin ?

(b) S’il se rend chaque jour de la semaine sur l’une des deux plateformes indépendamment du choix de la veille, quelle est la probabilité qu’il se rende tous les jours sur la même plateforme ?

8. Une enquête a été menée auprès de 120 jeunes âgés de 18 ans abonnés à Netflix à propos de leur visionnage des séries suivantes : Emily in Paris, Mercredi et Squid Game. En voici les résultats :

• 42 jeunes ont regardé Emily in Paris ;

• 65 jeunes ont regardé Mercredi ;

• 51 jeunes ont regardé Squid Game ;

• 32 jeunes ont regardé Emily in Paris et Mercredi ;

• 42 jeunes ont regardé Mercredi et Squid Game ;

• 29 jeunes ont regardé Emily in Paris et Squid Game ;

• 27 jeunes ont regardé les trois séries.

Interrogeons un jeune de l’échantillon pris au hasard.

(a) Quelle est la probabilité qu’il n’ait regardé aucune de ces trois séries ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé Squid Game ?

(d) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé uniquement Emily in Paris ?

(e) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé soit Mercredi, soit Squid Game, mais pas les deux ?

(f) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé Mercredi ou Emily in Paris, mais pas Squid Game ?

(g) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé Mercredi ou Emily in Paris s’il n’a pas regardé Squid Game ?

(h) Donne un événement dont la probabilité vaut 5 8 et un événement dont la probabilité vaut 27 32 . Justifie.

9. Lorsqu’un produit pharmaceutique est mis sur le marché, il est précédé d’un test de performance clinique, parfois disponible dans la notice. Voici les résultats d’une étude clinique menée pour comparer les résultats obtenus à l’aide du test rapide de l’antigène COVID-19 avec le résultat du test PCR56 Numéro

(a) Que représente le taux 90,1 % ? Sois précis(e).

(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon soit retourné négatif si la personne est infectée du COVID-19 ?

Les personnes nées entre le 23 octobre et le 21 novembre sont Scorpion, et celles nées entre le 22 novembre et le 21 décembre sont Sagittaire. On suppose que, dans la population belge, chaque jour de l’année a la même probabilité d’être un jour d’anniversaire, si on exclut le 29 février. Les questions suivantes portent sur des Belges qui ne sont pas nés un 29 février.

(a) Quelle est la probabilité qu’un Belge né en novembre soit Sagittaire ?

(b) Quelle est la probabilité que William soit Scorpion si Chiara, son amie d’enfance, est également Scorpion ?

(c) Dans un groupe de quatre Belges choisis au hasard, quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’eux soit Sagittaire ?

(d) Combien de Belges faut-il au minimum dans un groupe pour que la probabilité qu’au moins une personne soit Sagittaire soit d’au moins 95 % ?

(e) Dans un groupe de six Belges, quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient le même jour d’anniversaire ?

(f) Est-ce que l’hypothèse « chaque jour de l’année a la même probabilité d’être un jour d’anniversaire » reflète la réalité ? Recherche sur le site Statbel afin de trouver l’information.

Deux emplois sont à pourvoir dans une nouvelle compagnie aérienne en tant que membre d’équipage de cabine. Les profils recherchés s’adressent autant à un homme qu’à une femme. Après une première sélection, 65 candidates et 39 candidats sont retenus, chacun(e) ayant la même chance d’être embauché(e).

(a) Calcule la probabilité que deux femmes soient embauchées.

(b) Calcule la probabilité que deux personnes de même sexe soient embauchées.

(d) La compagnie annonce le premier candidat retenu et il s’agit d’une femme. Quelle est la probabilité que le second candidat retenu soit un homme ?

6 Source : https://www.vpharma-connect.be/files/doc/449115.pdf

On dispose des chiffres 1, 2, …, 9, représentés sur neuf jetons distincts.

(a) On tire au hasard successivement les 9 jetons en les rangeant selon l’ordre du tirage, et on regarde le nombre ainsi formé.

I. Quelle est la probabilité que le nombre formé soit 123 456 789 ?

II. Quelle est la probabilité que le nombre formé soit un nombre pair ?

III. Quelle est la probabilité que le nombre soit pair sachant qu’il commence par 5 ?

IV. Quelle est la probabilité que le nombre formé commence par 1 − 2 − 3 dans cet ordre ?

V. Quelle est la probabilité que 1 − 2 − 3 soient parmi les 3 premiers chiffres tirés, mais pas forcément dans cet ordre ?

VI. Quelle est la probabilité que le 8 soit le nombre des dizaines ou des centaines et que le 9 ne soit pas le nombre des unités ?

(b) On tire au hasard successivement 6 des 9 jetons en les rangeant selon l’ordre du tirage, et on regarde le nombre ainsi formé.

I. Quelle est la probabilité que le nombre formé commence par 9 ?

II. Quelle est la probabilité que le nombre formé commence par 9 sachant qu’il ne se termine pas par 2 ?

III. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de 3 dans le nombre formé ?

Une banque décide que le mot de passe qui permet à chaque client d’accéder à son compte bancaire en ligne doit être formé de 3 lettres suivies de 3 chiffres. Ce code secret est aléatoire et reçu par courrier postal.

(a) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque ne contienne pas de V ni de S ?

(b) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque soit formé exactement de deux voyelles et d’un nombre divisible par 25 ?

(c) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque soit formé de 3 lettres consécutives de l’alphabet, notées dans l’ordre alphabétique ?

(d) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque soit formé de 3 lettres différentes et de 3 chiffres différents ?

(e) Un client a pour code « TTB312 ». Quelle est la probabilité qu’un autre client ait un code formé avec les mêmes lettres et les mêmes chiffres, pas nécessairement dans cet ordre ?

Une boîte opaque contient neuf sucettes. Trois d’entre elles sont au goût pastèque, trois autres sont au goût cola et les autres sont au goût cerise. On prend trois sucettes au hasard.

(a) Quelle est la probabilité d’avoir une seule sucette au goût cola ?

(b) Quelle est la probabilité que les trois sucettes aient le même goût ?

Les règles de l’EuroMillions sont les suivantes :

• Le joueur choisit 5 numéros parmi une grille allant de 1 à 50.

• Il choisit également 2 étoiles parmi 12 étoiles numérotées de 1 à 12.

Lors de chaque tirage, 5 numéros et 2 étoiles sont tirés au sort.

(a) Quelle est la probabilité de gagner au rang 1, c’est-à-dire d’avoir choisi les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles ?

(b) Quelle est la probabilité de gagner au rang 6, c’est-à-dire d’avoir 3 des 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles ?

(c) Sur le site de la Loterie Nationale, la probabilité de gagner au rang 12 est donnée comme étant de 1 sur 49. Sachant que pour ce rang, il faut 2 bons numéros et 1 seule bonne étoile, explique comment cette valeur a été calculée.

(d) Si un joueur découvre qu’il a 4 bons numéros, quelle est la probabilité qu’il ait aussi 1 ou 2 bonne(s) étoile(s) ?

DÉFI

16.

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Est-il plus avantageux pour le candidat de garder son choix de porte initial ou de changer de porte ? Tu es maintenant capable de répondre !

Objectifs

LOIS DE PROBABILITÉS COPYRIGHTVANIN

Connaître

• Associer une loi de probabilité à un contexte donné et identifier ses paramètres.

• Interpréter graphiquement une probabilité dans le cas de la loi normale.

• Associer les concepts de statistique à ceux de probabilité.

Appliquer

• Calculer une probabilité dans un contexte qui requiert l’utilisation d’une loi de probabilité binomiale ou normale.

• Déterminer l’ensemble des valeurs de la variable correspondant à une probabilité donnée.

Transférer

• Modéliser une situation concrète par une loi de probabilité.

• Résoudre un problème qui requiert l’utilisation d’une loi de probabilité binomiale ou normale.

Introduction historique

Ce chapitre de mathématiques se consacre à l’étude des lois de probabilités, un outil indispensable pour comprendre et modéliser les phénomènes aléatoires.

Au XVIIe siècle, Pascal et Fermat s’interrogent sur un problème lié aux jeux : comment répartir équitablement les gains d’une partie si celle-ci est interrompue avant la fin ?

De ce dialogue jaillit l’idée que l’on peut modéliser le hasard à l’aide de lois mathématiques : c’est la naissance du calcul des probabilités. Dans les probabilités, la première loi à être définie est la loi uniforme discrète, où toutes les issues sont aussi probables les unes que les autres.

Ensuite, la loi binomiale est introduite pour décrire des expériences répétées, comme tirer à pile ou face plusieurs fois de suite.

Les premières lois de probabilités étaient définies comme « discrètes », ce qui signifie qu’elles modélisaient des cas où le nombre d’issues possibles est fini ou dénombrable.

À partir du XVIIIe siècle, les questions que se posent les scientifiques évoluent et deviennent plus complexes : comment modéliser la taille des adultes, la durée de vie d’un composant électronique, le temps d’attente à un arrêt de bus ?

Grâce aux travaux de plusieurs mathématiciens comme De Moivre et Gauss, une nouvelle loi est découverte, appelée la loi normale. Cette loi prend la forme d’une cloche symétrique autour de la moyenne et permet de modéliser une multitude de phénomènes naturels et sociaux : poids, taille, résultats d’évaluations, erreurs de mesure…

Aujourd’hui, les lois de probabilités sont partout :

• en sciences : pour analyser les erreurs de mesure ;

• en santé : pour évaluer la fiabilité d’un test ou estimer le risque d’un traitement ;

• en économie et en finance : pour prévoir les variations des marchés et construire des modèles de risque ;

• en intelligence artificielle : pour entraîner des algorithmes qui apprennent à partir de données incertaines ;

• en industrie : pour anticiper les pannes ou optimiser la production ;

• en sport : pour analyser les performances et prévoir les résultats ;

• et même dans la vie quotidienne : météo, jeux, sondages, files d’attente…

Une étude statistique a mesuré le temps d’écran quotidien des Belges de plus de 15 ans pendant leur temps libre, pour les deux années 2023 et 2024. Il ressort de cette étude que la moyenne pour les jeunes âgés de 15 à 24 ans est de 462 minutes, soit 7 heures et 42 minutes, et que l’écart-type est de 327,76 minutes.

Après avoir estimé ton propre temps d’écran quotidien, peux-tu déterminer quelle est la proportion de jeunes Belges qui passent moins de temps que toi devant un écran ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Appliquer

Soit la série statistique donnée dans le tableau recensé ci-dessous.

1. Complète les colonnes « fréquences » et « fréquences cumulées ».

2. Parmi les graphiques suivants, quel est le diagramme en bâtons et quel est le diagramme cumulatif de cette série statistique ?

3. Calcule la moyenne et l’écart-type de cette étude statistique.

THÉORIE

Propriétés

Représentation des modalités d’une série statistique

Si le caractère de la série est discret, alors le diagramme en bâtons permet de visualiser les fréquences en fonction des modalités

Fréquences cumulées

0,1

0123456

Modalités

Si le caractère de la série est continu, alors l’histogramme permet de visualiser les fréquences en fonction des modalités

Fréquences cumulées

0,9 1

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1 5101520253035

Modalités

le diagramme cumulatif permet de visualiser les fréquences cumulées en fonction des modalités

Fréquences cumulées

Modalités 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0123456

le diagramme cumulatif permet de visualiser les fréquences cumulées en fonction des modalités

Fréquences cumulées

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,1 5101520253035

Modalités

Définitions

• Moyenne

La moyenne arithmétique d’une série statistique, notée x , est le quotient de la somme des produits des modalités xi et de leur effectif ni par l’effectif total N :

où k correspond au nombre de modalités différentes de la série statistique.

• Variance

La variance d’une série statistique, notée V, est obtenue par la formule :

où k correspond au nombre de modalités différentes, xi aux modalités, ni à leur effectif, N à l’effectif total et x à la moyenne arithmétique de la série statistique.

• Écart-type

L’écart-type d’une série statistique, noté σ, est obtenu par la formule :

où V correspond à la variance de la série statistique.

Propriété

Interprétation de l’écart-type

Plus l’écart-type est proche de 0, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne. Réciproquement, plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées.

1. Notion de variable aléatoire et éléments associés

DÉCOUVERTE

Activité 1 Variable aléatoire, loi de probabilité et fonction de répartition

Dans une urne opaque se trouvent 3 boules jaunes, 6 boules roses et 1 boule orange indiscernables au toucher.

Si on tire une boule jaune, on gagne 5 €, si on tire une boule rose, on gagne 1 € et si on tire la boule orange, on perd 20 €.

1. Donne le gain (positif ou négatif) associé à chaque couleur de boule.

Nous définissons une fonction qui, à chaque couleur de boule possible, associe un nombre réel. Cette fonction est appelée une variable aléatoire.

2. Notons X la variable aléatoire qui donne le gain exprimé en euros. Dans le tableau suivant, associe à chaque gain sa probabilité.

Si, à chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire X, on associe sa probabilité, on donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X

3. Traduis en langage mathématique, puis calcule la probabilité de :

• perdre au moins 40 €

• perdre au moins 20 €

• perdre au moins 5 €

• gagner 1 € ou moins

• gagner 5 € ou moins

• gagner 20 € ou moins

• perdre au moins 30 €

• perdre au moins 10 €

• gagner 0,50 € ou moins

• gagner 2 € ou moins

• gagner 10 € ou moins

4. À l’aide de tes réponses à la question 3, complète :

5. Dans un repère, représente la fonction donnée à la question 4.

Tu viens de définir et construire le graphe de la fonction de répartition de la variable aléatoire X. On la note F et elle est définie telle que pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ).

THÉORIE

Définition

Variable aléatoire

X est une variable aléatoire si X est une fonction qui, à chaque résultat possible d’une expérience aléatoire, associe un nombre réel.

Autrement dit : si Ω est la catégorie d’épreuve de l’expérience aléatoire, alors X : Ω → °

Notation

L’ensemble-image de la variable aléatoire X : Ω → ° est noté X(Ω).

Définitions

Variable aléatoire discrète et variable aléatoire continue

• Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable.

• Une variable aléatoire est continue si l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle (ou une union d’intervalles) de ° de longueur non nulle.

LOIS DE PROBABILITÉS

Exemples

• Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’examens réussis en juin par un élève de rhéto qui a 12 cours différents dans sa grille horaire.

X est une variable aléatoire discrète finie, car X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

• Soit Y la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers d’une pièce équilibrée avant d’obtenir pile pour la première fois.

Y est une variable aléatoire discrète dénombrable, car Y(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …} = •0

• Soit Z la variable aléatoire correspondant au temps (en secondes) qu’un sprinteur professionnel met pour parcourir 100 mètres lors de différentes compétitions.

Z est une variable aléatoire continue, car Z(Ω) = [9,58; 12].

Dans la suite de cette section, nous étudierons uniquement les variables aléatoires discrètes.

Définition

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

La loi de probabilité (aussi appelée distribution de probabilité) d’une variable aléatoire discrète X est la fonction qui, à chaque valeur de X, associe sa probabilité.

Notation

La probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur xi est notée PX x i =

Propriété

Représentation de la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète peut être représentée à l’aide d’un tableau ou d’un diagramme en bâtons.

Exemple

On interroge un groupe de collègues de bureau sur le nombre de cafés qu’ils boivent en une journée de travail.

On définit la variable aléatoire X comme le nombre de tasses de café bues par jour.

La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X est donnée par le tableau suivant : xi 0 1 2 3 4 5

Le diagramme en bâtons suivant représente cette loi de probabilité.

Remarque

La somme des probabilités associées à toutes les valeurs possibles d’une variable aléatoire discrète est égale à 1.

Autrement dit, si une variable aléatoire discrète finie X prend ses valeurs dans l’ensemble x1; x2; x3; …; x n , alors PX x i i n = =1 = 1.

Définition

Fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire X, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ).

Propriété

Représentation graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète

La représentation graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète est une fonction en escalier.

Exemple

Un attaquant de football joue plusieurs matchs de championnat. La variable aléatoire discrète X représente le nombre de buts qu’il marque dans un match.

D’après les statistiques de la saison, la loi de probabilité de X est donnée par le tableau :

La fonction de répartition de X est donnée par :

La représentation graphique de F est :

Remarque

Pour une variable aléatoire discrète, la représentation graphique de la loi de probabilité correspond au diagramme en bâtons, et la fonction de répartition correspond aux diagrammes cumulatifs. Ces deux notions ont été rencontrées dans le chapitre « Statistique descriptive » vu en 4e année (UAA 1) pour représenter les modalités d’un caractère quantitatif discret.

Activité 2 Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète

Considérons deux jeux d’argent dont les gains par partie, exprimés en euros, sont donnés par des variables aléatoires discrètes X et Y. Les lois de probabilités associées sont données ci-dessous :

–20 520

xi = 0,30,250,350,1 yi –55210205

y i = 0,350,450,10,1

1. Calcule le gain moyen par partie pour les deux variables aléatoires X et Y

Tu viens de calculer l’espérance mathématique des variables aléatoires discrètes X et Y, c’est-à-dire, dans ce contexte précis, le gain moyen théorique d’un jeu si on le répétait un très grand nombre de fois.

2. L’espérance mathématique est la même pour les deux jeux. Cependant, l’un des deux jeux semble plus risqué que l’autre. Lequel ?

3. Pour mesurer cette prise de risque, on calcule l’écart-type des deux variables aléatoires. L’écarttype correspond à la racine carrée de la variance, qui elle-même correspond à la différence entre l’espérance du carré des gains et le carré de l’espérance. Calcule cet écart-type pour chacun des jeux et interprète le résultat.

Tu viens de calculer l’écart-type, une mesure qui, dans ce contexte, évalue le niveau de risque associé à chaque jeu. Il indique à quel point les gains sont dispersés autour de l’espérance mathématique.

THÉORIE

Définition

Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète finie

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète finie X est définie par

où X(Ω) = x1; x2; …; x n .

Exemple

Soit un jeu d’argent dont la variable aléatoire discrète finie X représente le gain par partie, exprimé en euros, et dont la loi de probabilité est : xi –50 510

PX xi = 0,20,10,450,25

Son espérance mathématique vaut E( X ) = –5 ⋅ 0,2 + 0 ⋅

0,25 = 3,75.

Cela signifie qu’en répétant cette expérience un très grand nombre de fois, le gain moyen théorique par partie est de 3,75 € pour ce jeu.

Remarque

Dans un jeu de hasard dont la variable aléatoire X représente le gain, on dit que :

• le jeu est favorable au joueur si E( X ) > 0 ;

• le jeu est équilibré (ou équitable) si E( X ) = 0 ;

• le jeu est défavorable au joueur si E( X ) < 0.

COPYRIGHTVANIN

Définition

Variance d’une variable aléatoire discrète

La variance d’une variable aléatoire discrète X est définie par V ( X ) = E X 2 – (E( X ))2

où E( X ) est l’espérance mathématique de X

Définition

Écart-type d’une variable aléatoire discrète

L’écart-type d’une variable aléatoire discrète X est défini par σ ( X ) = VX()

où V ( X ) est la variance de X

Interprétation

Quand on étudie une variable aléatoire discrète X, l’espérance permet de connaître la valeur moyenne attendue si l’on répète l’expérience un très grand nombre de fois. Mais cette information ne suffit pas : deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance, mais des comportements très différents. Pour mesurer à quel point les valeurs de la variable aléatoire X s’éloignent de la moyenne, on utilise la variance. Celle-ci correspond à la différence entre l’espérance de X 2 et le carré de l’espérance de X . Comme les deux valeurs soustraites sont élevées au carré, la variance n’est pas exprimée dans la même unité que X . C’est pourquoi on calcule ensuite l’écart-type, en prenant la racine carrée de la variance. Cela permet d’obtenir une mesure dans la même unité que X , plus facile à interpréter.

Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées. Un petit écart-type signifie au contraire que les valeurs de X sont concentrées autour de la moyenne.

Exemple

Considérons à nouveau le jeu d’argent dont la variable aléatoire discrète X représente le gain par partie, exprimé en euros, et dont la loi de probabilité est : xi –50 510 PX xi = 0,20,10,450,25

On sait déjà que son espérance mathématique vaut E( X ) = 3,75 €.

Sa variance vaut V ( X ) = (–5)2 0,2 + 02 0,1 + 52 0,45 + 102 0,25 – 3,752 = 435 16

Son écart-type vaut donc σ ( X ) = VX()== 435 16 435 4 ≈ 5,21 €.

Cela signifie que les gains varient autour de la moyenne de 3,75 € avec une dispersion de 5,21 €.

Remarque

La notion d’espérance étudiée dans ce chapitre correspond à celle de moyenne arithmétique, tandis que la variance et l’écart-type ont pour équivalents les mesures de dispersion étudiées en 4e année dans le chapitre « Statistique descriptive » (UAA 1).

EXERCICES

1. Une enquête est menée auprès d’un groupe de 200 étudiants pour connaître leurs habitudes de lecture pendant un mois.

On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de livres lus par un étudiant en un mois. Les résultats obtenus sont les suivants :

(a) Est-il possible qu’un étudiant interrogé ait lu 5 livres ? Justifie.

(b) Donne l’expression analytique de la fonction de répartition de X et représente-la graphiquement.

(d) Calcule l’écart-type de la variable aléatoire X.

(e) Quelle est la probabilité qu’un étudiant ait lu au moins deux livres en un mois ?

2. Tu tires trois boules successivement d’une boîte opaque, sans remettre de boule dans l’urne après chaque tirage. Seule la couleur différencie les boules : 5 sont argentées et 8 sont dorées. Chaque boule argentée tirée fait perdre 3 points et chaque boule dorée tirée rapporte 2 points. Soit X la loi de probabilité qui donne le nombre de points d’un joueur après les trois tirages.

(a) Donne la loi de probabilité de X

(b) Calcule P( X > –3).

3. Une association organise une tombola pour financer un voyage scolaire. Elle met en vente 100 billets, numérotés de 1 à 100, et chaque billet coûte 2 €.

Après que tous les billets ont été vendus, on procède au tirage et les prix suivants sont distribués :

• 1 prix de 50 € ;

• 2 prix de 20 € ;

• 5 prix de 5 € ;

• Tous les autres billets sont perdants.

Soit X la variable aléatoire qui associe à un billet le gain net en euros (c’est-à-dire le gain moins le prix du billet).

(a) Quelles sont les valeurs possibles de X ?

(b) Donne la loi de probabilité de X

(d) Calcule l’espérance mathématique.

(e) Conseilles-tu d’acheter des billets ? Justifie ta réponse.

4. Une entreprise de livraison a analysé la performance de ses coursiers. Elle a constaté que sur une tournée de 20 colis, un livreur pris au hasard :

• livre les 20 colis dans les temps avec une probabilité de 0,1 ;

• livre 19 des 20 colis dans les temps avec une probabilité de 0,6 ;

• livre 18 des 20 colis dans les temps avec une probabilité de 0,3.

Chaque livreur effectue deux tournées indépendantes par jour.

On note X la variable aléatoire représentant le nombre total de colis livrés à temps par un livreur dans une journée.

(a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable X ?

(b) Donne la loi de probabilité de X

(c) Pour qu’un livreur obtienne une prime, il doit livrer au moins 38 colis à temps dans la journée. Calcule la probabilité qu’un livreur reçoive une prime.

(d) Calcule l’espérance mathématique de X. Interprète-la dans ce contexte.

(e) Calcule la variance et l’écart-type de X

5. Dans un casino, une machine à sous se compose de 3 rouleaux indépendants. Chaque rouleau peut afficher les 5 mêmes symboles, dont le symbole « 7 ».

La machine affiche sur chaque rouleau un symbole de manière aléatoire.

• Si 3 symboles « 7 » s’alignent, on gagne 200 €.

• Si 3 symboles identiques autres que « 7 » s’alignent, tu gagnes 50 €.

• Sinon, on ne gagne rien.

Soit X la variable aléatoire qui donne le gain d’un joueur à chaque partie, sans tenir compte de sa mise.

(a) Donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

(b) Donne l’expression analytique de la fonction de répartition de X et interprète l’image de 70 par cette fonction dans ce contexte.

(d) Quel devrait être le coût minimal d’une partie pour que le jeu soit favorable au casino ?

2. Loi binomiale

DÉCOUVERTE

Activité Loi binomiale

Une urne opaque contient 5 boules mauves et 7 boules brunes. On effectue quatre tirages successifs au hasard, en remettant la boule tirée dans l’urne après chaque tirage.

1. À chaque tirage, détermine la probabilité p de tirer une boule mauve et déduis-en la probabilité de tirer une boule brune.

À chaque tirage, il n’y a que deux issues possibles : soit on tire une boule mauve, soit on tire une boule brune. C’est ce qu’on appelle une épreuve de Bernoulli. Puisqu’on répète cette épreuve quatre fois de suite dans les mêmes conditions et indépendamment les unes des autres, on dit qu’on réalise un schéma de Bernoulli.

2. Représente le diagramme en arbre associé à cette expérience aléatoire.

3. On s’intéresse à la variable aléatoire discrète X qui donne le nombre de boules mauves tirées.

(a) Combien de boules mauves peut-on tirer ?

(b) En utilisant le diagramme en arbre construit à la question 2, on peut exprimer la probabilité de tirer 3 boules mauves comme : P( X = 3) = 4 5 12 7 12 31

Exprime les probabilités suivantes de la même manière :

• P( X = 0)

• P( X = 2)

• P( X = 1)

• P( X = 4)

On dit que la variable aléatoire discrète X suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 5 12 . On note X ℬ 4 5 12 ;

De plus, pour calculer le nombre de fois où la variable aléatoire X prend la valeur k, on utilise la formule P( X =

Le coefficient binomial C k 4 correspond au nombre de chemins dans le diagramme en arbre où on tire exactement

k boule(s) mauve(s) parmi les 4 tirages.

4. Si l’urne contient maintenant 15 boules mauves et 17 boules brunes et si on effectue douze tirages successifs, en remettant la boule tirée dans l’urne après chaque tirage, quelle est la probabilité de tirer exactement 8 boules mauves ?

THÉORIE

Définition

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles.

Vocabulaire

Lors d’une épreuve de Bernoulli, on nomme succès l’issue qui nous intéresse et échec l’autre issue possible.

La probabilité p d’un succès d’une épreuve de Bernoulli est un paramètre de l’épreuve.

Exemple

Lancer un dé non truqué est une épreuve de Bernoulli si l’on s’intéresse à l’événement « obtenir un 4 ». En effet, il n’existe alors que deux issues possibles : obtenir un 4 (succès) ou ne pas obtenir de 4 (échec). La probabilité de succès vaut p = 1 6 .

Définition

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est l’expérience aléatoire qui consiste à répéter un nombre fini n de fois des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes les unes des autres dont la probabilité de succès vaut p.

Exemple

Lancer un dé non truqué trois fois de suite, en s’intéressant à l’événement « obtenir un 4 », constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 1 6 , car :

• chaque lancer est une épreuve de Bernoulli ;

• les lancers sont indépendants les uns des autres ;

• on répète la même épreuve 3 fois et la probabilité de succès vaut 1 6 .

Remarque

Pour parler de schéma de Bernoulli, il est impératif que la probabilité de succès reste identique à chaque épreuve de Bernoulli qui compose le schéma, et que le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’autres épreuves.

Définition

Loi binomiale

La loi binomiale de paramètres n et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne le nombre k de succès d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

Notation

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on note X ℬ(n; p).

Propriété

Calcul de probabilité d’une variable suivant une loi binomiale

Soit X~ℬ(n; p).

La probabilité que X prenne la valeur k est égale à

pour tout naturel k ∈ {0; 1; 2; …; n}.

Exemple

On lance un dé non truqué trois fois de suite. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de 4 obtenus.

On a que X~ℬ 31 ;6

La loi de probabilité de X est donnée par :

Propriété

Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale ℬ(n; p)

Soit X ℬ(n; p).

• E( X ) = n p

• V ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 – p)

• σ ( X ) = VX np p ()() =1

Calcul de probabilités avec l’outil informatique Excel si X suit une loi binomiale

Soit X ℬ(n; p).

Pour calculer

• P( X = k), il faut entrer dans une cellule du tableur Excel la formule : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;FAUX)

• P( X ≤ k), il faut entrer dans une cellule du tableur Excel la formule : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;VRAI) Méthodo

EXERCICES

1. Parmi les contextes suivants, lesquels peuvent être modélisés par une loi binomiale ?

(a) Ton smartphone utilise la reconnaissance faciale pour se déverrouiller. Cette technologie te reconnaît correctement dans 99 % des cas. On s’intéresse au nombre de fois où ton smartphone te reconnaîtra correctement sur les 50 prochaines tentatives.

(b) On tire 4 cartes successivement et sans remise dans un jeu de 52 cartes et on compte le nombre d’as obtenus.

(c) Cinq feux de signalisation, supposés indépendants, se trouvent sur le trajet entre ta maison et ton école. Chaque feu est rouge durant 30 secondes, orange durant 5 secondes et vert durant 25 secondes. On compte combien de fois le feu est vert.

(d) Un joueur achète une carte à gratter. Chaque carte a 1 chance sur 2 d’être gagnante. S’il gagne, le commerçant lui remet gratuitement une nouvelle carte, qu’il peut alors gratter immédiatement. Cette chaîne peut continuer jusqu’à 8 cartes maximum.

2. Dans le championnat de football anglais, 78 % des penaltys sont marqués7 Supposons que lors d’un match entre deux équipes anglaises, cinq penaltys sont tirés par des joueurs différents.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de penaltys réussis lors de ce match.

(a) Justifie que la variable aléatoire X peut être modélisée par une loi binomiale.

(b) Calcule P( X = 2) et traduis dans ce contexte le résultat obtenu.

(d) Quelle est la probabilité que les cinq joueurs réussissent au moins trois penaltys au total ?

(e) Détermine le nombre moyen de penaltys réussis.

3. Une céramiste constate que 3 % des colis qu’elle envoie arrivent endommagés chez ses clients. Le mois prochain, il est prévu qu’elle envoie 60 colis différents. Les envois sont indépendants les uns des autres.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de colis endommagés sur les 60 envoyés.

7 Source : https://cnam.hal.science/hal-03095074v1.

(a) Justifie pourquoi la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.

(b) Quelle est la probabilité que tous ses colis arrivent intacts ?

(d) L’entreprise de livraison lui rembourse 25 € par colis endommagé à condition qu’elle souscrive à l’assurance complémentaire, proposée au prix de 45 €/mois. Si elle envoie en moyenne 70 colis par mois, lui conseilles-tu de prendre l’assurance complémentaire ?

4. Un examen d’entrée comporte 15 questions à choix multiple : pour chacune des 15 questions proposées, une seule réponse sur les quatre proposées est correcte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.

(a) Quelle est la probabilité que ce candidat échoue à toutes les questions ?

(b) Quelle est la probabilité que ce candidat ait entre 8 et 10 bonnes réponses ?

(c) Pour réussir le test, il faut obtenir au minimum 12 bonnes réponses. Quelle est la probabilité que ce candidat réussisse ?

(d) En moyenne, combien de bonnes réponses peut espérer un candidat qui répond au hasard ?

(e) Le professeur en charge du cours souhaite qu’une mauvaise réponse soit sanctionnée par des points négatifs, afin qu’un élève qui réponde à toutes les questions complètement au hasard ait 0 au test. Quelle doit être la pondération pour chaque mauvaise réponse, si chaque bonne réponse rapporte 1 point ?

5. Mendel a étudié les résultats de croisements de plantes, ce qui lui a permis de découvrir et de formuler l’un des principes fondamentaux de l’hérédité : la loi de ségrégation. L’une de ses expériences a consisté à croiser des pois verts et des pois jaunes. Parmi les plants obtenus, 6 022 produisaient des pois jaunes et 2 001 des pois verts8 Un professeur de biologie souhaite reproduire cette démarche avec ses élèves. Lors d’un laboratoire, ils réalisent des croisements entre des pois verts et des pois jaunes. À l’issue de l’expérience, ils sélectionnent un échantillon de 50 pois issus de ces croisements et analysent leur couleur. On suppose que les résultats de ces croisements sont indépendants les uns des autres. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de pois verts obtenus.

(a) Justifie que la situation peut être modélisée par une loi binomiale et précise ses paramètres.

(b) Calcule P( X = 4) et interprète ce résultat dans ce contexte.

(d) En moyenne, combien de pois seront verts parmi les 50 pois si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois ?

(e) Détermine le nombre de pois qu’il faut prendre pour que la probabilité d’avoir au moins 1 pois vert soit supérieure à 99,9 %.

8 Source : https://facmed.univ-constantine3.dz/wp-content/uploads/2024/01/Mendel.pdf

3. Loi normale

DÉCOUVERTE

Activité 1 Vers la loi normale

Dans une maternité bruxelloise, 1 891 bébés nés à terme (c’est-à-dire après 37 semaines de grossesse) ont vu le jour l’année dernière.

Un statisticien a calculé la moyenne du poids à la naissance, qui est de 3 321 g, et l’écart-type, qui est de 423 g.

1. Voici la répartition des poids de naissance de ces bébés, regroupés par tranches de 250 grammes :

Poids à la naissance (en g)

[2 000; 2 250[

[2 250; 2 500[

[2 500; 2 750[

[2 750; 3 000[

[3 500; 3 750[

[4 000; 4 250[

[4 250; 4 500[

L’histogramme des fréquences est représenté ci-dessous :

Fréquences

(a) Sur la base de cette étude, estime la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 000 g à la naissance.

(b) On souhaite maintenant estimer la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 125 g à la naissance. Le calcul de cette estimation est-il aussi évident qu’au point (a) ?

(c) Comment le statisticien, qui a accès à toutes les données, pourrait-il gagner en précision pour répondre à la question précédente ?

2. Voici la répartition des poids de naissance de ces bébés, regroupés par tranches de 125 grammes :

à la naissance (en g)

[2 000; 2 125[

[2 125; 2 250[

[2 250; 2 375[

[2 375; 2 500[

[2 500; 2 625[

[2 625; 2 750[

[2 750; 2 875[

[2 875; 3 000[

[3 000; 3 125[

[3 125; 3 250[

[3 250; 3 375[

[3 375; 3 500[ 202 0,107

[3 500; 3 625[

[3 625; 3 750[

[3 750; 3 875[

[3 875; 4 000[

[4 000; 4 125[

[4 125; 4 250[ 26

[4 250; 4 375[ 8

[4 375; 4 500[ 3

L’histogramme des fréquences est représenté ci-dessous :

Poids (g) Fréquences

(a) Estime la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 125 g à la naissance. Obtiens-tu la même réponse qu’à la question 1. (b) ?

(b) On souhaite maintenant estimer la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 400 g à la naissance. Le calcul de cette estimation est-il aussi évident qu’au point (a) ? Si la réponse est non, que faudrait-il faire pour gagner en précision ?

3. Plus on divise l’intervalle des poids en classes fines, plus l’histogramme représente précisément la répartition des données. Si on considère un plus grand nombre de bébés (par exemple, tous ceux nés en Belgique sur une période de 1 an), les résultats seront plus stables et plus représentatifs de la population.

Fréquences

Quelle forme semble créer cet histogramme ?

Lorsqu’on étudie une grandeur, comme le poids de naissance, les valeurs possibles sont très nombreuses. On ne peut donc plus se contenter de compter des fréquences comme dans un tableau. On introduit alors la notion de densité de probabilité. La densité décrit la façon dont les valeurs sont réparties le long de l’axe horizontal : plus la densité est élevée autour d’une valeur, plus cette valeur est fréquente.

Contrairement à une fréquence, la densité n’est pas une probabilité en elle-même. Ce sont les aires comprises sous la courbe de densité qui représentent des probabilités. Ainsi, la probabilité qu’un bébé ait un poids compris entre deux valeurs correspond à l’aire située sous la courbe entre ces deux valeurs. L’aire totale sous la courbe vaut 1, car elle représente la totalité des naissances.

Dans le cas de la loi normale, la densité prend la forme d’une courbe en cloche, appelée courbe de Gauss, qui modélise de nombreuses grandeurs naturelles. Pour calculer la probabilité qu’un bébé pèse moins qu’une valeur donnée, il suffit donc de calculer l’aire sous la courbe de densité à gauche de cette valeur.

4. Voici la courbe de Gauss pour notre exemple :

Densité

Poids (g)

(a) On connaît la moyenne, qui est de 3 321 g. À quoi correspond-elle sur la courbe de Gauss ?

(b) Grâce à la symétrie de la courbe de Gauss, que peux-tu dire de la répartition des poids par rapport au poids moyen ?

(c) Pour calculer la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 400 g à la naissance, on va donc calculer l’aire colorée sur le graphique suivant.

Scanne le code QR ci-contre pour obtenir l’animation GeoGebra qui permet de donner cette probabilité.

Densité

0,001

0,0008

0,0006

0,0004

0,0002

GeoGebra

Poids (g) 2

Tu viens de découvrir comment les données statistiques, comme le poids de naissance, peuvent être modélisées par une loi appelée la loi normale. En construisant un histogramme des fréquences, on observe que les barres dessinent une forme en cloche, que l’on appelle la courbe de Gauss. Plus les classes sont fines et plus l’échantillon est grand, plus cette représentation devient précise et lisse.

La courbe de Gauss est une courbe de densité de probabilité : cela signifie que l’aire sous la courbe entre deux valeurs correspond à la probabilité qu’une mesure appartienne à cet intervalle. Par exemple, l’aire sous la courbe pour les poids inférieurs à 3 400 g représente la proportion de bébés dont le poids de naissance est inférieur à 3 400 g. L’aire totale sous toute la courbe vaut 1, car elle correspond à l’ensemble des cas possibles, soit 100 % des naissances.

THÉORIE

Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue est une variable qui peut prendre toutes les valeurs réelles d’un intervalle donné de longueur non nulle. Contrairement à une variable aléatoire discrète finie, on ne peut pas lister toutes ses valeurs, car elles sont en infinité dans n’importe quel intervalle. On ne peut donc pas représenter la loi de probabilité par un tableau ou un diagramme en bâtons. Parmi les variables aléatoires continues, certaines ont la propriété d’avoir une loi de probabilité calculable à l’aide d’une intégrale. Ces variables portent le nom de variable aléatoire continue avec densité.

Remarque : dans la suite de cette UAA, nous n’étudierons que des variables aléatoires continues avec densité.

Définition

Variable aléatoire continue avec densité

Soit X une variable aléatoire continue.

X est une variable aléatoire continue avec densité s’il existe une fonction f, appelée densité (de probabilité) de X, qui satisfait aux propriétés suivantes :

• la densité est une fonction positive : f ( x ) ≥ 0 pour tout réel x ;

• l’aire comprise entre la courbe représentative de f et l’axe Ox vaut 1 :+ d= & & ò fx x ()1 ;

• la probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [a; b] où a et b sont des réels tels que a ≤ b est donnée par l’intégrale de la densité sur l’intervalle considéré : P(a ≤ X

Propriété

Probabilité d’une valeur exacte pour une variable aléatoire continue avec densité

Soit X une variable aléatoire continue avec densité. Pour tout réel a,

Démonstration

Soient X une variable aléatoire continue de densité f et a un réel.

Remarque

De cette propriété découle le

Définition

Fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X de densité f, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ) =d & x ft t ò ()

Propriété

Lien entre la densité et la fonction de réparation

Soit X une variable aléatoire continue de densité f continue et de fonction de répartition F.

La densité est la dérivée de la fonction de répartition : f ( x ) = F ′( x ).

Définition

Espérance mathématique d’une variable aléatoire continue avec densité

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par EX xf xx()()=d+ & & ò si cette intégrale existe.

Définitions

Variance et écart-type d’une variable aléatoire continue avec densité

• La variance d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par VX EXEX xf xx EX ()()(())()(() =-) =d-+ 2222 & & ò

où E( X ) est l’espérance mathématique de X.

• L’écart-type d’une variable aléatoire continue X est défini par σ ( X ) = VX()

où V( X ) est la variance de X.

Loi normale Loi normale

Définition

La variable aléatoire continue X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ où σ > 0 si elle a une densité de probabilité f définie par : fx e x ()=1 2 1 2 2

Notation

Si X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ, on note X ��(μ; σ).

Remarques

• La loi normale est une loi de probabilité continue qui modélise des phénomènes aléatoires dont les valeurs se répartissent de manière symétrique autour d’une moyenne, comme la taille des individus d’une population, les scores aux tests de QI, la température corporelle, le poids des baguettes d’une boulangerie…

La planche de Galton en est un exemple.

• La loi normale permet d’approcher une loi binomiale pour laquelle le nombre d’épreuves n est grand : ℬ(n; p) est approximée par �� npnpp ;() 1-

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques de la densité d’une loi normale

Soit X ��(μ; σ).

La représentation graphique de la densité est une courbe en forme de cloche, appelée courbe de Gauss, dont les caractéristiques sont les suivantes :

• Elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = μ.

• Elle admet un maximum en x = μ.

• Elle admet l’axe Ox comme asymptote horizontale.

• L’aire comprise entre l’axe Ox et la courbe est toujours égale à 1.

• P(μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68,27 %.

Vidéos

• P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95,45 %.

1 x y – 2 σµ + σµ 2

• P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,73 %.

≈ 95,45 %

Remarques

• Comme X est une variable aléatoire normale, X est une variable aléatoire avec densité. Donc, par définition, la probabilité que X prenne une valeur comprise entre a et b où a ≤ b est donnée par :

P(a ≤ X ≤ b) = a b fx x ò () d

où f est la fonction de densité associée à la loi normale. a

• Si X ��(μ; σ), alors P( X = a) = 0 pour tout réel a car X est une variable aléatoire continue.

• Il n’est pas possible de calculer l’intégrale a b fx x ò () d (théorème de Liouville).

C’est pourquoi on utilise des tables qui donnent directement les valeurs des aires comprises entre la courbe et l’axe Ox.

Mais comme il existe une infinité de lois normales (une pour chaque valeur de μ et de σ), il faudrait une infinité de tables !

Pour simplifier, on utilise donc une seule table, celle de la loi normale centrée réduite, qui correspond à la loi normale avec μ = 0 et σ = 1.

Outil

Table de la loi normale centrée réduite

Si Z~��(0; 1), les valeurs de P(Z ≤ z) pour tout réel z positif sont données dans la table suivante :

P(Z ≤ z) x y

0,2 0,50 z

z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09

0,0 0,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359

0,1 0,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753

0,2 0,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141

0,3 0,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517

0,4 0,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879

0,5 0,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224

0,6 0,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549

0,7 0,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852

0,8 0,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133

0,9 0,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389

1,0 0,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621

1,1 0,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830

1,2 0,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015

1,3 0,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177

1,4 0,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319

1,5 0,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441

1,6 0,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545

1,7 0,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633

1,8 0,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706

1,9 0,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767

2,0 0,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817

2,1 0,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857

2,2 0,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890

2,3 0,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916

2,4 0,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936

2,5 0,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952

2,6 0,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964

2,7 0,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974

2,8 0,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981

2,9 0,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986

3,0 0,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990

3,1 0,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993

3,2 0,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995

3,3 0,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997

3,4 0,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998

3,5 0,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998

3,6 0,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999

3,7 0,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999

3,8 0,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999 3,9 1111111111

4,0 1111111111

Exemples

Soit Z ��(0; 1).

• P(Z ≤ 2,71) = 0,9966

Cette valeur se lit dans la table de la loi normale centrée réduite en repérant la valeur située à l’intersection de la ligne 2,7 et de la colonne 0,01.

• P(Z ≤ 1,08) = 0,8599

Cette valeur se lit dans la table de la loi normale centrée réduite en repérant la valeur située à l’intersection de la ligne 1,0 et de la colonne 0,08.

Propriétés

Propriétés liées à la symétrie et à la complémentarité pour une loi normale centrée réduite

Soient Z ��(0; 1) et a et b deux réels tels que a ≤ b.

• P(Z ≤ –a) = P(Z ≥ a) par symétrie de la fonction de densité

• P(Z ≥ a) = 1 – P(Z < a) car P(A) = 1 – P A pour tout événement A

P(Z ≥ a) P(Z < a)

• P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) – P(Z < a)

Exemples

Soit Z~��(0; 1).

• P(Z ≤ −0,73) = P(Z ≥ 0,73) = 1 – P(Z < 0,73) = 1 − 0,7673 = 0,2327 = 23,27 %

• P(0,22 ≤ Z ≤ 1,46) = P(Z ≤ 1,46) – P(Z < 0,22) = 0,9279 − 0,5871 = 0,3408 = 34,08 %

Propriété

Équivalence d’une loi normale et de la loi normale centrée réduite

Soient μ ∈ ° et σ ∈ 0 + X ��(μ; σ) ⇔ X~��(0; 1)

Remarque

En application, tout calcul pour une variable aléatoire X~��(μ; σ) peut se ramener à un calcul de probabilité pour une variable aléatoire Z ��(0; 1) où Z X =.

Méthodo

Calcul de probabilité d’une variable suivant une loi normale

Soient X ��(μ; σ) et a un réel supérieur à μ.

Pour calculer la probabilité P( X ≤ a), il faut :

1. transformer la variable X en une variable Z qui suit la loi normale centrée réduite grâce à la formule Z X =et exprimer la probabilité à calculer selon la variable Z : PZ a ;

2. lire la valeur de PZ adans la table de la loi normale centrée réduite.

Remarque

Soient a , b < μ et c, d ∈ ° tels que c ≤ d

Pour calculer d’autres probabilités du type P( X ≥ a ), P( X ≤ b ), P( X ≥ b) ou P(c ≤ X ≤ d ), il est nécessaire d’utiliser les propriétés de la loi normale centrée réduite telles que la symétrie et la complémentarité afin de pouvoir lire les valeurs dans la table.

Exemple

Soient X~��(10,36; 3) et Z~��(0; 1).

• P( X ≥ 12,1) = PZ 1211036 3 ,, = P(Z ≥ 0,58) = 1 – P(Z < 0,58) = 1 − 0,7190 = 0,281 = 28,1 %

(Z ≥

(Z < 0,58)

• P( X ≥ 7) = PZ 71036 3 -, = P(Z ≥ −1,12) = P(Z ≤ 1,12) = 0,8686 = 86,86 %

Méthodo

Calcul avec l’outil informatique Excel de P( X ≤ a) si X suit une loi normale

Soit X ��(μ; σ).

Pour calculer P( X ≤ a) où a ∈ °, il faut entrer dans une cellule du tableur Excel la formule : =LOI.NORMALE(a;μ;σ;VRAI)

EXERCICES

1. Soit Z une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Sa fonction de densité est représentée sur chaque graphique.

Pour les 7 premiers graphiques, exprime chaque aire colorée à l’aide d’une probabilité, puis calcule sa valeur. Pour le 8e graphique, détermine la valeur de a sachant que l’aire de la surface colorée est donnée.

2. La loi de probabilité qui régit la vitesse d’un service smashé au volley-ball, exprimée en km/h, dans les équipes professionnelles masculines peut être approximée par la loi normale de moyenne

μ = 87,92 et d’écart-type σ = 11,899

(a) Estime la probabilité qu’un volleyeur professionnel fasse un service smashé ne dépassant pas 94 km/h.

(b) Estime la probabilité qu’un volleyeur professionnel fasse un service smashé d’une vitesse d’au moins 105 km/h.

(c) Estime la proportion de services smashés ayant une vitesse comprise entre 80 km/h et 100 km/h dans les équipes professionnelles masculines.

(d) Lors de son dernier match, un des joueurs d’une équipe professionnelle effectue tous ses services smashés à une vitesse supérieure à celle de 75 % des autres joueurs. Quelle était la vitesse minimale de ses services smashés lors de ce match ?

(e) Un coach estime que la vitesse moyenne des services smashés effectués par ses joueurs de Nationale 2 Hommes doit être au moins égale à la vitesse atteinte par 40 % des services smashés réalisés par des joueurs professionnels. Quelle doit être la vitesse moyenne minimale des services smashés de ses joueurs ?

3. Le temps de réaction moyen d’un conducteur sur de courts trajets est de 0,96 seconde, avec un écart-type de 0,21 seconde. On admet que la variable X qui donne le temps de réaction d’un conducteur suit une loi normale10 .

(a) Quelle est la probabilité qu’un conducteur ait un temps de réaction supérieur à 0,85 seconde sur un court trajet ?

(b) Détermine la probabilité qu’un conducteur ait, sur un court trajet, un temps de réaction inférieur au temps de réaction moyen d’un conducteur après 2 heures de conduite, qui est de 1,5 seconde.

(c) En voiture, les distances de sécurité recommandées correspondent à un temps de réaction de 2 secondes. Pour quelle proportion de conducteurs ces distances ne sont-elles pas suffisantes ?

(d) Sur un court trajet, est-il plus probable qu’un conducteur ait un temps de réaction inférieur à 0,9 seconde ou un temps de réaction supérieur à 1 seconde ?

(e) 99,6 % des conducteurs, sur un court trajet, ont un temps de réaction supérieur à celui des pilotes de Formule 1. Déduis-en le temps de réaction maximal d’un pilote de F1.

9 Source : https://thesportjournal.org/article/normative-profiles-for-serve-speed-for-the-training-of-the-serve-and-receptionin-volleyball/

10 Source : https://scispace.com/pdf/driver-reaction-time-in-crash-avoidance-research-validation-4vlaq4gqu4.pdf

4. Le National Health and Nutrition Examination Survey collecte des mesures biomédicales sur la santé et la nutrition des adultes et des enfants aux États-Unis. Le taux d’HbA1c est un indicateur de la glycémie moyenne des trois derniers mois. Chez les adultes non diabétiques, la distribution des valeurs d’HbA1c suit approximativement une loi normale, autour de 5,2 %, avec un écart-type de 0,13 % 11. Ces mesures sont issues d’un échantillon représentatif de la population américaine.

(a) Estime la probabilité qu’un adulte non diabétique ait un taux d’HbA1c inférieur à 4,9 %.

(b) Estime la probabilité que le taux d’HbA1c d’une personne non diabétique soit compris entre 5,15 % et 5,18 %.

(c) Ilias s’inquiète, car son médecin lui a signalé qu’il n’y a que 6,2 % de la population qui a un taux d’HbA1c supérieur au sien, bien qu’il ne soit pas diabétique. Quel est son taux ?

5. Soient X et Y les variables aléatoires qui donnent respectivement la taille des femmes et celle des hommes de plus de 20 ans, exprimées en cm. X et Y suivent des lois normales 12

Les fonctions de densité de X et de Y sont représentées ci-dessous, respectivement en rose et en bleu, ainsi que leur axe de symétrie.

0,05

0,01

≈ 68,27 % des femmes ont une taille comprise entre 157,6 cm et 171,8 cm ≈ 68,27 % des hommes ont une taille comprise entre 170,8 cm et 186 cm y x

157,6164,7170,8171,8178,4186

(a) Donne les paramètres des lois normales que suivent X et Y.

(b) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

I. Plus de 50 % des femmes mesurent 163 cm.

II. Au moins 25 % des hommes mesurent entre 178,4 cm et 186 cm.

III. Il y a plus d’hommes qui mesurent moins de 162 cm que de femmes qui mesurent plus de 179 cm.

(d) Quelle est la probabilité qu’un homme mesure entre 160 cm et 182 cm ?

(e) Détermine la taille à partir de laquelle les hommes font partie des 20 % les plus grands de la population masculine.

(f) Quelles sont les tailles entre lesquelles se situent les 70 % centraux de la population féminine ?

11 Source : https://www.pacehospital.com/hba1c-test

12 Source : https://ourworldindata.org/human-height

4. Loi uniforme

DÉCOUVERTE

Activité 1 Loi uniforme discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0

Une grand-mère propose un petit jeu à ses petits-enfants : « Lancez un dé à 6 faces. Le nombre indiqué sur le dé correspondra au nombre de bonbons que vous pourrez prendre dans le bocal ! »

On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de bonbons obtenus.

1. Donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X

2. Que constates-tu sur les valeurs des probabilités qui apparaissent dans cette loi ?

(b) En procédant de la même façon, donne les probabilités P(0,7 ≤ X ≤ 1,5) et P(1,9 ≤ X ≤ 2). COPYRIGHTVANIN

Lorsque chaque valeur possible d’une variable aléatoire discrète finie a la même probabilité de se produire, on dit que la variable aléatoire suit une loi uniforme discrète. Ici, X suit une loi unifome discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n est le nombre de valeurs possibles.

3. Calcule l’espérance mathématique de X et montre que EX n ()= +1 2 où n = 6.

4. Calcule la variance de X et montre que VX n ()=21 12 où n = 6.

G

Lorsque la variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n est le nombre de valeurs possibles, on a que EX n () = +1 2 et VX n () = 2 1 12.

Activité 2 Loi uniforme continue

L’intervalle [0; 2] est représenté sur le segment de droite gradué ci-dessous.

1. On choisit un nombre réel au hasard dans cet intervalle. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre choisi.

(a) Colorie en vert la portion correspondant aux nombres inférieurs à 0,2 dans cet intervalle et déduis-en la probabilité P(0 ≤ X ≤ 0,2).

(d) Que vaut la probabilité P( X = 1,2) ? Justifie le résultat obtenu à l’aide du point (c).

πG

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme continue sur [a; b] où a < b si elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle de cet intervalle avec la même probabilité. On a que P(c ≤ X ≤ d ) = dc ba si c, d  [a; b] avec c ≤ d.

2. On a augmenté le nombre de tirages de nombres réels choisis au hasard dans l’intervalle [0; 2]. Les résultats sont affichés dans les graphiques ci-dessous.

Déduis-en l’expression analytique de la fonction de densité de cette loi de probabilité.

THÉORIE

Loi uniforme discrète

Définition

Loi uniforme discrète

Une variable aléatoire suit une loi uniforme discrète lorsqu’elle peut prendre un nombre fini de valeurs et que chacune de ces valeurs a la même probabilité.

LOIS DE PROBABILITÉS

Exemple

Lorsqu’on lance un dé équilibré à 6 faces et qu’on observe le nombre noté sur la face supérieure, chaque valeur de 1 à 6 a une probabilité de 1 6 .

La variable aléatoire X qui donne le résultat du lancer du dé suit une loi uniforme discrète.

Propriété

Distribution et espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme discrète

Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète où X(Ω) = x1; x2; x3; …; x n et n ∈ •0, alors

• PX x i = = 1 n pour tout i ∈ {1; 2; 3; …; n} ;

• EX n x i n i ()= = 1 1 ;

• V( X ) = E X 2 – (E( X ))2 == 11 1 2 1 2 n x n x i n i i n i ;

• σ( X ) = VX() .

Notation

Si X suit une loi uniforme discrète sur x1; x2; x3; …; x n , on note X �� x1;x2;x3;…;x n .

Cas particuliers

Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0

Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète sur l’ensemble {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0, alors :

• EX n ()= +1 2 ;

• VX n ()=21 12 ;

• σ ()() XV X n ==21 12 .

Exemple

On choisit un jour de la semaine aléatoirement en associant 1 pour lundi, 2 pour mardi…, et 7 pour dimanche.

La variable aléatoire X qui donne le numéro du jour choisi suit une loi uniforme discrète sur les valeurs {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

• Sa loi de probabilité est donnée par :

• EX()= + == 71 2 8 2 4

• VX()=== 71 12 48 12 4 2

• σ ()() XV X ===42

Loi uniforme continue

Définition

Loi uniforme continue

Soient a et b deux réels tels que a < b.

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [a; b] si elle a une densité de probabilité f définie par :

Remarque

En français, cette définition dit qu’une variable aléatoire suit une loi uniforme continue lorsqu’elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle dans un intervalle [a; b], avec la même probabilité pour chaque sous-intervalle de même longueur.

Notation

Si X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [a; b], on note X~��[a;b]

Exemple

On considère une ampoule neuve dont la durée de vie est supposée uniformément répartie entre 0 et 1 000 heures d’usage.

On note X le temps de fonctionnement (en heures) avant que l’ampoule grille.

Alors, X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [0; 1 000], notée X~��[0;1000]

Propriété

Calcul de probabilité d’une variable suivant une loi uniforme continue

Soient X ��[a;b] où a < b et c et d des réels de l’intervalle [a; b] tels que c ≤ d

La probabilité que X prenne une valeur comprise entre c et d est donnée par :

P(c ≤ X ≤ d) = dc ba-

Exemple

Si X~��[0;1000] où X est le temps de fonctionnement (en heures) avant que l’ampoule grille, alors la probabilité que l’ampoule ait une durée de vie entre 50 et 100 heures d’usage vaut :

P(50 ≤ X ≤ 100) = 10050 10000 50 1000 5 100== .

Remarque

Si X ��[a;b], alors P( X = k ) = 0 pour tout réel k, car X est une variable aléatoire continue avec densité.

Propriété

Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme continue

Si X U[a;b], alors :

• EX ab ()= + 2

• VX ba ()() =2 12 •

Exemple

Si X ��[0;1000] où X est le temps de fonctionnement (en heures) avant que l’ampoule grille, alors :

• EX()= + = 01000 2 500 ;

• VX()() == 10000 12 250000 3 2 ;

• (), X == 10000 23 5003 3 28868

EXERCICES

1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme telle que X(Ω) = {–4; –2; 1; 2; 3}.

(a) Calcule P( X ≤ 1).

(b) Détermine l’espérance mathématique et l’écart-type de X

2. Claudio joue à « The Mind » avec sa fille et son beau-fils. Le jeu est constitué de 100 cartes numérotées de 1 à 100. Lors de la première manche, chaque participant reçoit une carte distribuée au hasard. L’objectif est de former une suite croissante avec les cartes sans que les joueurs communiquent entre eux.

Sa fille a déjà joué sa carte, qui était le 9, et personne n’a signalé d’erreur. Quelques secondes plus tard, son beau-fils décide de jouer sa carte, le 32. Quelle est la probabilité qu’ils gagnent la manche ?

3. Sur un parking d’aéroport, une navette passe toutes les 15 minutes pour amener les voyageurs à l’entrée du terminal. Lina et Pablo viennent de se garer sur le parking et attendent la navette, sans connaître les horaires de celle-ci.

On suppose que leur temps d’attente X, exprimé en minutes, suit une loi uniforme sur l’intervalle [0; 15].

(a) Calcule la probabilité que Lina et Pablo attendent la navette : I. moins de 5 minutes ; II. plus de 12 minutes ; III. entre 3 et 7 minutes.

(b) Calcule et interprète l’espérance mathématique dans ce contexte.

4. L’heure d’arrivée de Victoria chez elle après une journée de travail se situe entre 17 h 15 et 17 h 42, de façon uniforme.

(a) À quelle heure arrive-t-elle chez elle en moyenne ?

(b) Sachant que sa série télévisée préférée commence à 17 h 30, quelle est la probabilité qu’elle arrive à temps et puisse la regarder dès le début ?

(c) Son compagnon revient de sa promenade avec leur chien à 17 h 23 et part travailler à 17 h 35. Quelle est la probabilité qu’ils se croisent ?

Synthèse

Variable aléatoire

• X est une variable aléatoire si X est une fonction qui, à chaque résultat possible d’une expérience aléatoire, associe un nombre réel.

• Variable aléatoire discrète

• Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable.

• La loi de probabilité (ou distribution de probabilité) d’une variable aléatoire discrète X est la fonction qui, à chaque valeur de X, associe sa probabilité.

Dans le cas fini, on la représente à l’aide d’un tableau ou d’un diagramme en bâtons.

• La fonction de répartition d’une variable aléatoire X, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ).

La représentation graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète finie est une fonction en escalier.

• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète finie X est définie par PX x i = EX x i n i ()= =1

où X(Ω) = x1; x2; …; x n

• La variance d’une variable aléatoire discrète X est définie par V( X ) = E X 2 – (E( X ))2

où E( X ) est l’espérance mathématique de X.

• L’écart-type d’une variable aléatoire discrète X est défini par σ ( X ) = VX()

où V( X ) est la variance de X.

• Lien avec les notions de statistique descriptive :

Probabilités : étude d’une variable aléatoire discrète finie

Diagramme en bâtons pour représenter la loi de probabilité

Représentation graphique de la fonction de répartition

Calcul de l’espérance mathématique

Calcul de la variance et de l’écart-type théoriques

• Variable aléatoire continue

Statistique descriptive : étude d’un caractère quantitatif discret

Diagramme en bâtons pour représenter les fréquences des modalités

Diagramme cumulatif des fréquences cumulées

Calcul de la moyenne arithmétique

Calcul de la variance et de l’écart-type empiriques

• Une variable aléatoire est continue si l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle (ou une union d’intervalles) de ° de longueur non nulle, c’est-à-dire un ensemble non dénombrable.

• X est une variable aléatoire continue avec densité s’il existe une fonction f, appelée densité (de probabilité) de X, qui satisfait les propriétés suivantes :

• la densité est une fonction positive : f ( x ) ≥ 0 pour tout réel x ;

• l’aire comprise entre la courbe représentative de f et l’axe Ox vaut 1 :+ d= & & ò fx x ()1 ;

• la probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [a; b] où a et b sont des réels tels que a ≤ b est donnée par l’intégrale de la densité sur l’intervalle considéré :

• Si la variable aléatoire X est continue avec densité, alors P( X = a) = 0 pour tout réel a.

• La fonction de répartition d’une variable aléatoire X de densité f, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P(

() .

• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par EX xf xx()()=d+ & & ò si cette intégrale existe.

• La variance d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par VX EXEX xf xx EX ()(())()(()) =-=d-+ 222 2 & & ∫

où E( X ) est l’espérance mathématique de X

• L’écart-type d’une variable aléatoire continue X est définie par σ ( X ) = VX()

où V( X ) est la variance de X

Loi binomiale

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles.

• Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est l’expérience aléatoire qui consiste à répéter un nombre fini n de fois des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes les unes des autres dont la probabilité de succès est p.

• La loi binomiale de paramètres n et p, notée ℬ(n; p), est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne le nombre k de succès d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p

• Notation : X ℬ(n; p)

• La probabilité que X prenne la valeur k est égale à : PX kC pp n k kn k ()() ==-⋅⋅ 1 pour tout naturel k ∈ {0; 1; 2; …; n}.

• E( X ) = n p

• V( X ) = n p (1 – p)

• σ ( X ) = VX np p ()() =1

Loi normale

• La variable aléatoire continue X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ où σ > 0 si elle a une densité de probabilité f définie par :

• Notation : X~��(μ; σ)

• La représentation graphique de la densité est une courbe en forme de cloche, appelée courbe de Gauss, dont les caractéristiques sont les suivantes :

• Elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = μ

• Elle admet un maximum en x = μ

• Elle admet l’axe Ox comme asymptote horizontale.

• L’aire comprise entre l’axe Ox et la courbe est toujours égale à 1.

• Soient a et b des réels tels que a < b. La probabilité que X prenne une valeur comprise entre a et b est donnée par :

P(a ≤ X ≤ b) = a b fx x ò () d

où f est la fonction de densité associée à la loi normale.

• Loi normale centrée réduite (Z~��(0; 1))

• Il s’agit de la loi normale de moyenne μ = 0 et d’écart-type σ = 1.

• Tout calcul de probabilité peut être ramené à cette loi par un changement de variable : Z X = -

• Les probabilités sont calculées à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite et des propriétés suivantes :

• Complémentaire : P(Z ≥ a) = 1 – P(Z < a)

• Symétrie : P(Z ≤ –a) = P(Z ≥ a)

LOIS DE PROBABILITÉS

Loi uniforme discrète

• Une variable aléatoire suit une loi uniforme discrète lorsqu’elle peut prendre un nombre fini de valeurs et que chacune de ces valeurs a la même probabilité.

• Notation : X~�� x1; x2; x3; …; xn si X(Ω) = x1; x2; x3; …; x n

• Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète où X(Ω) = x1; x2; x3; …; x n où n ∈ •0, alors :

• n = 1 PX x i = pour tout i ∈ {1; 2; 3; …; n} ;

• EX n x i n i ()= = 1 1 ;

• V( X ) = E X 2 – (E( X ))2 = 11 1 2 1 2 n x n x i n i i n i == - ;

•

σ ()() XV X =

• Cas particuliers

Si X qui suit une loi uniforme discrète sur l’ensemble {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0, alors :

• EX n ()= +1 2 ;

• VX n ()=21 12 ;

•

σ ()() XV x n ==21 12 .

Loi uniforme continue

• Soient a et b deux réels tels que a < b.

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [a; b] si elle a une densité de probabilité f définie par :

• Notation : X ��[a;b]

• Soient c et d des réels de l’intervalle [a; b] où a < b tels que c ≤ d

La probabilité que X prenne une valeur comprise entre c et d est donnée par : P( c ≤ X ≤ d ) = dc ba-

• EX ab ()= + 2

• VX ba ()() =2 12

• σ ()()() XV X ba ba ===2 1223

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Précise si les variables aléatoires données ci-dessous suivent une loi binomiale, une loi normale, une loi uniforme discrète, une loi uniforme continue ou une autre loi de probabilité. Justifie et donne, si possible, les éventuels paramètres.

(a) T donne la somme des nombres obtenus sur les faces supérieures lorsqu’on lance deux dés à 6 faces équilibrés.

(b) U donne le numéro d’un casier attribué au hasard parmi des casiers numérotés de 1 à 50.

(d) W donne le nombre d’as obtenus lors de 4 tirages successifs avec remise dans un jeu de 52 cartes.

(e) X donne le moment, supposé uniforme, où une chauve-souris sort de sa grotte entre 18 h et 20 h.

(f) Y donne le nombre de doubles fautes commises lors de 30 services effectués par un joueur de tennis pendant un match, en supposant que la probabilité de faire une double faute reste constante à chaque service et que les services sont indépendants les uns des autres.

(g) Z donne le poids (en mg) d’un papillon blanc prélevé au hasard dans une population sauvage.

2. Dans un jeu de cartes éducatif de 20 cartes, chaque carte est numérotée de 1 à 5 dans chacune des quatre couleurs suivantes : bleu, rouge, jaune et vert. Un enfant tire une carte au hasard après avoir bien mélangé le paquet.

Soit X la variable aléatoire qui représente le numéro de la carte tirée.

(a) Donne la loi de probabilité de X

(b) S’agit-il d’une loi particulière étudiée dans le chapitre ? Si oui, justifie.

(d) Calcule P(0,5 ≤ X ≤ 3,5).

(e) Calcule l’espérance de cette variable aléatoire et interprète-la dans ce contexte.

(f) Calcule l’écart-type de cette variable aléatoire et donnes-en une interprétation dans ce contexte.

3. On joue à pile ou face trois fois de suite avec une pièce équilibrée. On gagne 3 points lorsque le résultat est pile, et on perd 2 points lorsque le résultat est face.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de points après ces trois lancers.

(a) Donne l’ensemble X(Ω).

(b) Donne la loi de probabilité de X.

(d) Calcule P( 3 ≤ X ≤ 7).

(e) Quel est le gain moyen par partie ?

(f) Calcule l’écart-type de X et interprète-le dans ce contexte.

4. Un stand sur une fête foraine propose le jeu suivant : on lance deux dés simultanément et on observe les nombres affichés sur les faces supérieures.

• Si la somme des nombres vaut 12, on gagne 50 €.

• Si la somme des nombres vaut 7, on gagne 7 €.

• Si les deux nombres affichés sont impairs, on gagne 2 €.

• Sinon, on ne gagne rien.

Soit X la variable aléatoire qui donne le gain d’un joueur après une partie.

(a) Donne la loi de probabilité de X.

(b) Calcule E( X ) et interprète-la dans ce contexte.

5. Choisissons un nombre au hasard compris entre −3 et 6. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation f ( x ) ≤ 1 sachant que f est la fonction du deuxième degré représentée ci-contre ?

6. En 2016, le Royaume-Uni a organisé un référendum. 51,9 % de la population a voté pour la sortie du Royaume-Uni de l’Union européenne, appelée le Brexit 13 !

Juste après le vote, des journalistes interrogent 12 Britanniques, dispersés dans tout le pays, qui ont voté lors du référendum.

(a) Justifie que la variable aléatoire X qui donne le nombre de personnes pour le Brexit parmi les 12 Britanniques interrogés suit une loi binomiale, dont tu donneras les paramètres.

(b) Calcule P( X = 7) et interprète ce résultat dans ce contexte.

(d) Quelle est la probabilité qu’au plus 2 des 12 Britanniques interrogés aient voté contre le Brexit ?

(e) Peut-on reprendre les données de l’énoncé si un journal interroge aujourd’hui 50 Britanniques en âge de voter, dispersés dans tout le Royaume-Uni, et qu’on s’intéresse au nombre de personnes qui voteraient pour le Brexit ? Justifie.

7. Les chats à pieds noirs sont les plus petits félins du continent africain. Ces chats sont des chasseurs hors pair, avec un taux de réussite d’environ 60 %.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de proies attrapées par un chat à pieds noirs lors d’une nuit de chasse.

(a) Explique pourquoi on peut approcher la loi de probabilité de X par une loi binomiale.

(b) Si un chat à pieds noirs a chassé 28 proies la nuit dernière, I. estime la probabilité qu’il ait attrapé entre 15 et 16 proies ; II. estime la probabilité qu’il ait attrapé au moins 3 proies ; III. calcule E( X ) et interprète-la dans ce contexte.

13 Source : https://www.lemonde.fr/referendum-sur-le-brexit/article/2016/06/24/brexit-les-premieres-tendances-penchenten-faveur-du-in_4956967_4872498.html

8. La température corporelle normale d’un adulte vaut en moyenne 36,59 °C, avec un écart-type de 0,43 °C 14. On admet que la variable aléatoire X qui donne la température corporelle normale d’un adulte suit une loi normale.

Réponds aux questions suivantes et interprète graphiquement les probabilités calculées.

(a) Quelle est la probabilité que la température corporelle normale d’un adulte soit comprise entre 37,5 et 38 °C ?

(b) Quelle est la probabilité que la température corporelle normale d’un adulte soit supérieure à 36 °C ?

(d) Quelle est la proportion d’adultes dont la température corporelle normale est supérieure à 37 °C ?

(e) Est-il plus probable qu’un adulte ait une température corporelle normale supérieure à 36,5 °C ou inférieure à 36,7 °C ? Justifie.

(f) Quelle est la température corporelle normale minimale de 92,5 % des adultes ? Justifie par calculs.

DÉFI

9. Approchons le temps d’écran quotidien des Belges de plus de 15 ans pendant leur temps libre par une loi normale. Pendant son temps libre, il ressort d’une étude publiée en 2025 qu’un Belge de plus de 15 ans passe en moyenne 339 minutes sur les écrans, soit 5 heures et 39 minutes, avec un écart-type de 146,8 minutes 15

(a) Quelle est la probabilité qu’un Belge de plus de 15 ans passe moins de 500 minutes devant un écran pendant son temps libre ?

(b) Quelle est la probabilité qu’un Belge de plus de 15 ans passe plus de 6 heures 30 devant un écran pendant son temps libre ?

(c) Quelle est la probabilité qu’un Belge de plus de 15 ans passe entre 300 et 480 minutes devant un écran pendant son temps libre ?

(d) Quel est le seuil de temps d’écran quotidien au-delà duquel un Belge de plus de 15 ans se classe parmi les 10 % les plus consommateurs ?

(e) Un jeune Belge en rhéto affirme passer en moyenne 10 heures par jour devant un écran pendant son temps libre. Peut-on considérer ce comportement comme exceptionnel ?

(f) Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Combien de temps estimes-tu passer devant un écran chaque jour durant ton temps libre ?

Quelle est la proportion de Belges âgés de plus de 15 ans qui passent moins de temps que toi devant un écran ?

Tu es maintenant capable de le déterminer !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

14 Source : https://academic.oup.com/ofid/article/6/4/ofz032/5435701

15 Source : https://www.rtbf.be/article/et-chez-vous-comment-se-porte-votre-temps-d-ecran-ou-en-etes-vous-par-rapport-a-lamoyenne-belge-11574362

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE

Objectifs

Connaître

• Lier les différentes formes d’équations de droites ou de plans.

• Représenter un point de l’espace de coordonnées données.

• Interpréter géométriquement le résultat de la résolution d’un système d’équations.

Appliquer

• Vérifier l’alignement de points, la coplanarité de points, l’orthogonalité de deux droites.

• Rechercher des équations de droites et de plans dans l’espace.

• Représenter, à partir de leurs équations, des droites et des plans parallèles à un des axes du repère.

• Déterminer l’équation d’une droite ou d’un plan à partir de sa représentation dans un repère.

• Déterminer la position relative de droites et de plans.

• Déterminer la coordonnée d’un point de percée.

• Déterminer l’intersection de trois plans et en déduire leur position relative.

Transférer

• Traduire un problème en système d’équations et déterminer sa solution.

• Traiter un problème de géométrie dans l’espace.

Introduction historique

La géométrie dans l’espace permet d’étudier des objets comme les points, droites, plans et solides dans un repère à trois dimensions. Elle repose sur deux approches complémentaires : la géométrie analytique, qui utilise des équations, et la géométrie vectorielle, qui repose sur la notion de vecteur.

Ses racines historiques remontent à l’Antiquité, avec des savants comme Euclide et Apollonius, qui étudiaient les solides de façon purement géométrique. Mais c’est au XVIIe siècle, avec Descartes, que naît la géométrie analytique : il associe des équations aux courbes et étend peu à peu cette méthode à l’espace. Cette révolution permet de représenter et de calculer les propriétés de figures géométriques à l’aide de coordonnées.

Au XIXe siècle, une nouvelle avancée a lieu avec le développement du calcul vectoriel. Des mathématiciens comme Grassmann et Gibbs formalisent les vecteurs et les opérations qui leur sont associées. Les vecteurs deviennent un outil central pour modéliser des directions, des

longueurs, ou encore décrire des mouvements dans l’espace.

Aujourd’hui, la géométrie dans l’espace combine ces deux approches :

• les vecteurs permettent de raisonner sur les directions, les alignements ou les coplanarités ;

• les équations cartésiennes permettent de modéliser précisément des droites, des plans ou des surfaces.

Ces outils sont devenus incontournables dans de nombreux domaines :

• en physique : pour étudier les forces et les trajectoires ;

• en ingénierie : pour concevoir et analyser des structures ;

• en informatique : pour créer des images en 3D ou simuler des mouvements ;

• en astronomie : pour décrire les orbites des planètes ou modéliser les galaxies.

Défi

Trois satellites communiquent entre eux pour former un réseau autour de la Terre.

Leur position est donnée par leurs coordonnées dans un repère orthonormé, où l’unité est le millier de kilomètres. Le premier satellite se situe en S1(2; 3; 1), le deuxième en S2(–1; 4; 5) et le troisième en S3(3; –2; 4).

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de déterminer quels sont les deux satellites les plus éloignés l’un de l’autre parmi ces trois satellites.

Dans ce chapitre, tous les objets considérés seront placés dans l’espace, c’estàdire que ces objets appartiennent ou sont inclus dans °3 .

Si le repère n’est pas précisé, nous supposerons que le repère considéré est orthonormé.

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Calcul vectoriel

1. Voici quatre hexagones réguliers. O1, O2, O3 et O4 sont les centres des hexagones.

(a) Donne un vecteur égal au vecteur AB ur .

(b) Donne un représentant du vecteur opposé au vecteur OK 3 ur

I. 2IH ur

III. EB ML ur r +

V. -+ 2 5 1 3 PH KF ur ur

I. AJ ur = … EF ur

II. FQ QP ur r +=

IV. PJ CH ur r -=

VI. 31 2 CB LD ur ru -

(d) Complète les pointillés par des nombres réels afin dʼavoir lʼégalité indiquée.

II. FC ur = … NI ur

III. EG ur = ⋅ DC ur + ⋅ PO4 ur

V. ME ur = … LA ur + … ⋅ LK ur

Appliquer –4–3–2–11234 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 A x y 0 u

IV. JI ur = ⋅ AF ur + ⋅ BC ur

VI. QD ur = … MN ur + … LE ur

2. Dans le repère orthonormé cidessous sont représentés le vecteur u et le point A

(a) Donne les composantes du vecteur u

(b) Place le point B tel que AB ur =2 3

3. Dans un repère orthonormé du plan, considérons les points A(5; –3), B(–6; 5) et C(4; 1).

(a) Calcule les composantes des vecteurs AB ur et CA ur .

(b) Donne les composantes des vecteurs u et v si r uAB =2 et ur ru vCABA =+ 4

(d) Donne les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].

(e) Détermine les coordonnées du point D sachant que ABCD est un parallélogramme.

(f) Détermine la valeur du réel a afin que les points A, B et E soient alignés si E(a; –7).

Équations de droites dans le plan

Appliquer

1. Soient les points A(3; –5) et B(–1; 4) placés dans un repère orthonormé du plan.

(a) Donne un vecteur directeur de la droite AB.

(b) Donne un second vecteur directeur de la droite AB.

(d) Donne un système d’équations paramétriques de la droite AB

(e) Donne une équation cartésienne de la droite AB.

(f) Le point C(–3; 1) appartientil à la droite AB ? Justifie.

2. Soit la droite d xk yk = =-+ =49 13 où k ∈ °.

(a) Donne deux vecteurs directeurs de d.

(b) Donne deux points de d.

(d) Donne un système d’équations paramétriques de la droite d′ parallèle à d et passant par le point (–5; 7).

Géométrie dans l’espace

Connaître

3. La figure cidessous est réalisée à l’aide de prismes droits isométriques dont les bases sont des hexagones réguliers.

Donne les positions relatives des droites et plans suivants.

(a) Les droites AB et G′F′ .

(e) La droite H′J′ et le plan JII′ .

(g) Les plans A′B′C′ et CDD′ .

(i) Les plans AJC et EGH.

(b) Les droites HG et ID.

(d) La droite AJ et le plan BCD.

(f) La droite DI et le plan F′FG′ .

(h) Les plans BB′C′ et HH′G′ .

THÉORIE

Calcul vectoriel

Définition

Vecteur

Un vecteur non nul u se définit à l’aide de trois caractéristiques :

• sa direction ;

• son sens ;

• sa norme, notée |||| u .

Définition

Vecteur nul

Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur dont chaque représentant a son origine et son extrémité confondues.

Définition

Composantes d’un vecteur

Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points du plan.

Les composantes du vecteur AB ur sont xx yy BA BA.

Propriété

Calcul de la norme d’un vecteur à partir de ses composantes

• Si u x y u u = , alors |||| ux y uu =+22

• Si A(xA; yA) et B(xB; yB), alors ||||||ABAB xx yy BA BA ==-+ur ()() 22 .

Définitions

Opérations sur les vecteurs

Soient u x y u u = et v x y v v = deux vecteurs.

• Égalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.

En termes de composantes, cela se traduit par : uv

• Addition de deux vecteurs :

Pour additionner deux vecteurs consécutifs, on applique la loi de Chasles :

En termes de composantes, cela se traduit par : uv

• Soustraction de deux vecteurs :

Soustraire un vecteur, c’est ajouter son opposé.

En termes de composantes, cela se traduit par : uv

• Multiplication d’un vecteur par un réel k

Si k ≠ 0, alors ku est un vecteur :

• de même direction que celle de u ;

• de même sens que u si k > 0 et de sens opposé si k < 0 ;

• de norme égale à ||||||ku .

Si k = 0, alors ku = 00 u = .

En termes de composantes, cela se traduit par : ku kx

Définition

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que uk v = ou vk u =

Remarque

D’un point de vue géométrique, des vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction.

Propriétés

Points alignés et droites parallèles

Soient A, B, C et D des points distincts.

• Les points A, B et C sont alignés si et seulement s’il existe un réel k tel que AC kAB ur ur =

• Les droites AB et CD sont parallèles si et seulement s’il existe un réel k tel que AB kCD ur ur =

Propriété

Parallélogramme

Soient A, B, C et D des points non alignés.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB DC ur ur = .

Définition

Point milieu

Le point M est le milieu du segment [AB] si et seulement si AM MB ur ur = ou AM ur AB ur = 1 2 ou AM BM ur ur +=0.

Propriété

Coordonnées du point milieu à partir des coordonnées des points extrémités du segment

Soient A(xA; yA) et B(xB; yB).

Le point M, milieu de [AB], a pour coordonnées : xx yy AB AB ++ 22 ; .

Équations de droites dans le plan

Définition

Vecteur directeur d’une droite

Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur dont une origine et une extrémité sont deux points distincts de cette droite.

Remarques

• Tout multiple non nul de u est également un vecteur directeur de la droite AB.

• Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

Illustration

Le vecteur uAB = est un vecteur directeur de la droite AB.

Définition

Équation ou système d’équations d’une droite dans le plan

Soient un point A(xA; yA) de la droite d et u x y u u = un vecteur directeur de d Soit P(x; y) ∈ d.

• Une équation vectorielle de la droite d s’écrit : dP k A u = = où k ∈ °

• Un système d’équations paramétriques de la droite d s’écrit : d xk yk x y x y A A u

• Une équation cartésienne de la droite d s’écrit : d xyxy xy AA uu ==si x u ≠ 0 et yu ≠ 0

Remarques

• Si x u = 0, la droite d est alors verticale et une équation cartésienne de d s’écrit d ≡ x = xA.

• Si yu = 0, la droite d est alors horizontale et une équation cartésienne de d s’écrit d ≡ y = yA

• De façon équivalente, une équation cartésienne de la droite d peut également s’écrire :

• sous sa forme explicite d ≡ y = mx + p (si d n’est pas verticale) ;

• sous sa forme implicite d ≡ ax + by + c = 0.

Positions relatives de deux droites, de deux plans ou d’une droite et d’un plan

Positions relatives de deux droites

Droites coplanaires

Droites parallèles

Droites sécantes

Droites parallèles distinctes

Droites parallèles confondues

Droites non coplanaires

Droites gauches

d = d′ d d′ d ∩ d′ = {P}

L’intersection est un point

∩ d′ = ∅ L’intersection est vide d ∩ d′ = d = d′ L’intersection est la droite ellemême d ∩ d′ = ∅

L’intersection est vide

Positions relatives de deux plans

Plans sécants

L’intersection est une droite

Plans parallèles

Plans parallèles distinctsPlans parallèles confondus

L’intersection est le plan luimême

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Droite sécante au plan

Droite parallèle au plan

Droite parallèle distincte au plan

Droite incluse dans le plan

La droite perce le plan au point P

L’intersection est vide

L’intersection est la droite ellemême

1. Représentation d’un objet de l’espace

DÉCOUVERTE

Activité 1 Vecteurs de l’espace

Voici 3 parallélépipèdes rectangles isométriques où M et N sont respectivement les milieux de [EF ] et [DE ].

1. Les égalités suivantes sontelles vraies ou fausses ? Justifie. (a) AB KJ ur ur = (b) MQ QK ur r = (c) KE LH TN ur r += (d) 2FM JK ur ur = (e) 3 4 LJ DC FO ur ur ur

2. Place le point U tel quel CU BH PS QR

Tout ce que tu as appris sur les vecteurs du plan en quatrième année, d’un point de vue géométrique, reste valable lorsque tu travailles avec des vecteurs de l’espace.

Activité 2 Coordonnées d’un point et composantes d’un vecteur de l’espace

La figure suivante est formée à l’aide de cubes. O R S V T U i j k

1. Complète par des nombres réels afin d’avoir l’égalité indiquée.

(a) RS ur = ⋅ r i + j + k

2. Dans le repère Oi jk;;; ,

(b) OV ur = ⋅ r i + ⋅ r j + k

(d) SU ur = … r i + … r j + … k

(a) donne les composantes des vecteurs RS ur , OV ur , VT ur et SU ur ; π

G

Si iy jz k uu u =++

u , alors les composantes de u , dans le repère O; ij k ;; , sont x y

(b) donne les coordonnées des points O, R, S, T, U et V ; πG

Tu viens de découvrir comment donner les coordonnées de points dans un repère de l’espace.

(d) comment peuxtu trouver les composantes du vecteur AB ur en utilisant les coordonnées de A et de B ?

Tu viens de découvrir comment donner les composantes d’un vecteur AB sur la base des coordonnées de A et de B

THÉORIE

Définition

Vecteur non nul de l’espace

Un vecteur non nul de l’espace est défini par trois caractéristiques : une direction de l’espace, un sens et une norme.

Remarques

• Tout comme dans le plan, les vecteurs dans l’espace sont dits libres. Cela signifie qu’aucun point n’est fixé comme origine du vecteur. Tant que la direction, le sens et la norme restent identiques, tous ces vecteurs sont considérés comme des représentants du même vecteur.

• Toutes les propriétés géométriques des vecteurs étudiées en quatrième année dans le plan restent valables dans l’espace.

Définition

Vecteur nul

Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur dont chaque représentant a son origine et son extrémité confondues.

Propriété

Loi de Chasles

Soient A, B et C trois points de l’espace.

Exemple

Dans le parallélépipède rectangle suivant,

Remarques

• Pour appliquer la loi de Chasles, il faut que les vecteurs soient consécutifs, c’estàdire que l’extrémité de l’un coïncide avec l’origine de l’autre.

• La loi de Chasles peut être étendue à la somme de plusieurs vecteurs, à condition que ces vecteurs soient disposés de manière consécutive.

Propriété

Multiplication d’un vecteur par un réel

Soient u un vecteur de l’espace et k un réel non nul.

• k u est un vecteur :

• de même direction que celle de u ;

• de même sens que u si k > 0 et de sens opposé si k < 0 ;

• de norme égale à |||||| k u .

• 00 u =

Exemple

Dans les parallélépipèdes rectangles isométriques ABCDEFGH, BIJCFKLG et IMNJKOPL ont été tracés les vecteurs u , -2u et 3u.

Définition

Combinaison linéaire de deux vecteurs

Soient u , v et w trois vecteurs de l’espace.

Le vecteur w est une combinaison linéaire des vecteurs u et v s’il existe deux réels k et l tels que : wk ul v =+

Exemple

Dans les parallélépipèdes rectangles isométriques ABCDEFGH, BIJCFKLG et IMNJKOPL, on a w =3 u - v 3

Définition

Repère orthonormé de l’espace

Soit ;;;Oi )( jk un repère de l’espace où l’axe Ox est muni du repère ; , l’axe Oy est muni du repère et l’axe Oz est muni du repère Ok ; Ce repère est dit orthonormé si les axes sont perpendiculaires deux à deux et si|||||||||||| ij k ===1

Illustration

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Remarques

• Comme le repère est orthonormé, les plans Oxy, Oxz et Oyz sont perpendiculaires deux à deux.

• On peut aussi définir un repère de l’espace à l’aide de quatre points qui n’appartiennent pas à un même plan, c’estàdire qui ne sont pas coplanaires.

Exemple

Soient O, I, J et K quatre points de l’espace qui ne sont pas coplanaires. ;;; OOIOJOK ur r r () définit un repère orthonormé de l’espace si les axes sont perpendiculaires deux à deux et si |||||||||||| OIOJOK ur r r ===1.

Vocabulaire

Si A(xA; yA; zA) est un point de l’espace, alors xA est l’abscisse, yA l’ordonnée et zA la cote de A

Définition

Composantes d’un vecteur de l’espace

Soit ;;) Oi( un repère de l’espace.

Le vecteur u a pour composantes x y z u u u si iy jz k uu u =++ u

Remarque

Dans un repère orthonormé de l’espace ;;;Oi jk )( , la décomposition d’un vecteur en fonction des directions des vecteurs ij , et k est unique.

Définitions

Opérations sur les vecteurs en termes de composantes

Dans un repère de l’espace ;;;Oi jk )( , soient u x y z u u u = et v x y z v v v = deux vecteurs de l’espace et k un réel.

• Les vecteurs u et v sont égaux si xx yy uv uv = =

• La somme des vecteurs u et v vaut uv

• Le vecteur nul, noté r 0, a pour composantes 0 0 0

• L’opposé du vecteur u est -=-u x y z u u u .

• La différence des vecteurs u et v vaut uv xx yy zz uv uv uv -=-.

• La multiplication du vecteur u par le réel k vaut ku = kx ky kz u u u

Propriété

Composantes d’un vecteur dont l’origine est l’origine du repère

Soit P(x; y; z) un point dans un repère de l’espace ;;;Oi jk )(

Le vecteur OP a pour composantes x y z

Démonstration

OPOP PP PP ur ur ur ur =++ 11 ′′ =++OPOPOP 123 ur ur ur =++ xi yj zk

OP ur a donc bien pour composantes x y z

Propriété

Décomposition unique d’un vecteur et composantes

Soient A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB) deux points dans un repère de l’espace ;;;Oi jk )(

Le vecteur AB ur a pour composantes xx yy zz

Démonstration

ABAO OB ur ur ur =+ (loi de Chasles)

=-+OAOB ur ur (opposé d’un vecteur)

=-OBOA ur ur (commutativité)

=x y z x y z B B B A A A (composantes d’un vecteur dont l’origine est l’origine du repère) =-xx yy zz BA BA BA (différence entre deux vecteurs)

EXERCICES

1. Dans le repère orthonormé de l’espace cidessous,

(a) donne les coordonnées des points

(b) place les points P(2; 2; –1), Q(–2; –1; 4) et R(0; 4; 1).

2. Dans un repère de l’espace, on considère les points A(4; –1; –5), B(7; 0; 2), C(–1; –2; 3) et D(0; 4; –8) et les vecteurs a =10 2 6 et b =1 4 3 .

(a) Calcule les composantes des vecteurs ,u v et w si r uAC =, va b =5 2 et ur ur BCD=+3 w

(b) Détermine les coordonnées du point P sachant que AP DA BC ur ur ur =+ 3 2 1 4 .

3. Dans le cube ABCDEFGH représenté cidessous, considérons le repère ;;; BBFBABC ur r r ()

(a) Donne les coordonnées de chaque sommet de ce cube.

(b) Place le point N 11 4 ;;1 .

4. Des parallélépipèdes rectangles à bases carrées sont tracés cidessous.

(a) Donne les coordonnées de tous les points nommés sur le schéma dans le repère DD DD CD E 2212222 1 ;;3; ur ur ur .

(b) Sur le schéma, place les points M, N et O sachant que :

I. EM CC BA 22311 1 6 ur ur r =-

II. NA CB FF 21123 2 ur ur ur =+

III. 2 3 1 11211332 AB BO AE CF ur ur ur ur +=-

5. Voici plusieurs cubes accolés.

(a) En considérant le repère ;;; AABADAE ur ur ur (),

I. donne les coordonnées des points D, L, M, N, O et P ;

II. place les points V et W qui ont respectivement pour coordonnées (2; 0; 0) et 35 2 ;;2 ;

III. donne les coordonnées de X sachant que EXDL CP ur r ru =+2 .

(b) Donne un représentant du vecteur u si ur r ur r OM CN PN +-+= 3 2 0 u .

(c) Écris les vecteurs LM ur , AL ur , ON ur , DE ur et PN ur comme une combinaison linéaire des vecteurs AB ur , AC ur et AE ur .

2. Applications des vecteurs de l’espace

DÉCOUVERTE 1

Activité 1 Norme d’un vecteur et distance entre deux points

Considérons les vecteurs v = 0 4 3 et w =3 2 6 représentés dans le repère orthonormé ;;;Oi jk )( cidessous.

1. Grâce à GeoGebra, on trouve que |||| v =5. Vérifiele algébriquement.

2. Calcule la norme du vecteur w .

3. Conjecture la formule qui permet de trouver la norme d’un vecteur x y z u u u = u

4. Déduisen la distance entre le point V et le point W.

Activité

Milieu d’un segment

Les points A, B et M sont placés dans le repère orthonormé ;;;Oi jk )( cidessous.

1. Sachant que leurs coordonnées sont des nombres entiers, donne les coordonnées des points A, B et M.

2. Comment auraistu pu trouver les coordonnées de M sur la base des coordonnées de A et B sachant que M est le point milieu du segment [AB] ?

THÉORIE

Propriété

Calcul de la norme d’un vecteur

Soit x y z u u u = u un vecteur placé dans un repère orthonormé de l’espace.

La norme du vecteur u vaut |||| xy z uu u =+222 u +

Corollaire

Calcul de la distance entre deux points

Soient A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB) deux points placés dans un repère orthonormé de l’espace.

La distance entre les points A et B vaut ||||||ABAB xx yy zz BA BA BA ==-+-+()()(-) 222 .

Exemple

Si, dans un repère orthonormé, A(4; –2; 1) et B(9; –4; –3), alors || AB =-+-+--== ()(())() 9442314535 222

Définition

Milieu d’un segment

Le point M est le milieu du segment [AB] si et seulement si AM MB ur ur = ou AMAB ur ur = 1 2 ou AM BM ur ur +=0

Propriété

Coordonnées du point milieu d’un segment

Soient A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB) deux points placés dans un repère de l’espace.

Les coordonnées du point M, milieu du segment [AB], sont M xx yy zz AB AB AB +++ 222 ;;

Exemple

Si, dans un repère orthonormé, A(4; –2; 1) et B(9; –4; –3), alors le point milieu M de [AB] est M

DÉCOUVERTE 2

Activité 1 Condition d’alignement de 3 points

Considérons le cube ABCDEFGH représenté cidessous, dans lequel chaque arête mesure 2 cm.

1. Place les points X, Y et Z tels que EXED ur = 1 2 , EYED ur =- et EZED ur = 3 2

Remarque : Tu peux réaliser l’exercice à l’aide de GeoGebra.

2. Comment sont les points X, Y, Z, D et E les uns par rapport aux autres ?

3. Soit P un point quelconque. Quelle relation vectorielle doit être respectée pour que les points A, B et P soient alignés ?

Tu viens de découvrir la condition d’alignement de 3 points.

Activité 2 Condition de coplanarité de 4 points

Soient le parallélépipède rectangle ABCDEFGH, M le point milieu de [AD], I tel que DIDC ur r = 2 3 et K, le point d’intersection entre AC et DB.

GÉOMÉTRIE

1. Quelle est la position relative des vecteurs AB ur , AD ur , AC ur , AM ur , AI ur et AK ur par rapport au plan ABC ?

2. Complète les pointillés par des nombres réels afin d’avoir l’égalité.

(a) AC ur = AB ur + AD ur

(b) AM ur = ⋅ AB ur + ⋅ AD ur

(d) AK ur = AB ur + AD ur

3. Les points donnant les extrémités des vecteurs dans l’énoncé précédent sont tous dans le plan ABC. Soit P un point quelconque. Quelle relation vectorielle doit être respectée pour que les points A, B, C et P appartiennent tous au plan ABC ?

πG

Lorsque 4 points appartiennent à un même plan, on dit qu’ils sont coplanaires

Tu viens de découvrir à la question 3 le critère de coplanarité de 4 points.

THÉORIE

Définition

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v == v u u ou .

Propriété

Condition d’alignement de trois points

Soient A, B et C trois points distincts.

A, B et C sont alignés si et seulement si AB ur et AC ur sont colinéaires ; si et seulement s’il existe un réel k tel que AC kAB ur ur = .

Propriété

Condition de parallélisme de deux droites

Soient A, B, C et D quatre points distincts.

AB et CD sont parallèles si et seulement si AB ur et CD ur sont colinéaires ; si et seulement s’il existe un réel k tel que AB kCD ur ur =

Propriété

Parallélogramme et relation vectorielle

Soient A, B, C et D quatre points non alignés.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB DC ur ur =

Remarque

Dire que AB DC ur ur = revient à dire que AD BC ur ur = , que BACD ur r = et que DA CB ur ur =

Définition

Points coplanaires

Des points sont coplanaires sʼils appartiennent à un même plan.

Propriété

Condition de coplanarité de quatre points

Soient A, B et C trois points non alignés et D un point.

A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si AD ur est une combinaison linéaire de AB ur et AC ur ; si et seulement s’il existe deux réels k et l tels que AD kABl AC ur ur ur =+

Exemple

Les points A, F, K et M sont coplanaires car AK

Remarque

Si A, B et C sont alignés, alors quel que soit le point D, les points A, B, C et D sont coplanaires.

DÉCOUVERTE 3

Activité

Condition d’orthogonalité de deux vecteurs

Considérons le cube représenté cidessous où A(1; 0; 0), C(2; 7; 0), F(5; 3; 5) et H(–2; 4; 5).

(5; 3; 5) ; 5) 2 4

(1; 0; 0)

(5; 3; 0) C(2; 7; 0) E(1; 0; 5) (–2; 4; 0) H(–2; 4; 5) G(2; 7; 5) 6

1. Calcule les composantes des vecteurs r AC = u et ur HF

2. Montre que x u ⋅ x v + yu ⋅ yv + z u ⋅ z v = 0.

3. Comment sont les droites AC et HF l’une par rapport à l’autre ? Aidetoi de l’animation GeoGebra en scannant le code QR cicontre.

πG

Deux vecteurs u x y z u u u = et v x y z v v v sont orthogonaux à condition que x

4. Donne deux autres vecteurs orthogonaux dont les extrémités sont des sommets du cube et vérifie la condition d’orthogonalité.

THÉORIE

Définition

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

• u =0 ou

• v =0 ou

• uv et sont des vecteurs directeurs de deux droites perpendiculaires.

Exemple

Soit le parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Les vecteurs AB ur et HD ur sont orthogonaux.

Propriété

Condition d’orthogonalité de vecteurs

Soient u x y z u u u = et v x y z v v v = deux vecteurs.

u et v sont orthogonaux si et seulement si x u ⋅ x v + yu ⋅ yv + z u ⋅ z v = 0.

Exemple

Soient =1 2 6 u et = 10 4 3 v . u et v sont orthogonaux car 1 ⋅ 10 + 2 ⋅ 4 + (–6) ⋅ 3 = 10 + 8 – 18 = 0.

Remarque

Soient A, B, C et D quatre points distincts. Les vecteurs AB ur et CD ur sont orthogonaux si et seulement si les droites AB et CD sont orthogonales.

EXERCICES

1. Considérons les points A(4; 9; –3), B(12; 4; 0), C(–20; 24; –12) et D(6; 14; 0) placés dans un repère orthonormé.

(a) Vérifie si les points A, B et C sont alignés.

(b) Vérifie si les droites AB et CD sont orthogonales.

2. Considérons les points A(1; 11; –1) et B(0; 6; –3) placés dans un repère orthonormé d’origine O.

(a) Calcule la distance entre A et B.

(b) Calcule les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].

(d) Détermine l’abscisse et la cote du point D d’ordonnée 201 si les points A, B et D sont alignés.

(e) Détermine les valeurs possibles de a et b si les droites OB et EA, où E(a; b; –15), sont parallèles.

(f) Détermine les coordonnées du point F sachant que B est le point milieu de [AF].

(g) Le vecteur =2 6 16 u estil orthogonal au vecteur AB ur ? Justifie.

3. Dans un repère orthonormé, on place les points W(–11; 6; 4), X(5; 3; 5), Y(2; 7; 0) et Z(–2; 4; 5).

(a) Détermine si le triangle XYZ est équilatéral.

(b) Les droites XY et WZ sontelles parallèles ? Justifie.

4. Détermine la valeur du réel a afin que les vecteurs a =2 5 1 u et = -7 8 5 v soient orthogonaux.

5. La figure suivante est formée à l’aide de quatre cubes isométriques.

(a) Utilise le critère de coplanarité de 4 points pour montrer que les points donnés appartiennent à un même plan.

I. A, C, J et K.

II. B, E, L et R

III. E, L, N et P.

(b) À quelle droite appartient le point S si NSJN ur ur =13 ? Justifie.

6. Dans un repère orthonormé de l’espace sont placés les points P(1; 7; 9), J(2; –1; 3) et T(t2 – 1; t; 0) où t ∈ °. Détermine les valeurs que peut prendre t afin que le triangle PJT soit rectangle en J.

7. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2; 1; 1), B(–6; 3; –1), C(–25; 10; 1) et D(19; –1; 12). Montre que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.

3. Équations de droites dans l’espace

DÉCOUVERTE 1

Activité 1 Du plan à l’espace

Considérons l’équation x = 2.

1. Dans un repère du plan, quel objet géométrique cette équation représentetelle ?

2. Plaçonsnous maintenant dans un repère de l’espace.

(a) Donne plusieurs points de l’espace qui vérifient l’équation x = 2.

(b) À l’aide de GeoGebra 3D, I. place les points trouvés en (a) dans un repère de l’espace ; II. construis l’objet d’équation x = 2.

πG

Tu viens de découvrir qu’une équation de droite dans un repère du plan n’est pas une équation de droite dans un repère de l’espace.

Activité 2 Différentes équations ou systèmes d’équations d’une droite dans l’espace

Soit la droite d passant par les points A(–1; 1; 2) et B(5; 3; 1).

1. Place un point quelconque P de coordonnées (x; y; z) qui appartient à cette droite.

2. Comment doivent être les points A, B et P pour que P appartienne à la droite AB ?

3. Décrisle par les relations demandées.

P(x; y; z) ∈ d ⇔ … (relation vectorielle)

⇔ … (réécriture en termes de composantes)

⇔ … (réécriture à l’aide d’un système)

⇔ … (réécriture en isolant le paramètre k dans les équations)

⇔ (réécriture en éliminant le paramètre k)

Nous venons d’exprimer, par plusieurs équations (ou systèmes d’équations) qu’un point

P(x; y; z) appartient à la droite d.

La droite d est donc l’ensemble des points du plan (x; y; z) qui vérifient l’une de ces équations (ou système d’équations), autrement dit l’ensemble (;;)| xy z xy z R 31 6 1 2 2 1 + == –––.

On dira donc que xy z = 1 6 1 2 +2 ––1 –est un système d’équations cartésiennes de la droite d. Cette équation décrit l’ensemble des points de l’espace (x; y; z) qui vérifient l’égalité xy z + –== 1 6 1 2 2 1

De plus, on dira que :

• AP kAB = où k ∈ ° est une équation vectorielle de la droite d ;

• xk yk zk + =+ 16 12 2 ––où k ∈ ° est un système d’équations paramétriques de la droite d

THÉORIE

Soient A et B deux points de l’espace distincts. Un point P quelconque de l’espace appartient à la droite AB si et seulement s’il est aligné avec les points A et B.

L’alignement des points A, B et P se traduit vectoriellement par :

Vocabulaire

On dira que le vecteur AB u = u 0 est un vecteur directeur de la droite AB.

Remarques

• Tout multiple non nul de u est également un vecteur directeur de la droite AB.

• Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

• Une droite est entièrement déterminée par un point lui appartenant et l’un de ses vecteurs directeurs.

Définition

Équation vectorielle d’une droite de l’espace

Soit P un point quelconque de la droite d

Une équation vectorielle de la droite d de vecteur directeur u comprenant le point A est : dP k A u = = où k ∈ °.

Remarque

Comme il existe une infinité de points appartenant à une droite et une infinité de vecteurs directeurs décrivant cette droite, on aura également une infinité d’équations décrivant la même droite.

Définition

Système d’équations paramétriques d’une droite de l’espace

Un système d’équations paramétriques de la droite d de vecteur directeur u x y z u u u = comprenant le point A(xA; yA; zA) est :

Lien entre une équation vectorielle et un système d’équations paramétriques d’une droite

Soient A(xA; yA; zA) un point de d et u x y z u u u = un vecteur directeur de d.

Soit P(x; y; z) un point quelconque de d.

Développons, en termes de composantes, une équation vectorielle de d : dAPk u = = où k ∈ ° d

x y z kx ky kz A A A u u u = -= où k ∈ ° d x y z x y z kx ky kz A A A u u u = =+ où k ∈ ° d x y z xk x yk y zk z Au Au Au = = + + + où k ∈ °

Définition

Système d’équations cartésiennes d’une droite de l’espace

Un système d’équations cartésiennes de la droite d de vecteur directeur

yu ≠ 0 et z u ≠ 0, comprenant le point A(xA; yA; zA) est :

Lien entre un système d’équations paramétriques et un système d’équations cartésiennes d’une droite

Soient A(xA; yA; zA) un point de d et u x y

= un vecteur directeur de d tel que x u

Soit P(x; y; z) un point quelconque de d.

Isolons le paramètre k dans un système d’équations paramétriques de d :

Remarque

On parle d’un système d’équations cartésiennes d’une droite car d

revient à dire que d

Exemple

Soit la droite d de vecteur directeur u = 2 –4 5 et passant par le point A(–1; 0; 9).

Soit P(x; y; z) ∈ d.

• Une équation vectorielle de la droite d s’écrit dAPk u = = où k ∈ °.

x yy y zz z A u A u

• Un système d’équations paramétriques de la droite d s’écrit dy k zk = = =+ x =–1+2k –4 95 où k ∈ °.

• Un système d’équations cartésiennes de la droite d s’écrit d x y z = + == 124 9 5-

DÉCOUVERTE 2

Activité Équations cartésiennes de droites particulières

1. Considérons la droite d1 passant par les points A(–1; 3; 1) et B(–1; –2; 2,5).

(a) Donne un vecteur directeur de la droite d1.

(b) Écris un système d’équations paramétriques de la droite d1

(c) Élimine le paramètre k du système d’équations paramétriques donné en (b) pour en déduire un système d’équations cartésiennes de d1.

(d) Quelle est la position relative de la droite d1 par rapport au plan Oyz ?

Vérifiele à l’aide de l’animation GeoGebra disponible en scannant le code QR cicontre.

Tu viens de découvrir que lorsqu’un vecteur directeur d’une droite a exactement une de ses composantes qui est nulle, alors la droite est parallèle au plan défini par les deux axes correspondant aux composantes non nulles.

GeoGebra

2. Considérons la droite d2 passant par les points C(–1; 3; 1) et D(–1; 3; 3).

(a) Donne un vecteur directeur de la droite d2.

(b) Écris un système d’équations paramétriques de la droite d2.

(c) Élimine le paramètre k du système d’équations paramétriques donné en (b) pour en déduire un système d’équations cartésiennes de d2

(d) Quelle est la position relative de la droite d2 par rapport à l’axe Oz ?

πG

Tu viens de découvrir que lorsqu’un vecteur directeur d’une droite a exactement deux de ses composantes qui sont nulles, alors la droite est parallèle à l’axe correspondant à la composante non nulle.

THÉORIE

Propriété

Systèmes d’équations cartésiennes de droites particulières

Soit la droite d de vecteur directeur u x y z u u u = comprenant le point A(xA; yA; zA).

• Si x u = 0, yu ≠ 0 et z u ≠ 0, alors un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d xx yy y zz z A A u A u = == -

La droite d est alors parallèle au plan Oyz.

• Si x u ≠ 0, yu = 0 et z u ≠ 0, alors un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d yy xx x zz z A A u A u = == -

La droite d est alors parallèle au plan Oxz.

• Si x u ≠ 0, yu ≠ 0 et z u = 0, alors un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d zz xx x yy y A A u A u = == -

La droite d est alors parallèle au plan Oxy.

• Si x u = 0, yu = 0 et z u ≠ 0, alors un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d xx yy A A = = = .

La droite d est alors parallèle à l’axe Oz

• Si x u = 0, yu ≠ 0 et z u = 0, alors un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d xx zz A A = = =

La droite d est alors parallèle à l’axe Oy.

• Si x u ≠ 0, yu = 0 et z u = 0, alors un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d yy zz A A

La droite d est alors parallèle à l’axe Ox

EXERCICES

1. Considérons les points U(5; –2; –3) et V(–1; 0; 6) placés dans un repère orthonormé.

(a) Détermine une équation vectorielle, un système d’équations paramétriques et un système d’équations cartésiennes de la droite UV

(b) Calcule les coordonnées du point C appartenant à la droite UV d’abscisse 35.

2. Considérons la droite d de vecteur directeur u = –5 3 1 et comprenant le point V(2; –8; 20).

(a) Donne un vecteur directeur de d, différent de u

(b) Donne un système d’équations cartésiennes de la droite d.

3. Soit la droite d xk yk z = === 221 32 10 où k ∈ °.

(a) Donne un autre système d’équations paramétriques de d.

(b) Donne un système d’équations cartésiennes de d.

4. Pour chaque droite, détermine deux de ses vecteurs directeurs et deux points lui appartenant.

(a) d x y z 1 6 4 10 5 15 ==+= +

(b) d xy z 2 26 3 4 3 31 = + ==-

(d) d y z 4 5 100 = ==

(e) d xk yk zk 5 3 28 730 = = = =où k ∈ °

(f) d z y x 6 2 214 0 = -= += = où μ ∈ °

5. Sur la base de leur représentation graphique, détermine un système d’équations cartésiennes des droites d1 et d2.

6. Dans un repère orthonormé de l’espace, représente la droite considérée.

(a) d x yk z 1 2 1 = == = où k ∈ °

(b) dAPk AB 2 = ur ur = où k ∈ °, A(1; –2; 2) et B(5; –2; 2)

4. Équations de plans dans l’espace

DÉCOUVERTE 1

Activité Différentes équations ou systèmes d’équations d’un plan dans l’espace

Soient les points A(–1; –4; 3), B(–2; 1; –1) et C(–1; –3; –2).

1. Justifie mathématiquement que les points A, B et C forment bien un plan.

2. Considérons un point quelconque P de coordonnées (x; y; z) appartenant au plan ABC.

(a) Comment doivent être les points A, B, C et P pour que P appartienne au plan ABC ?

(b) Décrisle par les relations demandées.

P(x; y; z) ∈ ABC ⇔ …

⇔

⇔ …

⇔

πG

(relation vectorielle)

(réécriture en termes de composantes)

(réécriture à l’aide d’un système)

(réécriture en isolant le paramètre k dans la première équation pour le remplacer dans les deuxième et troisième équations)

(réécriture en isolant le paramètre l dans la deuxième équation pour le remplacer dans la troisième équation)

(réécriture en éliminant les paramètres k et l)

Nous venons d’exprimer, par plusieurs équations (ou systèmes d’équations), qu’un point

P(x; y; z) appartient au plan ABC.

Le plan ABC est donc l’ensemble des points du plan (x; y; z) qui vérifient l’une de ces équations (ou système d’équations), autrement dit l’ensemble {(x; y; z) ∈ °3 | –21x – 5y – z – 38 = 0}.

On dira donc que –21x – 5y – z – 38 = 0 est une équation cartésienne du plan ABC. Cette équation décrit l’ensemble des points de l’espace (x; y; z) qui vérifient l’égalité –21x – 5y – z – 38 = 0.

De plus, on dira que AP kABl AC ur ur ur =+ où k, l ∈ ° est une équation vectorielle du plan ABC et que x =–1– k y =–4+5k + l z =3–4k –5l où k, l ∈ ° est un système d’équations paramétriques du plan ABC.

THÉORIE

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.

Un point P quelconque de l’espace appartient au plan ABC si et seulement s’il est coplanaire avec les points A, B et C

La coplanarité des points A, B, C et P se traduit vectoriellement par : kl AP kABl AC ,, =+

P3 si k = 1, l = 3 4 , l = 5 3 si k = 1 2 , l = 1 3

2 si k = 5 4 –

On dira que les vecteurs AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan ABC.

Définition

Vecteur directeur d’un plan

Un vecteur directeur d’un plan est un vecteur dont l’origine et l’extrémité sont deux points distincts de ce plan.

Remarques

• Tout plan admet une infinité de vecteurs directeurs qui ne sont pas forcément colinéaires entre eux.

• Tout vecteur non nul obtenu par une combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs d’un plan est un vecteur directeur de ce plan.

Propriété

Caractérisation d’un plan

Un plan est entièrement déterminé par un point lui appartenant et par deux de ses vecteurs directeurs non colinéaires.

Remarque

Un point et un seul vecteur directeur ne permettent pas de définir un unique plan.

Contre-exemples

Scanne le code QR cicontre pour voir les contreexemples de façon animée.

Définition

Équation vectorielle d’un plan

Soit P un point quelconque du plan α. Une équation vectorielle du plan α de vecteurs directeurs u et v non colinéaires comprenant le point A est :

Remarque

Comme il existe une infinité de points appartenant à un plan et une infinité de vecteurs directeurs non colinéaires décrivant ce plan, on a également une infinité d’équations décrivant le même plan.

Définition

Système d’équations paramétriques d’un plan dans l’espace

Un système d’équations paramétriques du plan α de vecteurs directeurs u x y z u u u = et v x y z v v v = non colinéaires comprenant le point A(xA; yA; zA) est :

Lien entre une équation vectorielle et un système d’équations paramétriques d’un plan

Soient A(xA; yA; zA) un point de α et u

et v

deux vecteurs directeurs non colinéaires de α.

Soit P(x; y; z) un point quelconque de α Développons, en termes de composantes, une équation vectorielle de α : = AP ku lv =+ où k, l∈ ° =

GeoGebra

Définition

En éliminant les paramètres k et l d’un système d’équations paramétriques du plan α, on trouve une équation cartésienne du plan α. Équation cartésienne d’un plan dans l’espace

Une équation cartésienne du plan α s’écrit α ≡ ax + by +

Remarque

Réciproquement, toute équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où a,

est une équation d’un plan dans l’espace.

Exemple

Soient A(1; 1; 1), B(2; 0; 3) et C(0; 3; 5) trois points non alignés.

AB = 1 –1 2 et AC = –1 2 4 sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de ABC

Soit P(x; y; z) ∈ ABC

• Une équation vectorielle du plan ABC s’écrit ABCAPk AB lAC = =+ où k, l ∈ °

• Un système d’équations paramétriques du plan ABC s’écrit ABC xk l yk l zk l = =+=-+ =++ 1 12 124 où k, l ∈ °

• Éliminons les paramètres k et l du système d’équations paramétriques du plan ABC :

ABC xk l yk l zk l = =+=-+ =++ 1 12 124 où k, l ∈ °

ABC kx l yx ll zx ll = =-+ =--++ =+-++ 1 112 1214 () () où k, l ∈ °

ABC kx l yx l zx l = =-+ =-+ =-++ 1 2 126 où k, l ∈ °

Une équation cartésienne du plan ABC s’écrit donc ABC ≡

DÉCOUVERTE 2

Activité Vecteur normal d’un plan

Considérons les plans α ≡

1. Pour chaque plan, donne deux points lui appartenant.

2. Détermine la représentation graphique de chaque plan.

3. L’équation de chaque plan peut être écrite sous la forme ax + by + cz + d = 0. Pour chacun des plans, détermine les composantes du vecteur a b c .

4. Compare chaque vecteur trouvé au point 3 au vecteur placé sur la représentation du graphique du plan correspondant.

5. Comment le vecteur placé sur chaque représentation graphique estil par rapport au plan auquel il est associé ?

6. Que peuxtu en conclure ?

πG

Tu viens de découvrir que si α ≡ ax + by + cz + d = 0, alors n a b c = est un vecteur orthogonal au plan α. n est appelé un vecteur normal de α.

7. Quelle est la position relative du plan β par rapport au plan Oxz ?

πG

Tu viens de découvrir que si un plan a pour équation y = k où k ∈ °, alors ce plan est parallèle au plan Oxz

THÉORIE

Déterminer une équation cartésienne d’un plan à l’aide d’un vecteur normal au plan

Définition

Vecteur normal

n est un vecteur normal d’un plan si n est non nul et orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan.

Remarques

• Cela implique que si x y z u u u = u et x y z v v v = v sont deux vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan, alors n a b c = est un vecteur normal de ce plan si et seulement si n 0 et ax by cz ax by cz uu u vv v ++= ++= 0 0

• Si n est un vecteur normal d’un plan, alors tout multiple non nul de n est aussi un vecteur normal de ce plan.

Propriété

Lien entre un vecteur normal et une équation cartésienne d’un plan

Soit α un plan.

• Si α ≡ ax + by + cz + d = 0, alors a b c est un vecteur normal de α.

• Si a b c est un vecteur normal de α, alors il existe un réel d tel que α ≡ ax + by + cz + d = 0.

Exemple

Soit α ≡ 3x + 4y – 10z + 2 = 0.

Un vecteur normal de α est n =3 4 10

Remarque

Cela implique qu’un plan est entièrement déterminé par un point lui appartenant et un de ses vecteurs normaux.

Propriété

Équation cartésienne dʼun plan à partir dʼun vecteur normal et dʼun point

Une équation cartésienne du plan α de vecteur normal n a b c = et comprenant le point A(xA; yA; zA)

s’écrit α ≡ a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0.

Remarque

Cela implique que si le plan α de vecteur normal n a b c = comprend l’origine du repère, alors une

équation cartésienne du plan α s’écrit α ≡ ax + by + cz = 0.

Plans particuliers

Propriété

Plan parallèle à deux des axes du repère

Soit α un plan contenant le point A(xA; yA; zA). •

∥ Oxz ⇔ α ≡ y = yA

Oxy ⇔ α ≡ z = zA •

α ∥ Oyz ⇔ α ≡ x = xA

Exemples

Propriété

Plan parallèle à un des axes du repère

Soit α un plan.

Exemples

+ 4 = 0

2y + 2 = 0

EXERCICES

1. Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne le point H(–6; 9; –14) et les vecteurs = 4 0 1 u et =4 1 6 v . Donne une équation vectorielle, un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan α de vecteurs directeurs u et v et passant par le point H.

2. Considérons le plan α passant par les points A(10; 0; 1), B(12; 0; 0) et C(60; –4; 1).

(a) Donne une équation vectorielle, un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan α.

(b) Calcule l’ordonnée du point D appartenant à α dont l’abscisse vaut 3 et la cote vaut –8.

3. Donne un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan Oxy

4. Donne une équation cartésienne du plan α passant par le point T(1; –1; –2) et parallèle au plan Oyz

5. Les affirmations suivantes sontelles vraies ou fausses ? Justifie.

(a) Le point A 11 2 1 3 ;; appartient au plan α = 321 2 zy x =-+ .

(b) r u = 4 1 6 est un vecteur directeur du plan β ≡ x + 2y + 8 = z

6. Dans un repère orthonormé de l’espace, représente le plan considéré.

(a) α ≡ 4x + 6y + 3z – 12 = 0

(b) β ≡ 4x + 3z – 12 = 0

7. Considérons le plan β tel que β ≡ 5y + 2x – z + 6 = 0.

(a) Donne deux vecteurs normaux du plan β

(b) Détermine deux points appartenant à β.

(d) Donne un système d’équations paramétriques de β

8. Soit le plan = xk l yk l zk l =+=+

2 6 où k, l ∈ °

(a) Donne trois points distincts appartenant à γ

(b) Le point M(27; 10; 5) appartientil à γ ?

(d) Détermine une équation cartésienne de γ.

9. Détermine un système d’équations paramétriques du plan α sachant que les droites d1 et d2 d’équations respectives

11.

où l ∈ ° sont incluses dans le plan α

Sachant que A, B, C ∈ Oxy et D ∈ Oz, détermine une équation cartésienne des plans ABC, ABD et ACD.

Sachant que la droite d est contenue dans le plan α et que le point A appartient à α, détermine dans chaque cas si les données sont suffisantes pour définir le plan α. Si oui, donne un système d’équations paramétriques de α.

(a) d xy z = + == 2 3 13 511 et A(–23; 12; –77).

(b) d xy z = =+ =12 4 et A(–1; –2; 0).5. Parallélisme et orthogonalité

5. Parallélisme et orthogonalité

DÉCOUVERTE

Activité Condition de parallélisme et d’orthogonalité de droites et de plans 1. Considérons

cicontre.

(a) Donne un vecteur directeur de chacune de ces droites.

(b) Compare les vecteurs directeurs de d1 et d2. Déduisen la position relative de ces droites.

πG

• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Pour cela, on exploitera la condition d’orthogonalité de deux vecteurs.

GeoGebra

2. Considérons le plan α ≡ 5x + 3y – 4z – 15 = 0 et le plan β parallèle à α passant par B α, β et un vecteur normal de α sont représentés cidessous.

(a) Donne un vecteur normal de α

(b) Comment est le vecteur donné en (a) par rapport au plan β ?

(d) Comment doivent être les vecteurs normaux de deux plans pour que ces plans soient perpendiculaires ?

(e) Donne une équation cartésienne d’un plan γ perpendiculaire à α.

πG

• Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

• Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Pour cela, on exploitera la condition d’orthogonalité de deux vecteurs.

3. Considérons le plan α ≡ 40x – 60y – 20z – 1 = 0 et les droites d xk yk zk 1 42 13 = ==-+ = où k ∈ ° et d xl yl zl 2 111 45 102 = =+ ==où l ∈ °

(a) Donne les composantes de vecteurs n , u1 et u2 si n est un vecteur normal de α, u1 est un vecteur directeur de d1 et u2 est un vecteur directeur de d2

(b) Compare n et u1. Déduisen la position relative de d1 et de α et vérifie ta réponse à l’aide de leur représentation donnée en suivant le code QR cidessous.

GÉOMÉTRIE

Déduisen la position relative de d2 et de α et vérifie ta réponse à l’aide de leur représentation donnée en suivant le code QR cicontre.

πG

• Une droite et un plan sont parallèles si et seulement si un vecteur normal du plan est orthogonal à un vecteur directeur de la droite.

• Une droite et un plan sont perpendiculaires si un vecteur normal du plan est colinéaire à un vecteur directeur de la droite.

THÉORIE

Propriété

Condition de parallélisme et d’orthogonalité de deux droites

Soient d une

• d et d′ sont parallèles si et seulement si u et u sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que uk u = .

• d et d′ sont orthogonales si et seulement si u et u sont orthogonaux si et seulement si xx yy zz uu uu uu ++=0

Exemples

• Soient les droites d xy z == + = 24 7 9 12 2 et ′ d xy z = + = + = 1316 15 36 310 8 . u = 4 9 2 est un vecteur directeur de d et u = 16 36 8 est un vecteur directeur de d′ .

Comme uu = 1 4 , u et u sont colinéaires, donc d et d′ sont parallèles.

GeoGebra

• Soient les droites d xy z = + == 7 3 1 2 2 et d xk yk zk = =+ =-= 54 126 100 où k ∈ °. u = 3 2 0 est un vecteur directeur de d et u =4 6 100 est un vecteur directeur de d′

Comme 3⋅4 + 2⋅(–6) + 0⋅100 = 0, u et u sont orthogonaux, donc d et d′ sont orthogonales.

Propriété

Condition de parallélisme et de perpendicularité de deux plans

Soient α un plan de vecteur normal n a b c = et β un plan de vecteur normal n a b c = .

• α et β sont parallèles si et seulement si n et n sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que nk n =

Exemples

• α et β sont perpendiculaires si et seulement si n et n sont orthogonaux si et seulement si aa bb cc ++=0.

• Soient les plans α ≡ 25x + 5y – 10z + 97 = 0 et β ≡ –15x – 3y + 6z + 2 = 0. n =25 5 10 est un vecteur normal de α et n =15 3 6 est un vecteur normal de β.

Comme nn =–5 3 , n et n sont colinéaires, donc α et β sont parallèles.

• Soient les plans α ≡ 9x – y – 2z + 53 = 0 et β ≡ 2x + 8y + 5z + = 0.

n =-9 1 2 est un vecteur normal de α et n = 2 8 5 est un vecteur normal de β.

Comme 9 2 + (–1) 8 + (–2) 5 = 0, n et ′n ur sont orthogonaux, donc α et β sont perpendiculaires.

Propriété

Condition de parallélisme et de perpendicularité d’une droite et d’un plan

Soient d une droite de vecteur directeur u x y z u u u = et α un plan de vecteur normal n a b c = .

• d est parallèle à α si et seulement si u et n sont orthogonaux si et seulement si xa yb zc uu u ++=0.

• d est perpendiculaire à α si et seulement si u et n sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que uk n = . y x 1 2 3 4

Exemples

• Soient la droite d xk yk zk = ===532 52 124

Comme 521257 2 +-1240 ()+-= () , u et n sont orthogonaux, donc d est parallèle à α

• Soient la droite d xy z === 230 4 50 6 70 et le plan α ≡ 3x + 5y + 7z – 1 = 0. u = 30 50 70 est un vecteur directeur de d et n = 3 5 7 est un vecteur normal de α.

Comme un =10 , u et n sont colinéaires, donc d est perpendiculaire à α.

Remarque

Nous parlons de perpendicularité entre deux plans ou entre une droite et un plan, car s’ils sont orthogonaux, ils ne sont pas parallèles, donc leur position relative nous assure qu’ils sont forcément sécants. Cela n’est pas le cas pour deux droites.

EXERCICES

1. Les affirmations suivantes sontelles vraies ou fausses ? Justifie.

(a) Les plans α ≡ 4y – 8x – 320z + 12 = 0 et β ≡ y = 2x + 80z – 16 sont parallèles.

(b) Les plans α ≡ x – 2y + 3z – 4 = 0 et β ≡ 4z + 5y – 2x – 64 = 0 sont perpendiculaires.

(d) La droite d xy z == + = 7+ 3 231 5 322 2 et la droite d xz y = + = + =4 4 13 6 36 sont orthogonales.

2. Considérons le plan β ≡ –2x + 4z + 1 = 0.

(a) Détermine une équation cartésienne du plan α passant par le point A 245671 ;;2 - et parallèle au plan β

(b) Détermine un système d’équations cartésiennes de la droite d passant par le point D(42; –5; 1) et perpendiculaire au plan β

3. Détermine un système d’équations cartésiennes de la droite d passant par le point (4; –100; –16) et parallèle à la droite d xk yk zk = =+ =+ =+ 13 22 3 où k ∈ °

4. Sachant que Z(–30; 4; 0) appartient au plan α et que α est perpendiculaire à la droite d xy z = 51 10 3 4 12 12==, détermine une équation cartésienne de α

5. Donne une équation cartésienne du plan α passant par le point (700; 861; –125) sachant que α est parallèle au plan Oxz

6. Quelle est la position relative de la droite d xy z == + =1 2 27 6 1 par rapport au plan α ≡ 2x – 2y – 2z + 2 = 0 ? Justifie.

7. Considérons les plans α et β tels que α ≡ 76x + 10y + z – 128 = 0 et β ≡ 32x + y – 6z – 25 = 0.

(a) Montre que α et β sont sécants.

(b) Détermine un système d’équations paramétriques de la droite définie par leur intersection et vérifie ta réponse à l’aide de GeoGebra.

6. Intersections de droites et de plans

DÉCOUVERTE

Activité Recherche d’une intersection à l’aide d’un système

1. Considérons le système

(a) Résous ce système.

(b) Que représente, dans l’espace, chaque équation de ce système ?

2. Considérons la droite d

(a) Quel système fautil résoudre pour trouver l’intersection de d et de α ?

(b) Résous ce système afin de trouver l’intersection de d et de α et déduisen la position relative de la droite d et du plan α.

THÉORIE

Méthodo

Déterminer l’intersection de droites et/ou de plans

Déterminer algébriquement l’intersection de droites et/ou de plans revient à résoudre un système constitué des équations des droites et/ou des plans considérés.

GeoGebra

Exemples

• Considérons les

Donc α ∩ β ∩ γ = {( –2; –1; 4)}. α, β et γ s’intersectent en un point et sont sécants deux à deux.

• Considérons le plan α ≡ x + 2y – 6z + 28 =

(1) (2) (3) (4) (4) devient : –2 + k – 4 + 6k – 48 + 6k + 28 = 0 ⇔ 13k – 26 = 0 ⇔ k = 2.

Comme k = 2, alors x y

En conclusion, d ∩ α = {(0; 4; 6)}. Cela implique que la droite d est sécante à α

Propriété

Lien entre intersection et position relative

• L’intersection d’une droite d et d’un plan α permet de trouver leur position relative :

• d ∩ α = ∅ ⇔ d est parallèle distincte à α ;

• d ∩ α = {P} ⇔ d est sécante à α en P ;

• d ∩ α = d ⇔ d est incluse dans α.

• Si deux droites n’ont pas d’intersection, alors ces droites sont soit gauches, soit parallèles distinctes.

• Calculer l’intersection de trois plans ne suffit pas à déterminer leur position relative.

EXERCICES

1. Dans chaque cas, calcule les coordonnées de l’éventuel point de percée de la droite d et du plan α et déduisen leur position relative.

(a) d xk yk

(b) d xy z =

(d) d x yz = +=+=-10 3 59 et α ≡ 2x + y – 5z – 20 = 0

2. Voici trois droites : d xk yk zk 1 26 23 1445 = =-+ =+ =+ , où k ∈ °, d

(a) Détermine la position relative des droites d1 et d2 et précise leur intersection.

(b) Montre que d1 et d3 sont sécantes et précise les coordonnées de leur point d’intersection.

3. Calcule l’intersection entre les plans α, β et γ cidessous et interprète ce résultat en termes de positions relatives. Vérifie tes réponses à l’aide de GeoGebra.

(a) α ≡ x – 5y + 3z + 8 = 0, β ≡ 2x – 9y – 9z + 19 = 0 et γ ≡ 3x – y + 6z – 3 = 0

(b) α ≡ 25x – 6y + z – 1 = 0, β ≡ 32x + 18y – 3z + 72 = 0 et γ ≡ 7x + 30y – 5z – 67 = 0

(d) α ≡ 3x + 4y + 49 = 0, β ≡ x – y + 3z – 10 = 0 et γ ≡ 2x – 4y + 2z – 36 = 0

(e) α ≡ x + 2y – 6z = –28, β ≡ 3x – 4y + 2z = 6 et γ ≡ –5x + 4y + 2z = 14

4. Considérons le plan α d’équation 2x + 5y – 3z – 60 = 0. Donne un système d’équations cartésiennes d’une droite sécante à α dont le point de percée de cette droite dans α a pour abscisse 2 et pour cote 8.

5. Pour la journée portes ouvertes de leur école, les 120 élèves de rhéto doivent s’inscrire à l’un des ateliers suivants : atelier scientifique, linguistique ou littéraire. Le nombre de rhétos inscrits à l’atelier scientifique est égal à la somme du nombre de rhétos inscrits aux deux autres ateliers.

L’atelier littéraire compte 8 inscrits de moins que l’atelier linguistique.

Détermine le nombre d’élèves inscrits à chaque atelier.

6. Une marque hightech vend trois modèles différents de casques audio : un casque filaire au prix de 100 €, un casque Bluetooth au prix de 160 € et un casque gaming au prix de 190 €.

Samedi dernier, 57 casques ont été vendus pour un total de 9 960 €. Sachant qu’il y a 2 fois plus de casques gaming qui ont été vendus que de casques filaires et Bluetooth réunis, détermine le nombre de casques gaming vendus ce jourlà.

Synthèse

Repère de l’espace et composantes d’un vecteur de l’espace

Soit () ;;;Oi jk un repère de l’espace.

• Ce repère est dit orthonormé si les axes sont perpendiculaires deux à deux et si ||||||||| ||| ij k ===1

• Si ux iy jz k uu u =++ , alors le vecteur u a pour composantes x y z u u u

• Si Ax AAyz A () ;; et Bx BByzB (;;) sont deux points de l’espace, alors le vecteur AB a pour composantes

• Opérations sur les vecteurs en termes de composantes :

Soient u x y z u u u = et v x y z v v v = deux vecteurs de l’espace et k un réel.

• Les vecteurs u et v sont égaux si xx yy uv uv = =

• La somme des vecteurs u et v vaut uv

• Le vecteur nul, noté 0 , a pour composantes 0 0 0

• L’opposé du vecteur u est -=-u x y z u u u .

• La différence des vecteurs u et v vaut uv

• La multiplication du vecteur u par le réel k vaut ku = kx ky kz u u u

Propriétés et applications des vecteurs de l’espace

• Dans un repère orthonormé de l’espace, la norme du vecteur u x y z u u u ur = vaut u xy z uu u ur =++222

• Dans un repère orthonormé de l’espace, la distance entre les points A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) vaut

AB xx yy zz BA BA BA =-+-+-()()() 222

• Le point M est le milieu du segment [AB] si et seulement si AM MB ur ur = ou AMAB ur ur = 1 2 ou AM BM ur ur r +=0.

Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors les coordonnées du point M, milieu du segment [AB], sont

M xx yy zz AB AB AB +++ 222 ;;

• Soient A, B, C et D quatre points distincts non alignés.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB DC ur ur =

• Les vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que uk v ou v = k u =

• Les points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que AC kAB = .

• Soient A, B, C et D quatre points distincts.

AB et CD sont parallèles si et seulement si AB ur et CD sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que AB kCD =

• Les vecteurs u et v sont orthogonaux si u =0, si v =0 ou si uv ur ur et sont des vecteurs directeurs de deux droites perpendiculaires.

• Condition d’orthogonalité de vecteurs : les vecteurs u x y z u u u ur = et v x y z v v v ur = sont orthogonaux si et seulement si x u x v + yu yv + z u z v = 0.

• Condition de coplanarité de quatre points : soient A, B et C trois points non alignés et D un point. Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels k et l tels que AD kABl AC =+

Équations d’une droite dans l’espace

Soient A(xA; yA; zA) un point de d et u x y z u u u = un vecteur directeur de d

Soit P(x; y; z) un point quelconque de d

• Une équation vectorielle de d s’écrit dP k u A = = où k ∈ °

• Un système d’équations paramétriques de d s’écrit d

• Un système d’équations cartésiennes de d s’écrit d

• Équations cartésiennes de droites particulières

où k ∈ °

yy y zz

* Sans être parallèle à un axe du repère.

Équations d’un plan dans l’espace

Soient A(xA; yA; zA) un point de α et u

= et v

Soit P(x; y; z) un point quelconque de α.

deux vecteurs directeurs non colinéaires de α.

• Une équation vectorielle de α s’écrit = APk l u v =+ où k, l ∈ °.

• Un système d’équations paramétriques de α s’écrit = xk l yk l zk l x y z x y z x y z A A A u u u v v v =++ =++ =++ où k, l ∈ °

• Une équation cartésienne de α s’écrit α ≡ ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c, d ∈ ° et a b c 0 0 0 un

vecteur normal de α.

Pour déterminer une équation cartésienne d’un plan, il y a 2 méthodes possibles :

1. éliminer les paramètres k et l d’un système d’équations paramétriques de α ;

2. déterminer un vecteur normal n a b c ur = au plan α qui vérifie donc ax by cz ax by cz uu u vv v ++= ++= 0 0 .

• Équations cartésiennes de plans particuliers

∥ Oxy

∥ Oxz

Parallélisme et orthogonalité

Parallélisme

Orthogonalité

Entre deux droites de vecteurs directeurs respectifs

u x y z u u u ur = et u x y z u u u ur = u ur et ′u ur sont colinéaires k u ku ° , ur ur = u ur et ′u ur sont orthogonaux

Entre deux plans de vecteurs

normaux respectifs n a b c ur = et n a b c ur = n ur et ′n ur sont colinéaires kn kn ° , ur ur = n ur et ′n ur sont orthogonaux a ⋅ a′ + b

Entre une droite de vecteur

directeur u x y z u u u ur = et un plan de vecteur normal n a b c ur = u ur et n ur sont orthogonaux

u ur et n ur sont colinéaires k u kn ° , urur =

Intersection de droites et/ou de plans

• Déterminer algébriquement l’intersection de droites et/ou de plans revient à résoudre un système constitué des équations des droites et/ou des plans considérés.

• L’intersection d’une droite d et d’un plan α permet de trouver leur position relative :

• d ∩ α = ∅ ⇔ d est parallèle distincte à α ;

• d ∩ α = {P} ⇔ d est sécante à α en P ;

• d ∩ α = d ⇔ d est incluse dans α

• Si deux droites n’ont pas d’intersection, alors ces droites sont soit gauches, soit parallèles distinctes.

• Calculer l’intersection de trois plans ne suffit pas à déterminer leur position relative.

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Considérons la figure suivante et le repère orthonormé (;;;) Oi jk

(a) Donne les coordonnées des points A, H, M, O, S et T

(b) Place les points X et Y si OX TS AM

et YM

2. Représente un cube ABCDEFGH puis, dans le repère AADABAE ;;;

(a) donne les coordonnées de chacun de ses sommets ;

(b) place les points L 001 ;;2 , M(1; 1; 1) et N(–1; 0; 2) ;

=-+ 1 2 35 .

3. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(–4; –7; 0), B(1; –5; –3), C(3; –17; 5), D(11; –1; –9) et E(3; –8; 5).

(a) Calcule la distance entre les points A et B

(b) Vérifie si les points A, B et D sont alignés.

(d) Donne les valeurs des réels a et b sachant que les droites CF et AD sont parallèles et que F a pour coordonnées (a; –13; b).

(e) Détermine les coordonnées du point R si B est le point milieu de [RD].

(f) Calcule les coordonnées du point V afin que ABEV soit un parallélogramme.

(g) Le triangle ABC estil rectangle en A ? Justifie.

(h) Détermine une équation vectorielle, un système d’équations paramétriques et un système d’équations cartésiennes de la droite AB.

(i) Détermine un système d’équations paramétriques de la droite d passant par le point C et parallèle à la droite AB.

(j) Détermine un système d’équations cartésiennes de la droite CE.

(k) Détermine une équation vectorielle, un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan

4. Dans un repère de l’espace, représente la droite et les plans suivants.

(a) d y z = = = 1 2 d y z = = = 1 2 (b) α ≡ y + 2z + 2 = 0 (c) β ≡ x = –3

5. Cidessous sont représentés la droite d passant par E et parallèle à la droite AB ⊂ Oxy, le point Z ∈ Oz et le plan α défini par les points M, N et L

(a) Détermine un système d’équations paramétriques de d.

(b) Détermine une équation cartésienne du plan α.

(d) Détermine le réel x si L, M, N et O(x; 0; 6) sont coplanaires.

6. Considérons les droites d x y z = + =+= 93 49 12 4 et d′ ≡

(a) Détermine si le point A(–5; 2; 4) appartient à d

(b) Détermine un système d’équations cartésiennes de la droite d1 parallèle à d et passant par le point B(7; –5; –17).

(d) Détermine la position relative de la droite d′ et du plan α ≡ 2x + 3y + 4z + 5 = 0.

(e) Détermine une équation cartésienne du plan β perpendiculaire à d′ et passant par le point C(–1; –100; 6).

(f) Démontre que les droites d et d′ sont coplanaires.

7. Considérons le plan α ≡ 3z + 6y + 5x – 30 = 0.

(a) Le vecteur m = 20 3 8 4 estil un vecteur normal de α ?

(b) Détermine la cote du point A appartenant à α si son abscisse est –2 et son ordonnée est 15.

(d) Détermine un système d’équations paramétriques de α.

(e) Détermine la position relative du plan α et du plan β ≡ 3x + 2y + 2 = z.

(f) Montre que la droite d

où k ∈  est incluse dans le plan α.

8. Soit la droite d passant par le point I(3; 14; 0) et par le milieu du segment joignant les points R(–1; 11; 2) et S(3; 19; 2). Montre que la droite d est perpendiculaire au segment [RS].

9. Démontre que les plans α

sont sécants et que d

où k

 est leur intersection.

Détermine les coordonnées du point de percée de la droite d dans le plan α si :

(a) d

(b) d xk yk zk =

Calcule l’intersection des plans suivants et déduis-en leur position relative.

(a)

(d)

Esteban et Clotilde, grands amateurs de randonnée, partent en Écosse et ont choisi 3 sentiers de randonnée différents à parcourir pendant leur voyage.

Esteban parcourt 42 kilomètres de randonnée en empruntant 3 fois le sentier A et 1 fois le sentier B

Clotilde parcourt quant à elle 36 kilomètres en empruntant 2 fois le sentier B et 2 fois le sentier C

Lorsque l’on enchaîne les trois sentiers, on parcourt exactement 28 km.

Détermine la longueur de chacun des trois parcours.

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Trois satellites communiquent entre eux pour former un réseau autour de la Terre.

Tu es maintenant capable de déterminer quels sont les deux satellites les plus éloignés l’un de l’autre parmi ces trois satellites.

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.