Catalogus Imaginary Enschede

IMAGINARY, wiskunde in sprankelende beelden is een initiatief van het Platform Wiskunde Nederland (PWN) in samenwerking met de Universiteiten van Amsterdam, Groningen, Leiden en Utrecht en de Technische Universiteiten van Eindhoven en Twente.

Organisatie:

Stuurgroep: Joke Daemen, Wil Schilders, Dirk Siersma, Susanne Tak. Aan deze voorbereiding werkte ook mee: Frits Beukers.

Partner universiteiten:

Op initiatief van de Vlaamse Wiskunde Olympiade werd tijdens het schooljaar 2015-2016 een IMAGINARY tentoonstelling in Vlaanderen gerealiseerd, die alle Vlaamse universiteitssteden aandeed. De Nederlandse tentoonstelling verschilt op onderdelen van de Vlaamse, maar heeft wel een belangrijke overlap. We maken dankbaar gebruik van hun aanpassingen van de internationale tentoonstelling en vertalingen. Deze catalogus is een bewerking en aanvulling van de Vlaamse documentatiemap. De Vlaamse stuurgroep bestond uit: Prof. Paul Igodt, Prof. Peter De Maesschalck, Prof. Mark Sioen, Dr. Stijn Symens, Prof. Stefaan Vaes, Prof. Marnix Van Daele. Verder werkten mee: Prof. Philippe Cara, Prof. Karel Dekimpe, Dhr. Jean-Marie Dendoncker, Dr. An Speelman, Prof. Joris Van der Jeugt. Hun website WWW.IMAGINARYMATHS.BE is ook een belangrijke bron van informatie.

Op de Nationale Wiskundedagen (NWD) 2016 in Noordwijkerhout vond een voorproefje van de tentoonstelling plaats, waarbij veel wiskundeleraren kennis konden maken met het concept van de tentoonstelling. catalogus, editie oktober 2016 www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 2

IMAGINARY in Nederland De tentoonstelling IMAGINARY ontstond in Duitsland en groeide de laatste jaren uit tot een internationaal initiatief met tentoonstellingen in vele landen. Op initiatief van Platform Wiskunde Nederland, in samenwerking met alle Nederlandse universiteiten, wordt een IMAGINARY tentoonstelling gerealiseerd in Nederland die 7 universiteitssteden aandoet tijdens het academisch/school-jaar 2016-2017.

In deze catalogus maken we onder meer kennis met de gallery-prints die je in de tentoonstelling kunt bewonderen. Deze posters vormen samen met een aantal 3D-geprinte wiskundige modellen het statische onderdeel van de expositie. De 3D-prints werden gerealiseerd op basis van gegevensbestanden aangeleverd door het onderzoeksinstituut in Oberwolfach. In contrast tot deze moderne modellen worden er ook een aantal gipsmodellen getoond uit de collectie van de Universiteit Utrecht welke meer dan 100 jaar oud zijn.

Het interactieve deel van de expositie bestaat uit 5 grote touch-screens. Bezoekers van de tentoonstelling kunnen interactief aan de slag met verschillende softwarepakketten, of kunnen kennismaken met interactieve applets. Daarnaast zijn er via QR-codes demo's en films te zien, die wiskundige inzichten presenteren of illustreren. De bezoeker krijgt zo een beter inzicht in het belang en de toepassingen van wiskunde voor onderzoek, simulatie, studie en dagelijks gebruik in de maatschappij. Eigen aktie is ook mogelijk bij de tafels, waarop betegelingen kunnen worden gemaakt. Er zijn ook opdrachten waarmee men snel meer inzicht kan vergaren, in deze catalogus staan er ook verschillende.

Wij verwelkomen belangstellenden tussen medio september 2016 en begin juli 2017 in elk van de 7 lokaties. Een ieder is welkom van jong tot oud met interesse voor sprankelende wiskundige beelden en hun achtergronden. Voor leerlingen van scholen worden rondleidingen georganiseerd, via de website kan men informatie vinden welke als voorbereiding op een klassenbezoek kan dienen.

Rondleidingen moeten gereserveerd worden via de website www.imaginarymaths.nl .

Hartelijk welkom De IMAGINARY stuurgroep en haar medewerkers September 2016

De catalogus bevat veel verwijzingen naar websites en achtergrond materiaal. Zie ook http://imaginarymaths.nl In de pdf-versie van de catalogus op http://imaginarymaths.nl/#catalogus zijn de url's direct aan te klikken. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 3

Sponsors

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 4

Inhoudsopgave Imaginary in Nederland

3

AlgebraĂŻsche oppervlakken - Herwig Hauser Citroen - Introductie - Wie is wie - Begrensd of Onbegrensd -Doe het zelf Vis-Ă -Vis - Singulariteiten - Doe het zelf . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Madelief - Singuliere punten berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . .

IJshoorntje - Rozetkrommen - Doe het zelf . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diabolo - Reducibel of Irreducibel - Doe het zelf . . . . . . . . . . . . .

Dingdong - Doe het zelf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dullo - Doe het zelf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kelk-Calypso - Weetje - Doorsnijdingen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Distel - Weetje - De vijf Platonic Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nepali - Samengestelde singulariteit - Opdracht . . . . . . . . . . . . .

Miauw - Internationaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hart-Kolibri - Animatie - Doorsnijdingen . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zeepaardje - Weetje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eenzaamheid - Filmsterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teek - Simpele singularitieiten - Doe het zelf . . . . . . . . . . . . . . .

Tuit - Literatuur- Extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

Composities Romeins Snoepje - Bianca Violet - Romeins Steiner oppervlak Clinch - Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppervlak van Boy - Het projectieve vlak . . . . . . . . . . .

Drie Druppels - Filmpje - Elliptische kromme in je telefoon . .

Triolo - Animaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Valentina Galata - Het theekopje . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

39 39 41 43 45 47 49

www.imaginarymaths.nl

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 5

Wereldrecord oppervlakken Het vijfde graads oppervlak van Togliatti - Veelterm en graad - Wereldrecords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Barth's zesdegraadsoppervlak - Barth's wereldrecord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quintic met 15 keerpunten - Records met keerpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53 55

Klassieke oppervlakken en hun gipsmodellen Kummer oppervlak graad 4 - Oliver Labs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Het derde graads oppervlak van Cayley - Kubieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Clebsch diagonaal oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 59 61

Vlakvullingen en Polytopen Vrijdagmoskee - Het patroon uit de Vrijdagmoskee van Isfahan met regelmatige zevenhoeken Vliegers en pijlen met kleurcodes - Penrose betegelingen - Puzzel je mee? . . . . . . . . . . .

Het Girih karrenwiel - Girih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quasi Periodiciteit - Originele quasiperiodieke vlakvullingen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hecatonicosachoron - Fascinerend: de vierde dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hecatonicosachoron - binnenin: het verhaal van de 120-cel - Doe het zelf . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

62 63 65 67 69 71 73

Orde en chaos Attractor van Lorenz - Vlindereffect - Animatie . . . .

Stroming van Anosov - De kat van Arnold . . . . . .

Modulaire stroming - Periodieke banen . . . . . . .

Appelmannetje - Ontdekkingstocht met de computer Mandelbrot ingezoomd - Het diepe in - Doe het zelf

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

75 75 77 79 81 82

. . . .

85 85 87 89 91

Modellen en software 3D-Prints . . . . . . . . . . .

Gipsmodellen . . . . . . . .

Zelf aan de slag met software Surfer - Instruktiemateriaal . .

www.imaginarymaths.nl

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

. . . .

. . . .

p. 6

Introductie De kern van de tentoonstelling zijn visualisaties van algebraïsche oppervlakken met het programma SURFER. Je kan er zelf mee experimenteren (zie ook de pagina 91 over SURFER) en gratis downloaden op http://imaginary.org/program/surfer. Met dat programma leveren formules in drie variabelen x, y en z direct een afbeelding op van een oppervlak in de ruimte. Belangrijk is de wisselwerking tussen de eigenschappen van de afbeelding en die van de formule. Dat is nog steeds een onderwerp van wiskundig onderzoek. Een aantal van die eigenschappen komen in deze catalogus nog aan de orde.

Wie is wie Citoen is de eerste poster uit de serie Herwig Hauser Classics. Herwig Hauser is een Oostenrijkse wiskundige die werkt aan de universiteit van Wenen. Hij is gespecialiseerd in (algebraïsche) meetkunde. Hij ontwikkelde de afbeeldingen samen met zijn promovendus Sebastian Gann. Ze maakten gebruik (van een voorloper) van het progamma SURFER. In 2008 werden de visualisaties van de ``Herwig Hauser Gallery'' getoond op de tentoonstelling IMAGINARY in het Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach in Duitsland. Meer weten over Herwig Hauser? http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser Begrensd of Onbegrensd Behalve de twee spitse singulariteiten zien we ook, dat het oppervlak begrensd is. Dit komt omdat het rechterlid van de vergelijking steeds tussen nul en 1 ligt. Daarom geldt dat ook voor x2 + z 2 . Daarom liggen x en z tussen −1 en +1. Citroen past daarmee in een doosje met zijden respectievelijk 2, 2 en 1.

Je zult verder in de tentoonstelling vaak onbegrensde oppervlakken tegenkomen. Als een oppervlak onbegrensd is, toont de afbeelding uiteraard maar een deel van het oppervlak. Alleen de punten van de oplossingsverzameling van de vergelijking die binnen een vooraf gekozen bol of kubus liggen, worden getekend. Met SURFER kan je de straal van de bol veranderen door de knop `zoom' te gebruiken.

Doe het zelf De formule van de Citroen is: x2 + z 2 = y 3 (1 − y)3 1. Teken in SURFER de Citroen.

2. Probeer de spitse punten glad te maken.

3. Lukt dat ook met één singulier punt ?

4. Experimenteer met de vorm. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 8

Singulariteiten De oppervlakken in deze tentoonstelling zijn grotendeels glad en vloeiend. Daarnaast hebben veel oppervlakken bijzondere punten. De Citroen, bijvoorbeeld, heeft twee puntige uitsteeksels. De Madelief heeft in het midden een punt waar de twee delen elkaar raken. Deze afwijkende punten heten singulariteiten. Er bestaan verschillende soorten singulariteiten. Hieronder zie je twee voorbeelden.

x2

dubbelpunt + y2 − z2 = 0

keerpunt (cusp) x2 + y 2 − z 3 = 0

De studie van singulariteiten en algebraïsche formules heeft al een lange historie. Meer recent waren ook Nederlandse wiskundigen tussen 1970-2000 via het ZWO-project Singulariteiten intensief betrokken bij de studie van singuliere punten. Internationaal sprak men daarbij over de Dutch School of Singularities. De initiatiefnemers waren Eduard Looijenga, Dirk Siersma en Joseph Steenbrink.

Doe het zelf Experimenteer in SURFER eens met de formule bx2 − x3 + y 2 + y 4 + az 3 − z 4 .

Voor b = 1 én a = 1 krijg je Vis-a-Vis, die heeft de singulariteit met naam A2 Voor b = 1 met a → 0 zie je de A3 -singulariteit ontstaan en voor b → 0, a = 0 zelfs E6 .

De namen van de singulariteiten zijn ontleend aan de lijsten van simpele singulariteiten op pagina 36.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 10

Singuliere punten berekenen In singuliere punten is het oppervlak niet glad. Er is een algebraïsche methode om singuliere punten uit te rekenen. Veronderstel dat p(x, y, z) een reële veelterm in drie variabelen is. De singuliere punten van het algebraïsch oppervlak met vergelijking p(x, y, z) = 0 zijn precies die punten van het oppervlak waarvoor alle partiële afgeleiden gelijk zijn aan 0.

In het geval van Madelief voldoen de punten aan de vergelijking (x2 − y 3 )2 − (z 2 − y 2 )3 = 0 en dientengevolge de singuliere punten bovendien aan

∂ (x2 − y 3 )2 − (z 2 − y 2 )3 = 4x(x2 − y 3 ) = 0 ∂x

∂ (x2 − y 3 )2 − (z 2 − y 2 )3 = −6y 2 (x2 − y 3 ) + 6y(z 2 − y 2 )2 = 0 ∂y

∂ (x2 − y 3 )2 − (z 2 − y 2 )3 = −6z(z 2 − y 2 )2 = 0 . ∂z De oplossing van dit stelsel bestaat uit twee algebraïsche vlakke krommen, gelegen in de vlakken z = y en z = −y, met vergelijkingen ( ( z=y z = −y en 2 3 x −y =0 x2 − y 3 = 0.

In dit voorbeeld vormen de singuliere punten dus twee krommen, die doorlopen voorbij de rand van de figuur. We spreken over een niet-geïsoleerde singulariteit.

Een singulier punt kan ook geïsoleerd zijn: in dat geval komen in een omgeving van het punt geen andere singuliere punten voor. Vis-à-Vis (ook in deze catalogus) is een voorbeeld van een oppervlak met een geïsoleerd singulier punt. Niet-geïsoleerde singuariteiten werd een belangrijk onderdeel van het Nederlands singulariteiten project door o.a. het werk van Theo de Jong, Ruud Pellikaan, Dirk Siersma en Duco van Straten.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 12

Rozetkrommen De vergelijking in poolcoördinaten van een rozetkromme is r = sin(cθ). Als c een oneven natuurlijk getal is, dan is het aantal blaadjes gelijk aan c. Het aantal blaadjes is gelijk aan 2c voor even waarden van c.

De rozetkromme bij IJshoorntje heeft vergelijking r = sin(2θ). Je kan deze tekenen in GeoGebra met het volgende commando: Kromme[sin(2t) cos(t), sin(2t) sin(t), t, 0, 2pi]

Doe het zelf Bezoek de volgende website om te experimenteren met een digitale spirograaf!

http://nathanfriend.io/inspirograph

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 14

Reducibel of irreducibel De formule van de Diabolo is: x2 − (y 2 + z 2 )2 = 0, maar die kan ook geschreven worden als: (x − y 2 − z 2 ) ∗ (x + y 2 + z 2 ) = 0.

Je ziet dus twee factoren, we zeggen dat de veelterm reducibel is. Elk van de factoren is een paraboolvaas. Ze hebben een gemeenschappelijk raakvlak, gegeven door x = 0.

Doe het zelf • Teken de diabolo met SURFER. Je kunt jouw diabolo nu ook ronddraaien om hem vanuit alle hoeken te bekijken.

• Je kan de diabolo glad maken met: x2 − (y 2 + z 2 )2 − (2 ∗ a − 1) = 0 • Je kan ook de twee delen verschuiven: (x − y 2 − z 2 ) ∗ (x + y 2 + z 2 − (2 ∗ b − 1)) • Gebruik je fantasie en kijk wat je daarmee nog kan maken.

Op de website http://imaginary.org/program/surfer kan je het programma SURFER downloaden.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 16

Doe het zelf Door de vergelijking x2 + y 2 + z 3 − z 2 = 0 van Dingdong partieel af te leiden naar de drie variabelen, zien we dat de oorsprong het enige singuliere punt van het oppervlak is. Je kunt nu laten zien, dat door het optellen van een klein constant getal je een glad oppervlak krijgt.

Een variant van Dingdong is het oppervlak met vergelijking x2 + y 2 + z 3 − z 2 + 1/100 = 0. Met het programma SURFER kan je dit oppervlak tekenen door in het venster onderaan x 2+y 2+z 3-z 2 +1/100 = 0 in te geven. De bel van Dingdong is nu uit elkaar gevallen in twee delen.

Wat zou er gebeuren als we een negatief getal optellen ?

We zien op de afbeelding in SURFER dat ook de singulariteit van het oppervlak verdwenen is!

Algebraïsch kan je dit als volgt nagaan: de oorsprong is het enige punt waarin alle partiële afgeleiden ∂p ∂p ∂p , en ∂x ∂y ∂z van p(x, y, z) = x2 + y 2 + z 3 − z 2 + 1/100 gelijk zijn aan 0, maar dit punt ligt niet langer op het oppervlak.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 18

Doe het zelf De vergelijking van Dullo ontstaat door in de vergelijking (x2 + y 2 + z 2 + R2 − r2 )2 − 4R2 (x2 + y 2 ) = 0 van de torus de twee stralen R en r even groot te kiezen.

In het programma SURFER kan je de torus tekenen door R > r te kiezen. Geef in het venster onderaan bijvoorbeeld de volgende vergelijking in (x 2+y 2+z 2+3) 2 - 16*(x 2+y 2) = 0 .

Voor R = r wordt Dullo afgebeeld. De vergelijking wordt dan (x 2+y 2+z 2) 2 - (x 2+y 2) = 0.

Probeer met SURFER ook eens te achterhalen wat er gebeurt als R < r.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 20

Weetje Calypso was een Griekse wonderschone nimf die op het mythische eiland Ogyia woont ver in de oceaan. Ze is de dochter van Atlas.

In Homerus` Odysseia komt Odysseus na zijn schipbreuk bij haar terecht. Zij wil met hem trouwen en belooft hem onsterfelijkheid.

Rechte lijnen en doorsnijdingen Het oppervlak Calypso met vergelijking x2 + y 2 z = z 2 heeft type A3 en bevat drie rechten. De horizontale rechte is duidelijk zichtbaar. Ze gaat door de oorsprong, het punt waar het bovenste en het onderste deel elkaar raken. De twee andere rechten liggen in een verticaal vlak. Ze gaan ook door de oorsprong en snijden elkaar daar. De doorsnede van Calypso met dit verticale vlak bestaat precies uit die twee rechten. Als we het vlak een beetje naar voren verschuiven, wordt de snijdingskromme een hyperbool. Dat kan je makkelijk narekenen door y gelijk te stellen aan 0 of aan 1. In het eerste geval vinden we x2 = z 2 of (x − z)(x + z) = 0, de vergelijking van twee rechten in een vlak. In het tweede geval krijgen we x2 + z = z 2 . Dit kunnen we herschrijven als −x2 + (z − 1/2)2 = 1/4, de vergelijking van een hyperbool met centrum in (0, 1/2).

De singuliere punten van het oppervlak Kelk vormen een rechte. Elk punt van de rechte is een singulariteit van het onderste deel van het oppervlak, namelijk een keerpunt. Het bovenste deel raakt de singuliere rechte in één punt, de oorsprong.

De afbeelding is misleidend. De definiërende veelterm van Kelk is irreducibel en bijgevolg bestaat het oppervlak uit slechts één algebraïsche component en niet uit twee componenten zoals de figuur suggereert. .

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 22

Weetje Een platonisch lichaam of regelmatig veelvlak is een veelvlak (d.w.z. een ruimtelichaam begrensd door veelhoeken) dat voldoet aan de volgende vier eisen van regelmaat.

1. Alle zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken.

2. Alle zijvlakken zijn congruent.

3. Alle hoekpunten zijn congruent. Dit betekent dat de structuren van ribben en zijvlakken door elk hoekpunt door rotaties, translaties en spiegelingen op elkaar moeten kunnen afgebeeld worden.

4. Het lichaam is convex.

Er bestaan slechts vijf platonische lichamen: het viervlak of de tetraëder, het zesvlak (kubus) of de hexaëder, het achtvlak of de octaëder, het twaalfvlak of de dodecaëder en het twintigvlak of de icosaëder. Bron: https://www.vwo.be/vwo/vorige-edities/ de-posters/2005-2006-oplossing/wat-is-een-platonisch-lichaam Op deze website vind je meer informatie over de platonische lichamen en staat ook duidelijk uitgelegd waarom er slechts vijf zijn!

De vijf Platonic Stars Buiten Distel bestaan er ook regelmatige sterren met vier, acht, twaalf of twintig punten. Je kan de vijf Platonic Stars op de volgende website bewonderen. http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/stars.html

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 24

Samengestelde singulariteit De vergelijking van Nepali is (xy − z 3 − 1)2 = (1 − x2 − y 2 )3 . De symmetrie tussen x en y wordt versterkt door de kwadratische veelterm x2 + y 2 die rotatiesymmetrisch is, in tegenstelling tot de eenterm xy. Doorsneden met horizontale vlakken z = c zijn gesloten krommen die bij benadering cirkels zijn. Het gelijktijdig voorkomen van kwadraten en derde machten zorgt voor het spitse toelopen van de figuur aan de top.

Schrijven we a = xy − z 3 − 1 en b = 1 − x2 − y 2 dan wordt de vergelijking a2 = b3 . Dat is de vergelijking van het keerpunt. Zo'n keerpunt komt dan voor in elk punt van de kromme gegeven door a = 0 en b = 0. Dat levert precies de op en neergaande lijn rond Nepali. Die ligt precies boven de cirkel met straal 1 in het xy-vlak. We noemen deze situatie een samengestelde singulariteit.

Deze werden tijdens het Nederlandse Singulariteiten Project o.a. onderzocht door Andras Némethi.

Opdracht 1. Parametriseer de rand van de hoed met behulp van de hoek-coordinaat op de cirkel. Welke periode levert dat op ?

2. Ga na waarom het oppervlak Nepali begrensd is.

Dat kan als volgt: Omdat (1 − x2 − y 2 )3 = (xy − z 3 − 1)2 ≥ 0, is x2 + y 2 ≤ 1.

Omdat (1 − x2 − y 2 )3 ≤ 1, is (xy − z 3 − 1)2 ≤ 1.

Bijgevolg is −1 ≤ xy − z 3 − 1 ≤ 1.

3 ≤ xy ≤ 1 enerzijds en z 3 ≥ xy − 2 ≥ −3 anderzijds.

Hieruit volgt dat z√ We besluiten dat 3 −3 ≤ z ≤ 1.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 26

Internationaal Wist je dat de tentoonstelling IMAGINARY al dertig landen bezocht heeft? China, Colombia, Denemarken, Duitsland, Frankrijk, Panama, Rusland, Spanje en Zuid-Korea zijn maar enkele van onze voorgangers!

Informatie en sfeerbeelden van de vorige tentoonstellingen vind je op de internationale website van IMAGINARY. http://imaginary.org/events

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 28

Een animatie Omdat Hart en Kolibri qua formules op elkaar lijken en deels ook in vorm, is het een uitdaging om een animatie te maken die ze verbindt. Je kan daar bijvoorbeeld de volgende formule voor nemen : x2 ∗ z 2 + (1 − a) ∗ z 4 − y 2 + (2 ∗ a − 1) ∗ z 3 = 0 Lukt het om dezelfde plaatjes te krijgen als op de posters ?

Een professionele animatie is gemaakt door Bianca Violet. https://vimeo.com/181227595.

Je kunt die op je smartphone, tablet of computer bekijken

De namen van de surfer afbeeldingen in de Herwig Hauser collecties vereisen nog wat fantasie. Als je Kolibri in SURFER invoert lijkt de afbeelding wellicht helemaal niet op een kolibri. Pas als je een juiste kijkrichting kiest lukt het misschien om deze vogel te zien.

Opdracht: Doorsnijdingen De doorsnede van Hart met het verticale xz-vlak bestaat uit een cirkel en de x-as. Geef de vergelijking van deze cirkel.

De oplossing gaat als volgt: de doorsnede van Hart met het verticale xz-vlak is de oplossingsverzameling van het stelsel ( x2 z 2 + z 4 = y 2 + z 3 y=0.

We vinden dat

(

z 2 (x2 + z 2 − z) = 0 y=0.

De oplossingsverzameling bestaat dus uit de rechte met vergelijking y = z = 0 (de x-as) en de cirkel in het vlak y = 0 met vergelijking x2 + z 2 − z = 0. Deze laatste vergelijking kunnen we herschrijven als x2 + (z − 21 )2 = 14 .

De gezochte cirkel is dus de cirkel in het vlak y = 0 met middelpunt (0, 0, 21 ) en straal 12 .

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 30

Weetje Zeepaardjes zijn trage zwemmers. Een zeepaardje heeft dagen nodig om ĂŠĂŠn kilometer af te leggen. In Nature lezen we hoe deze vissen er toch in slagen om snelle prooien te vangen. Het zit (letterlijk) in het hoofd!

http://www.nature.com/ncomms/2013/131126/ncomms3840/pdf/ncomms3840.pdf

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 32

Filmsterren ``ZEROSET - I spy with my little eye'' is een film van Herwig Hauser, genoemd naar een spel voor kinderen. Eén kind kiest een object uit de omgeving, de anderen raden. De enige tip die gegeven wordt, is de kleur.

In algebraïsche meetkunde kan je iets gelijkaardig doen. Kies een reële veelterm in drie variabelen. Hoe ziet de verzameling van reële nulpunten (de zeroset) eruit?

De hoofdrolspelers in ZEROSET zijn algebraïsche oppervlakken zoals Eenzaamheid. De film werd voor het eerst getoond op het ICM (International Congress of Mathematicians) in Madrid in 2006. We hebben op http://www.imaginarymaths.nl/films-qr/ eenzaamheid/ een stukje uit deze film gezet over Eenzaamheid. Op de tentoonstelling kan je ook de QR-code gebruiken.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 34

Simpele Singulariteiten Dubbelpunten en keerpunten zijn in zekere zin de eenvoudigste singulariteiten die voorkomen. Ze behoren tot de klasse van simpele singulariteiten. Deze singulariteiten komen voor in diverse contexten. Er zijn al 15 manieren bekend om ze te karakteriseren. In 1934 beschreef Patrick du Val ze met behulp van het `opblazen' van singuliere punten en bracht hun resolutiegraaf in correspondentie met de Dynkin diagrammen van type A, D en E. Vanaf 1970 werd door het werk van o.a. Dirk Siersma en Vladimir Arnol'd het verband gelegd met classificatie en deformatie van singulariteiten. Hun lijst van simpele singulariteiten staat hieronder. De ±-tekens kunnen eventueel zorgen voor verschillende reële vormen van de singulariteit.

Het deformeren van singulariteiten gebeurt in het algemeen door het toevoegen van lagere orde termen. Maar er zijn spelregels, die (deels) zijn weergegeven in onderstaand diagram.

Lijst van Simpele Singulariteiten

Ak Dk E6 E7 E8

xk+1 ± y 2 ± z 2 x2 y ± y k−1 ± z 2 x3 ± y 4 ± z 2 x3 + xy 3 ± z 2 x3 + y 5 ± z 2

k≥1 k≥4

De families (P ), (X) en (J) zijn de eerste niet-simpele singulariteiten.

Doe het zelf Begin in SURFER met de vergelijking van Teek. Kijk hoe je die kan deformeren naar een dubbelpunt. Ga vervolgens eens aan de slag met x2 ± y 2 = z p (a − z)q voor verschillende waarden van p en q met a als parameter. Welke singulariteiten kan je zo maken?

Verander ook eens x2 in x3 .

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 36

Literatuur Meer informatie over dwarse doorsnijdingen (transversaliteit) vind je in de paper ``Today's menu: Geometry and resolution of singular algebraic surfaces'' van Faber en Hauser (zie http://www.ams.org/journals/bull/2010-47-03/S0273-0979-10-01295-4/ S0273-0979-10-01295-4.pdf).

Extra Kan jij ook niet genoeg krijgen van de oppervlakken van Herwig Hauser? Wil je graag de vergelijking van Plop kennen, een Croissant maken of je eigen Sofa tekenen? Neem dan een kijkje op de volgende website.

https://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/gallery.html

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 38

Bianca Violet Bianca Violet schrijft op de imaginary website: `Ik ben een wiskundige en een free-lance film editor'. Ze zat op een high school in de U.S.A. en studeerde wiskunde aan de Technische Universiteit in Berlijn. Ze raakte betrokken bij het Imaginary project en maakte daarin diverse mooie beelden en filmpjes: een begin van een cariere als film editor. Zie een aantal van haar films op https://vimeo.com/biancaviolet.

Romeins Steiner oppervlak In het Romeinse snoepje staat het Romeinse Steiner oppervlak centraal. Dat is een stabiel beeld van het projectieve vlak in drie dimensies. Hieronder staan de speciale singulariteiten van het Romeinse Steiner oppervlak. In het midden zien we het Steiner oppervlak met links een tripel punt en rechts de Whitney paraplu.

Tripel punt

Roman Steiner oppervlak

Whitney paraplu

xyz = 0

x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 â&#x2C6;&#x2019; xyz = 0

xy 2 â&#x2C6;&#x2019; z 2 = 0

De symmetrie van het Steiner oppervlak is ook te zien aan de formule: Als we twee van de drie letters verwisselen verandert de formule niet. Op de tentoonstelling staat ook een model van glas.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 40

De formule bij de poster van Bianca Violet De vergelijking voor het Romeinse oppervlak van Steiner: x2 y 2 + y 2 z 2 + x2 z 2 + xyz = 0 We verschuiven de x, y, z coordinaten op 18 symmetrische manieren naar punten op een bol met straal 5 en vermenigvuldigen de resultaten: ((x − 3.5)2 (y + 3.5)2 + (y + 3.5)2 z 2 + (x − 3.5)2 z 2 + (x − 3.5)(y + 3.5)z) × ((x + 3.5)2 (y − 3.5)2 + (y − 3.5)2 z 2 + (x + 3.5)2 z 2 + (x + 3.5)(y − 3.5)z) × ((x + 3.5)2 (y + 3.5)2 + (y + 3.5)2 z 2 + (x + 3.5)2 z 2 + (x + 3.5)(y + 3.5)z) × ((x − 3.5)2 (y − 3.5)2 + (y − 3.5)2 z 2 + (x − 3.5)2 z 2 + (x − 3.5)(y − 3.5)z) × (x2 (y + 3.5)2 + (y + 3.5)2 (z + 3.5)2 + x2 (z + 3.5)2 + x(y + 3.5)(z + 3.5)) × (x2 (y + 3.5)2 + (y + 3.5)2 (z − 3.5)2 + x2 (z − 3.5)2 + x(y + 3.5)(z − 3.5)) × (x2 (y − 3.5)2 + (y − 3.5)2 (z − 3.5)2 + x2 (z − 3.5)2 + x(y − 3.5)(z − 3.5)) × (x2 (y − 3.5)2 + (y − 3.5)2 (z + 3.5)2 + x2 (z + 3.5)2 + x(y − 3.5)(z + 3.5)) × ((x − 3.5)2 y 2 + y 2 (z − 3.5)2 + (x − 3.5)2 (z − 3.5)2 + (x − 3.5)y(z − 3.5)) × ((x − 3.5)2 y 2 + y 2 (z + 3.5)2 + (x − 3.5)2 (z + 3.5)2 + (x − 3.5)y(z + 3.5)) × ((x + 3.5)2 y 2 + y 2 (z − 3.5)2 + (x + 3.5)2 (z − 3.5)2 + (x + 3.5)y(z − 3.5)) × ((x + 3.5)2 y 2 + y 2 (z + 3.5)2 + (x + 3.5)2 (z + 3.5)2 + (x + 3.5)y(z + 3.5)) × ((x − 5)2 y 2 + y 2 z 2 + (x − 5)2 z 2 + (x − 5)yz) × ((x + 5)2 y 2 + y 2 z 2 + (x + 5)2 z 2 + (x + 5)yz) × (x2 (y − 5)2 + (y − 5)2 z 2 + x2 z 2 + x(y − 5)z) × (x2 (y + 5)2 + (y + 5)2 z 2 + x2 z 2 + x(y + 5)z) × (x2 y 2 + y 2 (z − 5)2 + x2 (z − 5)2 + xy(z − 5)) × (x2 y 2 + y 2 (z + 5)2 + x2 (z + 5)2 + xy(z + 5)) = 0

Dit is de vergelijking van de figuur uit de poster www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 42

Het projectieve vlak Op de tentoonstelling zie je op diverse plekken het projectieve vlak. We beschrijven eerst hoe je het projectieve vlak kan krijgen door het plakken van een schijf en een Möbiusband.

De Möbiusband is een gemakkelijk te maken topologische ruimte met een wel heel vreemde eigenschap: ze heeft namelijk maar 1 kant! Dit wordt mooi geïllustreerd door de houtsnede `Band van Möbius II' van de Nederlandse kunstenaar M. C. Escher die je vindt op http://www.mcescher.nl/galerij/wiskundig/band-van-mobius-ii/.

Hoe je een Möbiusband maakt uit een rechthoekige strook papier door twee overstaande zijden met een `twist' aan elkaar te kleven wordt beschreven op http://en.wikipedia.org/wiki/Mobius_strip. Op https://www.youtube.com/watch?v= SXHHvoaSctc volg je zelf een schitterende inleidend college van Prof. Tadashi Tokieda (verbonden aan Cambridge en Harvard) voor een lessenreeks rond topologie aan het African Institute of Mathematics, waarin hij experimenteert met de topologische eigenschappen van de Möbiusband.

Het zogenaamde `reële projectieve vlak P2 (R)'kan je zien als de vervollediging van het gewone vlak door punten op oneindig toe te voegen, zodat twee verschillende evenwijdige rechten mekaar steeds snijden in één punt op oneindig. Op http://en.wikipedia. org/wiki/Real_projective_plane worden verschillende realisaties en eigenschappen van P2 (R) besproken. Belangrijk is dat P2 (R) essentieel leeft in de vierdimensionale ruimte R4 en niet in R3 kan ingebed worden zonder ``zelfdoorsnijdingen'' toe te laten.

Toen de beroemde wiskundige David Hilbert in 1901 aan Werner Boy vroeg om te onderzoeken of dergelijke zelfdoorsnijdende driedimensionale modellen van P2 (R) mogelijk waren, kwam Boy met het oppervlak op deze poster als antwoord, tot verbazing van Hilbert die hem eigenlijk de opdracht had gegeven om aan te tonen dat dergelijk model niet bestond. De Möbiusband en het oppervlak van Boy komen ook voor in de strip ``Le Topologicon" die je kan vinden op de webpagina http://www. savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/English/Topo_the_world_eng.pdf. Dit stripverhaal werd geschreven door de Franse fysicus Jean-Pierre Petit die bekend is om zijn reeks stripverhalen waarin hij wetenschappelijke thema's voor een breder publiek toegankelijk wil maken.

Op dezelfde wijze als het reële projectieve vlak P2 (R) kan men vanuit de ruimte R3 de projectieve ruimte P3 (R) construeren. De oneindig verre punten vormen samen ook een projectief vlak.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 44

Filmpje van de Drie Druppels en surfer plaatjes Kijk eens naar het filmpje van Bianca Violet https://vimeo.com/album/1712330/video/30076251. Hierbij is z 2 bij de formule opgeteld. Je kan zelf met: x3 − y 2 − z 2 + (2 ∗ a − 2) ∗ x + (2 ∗ b − 1) in SURFER alle elliptische krommen als oppervlak laten zien.

De elliptische kromme in je telefoon In de zomer van 2005 verkocht Nokia zijn miljardste mobiele telefoon. De eerste werd in 1982 verkocht en woog ongeveer 15 kilo. Dat de technologie een grote stap voorwaarts heeft gemaakt, blijkt wel uit het feit dat de huidige telefoons slechts een paar honderd gram wegen. Reinier Bröker beschrijft in zijn Pythagoras publikatie (zie ook http://www.kennislink.nl/publicaties/ de-elliptische-kromme-in-je-telefoon) het aspect van deze technologie: de beveiliging van persoonsgegevens. We citeren hier uit.

In iedere telefoon is een unieke identificatiecode ingebouwd. Als je iemand belt, dan wordt deze code verstuurd naar de telefoonaanbieder, bijvoorbeeld KPN of Vodafone. Zo kan de aanbieder zien naar wie hij de rekening voor het gesprek moet sturen. Het is van groot belang dat het versturen van de identificatiecode `veilig' gebeurt. Als iemand deze code onderschept, dan kan hij voortaan op jouw kosten bellen!

We willen de identificatiecode eerst versleutelen voordat de telefoon hem verzendt naar de aanbieder. Er zijn veel manieren om informatie te versleutelen. In telefoons wordt tegenwoordig gebruik gemaakt van elliptische krommen. Een elliptische kromme is een wiskundig object dat speciale eigenschappen heeft die ons in staat stellen om snel en makkelijk informatie te versleutelen.

Op de poster zie je de formule en plaatjes van elliptische krommen. In elke mobiele telefoon zit een elliptische kromme, maar wel eentje die veel ingewikkelder is dan de krommen in het plaatje. Dankzij die elliptische kromme kan niemand anders op jouw kosten bellen.

Een van de wonderlijke eigenschappen van een elliptische kromme is dat je twee punten op de kromme kunt `optellen'. Als je twee punten P en Q op de kromme kiest, kan je een rechte lijn door P en Q tekenen. Je ziet dat deze lijn de kromme in een uniek derde punt snijdt. Dit snijpunt spiegelen we in de x-as en het resulterende punt noemen we de som P + Q. Aldus ontstaat er een zg Abelse groep. Je kunt via en raaklijn ook een veelvoud van tP van P uitrekenen.

Iedere mobiele telefoon bevat tegenwoordig een elliptische kromme en een punt P op deze kromme. Concreet betekent dit dat er een paar getallen in een chip gebrand zijn. Deze kromme en het punt P zijn niet geheim: de hele wereld mag ze weten. De telefoon kiest nu een willekeurig geheel getal t en berekent het punt tP. Met tP bedoelen we het punt dat we krijgen als we t keer het punt P bij zichzelf optellen (optellen in de zin van de vorige paragraaf!). De telefoon verstuurt nu tP naar de telefoonaanbieder en houdt t strikt geheim.

We verwijzen verder naar het artkel van Rogier Bröker voor uitleg hoe de versleuteling en ontsleuteling precies plaats vindt. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 46

Animaties Wat we op het scherm zien zijn afbeeldingen van de homogene vergelijkingen y 2 z = x3 + axz 2 = bx3 .

Voor de waarde z = 1 is dit een elliptische kromme. De vergelijking beschrijft aldus een kegel over deze krommen. Ze zijn getekend voor drie welgekozen waarden van a en b.

Door deze vergelijkingen te koppelen krijgt men schitterende animaties, die onze verbeelding stimuleren en wiskundige creativiteit oproepen.

Kijk eens naar het filmpje van Bianca Violet: https://vimeo.com/album/1712330/video/30086673 .

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 48

Het theekopje Valentina Galata is nu een promovenda in bioinformatica in Duitsland. Ze begon in 2008 met SURFER als leerling van een gymnasium in Duitsland. Ze richtte zich speciaal op onderwerpen uit de `echte' wereld. Ze maakte vergelijkingen, waarmee je in SURFER oa. landschappen, fruit, kopjes en ander serviesgoed kan maken. Ze doet dit meestal door afzonderlijke vergelijkingen te maken van deelfiguren (veelal van elementair karakter, zoals bollen en kegels) en door deze te vermenigvuldigen krijgt ze het totaalbeeld.

In het geval van de theepot waren de vergelijkingen:

Om meerdere kleuren te gebruiken, maakte ze gebruik van het programma SURFER 2008 (zie pagina 91 en verder).

Kijk voor andere beelden op haar website https://imaginary.org/gallery/valentina-galata.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 50

Veelterm en graad De uitdrukking 2x2 yz + 3x5 + y 2 z 4 + z 3 heet een veelterm.

Een veelterm is samengesteld uit meerdere termen. De veelterm hierboven heeft vier termen: 2x2 yz, 3x5 , y 2 z 4 en z 3 . Bij z 3 noem je de 3 de exponent, en z het grondgetal. De graad van een term is de som van de exponenten in een term. De veelterm is dus samengesteld uit termen van graad 4, 5, 6 en 3. De graad van de hele veelterm is de hoogste van de graden van termen waaruit de veelterm samengesteld is. In dit geval is de graad van de veelterm dus 6.

Veeltermen van graad 3 heten kubieken (Engels: cubic). De namen quartic, quintic en sextic staan voor veeltermen van respectievelijk graad 4, 5 en 6.

Wereldrecords Het is een wiskundige sport om oppervlakken van graad 3, 4, 5 of hoger te vinden die zoveel mogelijk singulariteiten hebben. Er zijn vaak bovengrenzen bekend, bijvoorbeeld omdat men wiskundig kan beredeneren dat een oppervlak van een bepaalde graad nooit meer dan een bepaald aantal singulariteiten kan hebben.

Zo is bekend dat een oppervlak met graad 4 maximaal 16 singulariteiten kan hebben, en zo'n oppervlak is ook echt gevonden (zie het Kummer oppervlak). Voor graad 5 is dat het Togliatti oppervlak met 31 singulariteiten en voor graad 6 het oppervlak van Barth met 65 singulariteiten.

Het is ook voorgekomen dat men het maximaal aantal singulariteiten dacht te weten, maar dat dat toch fout bleek te zijn (zie het Barth oppervlak).

Oliver Labs schreef het onderstaande wiskunde artikel over de record oppervlakken: https://imaginary.org/sites/default/ files/imaginary-worldrecordsurfaces-oliver-labs.pdf. Het is voorzien van vele SURFER afbeeldingen.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 52

Barth's wereldrecord!

Dit zesdegraads oppervlak werd in 1996 ontdekt door Wolf Barth (``Barth Sextic''). Deze heeft de volgende veelterm: √ √ 1+ 5 2+ 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (τ x − y )(τ y − z )(τ z − x ) − α(x + y + z − 1) = 0, waarin τ = en α = .

2 4 In werkelijkheid wordt voor dergelijke vergelijking steeds naar de complexe oplossingen (in C3 ) gezocht. De figuur die we zien, laat natuurlijk enkel een beeld zien van de reële punten ((x, y, z) ∈ R3 ). Als je ze probeert te tellen kom je waarschijnlijk op 50 dubbelpunten uit. Hoe zit dat dan met het record?

De Barth sextic heeft dezelfde symmetrie als het icosaëder en om die symmetrie mooi ruimtelijk weer te geven zijn er zulke coordinaten gekozen, zodat de 15 ontbrekende punten precies in het vlak op oneindig liggen binnen de reële projective ruimte .

Je kunt die punten vinden door de richtingen van de buitenste delen van de figuur te volgen naar oneindig. De dubbelpunten zijn precies die punten waar die delen elkaar ontmoeten. Dat zijn trouwens de 15 snijpunten van de projectieve lijnen gegeven door (τ 2 x2 − y 2 )(τ 2 y 2 − z 2 )(τ 2 z 2 − x2 ).

Je kunt dit in SURFER zien door de zoom naar 0 te laten gaan.

Neem zeker ook eens een kijkje op http://cage.ugent.be/~hs/barth/barth.html, waar je de oppervlakken ook ziet bewegen.

Het getal τ van de gulden snede speelt een belangrijke rol in de vergelijking. Daarom is er ook de icosaëder symmetrie. Dat geldt ook voor andere waarden van α, maar dan zijn er minder singulariteiten. Uitproberen in SURFER? N.B. Er bestaan ook niet-symmetrische sextics met 65 dubbelpunten.

Lange tijd dacht men dat het maximum aantal singulariteiten van een sextic gelijk was aan 64. Het zesdegraadsoppervlak van Barth, dat er 65 heeft, kwam dan ook als een complete verrassing. Pas 1 jaar na de ontdekking, in 1997, werd door Jaffe en Ruberman effectief aangetoond dat het maximum in dat geval gelijk is aan 65. Er is nu dus een bewijs dat het oppervlak van Barth een echt wereldrecord oplevert, dat niet verbeterd kan worden. http://www.researchgate.net/profile/Daniel_Ruberman/publication/2814060_A_Sextic_Surface_Cannot_Have_66_Nodes/links/ 02bfe5118e9a341f9c000000.pdf

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 54

Records met keerpunten Je ziet hier een record voor quintics. Als je als enige singulariteiten de cusp mag gebruiken is deze vergelijking het huidige record.

Dit kan misschien nog verbeterd worden. Wel is bewezen, dat 20 singulariteiten een bovengrens is. Of die ook bereikt kan worden is thans onbekend. Kijk maar eens of je dat zelf lukt. Wolfang Barth, die een tijd hoogleraar in Leiden was, heeft een andere quintic met 15 keerpunten gemaakt.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 56

Oliver Labs De 3D-beelden van de recordvlakken op de tentoonstelling zijn gemaakt door Oliver Labs. Zie hiervoor ook pagina 85. Oliver studeerde wiskunde in Mainz bij de Nederlandse wiskundige Duco van Straten. Kijk ook eens naar andere beelden van Oliver op de website https://imaginary.org/gallery/oliver-labs. Oliver construeerde ook diverse 3D modellen in plastic en glas.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 58

Kubieken Tweede graads oppervlakken (kwadrieken) werden al bestudeerd door de Grieken. Daaronder bevinden zich o.a. de ellipsoïde, de hyperboloïde en de paraboloïde. In de 19e eeuw ontstond grote belangstelling voor derde graads oppervlakken (kubieken). In een artikel van Schäfli in 1863 werden alle rëele vormen van kubieken beschreven. Ze werden geclassificeerd met behulp van de typen en aantal van singulariteiten op het oppervlak.

Van (bijna) alle typen zijn er toen ook gipsmodellen gemaakt. Zie ook pagina 87. In de moderne tijd zijn er met SURFER of andere software ook afbeeldingen van gemaakt. Zie bijvoorbeeld: David A. Madore : Cubic surfaces DVD http://www.madore.org/cubic-dvd/.

CubicSurface net (Oliver Labs, Duco van Straten) http://cubics.algebraicsurface.net/welcome.php.

Er staan ook korte filmpjes op, die deformaties van de singulariteiten laten zien.

Een gladde kubiek is het Clebsch oppervlak, dat op de volgende poster wordt getoond. Dit oppervlak bevat precies 27 rechte lijnen en in het getoonde model zijn die allemaal reëel. Een goede bron voor nadere details is geschreven door Jaap Top http://www.math.rug.nl/~top/gips.pdf.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 60

Inleiding tot de patronen en betegelingen: Behangpatroongroepen of symmetriegroepen Een behangpatroongroep beschrijft de manier waarop je een vlak kunt "behangen", waarbij een basispatroon zich onbeperkt periodiek herhaalt op het vlak (de wand). Er bestaan 17 van deze behangpatronen, waarbij elke patroonsoort wordt gekenmerkt door zijn eigen specifieke "symmetrieën", opgebouwd uit verschuivingen, draaiingen, spiegelingen en zogenaamde glijspiegelingen (een verschuiving gevolgd door een spiegeling). Op Wikipedia kun je een uitvoerige beschrijving vinden.

Met het interactieve software pakket MORENAMENTS kun je tekeningen maken met de kenmerken van een van de 17 behangpatroongroepen. Deze kun je links op het scherm aanklikken. Ontdek de meetkundige eigenschappen terwijl je tekent. Of laat je inspireren door de kleuren en vormen die ontstaan.

De behangpatroongroepen zijn, vaak onbewust, al eeuwenlang toegepast op allerlei kunstzinnig gebied zoals in de Architectuur, bij de productie van stoffen (denk bijvoorbeeld aan de motieven met driehoekjes uit Afrikaanse landen, maar ook aan Perzische tapijten) en in boekillustraties.

De prachtigste voorbeelden van geometrische patronen komen voort uit de Islamitische ontwerptraditie. In de loop der eeuwen zijn in landen als Spanje, Marokko, Egypte, Iran, Turkije honderden verschillende patronen bedacht die elk tot één van de 17 behanggroepen behoren. Deze vaak schitterend versierde mozaïeken kun je bewonderen op talloze moskeeën en paleizen. De meeste daarvan zijn van een type met veel spiegelsymmetrieën. Drie voorbeelden hiervan vind je op de puzzeltafel. Op de puzzeltafel is ook een voorbeeld van een patroon dat niet tot één van de 17 behanggroepen behoort. Dit zogenaamd a-periodieke, of quasiperiodieke patroon is in 1973 ontdekt door Roger Penrose (zie ook pagina 69).

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 62

Het patroon uit de Vrijdagmoskee van Isfahan met regelmatige zevenhoeken.

Toen de Utrechtse hoogleraar Jan Hogendijk een paar jaar geleden de Vrijdagmoskee in Isfahan bezocht, ontdekte hij daar dit mozaïek. Dit mozaïek is ook beschreven in een eeuwenoud manuscript dat in Parijs bewaard wordt. Dankzij Jan Hogendijk weten we veel meer over Islamitische patronen. (De vertaling uit het Perzisch op de poster komt ook van hem.) De ontwerper van dit patroon leefde waarschijnlijk in de 11e eeuw na Christus in Isfahan, Iran. Dat weten we omdat het patroon rond het jaar 1080 is gestuukt op een paneel in de Noordelijke koepel van de Vrijdagmoskee van Isfahan. Een afbeelding hiervan zie je linksboven op de poster. Op het patroon zijn regelmatige zevenhoeken te zien. Dat is vrij uniek; zevenhoeken komen heel weinig voor op de honderden andere patronen die in de afgelopen 1300 jaar gemaakt zijn in de Islamitische wereld.

Het patroon is vermoedelijk ontworpen door op een slimme manier een variant te bedenken op het patroon rechts dat je op moskeeën en heilige Islamitische geschriften vrij vaak tegenkomt als versiering. In dit patroon zie je geen zevenhoeken. Wel zeshoeken en zespuntige sterren. Het patroon kan worden gemaakt met behulp van een tekening van een honingraat (zie zwarte lijnen). Door in elke zeshoek (ook wel `Girihtegel' genoemd) een ster te tekenen ontstaat het patroon. Degene die het patroon met de zevenhoeken bedacht, is de honingraat op een slimme manier gaan `vervormen', zodanig dat de zeshoekige Girihtegels twee nieuwe vormen krijgen. Zie de gestippelde zeshoeken in de linker figuur hieronder.

Doordat de zeshoeken niet meer regelmatig zijn, zijn de sterren die er in getekend zijn ook niet meer regelmatig, maar een beetje `geplet'. De ontwerper koos voor de hoekpunten van de vervormde sterren een hoek van 1/7de van 360 graden. Zo ontstonden her en der in het mozaïek regelmatige zevenhoeken (op de afbeelding donkerblauw). Maar er ontstaan ook onregelmatige zeshoeken (lichtblauw). Er is een interessant verband tussen Islamitische mozaïeken (ook wel `ornamenten') en het programma MORENAMENTS waarmee je op deze expositie zelf patronen kunt tekenen. In dit programma kun je 17 symmetriegrepen aanklikken, die elk tot andere patronen leiden. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 64

Penrose betegelingen, Puzzel je mee?

Sir Roger Penrose (1931) bedacht voor het leggen van zijn zogenaamde niet-periodieke betegelingen twee verschillende tegelsetjes.

De eerste maakt gebruik van twee soorten ruiten: een brede en een smalle. Alle hoeken die gebruikt worden zijn veelvouden van 36◦ , dus één tiende deel van 360◦ .

72◦

108◦

144◦ 72◦

108◦

36◦

144◦

36◦

In een tweede variant gebruikt hij de vliegers en de pijlen. Met de vliegers en pijlen kun je verschillende periodieke betegelingen maken. Maar bij de a-periodieke betegeling gelden bepaalde `plakregels' voor de vliegers en de pijlen; ze mogen alleen op een paar manieren aan elkaar gelegd worden. Als je deze plakregels volgt, dan kun je niet meer een periodiek patroon maken. Op de poster worden ook overal de plakregels gebruikt.

72◦

72◦

36◦

216◦ 72◦

144◦

72◦

vlieger (``kite'')

36◦

pijl (``dart'')

In deze figuur zijn de hoekpunten gekleurd, om aan te geven wat er wel toegelaten is bij een Penrose betegeling. Tegels mogen alleen naast elkaar gelegd worden als de zijden even lang zijn en als de overeenkomstige hoeken van dezelfde kleur zijn! Zo zullen er bij een vlakvulling blauwe en rode cirkels rond de hoekpunten ontstaan.

Er zijn zeven verschillende manieren om rond een hoekpunt tegels te leggen. Zo kun je met vijf vliegers een regelmatige tienhoek vormen en kun je met vijf pijlen een vijfpuntige ster maken. Kun je ook de andere vijf manieren om een hoekpunt met vliegers en pijlen te omringen op de poster terugvinden? www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 66

Girih `Girih' (het Perzisch woord voor knoop) verwijst naar patronen op siertegels en ornamenten die je terugvindt op middeleeuwse islamitische moskeeën en paleizen. Meestal zijn dit patronen die schuifsymmetrie hebben en dus behoren tot één van de 17 behangpatroongroepen, maar heel soms zijn het ook niet-periodieke betegelingen.

Op de zogenaamde `Girihtegels' zijn lijnpatronen zo aangebracht dat ze op elkaar aansluiten als de tegels op een bepaalde wijze worden gelegd. Meestal is het dit doorlopende lijnenspel dat gebeeldhouwd is in steen of zichtbaar is op poorten van paleizen. De Girihtegels zelf zijn alleen een hulpmiddel bij het tekenen; ze zijn in het eindresultaat niet meer zichtbaar.

De wiskundige en meetkundige Roger Penrose bedacht verschillende soorten niet-periodieke betegelingen (zie voorafgaande beschrijving). Het vlechtwerk op deze poster wordt met een andere intrigerende niet-periodieke betegeling bedekt. De twee Girihtegels hebben de vorm van een uitgerekte convexe zeshoek en een niet-convexe zeshoek (of een ``strik''):

Alle zijden van deze twee tegels hebben gelijke lengte. De hoeken zijn 72, 144 of 216 graden. Om het karrenwiel op te bouwen met deze tegels, zijn er naast de lijnpatronen ook nog kleuren aangebracht op de tussenliggende vakjes. De tegels moeten dan op elkaar aansluiten als puzzelstukken, zodanig dat de kleuren in de hoeken van de tegels overeenkomen. De identiek gekleurde tegelhoeken vormen zo de kleine vijfhoeken en tweeling-vijfhoeken uit het Penrose-karrenwiel.

Interessant is dat niet-periodieke of ``quasiperiodieke'' betegelingen niet enkel wiskundige of kunstzinnige verzinsels zijn. Ze komen ook in de natuur voor in de vorm van quasikristallen. In 1982 ontdekte Shechtman een quasikristalstructuur met vijfvoudige rotatiesymmetrie die lijkt op deze betegeling. Dit sprak alle conventionele theorieën over kristallen tegen. Na enige controverse werd zijn werk toch erkend, en uiteindelijk werd Shechtman in 2011 bekroond met de Nobelprijs Chemie voor zijn ontdekking.

De plexiglazen puzzel van het mozaïek van de Vrijdagmoskee in Isfahan op de tentoonstelling kan ook gelegd worden met behulp van `Girihtegels'. Ook hier zijn ze zeshoekig, maar de hoeken van deze Girihtegels zijn anders. Zie ook de poster hierover. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 68

Originele quasiperiodieke vlakvullingen Het valt niet direct op, maar wie goed kijkt kan op deze poster de Penrose-vliegers en -pijlen van de vorige poster terugvinden.

Op onderstaand plaatje kun je zien hoe je, uitgaande van een vlakvulling met de vliegers en de pijlen, tot een vlakvulling van niet-regelmatige figuren, zoals de vissen en de roggen, kunt komen.

Bij elke vlieger ga je de twee lange zijden zo aanpassen dat je alles wat je uitsnijdt langs de ene lange zijde van de vlieger, er ook terug aanplakt aan de andere lange zijde. Hetzelfde geldt voor de korte zijden van de vlieger. Tegelijkertijd moet je ook bij de lange en de korte zijden van de pijl precies hetzelfde uitsnijden (of aanplakken) zoals bij de vliegers. Bovendien moet je ook nog rekening houden met de manier waarop vliegers en pijlen aan elkaar plakken (denk aan de zogenaamde plakregels van de vliegers en de pijlen).

Uitgaande van een regelmatige vlakvulling gaat het iets makkelijker. Op de tentoonstelling kun je hiermee experimenteren door met het computerprogramma Morenaments te werken. Met 1 van de 17 behangpapier/symmetriegroepen kun je daarmee een vlakvulling maken. Hierbij begin je met ĂŠĂŠn basisfiguur (meestal een vierkant, zeshoek, driehoek of een ruit), waarbij telkens als je begint een basistegel te kleuren, automatisch alle andere, identieke tegels van het vlak gelijktijdig precies hetzelfde worden ingekleurd. Het vraagt best veel oefening om uiteindelijk een figuur te krijgen die ergens op lijkt. Het laat je ontdekken welk genie M.C. Escher moet zijn geweest, om te komen tot zoveel prachtige vlakvullingen.

Maurits Cornelis Escher is een Nederlands kunstenaar die leefde van 1898 tot 1972 en die vooral bekend is voor zijn gravures die heel vaak een wiskundige achtergrond hebben. Een mooie tekst van Gert Heckman over de link tussen Eschers werk en betegelingen is te vinden op http://www.math.ru.nl/~heckman/Betegelingen.pdf. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 70

Fascinerend: de vierde dimensie Veronderstel even dat wij vlakke wezens waren, die leefden in het (tweedimensionale) vlak. Hoe zouden wij ons dan een beeld van de driedimensionale objecten vormen? De overstap van twee dimensies naar drie dimensies inspireerde ook grafisch kunstenaar Maurits Escher die hagedissen tekende die uit het vlak ontsnapten en als het ware de derde dimensie verkenden.

Het is een uitdaging om ons een beeld te vormen van vierdimensionale objecten. Net zoals vlakke levende wezens dit over driedimensionale objecten proberen aan de hand van allerhande projecties, is dit ook een strategie om de vierdimensionale wereld te verkennen.

Hierover leer je alles in de prachtige reeks korte films onder de titel ``Dimensions''. Surf naar http://dimensions-math.org/ Dim_regarder_NL.htm en maak er kennis met de tweede, de derde en de vierde dimensie.

Het stukje, dat rechtstreeks over de poster gaat, staat op http://www.imaginarymaths.nl/films-qr/hecatonicosachoron/.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 72

Het verhaal van de 120-cel In twee dimensies kennen we de regelmatige veelhoeken. In drie dimensies zijn er de 5 regelmatige (platonische) veelvlakken. Dat er in vier dimensies 6 regelmatige polytopen zijn, werd ontdekt in de 19de eeuw door de Zwitserse wiskundige Ludwig Schläfli (1814-1895).

Hij ontwierp voor al deze regelmatige objecten een schrijfwijze, vandaag bekend als de Schläfli-symbolen.

Zo schrijf je {3}, {5}, enz. . . voor een regelmatige 3-hoek (dus een gelijkzijdige driehoek), een regelmatige vijfhoek, enz . . . .

Een kubus (en dan zijn we dus in drie dimensies) noteer je als {4, 3}, omdat de zijvlakken vierkanten zijn en er in elk hoekpunt drie vierkanten samenkomen. Analoog is de schrijfwijze voor het regelmatig twaalfvlak (of dodecaëder) {5, 3}. Leg je even uit waarom?

Ook de polytopen in vier dimensies hebben een Schläfli-symbool. De 120-cel wordt geschreven als {5, 3, 3}. Immers de ``zijvlakken'' zijn hier dodecaëders (vandaar de {5, 3}) en in elk hoekpunt van de hecatonicosachoron komen 3 dodecaëders samen.

Een interessante referentie, ``The Story of the 120-Cell'', vind je hier (Engelstalig) http://www.ams.org/notices/200101/fea-stillwell.pdf Doe het zelf Wil je knutselen of zelf bouwen? Neem een kijkje op http://www.vandeveen.nl/Wiskunde/Zometool_Projects/Zometool. html. Voor de 120 cel doorklikken naar: Runcinated 120-cell.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 74

Vlindereffect In 1972 bestudeerde de Amerikaanse wiskundige Edward Lorenz een sterk vereenvoudigd model van een dynamisch systeem dat ook in de weersvoorspelling voorkomt. Het bijbehorende plaatje van de bijbehorende banen van dit systeem is beroemd geworden als de 'vlinder van Lorenz'. Het lijkt op een vlinder, maar de naam refereert ook naar het gezegde dat het gefladder van de vleugels van een vlinder in Brazilië een orkaan in Texas kan veroorzaken.

Dit is uiteraard sterk overdreven, maar het beschrijft zogenaamd chaotisch gedrag. Dat wil zeggen, als we beginnen in twee naburige punten, dan zullen hun banen in een heel snel tempo van elkaar verwijderen en op den duur bewegen de punten volkomen onafhankelijk van elkaar. Hierdoor is het niet mogelijk om voorspellingen te maken over een langere tijd. Dit is precies één van de problemen die bijvoorbeeld bij weersvoorspelling optreedt.

De vlinder van Lorenz illustreert nog een ander bijzonder effect bij dynamische systemen. Ondanks het chaotisch gedrag van de banen zien we dat ze zich schikken in de twee 'vleugels' van de Lorenz vlinder. Deze vleugels zijn geen oppervlakken, maar fractale figuren met een ragfijne structuur. Hun dimensie ligt tussen 1 en 2. Alle banen worden door deze vlinder aangetrokken.

Dit is één van de klassieke voorbeelden van een vreemde attractor.

Animatie Op http://www.youtube.com/watch?v=iu4RdmBVdps vind je een animatie waarbij je door de Lorenzfiguur reist alsof het een achtbaan is. Voor degenen die belangstelling hebben voor meer achtergrond, van de makers van de films op chaos-math is een youtube film http://www.youtube.com/watch?v=Rz2yEMeKZuE met een hele duidelijke uitleg, ook voor niet-wiskundigen. Het origineel is te vinden als deel VII van http://www.chaos-math.org/nl

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 76

De kat van Arnold Hier is een voorbeeld van een modulaire stroming. Neem de matrix A =

2 1

1 1

en laat de t-de macht ervan (t is de tijd) werken

op het rooster Z2 .

Dan is At (Z2 ) een rooster dat met de tijd t verandert. Dit is een baan in de modulaire stroming. Op http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/Imaginary/ modularflow.html vind je een animatie die het idee geeft. Je zult zien dat er iets bijzonders gebeurt, op tijdstip t = 1 hebben we het rooster A(Z2 ) en dit blijkt precies weer Z2 te zijn. Alleen zijn de punten het middelste vierkant niet meer dezelfde punten als voorheen, het hele rooster ziet er weer precies hetzelfde uit. We hebben dus een periodieke baan van onze flow gevonden met periode 1.

We kijken nu wat er met het hele vlak gebeurt. We starten weer met het rooster, maar ook met een blokje gekleurde punten. Die worden samen met het rooster herhaald weergegeven. De rode punten vormen als het ware een verschoven rooster.

Als we nu de stroming laten werken, dan zullen op t = 1 de rode punten een andere Het blijkt positie aannemen. In de animatie op http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/ Imaginary/arnoldcat.html zie je dat dat pas na een aantal malen gebeurt. Hetzelfde geldt voor de gele, blauwe en groene punten. Na hoeveel perioden verschijnt het gekleurde startblokje weer? dat ieder verschoven rooster, dat over rationale coรถrdinaten verschoven is, na verloop van tijd weer op zichzelf terugkeert. In plaats van het gekleurde vierkantje kun je een willeurig plaatje nemen. Omdat de pixels eigenlijk punten met rationale coรถrdinaten zijn, keert ook een foto na verloop weer in zichzelf terug. Verrassing! Hier is een voorbeeld met een plaatje van kersen: http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/Imaginary/kersen.html uit het Wikipedia artikel http://en.wikipedia.org/wiki/Arnold%27s_cat_map . Wacht even tot je bij plaatje 114 bent. Speel je liever even met een eigen op te laden foto, of met een kattenfoto, probeer dan eens http://www.jasondavies.com/catmap/. Veel plezier! www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 78

Periodieke banen

et 0 er op los te laten. Het punt 0 eâ&#x2C6;&#x2019;t (x0 , y0 ) heeft dus de baan (et x0 , eâ&#x2C6;&#x2019;t y0 ) (t speelt de rol van de tijd). We kunnen ook naar de baan van tweetallen punten kijken (x0 , y0 ), (x1 , y1 ). De gehele combinaties van deze punten vormen een rooster. En dus hebben we een stroming in de verzameling rooster in het platte vlak. Dit heet de modulaire stroming.

Sommige roosters keren na verloop van tijd weer in zichzelf terug. Dat heten de periodieke roosters. Als je de baan van de bijbehorende stroming visualiseert zie je een gesloten kromme in de ruimte die een knoop vormt. Zie als voorbeeld de groene banen in: We kunnen van de punten in het vlak R2 een dynamisch systeem maken door de matrix

Het was een spectaculaire ontdekking dat deze gesloten banen precies corresponderen met de gesloten banen van de Lorenzattractor.

Voor degenen die wat dieper in de wiskunde zitten, dit wordt uitgelegd in een prachtig artikel van Etienne Ghys en Jos Leys www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-lorenz.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 80

Ontdekkingstocht met de computer Benoit Mandelbrot (1924 - 2010) was van oorsprong een Poolse wiskundige die zich uiteindelijk in de VS vestigde. Een van zijn bekendste werken is 'The fractal geometry of nature', waarin hij een radicaal andere visie propageerde over de meetkundige wereld om ons heen, namelijk die van de fractals. In het kader daarvan voerde hij een computer experiment uit dat sindsdien wereldberoemd is geworden. Je start met een complex getal c en kijkt naar de rij complexe getallen z0 , z1 , z2 , z3 , . . . gegeven door de relaties z0 = 0 en zn+1 = zn2 + c als n ≥ 0. Deze rij getallen gaat uiteindelijk naar oneindig, of niet. In het eerste geval geven we c een kleurtje, in het andere geval laten we het zwart. Tot zijn verbazing zag Mandelbrot patronen verschijnen die inmiddels wereldberoemd zijn geworden onder de naam Mandelbrotverzameling of 'appelmannetje'. Zie de posters.

Naast de Lorenz attractor is de Mandelbrotverzameling één van de bekendste voorbeelden van een meetkundige figuur, waarvoor een eenvoudig recept bestaat, maar waarvan we de subtiliteit zonder computer nooit hadden kunnen inzien.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 82

Het diepe in De Mandelbrot verzameling is eigenlijk het randgebied tussen de gekleurde punten en de zwarte punten die we in de vorige poster beschreven. Wiskundigen hebben aangetoond dat deze rand ĂŠĂŠn continue kromme vormt die oneindig ingewikkeld verloopt en bijvoorbeeld nergens een bepaalde richting heeft. Dat maakt het interessant om er steeds verder op in te zoomen. smallskip Op internet vind je met gemak talloze animaties waarin spectaculaire filmpjes worden vertoond. Het valt op dat tijdens het inzoomen sommige patronen zich lijken te herhalen. Maar dit is niet helemaal waar, er zijn steeds subtiele verschillen. Als je zelf aan het inzoomen bent kun je proberen die verschillen te ontdekken.

Doe het zelf Een mooi programma om zelf mee te experimenteren vind je op http://fraqtive.mimec.org. Op dit programma is ook de touchscreen versie van de tentoonstelling gebaseerd.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 84

Algebraïsche oppervlakken en 3D-printers spreken een verschillende taal Diverse oppervlakken kan je in deze tentoonstelling zowel tweedimensionaal als driedimensionaal bewonderen en bestuderen. Bij het 3D printen van oppervlakken komen meerdere problemen, van verschillende aard, om de hoek kijken.

Hoewel algebraïsche oppervlakken uit een ontelbaar aantal punten bestaan, kunnen we ze bondig en elegant beschrijven als de nulpunten van een veelterm met maar enkele coëfficiënten. Een 3D-printer daarentegen, gebruikt andere gegevens om een 3D-model te realiseren. Frequent werken dergelijke printers met een zogenaamde betegeling van het oppervlak aan de hand van driehoekjes. Het oppervlak wordt op die wijze benaderd door een soort mozaïek van kleine driehoekjes. Naarmate er meer kleine driehoekjes zijn, wordt de benadering beter.

Om een mooie 3D-print van een algebraïsch Distel oppervlak te verkrijgen zijn in werkelijkheid vele honderdduizenden punten nodig die hoekpunten van driehoekjes vormen. Op basis hiervan brengt de printer een bepaalde materie in laagjes aan. Wat een contrast met het handvol coëfficiënten dat volstaat om een algebraïsch oppervlak te bepalen!

Dunner dan een zeepbel De afmetingen van een beeldhouwwerk zijn eindig en ze nemen een bepaald volume in. Algebraïsche oppervlakken daarentegen zijn oneindig dun (ze tonen slechts het oppervlak, dat geen dikte heeft) en vaak strekken zij zich oneindig uit. Sommige oppervlakken, zoals Nepali, zijn begrensd en omsluiten een volume. Een computer kan in een dergelijk geval het oppervlak tekenen. Andere oppervlakken, zoals Vis-á-Vis zijn onbegrensd; er is niet meteen een inwendige of een uitwendige. Ze zijn dus niet het oppervlak van een of ander voorwerp en bijgevolg wordt het heel wat neteliger om ze als een sculptuur of beeldhouwwerk voor te stellen.

De 3D-prints voor deze expositie werden geproduceerd door MO-Labs http://blog.mo-labs.com www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 86

Derde graads Cayley oppervlak

Vierde graads Kummer oppervlak

Clebsch Diagonaal oppervlak

Klassieke gipsmodellen

Gipsmodellen In de tweede helft van de 19-de eeuw ontdekte men nieuwe algebraĂŻsche krommen en oppervlakken en vele andere meetkundige objecten. Als hulp bij het bestuderen daarvan ondernamen veel wiskundigen de constructie van modellen om die objecten te visualiseren. Op die manier kon men overstappen van het abstracte mathematische object naar het concrete model, hetgeen voor het bestuderen en ontdekken van zijn eigenschappen erg nuttig was. In veel universiteiten zijn die modellen jarenlang tentoongesteld, niet alleen vanwege hun wetenschappelijke en didactische waarde maar ook vanwege hun artistieke waarde.

Een belangrijk voorbeeld van het construeren van modellen vinden we in Duitsland. Wiskundigen zoals Felix Klein en Alexander von Brill ontwierpen talloze modellen. In de jaren 1880 tot 1935 werden deze gebouwd met materialen als gips, draad, metaal enz. Door de Duitse firma's L. Brill en M. Schilling werden grote hoeveelheden van deze modellen geleverd aan Europese en Amerikaanse universiteiten. De catalogus van M. Schilling uit 1911 geeft een beschrijving van 40 series die een totaal van ongeveer 400 modellen omvat. Tegenwoordig treft men deze Duitse collecties aan op vele Europese universiteiten.

In Nederland staan de modellen in Amsterdam, Delft, Leiden, Groningen en Utrecht. In Groningen promoveerde in 2007 Irene Polo Blanco op een proefschrift met onderwerp Theorie en Geschiedenis van Meetkundige Modellen. Bovenstaande tekst is ontleend aan haar Samenvatting http://www.rug.nl/research/portal/files/2803505/samenvat.pdf!null.

Het gehele proefschrift is te vinden op http://www.rug.nl/research/portal/en/publications/theory-and-history-of-geometric-models(42619fc3-717f-41fd-848a-2152e26d7b2a) .html!null. Jaap Top gaf de volgende presentatie over wiskundige modellen: http://www.math.rug.nl/~top/lectures/

Utrechtlib.pdf.

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 88

Tentoonstellings software

Interactief met de IMAGINARY-software Op de tentoonstelling zijn vijf computers met een touchscreen aanwezig. Deze computers zijn uitgerust met software die vraagt om interactie van de bezoeker, en biedt mogelijkheden aan docenten om er, samen met hun klas, te experimenteren.

De volgende software is op de expositie ter beschikking: 1. Surfer https://imaginary.org/program/surfer 2. FroZenlight https://imaginary.org/program/frozenlight 3. Mornaments https://imaginary.org/program/morenaments 4. Fraqtive http://fraqtive.mimec.org/ Daarnaast kan je op de centrale Imaginary Website nog vinden: 1. Dune Ash 2. 3 FILM-SLIDER's, elk met een achttal korte films of animaties 3. Sphere of the Earth 4. The future of the glaciers

www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 90

SURFER

Kern van de tentoonstelling is het programma SURFER. Het presenteert visualisaties en hun theoretische achtergrond uit de algebraĂŻsche meetkunde, singulariteitentheorie en differentiaalmeetkunde op een attractieve en begrijpelijke wijze. SURFER doet dit alles realtime, zodat bezoekers worden aangetrokken door de mogelijkheid om zelf bij te dragen aan de tentoonstelling. Het programma laat zien hoezeer wiskunde en kunst verweven kunnen zijn. Het stelt gebruikers in staat om begrip op te bouwen, en te experimenteren met de relatie tussen formule en vorm.

Het gebruikersinterface van SURFER is simpel. Achter het programma gaat geen didactische theorie of kunstzinnige aanpak schuil, de intentie is om bezoekers te laten delen in de vreugde van creaties binnen de wiskunde en om het vak te bevrijden van zijn vaak droge en moeilijke imago.

Op de surfer interface kan je zelf de formules typen. Ook bestaat de mogelijkheid om gebruik te maken van vooringestelde fantasievlakken en recordoppervlakken. Een aantal daarvan kan je ook op de tentoonstelling zien. Belangrijk is ook, dat je met behulp van 4 parameters, animaties kunt uitproberen.

Wacht dus niet lang en downloadt het gratis programma van: https://imaginary.org/program/surfer Op de tentoonstelling zie je soms afbeeldingen met meer dan twee kleuren. Dat lukt niet met het SURFER programma, maar wel met SURFER 2008. Dat draait alleen op Windows machines . Je kunt het downloaden via https://imaginary.org/program/ surfer-2008. Je kunt ermee verschillende oppervlakken over elkaar tekenen, meerdere kleuren gebruiken, doorzichtigheid aanpassen en ook filmpjes maken.

Instruktie materiaal In het Nederlands is er allereerst een korte inleiding over Figuren en Formules van Martin Kindt. http://imaginarymaths.nl/ files/voorbereiding/Surfer2016.pdf en voor surfer gebruik: Tips en trucs bij Surfer door Frits Beukers https://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/Surferdemo.pdf Daarnaast vanaf de Vlaamse website: Imaginary - Van bol naar kubus door Gommaar Maes en Tania Van Damme https://www.vwo.be/vwo/imaginary_files/symmetrie.pdf Imaginary - Singulariteiten door Gommaar Maes en Tania Van Damme https://www.vwo.be/vwo/imaginary_files/singulariteiten.pdf Dit en overig instruktiemateriaal over Imaginary is ook te vinden op http://www.imaginarymaths.nl/#voorbereiding. www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 92

PLATFORM WISKUNDE NEDERLAND

Het Koninklijk Wiskundig Genootschap (KWG) en de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW) hebben teneinde de positie van de wiskunde in Nederland te verbeteren een gezamenlijk platform opgericht, met als naam Platform Wiskunde Nederland (PWN). De oprichting van PWN is ingegeven door het feit dat de zichtbaarheid van wiskunde als zelfstandige discipline verbetering behoeft, op allerlei terreinen. Platform Wiskunde Nederland is het landelijke loket voor alles wat met wiskunde te maken heeft. Het zet zich in: voor een realistische beeldvorming over wiskunde en wiskundigen; voor een stabiele infrastructuur van wetenschappelijk onderwijs en onderzoek; voor een betere positie van wiskunde in primair en voortgezet onderwijs; voor een betere aansluiting tussen voortgezet en hoger onderwijs; voor een betere verbinding tussen wetenschappelijke wiskunde en (innovatieve toepassingen in) het bedrijfsleven. Kortom: PWN behartigt de belangen van, en fungeert als spreekbuis voor, de gehele Nederlandse wiskunde. Website: http://www.platformwiskunde.nl

Lokaties Imaginary Tentoonstelling in Nederland Locatie Eindhoven Enschede Amsterdam Utrecht Leiden Groningen Nijmegen

Start 19 september 2016 24 oktober 2016 21 november 2016 6 februari 2017 6 maart 2017 22 mei 2017 19 juni 2017

Eind 7 oktober 2016 11 november 2016 9 december 2016 24 februari 2017 24 maart 2017 9 juni 2017 7 juli 2017

Details TU Eindhoven, gebouw MetaForum, zalen MF11-12 Gebouw Horst, Universiteit Twente, Enschede VOX-POP Binnengasthuis 9, Amsterdam Stadskantoor (naast CS en Beatrixgebouw) onder voorbehoud wordt later bekend gemaakt wordt later bekend gemaakt

http://imaginarymaths.nl www.imaginarymaths.nl

IMAGINARY 2016-2017, Eindhoven, Enschede, Amsterdam, Utrecht, Leiden, Groningen, Nijmegen

p. 93