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LA MEJOR

DE INGRESO

AL POLITÉCNICO

LA MEJOR

DE INGRESO

AL POLITÉCNICO

ÍNDICE

BIOLOGÍA.............................................................................8 CÁLCULO, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ..........................................................100 COMPRENSIÓN DE TEXTOS ..............................130 COMUNICACIÓN Y PRODUCCIÓN ESCRITA .................................... 156 FÍSICA................................................................................194 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA................ 270 MATEMÁTICAS Y ALGEBRA .............................328 QUÍMICA ........................................................................ 420 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ................. 514

LECCIÓN 1

CÉLULA - UNIDAD ESTRUCTURAL La ciencia es el conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observación y el razonamiento, en el caso de las ciencias experimentales se deducen principios y leyes comprobables a través de diversos experimentos. Algunos ejemplos de ciencias no experimentales son: Matemáticas, Historia, Sociología o Antropología; mientras que ejemplos de ciencias experimentales son la Física, la Biología, y la Química.

En esta lección nos enfocaremos en la Biología, ciencia que se dedica al estudio de los seres vivos y todo lo que ello implica como su composición, organización, funciones y relaciones con el medio ambiente. Veremos su carácter científico y metodológico, así como la relación que existe entre la Biología, la tecnología y la sociedad. También aprenderemos más sobre la composición de la célula y las moléculas orgánicas presentes en ella.

Carácter científico de la Biología A mediados del siglo XVIII, Carlos Linneo estableció el sistema binomial de nomenclatura, con él se nombran sistemáticamente las diferentes especies de organismos y a partir de ello se originó la jerarquía o taxonomía linneana, la cual consiste en clasificar a las especies en diferentes niveles jerárquicos con el siguiente orden: reino, clase, orden, género, especie y variedad. Actualmente, se incluyen otros órdenes como el dominio, el filo y la familia.

Durante el siglo XVIII aparecieron personajes estudiosos de las Ciencias Naturales o de la Historia Natural conocidos como naturalistas, por ejemplo Leclerc, Lamarck, Darwin y Wallace. A partir de sus aportaciones surgieron ramas

10 BIOLOGÍA

Especie

Homo Sapiens

Género

Homo

Familia

Homínidos

Orden

Primates

Clase

Mamíferos

Filo

Cordados

Reino

Animales

Miembros del género Homo con una frente alta y delgados huesos craneales.

Homínidos con postura erguida y cerebros grandes.

Primates con rostros relativamente planos y visión tridimensional.

Mamíferos con clavículas y dedos prensíles.

Cordado con pelaje o pelo y glándulas mamarias.

Animales con columna vertebral.

Organismos capaces de moverse por sí mismos.

de estudio de los seres vivos que se han conservado y desarrollado hasta la actualidad, como la Biología Evolutiva, la Taxonomía y la Geología.

Carácter metodológico de la Biología Se define como un procedimiento lógico y ordenado que se sigue para validar el descubrimiento de nuevo conocimiento en la ciencia. También es conocido como “método científico” con dos etapas identificables: investigación descriptiva y experimental.

•

•

La investigación descriptiva es la etapa en la que se hace la observación, una búsqueda de información sobre el tema de interés para generar hipótesis y la interpretación estadística de los datos.

La investigación experimental es el procedimiento que busca comprobar o refutar la hipótesis por medio de experimentos que pueden ser llevados a cabo dentro o fuera de un laboratorio.

Para generar conocimiento científico, como teorías, principios o leyes, es necesario cumplir con las fases del método científico:

BIOLOGÍA 11

RESPONDE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

1.

2.

3.

4.

¿A qué nos referimos cuando hablamos del carácter científico de la Biología? ¿Qué es el método científico?

Menciona las diferencias entre investigación descriptiva y experimental.

Menciona tres ejemplos que ilustren la relación entre Biología, tecnología y sociedad 5. ¿Qué es una célula?

6. ¿Qué dice cada uno de los cuatro postulados de la teoría celular?

7. ¿Cuáles son las principales biomoléculas conocidas?

8. ¿Cuáles son las funciones de los carbohidratos, los lípidos y las proteínas?

9. ¿Para qué funcionan los ácidos nucleicos?

10. ¿Cómo se pueden clasificar las vitaminas?

11. ¿Para qué sirven los minerales?

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

BIOLOGÍA 15

LECCIÓN 1

INTEGRAL DEFINIDA La integral definida es un concepto matemático utilizado para determinar el valor de las áreas comprendidas entre una curva y rectas verticales, y entre dos curvas. En esta lección veremos su fórmula y cómo resolverlas a través de sencillos ejercicios.

Una integral definida se representa de la siguiente forma: b

න f( x ) dx = F ( b ) -F ( a ) a

Para resolverlas, lo primero que debemos hacer es integrar la función y después, restar la evaluación de las funciones para los extremos del intervalo [a, b]. Es importante saber que como la integral definida describe el área debajo 3 de una curva, se medirá en unidades b x+3 ) dx = න (cuadradas.

-2 න bf( x ) dx = F ( b ) -F ( a ) b a EJEMPLO න f( x ) dx = F ( b ) -F ( a ) න a f( x ) dx = F ( b ) -F ( a ) a Encuentra la siguiente integral. v=x+3 dv=dx 3 න 3 ( x+3 ) dx = -2 න3 3( x+3 ) dx =3 Solución: ( x+3 ) dx නන- 2 xdx+3 න= dx = 1. Integramos la función.

-2- 2 -2 v = x+3 v=x+3 dv 2= dx v=x+3 x dv=dx +3x+C v=x+3 dv=dx 2 2. Observamos que la integral3 estádv=dx completa y podemos hacemos las 3 operaciones correspondientes. න 3 xdx+3 න 3 dx = -2 3 න-2 3 xdx+3 ( 3 ) 2 න dx = න-2 xdx+3 න +3 (-23 )dx +C=-2 x22 -2 2 +3x+C 2x 9 x 2+3x+C +9+C - ( 4 -6+C ) = 2 22 +3x+C 2

(3)2 27 +3 ( 3 ) +C 102 CÁLCULO, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (23 ) 2 +C -( -4+C ) = ( 32) 2+3 ( 3 ) +C 2 +3 ( 3 ) +C 2

න-2 xdx+3 න-2 dx = -2 -2 x 22 x +3x+C 2 +3x+C 2

3. Restamos los valores.

F(3)-F(-2)=

( 3 ) 22 ( 3 ) +3 ( 3 ) +C 2 +3 ( 3 ) +C 2 9 9 +9+C - ( 44 -6+C ) = 2 +9+C - ( 2 -6+C ) = 2 2 27 27+C -( -4+C ) = 2 +C -( -4+C ) = 2 27 +C+4 -C= 27 +C+4 -C= 2 2 35 35 2 2 4. Encontramos el resultado.

3 3

3 3

2 u2 න xdx+3 න dx = 35 u න- 2 xdx+3 න- 2 dx = 35 2 2 -2 -2 2 2

2

) 2dx = න ((x+4 න0 x+4 ) dx = 0

( x+4 ) 33 ( x+4 ) +C +C RESPONDE CORRECTAMENTE33LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1.

2.

3.

¿Qué es una integral definida? ¿Cuál es su fórmula?

2 Encuentra el área bajo la siguiente y las rectas x = 0, x = 2.

3 curva f(x) = (x+4) 3

( 2+4 ) 3 ( ) ( 2+4 ) +C - [ ( 0+4 0+4 ) 3+C ] = +C - [ 3 +C ] = 3 3 3

Al final de tu guía encontrarás un apéndice con un código QR, donde podrás consultar el resultado de tu ejercicio.

3 3

(6) 3 ( ) ( 6 ) +C - [ (44 ) 3+C ] = 3 +C - [ 3 +C ] = 3 3

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

216 64 216 +C - [ 64 +C ] = 3 +C - [ 3 +C ] = 3 3

64 72+C - 64 -C= CÁLCULO, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 103 72+C - 3 -C= 3 152

LECCIÓN 1

FORMAS DEL DISCURSO Los mensajes, orales o escritos, se transmiten por medio de palabras agrupadas en enunciados, y estos a su vez forman textos. Aquí te enseñamos tres distintas variedades de discurso.

Definición de texto El texto es el conjunto de enunciados que se transmiten de manera oral o escrita y son enviados de un emisor a un receptor.

Los textos se pueden clasificar por su forma discursiva: pueden ser descriptivos, narrativos o argumentativos.

El texto descriptivo El texto descriptivo, como su nombre lo indica, tiene la función de describir objetos, personas, cualidades o cualquier otra cosa. Por medio de un texto descriptivo es posible imaginar, conocer y entender mejor. Un ejemplo claro es la siguiente canción infantil: Pin Pon es un muñeco muy guapo y de cartón, tiene pelo largo, Pin Pon pesa 70 kilos y mide 1.80 metros, tiene tez clara y es bueno en Matemáticas. Pin Pon se lava la carita con agua y con jabón.

132 COMPRENSIÓN DE TEXTOS

El texto narrativo Narrar es contar. La narración es un tipo de texto por medio del cual se relatan hechos reales o imaginarios. Este tipo de textos suelen suceder en un tiempo determinado y transcurrir en un lugar, también real o imaginario. Para entender mejor qué es un texto narrativo, lee la crónica de un gol de un partido de futbol.

Sánchez tiene el balón, lo cubren dos. Frena. Sánchez sale por la derecha y conduce el balón el maestro del futbol mundial. ¡Genio! ¡Genio! Se perfila para tirar. ¡Tiraaaa! ¡Gooooooooooooooooooooooool! ¡Goooolaaaaazoooo!

El texto argumentativo Este tipo de textos son los que transmiten una opinión personal. Lo hacen por medio de comentarios, argumentos o ideas. En algunos casos, el o la emisor plantea una hipótesis y busca sostenerla a través del texto. Por ejemplo, vean el siguiente argumento:

Carlos Fuentes, Juan Rulfo, Inés Arredondo y Rosario Castellanos son excelentes escritores, todos son mexicanos y los cuatro son apreciados por sus lectores. Los cuatro recibieron premios y las y los escritores los consideran como personajes muy importantes. Estos cuatro escritores dan cuenta del gran nivel literario de México.

RESPONDE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

1.

2.

3.

4.

¿Cómo se define un texto? ¿Cuáles son los tres formas discursivas del texto? ¿Si emites una opinión, qué tipo de discurso es? ¿Cómo se llama el texto por medio del que te enteras de lo que sucedió en una manifestación?

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

COMPRENSIÓN DE TEXTOS 133

LECCIÓN 1

ORTOGRAFÍA Las reglas ortográficas se han establecido para que hay una uniformidad en la escritura, de manera que todo mundo pueda entender lo que está leyendo.

Algunas de la reglas ortográficas tienen que ver con el uso de las mayúsculas, la puntuación, y la división silábica, pues el acomodo del texto en la hoja permite mayor claridad y coherencia en el reconocimiento de la información y las ideas.

Mayúsculas Las letras mayúsculas son aquellas de mayor tamaño que sirven para resaltar, jerarquizar y enfatizar. Es importante mencionar que las mayúsculas se acentúan si la palabra lo requiere; anteriormente las imprentas no contaban con moldes de letras mayúsculas acentuadas, pero esto ha cambiado, sobre todo porque las impresiones se realizan desde un archivo en digital.

ABCDEFGHI JKLMNÑOPQ RSTUVWXYZ Se escribirán con inical mayúscula 1.

2.

3.

4.

5.

La primera letra de una oración o párrafo.

Ejemplo: En la colonia hay muchos turistas.

Nombres propios de personas, animales, ciudades, países, calles, apellidos y siglas.

Ejemplo: En la colonia Roma hay un hombre, originario de Brasil, que tiene un perro que se llama Samba.

Sobrenombres o apodos.

Ejemplo: María Félix, La Doña.

Títulos, cargos y dignidades.

Ejemplo: El Rector se reunió con el Duque de Rivas.

Siglas y acrónimos.

Ejemplo: Con la guía Unitips puedes estudiar para tu examen de admisión de la UNAM.

158 ESTRUCTURA DE LA LENGUA

Los puntos suspensivos Los puntos suspensivos, normalmente, se utilizan para generar suspenso en el texto. Siempre deben escribirse sólo tres y sin espacio entre ellos, pero con un espacio antes de la siguiente palabra.

Los puntos suspensivos también se pueden utilizar para: •

Dejar una idea incompleta.

Ejemplo: Desde hace mucho te quiero decir que... no, mejor no te lo digo.

•

Expresiones conocidas o sobreentendidas, dichos, refranes, lugares comunes que el lector debe completar.

Ejemplo: Camarón que se duerme...

•

Sustituir la palabra etcétera para indicar que una enumeración continúa.

Ejemplo: Los principales aspectos que se deben conocer al redactar son: ortografía, sintaxis, gramática, vocabulario...

•

Evitar palabras malsonantes.

Ejemplo: Es un...

Los paréntesis Los paréntesis son utilizados para introducir información adicional dentro de una oración como aclaraciones, fechas, notas y citas textuales.

Ejemplo: El león (considerado el rey de la selva) vive en la sabana africana y duerme hasta 20 horas al día.

En este caso, la información: “considerado el rey de la selva” está dentro del paréntesis, ya que es información adicional que ayuda a contextualizar y a darle profundidad al enunciado.

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

166 ESTRUCTURA DE LA LENGUA

HACK de estudio

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LECCIÓN 1

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA En esta lección exploraremos las magnitudes físicas, el sistema internacional de unidades, la conversión de unidades. También hablaremos de la notación científica. Además aprenderemos sobre mecánica y cinemática, movimiento rectilíneo uniforme y movimiento uniformemente acelerado.

Magnitudes físicas Las magnitudes físicas son todas las propiedades de un sistema u objeto que se pueden medir, como la longitud, el tiempo, la densidad, el área, o la masa.

Existen dos tipos de magnitudes físicas: Magnitudes escalares: Son aquellas que están definidas tan solo por un número y la unidad usada para medirla. Por ejemplo, la masa, la temperatura, la distancia, o el desplazamiento.

En la imagen anterior, la magnitud es el número 20, y la unidad son los °C. Magnitudes vectoriales: Son aquellas que se pueden representar por medio de un vector, están definidos por un número, una dirección, un sentido y la unidad usada para medirla. Algunos ejemplos de estas magnitudes son la velocidad, la aceleración, la fuerza y el desplazamiento. ";mঞ7o

";mঞ7o

En el ejemplo anterior, el número 90 es la magnitud o tamaño del vector, N es la unidad, la línea roja es la dirección, y la punta de la flecha es el sentido.

196 FÍSICA

El Sistema Internacional de Unidades (SI) El SI es el sistema de unidades de medida que se usa en casi todos los países del mundo, cuenta con 7 unidades base, que son: • • • • • • •

La unidad segundo s, usada para medir el tiempo.

La unidad metro m, usada para medir la longitud.

La unidad kilogramo kg, usada para medir la masa.

La unidad Kelvin K, usada para medir la temperatura.

La unidad Ampere A, usada para medir la corriente eléctrica.

La unidad mol, mol, usada para medir la cantidad de materia.

La unidad candela cd, usada para medir la intensidad luminosa.

Las unidades base se combinan entre sí para formar unidades derivadas de la siguiente manera: ;|uo ";] m7o

La unidad de aceleración metro entre segundo al cuadrado, es una unidad derivada que se forma a partir de combinar las unidades base metro y segundo.

Conversión de unidades Existen distintas unidades para medir una misma magnitud física y, en ocasiones, es necesario convertir una unidad en otra. Para ello vamos a seguir un procedimiento que se describe a continuación en el ejemplo:

EJEMPLO Convierte 150 centímetros a metros: Para ello se coloca un factor de conversión: 1m igual a 100 cm, este factor de conversión se coloca de tal forma que quede la unidad cm en el numerador, y la unidad cm del factor en el denominador.

1m 150 cm ൭ ൱ 100 cm

1m ൱ =1.5 m 150 cm ൭ 100 cm 30

m

൭

1 km

3600 s ൱൭ ൱

FÍSICA 197

Simplificamos las unidades:

1m 150 cm ൭ ൱ 100 1 m cm 150 cm ൭ ൱ 100uno cm entre 100: Y por último multiplicamos 150 por 1m ൱ =1.5 m 150 cm ൭ 1100 m cm ൱ =1.5 m 150 cm ൭ 100 cm m 1 km 3600 s ൭ ൱൭ ൱ 30 s 1000 m m 1 km 36001sh ൭ EJEMPLO ൱൭ ൱ 30 s 1000 m 1h m 1 km 3600 s km ൭ ൱൭ ൱ =108 30 s 11000 1 m36001sh km m km h Convierte 30 m/s a km/h:m ൭ cm ൭ ൱൭ ൱ ൱ =108 30 150 100 cm s 1000 m 1h h 1 kg 100 cm no 100 100mecm g Observa que ahora se van a convertir dos unidades, sólocm una. Los ൭ 1 m ൱൭ ൱൭ ൱൭ ൱ 13.6 3 tros se van a pasar a kilómetros y los segundos a horas.

Por lo tanto, ha1cm m m 100 1cm m cm ൭11000 kg g ൱100 150gcm =1.5 m 100 1cm ൭ 1,000 ൱ ൭ es igual ൱ ൭ a 1 kilómetros, ൱൭ 13.6 100 cm brá dos factores de conversión: metros y൱ al 1m 1m 1m cm3 1000 g 11 kg 100 cm 100 cm 100 cm kg mismo tiempo 1 hora es igual ga 3,600 segundos: ൱ =13600 ൭ ൱൭ ൱൭ ൭ m ൱ 13.6 150cm cm3 ൭ ൱ 3 1000 g 3600 m 100 1cm m 1100 kg cm 100 1cm kgm s m 100 1cm mg 1 km ൭ ൱ ൭ ൱ ൭ ൱ ൭ ൱ 13.6 =13600 ൭ ൱ 30 1 m ൱൭ 3 1000 cm 1m 1m m3 1000 mg൱ 11hm s ൭ 150 cm 1 m 100 cm ൱ =1.5 m 150 cm ൭ 100 cm Simplificamos entonces ymquedan kilómetros y hora en 1 1km 3600 sen el numerador km m ൱൱൭=1.5 m൱ =108 30 cm൭൭ 150 el denominador: s 1000 m 1h h 100 cm 3600 s m 1 km ൭ ൱൭ ൱ 30 1h s 1000 m 1 kg3600 s100 cm 100 cm 100 cm m 1gkm ൭ ൱ ൭ ൱൭ ൱൭ ൱ 13.6 ൭ cm3 1000 ൱൭ g ൱ 30 m 3,600 1y m Y por último multiplicamos todo el res 1000 mel numerador, 1 h 1 m30 por 11por m 1 km 3600 s km sultado lo dividimos entre ൭ ൱൭ ൱ =108 30 1,000: g 1 kg 100 cm 100 cm 100 cm kg s 1000 ൱ =13600 ൱൭ h ൱൭ ൭ m ൱1൭h 13.6 1 km 3 m km 3600 s m 1m 1m m3 ൭ cm 1000 ൱൭ g ൱ 1=108 30 s 1000 g m 1 kg1 h 100 cm h 100 cm 100 cm ൭ ൱൭ ൱൭ ൱൭ ൱ 13.6 cm3 1000 g 1m 1m 1m g 1 kg 100 cm 100 cm 100 cm ൭ ൱൭ ൱൭ ൱൭ ൱ 13.6 3 EJEMPLO 100 cm 1 m 100 cm 1 m 100 cm kg cm g1000 g1 kg ൱1൭m ൭ ൱ =13600 ൱ ൭ ൱ ൭ 13.6 cm3 1000 g 1m 1m 1m m3 g 1 kg 100 cm 100 cm 100 cm kg ൱ =13600 ൱൭ ൱൭ ൭ ൱൭ 13.6 3 de La densidad del mercurio 13.6gg/cm3,1pero convertirla a cmes 1000 m necesitamos 1m 1m m3 la unidad kg/m3:

Ahora vamos a convertir cuatro unidades: gramos a kilogramo, centímetros a metros, pero además hay que elevarlos al cubo, porque cm3 = cm × cm × cm

198 FÍSICA

Para terminar, se coloca el punto decimal después del 2, se eliminan los ceros a la izquierda, se multiplica por 10 y este último se eleva al número menos 3.

0.002.5x10-3m 2.5x10-3m

RESPONDE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

1.

2.

3.

¿Qué son las magnitudes y cómo se dividen?

El sistema internacional de unidades de medida tiene 7 unidades base, ¿cuáles son?

Convierte 55 m/s a km/h

Al final de tu guía encontrarás un apéndice con un código QR, donde podrás consultar el resultado de tu ejercicio.

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

200 FÍSICA

LECCIÓN 1

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ¿Crees que nunca vas a usar las Matemáticas? Existen ciertos problemas matemáticos que se resuelven a través de triángulos, cuya medición ayuda a varias aplicaciones en la vida real. Por ejemplo, muchas de las distancias entre estrellas, sistemas de navegación o coordenadas geográficas se miden utilizando técnicas de la Trigonometría (que etimológicamente significa medida de triángulos). En esta lección aprenderemos lo básico para la medida de ángulos en grados y radianes, en qué consiste el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas, así como las leyes de senos y cosenos que existen para triángulos sin ángulos de 90º.

Medida de ángulos Un ángulo es la abertura que tienen dos rectas que se intersectan en un punto llamado vértice. Existen dos sistemas para medirlos: sexagesinal y cíclico o circular.

1.

Sistema sexagesinal: Es una circunferencia dividida en 360 partes iguales, conocidas como grados. Cada grado se subdivide en 60 minutos y cada minuto se subvivide en 60 segundos.

2.

Sistema cíclico o circular: Tiene como unidad el radián, que es la longitud del radio de un círculo. En este sistema, los ángulos se escriben como una fracción de π y un ángulo que cubre la totalidad del perímetro de la circunferencia mide 2π radianes.

90°

180°

π 2

+

360°

0°

π

270°

+ 0π 2π

3 π 2

Como ambos sistemas tienen por objetivo medir ángulos, es posible convertir de grados a radianes y viceversa. Para eliminar los grados e introducir los raπ 45°π 45°el൬ ൰ dianes, sólo se multiplica ángulo por൬ ൰ π entre 180°.

45°

180°

45 ൬ ൰ 180

272 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

180° π 45° = 4 radianes

180°

0°

π0°

π 2

π

270° Determina el valor 360° de un ángulo de 45º en radianes 270°

0π 33 ππ 2π 22

180° +360°

90°

360°

0π + 2π

0π 2π

EJEMPLO

0°

180°

π

3 π 2

Solución: 1. Multiplicamos por π entre 180º

270°

3 π π 45°π 2 π 45°π 45° ൬ ൰ π =45°൬ ൰ ൬ ൰ ൬ ൰ 180° 180° 90° 2 180° 180° + + 45° los grados.

2. Eliminamos π 45° π 45 45° = radianes ൬ ൰ 454 45° = 4 radianes ൬ ൰ 180 180 π 45°π 0° π 0π 180° ൬ ൰ 45° ൬ ൰ 180° y encontramos 180° 3. Simplificamos la fracción la resolución.

2π 360° 45° π 45 45° = 4 radianes ൬ ൰ 180 π 180° π π 180° ൬ ൰ x = ൬ ൰ 90° 2 ൬ ൰ 3 ππ 6 270° x = ൬ ൰ + + 6 π 2

Si por el contrario, queremos convertir radianes a grados, multiplicamos por 180° entre π, eliminamos los radianes y dejamos el resultado expresado 180°πen grados.

30°

180°

90°

0° 360° +

πx = 180° x = 180°π 0π ൬ ൰ ൬ ൰ 6π x = 45°π π 6π 6 π + ൬ ൰ ൬ ൰ 45° 2π EJEMPLO

π

π 2

180° π 45 45° = 4 c.o. radianes ൬ ൰ 30° = hip απc.o. hip αx = 180°π csc = 0° formado por α π el suelo y180 0π sen sen hip c.o. csc α = c.o.

El ángulo la sombra de un árbol es de radianes, 6π 3 hip 270° 6 π 2π 360° 2 grados. determina el valor del ángulo hip en β

45°

180°

180°

hip α = hip cos α = c.a. cos sec α = c.a.c.a. sec α = hip hip c.o. hip hipπ c.a. csc α = sen α = 180° α ൬ ൰ ൬ ൰ α hip c.o. x = 3 c.o. c.a.

6 270° π π π 45°π = cot α c.o. tan α = 2 ൬ ൰ 45° ൬ ൰ cot α = c.a. = hipc.a. c.a. tan αhip c.o. β 180° 180° c.a. c.a. c.a. c.o. c.o. sec α = cos α = π hip c.a.

180°π 30° x= 3 45 45° = 4 radianes ൬ ൰ sen β = 6π α 3 180 6 = hip 6 sen β = 6 c.o. c.a.

6 = hip π 45°π = α cot tan α = 6 ൬ ൰ 45° ൬ ൰ c.a. c.a. c.o. 5.19 6 180° 180° 5.19 β= 5.19 cos = c.a.

Solución: 3 β= 3 = 5.19 6 α =coship c.a.c.o. π π csc = α sen 6 3 = c.o.

1.

Multiplicamos por 180º y lo dividimos entre π 45 45° = 4 radianes c.o. =33 6 β ൬ ൰ β =hip 3 sen c.o. β 180 3 π hip tan6β = 6 =180° hip൬ ൰ β= ൬ ൰ β 5.19 tanhip c.o.

5.19 6 5.19 x = 65.19 π sec α = cos α = c.a.

5.19 c.a.

3 cos β =hip c.a. = 5.19 6 α =3 c.o.

2. Observamos que, después de simplificar, el ángulo se reduce 180º π c.a. c.o.3 acot β α= = α tan 30° 180°π x = c.a. entre 6 π π tan β =c.a.

180° c.o. ൬ ൰ ൬ ൰ 5.19 6π x= 6 5.19 π c.o.

45°

45°

c.o.

30°

β

β

3. Eliminamos los radianes y hacemos la operación que tiene comosen resulβ= 3 hip = 6 6 tado 30º c.o.

6 α = hip 30° csc 5.19 sen α = x = 180°π 3 hip cos β = c.a. = 5.19 c.o.

6π 6 3 = c.o. hip β 3 tan β = sec α = hip cos α = c.a.

5.19 hip 5.19 c.a.

α

β

c.o.

c.a.hip

sen α =

tan α =

c.o. hip c.o. c.a.

hip c.o. cot α = c.a. c.o.

csc α =

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 273

Triángulos rectángulos Como se infiere por su nombre, la Trigonometría no tendría sentido sin los triángulos. El más importante de ellos es el triángulo rectángulo y dentro de él podemos encontrar un ángulo recto y dos ángulos agudos, que son muy útiles para hacer operaciones.

• Si tomamos como referencia a cualquiera de sus ángulos, el cateto opuesto será el lado que se encuentra frente al ángulo.

• El cateto adyacente será el lado del triángulo que se encuentra a un lado del ángulo.

• Por último, el lado más largo del triángulo se conocerá como hipotenusa.

Podemos conocer toda la información de un triángulo rectángulo utilizando los siguientes recursos:

1.

El teorema de Pitágoras sirve para obtener el valor de un lado cuando conocemos el valor de los otros dos. Se define por la fórmula a2+b2 = c2 donde a y b son los catetos, y c es la hipotenusa.

2.

La suma de los ángulos internos de todo triángulo equivale a un ángulo llano. Podemos conocer el valor de un ángulo si se conoce el valor de los otros dos.

A + B + C = 180°

Además, como en un triángulo rectángulo uno de los ángulos mide 90º podemos simplificar estaFunciones fórmula. trigonométricas

3.

sen

=

cos

=

opuesto

A + B = 90° =

a

hipotenusa

cateto opuesto

hipotenusa expresan h Las razones trigonométricas la (h) relación que existe entre un án(co) h gulo y los lados de unadyacente triángulo rectángulo. a b

c.o. sen α = hipotenusa

=

hip

tan

=

opuesto

c.a. cos α = adyacente hip

tan α =

274 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

c.o. c.a.

=

h a b

cot α =

c.a. c.o.

cateto sec α=

b

hip c.a.

csc α =

hip c.o.

adyacente (ca)

2ab obtenemos que cos (C) = 2² +C4² - 5² 4 2 (2) (4) cos (C) =2 2² + 4² - 5² 2 (2) (4) -5 2² + 4² cos (C) (C) = ) - 5² cos = ( 16 -5 2 (2) cos (C) C ( ) (4)coseno -5 al otro miembro con su función inversa 5. Despejamos = pasando C =16cos-1 ( ) =108º (arco cuyo coseno).

16 -5 C 5= cos-1 C= ( arccos ) =108º 5 cos C = ൬ ൰ ൬ ൰ C = 108.21º 16 16 16 6. Hacemos las operaciones correspondientes y encontramos el resultado.

C = 108.21º

RESPONDE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

1.

2.

3.

4.

¿Qué estudia la Trigonometría? ¿Cuáles son las razones trigonométricas? ¿Qué elementos se necesitan para utilizar las leyes de senos y de cosenos?

Nos dan los tres lados. El lado 2, el lado 4 y el lado 5, y los ángulos A, B y C. Encuentra los ángulos B y A del siguiente triángulo.

Nos dan los 3 lados. El lado 2, el lado 4 y el lado 5, y los ángulos A, B y C.

5

NosB dan los 3 lados. el lado 4 y el lado 5, y los ángulosA, B y C. 5 El lado 2, A AlAldespejar despejarutilizamos utilizamos A B a²+b²-c² lalaley leyde decosenos, cosenos, 4 a²+b²-c² C5 cos C =2ab obtenemos obtenemosque: que 2 Al despejar utilizamos 2ab 4A C B a²+b²-c² la ley de cosenos, 2 2ab obtenemos que 2² + 4²un - 5² Al final de tu cos guía(C) encontrarás apéndice 4 con un código QR, = C donde podrás consultar el(4) resultado de tu ejercicio.

- 5² 2 2²2 +(2)4²

cos (C) =

2 (2) (4) -5 - 5² 2² cos (C) ( ) = + 4² cos (C) = 16 Resuelve los ejercicios2de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando -5 (2) (C) ( ) (4) -5 = siguiente estés listo,cos pasa a la C =16cos-1lección. ( ) =108º 16 5= cos-1 ( -5 ) =108º 5 C cos C = ൬ ൰ C= C = 108.21º 16 arccos ൬ ൰ 16 16

280 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

LECCIÓN 1

ELEMENTOS Y COMPUESTOS En esta primera lección conoceremos dos fundamentos de la química: las sustancias puras y las mezclas. Al comprender estos conceptos tendrás la base para profundizar más en el tema.

Una sustancia es una especie de materia que está formada por una composición bien definida de una o varias unidades; existen las sustancias puras y las mezclas.

Sustancias puras Una sustancia pura es un tipo de materia con composición constante y con características que la diferencian de otras. Podemos distinguir dos tipos de sustancias puras: 1. Elementos 2. Compuestos Los elementos son las unidades más pequeñas en las que se puede descomponer una sustancia por medio de métodos químicos. Piensen en ellos como los ladrillos con los que se edifica la enorme construcción que es la naturaleza.

Los elementos son la forma básica en la que encontramos las sustancias en la naturaleza y se componen de átomos idénticos.

Oro

Plata

Carbono

Los compuestos, en cambio, son sustancias formadas por la unión de dos o más átomos distintos y pueden ser de uno, dos o más elementos. Al unirse, el compuesto adquiere nuevas características, distintas a las de los átomos que los formaron. Solo es posible descomponer un compuesto en sus partes, por medio de procesos químicos.

Agua

422 QUÍMICA

Sal

Mezclas Una mezcla está formada por dos o más sustancias y mantiene las propiedades de cada una de ellas por separado. Están forDISOLVENTE AGUA madas por un disolvente, la sustancia que se encuentra en maSOLUTO yor cantidad, y un soluto, del que SAL hay en menor cantidad. Éstos no están unidos químicamente, por lo tanto, pueden ser separadas por medio de procesos físicos. Las mezclas se clasifican por: 1. La visibilidad de sus componentes.

2. El tamaño de las partículas del soluto.

3. La cantidad de soluto disuelto.

Veremos a profundidad cada una de estas clasificaciones.

La visibilidad de sus componentes

ACEITE

AGUA

No todas las mezclas son iguales, se dividen en heterogéneas, aquellas en las que se pueden distinguir a simple vista los componentes, por ejemplo, si juntamos agua y aceite; y en homogéneas, en las que es imposible distinguir los componentes, como es el caso de la cerveza.

Por el tamaño de partículas de soluto Dependiendo de los componentes que conformen a una mezcla, también vamos a poder clasificarla en soluciones, coloides o suspensiones.

UN NANÓMETRO

En las soluciones es imposible distinguir al soluto del disolvente pues se caracterizan por tener partículas de soluto con un tamaño menor a 1 nanómetro. Además, estas partículas no sedimentan y se mueven constantemente. Algunos ejemplos son una bebida gaseosa y el aire que respiramos.

QUÍMICA 423

SUSTANCIAS

ELEMENTOS

PURAS

MEZCLAS

COMPUESTOS

VISIBILIDAD heterogéneas homogéneas

TAMAÑO

soluciones coloides suspensiones

CANTIDAD

diluidas concentradas saturadas sobresaturadas

RESPONDE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

1.

2.

3.

4.

5.

¿Cómo se definen las sustancias? ¿Cuáles son las diferencias entre los elementos y los compuestos?

Las mezclas pueden clasificarse en tres tipos dependiendo de sus características. ¿Cuáles son estas tres clasificaciones? ¿Qué son los coloides? ¿Cuánta cantidad de soluto tiene una mezcla saturada?

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

QUÍMICA 425

LECCIÓN 1

SUCESIONES NUMÉRICAS Una sucesión numérica es un conjunto infinito y ordenado de números, que tienen características y acomodo específicos.

En las sucesiones es muy importante el orden de aparición. Por lo que, podemos llamar al primer número “término uno”, al siguiente “término dos”, y así sucesivamente hasta nombrarlos todos.

Por ejemplo, la famosa sucesión de Fibonacci, que se trata de un orden de carácter natural y si pudiéramos analizar cuidadosamente los elementos de la naturaleza, la podemos ver en las plantas y los animales.

La cual consiste en:

f= {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...}

En ella cada término es la suma de los dos términos anteriores, de esta manera: El primer y segundo término son a0 = 0 y a1 = 1 El tercer término es la suma de los dos anteriores: a2 = a0 + a1 = 0+1 = 1 Y la sucesión continúa así:

a3 = a1+ a2 = 1+1=2 a4 = a2+ a3 = 1+2=3 a5 = a3+ a4 = 2+3=5

En este caso, lo que hay que reconocer es cómo se desarrollan las sucesiones numéricas que se te presentan, en qué consiste su lógica, si escala de dos en dos, de tres en tres, o de qué manera están organizadas.

EJEMPLO

Encuentra los términos faltantes en la siguiente sucesión, y el término 30 de la misma.

Sucesión con incógnitas:

516 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

A= {2, 5, 8, a, 11, b...}

Si restamos el segundo término al primero, la operación resultante es:

5-2=3

Si restamos ahora al tercer término el segundo, la operación resultante es:

8-5=3

Observa que cada término es 3 unidades más grande que el anterior, por lo tanto hay una diferencia de 3 entre cada uno.

De esta manera el valor de a sería de 11, 3 unidades arriba del 8, mientras que el de b sería de 17, 3 unidades arriba del 14.

A= {2, 5, 8, 11, 14, 17...}

Observa ahora que con esta distancia en común de 3 podemos obtener términos que no aparecen en los datos proporcionados sumando 3 unidades, por ejemplo, el término a7 = 20, el término a8 = 23, el término a9 = 26, y así sucesivamente.

A las sucesiones en las cuales un valor y otro están a cierta distancia en común, y se puede saber fácilmente restando uno y otro, se les llama progresiones aritméticas.

Para determinar un miembro lejano en una proyección aritmética, por ejemplo, el miembro número 30, resultaría tardado estar sumando la distancia fija. Para eso se usa la siguiente fórmula:

an = a1 + (n - 1) d

Donde: an es el valor del término que buscamos. a1 es el valor del primer término. n es el número del término buscado. d es la distancia en común.

De esta manera tenemos que a1 = 2, n = 30, d = 3.

Al sustituir en la fórmula:

a30 = 2 + (30 - 1) 3 = 2 + (29)(3) = 2+87 = 89

Por lo tanto:

a30 = 89

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 517

EJEMPLO Encuentra los términos faltantes en la siguiente sucesión, y el término 15 de la misma.

A = { 2, 4, 8, a, 32, b... }

Desarrollo: Para comenzar hay que ver que cada término es el doble del anterior: El primer término es a1 = 2 El segundo término es a2 = a1×4 = 2×2 = 2 El tercer término es a3 = a2×8 = 2×4 = 2 Observa que cada término es la multiplicación del término anterior por dos, de esta manera sabemos que a es 8 x 2 = 16, y que b es 32 x 2 = 64.

A= {2, 4, 8, 16, 32, 64...} A las sucesiones en las que un valor y otro están determinados por una razón en común, y se puede saber el siguiente valor multiplicando el término anterior por una constante, se les llama progresiones geométricas.

Para determinar un miembro posterior en una proyección geométrica, por ejemplo el miembro 30, resultaría tardado estar multiplicando y multiplicando la razón. Para facilitar esto, se usa la siguiente fórmula:

an = a1 rn-1

Donde: an es el valor del término que buscamos. a1 es el valor del primer término. n es el número del término buscado. r es la razón en común.

De esta manera tenemos que a1 = 2, n = 15, r = 2.

Al sustituir en la fórmula queda:

a15 = 2(2)15-1 = 2(2)14 = 2(16384) = 32768

Resultando:

518 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

a15= 32768

COMPLETA LAS SIGUIENTES FRASES CON LA PALABRA CORRECTA

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Una sucesión numérica es un conjunto ____________ y ordenado de números que tienen características y acomodo específicos.

En las sucesiones numéricas es muy importante el ________________ de aparición.

La famosa sucesión de Fibonacci se trata de un orden de carácter _____________.

La sucesión de Fibonacci se representa con f= {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, 34, 55, 89, 144...} Lo que hay que reconocer en las sucesiones numéricas que se te presentan, es en qué consiste su ___________, o sea, cómo se desarrollan.

A las sucesiones en las cuales un valor y otro están a cierta distancia en común, y se puede saber fácilmente restando uno y otro, se les llama progresiones _______________.

A las sucesiones en las que un valor y otro están determinados por una razón en común, y se puede saber el siguiente valor multiplicando el término anterior por una constante, se les llama progresiones _______________.

Resuelve los ejercicios de práctica en tu cuenta de Unitips y cuando estés listo, pasa a la siguiente lección.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 519

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