CQFD 5e (4p/s) - Chapitre 1

Udiddit, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants La plate-forme Udiddit te donne, par exemple*, accès à : - des exercices en ligne pour t’entraîner, - un aperçu de tes progrès et de tes résultats, - du matériel de cours, - des jeux captivants, - et bien plus encore... * En fonction de la méthode

Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits photographiques : © www.jardinetsaisons.fr (p. 30) ; © Fotolia : Khayel (p. 1), Minicel73 (p. 3), Lisa F. Young (p. 22), Creativedoxfoto (p. 23), johnmerlin (p. 24), Dmitry Pichugin (p. 25), Maxim Tupikov (p. 29), THANANIT (p. 49 ht), ysbrandcosijn (p. 49 bas), Gargonia (p. 53), Patrick J. (p. 54), Richard Villalon (p. 55 ht), photlook (p. 55 bas), Ezechiel (p. 56 ht), Zurich (p. 56 bas), Frédéric Massard (p. 59), magele-pic (p. 60), Giorgio Magini (p. 64), sdecoret (p. 77), .shock (p. 79 ht), pixarno (p. 79 bas), James Blacklock (p. 81), Maxime Rabault (p. 84), Studiogriffon.com (p. 94), Patrick Chazot (p. 95 ht), willypd (p. 95 bas), Marco Desscouleurs (p. 98 ht), Asso-com.com (p. 98 m), PhG (p. 103), Michel Müller (p. 128), Miguel S. (p. 130), Jean-Philippe Delisle (p. 131), zmtanya (p. 133), wooster (p. 134), thierry burot (p. 135), Sandra Sabbe (p. 138), Beatrice Preve (p. 142), Frog 974 (p. 166 ht), Beatrice Preve (p. 166 bas), Adrian Beesley (p. 171 g), Mikael Damkier (p. 171 d), ivan kmit (p. 175), nskyr2 (p. 201), VP (p. 213).

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017, De Boeck publié par VAN IN. Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

2e édition - 3e réimpression 2019 ISBN 978-2-8041-9261-7 D/2017/0074/022 Art. 572680/04

Avant-propos

Chaque fois que l’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») !

Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Décrire, Définir, Développer, Démystifier. Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent…

Cette nouvelle édition du manuel CQFD 5e (4 périodes/semaine) intègre les compétences et les ressources telles qu’elles sont décrites dans le document « Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques : humanités générales et technologiques », diffusé par la Fédération WallonieBruxelles, référentiel appliqué progressivement depuis septembre 2015.

Les ressources et compétences énumérées dans les cinq unités d’acquis d’apprentissage (UAA) des « Mathématiques générales » en classe de 5e année sont développées dans les sept chapitres de ce manuel. Le tableau des pages IV-V indique les correspondances.

Dans chaque chapitre, un parcours identique structure les apprentissages : – l’introduction situe la nouvelle matière dans le parcours scolaire et/ou dans l’histoire, – l’exploration fournit des informations et des pistes de travail pour l’apprentissage des nouvelles notions, – la synthèse, organisée en questions-réponses, permet de structurer et de fixer les concepts ; elle énonce des définitions, propose des exemples, explicite des procédures …

– les exercices, classés par compétences (Connaître, Appliquer, Transférer), testent les connaissances, développent l’habileté calculatoire ou procédurale ainsi que la capacité à résoudre des problèmes.

Dans un monde où les technologies sont en constante évolution, on ne peut passer sous silence l’apport de l’outil informatique dans l’apprentissage. Dans quelques chapitres, une rubrique « Outils numériques » développe quelques pistes d’utilisation de logiciels en rapport avec le contenu du chapitre, soit pour l’illustrer, soit pour résoudre l’un ou l’autre exercice.

Des tableaux et des graphiques figurant dans le manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiqués par le symbole et peuvent être téléchargés gratuitement par le professeur via Udiddit.



La sélection des activités présentées vise à développer, chez l’élève, de multiples compétences : maîtriser ses connaissances, conjecturer, vérifier, argumenter avec un langage propre aux mathématiques, produire et analyser un graphique, un tableau, résoudre un problème.

Nous espérons que les élèves qui utilisent ce livre développeront un réel intérêt pour les mathématiques !

Les auteurs Avant-propos

III

Correspondance entre les chapitres et les UAA UAA1 Statistique à deux variables Ressources

Chapitre

Représentation d’une série statistique à deux variables Point moyen Ajustement linéaire Méthode de Mayer et des moindres carrés Covariance

Chapitre 1 Statistique à deux variables

Coefficient de corrélation linéaire Fonctions statistiques et graphiques de l’outil informatique

UAA 2 Suites Ressources

Chapitres

Suites : – définition en fonction du rang, – définition par récurrence Suites arithmétiques, suites géométriques : – terme général – somme des n premiers termes – type de croissance – convergence Intérêts simples, intérêts composés Tableau d’amortissement

Chapitre 2 Suites

Chapitre 3 Suites : applications financières

UAA 3 Asymptotes et limites Ressources Opérations sur les fonctions (y compris la composition)

Limite d’une fonction Règles de calcul des limites Asymptotes

IV

Avant-propos

Chapitres Chapitre 4 Fonctions : rappels et compléments Chapitre 6 Limites et asymptotes

UAA 4 Dérivée Ressources

Chapitre

Taux d’accroissement Nombre dérivé Tangente en un point du graphique d’une fonction Fonction dérivée Dérivée des fonctions de référence Formules de dérivation

Chapitre 7 Dérivées et applications

Liens entre la dérivée première et la croissance d’une fonction Extremum local Liens entre la dérivée seconde et la concavité du graphique d’une fonction Point d’inflexion

UAA 5 Fonctions trigonométriques Ressources

Chapitre

Nombre p Angles, arcs, secteurs circulaires Radian Angles orientés Fonctions trigonométriques de référence x → sin x, x → cos x, x → tan x

Chapitre 5 Des fonctions trigonométriques aux équations

Fonction trigonométrique x → a sin (bx + c) Amplitude, période, déphasage

Avant-propos

V

Dérivées Comment s’y prendre ?

7

et applications

Le manuel est structuré en 7 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique.

Tracer le graphique d’une fonction du second degré, rechercher son maximum ou son minimum,

Exploration

déterminer ses intervalles de croissance ou de décroissance ne posent guère de difficultés dès qu’on connaît les caractéristiques de cette fonction. Il en va autrement pour des fonctions polynômes d’un degré supérieur ou pour des fonctions dont l’expression est plus élaborée.

La notion de dérivée découverte dans ce chapitre permet d’étudier de nombreuses fonctions sous différents aspects : croissance, extrema, représentation graphique…

1

D’une configuration à une suite de

Les domaines d’application de la dérivée sont nombreux. On peut citer, entre autres, les sciences (étude des mouvements en physique, de la vitesse de réaction ennombres chimie…), l’économie (tendance des marchés et variation des coûts…), le monde technique (conception de ponts, raccordement de courbes…). (a)

Historiquement, le concept de dérivée a été inventé au XVIIe siècle quasi simultanément par deux mathématiciens : l’Anglais newton et l’Allemand leIbnIz. Le premier aborde la dérivée par (b) les « infiniment petits » dans l’étude du mouvement des corps, tandis que le second cherche à résoudre des problèmes de tangentes. (c)

Lis attentivement l’introduction pour situer a. Dessiner chaque fois le groupe de points qui vient juste après le ce que l’on va apprendre. dernier. (d)

fig. 1

b. Compléter le tableau ci-dessous dans lequel n est le numéro du groupe et p le nombre de points.

1

n

2

3

4

100

p pour (a) p pour (b) p pour (c)

Pour calculer la vitesse instantanée d’un mobile, pour (d)sur des intervalles on observe l’espacepparcouru de temps de plus en plus petits…

Pour assurer la sécurité des enfants, ce toboggan ne peut présenter ni creux, ni bosse. La courbe, vue de profil, peut être modélisée par deux courbes qui, à l’endroit où elles se raccordent, ont même tangente ou par une courbe polynomiale à tangente horizontale au départ et à l’arrivée.

c. Quelles sont les configurations qui correspondent à une suite arithmétique ? d. Pour chaque suite, écrire la formule qui permet de calculer p quand on connaît n.

Exploration

2

L’échelle fruitière

Introduction

Synthèse 1 Exercices 1 et 2

171

Pour la cueillette, les fruiticulteurs utilisent des échelles dont les échelons sont de longueur décroissante. Une de ces échelles a 8 échelons dont la longueur décroît de 55 cm à la base à 20 cm pour l’échelon supérieur.

En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

a. Déterminer la longueur des échelons intermédiaires. b. Déterminer la longueur totale de bois nécessaire pour fabriquer les 8 échelons.

30

2. Suites

Synthèse 8

Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle en +∞ ou en –∞ ?

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

6.7 Limite en l’infini d’une fonction rationnelle

Exemple − x2 + 5 x − 7 −x2 = lim = lim ( − x) = − ∞. x→ + ∞ x x→ + ∞ x−3 − x2 + 5 x − 7 −x2 = lim = lim ( − x) = + ∞. lim x→ − ∞ x→ − ∞ x x→ − ∞ x−3 lim

x→ + ∞

VI

Comment s’y prendre ?

Exemple lim

x→ + ∞

3 x2 − 7 x + 2 2 x2 − x − 6

= lim

x→ + ∞

3 x2 2 x2

=

3 2

Outils numériques Outils numériques

Tableau d’amortissement et graphique Les instructions à introduire dans les différentes cellules du tableau sont indiquées dans la colonne « contenu » et commentées dans la colonne de droite.

Tu découvres quelques utilisations des tableurs et logiciels graphiques.

1) Données : prêt personnel de 10 000 € à rembourser en 12 mensualités égales, au TAEG de 6,4 %.

Connaître Lecture sur le graphique

y

7



h ; f ( a) ; f ( a + h) ; f ( a + h) - f ( a) ; lim h→0

Montant emprunté

Titre de ce qu’on va écrire dans la cellule C1

C1

10000

En cliquant sur la cellule avec le bouton droit de la souris, on peut préciser son format (onglet nombre) et le nombre de décimales.

B2

TAEG

Titre de ce qui va se trouver dans la cellule C2

C2

6,4 %

En cliquant sur la cellule avec le bouton droit de la souris, on précise son format (onglet nombre, pourcentage) et le nombre de décimales.

B3

Nombre de mensualités

C3

12

Titre de ce qui va se trouver dans la cellule C3

B4

Taux par période

Titre de ce qui va se trouver dans la cellule C4

C4

=((1+C2)^(1/12))–1

Pour obtenir le taux mensuel équivalent au TAEG donné (le crédit est remboursé par mensualités). Préciser le format de cellule pourcentage avec 4 décimales.

Comprendre y = f (x) les formules

Les exercices Connaître permettent de fixer l’essentiel d’appliquer A7 1 Avec la souris, bouton gaucheet enfoncé, sélectionner les Utiliser le terme correct pour désigner la partie de formule entourée. deux cellules ; relâcher le bouton ; déplacer la souris vers A8 2 directement ce que le coin inférieur droit jusqu’à l’apparition d’une petite A9…A18 croix noire ; bouton gauche de la souris enfoncé, tirer 1 le1 bas tu  asla étudié.

1 vers jusqu’à valeur 12. x e. a. V ( x) = ∑ ( x - x ) c. Cov( x, y) = x y -xy ∑

f ( a + h) - f ( a) . . h

n 2 i iMensualité =1

n

n

∑

i  i i n i=1 n i=1  montant de la mensualité, Pour calculer le on utilise une B7 n =–VPM($C$4;$C$3;$C$1) fonctionn de Excel. Cliquer sur fx pour « insérer une fonction » ; dans la catégorie « Finances », sélectionner VPM 1 Variations ( yi - ( axi + b))2 b. d. Cov( x, (OK). y) = Compléter y) ( xi - x ) ⋅ les ( yi -différents arguments : pour le taux, n i=1 a a+h x i =1 Dy cliquer C4 (puis touche F4 du clavier), pour Npm (nombre fig. 18 . a. Calculer Dy et de périodes), cliquer C3 (puis touche F4), pour va (monDx 2 tant emprunté), cliquer C1 (puis touche F4). Introduire 1) lorsque x varie de 2 à 1,6 dans la fonction f ( x) = x + 5 x - 8 . un signe – entre = et VPM pour avoir un résultat positif.

2x - 4 .

2) lorsque x varie de 1,2 à 2,7 dans la fonction f ( x) = 2 x +1 b. Comment interpréter graphiquement les résultats obtenus ?

n

B6

2

Commentaires

2) Construction du tableau d’amortissement Voici quelques expressions utilisées pour désigner différents termes qui apparaissent dans les formules de statistique : moyenne, écart Cellule Contenu Commentaires à la moyenne, carré des écarts verticaux, produit des écarts aux A6 Titre des de lavariables. première colonne du tableau moyennes desÉchéance variables, moyenne du produit

Indiquer sur la fig. 18 ce que représentent les expressions suivantes :

f ( a + h) - f ( a) ; h

Contenu

B1

Exercices

Exercices

1

Cellule

∑

∑

Exercices

72

3

Terminologie

Appliquer

3. Suites : applications financières

3 Parmi les expressionsdesuivantes : dérivée, pour fonction Utiliser le graphique la fonctionnombre f ( x) = xdérivé, − 6 x (fig. 50) dé-

8 Pièces défectueuses dérivée, les variation, vitesse moyenne, vitesse ponctuelle, rythme solutions des équations : Avecterminer les exercices Appliquer, moyen, pente de la sécante, 4 la tangente, débit instantané, Une machine fabrique des pièces pour appareils électroména− 6 x =de x pente coût moyen, valeur en un point de la fonction dérivée, gers. Elle se dérègle au fil du temps… et on relève le pourcentage tu acquiers un « savoirx − 6x + 3 = 0 a. quelles sont celles qui sont équivalentes à « taux de variation de pièces défectueuses produites par cette machine au cours de la − 6 x = xles x sur faire »instantané qui s’appuie semaine écoulée. »? x − 8équivalentes x+5 = 0 b. quelles sont celles qui sont à « taux de variation Semaine 1 2 3 4 5 énoncés et les méthodes moyen » ? y Partant de la valeur approchée de chaque racine, utiliser une cal- Pourcentage de pièces 0,72 1,1 1,3 1,8 2,5 découverts. culatrice pour déterminer un encadrement au centième près de la défectueuses 3 3 3 3

4

6

7

8

3,1

3,0

3,2

racine exacte.

Vrai ou faux

1) Représenter le nuage de points associé à cette série de données.

On donne quelques tangentes au graphique d’une fonction (fig. 19).

10 Transformations

2) Écrire l’équation de la droite de Mayer et la tracer.

Observer les pentes des tangentes et indiquer la réponse correcte.

3) Un entretien de la machine s’impose lorsqu’elle produit 5 % de Représenter la fonction f1(x) =  x  dans l’intervalle [ −5 ; 5] . Dans le pièces défectueuses ; quand faut-il le prévoir ? a. f ′( -repère, 0, 5) = 0tracer , 45 ou f ′( - 0, 5) = - 0, 45 même 1 a. l’évolution de la température = 1 la f ′(1, 5) est f ′(1, 5) =qui 0 f2modélise b. Quelle oufonction (x) =  x – 1  d’une journée durant laquelle le maximum est de 10 °C et le minix f3(x) 2 – x 0 1 c. mum, =f ′(3) =atteint 3 ou fà′(3)h, 3 de est –2 = °C ? fig. 19 f3(x) x – 2 b. Quelle était la température à= minuit ?

Exercices

c. Pendant combien de temps a-t-il gelé ? d. Pendant quelles périodes de la journée a-t-on eu une température supérieure à 8 °C ?

Exercices

191

Transférer

11 24

12 25

Les problèmes proposés Exercices mobilisent les concepts dans des situations variées.

Résistance de l’air Le jour le plus long

En déterminant expérimentalement la en résistance R de l’air s’exerEn 2015, le jour le plus long à Juneau, Alaska, était çant une voiture roulant à lalevitesse v, du on lever a relevé le 20 sur juin : 18h16m50s séparent coucher du les résultats fournisUne par demi-année le tableau ci-contre. soleil. plus tard, le jour le plus court Parmi les formules suivantes, correspond le mieux à ces réest atteint avec 6h22m50s delaquelle soleil. Le 20 juin est le sultats expérimentaux ? estn’est un coefficient dépendant de la forme 171e jour de cette année,(k qui pas bissextile. de la surface).

Représenter la situation et modéliser la longueur d’une journée du=jour R = kv ;enRfonction = kv2 ; R k vde . l’année.

Vitesse en m/s

Résistance en newtons

10

59

20

241

30

562

40

963

50

1 502

21

Une aire constante Circuit électrique

On sait morceau de toile rectangulaire a une aire de 4 m2.

Dans unqu’un circuit électrique, l’intensité du y a. Quelles être les dimensions d’une telle toile ? Dresser courant est peuvent donnée par un tableau valeurs pour les bases et les hauteurs de quelques i(t) =deImax sin (100 π t + φ) où rectangles. t est le temps (en secondes) et φ le dépha1 sage subi parlelegraphique courant. correspondant à cette équation. Porter les b. Dessiner 0 bases enleabscisse et les hauteurs en(fig. 65) ordonnée. a. Utiliser graphique de la fonction c. pour Les points dont Ion donne les coordonnées ci-dessous appardéterminer max et i(0) . au graphique de cette fonction ? b. tiennent-ils Écrire l’expression de la fonction.

Comment s’y prendre ?

0,01

t

VII

Sommaire

1.

VIII

Statistique à deux variables

1

2. Suites

29

3.

Suites : applications financières

59

4.

Fonctions : rappels et compléments

81

5.

Des fonctions trigonométriques aux équations

95

6.

Limites et asymptotes

135

7.

Dérivées et applications

171

Sommaire

Statistique à deux variables

1

La description d’une population statistique peut être plus intéressante et précise lorsqu’on étudie simultanément deux caractères : puissance des voitures et consommation, dose d’un médicament et durée de son effet, taille et poids d’un groupe d’adolescents, ou lorsqu’on étudie l’évolution d’un phénomène au fil du temps… La représentation graphique des couples observés, sous forme d’un nuage de points, se révèle être un premier outil efficace pour déceler s’il existe une relation entre les variables. Si les points montrent une tendance à s’aligner ou à former une courbe, le phénomène étudié peut être modélisé ou « ajusté » par une fonction numérique : fonction polynôme du premier degré, du deuxième degré ou d’un degré supérieur, fonction exponentielle…

Il s’agit alors de préciser l’équation de la courbe qui modélise les observations et de rechercher une éventuelle corrélation entre les variables.

L’analyse et l’interprétation de cette corrélation relèvent du travail des statisticiens, notamment dans le cadre de prévisions.

Cette partie des statistiques trouve d’innombrables applications dans des domaines aussi variés que la recherche en biologie, les prévisions en matière économique, démographique et énergétique, les problèmes de santé…

Égypte, Assouan, le temple de Philae Au temps des pharaons, les Égyptiens avaient remarqué qu’il existait une relation entre les récoltes annuelles et les crues du Nil. Ils utilisaient leurs observations pour prévoir l’organisation de l’irrigation et évaluer la prochaine récolte.

Introduction

1

Exploration 1

Nuage de points et ajustement Les tableaux qui suivent fournissent des relevés d’observations statistiques : la quantité de sel dissout dans l’eau en fonction de la température (tab. 1) et la recette provenant des ventes d’un matériel informatique en fonction du prix de vente (tab. 2).

T en degrés C°

20

30

40

45

50

55

60

Quantité de sel en grammes

29

32

36

38

40

41

43 tab. 1

Prix en euros

50

80

100

130

150

180

Recette en centaines d’euros

75

104

117

122

103

67 tab. 2

Les figures 1 et 2 montrent les nuages de points correspondant à ces deux séries statistiques.

150 Recette en centaines d’euros

gr de sel 50 40

100

30 20

50

10

°C 0

10

20

30

40

50

60

70

Prix unitaire en euros 0

20

40

60

80

100

120

140

fig. 1

Répondre aux questions suivantes pour chaque exemple. a. Peut-on supposer une relation entre les deux variables ? b. Caractériser la forme graphique de la relation et préciser le degré de la fonction qui « ajuste » les nuages de points.

2

1. Statistique à deux variables

180

fig. 2

Les points de chaque nuage semblent « se disperser » autour d’une fonction polynomiale.

Lorsqu’on peut ajuster le nuage de points par une droite, on parle d’ajustement affine.

160

Synthèses 1 et 2

2

Ajuster par la droite de Mayer Une première méthode d’ajustement affine est la méthode de Mayer.

En Belgique, l’espérance de vie à la naissance augmente régulièrement. Le tableau ci-dessous, publié par Perspective Monde1, sur base de données de la Banque mondiale, donne l’espérance de vie entre les années 2000 et 2014.

Année xi

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

2014

Espérance yi

77,72

78,08

78,88

79,38

79,68

80,18

80,39

80,59 tab. 3

a. Partager les données en deux groupes d’effectifs égaux.

Déterminer le point moyen de chaque groupe (G1 et G2) : l’abscisse est la moyenne des abscisses des points du groupe et l’ordonnée, la moyenne de leurs ordonnées. b. Calculer la pente de la droite G1G2 et écrire une équation de cette droite. Cette droite est la droite de Mayer. c. Si x désigne la moyenne des xi et y celle des yi, calculer les coordonnées du point G ( x , y ), point moyen du nuage. Vérifier que la droite de Mayer passe par ce point. d. Utiliser un logiciel graphique. Introduire les coordonnées des points de la série, placer le nuage de points et les points moyens G1 et G2 ; tracer la droite de Mayer. e. Utiliser l’équation de la droite pour estimer l’espérance de vie d’une personne née en 2001, en 2018. f. Utiliser cette équation pour estimer l’année de naissance d’une personne dont l’espérance de vie est de 79 ans.

Synthèse 3 Exercices 1 à 3, 8 et 9

1. Perspective Monde consulté le 11/11/2016 (source : Banque mondiale) http://perspective.usherbrooke.ca/bilan/servlet/BMTendanceStatPays?codeTheme=3&codeStat =SP.DYN.LE00.IN&codePays=BEL&codeTheme2=3&codeStat2=x&codePays2=ZAF &langue=fr

Exploration

3

3

Ajuster par la droite des moindres carrés On peut aussi ajuster un nuage de points par la droite des « moindres carrés », appelée aussi « droite de régression ». Les logiciels graphiques et les tableurs permettent de représenter le nuage de points et de dessiner la droite de régression dont ils donnent l’équation (voir outils numériques).

Dans un souci d’économie d’énergie, on a relevé la consommation d’essence (yi) en litres aux 100 km en fonction de la puissance (xi) en chevaux vapeur de différentes voitures neuves (tab. 4). xi (en CV)

75

85

100

120

140

160

175

190

yi (en l/100 km)

4,7

5,1

5,7

6,1

6,3

7,1

7,4

8,0 tab. 4

On a introduit les données de ce tableau dans un logiciel graphique qui a dessiné la droite de régression et donné son équation (fig. 3). a. Utiliser la droite de régression pour calculer – la consommation en litres aux 100 km d’une voiture neuve d’une puissance de 90 CV, – la puissance d’une voiture consommant 6,8 litres aux 100 km. b. Vérifier algébriquement et graphiquement que le point moyen du nuage appartient à la droite de régression.

9

Consommation (l/100 km)

8

y = 0,0266x + 2,82

7 6 5 4 3 2 1 Puissance en CV 0

20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 fig. 3

c. Écrire l’équation de la droite de Mayer pour cette même série statistique.

4

1. Statistique à deux variables

d. La fig. 4 est un « zoom » de la droite de régression ; elle montre les écarts verticaux entre des points de même abscisse du nuage et de la droite de régression.

La droite de régression est la droite pour laquelle la somme des carrés des écarts verticaux des points du nuage à ceux de la droite est minimale.

Calculer, à l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, la somme des carrés des écarts verticaux à la droite de régression et à la droite de Mayer, puis comparer les résultats.

6

N3

y3 ax3 + b

R3

5 90

100

110

120 fig. 4

4

Tension artérielle Le tab. 5 donne la tension artérielle moyenne d’une population de femmes adultes en fonction de l’âge et la fig. 5 montre le nuage de points et la droite de régression correspondante. Âge Tension artérielle

36

42

48

54

56

60

63

66

11,8

13,2

14,0

14,4

14,7

15,5

14,9

15,1 tab. 5

16

14

point moyen

12

10 30

40

50

60

70 fig. 5

On démontre que la pente de la droite de régression, appelée coefficient de régression, est donnée par la formule n

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) i

a=

i =1

i

n

∑ (x − x)

.

2

i

i =1

Exploration

5

a. Compléter le tableau (tab. 6) à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur pour calculer la pente a de la droite de régression. xi

yi

36

11,8

42

13,2

…

…

66

15,1

∑ xi =

∑ yi =

x=

y=

X i = xi − x Yi = yi − y

XiYi

∑ XiYi =

X i2

Yi2

∑ Xi2 =

∑ Yi2 = tab. 6

b. Déterminer l’équation de la droite de régression. c. Estimer la tension artérielle moyenne d’une femme de 50 ans, de 70 ans.

Synthèse 4 Exercices 4, 10, 11

d. Comparer une des données expérimentales avec la valeur obtenue à partir de la droite de régression. Calculer l’écart.

5

Covariance et coefficient de corrélation Dans le cours de statistique descriptive de 4e, on a défini la variance et l’écart-type d’une série statistique à une variable ; ces indices permettent de mesurer la dispersion des données par rapport à la moyenne arithmétique des données de la série (voir synthèse 5).

A. Dans une série statistique à deux variables, une première démarche consiste à regarder dans quelle mesure les deux variables varient simultanément.

Cette approche est donnée par la covariance.

Voici deux séries statistiques.

1) Dans une école, l’économe fait le décompte de la vente journalière de boissons ; il a mis ces données en relation avec la température moyenne de la journée.

Température moyenne en degrés

9

12

16

21

23

24

27

30

Nombre de boissons vendues

2

3

4

4

5

5

6

7

2) Une salle de fitness souhaite étendre ses activités aux écoliers et augmenter ainsi le taux d’occupation le mercredi aprèsmidi. Elle réalise un sondage auprès de ses abonnés afin de connaître le nombre éventuel de nouveaux jeunes membres en fonction du montant du forfait.

6

1. Statistique à deux variables

Prix du forfait

150

180

210

235

250

265

280

295

310

Nombre d’abonnements

48

44

37

32

24

18

11

7

4

a. Introduire les séries dans un tableur et calculer, pour chacune d’elles, la covariance en utilisant la formule suivante Cov( x, y) =

1 n

n

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) . i

i

i =1

b.

Comparer les signes des résultats obtenus et conjecturer le lien entre signe de la covariance et sens de la liaison entre les variables.

B. Lorsqu’on détermine une droite de régression, il faut savoir dans quelle mesure elle est « fiable » : la droite ajustée s’accorde-t-elle bien aux données ? a. Si le nuage de points est très dispersé, la droite de régression ne constitue pas un bon « modèle » de la situation. Qu’en penser pour les explorations 3 et 4 ? b. Le coefficient de corrélation linéaire mesure le degré de concentration des points autour de la droite de régression.

Il est noté r et se calcule à partir de la formule suivante : n

Cov( x, y) r= = σx ⋅ σ y

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) i

i

i =1

n

∑ (x − x)

2

i

i =1

n

⋅

∑ ( y − y)

2

.

i

i =1

Si |r| est proche de 1, on peut considérer la droite des moindres carrés comme un bon ajustement du nuage des points.

Calculer le coefficient de corrélation linéaire des variables des séries statistiques du point A ci-dessus. Interpréter les résultats.

Remarque Les calculatrices et les tableurs donnent le coefficient de détermination, noté R2. Dans le cas d’un ajustement affine par la méthode des moindres carrés, on a

R2 = r .

Synthèses 5 et 6 Exercices 5 à 7, 12 à 14

Exploration

7

6

Corrélation ne signifie pas causalité Le texte2 ci-dessous est extrait de l’article « Des statistiques et des humains » publié en mars 2000 par Philippe Gouillou sur son site www.evoweb.net. « Dans “Une logique de la communication”, Paul Watzlawick3 raconte que la plus forte corrélation trouvée dans les années 1950 a été celle entre la consommation de bière sur la côte ouest des USA, et la mortalité infantile au Japon. Cet exemple a été fréquemment repris pour montrer les limites des statistiques et faire croire « qu’on peut leur faire dire n’importe quoi ». Et en effet beaucoup feront remarquer qu’on ne peut accuser les Américains assoiffés de tuer les Japonais (on remarquera d’ailleurs que personne n’accuse les enfants Japonais de mourir pour assoiffer les Américains).

D’où vient l’erreur ? Et bien c’est tout simple : Corrélation ne signifie pas Causalité. Considérons les termes : quand deux faits apparaissent comme ayant suivi la même progression dans le temps, nous avons une corrélation. Quand un fait a entraîné l’apparition d’un autre nous avons une relation de cause à effet, c’est-à-dire une causalité. (…)

Quelle était la causalité dans l’histoire racontée par Watzlawick ?

Tout simplement une forte vague de chaleur sur tout le Pacifique, qui avait incité les Américains à augmenter leur consommation de boissons (dont la bière), et qui avait entraîné de graves problèmes sanitaires chez les Japonais pas encore tout à fait remis de la guerre. » Dans cet extrait d’article, les deux variables (la consommation de boissons aux USA et le nombre de décès d’enfants au Japon) ne sont pas la conséquence l’une de l’autre, mais ont une cause commune : la vague de chaleur.

Dans les exemples suivants, on a constaté une forte corrélation entre les variables observées. Y a-t-il pour autant causalité entre ces variables ?

1) Au printemps, le nombre d’oiseaux et le nombre de fleurs.

2) En été, la vente des crèmes glacées et la vente des lunettes de soleil.

3) Le nombre d’accidents de la route et l’alcoolémie des conducteurs.

Synthèse 7 Exercices 15 à 20

2. Gouillou, Philippe (2000) : « Des Statistiques et des Humains », Evoweb, 10 mars 2000. http://www.evoweb.net/stat.html (consulté le 8 juin 2016).

3. Paul Watzlawick (1921-2007), psychologue et psychothérapeute, spécialiste de la théorie de la communication.

8

1. Statistique à deux variables

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on série statistique à deux variables ?

1

1.1 Série statistique à deux variables

Remarque

2

Qu’est-ce qu’un ajustement affine ? Pourquoi l’utiliser ?

Exemples

fig. 6

fig. 7

fig. 8

Synthèse

9

3

Comment déterminer un ajustement affine par la méthode de Mayer ?

1.2 Droite de Mayer

x y x=

1 n

n

∑x

i

i =1

y=

1 n

n

∑y

i

i =1

 75 + 85 + 100 + 120 4, 7 + 5,1 + 5, 7 + 6,1 ( x1 ; y1 ) =  ;  = (95 ; 5, 4)  4 4  140 + 160 + 175 + 190 6, 3 + 7,1 + 7, 4 + 8  ( x2 ; y2 ) =  ;  = (166, 25 ; 7, 2)  4 4 a=

10

1. Statistique à deux variables

7, 2 − 5, 4 = 0, 0253 166, 25 − 95

4

Comment déterminer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés ?

1.3 Droite de régression

1 1 y 8 7

a

6

n

∑ ( y − ( ax + b))

2

i

5

i

G

4

i =1

3 2

n

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) i

a=

i =1

b

i

n

2

∑ (x − x)

2

3

4

5

i

6

7

8 x fig. 9

i =1

y − y = a( x − x )

x y n

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) i

a=

i =1

i

n

∑ (x − x)

2

i

i =1

y − y = a( x − x ) outils numériques Remarques

Synthèse

11

5

Qu’appelle-t-on covariance ? Comment déterminer une corrélation linéaire entre deux variables ?

1 V ( x) = n

n

1 = n

∑ (x − x)

2

i

i =1

n

∑x

i

i =1

2

 2 −x . 

σ x = V ( x)

1.4 Covariance

1 Cov( x, y) = n

1 ( xi − x ) ⋅ ( yi − y ) =  n  i =1 n

∑



n

∑ x y  − x y i

i =1

1.5 Coefficient de corrélation

r=

Cov( x, y) σx ⋅ σ y

n

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) i

r=

i

i =1

n

∑ (x − x)

2

i

i =1

Remarque

12

1. Statistique à deux variables

n

⋅

∑ ( y − y)

2

i

i =1

i

r =

R2

Exemple

1 1

1 Cov( x, y) = ⋅ 337, 5 = 42,1875 > 0 8 r=

6

337, 5 12671, 875 ⋅ 9,14

= 0, 9917

Comment interpréter le coefficient de corrélation ?

Exemples y y

y r = – 0,99 r = 0,63

r = 0,20 x

x

fig. 10

fig. 11

x fig. 12

Remarque

Synthèse

13

7

Ne pas confondre corrélation et causalité !

Exemples

14

1. Statistique à deux variables

Outils numériques Les calculatrices graphiques et programmables ainsi que les tableurs sont de précieux outils puisqu’on peut y introduire les données d’une série statistique à deux variables, demander une représentation graphique du nuage de points correspondant, calculer la variance, les écarts-types, écrire l’équation de la droite de régression…

On renvoie au mode d’emploi des calculatrices pour l’utilisation de leur mode « Statistique ».

A. Utiliser Excel (à adapter selon la version du logiciel) On reprend ici les données « dissolution du sel » (exploration 1, tableau 1).

Les instructions à introduire dans les différentes cellules du tableau sont indiquées dans la colonne « Contenu » ci-dessous et commentées dans la colonne droite. Les lignes vides en haut de la feuille Excel permettent d’écrire un titre.

Cellule

Contenu

Commentaire

A2

T° en °C

Titre de la première colonne

B2

Sel dissous (en g)

Titre de la seconde colonne

A4… A10

20, 30, …, 60

Données de la première ligne du tableau

B4… B10

29, …, 43

Données correspondantes de la seconde ligne du tableau

Pour représenter les données graphiquement, on sélectionne les cellules A2 à B10, à l’aide du bouton gauche de la souris : garder le bouton gauche enfoncé en déplaçant la souris de la cellule A2 à la cellule B10.

Cliquer sur l’onglet Insertion, puis sur Nuage de points, puis sur le premier graphique proposé. Le graphique est dessiné automatiquement. On observe que les points sont quasi alignés ; on peut donc modéliser le nuage de points par une droite.

Avec le bouton droit de la souris, cliquer sur un des points du nuage.

Les points sont sélectionnés et un menu apparait. Dans ce menu, cliquer avec le bouton gauche sur l’option Ajouter une courbe de tendance.

Dans les options du Format de courbe de tendance, plusieurs types de courbe sont proposés ; cocher linéaire, puis les options Afficher l’équation sur le graphique et Afficher le coefficient de détermina2 tion (R ) sur le graphique. Cliquer sur Fermer.

Si on a oublié de cocher les options de la courbe de tendance, on peut le faire ultérieurement en cliquant sur la courbe de tendance avec le bouton droit de la souris.

Outils numériques

15

On peut alors améliorer la présentation en cliquant sur les divers éléments du graphique ; on peut ainsi déplacer à l’extérieur du graphique, l’équation et le coefficient de détermination en cliquant dessus avec le bouton gauche et en déplaçant la souris jusqu’à l’emplacement souhaité.

L’allure du nuage de points obtenu peut suggérer un autre type de courbe de tendance : polynomiale, exponentielle… On peut choisir le type de courbe de tendance dans les options du Format de courbe de tendance.

B. Utiliser Sine Qua Non On reprend ici les données de l’exploration 3.

Cliquer sur l’onglet « définir le repère » ; sur l’axe des abscisses, unité de graduation, indiquer : 20.

Cliquer sur l’onglet , « définir une série statistique double », entrer les données (valeurs de xi et yi).

Compléter « nature de la régression » par linéaire (moindres carrés) ou droite de Mayer.

Choisir le type de points pour le nuage, choisir d’afficher le point moyen, l’équation de la droite de régression…

On obtient y

Litres aux 100 km

9 y = 0,026634 x + 2,821

8 7 6 5 4 3 2 1

Puissance en CV 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

x

fig. 13

16

1. Statistique à deux variables

Exercices Connaître 1

Valeurs manquantes…

Dans la série statistique suivante, deux valeurs ont été effacées.

Sachant que les coordonnées du point moyen sont (7,54 ; 14,28), retrouver les valeurs manquantes.

2

xi

8,2

7,6

yi

14

12,1

6,1

9,1

15,2

16,3

D’après le graphique On donne un nuage de points et la droite de Mayer correspondante (fig. 14). a. Déterminer l’équation de la droite de Mayer. b. Vérifier que le point moyen du nuage appartient à cette droite. y 40 (22;38)

35 (15;29)

30

(18;32)

(11;23)

25 20

(9,5;17) (8;13)

15 10 5

0

5

10

15

20

x fig. 14

Exercices

17

3

D’après les points moyens On donne les deux points moyens G1 (3,7 ; 6,925) et G2 (8,42 ; 10,64) d’un nuage de points. a. Écrire l’équation de la droite de Mayer. b. Calculer l’ordonnée du point d’abscisse 5 de la droite de Mayer. c. Calculer l’abscisse du point d’ordonnée 11,4 de la droite de Mayer.

4

Vrai ou faux ?

Répondre sans utiliser ni calculatrice ni tableur.

On a représenté une série statistique par son nuage de points (xi, yi). a. Pour déterminer l’ordonnée du point moyen, on calcule : 1) la médiane des yi ; 2) la moyenne des yi ; 3) la demi somme de y1 et y6. b. Le point moyen est : 1) (4 ; 4) 2) (3,7 ; 3,5) 3) (3,5 ; 3,7) c. La droite de régression par la méthode des moindres carrés est obtenue en minimisant :

∑ ( yi − ( axi + b)) 2 2) ∑ ( yi − ( axi + b)) 3) ∑ yi − ( axi + b)

1)

y 6 5 4 3 2 1

0

d. L’équation de la droite de régression associée au nuage est : 1) y = – 0,771x + 1 2) y = x + 0,771 3) y = 0,771x + 1 e. D’une manière générale, un ajustement affine d’une série statistique à deux variables est : 1) le meilleur ajustement du nuage ; 2) toujours possible ; 3) toujours fiable.

18

1. Statistique à deux variables

1

2

3

4

5

6

x

5

Ajustement affine ?

Pour chacun des graphiques suivants (fig. 15 à 18), a. Indiquer si le nuage de points justifie la recherche d’un ajustement affine. b. Pour les nuages de points qui justifient un ajustement affine, caractériser le type de corrélation entre les variables x et y. c. Pour les autres nuages, indiquer le type de fonction qui pourrait modéliser la série.

y

y

x

x

fig. 15

fig. 16

y y

x

x

fig. 17

fig. 18

Exercices

19

6

Nuages des points et coefficients de corrélation On donne les graphiques de 5 séries statistiques et 5 coefficients de corrélation. Associer chaque nuage de points au coefficient de corrélation correspondant. a. r = – 0,93 b. r = – 0,44 c. r = – 0,28 d. r = 0,77 e. r = 0,98 y

y

1 0

1

x fig. 20

y

1 0

1

x fig. 19

1

y

0

1

x fig. 22

y

1

1 0

1

x fig. 21

20

1. Statistique à deux variables

0

1

x fig. 23

7

Comprendre les formules Voici quelques expressions utilisées pour désigner différents termes qui apparaissent dans les formules de statistique : moyenne, écart à la moyenne, carré des écarts verticaux, produit des écarts aux moyennes des variables, moyenne du produit des variables.

Utiliser le terme correct pour désigner la partie de formule entourée.

1 a. V ( x) = n

n

1 c. Cov( x, y) =  n

∑ (x − x)

2

i

i =1

n

b.

2 ∑ ( yi − ( axi + b))

d. Cov( x, y) =

i =1

1 n

 xi yi  − x y  i =1

1 e. n

n

∑

n

∑x

i

i =1

n

∑ (x − x) ⋅ ( y − y) i

i

i =1

Appliquer 8

Pièces défectueuses Une machine fabrique des pièces pour appareils électroménagers. Elle se dérègle au fil du temps… et on relève le pourcentage de pièces défectueuses produites par cette machine au cours de la semaine écoulée.

Semaine

1

2

3

4

5

6

7

8

Pourcentage de pièces défectueuses

0,72

1,1

1,3

1,8

2,5

3,1

3,0

3,2

1) Représenter le nuage de points associé à cette série de données.

2) Écrire l’équation de la droite de Mayer et la tracer.

3) Un entretien de la machine s’impose lorsqu’elle produit 5 % de pièces défectueuses ; quand faut-il le prévoir ?

Exercices

21

9

Mortalité infantile

y 60

Un bulletin belge de statistiques a publié les taux de mortalité infantile depuis 1946 jusqu’en 1975.

50

Le graphique (fig. 24) indique, en abscisse, les intervalles de temps sur lesquels les observations ont été réalisées (intervalles repris dans le tableau) et, en ordonnée, le taux de mortalité infantile exprimé en nombre de décès pour 1000 naissances. On y trouve également l’équation de la droite d’ajustement.

y = – 8,34 x + 63,61

40 30 20 10

fig. 24

0

1

4

5

6

2

3

4

5

6

1946-1950

1951-1955

1956-1960

1961-1965

1966-1970

1971-1975

b. Que penser de cet ajustement affine ?

Étudiants en statistique !

Le comité culturel d’une petite ville désire créer un club de cinéma pour les jeunes. On a interrogé 100 parents pour connaître le prix qu’ils seraient prêts à payer pour une place de cinéma.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Prix d’une place en euros

2

3

4

5

6

7

8

9

Nombre de parents

24

22

17

13

11

8

4

2

Deux étudiants en statistique ont modélisé la situation et ont abouti aux droites d’ajustement suivantes : – Premier étudiant : y = –3,45 x + 31,6 – Second étudiant : y = –3,25 x + 30,5 Effectuer la somme des carrés des écarts pour déterminer le « meilleur » ajustement.

22

3

1

a. Utiliser l’équation de la droite pour estimer la mortalité infantile sur l’intervalle 2001-2005.

10

2

1. Statistique à deux variables

7 x

11

Import-Export Le tableau5 ci-après donne les montants (en milliards d’euros et aux prix courants6) des importations et des exportations de biens et services pour la Belgique entre 2007 et 2014.

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Importations (xi)

253,959

280,463

233,847

272,554

307,524

316,546

315,988

329,805

333,443

Exportations (yi)

267,121

282,176

241,739

279,114

309,486

318,935

320,461

333,478

340,295

a. Expliquer les résultats obtenus pour 2009 et 2010. b.

Représenter les données dans un nuage de points et utiliser l’assistant graphique d’un tableur pour tracer une droite de régression et en écrire l’équation. c. Estimer le montant des importations lorsque les exportations s’élèvent à 300 milliards d’euros, d. Estimer le montant des exportations lorsque les importations s’élèvent à 315 milliards d’euros, e. Reprendre les questions b. à d. en excluant les données de 2009 et 2010.

12

Le championnat de football Voici les résultats des premiers classés dans un championnat de football.

Classement

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nombre de matchs gagnés

19

19

17

16

13

15

13

11

11

11

Nombre de buts marqués

58

64

59

60

43

50

34

41

33

36

a. Représenter le nuage de points (xi, yi) dans un repère orthogonal bien choisi. b. Utiliser une calculatrice graphique ou un tableur pour déterminer le point moyen G et l’équation de la droite de régression.

Quel serait le nombre de buts marqués par un club c. ayant gagné 14 matchs ? d. Calculer le coefficient de corrélation linéaire. e. Le modèle est-il fiable ? Justifier.

5. Source : http://ec.europa.eu/eurostat/tgm/refreshTableAction.do?tab=table&plugi n=1&pcode=tec00110&language=fr, consulté le 11/11/2016.

6. Les montants sont donnés en «prix courants», c’est-à-dire tels qu’ils sont indiqués à la période donnée.

Exercices

23

13

Charge d’une grue Pour louer la grue adéquate au prochain chantier, une entreprise de construction étudie différentes longueurs de flèches d’un même type de grue. Les longueurs de flèches et charges maximales sont reprises dans le tableau ci-dessous.

Longueur xi (en mètres) de la flèche

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

50,0

Charge maximale yi (en tonnes)

6,4

5,0

4,0

3,2

2,65

2,2

a. Utiliser un tableur ou un logiciel graphique pour représenter le nuage de points associé à la série statistique. b. Calculer le point moyen du nuage. c. Calculer la pente de la droite de régression. Écrire son équation et comparer cette équation avec l’équation de la droite de régression donnée par le tableur. d. Calculer le coefficient de corrélation ; le modèle est-il fiable ?

Justifier. e. Déterminer la charge maximale (en kilos) que peut lever une grue de ce type ayant une flèche de 42 mètres. f. Déterminer la longueur de la flèche de la grue que l’entreprise doit louer si la grue doit lever une charge d’au moins 5300 kg ?

14

Société d’informatique Une société d’informatique a mis au point un nouveau matériel. Elle effectue une enquête auprès de 300 entreprises afin de déterminer à quel prix chacune d’elles accepterait d’acquérir ce nouveau produit.

Les résultats de l’enquête sont repris dans le tableau ci-dessous.

Prix proposé en milliers d’euros

31

28

25,5

18

15,5

13

11

9

Nombre d’entreprises disposées à acheter le produit au prix donné

75

102

149

206

213

238

260

289

a. Représenter le nuage de points dans un repère. Ce nuage permetil un ajustement affine ? b. Si oui, déterminer l’équation de la droite de régression et la tracer sur le graphique. c. Calculer le coefficient de corrélation. Le modèle est-il fiable ?

Justifier. d. À quel prix la société doit- elle proposer son nouveau matériel pour que les 300 entreprises acceptent d’acheter le produit ?

24

1. Statistique à deux variables

Transférer 15

Voyage Les statistiques sur les budgets des ménages fournissent les dépenses moyennes en voyage des Bruxellois (par an, par ménage et en centaines d’euros).

Année

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Dépenses moyennes (×100 €)

10,25

9,55

8,76

8,08

7,81

7,77

9,52

9,6

2008

2009

2010

11,47 10,82

9,39

a. Représenter le nuage de points dans un repère bien choisi. b. Déterminer l’équation de la droite de régression ; la tracer sur le graphique. c. Calculer le coefficient de corrélation linéaire. Quelle conclusion en tirer ? d. Le nuage de points permet d’envisager un autre type d’ajustement ; lequel ? Utiliser un tableur pour préciser l’expression de cette fonction d’ajustement. e. Tracer la courbe sur le graphique. f. Est-il judicieux d’utiliser ce modèle pour estimer les dépenses en voyage pour l’année 2014 ?

16

Dilatation d’une poutre métallique On a observé l’allongement d’une barre de métal de 10 mètres de long lorsqu’on la chauffe à différentes températures.

Voici les résultats de l’expérience.

Température en °C

60

80

100

120

140

160

180

Allongement en mm

5,0

8,0

10,9

13,8

16,8

19,0

22,6

a. Quelle est la longueur de la barre lorsque la température atteint 70 °C ? b. Quelle peut être la température lorsque la barre mesure 10,02 m ?

Exercices

25

17

Isoler sa maison Le mur d’une habitation est constitué d’une couche de béton et d’une couche de polystyrène d’épaisseur variable x (en cm). On a mesuré la résistance thermique RT de ce mur pour diverses valeurs de x, et on a obtenu les résultats suivants. x

2

4

6

8

10

12

15

20

RT

0,83

1,34

1,63

2,29

2,44

2,93

4,06

4,48

a. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, la droite de régression de la résistance thermique par rapport à l’épaisseur de l’isolant. (Arrondir les résultats au centième le plus proche.) b. Calculer le coefficient de corrélation linéaire et le coefficient de détermination entre x et RT. c. À l’aide d’un tableur, représenter le nuage de points et la droite de régression sur le même graphique. Comparer l’équation obtenue à l’aide des options de cette courbe de tendance avec l’équation obtenue à la première question. Comparer aussi les coefficients de corrélation. d. Quelle résistance thermique peut-on espérer obtenir avec une épaisseur de polystyrène de 25 cm ? e. Pour quelle épaisseur a-t-on une résistance thermique de 3,68 ?

18

L’Inde ou la Chine ?

Dans le journal Le Monde du 1er avril 2013, on pouvait lire un article intitulé « L’Inde est en passe de gagner la bataille démographique ». En voici un extrait.

New Delhi, correspondance.

D’ici à 2030, la population de l’Inde dépassera celle de la Chine et sera l’une des plus jeunes de la planète. Avec la moitié de la population indienne aujourd’hui âgée de moins de 25 ans, le nombre d’actifs va augmenter de 30 % d’ici à 2020. Au cours des dix prochaines années, un nouvel actif sur quatre dans le monde sera indien, d’après les prévisions de l’Organisation internationale du travail (OIT).

26

1. Statistique à deux variables

Source : Atlas L’Homme et la Terre, De Boeck, 2016.

Le site Perspective Monde de l’Université de Sherbrooke7 (Canada) fournit les chiffres de population de l’Inde et de la Chine – en millions d’habitants – depuis 2004. Ils sont repris dans le tableau suivant.

Année

Population de la Chine

Population de l’Inde

2004

1296,08

1110,63

2005

1303,72

1127,14

2006

1311,02

1143,29

2007

1317,89

1159,10

2008

1324,66

1174,66

2009

1331,26

1190,14

2010

1337,71

1205,62

2011

1344,132

1221,16

2012

1350,70

1236,69

2013

1357,38

1252,14

On demande de justifier la première phrase de l’article : « D’ici à 2030, la population de l’Inde dépassera celle de la Chine. »

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Revenu des ménages et consommation électrique Le service fédéral Économie publie régulièrement8 des statistiques sur les revenus et dépenses des ménages belges. Voici les chiffres repris dans les statistiques de 2010 ; la première ligne du tableau affiche les revenus annuels en euros répartis en 10 tranches (intervalles inter déciles xi) et la seconde, le montant (yi) de la facture annuelle d’électricité. xi

1

2

3

4

yi

531

554

614

673

5

6

7

8

9

10

745

816

807

875

951

964

8

9

10

9

Un second tableau fournit les revenus moyens par intervalle inter décile.

Intervalle inter décile

1

Revenu moyen

9653

2

3

4

5

6

7

14 869 18 534 22 397 27 046 33 199 38 826 45 712 55 249 85 332

Il apparait nettement dans le premier tableau que les dépenses en électricité augmentent en fonction des revenus. Mais qu’en est-il de la part de ces dépenses dans les revenus ?

7. http://perspective.usherbrooke.ca/ 8. Tous les ans jusqu’en 2010, ensuite tous les deux ans.

9. Le premier intervalle couvre la tranche des revenus inférieurs à 13 068 € ; pour cette tranche le revenu moyen est de 9653 €.

Exercices

27

20

Prudence… avec les données et les formules !

On imagine une entreprise qui, pendant 8 ans, comparerait son bénéfice annuel (en centaines d’unités monétaires10) et le budget de publicité (en UM) engagé.

Les observations ont été consignées dans un tableau.

Année

1

2

3

4

5

6

7

8

Dépenses en publicité

7

24

15

29

18

26

44

15

Bénéfice annuel

27

6

24

14

30

17

27

45

a. Utiliser un logiciel pour calculer le coefficient de corrélation. Que penser de l’effet de la publicité ? b. Le responsable des dépenses est effaré par le résultat obtenu ; il analyse le tableau et réalise que la publicité entraine des effets plusieurs mois après leur engagement. Il demande alors de recalculer le coefficient de corrélation en mettant en parallèle le budget d’une année avec le bénéfice de l’année suivante.

Que penser de ce nouveau coefficient de corrélation ?

10. L’UM (unité monetaire) est utilisée dans les cours d’économie pour garder le caractère de généralité du problème posé. Elle convient pour toutes les régions et ne subit pas les fluctuations du change.

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1. Statistique à deux variables