Transformada de Laplace: Aplicaciones

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES SOLUCIĂ“N DE UNA EDO LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES Y CONDICIONES INICIALES Una de las aplicaciones de la trasformada de Laplace es la resoluciĂłn de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constante y condiciones iniciales đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ś (đ?‘›) +. . . . . + đ?‘Ž2 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– + đ?‘Ž1 đ?‘Ś đ?‘– + đ?‘Ž0 đ?‘Ś = đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘Ś 0 = đ?‘Ś0 , . . . . . . . , đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– 0 = đ?‘Ś0đ?‘–đ?‘– , đ?‘Ś đ?‘– 0 = đ?‘Ś0đ?‘– , đ?‘Ś 0 = đ?‘Ś0

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Ejemplo: Resolver la siguiente ecuaciĂłn diferencial 2 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘–đ?‘– + 3 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − 3 đ?‘Ś đ?‘– − 2đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ą

đ?‘Ś 0 = đ?‘Ś đ?‘– 0 = 0 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– 0 = 1

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Desarrollo Aplicamos la transformada de Laplace a la EDO â„’ 2 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘–đ?‘– + 3 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − 3 đ?‘Ś đ?‘– − 2đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ą

2â„’ đ?‘Ś đ?‘–đ?‘–đ?‘– + 3â„’ đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − 3â„’ đ?‘Ś đ?‘– − 2â„’ đ?‘Ś = â„’ đ?‘’ đ?‘Ą

Calculamos la transformada de cada tĂŠrmino paso a paso

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Primer termino 𝟐𝓛 𝒚𝒊𝒊𝒊

2ℒ 𝑦 𝑖𝑖𝑖 = 2 𝑠 3 𝐹 𝑠 − 𝑠 2 𝑦 0 − 𝑠𝑦 𝑖 0 − 𝑦 𝑖𝑖 0 Como 𝑦 0 = 𝑦 𝑖 0 = 0 𝑦 𝑖𝑖 0 = 1 se tiene : 2ℒ 𝑦 𝑖𝑖𝑖 = 2 𝑠 3 𝐹 𝑠 − 𝑠 2 𝑦 0 − 𝑠𝑦 𝑖 0 − 𝑦 𝑖𝑖 0 2ℒ 𝑦 𝑖𝑖𝑖 = 2 𝑠 3 𝐹 𝑠 − 1 2ℒ 𝑦 𝑖𝑖𝑖 = 2𝑠 3 𝐹 𝑠 −2

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Segundo termino 𝟑𝓛 𝒚𝒊𝒊 3ℒ 𝑦 𝑖𝑖 = 3 𝑠 2 𝐹 𝑠 − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 𝑖 0 Como 𝑦 0 = 𝑦 𝑖 0 = 0 𝑦 𝑖𝑖 0 = 1 se tiene : 3ℒ 𝑦 𝑖𝑖 = 3 𝑠 2 𝐹 𝑠 − 0 − 0 3ℒ 𝑦 𝑖𝑖 = 3𝑠 2 𝐹 𝑠

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Tercer termino −đ?&#x;‘đ?“› đ?’šđ?’Š −3â„’ đ?‘Ś đ?‘– = −3 đ?‘ đ??š đ?‘ − đ?‘Ś(0) Como đ?‘Ś 0 = đ?‘Ś đ?‘– 0 = 0 đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– 0 = 1 se tiene : −3â„’ đ?‘Ś đ?‘– = −3 đ?‘ đ??š đ?‘ − 0 −3â„’ đ?‘Ś đ?‘– = −3 đ?‘ đ??š đ?‘ Sustituimos cada resultado en la expresiĂłn

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES 2ℒ 𝑦 𝑖𝑖𝑖 + 3ℒ 𝑦 𝑖𝑖 − 3ℒ 𝑦 𝑖 − 2ℒ 𝑦 = ℒ 𝑒 𝑡 2𝑠 3 𝐹 𝑠 −2+3𝑠 2 𝐹 𝑠 − 3 𝑠𝐹 𝑠 − 2𝐹 𝑠 =

2𝑠 3 +3𝑠 2 − 3 𝑠 − 2 𝐹 𝑠 =

1 +2 𝑠

Despejamos 𝐹(𝑠)

1 + 2𝑠 𝑠 𝐹 𝑠 = 3 2 2𝑠 +3𝑠 − 3 𝑠 − 2

1 𝑠

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Factoramos el denominador 1 + 2đ?‘ đ?‘ đ??š đ?‘ = (đ?‘ − 1)(đ?‘ + 2)(2đ?‘ + 1) Operamos 1 + 2đ?‘ đ??š đ?‘ = đ?‘ (đ?‘ − 1)(đ?‘ + 2)(2đ?‘ + 1)

Simplificamos la expresiĂłn

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES

đ??š đ?‘ =

1 đ?‘ (đ?‘ − 1)(đ?‘ + 2)

Desarrollamos đ??š(đ?‘ ) en fracciones parciales 1 đ??´ đ??ľ đ??ś = + + đ?‘ (đ?‘ − 1)(đ?‘ + 2) đ?‘ đ?‘ − 1 đ?‘ + 2 Calculamos los valores de las constantes 1 đ??´=− , 2

1 đ??ľ= , 3

1 đ??ś= , 6

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES

Finalmente đ??š(đ?‘ ) es igual a:

đ??š(đ?‘ ) =

−1/2 1/3 1/6 + + đ?‘ đ?‘ −1 đ?‘ +2

Como đ??š đ?‘ = â„’ đ?‘“(đ?‘Ą) calculamos la transformada inversa de Laplace de đ??š(đ?‘ ) Para conocer la funciĂłn soluciĂłn de đ?‘“ đ?‘Ą â„’ −1

−1/2 1/3 1/6 đ??š(đ?‘ ) = + + đ?‘ đ?‘ −1 đ?‘ +2

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Aplicamos la propiedad de linealidad 1 1 1 1 1 1 â„’ −1 đ??š(đ?‘ ) = − â„’ −1 + â„’ −1 + â„’ −1 2 đ?‘ 3 đ?‘ −1 6 đ?‘ +2 Calculamos la transformada inversa de Laplace de cada funciĂłn que depende de s â„’ −1 đ??š(đ?‘ ) =f(t)

ℒ −1

1 đ?‘ −1

=đ?‘’ đ?‘Ą

ℒ −1

1 =1 đ?‘

ℒ −1

1 đ?‘ +2

=đ?‘’ −2đ?‘Ą

TRANSFORMADA DE LAPLACE: APLICACIONES Sustituimos los resultados en la expresión ℒ −1

1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 𝐹(𝑠) = − ℒ + ℒ + ℒ 2 𝑠 3 𝑠−1 6 𝑠+2

Se tiene que: 1 1 1 𝑓 𝑡 = − + 𝑒 𝑡 + 𝑒 −2𝑡 2 3 6 Es la solución de la EDO

2 𝑦 𝑖𝑖𝑖 + 3 𝑦 𝑖𝑖 − 3 𝑦 𝑖 − 2𝑦 = 𝑒 𝑡

𝑦 0 = 𝑦 𝑖 0 = 0 𝑦 𝑖𝑖 0 = 1

Corina Villarroel Robalino DOCENTE