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PACTE D’EXCELLENCE

G U I D E D E L’ E N S E I G N A N T ( E )

MATH

G U I D E D E L’ E N S E I G N A N T ( E )

PERSPECTIVE

MATH

Auteures Maryse Bams Virginie Caro Marlène Colin

iDiddit, la plateforme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignant(e)s La plateforme iDiddit vous donne, par exemple*, accès à : 1. du matériel de cours complémentaire, 2. un manuel numérique, 3. des exercices et des évaluations en ligne, 4. un aperçu des progrès et des résultats de vos élèves 5. et bien plus encore... Vous trouverez de plus amples renseignements concernant l’accès à iDiddit sur : www.vanin.be/fr/ididdit

* En fonction de la méthode

PERSPECTIVE MATH 1 – Guide de l’enseignant(e)

Ce support pédagogique fait partie de la collection Perspective Math des Éditions VAN IN. Nos supports pédagogiques sont développés dans le but que chaque élève puisse s’identifier et se sentir à l’aise avec les images et les textes utilisés. En cas de remarques, vous pouvez contacter les Éditions VAN IN. Nos supports pédagogiques à destination des élèves peuvent être mis à disposition sous forme numérique via NumaBib, le service destiné aux élèves ayant des difficultés de lecture ou d’écriture. Vous pouvez en faire la demande sur www.numabib.be.

IG H T

Composition de Perspective Math 1 Pour l’élève – 1 livre-cahier – un accès au manuel numérique et à des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) – un guide de l’enseignant(e) – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques Maryse Bams, Virginie Caro et Marlène Colin Auteures : Couverture : Nor production Mise en page : Nord Compo Illustrations : Julien Gallot

Certaines images ont été générées par un système d’intelligence artificielle (IA) et ont été approuvées par l’examen du contenu par Shutterstock.

L’orthographe telle que rectifiée le 6 décembre 1990 par le Conseil Supérieur de la langue française est d’application dans la collection. Toutefois, afin de respecter les écrits des auteurs des citations, l’orthographe d’origine y est respectée. Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2026. Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. L’exploration de textes et de données (TDM) n’est pas autorisée.

1re édition : 2026 ISBN 978-94-651-4180-0 D/2026/0078/54 Art. 609317/01

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

INTRODUCTION AU GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Le guide de Perspective Math 1 a pour vocation d’accompagner l’enseignant(e) dans la prise en main du manuel/livre-cahier. Il explicite les principes pédagogiques qui ont guidé sa conception et décrit les différents types de ressources proposées. Il offre des repères pour organiser les apprentissages tout en attirant l’attention sur certaines difficultés et en proposant des dépassements.

Avant d’aborder les notes méthodologiques propres à chaque chapitre, il est toutefois nécessaire de mettre en lumière un certain nombre de caractéristiques communes qui structurent l’ensemble de l’ouvrage. Ces éléments permettent de mieux en comprendre la cohérence et d’en faciliter l’utilisation au fil des chapitres.

Souviens-toi

IG H T

Au début de nombreux chapitres, un questionnaire « Souviens toi » est proposé aux élèves. Il permet de vérifier que les prérequis sont acquis avant d’entamer le nouveau chapitre, chaque exercice ciblant un prérequis précis dont la liste complète est disponible sur la page d’accueil d’iDiddit, dans le document « Objectifs ». Cette phase d’analyse initiale peut être menée de différentes façons : travail individuel (à domicile ou en classe), échanges entre pairs, puis correction individuelle, collective ou sous forme d’autocorrection.

Les exercices proposés sont variés : réponses courtes, QCM, associations, constructions, schémas ou phrases à compléter, rédactions et calculs. Chaque exercice admet une solution unique, ce qui en garantit une correction simple et rapide.

Porte d’entrée dans le chapitre

Les portes d’entrée dans les chapitres sont diversifiées : défi, question de réflexion, planche de BD, article de presse, jeu, chanson.

Dans certains cas, les élèves répondent directement à la question, ce qui favorise la découverte intuitive d’une notion. Dans d’autres, l’exercice est repris en fin de chapitre afin d’être traité une fois les bases théoriques nécessaires acquises.

Indice/Aide Dans les chapitres, les élèves trouveront régulièrement des encadrés orange, facilement repérables grâce au pictogramme « poignée de main ». Ces outils apportent un indice, une clarification ou une aide précieuse. Ils permettent soit de lever le voile sur une nouvelle notion, favorisant le travail en autonomie, soit d’enrichir le sujet avec une information complémentaire.

Espace « Je rédige mon procédé… » GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Cet espace laissé aux élèves pour rédiger leur procédé répond à un besoin cognitif majeur : la verbalisation. En expliquant comment ils développent un procédé pour atteindre un résultat, les élèves clarifient leur propre pensée, identifient les points de blocage potentiels, mémorisent plus durablement en créant leurs propres ancrages mentaux. Cette approche, basée sur la métacognition, renforce le développement d’une visée transversale majeure : apprendre à apprendre.

Je rédige mon procédé pour …

Les élèves peuvent rédiger leur procédé à l’aide de phrases, de mots-clés, de flèches, de codes couleur, de dessins, de tableaux, de petites cartes mentales…

IG H T

L’enseignant(e) accompagne la liberté de rédaction des élèves tout en s’assurant qu’elle ne mène pas à une erreur mathématique. À chaque occurrence de l’encadré, un ou plusieurs exemples de rédaction sont fournis dans ce guide pour illustrer différentes manières de verbaliser le raisonnement.

Animations : GeoGebra

ou vidéo

Lorsque le pictogramme « GeoGebra » ou « vidéo » apparait à côté d’un énoncé, cela signifie qu’une animation est disponible.

Les élèves peuvent y accéder en scannant la page grâce à l’application Capture. Dans celle-ci, ils verront la page s’afficher et pourront sélectionner le pictogramme correspondant à l’animation choisie.

Les animations GeoGebra peuvent prendre différentes formes : • une animation filmée pour observer un phénomène ou une construction dynamique ; • une construction décomposée en étapes permettant de visualiser la progression du raisonnement ou de la construction géométrique ; • un écran interactif, doté des boutons essentiels, permettant aux élèves de réaliser leurs propres constructions via une interface GeoGebra simplifiée. Une version complète de cet outil est disponible sur la plateforme iDiddit afin de tester toutes les fonctionnalités ou de les présenter aux élèves.

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Calculatrice Lorsque le pictogramme « calculatrice » apparait à côté d’un énoncé ou du titre d’un chapitre, cela signifie que les élèves sont autorisés à l’utiliser. Dans ces situations, le calcul mental n’est pas au cœur des attendus. L’objectif est de permettre aux élèves de se concentrer sur le raisonnement, la démarche ou la résolution du problème.

Cette indication répond également à un autre enjeu important : apprendre à utiliser la calculatrice comme un véritable outil. Les élèves doivent progressivement acquérir des réflexes d’usage, comprendre ses fonctionnalités essentielles et savoir en tirer profit dans des situations variées, scolaires comme quotidiennes.

Exercices complémentaires

La théorie en deux rubriques

Une série d’exercices complémentaires, respectant l’ordre des notions abordées, est proposée au terme de chaque chapitre. Ils peuvent servir à remédier, à consolider ou même à dépasser les attendus. Les exercices de dépassement sont identifiables grâce au pictogramme . Le corrigé complet de ces exercices est disponible sur la plateforme iDiddit.

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À la fin de chaque chapitre, la théorie est présentée en deux rubriques : Côté pratique et Côté théorique.

Dans la rubrique Côté pratique, les élèves trouvent des procédures utiles pour les accompagner dans la réalisation des exercices. Il s’agit d’explications de démarches présentées sous la forme d’étapes plus ou moins détaillées et visuelles, souvent illustrées par des exemples, des schémas ou des constructions. Le visuel adopté est original. Son organisation permet de structurer les notions autour d’idées centrales, de rendre les liens plus visibles et d’aider les élèves à mieux comprendre la logique de la démarche. Ce format favorise également une mémorisation plus durable et une appropriation plus autonome des méthodes. L’ensemble de ces documents, rassemblés en fin de chapitre, peut d’ailleurs être conservé pour l’année suivante, car la progression des chapitres est pensée pour assurer une continuité pédagogique cohérente tout au long du parcours.

Dans la rubrique Côté théorique, les élèves retrouvent les notions clés et leur définition, proposées selon leur apparition dans le cours. Cette organisation chronologique permet de consolider les apprentissages en offrant une vue d’ensemble structurée, tout en facilitant éventuellement la mémorisation et le repérage des notions essentielles. Pour une recherche plus rapide, l’intégralité de ces définitions est également accessible par ordre alphabétique sur la plateforme iDiddit.

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Planification des apprentissages Nombre de périodes

Chapitre

Objets de base en géométrie

Nombres et opérations Partie 1. Nombres positifs Partie 2. Nombres négatifs

Repérage dans le plan

Fractions et pourcentages

Figures planes Partie 1. Triangles Partie 2. Quadrilatères Partie 3. Figures complexes

Traitement de données

Périmètre et aire de figures planes

Expressions algébriques

Proportionnalité directe

Isométries

IG H T

R PY O

C G4

15 8 5 2

Différents types de nombres Partie 1. Nombres positifs Partie 2. Nombres négatifs Partie 3. Ensembles de nombres

25 12 13 5 9

20 8 8 4

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Note préliminaire : les notes méthodologiques qui suivent reprennent la pagination du livre-cahier et du manuel. La pagination sera indiquée en bleu lorsqu’elle se réfère au livre-cahier et en turquoise lorsqu’elle renvoie au manuel.

PARTIE 1

Différents types de nombres

p. 11-12

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NOMBRES POSITIFS

DIFFÉRENTS TYPES DE NOMBRES

CHAPITRE 1

p. 11-12

Bande dessinée et exercice 1

La bande dessinée proposée ainsi que l’exercice qui en découle et qui permet une analyse plus détaillée de la situation vont susciter le questionnement chez les élèves.

p. 12

Le but poursuivi est de comprendre qu’une des divisions ne peut se faire de manière équitable, car le prix obtenu en partageant 10 € entre trois pilotes doit être arrondi.

Exercice 2

Une nouvelle convention d’écriture fait son apparition. Le signe opératoire « × », utilisé pour indiquer une multiplication, est remplacé par un point.

2 × 5 = 10

Nouvelle convention d’écriture

2 · 5 = 10

L’objectif est, lors de l’introduction du calcul algébrique, d’éviter toute confusion entre la croix utilisée comme signe opératoire et la lettre « x » utilisée comme variable ou inconnue. ? 2 × x = 2x

Nouvelle convention d’écriture

2 · x = 2x

Les auteurs ont choisi de ne pas attendre le calcul littéral et d’introduire cette nouvelle convention dès ce premier chapitre. En attendant que celle-ci soit rendue obligatoire, les élèves auront la possibilité de s’y familiariser en suivant leur propre rythme, de l’utiliser ou non, de faire cohabiter les deux notations. G5

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Dans le dernier calcul, les élèves doivent utiliser un nouveau type de nombre : la fraction nombre. En effet, pour obtenir un produit égal à 10, ils n’ont pas d’autre choix que de multiplier 10 3 par la fraction nombre . 3 p. 12

p. 12

Exercice 3

Les élèves associent une fraction à un nombre et identifient différents types de nombres : nombre entier positif (= nombre naturel), nombre décimal limité ou nombre décimal illimité périodique.

p. 13 Exercice 1

p. 12

Plusieurs écritures pour un même nombre

IG H T

Il est important d’expliquer aux élèves la notion de période : une période correspond à un chiffre ou à un groupe de chiffres qui se répètent sans fin.

Grâce à l’exemple donné, les élèves associent la barre de fraction au signe opératoire « : ». Ils effectuent alors les différentes divisions proposées. p. 13 Exercice 2

p. 13

Il est intéressant de faire remarquer aux élèves qu’une fraction correspond à un nombre naturel si son numérateur est un multiple de son dénominateur. p. 13

p. 13

Exercice 3

Les élèves disposent de leur calculatrice pour effectuer les divisions et ainsi pouvoir reconnaitre les différents types de nombres pouvant être associés à leur résultat.

4 (= 4 : 0), la calculatrice n’affiche aucun résultat. 0 L’analyse qui suit doit alors leur permettre de comprendre que le dénominateur d’une fraction ne peut pas être nul. En revanche, une fraction dont le numérateur est nul vaut 0.

Cependant, lorsqu’ils doivent effectuer

p. 13-14 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 14 Exercice 5

Les élèves associent différentes écritures d’un même nombre : écriture décimale, écriture fractionnaire et pourcentage. Le pourcentage correspond à l’écriture d’une fraction dont le dénominateur vaut 100.

p. 14-15

Transformation de l’écriture d’un nombre p. 14

Exercices 1, 2 et 3

Exercice 4

p. 15

IG H T

p. 15

Les élèves jonglent avec les différentes écritures d’un nombre : écriture fractionnaire ou écriture décimale. Le dernier énoncé de l’exercice 3 permet d’attirer l’attention sur le fait qu’une fraction dont les numérateur et dénominateur sont égaux vaut 1.

(1) Les élèves doivent se baser sur la définition d’une fraction décimale et sur un exemple de procédé pour transformer une fraction en fraction décimale, puis en nombre décimal.

Dans la consigne, la mention « si possible » doit attirer l’attention sur le fait que certaines transformations sont irréalisables. En effet, ces fractions correspondent à des nombres décimaux illimités. Il est donc impossible de les transformer en un nombre précis de dixièmes, centièmes, millièmes… Voici une explication plus détaillée qui peut servir à l’enseignant(e).

Pour transformer une fraction en une fraction décimale équivalente, il faut que la décomposition première (= décomposition en un produit de facteurs premiers) de son dénominateur ne soit composée que de facteurs 2 et/ou 5.

7 est possible, car 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5. 20 1 La transformation de est impossible, car 6 = 2 ∙ 3. 6 (2) Il peut être intéressant de mettre en évidence la période en la soulignant. Si l’enseignant(e) le souhaite, il (elle) peut également proposer aux élèves une autre manière d’écrire un nombre décimal illimité périodique.

La transformation de

1 = 0,166… 6 6 = 0,857 142 857 142… 7

1 = 0,16. 6 6 La période est « 857142 », on peut écrire = 0,857142. 7 La période est « 6 », on peut écrire

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Fractions équivalentes p. 16

p. 15-16

Exercice 1 7 9 et . 14 18 Il est important d’insister auprès des élèves sur le fait qu’une fraction est un moyen d’écrire 3,5 4,5 un quotient de deux nombres entiers : et ne sont pas des solutions acceptables. 7 9 p. 16

p. 17

(2) Les cartes de valeurs 7 et 9 n’ont pas été utilisées. Les seules solutions possibles sont

Exercice 3

Les élèves doivent justifier leur choix en indiquant des flèches et une même opération sur cellesci. Le critère d’équivalence exploité est le suivant : « Deux fractions sont équivalentes si, en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’une par un même nombre entier non nul, on obtient le numérateur et le dénominateur de l’autre. » p. 17

IG H T

p. 18

Je rédige mon procédé pour rendre une fraction irréductible Exemple de rédaction

Je divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par un diviseur commun non nul.

Lorsque le seul diviseur commun est 1, la fraction est irréductible. : 20

40 20 10 2 = = = 60 30 15 3

p. 18

Fraction irréductible

: 20

p. 17

Exercice 10 Dans cet exercice, les élèves transforment un nombre décimal limité en fraction irréductible en passant par la fraction décimale. Si l’enseignant(e) le souhaite, il est possible de montrer, en dépassement, comment transformer un nombre décimal illimité périodique en fraction irréductible. Un document reprenant ces exemples se trouve en téléchargement sur iDiddit. G8

n = 3,66…

n = 0,6363…

n = 1,833…

Période : 6

Période : 63

Période : 3

10n = 36,66…

100n = 63,6363…

10n = 18,33…

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Exemples : transformation d’un nombre décimal illimité périodique (n) en fraction irréductible.

10n – n = 36,66… – 3,66… 100n – n = 63,6363… – 0,6363… 10n – n = 18,33… – 1,833… 99n = 63 99 11 n= = 63 7

9n = 16,5 90n = 165

9n = 33 33 11 n= = 9 3

p. 19

p. 17-18

Exercices 1, 2, 3, 4 et 5

Droite graduée

165 11 = 90 6

IG H T

Les élèves sont capables de placer un nombre entier ou décimal sur une droite graduée. En revanche, ils découvrent et utilisent la notion d’abscisse d’un point et sa notation. Cette illustration peut être un moyen de faire le lien entre l’abscisse et la droite graduée.

p. 20

p. 18

Exercice 6

Les repères choisis dans cet exercice permettent de placer aisément les fractions demandées. (1) La distance entre 0 et 1 est de 8 cm, ce qui facilite le repérage des demis, des quarts et des huitièmes.

(2) La distance entre 0 et 1 est de 3 cm, ce qui facilite le repérage des tiers et des sixièmes. (3) La distance entre 0 et 1 est de 6 cm, ce qui facilite le repérage des demis, des tiers, des quarts et des sixièmes.

p. 20

p. 19

Je rédige mon procédé pour placer une fraction ou un nombre décimal sur une droite graduée Exemple de rédaction 1) Je repère les abscisses indiquées et je détermine la valeur d’une graduation en regardant en combien de parts l’intervalle est divisé. 2) J e place l’abscisse demandée en la comparant à la valeur de chaque graduation. Si nécessaire, je transforme l’abscisse en nombre décimal ou en fraction équivalente ou j’adapte la graduation.

4 parts 0

1 4 0,25

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Encadrement et valeurs approchées

p. 22-23

p. 20-21

Exercice 1 La bande dessinée montre, de manière humoristique, l’ambigüité de certains mots de la langue française. L’encadrement demandé doit bien être vu comme une notion mathématique.

(4) Voici quelques pistes pour illustrer de manière plus concrète les nouveaux mots de vocabulaire rencontrés :

• valeur approchée « par défaut », car il manque une partie : être en défaut d’assurance, être pris en défaut si un devoir n’est pas rendu ;

p. 23

p. 21

• valeur approchée « par excès », car il y a une partie en trop : être en excès de poids, être en excès de vitesse.

Exemples de rédaction

IG H T

Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive, avec la calculatrice

1) J’effectue la division à la calculatrice.

2) J e lis, à la précision demandée, la valeur décimale plus petite (la V.A.D.) et j’en déduis la valeur décimale plus grande (la V.A.E.). 3) Je note l’encadrement sous la forme V.A.D. < Fraction < V.A.E.

36 au centième près 13

Encadrement de

36 = 2,769 230... 13 36 2,76 < < 2,77 13

+ 0,01 (un centième)

p. 25

p. 22

Exercice 6 Encadrer sans utiliser la calculatrice se fait facilement si on se limite à l’unité près. Pour déterminer la V.A.D., à l’unité sans calculatrice, les élèves peuvent effectuer la division mentalement ou par calcul écrit et retenir uniquement la partie entière. Une autre technique, plus efficace, consiste à déterminer combien de fois le dénominateur est contenu dans le numérateur. G10

p. 22 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 25

Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive à l’unité près, sans calculatrice Exemple de rédaction 1) Je détermine combien de fois le dénominateur est contenu dans le numérateur de la fraction : le nombre obtenu est la valeur approchée par défaut (V.A.D.) de la fraction.

22 4 4 est contenu un peu plus de 5 fois dans 22, car 4 ∙ 5 = 20. 22 22 est donc compris entre 5 et 6 : 5 < <6 4 4

IG H T

Encadrement de

2) J’ajoute une unité à ce nombre pour déterminer la valeur approchée par excès (V.A.E.) de la fraction.

H Arrondis p. 25

p. 22

Exercice 1

En calculant les prix, les élèves obtiennent des nombres décimaux qu’ils doivent arrondir au centième près, un montant s’exprimant au cent près. C’est en observant l’affichage des prix sur les pompes qu’ils pourront déduire la règle d’arrondi applicable. p. 26

p. 22

Je rédige mon procédé pour arrondir un nombre, la précision étant donnée Exemple de rédaction

Je regarde le chiffre qui suit celui du degré de précision demandé. → Si c’est 0, 1, 2, 3 ou 4, l’arrondi est la V.A.D. → Si c’est 5, 6, 7, 8 ou 9, l’arrondi est la V.A.E.

Exemples d’arrondis au centième près : 12,2649 ≅ 12,26 12,2693 ≅ 12,27 12,265 ≅ 12,27 4 donc V.A.D.

9 donc V.A.E.

5 donc V.A.E.

G11

PARTIE 2 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

NOMBRES NÉGATIFS A

Nombres entiers p. 24-25

p. 28-29 Exercice 1

(1) et (2) Le thermomètre est un matériel intuitif qui permet aux élèves de repérer facilement des nombres positifs et des nombres négatifs. Sa représentation tout d’abord verticale bascule pour devenir une droite graduée horizontale classique. Les élèves découvrent les nombres entiers négatifs par le biais de l’opposé des nombres naturels. L’ensemble des naturels s’étoffe pour devenir celui des entiers. (3) Un indice permet aux élèves de découvrir la notion de valeur absolue d’un nombre. Celle-ci est utile pour la rédaction de la définition de deux nombres opposés. p. 25

IG H T

p. 29

Je rédige ma définition de deux nombres opposés Exemple de rédaction

Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même valeur absolue et des signes contraires.

p. 25

p. 29

Je rédige mon procédé pour comparer deux nombres entiers Exemples de rédaction

plus grand

du plus petit

Deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue. Un nombre positif et un nombre négatif : le plus grand est le nombre positif. Deux nombres négatifs : le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

G12

Autres nombres négatifs

p. 30-31

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 26

Exercices 1 et 2

p. 31-32

Les nombres décimaux et les fractions possèdent également des opposés. La droite graduée est toujours vue comme un outil qui permet de repérer des nombres facilement et de les comparer. p. 26-27

Exercices 3, 4 et 5

Comparaison p. 32

IG H T

Les élèves sont capables d’écrire ces nouveaux nombres négatifs sous leur forme décimale ou fractionnaire. Ils peuvent distinguer l’écriture d’un nombre entier de celle d’un nombre décimal limité ou de celle d’un nombre décimal illimité périodique.

p. 27-28

Exercices 1 et 2

p. 28

p. 33

Les élèves sont capables de placer un nombre positif et son opposé sur une droite graduée. Ils peuvent donc utiliser celle-ci pour comparer ou classer des nombres positifs et négatifs.

Exercice 3

En plaçant des nombres entiers, décimaux et fractionnaires (fractions irréductibles ou non) sur une droite graduée, les élèves repèrent les égalités entre différentes écritures. Ils utilisent ensuite cette droite comme un support concret pour les comparer et les ordonner avec précision.

G13

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 33

p. 28

Je rédige mon procédé pour comparer tous les types de nombres Exemples de rédaction 1) Je transforme chaque nombre en nombre décimal. 2) J’utilise la règle de la valeur absolue. –1,3 < 3,2

1,3 < 3,2

– et –

– et +

+ et +

Le plus petit a la plus grande valeur absolue.

Le plus petit est le négatif.

Le plus petit a la plus petite valeur absolue.

–3,2 < –1,3

1) Je transforme chaque nombre en nombre décimal. 2) J’utilise la droite graduée. –3,2

–1,3

1,3

3,2

Encadrement et valeurs approchées p. 34

Exercice 1

p. 29

IG H T

–3,2 < –1,3 < 1,3 < 3,2

Les élèves sont capables d’encadrer des nombres positifs à un degré de précision donné. Pour étendre cette notion aux nombres négatifs, ils commencent par analyser des énoncés en langage courant. Ensuite, en formalisant mathématiquement deux encadrements, l’un pour un nombre positif et l’autre pour son opposé, ils constatent la similitude des procédés utilisés.

p. 35

p. 29

Je rédige mon procédé pour encadrer un nombre négatif à l’unité près Exemple de rédaction 1) J’encadre l’opposé du nombre négatif donné (nombre positif) entre deux entiers consécutifs.

2) J e prends l’opposé de ces deux entiers et j’inverse leur position pour encadrer le nombre négatif afin de conserver l’ordre croissant. Pour encadrer –2,5 J’encadre son opposé : 2 < 2,5 < 3. Je prends les opposés et j’inverse leur position : –3 < –2,5 < –2. G14

Arrondis p. 37

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 31

Exercice 1

PARTIE 3

p. 33

Exercice 1

p. 38-39

ENSEMBLES DE NOMBRES

Les élèves ont vu qu’arrondir un nombre positif revient à déterminer la valeur approchée la plus proche de la valeur exacte, à un degré de précision donné. Le procédé est identique pour un nombre négatif : les arrondis respectifs de deux nombres opposés sont opposés.

IG H T

(1) Les élèves classent les nombres présents sur des objets du quotidien. Aucun nom n’est pour le moment donné à la troisième colonne du tableau. (2) La dernière proposition permet de faire un premier emboitement des ensembles. L’enseignant(e) doit attirer l’attention des élèves sur le fait qu’un nombre entier n’est pas un nombre naturel, mais que la réciproque est correcte : un nombre naturel est un nombre entier.

(3) À la lecture de l’indice, les élèves découvrent la notion de nombre rationnel et prennent conscience que tous les nombres qu’ils ont rencontrés dans ce chapitre sont des nombres rationnels. L’enseignant(e) peut le montrer en écrivant tous les nombres de l’exercice (1) en fractions. Il (Elle) peut également expliquer qu’il existe des nombres décimaux illimités non périodiques, appelés nombres irrationnels. Les élèves rencontreront d’ailleurs le nombre pi au chapitre 8. p. 39

p. 34

Exercice 2

Les élèves organisent les ensembles de nombres rencontrés dans ce chapitre : naturels, entiers et rationnels. La notion d’inclusion d’un ensemble dans un autre doit être expliquée, mais n’est pas formalisée en langage mathématique. Il est possible de poser des questions aux élèves pour affiner leur analyse et permettre plus facilement d’attribuer les étiquettes aux ensembles : • Un nombre entier est-il toujours un nombre naturel ? Non, mais l’inverse est correct. • Un nombre entier est-il toujours un nombre rationnel ? Oui, puisqu’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction. • Quel est le plus petit ensemble de nombres ? L’ensemble des nombres naturels. • Quel est l’ensemble qui englobe tous les autres ? L’ensemble des nombres rationnels.

G15

L’enseignant(e) peut donner une image plus concrète pour expliquer les ensembles imbriqués. GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

 représente tous les élèves de l’école.  représente tous les élèves de première année.  représente les élèves de notre classe de première année. Un élève de notre classe est donc aussi un élève de première année, qui est aussi un élève de l’école.

Un élève de première année d’une autre classe n’est pas dans notre classe, mais est bien dans l’école.

Un élève de deuxième année n’est pas dans notre classe, n’est pas un élève de première année, mais est bien dans l’école. p. 34

Exercice 4

p. 40

p. 35

p. 40

IG H T

Avec les propositions « entiers négatifs » et « rationnels non entiers », les élèves travaillent les sous-ensembles de ,  et . Ils peuvent s’appuyer sur l’image mentale de l’œuf sur le plat dans une assiette. Cette analogie illustre parfaitement le concept des ensembles imbriqués, où chaque catégorie est contenue dans la suivante.

Exercice 5

La découverte des symboles ∈ ou ∉ dans cet exercice prépare les élèves aux notions du chapitre 2, où leur utilisation sera considérée comme acquise.

G16

CHAPITRE 1

Différents types De nombres

souviens-toi 1. Place les nombres 3, 5, 8 et 10 sur les lignes graduées.

1,5

IG H T

2. Recopie le nombre en groupant correctement les chiffres. Ensuite, écris-le en toutes lettres. 360 000

360000 =

Trois-cent-soixante-mille

12300000 = 12 300 000

Douze-millions-trois-cent-mille

3. Écris le chiffre correspondant à chaque rang indiqué dans le nombre 521,437 8. Unité :

Dixième : 4 Millième : 7

Dizaine : 2

4. Pour chaque cas, place correctement la virgule dans le nombre 43678 si tu sais que… 6 est le chiffre des centièmes : 4,367 8

6 est le chiffre des dizaines :

4 367,8

5. Complète par < ou >.

La hauteur (h) de cette maison est de moins de 7 mètres : h < 7 m.

La distance (d) entre l’école et mon domicile est inférieure à 15 kilomètres : d < 15 km. Il y a plus de 20 bonbons (b) dans ce sachet : b > 20. Marie (M) est plus grande que Sophie (S) : S < M.

6. Ordonne de façon croissante 100 ; 1,1 ; 1,01 ; 100,1. 1,01 < 1,1 < 100 < 100,1 7. Ordonne de façon décroissante 4,2 ; 2,4 ; 24 ; 24,2 ; 22,4. 24,2 > 24 > 22,4 > 4,2 > 2,4

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 9

19/02/2026 15:02

8. Écris la fraction qui correspond à chaque situation. Note le numérateur en rouge et le dénominateur en bleu.

3 8

Colorier en vert trois côtés d’un carré.

Partager équitablement un sachet de bonbons entre sept enfants, prendre ta part et celle de l’enfant absent. 2 7

Découper une pizza en huit parts égales et en manger trois.

Acheter cinq bouteilles d’eau et en boire deux.

2 5

Remplir un arrosoir et demi.

3 4

Jouer au Trivial Pursuit et gagner quatre camemberts. 4 2 = 6 3

IG H T

3 2

9. La gourde d’Emmy peut contenir 500 ml d’eau. Il reste 300 ml.

1 300

1 500

(1) Entoure la fraction qui illustre la situation. 300 500

400 ml

500 300

300 ml 200 ml

(2) Entoure le pourcentage qui illustre la situation. 30 %

50 %

100 ml 0 ml

60 %

10 %

500 ml

10. Une fraction de chaque figure est colorée. Indique le numéro de la figure à côté de chaque fraction correspondante.

n° 1

n° 2

3 n° 2 9

6 n° 3 30

6 n° 1 12

1 n° 1 2

1 n° 2 3

1 n° 3 5

n° 3

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MATHSPACTELC_Chap01.indd 10

19/02/2026 17:26

PARTIE 1

nombres positifs Différents types de nombres

Lise ! Jette un œil là-dessus !

IG H T

SAM 5 AVRIL À 14 h

Bonne idée ! Alba et moi, on paiera 3,33 € pour l’inscription et toi, 3,34 €.

Mais ce n’est pas juste, Jude ! Le partage doit être équitable !

On ferait bien équipe tous les trois pour participer à la course de cuistax !

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 11

19/02/2026 15:02

1. (1) Complète le tableau. Nombre de pilotes

Prix à payer par pilote (au cent près)

Vérification

10 : 2 = 5 €

5 × 2 = 10 €

10 : 3 = 3,33 € (ou 3,34 €)

10 : 4 = 2,50 €

2,50 × 4 = 10 €

10 : 5 = 2 €

2 × 5 = 10 €

3,33 × 3 = 9,99 €

(ou 3,34 × 3 = 10,02 €)

(2) Explique pourquoi Lise, Jude et Alba ne peuvent pas tous payer le même montant lors de l’inscription. Si chaque participant paie 3,33 €, il manque 0,01 € et si chaque joueur paie 3,34 €,

IG H T

il y a 0,02 € en trop. 2. Par quel nombre faut-il multiplier… 2 pour obtenir 10 ? 2×

= 10

5 pour obtenir 10 ? 2

= 10

5×

Nouvelle convention d’écriture

2·

= 10

5·

= 10

4 · 2,5

= 10

10 3

= 10

4 pour obtenir 10 ? 2,5

= 10

4×

3 pour obtenir 10 ? 10 3× = 10 3

3·

3. Détermine le nombre correspondant à chaque fraction et décris-le. 10 = 2

nombre entier positif (= nombre naturel)

10 = 5

nombre entier positif (= nombre naturel)

10 = 4

2,5

nombre décimal limité

10 = 3

3,33… nombre décimal illimité périodique

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 12

19/02/2026 15:02

plusieurs écritures pour un même nombre

1. Retrouve l’écriture décimale de chacune des fractions en suivant l’exemple. Exemple :

5 = 5 : 2 = 2,5 2 321 = 321 : 1 000 = 0,321 1 000

179 = 179 : 100 = 1,79 100

17 = 17 : 2 = 8,5 2

9 = 9 : 4 = 2,25 4

11 = 11 : 5 = 2,2 5

19 = 19 : 19 = 1 19

11 = 11 : 1 = 11 1

0 = 0 : 23 = 0 23

3 = 3 : 10 = 0,3 10

21 3

3 4

2. Entoure les fractions qui correspondent à des nombres naturels. 16 8

6 42

7 10

42 6

70 10

IG H T

3. (1) À quel type de nombres correspond chaque fraction ? Coche la bonne réponse. 7 10

Naturel

Décimal limité

15 3

0 3

5 12

5 2

4 0

Décimal illimité périodique

(2) Pour une des fractions, tu n’as pu cocher aucun type de nombres. Explique ce que la calculatrice affiche au moment du résultat.

4 La calculatrice affiche un message d’erreur pour la fraction . 0 Cela signifie qu’aucun nombre ne correspond à cette fraction.

(3) Justifie en vérifiant les égalités et complète la phrase. 15 = 3

, car 15 =

3·5

4 = « Error » , car 4 = 0

0·…

Le dénominateur d’une fraction ne peut pas être nul.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 13

19/02/2026 15:02

4. Relie chaque fraction à son écriture décimale. 4 5 •

9 3 •

5 4 •

10 2 •

• 3

• 5

• 0,2

• 1,25

• 0,8

2 10 •

5. Entoure dans une couleur identique les différentes écritures d’un même nombre.

3 4

VA 50 %

20 %

100 %

50 100

25 100

10 100

75 100

100 100

1 2

1 10

1 4

1 1

1 5

0,1

0,5

0,25

0,75

0,2

75 %

IG H T

20 100

10 %

11 = 0,11 100

25 %

11 % =

L’expression « pour cent » provient du latin per centum qui signifie « par cent ».

transformation de l’écriture d’un nombre

1. Dans chaque cas, entoure l’(les) écriture(s) équivalente(s) au nombre proposé.

4 10

4,10

0,4

0,04

4,0

1 100

1,00

1,100

0,01

0,1

1,03

130 100

13 10

13 100

103 100

2,5

25 10

2 5

10 4

5 2

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 14

19/02/2026 15:02

2. Transforme chaque nombre décimal en fraction. 7 9 0,9 = 0,07 = 100 10 1,11 =

111 100

1,9 =

19 10

2,267 =

2 267 1 000

0,023 =

23 1 000

3. Donne l’écriture décimale de chaque fraction. 179 = 100

1,79

321 = 0,321 1 000

7 = 0,07 100

206 = 10

20,6

41 = 0,041 1 000

1 = 2

25 = 5

13 = 13

0,5

0,6

6 = 10

4. (1) Comme dans l’exemple proposé, transforme, si possible, chaque fraction en une fraction décimale équivalente puis convertis-la en nombre décimal.

IG H T

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1 000, 10 000… 9 47 951 , et sont des fractions décimales. 10 100 1 000

·4

23 25

92 = 0,92 100

Exemple :

·4

88 11 = 0,088 = 1 000 125

6 = 7

35 7 = 0,35 = 20 100

1 = 6

375 3 = 0,375 = 1 000 8

132 33 = 0,132 = 250 1 000

146 73 = 1,46 = 100 50

8 4 = = 0,8 10 5

21 525 = 0,525 = 40 1 000

(2) Recopie les fractions qui ne possèdent pas de fractions décimales équivalentes. Donne leur écriture décimale et décris les nombres obtenus. 1 6

= 0,166 666 666

6 7

= 0,857 142 857

Ce sont des nombres décimaux illimités périodiques.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 15

19/02/2026 15:02

5. Au football, lors d’une séance d’entrainement, Ambre a réussi 7 pénaltys sur 10 tentatives alors que Mathéo en a réussi 17 sur 25. Détermine le taux de réussite de chacun en pourcentage. Taux de réussite d’Ambre :

Taux de réussite de Mathéo :

70 7 = = 70 % 10 100 68 17 = = 68 % 25 100

fractions équivalentes

IG H T

1. (1) À l’aide de la valeur figurant sur les dix premières cartes d’un jeu de cartes, crée cinq fractions équivalentes, toutes égales à 0,5.

0,5 =

4 =

(2) Donne à présent une valeur à la dame et au roi pour pouvoir utiliser les deux cartes qui n’ont pas été sélectionnées dans l’exercice précédent.

0,5 =

9 =

R = 18 (14)

D = 14 (18)

2. Entoure les fractions équivalentes à 3 . 12 30 120

9 24

1 4

15 60

1 3

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 16

19/02/2026 15:02

3. Retrouve les paires de fractions équivalentes et note-les sous la forme d’une égalité. Justifie ton choix en indiquant les opérations permettant de passer de l’une à l’autre. 22 26

40 500

8 10

;

30 20

;

10 125

40 50

;

11 13

;

90 60

·5

·3

22 11 = 26 13

40 10 = 500 125

8 40 = 10 50

30 90 = 20 60

·5

;

·3

11 33 = 12 36

7 70 = 10 100

30 36

15 18

80 4 40 20 = = = 50 100 25 5

4 2 = 4 8

4. Complète les fractions.

25 15 5 45 = = = 100 60 20 180

1 = 2

10 20

IG H T

5. Écris les fractions sous la forme d’une fraction équivalente dont le numérateur vaut 10. 30 = 90

10 30

5 = 20

10 40

6. Écris les fractions sous la forme d’une fraction équivalente dont le dénominateur vaut 12. 3 12

24 = 6

1 = 4

48 12

24 = 48

6 12

7. Écris la fraction 15 sous la forme d’une fraction dont le… 21 75 105

dénominateur vaut 84 :

60 84

numérateur vaut 75 :

8. Écris chaque fraction sous la forme d’une fraction équivalente dont le dénominateur est le plus petit possible. Complète ensuite la phrase. 16 4 = 20 5

18 2 = 45 5

15 = 30

1 2

20 2 = 30 3

11 11 = 12 12

40 = 90

4 9

Les fractions équivalentes trouvées sont dites irréductibles.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 17

19/02/2026 15:03

Je rédige mon procédé pour rendre une fraction irréductible

IG H T

9. Rends les fractions irréductibles. 1 10 = 5 50

27 3 = 36 4

3 6 = 4 8

2 14 = 5 35

3 24 =3 = 1 8

100 1 = 4 400

12 4 = 27 9

50 2 = 75 3

375 3 = 500 4

2 12 = 3 18

15 3 = 25 5

40 2 = 60 3

10. Écris la fraction irréductible correspondant à chaque nombre décimal. 3 75 = 100 4

0,06 =

3 6 = 100 50

0,81 =

0,15 =

15 3 = 100 20

2,4 =

24 12 = 10 5

3,5 =

0,2 =

2 1 = 10 5

1,1 =

11 10

1,25 =

0,75 =

81 100

35 7 = 10 2 125 5 = 100 4

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 18

19/02/2026 15:03

Droite graduée

1. (1) Sur la droite graduée, détermine le nombre correspondant aux différents points bleus. B

4,2

6,8

8,5

Sur une droite graduée, chaque point peut être associé à un nombre qu’on appelle abscisse du point. L’abscisse du point B est 1.

On note : abs B = 1.

Abscisse vient du mot latin abscissa qui signifie « ligne coupée ». (2) Complète. abs A = 0

abs C = 3

abs D = 4,2

abs E = 6,8

abs F = 8,5

(1)

3 abs M = 2,5 X

(2)

IG H T

2. Détermine l’abscisse de chaque point nommé.

abs N = 5,5

abs P = 7

abs X = 1,76

2,7

abs Y = 2,12

abs V = 2,35

3. Place, sur la droite graduée, les points W, X, Y et Z si tu sais que… abs W = 2,5 abs X = 8,4 abs Y = 0,5 W

0 0,5 1

2,5

4,7

8,4

A Y B

abs Z = 4,7

4. Place, sur la droite graduée, les points A, B et C si tu sais que… abs C = 1,2 abs B = 0,8 abs A = 0,3 0

0,3

0,8

1,2

5. Place, sur la droite graduée, les nombres 3,1 ; 3,35 ; 3,7 ; 4,1. 3

3,1

3,35

3,7

3,9

4,1

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 19

19/02/2026 15:03

6. Place, sur chaque droite graduée, les fractions données. 1 3 1 3 , , et 2 4 8 2 0

1 2

3 2

7 3

1 1 7 1 ; ; et 3 2 6 4 0

1 1 4 3

1 2

7 6

9 3

2 3

2 1 7 9 , , et 3 6 3 3 0 1

(3)

3 4

(2)

1 8

IG H T

(1)

7. Complète chaque égalité par une fraction et par le nombre décimal qui lui correspond. A 0

10 =2 5

abs D =

2 = 0, 4 5

abs B =

6 = 1, 2 5

abs C =

12 = 2, 4 5

abs A =

Je rédige mon procédé pour placer une fraction ou un nombre décimal sur une droite graduée

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 20

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Comparaison

1. À l’entrée d’un parc d’attractions, on peut trouver une affiche reprenant les différents tarifs pratiqués. Claude est père de famille, il mesure 1,80 m. Il souhaite passer une journée dans le parc d’attractions accompagné de ses deux enfants, Pierre et Julie, mesurant respectivement 95 cm et 1,38 m. Détermine la somme totale que Claude devra débourser pour passer la journée dans ce parc d’attractions accompagné de ses deux enfants. Justifie.

AttractionLand

44€ 49€

Le tarif pour Claude est de 49 €, car 1,80 m > 1,40 m. Le tarif pour Pierre est de 0 €, car 0,95 m < 1 m.

GRATUIT

Le tarif pour Julie est de 44 €, car 1,38 m > 1 m

MOINS DE 1,40 M

MOINS DE 1M

et 1,38 m < 1,40 m.

À PARTIR DE 1,40 M

IG H T

La somme totale déboursée par Claude est de 93 € (49 + 44 + 0).

2. (1) Place, sur la droite graduée, les nombres 1 ; 0,6 ; 1,9 ; 8 ; 3 et 0,8. 5 5 5 0

0,6 3 5

1 5

0,8

1,9

8 5

0,6

0,8

(2) Complète par <, > ou =.

1,9

8 5

0,6

3 5

0,8

3 5

1 5

3 5

8 5

3 38 8 < 5 55 5

1,9

3. Complète par <, > ou =. 0,01

0,001

8,1

0,010

0,75

8,101

0,3

3,999

> 3,909

8,100

3 4

1 3

3 5

0,33…

0,8

0,6

4. Classe dans l’ordre décroissant 2 ; 0,6 ; 0,66 ; 0,44 ; 1 ; 0,24 ; 2 . 3 4 5 2 2 1 0, 66 0, 6 0, 44 0, 24 3 5 4 0,666… 0,660

0,600

0,40

0,25

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 21

19/02/2026 15:03

encadrement et valeurs approchées

1. Lis attentivement la bande dessinée.

SAMEDI, CHEZ LISE.

Dis, Lise, Sais-tu encadrer la fraction ?

IG H T

Mais bien entendu… Regarde !

Mais pas du tout… Tu l’as encadrée alors que je te demandais de l’encadrer, au sens mathématique…

Et bien, voici comment on encadre !

Ah ? Non, je ne sais pas…

Merci Alba ! Comme notre langue est subtile !

(1) Comment appelle-t-on la notation rencontrée dans la BD ? Quel est son degré de précision ? 11 Cette notation est l’encadrement de à l’unité près. 4

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 22

19/02/2026 15:03

(2) Que signifie cette notation ? Cela signifie que

11 est supérieur à 2 et inférieur à 3. 4

11 est compris entre 2 et 3. 4 11 (3) Donne l’écriture décimale de . 4 11 = 2,75 4 (4) Complète les phrases et les inégalités.

, car

11 . 4

11 4

La valeur approchée par défaut à l’unité près de La valeur approchée par excès à l’unité près de

(2) Encadre 7 … 6 à l’unité près :

11 est 4 11 est 4

IG H T

2. (1) Donne l’écriture décimale de 7 . 6 7 = 1,166… 6

, car

7 1,17 6 7 au millième près : 1,166 1,167 6 au centième près :

1,16

au dixième près :

7 2 6 7 1,1 1,2 6 1

11 est 2,75. 4

La valeur exacte de

Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive, avec la calculatrice

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 23

19/02/2026 15:03

3. Réponds aux questions en indiquant ton calcul, la valeur approchée que tu as choisie ainsi que son degré de précision. (1) Un barman doit remplir des verres de 15 cl. Combien de verres pourra-t-il remplir avec une bouteille de 1 l ? 1 l = 100 cl

100 : 15 = 6,66…

Je choisis la valeur approchée par défaut à l’unité près.

80 : 25 = 3,2

(2) Un jardinier doit clôturer un potager de 80 m de périmètre. Combien de rouleaux de 25 m de fil doit-il acheter ?

Le barman pourra remplir 6 verres mais pas 7.

Il doit acheter 4 rouleaux de fil, car 3 rouleaux ne suffisent pas.

Je choisis la valeur approchée par excès à l’unité près.

4. Détermine la valeur approchée par défaut (V.A.D.) ou la valeur approchée par excès (V.A.E.) au degré de précision demandé.

IG H T

3 au centième près : 0,43 7 33 La V.A.D. de au millième près : 3,666 9 284 La V.A.E. de au dixième près : 15 ou 15,0 19 54 5 La V.A.E. de à l’unité près : 13 7 La V.A.E. de au dixième près : 2,4 3

La V.A.E. de

3 0, 43) 7 33 3, 667 ) (3,666 9 284 15, 0 ) (14, 9 19 54 (4 5) 13 7 (2, 3 2, 4 ) 3 (0, 42

5. Coche la bonne réponse.

4,71 est…

16 est…

la valeur exacte de… une V.A.D. de… une V.A.E. de… la valeur exacte de… une V.A.D. de… une V.A.E. de… la valeur exacte de… une V.A.D. de… une V.A.E. de…

(4,71 <)

33 (< 4,72) 7 240 (= 16) 15

(15 <)

47 (< 16) 3

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 24

19/02/2026 15:03

6. Encadre à l’unité près. 5

22 < 4

71 < 9

99 < 12

34 < 5

100 < 8

55 < 3

H Arrondis

IG H T

Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive à l’unité près, sans calculatrice

1. Voici les écrans de trois pompes à essence d’une station-service.

Pompe 1

Pompe 2

Pompe 3

Écris le calcul qui te permet de déterminer le prix à payer par client et effectue-le. Compare tes réponses avec les prix affichés à la pompe. Note tes observations. 51,26 . 1,743 = 89,346 18 €

Pompe 2 :

36,47 . 1,617 = 58,971 99 €

Pompe 3 :

33 . 1,725 = 56,925 €

Pompe 1 :

Le prix affiché à la pompe correspond au résultat arrondi au centième près. Pour arrondir au centième près, on prend la V.A.D. si le chiffre des millièmes est inférieur à 5 et la V.A.E. s’il est égal ou supérieur à 5.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 25

19/02/2026 15:03

IG H T

Je rédige mon procédé pour arrondir un nombre, la précision étant donnée

2. Calcule le prix à indiquer sur l’écran de chacune des pompes. 1,743 . 25 = 43,575

Prix à payer : 43,58 €

1,564 . 42,14 = 65,906 96

Prix à payer : 65,91 €

1,617 . 38,14 = 61,672 38 Prix à payer : 61,67 €

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 26

19/02/2026 15:03

3. Tom prépare le thé et fait chauffer de l’eau. Il dit qu’elle atteint 95 °C, mais il arrondit cette température au degré près. Quelle pourrait être la température exacte de l’eau ? Entoure les bonnes réponses. 95,3 °C

94,2 °C

94,5 °C

95,5 °C

143 m 5. Mila a obtenu 12,87 sur 20 de moyenne aux évaluations de la période. (1) Calcule sa moyenne…

sur 20, arrondie à l’unité près. 13/20

4. Dans un concours de lancer de frisbee, un concurrent atteint la distance de 143,47 m. Arrondis cette distance au mètre près.

en pour cent, arrondie au pour cent près. 12,87 . 5 = 64,35 ≅ 64 %

13 65 = 20 100 65 64 100 100

IG H T

Les valeurs ne sont pas équivalentes.

(2) Les deux valeurs trouvées sont-elles équivalentes ? Explique.

6. La vitesse de la lumière est de 299 792 458 m/s. Entoure l’arrondi correct de cette vitesse. 3 000 m/s

3 000 000 m/s

30 000 m/s

300 000 000 m/s

7. En Grande-Bretagne, la monnaie est la livre sterling. Tom se rend à Londres et souhaite échanger 100 €. Quel montant, en livre sterling et au cent près, recevra-t-il si le taux de change du jour est 1 € = 0,852 15 GBP (Great Britain Pound) ?

100 . 0,852 15 = 85,215 ≅ 85,22 GBP

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 27

19/02/2026 15:03

PARTIE 2

nombres néGAtifs A

nombres entiers

1. (1) Sur les différentes coupures de presse proposées, repère les villes pour lesquelles les températures ont été relevées. Écris, sur le thermomètre, le nom de chacune d’elles en face de la température qui lui correspond.

Au même moment, un jour du mois de janvier dans le monde…

°C

IG H T

Madrid 5 4

3 3 Rome 2 Tokyo 2 1

Londres 1

0 –1

–2

–1

–3

–2

–4

–3

Washington Berlin

Fribourg –5

–4

Prague –6

–5 –6

me Ro

Ma d

rid Lo nd res Ro me

–7

Ma 28

Stockholm –7

nd r

6 5 4 3 2 1 0

Température (°C)

Alors que Washington et Tokyo sont deux villes situées à des longitudes très proches, on y observe des températures opposées.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 28

19/02/2026 15:03

(2) Reporte les températures sur la droite graduée. Nomme chaque point par la première lettre de la ville correspondante. S

-6

-5 -4 -3

-2

(3) Washington et Tokyo enregistrent des températures opposées. Décris la position des points W et T sur la droite graduée.

Les points W et T sont situés à la même distance du point d’abscisse 0.

|2| =

Complète : | -2 | =

La valeur absolue d’un nombre est sa distance par rapport à 0. Elle se note entre deux barres verticales.

IG H T

Je rédige ma définition de deux nombres opposés

(4) À l’aide du thermomètre que tu as complété, réponds aux questions. À Tokyo (2 > -2)

Fait-il plus froid à Berlin ou à Stockholm ?

À Stockholm (-6 < -3)

Fait-il plus chaud à Tokyo ou à Washington ?

(5) Complète par < ou >. 3

-3 < 1

-5 < 0

-3 > -4

5 >

2 > -4

-6 < -4

-5 < -2

1 <

Je rédige mon procédé pour comparer deux nombres entiers

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 29

19/02/2026 15:03

2. Colorie les paires de nombres opposés. -4

100

-208

-16

-1

-123

265

100

-25

-11

-127

127

Quelle lettre majuscule vois-tu apparaitre ? Z

Les nombres naturels et leurs opposés forment l’ensemble des nombres entiers, noté ℤ.

Ce symbole a été choisi en référence au mot d’origine allemande zählen, qui signifie « compter ».

Autres nombres négatifs

208

12,192

-6,096 -12,192 -18,592 8

IG H T

1. Dans certains pays, comme la Grande-Bretagne, on utilise d’autres unités de mesure. Par exemple, le mile terrestre correspond à 1 609,344 m et le pied à 0,304 8 m. (1) Transforme, en mètres, les altitudes indiquées en pieds.

(2) Complète chaque phrase par le mot « inférieure » ou « supérieure ». Traduis-le en langage mathématique en comparant les altitudes exprimées en mètres.

Le plongeur se trouve à une altitude inférieure

à celle du pingouin.

-18,592 8 < 12,192

Le pingouin se trouve à une altitude supérieure

à celle du poisson.

12,192 > -6,096

Le plongeur se trouve à une altitude inférieure

à celle du poisson.

-18,592 8 < -6,096

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 30

19/02/2026 15:03

3 4

1 4

3 4

(2) Que peux-tu dire des abscisses des points J et A ?

2. Lors d’une marche Adeps, Maud est partie un quart d’heure après 12 h tandis qu’Axel est parti trois quarts d’heure après 12 h. Julien quant à lui avait démarré trois quarts d’heure avant 12 h et Karim un quart d’heure avant 12 h. (1) Sur la droite graduée en heures, où le zéro correspond à midi, place l’initiale de chaque marcheur au moment de son départ. Indique l’abscisse de chacun de ces points.

(3) Le pingouin est un animal capable de plonger. Sur la droite graduée en mètres de l’exercice (1), indique la profondeur du pingouin si tu sais qu’elle est opposée à son altitude de vol.

Ces abscisses sont opposées.

naturels : / entiers :

IG H T

3. Dans ce chapitre, tu as rencontré différents types de nombres. Tu sais maintenant que chacun d’entre eux possède un opposé, situé avant le zéro sur la droite graduée. (1) Cite, si possible, deux nombres opposés… décimaux limités : 7,4 et -7,4

3 et -3

décimaux illimités périodiques : 0,333… et -0,333…

(2) Transforme les nombres décimaux limités que tu as cités en fractions irréductibles. 74 37 37 = 7,4 = et -7,4 = 10 5 5

4. Relie chaque nombre à une fraction équivalente.

-0,5 •

• 1 4

-2 •

-2,5 •

-0,25 •

-0,4 •

-4,5 •

• 9 2

• 1 2

• 5 2

• 10 5

• 4 10

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 31

19/02/2026 15:03

5. (1) Coche, si possible, la (les) fraction(s) opposée(s) au nombre décimal proposé. 1 10

2 100

2 20

1 100

2 10

-0,01 0,2 X

-0,1

-0,2 X

0,02

(2) Un des nombres n’a pas d’opposé dans ce tableau. Lequel ? 0,2

(3) Écris son opposé sous forme décimale ainsi que sous la forme d’une fraction décimale et d’une fraction irréductible.

2 1 =10 5

IG H T

-0, 2 = -

Comparaison

1. (1) Place, sur la droite graduée, les points A, B, C, D et E si tu sais que… abs C = -7,3

-4,5 -3,4

-6

-7,3

abs B = -6 E D

abs A = 3,4 C B

abs D = -3,4 1

abs E = -4,5 A 3,4

(2) Complète par < ou >.

-6 < -3,4

-7,3 < -4,5

-6 > -7,3

-4,5 > -6

-3,4 > -4,5

-3,4 < 3,4

2. Classe les nombres… (1) 4,2 ; -5,27 ; 6,201 ; -6,201 ; -5,72 ; -4,27 dans l’ordre croissant. -6,201 < -5,72 < -5,27 < -4,27 < 4,2 < 6,201 (2) -3,012 ; -3,102 ; -3,21 ; -3,021 ; -3,201 ; -3,12 dans l’ordre décroissant. -3,012 > -3,021 > -3,102 > -3,12 > -3,201 > -3,21

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

3. Selon une croyance populaire, l’attrape-rêves empêche les cauchemars d’envahir le sommeil de son détenteur. Il est composé de plusieurs capteurs de rêves, parfois attachés les uns en dessous des autres. (1) Sur l’attrape-rêves gradué, superpose les nombres égaux proposés, à la manière des capteurs de rêve.

5 4

-1,25

-0,5

10 8

1 2

2 4

4 8

2 8

1 4

1,375

1 2

-1,25

2 4

10 8

5 - 4

-0,5

11 8

0,25

4 - 8

2 8

1,375

1 4

IG H T

0,25

5 4

-0,5

10 8

-0,5

(2) En t’aidant de l’attrape-rêves, complète par <, > ou =. 11 1 0,25 = -0,5 < 2 8 2 2 1,375 > -1,25 < 8 8

(3) Classe les nombres décimaux de cet exercice par ordre croissant. -1,25 < -0,5 < 0,25 < 1,375

Je rédige mon procédé pour comparer tous les types de nombres

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 33

19/02/2026 15:03

4. Complète par <, > ou =. <

-3,2

< -2,9

-0,5

-0,8

5,40

7 10 3 - (= 0,75) 4 -

11 (= −2,2) 5

-0,4

1 (= −0,33…) 3

7 2

1,3

8 5

(= 1,6)

5,010

-1,7

-2,99 >

-3,01

-0,77 <

-2,25 <

3,5

5,002

5. Classe les nombres… 1 1 ; -0,6 et dans l’ordre décroissant. 2 2 1 1 0,6 > > - > -0,6 2 2

9 (= −2,25) 4 2 - (= −0,66…) 3

5,04

(1) 6 ; -

4 3 ; -0,85 et dans l’ordre croissant. 5 5 4 3 -0,85 < - < < 0,65 5 5

IG H T

(2) 0,65 ; -

encadrement et valeurs approchées

1. Pour la Journée mondiale du climat, plusieurs jeunes de différents pays se sont rejoints en vidéoconférence. Observe leur discussion et réponds aux questions.

(1) Entoure les températures possibles à Québec. -11,2 °C 34

-11 °C

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

-10,7 °C

-10,1 °C

-9,6 °C

(2) Quelles sont les températures possibles à Vienne, au dixième de degré près ? Classe-les par ordre croissant. -4,4 °C < -4,3 °C < -4,2 °C < -4,1 °C (3) Cite les deux villes dans lesquelles des températures opposées ont été enregistrées. Helsinki et Berne

Berne : 2 °C

< 2,5 °C < 3 °C

(4) Complète l’encadrement des températures de ces deux villes, au degré près. Helsinki : -3 °C < -2,5 °C < -2 °C

IG H T

Je rédige mon procédé pour encadrer un nombre négatif à l’unité près

2. Encadre à l’unité près. < -5,8 < -5

-3

< -2,1 < -2

-6

4 < 0 9 12 < -2 <5

-1 -3

< -

-5

< -4,01 <

-4

-11 < -10,973 < -10

-8

< -7,89 <

-7

-20 < -19,937 < -19

-6

-7

-5

-19

-7 -6

44 < 7 32 < < 6 < -

54 8 75 < 4

-6

< -18

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 35

19/02/2026 15:03

3. Écris, si possible… le nombre entier compris entre -6,5 et -5,4 :

-6

le nombre entier compris entre 7,4 et 7,9 :

19 17 et - : 2 2 4 le plus grand nombre entier inférieur à - : 3 13 le plus petit nombre entier supérieur à : 4

le nombre entier compris entre -

-9

-2 -3

au dixième près au centième près au millième près

5 < -0,8 6

-0,84 < -

5 < -0,83 6

-0,834 < -

5 < -0,833 6

-0,9

IG H T

à l’unité près

5 = -0,833… 6 5 -1 <- < 0 6

25 = -3,125 8 25 -4 < -3 <8

4. (1) Note la valeur décimale de chaque fraction et, si possible, encadre-la…

25 < -3,1 8

-3,13 < -

25 < -3,12 8

-3,2

25 < 8

(2) Quel encadrement ne peux-tu pas compléter ? Pourquoi ?

25 Il est impossible de déterminer l’encadrement au millième près de - , car 8 25 -3,125 est la valeur exacte de - . 8

La V.A.D. de -1,397 au dixième près est

-1,4.

(-1,4 < -1,397 < -1,3)

La V.A.E. de 93,148 03 au dixième près est

93,2.

(93,1 < 93,148 03 < 93,2)

La V.A.E. de -21,842 au centième près est

-21,84.

(-21,85< -21,842 < -21,84)

43 au centième près est 16 65 La V.A.D. de à l’unité près est 6

2,68.

(2,68 <

5. Détermine la valeur approchée demandée.

La V.A.D. de

-11.

43 < 2,69) 16 65 (-11 < < -10) 6

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 36

19/02/2026 15:03

Arrondis

1. Complète le tableau. 157 15

Arrondi au centième près

10,47

-10,47

Arrondi au dixième près

10,5

Arrondi à l’unité près

157 15

-10,5

2. Arrondis les nombres à la précision demandée.

13 8 83 19 8 837 1 000

Précision

À l’unité près

Au dixième près

Au centième près

-2

-1,6

-1,63

IG H T

Nombre

-10

-4

-4,4

-4,37

-9

-8,8

-8,84

3. Entoure la ou les bonne(s) réponse(s).

–87,19

(1) –87,2 est l’arrondi au dixième près de… –87,14

–87,173

–927,49

–927,09

(2) –928 est l’arrondi à l’unité près de…

–8,936 5

–928,09

(3) –8,937 est l’arrondi au millième près de…

–8,937 5

–8,936 2

(4) –37,73 est l’arrondi au centième près de… –37,729

–37,736

–37,731

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 37

19/02/2026 15:03

PARTIE 3

ensembLes De nombres 1. (1) Observe les nombres présents sur ces images et classe-les dans le tableau. Bulle

tin du e 1 r tr imest Cours re Mathé Moyen matiqu n e e França 62 % is

Entiers négatifs

IG H T

Entiers positifs = naturels

−1 ; −2 ; −3

−9,7 ; 18,4 ;

7 3 1 ; ; ; 6 4 2

1 ; 62 % 4

12 0;1;2;6; 3

Autres nombres

(2) Vrai ou faux ? Justifie à l’aide d’un nombre figurant dans le tableau. Un nombre entier négatif possède une partie décimale nulle. Vrai, car −1 = −1,0

Une fraction se transforme toujours en un nombre dont la partie décimale est non nulle. 12 = 4 = 4,0 Faux, car 3 Un pourcentage se transforme en une fraction. 62 Vrai, car 62 % = 100 7 est un nombre décimal limité. 6 7 Faux, car = 1,166 … Il s’agit d’un nombre décimal illimité périodique. 6 Un nombre entier est un nombre naturel. Faux, car −3 est un entier négatif mais pas un naturel (entier positif).

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 38

19/02/2026 15:03

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est un entier non nul. Le symbole choisi pour noter l’ensemble des nombres rationnels est Q. Il vient de l’italien quoziente qui signifie « quotient ».

(3) Dans le tableau, quels sont les nombres rationnels ? Justifie. Tous les nombres du tableau sont rationnels, car ils peuvent tous s’écrire sous

la forme d’une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est

un entier non nul.

17 2

25 5

−1

−0,3

1 3

55 %

210 10

IG H T

−15

2. (1) Souligne les nombres naturels (ℕ) en bleu, les nombres entiers (ℤ) en vert et les nombres rationnels (ℚ) en rouge. Tire ensuite une conclusion.

Tous les nombres naturels (N) sont des nombres entiers (Z) et tous les nombres entiers sont des nombres rationnels (Q).

(2) Sur le diagramme, complète l’étiquette (ℕ, ℤ ou ℚ) des trois ensembles représentés. Places-y les dix nombres.

ℕ

-1

-0,3 -15 -

17 2

6 -

1 3

210 10

ℤ

ℚ

25 5

55 %

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 39

19/02/2026 15:03

3. Trace des croix dans le tableau pour préciser à quel(s) ensemble(s) appartiennent les nombres proposés. −40

2,4

8 5

28 4

 (naturels)

7,166…

 (rationnels)

X X

 (entiers)

Nombres entiers négatifs :

−7 ;

6,4 ;

4. Barre, dans chaque liste, les nombres qui n’appartiennent pas à l’ensemble donné. 3 42 120 ; -1,5 ; 8,0 ; ; 1 ; Nombres naturels : −7 ; 6,4 ; 10 4 6 3 ; -1,5 ; 4

8,0 ;

42 ; 1 ; 6

120 10

6,4 ;

3 ; -1,5 ; 4

8,0 ;

42 ; 1 ; 6

120 10

Nombres rationnels :

6,4 ;

3 ; -1,5 ; 4

8,0 ;

42 ; 1 ; 6

120 10

IG H T

Nombres rationnels non entiers : -7 ;

5. Complète par ∈ ou ∉.

−7 ;

Le symbole ∈ signifie « appartient à ».

8 16

∉ 

32 4

∈ 

16 ∈ 6



20 6

∉ 

6. Donne l’écriture décimale de chaque nombre et indique le plus petit ensemble auquel il appartient.

-7,0 ∈ Z

60 % ∈ Q

60 % =

66 = 6 11

66 ∈ℕ 11 40

60 = 0, 6 100

-7,0 = -7

72 -9 = 8 72 ∈ Z 8

200 =2 100

21 7 175 = 1, 75 = = 12 4 100

200 % =

21 ∈ Q 12

200 % ∈ ℕ

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 40

19/02/2026 15:03

eXerCiCes CompLémentAires

partie 1. nombres positifs 1. Retrouve parmi les fractions… 20 5

11 13

4 2

17 10

9 2

15 3

36 12

5 4

9 7

(1) celles qui correspondent à des nombres naturels. (2) celles qui correspondent à des nombres décimaux limités. (3) celles qui correspondent à des nombres décimaux illimités périodiques. 2. Donne l’écriture décimale de chacune des fractions. 13 101 17 5 11 7 (2) (1) 10 100 100 2 1 000 1 000

25 4

7 5

13 1

31 31

0,3

7,077

IG H T

3. Écris la fraction correspondant à chaque nombre décimal. 2,11

1,7

0,103

3,21

4. Transforme chaque fraction en une fraction décimale équivalente. Convertis-la ensuite en nombre décimal. 253 17 19 11 7 63 50 5 20 125 8 200 7 = 5 20

18 = 12 2

81 9 = 45

8 = 9 54

14 21

12 = 15 10

4 = 16 40

10 = 21 6

2 10 = 3

90 9 = 10

5. Complète. 1 = (1) 2 6

(2)

(3)

1 7

15 = 20 4 11 1 = 100 35

28 20

6. Écris la fraction 15 sous la forme… 60 (1) d’une fraction dont le numérateur vaut 30. (2) d’une fraction dont le numérateur vaut 5. (3) d’une fraction dont le dénominateur vaut 12. (4) d’une fraction dont le dénominateur vaut 180.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 41

19/02/2026 15:03

7. Un intrus s’est glissé dans chaque série. Retrouve-le. 7 2

350 100

3,5

15 6

(2) 5,4

135 250

81 150

0,54

(1)

14 4 27 50

15 35

21 15

42 49

130 10

200 500

(2)

12 54

72 84

48 56

45 75

105 245

(3)

126 198

225 375

504 540

32 1 680

18 429

(1)

8. Rends les fractions irréductibles.

9. Complète le tableau afin de faire correspondre différentes écritures d’un même nombre. Pourcentage

Fraction irréductible Nombre décimal

40 %

1 100

125 %

8 10

IG H T

Fraction décimale

3 20

2,5

0,06

0,075

2,04

10,8

10. Écris la fraction irréductible correspondant à chaque nombre décimal.

47,5

8,75

67,08

(1) 0,08 (2) 1,96

11. Place, sur chaque droite graduée, les points dont les abscisses sont données.

(1) abs A = 0,5 ; abs B = 1,4 ; abs C = 0,9

(2) abs A = 0

1 5 8 ; abs B = ; abs C = 3 3 3 1

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 42

19/02/2026 15:03

12. Complète les égalités. C

A 0

abs A = …

abs B = … abs C = …

13. Complète par <, > ou =. 1 10

0,67 …

3 ; 1,2 ; 0,5 ; 7 ; 0,59 et 2 . 5 5 5

14. Classe dans l’ordre croissant : 15. Classe dans l’ordre décroissant :

2 3

22 …7 3

1 ; 47 ; 0,4 ; 41 ; 9 et 21 . 2 100 10 20 50

16. Encadre à l’unité près et au centième près :

27 ; 378 et 55 . 7 47 13

IG H T

17. Détermine, si possible…

77 à l’unité près. 32 78 (2) la V.A.E. de au dixième près. 31

(1) la V.A.D. de

0,099 …

882 …2 400

5 … 0,625 8

2 … 0,5 5

33 au centième près. 14 54 (4) la V.A.E. de à l’unité près. 9 (3) la V.A.D. de

236,269 ; 0,236 9 et 369,845.

18. Arrondis à l’unité, au dixième près et au centième près :

19. La largeur de la porte d’une maison, arrondie au dixième de mètre près, est de 0,9 m. Entoure les largeurs possibles de cette porte. 0,84 m

0,92 m

0,87 m

0,94 m

0,96 m

20. La durée d’un film, arrondie à la dizaine de minutes près, est de 140 minutes. Entoure les durées possibles de ce film. 134,9 min

145 min

137,2 min

147 min

141,1 min

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

partie 2. nombres négatifs 21. Cite… (1) l’opposé de 13, de –1,3 et de 1 . 3 (2) l’opposé de l’opposé de 5 et de –3.

22. (1) Colorie, dans une même couleur, les paires de nombres opposés en sachant que l’un est écrit sous la forme d’une fraction et l’autre sous la forme d’un nombre décimal. 2,5

3 10

–5,3

5 2

1,3

–

1 10

0,75

0,25

0,1

7,5

–

1 100

–3,2

–

1 5

16 5

–0,3

3 4

–

53 10

0,2

–

1 4

–0,5

0,01

1 100

–

1 2

13 10

IG H T

(2) Parmi les nombres que tu n’as pas coloriés, détermine les paires de nombres égaux. 23. (1) Écris chaque nombre sous la forme d’une fraction irréductible. 0,25 ; –1,2 ; –0,04 ; 3,5 ; –2,4

(2) Écris chaque fraction sous la forme d’un nombre décimal. – 3 ; 3 ;–2 ; 4 ;–7 100 2 5 25 4

24. Place, sur la droite graduée, les points et leur abscisse. Complète ensuite les pointillés par < ou >. 3 1 Abs C = –1,25 Abs D = – Abs A = –2 Abs B = 8 4

1 … –2 4

0 –1,25 … –1

–

3 … –1 2

3 2

-1,25 … –

3 8

25. Place, sur la droite graduée, les points et leur abscisse. Classe ensuite les nombres dans l’ordre décroissant. 1 5 Abs L = –3 Abs M = – Abs N = –1,5 Abs K = – 3 6 0

Abs E = –

–

3 3 …– 8 2

Abs P = –

26 12

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

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26. Complète par < ou >. (1)

–13 … –14

–4,2 … –3,8

1 … 0,5 2

–4,3 … –

5 9 … 4 4

7 11 – …– 2 2

(2) – (3)

9 2

–1,58 … –1,55 –

6 … –1,1 5

–11,1 … –11,01 –1 … –

5 1 – …– 6 3

–

(1) –31 ; –43 ; –33 ; –41 ; –45

(2)

2 ; –5,12 ; –5,21 ; 0,6 3

28. Classe dans l’ordre décroissant.

(1) la V.A.E. de –2,874 au dixième près.

32 . 8 l’arrondi à l’unité de –18,139.

(2) la valeur exacte de –

IG H T

182 à l’unité près. 10 la V.A.D. de –0,162 5 au millième près. 47 au centième près. la V.A.D. de – 8

la V.A.E. de –

(2)

30. Détermine…

4 3 3 2 ;– ;– ; 7 5 7 5 –6,1 ; – 9 ; – 18 et – 32 . 10 5 7

(1) –4,6 ; 4,9 ; –4,07 ; –4,1 ; 4,05 29. Encadre à l’unité près :

23 13 …– 4 2

27. Classe dans l’ordre croissant.

17 10

l’arrondi au dixième de –49,856 3. l’arrondi au centième de –1,026.

31. Coche la donnée qui pourrait correspondre à l’information décrite dans la phrase.

La célèbre épave du Titanic se trouve à plus de 3 200 m sous la surface. –3 182 m

–3 821 m

Lors du naufrage du Titanic, la température de l’eau était inférieure à –2° C. –1° C

–3° C

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

partie 3. ensembles de nombres 32. Construis le diagramme représentant les ensembles de nombres. Places-y les nombres

17 20 5 18 0 ; 150 % ; –14 ; ; 10,7 ; –8,0 ; – ; 30 % ; – ; 4 5 10 2 7

33. Complète par ∈ ou ∉.

150 132 …ℤ 9,2 … ℤ … ℚ – 25 7 24 19 25 % … ℤ …ℕ –15 … ℚ … ℤ 8 4 34. Souligne les nombres naturels, souligne deux fois les nombres entiers négatifs et entoure les rationnels non entiers. 17 … ℤ

–

49 7

100

–

12 9

3,255…

–35,4

50 %

48 6

–64

–

35. Trouve le nombre correspondant à chaque proposition.

IG H T

(1) Le nombre naturel compris entre 10 et 12. (2) Le nombre entier compris entre –11,5 et –10,5. (3) Le nombre inférieur à zéro dont la valeur absolue vaut 7. (4) Le plus grand nombre entier inférieur à –13. (5) Le plus petit nombre naturel supérieur à –2. (6) Le plus petit nombre rationnel supérieur à –7, possédant une partie décimale composée d’un seul chiffre.

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

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CÔté prAtiQUe Entiers ou décimaux

0,6 Nombre décimal

nombre entier

3 5 Fraction irréductible

12 20 Fraction

IG H T

10 = 10 : 3 = 1,33… nombre décimal 3 illimité périodique

60 % Pourcentage

nombre décimal limité

6 10 Fraction décimale

10 = 10 : 4 = 2,5 4

10 = 10 : 5 = 2 5

Différentes écritures

Différents types de nombres

Nombres opposés

5 2 −2,5

Ensembles de nombres ℚ

5 2 2,5

Des nombres opposés ont la même valeur absolue et des signes contraires.

ℤ

1,33…

ℕ

–2

–2,5 ℕ est l’ensemble des nombres naturels. ℤ est l’ensemble des nombres entiers. ℚ est l’ensemble des nombres rationnels. CHAPITRE 1 Différents types De nombres

MathsPerspectives_001_424.indb 47

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Encadrement

Au dixième près 2,1 < 2,1 23 <

2,2

−2,2 < −2,1 23

−2,1

V.A.E. Valeur exacte

Valeur Approchée par Excès

Valeur Approchée par Défaut

Différents types de nombres

V.A.D.

Valeurs inférieure et supérieure à une valeur exacte et à un degré de précision donné.

IG H T

Arrondi L’arrondi au dixième près de…

2,1 23 est 2,1 car le chiffre qui suit le chiffre des dixièmes est 0, 1, 2, 3 ou 4.

2,1 53 est 2,2 car le chiffre qui suit le chiffre des dixièmes est 5, 6, 7, 8 ou 9.

Comparaison –3,2 < –1,3 − et −

1,3 < 3,2 + et +

Le plus petit a Le plus petit Le plus petit a la plus grande est le négatif. la plus petite valeur absolue valeur absolue (= le plus éloigné de zéro). (= le plus proche de zéro). –3,2

–1,3 < 3,2 − et +

–1,3

1,3

3,2

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

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CÔté tHéoriQUe Définition

notion

Quotient d’un nombre entier par un nombre entier non nul.

Quotient

Résultat d’une division.

Fraction décimale

Fraction dont le dénominateur vaut 10, 100, 1 000…

Pourcentage

Écriture particulière d’une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

Fractions équivalentes

Fractions qui représentent le même nombre.

Fraction irréductible

Fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être divisés par un autre nombre que 1.

Droite graduée

Droite sur laquelle on a placé un point d’abscisse « 0 » nommé origine, choisi un sens et une unité de graduation qu’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

Abscisse d’un point

Nombre permettant de situer un point sur une droite graduée.

Valeur approchée d’un nombre

Valeur proche de la valeur exacte du nombre.

Valeur approchée par défaut (V.A.D.)

Valeur proche de la valeur exacte, plus petite que celle-ci.

Valeur approchée par excès (V.A.E.)

Valeur proche de la valeur exacte, plus grande que celle-ci.

IG H T

Fraction

Écriture du nombre sous la forme d’une double inégalité reprenant sa valeur approchée par défaut et celle par excès, au degré de précision demandé.

Inégalité

Expressions reliées par un symbole de comparaison.

Arrondi d’un nombre

Valeur la plus proche de la valeur exacte, au degré de précision demandé.

Valeur absolue d’un nombre

Distance entre ce nombre et 0.

Nombres opposés

Nombres de même valeur absolue et de signes contraires.

Nombre naturel

Nombre positif dont la partie décimale est nulle (= nombre entier positif).

Nombre entier

Nombre positif ou négatif dont la partie décimale est nulle.

Nombre rationnel

Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

Non nul

Différent de zéro.

Encadrement d’un nombre

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

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pour cent(s)

Est plus petit que…

Est plus grand que…

∈

Appartient à…

ℤ

Ensemble des nombres entiers

Valeur absolue de…

ℕ

Ensemble des nombres naturels

ℚ

Ensemble des nombres rationnels

IG H T

|…|

notation mathématique

CHAPITRE 1 Différents types De nombres

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19/02/2026 17:19

26 17:19

CHAPITRE 2

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

OBJETS DE BASE EN GÉOMÉTRIE p. 51

Souviens-toi p. 45

Pour rappeler les illustrations rencontrées en primaire, les droites sont représentées avec des pointillés pour bien imaginer qu’il s’agit d’un ensemble infini de points.

Dès le début de ce chapitre, ces pointillés ne seront plus indiqués afin de ne pas alourdir inutilement les constructions des droites, des demi-droites, des côtés des angles… et surtout des dessins comportant plusieurs objets. Pour les segments et les demi-droites, il sera indispensable de placer des points visibles respectivement aux extrémités et à l’origine de ceux-ci.

Défi p. 52

IG H T

Dans un même souci de légèreté, l’appellation « segment de droite » sera directement raccourcie en « segment ».

p. 47

Ce chapitre commence avec un défi que les élèves ne pourront pas relever tout de suite. En effet, dans cette situation de départ, ils découvrent que certains usagers de la route ont déclenché les détecteurs d’angle mort de la voiture rouge, mais ils ne disposent pas des informations pour déterminer de quels usagers il s’agit. La même situation est présentée en dernière page du chapitre, mais cette fois avec les différents angles de vision du chauffeur.

Notations, codages et mesures

p. 54

p. 48

Exercice 1

Les élèves découvrent tous les types d’angles mesurant de 0° à 360° ainsi que le vocabulaire associé. Les images, numérotées de 1 à 7, doivent être perçues comme des moments de pause dans la manipulation des lattes en bois. L’enseignant(e) peut également utiliser l’animation GeoGebra disponible pour illustrer les sept catégories d’angles ou, s’il (elle) dispose du matériel, réaliser les différentes manipulations. Les solutions sont exprimées en français, mais les élèves peuvent également les noter à l’aide d’égalités, d’inégalités ou d’encadrements (notations abordées dans le chapitre 1). Ce sont d’ailleurs ces notations qui sont reprises dans le Côté pratique à la fin du chapitre. G17

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 54

p. 48

Exercice 2 Les lattes en bois sont prolongées pour être assimilées à une droite ou à une demi-droite. Cette nouvelle notion n’est pas encore formalisée, mais les élèves prennent conscience que la latte oblique possède une seule extrémité qui correspond au point de fixation.

p. 55

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 48-49

Exercice 3

(1) Avec un dessin simplifié des lattes en bois sur lequel certains points sont nommés, les élèves formalisent et décrivent les objets géométriques : demi-droite et droite.

Points de la droite :

MAY

Notations différentes : M Y → MY ou YM M A → MA ou AM

(2) Cette question permet de montrer plusieurs possibilités pour nommer une même droite (choix des points et ordre des lettres).

IG H T

A Y → AY ou YA

p. 49

p. 55

(3) et (4) Les élèves travaillent sur les différents angles formés par ces objets géométriques et surtout sur la manière de les noter. Il est important de leur signaler que, si plusieurs angles possèdent le même sommet, ils pourront les différencier en utilisant trois lettres ou en les numérotant. Lorsqu’aucune confusion n’est possible, les élèves pourront nommer l’angle à l’aide d’une seule lettre. Les auteurs ont fait le choix de ne pas parler d’angle orienté (ordre des lettres situées de part et d’autre du sommet) et de mettre l’accent circonflexe sur les trois lettres utilisées pour nommer l’angle, et pas uniquement sur le sommet.

Exercice 4

Les élèves passent du langage littéraire aux notations mathématiques ou inversement afin de comprendre la spécificité de chaque notation. Les mots « extrémité », « sommet », « origine », « passant par… » sont utilisés pour décrire précisément certains objets. p. 56

p. 49

Exercice 5 Les élèves revoient, dans un autre contexte, le symbole d’appartenance. Celui-ci, jusqu’à présent associé à la notion d’ensembles (vu dans le chapitre 1), prend son sens en géométrie pour décrire qu’un point est placé sur (appartient à) une droite.

G18

p. 49-50 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 56 Exercices 6 et 7

Les élèves prennent conscience que seuls deux objets de base sont mesurables. Ils découvrent la notation particulière liée à la mesure d’un objet. Même si d’autres notations existent, les auteurs ont choisi d’adopter la notation en lien avec la valeur absolue d’un nombre découverte dans le chapitre 1 (distance par rapport au 0 de la droite graduée). Il est nécessaire d’expliquer aux élèves que, pour l’amplitude d’un angle, on conserve la notation de l’angle en y ajoutant des barres verticales. Par contre, pour la longueur d’un segment, les crochets sont remplacés par des barres verticales, car cette longueur peut également être associée à la plus courte distance entre deux points. p. 50

p. 56

Exercice 8

Les élèves lisent et interprètent des notations et des symboles dans le but d’annoter un dessin au moyen de codes, de mesures ou de points.

Exercice 9

p. 50-51

IG H T

p. 57

Les élèves découvrent l’équerre dans laquelle est intégré un double rapporteur. L’une des principales difficultés d’utilisation réside dans le fait qu’elle possède alors deux graduations. Les élèves doivent d’abord catégoriser l’angle qu’ils vont ensuite mesurer. Cela leur permettra de vérifier la pertinence de leur mesure et de s’assurer qu’ils ont choisi le bon rapporteur sur l’équerre. Une vidéo est disponible pour les aider.

On peut observer une gradation dans la difficulté des exercices. et BAN : les côtés de l’angle sont suffisamment longs. Les élèves apprennent à • Angles MEF positionner leur équerre correctement sur un des deux côtés et lisent directement l’amplitude mesurée. ZIP et TUS : au moins un des côtés de l’angle doit être prolongé pour que les élèves • Angles puissent lire correctement son amplitude. : les élèves peuvent soit prolonger un des côtés de l’angle pour tracer un angle plat, • Angle LOD mesurer l’amplitude de l’angle formé par le prolongement et le second côté et ajouter cette amplitude à 180°, soit mesurer l’amplitude de l’angle saillant et soustraire cette amplitude de 360°. p. 58

p. 51

Exercice 10 Les élèves mesurent la longueur des quatre segments et l’amplitude des quatre angles. S’ils (extérieur à la figure), ils pourront facilement lire 90° et donner l’amplitude mesurent l’angle HEG de l’angle rentrant. Ensuite, ils codent la figure pour indiquer les segments de même longueur et les angles de même amplitude. G19

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Il est possible, afin d’alléger la solution, de demander aux élèves d’effacer les mesures répétées inutilement grâce au codage. p. 58

p. 51

Exercice 11

Une vidéo est disponible pour expliquer la construction d’un angle d’une amplitude donnée. et Angles DAC MEL : les élèves disposent d’un côté de l’angle et de son sommet. Tout comme dans l’exercice sur la mesure d’un angle, ils doivent être sensibles au choix de la graduation. Après avoir utilisé correctement leur équerre pour construire le second côté de l’angle, ils devront veiller à placer un point sur celui-ci et à le nommer en observant la notation dans l’énoncé. : les élèves peuvent Angle TUV • soit construire un angle plat, calculer la différence entre l’amplitude de l’angle rentrant et 180° et construire un angle adjacent à l’angle plat, dont l’amplitude est égale à cette différence, • soit calculer la différence entre 360° et l’amplitude de l’angle rentrant, construire un angle (saillant) dont l’amplitude est égale à cette différence et marquer l’angle rentrant en traçant un arc de cercle du côté opposé à l’angle construit. À nouveau, ils veillent à nommer l’angle correctement en plaçant la lettre manquante sur le côté tracé.

p. 58

IG H T

Angle O : la construction n’est pas unique, puisqu’elle dépend de la manière dont les élèves disposent le premier côté. Dans cet exercice, seul le sommet est nommé, comme indiqué dans la notation de l’amplitude de l’angle. p. 51

Je rédige mon procédé pour utiliser correctement le rapporteur

Exemple de rédaction

1) Je place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et j’aligne sa base avec le côté de l’angle déjà construit.

2) Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, je choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.

Mesurer 3) Je repère l’amplitude de l’angle indiquée par le deuxième côté (après l’avoir prolongé si nécessaire). 4) Je note cette amplitude sur le dessin.

G20

Construire 3) J e marque un trait au niveau de l’amplitude demandée. 4) J e trace le deuxième côté de l’angle en reliant le trait au sommet de l’angle.

Positions relatives de droites p. 59

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 52

Exercice 1 Terminer la construction de la frise ne peut se faire qu’en construisant des droites parallèles et des droites perpendiculaires.

(3)

(4)

(2)

(1)

Une animation GeoGebra permet de visualiser la construction étape par étape.

IG H T

(5)

Une fois la construction terminée, les élèves sont invités à repérer des droites d’après leur position relative et à exprimer celle-ci en langage mathématique. Pour éviter les confusions, ils doivent identifier des droites différentes dans chaque cas.

p. 52-53

p. 59-60

Un nouveau symbole fait son apparition pour les droites sécantes : //./

Exercices 2, 3 et 4

Les élèves doivent représenter une situation géométrique décrite à l’aide de notations et de symboles. Les consignes se présentent sous la forme de phrases complètes ou raccourcies à l’aide de notations particulières.

Une animation GeoGebra, disponible via Capture et sur iDiddit, permet de visualiser la construction étape par étape des exercices 3 et 4. p. 60

p. 53

Exercice 5 Les élèves doivent représenter une situation géométrique décrite à l’aide de codages.

G21

Voici les étapes de construction de chaque figure.

A AA

AC // BD BD AC AC // // BD

A AA

22 mm mm 2222 mm

2222 22 mm mm mm

mm 2222 22 mm mm C CC

3232 32 mm mm mm

C CC

B BB

C CC

B BB

3232 32 mm mm mm

B BB

3232 32 mm mm mm

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

(1)

D DD

A A

20 mm 20 mm

20 mm mm 20

20 mm 20 mm

20 mm mm 20

15mm mmD D EE 15

A A

20 mm 20 mm

20 mm mm 20

15mm mmD D EE 15

A A

B B

20 mm 20 mm

20 mm mm 20

72° 72°

IG H T

B B

E 15 mm D E 15 mm D

15mm mmD D EE 15

(2)

E 15 mm D E 15 mm D

DC 15mm mmD EE 15 C

C C

Une animation GeoGebra, disponible via Capture et sur iDiddit, permet de visualiser la construction étape par étape.

p. 61

p. 53-54

Exercice 1

C Médiatrice d’un segment et bissectrice d’un angle

L’arc à flèches est un moyen de découvrir concrètement les caractéristiques de la médiatrice d’un segment et de la bissectrice d’un angle.

(1) Les élèves observent et analysent deux étapes clés du tir à l’arc : l’encochage et la visée. Ils identifient d’abord que la flèche se positionne au milieu de la corde et codent cette égalité de longueur sur le dessin. Ensuite, ils examinent la position relative de la flèche par rapport à la corde pour en déduire l’amplitude des angles formés.

(2) Les élèves reproduisent et construisent la droite sur laquelle ils pourront positionner la flèche dans les deux situations. Ils finissent par dématérialiser la situation et donnent un nom aux deux droites construites. A C Pour construire la médiatrice d’un segment, les élèves peuvent déterminer le milieu de celui-ci, soit en mesurant le segment et en divisant sa longueur par deux, soit en utilisant la latte de l’équerre pour répartir équitablement les extrémités du segment de part et B d’autre du zéro. 5

001

G22

01 1

061

0 71

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Pour construire la bissectrice de l’angle, les élèves réinvestissent les techniques de mesure et de construction d’un angle. Une astuce de notation peut leur être donnée. Le M du mot « médiatrice » peut être associé au M de « milieu » ; le T peut être associé au symbole de perpendicularité inversé. La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu = Média⊥rice.

p. 62

Le BI de bissectrice signifie « deux ». La bissectrice est la droite qui coupe un angle en deux angles de même amplitude = Bissectrice. p. 54

Je rédige ma définition de la médiatrice d’un segment et de la bissectrice d’un angle

Exemple de rédaction

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu. (Média⊥rice = milieu et perpendiculaire).

p. 62 Exercice 2

IG H T

La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe un angle en deux angles de même amplitude. (Bissectrice = coupe en 2).

p. 54-55

. Les droites d6 et d7 sont à la fois médiatrices du segment [AB] et bissectrices de l’angle BCA

Paires d’angles

p. 64

p. 56

Exercice 1

Les élèves observent diverses configurations dans lesquelles deux angles ont été marqués. Ils éliminent celles pour lesquelles les deux angles n’ont pas le même sommet, n’ont pas de côté commun et ne sont pas situés de part et d’autre de leur éventuel côté commun. Ils pourront s’inspirer des conditions énoncées pour construire la définition des angles adjacents. p. 64

p. 56

Exercice 2 Les aiguilles d’une horloge forment des angles particuliers à certaines heures : complémentaires, par exemple à 15 heures passées de quelques secondes, ou supplémentaires, par exemple à 18 heures passées de quelques secondes. L’observation suffira à qualifier ces paires d’angles particuliers et les élèves complèteront aisément les égalités concernant la somme de leurs amplitudes. G23

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 65

p. 57

Exercice 4 Retour à l’horloge pour découvrir et définir des angles opposés par le sommet. Les élèves repèrent facilement que ces deux angles ont le même sommet et comprennent qu’ils sont positionnés de manière opposée par rapport à ce sommet.

p. 66

Pour rédiger la définition, les élèves devront bien observer la position des côtés de chaque angle pour en déduire que les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre. p. 57

Exercice 5

p. 66

Afin de consolider la compréhension de la définition vue à l’exercice 4, cet exercice propose des configurations d’angles proches des angles opposés par le sommet (même sommet, angles opposés), mais qui ne le sont pas en raison du positionnement de leurs côtés. p. 57

IG H T

Je rédige ma synthèse sur les différentes paires d’angles Exemple de rédaction

Angles adjacents

Angles opposés par le sommet 1

1 2



Angles complémentaires



Angles supplémentaires

G24

50°

40°

A 70° B

A 

110°

 = 90°



 = 180°

p. 58 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 67

Retour au défi (1), (2) et (3) Les élèves retrouvent la situation de départ. Cette fois-ci, les différents angles de vision du chauffeur sont indiqués. Les élèves sont maintenant capables de répondre à la question, de qualifier certains angles et d’en mesurer d’autres. 11 en pourcentage dépasse les attendus. Dans le chapitre 1, 18 les élèves ont appris cette conversion uniquement en passant par une fraction décimale. La notion de rapport en pour cent sera reprise plus en détail au chapitre 5. Les élèves peuvent choisir…

(4) À ce stade, convertir la fraction

IG H T

• de l’arrondir au centième pour pouvoir la convertir en fraction décimale et en pourcentage : 11 61 = 0,611… ≅ 0,61 = = 61 % ; 18 100 11 = 0,611… = 61,1… % ≅ 61 %. • d’indiquer 18

G25

C IG H T N

CHAPITRE 2

Objets de base en géOmétrie

souviens-toi Objet

Nom B

Un point

Une droite

1. Associe l’objet géométrique à son nom et à sa notation mathématique.

Un segment

Notation [AB]

A a

IG H T

2. Associe la représentation géométrique de chaque objet à sa description et à sa notation mathématique. Représentation

Description

Deux droites perpendiculaires

Notation

Deux droites parallèles

a // b

Un point sur une droite

a⊥b

3. Indique le numéro des angles qui sont… 3 et 6

droits : 1 et 5

obtus : 2 et 4

aigus :

A∈b

➀

➁

➂

➃

➄

➅

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 51

19/02/2026 15:04

4. Convertis les cm en mm et inversement. 13 cm = 130 mm

47 mm = 4,7 cm

5 mm = 0,5 cm

3,5 cm =

5. Mesure chaque segment et indique sa longueur. 4,2 cm ou 42 mm

6. Observe le dessin et coche, dans chaque cas, la proposition correcte. (1) La droite perpendiculaire à la droite d et passant par le point C est… g

g f

D B

IG H T

(3) Les droites g et f sont… parallèles

(2) Le point d’intersection des droites h et f est… A

1,7 cm ou 17 mm

perpendiculaires

7. Trace une droite… (1) perpendiculaire à la droite d.

(2) parallèle à la droite f.

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MATHSPACTELC_Chap02.indd 52

19/02/2026 17:48

défi

IG H T

Tu as peut-être déjà vu une lumière s’allumer sur le rétroviseur d’une voiture. Il s’agit d’un détecteur d’angle mort.

Dans cette situation, les détecteurs d’angle mort de la voiture rouge se sont allumés.

Quel(s) usager(s) de la route l’a (les ont) déclenché(s) ? À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question. CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 53

19/02/2026 15:04

notations, codages et mesures

➁

➀

N° Type d’angle

➅

Nul

0°

➁

Aigu

entre 0° et 90°

➀

➂

Droit

90°

➃

Obtus

entre 90° et 180°

➄

Plat

180°

➅

Rentrant

entre 180° et 360°

➆

Plein

360°

IG H T

➄

➆

Amplitude(s) possible(s)

➃

➂

1. Un jeu consiste à assembler des lattes en bois au moyen de vis. De cette manière, il est possible de former des angles d’amplitudes variables. Observe les différentes photos, qualifie chaque angle marqué et indique toutes les amplitudes possibles de ce type d’angle.

2. Observe l’image et réponds aux questions.

(1) Catégorise les trois angles distincts formés par les deux lattes. On peut observer un angle plat, un angle aigu et un angle obtus.

(2) Que représente la vis de fixation par rapport à ces angles ?

La vis représente le sommet des trois angles.

(3) À quel objet géométrique te fait penser la latte horizontale ? À une droite

(4) Quelle différence y a-t-il entre la latte horizontale et la latte oblique ? La latte horizontale n’a aucune extrémité (droite) tandis que la latte oblique a une origine correspondant à son point de fixation (demi-droite).

Scan 54

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

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19/02/2026 15:04

3. Observe le dessin simplifié des lattes en bois sur lequel plusieurs points ont été ajoutés.

3 1

(1) Décris chaque objet géométrique. [AX : La demi-droite dont l’origine est

A 2

le point A et passant par le point X.

MY : La droite passant par les points M et Y. (2) Indique toutes les notations mathématiques possibles de l’objet géométrique MY. MY, YM, AM, MA, AY, YA

(3) Marque les trois angles sur le dessin et, en t’aidant de l’indice, donne une notation mathématique pour chacun d’eux. Pour différencier les angles, on nomme chacun d’eux en utilisant trois points : un provenant de chaque côté de l’angle et un pour le sommet, toujours noté au milieu.

IG H T

Pour un angle de sommet B et dont les côtés passent par les points A et C, on note ABC ou CBA .

(XAM ), et MAX

(4) Il aurait également été possible de numéroter tous les angles sur le dessin. De cette manière, modifie les notations de la question précédente en t’inspirant de l’exemple.

Ú A MAX 1

A 2

A 3

4. Complète le tableau avec le descriptif ou la notation mathématique. Notation mathématique

Le segment dont les extrémités sont les points M et N.

[MN] (ou [NM])

Descriptif

XY (ou YX)

La droite passant par les points X et Y. L’angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites

[AB et [AC.

(ou CAB)

La demi-droite dont l’origine est le point D et passant par le point C.

[DC

L’angle dont le sommet est le point E.

̂ E

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

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5. (1) Construis les objets géométriques . [AC], [XV, MF et XOM

P ∈

P ∉

OX V

6. Entoure les objets qui peuvent être mesurés. Segment

Demi-droite

Angle

Droite

Point

(2) Complète par ∈ ou ∉.

Pour noter la mesure d’un objet, on indique son nom entre deux barres verticales.  se note . L’amplitude de l’angle A

La longueur du segment [AB] se note |AB|.

T C 3,5 cm

50°

F P

= 50°

|CD| = |MF|

|TB | = 3,5 cm

IG H T

7. Dans chaque cas, traduis en langage mathématique l’information indiquée sur le dessin.

8. Sur la base des notations mathématiques fournies, annote le dessin au moyen de codes, de lettres ou de mesures. (1) |CA| = 3 cm

(4) |AC| = |CD|

(2) DE ⊥ BC

(5)

= 80° (3) ACB

(6) F ∈ [AB] et |AF| = |FB|

80°

3 cm F A

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 56

19/02/2026 15:04

9. Complète chaque étiquette en qualifiant l’angle marqué. Ensuite, mesure son amplitude en prolongeant, si nécessaire, un de ses côtés.

aigu

Angle

obtus N

110°

77°

aigu

Angle

obtus

Angle

rentrant

Angle

IG H T

L 110°

143°

O 180° 70°

250°

Z 60°

Scan CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 57

19/02/2026 15:04

10. Dans un premier temps, mesure et indique les longueurs des côtés et l’amplitude des angles intérieurs de la figure. Ensuite, sur le dessin, indique le codage qui te permet de repérer les angles de même amplitude et les côtés de même longueur.

H 5,4 cm 2,8 cm E

270°

44°

23°

= 210° et O = 105°. = 84°, MEL = 130°, TUV 11. Construis les angles si tu sais que DAC A 84°

130°

210°

IG H T

180°

30° U

150°

105°

Je rédige mon procédé pour utiliser correctement le rapporteur

Scan 58

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 58

19/02/2026 15:04

Positions relatives de droites

1. Pour embellir un mur, on utilise parfois une frise géométrique formée de figures qui se répètent. Dans ce cas, il s’agit d’un assemblage de triangles rectangles isocèles.

(1) Sans mesurer et en ne traçant que des parallèles et des perpendiculaires, poursuis la frise proposée.

e f

(2) Repère deux droites parallèles et nomme-les a et b.

a // b

IG H T

Exprime leur position relative en langage mathématique :

(3) Repère deux autres droites qui sont perpendiculaires et nomme-les c et d. Code le dessin et exprime leur position relative en langage mathématique :

c⊥d

(4) Repère deux autres droites qui possèdent un point d’intersection et qui ne se coupent pas en formant quatre angles droits. Nomme-les e et f. Exprime leur position relative en français et en langage mathématique.

Les droites e et f sont sécantes : e /// f.

2. Poursuis la construction en suivant les étapes.

– Trace la droite AB. – Construis la droite d parallèle à la droite AB passant par C. – Construis la droite f perpendiculaire à la droite AB passant par C. – Nomme E le point d’intersection des droites AB et f. f A

d C

Scan CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 59

19/02/2026 15:04

3. Réalise la construction en suivant les étapes. – Construis un segment [XY] de 28 mm. – Construis un segment [MX] de 20 mm perpendiculaire au segment [XY]. – Trace la droite MY. – Construis la droite b parallèle à la droite MY passant par le point X.

4. Poursuis la construction en suivant les étapes.

20 mm

C d

IG H T

– Trace AB. – Construis d ⊥ AB telle que B ∈ d. – Place C ∈ d tel que |BC| = 20 mm. – Construis b // AB telle que C ∈ b. – Construis AD // BC telle que D ∈ b.

5. Reproduis ces figures en vraie grandeur en tenant compte de toutes les informations présentes. (2) E, D et C sont alignés.

(1)

AC // BD

32 mm

22 mm

20 mm

72°

E 15 mm D

AC // BD

32 mm

22 mm B

A 20 mm E 15 mm D

B 72°

Scan 60

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 60

19/02/2026 15:04

médiatrice d’un segment et bissectrice d’un angle

1. Le tir à l’arc classique est un sport qui consiste à viser une cible. Les archers fixent l’encoche de la flèche à la corde avant de la mettre sous tension pour viser et tirer.

(1) Décris la position de la flèche par rapport à la corde et code chaque dessin.

Viser pour tirer

Encocher la flèche La flèche est encochée au milieu

La flèche est encochée au milieu

de la corde.

de la corde qui, par traction, forme

Elle est perpendiculaire à celle-ci.

IG H T

un angle. Elle coupe l’angle en deux angles aigus de même amplitude.

(2) Dans chaque situation, trace avec précision la droite sur laquelle positionner la flèche. Ensuite, complète les phrases. B

60°

C C La droite tracée est la du segment [BC].

médiatrice

La droite tracée est la . de l’angle BAC

bissectrice

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 61

19/02/2026 15:04

Je rédige ma définition de la médiatrice d’un segment et de la bissectrice d’un angle

2. Complète le tableau en indiquant une croix lorsque la droite citée est la médiatrice du segment . [AB] et/ou la bissectrice de l’angle BCA A

IG H T

C B

C d7

Médiatrice de [AB]  Bissectrice de BCA

d4 X

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 62

19/02/2026 15:04

3. Construis la médiatrice des segments et la bissectrice des angles. V

4. Construis…

dont la droite b est (2) l’angle IHG la bissectrice.

(1) le segment [BF] dont la droite m est la médiatrice. B

IG H T

5. (1) Réalise la construction en respectant les indications.

|AB | = 40 mm

d ⊥ [AB] et B ∈ d

C ∈ d et |BC| = 4 cm P ∈ [AB] et

4 cm

P A

(2) Caractérise la droite PC.

40 mm

. La droite PC est la bissectrice de l’angle BCA (3) Complète par = ou ≠. |AC|

≠

|BC|

|AB |

|BC|

|AP |

≠

|PB|

Scan CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 63

19/02/2026 15:04

Paires d’angles

➁

➃

➄

➂

➀

1. (1) Procède par étapes pour identifier les figures à éliminer. Étape 1 : Barre les figures dont les angles marqués n’ont pas le même sommet. Étape 2 : Parmi les figures restantes, barre celles dont les angles marqués n’ont pas de côté commun. Étape 3 : Parmi les figures restantes, barre celles dont les angles marqués ne sont pas situés de part et d’autre de leur côté commun.

IG H T

➅

Les paires d’angles qui n’ont pas été barrés portent les numéros

Ces angles sont appelés angles adjacents. (2) Complète.

Deux angles adjacents ont le même

de part et d’autre

et sont situés

sommet

2. Observe les angles formés par la grande aiguille, la petite aiguille et la trotteuse de ces deux horloges. Réponds aux questions.

, un

côté

commun

de ce côté commun.

(1) Dans chaque cas, les angles marqués sont-ils adjacents ?

15 h 00

Sur la première horloge, les deux angles marqués forment un angle

18 h 00 droit.

Ces angles sont appelés angles complémentaires.

| A | = 90° A | + | 2

Sur la seconde horloge, les deux angles marqués forment un angle plat. Ces angles sont appelés angles supplémentaires.

| B | + |B | = 180° 1

Oui

(2) Complète.

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

3. Pour chaque figure, indique une croix dans la (les) case(s) adéquate(s). Si les angles sont complémentaires ou supplémentaires, écris la relation entre leurs amplitudes. C ➀ ➁ ➂ 2

46°

1 D

44° J

➄ G

➀

Adjacents

Complémentaires Supplémentaires Relation entre les amplitudes

➃

➄

B + C = 90°

IG H T

= 180° + A A 1 2

➁ ➂

N°

= 90° EG + GEH

| I | + | J | = 90° | + |V | = 180° |U

➅

100°

80°

50°

40°

➅

➃

4. On a marqué et nommé deux angles formés par les aiguilles d’une horloge.

(1) Réponds par vrai ou faux.

Les angles ont le même sommet.

Vrai

Les angles sont adjacents.

Faux

1 A 2

Les angles ont la même amplitude. Vrai

Ces angles sont appelés angles opposés par le sommet.

(2) Complète. Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet

et les côtés de l’un sont dans le prolongement

des côtés de l’autre.

(3) Complète la propriété des amplitudes de cette paire d’angles. Des angles opposés par le sommet ont la même amplitude. | = | A2 | Traduis cette propriété en langage mathématique. | A 1 CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 65

19/02/2026 15:04

5. Dans chaque cas, indique par oui ou non si les angles marqués sont opposés par le sommet.

C A

Non

b c

Oui

Non

IG H T

Je rédige ma synthèse sur les différentes paires dʹangles

. Justifie. 6. Dans chaque cas, détermine l’amplitude de l’angle BAC

148°

32°

58° 32° E

E 32° D

D, A et B ainsi que E, A et C sont alignés.

D, A et B sont alignés.

E, A et D sont alignés.

| = 180° – 32° = 148°, |BAC

| = 90° – 32° = 58°, |BAC

| = 32°, |BAC

 et CAD  car les angles BAC

 et DAE  car les angles BAC

sont supplémentaires.

sont complémentaires.

sont opposés par le sommet.

B 32°

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

retour au défi Vision nette

Mouvement des yeux

Mouvement de la tête et des yeux

Angle mort droit

IG H T

Angle mort gauche

Rétro Rétro extérieur extérieur gauche Rétro intérieur droit

(1) Quel(s) usager(s) de la route a (ont) déclenché les détecteurs d’angle mort ?

La voiture bleue dans l’angle mort gauche et le cycliste dans l’angle mort droit.

(2) Sans mesurer, qualifie les angles décrits. L’ensemble des angles verts forment un angle plat.

L’ensemble des angles bleus couverts par les rétroviseurs forment un angle aigu.

(3) Mesure l’amplitude de chaque angle mort. 70° (4) Quelle portion de la vision à 360° est réellement couverte par le chauffeur dʼune voiture qui ne serait pas équipée de détecteurs dʼangle mort ? Exprime la réponse sous la forme dʼune fraction irréductible. 360° – 2 ∙ 70° = 360° – 140 = 220° 220 11 = 360 18 Détermine, au pour cent près, le pourcentage de visibilité du chauffeur. 11 61 = 0,61 ≅ = 61 % 18 100

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 67

19/02/2026 15:04

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES 1. Traduis chaque phrase par une notation mathématique. La droite passant par les points M et N.

L’amplitude de l’angle de sommet O vaut 70°. Le segment dont les extrémités sont les points A et B. 2. Traduis chaque notation mathématique par une phrase. |KL| = 7 cm

TAP

[XY

IG H T

3. Mesure l’amplitude des angles marqués et qualifie-les.

4. Construis les angles mesurant respectivement… (1) 45°, 60°, 120° et 270°.

(2) 35°, 95°, 162° et 214°.

5. Des caméras munies de capteurs de mouvement (C1, C2…) ont été placées à certains points stratégiques d’un mur d’enceinte d’une propriété privée.

(1) Mesure l’amplitude des angles de vue de chacune des caméras. C3

C4 C5

(2) Un capteur détecte un mouvement autour de lui jusqu’à 20 m. En tenant compte que, sur le plan, 1 cm représente 10 m, colorie la zone qui n’est pas couverte par les capteurs de mouvement. (3) Le propriétaire pourrait-il faire le gain de quelques caméras, car leur action est déjà couverte par une autre ? Si oui, cite leur numéro.

6. Traduis par une phrase. AB // CD 68

[AB] // [CD]

CHAPITRE 2 OBJETS DE BASE EN GÉOMÉTRIE

A∈b

a⊥d

[AB /// d

B ∉ AC

7. Lis les informations et indique, sur le dessin, le nom de chacune des droites. A A∈d f⊥d f // g D∉f C∈h

8. (1) Construis les droites a et b parallèles à la droite d passant respectivement par les points A et B.

Exprime la position relative des droites a et b à l’aide de la notation mathématique adéquate.

(2) Construis les droites AX et BY perpendiculaires à la droite d sachant que les points X et Y lui appartiennent.

IG H T

Exprime la position relative des droites AX et BY à l’aide de la notation mathématique adéquate.

9. Complète par //, /// ou ⊥.

a…b

a…d

b…c

b…e

a…c

a…e

b…d

d…e

10. Trace une droite d perpendiculaire à la droite c.

Décris la position relative des droites d et b. Quelle conclusion peux-tu tirer de cet exercice ? b

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

11. Dans chaque cas, réalise la construction en respectant les étapes. Réponds ensuite à la question qui t’est posée. (1) – Construis un segment [AB] de 4 cm. – Construis la droite d perpendiculairement au segment [AB] et passant par le point A. – Place un point C sur la droite d. – Trace la droite t passant par B et par C. – Construis la droite p parallèlement à la droite t et passant par le point A.

Quelle est la position relative des droites d et p ?

de 100° tel que |RA| = 3 cm et |RB| = 4 cm. (2) – Construis un angle ARB – Construis CB // RA avec |BC| = 3 cm.

Envisage toutes les possibilités. Quelle est, dans chaque cas, la position relative des droites AC et RB ? 12. Reproduis les figures, réalisées à main levée, en vraie grandeur et code tes constructions. (2) F ∈ BC et D ∈ AC.

(1) A, E et D sont alignés et C ∈ BD. D

IG H T

4 cm

40° 50 mm

A F

2 cm B

13. (1) Code la figure avec toutes les informations.

|CP| = |PB|

|PB| = |BA|

d ⊥ CB |PE| = 4 cm | = 130° |CBA

|DE| = 2 cm

1 cm D C

| = | PEA | |DEP

(2) De quel segment et de quel angle la droite d est-elle respectivement la médiatrice et la bissectrice ? Justifie à l’aide des notations mathématiques.

D E

d B A

14. En prenant soin de coder tes constructions, construis… (1) la médiatrice du segment.

(2) la bissectrice de chaque angle.

U B 70

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 70

19/02/2026 15:04

26 15:04

15. Dans la figure, repère les droites AF, CE et DE. Pour chacune d’entre elles, reconnais s’il s’agit d’une médiatrice et/ou d’une bissectrice. Précise de quel segment et/ou de quel angle.

A D

et celle de 16. Détermine l’amplitude de l’angle A 2 l’angle A 3 . Justifie.

28° 1

3 A

17. Parmi les angles marqués, trouve une paire d’angles…

60°

b 2 1 A

120° 1B 2 4 3

18. Construis…

IG H T

(1) complémentaires adjacents. (2) supplémentaires adjacents. (3) complémentaires non adjacents. (4) opposés par le sommet. (5) supplémentaires non adjacents.

(1) deux angles supplémentaires non adjacents dont l’un des deux mesure 132°. (2) deux angles complémentaires adjacents dont l’un des deux mesure 30°. (3) deux angles opposés par le sommet de 50°.

. 19. Sur la figure, la droite EY est la médiatrice du segment [AB] et la bissectrice de l’angle XEZ et A , AEY EX . Justifie. Détermine l’amplitude des angles XEY

30° X Y

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 71

19/02/2026 15:04

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 72

19/02/2026 15:04

CÔTÉ PRATIQUE Représentation et notation A

Point

Le point A

Représentation, notations et mesure A

3,5 cm

Segment

Le segment [AB] ou le segment [BA]

IG H T

La longueur du segment [AB] est de 3,5 cm. On note : |AB| = 3,5 cm. Représentation et notation B

Demi-droite

La demi-droite [AB

Représentation et notations

Droite

La droite d, la droite AB ou la droite BA

Représentation, notations et mesure A O

40° B

Angle

L’angle O, l’angle AOB ou l’angle BOA L’amplitude de l’angle O est de 40°. On note : |AOB| = 40°. CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 73

19/02/2026 15:04

Types d’angles Droit Obtus

Aigu A  = 90°

A 90° <  < 180°

0° <  < 90° Plein

Plat

Nul

 = 360°

 = 180°

 = 0°

Rentrant

IG H T

180° <  < 360°

Paires d’angles particuliers Complémentaires B

Adjacents

Particularités des angles

1 2 A

A 

Supplémentaires

110°

50°

40°

 = 90°

Opposés par le sommet

A 70°

 = 180°



B 



CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 74

19/02/2026 15:04

Mesure de l’amplitude d’un angle 1. Place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et aligne sa base avec un des côtés de l’angle. 2. Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.

3. Repère l’amplitude de l’angle indiquée par le deuxième côté (après l’avoir prolongé si c’est nécessaire).

4. Note cette amplitude sur le dessin ou en notation mathématique.

40°

IG H T

|A| = 40°

Construction d’un angle dont l’amplitude est donnée

1. Place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et aligne sa base avec le côté de l’angle déjà construit. 2. Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.

3. Marque un trait au niveau de l’amplitude demandée.

4. Trace le deuxième côté de l’angle en reliant le trait au sommet de l’angle.

120° A

|A| = 120° Scan CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 75

19/02/2026 15:04

Positions relatives de deux droites Parallèles

Sécantes

Perpendiculaires a

b /// a

b⊥a

IG H T

Particularités des droites

b // a

Construction de la bissectrice d’un angle

1. Mesure le segment. |YX| = 2,8 cm

1. Mesure l’amplitude de l’angle.  = 56°

2. Marque un point au milieu du segment. Z ∈ [YX] |YZ| = |ZX| = 1,4 cm

2. Marque un trait à la moitié de l’amplitude mesurée.  =  = 28°

Construction de la médiatrice d’un segment

3. Trace la droite perpendiculaire au segment passant par ce milieu. Z ∈ m et m ⊥ [YX]

Cette droite est la médiatrice du segment. La droite m est la média⊥rice du segment [YX].

3. Trace la droite passant par ce trait et le sommet de l’angle. BE Cette droite est la bissectrice de l’angle. La droite BE est la bissectrice  de l’angle CEL.

E Scan 76

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 76

19/02/2026 15:04

CÔTÉ THÉORIQUE définition

notion

Angle dont l’amplitude vaut 0°.

Angle aigu

Angle dont l’amplitude est comprise entre 0° et 90°.

Angle droit

Angle dont l’amplitude vaut 90°.

Angle obtus

Angle dont l’amplitude est comprise entre 90° et 180°.

Angle plat

Angle dont l’amplitude vaut 180°.

Angle rentrant

Angle dont l’amplitude est comprise entre 180° et 360°.

Angle plein

Angle dont l’amplitude vaut 360°.

Droites parallèles Droites sécantes

IG H T

Angle nul

Droites qui n’ont aucun point d’intersection. Droites qui ont un point d’intersection.

Droites perpendiculaires Droites sécantes qui forment des angles droits. Droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.

Bissectrice d’un angle

Droite coupant l’angle en deux angles de même amplitude.

Médiatrice d’un segment

Deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et qui sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Angles adjacents

Deux angles dont la somme des amplitudes vaut 90°.

Angles supplémentaires

Deux angles dont la somme des amplitudes vaut 180°.

Angles opposés par le sommet

Deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.

Angles complémentaires

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 77

19/02/2026 15:04

notation mathématique Point nommé A

Point nommé A portant le numéro 1

Droite nommée d

Droite nommée d portant le numéro 1

Droite passant par les points A et B

[AB

Demi-droite dont l’origine est le point A et passant par le point B

[AB]

Segment dont les extrémités sont les points A et B

|AB|

Longueur du segment [AB]

Angle dont le sommet est le point A

Angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites [AB et [AC

A 1

Angle dont le sommet est le point A et portant le numéro 1

| |A

 Amplitude de l’angle A

Parallèle

///

Sécant

R Perpendiculaire

⊥

IG H T

BAC

CHAPITRE 2 Objets de base en géOmétrie

MathsPerspectives_001_424.indb 78

19/02/2026 15:04

CHAPITRE 3

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

NOMBRES ET OPÉRATIONS

Dès le début du chapitre, les élèves sont plongés dans une histoire, celle de quatre adolescents participant au « Grand rallye des mathématiques » de leur école. Au total, huit manches se succèdent au fil des deux parties du chapitre. Ces manches proposent des quiz, des jeux logiques et des défis qui permettent aux élèves de découvrir ou d’entrainer différentes notions liées aux nombres et aux opérations.

PARTIE 1

Opérations et estimation

p. 81-82

IG H T

NOMBRES POSITIFS

La première partie du chapitre vise essentiellement à développer des stratégies de calcul et à découvrir les puissances et de nouveaux préfixes. La seconde permet aux élèves d’apprendre à opérer avec les nombres négatifs.

p. 71-72

Exercices 1, 2 et 3

Estimer le résultat d’une opération permet d’en donner une réponse approximative avant de la calculer avec précision. Cela permet aussi de vérifier la plausibilité d’une réponse calculée.

Propriétés des opérations p. 72-73

p. 83

Exercice 1

Les élèves mobilisent leurs connaissances sur les propriétés de l’addition et de la multiplication pour évaluer la pertinence des stratégies de calcul. Au-delà du résultat final, l’objectif est la justification du choix d’une technique. Les élèves explicitent d’abord leur raisonnement en langage courant, puis formalisent les concepts en utilisant le vocabulaire spécifique : commutativité, associativité, élément neutre et élément absorbant. p. 85

p. 74

Exercice 3 Les élèves peuvent expliciter leurs regroupements en recopiant le calcul et en ajoutant des parenthèses autour des termes associés. Ils peuvent aussi mettre en évidence ces regroupements en soulignant ou en surlignant les nombres qu’ils choisissent de rassembler. Une autre possibilité consiste à séparer clairement les parties entières et les parties décimales pour montrer comment ils organisent leur calcul. G27

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 85

p. 74-75

Exercice 4 Les élèves vérifient si les propriétés de commutativité et d’associativité de l’addition et de la multiplication sont transférables à la soustraction et à la division, et synthétisent leurs observations dans un tableau comparatif.

Techniques de calcul de produits et de quotients

p. 86-87

p. 75-76

Exercices 1, 2 et 3

Exercice 4

p. 76-77

IG H T

p. 88

Les élèves simplifient des opérations complexes en les remplaçant par une succession de produits et/ou de quotients plus accessibles. Il est alors essentiel de leur faire prendre conscience que l’ordre dans lequel ils indiquent ces multiplications et divisions successives n’altère pas le résultat final.

Les élèves optimisent le calcul mental en utilisant des équivalences entre multiplication et division. p. 88 Exercice 5

p. 77

(1) Cet exercice présente aux élèves deux manières d’écrire un même procédé de calcul. La première écriture devrait leur être familière : elle est fréquemment utilisée en primaire. La deuxième les sensibilise aux égalités successives, essentielles pour préparer l’introduction des priorités opératoires. On observe souvent chez les élèves une écriture du type : 156 ∙ 7 = 100 + 50 + 6 = 700 + 350 + 42 = 1 092

dans laquelle les égalités ne relient pas des expressions réellement équivalentes. L’exercice vise précisément à corriger cette confusion et à installer une pratique rigoureuse de l’égalité.

(2) Les élèves s’exercent à rédiger leur raisonnement au moyen d’égalités successives, comme l’exige la consigne. Un développement précis est attendu bien que le calcul mental puisse raccourcir certaines étapes intermédiaires simples. p. 89

p. 77

Exercice 6 Les élèves observent les variantes possibles pour un même produit : décomposition d’un des facteurs en une somme ou en une différence. Un des procédés propose des calculs plus simples à effectuer mentalement. Les élèves doivent le repérer, l’appliquer, puis l’expliciter. Pour cela, ils peuvent s’inspirer de la rédaction utilisée à l’exercice 5. G28

p. 77-78 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 89 Exercice 7

Cette méthode repose sur la décomposition du dividende d’un quotient en une somme ou une différence. Contrairement au produit, où le choix du facteur à décomposer est libre, la division impose de ne manipuler que le dividende.

Une erreur fréquente consiste à vouloir décomposer le diviseur. Par exemple, pour diviser par 12, les élèves pourraient proposer de diviser par 10 et par 2. Il convient alors de leur rappeler que cela revient mathématiquement à diviser par 20. L’usage d’un contrexemple reste le moyen le plus efficace pour leur faire prendre conscience de leur erreur : 156 : 12 = 13 ≠ 156 : (10 + 2) = 156 : 10 + 156 : 2 = 15,6 + 78 = 93,6 p. 78

Exercice 8

p. 90

Cet exercice revêt un caractère adidactique en amenant les élèves à réinvestir de manière autonome toutes les procédures de calcul de produits et de quotients. Il est d’ailleurs possible qu’un même calcul puisse être réalisé à l’aide de diverses stratégies. 23 ⋅ 9 = 23 ⋅ 3 ⋅ 3 = 69 ⋅ 3 = (70 – 1) ⋅ 3 = 210 – 3 = 207

IG H T

23 ⋅ 9 = 23 ⋅ (10 – 1) = 230 – 23 = 207 23 ⋅ 9 = (20 + 3) ⋅ 9 = 180 + 27 = 207 55 : 50 = 55 : 5 : 10 = 11 : 10 = 1,1

55 : 50 = 55 : 100 ⋅ 2 = 0,55 ⋅ 2 = 1,1

Puissances d’un nombre

55 : 50 = (50 + 5) : 50 = 50 : 50 + 5 : 50 = 1 + 0,1 = 1,1

p. 90-91

p. 78-79

Exercice 1

L’objectif du jeu « Va le plus loin possible » est d’introduire la notion de puissances. Il permet aux élèves de se familiariser avec leur écriture, d’acquérir le vocabulaire spécifique et de donner du sens à cette nouvelle notation mathématique. (5) Pour conclure l’exercice, les élèves sont invités à utiliser leur calculatrice scientifique pour calculer des puissances. L’enseignant(e) veillera à accompagner les élèves, car les touches de fonction varient d’un modèle à l’autre, comme l’illustrent les exemples ci-dessous.

G29

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 91-92

p. 79

Exercice 4 En calculant l’aire d’un carré et le volume d’un cube (prérequis), les élèves écrivent un produit de facteurs identiques qu’ils peuvent convertir en puissance tout en veillant à utiliser les unités de mesure adéquates (cm2 et cm3). Cette mise en situation permet d’établir un lien concret entre l’exposant 2 et la notion de carré, ainsi qu’entre l’exposant 3 et celle de cube. Deux lectures sont à présent possibles pour une même notation :

72 se lit « 7 exposant 2 » ou « 7 au carré ». 53 se lit « 5 exposant 3 » ou « 5 au cube ». p. 80

p. 92 Exercice 5

Les élèves doivent distinguer la lecture d’une puissance de sa traduction.

52 se lit « 5 au carré » ou « 5 exposant 2 » et se traduit par « le carré de 5 » ou « la deuxième puissance de 5 ». Cette nuance peut être mise en lien avec la somme : 2 + 3 se lit « 2 plus 3 » et se traduit par « la somme de 2 et de 3 ».

Exercice 8

p. 80

IG H T

p. 92

Les élèves calculent le carré des quinze premiers nombres naturels non nuls. Au-delà de 102, il peut être utile, dans un premier temps, de développer le calcul en utilisant les techniques vues au point précédent. Cependant, comme la connaissance de ces carrés figure dans les attendus, un travail régulier d’automatisation s’impose pour assurer leur maitrise durable.

Exercice 10

p. 80-81

p. 93

Après avoir étudié le cas d’une base nulle, les élèves utilisent les suites logiques afin de comprendre et de justifier la valeur d’une puissance dont l’exposant est nul. Cette démarche permet de répondre pleinement à l’attendu du référentiel : calculer une puissance dont la base et l’exposant sont des nombres naturels.

Puissances de 10 et préfixes

p. 94

p. 81

Exercice 3 Certains élèves éprouveront le besoin d’indiquer les valeurs approchées afin d’estimer le résultat. 103 ⋅ 1 021 ≅ 100 ⋅ 1 000 = 100 000 = 105 124 ⋅ 80 032 ≅ 125 ⋅ 80 000 = 10 000 000 = 107

G30

p. 94-95

p. 82 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Exercice 4 L’analyse des nombres de vues comptabilisées par trois vidéos sur YouTube permet de mettre en évidence les préfixes kilo (k), méga (M) et giga (G). p. 95-96

p. 83

Exercice 5

Priorités des opérations

p. 96-97

Cette manche du rallye s’appuie sur un domaine du quotidien dans lequel les élèves peuvent rencontrer les préfixes kilo, méga et giga. Même si cet exercice se présente sous la forme d’un questionnaire à choix multiple, il est important que les élèves notent leur calcul dans la zone de travail. Cela leur permettra notamment d’exprimer les conversions.

p. 84

Exercices 1, 2, 3 et 4

p. 97

IG H T

Les élèves découvrent progressivement les priorités des opérations. La calculatrice standard utilisée en primaire est remplacée par la calculatrice scientifique. Ce nouvel outil devient un allié précieux pour comprendre les mécanismes des priorités. p. 85

Je rédige mon procédé pour effectuer un calcul contenant plusieurs opérations Exemples de rédaction J’effectue…

1) l es opérations situées à l’intérieur des parenthèses (en respectant les priorités à l’intérieur de celles-ci) ;

2) les puissances ;

3) les multiplications et divisions (de gauche à droite) ;

4) les additions et soustractions.

PEMDAS : Parenthèses, Exposants, Multiplications/Divisions, Additions/Soustractions

PAPUMUA : PArenthèses, PUissances, MUltiplications, Additions

Parenthèses

Exposants

Multiplications

A Additions

PAPUIPROQUOSODI : PArenthèses, PUIssances, PROduits/QUOtients, SOmmes/DIfférences

D Divisions

S Soustractions

G31

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 98

p. 85

Exercice 5 Les règles de priorités sont abordées en suivant une progression dans le niveau de difficulté. (1) Une étape sans puissance, avec ou sans parenthèses. (2) Une ou deux étapes, avec puissances, avec ou sans parenthèses. (4) Plusieurs étapes, avec priorités dans les parenthèses.

(3) Plusieurs étapes avec parenthèses (une seule opération à l’intérieur de celles-ci). Les élèves peuvent éventuellement utiliser leur calculatrice scientifique pour vérifier leurs solutions. p. 85

Exercice 6

p. 99

Traduire un énoncé en une seule suite d’opérations est un exercice complexe qui demande une excellente maitrise des priorités des opérations.

PARTIE 2

IG H T

Il est conseillé de laisser les élèves résoudre le problème étape par étape avant de les inviter à regrouper leurs calculs en une seule expression.

NOMBRES NÉGATIFS Somme de deux nombres p. 100

Exercice 1

p. 86

Les élèves procèdent à une manipulation visuelle en barrant les paires de jetons opposés (1 et –1) directement sur la table de jeu. Cette action leur permet de comptabiliser facilement les jetons restants pour déterminer le score de chaque joueur. L’objectif est d’amener les élèves à constater que le résultat d’une addition peut être un nombre négatif. Par convention, lorsque le nombre est positif, le signe n’est pas mentionné.

p. 101-102

p. 87-88

Exercice 2 Cet exercice introduit la droite graduée comme un outil visuel et pratique pour additionner deux nombres entiers. D’autres images concrètes peuvent être exploitées : se déplacer vers l’avant (+) ou vers l’arrière (–), prendre l’ascenseur pour monter (+) ou pour descendre (–).

G32

p. 88 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 102

Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres à l’aide de la droite graduée Exemple de rédaction

p. 103

Le nombre sur lequel j’arrive à la fin est le résultat de l’addition.

p. 88-89

Exercice 3

Je réalise successivement les déplacements correspondant à chaque terme de la somme en partant de zéro. → terme positif ← terme négatif

p. 104 Exercice 4

IG H T

Dans un premier temps, les élèves utilisent la droite graduée comme support concret pour observer et formaliser la règle d’addition de deux nombres entiers de même signe. Les élèves l’abandonnent ensuite pour appliquer directement la règle de calcul, ce qui leur permet de gagner en rapidité et d’aborder des calculs avec des grands nombres ou des nombres décimaux. p. 89

Cet exercice amène, de la même manière, les élèves à formaliser la règle d’addition de deux nombres entiers de signes différents.

G33

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 105

p. 90

Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres Exemples de rédaction Si les deux nombres sont de même signe, alors… • je conserve le signe et

• j’additionne les valeurs absolues. 3+6=9 –3 + (–6) = –(3 + 6) = –9 Si les deux nombres sont de signes différents, alors…

• je donne à la somme le signe du terme ayant la plus grande valeur absolue et 3 + (–7) = –(7 – 3) = –4

IG H T

–3 + 7 = +(7 – 3) = 7 – 3 = 4

• je calcule la différence entre la plus grande et la plus petite valeur absolue.

Signes différents

Je conserve le signe.

Je donne à la somme le signe du terme ayant la plus grande valeur absolue.

J’additionne les valeurs absolues.

Je soustrais les valeurs absolues (la plus grande moins la plus petite).

Même signe

Exemples : 3 + (–7) = –(7 – 3) = –4 –3 + 7 = +(7 – 3) = 7 – 3 = 4

Exemples : 3+6=9 –3 + (–6) = –(3 + 6) = –9

1) Je donne à la somme le signe du terme ayant la plus grande valeur absolue. 2) Si les nombres sont de même signe, alors j’additionne les valeurs absolues. 3+6=9 –3 + (–6) = –(3 + 6) = –9 Si les nombres sont de signes différents, alors je calcule la différence entre la plus grande et la plus petite valeur absolue. 3 + (–7) = –(7 – 3) = – 4 –3 + 7 = +(7 – 3) = 4

G34

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Le dernier procédé, bien qu’inhabituel, présente un avantage majeur : une fois le signe du résultat identifié, il permet aux élèves de se concentrer sur l’opération à effectuer. Ils retiennent ainsi une règle simple : on additionne les valeurs absolues si les signes sont identiques, mais on les soustrait s’ils sont différents. Note complémentaire : il peut être intéressant d’établir un lien avec le cours de formation numérique, dans lequel la réalisation d’un logigramme fait partie des attendus. Voici un exemple de logigramme pouvant être construit pour aider au calcul de la somme de deux nombres.

Une somme de deux nombres est affichée

Les nombres ont-ils le même signe ?

Non

IG H T

Oui

Lire les nombres

Garder le signe

Oui

Additionner leurs valeurs absolues

Garder le signe +

Non

Garder le signe –

Soustraire les valeurs absolues

Afficher le résultat

C p. 106

Le nombre positif a-t-il la plus grande valeur absolue ?

p. 90

Exercice 8 Les élèves sont invités à valider ou infirmer des propositions théoriques en s’appuyant sur la recherche de contrexemples pour justifier leurs réponses. Cette démarche sert à approfondir la compréhension des énoncés. G35

Différence entre deux nombres p. 107

p. 91

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

La dernière proposition amène les élèves à se questionner quant à la nécessité des parenthèses : pourquoi a-t-on indiqué « de signes différents » ? Ce questionnement permet d’affiner leur compréhension en vérifiant si l’on peut supprimer cette mention sans rendre la phrase fausse. Concrètement, la proposition reste vraie avec ou sans les parenthèses, mais cette subtilité logique offre une occasion de discussion que l’enseignant(e) est libre d’explorer ou non.

Exercice 1

(1) et (2) Ces exercices font découvrir aux élèves que la soustraction est une addition « déguisée » ; en effet, soustraire un nombre entier revient à ajouter son opposé.

En s’appuyant sur une manipulation concrète de jetons qu’ils peuvent barrer ou ajouter sur la table de jeu, les élèves visualisent que rendre un jeton positif revient à prendre un jeton négatif et inversement. Cette étape leur permet de donner du sens à l’opération. L’écriture du calcul leur permet ensuite de stabiliser et de formaliser la règle de soustraction.

p. 108

p. 92

Exercice 2

IG H T

Prenons l’exemple du calcul –8 – 1. Les élèves font face à une situation matériellement impossible pour Karim, qui doit rendre un jeton positif alors qu’il n’en possède pas. Pour débloquer la situation, les élèves doivent transformer l’opération afin de la rendre réalisable. Rendre un jeton positif devient alors équivalent à prendre un jeton négatif : –8 – 1 se transforme en –8 + (–1). Grâce à cette conversion en addition, les élèves peuvent désormais effectuer le calcul.

Somme et différence de deux nombres

Certaines étapes de calcul sont affichées dans une couleur plus claire, car la transformation de la différence en une somme n’est plus obligatoire à ce stade, mais reste un soutien précieux pour certains élèves.

p. 93

p. 109

Exercice 1 La règle des signes successifs s’établit assez facilement, car les élèves sont capables de transformer les écritures mathématiques. Cependant, il convient de vérifier leur maitrise théorique en leur demandant d’expliquer leur démarche. 5 + (–3) = 5 – 3

–5 + (–3) = –5 – 3

Ajouter un nombre négatif revient à soustraire son opposé. 5 – (–3) = 5 + 3

–5 – (–3) = –5 + 3

Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. G36

Somme et différence de plus de deux nombres p. 110

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 94

Exercice 1

Demander aux élèves de calculer le plus rapidement possible les amène à utiliser les propriétés de l’addition ; les termes peuvent être commutés et/ou associés, le zéro est neutre, la somme de deux nombres opposés vaut zéro.

Dans chaque cas, une seule solution est proposée, mais celle-ci n’est pas unique. Par exemple, pour le score de Karim, la solution proposée regroupe les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux. Les élèves pourraient aussi simplement additionner les termes les uns après les autres, de gauche à droite, même si cette approche n’est pas toujours la plus rapide. –4 + (–2) + (–9) + 3 + 5 = – 6 + (–9) + 3 + 5 = –15 + 3 + 5 = –12 + 5 = –7

p. 111

p. 94

Échanger sur les différentes façons de calculer permet aux élèves de découvrir d’autres procédures, de comparer leur efficacité et de choisir celle qui leur convient le mieux.

Exemple de rédaction

IG H T

Je rédige mon procédé pour calculer la somme ou la différence de plus de deux nombres

Je simplifie l’expression, je repère et je barre…

• le zéro, car c’est l’élément neutre de l’addition ; • les termes opposés, car leur somme est nulle.

J’additionne les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux. J’effectue la somme des résultats obtenus.

7 + (–7) + 11 + (–12) + 0 + (–8) + 6 = 17 + (–20) = –3

p. 111

p. 94

Exercice 3

Afin de laisser l’enseignant(e) et les élèves libres de la démarche utilisée, seule la réponse finale est proposée. Voici quelques exemples de résolutions illustrant différentes approches : 135 – 49 – 100 – 35 = 86 – 100 – 35 = –14 – 35 = –49 135 – 49 – 100 – 35 = 135 – 184 = –49 135 – 49 – 100 – 35 = 135 – 49 – 135 = –49 135 – 49 – 100 – 35 = –49

G37

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Produit et quotient de deux nombres

p. 112-113

p. 95-96

Exercice 1

Les élèves découvrent le produit de deux nombres à travers la lecture autonome d’une planche de BD. Pour favoriser leur appropriation du sujet, il est recommandé d’insister sur la compréhension des différents défis posés et, surtout, sur les arguments logiques permettant de les résoudre. En complétant la carte « indice », les élèves deviennent acteurs de leur apprentissage. Cette phase individuelle s’achève par un bilan collectif pour consolider les points clés. Défi 1 : établir le lien avec l’addition Défi 3 : construire une suite logique pour induire le résultat

Défi 2 : exploiter la commutativité du produit

p. 113

p. 96

Exercice 2

Les élèves concluent cet exercice par la synthèse de l’analyse du signe d’un produit de deux nombres, englobant les quatre cas possibles.

IG H T

En s’appuyant sur la maitrise du produit de deux nombres entiers, cet exercice utilise la réciprocité des opérations pour introduire le quotient de deux nombres entiers de manière intuitive. Les élèves utilisent le code couleur imposé pour mettre en évidence les régularités entre les signes des deux nombres et celui du résultat. Les élèves parviennent ainsi à la conclusion que la règle des signes d’un produit de deux nombres s’applique de la même manière au quotient de deux nombres. p. 96

p. 113

Je rédige mon procédé pour calculer le produit ou le quotient de deux nombres Exemple de rédaction

1) Je détermine le signe du produit (ou du quotient).

Les deux nombres sont de même signe → + Les deux nombres sont de signes différents → −

2) Je multiplie (ou divise) les valeurs absolues des deux nombres.

G38

Un produit (ou un quotient) de deux nombres est affiché

Lire les nombres

Multiplier (ou diviser) les valeurs absolues

Les nombres sont-ils de même signe ? Non

Garder le signe –

Produit de plusieurs nombres p. 115

Afficher le résultat

p. 98

Garder le signe +

Oui

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Note complémentaire : voici un exemple de logigramme pouvant être construit pour aider au calcul d’un produit ou d’un quotient de deux nombres.

Exercice 1

En s’appuyant sur les règles de la multiplication de deux nombres, les élèves utilisent l’associativité pour calculer les produits par étapes. Ils dénombrent ensuite les facteurs négatifs pour tirer une conclusion sur le signe du résultat.

(–2 ∙ 5) ∙ (6 ∙ 4) ∙ 1

IG H T

Pour ce faire, ils disposent de plusieurs méthodes : réécrire l’expression en y insérant des parenthèses, les ajouter directement sur l’énoncé ou souligner les paires de facteurs à associer, tout en barrant éventuellement le nombre 1 (élément neutre). ou

–2 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 1

Une fois les calculs effectués, les élèves dénombrent les facteurs négatifs de chaque produit et déterminent le signe du produit final. Cette observation systématique leur permet d’induire et de formuler eux-mêmes la règle générale : le signe d’un produit dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs qu’il contient.

Opérations

Ce point du chapitre constitue une synthèse globale des quatre opérations sur les nombres entiers, permettant aux élèves de mobiliser l’ensemble de leurs connaissances pour valider définitivement leurs acquis.

p. 118

p. 100

Exercice 7

À nouveau, pour encourager l’autonomie des élèves, seul le résultat apparait dans le solutionnaire.

Priorités des opérations

p. 119-120

p. 101

Exercice 1 (1) Cet exercice permet aux élèves d’étendre aux nombres négatifs les règles de priorités des opérations découvertes dans la partie consacrée aux nombres positifs. G39

(2) Pour un même calcul, deux procédures distinctes s’offrent aux élèves. GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Procédure 1 (Augustin) : les élèves appliquent les priorités des opérations et effectuent la multiplication avant la soustraction. Le signe « – » est vu comme un symbole opératoire. Cela nécessite une étape intermédiaire de gestion des parenthèses pour traiter, ensuite, la soustraction d’un nombre négatif.

p. 120

Procédure 2 (Maud) : les élèves englobent le signe « – » au facteur et multiplient ainsi un nombre négatif par un autre. Ce raccourci cognitif simplifie l’expression dès la première étape et limite les risques d’erreurs d’écriture. p. 102

Exercice 2

p. 120

p. 102

Dans cet exercice, les élèves doivent obligatoirement calculer en utilisant les deux procédures. Par la suite, ils seront libres d’utiliser la méthode qui leur convient le mieux. La résolution la plus détaillée sera toujours indiquée dans le corrigé du manuel.

Je me souviens des règles de priorités des opérations

Exemple de rédaction J’effectue…

IG H T

Les règles de priorités des opérations demeurent identiques à celles établies à la page 97 (livre-cahier) ou 85 (manuel). Bien que ces règles aient été introduites avec des nombres positifs, elles s’appliquent de la même manière aux nombres entiers.

1) les opérations situées à l’intérieur des parenthèses (en respectant les priorités à l’intérieur de celles-ci) ;

2) les puissances ;

3) les multiplications et divisions (de gauche à droite) ;

4) les additions et soustractions.

p. 102

p. 120-121 Exercice 3

(2) Les règles de priorités sont ici abordées en suivant une progression dans le niveau de difficulté. • Une étape, sans parenthèses. • Une étape, avec parenthèses (une seule opération à l’intérieur de celles-ci). • Deux étapes, avec parenthèses (une seule opération à l’intérieur de celles-ci). • Plusieurs étapes, avec priorités dans les parenthèses. Les élèves peuvent éventuellement utiliser leur calculatrice scientifique pour vérifier leurs solutions.

G40

CHAPITRE 3

nombres et opérations

Souviens-toi La somme de 12 et de 3 •

• 12 : 3

Le produit de 12 par 3 •

• 12 ⋅ 3

Le quotient de 12 par 3 •

• 12 + 3

La différence entre 12 et 3 •

1. (1) Relie chaque phrase au calcul qui lui correspond.

• 12 - 3

IG H T

(2) Utilise les mots de la liste pour compléter les phrases. Utilise le pluriel des noms si c’est nécessaire.

facteur – terme – dividende – diviseur

Dans la somme de 12 et de 3, les nombres 12 et 3 sont appelés les termes. Dans le produit de 12 par 3, les nombres 12 et 3 sont appelés les facteurs.

Dans la différence entre 12 et 3, le nombre 12 est appelé le premier terme

et le nombre 3 le deuxième terme. Dans le quotient de 12 par 3, le nombre 12 est appelé le dividende

et le nombre 3 le diviseur.

2. Calcule rapidement. 6,5 · 10 =

8 · 125 = 1 000

8,92 · 1 000 = 8 920

4 · 25 = 100

20 · 500 = 10 000

0,045 · 100 = 4,5

5 : 10 =

0,5

2 730 : 100 = 27,3 3 600 : 1 000 = 3,6

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 79

19/02/2026 15:04

3. Calcule en te chronométrant. 40

2,3 + 0,5 =

99 + 184 =

283

7,1 + 3,02 = 10,12

148 + 152 = 300

5,17 + 1,14 = 6,31

95 - 25 =

8,5 - 5,03 = 3,47

58 - 12 =

12,57 - 2,6 = 9,97

32 : 8 =

9·5=

27 : 3 =

6·4=

63 : 9 =

3·7=

42 : 7 =

6·9=

15 : 5 =

IG H T

Indique ton temps :

7·8=

2,8

13 + 27 =

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 80

19/02/2026 15:04

PARTIE 1

nombres positiFs Opérations et estimation

Estime ton résultat

manCHe

Augustin, Jade, Karim et Maud participent au « Grand rallye des mathématiques » organisé au sein de leur école. Au programme : quiz, défis, jeux de logique et calcul mental !

IG H T

1. (1) Augustin a obtenu un score de 7/10. Aurais-tu fait mieux ? À toi de jouer !

Pour chaque opération, estime le résultat et coche la bonne réponse. Attention, ton temps est compté : tu ne disposes que de 3 minutes ! Moins de 500

Plus de 500

675 – 143

49 ⋅ 9

2 020 : 4

786 – 277

101 ⋅ 0,5 48 ⋅ 11

500 ⋅ 0,1

489,9 + 10,01 249 + 261 5 ⋅ 99

(2) Utilise ta calculatrice pour vérifier tes estimations et corriger ta fiche. (3) Quel est ton score ?

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 81

19/02/2026 15:04

2. Dans chaque cas, simplifie l’opération proposée et entoure l’estimation la plus proche de son résultat. Estimer le résultat d’une opération, c’est donner une réponse approximative la plus proche possible de ce résultat.

29 · 53 → 30 · 50 = 1 500 Simplification

Estimation 1

2 287 + 343

2 300 + 300

2 500

222,2 - 33,3

220 – 30

180

42 · 38

40 · 40

989 · 0,01

Estimation 3 2 700

2 600 185

190

1 600

1 800

2 000

5 600 : 70

100

1 000 · 0,01

100

1 000

IG H T

5 640 : 72

Estimation 2

Opération

Pour estimer, il faut arrondir un ou plusieurs éléments de cette opération pour simplifier le calcul.

Opération 1

Résultat

3. Sans calculer avec précision, entoure l’opération qui donne le résultat proposé.

Opération 3 282 · 4

836

377 + 459

1198 - 440

214

430 : 2

472 - 256

185 + 29

10,101

11,001 - 1,1

10,001 + 1,1

3819

21 · 198

19 · 201

101,01 · 0,1

O C 82

Opération 2

243

486 · 0,5

85 · 3

20 · 200 446 : 2

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 82

19/02/2026 15:04

Propriétés des opérations

manCHe

Sois le plus efficace

1. Pour la deuxième manche, l’important n’est pas de trouver la réponse exacte aux calculs proposés, mais d’écrire une démarche efficace pour calculer. Maud lit les calculs pendant que Karim, Jade et Augustin s’affrontent au tableau. Pour chaque calcul, indique le nom du candidat qui a adopté la démarche la plus efficace. Justifie ton choix et complète la phrase.

(37 + 9) + (63 + 21)

((37 + 9) + 63)) + 21

(37 + 63) + (9 + 21)

IG H T

Calcul no 1 37 +9 +63+ 21

(1)

Karim

Jade

Augustin

Jade, car elle a changé l’ordre des termes et les a groupés deux par deux afin de faciliter le calcul mental.

(2)

L’addition est une opération commutative

(323 + 0) + (7 + 14)

(323 + 7) + 14 (323 + 7) + (14 + 0)

Calcul no 2 323+ 0+ 7+ 14

et associative.

Karim

Jade

Augustin

Augustin, car il a supprimé le terme 0 et a groupé deux termes afin de faciliter le calcul mental. L’addition est une opération qui admet 0

comme élément neutre

et qui est associative. CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 83

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(3)

(2 ⋅ 0,5) ⋅ (7 ⋅ 6)

(2 ⋅ 0,5) ⋅ (7 ⋅ 6) ⋅ 0

Calcul no 3 2 ⋅ 7 ⋅ 0,5 ⋅ 6 ⋅ 0

Karim

Jade

Augustin

La multiplication est une opération qui admet (4)

Jade, car un des facteurs du produit étant 0, elle a directement noté 0.

comme élément absorbant.

(25 · 4) · (1 · 9)

(25 · 4) · 9

IG H T

Calcul no 4 25 ⋅ 1 ⋅ 9 ⋅ 4

(25 · 9) · 4

∙

Karim

Jade

Augustin

Karim, car il a supprimé le facteur 1, a changé l’ordre des facteurs et en a groupé deux afin de faciliter le calcul mental. La multiplication est une opération qui admet

qui est commutative

comme élément neutre

et qui est associative.

2. Associe chaque égalité à la propriété correspondante. 6+3+4=6+4+3 • 1,2 ⋅ 0 ⋅ 2,3 = 0 • 4 ⋅ (5 ⋅ 3) = (4 ⋅ 5) ⋅ 3 •

• L’addition est commutative. • La multiplication est associative. • L’addition admet 0 comme élément neutre.

0,4 + 1,6 + 0 = 0,4 + 1,6 •

• L’addition est associative.

4 + 3 + 7 = (4 + 3) + 7 •

• La multiplication admet 0 comme élément absorbant.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 84

19/02/2026 15:04

3. Calcule en utilisant les propriétés de l’addition ou de la multiplication. 12 + 34 + 0 = 46 17 + 15 + 23 = (17 + 23) + 15 = 40 + 15 = 55 125 ⋅ 8 ⋅ 27 ⋅ 1 = (125 ⋅ 8) ⋅ 27 = 1 000 ⋅ 27 = 27 000

32 + 81 + 58 + 19 = (32 + 58) + (81 + 19) = 90 + 100 = 190 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 7 = (2 ⋅ 5) ⋅ (10 ⋅ 7) = 10 ⋅ 70 = 700 1,3 + 2,4 + 0,6 = 1,3 + (2,4 + 0,6) = 1,3 + 3 = 4,3

1,2 ⋅ 3,4 ⋅ 0 = 0

0,2 ⋅ 3,6 ⋅ 50 = (0,2 ⋅ 50) ⋅ 3,6 = 10 ⋅ 3,6 = 36

13,9 + 93,3 + 12,1 + 17,7 = (13,9 + 12,1) + (93,3 + 17,7) = 26 + 111 = 137

0,25 ⋅ 12 ⋅ 4 ⋅ 5 = (0,25 ⋅ 4) ⋅ (5 ⋅ 12) = 1 ⋅ 60 = 60

IG H T

4. (1) Complète par = ou ≠. 19 + 21 = 21 + 19

(15 + 25) + 10 = 15 + (25 + 10)

10 - 2 ≠ 2 - 10

(10 - 5) - 2 ≠ 10 - (5 - 2)

4⋅3 = 3⋅4

(2 ⋅ 5) ⋅ 10 = 2 ⋅ (5 ⋅ 10)

10 : 5 ≠ 5 : 10

(200 : 10) : 5 ≠ 200 : (10 : 5)

(2) Complète le tableau en indiquant « oui » ou « non » pour préciser si l’opération proposée est commutative ou associative. Opération

Commutative

Associative

Addition

Oui

Soustraction

Non

Multiplication

Oui

Division

Non

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 85

19/02/2026 15:04

Techniques de calcul de produits et de quotients

1. (1) Effectue les produits successifs. Ensuite, indique sous la grande flèche l’opération qui peut remplacer toutes les autres. ⋅2

⋅2

168

⋅8 ⋅2

⋅3

102

⋅3

⋅2

102

⋅6

(2) Trouve un procédé rapide qui te permet de multiplier un nombre… par 4 : multiplier ce nombre par 2 puis encore par 2. par 20 : multiplier ce nombre par 2 puis par 10.

IG H T

par 60 : multiplier ce nombre par 2 puis par 3 et enfin par 10. (3) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires. 35 ⋅ 6 = 210 45 ⋅ 8 = 360

22 ⋅ 300 = 6 600 4,5 ⋅ 8 =

56 ⋅ 40 = 2 240

1,2 ⋅ 60 = 72

2. (1) Effectue les quotients successifs. Ensuite, indique sous la grande flèche l’opération qui peut remplacer toutes les autres. : 10

: 20

: 12

Écris d’autres divisions successives qu’on aurait pu effectuer pour diviser un nombre... par 20 : diviser ce nombre par 4 puis par 5 ou par 2, puis par 2, puis par 5.

par 12 : diviser ce nombre par 2, puis par 6 ou par 2, puis par 2, puis par 3.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 86

19/02/2026 15:04

(2) Trouve un procédé rapide qui te permet de diviser un nombre… par 4 :

diviser ce nombre par 2 puis encore par 2.

par 6 :

diviser ce nombre par 2 puis par 3.

par 8 :

diviser ce nombre par 2 puis encore par 2 puis encore par 2.

par 9 :

diviser ce nombre par 3 puis encore par 3.

75 : 15 = 5

72 : 12 = 6

126 : 9 = 14

26 : 4 = 6,5

144 : 80 = 1,8

270 : 30 = 9

(3) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

3. (1) Effectue les opérations successives. Ensuite, indique sous la grande flèche l’opération qui peut remplacer toutes les autres. ⋅ 10

480

240

IG H T

⋅5

120

: 10

⋅2

120

⋅ 10

240

: 10

⋅5 ⋅2

240 :5

(2) Trouve un procédé rapide qui te permet de… multiplier un nombre par 25 : multiplier ce nombre par 100, puis le diviser par 4. diviser un nombre par 50 :

diviser ce nombre par 100, puis le multiplier par 2.

(3) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires. 31,6 : 50 = 0,632

14 : 5 = 2,8

550 : 25 = 22

62 ⋅ 25 = 1 550

1,2 ⋅ 500 = 600

1,2 ⋅ 5 = 6

0,7 : 5 = 0,14

17 ⋅ 5 = 85

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 87

19/02/2026 15:04

4. (1) Calcule. N’utilise ta calculatrice que si c’est nécessaire. Transforme ensuite la multiplication de départ en une division équivalente. = 40

: 10

40 ⋅ 0,01 =

0,4

revient à 20

40 ⋅ 0,5 =

= 40

: 100

revient à : 2

40 ⋅ 0,25 =

revient à

= 40

revient à

: 4

40 ⋅ 0,1 =

583 ⋅ 0,1 = 583 : 10 = 58,3 56 ⋅ 0,5 = 56 : 2 = 28

13 ⋅ 0,5 = 13 : 2 = 6,5

34 ⋅ 0,01 = 34 : 100 = 0,34

(2) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

0,48 ⋅ 0,25 = 0,48 : 4 = 0,12 1,4 ⋅ 0,25 = 1,4 : 4 = 0,35

IG H T

5. (1) Voici deux écritures du même procédé utilisé pour effectuer un produit. Explique ce procédé. 156 ⋅ 7 = 700 + 350 + 42 = 1 092 100

156 ⋅ 7 = (100 + 50 + 6) ⋅ 7 = 100 ⋅ 7 + 50 ⋅ 7 + 6 ⋅ 7 = 700 + 350 + 42 = 1 092

On décompose un des facteurs du produit en une somme de plusieurs termes.

Ensuite, on distribue, c’est-à-dire qu’on multiplie chacun des termes de la somme par l’autre facteur.

Enfin, on additionne les produits partiels obtenus.

(2) En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une somme. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.

101 ⋅ 27 = (100 + 1) ⋅ 27 = 100 ⋅ 27 + 1 ⋅ 27 = 2 700 + 27 = 2 727

28 ⋅ 11 = 28 ⋅ (10 + 1) = 28 ⋅ 10 + 28 ⋅ 1 = 280 + 28 = 308

103 ⋅ 5,2 = (100 + 3) ⋅ 5,2 = 100 ⋅ 5,2 + 3 ⋅ 5,2 = 520 + 15,6 = 535,6 34 ⋅ 10,5 = 34 ⋅ (10 + 0,5) = 34 ⋅ 10 + 34 ⋅ 0,5 = 340 + 17 = 357 37 ⋅ 1,1 = 37 ⋅ (1 + 0,1) = 37 ⋅ 1 + 37 ⋅ 0,1 = 37 + 3,7 = 40,7 6 ⋅ 12,3 = 6 ⋅ (10 + 2 + 0,3) = 6 ⋅ 10 + 6 ⋅ 2 + 6 ⋅ 0,3 = 60 + 12 + 1,8 = 73,8 88

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 88

19/02/2026 15:04

6. (1) Voici quatre procédés pour effectuer le même produit. 17 ⋅ 99 = (10 + 7) ⋅ 99

17 ⋅ 99 = 17 ⋅ (90 + 9)

17 ⋅ 99 = (20 - 3) ⋅ 99

17 ⋅ 99 = 17 ⋅ (100 - 1)

Trouve celui qui présente les produits les plus faciles à calculer mentalement et effectue-le. 17 ⋅ 99 = 17 ⋅ (100 – 1) = 17 ⋅ 100 – 17 ⋅ 1 = 1 700 – 17 = 1 683

Explique le procédé.

On décompose un des facteurs du produit en une différence de deux termes.

par l’autre facteur.

Enfin, on soustrait les produits partiels obtenus.

Ensuite, on distribue, c’est-à-dire qu’on multiplie chacun des termes de la différence

(2) En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.

IG H T

23 ⋅ 9 = 23 ⋅ (10 – 1) = 23 ⋅ 10 – 23 ⋅ 1 = 230 – 23 = 207

98 ⋅ 29 = (100 – 2) ⋅ 29 = 100 ⋅ 29 – 2 ⋅ 29 = 2 900 – 58 = 2 842 1,2 ⋅ 98 = 1,2 ⋅ (100 – 2) = 1,2 ⋅ 100 – 1,2 ⋅ 2 = 120 – 2,4 = 117,6 57 ⋅ 9,5 = 57 ⋅ (10 – 0,5) = 57 ⋅ 10 – 57 ⋅ 0,5 = 570 – 28,5 = 541,5

7. (1) Une somme ou une différence de multiples de 12 se cache dans chaque dividende. Écris cette somme ou cette différence puis effectue la division. 156 : 12 =

( 120 +

1 212 : 12 = ( 1 200 +

36 ) : 12 = 120 : 12 + 36 : 12 = 10 + 3 = 13

12 ) : 12 = 1 200 : 12 + 12 : 12 = 100 + 1 = 101

( 120 -

12 ) : 12 = 120 : 12 – 12 : 12 = 10 – 1 = 9

216 : 12 =

( 240 -

24 ) : 12 = 240 : 12 – 24 : 12 = 20 – 2 = 18

108 : 12 =

(2) En utilisant des égalités successives, décompose le dividende en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement. 721 : 7 = (700 + 21) : 7 = 700 : 7 + 21 : 7 = 100 + 3 = 103

1 664 : 8 = (1 600 + 64) : 8 = 1 600 : 8 + 64 : 8 = 200 + 8 = 208 418 : 11 =

(440 – 22) : 11 = 440 : 11 – 22 : 11 = 40 – 2 = 38

14,7 : 7 = (14 + 0,7) : 7 = 14 : 7 + 0,7 : 7 = 2 + 0,1 = 2,1 24,3 : 27 = (27 – 2,7) : 27 = 27 : 27 – 2,7 : 27 = 1 – 0,1 = 0,9 CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 89

19/02/2026 15:04

manCHe

Sois le plus rapide 8. Lors du « Grand rallye des mathématiques », Jade a gagné la troisième manche en 8 min 20 et n’a commis que deux erreurs. Seras-tu plus performant(e) qu’elle ? Temps :

Une fois tes réponses vérifiées, indique ton score. Score : 57 : 6 = 9,5

8,6 : 20 = 0,43

55 : 50 = 1,1

1,4 ⋅ 5 = 7

21 ⋅ 97 = 2 037

0,5 ⋅ 50 = 25

126 : 9 = 14

52,1 ⋅ 0,01 = 0,521

23 : 5 = 4,6

42,1 ⋅ 101 = 4 252,1

286 : 13 = 22

651 : 7 = 93

12 ⋅ 423 = 5 076

1,2 ⋅ 39 = 46,8

3,27 ⋅ 0,1 = 0,327

IG H T

47 ⋅ 6 = 282

23 ⋅ 9 = 207

4,3 ⋅ 8 = 34,4

48 ⋅ 0,5 = 24

/ 20

Effectue la série de calculs en te chronométrant.

1 350 : 500 = 2,7

Puissances d’un nombre

manCHe

Va le plus loin possible

1. Augustin, Jade et Maud participent au jeu « Va le plus loin possible ». Le principe est simple : enchainer jusqu’à dix bonnes réponses pour cumuler des points. La première réponse correcte rapporte deux points, Ensuite, chaque nouvelle bonne réponse double le nombre de points acquis. La partie s’arrête dès la première erreur ou au bout des dix questions. Le (la) participant(e) conserve le score acquis après sa dernière réponse correcte et laisse sa place au (à la) suivant(e). (1) Augustin a répondu correctement à cinq questions. Écris le calcul qui te permet de déterminer son score et effectue-le. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 points (2) Maud a obtenu 128 points. Détermine le nombre de bonnes réponses qu’elle a données. Maud a répondu correctement à sept questions (128 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2).

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 90

19/02/2026 15:04

(3) Jade a réalisé le 10 à la suite ! Combien de points a-t-elle gagnés ? Écris ton calcul et effectue-le. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1 024 points 10 facteurs Complète les phrases. Tu viens d’écrire un produit de dix

facteurs

égaux

Tu peux écrire ce produit de facteurs égaux d’une manière plus simple, sous la forme d’une puissance.

exposant

Cette puissance se lit « deux exposant dix ».

base

puissance

(4) Transforme les scores d’Augustin et de Maud en puissances.

IG H T

Augustin : 32 points = 25 points Maud : 128 points = 27 points

(5) Repère la touche de ta calculatrice qui te permet de calculer une puissance et recopie-la. Réponse personnelle de l’élève

Vérifie à l’aide de ta calculatrice les points obtenus par Augustin et par Maud.

2 ⋅ 3

2. Souligne la base et entoure l’exposant de chaque puissance. 3

6 + 6

2 ⋅ 3

5 − 2

3. Transforme les produits en utilisant les puissances. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 23 ⋅ 32

3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 3 ⋅ 53 ⋅ 73

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36

3 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 3 = 33 ⋅ 62

2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5

6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63

4. (1) Détermine l’aire d’un carré de 7 cm de côté. Écris ton calcul sous la forme d’un produit de facteurs égaux et sous la forme d’une puissance. Aire du carré :

7 ⋅ 7 = 72 = 49 cm2

(2) Détermine le volume d’un cube de 5 cm d’arête. Écris ton calcul sous la forme d’un produit de facteurs égaux et sous la forme d’une puissance. Volume du cube :

5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 = 125 cm3

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 91

19/02/2026 15:04

(3) En t’inspirant des unités de mesure d’aire et de volume, propose une deuxième lecture pour chaque puissance. 7 exposant 2 ou 7 au carré 5 exposant 3 ou 5 au cube 5. Relie chaque phrase à la puissance qu’elle traduit et chaque puissance à sa lecture. Lecture

•

La cinquième puissance de 2 •

•

Le cube de 4 •

•

La deuxième puissance de 8 •

•

Le carré de 5 •

•

La huitième puissance de 2 •

•

• 8 au carré • 4 au cube

• 2 exposant 5

La quatrième puissance de 3 •

Puissance

Traduction

•

• 3 exposant 4

•

• 2 exposant 8

•

• 5 au carré

IG H T

6. Écris la puissance exprimée par chaque phrase. Le carré de 100

La cinquième puissance de 1

1002

Le cube de 10

103

La puissance de base 4 et d’exposant 5

7. Traduis chaque puissance par une phrase. Le cube de 9

1100

La centième puissance de 1

Le carré de 8

La quatrième puissance de 5

9³

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 = 100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

8. Calcule le carré des quinze premiers nombres naturels non nuls.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 92

19/02/2026 15:04

9. Calcule. 16 = 1

43 = 64

63 = 216

34 = 81

1 1201 = 1 120

54 = 625

28 = 256

04 = 0

82 = 64

Exposant

Puissance

Résultat

Exposant Puissance Résultat

243

IG H T

Base

10. (1) Quel est le résultat d’une puissance dont l’exposant est 0 ? Pour le découvrir, complète les tableaux et indique, sous chacune des flèches, l’opération qui te permet de passer d’un résultat au précédent.

(2) Utilise ta calculatrice pour vérifier ce que tu viens de découvrir.

50 = 1

1350 = 1

235 8590 = 1

Puissances de 10 et préfixes

130 = 1

1. (1) Calcule les puissances. 101 = 10

103 = 1 000

105 = 100 000

102 = 100

104 = 10 000

106 = 1 000 000

(2) Établis le lien entre l’exposant d’une puissance de 10 et le nombre de zéros présents dans le résultat. L’exposant d’une puissance de 10 indique le nombre de zéros qui suivent le chiffre 1.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 93

19/02/2026 15:04

2. En 1996, Larry Page et Sergey Brin, étudiants à l’Université de Stanford, ont l’idée révolutionnaire de créer un moteur de recherche hyperpuissant. Ils ont choisi de l’appeler Google en référence au « googol », nombre constitué du chiffre 1 suivi de cent zéros ! Ce nombre gigantesque représente très bien la quantité colossale de pages scannées sur Internet par ce moteur de recherche. À quelle puissance de 10 correspond un googol ? 10100 3. Entoure la puissance de 10 la plus proche du résultat. 1 238 ⋅ 999 000

107

108

1 012 ⋅ 99 999

107

108

124 ⋅ 80 032

105

106

2 507 ⋅ 393

106

107

106

105

109 109 107

104

108

103 ⋅ 1 021

IG H T

4. (1) Observe attentivement le nombre de vues indiqué sous les trois vidéos extraites de YouTube. Complète chaque égalité en suivant une progression précise : commence par un mot, poursuis avec un nombre écrit en chiffres, puis une puissance de 10 et termine par un préfixe en t’aidant du tableau en bas de la page.

KAIZEN: 1 an pour gravir l’Everest !

Ma soirée d’halloween

36 M de vues

376 k vues

Bébé Requin │ Chante et danse! │ Animal Song │ PINKFONG Chansons pour les enfants

15 Md de vues

15 Md

36 M

376 k = 376 mille

= 15 000 000 000

= 36 000 000

= 376 000

= 15 ⋅ 109

= 36 ⋅ 106

= 376 ⋅ 103

= 15 giga

= 36 méga

= 376 kilo

milliards

= 36

104

103

102

101

100

déca

105

hecto

106

kilo

107

méga

108

giga

109

unité

millions

= 15

Nombre de vues

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 94

19/02/2026 15:04

(2) Complète par le préfixe approprié. 5 000 vues = 5 kilo

vues

82 000 000 vues = 82 méga

vues

3 000 000 vues = 3 méga

vues

4 500 000 000 vues = 4,5 giga

vues

7 000 000 000 vues = 7 giga

vues

2 500 vues = 2,5 kilo

vues

61 k vues = 61 000

vues

420 M vues = 420 000 000

vues

0,5 G vues = 500 000 000

vues

0,13 k vues =

130

18,1 M vues = 18 100 000

vues

0,02 G vues =

20 000 000

vues

manCHe

(3) Complète par un nombre.

Booste ton énergie avec les préfixes !

IG H T

5. Pour cette manche, les quatre amis testent leur maitrise des préfixes lors d’un quiz sur le thème des énergies renouvelables. Pourras-tu obtenir 100 % tout comme eux ? Les éoliennes ou les panneaux solaires génèrent une quantité d’énergie en fonction de leur puissance. Le watt (W) est l’unité de mesure de la puissance instantanée. Pour chaque question, coche la bonne réponse et indique tes calculs dans la zone de travail. (1) Les éoliennes domestiques datant de 2010 ont une puissance de 2 kW. Combien de watts gagnerait-on en installant un nouveau modèle d’une puissance de 10 kW ?

0,008 W

8W 8 000 W

10 kW – 2 kW = 8 kW = 8 000 W ⋅ 1 000

(2) Le parc éolien de Perwez, situé dans la province du Brabant wallon, contient des éoliennes d’une puissance individuelle de 1 500 000 W. Quelle est la puissance, en mégawatts (MW), d’une éolienne ? 15 MW 1,5 MW 0,15 MW

1 500 000 W = 1,5 MW : 1 000 000

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 95

19/02/2026 15:04

(3) Le parc éolien Hornsea One, situé dans la mer du Nord au Royaume-Uni, est le plus grand parc offshore (en mer) en activité en Europe (en 2025). Il contient 174 éoliennes d’une puissance individuelle de 7 MW. Quelle est la puissance, en gigawatts (GW), du parc ? 1,218 GW 12,18 GW

174 ⋅ 7 = 700 + 490 + 28 = 1 218 MW = 1,218 GW : 1 000

121,8 GW

700 W

60 : 90 000 = 0,000 666 6... MW ≅ 667 W ∙ 1 000 000

Priorités des opérations

IG H T

667 W

600 W

(4) Le parc solaire Hélios, situé à Jemeppe-sur-Sambre, dans la province de Namur, a été inauguré le 4 septembre 2024. La puissance totale de ses 90 000 panneaux solaires identiques atteint 60 MW. Quelle est la puissance moyenne, au watt (W) près, d’un panneau solaire ?

1. Johanna achète deux salades à 1,49 € pièce et paie la maraichère avec un billet de 20 €. La maraichère, peu sure d’elle, prend une calculatrice et est étonnée par la réponse proposée. (1) D’après la calculatrice, quelle somme d’argent la maraichère doit-elle rendre à Johanna ? 26,82 €

20 – 2 x 1,49 = 26,82

(2) Est-ce plausible ? Justifie.

Non, car le montant à rendre est supérieur à la valeur du billet (26,82 > 20).

(3) Quelle opération a été effectuée en premier par cette calculatrice ? La soustraction Est-ce correct ? Explique.

Non, la calculatrice a effectué les opérations de gauche à droite : 20 – 2 ⋅ 1,49 = 18 ⋅ 1,49 = 26,82 €

Or, il faut d’abord calculer le prix à payer pour les deux salades puis retirer ce montant de 20 €.

(4) Calcule la somme d’argent que la maraichère doit réellement rendre à Johanna. 20 - 2 ⋅ 1,49 = 20 – 2,98 = 17,02 € Vérifie ta solution à l’aide d’une calculatrice scientifique. (5) Complète. On effectue la multiplication 96

avant la soustraction.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 96

19/02/2026 15:04

2. Utilise la calculatrice scientifique pour déterminer le résultat des différentes suites d’opérations. Souligne, dans chaque calcul, l’opération réalisée en priorité par la calculatrice. Complète ensuite la phrase. On effectue la multiplication

avant l’addition.

10 + 8 : 2 = 14

On effectue la division

avant l’addition.

12 ⋅ 52 = 300

On effectue la puissance

avant la multiplication.

3. (1) Calcule… en commençant par l’opération soulignée. 24 ⋅ 6 : 2 = 144 : 2 = 72

24 : 6 ⋅ 2 = 24 : 12 = 2

24 ⋅ 6 : 2 = 24 ⋅ 3 = 72

24 : 6 ⋅ 2 = 8

en utilisant la calculatrice scientifique.

24 : 6 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8

2 + 5 ⋅ 4 = 22

24 ⋅ 6 : 2 = 72

(2) Lorsqu’une division et une multiplication se succèdent, comment doit-on procéder pour être certain d’avoir la bonne réponse ?

IG H T

Il faut effectuer les opérations de gauche à droite.

4. Ajoute des parenthèses aux égalités qui sont fausses pour les rendre vraies et complète la phrase. (25 - 5 )⋅ 3 = 60 25 - 5 ⋅ 3 = 10

25 - 5 + 3 = 23

30 : ( 5 ⋅ 2 ) = 3

25 - ( 5 + 3) = 17

30 : 5 ⋅ 2 = 12

Dans un calcul contenant des parenthèses, on effectue en priorité les opérations qui

se trouvent à l’intérieur de celles-ci.

Je rédige mon procédé pour effectuer un calcul contenant plusieurs opérations

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 97

19/02/2026 15:04

5. Calcule en respectant les priorités des opérations. Note un raisonnement complet et souligne l’opération prioritaire à chaque étape. Vérifie ensuite ton résultat à l’aide d’une calculatrice scientifique. (1) 5 + 2 ⋅ 7 = 5 + 14 = 19 (5 + 2) ⋅ 7 = 7 ⋅ 7 = 49 5 + 3 ⋅ 5 + 19 = 5 + 15 + 19 = 39

7 ⋅ 6 - 4 ⋅ 5 = 42 – 20 = 22 7 ⋅ (6 - 4) ⋅ 5 = 7 ⋅ 2 ⋅ 5 = 70

(2) 3 + 4 ⋅ 23 = 3 + 4 ⋅ 8 = 3 + 32 = 35

152 : (3 + 2)2 = 152 : 52 = 225 : 25 = 9 43 : 2 ⋅ 5 = 64 : 2 ⋅ 5 = 32 ⋅ 5 = 160

IG H T

43 : (2 ⋅ 5) = 43 : 10 = 64 : 10 = 6,4

120 - 3 ⋅ 52 = 120 – 3 ⋅ 25 = 120 – 75 = 45

(3) 20 - 2 ⋅ (5 + 3) = 20 – 2 ⋅ 8 = 20 – 16 = 4

132 + (10 - 7)3 ⋅ 4 = 132 + 33 ⋅ 4 = 169 + 27 ⋅ 4 = 169 + 108 = 277 32 ⋅ 12 - (14 + 25) = 32 ⋅ 12 – 39 = 9 ⋅ 12 – 39 = 108 – 39 = 69 (6,5 - 1,5)2 ⋅ 0,5 = 52 ⋅ 0,5 = 25 ⋅ 0,5 = 12,5

21 ⋅ 0,1 + 103 - 4 ⋅ 2,5 = 21 ⋅ 0,1 + 1 000 – 4 ⋅ 2,5 = 2,1 + 1 000 – 10 = 992,1

(4) (82 - 6 ⋅ 4) : 10 = (64 – 6 ⋅ 4) : 10 = (64 – 24) : 10 = 40 : 10 = 4

(5 + 5 ⋅ 4,3) + 5 ⋅ 12 = (5 + 21,5) + 5 ⋅ 12 = 26,5 + 5 ⋅ 12 = 26,5 + 60 = 86,5

12 + 4 ⋅ (220 - 102) = 12 + 4 ⋅ (220 – 100) = 12+ 4 ⋅ 120 = 12 + 480 = 492

6 ⋅ (98 : 7² + 14 : 7) = 6 ⋅ (98 : 49 + 14 : 7) = 6 ⋅ (2 + 2) = 6 ⋅ 4 = 24

62 - (2 + 6 : 4) ⋅ 10 + 5 = 62 – (2 + 1,5) ⋅ 10 + 5 = 62 – 3,5 ⋅ 10 + 5 = 62 – 35 + 5 = 32

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 98

19/02/2026 15:04

6. Résous chaque problème. Note, en une seule expression, la suite d’opérations qui te permet de trouver la solution puis calcule-la en respectant les priorités des opérations.

Prix des entrées enfants :

24 ⋅ 8 = 192 €

Prix des entrées adultes :

222 – 192 = 30 €

Nombre d’entrées adultes :

30 : 10 = 3

En une seule expression :

Trois adultes ont accompagné les enfants.

(1) Un groupe de 24 enfants âgés de 10 ans se rend au musée du Patrimoine. Le prix des entrées est de 8 € pour les moins de 12 ans et de 10 € pour les 12 ans et plus. Détermine le nombre de personnes adultes qui accompagnent ces enfants si tu sais que le prix payé par l’ensemble du groupe est de 222 €.

IG H T

(222 – 24 ⋅ 8) : 10 = (222 – 192) : 10 = 30 : 10 = 3

(2) Lily a acheté 3 kg de pommes de terre à 2,25 € le kg, deux bottes de carottes à 1,50 € la botte et 5 kiwis à 0,50 € l’unité. Elle paie avec un billet de 50 €. Détermine le montant que le vendeur doit lui rendre. 3 ⋅ 2,25 = 6,75 €

Prix des carottes :

2 ⋅ 1,50 = 3 €

Prix des kiwis :

5 ⋅ 0,50 = 2,50 €

Prix total des achats :

6,75 + 3 + 2,50 = 12,25 €

Montant à rendre :

50 – 12,25 = 37,75 €

Prix des pommes de terre :

Le vendeur doit rendre 37,75 € à Lily.

En une seule expression : 50 – (3 ⋅ 2,25 + 2 ⋅ 1,50 + 5 ⋅ 0,50) = 50 – (6,75 + 3 + 2,50) = 50 – 12,25 = 37,75 €

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 99

19/02/2026 15:04

PARTIE 2

nombres néGatiFs 6

manCHe

Somme de deux nombres

Calcule les scores

1. Lors du premier tour de la sixième manche, Maud, Jade, Karim et Augustin doivent reconnaitre huit personnages de BD sur la base d’une photo. Ils reçoivent un jeton positif ( 1 ) en cas de bonne réponse ou un jeton négatif ( –1 ) en cas de mauvaise réponse. Observe la table de jeu.

IG H T

Maud Score 6

1 1 1

1 –1

1 –1 –1

–1 –1 –1 –1

–1 –1 1

Karim Score –4

–1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1

Jade Score –8

Augustin Score 4

(1) Comment peux-tu procéder pour calculer le score de chacun en effectuant le moins de calculs possible ? Explique. Je barre, simultanément et autant de fois que possible, un jeton positif et un jeton

négatif, car leur somme vaut 0. Ensuite, je comptabilise les jetons restants.

(2) Complète le score de chacun. (3) Pouvait-on prévoir le score négatif de Jade ? Oui, Jade n’a récolté que des jetons négatifs. (4) Pouvait-on prévoir le score négatif de Karim ? Oui, Karim a plus de jetons négatifs que de jetons positifs.

100

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 100

19/02/2026 15:04

2. Lors du deuxième tour, les participants doivent reconnaitre huit personnages de film d’animation. De la même manière, ils reçoivent des jetons positifs ou négatifs en fonction de leur réponse. Ils complètent, à la fin de chaque tour, la feuille des scores. 1

Maud

–4

Augustin

–6

Jade

–8

Karim

–4

–2

Total

Feuille des scores

Ils voudraient connaitre leur classement intermédiaire, à la fin de ce deuxième tour. (1) Qui va obtenir un score intermédiaire négatif ?

Augustin, Jade et Karim

(2) Maud propose d’utiliser une droite graduée pour additionner les points.

IG H T

En partant de zéro, on se déplace vers la droite si le score de la manche est positif et vers la gauche s’il est négatif.

Score de Maud :

+ –4 =

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

–4

Fais de même pour additionner les scores intermédiaires des autres participants. 4

+ −6 = −2 +4

Score d’Augustin :

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

−6

Score de Jade :

–8 +

= –4

−8 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

+4 CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 101

101

19/02/2026 15:04

Score de Karim : – 4 + – 2 = –6

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

No 1 : Maud

No 2 : Augustin

Indique le classement intermédiaire des participants.

No 3 : Jade

No 4 : Karim

IG H T

Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres à l’aide de la droite graduée

Convention d’écriture –5 + 7 = 2

3 + –8 = –5

–5 + 7 = 2

3 + (–8) = –5 Lorsqu’il y a deux signes successifs, on utilise des parenthèses pour les séparer.

102

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 102

19/02/2026 15:04

3. (1) Calcule et réponds aux questions. Aide-toi de la droite graduée si nécessaire. +1 1+8= 9

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

9 10

-5 + (-3) = –8

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

–2 -2 + (-7) = –9

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

–7

9 10

–3

–5

IG H T

Quelle est la particularité des deux termes de chacune de ces sommes ? Les deux termes ont le même signe.

Comment anticiper le signe de ces sommes ?

Si les deux termes sont positifs, alors leur somme est positive. Si les deux termes sont négatifs, alors leur somme est négative.

Comment calculer la valeur absolue d’une somme de deux nombres de même signe ?

On additionne les valeurs absolues des deux termes. (2) Détermine le signe de chaque somme. +

-10 + (-5)

−

-5 + (-6)

−

-7 + (-3)

−

3+4

(3) Calcule. 5+2= 7

12 + 79 = 91

13,4 + 32 = 45,4

-6 + (-3) = −9

-85 + (-46) = −131

-2,7 + (-16) = −18,7

-5 + (-12) = −17

-178 + (-57) = −235

-10,5 + (-51,4) = −61,9

-8 + (-2) = −10

-276 + (-527) = −803

-67,4 + (-31,6) = −99

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 103

103

19/02/2026 15:04

4. (1) Calcule et réponds aux questions. Aide-toi de la droite graduée si nécessaire. –3 -3 + 7 = 4

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

9 10

+7 5 + (-2) = 3

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

+2 2 + (-6) = −4

9 10

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

–2

–6

Quelle est la particularité des deux termes de ces sommes ?

IG H T

Les deux termes sont de signes différents.

Comment anticiper le signe de ces sommes ?

Si le nombre qui a la plus grande valeur absolue est positif, alors la somme est positive. Si le nombre qui a la plus grande valeur absolue est négatif, alors la somme est négative.

Comment calculer la valeur absolue d’une somme de deux nombres de signes différents ?

On calcule la différence entre la plus grande valeur absolue et la plus petite.

(2) Détermine le signe de chaque somme. +

-7 + 3

−

10 + (-5)

3 + (-4)

−

-5 + 6

(3) Calcule.

104

5 + (-7) = −2

-15 + 13 = −2

22 + (-30,4) =

−8,4

-3 + 6 = 3

-12 + 79 = 67

-18,7 + 16 =

−2,7

5 + (-12) = −7

95 + (-42) = 53

-10 + 51,4 = 41,4

-8 + 2 = −6

-537 + 126 =

17,4 + (-11,7) = 5,7

−411

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 104

19/02/2026 15:04

IG H T

Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres

5. Calcule.

420 + 317 = 737

3,7 + (-2,5) = 1,2

-120 + (-248) = −368

-1,25 + (-2,75) = −4

-6 + 4 = −2

-56 + 234 = 178

-12,23 + (-12,23) = −24,46

10 + (-4) = 6

167 + (-325) = −158

-5,37 + 5,37 = 0

-12 + (-7) = −19

-632 + (-512) = −1 144

5,73 + (-4,8) = 0,93

-1 + 7 = 6

1 235 + (-127) = 1 108

-1,237 + 0,4 = −0,837

-4 + 4 = 0

-5 + (-5) = −10

6. Complète les pyramides si tu sais que chaque brique vaut la somme des briques sur lesquelles elle repose. 30 60 39 –12

–9,89 –30

21 51

–9,28 –51

–30

–7,7 –21

–5

–0,61

–1,58 –2,7

0,97

1,12

–0,15

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 105

105

19/02/2026 15:04

La somme de 4 et de 7

4 + 7 = 11

La somme de l’opposé de 10 et de 3

–10 + 3 = −7

La somme de 5 et de l’opposé de 2

5 + (−2) = 3

La somme des opposés de 12 et de 15

–12 + (−15) = −27

(2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase. La somme de 2 et de l’opposé de 5.

-3 + 7 = 4

La somme de l’opposé de 3 et de 7.

-4 + (-3) = −7

La somme des opposés de 4 et de 3.

-12 + 6 = −6

La somme de l’opposé de 12 et de 6.

2 + (-5) = −3

7. (1) Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

IG H T

8. Vrai (V) ou faux (F) ? Si la proposition est fausse, justifie à l’aide d’un contrexemple.

La somme de deux nombres opposés est nulle.

Si la somme de deux nombres est positive, alors les deux nombres sont positifs.

7 + (−2) = 5

2 + (−7) = −5

Si on additionne deux nombres négatifs, alors on obtient un nombre positif.

–2 + (−7) = −9

La somme de deux nombres (de signes différents) prend le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.

La somme de deux nombres de signes différents est nulle.

Si la somme de deux nombres est négative, alors les deux nombres sont négatifs.

7 + (−2) = 5

106

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 106

19/02/2026 15:04

Différence entre deux nombres

1. Voici les jetons récoltés lors du troisième tour ainsi que le score de ce tour pour chaque participant(e). Maud Score 8

−1 −1 −1 −1

1 −1

1 −1 −1

−1 −1 −1 −1

−1 −1 −1 −1 −1

Jade Score −4

Karim Score −8

Augustin Score −2

IG H T

(1) À la fin de ce troisième tour, une question « bonus » est posée à chaque participant(e). S’il (elle) y répond correctement, il (elle) rend un jeton négatif ; si sa réponse est incorrecte, il (elle) rend un jeton positif. Augustin ne répond pas correctement et doit rendre un jeton positif. Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : -2 -

−3

Karim ne répond pas correctement mais est dans l’incapacité de rendre un jeton positif. Que faire ? Il doit prendre un jeton négatif.

Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : -8 - 1 = -8 + (−1) = −9

Jade répond correctement et doit rendre un jeton négatif. =

−3

Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : -4 - (−1)

Maud répond correctement mais est dans l’incapacité de rendre un jeton négatif.

Que faire ? Elle doit prendre un jeton positif. Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : 8 - (-1) = 8 + 1 =

(2) Complète. Rendre un jeton positif revient à prendre un jeton négatif. Rendre un jeton négatif revient à prendre un jeton positif. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 107

107

19/02/2026 15:04

(3) Relie les calculs équivalents. -6 - 3 •

6 - (-3) •

-6 - (-3) •

• 6+3

• 6 + (-3)

• -6 + 3

• -6 + (-3)

6-3 •

2. Calcule.

51 - (-312) = 51 + 312 = 363

-20 - 31 = −20 + (−31) = -51

720 - (-230) = 720 + 230 = 950

23 - 42 = 23 + (−42) = -19

-37 - (-56) = -37 + 56 = 19

-53 - 17 = −53 + (−17) = -70

-712 - (-92) = -712 + 92 = -620

122 - 215 = 122 + (−215) = -93

-45 - (-22) = -45 + 22 = -23

10,5 - 16,7 = 10,5 + (−16,7) = -6,2

2,12 - 5,37 = 2,12 + (−5,37) = -3,25

5,7 - 3,2 = 5,7 + (−3,2) = 2,5

10,8 - 15,5 = 10,8 + (−15,5) = -4,7

IG H T

3 - 5 = 3 + (−5) = -2

-3,1 - 5,2 = −3,1 + (−5,2) = -8,3

-3,3 - (-10,21) = −3,3 + 10,21 = 6,91

-6,3 - (-2,1) = −6,3 + 2,1 = -4,2

-3,52 - (-2,6) = −3,52 + 2,6 = -0,92

2,18 - (-5,3) = 2,18 + 5,3 = 7,48

-5,24 - (-6,1) = -5,24 + 6,1 = 0,86

3. (1) Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

4 - 7 = -3

La différence entre l’opposé de 10 et 3.

-10 - 3 = -13

La différence entre 4 et 7.

5 - (-2) = 5 + 2 = 7

La différence entre les opposés de 12 et de 15.

-12 - (-15) = -12 + 15 = 3

La différence entre 5 et l’opposé de 2.

(2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase. La différence entre 2 et l’opposé de 5.

-3 - 7 = -10

La différence entre l’opposé de 3 et 7.

-4 - (-3) = -4 + 3 = -1

La différence entre les opposés de 4 et de 3.

-12 - 6 = -18

La différence entre l’opposé de 12 et 6.

2 - (-5) = 2 + 5 = 7

108

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 108

19/02/2026 15:04

Somme et différence de deux nombres

1. Écris chaque calcul plus simplement en supprimant les parenthèses et effectue-le. Ensuite, complète les phrases. 5 + (-3) = 5 - 3 = 2

On remplace deux signes successifs

-5 + (-3) = -5 - 3 = -8

différents par un signe

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

On remplace deux signes successifs

-5 - (-3) = -5 + 3 = -2

identiques par un signe +

-7 + (-3) = -7 - 3 = -10

IG H T

3. Calcule.

10 + (-5) = 10 - 5 = 5

-5 - (-6) = -5 + 6 = 1

2. Remplace les signes successifs par un seul signe et calcule. 3 - (-4) = 3 + 4 = 7

6 + (-2) = 6 - 2 = 4

123 - 125 = -2

-7 - (-2) = -7 + 2 = -5

245 + (-520) = 245 - 520 = -275

8 + (-6) = 8 - 6 = 2

-236 - (-517) = -236 + 517 = 281

-5 - 4 = -9

214 + (-613) = 214 - 613 = -399 1,7 - (-5,3) = 1,7 + 5,3 = 7

16 - 27 = -11

-4,6 + (-1,8) = -4,6 - 1,8 = -6,4

12 + (-9) = 12 - 9 = 3

-63 + (-79) = -63 - 79 = -142 -55 + 38 = -17

6,2 + (-1,7) = 6,2 - 1,7 = 4,5 -0,15 - 0,68 = -0,83

4. Cléopâtre, reine d’Égypte, est née en −69 et est décédée en −30. Elle a gouverné son pays de −51 jusqu’à sa mort.

À quel âge est-elle morte ? -30 - (-69) = -30 + 69 = 39 Elle est morte à 39 ans.

À quel âge a-t-elle commencé à régner ? -51 - (-69) = -51 + 69 = 18 Elle a commencé à régner à 18 ans.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 109

109

19/02/2026 15:04

Somme et différence de plus de deux nombres

1. Voici la feuille de scores au terme de la partie. Calcule, le plus rapidement possible, le score final de chaque participant(e). Détaille tous tes calculs à la suite du tableau et justifie. 1

Total

Maud

–4

–9

Augustin

–6

–3

Jade

–8

–3

–2

–4

–13

Karim

–4

–2

–9

–7

6 + (-4) + 9 + 4 + (-9) = 6

(1) Score final de Maud

Feuille des scores

(-4) et 4 ainsi que 9 et (−9) sont des nombres opposés : leur somme vaut 0.

IG H T

Il reste 6.

(2) Score final d’Augustin

4 + (-6) + (-3) + 0 + 5 = 9 - 9 = 0 Le 0 est neutre pour l’addition.

Le total de ses scores positifs est 9 et celui de ses scores négatifs est -9 : la somme

de ces nombres opposés vaut 0. (3) Score final de Jade

-8 + 4 + (-3) + (-2) + (-4) = -13 4 et (-4) sont des nombres opposés : leur somme vaut 0.

Il reste à additionner des scores négatifs dont le total vaut -13.

(4) Score final de Karim -4 + (-2) + (-9) + 3 + 5 = -15 + 8 = -7

Additionner les scores négatifs entre eux, les scores positifs entre eux puis effectuer la somme des résultats.

110

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 110

19/02/2026 15:04

Je rédige mon procédé pour calculer la somme ou la différence de plus de deux nombres

IG H T

2. À partir des températures moyennes mensuelles à Québec, calcule la température moyenne annuelle. J

-15

-7

-4

-9

12 + 18 + 22 + 17 − 9 = 69 − 9 = 60 60 : 12 = 5

3. Calcule.

La température moyenne annuelle à Québec est de 5 °C.

13 - 4 + 7 = 16

-5 - 3 + (-2) = -10 4 - (-5) + (-2) = 7

152 - 52 - (-37) = 137

135 - 49 - 100 - 35 = -49

425 + 425 - 0 - 52 - 324 = 474 35 - (-7) + (-15) + 3 = 30 -130 - 17 + 130 - 23 = -40 12,3 + 5,2 - 12,3 - 6 = -0,8 -5,17 + 6,28 + 2,43 - 0,12 = 3,42 -0,5 + 0,126 + (-0,5) + 0,621 = -0,253 1,32 - (-5) + (-0,2) - 4,8 = 1,32 CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 111

111

19/02/2026 15:04

Produit et quotient de deux nombres manCHe

Mets-toi au défi

1. (1) La bande dessinée illustre l’histoire de cette septième manche durant laquelle Jade et Karim tentent de résoudre trois défis. Lis-la attentivement. Aide Jade et Karim en complétant la carte indice.

IG H T

Jade, unissons nos forces pour relever ces défis.

Je n’en ai aucune idée.

Je sais, Jade ! La multiplication est commutative. Donc –2 · 3 = 3 · (–2) = –6

O C

-2 ⋅ 2 = −4 -2 ⋅ 1 = −2 -2 ⋅ 0 = 0 -2 ⋅ (−1) = 2 -2 ⋅ (−2) = 4 -2 ⋅ (−3) = 6

112

Moi non plus ! Prenons l’indice du défi n° 3.

…

Complète les pointillés.

-2 ⋅ 3 = −6

Trop facile, Karim ! 3 · (–2) = (–2) + (–2) + (–2) Donc 3 · (–2) = –6

Super ! Grâce à l’indice, les trois défis sont résolus !

+2 +2 +2 +2 +2 +2

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 112

19/02/2026 15:04

(2) Complète les égalités. 3⋅2 =

3 ⋅ (-2) =

-2 ⋅ 3 =

-6

-2 ⋅ (-3) =

-6

2. (1) Complète les schémas fléchés en indiquant le résultat de l’opération ainsi que l’opération réciproque. ⋅ (–5) 20

–20

⋅5

⋅ (–5) –20

–4

: (–5)

–4

⋅5

: (–5)

–4 ⋅ 5

4 ⋅ (–5)

– 4 ⋅ (–5)

20 : (–5)

(–20) : (–5)

20 : 5

(2) Colorie en vert les calculs donnant un résultat positif et en bleu ceux donnant un résultat négatif.

4⋅5

–20 : 5

(3) Complète les phrases. Si deux nombres sont de même signe, alors leur produit et leur quotient sont

IG H T

positifs.

Si deux nombres sont de signes différents, alors leur produit et leur quotient sont négatifs.

Je rédige mon procédé pour calculer le produit ou le quotient de deux nombres

3. Calcule, si cela est possible. 20 ⋅ (−8) = -160

(−32) : (−8) = 4

3,5 ⋅ (−7) = -24,5

0,44 : (−4) = -0,11

−14 ⋅ (−6) = 84

21 : 5 = 4,2

−70 : (−4) = 17,5

−5,4 : (−6) = 0,9

(−37) ⋅ 1 = -37

−15 : 0 =

0:4= 0

−4,1 ⋅ 0 = 0

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 113

113

19/02/2026 15:04

4. Complète et indique les parenthèses uniquement si elles sont indispensables. 4 ⋅ (-5)

= −20

−48 :

7 ⋅ (-8)

= −56

-120 : (−12) = 10

−7 ⋅ 107

−60 ⋅ (-0,5)

-0,3

3,6

: (−2) = −1,8

−6 ⋅ (-1,2) = 7,2

= −8

= 30

= −749

: 10 = −0,03

3 ⋅ (-7) = -21

Le produit de 5 par l’opposé de 0,2.

5 ⋅ (-0,2) = -1

Le quotient de l’opposé de 24 par 2.

(-24) : 2 = -12

Le triple de l’opposé de 7.

5. (1) Traduis chaque phrase par un calcul et effectue-le.

Le quotient de l’opposé de 3 par l’opposé de 10. (-3) : (-10) = 0,3 (2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

Le double de l’opposé de 5.

-7 : 5 = -1,4

Le quotient de l’opposé de 7 par 5.

-0,5 ⋅ (-9) = 4,5

Le produit de l’opposé de 0,5 par l’opposé de 9.

IG H T

2 ⋅ (-5) = -10

6. Complète chaque case en suivant l’opération indiquée sur la flèche. −12

⋅2 ⋅ (−3)

: 10

−0,6

−6

⋅ 15

: (−3)

6,25

−90

−125 ⋅ (−10)

⋅5 12,5

: (−5)

⋅ (−3)

−2,5

−37,5

62,5

7. Pour chaque problème, choisis l’information qui correspond à la situation.

(1) Il y a trois mois, une influenceuse a commencé à perdre des abonnés sur ses réseaux sociaux, à raison de cinquante abonnés par mois. L’égalité suivante traduit la situation : −50 ⋅ 3 = −150. Quelle information est donnée par le nombre −150 ? Chaque mois, 150 personnes se désabonnent. Au cours des trois derniers mois, 150 personnes ont arrêté de la suivre. Il lui reste 150 abonnés.

114

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 114

19/02/2026 15:04

(2) Aujourd’hui, les prévisions météorologiques sont glaciales en Belgique. La température annoncée à Malmedy est de −12 °C. Elle y sera trois fois plus froide qu’à Namur. L’égalité suivante traduit la situation : −12 : 3 = −4. Quelle information est donnée par le nombre −4 ? Il fait 4 degrés de moins à Malmedy par rapport à Namur. La température annoncée à Malmedy est de −4 °C.

Produit de plusieurs nombres

Les prévisions annoncent une température de 4 degrés en dessous de zéro à Namur.

1. (1) Calcule en utilisant les propriétés de la multiplication. Ensuite, détermine le nombre de facteurs négatifs et le signe du produit.

−2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 1

IG H T

= (−2 ⋅ 5) ⋅ (6 ⋅ 4) = −10 ⋅ 24 = −240 −2 ⋅ (−5) ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 1

= (−2 ⋅ (−5)) ⋅ (6 ⋅ 4) = 10 ⋅ 24 = 240 −2 ⋅ (−5) ⋅ (−6) ⋅ 4 ⋅ 1

= (−2 ⋅ (−5)) ⋅ (−6 ⋅ 4) = 10 ⋅ (−24) = −240

−2 ⋅ (−5) ⋅ (−6) ⋅ (−4) ⋅ 1

= (−2 ⋅ (−5)) ⋅ (−6 ⋅ (−4)) = 10 ⋅ 24 = 240 −2 ⋅ (−5) ⋅ (−6) ⋅ (−4) ⋅ (−1) = (-2 ⋅ (-5)) ⋅ (-6 ⋅ (-4)) ⋅ (-1) = 10 ⋅ 24 ⋅ (-1) = -240

Nombre de facteurs négatifs

Signe du produit

−

(2) Établis le lien entre le nombre de facteurs négatifs et le signe du produit.

Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif. Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

2. Détermine le signe des produits. (−62) ⋅ 4

−

16 ⋅ (−6) ⋅ (−4) +

−5 ⋅ 18 ⋅ (−7) ⋅ 24

−8 ⋅ (−7) ⋅ 3 ⋅ (−6)

−

(−6) ⋅ (−8,7)

−0,6 ⋅ (−10) ⋅ (−4) ⋅ (−7,1) ⋅ (−1,2) −

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 115

115

19/02/2026 15:04

3. Calcule. 8,6 ⋅ (−2) ⋅ 1 = −17,2

−4 ⋅ (−7) ⋅ 11 = 308

3 ⋅ (−4) ⋅ (−1) ⋅ (−25) = −300

−17 ⋅ (−30) ⋅ (−5) ⋅ 2 = −5 100

7 ⋅ (−12) ⋅ 0,6 ⋅ 0 = 0

8 ⋅ (−16) ⋅ (−125) ⋅ 5 ⋅ (−2) = −160 000

−24 ⋅ 0,1 ⋅ 3 = −7,2

250 ⋅ (−10) ⋅ 0,4 ⋅ (−10) ⋅ (−0,07) ⋅ (−3) = 2 100

−9

−1

−9

−2

−9

−1

Produit =

−2

4. Complète les carrés magiques afin que le produit des nombres de chaque colonne, de chaque ligne et de chaque diagonale soit toujours le même.

−4

−8

Produit =

−8 2

−64

IG H T

5. Place les cinq jetons dans les emplacements vides de l’étoile de telle sorte que le produit de chaque alignement de pions corresponde au nombre indiqué dans la case colorée. −6

−4

0,5

−12 −4

6 −2

−0,5

−48

116

−36

−2

−6

−12

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 116

19/02/2026 15:04

Opérations

1. Détermine le signe du résultat de chaque opération. 20 ⋅ (-4) −

-20 - 4

−

-20 + 1 + (-4)

−

-20 ⋅ 1 ⋅ (-4)

-20 : (-4) +

20 - 4

20 : (-4)

-20 ⋅ 4

-20 : 4

−

-20 ⋅ (-4) +

−

20 ⋅ (-1) ⋅ (-2) ⋅ (-2) −

−

-20 + 4

2. Détermine le signe du résultat de chaque opération. Justifie.

(1) Un produit de sept facteurs (non nuls) dont quatre sont des facteurs positifs. Négatif, car trois facteurs du produit sont négatifs.

Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

(2) Une somme de six termes négatifs.

Négatif, car, lorsqu’on additionne plusieurs nombres de même signe, on conserve

IG H T

le signe.

(3) Un produit de facteurs (non nuls) dont le nombre de facteurs négatifs est égal au double du nombre de facteurs positifs. Positif, car le double d’un nombre est toujours pair.

Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.

-15 + 9 = -6

13 - (-4 ) = 17

4,7 : 4,7 = 1

-6 - (-1) = -5

-0,25 ⋅ (-16) = 4

-11,8 - 2,9 = -14,7

5,1 ⋅ 0 = 0

-5 ⋅ ( -4 ) = 20

10 ⋅ ( -0,25 ) = -2,5

3. Complète en utilisant un des symboles opératoires (+, −, ⋅ ou :). Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire.

4. Complète et indique les parenthèses uniquement si elles sont indispensables. 5 ⋅ (-3)

= -15

-3,2 + (-0,8) = -4 -2,8 +

5,6

= 2,8

-17

: 17 = -1

-1,25 ⋅ (-4) 0

: 15 = 0

-11 : (-11) = 1 -2,5 - (-7,5) = 5 56 :

(-7) = -8

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 117

117

19/02/2026 15:04

5. Additionne deux des trois nombres proposés et note le résultat. Envisage toutes les possibilités. -27

-64

-2,5

3,9

-5,1

-2,5 + 3,9 = 1,4

-27 + 43 = 16

-2,5 + (-5,1) = -2,5 - 5,1 = -7,6

-64 + 43 = -21

3,9 + (-5,1) = 3,9 - 5,1 = -1,2

-27 + (-64) = -27 - 64 = -91

6. Multiplie deux des trois nombres proposés et note le résultat. Envisage toutes les possibilités. -9

-5

-2,5

-0,5

0,1

-2,5 ⋅ (-0,5) = 1,25

11 ⋅ (-5) = -55

-2,5 ⋅ 0,1 = -0,25

-9 ⋅ (-5) = 45

-0,5 ⋅ 0,1 = -0,05

11 ⋅ (-9) = -99

10 - 11 = -1 10 ⋅ (-20) = -200 72 = 49 -2,23 ⋅ 0,1 = -0,223

-2 ⋅ (-0,5) = 1

-13 ⋅ 9 = -117

-15 : (-3) = 5

-7,2 + 2,7 = -4,5

-15 - 25 = -40

121 : (-1) = -121

-0,5 + 5 = 4,5

5 ⋅ (-0,2) = -1

-63 ⋅ (-0,1) = 6,3

24 = 16

-3,75 + 4,25 = 0,5

IG H T

7. Calcule.

-12

7-5-9+2-7=

-4 ⋅ (-3) ⋅ 25 ⋅ (-1) ⋅ 11 =

-3 300

-32 + 12 - 56 - 14 + 7 = -83

-4 ⋅ 2 ⋅ (-6) ⋅ 500 = 24 000

3 ⋅ (-125) ⋅ 8 ⋅ 0 ⋅ (-7) = 0 7,1 - 13 - 18 + 10,2 + 13 = -0,7 -6,5 - 3,5 + 6 - 9 + 19 = 6

1,25 ⋅ (-0,2) ⋅ (-8) ⋅ 5 ⋅ 0,1 = 1 8,3 + 14,2 - 2,9 + 11,1 - 0,2 = 30,5 -5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,01 ⋅ (-20) ⋅ (-2) = -1

118

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 118

19/02/2026 15:04

Priorités des opérations manCHe

Détermine le résultat

–8

–3

⋅

= –15

IG H T

1. Pour l’ultime épreuve, Augustin, Jade, Karim et Maud sont confrontés à un jeu de logique.

(1) Augustin trouve −32 comme résultat et Maud −12. Qui a raison ? Détaille ton raisonnement.

Un ballon de football vaut −5, car −5 + (−5) + (−5) = −15. Un ballon de basketball vaut −3, car −5 + (−3) = −8.

Un ballon de volleyball vaut 9, car 9 : (−3) = −3.

En remplaçant chaque ballon par sa valeur, on obtient… −5 + 9 ⋅ (−3) = −5 + (−27) = −5 − 27 = −32

C’est donc Augustin qui a raison.

En discutant, Augustin et Maud constatent qu’ils avaient obtenu la même valeur pour chaque ballon. Quelle erreur a été commise par la personne qui s’est trompée ? Après avoir remplacé chaque ballon par sa valeur, Maud n’a pas respecté les priorités des opérations. Elle a effectué la somme avant le produit. −5 + (9) ⋅ (−3) = 4 ⋅ (−3) = −12 Faux !!!

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 119

119

19/02/2026 15:04

(2) Avec la même valeur attribuée à chaque ballon, Augustin et Maud relèvent un nouveau défi. –

⋅

Augustin Maud -5 - 9 ⋅ (-3) -5 - 9 ⋅ (-3) = -5 - (-27) = -5 + 27 = -5 + 27 = 22 = 22 Cette fois-ci, ils ont obtenu la même réponse, mais ils n’ont pas la même démarche. Qui a raison ? Explique. Ils ont tous les deux raison. Augustin a effectué le produit sans utiliser le signe en analysant son signe global.

de l’opération principale, tandis que Maud est allée plus vite et a effectué le produit

IG H T

2. Souligne l’opération prioritaire et calcule de deux manières différentes. (1) 4 + 5 ⋅ (−6) = 4 + (-30) = 4 - 30 = -26 4 + 5 ⋅ (-6) = 4 - 30 = -26

(2) 2,5 − 3 ⋅ (−1,5) = 2,5 - (-4,5) = 2,5 + 4,5 = 7 2,5 - 3 ⋅ (-1,5) = 2,5 + 4,5 = 7

3. (1) Complète l’encadré.

Je me souviens des règles de priorités des opérations

120

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 120

19/02/2026 15:04

(2) Calcule en respectant les priorités. 16 + 7 ⋅ (−2) + 3 = 16 + (-14) + 3 = 16 - 14 + 3 = 5 9 - 52 = 9 - 25 = -16 16 ⋅ 0,5 - (-4) ⋅ 2,5 = 8 - (-10) = 8 + 10 = 18 -5 ⋅ (-10) - 9 : 3 = 50 - 3 = 47

43 - 112 = 64 - 121 = -57 (2 ⋅ 5)4 = 104 = 10 000

4 ⋅ (-1 - 1) = 4 ⋅ (-2) = -8 (3,7 - 1,9) : 10 = 1,8 : 10 = 0,18

(-7 + 4) - (8 - 9) = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2 -(-8 + 4) : 2 = -(−4) : 2 = -(-2) = 2

−12 − 2 ⋅ 62 = -12 - 2 ⋅ 36 = -12 - 72 = -84

IG H T

2,5 + 7 ⋅ (4 - 5,1) = 2,5 + 7 ⋅ (−1,1) = 2,5 + (-7,7) = 2,5 - 7,7 = -5,2 50 : (4 - (-6)) ⋅ 10 = 50 : (4 + 6) ⋅ 10 = 50 : 10 ⋅ 10 = 5 ⋅ 10 = 50 (5 - 2)3 : (-3) = 33 : (-3) = 27 : (-3) = -9

10 - (1 - 2,5) + 23 = 10 - (-1,5) + 23 = 10 - (-1,5) + 8 = 10 + 1,5 + 8 = 19,5

42 : (−3 ⋅ 4 − 9) = 42 : (−12 − 9) = 42 : (-21) = -2

(2 - 7) : (15 - 5 ⋅ 2) = (2 − 7) : (15 − 10) = -5 : 5 = -1

4,1 + 0,1 ⋅ (-0,5 ⋅ (-2) - 4) = 4,1 + 0,1⋅(1 − 4) = 4,1 + 0,1 ⋅ (−3) = 4,1 + (-0,3) = 4,1 - 0,3 = 3,8

(6 - 3) ⋅ (12 - 42) = (6 − 3) ⋅ (12 − 16) = 3 ⋅ (-4) = -12

(8 - 3 ⋅ 2)2 ⋅ (-2) = (8 − 6)2 ⋅ (-2) = 22 ⋅ (-2) = 4 ⋅ (-2) = -8

4. Complète la suite de calculs et coche l’expression qui lui correspond. ⋅ (−5)

+3 2

+7 −25

−18

2 + 3 ⋅ (-5) + 7

(2 + 3) ⋅ (-5) + 7

(2 + 3) ⋅ ((-5) + 7)

2 + 3 ⋅ ((-5) + 7)

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 121

121

19/02/2026 15:04

eXerCiCes CompLémentaires Partie 1. Nombres positifs

500

0,5

0,05

20,3 ⋅ 24,9

500

0,5

0,05

49,9 : 101,1

500

0,5

119,9 : 23,8

500

0,5

4,9 : 98,7

500

51 ⋅ 1,1

1. Pour chaque opération, entoure l’estimation la plus proche de son résultat.

0,05

0,5

0,05

2. Pour chaque étape, si une propriété est utilisée, écris-la.

25 ⋅ 0,5 ⋅ 2 ⋅ 4

= 112 + 35 + 45 + 18

= 25 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 2

= 112 + 18 + 35 + 45

= (25 ⋅ 4) ⋅ (0,5 ⋅ 2)

= (112 + 18) + (35 + 45)

= 100 ⋅ 1

= 130 + 80

= 100

IG H T

112 + 0 + 35 + 45 + 18

= 210

3. Utilise les propriétés des opérations pour calculer.

(1) 71 + 139 + 0 + 15 + 85 =

(2) 125 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 25 = 7 ⋅ 3 ⋅ 0 ⋅ 10 =

10,3 + 5 + 0,6 + 1,1 =

0,5 ⋅ 10. 200 ⋅ 0,3 =

8,73 + 5,12 + 2,37 + 7,48 =

5 ⋅ 0,02 ⋅ 3 ⋅ 2,1 =

12,25 + 6,3 + 2,75 + 4,7 =

4. Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires. (1) 27 ⋅ 60 =

(2) 360 : 30 =

(3) 27 ⋅ 5 =

(4) 27 ⋅ 0,1 =

8 ⋅ 32 =

390 : 12 =

17 ⋅ 25 =

106 ⋅ 0,5 =

1,5 ⋅ 80 =

105 : 15 =

24 : 50 =

86 ⋅ 0,25 =

5,3 ⋅ 4 =

58 : 40 =

31,6 : 5 =

1,3 ⋅ 0,01 =

(5) 975 : 75 =

2,7 ⋅ 0,125 =

3,7 ⋅ 12 =

56 ⋅ 0,06 =

6 : 16 =

35 ⋅ 0,8 =

17 ⋅ 1,2 =

0,72 ⋅ 125 =

122

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 122

19/02/2026 15:04

5. En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement. (1) 102 ⋅ 41 =

(2) 12 ⋅ 6,5 =

(3) 10,5 ⋅ 34 =

98 ⋅ 57 =

5,1 ⋅ 18 =

12,1 ⋅ 47 =

(4) 8,6 ⋅ 2,1 = 0,099 ⋅ 0,3 =

6. En utilisant des égalités successives, décompose le dividende en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement. (2) 1 515 : 15 =

7 912 : 8 =

979 : 11 =

(3) 13,3 : 7 =

(4) 44,132 : 11 =

(1) 217 : 7 =

6 252 : 6 =

3 409 : 7 =

8. Calcule. 33 =

25 =

110 =

122 =

52 =

104 =

7. Dans une manufacture de jeans, un ouvrier est payé 12,60 €/h. Il lui faut 43 minutes pour confectionner un jean. Quel montant l’ouvrier gagne-t-il par pièce ?

44 =

152 =

132 =

100 =

03 =

210 =

Le carré de 14

IG H T

9. Traduis la phrase par une puissance et effectue-la.

La septième puissance de 2

La quatrième puissance de 5

10. Calcule la puissance et traduis-la par une phrase. 53

112

11. Complète.

106

(2) 0,7 M vues = … k vues

(3) 6 000 M vues = … G vues

2 M vues = … vues

300 G vues = … M vues

40 000 k vues = … M vues

3 G vues = … vues

31,2 k vues = … vues

500 k vues = … M vues

(1) 1 k vues = … vues

12. Une ancienne éolienne qui produisait 20 kW vient d’être remplacée par une nouvelle produisant 3 MW. Par combien la production d’énergie a-t-elle été multipliée ? 13. (1) Sur la base de l’affiche, convertis la production de lait en Belgique en 2023 en kl, Ml et Gl.

801 millions de litres

(2) Combien de camions-citernes, d’une capacité de 21 kl chacun, sont nécessaires au transport de cette production ? 14. Une baleine bleue adulte pèse environ 180 t (tonnes). Exprime cette masse en kg, en Mg et en Gg.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 123

123

19/02/2026 15:04

15. Lequel des deux est le plus lourd : un avion « Airbus 380 » atteignant maximum 560 t au décollage ou le bateau de croisière « Queen Mary 2 » de 148 Gg ? Justifie. 16. Calcule. 100 − 4³ =

(11 + 5) ⋅ 3 − 3 =

(3 + 9) ⋅ 11 =

11 + 5 ⋅ (3 − 3) =

50 ⋅ (10 − 3) =

36 : 2² ⋅ 3 =

(11 + 4) : (2 + 3) =

5² − (4 + 1) =

(3) 17 ⋅ 0,5 + 0,4 : 2 =

(4) (2 + 3 ⋅ 4)² ⋅ 5 =

(2) 2 + 3² ⋅ 5 =

(1) 4 + 3 ⋅ 10 =

(8 ⋅ 5³) : (6² + 8²) =

8 − 3 ⋅ (6 − 5,5) =

62 − (2 + 6 : 4) ⋅ 10 + 5 =

6² : 5 + 8 ⋅ 0,1 =

4 + 6 ⋅ (0,25 ⋅ 8 − 1³) =

4,2 ⋅ (5 − 3) =

4,5 + (9² ⋅ 2 + 1) ⋅ 0,01 =

(3,5 − 2,5)4 ⋅ 3,4 + 5 =

17. Résous chaque problème. Note, en une seule expression, la suite d’opérations qui te permet de trouver la solution puis calcule-la en respectant les priorités des opérations.

IG H T

(1) Pour l’excursion de fin d’année, quatre cars de 52 places ont été réservés. Huit classes de 24 élèves participent à cette sortie. Détermine le nombre de professeurs présents dans chaque car sachant qu’ils se répartissent équitablement et que les cars sont complets. (2) Lors d’un marché de Noël, une marchande a vendu 37 assiettes de six huitres à 10 € l’assiette et 50 crêpes au caramel beurre salé. La recette de la soirée est de 595 €. Quel est le prix de vente d’une crêpe ?

(3) Pour les travaux de rénovation de sa salle de bain, Sofia doit s’acquitter d’une facture de 2 465 €. Celle-ci comprend 36 m2 de carrelage, 23 m de plinthe à 12 € le mètre courant et 425 € de main-d’œuvre. Détermine le prix du carrelage au m2.

Partie 2. Nombres négatifs

18. Calcule.

(1) −7 + (−9) = −12 + (−3) = −65 + (−46) = −223 + (−67) = 2,5 + 1,6 = −8,3 + (−51,16) =

(2) 2 + (−6) = −3 + 11 = −23 + 3 = 207 + (−48) = 2,2 + (−3,4) = 15,3 + (−11,27) =

(3) −7 + 4 = −5 + (−8) = 107 + (−95) = −331 + (−529) = −3,25 + (−6,75) = −1,25 + 1,25 =

19. Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

124

La somme de 6 et de 13.

La somme de 2 et de l’opposé de 1.

La somme de l’opposé de 5 et de 7.

La somme des opposés de 2 et de 5.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 124

19/02/2026 15:04

20. Effectue le calcul et traduis-le par une phrase. 5 + (−2)

−10 + 7

−11 + (−3)

21. Calcule. (2) 126 − (−87) −516 − (−57) 5,1 − (−3,12)

(3) −0,37 − (−5,6) −0,45 − (−0,22) 5,01 − 6,01

(1) 6 − 9 12 − 41 −573 − 127

22. Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

La différence entre 25 et l’opposé de 21. La différence entre les opposés de 212 et de 115.

La différence entre 3 et 4. La différence entre l’opposé de 8 et 3.

23. Effectue le calcul et traduis-le par une phrase. −130 − 20

24. Calcule. (2) 245 + (−520) 123 − 125 −236 + 517 −613 + 214 −63 − 79

IG H T

(1) 6 − 2 3−8 −5 − 4 −7 − (−2) −6 + 8

−13 − (−31)

2−5

(3) 5,3 − 1,7 −6,2 + 0,7 −1,23 + 5,67 2,3 − (−0,74) −0,15 − 0,68

25. Complète les pyramides si tu sais que chaque brique vaut la somme des briques sur lesquelles elle repose.

52152 152−23 −23−17 −17

(2)

(1)

−8 −8 12 12 −27 −27

26. Calcule.

(1) −43 + 0 + 43 − 51 =

(2) 14 − (−15) + (−22) =

130 − 54 + 250 − 546 =

−5 + (−17) − (−12) =

321 + 450 − 64 − 0 − 324 =

−27 − (−15) − 61 =

3,47 + 5,2 − 1,7 − 2,3 =

3,4 + (−5) − (−3,1) =

2,32 − 3 + 2,33 − 1,65 =

−5,2 − (−5,2) − 8,7 =

−4,7 + 0 − 5,3 + 1,22 =

−1,42 + (−2,14) + 4,21 =

(3) 112 − 51 − (−47) =

−2,13 + 2,28 + 1,4 − 0,2 =

315 − (−17) + (−152) + 37 =

1,57 − (−2,1) + (−0,7) − 4,3 =

−1,3 + 5,2 − 2,3 − 6 =

−2,23 + 0 − 2,23 + (−2,23) =

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 125

125

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27. Traduis chaque phrase par un calcul et effectue-le. Le double de l’opposé de 8.

Le quotient de l’opposé de 20 par 5.

Le triple du produit de 6 par l’opposé de 0,5.

Le produit de l’opposé de 4 par l’opposé de 2.

28. Effectue le calcul et traduis-le par une phrase. −7 ⋅ 0,1

2 ⋅ (−10) ⋅ (−9)

8 : (−4)

29. Calcule. (1) −7 ⋅ 9

(3) 6 ⋅ (−1) ⋅ (−9)

(2) 8,4 : (−4) −1,7 ⋅ (−0,1)

−2 ⋅ (−12) ⋅ (−5)

−8 ⋅ (−16)

43 : (−5)

12 ⋅ (−4) ⋅ 0 ⋅ 5

−121 : 11

−3,1 ⋅ 0,5

−4 ⋅ (−2) ⋅ (−25) ⋅ (−50)

48 : (−4)

(5) −1,25 ⋅ (−0,08)

(4) −0,5 ⋅ (−2) ⋅ 4 ⋅ 0,25

1,5 ⋅ (−2,8)

−1,5 ⋅ (−2) ⋅ (−0,1) ⋅ 0,1

1,2 ⋅ (−2,5) ⋅ (−0,4) ⋅ 5

4 ⋅ (−1,2) ⋅ (−2,5) ⋅ 3

0,05 ⋅ (−0,4) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 250

−8 ⋅ (−1,25) ⋅ 0,25 ⋅ (−40) ⋅ 3

IG H T

30. Complète chaque bulle si tu sais que le nombre indiqué à l’intérieur de chaque figure est égal au produit des nombres figurant sur ses sommets. (1) (2) −3

−2

1 −5 −60

0,5

−5

−60

−2

−4

31. Vrai ou faux ? Si la réponse proposée est fausse, corrige-la et énonce la règle utilisée. −16 + 4 = −20

−15 − 26 = 41

8 ⋅ (−5) = −40

32. Vrai ou faux ? Si c’est faux, donne un contrexemple. Si c’est vrai, justifie.

(1) La somme de deux termes de signes différents est toujours négative. (2) Si le produit de deux facteurs est négatif, alors leur quotient est négatif.

(3) La somme de deux termes négatifs est toujours négative. (4) Le produit de deux facteurs opposés est égal à 0. (5) La somme de deux termes non nuls est toujours supérieure à chacun de ces deux termes.

33. Complète en utilisant des nombres. Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire. -7 ⋅ … = 56 … : (-25) = -10

126

-4 + … = -14 -12 ⋅ … = -6

… ⋅ 0,1 = -0,01 8,4 - … = 12,3

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 126

19/02/2026 15:04

34. Voici une liste de nombres. −11

−6

−4

−2

En ne les utilisant qu’une seule fois, trouve deux nombres… dont la somme vaut −7. dont le produit vaut 24.

dont la différence vaut 4. dont le quotient vaut −5,5.

35. Calcule.

-29 + 20 - 33 + 13 = -5 ⋅ (-0,1) ⋅ 0,2 ⋅ (-10) = −4,8 + 9,3 − 3,7 + 2,2 = 0,4 ⋅ 8 ⋅ (-7) ⋅ 25 =

-8 + 4 ⋅ (-2) = 2,8 - 23,8 : 7 =

(5) -1,5 + 2,5 - 7,5 + 11,5 = -8 ⋅ 20 ⋅ (-1,25) ⋅ (-5) = 156 - 22 - 78 + 144 = 20 ⋅ 1,1 ⋅ (-5) ⋅ 3 = -2,1 + 1,2 - 2,1 + 1,2 =

IG H T

36. Calcule. (1) −3 − 4 ⋅ (−5) = -6 ⋅ 7 + (-20) : 4 = -24 : 8 - 11 =

(3) (7 − 5)4 ⋅ (−7) = -7 + 25 ⋅ (-2) = 82 ⋅ (2 - 7) + (-3) = 11 + (8 - 5)2 ⋅ (-2) = (-1 + 5)2 - 0,5 ⋅ 32 =

(2) 9 ⋅ (5 − 7) = (-10 - 2) : (5 - 8) = -7 - (8 - 9) = (-2,5 - 6,5) ⋅ 0,25 = 6 + 2 ⋅ (2,8 - 3) = (4) (−1 + 3 ⋅ 4)2 = 5 - 2 ⋅ (9 - 2 ⋅ 4)5 = 53 - (13 - 4 ⋅ 5) = 2 ⋅ (-5) - 4 ⋅ (52 - 2) = -3 ⋅ (52 - 6 ⋅ 7) =

37. Complète en utilisant des nombres. Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire. -3,2 + … ⋅ 2 = 3,2 5 + (-3 + 4 ⋅ …) = 26 1,5 - 3 ⋅ … = -4,8 …:8+8=1

(4) -25 ⋅ 6 ⋅ (-1) ⋅ 4 =

(3) -4,7 - 1,1 = -1 ⋅ (-2,3) = -9,2 + 11,7 = -8 + 3,75 = 1,2 ⋅ (-0,1) =

(2) -19 + 21 = (-15) : (-5) = 14 - 23 = -9 ⋅ (-3) = 72 =

(1) 112 = -7 ⋅ 9 = -24 - 17 = 36 ⋅ (-5) = -56 : 8 =

10 - … ⋅ 6 = 58 (7 + …)2 + 11 = 20

38. Sans ajouter de parenthèses, complète en utilisant les signes opératoires (+, −, ⋅ ou :). 7 - 5 … 3 + 10 = 2 -36 … 4 + 3 ⋅ (-2) = -15 -14 … 4 ⋅ 5 + 11 = -23 (5 … 11) ⋅ (-2 + 4) = -12

39. Complète en utilisant les signes opératoires (+, −, ⋅ ou :). Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire. 4… 9…8 =4 4 … 1 … 2 = 10 −4 … 3 … 2 = 2 −14 … 2 … 3 = −4 CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 127

127

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 128

19/02/2026 15:04

CÔTÉ PRATIQUE

Addition

Multiplication

Commutative

2 + 10 = 10 + 2 = 12

10 ⋅ 2 = 2 ⋅ 10 = 20

Associative

(10 + 5) + 2 = 10 + (5 + 2) = 17

(10 ⋅ 5) ⋅ 2 = 10 ⋅ (5 ⋅ 2) = 100

Neutre

10 + 0 = 10

Propriétés

10 ⋅ 1 = 10

Absorbant

10 ⋅ 0 = 0 ⋅ 10 = 0

IG H T

Produit ou quotient par décomposition du deuxième facteur ou du diviseur en produits et/ou quotients successifs.

Stratégies de calcul mental

Quotient par décomposition du dividende en une somme ou une différence. 1 872 : 6

= (1 800 + 60 + 12) : 6 = 1 800 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6 = 300 + 10 + 2 = 312 Estimer le résultat d’une opération permet de vérifier la plausibilité d’une réponse calculée.

72 ⋅ 8 = 72 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

= 576

72 : 6 = 72 : 2 : 3

= 12

72 ⋅ 5 = 72 ⋅ 10 : 2

= 360

72 : 25 = 72 : 100 ⋅ 4

= 2,88

Produit par décomposition d’un facteur en une somme ou en une différence. 102 ⋅ 37

73 ⋅ 99

= (100 + 2) ⋅ 37

= 73 ⋅ (100 – 1)

= 100 ⋅ 37 + 2 ⋅ 37

= 73 ⋅ 100 – 73 ⋅ 1

= 3 700 + 74

= 7 300 – 73

= 3 774

= 7 227

1 872 : 6 ≅ 1 800 : 6 ≅ 300 CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 129

129

19/02/2026 15:04

Vocabulaire exposant base

puissance

Puissance d’un nombre

Écriture et calcul

43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64

Lectures

« 4 exposant 3 » ou « 4 au cube »

Traductions

IG H T

« La troisième puissance de 4 » ou « le cube de 4 »

Premiers carrés

02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9

42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49

82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121

122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225

Puissances de 10 et préfixes

130

Préfixe

Symbole

Puissance

Nombre

kilo

103

1 000

méga

106

1 000 000

giga

109

1 000 000 000

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 130

19/02/2026 15:04

Additionner deux nombres… de même signe On conserve le signe et on additionne les valeurs absolues. 2 + 3 = +(2 + 3) = 5

–2 + (–3) = –(2 + 3) = –5

–2 + 3 = +(3 – 2) = 1

2 + (–3) = –(3 – 2) = –1

de signes différents On donne à la somme le signe du terme qui a la plus grande valeur absolue et on soustrait (la plus grande − la plus petite).

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

2 – (–3) = 2 + 3 = 5

2 – 3 = 2 + (–3) = –1

Règle des signes successifs

IG H T

Opérations sur deux nombres

–

On remplace deux signes successifs différents par un signe –. 3 + (– 2) = 3 – 2 = 1

3 – (+ 2) = 3 – 2 = 1

3 – (– 2) = 3 + 2 = 5

On remplace deux signes successifs identiques par un signe +.

Multiplier ou diviser deux nombres…

3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5

× ÷

de même signe Le résultat est toujours positif et on multiplie, ou on divise, les valeurs absolues.

2 ⋅ 3 = +(2 ⋅ 3) = 6 –2 ⋅ (–3) = +(2 ⋅ 3) = 6

10 : 2 = +(10 : 2) = 5 –10 : (–2) = +(10 : 2) = 5

de signes différents Le résultat est toujours négatif et on multiplie, ou on divise, les valeurs absolues. 2 ⋅ (–3) = –(2 ⋅ 3) = –6 –2 ⋅ 3 = –(2 ⋅ 3) = –6

10 : (–2) = –(10 : 2) = –5 –10 : 2 = –(10 : 2) = –5

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 131

131

19/02/2026 15:04

+ –

Additionner ou soustraire plusieurs nombres

On applique les propriétés des opérations et/ou les règles de calcul.

2 – (–5) – 5 – (–17) + (–1) – 21 = 2 + 5 – 5 + 17 – 1 – 21 = 19 – 22 = –3

On compte le nombre de facteurs négatifs. S’il est pair, le résultat est positif. S’il est impair, le résultat est négatif. On multiplie ou on divise les valeurs absolues en appliquant les propriétés des opérations et/ou les règles de calcul.

IG H T

Opérations sur plusieurs nombres

× ÷

Multiplier ou diviser plusieurs nombres

25 ⋅ (–3) ⋅ (– 4) ⋅ (–9) Nombre impair de facteurs négatifs

– 120 : 2 : (–3)

= –100 ⋅ 27 = –2 700 = + (120 : 2) : 3 = 60 : 3 = 20

Nombre pair de facteurs négatifs

= – (25 ⋅ 4) ⋅ (3 ⋅ 9)

Priorités des opérations

1 Opérations situées dans les parenthèses (en respectant les priorités)

2 Puissances

3 Multiplications et divisions 4 Additions et soustractions

12 + 3 ⋅ (–22 + 32) = 12 + 3 ⋅ (–22 + 9)

132

= 12 + 3 ⋅ (–13) = 12 + (–39) = 12 – 39 = –27

En cas de multiplications et/ou de divisions successives, on les effectue de gauche à droite. 14 : (–2) ⋅ 5 = –7 ⋅ 5 = –35

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 132

19/02/2026 15:04

CÔTÉ THÉORIQUE Définition Réponse approximative la plus proche possible du résultat.

Commutativité

Propriété d’une opération qui permet de changer l’ordre des nombres sans en changer le résultat.

Associativité

Propriété d’une opération de plus de deux nombres qui permet d’en grouper certains sans en changer le résultat.

Élément neutre

Élément qui ne modifie pas le résultat de l’opération. 0 est l’élément neutre de l’addition. 1 est l’élément neutre de la multiplication.

Élément absorbant

Élément qui rend le produit nul. 0 est l’élément absorbant de la multiplication.

Somme

Résultat d’une soustraction.

Produit

Résultat d’une multiplication.

Quotient

Résultat d’une division.

Élément intervenant dans une addition ou une soustraction.

Terme

Élément intervenant dans une multiplication. Élément qui est divisé.

Dividende

Résultat d’une addition.

Différence

Facteur

Estimation

IG H T

Notion

Élément qui divise.

Puissance d’un nombre

Écriture simplifiée d’un produit de facteurs égaux à ce nombre.

Carré d’un nombre

Produit de deux facteurs égaux à ce nombre.

Diviseur

Cube d’un nombre

Produit de trois facteurs égaux à ce nombre.

Kilo

Préfixe qui multiplie une unité de mesure par mille.

Méga

Préfixe qui multiplie une unité de mesure par un million.

Giga

Préfixe qui multiplie une unité de mesure par un milliard.

Successifs

Qui se suivent.

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 133

133

19/02/2026 15:04

Notation mathématique kilo

méga

giga

IG H T

134

CHAPITRE 3 nombres et opérations

MathsPerspectives_001_424.indb 134

19/02/2026 15:04

CHAPITRE 4

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

REPÉRAGE DANS LE PLAN

Pour structurer le plan, les élèves construisent un repère universel de deux axes sécants, gradués et orientés : le repère cartésien. Le mot « cartésien » vient du mathématicien et philosophe français René Descartes (1596-1650). Il qualifie quelque chose de rationnel, logique, clair, méthodique. Si les deux axes sont perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé), le repère cartésien est dit « orthonormé ». C’est ce repère qui sera utilisé tout au long de ce chapitre.

p. 116

p. 137

Défi

Le défi qui introduit ce chapitre fait appel à la connaissance et à la maitrise du nouveau vocabulaire lié au repérage d’un point dans le plan. C’est pourquoi il ne pourra être réalisé par les élèves qu’après le point A ou à la fin du chapitre.

Coordonnées d’un point dans un repère orthonormé

IG H T

Il n’est pas nécessaire d’expliciter le mot « orthonormé » lors de la lecture du titre. Sa définition sera abordée de manière structurée au cours de l’exercice 2.

Exercice 1

p. 117-118

p. 138-139

(1) Les coordonnées du point J, placé sur la carte, sont données. Les élèves peuvent ainsi comprendre la signification des valeurs 4 et 6. Si cela est nécessaire, l’enseignant(e) peut placer le « 4 » sur l’axe des abscisses et le « 6 » sur l’axe des ordonnées. Les auteurs ont fait le choix de ne pas les mettre dans le solutionnaire pour ne pas surcharger la carte.

Les élèves pourront ensuite vérifier leur compréhension du repérage dans le plan en déterminant eux-mêmes les coordonnées du point W.

(2) Les élèves placent, sur la carte, quatre points dont les coordonnées sont connues. La difficulté de cet exercice réside dans le fait que certains de ces points contiennent une ou deux coordonnées négatives. Les axes tracés ne couvrent que les valeurs positives. Les élèves devront donc les prolonger vers la gauche et vers le bas pour identifier les coordonnées négatives.

(4) Les élèves découvrent le vocabulaire spécifique du repérage : les termes « abscisse » et « ordonnée » sont associés respectivement aux axes horizontal (x) et vertical (y). Ils doivent mobiliser ces nouvelles notions pour identifier la position précise du trésor (point T). Ils peuvent retenir que l’abscisse se repère sur l’axe horizontal et que l’ordonnée se repère sur l’axe vertical grâce au tracé des lettres a et o : et

G41

p. 138

p. 118

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Exercice 2 (1) Les élèves apprennent à coder les coordonnées d’un point en respectant un formalisme strict : Nom du point (valeur de son abscisse ; valeur de son ordonnée)

p. 140

(2) Les élèves constatent que les points situés sur les axes possèdent une caractéristique unique : l’une de leurs coordonnées est nulle. Ils peuvent compléter la phrase de différentes manières. Les points O et I sont situés sur l’axe des abscisses, sur l’axe x ou sur l’axe horizontal. Les points P et N sont situés sur l’axe des ordonnées, sur l’axe y ou sur l’axe vertical. p. 119

Exercice 4

Les élèves rencontrent les termes « strictement positive » et « strictement négative » pour la première fois. L’approche se fera de manière très intuitive. Les élèves donnent, dans un premier temps, le point ayant une abscisse nulle puis les points ayant une abscisse positive ou nulle. Ensuite, on leur demande de repérer uniquement les points qui ont une abscisse strictement positive. Cette transition les amène naturellement à comprendre ce que signifie le mot « strictement » et en quoi il modifie la condition précédente.

p. 141

IG H T

Pour guider les élèves, on peut établir une liste de synonymes soulignant la rigueur du terme : strictement signifie alors exclusivement, uniquement ou rien que (ce qui exclut d’office la valeur zéro). p. 120

Je rédige mon procédé pour associer un point et ses coordonnées dans un repère orthonormé

Exemples de rédaction

Les coordonnées d’un point sont deux nombres notés entre parenthèses et séparés par un point-virgule (abscisse ; ordonnée). L’abscisse du point est la valeur lue sur l’axe horizontal ; elle indique la ligne verticale sur laquelle se situe le point.

L’ordonnée du point est la valeur lue sur l’axe vertical ; elle indique la ligne horizontale sur laquelle se situe le point.

Le point se trouve précisément à l’intersection de ces deux lignes.

A (–3 ; 2)

Ordonnée du point A

y 2 1

–3 Abscisse du point A G42

p. 121 y

Exercice 8

1 0

−4

Le point A se trouve à l’intersection de ces deux droites.

Le quadrillage a disparu ! Pour placer le point A (4 ; –4), il faut… • placer un point d’abscisse 4 sur l’axe x et tracer une droite verticale (parallèle à l’axe y, perpendiculaire à l’axe x) passant par ce point ; • placer un point d’ordonnée –4 sur l’axe y et tracer une droite horizontale (parallèle à l’axe x, perpendiculaire à l’axe y) passant par ce point.

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 142

Les élèves placent ensuite les points B et C en suivant la même procédure.

Une fois les trois points placés, les élèves peuvent terminer la construction du rectangle en traçant une demi-droite d’origine C parallèle à la droite BA et une demi-droite d’origine A parallèle à la droite BC.

Le point D, quatrième sommet du rectangle, se trouve à l’intersection de ces deux demi-droites. Pour plus de facilité, les coordonnées de ce point sont des nombres entiers : D (–4 ; –2).

Ensemble de points p. 143

Exercice 1

IG H T

p. 121-122

(1) La condition énoncée exprime une relation entre l’abscisse et l’ordonnée. Celle-ci est toujours donnée aux élèves en langage courant, comme signifié dans les attendus. Les élèves ne doivent ni traduire la relation par une égalité algébrique, ni trouver de manière autonome une relation qui existerait entre des coordonnées.

(3) Les élèves favoriseront certainement les coordonnées entières. Cependant, le repère orthonormé imposé les contraindra à envisager, pour au moins un des points, des coordonnées décimales. Au-delà des points placés, ils découvrent ainsi l’existence d’une multitude de solutions intermédiaires. Puisqu’il existe une infinité de points entre deux positions choisies, les élèves peuvent alors les relier pour former une droite.

p. 144

p. 122-123

Exercice 2

L’espace prévu par l’interligne permet aux élèves d’inscrire les calculs intermédiaires explicitant le lien entre l’abscisse et l’ordonnée. Ils peuvent ainsi noter l’opération traduisant la consigne, qu’il s’agisse d’un lien multiplicatif (20 : 2 = 10), d’une somme (–9 + 3 = –6) ou d’un produit (–1 ∙ 4 = –4). Dans le correctif n’apparaissent que les opérations réciproques.

G43

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 144

p. 123

Exercice 3 Il semble essentiel de montrer aux élèves que toute relation entre les coordonnées ne produit pas nécessairement un alignement de points. Cela sensibilise les élèves à l’existence de formes diverses, sans qu’il soit nécessaire de nommer officiellement ces tracés comme étant des « courbes ». p. 124

p. 146 Exercice 5

IG H T

(3) La condition choisie demande une précision plus importante. C’est pourquoi les élèves disposent d’un papier millimétré. Cependant, l’abscisse du point de coordonnées (1,687 5 ; 1,5) doit être arrondie : (1,7 ; 1,5).

G44

CHAPITRE 4

Souviens-toi 1 2 3

C D

G H

(1) Écris, à l’intérieur de chaque case, le code qui te permet de la repérer.

1. Dans le quadrillage codé, certaines cases ont été colorées.

repérage dans le plan

4 5 6

IG H T

7 8 9

(2) Colorie en bleu les formes suivantes dont une des cases est codée.

(3) Colorie en bleu les cases E1, E4, E5, E6 et E7.

(1) Détermine leur position en te basant sur l’exemple.

2. Des autocollants ont été positionnés sur les nœuds d’un quadrillage codé.

(2) Place… un triangle en (D ; 5). une croix en (G ; 3). un cercle en (E ; 7).

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 135

135

19/02/2026 15:04

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 136

19/02/2026 15:04

Retrouve le nom du point correspondant à chaque renseignement.

Défi Replace ensuite les lettres dans le bon ordre pour former un mot de cinq lettres.

Nom du point dont l’ordonnée est supérieure à 3.

Nom du point dont l’abscisse est négative et dont l’ordonnée est comprise entre 0 et −3.

Nom du point dont l’abscisse est égale à l’ordonnée.

Nom du point dont l’ordonnée est nulle.

IG H T

Nom du point dont l’abscisse est égale à l’opposé de l’ordonnée.

Le mot formé est BUTIN.

U 1 N 0

1 E

T A

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de relever ce défi.

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 137

137

19/02/2026 15:04

Coordonnées d’un point dans un repère orthonormé A

1. Moussaillon, es-tu prêt(e) à retrouver le fabuleux trésor de Jack la Terreur des mers ? Pour cela, suis les consignes qui te permettront de repérer le trésor sur la carte.

1 1 T

IG H T

(1) Jack la Terreur des mers se trouve au point J. Ce point peut être repéré grâce à un couple de nombres, appelé coordonnées du point. Les coordonnées du point J sont (4 ; 6). William, son fidèle compagnon, se trouve au point W. Complète les coordonnées du point W. W(

;

)

(2) Place, sur la carte, les points dont on te donne les coordonnées. B (5 ; 1) C (−2 ; 3) D (3 ; −2) E (−1 ; −3)

Qu’est-il préférable de faire avec les axes présents sur le quadrillage afin de pouvoir placer tous les points donnés ? Il est préférable de prolonger les axes afin de repérer les valeurs négatives.

(3) Trace les segments [CD] et [BE] et nomme T leur point d’intersection.

138

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 138

19/02/2026 15:04

(4) Le trésor de Jack la Terreur des mers est enterré au point T. Complète les coordonnées du point T. T( 2

; −1 )

La deuxième coordonnée, lue sur l’axe vertical (y), est appelée l’ordonnée du point. Complète. 2.

L’ordonnée du point T est −1.

L’abscisse du point T est

La première coordonnée, lue sur l’axe horizontal (x), est appelée l’abscisse du point.

2. (1) Écris les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé.

IG H T

Un repère orthonormé est composé de deux axes perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé) à partir de leur point d’intersection, appelé origine du repère.

(3 ; 2)

(5 ; −3)

(−4 ; −2)

(−3 ; 4)

(0 ; 3)

(4 ; 0)

(−2 ; 0)

(0 ; −4)

(2) Complète.

Les points O et I sont situés sur l’axe des abscisses.

L’ ordonnée

de ces points est égale à 0.

Les points P et N sont situés sur l’axe des ordonnées. L’ abscisse

de ces points est égale à 0.

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 139

139

19/02/2026 15:04

3. Parmi les points A (0 ; 2), B (−3 ; 5), C (2 ; 1), D (−3 ; 2), E (−3 ; 0) et F (1 ; −3), écris celui ou ceux qui… C

a (ont) une ordonnée égale à −3 :

a (ont) la même abscisse :

B, D et E

a (ont) la même ordonnée :

A et D

se situe(nt) sur l’axe des abscisses :

a (ont) une abscisse égale à 2 :

se situe(nt) sur l’axe des ordonnées : A

4. Voici un repère orthonormé. A

y E

F x

IG H T

1 G

Cite le(s) point(s) qui a (ont)…

E, F, G et H

une abscisse strictement positive :

E, F et H

une abscisse strictement négative :

A, B, C et D

(3) la même abscisse :

F et H

une abscisse positive ou nulle :

(2) une ordonnée strictement positive :

A, B et E D, F, G et H

une ordonnée nulle :

une ordonnée strictement négative :

(4) la même ordonnée :

140

(1) une abscisse nulle :

A, B et E

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 140

19/02/2026 15:04

5. (1) Dans le repère orthonormé, place les points dont on te donne les coordonnées. y

A (1 ; 5) B

C (−4 ; −1)

D (3 ; −3)

E (0 ; 1)

F x

1 D

F (5 ; 0)

B (−2 ; 3)

(2) Un point K a la même abscisse que le point C et la même ordonnée que le point B. Écris les coordonnées du point K et place-le dans le repère orthonormé. K (−4 ; 3)

H (−1 ; −5)

IG H T

(3) L’abscisse du point H est égale à l’opposé de l’ordonnée du point E et son ordonnée est égale à l’opposé de l’abscisse du point F. Écris les coordonnées du point H et place-le dans le repère orthonormé.

Je rédige mon procédé pour associer un point et ses coordonnées dans un repère orthonormé

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 141

141

19/02/2026 15:04

6. (1) Complète les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé. B (3 ; −2)

C (1 ; −4)

D (−2 ; −3) y

(2) Place ensuite, dans le même repère, les points dont on te donne les coordonnées. F (3 ; 2) G (5 ; 0) H (4 ; −3) I (−3 ; 0)

J (−1 ; −2)

E (−1 ; 2) A

E 1

(3) Relie dans l’ordre les points… J, I, D, C, H, G et B. D, E, A, F et H.

G x

A (1 ; 3)

C 0

IG H T

B 1

7. Dans chaque repère orthonormé, place les points dont on te donne les coordonnées. Ensuite, relie-les dans l’ordre alphabétique en veillant à revenir au point de départ. Identifie la figure ainsi formée. A (−2 ; −3) B (−2 ; 2) C (3 ; 2) A (−2 ; 1) B (2 ; 2) C (3 ; −2) D (−1 ; −3)

x C

ABCD est un carré.

8. (1) Dans le repère orthonormé, place les points… A (4 ; −4) B (5 ; 0) C C (−3 ; 2)

ABC est un triangle rectangle isocèle.

y 2 1

−4 −3 D

B 5x

−2 −4

(2) Place ensuite un point D pour que les points A, B, C et D, une fois reliés, forment un rectangle. Écris les coordonnées de ce point. D (−4 ; −2) 142

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 142

19/02/2026 15:04

Ensemble de points

1. Moussaillon, es-tu prêt(e) à retrouver la cachette de Jack la Terreur des mers ainsi que les membres de son équipage ? (1) Pour chaque indice, entoure les coordonnées qui répondent à la condition énoncée. Indice no 1 : l’abscisse est plus grande que l’ordonnée. (0 ; −1)

(−4 ; −0,5)

(3 ; 2)

(2 ; 1)

(−3 ; 6)

Indice no 2 : l’ordonnée vaut 1 de moins que l’abscisse. (0 ; −1)

(−4 ; −0,5)

(3 ; 2)

(2 ; 1)

Indice no 3 : le produit des coordonnées vaut 2. (0 ; −1)

(−4 ; −0,5)

(3 ; 2)

(−1 ; −2)

(2 ; 1)

(−3 ; 6)

(−1 ; −2)

(2 ; 1)

(−3 ; 6)

(−1 ; −2)

(2 ; −5)

(−3 ; 6)

(2 ; −5)

(−1 ; −2)

(2 ; −5)

Indice no 4 : la somme des coordonnées vaut 3. (0 ; −1)

(−4 ; −0,5)

(3 ; 2)

IG H T

(2 ; −5)

C (2 ; 1)

(2) La cachette de Jack la Terreur des mers se trouve au point dont les coordonnées respectent l’ensemble des conditions énoncées au point (1). Détermine les coordonnées de ce point C et place-le sur la carte.

(3) Les membres d’équipage du bateau de Jack la Terreur des mers sont cachés à des endroits dont la somme des coordonnées vaut −2. Détermine les coordonnées de cinq points qui répondent à cette condition et qui pourraient être placés sur la carte. (−1 ; −1) (0 ; −2) (−2 ; 0) (−3 ; 1) (−0,5 ; −1,5)

Place les cinq points sur la carte et décris leur position relative. Les points sont alignés. Représente, sur la carte, l’ensemble de tous les points où peuvent se trouver les membres d’équipage.

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 143

143

19/02/2026 15:04

2. Complète les coordonnées pour qu’elles répondent à la condition énoncée. (1) L’ordonnée vaut la moitié de l’abscisse. 10

(20 ;

( 4

)

; 2)

( −2

; −1)

(−2,5 ;

2,5

(−5 ; −2,5 )

(4,5 ; 2,25 )

∙2

(2) Les coordonnées sont opposées. )

(

; −17)

)

(

−6 ; 0)

−1

(−5 ;

(4) L’abscisse vaut 5 de plus que l’ordonnée. 15 ; 10) +5

−1

(4 ;

)

(−2 ;

−8

(2 ;

(−3,5 ; −2,5 )

)

−7

)

−4

(

; −9)

(

; 0)

−5

IG H T

(

)

; 0)

(3) La somme des coordonnées vaut −6. (−9 ;

(

(5 ; −5

(5) L’abscisse vaut le triple de l’ordonnée. (−3 ; −1

)

; 2)

; 0)

(−2,4 ; −0,8 )

(−8 ;

0,5 )

(40 ; −0,1 )

(

∙3

(6) Le produit des coordonnées vaut −4. )

(

−2

; 2)

(−1 ;

( −0,25 ; 16)

3. (1) Complète les coordonnées pour que l’ordonnée soit égale au carré de l’abscisse. (0 ;

)

(1 ;

)

(0,5 ; 0,25 )

(2) Place les points dans le repère orthonormé.

(2 ;

)

(3 ;

)

(3) Ces points sont-ils alignés ? Si oui, trace la droite. Si non, relie les points à main levée.

1 0

144

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 144

19/02/2026 15:04

4. (1) Écris les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé. y

1 0 P

x D

(−2,5 ; 1,5)

(−1 ; −1)

(1 ; −1)

(2,5 ; −1)

1 C

L’ordonnée des points B, C et D vaut −1.

(2) Quelle est la caractéristique commune des coordonnées des points B, C et D ?

Quelle est la position relative des points B, C et D ?

IG H T

Les points B, C et D sont alignés.

Écris les coordonnées d’un autre point qui possède la même caractéristique que celle des points B, C et D. Existe-t-il beaucoup de possibilités ? (0,5 ; −1)

Il existe une infinité de possibilités.

Représente, en bleu, tous les points qui ont la même caractéristique que les points B, C et D.

(3) Représente, en vert, tous les points qui ont la même abscisse que le point A. (4) Le point P a la même abscisse que le point A et la même ordonnée que le point B.

Détermine les coordonnées de ce point. P (−2,5 ; −1) Place ce point dans le repère et décris sa position.

Le point P se trouve à l’intersection de la droite verte et de la droite bleue.

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 145

145

19/02/2026 15:04

5. Détermine les coordonnées de cinq points qui répondent à la condition énoncée. Place-les dans le repère orthonormé et représente ensuite tous les autres points qui répondent à la même condition. (1) L’ordonnée vaut l’opposé du double de l’abscisse.

(1 ; −2) (−1 ; 2) (0,5 ; −1) (2 ; −4) (−2 ; 4)

(0 ; 3) (1 ; 4) (−1 ; 2) (−2 ; 1) (−3 ; 0)

(2) La différence entre l’abscisse et l’ordonnée vaut −3.

IG H T

1 0

(3) L’abscisse vaut la moitié du cube de l’ordonnée.

(0 ; 0) (0,5 ; 1) (4 ; 2) (13,5 ; 3) (1,687 5 ; 1,5)

2 1,5 1

x 0 0,5 1 1,687 5

13,5

Retour au défi Retourne à la page 137 pour retrouver le mot mystère. 146

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 146

19/02/2026 15:04

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES 1. Voici une série de points. B (0 ; 6)

D (0 ; 0)

E (−6 ; 0)

(2) Détermine le(s) point(s)… qui est (sont) situé(s) sur l’axe des ordonnées. qui est (sont) situé(s) sur l’axe des abscisses. qui a (ont) une abscisse négative.

(1) Détermine… l’abscisse du point A. l’ordonnée du point B. les coordonnées du point C.

C (−2 ; 2)

A (2 ; −3)

2. (1) Parmi les points A (−2 ; 0), B (−1 ; 4), C (0 ; −2), D (−2 ; −1) et E (−3 ; −1), écris celui… qui a la plus petite abscisse. qui a la plus grande ordonnée. qui est situé sur l’axe des ordonnées. dont l’ordonnée vaut un de plus que l’abscisse.

IG H T

(2) Quel point ne répond à aucune condition ?

Rédige une condition qui n’est valable que pour ce point. 3. (1) Dans le repère orthonormé, détermine les coordonnées des points K, L, M, N, P et R.

(2) Place les points dont on te donne les coordonnées. E (−2 ; −2) F (3 ; −2) G (−1 ; 4) I (2 ; 2)

H (0 ; −3)

J (−4 ; 0)

4. En sachant que les coordonnées du point A sont (12 ; 16), détermine les coordonnées des points B et L.

L R

A L

0 B

CHAPITRE 4 REPÉRAGE DANS LE PLAN

147

5. Un vaisseau de pirates V progresse vers le rocher R (−1 ; 3) et le phare côtier P (1 ; 2).

(1) Construis le repère orthonormé.

(2) Détermine les coordonnées du vaisseau V, de la balise B et de la crypte C.

(3) Place la fosse F, la grotte G, le trésor T et la maison fortifiée M connaissant leurs coordonnées F (0 ; 0), G (4 ; 2), T (5 ; 4) et M (3 ; −1).

6. (1) Construis un repère orthonormé. Place le point A dont les coordonnées sont (3 ; 7).

(2) Détermine les coordonnées du point B si tu sais que son abscisse vaut le double de celle du point A et que son ordonnée vaut 5 de moins que celle du point A. Place le point B dans le repère.

(3) Détermine les coordonnées du point C si tu sais que son ordonnée vaut l’opposé de 1 et que ses coordonnées sont opposées. Place le point C dans le repère. (4) Place le point D afin que les points A, B, C et D soient les sommets d’un carré. Détermine les coordonnées du point D.

IG H T

7. Dans chaque série, barre les coordonnées qui ne répondent pas à la condition énoncée. (1) L’ordonnée est plus grande que l’abscisse. (5 ; 8) (12 ; 10) (−2 ; 5)

(−7 ; −9)

(2) L’abscisse vaut le double de l’ordonnée. (5 ; 2,5) (2,88 ; 1,44) (2 ; −1)

(−1 ; 0)

(1,8 ; 3,6)

(2 ; 0)

(3,99 ; 1,33)

(0 ; 0)

(17 ; −9)

11 ; 2,5 2

(5) L’abscisse vaut deux de plus que l’ordonnée. (5 ; 3) (10 ; 12) (−2 ; 0)

(−7 ; −9)

(2,3 ; 0,3)

(3) L’ordonnée vaut le tiers de l’abscisse. -2 -8 (15 ; −5) ;2 -8 ; 3 3 (4) La somme des coordonnées vaut 8. (5 ; 3) (2 ; −10) (−4 ; 12)

(6) L’ordonnée vaut l’opposé du triple de l’abscisse. (0 ; 0)

(−3 ; 6)

(−1,5 ; 4,5)

(3 ; −9)

(−5 ; −15)

8. Complète les coordonnées pour qu’elles répondent à la condition énoncée. Construis un repère orthonormé et places-y les six points. Représente ensuite tous les points qui répondent à la condition. (1) L’ordonnée vaut trois de moins que l’abscisse. (5 ; …) (… ; −2) (… ; −5) (4 ; …) (3 ; …) (… ; −3)

148

(2) L’ordonnée est égale à la valeur absolue de l’abscisse. (1 ; …) (0 ; …) (−2 ; …) (4 ; …) (3 ; …) (−4 ; …)

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 148

19/02/2026 15:04

9. Associe les phrases équivalentes. •

•

L’abscisse vaut le triple de l’ordonnée. La somme des coordonnées est nulle. L’abscisse vaut 2 de plus que l’ordonnée. L’ordonnée vaut la moitié de l’abscisse. La différence entre l’abscisse et l’ordonnée vaut 10. L’ordonnée est égale à la différence entre 10 et l’abscisse.

•

L’abscisse vaut le double de l’ordonnée. L’ordonnée vaut le tiers de l’abscisse. L’ordonnée vaut 2 de moins que l’abscisse. L’abscisse est égale à l’opposé de l’ordonnée. La somme des coordonnées vaut 10. L’abscisse est égale à l’ordonnée augmentée de 10.

10. Retrouve la position du téléphone de Télio en suivant les instructions.

(1) Trace, en bleu, la droite qui représente l’ensemble des points dont l’abscisse vaut la moitié de l’ordonnée. (2) Trace, en vert, la droite qui représente l’ensemble des points dont la somme des coordonnées vaut 6.

IG H T

(3) Marque le point T à l’intersection de ces deux droites. (4) Le téléphone de Télio se trouve au point T. Quelles sont ses coordonnées et dans quelle province se situe-t-il ? y 6

Flandre orientale

Flandre occidentale

4 Anvers 3 2

Brabant flamand

Limbourg

1 Brabant wallon −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Hainaut −1 Namur −2

Flandre Wallonie

5 6 Liège

8 x

−3 −4

Bruxelles

Luxembourg

−5 −6 −7

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

149

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 150

19/02/2026 15:04

CÔTé praTIQUe y axe des ordonnées

Repère orthonormé

1 1

axe des abscisses x

gradués de la même manière

IG H T

deux axes perpendiculaires

origine du repère

Coordonnées d’un point

Dans un repère orthonormé, chaque point est repéré par un couple de nombres, appelé les coordonnées du point.

Le premier nombre, lu sur l’axe horizontal, est l’abscisse du point. Le second nombre, lu sur l’axe vertical, est l’ordonnée du point.

Notation : (abscisse ; ordonnée) y A

3 1

−4

L’abscisse du point A est −4. L’ordonnée du point A est 3. Les coordonnées du point A sont (−4 ; 3). On indique toujours, dans l’ordre, l’abscisse du point suivie de son ordonnée.

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 151

151

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 152

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CÔTé THéOrIQUe Notion

Définition Droite orientée et graduée.

Repère orthonormé

Repère composé de deux axes perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé) à partir de leur point d’intersection.

Origine d’un repère

Point d’intersection des deux axes. Les coordonnées de ce point sont (0 ; 0).

Abscisse d’un point dans un repère orthonormé

Nombre qui permet de repérer la position de ce point sur l’axe horizontal. Première coordonnée du point.

Axe des abscisses

Axe horizontal (noté x) d’un repère orthonormé.

Ordonnée d’un point dans un repère orthonormé

Nombre qui permet de repérer la position de ce point sur l’axe vertical. Deuxième coordonnée du point.

Coordonnées d’un point

IG H T

Axe des ordonnées

Axe

Axe vertical (noté y) d’un repère orthonormé.

Couple de nombres, composé de l’abscisse et de l’ordonnée du point, permettant de déterminer sa position dans un repère. Valeur positive non nulle.

Valeur strictement positive

Valeur négative non nulle.

Valeur strictement négative

Points alignés

;

)

Notation mathématique

Coordonnées d’un point

(

Points qui se trouvent sur une même droite.

CHAPITRE 4 repérage dans le plan

MathsPerspectives_001_424.indb 153

153

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 154

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26 15:04

CHAPITRE 5

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

FRACTIONS ET POURCENTAGES

Un pictogramme placé à côté du titre indique que l’utilisation de la calculatrice est autorisée tout au long du chapitre. Une seule exception subsiste pour le dernier exercice sur les fractions, où la mention « sans calculatrice » est explicitement précisée. Pour autant, cette autorisation générale n’empêche pas les élèves d’avoir recours au calcul mental le plus souvent possible afin de renforcer leurs automatismes.

Pour favoriser la compréhension des mécanismes de calcul, la touche % de la calculatrice n’a jamais été utilisée. Si l’enseignant(e) autorise toutefois l’usage de cette touche, il est primordial que les élèves soient capables de décomposer et d’expliquer la démarche logique effectuée par la calculatrice pour obtenir le résultat. Tout au long du chapitre, l’accent est mis sur la formulation du raisonnement. Que leur méthode soit concise ou plus développée, les élèves doivent apprendre à structurer leur réponse. Cette capacité de rédaction constitue une compétence fondamentale à acquérir.

IG H T

Les solutions proposées indiquent généralement, avant chaque calcul, ce que celui-ci permet de déterminer. Lorsque cette indication n’est pas fournie, ou lorsqu’une question complémentaire est posée, une phrase vient alors conclure le raisonnement. Cette manière de présenter les solutions sert de modèle méthodologique. Toutefois, la formulation des élèves ou de l’enseignant(e) peut être différente, tant que la logique suivie est clairement exprimée et que chaque étape du raisonnement est identifiable.

p. 133

p. 157

Question de réflexion

La séquence de BD en introduction amène les élèves à s’interroger : une diminution de 10 % suivie d’une augmentation de 10 % change-t-elle ou non le nombre de départ ? Spontanément, tout comme notre protagoniste Lise, les élèves peuvent penser que les deux opérations s’annulent.

C’est le moment de discuter avec l’ensemble des élèves, de récolter leurs avis et leurs argumentations. Selon leur réactivité, cette réflexion peut être menée immédiatement. Dans ce cas, l’enseignant(e) devra certainement aider les élèves à procéder par étapes afin de mettre en évidence que la diminution et l’augmentation ne se calculent pas sur le même nombre. Alternativement, un retour en fin de chapitre permettra d’utiliser les acquis pour calculer directement des pourcentages successifs (22 000 000 ⋅ 1,1 ⋅ 0,9).

G45

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Pourcentage d’une quantité p. 158

p. 133-134

Exercice 1

Cette série de problèmes à résoudre est présentée sous une forme inhabituelle. Les élèves doivent résoudre le premier problème, puis retrouver l’exercice proposant la réponse chiffrée qu’ils viennent d’obtenir. Cette manière de faire permet aux élèves de bénéficier d’une rétroaction immédiate et de devenir acteurs de leur propre correction. En effet, ils ne peuvent pas poursuivre leur parcours tant qu’ils n’ont pas obtenu une des réponses proposées.

No 1 et no 2 : calculs simples du pourcentage d’une quantité.

No 3 : calcul simple d’un pourcentage restant.

Une fois l’ensemble des exercices résolu, il est intéressant de discuter avec les élèves de leur chronologie et de la progression de la difficulté.

IG H T

No 4 : l’exercice présente un piège classique : les données portent sur le nombre de vues, tandis que la question demande le nombre de personnes n’ayant pas vu le post. Deux stratégies de résolution s’offrent aux élèves : soit ils calculent d’abord le pourcentage de personnes n’ayant pas vu le post, puis calculent l’effectif correspondant ; soit ils calculent le nombre de personnes ayant vu le post, puis le soustraient du total pour identifier l’effectif de celles qui ne l’ont pas vu. No 5 : la complexité augmente ici avec une répartition en trois postes distincts : les likes, les commentaires et les partages. L’enjeu pour les élèves est d’identifier la part manquante parmi ces trois données. Le correctif ne détaille pas le calcul du pourcentage pour favoriser la mise en commun des stratégies individuelles. Cet échange prépare l’exercice suivant dans lequel les différentes approches sont alors détaillées.

Exercice 2

p. 134

p. 159

Dans le premier chapitre, les élèves ont rencontré les différentes écritures d’un même nombre. Transformer un pourcentage en fraction décimale, en fraction irréductible et en nombre décimal leur permet de (re)découvrir les différents procédés de calcul du pourcentage d’une quantité. p. 159

p. 134

Je rédige mon procédé pour calculer le pourcentage d’une quantité Exemples de rédaction 1) Je transforme le pourcentage en fraction décimale. 2) J e divise la quantité par le dénominateur de la fraction et je multiplie le résultat obtenu par son numérateur.

G46

1) Lorsque c’est possible, je transforme le pourcentage en fraction irréductible. GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

2) J e divise la quantité par le dénominateur de la fraction et je multiplie le résultat obtenu par son numérateur.

1) Je transforme le pourcentage en nombre décimal.

2) Je multiplie la quantité par ce nombre décimal.

Pourcentage ajouté ou déduit

p. 160-161

p. 135

Exercice 1

Dans la suite du chapitre, les solutions présentées s’appuient sur l’usage des nombres décimaux, mais les élèves conservent la liberté d’utiliser la méthode de leur choix, sauf indication contraire de l’enseignant(e).

IG H T

(1) Les élèves utiliseront très certainement un raisonnement en deux étapes en calculant d’abord 80 % de 15 000, puis en ajoutant ce résultat à la valeur initiale. La suite de l’exercice introduit une stratégie plus directe : en additionnant 80 % à 100 % (= 180 %), les élèves apprennent à obtenir le résultat final en une seule étape. Pour ce faire, il leur suffit de multiplier la quantité de départ par la valeur décimale associée au pourcentage total (soit 1,8). Je rédige mon procédé pour calculer une quantité augmentée d’un certain pourcentage

Exemples de rédaction

1) Je calcule la valeur de l’augmentation. 2) J’ajoute cette valeur à la quantité de départ.

1) J’ajoute à 100 % le pourcentage d’augmentation.

2) Je calcule le nouveau pourcentage de la quantité de départ.

Les élèves ont la possibilité d’écrire et de retenir les deux démarches ou de n’en choisir qu’une seule. Il est important de souligner l’efficacité de la deuxième démarche. Elle s’avère en effet plus pratique pour l’usage de la calculatrice et nettement plus rapide dès que les calculs deviennent complexes. De plus, cette méthode sera indispensable par la suite. Pour retrouver une valeur initiale (le prix avant l’augmentation), les élèves devront utiliser l’opération réciproque unique.

G47

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

(2) Cet exercice sollicite une réflexion différente et moins spontanée. Il est essentiel d’expliquer, ici, que le nombre de followers passe à 250 % de la valeur précédente : l’augmentation est donc déjà incluse dans ce pourcentage (100 % + 150 % d’augmentation). Les élèves pourraient être tentés d’ajouter 250 % aux 100 % initiaux ; or, ils doivent calculer directement le nouveau total en multipliant 27 000 par 2,5.

p. 161

(3) La démarche est identique à celle développée au point (1), à la différence qu’il s’agit ici d’une diminution. Les élèves apprennent à obtenir le résultat en une seule opération en soustrayant 15 % de 100 % (= 85 %), ce qui revient à multiplier la quantité de départ par 0,85. p. 135

Je rédige mon procédé pour calculer une quantité diminuée d’un certain pourcentage Exemples de rédaction

1) Je calcule la valeur de la diminution.

De même que pour le calcul d’une augmentation, il convient d’insister sur l’efficacité de la deuxième démarche.

IG H T

2) Je soustrais cette valeur de la quantité de départ.

1) Je soustrais de 100 % le pourcentage de diminution.

2) Je calcule le nouveau pourcentage de la quantité de départ.

p. 161-163

p. 135-136

Exercices 2, 3, 4, 5 et 6

Pourcentages successifs

Ces exercices affinent l’esprit d’analyse des élèves à travers l’examen d’offres de prix et de publicités. Ces mises en situation réelles soutiennent une démarche citoyenne en encourageant le développement de l’esprit critique et la compréhension des mécanismes qui influencent les choix du consommateur.

p. 163

p. 137

Exercice 1 Les élèves calculent 90 % des 1 200 places, puis 15 % de la réponse qu’ils ont obtenue. En effet, l’énoncé ne leur laisse pas d’autre choix vu qu’il s’agit de 15 % des places parmi les 90 % des places vendues. Par extension, ils comprendront facilement qu’ils peuvent trouver la réponse à l’aide d’un calcul unique combinant les deux pourcentages : 15 % de (90 % de 1 200) = (1 200 ⋅ 0,9) ⋅ 0,15.

G48

p. 137 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 164

Je rédige mon procédé pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité Exemples de rédaction

Je procède par étapes et j’applique chaque pourcentage à la quantité résultant de l’étape précédente.

1) J’écris, en un seul calcul, les pourcentages successifs de la quantité de départ.

p. 137

p. 164-165

2) J’effectue ce calcul.

Exercices 4, 5 et 6

Ces exercices sont plus complexes. En effet, ils combinent les variations (augmentations et/ou diminutions) avec la notion de pourcentages successifs : deux diminutions pour les exercices 4 et 5, une augmentation suivie d’une diminution pour l’exercice 6.

Exercice 4

p. 137

IG H T

p. 164

D’autres méthodes sont possibles, notamment celle en plusieurs étapes. C’est le moment de sensibiliser les élèves aux erreurs possibles liées aux arrondis intermédiaires. Par exemple, dans l’exercice 4, un arrondi intermédiaire (37,485 ≅ 37,49) fausse le résultat final d’un centime (95 % de 37,49 = 35,615 5 ≅ 35,62). Les élèves doivent donc utiliser leur calculatrice correctement en évitant tout arrondi intermédiaire. Privilégier le calcul unique, comme proposé, permet d’éviter ce genre de problème. Procédé 

Procédé 

25 % de 49,98 = 12,495

100 % – 25 % = 75 %

49,98 – 12,495 = 37,485

100 % – 5 % = 95 %

5 % de 37,485 = 1,874 25

49,98 ⋅ 0,75 = 37,485

49,98 ⋅ 0,75 ⋅ 0,95 = 35,610 75

37,485 – 1,874 25 = 35,610 75

37,485 ⋅ 0,95 = 35,610 75

≅ 35,61 €

Procédé 

G49

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 165

p. 137

Je rédige mon procédé pour appliquer des augmentations et/ou réductions successives Exemples de rédaction

Je calcule d’abord le premier pourcentage de la quantité initiale, puis je l’ajoute (ou le retire) à cette quantité. Ce nouveau résultat devient la base de calcul pour l’étape suivante. Je répète l’opération pour chaque pourcentage et je n’arrondis que le résultat final.

Je détermine d’abord le pourcentage résultant de chaque variation. J’applique ensuite ce premier pourcentage à la quantité de départ pour obtenir une valeur intermédiaire. Sur cette valeur, j’applique le deuxième pourcentage de la même manière et je n’arrondis que le résultat final.

D C

IG H T

Je détermine d’abord le pourcentage résultant de chaque variation. J’applique ensuite simultanément tous ces pourcentages à la quantité de départ en une seule ligne de multiplications.

Rapport en pour cent p. 166

p. 138

Je rédige mon procédé pour exprimer un rapport en pour cent

Exemple de rédaction

1) J’écris, sous la forme d’une fraction, le rapport entre la partie et le tout. 2) Je transforme cette fraction en pourcentage.

p. 166

p. 138

Exercice 2

Les solutions proposées exploitent directement les données des étiquettes de prix. Cependant, les élèves pourraient s’inspirer de la démarche appliquée dans le premier exercice pour réaliser le deuxième. Dans ce cas, ils calculeraient d’abord le montant de la réduction avant d’en déterminer le pourcentage. Montant de la réduction : 69,99 – 56 = 13,99 € 13,99 = 0,199 885… ≅ 20 % Pourcentage de réduction : 69,99

G50

p. 139 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 167-168 Exercice 4

9 45 = . 100 20 (2) Le passage direct du pourcentage à la fraction irréductible est ici complexe, car le résultat (83,33… %) est un nombre décimal illimité. Pour obtenir une valeur exacte, les élèves n’ont pas d’autre choix que d’additionner les deux fractions initiales. Bien que cette notion soit abordée dès le primaire, certains élèves peuvent éprouver des difficultés à trouver un dénominateur commun. Pour les aider dans cette recherche, une aide visuelle (le rectangle à partager) est proposée dans la solution. 45 % =

IG H T

(1) La fraction irréductible est simple à trouver à partir du pourcentage :

G51

C IG H T N

CHAPITRE 5

FRACTIONS ET POURCENTAGES

Souviens-toi 1. Relie. Si, d’une tablette de chocolat, je mange… 50 % •

alors, j’en mange…

• le quart.

• la totalité.

25 % • 100 % •

• la moitié.

20 % •

• le centième.

5% •

• le cinquième.

• le vingtième.

IG H T

1% •

2. Calcule le pourcentage demandé. Note, pour chaque cas, le calcul à effectuer et son résultat. Calcul

Résultat

500 : 10

50 €

25 % de 500 €

500 : 4

125 €

75 % de 500 €

500 : 4 ⋅ 3

375 €

1 % de 500 €

500 : 100

5€

12 % de 500 €

500 : 100 ⋅ 12

60 €

10 % de 500 €

3. Relie chaque pourcentage au nombre décimal et à la fraction décimale qui lui correspondent. 0,1 •

• 5% •

0,05 •

• 25 % •

0,25 •

• 10 % •

0,13 •

• 72 % •

0,72 •

• 13 % •

1 10 72 • 100 13 • 100 5 • 100 25 • 100

•

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 155

155

19/02/2026 15:04

4. (1) Un gâteau est partagé en huit parts égales. Si tu en manges trois parts et que ton ami en mange deux, quelle fraction du gâteau a été mangée ? 3 2 5 5 + = du gâteau ont été mangés. 8 8 8 8

1 1 4 3 7 + = + = 3 4 12 12 12 7 d’une tasse. 12

IG H T

Les sucres représentent

(3) Tu as utilisé un tiers d’une tasse de sucre blanc et un quart de la même tasse de sucre brun. Quelle fraction de tasse représentent les deux sucres ?

(2) Un gâteau doit cuire une demi-heure à 180 °C, puis un quart d’heure à 150 °C. Pendant quelle fraction d’heure le gâteau doit-il cuire ? 1 1 2 1 3 3 + = = Le gâteau doit cuire durant d’heure. 2 4 4 4 4 4

5. Arrondis le nombre 13,725 76… 14

à l’unité près. au dixième près.

13,73

au centième près.

13,7

156

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MATHSPACTELC_Chap05.indd 156

19/02/2026 17:22

Question de réflexion

Non… Ils disent que la semaine passée, il avait perdu 10 % de ses followers mais que, cette semaine, il en a récupéré 10 % !

Extra ! Il en a à nouveau 22 millions alors !

Une date de concert de notre chanteur préféré ?

Regarde, Lise ! Un nouvel article sur Jay Skyler !

IG H T

Non, je ne pense pas que cela revienne au même…

Et toi, qu’en penses-tu ? Le nombre de followers a-t-il augmenté, a-t-il diminué ou est-il resté identique ?

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question avec précision.

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 157

157

19/02/2026 15:04

Pourcentage d’une quantité

25 % de ses followers likaient régulièrement ses posts. Détermine le nombre de personnes que cela représentait. 25 % de 15 000 = 3 750

Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 70 %

Cela représentait 3 750 personnes.

1. Le soir de la sortie de son premier album, Jay Skyler comptait 15 000 followers sur Instagram. Faisons ensemble un retour sur les débuts de sa carrière. Réalise l’exercice proposé dans la première étiquette. Ensuite, recherche celle qui te propose la réponse que tu viens d’obtenir et résous l’exercice en indiquant tes calculs.

42 % de ses followers avaient vu son post présentant son chien. Détermine le nombre de followers qui n’avaient pas vu ce post.

100 % − 42 % = 58 %

IG H T

58 % de 15 000 = 8 700 8 700 followers n’avaient pas vu ce post.

Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 2 700 30 % des followers étaient inactifs. Détermine le pourcentage de followers actifs.

3 100 % − 30 % = 70 %

70 % des followers étaient actifs.

Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 8 700

Une publication avait récolté 3 500 réactions : 60 % de likes, moitié moins de commentaires et le reste de partages. Détermine le nombre de partages que cela représentait. 100 % − 60 % − 60 % : 2 = 100 % − 60 % − 30 % = 10 %

10 % de 3 500 = 350

Cela représentait 350 partages. Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 3 750 18 % de ses followers commentaient ses publications. Détermine le nombre de personnes que cela représentait.

2 18 % de 15 000 = 2 700

Cela représentait 2 700 personnes. 158

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 158

19/02/2026 15:04

2. Transforme chaque pourcentage en fraction décimale, en fraction irréductible et en nombre décimal. Fraction décimale

Fraction irréductible

Nombre décimal

20 %

20 2 ou 100 10

1 5

0,2

75 %

75 100

3 4

0,75

Pourcentage

le nombre décimal :

2 600 ⋅ 0,2 = 520

Calcule 75 % de 2 600 en utilisant…

Calcule 20 % de 2 600 en utilisant… 20 2 600 ⋅ = 2 600 : 100 ⋅ 20 = 520 (ou 2 600 : 10 ⋅ 2 = 520) la fraction décimale : 100 1 la fraction irréductible : 2 600 ⋅ = 2 600 : 5 = 520 5

75 = 2 600 : 100 ⋅ 75 = 1 950 100 3 la fraction irréductible : 2 600 ⋅ = 2 600 : 4 ⋅ 3 = 1 950 4 2 600 ⋅

IG H T

la fraction décimale :

le nombre décimal :

2 600 ⋅ 0,75 = 1 950

Je rédige mon procédé pour calculer le pourcentage d’une quantité

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 159

159

19/02/2026 15:04

Pourcentage ajouté ou déduit

1. (1) Lors de l’annonce de son premier concert, Jay Skyler, qui comptait 15 000 followers, a vu le nombre de ceux-ci augmenter de 80 %. Détermine le nombre de followers qu’il comptait après cette augmentation. 80 % de 15 000 = 15 000 ⋅ 0,8 = 12 000

Nombre de followers après augmentation :

15 000 + 12 000 = 27 000

Nombre de nouveaux followers :

Détermine ce que devient le pourcentage de départ s’il augmente de 80 %.

100 % + 80 % = 180 %

180 % de 15 000 = 15 000 ⋅ 1,8 = 27 000

Utilise ce pourcentage pour vérifier le nombre de followers après cette augmentation.

IG H T

Je rédige mon procédé pour calculer une quantité augmentée d’un certain pourcentage

(2) Après le concert, le nombre de followers de Jay Skyler a subi une nouvelle augmentation. Il est passé à 250 % de ce qu’il comptait après l’annonce de celui-ci. Calcule le nombre de followers après son concert. Nombre de followers après son concert :

160

250 % de 27 000 = 27 000 ⋅ 2,5 = 67 500

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 160

19/02/2026 15:04

(3) Ravi de ce nombre de followers, le chanteur s’est octroyé un peu de repos. Cela lui a fait perdre 15 % de followers. Calcule de deux manières différentes le nombre de followers après cette diminution. 15 % de 67 500 = 67 500 ⋅ 0,15 = 10 125

(1) Nombre de followers perdus : Nombre de followers après diminution :

100 % − 15 % = 85 %

Nombre de followers après diminution :

85 % de 67 500 = 67 500 ⋅ 0,85 = 57 375

(2) Pourcentage après diminution :

67 500 − 10 125 = 57 375

IG H T

Je rédige mon procédé pour calculer une quantité diminuée d’un certain pourcentage

2. Jay Skyler met en vente des teeshirts et des casquettes à son nom. (1) À la sortie de son concert, le stand de vente de souvenirs propose des réductions. Alba achète une casquette et deux teeshirts. Calcule le montant total de ses achats.

15 € –8 %

92 % de 15 = 15 ⋅ 0,92 = 13,80 €

Prix d’un teeshirt :

94 % de 30 = 30 ⋅ 0,94 = 28,20 €

Total :

13,80 + 2 ⋅ 28,20 = 13,80 + 56,40 = 70,20 €

Prix d’une casquette :

30 € –6 %

(2) De retour chez elle, Lise réalise les mêmes achats qu’Alba sur le site de vente en ligne qui n’affiche qu’une seule réduction de 8 % sur les teeshirts. Justifie que Lise paiera le même montant qu’Alba pour ses achats. Prix d’un teeshirt :

92 % de 30 = 30 ⋅ 0,92 = 27,60 €

Total :

15 + 2 ⋅ 27,60 = 15 + 55,20 = 70,20 €

Lise paie le même montant (70,20 €) qu’Alba.

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 161

161

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3. Un fournisseur de musique en ligne propose deux tarifs. Tarif 1 : 9 euros par mois avec 40 % de réduction les trois premiers mois. Tarif 2 : 8 euros par mois avec le premier mois offert. Si Alba veut souscrire un abonnement de six mois, détermine quel fournisseur elle devrait choisir.

Tarif 2

Prix pour un mois avec la réduction :

60 % de 9 = 9 ⋅ 0,6 = 5,40 €

Total pour six mois :

3 ⋅ 5,40 + 3 ⋅ 9 = 16,20 + 27 = 43,20 €

Total pour six mois :

5 ⋅ 8 = 40 €

Tarif 1

Alba devrait choisir le second fournisseur, car le tarif proposé pour un abonnement de six

mois est plus avantageux.

4. Une voiture est affichée au prix de 25 495,87 € HTVA (hors TVA). Si le taux de TVA est de 21 %, détermine le prix TVAC (TVA comprise) à payer.

121 % de 25 495,87 = 25 495,87 ⋅ 1,21 = 30 850,002 7 ≅ 30 850 €

Prix TVAC :

IG H T

La TVA est la taxe sur la valeur ajoutée. Il s’agit d’une taxe que l’on paie dès qu’on achète un produit ou un service. Cette taxe est perçue par le vendeur qui la reverse ensuite à l’État. Grâce à cet argent, l’État peut construire et entretenir les routes, les écoles, les hôpitaux, les parcs, assurer la sécurité, rendre la justice…

5. Cette publicité figure dans le dépliant promotionnel d’un magasin de matériel informatique. TVA

OFFERTE !

974 € H

1 178,54

TVA

€ TVAC

La promotion « 21 % de TVA offerte » correspond-elle à une remise de 21 % sur le prix affiché ? Justifie. Prix après remise :

79 % de 1 178,54 = 1 178,54 ⋅ 0,79 = 931,046 6 ≅ 931,05 €

Vu que 974 > 931,05, la remise n’est pas de 21 %.

162

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 162

19/02/2026 15:04

6. Un concessionnaire automobile propose une offre de prix pour l’achat d’une voiture hybride, dont la valeur est de 18 800 € HTVA. Le client choisit des options supplémentaires qui augmentent le prix HTVA de 3 %. À l’occasion du Salon de l’auto, le concessionnaire accorde une remise de 4,5 % sur le prix HTVA du véhicule. Complète l’offre de prix et indique tes calculs en dessous de celle-ci.

OFFRE DE PRIX

Référence

Description

CARPRO

Quantité Montant HTVA (€)

Taux TVA

Voiture hybride

18 800,00

21 %

P002

Options

564,00

21 %

P001

19 364,00 4,5 %

HTVA (€) Remise :

Prix des options :

TVAC 22 376,07

3 % de 18 800 = 18 800 ⋅ 0,03 = 564 €

Prix HTVA hors remise :

18 800 + 564 = 19 364 €

Prix HTVA après remise :

95,5 % de 19 364 = 19 364 ⋅ 0,955 = 18 492,62 €

121 % de 18 492,62 = 18 492,62 ⋅ 1,21 = 22 376,070 2 ≅ 22 376,07 €

Prix TVAC :

Pourcentages successifs

HTVA 18 492,62

IG H T

TOTAL (€)

1. La capacité d’un théâtre est de 1 200 places. Pour la prochaine représentation, 90 % des places ont été réservées et, parmi celles-ci, 15 % au premier balcon. (1) Détermine le nombre de places réservées au premier balcon.

Nombre de places réservées :

90 % de 1 200 = 1 200 ⋅ 0,9 = 1 080

Nombre de places réservées au premier balcon :

15 % de 1 080 = 1 080 ⋅ 0,15 = 162

(2) Détermine, en un seul calcul, le nombre de places réservées au premier balcon. Nombre de places réservées au premier balcon :

15 % de 90 % de 1 200 = 1 200 ⋅ 0,9 ⋅ 0,15 = 162

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 163

163

19/02/2026 15:04

Je rédige mon procédé pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité

IG H T

2. Lors d’un mariage, 200 personnes ont été invitées. 80 % des invités sont venus avec un cadeau et, parmi eux, 30 % ont également apporté un bouquet de fleurs. Détermine le nombre de personnes venues à ce mariage avec un cadeau et un bouquet de fleurs. 30 % de 80 % de 200 personnes = 200 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 = 48

48 personnes sont venues avec des fleurs et un cadeau.

3. Sur les 12 400 habitants d’une ville, on compte 50 % de personnes de 40 ans ou plus. Parmi elles, 45 % ont 60 ans ou plus. Parmi ces dernières, 10 % ont 80 ans ou plus. Détermine le nombre de personnes de 80 ans ou plus. 10 % de 45 % de 50 % de 12 400 = 12 400 ⋅ 0,5 ⋅ 0,45 ⋅ 0,1 = 279

279 personnes ont 80 ans ou plus.

4. Dans un magasin de gaming, un jeu vidéo est affiché à 49,98 €. Durant la braderie, une réduction de 25 % est accordée. Détermine le montant que paiera un étudiant pour l’achat de ce jeu s’il bénéficie d’une réduction supplémentaire de 5 % applicable après la déduction des promotions en cours. 95 % de 75 % de 49,98 = 49,98 ⋅ 0,75 ⋅ 0,95 = 35,610 75 ≅ 35,61 € Un étudiant paiera 35,61 €.

164

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 164

19/02/2026 15:04

Je rédige mon procédé pour appliquer des augmentations et/ou réductions successives

IG H T

5. Pendant la première quinzaine des soldes, un marchand vend 30 % de son stock de 1 200 vélos. Après cette période, il décide d’augmenter la remise et vend alors 20 % du stock qui lui restait. Détermine s’il reste 50 % du stock à la fin des soldes. Nombre de vélos restant à la fin des soldes :

80 % de 70 % de 1 200 = 1 200 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 = 672 Moitié du stock :

Non, il reste plus de 50 % du stock.

672 > 600

1 200 : 2 = 600

6. Kelly a un budget de 400 € pour s’inscrire dans une salle de sport. Elle a trouvé deux offres.

FitLife Studio

ZenFit Club

380 €

350 €

Abonnement 1 an

 Augmentation de 10 % pour le suivi par un coach personnalisé  Offre temporaire de 5 % sur le tarif total

 Augmentation de 20 % pour le suivi par un coach personnalisé  Offre temporaire : 20 € de réduction pour toute nouvelle inscription

Sachant qu’elle souhaite les conseils d’un coach pendant un an, détermine l’abonnement qui lui coutera le moins cher. Prix avec l’abonnement FitLife Studio :

380 ⋅ 1,10 ⋅ 0,95 = 397,10 €

Prix avec l’abonnement ZenFit Club :

350 ⋅ 1,20 − 20 = 400 €

L’abonnement qui lui coutera le moins cher est celui de la salle FitLife Studio.

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

165

D C

Rapport en pour cent

1. Une école secondaire compte 1 400 élèves. Détermine, au pour cent près, le pourcentage d’élèves pour chaque catégorie. Nombre d’élèves

Pourcentage (au pour cent près)

Ont plus de 18 ans

140

140 = 10 % 1 400

Suivent le cours d’anglais

700

700 = 50 % 1 400

Sont inscrits dans le degré inférieur

826

826 = 0,59 = 59 % 1 400

Aiment le cours de math

1 000

1 000 = 0,714 285… ≅ 71 % 1 400

Catégorie

IG H T

Je rédige mon procédé pour exprimer un rapport en pour cent

2. Observe les étiquettes de prix. Dans chaque cas, retrouve, au pour cent près, le pourcentage de réduction accordé. Prix catalogue :

69,00 €

Réduction :

–20,70 €

Total :

48,30 €

(1)

(2)

69,99 € LDÉ O S X PRI

56 €

166

20,70 = 0,3 = 30 % 69 Le pourcentage de réduction accordé est de 30 %.

56 = 0,800 114… ≅ 80 % 69,99 100 % − 80 % = 20 % Le pourcentage de réduction accordé, au pour cent près, est de 20 %.

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 166

19/02/2026 15:04

3. Dans chaque cas, suis la démarche proposée afin de comparer les deux offres. (1) Pour l’offre 1, écris le rapport entre le nombre d’articles gratuits et le nombre d’articles reçus. Transforme ce rapport en pourcentage. (2) Choisis l’offre la plus avantageuse en tenant compte du nombre d’articles à acheter pour en bénéficier. (3) Vérifie ta réponse en déterminant le prix à payer pour chaque promotion si le prix d’un seul article est de 10 €.

1 = 20 % 5

offre 1 offre 2

20 %

Offre 1 2 + 1 gratuit

1 = 33,33… % 3

4 ⋅ 10 = 40 €

5 ⋅ 10 = 50 €

aucune des deux

50 ⋅ 0,8 = 40 €

offre 1

2 ⋅ 10 = 20 €

Offre 2 Réduction de 20 % à l’achat de 5 articles

Prix pour l’ensemble des articles

Offre 1 4 + 1 gratuit

Offre la plus avantageuse

Pourcentage de réduction

offre 2

30 %

aucune des deux

30 ⋅ 0,7 = 21 €

Offre 1 3 + 2 gratuits

2 = 40 % 5

offre 1

3 ⋅ 10 = 30 €

IG H T

Offre 2 Réduction de 30 % à l’achat de 3 articles

offre 2

50 %

aucune des deux

5 ⋅ 10 = 50 € 50 ⋅ 0,5 = 25 €

Offre 2 Réduction de 50 % à l’achat de 5 articles

3 ⋅ 10 = 30 €

4. (1) Lors d’une journée d’activités organisée par une académie des arts, un cinquième des étudiants a participé à une animation sur la photographie numérique et un quart à une animation sur la photographie argentique. Sans utiliser la calculatrice, calcule le pourcentage d’étudiants ainsi que la fraction, sous sa forme irréductible, du nombre d’étudiants ayant participé à une de ces deux animations. 1 Animation photo numérique : = 0,2 = 20 % 5 1 Animation photo argentique : = 0,25 = 25 % 4 Total en % :

20 % + 25 % = 45 %

Total en fraction irréductible :

9 45 = 100 20

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

167

50 % + 33,33… % = 83,33… %

Total en fraction irréductible :

1 1 3 2 5 + = + = 2 3 6 6 6

Total en % :

(2) Lors de cette même journée, une moitié des étudiants a réalisé une œuvre sur le thème de la nature et un tiers sur le thème de l’autoportrait. Sans utiliser la calculatrice, calcule le pourcentage d’étudiants ainsi que la fraction, sous sa forme irréductible, du nombre d’étudiants ayant participé à une de ces deux animations. 1 Thème nature : = 0,5 = 50 % 2 1 = 0,3333… = 33,33… % Thème autoportrait : 3

IG H T

Retour à la question de réflexion

Vérifie la réponse que tu avais donnée en début de chapitre en calculant l’évolution du nombre de followers de Jay Skyler. Nombre de followers au départ : 22 000 000

Nombre de followers après la perte de 10 % suivi du gain de 10 % : 110 % de 90 % de 22 000 000 = 22 000 000 ⋅ 0,9 ⋅ 1,1 = 21 780 000

Le nombre de followers a diminué (21 780 000 < 22 000 000).

168

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 168

19/02/2026 15:04

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES 1. Calcule. 35 % de 80

6 % de 228

4 % de 120,7

25 % de 500

18 % de 2 350

21 % de 797,5

31 % de 90

5 % de 1 800

2. Observe l’étiquette du pot de confiture et calcule la masse de sucre de canne présente dans celui-ci.

CONFITURE

BIO, 80 % de fruits !

Ingrédients : citrons 80 %, sucre de canne

Poids net : 250 g

IG H T

3. Les droits d’enregistrement sont des taxes que l’acheteur doit payer lors de l’achat d’un bien immobilier. Ces droits servent à légaliser la transaction et à enregistrer le changement de propriétaire auprès des autorités fiscales. Au 1er janvier 2025 en Wallonie, les droits d’enregistrement lors de l’achat d’une maison ou d’un appartement sont passés de 12,5 % à 3 %. Adrien et Sophie ont acheté un appartement pour la somme de 220 000 € le 3 janvier 2025. Calcule le montant que ce changement de taux leur a fait économiser. 4. Voici une facture d’eau incomplète.

Calcule le montant de la TVA ainsi que celui de la facture TVAC.

FACTURE D’EAU

N° d’installation : 764195 Montant à payer 132,49 € Total HTVA

Date facture 03.01.2026

N° compteur M12345678 TVA 6,00 % Total TVAC

5. Pierre recherche un hôtel pour ses prochaines vacances. Voici les trois offres qu’il a retenues.

• Palace Sunset : 100 € la nuit avec petit-déjeuner. Une réduction de 15 % est accordée pour les réservations en ligne.

• Hôtel Blue Lagoon : 95 € la nuit. Un forfait petit-déjeuner est proposé à 10 € par personne et par jour. Une réduction supplémentaire de 5 % est accordée pour un séjour de plus de 7 nuits. • Aramis Hôtel : 110 € la nuit avec petit-déjeuner. Une offre spéciale propose une nuit gratuite pour toute réservation de 4 nuits payantes.

Pierre souhaite réserver en ligne un séjour de 8 nuitées avec petit-déjeuner. Détermine le prix de son séjour dans les différents hôtels et détermine celui qui lui propose le prix le plus intéressant. CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 169

169

19/02/2026 15:04

6. Une grande enseigne d’articles de sport organise des ventes privées. Pieter achète deux sweatshirts tandis que James achète deux sweatshirts et deux shorts.

9€

14,99

€

49,9

(2) Si James avait acheté deux sweatshirts et un seul short, aurait-il payé moins, plus ou le même montant que pour l’achat de deux sweatshirts et de deux shorts ? Justifie.

(1) Lequel des deux a fait l’achat le plus judicieux ? Justifie en notant tous tes calculs.

7. Une entreprise de 850 personnes est composée à 40 % d’employés. Parmi ceux-ci, 15 % ont moins de cinq ans d’ancienneté dans l’entreprise. Détermine le nombre d’employés ayant moins de cinq ans d’ancienneté dans l’entreprise.

IG H T

8. Quand tu déposes de l’argent sur un compte épargne, la banque te remercie de le lui confier en te donnant un petit bonus : c’est ce qu’on appelle les intérêts. Calcule, au cent près, le montant gagné à la fin d’une période de cinq ans si tu places la somme de 1 000 € sur un compte et si les intérêts te rapportent 2,5 % par an.

9. Laure souhaite s’inscrire à une salle de sport. Le forfait de base s’élève à 360 €. Laure ajoute un accès illimité à la piscine, ce qui augmente le prix initial du forfait de 60 %. Un code promotionnel lui offre une réduction de 15 % sur le prix total.

Calcule le prix à payer par Laure.

10. Un carreleur établit un devis pour un client. Le cout initial des matériaux (HTVA) s’élève à 2 500 € et celui de la main-d’œuvre (HTVA) à 1 500 €. Le taux de TVA applicable pour cette rénovation est de 6 %. À la suite d’une discussion avec le client, le devis doit être ajusté. Le prix des matériaux augmente de 15 % en raison du choix d’un carrelage haut de gamme et le cout de la main-d’œuvre diminue de 10 %, car le client accepte de payer un acompte de 30 % du montant total (TVAC) avant le début des travaux. Détermine le montant de l’acompte que le client devra verser.

11. Un pâtissier de renom a confectionné deux gâteaux : un gâteau « maison » de 800 g, dont 240 g de beurre, et un gâteau « signature » de 600 g, dont 150 g de beurre. Calcule le pourcentage de beurre contenu dans chacun des gâteaux. Détermine le gâteau qui est le plus riche en beurre.

170

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 170

19/02/2026 15:04

12. Cyprien hésite entre ces deux offres d’abonnement. Les deux lui conviennent vu qu’il ne dépasse jamais 30 Gb de data. Recommandé

Mobile Smart

Le plus choisi

5G Ultra Fast

35 GB Promo web

50 GB

Appels & SMS illimités 5G jusqu’à 200 Mbps

Appels & SMS illimités Data garantis en continu

18 € /mois

20 € /mois

Offre temporaire :

23 € /mois

−10 % les six premiers mois

Commander

Hello

Ola

Pendant 12 mois, puis

(1) Détermine l’offre la plus intéressante si Cyprien décide de prendre un abonnement pour une durée de 2 ans. Justifie. (2) Calcule, au pour cent près, le pourcentage de réduction offert par l’abonnement Ola durant la première année.

Prix catalogue

IG H T

13. Voici une offre de prix reçue pour l’achat d’une nouvelle voiture.

51 265 €

Bonus Cycling Edition

− 6 935 €

Attache-remorque offert

− 840 €

Prime de reprise conditionnelle

− 3 000 €

Calcule, au centième de pour cent près, le pourcentage de remises accordé au client.

14. Hermione participe à une œuvre caritative en vendant des pochettes de stylos. Le lundi, elle vend un dixième de son stock et le mercredi trois cinquièmes.

(1) Sans utiliser la calculatrice, quelle fraction irréductible de pochettes de stylos a-t-elle vendue durant ces deux jours ? (2) À quel pourcentage cela correspond-il ?

15. Paul achète un bouquet de fleurs pour sa maman. Le cinquième d’entre elles sont des lys, 40 % sont des roses et les autres sont des tulipes. Sans utiliser la calculatrice, calcule le nombre de fleurs contenues dans le bouquet si tu sais qu’il y a 18 tulipes. 16. Une veste, initialement vendue au prix de 125 €, bénéficie de deux réductions successives : une première réduction de 60 %, suivie d’une seconde réduction de 20 %. Détermine le prix de la veste après réductions et le pourcentage final de réduction.

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

171

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 172

19/02/2026 15:04

fraction décimale  On divise la quantité par le dénominateur de la fraction et on multiplie le résultat obtenu par son numérateur.

nombre décimal  On multiplie la quantité par ce nombre décimal.

Pour calculer le pourcentage d’une quantité, on utilise la transformation du pourcentage en…

CÔTÉ PRATIQUE

IG H T

fraction irréductible  On divise la quantité par le dénominateur de la fraction et on multiplie le résultat obtenu par son numérateur. 200 ⋅

75 % de 200

Pourcentage d’une quantité

75 = 200 : 100 ⋅ 75 = 150 100

200 ⋅ 0,75 = 150

3 = 200 : 4 ⋅ 3 = 150 4

200 ⋅

Pourcentage ajouté ou déduit

Pour calculer une quantité augmentée (ou diminuée) d’un certain pourcentage, on ajoute (ou soustrait) à 100 % le pourcentage d’augmentation (ou de diminution) et on calcule le nouveau pourcentage de la quantité de départ. Augmenter 200 de 75 % : 100 % + 75 % = 175 % 175 % de 200 = 200 ⋅ 1,75 = 350 Diminuer 200 de 75 % : 100 % − 75 % = 25 % 25 % de 200 = 200 ⋅ 0,25 = 50

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

173

10 % de 75 % de 200 = 200 ⋅ 0,75 ⋅ 0,1 = 15

Pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité, on calcule, en une seule expression, les pourcentages successifs de la quantité de départ.

Pourcentages successifs

IG H T

Pour calculer des pourcentages successifs ajoutés ou déduits, on détermine les pourcentages résultant de chaque augmentation et/ou de chaque diminution et on applique ces pourcentages à la quantité de départ.

Diminuer 200 de 75 % et augmenter le résultat de 10 % 100 % − 75 % = 25 % = 0,25 100 % + 10 % = 110 % = 1,10 200 ⋅ 0,25 ⋅ 1,10 = 55

Pour exprimer, en pour cent, un rapport entre deux quantités, on écrit, sous la forme d’une fraction, le rapport entre la partie et le tout et on transforme cette fraction en pourcentage.

Rapport en pour cent

Une réduction de 14 € est accordée sur un objet qui coute 40 €. 14 Pourcentage de réduction : = 14 : 40 = 0,35 = 35 % 40

174

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MATHSPACTELC_Chap05.indd 174

19/02/2026 17:20

Notion

Définition

CÔTÉ THÉORIQUE

Écriture particulière d’une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

Rapport

Comparaison, exprimée par une fraction, entre deux quantités d’une même grandeur.

IG H T

Pourcentage

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

MathsPerspectives_001_424.indb 175

175

19/02/2026 15:04

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 176

19/02/2026 15:04

CHAPITRE 6

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

FIGURES PLANES

Défi p. 149

p. 179

Bien qu’il soit présenté dès l’introduction pour illustrer l’objectif à atteindre, le défi ne peut être relevé qu’en s’appuyant sur les étapes de construction de figures complexes détaillées en fin de chapitre. Il est donc préférable de parcourir l’ensemble du chapitre avant de relever le défi.

TRIANGLES

Constructions de base

p. 180-182 Exercice 1

IG H T

PARTIE 1

p. 150-151

(1) Les élèves maitrisent la construction de triangles à la latte et au compas (primaire), ainsi que celle d’angles d’amplitude donnée (chapitre 2). Ils sont donc en mesure de construire les huit triangles en vraie grandeur. À ce moment, il est essentiel de demander aux élèves de nommer chaque triangle et de coder leurs constructions.

Triangle TUV : le croquis de ce triangle ne correspond pas à sa représentation en vraie grandeur. Il semble acutangle alors qu’il est en réalité obtusangle. Il est important de faire remarquer aux élèves qu’ils doivent être prudents et se fier aux mesures indiquées plutôt qu’à leur intuition visuelle.

Une fois les huit triangles codés réalisés, les élèves peuvent relever un défi supplémentaire : les construire à nouveau sur une feuille blanche afin de reconstituer le cheval de la mosaïque. Cet exercice de dépassement demande une réflexion approfondie sur l’assemblage et l’orientation des triangles pour obtenir la figure finale.

(2) et (3) Les élèves complètent d’abord le tableau avec le vocabulaire connu. À l’aide des indices, ils précisent ensuite le nom du sommet commun aux deux côtés isométriques (pour le triangle isocèle), du sommet de l’angle droit (pour le triangle rectangle) ou de l’angle obtus (pour le triangle obtusangle). Cette précision sera apportée systématiquement dans tous les exercices ultérieurs.

G53

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Amplitude des angles p. 183

p. 152

Exercice 1 (1) et (2) Pour introduire les particularités des angles d’un triangle, les élèves exploitent un outil géométrique qui leur est familier : l’équerre.

(3) Bien que cela ne soit pas demandé, l’enseignant(e) peut prouver l’égalité entre les amplitudes de deux angles d’un triangle isocèle en découpant un triangle isocèle et en le pliant selon son axe de symétrie. La superposition parfaite permet ainsi de généraliser visuellement la propriété à tous les triangles isocèles. p. 152

Exercice 2

p. 184

L’enseignant(e) peut choisir d’imposer une nature de triangle spécifique à différents groupes afin de prouver, par la mise en commun des résultats, que la propriété peut être généralisée à n’importe quel triangle.

IG H T

Il est important de préciser aux élèves de ne coller que le rectangle central (délimité par les pointillés orange sur le schéma). Cela leur permettra de plier et déplier les angles à volonté pour vérifier la propriété. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 185 Exercice 6

p. 153

Les élèves doivent construire un triangle équilatéral de 4,2 cm de côté en utilisant exclusivement la latte et l’équerre Aristo, sans recours au compas. Ils peuvent choisir de commencer par construire deux côtés de 4,2 cm formant un angle de 60° ou deux angles de 60° adjacents à un côté de 4,2 cm. p. 186

p. 153

Exercice 7

Les élèves doivent construire deux triangles isocèles différents ayant un angle de 38°. La distinction entre les deux repose sur la répétition de l’amplitude imposée : soit le triangle possède un seul angle de 38° (et deux angles de 71°), soit il possède deux angles de 38° (et un angle de 104°). Il est intéressant d’attirer l’attention des élèves sur le fait que, si l’angle imposé avait été supérieur ou égal à 90°, une seule construction aurait été possible, car un triangle ne peut pas posséder deux angles droits ou deux angles obtus.

G54

Droites remarquables

p. 186-187

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 154-155

Exercice 1

(1) et (2) Lorsque les élèves construisent les droites décrites par chaque adolescent, ils peuvent les comparer à leurs acquis pour pouvoir les identifier, en retrouver le nom exact et les relier correctement. Bien que la médiane du triangle soit une notion nouvelle, elle s’identifie sans problème, étant la dernière droite à relier. Les méthodes de mémorisation proposées dans le chapitre 2 peuvent être étendues ici.

Le M de Médiatrice et Médiane peut être associé au M de Milieu.

Le BI de BIssectrice signifie « deux ». p. 187-188

p. 155

Le T inversé (⊥) de média⊥rice et de hau⊥eur peut être associé au symbole de perpendicularité.

Exemple de rédaction

IG H T

Je rédige ma définition de chaque type de droite remarquable d’un triangle

La médiatrice d’un triangle est une droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est perpendiculaire à ce côté. → Média⊥rice. La médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. → Médiane.

La hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement). → hau⊥eur

La bissectrice est une droite qui coupe un angle en deux angles de même amplitude → BIssectrice. p. 188-189

p. 155-156

Afin d’enrichir le vocabulaire des élèves, les expressions « médiatrice du côté » ou « médiatrice relative au côté » sont utilisées conjointement. Par contre, dans ce chapitre, seule l’expression « hauteur passant par » sera utilisée, afin de bien préciser que la hauteur est considérée ici comme une droite. Une animation GeoGebra de l’exercice 2 est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 189

p. 156

Exercice 3 La position relative des deux droites permet une vérification rapide de la construction.

G55

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 189-190

p. 156-157

Exercice 4 Cet exercice rencontre plusieurs attendus de compétences. Bien que l’énoncé ne demande pas aux élèves de noter les différentes étapes de leur construction, il est important qu’ils puissent les décrire oralement. Les élèves doivent pouvoir s’exprimer et verbaliser de manière correcte le processus qu’ils ont suivi. Les étapes de construction sont reprises ci-après.

(1) – Construire le côté [AC] dont la droite a est la médiatrice. dont l’amplitude vaut 50° et dont un des côtés est la demi-droite – Construire un angle A [AC. . – Nommer B, le point d’intersection de la médiatrice et du deuxième côté de l’angle A

– Tracer le triangle ABC.

(2) – Construire le segment [AB] dont la droite m est la médiatrice. – Tracer le triangle ABC.

– Construire le segment [BC] dont la droite d est la médiatrice.

(3) – Construire le segment [AC] dont la droite t est la médiatrice.

IG H T

– Construire un arc de cercle de centre C et dont le rayon est le segment [CA] coupant la droite t en B. – Tracer le triangle ABC.

(4) – Construire le segment [AC] dont la droite f est la médiatrice. – Tracer un cercle de centre A et dont le rayon est le segment [AC]. – Placer un point B sur le cercle (infinité de possibilités).

– Tracer le triangle ABC.

Il y a une infinité de solutions, car tous les points du cercle de centre A et dont le rayon est le segment [AC] peuvent être le troisième sommet du triangle. dont l’amplitude vaut 100° et dont la droite b est la bissectrice. (5) – Construire un angle A – Placer, sur chaque côté de l’angle, un point situé à 3,2 cm du point A.

– Nommer ces deux points B et C (les points B et C peuvent être intervertis). – Tracer le triangle ABC.

mesurant 70° et dont la droite s est la bissectrice. (6) – Construire l’angle A et de la droite t. – Nommer B le point d’intersection d’un des côtés de l’angle A – Construire l’angle B dont la droite t est la bissectrice. et d’un côté de l’angle – Nommer C le point intersection d’un côté de l’angle A B. Bien que la droite t coupe les deux côtés de l’angle en deux points (B1 et B2), seul l’un de ces points (B1) permet de tracer un triangle.

G56

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

B1 30° s 35°

A C

35° 80° B2

p. 190

p. 157

Exercice 1

D Triangle et cercles

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

p. 191 Exercice 2

IG H T

(1) Les élèves concluront facilement que les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point. La deuxième ligne de pointillés disponible permet d’aborder la notion de droites concourantes, encore inconnue des élèves. p. 158

(1) Les élèves constatent que les bissectrices du triangle sont elles aussi concourantes.

(4) et (5) La tangente à un cercle ne figure pas dans les attendus de première année ; la détermination des points de contact entre le cercle inscrit et les côtés du triangle repose sur la perpendicularité entre le rayon et le côté. L’utilisation d’un triangle isocèle facilite cette compréhension. La bissectrice de l’angle de sommet O est également la médiatrice du côté [MN] du triangle. Les élèves identifient ainsi naturellement que le rayon aboutissant au point P est perpendiculaire au côté [MN]. Ils peuvent alors en déduire qu’ils doivent construire des rayons perpendiculaires aux côtés [MO] et [NO] pour trouver les autres points de contact, évitant ainsi l’erreur de les placer systématiquement aux points d’intersection entre les bissectrices et les côtés. p. 192

p. 158

Exercice 4 L’enseignant(e) peut faire remarquer aux élèves qu’il n’est pas nécessaire de construire les trois droites remarquables du triangle pour déterminer leur point de concours. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

G57

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 192

p. 158

Je rédige mon procédé pour construire le cercle circonscrit à un triangle Exemples de rédaction 1) Je construis deux des médiatrices du triangle. 2) Je repère leur point d’intersection. C’est le centre du cercle circonscrit.

3) Je construis le cercle circonscrit en passant par les sommets du triangle.

1) Je construis deux des médiatrices du triangle.

2) Je repère leur point d’intersection. C’est le centre du cercle circonscrit.

4) Je construis le cercle circonscrit au triangle.

3) J e repère le segment reliant le centre à un des sommets du triangle. Sa longueur correspond au rayon du cercle circonscrit.

p. 193

IG H T

Je trace le cercle dont le centre est le point d’intersection des médiatrices du triangle et dont le rayon est le segment reliant le centre à un des trois sommets.

p. 159

Exercice 5

L’enseignant(e) peut nommer le centre du cercle et le point de tangence du cercle avec un des côtés afin de permettre aux élèves de détailler plus facilement les étapes de sa construction. Il est également utile de préciser qu’il n’est pas nécessaire de construire les trois droites remarquables du triangle pour déterminer leur point de concours.

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 193

p. 159

Je rédige mon procédé pour construire le cercle inscrit dans un triangle

Exemples de rédaction

1) Je construis deux des bissectrices du triangle. 2) Je repère leur point d’intersection. C’est le centre du cercle inscrit. 3) J e trace le segment issu du centre et perpendiculaire à un côté du triangle. Sa longueur correspond au rayon du cercle inscrit. 4) Je trace le cercle inscrit.

Je trace un cercle dont le centre est le point d’intersection des bissectrices du triangle et dont un rayon est un segment perpendiculaire à un des côtés du triangle. G58

PARTIE 2

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

QUADRILATÈRES A Types de quadrilatères p. 160

p. 194 Exercice 1

Tout l’exercice repose sur l’identification de figures géométriques courantes présentes sur des drapeaux qu’on peut croiser dans la vie quotidienne.

(1) Les quadrilatères étudiés dans ce chapitre sont des quadrilatères convexes. Cet adjectif sera par la suite passé sous silence ; cependant, il nous semblait essentiel d’aborder cette notion en faisant mention de l’existence de quadrilatères non convexes (concaves). Il s’agit ici d’un cerf-volant non convexe.

IG H T

(2) La réussite de cet exercice ne repose pas uniquement sur la reconnaissance visuelle, mais sur la gestion de la contrainte : chaque nom de quadrilatère ne peut être utilisé qu’une seule fois pour l’ensemble de l’exercice. Les élèves en reconnaitront parfois plusieurs, mais devront faire le bon choix (Chili : carré ou rectangle ; Koweït : trapèze isocèle, trapèze rectangle ou rectangle). (3) Enfin, hors contexte réel, car un tel drapeau n’existe pas, ce dernier exercice permet aux élèves de reconnaitre le cerf-volant. p. 195 Exercice 2

p. 160

p. 161

p. 195

Premier classement des quadrilatères : côtés opposés parallèles ou non.

Exercice 3

Jusqu’ici, les élèves n’ont pas appris à nommer correctement un quadrilatère ou une figure possédant plus de trois sommets. L’indice leur permet de comprendre comment procéder. p. 161

p. 196

Exercice 4 L’objectif est d’identifier chaque figure à partir de sa définition minimale, c’est-à-dire l’ensemble des conditions nécessaires et suffisantes pour la caractériser. Il est important de préciser que, si d’autres quadrilatères possèdent également ces caractéristiques (propriétés), celles-ci ne constituent pas leur définition propre.

G59

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 196

p. 161

Exercice 5

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 161

p. 196

Si les élèves se basent sur la définition du parallélogramme (côtés opposés parallèles) et sur le fait que le losange appartient à cette même famille, ils privilégieront le tracé de parallèles à l’aide de l’équerre. S’ils s’appuient sur la définition du losange (quatre côtés isométriques) ou sur la propriété des longueurs des côtés opposés du parallélogramme, ils utiliseront alors le compas pour reporter les mesures avec précision. Une troisième approche pour la construction du losange reste possible. Si les élèves se souviennent des propriétés des diagonales du losange abordées en primaire (perpendicularité et milieu commun), ils pourront les tracer pour terminer leur construction.

Exercice 6

IG H T

Une fois le triangle construit, les élèves tracent des parallèles aux côtés [RO] et [RD] afin d’obtenir un parallélogramme. Ils peuvent reconnaitre que le parallélogramme obtenu est un losange, mais ils ne sont pas en mesure de le justifier. Il est important que les élèves respectent la notation du quadrilatère ; une notation incorrecte, ne respectant pas l’ordre imposé des lettres, pourrait les conduire à tracer un parallélogramme erroné (ODIR ou ODRI), rendant la question suivante vide de sens. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 196 Exercice 7

p. 161

Pour construire le losange, les élèves doivent d’abord calculer l’amplitude d’un angle au centre de la rosace. Puisqu’elle est formée, en son centre, de six losanges identiques, chaque angle mesure 60° (360° : 6). Cette notion d’angle au centre sera réinvestie dans la partie 3, lors de l’étude des polygones réguliers. Une fois l’angle et le premier côté tracés, les élèves doivent utiliser le report des longueurs au compas pour achever la figure. Ils peuvent également constater que chaque losange est composé de deux triangles équilatéraux juxtaposés. La construction peut alors s’effectuer via les méthodes propres au triangle équilatéral.

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

Amplitude des angles d’un quadrilatère

p. 197

p. 162

Exercice 1 La propriété de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère s’établit aisément à partir de celle des triangles. Pour les plus visuels, marquer les angles de chaque triangle dans une même couleur permet d’illustrer cette propriété.

G60

180° 180°

p. 162 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 197 Exercice 2

Les élèves connaissent la notion de trapèze isocèle, mais sa construction peut s’avérer difficile. Pour soutenir leur démarche et les aider à respecter les propriétés de symétrie, l’utilisation d’une feuille quadrillée peut être suggérée.

Constater certaines particularités relatives à l’amplitude des angles intérieurs d’un trapèze isocèle est un exercice abordable. La difficulté principale pour les élèves consiste à identifier précisément la position des angles pour formuler une propriété rigoureuse. Pour les aider dans leur recherche, plusieurs descriptifs d’angles sont proposés et il est important de les aider à les nuancer.

(1) Si les angles adjacents à une même base d’un trapèze isocèle sont aussi des angles consécutifs, on peut cependant exclure cet adjectif, car deux angles consécutifs n’ont pas toujours la même amplitude.

Exercice 4

p. 163

IG H T

p. 198

(2) De même, si les angles adjacents à un des côtés non parallèles d’un trapèze isocèle sont consécutifs, on peut également exclure cet adjectif, car deux angles consécutifs ne sont pas toujours supplémentaires.

Voici une justification plus formelle de la propriété des angles consécutifs d’un parallélogramme. | + | | + |D | = 360°, car la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère ① |A B| + |C vaut 360°. | = |C | et | |, car les angles opposés d’un parallélogramme ont la même amplitude. ② | A B | = |D

| + 2 | ① + ② ⇒ 2 | A B | = 360° + ⇔ 2 ( A B ) = 360°

| + | ⇔ | A B | = 180°

⇒ Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.

Droites remarquables d’un quadrilatère

p. 200

p. 164

Exercice 1 Les élèves mobilisent leurs connaissances pour associer la définition d’une droite remarquable à une ou plusieurs illustrations codées, avant d’en préciser la nature. Par la suite, l’étude détaillée de toutes les droites remarquables des quadrilatères ne sera pas envisagée. Les médianes et les diagonales seront analysées en tant que segments afin d’en établir les propriétés essentielles.

G61

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 201

p. 165

Exercice 2 Tracer les quadrilatères dont les extrémités des diagonales appartiennent à un ou à deux cercles aide à identifier deux de leurs particularités : leurs diagonales se coupent en leur milieu et peuvent être isométriques. Les codages de perpendicularité permettent ensuite de compléter leurs propriétés. p. 165-166

p. 202 Exercice 3

Construire un quadrilatère à partir d’une seule diagonale nécessite une réflexion préalable. Les élèves doivent sélectionner uniquement les propriétés des diagonales de la figure citée. En écartant les propriétés superflues, ils évitent de construire une figure plus spécifique (par exemple, un carré au lieu d’un losange). En effet, dans la première situation, bien qu’un carré soit un rectangle, il ne doit pas être construit ici, car il s’agit d’un cas particulier. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

Exercice 4

p. 166

IG H T

p. 202-203

Deux quadrilatères moins usuels, le cerf-volant et le trapèze isocèle, possèdent eux aussi des propriétés spécifiques liées à leurs diagonales. En codant ces dernières sur chaque figure, les élèves expriment ces propriétés à l’aide de notations mathématiques. Cet exercice permet également de contrer une généralisation abusive, bien que fréquente chez les élèves, qui consiste à penser que les diagonales de tous les quadrilatères se coupent en leur milieu.

Exercice 5

p. 167

p. 202

L’observation des fenêtres permet de dégager les propriétés des médianes, souvent comparables à celles des diagonales. Il peut être intéressant de comparer leurs similitudes et leurs différences au sein d’un même quadrilatère, notamment pour le losange et le rectangle.

Constater que, pour chacun des quatre quadrilatères rencontrés, les médianes sont respectivement parallèles et isométriques à deux de leurs côtés est une aide précieuse pour les constructions demandées ensuite.

p. 204

p. 167-168

Exercice 6 Tout comme pour l’exercice 3, la construction d’un quadrilatère à partir d’une seule médiane exige une analyse préalable rigoureuse. Les élèves doivent identifier et appliquer les propriétés strictement nécessaires à la figure demandée en veillant à ne pas ajouter de contraintes superflues qui mèneraient à un cas plus particulier. Une fois la seconde médiane construite, la méthode la plus directe consiste à tracer des parallèles passant par leurs extrémités pour obtenir le quadrilatère attendu. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

G62

p. 168 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 205 Exercice 7

PARTIE 3

FIGURES COMPLEXES

Si les élèves se contentent de formuler les propriétés rencontrées à l’exercice 4, ils ne pourront pas distinguer les propriétés du cerf-volant de celles du losange, celles du trapèze de celles du parallélogramme, celles du trapèze isocèle de celles du rectangle. Pour différencier ces figures, il est indispensable de préciser si chaque médiane est parallèle à deux côtés du quadrilatère ou non.

p. 207 Exercice 1

p. 170

Programme de construction

IG H T

Afin de ne pas alourdir la construction des figures complexes, certains codages de longueurs de segments et d’amplitudes d’angles n’ont pas été notés.

Pour associer correctement le programme de construction à la figure, les élèves doivent être particulièrement attentifs au vocabulaire utilisé. Une attention particulière est portée aux confusions fréquentes entre médianes et diagonales, ainsi qu’entre cercle inscrit et cercle circonscrit.

Exercice 2

p. 170

p. 207

Pour retrouver le programme de construction correspondant à la figure, les confusions à éviter sont celles entre médiane et médiatrice, ainsi qu’entre rayon et diamètre. De plus, les élèves doivent identifier avec précision le nom du sommet de l’angle droit du triangle rectangle. p. 208

p. 171

Exercice 4

(1) L’expression « Trace, à l’extérieur du triangle, le demi-cercle… » devra sans doute être expliquée aux élèves. Elle signifie que le demi-cercle doit être construit sur l’un des côtés du triangle, de manière à ce qu’il se trouve entièrement en dehors de la zone occupée par ce triangle.

(2) Sachant que les diagonales d’un cerf-volant se coupent perpendiculairement, pour construire ABED, il faut… • tracer le segment [BD] ; • construire la droite perpendiculaire au segment [BD] passant par le point A ; • nommer E le point d’intersection entre cette droite et le cercle. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. G63

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 209-210

p. 171-172

Exercices 5, 6 et 7 Les programmes de construction proposés sont des exemples de rédaction. D’autres formulations sont possibles et valides, car la solution n’est pas unique. L’essentiel est de respecter trois critères : l’ordre logique des étapes de tracé, la précision du vocabulaire géométrique utilisé et des notations, ainsi que la clarté des instructions.

7. (2) Lors de la rédaction des étapes de construction, les élèves doivent citer les diamètres des cercles et non leurs rayons, car les centres ne sont pas nommés. Une animation GeoGebra pour chaque exercice est disponible via Capture et sur iDiddit.

p. 210

p. 172

Exercice 1

Amplitude des angles

p. 211

IG H T

(2) Lorsqu’il est demandé aux élèves de déterminer l’amplitude d’un angle, il est entendu qu’il s’agit de l’amplitude de l’angle non rentrant (ou saillant). p. 172-173

Exercices 2 et 3

p. 211

Pour identifier clairement les étapes du raisonnement menant à la détermination de l’amplitude de l’angle demandé, les élèves peuvent d’abord annoter le dessin. Cette phase d’analyse des figures est indispensable, mais elle ne suffit pas : les élèves doivent ensuite rédiger chaque étape de leur raisonnement et la justifier à l’aide des propriétés géométriques adéquates. p. 172

Je rédige mon procédé pour déterminer l’amplitude d’un angle dans des figures complexes Exemple de rédaction

1) J’observe les données fournies sur le dessin ou dans l’énoncé.

2) J e calcule les amplitudes d’angles intermédiaires en utilisant des propriétés et j’annote le dessin.

3) J’écris chaque étape de mon raisonnement. 4) Je justifie chaque étape. |…| = … °, car…

G64

Polygones réguliers p. 212

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 173

Exercice 1

En s’appuyant sur l’observation du carré, de l’hexagone et du triangle équilatéral, ainsi que sur la notion d’angle au centre, les élèves compléteront facilement le tableau. Ils pourront, ensuite, établir le lien entre l’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier et son nombre de côtés.

p. 174

p. 213

S’il est possible de calculer l’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier à partir de son nombre de côtés, l’inverse est tout aussi vrai : la mesure de cet angle permet d’identifier le polygone, puisqu’elle donne accès à son nombre de côtés.

Exercice 2

p. 213 Exercice 3

IG H T

Tout polygone régulier à n côtés peut être décomposé en n triangles isocèles identiques dont le sommet commun est le centre du polygone. Pour calculer l’amplitude d’un angle intérieur, les élèves divisent d’abord 360° par le nombre n de côtés, puis ils en déduisent celle des deux angles égaux du triangle isocèle. L’angle intérieur du polygone est ensuite formé par la réunion de deux angles égaux appartenant à deux triangles adjacents. p. 174

Au lieu de partir du nombre de côtés pour trouver l’amplitude de l’angle, les élèves effectuent le chemin inverse : ils déconstruisent l’angle intérieur pour retrouver la structure du triangle isocèle initial. Ils commencent par diviser par deux l’amplitude de l’angle intérieur donnée afin d’isoler l’un des deux angles égaux du triangle isocèle. Ils calculent ensuite l’amplitude d’un angle au centre. Enfin, ils obtiennent le nombre de triangles qui composent le polygone en divisant 360° par cette amplitude, identifiant ainsi le nombre de côtés du polygone régulier à construire. p. 213

p. 174

Exercice 4

Il est intéressant d’étendre le tableau proposé à tous les polygones réguliers rencontrés précédemment. Cela permet de faire remarquer aux élèves que l’angle au centre et l’angle intérieur d’un même polygone régulier sont toujours supplémentaires. Polygone régulier

Triangle équilatéral

Carré

Amplitude d’un angle au centre

120°

90°

72°

60°

45°

Amplitude d’un angle intérieur

60°

90°

108°

120°

135°

Somme des deux amplitudes

180°

Pentagone Hexagone Octogone

G65

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Retour au défi p. 214

p. 175

Exercice 1

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 214

p. 175

Exercice 2

Pour obtenir l’unique figure attendue, les élèves doivent suivre minutieusement chaque étape de construction. Certaines consignes étant très précises ou détaillées, ils devront y être particulièrement attentifs.

IG H T

Dès que la construction de la figure est terminée, les élèves pourront identifier, parmi les figures proposées au début du chapitre, celle qui correspond à la pièce manquante du puzzle.

G66

CHAPITRE 6

Figures planes

souviens-toi

1. Identifie, avec la plus grande précision, les figures représentées dans le vitrail. Aide-toi éventuellement de ton équerre. 1. Un carré

2. Un triangle isocèle rectangle 3. Un parallélogramme

4. Un trapèze rectangle 5. Un rectangle 6

6. Un triangle scalène rectangle

IG H T

7. Un trapèze isocèle 8. Un triangle équilatéral (acutangle)

9. Un triangle scalène rectangle

10. Un trapèze (quelconque) 11. Un losange 12. Un triangle scalène obtusangle

2. Construis les diagonales de ces quadrilatères.

3. Construis les médianes de ces quadrilatères.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 177

177

19/02/2026 15:04

4. Construis, dans chaque figure, la hauteur issue du point A. A

B D

5. Colorie les polygones réguliers et complète le tableau. b

Nombre de côtés Lettre du polygone Nom du polygone

IG H T

Pentagone régulier

Hexagone

Octogone

Décagone régulier

Le point O est…

•

• un rayon du cercle.

Le segment [OA] est…

•

• le centre du cercle.

Le segment [BC] est…

•

• un diamètre du cercle.

PY A

6. Observe et relie.

7. Construis…

(2) un cercle de centre C et de 4 cm de diamètre.

(1) un cercle de centre O et de 1,5 cm de rayon.

O 1,5 cm

178

C 4 cm

CHAPITRE 6 Figures planes

MATHSPACTELC_Chap06.indd 178

19/02/2026 17:36

Défi

IG H T

À la fin du chapitre (p. 214), relève le défi artistique qui te permettra de retrouver la pièce manquante de ce puzzle !

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 179

179

19/02/2026 15:05

PARTIE 1

Triangles Constructions de base

1. Une mosaïque est une œuvre d’art ou de décoration créée en assemblant de petites pièces appelées tesselles. Les tesselles utilisées dans les mosaïques peuvent prendre diverses formes, en fonction du motif souhaité et du style artistique.

(1) Observe la mosaïque et les croquis des différents triangles nécessaires à la création du cheval. Reproduis les triangles en vraie grandeur en utilisant les instruments de géométrie imposés.

IG H T

Avec la latte et le compas

5,5 cm

3 cm

4 cm

3 cm C

4 cm

180

4 cm

3 cm

4 cm

5,5 cm

4 cm

3 cm

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 180

19/02/2026 15:05

Avec l’équerre type « Aristo » 5 cm

K 3,5 cm

5 cm

35°

100° G

4 cm

40° 4 cm

36°

IG H T

5,2 cm

5 cm

35°

5 cm

4 cm

100° L

4 cm

3,5 cm

40° H

4 cm

36° I

36° 5,2 cm

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 181

181

19/02/2026 15:05

Nature par rapport à ses côtés

Nature par rapport à ses angles

EDF

équilatéral

acutangle

VTU

scalène

obtusangle

en T

ABC

isocèle

acutangle

KJL

scalène

rectangle

IGH

scalène

obtusangle

en G

XSY

isocèle

MHI

scalène

en H

PNO

IG H T

(2) Complète le tableau afin de déterminer la nature complète de chaque triangle.

en A

en K

Triangle

en S

acutangle rectangle

isocèle

en P

obtusangle

en P

(3) Lis l’indice. Ensuite, complète, quand cela est nécessaire, la nature des triangles du tableau précédent. Lorsqu’un triangle est isocèle, on précise le sommet commun aux deux côtés de même longueur.

Lorsqu’un triangle est obtusangle ou rectangle, on précise le sommet de l’angle obtus ou droit. O

A 100°

Le triangle FEU est isocèle en F.

182

Le triangle CAT est obtusangle en C.

Le triangle TON est rectangle en T.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 182

19/02/2026 15:05

amplitude des angles B

1. Une équerre est un instrument de géométrie utilisé principalement pour tracer des angles et des droites parallèles ou perpendiculaires.

0 12

60 0

160

17 0

10 5

L’équerre a la forme d’un triangle isocèle rectangle en B.

10 0

(1) Observe l’équerre et détermine à quelle figure elle peut être associée.

1 10

(2) Place deux équerres côte à côte comme le montre l’image. Détermine la nature du quadrilatère formé.

B 90

160

20 10

17 0

60 0

1 10

17 0

1 10

10 0

14 0

13 0

60 0

du carré vaut 360°, car le carré possède quatre

15 0

30 12

25 13

160

10 15

La somme des amplitudes des angles intérieurs

10 0

Détermine la somme des amplitudes des angles intérieurs de ce quadrilatère. Justifie.

Le quadrilatère formé est un carré.

IG H T

angles droits (4 ⋅ 90° = 360°).

Déduis-en la somme des amplitudes des angles intérieurs du triangle ABC. Justifie. La somme des amplitudes des angles intérieurs du triangle vaut 180°, car le carré est

composé de deux triangles identiques (360° : 2 = 180°).

(3) Compare l’amplitude des angles BAC et BCA du triangle isocèle ABC.

BAC = BCA

Compare l’amplitude des angles DAC et DCA du triangle isocèle ACD. = DCA DAC

Énonce une propriété des angles intérieurs d’un triangle isocèle. Un triangle isocèle possède deux angles de même amplitude.

(4) Code le triangle ABC représentant l’équerre et complète. Le triangle ABC est rectangle et

isocèle en B. + A

= 90°

45° A

+ C = 180°

= C = (180° − 90°) : 2 = 45° A

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 183

183

19/02/2026 15:05

2. Construis, sur une feuille, un triangle et la hauteur relative au plus grand côté. Marque P le pied de cette hauteur. Ensuite, découpe le triangle et marque chaque angle dans une couleur différente. Utilise les mêmes couleurs au verso du triangle. Enfin, ramène chacun des sommets du triangle sur le point P et marque les plis. (1) Que constates-tu ? Les trois angles s’assemblent parfaitement

intérieurs d’un triangle vaut 180°.

La somme des amplitudes des angles

Colle ici le triangle une fois que tu en as reçu l’instruction.

(2) Énonce la propriété relative à la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle.

le long de la base. Ils forment un angle plat.

IG H T

3. Utilise la propriété que tu viens de découvrir pour calculer l’amplitude de l’angle marqué d’un point d’interrogation. Précise ensuite si le triangle est scalène, isocèle ou équilatéral.

E = 180° − (65° + 50°) = 180° − 115° = 65°

50°

Le triangle ERP possède deux angles de même amplitude,

65°

il est donc isocèle en R.

110°

Le triangle AOB n’a aucun angle de même amplitude, il est donc scalène.

45°

O = 180° − (110° + 45°) = 180° − 155° = 25°

B P I = 180° − (60° + 60°) = 180° − 120° = 60°

60° 60° L

Le triangle LPI a trois angles de même amplitude, il est donc équilatéral.

? I

Scan 184

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 184

19/02/2026 15:05

4. Dans chaque cas, calcule l’amplitude de l’angle manquant du triangle ABC et détermine la nature complète de celui-ci. A

90°

30°

60°

scalène et rectangle en A

40°

70°

isocèle en A et acutangle

25°

125°

30°

scalène et obtusangle en B

60°

équilatéral (et acutangle)

25°

130°

isocèle et obtusangle en C

45°

90°

45°

isocèle et rectangle en B

Nature du triangle ABC

5. Détermine l’amplitude de l’angle marqué d’un point d’interrogation. Indique tes calculs et justifie. S

R ?

70°

R = (180° − 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°,

IG H T

car le triangle RST est isocèle en S.

U = 180° − (52° + 52°) = 180° − 104° = 76°,

52°

car le triangle REU est isocèle en U.

52°

6. Construis un triangle équilatéral de 4,2 cm de côté, en utilisant la latte et l’équerre type « Aristo ».

60°

60° 4,2 cm

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 185

185

19/02/2026 15:05

7. Construis deux triangles isocèles différents dont l’amplitude d’un angle intérieur vaut 38°. Pour chaque triangle, indique l’amplitude de ses angles et précise sa nature.

71° 104°

Le triangle est isocèle et acutangle.

Droites remarquables

Le triangle est isocèle et obtusangle.

71°

38°

IG H T

1. (1) Construis une droite dans chaque triangle en suivant les instructions données par les adolescents. Code tes constructions.

Dans le triangle LIS, trace la droite d qui passe par le milieu d’un des côtés et qui est perpendiculaire à ce côté.

Lise

Dans le triangle KAR, trace la droite k qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Karim Mesure l’amplitude d’un des angles du triangle JUD. Trace la droite j qui coupe cet angle en deux angles de même amplitude.

Jude

Repère le milieu d’un des côtés du triangle ALB. Trace la droite p qui passe par ce milieu et par le sommet opposé à ce côté. Alba 186

CHAPITRE 6 FIGURES PLANES

k A

IG H T

(2) Relie.

25°

• bissectrice du triangle.

La droite k est une… •

• médiatrice du triangle.

La droite j est une…

•

• médiane du triangle.

La droite p est une… •

• hauteur du triangle.

La droite d est une… •

(3) Combien existe-t-il de droites remarquables de chaque type ? Explique.

Il y a trois droites de chaque type, car on peut choisir à partir de quel côté

ou de quel sommet on la construit.

Je rédige ma définition de chaque type de droite remarquable d’un triangle

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 187

187

19/02/2026 15:05

IN N

(1) la hauteur h du triangle MEL passant par E. h

2. Construis…

(2) la médiane m du triangle TIF passant par T. m

IG H T

T I

(3) la médiatrice t du côté [LO] du triangle FLO.

(4) la bissectrice b de l’angle I du triangle LIN. b

L t

N I O F

Scan 188

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 188

19/02/2026 15:05

3. Construis… – le triangle MAD tel que |DA| = 3 cm, |MA| = 4 cm et |DM| = 6 cm ; – la hauteur h passant par D ; – la médiatrice m relative au côté [AM]. m

h A

6 cm

4 cm

3 cm

Quelle est la position relative des droites h et m ?

Elles sont parallèles.

4. Dans chaque cas, construis un triangle en respectant les contraintes et code tes constructions. (2) Un triangle ABC tel que la droite m est la médiatrice du côté [AB] et la droite d est la médiatrice du côté [BC].

IG H T

(1) Un triangle ABC isocèle en B tel que la droite a est la médiatrice du côté [AC] et l’amplitude vaut 50°. de l’angle A a

50°

(3) Un triangle ABC équilatéral tel que la droite t est la médiatrice du côté [AC].

(4) Un triangle ABC isocèle en A tel que la droite f est la médiatrice du côté [AC]. f

A C

A B C

B Scan CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 189

189

19/02/2026 15:05

(5) Un triangle ABC isocèle en A tel que la , droite b est la bissectrice de l’angle A vaut 100° et la l’amplitude de l’angle A longueur du segment [AB] vaut 3,2 cm.

(6) Un triangle ABC tel que l’amplitude vaut 70°, la droite s est de l’angle A et la droite t la bissectrice de l’angle A est la bissectrice de l’angle B. t

b B B C 3,2 cm 50°

30° s

D Triangle et cercles

35°

IG H T

1. (1) Reconnais, en utilisant tes instruments de géométrie, les deux droites remarquables tracées dans le triangle et construis la troisième. Que constates-tu ? C

Les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point. On dit que les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

(2) Construis un cercle passant par le point A et dont le centre est le point d’intersection des droites remarquables. Que constates-tu ?

Le cercle construit passe par les trois sommets du triangle.

(3) Aide-toi de l’indice pour compléter les phrases avec l’adjectif approprié. Inscrit : qui est cerné, qui est « dedans », placé à l’intérieur. Circonscrit : qui cerne, qui est « autour ». Le cercle est circonscrit

Scan 190

Le triangle ABC est inscrit

au triangle ABC. dans le cercle.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 190

19/02/2026 15:05

2. (1) Reconnais, en utilisant tes instruments de géométrie, les deux droites remarquables tracées dans le triangle et construis la troisième. Que constates-tu ?

Les bissectrices d’un triangle sont concourantes.

IG H T

(2) Nomme P le point d’intersection de la droite remarquable et du côté [MN]. Construis un cercle passant par P et dont le centre est le point d’intersection des droites remarquables. (3) Complète la phrase.

Le cercle est inscrit

dans le triangle MON.

(4) Détermine la position relative du côté [MN] et du rayon du cercle issu de P. Le rayon du cercle est perpendiculaire au côté [MN].

(5) Construis, avec précision, les deux autres rayons du cercle dont une extrémité est un point du triangle. Code ta construction.

3. Complète les phrases par le mot ou la lettre qui convient. Ne t’aide pas du compas. Z

𝒞1

au triangle AZE.

Son centre est le point R. 𝒞𝒞2 est le cercle inscrit

𝒞2

𝒞𝒞1 est le cercle circonscrit

dans le triangle AZE.

Son centre est le point T. TE est une bissectrice

du triangle AZE.

CHAPITRE 6 Figures planes

191

4. Construis le cercle circonscrit au triangle HIJ.

IG H T

Je rédige mon procédé pour construire le cercle circonscrit à un triangle

Scan 192

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 192

19/02/2026 15:05

5. Construis le cercle inscrit dans le triangle WZV.

IG H T

Je rédige mon procédé pour construire le cercle inscrit dans un triangle

Scan CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 193

193

19/02/2026 15:05

PARTIE 2

QuaDrilaTÈres

A Types de quadrilatères

Il s’agit d’un quadrilatère non convexe (concave),

car un de ses angles intérieurs est supérieur à 180°.

(1) Observe le drapeau de la Guyane et décris le quadrilatère jaune. Associe-le à une famille de quadrilatères. Explique.

1. Les drapeaux regorgent de figures géométriques courantes. Dans chaque cas, tu peux utiliser ton équerre pour déterminer la nature des figures.

(2) Dans chaque drapeau, reconnais un quadrilatère convexe différent. Chili

Brésil

IG H T

Congo

Ile de Bonaire

Carré

Losange

Trapèze

République dominicaine

Afrique du Sud

Seychelles

Koweït

Trapèze

Quadrilatère

Trapèze

rectangle

quelconque

isocèle

Parallélogramme

Rectangle

(3) Un quadrilatère convexe bien connu ne figure sur aucun drapeau du monde. Observe le drapeau créé et reconnais ce quadrilatère. Il s’agit du cerf-volant.

Dans la suite des exercices, nous travaillerons toujours avec des quadrilatères convexes.

194

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 194

19/02/2026 15:05

2. (1) Deux droites parallèles distantes de 2 cm sont dessinées. Dans chaque cas, trace deux autres droites parallèles, qui, en coupant les premières, forment un quadrilatère. Varie tes constructions afin d’obtenir quatre quadrilatères différents et précise leur nature.

Parallélogramme

IG H T

Losange

Rectangle

Carré

(2) Cite les quadrilatères qu’il est impossible d’obtenir avec cette méthode et explique pourquoi.

Le quadrilatère quelconque, le trapèze et le cerf-volant, car ils n’ont pas les côtés

opposés parallèles.

Pour nommer un quadrilatère, on choisit un sommet de départ, on choisit un sens de lecture et on passe d’un sommet à son consécutif.

3. Parmi les notations proposées, entoure celles qui sont correctes.

X BXRV

BVXR

RXBV

XVBR

VBXR

VRBX

B R V

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 195

195

19/02/2026 15:05

4. En te basant sur sa définition, identifie le quadrilatère qui possède… Le parallélogramme

(2) quatre côtés isométriques.

Le losange

(3) deux côtés parallèles.

Le trapèze

(4) deux côtés parallèles et deux angles droits.

Le trapèze rectangle

(5) quatre angles droits.

Le rectangle

(6) quatre côtés isométriques et quatre angles droits.

Le carré

(7) deux paires de côtés consécutifs isométriques.

Le cerf-volant

(8) deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles isométriques.

Le trapèze isocèle

5. Dans chaque cas, construis le quadrilatère demandé.

(2) Un losange FOIN avec |FO| = 3 cm et OFN = 140°. N

IG H T

(1) Un parallélogramme VERT avec |VT| = 3 cm, |VE| = 2 cm et TVE = 140°.

140°

R 140°

2 cm

(1) ses côtés opposés parallèles.

3 cm

6. Construis un triangle ORD isocèle en R tel que |DO| = 4 cm et ODR = 40°. Construis ensuite le parallélogramme ORDI. Ce parallélogramme est-il particulier ?

Oui, il s’agit d’un losange.

3 cm

40°

40° 4 cm

7. Cette rosace est formée de losanges isométriques. Construis un de ses losanges si la longueur d’un côté est de 4 cm. Utilise le compas pour le report des longueurs.

60°

60° 4 cm

Scan 196

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 196

19/02/2026 15:05

amplitude des angles d’un quadrilatère

1. Trace une diagonale dans chaque quadrilatère.

Quelles figures voit-on apparaitre à l’intérieur de chaque quadrilatère ? Deux triangles

Que sais-tu à propos de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’une de ces figures ? Cette somme vaut 180°.

Déduis la propriété de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère. La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.

IG H T

2. Sur une feuille, construis un trapèze isocèle que tu pourras coller dans le cadre. Découpe-le et plie-le en deux parties superposables.

Marque les angles de même amplitude dans une même couleur.

Colle ici le trapèze isocèle une fois que tu en as reçu l’instruction.

(1) Coche la proposition correcte. Deux angles sont marqués dans une même couleur s’ils sont… opposés. adjacents à un des côtés non parallèles. adjacents à une même base. consécutifs. Énonce la propriété relative à ces angles.

Les angles adjacents à une même base d’un trapèze isocèle ont la même amplitude.

(2) Coche les propositions correctes. Deux angles sont marqués dans des couleurs différentes s’ils sont… opposés. adjacents à un des côtés non parallèles. adjacents à une même base. consécutifs. Calcule la somme des amplitudes de deux angles de couleurs différentes et qualifie-les. 360° : 2 = 180° Les angles marqués dans des couleurs différentes sont supplémentaires. Énonce les deux nouvelles propriétés relatives à ces angles. Les angles adjacents à un des côtés non parallèles d’un trapèze isocèle sont supplémentaires. Les angles opposés d’un trapèze isocèle sont supplémentaires. CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 197

197

19/02/2026 15:05

(3) Cette figure est composée de trois trapèzes quelconques isométriques.

Reproduis le code couleur du premier trapèze dans les suivants. Énonce la propriété relative aux angles du trapèze isocèle qui est valable pour tous les trapèzes.

Les angles adjacents à un des côtés non parallèles d’un trapèze sont supplémentaires.

IG H T

3. Sur une feuille, construis deux triangles identiques dont les côtés mesurent 2 cm, 3 cm et 4 cm. Découpe-les et assemble-les pour former un parallélogramme que tu colles ici.

Marque les angles des triangles qui sont devenus les angles opposés du parallélogramme. Énonce la propriété concernant leurs amplitudes.

Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même amplitude.

4. Dans le parallélogramme ABCD, colorie les angles de même amplitude dans la même couleur. Coche la proposition correcte. Deux angles sont marqués dans des couleurs différentes s’ils sont…

opposés.

consécutifs.

Calcule la somme des amplitudes de deux angles de couleurs différentes. 360° : 2 = 180°

Énonce la propriété relative à ces angles. Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.

198

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 198

19/02/2026 15:05

5. Détermine l’amplitude des angles marqués d’un « ? ». Indique tes calculs et justifie. BLEU est un quadrilatère quelconque.

= 360° − (90° + 120° + 50°) = 360° − 260° = 100°,

car la somme des amplitudes des angles intérieurs E

VERT est un trapèze rectangle.

V = 360° − (90° + 90° + 58°) = 360° − 238° = 122°,

car la somme des amplitudes des angles intérieurs 58°

d’un quadrilatère vaut 360°.

50°

120°

ROSE est un parallélogramme.

138°

R ?

car les angles opposés d’un parallélogramme

N = 180° − 60° = 120°,

60°

car deux angles consécutifs d’un parallélogramme,

donc d’un losange, sont supplémentaires.

OCRE est un trapèze isocèle. = 180° − 72° = 108°, O

O ?

car deux angles adjacents à un des côtés non parallèles

72°

ont la même amplitude.

NOIR est un losange.

N ? R

R = S = 138°,

IG H T

d’un trapèze isocèle sont supplémentaires.

GRIS est un trapèze isocèle. I = S = 56°,

car deux angles adjacents à une même base d’un trapèze

56° S

? I

isocèle ont la même amplitude.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 199

199

19/02/2026 15:05

Droites remarquables d’un quadrilatère

1. En te basant sur les codages, retrouve la (les) droite(s) qui correspond(ent) à chaque description. Ensuite, précise de quelle droite remarquable il s’agit.

IG H T

(1) La droite coupe un angle en deux angles de même amplitude. Il s’agit d’une bissectrice.

(2) La droite passe par le milieu de deux côtés opposés. Il s’agit de deux médianes.

d1 et d6

(3) La droite passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement.

Il s’agit d’une hauteur.

(4) La droite passe par deux sommets opposés. d5

Il s’agit d’une diagonale.

(5) La droite passe par le milieu d’un côté et est perpendiculaire à ce côté. d4 et d6

200

Il s’agit d’une médiatrice.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 200

19/02/2026 15:05

2. Écris la notation mathématique correspondant à chaque codage. Construis, dans chaque cas, le quadrilatère ABCD et indique sa nature. B

B A

A O

O C

C D

|AO| = |BO| = |CO| = |DO|

|AO| = |BO| = |CO| = |DO| |AC| = |BD|

|AC| = |BD|

[AC] ⊥ [BD]

ABCD est un carré.

ABCD est un rectangle. B

IG H T

B O

A O C

|AO| = |CO| et |BO| = |DO|

[AC] ⊥ [BD]

ABCD est un losange.

ABCD est un parallélogramme.

Que représentent les diamètres des cercles par rapport aux quadrilatères construits ?

Ce sont leurs diagonales.

Indique un V dans la case si ces segments répondent à la propriété. Les diagonales… se coupent en leur milieu.

sont isométriques.

Parallélogramme

Losange

Rectangle

Carré

sont perpendiculaires. V V

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 201

201

19/02/2026 15:05

3. Indique, dans chaque case, un V (vrai) ou un F (faux) si la propriété est rencontrée ou non. Construis le quadrilatère demandé en sachant qu’une de ses diagonales est déjà tracée. Code tes constructions.

se coupent en leur milieu.

sont isométriques.

sont perpendiculaires.

se coupent en leur milieu.

Parallélogramme sont isométriques.

F F

IG H T

sont perpendiculaires.

Construction

Rectangle

Ses diagonales…

Figure attendue

sont isométriques.

sont perpendiculaires.

Losange

se coupent en leur milieu.

sont isométriques.

sont perpendiculaires.

Carré

se coupent en leur milieu.

4. Utilise tes instruments de mesure et code les diagonales de chaque quadrilatère. À l’aide du codage, écris les propriétés des diagonales en notation mathématique. (1)

ABCD est un cerf-volant.

B A

Propriétés des diagonales :

AC ⊥ BD |DX| = |BX|

Scan 202

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 202

19/02/2026 15:05

(2)

ABCD est un trapèze isocèle.

|AC| = |BD|

Propriétés des diagonales :

|AX| = |BX| et |DX| = |CX|

C D

5. (1) Voici une photo de la façade d’un château avec plusieurs fenêtres. À quels segments peut-on associer les croisillons de la première fenêtre ?

IG H T

Aux médianes du losange

(2) Construis les croisillons des trois autres fenêtres en respectant le même procédé de construction. (3) Indique un V dans la case si ces segments répondent à la propriété. Les médianes…

se coupent en leur milieu.

Parallélogramme

sont perpendiculaires.

Losange

Rectangle

Carré

sont isométriques.

V V V

(4) Quelle est la position relative des médianes et des côtés de ces quadrilatères ? Chaque médiane est parallèle à deux côtés opposés du quadrilatère. Pour le rectangle et le carré, chaque médiane est aussi perpendiculaire à deux côtés opposés.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 203

203

19/02/2026 15:05

(5) Que peux-tu observer de particulier entre les longueurs des côtés de ces quadrilatères et celles de leurs médianes ? Chaque médiane est isométrique aux côtés qui lui sont parallèles.

se coupent en leur milieu.

sont isométriques.

Construction

sont perpendiculaires.

se coupent en leur milieu.

IG H T

Rectangle

Ses médianes…

Figure attendue

6. Indique, dans chaque case, un V (vrai) ou un F (faux) si la propriété est rencontrée ou non. Construis le quadrilatère demandé en sachant qu’une de ses médianes est déjà tracée. Code tes constructions.

Parallélogramme sont isométriques.

se coupent en leur milieu.

sont perpendiculaires.

sont isométriques.

sont perpendiculaires.

se coupent en leur milieu.

sont isométriques.

sont perpendiculaires.

Losange

Carré

Scan 204

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 204

19/02/2026 15:05

7. Utilise tes instruments de mesure et code les médianes de chaque quadrilatère. À l’aide du codage, complète les propriétés relatives à leurs médianes. Précise si les médianes sont parallèles à deux côtés opposés du quadrilatère. M MARS est un cerf-volant. Ses médianes se coupent en leur milieu et sont isométriques. Aucune médiane n’est parallèle à deux côtés opposés.

R JUIN est un trapèze.

Ses médianes se coupent en leur milieu.

Une des médianes est parallèle aux deux bases. I

IG H T

AOUT est un trapèze isocèle.

Ses médianes se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Une des médianes est parallèle aux deux bases.

8. Cite les quadrilatères qui répondent à chaque condition.

(1) Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Losange, carré

(2) Ses médianes se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Rectangle, carré et trapèze isocèle

(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont isométriques. Rectangle et carré

(4) Ses médianes sont isométriques. Losange, carré et cerf-volant

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 205

205

19/02/2026 15:05

9. Aide-toi du codage pour donner la nature précise de chaque quadrilatère dessiné à main levée. Justifie.

Il s’agit d’un losange,

Il s’agit d’un rectangle, car

car il a quatre côtés

ses diagonales se coupent

isométriques.

en leur milieu et sont

(définition)

isométriques.

perpendiculaires.

(propriété)

Il s’agit d’un rectangle, car ses médianes se coupent

IG H T

en leur milieu et sont

Il s’agit d’un carré,

Il s’agit

d’un parallélogramme,

car ses diagonales

d’un parallélogramme,

car ses médianes

se coupent en leur milieu,

car ses angles opposés

se coupent en leur milieu.

sont isométriques

ont la même amplitude.

et sont perpendiculaires.

(propriété)

Il s’agit

206

(propriété)

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 206

19/02/2026 15:05

PARTIE 3

Figures COMpleXes A

programme de construction

1. Chaque figure est composée d’un cercle et d’un carré. Coche la figure qui correspond au programme de construction donné.

IG H T

– Construis un carré. – Construis les médianes de ce carré. – Construis le cercle inscrit dans ce carré.

2. Lis les quatre programmes de construction et coche celui qui permet de construire cette figure.

– Construis un triangle ABC rectangle en A. – Construis un triangle ABC rectangle en B. – Construis la médiatrice du côté [BC]. – Construis la médiane du côté [BC]. – Construis le cercle dont le diamètre est – Construis le cercle dont le diamètre est le segment [BC]. le segment [BC]. – Construis un triangle ABC rectangle en A. – Construis un triangle ABC rectangle en A. – Construis la médiane du côté [BC]. – Construis la médiane du côté [BC]. – Construis le cercle dont le diamètre est – Construis le cercle dont le rayon est le segment [BC]. le segment [BC].

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 207

207

19/02/2026 15:05

3. Numérote les cinq étapes du programme de construction, qui permettent de construire cette figure. m n ( 2 ) Trace la diagonale [AC] de ce losange. E ( 5 ) Nomme E le point d’intersection des droites m et n. C ( 3 ) Construis la droite m telle que m ⊥ AC et C ∈ m. B ( 1 ) Construis un losange ABCD.

( 4 ) Construis la droite n telle que n ⊥ m et B ∈ n.

D A

4. Réalise chaque construction en suivant le programme.

(1) – Construis un triangle équilatéral DEF de 4 cm de côté. – Place un point M au milieu du côté [DF]. – Trace, à l’extérieur du triangle, le demi-cercle de centre M et dont le rayon est le segment [MF].

IG H T

(2) – Construis un carré ABCD de 3 cm de côté. – Construis un cercle de centre C et dont le rayon est le segment [CB]. – Place un point E sur le cercle, afin que le quadrilatère ABED soit un cerf-volant.

Scan 208

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 208

19/02/2026 15:05

5. (1) Reproduis cette figure en vraie grandeur. B

A B

(2) Rédige un programme de construction de cette figure.

4 cm

– Construis un rectangle ABCE tel que |EC| = 8 cm et |BC| = 4 cm. – Place un point D au milieu du segment [EC].

– Construis un demi-cercle de centre D, de 4 cm de rayon, à l’intérieur

IG H T

du rectangle ABCE.

6. (1) Reproduis cette figure en vraie grandeur.

4 cm

(2) Rédige un programme de construction de cette figure. – Construis un carré de 4 cm de côté. – Trace ses diagonales. – Trace le cercle circonscrit au carré. – Place un point au milieu de chacun des côtés du carré et relie-les de manière à obtenir un deuxième carré.

Scan CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 209

209

19/02/2026 15:05

7. Rédige un programme de construction permettant de reproduire chaque figure en vraie grandeur. (1) A

E – Construis un carré ABCD de 2 cm de côté.

– Construis, à l’extérieur du carré, le triangle BCE rectangle et isocèle en B. 2 cm

– Trace un segment [AE] tel que |AE| = 6 cm.

(2) C

– Place, sur ce segment, le point C tel que |AC| = 2,6 cm.

3,4 cm

– Place un point au milieu de [AC] et un point au milieu de [CE].

2,6 cm

– Construis les cercles dont les diamètres sont

IG H T

respectivement les segments [AC] et [CE].

amplitude des angles

1. (1) Réalise la construction en suivant le programme.

B F

– Construis un rectangle ABCD tel que |AB| = 5 cm et |BC| = 3 cm. – Place un point M au milieu du côté [CD]. – Construis un triangle équilatéral CEM à l’extérieur du rectangle ABCD. – Construis un triangle équilatéral DFM à l’intérieur du rectangle ABCD.

(2) Détermine l’amplitude des angles ADF , ECB et EMD . Indique tes calculs.

ADF = ADC − FDM = 90° − 60° = 30°

ECB = ECM + MCB = 60° + 90° = 150° EMD = 180° − EMC = 180° − 60° = 120°

(3) Détermine la position des points E, M et F. Justifie. Les points sont alignés, car EMF = EMD + DMF = 120° + 60° = 180°.

Scan 210

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 210

19/02/2026 15:05

2. Si CD // AE, détermine, sans mesurer, l’amplitude . de l’angle CDE Justifie par un raisonnement complet.

40°

? 120°

110°

= 180° − ( ABC ) + BCA CAB = 180° − (110° + 40°) = 180° − 150°

30° 60°

des angles intérieurs d’un triangle

vaut 180°.

= 30°, car la somme des amplitudes

sont complémentaires ( et CAE CAE = 90° − 30° = 60°, car les angles CAB BAE = 90°).

(angles opposés du trapèze isocèle ACDE).

= 180° − 60° = 120°, car les angles CDE et CAE sont supplémentaires CDE

IG H T

Je rédige mon procédé pour déterminer l’amplitude d’un angle dans des figures complexes

3. Observe cette figure dessinée à main levée et détermine si les points A, B et F sont alignés. Justifie par un raisonnement complet. F

= 60°, car le triangle CBE est un triangle équilatéral. CBE

72° 72°

= 90°, car le quadrilatère ABCD est un carré. ABC

EBF = 180° − 2 ⋅ BEF = 180° − 2 ⋅ 72° = 180° − 144° = 36°,

36°

60°

car le triangle BEF est un triangle isocèle en B. + EBF = 90° + 60° + 36° = 186°. ABC + CBE Donc les points A, B et F ne sont pas alignés.

D CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 211

211

19/02/2026 15:05

polygones réguliers

1. Observe chaque polygone régulier inscrit dans un cercle de centre O. Lis l’indice et complète le tableau. Hexagone régulier

Triangle équilatéral

Carré

Nombre de côtés

Carré

Hexagone régulier

Triangle équilatéral

360° : 4 = 90°

360° : 6 = 60°

360° : 3 = 120°

Nombre d’angles au centre

IG H T

Un angle au centre d’un polygone régulier est un angle dont le sommet est le centre du cercle circonscrit au polygone et dont les côtés passent par deux sommets consécutifs de ce polygone.

Amplitude d’un angle au centre

Établis le lien entre l’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier et le nombre de côtés de celui-ci.

L’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier est égale au quotient de 360° par

le nombre de côtés de ce polygone régulier.

Identifie le polygone régulier dont l’amplitude d’un angle au centre vaut 36°. Justifie. 360° : 36° = 10 Ce polygone régulier possède 10 côtés, il s’agit donc d’un décagone régulier.

212

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 212

19/02/2026 15:05

2. Détermine l’amplitude de l’angle EAB, un des angles intérieurs du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O. Indique ton raisonnement. A est un angle = 360° : 5 = 72°, car l’angle AOB AOB 54° 72°

au centre du pentagone régulier.

= OBA = (180° − 72°) : 2 = 108° : 2 = 54°, OAB

car le triangle AOB est un triangle isocèle en O.

= 54°, car les triangles AOB et EOA sont identiques. OAE = OAE + OAB = 54° + 54° = 108° EAB

3. L’amplitude de l’angle ABC, angle intérieur d’un polygone régulier de centre O, vaut 135°. Effectue les calculs nécessaires afin d’identifier ce polygone régulier. Ensuite, achève sa construction. = 135° : 2 = 67,5° B OBC 135°

BOC = 180° − 2 ⋅ 67,5° = 180° − 135° = 45°

IG H T

360° : 45° = 8

Ce polygone régulier possède 8 côtés, il s’agit donc d’un octogone régulier.

4. (1) Complète le tableau en t’aidant des exercices qui précèdent. Pentagone

Octogone

Amplitude d’un angle au centre

72°

45°

Amplitude d’un angle intérieur

108°

135°

Somme des deux amplitudes

180°

Polygone régulier

(2) Établis le lien entre l’amplitude d’un angle au centre et celle d’un angle intérieur d’un polygone régulier. Qualifie ces angles. La somme des amplitudes vaut 180°. L’angle au centre et l’angle intérieur d’un polygone régulier sont supplémentaires.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 213

213

19/02/2026 15:05

5. Identifie le polygone régulier dont l’amplitude d’un angle intérieur vaut… (1) 120°. Amplitude d’un angle au centre :

180° − 120° = 60°

Nombre de côtés du polygone régulier :

360° : 60° = 6

Ce polygone est un hexagone régulier.

Amplitude d’un angle au centre :

180° − 144° = 36°

Nombre de côtés du polygone régulier :

360° : 36° = 10

Ce polygone est un décagone régulier. (3) 150°.

180° − 150° = 30°

Nombre de côtés du polygone régulier :

360° : 30° = 12

Amplitude d’un angle au centre :

Ce polygone est un dodécagone régulier.

(2) 144°.

IG H T

retour au défi

1. Construis, à la page 215, la figure correspondant au programme de construction. (1) Place un point O au centre de la feuille. (2) Trace horizontalement le segment [OB], avec B à droite de O, tel que |OB| = 6 cm. (3) Construis le triangle OBC, isocèle et rectangle en O, au-dessus du segment [OB].

(4) Construis le carré CBAD dont le point O est l’intersection des diagonales.

(5) Efface le segment [DO].

(6) Construis deux demi-cercles à l’extérieur du carré dont les diamètres sont respectivement les segments [DC] et [CB]. (7) Trace une droite parallèle à la droite OB passant par le point A.

(8) Sur cette droite, place deux points à 7,5 cm du point A, l’un à sa gauche et l’autre à sa droite. Nomme-les respectivement E et F.

(9) Construis le carré EFGH de telle sorte que toutes les constructions déjà réalisées soient à l’intérieur de celui-ci.

(10) Partage le segment [EH] en 6 parts égales.

(11) À partir de chaque point obtenu lors du partage du segment [EH], trace un segment parallèle à [EF] et dont la deuxième extrémité se situe soit sur le segment [DA], soit sur le demi-cercle dont le diamètre est le segment [DC]. 2. À la page 179, coche la pièce du puzzle qui correspond parfaitement à ta construction.

Scan 214

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 214

19/02/2026 15:05

Construction de la figure du défi G

6 cm

IG H T

15 cm

7,5 cm

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 215

215

19/02/2026 15:05

eXerCiCes COMplÉMenTaires

1. Construis chaque triangle et code ta construction. Indique sa nature complète. (1) Triangle ABC tel que |AB|= 3,5 cm, |BC| = 6 cm et |AC| = 4 cm. = 108° et I = 33°. (2) Triangle HGI tel que |GI| = 4,8 cm, G (3) Triangle MNO tel que |MN| = 5 cm, |MO| = 3 cm et M = 80°. (4) Triangle JKL tel que |JK| = |JL| = |KL| = 45 mm.

partie 1. Triangles

2. Code chaque triangle (côtés et angles) si tu sais que EQU est équilatéral, ISO est isocèle en S et REC est isocèle rectangle en R. Ensuite, traduis les codages en notations mathématiques. (1)

(2)

(3)

IG H T

3. Détermine l’amplitude des angles de chaque triangle et indique tes calculs. Précise ensuite sa nature complète. (1)

(2)

4,2

(4)

38° 38°

42°

60°

4,2

(3)

79°

35°

48° P

4. Reproduis chaque triangle en vraie grandeur et indique sa nature complète. (1)

(2)

P 75°

48° Q

X 70°

216

4,3 cm

(3)

108° 4,5 cm

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 216

19/02/2026 15:05

26 15:05

5. Reconnais chacune des droites remarquables construites dans le triangle ABC.

A p

6. Construis…

IG H T

= 90° ainsi que (1) un triangle YOH tel que |YO| = 4 cm, |OH| = 3 cm et O la médiane d relative au côté [HY]. = 60° ainsi que (2) un triangle ABC tel que |AB| = 27 mm, |AC| = 45 mm et CAB la bissectrice b de l’angle A . (3) un triangle ABC tel que |BC| = 44 mm, |AB| = 27 mm et |AC| = 61 mm ainsi que la hauteur h passant par C. = 100° et ACB = 25° ainsi que (4) un triangle ABC tel que |AC| = 3,8 cm, CAB la médiane d relative au côté [AC]. 7. Trace une droite f et place un point C n’appartenant pas à cette droite. Construis un triangle ABC isocèle en B et dont la droite f est la médiatrice du côté [AC].

8. Trace une droite d et place un point A appartenant à cette droite. Construis un triangle équilatéral ADC de 32 mm de côté dont la droite d est la bissectrice . de l’angle A

9. Trace une droite t et place un point C n’appartenant pas à cette droite. Construis un triangle ABC isocèle en C, dont la droite t est une médiatrice et tel que |AB| = 4 cm.

10. Construis… (1) un triangle équilatéral de 5 cm de côté et le cercle circonscrit à ce triangle.

(2) un triangle dont un côté mesure 6 cm et les angles adjacents à ce côté mesurent respectivement 70° et 54°, ainsi que le cercle inscrit à ce triangle.

partie 2. Quadrilatères

11. Construis… (1) le parallélogramme RACS dont |RS| = 5 cm, |SC| = 3 cm et S = 35°. (2) le losange JOLI de 43 mm de côté dont O = 110°.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 217

217

19/02/2026 15:05

12. Détermine, sans mesurer, l’amplitude des angles des quadrilatères et justifie. (1) Quadrilatère quelconque A

(2) Parallélogramme E

111°

74°

72°

(3) Trapèze quelconque

(4) Trapèze isocèle M

109° K

13. Construis…

116°

91°

45°

(1) le losange SOLE tel que |SO| = 43 mm et E = 63°.

IG H T

= 37°. (2) le parallélogramme VEAU tel que |VE| = 6,2 cm, |VU| = 3,8 cm et A

1,5 cm

14. Aide-toi du codage pour reconnaitre la nature de chaque quadrilatère dessiné à main levée. Ensuite, construis-le en vraie grandeur. (1) (2) (3) 2,5 cm 4 cm

65°

1,5 cm

15. Construis…

(1) un rectangle dont les diagonales mesurent 4 cm. (2) un trapèze isocèle dont la médiane relative aux bases mesure 3 cm. (3) un cerf-volant dont la grande diagonale mesure 4,6 cm. (4) un parallélogramme dont les médianes mesurent 4 cm et 6 cm.

16. En excluant le quadrilatère quelconque, construis deux quadrilatères de nature différente, dont les diagonales ne se coupent pas en leur milieu. Note la nature de chaque quadrilatère obtenu.

218

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 218

19/02/2026 15:05

17. Aide-toi du codage présent sur le parallélogramme ABCD pour donner la nature précise du quadrilatère HGFE. Indique chaque étape de ton raisonnement et justifie.

G H F

55°

E D

partie 3. Figures complexes

18. Dans le programme de construction, écris les étapes qui ont été effacées.

(1) Trace un segment [AB] de 2 cm. (2) … (3) Place un point P sur le cercle tel que les points P, A et B ne soient pas alignés. (4) Construis le triangle PAB. (5) …

IG H T

19. Réalise chaque construction en suivant le programme.

(1) – Construis un triangle ABC isocèle en B tel que |AB| = 4 cm et |AC| = 5 cm. – Construis le losange ABCD. – Trace la diagonale [BD]. – Trace le cercle dont le diamètre est le segment [BD].

(2) – Construis un parallélogramme ABCD tel que sa hauteur mesure 3 cm, |AB| = 5 cm = 103°. et – Place les points E et F respectivement au milieu des côtés [DC] et [AB]. – Trace le segment [EF]. – Place le point M au milieu du segment [EF]. – Construis le triangle AMD.

20. Reproduis chaque figure en vraie grandeur et rédige un programme de construction.

(1)

4 cm E

(2) A

3 cm C

F D 4 cm

C 3 cm E

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 219

219

19/02/2026 15:05

21. Détermine l’amplitude de l’angle marqué par un point d’interrogation. Justifie par un raisonnement complet (2) FGHI est un trapèze isocèle.

(1) ABCD est un parallélogramme. D

C ?

H 123°

97°

18°

? I

F B

Amplitude d’un angle au centre Amplitude d’un angle intérieur

30°

160°

IG H T

23. Détermine l’amplitude de l’angle marqué. Justifie par un raisonnement complet.

Nombre de côtés du polygone régulier

22. Complète le tableau.

24. Voici une mosaïque que tu peux observer à Pompéi. Reproduis-la si tu sais qu’elle n’est composée que de polygones réguliers de 2 cm de côté.

220

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 220

19/02/2026 15:05

CÔTÉ praTiQue

Triangles et angles

Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle

Angles de même amplitude

60°

IG H T

60°

C B ABC triangle équilatéral F D

La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°.

E DEF triangle isocèle en D

Recherche des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle

65°

44°

F D

65° B

ABC triangle scalène

DEF triangle isocèle en D

JKL triangle isocèle et rectangle en L

|A| + |B| + |C| = 180° |A| = 180° – (65° + 44°) = 180° – 109° = 71°

|D| + |E | + |F | = 180° |E | = |F | = 65° |D| = 180 – 2 · 65° = 180° – 130° = 50°

| J | + |K | + |L | = 180° |L | = 90° | J | = |K | = (180° – 90°) : 2 = 90° : 2 = 45° CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 221

221

19/02/2026 15:05

Médiatrice relative au côté [AB]

Bissectrice de l’angle C

Milieu d’un côté Perpendiculaire à ce côté

Coupe un angle en deux angles de même amplitude BIssectrice

IG H T

Média⊥rice

Droites remarquables d’un triangle

Hau⊥eur

Milieu d’un côté Sommet opposé à ce côté

Sommet du triangle Perpendiculaire au côté opposé à ce sommet

Médiane relative au côté [AB]

Hauteur issue du sommet C

Médiane

222

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 222

19/02/2026 15:05

Cercle circonscrit au triangle « Autour » 1. Construis deux médiatrices du triangle. 2. Nomme O le point d’intersection de ces deux médiatrices.

IG H T

3. Trace le cercle de centre O passant par les trois sommets du triangle.

Triangle et cercles

Cercle inscrit au triangle « Dedans »

1. Construis deux bissectrices du triangle. 2. Nomme O le point d’intersection de ces deux bissectrices. O

3. Construis la droite perpendiculaire à un des côtés du triangle passant par le point O.

4. Nomme P le point d’intersection de cette droite et du côté du triangle. 5. Trace le cercle de centre O et dont le rayon est le segment [OP].

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 223

223

19/02/2026 15:05

F E

180° 180°

61° 121°

73°

G D

ABCD quadrilatère quelconque

| A| + | B| + | C| + | D| = 360° | D| = 360° – (61° + 121° + 73°)

La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.

Recherche des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère

Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère

= 360° – 255° = 105°

IG H T

Quadrilatères et angles

Angles de même amplitude

Angles consécutifs du parallélogramme

Angles consécutifs du losange

Angles adjacents à un des côtés non parallèles du trapèze

Angles opposés du trapèze isocèle

Angles opposés du parallélogramme

Angles supplémentaires

Angles adjacents à une base d’un trapèze isocèle

Angles opposés du losange

224

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 224

19/02/2026 15:05

Elles sont perpendiculaires.

Elles sont isométriques.

Elles sont isométriques. Elles se coupent en leur milieu.

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Elles se coupent en leur milieu.

Carré

Relient deux sommets opposés

IG H T

Diagonales

Elles se coupent en leur milieu.

Droites remarquables d’un quadrilatère

Médianes

Rectangle

Losange

Carré

Elles se coupent en leur milieu.

Elles sont isométriques.

Parallélogramme

Elles se coupent en leur milieu.

Relient les milieux de deux côtés opposés

Elles sont perpendiculaires.

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 225

225

19/02/2026 15:05

Angle au centre et angle intérieur

Polygones réguliers

B D

AOB est un angle au centre du pentagone régulier.

IG H T

BAE est un angle intérieur du pentagone régulier.

|AOB| + |BAE| = 180°

Un angle au centre et un angle intérieur d’un polygone régulier sont supplémentaires.

226

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 226

19/02/2026 15:05

Nature du polygone régulier et amplitudes

Type de polygone Hexagone régulier

IG H T

Nombre d’angles au centre 6

Nombre de côtés 6

60°

Amplitude d’un angle au centre 360° : 6 = 60°

Amplitude d’un angle intérieur 180° – 60° = 120°

120° 60°

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 227

227

19/02/2026 15:05

Amplitude et nature du polygone régulier

Amplitude d’un angle intérieur d’un polygone régulier 108°

108°

72°

IG H T

Amplitude d’un angle au centre 180° – 108° = 72°

Nombre d’angles au centre 360° : 72° = 5

Nombre de côtés 5

228

Type de polygone Pentagone régulier

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 228

19/02/2026 15:05

CÔTÉ THÉOriQue Définition Figure plane limitée par des segments consécutifs.

Triangle

Polygone qui a trois côtés.

Triangle scalène

Triangle qui a trois côtés de longueurs différentes.

Triangle isocèle

Triangle qui a deux côtés isométriques.

Triangle équilatéral

Triangle qui a trois côtés isométriques.

Triangle acutangle

Triangle qui a trois angles aigus.

Triangle rectangle

Triangle qui a un angle droit.

Triangle obtusangle

Triangle qui a un angle obtus.

Position relative de deux objets Hauteur d’un triangle

Position des deux objets l’un par rapport à l’autre. Droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement). Droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. Droite qui passe par le milieu d’un côté du triangle et qui est perpendiculaire à ce côté.

Médiane d’un triangle

Polygone

IG H T

notion

Médiatrice d’un triangle

Bissectrice d’un triangle

Droite qui coupe un angle du triangle en deux angles de même amplitude.

Droites concourantes

Droites qui se coupent en un même point.

Ensemble de points qui se situent à la même distance d’un point appelé centre.

Rayon d’un cercle

Segment dont les extrémités sont le centre du cercle et un point de ce cercle.

Diamètre d’un cercle

Segment qui passe par le centre du cercle et dont les extrémités sont deux points de ce cercle.

Cercle inscrit dans un triangle

Cercle qui se situe à l’intérieur du triangle et qui touche chacun des trois côtés de ce triangle en un seul point.

Cercle circonscrit à un triangle

Cercle qui se situe à l’extérieur du triangle et qui passe par chacun des trois sommets de ce triangle.

O Cercle

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 229

229

19/02/2026 15:05

notion

Définition Polygone qui a quatre côtés.

Quadrilatère convexe

Quadrilatère dont les amplitudes de tous les angles intérieurs sont inférieures à 180°.

Quadrilatère non convexe

Quadrilatère dont l’amplitude d’un angle intérieur est supérieure à 180°.

Cerf-volant

Quadrilatère qui a deux paires de côtés consécutifs isométriques.

Trapèze

Quadrilatère qui a deux côtés parallèles.

Parallélogramme

Quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

Rectangle

Quadrilatère qui a quatre angles droits.

Losange

Quadrilatère qui a quatre côtés isométriques.

Carré

Quadrilatère qui a quatre côtés isométriques et quatre angles droits.

Diagonale d’un quadrilatère

Segment qui relie deux sommets opposés du quadrilatère.

Polygone régulier Angle au centre d’un cercle

IG H T

Médiane d’un quadrilatère

Quadrilatère

Segment qui relie le milieu de deux côtés opposés. Polygone qui a tous ses côtés et tous ses angles isométriques.

Angle dont le sommet est le centre du cercle.

notation mathématique

Triangle dont les trois sommets sont les points A, B et C

Quadrilatère ABCD

Quadrilatère dont les quatre sommets sont consécutivement les points A, B, C et D

Triangle ABC

Cercle nommé 𝒞𝒞

𝒞𝒞

230

CHAPITRE 6 Figures planes

MathsPerspectives_001_424.indb 230

19/02/2026 15:05

CHAPITRE 7

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

TRAITEMENT DE DONNÉES

Ce chapitre est conçu autour d’un article structuré en plusieurs paragraphes, chacun permettant de travailler des notions clés du traitement de données. Au fil du chapitre, les élèves explorent des concepts essentiels, intégrés naturellement dans le est présent lorsque les questions portent directement sur texte et les illustrations. Le picto

l’article, facilitant ainsi la navigation.

L’utilisation de la calculatrice est autorisée tout au long du chapitre. Ceci n’empêche pas les élèves d’avoir recours le plus souvent possible au calcul mental.

Première analyse de données p. 191

IG H T

p. 231

Ce premier point vise à développer chez les élèves une compréhension globale de l’article tout en renforçant leur capacité à décoder les informations. Les questions, accessibles, se prêtent particulièrement à une évaluation diagnostique. C’est pourquoi, à la différence des autres chapitres, celui-ci ne s’ouvre pas sur un « Souviens-toi ». La mise en situation réelle permet de vérifier si les élèves sont capables de prélever et de traiter des informations relativement simples à partir d’un énoncé en français, d’un tableau ou encore d’un diagramme.

Population et variable statistique

p. 232-233

p. 191-192

Exercice 1

Les élèves ont déjà appris en primaire à traiter des données présentées sous différentes formes. Cependant, en première année, ces notions vont s’affiner et le vocabulaire s’approfondir. Il est temps pour eux de découvrir cette branche des mathématiques appelée la statistique.

(1) Les élèves associent l’illustration à une forme de présentation. Le diagramme à bandes (rectangles) doit être distingué de celui en bâtonnets (segments).

(2) Pour mener une étude statistique, deux approches sont possibles : soit définir une population cible avant d’interroger les élèves sur une thématique précise ; soit partir d’un sujet d’étude pour déterminer ensuite quel groupe est le plus pertinent à étudier. La démarche proposée aux élèves privilégie cette seconde option : définir d’abord la variable statistique pour identifier, par déduction, la population concernée. En statistique, le terme « individu » dépasse le sens humain courant pour désigner toute entité observée, qu’il s’agisse d’une personne, d’un animal ou d’un objet. Ce décalage avec le langage courant risque de perdre les élèves s’ils ne perçoivent pas la portée élargie du terme. G67

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Les élèves doivent également comprendre qu’un individu se définit par un ensemble de caractéristiques, nommées variables statistiques. Ils doivent apprendre à distinguer l’individu des données qu’il génère. Par exemple, chez un concessionnaire, la population est l’ensemble des voitures et chacune d’elles est un individu, tandis que la couleur, la motorisation, l’année de fabrication correspondent à des variables associées. Afin de refléter sa caractéristique propre et faciliter son interprétation, chaque variable est toujours inscrite au singulier dans les tableaux ou les diagrammes.

p. 192-193

p. 233-235

(3) Les élèves ont déjà appris à distinguer le diagramme à bandes du diagramme en bâtonnets. Ils peuvent maintenant établir le lien entre le type de représentation et la nature de la variable (qualitative ou quantitative). Dans la vie quotidienne, le diagramme en bâtonnets est fréquemment remplacé par un diagramme à bandes, ce qui peut influencer la perception des élèves. Il est donc essentiel de différencier les conventions médiatiques de la rigueur mathématique. Analyser quelques diagrammes réels pour en vérifier l’exactitude constitue un exercice intéressant pour développer leur esprit critique.

Exercices 2, 3 et 4

Les élèves abordent les notions de variable et de population à travers une diversité de supports : situation libellée en français, tableau de données et diagramme.

Exercice 5

p. 194-195

IG H T

p. 235-237

Il existe deux façons de classer les nations aux Jeux olympiques. Les analyser permet de comparer les résultats et de montrer comment un simple changement de perspective peut modifier les interprétations et, par conséquent, les conclusions.

(1) Les élèves doivent surmonter la difficulté de concevoir des individus qui ne sont pas des personnes. Pour les aider, une illustration humoristique représente les médailles sous une forme humaine, facilitant leur assimilation comme entités à part entière. Cette approche est essentielle pour comprendre que, dans ce contexte, la population est constituée des médailles elles-mêmes, réparties entre les différentes nations.

(2) Les élèves classent les dix premières nations des JO en s’appuyant sur des critères conformes au mode de classement européen (priorité à l’or). Pour départager les États-Unis et la Chine, ils comparent le nombre de médailles d’argent, puis consultent le nombre de médailles de bronze pour départager l’Italie et l’Allemagne.

(3) Dans certains pays non européens, le classement des nations s’appuie sur le nombre total de médailles remportées. Les élèves sont ainsi invités à adopter un autre point de vue en complétant un diagramme à bandes. Pour cela, ils doivent additionner les différents types de médailles présentés dans le tableau précédent afin d’obtenir le total par pays. Ils analysent ensuite les changements observés dans le classement, ce qui leur permet de comprendre l’influence du choix d’un indicateur sur le résultat final.

G68

Modalité, effectif, fréquence et étendue

p. 238-239

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 195-196

Exercice 1 (1) Le quatrième paragraphe de l’article est utilisé ici comme support pour le nouveau vocabulaire : modalité, effectif et effectif total.

(2) Les élèves sont invités à construire un diagramme à bandes, correspondant au type qualitatif de la variable. Un indice les accompagne pour déterminer les éléments indispensables à sa réalisation. Le diagramme peut être présenté avec des bandes verticales ou horizontales, l’enseignant(e) pouvant, pour plus de facilité, imposer l’une des deux représentations.

La première difficulté est de prévoir la hauteur (ou la longueur) de l’axe des effectifs. Pour ce faire, il faut se référer à la modalité ayant le plus grand effectif dans le tableau : 65 fleurs. Les élèves doivent ensuite graduer cet axe afin de construire chaque bande avec précision. Une autre difficulté réside dans la formulation d’un titre pertinent. L’exemple « Plantations réalisées par les bénévoles » est proposé ici, car il permet d’identifier à la fois la variable étudiée et la population concernée.

p. 239-240

IG H T

(3) L’analyse des diagrammes circulaires permet de mettre en relation différentes présentations d’une même situation : le tableau de distribution, le diagramme à bandes et le diagramme circulaire. p. 196-197

Exercice 2

(2) Le deuxième paragraphe de l’article est choisi afin d’introduire la notion de fréquence. Bien que les élèves comprennent mieux cette notion lorsqu’elle est exprimée sous la forme de pourcentage, il ne faut pas perdre de vue qu’en statistique, une fréquence peut également s’exprimer sous la forme d’une fraction ou d’un nombre décimal.

(3) Pour garantir la précision du résultat, les fréquences sont maintenues sous leur forme décimale illimitée. En effet, un arrondi intermédiaire au millième près pourrait fausser le pourcentage final : pour le « moineau » (0,304 878…), un arrondi à 0,305 conduirait par exemple à un pourcentage erroné de 31 %, alors que la valeur réelle au pour cent près est bien de 30 %. Pour simplifier la lecture, les élèves peuvent néanmoins se contenter d’écrire les trois premières décimales suivies de points de suspension. p. 240

p. 197

Je rédige mon procédé pour calculer la fréquence de chaque modalité Exemple de rédaction 1) Je divise chaque effectif par l’effectif total. 2) J’écris ma réponse sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage. (4) Les quelques questions posées permettent aux élèves de donner du sens au calcul des fréquences en replaçant les éléments dans leur contexte.

G69

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 241-242

p. 197

Exercice 3 (1) Le premier paragraphe de l’article permet aux élèves de calculer l’effectif de chaque modalité en s’appuyant sur les fréquences qui y sont détaillées.

(2) Les élèves sont invités à construire un diagramme en bâtonnets. Un indice détaille les éléments indispensables. Ces derniers sont semblables aux éléments d’un diagramme à bandes, à l’exception des bâtonnets utilisés dans le cas d’une variable quantitative et de la graduation numérique de l’axe des modalités. Le titre choisi met à nouveau en lien la variable étudiée et la population concernée : « Distance parcourue par les marcheurs ».

(4) La justification proposée en solution demande aux élèves de se baser sur les fréquences présentes dans le tableau. Toutefois, une autre approche est possible : les élèves peuvent calculer directement le nombre de marcheurs ayant parcouru plus de 10 kilomètres à partir des effectifs du tableau ou du diagramme.

80 + 360 = 440 et 440 > 400 (800 : 2)

(5) C’est aussi le moment d’introduire la notion d’étendue des modalités. Celle-ci se définit comme étant l’écart entre les valeurs extrêmes et se calcule donc en effectuant la différence entre la plus grande et la plus petite modalité.

Exercice 4

p. 198

IG H T

p. 242

(1) Pour varier les présentations, le tableau de distribution est proposé en lignes plutôt qu’en colonnes.

p. 198

p. 243

(2) Les nouvelles notions et le vocabulaire associé peuvent être complexes à assimiler. De plus, il n’est pas toujours évident de les relier concrètement à la situation, de les expliquer de manière claire, précise et cohérente. C’est pourquoi il est essentiel de prendre le temps nécessaire pour ancrer ces notions et leur donner du sens.

Exercice 5

(1) Une fois l’effectif correspondant à 25 % indiqué, la démarche proposée dans le manuel consiste à déterminer d’abord l’effectif total de 60 jeunes (en multipliant les 15 jeunes par 4), puis à appliquer les différents pourcentages à ce total.

G70

Fréquence

Effectif

20 %

60 ⋅ 0,2 = 12

25 %

35 %

60 ⋅ 0,35 = 21

15 %

60 ⋅ 0,15 = 9

60 ⋅ 0,05 = 3

100 %

Total = 4 ⋅ 15 = 60

Fréquence

Effectif

20 %

3 ⋅ 4 = 12

25 %

35 %

3 ⋅ 7 = 21

15 %

3⋅3 = 9

15 : 5 = 3

100 %

Total = 3 ⋅ 20 = 60

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Cependant, un autre raisonnement est possible. Une fois l’effectif correspondant à 25 % indiqué, les élèves peuvent calculer l’effectif correspondant à 5 %, puis ses multiples.

p. 243

p. 199

Exercice 6

Proposer plusieurs méthodes encourage les élèves à choisir la stratégie la plus adaptée, renforçant ainsi leur autonomie et leur flexibilité.

Exercice 7

p. 199

p. 244

IG H T

Cet exercice permet de stabiliser le vocabulaire statistique introduit en début de chapitre. Il met aussi en évidence l’impossibilité de calculer l’étendue lorsque la variable est qualitative. Enfin, il confronte les élèves à un piège classique : des pourcentages qui ne sont pas des fréquences exclusives. Contrairement aux modalités habituelles, les catégories (regarder, commenter, publier) peuvent se chevaucher, ce qui signifie qu’un individu peut appartenir à plusieurs d’entre elles simultanément. Ce cas particulier modifie la logique classique des fréquences et impose une attention particulière.

Les élèves doivent appréhender l’ensemble de la démarche statistique en mobilisant différentes représentations d’une même situation. S’il est tentant de comparer directement les effectifs, cette méthode s’avère beaucoup plus longue : elle oblige les élèves à calculer d’abord l’effectif total de la classe 3B (4 + 6 + 8 + 7 = 25), à l’appliquer à la classe 3A (puisque l’énoncé précise que les effectifs sont identiques), puis à calculer 36 % de 25 pour obtenir les 9 élèves de 3A et les comparer aux 8 élèves de 3B. Les élèves sont invités à privilégier une démarche plus directe en raisonnant sur les fréquences. 8 = 32 % pour permettre une Une fois l’effectif total de 25 identifié, un seul calcul suffit 25 comparaison immédiate entre les pourcentages des deux classes (36 % > 32 %).

(

p. 245

)

p. 200

Exercice 8 Les élèves ne peuvent pas se contenter d’un seul support, ils doivent croiser les sources d’informations. Une donnée indispensable se trouve dans le texte : l’effectif total de 20. Pour poursuivre leur travail, les élèves doivent repérer l’information clé du diagramme à bandes, à G71

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

savoir l’effectif de la modalité « pop ». Ils devront ensuite jongler entre les deux diagrammes : d’abord un retour au diagramme circulaire pour déterminer les fréquences manquantes, puis un passage au diagramme à bandes pour traduire ces fréquences en effectifs afin de construire les bandes manquantes. p. 246

p. 200

Exercice 9

Afin d’aider les élèves à interpréter le fait que le nombre d’élèves est trois fois plus élevé dans une classe que dans l’autre, le secteur « 6e primaire » peut être partagé en trois parts égales au secteur « 1re secondaire ». Cette astuce graphique permet de visualiser immédiatement les quatre parts (3 + 1) et facilite ainsi le calcul des pourcentages (60 % : 4 = 15 %).

p. 247

Moyenne p. 201

Exercice 1

IG H T

(1) La moyenne arithmétique est un concept fondamental en mathématiques. Pour lui (re)donner du sens, les élèves réalisent un problème de partage équitable. Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs Exemples de rédaction

1) J’additionne toutes les valeurs de la série.

2) Je divise cette somme par le nombre de valeurs de la série. 1) J’additionne toutes les valeurs de la série.

2) Je divise cette somme par l’effectif total de la série.

(2) Une moyenne arithmétique n’est pas toujours un nombre entier. Parfois, elle ne correspond pas à une valeur réelle observable. On ne peut évidemment pas « couper » un élève en deux, mais obtenir un résultat de 25,5 est parfaitement cohérent sur le plan statistique.

Dans la deuxième partie de l’exercice, les élèves doivent trouver un procédé qui leur permet de déterminer la valeur manquante d’une série, connaissant la moyenne attendue. Ce procédé demande aux élèves de comprendre que la somme totale des élèves doit être égale au produit de la moyenne par le nombre de classes (24 ⋅ 5 = 120) avant de pouvoir isoler l’effectif de la nouvelle classe par soustraction (120 – 102 = 18).

G72

p. 201 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 248

Je rédige mon procédé pour déterminer la valeur manquante d’une série, connaissant la moyenne attendue Exemple de rédaction 1) Total des valeurs connues J’additionne les valeurs connues de la série.

2) Total des valeurs attendues Je multiplie le nombre de valeurs attendues de la série par la moyenne donnée.

p. 201

Exercice 2

p. 248-249

3) Valeur manquante Je soustrais le total des valeurs connues au total des valeurs attendues.

p. 249 Exercice 3

IG H T

(2) Les élèves seront peut-être tentés de calculer la taille moyenne globale à partir des deux moyennes d’équipe. Ils ne peuvent cependant pas le faire, car les deux effectifs sont différents (9 joueurs d’un côté et 10 de l’autre). Pour répondre correctement, ils doivent impérativement additionner la taille totale des joueurs des deux équipes (1 746 + 1 750 = 3 496) et diviser cette somme par l’effectif total de 19 joueurs (9 + 10 = 19). p. 202

p. 202

p. 250

Il est important de montrer aux élèves que la technique de calcul de la moyenne ne change pas, même lorsque certains nombres de la série sont négatifs et que la moyenne peut elle-même être négative.

Exercice 4

(1) Les élèves doivent être particulièrement attentifs au fait qu’il y a un élève absent dans la classe le jour de la dernière évaluation. Le nombre total d’élèves présents lors de cette évaluation n’est donc pas de 24, mais bien de 23.

(2) Pour déterminer le nombre d’élèves ayant obtenu une note supérieure à la moyenne de la classe, les élèves peuvent : • soit effectuer un dénombrement direct au sein du tableau initial ; • soit s’appuyer sur le calcul de la moyenne par produits intermédiaires en additionnant les effectifs des notes dont la valeur est supérieure à la moyenne calculée.

G73

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 251

p. 202

Exercice 5

p. 251

Pour calculer une moyenne à partir d’un tableau de distribution, les élèves doivent impérativement distinguer les modalités des effectifs. Ils ne peuvent se contenter d’additionner les valeurs de la première colonne : ils doivent calculer les produits intermédiaires en multipliant chaque modalité par son effectif respectif. Une attention particulière doit également être portée au choix du diviseur, qui correspond à la somme totale des effectifs et non au nombre de lignes du tableau. p. 202

Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs lorsque certains effectifs sont supérieurs à 1

1) Je multiplie chaque valeur par son effectif. 2) J’additionne les produits obtenus.

p. 252 Exercice 7

IG H T

3) Je divise cette somme par l’effectif total.

Exemple de rédaction

p. 203

Seuls certains paragraphes de l’article ont été sélectionnés pour calculer des moyennes. En effet, lorsque la variable est qualitative, le calcul de la moyenne est impossible, tout comme celui de l’étendue.

Exercice 8

p. 203

p. 253

Cet exercice peut être considéré comme un véritable exercice de synthèse. Il est, pour les élèves, l’occasion idéale de mesurer leur maitrise de toutes les notions abordées dans ce chapitre.

G74

CHAPITRE 7

TraiTemenT de données Première analyse de données

1. Lis l’article « Nature en fête » figurant à la page 267 et réponds aux questions.

(1) Combien de personnes ont participé à la balade nature ?

800 personnes

(2) Combien de marcheurs ont choisi le parcours le plus long ? 45 % de 800 = 800 ⋅ 0,45 = 360 personnes

IG H T

(3) Que représente l’illustration 2 parlant de l’activité proposée aux enfants le samedi après-midi ? L’illustration représente le nombre d’oiseaux par espèce observés pendant l’après-midi du samedi.

(4) Quelle espèce d’oiseau a été la plus observée par les enfants ? Le moineau domestique

(5) Combien de personnes ont participé au « Banquet des Herbes folles » ? 68 personnes

(6) Combien de personnes ont voté pour le plat principal ?

24 personnes

(7) Combien de plantations ont été effectuées le dimanche matin ? 25 + 6 + 12 + 65 + 17 = 125 plantations

(8) Quelle est la note la plus basse attribuée par les membres du jury au grand gagnant du concours photo ? Combien de membres lui ont attribué cette note ? La note la plus basse est 7/10. Cette note a été attribuée par 1 membre du jury.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MATHSPACTELC_Chap07.indd 231

231

20/02/2026 09:45

Population et variable statistique

1. Dans l’article « Nature en fête », des données ont été collectées, organisées, interprétées et transmises aux lecteurs au travers de cinq paragraphes accompagnés d’illustrations. La branche des mathématiques qui analyse des données afin d’en tirer des conclusions se nomme la statistique.

(1) Relie chaque illustration de l’article à la manière dont l’auteur a choisi de présenter les données. • Tableau

Illustration ➁ •

• Diagramme circulaire

Illustration ➂ •

• Diagramme en bâtonnets

Illustration ➀ •

Illustration ➃ •

• Image

Illustration ➄ •

• Diagramme à bandes

IG H T

(2) Pour mener à bien une étude statistique, on définit un sujet d’étude et on sélectionne un ensemble d’individus sur lequel portera l’analyse. Les données collectées sont alors classées, analysées et interprétées afin d’en tirer des conclusions. Lis l’indice et complète les tableaux portant sur chaque illustration de l’article. Quel est le sujet de l’étude statistique ? Quelle est la question posée ? variable statistique

La réponse à la question posée est-elle mesurable ? oui, ce sont des nombres → variable statistique quantitative

non, ce sont des mots

→ variable statistique qualitative

232

Illustration 1

population

Variable statistique

Illustration 2

À qui ou à quoi la question est-elle posée ?

Variable statistique

L’espèce d’oiseau

Type de variable

Qualitative

La distance parcourue lors de la marche

Type de variable

Quantitative

Population

Les participants à la marche

Les oiseaux observés sur la place du village

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 232

19/02/2026 15:05

La partie préférée du menu

Type de variable

Qualitative Les participants au repas

Variable statistique

Le type de végétal planté

Type de variable

Qualitative

Les végétaux plantés par les bénévoles

Population

Variable statistique

La note attribuée au gagnant du concours photo

Type de variable

Quantitative

Les membres du jury du concours photo

IG H T

Population

Illustration 3 Illustration 4 Illustration 5

Variable statistique

(3) Quelle est la principale différence entre les diagrammes des illustrations 3 et 5 ? La différence se situe au niveau de l’épaisseur des « bâtons ». Associe le type de diagramme avec le type de variable statistique. Illustration 3 : Diagramme à bandes (rectangles) Variable statistique qualitative

Illustration 5 : Diagramme en bâtonnets (segments)

Variable statistique quantitative

2. Deux questions ont été posées aux élèves d’une classe de première année. Question 1 : Combien d’animaux de compagnie possèdes-tu ? Question 2 : Quel animal de compagnie as-tu à la maison ? (1) Identifie la variable statistique qui découle de chaque question et précise son type.

Question 1 : Le nombre d’animaux de compagnie Variable quantitative

Question 2 : L’espèce d’animal de compagnie Variable qualitative

(2) Détermine la population. Les élèves d’une classe de première année

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 233

233

19/02/2026 15:05

3. Un club de tennis de table analyse l’âge de ses jeunes membres et récolte les données dans un tableau. Âge (en années)

Nombre de membres

(1) Identifie la variable statistique étudiée et précise son type.

L’âge du jeune membre − Variable quantitative Identifie la population. Les jeunes membres d’un club de tennis de table

Âge (en années)

10 8 6 4

12 11 10

Nombre de jeunes membres

IG H T

Nombre de jeunes membres

(2) Coche le diagramme qui présente correctement le résultat de cette récolte de données et justifie ton choix. 12 10 8 6 4 2 0

Nombre de jeunes membres

Âge (en années)

La variable statistique est quantitative. Le diagramme doit être un diagramme en

bâtonnets.

4. Indique en dessous de chaque graphique la variable statistique étudiée et précise son type. Couleur préférée des jeunes enfants

Nombre de personnes par foyer 7%

11 %

23 %

16 %

29 %

234

1 2 3 4 5 6 7

Rouge

Couleur préférée

Bleu Orange Vert Noir Rose Jaune 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Nombre de votes

Le nombre de personnes par foyer

La couleur préférée des jeunes enfants

Variable quantitative

Variable qualitative

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 234

19/02/2026 15:05

Nombre de joueurs/joueuses

Nombre de voix

4 3 2 1

Karim

Lise

Jude

Le (La) candidat(e) à l’élection

Variable quantitative

Alba

Candidat(e)

Nombre de lancers francs réussis

Le nombre de lancers francs réussis

Augustin

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Vote des élèves de 1re année pour l’élection de leur délégué(e)

Nombre de lancers francs réussis lors d’un entrainement d’une équipe de basket

Variable qualitative

IG H T

5. Une étude statistique s’intéresse à la manière dont les 1 041 médailles distribuées aux Jeux olympiques 2024 ont été réparties entre les différentes nations participantes.

J’ai été convoitée, disputée… Finalement, c’est la Belgique qui m’a remportée.

(1) Détermine la variable statistique et précise son type. La nation ayant remporté des médailles aux Jeux olympiques Variable qualitative

Détermine la population de cette étude statistique. Les médailles distribuées aux Jeux olympiques

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

235

(2) Observe le tableau reprenant, dans l’ordre alphabétique, les dix nations ayant remporté le plus de médailles aux Jeux olympiques de Paris en 2024, le nombre de médailles de chaque catégorie et réponds aux questions. Nombre de médailles d’or

Nombre de médailles d’argent

Nombre de médailles de bronze

Allemagne

Australie

Chine

Corée du Sud

États-Unis

France

Grande-Bretagne

Italie

Japon

Pays-Bas

Nation

126 64

IG H T

En Europe, on détermine le vainqueur des JO sur la base du nombre de médailles d’or remportées. Ce critère suffit-il à déterminer le pays vainqueur des JO 2024 ? Justifie. Non, car il y a une égalité entre la Chine et les États-Unis qui ont remporté le même

nombre de médailles d’or (40).

En cas d’égalité du nombre de médailles d’or, le classement européen prend en compte le nombre de médailles d’argent, puis, si nécessaire, celui de médailles de bronze. Détermine, sur la base de cette nouvelle information, le vainqueur des JO 2024. Explique ton choix. Les États-Unis ont remporté les JO 2024, car ils ont décroché plus de médailles

d’argent que la Chine (44 > 27).

Établis le classement européen des dix nations.

236

1. États-Unis

4. Australie

7. Grande-Bretagne

2. Chine

5. France

8. Corée du Sud

3. Japon

6. Pays-Bas

9. Italie

10. Allemagne

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 236

19/02/2026 15:05

(3) En dehors de l’Europe, le classement est parfois établi en fonction du nombre total de médailles remportées, sans distinction entre or, argent et bronze. Complète le diagramme à bandes horizontales présentant les cinq nations les plus médaillées (toutes catégories confondues), ensuite réponds aux questions. Les cinq nations les plus médaillées aux JO de Paris 2024

États-Unis

GrandeBretagne

Nation

Chine

Australie 0

France

100

110

120

130

IG H T

Nombre de médailles

Détermine, selon ce classement, la nation qui a remporté les JO de Paris en 2024 et le nombre total de médailles gagnées par cette nation. Les États-Unis ont remporté les JO de Paris en 2024 avec 126 médailles.

Calcule la différence de médailles entre la première et la deuxième nation du podium et explique ce qu’elle nous apprend sur la nation victorieuse. 126 − 91 = 35

Les États-Unis ont remporté 35 médailles de plus que la Chine.

Parmi les cinq nations les plus médaillées, détermine celles qui sont avantagées lorsqu’on prend en compte toutes les médailles confondues plutôt que les médailles d’or uniquement. La Grande-Bretagne (passe de la 7e a la 3e place). La France (passe de la 5e à la 4e place).

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 237

237

19/02/2026 15:05

modalité, effectif, fréquence et étendue

1. Dans l’article « Nature en fête », le quatrième paragraphe propose un tableau qui comptabilise le nombre de plantations réalisées par les bénévoles. (1) Trouve un titre à chacune des colonnes et note-le sur la première ligne du tableau. Nombre de plantations

Modalité

Effectif

Arbustes

Arbres fruitiers

Plantes mellifères

N 12

Plantes grimpantes Fleurs

Type de plantation

65 17

IG H T

Effectif total = 125

Lis l’indice puis indique les mots « modalité » ou « effectif » sur la deuxième ligne. Une modalité est une valeur qualitative ou quantitative prise par la variable statistique.

L’effectif d’une modalité est le nombre de fois que cette modalité apparait.

Calcule l’effectif total (somme des effectifs) et indique-le dans la dernière case du tableau.

(2) Construis un diagramme à bandes représentant ces données.

Ton diagramme à bandes doit comprendre… – un titre ; – un axe vertical (ou horizontal) nommé, orienté et gradué représentant les effectifs ; – une droite horizontale (ou verticale) nommée énumérant les modalités ; – une bande par modalité ; toutes de même largeur et séparées par un même espace.

238

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 238

19/02/2026 15:05

Plantations réalisées par les bénévoles

50 40 30

Nombre de plantations

Arbustes

Arbres fruitiers

Plantes grimpantes

Fleurs

Plantes mellifères

Type de plantation

IG H T

(3) Coche le diagramme circulaire correspondant à la répartition des plantations selon leur type et justifie ton choix.

Arbustes

Arbres fruitiers

Fleurs

Plantes mellifères

Fleurs

Arbustes

Arbres fruitiers

Fleurs Plantes grimpantes

Plantes grimpantes

Arbustes

Arbres fruitiers

Plantes grimpantes

Plantes mellifères

Dans le premier, il manque une modalité : les plantes mellifères. Dans le troisième, le secteur le plus grand correspond à la modalité « arbres fruitiers ». Or, ce n’est pas cette modalité qui possède le plus grand effectif.

2. Consulte le deuxième paragraphe de l’article concernant les oiseaux observés par les enfants et suis les consignes.

(1) Calcule l’effectif total. 12 + 25 + 10 + 8 + 15 + 5 + 7 = 82

(2) Détermine le rapport entre le nombre de corneilles noires et le nombre d’oiseaux observés. Exprime ta réponse sous la forme d’une fraction irréductible, d’un nombre décimal et d’un pourcentage (au pour cent près). 7 = 0,085 … ≅ 9 % 82 Ce nombre, exprimé en fraction, en nombre décimal et en pourcentage, correspond à la fréquence d’apparition des corneilles noires.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 239

239

19/02/2026 15:05

Espèce d’oiseau

Nombre d’oiseaux

Modalité

Effectif

Fréquence en fraction

Fréquence en nombre décimal

Fréquence en % (au % près)

Corneille noire

7 82

0,085…

10 82

0,121…

15 82

(3) Complète le tableau en classant les modalités dans l’ordre alphabétique.

18 %

25 82

0,304…

30 %

5 82

0,060…

Mésange bleue Moineau domestique

Pigeon ramier

0,182…

12 %

12 82

0,146…

15 %

8 82

0,097…

10 %

82 82

100 %

Rouge-gorge

IG H T

Pie bavarde

rustique

Hirondelle

Fréquence d’apparition des oiseaux

Je rédige mon procédé pour calculer la fréquence de chaque modalité

(4) Rédige une phrase complète en replaçant, dans son contexte, la fréquence présente dans le tableau.

240

6 % des oiseaux observés sont des pies bavardes.

15 82

15 oiseaux sur les 82 observés sont des mésanges bleues.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 240

19/02/2026 15:05

Pourcentage de marcheurs

Nombre de marcheurs

Modalité

Fréquence

Effectif

20 %

800 ⋅ 0,2 = 160

25 %

800 ⋅ 0,25 = 200

10 %

800 ⋅ 0,1 = 80

45 %

800 ⋅ 0,45 = 360

100 %

Distance parcourue (en km)

3. Consulte le premier paragraphe de l’article et suis les consignes. (1) Complète le tableau.

800

(2) Construis un diagramme en bâtonnets représentant ces données. Ton diagramme en bâtonnets doit comprendre…

IG H T

– un titre ;

– un axe vertical nommé, orienté et gradué représentant les effectifs ; – un axe horizontal nommé, orienté et gradué représentant les modalités ; – un segment vertical par modalité.

400 350 300 250 200 150 100

Nombre de marcheurs

Distance parcourue par les marcheurs

50 0

Distance parcourue (en km)

(3) Détermine le nombre de marcheurs ayant parcouru une distance inférieure à 10 km. 160 + 200 = 360 marcheurs (4) Justifie que plus de 50 % des marcheurs ont parcouru une distance supérieure à 10 km. 10 % + 45 % = 55 % et 55 % > 50 % CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 241

241

19/02/2026 15:05

(5) Calcule la différence entre la plus grande et la plus petite modalité. 20 − 5 = 15 Ce nombre est l’étendue des modalités. Interprète ce résultat en le replaçant dans son contexte.

L’écart entre la plus petite et la plus grande distance parcourue est de 15 km.

4. Voici le relevé des températures maximales journalières (en °C) enregistrées à Uccle durant un mois d’avril. 14

Modalité

(1) Complète le tableau.

IG H T

Température journalière maximale (en °C) Nombre de jours

Effectif

(2) Complète chaque phrase par le nombre approprié. Ensuite, interprète les notions présentées en les replaçant dans leur contexte. L’effectif de la modalité 14 est 3.

Durant ce mois d’avril à Uccle, une température journalière maximale de 14 °C a été enregistrée lors de trois journées.

L’étendue des modalités est 6. Durant ce mois d’avril à Uccle, l’écart entre la température journalière maximale

la plus élevée et la plus basse était de 6 °C.

L’effectif total est 30. À Uccle, la température journalière maximale a été enregistrée durant les 30 jours du mois d’avril.

La fréquence, exprimée par une fraction irréductible, de la modalité 16 est Durant ce mois d’avril à Uccle, 1 température journalière maximale sur 5 était

1 6 . 5 30

de 16 °C.

242

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 242

19/02/2026 15:05

5. Voici un tableau reprenant l’âge des danseurs hip-hop d’une école de danse. (1) Calcule les effectifs si tu sais qu’il y a quinze jeunes de 12 ans. Pourcentage de jeunes

Nombre de jeunes

Modalité

Fréquence

Effectif

20 %

60 ⋅ 0,2 = 12

25 %

35 %

60 ⋅ 0,35 = 21

15 %

60 ⋅ 0,15 = 9

N 60 ⋅ 0,05 = 3

100 %

Âge (en années)

4 ⋅ 15 = 60

(2) Quel est le plus grand écart d’âge observé chez ces danseurs ? 4 ans

IG H T

De quelle notion s’agit-il ? L’étendue

(3) Combien de danseurs ont 13 ans ? 21

De quelle notion s’agit-il ? L’effectif de la modalité 13 (4) Quel âge est associé à un groupe de 12 danseurs ? 11 ans

De quelle notion s’agit-il ? La modalité d’effectif 12

6. Une étude a montré que, parmi un groupe de jeunes utilisateurs des réseaux sociaux, 86 % regardent des photos, de courtes vidéos ou des stories, 68 % en commentent les contenus et seulement 21 % en publient. (1) Si tu additionnes les pourcentages présents dans cette situation, tu n’obtiens pas 100 %. Explique pourquoi.

Chaque jeune peut entrer dans plusieurs catégories. Certains jeunes, par exemple,

regardent des photos et en publient aussi.

(2) Détermine, si possible… la variable statistique : activité sur les réseaux sociaux le type de cette variable : qualitative la fréquence (en %) de commentaires de contenus : 68 % l’effectif total : impossible à déterminer (l’énoncé ne donne pas cette information) l’étendue : impossible à déterminer (la variable est qualitative)

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 243

243

19/02/2026 15:05

7. Deux classes de 3e année comptent le même nombre d’élèves. Les diagrammes représentent le moyen de transport utilisé par les élèves de ces deux classes pour se rendre à l’école.

Moyen de transport utilisé pour se rendre à l’école

à pied

à vélo 12 %

12 %

40 %

à vélo à pied

en voiture

en voiture en transports en commun

36 %

en transports en commun

Classe 3B

Moyen de transport

Classe 3A

IG H T

Nombre d’élèves

Détermine quelle classe compte le pourcentage le plus élevé d’élèves venant en voiture. Indique toute ta démarche. 4 + 6 + 8 + 7 = 25

Fréquence des élèves de 3A se rendant à l’école en voiture :

36 %

Nombre total d’élèves dans chaque classe :

Fréquence des élèves de 3B se rendant à l’école en voiture :

8 = 0,32 = 32 % 25

Le pourcentage d’élèves qui se rendent à l’école en voiture est plus élevé dans la classe

de 3A (36 % > 32 %).

244

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 244

19/02/2026 15:05

8. Les deux diagrammes représentent le style musical préféré des vingt élèves d’une même classe de 1re année. Préférence musicale des élèves d’une classe de 1re année rap

pop

électro

Préférence musicale des élèves d’une classe de 1re année 8

autres

25 %

5 4 3 2 1 0

rap

pop

électro

30 %

35 %

10 %

Nombre d’élèves

autres

Style musical

IG H T

Calcule les données manquantes et complète les diagrammes. Indique toute ta démarche. 6 30 = Fréquence (en %) de la modalité « pop » : = 30 % 20 100

Fréquence (en %) de la modalité « autres » : 100 % − (35 % + 30 % + 25 %)

35 % de 20 = 20 ⋅ 0,35 = 7

Effectif de la modalité « électro » :

25 % de 20 = = 20 ⋅ 0,25 = 20 : 4 = 5 10 % de 20 = = 20 ⋅ 0,1 = 20 : 10 = 2

Effectif de la modalité « rap » :

= 100 % − 90 % = 10 %

Effectif de la modalité « autres » :

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 245

245

19/02/2026 15:05

9. Un groupe de jeunes de 14 ans a été interrogé sur l’année scolaire d’acquisition de leur premier téléphone portable. Les résultats de ce sondage ont été présentés dans un diagramme circulaire. En indiquant toute ta démarche, calcule… (1) le nombre d’élèves interrogés.

5e primaire

40 % 48 élèves

Année scolaire d’acquisition du premier téléphone portable par des jeunes de 14 ans

(2) le nombre d’élèves ayant acquis leur téléphone portable en 6e primaire, sachant qu’il est trois fois plus élevé qu’en 1re secondaire.

6e primaire

IG H T

1re secondaire

(1) Nombre d’élèves interrogés : 40 % ↔ 48 élèves 20 % ↔ 24 élèves

100 % ↔ 120 élèves

Le nombre d’élèves interrogés est 120.

(2) Pourcentage d’élèves de 6e primaire et de 1re secondaire :

100 % − 40 % = 60 %

60 % : 4 = 15 %

Pourcentage d’élèves de 6e primaire :

15 % ⋅ 3 = 45 %

Nombre d’élèves de 6e primaire :

45 % de 120 = 120 ⋅ 0,45 = 54

Pourcentage d’élèves de 1re secondaire :

Sur les 120 élèves interrogés, 54 ont acquis leur premier téléphone portable

246

en 6e primaire.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 246

19/02/2026 15:05

moyenne

1. Une école compte sept classes de 1re année et quatre classes de 4e année. (1) Voici le relevé du nombre d’élèves par classe de 1re année. 24 – 19 – 20 – 21 – 18 – 22 – 23

Détermine le nombre total d’élèves de 1re année inscrits dans cette école. 24 + 19 + 20 + 21 + 18 + 22 + 23 = 147 Il y a 147 élèves inscrits en 1re année dans cette école.

Si toutes les classes de 1re année comptaient le même nombre d’élèves, calcule combien il y en aurait par classe puis complète la phrase.

Ce nombre est

Il y aurait 21 élèves par classe.

147 : 7 = 21 la moyenne

du nombre d’élèves de 1re année par classe.

IG H T

Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs

(2) Voici le relevé du nombre d’élèves de 4e année par classe. 27 – 24 – 26 – 25

Calcule la moyenne du nombre d’élèves par classe.

(27 + 24 + 26 + 25) : 4 = 102 : 4 = 25,5

La moyenne du nombre d’élèves de 4e année par classe est de 25,5.

Détermine le nombre de nouveaux élèves que l’école peut accueillir dans une cinquième classe de 4e année si le directeur souhaite que la moyenne du nombre d’élèves par classe soit de 24. Nombre total d’élèves à répartir dans les cinq classes :

5 ⋅ 24 = 120

Nombre de nouveaux élèves :

120 − 102 = 18

L’école peut accueillir 18 nouveaux élèves dans une cinquième classe de 4e année.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 247

247

19/02/2026 15:05

IG H T

Je rédige mon procédé pour déterminer la valeur manquante d’une série, connaissant la moyenne attendue

2. Voici la taille, en centimètres, des joueurs (joueuses) des équipes premières masculine et féminine d’un club de volleyball. Équipe masculine : 190 – 192 – 196 – 191 – 198 – 192 – 192 – 194 – 201 Équipe féminine : 177 – 179 – 176 – 168 – 175 – 180 – 173 – 177 – 172 – 173

(1) Calcule la taille moyenne des joueurs (joueuses) de chacune des deux équipes. (190 + 192 + 196 + 191 + 198 + 192 + 192 + 194 + 201) : 9 = 1 746 : 9 = 194 La taille moyenne des joueurs de l’équipe masculine est de 194 cm.

(177 + 179 + 176 + 168 + 175 + 180 + 173 + 177 + 172 + 173) : 10 = 1 750 : 10 = 175

La taille moyenne des joueuses de l’équipe féminine est de 175 cm.

(2) Calcule la taille moyenne des joueurs (joueuses) de l’ensemble des deux équipes. (1 746 + 1 750) : (10 + 9) = 3 496 : 19 = 184 La taille moyenne des joueurs (joueuses) des deux équipes est de 184 cm.

248

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 248

19/02/2026 15:05

(3) Une nouvelle joueuse est recrutée dans l’équipe féminine. Que peut-on dire de la taille de cette joueuse si la taille moyenne des onze joueuses est… inférieure à 175 cm ? La taille de la onzième joueuse est inférieure à 175 cm. égale à 175 cm ?

égale à 176 cm ?

La taille de la onzième joueuse est égale à 175 cm.

1 750

Total des tailles des onze joueuses :

11 ⋅ 176 = 1 936

Taille de la onzième joueuse :

1 936 − 1 750 = 186

La taille de la onzième joueuse est égale à 186 cm.

Total des tailles des dix joueuses actuelles :

3. Observe les températures minimales et maximales relevées à Uccle du 7 au 13 janvier 2025. Date

07/01 08/01 09/01 10/01 11/01 12/01 13/01 4,4

3,7

1,5

IG H T

Température maximale (en °C) Température minimale (en °C)

1,5

0,4

−0,4

3,0

−0,6

2,2

4,3

−3,1

−2,7

−0,5

−3,3

(1) Calcule la moyenne, arrondie au dixième près, des températures maximales relevées. (4,4 + 3,7 + 1,5 + 3 + (−0,6) + 2,2 + 4,3) : 7 = 18,5 : 7 = 2,64… ≅ 2,6 La température maximale moyenne, arrondie au dixième près, durant ces sept jours

de janvier est de 2,6 °C.

Cite les dates pour lesquelles la température maximale enregistrée est supérieure à cette moyenne. Précise la température relevée pour chacune de ces dates. 07/01 → 4,4 °C

08/01 → 3,7 °C

10/01 → 3,0 °C

13/01 → 4,3 °C

(2) Calcule la moyenne, arrondie au dixième près, des températures minimales relevées.

(1,5 + 0,4 + (−0,4) + (−3,1) + (−2,7) + (−0,5) + (−3,3)) : 7 = −8,1 : 7 = −1,15… ≅ −1,2 La température minimale moyenne, arrondie au dixième près, durant ces sept jours de janvier est de −1,2 °C.

Cite les dates pour lesquelles la température minimale enregistrée est supérieure à cette moyenne. Précise la température relevée pour chacune de ces dates. 07/01 → 1,5 °C

08/01 → 0,4 °C

09/01 → −0,4 °C

12/01 → −0,5 °C

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 249

249

19/02/2026 15:05

4. Voici les notes sur 20 obtenues par les 24 élèves d’une classe lors de leur dernière évaluation en mathématiques. 15

* élève absent

(1) Calcule, de deux manières différentes, la note moyenne des élèves ayant présenté l’évaluation. Explique chaque procédé et arrondis ta réponse au dixième près.

Procédé 1

J’additionne toutes les notes et je divise le total par le nombre d’élèves évalués. (14 + 15 + 16 + 14 + 12 + 14 + 9 + 8 + 19 + 20 + 8 + 17 + 14 + 8 + 16 + 19 + 19 + 12 + 8 + 15 + 10 + 17 + 15) : 23 = 319 : 23 = 13,86… ≅ 13,9

est de 13,9.

Procédé 2

IG H T

La note moyenne, arrondie au dixième près, des élèves ayant présenté l’évaluation

Je multiplie chaque note par le nombre d’élèves l’ayant obtenue, j’additionne

les résultats et je divise le total par le nombre d’élèves évalués. (4 ⋅ 14 + 3 ⋅ 15 + 2 ⋅ 16 + 2 ⋅ 12 + 1 ⋅ 9 + 4 ⋅ 8 + 3 ⋅ 19 + 1 ⋅ 20 + 2 ⋅ 17 + 1 ⋅ 10) : 23

= 319 : 23 = 13,86… ≅ 13,9

La note moyenne, arrondie au dixième près, des élèves ayant présenté l’évaluation est de 13,9.

(2) Entoure, dans le relevé, les notes supérieures à la moyenne de la classe. Combien en obtiens-tu ?

Il y a 15 élèves qui ont une note supérieure à la moyenne de la classe.

(3) Si l’élève absent avait été présent, quelle note aurait-il dû obtenir pour que la moyenne de la classe à cette évaluation soit de 14 ? Total des notes des 24 élèves : 24 ⋅ 14 = 336 Note obtenue par l’élève absent : 336 − 319 = 17 L’élève absent aurait dû obtenir 17/20 pour que la moyenne de la classe à cette évaluation soit de 14/20.

250

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 250

19/02/2026 15:05

5. À partir du tableau de distribution, calcule la moyenne, arrondie au dixième près, du nombre de buts marqués par l’Espagne lors de l’Euro 2024 de football. Effectif (Nombre de matchs)

(2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4) : 7 = 15 : 7 = 2,14… ≅ 2,1

Modalité (Nombre de buts marqués)

l’Euro 2024 est de 2,1.

La moyenne, arrondie au dixième près, du nombre de buts marqués par l’Espagne lors de

IG H T

Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs lorsque certains effectifs sont supérieurs à 1

6. Dans une entreprise qui emploie quinze personnes, deux personnes gagnent 2 090 €, huit personnes gagnent 2 376 €, deux personnes gagnent 2 640 €, une personne gagne 3 162 €, une personne gagne 3 861 € et une dernière personne gagne 5 236 €. Calcule le salaire moyen, arrondi au centime près, des salariés de cette entreprise.

2 ⋅ 2 090 + 8 ⋅ 2 376 + 2 ⋅ 2 640 + 1 ⋅ 3 162 + 1 ⋅ 3 861 + 1 ⋅ 5 236 = 40 727

40 727 : 15 = 2 715,133… ≅ 2 715,13 Le salaire moyen, arrondi au cent près, des salariés de cette entreprise est de 2 715,13 €.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 251

251

19/02/2026 15:05

7. Reprends l’article « Nature en fête » et suis les consignes. (1) À partir du tableau de distribution, calcule la distance moyenne parcourue par les « passionnés de plein air ». Nombre de marcheurs

160

200

360

Distance parcourue (en km)

= 10 560 : 800 = 13,2

(160 ⋅ 5 + 200 ⋅ 8 + 80 ⋅ 12 + 360 ⋅ 20) : 800

800

IG H T

La distance moyenne parcourue par chaque marcheur est de 13,2 km.

(2) Calcule, à l’unité près, le nombre moyen de plantations réalisées par chaque bénévole. (25 + 6 + 12 + 65 + 17) : 30 = 125 : 30 = 4,166… ≅ 4

Le nombre moyen de plantations réalisées par chaque bénévole est de 4.

(3) Vérifie, à l’aide d’un calcul, la moyenne, arrondie au centième près, des notes attribuées par les membres du jury au grand gagnant du concours photo nature. (1 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 + 3 ⋅ 9 + 7 ⋅ 10) : 15 = 136 : 15 = 9,066… ≅ 9,07 La moyenne, arrondie au centième près, attribuée est bien de 9,07.

252

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 252

19/02/2026 15:05

8. Le diagramme en bâtonnets représente le nombre de frères et sœurs des élèves d’une classe de 3e année.

11 9 7 5

Nombre d’élèves

Nombre de frères et sœurs des élèves d’une classe de 3e année

3 1 1

(1) Détermine la population. Les élèves d’une classe de 3e année.

Nombre de frères et sœurs

(2) Identifie la variable statistique étudiée et précise son type.

IG H T

Le nombre de frères et sœurs − Variable quantitative (3) Calcule puis rédige une phrase complète en replaçant, dans son contexte, la notion présentée. L’effectif total

6 + 11 + 5 + 2 + 1 = 25

Il y a 25 élèves dans cette classe.

La fréquence en pourcentage des élèves qui ont un frère ou une sœur

11 = 0,44 = 44 % 25

44 % des élèves de cette classe ont un frère ou une sœur.

L’étendue des modalités

4−0=4 Dans cette classe, l’écart entre le plus grand nombre de frères et sœurs et le plus petit est de 4.

Le nombre moyen de frères et sœurs par élève de cette classe (6 ⋅ 0 + 11 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4) : 25 = 31 : 25 = 1,24 En moyenne, chaque élève de cette classe a 1,24 frère ou sœur.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 253

253

19/02/2026 15:05

eXerCiCes ComPLémenTaires

1. Pour chaque document proposé dans le portfolio qui se trouve à la fin des exercices complémentaires, identifie la variable statistique, précise son type et détermine la population.

2. Parmi les documents du portfolio, identifie ceux qui sont ou peuvent être illustrés par…

(1) un diagramme à bandes. Justifie chaque choix.

(2) un diagramme en bâtonnets.

3. En t’aidant du document ➅ du portfolio, détermine les éléments demandés et interprète chaque réponse donnée en la replaçant dans son contexte.

IG H T

(1) L’effectif de la modalité 6. (2) La modalité de l’effectif 9. (3) L’effectif total.

(4) L’étendue des modalités.

(5) La fréquence, exprimée par une fraction irréductible, de la modalité 1.

(6) La fréquence, exprimée en pourcentage (au pour cent près), de la modalité 2.

4. Dans une classe de 24 élèves, on a posé la question suivante : « Parmi toutes les cuisines du monde, quelle est celle que tu préfères ? ». Un seul élève a répondu « grecque », 62,5 % des élèves ont répondu « italienne » et un huitième des élèves ont choisi « française ». Les autres élèves préfèrent la cuisine asiatique.

(1) Construis un tableau de distribution détaillé, structuré en cinq colonnes : modalité, effectif, fréquence en fraction irréductible, fréquence en nombre décimal (au millième près) et fréquence en pourcentage (au dixième de pour cent près) et complète-le. (2) Classe les types de cuisine par ordre de préférence des jeunes. (3) Construis le diagramme à bandes représentant les résultats de ce sondage.

5. Lors d’une évaluation de vocabulaire sur 20, Pierre a obtenu la meilleure note de sa classe avec un 18. L’étendue des notes étant de 13, quelle est la note la plus basse obtenue par au moins un élève ?

254

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 254

19/02/2026 15:05

6. Aide-toi du document ➄ du portfolio pour répondre aux questions. (1) La fréquence, en pourcentage, de la modalité deux étoiles (**) est-elle plus importante en France ou en Belgique ? (2) Prouve que l’écart entre la fréquence de la modalité une étoile (*) des deux pays est inférieur à 1 %.

Top 5 des restaurants étoilés Michelin

(3) Les cinq pays possédant le plus grand nombre de restaurants étoilés en 2024 dans le guide Michelin sont la France (639), le Japon (393), l’Italie (392), l’Allemagne (313) et l’Espagne (269). Choisis le diagramme circulaire représentant ce top 5 et justifie ton choix.

Espagne

Allemagne

France

Allemagne

IG H T

Italie

France

Espagne

Italie

Japon

(4) En 2024, le guide Michelin a recommandé 3 000 restaurants en France et 792 en Belgique. Sachant qu’il a récompensé d’une étoile (*) 119 restaurants en Belgique, lequel des deux pays obtient le pourcentage le plus élevé de restaurants récompensés par rapport aux restaurants recommandés ?

7. Les Belgian Cats ont remporté l’EuroBasket féminin en 2025. Elles ont marqué respectivement 81, 87, 72, 83, 66 et 67 points lors des différents matchs. Détermine la moyenne des points marqués.

8. Voici la liste des âges (en années) des onze candidats aux élections, enregistrée la veille du scrutin. 44, 21, 68, 18, 33, 55, 52, 71, 27, 39 et 47 ans. (1) Calcule la différence d’âge entre le candidat le plus âgé et le candidat le plus jeune. De quelle notion statistique s’agit-il ? (2) Le parti affirme avoir davantage de candidats plus jeunes que l’âge moyen que de candidats plus âgés. Montre que cette affirmation est fausse. (3) Le parti souhaite ajouter un douzième candidat. Pour obtenir une moyenne d’âge de 45 ans, calcule l’âge que devrait avoir ce nouveau candidat.

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

255

9. Détermine, quand cela est possible, la moyenne (au centième près) et l’étendue des situations présentées dans le portfolio.

(1) Calcule le nombre total de smartphones vendus par la boutique la semaine dernière.

Android 12 15 10 18 20 25 8

iOS 8 10 12 7 15 18 5

(2) La direction de la boutique a un objectif : la moyenne journalière totale des ventes doit être d’au moins 25 smartphones. La boutique a-t-elle atteint cet objectif la semaine dernière ? Justifie ta réponse.

Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche

10. Une boutique spécialisée dans la vente de smartphones a enregistré le nombre d’appareils vendus chaque jour de la semaine dernière, en distinguant les ventes par type de système d’exploitation (Android ou iOS).

(3) Calcule, à l’unité près, le nombre de smartphones vendus en moyenne par jour pour chaque système d’exploitation.

IG H T

11. Des élèves ont voté pour leur type de jeu vidéo préféré. En utilisant le diagramme circulaire présentant les résultats du vote et en sachant que 21 élèves ont choisi les jeux de simulation, construis un tableau de distribution comportant trois colonnes (modalité, effectif et fréquence en pourcentage) et complète-le. Type de jeu vidéo préféré des élèves

40 %

Action

Sports

Aventure

Simulation

256

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 256

19/02/2026 15:05

12. Une chaine de télévision a organisé une soirée caritative afin de venir en aide à cinq associations choisies par le public. Le montant total récolté s’élève à 100 000 €. Les diagrammes présentent le partage effectué entre les différentes associations. Complète les deux bandes manquantes du second diagramme. Explique toute ta démarche. Partage des gains entre les cinq associations

Partage des gains entre les cinq associations 35 000

L’envol solidaire

20 000 15 000 10 000

Les tisseurs de liens Racines et avenir

L’envol solidaire

Racines et avenir

Les tisseurs de liens

Voix créatives

Impulsion santé

Association

Voix créatives

5 000

IG H T

Impulsion santé

25 000

20 %

Montant distribué

30 000

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 257

257

19/02/2026 15:05

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 258

19/02/2026 15:05

26 15:05

PorTFoLio 1

Loisir préféré d’un groupe d’étudiants d’une université

Musique / Concerts

Loisir

Jeux vidéo Cinéma / Séries Lecture

Sport

Autres loisirs 10

Nombre d’étudiants

IG H T

Un artisan boulanger contrôle ses biscuits en pesant, un à un, un échantillon de 500 pièces. Il calcule une masse moyenne de 25 g et une étendue de 4 g.

Nombre d’élèves

Nombre de jours d’absence des élèves d’une classe de 2e durant le mois d’avril

PY O C

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Nombre de jours d’absence

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 259

259

19/02/2026 15:05

En tant que concessionnaire, Tom a relevé la couleur des voitures qu’il a vendues au cours de l’année précédente. Bleu

Vert

Gris

Noir

Blanc

Rouge

Autres

Nombre de voitures

Le guide Michelin est un célèbre guide gastronomique qui récompense certains restaurants en leur attribuant une étoile (*), deux étoiles (**) ou trois étoiles (***). Les diagrammes représentent les récompenses décernées en France et en Belgique en 2024.

Couleur

Récompense Michelin décernée aux restaurants français

IG H T

534

500 400

300 200 100

83,22 %

** *** Récompense décernée

***

1,40 %

15,38 %

Nombre de restaurants

600

Récompense Michelin décernée aux restaurants belges

Le tableau présente les résultats d’un sondage portant sur le nombre de films vus au cinéma par des jeunes de 12 ans au cours de l’année écoulée.

260

Nombre de films

Nombre de jeunes

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 260

19/02/2026 15:05

Sujet de l’étude statistique Pointure des paires de chaussures dans unearmoire armoire d’une

À qui ou à quoi la question est-elle posée ? Population : Les paires de chaussures d’une armoire Individu : Une paire de chaussures

IG H T

Quelle est la question posée ? Variable : Pointure des paires de chaussures

Série statistique 45 45 38 38 38 24 38 38 45 25 25 26 45 38

CÔTé PraTiQUe

La variable est-elle mesurable ? Type de variable : Quantitative

Quelles valeurs prend la variable ? Modalités : 24, 25, 26, 38, 45

Combien d’individus compte la population ? Effectif total : 14

Modalité 24 25 26 38 45

Quel est le rapport entre le nombre d’apparitions de la pointure 45 et celui de l’ensemble des pointures ? Fréquence de la modalité 45 : • en fraction : 4 14 • en nombre décimal : 0,285…

Tableau de distribution

Quel est le nombre de répétitions de la pointure 38 ? Effectif de la modalité 38 : 6

Effectif 1 2 1 6 4 14

• en pourcentage, au pour cent près : 29

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 261

261

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Diagramme en bâtonnets

Pointure des paires de chaussures d’une armoire

Diagramme circulaire

7% 43 %

5 4 3 2 1 0

24 25 26

Pointure

IG H T

14 %

29 %

Nombre de paires de chaussures

Moyenne

Quel est l’écart entre la plus grande et la plus petite modalité ? Étendue : 45 − 24 = 21

Première méthode (45 + 45 + 38 + 38 + 38 + 24 + 38 + 38 + 45 + 25 + 25 + 26 + 45 + 38) : 14 = 508 : 14 = 36,285… ≅ 36,29 On additionne toutes les valeurs de la série et on divise la somme par l’effectif total. On arrondit éventuellement la réponse à la précision demandée.

Deuxième méthode (1 ⋅ 24 + 2 ⋅ 25 + 1 ⋅ 26 + 6 ⋅ 38 + 4 ⋅ 45) : 14 = 508 : 14 = 36,285… ≅ 36,29 On multiplie chaque modalité par son effectif, on additionne les produits obtenus et on divise la somme par l’effectif total. On arrondit éventuellement la réponse à la précision demandée.

262

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 262

19/02/2026 15:05

Série statistique Blanche Blanche

Multicolore Brune Noire Multicolore

Blanche Rouge

À qui ou à quoi la question est-elle posée ? Population : Les paires de chaussures d’une armoire Individu : Une paire de chaussures

IG H T

Quelle est la question posée ? Variable : Couleur des paires de chaussures

Blanche Brune

Noire Multicolore

Noire Noire

Sujet de l’étude statistique Couleur Couleurdes despaires pairesdedechaussures chaussuresdans d’une unearmoire armoire

La variable est-elle mesurable ? Type de variable : Qualitative

Quelles valeurs prend la variable ? Modalités : Noire, Blanche, Multicolore, Brune, Rouge

Tableau de distribution

Modalité Blanche Brune Multicolore Noire Rouge

Effectif 4 2 3 4 1 14

Combien d’individus compte la population ? Effectif total : 14 Quel est le nombre de répétitions de la couleur « noire » ? Effectif de la modalité « noire » : 4 Quel est le rapport entre le nombre d’apparitions de la couleur « brune » et celui de l’ensemble des couleurs ? Fréquence de la modalité « multicolore » : • en fraction : 3 14 • en nombre décimal : 0,214… • en pourcentage, au pour cent près : 21 %

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 263

263

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Diagramme à bandes Couleur des paires de chaussures d’une armoire

Rouge

Noire

3 2

Multicolore

Couleur

Brune

Nombre de paires de chaussures

Couleur des paires de chaussures d’une armoire

Blanche

IG H T

Ro u

oi N

lo ico

ult M

e un Br

Nombre de paires de chaussures

Couleur

Diagramme circulaire

Couleur des paires de chaussures d’une armoire

21 %

29 %

Brune Multicolore

14 %

Noire Rouge

29 %

Blanche

Quel est l’écart entre la plus grande et la plus petite modalité ? Étendue : impossible à déterminer, car la variable est qualitative. Moyenne Impossible à déterminer, car la variable est qualitative.

264

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 264

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CÔTé THéoriQUe notion

définition Branche des mathématiques qui permet de collecter, d’organiser, d’analyser, d’interpréter et de présenter des données.

Population

Ensemble des individus (personnes, objets…) sur lequel porte une étude statistique.

Variable statistique

Caractéristique étudiée.

Variable statistique qualitative

Variable statistique dont les différentes modalités ne sont pas mesurables et sont exprimées par des mots.

Variable statistique quantitative

Variable statistique dont les modalités sont mesurables et sont exprimées par des nombres.

Modalité

Valeur ou catégorie prise par la variable statistique.

IG H T

Statistique

Effectif d’une modalité

Nombre d’apparitions de cette modalité.

Effectif total

Nombre total d’individus de la population (= somme des effectifs).

Fréquence d’une modalité

Rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total. La fréquence peut s’exprimer sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage. Écart (ou différence) entre la plus grande et la plus petite modalité.

Moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative

Valeur qu’aurait chaque modalité si la somme de toutes les modalités était répartie de manière équitable.

Étendue des modalités d’une série statistique quantitative

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

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265

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 266

19/02/2026 15:05

IN VA

NATURE EN FÊTE

Un weekend qui a mis tout le village au vert !

IG H T

Dans un charmant village de Wallonie, la nature était à l’honneur lors d’un weekend mémorable. Grâce à l’initiative d’un groupe de bénévoles dynamiques, des activités variées ont permis de célébrer la beauté et l’importance de l’environnement. Pour la quatrième année consécutive, cet évènement, organisé chaque premier weekend de mai, s’est imposé comme un rendez-vous incontournable pour petits et grands.

➀ Répartition des participants selon la distance parcourue

Une balade nature pour petits et grands

20 %

Dès le samedi matin, 800 passionnés de plein air se sont élancés sur les différents itinéraires soigneusement tracés par des bénévoles. Chacun a pu explorer les trésors naturels de la région, profitant de parcours adaptés à tous les niveaux.

Moineau domestique 25

5 km

Hirondelle rustique 10

Mésange bleue 15

Rouge-gorge 8 5 Pie bavarde

25 % 10 %

➁ Espèces d’oiseaux observés par les enfants

Pigeon ramier

45 %

8 km

12 km

20 km

Des ornithologues en herbe Samedi après-midi, les enfants ont rivalisé de créativité en fabriquant de jolis nichoirs, avant de jouer aux petits ornithologues en comptant les oiseaux qui venaient se poser sur les branches des arbres de la place du village.

7 Corneille noire CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

MathsPerspectives_001_424.indb 267

267

19/02/2026 15:05

➂ Préférence culinaire des participants Banquet des Herbes folles Samedi soir, 68 convives se sont réunis pour le « Banquet des Herbes folles » : un repas hors du commun mettant à l’honneur les plantes sauvages. Chacun a choisi les mets qui éveillaient le plus sa curiosité : pesto d’orties, velouté de plantain, tarte aux fleurs de sureau… Une expérience gustative surprenante, où la nature s’invite à table. Entrée froide

Entrée chaude

Plat principal

Nombre de personnes

au « Banquet des Herbes folles »

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Dessert

Partie du menu

➃ Plantations réalisées par les bénévoles

Des bénévoles motivés

Arbustes

Arbres fruitiers

Plantes grimpantes

Fleurs

Plantes mellifères

IG H T

Dimanche matin, la solidarité était mise à l’avant-plan. Trente bénévoles motivés se sont retroussé les manches pour embellir les espaces verts du village. Plantations, entretien… ils ont offert un véritable coup de jeune à ces lieux de convivialité.

➄ Répartition des notes attribuées au gagnant 8

Concours de photos nature

7 6

5 4 3 2 1 0

Nombre de membres du jury

par les membres du jury

Note

Le weekend s’est conclu sur une note captivante avec l’annonce du grand gagnant du concours photo nature. Les clichés des participants ont été minutieusement évalués par le jury, qui leur a attribué des notes sur 10. Le vainqueur s’est distingué par son talent exceptionnel, décrochant une impressionnante moyenne de 9,07/10.

268

CHAPITRE 7 TraiTemenT de données

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19/02/2026 15:05

CHAPITRE 8

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

PÉRIMÈTRE ET AIRE DE FIGURES PLANES p. 271

Question de réflexion p. 219

Périmètre de polygones p. 273

Exercice 5

IG H T

La question de réflexion proposée en ouverture de chapitre s'appuie sur les acquis antérieurs des élèves. En calculant le périmètre et l'aire des potagers composés de parcelles carrées ou rectangulaires, les élèves sont amenés à faire une observation fondamentale : des figures géométriques peuvent avoir une aire identique tout en présentant des périmètres différents. Cette observation nourrit leur réflexion sur les propriétés des figures.

p. 221

Dans cet exercice, les élèves mobilisent leurs acquis dans une situation contextualisée. Après avoir analysé avec attention le codage de chaque figure, ils peuvent en calculer le périmètre de deux manières différentes : soit ils additionnent successivement les longueurs de chaque côté et écrivent une somme de plusieurs termes (forme longue), soit ils regroupent les segments de même longueur et écrivent une somme de plusieurs produits (forme simplifiée). Cette flexibilité de calcul permet de renforcer la compréhension du concept de périmètre tout en introduisant une première approche de la simplification d'expressions.

Périmètre du cercle

Il est important que les élèves différencient les notions de cercle et de disque, qui seront utilisées respectivement pour le calcul du périmètre (point B) et de l’aire (point D). Le cercle désigne la ligne courbe fermée. On peut mesurer sa longueur, qu’on appelle périmètre ou circonférence. Le disque désigne la surface plane délimitée par le cercle. On peut mesurer sa superficie, qu’on appelle aire. p. 274-275

p. 221 à 223

Exercice 1 (1) Pour comprendre le lien entre le périmètre d’un cercle et son diamètre, les élèves sont amenés à réaliser une manipulation concrète, seuls ou en groupe. À l’aide de bandes souples, ils mesurent le contour de cercles de tailles variées, puis consignent leurs résultats dans un tableau de mesures. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. G75

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

(2) et (3) Cette démarche expérimentale les amène à calculer le rapport entre le périmètre et le diamètre de chaque cercle. Selon la précision des mesures et la rigueur de la manipulation, les rapports obtenus varient légèrement, mais se situent généralement entre 3,1 et 3,2. L’essentiel est de faire émerger l’idée que le périmètre d’un cercle est un peu plus de trois fois supérieur à son diamètre.

p. 224

p. 276

(4) Les élèves découvrent le nombre π, représentant le rapport constant entre le périmètre d’un cercle et son diamètre. L’introduction historique souligne la fascination millénaire pour cette constante. Bien que couramment simplifié, au quotidien, à sa valeur approchée de 3,14, π reste le nombre décimal illimité non périodique le plus emblématique de l’histoire des mathématiques. Il peut être intéressant de faire le lien (sans le formaliser) avec le chapitre 1. Jusqu’à présent, les élèves ont rencontré des nombres entiers, décimaux limités ou illimités périodiques (nombres rationnels). Ils découvrent ici un nouveau type de nombres, les décimaux illimités non périodiques, qu’ils pourront plus tard inclure dans l’ensemble des nombres irrationnels.

Exercice 2

IG H T

(1) et (2) La formule du périmètre d’un cercle est généralisée avec le diamètre (P = π ⋅ d) et avec le rayon (P = π ⋅ 2 ⋅ r). Toutefois, par convention et pour faciliter la mémorisation, on privilégie généralement l’écriture P = 2 ⋅ π ⋅ r. L’ordre des facteurs dans cette formule pourra être mis en relation avec les conventions algébriques, pour lesquelles le coefficient précède la variable. (3) Les élèves explorent la valeur de π à l'aide de leur calculatrice qui affiche généralement une approximation à 10 chiffres significatifs (3,141 592 654). En comparant cet affichage avec celui d'autres outils (téléphones portables ou ordinateurs) offrant une précision supérieure, ils constatent que les résultats numériques sont toujours des arrondis. Cette confrontation souligne la nature illimitée du nombre et amène les élèves à noter sa valeur sous la forme : π = 3,141 592 653…

Dans les exercices faisant appel à ce nombre, il est judicieux d’utiliser la touche π de la calculatrice et d’arrondir uniquement le résultat final, lorsque cela est demandé. p. 277

p. 224

Exercice 4

Les élèves doivent d’abord faire preuve de vigilance quant aux unités utilisées, le centimètre étant ici le plus approprié. Afin de résoudre le problème, deux démarches sont envisageables. Les élèves peuvent déterminer le périmètre total de chaque modèle afin d'en déduire le nombre de convives par division ou opter pour une approche plus stratégique en calculant directement l'écart entre les deux périmètres. Puisque cette différence excède 60 cm, les élèves en déduisent immédiatement qu'un convive supplémentaire peut être accueilli sur le second modèle. p. 277

p. 224

Exercice 5 Cet exercice met en évidence l'importance de la gestion des arrondis. Si les élèves arrondissent les périmètres intermédiaires, ils obtiennent des résultats finaux surestimés (par exemple, 433 tours au lieu de 432 pour la roue de 29 pouces). Il est donc essentiel de leur apprendre à G76

Aire de figures simples p. 278

p. 225

1" = 25,4 mm

Pour donner du sens à cette unité anglo saxonne, encore utilisée chez nous pour certains objets du quotidien (comme les roues ou les écrans), l’enseignant(e) peut expliquer qu’elle tire son origine d’une mesure corporelle : le pouce correspondait initialement à la longueur de la phalange distale (qui porte l’ongle) du pouce d’un homme, soit environ 2,54 cm.

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

n'arrondir que la réponse finale pour éviter tout écart significatif. Par ailleurs, cette situation est l'occasion d’amener les élèves à mieux maitriser l’usage de leur calculatrice, notamment en apprenant à entrer des séquences de calculs complexes et à utiliser les mémoires de l’outil pour enchainer les opérations sans perte de précision.

Exercice 1

p. 279 Exercice 2

IG H T

Afin de faire le lien entre les formules d’aire des figures usuelles et celle du rectangle, les élèves découpent les figures et utilisent les morceaux pour former des rectangles. Les solutions proposées ne sont pas uniques, mais peu importe la façon dont les figures sont divisées (avec un minimum de coups de ciseaux), il faut parvenir à recouvrir exactement chaque rectangle. Le lien s’établit alors facilement entre la longueur et la largeur du rectangle et les éléments propres au parallélogramme, au triangle, au losange et au trapèze. p. 226

La consigne précise que les élèves ne peuvent pas mesurer les segments.

(1) Pour construire un triangle de même aire qu’un triangle donné, il suffit de conserver une base du triangle initial et de tracer une parallèle à celle-ci passant par le sommet opposé. Le troisième sommet du nouveau triangle se trouve n’importe où sur cette droite.

(2) Pour construire un parallélogramme de même aire qu’un rectangle, il suffit de conserver une des deux longueurs (supérieure ou inférieure) du rectangle comme base du parallélogramme et de prolonger l’autre. La largeur du rectangle devient alors la hauteur du parallélogramme. Il suffit ensuite de tracer deux nouveaux côtés parallèles entre eux, mais non perpendiculaires à la base.

(3) Pour construire un rectangle de même aire qu’un losange, il suffit d’imaginer des découpes et des déplacements de pièces. Les découpes s’effectuent selon l’une des diagonales, la grande diagonale (Fig. 1) ou la petite diagonale (Fig. 2), ainsi que selon la perpendiculaire à celle-ci passant par le sommet opposé.

Fig. 1

Fig. 2 G77

p. 279

p. 226

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

(4) Pour construire un rectangle de même aire qu’un trapèze rectangle, il suffit d’imaginer une découpe et un déplacement de pièce. La découpe s’effectue selon la perpendiculaire aux bases passant par le milieu du côté oblique. Pour permettre aux élèves de réaliser cette manipulation avec précision sans avoir à mesurer, le milieu de ce segment est déjà placé sur la figure.

Exercice 3

Afin de faciliter les calculs, certaines longueurs, théoriquement exprimées par des nombres décimaux illimités, sont arrondies à 0,1 cm près. Dans cet exercice les élèves doivent être particulièrement attentifs à la figure qui leur est proposée. Ils doivent trier les données pour extraire les mesures utiles et ils doivent pouvoir s’adapter à des figures présentées sous des orientations non conventionnelles.

p. 280

p. 227

Exercice 4

IG H T

(2) Le triangle est rectangle en B, ce qui permet aux élèves de marquer l’angle droit et d’utiliser les côtés [AB] et [CB] comme base et hauteur. Cependant, ils peuvent également utiliser la hauteur relative à l’hypoténuse, celle-ci étant tracée et mesurée. La confrontation de ces deux méthodes permet de vérifier que l’aire d’une figure reste invariante, quel que soit le choix des segments de référence.

Les élèves calculent l’aire du cerf-volant en additionnant l’aire des deux triangles ABD et BCD. La position précise du point O sur la diagonale [BD] n’étant pas donnée, il est impossible de calculer l’aire du cerf-volant en additionnant les aires des deux triangles ABC et ADC ou celles des quatre triangles ABO, BCO, CDO et ADO. Une vérification par calcul leur permet ensuite de constater que la formule de l’aire du cerf-volant est identique à celle du losange.

Une variante intéressante consiste à inscrire le cerf-volant dans un rectangle. En divisant alors l’aire du rectangle par deux, les élèves retrouvent celle du cerf-volant. Cette autre démarche fait le lien avec l’exercice d’introduction qui a permis de retrouver la formule de l’aire du losange. A D

O C

G78

p. 227 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 280-281 Exercice 5

Les élèves sont invités à réaliser un croquis afin de mieux s’approprier la situation et de déterminer si les données sont suffisantes pour calculer l’aire demandée.

p. 227

p. 281

(5) La solution proposée consiste à calculer l’aire du carré en le considérant comme un losange particulier. Cependant, les élèves peuvent aussi utiliser les propriétés des diagonales du carré (perpendiculaires et se coupant en leur milieu) pour calculer l'aire des quatre triangles rectangles ainsi formés. Chaque triangle a alors une base et une hauteur de 2 cm (correspondant à la moitié d'une diagonale).

Exercice 6

Cet exercice prépare, de manière intuitive, à la résolution d’équations, qui sera proposée dans le chapitre 9. L’enseignant(e) peut verbaliser la recherche en demandant, par exemple, par quel nombre multiplier une largeur de 5 cm pour obtenir une aire de 30 cm2. Il (Elle) peut également s’appuyer sur des graphes fléchés pour modéliser le problème, guidant ainsi les élèves vers l'opération inverse et la solution. (2)

⋅5

(3)

3 200

b = 3 200 : 80 = 40 mm

A 6

12 :3

⋅2

h = 6 ⋅ 2 : 3 = 4 dm

L = 30 : 5 = 6 cm

: 80

⋅3

⋅ 80

IG H T

(1)

p. 282

p. 227

Exercice 7

Bien que la réalisation de croquis ne soit pas imposée, ils s’avéreront utiles pour certains élèves. C’est un excellent moyen de visualiser et de distinguer ce qu’on connait de ce qu’on cherche. (2) et (3) Les élèves pourraient envisager d’autres valeurs pour les longueurs manquantes. Néanmoins, celles proposées sont volontairement simples et entières. Ce choix permet de faciliter le tracé, car les dimensions proposées garantissent que la figure finale s'insère parfaitement dans l'espace de construction prévu sur la feuille.

G79

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 283

p. 228

Exercice 8 Les élèves mobilisent la notion d’aire dans un contexte concret du quotidien. Ce calcul, volontairement simple, permet de réinvestir la formule de l’aire du rectangle et d’en comprendre l’utilité pratique dans le secteur immobilier. En effectuant la conversion de la surface, les élèves établissent un lien direct avec les mesures agraires (l'are), ancrant ainsi les mathématiques dans des pratiques réelles.

p. 228

p. 283

D Aire du disque

Exercice 1

Grâce au découpage, les élèves peuvent relier la formule de l’aire du disque à celle du rectangle. L’animation Geogebra, disponible via Capture et sur iDiddit, vient compléter la démarche et montre que plus les secteurs sont petits et nombreux, plus l’aire du disque se rapproche de celle du rectangle, jusqu’à s’y superposer.

p. 284 Exercice 3

IG H T

Les élèves constateront facilement que la largeur du rectangle est égale au rayon du disque et que sa longueur est égale à la moitié de son périmètre. Cependant, compléter la formule sera moins évident, les expressions algébriques n’ayant pas encore été travaillées. Il sera sans doute nécessaire d’accompagner les élèves lors de cette étape. p. 228

La solution propose de calculer la surface gravée en soustrayant directement l’aire du petit disque de celle du grand. Les élèves peuvent cependant procéder par étapes en calculant chaque aire séparément avant de les soustraire. Il est à nouveau utile de rappeler d’utiliser correctement sa calculatrice pour enchainer les opérations et d’arrondir uniquement la réponse finale demandée. Donner un arrondi au mm2 près peut être interprété comme au centième de cm2 près. Dans ce cas, la réponse est 628,32 cm2. Cependant, la réponse exprimée directement en millimètres carrés, soit 62 832 mm2, est également exacte.

Aire et périmètre de figures complexes

p. 285

p. 229

Exercice 1 (1) Pour déterminer le prix à payer pour la location de chaque parcelle, les élèves doivent associer chacune d’elles à une figure simple : carré, rectangle, trapèze ou triangle. Ils doivent ensuite interpréter le schéma afin d’en extraire les dimensions utiles au calcul de son aire.

G80

Pour calculer l’aire de la parcelle ④, plutôt qu’utiliser la formule de l’aire du triangle, les élèves peuvent utiliser une autre stratégie : retirer l’aire de la parcelle ③ de l’aire de la parcelle ②.

p. 286

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Une fois les aires calculées, les élèves utilisent le tableau des prix pour associer, à chaque parcelle, le montant correspondant à sa superficie. p. 230

Exercice 2

p. 230

p. 287

Les élèves schématisent le toit : ils y délimitent la zone centrale destinée aux panneaux photovoltaïques ainsi que la zone de sécurité de 50 cm sur chaque bord. Ils déterminent ensuite l'aire totale du toit et celle de la bordure. Pour cette dernière, ils peuvent soit procéder par différence d'aires, soit la calculer directement en la décomposant en quatre rectangles distincts. Enfin, ils calculent le pourcentage que représente cette bordure par rapport à la surface totale.

Exercice 3

Pour calculer l’aire d’une figure complexe, la méthode la plus courante consiste à la décomposer en figures géométriques simples dont les formules de calcul d’aire sont connues. Dans cet exercice, la terrasse peut être découpée en trois parties : un demi-cercle, un trapèze et un rectangle.

p. 288 Exercice 4

IG H T

Il est, une nouvelle fois, utile de conseiller aux élèves de ne pas réinitialiser la calculatrice entre chaque étape. En enchainant les calculs sans effacer les résultats intermédiaires, les élèves utilisent les valeurs exactes, ce qui évite les erreurs d’arrondi et la réécriture fastidieuse de longues suites de décimales. p. 230

La situation de la piscine circulaire fait écho à l’activité d’introduction du point B, dans laquelle les élèves ont manipulé des bandelettes pour comprendre comment mesurer et calculer le périmètre d’un cercle.

Pour calculer l’aire latérale de la piscine, les élèves doivent imaginer qu’on déplie sa paroi verticale pour la poser à plat. La figure simple ainsi obtenue est un rectangle dont la longueur correspond au contour de la piscine (périmètre du cercle) et dont la largeur est égale à la hauteur de la piscine.

G81

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 288-289

p. 230-231

Exercice 5 Les élèves mobilisent deux stratégies pour calculer l’aire d’une figure complexe. Soit ils la décomposent en figures simples et additionnent leurs aires (méthode additive), soit ils calculent l’aire d’une figure englobante et retirent ensuite les aires des parties excédentaires (méthode soustractive).

Autres solutions possibles pour le calcul de l’aire des deux premières figures Figure 1 4,5 m

15 m

➁

aire ① + aire ② + aire ③

= 4,5 ⋅ 4,5 + 13,5 ⋅ 6 + 4,5 ⋅ 4,5 = 20,25 + 81 + 20,25 = 121,5 m2

➀ 9m

IG H T

➂ 4,5 m

➀

aire du grand rectangle – (aire ① + aire ②) = 13,5 ⋅ 15 – (9 ⋅ 4,5 + 9 ⋅ 4,5)

15 m

= 202,5 – (40,5 + 40,5) = 202,5 – 81

➁

= 121,5 m2

13,5 m

Figure 2

50 cm = 0,5 m

➁

➀

➂

➃

G82

➄

1,5 m

aire ① + aire ② + aire ③ + aire ④ + aire ⑤

= 0,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 1,5 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5

= 0,25 + 0,25 + 0,75 + 0,25 + 0,25 = 1,75 m2

50 cm = 0,5 m GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

aire du grand carré – aire des deux petits carrés = 1,5 ⋅ 1,5 – 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 1,5 m

= 2,25 – 0,5 = 1,75 m2

p. 231

p. 289 Exercice 6

Pour calculer le périmètre de la figure, les élèves repèrent les triangles équilatéraux et déterminent la mesure de leurs côtés. Dans le solutionnaire, afin de ne pas surcharger l’illustration, seules les mesures des segments constituant le contour extérieur de la figure sont indiquées.

Afin de faciliter la vérification des étapes intermédiaires, voici une version détaillée de la figure répertoriant l'ensemble des mesures, y compris les segments de 1 cm et 2 cm obtenus par déduction, afin de bien distinguer les côtés intérieurs du contour extérieur. 5 5

3 3

p. 232

Exercice 7

2 11 1

p. 289

IG H T 5

Le croquis permet aux élèves de visualiser que le rayon du cercle correspond à la largeur du rectangle, donnée indispensable pour calculer son périmètre. p. 232

p. 290

Exercice 8

Dans chaque cas, les élèves doivent reconnaitre les deux figures imbriquées et déterminer les dimensions manquantes (rayons ou diagonales) à partir des indices visuels et des codages fournis. Ils appliquent ensuite la stratégie de soustraction d’aires. (1) Grand disque : Petit disque :

d = 5 + 1,5 = 6,5 cm d = 5 cm

r = 6,5 : 2 = 3,25 cm r = 5 : 2 = 2,5 cm

(2) Grand losange : Petit losange :

D = 1,5 ⋅ 4 = 6 cm D = 1,5 ⋅ 2 = 3 cm

d = 1 ⋅ 4 = 4 cm d = 1 ⋅ 2 = 2 cm

G83

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 290

p. 232

Exercice 9 (2) Les élèves peuvent observer que la figure proposée s’englobe dans un rectangle.

12 cm

9 cm

6 cm

12 cm 12 cm

27 cm

12 cm

9 cm 27 cm

6 cm

IG H T

La somme des segments horizontaux du haut est égale à la longueur du rectangle et la somme des segments verticaux de droite est égale à la largeur du rectangle. Les élèves peuvent aussi calculer le périmètre en additionnant chaque segment après avoir déduit les longueurs manquantes (différences de hauteur entre les carrés). 12 cm

12 – 9 = 3 cm 9 cm

12 cm

9 cm

9 – 6 = 3 cm 6 cm 6 cm

6 cm

27 cm

P = 27 + 12 + 12 + (12 – 9) + 9 + (9 – 6) + 6 + 6 = 27 + 12 + 12 + 3 + 9 + 3 + 6 + 6 = 78 cm

G84

CHAPITRE 8

Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

Souviens-toi

400 km = 400 000

600 cm = 6

3,7 m =

cm2

50 cm2 = 0,005

2 m2 =

20 000

0,5 m =

1. Convertis.

0,003 7

4 2

IG H T

2 Coche le(s) calcul(s) qui permet(tent) de déterminer le périmètre de chaque figure.

2⋅2 + 4

2 + 2⋅4

(3 + 5) ⋅ 2

3⋅5

3⋅2 + 5⋅2

3 + 2,4 + 4 + 5

3+4+5

(5 ⋅ 2,4) : 2

3⋅3

3+3+3+3

3⋅4

2+4

2,4

5 3

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 269

269

19/02/2026 15:05

3. Classe, dans l’ordre croissant, les polygones en fonction de leur périmètre. 1 unité de longueur ➀

➁

➂

➁ (P = 16) < ➀ (P = 18) < ➂ (P = 20)

Triangle •

•

longueur ⋅ largeur

côté ⋅ côté

Rectangle •

Carré •

4. Relie chaque figure à la formule de son aire.

IG H T

•

5. Calcule l’aire de chaque figure (les unités sont exprimées en cm). 4

B 2

A = 4 ⋅ 2 = 8 cm2

= 6 cm2

A = 3 ⋅ 3 = 9 cm2

6. Classe, dans l’ordre décroissant, les polygones en fonction de leur aire. 1 unité d’aire ➁

➂

➀

➁ (A = 13) > ➂ (A = 12) > ➀ (A = 11)

270

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 270

19/02/2026 15:05

Question de réflexion 2m

➁

2m ➂

IG H T

1m 2m

2m 1m 3m

1m 2m

2m 2m

➀

Chaque potager est composé des quatre mêmes parcelles carrées ou rectangulaires conçues pour accueillir des cultures variées.

(1) Calcule la longueur totale de fil nécessaire pour clôturer chacun des potagers. (3 + 2) ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 20 m

Périmètre du 2e potager :

3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 = 26 m

Périmètre du 3e potager :

3 + 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 = 24 m

Périmètre du 1er potager :

(2) Compare la superficie cultivable des trois potagers. Les trois potagers ont la même superficie cultivable, car ils sont composés des quatre même parcelles. Aire = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 + 4 + 6 = 25 m2 (3) Tire une conclusion au sujet de l’aire et du périmètre des potagers. Les potagers ont la même aire, mais des périmètres différents. CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 271

271

19/02/2026 15:05

Périmètre de polygones

1. Certains sports de combat, comme la boxe ou le MMA (Mixed Martial Arts), se pratiquent sur des plateformes appelées rings ou cages. Complète le tableau pour retrouver la longueur d’un côté de chaque ring, connaissant son périmètre. Nombre de côtés

Carré

24 m

Octogone régulier

28 m

Longueur du côté

Périmètre

24 : 4 = 6 m

IG H T

Nom du polygone

Hexagone régulier

28 : 8 = 3,5 m

21 : 6 = 3,5 m

21 m

2. Un triangle équilatéral et un décagone régulier ont le même périmètre, qui est de 60 cm.

Calcule la longueur du côté de chacun de ces polygones. 60 : 3 = 20 cm

Côté du décagone régulier :

60 : 10 = 6 cm

Côté du triangle équilatéral :

3. Calcule la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui d’un rectangle de 25 m de long sur 12 m de large. 25 m

12 m

272

Périmètre du rectangle : 25 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 = 50 + 24 = 74 m Périmètre du carré :

74 m

Côté du carré :

74 : 4 = 18,5 m

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 272

19/02/2026 15:05

4. Le périmètre du pentagone régulier ABCDE vaut 32 cm. Calcule le périmètre du parallélogramme WXYZ si tu sais que |CD| = |XY| et que |WX| = 2. Côté du pentagone :

32 : 5 = 6,4 cm

|XY| = |WZ| = 6,4 cm

D 6,4 cm C

|ZY| = |WX| = 2 ⋅ 6,4 = 12,8 cm

Périmètre du parallélogramme :

6,4 cm

6 ⋅ 6,4 = 38,4 cm Z

12,8 cm

5. Un directeur artistique envisage d’installer une allée de 2 m de large pour étendre la scène principale rectangulaire et permettre à l’artiste de circuler au cœur de la foule. Pour renforcer l’impact visuel, il compte placer un filet lumineux tout autour de l’espace de circulation de l’artiste.

➀ 6m

IG H T

Si le directeur artistique souhaite installer le moins de filet lumineux possible, détermine lequel des deux agencements il doit privilégier et calcule la longueur totale du filet lumineux à prévoir. 18 m

➁

18 m

Scène principale

Scène principale 2m

14 m

Longueur du filet lumineux ➀ :

18 + 2 ⋅ 6 + (18 − 2) + 2 ⋅ 14 + 4 ⋅ 2 + 6 = 18 + 12 + 16 + 28 + 8 + 6 = 88 m

Longueur du filet lumineux ➁ :

18 + 2 ⋅ 6 + (18 − 2) + 7 ⋅ 6 + 2 ⋅ 2 = 18 + 12 + 16 + 42 + 4 = 92 m

Le directeur artistique doit privilégier l’agencement ➀ et prévoir 88 m de filet lumineux.

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

273

Périmètre du cercle

1. (1) Réalise l’expérience pour découvrir comment calculer le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre. Matériel – Trois bandes de papier de 20 cm sur 1,5 cm

– Deux bandes de papier de 11 cm sur 1,5 cm – Un trombone – Un crayon

Étapes de l’expérience

– Une latte

• Enroule une bande de papier tout autour d’un cercle et au ras du bord. • Maintiens la bande bien en place en utilisant le trombone.

IG H T

• Avec le crayon, trace un repère sur la bande à l’endroit exact où elle termine son tour. • Déroule la bande et mesure sa longueur jusqu’au trait. • Complète, à la page suivante, la ligne du tableau correspondant au cercle.

• Répète l’expérience pour les autres cercles.

C D

Scan 274

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 274

19/02/2026 15:05

Diamètre du cercle (en cm)

Périmètre mesuré (en cm à 0,1 près)

18,8

15,7

12,6

9,4

6,3

Cercle de centre…

Résultat obtenu

IG H T

Rapport

(2) Écris le rapport (quotient) entre le périmètre de chaque cercle et son diamètre, et calcule son résultat.

3,133…

3,14

3,15

3,133…

3,15

De quel nombre, au dixième près, ces rapports se rapprochent-ils le plus ? Les rapports se rapprochent le plus de 3,1.

par 3,1.

(3) Complète la phrase. Pour calculer une estimation du périmètre d’un cercle, on peut multiplier son diamètre (4) Détermine, au dixième près, le périmètre d’un cercle de 1 cm de diamètre.

P = 3,1 ⋅ 1 = 3,1 cm

Le nombre exact par lequel multiplier le diamètre d’un cercle pour obtenir son périmètre est le nombre décimal illimité non périodique nommé π (pi). La lettre p (π en grec) est l’initiale du mot grec περίμετρος (« périmétros ») et signifie périmètre.

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 275

275

19/02/2026 15:06

Bref historique du nombre π (pi) 1937

1946

1989

2006

Johann Lambert démontre que π est un nombre décimal illimité non périodique.

Le Britannique William Shanks trouve, par calcul écrit, 707 décimales de π.

Inauguration de la salle dédiée au nombre π lors de l’Exposition universelle de Paris.

Correction des 180 dernières décimales établies par William Shanks.

Le record passe à un milliard de décimales grâce aux ordinateurs.

L’ingénieur japonais Akira Haraguchi récite 100 000 décimales de mémoire, en public.

2025

1873

Les chercheurs sont toujours intrigués par π qui ne présente aucune régularité dans ses très nombreuses décimales connues.

Les Babyloniens utilisent une approximation de π ≅ 3,125.

1768

vers 1900 av. J.-C.

IG H T

2. (1) Complète la formule qui permet de calculer le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre (d). Périmètre du cercle :

π⋅d

(2) Complète la formule qui permet de calculer le périmètre d’un cercle à partir de son rayon (r). Périmètre du cercle :

π ⋅ (2 ⋅ r) = π ⋅ 2 ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ r

(3) Repère la touche π sur ta calculatrice et utilise-la pour noter la valeur du nombre pi avec un maximum de décimales.

π = 3,141 592 653…

π (pi) étant un nombre illimité non périodique, l’utilisation de la calculatrice est indispensable pour obtenir un résultat précis.

3. Calcule, au centième près… (1) le périmètre d’un cercle de 19 cm de diamètre. P = π ⋅ 19 = 59,690 2… ≅ 59,69 cm (2) le périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon. P = 2 ⋅ π ⋅ 5 = 31,415 9… ≅ 31,42 cm

276

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 276

19/02/2026 15:06

4. Un magasin de meubles propose une table circulaire de 1,20 m de diamètre avec deux modèles d’extension possibles. Modèle 1 : une allonge rectangulaire de 60 cm de large peut être insérée entre les deux moitiés de la table initiale.

Modèle 2 : le diamètre de la table est augmenté de 60 cm grâce à un système d’extension intégré. 30 cm

60 cm 1,20 m = 120 cm

1,20 m = 120 cm

30 cm

S’il faut prévoir 60 cm de pourtour par personne, détermine le modèle qui permet d’installer le plus de convives. π ⋅ 120 + 2 ⋅ 60 = 496,99… cm

Nombre de convives pour le modèle 1 :

496,99… : 60 = 8,28… → 8 convives

Périmètre du modèle 2 :

π ⋅ (120 + 60) = 565,48… cm

Nombre de convives pour le modèle 2 :

565,48… : 60 = 9,42… → 9 convives

IG H T

Périmètre du modèle 1 :

Le second modèle permet d’installer un convive de plus à table.

5. Un papa et son fils utilisent deux vélos dont la taille des roues est respectivement de 29 et 26 pouces. Cette mesure désigne le diamètre extérieur des roues, pneu inclus.

Calcule, à l’unité près, le nombre de tours de roue que chaque vélo fait sur une distance de 1 km. Indique tout ton raisonnement et tous tes calculs.

Le pouce est une unité de mesure anglo-saxonne. Un pouce correspond à 2,54 centimètres.

Diamètre, en cm, d’une roue de… 29 pouces :

29 ⋅ 2,54 = 73,66 cm

26 pouces :

26 ⋅ 2,54 = 66,04 cm

Périmètre, en cm, d’une roue de… 29 pouces :

π ⋅ 73,66 = 231,40… cm

26 pouces :

π ⋅ 66,04 = 207,47… cm

Nombre de tours réalisés, pour parcourir 1 km (= 100 000 cm), par une roue de… 29 pouces :

100 000 : 231,40… = 432,13… ≅ 432 tours

26 pouces :

100 000 : 207,47… = 481,99… ≅ 482 tours CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 277

277

19/02/2026 15:06

aire de figures simples

1. (1) Rends-toi à la page 297, découpe chaque figure en suivant précisément son contour. Assemble et colle les figures citées afin de recouvrir exactement chaque rectangle de la même couleur. Si le recouvrement n’est pas possible, divise ces figures avec un minimum de coups de ciseaux.

l=h

L=b

IG H T

l=d

L =D

l=h

L=B+b

(2) Compare l’aire du parallélogramme, du triangle, du losange et du trapèze à celle du rectangle. L’aire du parallélogramme vaut celle du rectangle.

L’aire du triangle, du losange et du trapèze vaut la moitié de celle du rectangle.

(3) En comparant chaque figure au rectangle, indique, sur chaque rectangle, quel élément (base, hauteur, diagonale…) peut être mis en lien respectivement avec sa longueur (L) et sa largeur (l).

(4) De ces observations, établis la formule d’aire de chaque figure.

278

Rectangle

Parallélogramme

L⋅l

b⋅h

Triangle

Losange

Trapèze

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 278

19/02/2026 15:06

2. Sans mesurer, construis la figure demandée, de même aire que la figure donnée. (2) Un parallélogramme

(3) Un rectangle

(4) Un rectangle

(1) Un triangle

3. Calcule l’aire de chaque figure en utilisant les dimensions fournies (exprimées en cm). (2) Triangle ABC rectangle en B (1) Triangle ABC B

IG H T

3,5

4 2,4

= 7 cm2

(3) Parallélogramme ABCD

= 6 cm2

(4) Trapèze rectangle ABCD

2,5

A 2,1

2,9

A = b ⋅ h = 4 ⋅ 2,5 = 10 cm2

2,5

3,5

A= = 6 cm2

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 279

279

19/02/2026 15:06

(5) Losange ABCD

(6) Trapèze ABCD D

D A

2,6 C4

A 2,5

B 5

C B 2,8 (B + b) ⋅ h A= 2 (4 + 2) ⋅ 2,5 6 ⋅ 2,5 = 7,5 cm2 = = 2 2

= 10 cm2

IG H T

4. (1) Code les diagonales du cerf-volant ABCD et calcule son aire si tu sais que |DB| = 6 cm et |OA| = 1,5 cm. ⋅ Aire du triangle ABD : = 4,5 cm2 A ⋅ Aire du triangle BCD : = 4,5 cm2 B D O 1,5 cm Aire du cerf-volant ABCD : 2 ⋅ 4,5 = 9 cm2 C 6 cm (2) Calcule l’aire du cerf-volant en utilisant la formule de l’aire du losange. Tires-en une conclusion et écris la formule d’aire du cerf-volant. D ⋅ d 6 ⋅ 3 18 = = A= = 9 cm2 2 2 2

L’aire obtenue est égale à la somme des aires des deux triangles. D⋅d 2 5. Réalise un croquis de la situation en te basant sur les informations données et calcule, si possible, l’aire de chaque figure. Explique pourquoi certaines aires sont impossibles à déterminer. A=

Formule de l’aire d’un cerf-volant :

(1) Un triangle dont la base mesure 4 dm et la hauteur relative à celle-ci 6 dm. A=

b⋅h 4⋅6 = = 12 dm2 2 2

(2) Un triangle isocèle dont les côtés mesurent 6 cm, 6 cm et 4 cm. 6

6 4

280

Impossible, car il manque la mesure de la hauteur relative à un des côtés.

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 280

19/02/2026 15:06

(3) Un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 7 cm et 4 cm. b⋅h 7⋅4 = = 14 cm2 A= 2 2 4 7

(4) Un losange de 3 cm de côté. 3 Impossible, car il manque les mesures des deux diagonales.

(5) Un carré dont une diagonale mesure 4 cm. Le carré est un losange. A= 6. Calcule la mesure…

= 8 cm2

(1) de la longueur d’un rectangle de 30 cm2 d’aire et de 5 cm de largeur.

5 cm

IG H T

A = L ⋅ l = 30 cm2

A = 30 cm2

L ⋅ 5 = 30 cm2

6 ⋅ 5 = 30 cm2

L = 6 cm

(2) de la base d’un parallélogramme de 3 200 mm2 d’aire et dont la hauteur relative à celle-ci mesure 8 cm. A = b ⋅ h = 32 cm2 b ⋅ 8 = 32 cm2

? A = 3 200 mm2 = 32 cm2

4 ⋅ 8 = 32 cm2

8 cm

b = 4 cm

(3) de la hauteur d’un triangle de 6 dm2 d’aire et dont la base mesure 3 dm. A= ? 3 dm A = 6 dm2

b⋅h = 6 dm2 2 = 6 dm2 3 4 = 6 dm2 2

h = 4 dm

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 281

281

19/02/2026 15:06

7. Après avoir déterminé les dimensions utiles, construis une figure dont l’aire est identique à celle de la figure décrite. (1) Un carré ABCD de même aire qu’un rectangle de 4,5 cm sur 2 cm. A 2

A = L⋅l

4,5 A = c ⋅ c = 9 cm2

= 4,5 ⋅ 2

= 9 cm2

= 3 ⋅ 3 = 9 cm2

c = 3 cm

(2) Un losange MNOP de même aire qu’un parallélogramme dont la base vaut 3 cm et la hauteur 2 cm. ?

IG H T

D⋅d = 6 cm2 2 4⋅3 = 6 cm2 = 2

A = b⋅h

= 3⋅2

= 6 cm2

D = 4 cm et d = 3 cm

(3) Un trapèze DEFG de même aire qu’un triangle dont la base mesure 6 cm et la hauteur 2 cm. ? D

? ?

b⋅h 2 6⋅2 = 2

= 6 cm2

(B + b) ⋅ h = 6 cm2 2 (4 + 2) ⋅ 2 = 6 cm2 = 2

B = 4 cm, b = 2 cm et h = 2 cm

282

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 282

19/02/2026 15:06

8. Complète l’annonce en calculant la superficie du terrain et son prix. Note ta démarche en dessous de l’image. À VENDRE Terrain à bâtir : 24 150 000 €

1 are = 100 m2

ares

5590 Ciney

L ⋅ l = 80 ⋅ 30 = 2 400 m2 = 24 ares

Prix :

62,5 ⋅ 2 400 = 150 000 €

D aire du disque

Superficie du terrain :

Superbe terrain à bâtir dans un cadre naturel d’exception. Ce terrain rectangulaire présente une généreuse façade à rue de 30 m et une profondeur de 80 m. Il est proposé au prix exceptionnel de 62,50 €/m2.

IG H T

1. (1) Rends-toi à la page 297 et découpe le disque en suivant les lignes des secteurs. Assemble et colle les secteurs afin de recouvrir le plus possible le rectangle.

l≅r

L ≅ (π ⋅ d) : 2 = (2 ⋅ π ⋅ r) : 2 = π ⋅ r

(2) Regarde l’animation puis complète.

Plus le nombre de secteurs est grand, plus l’aire du disque s’approche de celle de l’aire d’un rectangle.

Sa largeur est égale au rayon

du disque.

l= r Sa longueur est égale à la moitié du périmètre du disque. L = (π ⋅ d) : 2 ou (2 ⋅ π ⋅ r) : 2 = π ⋅ r

(3) À partir de la formule d’aire du rectangle, déduis la formule de l’aire d’un disque. Aire du disque : (π ⋅ r) ⋅ r = π ⋅ r2 Scan CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 283

283

19/02/2026 15:06

2. Calcule, au centième de cm2 près… (1) l’aire d’un disque de 3 cm de rayon. A = π ⋅ r2 = π ⋅ 32 = 28,274… ≅ 28,27 cm2

(2) l’aire d’un disque de 8 cm de diamètre. r = 8 : 2 = 4 cm

A = π ⋅ r2 = π ⋅ 42 = 50,265… ≅ 50,27 cm2

3. Calcule, au mm2 près, la surface gravée de ce disque 33 tours. Aire de la surface gravée : 30 cm

aire du grand disque − aire du petit disque π ⋅ 152 − π ⋅ 52 = 628,318… cm2

IG H T

≅ 628,32 cm2

5 cm

4. Si tu sais que la cible représentée a un diamètre de 50 cm et que l’intervalle entre chaque cercle est de 5 cm, vérifie si l’aire de la zone à 50 points est la même que celle de la zone à 20 points.

10 20 30

Zone à 50 points (jaune)

10 20 30

A = π ⋅ 102 ≅ 314,159… cm2

Zone à 20 points (bleue)

A = π ⋅ 20 − π ⋅ 15 ≅ 549,778… cm 2

20 10

L’aire de la zone à 50 points est inférieure à celle de la zone à 20 points.

30 20 10

50 cm 20 cm 15 cm 10 cm

284

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 284

19/02/2026 15:06

aire et périmètre de figures complexes

1. Mon voisin achète un terrain afin de le transformer en un jardin partagé. Pour financer son achat, il emprunte de l’argent à la banque et rembourse 150 € tous les mois. Le schéma représente ce terrain, aménagé et divisé en quatre parcelles bien distinctes qu’il met en location. 6m

➁

➀

➂ 10 m

10 m

➃

IG H T

(1) En te basant sur le tarif indiqué dans le tableau, calcule le prix à payer pour la location de chacune de ces parcelles. Prix annuel au m2

Moins de 50 m2

9,50 €

De 50 m2 à 75 m2

8,75 €

Plus de 75 m2

8,25 €

Superficie

A = 10 ⋅ 10 = 100 m2

Parcelle ➀ :

Loyer : 100 ⋅ 8,25 = 825 €

Parcelle ➁ :

Parcelle ➂ :

A = 10 ⋅ 6 = 60 m2

Loyer : 60 ⋅ 8,75 = 525 € A=

(10 + 5) ⋅ 6 15 ⋅ 6 = = 45 m2 2 2

Loyer : 45 ⋅ 9,50 = 427,50 € Parcelle ➃ :

6⋅5 = 15 m2 2

Loyer : 15 ⋅ 9,50 = 142,50 €

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 285

285

19/02/2026 15:06

(2) Vérifie si l’argent gagné en louant les quatre parcelles permet de rembourser la somme de 150 € chaque mois à la banque. Loyers annuels perçus :

825 + 525 + 427,50 + 142,50 = 1 920 €

Loyers mensuels perçus :

1 920 : 12 = 160 €

L’argent gagné en louant les quatre parcelles permet de rembourser

la somme de 150 € chaque mois à la banque, car 160 € > 150 €.

2. On souhaite installer des panneaux photovoltaïques sur un pan de toit rectangulaire de 10 m de long sur 4 m de large. Afin de garantir un accès technique, il est nécessaire de laisser une zone de sécurité de 50 cm de large tout autour de l’installation.

(1) Réalise un croquis de la situation.

IG H T

10 m

50 cm

(2) Détermine quel pourcentage de la surface de ce toit ne peut pas être couvert de panneaux en raison des distances de sécurité règlementaires. Surface totale du toit :

10 ⋅ 4 = 40 m2

Surface du toit disponible pour la pose des panneaux photovoltaïques : (10 − 2 ⋅ 0,5) ⋅ (4 − 2 ⋅ 0,5) = 9 ⋅ 3 = 27 m2

Surface du toit non couverte :

40 − 27 = 13 m2

Pourcentage de la surface du toit non couverte :

286

13 = 0,325 = 32,5 % 40

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 286

19/02/2026 15:06

3. Ma voisine souhaite protéger sa terrasse en bois. Elle se rend dans un magasin de bricolage et trouve une lasure pour bois extérieur. LASURE HAUTE PROTECTION

PLAN DE LA TERRASSE 4,50 m

59,40 €

➀ ➁ 7m

Pot de 3 L Pouvoir couvrant : 9 m2/litre

➂

3,50 m

2 couches recommandées pour une protection totale de votre terrasse.

IG H T

(1) Calcule la superficie totale de la terrasse de ma voisine. Superficie totale de la terrasse de ma voisine : aire ➀ +

aire ➁

aire ➂

π ⋅ 2, 252 (8 + 4,5) ⋅ 3,5 + + 8 ⋅ 3,5 = 57,827… m2 2 2

(2) Calcule la quantité de lasure dont elle a besoin pour appliquer les deux couches recommandées.

Superficie terrasse :

57,827… m2

Quantité de lasure pour une couche :

57,827… : 9 = 6,4… litres

Quantité de lasure pour deux couches :

6,4… ⋅ 2 = 12,850… litres

(3) Calcule le nombre de pots de 3 litres qu’elle doit acheter. 12,850… : 3 = 4,283… pots Elle devra acheter 5 pots. (4) Calcule le prix total de ses achats. 5 ⋅ 59,40 = 297 € CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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287

19/02/2026 15:06

4. Une piscine hors-sol en acier galvanisé a pour dimensions 1,20 m de hauteur et 3 m de diamètre. Calcule, au centième de m2 près, la surface d’acier galvanisé nécessaire à la fabrication de la paroi de cette piscine. Surface acier = Rectangle

Largeur = Hauteur de la piscine

π ⋅ 3 = 9,424… m

Largeur du rectangle :

1,2 m

Surface d’acier galvanisé :

9,424… ⋅ 1,2 = 11,309… ≅ 11,31 m2

Longueur du rectangle :

Longueur = Périmètre du cercle

5. Calcule le périmètre et l’aire de chacune de ces figures construites à partir de carrés, de rectangles et de demi-disques. Arrondis, si nécessaire, tes réponses au centième près de l’unité utilisée. 4,5 m

Périmètre de la figure :

15 + 4,5 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 + 6 = 15 + 18 + 18 + 6 = 57 m

9m ➀

➁

IG H T

15 m

Aire de la figure :

aire ➀ + aire ➁

15 ⋅ 4,5 + 9 ⋅ 6 = 67,5 + 54 = 121,5 m2

Périmètre de la figure :

50 cm = 0,5 m

➁

➂

1,5 m

➀

0,5 ⋅ 10 + 1,5 ⋅ 2 = 5 + 3 = 8 m

Aire de la figure : aire ➀ + aire ➁ + aire ➂ 1,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 + 1,5 ⋅ 0,5 = 0,75 + 0,25 + 0,75

= 1,75 m2 Périmètre de la figure : 3 ⋅ 2 + π ⋅ 3 = 15,424… ≅ 15,42 cm Aire de la figure : aire du carré + aire du disque (deux demi-disques) 3 cm

288

3 ⋅ 3 + π ⋅ 1,52 = 16,068… ≅ 16,07 cm2

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

Périmètre de la figure : π⋅4 = 16,283… ≅ 16,28 cm 3⋅2 + 4 + 2 Aire de la figure :

3 cm

aire du rectangle − aire du demi-disque π ⋅ 22 = 5,716… ≅ 5,72 cm2 4⋅3 − 2

4 cm

Périmètre de la figure : π⋅5 = 24,853… ≅ 24,85 cm 5⋅2 + 4 + 3 + 2 Aire de la figure :

5 cm

aire du carré − aire du triangle + aire du demi-disque 3 ⋅ 4 π ⋅ 2,52 + = 28,817… ≅ 28,82 cm2 5⋅5 − 2 2

5 cm 4 cm

IG H T

3 cm

6. Calcule le périmètre de cette figure, composée de neuf triangles équilatéraux, dont les mesures sont exprimées en centimètres. 5 5

5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 10 + 8 + 15 = 33 cm

Périmètre de la figure :

3 3

7. Un rectangle ABCD dont la longueur [AB] vaut 10 m a un périmètre de 30 m. Après avoir réalisé un croquis de la situation, calcule, au centième de mètre près, le périmètre du cercle dont le centre est le point C et dont le rayon est le segment [BC].

10 m

B 5m C

|BC| = (30 − 2 ⋅ 10) : 2

= (30 − 20) : 2 = 10 : 2 = 5 m Périmètre du cercle :

2 ⋅ π ⋅ 5 = 31,415… ≅ 31,41 m

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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289

19/02/2026 15:06

8. Calcule, au centième de cm2 près, l’aire de chaque surface colorée. 1 cm 1,5 cm

1,5 cm

5 cm

Aire de la surface colorée :

aire du grand disque − aire du petit disque

aire du grand losange − aire du petit losange 6⋅4 3⋅2 − = 12 − 3 = 9 cm2 2 2

Aire de la surface colorée :

π ⋅ 3,252 − π ⋅ 2,52 = 13,548…

IG H T

≅ 13,55 cm2

9. Sachant que les trois quadrilatères sont des carrés, calcule…

12 cm

9 cm

6 cm

27 cm

(1) l’aire du carré coloré.

27 − (12 + 6) = 27 − 18 = 9 cm

Aire du carré coloré :

9 ⋅ 9 = 81 cm2

Côté du carré coloré :

(2) le périmètre de toute la figure. 27 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 = 54 + 24 = 78 cm

290

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

MathsPerspectives_001_424.indb 290

19/02/2026 15:06

26 15:06

eXerCiCeSCÔté COmPLémeNtaireS PratiQUe

1. Calcule la longueur du côté d’un polygone régulier de 48 cm de périmètre si ce polygone est un triangle, un carré, un hexagone, un octogone ou un décagone. 2. Chaque côté d’un polygone régulier de 2 250 mm de périmètre mesure 15 cm. Calcule le nombre de côtés que possède ce polygone régulier.

3. Julie possède un tour de parc de 3,5 m de long confectionné par sa grand-mère. Elle souhaite le placer dans le nouveau parc qu’elle doit acheter pour son fils.

Elle hésite entre deux modèles : un modèle hexagonal de 62 cm de côté ou un modèle rectangulaire de 92 cm sur 72 cm. Quel(s) modèle(s) de parc peut-elle choisir ?

IG H T

4. Un dodécagone est un polygone à 12 côtés. Si chacun de ses côtés mesure 7 cm, alors son périmètre est égal au triple de celui d’un parallélogramme dont la base vaut 8 cm. Calcule la longueur d’un côté adjacent à la base de ce parallélogramme. 5. La pièce de 2 € possède un diamètre de 23,43 mm et celle de 2 £ (livres sterling au Royaume-Uni) un rayon de 1,42 cm.

Calcule le périmètre de chaque pièce et indique ensuite lequel est le plus grand.

6. Un tracteur a des roues avant d’un diamètre de 90 cm et des roues arrière d’un diamètre de 150 cm. Lors d’un déplacement, chaque roue avant du tracteur a effectué 2 100 tours. Calcule le nombre de tours effectués par chaque roue arrière lors de ce déplacement.

7. Un cercle a le même périmètre qu’un carré de 4 cm de côté.

Calcule le rayon de ce cercle au dixième de centimètre près.

8. Calcule l’aire, en cm2, d’un… (1) parallélogramme de 5 cm de base et de 3,5 cm de hauteur.

(2) triangle de 90 mm de base et de 3,2 cm de hauteur.

(3) losange dont les diagonales mesurent respectivement 0,085 m et 150 mm. (4) trapèze dont la petite base mesure 3 cm, la grande base le triple de la petite et la hauteur 1,5 cm de plus que la petite base. 9. Un rectangle dont la largeur vaut 4 cm a la même aire qu’un carré de 6 cm de côté. Réalise un croquis de la situation et calcule la longueur de ce rectangle. CÔTÉ PRATIQUE CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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291

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10. Les vingt vitraux d’une salle d’exposition sont composés chacun de 240 losanges dont les diagonales mesurent 18 cm et 24 cm. Calcule l’aire d’un vitrail et exprime-la en m2. 11. Calcule la mesure… (1) du côté d’un carré de 81 mm2 d’aire. (2) de la base d’un triangle de 20 m2 d’aire dont la hauteur mesure 8 m.

(3) de la largeur d’un rectangle de 80 cm2 d’aire dont la longueur mesure 16 cm.

(4) de la grande diagonale d’un losange de 30 cm2 d’aire dont la petite diagonale mesure 6 cm.

12. Construis un losange dont l’aire…

3 cm

(2) vaut la moitié de l’aire du cerf-volant ABCD.

(1) est égale à celle du trapèze WXYZ.

IG H T

2 cm 7 cm

4 cm

6 cm

13. Calcule, en cm , l’aire d’un disque de… 2

(1) 7 dm de rayon.

(2) 23 mm de diamètre.

14. Le yin et le yang sont des concepts fondamentaux de la philosophie chinoise. Ils représentent deux forces opposées et complémentaires. Leur symbole emblématique associe le noir et le blanc pour illustrer cette dualité. Calcule, au centième de cm2 près, l’aire de la surface noire de ce symbole.

15. La pizzeria Pizz’Art propose deux offres au même prix.

Détermine l’offre la plus avantageuse.

1 pizza

de 40 cm de diamètre

2 pizzas

de 26 cm de diamètre

292

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

4 cm

16. Observe le croquis réalisé à main levée dans lequel le triangle CEF est inscrit dans le carré ABCD. Calcule l’aire de ce triangle.

D 3 cm E 5 cm

17. Une piscine rectangulaire de 9 m sur 5 m est bordée par une plage carrelée de 1,5 m de large. L’accès à cet espace est sécurisé par des barrières en verre.

F 2 cm B

(1) Calcule l’aire de cette plage carrelée.

(2) Calcule la longueur de barrières en verre nécessaire, sachant qu’un espace de 1 m doit être laissé pour l’installation d’une porte d’accès.

18. Calcule, au centième près, le périmètre et l’aire de chaque figure. (1) 2 cm

IG H T

(2)

2 cm

19. Calcule, au centième près, le périmètre et l’aire de la figure.

6,71 cm

9 cm

3 cm

20. Ce rond-point est composé de deux parties circulaires concentriques (de même centre) : un disque central arboré et une couronne extérieure en tarmac. Sachant que le périmètre du disque central est de 52 m et que son diamètre est 1,5 fois plus petit que le diamètre total du rond-point, détermine, au centième de m2 près, l’aire de la surface recouverte de tarmac.

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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293

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21. Ce vitrail rectangulaire de 38 cm sur 26 cm est composé de pièces de verre coloré unies par des barres de plomb.

24 cm

En négligeant l’épaisseur des barres de plomb, détermine, pour chaque couleur, la surface de verre utilisée.

36 cm

(2)

2 cm

IG H T

1 cm

(1)

22. Calcule, au centième près, le périmètre et l’aire de chaque figure.

294

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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IG H T

CÔté PratiQUe

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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295

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Rectangle

l L

A=L⋅l

Parallélogramme h

Carré

A = c ⋅ c = c2

A=b⋅h

Triangle

IG H T

Aire de figures planes

Trapèze b h

Mesure de sa surface

A=b⋅h 2

D A=D⋅d 2

(B + b) ⋅ h 2

Cerf-volant

Losange

D Disque

A=D⋅d 2

A = π ⋅ r2

296

CHAPITRE 8 Périmètre et aire De FiGUreS PLaNeS

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IG H T

C.1 (1) – Figures à découper

D.1 (1) – Figure à découper

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 298

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CHAPITRE 9

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

Le chapitre commence par trois défis de difficulté croissante. Le premier peut se résoudre mentalement, le deuxième demande une analyse plus fine et le troisième, vu le nombre important de crayons et la complexité de la répartition, reste peu intuitif. Bien que le tâtonnement soit possible, il montre ici ses limites. Ce n’est qu’en fin de chapitre, une fois les méthodes de résolution d’équations découvertes et entrainées, que les élèves pourront relever ce dernier défi avec efficacité.

Suites arithmétiques illustrées et expressions algébriques

Les suites arithmétiques illustrées et les suites numériques présentent une bonne occasion d’introduire la notion d’expression algébrique. Elles décrivent, en effet, des régularités et permettent de les généraliser au moyen d’une variable. Elles permettent ainsi d’introduire la lettre et de passer d’un langage courant à un langage plus formel.

Exercice 1

p. 241

IG H T

p. 302-303

p. 242-243

p. 303-304

À partir d’une illustration simple, les élèves dénombrent des éléments et complètent deux suites arithmétiques. Ces dernières les amènent progressivement à formaliser des régularités, d’abord par le langage courant, puis par des expressions algébriques qu’ils apprendront à réduire. C’est l’occasion d’introduire le vocabulaire spécifique à celles-ci (coefficient, partie littérale et variable) ainsi que des nouvelles conventions d’écriture (ordre des facteurs et omission du symbole de multiplication).

Exercice 2

L’expression algébrique traduisant la régularité est plus complexe à trouver. C’est pourquoi le raisonnement se fait en deux étapes. Les élèves se concentrent d’abord sur la structure des nœuds du bracelet. Le nombre de nœuds est la variable n. Chaque nouveau nœud nécessite l’ajout constant de trois perles. Cette progression arithmétique de raison 3 se traduit par le terme dépendant 3n. Dans un second temps, les élèves ajoutent les deux perles des extrémités du bracelet. Comme leur nombre reste fixe quel que soit le nombre de nœuds, 2 constitue le terme indépendant de l’expression algébrique. (2) Pour garder une trace simple de ces deux étapes, les élèves peuvent indiquer à la droite du tableau l’opération effectuée pour passer d’une ligne à l’autre.

(5) Il n’est pas rare que les élèves réduisent l’expression 3n + 2 en 5n. En effet, ils peuvent penser que 3n + 2 n’est pas une forme réduite parce qu’elle comporte deux termes. Il est important de leur montrer que cette transformation est fausse, notamment en testant l’expression avec une valeur de n autre que 1 et en revenant à la notion de terme indépendant de la variable. G85

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

(6) Une fois l’expression algébrique établie, les élèves doivent l’utiliser pour calculer le nombre de perles nécessaires à la confection d’un collier de 32 nœuds. Ensuite, ils mobilisent les opérations réciproques pour déduire le nombre de nœuds réalisables pour un collier composé de 65 perles. L’utilisation d’un graphe fléché permet de visualiser la chronologie des opérations à effectuer. Déjà construits à l’école primaire, ces graphes fléchés sont réinvestis dans des contextes variés. Cette pratique régulière permettra aux élèves d’en être familiers lorsqu’ils devront apprendre à résoudre des équations. p. 243

p. 305 Exercice 3

p. 305

Les élèves sont tout d’abord invités à trouver le multiple caché dans la régularité de la suite. Pour ce faire, ils trouvent d’abord le nombre de cœurs ajoutés à chaque étape (la raison est 2), sachant que le rang est exprimé par une suite de nombres consécutifs (n). Ensuite, ils sont invités à vérifier que multiplier le rang par 2 ne suffit pas à obtenir le nombre exact de cœurs de chaque motif et qu’il faut, chaque fois, en ajouter 1. p. 243

Exemples de rédaction Rang Nombre

IG H T

Je rédige mon procédé pour déterminer l’expression algébrique qui permet de calculer le nombre de motifs à partir du rang (n), dans le cas d’une suite arithmétique

⋅2

+2 2

2) J ’écris le début de l’expression algébrique « raison ⋅ n » :

2⋅n

3) J e complète, si nécessaire, l’expression algébrique par le terme indépendant : j’ajoute (ou je soustrais) un nombre pour obtenir le bon résultat :

2⋅n + 1

1) J e détermine la raison, le nombre qui s’ajoute à chaque fois :

1) Je détermine la raison de la suite en comptant le nombre de motifs ajoutés entre deux rangs successifs. 2) Je multiplie le rang n par cette raison. 3) J e détermine ensuite, si nécessaire, le terme indépendant : la valeur à ajouter (ou à soustraire) à l’expression algébrique pour obtenir le nombre exact de motifs. 2n + 1 raison

G86

terme indépendant

p. 306

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Remarque : les élèves n’ont pas encore rencontré le cas pour lequel il faut enlever un nombre à l’expression algébrique pour obtenir le nombre exact de motifs, ils ne le proposeront probablement pas spontanément. Ce procédé pourra être ajusté après l’exercice 4. p. 244

Exercice 4

L’exercice propose aux élèves un procédé de construction d’une suite arithmétique. Ils doivent le décoder pour illustrer les premiers rangs de la suite. Au fil de leur analyse, les élèves découvrent une expression algébrique présentant un terme indépendant négatif. En constatant qu’ils doivent retrancher des motifs pour ajuster leur calcul, les élèves sont amenés à finaliser le procédé rédigé précédemment.

p. 244-245

Exercice 5

p. 307

Remarque : une suite illustrée propose rarement le motif correspondant au rang 0, et le terme indépendant n’apparait alors pas explicitement dans l’illustration.

IG H T

Les élèves doivent faire preuve de créativité et de rigueur pour construire leur propre suite arithmétique illustrée et en formaliser les étapes de construction. Le procédé qu’ils décrivent doit ensuite être proposé à un autre élève pour déceler les éventuelles ambigüités et le corriger si besoin.

Suites numériques et écriture algébrique d’un nombre p. 308

Exercice 1

p. 245-246

Les suites arithmétiques et les expressions algébriques permettent de décrire chaque nombre comme étant un « nombre naturel multiple de… » ou un « nombre naturel multiple de… augmenté/diminué de… ».

Pour faciliter la démarche, des flèches décrivant les opérations nécessaires pour relier le rang au nombre ou inversement peuvent être ajoutées à la droite du tableau. p. 246

p. 309

Exercice 2 L’association du nombre impair à son expression algébrique réduite se fera probablement par élimination des autres possibilités. Il est important d’y prêter attention et de montrer aux élèves qu’un nombre impair est un nombre pair augmenté de 1.

G87

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 309

p. 246

Exercice 3

p. 309-310

Les élèves traduisent une expression algébrique en complétant un graphe fléché à l’aide des opérations à effectuer et de leurs réciproques. Une des difficultés de cette étape se situe dans le fait que certains coefficients ou termes indépendants de l’expression algébrique sont négatifs. Les élèves peuvent ensuite s’aider du graphe fléché pour calculer les données manquantes du tableau. p. 246-247

Exercice 4

Longueurs et expressions algébriques

IG H T

Une suite n’est pas toujours arithmétique et ne se construit pas toujours en ajoutant une même valeur pour passer d’un terme au suivant. Les élèves découvrent donc d’autres modèles de suites, notamment les suites géométriques dans lesquelles on multiplie toujours par la même valeur pour passer d’un terme au suivant : suites des puissances de 10 ou de 2. Ils découvrent aussi des expressions algébriques différentes de celles des multiples comme celles d’un nombre carré, d’un nombre cubique ou d’un nombre inverse.

Les figures sont des schémas proposés pour aider les élèves à raisonner : elles ne sont tracées ni à l’échelle, ni en vraie grandeur. Puisque les dimensions dépendent de variables, elles évoluent selon les valeurs choisies et peuvent être visuellement trompeuses. Il est donc essentiel que les élèves apprennent à ne pas se fier à l'apparence du dessin, mais bien à la rigueur de leurs calculs.

Exercice 1

p. 247-248

p. 310

Les élèves traduisent une situation géométrique en une expression algébrique. En utilisant des segments de droite, on offre une représentation visuelle à la variable « x » et aux opérations, rendant les concepts mathématiques plus concrets et accessibles.

Les élèves peuvent se représenter l’expression x + 10 comme étant l’assemblage de deux segments : l’un de longueur x et l’autre de longueur 10. Ces deux longueurs peuvent être juxtaposées, mais elles ne peuvent pas être réduites algébriquement puisqu’elles ne sont pas de même nature (une variable et une constante).

Les élèves se représentent ensuite l’expression 4x comme étant la répétition de quatre segments de longueur identique, chacun de longueur x. En les alignant, ils constatent concrètement que ces éléments fusionnent pour former une seule longueur totale. Cette observation justifie le fait qu’on peut simplifier l’écriture d’une somme de termes égaux (x + x + x + x) en un produit unique (4x). Cette comparaison permet de comprendre que seules les sommes ou différences de longueurs de même nature peuvent se simplifier algébriquement. Elle aide, notamment, à prévenir l’erreur classique qui consiste à réduire x + 10 en 10x. Cette approche géométrique constitue donc une étape essentielle, permettant de passer de l’intuition visuelle à la rigueur du calcul algébrique.

G88

p. 248 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 311 Exercice 2

Afin de réaliser cet exercice, les élèves doivent se rappeler que le périmètre d’une figure représente la longueur totale de son contour. Cela revient à effectuer la somme des longueurs de tous les côtés de la figure. p. 248

p. 311 Exercice 4

p. 249

p. 312

Les élèves peuvent tracer des segments verticaux en pointillés pour décomposer un côté en plusieurs segments dont la longueur est connue. Cette méthode visuelle permet de reporter les mesures du « haut » vers le « bas ».

Exercice 6

Comme dans l’exercice 1, les élèves doivent utiliser la soustraction pour trouver une partie manquante.

IG H T

Afin de simplifier le calcul du périmètre d’une figure complexe, il est possible d’utiliser la méthode du « grand rectangle ». Les segments intérieurs (pointillés rouges) peuvent être « poussés » vers l’extérieur pour reconstituer les côtés d’un grand rectangle. y y x

p. 312

p. 249

Je rédige mon procédé pour réduire des sommes algébriques

Afin de simplifier l’apprentissage, nous utilisons l’appellation de sommes algébriques pour désigner toute suite d’additions et/ou de soustractions, considérant que soustraire un terme revient à ajouter son opposé. Exemple de rédaction

Cette opération n’est possible que si les termes possèdent la même partie littérale (termes semblables). 1) Je repère les termes semblables. 2) J’additionne leurs coefficients et je recopie leur partie littérale. 2x + y + 2x + y = 4x + 2y

G89

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 313

p. 250

Exercice 7 L’objectif de cet exercice est de stabiliser la règle de réduction d’une somme algébrique en amenant les élèves à se détacher du support visuel pour manipuler directement les expressions algébriques. Chronologie de la difficulté :

• sommes de termes égaux : passage de l’addition au produit ; • sommes de deux termes (réductibles ou irréductibles) : identification des termes semblables ; • sommes de plusieurs termes : mise en place d’une stratégie de tri et de regroupement ;

• intégration des nombres négatifs : introduction de coefficients et/ou de termes indépendants négatifs.

p. 313

p. 250

Exercice 8

La dématérialisation du concept concret de longueurs permet de réinvestir et de consolider les règles de la somme de nombres entiers dans un contexte nouveau.

IG H T

Une fois l’expression algébrique réduite du périmètre établie, les élèves procèdent au calcul de sa valeur numérique. Cette transition de l’algèbre vers l’arithmétique permet de donner du sens aux variables : les lettres cessent d’être des symboles abstraits pour devenir des grandeurs mesurables au sein d’une figure géométrique. Après avoir remplacé chaque lettre par la valeur donnée, les élèves mobilisent leurs compétences en calcul en veillant au respect des priorités des opérations. Les élèves doivent être particulièrement attentifs et ne pas oublier de noter le symbole de multiplication.

Pour calculer la valeur numérique de 6a + 8 si a = 2, les élèves doivent donc écrire 6 · 2 + 8 = 12 + 8 = 20.

La réponse finale doit obligatoirement inclure l’unité de mesure adéquate (ici le cm) pour donner un sens géométrique au résultat. p. 314

p. 250

Exercice 9

Les élèves affinent leur niveau de maitrise du calcul de la valeur numérique d’une expression algébrique. Ils ne doivent pas oublier de noter le symbole de multiplication et d’ajouter des parenthèses lorsque la valeur donnée est négative. Pour calculer la valeur numérique de 2a – 3b si a = 4 et b = –5, les élèves doivent écrire 2 · 4 – 3 · (–5) = 8 – (–15) = 8 + 15 = 23.

G90

p. 314

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

D Aires, volumes et expressions algébriques p. 251

Exercice 1

p. 315

Les élèves font le tri entre les expressions correctes, incorrectes et réduites. Une vigilance particulière est de mise concernant la distinction entre les notions de périmètre et d’aire. Il sera essentiel d’aider les élèves à bien dissocier ces deux concepts. p. 251

Exercice 3

p. 315

Cette étape charnière permet de visualiser concrètement pourquoi 3y ⋅ 2x = 6xy. C’est le passage de la géométrie au calcul littéral pur. p. 252

Exercice 4

p. 315

IG H T

Par le passage de la géométrie plane (2D) à la géométrie spatiale (3D), les élèves comprennent que la règle de réduction d’un produit algébrique s’applique de la même manière, mais avec une dimension supplémentaire. p. 252

Je rédige mon procédé pour réduire des produits algébriques Exemple de rédaction

Contrairement à la réduction de sommes, cette opération est toujours possible. 1) Je multiplie les coefficients entre eux.

2) J e multiplie les parties littérales entre elles en écrivant le produit des facteurs identiques sous la forme d’une puissance.

2a ⋅ 3b = 6ab 2a ⋅ 2a ⋅ 3b = 12a2b

3) J ’écris le résultat en commençant par le nouveau coefficient suivi des lettres munies de leur exposant dans l’ordre alphabétique.

G91

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 316

p. 252

Exercice 5 Afin de stabiliser la règle de réduction d’un produit algébrique, les élèves sont amenés à se détacher du support visuel pour manipuler directement les expressions algébriques. Chronologie de la difficulté : • produit de deux facteurs à parties littérales différentes ;

• produit de deux facteurs à parties littérales identiques ;

• produit de plus de deux facteurs à parties littérales différentes ou identiques.

p. 252-253

p. 316

La dématérialisation du concept concret d’aire ou de volume permet de réinvestir et de consolider les règles du produit de nombres entiers dans un contexte nouveau.

Exercices 6 et 7

p. 317 Exercice 8

IG H T

Après avoir écrit une expression algébrique réduite de l’aire de chaque figure ou du volume du parallélépipède rectangle, les élèves doivent en calculer la valeur numérique. Ils doivent également noter l’unité de mesure adéquate (le cm2 ou le cm3) pour donner un sens géométrique au résultat. p. 253

À nouveau, les élèves ne doivent pas oublier de noter le symbole de multiplication et d’ajouter des parenthèses lorsque la valeur donnée est négative.

Sommes et produits algébriques

L’objectif de cette partie est de consolider la distinction entre la somme algébrique et le produit algébrique. p. 317

p. 253

Exercice 1

Les élèves ne doivent plus réduire une expression algébrique, mais concevoir une situation menant à celle-ci. C’est une vérification de la compréhension profonde. (1) Les élèves doivent trouver deux termes dont la somme vaut 3a (un demi-périmètre).

(2) Les élèves doivent trouver deux facteurs dont l’aire vaut 6a2.

G92

p. 253 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 317 Exercice 2

Équations et graphes fléchés

(2) Les élèves suivent une démarche rigoureuse en deux étapes. Ils calculent l’aire de chaque rectangle (réduction de produits algébriques) avant l’aire de la figure complexe (réduction de sommes algébriques).

p. 255

p. 319

L’indice permet de distinguer les notions d’expression algébrique et d’équation. Les élèves comprennent alors que la lettre peut avoir plusieurs statuts : celui d’une quantité qui peut varier (variable) et celui d’une quantité recherchée pour qu’une égalité soit vraie (inconnue).

Exercice 1

(1) Les élèves expriment le périmètre de la figure sous la forme d’une expression algébrique réduite dans laquelle x (variable) peut prendre n’importe quelle valeur strictement positive.

IG H T

(2) Les élèves écrivent une équation traduisant le fait que le périmètre de la figure vaut 28 cm. Ils doivent ensuite déterminer l’unique valeur de x (inconnue) qui vérifie cette égalité. Il est essentiel de faire verbaliser l’équation par les élèves, par exemple : « Je cherche une valeur de x telle que, si j’en prends le triple et que j’ajoute 10, j’obtiens 28. » Cette mise en mots permet de décoder la structure de l’expression et de modéliser le calcul sous la forme d’un graphe fléché. À partir de ce graphe, les élèves peuvent alors effectuer les opérations réciproques dans le bon ordre pour déterminer la valeur de l’inconnue.

Langage courant et expressions algébriques

L’utilisation du principe d’équivalence comme méthode de résolution sera introduite plus tard dans le chapitre.

p. 321-322

p. 255-256

Exercice 1

Les élèves découvrent deux programmes et le résultat annoncé pour chacun, formulés en langage courant. Ils commencent par vérifier ce résultat à partir d’un nombre imposé : pour cette valeur, le programme fournit le résultat attendu. Ils sont ensuite invités à chercher un nombre pour lequel le résultat ne correspondrait pas à celui annoncé. Pour le premier programme, aucun contrexemple n’apparait. Pour le second, les élèves peuvent constater l’erreur en choisissant, par exemple, le nombre 3. L’indice proposé ensuite met en évidence l’intérêt de recourir aux expressions algébriques pour généraliser une situation et vérifier la validité d’un programme, et ce, quel que soit le nombre de départ. Cette étape permet de montrer qu’il est souvent simple de trouver un contrexemple, mais que démontrer la véracité d’une affirmation pour tous les nombres possibles constitue un travail potentiellement infini. L’algèbre offre alors un outil essentiel pour généraliser et simplifier cette démarche. G93

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 322-323

p. 256

Exercices 3 et 4

Équations et problèmes p. 323

p. 257

Ces deux exercices permettent de traduire des situations exprimées en langage courant à l’aide d’expressions algébriques. Les élèves sont d’abord invités à travailler par association, puis à formuler une expression algébrique réduite et à calculer la valeur numérique de l’expression pour une valeur donnée.

Exercice 1

p. 324 Exercice 2

IG H T

Les élèves identifient et cochent l’équation correcte en respectant le choix de l’inconnue déjà précisé dans l’énoncé. C’est l’occasion de souligner qu’une même situation peut s’écrire de différentes façons selon ce que représente l’inconnue. En proposant plusieurs équations qui se ressemblent, on travaille la compréhension des priorités des opérations dans un contexte concret. p. 257

p. 324

p. 258

Exercice 3

Les élèves identifient et cochent l’énoncé correspondant à l’équation donnée. En proposant plusieurs énoncés qui se ressemblent, on travaille la lecture fine. Les élèves doivent ensuite, en précisant ce que représente l’inconnue dans l’énoncé qu’ils ont choisi, donner du sens à « la lettre ».

Les élèves doivent comprendre un raisonnement illustré à partir d’un énoncé en langage courant, identifier ce que représente l’inconnue, traduire la situation par une expression algébrique, puis manipuler les équations. Dans cet exercice, il est essentiel de faire verbaliser chaque étape.

On part de l’information suivante : quatre parts de pizza, un dessert et trois boissons coutent 34 €. Comme le prix du dessert et des boissons est connu (5 + 2 ⋅ 3 = 11 €), on peut soustraire ce montant du total. On obtient alors le prix des quatre parts de pizza, soit 34 € – 11 € = 23 €. Pour déterminer le prix d’une seule part, il suffit ensuite de diviser 23 € par 4, ce qui donne 5,75 €. Cette verbalisation est importante, car elle prépare les élèves à rédiger les étapes de résolution d’une équation en appliquant correctement les principes d’équivalence.

G94

p. 259 GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 325-326 Exercice 4

Pour comprendre l’ordre dans lequel effectuer les étapes de résolution d’une équation, les élèves s’appuient sur une notion déjà connue : le graphe fléché. Ils comprennent ainsi que, pour obtenir la réponse correcte, ils doivent remonter le chemin des opérations appliquées à l’inconnue et utiliser leurs opérations réciproques.

p. 326

p. 259

Exemples de rédaction À l’aide du graphe fléché

Je rédige mon procédé pour résoudre une équation

Les erreurs proposées dans les différentes résolutions d’élèves sont souvent celles qu’ils commettent. Il est donc essentiel de ne pas se limiter à comparer les solutions obtenues par différentes méthodes. Il faut prendre le temps de montrer aux élèves que, si les étapes ne sont pas réalisées dans le bon ordre ou si les opérations réciproques ne sont pas correctement choisies, le résultat obtenu sera erroné.

IG H T

1) J’indique sur les flèches « aller » les opérations à effectuer en partant de l’inconnue. 2) J ’indique sur les flèches « retour » les opérations réciproques à effectuer en partant du résultat. 3) Je calcule pour déterminer la valeur de l’inconnue.

À l’aide du principe d’équivalence

1) J’isole le terme qui contient l’inconnue en supprimant le terme indépendant. Pour cela, j’ajoute (ou je retire) ce terme aux deux membres de l’égalité.

2) J’isole l’inconnue en supprimant son coefficient. Pour cela, je divise les deux membres de l’égalité par ce coefficient.

p. 326-327

p. 259

Exercice 5

Même si la démarche n’est pas imposée, la résolution des équations à l’aide du principe d’équivalence est à privilégier. p. 327

p. 259

Exercice 6 Dans cet exercice, les élèves sont amenés à expliciter leur raisonnement. Ils vérifient la validité d’une égalité en remplaçant l’inconnue par la valeur proposée. Cette démarche introduit la ? notation « = » que les élèves retrouveront tout au long de leur scolarité, notamment lors de l’étude des réciproques des théorèmes de Pythagore et de Thalès. G95

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 327

p. 259

Je rédige mon procédé pour vérifier qu’une valeur donnée est solution d’une équation sans la résoudre Exemple de rédaction 1) Je remplace l’inconnue par la valeur donnée et j’effectue les calculs. Si elles sont identiques, alors la solution est correcte. Si elles ne sont pas identiques, alors la solution est incorrecte. p. 260

Exercice 7

p. 328-329

2) Je compare ensuite les valeurs situées de chaque côté de l’égalité.

IG H T

Après avoir travaillé séparément les différentes étapes de résolution d’un problème, les élèves doivent désormais les mobiliser simultanément dans un même exercice. Les deux problèmes proposés s’appuient sur une démarche guidée présentée sous la forme de tableaux. Les élèves doivent y respecter les étapes suivantes : choix de l’inconnue, mise en équation, équation réduite, résolution de l’équation, réponse à la question posée et vérification. Même si cela est peu probable avec les énoncés proposés, les élèves pourraient effectuer un autre choix d’inconnue au départ et obtenir une autre équation. Ce choix mènerait toutefois à la même réponse finale. p. 329 Exercice 8

p. 260

Les élèves doivent renforcer une démarche initiée dans le précédent exercice. En effet, il est préférable de réduire chacun des membres avant d’utiliser le principe d’équivalence. p. 330B

p. 260-261

Exercice 9

Les élèves doivent résoudre les problèmes énoncés en langage courant en appliquant les étapes travaillées précédemment. Même si certains pourraient être résolus mentalement, il est préférable de demander aux élèves d’utiliser les équations. Les problèmes proposés sont variés : programmes numériques, situations de la vie quotidienne, problèmes géométriques. Cette diversité montre que cette démarche peut être mobilisé dans de nombreux contextes. Les solutions détaillées de chaque problème sont reprises ci-après. (1) à (3) Le choix de l’inconnue est immédiat et un seul élément est recherché. La difficulté réside dans la nature du résultat, qui évolue progressivement : un nombre naturel, puis un entier négatif et enfin un nombre décimal.

G96

p. 330B

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

(4) à (7) L’analyse devient plus complexe, car le choix de l’inconnue n’est plus unique. Bien que la question oriente ce choix, plusieurs données liées entre elles doivent être déterminées simultanément. La solution regroupe alors plusieurs informations recherchées, ce qui exige une interprétation plus fine de la situation et une gestion plus rigoureuse des relations entre les données. p. 261

Retour au défi

Les élèves sont à présent capables de résoudre le troisième défi en utilisant une équation.

3x = 21

x=7

Chaque plumier contient 7 crayons. 3 ⋅ 7 = 21

Vérification :

Défi 1 : x représente le nombre de crayons par plumier

Il serait également intéressant de revenir sur les deux premiers défis, de les traduire eux aussi par une équation et de vérifier les solutions trouvées antérieurement.

IG H T

Défi 2 : x représente le nombre de crayons dans le premier plumier x + 3 représente le nombre de crayons dans les deuxième et troisième plumiers x + x + 3 + x + 3 = 36 –6 :3

3x + 6 = 36 3x = 30 x = 10

–6

10 + 13 + 13 = 36

Vérification :

Le premier plumier contient 10 crayons, les deuxième et troisième plumiers en contiennent 13 (10 + 3).

G97

C IG H T N

CHAPITRE 9

ExprEssions algébriquEs Souviens-toi 1. Les nombres inscrits sur les teeshirts suivent une séquence logique.

IG H T

Indique le nombre correspondant au teeshirt beige.

−6

−3

−6

−54

162

2. Dimanche, Emma débloque trois skins (vêtements, coiffures et accessoires portés par les personnages d’un jeu vidéo).

Si, chaque jour, elle gagne deux skins de plus que le jour précédent, combien en aura-t-elle gagné le mercredi ? Dimanche

Lundi

Mardi

Mercredi

Mercredi, Emma aura gagné 9 skins.

3. Complète les graphes fléchés. ⋅5

+7 23

16 -7

13 :5

: (-4)

- 18 5

-13 + 18

-5 ⋅ (-4)

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 299

299

19/02/2026 15:06

4. Note le calcul qui te permet de trouver la réponse à la question et effectue-le. Réponds ensuite à la question au moyen d’une phrase complète. (1) À Bruxelles, il fait 10 degrés de moins qu’à Madrid. S’il fait 2 degrés à Bruxelles, quelle température fait-il à Madrid ? 2 + 10 = 12

Il fait 12° C à Madrid.

(2) Un flacon A contient trois fois plus de parfum qu’un flacon B. Sachant que le flacon A contient 120 ml, quelle est la capacité du flacon B ?

120 : 3 = 40

IG H T

Le flacon B contient 40 ml de parfum.

300

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MATHSPACTELC_Chap09.indd 300

19/02/2026 17:38

MathsP

26 17:38

Défis

Es-tu prêt(e) à relever les trois défis de Jude ? Le principe est simple : à chaque défi, Jude répartit des crayons dans trois plumiers différents. Ton objectif : trouver combien de crayons se trouvent dans chaque plumier grâce à l’indice donné.

IG H T

J’ai réparti 21 crayons de manière équitable dans les trois plumiers.

21 : 3 = 7

Chaque plumier contient 7 crayons.

Cette fois, j’ai réparti 36 crayons dans les trois plumiers, mais le deuxième et le troisième plumiers contiennent chacun trois crayons de plus que le premier.

36 − 6 = 30

30 : 3 = 10

Le premier plumier contient 10 crayons, les deuxième

et troisième plumiers en contiennent 13. Dernier défi… Je répartis 100 crayons dans les trois plumiers. Le deuxième en contient deux fois plus que le premier et le troisième en contient cinq de plus que le deuxième.

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à ce troisième défi. CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

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301

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Suites arithmétiques illustrées et expressions algébriques

1. (1) Complète le tableau en notant le nombre d’antennes et de pattes en fonction du nombre de fourmis.

Nombre de pattes

Nombre d’antennes

Nombre de fourmis

120 ⋅ 2 = 240 antennes

(2) Calcule le nombre d’antennes de 120 fourmis.

Calcule le nombre de pattes de 250 fourmis.

IG H T

250 ⋅ 6 = 1 500 pattes (3) Explique comment calculer…

le nombre d’antennes à partir du nombre de fourmis. Je multiplie le nombre de fourmis par 2.

le nombre de pattes à partir du nombre de fourmis.

Je multiplie le nombre de fourmis par 6.

Dans le contexte des suites, l’utilisation d’une lettre, appelée variable (dont la valeur peut changer), est indispensable pour exprimer la position d’un terme dans la suite et pour définir la règle de formation de cette suite.

(4) Lis l’indice.

Si n représente le nombre de fourmis, traduis, en utilisant cette variable, la relation entre…

302

le nombre de fourmis (n) et le nombre d’antennes.

n⋅2

le nombre de fourmis (n) et le nombre de pattes.

n⋅6

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 302

19/02/2026 15:06

(5) Lis l’indice puis réduis chacune des expressions algébriques de la question précédente. Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d’opérations. Expression algébrique réduite 3n Partie littérale

Coefficient

Le symbole de la multiplication (⋅) entre le coefficient et la variable ne se note pas.

Nombre de pattes : 6n

Nombre d’antennes : 2n

IG H T

2. Ce bracelet est constitué d’une cordelette dont chaque extrémité est ornée d’une perle. On peut le personnaliser en ajoutant un certain nombre de nœuds décorés chacun de trois perles.

(1) Dessine un bracelet à deux nœuds et un bracelet à trois nœuds.

(2) Complète le tableau.

Nombre de nœuds

10 ⋅3

Nombre de perles pour les nœuds

Nombre de perles pour le bracelet

30 +2

5 +3

8 +3

11 +3

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 303

303

19/02/2026 15:06

(3) Lis l’indice puis complète. Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant un nombre constant, appelé raison, au nombre précédent.

Le nombre au rang 0 est appelé terme indépendant. Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

Dans une suite, la position d’un nombre est appelée rang du nombre.

La raison est 3.

Le terme indépendant est 2 et son rang est 0.

Quel est le terme indépendant de cette suite arithmétique et quel est son rang ?

(4) Explique comment calculer le nombre de perles du bracelet à partir du nombre de nœuds.

IG H T

On multiplie le nombre de nœuds par trois et on ajoute 2.

(5) Si n représente le nombre de nœuds, traduis la relation entre le nombre de nœuds et le nombre de perles du bracelet par une expression algébrique réduite. n ⋅ 3 + 2 = 3n + 2

Dans une expression algébrique, il arrive que certains termes ne puissent pas être additionnés, car ils ne sont pas semblables (ils ne possèdent pas la même partie littérale).

Une expression algébrique réduite peut donc contenir plusieurs termes.

(6) Complète le graphe fléché et calcule le nombre de perles d’un collier, conçu sur le même modèle, constitué de 32 nœuds.

⋅3

+2 Nombre de perles du collier : 98 98

Complète le graphe fléché à l’aide des opérations réciproques et calcule le nombre de nœuds d’un collier constitué de 65 perles. 21

63 :3

304

65 Nombre de nœuds du collier : 21 −2

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 304

19/02/2026 15:06

3. (1) Complète la suite. Rang

4 ⋅2

Assemblage de cœurs

5 +2

7 +2

(2) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ? 2

Nombre de cœurs

(3) Si tu multiplies le rang par la raison de la suite, obtiens-tu le nombre exact de cœurs ? Si la réponse est non, que faut-il faire ? Non, après avoir multiplié le rang par 2, il faut ajouter 1.

IG H T

(4) Si n représente le rang, traduis la relation entre le rang et le nombre de cœurs par une expression algébrique réduite. Ensuite, souligne le terme indépendant et entoure le coefficient de la variable n. n⋅2 + 1 = 2n + 1

À quel élément caractéristique de la suite arithmétique correspond ce coefficient de la

variable n ? À la raison de la suite

Je rédige mon procédé pour déterminer l’expression algébrique qui permet de calculer le nombre de motifs à partir du rang (n), dans le cas d’une suite arithmétique

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 305

305

19/02/2026 15:06

4. (1) Construis la suite arithmétique illustrée en suivant le procédé décrit. Compte ensuite le nombre total de carrés de chaque assemblage. Au rang 1, dessine un petit carré. À chaque nouveau rang, reprends le motif précédent et ajoute un petit carré au-dessus de la première colonne ainsi que deux petits carrés à droite de la première ligne. Rang

⋅3

Assemblage de carrés

−2

4 +3

7 +3

Nombre de carrés

(2) Coche le procédé qui permet de calculer le nombre de carrés à partir du rang. J’ajoute 3 au rang.

IG H T

Je multiplie le rang par 3 et j’enlève 2. Je multiplie le rang par 2 et j’enlève 1.

Traduis le procédé correct par une expression algébrique réduite où n représente le rang. n ⋅ 3 − 2 = 3n − 2

⋅3 19

(3) Complète le graphe fléché pour calculer le nombre de carrés du rang 19. −2

Nombre de carrés :

(4) Complète le graphe fléché pour calculer le rang de la figure composée de 934 carrés.

312

Rang : 312

934

936

(5) Dans cette suite arithmétique, est-il possible d’observer un assemblage de 98 carrés ? Non, car (98 + 2) = 100 et 100 n’est pas divisible par 3.

306

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 306

19/02/2026 15:06

5. (1) Construis ta propre suite arithmétique illustrée. Pour cela… – choisis un motif de départ ; – dessine, au rang 1, une composition d’un ou de plusieurs motifs ; – ajoute le même nombre d’éléments pour passer au rang suivant. 1

Assemblage de motifs

Réponse

Rang

personnelle

IG H T

Nombre de motifs

(2) En t’inspirant de celui décrit à l’exercice 4. (1), rédige, sur une feuille, le procédé qui permet de construire ta suite illustrée. (3) Échange la feuille contenant ton procédé avec celle d’un(e) autre élève. Lis attentivement son procédé puis dessine, sous son texte, la suite qu’il ou elle décrit.

(4) Récupère ta feuille et compare la réalisation de l’élève avec ta suite. Sont-elles similaires ? Repère ce qui manquait ou ce qui était mal exprimé dans ton procédé. Ensuite, ajuste-le en fonction de tes observations et recopie-le ici.

Réponse personnelle

(5) Écris l’expression algébrique réduite de ta suite. Celle-ci doit permettre de déterminer le nombre de motifs de ton assemblage en fonction de son rang (n). Réponse personnelle CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

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307

19/02/2026 15:06

Suites numériques et écriture algébrique d’un nombre

1. Complète chaque suite arithmétique de nombres. Ensuite, établis l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n).

Rang

4 40

5 50

6 60

27 270

51 510

⋅ 10

: 10

⋅8

⋅5 +1

:5 −1

10n

Nombre

Enfin, complète la phrase.

10.

Nombre

1 8

4 32

5 40

6 48

168

IG H T

Rang

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de

100

800

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de 8.

Nombre

101

166

5n + 1

Rang

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de

5 augmenté de

Nombre

201

4n - 3

Rang

⋅4 −3

:4 +3

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de 4 diminué de 3.

Rang

Nombre

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-100

-125

-5n

⋅ (-5)

: (-5)

Chaque nombre de la suite est un nombre entier multiple de -5.

308

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 308

19/02/2026 15:06

2. Associe la description du nombre à l’expression algébrique réduite qui le représente. Un nombre naturel multiple de 4 •

• n+1

Un nombre naturel pair •

• 4n - 2

Un nombre naturel impair •

• 4n • 2n - 4

Un nombre naturel multiple de 4 diminué de 2 •

• 2n

Un nombre naturel multiple de 2 diminué de 4 •

Un nombre naturel augmenté de 1 •

• 2n + 1

Nombre

–12

–9

3n – 15

IG H T

Rang

3. Repère dans chaque tableau l’expression algébrique permettant de calculer le nombre de la suite à partir de son rang et utilise-la pour compléter le graphe fléché. Ensuite, complète la suite arithmétique de nombres. - 15 ⋅3

Rang

Nombre

–1

–9

–17

–25

–2n + 3

3n - 15

+ 15

⋅ (-2)

-2n + 3

-2n : (-2)

-3

Nombre

400

n ⋅ n = n2

4. Certaines suites de nombres ne sont pas arithmétiques. Complète chacune d’elles et établis une expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre correspondant à un rang donné (n).

Rang

Nombre

125

216

8 000

n ⋅ n ⋅ n = n3

Rang

Nombre

100 1 000

Puissance

101

102

Rang

103

10 000

100 000

1 000 000

10n

104

105

106

10n

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 309

309

19/02/2026 15:06

Nombre

1 024

Puissance

210

Rang

Nombre

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 20

1 n

Longueurs et expressions algébriques

Rang

IG H T

1. Dans chaque cas, exprime la longueur du segment [AB] en fonction de x et réduis, si possible, l’expression algébrique. Dans un contexte géométrique, l’utilisation d’une ou de plusieurs lettres, appelées variables (dont la valeur peut changer), est indispensable pour modéliser une situation. (1)

(2)

O C

(4)

|AB| = x + x + x + x = 4 ⋅ x = 4x

|AB| = x + x + 6 = 2 ⋅ x + 6 = 2x + 6

|AB| = x : 3 =

310

(5)

|AB| = x - 1

(3)

|AB| = x + 10

x 3

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 310

19/02/2026 15:06

2. Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chaque polygone. a

P= a+a+a+a

P= x+1+x+1+x+x

= 4a

= 4x + 2 x

P= b+b+b

P= y+y+2+2+y+2

= 3y + 6

= 3b

3. Relie chaque polygone à l’expression algébrique réduite de son périmètre. B

• 4a + 2

Carré EBFH • Rectangle HFCG • H G

F 1

Rectangle ABCD •

• 6a + 2 • 5a + 2 • 2a + 2

IG H T

Rectangle AEGD •

• 4a

4. Ce polygone est composé uniquement de segments perpendiculaires. Complète la longueur manquante et exprime ensuite le périmètre de ce polygone en fonction de x. Écris ta réponse finale sous la forme d’une expression algébrique réduite.

P = x + x + 2 + x + x + 2 + 2 + 2x + 2

= 6x + 8

x + x + 2 = 2x + 2

5. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles.

Coche la (les) figure(s) dont le périmètre vaut 6a + 2b. a

a a

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 311

311

19/02/2026 15:06

6. Ces polygones, à l’exception du premier, sont composés uniquement de segments perpendiculaires. Complète les longueurs manquantes et exprime le périmètre de ces polygones à l’aide d’une expression algébrique réduite. c 2 2a

c−3

d−2

3b P = 2a + 2a + 3b

P= c+2+c−3+d−2+3+d = 2c + 2d

= 4a + 3b

b−c

x + x = 2x y + y = 2y

IG H T

d + a + a + a = d + 3a

P = x + y + x + y + 2x + 2y

= 2d + 8a + 2b

= 4x + 4y

P = c + d + a + a + a + a + b − c + a + b + d + 3a

Je rédige mon procédé pour réduire des sommes algébriques

312

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 312

19/02/2026 15:06

7. Réduis, si possible, les sommes algébriques. 7c + 4c + 3c = 14c

a − a = 0a = 0

x + x + x = 3x

2a + 3b + 3a + b = 5a + 4b

13d − 5d = 8d

a+b= /

x + 2y + x + 2y = 2x + 4y

x − 3x = −2x

4y + 6y = 10y

3c + 4 + 3c + 1 = 6c + 5

x − 2y = /

5a + 3 = /

3 + 4a − 5 = 4a − 2

−5s + 7s = 2s

8b + 2b = 10b

−1 + d + 1 = d

−3z − 2z = −5z

2x + x = 3x

−9 −2t + 2 = −2t − 7

−5 + 7t − 2t + 8 = 3 + 5t

10 + 4y = /

3y − 2 + 2y − 3 = 5y − 5

4x + 2 − 6 − 6x = −2x − 4

a + a = 2a

8. Chaque polygone est composé uniquement de segments perpendiculaires dont les dimensions sont exprimées en cm. (1) Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chacun. 4

IG H T

x y

P=y+x+x+x+1+y+y+x+1+y = 4x + 4y + 2

= 6a + 8

y+x+1

4+a

P = 4 + a + a + a + 4 + a + 2a

(2) Calcule la valeur numérique de chaque périmètre si a = 2 cm, x = 1,5 cm et y = 3 cm. La valeur numérique d’une expression algébrique est le nombre obtenu en remplaçant chaque variable par une valeur donnée et en effectuant les opérations indiquées.

P = 6 . 2 + 8 = 12 + 8 = 20 cm

P = 4 . 1,5 + 4 . 3 + 2 = 6 + 12 + 2 = 20 cm

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 313

313

19/02/2026 15:06

9. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques si tu sais que… (1) a = 1 et b = 3.

(2) a = 4 et b = −5. a + b = 4 + (−5) = 4 − 5 = −1

a − b = 1 − 3 = −2

a − b = 4 − (−5) = 4 + 5 = 9

−5a + b = −5 ⋅ 1 + 3 = −5 + 3 = −2

−5a + b = −5 ⋅ 4 + (−5) = −20 − 5 = −25

2a − 3b = 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 3 = 2 − 9 = −7

2a − 3b = 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ (−5) = 8 − (−15)

a+b= 1+3=4

= 8 + 15 = 23

D Aires, volumes et expressions algébriques

1. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles. Barre les expressions algébriques qui ne correspondent pas à l’aire de la figure. Entoure l’expression algébrique réduite de l’aire de cette même figure. x

IG H T

a⋅a 4a a2

x⋅y

2x + 6y

x+y

x ⋅ 3y

4x2

2x + 2y

3xy

x2 ⋅ 4

y⋅x

xy ⋅ 3

x + 3y

2x ⋅ 2x

2. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles. Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles.

314

b a

a a

A = a⋅a

A = b⋅a

A = 3 ⋅ a2 + 2 ⋅ ab

= a2

= ab

= 3a2 + 2ab

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 314

19/02/2026 15:06

3. Exprime l’aire de ce rectangle sous la forme d’une expression algébrique réduite. Vérifie ta solution en complétant les longueurs et les aires manquantes sur la figure. 3y xy

A = 3y ⋅ 2x = 6xy

4. Écris une expression algébrique réduite du volume…

(2) du solide formé de cubes identiques. a

V = a ⋅ a ⋅ a = a³

V = 4 ⋅ a³ = 4a³

IG H T

(3) de chaque parallélépipède rectangle.

(1) du cube.

V = 2e ⋅ 2t ⋅ 3c = 12cet

V = a ⋅ b ⋅ c = abc

Je rédige mon procédé pour réduire des produits algébriques

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 315

315

19/02/2026 15:06

5. Réduis les produits algébriques. d ⋅ d = d2

a ⋅ a ⋅ a = a³

7 ⋅ 9d = 63d

7x ⋅ 3x = 21x2

a ⋅ a ⋅ b = a 2b

4x ⋅ 2y = 8xy

3x ⋅ 3x = 9x2

x ⋅ 4 ⋅ x ⋅ x = 4x³

11c ⋅ b = 11bc

5a ⋅ 2a = 10a2

2b ⋅ 3a ⋅ 5 = 30ab

2a ⋅ (−3b) = −6ab

−t ⋅ t = −t2

2x ⋅ 3x ⋅ 7 = 42x2

−3 ⋅ (−8d) = 24d

5b ⋅ (−b) = −5b2

5m ⋅ 3y ⋅ 4x = 60mxy

−2m ⋅ 3b = −6bm

−2a ⋅ (−4a) = 8a2

−2x ⋅ 3x ⋅ 5a = −30ax2

(−4y) ⋅ (−2x) = 8xy

3c ⋅ (−2c) = −6c2

−6a ⋅ c ⋅ (−4b) = 24abc

5x ⋅ 2 = 10x

6. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires dont les dimensions sont exprimées en cm. Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles. Ensuite, calcule la valeur numérique de chaque aire si a = 2 cm, x = 3,5 cm et y = 0,5 cm.

IG H T

A = 5 ⋅ a + a ⋅ 1 = 5a + a = 6a

A = 2x ⋅ 3y = 6xy

A = 6 ⋅ 3,5 ⋅ 0,5 = 10,5 cm2

A = 6 ⋅ 2 = 12 cm2

7. Écris une expression algébrique réduite du volume de ce parallélépipède rectangle.

Ensuite, calcule la valeur numérique de ce volume si x = 2 cm et y = 5 cm.

316

3x 2x

V = 2x ⋅ y ⋅ 3x = 6x2y y

V = 6 ⋅ 22 ⋅ 5 = 6 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 cm3

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 316

19/02/2026 15:06

8. Calcule la valeur numérique de chaque expression algébrique si a = 1, b = 3 et c = –5. 5ac = 5 ⋅ 1 ⋅ (−5) = −25

ab = 1 ⋅ 3 = 3

−10abc = −10 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ (−5) = 150

2b3 = 2 ⋅ 33 = 2 ⋅ 27 = 54

−3c2 = −3 ⋅ (−5)2 = −3 ⋅ 25 = −75

Sommes et produits algébriques

1. Construis un rectangle dont… (1) le périmètre vaut 6a.

(2) l’aire vaut 6a2.

5b = 5 ⋅ 3 = 15

IG H T

2. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires. Écris une expression algébrique réduite du périmètre et de l’aire de chacune d’elles. (1)

P = a + 2a + 2a + a + a + a = 8a

(2)

A = a ⋅ a ⋅ 3 = 3a2

P = 6x + 4x + 6x + x + 3x + x + 3x + 2x

3x x 3x 6x

= 26x A = 3x ⋅ 2x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ x = 6x2 + 12x2 + 3x2 = 21x2

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 317

317

19/02/2026 15:06

3. Indique devant l’énoncé si l’expression algébrique proposée est une somme (S) ou un produit (P). Réduis ensuite, si possible, chacune de ces expressions. ( P ) 2a ⋅ 3a = 6a2

( S ) −a − a = −2a

( P ) x ⋅ x ⋅ x = x3

( S ) 2a + 3a = 5a

( P ) −a ⋅ (−a) = a2

( S ) 2a + 3b = /

( S )a+2= /

( P ) 3x ⋅ (−2x) = −6x2

( P ) 2a ⋅ 3b = 6ab ( P ) c ⋅ 3 ⋅ c = 3c2

( P ) a ⋅ 2 = 2a

( S ) 3x2 − 2x = /

( S ) −a + a = 0

( S ) 3ab + 2a = /

( S ) c + 3 + c = 2c + 3

( P ) −a ⋅ a = −a2

( P ) 3ab ⋅ 2a = 6a2b

4. Réduis, si possible, chaque expression algébrique.

( S ) x + x + x = 3x

a ⋅ a ⋅ a = a3

3 ⋅ x = 3x

y ⋅ 3 ⋅ x = 3xy

2a + 2a + 2a = 6a

3+x= /

−2a + 3a = 1a

4y ⋅ (−2y) = −8y2

−5x − 5x = −10x

3x2 + 4x = /

−d + d = 0

4a2 + a2 = 5a2

−15x ⋅ (−2) = 30x

a + 1 + a = 2a + 1

b + b = 2b

5c ⋅ 3c = 15c2

3+x+y= /

2a3 + 4a2 = /

5c − 2 = /

2a + 3b + 2a + 3b = 4a + 6b

3y + 4x − y = 2y + 4x

−3y ⋅ 4x ⋅ y = −12xy2

b ⋅ b = b2 5c + 3c = 8c 2y ⋅ 3x = 6xy

−2b + 2 + 2b = 2

IG H T

−3x + 3x = 0

5c ⋅ (−2) = −10c

5. Complète chaque expression algébrique. 3x + 4x a

= 7x

4b + 3c + 2b 5x

3d ⋅ (−5d) = −15d2

−a ⋅ a

3y ⋅ (−5y) = −15y2

−5c ⋅ (−5c) = 25c2

−2x ⋅ 2x ⋅ (−x) = 4x3

g⋅ 1

−2c − 2c = −4c

= 6bx

− 3y = y

−y ⋅ 5x = −5xy

−2c ⋅ (−2c) = 4c2

+ 3y

+ c

− 5y = 0

+ 3a = 4a

2b ⋅ 3x

318

7a − 6a

7x ⋅ 8

= 6b + 4c

− 3x + 5y = 2x + 8y

⋅ a = −a3

= 56x

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 318

19/02/2026 15:06

Équations et graphes fléchés Une équation est une égalité qui contient une lettre.

Les lettres symbolisent des variables, c’est-à-dire des quantités pouvant prendre n’importe quelle valeur.

La lettre symbolise l’inconnue, c’est-à-dire la quantité dont on cherche la valeur pour que l’égalité soit vraie.

2x + 3 est une expression algébrique dans laquelle x est la variable.

2x + 3 = 13 est une équation dans laquelle x est l’inconnue.

Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.

La valeur de l’inconnue qui vérifie cette égalité est 5.

Si x = 1, alors…

En effet, 2 ⋅ 5 + 3 = 13

2x + 3 = 2 ⋅ 1 + 3 = 2 + 3 = 5

La valeur 5 est appelée solution de l’équation.

Si x = 2, alors…

IG H T

2x + 3 = 2 ⋅ 2 + 3 = 4 + 3 = 7

1. (1) Écris une expression littérale réduite du périmètre de cette figure, dont les dimensions sont exprimées en cm. 2

P=3+2+x+1+x+4+x = 3x + 10

(2) Détermine la valeur de x pour que le périmètre du polygone soit égal à 28 cm.

3x + 10 = 28

⋅3 x 6

+ 10 3x 18

3x + 10 28 − 10

Pour que le périmètre de la figure soit égal à 28 cm, la valeur de x doit être égale à 6 cm.

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 319

319

19/02/2026 15:06

2. Si les dimensions des figures sont exprimées en cm, détermine la valeur de x pour que le périmètre du rectangle ABCD soit égal au périmètre du carré EFGH. 4

x C H

x + 4 + x + 4 + x + x = 4x + 8

Périmètre du carré EFGH :

5 ⋅ 4 = 20

Périmètre du rectangle ABCD = Périmètre du carré EFGH ⋅4 x 3

4x + 8 = 20

Périmètre du rectangle ABCD :

+8 4x 12

4x + 8 20

IG H T

−8 Pour que le périmètre du rectangle ABCD soit égal au périmètre du carré EFGH, la valeur de x doit être égale à 3 cm.

3. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires dont les dimensions sont exprimées en cm. Détermine la valeur de x pour que l’aire de chacune d’elles soit égale à 36 cm2. (2) (1) 4x 8

A = 4x ⋅ 3 = 12x

12x = 36

A = 8 ⋅ 2x + 4 ⋅ 1 = 16x + 4 16x + 4 = 36

⋅ 12 x 3

12x 36

x 2

+4 16x + 4 36

16x 32 : 16

: 12

320

⋅ 16

-4

Pour que l’aire du rectangle soit égale

Pour que l’aire de la figure soit égale

à 36 cm2, la valeur de x doit être égale

à 36 cm2, la valeur de x doit être

à 3 cm.

égale à 2 cm.

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 320

19/02/2026 15:06

Langage courant et expressions algébriques

1. Voici deux programmes de calcul et leur résultat. Programme 2

Choisis un nombre. Multiplie-le par 3. Enlève 1. Enlève le double du nombre de départ.

Choisis un nombre. Multiplie-le par 2. Ajoute 5. Enlève le nombre de départ. Enlève 3.

Le résultat est toujours égal au nombre qui précède le nombre de départ.

Le résultat est toujours égal au double du nombre de départ.

Programme 1

Programme 1 :

(1) Vérifie le résultat de chaque programme en choisissant 2 comme nombre de départ. 2⋅3 - 1 - 2⋅2 = 6 - 1 - 4 = 1

Programme 2 :

IG H T

Le résultat est égal au nombre qui précède le nombre de départ (1 = 2 - 1) 2⋅2 + 5 - 2 - 3 = 4 + 5 - 2 - 3 = 4

Le résultat est égal au double du nombre de départ (4 = 2 ⋅ 2)

(2) Est-il possible de trouver un nombre de départ pour lequel le résultat ne correspond pas à celui proposé dans le programme ?

Programme 1

Je ne trouve pas de nombre pour lequel le résultat ne correspond pas à celui proposé dans le programme.

Programme 2

Si je choisis 3 comme nombre de départ, alors 3 . 2 + 5 - 3 - 3 = 5 et 5 n’est pas le double de 3.

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 321

321

19/02/2026 15:06

(3) Vérifie l’exactitude de chaque programme en choisissant n comme nombre de départ. L’utilisation d’une expression algébrique permet de généraliser une situation et d’établir qu’une relation est vraie pour l’ensemble des cas, et pas pour quelques exemples seulement. Programme 1 :

n ⋅ 3 - 1 - 2 ⋅ n = 3n - 1 - 2n = n - 1

Programme 2 :

n ⋅ 2 + 5 - n - 3 = 2n + 5 - n - 3 = n + 2

Le résultat de ce programme est toujours le nombre qui précède le nombre de départ.

Le résultat de ce programme n’est pas toujours égal au double du nombre de départ.

2. (1) Rédige un programme correspondant à l’expression algébrique n + 7 − 2 ⋅ n − 7. (2) Applique le programme pour n = 8.

IG H T

(3) Exprime par une phrase la relation entre le résultat et le nombre de départ. (4) Réduis l’expression algébrique afin de justifier que la relation trouvée est vraie, quel que soit le nombre de départ. (1) Choisis un nombre n.

Ajoute 7.

Enlève le double du nombre de départ.

Enlève 7.

(2) 8 + 7 - 2 ⋅ 8 - 7 = 8 + 7 - 16 - 7 = -8 (3) Le résultat est égal à l’opposé du nombre de départ.

(4) n + 7 - 2n - 7 = -n

3. Associe chaque proposition à l’expression algébrique qu’elle traduit, sachant que… (1) n est un nombre.

322

Le triple d’un nombre diminué de 2

•

• n-2

Le triple d’un nombre diminué de son double

•

• 3n - 2

La différence entre 2 et le triple d’un nombre

•

• 2 - 3n

Le triple de la différence entre un nombre et 2 •

• 3 ⋅ (n - 2)

La différence entre un nombre et 2

• 3n - 2n

•

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 322

19/02/2026 15:06

(2) x représente l’âge de Florian et Mélanie a 6 ans de moins que Florian. •

• 2x - 6

L’âge de Mélanie

•

• x

L’âge de Florian dans 2 ans

•

• x-6

L’âge de Mélanie il y a 2 ans

•

• x+2

La somme des âges actuels des deux enfants

•

• 2x

Le double de l’âge de Florian

•

• x-8

L’âge de Florian

4. Sacha invite Morgane au cinéma. Il achète deux places de cinéma, deux boissons à 3 € et un sachet de popcorn à partager à 5 €.

2 ⋅ x + 2 ⋅ 3 + 5 = 2x + 6 + 5 = 2x + 11

(1) Si x représente le prix d’une place de cinéma, écris une expression algébrique réduite traduisant le montant total des achats effectués par Sacha.

(2) Calcule la somme dépensée par Sacha si une place de cinéma coute 9 €.

IG H T

2 ⋅ 9 + 11 = 18 + 11 = 29 €

Équations et problèmes

1. Coche l’équation qui traduit chaque situation.

(1) J’achète quatre jeux vidéos et je bénéficie d’une réduction de 8 €. Le montant total payé est de 52 €. x représente le prix d’un jeu vidéo.

4x + 8 = 52

x - 8 = 52

4x - 8 = 52

x + 8 = 52

(2) Une agence de voyages propose une formule à 75 € par personne et par nuit. Le budget total pour trois personnes s’élève à 900 €. x représente le prix par nuitée. 3x + 75 = 900

75x = 900

75 ⋅ 3 ⋅ x = 900

x + 75 = 900

(3) Pour préparer son spectacle, une troupe de théâtre répète deux fois par semaine. Cependant, face au stress de la représentation imminente, elle décide d’ajouter six répétitions supplémentaires, atteignant un total de 32. x représente le nombre de semaines. x + 6 = 32

2x - 6 = 32

2x + 6 = 32

x - 6 = 32

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 323

323

19/02/2026 15:06

2. Coche l’énoncé qui peut être traduit par chaque équation. Précise ensuite ce que représente x dans la situation cochée. (1) 2x + 6 = 40 Un élève construit deux piles identiques de cubes. Il ajoute ensuite six cubes à chacune des deux piles. Il utilise 40 cubes en tout. Je commande, en ligne, 2 livres au même prix. Les frais de livraison s’élèvent à 6 €. Le montant total de mes achats est de 40 €.

x représente le prix d’un livre. (2) x + 3x + 20 = 70

En octobre, un jeune économise le triple de la somme épargnée en septembre. En novembre, il économise 20 €. À la fin des trois mois, le total de ses économies s’élève à 70 €. Une famille effectue un voyage de 70 jours à travers le continent américain. Elle passe trois jours au Mexique, 20 jours dans le Grand Canyon et le reste du temps en Floride. x représente le montant épargné en septembre.

IG H T

3. Lors d’un repas entre amis, Estelle paie l’ensemble de l’addition qui s’élève à 34 €. La commande comprend quatre parts de pizza, un dessert à 5 € et trois boissons à 2 € l’unité. Estelle souhaite se faire rembourser par ses amis, mais elle a oublié le prix d’une part de pizza. (1) À l’aide du raisonnement illustré, aide-la à retrouver ce montant. ?

5€

2€

€

? 5,75 €

2€

(2) Désigne par la lettre x l’inconnue de ce problème et précise ce qu’elle représente. x représente le prix d’une part de pizza. (3) Écris une expression algébrique réduite traduisant la commande d’Estelle. 4x + 5 + 3 ⋅ 2 = 4x + 5 + 6 = 4x + 11

324

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 324

19/02/2026 15:06

(4) Traduis chaque étape du raisonnement d’Estelle à l’aide d’une équation. Sur les flèches, indique les opérations qui permettent de résoudre cette équation, en respectant le principe d’équivalence. Le principe d’équivalence repose sur deux règles fondamentales.

– Si on ajoute (ou retire) le même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.

– Si on multiplie (ou divise) par le même nombre non nul les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. 4x + 11 = 34

- 11

- 11 4x = 23 :4

x = 5,75

IG H T

(5) Rédige une phrase de conclusion pour répondre à la question posée et vérifie ta solution. Le prix d’une part de pizza est de 5,75 €. 4 ⋅ 5,75 + 5 + 3 ⋅ 2 = 23 + 5 + 6 = 34

Le montant total de la commande est de 34 €.

4. Trois élèves ont tenté de résoudre deux équations à l’aide du principe d’équivalence. Dans chaque cas, coche la résolution correcte, puis complète le graphe fléché pour vérifier ton choix. (1)

2x - 5 = -4 2x = -9

2x - 5 = -4 :2

-5

2x - 5 = -4 +5

x - 5 = -2

2x = 1 +5

⋅2 x

-5 2x - 5 -4

2x 1

0,5

:2 x = 0,5

x=3

x = -4,5

+5 CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 325

325

19/02/2026 15:06

(2) -5

-2x + 5 = -4

-2x = -9 : (-2)

: (-2)

:2 x = -4,5

x = 4,5

x = -7 ⋅ (-2) x 4,5

-2x + 5 -4 -5

IG H T

: (-2)

Je rédige mon procédé pour résoudre une équation

+5 -2x -9

-5

-2x = -9

-2x = -9 +2

-2x + 5 = -4

-5

-2x + 5 = -4

5. Résous les équations en indiquant toutes les étapes de ton raisonnement.

x + 11 = 8

x = -3

- 11

5x + 9 = -11

-8 :2

x = -4

x = 11

x = -0,5

-18 + 4x = 0

10x - 5 = -16 + 18 + 5

4x = 18 :5

-8 2x = -1

- 9 + 18 5x = -20

326

-9

8 + 2x = 7

4x = 44

- 11

4x - 6 = 38

10x = -11 :4

x = 4,5

: 10

: 10 x = -1,1

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 326

19/02/2026 15:06

-5x = -4

-3x + 1 = 10

: (-5)

-1

x = 0,8

-2 - x = -1 -1

-3x = 9 : (-3) x = -3

-x = 1 : (-3) ⋅ (-1)

x = -1

⋅ (-1)

6. Sans résoudre l’équation, détermine si la solution proposée est correcte.

3 est la solution de l’équation.

2=2

(1) Le nombre 3 est-il solution de l’équation 4x - 10 = 2 ? ? 4 ⋅ 3 - 10 = 2 ? 12 - 10 = 2

-0,5 n’est pas la solution de l’équation.

IG H T

3 ≠ -3

(2) Le nombre -0,5 est‐il solution de l’équation 8x + 7 = -3 ? ? 8 ⋅ (-0,5) + 7 = -3 ? -4 + 7 = -3

(3) Le nombre -4 est‐il solution de l’équation -18 - 4x = -2 ? ? -18 - 4 ⋅ (-4) = -2 ? -18 - (-16) = -2 ? -18 + 16 = -2 -4 est la solution de l’équation.

-2 = -2

Je rédige mon procédé pour vérifier qu’une valeur donnée est solution d’une équation sans la résoudre

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 327

327

19/02/2026 15:06

7. Pour chaque situation, complète le tableau afin de trouver la réponse à la question posée en utilisant une méthode de résolution d’équation : principe d’équivalence ou graphe fléché. (1) Une sportive parcourt une distance totale de 36 km en seulement trois séances. Si elle augmente sa distance de 3 km à chaque nouvel entrainement, combien de kilomètres a-t-elle parcourus lors de la séance initiale ? Séance 2

Séance 3

x+3

x+3+3=x+6

Séance 1

Mise en équation

x + x + 3 + x + 6 = 36

Équation réduite 3x + 9 = 36 Résolution de l’équation

IG H T

Principe d’équivalence 3x + 9 = 36 -9

-9

3x = 27 :3

x=9

Graphe fléché ⋅3

3x + 9

⋅3

-9

Réponse à la question posée La sportive a parcouru 9 km lors de la première séance.

Vérification

9 + 9 + 3 + 9 + 3 + 3 = 36

328

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 328

19/02/2026 15:06

(2) Sofiane a deux fois plus de bonbons que Noé. Jean a 4 bonbons de moins que Sofiane. Ensemble, ils ont 56 bonbons. Combien de bonbons a chaque enfant ? Noé

Sofiane

Jean

2 ⋅ x = 2x

2x - 4

Mise en équation x + 2x + 2x - 4 = 56

Équation réduite

5x - 4 = 56 Résolution de l’équation Principe d’équivalence

Graphe fléché

⋅5

5x - 4 = 56

-4

IG H T

5x = 60

x = 12

5x - 4

Réponse à la question posée

Noé a 12 bonbons, Sofiane 24 (2 ⋅ 12) et Jean 20 (24 - 4).

Vérification

12 + 24 + 20 = 56

8. Résous les équations. x - 3x - 6 = -17

-2x + 5 - 3x + 4x - 8 = 0

-2x - 6 = -17

-x - 3 = 0

+3 -x = 3

-2x = -11 : (-2)

: (-2) x = 5,5

: (-1)

x = -3

: (-1)

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 329

329

19/02/2026 15:06

9. Résous les problèmes sur une feuille. Écris toutes les étapes de ton raisonnement. (1) La somme d’un nombre, de son double et de son triple vaut 54. Quel est ce nombre ? x représente le nombre. x + 2x + 3x = 54 6x = 54

x=9

Le nombre est 9.

(2) Si je soustrais le quadruple d’un nombre à -15, j’obtiens -6. Quel est ce nombre ? x représente le nombre. –15 – 4x = –6

–4

+ 15

–4x = 9

–4

x = –2,25

Le nombre est –2,25.

+ 15

(3) Lina achète deux cartes de bus et paie 5 € de frais d’activation pour chaque carte. Elle dépense 65 € en tout. Combien coute une carte de bus ? x représente le prix d’une carte de bus. 2x + 10 = 65

IG H T

– 10

2x = 55

x = 27,5

Une carte de bus coute 27,50 €.

(4) Une équipe de rugby marque, en seconde mi-temps, le double des points marqués en première mi-temps, et 12 points lors des prolongations. Son score final est de 45 points. Combien de points a-t-elle marqués en première mi-temps ? x représente le nombre de points marqués en première mi-temps. 2x représente le nombre de points marqués en seconde mi-temps.

x + 2x + 12 = 45

– 12

3x + 12 = 45 3x = 33

x = 11

– 12 :3

L’équipe a marqué 11 points en première mi-temps.

(5) Une dame a acheté deux paires de chaussures. La deuxième paire coute 5 € de moins que la première. Le montant total est de 92 €. Quel est le prix de chaque paire de chaussures ? x représente le prix de la première paire de chaussures. x – 5 représente le prix de la deuxième paire de chaussures. x + x – 5 = 92 +5 :2

2x – 5 = 92 2x = 97 x = 48,5

+5 :2

La première paire de chaussures coute 48,50 € et la seconde 43,50 € (48,50 – 5). 330A

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

(6) Les 67 élèves de première secondaire d’une école sont répartis dans trois classes. La classe de 1B compte 3 élèves de moins que la classe de 1A. La classe de 1C compte 1 élève de plus que la classe de 1A. Quel est le nombre d’élèves dans chaque classe ? x représente le nombre d’élèves en 1A. x – 3 représente le nombre d’élèves en 1B. x + 1 représente le nombre d’élèves en 1C.

+2 :3

3x – 2 = 67 3x = 69 x = 23

x + x – 3 + x + 1 = 67 +2 :3

Il y a 23 élèves en 1A, 20 (23 – 3) élèves en 1B et 24 (23 + 1) élèves en 1C.

(7) Dans un triangle, le premier angle mesure 60° de plus que le deuxième, et le troisième mesure 45° de moins que le premier. Quelle est la nature du triangle ? x représente l’amplitude du premier angle. x – 60 représente l’amplitude du deuxième angle. x – 45 représente l’amplitude du troisième angle. x + x – 60 + x – 45 = 180 3x – 105 = 180

IG H T

+ 105

3x = 285

+ 105

x = 95

Les angles du triangle mesurent 95°, 35° (95 – 60) et 50° (95 – 45), donc le triangle est obtusangle scalène.

retour au défi

Résous le défi 3 du début du chapitre en utilisant une équation. x représente le nombre de crayons dans le premier plumier. 2x représente le nombre de crayons dans le deuxième plumier.

2x + 5 représente le nombre de crayons dans le troisième plumier.

x + 2x + 2x + 5 = 100 -5

5x + 5 = 100

5x = 95 x = 19

-5 :5

Le premier plumier contient 19 crayons, le deuxième 38 (2 ⋅ 19) et le troisième 43 (38 + 5). Vérification :

19 + 38 + 43 = 100

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

330B

C IG H T N

ExErCiCEs CoMpléMEnTairEs 1. (1) Complète la suite arithmétique illustrée. 1

Rang

Assemblage de segments

Nombre de segments

(2) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

IG H T

(3) Si n représente le rang, traduis la relation entre le rang et le nombre de segments par une expression algébrique réduite. Construis le graphe fléché illustrant les opérations et leurs réciproques. (4) Calcule le nombre de segments au rang 28.

(5) Calcule le rang de la figure composée de 1 000 segments. 2. Observe la suite arithmétique illustrée.

Figure 2

Figure 3

Figure 4

Figure 1

(1) Construis un tableau reprenant le rang et le nombre de jetons bleus pour chaque figure.

(2) Si n représente le rang, traduis par une expression algébrique réduite la relation entre le rang et le nombre de jetons bleus. Construis le graphe fléché illustrant les opérations et leurs réciproques. (3) Calcule le nombre de jetons bleus du rang 8 et du rang 25. (4) Calcule le rang de la figure composée de 106 jetons bleus.

3. Complète chaque suite de nombres et établis l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n). Rang

Nombre

n 714 CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 331

331

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Nombre

Rang

Nombre

−2

−5

−8

Rang

Nombre

0,5

1,5

Rang

Nombre

n 896

n −101

IG H T

Rang

4. (1) Complète la suite arithmétique. (2) Détermine sa raison et son terme indépendant. (3) En utilisant la raison et le terme indépendant, écris l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n). 1

Rang

Nombre

n 45

3 ⋅ (n − 5)

5. Si n est un nombre naturel… (1) décris le nombre qui correspond à chaque expression algébrique.

−n

4n + 7

(2) écris l’expression algébrique réduite correspondant à chaque nombre décrit.

Un nombre naturel multiple de 3 Un nombre naturel multiple de 7 diminué de 4 Un nombre naturel impair

332

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 332

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26 15:06

6. Dans chaque cas, exprime la longueur du segment [AB] en fonction de x et réduis, si possible, l’expression algébrique. (1) A

(2) A

B x

(3) A

x (4) A

B 6

(5) A

(6) A

x B x

7. Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chaque figure et calcules-en la valeur numérique si x = 3 cm et y = 5 cm. Les dimensions sur les figures sont exprimées en cm et les polygones (4), (5) et (6) sont composés uniquement de segments perpendiculaires. (2)

(1)

IG H T

(3)

(5)

(4)

(6)

2 8

2 x

8. Réduis, si possible, les sommes algébriques. −5x − 2y =

2m + m − m + 12p =

a + 2a =

2d − 5d =

−15s − 12s + 3s =

t+t=

−7c + 4c =

−4y + 7 − 17 + 6y =

2x + 3y =

−3a − 3a =

13a − 2t − 13a + 6t =

5a + 2a =

t − 11 =

4a − 5b + 5a − 4b + a =

a+1=

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 333

333

19/02/2026 15:06

9. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques… (1) si a = 2 et b = 5. (2) si a = −3 et b = 7. Expressions algébriques : a+b 8a − 2b b + 5a

−2a − 7

(2)

(3)

(1)

10. Ces figures sont composées uniquement de carrés de côté a et de rectangles de largeur a et de longueur b. Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles et calcules-en la valeur numérique si a = 2 cm et b = 4 cm.

11. Exprime l’aire de ces figures sous la forme d’une expression algébrique réduite.

IG H T

(1) Un parallélogramme dont la base vaut 3x et la hauteur relative à celle-ci 4y. (2) Un triangle dont la base vaut 5x et la hauteur relative à celle-ci 6y. (3) Un losange dont la petite diagonale vaut 4x et dont la grande diagonale en vaut le double. (4) Un trapèze dont la petite base et la hauteur valent chacune 4x et dont la grande base vaut 5x. 12. Écris une expression algébrique réduite du volume…

(2) du parallélépipède rectangle.

(1) de chaque solide formé de cubes identiques.

2x 3y

6x y

13. Réduis les produits algébriques. 3a ⋅ 5 = n ⋅ (−m) = 6f ⋅ 2d =

−3z ⋅ (−5z) =

a ⋅ a ⋅ 4a =

4x ⋅ 3x =

−5a ⋅ (−a) =

−5a ⋅ 2c ⋅ 3b =

9d ⋅ 4y =

11x ⋅ (−9m) =

−8p ⋅ (−2a) ⋅ (−5p) =

3h ⋅ 7b =

−6c ⋅ 6c =

6a ⋅ (−3p) ⋅ (−2a) =

b ⋅ 2b ⋅ 3b =

Solide 1

14. (1) Exprime, par une expression algébrique réduite, la différence positive du volume de ces deux solides. (2) Calcule la valeur numérique de cette différence si c = 2 cm et d = 5 cm.

3d c 3c

334

Solide 2

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 334

19/02/2026 15:06

26 15:06

15. Calcule la valeur numérique de chaque expression algébrique si x = 2, y = −3 et z = 5. 5x =

xyz =

2y2 =

10y =

4xz =

−4x3 =

−3y =

−5xyz =

xy3 =

(2)

(1) 3y

16. La première figure est un triangle équilatéral et la seconde est composée uniquement de segments perpendiculaires. Écris une expression algébrique réduite du périmètre et de l’aire de chaque figure.

17. Réduis, si possible, les expressions algébriques. 2x ⋅ (−3x) =

7y + 2 =

−4c − 4c =

7y ⋅ (−2) =

3a2 + 2a =

5x2 + x2 =

−2x + 2x =

5x3 + 15x2 =

c⋅c =

3x + 2y + x − 5y =

IG H T

4⋅y = b+b+b= x⋅x⋅x = 3a + 5a = 5+y=

18. Si les dimensions des figures sont exprimées en cm, détermine la valeur de x pour que le périmètre du triangle soit égal au périmètre du parallélogramme. 5

19. Voici un programme de calcul. « Choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute 9, enlève le nombre de départ, enlève 6. » (1) Applique le programme en choisissant 100 comme nombre de départ. (2) Traduis ce programme par une expression algébrique réduite en choisissant n comme nombre de départ. (3) Exprime par une phrase la relation entre le résultat et le nombre de départ.

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 335

335

19/02/2026 15:06

20. (1) Le président d’une association prévoit d’acheter 40 pains au chocolat et 65 croissants. Si x représente le prix d’un pain au chocolat et y le prix d’un croissant, écris une expression algébrique réduite traduisant le montant total de ses dépenses. (2) En dernière minute, le président hésite à acheter 14 pains au chocolat supplémentaires, mais 5 croissants de moins que ce qui était prévu. Écris l’expression algébrique correspondant au montant total de cette nouvelle commande.

(3) Dans la boulangerie du village, un pain au chocolat coute 2 € et un croissant 1,50 €. Sachant que le président de l’association dispose d’un budget de 182 €, les deux options sont-elles financièrement possibles ?

(4) En utilisant l’intégralité de son budget dans cette boulangerie, le président de l’association pourrait-il acheter un même nombre de pains au chocolat et de croissants ? Si oui, quelle quantité de chaque viennoiserie pourrait-il acheter ? 21. Coche l’équation qui traduit la situation.

(1) Un chauffeur de taxi applique le tarif suivant : une prise en charge fixe de 5 € à laquelle s’ajoutent 2 € par kilomètre parcouru. Un client a payé au total 25 € pour sa course. x représente le nombre de kilomètres parcourus. 5x + 2 = 25 2x − 5 = 25 5 + 2x = 25 2x = 25 + 5

IG H T

(2) Célien a acheté un sac à 10 € et trois livres. Après avoir reçu une réduction de 5 €, il a payé 50 €. x représente le prix d’un livre. 3x − 10 + 5 = 50 10 + 3x − 5 = 50 x + 10 − 5 = 50 10 + 3x + 5 = 50 (3) Le contenu d’une valise pèse 10 kg de plus que la valise. Ensemble, la valise et son contenu pèsent 18 kg. x représente la masse de la valise. x = 18 − 10 x + 18 = 10 x + 10 = 18 x + x + 10 = 18

22. Résous les équations en utilisant le principe d’équivalence. (1) 17 + x = 3 (2) 5x + 8 = 3 (3) −21 + 7x + 14 = 49 −3x − 17 = −38

3x + 5 − x = 20

−4x = −22

22 + 9x = 121

−8 + 2x + 3 + 2x = 0

6x = −36

−15x − 115 = 110

3x + 5x − 10 − 9x = 22

−10x = 17

13 + 4x = 14

−15 + 2x + 25 − 3x = 10

x − 12 = 2

23. Résous chaque équation en utilisant un graphe fléché. x x −4=5 (1) = 3 4 3 x =1 4+ =3 2

336

(2) −(2 + x) = 10

= 10

3 ⋅ (x + 5) = 12

(−2x + 1) =3 5

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

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26 15:06

24. Sans résoudre l’équation, vérifie si… (1) le nombre 9 est solution de l’équation 2x − 8 = 10. (2) le nombre −5 est solution de l’équation −3x = 15. (3) le nombre 3 est solution de l’équation −12 + 5x = −3. 25. Résous chaque problème en utilisant une équation. Écris toutes les étapes de ton raisonnement.

(1) Choisis un nombre, multiplie-le par 6, ajoute 3 et enlève le double du nombre de départ. Quel est le nombre de départ si le résultat du programme vaut 51 ? (2) Le triple d’un nombre diminué de 12 vaut −60. Quel est ce nombre ?

(3) Ensemble, les trois enfants d’une même famille ont 57 ans. L’ainé a 3 ans de plus que ses deux frères, qui sont jumeaux. Détermine l’âge des 3 enfants.

(4) Un abonnement dans un club de sport coute 50 € de frais d’inscription et 35 € par mois. Célestin a payé 260 €. Depuis combien de mois est-il abonné ? (5) Le périmètre d’un rectangle est de 61 cm. On sait que sa longueur vaut le double de sa largeur, augmenté de 5 cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

IG H T

(6) Les bénévoles d’une association ont vendu le même nombre de cartes de soutien à 10 € et à 20 €. Après avoir reçu un don exceptionnel de 600 €, la somme totale collectée est de 1 500 €. Combien de cartes de chaque type ont été vendues ? (7) Dans le triangle ABC, l’amplitude de l’angle vaut le double de celle de l’angle augmentée de 15°. L’amplitude de l’angle vaut le triple de celle de l’angle diminuée de 45°. Détermine l’amplitude de chacun des angles.

(8) Un élève lit la moitié d’un livre le matin, puis 8 pages l’après-midi, ce qui représente un total de 50 pages. Combien de pages compte ce livre ?

(9) Aux États-Unis, l’échelle de température utilisée est le degré Fahrenheit (°F). Pour obtenir une température exprimée en °F, on multiplie par 1,8 la température exprimée en °C, puis on ajoute 32. Si la température est de 77 °F, quelle est sa valeur équivalente en °C ?

(10) Le 1er février, la température a été enregistrée dans quatre grandes villes d’Europe. À Madrid, il faisait 5 degrés de plus qu’à Bruxelles. À Stockholm, il faisait 7 degrés de moins qu’à Bruxelles. À Athènes, la température valait le double de celle de Bruxelles. Sachant que la moyenne des températures ce jour-là dans ces quatre grandes villes était de 7 °C, quelle température faisait-il dans chacune d’elles ?

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 337

337

19/02/2026 15:06

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 338

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CÔTé praTiquE

Nombre

⋅4

Rang

La raison de cette suite arithmétique est 4 et son terme indépendant est 0.

⋅4

Rang

Nombre 4n 12

IG H T

n 3

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de 4.

Suites arithmétiques

Nombre

−3

4n − 3

Rang

⋅4 −3

+4 +4 +4 +4 La raison de cette suite arithmétique est 4 et son terme indépendant est −3. Chaque nombre de la suite est un multiple de 4 diminué de 3. Rang

⋅4

n 3

−3 4n 12

Nombre 4n − 3 9

+3 CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 339

339

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Expression algébrique −3 a 2b

Description d’une expression algébrique

Partie littérale

Cœfficient

Expressions algébriques semblables Expressions qui possèdent la même partie littérale. 2x2 et 3x2

6a2b et −9a2b

4cd et 7cd

2a et −5a

Expression algébrique réduite du périmètre (P) du rectangle

IG H T

P = 3b + 2a + 3b + 2a = 4a + 6b

Pour réduire une somme algébrique, il faut… − repérer les termes semblables ; − additionner leurs cœfficients ; − recopier leur partie littérale.

On ne peut additionner que des termes semblables. x + x = 2x 3x − 4y = / 3x2 + 2x = / 5x + 3 + 3y − 5 + x − y = 6x − 2 + 2y

Réduction d’une somme algébrique

340

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 340

19/02/2026 15:06

Expression algébrique réduite de l’aire (A) de chaque rectangle 3a

3b ab

a A = 3a ⋅ 2a = 6a2

b A = 3b ⋅ 2a = 6ab

Pour réduire un produit algébrique, il faut… − multiplier les cœfficients entre eux ; − multiplier les parties littérales entre elles en écrivant le produit des facteurs identiques sous la forme d’une puissance ; − écrire le résultat en commençant par le nouveau cœfficient suivi des lettres munies de leur exposant dans l’ordre alphabétique. 4x ⋅ 5a ⋅ 3f = 60afx 2x ⋅ 3x ⋅ 5y = 30x2y

IG H T

4b ⋅ (−2) = −8b (−5a) ⋅ (−3a) = 15a2

Réduction d’un produit algébrique

Valeur numérique du périmètre et de l’aire du rectangle si a = 3 cm et b = 5 cm.

Valeur numérique

P = 4a + 6b = 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5 = 12 + 30 = 42 cm A = 6ab = 6 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90 cm2

Pour calculer la valeur numérique d’une expression algébrique, il faut… − remplacer chaque lettre par la valeur donnée ; − effectuer le calcul obtenu en respectant les priorités des opérations. Il faut insérer le symbole « ⋅ » pour rendre toutes les multiplications visibles et placer les valeurs négatives entre parenthèses. Valeur numérique de 3a − b si a = 2 et b = −3 3 ⋅ 2 − (−3) = 6 + 3 = 9

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 341

341

19/02/2026 15:06

−3x − 5 = 13

Utilisation du graphe fléché

⋅ (−3)

2) On indique sur les flèches « retour », les opérations réciproques à effectuer en partant du résultat.

−5 −3x 18

x −6

−3x − 5 13

: (−3)

3) On calcule pour déterminer la valeur de l’inconnue.

x = −6

1) On indique sur les flèches « aller », les opérations à effectuer en partant de l’inconnue.

IG H T

Résolution d’une équation

Utilisation du principe d’équivalence 1) On isole le terme qui contient l’inconnue x en supprimant le terme indépendant.

Pour cela, on ajoute (ou on retire) ce terme aux deux membres de l’égalité.

2) On isole l’inconnue x en supprimant son cœfficient. Pour cela, on divise les deux membres de l’égalité par ce nombre.

−3x − 5 = 13 +5

+5 −3x = 18

: (−3)

: (−3) x = −6

On réduit toujours les termes semblables dans chaque membre de l’équation avant d’utiliser une méthode de résolution.

342

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 342

19/02/2026 15:06

Vérification de la solution d’une équation

1) On remplace l’inconnue par la valeur proposée et on effectue les calculs. 2) On compare les valeurs situées de chaque côté de l’égalité. Si elles sont identiques, alors la solution est correcte.

Si elles ne sont pas identiques, alors la solution est incorrecte.

IG H T

Le nombre 3 est-il solution de l’équation 4x − 10 = 2 ? ? 4 ⋅ 3 − 10 = 2 ? 12 − 10 = 2 2=2

Le nombre 3 est la solution de l’équation.

Le nombre –1 est-il solution de l’équation 2 – 5x = 3 ? ? 2 − 5 ⋅ (−1) = 3 ? 2+5=3 7≠3

Le nombre –1 n’est pas la solution de l’équation.

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 343

343

19/02/2026 15:06

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 344

19/02/2026 15:06

CÔTé THéoriquE Notion

Définition Combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.

Variable d’une expression algébrique

Quantité, symbolisée par une lettre, qui peut prendre n’importe quelle valeur (selon le contexte donné).

Coefficient d’une expression algébrique

Nombre qui multiplie la partie littérale.

Partie littérale d’une expression algébrique

Ensemble des variables munies de leur exposant.

Expressions algébriques semblables

Expressions algébriques qui possèdent la même partie littérale.

IG H T

Équation

Expression algébrique

Égalité qui contient une inconnue.

Inconnue d’une équation

Quantité, symbolisée par une lettre, dont on cherche la valeur pour que l’égalité soit vraie.

Notation mathématique

Dans une expression algébrique, la lettre symbolise la variable ou l’inconnue.

Lettre minuscule (a, n, x…)

CHAPITRE 9 ExprEssions algébriquEs

MathsPerspectives_001_424.indb 345

345

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 346

19/02/2026 15:06

CHAPITRE 10

p. 347

Défi

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

PROPORTIONNALITÉ DIRECTE p. 275

Le chapitre s’ouvre sur un défi que les élèves peuvent tenter de relever tout de suite, la notion de grandeurs proportionnelles ayant été travaillée en primaire. Ils peuvent utiliser la règle de trois ou construire un tableau mettant en lien la recette initiale et la recette adaptée. À la fin du chapitre, on leur propose de structurer leur réponse en les invitant à construire ledit tableau et à adapter la recette.

randeurs directement proportionnelles G et liens multiplicatifs internes

p. 348-349 Exercice 1

IG H T

p. 276

(1) et (2) En guise d’introduction, les grandeurs mises en relation sont la masse d’un rôti et son temps de cuisson. Les élèves sont capables de répondre aux questions en utilisant la règle de trois bien connue du primaire. Cependant, ils ne sont peut-être pas habitués à la présentation proposée dans la solution : les deux grandeurs sont mises en relation par une double flèche horizontale.

(3) Vu l’augmentation du nombre de données, les élèves sont invités à compléter un tableau mettant en relation les deux grandeurs plutôt qu’à multiplier les règles de trois. Une fois la première colonne complétée à partir de l’énoncé, les élèves complètent le tableau en effectuant de simples opérations multiplicatives (multiplications ou divisions) de colonne en colonne, suivant le principe de la règle de trois. La suite de l’exercice permet de faire apparaitre les liens multiplicatifs internes utiles pour relier entre elles deux valeurs d’une même grandeur. p. 349-350

p. 276

Exercice 2 Les tableaux mettent en relation deux grandeurs directement proportionnelles nommées x et y. Il sera probablement nécessaire de préciser aux élèves que ces lettres sont utilisées, de manière générale, en l’absence de contexte concret. Dans l’exercice précédent, x aurait désigné la masse du rôti et y son temps de cuisson. Le choix de ces deux lettres prendra tout son sens lorsque les élèves construiront un graphique mettant en lien deux grandeurs. La notion de coefficient de proportionnalité ne sera pas abordée avant la S2, et celle de dépendance (exprimer y en fonction de x) pas avant la S3. G99

Lorsque le passage d’un nombre à l’autre n’est pas possible à l’aide d’une opération unique, on utilise une flèche à rebond pour y indiquer les deux opérations successives. Celle-ci a d’ailleurs déjà été utilisée dans le chapitre 9. Pour faciliter la compréhension lors de ces premiers exercices, la réponse intermédiaire apparait dans un « rond ». : 4 ⋅ 3 (5)

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Les élèves doivent indiquer les liens multiplicatifs internes. En cas d’hésitation face à une division, il sera utile de leur rappeler que chaque division n’est qu’une autre forme de multiplication : par exemple, diviser par 10 revient à multiplier par 0,1.

: 4 ⋅ 3

randeurs directement proportionnelles G et lien multiplicatif externe p. 350

p. 277

IG H T

Exercice 1

En s’appuyant sur l’exemple du job d’étudiant et du salaire horaire, les élèves concluent que deux grandeurs directement proportionnelles sont deux grandeurs multiples l’une de l’autre. Apparait alors le lien multiplicatif externe permettant de calculer la valeur d’une grandeur à partir de la valeur correspondante de l’autre grandeur. p. 351

p. 278

Je rédige mon procédé pour compléter un tableau de proportionnalité directe

Exemples de rédaction

Je recherche, dans chaque cas, le lien multiplicatif interne entre deux valeurs connues d’une même grandeur.

et/ou

Je recherche le lien multiplicatif externe entre deux valeurs correspondantes connues, une de chaque grandeur.

⋅2 x

⋅2

G100

: 3 ⋅ 11

:2 ⋅5

⋅2 :5

randeurs directement proportionnelles G et représentation graphique

Ce point permet de renforcer les liens entre une situation contextualisée libellée en français, son tableau de nombres et sa représentation graphique, et montre comment ces trois représentations se complètent pour modéliser une même situation. p. 352-354

p. 278-280

Exercice 1

p. 355

À travers les exemples concrets du prix des tickets de cinéma, les élèves découvrent que, s’il s’agit d’une situation de proportionnalité directe, le graphique est un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère. p. 280-281

Exercice 2

p. 356 Exercice 3

IG H T

Les élèves disposent d’une situation libellée en français (remplissage d’une piscine à débit constant) et de son graphique pour justifier qu’il s’agit d’une situation de proportionnalité directe. Ils doivent ensuite construire un tableau de nombres, à partir du graphique. Pour cela, ils identifient les deux grandeurs en relation et leur unité de mesure en se référant aux axes du repère, x et y. Ils remplissent ensuite le tableau avec les coordonnées des points placés dans le graphique. p. 281

Les élèves doivent d’abord identifier, à partir de la seule information présente sur l’illustration (40 €/mois), les deux grandeurs mises en relation et les reporter dans le tableau de nombres avec leur unité de mesure. Même si la solution proposée tient compte de la dépendance de la relation (le montant y à payer dépend de la durée x de l’abonnement), il est possible que les élèves inversent les deux grandeurs dans le tableau. En S1, on ne leur en tiendra par rigueur, mais il est préférable, malgré tout, de les guider.

L’indice attire l’attention des élèves sur l’importance de repérer les valeurs maximales à représenter afin de choisir une échelle adaptée pour chaque grandeur.

Grandeurs directement proportionnelles ou non

p. 357

p. 282

Exercice 1 Les élèves doivent reconnaitre, sur la base d’une situation libellée en français, d’un tableau de nombres ou d’une représentation graphique, s’il s’agit ou non d’une situation de proportionnalité directe et justifier leur choix.

G101

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Pour les situations présentées sous la forme de tableaux, ils peuvent indiquer des flèches pour vérifier l’existence ou non de liens multiplicatifs, mais ils devront également justifier à l’aide d’une phrase et/ou de calculs sous les tableaux. p. 358

p. 282

Exercice 2

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Le modèle réduit d’une voiture de Formule 1 fait le lien avec un prérequis de primaire. Pour répondre à la question, les élèves devront se rappeler la signification de la notion d’échelle.

(1) Cet exercice permet d’abord de mettre en évidence un lien additif simple : les élèves comprennent facilement que l’ainée a toujours 10 ans de plus que la cadette. Par conséquent, si 20 années s’écoulent pour la cadette, la même durée s’ajoute nécessairement à l’âge de l’ainée.

p. 358

p. 282-283

Exercice 3

(2) Comme cette situation s’appuie uniquement sur des liens additifs, et non multiplicatifs, il ne s’agit pas d’une situation de proportionnalité directe.

Exercices de synthèse p. 359

p. 283-284

Exercice 1

IG H T

Il est important de montrer aux élèves qu’une situation de proportionnalité ne se limite pas au cas « directement proportionnel ». Certaines situations relèvent au contraire d’une relation inverse, dans laquelle l’augmentation d’une grandeur entraine la diminution de l’autre. Introduire une situation inversement proportionnelle permet d’élargir la compréhension des élèves et de donner du sens au vocabulaire : si l’on parle de grandeurs directement proportionnelles, c’est précisément parce qu’il existe aussi des grandeurs inversement proportionnelles.

Les élèves sont invités à associer différentes représentations (tableaux et graphiques) d’une même situation de proportionnalité contextualisée et libellée en français. Pour y parvenir, ils doivent d’abord identifier les grandeurs mises en relation afin d’associer correctement x et y aux données du problème. Il peut paraitre logique que les élèves cherchent à associer les données chiffrées de l’énoncé avec celles présentes dans les tableaux. C’est pourquoi elles n’ont pas été placées systématiquement dans la première colonne des tableaux. Associer le tableau de valeurs et le graphique peut se faire en lisant les coordonnées de points et/ou en analysant l’échelle de chaque axe.

G102

p. 284

Exercice 2 (1) à (4) Les élèves peuvent repérer l’erreur dans chaque tableau en utilisant soit les liens multiplicatifs internes, soit le lien multiplicatif externe. La calculatrice est mise à disposition pour un gain de temps. Pour proposer deux corrections différentes, les élèves doivent comprendre qu’ils peuvent rectifier le tableau en conservant une fois la valeur de x et une autre fois la valeur de y.

La difficulté du dernier tableau réside dans le fait que l’erreur se trouve dans la première colonne. Les élèves auront très certainement envie de la considérer comme correcte et de se baser sur celle-ci pour chercher le lien avec les suivantes. p. 285

p. 360

Exercice 3

Cet exercice permet à nouveau de faire le lien avec la notion d’échelle. Les élèves peuvent utiliser un lien multiplicatif interne ou externe pour répondre à la question.

Exercice 4

p. 285-286

IG H T

p. 360

p. 286

p. 362

Le contexte peut sembler proche de celui du défi, mais il s’en distingue par le fait que les tableaux sont déjà construits : les élèves doivent « simplement » les compléter. Ils commencent par analyser l’évolution de chaque quantité en fonction de la recette de base et du nombre de personnes. Ils concentrent ensuite leur attention sur la quantité de beurre afin de déterminer pour combien de personnes chaque crumble est prévu. Enfin, ils étudient une recette adaptée dans laquelle l’une des grandeurs a été mal calculée. Cette situation contextualisée permet de réinvestir plusieurs notions travaillées séparément dans les exercices précédents, tout en montrant comment elles s’articulent dans un contexte concret et cohérent.

Exercice 5

La résolution de cet exercice repose sur la détermination de la superficie totale (25 m2). Cette étape permet aux élèves d’établir la correspondance de référence : 150 bulbes pour 25 m2.

Bien que la méthode ne soit pas imposée, le plus évident par rapport à ce qui a été travaillé précédemment consiste à construire un tableau de proportionnalité liant la superficie au nombre de bulbes. En identifiant les liens multiplicatifs, les élèves peuvent alors calculer avec précision le nombre de bulbes à planter dans chaque parterre.

G103

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 360

p. 286

Retour au défi

600

Masse de farine (en g)

300

Nombre d’œufs

Masse de sucre (en g)

Nombre de crêpes

1 000

Volume de lait (en ml)

Le tableau que les élèves doivent construire peut prendre différentes formes, mais les informations à y faire figurer restent les mêmes. Les élèves doivent d’abord indiquer les quantités d’ingrédients correspondant à la recette de base pour 15 crêpes, puis déterminer comment l’adapter pour 1 litre de lait (1 000 ml).

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 362

IG H T

⋅5

Pour cela, ils peuvent raisonner à partir du lien multiplicatif externe (diviser chaque quantité par 3, puis multiplier par 5) ou, peut-être plus naturellement dans ce cas, utiliser les liens multiplicatifs internes entre les ingrédients (par exemple, diviser le volume de lait par 2 pour obtenir la quantité de farine). L’enjeu est qu’ils parviennent à calculer les nouvelles quantités nécessaires pour chaque ingrédient. Ensuite, ils doivent calculer l’écart entre les quantités initiales et les quantités adaptées. Cette étape permet de préciser les ajustements concrets que Karim et Lise doivent effectuer.

Les élèves réalisent que la proportionnalité n’est pas un concept abstrait, mais un outil indispensable pour transformer et adapter une situation réelle.

G104

CHAPITRE 10

ProPortionnalité directe

défi Si on préparait des crêpes pour le gouter ?

Un peu plus tard…

Oui, pourquoi ?

Parce que la brique d’un litre est vide !

Catastrophe ! il va falloir tout jeter…

En cuisine, rien ne se perd, tout se rééquilibre !

On ne va rien jeter, on va juste préparer plus de pâte à crêpes. Sauvés par les maths !

Dis-moi Karim, la recette disait 600 ml de lait, non ?

IG H T

Bonne idée ! J’ai justement une recette dans mon cours de maths pour en préparer 15.

Et voilà, une pâte à crêpes parfaite !

Pour éviter le gaspillage et ne pas tout jeter, comment Lise et Karim vont-il adapter la recette ?

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de structurer ta réponse.

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 347

347

19/02/2026 15:06

Grandeurs directement proportionnelles et liens multiplicatifs internes

1. Selon une règle classique en cuisine, le temps de cuisson d’un rôti dans un four préchauffé à 180 °C est calculé en fonction de sa masse.

Rôti de bœuf − cuisson saignante

1,5 kg = 1 500 g ⋅3

500 g ↔ 12 min

⋅3

1 500 g ↔ 36 min

Temps de cuisson : 12 min/500 g

(1) Calcule la durée de cuisson recommandée pour un rôti de 1,5 kg.

IG H T

La durée de cuisson recommandée est de 36 min.

Calcule la masse, en kg, d’un rôti de bœuf qui nécessite 48 min de cuisson. ⋅4

500 g ↔ 12 min

⋅4

2 000 g ↔ 48 min

2 000 g = 2 kg

La masse du rôti est de 2 kg.

(2) Calcule la durée de cuisson recommandée pour un gigot d’agneau de 900 g.

:5 ⋅9

500 g ↔ 15 min 100 g ↔ 3 min 900 g ↔ 27 min

Gigot d’agneau − cuisson rosée Temps de cuisson : 15 min/500 g

:5 ⋅9

La durée de cuisson recommandée est de 27 min.

348

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 348

19/02/2026 15:06

(3) Complète le tableau afin d’exprimer le temps de cuisson nécessaire en fonction de la masse d’un rôti de dinde. Rôti de dinde − cuisson à point Temps de cuisson : 30 min/500 g ⋅3 500

1 500

3 000

Temps de cuisson (en min)

180

300

750

Masse du rôti (en g)

⋅3

Illustre chaque phrase par un exemple issu des données du tableau. Si on triple la masse du rôti, alors on triple le temps de cuisson. Un rôti de dinde de 500 g cuit 30 minutes.

IG H T

S’il pèse 1 500 g (3 ⋅ 500), alors il devra cuire 90 minutes (3 ⋅ 30).

Si on divise la masse du rôti par 4, alors on divise le temps de cuisson par 4. Un rôti de dinde de 3 000 g cuit 180 minutes.

S’il pèse 750 g (3 000 : 4), alors il devra cuire 45 min (180 : 4).

Deux grandeurs sont directement proportionnelles si, lorsqu’une valeur de la première grandeur est multipliée/divisée par un nombre, la valeur correspondante de la seconde grandeur est multipliée/divisée par le même nombre.

2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles. Complète chaque tableau et indique les liens multiplicatifs internes utilisés.

(1)

⋅ 30 x

60 ⋅ 30

(2)

2,5

3,5 :2

(3) ⋅4

⋅4

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 349

349

19/02/2026 15:06

: 10

0,8

(5) : 10

:5 ⋅2

(6)

:4 ⋅3

⋅3 :4

1,5

⋅2

4,5

100

7,5

2,5

⋅3 :4

⋅5

(8)

⋅2

:2 ⋅5

1,2 2

:2 ⋅5

⋅ 10

IG H T

⋅5

4,8

:5 ⋅2

⋅ 10

(7)

(4)

:4 ⋅3

Grandeurs directement proportionnelles et lien multiplicatif externe

1. Emma travaille comme étudiante pour un salaire de 15 €/h. Lorsque son employeur lui remet le détail de son salaire après quatre jours de travail, elle repère une erreur. Retrouve-la dans le tableau et explique-la. 3

Salaire (en €)

100

⋅ 15

Temps de travail (en h)

Emma doit recevoir 15 € pour chaque heure prestée.

Pour calculer son salaire journalier, elle doit multiplier le nombre d’heures prestées par 15. Or, 7 ⋅ 15 = 105. Emma devrait recevoir 105 € pour sa journée de travail de 7 heures, et pas 100 €.

350

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

Deux grandeurs sont directement proportionnelles si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant/divisant les valeurs de l’autre grandeur par le même nombre. Ces deux grandeurs sont multiples l’une de l’autre.

1,2

0,7

3,5

5,5

17,5

(3)

1,5

0,75

IG H T

(2)

1,5

13,5

7,5

⋅5

(1)

2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles. Complète chaque tableau et indique le lien multiplicatif externe utilisé.

⋅2

:2 ⋅3 ⋅2 :3

Je rédige mon procédé pour compléter un tableau de proportionnalité directe

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 351

351

19/02/2026 15:06

Grandeurs directement proportionnelles et représentation graphique

1. (1) Une place de cinéma au HashtagCiné coute 12 €. Indique chaque grandeur et son éventuelle unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète-le. 0

Nombre de places

⋅ 12

120

Prix (en €)

: 12

Ces deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.

Oui, car chaque prix s’obtient en multipliant le nombre de places par le même

IG H T

nombre (12).

Prix (en €)

Place, dans le repère, les points issus du tableau.

120 108

84 72 60

48 36 24 12

Nombre de places

Décris le graphique obtenu. Il s’agit d’un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.

352

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 352

19/02/2026 15:06

Carte de fidélité

La cinquième est offerte !

Nombre de places

Prix (en €)

8 84

Les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.

Non, car chaque prix ne s’obtient pas en multipliant le nombre de places par le même nombre.

IG H T

Prix (en €)

Place, dans le repère, les points issus du tableau.

100

: 12

(2) Promotion au HashtagCiné le lundi grâce à la carte de fidélité ! La séance est au prix habituel de 12 €, mais la cinquième place est offerte. Complète le tableau.

Nombre de places

Décris le graphique obtenu. Il s’agit d’un ensemble de points non alignés.

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 353

353

19/02/2026 15:06

(3) Un abonnement nominatif au HashtagCiné ? C’est possible ! Pour seulement 20 €, tu as accès à un tarif préférentiel : 10 € la séance pendant 6 mois. Complète le tableau. 1

Prix (en €)

120

170

Nombre de places

Les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.

Non, car chaque prix ne s’obtient pas en multipliant le nombre de places par le même nombre.

IG H T

Prix (en €)

Place, dans le repère, les points issus du tableau. 160 140 120 100 80

60 40

10 11 12 13 14 15

Nombre de places

Décris le graphique obtenu.

Il s’agit d’un ensemble de points alignés ne passant pas par l’origine du repère.

(4) Comment reconnaitre une situation de proportionnalité directe à partir de sa représentation graphique ? Une situation de proportionnalité directe est représentée par un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.

354

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 354

19/02/2026 15:06

12 000 10 000

Volume d’eau (en l)

2. Un tuyau d’arrosage délivrant un débit constant est utilisé pour remplir une piscine. Le graphique illustre l’évolution du volume d’eau (en l) en fonction de la durée de remplissage écoulée.

8 000 6 000

4 000

2 000 5

Durée de remplissage (en h)

IG H T

(1) D’après ces relevés, le volume d’eau est-il directement proportionnel à la durée de remplissage ? Justifie. Oui, car le débit est constant et le graphique est un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.

(2) Utilise le graphique pour compléter chaque phrase par la valeur manquante. Après 10 heures de remplissage, la piscine contient 4

litres d’eau.

heures de remplissage.

La piscine contient 4 800 litres d’eau après

12 000

(3) Note chaque grandeur et son unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète ce dernier en indiquant les coordonnées de tous les points placés dans le graphique.

Durée de remplissage (en h)

10 ⋅ 1 200

2 400

4 800

6 000

8 400

10 800

12 000

Volume d’eau (en l)

(4) Indique le lien multiplicatif externe à droite du tableau. (5) Combien de temps faut-il pour remplir une piscine de 60 m³ dans les mêmes conditions ? 60 m³ = 60 000 dm³ = 60 000 l 60 000 : 1 200 = 50 heures Il faut 50 heures pour remplir une piscine de 60 m³. CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 355

355

19/02/2026 15:06

3. Une publicité présente un nouvel abonnement Internet.

ABONNEMENT INTERNET ULTRARAPIDE

(1) Note chaque grandeur et son unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète ce dernier en indiquant les prix correspondant à des durées de 2 mois, 6 mois, 9 mois, 1 an et 18 mois. 2

40 €/MOIS 9

Durée (en mois)

PRIX :

⋅ 40

240

360

480

720

Montant (en €)

(2) Construis le graphique à l’aide de l’indice.

Pour construire un graphique mettant en relation deux grandeurs, il faut… – identifier chaque grandeur et son éventuelle unité de mesure ;

IG H T

– choisir une échelle adaptée à chaque grandeur en tenant compte des valeurs étudiées et de leur valeur maximale ; – tracer deux axes perpendiculaires et gradués représentant respectivement chaque grandeur ;

800

Montant (en €)

– placer les points dont les coordonnées sont les valeurs correspondantes des deux grandeurs.

700 600 500 400 300 200 100

356

Durée (en mois)

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 356

19/02/2026 15:06

Grandeurs directement proportionnelles ou non

1. S’agit-il de situations de proportionnalité directe ? Justifie. Modèle réduit d’une voiture de Formule 1 à l’échelle 1/24

Oui, car chaque dimension du modèle réduit

s’obtient en divisant la dimension correspondante

Relevés de la taille de Marjorie de sa naissance à son premier anniversaire

70 60 50 40 30 20 10

Non, car il s’agit d’un ensemble de points non alignés. 0

10 12 Âge (en mois)

IG H T

Taille (en cm)

de la voiture réelle par 24.

Agrandissement d’un dessin 9

Largeur (en mm)

7,5

Hauteur (en mm)

Oui, car lorsque la hauteur est multipliée par un nombre, la largeur correspondante est multipliée par le même nombre. 18 ⋅ 2 = 36

7,5 ⋅ 2 = 15

15 ⋅ 2 = 30

9 ⋅ 2 = 18

Recharge d’un smartphone Temps (en min)

Charge de la batterie (en %)

Non, car lorsque le temps (en min) est doublé (10 ⋅ 2 = 20), la charge de la batterie (en %) n’est pas doublée (15 ⋅ 2 = 30 ≠ 28).

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 357

357

19/02/2026 15:06

2. J’ai 20 ans aujourd’hui et ma sœur ainée a 30 ans. (1) Quel sera l’âge de ma sœur ainée quand je fêterai mon 40e anniversaire ? Je fêterai mon 40e anniversaire dans 20 ans. Ma sœur ainée aura 50 ans (30 + 20).

L’âge de ma sœur

Les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, car lorsque mon âge est doublé (20 ⋅ 2 = 40), celui de ma sœur ne l’est pas (30 ⋅ 2 ≠ 50).

Mon âge

(2) Les deux grandeurs (mon âge et l’âge de ma sœur) sont-elles des grandeurs directement proportionnelles ? Justifie.

(1) Complète le tableau. 4

IG H T

Nombre de coureurs par équipe

3. Le Grand Relais est une course d’endurance de 50 kilomètres, par équipe. La distance totale doit être répartie équitablement entre tous les coureurs d’une même équipe.

Distance parcourue par chaque coureur (en km)

50 : 4

50 : 2

50 : 8

50 : 10

= 12,5

= 25

= 6,25

(2) Comment évolue la distance parcourue par chaque coureur si le nombre de coureurs par équipe augmente ?

Si le nombre de coureurs par équipe augmente, la distance parcourue par chaque coureur diminue.

Comment évolue la distance parcourue par chaque coureur si le nombre de coureurs par équipe est…

divisé par 2 ? La distance parcourue par chaque coureur est multipliée par 2.

multiplié par 4 ? La distance parcourue par chaque coureur est divisée par 4.

Tires-en une conclusion. Si l’une des grandeurs est multipliée par un nombre, l’autre est divisée par ce même nombre et, inversement, si l’une des grandeurs est divisée par un nombre, l’autre est multipliée par ce même nombre. On dit que ces grandeurs sont inversement proportionnelles.

358

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 358

19/02/2026 15:06

exercices de synthèse

Tableau de valeurs

Graphique

À partir de 15 kg d’olives, on produit, en moyenne, 3 litres d’huile.

➁

Une voiture roule à une vitesse constante de 90 km/h.

1. Associe chaque situation de proportionnalité directe à son tableau de valeurs et à son graphique.

Une longueur de 10 cm correspond à une longueur de 100 mm.

➂

Sur une photocopieuse, on a sélectionné un taux d’agrandissement de 120 %.

➀

150

210

100

300

1 500

2 100

6,6

1,8

N 1

180

270

100

150

200

120

180

240

250 200

5 4

150

100

0,5

➁ y

➂

➀

IG H T

➃

Situation

100

150

200

➃

y 250

2 000

200

1 500

150

1 000

100

500

50 0

100

150

200

0,5

1,5

2,5

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 359

359

19/02/2026 15:06

2. Une erreur a été commise dans chaque tableau de proportionnalité directe. Entoure-la et corrige-la de deux manières différentes.

(4)

105

126

133

126

7,5

12,5

27,5

(3)

(2)

37,5

22,5

27,5

58,8

IG H T

(1)

3. Les deux photos de chauvesouris respectent la même échelle. En t’appuyant sur les informations fournies, détermine l’envergure réelle de la sérotine. Pour cela, complète le tableau de proportionnalité directe entre les deux grandeurs. Sérotine commune

Pipistrelle commune (envergure réelle : 24 cm)

7,5 c

:2 ⋅3

Envergure sur la photo (en cm)

7,5

Envergure réelle (en cm)

:5 ⋅ 24

:2 ⋅3 L’envergure réelle de la chauvesouris sérotine est de 36 cm.

360

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 360

19/02/2026 15:06

4. Voici la liste des ingrédients nécessaires à la préparation d’un crumble aux pommes.

Ingrédients - 400 g de pommes épluchées - 140 g de sucre

- 100 g de beurre - 150 g de farine

Nombre de personnes

(1) Complète le tableau afin de déterminer la quantité de chaque ingrédient nécessaire à la préparation d’un crumble aux pommes en fonction du nombre de personnes.

Masse de pommes épluchées (en g) Masse de sucre (en g)

600

800

1 000

1 400

140

210

280

350

490

100

150

200

250

350

300

375

525

150

Masse de farine (en g)

400

IG H T

Masse de beurre (en g)

225

(2) En fonction de la quantité de beurre utilisée, détermine le nombre de personnes auxquelles chaque crumble est destiné. 100

125

175

275

Nombre de personnes

Masse de beurre (en g)

(3) Mon amie utilise 700 g de pommes épluchées, 245 g de sucre, 175 g de beurre et 250 g de farine. A-t-elle adapté la recette de manière directement proportionnelle ? Justifie en complétant le tableau. Pommes

Sucre

Beurre

Farine

700

245

175

250

400

140

100

150

Masse de chaque ingrédient (en g) Recette adaptée

Masse de chaque ingrédient (en g) Recette de base

Mon amie n’a pas adapté la recette de manière proportionnelle, car 400 : 4 ⋅ 7 = 700 et 150 : 4 ⋅ 7 = 262,5 ≠ 250.

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 361

361

19/02/2026 15:06

5. Un jardinier souhaite planter 150 bulbes de tulipes dans trois parterres dont les superficies respectives sont 5 m2, 8 m2 et 12 m2. Détermine le nombre de bulbes à planter dans chaque parterre, sachant que ce nombre doit être directement proportionnel à la superficie de chacun d’eux. 5 + 8 + 12 = 25 m2

Superficie du parterre (en m2)

Nombre de bulbes de tulipes

150

Superficie totale des trois parterres :

Le jardinier doit planter 30 bulbes de tulipes dans le parterre de 5 m2, 48 dans celui

de 8 m2 et 72 dans le parterre de 12 m2.

IG H T

retour au défi

Utilise un tableau de proportionnalité directe pour calculer la quantité de chaque ingrédient que Lise et Karim vont devoir ajouter à leur préparation ainsi que le nombre de crêpes qu’ils auront pour le gouter.

600

1 000

Masse de farine (en g)

300

500

Nombre d’œufs

Masse de sucre (en g)

100

Nombre de crêpes

Volume de lait (en ml)

Lise et Karim doivent ajouter à leur préparation 200 g de farine (500 − 300),

2 œufs (5 − 3) et 40 g de sucre (100 − 60). Ils auront 25 crêpes pour le gouter.

362

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 362

19/02/2026 15:06

26 15:06

eXerciceS coMPléMentaireS 1. Pour fabriquer 70 puces électroniques identiques, une usine utilise 105 g de silicium.

Complète le tableau de proportionnalité directe pour déterminer la masse de silicium nécessaire à la fabrication de 7 puces et de 91 puces, ainsi que le nombre de puces que l’usine pourra fabriquer avec 21 g et 210 g de silicium. Nombre de puces

Masse de silicium (en g)

2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles.

Complète chaque tableau et indique les liens multiplicatifs internes. x

(4)

(6)

(8)

x y

(3)

(5)

144

(2)

IG H T

(1)

(7)

7 10

56 50

(9)

x y

5 2

1 3

4 5

7,5

3. Jusqu’à une certaine limite, l’allongement d’un ressort est directement proportionnel à la masse de l’objet suspendu. Un ressort auquel on a suspendu une masse de 5 kg s’allonge de 20 cm. Construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour déterminer l’allongement d’un ressort soumis à une masse de 3,5 kg et à une autre de 6 kg, ainsi que la masse de l’objet suspendu à un ressort qui s’est allongé de 26 cm et de 6 cm. CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 363

363

19/02/2026 15:06

4. Au marché, le prix des pommes est directement proportionnel à leur masse. Pour 4 kg de pommes achetées, un client paie 7 €. Construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour déterminer le prix à payer pour 3 kg et pour 7 kg de pommes, ainsi que la masse de pommes qu’un client pourrait acheter avec 14 € et avec 52,50 €.

y (2)

(4)

60 18

y (3)

100

110

12,5

(5)

0,1

5,5

0,1

4,5

0,9

(1)

5. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles. Complète chaque tableau et indique le lien multiplicatif externe.

100

13,5

1,5

IG H T

6. Les graphiques représentent-ils une situation de proportionnalité directe ? Justifie. (1) y 6 5 4 3 2 1

(2) y 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x

(3) y 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x

7. Observe les deux offres de prix proposées pour l’achat de paires de chaussettes. 8 € la paire PROMO : 2 + 1



5 € la paire



Pour chaque situation… (1) construis un tableau de valeurs mettant en relation le nombre de paires de chaussettes achetées (de 0 à 6) et le prix à payer (en €). (2) construis le graphique mettant en relation les deux grandeurs. (3) justifie, de deux manières différentes, que les grandeurs sont ou ne sont pas directement proportionnelles.

364

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 364

19/02/2026 15:06

26 15:06

8. Dans chaque cas, détermine si les grandeurs x et y sont directement proportionnelles. Pour cela, vérifie l’existence d’un lien multiplicatif externe entre les grandeurs.

(3)

(2)

(4)

100

0,2

(1)

156

234

9. Précise, dans chaque cas, si les situations sont des situations de proportionnalité directe.

(1) Le prix à payer et le nombre de croissants achetés hors promotion. (3) Le prix d’un livre et son nombre de pages. (4) Le prix TVAC et le prix HTVA. (5) La température et l’heure de la journée.

(2) Le nombre de cheveux gris et l’âge d’une personne.

IG H T

10. (1) Propose un titre précis pour ce tableau en utilisant les informations qu’il contient. Vitesse (en km/h)

120

Distance de freinage sur route sèche (en m)

12,5

(2) Cette situation est-elle une situation de proportionnalité directe ? Justifie.

(1)

1,5

8,40

(3)

11. Dans chaque tableau, corrige une valeur de la grandeur y pour illustrer une situation de proportionnalité directe. (2)

(4)

100

250

600

12. Vrai ou faux ? Si la proposition est fausse, justifie par un exemple concret. (1) La relation entre la masse du sucre « en vrac » et son prix est une situation de proportionnalité directe. (2) La relation entre la masse d’un enfant et son âge est une situation de proportionnalité directe. (3) Pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit, on multiplie par 1,8 puis on ajoute 32. C’est une situation de proportionnalité directe. (4) À débit constant, le volume d’eau qui s’écoule d’un robinet est directement proportionnel à son temps d’ouverture. (5) Sur une même distance, si je double ma vitesse, je double mon temps de parcours. CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 365

365

19/02/2026 15:06

13. En décembre 2025, Maud est partie en vacances à New York. À cette époque, pour 1 €, tu recevais 1,160 9 $ (dollar américain). Sur place, elle a noté quelques-unes de ses dépenses : un burger à 13 $, un croissant à 5,90 $, une place de cinéma à 25 $, une visite du 102e étage de l’Empire State Building à 92,50 $ et un survol de la ville en hélicoptère à 246 $. Aide-la à se rendre compte de ses dépenses en convertissant, au cent près, le prix de chacune d’elles en euros.

14. Dans un article du Vif/L’Express de 2023, on pouvait lire qu’il y avait, en moyenne, un accident de voiture en Belgique toutes les 15 minutes. Construis un tableau mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour calculer le nombre moyen d’accidents en un jour, en une semaine, en un mois de 30 jours et en une année de 365 jours.

IG H T

15. Pendant leur weekend à la mer, trois amis ont loué un vélo électrique pour un montant total de 51 €. Le premier l’a utilisé pendant 4 heures, le deuxième pendant 5 heures et le troisième pendant 8 heures. Ils décident de répartir les frais de manière directement proportionnelle à la durée d’utilisation. Construis un tableau mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour calculer le montant à payer par chacun d’eux. 16. Dans une usine, une machine peut étiqueter 1 500 boites de conserve en 30 minutes. (1) Construis un tableau de proportionnalité directe pour déterminer le nombre de boites étiquetées en 2 h 30 et en 24 heures, ainsi que le temps (en min) nécessaire pour étiqueter 5 000 et 12 500 boites. (2) Détermine la vitesse d’étiquetage de la machine (en boites par heure).

(3) À la suite d’une panne de courant, la machine est restée totalement à l’arrêt pendant 7 min 30. Calcule la quantité de boites qui n’ont pas pu être étiquetées durant cette interruption.

17. Pierre a acheté un ancien terrain de football, de 50 m de large sur 100 m de long, afin d’y planter des sapins. Sachant qu’il en a planté 4 000, construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les deux grandeurs (nombre de sapins et superficie du terrain) et utilise-le pour déterminer… (1) la superficie (en m2) disponible par sapin. (2) la densité de sapins (nombre par hectare) (1 are = 100 m2). (3) la superficie (en ha) que doit avoir un terrain pour planter 36 000 sapins dans les mêmes conditions.

18. À l’approche de Noël, des milliers de sapins issus de plantations spécialisées sont coupés. Deux bucherons sont capables d’en abattre 2 160 en six jours. À cette cadence, combien de sapins seront abattus par cinq bucherons en 15 jours ? Pour répondre à cette question, construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les trois grandeurs : le nombre de bucherons, le nombre de sapins et le nombre de jours. 366

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 366

19/02/2026 15:06

cÔté PratiQUe Compléter un tableau À l’aide du lien multiplicatif externe

Entre deux valeurs d’une même grandeur

⋅3

Entre les valeurs correspondantes de deux grandeurs

: 2 ⋅5

Salaire (en €)

10,5

21 52,5

Temps de travail (en h)

⋅2

21 73,5 105

⋅ 21

: 21

Temps de travail (en h)

À l’aide de liens multiplicatifs internes

Salaire (en €)

: 2 ⋅5

IG H T

⋅3 Si le temps de travail est multiplié/divisé par un nombre, le salaire est multiplié/divisé par le même nombre.

Le salaire s’obtient en multipliant/divisant le temps de travail par un même nombre et inversement.

Situation Le salaire d’une personne (en €) est directement proportionnel à son temps de travail (en h).

Représentation graphique Le graphique représentant une situation de proportionnalité directe est un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.

Salaire (en €)

Situation de proportionnalité directe

Salaire d’une personne en fonction de son temps de travail

100 80 60 40 20

8 9 10 11 Temps de travail (en h)

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 367

367

19/02/2026 15:06

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 368

19/02/2026 15:06

cÔté tHéoriQUe notion

définition Grandeurs multiples l’une de l’autre.

Lien multiplicatif interne dans une situation de proportionnalité directe

Lien multiplicatif entre deux valeurs d’une même grandeur.

Lien multiplicatif externe dans une situation de proportionnalité directe

Lien multiplicatif entre les valeurs correspondantes de deux grandeurs.

IG H T

Grandeurs directement proportionnelles

CHAPITRE 10 ProPortionnalité directe

MathsPerspectives_001_424.indb 369

369

19/02/2026 15:06

IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 370

19/02/2026 15:06

ISOMÉTRIES A

Des mouvements vers les isométries p. 295

p. 373 Exercice 1

(1) À travers le texte d’une chanson, les élèves découvrent le nom des quatre isométries ainsi que le verbe d’action qui leur est associé.

Dans le référentiel de mathématique, le verbe associé à la rotation et à la symétrie centrale est « pivoter ». Il va de soi que son synonyme « tourner », souvent utilisé pour décrire ces mouvements, peut être utilisé, surtout si le contexte s’y prête mieux : faire tourner un tournevis, par exemple.

p. 373

IG H T

(2) Les élèves doivent ajouter une précision au verbe d’action de la symétrie centrale. Il peut être intéressant de déjà leur faire remarquer que cette transformation n’est rien d’autre qu’une rotation de 180°. p. 295

Je rédige ma définition d’une isométrie Exemple de rédaction

Isométrie mesure

même

Transformation qui conserve les mesures. p. 374-375

p. 295-297

Exercice 2

Illustrer des commandes de traitement de texte permet de faire le lien avec le cours de formation numérique (deuxième volet du cours de FMTTN – Formation manuelle, technique, technologique et numérique). (1) Grâce à la première série de commandes, les élèves peuvent observer l’effet que chaque isométrie a sur une figure.

(2) La seconde série de commandes montre qu’il existe d’autres transformations du plan qui ne sont pas des isométries : agrandissement, réduction, étirement et compression. Remarque : dans la théorie, la définition d’une isométrie ne mentionne pas qu’il s’agit d’une transformation du plan, mais plutôt d’une transformation géométrique. Ce vocabulaire est plus compréhensible, car la notion de plan n’a pas été définie.

G105

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

CHAPITRE 11

p. 297

Exercice 3 Il est important d’habituer les élèves aux conventions de notation d’un objet et de son image, d’autant que la notation « prime » leur est encore inconnue. Cet exercice permet également d’établir une première liste d’invariants des isométries. Il est à noter que les amplitudes des angles aigus ont été arrondies au degré près. p. 376-377

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 376

p. 298

Exercice 4

p. 299

Exercice 5

IG H T

p. 377

Les élèves terminent les constructions proposées, sans connaitre ni l’isométrie en jeu ni aucun élément caractéristique. Ils savent cependant que la forme et les mesures sont conservées. En fin d’exercice, un tableau leur permet de retrouver les invariants utilisés. Vu que certains invariants sont liés (la perpendicularité des droites et l’amplitude des angles, ou encore le milieu d’un segment et la longueur d’un segment), les élèves ne sont autorisés à cocher chaque invariant qu’une seule fois.

Sachant qu’une isométrie conserve les mesures, les élèves peuvent reporter les longueurs des segments sur la figure image afin d’en calculer le périmètre et l’aire. Ils peuvent ainsi ajouter ces deux invariants à la liste. Remarque préalable

Dans les points suivants, les étapes de construction ne sont pas systématiquement détaillées. Afin de ne pas surcharger les figures, les premiers tracés utilisent le gris pour les étapes intermédiaires, ce qui permet de faire ressortir le résultat en rouge. Pour les exercices d'application, seules les solutions finales sont représentées.

Translation

p. 378

p. 299

Exercice 1

Les élèves découvrent l’élément caractéristique de la translation, sa représentation, son nom et sa notation. p. 378

p. 300

Exercice 2 Les élèves doivent construire un vecteur, mais celui-ci n’est évidemment pas unique.

G106

p. 300

Je rédige mon procédé pour construire un vecteur de translation Exemple de rédaction

p. 379

Je trace le segment qui relie un point et son image et j’ajoute une flèche pour indiquer le sens de la translation. p. 300

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la translation de

vecteur XY Exemple de rédaction

1) Je trace une droite parallèle au vecteur passant par le point A.

2) Je reporte sur cette droite, à partir du point A, le sens et la longueur du vecteur. 3) Je nomme A′ le point trouvé.

Exercice 6

p. 301

IG H T

p. 380-381

Un indice montre aux élèves la notation mathématique utilisée pour décrire une translation. Elle n’apparait pas dans les attendus, mais elle permet de raccourcir les énoncés de construction. Les élèves ne doivent pas l’écrire eux-mêmes, mais ils doivent être capables de la comprendre.

Pour effectuer la translation avec précision, il est recommandé que les élèves travaillent point par point, en construisant l’image de chaque sommet, puis en reliant les points dans le même ordre que celui de la figure initiale.

Lorsqu’un point et une image sont confondus, on indique, par exemple, O = N′. La progression dans le niveau de difficulté est la suivante : • le vecteur de translation est extérieur à la figure et son origine est un sommet de la figure ;

• le vecteur de translation est extérieur à la figure et son origine n’est pas un sommet de la figure ;

• le vecteur de translation est une diagonale, non représentée, du quadrilatère ;

• le vecteur de translation est un côté de la figure, il n’est donc pas représenté ; • le vecteur de translation est extérieur à la figure et est orienté de droite à gauche ; • le vecteur de translation est intérieur à la figure, celle-ci et son image se chevauchent ; • le vecteur est éloigné de la figure et nécessite la construction d’une parallèle intermédiaire, la figure et son image se chevauchent.

G107

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 379

p. 302

Exercice 9 Les élèves doivent justifier à l’aide d’un invariant différent dans chaque cas. Les solutions proposées sont probablement les plus évidentes. Ainsi, dans la troisième situation, les élèves ne peuvent plus avoir recours à la longueur des segments ni à l’amplitude des angles, et doivent donc justifier à l’aide du parallélisme des droites. (1) Longueur des segments, périmètre des figures, aire des figures. (2) Longueur des segments, amplitude des angles, périmètre des figures.

Cependant, d’autres justifications sont possibles.

(3) Longueur des segments, amplitude des angles, périmètre des figures, aire des figures, parallélisme des droites.

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 382

Symétrie orthogonale p. 383

p. 303

IG H T

Exercice 1

De plus, les côtés et les angles choisis dans les notations ne sont pas uniques.

La difficulté principale de cet exercice réside dans la distinction entre les axes de symétrie « visibles » (segments déjà tracés) et les axes « implicites » (ceux qu’il faut imaginer ou construire). p. 383

p. 303

Exercice 2

Les élèves doivent construire l’axe de la symétrie orthogonale. Outre la balle de tennis, d’autres points simples à repérer peuvent être reliés : l’extrémité du pouce de la joueuse, le bout de son nez, son œil… p. 384

p. 304

Je rédige mon procédé pour construire l’axe d’une symétrie orthogonale

Exemple de rédaction

Je relie un point à son image et je construis la médiatrice de ce segment.

p. 384

p. 304

Exercice 3 Les élèves doivent vérifier et préciser si les constructions proposées sont correctes ou non. Le plus important n’est pas qu’ils trouvent l’erreur, mais bien qu’ils justifient leur choix en utilisant le langage mathématique. Cela constitue une excellente occasion de réinvestir les notations mathématiques et les concepts abordés dans le chapitre 2. G108

p. 304

Exercice 4 Les élèves doivent construire l’image d’un point par la symétrie orthogonale dont l’axe est donné. Dans la solution de ce premier exercice de construction, le codage apparait dans son intégralité : perpendicularité et segments de même longueur. p. 304

p. 385

Exemple de rédaction

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d

1) Je construis la droite perpendiculaire à l’axe d passant par le point A.

2) Je mesure la distance entre le point A et l’axe d.

3) Je reporte, sur la droite perpendiculaire, la même distance de l’autre côté de l’axe d. 4) Je nomme A′ le point trouvé. p. 304-305

Exercices 5 et 6

IG H T

p. 385

Bien qu’il s’agisse, à nouveau, de la construction de l’image d’un point, les élèves doivent être particulièrement vigilants, car plusieurs points et plusieurs axes sont présents dans le dessin initial. Ils doivent donc lire attentivement la consigne pour associer correctement le point et l’axe de la symétrie orthogonale.

p. 305

p. 386

Dans la solution, seul le codage de la perpendicularité apparait. Il permet d’identifier l’association axe/point.

Exercice 7

Les élèves doivent maintenant construire l’image d’une figure par une symétrie orthogonale. Pour cela, ils doivent construire l’image de chaque sommet de la figure, puis relier les points dans le même ordre que celui de la figure initiale.

p. 386-387

p. 305-306

Exercice 8 La progression dans le niveau de difficulté est la suivante : • l’axe de la symétrie est extérieur à la figure et est positionné verticalement ou horizontalement ;

• l’axe de la symétrie passe par l’un des sommets de la figure ou se confond avec l’un de ses côtés ; • l’axe de la symétrie traverse la figure, celle-ci et son image se chevauchent ; • l’axe de la symétrie est l’axe de symétrie de la figure. G109

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 384

p. 306

Exercice 9 Une fois la construction réalisée, les élèves doivent calculer le périmètre de la figure en s’appuyant sur l’invariant de conservation de la longueur des segments. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 307

p. 388 Exercice 10

L’invariant de conservation du milieu d’un segment peut ne pas être mentionné par les élèves si celui de conservation de la longueur des segments est bien présent.

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 387

p. 388

p. 307

Exercice 11

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

p. 388 Exercice 12

IG H T

Dans un premier temps, les élèves construisent l’image des points X et Y par la symétrie orthogonale d’axe d. Ensuite, ils utilisent les invariants « conservation de la longueur d’un segment » et « conservation de l’alignement des points » pour trouver la position précise du point image Z′, sans sortir du cadre et sans connaitre la position initiale du point Z. p. 307

(1) La première partie de l’exercice ne présente aucune difficulté. Elle permet juste aux élèves de comprendre que, par symétrie orthogonale, un 0 reste un 0, un 2 donne un 5 et un 5 donne un 2.

(2) Les élèves sont invités à réfléchir aux chiffres qu’un réveil peut afficher pour que l’heure soit son propre reflet dans un miroir. Si l’utilisation des chiffres 0, 2 et 5 parait évidente, les élèves peuvent s’interroger sur la possibilité d’employer d’autres chiffres. Les chiffres 3, 4, 6 et 9 peuvent être rapidement écartés : le chiffre une fois retourné verticalement n’est plus un chiffre.

Le chiffre 1 suscitera des interrogations. Mathématiquement, la symétrie est respectée. Cependant, concrètement, cet affichage est impossible : sur un réveil, le chiffre 1 est toujours aligné à droite.

Le chiffre 8, quant à lui, pourrait en théorie apparaitre. Toutefois, il occuperait des positions indiquant des heures ou des minutes supérieures à 80, ce qui n’est pas envisageable. Les élèves doivent donc maintenant manipuler les chiffres 0, 2 et 5 afin de trouver une heure plausible. La solution proposée est 20:05. D’autres solutions sont possibles : G110

02:50, 05:20 et 22:55.

p. 389

p. 308

Exercice 1 Les élèves partent d’un savoir-faire, la construction de l’axe de symétrie d’une figure (illustration ou quadrilatère), qu’ils maitrisent déjà.

Bien que le château de Fontainebleau (en particulier l’escalier en fer à cheval) semble parfaitement symétrique au premier coup d’œil, plusieurs éléments architecturaux brisent cette harmonie. Les élèves peuvent citer, entre autres, comme différences observables, les cheminées, les lucarnes (petites fenêtres de toit), les fenêtres au premier étage, les ouvertures au rez-de-chaussée… p. 308

Exercice 2

p. 389

Les élèves doivent être attentifs aux éléments présents sur chacune des décorations, plus particulièrement sur la deuxième, qui contient des détails trompeurs. En examinant l’orientation de chaque petite forme bleue avec précision, les élèves comprendront pourquoi les diagonales ne peuvent pas être considérées comme des axes de symétrie.

IG H T

Zoom sur une forme bleue

p. 390

p. 309

Exercice 3

Les élèves doivent se limiter au coloriage d’un unique carré, une contrainte qui exige une analyse rigoureuse du pavage.

p. 390-392

p. 309-310

Exercices 4 à 7 Les élèves sont amenés à tracer les axes de symétrie de figures simples (quadrilatères, triangles, cercle et polygones réguliers). Ils associent ensuite les axes de symétrie des quadrilatères aux droites remarquables des quadrilatères et des triangles. Pour rappel, toutes ces notions sont connues, car elles ont été développées dans le chapitre 6. Les élèves établissent ensuite le lien entre le nombre d’axes de symétrie d’un polygone régulier et son nombre de côtés.

G111

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

D Axe(s) de symétrie

p. 311

Exercice 8 Les élèves doivent terminer la construction de la figure en respectant les contraintes imposées. (1) La construction proposée n’est pas unique. L’ordre des lettres a bien évidemment toute son importance, mais le sens peut être horloger ou anti-horloger.

V d

Construction proposée

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 392

Autre construction

(2) La construction est unique. L’image du sommet C ne peut être que le sommet E. Les sommets L et I sont des points de l’axe. Ils peuvent être inversés, la figure reste inchangée.

IG H T

(3) Comme pour le (2), la construction est unique. L’image du sommet I ne peut être que le sommet N. Les sommets T et U sont des points de l’axe. Ils peuvent être inversés, la figure reste inchangée. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 393 Exercice 9

p. 311

(2) Les triangles ABX et ABY sont équilatéraux, car leurs côtés sont soit des rayons d’un même cercle, soit les images de ces rayons par la symétrie orthogonale d’axe d (conservation de la longueur d’un segment). Le quadrilatère AXBY est un losange, car ses quatre côtés sont isométriques. p. 393

p. 311

Exercice 10

Les élèves doivent terminer la construction de la figure en respectant les contraintes liées à l’axe de symétrie et à la longueur du segment [YZ]. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. (2) Le triangle XYZ peut être isocèle en X et acutangle, isocèle rectangle en X ou isocèle obtusangle en X. Il peut également être équilatéral (acutangle) si |XY| = |XZ| = |YZ| = 3,4 cm.

G112

Triangle équilatéral

3,4 cm

p. 312

p. 393

3,4 cm

Exercice 11

Les axes de symétrie d’un carré sont les droites remarquables (médianes et diagonales) de ce carré. Exemple de programme de construction (avec points nommés par facilité) A

IG H T

Placer un point M au milieu du segment [AB].

Tracer un arc de cercle de centre A dont le rayon est le segment [AM], coupant le deuxième côté du carré en N. • → |AM| = |MB| = |AN| • Construire la perpendiculaire à AB passant par M et la perpendiculaire à AN passant par N. • Nommer O le point d’intersection des deux perpendiculaires. • Tracer les droites AO et BO. • Ces quatre droites (AO, BO, MO et NO) sont les axes de symétrie du carré.

Certains élèves construiront peut-être les bissectrices et les médiatrices qui contiennent, de toute façon, respectivement les diagonales et les médianes du carré.

G113

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Triangles isocèles

Rotation

Pour introduire les sens de rotation, les élèves explorent différentes situations concrètes dans lesquelles des objets tournent autour d’un centre. Que ce soit la rotation d'une formation nuageuse, le mouvement des aiguilles d’une horloge, la circulation dans un rond-point, l’utilisation d’un fouet, d’un tournevis ou d’un engrenage, ces contextes variés permettent de comprendre que de nombreux objets du quotidien fonctionnent par rotation autour d’un point fixe.

Si le sens le plus logique pour les élèves est le sens horloger, il est intéressant de leur expliquer pourquoi ce n’est pas ce sens qui a été choisi comme positif. Historiquement, le sens de rotation a été défini avant l’apparition des horloges. La majorité des mathématiciens reconnus à l’époque vivaient dans l’hémisphère nord et sans horloge. Pour déterminer le sens positif, ils se sont basés sur leur observation du ciel. Concrètement, si les élèves observent la Petite Ourse à plusieurs heures d’intervalle, ils verront qu’elle semble tourner autour de l’étoile Polaire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

23 h 59

22 h 00

IG H T

Partie du ciel observable à Bruxelles le 15/07/25 à…

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

Les élèves peuvent alors s’interroger : pourquoi les aiguilles d’une horloge tournent-elles dans le sens actuel, alors que le sens positif défini en mathématiques est le sens anti-horloger ? Une explication historique permet ici d’ enrichir leur compréhension. L’ancêtre de nos horloges est le cadran solaire qui indique l’heure grâce à l’ombre projetée par une tige (le gnomon) sur une surface graduée. Dans l’hémisphère nord, comme le Soleil semble se déplacer d’est en ouest en passant par le sud, l’ombre, elle, voyage de gauche à droite sur le cadran, dans le sens dit « horloger ». C’est ce mouvement naturel de l’ombre qui a dicté le sens de rotation des premières horloges mécaniques, dont les aiguilles ne font que reproduire ce trajet séculaire.

G114

p. 312-313

Exercices 2 et 3

p. 395

p. 313

Exercice 4

Pour le couvercle d’un bocal et le tournevis, observer le mouvement en classe avec des objets réels peut être utile à la compréhension des élèves.

p. 395-396 Exercice 5

IG H T

Les élèves doivent constater que, quand deux engrenages sont directement en contact, les dents de l’un poussent celles de l’autre dans le sens opposé. p. 313-314

Les élèves doivent construire l’angle de la rotation du satellite et mesurer son amplitude dans le sens négatif. Pour cela, ils doivent relier le « centre » de la Terre (T) au satellite de départ (S) et à son image (S′), et placer, sur le cercle, la flèche qui permet de passer du point à son image dans le sens négatif. Il est important de laisser toutes les traces de construction afin d’y revenir lors de la construction de l’image d’un point ou d’une figure par une rotation de 90°.

(3) Le tableau présente de manière synthétique les différents éléments caractéristiques d’une rotation : le centre, le sens et l’amplitude. (4) Pour gagner du temps dans d’autres exercices, les élèves constatent que, pour une rotation donnée, la somme des amplitudes de rotation dans le sens positif et négatif est égale à 360°.

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

p. 396

p. 314

Exercice 6 Tracer le cercle complet et placer la flèche qui permet de passer du point à son image peut permettre une lecture plus facile du sens de la rotation.

G115

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 394-395

p. 315

Je rédige mon procédé pour déterminer le sens et l’amplitude d’une rotation Exemple de rédaction 1) Je relie le centre au point et à son image. 2) Je mesure l’amplitude du plus petit des deux angles formés.

3) Je calcule l’amplitude du deuxième angle en enlevant l’amplitude du premier à 360°. 4) Je détermine le sens de la rotation. + – p. 397

p. 315

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 397

Exercice 7

Les élèves doivent commencer par placer le centre de la rotation. À ce stade, comme il n’est pas encore possible d’expliquer comment déterminer un centre situé en dehors de la figure, celui-ci est facilement repérable : il s’agit du point fixe situé sur la sonde autour duquel elle effectue sa rotation. Pour faciliter cette démarche, les élèves peuvent placer leur doigt sur le centre et faire pivoter la feuille, ou bien utiliser l’animation pour illustrer le mouvement.

IG H T

Ensuite, afin de déterminer l’amplitude de la rotation, les élèves doivent construire un angle formé par un point, le centre et l’image du point. Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 397 Exercice 8

p. 315

Plusieurs points sont proposés aux élèves. Ils doivent retrouver, parmi ceux-ci, celui qui correspond au centre de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise. Pour l’identifier, ils sélectionnent un point sur la sonde noire ainsi que son image sur la sonde grise, puis vérifient si l’arc de cercle tracé autour du centre choisi passe bien par ces deux points.

Dans le premier exercice, les élèves pourraient choisir le point B comme centre de la rotation, car ils constatent que l’image de l’extrémité de l’antenne noire (T) est bien l’extrémité de l’antenne grise (T′). Cependant, par la rotation de centre B, le point A’ n’est pas l’image du point A. Il sera donc nécessaire de guider leur choix des points de départ ou de leur demander d’effectuer une vérification sur plusieurs points.

Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit. p. 398

T′

A′

p. 315

Exercice 9 La construction de l’image d’un point ou d’une figure est limitée à un angle de 90°. Les élèves peuvent donc travailler avec la perpendiculaire de leur équerre. L’arc de cercle, quant à lui, permet de préciser le sens de la rotation et de maintenir la distance entre le point et le centre.

G116

p. 316

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par une rotation de centre C et de +90° Exemple de rédaction 1) Je relie le point A au centre C et je mesure la distance entre les deux points. 3) Je reporte la distance mesurée sur le deuxième côté de l’angle.

p. 398-399

4) Je nomme A′ le point trouvé. p. 316

Exercice 10

2) Je construis un angle droit dans le sens positif (anti-horloger).

La progression dans le niveau de difficulté est la suivante : • le centre de rotation est un sommet de la figure ;

• le centre de rotation est un sommet de la figure et deux côtés se superposent ;

IG H T

• le centre de rotation est un point à l’intérieur de la figure sans correspondre au centre de symétrie, la figure et son image se chevauchent ; • le centre de rotation est situé à l’extérieur, la figure et son image se chevauchent. Pour effectuer la rotation avec précision, il est recommandé que les élèves travaillent point par point, en construisant l’image de chaque sommet, puis en reliant les points dans le même ordre que celui de la figure initiale.

Symétrie centrale

p. 399

p. 316

Exercice 1

(2) Les élèves (re)font le lien entre la symétrie centrale et la rotation particulière de + (ou –) 180°.

p. 399

p. 317

Exercice 2 Le fait que les constructions soient incorrectes ne constitue pas un obstacle en soi pour les élèves. Comme dit précédemment, le plus important ici est que les élèves justifient leur choix avec le langage mathématique approprié.

G117

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 398

p. 317

Exercice 3 Les élèves ont constaté les erreurs dans l’exercice précédent ; ils doivent à présent placer correctement le centre d’une symétrie centrale. p. 400

p. 317

Je rédige mon procédé pour construire le centre d’une symétrie centrale

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 400

Exemples de rédaction

Je relie un point à son image et je place le centre au milieu de ce segment.

Cas particulier : si un point et son image sont confondus, alors ce point est le centre de la symétrie. Je relie deux points à leur image respective. Le centre de la symétrie se trouve à l’intersection de ces segments.

p. 401

IG H T

Cas particulier : si un point et son image sont confondus, alors ce point est le centre de la symétrie.

p. 317

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie centrale de centre C

Exemple de rédaction

– Je trace la droite passant par le point A et le centre C.

– Je mesure la distance entre le point A et le centre C. – Je reporte, sur la droite, la même distance de l’autre côté du centre C.

– Je nomme A′ le point trouvé.

G118

p. 318

Exercice 5 La progression dans le niveau de difficulté est la suivante : • le centre est situé à l’extérieur de la figure ; • le centre est un sommet de la figure ; • le centre est un point appartenant à un côté de la figure.

• le centre est situé à l’intérieur de la figure, celle-ci et son image se chevauchent ;

p. 402

Il est à nouveau recommandé que les élèves travaillent point par point, en construisant l’image de chaque sommet, puis en reliant les points dans le même ordre que celui de la figure initiale. p. 318

Exercice 6

Il n’est pas demandé aux élèves de justifier formellement la nature des quadrilatères ; l’observation du codage suffit. Toutefois, à l’oral, il est possible de justifier que le quadrilatère VA′LA est un carré, en utilisant des propriétés vues dans le chapitre 6.

Centre de symétrie p. 403

p. 319

Exercice 1

IG H T

Le codage confirme que le quadrilatère VA′LA a quatre côtés isométriques, donc il s’agit au minimum d’un losange. Deux de ses angles mesurent 90°. La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un losange vaut 360° et les angles opposés d’un losange ont la même amplitude. Par = A′LA = (360° – 2 ⋅ 90°) : 2 = 90°. Le losange VA′LA possède quatre angles conséquent, A′VA droits, il s’agit donc d’un carré.

Pour aborder la notion de centre de symétrie d’une figure, les élèves sont invités à lire des mots avant et après avoir pivoté leur feuille d’un demi-tour. L’effet de surprise qui en résulte suscite la curiosité : ils découvrent que certains mots ont été conçus pour se lire dans les deux sens, avant et après le demi-tour. Ce type de mot s’appelle un ambigramme : une écriture particulière qui permet une double lecture selon l’orientation. p. 403

p. 319

Exercice 2 (1) Les élèves peuvent reprendre l’astuce de pivoter leur feuille d’un demi-tour pour sélectionner les figures qui possèdent un centre de symétrie. Ils peuvent pour cela comparer le résultat avec la feuille de leur voisin(e) qui ne l’a pas pivotée.

(2) Il est demandé aux élèves de placer le centre sans prendre de mesures. Ils n’auront donc pas d’autres choix que de construire les diagonales des polygones cochés pour placer le centre à l’intersection. G119

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 401

p. 320

Exercice 4 Une animation GeoGebra est disponible via Capture et sur iDiddit.

Exercices de synthèse sur les quatre isométries

p. 405

GUIDE DE L’ENSEIGNANT(E)

p. 404

p. 320-321

Exercice 1

p. 320

p. 405

Avant les constructions, les élèves formalisent un procédé qu’ils ont sans doute déjà exprimé pour chaque isométrie, mais qu’il est essentiel de formuler par écrit de manière synthétique.

Je rédige mon procédé pour construire l’image d’une figure par une isométrie

IG H T

Exemple de rédaction

1) Je construis et je nomme l’image de chaque sommet de la figure. 2) Je relie les images de chaque point dans le même ordre que ceux de la figure initiale.

p. 407

Exercice 2

p. 321

(5) Les élèves pourraient ajouter aux solutions proposées la rotation de centre X de + (ou –) 180°. Il est important de leur rappeler que le terme précis pour cette rotation est la symétrie centrale.

(6) Pour déterminer l’amplitude de la rotation, les élèves sont amenés à réinvestir le calcul de l’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier étudié au chapitre 6.

G120

CHAPITRE 11

IsométrIes

souviens-toi

IG H T

1. Ces deux images devraient être parfaitement symétriques. Pourtant, dans celle de droite, le dessinateur a commis six erreurs. Repère-les en les entourant.

2. Ajoute une toupie à chaque frise en respectant le mouvement effectué par les trois premières.

CHAPITRE 11 IsométrIes

MathsPerspectives_001_424.indb 371

371

19/02/2026 15:06

3. Construis le symétrique de la figure par rapport à l’axe bleu.

4. Reproduis chaque figure en partant du point donné.

IG H T

5. Relie chaque image au verbe d’action qui associe les deux oiseaux.

Retourner

Glisser

Pivoter

Pivoter d’un demi-tour

6. Trace, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque drapeau.

372

CHAPITRE 11 IsométrIes

MATHSPACTELC_Chap11.indd 372

19/02/2026 17:39

Des mouvements vers les isométries

1. (1) Écoute la chanson. Repère, dans le texte, le nom de chaque isométrie et le verbe associé à son action. Complète ensuite le tableau.

Les 4 potes de la géo

Verbe d’action

Translation

Faire glisser

Symétrie orthogonale

Retourner

Rotation

Faire pivoter / tourner

Symétrie centrale

Faire pivoter / tourner d’un demi-tour

IG H T

Isométrie

D’abord il y a Translatio n, cool comme un skateur Elle te fait glisser en lig ne droite dans le sens du vecteur Quand t’as bien bougé, t’es toujours toi-même Même taille, même forme , pas de dilemme C’est comme ça qu’elles t’aiment Puis vient Symétrie orth ogonale, plutôt originale Te retourne recto-verso , le long de son axiale [Refrain] Ensuite Rotation, danseuse au grand cœur Elle te fait pivoter, tour ner, tout en douceur [Refrain] Enfin Symétrie centrale, habile à son tour Te fait pivoter, tourner d’un demi-tour [Refrain]

(2) Deux isométries sont associées aux mêmes verbes d’action. Ajoute une précision pour l’un d’entre eux afin de marquer la différence entre les deux isométries.

(3) Le refrain te donne des indices pour expliquer le mot « isométrie ». Lesquels ?

Bien bougé ; toujours toi-même ; même taille ; même forme

Je rédige ma définition d’une isométrie

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 373

373

19/02/2026 15:06

2. Sur un ordinateur, avec un logiciel de traitement de texte, il est possible de transformer une figure, une forme, une image. Voici les commandes les plus courantes pour appliquer une isométrie. Format de l’image

Pivoter/Tourner Copier

Faire pivoter à droite de 90° Coller

Faire pivoter à gauche de 90° Retourner verticalement

Retourner horizontalement

(1) Décris le mouvement qui applique l’image de départ sur la figure numérotée à l’aide de verbes d’action et reconnais l’isométrie associée.

IG H T

Retourner

Faire glisser

Symétrie orthogonale

Translation

374

3 Faire pivoter/tourner

Faire pivoter/tourner

Rotation

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 374

19/02/2026 15:06

Faire pivoter/tourner d’un demi-tour

Retourner

Symétrie centrale

Symétrie orthogonale

IG H T

(2) Voici d’autres commandes qui permettent de transformer une image.

Explique pourquoi ces transformations ne sont pas des isométries.

Les mesures ne sont pas conservées.

Que peux-tu dire des images générées par ce type de commandes ? Soit la forme est conservée : il s’agit d’un agrandissement ( et d’une réduction (

)

Soit la forme n’est pas conservée : il s’agit d’un étirement (

)

et d’une compression (

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 375

375

19/02/2026 15:06

3. Lis l’indice. Ensuite, nomme et code chaque triangle bleu, isométrique au triangle rose. Convention de notation Lorsqu’on applique une isométrie à un point A, appelé point de départ ou antécédent, on obtient un nouveau point, appelé image. Ce point se note, le plus souvent, A′′ et se lit « A prime ».

52°

5 cm

3 cm

B′

C′

A′

4 cm

C′ C′

3 cm

4 cm

A′

38°

5 cm

3 cm

5 cm

52°

4 cm A′

4 cm

38°

3 cm

IG H T

5 cm

52°

38°

52° B′

B′

Taille

D’après tes observations, coche, dans la liste, certains invariants des isométries.

Longueur des segments

Position

Forme

Amplitude des angles

4. Achève l’image de la figure par une isométrie. Indique une croix dans le tableau précisant le ou les invariant(s) utilisé(s), en veillant à ne cocher qu’une seule fois chacun d’entre eux. 2

b′

A′

40° 40° A

A′

a′

A b

376

3 11 ISOMÉTRIES CHAPITRE A

MathsPerspectives_001_424.indb 376

ABCD est un parallélogramme.

4 A

C C′

B B′

19/02/2026 15:06

40° 40° A

A′

a′

A b

ABCD est un parallélogramme.

4 B

C′

B′

M C′

A′

M′

D′

Les isométries conservent…

le milieu d’un segment. l’amplitude des angles. l’alignement des points.

la longueur des segments.

IG H T

le parallélisme des droites.

la perpendicularité des droites.

5. Le rectangle X′Y′Z′T′ est l’image du rectangle XYZT par une isométrie. (1) Calcule le périmètre et l’aire de ces deux rectangles. X

R Y

3 cm

Dans le rectangle XYZT :

2 cm

P = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 10 cm A = 2 ⋅ 3 = 6 cm2

Z X′

Dans le rectangle X′Y′Z′T′ : |T′X′| = |TX| = 3 cm |X′Y′| = |XY| = 2 cm

Y′

P = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 10 cm A = 2 ⋅ 3 = 6 cm2

T′ Z′

(2) Complète par les deux nouveaux invariants observés dans cet exercice. Les isométries conservent le périmètre et l’aire des figures. CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 377

377

19/02/2026 15:06

translation

1. Les trois patineuses vertes sont les images, par une translation, de la patineuse bleue.

IG H T

(1) Le point A est situé à l’extrémité d’un des patins de la patineuse bleue. Trouve, sur chacune des trois patineuses vertes, l’image de ce point A. Nomme-les A1, A2 et A3. (2) Trace les segments [AA1], [AA2] et [AA3]. Ajoute ensuite une flèche sur ces segments pour indiquer le sens du déplacement. Chaque segment orienté est un vecteur de translation.

Suis l’exemple proposé et complète.

Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A1 est noté

Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A2 est noté

Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A3 est noté

2. Pour chaque translation, construis un vecteur qui applique la figure bleue sur la figure verte et nomme-le .

E G

G G

G E 378

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 378

19/02/2026 15:06

Je rédige mon procédé pour construire un vecteur de translation

3. Explique pourquoi les vecteurs proposés ne sont pas égaux au vecteur les phrases.

B et

Les vecteurs

ne sont pas égaux, car ils n’ont pas le même sens.

IG H T

Les vecteurs

en complétant

ne sont pas égaux, car ils n’ont pas la même longueur.

ne sont pas égaux, car

ils ne sont pas parallèles.

4. Construis l’image du point A par la translation de vecteur

X Y

A′

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la translation de vecteur XY

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 379

379

19/02/2026 15:06

5. Construis l’image du trapèze XTCA par la translation de vecteur

R X

S X′

T A

T′

A′ C

C′

6. Construis l’image de chaque figure par la translation de vecteur donné. La translation dont le vecteur applique le point A .

IG H T

sur le point B se note

O = N′

O C

E′

D′

F′

G′

J′ T′ = P

I K = I′

M′

L′

K′ P′

H′ R′

380

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 380

19/02/2026 15:06

M P

A′

C B

C′

B′

V′

T′

X′

U′

IG H T

7. La figure A′B′C′D′E′ est l’image de la figure ABCDE par la translation de vecteur

Y′

Z′ .

Achève la construction des deux figures.

B′

A′

C′

O C

D E′

D′

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 381

381

19/02/2026 15:06

8. (1) Achève le triangle équilatéral ABC. Construis ensuite… le triangle DEF, image du triangle ABC par la translation de vecteur le triangle GHI, image du triangle ABC par la translation de vecteur D

B = F= G

, et .

(2) Cite un vecteur de la translation qui applique le triangle DEF sur le triangle GHI.

IG H T

(3) Quelle est la nature du polygone ADEHIC ? Il s’agit d’un hexagone régulier.

Compare son aire à celle du triangle ABC.

L’aire de l’hexagone vaut six fois celle du triangle ABC. A

9. Dans chaque cas, le parallélogramme A′B′C′D′ n’est pas l’image du parallélogramme ABCD par une translation. Justifie en citant trois invariants différents qui ne sont pas respectés. Complète ta réponse à l’aide de notations mathématiques. B′

A′

D′

C′

La longueur des segments |A′B′| ≠ |AB|

B′

A′

D′

C′

L’amplitude des angles ′ ≠ A A

D A′

D′

B′

C′

Le parallélisme des droites A′D′

B′C′

Scan 382

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 382

19/02/2026 15:06

Symétrie orthogonale

1. Cette figure est composée de huit triangles équilatéraux identiques. A

3 7

4 D

le triangle 1 sur le triangle 2. HF le triangle 4 sur le triangle 3. BD

le triangle 2 sur le triangle 5. HD

le triangle 8 sur le triangle 4. AD le triangle 5 sur le triangle 7. GC

IG H T

le triangle 7 sur le triangle 8. AE

E Cite l’axe de symétrie qui applique…

2. Construis l’axe de chaque symétrie orthogonale et nomme-le d.

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MATHSPACTELC_Chap11.indd 383

383

20/02/2026 09:46

Je rédige mon procédé pour construire l’axe d’une symétrie orthogonale

3. Les points D, E et F sont-ils les images respectives des points A, B et C par la symétrie orthogonale d’axe d ? Justifie en langage mathématique.

IG H T

Par la symétrie orthogonale d’axe d…

le point D n’est pas l’image du point A, car |AX| ≠ |XD|.

le point E est l’image du point B, car |BY| = |YE| et [BE] ⊥ d.

∕ d. le point F n’est pas l’image du point C, car [CF] ⊥

4. Construis le point A′, image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d. A

A′

Scan 384

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 384

19/02/2026 15:06

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d

IG H T

5. Construis… le point X′, image du point X, par la symétrie orthogonale d’axe f. le point Y′, image du point Y, par la symétrie orthogonale d’axe g. Y′

X′

6. Construis… le point A′, image du point A, par la symétrie orthogonale d’axe BC. le point B′, image du point B, par la symétrie orthogonale d’axe AC. le point C′, image du point C, par la symétrie orthogonale d’axe AB. A′

B′ C′ CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 385

385

19/02/2026 15:06

7. Construis le triangle A′B′C′, image du triangle ABC, par la symétrie orthogonale d’axe d. A′

A B′

C′

8. Construis l’image de chaque figure par la symétrie orthogonale d’axe donné. La symétrie orthogonale d’axe d se note Sd.

IG H T

La symétrie orthogonale d’axe AB se note SAB. Sa

C′

Y′

X′

B′

A′

Z′

SBC A′

m E

E′ B = B′ F = F′

C = C′

H′

A G 386

G′

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 386

19/02/2026 15:06

SWY

E′

W = W′

b E

X′

V′

D′ F′

Y′ = Y

F N′

Q′ O

S = R′

S′ = R

Q O′

T′ = U

IG H T

T = U′

P′

9. (1) Reproduis le cerf-volant ABCD en vraie grandeur. Construis le cerf-volant A1B1C1D1, image du cerf-volant ABCD, par la symétrie orthogonale d’axe AB. Construis le cerf-volant A2B2C2D2, image du cerf-volant ABCD, par la symétrie orthogonale d’axe CD. C1 B D

42°

3,5 cm

C B1 = B

1,9 cm

C = C2

A1 = A

42° 3,5 cm

1,9 cm D = D2

A2 (2) Détermine le périmètre du polygone formé par les trois cerfs-volants. Périmètre = 4 ⋅ 1,9 + 4 ⋅ 3,5 = 7,6 + 14 = 21,6 cm

MathsPerspectives_001_424.indb 387

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

387

19/02/2026 15:06

10. (1) Construis la figure correspondant au programme de construction. ― Construis un triangle XYZ rectangle en Y tel que |XY| = 2,4 cm et |YZ| = 3,6 cm. ― Place les points M et N respectivement au milieu des côtés [XY] et [YZ]. X Y′ M Y

X′ Z

Z′

(2) Construis X′Y′Z′, image du triangle XYZ, par la symétrie orthogonale d’axe MN. (3) Complète les égalités et cite les invariants utilisés. |Y′Z′| = 3,6 cm

|X′M| = 1,2 cm

X ′Y ′Z ′ = 90°

La symétrie orthogonale conserve la longueur des segments, le milieu d’un segment

IG H T

et l’amplitude des angles.

11. Si tu sais que Z ∈ [XY et que |YZ| = 2,5 cm, construis le point Z′, image du point Z, par la symétrie orthogonale d’axe d. Aucune construction ne peut être réalisée en-dehors du cadre.

X′

Z′

Y′

2,5 cm

X Y

12. (1) Détermine l’heure qui sera lue dans le reflet d’un miroir placé verticalement devant celui-ci.

(2) Détermine une heure, différente de minuit, dont l’affichage reste inchangé lorsqu’on regarde le réveil dans un miroir placé verticalement devant celui-ci.

Scan 388

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 388

19/02/2026 15:06

D Axe(s) de symétrie 1. En tenant compte uniquement de l’architecture de chaque façade, indique le numéro de celle qui ne présente pas d’axe de symétrie. Justifie ton choix. 2

Château de Cheverny

Palais Petrovsky de Moscou

IG H T

Château de Fontainebleau

Palais royal de Bruxelles

L’image numéro 3 ne possède pas d’axe de symétrie.

En effet, il y a par exemple deux lucarnes sur la partie droite du toit, alors qu’il n’y en a aucune sur la partie gauche.

2. Indique le nombre d’axes de symétrie que possède chacune de ces deux décorations. Construis-les.

axe(s)

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 389

389

19/02/2026 15:06

3. Colorie un seul carré afin que chaque pavage admette un axe de symétrie. Trace cet axe de symétrie.

Parallélogramme

Rectangle I

4. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque quadrilatère et indique leur nombre. Précise si ces axes contiennent une ou plusieurs médianes et/ou diagonales des quadrilatères. Losange M

axe(s) /

IG H T

K axe(s)

Les diagonales

Les médianes

Carré

Cerf-volant

V U

axe(s)

Les médianes et les diagonales

X 1

axe(s)

Une diagonale

(2) À quelle condition un trapèze possède-t-il un axe de symétrie ? Construis un trapèze de cette nature et son axe de symétrie. Un trapèze possède un axe de symétrie s’il est isocèle.

390

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 390

19/02/2026 15:06

(3) Qui suis-je ? Je suis un quadrilatère qui possède… un seul axe de symétrie. Un cerf-volant ou un trapèze isocèle quatre axes de symétrie.

seulement deux axes de symétrie qui contiennent mes diagonales. Un losange

Un carré

Triangle scalène A

Triangle équilatéral

axes(s)

G HH

I 3

axes(s)

Une des médiatrices/

Les médiatrices/

bissectrices/hauteurs/

médianes

Triangle isocèle

IG H T

5. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque triangle et indique leur nombre. Précise si ces axes correspondent à des droites remarquables des triangles.

(2) À quelle condition un triangle rectangle possède-t-il un axe de symétrie ? Construis un triangle de cette nature et son axe de symétrie.

Un triangle rectangle possède un axe de symétrie s’il est isocèle.

6. Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie du cercle et indique leur nombre.

Le cercle possède une infinité d’axes de symétrie.

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 391

391

19/02/2026 15:06

7. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie des deux polygones réguliers.

(2) Complète le tableau.

Nombre de côtés

Nombre d’axes

Pentagone régulier

Hexagone régulier

Carré

Triangle équilatéral

IG H T

(3) Établis le lien entre le nombre d’axes de symétrie d’un polygone régulier et son nombre de côtés. Un polygone régulier possède autant d’axes de symétrie que de côtés.

8. Construis…

(3) un carré NUIT dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie.

d N

d L

(2) un losange CIEL dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie et dont la diagonale [IL] mesure 4 cm.

(1) un rectangle VENT dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie et dont la largeur [VT] vaut la moitié de la longueur.

E I U T

N Scan 392

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 392

19/02/2026 15:06

9. (1) Construis le point B, image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d. Trace le cercle de centre A passant par le point B. Nomme X et Y les points d’intersection du cercle et de l’axe.

d X

|AB| = |AX| = |BX| = |BY| = |AY|

(2) Cite les segments ayant la même longueur que le segment [AB] et déduis-en la nature des polygones ABX, ABY et AXBY.

ABX et ABY sont deux triangles équilatéraux.

IG H T

AXBY est un losange.

10. (1) Construis un triangle XYZ dont la droite d est son axe de symétrie et dont le côté [YZ] mesure 3,4 cm.

(2) Détermine les différentes natures possibles du triangle XYZ.

Le triangle XYZ peut être isocèle en X et acutangle ou isocèle et rectangle en X ou isocèle et obtusangle en X.

Il peut également être équilatéral (acutangle) si

Y Z d

|XY| = |XZ|= |YZ| = 3,4 cm.

11. Construis les axes de symétrie de ce carré en n’effectuant aucune construction à l’extérieur du cadre.

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

393

rotation

1. Le sens de rotation des ouragans ou des cyclones dépend de l’hémisphère dans lequel ils se développent. Observe les images satellites et détermine si les nuages s’enroulent vers le centre (l’œil de la tempête) dans un sens horloger ou anti-horloger.

Cyclone Debbie (2017) Hémisphère Sud − Australie

Sens horloger

IG H T

Sens anti-horloger

Ouragan Katrina (2005) Hémisphère Nord − États-Unis

2. Lis l’indice et indique si les objets pivotent/tournent dans le sens positif ou négatif.

Les savants de l’hémisphère Nord ont défini le sens positif d’une rotation bien avant l’apparition des horloges. Pour cela, ils se sont inspirés du mouvement apparent de la Terre : inverse des aiguilles d’une montre.

Négatif

(2) Un véhicule qui suit le sens giratoire dans un rond-point en Belgique.

Positif

(1) Les aiguilles d’une horloge classique.

394

(3) Le couvercle d’un bocal qu’on ouvre.

Positif

(4) Le fouet d’un batteur électrique.

Négatif

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 394

19/02/2026 15:07

3. Lors d’un travail manuel avec une vis classique, une planche et un tournevis, un élève tourne le tournevis dans le sens des aiguilles d’une montre. (1) Quel est le sens de rotation ? Négatif (2) Quelle est la conséquence du mouvement ? La vis entre dans la planche.

4. Observe l’exemple du mouvement d’un engrenage et détermine dans quel sens pivotent les pièces A et B. B

Sens de la pièce B : négatif (horloger)

Sens de la pièce A : positif (anti-horloger)

S′

80°

IG H T

5. Les radars satellites qui capturent les images météo, comme celle de l’ouragan Katrina, peuvent avoir une orbite pratiquement circulaire autour de la Terre. Observe le schéma représentant un satellite en orbite autour de la Terre et réponds aux questions.

(1) Décris la trajectoire du satellite. Le satellite pivote/tourne autour de la Terre dans le sens positif (anti-horloger) en restant toujours à la même distance du centre de celle-ci.

(2) Indique le sens et l’amplitude de la rotation qui applique le point S sur le point S′. Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 395

395

19/02/2026 15:07

(3) Complète le tableau. Type d’isométrie

Rotation

Centre

Le point T

Sens

Positif (anti-horloger)

Amplitude

80°

(4) Calcule l’amplitude de la rotation du satellite s’il avait pivoté dans l’autre sens. 360° − 80° = 280°

6. Détermine les éléments caractéristiques de chaque rotation (centre, sens et amplitude). Envisage les deux sens possibles et écris tes réponses en utilisant la notation proposée dans l’indice. La rotation de centre C, de sens anti-horloger et de 80° se note : rC ; +80° .

IG H T

D′

B′

120°

90°

C 240°

270°

rA ; +90° ou rA ; −270°

rC ; −120° ou rC ; +240°

H′

F′

190°

60°

I E

170° 300° H

rE ; +60° ou rE ; −300°

396

rI ; +170° ou rI ; −190°

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 396

19/02/2026 15:07

Je rédige mon procédé pour déterminer le sens et l’amplitude d’une rotation

IG H T

7. Une sonde spatiale, en rotation libre, effectue plusieurs mouvements dans l’espace. Dans chaque cas, place le centre A de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise et détermine son amplitude dans le sens positif.

+ 120°

+ 180°

+ 210°

8. Repère et colorie le centre de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise.

B A C

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 397

397

19/02/2026 15:07

9. Construis l’image du point A par la rotation indiquée. rC ; +90°

rB ; −90° A′

A′

IG H T

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par une rotation de centre C et de +90°

10. Construis l’image du polygone par la rotation indiquée.

rC ; +90°

rE ; −90° T′

R′

C = C′

C′

E = E′

A′ B′

Scan 398

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 398

19/02/2026 15:07

rC ; −90°

rB ; +90° M′

A R

I I′ N A′ M

R′

symétrie centrale

T′

N′

P′

1. La rosace est composée de six losanges identiques.

(1) Si tu sais que le centre de rotation est situé au centre de la figure, détermine la couleur du losange obtenue après avoir pivoté…

IG H T

60°

le losange rouge de +60°. orange le losange bleu de -300°. rose

le losange jaune de +120°. bleu

(2) Est-il possible de déterminer la couleur du losange obtenu après avoir pivoté le losange vert de 180°, sans connaitre le sens de la rotation ? Explique ta réponse.

Oui, car pivoter de +180° ou de −180° donne le même résultat. La couleur du losange obtenu sera rouge.

La rotation particulière d’un demi-tour (+ ou −180°) porte le nom de symétrie centrale.

2. Justifie, à l’aide de notations mathématiques, que le point O n’est pas le centre de la symétrie centrale qui applique le point A sur le point A′. A

A A′

|AO| ≠ |OA′|

A′

O ∉ [AA′]

A′

′ ≠ 180° AOA CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 399

399

19/02/2026 15:07

3. (1) Construis le centre de la symétrie centrale qui applique le point A sur le point A′ et nomme-le O. A O

A′ (2) Sans mesurer, construis le centre de chaque symétrie centrale et nomme-le C.

Z′

F T

D′

F′

Y′

IG H T

E′

X′

P′

O=C

T′

Je rédige mon procédé pour construire le centre d’une symétrie centrale

400

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 400

19/02/2026 15:07

4. Construis le point A′, image du point A, par la symétrie centrale de centre C. A′ C A

IG H T

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie centrale de centre C

5. Construis l’image de chaque figure par la symétrie centrale de centre donné.

La symétrie centrale de centre A se note SA.

N A′

O′ P′

C = C′

N′

B′

M′

U′ S

R′

T M

T′ R

Y′ S′

X′

Y Z′

Scan

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 401

401

19/02/2026 15:07

6. Le cerf-volant VOLA possède un angle droit en A.

(1) Construis son image par la symétrie centrale de centre C et code-la.

A′

L = V′

(2) Détermine la nature du… C

triangle VA′L.

Un triangle isocèle rectangle en A′

L′ = V

quadrilatère VA′LA. Un carré

quadrilatère OLO′V. Un losange

O′

7. (1) Construis la figure correspondant au programme de construction.

= 70°. − Construis un triangle ABC tel que |AC| = 3 cm, |AB| = 2,5 cm et BAC − Place le point M au milieu du segment [BC]. − Construis le triangle A′B′C′, image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre M. B = C′

A′

IG H T

C = B′

(2) Donne la nature du triangle ABC.

Un triangle scalène acutangle Donne la nature du quadrilatère ABA′C et justifie par une propriété. Le quadrilatère ABA′C est un parallélogramme, car ses diagonales se coupent

en leur milieu.

(3) Sans refaire la construction, donne la nature du quadrilatère ABA′C obtenu si le triangle ABC initial avait été… rectangle en A et scalène.

Un rectangle

rectangle et isocèle en A.

Un carré

obtusangle et isocèle en A. Un losange

Scan 402

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 402

19/02/2026 15:07

Centre de symétrie

1. Lis les différents mots écrits avec une calligraphie particulière avant et après avoir pivoté ta feuille de 180°.

Que constates-tu ?

On lit exactement les mêmes mots avant et après avoir pivoté la feuille de 180°.

2. (1) Coche la case lorsque le polygone se superpose parfaitement à lui-même après avoir pivoté de 180°.  Triangle équilatéral

 Parallélogramme

 Rectangle

 Losange

 Pentagone régulier

 Hexagone régulier

 Octogone

 Trapèze

 Triangle isocèle

IG H T

 Triangle scalène

 Carré

(2) Sans mesurer, construis le centre de symétrie de chaque polygone coché et nomme-le C. (3) Si le polygone possède un centre de symétrie, décris précisément sa position. S’il existe, le centre de symétrie d’un polygone se trouve à l’intersection de ses diagonales. Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 403

403

19/02/2026 15:07

3. Qui suis-je ? Je suis un quadrilatère qui possède… un centre de symétrie mais aucun axe de symétrie. Un parallélogramme un seul axe de symétrie, mais aucun centre de symétrie.

Un cerf-volant ou un trapèze isocèle un centre de symétrie et plus de deux axes de symétrie.

4. Construis… (1) un rectangle LUNE dont le point C est le centre de symétrie et dont un des angles formés par les diagonales mesure 110°.

Un carré

110°

IG H T

O M

(2) un quadrilatère NOVA dont le point M est le centre de symétrie et qui ne possède pas d’axe de symétrie.

(3) un losange AUBE dont le point O est le centre de symétrie et dont la droite UO un des axes de symétrie.

B U

Scan 404

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

exercices de synthèse sur les quatre isométries

1. Complète le procédé et construis l’image de chaque figure par l’isométrie donnée.

Je rédige mon procédé pour construire l’image d’une figure par une isométrie

IG H T

Sd A

A′

C = B′

O C

S′

N′

O′

O E′

rO ; −90° M

D′ D

C′

SL M′

R S′

T′ L

A′

A T

O = O′

S R′

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 405

405

19/02/2026 15:07

SR U

R′

M′

N X

U′

U H

K′

E′ E

Y′

Z′

SMJ

R = U′

T′ = E

A′ = F

406

B A

A = F′

T′

IG H T

X′

F′

U′

rH ; +90°

S′

V′ F′

I′

D′

J = J′

T = E′ U = R′

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 406

19/02/2026 15:07

2. La figure est composée de seize triangles isocèles isométriques. (1) Colorie en bleu l’image du triangle ABO par la symétrie d’axe CJ. (2) Colorie en vert l’image du triangle BCO par la symétrie de centre O. (3) Colorie en jaune l’image du triangle FXG par la translation qui applique le point X sur le point O.

(4) Colorie en rouge l’image du triangle CXJ par la rotation de centre X et de +90°. A B N

O M

IG H T

(5) Identifie les isométries qui peuvent appliquer le triangle rouge sur le triangle bleu.

Une symétrie centrale de centre X (SX).

Une symétrie orthogonale d’axe OX (SOX).

(6) Détermine l’amplitude de la rotation de centre O et de sens négatif qui applique le triangle vert sur le triangle jaune. 360° : 8 = 45° 5 ⋅ 45° = 225° L’amplitude de la rotation de centre O et de sens négatif vaut 225°.

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MATHSPACTELC_Chap11.indd 407

407

20/02/2026 09:38

eXerCICes ComPLémeNtAIres

➁

➂

➃

➄

➀

1. Identifie le verbe d’action et l’isométrie qui applique la figure 1 sur chacune des autres figures.

2. ABCD est un losange dont le périmètre vaut 40 cm et dont les diagonales [BD] et [AC] mesurent respectivement 12 cm et 16 cm et se coupent en un point nommé E. A′B′C′D′ et le point E′ sont leur image respective par une isométrie.

IG H T

(1) Identifie le verbe d’action et l’isométrie.

B′

= A (2) Justifie que ABC ′B′C′ .

(3) Détermine la longueur des segments [A′B′] et [D′E′] ainsi que l’amplitude de l’angle C ′E ′D′ .

E′

C′ = C

3. Construis…

Justifie chaque étape de ton raisonnement.

(1) le point D, image du point B par

D′ C

. .

(3) le point F, image du point C par

(2) le point E, image du point A par

A′

4. Construis l’image du polygone par la translation demandée. F

B E C

H D 408

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 408

19/02/2026 15:07

26 15:07

5. Complète le tableau en notant l’image de chaque point par la symétrie orthogonale dont l’axe est précisé. Point

Axe

Image

O H

Axe

Image

Point

6. Construis… (1) le point X′, image du point X par SYZ. (2) le point Y′, image du point Y, par SXZ.

IG H T

(3) le point Z′, image du point Z par SXY.

7. Construis l’image du polygone par la symétrie orthogonale demandée. SDE

b F

8. Le segment [C′D′] est l’image du segment [CD] par une symétrie orthogonale.

Sans construire l’élément caractéristique de cette isométrie, achève la construction du trapèze A′B′C′D′.

C D

3 cm

D′

C′

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES IsométrIes

MathsPerspectives_001_424.indb 409

409

19/02/2026 15:07

9. (1) Sur une feuille, construis la figure correspondant au programme de construction. − Construis un losange ABCD de 4,5 cm de côté, tel que |BD| = 4 cm. − Nomme O le point d’intersection de ses diagonales. − Construis la droite b, bissectrice de l’angle AOB. − Construis le losange A′B′C′D′, image du losange ABCD par la symétrie orthogonale d’axe b.

(2) Détermine la nature du quadrilatère AA′CC′. Justifie.

10. Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque panneau routier et indique leur nombre.

11. Sur une feuille, trace une droite d et place un point A n’appartenant pas à cette droite. Ensuite, construis un triangle ABC possédant trois axes de symétrie dont l’un d’entre eux est la droite d.

IG H T

12. Une grande roue, dotée de seize nacelles toutes fixées à une même distance l’une de l’autre, peut tourner dans les deux sens. Le point d’attache de chaque nacelle sur la roue est représenté par un point noir. (1) À partir du point d’attache de la nacelle rouge, détermine, sans mesurer, l’amplitude et le sens des deux rotations permettant d’atteindre chacun des points d’attache des nacelles verte, bleue et jaune.

(2) À partir du point d’attache de la nacelle jaune, détermine, sans mesurer, l’amplitude et le sens des deux rotations permettant d’atteindre respectivement le point d’attache des nacelles verte et grise.

13. Une rotation a été appliquée au triangle bleu pour obtenir le triangle orange.

Dans chaque cas, place le centre de la rotation et nomme-le O. Ensuite, mesure l’amplitude de cette rotation dans le sens négatif.

410

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 410

19/02/2026 15:07

26 15:07

14. Construis l’image du polygone par la rotation demandée. rC ; +90°

rJ ; −90° F

I C 15. Construis l’image du polygone par la symétrie demandée. SD

A E

IG H T

16. Construis, si possible, le centre de symétrie de chaque figure.

17. Sur une feuille, place trois points non alignés A, B et C. Place ensuite un point D afin que le quadrilatère ABCD admette un centre de symétrie et aucun axe.

18. Dans chaque cas, le point A′ est-il l’image du point A par la transformation donnée ? Justifie.

A′

60° O

rO′,+90°

rO′,−60°

A′

O A′

Y A A′

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES IsométrIes

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411

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19. Dans chaque cas, construis le ou les élément(s) caractéristique(s) de l’isométrie qui applique(nt) la fusée sur la fusée . 







IG H T





20. Construis l’image par l’isométrie demandée. SFI

L rW,+90° N

Q O

412

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

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26 15:07

21. Les propositions sont-elles vraies ou fausses ? Corrige celles qui sont fausses. (1) Un parallélogramme possède un centre de symétrie. (2) Un cerf-volant possède deux axes de symétrie. (3) Les diagonales d’un rectangle sont des axes de symétrie. (4) Le centre de symétrie d’un losange se situe à l’intersection de ses médianes. 22. Les propositions ci-dessous sont fausses. Prouve-le à l’aide d’un contrexemple.

(1) Tout polygone régulier possède un centre de symétrie.

(2) Tout quadrilatère qui possède un centre de symétrie a également au moins un axe de symétrie.

(3) Tout quadrilatère possède, au plus, deux axes de symétrie.

Construis le losange…

= 50°. 23. Construis un losange ABCD dont |AB| = 4 cm et DAB (1) A1B1C1D1, image du losange ABCD par tCB .

(2) A2B2C2D2, image du losange ABCD par SCD. (3) A3B3C3D3, image du losange ABCD par SA.

IG H T

(4) A4B4C4D4, image du losange ABCD par rC ; −90°.

24. Le pavage représenté est composé de triangles équilatéraux. Complète les égalités si tu sais que l’élément qui subit l’isométrie est écrit entre parenthèses.

SHL(F) =

SJ(ADE) =

rO,+60°([JK]) =

SIJ(CGF) =

C F

J N

G K

O P

M Q

rJ,−60°(A) =

B E

tMP ([HI]) =

tBK ([HI]) =

tJF (P) =

SAS(C) =

SJ(A) =

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES IsométrIes

MathsPerspectives_001_424.indb 413

413

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 414

19/02/2026 15:07

CÔté PrAtIQUe Symétrie orthogonale

Rotation Pivoter/tourner

Retourner

Translation

Symétrie centrale

Glisser

Isométrie

mesure

Invariants

IG H T

même

Pivoter/tourner d’un demi-tour

Longueur des segments

B′

Milieu d’un segment

37° 37°

Amplitudes des angles

Alignement des points Parallélisme des droites

C E

4 cm D

Perpendicularité des droites

F′

C′ 4 cm

E′

D′

Périmètre des figures

P = 16 cm

Aire des figures

A = 9 cm2

CHAPITRE 11 IsométrIes

MathsPerspectives_001_424.indb 415

415

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IN N VA IG H T R PY O C Scan 416

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

IN N VA IG H T R PY O C

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 417

417

19/02/2026 15:07

Triangle équilatéral

1 axe

3 axes

Trapèze isocèle

1 axe

Losange

Rectangle

Triangle isocèle

Quadrilatères possédant un ou des axes de symétrie

Triangles possédant un ou des axes de symétrie

2 axes

Axe(s) de symétrie d’une figure

2 axes

IG H T

Carré

4 axes Cerf-volant

Autres figures simples possédant un ou des axes de symétrie Hexagone régulier

Pentagone régulier

5 axes

6 axes Cercle

Infinité d’axes

418

1 axe

Astuce Plie la figure en deux selon une droite. Si les deux moitiés de la figure se superposent, alors la droite contenant le pli est un axe de symétrie de cette figure.

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 418

19/02/2026 15:07

Recherche des éléments caractéristiques connaissant son centre Amplitude et sens d'une rotation Relie le centre au point et à son image. Mesure l’amplitude du plus petit des deux angles formés.

Calcule l’amplitude du deuxième angle en retirant l’amplitude du premier de 360°.

120° C 240°

Détermine le sens de la rotation.

sens –

– Si le point se déplace dans le sens anti-horloger, le sens de la rotation est positif.

– Si le point se déplace dans le sens horloger, le sens de la rotation est négatif.

–

rC ; +120° ou rC ; −240°

A′

sens +

t Ro

IG H T

Rotation

Construction de l’image d’une figure par une rotation de +90° ou de –90°

Construis l’image de chaque sommet de la figure en répétant ces étapes.

1. Relie le sommet au centre de la rotation et mesure la distance entre les deux points.

rC ; −90° L

sens –

2. Construis un angle droit dans le sens de la rotation. 3. Reporte la distance sur le deuxième côté de cet angle droit. 4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ. Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la figure initiale.

S D

D′

A′

S′

L′

Scan CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 419

419

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Construction de l’élément caractéristique Centre d’une symétrie centrale

Y C

C Y′ X

Z Relie un point et son image. Place le centre au milieu du segment tracé.

X′

Z′

X′ Y = Y′ = C

Y′

Z′

X′

Relie deux points à leur image respective.

Si un point et son image sont confondus, alors ce point est le centre.

Place le centre à l’intersection des deux segments tracés.

Z′

IG H T

Symétrie centrale

La symétrie centrale est une rotation particulière de 180°

Symétrie centrale

Construction de l’image d’une figure par une symétrie centrale

Construis l’image de chaque sommet de la figure en répétant ces étapes.

Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la figure initiale.

M A′

1. Trace la droite passant par le sommet et le centre. 2. Mesure la distance entre le sommet et le centre. 3. Reporte, sur la droite, la même distance de l’autre côté du centre. 4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.

T′

A M′

S′

Scan 420

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 420

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Figures simples possédant un centre de symétrie Rectangle

Cercle

IG H T

Polygones réguliers avec un nombre pair de côtés

Losange

Parallélogramme

OXO

Centre de symétrie d’une figure

Astuce Fais pivoter la figure d’un demi-tour. Si la figure de départ se superpose parfaitement à son image, alors elle possède un centre de symétrie.

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

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421

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IN N VA IG H T R PY O C MathsPerspectives_001_424.indb 422

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CÔté tHéorIQUe Notion

Définition Transformation géométrique qui conserve les mesures de la figure.

Invariant d’une isométrie

Propriété d’une figure qui est conservée lorsqu’on applique une isométrie.

Image d’un point

Point obtenu après avoir appliqué une transformation géométrique à un point initial.

Translation

Isométrie qui fait glisser la figure.

Vecteur d’une translation

Segment orienté (fléché) qui représente le glissement de la figure.

Symétrie orthogonale

Isométrie qui retourne la figure.

Axe de symétrie d’une figure Rotation

IG H T

Axe d’une symétrie orthogonale

Isométrie

Droite autour de laquelle la figure se retourne. Axe de la symétrie orthogonale qui applique la figure sur elle-même. Isométrie qui fait pivoter/tourner la figure. Point autour duquel la figure pivote/tourne.

Symétrie centrale

Isométrie qui fait pivoter/tourner la figure d’un demi-tour (d’une amplitude de 180°).

Centre d’une symétrie centrale

Point autour duquel la figure pivote/tourne d’un demi-tour (d’une amplitude de 180°).

Centre de symétrie d’une figure

Centre de la symétrie centrale qui applique la figure sur elle-même.

Centre d’une rotation

CHAPITRE 11 IsométrIes

MathsPerspectives_001_424.indb 423

423

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Notation mathématique Vecteur d’origine A et d’extrémité B

Symétrie orthogonale d’axe a

SAB

Symétrie orthogonale d’axe AB

Translation de vecteur

Rotation de centre A, dans le sens horloger, d’une amplitude de 30°

rA ; +30°

Rotation de centre A, dans le sens anti-horloger, d’une amplitude de 30°

IG H T

Symétrie centrale de centre A

rA ; −30°

424

CHAPITRE 11 ISOMÉTRIES

MathsPerspectives_001_424.indb 424

19/02/2026 15:07

C IG H T N

Auteurs Maryse Bams Virginie Caro Marlène Colin

ISBN 978-94-651-4180-0 609317

vanin.be