Voorbeeldpagina's Pienter 1

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

4

Hoofdstuk 1 Getallen

5

Hoofdstuk 2 Kijken en observeren

23

Hoofdstuk 3 Positieve getallen

69

Hoofdstuk 4 Rekenen met positieve getallen

97

Hoofdstuk 5 Meten en tekenen

159

Hoofdstuk 6 Gehele getallen

197

Hoofdstuk 7 Hoeken en rechten

249

Hoofdstuk 8 Rationale getallen

277

Hoofdstuk 9 Vlakke figuren

345

Hoofdstuk 10 Formules

415

Hoofdstuk 11 Ruimtefiguren

447

Hoofdstuk 12 Deelbaarheid

489

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

6.1

De gehele getallen

198

6.2 Bewerkingen met gehele getallen

207

6.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen

228

6.4 Volgorde van de bewerkingen met gehele getallen

241

Studiewijzer

247

Er komen nu getallen bij kleiner nog dan nul.

Je mag er straks mee rekenen, dat wordt geen flauwekul.

De volgorde blijft gelijk al zijn de getallen negatief.

Verdelen krijgt een nieuwe naam, het wordt distributief.

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

197

6 GEHELE GETALLEN 6.1 De gehele getallen 6.1.1 Definitie Welk getal hoort bij de omschrijving?

De kruin van deze boom is zes meter hoog.

De wortels van deze boom zitten vijf meter onder de grond.

Julius Caesar werd vermoord in het jaar 44 voor Christus.

In deze diepvries is het 18 graden onder nul.

2 000 000 1 500 000 1 000 000

–1 000 000

2013

2012

2011

2010

2014

In 2014 maakte het bedrijf plots 1 000 000 euro verlies.

In 2012 maakte het bedrijf 1 500 000 euro winst.

–1 500 000

Definitie

2009

–500 000

2008

0

2007

500 000

Geheel getal

1

Een geheel getal is

2 3 4

De verzameling van de gehele getallen noteer je kort als ⺪.

5 6 7

Opmerking

8

+7

9

is een positief geheel getal.

Het toestandsteken is niet noodzakelijk.

Nul is zowel negatief als positief.

Een toestandsteken is niet noodzakelijk.

–12

10 11

0 = −0 = +0

12

198

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

6.1.2 De absolute waarde

Definitie

Als het −5°C is,

dan vriest het

graden Celsius.

Als er –23 euro op Niels’ rekening staat,

dan heeft hij

euro schulden.

Als je met de lift van verdieping 0 naar +2 gaat,

dan ben je

verdiepingen gestegen.

Absolute waarde De absolute waarde van een getal is

Notatie: 兩−3兩 = 3

Lees: De absolute waarde van –5 is De absolute waarde van +7 is

Schrijf: 兩–5兩

=

Schrijf:

=

6.1.3 Tegengestelde getallen De getallen –7 en +7 hebben dezelfde absolute waarde, namelijk Getallen met dezelfde absolute waarde en een verschillend toestandsteken, noem je tegengestelde getallen.

Definitie

Tegengestelde Het tegengestelde van een geheel getal is

Notatie: –(–3)

Lees: Het tegengestelde van –5 is Het tegengestelde van +7 is

Schrijf: −(–5)

=

Schrijf:

=

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

199

6.1.4 Ordenen en getallenas Bij de gehele getallen loopt de getallenas langs beide kanten oneindig ver door.

De negatieve getallen zijn allemaal kleiner dan 0 en liggen dus vóór 0.

Ga je naar rechts op de getallenas, dan worden de getallen steeds groter, ga je naar links, dan worden ze steeds kleiner.

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5

...

...

Opmerking 8 –8

2 –2

en maar

兩8兩

兩2兩

3

5

兩–8兩

兩–2兩

–3

–5

en maar

兩3兩

兩5兩

兩–3兩

兩–5兩

De ordening van twee negatieve gehele getallen keert om als je de absolute waarde neemt.

Voor alle negatieve getallen a en b geldt: a < b ⇒ 兩a兩

兩b兩

6.1.5 Negatieve coördinaatgetallen De negatieve getallen op de getallenas gebruik je om het assenstelsel uit te breiden. y

Op de horizontale as staan de positieve getallen rechts van de oorsprong, de negatieve getallen links van de oorsprong.

A

Op de verticale as staan de positieve getallen boven de oorsprong, de negatieve getallen onder de oorsprong.

1 1

–1 0 –1

2

x 1

Bepaal de coördinaat van A: co(A) = (

,

)

Bepaal de coördinaat van B:

3

B

4

,

co(B) = (

5

Teken de volgende punten:

6

C(0, –8) D(–4, –2)

7

E(–7, 4) F(3, 5) y

8

De horizontale en verticale as verdelen het vlak in vier stukken die je kwadranten noemt.

Je spreekt over: het eerste (I), tweede (II), derde (III) en vierde (IV) kwadrant.

9 10 11 12

200

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

II (–, +)

I (+, +)

III (–, –)

IV (+, –)

x

)

OEFENINGEN REEKS A 1

2

Zoek telkens een situatie die te maken heeft met de volgende getallen. a)

–2

b)

–8

c)

–268

d)

+19

e)

–20

Onze wagen staat ondergronds geparkeerd op niveau –2.

Welk getal hoort bij de omschrijving? a)

Sara heeft 50 euro schulden bij Joppe.

b)

Onze hotelkamer bevindt zich op de derde verdieping.

c)

De thermometer geeft 12 graden onder nul aan.

d)

Het diepterecord duiken zonder luchtflessen bedraagt 152 meter.

e)

Thales van Milete werd geboren rond 624 voor Christus.

Negatieve getallen werden voor het eerst gebruikt in China, in de eerste eeuw voor Christus.

Om het onderscheid te maken tussen positieve en negatieve getallen, werden kleuren gebruikt: positieve getallen werden in het rood geschreven, negatieve in het zwart.

In de zevende eeuw werden negatieve getallen in India ingevoerd, vooral om te kunnen rekenen met schulden. Vanaf de achtste eeuw namen de Arabieren deze werkwijze over. Het duurde nog een paar honderd jaar vooraleer ook Europa kennismaakte met negatieve getallen via vertalingen van Arabische en Indische geschriften.

In Europa botsten de negatieve getallen op nogal wat tegenstand. Van bewerkingen die leidden tot negatieve resultaten, zei men dat er geen oplossingen waren. Het idee dat er getallen bestonden die kleiner waren dan niets (0), werd als absurd bestempeld. Zo durfde Blaise Pascal (verantwoordelijk voor de eenheid van druk en de eerste rekenmachine) de negatieve getallen niet bij naam te noemen, omdat hij dacht dat ze het werk van de duivel waren.

Pas in de 17e eeuw begon het verzet tegen de negatieve getallen geleidelijk aan af te nemen.

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

201

3

4

5

6 1

Kleur alle hokjes waarin een geheel getal staat.

0,2

2,36

5,98

–0,25

–6,35

–8,5

9,36

4,19

–8,9

–6,01

4,02

–2,5

5

25,0

–9

487

6,35

80

789

438

–759

6,98

3,6

–8

–0,5

5,9

4,6

5,89

–69

23,1

5,6

44,5

–1,89

4,8

648

0,85

56,6

–8,8

–8,5

–789

45,6

–6,9

65,9

–4,8

9,3

0

2,6

–4,5

–9,6

–9,11

147

89,5

–55,5

111,1

–0,85

4,67

–259

9,74

465

–4

–4,6

63

–5,8

1 000

–86

6,39

–0,5

2

–9,3

11,1

–8

7,35

–132

89,6

312,2

47

–8,9

–9,7

–69

–6,9

9,34

6

8,3

–56

7,9

–89,4

–632

45,2

–10,1

635

13

513

951

4,7

984

–658

–359

91

–9,35

6,8

8,9

–6,25

–4,87

23,5

–9,9

–0,6

–8,95

–99,1

4,6

8,92

Bepaal de absolute waarde. a) 兩–5兩 =

c) 兩+7兩

b) 兩+2兩 =

d) 兩–9兩 =

f)

a) –(–6) =

c) –(+9) =

e) –(–25) =

g) –(–9) =

b) –(+5) =

d) –(+2) =

f) –(+8) =

h) –(+27) =

=

e) 兩+9兩 =

g) 兩–25兩 =

兩–88兩 =

h) 兩+29兩 =

Bepaal het tegengestelde.

Bepaal de coördinaat van de gegeven punten in het assenstelsel. a)

co(A)

=(

,

)

b)

co(B)

=(

,

)

c)

co(C)

=(

,

)

y

C

2 3 4 5

D

6

d)

7

co(D)

=(

,

1 –1 0 –1

) A

8 9

e)

co(E)

=(

,

)

f)

co(F)

=(

,

)

B

10 11 12

202

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

F

1

E

x

7

Plaats de punten waarvan de coördinaat gegeven is in het assenstelsel. a)

co(A)

= (2, –4)

b)

co(B)

= (7, 0)

c)

co(C)

= (–2, –5)

d)

co(D)

= (0, –4)

e)

co(E)

= (–1, 5)

f)

co(F)

= (–5, 0)

y

1 –1 0 –1

x 1

REEKS B 8

9

Vul in met < , > of = . a)

–3

5

e)

–12

–15

i)

+4

8

b)

7

2

f)

–30

–25

j)

–8

–7

c)

0

–9

g)

–9

–8

k)

–5

–4

d)

5

+5

h)

+3

0

l)

8

–7

–13

–12

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

a)

b)

–52

c)

d)

0

–2

–51

1

–1

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

203

10

11

Rangschik de getallen van klein naar groot. a)

–5, 8, –6, 0, 12 en –7

–7 <

b)

45, –78, –1, –5, 4 en –35

c)

–4, –8, –5, –10, –7 en –6

d)

1, –1, 5, –5, 6, –9 en –3

Los op. a) co(A) = (–1, 2) en co(C) = (–1, –4) Als je de coördinaatgetallen van A omwisselt, vind je de coördinaat van B: ,

B(

).

Als je de coördinaatgetallen van C omwisselt, vind je de coördinaat van D: ,

D(

). y

b) Teken de punten A, B, C en D in het assenstelsel. c) Welk soort vierhoek is de vierhoek ABCD?

1

x

0

1

d) Teken de diagonalen van de vierhoek ABCD. Noem het snijpunt van de diagonalen S. Bepaal de coördinaat van het punt S: (

,

)

1 2

12

Benoem en bepaal telkens de coördinaat op de gegeven figuur.

3 4

a)

zwarte bal:

co(Z) = (

,

)

b)

rode bal:

co(R) = (

,

)

y

5 6

1

7

c)

witte bal:

co(W)= (

,

)

d)

gele bal:

co(G) = (

,

)

e)

top van de keu (blauw):

co(B) = (

,

)

8 9 10 11 12

204

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

0

x 1

13

Plaats de gegeven gehele getallen op de getallenas. a)

−11

−8

−5 –3

b)

c)

−14

−10

−15

−7

−12

e)

−3

3

0

–11

0

1

–18

6

3

5 –3

14

–12

−9 –19

d)

–2

–2

Bereken. Zoek de passende coördinaat voor elk punt in de tabel.

Zet de punten in het assenstelsel en verbind de punten A tot en met E en de punten G tot en met L in alfabetische volgorde.

A

7ⴢ8

=

D

145 – 86 =

G

154 –78 =

J

13 ⴢ 5

B

33 + 38 =

E

12 ⴢ 6

H

9ⴢ6

=

K

28 + 46 =

C

201 : 3 =

I

252 : 4 =

L

17 ⴢ 3

=

50 →

(–1, 5)

60 →

(–2, –2)

70 →

→

(5, –3)

61

→

(–3, –4)

71

→

(–5, 4)

52 →

(4, 0)

62 →

(–4, 3)

72

→

(–5, –3)

53 →

(–3, 2)

63 →

(2, 1)

73

→

(4, –1)

54 →

(2, –3)

64 →

(4, –4)

74

→

(3, 2)

1

55 →

(–4, 2)

65 →

(5, 4)

75

→

(–3, 0)

0

56 →

(–5, –3)

66 →

(–1, 4)

76

→

(2, 4)

(–5, 3)

67

→

(–2, 4)

77

→

(–4, –2)

58 →

(3, 3)

68 →

(–2, 2)

78 →

(–1, –3)

59 →

(–2, –3)

69 →

(5, 3)

79

→

(–5, –2)

51

57

→

=

=

(2, 0) y

x 1

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

205

REEKS C 15

16

17

1

Vul in met ⬍ , ⬎ of = . a)

–(+5)

–(–3)

d)

–18

兩–18兩

g)

–9

–(兩7兩)

b)

15

兩–25兩

e)

–(–5)

–5

h)

–8

–(兩–6兩)

c)

–(+5)

4

f)

+6

–(+8)

i)

–(兩–5兩)

–(–5)

Noteer alle gehele getallen die je in de plaats van g kunt zetten. a)

–2 ⬍ g ⬍ 5

b)

–5 ⭐ g ⬍ 2

c)

–7 ⬍ g ⭐ –3

d)

–5 ⭐ g ⭐ –3

e)

–42 ⭐ g ⬍ –37

Bepaal de coördinaat van het punt D zodat de vierhoek ABCD een rechthoek is. a)

co(A) = (4, 7)

co(B) = (4, –5)

co(C) = (–1, –5)

⇒

co(D) = (

,

)

b)

co(A) = (–2, 6)

co(B) = (0, 6)

co(C) = (0, –2)

⇒

co(D) = (

,

)

c)

co(A) = (9, –8)

co(B) = (5, –8)

co(C) = (5, –5)

⇒

co(D) = (

,

)

,

)

2 3 4 5 6

18

7 8

Bepaal de coördinaat van de punten C en D zodat de vierhoek ABCD een vierkant is. a)

co(A) = (–4, 4)

co(B) = (–4, –4)

b)

Hoeveel oplossingen zijn hier mogelijk?

9 10 11 12

206

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

co(C) = (

,

)

co(D) = (

6.2 Bewerkingen met gehele getallen 6.2.1 De optelling Zet de zinnen om naar een optelling van twee gehele getallen. Bereken de som.

Werkwijze

Mo heeft zeventien cd’s.

Voor zijn verjaardag krijgt hij er nog eens twee cadeau.

Op 15 januari was het ’s morgens –3 °C. In de loop van de voormiddag steeg de temperatuur met acht graden.

Bram heeft twee zichtrekeningen.

De huidige rekeningstand op de ene rekening is –50 euro, op de andere –70 euro.

Het bedrijf maakte eerst 10 000 euro winst, gevolgd door een verlies van 2 500 euro in de tweede helft van het jaar.

Twee getallen met hetzelfde teken

Twee getallen met een verschillend teken

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:

• bereken de som van de absolute waarden;

• bereken het verschil van de absolute waarden;

• behoud het teken.

• behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde.

Voorbeelden (+7) + (+2) =

(+7) + (−2) =

(–7) + (–2) =

(–7) + (+2) =

Opmerkingen • 0 heeft geen invloed op de optelling.

(–4) + 0 =

0 + (+5) =

0 + (–3) =

(+7) + 0 =

• Als je een getal en zijn tegengestelde optelt, is het resultaat altijd 0. (+5) + (–5) =

(–6) + (+6) =

REKENMACHINE Bij het invoeren van negatieve getallen moet je er goed op letten dat je het toestandsteken “(−)” en niet het bewerkingsteken “ – ” indrukt.

Voorbeeld: 6 + (–9) =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

207

OEFENINGEN REEKS A 19

20

21

1

Bereken de som. a)

(+5) + (+3) =

d)

(–9) + (–6) =

g)

(–6) + (+3) =

b)

(+7) + (–2) =

e)

(+8) + (+6) =

h)

(+3) + (–5) =

c)

(–8) + (+5) =

f)

(–7) + (–9) =

i)

(–2) + (–9) =

Bereken de som. a)

(–3) + (–12) =

f)

(+15) + (–19) =

b)

(+16) + (+2) =

g)

(+13) + (+14) =

c)

(–4) + (+18) =

h)

(–14) + (–12) =

d)

(–12) + (–9) =

i)

(−11) + (–15) =

e)

(–5) + (–17) =

j)

(+16) + (–16) =

Bereken. a)

(–177) + (–59) =

c)

(+157) + (+74) =

b)

(–162) + (+175) =

d)

(+16) + (–162) =

REEKS B

2

22

3 4

Bereken de som. a)

(–13) + (–48) =

f)

(–62) + (–25) =

b)

(+26) + (−12) =

g)

(+87) + (− 58) =

c)

(+14) + (+58) =

h)

(–36) + (–47) =

d)

(–32) + (–19) =

i)

(–48) + (+25) =

e)

(+59) + (–12) =

j)

0 + (–43) =

5 6 7 8 9 10 11 12

208

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

23

Kleur de letters bij de opgaven die leiden tot een negatieve som.

A

(+465) + (–5 312)

I

(–4 569) + (+8 999)

Q

(–2 356) + (+6 987)

B

(–795) + (–9 359)

J

(+568) + (+3 189)

R

(+167) + (–3 915)

C

(+456) + (+1 516)

K

(–214) + (+365)

S

(+97 256) + (–9 582)

D

(+963) + (–782)

L

(+28 256) + (–8 998)

T

(–56 985) + (+100 000)

E

(–4 562) + (+9 875)

M

(–569) + (+9 299)

U

(+816) + (+3 879)

F

(+534) + (+1 223)

N

(–548) + (+6 354)

V

(–345) + (–7 812)

G

(–279) + (+862)

O

(–876) + (–735)

W

(–46 589) + (+87 002)

H

(+5 798) + (–2 999)

P

(+254) + (+6 845)

X

(–3 598) + (+6 548)

Maak een woord met de gekleurde letters:

24

Een wrak van een schip ligt 12 m onder de zeespiegel. De bergers halen het 8 m omhoog.

Op welke diepte ligt het schip nu?

Antwoordzin:

25

Om een boompje te planten, heeft Karel een put van 50 cm gegraven.

Het boompje is 135 cm lang. Hoeveel zal de boom boven de grond uitsteken?

Antwoordzin:

26

Met Kerstmis was het ’s morgens –3 °C. Tegen de middag was de temperatuur met 7 °C gestegen. Hoe warm was het die middag?

Antwoordzin:

27

Een diepzeeduiker bevindt zich 5 m onder het wateroppervlak. Hij duikt nog 7 m dieper.

Op welke diepte bevindt hij zich nu?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

209

6.2.2 De aftrekking Schrijf de zinnen als een aftrekking van twee gehele getallen. Bereken het verschil.

Schrijf de zinnen ook als een optelling van twee gehele getallen met hetzelfde resultaat.

In de namiddag is het 14 °C. ’s Avonds daalt de temperatuur met 6 °C.

Tijdens de dag is het 5 °C onder nul. ’s Nachts daalt de temperatuur met 4 °C.

(+14)

−

(+6)

=

–

=

(+14)

+

(−6)

=

+

=

Het verschil tussen een binnentemperatuur van 21 °C en een buitentemperatuur van –3 °C.

Het verschil tussen een dagtemperatuur van –2 °C en een nachttemperatuur van –7 °C.

Vaststelling

–

=

–

=

+

=

+

=

Verschil van twee gehele getallen Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en

In symbolen: a – b =

Je kunt elke aftrekking van gehele getallen schrijven als een optelling van gehele getallen.

Voorbeelden 1

Schrijf de aftrekkingen eerst als een optelling en bereken.

2 3 4

(+7) – (+2) =

(+7) – (−2) =

=

=

(−7) – (−2) =

(−7) – (+2) =

=

=

5 6 7 8 9 10 11 12

210

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

OEFENINGEN REEKS A 28

29

Schrijf de aftrekking als een optelling. a)

(+9) – (+2) =

e)

(+3) – (+8) =

b)

(–8) – (–7) =

f)

(+6) – (–9) =

c)

(–5) – (+9) =

g)

0 – (–9)

d)

(–5) – (−8) =

h)

(−8) − (+8) =

=

Schrijf als een optelling en bereken. a)

(+2) – (−8) = (+2) + (+8)

=

e)

(−15) – (−8) =

=

b)

(−3) – (+9) =

=

f)

(−7) – (+5) =

=

c)

(+5) – (−12) =

=

g)

(+18) – (−7) =

=

d)

(−7) − (−14) =

=

h)

(−17) − (+8) =

=

REEKS B 30

Schrijf als een optelling en bereken. a)

(−21) − (−33) =

f)

(+27) − (−19) =

b)

(−32) − (+17) =

g)

(−28) − (−11) =

c)

(+25) − (−18) =

h)

(–15) − (+23) =

d)

(−22) − (+28) =

i)

(−24) − (−23) =

e)

(−34) − (−16) =

j)

(−37) − (+29) =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

211

6.2.3 Praktische werkwijze voor de optelling en de aftrekking Bereken en schrijf de opgave daarna zo eenvoudig mogelijk.

(+7) + (+5)

(+5) – (–2)

(+6) + (–4)

(+2) – (+6)

= 12

=

=

=

=7+5

=

=

=

Het wegwerken van de haakjes is de eenvoudigste manier om een som of een verschil te berekenen.

Regel voor het wegwerken van haakjes + (+) →

− (−) →

+ (−) →

− (+) →

Twee gelijke opeenvolgende tekens

Twee verschillende opeenvolgende tekens

vervang je door een

vervang je door een

Voorbeelden Werk de haakjes weg en bereken. (+3) + (+7)

=3+7

=

(+5) – (+7)

=5–7

=

(+5) – (–6)

=

=

(+3) + (–9)

=

=

(–7) – (–5)

=

=

(–6) – (+8)

=

=

(–9) + (+5)

=

=

(–2) + (–7)

=

=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

212

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

OEFENINGEN REEKS A 31

32

33

Schrijf zonder haakjes. a)

(–7) + (–9) =

d)

(–6) − (–2) =

b)

(+2) − (+4) =

e)

(+8) + (–5) =

c)

(–5) + (+1) =

f)

(–3) − (–7) =

Schrijf zonder haakjes en bereken. a)

(+11) + (–19) =

g)

(−18) − (+15) =

b)

(–3) + (+17) =

h)

(–12) + (+7) =

c)

(−8) + (–17) =

i)

(+17) − (–3) =

d)

(−16) + (+4) =

j)

(–7) + (+15) =

e)

(–15) − (−16) =

k)

(+19) − (–2) =

f)

(–17) − (+5) =

l)

(−12) + (–18) =

Bereken. a)

(–235) + (–375) =

c)

(+613) + (–219) =

b)

(+361) – (–813) =

d)

(–256) – (–459) =

REEKS B 34

Bereken het verschil tussen het grootste en het kleinste geheel getal van 3 cijfers.

Antwoordzin:

35

Op Peters bankrekening staat 234 euro. Voor gas en elektriciteit moet Peter 413 euro betalen.

Wat is na deze verrichting het nieuwe saldo op zijn rekening?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

213

36

Bereken telkens het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten temperatuur. dag

minimum

maximum

maandag

–2 °C

+9 °C

dinsdag

–1 °C

+11 °C

woensdag

+3 °C

+13 °C

donderdag

+2 °C

+10 °C

vrijdag

+1 °C

+9 °C

zaterdag

–2 °C

+5 °C

zondag

–7 °C

–2 °C

verschil

Op welke dag is dat verschil het kleinst?

37

Een duikboot vaart op een diepte van 200 m. De boot stijgt 75 m.

Op welke diepte vaart de duikboot verder?

Antwoordzin:

38 1

De hoogste temperatuur in de schaduw, op 13 september 1922 in Libië gemeten, bedroeg 58 °C. De laagste temperatuur werd op 21 juli 1983 in Vostok, in het zuidpoolgebied, gemeten en ligt 147 graden Celsius lager. Hoe koud was het daar?

2 3

Antwoordzin:

4 5 6

39

7

De bekende Griekse wiskundige Pythagoras vierde zijn zesendertigste verjaardag in het jaar 539 voor Christus. In welk jaar werd hij geboren?

8 9 10

Antwoordzin:

11 12

214

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

40

In de Tongatrog (–9 055 m) in de buurt van Nieuw–Zeeland bevindt zich de hoogste zeeberg.

Zijn top steekt 8 690 m boven de zeebodem uit.

Op welke hoogte ten opzichte van de zeespiegel ligt de top van deze zeeberg?

Antwoordzin:

41

Beantwoord de vragen met de gegevens uit het lijndiagram. temperatuur om het uur gemeten 8 7 6 5 4

temperatuur (°C )

3 2 1 0 –1 0 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 tijd (h)

42

a)

Wat is het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten waarde?

b)

Hoeveel graden steeg de temperatuur tussen 2 uur en 7 uur?

c)

Wat is het temperatuurverschil tussen 4 uur en 16 uur?

Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is. a) b)

+ (–5) = 3 0+

+ (–8) = –5

c) d) e)

= –12

(–7) +

=0 + (–5) = –13

f)

–5 –

g) h)

–13 –

i) j)

= –7

k)

– (–7) = –5

l)

=2 – 13 = –16

–18 –

=1

+ (–5) = 12 –8 –

m) n) o)

= –15 – (–7) = 10

–9 +

= 12 – (–6)= –13

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

215

6.2.4 De vermenigvuldiging Zet de zinnen om naar een vermenigvuldiging van gehele getallen. Bereken het product.

Salma heeft gedurende 5 dagen iedere dag 15 bladzijden gestudeerd.

Hannes moet nog aan 2 van zijn vrienden 7 euro terugbetalen.

Bereken de volgende producten.

2 ⴢ (–7) = (–7) + (–7) = 1 ⴢ (–7) = (–7) = 0 ⴢ (–7) = −1 ⴢ (–7) = −2 ⴢ (–7) = −3 ⴢ (–7) =

Voorbeelden (+7) ⴢ (+5) =

(–5) ⴢ (–4) =

(+6) ⴢ (–2) =

(–2) ⴢ (+8) =

(+) ⴢ (−) →

(−) ⴢ (+) →

Toestandsteken van het product (+) ⴢ (+) →

1

(−) ⴢ (−) →

Het product van twee factoren met

Het product van twee factoren met

eenzelfde teken is

een verschillend teken is

2 3

Kortere schrijfwijze van de vermenigvuldiging

4

(+8) ⴢ (+7) =

5 6

(–5) ⴢ (–9) =

8ⴢ7

=

(+3) ⴢ (−8) =

=

(–7) ⴢ (+3) =

3 ⴢ (−8)

= =

7 8 9

Opmerking

10

1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging.

11

(–6) ⴢ 1 =

12

216

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

1 ⴢ (+7) =

1 ⴢ (–8) =

(+4) ⴢ 1 =

OEFENINGEN REEKS A 43

44

45

Kleur de hokjes met een negatief product.

8 ⴢ 66

–5 ⴢ (−25)

59 ⴢ 16

32 ⴢ 489

32 ⴢ 566

–38 ⴢ (–8)

51 ⴢ 98

159 ⴢ 32

–5 ⴢ (–18)

6 ⴢ (–7)

–45 ⴢ (–8)

9 ⴢ 1 536

–56 ⴢ (–9)

423 ⴢ 7

51 ⴢ (–5)

–6 ⴢ (–9)

5 ⴢ 39

43 ⴢ 60

–2 ⴢ 8

–36 ⴢ (–3)

26 ⴢ 948

–8 ⴢ 19

–92 ⴢ (–2)

62 ⴢ 762

14 ⴢ 52

56 ⴢ 36

–5 ⴢ (–2)

7 ⴢ (–3)

77 ⴢ (–8)

25 ⴢ 348

557 ⴢ 47

–7 ⴢ (–23)

–74 ⴢ (–1)

–87 ⴢ (–5)

45 ⴢ 132

25 ⴢ (–9)

12 ⴢ (–3)

357 ⴢ 6

–2 ⴢ (–9)

–9 ⴢ (–11)

6 ⴢ 978

78 ⴢ 56

–78 ⴢ 6

–89 ⴢ (–1)

684 ⴢ 32

–3 ⴢ 16

–6 ⴢ (–55)

745 ⴢ 36

–12 ⴢ (–3)

81 ⴢ (–3)

951 ⴢ 25

156 ⴢ 823

87 ⴢ 367

–5 ⴢ (–19)

–2 ⴢ 325

11 ⴢ 222

78 ⴢ 32

45 ⴢ 65

–9 ⴢ (–13)

44 ⴢ 555

–98 ⴢ (–5)

35 ⴢ 981

8 ⴢ 63

–1 ⴢ (–1)

Bereken het product. a)

2 ⴢ (–4) =

e) 5 ⴢ (–8) =

i)

–3 ⴢ (–8) =

b)

–5 ⴢ 6

=

f) 9 ⴢ (–3) =

j)

5 ⴢ (–6) =

c)

1 ⴢ (–8)

=

g) −7 ⴢ (–9) =

k)

–7 ⴢ 7

d)

–7 ⴢ (–5) =

h) 7 ⴢ 8

l)

–4 ⴢ (–8) =

=

=

Bereken. a)

– 53 ⴢ (–26) =

c)

331 ⴢ (–7)

=

b)

– 27 ⴢ (–73) =

d)

– 15 ⴢ 63

=

REEKS B 46

Bereken het product. a)

12 ⴢ (–5)

=

f)

–3 ⴢ (−19) =

k)

14 ⴢ (−6)

=

b)

–16 ⴢ (–4) =

g)

– 12 ⴢ 10

l)

–11 ⴢ (−4)

=

c)

– 15 ⴢ (–7) =

h)

–8 ⴢ (−15) =

m) –15 ⴢ (−9) =

d)

(−17) ⴢ 5

=

i)

7 ⴢ (−13)

=

n)

11 ⴢ (−13)

e)

11 ⴢ (−12)

=

j)

– 19 ⴢ (–4) =

o)

–12 ⴢ (−8) =

=

=

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

217

47

48

Schat het product en vind het wachtwoord.

465 ⴢ (–11)

=

H

–1 590

–89 ⴢ (–71)

=

S

–5 115

–144 ⴢ 60

=

D

8 512

98 ⴢ (–13)

=

R

–8 640

–78 ⴢ 35

=

T

–1 274

13 ⴢ (–210)

=

E

–2 730

36 ⴢ (–240)

=

O

6 319

Bereken. a) –5 ⴢ 18

49

=

c) −11 ⴢ (−7) =

e) −12 + (–9) =

g) 6 ⴢ (–15)

b) −17 + (–15) =

d) 8 – (–12) =

f) –8 + 17

h) –2 – (–15) =

=

=

Vul de tabel met gemiddelde minimummaandtemperaturen aan. maand

1

land Canada

2 −13

Zweden

-4

-6

Rusland

−13

−12

Groenland Noorwegen

3

−7

-2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

8

13

16

15

10

5

-1

-9

1

7

11

13

12

8

4

-1

-3

2

8

12

13

12

7

2

−3

−9

−23

−23

−17

−6

−1

3

3

−2

−6

−11

−7

−4

0

6

10

11

10

7

4

−2

a) In Canada is het in januari gemiddeld twee keer zo koud als in Noorwegen in die maand. b) In Rusland is het in maart gemiddeld drie keer zo koud als in Zweden in die maand.

1

c) In Groenland is het in december gemiddeld vier keer zo koud als in Zweden in januari.

2

d) In Groenland is het in januari gemiddeld vijf keer zo koud als in Noorwegen in maart.

3

e) In Canada is het in maart gemiddeld zes keer zo koud als in Zweden in november.

4 5

REEKS C

6 7

50

8

Noteer zo kort mogelijk. a)

(–4) ⴢ a

=

d)

a ⴢ (–b)

=

g)

–81 ⴢ (–c) =

b)

5 ⴢ (–b)

=

e)

(–a) ⴢ b

=

h)

(–a) ⴢ (–b) =

c)

(–b) ⴢ (–8) =

f)

16 ⴢ x

=

i)

–d ⴢ 0

9 10 11 12

218

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

=

−5

6.2.5 De deling Er is een verband tussen de vermenigvuldiging en de deling. a)

(+24) : (+8)

=3

omdat

b)

(−36) : (+3)

=

omdat

c)

(+32) : (−4)

=

omdat

d)

(−28) : (−7)

=

omdat

(+3) ⴢ (+8) = 24

Voorbeelden (+8) : (+4) =

(–8) : (–2) =

(−6) : (+2) =

(+9) : (−9) =

Toestandsteken van het quotiënt (+) : (+) →

(−) : (−) →

(−) : (+) →

(+) : (−) →

Het quotiënt van twee factoren met

Het quotiënt van twee factoren met

eenzelfde teken is

een verschillend teken is

Opmerkingen • Het quotiënt van twee gehele getallen is niet altijd een geheel getal.

• Delen door 0 is onmogelijk.

−25 : 2 −17 : 0

僆 僆

⺪ ⺪

Schrijfwijze van de deling • Kortere schrijfwijze (+28) : (+7) =

28 : 7

(–54) : (–9) =

=

(−27) : (+3) =

=

(+36) : (−4) =

−27 : 3

= =

• Breuknotatie Een deling kun je ook noteren met een breukstreep. −28 4

= −28 : 4 =

−72 −9

= =

56 −7

= =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

219

OEFENINGEN REEKS A 51

Schrijf in elk vakje het teken van het quotiënt. −3

:

−4

1

4

−2

−1

6

−6

3

−360 156 −252 468

52

53

Bereken het quotiënt. a)

−36 : 4

=

d)

56 : (−8) =

g)

−64 : (−8) =

b)

28 : (−7) =

e)

24 : 3

h)

48 : (−6) =

c)

−54 : 6

f)

−42 : (−6) =

i)

−45 : 9

=

=

Bereken. a) –1 416 : (−24) =

54

=

b) –221 : (−13) =

c) 12 012 : (−77) =

Zet een vinkje als het quotiënt een geheel getal is. a) 36 : (−1)

❒

b) −39 : 6

❒

c) 72 : (−8)

❒

d) −45 : 0

1 2

REEKS B

3

55

4 5

Bereken het quotiënt. a)

−120 : (−5) =

f)

−68 : (–4) =

k)

48 : (−3)

=

b)

84 : 3

=

g)

−96 : (–8) =

l)

−24 : (−1) =

c)

−64 : 16

=

h)

0 : (−35)

m) −98 : 7

d)

−65 : 65

=

i)

−45 : (–3) =

n)

−84 : (–7) =

e)

−38 : 19

=

j)

42 : (−14) =

o)

92 : (−4)

6 7 8

=

=

9 10 11 12

220

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

=

❒

56

Het gaat niet altijd even goed met het bedrijf “Speelmobiel”.

In het diagram vind je de maandresultaten voor het jaar 2014.

4000 3000 2000 1000 4

5

6

9

12

0 1

2

3

7

8

10

11

–1000 –2000 –3000 –4000

a) In januari 2015 was het verlies de helft van het verlies in dezelfde maand van 2014. Hoeveel bedroeg het verlies? b) In maart 2015 was het verlies een zevende van het verlies in dezelfde maand van 2014. Hoeveel bedroeg het verlies? c) In april 2015 maakten ze opnieuw winst. De winst was een derde van de winst in april 2014. Hoeveel bedroeg de winst? d) In juli 2015 was het verlies een vijfde van het verlies in dezelfde maand van 2014. Hoeveel bedroeg het verlies?

57

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

a)

0

10

b)

–12

c)

–72

d)

e)

–52

–35

–18

0

0

–6

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

221

58

59

Bereken het quotiënt. a)

−66 = 3

d)

42 3

=

g)

−91 −7

=

b)

−92 4

=

e)

−65 −13

=

h)

76 −4

=

c)

−57 3

=

f)

78 −6

=

i)

84 12

=

Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is. a)

−7 ⴢ

= −28

b)

e)

ⴢ (−4) = 16

f)

c)

−9 ⴢ

= 54

g)

d)

63 :

=–9

h)

−12 :

= −4

i)

ⴢ (−9) = 72

j)

5ⴢ

= −45 : (−8) = 7

: 6 = −7 −56 :

=8

k)

ⴢ (−8) = 0

l)

: (−6) = −9

REEKS C 60

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

a)

3

b)

1

c)

–17

36

13

13

1

d)

2

–20

22

3 4 5

61

6

Vul aan. a)

7

−140

= −35

d)

=9

e)

= −12

f)

−72

=6

g)

= 12

h)

= −8

i)

−4

= −21

j)

= 15

k)

= −13

l)

−(

8

b)

9

−9

10

c)

11

−6

12

222

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

−6 −128

7 78

−84 ) 81

−5

= −7

= −3

= 21

6.2.6 Machten Inleiding 53

=

(−1) 5 =

Rekenregel

5ⴢ5ⴢ5

= 125

(−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) =

(−2) 3 =

=

(−3) 4 =

=

(−5) 1 =

᭙b 僆 ⺪: b 1 =

Macht van een positief en negatief getal • Een macht van een positief getal is altijd • Een macht van een negatief getal is positief als negatief als

Bijzondere machten ᭙a 僆 ⺪: a 0 =

(−7) 0 =

᭙ Lees je als

.

:

.

Lees je als

Opmerking (−2) 3 =

(−2) ⴢ (−2) ⴢ (−2)

(−2) 4 =

=

−2 3 =

=

=

−2 4 =

=

Voorbeelden (−1) 7 =

(−3) 2 =

−4 3 =

−5 2 =

REKENMACHINE Let goed op voor de haakjes bij het ingeven van machten in je rekenmachine.

Voorbeeld: (−36) 2 =

Voorbeeld: −36 2 =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

223

OEFENINGEN REEKS A 62

63

Bereken de macht. a)

(−3) 2 =

d)

(−3) 3 =

g)

(+4) 2 =

b)

(+6) 2 =

e)

(−1) 5 =

h)

(−1) 6 =

c)

(−2) 0 =

f)

(+7) 1 =

i)

(−8) 2 =

Bereken. a)

(−9) 3 =

d)

(−4) 6 =

g)

(+2) 8 =

b)

(−8) 4 =

e)

(+7) 4 =

h)

(−2) 12 =

c)

(+6) 3 =

f)

(−5) 3 =

i)

(−3) 5 =

REEKS B 64

1 2

Kleur alle hokjes met een negatief resultaat. 共−2兲 4

33

(−14) 4

(−11) 2

(−5) 2

1 11

(−13) 2

(−9) 0

(−2) 4

共−7兲 2

(−12) 3

−3 6

(−7) 5

(−1) 2

(−1) 3

(−12) 9

−9 8

(−7) 2

71

(−8) 12

(−13) 2

−15 4

47

−2 11

13 9

−5 2

33

(−6) 4

12 3

1 17

(−9) 7

(−9) 2

−3 6

(−5) 8

68

(−6) 4

(−7) 8

75

(−15) 5

(−8) 7

87

(−14) 1

−4 8

(−11) 5

(−7) 8

85

(−2) 2

15 2

−4 4

(−1) 8

−1 4

55

−3 5

85

16 5

11 7

(−12) 8

(−11) 3

35

(−7) 13

(−7) 4

−8 2

65

(−9) 8

(−9) 5

−13 3

(−6) 3

(−2) 6

−6 2

−12 2

(−8) 7

(−9) 8

(−8) 6

(−11) 2

13 5

(−3) 10

(−5) 6

(−2) 8

(−7) 10

12 3

(−8) 6

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

224

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

65

66

Bereken. a)

(−3) 2 =

h)

(−5) 3 =

o)

(−3) 0 =

b)

−4 2

=

i)

−9 2

=

p)

−2 4

=

c)

(+2) 3 =

j)

(+4) 3 =

q)

−4 3

=

d)

−3 3

=

k)

(−9) 1 =

r)

−7 0

=

e)

(−7) 2 =

l)

−2 5

=

s)

18

=

f)

−8 2

m) 5 2

=

t)

(−3) 3 =

g)

(−3) 1 =

(−1) 6 =

u)

−6 2

=

n)

=

Bereken. a) −2 + 3 =

d) 2 2

=

g) (−2) 3

=

j) −2 − 3 =

b) 3 2

e) −3 2

=

h) 2 ⴢ 3

=

k) 2 ⴢ (−3) =

f) −2 ⴢ (−3) =

i) (−3) 2

=

l) 2 − 3

=

c) −2 ⴢ 3 2 =

=

REEKS C 67

Schat het resultaat. Een van de dertig resultaten bij de mogelijke antwoorden is het juiste.

Zet de letter van het passende antwoord naast de opgave. opgave −401 2

mogelijke antwoorden 161 604

A

90 601

G

8 051

P

(−301) 2

−160 000

A

−6 859

G

−19 587

P

(−402) 2

−160 001

B

−98 181

K

−8 001

R

(−51) 3

125 001

B

−48 181

K

160 004

R

−399 2

−159 201

D

−65 871

M

−3 027

S

−21 3

−132 651

D

−63 592

M

160 000

S

(−401) 2

−160 801

E

−9 261

N

−162 001

T

−89 401

E

160 001

N

158 254

T

−299 2

25 431

F

90 001

O

−8 962

V

(−19) 3

96 547

F

160 801

O

−14 826

V

−20 4

Welke korte zin kun je vormen met de verkregen letters?

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

225

6.2.7 Vierkantswortels Inleiding Er is een verband tussen machten en vierkantswortels.

Omdat 7 2

= 49

is 7 een vierkantswortel van 49.

Omdat (−7) 2 = 49

is –7 ook een vierkantswortel van 49.

Benamingen 冪49 = 7

7 noemen we de positieve vierkantswortel van 49.

−冪49 = –7

–7 noemen we de negatieve vierkantswortel van 49.

De positieve vierkantswortel van een getal noem je voortaan de vierkantswortel van dat getal.

Voorbeelden 冪121 =

−冪144 =

冪25=

−冪36 =

Opmerking • Vierkantswortels van negatieve getallen 冪−36 =

omdat

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortels omdat

• Vierkantswortels van 0 1

−冪0 =

2

omdat

冪0 =

0 heeft maar één vierkantswortel, namelijk

.

3 4 5 6

REKENMACHINE 7

Voorbeeld: −冪289 =

8 9 10 11 12

226

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

omdat

OEFENINGEN REEKS A 68

69

Bereken de vierkantswortel. a)

冪16

=

d)

−冪100 =

g)

冪25

b)

−冪4

=

e)

冪81

h)

−冪36 =

c)

−冪9

=

f)

−冪49 =

i)

−冪64 =

=

=

Bereken de vierkantswortels. a)

−冪256

=

d)

冪576

=

g)

−冪784

=

b)

−冪289

=

e)

−冪1 369 =

h)

−冪529

=

c)

冪441

=

f)

−冪961

i)

冪1 521

=

=

REEKS B 70

Bereken indien mogelijk. a)

−冪121

=

d)

−冪225

=

g)

−冪144

=

b)

−冪400

=

e)

冪−196

=

h)

冪−900

=

c)

冪−169

=

f)

−冪10 000 =

i)

−冪−100

=

REEKS C 71

Omcirkel de opgave die hoort bij het gegeven resultaat. a) –17

b) 403

c) –45

冪−289

−冪219

冪162 409

−冪−172 409

−冪9 000

−冪2 025

−冪289

−冪200

冪152 409

冪161 348

−冪1 625

−冪2 690

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

227

6.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen 6.3.1 Wisselen Optelling en aftrekking optelling 8 + (–7)

=

–5 + (–9) =

Besluit

–7 + 8

aftrekking =

8 – (–7) =

–7 – 8

=

–9 + (−5) =

–5 – (–9) =

–9 – (–5) =

De som verandert als je de termen van plaats wisselt.

Het verschil verandert als je de termen van plaats wisselt.

Je zegt: De optelling van gehele getallen is commutatief.

Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet commutatief.

Optelling is commutatief van gehele getallen is In symbolen:

Vermenigvuldiging en deling vermenigvuldiging 8 ⴢ (–2)

=

–9 ⴢ (–3) =

–2 ⴢ 8

deling =

–3 ⴢ (–9) =

8 : (–2)

=

–9 : (–3) =

Besluit

Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.

Je zegt: De deling van gehele getallen is niet commutatief.

Vermenigvuldiging is commutatief van gehele getallen is In symbolen:

5 6 7 8 9 10 11 12

228

–3 : (–9) =

Het quotiënt verandert als je de factoren van plaats wisselt.

3 4

=

Het product verandert als je de factoren van plaats wisselt.

1 2

–2 : 8

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

6.3.2 Schakelen Optelling en aftrekking optelling −3 + 2 + 5

Besluit

aftrekking

=

=

7 − (−4) − 2 =

=

(−3 + 2) + 5 =

=

[7 − (−4)] − 2 =

=

−3 + (2 + 5) =

=

7 − [(−4) − 2] =

=

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De optelling van gehele getallen is associatief.

Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet associatief.

Optelling is associatief van gehele getallen is In symbolen: Vermenigvuldiging en deling vermenigvuldiging −3 ⴢ (−2) ⴢ (−4)

Besluit

deling

=

=

8 : (−4) : (−2)

=

=

[−3 ⴢ (−2)] ⴢ (−4) =

=

[8 : (−4)] : (−2) =

=

−3 ⴢ [(−2) ⴢ (−4)] =

=

8 : [−4 : (−2)]

=

=

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief.

Je zegt: De deling van gehele getallen is niet associatief.

Vermenigvuldiging is associatief van gehele getallen is In symbolen: Opmerking De commutativiteit en de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging gebruik je veel bij hoofdrekenen.

• −44 + 28 + (−36) = −44 + (−36) + 28 • −25 ⴢ [13 ⴢ (−4)]

=

[−44 + (−36)] + 28

=

−80 + 28

=

−52

= HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

229

6.3.3 Verdelen optelling

Besluit

aftrekking

verdelen

haakjes uitrekenen

verdelen

haakjes uitrekenen

−2 ⴢ [3 + (−5)]

−2 ⴢ [3 + (−5)]

−3 ⴢ [4 − (−2)]

−3 ⴢ [4 − (−2)]

=

=

=

=

=

=

=

=

Je mag de vermenigvuldiging verdelen over

Je mag de vermenigvuldiging verdelen over

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking.

Distributiviteit

Distributiviteit

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen.

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen.

In symbolen:

In symbolen:

Je kunt deze eigenschap in twee richtingen toepassen: • een factor vermenigvuldigen met een som (of verschil): a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c Los de volgende oefeningen op met de distributiviteit. −4 ⴢ (−5 + 8)

=

6 ⴢ [−3 − (−5)] = −3 ⴢ (−a − 8)

=

• de gemeenschappelijke factor in een som (of verschil) afzonderen: a ⴢ b + a ⴢ c = a⋅(b + c) 1

3

Als er in een som of een verschil in de verschillende termen eenzelfde factor voorkomt, kun je die met de distributiviteit afzonderen. −4 ⴢ 7 + (−4) ⴢ (−3) = −4 ⴢ 7 + (−4) ⴢ (−3) = −4 ⴢ [7 + (−3)] = −4 ⴢ (7−3)

4

Zonder de gemeenschappelijke factoren af.

5

3 ⴢ (−8) + (−2) ⴢ (−8) =

2

−4 ⴢ a + (−3) ⴢ a

6

=

7 8

Opmerking

9

De distributiviteit gebruik je vaak bij hoofdrekenen.

10

−4 ⴢ 13 = −4 ⴢ (10 + 3)

11

98 ⴢ (−7) = (100 − 2) ⴢ (−7) =

12

230

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

=

OEFENINGEN REEKS A 72

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

73

wisselen

schakelen

verdelen

a)

–2 + 3 = 3 + (–2)

❒

❒

❒

b)

2 ⴢ (–5 + 3) = 2 ⴢ (–5) + 2 ⴢ 3

❒

❒

❒

c)

–7 ⴢ 8 = 8 ⴢ (–7)

❒

❒

❒

d)

4 + (–6 + 8) = 关4 + 共−6兲兴 + 8

❒

❒

❒

e)

(–8 + 6) ⴢ 4 = – 8 ⴢ 4 + 6 ⴢ 4

❒

❒

❒

f)

- 4 ⴢ (–5 – 8) = [−4 ⴢ (−5)] − (−4 ⴢ 8)

❒

❒

❒

g)

[9 + (−4)] + (−8) = 9 + 关−4 + 共−8兲兴

❒

❒

❒

h)

−7 ⴢ 5 + 6 ⴢ (−7) = (5 + 6) ⴢ (−7)

❒

❒

❒

i)

−2 ⴢ [4 ⴢ (−3)] = (−2 ⴢ 4) ⴢ (−3)

❒

❒

❒

j)

–9 + (–5) = –5 + (–9)

❒

❒

❒

Bereken door te verdelen. a) −8 ⴢ 13 =

b) −7 ⴢ 19 =

c) 12 ⴢ (−6) =

−8 ⴢ (10 + 3) =

REEKS B 74

Toon aan met een getallenvoorbeeld. a) Bij de aftrekking mag je niet wisselen.

9 – (–5) =

b) Bij de deling mag je niet schakelen.

(–8 : 4) : (–2) =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

231

75

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

76

commutatief

associatief

distributief

a)

−4 + (–8) + 7 = −4 + 7 + (−8)

❒

❒

❒

b)

–3 ⴢ (8 ⴢ 7) = (–3 ⴢ 8) ⴢ 7

❒

❒

❒

c)

−2 ⴢ (5 + 8) = −2 ⴢ 5 + (–2) ⴢ 8

❒

❒

❒

d)

−6 + [6 + (−2)] = (−6 + 6) + (−2)

❒

❒

❒

e)

(3 + 4) + 5 = 5 + (3 + 4)

❒

❒

❒

f)

5 ⴢ (−8 − 6) = 5 ⴢ (−8) − 5 ⴢ 6

❒

❒

❒

Schrijf een factor als een optelling of een aftrekking. Bereken met de distributiviteit. a)

–7 ⴢ 102

d)

6 ⴢ (–53)

g)

–43 ⴢ 21

b)

–11 ⴢ (–15)

e)

–67 ⴢ (–9)

h)

99 ⴢ (–17)

c)

98 ⴢ (–8)

f)

–20 ⴢ 23

i)

–87 ⴢ (–99)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

232

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

77

Welke eigenschap herken je? opgave

78

79

a)

7 + (–8) = –8 + 7

b)

–7 + (–6 + 4) = [−7 + (−6)] + 4

c)

[6 + (−4)] ⴢ 2 = 6 ⴢ 2 + (–4) ⴢ 2

d)

–9 ⴢ (–6) = –6 ⴢ (–9)

e)

−2 ⴢ 6 + (−2) ⴢ (−3) = −2 ⴢ [6 + (−3)]

eigenschap De optelling met gehele getallen is commutatief.

Zonder de gemeenschappelijke factor af. a)

–5 ⴢ 8 + 4 ⴢ 8

=

d)

–9 ⴢ 8 – 4 ⴢ (–9) =

b)

7 ⴢ (–3) + (–3) ⴢ 4 =

e)

7 – 7 ⴢ (–8)

=

c)

–2 ⴢ 4 – 8 ⴢ 4

f)

–5 + 4 ⴢ 5

=

=

Bereken. a) –73 ⴢ 9

=

f) –102 ⴢ (–23) =

b) 47 ⴢ (–11)

=

g) 99 ⴢ (–107)

=

c) –19 ⴢ 33

=

h) –42 ⴢ 201

=

d) –12 ⴢ (–15)

=

i)

1 002 ⴢ (–38) =

e) –81 ⴢ 21

=

j)

–101 ⴢ (–93) =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

233

REEKS C 80

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

81

commutativiteit

associativiteit

distributiviteit

a)

–c + d = d + (–c)

❒

❒

❒

b)

k ⴢ (–l – m) = k ⴢ (–l) – k ⴢ m

❒

❒

❒

c)

f ⴢ (–g + h) = f ⴢ (–g) + f ⴢ h

❒

❒

❒

d)

u + [v + (−w)] = (u + v) + (–w)

❒

❒

❒

e)

(x + y) + (–z) = x + 关y + 共−z兲兴

❒

❒

❒

f)

e ⴢ (−f) = f ⴢ e

❒

❒

❒

g)

–r ⴢ s + (–r) ⴢ t = –r ⴢ (s + t)

❒

❒

❒

h)

p ⴢ [q−(−r)] = p ⴢ q – p ⴢ (–r)

❒

❒

❒

Werk uit met de distributiviteit. a)

−4 ⴢ (−a + 8)

c)

−8 ⴢ [c + (−d)]

e)

共−g − h兲 ⴢ 共−w兲

b)

5 ⴢ (−7 − b)

d)

e ⴢ [−3 + (−f)]

f)

−k ⴢ (−m + n)

1 2

82

3

Zonder de gemeenschappelijke factor af en bereken indien mogelijk.

4 5 6

a)

–7 ⴢ a + 9 ⴢ a

=

e)

f + (–7) ⴢ f

=

b)

2 ⴢ (−b) + (−b) ⴢ 3 =

f)

g ⴢ h + h ⴢ (–m)

=

c)

−8 ⴢ c + d ⴢ (−8)

=

g)

−m + p ⴢ m

=

d)

–a ⴢ b + c ⴢ b

=

h)

–2 ⴢ b + b ⴢ 3 + b =

7 8 9 10 11 12

234

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

6.3.4 Toepassingen op de eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen Tegengestelde van een som Het tegengestelde van een geheel getal vind je door dat getal te vermenigvuldigen met −1.

Voorbeeld: −(8) = −1 ⴢ 8 = −8 → 8 en −8 zijn tegengestelde gehele getallen.

Op dezelfde manier kun je met de distributiviteit het tegengestelde van een som bepalen.

Voorbeeld: −(4 + 5) = −1 ⴢ (4 + 5) = (−1) ⴢ 4 + (−1) ⴢ 5 = −4 + (−5)

Het tegengestelde van de som van twee gehele getallen is de som

In symbolen: −(a + b) =

Gedurige som 5 + (−4) + (−2) + 7 is een gedurige som. Het is een optelling met meer dan twee termen.

Een gedurige som kun je op verschillende manieren oplossen.

Je maakt gebruik van de associativiteit en de commutativiteit.

Voer de optellingen van links naar rechts uit.

Tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op en tel de verkregen sommen op.

5 + (− 4) + (−2) + 7 = (5 + 7) + [−4 + (−2)] = 12 + (−6) =6

5 + (−4) + (−2) + 7 = 1 + (−2) + 7 = −1 + 7 =6

Vereenvoudig de opgave en tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op.

5 + (−4) + (−2) + 7 =5−4−2+7 = 12 − 6 =6

Opmerking • 8 − 5 + 3 − 6 kun je ook schrijven als een gedurige som: Je kunt elke aftrekking als een optelling schrijven.

• Tegengestelde van een gedurige som: −[2 + 5 + (−6)] = Haakjesregel De haakjesregel gebruik je om haakjes in een gedurige som weg te werken.

• Plusteken voor de haakjes Omdat het optellen van gehele getallen associatief is, mag je de haakjes gewoon weglaten.

Voorbeeld: −5 + [6 + (−3)] = • Minteken voor de haakjes Je gebruikt het tegengestelde van een (gedurige) som om de haakjes weg te werken.

Voorbeelden: −8 − (7 + 6) = −8 − 7 + (−6) = 9 − [−4 + 6 − 5] =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

235

Plusteken en minteken voor de haakjes

Besluit

Plusteken voor de haakjes:

Minteken voor de haakjes:

Schrijf de volgende gedurige sommen eerst zonder haakjes en bereken nadien de som. −6 − (−4 + 7)

=−6+4−7=

9 + (−4 + 8)

=

−3 − [9 + (−6)] = 5 + (4 – 9)

=

7 − [−9 − (−6)]

=

Gedurig product Een gedurig product is een vermenigvuldiging met meer dan twee factoren.

Voorbeeld: −2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) is een gedurig product.

Een gedurig product kun je op twee manieren oplossen.

De vermenigvuldigingen van links naar rechts uitvoeren.

Tel het aantal negatieve factoren: • bij een even aantal is het product positief; • bij een oneven aantal is het product negatief. − 2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = −(2 ⴢ 7 ⴢ 4 ⴢ 3) = −(14 ⴢ 4 ⴢ 3) = −(56 ⴢ 3) = −168

−2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = −14 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = 56 ⴢ (−3) = −168 1 2

Opmerking

3

Je kunt factoren van plaats wisselen (de vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief), en zo het vermenigvuldigen vereenvoudigen.

4 5

Bereken de producten.

6 7

−2 ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ 4

−4 ⴢ 7 ⴢ (−25) ⴢ 共−5兲

8 ⴢ 7 ⴢ (−125) ⴢ 9

= −2 ⴢ (−5) ⴢ 3 ⴢ 4

=

=

=

=

=

=

=

=

8 9 10 11 12

236

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

OEFENINGEN REEKS B 83

84

Bereken de gedurige sommen. a)

5 + (−8) + (−9) + 8

=

b)

−9 + (−6) + (−8) + 7

=

c)

−3 + 2 + 5 + 5 + (−6)

=

d)

8 + (−7) + 9 + (−3) + 5

=

Bereken de gedurige sommen. a)

85

86

45 + (−26) + (−38) + 78 =

b)

−55 + 26 + (−87) + (−81) + 95 =

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken. a)

7 + (−8 + 3)

d)

−(−13 + 16) + 7

g)

18 − (−17 − 12)

b)

4 − (3 − 6)

e)

−19 + (−15 + 9)

h)

−15 + (−13 + 15)

c)

−8 − (−5 + 2)

f)

5 + (−8 + 15)

i)

13 − (12 − 17)

Bereken de gedurige producten. a)

−1 ⴢ (−4) ⴢ (−2) ⴢ (−5) =

b)

−2 ⴢ (−4) ⴢ 5 ⴢ (−3)

=

c)

−10 ⴢ (−3) ⴢ 2 ⴢ 4

=

d)

5 ⴢ (−2) ⴢ 6 ⴢ (−1)

=

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

237

87

Bereken de gedurige producten. a)

25 ⴢ (−18) ⴢ (−12)

54 ⴢ (−8) ⴢ 47 ⴢ (−12)

b)

=

88

−8 ⴢ 9 ⴢ (−3) ⴢ 5 ⴢ (−7)

c)

=

=

Beantwoord de vragen bij het staafdiagram. gemiddelde maandelijkse temperatuur in Quebec (Canada)

25

temperatuur (in °C )

20 15 10 5 0 –5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–10 –15 maand

89

1 2 3

a)

Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de zomermaanden juli en augustus.

b)

Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de eerste drie maanden.

c)

Bereken de gemiddelde jaarlijkse temperatuur.

Bereken. a)

15 – (–5) + (–16) – 12

=

b)

− 4 ⴢ (−9) ⴢ (−25) ⴢ 6

=

c)

– 16 + 5 – 9 – 25 + 16

=

d)

−6 ⴢ (−5) ⴢ 4 ⴢ (−5) ⴢ 15

=

e)

– 17 – 20 + (–14) – (–26) + 18

=

f)

125 ⴢ (−7) ⴢ (−8) ⴢ (−2) ⴢ (−6)

=

g)

20 + (–13) + (–15) + 13 + (–14)

=

4 5 6 7 8 9 10 11 12

238

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

12

90

Een stuntpiloot vliegt op een hoogte van 750 meter.

Hij daalt 185 meter en schiet daarna pijlsnel 315 meter omhoog.

Op deze hoogte vliegt hij nadien verder.

Op welke hoogte vliegt hij dan?

Antwoordzin:

91

De jaarresultaten van twee bedrijfjes werden in een tabel gezet. Beantwoord de vragen.

2011

2012

2013

2014

2015

VAN UIT

+ € 25 000

+ € 30 000

+ € 18 000

+ € 15 000

+ € 21 000

HET SCHRIFT

+ € 10 000

− € 2 500

− € 13 000

+ € 7 000

+ € 17 000

a) In welk jaar maakte het bedrijf “HET SCHRIFT” de grootste vooruitgang? b) In welk jaar was het verschil tussen de resultaten van de bedrijven het grootst? c) Bereken het gemiddelde resultaat van de eerste vier jaar van het bedrijf “HET SCHRIFT”.

d) Bereken het gemiddelde jaarresultaat van de twee bedrijven over de gegeven vijf jaar.

VAN UIT: HET SCHRIFT:

92

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken. a)

b)

c)

8 + (9 − 15) − (−14 + 16)

d)

–(25 – 10) + (–15 – 17 + 23) – 25

=

=

=

=

29 – (22 – 27) + (–15 + 30)

e)

–(−20 + 10 – 1) – (15 – 7 – 25)

=

=

=

=

–20 – (23 – 17) + (23 – 16)

f)

24 + (17 + 5) – (–8 – 13 + 15)

=

=

=

=

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

239

93

94

Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de getallen uit de opgave. a)

3+4+5=3+(

)

c)

2+5–6=2+(

)

e)

2–8–6=2−(

)

b)

6+4+5=6−(

)

d)

8+3–5=8−(

)

f)

9–5–8=9+(

)

c)

3(–x)(–y)2y (–x)6x

Bereken. a)

(−5) + 7 + 8 + (−9) + (−6)

=

b)

2 ⴢ (−4) ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ (−1)

=

c)

–8 + [6 + (−7)] + 5 – (6 + 3)

=

d)

−5 ⴢ (−1) ⴢ 7 ⴢ (−2) ⴢ (−1) ⴢ (−4)

=

e)

1 – (2 + 5) + 3 + 8 – (–9 + 8)

=

f)

2 ⴢ (−7) ⴢ (−8) ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ 0 ⴢ (−1) ⴢ 4

=

REEKS C 95

Schrijf de gedurige producten zo eenvoudig mogelijk. a)

2aba(−3)

b)

=

=

96

−4x2(−x)

=

Werk de haakjes weg en reken zo ver mogelijk uit. a)

4 – (a + 2)

b)

–12 + (–4 – a)

c)

(–24 + b) – (9 – a)

b)

– (–a + b) + (c – d) – e

c)

a – [b – (–c + d) + e – f]

c)

q+r–s+t

1 2 3

97

Werk de haakjes weg.

4

a)

5

a – (−b – c + d)

6 7 8

98

9

Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de letters uit de opgave. a)

10 11

a–b+c =a+(

12

240

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

b) )

x+y+z =x−(

)

=q−(

)

6.4 De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen Inleiding De volgorde waarin je de bewerkingen uitvoert, kan het resultaat beïnvloeden.

Bij de gehele getallen gebruik je dezelfde volgorde als bij de positieve getallen.

Volgorde van de bewerkingen

Afspraak

1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

2) Machten en vierkantswortels

a n, 冪a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

ⴢ, :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

Voorbeelden −2 + 5 ⴢ 4

4 ⴢ (−8 + 5) : (−6)

−7 2 + (−8) ⴢ 6 : (−4) 2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Opmerking Alles wat onder het wortelteken staat, moet eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat.

2−冪3 + 6

−3 ⴢ 冪2 − 7 ⴢ (−2)

冪4 + 12 − 冪9 − (8 − 3)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

REKENMACHINE Het is vaak gemakkelijker om eerst de oefening te vereenvoudigen en dan pas in te geven in je rekenmachine. Probeer maar eens met het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld: (−4 ⴢ 冪6 + 9 : 3) : [5−(−1)] =

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

241

OEFENINGEN REEKS A 99

Bereken. a)

−2 + 6 : 2

f)

(–2) 2 ⴢ (–5) 2

k)

8 − (−8) : 4

b)

−2 ⴢ (3 + 5)

g)

−6 − 冪9

l)

2 2 ⴢ (–4)

c)

5 − 9 ⴢ (−2)

h)

3 ⴢ (–2) 3

m) 6 + (−9) : 3

d)

−8 − 4 : 2

i)

12 : (−14 + 8)

n)

冪8 − (−1)

e)

(–3) 2 + 4 2

j)

−8 ⴢ 冪16

o)

−42 : (−7) + (−5)

1 2 3

100

Bereken.

4 5 6

a)

−84 : 12 + (−15) =

f)

冪−4 + 60 : 3

b)

−冪864 : 6

=

g)

17 − 4 2 ⴢ (−29) =

c)

−4 3 − 38

=

h)

−35 − 5 3 ⴢ 12

d)

27 − (−8 ⴢ 13)

=

i)

−75 : 冪117 : 13 =

e)

−94 + 3 4

=

j)

冪5 3−2 2

=

7 8 9

=

10 11 12

242

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

=

REEKS B 101

Bereken. a)

3 ⴢ (−5) – 6 ⴢ 2

f)

(3 − 24) : (−24 : 8)

b)

13 ⴢ (–3) + 5 2 : 5

g)

–10 : (–2) – 冪4 ⴢ 5

c)

−4−冪18 − 2 ⴢ 7

h)

冪9 2 − 8 2 + 2 3

d)

2 ⴢ [3 + (−6) : 3]

i)

–2 + 冪64 : (–2) ⴢ 2 2

e)

−25 ⴢ 冪8 + 2 ⴢ 4

j)

冪29 + [8 : (−9 + 7)]

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

243

102

103

Bereken. a)

[−47 − (35 − 73)] ⴢ 12

=

f)

[(−14 + 3 2) − 3 1] ⴢ (−2 3) =

b)

8 − [−23 + (−58)] : (−9) =

g)

冪−32 + 36 ⴢ 8 − 17

=

c)

−56 : [47 + (−2 3 ⴢ 5)]

h)

84 : 冪共25−37兲 : 共−3兲

=

d)

冪1 ⴢ (−7) + (−288) : (−9) =

i)

冪576 − 12 3 : 共−37 + 61兲 =

e)

(138 − 242) : (−136 : 17) =

j)

−15 2 − 冪14 2 − 共37 − 66兲 =

=

Schrijf de opgave als één uitdrukking en bereken. a) Rita doet boodschappen. Ze koopt 6 flessen fruitsap aan € 1 het stuk, een bloemkool voor € 2, een zak aardappelen voor € 4 en voor € 7 hamburgers.

Aan de kassa geeft ze een kortingsbon af ter waarde van € 1 voor het fruitsap.

Hoeveel moet ze betalen?

Antwoordzin:

b) Maxim behaalde zes keer 8 en zeven keer 9 op tien voor zijn taken van wiskunde.

Helaas had hij ook een slechte dag waarop hij slechts 1 op tien behaalde voor een taak.

Hoeveel behaalde Maxim gemiddeld op deze 14 taken?

Antwoordzin:

c) Oom Eddy is een verwoed kaarter.

Vorige maand won hij twee keer 16 cent en één keer 22 cent.

Hij verloor helaas ook drie keer 12 cent.

Bereken zijn gemiddeld resultaat over de zes partijen.

1 2 3

Antwoordzin:

4 5

d) Pa wil tijdens de vakantie enkele klusjes afwerken. Hij gaat naar de doe-het-zelfzaak met het volgende boodschappenlijstje: twee zakken gips van € 8, zes gipskartonplaten van € 9, een emmer muurverf van € 56 en een nieuwe boormachine voor € 129.

Voor vaderdag kreeg hij twee tegoedbonnen van € 25 voor deze winkel. Hij wisselt ze in.

Hoeveel moet hij uiteindelijk betalen?

6 7 8 9 10

Antwoordzin:

11 12

244

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

104

Bereken. a)

9 + 冪9 ⴢ (−9) − 9 2 : 9

e)

2 ⴢ (−4) – 3 ⴢ (−8 + 9) 2

b)

−22 : 关冪144 + 5 : (−12 + 7)兴

f)

冪121 + 冪144 − 冪61 + 8 2 − 冪2 4

c)

冪−7 ⴢ (−6) : 3 + 4 − (−7)

g)

−冪196 + 5 ⴢ (−3) 2 : 冪9 − 8 2

d)

−冪12 2 − 80 − 冪6 − 42 : (−14)

h)

关(−5) 3 − 75兴 : 冪(−8) ⴢ 关(−5) + (−3)兴

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

245

REEKS C 105

Bereken. a)

8 – (–6) – 4 : 4 – [6 ⴢ (–5) + (–11)]

e)

5 + 冪4 3 − 冪25 ⴢ 3 − 共−3兲 ⴢ 5 + 10

b)

[5 2 − (25 − 3 3)] : 冪17 + 共2 3 − 4 2兲

f)

冪8 ⴢ [7 − (8 − 6)] + 共−3 ⴢ 5兲

c)

–2 + [–5 + (–6) ⴢ (–3) : 2 – (–3)] – (+6)

g)

冪5 − 冪121 − 6 ⴢ 5 2 − 6 ⴢ (−5)

d)

冪8 2 − 5 2 + 5 ⴢ 2 − (−5) ⴢ 共−2兲 + 3

h)

冪11 + 冪6 2 + 1 3 + 3 ⴢ (−4) + 冪9 ⴢ (−1) 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

246

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

STUDIEWIJZER Gehele getallen 6.1 De gehele getallen KENNEN Een geheel getal is een natuurlijk getal voorzien van een toestandsteken.

De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken.

Het tegengestelde van een geheel getal is het getal met dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken.

Het symbool ⺪ als verkorte notatie voor de verzameling van de gehele getallen.

KUNNEN Gehele getallen herkennen.

De absolute waarde en het tegengestelde van een geheel getal bepalen.

Gehele getallen ordenen.

Gehele getallen voorstellen op een getallenas.

Punten met negatieve coördinaatgetallen voorstellen in een assenstelsel.

6.2 Bewerkingen met gehele getallen KENNEN Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: • bereken je de som van de absolute waarden; • behoud je het teken.

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: • bereken je het verschil van de absolute waarden; • behoud je het teken van het getal met de grootste absolute waarde.

0 heeft geen invloed op de optelling.

Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. a − b = a + (−b) Twee gelijke opeenvolgende tekens vervang je door een plusteken.

Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een minteken.

Het product van twee factoren met eenzelfde teken is positief.

Het product van twee factoren met een verschillend teken is negatief.

1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging.

Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is positief.

Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is negatief.

Een macht van een positief getal is altijd positief.

Een macht van een negatief getal is: • positief als de exponent even is; • negatief als de exponent oneven is.

Een positief geheel getal heeft een positieve en een negatieve vierkantswortel.

KUNNEN Gehele getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Machten met een natuurlijke exponent van een geheel getal berekenen.

Vierkantswortels van een (positief) geheel getal berekenen.

Schatten van het resultaat van bewerkingen met gehele getallen.

Vraagstukken met gehele getallen oplossen.

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

247

6.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen KENNEN De optelling van gehele getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 ⺪: a + b = b + a De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 ⺪: a ⴢ b = b ⴢ a De optelling van gehele getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 ⺪: (a + b) + c = a + (b + c) De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 ⺪: (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen. ᭙a, b en c 僆 ⺪: a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen. ᭙a, b en c 僆 ⺪: a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c Het tegengestelde van een som van twee gehele getallen is gelijk aan de som van de tegengestelden van die twee getallen. −(a + b) = −a + (−b) = −a − b Als er tussen het eerste haakje en de eerste term binnen de haakjes geen teken staat, schrijf je op die plaats eerst een plusteken.

Plusteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het plusteken weg en de tekens binnen de haakjes blijven behouden.

Minteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het minteken weg en de tekens binnen de haakjes veranderen.

KUNNEN De eigenschappen van de bewerkingen herkennen en benoemen.

De eigenschappen van de bewerkingen toepassen bij hoofdrekenen.

6.4 Volgorde van de bewerkingen met gehele getallen KENNEN De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

2) Machten en vierkantswortels

a n, 冪a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

ⴢ, :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

KUNNEN De volgorde van bewerkingen toepassen in oefeningen en vraagstukken.

1 2 3

CONTRACTWERK

4 5 6 7 8 9 10 11 12

248

HOOFDSTUK 6 I GEHELE GETALLEN

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

7.1

Hoeken indelen volgens de hoekgrootte 250

7.2

De bissectrice van een hoek

255

7.3

Evenwijdige rechten en loodlijnen

259

7.4

Afstand

268

Studiewijzer

275

Hoeken kun je meten en volgens grootte dan groeperen.

Wat een deellijn met een hoek doet, zul je ook in dit deel leren.

Rechten, die zijn snijdend, evenwijdig of loodrecht, en hoe je afstanden moet meten, wordt straks ook nog uitgelegd.

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

249

7 HOEKEN EN RECHTEN 7.1 Hoeken indelen volgens de hoekgrootte 7.1.1 Inleiding Bepaal de grootte van de hoeken.

D A

—= A

G

— D=

—= G

E

H

B

—= B

— E=

1

—= H

F

2 3

K

4 5

C

6 7

— C=

8

— F=

9 10

Op basis van de hoekgrootte kun je hoeken indelen.

11 12

250

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

— K=

7.1.2 Indeling Definitie

Nulhoek Een nulhoek is

Definitie

Scherpe hoek Een scherpe hoek is

Definitie

Rechte hoek Een rechte hoek is

Definitie

Stompe hoek Een stompe hoek is

Definitie

Gestrekte hoek Een gestrekte hoek is

Definitie

Inspringende hoek Een inspringende hoek is

Definitie

Volle hoek Een volle hoek is

Deel de hoeken uit de inleiding in volgens de hoekgrootte.

— A

— F

— B

— G

— C

— H

— D

— K

— E

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

251

OEFENINGEN REEKS A 1

Welk soort hoek herken je?

— A A

— B C

— C — D

E

B

F

D

— E — F

2

Noteer de soort hoek.

— = 109° A

— D = 98°

— = 90° B

— E = 89°

— C = 74°

— F = 180°

REEKS B 3

Welk soort hoek herken je?

— A — B

1 2

A

C

— C

3 4

B

D

— D

5 6 7

4

8

Noteer de soort hoek.

— = 95° A

— D = 360°

— = 0° B

— E = 175°

— C = 180°

— F = 90°

9 10 11 12

252

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

5

Welk soort hoek herken je? Gebruik geen inspringende hoek.

—K TA K T

A

P

—P KA R

—M RA —P RA

M

—P TA —M KA

6

Welk soort hoek wordt gevormd tussen dij- en scheenbeen tijdens het stretchen? a)

7

b)

c)

d)

Welk soort hoek is de kleinste hoek die gevormd wordt tussen de kleine en de grote wijzer? a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

253

8

Juist of fout? juist

fout

a) Een scherpe hoek is altijd kleiner dan 80°.

❒

❒

b) Alle stompe hoeken zijn even groot.

❒

❒

c) Alle gestrekte hoeken zijn even groot.

❒

❒

d) Een stompe hoek is altijd groter dan een rechte hoek.

❒

❒

REEKS C 9

Bepaal de hoekgrootte van de getekende hoeken. a)

b)

A B

—= A

10

—= B

Teken een hoek waarvan de hoekgrootte gegeven is. a) — C = 200°

b) — D = 325°

1 2 3

11

4 5

Kleur de hoekgroottes van scherpe hoeken rood, van stompe hoeken groen en van inspringende hoeken blauw.

0°

6

90°

180°

0°

180°

90° 360° 90°

0°

90°

0°

180° 105° 360° 90° 360°

97°

360° 90°

94°

360° 98°

180° 360° 210° 360° 90°

90° 360°

0°

178°

360° 180°

90°

100° 180°

90°

360° 145° 360° 90°

360° 180°

90°

180° 360°

25°

72°

90°

78°

360° 90°

180°

45°

62°

83°

360°

90° 360° 90°

14°

90°

7°

360°

190° 354° 182° 180°

89°

7 8 9 10 11

0°

12

254

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

0°

90° 360° 180° 305° 187° 360° 180° 0°

360° 195°

0°

180°

180° 245° 333° 199° 180°

39°

58°

7.2 De bissectrice van een hoek 7.2.1 Inleiding

Op de klok is de secondewijzer niet afgebeeld.

B

—C. De grote en de kleine wijzer vormen B A Op het moment van de beeldopname deelt de secondewijzer deze hoek in twee gelijke delen.

A C

Bepaal de positie van de secondewijzer op de afbeelding.

7.2.2 De bissectrice van een hoek Definitie

De bissectrice van een hoek De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

Een ander woord voor bissectrice van een hoek is deellijn.

—.

Voorbeeld: a is de deellijn van A

a A

7.2.3 De bissectrice tekenen —.

Teken de bissectrice b van B Werkwijze stap 1: stap 2: stap 3: stap 4:

—.

Meet de gegeven hoek B Deel de getalwaarde van de hoekgrootte door twee.

Plaats een puntje bij het maatstreepje dat de helft van de hoek aangeeft.

Teken de rechte b door het hoekpunt en het puntje bij het maatstreepje.

b

B

B

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

255

OEFENINGEN REEKS A 12

—?

In welke situatie(s) is a de bissectrice van A b)

a)

c)

d)

a A

A a A

a

A

❒

13

❒

a

❒

❒

Teken de bissectrice van de hoek. a)

b)

A

B

1

REEKS B

2

14

3 4

Drie vliegtuigen vliegen in formatie. Teken de baan van het derde vliegtuig als je weet dat die baan de deellijn is van de hoek gevormd tussen de banen van de getekende vliegtuigen.

5 6 7 8 9 10 11 12

256

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

15

Teken de bissectrice. a) De secondewijzer is de bissectrice van de hoek tussen de uur- en minutenwijzer.

16

b) De snijlijn verdeelt het stuk pizza in twee gelijke helften.

— in vier gelijke delen.

Verdeel de hoek A

A

17

—B zodat MC de bissectrice is van AM —B. Teken AM

C M A

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

257

REEKS C 18

De leerlingen van een eerste jaar hebben hun lievelingsvak op school gekozen.

Je vindt de resultaten van het onderzoek in het cirkeldiagram. wiskunde talen technische vakken lichamelijke opvoeding plastische opvoeding geschiedenis aardrijkskunde

a) Vul de tabel in. vak

hoek (°)

aantal (%)

wiskunde talen technische vakken lichamelijke opvoeding plastische opvoeding geschiedenis aardrijkskunde Totaal b) In het eerste jaar krijgen de leerlingen Nederlands en Frans als taalvakken. Er zijn evenveel leerlingen die Nederlands verkiezen als leerlingen die Frans verkiezen. Verdeel op het diagram het onderdeel talen in twee gelijke helften, een helft Nederlands en een helft Frans.

1 2

19

Verdeel het overblijvende deel van de pizza in vier gelijke stukken.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

258

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

7.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen 7.3.1 Een evenwijdige rechte tekenen Teken b door A zodat b evenwijdig is met a.

A A a a

Hoeveel rechten kun je tekenen die door A gaan en evenwijdig zijn met a?

Evenwijdige rechte

Vaststelling

Door een punt

7.3.2 Een loodlijn tekenen Teken d door B zodat d loodrecht staat op c.

B

B c

c

Hoeveel rechten kun je tekenen die door B gaan en die loodrecht staan op c?

Vaststelling

Loodlijn Door een punt

Opmerking We plaatsen een merkteken ( ⾨) om de rechte hoek aan te duiden.

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

259

7.3.3 De middelloodlijn van een lijnstuk Definitie

De middelloodlijn van een lijnstuk De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk.

De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek Als je een rechte tekent die door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat, dan noem je deze rechte de middelloodlijn van het lijnstuk. stap 1: Bepaal het midden M van [AB].

A

M

stap 2: Teken de loodlijn m op [AB] door M.

B

A

M

B

Probeer nu zelf.

Teken de middelloodlijn m van [PQ].

1 2

P

3 4 5

Q

6 7 8 9 10

Opmerking 11

We plaatsen merktekens om de rechte hoek en de even lange lijnstukken aan te duiden.

12

260

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

OEFENINGEN REEKS A 20

Teken met de geodriehoek door C een rechte b die evenwijdig is met a. a)

b)

a

a

C C

21

Teken met de geodriehoek door C een rechte b die loodrecht staat op a. a)

b) a

a C C

22

In welke situatie(s) is m de middelloodlijn van [AB]? a)

b)

c)

m

m B

d) A

A

B

A

B

A

❒

23

m

m

❒

❒

B

❒

Teken met de geodriehoek de middelloodlijn m van [AB]. a)

b) A

A

B B

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

261

REEKS B 24

Vliegtuig A vliegt in een rechte lijn richting Frankfurt. Een tweede vliegtuig stijgt op in Barcelona.

Dat tweede vliegtuig volgt een rechtlijnige baan die evenwijdig is aan de baan van vliegtuig A. Boven welke steden vliegt het tweede vliegtuig?

Poznarf Berlijn

Hannover Brussel

Wrockaw

Frankfurt

Bonn Le Havre Luxemburg Parijs

Krakow

Praag

Nantes Wenen

A

Graz Bordeaux

Lyon Turijn

Bilbao

Milaan Venetië

Ljubjana Zagreb

Genoa Marseille Monaco San Marino Barcelona

Sarajevo

Florance

Het tweede vliegtuig vliegt boven

25

Onder een tegel van de badkamer ligt een gouden ketting begraven.

Je vindt de juiste tegel door de opgave te volgen.

• a is evenwijdig met de lengterichting van het bad en gaat door A. • b staat loodrecht op de lengterichting van de kleerkast en gaat door B. • Het snijpunt van a en b noem je S. • c gaat door C en staat loodrecht op de muur waartegen de wastafel bevestigd is.

• Het snijpunt van c en DS vertelt je onder welke tegel de ketting begraven ligt.

10 9 8 7

A

6

B

5 4 3

1

D C

2

2

Onder welke tegel ligt de gouden ketting?

1

3

A

4

B

C

D

E

F

G

H

I

J

5

26

6 7

De drie evenwijdigen a, c en d worden gesneden door b, die loodrecht staat op e. Duid in het onderstaande kader de uitspraken aan die zeker waar zijn. Zo vind je het sleutelwoord.

8

a⊥b

B

b 兾兾\ c

I

a⊥c

N

c 兾兾 e

F

b 兾兾\ d

M

9

b⊥c

D

d⊥e

O

b 兾兾 d

J

b⊥d

K

c⊥d

Q

10

b 兾兾 c

C

a 兾兾 b

H

d 兾兾 e

E

a⊥d

P

a 兾兾 d

S

11

c⊥e

T

b 兾兾 e

R

c 兾兾 d

L

a 兾兾 e

G

a⊥e

A

12

262

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

sleutelwoord:

27

Het plan is getekend op schaal 1:100.

Teken aan de hand van de instructies de muurtjes op het plan. a) Een muurtje van 1 m door A, loodrecht op de muur waaraan het toilet is bevestigd. b) Een muur van 2,50 m door B, evenwijdig aan de lengterichting van de snookertafel.

B

A

28

Vervolledig het patroon op de banner. a)

b)

REEKS C 29

Vervolledig de tekening en vul in. a) Vervolledig de tekening aan de hand van de gegevens. a

N b O

M

• • • •

c 兾兾 a en M 僆 c d ⊥ MN en O 僆 d e 兾兾\ b en N 僆 e MN = f

b) Vul het meest passende symbool in.

Kies uit 兾兾 , 兾兾\ of ⊥ .

• b

f

• c

f

• d

f

• a

b

• b

d

• c

d

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

263

7.3.4 Eigenschappen van evenwijdige rechten en loodlijnen Op de biljarttafel liggen telkens een rode bal (R), een gele bal (G) en een witte bal (W).

Aan de hand van de instructies, die de richting van de banen van de ballen omschrijven, kun je de eigenschappen in verband met evenwijdige rechten en loodlijnen afleiden.

Eigenschap 1 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.

R W

b

Teken de baan (c) van de rode bal die evenwijdig is met de baan (b) van de witte bal.

Wat is de onderlinge ligging van de baan (a) van de gele bal en de baan (c) van de rode bal?

G

a

In symbolen:

Eigenschap

a 兾兾 b c 兾兾 b

冎

dan a

c

Evenwijdige rechten Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte,

Eigenschap 2 De baan (a) van de gele bal staat loodrecht op de baan (b) van de witte bal.

G

Teken de baan (c) van de rode bal die loodrecht staat op de baan (b) van de witte bal.

R 1

W

2

b

Wat is de onderlinge ligging van de baan (a) van de gele bal en de baan (c) van de rode bal?

3 4

a

5 6

In symbolen:

7 8

Eigenschap

Loodrechte rechten

9

Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte,

10 11 12

264

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

a ⊥ b c ⊥ b

冎

dan a

c

Eigenschap 3 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.

R

W

b

Teken de baan (c) van de rode bal die de baan (b) van de witte bal snijdt.

Wat is de onderlinge ligging van de baan (c) van de rode bal en de baan (a) van de gele bal?

G

a

In symbolen:

Eigenschap

a 兾兾 b c 兾兾\ b

冎

dan c

a

Snijdende rechten Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt,

Eigenschap 4 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.

R

W

b

Teken de baan (c) van de rode bal die loodrecht staat op de baan (b) van de witte bal.

Wat is de onderlinge ligging van de baan (c) van de rode bal en de baan (a) van de gele bal?

G

a

In symbolen:

Eigenschap

a 兾兾 b c ⊥ b

冎

dan c

a

Loodrechte rechte Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten,

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

265

OEFENINGEN REEKS B 30

Bij een atletiekpiste stellen de lijnen a, b en c evenwijdige rechten voor. Je tekent de lijn d loodrecht op a. Wat is de onderlinge ligging van b en d?

Verklaar je antwoord aan de hand van een eigenschap. a

b

c

â&#x20AC;˘ Onderlinge ligging van b en d:

â&#x20AC;˘ Eigenschap:

d

31

Evenwijdige rechte tekenen met de geodriehoek.

A Soms is je geodriehoek te klein om de evenwijdige onmiddellijk te tekenen.

e

manier 1

1

eigenschap:

2 3 4 5

manier 2

6 7 8

eigenschap:

9 10 11 12

266

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

Leg uit hoe je met deze geodriehoek de evenwijdige aan e door A kunt tekenen.

Er zijn twee manieren om dat te doen.

Vermeld telkens de eigenschap die je gebruikt.

32

Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy , yy\ of ⊥. a) Als a ⊥ b en b ⊥ c, dan a

c.

b) Als a 兾兾 b en b 兾兾\ c, dan a

c.

c) Als a ⊥ b en b 兾兾 c, dan a

c.

d) Als a ⊥ b en b

c, dan a 兾兾 c.

e) Als a 兾兾 b en b

c, dan a 兾兾 c. b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.

f) Als a

REEKS C 33

34

Zijn de volgende uitspraken altijd juist, soms juist of altijd fout? altijd juist

soms juist

altijd fout

a) Als a 兾兾 b en b 兾兾 c, dan a 兾兾 c.

❒

❒

❒

b) Als a ⊥ b en b 兾兾 c, dan a ⊥ c.

❒

❒

❒

c) Als a 兾兾\ b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.

❒

❒

❒

d) Als a 兾兾 b en a 兾兾\ c, dan b 兾兾\ c.

❒

❒

❒

e) Als a 兾兾\ b en a 兾兾\ c, dan b ⊥ c.

❒

❒

❒

f) Als a ⊥ b en a ⊥ c, dan b 兾兾 c.

❒

❒

❒

g) Als a 兾兾\ b en b 兾兾\ c, dan a 兾兾 c.

❒

❒

❒

Hoe kan Harry aan de hand van een handzaag en een potlood controleren of de randen a en b van de plank evenwijdig zijn?

b a

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

267

7.4 Afstand 7.4.1 Afstand tussen twee punten Meet de afstand tussen A en B op de printplaat.

A

De afstand tussen A en B bedraagt Notatie: d (A, B) =

mm.

mm

Opmerkingen • Voor de keuze van de letter d in de notatie voor afstand denk je aan het Franse of Engelse woord voor afstand:

B

• De afstand tussen A en B komt overeen met de lengte van het lijnstuk [AB]. d (A, B) = 兩AB兩 =

mm

7.4.2 Afstand tussen een punt en een rechte Elise wandelt van E aan de vijver naar het tuinpad t.

Op de figuur zijn drie mogelijke wandelwegen aangeduid.

Meet de afstanden op de tekening.

t A B

E

C

• d (E, A) =

mm

• d (E, B) =

mm

• d (E, C) =

mm

Welke wandelweg moet Elise nemen om via de kortste weg het tuinpad te bereiken?

1 2

Wat is de onderlinge ligging van het lijnstuk dat de kortste wandelweg voorstelt en t?

3 4 5 6 7

Definitie

De afstand van een punt tot een rechte

8

De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; 9

dat is de afstand

10 11 12

268

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

Om de afstand van een punt A tot een rechte b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk: • Teken de loodlijn door A op b.

A

• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je V. Het snijpunt van de loodlijn en de rechte noem je het voetpunt.

• Meet de afstand tussen A en het voetpunt V. d (A, b) = d (A, V) =

b

mm

7.4.3 Afstand tussen twee evenwijdige rechten a

b B

De breedte van de straat wordt bepaald door de afstand tussen a en b. Duid de juiste uitspraak aan.

❒ d (a, b) = d (A, B)

A C

❒ d (a, b) = d (C, D) ❒ d (a, b) = d (E, F) D

E

Definitie

F

Hoeveel bedraagt de breedte van de straat op de tekening? d (a, b) =

mm

De afstand tussen twee evenwijdige rechten De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand

Om de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk: • Kies A op a.

a

• Teken de loodlijn door A op b.

• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je B. • Meet de afstand tussen A en B. d (a, b) = d (A, B) =

b

mm

Opmerking De afstand tussen twee snijdende rechten kun je niet bepalen.

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

269

OEFENINGEN REEKS A 35

Bepaal de afstand tussen A en B. a)

d)

c)

b) A

B

B

A

A B B A

mm

mm

mm

Bepaal op de kaart de afstand in vogelvlucht tussen de punten en het Albertkanaal, voorgesteld door de rechte a.

N1

36

mm

4 1

3

Merksem 5 N12

5,5

O

N12

S

5

Schilde Vrieselhof

5

Deurne

M

E

Wijnegem

17

A13

1

Oelegem E34

V

Eenhoorn

6

Borgerhout

4

R1 1

Berchem

Wommelgem

N116 3,5

5

19 4

B

Borsbeek

Drie Masten

a Bossensteen 1

3

W

18

3

3

2

2

6 7 8 9

a) B

mm

c) S

mm

e) W

mm

b) M

mm

d) V

mm

f) E

mm

10 11 12

270

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

REEKS B 37

Bepaal de afstanden. a) d (A, B)

=

mm

e) d (A, D)

=

mm

b) d (A, C)

=

mm

f) d (C, B)

=

mm

c) d (D, E)

=

mm

g) d (C, D)

=

mm

d) d (B, B)

=

mm

h) d (B, E)

=

mm

A C D B

38

E

Afstand tussen twee punten op een elektronisch circuit a) Benoem de punten B, C, D en E met behulp van de gegeven afstanden.

A

d (A, B) = 73 mm

d (B, D) = 26 mm

d (A, C) = 45 mm

d (C, E) = 57 mm

b) Bepaal nu de volgende afstanden.

39

• d (A, D)

=

mm

• d (A, E)

=

mm

• d (B, C)

=

mm

• d (B, E)

=

mm

• d (C, D)

=

mm

De kaart van België is op schaal 1: 4 000 000 afgebeeld.

Bepaal de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen de steden.

Turnhout

Gent Roeselare

a) Turnhout en Arlon

Antwerpen

Brugge

Mechelen Aalst

Hasselt Brussel Liège

Mons

Charleroi

Namur Marche-en-Famenne

b) Hasselt en Brugge Arlon

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

271

40

Bepaal de afstanden.

D

a

A

a) d (A, a) =

mm

e) d (B, c) =

mm

b) d (B, a) =

mm

f) d (D, a) =

mm

c) d (C, b) =

mm

g) d (C, c) =

mm

d) d (D, b) =

mm

h) d (E, b) =

mm

b C B E

c

41

Teken A, B, C en D.

a) d (A, a) = 40 mm b) d (B, a) = 15 mm c) d (C, a) = 34 mm

a

42

d) d (D, a) = 28 mm

Bepaal, indien mogelijk, de afstanden.

e a b

c 1

d

2

f

a) d (a, b) =

mm

f) d (c, d)

=

mm

b) d (a, c) =

mm

g) d (d, d) =

mm

c) d (a, f)

=

mm

h) d (e, f)

=

mm

d) d (b, c) =

mm

i) d (b, e)

=

mm

e) d (b, d) =

mm

j) d (a, d)

=

mm

3 4

43

5

De middellijn en een volle witte lijn op de rechterspeelhelft van het rugbyveld werden niet aangeduid. Teken de ontbrekende spellijnen met de geodriehoek.

6 7 8 9 10 11 12

272

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

44

Teken b, c, d en e.

a) d (b, a) = 20 mm b) d (c, a) = 10 mm c) d (d, a) = 25 mm d) d (e, a) = 32 mm a

45

Het stratenplan van een deel van de Tuinwijk is getekend op schaal 1: 1 000.

Bepaal de gevraagde afstanden in werkelijkheid.

Le lie str aa t

a) de breedte van de Tulpenweg

An jel ier en str aa t

b) de afstand tussen de Tulpenweg en de Rozendreef

Irisweg

Tulpenweg

c) de breedte van de Irisweg

Rozendreef

46

Vul de tabel aan en teken a, b, A en B met de afmetingen uit de tabel. tekening a

b

2 cm

1 cm 5 cm

A B

B

3 cm

a b

A

5 cm

1 cm

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

273

47

Bepaal de afstanden.

A a B

b

C d c

D

F

E e

h

f

48

g

a) d (a, b) =

mm

k) d (A, B) =

mm

b) d (A, b) =

mm

l) d (e, f) =

mm

c) d (b, c) =

mm

m) d (C, c) =

mm

d) d (A, C) =

mm

n) d (B, h) =

mm

e) d (a, c) =

mm

o) d (d, h) =

mm

f) d (d, g) =

mm

p) d (D, F) =

mm

g) d (F, e) =

mm

q) d (E, F) =

mm

h) d (D, g) =

mm

r) d (E, h) =

mm

i) d (F, h) =

mm

s) d (B, E) =

mm

j) d (E, f) =

mm

t) d (A, a) =

mm

Appelteler Joris vraagt aan 80 jongeren welk stuk fruit ze het liefst eten.

Ze kunnen tussen vijf soorten fruit kiezen.

Aan de hand van het diagram hieronder publiceert Joris de resultaten van het onderzoek.

Het aantal jongeren wordt voorgesteld door de hoogte van het blokje per fruitsoort. a) Vul de tabel in die de resultaten van het onderzoek weergeeft. fruitsoort

aantal jongeren

sinaasappel sinaasappel druif 1

banaan

2

kiwi appel

3

druif banaan kiwi

4

appel

5 6

totaal

7 8

b) Het diagram van appelteler Joris is misleidend.

Waarom plaatst Joris de fruitsoorten niet van boven naar beneden in alfabetische volgorde?

9 10 11 12

274

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

STUDIEWIJZER Hoeken en rechten 7.1 Hoeken indelen volgens de hoekgrootte KENNEN Een nulhoek is een hoek van 0°.

Een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0°, maar kleiner dan 90°.

Een rechte hoek is een hoek van 90°.

Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90°, maar kleiner dan 180°.

Een gestrekte hoek is een hoek van 180°.

Een inspringende hoek is een hoek die groter is dan 180°, maar kleiner dan 360°.

Een volle hoek is een hoek van 360°.

KUNNEN Een hoek indelen volgens de hoekgrootte.

Een inspringende hoek tekenen.

7.2 De bissectrice van een hoek KENNEN De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

KUNNEN De bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek.

De bissectrice van een hoek herkennen.

De bissectrice van een hoek gebruiken in toepassingen.

7.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen KENNEN Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte.

Door een punt gaat juist één rechte die loodrecht staat op een gegeven rechte.

De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk.

Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig.

Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig.

Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere.

Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere.

KUNNEN Een evenwijdige rechte met een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek.

Een loodlijn op een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek.

De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek.

De middelloodlijn van een lijnstuk herkennen.

De middelloodlijn van een lijnstuk gebruiken in toepassingen.

Eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand toepassen.

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN

275

7.4 Afstand KENNEN De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; dat is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op die rechte.

De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand van een punt van de ene rechte tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op de andere rechte.

KUNNEN De afstand van een punt tot een rechte meten met de geodriehoek.

De afstand tussen twee evenwijdige rechten bepalen met de geodriehoek.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

276

HOOFDSTUK 7 I HOEKEN EN RECHTEN