Proefhoofdstukken Pienter 1 (editie 2019) - Hoofdstuk 8 en 9

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

8.1

De gehele getallen

8.2 Bewerkingen met gehele getallen 8.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen 8.4 Volgorde van de bewerkingen met gehele getallen Studiewijzer Pienter problemen oplossen

₂₅₈ ₂₆₇ ₂₈₈ ₃₀₁ ₃₀₆ ₃₀₈

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

257

8.1

De gehele getallen

8.1.1 Definitie Welk getal hoort bij de omschrijving?

De kruin van deze boom is zes meter hoog.

De wortels van deze boom zitten vijf meter onder de grond.

Julius Caesar werd vermoord in het jaar 44 voor Christus.

In deze diepvries is het 18 graden onder nul.

2 000 000 1 500 000 1 000 000

–1 000 000

2

Definitie

2019

2018

2017

2016

2015

In 2017 maakte het bedrijf 1 500 000 euro winst.

–1 500 000

1

2014

–500 000

2013

0

2012

500 000

In 2019 maakte het bedrijf plots 1 000 000 euro verlies.

Geheel getal Een geheel getal is

3 4 5 6 7 8

Opmerking +7

is een positief geheel getal.

Het toestandsteken is niet noodzakelijk.

Nul is zowel negatief als positief.

Een toestandsteken is niet noodzakelijk.

−12

9 10 11

0 = −0 = +0

12 13

258

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

De verzameling van de gehele getallen stel je voor met ⺪.

De verzameling van de gehele getallen kun je geven door opsomming ⺪={

of

met een venndiagram.

}

8.1.2 Deelverzamelingen van ⺪ Deelverzamelingen van ⺪ die vaak gebruikt worden, zijn: ⺪0

is de verzameling van de gehele getallen zonder 0; ⺪0 = {

⺪+

is de verzameling van de positieve gehele getallen; ⺪+ = {

⺪−

}

}=

is de verzameling van de negatieve gehele getallen; ⺪− = {

}

− en dan natuurlijk ook nog ⺪+ 0 en ⺪ 0 .

Negatieve getallen werden voor het eerst gebruikt in China, in de eerste eeuw voor Christus.

Om het onderscheid te maken tussen positieve en negatieve getallen, werden kleuren gebruikt: positieve getallen werden in het rood geschreven, negatieve in het zwart.

In de zevende eeuw werden negatieve getallen in India ingevoerd, vooral om te kunnen rekenen met schulden. Vanaf de achtste eeuw namen de Arabieren die werkwijze over. Het duurde nog een paar honderd jaar vooraleer ook Europa kennismaakte met negatieve getallen via vertalingen van Arabische en Indische geschriften.

In Europa botsten de negatieve getallen op nogal wat tegenstand. Van bewerkingen die leidden tot negatieve resultaten, zei men dat er geen oplossingen waren. Het idee dat er getallen bestonden die kleiner waren dan niets (0), werd als absurd bestempeld. Zo durfde Blaise Pascal (verantwoordelijk voor de eenheid van druk en de eerste rekenmachine) de negatieve getallen niet bij naam te noemen, omdat hij dacht dat ze het werk van de duivel waren.

Pas in de 17e eeuw begon het verzet tegen de negatieve getallen geleidelijk aan af te nemen.

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

259

8.1.3 De absolute waarde

Definitie

Als het −5ºC is,

dan vriest het

graden Celsius.

Als er –23 euro op Niels’ rekening staat,

dan heeft hij

euro schulden.

Als je met de lift van verdieping 0 naar +2 gaat,

dan ben je

verdiepingen gestegen.

Absolute waarde De absolute waarde van een getal is

Notatie: 兩−3兩 = 3

Lees: De absolute waarde van −5 is De absolute waarde van +7 is

Schrijf: 兩–5兩

=

Schrijf:

=

8.1.4 Tegengestelde getallen De getallen −7 en +7 hebben dezelfde absolute waarde, namelijk Getallen met dezelfde absolute waarde en een verschillend toestandsteken, noem je tegengestelde getallen.

Definitie

Tegengestelde Het tegengestelde van een geheel getal is

1

Notatie: −(−3)

2 3 4

Lees: Het tegengestelde van −5 is

5

Het tegengestelde van +7 is

6 7 8 9 10 11 12 13

260

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

Schrijf: −(−5)

=

Schrijf:

=

8.1.5 Ordenen en getallenas Bij de gehele getallen loopt de getallenas langs beide kanten oneindig ver door.

De negatieve getallen zijn allemaal kleiner dan 0 en liggen dus vóór 0.

Ga je naar rechts op de getallenas, dan worden de getallen steeds groter.

Ga je naar links, dan worden ze steeds kleiner.

–5 ...

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5

...

Opmerking 8 –8

2 –2

en maar

兩8兩

兩2兩

3

5

兩–8兩

兩–2兩

–3

–5

en maar

兩3兩

兩5兩

兩–3兩

兩–5兩

De ordening van twee negatieve gehele getallen keert om als je de absolute waarde neemt.

Voor alle negatieve getallen a en b geldt: a ⬍ b ⇒ 兩a兩

兩b兩

8.1.6 Negatieve coördinaatgetallen De negatieve getallen op de getallenas gebruik je om het assenstelsel uit te breiden. y

Op de horizontale as staan de positieve getallen rechts van de oorsprong, de negatieve getallen links van de oorsprong.

A

Op de verticale as staan de positieve getallen boven de oorsprong, de negatieve getallen onder de oorsprong.

1 –1 0 –1

x 1

Bepaal de coördinaat van A: co(A) = (

B

,

)

Bepaal de coördinaat van B: ,

co(B) = (

)

Teken de volgende punten: C(0, −8) D(−4, −2)

De horizontale en verticale as verdelen het vlak in vier stukken die je kwadranten noemt.

Je spreekt over: het eerste (I), tweede (II), derde (III) en vierde (IV) kwadrant.

II (–, +) III (–, –)

E(−7, 4) F(3, 5) y

I (+, +)

x

IV (+, –)

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

261

Oefeningen REEKS A 1

2

3

Zoek telkens een situatie die te maken heeft met de volgende getallen. a)

−2

Onze wagen staat ondergronds geparkeerd op niveau –2.

b)

−8

c)

−268

d)

+19

e)

−20

Welk getal hoort bij de omschrijving? a)

Sara heeft 50 euro schulden bij Joppe.

b)

Onze hotelkamer bevindt zich op de derde verdieping.

c)

De thermometer geeft 12 graden onder nul aan.

d)

Het diepterecord duiken zonder luchtflessen bedraagt 152 meter.

e)

Thales van Milete werd geboren rond 624 voor Christus.

Kleur alle hokjes waarin een geheel getal staat.

0,2

2,36

5,98

−0,25

−6,35

−8,5

9,36

4,19

−8,9

−6,01

4,02

−2,5

5

25,0

−9

487

6,35

80

789

438

−759

6,98

3,6

−8

−0,5

5,9

4,6

5,89

−69

23,1

5,6

44,5

−1,89

1

4,8

648

0,85

56,6

−8,8

−8,5

−789

45,6

−6,9

65,9

–4,8

2

9,3

0

2,6

–4,5

−9,6

−9,11

147

89,5

−55,5

111,1

−0,85

3

4,67

−259

9,74

465

–4

–4,6

63

−5,8

1 000

−86

6,39

4

−0,5

2

−9,3

11,1

−8

7,35

−132

89,6

312,2

47

−8,9

5

−9,7

−69

−6,9

9,34

6

8,3

−56

7,9

−89,4

−632

45,2

6

−10,1

635

13

513

951

4,7

984

−658

−359

91

−9,35

7

6,8

8,9

−6,25

–4,87

23,5

−9,9

−0,6

−8,95

−99,1

4,6

8,92

8 9 10

4

Bepaal de absolute waarde.

11

a) 兩−5兩 =

c) 兩+7兩

12

b) 兩+2兩 =

d) 兩−9兩 =

13

262

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

=

e) 兩+9兩 =

g) 兩−25兩 =

兩−88兩 =

h) 兩+29兩 =

f)

5

6

Bepaal het tegengestelde. a) −(−6) =

c) −(+9) =

e) −(−25) =

g) −(−9) =

b) −(+5) =

d) −(+2) =

f) −(+8) =

h) −(+27) =

Bepaal de coördinaat van de gegeven punten in het assenstelsel. a)

co(A)

=(

,

)

b)

co(B)

=(

,

)

c)

co(C)

=(

,

)

y

D

d)

co(D)

,

=(

C

1 1

A

7

e)

co(E)

=(

,

)

f)

co(F)

=(

,

)

x

F

–1 0 –1

)

B

E

Plaats de punten waarvan de coördinaat gegeven is in het assenstelsel. a)

co(A)

= (2, –4)

b)

co(B)

= (7, 0)

c)

co(C)

= (−2, −5)

d)

co(D)

= (0, −4)

e)

co(E)

= (−1, 5)

f)

co(F)

= (−5, 0)

y

1

x

–1 0 –1

1

REEKS B 8

Vul in met ⬍ , ⬎ of =. a)

−3

5

d)

5

+5

g)

−9

−8

j)

−8

−7

b)

7

2

e)

−12

−15

h)

+3

0

k)

−5

–4

c)

0

−9

f)

−30

−25

i)

+4

8

l)

8

−7

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

263

9

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

a)

–13

b)

–52

c)

0

d)

10

11

1 2

–12

–2

–51

1

–1

Rangschik de getallen van klein naar groot. −7 ⬍

a)

−5, 8, −6, 0, 12 en −7

b)

45, −78, −1, −5, 4 en −35

c)

–4, −8, −5, −10, −7 en −6

d)

1, −1, 5, −5, 6, −9 en −3

Vul in met ∈ of ∉.

3 4

⺪

j)

−45

h)

0

⺪0

k)

6 3

i)

5

⺪+ 0

l) −1,4

a)

−7

⺪

d) 0,5

⺪

g)

b)

+2

⺪0

e)

8

⺪−

c)

0

⺪+

f)

12

⺪+

−

⺪− ⺪ ⺪− 0

3 4 5 6

12

Vul in met ⊂ of ⊄. a)

N

⺪

f)

{−4, −3, −2, −1, 0}

⺪−

b)

⺪

⺪0

g)

⺪−

⺪+

c)

⺪+ 0

⺪+

h)

N0

⺪+

d)

⺪+

⺪

i)

⺪−

⺪0

e)

{0}

⺪+ 0

j)

{−12, −6, −3}

⺪− 0

7 8 9 10 11 12 13

264

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

13

Benoem en bepaal telkens de coördinaat op de gegeven figuur. y

a)

zwarte bal:

co(Z) = (

,

)

b)

rode bal:

co(R) = (

,

) 1

14

15

c)

witte bal:

co(W)= (

,

)

d)

gele bal:

co(G) = (

,

)

e)

top van de keu (blauw):

co(B) = (

,

)

x

0

1

Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming.

A = {x

僆

⺪ 兩 −2 ⬍ x ⬍ 5}

A ={

}

B = {x

僆

⺪ 兩 −5 ⭐ x ⬍ 2}

B ={

}

C = {x

僆

⺪ 兩 −7 ⬍ x ⭐ −3}

C ={

}

D = {x

僆

⺪ 兩 −5 ⭐ x ⭐ −3}

D ={

}

E = {x

僆

⺪ 兩 −42 ⭐ x ⬍ −39}

E ={

}

Bereken. Zoek de passende coördinaat voor elk punt in de tabel.

Zet de punten in het assenstelsel en verbind de punten A tot en met E en de punten G tot en met L in alfabetische volgorde.

A

7ⴢ8

=

D

145 – 86 =

G

154 −78 =

J

13 ⴢ 5

B

33 + 38 =

E

12 ⴢ 6

H

9ⴢ6

=

K

28 + 46 =

C

201 : 3 =

I

252 : 4 =

L

17 ⴢ 3

=

50 →

(−1, 5)

60 →

(−2, −2)

70 →

→

(5, −3)

61

→

(−3, –4)

71

→

(−5, 4)

52 →

(4, 0)

62 →

(–4, 3)

72

→

(−5, −3)

53 →

(−3, 2)

63 →

(2, 1)

73

→

(4, −1)

54 →

(2, −3)

64 →

(4, –4)

74

→

(3, 2)

1

55 →

(–4, 2)

65 →

(5, 4)

75

→

(−3, 0)

0

56 →

(−5, −3)

66 →

(−1, 4)

76

→

(2, 4)

(−5, 3)

67

→

(−2, 4)

77

→

(–4, −2)

58 →

(3, 3)

68 →

(−2, 2)

78 →

(−1, −3)

59 →

(−2, −3)

69 →

(5, 3)

79

→

(−5, −2)

51

57

→

(2, 0)

=

=

y

x 1

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

265

REEKS C 16

17

18

Vul in met ⬍ , ⬎ of = . a)

−(+5)

−(−3)

d)

−18

兩−18兩

g)

−9

−(兩7兩)

b)

15

兩−25兩

e)

−(−5)

−5

h)

−8

−(兩−6兩)

c)

−(+5)

4

f)

+6

−(+8)

i)

–(兩−5兩)

−(−5)

Bepaal de coördinaat van het punt D zodat de vierhoek ABCD een rechthoek is. a)

co(A) = (4, 7)

co(B) = (4, −5)

co(C) = (−1, −5)

⇒

co(D) = (

,

)

b)

co(A) = (−2, 6)

co(B) = (0, 6)

co(C) = (0, −2)

⇒

co(D) = (

,

)

c)

co(A) = (9, −8)

co(B) = (5, −8)

co(C) = (5, −5)

⇒

co(D) = (

,

)

,

)

Bepaal de coördinaat van de punten C en D zodat de vierhoek ABCD een vierkant is. a)

co(A) = (–4, 4)

co(B) = (–4, –4)

b)

Hoeveel oplossingen zijn hier mogelijk?

co(C) = (

,

)

co(D) = (

1 2 3

19

Bepaal. a)

⺪+ ∪ ⺪−

=

f)

⺪\N

=

b)

⺪− 0 ∪ {0}

=

g)

− ⺪+ 0 ∩ ⺪

=

c)

⺪+ ∩ ⺪−

=

h)

⺪ + ∩ {−2, −1, 0, 1, 2}

=

d)

⺪∩ N

=

i)

⺪0 ∪ ⺪−

=

e)

⺪ \ ⺪− 0

=

j)

⺪+ \ ⺪−

=

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

266

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

8.2

Bewerkingen met gehele getallen

8.2.1 De optelling Zet de zinnen om naar een optelling van twee gehele getallen. Bereken de som.

Werkwijze

Mo heeft zeventien cd’s.

Voor zijn verjaardag krijgt hij er nog eens twee cadeau.

Op 15 januari was het ’s morgens −3 ºC. In de loop van de voormiddag steeg de temperatuur met acht graden.

Bram heeft twee zichtrekeningen.

De huidige rekeningstand op de ene rekening is −50 euro, op de andere −70 euro.

Het bedrijf maakte eerst 10 000 euro winst, gevolgd door een verlies van 2 500 euro in de tweede helft van het jaar.

Twee getallen met hetzelfde teken

Twee getallen met een verschillend teken

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:

• bereken de som van de absolute waarden;

• bereken het verschil van de absolute waarden;

• behoud het teken.

• behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde.

Voorbeelden (+7) + (+2) =

(+7) + (−2) =

(−7) + (−2) =

(−7) + (+2) =

Opmerkingen • 0 heeft geen invloed op de optelling.

(–4) + 0 =

0 + (+5) =

0 + (−3) =

(+7) + 0 =

• Als je een getal en zijn tegengestelde optelt, is het resultaat altijd 0. (+5) + (−5) =

(−6) + (+6) =

REKENMACHINE Bij het invoeren van negatieve getallen moet je er goed op letten dat je het toestandsteken ‘(−)’ en niet het bewerkingsteken ‘–’ indrukt.

Voorbeeld: 6 + (−9) =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

267

Oefeningen REEKS A 20

21

22

Bereken de som. a)

(+5) + (+3) =

d)

(−9) + (−6) =

g)

(−6) + (+3) =

b)

(+7) + (−2) =

e)

(+8) + (+6) =

h)

(+3) + (−5) =

c)

(−8) + (+5) =

f)

(−7) + (−9) =

i)

(−2) + (−9) =

Bereken de som. a)

(−3) + (−12) =

f)

(+15) + (−19) =

b)

(+16) + (+2) =

g)

(+13) + (+14) =

c)

(–4) + (+18) =

h)

(−14) + (−12) =

d)

(−12) + (−9) =

i)

(−11) + (−15) =

e)

(−5) + (−17) =

j)

(+16) + (−16) =

Bereken. a)

(−177) + (−59) =

c)

(+157) + (+74) =

b)

(−162) + (+175) =

d)

(+16) + (−162) =

1 2 3 4 5

REEKS B

R

23

Bereken de som. a)

(−13) + (–48) =

f)

(−62) + (−25) =

b)

(+26) + (−12) =

g)

(+87) + (− 58) =

c)

(+14) + (+58) =

h)

(−36) + (–47) =

d)

(−32) + (−19) =

i)

(–48) + (+25) =

e)

(+59) + (−12) =

j)

0 + (–43) =

6 7 8 9 10 11 12 13

268

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

24

Kleur de letters bij de opgaven die leiden tot een negatieve som.

A

(+465) + (−5 312)

I

(–4 569) + (+8 999)

Q

(−2 356) + (+6 987)

B

(−795) + (−9 359)

J

(+568) + (+3 189)

R

(+167) + (−3 915)

C

(+456) + (+1 516)

K

(−214) + (+365)

S

(+97 256) + (−9 582)

D

(+963) + (−782)

L

(+28 256) + (−8 998)

T

(−56 985) + (+100 000)

E

(–4 562) + (+9 875)

M

(−569) + (+9 299)

U

(+816) + (+3 879)

F

(+534) + (+1 223)

N

(−548) + (+6 354)

V

(−345) + (−7 812)

G

(−279) + (+862)

O

(−876) + (−735)

W

(–46 589) + (+87 002)

H

(+5 798) + (−2 999)

P

(+254) + (+6 845)

X

(−3 598) + (+6 548)

Maak een woord met de gekleurde letters:

25

Een wrak van een schip ligt 12 m onder de zeespiegel. De bergers halen het 8 m omhoog.

Op welke diepte ligt het schip nu?

Antwoordzin:

26

Om een boompje te planten, heeft Karel een put van 50 cm gegraven.

Het boompje is 135 cm lang. Hoeveel zal de boom boven de grond uitsteken?

Antwoordzin:

27

Met Kerstmis was het ’s morgens −3 ºC. Tegen de middag was de temperatuur met 7 ºC gestegen. Hoe warm was het die middag?

Antwoordzin:

28

Een diepzeeduiker bevindt zich 5 m onder het wateroppervlak. Hij duikt nog 7 m dieper.

Op welke diepte bevindt hij zich nu?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

269

8.2.2 De aftrekking Schrijf de zinnen als een aftrekking van twee gehele getallen. Bereken het verschil.

Schrijf de zinnen ook als een optelling van twee gehele getallen met hetzelfde resultaat.

In de namiddag is het 14 ºC. ’s Avonds daalt de temperatuur met 6 ºC.

Tijdens de dag is het 5 ºC onder nul. ’s Nachts daalt de temperatuur met 4 ºC.

(+14)

−

(+6)

=

–

=

(+14)

+

(−6)

=

+

=

Het verschil tussen een binnentemperatuur van 21 ºC en een buitentemperatuur van −3 ºC.

Het verschil tussen een dagtemperatuur van −2 ºC en een nachttemperatuur van −7 ºC.

Vaststelling

–

=

–

=

+

=

+

=

Verschil van twee gehele getallen Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en

In symbolen: a – b =

Je kunt elke aftrekking van gehele getallen schrijven als een optelling van gehele getallen.

1 2 3 4

Voorbeelden Schrijf de aftrekkingen eerst als een optelling en bereken. (+7) – (+2) =

(+7) – (−2)=

=

=

(−7) – (−2)=

(−7) – (+2)=

=

=

5 6 7 8 9 10 11 12 13

270

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS A 29

30

Schrijf de aftrekking als een optelling. a)

(+9) – (+2) =

e)

(+3) – (+8) =

b)

(−8) – (−7) =

f)

(+6) – (−9) =

c)

(−5) – (+9) =

g)

0 – (−9)

d)

(−5) – (−8) =

h)

(−8) − (+8) =

=

Schrijf als een optelling en bereken. a)

(+2) – (−8) = (+2) + (+8)

=

e)

(−15) – (−8) =

=

b)

(−3) – (+9) =

=

f)

(−7) – (+5) =

=

c)

(+5) – (−12) =

=

g)

(+18) – (−7) =

=

d)

(−7) − (−14) =

=

h)

(−17) − (+8) =

=

REEKS B

R

31

Schrijf als een optelling en bereken. a)

(−21) − (−33) =

f)

(+27) − (−19) =

b)

(−32) − (+17) =

g)

(−28) − (−11) =

c)

(+25) − (−18) =

h)

(−15) − (+23) =

d)

(−22) − (+28) =

i)

(−24) − (−23) =

e)

(−34) − (−16) =

j)

(−37) − (+29) =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

271

8.2.3 Praktische werkwijze voor de optelling en de aftrekking Bereken en schrijf de opgave daarna zo eenvoudig mogelijk.

(+7) + (+5)

(+5) – (−2)

(+6) + (–4)

(+2) – (+6)

= 12

=

=

=

=7+5

=

=

=

Het wegwerken van de haakjes is de eenvoudigste manier om een som of een verschil te berekenen.

Regel voor het wegwerken van haakjes + (+) →

− (−) →

+ (−) →

− (+) →

Twee gelijke opeenvolgende tekens

Twee verschillende opeenvolgende tekens

vervang je door een

vervang je door een

Voorbeelden Werk de haakjes weg en bereken. (+3) + (+7)

=3+7

=

(+5) – (+7)

=5–7

=

(+5) – (−6)

=

=

(+3) + (−9)

=

=

(−7) – (−5)

=

=

(−6) – (+8)

=

=

(−9) + (+5)

=

=

(−2) + (−7)

=

=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

272

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS A 32

R

33

34

Schrijf zonder haakjes. a)

(−7) + (−9) =

d)

(−6) − (−2) =

b)

(+2) − (+4) =

e)

(+8) + (−5) =

c)

(−5) + (+1) =

f)

(−3) − (−7) =

Schrijf zonder haakjes en bereken. a)

(+11) + (−19) =

g)

(−18) − (+15) =

b)

(−3) + (+17) =

h)

(−12) + (+7) =

c)

(−8) + (−17) =

i)

(+17) − (−3) =

d)

(−16) + (+4) =

j)

(−7) + (+15) =

e)

(−15) − (−16) =

k)

(+19) − (−2) =

f)

(−17) − (+5) =

l)

(−12) + (−18) =

Bereken. a)

(−235) + (−375) =

c)

(+613) + (−219) =

b)

(+361) – (−813) =

d)

(−256) – (–459) =

REEKS B 35

Bereken het verschil tussen het grootste en het kleinste geheel getal van 3 cijfers.

Antwoordzin:

€

36

Op Peters bankrekening staat 234 euro. Voor gas en elektriciteit moet Peter 413 euro betalen.

Wat is na die verrichting het nieuwe saldo op zijn rekening?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

273

37

Bereken telkens het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten temperatuur. dag

minimum

maximum

maandag

−2 ºC

+9 ºC

dinsdag

−1 ºC

+11 ºC

woensdag

+3 ºC

+13 ºC

donderdag

+2 ºC

+10 ºC

vrijdag

+1 ºC

+9 ºC

zaterdag

−2 ºC

+5 ºC

zondag

−7 ºC

−2 ºC

verschil

Op welke dag is dat verschil het kleinst?

38

Een duikboot vaart op een diepte van 200 m. De boot stijgt 75 m.

Op welke diepte vaart de duikboot verder?

Antwoordzin:

39 1 2

De hoogste temperatuur in de schaduw, op 13 september 1922 in Libië gemeten, bedroeg 58 ºC. De laagste temperatuur werd op 21 juli 1983 in Vostok, in het zuidpoolgebied, gemeten en ligt 147 graden Celsius lager. Hoe koud was het daar?

3 4

Antwoordzin:

5 6 7 8

40

De bekende Griekse wiskundige Pythagoras vierde zijn zesendertigste verjaardag in het jaar 539 voor Christus. In welk jaar werd hij geboren?

9 10 11 12

Antwoordzin:

13

274

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

41

In de Tongatrog (−9 055 m) in de buurt van Nieuw-Zeeland bevindt zich de hoogste zeeberg.

Zijn top steekt 8 690 m boven de zeebodem uit.

Op welke hoogte ten opzichte van de zeespiegel ligt de top van die zeeberg?

Antwoordzin:

42

Beantwoord de vragen met de gegevens uit het lijndiagram. temperatuur om het uur gemeten 8 7 6 5 4

temperatuur (°C )

3 2 1 0 –1 0 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 tijd (h)

43

a)

Wat is het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten waarde?

b)

Hoeveel graden steeg de temperatuur tussen 2 uur en 7 uur?

c)

Wat is het temperatuurverschil tussen 4 uur en 16 uur?

Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is. a) b)

+ (−5) = 3 0+

+ (−8) = −5

c) d) e)

= −12

(−7) +

=0 + (−5) = −13

f)

−5 –

g) h)

−13 –

i) j)

= −7

k)

– (−7) = −5

l)

=2 – 13 = −16

−18 –

=1

+ (−5) = 12 −8 –

m) n) o)

= −15 – (−7) = 10

−9 +

= 12 – (−6)= −13

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

275

8.2.4 De vermenigvuldiging Zet de zinnen om naar een vermenigvuldiging van gehele getallen. Bereken het product.

Salma heeft gedurende 5 dagen iedere dag 15 bladzijden gestudeerd.

Hannes moet nog aan 2 van zijn vrienden 7 euro terugbetalen.

Bereken de volgende producten.

2 ⴢ (−7) = (−7) + (−7) = 1 ⴢ (−7) = (−7) = 0 ⴢ (−7) = −1 ⴢ (−7) = −2 ⴢ (−7) = −3 ⴢ (−7) =

Voorbeelden (+7) ⴢ (+5) =

(−5) ⴢ (–4) =

(+6) ⴢ (−2) =

(−2) ⴢ (+8) =

(+) ⴢ (−) →

(−) ⴢ (+) →

Toestandsteken van het product (+) ⴢ (+) →

(−) ⴢ (−) →

1

Het product van twee factoren met

Het product van twee factoren met

2

eenzelfde teken is

een verschillend teken is

3 4

Kortere schrijfwijze van de vermenigvuldiging

5 6 7

(+8) ⴢ (+7) = (−5) ⴢ (−9) =

8ⴢ7

=

(+3) ⴢ (−8) =

=

(−7) ⴢ (+3) =

3 ⴢ (−8)

= =

8 9 10 11

Opmerking 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. (−6) ⴢ 1 =

12 13

276

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

1 ⴢ (+7) =

1 ⴢ (−8) =

(+4) ⴢ 1 =

Oefeningen REEKS A 44

45

46

Kleur de hokjes met een negatief product.

8 ⴢ 66

−5 ⴢ (−25)

59 ⴢ 16

32 ⴢ 489

32 ⴢ 566

−38 ⴢ (−8)

51 ⴢ 98

159 ⴢ 32

−5 ⴢ (−18)

6 ⴢ (−7)

–45 ⴢ (−8)

9 ⴢ 1 536

−56 ⴢ (−9)

423 ⴢ 7

51 ⴢ (−5)

−6 ⴢ (−9)

5 ⴢ 39

43 ⴢ 60

−2 ⴢ 8

−36 ⴢ (−3)

26 ⴢ 948

−8 ⴢ 19

−92 ⴢ (−2)

62 ⴢ 762

14 ⴢ 52

56 ⴢ 36

−5 ⴢ (−2)

7 ⴢ (−3)

77 ⴢ (−8)

25 ⴢ 348

557 ⴢ 47

−7 ⴢ (−23)

−74 ⴢ (−1)

−87 ⴢ (−5)

45 ⴢ 132

25 ⴢ (−9)

12 ⴢ (−3)

357 ⴢ 6

−2 ⴢ (−9)

−9 ⴢ (−11)

6 ⴢ 978

78 ⴢ 56

−78 ⴢ 6

−89 ⴢ (−1)

684 ⴢ 32

−3 ⴢ 16

−6 ⴢ (−55)

745 ⴢ 36

−12 ⴢ (−3)

81 ⴢ (−3)

951 ⴢ 25

156 ⴢ 823

87 ⴢ 367

−5 ⴢ (−19)

−2 ⴢ 325

11 ⴢ 222

78 ⴢ 32

45 ⴢ 65

−9 ⴢ (−13)

44 ⴢ 555

−98 ⴢ (−5)

35 ⴢ 981

8 ⴢ 63

−1 ⴢ (−1)

Bereken het product. a)

2 ⴢ (–4) =

e) 5 ⴢ (−8) =

i)

−3 ⴢ (−8) =

b)

−5 ⴢ 6

=

f) 9 ⴢ (−3) =

j)

5 ⴢ (−6) =

c)

1 ⴢ (−8)

=

g) −7 ⴢ (−9) =

k)

−7 ⴢ 7

d)

−7 ⴢ (−5) =

h) 7 ⴢ 8

l)

–4 ⴢ (−8) =

=

=

Bereken. a)

– 53 ⴢ (−26) =

c)

331 ⴢ (−7)

=

b)

– 27 ⴢ (−73) =

d)

– 15 ⴢ 63

=

REEKS B

R

47

Bereken het product. a)

12 ⴢ (−5)

=

f)

−3 ⴢ (−19) =

k)

14 ⴢ (−6)

b)

−16 ⴢ (–4) =

g)

– 12 ⴢ 10

l)

−11 ⴢ (−4) =

c)

– 15 ⴢ (−7) =

h)

−8 ⴢ (−15) =

m) −15 ⴢ (−9) =

d)

(−17) ⴢ 5

=

i)

7 ⴢ (−13)

=

n)

11 ⴢ (−13)

e)

11 ⴢ (−12)

=

j)

– 19 ⴢ (–4) =

o)

−12 ⴢ (−8) =

=

=

=

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

277

48

49

Schat het product en vind het wachtwoord.

465 ⴢ (−11)

=

H

−1 590

−89 ⴢ (−71)

=

S

−5 115

−144 ⴢ 60

=

D

8 512

98 ⴢ (−13)

=

R

−8 640

−78 ⴢ 35

=

T

−1 274

13 ⴢ (−210)

=

E

−2 730

36 ⴢ (−240)

=

O

6 319

Bereken. a) −5 ⴢ 18

50

=

c) −11 ⴢ (−7) =

e) −12 + (−9) =

g) 6 ⴢ (−15)

b) −17 + (−15) =

d) 8 – (−12) =

f) −8 + 17

h) −2 – (−15) =

=

=

Vul de tabel met gemiddelde minimummaandtemperaturen aan. maand

1

land Canada

2 −13

Zweden

-4

-6

Rusland

−13

−12

Groenland Noorwegen

3

−7

-2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

8

13

16

15

10

5

-1

-9

1

7

11

13

12

8

4

-1

-3

2

8

12

13

12

7

2

−3

−9

−23

−23

−17

−6

−1

3

3

−2

−6

−11

−7

−4

0

6

10

11

10

7

4

−2

1

a) In Canada is het in januari gemiddeld twee keer zo koud als in Noorwegen in die maand.

2

b) In Rusland is het in maart gemiddeld drie keer zo koud als in Zweden in die maand. c) In Groenland is het in december gemiddeld vier keer zo koud als in Zweden in januari.

3

d) In Groenland is het in januari gemiddeld vijf keer zo koud als in Noorwegen in maart.

4

e) In Canada is het in maart gemiddeld zes keer zo koud als in Zweden in november.

5 6

REEKS C

7 8 9

51

Noteer zo kort mogelijk. a)

(–4) ⴢ a

=

d)

a ⴢ (–b)

=

g)

−81 ⴢ (–c) =

b)

5 ⴢ (–b)

=

e)

(–a) ⴢ b

=

h)

(–a) ⴢ (–b) =

c)

(–b) ⴢ (−8) =

f)

16 ⴢ x

=

i)

–d ⴢ 0

10 11 12 13

278

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

=

−5

8.2.5 De deling Er is een verband tussen de vermenigvuldiging en de deling. a)

(+24) : (+8)

=3

omdat

b)

(−36) : (+3)

=

omdat

c)

(+32) : (−4)

=

omdat

d)

(−28) : (−7)

=

omdat

(+3) ⴢ (+8) = 24

Voorbeelden (+8) : (+4) =

(−8) : (−2) =

(−6) : (+2) =

(+9) : (−9) =

(−) : (+) →

(+) : (−) →

Toestandsteken van het quotiënt (+) : (+) →

(−) : (−) →

Het quotiënt van twee factoren met

Het quotiënt van twee factoren met

eenzelfde teken is

een verschillend teken is

Opmerkingen • Het quotiënt van twee gehele getallen is niet altijd een geheel getal.

−25 : 2

僆

⺪

• Delen door 0 is onmogelijk.

−17 : 0

僆

⺪

Schrijfwijze van de deling • Kortere schrijfwijze (+28) : (+7) =

28 : 7

(−54) : (−9) =

=

(−27) : (+3) =

=

(+36) : (−4) =

−27 : 3

= =

• Breuknotatie Een deling kun je ook noteren met een breukstreep. −28 = −28 : 4 4 =

−72 −9

= =

56 −7

= =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

279

Oefeningen REEKS A 52

Schrijf in elk vakje het teken van het quotiënt. −3

:

−4

1

4

−2

−1

6

−6

3

−360 156 −252 468

53

54

Bereken het quotiënt. a)

−36 : 4

=

d)

56 : (−8) =

g)

−64 : (−8)=

b)

28 : (−7) =

e)

24 : 3

h)

48 : (−6) =

c)

−54 : 6

f)

−42 : (−6)=

i)

−45 : 9

=

b) −221 : (−13) =

c) 12 012 : (−77) =

Zet een vinkje als het quotiënt een geheel getal is. a) 36 : (−1)

1

=

Bereken. a) −1 416 : (−24) =

55

=

❒

b) −39 : 6

❒

c) 72 : (−8)

❒

d) −45 : 0

2 3

REEKS B

4 5 6

R

56

Bereken het quotiënt. a)

−120 : (−5) =

f)

−68 : (–4) =

k)

48 : (−3)

=

b)

84 : 3

=

g)

−96 : (−8) =

l)

−24 : (−1) =

c)

−64 : 16

=

h)

0 : (−35)

m) −98 : 7

d)

−65 : 65

=

i)

−45 : (−3) =

n)

−84 : (−7) =

e)

−38 : 19

=

j)

42 : (−14) =

o)

92 : (−4)

7 8 9

=

=

10 11 12 13

280

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

=

❒

€

57

Het gaat niet altijd even goed met het bedrijf ‘Speelmobiel’.

In het diagram vind je de maandresultaten voor het jaar 2018.

4000 3000 2000 1000 4

5

6

9

12

0 1

2

3

7

8

10

11

–1000 –2000 –3000 –4000

a) In januari 2019 was het verlies de helft van het verlies in dezelfde maand van 2018. Hoeveel bedroeg het verlies? b) In maart 2019 was het verlies een zevende van het verlies in dezelfde maand van 2018. Hoeveel bedroeg het verlies? c) In april 2019 maakten ze opnieuw winst. De winst was een derde van de winst in april 2018. Hoeveel bedroeg de winst? d) In juli 2019 was het verlies een vijfde van het verlies in dezelfde maand van 2018. Hoeveel bedroeg het verlies?

58

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

a)

0

10

b)

–12

c)

–72

d)

e)

–52

–35

–18

0

0

–6

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

281

59

60

Bereken het quotiënt. a)

−66 = 3

d)

42 3

=

g)

−91 −7

=

b)

−92 = 4

e)

−65 = −13

h)

76 −4

=

c)

−57 3

f)

78 −6

i)

84 12

=

=

=

Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is. a)

−7 ⴢ

= −28

b)

e)

ⴢ (−4) = 16

f)

c)

−9 ⴢ

= 54

g)

d)

63 :

=–9

h)

−12 :

= −4

i)

ⴢ (−9) = 72

j)

5ⴢ

= −45 : (−8) = 7

: 6 = −7 −56 :

=8

k)

ⴢ (−8) = 0

l)

: (−6) = −9

REEKS C 61

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

a)

3

b)

1

c)

–17

36

13

13

1 2

d)

–20

22

3 4 5

62

Vul aan.

6 7

a)

−140

= −35

d)

−72

=6

g)

−4

= −21

−84

j) −(

= −7 )

8 9

b)

10

−9

=9

e)

= −12

f)

11 12

c)

−6

13

282

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

−6 −128

= 12

h)

= −8

i)

7 78

= 15

k)

= −13

l)

81

−5

= −3

= 21

8.2.6 Machten Inleiding 53

= 5

(−1) =

Rekenregel

5ⴢ5ⴢ5

= 125

(−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) =

3

=

4

=

(−2) = (−3) =

Macht van een positief en negatief getal • Een macht van een positief getal is altijd • Een macht van een negatief getal is positief als negatief als

Bijzondere machten 0

1

᭙a 僆 ⺪: a =

(−7) 0 =

᭙ Lees je als

.

:

.

Lees je als

᭙b 僆 ⺪: b 1 =

(−5) =

Opmerking 3

(−2) =

(−2) ⴢ (−2) ⴢ (−2)

4

(−2) =

=

−2 3 =

=

=

−2 4 =

=

Voorbeelden 7

2

(−1) =

(−3) =

−4 3 =

−5 2 =

REKENMACHINE Let goed op voor de haakjes bij het ingeven van machten in je rekenmachine.

2

Voorbeeld: (−36) =

Voorbeeld: −36 2 =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

283

Oefeningen REEKS A 63

64

Bereken de macht.

2

d)

(−3) =

2

e)

(−1)

0

f)

(+7)

3

a)

(−3) =

b)

(+6) =

c)

(−2) =

3

2

g)

(+4) =

5

=

h)

(−1)

6

1

=

i)

(−8) =

d)

(−4) =

g)

(+2) =

4

e)

(+7)

h)

(−2) =

3

f)

(−5) =

i)

(−3) =

=

2

Bereken. a)

(−9) =

b)

(−8) =

c)

(+6) =

6

4

=

3

8

12

5

REEKS B 65

Kleur alle hokjes met een negatief resultaat.

共−2兲

4

共−7兲

2

33

(−14) 3

−3 6

12

(−13)

(−12)

4

2

(−5)

5

(−1)

−15 4

47

(−11) (−7)

2

1

11

(−13)

2

(−9)

2

(−1)

3

(−12)

9

−2 11

13 9

−3 6

(−5)

0

(−2)

4

−9 8

(−7)

2

−5 2

33

68

(−6)

1 2

71

(−8)

3

4

12 3

1 17

8

75

(−15)

(−6)

2

(−9)

7

(−8)

7

(−9)

2

8

4

4 5 6

(−7) 85

(−2)

16 5

11 7

7 8 9 10 11

15 2 (−12)

(−9)

8

(−9)

5

−13

(−8)

6

(−11)

2

13 5

12 13

284

2

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

5

−4 4 8

3

87 (−1)

(−14) 8

−1 4

(−11)

3

35

(−6)

3

(−2)

6

−6 2

10

(−5)

6

(−2)

(−3)

1

(−7)

13

8

5

−4 8

(−11)

55

−3 5

85

4

−8 2

65

−12 2

(−8)

(−7)

(−7)

10

12 3

7

(−7)

8

(−9)

8

(−8)

6

R

66

67

Bereken.

2

g)

(−5) =

3

m) (−3) =

(+2) =

3

h)

(+4) =

3

n)

−4 3

=

c)

−3 3

=

i)

(−9) =

1

o)

−7 0

=

d)

(−7) =

j)

−2 5

=

p)

18

=

e)

−8 2

=

k)

52

=

q)

(−3) =

f)

(−3) =

l)

(−1)

=

r)

−6 2

a)

(−3) =

b)

2

1

6

0

3

=

Bereken. a) −2 + 3 =

d) 2 2

=

g) (−2)

3

=

j) −2 − 3

b) 3 2

e) −3 2

=

h) 2 ⴢ 3

=

k) 2 ⴢ (−3) =

f) −2 ⴢ (−3) =

i) (−3) 2

=

l) 2 − 3

=

c) −2 ⴢ 3 2 =

=

=

REEKS C 68

Schat het resultaat. Een van de dertig resultaten bij de mogelijke antwoorden is het juiste.

Zet de letter van het passende antwoord naast de opgave. opgave −401 2

mogelijke antwoorden 161 604

A

90 601

G

8 051

P

−160 000

A

−6 859

G

−19 587

P

−160 001

B

−98 181

K

−8 001

R

3

125 001

B

−48 181

K

160 004

R

−399 2

−159 201

D

−65 871

M

−3 027

S

−21 3

−132 651

D

−63 592

M

160 000

S

−160 801

E

−9 261

N

−162 001

T

−89 401

E

160 001

N

158 254

T

−299 2

25 431

F

90 001

O

−8 962

V

3

96 547

F

160 801

O

−14 826

V

(−301)

2

(−402) (−51)

(−401) −20 4

(−19)

2

2

Welke korte zin kun je vormen met de verkregen letters?

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

285

8.2.7 Vierkantswortels Inleiding Er is een verband tussen machten en vierkantswortels.

Omdat 7 2

= 49 2

Omdat (−7) = 49

is 7 een vierkantswortel van 49. is −7 ook een vierkantswortel van 49.

Benamingen 冪49

7 noemen we de positieve vierkantswortel van 49.

=7

−冪49 = −7

−7 noemen we de negatieve vierkantswortel van 49.

De positieve vierkantswortel van een getal noem je voortaan de vierkantswortel van dat getal.

Voorbeelden 冪121 =

−冪144 =

冪25=

−冪36 =

Opmerking • Vierkantswortels van negatieve getallen 冪−36 =

omdat

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortels omdat

1 2

• Vierkantswortels van 0

3 4

−冪0 =

omdat

冪0 =

0 heeft maar één vierkantswortel, namelijk

.

5 6 7 8 9 10

REKENMACHINE Voorbeeld: −冪289 =

11 12 13

286

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

omdat

Oefeningen REEKS A 69

70

Bereken de vierkantswortel. a)

冪16

=

d)

−冪100 =

g)

冪25

b)

−冪4

=

e)

冪81

h)

−冪36 =

c)

−冪9

=

f)

−冪49 =

i)

−冪64 =

=

=

Bereken de vierkantswortels. a)

−冪256

=

d)

冪576

=

g)

−冪784

=

b)

−冪289

=

e)

−冪1 369 =

h)

−冪529

=

c)

冪441

=

f)

−冪961

i)

冪1 521

=

=

REEKS B

R

71

Bereken indien mogelijk. a)

−冪121

=

d)

−冪225

=

g)

−冪144

=

b)

−冪400

=

e)

冪−196

=

h)

冪−900

=

c)

冪−169

=

f)

−冪10 000 =

i)

−冪−100

=

REEKS C 72

Omcirkel de opgave die hoort bij het gegeven resultaat. a) −17

b) 403

c) –45

冪−289

−冪219

冪162 409

−冪−172 409

−冪9 000

−冪2 025

−冪289

−冪200

冪152 409

冪161 348

−冪1 625

−冪2 690

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

287

8.3

Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen

8.3.1 Wisselen Optelling en aftrekking optelling 8 + (−7)

=

−5 + (−9) =

Besluit

−7 + 8

aftrekking =

8 – (−7) =

−7 – 8

=

−9 + (−5) =

−5 – (−9) =

−9 – (−5) =

De som verandert als je de termen van plaats wisselt.

Het verschil verandert als je de termen van plaats wisselt.

Je zegt: De optelling van gehele getallen is commutatief.

Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet commutatief.

Optelling is commutatief De optelling van gehele getallen is commutatief.

In symbolen:

Vermenigvuldiging en deling vermenigvuldiging 8 ⴢ (−2)

=

−9 ⴢ (−3) =

1

−2 ⴢ 8

deling =

−3 ⴢ (−9) =

8 : (−2)

−9 : (−3) =

Besluit

=

−3 : (−9) =

Het quotiënt verandert als je de factoren van plaats wisselt.

Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.

Je zegt: De deling van gehele getallen is niet commutatief.

Vermenigvuldiging is commutatief

4

De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.

5

In symbolen:

6 7 8 9 10 11 12 13

288

−2 : 8

Het product verandert als je de factoren van plaats wisselt.

2 3

=

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

8.3.2 Schakelen Optelling en aftrekking optelling −3 + 2 + 5

Besluit

aftrekking

=

=

7 − (−4) − 2 =

=

(−3 + 2) + 5 =

=

[7 − (−4)] − 2 =

=

−3 + (2 + 5) =

=

7 − [(−4) − 2] =

=

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De optelling van gehele getallen is associatief.

Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet associatief.

Optelling is associatief De optelling van gehele getallen is associatief.

In symbolen: Vermenigvuldiging en deling vermenigvuldiging −3 ⴢ (−2) ⴢ (−4)

Besluit

deling

=

=

8 : (−4) : (−2)

=

=

[−3 ⴢ (−2)] ⴢ (−4) =

=

[8 : (−4)] : (−2) =

=

−3 ⴢ [(−2) ⴢ (−4)] =

=

8 : [−4 : (−2)]

=

=

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief.

Je zegt: De deling van gehele getallen is niet associatief.

Vermenigvuldiging is associatief De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief In symbolen: Opmerking De commutativiteit en de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging gebruik je veel bij hoofdrekenen.

• −44 + 28 + (−36) = −44 + (−36) + 28 • −25 ⴢ [13 ⴢ (−4)]

=

[−44 + (−36)] + 28

=

−80 + 28

=

−52

=

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

289

8.3.3 Verdelen optelling

Besluit

aftrekking

verdelen

haakjes uitrekenen

verdelen

haakjes uitrekenen

−2 ⴢ [3 + (−5)]

−2 ⴢ [3 + (−5)]

−3 ⴢ [4 − (−2)]

−3 ⴢ [4 − (−2)]

=

=

=

=

=

=

=

=

Je mag de vermenigvuldiging verdelen over

Je mag de vermenigvuldiging verdelen over

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking.

Distributiviteit

Distributiviteit

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen.

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen.

In symbolen:

In symbolen:

Je kunt die eigenschap in twee richtingen toepassen: • een factor vermenigvuldigen met een som (of verschil): a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c Los de volgende oefeningen op met de distributiviteit. −4 ⴢ (−5 + 8) 1

=

6 ⴢ [−3 − (−5)] =

2 3

−3 ⴢ (−a − 8)

=

4 5 6 7

• de gemeenschappelijke factor in een som (of verschil) afzonderen: a ⴢ b + a ⴢ c = a⋅(b + c) Als er in een som of een verschil in de verschillende termen eenzelfde factor voorkomt, kun je die met de distributiviteit afzonderen. −4 ⴢ 7 + (−4) ⴢ (−3)

= −4 ⴢ 7 + (−4) ⴢ (−3) = −4 ⴢ [7 + (−3)] = −4 ⴢ (7−3)

8 9 10 11

Zonder de gemeenschappelijke factoren af.

3 ⴢ (−8) + (−2) ⴢ (−8) = −4 ⴢ a + (−3) ⴢ a

12 13

290

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

=

Oefeningen REEKS A 73

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

74

wisselen

schakelen

verdelen

a)

−2 + 3 = 3 + (−2)

❒

❒

❒

b)

2 ⴢ (−5 + 3) = 2 ⴢ (−5) + 2 ⴢ 3

❒

❒

❒

c)

−7 ⴢ 8 = 8 ⴢ (−7)

❒

❒

❒

d)

4 + (−6 + 8) = [4 + (−6)] + 8

❒

❒

❒

e)

(−8 + 6) ⴢ 4 = – 8 ⴢ 4 + 6 ⴢ 4

❒

❒

❒

f)

- 4 ⴢ (−5 – 8) = [−4 ⴢ (−5)] − (−4 ⴢ 8)

❒

❒

❒

g)

[9 + (−4)] + (−8) = 9 + 关−4 + 共−8兲兴

❒

❒

❒

h)

−7 ⴢ 5 + 6 ⴢ (−7) = (5 + 6) ⴢ (−7)

❒

❒

❒

i)

−2 ⴢ [4 ⴢ (−3)] = (−2 ⴢ 4) ⴢ (−3)

❒

❒

❒

j)

−9 + (−5) = −5 + (−9)

❒

❒

❒

Bereken door te verdelen. a) −8 ⴢ 13 =

b) −7 ⴢ 19 =

c) 12 ⴢ (−6) =

REEKS B 75

Toon aan met een getallenvoorbeeld. a) Bij de aftrekking mag je niet wisselen.

9 – (−5) =

b) Bij de deling mag je niet schakelen. (−8 : 4) : (−2) =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

291

76

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

77

commutatief

associatief

distributief

a)

−4 + (−8) + 7 = −4 + 7 + (−8)

❒

❒

❒

b)

−3 ⴢ (8 ⴢ 7) = (−3 ⴢ 8) ⴢ 7

❒

❒

❒

c)

−2 ⴢ (5 + 8) = −2 ⴢ 5 + (−2) ⴢ 8

❒

❒

❒

d)

−6 + [6 + (−2)] = (−6 + 6) + (−2)

❒

❒

❒

e)

(3 + 4) + 5 = 5 + (3 + 4)

❒

❒

❒

f)

5 ⴢ (−8 − 6) = 5 ⴢ (−8) − 5 ⴢ 6

❒

❒

❒

Schrijf een factor als een optelling of een aftrekking. Bereken met de distributiviteit. a)

−7 ⴢ 102 =

d)

6 ⴢ (−53) =

g)

–43 ⴢ 21 =

b)

−11 ⴢ (−15) =

e)

−67 ⴢ (−9) =

h)

99 ⴢ (−17) =

c)

98 ⴢ (−8) =

f)

−20 ⴢ 23 =

i)

−87 ⴢ (−99) =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

292

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

78

Welke eigenschap herken je? opgave

79

80

a)

7 + (−8) = −8 + 7

b)

−7 + (−6 + 4) = [−7 + (−6)] + 4

c)

[6 + (−4)] ⴢ 2 = 6 ⴢ 2 + (–4) ⴢ 2

d)

−9 ⴢ (−6) = −6 ⴢ (−9)

e)

−2 ⴢ 6 + (−2) ⴢ (−3) = −2 ⴢ [6 + (−3)]

eigenschap De optelling met gehele getallen is commutatief.

Zonder de gemeenschappelijke factor af. a)

−5 ⴢ 8 + 4 ⴢ 8

=

d)

−9 ⴢ 8 – 4 ⴢ (−9) =

b)

7 ⴢ (−3) + (−3) ⴢ 4 =

e)

7 – 7 ⴢ (−8)

=

c)

−2 ⴢ 4 – 8 ⴢ 4

f)

−5 + 4 ⴢ 5

=

=

Bereken. a) −73 ⴢ 9

=

f) −102 ⴢ (−23) =

b) 47 ⴢ (−11)

=

g) 99 ⴢ (−107)

=

c) −19 ⴢ 33

=

h) –42 ⴢ 201

=

d) −12 ⴢ (−15)

=

i)

1 002 ⴢ (−38) =

e) −81 ⴢ 21

=

j)

−101 ⴢ (−93) =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

293

REEKS C 81

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

82

commutativiteit

associativiteit

distributiviteit

a)

–c + d = d + (–c)

❒

❒

❒

b)

k ⴢ (–l – m) = k ⴢ (–l) – k ⴢ m

❒

❒

❒

c)

f ⴢ (–g + h) = f ⴢ (–g) + f ⴢ h

❒

❒

❒

d)

u + [v + (−w)] = (u + v) + (–w)

❒

❒

❒

e)

(x + y) + (–z) = x + 关y + 共−z兲兴

❒

❒

❒

f)

e ⴢ (−f) = −f ⴢ e

❒

❒

❒

g)

–r ⴢ s + (–r) ⴢ t = –r ⴢ (s + t)

❒

❒

❒

h)

p ⴢ [q−(−r)] = p ⴢ q – p ⴢ (–r)

❒

❒

❒

Werk uit met de distributiviteit. a)

−4 ⴢ (−a + 8)

c)

−8 ⴢ [c + (−d)]

e)

共−g − h兲 ⴢ 共−w兲

b)

5 ⴢ (−7 − b)

d)

e ⴢ [−3 + (−f)]

f)

−k ⴢ (−m + n)

1 2 3 4

83

Zonder de gemeenschappelijke factor af en bereken indien mogelijk.

5 6 7

a)

−7 ⴢ a + 9 ⴢ a

=

e)

f + (−7) ⴢ f

=

b)

2 ⴢ (−b) + (−b) ⴢ 3 =

f)

g ⴢ h + h ⴢ (–m)

=

c)

−8 ⴢ c + d ⴢ (−8) =

g)

−m + p ⴢ m

=

d)

–a ⴢ b + c ⴢ b

h)

−2 ⴢ b + b ⴢ 3 + b =

8 9 10 11 12 13

294

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

=

8.3.4 Toepassingen op de eigenschappen van bewerkingen Tegengestelde van een som Het tegengestelde van een geheel getal vind je door dat getal te vermenigvuldigen met −1.

Voorbeeld: −(8) = −1 ⴢ 8 = −8 → 8 en −8 zijn tegengestelde gehele getallen.

Op dezelfde manier kun je met de distributiviteit het tegengestelde van een som bepalen.

Voorbeeld: −(4 + 5) = −1 ⴢ (4 + 5) = (−1) ⴢ 4 + (−1) ⴢ 5 = −4 + (−5) Vaststelling

Het tegengestelde van de som van twee gehele getallen is de som

In symbolen: −(a + b) =

Gedurige som 5 + (−4) + (−2) + 7 is een gedurige som. Het is een optelling met meer dan twee termen.

Een gedurige som kun je op verschillende manieren oplossen.

Je maakt gebruik van de associativiteit en de commutativiteit.

Voer de optellingen uit van links naar rechts.

Tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op en tel de verkregen sommen op.

5 + (− 4) + (−2) + 7 = (5 + 7) + [−4 + (−2)] = 12 + (−6) =6

5 + (−4) + (−2) + 7 = 1 + (−2) + 7 = −1 + 7 =6

Vereenvoudig de opgave en tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op.

5 + (−4) + (−2) + 7 =5−4−2+7 = 12 − 6 =6

Opmerking • 8 − 5 + 3 − 6 kun je ook schrijven als een gedurige som: Je kunt elke aftrekking als een optelling schrijven.

• Tegengestelde van een gedurige som: −[2 + 5 + (−6)] = Haakjesregel De haakjesregel gebruik je om haakjes in een gedurige som weg te werken.

• Plusteken voor de haakjes Omdat het optellen van gehele getallen associatief is, mag je de haakjes gewoon weglaten.

Voorbeeld: −5 + [6 + (−3)] = • Minteken voor de haakjes Je gebruikt het tegengestelde van een (gedurige) som om de haakjes weg te werken.

Voorbeelden: −8 − (7 + 6) = −8 − 7 + (−6) = 9 − (−4 + 6 − 5) =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

295

Plusteken en minteken voor de haakjes

Besluit

Plusteken voor de haakjes:

Minteken voor de haakjes:

Schrijf de volgende gedurige sommen eerst zonder haakjes en bereken daarna de som. −6 − (−4 + 7)

=−6+4−7=

9 + (−4 + 8)

=

−3 − [9 + (−6)] = 5 + (4 – 9)

=

7 − [−9 − (−6)] =

Gedurig product Een gedurig product is een vermenigvuldiging met meer dan twee factoren.

Voorbeeld: −2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) is een gedurig product.

Een gedurig product kun je op twee manieren oplossen.

Voer de vermenigvuldigingen uit van links naar rechts.

1

Tel het aantal negatieve factoren: • bij een even aantal is het product positief; • bij een oneven aantal is het product negatief. − 2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = −(2 ⴢ 7 ⴢ 4 ⴢ 3) = −(14 ⴢ 4 ⴢ 3) = −(56 ⴢ 3) = −168

−2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = −14 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = 56 ⴢ (−3) = −168

2 3 4 5

Opmerking Je kunt factoren van plaats wisselen (de vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief), en zo het vermenigvuldigen vereenvoudigen.

6 7 8

Bereken de producten. −2 ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ 4

−4 ⴢ 7 ⴢ (−25) ⴢ 共−5兲

8 ⴢ 7 ⴢ (−125) ⴢ 9

= −2 ⴢ (−5) ⴢ 3 ⴢ 4

=

=

=

=

=

=

=

=

9 10 11 12 13

296

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS B 84

85

Bereken de gedurige sommen. a)

5 + (−8) + (−9) + 8

=

b)

−9 + (−6) + (−8) + 7

=

c)

−3 + 2 + 5 + 5 + (−6)

=

d)

8 + (−7) + 9 + (−3) + 5

=

Bereken de gedurige sommen. a)

R

86

87

45 + (−26) + (−38) + 78 =

b)

−55 + 26 + (−87) + (−81) + 95 =

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken. a)

7 + (−8 + 3)

d)

−(−13 + 16) + 7

g)

18 − (−17 − 12)

b)

4 − (3 − 6)

e)

−19 + (−15 + 9)

h)

−15 + (−13 + 15)

c)

−8 − (−5 + 2)

f)

5 + (−8 + 15)

i)

13 − (12 − 17)

Bereken de gedurige producten. a)

−1 ⴢ (−4) ⴢ (−2) ⴢ (−5) =

b)

−2 ⴢ (−4) ⴢ 5 ⴢ (−3)

=

c)

−10 ⴢ (−3) ⴢ 2 ⴢ 4

=

d)

5 ⴢ (−2) ⴢ 6 ⴢ (−1)

=

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

297

88

Bereken de gedurige producten. a)

25 ⴢ (−18) ⴢ (−12)

54 ⴢ (−8) ⴢ 47 ⴢ (−12)

b)

=

89

−8 ⴢ 9 ⴢ (−3) ⴢ 5 ⴢ (−7)

c)

=

=

Beantwoord de vragen bij het staafdiagram. gemiddelde maandelijkse temperatuur in Quebec (Canada)

25 temperatuur (in °C )

20 15 10 5 0 –5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–10 –15 maand

a)

Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de zomermaanden juli en augustus.

b)

Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de eerste drie maanden.

c)

Bereken de gemiddelde jaarlijkse temperatuur.

1 2 3 4

90

Bereken. a)

15 – (−5) + (−16) – 12

=

b)

− 4 ⴢ (−9) ⴢ (−25) ⴢ 6

=

c)

– 16 + 5 – 9 – 25 + 16

=

d)

−6 ⴢ (−5) ⴢ 4 ⴢ (−5) ⴢ 15

=

e)

– 17 – 20 + (−14) – (−26) + 18

=

f)

125 ⴢ (−7) ⴢ (−8) ⴢ (−2) ⴢ (−6)

=

g)

20 + (−13) + (−15) + 13 + (−14)

=

5 6 7 8 9 10 11 12 13

298

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

12

91

Een stuntpiloot vliegt op een hoogte van 750 meter.

Hij daalt 185 meter en schiet daarna pijlsnel 315 meter omhoog.

Op die hoogte vliegt hij daarna verder.

Op welke hoogte vliegt hij dan?

Antwoordzin:

€

92

De jaarresultaten van twee bedrijfjes werden in een tabel gezet. Beantwoord de vragen.

2015

2016

2017

2018

2019

VAN UIT

+ € 25 000

+ € 30 000

+ € 18 000

+ € 15 000

+ € 21 000

HET SCHRIFT

+ € 10 000

− € 2 500

− € 13 000

+ € 7 000

+ € 17 000

a) In welk jaar maakte het bedrijf ‘HET SCHRIFT’ de grootste vooruitgang? b) In welk jaar was het verschil tussen de resultaten van de bedrijven het grootst? c) Bereken het gemiddelde resultaat van de eerste vier jaar van het bedrijf ‘HET SCHRIFT’.

d) Bereken het gemiddelde jaarresultaat van de twee bedrijven over de gegeven vijf jaar.

VAN UIT: HET SCHRIFT:

93

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken. a)

b)

c)

8 + (9 − 15) − (−14 + 16)

d)

−(25 – 10) + (−15 – 17 + 23) – 25

=

=

=

=

29 – (22 – 27) + (−15 + 30)

e)

−(−20 + 10 – 1) – (15 – 7 – 25)

=

=

=

=

−20 – (23 – 17) + (23 – 16)

f)

24 + (17 + 5) – (−8 – 13 + 15)

=

=

=

=

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

299

94

95

Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de getallen uit de opgave. a)

3+4+5=3+(

)

c)

2+5–6=2+(

)

e)

2–8–6=2−(

)

b)

6+4+5=6−(

)

d)

8+3–5=8−(

)

f)

9–5–8=9+(

)

c)

3(–x)(–y)2y (–x)6x

Bereken. a)

(−5) + 7 + 8 + (−9) + (−6)

=

b)

2 ⴢ (−4) ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ (−1)

=

c)

−8 + [6 + (−7)] + 5 – (6 + 3)

=

d)

−5 ⴢ (−1) ⴢ 7 ⴢ (−2) ⴢ (−1) ⴢ (−4)

=

e)

1 – (2 + 5) + 3 + 8 – (−9 + 8)

=

f)

2 ⴢ (−7) ⴢ (−8) ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ 0 ⴢ (−1) ⴢ 4

=

REEKS C 96

Schrijf de gedurige producten zo eenvoudig mogelijk. a)

2aba(−3)

b)

=

=

97

−4x2(−x)

=

Werk de haakjes weg en reken zo ver mogelijk uit. a)

4 – (a + 2)

b)

−12 + (–4 – a)

c)

(−24 + b) – (9 – a)

b)

– (–a + b) + (c – d)

c)

a – [b – (–c + d)]

c)

q+r–s

1 2 3 4

98

Werk de haakjes weg.

5

a)

6

a – (−b – c + d)

7 8 9 10 11 12

99

Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de letters uit de opgave. a)

a–b+c =a+(

13

300

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

b) )

x+y+z =x−(

)

=q−(

)

8.4

De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen Inleiding De volgorde waarin je de bewerkingen uitvoert, kan het resultaat beïnvloeden.

Bij de gehele getallen gebruik je dezelfde volgorde als bij de positieve getallen.

Volgorde van de bewerkingen

Afspraak

1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

2) Machten en vierkantswortels

a , 冪a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

ⴢ, :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

n

Voorbeelden −2 + 5 ⴢ 4

4 ⴢ (−8 + 5) : (−6)

−7 2 + (−8) ⴢ 6 : (−4)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2

Opmerking Alles wat onder het wortelteken staat, moet eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat.

2−冪3 + 6

−3 ⴢ 冪2 − 7 ⴢ (−2)

冪4 + 12 − 冪9 − (8 − 3)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

REKENMACHINE Het is vaak gemakkelijker om eerst de oefening te vereenvoudigen en dan pas in te geven in je rekenmachine. Probeer maar eens met het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld: (−4 ⴢ 冪6 + 9 : 3) : [5−(−1)] =

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

301

Oefeningen REEKS A 100

Bereken.

2

a)

−2 + 6 : 2

f)

(−2) ⴢ (−5)

b)

−2 ⴢ (3 + 5)

g)

c)

5 − 9 ⴢ (−2)

d)

e)

(−3) + 4 2

2

k)

8 − (−8) : 4

−6 − 冪9

l)

2 2 ⴢ (–4)

h)

3 ⴢ (−2) 3

m) 6 + (−9) : 3

−8 − 4 : 2

i)

12 : (−14 + 8)

n)

冪8 − (−1)

2

j)

−8 ⴢ 冪16

o)

−42 : (−7) + (−5)

1 2 3 4

101

Bereken.

5 6 7

a)

−84 : 12 + (−15)=

f)

冪−4 + 60 : 3

b)

−冪864 : 6

=

g)

17 − 4 2 ⴢ (−29) =

c)

−4 3 − 38

=

h)

−35 − 5 3 ⴢ 12

d)

27 − (−8 ⴢ 13)

=

i)

−75 : 冪117 : 13 =

e)

−94 + 3 4

=

j)

冪5 3−2 2

=

8 9 10

=

11 12 13

302

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

=

REEKS B

R

102

Bereken. a)

3 ⴢ (−5) – 6 ⴢ 2

f)

(3 − 24) : (−24 : 8)

b)

13 ⴢ (−3) + 5 2 : 5

g)

−10 : (−2) – 冪4 ⴢ 5

c)

−4−冪18 − 2 ⴢ 7

h)

冪9 2 − 8 2 + 2 3

d)

2 ⴢ [3 + (−6) : 3]

i)

−2 + 冪64 : (−2) ⴢ 2 2

e)

−25 ⴢ 冪8 + 2 ⴢ 4

j)

冪29 + [8 : (−9 + 7)]

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

303

103

104

Bereken. a)

[−47 − (35 − 73)] ⴢ 12

=

f)

[(−14 + 3 2) − 3 1] ⴢ (−2 3) =

b)

8 − [−23 + (−58)] : (−9) =

g)

冪−32 + 36 ⴢ 8 − 17

=

c)

−56 : [47 + (−2 3 ⴢ 5)]

h)

84 : 冪共25−37兲 : 共−3兲

=

d)

冪1 ⴢ (−7) + (−288) : (−9) =

i)

冪576 − 12 3 : 共−37 + 61兲 =

e)

(138 − 242) : (−136 : 17) =

j)

−15 2 − 冪14 2 − 共37 − 66兲 =

=

Schrijf de opgave als één uitdrukking en bereken. a) Rita doet boodschappen. Ze koopt 6 flessen fruitsap aan € 1 het stuk, een bloemkool voor € 2, een zak aardappelen voor € 4 en voor € 7 hamburgers.

Aan de kassa geeft ze een kortingsbon af ter waarde van € 1 voor het fruitsap.

Hoeveel moet ze betalen?

Antwoordzin:

b) Malik behaalde zes keer 8 en zeven keer 9 op 10 voor zijn taken van wiskunde.

Helaas had hij ook een slechte dag waarop hij maar 1 op 10 behaalde voor een taak.

Hoeveel behaalde Malik gemiddeld op die veertien taken?

Antwoordzin:

1 2

c) Oom Eddy is een verwoed kaarter.

Vorige maand won hij twee keer 16 cent en één keer 22 cent.

Hij verloor helaas ook drie keer 12 cent.

Bereken zijn gemiddeld resultaat over de zes partijen.

3 4

Antwoordzin:

5 6 7 8 9

d) Pa wil tijdens de vakantie enkele klusjes afwerken. Hij gaat naar de doe-het-zelfzaak met het volgende boodschappenlijstje: twee zakken gips van € 8, zes gipskartonplaten van € 9, een emmer muurverf van € 56 en een nieuwe boormachine voor € 129.

Voor vaderdag kreeg hij twee tegoedbonnen van € 25 voor deze winkel. Hij wisselt ze in.

Hoeveel moet hij uiteindelijk betalen?

10 11

Antwoordzin:

12 13

304

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

105

Bereken. a)

−22 : 关冪144 + 5 : (−12 + 7)兴

c)

2 ⴢ (−4) – 3 ⴢ (−8 + 9)

b)

−冪12 2 − 80 − 冪6 − 42 : (−14)

d)

−冪196 + 5 ⴢ (−3) : 冪9 − 8 2

2

2

REEKS C 106

Bereken. a)

[5 2 − (25 − 3 3)] : 冪17 + (2 3 − 4 2)

c)

5 + 冪4 3 − 冪25 ⴢ 3 − (−3) ⴢ 5 + 10

b)

冪8 2 − 5 2 + 5 ⴢ 2 − (−5) ⴢ (−2) + 3

d)

冪8 ⴢ [7 − (8 − 6)] + (−3 ⴢ 5)

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

305

STUDIEWIJZER Gehele getallen voor de leerling

8.1 De gehele getallen KENNEN

voor de leerkracht

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

Een geheel getal is een natuurlijk getal voorzien van een toestandsteken.

De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken.

Het tegengestelde van een geheel getal is het getal met dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken.

Het symbool ⺪ als verkorte notatie voor de verzameling van de gehele getallen.

KUNNEN Gehele getallen herkennen.

De absolute waarde en het tegengestelde van een geheel getal bepalen.

Gehele getallen ordenen.

Gehele getallen voorstellen op een getallenas.

Punten met negatieve coördinaatgetallen voorstellen in een assenstelsel.

8.2 Bewerkingen met gehele getallen KENNEN

1 2 3 4

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: • bereken je de som van de absolute waarden; • behoud je het teken.

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: • bereken je het verschil van de absolute waarden; • behoud je het teken van het getal met de grootste absolute waarde.

0 heeft geen invloed op de optelling.

Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. a − b = a + (−b) Twee gelijke opeenvolgende tekens vervang je door een plusteken.

Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een minteken.

Het product van twee factoren met eenzelfde teken is positief.

Het product van twee factoren met een verschillend teken is negatief.

1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging.

Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is positief.

Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is negatief.

Een macht van een positief getal is altijd positief.

Een macht van een negatief getal is: • positief als de exponent even is; • negatief als de exponent oneven is.

Een positief geheel getal heeft een positieve en een negatieve vierkantswortel.

5

KUNNEN

6 7 8 9

Gehele getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Machten met een natuurlijke exponent van een geheel getal berekenen.

Vierkantswortels van een (positief) geheel getal berekenen.

Schatten van het resultaat van bewerkingen met gehele getallen.

Vraagstukken met gehele getallen oplossen.

10 11 12 13

306

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

voor de leerling

8.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen KENNEN

voor de leerkracht

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

De optelling van gehele getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 ⺪: a + b = b + a De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 ⺪: a ⴢ b = b ⴢ a De optelling van gehele getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 ⺪: (a + b) + c = a + (b + c) De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 ⺪: (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen. ᭙a, b en c 僆 ⺪: a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen. ᭙a, b en c 僆 ⺪: a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c Het tegengestelde van een som van twee gehele getallen is gelijk aan de som van de tegengestelden van die twee getallen. −(a + b) = −a + (−b) = −a − b Als er tussen het eerste haakje en de eerste term binnen de haakjes geen teken staat, schrijf je op die plaats eerst een plusteken.

Plusteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het plusteken weg en de tekens binnen de haakjes blijven behouden.

Minteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het minteken weg en de tekens binnen de haakjes veranderen.

KUNNEN De eigenschappen van de bewerkingen herkennen en benoemen.

De eigenschappen van de bewerkingen toepassen bij hoofdrekenen.

8.4 Volgorde van de bewerkingen met gehele getallen KENNEN De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

2) Machten en vierkantswortels

a n, 冪a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

ⴢ, :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

KUNNEN De volgorde van bewerkingen toepassen in oefeningen en vraagstukken.

Pienter Rekenen

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

307

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal

filter

schets

patroon

schema/tabel

kennis

vereenvoudig

logisch nadenken

gok g verstandig andig g 2. Zoek de ze scijferige code met behulp va de onderstaan n de aanwijzinge n.

n boompjes wbedrijf werde u bo in tu n ee ze in 6 1. In obeerde men pr t rs Ee t. an gepl maar er ar te planten, rijen naast elka pjes over. in 8, in bleven 5 boom de planters ze en rd ee ob pr Daarna aar telkens n te planten, m 10 en in 12 rije a wat ompjes over. N bleven er 5 bo boompjes slisten ze om de be k er w n ke re n. elkaar te plante in 11 rijen naast er. ov es en boompj Zo bleven er ge plant ge er boompjes el ve oe h en Berek minder weet dat het er werden, als je . dan 1 000 zijn

A

B

C

D

E

F

A+C=5 B–D=5

3. Vul het rast er zo in dat elke rij en elke ko van 9 vakjes en ollo om m elk blok van 3 x 3 vakjes allee cijfers van 1 to t en met 9 beva t.

Er is één unieke oplossing.

Gokken is dus niet de juiste m ethode!

1

5

2

4 3

3 4 5 6 7 8

2

5

2 9

9

1

6 7

3

5

2

9

7

6

3

8

9

1

10

4

11 12 13

308

9

6 9

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

3

1

4

E·F=6 B–E=3

B+C=6 A+D=6

in dit arels zitten er dp ba el ve oe H 4. e? pyramidedoosj dige je een gelijkaar os do et h t da el St g bevat. badparels hoo en ti n va e id m pira dan? vat het doosje be ls re pa el Hoeve

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

9.1

Hoeken indelen volgens de hoekgrootte

9.2 De bissectrice van een hoek 9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen 9.4 Afstand Studiewijzer Pienter problemen oplossen

₃₁₀ ₃₁₅ ₃₁₈ ₃₂₇ ₃₃₄ ₃₃₆

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

309

9.1

Hoeken indelen volgens de hoekgrootte

9.1.1 Inleiding Bepaal de grootte van de hoeken.

D A

—= A

G

— D=

—= G

E

H

B

—= B

— E=

1

—= H

F

2 3

K

4

C

5 6 7

— C=

— F=

8 9 10

Op basis van de hoekgrootte kun je hoeken indelen.

11 12 13

310

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

— K=

9.1.2 Indeling Definitie

Nulhoek Een nulhoek is

Definitie

Scherpe hoek Een scherpe hoek is

Definitie

Rechte hoek Een rechte hoek is

Definitie

Stompe hoek Een stompe hoek is

Definitie

Gestrekte hoek Een gestrekte hoek is

Definitie

Inspringende hoek Een inspringende hoek is

Definitie

Volle hoek Een volle hoek is

Deel de hoeken uit de inleiding in volgens de hoekgrootte.

— A

— F

— B

— G

— C

— H

— D

— K

— E

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

311

Oefeningen REEKS A 1

Welk soort hoek herken je?

— A A

— B C

— C — D

E

B

F

D

— E — F

2

Noteer de soort hoek.

— = 109º A

— D = 98º

— = 90º B

— E = 89º

— C = 74º

— F = 180º

REEKS B

R

3

Welk soort hoek herken je?

— A

1

— B

2 3

A

C

— C

4 5

B

D

— D

6 7 8 9

R

4

Noteer de soort hoek.

— = 95º A

— D = 360º

— = 0º B

— E = 175º

— C = 180º

— F = 90º

10 11 12 13

312

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

5

Welk soort hoek herken je? Gebruik geen inspringende hoek.

—K TA K T

A

P

—P KA R

—M RA —P RA

M

—P TA —M KA

6

Welk soort hoek wordt gevormd tussen dij- en scheenbeen tijdens het stretchen? a)

7

b)

c)

d)

Welk soort hoek is de kleinste hoek die gevormd wordt tussen de kleine en de grote wijzer? a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

313

8

Juist of fout? juist

fout

a) Een scherpe hoek is altijd kleiner dan 80º.

❒

❒

b) Alle stompe hoeken zijn even groot.

❒

❒

c) Alle gestrekte hoeken zijn even groot.

❒

❒

d) Een stompe hoek is altijd groter dan een rechte hoek.

❒

❒

REEKS C 9

Bepaal de hoekgrootte van de getekende hoeken. a)

b)

A B

—= A

10

—= B

Teken een hoek waarvan de hoekgrootte gegeven is. a) — C = 200º

b) — D = 325º

1 2 3 4 5 6 7

11

Kleur de hoekgroottes van scherpe hoeken rood, van stompe hoeken groen en van inspringende hoeken blauw.

0º

90º

180º

0º

180º

90º 360º 90º

0º

90º

0º

180º 105º 360º 90º 360º

97º

360º 90º

94º 360º 98º

180º 360º 210º 360º 90º

90º 360º

0º

178º

360º 180º

90º

100º 180º

90º

360º 145º 360º 90º

360º 180º

190º 354º 182º 180º

90º

180º 360º

25º

72º

90º

78º

360º 90º

180º

45º

62º

89º

8 9 10 11 12

0º

13

314

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

0º

90º 360º 180º 305º 187º 360º 180º 0º

360º 195º

0º

180º

90º 360º 90º

180º 245º 333º 199º 180º

39º

58º

83º 360º 14º

90º

7º

360º

9.2

De bissectrice van een hoek

9.2.1 Inleiding

Op de klok is de secondewijzer niet afgebeeld.

B

—C. De grote en de kleine wijzer vormen B A Op het moment van de beeldopname deelt de secondewijzer die hoek in twee gelijke delen.

A C

Bepaal de positie van de secondewijzer op de afbeelding.

9.2.2 De bissectrice van een hoek Definitie

De bissectrice van een hoek De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

Een ander woord voor bissectrice van een hoek is deellijn.

—.

Voorbeeld: a is de deellijn van A

a A

9.2.3 De bissectrice tekenen ICT

—.

Teken de bissectrice b van B Werkwijze stap 1: stap 2: stap 3: stap 4:

—.

Meet de gegeven hoek B Deel de getalwaarde van de hoekgrootte door twee.

Plaats een puntje bij het maatstreepje dat de helft van de hoek aangeeft.

Teken de rechte b door het hoekpunt en het puntje bij het maatstreepje.

b

B

B

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

315

Oefeningen REEKS A 12

—?

In welke situatie(s) is a de bissectrice van A b)

a)

c)

d)

a A

A a A

a

A

❒

13

❒

a

❒

❒

Teken de bissectrice van de hoek. a)

b)

A

B

1 2

REEKS B

3 4 5

14

Drie vliegtuigen vliegen in formatie. Teken de baan van het derde vliegtuig, als je weet dat die baan de deellijn is van de hoek gevormd tussen de banen van de getekende vliegtuigen.

6 7 8 9 10 11 12 13

316

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

15

Teken de bissectrice. a) De secondewijzer is de bissectrice van de hoek tussen de uur- en minutenwijzer.

16

b) De snijlijn verdeelt het stuk pizza in twee gelijke helften.

—B zodat MC de bissectrice is van AM —B. Teken AM

C M A

REEKS C 17

Verdeel het overblijvende deel van de pizza in vier gelijke stukken.

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

317

9.3

Evenwijdige rechten en loodlijnen

9.3.1 Een evenwijdige rechte tekenen Teken b door A zodat b evenwijdig is met a.

A A a a

Hoeveel rechten kun je tekenen die door A gaan en evenwijdig zijn met a?

Evenwijdige rechte

Vaststelling

Door een punt

9.3.2 Een loodlijn tekenen ICT

Teken d door B zodat d loodrecht staat op c.

B

B c

c

1 2 3 4 5 6

Hoeveel rechten kun je tekenen die door B gaan en die loodrecht staan op c?

7 8 9

Vaststelling

Loodlijn Door een punt

10 11 12

Opmerking

13

We plaatsen een merkteken (⾨) om de rechte hoek aan te duiden.

318

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

9.3.3 De middelloodlijn van een lijnstuk Definitie

De middelloodlijn van een lijnstuk De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk.

De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek Als je een rechte tekent die door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat, dan noem je die rechte de middelloodlijn van het lijnstuk. stap 1: Bepaal het midden M van [AB].

A

M

stap 2: Teken de loodlijn m op [AB] door M.

B

A

ICT

M

B

Probeer nu zelf.

Teken de middelloodlijn m van [PQ].

P

Q

Opmerking We plaatsen merktekens om de rechte hoek en de even lange lijnstukken aan te duiden.

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

319

Oefeningen REEKS A

R

18

Teken met de geodriehoek door C een rechte b die evenwijdig is met a. a)

b)

a

a

C C

R

19

Teken met de geodriehoek door C een rechte b die loodrecht staat op a. a)

b) a

a C C

20

In welke situatie(s) is m de middelloodlijn van [AB]? a)

b)

c)

m

m B

1

d) A

A

B

A

B

A

2

❒

3

m

m

❒

❒

B

❒

4 5 6 7

21

Teken met de geodriehoek de middelloodlijn m van [AB]. a)

b) A

8 9 10

A

B

11

B

12 13

320

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

REEKS B 22

Vliegtuig A vliegt in een rechte lijn richting Frankfurt. Een tweede vliegtuig stijgt op in Barcelona.

Dat tweede vliegtuig volgt een rechtlijnige baan die evenwijdig is aan de baan van vliegtuig A. Boven welke steden vliegt het tweede vliegtuig?

Poznarf Berlijn

Hannover Brussel

Wrockaw

Frankfurt

Bonn Le Havre Luxemburg Parijs

Krakow

Praag

Nantes Wenen

A

Graz Bordeaux

Lyon Turijn

Bilbao

Milaan Venetië

Ljubjana Zagreb

Genoa Marseille Monaco San Marino Barcelona

Sarajevo

Florance

Het tweede vliegtuig vliegt boven

23

Onder een tegel van de badkamer ligt een gouden ketting begraven.

Je vindt de juiste tegel door de opgave te volgen.

• a is evenwijdig met de lengterichting van het bad en gaat door A. • b staat loodrecht op de lengterichting van de kleerkast en gaat door B. • Het snijpunt van a en b noem je S. • c gaat door C en staat loodrecht op de muur waartegen de wastafel bevestigd is.

• Het snijpunt van c en DS vertelt je onder welke tegel de ketting begraven ligt.

10 9 8 7

A

6

B

5 4 3

D C

2

Onder welke tegel ligt de gouden ketting?

1 A

24

B

C

D

E

F

G

H

I

J

De drie evenwijdigen a, c en d worden gesneden door b, die loodrecht staat op e. Duid in het onderstaande kader de uitspraken aan die zeker waar zijn. Zo vind je het sleutelwoord. a⊥b

B

b 兾兾\ c

I

a⊥c

N

c 兾兾 e

F

b 兾兾\ d

M

b⊥c

D

d⊥e

O

b 兾兾 d

J

b⊥d

K

c⊥d

Q

b 兾兾 c

C

a 兾兾 b

H

d 兾兾 e

E

a⊥d

P

a 兾兾 d

S

c⊥e

T

b 兾兾 e

R

c 兾兾 d

L

a 兾兾 e

G

a⊥e

A

sleutelwoord:

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

321

25

Het plan is getekend op schaal 1 : 100.

Teken aan de hand van de instructies de muurtjes op het plan. a) Een muurtje van 1 m door A, loodrecht op de muur waaraan het toilet is bevestigd. b) Een muur van 2,50 m door B, evenwijdig aan de lengterichting van de snookertafel.

B

A

26

Vervolledig het patroon op de banner. a)

b)

REEKS C

1 2

27

Vervolledig de tekening en vul in.

3

a) Vervolledig de tekening aan de hand van de gegevens.

4

a

5

N

6

b

7 8 9

O M

• • • •

c 兾兾 a en M 僆 c d ⊥ MN en O 僆 d e 兾兾\ b en N 僆 e MN = f

b) Vul het meest passende symbool in.

Kies uit 兾兾 , 兾兾\ of ⊥ .

10 11 12 13

322

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

• b

f

• c

f

• d

f

• a

b

• b

d

• c

d

9.3.4 Eigenschappen van evenwijdige rechten en loodlijnen Op de biljarttafel liggen telkens een rode bal (R), een gele bal (G) en een witte bal (W).

Aan de hand van de instructies, die de richting van de banen van de ballen omschrijven, kun je de eigenschappen in verband met evenwijdige rechten en loodlijnen afleiden.

ICT

Eigenschap 1 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.

R W

b

Teken de baan (c) van de rode bal die evenwijdig is met de baan (b) van de witte bal.

Wat is de onderlinge ligging van de baan (a) van de gele bal en de baan (c) van de rode bal?

G

a

In symbolen:

Eigenschap

a 兾兾 b c 兾兾 b

冎

dan a

c

Evenwijdige rechten Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte,

ICT

Eigenschap 2 De baan (a) van de gele bal staat loodrecht op de baan (b) van de witte bal.

G

Teken de baan (c) van de rode bal die loodrecht staat op de baan (b) van de witte bal.

R W

b

Wat is de onderlinge ligging van de baan (a) van de gele bal en de baan (c) van de rode bal?

a

In symbolen:

Eigenschap

a ⊥ b c ⊥ b

冎

dan a

c

Loodrechte rechten Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte,

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

323

ICT

Eigenschap 3 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.

R

W

b

Teken de baan (c) van de rode bal die de baan (b) van de witte bal snijdt.

Wat is de onderlinge ligging van de baan (c) van de rode bal en de baan (a) van de gele bal?

G

a

In symbolen:

Eigenschap

a 兾兾 b c 兾兾\ b

冎

dan c

a

Snijdende rechten Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt,

ICT

Eigenschap 4 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.

R

W

b

Teken de baan (c) van de rode bal die loodrecht staat op de baan (b) van de witte bal.

Wat is de onderlinge ligging van de baan (c) van de rode bal en de baan (a) van de gele bal?

1

G

2

a

3 4

In symbolen:

5

a 兾兾 b c ⊥ b

6 7

Eigenschap

Loodrechte rechte

8 9

Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten,

10 11 12 13

324

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

冎

dan c

a

Oefeningen REEKS B 28

Bij een atletiekpiste stellen de lijnen a, b en c evenwijdige rechten voor. Je tekent de lijn d loodrecht op a. Wat is de onderlinge ligging van b en d?

Verklaar je antwoord aan de hand van een eigenschap. a

b

c

â&#x20AC;˘ Onderlinge ligging van b en d:

â&#x20AC;˘ Eigenschap:

d

29

Evenwijdige rechte tekenen met de geodriehoek.

A Soms is je geodriehoek te klein om de evenwijdige onmiddellijk te tekenen.

e

Leg uit hoe je met deze geodriehoek de evenwijdige aan e door A kunt tekenen.

Er zijn twee manieren om dat te doen.

Vermeld telkens de eigenschap die je gebruikt.

manier 1

eigenschap:

manier 2

eigenschap:

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

325

30

Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy , yy\ of ⊥. a) Als a ⊥ b en b ⊥ c, dan a

c.

b) Als a 兾兾 b en b 兾兾\ c, dan a

c.

c) Als a ⊥ b en b 兾兾 c, dan a

c.

d) Als a ⊥ b en b

c, dan a 兾兾 c.

e) Als a 兾兾 b en b

c, dan a 兾兾 c. b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.

f) Als a

REEKS C 31

32

Zijn de volgende uitspraken altijd juist, soms juist of altijd fout? altijd juist

soms juist

altijd fout

a) Als a 兾兾 b en b 兾兾 c, dan a 兾兾 c.

❒

❒

❒

b) Als a ⊥ b en b 兾兾 c, dan a ⊥ c.

❒

❒

❒

c) Als a 兾兾\ b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.

❒

❒

❒

d) Als a 兾兾 b en a 兾兾\ c, dan b 兾兾\ c.

❒

❒

❒

e) Als a 兾兾\ b en a 兾兾\ c, dan b ⊥ c.

❒

❒

❒

f) Als a ⊥ b en a ⊥ c, dan b 兾兾 c.

❒

❒

❒

g) Als a 兾兾\ b en b 兾兾\ c, dan a 兾兾 c.

❒

❒

❒

Hoe kan Harry aan de hand van een handzaag en een potlood controleren of de randen a en b van de plank evenwijdig zijn?

1 2

b

3

a

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

326

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

9.4

Afstand

9.4.1 Afstand tussen twee punten ICT

Meet de afstand tussen A en B op de printplaat.

A

De afstand tussen A en B bedraagt Notatie: d (A, B) =

mm.

mm

Opmerkingen • Voor de keuze van de letter d in de notatie voor afstand denk je aan het Franse of Engelse woord voor afstand:

B

• De afstand tussen A en B komt overeen met de lengte van het lijnstuk [AB]. d (A, B) = 兩AB 兩 =

mm

9.4.2 Afstand tussen een punt en een rechte ICT

Elise wandelt van E aan de vijver naar het tuinpad t.

Op de figuur zijn drie mogelijke wandelwegen aangeduid.

Meet de afstanden op de tekening.

t A B

E

C

• d (E, A) =

mm

• d (E, B) =

mm

• d (E, C) =

mm

Welke wandelweg moet Elise nemen om via de kortste weg het tuinpad te bereiken?

Wat is de onderlinge ligging van het lijnstuk dat de kortste wandelweg voorstelt en t?

Definitie

De afstand van een punt tot een rechte De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; dat is de afstand

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

327

Om de afstand van een punt A tot een rechte b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk: • Teken de loodlijn door A op b.

A

• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je V. Het snijpunt van de loodlijn en de rechte noem je het voetpunt.

• Meet de afstand tussen A en het voetpunt V. d (A, b) = d (A, V) =

b

mm

9.4.3 Afstand tussen twee evenwijdige rechten ICT

a

b B

De breedte van de straat wordt bepaald door de afstand tussen a en b. Duid de juiste uitspraak aan.

❒ d (a, b) = d (A, B)

A C

❒ d (a, b) = d (C, D) ❒ d (a, b) = d (E, F) D

E

Definitie

F

Hoeveel bedraagt de breedte van de straat op de tekening? d (a, b) =

mm

De afstand tussen twee evenwijdige rechten De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand

1 2 3 4

Om de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk:

5

• Kies A op a.

6

• Teken de loodlijn door A op b.

7

• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je B.

8

• Meet de afstand tussen A en B.

9

d (a, b) = d (A, B) =

a

b

mm

10 11

Opmerking

12

De afstand tussen twee snijdende rechten kun je niet bepalen.

13

328

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

Oefeningen REEKS A 33

Bepaal de afstand tussen A en B. a)

d)

c)

b) A

B

B

A

A B B A

mm

mm

mm

Bepaal op de kaart de afstand in vogelvlucht tussen de punten en het Albertkanaal, voorgesteld door de rechte a.

N1

4 1

3

Merksem 5 N12

5,5

O

N12

S

5

Schilde Vrieselhof

5

Deurne

M

E

Wijnegem

17

A13

Oelegem E34

V

Eenhoorn

6

N116 3,5

Berchem

Wommelgem

B

Borsbeek

Drie Masten

a Bossensteen 3

2

Borgerhout

19 4

1

W

18

3

R1 1

34

mm

a) B

mm

c) S

mm

e) W

mm

b) M

mm

d) V

mm

f) E

mm

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

329

REEKS B 35

Bepaal de afstanden. a) d (A, B)

=

mm

e) d (A, D)

=

mm

b) d (A, C)

=

mm

f) d (C, B)

=

mm

c) d (D, E)

=

mm

g) d (C, D)

=

mm

d) d (B, B)

=

mm

h) d (B, E)

=

mm

A C D B

36

E

Afstand tussen twee punten op een elektronisch circuit a) Benoem de punten B, C, D en E met behulp van de gegeven afstanden.

A

d (A, B) = 73 mm

d (B, D) = 26 mm

d (A, C) = 45 mm

d (C, E) = 57 mm

b) Bepaal nu de volgende afstanden.

1 2

37

• d (A, D)

=

mm

• d (A, E)

=

mm

• d (B, C)

=

mm

• d (B, E)

=

mm

• d (C, D)

=

mm

De kaart van België is op schaal 1 : 4 000 000 afgebeeld.

Bepaal de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen de steden.

3 Turnhout

4

Gent

5

a) Turnhout en Arlon

Antwerpen

Brugge

Roeselare

Mechelen Aalst

Hasselt Brussel

6

Liège

7

Mons

Charleroi

Namur Marche-en-Famenne

8

b) Hasselt en Brugge

9 10

Arlon

11 12 13

330

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

R

38

Bepaal de afstanden.

D

a

A

a) d (A, a) =

mm

e) d (B, c)

=

mm

b) d (B, a)

=

mm

f) d (D, a) =

mm

c) d (C, b)

=

mm

g) d (C, c)

=

mm

d) d (D, b) =

mm

h) d (E, b)

=

mm

b C B E

c

39

Teken A, B, C en D.

a) d (A, a) = 40 mm b) d (B, a) = 15 mm c) d (C, a) = 34 mm

a

40

d) d (D, a) = 28 mm

Bepaal, indien mogelijk, de afstanden.

e a b

c d

41

f

a) d (a, b)

=

mm

f) d (c, d)

=

mm

b) d (a, c)

=

mm

g) d (d, d)

=

mm

c) d (a, f)

=

mm

h) d (e, f)

=

mm

d) d (b, c)

=

mm

i) d (b, e)

=

mm

e) d (b, d) =

mm

j) d (a, d) =

mm

De middellijn en een volle witte lijn op de rechterspeelhelft van het rugbyveld werden niet aangeduid. Teken de ontbrekende spellijnen met de geodriehoek.

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

331

42

Teken b, c, d en e.

a) d (b, a) = 20 mm b) d (c, a) = 10 mm c) d (d, a) = 25 mm d) d (e, a) = 32 mm a

43

Het stratenplan van een deel van de Tuinwijk is getekend op schaal 1 : 1 000.

Bepaal de gevraagde afstanden in werkelijkheid.

Le lie str aa t

a) de breedte van de Tulpenweg

An jel ier en str aa t

b) de afstand tussen de Tulpenweg en de Rozendreef

Irisweg

Tulpenweg

c) de breedte van de Irisweg

Rozendreef

1

44

Vul de tabel aan en teken a, b, A en B met de afmetingen uit de tabel.

2

tekening

3

a

b

A

B

4 5 6

3 cm

a b

2 cm

1 cm

7 8

5 cm

A

9

B

1 cm

10 11 12 13

332

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

5 cm

R

45

Bepaal de afstanden.

A a B

b

C d c

D

F

E e

h

f

46

g

a) d (a, b) =

mm

k) d (A, B) =

mm

b) d (A, b) =

mm

l) d (e, f) =

mm

c) d (b, c) =

mm

m) d (C, c) =

mm

d) d (A, C) =

mm

n) d (B, h) =

mm

e) d (a, c) =

mm

o) d (d, h) =

mm

f) d (d, g) =

mm

p) d (D, F) =

mm

g) d (F, e) =

mm

q) d (E, F) =

mm

h) d (D, g) =

mm

r) d (E, h) =

mm

i) d (F, h) =

mm

s) d (B, E) =

mm

j) d (E, f) =

mm

t) d (A, a) =

mm

Appelteler Joris vraagt aan 80 jongeren welk stuk fruit ze het liefst eten.

Ze kunnen tussen vijf soorten fruit kiezen.

Aan de hand van het diagram hieronder publiceert Joris de resultaten van het onderzoek.

Het aantal jongeren wordt voorgesteld door de hoogte van het blokje per fruitsoort. a) Vul de tabel in die de resultaten van het onderzoek weergeeft. fruitsoort

aantal jongeren

sinaasappel sinaasappel druif banaan kiwi appel

druif banaan kiwi appel totaal

b) Het diagram van appelteler Joris is misleidend.

Waarom plaatst Joris de fruitsoorten niet van boven naar beneden in alfabetische volgorde?

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

333

STUDIEWIJZER Hoeken en rechten 9.1 Hoeken indelen volgens de hoekgrootte KENNEN

voor de leerling

voor de leerkracht

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

Een nulhoek is een hoek van 0º.

Een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0º, maar kleiner dan 90º.

Een rechte hoek is een hoek van 90º.

Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90º, maar kleiner dan 180º.

Een gestrekte hoek is een hoek van 180º.

Een inspringende hoek is een hoek die groter is dan 180º, maar kleiner dan 360º.

Een volle hoek is een hoek van 360º.

KUNNEN Een hoek indelen volgens de hoekgrootte.

Een inspringende hoek tekenen.

9.2 De bissectrice van een hoek KENNEN De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

KUNNEN De bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek.

De bissectrice van een hoek herkennen.

De bissectrice van een hoek gebruiken in toepassingen.

9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen KENNEN

1 2 3 4

Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte.

Door een punt gaat juist één rechte die loodrecht staat op een gegeven rechte.

De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk.

Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig.

Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig.

Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere.

Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere.

5

KUNNEN 6 7 8 9 10

Een evenwijdige rechte met een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek.

Een loodlijn op een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek.

De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek.

De middelloodlijn van een lijnstuk herkennen.

De middelloodlijn van een lijnstuk gebruiken in toepassingen.

Eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand toepassen.

11 12 13

334

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

voor de leerling

9.4 Afstand KENNEN

voor de leerkracht

−

+ −

+

−

+ −

+

De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; dat is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op die rechte.

De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand van een punt van de ene rechte tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op de andere rechte.

KUNNEN De afstand van een punt tot een rechte meten met de geodriehoek.

De afstand tussen twee evenwijdige rechten bepalen met de geodriehoek.

Pienter Rekenen

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

335

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal

filter

schets

patroon

schema/tabel

kennis

vereenvoudig

logisch nadenken

gok verstandig 1. Een derde va n een kudde be staat uit geiten. De rest van de dieren zijn schapen.

Er zijn twaalf sc hapen meer da n geiten.

Uit hoeveel dier en bestaat de kudde in totaal?

1 2 3 4

ntwoordelijk sistent is vera as k ie st gi lo n 3. Ee t ervoor zorgen tiënten. Hij moe pa en ti er ve krijgt. voor de juiste pillen t ën ti pa ke el dat e pillen. oene en blauw ne (G) en Er zijn rode, gr rode (R), groe en em n n se en Twee m n. llen. blauwe (B) pille de en groene pi ro en em n n van wie Drie mense blauwe pillen, en em n n se Negen men en. auwe pillen nem n nemen en bl l ke en ie dr er pille ensen die rode Er zijn zeven m n nemen. lle pi groene e di n se en m zeven m aan. de venndiagra Vul het volgen

17

–4 19

+

R

7

–1

8 9 10

B

11 12 13

336

4. P Plaats de geta llen die onder de figuur sstaan, in de ci rkels op de hoe kpunten.

De som van di e getallen op d hoekpunte de n is telkens het getal dat in de figuu r staat.

G

5 6

soepen, verschillende ie dr t ed bi k ogelijke 2. Een ko rechten, drie m ge or vo e ijk el vier mog ijke desserts n en zes mogel hoofdgerechte aurant. aan in zijn rest en kun je in illende maaltijd ch rs ve el ve Hoe ervan uitgaat bestellen, als je t n ra au st re het één soep, dat elke klant recht en t, één hoofdge één voorgerech mt? één dessert nee

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

11

1

8

–11

7