Espace Math 5e/6e - Coffre à outils 4 p./s. - Extrait

ADAM • LOUSBERG (4 pÉR./sEM.)

www.deboeck.com

EM564EX-COVER.indd 1

Espace Math 5e/6e

ISBN 978-2-8041-4290-2

Arthur ADAM • Francis LOUSBERG a v e c l a p a r t i c i p a t i o n d e B e n o i t B audelet, S a b i n e B ou z ette e t P h i l i p p e C lose

Espace Math

5 /6 e

e

COFFRE À OUTILS ACTIVITÉS-EXERCICES 4 périodes par semaine

,!7IC8A4-becjac!

10/06/10 10:43:10

CaEM500Intropage 3 noir vert

Aux utilisateurs de ce texte.

Pour les mathématiques, tu as choisi l’option «4 heures par semaine». Ne crois pas qu’il s’agisse nécessairement du cours faible ! Si tu acceptes d’y être un acteur plutôt qu’un spectateur, tu pourras acquérir une formation suffisante pour entreprendre des études supérieures dans lesquelles les mathématiques ne seront pas un cours fondamental, mais bien un outil pour d’autres études.

Au troisième degré de l’enseignement secondaire, le cours de Mathématiques comporte trois grands thèmes : 1. déterminer certaines caractéristiques d’un phénomène à l’aide des outils du calcul infinitésimal et les interpréter à l’aide d’un graphique, un tableau numérique et une expression algébrique ou trigonométrique; 2. associer les outils vectoriels et analytiques à des intuitions géométriques et intégrer les situations spatiales au raisonnement géométrique; 3. comprendre la portée des informations chiffrées, les analyser et les critiquer à l’aide de paramètres statistiques et du calcul des probabilités.

Ce cahier constitue la base de ton cours de 5e et de 6e . Il est le complément du Manuel théorique. Tu y trouveras : — un «coffre à outils» qui rassemble les principales connaissances des quatre premières années en algèbre, en analyse, en trigonométrie, en géométrie, en géométrie analytique, en calcul vectoriel et en statistiques.

Lorsque tu auras un doute quant à telle définition, tel mot de vocabulaire, telle formule ou telle méthode de résolution, consulte le «coffre à outils»; — des «activités pour découvrir» au seuil de chaque chapitre : tu les réaliseras en préparation de la théorie qui se trouve dans le Manuel; — des «exercices pour appliquer» les notions vues dans le Manuel; — des «exercices pour s’autocontrôler» et leurs solutions qui serviront à contrôler tes acquis du chapitre qui vient d’être étudié; — des «exercices pour chercher» si tu souhaites aller plus loin.

Si tu hésites à propos d’une notation, tu retrouveras dans le manuel un index des notations.

Bonne étude avec, espérons-le, du plaisir à «faire des maths» !

Le tirage 2008 comporte des corrections et améliorations ponctuelles. En fin de ce cahier, on trouvera un index alphabétique relatif au « Coffre à outils ».

III

CaEM500Intropage 4 noir vert

VIII

FESeC

COFFRE A OUTILS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Communauté française

Table des matières

5e

5e

ANALYSE ET TRIGONOMÉTRIE

2.

s

iti

on

4.

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Fonctions continues en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Limite en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Limite en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

24 24 25 26 26 26

... ... ... ... ... ... ...

6e

5e

5e

... ... ...

... ... ...

5e

5e

... ... ... ...

... ... ... ...

5e

5e

... ...

... ...

28 32 32 33 34 35 36 37

Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 4.1 Nombre dérivé – Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Interprétations diverses de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... ... ... ... ... ... ...

6e

22

Limites et asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ed 3.1 3.2 3.3 3.4

5 7 9 10 10 10 11 12 13 15 19

Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 2.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.

2

IN

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions homographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparaison de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Somme ou différence de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Produit ou quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réciproque d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Fonctions et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VA

1.

39 41 41 43 44 44

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

IN

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intégrales définies et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cubatures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ed

iti

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

8.

48 50 51 52 53 53 54 57

61 62 63 64 65

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

6e

6e

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

6e

6e

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

5e

5e

... ... ...

... ... ...

66 67 70

74 75 76 77 77 78 79 80 82

Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 8.1 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5e

58

Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on

7.

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Exponentielles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logarithmes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logarithmes et exponentielles en base quelconque : conversion et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5e 46

Exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N

6.

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Dérivée première et variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . .

Dérivée seconde et concavité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Représentation graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résolution approchée d’une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VA

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Applications des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s

5.

FESeC

Communauté française

CaEM500Intropage 5 noir vert

86 87 87 87 88 88 89

V

Communauté française

FESeC

CaEM500Intropage 6 noir vert

5e

4e

...... ...... ...... ...... ......

... ... ... ... ...

5e

5e

...... ...... ...... ......

... ... ... ...

4 et 5

5e

100 espace 102 . . . . . .

104 106

tout

GÉOMÉTRIE — ALGÈBRE LINÉAIRE Constructions dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Exercices pour appliquer Conventions de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coffre à outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Point de percée d’une droite dans un plan . . . . . . . . . . . . . . . .

Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.

Calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.

N

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Repère dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VA

10.1 10.2 10.3 10.4

s

on

iti VI

94 95 96 96 97 98 98

99

Algèbre linéaire – Géométrie analytique . . . . . . . . . . . .

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Combinaisons linéaires de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Droites et plans : équations vectorielles ou paramétriques . .

Parallélisme et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Plans : équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Droites : équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problèmes d’intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ed

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

93

Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 11.1 Dans le plan et dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2 Applications géométriques et physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

12.

90 90 90 92 92

IN

9.

...

6e

6e

...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

... ... ... ... ... ... ...

107 108 109 109 109 110 110 111 112 113 116

Communauté française

FESeC

CaEM500Intropage 7 noir vert

6e

5e

... ... ...

... ... ...

6e

6e

... ...

... ...

6e

6e

... ... ...

... ... ...

STATISTIQUES ET PROBABILITÉS 13.

Probabilités (1re approche) et statistiques (à deux variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VA

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 14.1 Calcul — Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.2 Triangle de Pascal et binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.

120 121 122 123 124 124

Combinatoire et Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .

N

14.

118

IN

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 13.1 Calcul élémentaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2 Probabilité conditionnelle — Indépendance . . . . . . . . . . . . . . .

13.3 Ajustement linéaire — Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 128 129 130 131 131

Lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 135 135 136 136 137

INDEX DU COFFRE À OUTILS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

134

Ed

iti

on

s

Activités pour découvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour appliquer 15.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.3 Loi normale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solutions des exercices pour s’autocontrôler . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices pour chercher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

CaEM500Intropage 8 noir vert

on

s

VA

N

IN

COFFRE À OUTILS

L’essentiel d’Algèbre, page IX L’essentiel d’Analyse, page XV

iti

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

L’essentiel de Trigonométrie, page XVIII

Ed

L’essentiel de Géométrie, page XXI L’essentiel de Géométrie analytique, page XXV L’essentiel du Calcul vectoriel, page XXVIII L’essentiel des Statistiques, page XXX.

Un index du «Coffre à outils» se trouve à la fin du Cahier, à la page 138.

Pour commencer le cours de cinquième VIII

CaEM500Intropage 9 noir vert

1 L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE 1.1 EXPRESSIONS ALGEBRIQUES a + b, a et b sont les termes de la somme, a . b , a et b sont les facteurs du produit.

Effectuer des produits remarquables

b

Factoriser des expressions (ou les transformer en produit)

(a + b)(a − b) = a2 − b2

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

trinôme carré parfait

VA

carré d’une somme de termes

différence de deux carrés

N

produit de deux binômes conjugués

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

IN

a Dans les expressions

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 carré d’une différence de termes

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

trinôme carré parfait

(a+b)2 = / a2 +b2

on

s

c On ne peut simplifier une fraction algébrique que si son numérateur et son dénominateur ont été factorisés. d Pour diviser une somme de termes par un nombre, on divise chaque terme par ce nombre.

a3 + a 2 a =a +1

Pour diviser un produit de facteurs par un nombre, on divise un seul facteur par ce nombre.

Ed

iti

a3 . a 3 a =a

1.2 PUISSANCES Si a ∈ R0 , b ∈ R0 , m ∈ Q, p ∈ Q, a0 = 1 , a1 = a, (am )p = amp p a ap = p b b

am . ap = am+p am = am−p ap

a−1 =

1 a

a−p =

1 ap

(ab)m = am . bm 170 000 = 1, 7 . 105

(0, 1)2 = 0, 01

; −4

0, 000 475 = 4, 75 . 10

;

3

(0, 2) = 0, 008

; .

IX

CaEM500Intropage 10 noir vert L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

COFFRE À OUTILS

1.3 VALEURS APPROCHEES DE PI π = 3, 14159 . . .

Valeur approchée par défaut à moins de 3 3,1 3,14 3,141

1 unité près : 10−1 près : 10−2 près : 10−3 près : etc . . .

1.4 RADICAUX a Si a ∈ R+ ,

alors

a=b

Valeur approchée par excès à moins de 4 3,2 3,15 3,142

ssi b2 = a.

0=0 ; 1=1 ;

⇐⇒ x = ± 4 = ±2. Mais 4 = 2 et non pas ±2.

IN

En particulier,

x2 = 4

est le symbole de la racine carrée positive). (

Si a ∈ R+ et b ∈ R+ 0,

alors

a . b = ab.

a a = · b b

N

alors

VA

Si a ∈ R+ et b ∈ R+ ,

Si a ∈ R+ et b ∈ R+ ,

alors

( a + b)( a − b) = a − b.

(produit de deux binômes conjugués)

s

( a ± b)2 = a ± 2 ab + b.

a2 + b2 = / a+b

(carré d’un binôme)

car (a + b)2 = / a2 + b2 .

on

b

√ n

p

ap = a n .

3 4 (−2)3 n’a pas de sens et donc (−2) 4 non plus.

iti

REMARQUE :

(si l’expression a un sens).

Ed

1.5 VALEUR ABSOLUE

|a| =

a −a

si a ∈ R+ si a ∈ R− .

Si a ∈ R,

alors

a2 = |a|.

1.6 DIVISION D’UN POLYNOME PAR x − a a Le reste de la division d’un polynôme P(x) par x − a égale la valeur numérique de P(x) pour x = a (loi du reste). (x − a) . Q(x) est a est une une factorisation b r = P(a) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ racine de P(x) de P(x). c Le quotient Q(x) se calcule par la méthode de la division euclidienne ou par la règle de Horner : 4x2 – 2 – 4x –+ – +–

X

5x 4x 9x 9x

– 9

x+1 4x – 9

4 –1

–5

–9

–4

9

–9

0 =r

– 9 – 9 +

4

r= 0

Q(x) = 4x – 9

4x2 – 5x – 9 =(x + 1)(4x – 9)

CaEM500Intropage 11 noir vert COFFRE À OUTILS

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

1.7 EQUATIONS 1 Équations du premier degré On rassemble dans un membre tous les termes en l’inconnue, et dans l’autre membre, les termes indépendants. On isole ensuite x.

REMARQUE :

3x = 0

⇐⇒

x=0

et non

1 1 , ni − , ni 3 , ni −3 .

3 3

2 Équations du deuxième degré On rassemble tous les termes dans un même membre; ax2 + bx + c = 0 (a = / 0), ρ = b2 − 4ac, (ρ est le réalisant de l’équation, il est parfois noté ∆)

Factorisation :

IN

• si ρ > 0, alors l’équation admet 2 solutions distinctes :

−b− ρ −b+ ρ et x2 = x1 = 2a 2a

ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ;

−b 2a

VA

x1 = x2 =

N

• si ρ = 0, alors l’équation admet 2 solutions égales :

Factorisation :

ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 ;

s

• si ρ < 0, alors l’équation n’admet pas de solutions.

b 2 4ac − b2 · ax2 + bx + c = a x + + 2a 4a Factorisation : aucune.

on

REMARQUES

0,

la somme des racines du trinôme du 2e degré est − ba , le produit des racines est ac · • Deux nombres dont on connait la somme S et le produit P sont solutions de l’équation x2 − Sx + P = 0 (si S2 − 4P 0).

Si ρ

iti

•

3 Équations du type «produit de facteurs égalé à 0»

Ed

On utilise la règle du produit nul et on résout les équations formées par chaque facteur égalé à 0.

2x3 − 8x = 0 ⇐⇒ 2x(x2 − 4) = 0 ⇐⇒ 2x(x + 2)(x − 2) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = −2 ou x = 2.

4 Équations fractionnaires (l’inconnue est présente au dénominateur) – On pose les conditions d’existence (dénominateurs non nuls) ; – on réduit les deux membres au même dénominateur; – on chasse les dénominateurs (en multipliant les deux membres par le dénominateur commun) ; – on résout l’équation obtenue et on confronte les solutions aux conditions d’existence.

REMARQUE

Un signe «moins» devant une barre de fraction joue le même rôle qu’un signe «moins» devant une parenthèse.

2x − 4 2x − 4 − (2x − 4) − 2x + 4 − ou ou ou (on évitera cette dernière notation).

5 5 5 −5

XI

CaEM500Intropage 12 noir vert L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

COFFRE À OUTILS

5 Équations bicarrées On réduit les équations au second degré.

EXEMPLE

x4 − 2x2 − 3 = 0.

Soit x2 = X. Les solutions de X2 − 2X − 3 = 0 sont X = 3 ou X = −1 (à écarter).

Ainsi, S = {− 3; 3}.

D’où x2 = 3, c.-à-d. x = 3 ou x = − 3.

6 Équations irrationnelles (l’inconnue est présente sous un radical) EXEMPLE

x + 2 = 4 − x.

C.E. : x + 2

0 et 4 − x 0

⇐⇒

x ∈ [−2; 4]

En élevant les deux membres au carré : x + 2 = 16 − 8x + x ou x2 − 9x + 14 = 0, 9−5 9+5 ou 7 (à écarter) et ou 2. dont les solutions sont 2 2 Ainsi, S = {2}.

N

1.8 SYSTEMES D’EQUATIONS

IN

2

EXEMPLES

iti

on

s

VA

2x − 8 = 0 x=4 x=4 1) ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ S = {(4; 3)}.

3 . 4 − 2y = 6 y=3 3x − 2y = 6    3x − 2y = 5  3x − 2y = 5 ⇐⇒ (2) = −2 − 3y  x + 3y = −2 par substitution  x   3(−2 − 3y) − 2y = 5  x = −2 − 3y

y = −1 ⇐⇒ S = {(1; −1)}. x=1  3x − 2y = 5 ×3 3) x + 3y = −2 ×(−3) ×2

Ed

XII

3x − 2y = 5 −3x − 9y = 6 −11y = 11

par combinaisons linéaires

9x − 6y = 15 −11y = 11 ⇐⇒ 2x + 6y = −4 11x = 11 11x = 11 ⇐⇒

S = {(1; −1)}.

⇐⇒

y = −1 x=1

CaEM500Intropage 13 noir vert COFFRE À OUTILS

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

1.9 SIGNES 1 Binôme du 1er degré −

x ax + b

signe contraire de a

b a

0

y

a>0 1

signe de a

1

b a

0

b a

Si ρ > 0

y

a>0

0

signe contraire de a

0

signe de a

1

x1

x2

x

y S

1

x1

1

0

VA

ax2 + bx + c signe de a

a<0

x2

N

x1

1

0

x

1

IN

2 Trinôme du 2e degré

x

y

a<0

x2 0

x

1

x

1

x

S

(

b ; 4ac – b2 4a 2a

a>0

Si ρ = 0

(

a<0

x1 = x2

Ed

1 1

0

0

S

x

S

a>0

a<0 y

x

ax2 + bx + c signe de a

y

1

signe de a

on

0

iti

ax2 + bx + c signe de a

s

y

x

Si ρ < 0

S

y

S 1 0

1 0

1

1

x

x

S

REMARQUES

Les expressions 2 4 2 2 • (ax + b) , (ax + b) , . . . (ax + bx + c) , . . . sont positives pour tout réel x; 3 5 • (ax + b) , (ax + b) , . . . suivent la règle des signes de ax + b; 2 3 2 5 2 • (ax + bx + c) , (ax + bx + c) , . . . suivent la règle des signes de ax + bx + c; 2 2 2 • −(ax + b) , . . . , −(ax + bx + c) sont négatives pour tout réel x; 3 3 • −(ax + b) a le signe contraire de (ax + b) ; 2 3 2 • −(ax + bx + c) a le signe contraire de ax + bx + c.

XIII

CaEM500Intropage 14 noir vert L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

COFFRE À OUTILS

1.10 INEQUATIONS 1 Du 1er degré On rassemble dans un membre les termes en l’inconnue et, dans l’autre membre, les termes indépendants.

Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, on obtient une inéquation de sens contraire à la première.

2 Du 2e degré

IN

On rassemble tous les termes dans un même membre ; on cherche les racines de l’expression algébrique ainsi obtenue; on dresse un tableau de signes et on sélectionne les solutions.

3 D’un degré supérieur au premier ou fractionnaire

VA

N

On rassemble tous les termes dans un même membre ; on regroupe afin de n’avoir qu’un produit ou un quotient; on énonce les éventuelles conditions d’existence; on procède ensuite comme en 2 , sans supprimer les éventuels dénominateurs qui comprennent l’inconnue.

1.11 SYSTEMES D’INEQUATIONS

on

s

1 On résout chaque inéquation en dressant (si besoin) un tableau de signes pour chacune d’elles.

Ed

iti

2 On calcule l’intersection des ensembles de solutions trouvés en 1 .

XIV

CaEM503page 28 noir vert

3

LIMITES ET ASYMPTOTES

5e pour tous

Compétences à atteindre

1

VA

N

IN

– Calculer une limite d’une fonction.

– Déterminer les équations des asymptotes au graphique d’une fonction.

– Lever une indétermination, y compris dans le cas de fonctions trigonométriques.

– Prévoir l’existence d’asymptotes en observant le graphique et l’équation d’une fonction.

– Contrôler la plausibilité du résultat d’un calcul en utilisant éventuellement une calculatrice ou un logiciel.

Nous avons demandé à notre calculatrice graphique de dresser le graphe cartésien des fonctions 2 f : R → R : x → 2 et g : R → R : x → x4 − 6x2 + 10 x dans la fenêtre définie par

[−1, 5; 1, 5] sur l’axe des abscisses, [−0, 5; 8] sur l’axe des ordonnées.

s

Voici les figures obtenues :

Ed

iti

on

y

y

Gf

1

1

O –1

0

Gg

O 1

x

–1

0

1

x

Un examen rapide de ces deux graphiques peut faire croire que sur [−1, 5; 1, 5] le comportement des deux fonctions est comparable.

En fait, il n’en est rien puisque f(0) n’a pas de sens, tandis que g(0) = 10. a) Complète le tableau suivant :

x

−0,1 −0,01 −0,001 −0,0001 . . .

0 ...

0,0001 0,001 0,01 0,1

f(x) g(x) b) Montre que la fonction g est majorée sur [ −1, 5; 1, 5].

Quel est le plus petit majorant ? c) Considère le réel 2 . 10 56 et trouve un réel proche de 0 dont l’image par f surpasse 2 . 10 56 .

En t’inspirant de ce que tu viens de faire, montre que tu peux toujours trouver un réel proche de 0 dont l’image par f surpasse n’importe quel nombre réel choisi, aussi grand soit-il.

28

CaEM503page 29 noir vert ACTIVITÉS

LIMITES ET ASYMPTOTES

d) Pour laquelle des deux fonctions f ou g peut-on déclarer, sans se tromper que :

• le graphique de la fonction coupe l’axe des ordonnées ?

• le graphique de la fonction ne coupe pas l’axe des ordonnées, mais que les

branches gauche et droite de ce graphique se rapprochent sans cesse de cet axe ? −2 e) Soit la fonction h : R → R : x → · x2 Quel est son domaine ?

Complète le tableau suivant à l’aide de la calculatrice : x −0,1 −0,01 −0,001 −0,0001 . . . h(x)

0 ...

0,0001 0,001 0,01 0,1

Esquisse le graphe cartésien de la fonction h.

On donne la fonction f : R → R : x →

x4 − x3 · 4x − 4

N

2

IN

Décris la situation graphique pour des valeurs de x de plus en plus «proches» de 0.

Manuel, page 30.

a) 1 a-t-il une image par f .

VA

b) Des réels de plus en plus proches de 1 ont-ils une image par f ? Pourquoi ?

A cet égard, complète le tableau suivant : x f(x)

0,9

0,99

0,999

0,9999

...

1

...

1,0001

1,001

1,01

1,1

s

c) Les valeurs de f( x) deviendraient-elles proches d’un réel particulier lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 1 ?

Quel serait cet éventuel réel ?

on

d) En effectuant de judicieuses mises en évidence, et en précisant d’éventuelle(s) condition(s) de simplification, peux-tu trouver une fonction g qui serait la prolongée de f sur dom f ∪ {1} c.-à-d. telle que g( x) = f( x), pour tout x de dom f, que g soit définie pour x = 1 et que le graphe de g puisse être dessiné «sans lever le crayon» pour des valeurs de x «proches» de 1 ?

iti

Si oui, quelle serait cette fonction ?

Quelle serait l’image de 1 par g ?

Ed

e) Quelles conclusions peux-tu tirer de la comparaison des résultats trouvés en c) et d) ?

3

L’Administration des Postes d’Eurolande propose le tarif postal suivant pour le service intérieur des envois adressés non normalisés : Poids 0 g jusqu’à 50 g + 50 g jusqu’à 100 g + 100 g jusqu’à 250 g + 250 g jusqu’à 350 g

Prix de l’affranchissement 0,8 0,9 1,2 1,4

a) Dresse le graphe cartésien de la fonction qui donne le prix de l’affranchissement en fonction du poids. b) Que faut-il payer pour un envoi d’environ 250 g ?

Pour obtenir une réponse unique, en sais-tu assez ou doit-on te donner une précision supplémentaire ? Laquelle ? c) Que faut-il payer pour un envoi d’environ 150 g ? Ta réponse est-elle unique ? Justifie.

29

CaEM503page 30 noir vert LIMITES ET ASYMPTOTES

ACTIVITÉS

4

On considère la fonction f : R → R : x → x +

|x|

·

x a) Détermine le domaine de f et trace son graphe cartésien. b) Lorsque x prend des valeurs réelles positives proches de 0, détermine s’il existe un réel dont se rapprochent les images f( x).

Qu’en est-il si x prend des valeurs réelles négatives proches de 0 ?

Manuel, pp. 34 et 35.

5

Complète à l’aide de la calculatrice : x

sin x x

sin x

(en radians)

x 1

0, 1

0, 1

0, 01

0, 01

0, 001

0, 001

10−4

10−4

10−5

10−5

−1

−1

N

IN

1

−0, 1

−0, 1

−0, 01

VA

−0, 01 −0, 001

−0, 001

−10−4

−10−4 −10−5

sin x ? x

s

−10−5

Si x tend vers 0 par la droite, vers quel réel semble tendre la fraction 1 − cos x ? x

on

Manuel, page 36.

Et

Et si x tend vers 0 par la gauche ?

Reprends les données de l’activité

1 :

iti

6

1 − cos x x

1 − cos x

cos x

(en radians)

2 et g : R → R : x → x4 − 6x2 + 10 x2 avec les graphes cartésiens obtenus dans la fenêtre définie par [−1, 5; 1, 5] sur l’axe des abscisses, [−0, 5; 8] sur l’axe des ordonnées.

Ed

f:R→R:x→

y

y

Gf

1

1

O –1

0

Gg

O 1

x

–1

0

1

x

Au lieu d’examiner ces graphes cartésiens aux alentours de 0, on effectue la même démarche lorsque x s’éloigne indéfiniment, soit à gauche, soit à droite, sur l’axe des abscisses.

30

CaEM503page 31 noir vert ACTIVITÉS

LIMITES ET ASYMPTOTES

a) Complète le tableau suivant en utilisant ta calculatrice :

−10 20

x

−10 10

−10 5

−10

10

10 5

10 10

10 20

f( x) g( x) b) Comment se comportent les valeurs de f( x) lorsque x prend des valeurs négatives de plus en plus petites ?

Dans le même contexte, comment se comportent les valeurs de g( x) ? c) Qu’en est-il pour les valeurs de f( x) et de g( x) lorsque x prend des valeurs positives de plus en plus grandes ?

On te donne les fonctions suivantes : −2 ; f1 : R → R : x → x+3 f2 : R → R : x → x − 1;

VA

f : R → R : x → f1 (x) + f2 (x);

1 ; x2 1 h:R→R:x→− 2· x

g:R→R:x→

N

7

IN

d) A la lumière de tes constatations, dresse une esquisse des graphes cartésiens de f et de g.

Si tu en possèdes une, tu peux t’aider de ta calculatrice graphique.

a) Quels sont les domaines de ces cinq fonctions ? b) Complète le tableau suivant en utilisant ta calculatrice :

−3

x f1 ( x)

−2

−1

0

1

10

10 2

10 5

10 10

10 20

s

f2 ( x)

on

f( x)

g( x) h( x)

Ed

iti

c) Comment se comportent les valeurs de f1 ( x), de f2 ( x), de f( x), de g(x) et de h(x) lorsque x prend des valeurs positives de plus en plus grandes ?

Que peux-tu conclure en ce qui concerne le comportement, l’un par rapport à l’autre, des graphes cartésiens de f2 et de f , lorsque x est suffisamment grand ?

Manuel, page 41.

d) Trace une esquisse des graphes cartésiens des cinq fonctions sur [ −3; →.

Utilise ta calculatrice graphique, si tu en possèdes une.

31

CaEM503page 32 noir vert

3. LIMITES ET ASYMPTOTES

EXERCICES

POUR APPLIQUER 3.1 et 3.2

107. Calcule et justifie :

«Quand les valeurs successivement attribuées à une variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixée, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.»

1) lim (3x2 − 5x + 1)

Extrait du cours d’Analyse d’Augustin Cauchy (1789-1857)

3) lim

x→−2

106. Observe les graphes cartésiens des fonctions f : R → R : x → f(x).

Complète les encadrés.

x→−1

O

x 1

x

0

lim f(x) = x

1

lim f(x) = x

2

2) lim

x→1

x→a−

x

0

– 3–

1

x lim f(x)+= x

–3

lim f(x) = x

–1–

iti

lim f(x) = x

Ed

y

1

O

0

x→2

x − 2x + 1 x−1

1

lim f(x) = x

–2

x

x 1

a = −1 a = 1.

110. Observons la variation du volume V du phosphore en fonction de la température t°.

Soit 1 cm3 de phosphore solide.

De 0° à 44°, le volume augmente insensiblement et de façon continue.

A 44°, si peu qu’on élève la température, le volume augmente brusquement de 35 mm3 et le phosphore se liquéfie.

Au delà de 44°, le volume augmente à nouveau insensiblement et de façon continue.

V (cm3) 1,045

1,01 1

–1 0

0

44∞

0–

= x lim f(x) + x

x

lim f(x) = x

Calcule lim V(t), t→44−

111. a) Calcule lim x→ 2 3

b) La limite de

0

1–

1+

t∞

Liquéfaction du phosphore

1

lim f(x) =

32

a=0

lim f(x) =

La fonction f est-elle • définie en 1 ?

• continue en 1 ? lim f(x) =

O 0

a=1

x lim f(x) =

x

1

x 3 − x2 − x + 1 · − 2x2 − x + 1

x→a

1) f(x) = 3x − 2, si x = /1

1 − x, si x = /0 2) f(x) = 2, si x = 0

2x + 1, si x −1 3) f(x) = 3x − 2, si x > −1

2 4) f(x) = x − 1, si x < 1 1 − x, si x > 1

– 1+

La fonction f est-elle • définie en 1 ?

• continue en 1 ?

x

y

x→−1

x→a+

lim f(x) = 4

4) lim

s

lim f(x) =

on

1

x4 − 16 4 − x2

3) lim

109. Dessine le graphique de la fonction f et détermine lorsqu’elle existe, lim f(x), lim f(x), lorsque lim f(x),

La fonction f est-elle • définie en –1 ?

• continue en –1 ?

y

O

2

1 − x2 x+1 2

lim f(x) =

0

3

1) lim

N

1

x→2

108. Calcule et donne une interprétation graphique du résultat obtenu :

La fonction f est-elle • définie en 1 ?

• continue en 1 ?

y

3x − 6 · 2x − 1

6) lim

VA

1

x+2

IN

105. Y a-t-il un sens à calculer la limite de f(x) en le réel a ?

Pourquoi ? x−1 1) f(x) = et a = 1 ; 0 ; −1 ; 2. x+1

2) f(x) = x2 − 4 et a = −3 ; −2 ; 1 ; 2 ; 5.

2x + 4 3) f(x) = et a = −1 ; 0 ; 1 ; 1, 5. x−1

2x2 + x + 1

π 5) limπ cos 2x − x→ 2 3 x→1

2) lim (1 − x2 )(3x + 2)

x→−3

4) lim

x→−1

+

lim V(t),

lim V(t).

t→44

t→44+

5 3x − 2

et

lim x→ 2 3

−

5 .

3x − 2

2 5 en existe-t-elle ?

3x − 2 3

Pourquoi ?

5 admet-elle une asymptote ver3x − 2 ticale ? Si oui, écris son équation et dessine-la.

c) La courbe y =

CaEM503page 33 noir vert

EXERCICES

3. LIMITES ET ASYMPTOTES

d) Réalise une esquisse graphique de la fonction 5 x→ sur [−1; 2].

3x − 2

5)

3 1 112. Calcule la limite à gauche et à droite de en .

1 − 2x 2 Interprète graphiquement.

113. Calcule et interprète graphiquement le résultat : 3x 2x 1) lim 3) limπ x→−3 x2 + 6x + 9 x→− 4 tan x + 1 2) limπ x→ 2

1 cos x

4) lim

h→0

(x + h)2 − x2 · h

2(−∞) − (−∞)2 .

3(+∞) − (−∞)3

118. Calcule la limite −4 1 1) de 5 + lorsque x tend vers − par la gau2x + 1 2 che, par la droite;

3 + 2x + 1 lorsque x tend vers −2 par la 2) de x+2 gauche, par la droite.

3.3.

«Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable croissent de plus en plus, de manière à s’élever audessus de tout nombre donné, on dit que cette variable a pour limite l’infini positif [...]»

4 − x2 .

4 − 4x + x2 Calcule lim f(x) et interprète graphiquement le résultat.

114. Soit la fonction f : R → R : x → x→2

y

2

1

1

O

O 0

1

2

0

x

1

2

IN

y

1

Extrait du cours d’Analyse d’Augustin Cauchy.

119. Y a-t-il un sens à calculer la limite de f(x) en a ?

Pourquoi ?

1 1) f(x) = et a = −∞. x−1

2) f(x) = 1 − x et a = +∞.

x

N

115. Associe à chacun des graphiques suivants les renseignements qui lui correspondent :

y

3

y

4

1

1

1

O

O 1

2

0

x

1

2

x

B C

x→2−

et

lim g(x) = −∞ et

x→2−

E

t→0

–

lim f(x) = x

+

O 0

2

1

x

y

y = f(x)

lim f(x) = x

lim f(x) = −∞

1

x→2+

x→2+

–

lim f(x) = x

O

lim g(x) = +∞

0

1

lim h(x) = +∞

lim i(x) = +∞

x→2−

et

lim i(x) = −∞

+

x

–2

x→2+

lim j(x) = −∞

x→2

116. Calcule et interprète graphiquement le résultat obtenu : sin 4x sin 2u 1) lim 3) lim x→0 u→0 tan 3u x 2) lim

x

x→2

Ed

D

lim f(x) = −∞

lim f(x) =

y = f(x) 2

iti

A

on

Renseignements :

y

1

s

0

VA

120. Observe les graphes cartésiens des fonctions f : R → R : x → f(x).

Complète les encadrés

t tan t

4) lim

x→0

3

y lim f(x) = x

y = f(x)

2 tan x − 3 sin x . x

2) (−∞)2 − 5(−∞) − 7; 3) 5(−∞) + 3(−∞) − 2(−∞) + 4;

4) (−∞) + 2(−∞) (+∞)2 − 3(−∞) ; 2

x

1

0

117. En tenant compte des conventions établies sur −∞ et +∞, donne une réponse la plus simplifiée possible; le cas échéant, signale les cas d’indétermination : 1) (+∞) + 3(+∞) + (+∞) + 5;

–

lim f(x) =

1

O

4

+

x

y lim f(x) = x

–

lim f(x) =

y = f(x)

x

+

1

O 0

1

x

33

CaEM503page 34 noir vert

3. LIMITES ET ASYMPTOTES

EXERCICES

x→−∞

Dis si la courbe d’équation y = f(x) admet une asymptote horizontale.

Si c’est le cas, donne son équation : 1) f(x) = 2x3 − 7x2 − 6x + 21 4 2) f(x) = +2 3 − 2x 1 − 3x + 4x2 2x2 + 4

π 4) f(x) = cos x − 3

3) f(x) =

5) f(x) =

1 − 3x x2 − 4

3x + 5 .

2x + a Calcule le réel a pour que le graphe cartésien de f admette la droite d’équation x+3 = 0 comme asymptote verticale.

126. Soit la fonction f : R → R : x →

ax + 5 . bx + 3 Calcule les réels a et b pour que le graphe cartésien de f admette les droites d’équation x = 2 et y = 3 respectivement comme asymptote verticale et comme asymptote horizontale.

127. Soit la fonction f : R → R : x →

1 · 6) f(x) = 1−x

122. La force d’attraction de deux masses M et M dont la distance est d est donnée par la formule F=k

MM d2

(Loi de Newton, k est la constante de gravitation).

Comment évolue cette force lorsque les deux masses s’écartent de plus en plus ?

Tend-elle vers un nombre lorsque la distance d devient infiniment grande ?

128. Détermine les éventuelles asymptotes obliques au graphe cartésien des fonctions f : R → R : x → f(x) lorsque 1 x2 − 2x + 2 3) f(x) = 2 + 1) f(x) = x+1 x−1 2) f(x) =

3.4.

y

N

1 x−2 1

2 x → −2x + x+1 1

3 x→x− x

on 0

1

iti 3

Ed O

0

1

x

3x − 1 x+2

3) f(x) = 5 −

34

1 2x

1

1 x+1 1

6 x→x−1− x−2

5 x→1−x−

y

1

O1

C

O

0

x

1

x

y

D

y

1

O 0 1

1

x

O 0

1

x 1

y = f(x)

1 sin 2x

π 6) f(x) = tan x − .

4

5) f(x) =

1 · x+2

1 x

y

124. Détermine les équations des éventuelles asymptotes verticales et horizontales au graphe cartésien des fonctions f telles que x4 1) f(x) = x3 − x 4) f(x) = 2 x −4 2) f(x) =

B

0

x

y = f(x)

1

y

4 x→x+

s

1

O

y

4) f(x) = 2x − 1 +

1 x→x−1+

A

y = f(x)

2

x3 − 2x + 1

129. Associe chaque graphe cartésien suivant à une fonction dont on donne l’expression analytique :

123. Observe les dessins suivants. Détermine l’équation des asymptotes aux courbes d’équation y = f(x).

Traduis en langage de limites l’existence de ces asymptotes.

1

x2

VA

«Une asymptote est une tangente dont le point de contact est à l’infini».

IN

x→+∞

4x + 5 . ax + 3 Calcule le réel a pour que le graphe cartésien de f admette la droite d’équation y + 2 = 0 comme asymptote horizontale.

125. Soit la fonction f : R → R : x →

121. Calcule lim f(x) et lim f(x).

1

0

x

O

y

E

y

F

1

1

0

O

1

x

0

O

1

x

CaEM503page 35 noir vert

EXERCICES

3. LIMITES ET ASYMPTOTES

b) Vérifie que la droite d’équation y = x − 2

130. Donne un exemple de fonction dont le graphe cartésien admet 1) une seule asymptote verticale d’équation x = 2; 2) deux asymptotes : une verticale d’équation x + 3 = 0 et une horizontale d’équation y = 1.

est asymptote oblique à la courbe d’équation y=

x2 + x − 5 . x+3

c) Trouve l’expression analytique d’un exemple de fonction dont le graphique admet une asymptote oblique d’équation y = 3x + 4 et une verticale d’équation x = 1.

x2 + x − 5 peut aussi x+3 1 s’écrire sous la forme y = x − 2 + . x+3

131. a) Montre que l’équation y =

POUR S’AUTOCONTRÔLER 3.1 et 3.2 132. Voici le graphe cartésien d’une fonction f : R → R : x → f(x) :

VA

N

IN

y

1

O

0

1

3

6

7

x

Quel est le domaine de f ?

En quels réels f est-elle définie et discontinue ?

Quelles sont les racines de f ?

Complète le tableau : a

iti

1) 2) 3) 4)

on

s

6,7

lim f(x)

x→a−

lim f(x)

x→a

Ed

−8

lim f(x)

x→a+

−6 −4 −2 −1

2) 3)

4) 5)

−2

x−3 x+1

x−2 2x2 − 5x + 2 2 − x, si x < −1 2, si x = −1 2 + x, si x > −1

π tan 2x − 4

1 2 −1 π 2

6)

x2 − 5x − 6 x2 + 2x + 1

−1

7)

1 2 cos x − 1

π 3

8)

sin 3x cos x x

0

9)

x−1 − 3x x+1

−1

5) Écris les équations des asymptotes verticales. x→a

Si cela s’avère utile, calcule les limites de f(x) à gauche et à droite de a.

Interprète graphiquement le résultat.

π

7

133. Calcule lim f(x).

a=

1)

0 3

f(x) =

35

CaEM503page 36 noir vert

3. LIMITES ET ASYMPTOTES

EXERCICES

134. Le tarif postal pour l’envoi des lettres en service intérieur est donné dans le tableau suivant :

3.3 135. En observant le dessin de l’exercice 132, calcule lim f(x), lim f(x) et écris l’équation des

SERVICE INTÉRIEUR

x→−∞

LETTRES ENVOIS NON NORMALISÉS jusqu'à 50g de plus de 50g à 100g de plus de 100g à 350g

x→+∞

asymptotes horizontales.

136. Calcule et tire une conclusion pour l’existence éventuelle d’une A.H. dont tu donneras une équation :

0,79 0,98 1,47

1) lim (−x3 + 3x2 − 1) x→−∞

2) lim

a) Représente graphiquement la fonction P donnant le prix d’un envoi non normalisé d’après le poids p de la lettre envoyée. b) Calcule lim P(p)

x→+∞

3x2 − 5x + 7 4 − 2x2

3) lim

x→−∞

4) lim

x→+∞

2x − 1 x2 − 4

3 −2 . x−1

3.5

p→α

1) y =

3x − 1 4 − x2

4) y = 2x −

2) y =

3x2 − 5x + 1 x−1

5) y =

p→50−

lim P(p),

N

p→50+

IN

137. Détermine l’équation des éventuelles asymptotes aux courbes d’équation :

lorsque α = 258; α = 101. c) Calcule lim P(p),

lim P(p).

p→50

3) y = cot 2x

VA

d) Calcule lim P(p). p→100

6) y =

e) Sur l’intervalle [0; 350], détermine les poids en lesquels la limite de P(p) n’existe pas.

Dis pourquoi !

s

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER

on

3.1 et 3.2

4)

132. 1) R\{−8, −6, −4, 3, 7}.

2) En 3.

3) −5 ; −3 ; −1 ; 6, 7.

iti

4) Voir ci-contre.

Ed

5) A.V : x = −6 ; x = 7.

a

lim f(x)

lim f(x)

x→a+

−8

0

0

0

−6

−∞

−∞

−∞

−4

1

1

1

−2

−2

−2

−2

−1

0

0

0

0

4

4

4

3

5

4

7

−∞

+∞

x→a

Limites

Interprétation graphique

1)

π

Le point (−2; π) appartient à Gf .

2)

n’existe pas 1 3

133.

3) 4)

n’existe pas;

Le point

1 2; est un «trou» dans Gf .

3 y

lim f(x) = 3

x→−1−

lim f(x) = 1

x→−1+

1 0

36

lim f(x)

x→a−

1

x

1 +1 2−x

2x2 − 1 4x2 + 1 1

π tan x − 3

CaEM503page 37 noir vert

EXERCICES

3. LIMITES ET ASYMPTOTES

Limites 5)

−1

6)

n’existe pas;

Interprétation graphique

π Le point ; −1 appartient à Gf .

2 Gf admet une A.V d’équation x = −1.

lim f(x) = +∞

x→−1−

lim f(x) = −∞

x→−1+

7)

n’existe pas;

lim f(x) = +∞

Gf admet une A.V. d’équation x =

− x→ π 3

π · 3

lim f(x) = −∞

+ x→ π 3

8)

3

Le point (0; 3) est un «trou» dans Gf .

9)

n’existe pas;

Gf admet une A.V. d’équation x = −1.

lim f(x) = +∞

x→−1−

lim f(x) = −∞

x→−1+

134. a)

P

3.3

(prix en euros)

IN

1,47

135. lim f(x) = 2 x→−∞

;

A.H. à gauche : y = 2 0,98

lim f(x) = 3.

x→+∞

;

136. 1) aucune

0,79

3 ; 2

3) 0;

A.H. : y = −

N

2) −

A.H. à droite : y = 3.

3 2

A.H. : y = 0

4) −2;

A.H. : y = −2.

VA

3.4

137.

0

50

100

350 (poids en grammes) p

A.V.

1) x = 2

A.H.

et

x = −2 y = 0 y = 3x − 2

2) x = 1

c) lim P(p)

;

lim P(p) = 1, 47.

p→101

p → 50−

p → 50+

0, 79

0, 98

p → 50

on

p→258

s

b) lim P(p) = 1, 47

n’existe pas

d) lim P(p) n’existe pas car

lim

p→100−

P(p) = 0, 98

et

lim

p→100+

(k ∈ Z) y = 2x + 1 1 y= 2

5) 6) x =

π + kπ 3

P(p) = 1, 47.

iti

p→100

π 3) x = k 2 4) x = 2

A.O.

Ed

e) 50 ; 100. Les limites à gauche et à droite sont chaque fois différentes.

POUR CHERCHER

3.1 et 3.2

138. Calcule et interprète graphiquement le résultat : |x − 2| cos t − 1 1 − sin u 3) limπ 2) lim .

1) lim x→2 x − 2 t→0 u→ 2 t2 cos u 139. Trouve l’expression analytique d’un exemple de fonction   lim f(x) = −1, 1) f telle que x→2  f(2) = −1;   lim g(x) = −1, 2) g telle que x→2  g(2) = 1;

3) h telle que

   lim− h(x) = −1, x→2

  lim h(x) = 3

et h non définie en 2.

x→2+

Représente graphiquement sur [0; 4] chacune des fonctions que tu auras découvertes.

x+5−2 140. Soit la fonction f : R → R : x → · x+1 a) Quel est le domaine de f ? b) Y a-t-il un sens à calculer la limite de f en −1 ? c) Si tu remplaces x par −1 dans f(x), qu’obtiens-tu ? d) Pour tenter un calcul fructueux de la limite en −1, transforme f(x) en multipliant le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué du numérateur.

Réalise alors le calcul de la limite en −1.

37

CaEM503page 38 noir vert 3. LIMITES ET ASYMPTOTES

141. a) Complète :

EXERCICES

x en radians

3.4

sin x

0, 5

143. Calcule les réels a, b, c et d pour que le graphe cartésien ax + b de la fonction : f : R → R : x → admette les cx + d droites d’équation x − 3 = 0 et y + 2 = 0 respectivement comme asymptote verticale et comme asymptote horizontale.

0, 25 0, 125 0, 0625

De plus, le graphe cartésien doit comprendre le point A(2; 0).

0, 03125 b) Tenant compte du tableau complété en a), conclus-tu que «si x est un réel quelconque, alors sin x x» ? c) Si tu as répondu «non» à la question précédente, à partir de quelle valeur du réel x peux-tu affirmer que sin x est égal à x à 10−5 près par défaut ?

2x2 − 4x + 3 144. Soit la fonction f : R → R : x → · x+1

lim f(x) − (2x − 6) , a) Calcule x→+∞

f(x) − (2x − 6) lim x→−∞

et vérifie ainsi que la courbe Gf admet la droite d’équation y = 2x − 6 comme asymptote oblique à gauche et à droite.

IN

3.3 142. Considère le segment [AB] tel que AB = 10.

Le point M est mobile sur la droite AB. Soit AM = x.

b) Vérifie par les formules de Cauchy.

a) Exprime MB en fonction des longueurs de AB et de AM. AM b) Évalue la limite du rapport lorsque MB 1) M s’écarte de plus en plus de A vers la gauche;

A

B

N

d) Tire de l’égalité précédente un procédé pour retrouver l’équation de l’asymptote oblique dans le cas où f(x) est un quotient de polynômes.

VA

M

c) Divise le numérateur de f(x) par son dénominateur.

Écris l’égalité liant 2x2 − 4x + 3 , x + 1, le quotient et le reste calculés.

145. Soit la famille de courbes d’équation y =

10

où m et p sont des paramètres réels.

2) M se rapproche de plus en plus de A par la gauche ou par la droite, A

B

M

on

3) M se rapproche de plus en plus de B par la gauche ou par la droite; A

M

B

M

4) M s’écarte de plus en plus de B vers la droite

iti

M

A

B

(Ce problème fait songer à la « division d’un segment [AB] en moyenne et extrême raison »; qui consiste à trouver un point M sur la droite AB tel que AB AM = . Cette égalité débouche sur l’équation AM MB x 10 = où AM = x et AB = 10 dont une solution x 10 + x est le produit par 10 du nombre d’or : 10 . 1, 62.

Ed

Détermine m et p pour que la courbe admette une asymptote oblique d’équation y = 2x − 4.

s

M

mx2 − px + 5 2x + 3

146. Vrai ou faux ? Justifie ta réponse ! x2 − x admet une asympx+1 tote verticale d’équation x + 1 = 0 et une oblique d’équation y = x + 2.

1) La courbe d’équation y =

2) Si a = / −4, toutes les courbes d’équation 2x2 + 2x + a admettent la même asymptote ver2x2 + 4 ticale et la même asymptote horizontale. y=

3) Certaines courbes admettent simultanément une asymptote horizontale et une asymptote oblique, à droite.

4) Soit la fonction f : R → R : x → f(x) pour laquelle n(x) f(x) = , n(x) et d(x) étant des polynômes réels d(x) non constants, n(x) n’étant pas divisible par d(x).

Une condition nécessaire et suffisante pour que Gf admette une asymptote oblique est que le degré de n(x) dépasse d’une unité celui de d(x).

38

CaEM511page 99 noir vert

11

PRODUIT SCALAIRE

dans le plan : 4e Comm - 5e FESeC

Compétences à atteindre

dans l’espace : pour tous

– Calculer un produit scalaire en utilisant la formule adéquate.

– Utiliser le produit scalaire dans des problèmes simples de géométrie ou de physique.

1

IN

Applications géométriques et physiques dans le plan et dans l’espace : 5e pour tous

Dans un repère orthonormé du plan, on donne le point fixe A(2; 6); le point variable B(r; s).

On sait que 2r + 6s = 20.

N

a) Représente six points B distincts, répondant à cette condition : B0 , B1 ,..., B5 .

Quelle est la position de ces six points ? Pourquoi ?

VA

b) Quel serait le lieu de ces points Bi par rapport à la droite OA ?

Justifie en déterminant une équation cartésienne de OA et du lieu des points B. Avec B3 ( 1; 3) et B5 ( −5; 5), calcule la somme du produit des abscisses et du produit des ordonnées.

Fais de même avec B3 et chaque point trouvé en a). Que constates-tu ?

− →

a) Une force F de F newton est appliquée à un mobile dans la direction et le sens de

− →

on

2

s

c) Reprends la même démarche si les coordonnées de A sont ( 2; v), les coordonnées de B sont ( r; 3) et 2r + 3v = 6.

son déplacement d .

Le mobile se déplace de d mètres de A en B. Cette force développe un travail T .

F A

B

Ed

iti

Pour décrire cette force, les physiciens ont inventé une opération sur les vecteurs, nouvelle pour toi : le produit de deux grandeurs vectorielles (Force et déplacement) égal à une grandeur scalaire ou réelle (Travail) :

− →

− →

W = F d = F.d

(newton-mètres ou joules)

Quel travail est développé par une force de 10 newton qui déplace son point d’application de 5 mètres ?

− →

b) Une force F de F newton déplace son point d’application dans la direction et le sens

− →

contraire de son déplacement d de d mètres.

Le travail déployé par la force est alors

− →

− →

W = F d = −F.d

A

B

Quel travail est développé par une force de 10 newton qui déplace son point d’application de 5 mètres en sens contraire de son déplacement ?

B a F A

F

(newton-mètres ou joules)

− → − → , alors le physicien c) Si le vecteur-force F forme avec le déplacement d un angle α convient de décrire le travail développé par la formule − →

− →

W = F d = F. d . cos α

(newton-mètres ou joules)

Calcule le travail développé par un tracteur qui hâle une péniche avec une force de

− →

10 4 newton et qui la déplace de 500 mètres en formant avec AB un angle de 40°.

99

CaEM511page 100 noir vert

11. PRODUIT SCALAIRE

EXERCICES

a) Une relation au cosinus dans un triangle ABC est donnée par l’égalité

3

2

2

2

CB = AC + AB − 2 AC . AB . cos α

A

(1)

(C’est le théorème d’Al-Kashi). a

b) Vérifie :

C

− →

− →

− →

CB = AB − AC

(2)

c) Pour comparer les égalités (1) et (2), on serait tenté d’élever au carré les deux mem-

B

− →2

− →

− →

bres de (2). Mais tu ne peux pas encore calculer CB , ni (AB − AC)2 .

− →2

− →

− →

2

On te dit que CB est le réel égal à CB et que (AB − AC)2 peut se calculer comme en algèbre en effectuant le carré d’un binôme.

− →

− →

Développe dès lors (AB − AC)2 pour obtenir une égalité (3). d) Compare terme à terme les égalités (1) et (3).

− →

− →

Là encore, tu découvres une nouvelle opération qui, à deux vecteurs, AC et AB fait

− →

IN

− →

correspondre leur produit AC AB.

− →

− →

La comparaison demandée t’amène à écrire l’égalité AC AB = AC . AB . cos α. − →

− →

Dès lors, à quel ensemble appartient le produit AC AB ?

−→

− →

Manuel, page 173.

N

e) Dans le plan muni d’un repère orthonormé, si les coordonnées de A sont ( −2; 1), est 60°, calcule le celles de B( 1; −2) et celles de C( 3; 2) et si l’amplitude de ACB

VA

produit CA CB.

POUR APPLIQUER

s

11.1

on

PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN

448. Dans chacune des situations graphiques présentées ci−→ −→ dessous, calcule le produit scalaire de AB et de CD. 2

0

iti

1

1

B

3

–2

D

D

Ed

A=C

2

3

A

B

–1

8 0

1

A=C

9

C=A

2

B

B 5

4 B 3

C

D

10

A=C

1,5

C=A

3

B

3

A = C

50∞

D

2

D

D

5

5

B

150∞

D 5 A

6 A

B=D

D 2

3 60∞

B=C

C

100

CaEM511page 101 noir vert

EXERCICES

11. PRODUIT SCALAIRE

449. Complète le tableau (deux réponses sont parfois demandées) : θ AB CD

−→

−→

angle des vecteurs cos θ AB CD

− →

− →

AB et CD

1 2

−→ 455. Dans un repère orthonormé du plan, soit AB de compo−→ −→ santes (−2; 1), CD (2; 1) et EF (0; 3)

1)

3

4

2)

3

2

150°

3)

6

12

(en degrés)

−72

4)

3

6

(en radians)

−36

5

11π 6

10 3

5)

454. «Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel. Le produit d’un vecteur par un réel est un vecteur».

Dis si les expressions suivantes représentent un réel ou un vecteur. −→ −→ −→ −→ −→ −→ 1) AB CD + AC BD 3) (2 AB) (3 CD) −→ −→ −→ −→ −→ 4) AB (BC + CD).

2) AB (AB + BC)

a) Calcule : −→ −→ −→ 1) AB (CD + EF); −→ −→ −→ 2) (AB + 2 CD) EF; −→ −→ −→ 3) (AB − CD) 2 EF. b) Vrai ou faux ? Justifie ta réponse ! −→ −→ −→ 1) AB ⊥ (CD + EF); −→ −→ −→ 2) (AB + 2 CD) ⊥ EF; −→ −→ −→ 3) (AB − CD) ⊥ (2 EF).

IN

−−→ −→ 450. Calcule MN PQ, si l’on sait que a) dans un repère orthonormé du plan, les composantes

−−→ −→ 1 de MN sont (−5; 1) et celles de PQ 3; − ; 2 b) les coordonnées de M sont (3; 4), de N (−2; 1); de P (4; −2), de Q (−1; −3).

N

c) Calcule de deux manières différentes : – en n’effectuant qu’un seul produit scalaire; – en utilisant les propriétés du produit scalaire. −→ −→ −→ 1) AB (3 CD + 2 EF) ; −→ −→ −→ −→ 2) (AB + 2 CD) (AB − 2 CD) ; −→ −→ −→ −→ 3) (3 AB − 5 CD) (AB + 2 CD) ; −→ −→ 4) EF (2 CD + 3 AB).

O

VA

−→ 451. Dans le plan, soit le vecteur OA de longueur 2.

A

456. Détermine le réel a pour que, dans un repère orthonormé −→ −→ d’un plan, les vecteurs AB (a; −5) et CD (−4; 3) soient orthogonaux.

iti

on

s

Construis un point −→ −→ • B tel que OA OB = 2 et O, A et B sont alignés; −→ −→ −→ − → • C tel que OA OC = 0 et OC = / 0; −→ −→ • D tel que OA OD = −4 et O, A et D ne sont pas alignés; −→ −→ • E tel que OA OE = 1.

Dans chacun des cas, dis combien il y a de solutions.

Ed

452. Étant donnés deux points A et B tels que AB = 6, construis les points M tels que −→ −−→ 1) AM = 4 et AB AM = 12; −→ −−→ 2) AM = 4 et AB AM = −9. −→ 453. Dans le plan, on donne le vecteur AB de longueur 1.

A

B

−→ Détermine un vecteur CD, sachant que : −→ −→ a) le cosinus de l’angle formé par AB et CD vaut

−→ − → 3 1) 1, 2) −1, 3) 0 (CD = / 0 ), 4) ; 2 −→ −→ −→ −→ b) AB CD = 2 et AB // CD; −→ −→ −→ − → c) AB CD = 0 et CD = / 0.

457. On donne les points A, B et C du plan, construis le lieu des points P du plan tels que −→ −→ 1) AB CP = 0 ; −→ −→ 2 A 2) AB AP = 3 ; B −→ −→ 1 3) AP BC = 0 ; −→ −→ 4) AC AP = −2.

C

PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE

458. Émilie voudrait acheter 3, 500 kg de cerises, 1, 750 kg de farine et douze œufs pour réaliser un clafoutis. Pour effectuer ses achats, elle a le choix entre trois commerçants concurrents qui affichent les prix suivants, sachant qu’elle doit acheter les trois denrées chez le même commerçant :

1er commerçant

Prix du kg de cerises 4, 90

Prix du kg de farine 1, 50

Prix d’un œuf 0, 15

2e commerçant

4, 20

1, 45

0, 20

5, 10

1, 30

0, 17

e

3 commerçant

Quel est le commerçant dont les prix sont les plus avantageux ?

101

CaEM511page 102 noir vert

11. PRODUIT SCALAIRE

EXERCICES

Comme Émilie a de la culture mathématique, elle prétend que ce problème est réalisable en primaire.

«Toutefois, ajoute-elle, j’y reconnais la présence d’une sorte de produit scalaire».

z

Crois-tu qu’elle a raison ? Explique !

459. Observe le cube MNPQM N P Q .

Son arête mesure 5 cm.

Q' a) Calcule les angles des vecteurs −−→ −→ 1) QM et QN; −−−→ −→ 2) PN et M Q ; Q −−→ −−→ 3) M P et M P

P' N'

M'

(Utilise le théorème de Pythagore et les formules trigonométriques des triangles rectangles) ;

−−→ −−→ 4) Q N et MN.

pp. XXII et XX

MAS.

B

A

s

on

le triangle isocèle BAC rectangle en A, un point M quelconque de l’hypoténuse [BC].

2

M B (10;0;0)

462. Le cube MNPQM N P Q a une arête de longueur 2. a) Donne les coordonnées de chaque sommet dans le repère orthonormé donné dans le dessin.

2

2

Démontre l’égalité : MB + MC = 2 MA .

B M O

C (8;6;0)

461. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, détermine −→ les réels a et b pour que les vecteurs AB (1; 2; a) et −→ − 3 2b ; soient orthogonaux au vecteur AC b − 2; 4 3 −→ EF (1; −2; 3).

102

P' x

2

iti

AS, AM, −−→ −→ b) MA MS.

Q'

a) la longueur de tout côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre le longueur de l’hypoténuse et la longueur de p. XXII la projection orthogonale de ce côté sur l’hypoténuse; b) la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse est la moyenne proportionnelle entre les longueurs des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

S (6;2;4)

A (0;0;0)

y

1

464. À l’aide de la définition du produit scalaire utilisant la projection orthogonale, démontre les propriétés suivantes du triangle rectangle, déjà rencontrées antérieurement et démontrées autrement :

465. Soit

−−→ −−→ 5) M P MP .

Ed Calcule −→ −−→ a) AS AM,

N'

1

0

VA

c) Calcule les produits scalaires suivants : −−→ −−→ −−→ −−→ 4) N N P M 1) P N MQ

460. Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne un tétraèdre SABC par les coordonnées de ses sommets et M, le milieu de [BC].

M'

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES (5e pour tous)

b) Quel est le vecteur égal à la projection orthogonale de −−−→ 1) M Q sur la droite PN ? −−→ 2) Q N sur la droite MN ?

−−→ −−→ 3) P P NM

P O

N

5

1

IN

11.2 N

N Q

463. Dans l’espace, on donne les points A et B. Détermine le lieu des points de l’espace tels que −→ −→ 1) AB AP = 6 ; −→ −→ 2) AB AP = −4.

P M

−−→ −−→ 2) Q P M N

M

b) Démontre analytique−−→ ment que QN est or−→ thogonal à MP et à −−→ Q P. c) Vérifie à l’aide du produit scalaire que le triangle Q MP est équilatéral.

A

C

Des conseils – Soit le point O, milieu de [BC].

Compare OA, OB et OC. – Caractérise AOC. −→

−→

– Exprime MB et MC à l’aide de vecteurs d’origine O. – Élève au carré les deux membres des égalités vectorielles que tu viens d’écrire.

– Additionne-les membres à membres.

466. Soit le carré ABCD et un point quelconque M de la diagonale [BD].

Démontre : −→2 −−→2 −→ −−→ AB − AM = MB DM.

B

A M O

D

C

CaEM511page 103 noir vert

EXERCICES

11. PRODUIT SCALAIRE

−→ −→ −→ – en exprimant AB, BC et AC comme différences de vecteurs ayant D comme origine; – en effectuant les produits scalaires obtenus et en citant la propriété utilisée; – en démontrant au passage l’égalité vectorielle −→ −→ −→ −→ AB BC = −(AB CB).

467. Euler a démontré que si A, B, C et D sont quatre points du plan ou de l’espace, alors on a l’égalité qui s’exprime vectoriellement de la manière suivante : −→ −→ −→ −→ −→ −→ BC DA + BD AC + AB DC = 0.

A

D B C

a) Démontre cette égalité dans l’espace

IN

b) L’égalité d’Euler est riche de conséquences. En effet, utilise-la pour démontrer les deux énoncés suivants : 1) Si A, B, C et D sont les sommets d’un tétraèdre −→ −→ −→ −→ tels que AB ⊥ DC et BC ⊥ DA, −→ −→ alors BD ⊥ AC. 2) Si A, B, C et D sont quatre points du plan, non alignés trois à trois, alors les trois hauteurs du triangle ABC concourent au point D (Il s’agit d’une variante de la démonstration proposée dans le Manuel, page 179).

EULER : LE RASSEMBLEUR DE NEWTON ET DE LEIBNIZ

Leonhard Euler (1707-1783)

(5e pour tous)

s

APPLICATIONS PHYSIQUES

VA

N

Mathématicien suisse, disciple et ami de Jean Bernoulli.

Son œuvre gigantesque aborde tous les domaines des mathématiques.

Sans inventer des théories nouvelles, il eut le mérite de rassembler et d’unifier les théories d’analyse de Newton et de Leibniz.

Sa cécité pendant les douze dernières années de sa vie ne l’empêcha nullement de poursuivre ses travaux mathématiques.

Formule

iti

Grandeur physique obtenue

on

468. Voici une série de formules que tu pourrais retrouver dans tes cours de physique. Distingue parmi elles les grandeurs vectorielles des grandeurs scalaires.

Quelle opération mathématique est utilisée dans chacune d’elles ?

Ed

espace (e) parcouru en chute libre en fonction du temps (t)

1 e = gt2 2

F, la composée des forces F1 et F2

F = F 1 + F2

le travail (W) accompli en chute libre

W = P. g (P : poids; g : accélération due à la pesanteur)

la vitesse (v) d’un mobile en MRUA

v = at (a : accélération; t : temps)

la puissance (P) d’une machine le poids (P) d’un corps en chute libre la pression (p) d’une force (F) sur une surface (S)

Second membre

grandeurs scalaires t

Opération

grandeurs vectorielles g (accélération due à la pesanteur)

Premier membre grandeur grandeur vectorielle scalaire

Multiplication d’un vecteur par un réel

e

W t (W : travail; t : temps) P =

P = mg (m : masse; g : accélération due à la pesanteur) p =

F S

103

CaEM511page 104 noir vert

11. PRODUIT SCALAIRE

EXERCICES

469. Un enfant tire son cheval à roulettes sur une distance de 10 mètres avec une force de 10 kg.

La corde et l’horizontale forment un angle de 30°.

Quel travail physique en Joules déploie-t-il ?

(1kg = 9, 81 newton)

Quel travail physique accomplit-il ?

Le résultat obtenu est-il un nombre de même signe que celui obtenu dans l’exercice précédent ? Explique mathématiquement ta réponse.

471. Les Égyptiens de l’Antiquité utilisaient des plans inclinés pour hisser les blocs de pierre nécessaires à l’édification des pyramides.

F

G

30∞

e

470. Un maçon monte un sac de ciment de 50kg. L’escalier mesure 20 mètres et forme avec le sol un angle de 60°.

IN

− → a) Construis T donnant la force de tension du câble et − → R donnant la force de réaction qui permet au bloc − → de demeurer sur le plan incliné. L’origine de T et de − → R est le centre de gravité G du bloc.

e 60∞

P

un bloc de de 1,5 mèforme avec newton).

VA

N

b) Évalue le travail (en joule) accompli par 500 kg qui déplace son centre de gravité tre sur le plan incliné, lorsque ce dernier l’horizontale un angle de 35° (1 kg = 9,81

POUR S’AUTOCONTRÔLER

s

11.1

iti

on

472. Dans le plan, on donne les points A, B, C, D et E : a) Détermine graphiquement la projection orthogonale de −→ 1) CD sur la droite AB; −→ 2) AB sur la droite BE; p. XXI −→ 3) CD sur la droite BE.

Ed

b) Évalue l’angle formé par les vecteurs −→ −→ −→ −→ −→ −→ 1) AB et CD; 3) AB et DB; 5) AB et EB; −→ −→ −→ −→ −→ −→ 2) AB et DC; 4) AB et BE; 6) EB et DC.

D

E

C

B

473. Calcule les produits scalaires : −→ −→ −→ −→ −→ − → 1) AB CD; 3) AB GH; 5) AB IJ ; −→ −→ −→ −→ −→ −→ 2) AB EF; 4) AB HK; 6) AB MN.

104

E N C

A

F

G B

M

−→ −→ 474. Calcule l’angle θ des vecteurs AB et CD si les coordonnées des points A, B, C et D sont respectivement (−2; −1), (1; 3), (−3; −2) et (5; 4) dans un repère orthornomé d’un plan.

T

U

35∞

A

D

475. Calcule dans le cube donné ci-contre : a) l’angle des vecteurs −−→ −→ 1) R T et RS; −−→ −→ 2) R S et TU; −→ −→ 3) US et SU ;

R

S T'

U'

R'

10

S'

CaEM511page 105 noir vert

EXERCICES

11. PRODUIT SCALAIRE

−→ 478. Dans un repère orthonormé d’un plan, si AB (−3; 2) et −→ CD (−2; 4) sont donnés, calcule de deux manières différentes : −→ −→ −→ −→ 1)(2 AB − 3 CD) (AB + 2 CD) ; −→ −→ 2) (3 AB + 2 CD)2 .

b) la projection orthogonale de −−→ 1) R S sur la droite TT ; −−→ 2) UU sur la droite US . c) les produits scalaires −→ −→ −→ −−→ 3) SU SU ; 1) RS T U ; −→ −→ 4) S T SU .

−→ −→ 2) RU SS ;

−→ −→ 476. Calcule l’angle θ des vecteurs AB et CD, si l’on te dit que les coordonnées de A sont (3; 1; −2), de B (4; −1; 3) de C (0; 1; 4) et de D (−2; 4; −2), dans un repère orthonormé de l’espace.

Ed

iti

on

s

VA

N

IN

477. Un réel ou un vecteur ? −→ −→ −→ −→ 1) (AB CD)(AC BD) ; −→ −→ −→ −→ 2) (AB CD)(2 AB + 3 CD).

479. On donne les points A et B du plan. c a) Construis le lieu L des

B points P du plan tels −→ −→ que AB BP = 0 b) Fais de même dans A l’espace.

−→ 3 1 1 480. Soit les vecteurs AB ; − ; et 3 3 3

−→ 2 1 CD ; 0 ; − dans un repère orthonormé de 2 2 l’espace.

Montre qu’ils sont orthogonaux et que leur norme vaut 1.

105

CaEM511page 106 noir vert

11. PRODUIT SCALAIRE

EXERCICES

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER 472. a) La projection orthogonale

10

S

− →

−→

− →

−→

− →

−− →

T

b) 1) le point T ;

1) de CD sur AB est C B;

−→

10

2) UO, O étant le centre du cube.

2) de AB sur BE est A B;

M S'

3) de CD sur BE est C D .

T'

c) 1) −100

T

2) 0

C

D

E

2

3) SU = 200

A'

4) 0

10

10

2

D' B

C'

C"

U'

− →

476. AB (1; −2; 5)

b) L’angle formé par les vecteurs

− →

− →

− →

2) AB et DC mesure 0°;

2) 10

− →

− →

474. AB (3; 4)

CD (8; 6)

− →

− →

− →

− →

− →

5) −10

4) −10

6) 15

− →

− →

AB CD = 24 + 24 = 48 AB = 5

;

CD = 10

− →

−− →

− →

Ed U'

•

− →2

R'

3

− →

= 2(9 + 4) + (6 + 8) − 6(4 + 16) = −80.

2

(−9; 6) + (−4; 8)

10

U

10

2

T

U

10

10

•

− →

− →

− →

− →2

− →

− →2

− →

= 9 AB + 12 AB CD + 4 CD = 117 + 168 + 80 = 365.

479.

B

B

3

A 10

2

S

3

A

est la droite perpendiculaire à AB, par B .

1 − → − → 480. AB CD = √ − 6

U' AB =

106

− →

(3 AB + 2 CD) (3 AB + 2 CD)

S'

10

S

= (−13; 14)2

= (−13; 14) (−13; 14) = 365.

= 35, 26°.

D’où USU 3)

− →2

− →

2 AB + AB CD − 6 CD

2) •

T

√ 2 2 − → −→

√ 3) US et SU : cos USU = · ou

(−3; 2) + (−4; 8)

= (0; −8) (−7; 10) = −80.

iti

U

(−6; 4) − (−6; 12)

R S = 180°; 2) R S et TU ou U 2)

CD = 7;

478. 1) •

on

R T = 45°; 1) R T et RS ou S

30;

2) Le produit d’un vecteur par un réel, c’est-à-dire un vecteur.

s

−− →

;

√

477. 1) Le produit de deux réels, c’est-à-dire un réel.

⇒ θ = 0, 284 rad. ou − 0, 284 rad.

475. a) Angles des vecteurs

− →

AB =

AB CD = −2 − 6 − 30 = −38. − 38 ⇒ θ = 3 rad. cos θ = √ 7 30

6) EB et DC mesure 35°.

⇒ cos θ = 0, 96

48 = 50 cos θ

CD (−2; 3; −6)

4) AB et BE mesure 145°

3) 5

⇒

− →

5) AB et EB mesure 35°

3) AB et DB mesure 90°; 473. 1) −5

− →

S'

2

N

− →

1) AB et CD mesure 180°;

− →

;

VA

− →

10

IN

A

− →

2

M

est le plan perpendiculaire à AB, par B .

√

6 = 0; 6

1 3 1 + + =1 3 3 9

;

CD =

2 1 + = 1.

2 4

CaEM515page 134 noir vert

15

LOIS DE PROBABILITÉ

6e pour tous

Compétences à atteindre

1

N

IN

– Préciser la signification des termes : variable aléatoire, loi de probabilité, espérance mathématique, variance et écart-type d’une variable aléatoire.

– Résoudre des problèmes de probabilité en utilisant des dénombrements, une table, une calculatrice ou un logiciel.

– Reconnaı̂tre des conditions d’application des lois de probabilité.

– Utiliser le calcul des probabilités pour comprendre la portée, analyser, critiquer des informations chiffrées.

Une pièce de monnaie est lancée à trois reprises.

Manuel, page 236.

Les organisateurs d’une tombola de bienfaisance ont imprimé 1000 billets numérotés de 1 à 1000.

Le règlement prévoit que 5 billets gagneront 500 ; 12 billets gagneront 100 ; 25 billets gagneront 30 ; 55 billets gagneront 10 ; les autres billets ne gagneront rien.

iti

on

2

s

VA

a) Détermine la catégorie d’épreuves Ω et la probabilité de chacun des événements élémentaires de Ω. b) On note X le nombre de «pile» obtenu. Quel est l’ensemble des valeurs que peut prendre X ? À quel événement de Ω correspond chacune de ces valeurs ? c) On note xi , une valeur quelconque que peut prendre X; P( X = xi ), la probabilité de l’événement associé à xi .

Pour chaque valeur de xi , calcule P( X = xi ).

Ed

Tous les billets ont été réservés par des sympathisants. a) Quel doit-être le prix d’un billet pour que cette tombola dégage un bénéfice de 5000 ? b) Si xi est le nombre d’euros que peut rapporter un billet; X est le gain espéré d’un billet; détermine, pour chaque valeur de xi , la valeur de P( X = xi ). c) Trace le graphe cartésien de la fonction f définie par f( xi ) = P( X = xi ).

Manuel, page 236.

3

Un dé non pipé est lancé quatre fois. À chaque lancer, le résultat ne dépend en rien des résultats précédents ou des résultats suivants puisque, chaque fois, on se retrouve dans les mêmes conditions : devoir lancer un dé non pipé.

Il est convenu de nommer

Manuel, page 238.

134

succès, l’obtention de la face 2; échec, l’obtention d’une autre face. a) Lors d’un jet quelconque, quelle est la probabilité p d’obtenir un succès ? la probabilité q d’obtenir un échec ?

Que vaut p + q ? b) Après les quatre jets, on obtient 0, 1, 2, 3 ou 4 succès.

De combien de manières peut-on obtenir 0 succès ? 1 succès ?

2 succès ? 3 succès ? 4 succès ? c) On nomme X le nombre de succès. Quelle serait, selon toi, la valeur de P( X = 0)? P( X = 1)? P( X = 2)? P( X = 3)? P( X = 4)? Tente une explication.

CaEM515page 135 noir vert

EXERCICES

15. LOIS DE PROBABILITÉ

POUR APPLIQUER

15.1 644. Dans le jeu de pile ou face, on gagne 1 si l’on obtient «pile» et on perd 2 si l’on obtient «face».

Choisis une variable aléatoire et détermine sa loi de probabilité; son espérance mathématique; sa variance et son écart-type.

645. Au jeu de dés, on gagne 4 si on obtient 5 et on perd 2 dans les autres cas.

Choisis une variable aléatoire et détermine sa loi de probabilité; son espérance mathématique; sa variance et son écart-type.

15.3

on

s

On perd 0,5 si ce point est l’as.

Si X est le gain du joueur, détermine sa loi de probabilité; son espérance mathématique; sa variance et son écart-type.

652. Une pièce de monnaie bien équilibrée est lancée 6 fois de suite. La variable aléatoire choisie est le nombre d’apparitions de «face». a) Calcule P(X = 5) et P(X < 3). b) Quel est le nombre de «pile» espéré ? c) DétermineV(X) et σ(X).

VA

646. On jette un dé non pipé et on note le point de la face supérieure.

On gagne 5 si ce point est 6; 1 si ce point est soit 5, soit 4; 0 si ce point est soit 3, soit 2.

651. Lors d’un examen écrit, un étudiant se voit proposer une série de 20 questions à choix multiples : 5 réponses sont proposées à chaque question, une seule est correcte.

L’étudiant répond au hasard à chaque question. a) Quel est le résultat le plus probable (espérance mathématique) ? b) Quelle est sa probabilité de réussite (au moins 10 sur 20) ?

IN

Aristote (350 av. J.C.) Métaphysique.

N

«Tout ce qui arrive à l’existence doit s’attribuer à l’une des trois causes : la nature, l’art, le hasard.»

650. Une urne contient 10 boules blanches et 5 boules noires indiscernables au toucher. On effectue 20 tirages avec remise de la boule dans l’urne après avoir noté sa couleur.

Quelle est la probabilité d’obtenir : a) 7 boules blanches et 13 boules noires ? b) 13 boules blanches et 7 boules noires ? c) un nombre de boules blanches compris non strictement entre 11 et 15 ? d) strictement moins de 10 boules blanches ? e) strictement plus de 10 boules noires ?

Quel gain moyen peut espérer le joueur ?

Ed

iti

647. Deux dés sont lancés simultanément.

La variable aléatoire X est la différence, positive, entre les nombres lus sur les faces supérieures. a) Détermine la loi de probabilité de X. b) Trace le polygone de probabilité. c) Calcule P(X > 2) et P(X 2).

Compare ces deux probabilités.

Quelle conjecture en déduis-tu ?

Tente de la prouver.

15.2

648. Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement symétrique n fois de suite. Il gagne s’il obtient pile m fois. Calcule la probabilité de gain de ce joueur, a) lorsque n = 4 et m = 1; b) lorsque n = 8 et m = 2; c) lorsque n = 16 et m = 4.

649. Une urne contient 7 boules blanches et 5 boules noires indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard avec remise. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire et une boule blanche lors des deux tirages ?

653. Un dé symétrique est lancé n fois. La variable aléatoire est le nombre d’apparitions de 3 ou 4. a) Détermine p = P(3 X 4). b) Trace le polygone de probabilité pour n = 5.

Détermine E(X) et σ(X).

Compare ce polygone avec le graphe cartésien de (x−E)2 1 f(x) = e− 2σ2 , σ 2π

lorsque E = np et σ = np(1 − p). c) Fais de même lorsque n = 10; n = 15.

Que constates-tu ? le nombre n d’épreuves est 100, la probabilité p d’un succès est 0,01, calcule la probabilité d’avoir 0, 1, 2, 3, 4 succès.

1) par la formule de la loi binomiale; 2) en appliquant la loi de Poisson. b) Compare les résultats obtenus. Que peux-tu dire de la loi de Poisson par rapport à la loi binomiale ?

654. a) Si

655. On sait que dans un livre de 500 pages, il y a 300 fautes typographiques distribuées au hasard.

Pour calculer la probabilité P pour qu’une page choisie au hasard contienne exactement 2 fautes, quelle loi vastu privilégier ? Pourquoi ? Calcule cette probabilité.

135

CaEM515page 136 noir vert 15. LOIS DE PROBABILITÉ

EXERCICES

POUR S’AUTOCONTRÔLER 656. Une famille a 5 enfants. Calcule la probabilité pour qu’il y ait 2 garçons et 3 filles. On suppose que la probabilité d’avoir un garçon est la même que celle d’avoir une fille.

658. Dans une usine, on constate que 3% des articles fabriqués sont défectueux. A l’aide d’une loi de probabilité bien choisie, calcule la probabilité que, dans une caisse de 100 articles, il y ait 4 articles défectueux.

657. Un lanceur de fléchettes atteint une cible avec une probabilité évaluée à 0,4. Il lance 8 fois une fléchette. Quelle est la probabilité pour qu’il atteigne la cible au moins deux fois ?

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER

656. La probabilité d’avoir un garçon est 12 , celle d’avoir une fille est 12 .

IN

1 · 2

Utilisons la loi binomiale avec n = 5, p = q =

Par la loi binomiale,

N

= 0, 893.

1 2

1 2

=

5 · 16

658. «Avoir un objet défectueux» est considéré comme un succès.

VA

P(X = 2) = C25

C08 (0, 6)8 + C18 (0, 4)(0, 6)7

≈ 1 − (0, 017 + 0, 090)

La variable aléatoire X est le nombre de succès : 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Donc

P(«au moins 2 succès») = 1 −

(«Avoir un garçon» est considéré comme un succès. Le problème se traite de la même manière si l’on considère qu’un succès consiste à «avoir une fille»).

2 3

P(«au moins 2 succès») = 1 − P(«0 succès») + P(«1 succès»)

On pourrait utiliser la loi binomiale avec n = 100, p = 0, 03, k = 4.

657. «Atteindre la cible» est considéré comme un succès. p = 0, 4 et q = 0, 6.

Comme p est petit, on peut aussi utiliser la loi de Poisson : (100.0, 03)4 ≈ 0, 168.

P(X = 4) = e−100.0,03 .

4!

s

POUR CHERCHER

iti

on

659. UNE AMUSANTE APPLICATION DU TRIANGLE DE PASCAL Considérons une famille de 10 enfants.

Chaque enfant venant au monde a une chance sur deux d’être un garçon et une chance sur deux d’être une fille. a) Quel est le total possible des combinaisons «fillesgarçons» de dix enfants ?

b) Complète le tableau suivant (. . . en t’inspirant du Triangle de Pascal). c) Vérifie tes résultats en utilisant la loi binomiale (en considérant que «avoir une fille» est un succès).

P(7F-3G)

P(5F-5G)

P(3F-7G)

P(1F-9G)

=

=

=

=

=

Ed

P(9F-1G)

P(10 filles)

P(8F-2G)

P(6F-4G)

P(4F-6G)

P(2F-8G)

P(10 G)

=

=

=

=

=

=

Les dix enfants de la famille Adamson à Clobourg.

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