Actimath à l'infini - 1ère edition - 4ème année - Manuel - Trigonométrie-Statistiques-géométrie

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v ∫ ) ( ⇔ α π AB rctan x (x) e α4 n i s f a 2 Manueli ∃ AB ∑ u f ' ( x ) R ∉ B Statistique f'( u v ∃ ⇔ log a AC Géométrie C f m o d Trigonométrie ⇔ ∞ 1 ∞ − = α i u n i s v sin α e ∑ i a t c r a v . u 2 C tan α x AB 1 − = i 2π ⇔ arcsin x n a t 1 c − r a = α ⇔ i n i s R f(x) AB tan α u ⇔ m i l C f m o d ∃ dom f f' x x

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L’enseignant (via un formulaire de demande sur www.lesplusprofesseur.be) pourra activer l’accès à Udiddit pour sa classe à partir du moment où chaque élève dispose du livret d’exercices de la collection.

La période de validité de Udiddit débute dès l’activation et s’achève au 30 septembre de l’année suivante.

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Attention, n’active pas ta licence de digiportail avant le 1er septembre : la période de validité débute dès l’activation et dure 365 jours.

Composition d’Actimath à l’infini 4 Pour l’élève

un manuel en deux volumes un livret d’exercices un accès aux activités multimédias – soit via Udiddit (www.udiddit.be) – soit via digiportail (www.digiportail.be)

Pour le professeur

un guide méthodologique un livre numérique des activités multimédias et des documents supplémentaires disponibles – soit sur Udiddit (www.udiddit.be) – soit sur digiportail (www.digiportail.be)

Actimath à l’infini 4 – Manuel (Statistique – Géométrie – Trigonométrie) Auteurs : Ingrid t’Kindt-Demulder et Frédérique Gérard Couverture : Compo-sition Mise en page : Michel Raj

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale.

Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent.

La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

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C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Louvain-la-Neuve – Wommelgem, 2015 Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2015 ISBN 976-90-306-6752-0

D/2015/0078/150 Art. 554891/01

Aux utilisateurs, élèves, professeurs...

Comment se fait-il que les mathématiques, qui sont après tout un produit de la pensée humaine, indépendant de l’expérience, soient si admirablement adaptées aux objets de la réalité ?

Albert Einstein

Écrire un manuel scolaire est un défi… L’écrire en se référant uniquement aux compétences terminales et savoirs requis en mathématiques repris dans le nouveau Référentiel paru au Moniteur belge (avril 2014) est un challenge. De plus, le rendre utilisable dans tous les réseaux faisait également partie du projet. Il nous a paru opportun de travailler en ce sens étant donné les ruptures, les inconvénients, les incohérences qui apparaissent parfois dans le cursus mais aussi dans la perspective d’épreuves d’évaluation externe, qu’elles soient certificatives ou non.

Actimath à l’infini 4 se compose d’un manuel en deux parties, d’un livret de l’élève, d’un livret numérique et d’un guide du professeur.

Le manuel est divisé en deux volumes : � Algèbre-Analyse : les acquis, le deuxième degré et les fonctions de référence, � Statistique, Géométrie et Trigonométrie : la statistique, la géométrie dans l’espace, la trigonométrie et la géométrie plane.

Le découpage du manuel correspond aux unités d’acquis d’apprentissage (UAA) du référentiel et laisse le professeur libre de choisir une progression adaptée à la classe. Nous avons choisi un ordre arbitraire pour présenter les UAA mais l’utilisateur est totalement libre de planifier son propre parcours. Il va de soi que certaines UAA sont préalables à l’installation d’autres, l’UAA concernant le deuxième degré a été scindée en deux sections ainsi que l’UAA de géométrie analytique plane en trois sections. Un code couleur a été utilisé pour chaque UAA permettant ainsi à l’utilisateur de retrouver facilement la matière qui l’intéresse.

Toutes les mathématiques consistent à organiser une série d’outils venant en aide à l’imagination dans le processus du raisonnement.

John Whitehead

Construire un savoir caractérisé par ses aspects cumulatifs et spiralaires s’élabore à partir d’acquis antérieurs. Il nous a semblé utile, avant d’aborder les unités, d’insérer une section intitulée Les acquis où nous reprenons toute une série de rappels sur la matière vue en troisième.

Enseigner les mathématiques hors contexte historique, c’est négliger tous les apports des diverses cultures au développement des mathématiques. Pour parfaire le bagage humaniste des élèves, nous avons parsemé le manuel de vignettes historiques sous forme, entre autres, de carte d’identité de quelques mathématiciens célèbres reprenant la période à laquelle ils ont vécu et leur contribution.

Il est particulièrement aisé de parcourir Actimath à l’infini 4 grâce aux onglets dont les couleurs propres à chaque UAA reprennent outre les ressources à mobiliser et les compétences à mettre en œuvre, les différentes parties : Activités-Théorie-Synthèse-Exercices.

 Les activités Qu’elles soient de l’ordre du rappel, de la découverte ou de la mise en situation, les activités sont des outils essentiels à l’apprentissage et à la méthode Actimath. Leur rôle est de faire découvrir intuitivement et pas à pas l’ensemble des ressources abordées dans une unité d’acquis d’apprentissage.

 La théorie Elle est constituée de définitions, propriétés, propositions et théorèmes présentés de façon structurée et illustrés abondamment par des dessins ou des graphiques clairs avec des bulles explicatives. De nombreux exemples éclairent les différentes notions; ceux-ci offrent une utilisation bien pensée de l’outil informatique dans son sens large (calculatrice scientifique ou graphique, logiciel de géométrie dynamique, tableur) et permettent un cadre d’apprentissage, une limitation du temps consacré à des calculs trop techniques, une recherche et une vérification. Le langage mathématique 3 Actimath à l’infini 4

est exigeant comme l’est la langue française, tant en communication écrite qu’orale : termes exacts, connecteurs logiques, symboles, qualité de présentation, argumentation. Nous lui avons accordé une place légitime en tenant compte, bien évidemment, du public concerné.

Des logos attirent l’attention du lecteur : indique une méthode, une astuce ou un « truc » intéressant. indique l’utilisation d’une calculatrice. Nous avons opté pour la scientifique CASIO FX92+ ou la graphique CASIO 35+USB, mais toute autre calculatrice peut convenir.

indique l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique, d’un tableur, …

indique que le livret de l’élève, édité sous forme de consommable, propose une présentation pratique de l’exercice ou de l’activité, permettant un gain de temps et une facilité dans les démarches d’investigation.

Il signale aussi l’utilisation du livret numérique permettant un dispositif de visualisation collective pour cet exercice ou cette activité. indique un dépassement par rapport aux processus afin de développer un niveau de compétence plus complexe.

 La synthèse Celle-ci reprend les notions abordées dans l’UAA et permet une approche aisée des exercices. Toutes les synthèses sont reprises dans le livret de l’élève, ainsi que les Tout savoir sur... liés aux Acquis. L’élève pourra de cette manière se constituer un référentiel des notions à connaître pour l’année suivante.

 Les exercices L’onglet Exercices est divisé en sous-onglets correspondants aux compétences :  Connaître et Expliciter : consiste à construire et expliciter les ressources,  Appliquer : consiste à mobiliser les acquis dans le traitement de situations entraînées,  Transférer et Modéliser : consiste à mobiliser les acquis dans le traitement de situations nouvelles.

Les exercices ont été classés, selon la théorie, dans un ordre croissant de difficulté. Leur variété et quantité permettent au professeur de choisir selon ses affinités et aux élèves de s’exercer davantage. Dans certaines UAA, des exercices pour approfondir permettent au professeur ayant des élèves plus avertis ou curieux, d’aborder la matière afin d’élargir leur horizon.

Le guide destiné aux professeurs fournit non seulement les solutions détaillées de toutes les activités, de tous les exercices (parfois selon plusieurs procédés), de toutes les fiches de travail du livret de l’élève (pouvant servir à des évaluations formatives) mais également des indications méthodologiques, des compléments de théorie et une proposition de planification d’année.

Nous remercions toutes les personnes qui ont permis de réaliser ce travail : notre responsable des éditions VAN IN, Madame Sabrina Amengual, nos rédacteurs Gillian Delvigne et Vincent Damoiseaux, le metteur en page Michel Raj, les relectrices (enseignements secondaire et universitaire) qui ont pris le temps de relire et de donner leurs appréciations et leurs commentaires… Enfin, nous tenons à remercier nos conjoints et enfants pour leur soutien et leur patience inconditionnels dans la réalisation de ce projet.

4 Actimath à l’infini 4

Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

4UAA1 – Statistique descriptive Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1 Statistique ou statistiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Statistique descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2 Collecte des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Organisation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Effectifs, fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Effectifs cumulés, fréquences cumulées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.3 Présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 2.3.2 Variable quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Paramètres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 3.1 Le mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 3.2 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 3.2.1 Calcul de la médiane dans le cas d’une distribution non groupée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Calcul de la médiane dans le cas d’une distribution regroupée

en classes (cas continu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 3.4 Pertinence du choix de la valeur centrale représentant la série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 3.5 Les quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Indices de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 4.1 L’étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 4.2 L’intervalle interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 L’écart moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 4.4 La variance et l’écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 4.5 Pertinence du choix de l’indice de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 5 Statistique et moyens modernes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.1 Exemple 1 : Caractère qualitatif nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.2 Exemple 2 : Caractère qualitatif ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 5.3 Exemple 3 : Caractère quantitatif discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 5.4 Exemple 4 : Caractère quantitatif continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exercices pour expliciter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Exercices pour appliquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Exercices pour transférer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4UAA2 – Géométrie dans l’espace Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1 Représentation plane d’un objet de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 2.1 La perspective centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 2.2 La perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3 Caractérisation d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 4 Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.1 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 4.3 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 Incidence et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 6 Point de percée d’une droite dans un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 6.1 Point de percée d’une droite dans le plan d’une face d’un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 6.2 Point de percée d’une droite dans le plan d’une face d’un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7 Sections planes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.1 Section plane d’un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.2 Section plane d’un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Exercices pour expliciter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Exercices pour appliquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Exercices pour transférer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4UAA3 – Trigonométrie Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2 Nombres trigonométriques d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.1 Au nombre de 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.1.1 Thalès et les triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.1.2 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.1.3 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.2 Sinus et Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.2 Valeurs extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.3 Formule fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.2.4 Signe du sinus et du cosinus, valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.3.2 Valeurs extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.3.3 Signe et valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.3.4 Tangente et relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 Actimath à l’infini 4

2.4

Exemples de calcul de nombres trigonométriques connaissant l’un d’eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.4.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.4.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.4.3 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.5 Autres nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.5.1 Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.5.2 Autres nombres trigonométriques et relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.5.3 Identités trigonométriques et relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3 Relations trigonométriques dans un triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.1 Relation entre les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2 Théorème des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.4 Théorème du cosinus : Pythagore généralisé ou Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.5 Résolution d’un triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.5.1 Exemple 1 – Un côté et deux angles : ACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.5.2 Exemple 2 – Deux côtés et un angle : CAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.5.3 Exemple 3 – Deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux : ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.5.4 Exemple 4 – Trois côtés : CCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.6 Distances inaccessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.6.1 Hauteur d’un édifice inaccessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.6.2 Distance entre un point accessible et un point inaccessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.6.3 Distance entre deux points inaccessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Exercices pour expliciter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Exercices pour appliquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Exercices pour transférer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4UAA6 – Géométrie analytique plane Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1.1 Définition, vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1.2 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.2.1 Égalité de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.2.2 Addition de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 1.2.3 Soustraction de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 1.2.4 Multiplication d’un vecteur par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 1.2.5 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 1.3 Vecteurs colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 1.4 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 1.5 Vecteurs et propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.5.1 Milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.5.2 Centre de gravité d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 1.6 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.6.1 Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.6.2 Coordonnée d’un point et composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.6.3 Opérations et composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 1.6.4 Coordonnée du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 1.6.5 Coordonnée du centre de gravité d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 1.6.6 Condition de parallélisme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 1.6.7 Norme d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 1.6.8 Condition d’orthogonalité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2 Premier lieu géométrique : la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.1 Équations d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.1.1 Équation vectorielle d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.1.2 Équations paramétriques d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.1.3 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2.2 Pente d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 2.3 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 2.4 Critère de parallélisme de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 2.5 Critère de perpendicularité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 2.6 Vecteur normal à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 2.7 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 2.7.1 La droite est parallèle soit à l’axe des abscisses, soit à l’axe des ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 2.7.2 La droite est non parallèle aux axes, son équation est sous forme implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 2.8 Droites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3 Autres Lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.1 Lieu des points équidistants d’un point donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.1.1 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.1.2 Équation développée d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.1.3 Intersection d’un cercle et d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3.2 Lieu des points équidistants de deux points donnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 3.2.1 Équation cartésienne d’une médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 3.3 Lieu des points équidistants d’un point et d’une droite donnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.3.1 Équation cartésienne d’une parabole d’axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 3.3.2 Intersection d’une parabole et d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3.4 Logiciel de géométrie dynamique et problèmes de géométrie analytique plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 3.4.1 Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 3.4.2 Problème 2 : Droite d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 3.4.3 Problème 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Exercices pour expliciter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Exercices pour appliquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Exercices pour transférer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Exercices pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Index des vignettes hitoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

6 Actimath à l’infini 4

Statistique descriptive

Population, caractères qualitatifs et quantitatifs Effectifs et fréquences cumulés Paramètres de position : mode, moyenne, médiane, quartiles Paramètres de dispersion : étendue, écart interquartile, variance, écart-type Graphiques statistiques Utilisation d’un ordinateur ou d’une calculatrice graphique

4UAA1

Connaître et Expliciter

Expliquer le vocabulaire statistique et identifier les différents types de caractères statistiques.

Décoder les informations numériques ou celles fournies par un graphique (y compris un graphique de fréquences cumulées).

Expliquer pour quel(s) usage(s) sont requis les indicateurs de position et de dispersion d’une série statistique.

Appliquer

Construire différents graphiques statistiques y compris le diagramme des fréquences cumulées à partir d’un tableau statistique.

Appliquer les procédures de calcul nécessaires à la détermination des indicateurs de position et de dispersion.

Utiliser une calculatrice ou un logiciel pour déterminer des indicateurs de position ou de dispersion.

Utiliser l’inégalité de Tchebychev.

Transférer et Modéliser

Choisir un support graphique, une valeur centrale, un indice de dispersion pour étudier une situation.

Critiquer des informations graphiques, numériques, textuelles, …

Commenter des informations fournies sur un même sujet par différents supports.

Interpréter un résultat obtenu en lien avec le caractère étudié et le contexte.

Activités

Activité 3 – Premières interprétations

Exercices

Synthèse

Théorie

Source : Enquête des salaires Références/Vacature/KU Leuven, 2012

Les résultats 2012 de la grande Enquête des salaires bisannuelle de Références (menée en collaboration avec l’Université de Leuven) sont enfin connus ! Voici les données salariales de 45 759 salariés :

Salaire mensuel brut

Salaire mensuel net

2012

2012

10 % gagnent moins que

1842

1377

20 % gagnent moins que

2099

1500

30 % gagnent moins que

2300

1600

40 % gagnent moins que

2530

1700

50 % gagnent moins que

2800

1807

60 % gagnent moins que

3068

1955

70 % gagnent moins que

3404

2117

80 % gagnent moins que

3900

2350

90 % gagnent moins que

4825

2750

Moyenne

3133

1984

a) Représenter à l’aide d’un histogramme la série des salaires mensuels bruts et celle des salaires mensuels nets.

Sur ce graphique, la population est divisée en déciles (par tranche de 10 %). b) Quelles sont les valeurs médianes des salaires mensuels bruts et des salaires nets en 2012, c’est-à-dire les valeurs telles que 50 % des salaires lui sont inférieurs et 50 % supérieurs ? c) Transformer ces graphiques pour exprimer la répartition cumulée des travailleurs en fonction des salaires mensuels bruts et nets (salaires en abscisses et fréquences cumulées(1) en ordonnées). d) Dans l’étude, il est dit « Faire de longues études paie » : Les titulaires d’un diplôme de master gagnent 55 % de plus que le Belge moyen, une personne qui quitte l’école sans diplôme perçoit un salaire inférieur de 22 % à la moyenne nationale. Calculer ces salaires. e) Cette enquête révèle que le salaire brut moyen est égal à 3133 €. Elle ne donne pas le salaire brut minimal garanti par la loi : Pour les travailleurs âgés de 21 ans (18 ans à partir du 01/01/2015) 1501,82 EUR Estimer le salaire brut maximal déclaré par les participants à cette enquête.

(1) La fréquence cumulée croissante associée à a est la somme des fréquences de toutes les modalités inférieures ou égales à a dans la série.

16 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

1.1 Statistique ou statistiques ?

Au singulier, la statistique est l’ensemble des méthodes scientifiques ayant pour but de traiter, présenter et analyser des ensembles d’observations. Après l’économie et la démographie, la statistique s’est étendue à l’ensemble des sciences expérimentales (médecine, biologie, …) et humaines (psychologie, sciences sociales, …). Elle est devenue une discipline mathématique faisant appel au calcul algébrique, à l’analyse, à l’algèbre linéaire et au calcul des probabilités.

Synthèse

Au pluriel, les statistiques sont un ensemble de données chiffrées qui fournissent des informations sur une population, par exemple, les statistiques des accidents de la route en Belgique en 2012.

Exercices

Le mot « statistique » se rattache au vocable latin statisticus qui signifie qui a trait à l’État. Les informations qui sont apparues très tôt nécessaires à l’État étaient celles qui permettaient de recueillir les impôts, de recenser la population dans le but, notamment, de recruter les conscrits pour les besoins de guerre, ...

Activités

1 Introduction

Théorie

Statistique descriptive

1.2 Statistique descriptive La statistique descriptive consiste à collecter des informations, analyser celles-ci et interpréter les résultats obtenus, conjointement à l’étude des lois de probabilité(1). Elle débouche sur l’étude de méthodes permettant de tirer des conclusions aidant à la prise d’éventuelles décisions ou d’éventuelles prévisions. Cette étude s’appelle l’inférence statistique dont une partie sera abordée en sixième.

2 Collecte des données 2.1 Terminologie Le vocabulaire des statisticiens est souvent emprunté à celui de la démographie. En effet, c’est de là qu’il provient.

Ainsi, une population est l’ensemble des individus sur lesquels portent les observations. La caractéristique commune étudiée se nomme caractère ou variable statistique.

Exemple

Étude sur la consommation des automobiles en Belgique en 2011.

Population : le parc automobile belge.

Individus : les automobiles.

Caractère observé : la consommation de carburant.

Pour pouvoir étudier le caractère d’une population, nous pouvons recueillir l’information sur chaque individu composant la population, c’est l’objet d’un recensement. Lorsque ce n’est pas possible du fait du grand nombre d’individus, nous pouvons recueillir l’information sur un certain nombre d’individus, c’est-à-dire prélever un échantillon ou faire un sondage.

(1) Les lois de probabilité sont des modèles théoriques développés à partir de l’étude de phénomènes où intervient le hasard.

21 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités

Pour résumer l’information contenue dans un ensemble de données statistiques, nous allons établir des paramètres de position. Ceux-ci sont soit des paramètres de valeur centrale (mode, moyenne ou médiane) ou des paramètres qui divisent la série en groupes de même effectif (quartiles, déciles, ...).

3.1 Le mode

Théorie

3 Paramètres de position

Exemples

Pour l’exemple 1 : M0 = Anvers, c’est la province où il y a eu le plus de naissance en décembre 2012.

Pour l’exemple 3 : M0 = 3, c’est le nombre de pièces le plus fréquent pour les appartements de cet immeuble.

Nombre d'appartements

Nombre de naissances

Nombre de naissances en décembre 2012 700 600 500 400 300 200 100

20 15 10

Namur

Liège

Hasselt Arlon

Gand

Mons

Wavre Bruges

Louvain

5 Anvers Bruxelles

0

25

Nombre de pièces dans les appartements d'un immeuble

Exercices

Le mode M0 d’une série statistique est la ou les modalité(s) du caractère observé ayant la plus grande fréquence (ou le plus grand effectif).

Synthèse

Définition 7

0

2

3

4

5

6 Nombre de pièces

Remarques

1) Lorsque la série statistique est groupée en classes, nous parlerons de classe modale pour la classe ayant le plus grand effectif.

Exemple

Nombre d'appartements

Pour l’exemple 4 : M0 = [50,70[, la surface de la majorité des appartements de cet immeuble est supérieure à 50 m² et strictement inférieure à 70 m².

18

Surface habitable des appartements d'un immeuble

16 14 12 10 8 6 4 2 0

[30,50[

[50,70[

[70,90[

[90,110[

[110,130[ [130,150] Surface habitable (m²)

33 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités

2) Selon la série de données, il peut y avoir plusieurs modes.

Exercices

Chaussures vendues dans un magasin Nombre de paires de chaussures vendues

Synthèse

Théorie

Exemple : la série statistique représentée par le diagramme ci-dessous est bimodale : M0 = 38 et 43.

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45 Pointures

3.2 La moyenne(6) La moyenne est généralement la caractéristique qui représente le mieux le « centre » de la distribution de la série statistique. Elle se prête facilement au calcul algébrique et sa signification est très concrète.

C’est pour cela qu’elle est la plus utilisée.

Définition 8 La moyenne x d’une série statistique est la moyenne arithmétique de ses données xi . x=

x1 + x 2 + x 3 + ... + x N 1 N 1 = ∑ xi ou, en simplifiant l’écriture, x = ∑ xi N N i=1 N i

Remarques

1) Moyenne arithmétique d’une distribution : Modalités Effectifs Produits Supposons que la variable

ni

xi ni

x1

soit observée

n1

fois,

x1

n1

x1 n1

x2

soit observée

n2

fois,

x2

n2

x 2 n2

...

...

xi

ni

...

...

xk

nk

xk nk

N

∑x n

... xi

... soit observée

... xk

x=

xi

ni

fois,

... soit observée

nk

fois.

xi ni

i i

n1x1 + n2 x 2 + ...+ ni xi + ...+ nk x k 1 k 1 = ∑ ni xi ou en simplifiant l’écriture, ∑ ni xi N N i=1 N i

(6) Par abus de langage, nous parlerons de moyenne, sous entendant moyenne arithmétique. Celle-ci ne peut se calculer que pour une série statistique à caractère quantitatif.

34 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

ni la fréquence de la variable xi, N k ∑ ni xi k n k 1 k = ∑ i xi = ∑ fi xi ou en simplifiant l’écriture x = ∑ fi xi Nous avons : x = ∑ ni xi = i=1 N i=1 N i=1 N i=1 i Exemples

Activités

2) Formulation de la moyenne avec les fréquences :

Modalités xi

Effectifs ni

Produits ni xi

Fréquences fi

Produits f i xi

2 3 4 5 6

14 21 7 4 4 N = 50

28 63 28 20 24 163

0,28 0,42 0,14 0,08 0,08 1

0,56 1,26 0,56 0,40 0,48 3,26

Synthèse

Pour l’exemple 3 : Nombre de pièces dans les appartements d’un immeuble.

Complétons le tableau recensé :

Exercices

1)

Théorie

Soit fi =

14 × 2 + 21 × 3 + 7 × 4 + 4 × 5 + 4 × 6 163 = = 3,26 50 50 Ce qui représente le nombre moyen de pièces des appartements de cet immeuble.

Ainsi, les appartements de cet immeuble ont en moyenne 3 pièces. x=

2)

Pour l’exemple 4 : Surface habitable des appartements d’un immeuble.

Complétons le tableau recensé : Classes

Centre des classes

Effectifs

Produits

Fréquences

Produits

xi

ni

[30,50[ [50,70[ [70,90[ [90,110[ [110,130[ [130,150]

40 60 80 100 120 140

14 16 8 7 3 2 N = 50

ni xi 560 960 640 700 360 280 3500

fi 0,28 0,32 0,16 0,14 0,06 0,04 1

f i xi 11,2 19,2 12,8 14,0 7,2 5,6 70

14 × 40 + 60 × 16 + 80 × 8 + 100 × 7 + 120 × 3 + 140 × 2 3500 = = 70 50 50 Ainsi, la surface habitable moyenne des appartements de cet immeuble est de 70 m².

Dans le cas d’un caractère discret, la moyenne calculée sur les données brutes est la même que celle calculée sur la distribution. En revanche ces deux quantités diffèrent dans le cas d’un caractère continu. En effet, pour l’exemple 4, la moyenne calculée sur les données brutes(7) est 30 + 148 + ... + 47 + 69 = 69,54 . Nous constatons cependant que la moyenne de la distribution 50 est une bonne approximation de la moyenne de la série statistique. x=

(7) Voir page 26.

35 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités

3.3 La médiane(8) Définition 9

Exercices

Synthèse

Théorie

La médiane Me d’une série statistique est la valeur du caractère qui partage cette série statistique préalablement classée par ordre croissant ou décroissant en deux groupes de même effectif. des données 50 % avant cette valeur

d es données 50 % après cette valeur ▲

Me 3.2.1 Calcul de la médiane dans le cas d’une distribution non groupée Ordonnons les observations dans l’ordre croissant ou décroissant

Si le nombre total d’observations est impair et vaut 2p + 1, prendre l’élément du milieu, soit le ( p + 1)ème élément.

Si le nombre total d’observations est pair et vaut 2p, la médiane vaut la moyenne arithmétique ème entre pème élément et le ( p + 1) si le caractère est quantitatif.

Exemples 1)

La série 6 7 8 10 11 15 19 comprend 7 éléments (2p + 1 = 7).

La médiane est le quatrième élément. En effet, p = 3 et p + 1 = 4. Ainsi, Me = 10.

Ce qui signifie qu’il y a autant de valeurs de la variable qui sont inférieures à 10 que de valeurs qui sont supérieures à 10.

La série 6 7 8 10 11 15 19 20 comprend 8 éléments (2p = 8).

La médiane est la moyenne arithmétique entre le quatrième et le cinquième élément.

10 + 11 = 10,5 .

En effet, p = 4 et p + 1 = 5. Ainsi, M e = 2 Il y a donc autant de valeurs de la variable qui sont inférieures à 10,5 que de valeurs supérieures à 10,5.

3) Reprenons le tableau recensé de l’exemple 2 : Avis pédagogiques de 100 étudiants sur un assistant.

2)

Les 50e et 51e valeurs valent M

Modalités

Effectifs

Effectifs cumulés

Fréquences

Fréquences cumulées

xi

ni

Ni

fi

Fi

TD

2

2

0,02

0,02

D

4

6

0,04

0,06

M

54

60

0,54

0,60

F

31

91

0,31

0,91

TF

9 N = 100

100

0,09

1

1

0,06 < 0,50 < 0,60

(8) La médiane ne peut se déterminer que pour une série statistique à caractère quantitatif ou une série à caractère qualitatif ordinal.

36 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Les 25e et 26e valeurs se trouvent entre 14 et 35

Modalités

Effectifs

Effectifs cumulés

Fréquences

Fréquences cumulées

xi

ni

Ni

fi

Fi

2

14

14

0,28

0,28

3

21

35

0,42

0,70

4

7

42

0,14

0,84

5

4

46

0,08

0,92

6

4 N = 50

50

0,08

1

Activités Synthèse

immeuble.

le tableau recensé de l’exemple 3 : nombre de pièces dans les appartements d’un

0,28 < 0,50 < 0,70

1

L’effectif total étant 50, la médiane est la moyenne arithmétique des 25e et 26e valeurs du caractère. Celles-ci valent toutes les deux 3. Ainsi, Me = 3.

Il y a autant d’appartements qui ont moins de trois pièces que d’appartements qui ont plus de trois pièces.

Exercices

4) Reprenons

Théorie

L’effectif total étant 100, la médiane est la valeur des 50e et 51e valeurs du caractère c’est-à-dire M. La médiane est Me = moyen. Ainsi, il y a autant d’étudiants qui ont un avis positif (moyen ou favorable) que d’étudiants qui ont un avis négatif (moyen ou défavorable).

3.2.2 Calcul de la médiane dans le cas d’une distribution regroupée en classes (cas continu) � Graphiquement : En utilisant le diagramme des fréquences cumulées, c’est l’abscisse du point dont l’ordonnée vaut 0,50 (ou 50 %).

Fréquences cumulées

Exemple : reprenons l’exemple 4

Surface habitable des appartements d’un immeuble 1

1 0,96

0,9

0,9

0,8 0,76

0,7 0,6

0,60

0,5 0,4 0,3

0,28

0,2 0,1 0

30

0

50

Me

70

90

110

130 150 Surface habitable (m2)

37 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités Théorie

Nous constatons que la médiane se situe dans l’intervalle [50,70[ et vaut approximativement 63. Ce qui signifie qu’il y a autant d’appartements de moins de 63 m² que d’appartement de plus de 63 m². � Par interpolation linéaire(9) : Pour une valeur exacte, nous déterminons la classe médiane (celle dans laquelle se trouve l’abscisse du point d’ordonnée 0,5) puis nous calculons par interpolation linéaire.

Exemple : reprenons l’exemple 4

Centre des classes

Effectifs

Effectifs cumulés

xi

ni

Ni

fi

Fi

[30,50[

40

14

14

0,28

[50,70[

60

16

30

0,32

0,28 0,60

[70,90[

80

8

38

0,16

0,76

[90,110[

100

7

45

0,14

0,90

[110,130[

120

3

48

0,06

0,96

[130,150]

140

2 N = 50

50

0,04

1

Exercices

Synthèse

Classes

Fréquences Fréquences cumulées

1

Fréquences cumulées (en %)

28 % des appartements ont une surface de moins de 50 m², 60 % des appartements ont une surface de moins de 70 m².

La classe médiane est donc la classe [50,70[. Faisons un zoom du diagramme sur cette classe et supposons que les informations sont réparties linéairement à l’intérieur de cette classe, nous pouvons alors représenter celle-ci sous forme d’une droite passant par les points A(50,28) et B(70,60).

B

60 D

50

28

E

A

50

60

Me

C

70 Surface habitable (m²)

Par les triangles semblables, AE = DE , AC BC M − 50 50 − 28 M − 50 22 22 soit e = ⇔ e = ⇔ Me = × 20 + 50 = 63,75.

70 − 50 60 − 28 20 32 32 Il y a donc autant d’appartements qui ont une surface inférieure à 63,75 m² que d’appartements dont la surface est supérieure à 63,75 m².

Remarque : la valeur exacte, obtenue par une calculatrice, nous donne la valeur de 63,5 m².

(9) Interpolation linéaire : opération consistant à déterminer, à partir d’une série statistique succincte aux valeurs trop espacées, de nouvelles valeurs correspondant à un caractère intermédiaire pour lequel aucune mesure n’a été effectuée, en supposant que ces valeurs sont reliées par une droite.

38 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités

3.4 Pertinence du choix de la valeur centrale représentant la série

Moyenne x

Médiane Me

Tous

Quantitatif (discret ou continu)

Qualitatif ordinal, quantitatif (discret ou continu)

Première estimation, conception simple de la plus haute fréquence.

La moins utilisée.

Conception simple de l’équilibre; toutes les valeurs sont prises en compte.

La plus utilisée.

Conception simple de la notion de centre.

Plus utilisée que le mode mais moins que la moyenne.

Facile à repérer.

Se prête mal aux calculs.

N’est pas influencée par les valeurs extrêmes.

Déterminée par des calculs précis.

Sa stabilité croît avec l’effectif total.

Fortement influencée par des valeurs extrêmes.

Synthèse

Mode M0

Importance

Exercices

Type de caractère

Théorie

Le choix d’un paramètre de valeur centrale dépend de l’action à mener :

Facile à repérer.

Se prête mal aux calculs.

N’est pas influencée par les valeurs extrêmes.

Ne tient pas compte de la valeur des données mais de leur position.

Exemple : lors d’une étude sur la richesse globale d’un pays,

l’économiste choisira la moyenne qui est liée à la richesse globale du pays,

le sociologue préfèrera la médiane car la moyenne est influencée fortement par les très hauts salaires,

le publicitaire choisira le mode pour toucher un maximum de personnes.

39 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités Théorie

3.5 Les quartiles Définition 10 Les quartiles Q1, Q2, Q3 d’une série statistique sont les valeurs du caractère qui partagent cette série statistique préalablement classée par ordre croissant ou décroissant en quatre groupes de même effectif.

25 % 25 % 25 % 25 % ▲

Exercices

Synthèse

Min

▲

Q1

▲

Q2

Q3

Max

Remarque : le deuxième quartile Q2 est par définition égal à la médiane.

Calcul des quartiles Les quartiles se déterminent avec les mêmes méthodes que la médiane après avoir ordonné la série statistique par ordre croissant ou décroissant.

Des valeurs approchées s’obtiennent à partir du diagramme des fréquences cumulées : Le premier quartile Q1 est la valeur de l’abscisse du point dont l’ordonnée est 0,25.

Le deuxième quartile Q2 est la valeur de l’abscisse du point dont l’ordonnée est 0,5 (c’est la médiane Me) Le troisième quartile Q3 est la valeur de l’abscisse du point dont l’ordonnée est 0,75.

Pour obtenir des valeurs précises, nous utiliserons comme précédemment l’interpolation linéaire.

Exemples 1)

Prenons la série : 6 7 7! 8 10 ! 11 15 ! 19 20 Q1

Le premier quartile Q1 vaut 7,

Q2

Q3

le deuxième quartile Q2 (la médiane) vaut 10

pour calculer Q1

!##"##$ 6 7 7! 8 10 ! 11 15 ! 19 20 , Q1

2)

Q2

le troisième quartile Q3 vaut 15

pour calculer Q3 !## #"### $ 6 7 7! 8 10 11 15 19 20 ! !

Q1

Q3

Q2

Q3

Reprenons l’exemple 4 Fréquences cumulées

Surface habitable des appartements d’un immeuble 1

1

0,9

0,9

0,8 0,75

0,96

0,76

0,7 0,6

0,60

0,5 0,4 0,3 0,25

0,28

0,2 0,1 0

30

Q1 50

Q2

70

Q3 90

110

40 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

130 150 Surface habitable (m2)

Activités Théorie

Nous constatons que le premier quartile se situe approximativement à 48, le deuxième (la médiane) à 63, le troisième à 89. Ce qui signifie qu’il y a un quart des appartements dont la surface est inférieure à 48 m², un quart a une surface comprise entre 48 m² et 63 m², un quart a une surface comprise entre 63 m² et 89 m² et le dernier quart a une surface supérieure à 89 m².

Pour calculer la valeur exacte du premier quartile, déterminons la classe dans laquelle il se trouve (celle dans laquelle se trouve l’abscisse du point d’ordonnée 0,25) puis nous calculons par interpolation linéaire.

Centre des classes

Effectifs

Effectifs cumulés

xi

ni

Ni

fi

Fi

[30,50[

40

14

14

0,28

[50,70[

60

16

30

0,32

0,28 0,60

[70,90[

80

1 [90,110[ 1

100

Synthèse

Fréquences Fréquences cumulées

0,16des appartements 8Surface 38 0,76 Surface habitable des appartements d’un immeuble habitable d’un immeub 7

0,14

45

0,90

0,06 [110,130[ 120 3 48 0,96 0,9 0,04 0,9 [130,150] 140 2 50 1

N = 50

1 0,8 0,8 0,75 ont une surface de moins de 50 m², le premier quartile se trouve donc dans la 28 % des0,75 appartements 0,76 0,76 0,7 0,7 classe [30,50[.

0,9

Exercices

Fréquences cumulées

Fréquences cumulées

Classes

0,9

0,96

0,2

0,8 0,3 0,75 0,25 0,7

0,28

Fréquences cumulées

0,3 0,25

Fréquences cumulées

Faisons un zoom du diagramme sur cette classe et supposons que les informations sont réparties 0,6 0,6 Surface habitable Surface appartements habitable d’un des immeub appart 0,60 linéairement à l’intérieur de cette classe. Nous pouvons alors représenter sous forme d’une 0,60 descelle-ci 1 points A(30,0) et B(50,28).

1 droite passant par les 0,5 0,5 De même, en zoomant sur la classe [70,90[ où se trouve le troisième quartile, 0,9 0,9 0,9 0,4 0,4 0,28

0,2

0,8 0,75

0,1

0,6 0,1

0,6

0

0,5 0

0,5

30

0,4

30

Q1 50

Q1 50 Q2

Q1 − 30 25 − 00,3 Q1 − 30 25 = ⇔ = 0,28 50 − 30 28 − 00,25 20 28 0,2 25 ⇔ Q1 = × 20 + 30 = 47,86 28 0,1 0

30

Q1 50

0,76

0,76

0,7

0,60

0,60

70Q 0,4 2

70

Q3 90

110

Q3 90

110

130 Surface

110

Q3 90

Q 75 − 60 Q − 70 15 0,3 3 − 70 = ⇔ 3 0,28 = 0,25 90 − 70 76 − 60 20 16 0,2 15 ⇔ Q3 = × 20 + 70 = 88,75 16 0,1 0

30 Q2

70

Q1 50

Q3 90

Q2

70

41 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Activités

Exercices pour expliciter Exercice 1

a) Les notes des étudiants à la prochaine évaluation certificative. b) Les notes des étudiants transcrites en notes anglo-saxonnes (A, B, C, ...). c) La taille (en cm) des étudiants de Bac-1 Médecine. d) La mention au baccalauréat des étudiants de cette promotion. e) La catégorie socioprofessionnelle des clients d’un opérateur téléphonique. f) Le poids des marchandises chargées dans les camions d’une plate-forme logistique d’une chaine d’hypermarchés. g) Le nombre d’impacts de foudre par jour.

Exercice 2 À partir du graphique ci-dessous, répondre aux questions suivantes : Masse d’un lot de fromage de chèvre Masse (en g)

| Pour expliciter | Pour appliquer | Pour transférer |

Synthèse Exercices

Synthèse

Théorie

D’après vous, les variables suivantes sont-elles des variables quantitatives discrètes, des variables quantitatives continues ou des variables qualitatives ? Quelles sont les représentations graphiques et calculs adaptés à chacune d’elles ?

7

[110;115]

16

[105;110[

25

[100;105[ 18

[95;100[ 14

[90;955[ 9

[85;90[ 5

[80;85[ 0

5

10

15

20

25

30 Effectifs

a) Quelle est la masse minimale d’un fromage ? b) Quelle est la masse maximale ? c) Quelle masse ont la plupart des fromages ? d) Combien de fromages ont-ils une masse strictement inférieure à 100 g ? e) Combien de fromages ont-ils une masse supérieure à 100 g et strictement inférieure à 110 g ? f) Quel est le pourcentage de fromages qui ont une masse supérieure à 100 g ?

60 Actimath à l’infini 4 • 4UAA1 – Statistique descriptive

Géométrie dans l’espace

« Les Deux Plateaux », sculpture in situ, cour d’honneur du PalaisRoyal, Paris Daniel Buren

Représentation plane d’un objet de l’espace Comparaison entre perspectives cavalière et centrale Caractérisation d’une droite et d’un plan Positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan Propriétés utiles aux constructions des points de percée et des sections planes

4UAA2

Connaître et Expliciter

Repérer les positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan.

Appliquer

Représenter dans un plan un objet de l’espace.

Construire un point de percée.

Construire une section plane.

Transférer et Modéliser

Justifier la construction d’un point de percée, d’une section plane.

Vérifier la coplanarité de points, de droites.

Construire l’ombre d’un objet.

Interpréter une représentation plane d’un objet de l’espace.

Activités

Activité 3

Théorie

À partir du dessin, associer à chacun des ensembles finis de points donnés le plus petit ensemble infini (droite, plan ou espace) qui le contient : A F

A’

Synthèse Exercices

B

C E

B’ F’

D

C’ E’

D’

a) { A,B,C }

d) { A,D'}

g) { A,F,C '}

b) { F,B,D }

e) { A,B,B',E'}

h) { E',C }

c) { B,D,B',D'}

f) {D,E,F,E'}

i) { A,F ',B,D'}

En déduire différentes caractérisations d’une droite et d’un plan.

Activité 4 – Vrai ou Faux ?

Illustrer les propositions fausses en utilisant les solides ci-dessous : R A

B D

C S

E

F H

U G

T

Dans l’espace, a) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ne sont pas sécantes. b) Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est incluse dans un plan parallèle au plan. c) Deux plans sont parallèles si et seulement si ils ne sont pas sécants. d) Lorsque deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. e) Si deux plans sont sécants, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre. f) Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre. g) Si une droite est incluse dans un plan et est parallèle à un autre plan, alors les deux plans sont parallèles. h) Deux droites distinctes sont toujours coplanaires. i) Une droite sécante à deux droites parallèles est contenue dans le plan déterminé par ces deux droites. j) Les intersections de deux plans parallèles avec un troisième sont deux droites parallèles. k) Une droite est contenue dans un seul plan. l) Deux droites parallèles définissent un plan.

82 Actimath à l’infini 4 • 4UAA2 – Géométrie dans l’espace

Activités

Géométrie dans l’espace 1 Représentation plane d’un objet de l’espace

Théorie

Lorsque nous voulons représenter un objet de l’espace sur un espace à deux dimensions (feuille de papier ou écran d’un ordinateur), il est nécessaire de faire des choix quant à la manière de le représenter.

Synthèse

Les différentes techniques de représentation en perspective ont toutes en commun l’intention de représenter la vue d’objets à trois dimensions sur une surface plane en tenant compte de la position et de l’éloignement de l’objet par rapport à l’observateur.

Exercices

Les deux techniques les plus utilisées sont la perspective cavalière et la perspective avec un point de fuite, appelée perspective centrale.

2 Perspectives 2.1 La perspective centrale(1) Conventions Les parallèles contenues dans le plan frontal (parallèle au front de l’observateur) sont parallèles sur la représentation plane mais les autres parallèles sont concourantes en un point de fuite sur la ligne d’horizon.

Filippo Brunelleschi Architecte, sculpteur, peintre

Naissance

en 1377 à Florence

Décès

le 15 avril 1446

Nationalité

Italie

(1) Mise au point par le peintre Brunelleschi au XVe siècle.

85 Actimath à l’infini 4 • 4UAA2 – Géométrie dans l’espace

Activités

Afin de mieux cerner la notion de droite ou de plan nous pouvons énoncer des relations qu’ils vérifient, déduites de l’observation et admises sans démonstration(3). Ces relations sont appelées axiomes.

B

Axiome 1 A

Une droite est un ensemble infini de points. La droite passant par les points A et B est notée AB, elle peut aussi se noter par une lettre minuscule d (ou a, b, c…).

Exercices

Axiome 5 d

Axiome d’Euclide

Synthèse

Par deux points distincts passe une et une seule droite.

Théorie

3 Caractérisation d’une droite et d’un plan

Par un point donné passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée

A

À partir de ces axiomes, nous pouvons caractériser une droite de l’espace : ✳✳ Donner deux points distincts A et B permet de déterminer une et une seule droite de l’espace : la droite AB. ✳✳ Donner un point A et une droite d permet de déterminer une et une seule droite de l’espace : la droite parallèle à d passant par A.

Axiome 3 Par trois points non alignés passe un et un seul plan.

B A

C

Un plan est un ensemble infini de points. Le plan passant par les points A, B et C est noté ABC, il peut aussi se noter par une lettre grecque π ( α , β , γ …)

(3) Une démonstration est un enchaînement de déductions permettant d’établir la vérité d’une affirmation mathématique (appelée thèse) à partir de propositions initiales (appelées hypothèses), d’affirmations mathématiques qui sont admises comme vraies (appelées axiomes) et de vérités mathématiques précédemment établies (appelées théorèmes ou propositions).

87 Actimath à l’infini 4 • 4UAA2 – Géométrie dans l’espace

Toute droite qui comprend deux points distincts d’un plan est incluse dans ce plan.

B A

Axiome 5 Deux plans qui ont deux points en commun ont une droite commune qui passe par ces points.

B A

Exercices

Synthèse

Théorie

Activités

Axiome 4

Remarque : toutes les propriétés de la géométrie plane sont valables dans chacun des plans de l’espace.

À partir de ces axiomes, nous pouvons caractériser un plan de l’espace Un plan est déterminé par : ✳✳ Trois points A, B, C non alignés; ✳✳ Une droite d et un point A n’appartenant pas à la droite d; ✳✳ Deux droites sécantes; ✳✳ Deux droites parallèles distinctes.

Exemple

Le plan de la face ABCD du cube ci-contre peut être déterminé par : ✳✳ ✳✳ ✳✳ ✳✳

es points A, B et C (non alignés); L La droite AB et le point C (C n’appartient pas à AB); Les droites AB et AD (elles sont sécantes); Les droites AB et CD (elles sont parallèles).

G

F E H

A D B C

88 Actimath à l’infini 4 • 4UAA2 – Géométrie dans l’espace

Activités

Exercices pour expliciter Exercice 1

B’

A’ F’

D

C’ E’

D’

Exercice 2 Laquelle des trois propositions de la deuxième colonne est-elle la négation de celle de la première colonne : 1. La droite a et le plan a sont sécants.

2. Les plans a et b sont strictement parallèles.

3. La droite a est incluse dans le plan a.

4. Les droites a et b ont au moins un point commun.

5. Les droites a et b sont gauches.

La droite a et le plan a n’ont aucun point commun.

La droite a et le plan a sont parallèles.

La droite a est incluse dans le plan a .

Les plans a et b sont sécants.

Les plans a et b sont parallèles confondus.

Les plans a et b ont au moins un point commun.

La droite a est sécante avec la plan a .

Il existe au moins un point de a qui n’appartient pas à a .

La droite a et le plan a sont strictement parallèles.

Les droites a et b sont strictement parallèles.

Les droites a et b sont parallèles confondues.

Les droites a et b n’ont aucun point commun.

Les droites a et b sont coplanaires.

Les droites a et b sont sécantes.

Les droites a et b sont parallèles.

Synthèse

E

F

Exercices

C

B

| Pour expliciter | Pour appliquer | Pour transférer |

A

Théorie

Citer trois paires de droites sécantes, de droites parallèles, de droites gauches, de plans parallèles et de plans sécants à partir de la figure suivante :

Exercice 3 Écrire les énoncés suivants en langage mathématique : 1. la droite a et la droite b sont sécantes.

2. le plan a et le plan b sont strictement parallèles.

3. le plan a et la droite a sont sécants.

4. les plans a et b sont sécants.

5. la droite a et la droite b sont strictement parallèles.

6. le plan a et la droite a sont strictement parallèles.

7. la droite a et la droite b sont parallèles confondues.

107 Actimath à l’infini 4 • 4UAA2 – Géométrie dans l’espace

Trigonométrie

The London eye

Le cercle trigonométrique Les nombres trigonométriques, formule fondamentale Relations trigonométriques dans un triangle quelconque Résolution de problèmes : aires, distances inaccessibles, applications géométriques, topographiques, …

4UAA3

Connaître et Expliciter «« Représenter sur un cercle trigonométrique un point correspondant à un angle ainsi que ses nombres trigonométriques. «« Établir le lien entre triangles semblables et nombres trigonométriques. «« Interpréter géométriquement les relations principales.

Appliquer «« Calculer l’amplitude d’un angle avec une calculatrice. «« Calculer la longueur d’un côté d’un triangle avec une calculatrice. «« Calculer l’aire d’un triangle avec une calculatrice. «« Utiliser la calculatrice pour déterminer un nombre trigonométrique d’un angle et pour déterminer la mesure d’un angle dont un nombre trigonométrique est donné. «« Un nombre trigonométrique d’un angle étant donné, déterminer les autres nombres trigonométriques.

Transférer et Modéliser «« Utiliser les relations trigonométriques adéquates pour traiter une application géométrique, topographique, physique, … «« Calculer une distance inaccessible dans le plan ou dans l’espace.

Activités

AB AB b) Les rapports i i et i i dépendent-ils des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous AiC nous plaçons ?BiC

Théorie

c) Quel est l’élément commun dans le triangle ABC et dans les triangles AiBiC ? d) Que pouvez-vous affirmer à propos des rapports

Ai Bi Ai Bi et ?

BiC AiC

Exercices

Synthèse

Partie B − Cercle trigonométrique et nombres trigonométriques Avec un logiciel de géométrie dynamique 1. Représenter un cercle de centre O(0,0) et de rayon 1. Son nom : le cercle trigonométrique.

2. Choisir un point P(x,y) appartenant au cercle trigonométrique dans le premier quadrant (x > 0 et y > 0), un point Q de coordonnée (x,0). ! où A est le point de coordonnée (1,0).

Soit α , l’angle égal à AOP Montrer à l’aide du triangle rectangle QOP que sin α = y et cos α = x.

3. Soit P’(x’,y’) appartenant au cercle dans le deuxième quadrant (x’ < 0 et y’ > 0). !.

Considérons, l’angle β d’amplitude AOP' Quelles sont les valeurs possibles pour cet angle ?

4. Considérons le triangle AOP’, de quelle nature est-il ? Un de ses angles est supérieurs à 90°, lequel ?

Définir sin β et cos β en utilisant le résultat obtenu en 2.

5. Positionner sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux angles d’amplitude 99°, 126° et 173°. Déterminer en utilisant le logiciel les valeurs numériques de leurs sinus et cosinus.

Activité 3 – Nombres trigonométriques et la calculatrice 1. Calculer le sinus de 37° et donner le résultat au centième.

2. Calculer le sinus et le cosinus de 53° et donner le résultat au centième.

Que remarquez-vous en comparant les résultats obtenus au 1 ci-dessus ?

3. Calculer la tangente de 37° et donner le résultat au centième.

4. Quel est l’angle compris entre 0° et 90° dont le cosinus vaut 0,2014 ?

5. Quel est l’angle compris entre 0° et 90° dont la tangente vaut 1,2014 ?

6. Quel est l’angle (ou quels sont les angles) compris entre 0° et 180° dont les renseignements suivants sont donnés : a) cos α = 0,4567

e) cos ϕ = −1,234

b) cos β = −0,1234

f) tan α = 2

c) sin γ = 0,3456

g) tan β = −1,57

d) sin θ = −0,1234

h) tan γ = 100

Que remarquez-vous ?

124 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

R O

θ P'

En 1606, Adriaan van Roomen, francisé en Adrien Romain, latinisé en Adrianus Romanus, né à Louvain (Belgique) en 1561 est un médecin et mathématicien issu de la noblesse. Il publie « miroir astronomique », Speculum astronomicum, sive, organum forma mappae expressum. Ce livre serait le premier traité de trigonométrie faisant un emploi systématique de notations abrégées comme sin (A + B).

Activités Théorie

La notion de sinus d’un angle apparaît pour la première fois en Inde entre 800 et 500 avant J.C. Les premières tables trigonométriques sont dues au mathématicien grec Hipparque de Nicée (190-120 avant J.C.) : elles donnaient la longueur de la corde [PP’] interceptée par un angle θ dont le sommet est au centre O d’un cercle de rayon R fixé.

P

Synthèse

La Trigonométrie, du grec τρί/tri « trois » , γωνος/gonos, « angle » et μέτρον / métron, « mesure », est une branche des mathématiques qui traite des relations entre la longueur des côtés et l’amplitude des angles dans les triangles. Ses origines remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus, il y a plus de 4 000 ans (notre préhistoire).

Exercices

La Trigonométrie

1 Le cercle trigonométrique 1.1 Définition Une figure de base de la trigonométrie est le cercle trigonométrique. (2) C’est un cercle de rayon 1 dont le centre coïncide avec y C 1 l’origine d’un repère orthonormé. Par convention, nous le parcourons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre P (sens anti-horlogique) en partant de son intersection avec l’axe des abscisses en (1,0). Ce sens est nommé le sens x θ trigonométrique.

0 –1

0

1

Le point P passe donc successivement par les points de coordonnée (1,0), (0,1), (−1,0) et (0,−1) pour revenir au point de départ (1,0).

–1

L’ équation de ce cercle est x² + y² = 1 .

Définition 1 Dans un repère orthonormé d’origine O, le cercle trigonométrique est le cercle centré en O, de rayon 1 et orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

(0,1)

y

x (0,0)

(1,0)

(2) Voir 4UAA6 Géométrie analytique plane.

129 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

3 Relations trigonométriques dans un triangle quelconque Un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets, par les trois segments qui les relient, appelés côtés, délimitant une région du plan.

B

c γ α

b

A

α , β, γ sont respectivement les mesures des angles C

! , ABC ! , BCA !

CAB

a, b et c sont respectivement les mesures des côtés [BC], [AC] et [AB].

Notons que les côtés a, b et c font face respectivement aux angles α , β et γ.

Pour résoudre(1) des triangles rectangles, la connaissance de deux caractéristiques (angle ou longueur de côté) nous permettait de trouver toutes ses caractéristiques. Il n’est pas toujours possible de résoudre des problèmes de trigonométrie à l’aide des triangles rectangles car certains impliquent la résolution des triangles quelconques. Dans le cas d’un triangle quelconque, c’est au moins trois caractéristiques qu’il faut connaître pour déterminer toutes les autres. Les théorèmes ci-dessous nous permettront de résoudre un triangle quelconque.

Synthèse

Dans tout triangle, la somme des angles est égale à l’angle plat : α + β + γ = 180° .

a

Exercices

β

Théorie

3.1 Relation entre les angles

3.2 Théorème des sinus Proposition 2 Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés à ces côtés. a b c = = sin α sin β sin γ En voici deux démonstrations qui utilisent des outils mathématiques différents.

Première démonstration Outil : le cercle circonscrit et le triangle rectangle.

Hypothèse : Soit un triangle ABC. Thèse :

a b c = = sin α sin β sin γ

Démonstration : Construisons le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O et de rayon r.

Plaçons C’, le symétrique de A par rapport au centre du cercle.

(1) Résoudre un triangle revient à déterminer les longueurs de ses côtés et l’amplitude de ses angles.

141 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

1er cas : γ est aigu

2e cas : γ est obtus

C

C

Théorie

γ b

Synthèse

c

b

γ' O

B γ'

C'

O B

c

A

Exercices

γ

C'

a

a

A

Le triangle AC’B est rectangle en B car AC’ est un diamètre.

AB c = Nous avons sin γ ' = AC ' 2r Or les angles γ et γ’ sont soit égaux soit supplémentaires suivant que γ est aigu ou obtus.

Ainsi, sin γ’ = sin γ

c c sin γ 1 = 2r ⇔ = ou encore sin γ 2r 2r c Comme c est un côté quelconque du triangle, nous pouvons réitérer le raisonnement avec les autres côtés et conclure : a b c = = = 2r sin α sin α sin γ Par conséquent, sin γ =

Dans un triangle, le rapport de la longueur d’un côté par le sinus de l’angle opposé est constant et est égal à deux fois le rayon du cercle circonscrit au triangle.

Deuxième démonstration Outil : l’aire d’un triangle :

base × hauteur 2

Hypothèse : soit un triangle ABC

a b c = = sin α sin β sin γ Démonstration :

Thèse :

Notons S l’aire du triangle ABC, h la longueur de la hauteur issue du sommet C. Nous avons Si l’angle a est aigu

Si l’angle a est obtu C

C b A

α

a

h c

1 S = c×h 2 1 = b × c × sin α 2

h β

H

B

a

b α

180°–α H

A

1 S = c×h 2

c

B

par la formule de l’aire d’un triangle

1 = c × b × sin (180° − α ) 2

le triangle AHB est rectangle en H

1 = b × c × sin α 2

par les angles supplémentaires

142 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Puisque le produit abc est non nul, nous pouvons diviser les membres de la double égalité par celui-ci : ⎛ 2S ⎞ ⎜⎝ = abc ⎟⎠

Activités Synthèse

a b c sin α sin β sin γ ou encore = = = = sin α sin β sin γ a b c

Nous obtenons

3.3 Loi des aires De la démonstration précédente, nous pouvons déduire : Proposition 3 L’aire de tout triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés et du sinus de l’angle qu’ils comprennent.

1 1 1 S = absin γ = ac sin β = bc sin α 2 2 2

Exercices

bc sin α ac sin β absin γ = = abc abc abc

Théorie

1 1 De même, en prenant les hauteurs issues des autres sommets S = a × b × sin γ et S = a × c × sin β 2 2 La double égalité apparaît, b c sin α = a c sin β = a b sin γ (= 2S)

3.4 Théorème du cosinus : Pythagore généralisé ou Al-Kashi Proposition 4 Dans tout triangle, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés diminuée du double produit des mesures de ces côtés et du cosinus de l’angle qu’ils comprennent. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ Nous avons deux cas possibles : un triangle formé de trois angles aigus ou un triangle formé de deux angles aigus et un angle obtus. En effet, les cas de deux ou trois angles obtus sont à écarter puisque dans ce cas la somme des angles serait de plus de 180°.

Hypothèse : Soit le triangle ABC Thèse : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α Démonstration : 1er cas : α est aigu

2e cas : α est obtus C

C b h A

α

a β

c

H

h

a

b 180°– α

α

B

c

143 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

Soient x la distance HA et h la distance HC

Synthèse

Théorie

Nous avons :

Nous avons :

⎧ b2 = x 2 + h2 ⎪ ⎨ 2 2 2 ⎪⎩ a = h + ( c − x )

⎧ b2 = x 2 + h2 ⎪ ⎨ 2 2 2 ⎪⎩ a = h + ( c + x )

Δ CHA Δ CHB

⎧ h2 = b2 − x 2 ⎪ ⇔⎨ 2 2 2 ⎪⎩ h = a − ( c − x )

Δ CHB

⎧ h2 = b2 − x 2 ⎪ ⇔⎨ 2 2 2 ⎪⎩ h = a − ( c + x )

Ainsi, b 2 − x 2 = a 2 − ( c − x )

Ainsi, b 2 − x 2 = a 2 − ( c + x )

2

2

b 2 − x 2 = a 2 − c 2 − 2cx − x 2

b 2 − x 2 = a 2 − c 2 + 2cx − x 2

⇔ a 2 = b 2 + c 2 + 2cx

⇔ a 2 = b 2 + c 2 − 2cx

Exercices

Δ CHA

x ⇔ x = b cos (180° − α ) b Par les angles supplémentaires, x = b (−cos α) En conclusion, a² = b² + c² − 2bc cos α

x ⇔ x = b cos α b En conclusion, a² = b² + c² − 2bc cos α

Or, cos (180° − α ) =

Or, cos α =

Les autres relations s’obtiennent de la même manière.

Le cas de l’angle aigu peut être démontré plus visuellement : C b

a

a sin β

α A

c – a cos β H

a cos β

β

c

B

Dans le triangle ACH rectangle en H, nous avons b² = (a sin β)² + (c − a cos β)² Développons cette égalité : b² = a² sin² β + c² − 2ac cos β + a² cos² β Ce qui se réécrit en b² = a² (sin² β + cos² β) + c² − 2ac cos β formule fondamentale En conclusion, b² = a² + c² − 2ac cos β

60

aire bleue = 45 + 25 aire orange = 60 + 40 40

45

25 116,57°

100

La relation de Pythagore est un cas particulier du théorème d’Al-Kashi(2), souvent appelé pour cette raison Pythagore généralisé.

En effet, si un des angles vaut l’angle droit, son cosinus est nul et nous retrouvons la formule bien connue a² = b² + c².

Par similitude avec la relation aux sinus, ce théorème est encore appelé « relation au cosinus ».

(2) Al-Kachi ou Al-Kashi « le natif de Kashan » est un mathématicien et astronome perse (Iran) (vers 1380−1429).

144 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

Héron d’Alexandrie (en grec ancien Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς − Hếron ho Alexandreús) est un ingénieur, un mécanicien et un mathématicien grec du Ier siècle après J.-C. En mathématique, ses découvertes sont réunies dans Héron d’Alexandrie un important traité Metrica − Les métriques, retrouvé à Constantinople en 1896. En particulier, la célèbre Héron, dans le Codex de saint Grégoire de Nazianze, manuscrit grec du IXe siècle formule concernant l’aire A d’un triangle de côtés a, b et c, utilisant le demi-périmètre p du triangle y est développée :

Naissance

1er siècle après J.-C. Alexandrie (Égypte)

Domicile

Alexandrie

Champs

Mathématiques, mécanique

Renommé pour

Éolipyle, Formule de Héron

Exercices

Synthèse

A = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Elle lui est attribuée mais elle avait déjà été prouvée par Archimède.

Un traité de géométrie écrit par Al-Huwarizmi (780– 850) réunit les règles servant à calculer les aires et les éléments de figures géométriques ainsi que les applications les plus simples de l’algèbre aux problèmes concernant les triangles, les quadrilatères et les cercles.

Sa géométrie est assez proche d’un ancien traité hébreu, La théorie de la mesure, rédigé dans la première moitié du IIe siècle, ce traité étant lui-même proche des écrits de Héron d’Alexandrie.

Théorie

Et si les longueurs des 3 côtés nous étaient données…

Source : Wikipedia

Montrons cette formule : Considérons la hauteur h issue du sommet B, qui partage le triangle ABC en deux triangles rectangles et prenons x = CH .

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle B CHB d’une part et dans le triangle AHB d’autre part. a

C

a 2 − x 2 = h 2 = c 2 − (b − x )

c

ΔCHB

h

x = CH

H

2

ΔAHB

⇔ a − x = c − b 2 + 2bx − x 2 A

⇔x =

b

2

2

2

a2 + b2 − c 2 2b

Ainsi, le carré de l’aire du triangle ABC est : 2 2 1 2 2 b2 2 b2 ⎛ 2 ⎛ a2 + b2 − c 2 ⎞ ⎞ ⎛ b × h⎞ 2 (Aire) = ⎜ = b h = (a − x ) = ⎜ a − ⎜ ⎟⎠ ⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 4 4 4⎝ 2b ⎠ 2

(

)

2 1 1 4a 2b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) = ( 2ab − a 2 − b 2 + c 2 )( 2ab + a 2 + b 2 − c 2 ) 16 16 1 2 1 2 2 = c − ( a − b ) ( a + b ) − c 2 = ( c − a + b )( c + a − b )( a + b − c )( a + b + c ) 16 16

=

(

)(

)

1 (a + b + c ) , le demi-périmètre du triangle ABC. 2 La formule précédente s’écrit alors plus simplement sous sa forme classique :

Posons p =

(Aire)2 =

(c − a + b ) (c + a − b ) (a + b − c ) (a + b + c ) ⇔ Aire =

2 " !##### 2 " !##### 2 " !##### 2 " !##### p−a

p−b

p−c

p ( p − a )( p − b )( p − c )

p

Il suffit de connaître les longueurs des côtés du triangle pour en calculer son aire.

145 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités Théorie

3.5 Résolution d’un triangle quelconque À partir des deux théorèmes, les informations minimales que nous devons connaître pour résoudre un triangle quelconque (i.e. déterminer toutes ses caractéristiques, toutes les longueurs de côté et mesures d’angle qui manquent) sont : • la longueur d’un côté de ce triangle et deux angles, ou • la longueur de deux côtés de ce triangle et un angle, ou • la longueur des trois côtés de ce triangle.

C

C

C

Synthèse

C

B A

Exercices

A

Un côté et 2 angles.

B

2 côtés et l’angle qu’ils comprennent.

A

B

A

2 côtés et l’angle opposé à l’un d’eux.

B

Les 3 côtés.

Pour résoudre un triangle, « Utiliser les formules du triangle quelconque pour déterminer les côtés et les angles inconnus. « Lorsque deux angles sont donnés, le troisième est calculé en utilisant la propriété des angles α + β + γ = 180° « Lorsqu’un seul angle est donné, chacun des angles inconnus est déterminé par la relation des cosinus de préférence. En effet, si l’angle est donné par son cosinus, seule la solution comprise entre 0° et 180° est à retenir (celle donnée par la calculatrice).

Par contre, si l’angle est donné par son sinus, deux solutions comprises entre 0° et 180° sont éventuellement à retenir, l’une donnée par la calculatrice, l’autre étant le supplémentaire de la première. « Il est utile de vérifier que le plus grand côté est opposé au plus grand angle.

3.5.1 Exemple 1 – Un côté et deux angles : ACA C

Les données : α = 28°

γ b

β = 57°

a

c = 12,4

α = 28° A

β = 57° c = 12,4

B

Les inconnues : a, b, γ.

Nous sommes dans la situation ACA (angle-côté-angle), il y a une unique solution. «« Déterminons γ par la propriété des angles dans un triangle : γ = 180° − α − β = 95°. «« Utilisons la règle des sinus pour calculer les deux autres côtés : sin 28° sin 95° sin 57° = = a 12,4 b 12,4 × sin 28° 12,4 × sin 57° ! 5,84 et b = Nous en déduisons a = ! 10,44 sin 95° sin 95° 146 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

3.5.2 Exemple 2 – Deux côtés et un angle : CAC C

a = 32 β = 76° B

c = 36

Les inconnues : α , g, b.

Nous connaissons les côtés adjacents à l’angle donné : il y a une solution. « Calculons b par la règle des cosinus : b² = 32² + 36² − 2 × 32 × 36 × cos 76° ! 1762,6 Ainsi, b ! 41,98. « Comme l’angle donné est aigu, il est préférable d’utiliser la relation aux cosinus pour calculer un autre angle car celui-ci pourrait être obtus : 32² = 36² + 41,98² − 2 × 36 × 41,98 × cos α 322 − 362 − 41,982 ! 0,673. Donc, α = 47,697° = 47°41’51’’ nous avons cos α = −2 × 36 × 41,98 « Pour le deuxième angle, utilisons la propriété concernant les angles :

Synthèse

α

Exercices

b

A

a = 32 c = 36 β = 76°

γ

Théorie

Les données :

γ = 180° − 76° − 47°41’51’’= 56°18’09’’.

3.5.3 Exemple 3 – Deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux : ACC Les données :

C

b = 2,3

γ

a = 7,2

α = 92° A

a = 7,2 b = 2,3 α = 92°

c

β

B

Les inconnues : c, γ, β.

Nous ne sommes dans aucune des situations CAC (avec les côtés adjacents à l’angle connu), CCC ou ACA; il pourrait donc a priori y avoir deux solutions. Comme ici α est obtus, les deux autres angles sont nécessairement aigus et il n’y aura pas deux solutions (voir activité 6). «« Utilisons la relation aux sinus pour calculer β car la solution fournie par la calculatrice est sin 92° sin β 2,3 × sin 92° comprise entre 0° et 90° : . D’où β = 18°37’03’’ = ⇔ sin β = ! 0,319 7,2 7,2 2,3 «« Déterminons le troisième angle par la formule des angles : γ = 180° − 92° − 18°37’03’’= 69°22’57’’ «« Avec la relation aux cosinus nous pouvons calculer le troisième côté : c² = 7,2² + 2,3² − 2 × 7,2 × 3,2 × cos 69°22’57’’ = 45,467. En conclusion, c ! 6,743 Remarque : soit le triangle a = 8, b = 32 et α = 18°

Comme précédemment, nous ne sommes dans aucune situation CAC, CCC ou ACA, il pourrait donc a priori y avoir deux solutions… ou aucune. sin 18° sin β 32 × sin 18° En effet, = ⇔ sin β = ! 1,236 > 1 !

8 8 32 Il n’y a donc pas de solution à ce problème.

147 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

3.5.4 Exemple 4 – Trois côtés : CCC C

Théorie

γ b = 34

Synthèse

a = 30 b = 34 c = 25

a = 30

α A

Exercices

Les données :

β c = 25

B

Les inconnues : α , γ, β.

Utilisons la relation aux cosinus pour calculer les trois angles cos α =

302 − 34 2 − 252 ! 0,518 ⇒ α = 58,8° = 58°48' −2 × 34 × 25

cos β =

34 2 − 302 − 252 ! 0,246 ⇒ β = 75,76° = 75°45'36'' −2 × 30 × 25

cos γ =

252 − 34 2 − 302 ! 0,701 ⇒ γ = 44,54° = 44°32'24'' −2 × 34 × 30

3.6 Distances inaccessibles En topographie, sur le terrain, les géomètres utilisent des appareils sophistiqués (radar, sonar, laser, …) pour mesurer des distances. Lorsque certaines des grandeurs ne peuvent être mesurées effectivement, ils utilisent la résolution de triangles pour les calculer.

Voici des applications classiques.

3.6.1 Hauteur d’un édifice inaccessible Soit une tour de hauteur h dont le pied est inaccessible, mais dans le même plan horizontal que les pieds d’un observateur. L’œil de ce dernier se trouve à 1,5 m du sol. À une distance AD de la tour, l’observateur en voit le sommet sous un angle α = 24°36’ par rapport à l’horizontale. Après s’être rapproché de 32 m de la tour, l’observateur la voit sous un angle β = 40°12’ par rapport à l’horizontale.

Quelle est la hauteur de la tour ?

B

h A 1,5 m

Soit A le point de la tour situé à 1,5 m du sol et B le sommet de la tour.

Soit D le premier point d’observation et C le second.

Dans le triangle ABC, nous avons AB = BC sin β . ! vaut β − α = 15°36’ Dans le triangle BCD, l’angle γ = CBD 148 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

β

α C 32m

D

Activités

BC CD CD × sin α 32 × sin 24°36' = ⇔ BC = = sin 15°36' sin α sin γ sin γ

Par conséquent, AB = BC sin β =

CD sin α sin β 32 × sin 24°36' × sin 40°12' = = 31,973 sin 15°36' sin γ

Théorie

La relation aux sinus donne

La hauteur de la tour est (31,973 + 1,5) m soit 33,473 m 3.6.2 Distance entre un point accessible et un point inaccessible

C 28 m

B

C 154° 28 m 17°

B

! = 180° − 154° − 17° = 9° L’angle ABC Nous avons par la loi des sinus,

A

Exercices

Synthèse

Un géomètre désire mesurer la distance horizontale entre deux arbres A et B séparés par une rivière se trouvant en plaine. Le géomètre choisit de se placer en un troisième point C d’où il peut observer les deux arbres. De là, il mesure l’angle horizontal γ et obtient 154°. Depuis A, il mesure l’angle horizontal α qui vaut 17°. La distance séparant les points A et C vaut 28 m.

Quelle est la distance entre les deux arbres ?

A

28 AB 28 × sin 154° = ⇔ AB = = 78,46 sin 9° sin 9° sin 154°

En conclusion, la distance entre les deux arbres est de 78,46 m.

3.6.3 Distance entre deux points inaccessibles La lagune à Venise sépare les clochers A et B. Nous avons les mesures suivantes prises à partir de deux endroits C et D distants de 100 m : B A

A

B

Venise, mai 2010 69,15° D

53,33°

35,46°

Quelle est la distance séparant les clochers A et B ?

100m

26,29°

C

149 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Activités

Dans le triangle DBC : A

B

Par le théorème des sinus :

Théorie

!

B

D

35,46°

53,33°

100m

BC 100 = sin 35,46° sin 91,21° 100 × sin 35,46° ⇔ BC = = 93,47 sin 91,21° C

Dans le triangle ADC : A

B

! = 180° − 69,15° − 26,29° = 84,56° A Par le théorème des sinus :

!

A

Exercices

Synthèse

! = 180° − 35,46° − 53,33° = 91,21° B

D

69,15° 100m

26,29°

C

AC 100 = sin 69,15° sin 84,56° 100 × sin 69,15° ⇔ AC = = 93,874 sin 84,56°

Dans le triangle ABC : A

B

! = 53,33° − 26,29° = 27,04° C Par le théorème du cosinus : 2

2

2

AB = AC + BC − 2 × AC × BC × cos 27,04° = 1918,44 D 100m

!

C

Ainsi, AB = 43,8 C

La distance entre les deux clochers est de 43,8 m.

150 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

151

∀α

y

α

x

cos α

A

(1,0)

sin 2 α + cos 2 α = 1

Relation Fondamentale

O

sin α

Les nombres trigonométriques

O (0,0)

(0,1)

Le cercle trigonométrique

x

1 + tan 2 α =

sin α est l'ordonnée du point B cos α

1 = sec 2 α (α ≠ 90°,270°) 2 cos α

tan α =

cos α est l'abscisse du point A

sin α est l'ordonnée du point A

(–1,0)

y

III

1

Synthèse

x (1,0)

x

d = x =1

(1,0)

B (1,tan α)

IV

I

(0,–1)

y

A α O OB’ = 1

tan α

(0,1)

O (0,0)

II

(0,1)

Théorie

1 = cosec 2α (α ≠ 0°,180°) 2 sin α

Exercices

1 + cot 2α =

Dans un repère orthonormé d’origine O, le cercle trigonométrique est le cercle centré en O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Il est divisé en 4 quadrants.

Synthèse : trigonométrie

Activités

Activités

Exercices pour expliciter Exercice 1

Série 1 | Pour expliciter | Pour appliquer | Pour transférer |

Exercices

Synthèse

Théorie

Représenter sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux angles dont les amplitudes sont les suivantes.

Estimer leurs coordonnées et vérifier ensuite vos résultats à la calculatrice.

a) 45°

b) 22,5°

c) 90°

d) 1°

e) 60°

f) 30°.

a) 121°

b) 75°

c) 150°

d) 40°

e) 135°

f) 175°.

a) 20°

b) 200°

c) 145°

d) 185°

e) 250°

f) 110°.

a) 57°

b) 300°

c) 254°

d) 144°

e) 281°

f) 345°.

Série 2

Série 3

Série 4

Exercice 2 Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, représenter graphiquement le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente des angles indiqués (un dessin par angle).

Pour chaque dessin, estimer ensuite les valeurs de ces quatre mesures et les contrôler à l’aide d’une calculatrice. y 1

–1

0

1

x

1. 60°

2. 135°

3. 170°

4. 25°

5. 234°

6. 255°

7. 315°

8. 340°

–1

Exercice 3 En utilisant le cercle trigonométrique et des théorèmes de géométrie élémentaire, prouver les relations suivantes : 1. cos 2 β + sin 2 β = 1 sin γ cos γ 1 3. cot θ = tan θ 2. tan γ =

154 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie

Géométrie analytique plane

Télévillage Peisey-Vallandy (France)

4UAA6

Calcul vectoriel Vecteurs Addition de deux vecteurs Multiplication d’un vecteur par un réel Vecteurs colinéaires Repère orthonormé Composantes d’un vecteur Lieux géométriques Équations vectorielle, paramétriques et cartésienne d’une droite Droite d’équation ax + by + c = 0 Coefficient angulaire d’une droite Condition de parallélisme et de perpendicularité de deux droites Distance entre un point et une droite Milieu d’un segment Définition de la parabole en tant que lieu géométrique Équation cartésienne d’une parabole d’axe vertical Équation cartésienne d’un cercle

Connaître et Expliciter «« Représenter un vecteur dans le plan. «« Associer un lieu à son expression analytique.

Appliquer «« Construire la somme de deux vecteurs. «« Décomposer un vecteur suivant deux directions données, lui associer un couple de composantes et en déterminer la norme. «« Utiliser les configurations de parallélogrammes pour construire une somme de vecteurs et lui associer un couple de composantes. «« Utiliser la droite graduée ou le théorème de Thalès pour construire le produit d’un vecteur par un réel et lui associer un couple de composantes. «« Déterminer les coordonnées d’un point ou les composantes d’un vecteur à partir d’une relation vectorielle donnée. «« Rechercher les équations vectorielle, paramétriques et cartésienne d’une droite. «« Rechercher l’équation d’une droite comprenant deux points, comprenant un point et de direction donnée. «« Calculer la distance d’un point à une droite. «« Rechercher l’équation cartésienne d’un cercle. «« Rechercher le centre et le rayon d’un cercle d’équation donnée. «« Construire une parabole de foyer et de directrice donnés. «« Rechercher une intersection entre droites, entre droite et cercle, entre droite et parabole.

Transférer et Modéliser «« Vérifier une propriété géométrique élémentaire par une méthode analytique. «« Résoudre un problème de géométrie analytique plane. «« Rechercher les coordonnées de points d’intersection de droites remarquables d’un triangle en limitant la technicité ou en utilisant l’outil informatique.

New York City ou NYC est la plus grande ville des États-Unis et la plus peuplée. Manhattan est l’un des cinq arrondissements (en anglais borough) de la ville de New York (les quatre autres étant le Bronx, Queens, Brooklyn et Staten Island), qui correspond en grande partie à l’île de Manhattan. Il n’est pas difficile de se balader et de se déplacer dans Manhattan. Son système d’avenues et de rues numérotées ne ressemble à aucun autre existant en Europe. En ce qui concerne les rues, la numérotation commence en partant du sud, ce qui signifie que si vous êtes sur la 34e rue et que vous souhaitez vous rendre sur la 42e, vous devrez vous diriger vers le nord. La numérotation des avenues se fait d’est en ouest. Ainsi, la 7e avenue est située à l’ouest de la 5e. Les avenues portent parfois, en plus de leur numéro, un nom comme par exemple la « 4th Avenue » se nomme « Park Avenue ».

Activités Exercices

Synthèse

Théorie

Activité 3 – Visite à Manhattan

John, en visite à Manhattan, a rendez-vous avec sa correspondante Amanda à l’Empire State Building.

Il arrive en train à la station Grand Central Terminal et décide de se rendre d’abord à son hôtel situé au croisement de « 6th avenue » et « W 39 th St ».

173 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités Théorie

1. a) Mettre un point appelé G sur la carte à l’emplacement de Grand Central Terminal. b) Mettre un point appelé H sur la carte à l’emplacement de l’hôtel. c) Mettre un point appelé E sur la carte à l’emplacement de l’Empire State Building sis W 34 th St et 5 th avenue. d) Relever les coordonnées des points G, H et E sur la carte.

2. Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et configurer le graphique de la manière suivante :

Exercices

Synthèse

ou clic droit dans graphique

a) Insérer les points G, H et E par leurs coordonnées. b) Calculer la distance qui sépare la gare de son hôtel à vol d’oiseau. c) Calculer la distance qui sépare son hôtel de l’Empire State Building à vol d’oiseau.

3. a) À l’aide des outils

puis

, tracer le trajet le plus court entre la gare et l’hôtel,

ensuite entre l’hôtel et l’Empire State Building.

Des objets u et v apparaissent dans l’affichage « Algèbre » ainsi que des données sous forme de coordonnées écrites en colonne.

Comment caractériser ces objets ? Émettre une hypothèse quant aux données affichées dans l’affichage « Algèbre ». b) À l’aide des outils

et

, vérifier les distances calculées en 1. b)

et 1. c) à vol d’oiseau de la gare à l’hôtel et de l’hôtel à l’Empire State Building.

Rechercher l’expression de la « longueur » des vecteurs en fonction de leurs composantes. À l’aide de l’outil

, tracer le trajet le plus court de la gare à l’Empire State Buiding.

Comment décomposer ce trajet ? Émettre une hypothèse sur les composantes.

4. Modéliser le trajet le plus court de l’hôtel à l’Empire State Building à pied puis le trajet le plus court en voiture (attention au sens de circulation !). Que remarquez-vous quant aux composantes du trajet par rapport à celles obtenues à vol d’oiseau ?

174 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités

3 Autres Lieux géométriques

Synthèse

Théorie

3.1 Lieu des points équidistants d’un point donné Définition 20 Un cercle est le lieu géométrique des points situés à égale distance d’un point donné, appelé centre du cercle. La distance de chacun de ces points au centre est le rayon du cercle.

2 C = { P ∈! : d (C,P ) = r } C

(C, r)

Le cercle C (C,r ) est le cercle de centre C et de rayon r.

P

La distance du centre C à chaque point du cercle vaut r

r

d (C,P ) = r

Exercices

C

3.1.1 Équation cartésienne d’un cercle

y

Traduisons la définition du cercle en termes de coordonnées.

Soit C ( xC , yC ) le centre du cercle.

5

P ( x, y ) est un point quelconque du cercle de centre C et de rayon r si et seulement si la distance de C à P vaut r. !!"

2 2 ⇔ r = d (C,P ) = CP = ( x − xC ) + ( y − yC ) ⇔ r 2 = ( x − x C ) + ( y − yC ) 2

C

6

4

P r

yP – yC C

3 2

2

1

j

Seuls les points du cercle C de rayon r vérifient cette égalité. Celle-ci est l’équation du cercle.

-1

0 O0

1

i

2

3

4

5

Proposition 26 Une équation cartésienne du cercle C de centre C et de rayon r est r 2 = ( x − x C ) + ( y − yC ) 2

2

En particulier, l’équation du cercle de centre (0,0) et de rayon 1 est x 2 + y 2 = 1 3.1.2 Équation développée d’un cercle Proposition 27 L’équation x 2 + y 2 + Lx + My + N = 0 est celle du cercle de centre C ⎛ −L , −M ⎞ et ⎝ 2 2 ⎠ 2

2

L M de rayon r = ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ − N pour autant que cette racine soit définie. ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 226 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

6

xP – xC

7

x

Activités

En effet, En développant l’équation d’un cercle de centre C ( xC , yC ) et de rayon r, nous obtenons, r 2 = ( x − xC ) + ( y − yC ) ⇔ r 2 = x 2 − 2xC x + xC 2 + y 2 − 2yC y + yC 2

⇔ x 2 + y 2 − 2xC x − 2yC y + xC 2 + yC 2 − r 2 = 0 ! ! !# #"## $ L

2

M

N

2

⎧ L = − 2x ⇔ x = −L C C ⎪ 2 ⎪ −M ⎪ M = − 2yC ⇔ yC = 2 ⎪ ⎪ 2 2 2 ⇔ r 2 = x C 2 + yC 2 − N ⎨ N = x C + yC − r ⎪ ⇔ r = x C 2 + yC 2 − N ⎪ ⎪ 2 2 M L ⎪ ⇔ r = ⎛ ⎞ +⎛ ⎞ − N ⎪ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎩ Remarque

2

Synthèse

Par conséquent, x + y + Lx + My + N = 0

Théorie

2

et xC 2 + yC 2 − N ≥ 0

Exercices

2

2

L M Le cercle n’existe que si ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ − N > 0. ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 L M Si ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ − N = 0, le rayon est nul. Le cercle est réduit à son centre. ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 L⎞ ⎛ M ⎞ ⎛ Si + − N < 0, c’est un cercle vide. ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ Exemples 1)

L’équation du cercle de centre C(–2,5) et de rayon 4 est

( x + 2) + ( y − 5) 2

2

= 16

⇔ x 2 + 4x + 4 + y 2 − 10y + 25 = 16 ⇔ x 2 + y 2 + 4x − 10y + 13 = 0 2)

L’équation x 2 + y 2 − 4x + 6y − 3 = 0 est celle d’un cercle de centre C(2,–3) et de rayon 4.

En effet, x 2 + y 2 − 4x + 6y − 3 = 0 ⇔ ( x 2 − 4x + 4 ) + ( y 2 + 6y + 9 ) − 3 = + 4 + 9 Regroupons les termes en x, en y et complétons pour ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = 16 2

3) L’équation

(x

2

obtenir des trinômes carrés parfaits

2

x 2 + y 2 − 4x + 6y + 17 = 0 n’est pas celle d’un cercle car

− 4x + 4 ) + ( y 2 + 6y + 9 ) + 17 = 4 + 9

⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = − 4 est une égalité impossible.

2

4) L’équation

(x

2

2

x 2 + y 2 − 4x + 6y + 13 = 0 est celle d’un cercle réduit à son centre car

− 4x + 4 ) + ( y 2 + 6y + 9 ) + 13 = 4 + 9

⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = 0 2

2

227 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités Théorie

3.1.3 Intersection d’un cercle et d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées Considérons une droite d d’équation y = mx + p et un cercle C d’équation r 2 = ( x − a ) + ( y − b ) Intéressons-nous aux intersections de la droite avec le cercle.

Le problème se traduit par : ⎧⎪r 2 = ( x − a )2 + ( y − b )2 ⎨ ⎪⎩ y = mx + p 2

2

Synthèse

Graphiquement, trois situations se présentent : Dans la première, la droite ne coupe pas le cercle.

Aucun point d’intersection.

Dans la deuxième, la droite coupe une seule fois le cercle, elle est tangente au cercle.

y

8

8

Exercices

6

d

0-14 2-12 4-10 6 -8

x

8 -6 10-4

d

4

-2

-4

-4

Marche à suivre :

d

2

0 12 -2 14 0

-2

y

6

2

0

-8

8

4

2

-6

y

6

4

-10 -24 -8-22 -6-20 -4-18 -2-16

Dans la troisième, la droite coupe le cercle en deux points distincts, elle est sécante au cercle.

2

4

6

8

10

x

-2

0

0

2

4

6

8

10

-2

« Écrire le système constitué-6de l’équation du cercle et de l’équation de la droite : 2 2 2 -8 ⎧ ⎪r = ( x − a ) + ( y − b ) ⎨ ⎪ y = mx + p -10 ⎩ « En remplaçant y par mx +-12 p dans la première équation, nous obtenons

r 2 = ( x − a ) + (mx + p − b ) « Après avoir développé, nous obtenons une équation du deuxième degré dont les solutions sont les abscisses des éventuels points d’intersection recherchés.

Le discriminant ∆ est l’outil algébrique qui permet de déterminer le nombre de points d’intersection entre un cercle et une droite.

2

2

Exemples 1)

Déterminons l’intersection entre le cercle de centre (2,3) de rayon 2 et la droite d’équation y = −x +7 Équation du cercle : ( x − 2 ) + ( y − 3) = 4 2

2

Équation de la droite : y = − x + 7

y 6

Remplaçons y par –x + 7 dans l’équation du cercle :

4

( x − 2) + ( −x + 7 − 3)

3

2

2

=4

⇔ x 2 − 4x + 4 + x 2 − 8x + 16 = 4 ⇔ 2x 2 − 12x + 16 = 0 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 0

(2,5)

5

(4,3) (2,3)

2

y = –x + 7

1 0

0

1

⇔ x = 2 ou x = 4 228 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

2

3

4

5

6

7

x

x

Activités

Nous obtenons deux valeurs de x qui sont les abscisses des points d’intersections de la droite et du cercle. En remplaçant ces valeurs dans l’équation de la droite, nous obtenons les coordonnées des deux points : ( 2,5 ) et ( 4,3) .

Théorie

Montrons que la droite d ≡ −4x + y = −4 est tangente au cercle d’équation 2 ( x − 6 )2 + ( y − 3) = 17.

Il suffit de résoudre le système 7 6

⎧ y = 4x − 4 ⇔⎨ 2 2 ⎩⎪( x − 6 ) + ( 4x − 4 − 3) = 17

y –4x + y = –4

(x – 6)² + (y – 3)² = 17

Synthèse

⎧⎪−4x + y = − 4 ⎨ 2 2 ⎩⎪( x − 6 ) + ( y − 3) = 17

5

D = (2, 4)

4

⎧ y = 4x − 4 ⇔⎨ 2 2 ⎩ x − 12x + 36 + 16x − 56x + 49 = 17 ⎧ y = 4x − 4 ⇔⎨ 2 ⎩17x − 68x + 68 = 0 ⎧ y = 4x − 4 ⎧x = 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎩ x − 4x + 4 = 0 ⎩ y = 4

3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Exercices

2)

-1

Nous obtenons une solution unique. La droite a donc un seul point d’intersection avec le cercle, le point D(2,4). Elle est donc tangente au cercle.

3.2 Lieu des points équidistants de deux points donnés P B A

Le lieu des points situés à une distance r du point A est le cercle de centre A et de rayon r.

Le lieu des points situés à une distance r du point B est le cercle de centre B et de rayon r.

Les points P et P’ sont donc des points qui se trouvent à une distance r à la fois de A et de B.

P'

Si nous prenons une autre distance r’, nous obtenons deux autres points, Q et Q’ qui sont aussi situés à égale distance de A et de B. De plus, nous observons qu’ils sont alignés avec P et P’.

Nous nous apercevons ainsi qu’il y a une infinité de points possibles qui forment un axe de symétrie perpendiculaire au segment [AB] en son milieu.

Q P B A

C’est la médiatrice du segment [AB].

P' Q'

229 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités

Définition 21 La médiatrice d’un segment [AB] est le lieu des points équidistants des points A et B.

Théorie

M

= { P ∈! 2 : d ( A,P ) = d ( B,P )}

3.2.1 Équation cartésienne d’une médiatrice Traduisons la définition de la médiatrice en termes de coordonnées.

Soient A ( x A , y A ) et B ( x B , y B ) les extrémités du segment [AB] .

Exercices

Synthèse

Soit P ( x, y ) un point quelconque de la médiatrice. P est équidistant de A et de B. d ( A,P ) = d ( B,P )

( x − x A )2 + ( y − y A )2 = ( x − x B )2 + ( y − y B )2 2 2 2 2 en élevant au carré ⇔ ( x − x A ) + ( y − yA ) = ( x − xB ) + ( y − yB ) 2 2 2 2 changement de membre ⇔ ( x − x A ) − ( x − xB ) = ( y − yB ) − ( y − yA ) ⇔ ( x − x A + x − x B )( x − x A −x + x B ) = ( y − y B + y − y A )( y − y B − y + y A ) différence de deux carrés ⇔ ( 2x − ( x A + x B ))( x B − x A ) = ( 2y − ( y B + y A ))( y A − y B ) ⇔ 2x ( x B − x A ) − ( x A + x B )( x B − x A ) = 2y ( y A − y B ) − ( y B + y A )( y A − y B ) distributivité ⇔ 2x ( x B − x A ) + 2y ( y B − y A ) = ( x B + x A )( x B − x A ) + ( y B + y A )( y B − y A ) changement de membre ⇔ 2x ( x B − x A ) + 2y ( y B − y A ) = ( x B 2 − x A 2 ) + ( y B 2 − y A 2 ) ⇔ 2( x B − x A ) x + 2( y B − y A ) y = ( x B 2 + y B 2 ) − ( x A 2 + y A 2 ) C’est l’équation d’une droite !#"#$ !#"#$ !### #"#### $ ⇔

a

c

b

Montrons que la définition 21 correspond à la définition donnée au paragraphe 2.8, p. 59. −a −2( x B − x A ) En effet, la pente de la droite obtenue vaut . = b 2( y B − y A ) ( y − yA ) .

La pente de la droite AB est égale à B (xB − xA ) Le produit des pentes vaut bien −1. Les droites sont donc perpendiculaires.

De plus, le milieu du segment [AB] appartient à la droite : xA + xB ⎞ y +y x B − x A ) + 2⎛ A B ⎞ ( yB − y A ) = ( x B2 − x A2 ) + ( yB2 − y A2 ) ( ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎛ x +x ⎞ ⎛ y +y ⎞ ⇔ 2 ⎜ A B ⎟ ( x B − x A ) + 2 ⎜ A B ⎟ ( yB − y A ) = ( x B2 − x A2 ) + ( yB2 − y A2 ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2⎛ ⎝

⇔ ( x B + x A )( x B − x A ) + ( y B + y A )( y B − y A ) = ( x B 2 − x A 2 ) + ( y B 2 − y A 2 ) Exemple

Soient A(4,3) et B(8,1).

y 4

m 2 x y 10 0

A(4,3)

3

//

2

//

1 0

0

1

2

3

4

5

6

230 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

B(8,1) 7

8

9

10

x

Activités

d ( A,P ) = d ( B,P ) ⇔

( x − 4 )2 + ( y − 3) = ( x − 8 )2 + ( y −1) 2

⇔ ( x − 4 ) − ( x − 8 ) = ( y −1) − ( y − 3) 2

2

2

(

2

2

)

(

⇔ ( x − 4 + x − 8 ) x − 4 −x + 8 = ( y −1+ y − 3) y −1 − y + 3 ⇔ ( 2x −12 ) 4 = ( 2y − 4 ) 2

)

Théorie

Recherchons l’équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB] en utilisant la notion de lieu géométrique.

⇔ 8( x − 6 ) = 4 ( y − 2 )

Synthèse

⇔ 2( x − 6 ) = y − 2 ⇔ 2x − y −10 = 0

Définition 22 Une parabole est le lieu des points du plan situés à égale distance d’un point donné F et d’une droite donnée d ne comprenant pas le point.

P

2 = { P ∈! : d ( P,F ) = d ( P,d )}

Exercices

3.3 Lieu des points équidistants d’un point et d’une droite donnés

Le point F est appelé le foyer de la parabole et la droite d est appelée directrice.

Construction

d1

P

P' r

F

r d r

d2

Le lieu des points situés à une distance r du point F est le cercle de centre F et de rayon r.

Le lieu des points situés à une distance r de la droite d est constitué de deux droites d1 et d2 parallèles à d, situées de part et d’autre de d à une distance r de celle-ci.

Une de ces deux droites, d1 , située du même côté que F par rapport à d, coupe le cercle en deux points, P et P’.

Les points P et P’ sont les points qui se trouvent à la fois à une distance r de F et de d.

P et P’ sont des points de la parabole.

En faisant varier r, nous obtenons différents points de la parabole.

Chaque valeur de r définit deux lieux, un cercle et une droite dont l’intersection donne deux points de la parabole à condition que r soit supérieur à la moitié de la distance entre F et d .

P

r

P'

r

d

231 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités Théorie Synthèse Exercices

3.3.1 Équation cartésienne d’une parabole d’axe vertical Cette construction point par point fait apparaître une symétrie orthogonale dont l’axe est la droite perpendiculaire à d passant par F. Cet axe coupe la parabole en un seul point appelé le sommet S. Pour établir l’équation de la parabole, nous allons choisir un repère orthonormé dont l’origine est le sommet de la parabole et l’axe des ordonnées coïncide avec l’axe de symétrie de la parabole. De cette manière, l’axe des abscisses est la droite parallèle à d passant par O et l’axe des ordonnées est la droite perpendiculaire à d passant par F.

y F

x

Sommet

d

Ainsi, l’axe de symétrie de la parabole est l’axe Oy, la coordonnée du sommet est (0,0) et p p si p désigne la distance entre F et d, la coordonnée de F est ⎛ 0, ⎞ et l’équation de d est y = − ⎝ 2⎠ 2 y

P (x,y)

3

F

0,

p 2

// 2

1

//

p -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

x 0

S (0,0)

1

2

3

4

5

-1

-2

d

Proposition 28 x 2 = 2py ⇔ y =

1 2 x 2p

est une équation cartésienne de la parabole P

de paramètre p où p = d(F,d),

de sommet S ( 0,0 ) , d’axe Oy,

⎛ p⎞ de foyer F 0, et ⎝ 2⎠ p de directrice d ≡ y = − 2

232 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

y

p

2

6

Activités

En effet, P ∈ P si et seulement si la distance de P à F est égale à la distance de P à d. ⇔ d ( F,P ) = d ( P,d )

2

y+

p 2

p p ⇔ ( x − 0) + ⎛ y − ⎞ = ⎛ y + ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2⎠ 2

2

p (proposition 23) 2

2

2

p p p p ⇔ x + y − 2 y + ⎛ ⎞ = y2 + 2 y + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 2 2⎠ 2

Car d ≡ y = −

Théorie

( x − x F )2 + ( y − y F )2 =

Élevons au carré les deux expressions positives 2

Synthèse

⇔

⇔ x 2 − py = py

Exercices

⇔ x 2 = 2py Remarque

1 2 x , nous retrouvons l’équation du graphique d’une 2p 1 1 p 1 fonction f du deuxième degré y = ax 2 avec a = ⇔p= ⇔ = 2p 2a 2 4a 1 Le graphique de cette fonction est une parabole dont le foyer a pour coordonnée ⎛ 0, ⎞ ⎝ 4a ⎠ 1 et la directrice est la droite d’équation y = − y 4a Si l’équation est mise sous la forme y =

Exemple

f

2.5

Le graphique de la fonction f : x → y = x 2 est une 1 parabole dont le foyer est F ⎛ 0, ⎞ et ⎝ 4⎠ 1 la directrice d ≡ y = − 4

2 1.5 1 0.5

-1.5

-1

-0.5

0

F 0 ,1 4

0

0.5

1

1.5 1 4

d y

-0.5

x

Parabole de sommet (α , β ) , d’axe parallèle à l’axe Oy Si le sommet de la parabole est un point quelconque de coordonnée (α , β ) et que son axe de symétrie est parallèle à l’axe Oy, elle est l’image par une translation de !⎛α ⎞ vecteur v ⎜ ⎟ d’une parabole de sommet ⎝β⎠

6

y

P

P

P’ (x’,y’)

5

P (x,y)

4 3

(0,0).

2

Soit P’(x’,y’) un point de la parabole P ’ , image du point P(x,y) de la parabole P par !⎛α⎞ la translation de vecteur v ⎜ ⎟ . ⎝β⎠

1 -3

-2

-1

0

O

S (α,β) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

233 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités Théorie

Appliquons la méthode du changement de repère. ⎧x ' = x + α ⎧x = x ' − α ⇔⎨ ⎨ ⎩y' = y +β ⎩y = y' − β Dans le repère ( S,x ', y ' ) , la nouvelle origine est S (α , β ) et l’équation de la parabole est x '2 = 2py ' Dans le repère (O,x, y ) , l’équation de la parabole P’ est ( x − α ) = 2p ( y − β ) 2

Exercices

Synthèse

Proposition 29

( x − α )2 = 2p ( y − β ) ⇔ y − β =

1 ( x − α )2 2p

est une équation cartésienne de la parabole P de paramètre p,

de sommet S (α , β ) ,

d’axe d’équation x = α parallèle à Oy.

p p Son foyer est le point F ⎛ α , β + ⎞ , sa directrice est la droite d ≡ y = β − ⎝ 2 2⎠ Exemple

Le graphique de la courbe d’équation x 2 − 8x − 4 y = − 20 est celui d’une parabole de sommet (4,1), d’axe parallèle à Oy. En effet, x 2 − 8x − 4 y = − 20 ⇔ ( x 2 − 8x + 16 ) = 4 y − 20 + 16

complétons pour obtenir un trinôme carré parfait en x

⇔ ( x − 4 ) = 4 ( y −1)

mise en évidence dans le membre de droite

2

Nous en déduisons α = 4, β = 1 et p = 2 Le foyer est le point F ( 4,2 ) , la directrice est la droite d’équation y = 0

y

P

6 5 4 3

F

2 1 0

S (4, 1) 0

1

2

3

4

5

d y 0 6

7

8

234 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

9

x

Activités

3.3.2 Intersection d’une parabole et d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées Considérons une droite d d’équation y = mx + p et une parabole P d’équation y = ax 2 + bx + c.

Intéressons-nous aux intersections de la droite avec la parabole.

P

-3

4

-2

-1

4

y

P

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

-1 d

P

Dans la troisième, la droite coupe la parabole en deux points distincts, elle est sécante.

1

2

3

x

-3

-2 d

-1

0 -1

0

1

2

3

x

-3

d

-2

-1

0

y

Synthèse

y

Dans la deuxième, la droite coupe une seule fois la parabole, elle est tangente à la parabole.

Exercices

Dans la première, la droite ne coupe pas la parabole.

Aucun point d’intersection.

Théorie

⎧⎪ y = ax 2 + bx + c Le problème se traduit par : ⎨ ⎪⎩ y = mx + p Graphiquement, trois situations se présentent :

0

1

2

3

x

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

Marche à suivre «« Écrire le système constitué de l’équation de la parabole et de l’équation de la droite : ⎧⎪ y = ax 2 + bx + c ⎨ ⎪⎩ y = mx + p ax 2 + bx + c = mx + p «« Résoudre l’équation en ramenant tous les termes dans le même membre puis en réduisant le polynôme ax 2 + (b − m ) x + ( c − p ) = 0 obtenu si nécessaire : «« Nous obtenons ainsi une équation du deuxième degré dont les solutions sont les abscisses des éventuels points d’intersection recherchés. Le discriminant ∆ est l’outil algébrique qui permet de déterminer le nombre de points d’intersections entre une parabole et une droite.

Une animation avec soit un logiciel soit une calculatrice graphique (ici, la Casio fx20) illustre ce problème à l’aide de curseurs ou de variable dynamique.

Choisissons le menu DYNA et utilisons les fonctions pré-programmées.

235 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités Théorie Exercices

Synthèse

Fixons les valeurs de A,B,C et P et faisons varier M :

Avec un logiciel de géométrie dynamique f

y

a=1 d

b = –5 c=4

x (1,22 ; –0,61) m = –0,5 (3,28 ; –1,64) q=0

236 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Théorie

L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique peut être très utile pour construire une démarche de pensée avant d’aborder la partie analytique d’un problème.

Nous allons ici détailler le protocole de construction dans des problèmes variés.

Activités

3.4 Logiciel de géométrie dynamique et problèmes de géométrie analytique plane

3.4.1 Problème 1

Exercices

Synthèse

Déterminer le lieu des sommets des triangles dont une base est fixe et dont la hauteur correspondante est de longueur constante.

Plaçons le segment [AB] dans un repère de façon à ce que les coordonnées de A et de B soient respectivement A(−1,0) et B(1,0). y 5

Soit k la longueur de la hauteur. Le troisième sommet C du triangle se trouve à une distance k de la droite AB. Soit sur une droite parallèle à AB ≡ y = k .

4 Comme le point E appartient à la droite AB, le lieu cherché est la droite parallèle à AB situé à une distance k de AB. 3 y C

2

C

2

1

A

1

B

0 0

-1

1

x

E 2

3

4

E

-4

-3

-2

A

0 0

-1

-1

-1

-2

-2

x

B

1

2

237 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Activités

3.4.2 Problème 2 : Droite d’Euler

Prenons le triangle de sommets A(−1,0), B(1,5) et C(6,1) et utilisons un logiciel pour construire les différentes droites remarquables d’un triangle avec recherche de l’équation de la droite d’Euler.

Vérifions au passage que les points G,H et O sont alignés.

Exercices

Synthèse

Théorie

Dans un triangle, le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O se trouvent sur une même droite appelée droite d’Euler.

238 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

(

)

Activités

!!

Dans le plan muni d’un repère orthonormé O,i , j , considérons la droite d’équation y = –1.

Soient les points N(a,–1) et H(a,0), (a > 0) Traçons la droite perpendiculaire à ON en O. Cette droite coupe HN au point M. Quel est le lieu des points M ?

Théorie

3.4.3 Problème 3

Exercices

Synthèse

En utilisant un logiciel de construction pour visualiser la construction, nous pouvons voir que le lieu est une parabole d’équation y = x².

−1 Équation de la droite ON : y = x a Équation de la droite perpendiculaire à ON : d ≡ y = ax Équation de la droite HN : x = a 2 ⎧ y = ax ⎧ y = x M(x,y) est le point d’intersection de d et de HN : ⎨ ⇔⎨ ⎩x = a ⎩x = a Comme a est positif, le lieu cherché est la partie de parabole d’équation y = x² pour x > 0.

Leonhard Euler

Portrait par Johann Georg Brucker (1756) Naissance

15 avril 1707 - Bâle (Suisse)

Décès

18 septembre 1783 (à 76 ans) Saint-Pétersbourg (Russie)

Nationalité

Suisse

Principaux intérêts Mathématiques et physique

Source : Wikipedia

239 Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

240

Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

AB

• une direction : celle de la droite AB • un sens : de A vers B • une longueur : celle du segment [AB]

Dans le plan, Soient A et B deux points,

! !

Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux

Milieu du segment [AB]

! !

Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires ou parallèles

( x B − x A )2 + ( y B − y A )2

⎧ x ' = kx ⇔ xy ' − x ' y = 0 ⎨ ⎩ y ' = ky x +x y + y M⎛ A B , A B ⎞ ⎝ 2 2 ⎠ xx '+ yy ' = 0

Leurs directions sont perpendiculaires.

! ⎛ kx ⎞ ku = ⎜ ⎟ ⎝ ky ⎠

! ! ⎛ x + x '⎞ u+v = ⎜ ⎝ y + y '⎟⎠

Ils ont les mêmes composantes.

!!!" * AB =

⎛ xB − xA ⎞ Ses composantes ⎜ ⎝ y B − y A ⎟⎠

! ⎛ x ⎞ ! ⎛ x '⎞ Soient u ⎜ ⎟ et v ⎜ ⎟ , deux vecteurs. ⎝ y⎠ ⎝ y '⎠

)

Activités

Soient A ( x A , y A ) , B ( x B , y B ) deux points,

(

Théorie

!!

Dans un repère O,i , j (*orthonormé),

Synthèse

! !

Si et seulement si v = ku ( k ∈! 0 ) Ils ont même direction. !!!" !!!!" !!!" !!!!" 1 !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" " AB = 2AM = 2MB ⇔ AM = AB ⇔ AM = MB ⇔ MA + MB = 0 2

!!!" la longueur du segment [AB] La norme AB d’un vecteur est !!!" !!!"

Deux vecteurs AB et CD sont égaux Ils ont même direction, même sens et même norme. si et seulement si ABDC est un parallélogramme. !!!" !!!" !!!"

Relation de Chasles : AB + BC = AC (vecteurs consécutifs) Addition des deux vecteurs Règle du parallélogramme : !!!" !!" !!!"

OA + OB = OC si et seulement si OACB est un parallélogramme. (vecteurs de même origine) !

Le vecteur ku est un vecteur Multiplication d’un vecteur par un ! réel non nul « de même direction !que u ; de même sens que u si k est!positif, «

de sens contraire à celui de!u si k est négatif ;

de norme est égale à k × u «

A

B

!!!"

Un vecteur AB est défini par

Vecteurs

Synthèse : géométrie analytique plane

Exercices

Activités

Exercices pour expliciter 1 Les vecteurs

Rechercher le vecteur dont la somme vaut !!!" !!!" !!!" !!!"

1. AE + EC 5. CD + AB !!!" !!" !!" !!"

2. AC + CE 6. EB + CE !!!" !!!" !!!" !!!"

3. AE + ED 7. EC + DE !!!" !!" !!!" !!!"

8. ED + AB 4. AE + CE

E

D

C

Exercice 2 ABED, BCFE, DEHG et FEHI sont des parallélogrammes représentés dans la figure ci-dessous.

Déterminer un représentant de chacun des vecteurs suivants : A B

J

D

C

K

E

L

G

F

M

H

!" ! !!!!"

1. JE + HM !!" !!!"

2. GL + DE !!!" !" !

3. AE − 2FI !!!" !!!"

4. HE − AB !!!" 1 !!" !!!"

5. MJ − CE + 2DL 2

I

Théorie

B

Synthèse

A

Exercices

Soit le parallélogramme ABCD et ses diagonales qui se coupent en E.

| Pour expliciter | Pour appliquer | Pour transférer | Pour approfondir |

Exercice 1

Exercice 3 Soient A, B, …, O, 15 points alignés et régulièrement espacés.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

Compléter les égalités suivantes : 1.

2.

3.

4.

5.

!!!" !!!" !!!" !!!"

AE = ...AB et AB = ...AE !!!" !!" !!" !!!"

GD = ...IO et IO = ...GD !!" !!" !!" !!"

CL = ...EB et EB = ...CL !!!" !!" !" ! !!!"

GG = ...IL et IL = ...GG !!!" !!!" !!" !!!"

DH = ...AF et FA = ...HD

!!!" !!!" !!!" !!!"

6. BM = ...GO et GO = ...MB !!!" !!!" !!!" !!!"

7. OH = ...OE et OE = ...OH !!!" !!!" !!!" !!!"

8. AO = ...LG et OA = ...LG !!!" !!" !!!" !" !

9. NF = ...IE et FN = ...EI !" ! !!!" !!!" !" !

10. JE = ...DK et KD = ...JE 243

Actimath à l’infini 4 • 4UAA6 – Géométrie analytique plane

Index A B C

D

E

abscisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 axiome d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

équation vectorielle d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . 203 équations paramétriques d’une droite . . . . . . . . . . 203

F

bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 caractère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 qualitatif nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 qualitatif ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 quantitatif continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 quantitatif discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 caractérisation d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . 87 centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 coordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 centre du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 circonscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 équation développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 de direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 coordonnée d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 cosécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 signe (du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 valeurs particulières (du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 critère de parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 des effectifs cumulés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 en barres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 en bâtonnets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 distance(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 inaccessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 droite(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223, 238 coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 gauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 critère de parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 critère de perpendicularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 écart moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 cumulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . 205 forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 forme implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

H I

L M

O

P

Q R

S

formule fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 cumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 identité trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 incidence et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 indices de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 individu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 intervalle interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 223 médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223, 230 équation cartésienne (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . 230 milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 coordonnée (du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 modalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ordonnée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 ordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 orthocentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 équation cartésienne (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . 232 paramètre de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 plans sécants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 point de percée d’une droite dans un plan . . . . . . . 98 construction (du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 positions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 origine (d’un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 sections planes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

271 Actimath à l’infini 4

V

sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 signe (du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 valeurs particulières (du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

T tableau recensé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 et relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 signe (de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 valeurs particulières (de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Tchebychev (th. de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 théorème d’Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 de Pythagore généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 résolution (d’un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 relations trigonométriques (dans le) . . . . . . . . 141

variable statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 vecteur(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 colinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 composante (d’un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 condition de parallélisme (de deux) . . . . . . . . 199 conditions d’orthogonalité (de) . . . . . . . . . . . . . 201 consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 construction du multiple (d’un) par un réel . . 189 de même origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 différence (de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 et points alignés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 multiplication par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 norme (d’un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 opposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 somme (de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Index des vignettes historiques Manuel A Bernoulli Jean

40

Bourbaki Nicolas

40

Brunelleschi Filippo

Manuel B

85

Cantor Georg

31

Descartes René

84, 219

Euclide

95, 260

Euler Leonhard

40

Héron d’Alexandrie

239 145

Horner William George

18

Leibniz Gottfried Wilhelm Peano Giuseppe

183 40

Penrose Roger

165

Pythagore

126

Recode Robert

13

Tchebychev Pafnouti Lvovitch

46

Tukey John

73

272 Actimath à l’infini 4