EDO Lineal de orden superior no homogénea con coeficientes constantes (2)

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES(2)

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES EJERCICIO RESUELTO Sea la EDO đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − đ?‘Ś = 3đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2+1 Calcular su soluciĂłn general: DESARROLLO Como la soluciĂłn de una EDO no homogĂŠnea es igual a la suma de las soluciones homogĂŠnea y particular

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Calcularemos primero la soluciĂłn homogĂŠnea, sea: đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − đ?‘Ś = 0 Como es una EDO homogĂŠnea y con coeficientes constantes la soluciĂłn homogĂŠnea es igual a đ?‘Śđ?‘˜ = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ Sustituimos en la EDO đ?‘˜ 2 − 1 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ = 0

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

DĂĄndonos la ecuaciĂłn polinĂłmica auxiliar đ?‘˜2 − 1 = 0 Las raĂ­ces de la ecuaciĂłn polinĂłmica son đ?‘˜=1

đ?‘˜ = −1

De donde las funciones đ?‘Śđ?‘˜ son đ?‘Ś1 = đ?‘’ đ?‘Ľ

đ?‘Ś2 = đ?‘’ −đ?‘Ľđ?‘§

La soluciĂłn homogĂŠnea es đ?‘Śâ„Ž = đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘’ −đ?‘Ľ.

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES La soluciĂłn particular đ?‘Śđ?‘? đ?‘Śđ?‘? = đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ľ 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇ Es igual a la combinaciĂłn lineal de la funciĂłn exponencial general đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ y de la funciĂłn cuadrĂĄtica general đ??ľđ?‘Ľ 2 + đ??śđ?‘Ľ + D, porque la funciĂłn đ?‘”(đ?‘Ľ) es igual al producto de una funciĂłn exponencial đ?‘’ đ?‘Ľ y un polinomio đ?‘Ľ 2 + 1 Al comparar la soluciĂłn particular đ?‘Śđ?‘? = đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ľ 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇ con la soluciĂłn homogĂŠnea đ?‘Śâ„Ž = đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘’ −đ?‘Ľ.

Vemos que las funciones đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ , đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ , no son linealmente independientes

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Debemos independizar la soluciĂłn particular đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ, para esto multiplicamos la expresiĂłn đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ por đ?‘Ľ, la soluciĂłn particularđ?‘Śđ?‘? ahora es đ?‘Śđ?‘? = đ??´đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ľ 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇ Las funciones đ??´đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ y đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ son ahora linealmente independientes Como đ?‘Śđ?‘? es una soluciĂłn particular debemos calcular los valores de las constantes A, B, C, D, para esto se debe sustituir la soluciĂłn particular đ?‘Śđ?‘? en la EDO đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − đ?‘Ś = 3đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2+1

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Para facilitar la sustituciĂłn primero calcularemos la segunda derivada de la soluciĂłn particular đ?‘Śđ?‘?

đ?‘Śđ?‘? = đ??´đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ľ 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇ đ?‘‘ 2 đ?‘Śđ?‘? đ?‘Ľ đ?‘Ľ = 2đ??´đ?‘’ + đ??´đ?‘Ľđ?‘’ + 2đ??ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 Ahora sustituimos đ?‘Śđ?‘? y su segunda derivada en la EDO đ?‘Ś đ?‘–đ?‘– − đ?‘Ś = 3đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2+1 2đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ + đ??´đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ + 2đ??ľ − đ??´đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ľ 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇ =3đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2+1

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Simplificamos la expresiĂłn 2đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ + 2đ??ľ − đ??ˇ − đ??ľđ?‘Ľ 2 − đ??śđ?‘Ľ=3đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2+1 Igualamos los tĂŠrminos

2đ??´đ?‘’ đ?‘Ľ=3đ?‘’ đ?‘Ľ entonces el valor de A = 3/22 2 đ??ľđ?‘Ľ =đ?‘Ľ entonces B=1 Cđ?‘Ľ = 0 entonces C=0 2đ??ľ −D=1 entonces D= 1 Entonces la soluciĂłn particular es igual a: 3

đ?‘Śđ?‘? = đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 +1 2

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

La solución de la EDO 𝑦 𝑖𝑖 − 𝑦 = 3𝑒 𝑥 + 𝑥 2+1 Es igual a: 𝑥

𝑦𝐺 = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2 𝑒

−𝑥

3 𝑥 + 𝑥𝑒 + 𝑥 2 + 1 2