Modelo Poblacional

MODELO POBLACIONAL

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Nos interesa estudiar como cambia el número de individuos de cierta especie en el tiempo t. En nuestro análisis se tomara en cuenta el número de nacimientos y de muertes de dicha población Vamos a considerar que el número de nacimientos y el número de muertes es directamente proporcional al número de individuos presentes en el instante t.

A este tipo de modelos se los conoce como Modelo de Malthus Bajo estos supuestos definiremos la tasa de crecimiento y la tasa de muerte

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL La tasa de nacimientos serĂĄ igual a: đ?‘˜1 đ?‘ (đ?‘Ą) La ecuaciĂłn nos da el nĂşmero de nacimientos por unidad de tiempo La tasa de muertes serĂĄ igual a: đ?‘˜2 đ?‘ (đ?‘Ą) La ecuaciĂłn nos da el nĂşmero de muertes por unidad de tiempo Las constantes de proporcionalidad đ?‘˜1 , đ?‘˜2 son positivas

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Si: đ?‘ đ?‘Ą es igual al nĂşmero de individuos de una poblaciĂłn en un instante t đ?‘ đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą es igual al nĂşmero de individuos despuĂŠs de un cierto Intervalo de tiempo ∆đ?‘Ą Tenemos que: La cantidad de individuos que se incremento en el intervalo ∆đ?‘Ą es igual a đ?‘ đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘Ą

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Por otro lado tenemos que el nĂşmero de nacimientos en un cierto intervalo de tiempo ∆đ?‘Ą es igual a đ?‘˜1 đ?‘ đ?‘Ą ∆đ?‘Ą El nĂşmero de muertes en un cierto intervalo de tiempo ∆đ?‘Ą es igual a đ?‘˜2 đ?‘ đ?‘Ą ∆đ?‘Ą

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Con estos resultados podemos decir que la cantidad de individuos que se Incrementaron en el intervalo ∆đ?‘Ą

đ?‘ đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘Ą es igual al nĂşmero de nacimientos en el Intervalo ∆đ?‘Ą menos el nĂşmero de muertes en ese mismo intervalo ∆đ?‘Ą đ?‘˜1 đ?‘ đ?‘Ą ∆đ?‘Ą - đ?‘˜2 đ?‘ đ?‘Ą ∆đ?‘Ą

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL La expresiĂłn: đ?‘ đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘Ą = đ?‘˜1 đ?‘ đ?‘Ą ∆đ?‘Ą - đ?‘˜2 đ?‘ đ?‘Ą ∆đ?‘Ą Nos permite plantear la tasa de crecimiento poblacional para un intervalo ∆đ?‘Ą đ?‘ đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘Ą = đ?‘˜1 − đ?‘˜2 đ?‘ (đ?‘Ą) ∆đ?‘Ą Si ∆đ?‘Ą → 0

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Obtenemos una ecuaciĂłn diferencial que modeliza la velocidad de crecimiento de la poblaciĂłn: đ?‘‘đ?‘ = đ?‘˜ đ?‘ (đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą La ecuaciĂłn nos dice que la velocidad de crecimiento de la poblaciĂłn es directamente proporcional a la poblaciĂłn presente en un instante đ?‘Ą Recordemos que la constante đ?‘˜ es igual a la diferencia entre las constantes De proporcionalidad para los nacimientos y las muertes đ?‘˜ = đ?‘˜1 − đ?‘˜2

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL La solución de la ecuación diferencial que modeliza la velocidad de crecimiento de la población: 𝑑𝑁 = 𝑘 𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 Esta dada por: 𝑁 𝑡 = 𝐴𝑒 𝑘𝑡

Donde A es la constante de integración y su valor depende de las condiciones iniciales del problema

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Si đ?‘˜1 > đ?‘˜2 es decir si los nacimientos son mayores a las muertes se tiene que đ?‘˜ = đ?‘˜1 − đ?‘˜2 > 0 Por lo tanto la poblaciĂłn dada por la ecuaciĂłn đ?‘ đ?‘Ą = đ??´đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą

Crece en forma exponencial

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL Si đ?&#x2018;&#x2DC;1 < đ?&#x2018;&#x2DC;2 es decir si el nĂşmero de nacimientos son menores al nĂşmero de muertes se tiene que đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x2DC;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;2 < 0 Por lo tanto la poblaciĂłn dada por la ecuaciĂłn đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą = đ??´đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą

decrece en forma exponencial

MODELOS EXPONENCIALES MODELO POBLACIONAL El modelo poblacional đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą Conocido como â&#x20AC;&#x153;Modelo de Malthusâ&#x20AC;?, es valido para pequeĂąos intervalos de Tiempo y cuando la poblaciĂłn no es muy grande.

Pues si la poblaciĂłn es muy grande se debe tomar en cuenta no solo los nacimientos y las muertes sino tambiĂŠn la densidad poblacional, espacio fĂ­sico, alimentos etc.

Corina Villarroel Robalino DOCENTE