Actimath à l'infini - 1re édition - Livret d'exercices - Extrait

Ac math à l’infini

4

4

Livret d’exercices

n i =1

Ingrid t’Kindt-Demulder Frédérique Gérard Frédéric Pourbaix

ISBN 978-90-306-6751-3 554890

9 789030 667513

vanin.be

Livret d’exercices

f(x) d

v ∫ ) ( ⇔ α π AB rctan x (x) e α4 n i s f a 2 ∃ i d’exercices B A ∑ u f ' ( x ) R Livret ∉

B C f'( A u v ∃ ⇔ log a C f m o d ⇔ ∞ 1 ∞ − = α i u n i s v sin α e ∑ i a t c r a v . u 2 C tan α x AB 1 − = i 2π ⇔ arcsin x n a t 1 c − r a = α ⇔ i n i s R f(x) AB tan α u ⇔ m i l C f m o d ∃ dom f f' x x

n

Ingrid t’Kindt-Demulder Frédérique Gérard Frédéric Pourbaix

i =1

2

x

n

i =1

2

2

Z ∉

ACB x→ a

∞

n

v B i im f( A ∑ l a x n x→ i s c r a

1

Activités

Trigonométrie Activité 2 – Nombres trigonométriques

VA

N

IN

Fiches de travail

1. Construire un triangle rectangle ABC, d’hypoténuse [BC], tel que AB = 15 cm et AC = 6 cm

Exercices

Partie A − À l’origine : Thalès

2. Calculer la longueur de l’hypoténuse au dixième près.

Pour calculer la longueur de l’hypoténuse, appliquons le théorème de Pythagore : 2

2

Ainsi, CB = 16,16

on

= 15 2 + 6 2 = 261

s

2

CB = AB + AC

iti

3. Construire sur le segment [BC] les points B1, B2, B3, B4, B5 définis par : BB1 = 2 cm, BB2 = 4 cm, BB3 = 6 cm, BB4 = 8 cm et BB5 = 10 cm.

Ed

4. Construire les points A1, A2, A3, A4, A5 projetés orthogonaux des points B1, B2, B3, B4, B5 sur la droite AC.

205 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

5. Quelle est la nature du triangle A1B1C ? Justifier.

Le triangle A1B1C est rectangle en A1 étant donné que le point A1 est le projeté orthogonal

Exercices

(angle droit) de B1 sur le segment [AC].

Les triangles A2B2C, A3B3C, A4B4C et A5B5C possèdent la même propriété car ils sont construits de la même manière. Pour chaque triangle AiBiC , nommer le côté [BiC] et le côté [AiC].

Dans les triangles AiBiC, le côté [BiC] est l’hypoténuse et le côté [AiC] est le côté de l’angle

6. Compléter le tableau suivant : Mesure du segment [AiC] Mesure du segment [BiC] en mm en mm

AiC arrondi au centième BiC

IN

Fiches de travail

! ). ! (ou opposé à l’angle B droit adjacent à l’angle C

i=1

N

i=2

VA

i=3 i=4

s

i=5

on

a) Que remarquez-vous (aux incertitudes de mesure et aux arrondis près) ?

Ed

iti

AiC dépendent-ils des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous nous b) Les rapports BiC plaçons ?

AC Les rapports i sont constants (Thalès) et ne dépendent pas des longueurs des côtés Bi C du triangle dans lequel nous nous plaçons.

c) Quel est l’élément commun dans le triangle ABC et dans les triangles AiBiC ? !.

L’élément commun au triangle ABC et aux triangles AiBiC est l’angle aigu C d) Que pouvez-vous affirmer à propos des rapports

AiC ?

BiC

Connaissant les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, nous pouvons AC !. affirmer que les rapports i = cos C Bi C

206 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Mesure du segment [AiB] en mm

Activités Ai Bi arrondi au dixième BiC

Ai Bi arrondi au dixième AiC

i=1

Exercices

7. Compléter le tableau suivant :

Fiches de travail

i=2 i=3

IN

i=4 i=5

a) Que remarquez-vous (aux incertitudes de mesure et aux arrondis près) ?

N

Nous obtenons toujours les mêmes rapports : 0,9 et 2,4

Ai Bi Ai Bi et dépendent-ils des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous AiC BiC nous plaçons ?

VA

b) Les rapports

Ai Bi Ai Bi et sont constants (triangles semblables) et ne dépendent pas Ai C Bi C des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous nous plaçons.

s

Les rapports

on

c) Quel est l’élément commun dans le triangle ABC et dans les triangles AiBiC ?

iti

!.

L’élément commun au triangle ABC et aux triangles AiBiC est l’angle aigu C

Ed

d) Que pouvez-vous affirmer à propos des rapports

Ai Bi Ai Bi et ?

BiC AiC

Connaissant les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, nous pouvons affirmer que les rapports

Ai Bi ! et Ai Bi = tan C !. = sin C Bi C Ai C

207 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités Exercices

Ed

iti

on

s

VA

N

IN

Fiches de travail 208 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

Date :

Fiche de travail n° 1 – Olympiades Mathématiques Belges Cocher la bonne réponse :

1) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés vaut 338.

La longueur de l’hypoténuse est alors :

A

B

C

D

E

9

13

15

18

Impossible à déterminer avec ces seules données.

⎧ a + b + c = 338 ⎨ 2 2 2 ⎩a = b + c 2

2

IN

2

2

⇒ 2a = 338 2

⇔ a = 169

Ed

⇔ x = 57

3) Dans un triangle rectangle, si l’hypoténuse est deux fois plus longue qu’un des côtés de l’angle droit, que vaut l’angle opposé à ce côté ? sin α =

69°

77°

50°

60°

iti

⇔ 2x = 114

57°

on

x

33°

s

x – 24

21°

VA

2) Que vaut la mesure x de l’angle indiqué dans la figure ?

N

⇔ a = 13

( x – 24 ) + x = 90

Exercices

Classe :

Fiches de travail

Nom, prénom :

a 2a

=

45°

40°

30°

1 2

α = 30°

Fiche de travail n° 1 – Olympiades Mathématiques Belges • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

209

Activités Exercices

Classe :

4) Deux rubans de largeur 1 se croisent suivant un angle α. L’aire (grisée) qu’ils couvrent conjointement vaut :

sin α

1

sin α

1 1− cos α

Date : 1 sin 2 α

1 (1− cos α )2

1

1 α

IN

Fiches de travail

Nom, prénom :

VA

N

(base × hauteur) = c × 1 = c 1 sinα = c 1 sinα

⎧ a +12 + c = 36 ⎧ a = 24 – c ⇔⎨ ⎨ 2 2 2 2 ⎩ a = 144 + c ⎩( 24 – c ) = 144 + c 2

⇒ 576 – 48c + c = 144 + c ⇔ 48c = 432 ⇔c=9

Ed

iti

on

s

5) Dans le triangle ABC, rectangle en A, AC = 12 et le périmètre vaut 36.

Que vaut AB ?

210

Fiche de travail n° 1 – Olympiades Mathématiques Belges • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

2

Classe :

Activités

Nom, prénom :

Date :

Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux ?

Justifier.

1. Si 90° < α < 180°, alors sin α est positif.

2. Si 90° < α < 180°, alors tan α est négatif.

–1

1

1

–1

1

–1

11

11

1

–1

0

1

on

s

00

4. Si 270° < α < 360°, alors tan α est négatif.

VA

3. Si 270° < α < 360°, alors cos α est négatif.

N

–1

–1 –1

0

IN

0

Fiches de travail

1

Exercices

Série I

iti

–1 –1

Ed

5. Si sin α < 0 et cos α > 0, alors α est dans le deuxième quadrant.

–1 –1

–1

6. Si sin α < 0 et tan α > 0, alors α est dans le deuxième quadrant.

11

00

11

11

–1 –1

–1 –1

α

00

11

–1 –1

α est dans le troisième quadrant.

Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

211

Activités Exercices

Nom, prénom :

Classe :

7. Si cos α = 0,7, alors α peut être un angle du quatrième quadrant.

Date :

3 8. Si α sin α = , 4 alors α peut être un angle du quatrième quadrant.

11

11

–1 –1

00

0,7

11

–1 –1

–1 –1

11

00

–1 –1

IN

Fiches de travail

3 4

α peut être un angle du premier ou du deuxième quadrant.

11

–1 –1

N

10. Si sin α = –0,7, alors α peut être un angle du deuxième ou du troisième quadrant.

VA

9. Si tan α = –0,7, alors α peut être un angle du quatrième quadrant.

11

00

11

–1 –1

0 0

–0,7

s

–0,7 –1 –1

α peut être un angle du troisième ou du quatrième quadrant. y 1

Ed

iti

on

–1 –1

11

x –1

0

–1

212

Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

1

Activités

Date :

Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux ?

Série II Justifier.

1. Si 90° < α < 180°, alors cos α est positif.

2. Si 90° < α < 180°, alors tan α est positif.

1

–1

1

1

–1

–1

1

s

1

1

–1

on

0

4. Si 270° < α < 360°, alors tan α est positif.

VA

3. Si 270° < α < 360°, alors sin α est négatif.

N

–1

–1

iti

–1

Ed

5. Si sin α < 0 et cos α < 0, alors α est dans le deuxième quadrant.

–1 –1

1

0

–1

6. Si sin α < 0 et tan α > 0, alors α est dans le troisième quadrant.

11

00

1

0

IN

0

Exercices

Classe :

Fiches de travail

Nom, prénom :

11

11

–1 –1

–1 –1

00

0,7

11

–1 –1

α

Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

213

Classe :

1 7. Si cosα = , 3 alors α peut être un angle du quatrième quadrant.

Date :

8. Si sin α = –0,7, alors α peut être un angle du troisième quadrant.

1

–1

0 0

1

1 3

1

–1

0 0

1 –0,7

–1

2

0

–1

1

–1

1

0

1 1

0 –1

on

–1

1 0,7

s

1

0

1

2

1

–1

10. Si sin α = 0,7, alors α peut être un angle du deuxième ou du troisième quadrant.

VA

9. Si tan α = 2, alors α peut être un angle du quatrième quadrant.

IN

–1

N

Activités Exercices Fiches de travail

Nom, prénom :

–1

–1

iti

–1

α peut être un angle du premier

α peut être un angle du premier

ou du deuxième quadrant.

Ed

ou du troisième quadrant. y 1

x –1

0

–1

214

Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

1

Fiche de travail n° 3 Série I Simplifier autant que possible les expressions suivantes en supposant qu’elles soient définies : 1. cos 2 α + cos α . sin α . tan α

cos 2α + cos α . sin α . tan α sin α = cos 2α + cos α . sin α . cos α

1 =1 sin 2 a

on

sin x + cot x . cos x cos x = sin x + . cos x sin x

sin 2 x + cos 2 x = sin x 1 = sin x

Ed

iti

3. sin x + cot x . cos x

s

VA

= sin 2 a .

N

sin 2 a(1 + cot 2 a)

2. sin 2 a (1 + cot 2 a )

IN

= cos 2α + sin 2α = 1

Activités

Date :

Exercices

Classe :

Fiches de travail

Nom, prénom :

4.

cosx 1 + sin x − 1 − sin x cosx

cos x 1 + sin x – 1 – sinx cos x

cos 2 x – (1 + sin x )(1 – sin x ) = (1 – sin x ) cos x = =

cos 2 x – (1 – sin 2 x )

(1 – sin x ) cos x

cos 2 x – 1 + sin 2 x =0 (1 – sin x ) cos x

Fiche de travail n° 3 • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

215

Série II Simplifier autant que possible les expressions suivantes en supposant qu’elles soient définies : 1. sin 2 α + cos α . sin α . cot α

sin 2α + cos α . sin α . cot α = sin 2α + cos α . sin α .

cos α sin α

(1 – sin a)(1 + sin a) =1 – sin 2 a

(1 + tan x )(1 – sin x ) 2

on

3. (1 + tan 2 x )(1 − sin 2 x )

s

VA

= cos 2 a

IN

= sin 2α + cos 2α = 1

2. (1 − sin a )(1 + sin a )

2

1 cos 2 x = 1 2 cos x

Ed

iti

=

4.

tan 2 x − sin 2 x 1 + tan 2 x

tan 2 x – sin 2 x 2 1+tan x tan 2 x – sin 2 x = 1 cos 2 x = tan 2 x cos 2 x – sin 2 x sin 2 x cos 2 x – sin 2 x 2 cos x = sin 2 x – sin 2 x = 0

=

216

Date :

Fiche de travail n° 3

N

Activités

Classe :

Fiches de travail

Exercices

Nom, prénom :

Fiche de travail n° 3 • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Classe :

Activités

Nom, prénom :

Date :

Fiche de travail n° 4

Exercices

Série I Associer chaque formule à un ou plusieurs triangles ci-dessous.

2

B e

C

C

f

3

e

A f

A

f

B

d d

Fiches de travail

1

e

B

A

!

1) d 2 = e 2 + f 2 − 2ef cosB

VA

4)

! f 2 = d 2 + e 2 − 2decos A

on

iti

!

5) e 2 = f 2 + d 2 − 2 fd cos A ! sin B ! sinC ! sin A = = e d f

7)

! sin B ! sinC ! sin A = = d e f

8)

! sin B ! sinC ! sin A = = f e d

 

  

Ed

6)





s

! f 2 = d 2 + e 2 − 2decosC

3



!

2) e 2 = d 2 + f 2 − 2df cosB 3)

2

C

N

1

IN

d

 

9) Aire du triangle ABC =

! fe sinC 2

10) Aire du triangle ABC =

! fe sin A 2

Fiche de travail n° 4 • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

 

217

Activités

Classe :

Série II Associer chaque formule à un ou plusieurs triangles ci-dessous.

1

2

B e

C

C

f

3

e

A f

A

f

B

d d

e

B d

IN

A

2

3

N

1



!

2) e 2 = d 2 + f 2 − 2df cosB





3)

! f 2 = d 2 + e 2 − 2decos A



4)

! f 2 = d 2 + e 2 − 2decosC

on

s

VA

!

1) d 2 = e 2 + f 2 − 2ef cos A



!

5) e 2 = f 2 + d 2 − 2 fd cosB ! sinC ! sin A ! sin B = = d f e

7)

! sin B ! sin A ! sinC = = f e d

 

iti 6)

Ed 218

Date :

Fiche de travail n° 4

Fiches de travail

Exercices

Nom, prénom :



 

8) Aire du triangle ABC =

! df sin B 2

9) Aire du triangle ABC =

! fe sin B 2

10) Aire du triangle ABC =

! de sin A 2

 

Fiche de travail n° 4 • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie





C

Activités

Classe :

Date :

Fiche de travail n° 5(1) D

Voici le trapèze ABCD dont les bases [AB] et [CD] mesurent respectivement 20 cm et 8 cm (échelle non respectée). ! mesure 60° et que Sachant que l’angle B BC = 15 cm , déterminer :

8 cm

Exercices

Série I C 15 cm

1) La longueur AC

60°

A

20 cm

2

IN

AC = 15 2 + 20 2 – 2 × 15 × 20 × cos 60° = 325 AC = 18 cm

!

2) L’amplitude de l’angle C ! sin C 1

B

Fiches de travail

Nom, prénom :

20 × sin 60° ⎞ = 73,9° ⎝ ⎠ 20 18 18 !=A ! car ils sont alternes-internes.

Dans le triangle ACD : Remarquons que C 2 1 sin 60°

=

VA

!=A ! = 180° – 60° – 73,9° = 46,1° C 2 1

! = arcsin⎛ ⇔C 1

N

Dans le triangle ABC :

! =C ! +C ! = 120° .

Ainsi, C 1 2

3) La longueur AD 2

s

AD = 8 2 + 18 2 – 2 × 8 × 18 × cos 46,1° = 188,3

on

AD = 13,7 cm

iti

!

4) L’amplitude de l’angle D

⎛ 8 2 + 188,3 – 18 2 ⎞ = 109,3° ⎝ 2 × 13,7 × 8 ⎟⎠

Ed

! = arccos D ⎜

!

5) L’amplitude de l’angle A

! = 360° – 120° – 60° – 109,3° = 70,7° A

6) L’aire du trapèze.

Aire du trapèze =

1 2

× 15 ×

20 × sin 60° +

1 2

×

8 × 18 × sin 46,1° = 181,8 cm 2

(1) Exercices inspirés de questions types d’examens d’admission de l’ULg et de la FpMs. Fiche de travail n° 5 • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

219

Activités Exercices Fiches de travail

Nom, prénom :

Classe :

Date :

Fiche de travail n° 5 Série II Voici le trapèze ABCD dont la base [BC] mesure 10 cm (échelle non respectée).

10 cm

B

! mesure 120°, Sachant que l’angle B que AB = 8 cm et que CD = 7 cm, déterminer :

C 7 cm

8 cm

60°

A

1) La longueur AC

D

2

IN

AC = 18 2 + 10 2 – 2 × 8 × 10 × cos 120° = 244 AC = 15,6 cm

!

2) L’amplitude de l’angle A

VA

N

⎛ 8 2 + 244 – 10 2 ⎞ ! = 33,6° Dans le triangle ABC : A2 = arccos ⎜ ⎝ 2 × 8 × 15,6 ⎟⎠ ! =C ! car ils sont alternes-internes Dans le triangle ACD : Remarquons que A 1

2

!=A ! = 180° – 120° – 33,6° = 26,4° C 2 1

s

!=A !+A ! = 60° A 1 2

on

!

3) L’amplitude de l’angle D Dans le triangle ADC :

7

=

! sin D 15,6

! = arcsin⎛ ⇔D ⎝

15,6 × sin 26,4° ⎞

iti

sin 26,4°

7

⎠

= 82,3°

Ed

!

4) L’amplitude de l’angle C

! = 180° – 82,3° – 26,4° = 71,3° C 1 ! =C ! +C ! = 71,3° + 26,4° = 97,7° C 1 2

5) La longueur AD 2

AD = 7 2 + 244 – 2 × 7 × 15,6 × cos 71,3° = 223 ou encore AD = 14,9 cm

6) L’aire du trapèze.

Aire du trapèze =

220

1 2

× 10 ×

8 × sin 120° +

1 2

× 7 × 14,9 ×

sin 82,3° = 86,3 cm 2

Fiche de travail n° 5 • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie