Quadrant 6 - Sequence 3

Annick Van Eerdenbrugghe Anne Bousson Emmanuel Bourgeois

Mathématiques

Technique de qualification

Françoise Van Dieren Sabine Hausmann

4 périodes / semaine

6

e

QUADRANT MANUEL

Udiddit, la plateforme d’exercisation en ligne pour les élèves et les enseignants La plateforme Udiddit te donne accès à du matériel de cours Ton professeur pourra t’indiquer comment accéder à Udiddit.

Couverture : La Graphismerie Maquette : Nord Compo Mise en pages : Softwin Crédits : © www.city-paris.org (p. 1) ; © 123RF/Nataliia Kelsheva (p. 26 bas) ; © Shutterstock : Robert Hoetink (p. 99), timquo (p. 139 ht), Vintage Tone (p. 146), Mikbiz (p. 169), muzsy (p. 172 ht), Helder Almeida (p. 172 bas), ESB Professional (p. 176) ; © Fotolia : Vertigo77 (p. 2), rayman7 (p. 26 ht), xiaoliangge (p. 29), anibal (p. 30), Noam (p. 47), travnikovstudio (p. 49), alexandre zveiger (p. 73), Patrick J. (p. 74 ht), Mr Twister (p. 75), Mikael29 (p. 96), Paulista (p. 97), Scriblr (p. 100), johnmerlin (p. 118), Jürgen Fälchle (p. 119 ht), taddle (p. 121), James Steidl (p. 124), Dunadicarta (p. 126), godsandkings (p. 139 bas), Erica Guilane-Nachez (p. 147), Bertrand Manière (p. 168), ­magele-pic (p. 173), .shock (p. 187), pixarno (p. 188).

L’éditeur remercie tous ceux qui ont accepté de lui accorder l’autorisation de publier dans le présent ouvrage les extraits dont ils détiennent les droits de reproduction.

En dépit de ses recherches et sollicitations, l’éditeur n’a pas réussi à joindre certains ayants droit.

Qu’ils soient avertis ici qu’il reste à leur disposition pour satisfaire, le cas échéant, à la législation sur le droit d’auteur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition ISBN 978-2-8041-9688-2 D/2017/0074/072 Art. 573026/01

AVANT PROPOS 6e Quadrant (4 périodes/semaine) est destiné aux élèves de sixième année de l’enseignement qualifiant, tous réseaux.

Les différents chapitres du manuel couvrent les unités d’acquis d’apprentissage (UAA) des options de base groupées (OBG) du cours de mathématiques à 4 périodes. Un tableau (en page V) reprend la répartition des UAA et des chapitres en fonction des secteurs et options de base.

6e Quadrant (4 périodes/semaine) est un manuel : • pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et de nombreux exemples sont réunis dans un seul ouvrage ; • progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours balisé ; • ancré dans le quotidien ou dans le domaine des savoirs pratiques et techniques : des activités ou des applications sont proposées en lien avec le vécu ou avec l’option de base groupée des élèves.

Dans chacun des chapitres, cinq étapes identiques rythment les apprentissages.

Situer ce que l’on va apprendre L’introduction situe les nouveaux apprentissages dans la suite des savoirs ; elle inscrit la nouvelle matière dans l’histoire et annonce des applications dans le quotidien, la vie sociale et économique, le domaine technique et scientifique. Elle permet aux mathématiques de prendre sens aux yeux de l’élève.

Explorer et découvrir Toutes les explorations sont construites dans l’optique d’éveiller l’imagination et de mobiliser la réflexion des élèves. Le contexte, s’il est concret, est souvent évoqué par une photo, un texte, une question. S’il est abstrait, il s’appuie sur les acquis et sur des raisonnements logiques clairement explicités. Les questions et recherches s’enchaînent pour conduire progressivement mais sans détours vers ce qu’il faut découvrir ou construire.

Par leur progressivité et leur présentation, la plupart des explorations permettent à l’élève, seul ou en classe, de découvrir une notion ou une méthode nouvelle et de participer ainsi à la construction de ses connaissances. Le professeur répond aux questions, apporte des compléments, précise les concepts et règles, introduit les exercices.

Structurer et retenir À l’issue du travail d’exploration, les notions sont cernées, les concepts abordés, des formes de raisonnement découvertes, un vocabulaire spécifique est utilisé. Il faut alors structurer, expliciter, intégrer, fixer afin que les nouveaux acquis deviennent disponibles pour les recherches et les applications ultérieures. C’est le but de la synthèse !

Chaque définition, chaque propriété, est introduite par une question qui porte sur l’usage des nouveaux acquis. Des exemples illustrent cette étape et peuvent servir de modèles dans la résolution des exercices.

III

Utiliser un logiciel Chaque chapitre1 propose l’étape « Utiliser un logiciel ». Des exercices résolus à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel y sont présentés, pas à pas, pour familiariser l’élève avec l’utilisation d’un outil numérique.

Le chapitre « Variables aléatoires » contient également une rubrique « Utiliser une table » expliquant comment utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

S’exercer et approfondir Les exercices sont classés selon les catégories décrites dans le référentiel diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles : Connaître, Appliquer, Transférer.

Les exercices s’articulent suivant une même progression : tester les connaissances, s’entraîner aux méthodes découvertes, mobiliser dans différentes disciplines les concepts installés, développer un esprit critique, modéliser et résoudre un problème.

Cette étape peut être menée selon des pédagogies variées : recherche pilotée par le professeur, résolution d’exercices seul ou en groupe, répartition selon les profils, les goûts, les aptitudes des élèves.

Des tableaux et des graphiques figurant dans le manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiqués par le symbole et peuvent être téléchargés gratuitement par le professeur via Udiddit.

Nous souhaitons aux élèves qui utilisent ce manuel de découvrir, sous un jour nouveau, différents aspects des mathématiques : leur utilité, leur logique propre, leur beauté parfois. Nous espérons que ce manuel donnera à chacun une confiance renouvelée dans sa capacité à aborder les mathématiques et à les pratiquer.

Nous ne pouvons passer sous silence les apports des co-auteurs de la collection « Clic&Maths » : nous tenons à remercier Philippe Duvivier et Jules Miewis dont les travaux antérieurs ont enrichi ce manuel. Nos remerciements s’adressent aussi à Gaston Sinon et Laurent Zanotto qui ont inspiré ou affiné certaines applications en mécanique ou en électricité.

Les auteurs

1 Cette étape n’apparaît pas dans le chapitre des nombres complexes.

IV

iti X

5

6

7

1

8

2

4

3

UAA 3 Probabilité

UAA 4 Lois de probabilité

UAA 9 Intégrale

UAA 10 Algèbre financière

UAA 13 Géométrie vectorielle

UAA 14 Géométrie dans l’espace

UAA 15 Nombres complexes

Ed

UAA 2 Statistique à deux variables

X

X

s X

X

X

X

X

X

N

9. Sciences appliquées

VA

3. Construction

on

Orientation électrotechnique

X

X

X

2. Industrie

Chapitre

Unité d’Acquis d’Apprentissage

Secteurs où le cours 4 périodes est obligatoire

IN

X

X

X

1. Agronomie

X

X

X

X

X

7. Économie

Secteurs où le cours 4 périodes est possible

Répartition des chapitres par secteur

V

IN

COMMENT UTILISER CE MANUEL ?

Les huit chapitres du manuel proposent chacun un déroulement identique.

L’introduction

Dans ce chapitre, on définit de nouveaux nombres « assemblés ».

On apprend à les caractériser, à les représenter et à effectuer sur eux les opérations fondamentales.

On découvre enfin comment, en électricité, ces nombres sont un outil de modélisation efficace pour l’étude des courants alternatifs.

on

s

Les nombres naturels (entiers positifs) permettent de compter ou dénombrer ; les nombres entiers négatifs autorisent la comptabilité des dettes en opposition avec les avoirs ; les nombres rationnels permettent de désigner, sous forme d’un rapport de deux entiers, des quantités qui ne sont pas entières, pour faire des partages ou pour comparer des grandeurs ; enfin, les nombres réels étendent la gamme des nombres aux quantités pour lesquelles on ne peut pas trouver ce type de rapport, tels que 2 ; π ; … ; et ensuite ?

Elargir la gamme des nombres afin de résoudre des situations (des équations) pour lesquelles on ne dispose d’aucune solution dans la gamme existante… et créer de nouveaux nombres en assemblant, selon un schéma utile, deux autres qui existent déjà par eux-mêmes ne sont donc pas des démarches nouvelles.

C’est dans le même esprit que sont définis les nombres complexes.

Intégrales et prImItIves

À l’aide d’un tableur, on a pu obtenir le graphique (fig. 3) d’une fonction qui modélise l’évolution de la vitesse au cours de ces quarante secondes.

v 35

On demande d’estimer la distance totale parcourue par le véhicule pendant ces 40 secondes.

25

Durant les 5 premières secondes, la vitesse passe de 0 à 11 m/s, la distance parcourue est donc comprise entre 5 × 0 et 5 × 11 m.

15

Ce raisonnement peut être répété pour chaque intervalle de temps. La procédure s’achève par la somme des estimations.

5

a. Compléter le tableau suivant (

iti Ed

Les nouvelles notions sont abordées à partir de quelques problèmes.

Probabilité

5

10 15 20 25 30 35 40

t

min

Distance parcourue (en m)

max

min

max

[0, 5]

0

11

0

5 × 11 = 55

11

18,7

5 × 11 = 55

5 × 18,7 = 93,5

[10, 15] [15, 20] [20, 25] [25, 30] [30, 35] [35, 40]

tab. 1

b. Donner un encadrement de la distance totale parcourue pendant ces 40 secondes.

v

v 35

35

30

30

25

25

20

20

15

15 10

5 0

5 5 10

15 20 25

30 35 40 t fig. 4

Un jeu de cartes contient 52 cartes réparties en quatre couleurs ou enseignes : 13 cœurs ♥, 13 carreaux ♦, 13 trèfles ♣ et 13 piques ♠.

Chaque série de 13 est composée des cartes 1 (as), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame et Roi. Dans ce jeu bien mélangé, on tire une carte et on observe sa valeur et sa couleur.

1 est la probabilité d’un nouvel événement qui peut se définir de la manière 13 suivante : « obtenir le roi de cœur en sachant que la carte tirée est un cœur ».

Ce nombre

1 est la probabilité que En notant F l’événement « la carte tirée est un cœur », le nombre 13 l’événement E se réalise si on sait que l’événement F est déjà réalisé.

Une probabilité de ce type est appelée probabilité conditionnelle.

Elle est notée P(E si F) ou P(E|F) qui se lit « Probabilité de E sachant F ».

1 13

La probabilité conditionnelle de E sachant F notée P(E|F) ou P(E si F) est la probabilité que l’événement E se réalise, évaluée en sachant qu’un autre événement F (de la même expérience aléatoire) se réalise déjà. b. L’information reçue sur le déroulement partiel de l’expérience ne modifie pas systématiquement la probabilité de tous les événements.

Deux événements associés à une même expérience aléatoire sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de la réalisation de l’autre.

E et F sont indépendants lorsque P(E|F) = P(E) et P(F|E) = P(F)

Comment déterminer une probabilité conditionnelle ?

Exemple Un courtier d’assurances a constitué un fichier qui reprend pour chaque voiture assurée la nature du véhicule et sa provenance. Ces données sont résumées dans le tableau (tab. 5).

Voiture fabriquée hors Communauté européenne

Voiture neuve

186

42

Voiture d’occasion

128

250

0

5

10 15

20 25 30 35 40 t fig. 5 3

Structurer et retenir

1 Si on s’intéresse à l’événement E « obtenir le roi de cœur ♥ », P ( E ) = .

52 Cependant, si, avant de prendre la carte, on sait que celle-ci est un cœur ♥, alors la probabilité d’obtenir le roi de cœur ♥ doit être réévaluée : la probabilité d’obtenir le roi de cœur est alors de 1 chance sur 13.

tab. 5

VIVI

0

[5, 10]

Exemple

Voiture fabriquée en Communauté européenne

10

Vitesse (en m/s) sur l’intervalle

10

a. Si au moment de commencer une expérience aléatoire, on obtient des informations sur le déroulement de l’expérience, on est amené à réévaluer la probabilité qu’un événement puisse se réaliser … surtout si ces informations ont un rapport évident avec l’événement.

8

20

c. Compléter les graphiques ( fig. 4 et 5) pour qu’ils correspondent aux valeurs reprises dans les deux dernières colonnes du tableau 1.

Qu’appelle-t-on probabilité conditionnelle ?

On a ainsi P ( E | F ) =

30

fig. 3 Intervalle de temps en secondes

Explorer et découvrir

7

tab. 1).

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

De tout temps, les nombres ont été des outils que les hommes ont créés et apprivoisés pour résoudre des problèmes, traduits inconsciemment ou explicitement par des équations.

L’introduction situe ce que l’on va apprendre dans l’histoire des mathématiques, dans les sciences et les techniques.

VA

3

N

Les nombres compLexes

133

Structurer et retenir Il faut étudier les questions et les réponses de la synthèse pour se débrouiller seul dans d’autres situations.

4

Utiliser Un loGiciel

Utiliser un logiciel

Parmi ses nombreuses possibilités, le logiciel libre GeoGebra permet de représenter des objets de l’espace et de les observer en mouvement. De nombreux documents sont disponibles sur la toile sous forme de didacticiels pour apprendre à réaliser soi-même des figures ; on peut aussi y trouver des séquences ou des vidéos réalisées par les nombreux utilisateurs du logiciel.

Cette rubrique donne des indications pour découvrir une notion ou résoudre un exercice à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel graphique.

Voici deux barres d’outils du logiciel : les numéros ou lettres sous les icônes sont utilisés comme références de renvoi dans le texte qui suit.

Barre d’outils en affichage GRAPHIQUE

Barre d’outils en affichage GRAPHIQUE 3D

A. Visualiser la section d’un cube par un plan On utilise ici le logiciel pour effectuer toutes les constructions qu’on ferait sur papier avec crayon et latte.

1. Construction du cube – Dans la fenêtre GRAPHIQUE (axes et quadrillage affichés) : pour dessiner un carré, cliquer sur la petite flèche de l’icône (5) et choisir « polygone régulier » ; à l’aide de la souris, placer les points de coordonnées (–2; –2) et (–2; 2) dans le repère. Accepter la proposition « 4 » pour le nombre de côtés du polygone. Le tracé du carré apparaît.

Quitter «polygone» en revenant sur l’icône (1).

4

U A A 14 Gé om é trie da ns l’es pa ce

– Dans l’onglet « Affichage », sélectionner « Graphique 3D » (la barre d’outils correspondante s’affiche aussi) : dans cette nouvelle partie de la fenêtre apparaît le carré qui vient d’être construit. Pour dessiner le cube, cliquer sur la petite flèche de l’icône (I) et sélectionner « extrusion prisme-cylindre ». Cliquer sur le polygone (carré) et préciser la hauteur 4 dans la fenêtre qui s’ouvre, suivi de OK. Le cube est alors dessiné. Quitter le cube en revenant sur l’icône (A).

Connaître

– Pour cacher les axes et le plan de base du repère, cliquer sur la petite flèche à gauche de « Graphique 3D » ; on peut alors désélectionner les axes, le plan, le quadrillage…

1

– Pour cet exemple, on définit un plan par 3 points situés sur des arêtes du cube. Cliquer sur la petite flèche en bas à droite de l’icône (H) et sélectionner « plan passant par 3 points », puis cliquer sur un point de l’arête [AE], un point sur l’arête [BF] et un point sur l’arête [GH] (lorsqu’on est sur l’arête, le point apparaît sous forme d’une petite boule ; l’étiquette du point s’inscrit automatiquement). Le plan apparaît et la section dans le cube est visible (fig. 25).

H

L

On considère le tétraèdre SABC (fig. 28). On note I le milieu de [SA], J le milieu de [AB], K le milieu de [AC]. Le point L est situé au tiers de [SB] et le point M est situé au tiers de [SC].

S

Quelles sont les positions relatives des droites suivantes ?

K G

E

Positions relatives de droites

IN

– On peut fermer la fenêtre « Graphique » par un clic sur la petite croix noire en haut à droite.

2. Construction de la section par un plan défini par 3 points

S’exercer et approfondir

M

a. SA et IJ

Q

b. SA et LM

F

L

c. AK et BC

I D

I

d. AB et IL

C A

f. LM et BC

J

A

fig. 25

B

B

J

N

86

2

Droites et plans

U A A 1 4 Gé o m é trie da ns l ’e s pa ce

3

F

H

E C

B P

D

A fig. 29

VA

Les exercices de la partie « Connaître » permettent de fixer l’essentiel et d’utiliser directement ce qui a été étudié.

fig. 28

G

On donne un parallélépipède (fig. 29). Préciser les positions relatives des droites AC, AF, HF, DH, GP, HE et EA par rapport au plan (GDB). Justifier chaque réponse.

S’exercer et approfondir

C

K

e. SB et JK

Parallélisme On donne un tétraèdre SABC et un point D situé sur l’arête [SA]. Dessiner la figure. a. Par le point D, construire dans le plan (SAC) une parallèle d au plan de la base (ABC).

b. Par le point D, construire dans le plan (SAB) une parallèle d au plan de la base (ABC). c. Construire l’intersection du plan (SBC) avec le plan a = (d, d).

d. Quelle est la position relative des plans (ABC) et a ? Justifier.

1re méthode : diagramme de Venn Deux (2) élèves pratiquent la natation et le foot ; on en déduit que 6 élèves (8 – 2) ne pratiquent que la natation, et 4 élèves (6-2) ne pratiquent que le foot.

A

Le nombre de cas favorables est donc 6 + 4. Comme il y a équiprobabilité sur le choix d’un des 18 élèves de la classe, on a 10 5 P(E) = = .

18 9

on

On définit les événements A : l’élève pratique la natation, B : l’élève joue au foot, C : l’élève pratique les deux sports et E : l’élève pratique un seul sport.

s

88

Probabilité

C=Α∩Β

(6)

(2)

B

(4)

L’élève joue au foot L’élève ne joue pas au foot Totaux

iti

2e méthode : tableau à double entrée Pour compléter le tableau (tab. 7), il faut considérer les événements et leurs contraires. On reporte alors les données dans les cellules correspondantes (en noir). On peut alors compléter le tableau (en vert).

L’élève pratique la natation

L’élève ne pratique pas la natation

Totaux

2

4

6

6

6

12

8

10

18

S’exercer et approfondir Avec les exercices « Appliquer », on acquiert des méthodes efficaces pour interpréter un graphique, suivre une démarche, utiliser un logiciel.

tab. 7

Ed

Les résultats à prendre en considération sont indiqués en gras dans le tableau ci-dessus ; 6 + 4 10 5 on a P ( E ) = = = .

18 18 9 Remarque

Lorsqu’on utilise ce type de tableau, il faut s’assurer que les événements indiqués dans la 1re ligne sont incompatibles ; il doit en être de même pour les événements indiqués dans la 1re colonne.

1

b. Sur les 100 élèves des classes de 6e Technique, 78 possèdent un téléphone portable, 41 ont une tablette et 23 possèdent à la fois un téléphone portable et une tablette. On choisit un élève au hasard dans le groupe. Quelle est la probabilité 1) qu’il n’ait ni téléphone portable ni tablette ?

2) de choisir un élève possédant un téléphone parmi ceux qui n’ont pas de tablette ?

3) de choisir un élève possédant une tablette si on sait qu’il a un téléphone ?

Des boules blanches et vertes

Une urne contient 10 boules blanches et 8 boules vertes. On tire une boule au hasard dans l’urne, puis une seconde sans remettre la première boule tirée. Quelle est la probabilité que a. les deux boules tirées soient blanches ? b. la première soit blanche et la seconde verte ? c. la seconde soit blanche ? d. l’une au moins soit blanche ? e. les deux boules soient de la même couleur ?

28

s’exercer et approfondir

Château d’eau Le réservoir sphérique d’un château d’eau a un rayon de 6 m. a. Calculer, en m3, la capacité maximum de ce réservoir. b. Calculer, en m3, le volume d’eau contenu dans la partie sphérique de ce réservoir lorsque la hauteur de l’eau y est 1) de 4 m, 2) de 7 m, 3) de x m ( 0 ≤ x ≤ 12 ) .

141

29

Sur le tour du potier Un potier souhaite modeler sur son tour un gobelet qui correspond au gabarit suivant : à l’extérieur le gobelet est un cylindre de 9 cm de diamètre et de 12 cm de haut tandis que la forme de la partie inté4 rieure est fixée par la courbe C ≡ y = 4 − . x

S’exercer et approfondir Les problèmes proposés dans la rubrique « Transférer » amènent à modéliser une situation et à interpréter un résultat.

y 6 5

y = 4,5

4 3 2 1 –1 0 –1

U A A 9 I n tégra le

9

–2 –3

1

2

3

4

5

6

7

8

f (x) = 4 – (4 / x)

9

10

11

12 13

x

1 cm 1 cm

x = 12

fig. 50

a. Calculer en centilitres la capacité maximale du gobelet. b. On souhaite graver sur la paroi intérieure une petite ligne horizontale qui sert de repère pour un remplissage à 25 cl ; à quelle distance du bord supérieur doit-on graver ce repère ? c. Sachant que la masse volumique de la terre cuite vaut 1500 kg/m³ combien pèse ce gobelet rempli de 25 cl d’eau ?

26

VII

IN

SOMMAIRE 1. Intégrales et primitives ................................................................ 1

N

2. Calcul vectoriel ........................................................................... 29 3. Les nombres complexes ............................................................. 51

VA

4. Géométrie dans l’espace............................................................. 71 5. Statistique à deux variables ....................................................... 97

s

6. Probabilité ................................................................................ 121

on

7. Variables aléatoires et lois de probabilité ............................... 147

Ed

iti

8. Algèbre financière..................................................................... 173

VIII VIII

LES NOMBRES COMPLEXES

IN

3

VA

N

De tout temps, les nombres ont été des outils que les hommes ont créés et apprivoisés pour résoudre des problèmes, traduits inconsciemment ou explicitement par des équations.

Ed

iti

on

s

Les nombres naturels (entiers positifs) permettent de compter ou dénombrer ; les nombres entiers négatifs autorisent la comptabilité des dettes en opposition avec les avoirs ; les nombres rationnels permettent de désigner, sous forme d’un rapport de deux entiers, des quantités qui ne sont pas entières, pour faire des partages ou pour comparer des grandeurs ; enfin, les nombres réels étendent la gamme des nombres aux quantités pour lesquelles on ne peut pas trouver ce type de rapport, tels que 2 ; π ; … ; et ensuite ?

Elargir la gamme des nombres afin de résoudre des situations (des équations) pour lesquelles on ne dispose d’aucune solution dans la gamme existante… et créer de nouveaux nombres en assemblant, selon un schéma utile, deux autres qui existent déjà par eux-mêmes ne sont donc pas des démarches nouvelles.

C’est dans le même esprit que sont définis les nombres complexes.

Dans ce chapitre, on définit de nouveaux nombres « assemblés ».

On apprend à les caractériser, à les représenter et à effectuer sur eux les opérations fondamentales.

On découvre enfin comment, en électricité, ces nombres sont un outil de modélisation efficace pour l’étude des courants alternatifs.

3

EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1

Des équations à un nouveau nombre… a. On a demandé à cinq élèves de résoudre l’équation x² + 1 = 0 ; voici leurs réponses. Que faut-il en penser ?

Marie : x² + 1 = 0 ⇔ x² = −1 ; impossible, l’équation n’a pas de solution Théo : x² + 1 = 0 ⇔ x² = −1⇔ x = −1 ; la solution est dans  Lucas : x² + 1 = 0 ⇔ x² = −1⇔ x = 1 ou x = −1 ; les solutions sont dans  Karim : x² + 1 = 0 ⇔ x² = −1 ⇔ x = −1 ; la solution est dans  −1

IN

Lilou : x² + 1 = 0 ⇔ x² = −1⇔ x =

mais je ne sais pas dans quel ensemblee −1 se trouve

b. Si on ne rejette pas l’idée de Lilou, la formulation de sa réponse est-elle complète ?

VA

N

c. Au 16e siècle, le mathématicien italien Bombelli (1526-1573), qui travaillait sur des équations de degré 3, a créé un nombre imaginaire dont le carré vaut « –1 » et, plus tard, Euler (17071783) a noté i ce nombre particulier. i2 = −1

On a ainsi

2i + i = 3i ; 7i − 2i = 5i ;

s

On décide de calculer avec ce nombre i comme avec les autres nombres ; on lui applique toutes les règles classiques du calcul algébrique, mais en tenant compte de la valeur particulière de son carré. On écrit ainsi :

on

4 + 2i + 5 + 3i = 4 + 5 + 2i + 3i = 9 + 5i ; 3 ⋅ ( 2 + i) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ i = 6 + 3i

(3 + 2i) ⋅ i = 3 ⋅ i + 2i ⋅ i = 3i + 2 ⋅ i² = 3i + 2 ⋅ ( −1) = 3i − 2

iti

Effectuer les calculs suivants.

5) (7 + 4i) – (6 + i) =

2) (5 + 4i) – 3 =

6) ( 4i) =

3) 3 ⋅ ( 2 + 4i) =

7) 2i ⋅ (3 + i) =

4) (5 − 3i) + ( 2 + 5i) =

8) (6 + i) ⋅ (3 + 5i) =

52

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

1) i + 5i =

2

2

Et voici les nombres complexes…

A. Tout nombre z de la forme a + b ⋅ i ( a, b ∈R) est appelé nombre complexe.

Tout résultat d’opérations sur ces nombres pourra être écrit sous la forme a + bi , appelée forme algébrique du nombre complexe z ; a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Soit les nombres complexes z1 = 4 + 2i ;

z2 = 3 − 4i ;

z3 = 2 + i ;

z4 = 2, 5 + 4i

LES NOMBRES COMPLEXES

a. z1 + z2

d. ( z1 )

b. z1 − z3

e. ( z3 )

c. z2 ⋅ z3

f. z2 ⋅ z4

2 3

B. Écrire, sous forme algébrique, la somme ou le produit de deux nombres complexes, ou une puissance d’un nombre complexe, ne pose pas de problème. Mais comment procéder pour écrire le quotient de deux nombres complexes ?

1) (3 + 2i) (3 − 2i)

IN

a. Effectuer les produits suivants et préciser à quel ensemble de nombres appartient le résultat de l’opération.

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

Donner les résultats des opérations suivantes sous la forme algébrique.

3) ( a + bi) ( a − bi)

2) ( 4 − 5i) ( 4 + 5i)

Les nombres complexes a + bi et a − bi sont appelés complexes conjugués.

VA

Indication

1 .

3 + 2i

N

b. Écrire sous forme algébrique le nombre z =

Rendre le dénominateur réel.

c. Écrire sous forme algébrique le nombre

Représenter un nombre complexe

s

3

4 + 2i .

3 − 4i

on

L’ensemble  des nombres réels se représente sur une droite appelée droite réelle.

–3

–2

–1

π

2

–1,5

0

1

2

3

16/3 4

5

6

Ed

iti

Tout nombre complexe est déterminé par deux caractéristiques : sa partie réelle et sa partie imaginaire. Chacune pouvant prendre n’importe quelle valeur réelle, il faut donc pour représenter les complexes un support à deux dimensions : un plan muni d’un repère orthonormé, appelé plan complexe.

P

3

1 0

1

2

Le point P (2 ; 3) représente le nombre z = 2 + 3i

fig. 1

53

3 Dans ce plan complexe, chaque nombre complexe z = a + bi est associé à un point P de coordonnées (a ; b). Le nombre complexe z est appelé affixe1 du point P qui le représente et le point P est l’image du nombre z. a. Écrire les affixes des points U, V et W de la fig. 2 ci-contre.

z2 = −1 + 3i

z3 = −3 − 2 i

z4 = 4, 5 + i

c. Quelle est la particularité d’un nombre dont l’image est un point appartenant à l’axe vertical ? d. Et celle d’un nombre représenté par un point de l’axe horizontal ?

U 1 O 0

1

IN

z1 = 3 − 4i

V

W

N

b. Placer dans le plan complexe les points Q, R, S et T dont z1, z2 , z3 et z4 sont affixes.

e. Placer dans le plan complexe le point A, image de z2 + z4 . Quelle est la forme géométrique du quadrilatère ROTA ?

VA

4

fig. 2

De la forme algébrique à la forme trigonométrique

s

Chaque nombre complexe z est l’affixe d’un unique point P du plan complexe.

iti

on

On appelle module de z, noté ∣z∣, la norme du vecteur OP et argument de z, noté arg ( z) , l’amplitude θ (en radians et à 2kπ près) de l’angle orienté qui amène [ Ox , le demi-axe positif des abscisses, sur la demi-droite [ OP .

54

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

a. Sur la fig. 3 le point P est défini par ses coordonnées polaires (2, 8 ; 40°).

C’est le point image d’un nombre complexe z = a + bi.

P

1

O 0

1

Déterminer le module et trois arguments de z.

fig. 3

Écrire z sous forme algébrique. b. Soit z = 3 − 5i .

Calculer le module de z et l’argument compris entre –π et π (appelé argument principal), puis exprimer le nombre z en fonction de son module et de cet argument.

1

Le mot « affixe » est féminin lorsqu’il désigne le nombre complexe associé à un point du plan.

c. Soit les nombres complexes z1 = cos 1) Vérifier que ∣z1∣ = ∣z2∣ = 1.

5π 5π π π + i sin et z2 = cos + i sin .

6 6 3 3

5π π et pour z1 et z2 ?

6 3 3) Calculer le produit z = z1 ⋅ z2.

2) Que représentent

Indication 4) Déterminer le plus petit argument positif de z.

IN

Utiliser les valeurs particulières des nombres trigonométriques.

5) Quelle relation peut-on écrire entre les arguments de z1, z2 et z ?

5π 5π  6 π π  + i sin  et z4 =  cos + i sin  .

6) Soit z3 = 1, 25  cos  6 6 5 3 3

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

LES NOMBRES COMPLEXES

Ed

iti

on

s

VA

N

Utiliser les résultats précédents pour écrire le module et un argument du nombre complexe z5 = z3 ⋅ z4.

55

3

STRUCTURER ET RETENIR 1

Qu’appelle-t-on nombre complexe ?

Aucun nombre réel n’est solution de l’équation x2 = −1. Les mathématiciens ont donc créé un nombre appelé nombre imaginaire, noté i dont le carré est égal à −1. On a donc i2 = − 1 On appelle nombre complexe tout « assemblage » z = a + bi, où a et b sont des réels et i2 = −1. Le réel a est appelé partie réelle du nombre a + bi et le réel b est appelé partie imaginaire de a + bi .

IN

L’ensemble des nombres complexes est noté .

Les nombres réels font partie des nombres complexes. On note  ⊂ .

Le nombre réel a est le nombre complexe a + bi dont la partie imaginaire b est nulle.

N

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

VA

Ainsi z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i sont égaux si et seulement si a1 = a2 et b1 = b2 .

Les opérations définies sur les nombres réels sont étendues aux nombres complexes.

Soit les nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i

z1 + z2 = ( a1 + b1 i) + ( a2 + b2 i) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i

Différence :

z1 − z2 = ( a1 + b1 i) − ( a2 + b2 i) = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i

s

Somme :

Produit :

on

Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes, on additionne (soustrait) les parties réelles et on additionne (soustrait) les parties imaginaires. z1 ⋅ z2 = ( a1 + b1 i) . ( a2 + b2 i) = a1a2 + a1b2i + b1a2i + b1b2i2

56

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

iti

= ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1 b2 + a2 b1 ) i Pour multiplier deux nombres complexes, on distribue et on regroupe entre eux les termes réels ou imaginaires.

2

Comment calculer le quotient de deux nombres complexes ?

On appelle nombres complexes conjugués deux nombres complexes dont les parties réelles sont égales et dont les parties imaginaires sont opposées. Le conjugué de z est noté z .

Ainsi z1 = a + bi et z2 = a − bi sont conjugués l’un de l’autre.

L’inverse d’un nombre complexe non nul z est le complexe

1 z = . z z⋅ z

Exemple : soit z = 3 + 4i 1 1 3 − 4i 3 − 4i 3 − 4i 3 −4 = = i = = = + z 3 + 4i ( 3 + 4i ) ⋅ ( 3 − 4i ) 9 − 16i² 25 25 25

LES NOMBRES COMPLEXES

z1 de deux nombres complexes z1 et z2 (avec z2 ≠ 0 ) est le produit de z1 z2 par l’inverse de z2 .

Le quotient

z1 1 z z ⋅z = z1 ⋅ = z1 ⋅ 2 = 1 2 z2 z2 z2 . z2 z2 ⋅ z2 Exemple : soit les nombres complexes z1 = 3 − 4 i et z2 = 2 + 5 i z1 3 − 4 i (3 − 4 i) ⋅ (2 − 5 i) 6 − 15i − 8i + 20i² −14 − 23i −14 −23 = = = = + ⋅i = z2 2 + 5 i (2 + 5 i) ⋅ (2 − 5 i) 4 − 25i² 29 29 29

IN

Quotient :

Dans le plan cartésien muni d’un repère orthonormé, on peut associer les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe aux coordonnées cartésiennes d’un point du plan.

axe imaginaire P

1

Le nombre complexe z = a + bi est appelé affixe du point P( a; b) ou affixe du vecteur OP.

0

on

s

Le nombre complexe z = a + bi est associé au point P( a; b).

iti

Sur la fig. 4 sont représentés dans le plan complexe les nombres z = 2 + 3i (point P), son conjugué z = 2 − 3i (point Q) et son opposé − z = −2 − 3i (point R).

R

STRUCTURER ET RETENIR

Comment représenter un nombre complexe ?

VA

3

N

Pour calculer un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, et on développe.

axe réel

1

Q

a. Les réels sont associés aux points de coordonnées ( a;0 ) de l’axe horizontal, appelé axe réel ; les nombres imaginaires purs sont associés aux points (sauf O) de l’axe vertical, appelé axe imaginaire.

Ed

fig. 4

b. La somme de deux nombres complexes s’apparente à la somme de deux vecteurs.

Exemple Soit z1 = 7 − 2 i, z2 = −2 + 3 i z3 = z1 + z2 = 5 + i

affixes de P, Q et R (fig. 5), on observe OR = OP + OQ

Q 1 O 0

R 1 P

fig. 5

57

3 4

Comment écrire un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique ?

Dans le plan muni d’un repère orthonormé2, on peut caractériser un point soit par ses coordonnées cartésiennes, soit par ses coordonnées polaires.

r

IN

1

O 0

θ

1

a

N

fig. 6

P

b

Ainsi, le point P d’affixe z = a + bi est caractérisé soit par le couple ( a ; b) soit par un couple ( r ;θ) où r désigne la norme du vecteur OP (distance du point à l’origine) et θ l’amplitude (en radians et à 2kπ près) de l’angle orienté qui amène [ Ox , le demi-axe positif des abscisses, sur la demi-droite [ OP .

VA

Lorsque le point P d’affixe z = a + bi a pour coordonnées polaires le couple ( r ;θ ), la distance r = ∥ OP ∥ est appelée module de z, noté ∣z∣, et toute mesure en radian de l’angle θ s’appelle argument de z, noté arg(z).

s

L’argument principal, parfois noté Arg(z), du nombre complexe z est la mesure de θ comprise dans l’intervalle]− π ; π ].

on

Relations entre a, b, r et θ

iti

r étant le module et θ un argument du nombre complexe z = a + bi, on a r = a² + b² , b a = r ⋅ cosθ , b = r ⋅ sin θ et tan θ = a

Quelle que soit la position dans le repère (situé dans le 1er, 2e, 3e ou 4e quadrant) du point dont z est affixe, les relations trigonométriques dans les triangles rectangles et les symétries dans le cercle trigonométrique permettent d’obtenir les trois autres relations en exploitant la figure fig. 7

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

r = a² + b² s’obtient par application du théorème de Pythagore.

S

T 1 O 0

U

1

S´ X

V

fig. 7

2 Faire correspondre le repère polaire au demi-axe positif des abscisses du repérage cartésien orthonormé permet d’établir les relations entre a, b, r et θ .

58

LES NOMBRES COMPLEXES

Exemple (2e quadrant) : si z = a + bi est affixe du point T, on peut écrire

(

)

 SS ′ b  =  sin θ = sin S ′ OS = OS r  XOT ⇒  θ=  OS ′ −a a   cos θ = − cos S = =− ′ OS = −  r r OS

(

)

et tan θ =

sin θ b = cos θ a

Forme trigonométrique d’un nombre complexe r étant le module et θ un argument du nombre complexe z = a + bi , on a z = a + bi = ( r ⋅ cos θ ) + ( r ⋅ sin θ ) i = r ⋅ (cos θ + i sin θ )

a. De la forme trigonométrique à la forme algébrique

Le passage de l’écriture trigonométrique à l’écriture algébrique s’opère par distributivité et ne pose pas de problème.

s

Exemples

STRUCTURER ET RETENIR

Comment passer d’une écriture à l’autre ?

VA

5

N

Remarque : z = r ⋅ ( cos θ + i sin θ ) est parfois noté z = r ⋅ cis θ

IN

z = r ⋅ (cos θ + i sin θ ) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z.

on

π π π π 1 3  1. z = 6 ⋅  cos + i ⋅ sin  = 6 ⋅ cos + 6 i ⋅ sin = 6 ⋅ + 6 ⋅ i = 3 + 5,1 196 i   3 3 3 3 2 2 2. z = 3, 2 ⋅ (cos 5, 46 + i ⋅ sin 5, 46) ⇒ z = 3, 2 ⋅ cos 5, 46 + 3, 2 ⋅ sin 5, 46 ⋅ i = 2,17 − 2, 34 i

iti

b. De la forme algébrique à la forme trigonométrique Exemple 1

Exemple 2

z = a + bi

z = −2 − 5i

z = 4 − 3i

r = ( −2)2 + ( −5)2 = 29

r = 42 + ( −3)2 = 25 = 5

Ed

Méthode

Calculer le module 2

2

r= a +b

Résoudre tan θ =

b a

Observer les signes de a et de b pour situer le point d’affixe z dans le repère (dans quel quadrant se trouve-t-il ?)

En déduire une valeur de θ Écrire z sous forme trigonométrique

−5 = 2, 5 −2 θ = 1,19 + kπ

tan θ =

−3 = − 0, 75 4 θ = − 0, 64 + kπ

tan θ =

a = −2 et b = −5

a = 4 et b = −3

θ est l’amplitude d’un angle

θ est l’amplitude d’un angle

du 3e quadrant.

du 4e quadrant.

θ = 1,19 + π = 4, 33

θ = − 0, 64

(à 2kπ près)

(à 2kπ près)

z = 29 ( cos 4, 33 + i sin 4, 33) z = 5(cos ( − 0, 64 ) + i sin( − 0, 64))

59

3 6

Quelles sont les propriétés liées à la forme trigonométrique d’un nombre complexe ?

Propriétés immédiates 1) Deux nombres complexes z1 = r1 ⋅ (cos θ1 + i sin θ1 ) et z2 = r2 ⋅ (cos θ2 + i sin θ2 ) sont égaux si et seulement si r1 = r2 et θ1 = θ2 + 2 kπ .

2) Si θ est un argument de z alors − θ est un argument de son conjugué z .

Il suffit d’observer la figure fig. 4, page 57.

IN

3) Si θ est un argument de z alors θ + π est un argument de son opposé –z.

Caractéristiques trigonométriques du produit de deux nombres complexes

N

Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules respectifs et l’argument du produit est égal à la somme de leurs arguments respectifs.

Exemple

VA

Soit z1 = 4 + 2 i , z2 = 1 + 3 i z3 = z1 ⋅ z2 = −2 + 14i

R

affixes de P, Q et R. Calcul des modules :

s

z1 = 4² + 2² = 20 ≅ 4, 47,

et

z3 =

( −2)2 + 4² =

200 ≅ 14,14

iti

On observe

on

z2 = 1² + 3² = 10 ≅ 3,16

z1 ⋅ z2 = 200 = 20 . 10 = z1 ⋅ z2

60

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

Calcul des arguments : arg ( z1 )

Q P 1 O 0

1

 4 = tan −1   = 0, 46 rad  2

fig. 8

 3 arg ( z2 ) = tan −1   = 1, 25 rad  1

et

 14  = 1, 71 rad arg ( z3 ) = tan −1   −2 

On observe arg ( z1 ⋅ z2 ) = 1, 71 rad = 0, 46 rad + 1, 25 rad = arg ( z1 ) + arg ( z2 ) Caractéristiques trigonométriques du quotient de deux nombres complexes Le module du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient de leurs modules respectifs et l’argument du quotient est égal à la différence de leurs arguments respectifs.

Cette propriété est déduite de la précédente. En reprenant les données de l’exemple z z  z z précédent, on peut écrire z1 = 3 , 3 = 3 et arg  3  = arg ( z3 ) − arg ( z2 ) . z2 z2 z1  z2  Remarque : les propriétés des arguments sont analogues aux propriétés des logarithmes.

S’EXERCER ET APPROFONDIR

3

CONNAÎTRE 1

Puissances de i On sait que i2 peut être remplacé par – 1.

i3 = i2 ⋅ i = −1⋅ i = − i

i6 = …

i4 = …

i7 = …

i5 = …

i8 = …

IN

a. Écrire les autres puissances du nombre imaginaire i.

Vrai ou faux ?

VA

2

N

b. Exprimer in en fonction de n.

a. Tout nombre réel est aussi complexe.

b. Pour tout nombre complexe z, le produit z ⋅ z est un nombre réel positif.

s

c. La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre imaginaire.

on

d. Le conjugué de l’opposé d’un nombre complexe est l’opposé de son conjugué. e. Tout nombre complexe est le conjugué de son conjugué. f. La somme des parties imaginaires de deux nombres complexes conjugués est nulle.

iti

g. La partie réelle d’un nombre complexe est un nombre réel.

Ed

h. Deux nombres complexes conjugués ont la même partie réelle.

Jouer avec les conjugués Soit les nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + d i. Montrer que a. z1 + z2 = z1 + z2

b. z1 − z2 = z1 − z2 c. z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 z  z d.  1  = 1  z2  z2 Traduire ces énoncés en français.

S’EXERCER ET APPROFONDIR

3

61

3 4

Points et forme algébrique des affixes Écrire sous forme algébrique les nombres complexes qui sont affixes des points représentés sur la figure fig. 9. Par commodité, on notera zP l’affixe du point P. P T

U

Q 1 W 1

IN

0

S

R

N

fig. 9

Points et forme trigonométrique des affixes

VA

5

V

Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes qui sont affixes des points représentés sur la figure fig. 10. Par commodité, on notera zP l’affixe du point P.

s

Q

U

P

on

T

1

W

1

S

iti

0

V

62

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

R

6

fig. 10

Inverse et module Montrer que le module de l’inverse d’un nombre complexe non nul est l’inverse du module de ce nombre.

7

Module et argument : vrai ou faux ? a. Si z est un imaginaire pur alors il est égal à son module. b. Tout nombre complexe non nul possède une infinité d’arguments. c. Le module de la somme de deux nombres complexes est égal à la somme des modules de ces deux nombres. d. Deux nombres complexes qui ont des arguments opposés sont conjugués l’un de l’autre.

LES NOMBRES COMPLEXES

APPLIQUER 8

Quelques calculs Effectuer les calculs suivants. a. (3 − i) − (2 + 4i)

f. − 36

b. ( 3 − 4i )

g. i ⋅ ( 5 + i )

c. ( 2 + 5i ) – 3 ⋅ ( 2 − 3i )

2

d. ( 7 − 3i ) ⋅ ( 7 + 3i ) 2

2

i. ( 2i − 1) ⋅ ( 3 + 4i )

( 7 + 2i )

m.

(6 − 5i) 2i n.

(3i − 1)

2

j. ( 3 − 2i )

3

(

)

o. 4 − i ⋅

( 3i + 2 )

Solution d’une équation

i

VA

9

)

h. 2i + ( 5 − 4i )

l. (2 + 5i) ⋅ ( i − 1)

N

(

e. i 36

2

IN

2

k. 5 − 7i

Déterminer si le nombre z est solution de l’équation proposée.

Nombre a.

z= 2+i

b.

z = 5 + 3i

c.

z= 2−i

d.

z = 3 − 2i

z² + z = 16 − 4i

e.

z = 1+ 2 i

z² + 3 = 2 z

h.

s

z² − 16 = 30i

on

z² − 4 z + 5 = 0

z= 2+i

z² − 4 z + 5 = 0

z = −3i

z3 + z² + z = 30 i − 9

z = 5i

2 z² + 50 = z − 5i

Ed

g.

3z − 5i = 6 − 2i

iti

f.

Forme algébrique Écrire sous la forme algébrique z = a + bi les nombres complexes suivants.

2π  2π  z1 = 10 ⋅  cos + i ⋅ sin   3 3 

−π −π   z4 = 2 ⋅  cos + i ⋅ sin   4 4 

π π  z2 = 3 ⋅  cos + i ⋅ sin   6 6

z5 = 0, 8 ⋅ ( cos π + i ⋅ sin π )

z3 = 2, 5 ⋅ (cos 4 + i ⋅ sin 4)

11π 11π   z6 = 2 ⋅  cos + i ⋅ sin   12 12 

S’EXERCER ET APPROFONDIR

10

Équation

63

3 11

Module et argument principal Déterminer le module et l’argument principal des nombres complexes suivants. z1 = 2 + 5 i

z3 = −2 − 2, 5i

z5 = 3 + 3 i

z7 = − 2 + 2 i

z2 = −3 + i

z4 = 4 − 3 i

z6 = 1 + 3 i

z8 = −5 + 5 i

Écrire chacun de ces nombres dans sa forme trigonométrique.

Forme algébrique et forme trigonométrique

IN

12

On donne les nombres complexes z3 = 2, 5 − 4, 33 i

z2 = −2, 6 − 1, 5 i

z4 = −2,12 + 2,12i

N

z1 = 3, 46 + 2 i

a. Associer chaque nombre à sa forme trigonométrique. π π  1) 4 ⋅  cos + i ⋅ sin   6 6 5π 5π  2) 5 ⋅  cos + i ⋅ sin   3 3 

VA

3π 3π  3) 3 ⋅  cos + i ⋅ sin   4 4 

7π 7π  4) 3 ⋅  cos + i ⋅ sin   6 6 

2) z2 ⋅ z3

3) z3 − z4

on

1) z1 + z2

s

b. Utiliser la forme la plus adéquate de ces nombres pour calculer chacune des expressions suivantes.

4) ( z1 )

3

5)

z4 z2

6)

z3 2

64

Électricité : somme de courants alternatifs

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

13

iti

TRANSFÉRER

Un courant est alternatif s’il change de sens au cours du temps t ; il est périodique si son intensité I ( t ) reprend la même valeur à des intervalles de temps égaux à T (période).

L’inverse 1 / T de la période est appelé fréquence, notée f.

Un courant alternatif est sinusoïdal lorsque son intensité à l’instant t est une fonction sinusoïdale3 de t : I ( t ) = Imax ⋅ cos(ω t + ϕ ) où

ou

I ( t ) = Imax ⋅ sin(ω t + ϕ )

Imax est la valeur maximale de l’intensité (en ampères) aussi appelée amplitude ω est la pulsation (en radians/seconde) et vaut t est le « temps » (en secondes)

2π ou 2π ⋅ f T

ϕ est le déphasage (en radians)

Un changement de l’origine des phases de π / 2 donne l’une ou l’autre des deux expressions sin ou cos. π cos ( ωt + ϕ c ) = sin ( ωt + ϕ s ) avec ϕ s − ϕ c = .

2

3

LES NOMBRES COMPLEXES

π  Exemple4 : I ( t ) = 3 ⋅ cos  314t −   3 I(t) 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

t

IN

0,1

fig. 11

π 2π π et v2 ≡ x = + permettent 3⋅ 314 3 ⋅ 314 314

N

Remarque : sur le graphique les verticales v1 ≡ x =

VA

de visualiser les deux premiers passages par l’intensité maximale et donc la période.

Lorsque deux courants alternatifs parcourent le même conducteur, ils se composent en un seul courant appelé courant somme qu’il est intéressant de connaître.

a. Exercice résolu

s

Les nombres complexes permettent de mettre en évidence les caractéristiques de ce courant somme, lorsque les deux courants sont de même fréquence (f1 = f2 ) et donc de même pulsation (ω1 = ω 2 ) .

on

π  I1 ( t ) 5 ⋅ cos ( 314t + 0 ) et I2 ( t ) = 3 ⋅ cos  314t −  , que vaut I3 = I1 + I2 ?  3

Soit

La méthode est organisée en trois étapes. Étape 1

Ed

À chaque courant I on associe un nombre complexe5 z par la règle suivante : I ( t ) = Imax ⋅ cos ( ω t + ϕ ) est associé à

Exemple

I1 ( t ) = 5 ⋅ cos (314t + 0 )  z1 = 5⋅ (cos 0 + j sin 0 ) π  I2 ( t ) = 3⋅ cos  314t −   3   −π  −π  z2 = 3⋅  cos   + j sin    3 3   

z = Imax ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ )

4

Sur le réseau belge et européen, la fréquence est de 50 Hertz (une vibration de 50 cycles par seconde) et la rad . période est donc de 0,02 seconde. La pulsation est alors de 2π ⋅ 50 = 314 s 5 Le nombre imaginaire dont le carré vaut « –1 » est noté i par les mathématiciens et j par les physiciens ou électriciens, pour éviter une confusion avec le symbole i utilisé pour l’intensité d’un courant électrique alternatif.

Dans cette section, où les applications en électricité sont omniprésentes, nous le notons dès lors j.

S’EXERCER ET APPROFONDIR

iti

Méthode

65

3 Étape 2

z3 = z1 + z2  −π   −π   = 5 ⋅ (cos 0 + j sin 0 ) + 3 ⋅  cos  + j sin   3   3    1 3  = 5 (1 + 0 j ) + 3  − j 2  2 = 5+ =

3 3 3 j − 2 2

13 3 3 j − 2 2

≅ 6, 5 − 2, 598 ⋅ j 2

IN

On additionne les deux nombres z1 et z2 et on exprime le résultat z3 sous forme trigonométrique.

N

2  −3 3   13  z3 =   +   =…= 7  2  2 

VA

 −3 3 / 2  arg ( z3 ) = tan −1   ≅ 5, 903 rad  13 / 2  z3 = 7 ⋅ (cos 5, 903 + j ⋅ sin 5, 903)

Étape 3

z3 = 7 ⋅ (cos 5, 903 + j ⋅ sin 5, 903)

s

La règle d’association de l’étape 1 est alors utilisée dans l’autre sens pour établir les caractéristiques d’un courant associé à z3 .

on

 I3 ( t) = 7 ⋅ cos(314t + 5, 903 )

iti

Ce courant somme I3 a des caractéristiques qui peuvent être observées sur un oscilloscope avec un montage semblable à celui illustré ci-contre : I3 a une valeur de crête Imax de 7 ampères et un déphasage de 5,903 radians.

66

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

La pulsation est inchangée.

LES NOMBRES COMPLEXES

L’oscillogramme obtenu correspond au graphique ci-dessous.

I(t) 7 6 5 4 3 2 1 0,1

t

I1 ( t ) = 5 ⋅ cos(314t + 0)

fig. 12

VA

N

IN

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

π  I2 ( t ) = 3 ⋅ cos  314t −   3

I3 ( t) = 7 ⋅ cos(314t + 5, 903)

Courant triphasé

on

14

s

b. Appliquer la même démarche pour calculer I3 = I1 + I2 lorsque π π  I1 ( t ) = 4 ⋅ cos  314t −  et I2 ( t ) = 3 ⋅ cos(314t − ) .

4  6

Ed

iti

Les alternateurs utilisés dans les centrales électriques produisent un courant alternatif qui, en général, est la superposition de trois courants sinusoïdaux de même amplitude Imax et de même fréquence mais dont les phases sont décalées l’une de l’autre d’un tiers de période : 2π rad ou 120°.

3 2π  4π   I1 ( t ) = Imax ⋅ cos( ω t + 0) , I2 ( t ) = Imax ⋅ cos  ω t +  et I3 ( t ) = Imax ⋅ cos  ω t +   3  3  a. Montrer algébriquement que, si ces 3 courants parcourent un seul fil conducteur, ce dernier n’est parcouru « par aucun courant » … ou par un courant somme d’intensité nulle.

15

Impédance d’un élément de circuit L’impédance d’un élément de circuit électrique mesure l’opposition de ce circuit au passage d’un courant alternatif.

Lorsque ce circuit électrique est caractérisé par une résistance R (en ohms), une capacité C (en farads) et une inductance L (en henrys) et qu’il est parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation ω (en rad/s), son impédance Z peut être représentée par le nombre complexe 1   2 Z = R + j⋅  L ⋅ ω −  avec j = −1  C ⋅ω 

S’EXERCER ET APPROFONDIR

b. Représenter les 3 fonctions I1 ( t ), I2 ( t ) et I3 ( t ) et leur fonction somme à l’aide d’un logiciel graphique en donnant des valeurs à Imax et ω.

67

3 dont le module Z est égal au rapport

Veff Ieff

entre la différence de potentiel efficace (en volts)

et l’intensité efficace (en ampères), et dont l’argument correspond au déphasage ϕ.

Calculer l’intensité efficace Ieff et le déphasage ϕ lorsque R = 500 ohms, C = 0, 5 × 10−6 farad, L = 2 henrys, ω = 100 π rad/s et Veff = 230 volts.

16

Impédance équivalente d’un circuit composé

IN

Pour les montages constitués de plusieurs éléments, les impédances complexes répondent aux règles de combinaison des résistances en courant continu.

– L’impédance équivalente à des impédances en série est la somme des impédances.

Z = Z1 + Z2 + Z3 + … Zn

Z3

N

Z2

Z1

fig. 13

1 1 1 1 1 = + + +…

Z Z1 Z2 Z3 Zn

on

s

Zn

VA

– L’inverse de l'impédance équivalente à des impédances en parallèle est la somme des inverses des impédances.

Z2

iti

Z1

fig. 14

Ed

Calculer l’impédance complexe équivalente de chacun des circuits suivants.

U A A 1 5 Nombres complexes

a.

68

b.

d.

c.

e.

8+3 j 1+9 j 15–2 j

LES NOMBRES COMPLEXES

POUR ALLER PLUS LOIN 17

Résolution d’équations à une inconnue dans 

3z − 8i 3z − z 2z z

⇔

z

2 z² + 18 = 0 isoler z² et calculer les racines 2 z² + 18 =

⇔

2

0

=

−18

=

−9

z2

=

9 i2

z1,2 z1,2

= ± 9i = ±3i

2z

⇔

2

z

⇔ ⇔ ⇔

on Équation : Méthode : Résolution :

3 z² + z + 7 = 4 z + 5 simplifier, ordonner l’équation et calculer ∆

iti

Exemple 3

= z+4 = 4 + 8i = 4 + 8i = 4 + 8i 2 = 2 + 4i

N

⇔ ⇔ ⇔

s

Équation : Méthode : Résolution :

Exemple 2

3z − 8i = z + 4 regrouper les z entre eux

VA

Équation : Méthode : Résolution :

Exemple 1

IN

Les méthodes de résolution d’équations utilisées jusqu’ici dans le cadre des nombres réels ne sont pas incompatibles avec un travail élargi sur les nombres complexes. L’expression des solutions doit seulement tenir compte de l’existence et de la particularité de l’imaginaire i et donc de la possibilité d’exprimer la racine carrée d’un nombre négatif.

z1,2 =

− ( −3 ) ± 2 .3

∆

=

3 ± 15 i 6

∆ = ( −3 ) − 4.3.2 2

= 9 − 24 = − 15 = 15i2

Résoudre les équations suivantes dans lesquelles z est un nombre complexe. a. 2 z + 5 = 3 − 6i

d. 5z² + 5 = 6 z

b. 3z² + 14 = − 61

e. z² = 3( z − 1)

c. 2 2 z2 + 5 = 13z

f. z3 − 2z2 + 5z = 0

(

)

S’EXERCER ET APPROFONDIR

Ed

3z ² + z + 7 = 4z + 5 ⇔ 3z ² + z + 7 − 4 z − 5 = 0 ⇔ 3z ² − 3z + 2 = 0

69

3 18

Notation exponentielle des nombres complexes On a vu que l’argument θ du produit de deux nombres complexes s’obtient comme somme des arguments θ1 et θ2 de ceux-ci et que le module r de ce produit s’obtient comme produit des modules r1 et r2 .

Ainsi pour deux nombres complexes z1 et z2 , tous deux de module 1, on écrit z1 ⋅ z2 = (cos θ1 + i sin θ1 ) ⋅ (cos θ2 + i sin θ2 ) = cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 ) Si on cherche à assimiler la combinaison cos θ + i sin θ à une fonction f de θ, cette fonction f doit donc satisfaire la relation f (θ1 ) ⋅ f (θ2 ) = f (θ1 + θ2 ) . L’analogie de cette relation avec la x+ y propriété e x ⋅ e y = e( ) des fonctions exponentielles justifie (au moins en partie) l’accepta-

IN

tion de la notation suivante, utilisée dans les cours de niveau supérieur.

Le nombre complexe z = cos θ + i sin θ de module 1 et d’argument θ est noté z = eiθ

et le nombre complexe z = r (cos θ + i sin θ) de module r et d’argument θ est noté = r eiθ.

i

π 3

⋅3e

i

π 4

 π π i +  4

= 2⋅3⋅ e  3

3

= 6e

i

7π 12

VA

Exemples 2 e

N

Avec cette notation exponentielle, les propriétés des nombres complexes s’écrivent comme les propriétés des « puissances » et certains calculs sont allégés.

 π 3π  iπ  i  3⋅i  3 5 5 = 8e 5 2e  = 2 ⋅ e  

On donne les nombres complexes

on

s

π π  z1 = 4 ⋅  cos + i ⋅ sin   5 5

2π  2π  z2 = 5 ⋅  cos + i ⋅ sin   3 3 

11π  11π  z3 = 3 ⋅  cos + i ⋅ sin   6 6  5π  5π  z4 = 3 ⋅  cos + i ⋅ sin   4 4 

iti

a. Associer chaque forme trigonométrique d’un nombre complexe à sa forme exponentielle.

70

i

11π 6

Ed

U A A 1 5 Nombres complexes

1) 3 e 2) 3 e

i

5π 4

i

π 5

i

2π 3

3) 4 e 4) 5 e

b. Utiliser la forme la plus adéquate de ces nombres pour calculer chacune des expressions suivantes.

1) z1 ⋅ z3

3) z1 ⋅ z2 ⋅ z3

5) ( z1)2

7) ( z2 )3

2) z2 + z4

4) z3 − z4

6) ( z4 )2

8)

z2 z4

9)

1 z4

10) z3

IN

TABLE DES MATIÈRES

N

Avant propos

VA

Comment utiliser ce manuel ?

Sommaire 1.

Intégrales et primitives Explorer et découvrir Structurer et retenir

III VI VIII 1 2 6

Qu’appelle-t-on intégrale définie ?

6

2.

Quelles sont les propriétés de l’intégrale définie ?

7

3.

Qu’appelle-t-on primitive d’une fonction ?

7

4.

Quelles sont les primitives des fonctions usuelles ?

8

5.

Quel est le lien entre l’intégrale définie et les primitives d’une fonction ?

9

6.

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

10

7.

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions et deux droites verticales ?

10

Comment utiliser le calcul intégral pour calculer le volume des solides de révolution ?

Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

11 12 14

Calcul vectoriel

29

Explorer et découvrir Structurer et retenir

30 34

1.

Qu’est-ce qu’un vecteur ? Comment le représenter ?

34

2.

Comment additionner deux vecteurs ?

35

3.

Comment multiplier un vecteur par un réel ?

35

4.

Comment représenter un vecteur dans un repère orthonormé ?

36

5.

Comment reconnaître la colinéarité de deux vecteurs, connaissant leurs composantes ?

39

6.

Comment caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs ?

39

7.

Comment décrire un vecteur à partir de sa norme et de son angle d’orientation ?

S’exercer et approfondir

40 42

on

iti

Ed

8.

s

1.

2.

189

Les nombres complexes

51

Explorer et découvrir Structurer et retenir

52 56

1.

Qu’appelle-t-on nombre complexe ?

56

2.

Comment calculer le quotient de deux nombres complexes ?

56

3.

Comment représenter un nombre complexe ?

57

4.

Comment écrire un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique ?

58

5.

Comment passer d’une écriture à l’autre ?

59

6.

Quelles sont les propriétés liées à la forme trigonométrique d’un nombre complexe ?

S’exercer et approfondir

60 61

4.

Géométrie dans l’espace Explorer et découvrir Structurer et retenir

IN

3.

72 77

Quelles sont les propriétés d’une perspective parallèle ?

2.

Comment caractériser une droite ou un plan dans l’espace ?

77

3.

Quelles sont les positions relatives de deux droites dans l’espace ?

78

4.

Quelles sont les positions relatives d’une droite et d’un plan ?

79

5.

Quelles sont les positions relatives de deux plans ?

80

6.

Quelles sont les positions relatives de trois plans qui se coupent deux à deux ?

81

7.

Qu’appelle-t-on droites orthogonales dans l’espace ?

81

8.

Comment définir la perpendicularité d’une droite et d’un plan ?

82

9.

Comment définir la perpendicularité entre deux plans ?

82

VA

N

1.

77

83

11. Comment déterminer l’intersection de deux plans ?

83

12. Comment déterminer la section d’un polyèdre par un plan ?

Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

84 86 88

on

s

10. Comment déterminer le point de percée d’une droite dans un plan ?

5.

Statistique à deux variables

97 98 104

1.

Qu’appelle-t-on série statistique à deux variables ?

104

2.

Qu’est-ce qu’un ajustement affine ? Pourquoi l’utiliser ?

104

3.

Comment déterminer un ajustement affine par la méthode de Mayer ?

105

4.

Comment déterminer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés ?

106

5.

Comment calculer et interpréter le coefficient de corrélation ?

107

6.

Ne pas confondre corrélation et causalité !

Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

108 109 111

Ed

iti

Explorer et découvrir Structurer et retenir

6. Probabilité

190

71

121

Explorer et découvrir Structurer et retenir

122 127

1.

Qu’appelle-t-on expérience aléatoire ? Qu’appelle-t-on événement ?

127

2.

Qu’appelle-t-on probabilité d’un événement ?

128

3.

Comment déterminer expérimentalement une probabilité ?

128

4.

Quelles sont les principales propriétés des probabilités ?

130

5.

Qu’appelle-t-on cas d’équiprobabilité ? Comment alors calculer la probabilité d’un événement ?

130

6.

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré ?

131

7.

Qu’appelle-t-on probabilité conditionnelle ?

133

8.

Comment déterminer une probabilité conditionnelle ?

Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

133 135 138

Variables a ­ léatoires et lois de probabilité

147

7.

148 152

1.

Qu’appelle-t-on variable aléatoire ? Comment définir sa loi de probabilité ?

152

2.

Quelles sont les caractéristiques d’une variable aléatoire discrète ?

153

3.

Qu’est-ce qu’une loi uniforme discrète ? Quelles sont ses caractéristiques ?

154

4.

Qu’est-ce qu’une loi binomiale ?

5.

Qu’est-ce qu’une loi normale ?

6.

Qu’est-ce qu’une loi de Poisson ?

7.

Dans quelles circonstances est-on amené à approximer une loi binomiale ?

Utiliser une table Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

N

Algèbre ­financière

VA

8.

IN

Explorer et découvrir Structurer et retenir

Explorer et découvrir Structurer et retenir

155 158 159 159 160 164 166

173 174 177

Quelle est la signification des termes utilisés en algèbre financière ?

177

2.

Comment distinguer capitalisation et actualisation ?

177

3.

Qu’appelle-t-on taux équivalents ? Comment les calculer ?

177

4.

Qu’appelle-t-on annuité ? mensualité ?

178

5.

Comment calculer la valeur acquise au moment du dernier versement par une suite d’annuités constantes ?

178

6.

Comment calculer la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes ?

179

7.

Qu’est-ce qu’un crédit à la consommation ? Quelles en sont les différentes formes ?

180

8.

Comment calculer le montant des mensualités d’un financement ou d’un prêt personnel ?

181

9.

Comment dresser un tableau d’amortissement ?

Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

181 182 185

Ed

iti

on

s

1.

191