EDO Lineal de orden superior no homogénea con coeficientes constantes

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la EDO lineal no homogÊnea de orden superior con coeficientes constantes dada por la siguiente expresión ��� �2� �� �� � + . . . . . + �2 2 + �1 + �0 � = �(�) �� �� �� Donde � � es diferente de cero.

La soluciĂłn general de esta ecuaciĂłn es igual a đ?‘Śđ??ş = đ?‘Śâ„Ž + đ?‘Śđ?‘?

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

đ?‘Śđ??ş = đ?‘Śâ„Ž + đ?‘Śđ?‘?

Donde �ℎ es la solución de la EDO homogÊnea asociada a la EDO no homogÊnea, es decir resolvemos la EDO igual a 0 � �� �� � + . ��

...

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś . + đ?‘Ž2 2 + đ?‘Ž1 + đ?‘Ž0 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘Ś =0

Y đ?‘Śđ?‘? es una soluciĂłn particular de la EDO no homogĂŠnea

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Para calcular la solución particular 𝑦𝑝 usaremos el método de los coeficientes indeterminados Como la EDO tiene coeficientes constantes la solución particular depende solamente de la forma de la función 𝑔(𝑥). Por lo tanto para calcular la solución particular supondremos que 𝑦𝑝 es de la forma 𝑔(𝑥) Por ejemplo en la EDO no homogénea g(x) es un polinomio de segundo grado Igual a 4𝑥 2 + 5𝑥 𝑑 𝑛𝑦 𝑑 2𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑛 𝑛 + . . . . . + 𝑎2 2 + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 = 4𝑥 2 + 5𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Entonces la solución 𝒚𝑃 deberá ser igual a 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 que es la forma general De un polinomio de segundo grado

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES El método de coeficientes indeterminados tiene limitaciones, solo se puede aplicar en EDO con coeficientes constantes y cuando la función 𝑔 𝑥 es un polinomio, o una función exponencial, o una función seno , o una función coseno o sus combinaciones 𝑎𝑛 𝑥 𝑛+. . . . . . +𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 𝑒 𝑘𝑥𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥 + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥

𝑔 𝑥 no puede ser igual a la razón de estas funciones por ejemplo 𝑔 𝑥 no Puede ser igual a 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

Recordemos que las soluciones deben ser linealmente independientes, por lo tanto la soluciĂłn particular đ?‘Śđ?‘? debe ser linealmente independiente de la soluciĂłn homogĂŠnea đ?‘Śâ„Ž , si no son linealmente independientes debemos independizarlas.

Para independizar las funciones de las soluciones homogĂŠnea y particular debemos multiplicar por đ?’™ a la funciĂłn de la soluciĂłn particular que no es linealmente independiente.

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Por ejemplo, para la EDO đ?‘Śđ?‘–đ?‘–đ?‘– − đ?‘Śđ?‘–đ?‘– = đ?‘Ľ + đ?‘’ 5đ?‘Ľ

como la funciĂłn independiente đ?‘” đ?‘Ľ es igual a 3đ?‘Ľ la soluciĂłn particular đ?‘Śđ?‘? debe ser igual a: đ?‘Śđ?‘? = đ??´đ?‘Ľ + đ??ľ + đ??ˇđ?‘’ 5đ?‘Ľ

Al comparar con la soluciĂłn homogĂŠnea đ?‘Śâ„Ž đ?‘Śâ„Ž = đ?‘?1 + đ?‘?2 đ?‘Ľ + đ?‘?3 đ?‘’ đ?‘Ľ

Vemos que no son linealmente independientes

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Para independizar las funciones de las soluciones homogénea y particular multiplicamos por 𝑥 a la expresión A𝑥 + 𝐵 que es el término dependiente dándonos 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥

Expresión que todavía no es independiente de la solución homogénea, por eso debemos multiplicar la nueva expresión 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 por 𝑥, de esta manera se obtiene la función 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐷𝑒 5𝑥

La cual ya es linealmente independiente

Corina Villarroel Robalino DOCENTE