Math pour réussir 2e année - Extrait

calculer construire utiliser remédier

Philippe Ancia Pascal Dewaele Aline Want

Géomét rie Calc u calculer construire

u e q i r é m u l n Calcul litt é

ral ti Équa ons

Math pour Réussir – 2

expliquer

utiliiser remédier expliquer www.vanin.be ISBN 978-90-306-5821-4

538553

MPR2_Cover.indd 1

6/02/11 14:11

P h i l i p p e An c i a Pa s c a l D e wa e l e Al i n e Wa nt

Math pour Réussir 2 Auteurs :

Philippe Ancia Pascal Dewaele Aline Want

Couverture : Isobel Head Mise en page : Isobel Head

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale.

Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent.

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L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Louvain-la-Neuve – Wommelgem, 2011

Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition, 1re réimpression : 2011 ISBN 978-90-306-5821-4 D/2011/0078/1021 Art. 538553/02

Nom : .................................................

Table de s m a t i è r e s Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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S e c t i o n 1 Calcul numérique dans Z Fiche 1.1

R appel du calcul de 1 r e année

5

Fiche 1.2

Codage et décodage

7

Fiche 1.3

Règles de priorité des opérations

11

Fiche 1.4

Propriétés des puissances

14

Fiche 1.5

Puissances de 10 et notation scientifique

16

IN

S e c t i o n 2 Calcul littéral R éduction de sommes et de produits

Fiche 2.2

Distributivités

Fiche 2.3

Propriétés des puissances

Fiche 2.4

Mise en évidence

Fiche 2.5

Produits remarquables

Fiche 2.6

Factorisation et produits remarquables

VA

N

Fiche 2.1

19 22 26 31 33 37

S e c t i o n 3 Fractions numériques

Valeurs approchées d’une fraction

39

Fiche 3.2

É galité de deux fractions

41

Fiche 3.3

Comparaison de deux fractions

43

Fiche 3.4

Simplification de fractions numériques

45

Fiche 3.5

Addition de fractions numériques

46

Fiche 3.6

Multiplication de fractions numériques

48

Fiche 3.7

Puissances de fractions numériques

50

Symétriques d’une fraction numérique

51

Division par une fraction numérique

52

Opérations sur les fractions numériques – Synthèse

54

on

Ed

Fiche 3.9

iti

Fiche 3.8

s

Fiche 3.1

Fiche 3.10

S e c t i o n 4 Fractions littérales Fiche 4.1

Simplification de fractions littérales

59

Fiche 4.2

Opérations sur les fractions littérales

61

Table des matières

3

Nom : .................................................

Table de s m a t i è r e s Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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S e c t i o n 5 É quations Introduction aux équations

65

Fiche 5.2

R ésolution d’équations él émentaires

66

Fiche 5.3

R ésolution d’équations du type ax + b = c

71

Fiche 5.4

R ésolution d’équations du type ax + b = cx + d

73

Fiche 5.5

R ésolution d’équations « complexes »

75

Fiche 5.6

Équations et proportions

77

Fiche 5.7

Équations : exercices de synthèse

80

Fiche 5.8

Problèmes et équations

IN

Fiche 5.1

S e c t i o n 6 D iviseurs – Multiple s

Fiche 6.2

É criture algébrique de nombres

Fiche 6.3

PGCD de deux nombres

Fiche 6.4

PPCM de deux nombres

Fiche 6.5

PGCD et PPCM de deux n ombres (synthèse)

VA

s

S e c t i o n 7 Géométrie

N

Division euclidienne

87 90 94 97 1 00

Angles particuliers

Fiche 7.2

Somme des amplitudes des angles d’un triangle, d’un quadrilatère

1 08

Fiche 7.3

Axes et centres de symétrie

1 12

Fiche 7.4

Lieux géométriques

1 15

Fiche 7.5

Inégalité triangulaire

1 20

Constructions à l’économie

1 23

Propriétés des diagonales des quadrilatères

1 27

Fiche 7.7

iti

Fiche 7.6

on

Fiche 7.1

Ed

4

Fiche 6.1

83

Table des matières

1 03

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • F r a c t i o n s n u m é r i q u e s F i c h e 3 . 1 Va l e u rs a p p ro chées d’une fraction 1 ) En c a d r e m e nt d ’une fraction à l’unité Place les fractions suivantes sur la droite graduée et encadre-les par deux entiers consécutifs.

•

•

•

•

•

•

–3 1 < 2 –3 < < 4

<

•

•

•

•

–2

•

–3 4

•

•

•

–1

•

•

5 2 •

•

•

0

<

–3 < 2

<

5 < 2

–5 2 •

•

•

1

•

•

•

•

2

•

•

<

a < –2 b

–4 <

a < b

7 < 4 –5 < < 2

39

<

a < –9 b

–9 < 2

<

21 < 4

43 < 7

–45 < < 6

Complète les encadrements par deux entiers consécutifs.

7 < 2

–17 < < 3

<

s

<

on

<

iti

2 ) Va l e u r s a p p ro chées d ’une fraction positive

Ed

Une fraction peut être encadrée par des valeurs approchées (V.A.). On distingue : – les valeurs approchées par défaut (V.A.D.) plus petites que la fraction et – les valeurs approchées par excès (V.A.E.) plus grandes que la fraction.

22 Exemple : = 3,142 857 14…

7

22 < 4 7 22 3,1 < < 3,2 7 22 3,14 < < 3,15 7 22 3,142 < < 3,143 7 3

V.A.D. de

<

•

<

Complète les encadrements par des entiers consécutifs.

•

3

IN

•

7 4

VA

–3 2

N

1 2

3 et 4 sont les V.A. à l’unité près.

3,1 et 3,2 sont les V.A. au dixième près.

3,14 et 3,15 sont les V.A. au centième près.

3,142 et 3,143 sont les V.A. au millième près.

22 22 V.A.E. de 7 7

Section 3 • Fractions numériques

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donne les encadrements successifs (unité, dixième, centième, millième) des fractions proposées.

9 = 1, 285 714 28…

7 9 < < 7

54 = 4,153 846 15…

13 54 < < 13

9 < 7

<

54 < 13

<

9 < 7

<

54 < 13

<

9 < 7

<

54 < 13

IN

<

Donne les valeurs approchées demandées.

4 = 0,571 428 57…

7 V.A.D. de x à l’unité près V.A.D. de x à 0,01 près

V.A.E. de x à 0,01 près

VA

N

x=

V.A.E. de x à 0,01 près

V.A.D. de x à 0,001 près

3) Va l e u r s a p p ro chées d ’une fraction négative

s

La recherche des valeurs approchées d’un nombre négatif est basée sur la propriété suivante : si a < x < b, alors –b < –x < –a –x x

on

• •

Exemple : si 1 < x < 2, alors –2 < –x < –1

–2

•

–1

•

0

•

1

• •

iti

Complète les implications par les valeurs approchées adéquates.

3 < a < 4

⇒

< –a <

2,1 < a < 2,2 ⇒

3,12 < a < 3,13 ⇒

Ed

40

37 = 3,083 333 33…

12 V.A.E. de x à l’unité près

x=

7 < a <

⇒

< –a <

< –a <

< a < 4,8 ⇒

< –a <

< –a <

< a < 3,35 ⇒

< –a <

Donne les valeurs approchées demandées. x=

24 = 1,846 153 8…

13

–x = –

24 = –1,846 153 8…

13

V.A.D. de x à l’unité près

V.A.D. de –x à l’unité près

V.A.D. de x à 0,01 près

V.A.D. de –x à 0,01 près

V.A.E. de x à 0,01 près

V.A.E. de –x à 0,01 près

V.A.E. de x à 0,001 près

V.A.E. de –x à 0,001 près

Section 3 • Fractions numériques

2

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 2 Ég a l i t é d e d e ux fractions 1 ) S i g n e d ’ u n e fraction

Entoure les fractions négatives.

1 –3 3 2 2 –4

–5 –2

–

–

17

–42

–

–3 –2

N

2 ) C r i t è r e s d ’ égalité de deux fractions

5 2

IN

Une fraction est positive si ses deux termes sont de même signe.

Une fraction est négative si ses deux termes sont de signes différents.

3 –5 –3 2

Exemples : Fractions positives : , ,

Fractions négatives : 4 –7 4 –5 7 Remarque : La fraction – est l’opposé d’une fraction positive, elle est donc négative.

5

VA

Deux fractions sont égales si elles représentent le même nombre décimal.

3 75 3 75

= car = 0,75 et = 0,75 4 100 4 100 Deux fractions sont égales si leur forme irréductible est la même.

6 9 6 9 3 3 et = car = =

8 12 8 12 4 4

on

s

Deux fractions sont égales si, en multipliant les deux termes de l’une par un même nombre entier non nul, on obtient les deux termes de l’autre.

6 18 18 6.3

= = car 8 24 24 8.3

iti

Deux fractions sont égales si, en les réduisant au même dénominateur, elles ont même numérateur.

6 9 6 9 18 18

et = car = = 8 12 8 12 24 24

Ed

Deux fractions sont égales si les produits obtenus en multipliant le numérateur de l’une par le dénominateur de l’autre sont égaux.

9 6

= car 6 . 12 = 9 . 8 12 8

Complète par = ou ≠ et justifie numériquement en utilisant à chaque exercice une règle différente.

4

3

8 car 6

10

12

5 car 8

35

21

10 car 6

73 100

3 car 4

5

6

3 car 4

Section 3 • Fractions numériques

41

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Complète les égalités suivantes.

11 = 18 6

–6 = 20 30

–9 6 = 12

24 18 = 4

–4 48 =– 7

4 –12 = 7

18 = 10 4

12 = 25 –125

–4 = 60 16

3 =– 20 5

3 ) Re c h e r c h e d ’un nombre inconnu fraction fraction fraction fraction

est est est est

nulle si son numérateur est nul. égale à 1 si son numérateur est égal à son dénominateur. égale à –1 si son numérateur est égal à l’opposé de son dénominateur. égale à son numérateur si son dénominateur est 1.

IN

Une Une Une Une

En utilisant les phrases ci-dessus, détermine l’entier que représente le nombre x. x = 0 ⇒x = 3

–4 = –1 ⇒ x = x

–x = 1 ⇒x = 3

–9 = 1 ⇒x = x

x = –1 ⇒ x = 8

–x = 0 ⇒x = 5

7 = –1 ⇒ x = –x

VA

N

En utilisant les phrases ci-dessus, détermine l’entier que représente le nombre x. Attention, ton raisonnement doit comprendre 2 ou 3 étapes comme le montrent les exemples.

3x – 6 = 1 ⇒ 3x – 6 = 3 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3 3

s

x–8 = 1 ⇒ 3 x–6 = –1 ⇒ 4

on

⇒

iti

x–2 = 0 ⇒ x – 2 = 0 ⇒ x = 2 4 x+2 = 1 ⇒ ⇒

5

⇒

2x + 8 = 0 ⇒ 3

⇒

⇒

3x – 2 = 1 ⇒ 4

⇒

⇒

5x – 1 = –1 ⇒ 6

⇒

⇒

Ed

42

x = 1 ⇒x = 7

4 ) Co n d i t i o n d ’existence d ’une fraction a Le dénominateur d’une fraction ne peut être nul. La fraction existe si b ≠ 0 b a a

Exemples : existe si 3b ≠ 0 ou b ≠ 0 existe si b – 3 ≠ 0 ou b ≠ 3 3b b–3

Complète les phrases ci-dessous.

4 existe si x ≠

x

–2 existe si x ≠ 3x

5 existe si x ≠ 2x – 6

4 existe si x ≠ –5x

–5 existe si x ≠ 4x + 8

1 existe si x ≠ 2–x

Section 3 • Fractions numériques

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 3 Co m p a r a i s on de deux fractions 1 ) Co m p a ra i s o n de fractions positives Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur. le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand <

3 3 < 5 4

4 car 2 < 4 5

car 5 > 4

<

6 14 18 car <

7 21 21

2 6 6 6 car < < 3 7 9 7

VA

Complète par < ou >.

IN

des dénominateurs et des numérateurs différents, il faut chercher ayant le même dénominateur ou le même numérateur, puis les

N

Si deux fractions ont dénominateur.

2

Exemples : 5

Si deux fractions ont des fractions égales comparer.

2

Exemples : 3

3 7

5

7

5 8

13

24

11 7

9

7

10 9

10 7

7 9

7

13

7 9

5

6

12 25

7

15

6 23

9 32

s

on

2) Co m p a ra i s o n de fractions négatives (cas par ticuliers) Les règles de comparaison de fractions positives restent valables si les fractions sont négatives à condition que les dénominateurs (numérateurs) identiques soient positifs.

7 7 < car –8 > –11 –8 –11

–7 –5 < car –7 < –5 9 9

iti

Exemples :

Ed

Complète par < ou > et justifie.

–3 7

–4 car 7

3 –4

3 car –7

–5 2

–3 car 2

3 –8

3 car –5

–3 5

–1 car 5

2 –5

2 car –3

Rends les dénominateurs (numérateurs) identiques positifs. Complète par < ou > et justifie.

3 –2 et p –5 5

car

–3 3 et p 2 –4

–7 –7 et p 5 6

car

5 7 et p –12 –12

Section 3 • Fractions numériques

car

car

43

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3) Co m p a ra i s o n de fractions négatives et d roite graduée Pour comparer deux fractions négatives, il est parfois intéressant de les placer sur une droite graduée en repérant d’abord leurs fractions positives opposées.

–3 –3 et , il suffit de placer les fractions 2 4 –3 –3 droite graduée, puis les fractions et .

2 4 –3 3 3 4 4 2

•

•

fractions

•

–2

•

–1

•

• •

0

1

•

2

–3 –3 < .

2 4

N

On obtient :

•

IN

Exemple : Pour comparer les 3 3 et sur une 2 4 –3 2

•

–17 4

•

–3 –3 4

–2

VA

•

–4

•

•

–1

•

0

•

1

–4 3

•

2

3

•

•

4

•

5

6

–17 5

–5 2

–4 3

–5 2

–2 5

–2 5

–2 7

–8 3

–5 4

on

–11 2

•

–5

s

•

–6

4 ) E xe r c i ce s d e synthèse Complète par < ou >.

3 8

–3 10

iti

–7 4 –7 4

7 –4

>

–3 4

–3 5

–3 4

–3 2

–2 3

–5 9

–7 12

7 –3

13 5

–13 4

–1 3

–1 4

–8 7

–3 4

Ed

44

Avant de compléter par < ou >, place approximativement les fractions sur la droite graduée en repérant d’abord leurs fractions positives opposées.

Range les fractions par ordre croissant (de la plus petite à la plus grande).

–5 4

–3 8 <

–2 9

–3 2 <

5 7 <

3 2 <

5 9 <

–1 8 <

–9 7 <

7 4 <

–9 5 <

3 8 <

7 4 <

9 2 <

7 3 <

–7 8 <

37 11 <

Section 3 • Fractions numériques

–13 2 <

–49 15 <

–3 7 <

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 4 S i m p l i fi c a t i o n de fractions numériques 1 ) S i m p l i f i c a t i on de fractions positives Rends chaque fraction irréductible.

15 = 33

26 = 78

42 = 14

100 = 150

25 = 60

60 = 84

15 = 27

54 = 126

12 = 40

48 = 96

45 = 22

135 = 165

25 = 45

28 = 32

25 = 75

72 = 120

N

IN

VA

2) S i m p l i f i c a t i on et signe d ’une fraction

Une fraction négative peut s’écrire de plusieurs manières mais on évitera d’utiliser un dénominateur négatif.

–7 7 7 peut aussi s’écrire – et on évitera l’écriture 10 10 –10

Exemple :

s

45

on

Entoure les fractions qui sont égales à …

3 7

–3 7

–3 –7

–

3 7

3 –7

–

–3 7

–5 9

5 –9

–5 9

–

5 –5 –5 – – 9 9 –9

–

15 = –23

–

Ed

iti

Simplifie les fractions en utilisant un minimum de signes négatifs.

–2 = –7

–5 = –6

–

–10 = 11

3) E xe r c i ce s d e synthèse

Après en avoir déterminé le signe, rends chaque fraction irréductible.

20 = –30

10 = –25

–

–

–

21 = 27

–36 = –12

72 = –16

–30 = 45

–

–

–36 = –45

42 = –49

–16 = –20

25 = –125

–45 = –60

32 = –38

121 = –55

–

320 = –240

–150 = –420

Section 3 • Fractions numériques

–126 = –81

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 5 A d d i t i on d e fr actions numériques 1 ) So m m e d e f ractions numériques simples

Exemples :

3 5 9 10 9 + 10 19 + = + = = 2 3 6 6 6 6 –3 5 –9 10 –9 + 10 1 + = + = = 4 6 12 12 12 12

1 1 – = 4 2

–7 1 + = 8 4

–1 1 + = 3 2

VA

2 5 – = 3 6

–3 1 – = 5 10

1–

5 = 3

3 –1= 4

Effectue en réduisant d’abord les fractions au même dénominateur.

–4 7 – = 15 5

iti

15 7 – = 8 10

on

–2 7 + = 9 6

s

3 2 – = 4 5

–3 7 + = 10 15

–2 2 + = 7 3

–

3 5 – = 14 21

3 –3 + = 25 10 3–

6 = 7

–7 –2= 12

Ed

46

3 1 – = 4 2

N

Effectue mentalement.

IN

Pour additionner deux fractions, il suffit – de les simplifier, si possible ; – de les réduire au même dénominateur ; – d’additionner les nouveaux numérateurs en conservant le dénominateur et – de simplifier, si possible, la fraction ainsi obtenue.

2 ) So m m e d e f ractions numériques et problème de signe Avant de réduire les fractions au même dénominateur, il faut simplifier au maximum les fractions de l’énoncé et rendre les dénominateurs positifs.

Exemples :

5 –5 –5 5 – = + –6 8 6 8

=

–20 15 –20 + 15 –5 + = = 24 24 24 24

–10 35 2 7 8 21 8 – 21 –13 + = – = – = = –15 –20 3 4 12 12 12 12

Section 3 • Fractions numériques

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

–4 –7 + = –5 25

15 3 – = 14 –21

1 –7 – = –10 25

–

30 10 – = –50 14

–

3 –6 + = 18 –27

–

3 6 – = –5 –12

N

–3 –9 + = –8 10

VA

3 –7 – = –5 3

IN

Simplifie les fractions (signes y compris), réduis-les au même dénominateur et additionne-les.

3) Va l e u r s n u mériques

a+d=

b+c=

–c – b =

b–d=

d–a=

–d + c =

Ed

iti

on

s

Calcule la valeur numérique des expressions ci-dessous si tu sais que 5 –1 3 –1 a= ,b= ,c= , et d = 6 4 8 9

4 ) N o m b r e s d écimaux et fractions

Calcule le plus simplement possible en utilisant des nombres décimaux ou des fractions.

3 – 0,5 = 4 –0,72 +

3 = 4

1 – 0,3 = 3

5 = 2

0,25 –

–2 + 0,75 = 7

–2,25 –

–4 = 9

Section 3 • Fractions numériques

47

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 6 M ul t i p l i c a t i on de fractions numériques 1 ) P ro d u i t d e f ractions numériques simples

Effectue mentalement.

–4 –3 . = 5 2

–1 –1 . = 3 2

–4 –1 . = 3 3

–2 2 . = 5 5

N

10 –1 . = 7 5

3.

–5 = 7

–3 . (–2) = 5

VA

Effectue en écrivant d’abord le produit des numérateurs et des dénominateurs, puis en simplifiant la fraction ainsi obtenue.

iti

–4 6 . = 9 –5

on

5 –12 . = 4 25

–21 –25 . = 5 24

s

3 8 . = 4 9

5 –12 . = –8 35

–8 16 . = 21 24 –5 17 . = 51 –20 3.

20 = 27

Ed

48

3 –5 . = 4 2

IN

Pour multiplier deux fractions, il suffit – de multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux et – de simplifier, si possible, avant d’effectuer les produits.

2 5 2.5 10 4 –6 4 . (/–6/) –2 –8 = Exemples : . = = . = 9/ . 5 3 7 3.7 21 9 5 15 3

2 ) P ro d u i t d e fractions numériques et pro blème de signe Dans un produit de fractions, il est conseillé de déterminer d’abord le signe avant d’effectuer.

1 –5 –7 5/ . 7 7 –5 –8 5 . 8/ 2 10 = Exemples : =– . =+ . =– 12 / .

7 3 15 3 . 15 /3 9 –12 7 21 3 –

12 –15 12 . 15 / 3 36 = . =+ 5 / .

7 5 7 7 1

–2 –9 –7 . . =– 3 5 8

Section 3 • Fractions numériques

2/ . 9/ 3 . 7 21 =– 3 / .

5 .

8 / 20 1 4 1

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Effectue les produits en donnant des fractions irréductibles comme réponses finales.

–

1 –15 . = 9 22

–3 .

–8 –45 . = 27 7 –5 .

–48 25 –1 . . = 5 –28 –5

–13 –10 . .5= –5 52

–2 = –45

–1 55 . = 33 28

–3 .

IN

12 –35 . = –49 15

–35 –8 –6 . . = 24 9 25

9 –2 . = 14 –9

N

–7 25 . = –15 –21

VA

3) Va l e u r s n u mériques

b.d=

d.a=

ab =

on

iti

a.c=

bcd = –abd =

Ed

s

Calcule la valeur numérique des expressions ci-dessous si tu sais que 5 –1 3 –2 a= ,b= ,c= et d = 6 10 20 9

4 ) N o m b r e s d écimaux et fractions

Calcule le plus simplement possible en utilisant des nombres décimaux ou des fractions.

1 . 0,75 = 5 2 = 5

0,5 .

–8 . 0,125 = 5

–2 = 3

0,25 .

–2 . 0,77 = 7

0,5 .

1 = 20

Section 3 • Fractions numériques

49

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 7 P u i s s a n c e s d e fractions numériques 1 ) P u i ss a n ce d ’ une fraction Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme de la fraction à cette puissance.

5 2 52 25 –2 3 (–2)3 –8 = 2 = = =

Exemples :

3 4 4 16 5 125 5

( )

( )

Effectue en écrivant le détail comme dans les exemples ci-dessus.

( ) ( )

–3 4 = 2

–4 3 = 5

5

2 3

=

( ) ( )

1 3 = –4

IN

=

–7 2 = –4

Effectue mentalement en déterminant d’abord le signe du résultat.

1 3 –4 3 –9 2 –3 4 = = = = 5 3 4 10

1 5 = –2

Complète par = ou ≠.

3

–5 –2

5

( ) ( ) –

–

2

8 5

=

( ) ( )

–1 5 = 10

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

on

–2 3

2 3 3

5 5 2

–4 7

3

–1 4

4

–

iti

( ) ( )

( ) ( )

VA

–2 2 = 7

( ) ( )

s

( ) ( )

–

4 3 7

2 3

1 4 4

–

3

(–5)3 (–2)3

=

–2 3 = –5

( ) ( )

23 3

3

5 2

( ) ( )

3

2 3

–

–1 4

3

–1 4

3

1 3 (–4)

( )

–1 6 2

2) Carré, cube, …

Ed

50

( ) ( )

2

N

–3 5

Complète les égalités.

8 = 125

( )

3

36 = 25

( )

2

–64 = 27

( )

3

–1 = 1000

( )

3

64 = 100

Complète les égalités par une puissance d’une fraction.

16 = 81

–1 = 32

–125 = 64

49 = 10 000

Section 3 • Fractions numériques

–27 = 216

( )

2

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 8 S y m é t r i q u e s d’une fraction numérique 1 ) O p p o s é et i nverse d ’une fraction

La fraction –

( )

4 4 4 4 = 0 (neutre pour l’addition) est l’opposé de la fraction car + – 5 5 5 5 5 4 4 5 est l’inverse de la fraction car . = 1 (neutre pour la multiplication) 4 5 5 4

La fraction

L’opposé de

3 est 4

car

=

L’inverse de

1 est 7

car

=

L’inverse de

5 est 3

car

=

L’opposé de

1 est 4

car

=

L’opposé de

–2 est 3

car

=

N

IN

Complète les phrases suivantes.

car

=

L’inverse de

–2 est 5

car

L’opposé de –3 est

car

=

VA =

Complète le tableau par des fractions.

–5

1 3

0

1

3

–1 4

7 9 3 2

Ed

–1 3 5 3

iti

–a 1 a

–2 7

s

5 3

on

a

L’inverse de 2 est

–2 7

–1 4

2) O p p o s é et i nverse d ’un nombre décimal

En suivant l’exemple proposé, complète les phrases.

6 , 10

0,6 =

0,75 =

, son opposé vaut

2,5 =

, son opposé vaut

–0,3 =

, son opposé vaut

–2,7 =

, son opposé vaut

son opposé vaut

–6

10

= –0,6 et son inverse vaut

10 = 1,6666…

6

=

et son inverse vaut

=

=

et son inverse vaut

=

=

et son inverse vaut

=

=

et son inverse vaut

=

Section 3 • Fractions numériques

51

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 9 D iv i s i o n p a r u ne fraction numérique 1 ) Q u ot i e n t d e deux fractions numériques Pour diviser une fraction par une fraction (non nulle), il suffit de multiplier la première par l’inverse de la seconde.

Exemples : 2 8 –12 8 –5 8/ . (–5) –10 = : = . = 7 5 7 12 7 . 12 / 3 21

:p.

:p.

IN

5 2 5 7 5.7 35 : = . = = 9 7 9 2 9.2 18

5 –8 : = 27 36

VA

3 7 : = 4 5 –5 4 : = 2 3

–1 –4 : = 27 9

on

–14 –21 : = 15 25

s

–8 6 : = 9 5

–5 –15 : = –18 12

–

1 –5 : = 24 36

iti

2 ) Q u ot i e n t p ar un nombre entier

Pour éviter toute erreur, il suffit de transformer le nombre entier en une fraction.

3 15 15 35 15 1 15 / .1 3 Exemple : = = : 35 = : = .

2 2 1 2 35 2 . 35 / 7 14

Ed

52

N

Transforme le produit en quotient, puis effectue. Attention, tes réponses doivent être des fractions irréductibles.

Écris les nombres entiers sous forme de fractions, transforme les quotients en produits, puis effectue. Attention, tes réponses doivent être des fractions irréductibles.

9 :6= 8 –14 : (–21) = 25

12 :

–15 = 8

5 : (–12) = 6

Section 3 • Fractions numériques

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 ) D i f f é r e n te s écritures d ’un quotient de deux fractions

3 2 3 7 Le quotient de . On a donc par peut s’écrire 7 2 5 5 5 3 5 Le quotient de . On a donc par 8 peut s’écrire 8 3

3 2 3 7 3 5 3.5 15 = : = . = = 7 2 5 2 7 2.7 14 5 5 3 5 8 5 1 5.1 5 = : = . = = 8 3 1 3 8 3.8 24

IN

Remarque : le quotient avec plusieurs barres de fractions sera appelé quotient «à étages»

VA

s

–1 2 = –7 5

on

–5 8 = 11 12

–4 9 = –12 5

9 2 3

=

9 2 = 3

iti

8 3 = 7 9

N

Transforme le quotient « à étages » en quotient « normal » puis calcule.

Ed

4 ) Va l e u r s n u mériques de quotient

Calcule la valeur numérique des expressions ci-dessous si tu sais que 5 –1 3 –1 a= ,b= ,c= et d = 6 4 8 9

a:d=

b:c=

a = c

d = a

–b = d

–c = –b

Section 3 • Fractions numériques

53

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F i c h e 3 . 1 0 Op é r a t i o n s s ur les fractions numériques - Synthèse 1 ) Re co n n a i ss ance des opérations Remplace les pointillés par le signe opératoire qui convient ( + , – , . , :).

3 4

–2 5

1 1 = 2 4 –3 3 =

4 10

3 4

1 3 = 2 8 –3 8 = 4 15

–2 5

3 4 –2 5

1 5 = 2 4 –3 –23 = 4 20

3 4

1 3 = 2 2

–2 5

–3 7 = 4 20

Entoure la bonne réponse.

–2 5

1 25

0

1 –1 . = 3 3

0

–1 6

5 2 – = 2 5

–1 9

–2 9

–2 –3 : = 3 2

VA

2) C a l c u l m e n tal

–4 25

–1

4 9

0

1

21 10

–4 9

Complète chaque case du tableau avec un nombre entier ou une fraction irréductible.

–2 5

2 5

–1 4

b

3 5

–2 3

2 5

a.b

3 2

–3 4

–1 10

–2 3

2 3

2 9

5

2

–1 5

3 2

on

a–b

–3

iti

a+b

1 2

s

a

Ed

54

–3 7

N

–2 10

IN

–1 –1 + = 5 5

a:b a³

b² 2a –3b

Section 3 • Fractions numériques

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 ) Sy n t h è s e Calcule.

5 1 – = 8 12

( )

–18 15 . = 5 –8

(–4)3 = 7

–4 –10 : = 5 9

–

( )

–1 2 + = 4 9

–21 –5 . = –10 12

–14 21 : = 15 25

–2 –5 + = 9 12

7 –5= 5

IN

=

1 –5 : = 24 36

N

2

=

VA

–7 9

3

–5 3

s

4 ) P r i o r i t é d e s opérations

55

On effectue par priorité les calculs entre parenthèses.

On effectue dans l’ordre les puissances, les produits (quotients) et les sommes.

iti

on

Les règles de priorité vues avec les nombres naturels, puis avec les nombres entiers s’appliquent aux fractions.

À chaque étape, effectue mentalement le calcul souligné.

Ed

1 1 3 1

+ . = + 2 3 4

2

=

( ) ( )

1 13 1 .

–2 = .

9 5 9

(

)

(

) ( ) 2

2 –1 = 3

.

15 = 14

2

=

3

1 1 1 –1 1

+2=

= . +2= . .

3 5 2 5 2

1 15 +3 . = 2 14

=

=

( )

2

25 .

3 .

5

–1 – 2 = 25 .

10

(

)

3

–2=

( )

1 3 –2 = .

3 5

Section 3 • Fractions numériques

3

=

–2=

3 .

5

=

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcule en respectant les règles de priorité. N’oublie pas de souligner les calculs prioritaires.

(

3 1 7 .

– = 5 2 3 2 2 1 – : = 15 3 4

3 –2 .

5 3

1 3 – 3 2

)

2

(

)( ) (

=

)

=

1 7 –1 7 .

– + 2 11 5 2 . –2 –

1 2

) )

= 3

=

on

2

=

iti

–1 3 .

2 5

3

=

3 1 2 5 .

– . = 5 2 3 2

=

1 –2 4 : + 3 7 3

( (

7 1 – 3 2

IN

(

( ) ( )

N

2.

2

1 = 2

.

VA

( ) –4 3

)

s

5.

56

3 .

4

8 1 . = 3 5

2–

3 7 – 5 3

Ed

5 ) P r i o r i t é d e s opérations et parenthèses « ca chées » Certains exercices complexes semblent ne pas comporter de parenthèses et pourtant …

3 1 + 2 4 7 1 peut s’écrire – 5 2

Exemple :

(

3 1 + 2 4

)( :

7 1 – 5 2

)

avec parenthèses obligatoires.

Nous pourrons donc écrire que : 3 1 + 2 4 7 1 – 5 2

=

( (

3 1 + 2 4 7 1 – 5 2

) ( ) ( =

6 1 + 4 4 14 5 – 10 10

) )

=

7 4 9 10

=

7 10 7 . 10 / 5 35 = . = / 4 .

9 4 9 18 2

Section 3 • Fractions numériques

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcule en utilisant la structure prédéfinie.

1 5

=

1 3– 5 1 1 + 2 3

( (

3 2 – 5 3

+ –

( (

=

+ –

) ) ) )

=

=

.

=

. .

=

=

.

=

. .

=

=

IN

2+

Fais apparaître les parenthèses «cachées», puis calcule en utilisant les règles de priorité.

3 –1 2

=

3 +3 2 = 2 –5 .

3

VA

2 3

N

1–

–

s

) )

2

2 1 – 5 2

3

=

Ed

( (

1 1 – 5 4

on

3 4 – 2 3 = 3 –1 + 5 2

iti

6 ) Va l e u r s n u mériques

Calcule les valeurs numériques des expressions ci-dessous, si tu sais que a=

–2 3 3 –1 ,b= ,c= , et d = 3 4 2 5

ab =

–3a² =

cd =

2a + 3d =

2d³ =

–2b – 4c =

Section 3 • Fractions numériques

57

Nom : .................................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a³ + a + 1 =

a² – 3a – 5=

b3 : 2d =

IN

a.b = c.d

VA

a . c2 = a2 . b

on iti

a+b = c+d

s

1+b = 1–d

Ed

58

N

c–b = a.d

2c – d = 3a + d

5a + 2d = 2b – 3c

c 2 – b2 = a 3 . b3

Section 3 • Fractions numériques