Espace Math 5e/6e - Théorie Tome 1 6 p./s. - Extrait

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10/06/09

12:01

Page 1

EM566A ISBN 978-2-8041-5591-9

www.deboeck.com

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Espace Math 5e/6e

(6 pÉR./sEM.)

ADAM • LOUSBERG

T1

Arthur ADAM • Francis LOUSBERG avec la participation de René BASTIN, Benoit BAUDELET, Sabine BOUZETTE et Philippe CLOSE

Espace Math

5 /6 e

THÉORIE TOME 1 TRIGONOMÉTRIE – ANALYSE

6 périodes par semaine

e

EM566Introductionpage 3 noir vert

Avant-propos «Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question.

S’il n’y a pas de question, il ne peut y avoir de connaissance scientifique.

Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit.»

Gaston Bachelard, philosophe français (1884-1962)

Les deux tomes d’Espace Math 5e /6e (6 périodes/semaines) remplacent, depuis 2004, les Espace Math 56 et 66 qui ont été revus en fonction des nouveaux programmes.

La répartition de certaines matières n’étant pas la même dans les réseaux d’enseignement, la théorie de 5e et de 6e est présentée en deux volumes : – le tome 1 comporte le cours d’analyse des deux années; – le tome 2 étudie l’algèbre linéaire, la géométrie (des coniques et de l’espace) et des compléments (combinatoire, probabilités, nombres complexes).

Les exercices sont regroupés en un seul volume dans le cahier.

OBJECTIFS DU COURS EN 5e ET 6e Au dernier degré de l’enseignement secondaire de transition, l’élève s’engage dans une voie où les mathématiques constituent un élément de base dans sa vie de citoyen tant dans les domaines socio-économiques que culturels. Il poursuit ainsi sa formation à une forme de pensée et à un langage spécifique.(1) Une spécificité du cours de mathématiques à six périodes par semaine est d’être un outil d’investigation et de recherche qui vise aussi les mathématiques pour elles-mêmes. Pour beaucoup, il sera un outil d’apprentissage au service d’autres disciplines.

En 5e et en 6e , un des objectifs majeurs du cours de mathématiques est de rendre l’élève capable de découvrir, rédiger, illustrer une argumentation dans un langage précis et concis.

OBJECTIFS DU COURS D’ANALYSE En analyse, le cours est largement inspiré par l’étude de fonctions réciproques : les fonctions cyclométriques et les fonctions logarithmes et exponentielles. Ces dernières permettent de modéliser des problèmes d’économie, de physique, de chimie, de démographie, ...

(1)

Les textes en italique proviennent des programmes de mathématiques au troisième degré.

III

EM566Introductionpage 4 noir vert

La construction d’un graphique comme bilan consécutif aux calculs de limites et de dérivées ne constitue pas une fin en soi. Le recours aux calculatrices graphiques et aux logiciels appropriés livre une bonne partie de ces résultats et ouvre par ailleurs de nouvelles possibilités de conjectures et de validations.

Le calcul intégral forme la deuxième partie du thème d’analyse. Son application permet de traiter des situations de quadrature et de cubature, ainsi que de résoudre des problèmes issus des sciences et de l’économie.

Les compétences terminales à acquérir à propos du contenu d’un chapitre sont indiquées au seuil de celui-ci.

Poursuivant le travail entrepris au premier et au deuxième degrés, ce manuel veut être avant tout un outil souple et efficace pour les enseignants et pour leurs élèves, dans deux domaines de prédilection : — la pédagogie des situations qui confronte l’élève à des activités qu’il doit organiser personnellement ou en équipes; — l’enseignement en spirale qui ne veut pas épuiser d’emblée le contenu global des notions rencontrées et qui procède par touches progressives.

Nous avons maintenu les «Petits bouts d’histoire» parce que nous sommes convaincus qu’un cours de mathématiques doit être replacé dans son contexte historique afin de convaincre nos élèves de l’utilité et de la richesse des démarches entreprises dans cette discipline par d’illustres prédécesseurs.

Nous tenons à remercier les Éditions De Boeck et leurs collaborateurs pour l’accueil réservé à cet ouvrage et pour leur travail accompli avec rigueur.

Notre reconnaissance va également à Freddy Goossens et Jean Haerlingen pour la mise en page et les dessins qu’ils ont réalisés avec talent.

L’édition 2007 comporte des corrections ponctuelles. Elle tient compte des quelques modifications du programme de la FESeC en 2007.

RÉFÉRENCES AU CAHIER • Une activité préparatoire à la théorie est à réaliser dans le cahier à la page indiquée.

• Certains mots sont accompagnés d’un gros point. Dans la marge, une référence est faite au Coffre à outils figurant au cahier.

• À la fin de chaque paragraphe, des références sont faites aux numéros d’exercices et à la page du Cahier.

Dans chaque chapitre, la numérotation des exercices est autonome.

IV

Activité . . .

Cahier, page . . .

•

Cahier, page . . .

Pour appliquer . . .

Pour s’autocontrôler . . .

Pour chercher . . .

Venus d’ailleurs . . .

EM566Introductionpage 5 noir vert

Communauté française

FESeC

Table des matières

5e ..... ..... ..... .....

5e ..... ..... ..... .....

5e ..... .....

5e ..... .....

5e ..... ..... ..... ..... .....

6e

5e ..... ..... ..... ..... .....

6e

5e ..... ..... ..... .....

5e ..... ..... ..... .....

5e .....

5e .....

5e ..... .....

5e ..... .....

..... ..... ..... .....

..... ..... ..... .....

TRIGONOMÉTRIE Formules de trigonométrie Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 5 6 8

IN

1.

1.1 1.2 1.3 1.4

VA

N

2. Équations et inéquations trigonométriques 2.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Les fluxions de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ANALYSE

18 19 25 27 28 30 32

Suites et nombres réels Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Des suites convergentes dans l’Antiquité grecque . . .

4.5 Les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Le champ des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Construction des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 36 38 40 46 48 54 55

on

Ed

4.

4.1 4.2 4.3 4.4

s

Fonctions et graphiques Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparaison de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Somme ou différence de deux fonctions . . . . . . . . . . . .

Produit ou quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . .

Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réciproque d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Des courbes en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

3.

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

5. Continuité – Limites – Asymptotes 5.1 Fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Recherche des racines d’une équation . . . . . . . . . . . . . .

La continuité, une affaire du XIXe siècle . . . . . . . . . . .

5.3 Limite réelle en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Limite infinie en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Limite en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Méditations sur l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 62 63 64 76 84 93 97

V

EM566Introductionpage 6 noir vert

6.

6.1 6.2

Dérivées Nombre dérivé – Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Interprétations diverses de la dérivée . . . . . . . . . . . . . 111 Les énigmes du mouvement et la réponse de Leibniz 116

5e ...... ......

5e ...... ......

7.

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Applications des dérivées Dérivée première et variations d’une fonction . . . . .

Dérivée seconde et concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Représentation graphique d’une fonction . . . . . . . . .

Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résolution approchée d’une équation . . . . . . . . . . . . .

Newton contre Leibniz : une dispute de deux siècles Règle de l’Hospital-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La règle de l’Hospital . . . une supercherie . . . . . . . . .

5e ...... ...... ...... ...... ......

5e ...... ...... ...... ...... ......

......

......

6e ...... ...... ......

6e ...... ...... ......

6e ...... ...... ...... ......

6e ...... ...... ...... ......

......

......

6e ...... ...... ...... ...... ......

6e ...... ...... ...... ...... ......

7.6

Fonctions cyclométriques Arc sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arc cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arc tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.

9.1 9.2 9.3 9.4

Exponentielles et logarithmes Exponentielles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L’exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logarithmes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le nombre de Monsieur Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logarithmes et exponentielles en base quelconque : conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N

VA

s

9.5

IN

8.

8.1 8.2 8.3

on

Ed

iti

10.

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Le logarithme : une «machine» à calculer du XVIIe siècle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcul intégral Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intégrale définie et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cubatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C’est la quadrature du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI

119 124 127 134 135 138 140 142 144 146 148 153 160 163 170 173 174 179 181 192 199 203 206 209 212 217

MaEM5601page 1 noir vert

VA

N

IN

TRIGONOMÉTRIE

Ed

iti

on

s

Développer certains savoirs trigonométriques pour enrichir la géométrie plane, l’algèbre et l’analyse

1.

2.

Formules de trigonométrie Équations et inéquations trigonométriques

1

MaEM5601page 2 noir vert

5e pour tous

1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE Compétences terminales Savoir, connaître, définir

IN

les formules trigonométriques d’addition, de duplication, de Simpson, l’expression des nombres trigonométriques de x en fonction x de tan · 2

PROPRIÉTÉ

VA

Activités 1 et 2 Cahier, page 27

N

1.1 FORMULES D’ADDITION

4.

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan a − tan b tan(a − b) = 1 + tan a tan b π / π2 + kπ, a − b = / si a = / 2 + kπ, b = tan a + tan b tan(a + b) = 1 − tan a tan b π / π2 + kπ, a + b = / si a = / 2 + kπ, b =

iti

•

sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a

on

3.

Cahier, page 11

Ed

5.

6.

(formules de Ptolémée)

s

∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R(1) :

1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

π 2

+ kπ •

π 2

+ kπ •.

(Ces formules expriment les nombres trigonométriques d’une somme ou d’une différence de deux angles ou de deux réels).

Démonstration 1. Sur le cercle trigonométrique, on nomme E, le point d’intersection du cercle avec l’axe des abscisses; égale a; A, le point tel que l’amplitude de EOA

B, le point tel que l’amplitude de EOB égale b; égale a − b.

D, le point tel que l’amplitude de EOD (1)

2

«∀ a ∈

R :» se lit «quel que soit le réel a».

MaEM5601page 3 noir vert

1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

y

A

y

B

1

1

D

B b

A

a E

0

O

1

a–b

b a O

x

a–b E

0

1

x

D

E sont (1; 0); A sont (cos a; sin a); B sont (cos b; sin b);

D sont cos(a − b); sin(a − b) .

IN

Il s’ensuit que les coordonnées de de de de

2

s

Cahier, page 20

2

ou encore ED = AB , ce qui donne, en utilisant la formule de la distance• entre deux points, dans un repère orthonormé : 2

2 cos(a − b) − 1 + sin(a − b) − 0

on

•

(des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur)

VA

Dès lors, ED = AB

N

= a − b = EOD.

D’autre part, BOA

= (cos b − cos a)2 + (sin b − sin a)2

iti

ou encore

Ed

cos2 (a − b) − 2 cos(a − b) + 1 + sin2 (a − b) = cos2 b − 2 cos b cos a + cos2 a + sin2 b − 2 sin b sin a + sin2 a

soit 2 − 2 cos(a − b) = 2 − 2 cos a cos b − 2 sin a sin b ou enfin cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.

2. En remplaçant b par −b dans la formule précédente, on a :

cos a − (−b) = cos a cos(−b) + sin a sin(−b).

Or,

cos(−b) = cos b, sin(−b) = − sin b.

(nombres trigonométriques d’angles opposés)

Donc, cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b.

3

MaEM5601page 4 noir vert

1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

3. Pour trouver les formules en «sinus», on peut utiliser les angles complémentaires :

π sin(a − b) = cos − (a − b)

2

π −a +b = cos

2 π π − a cos b − sin − a sin b = cos 2 2 (nombres trigonométriques d’angles complémentaires)

= sin a cos b − cos a sin b.

4. En remplaçant b par −b dans la formule précédente, on a :

sin(a + b) = sin a − (−b)

IN

= sin a cos(−b) − cos a sin(−b) (nombres trigonométriques d’angles opposés)

= sin a cos b + cos a sin b.

2

5. tan(a − b) = + kπ

À condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit cos a cos b.

Il vient, après simplification, si a = / π2 + kπ, b = / π2 + kπ et a − b = / π2 + kπ : tan a − tan b . tan(a − b) = 1 + tan a tan b

cos b = / 0

+ kπ

s

2

on

b = /

π

sin(a − b) sin a cos b − cos a sin b = cos(a − b) cos a cos b + sin a sin b

VA

a = /

π

N

cos a = / 0

Ed

iti

6. En remplaçant b par −b dans la formule précédente, on a si a = / π2 + kπ, b = / π2 + kπ et a + b = / π2 + kπ :

tan a − tan(−b) tan a − (−b) = 1 + tan a tan(−b) c’est-à-dire tan(a + b) =

(nombres trigonométriques d’angles opposés)

tan a + tan b .

1 − tan a tan b

EXEMPLE

7π Soit à calculer sin .

12 7π π π • On sait que = + .

12 3 4 π π• • On connaı̂t les nombres trigonométriques de 3 et de 4 .

Cahier, page 12 7π π π • On peut alors conclure : sin = sin + 12 3 4 Pour appliquer π π π π + cos sin = sin cos 1 à 10, page 28 3 4 3 4

Pour s’autocontrôler 3 2 2 6+ 2 1 · + · = . = 31 à 34, page 29 2 2 2 2 4

•

4

MaEM5601page 5 noir vert

1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

1.2 FORMULES DE DUPLICATION PROPRIÉTÉS

Activité 3 Cahier, page 27

1

x

sin 2a = 2 sin a cos a,

•

/ π2 + kπ c.-à-d. a = si 2a = / a= / π2 + kπ 2 tan a tan 2a = · 1 − tan2 a

+ k π2 ·

IN

7π 4

π 4

Démonstration

N

(Expression des nombres trigonométriques d’un angle en fonction de l’angle moitié).

EXEMPLE

VA

Si l’on pose a = b, ces formules de duplication sont des conséquences immédiates des formules d’addition donnant les nombres trigonométriques de a + b.

2 π et que a ∈ ;π .

3 2 4 5 D’une part, sin2 a = 1 − cos2 a = 1 − = .

9 9

π D’autre part, a ∈ ;π ⇒ sin a > 0.

2

5 Ainsi, • sin a = ; 3

5 −4 5 2 • sin 2a = 2 sin a cos a = 2 · · − = .

3 3 9

s

5π 4

0

•

Soit à calculer sin 2a, sachant que cos a = −

on

O

π 4

•

iti

3π 4

1 ∀ a ∈ R: • cos 2a = cos2 a − sin2 a,

y

•

Ed

1

•

2 ∀ a ∈ R \ {π + 2kπ k ∈ Z} : a 1 − tan2 2 tan 2 et cos a = sin a = a 2 1 + tan 1 + tan2 2

a 2 · a 2

(Expression du sinus et du cosinus d’un angle en fonction de la tangente de l’angle moitié).

5

MaEM5601page 6 noir vert

1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

Démonstration a a sin a = 2 sin cos 2 2

2 tan =

a 2

a 2

1 + tan2 REMARQUE

a 2

a 2

(cos a + sin a = 1) (on divise le numérateur et le dénominateur par a cos2 qui est non 2 / π + 2kπ ) nul car a =

(division d’une somme et d’une différence par un nombre et simplification)

a a − sin2 2 2

cos2 = cos2

2

a 2 a 2

− sin2 + sin2

− sin2 cos2 2a = cos2 2a + sin2 cos2 2a cos2

IN

2 sin a2 cos a2 cos2 2a = cos2 2a + sin2 cos2 2a

2

N

2 sin a2 cos a2 = cos2 2a + sin2

cos a = cos2

(duplication)

a 2

a 2 a 2 a 2 a 2

a 2 = a 1 + tan2 2 1 − tan2

VA

Pour appliquer À l’aide des deux formules précédentes, on peut retrouver la formule a 11 à 18, page 28 2 tan

π 2 Pour s’autocontrôler / + kπ et a =/ π + 2kπ . si a = tan a = a 2 35 à 39, page 30 1 − tan2

on

s

2

iti

1.3 FORMULES DE LINEARISATION PROPRIÉTÉ

Ed

∀ a ∈ R : cos2 a = 12 (1 + cos 2a)

;

sin2 a = 12 (1 − cos 2a).

(Ces formules sont aussi connues sous le nom de «formules de Carnot» ou expression du sinus et du cosinus d’un angle en fonction de l’angle double).

Démonstration

Lazare Carnot (1753-1823) Ingénieur militaire français, professeur de géométrie et ministre de la Guerre de Bonaparte.

cos 2a = cos2 a − sin2 a = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1 Ainsi, cos2 a = 12 (1 + cos 2a).

EXEMPLE

Pour appliquer cos 15° = 19 à 23, page 29 Pour s’autocontrôler 40 à 42, page 30

6

2+ 3 2

car cos2 15° =

cos 2a = cos2 a − sin2 a = (1 − sin2 a) − sin2 a = 1 − 2 sin2 a. sin2 a = 12 (1 − cos 2a).

1 1 (1 + cos 30°) = 2 2

1+

2+ 3 3 = · 2 4

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1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

1.4 FORMULES DE FACTORISATION PROPRIÉTÉ

∀ p ∈ R, ∀ q ∈ R : sin p + sin q = 2 sin

2.

sin p − sin q = 2 cos

3.

cos p + cos q = 2 cos

6.

2 p+q

cos sin

p−q 2 p−q

;

; 2 p−q

IN

cos ; 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2 sin sin ; 2 2 sin(p + q) π tan p + tanq = + kπ et q = / , si p = / 2 cos p cos q sin(p − q) π tan p − tan q = + kπ et q = / , si p = / 2 cos p cos q

N

5.

2 p+q

VA

4.

π + kπ; 2 π + kπ.

2

(Ces formules sont aussi connues sous le nom de «formules de Simpson» ou formules de factorisation d’une somme ou d’une différence).

s

Thomas Simpson, mathématicien anglais (1710-1761), autodidacte génial.

p+q

1.

on

Démonstration • (1) à (4)

Ed

iti

sin(a + b) + sin(a − b) (formules d’addition et de soustraction) = (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b − sin b cos a) = 2 sin a cos b; sin(a + b) − sin(a − b) = (sin a cos b + sin b cos a) − (sin a cos b − sin b cos a) = 2 sin b cos a;

cos(a + b) + cos(a − b) = (cos a cos b − sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) = 2 cos a cos b; cos(a + b) − cos(a − b) = (cos a cos b − sin a sin b) − (cos a cos b + sin a sin b) = −2 sin a sin b; p+q p−q En notant a + b = p et a − b = q, il vient a = et b = · 2 2 En effectuant ces substitutions, on obtient les quatre premières égalités.

7

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1

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

• (5) et (6) sin p sin q + cos p cos q sin p cos q + cos p sin q = cos p cos q sin(p + q) . = cos p cos q

tan p + tan q =

(définition de la tangente d’un angle)

(réduction au même dénominateur)

(formule d’addition)

sin q sin p − cos p cos q sin p cos q − cos p sin q = cos p cos q sin(p − q) = · cos p cos q

EXEMPLE

cos 2a − cos 4a · sin a + sin 5a

VA

Soit à simplifier la fraction

N

IN

tan p − tan q =

•

On factorise le numérateur et le dénominateur par les formules de Simpson : cos 2a − cos 4a = −2 sin 3a sin(−a) = 2 sin 3a sin a; sin a + sin 5a = 2 sin 3a cos(−2a) = 2 sin 3a cos 2a.

•

On simplifie :

on

s

cos 2a − cos 4a 2 sin 3a sin a sin a = = , sin a + sin 5a 2 sin 3a cos 2a cos 2a π si sin 3a = / 0, c.-à-d. si 3a = / kπ ou a = / k (k ∈ Z).

3

iti

REMARQUE

Ed

Dans la démonstration des formules de Simpson, page 7, on peut retenir des formules exprimant des produits en fonction de la somme ou de la différence de deux angles : 2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b), 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b),

−2 sin a sin b = cos(a + b) − cos(a − b).

Pour appliquer 24 à 30, page 29 Pour s’autocontrôler 43 et 44, page 30 Pour chercher 45 à 73, page 32 Venus d’ailleurs 74 à 81, page 35

8

MaEM5603page 17 noir vert

IN

ANALYSE

Fonctions et graphiques

Ed

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

iti

on

s

VA

N

Déterminer certaines caractéristiques d’un phénomène à l’aide des outils du calcul infinitésimal et les interpréter à l’aide d’un graphique, d’un tableau numérique et d’une expression algébrique.

Suites et nombres réels Continuité – Limites – Asymptotes Dérivées Applications des dérivées Fonctions cyclométriques Exponentielles et logarithmes Calcul intégral

17

MaEM5603page 18 noir vert

3 5e pour tous

FONCTIONS ET GRAPHIQUES Compétences terminales

(sauf 3.6 en 6e )

iti

on

s

VA

N

IN

Savoir, connaître, définir – les expressions relatives aux fonctions, à leurs extremums, à leur variation (croissance, périodicité, . . .), à leur fonction réciproque, du moins pour des fonctions de référence, – les opérations usuelles sur les fonctions, y compris la composition.

Représenter, modéliser – traduire une situation en langage mathématique sous forme d’équation, d’inéquation ou d’autres formes de condition; – modéliser des problèmes de manière à les traiter au moyen de fonctions de référence; esquisser un graphique pour mettre en évidence des caractéristiques du phénomène traité; – interpréter un graphique en le reliant au problème qu’il modélise; – déduire du graphique de y = f(x) les graphiques des transformées f(x) + k, kf(x), f(x + k) et f(kx).

Ed

3.1 GENERALITES

•

Cahier, page 8 Activité 1 Cahier, page 42

DÉFINITIONS ET NOTATIONS

1. Une fonction numérique f d’une variable réelle• ou plus simplement une fonction f dans R se note f : R → R : x → f(x).

Si dom f = A (A ⊂ R) et im f = B (B ⊂ R), la fonction est parfois notée f : A → B : x → f(x).

EXEMPLES

1) La fonction f : R → R : x → x est définie en 4, puisque f(4) = 2; n’est pas définie en −4, puisque f(−4) n’est pas un réel.

Dom f = {x ∈ R x

0} = R+ et im f = R+ .

f est aussi notée f : R+ → R+ : x →

18

x.

x −1 est définie en tout réel différent de 0 et 4x − x2 Dom g = R \ {x ∈ R 4x − x2 = 0} = R \ {0; 4}.

2) La fonction g : R → R : x → de 4.

2

MaEM5603page 19 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

2.

Une racine de la fonction f dans R est un réel dont l’image par f est nulle. x2 − x dont x2 − 1 le domaine est R \ {−1; 1}, car f(0) = 0; par contre, 1 n’est pas une racine de f car 1 n’appartient pas à dom f.

EXEMPLE :

y 1

O y = f(x)

0

1

x

3. 1) La fonction f est paire ssi les images de deux réels opposés et quelconques du domaine de f sont égales (∀x ∈ dom f : f(−x) = f(x)).

Dans un repère orthonormé du plan, le graphique de toute fonction paire admet l’axe des y comme axe de symétrie.

EXEMPLE :

2) La fonction f est impaire ssi les images de deux réels opposés et quelconques du domaine de f sont opposées

1

O x

(∀x ∈ dom f : f(−x) = −f(x)).

N

0 1

la fonction f dans R telle que f(x) = x2 − 1 est paire.

IN

y y = f(x)

0 est une racine de la fonction f dans R telle que f(x) =

Dans un repère orthonormé du plan, le graphique de toute fonction impaire admet l’origine O comme centre de symétrie.

VA

Pour appliquer

on

s

1 à 12, page 45 EXEMPLE : la fonction f dans R telle que f(x) = x3 − 2x est impaire.

Pour s’autocontrôler Économie graphique 36 à 39, page 50 Si une fonction est paire ou impaire, il suffit de réaliser l’étude graphique sur R+ , Pour chercher 48 à 55, page 54 l’autre partie du graphique s’obtient alors par symétrie.

iti

3.2 COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS Activités 2 à 4 Cahier, pages 42 et 43

Ed

DÉFINITIONS ET NOTATIONS

1.

Deux fonctions numériques f et g d’une variable réelle sont égales ssi(1) – elles ont même domaine; – en tout réel x de leur domaine commun, f(x) = g(x).

EXEMPLES

1) Les fonctions f et g dans R telles que f(x) = sont égales (voir activité • •

(1)

ssi

x2 − 3 x2 − 2−1 et g(x) = x2 − 2 + 1

2 ) car

dom f = dom g = {x ∈ R x2 − 2 0} = ←; − 2] ∪ [ 2; →.

Pour tout x de dom f,

(x2 − 3)( x2 − 2 − 1) (x2 − 3)( x2 − 2 − 1)

= g(x) = = f(x) x2 − 2 − 1 ( x2 − 2 + 1)( x2 − 2 − 1) se lit «si et seulement si» est synonyme de «est équivalent à» (⇔)

19

MaEM5603page 20 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

x2 − 3 x2 − 2+1 et g(x) = x2 − 2 − 1

ne sont pas égales, car dom f = ←; − 2] ∪ [ 2; → et

dom g = ←; − 3[ ∪ ]− 3; − 2] ∪ [ 2; 3[ ∪ ] 3; →.

2) Les fonctions f et g dans R telles que f(x) =

2.

Toute fonction f définie sur I, intervalle ou demi-droite de R , est – – – –

positive sur négative sur strictement positive sur strictement négative sur

I ssi ∀x ∈ I : I ssi ∀x ∈ I : I ssi ∀x ∈ I : I ssi ∀x ∈ I :

f(x) f(x) f(x) f(x)

0; 0; > 0; < 0.

IN

EXEMPLE

Soit la fonction f dont le graphique est donné ci-dessous :

N

y

2 1 –4

–3

–2

–1

2

3

4

5

6

0 sur

] − 2; 1[∪]1; 4[∪]4; 5[; f(x) < 0 sur 7

x

[−4; −2]∪]5; 7].

s

1

f(x)

f(x) > 0 sur

O 0

0 sur ] − 2; 5] \ {1} ; [−4; −2] ∪ [5; 7];

VA

4

f(x)

–1

on

–2

y = f(x)

3.

Les fonctions f et g sont définies sur I, intervalle ou demi-droite de R .

Sur I, on note • f g et on dit que f est inférieure à g, ssi ∀x ∈ I : f(x) g(x);

Ed

Activité 5 Cahier, page 43

iti

–3

•

•

•

20

f g et on dit que f est supérieure à g, ssi ∀x ∈ I : f(x) g(x); f < g, et on dit que f est strictement inférieure à g, ssi ∀x ∈ I : f(x) < g(x); f > g et on dit que f est strictement supérieure à g, ssi ∀x ∈ I : f(x) > g(x).

MaEM5603page 21 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXEMPLE

4

On considère les fonctions dans R telles que f(x) = x et h(x) = x2 .

Sur [0; 1], h f;

y = h(x) 3

y = f(x)

h;

sur

[1; 2],

f

sur

]0; 1[,

h < f;

y

2

1

sur

]1; 2[,

f < h.

0

O

1

3

2

x

4

La fonction f est définie sur I, intervalle ou demi-droite de R .

Sur I, on dit que (1) • f est majorée ssi ∃ M ∈ R tel que ∀x ∈ I : f(x) M; M est nommé majorant de f sur I; • f est minorée ssi ∃ m ∈ R tel que ∀x ∈ I : m f(x); m est nommé minorant de f sur I; • f est bornée ssi f est à la fois majorée et minorée sur I.

VA

N

IN

4.

EXEMPLES

y

y

y y = f(x)

s

2

on

1

O

0

Ed

iti

I

1

1

x

I

O

0

1

1

I

x

O

x

1

–1

–1 –2

y = f(x)

–3

f est minorée sur I –3 est un minorant de f sur I

y

0

f est bornée sur I 2 est un majorant et –1 est un minorant de f sur I

y

1

O

2

0 2

f est majorée sur I 2 est un majorant de f sur I

I

y = f(x)

1

I 1

x

y

O

0

1

x 1

I

O

0

x 1

–1

f n' est pas majorée sur I f n' est pas minorée sur I (1)

« ∃m ∈

f n' est pas bornée sur I

R » se lit « il existe au moins un réel m ».

21

MaEM5603page 22 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

COMMENT FAIRE ?

1) Comment déterminer la partie A de R sur laquelle les fonctions f : R → R : x → f(x) et g : R → R : x → g(x) sont égales ?

EXEMPLE

Quelle est la partie de R sur laquelle les fonctions f:

R→R:x→

√

R→R:x→4−x

x + 2 et g :

sont égales ?

• Graphiquement,

RÉSOLUTION GRAPHIQUE

y

IN

– on doit connaı̂tre les graphes cartésiens Gf et Gg des deux fonctions,

y = 4 –x

– on repère les parties de Gf et Gg qui coı̈ncident,

4

N

3

Ed

iti

on

s

VA

– on détermine l’ensemble A des abscisses correspondantes : c’est la partie recherchée.

• Algébriquement,

on résout, dans R , l’équation f(x) = g(x) dont l’ensemble A des solutions est la partie recherchée.

y= x+2 (2;2)

2

1

x –2

–1

O

0

1

2

Les fonctions f et g sont égales pour x = 2.

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

Résoudre dans R l’équation CE : x + 2

√

0 ⇔ x − 2;

Condition de résolution : 4 − x Bref, −2

x 4.

x + 2 = 4 − x.

0 ⇔ x 4.

Élevons les deux membres au carré : x + 2 = 16 − 8x + x2 ou

x2 − 9x + 14 = 0

ρ = 81 − 56 = 25; 9−5

=2 2 9+5 x= = 7 (à écarter) 2 x=

A = {2}.

Sur {2}, f(x) = g(x).

22

3

4

MaEM5603page 23 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

2) Comment déterminer la partie A de R sur laquelle la fonction f : R → R : x → f(x) est positive, (strictement positive, négative, strictement négative) ?

EXEMPLE

Quelle est la partie de R sur laquelle la fonction f:

R → R : x → −x2 + 4x − 3

est positive (strictement positive, négative, sirictement négative) ?

• Graphiquement,

RÉSOLUTION GRAPHIQUE

1

–3

x

– x2 + 4x

–3

s on iti Ed

4

y=

–2

3

2

1

–1

– on détermine l’ensemble A des abscisses correspondantes : c’est la partie recherchée.

• Algébriquement,

0

N

O

VA

– on repère la partie de Gf située au-dessus ou sur l’axe des abscisses, (au-dessus de, en dessous ou sur, en dessous de),

IN

y

– on doit connaı̂tre le graphe cartésien Gf de la fonction,

f est positive sur [1; 3]; f est strictement positive sur ]1; 3[; f est négative sur ←; 1] ∪ [3, → ; f est strictement négative sur ←; 1[ ∪ ]3; →.

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

Résoudre dans R les inéquations

−x2 + 4x − 3 0,

on résout, dans R , l’inéquation f(x) 0 −x2 + 4x − 3 > 0, . . . ( f( x) > 0 , f( x) 0 , f( x) < 0) dont l’ensemble Racines de −x2 + 4x − 3 : A des solutions est la partie recherchée.

1 et 3.

x

1

3

−x2 + 4x − 3 − 0 + 0 − {x ∈ R {x ∈ R {x ∈ R {x ∈ R

f(x)

0} = [1; 3]

f(x) > 0} = ]1; 3[ f(x)

0} = ←; 1] ∪

[3; →

f(x) < 0} = ←; 1[ ∪ ]3; →

23

MaEM5603page 24 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

3) Comment déterminer la partie A de R sur laquelle la fonction f est inférieure à la fonction g, (strictement inférieure, supérieure, strictement supérieure) ?

EXEMPLE

Quelle est la partie de R sur laquelle la fonction f:

R → R : x → x3

est inférieure (strictement inférieure, supérieure, strictement supérieure) à la fonction g:

R → R : x → x2 + 2x ?

RÉSOLUTION GRAPHIQUE

• Graphiquement,

9

y = x2 + 2x

– on doit connaı̂tre les graphes cartésiens Gf et Gg des deux fonctions,

IN

8

VA

N

– on repère la partie de Gf située en dessous ou sur Gg , (en dessous de, au-dessus ou sur, au-dessus de),

3

– on détermine l’ensemble A des abscisses correspondantes : c’est la partie recherchée.

2

–1 –3

O 0 1 –1

–2

s on iti Ed

on résout, dans R , l’inéquation f(x) g(x) ( f( x) < g( x), f( x) g( x), f( x) > g( x)) dont l’ensemble A des solutions est la partie recherchée.

Pour s’autocontrôler 40 à 42, page 51 Pour chercher 56, page 55

24

x

2

f est inférieure à g sur ←; −1] ∪ [0; 2]; f est strictement inférieure à g sur ←; −1[ ∪ ]0; 2[; f est supérieure à g sur [−1; 0] ∪ [2; → ; f est strictement supérieure à g sur ] − 1; 0[ ∪ ]2; →.

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

Résoudre dans R l’inéquation x3 x

3

2

3

x2 + 2x.

0 − x − 2) 0 2

x + 2x ⇔ x − x − 2x

⇔ x(x

2

racines de x(x − x − 2) : 2

0, −1, 2.

−1

x

0

2

x

−

−

−

x2 − x − 2

+

0

− − − 0 +

x(x2 − x − 2)

−

0

+

{x ∈ R x3 Pour appliquer 13 à 22, page 47

y = x3

1

–4

• Algébriquement,

y

0

0

+

+

+

− 0 +

x2 + 2x} = ←; −1] ∪ [0; 2].

MaEM5603page 25 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

3.3 SOMME OU DIFFERENCE DE DEUX FONCTIONS VOCABULAIRE ET NOTATIONS

Soit les fonctions f : R → R : x → f(x) et g : R → R : x → g(x).

La fonction somme de f et g, notée f + g, est la fonction dans R telle que (f + g)(x) = f(x) + g(x).

La fonction différence entre f et g, notée f − g, est la fonction dans R telle que (f − g)(x) = f(x) − g(x).

Activité 6 Cahier, page 43

DOMAINE

EXEMPLE

VA

N

IN

Pour que l’on puisse additionner ou soustraire f(x) et g(x), il faut et il suffit que f(x) et g(x) aient un sens. Cela signifie que x doit appartenir à la fois au domaine de f et à celui de g.

Ainsi donc, le domaine de f + g est l’intersection des domaines de f et de g; le domaine de f − g est l’intersection des domaines de f et de g.

1 , x−3

1 alors (f + g)(x) = x + et x−3 x

et

g(x) =

s

Si f(x) =

(f − g)(x) =

x−

1 . x−3

on

Le domaine de f est R+ , celui de g est R\{3}.

iti

Le domaine de f + g est donc R+ \{3} et celui de f − g est aussi R+ \{3}.

Ed

GRAPHIQUE COMMENT FAIRE ?

•

Cahier, page 10

Comment construire le graphe cartésien• de la fonction f + g : R → R : x → f(x) + g(x) au départ des graphes cartésiens des fonctions f : R → R : x → f(x) et g : R → R : x → g(x)?

Il suffit, pour chaque abscisse du domaine de f + g, d’ajouter les ordonnées des points des graphes cartésiens des fonctions f et g.

25

MaEM5603page 26 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXEMPLE

y

f(x) = x g(x) = cos x (f+g)(x) = x + cos x

7

6

5

4

y=x

IN

3

N

2

1

–7

–6

–5

– π

–π

2

–4

π

2

–3

–2

VA

– 3π

–2π

–1

0

1

2

3π 2

π

2

O

y = cos x

3

4

2π 5

6

7

x

on

s

–1

–2

iti

–3

Ed

y = x + cos x

–4

–5

–6

–7

•

Cahier, page 10

26

dom f = R dom g = R dom (f+g) = R

Un cas particulier a été étudié en Quatrième : au départ du graphe cartésien d’équation y = f(x), on a construit celui d’équation y = f(x) + k•, k étant constante.

MaEM5603page 27 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

3.4 PRODUIT OU QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS VOCABULAIRE ET NOTATIONS

Soit les fonctions

f : R → R : x → f(x) g : R → R : x → g(x).

La fonction produit de f et de g, notée f . g, est la fonction dans R telle que (f . g)(x) = f(x) . g(x).

IN

f La fonction quotient de f par g, notée ,

g f f(x) (x) = . est la fonction dans R telle que g g(x) DOMAINE

s

VA

N

Pour que l’on puisse multiplier f(x) et g(x), il faut et il suffit que f(x) et g(x) aient une signification, ce qui veut dire que x doit appartenir à la fois au domaine de f et à celui de g.

Pour que l’on puisse diviser f(x) par g(x), il faut et il suffit que f(x) et g(x) aient un sens et que g(x) ne soit pas nul, ce qui signifie que x doit appartenir à la fois au domaine de f et à celui de g, sans être une racine de g.

Ed

iti

on

Ainsi donc, • le domaine de f . g est l’intersection des domaines de f et de g; f est l’intersection des domaines de f et de g • le domaine de g privée des racines de g.

RACINES COMMENT FAIRE ?

Comment trouver les racines des fonctions

EXEMPLES

• f.g?

– On cherche les racines de f et de g; – on écarte celles qui n’appartiennent pas à dom (f . g).

Soit

2 f(x) = x − 2x; g(x) = 1 − x;

(f . g)(x) = (x2 − 2x) 1 − x.

Les racines de f sont 0 et 2; celle de g est 1. dom (f . g) = ←; 1].

2∈ / dom (f . g).

Donc, les racines de f . g sont 0 et 1.

27

MaEM5603page 28 noir vert

3

Soit

f

? g – On cherche les racines de f; – on écarte celles qui n’appartiennent pas f à dom · g

f g

2 f(x) = x − 4x + 3; g(x) = 4 − x2 .

(x) =

x2 − 4x + 3

4 − x2

.

Les racines de f sont 1 et 3; f dom = ] − 2; 2[. g f f 3∈ / dom . Donc, la racine de est 1. g g Les racines de g, −2 et 2, ne sont pas les racines de

NOTE f , puisque ce g f sont des réels qui n’appartiennent pas à dom . g Les racines de g ne sont pas des racines de

f , g

f . g

VA

N

Pour appliquer 23 à 26, page 48 Pour s’autocontrôler 43 et 44, page 51 Pour chercher 57 à 61, page 55

car −2 et 2 n’appartiennent pas à dom

IN

•

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

3.5 COMPOSEE DE DEUX FONCTIONS FONCTION COMPOSÉE

s

1.

Ed

COMMENT FAIRE ?

f : R → R : x → f(x) g : R → R : x → g(x).

La fonction composée de g et de f, notée f ◦ g, et lue f après g est la fonction dans R telle que (f ◦ g)(x) = f g(x) .

Soit les fonctions

iti

Activités 7 à 9 Cahier, pages 43 et 44

on

VOCABULAIRE ET NOTATIONS

Comment trouver f g(x) ?

On détermine

d’abord l’image de x par g; ensuite l’image de g(x) par f.

En d’autres mots, on remplace x par g(x) dans l’expression analytique de f(x).

EXEMPLE Si alors f

f : R → R : x → x2 , g : R → R : x → 2x − 1, ◦ g : R → R : x → (2x − 1)2 .

DOMAINE

Pour que

l’on puisse déterminer (f ◦ g)(x), il faut et il suffit que f g(x) ait une signification.

28

MaEM5603page 29 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

On doit donc

• •

pouvoir calculer l’image de x par g; pouvoir calculer l’image de g(x) par f.

Ainsi, le domaine de f ◦ g est constitué des valeurs de x appartenant au domaine de g telles que g(x) appartienne au domaine de f.

g

f f°g

dom g

dom f

f(g(x))

EXEMPLE

x

g

1 x–3

f

1 x–3

f °g

N

IN

1 x et g(x) = , x−3

alors (f ◦ g)(x) = f g(x)

1 = x−3

Si f(x) =

g(x)

x

Le domaine de g est R\{3}, celui de f est R+ .

2.

on

s

VA

L’image par g de tout réel distinct de 3 n’est pas nécessairement dans R+ (p. ex : g(2) = −1). Il y a donc lieu de répondre à la question : 1 «Quels sont les réels x tels que soit un réel positif ?» Dom (f ◦ g) =]3; → . x−3

1 (g ◦ f)(x) = g f(x) = · x−3 Ainsi donc, il existe des fonctions f et g telle que f ◦ g = / g ◦ f.

DÉCOMPOSITION

Ed

iti

Il est parfois utile, en Analyse, de procéder en sens inverse : au départ d’une fonction définie par y = f(x), il s’agit de déterminer deux

fonctions définies par z = g(x) et y = h(z) telles que f(x) = h g(x) , c’est-à-dire telles que f = h ◦ g.

EXEMPLE

x p 2x – 5 g

f°g°p=h

5

(2x – 5)

f (2x – 5)5

Pour appliquer 27 à 32, page 49 Pour s’autocontrôler 45 et 46, page 51

Soit h(x) = (2x − 5)5 . Pour déterminer la valeur de h(x), on calcule • d’abord 2x − 5; • ensuite, la cinquième puissance de ce nombre; • finalement, la racine carrée du dernier résultat.

p(x) = 2x − 5, g(x) = x5 , f(x) = x,

il vient : h(x) = f g p(x) , c’est-à-dire : h = f ◦ g ◦ p.

Ainsi, en posant

Il faut remarquer qu’il existe, généralement, plusieurs manières de décomposer une fonction.

Habituellement, on se fixe sur la plus simple comme dans l’exemple traité ci-dessus.

29

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

3.6 RECIPROQUE D’UNE FONCTION 6e : pour tous

1.

RÉCIPROQUE DÉFINITION ET NOTATION

La réciproque de la fonction f : R → R : x → f(x) est la relation qui fait correspondre à chaque valeur de y obtenue par f, la ou les valeurs de x dont y est l’image.

Activité 10 Cahier, page 44

f x

y

IN

réciproque de f

N

PROPRIÉTÉS

on

x

Gf β

( α;β )

O 0

1

β

En effet, dans un repère orthonormé, les points de coordonnées respectives (x; y) et (y; x) sont symétriques l’un de l’autre par la symétrie orthogonale dont l’axe est la droite y = x.

Ed

α

1

2 Les graphes cartésiens de f et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

iti

y

=

( β;α )

α

En effet, le point de coordonnées (y; x) est un point du graphe cartésien de la réciproque de f, ssi le point de coordonnées (x; y) est un point du graphe cartésien de f.

s

graphe cartésien de la réciproque de f

y

VA

1 Tout réel de dom f est appliqué sur un réel de l’ensemble image par la fonction f; tout réel de im f est appliqué sur un réel du domaine par la réciproque de f.

α

x

COMMENT FAIRE ?

Comment trouver la réciproque de la fonction définie par y = f(x) ?

• Graphiquement, dans un repère orthonormé du plan, – on doit connaı̂tre le graphe cartésien Gf de la fonction, – on trace le symétrique de Gf par rapport à la première bissectrice du repère.

• Algébriquement, – on remplace x par y et y par x, – on détermine ensuite, si possible, y en fonction de x, – on obtient alors l’expression analytique de la réciproque.

30

MaEM5603page 31 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXEMPLES

1) La réciproque de f : R → R : x → x3 est la relation qui à chaque réel fait correspondre sa racine cubique.

En effet, • y = x3 se transforme en x = y3 ; √ 3 • on en déduit que y = x.

Comme, de plus, dom f = R et im f = R, le domaine de la réciproque est R et son ensemble-image est R .

x

y 2

y

=

y = x3

1

y=

3

x

O

–1

0

2

1

x

Cette réciproque est une fonction.

–1

y

2) La réciproque de f : R → R : x → x2 est la relation qui à chaque réel fait correspondre ses racines carrées si elles existent.

En effet, • y = x2 se transforme en x = y2 ;

• on en déduit que y = ± x.

2

2

y=x

1

IN

y = x

Comme, de plus, dom f = R et im f = R+ , le domaine de la réciproque est R+ et son ensemble-image est R .

Cette réciproque n’est pas une fonction.

O 0

y = – x

x

–1

2.

VA

y

=

x

1

N

–1

FONCTION INJECTIVE

VOCABULAIRE ET NOTATIONS

1.

on

s

La fonction f : R → R : x → f(x) est injective ssi deux réels différents et quelconques de son domaine ont des images différentes.

Si A ⊂ R et B ⊂ R, alors la fonction f : A → B : x → f(x) est une bijection de A sur B ssi tout réel de A a une seule image par f dans B et tout réel de B est l’image par f d’un seul réel de A.

Ed

iti

2.

EXEMPLES

1) La fonction f : R → R : x → x3 est injective car un réel quelconque est le cube d’un seul réel et elle est une bijection dans R . y

y= x+2

3

(–2;1)

O –2

y= x x

1 0

–1

1

2

2) La fonction f : R → R : x → x2 n’est pas injective car, entre autres, 2 et −2 ont 4 comme carré et, de plus, elle n’est pas une bijection dans R .

3. Lorsque la réciproque d’une fonction f est une fonction, elle est notée f −1 . Dans ce cas, dom f −1 = im f et im f −1 = dom f.

4

EXEMPLE

y=1– x+2 y=– x+2

Soit f(x) = 1 − x + 2. Par manipulations au départ de la courbe d’équation

y = x, on construit la courbe d’équation y = 1 − x + 2 dom f = [−2; → im f

= ←; 1]

31

MaEM5603page 32 noir vert

3

Recherche de la réciproque de f : y = 1 − x + 2 ; x = 1 − y + 2

c’est-à-dire y + 2 = 1 − x. CE : y − 2 Condition de résolution : x 1.

On élève les deux membres (positifs) au carré : y + 2 = (1 − x)2 c’est-à-dire y = (1 − x)2 − 2.

La réciproque de f est une fonction. D’où f −1 (x) = (1 − x)2 − 2.

y

y = (1 - x)2 – 2

(–1;2) (–2;1)

O

1 0

(–1;0)

1

2 (2;–1)

dom f −1 = ←; 1]

x

im f −1

(0;–1) (1;–2)

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

y=1– x+2

= [−2; →

PROPRIÉTÉS

IN

1 La réciproque d’une fonction définie par y = f(x) est une fonction si et seulement si chaque y de im f n’est l’image que d’un seul x de dom f.

N

En d’autres mots, une condition nécessaire et suffisante pour que la réciproque d’une fonction f soit une fonction est que f soit injective.

VA

2 La réciproque d’une bijection de A sur B (A ⊂ R, B ⊂ R) est une bijection de B sur A.

Ces propriétés découlent des définitions précédentes.

Ed

iti

Pour appliquer 33 à 35, page 50 Pour s’autocontrôler 47, page 51 Pour chercher 60, page 56

on

s

3 Toute fonction strictement croissante (strictement décroissante) sur A(A ⊂ R) est injective sur A.

DES COURBES EN PHYSIQUE

Jusqu’au XVIIe siècle, les connaissances en physique se limitaient à peu de choses. On ne connaissait que l’héritage de la physique des Anciens.

Ce siècle fut marqué par l’essor de la physique expérimentale.

1. Galileo Galilei, dit Galilée né à Pise (Italie) en 1564, commença des études de médecine à l’université de sa ville natale.

Galilée (1564-1642)

32

À 19 ans, il découvrit, en chronométrant à l’aide de son pouls les oscillations d’un lustre de la cathédrale de Pise, les lois du mouvement pendulaire qu’il ne publiera qu’à la fin de sa vie.

g

T = 2π

0

1

T

0

2

(g = 9,81 m/s2) 2

3

2,8 3,5

4

…

4

…

T (sec) 4 3 2 1

O 0

1

2

3

4

(cm)

MaEM5603page 33 noir vert

3

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

MRUA

v (m/s)

v=

at

Il défendit le célèbre astronome polonais Nicolas Copernic condamné par l’Église du XVIe siècle pour son système de révolution des planètes autour d’elles-mêmes et autour du soleil. Ceci valut à Galilée la prison de la part de l’Inquisition religieuse.

Il s’illustra dans de nombreux domaines de la physique et, en particulier, en mécanique :

3a 2a

a

O 0

1

2

3

t (m)

• Il dessina le graphique liant le temps et la vitesse d’un mobile se dé-

IN

Copernic (1473-1543)

plaçant dans un mouvement uniformément accéléré.

• Il vérifia par des raisonnements mathématiques que les vitesses de chute d’un corps sont proportionnelles, non aux espaces parcourus, mais au temps de chute. L’expérience fut réalisée par lui du haut de la Tour penchée de Pise.

0

1

2

3

4

on

s

VA

N

O

t

10 e = 12 gt2

20

(g = 9,81 m/s2) 30 40 50 60 70 80

e

La tour de Pise

2. Le XVIIe siècle est aussi marqué par de nombreuses expériences sur l’air, les pressions, les volumes et le vide. À la suite de Galilée, Torricelli, Pascal, ... l’Irlandais Robert Boyle (1627-1691) et indépendamment de lui, l’abbé Edme Mariotte, physicien français (1620-1684) ont découvert expérimentalement la loi des gaz qui s’énonce :

Ed

iti

Boyle (1627-1691)

•

«À température constante le produit de la pression d’une masse donnée de gaz par le volume qu’elle occupe est constante».

pV k

pV = k 0

Le graphique de la fonction qui donne ce produit à partir du volume est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

•

Edme Mariotte (1620 - 1684)

«À température constante, le volume occupé par une même masse de gaz varie en raison inverse de la pression qu’elle supporte».

Le graphique qui donne la pression à partir du volume est une demi-hyperbole.

1V

2V

3V

4V

V

p 3p

p=

k V

2p

p 2

p p 3 p 40 V V 3 2

V

2V

3V

4V

V

33

Indexnotpage 212 noir vert

Index des notations ANALYSE ensemble des nombres naturels, entiers, rationnels, réels.

P(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0

P(x) est un polynôme du ne degré (an = / 0).

l’ensemble des réels tels que

= {x ∈ R a < x < b}

[a; b[

= {x ∈ R a

]a; b]

= {x ∈ R a < x

[a; b]

= {x ∈ R a

]a; →

= {x ∈ R x > a}

[a; →

= {x ∈ R x

←; b[

= {x ∈ R x < b}

←; b]

= {x ∈ R x

compris entre a et b, sans a ni b

VA

]a; b[

N

a et b étant des réels,

IN

N,Z,Q,R

compris entre a et b, avec a, sans b

b}

compris entre a et b, sans a, avec b

a

b

a

b

on

compris entre a et b, avec a et b

a

b

Ed

iti

x b}

b

s

x < b}

a

]a − r; a + r[

a}

b}

(r > 0)

plus grands que a

a

plus grands ou égaux à a

a

b

plus petits que b

b

plus petits ou égaux à b

intervalle ouvert centré en le réel a

a-r

∀x ∈ A

quel que soit x appartenant à l’ensemble A

∃x ∈ A

il existe au moins un x appartenant à l’ensemble A

212

a

a+r

Indexnotpage 213 noir vert

INDEX DES NOTATIONS

f : R → R : x → f(x)

f est une fonction numérique d’une variable réelle x est la variable et f(x) est l’image de x par f

dom f

domaine de définition de la fonction f

domc f

domaine de continuité de la fonction f

domd f

domaine de dérivabilité de la fonction f

im f f : A → B : x → f(x) (A ⊂ R, B ⊂ R)

ensemble-image par la fonction f f est une fonction numérique d’une variable réelle de domaine A et d’ensembleimage B

Gf ≡ y = f(x)

le graphique (ou graphe cartésien) de la fonction f a pour équation cartésienne y = f(x).

(f + g)(x)

image de x par la somme des fonctions f et g

(f − g)(x)

image de x par la différence des fonctions f et g

g f(x)

= (g ◦ f)(x)

image de x par le quotient des fonctions f et g image de x par la composée des fonctions f et g (g après f) image de x par la réciproque de la fonction f (notation utilisée si cette réciproque est une fonction)

on

s

f −1 (x)

image de x par le produit des fonctions f et g

N

(f . g)(x)

f (x) g

VA

la fonction polynôme de degré n à coefficients réels (an = / 0)

IN

f:R→R:x→ an xn + an−1 xn−1 + ... + a0

lim un = u

n→+∞

lim un = +∞

la limite de la fonction f est le réel b lorsque la variable x tend vers le réel a

Ed

lim f(x) = b

x→a

lim f(x) = +∞ (ou −∞)

x→a

la suite u1 , u2 , . . . , un tend vers « plus l’infini »

iti

n→+∞

la suite u1 , u2 , . . . , un converge vers le réel u

la limite de la fonction f est « plus l’infini » (ou « moins l’infini ») lorsque la variable x tend vers le réel a

lim f(x)

la limite à droite de f lorsque x tend vers a

lim f(x)

la limite à gauche de f lorsque x tend vers a

lim f(x)

la limite de f lorsque x tend vers +∞

lim f(x)

la limite de f lorsque x tend vers −∞

x→a+ x→a−

x→+∞

x→−∞

f

f (a) df(x) dx de(t) v(t) ou e (t) ou dt

(fonction) dérivée de la fonction f (notation de Lagrange) nombre dérivé de f en a notation différentielle de la dérivée de f (notation de Leibniz) vitesse instantanée au temps t

213

Indexnotpage 214 noir vert

INDEX DES NOTATIONS

fG (a)

le nombre dérivé à gauche de f en a

fD (a)

le nombre dérivé à droite de f en a

expa

la fonction exponentielle de base a

exp e exp x loga loga x log a log a

x

(loga x)

log log x ln

(loga x)n ou logna x

l’image du réel x par la fonction exponentielle népérienne ou, plus simplement, l’exponentielle népérienne de x la fonction logarithme de base a (a ∈ R+ 0 \ {1})

l’image du réel strictement positif x par la fonction logarithme de base a ou, plus simplement, le logarithme de base a de x (x > 0) la dérivée de la fonction logarithme de base a l’image du réel x par la dérivée de la fonction logarithme de base a la dérivée (en abrégé) de loga x

la fonction logarithme de base 10 ou fonction logarithme décimal l’image du réel strictement positif x par la fonction logarithme décimal ou, plus simplement, le logarithme décimal de x la fonction logarithme népérien l’image du réel strictement positif x par la fonction logarithme népérien ou, plus simplement, le logarithme népérien de x la ne puissance de loga x

Ed

la fonction exponentielle naturelle ou népérienne ou de base e le nombre 2,718281...

iti

ln x

la dérivée (en abrégé) de expa

IN

(expa )

l’image du réel x par la dérivée de l’exponentielle de base a

N

VA

exp a x ou (ax )

la dérivée de la fonction exponentielle de base a

s

exp a

l’image du réel x par la fonction exponentielle de base a ou, plus simplement, l’exponentielle de base a de x

on

expa x ou a

x

a

214

f(x) dx

l’intégrale indéfinie de la fonction f ou l’ensemble des primitives de f sur un intervalle I de réels

f(x) dx

l’intégrale définie de la fonction f entre les bornes a et b

b