Pienter 1 (editie 2019) - Proefhoofdstuk (webshop)

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

5.1

De positieve rationale getallen

5.2

Bewerkingen met positieve rationale getallen

5.3

Rekentechnieken

Studiewijzer Pienter probemen oplossen

₁₅₀ ₁₆₆ ₂₀₇ ₂₁₃ ₂₁₄

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

149

5.1

De positieve rationale getallen

5.1.1 Definitie

De Eieltoren in Parijs is zonder tv-antenne 317,5 m hoog.

De Finse dames hadden een balbezit van 60 %.

Een vijfde van de wereldbevolking is Chinees.

2 % intrest op deze spaarrekening!

Twee zesden van een pizza dement Stuur uw ren de hoogte in!

De eerste drie rolstoelatleten bereikten de ďŹ nish na goed twee en een half uur wedstrijd.

1 2 3 4 5

Definitie

Positief rationaal getal Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is.

6 7 8 9

Opmerking Een positief rationaal getal kan verschillende gedaanten aannemen.

7 100

a) Een rationaal getal kun je als breuk noteren.

bv.

b) Een rationaal getal kun je als procent noteren.

bv. 7 %

c) Een rationaal getal kun je decimaal noteren.

bv. 0,07

10 11 12 13

150

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

5.1.2 De positieve rationale getallen in breukvorm Benamingen

7

T

→ →

100

N

→

Echte en onechte breuken echte breuken

onechte breuken

Een bakker verdeelt zijn taarten altijd in acht gelijke stukken.

Vandaag verkocht hij vijf stukken.

Deze week verkocht de bakker in totaal 21 stukken taart.

breuk

breuk T

N

T

N

Gemengde getallen Onechte breuken kunnen ook als som van een natuurlijk getal en een echte breuk geschreven 4 25 = 3 + . Zo’n vorm noem je een gemengd getal. worden: 7 7 Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen: 19 = 6

27 = 4

12 = 7

48 = 5

Je gebruikt bij voorkeur onechte breuken.

REKENMACHINE Voer de breuk

Zet

7 in.

9

18 om naar een gemengd getal.

7

Voer het gemengd getal 3 +

Zet 2 +

4 in.

7

4 om naar een onechte breuk.

5

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

151

Gelijke breuken

totaal aantal delen aantal gekleurde delen breuk Welk verband bestaat er tussen deze drie breuken?

Eigenschap van de breuken · 10

:5

· 10

:5

–1 5

Eigenschap

Gelijke breuk Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk.

Breuken vereenvoudigen 1 2 3 4 5 6

Een breuk vervangen door een gelijke breuk met een kleinere teller en noemer, is een breuk vereenvoudigen.

De gelijke breuk met de kleinste noemer is de onvereenvoudigbare breuk.

Deel daarvoor de teller en de noemer door hun ggd.

Vereenvoudig de volgende breuken tot onvereenvoudigbare breuken.

8 = 12

3 = 9

27 = 54

7 8 9

REKENMACHINE Vereenvoudig de breuk

10 11 12 13

152

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

48 .

56

40 = 8

42 = 72

Gelijknamige breuken Definitie

Gelijknamige breuken Gelijknamige breuken zijn

Voorbeelden: Breuken met verschillende noemers noem je ongelijknamige breuken.

Ongelijknamige breuken kun je gelijknamig maken.

Als gelijke noemer gebruik je het kgv van de (vereenvoudigde) noemers.

ongelijknamige breuken

vereenvoudigen

3 2 en 5 7

5 7 en 6 8

8 6 en 40 20

gelijke noemer

gelijknamige breuken 2 5

=

3 7

=

5 6

=

7 8

=

8 = 40 6 = 20

De verschillende notaties van breuken: • de horizontale breukstreep (——) In de 7e eeuw werden breuken al voorgesteld door de teller boven de noemer te plaatsen.

De breukstreep zelf kwam er maar bij rond 1200.

• de dubbele punt (:) De dubbele punt werd voor het eerst gebruikt in 1633 als notatie voor breuken.

• de obelus (÷) De obelus werd voor het eerst gebruikt in 1659 en bestaat enkel nog als toets op rekenmachines.

• de diagonale breukstreep (/) Dit teken werd pas veel later ingevoerd om typografische redenen.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

153

Oefeningen REEKS A 1

Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

d)

Welk deel van de afgebeelde kinderen is een jongen?

Welk deel van de afgebeelde appels is rood?

b)

e)

Welk deel van de snookerballen is rood?

Welk deel van de afgebeelde honden is licht van kleur?

c)

f)

Welk deel van de afgebeelde wagens is niet geel?

Welk deel van de taart is al verdwenen?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

154

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

2

3

a)

c)

e)

b)

d)

f)

Bij welke figuren werd er

1 gekleurd?

3

Bij welke figuren werd er

3 gekleurd?

4

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)

4

5

6

8 = 5

b)

19 = 2

c)

7 = 6

Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. a) 1 +

2 3

=

c) 5 +

3 7

=

e) 5 +

3 4

b) 3 +

5 6

=

d) 7 +

3 8

=

f) 4 +

9 = 10

=

Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.

a)

4 5

=

b)

6 15

=

8

2

c)

15 9

=

d)

8 3

=

3

9

e)

28 56

=

f)

49 21

=

4

3

g)

24 45

=

h)

6 7

=

d)

65 = 125

8

56

Vereenvoudig met je rekenmachine tot een onvereenvoudigbare breuk.

a)

121 = 165

b)

35 = 280

c)

126 = 315

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

155

7

8

Vereenvoudig, indien mogelijk, deze breuken tot een onvereenvoudigbare breuk. a)

8 12

=

c)

21 = 60

e)

12 = 36

b)

18 = 30

d)

14 = 63

f)

19 = 30

2 5

=

Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.

a)

b)

3 2 en 7 8

3 1 en 6 7

2 = 7

c)

3 = 8 1 = 6

d)

3 = 7

8 2 en 5 15

3 7 en 4 16

8 = 15 7 4

=

3 = 16

REEKS B 9

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)

10

77 = 54

1 2

65 = 14

c)

37 = 13

2 = 13

b) 37 +

5 6

=

c) 7 +

2 = 35

Bereken het aantal honden of katten.

In een statistisch rapport over huisdieren in Vlaanderen lezen we: ‘Een gezin op vijf bezit minstens één hond, een op vier minstens één kat.’

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) In klas 1Aa zitten 24 leerlingen.

Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis? b) In klas 1Ab zitten 20 leerlingen.

Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één hond thuis? c) In klas 1Ac zitten 16 leerlingen.

Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis? d) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één hond thuis? e) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis? f) Hoeveel leerlingen van 1Ab en 1Ac samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis?

13

156

d)

83 = 15

Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. a) 17 +

11

b)

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

d) 18 +

22 = 23

12

Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.

a)

b)

R

R

13

14

36 = 40

7

9

=

c)

28 60

d)

17

16 = 32

=

0 25

7

e)

f)

16

24 = 20

=

55 80

g)

h)

15

56 = 72

9

21

=

15 25

Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk. a)

64 = 56

c)

81 = 60

e)

54 = 30

g)

54 = 90

b)

98 = 72

d)

28 = 84

f)

84 = 36

h)

84 = 64

Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.

a)

b)

16 10 en 16 32

17 32 en 72 63

10 = 16

c)

16 = 32

32 = 72

d)

17 = 63

121 32 en 128 88

21 54 en 45 35

32 = 128 121 = 88

54 = 45 21 = 35

REEKS C 15

Bepaal de gevraagde breuk.

3 , 4 waarbij de som van teller en noemer 28 is.

a) Een breuk gelijk aan

9 , 7 waarbij het verschil tussen teller en noemer 22 is.

b) Een breuk gelijk aan

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

157

5.1.3 De positieve rationale getallen als procent Procenten worden in het dagelijkse leven vaak gebruikt.

Geef enkele voorbeelden.

Procent of percent (%) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘centum’ (honderd).

Procenten zijn breuken met 100 als noemer.

Voorbeeld: 1 % =

1 100

13 % =

13 100

Procenten kun je omzetten tot onvereenvoudigbare breuken.

2%=

1 2 = 100 50

10 % =

25 % =

100 % =

7 = 10

11 = 25

Breuken kun je omzetten tot procenten.

2 = = 100 5

%

3 = 4

REKENMACHINE Zet 74 % om naar een onvereenvoudigbare breuk.

1

Zet

18 om naar procent.

40

2 3 4 5

7

Promille (‰) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘mille’ (duizend).

Promilles zijn breuken met 1 000 als noemer.

8

Voorbeeld: 5 ‰ =

6

9

In België is het maximaal toegelaten alcoholgehalte voor bestuurders van voertuigen 0,5 ‰, wat overeenkomt met 0,5 gram per 1 000 ml bloed. Met een ademanalysetoestel (zie afbeelding) of een bloedproef wordt dat gehalte gemeten.

10 11 12 13

158

5 1 000

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Oefeningen REEKS A 16

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a)

17

1%=

c) 40 % =

e) 60 % =

b) 10 % =

d) 50 % =

f) 80 % =

Duid de gevraagde procenten in kleur aan. b)

a)

c)

15 %

18

50 %

30 %

Schrijf de breuken als procent. a)

1 2

b)

1 = 10

=

100

=

%

c)

1 = 4

e)

1 = 20

d)

1 = 5

f)

7 = 10

REEKS B

R

19

20

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 36 % =

c) 24 % =

e) 16 %

=

b) 45 % =

d) 48 % =

f) 200 % =

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 76 % =

b) 65 % =

c) 124 % =

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

159

R

21

22

Schrijf de breuken als procent. a)

3 5

=

c)

7 4

=

e)

12 = 5

b)

2 = 25

d)

7 = 50

f)

13 = 20

b)

222 = 300

c)

27 = 60

Schrijf de breuken als procent. a)

23

12 = 40

Een hardloper heeft in het eerste deel van de wedstrijd drie vijfden van de totale afstand afgelegd.

Hoeveel procent van de totale afstand heeft hij dan al afgelegd?

Antwoordzin:

24

Hoeveel procent is gekleurd? b)

a)

c)

1 2 3

%

4

%

5 6 7 8

R

25

Schrijf de breuken als procent. a)

6 = 40

d)

24 = 30

b)

5 = 125

e)

33 = 44

c)

18 = 150

f)

12 = 40

9 10 11 12 13

160

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

%

5.1.4 De positieve rationale getallen decimaal Van breuk naar decimale schrijfwijze Als je een rationaal getal niet in zijn breukvorm laat staan, maar de deling uitvoert, dan vind je de decimale schrijfwijze van dat rationaal getal.

Er zijn drie mogelijkheden: 15 = 3

25 = 10

8 = 33

Wat is het verschil tussen een decimaal getal en een decimale vorm?

Het deel dat herhaald wordt bij een decimale vorm, noem je de Noteer de periode tweemaal, gevolgd door drie puntjes.

Voorbeeld:

2 11 2 99

7 = 15 16 = 333

= =

Opmerking: • Begin de periode altijd zo vroeg mogelijk.

• Houd de periode altijd zo kort mogelijk.

• Houd er rekening mee dat je rekenmachine maar een beperkt aantal cijfers op het scherm kan tonen.

Zo is het laatste cijfer veelal het resultaat van een afronding.

Verklaring voor het bestaan van een periode

5,00000000 7 0,714285 714285 – 050 – 49 10 7 – 30 –28 20 –1460 –5640 –3550 –4910

5 = 5 : 7 = 0,714 285 714 285 ...

7 Alle mogelijke resten bij deling door 7 zijn voorgekomen in de staartdeling!

Rest 5 herhaalt zich, zodat in het quotiënt ook de periode zich herhaalt.

De periode (714 285) heeft in dit voorbeeld een lengte van 6 cijfers.

Begrenzen Bepaal met je rekenmachine de decimale schrijfwijze van 5 ligt tussen de grenzen 0 7 tussen de grenzen 0,7

5 .

7

en 1

en dichter bij 1.

en 0,8

en dichter bij 0,7.

tussen de grenzen 0,71

en 0,72

en dichter bij

tussen de grenzen

en

en dichter bij HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

161

Afronden Vader laat zijn wagen voltanken.

Er kan 32,24 liter benzine bij in de tank.

Eén liter benzine kost 1,234 euro.

Hoeveel moet vader volgens je rekenmachine betalen?

Hoeveel zal vader aan de pomphouder betalen?

Werkwijze

Een decimale vorm of een decimaal getal afronden Om een decimale vorm af te ronden, kijk je naar het cijfer rechts van de plaats waar je wilt afronden: • als het volgende cijfer kleiner is dan 5, behoud het vorige cijfer; • als het volgende cijfer groter is dan of gelijk aan 5, verhoog het vorige cijfer met 1.

Voorbeeld:

705,369

afgerond op een honderdste

:

afgerond op de eenheid

:

afgerond op een tiental

:

afgerond op een honderdtal

:

Van decimale schrijfwijze naar breuk Als je een decimaal getal wilt omzetten naar een breuk, dan ga je als volgt te werk: • in de teller noteer je het getal zonder komma; • in de noemer noteer je 1, 10, 100, 1 000 ... met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn; • vereenvoudig als het kan.

15,2 =

76 152 = 10 5

0,4 =

0,29 =

4,508 =

1 2 3

REKENMACHINE Zet het getal 3,52 om naar een onechte breuk.

4 5 6 7 8 9 10 11 12

Decimale vormen, kleiner dan 1, waarvan de periode onmiddellijk na de komma begint, kun je met de volgende werkwijze omzetten naar een onvereenvoudigbare breuk: • in de teller zet je de periode; • in de noemer zet je 9, 99, 999 ... met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn; • vereenvoudig als het kan.

Voorbeeld: 0,212 1... =

13

162

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

7 21 = 99 33

Oefeningen REEKS A 26

27

28

Zet om naar de decimale schrijfwijze. a)

5 8

=

c)

7 5

=

e)

13 = 9

b)

12 = 20

d)

8 = 11

f)

19 = 4

Begrens op twee cijfers na de komma. a)

1 8

ligt tussen

en

en dichter bij

b)

2 3

ligt tussen

en

en dichter bij

c)

13 ligt tussen 1 000

en

en dichter bij

Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) 8,7 =

d) 0,03 =

g) 0,05 =

b) 1,5

e) 5,9

=

h) 6,6

=

f) 6,8 =

i) 2,3

=

=

c) 1,07 =

29

Rond de volgende getallen af.

opgave

afronden op de eenheid

afronden op een tiende

opgave

a) 25,14

d) 33,687

b) 358,217

e) 1,259

c) 0,02

f) 90,909

afronden op de eenheid

afronden op een honderdste

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

163

REEKS B 30

31

Zet een vinkje als de uitspraak waar is.

Als je deze breuken omzet naar de decimale schrijfwijze, dan verkrijg je een ...

1 5

6 7

7 1

5 3

11 5

0 23

25 11

... natuurlijk getal.

❒

❒

❒

❒

❒

❒

❒

... decimaal getal.

❒

❒

❒

❒

❒

❒

❒

... decimale vorm.

❒

❒

❒

❒

❒

❒

❒

Noteer de volgende breuken decimaal. Vink daarna de juiste uitspraak aan.

18 108 7 b) 4 0 c) 4 8 d) 9

a)

R

32

natuurlijk getal

decimaal getal

decimale vorm

=

❒

❒

❒

=

❒

❒

❒

=

❒

❒

❒

=

❒

❒

❒

Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) 8,88 =

d) 0,28 =

g) 2,36 =

b) 3,45 =

e) 6,40 =

h) 0,56 =

c) 57,8 =

f) 12,6 =

i) 16,4 =

1 2 3

33

4

Zet om naar de decimale schrijfwijze. a)

9 = 11

c)

49 = 15

e)

37 = 66

b)

38 = 111

d)

58 = 14

f)

58 = 22

5 6 7 8 9 10

34

Zet de volgende getallen om naar onvereenvoudigbare breuken. a) 3,456 =

c) 65,65 =

e) 7,856 =

b) 0,055 =

d) 12,054 =

f) 2,002 =

11 12 13

164

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

35

€

36

Bepaal de periode met behulp van je rekenmachine. a)

2 3

heeft als periode

e)

8 15

heeft als periode

b)

5 11

heeft als periode

f)

7 9

heeft als periode

c)

8 99

heeft als periode

g)

15 111

heeft als periode

d)

5 6

heeft als periode

h)

4 33

heeft als periode

Bereken de ontbrekende bedragen op het kasticket.

€

R

37

€

Rond de volgende getallen af. afronden op de eenheid

opgave

afronden op een honderdste

opgave

a) 10,258

c) 456,159

b) 25,369

d) 183,640

afronden op een honderdtal

afronden op een tiental

REEKS C 38

Zet de volgende getallen om naar onvereenvoudigbare breuken. a) 0,66...

=

c) 0,646 4... =

e) 0,702 702... =

b) 0,565 6... =

d) 0,213 213... =

f) 0,818 1...

=

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

165

5.2

Bewerkingen met positieve rationale getallen

5.2.1 De optelling Natuurlijke getallen

Decimale getalen

Breuken

Op het festival genoten zaterdag 8 037 toeschouwers van de opzwepende muziek.

Zondag kwamen er 12 487 muziekliefhebbers opdagen.

Hoeveel muziekfans mocht het festival verwelkomen?

Aya heeft een houten plint van 1,75 m en een van 2,32 m.

Wat is de totale lengte van de plinten waarover Aya beschikt?

Mona en Karel bestellen één pizza.

Mona eet één vierde van de pizza op.

Haar vriend Karel verorbert twee vijfden.

Welk deel van de pizza hebben ze samen opgegeten?

schatten

schatten

werkwijze • Vereenvoudig als het kan.

• Maak gelijknamig.

• Tel de tellers op, behoud de noemer.

• Vereenvoudig als het kan.

berekenen

berekenen

berekenen

1 2

Benamingen

3

• De getallen die je optelt:

4

• Het resultaat van de optelling:

5 6

REKENMACHINE

7

Bereken 8

7 5 + = 12 8

9 10 11 12 13

166

Opmerking 0 heeft geen invloed op het resultaat.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Voorbeeld: 18,32 + 0 = 18,32 = 0 + 18,32

5.2.2 De aftrekking Natuurlijke getallen

Decimale getallen

Breuken

Op de parkeerterreinen van de Heizel staan vandaag 8 007 wagens geparkeerd.

Gisteren maakten 4 849 chauffeurs gebruik van de parking.

Hoeveel wagens staan er vandaag meer geparkeerd dan gisteren?

Laïa geeft een pyjamafuif en koopt voor 36,35 euro aan verrassingspakjes.

Febe organiseert ook een fuif.

Ze heeft daarvoor 12,40 euro uitgegeven.

Hoeveel minder heeft Febe uitgegeven?

schatten

schatten

werkwijze • Vereenvoudig als het kan.

• Maak gelijknamig.

• Trek de tellers af, behoud de noemer.

• Vereenvoudig als het kan.

berekenen

berekenen

berekenen

19 van 24 een meter lang. Een andere 2 buis is van een meter lang.

3 Bereken het verschil in lengte tussen de twee buizen.

Een koperen buis is

Benamingen • De getallen die je aftrekt: • Het resultaat van de aftrekking:

REKENMACHINE Bereken

17 5 − = 22 13

Opmerking Er is een verband tussen het optellen en het aftrekken.

8 − 2 = 6 omdat 8 = 2 + 6

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

167

Oefeningen REEKS A 39

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave

497 + 177

805 − 317

2 693 + 1 297

1 795 − 887

schatten

berekenen

40

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 218,8 + 71,6

280

290

300

b) 583,23 – 309,68

250

270

290

c) 1 255,49 – 350,56

800

900

1 000

d) 4 548,369 + 4 450,587 e) 788,88 – 390

€

41

8 000

9 000

10 000

400

410

420

Simon heeft twee spaarrekeningen bij de bank: een van € 3 156,80 en een van € 764,50.

Hij besluit het geld af te halen en alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert.

Hoeveel stort Simon op die nieuwe rekening?

Antwoordzin: 1 2

42 3 4

Een vrachtwagen is geladen met 6,5 ton stenen.

Bij een klant wordt 3,7 ton afgeladen.

Hoeveel ton blijft nog op de vrachtwagen liggen?

5 6 7

Antwoordzin:

8 9 10

43

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

11 12

a)

7 8 + = 5 5

13

168

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

b)

8 7 + = 15 15

c)

14 8 − = 12 12

d)

13 5 − = 14 14

44

45

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

7 2 − 8 5

=

e)

1 1 + 7 3

=

b)

7 5 + 12 8

=

f)

8 3 − 7 4

=

c)

7 1 − 10 5

=

g)

2 1 − 3 4

=

d)

5 6 + 8 7

=

h)

4 3 − 5 4

=

Bereken. a)

23 56 − = 3 36

b)

17 38 + = 38 76

c)

21 7 − = 29 15

REEKS B 46

Vul aan. a) De som van 23 en 68 is 23 en 68 noem je

€

47

b) Het verschil van 82 en 25 is 82 en 25 noem je

Amin wil een iPod van 238 euro kopen. Hij heeft al 157 euro gespaard.

Zijn oma geeft hem 40 euro extra. Hoeveel moet Amin nog sparen?

Antwoordzin:

48

Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en 3 van groot naar klein en vorm zo een getal met vier cijfers.

Rangschik daarna dezelfde vier cijfers van klein naar groot. Zo verkrijg je een nieuw getal.

Wat is het verschil tussen beide getallen?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

169

49

De familie Decorte vertrekt op zomervakantie. Hun mobilhome heeft 51 064,2 km op de teller staan.

De reisweg heen en terug bedraagt 3 256,3 km. Ter plaatse maken ze uitstappen voor een totaal van 897,5 km. Hoeveel km staat er op de teller als ze weer thuiskomen?

Antwoordzin:

50

Lars verzamelt postzegels. Hij heeft er 1 258.

Joliska heeft 379 postzegels minder. Hoeveel postzegels hebben ze samen?

Antwoordzin:

51

1 2

R

52

Zet in de uitkomsten de komma op de juiste plaats. a) 79,227 + 190,653 = 2 6 9 8 8

c) 6 598,56 – 956,236 = 5 6 4 2 3 2 4

b) 2 125,4 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6

d) 11 111,111 – 2 222,222 = 8 8 8 8 8 8 9

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

a)

2 1 + 14 3

=

e)

1 21 + 7 28

=

b)

2 21 − 3 42

=

f)

8 7 − 6 18

=

c)

12 2 + 16 5

=

g)

8 4 − 5 6

=

d)

7 8 − = 12 56

h)

12 1 − 36 4

=

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

170

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

53

Het leerlingenaantal van de vrije technische school van Wavergem zit in de lift.

Dat kun je aflezen van dit lijndiagram. leerlingenaantal eerste graad 220

aantal leerlingen

215 210 205 200 195 190 185 180 2009

2011

2013

2015

2017

2019

jaar

a) Hoeveel leerlingen waren er in 2011 ingeschreven? b) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2014? c) Wat was het leerlingenaantal in 2019? d) Hoeveel leerlingen waren er in 2015 meer of minder dan in 2011? e) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2018 meer of minder dan in 2012? f) Hoeveel leerlingen kreeg de eerste graad er in 10 jaar bij?

54

1 3 van een taart. Nabil eet van de taart.

8 4 Hoeveel blijft er over voor Tine?

Jan eet

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

171

55

Lisa en haar ouders gaan met de fiets op vakantie. Van de totale afstand tot hun bestemming leggen 1 1 1 af, de tweede dag en de derde dag nog . ze de eerste dag 5 2 5 Welk deel van de weg moeten ze de vierde dag nog afleggen?

Antwoordzin:

€

56

Een buschauffeur is vier dagen van dienst op lijn 43.

Ze houdt nauwkeurig haar dagopbrengst in cash bij.

Op maandag ontving ze € 168,50.

Op dinsdag was dat € 19,25 minder.

Op woensdag kreeg ze € 54,50 minder dan op dinsdag.

Op donderdag was de opbrengst gelijk aan de som van de opbrengst van maandag en dinsdag.

Hoeveel ontving de buschauffeur in totaal?

Antwoordzin:

57

Vul aan. berekening

1

berekening

2 3

= 84

f)

2 − 5

=

1 10

b)

+ 27 = 213

g)

2 + 3

=

27 24

c)

− 98 = 1 206

h)

+

2 1 = 7 2

−

2 1 = 7 2

a) 116 −

4 5 6 7 8 9 10

d) 179 +

= 324

i)

e) 144 −

= 144

j)

11 12 13

172

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

1 + 2

=

3 6

R

€

58

59

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

a)

63 52 + = 72 64

e)

143 64 − = 121 96

b)

52 18 − 20 45

=

f)

34 33 − = 51 99

c)

18 52 + 54 20

=

g)

78 28 − 52 77

d)

48 8 − 56 14

=

h)

14 15 + = 84 36

=

In de onderstaande tabel vind je de inkomsten van kruidenierszaak ‘Het Witte Loof’ tijdens een week in oktober. cash in euro

bancontact in euro

maandag

1 507,95

893,14

dinsdag

0

0

woensdag

1 298,30

517,12

donderdag

1 419,50

753,78

vrijdag

1 739,20

1 007,24

zaterdag

2 109,45

1 377,85

zondag

729,50

203,37

a) Hoe verklaar je de mindere opbrengst op zondag?

b) Waarom denk je dat dinsdag € 0 oplevert? c) Wat is de totale opbrengst in cash per week? d) Welke dag is een gouden dag voor ‘Het Witte Loof’?

Hoeveel geld komt er dan binnen? e) Wat is het totaal aan inkomsten voor deze week?

f) Wat is het verschil tussen de cashinkomsten en de inkomsten met bancontact?

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

173

REEKS C 60

Vervolledig de tabel.

124

_

178

251

748

684

178

113

936

737

299

61

Vul bij de onderstaande cijferoefeningen de ontbrekende cijfers in. a)

4 +

1 9

62

b) 9

7

7 −

5

7 7

2

7

3

4

Vervang de letter zodat je een ware uitspraak verkrijgt.

37 7 = 24 8

a) a + 27 = 63

a =

f) f −

b) 16,4 + b = 25,75

b =

g) 375,12 + 653,278 = g

c) c – 65,56 = 157,639

c =

h)

d) 256,23 – d = 199,86

d =

i) 78,879 – i = 29,983

e =

j)

f

=

1 2

g =

3 4 5

33 5 +h= 6 36

h =

6 7

i

=

j

=

8 9 10

e)

3 5 –e= 7 8

11 12 13

174

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

2 2 –j= 3 17

1

5.2.3 De volgorde van de bewerkingen Bereken 15 − (3 + 2) =

=

(15 − 3) + 2 =

=

15 − 3 + 2

=

=

In de bovenstaande oefeningen komen dezelfde getallen en dezelfde bewerkingstekens voor.

Toch verkrijg je door het gebruik van haakjes een ander resultaat.

De volgorde waarin we de bewerkingen uitvoeren, is dus van belang.

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) Haakjes uitwerken 2) Optellen en aftrekken van links naar rechts

( ) ⫹, ⫺

Voorbeelden a)

冉 冊

3 1 4 − − 5 4 2

= = = =

b) (12,5 + 56,4) − (24,6 − 13,3) = =

REKENMACHINE Bereken 823,5 – (525,6 + 27,87) =

Bereken

冉 冊

2 6 1 + − = 3 7 4

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

175

Oefeningen REEKS A 63

64

€

65

Bereken. a) 5 + 18 − 3

c) (19 – 9) − 8

e) 12 – (8 – 3)

b) 18 + 7 – (23 – 5)

d) (17 – 9) – (8 – 2)

f) 12 – (6 + 3) + 9

Bereken.

冉 冊 冉 冊

a) 13,6 – (12,65 – 7,263) =

c)

3 7 5 + − 17 2 13

=

b) (67,4 + 138,2) – 96,73 =

d)

2 1 3 4 + + − 11 7 5 3

=

Kathleen krijgt van haar ma een briefje van 50 euro om boodschappen te doen.

In de supermarkt betaalt ze 27,35 euro. Bij de bakker bedraagt de rekening 14,75 euro.

Hoeveel moet Kathleen aan haar moeder teruggeven?

Bereken op twee manieren. methode 1

methode 2

1

Antwoordzin:

2 3 4 5 6 7

REEKS B

R

66

Bereken. a)

冉 冊

1 3 1 + − 2 5 4

8 9 10 11 12 13

176

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

b)

冉 冊

4 2 1 − − 3 3 4

c)

2 5 1 + − 7 28 4

67

De vader van Martine hield gedurende de laatste jaren de kilometerstand van zijn wagen nauwlettend in het oog. aantal kilometer per jaar 30 000

kilometer

25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0

2015

2016

2017 jaartal

2018

2019

a) Bereken het totale aantal kilometer dat deze auto in vijf jaar tijd heeft afgelegd.

b) Wat is het verschil in kilometer tussen het totaal van de laatste twee jaar en het totaal van de eerste twee jaar? Schrijf in één uitdrukking en bereken.

68

Zet, indien nodig, haakjes zodat een juiste uitspraak ontstaat. a) 100 – 5 + 55 = 40

d) 56 – 13 + 35 = 8

b) 45 – 7 + 12 = 50

e) 200 – 47 + 84 – 27 = 210

c) 640 – 480 + 60 = 100

f) 200 – 47 + 84 – 27 = 42

REEKS C

€

69

Op het spaarboekje van Jorne staat € 549,85. Zijn oma stort € 60 voor zijn verjaardag.

Daarna koopt Jorne twee computerspelletjes: het ene kost € 36,75 en het andere kost € 47,95.

Hij koopt ook nog een nieuwe USB-stick van € 29,50.

Hoeveel heeft Jorne uiteindelijk nog op zijn spaarrekening staan?

Schrijf in één uitdrukking en bereken.

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

177

5.2.4 De vermenigvuldiging Natuurlijke getallen

Decimale getallen

Dit jaar gaan de leerlingen voor enkele dagen op studiereis naar Londen.

De school rekent 198 euro per leerling aan.

53 leerlingen zullen zich laten overdonderen door de prachtige cultuurstad.

Wat is de totale kostprijs van de schoolreis?

Nour wil haar kamer in een flashy nieuw kleurtje schilderen. Na heel wat meet- en rekenwerk weet Nour dat ze 7,5 liter verf nodig zal hebben. Eén liter verf kost 18,65 euro.

Hoeveel zal Nour voor de verf moeten betalen?

schatten

schatten

berekenen

berekenen

1 2 3

Benamingen

4

• De getallen die je vermenigvuldigt:

5

• Het resultaat van de vermenigvuldiging:

6 7 8

REKENMACHINE Bereken 12,23 ⴢ 36,059 =

9 10 11 12 13

178

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Breuken Het product van een natuurlijk getal met een breuk Een pizza wordt in zeven gelijke stukken verdeeld. Jan, Klaas en Korneel eten elk twee stukken.

Welk deel van de pizza is er opgegeten?

3ⴢ

Werkwijze

2 2 2 2 = + + 7 7 7 7 6 = 7 3ⴢ2 = 7

Het product van een natuurlijk getal met een breuk Om een natuurlijk getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer.

Voorbeelden a) 6 ⴢ

2 6 ⴢ 2 12 = = 5 5 5

b) 5 ⴢ

3 = 7

Het product van twee breuken Een rijke Engelse graaf laat bij zijn dood een groot stuk grond na aan zijn trouwe personeel.

Eén vijfde schenkt hij aan de butler, één vijfde aan de chauffeur en de overige drie vijfden aan de twee keukenmeiden.

Werkwijze

chauffeur

1 3 3 1ⴢ3 ⴢ = = 2 5 10 2 ⴢ 5

butler

Welk deel ontvangt elke meid?

eerste meid

tweede meid

Het product van twee breuken Om het product van twee breuken te nemen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.

Voorbeelden a)

4 7 4 ⴢ 7 28 ⴢ = = 5 3 5 ⴢ 3 15

b)

5 3 ⴢ = 6 10

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

179

Opmerking: kruiselings vereenvoudigen 1

1

2

2

\5 ⴢ 3/ = 1 5 3 ⴢ = 6 10 4 6/ ⴢ 10 \

Voorbeelden

a)

12 3 ⴢ = 7 20

b)

12 25 ⴢ = 35 24

c)

2 21 ⴢ 7 6

=

d)

7 ⴢ6 9

=

Een breuk nemen van een getal Werkwijze

Een breuk nemen van een getal Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.

2 van 24 wil zeggen: verdeel 24 in 3 gelijke delen en neem er 2 delen van.

3 Voorbeelden 1 2

a)

2 2 24 2 van 24 = ⴢ 24 = ⴢ = 3 3 3 1

b)

6 van 42 = 7

c)

5 2 van = 3 8

3 4 5 6 7 8 9 10

Opmerking Vermenigvuldigen met 1 heeft geen invloed op het resultaat.

11 12

Voorbeeld: 18,32 ⴢ 1 = 18,32 = 1 ⴢ 18,32

13

180

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Oefeningen REEKS A 70

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening.

49 ⴢ 6

opgave

38 ⴢ 41

3,1 ⴢ 49

4,2 ⴢ 5,9

schatten berekenen

71

72

€

73

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 41 ⴢ 19

600

700

800

b) 78 ⴢ 4

200

250

300

c) 52 ⴢ 19

800

900

1 000

d) 30 ⴢ 2,9

80

90

100

e) 98 ⴢ 103

9 500

10 000

10 500

Bereken. Rond af op 0,01. a) 35,009 ⴢ 12,5 =

c) 607,946 ⴢ 0,07 =

b) 18,86 ⴢ 9,6

d) 803,15 ⴢ 57,62 =

=

Thuis wordt de stookolietank gevuld met 2 567 liter huisbrandolie voor de centrale verwarming.

Eén liter huisbrandolie kost 0,697 euro.

Hoeveel zal vader aan de stookolieleverancier moeten betalen?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

181

74

Noteer telkens het correcte aantal. a)

2 van de kleurpotloden 5

c)

3 van de pralines 4

pralines

kleurpotloden

b)

7 van de sleutels 8

d)

1 van het aantal schoenen 6

schoenen

sleutels

75

Bereken. a)

1 van 66 is 2

c)

4 van 65 is 5

e)

7 van 64 is 8

b)

1 van 48 is 3

d)

5 van 56 is 7

f)

3 van 75 is 5

1 2 3 4 5 6

76

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

2 5 ⴢ 3 7

=

e)

3 ⴢ5 8

=

b)

8 7 ⴢ 9 5

=

f)

3 1 ⴢ 4 5

=

c)

6 5 ⴢ 7 7

=

g)

5 7 ⴢ 9 8

=

5 7

=

h) 6 ⴢ

4 5

=

7 8 9 10 11 12

d) 12 ⴢ

13

182

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

REEKS B 77

€

78

Schat. a) de hoogte van het middelste gebouw

b) het aantal mensen

Tip: schat eerst de hoogte van de auto.

Tip: verdeel de foto in zes gelijke stukken.

Antwoord:

Antwoord:

De sponsor van onze voetbalploeg heeft ons een nieuwe uitrusting beloofd.

Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers. shirt

broek

kousen

sporttas

€ 21

€ 16

€9

€ 18

Antwoordzin:

€

79

Vissersclub ‘De Lustige Lijnvissers’ organiseert een tombola.

Er worden 800 loten van 3 euro verkocht.

De hoofdprijs is een volledige vissersuitrusting van 1 000 euro.

Iedereen die een lot kocht, krijgt een sticker ter waarde van 1 euro.

Hoeveel winst maakt de vissersclub?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

183

€

80

Voor een rockconcert worden er in voorverkoop 350 kaarten van 9 euro verkocht.

Aan de kassa betalen 530 mensen de avond zelf 12 euro.

Hoeveel is het totaal aan ontvangsten voor het concert?

Antwoordzin:

€

81

Om een nieuwe werkplaats te bouwen, gebruikt men 42 buizen van 5,4 m, 62 buizen van 3,75 m en 17 buizen van 7,9 m. De buizen kosten € 1,53 per meter.

Bereken de totale kostprijs van de buizen.

Antwoordzin:

82

Bereken. a) 20 % van 80

is

b) 15 % van 160

is

c) 40 % van 180

is

d) 80 % van 90

is

20 ⴢ 80 = 100

1 2 3

R

83

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

4 5

a)

8 7 ⴢ 3 4

=

e)

24 27 ⴢ = 9 8

b)

6 14 ⴢ 7 8

=

f)

22 3 ⴢ = 39 44

5 6

=

g)

36 57 ⴢ = 19 42

15 16 ⴢ = 25 24

h)

77 36 ⴢ = 81 42

6 7 8 9

c) 18 ⴢ

10 11 12

d)

13

184

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

84

85

Bereken. a)

2 van 108 9

is

c)

5 van 56 14

is

b)

7 van 96 8

is

d)

5 van 84 7

is

Hoeveel minuten is

2 van de helft van een uur?

3

Antwoordzin:

REEKS C 86

Boer Jansens heeft kippen, varkens en koeien.

Eén zesde van de dieren zijn kippen en twee vijfden zijn varkens.

Hoeveel dieren heeft hij in totaal, als je weet dat hij 39 koeien bezit?

Antwoordzin:

87

Ilse kocht een taart. Op de verpakking staat dat die taart 1 567 kilocalorieën bevat.

1 1 1 van de taart en daarna nog . Ilse houdt het bij van de taart.

Moeder eet eerst 7 5 4 Bereken het verschil in calorieën voor hen beiden. Rond het resultaat af op de eenheid.

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

185

5.2.5 De deling Natuurlijke getallen

Decimale getallen

Om extra geld in het laatje te krijgen, houdt de dansschool een pannenkoekenverkoop.

De actie brengt in totaal 3 572 euro op.

Hoeveel pakjes pannenkoeken werden er verkocht, als je weet dat één pakje 4 euro kost?

Liesbet koopt 3,5 m stof voor een nieuw kleedje.

Ze betaalt 20,65 euro.

Hoeveel kost de stof per meter?

schatten

schatten

berekenen

berekenen

Benamingen • Het getal dat je deelt: • Het getal waardoor je deelt: • Het resultaat van een deling: 1 2

Opmerking

3

Er is een verband tussen vermenigvuldigen en delen.

4

28 : 4 = 7

5 6

omdat

28 = 4 ⴢ 7

Delen door nul 28 : 0 = ?

omdat

? ⴢ 0 = 28

7 8

Delen door 0 is onmogelijk!

9 10 11

REKENMACHINE Bereken 687,015 : 18,9 =

12 13

186

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Breuken Het omgekeerde van een breuk Definitie

Omgekeerde van een breuk Het omgekeerde van een breuk is de breuk die je verkrijgt door teller en noemer te verwisselen.

Voorbeelden a) het omgekeerde van

5 is 9

c) het omgekeerde van

b) het omgekeerde van

3 is 4

d) het omgekeerde van 7

1 is 5 is

Opmerking Het product van een getal met zijn omgekeerde is gelijk aan 1.

Voorbeelden 1

a)

1

3 11 3\ ⴢ 11/ 1 ⴢ = = =1 11 3 1 11/ ⴢ 3\ 1 1

b) 7 ⴢ

=1

Breuken delen Delen door een breuk betekent hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk.

7 7 : =1 8 8

7 8 ⴢ =1 8 7

Als je een breuk deelt door zichzelf, is het quotiënt 1.

Als je een breuk vermenigvuldigt met zijn omgekeerde, is het product 1. dus 7 7 7 8 : = ⴢ 8 8 8 7

Werkwijze

Een breuk delen door een breuk Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Voorbeelden a)

5 7 : 9 8

b)

12 6 : = 7 49

=

c) 5 :

d)

15 = 8

14 :7 = 5

Onthoud: kruiselings vereenvoudigen kan enkel bij de vermenigvuldiging.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

187

Oefeningen REEKS A 88

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave

531 : 9

2 232 : 31

355,8 : 6

440,34 : 3

schatten berekenen

89

90

1

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 418 : 20

15

21

27

b) 3 549 : 40

80

90

100

c) 731,28 : 8

90

100

110

d) 2 506,9 : 40

40

50

60

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

2 5 : = 3 7

d)

3 :5 = 4

b)

8 7 : = 9 5

e)

5 7 : = 9 8

5 = 7

f)

2 7 : = 3 5

2 3 4

c) 8 :

5 6 7

REEKS B

8 9 10 11

91

Vul aan. a) 23 â´¢ 6 = 138 23 en 6 noem je 138 is

12

34 noem je 68 is

13

188

b) 68 : 2 = 34 2 noem je

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

€

92

Bereken telkens de prijs voor één artikel.

s esje 12 fl 9,60 € r o o v

vier kopjes voor € 10,40

Eén kopje kost

€

93

euro.

Eén flesje kost

euro.

Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard.

Elke maand kan ze 4 euro opzijleggen. Hoeveel maanden moet Lien nog wachten om de muziekinstallatie van haar dromen te kunnen kopen?

Antwoordzin:

94

95

Bereken. Rond af op 0,01. a) 5 567 : 4,6

=

c) 4,259 : 5,678

=

b) 78,89 : 43,72

=

d) 0,035 : 0,005 7 =

Een fruitboer wil 987 fruitbomen planten. Ze moeten in rijen van 36 staan. a) Hoeveel volledige rijen van 36 bomen kan de boer planten? b) Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten?

Antwoordzin: a) b)

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

189

96

Bereken deze vermenigvuldigingen en delingen. a) 2 510 ⴢ 10

=

g) 2 510 ⴢ 0,1

=

b) 23,7 ⴢ 100

=

h) 23,7 ⴢ 0,01

=

c) 0,52 ⴢ 1 000 =

i) 0,52 ⴢ 0,001 =

d) 2 510 : 10

=

j) 2 510 : 0,1

=

e) 23,7 : 100

=

k) 23,7 : 0,01

=

f) 0,52 : 1 000 =

€

97

l) 0,52 : 0,001 =

Stefanie en Ellen vergelijken het verbruik van hun auto.

Stefanie kan met een tankbeurt van 36 liter 264 km rijden.

Ellen kan 282 km rijden met een tank van 40 liter.

Wie rijdt het voordeligst?

Antwoordzin:

1 2 3

R

98

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

7 14 : 8 24

=

e)

75 50 : = 35 28

b)

90 30 : = 60 45

f)

12 45 : = 15 30

c)

4 16 : = 13 39

g)

48 :4 3

12 16

h)

36 24 : = 85 17

4 5 6 7 8 9

=

10 11

d) 12 :

=

12 13

190

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

€

99

500 euro wordt verdeeld onder vier personen. Niels krijgt een vierde. Eva ontvangt een derde van wat er nog rest. Sarah en Youssef verdelen wat overblijft in twee gelijke delen.

Hoeveel krijgen ze elk?

Antwoordzin:

€

100

Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst.

Hij hield 4 500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom?

Antwoordzin:

REEKS C 101

Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid.

Na de eerste snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog.

Hoe hoog zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt?

Antwoordzin:

102

Met welke breuk moet je

3 9 7 vermenigvuldigen om het quotiënt van en te verkrijgen?

8 14 28

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

191

5.2.6 Volgorde van de bewerkingen Bereken (20 – 8) ⴢ 2 =

=

20 – (8 ⴢ 2) =

=

20 – 8 ⴢ 2

=

=

Het is duidelijk dat er weer enkele afspraken nodig zijn.

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

ⴢ, :

3) Optellen en aftrekken van links naar rechts

⫹, ⫺

Voorbeelden a) 2 ⴢ 6 + 3 ⴢ 5

= =

b) 2 ⴢ (6 + 3) ⴢ 5

= =

c) 18 : [(17 + 4) : 7] = = = Opmerking 1 2

Als er in de teller (of in de noemer) van een breuk meerdere bewerkingen voorkomen, dan moet je ze beschouwen als bewerkingen die tussen haakjes staan.

3 4 5

(2 ⴢ 3 + 8) 2ⴢ3+8 = = 2 ⴢ (4 + 3) 关2 ⴢ (4 + 3)兴

6 7

REKENMACHINE

8 9

Bereken 251,3 ⴢ (562,3 − 69,8) =

10 11 12 13

192

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Oefeningen REEKS A 103

Bereken. a) 12 – 6 : 3

h) 2 ⴢ 3 + 5

o) 100 : (20 ⴢ 5)

b) 24 : 4 + 4

i) 2 ⴢ (3 + 5)

p) 2 ⴢ 3 ⴢ (18 : 9)

c) 40 – 3 ⴢ 8

j) (12 – 3) ⴢ 3

q) 10 ⴢ (2,5 + 3,7)

d) 7 ⴢ 2 − 4

k) 4 ⴢ (5 + 3 + 8)

r) (0,2 + 0,8) ⴢ (0,5 + 1)

e) 18 : 6 − 3

l) 40 : (24 – 14)

s) 36 : 2 – 18 : 3

f) 8 + 5 ⴢ 4

m) 100 : 20 ⴢ 5

t) 18,9 – 37 : 10

g) 6 −

1 3 ⴢ 2 4

n)

冉5 − 31 冊 ⴢ 27

=

u) 6 ⴢ

冉 冊 1 1 − 2 6

14 ⴢ 2 3 ⴢ 7

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

193

REEKS B

€

R

104

105

1

Voor haar verjaardag mag Karen met drie vriendinnen naar de bioscoop gaan.

De tickets kosten € 7 per stuk. Ze koopt voor elk nog een cola (€ 2) en wat popcorn (€ 1,50).

Hoeveel moet Karen betalen? Vink de goede antwoorden aan. ❐ 4 ⴢ 7 + 2 + 1,50

❐ 7 + 2 + 1,50 ⴢ 4

❐ 4 ⴢ 7 + 4 ⴢ 2 + 4 ⴢ 1,50

❐ (7 + 2 + 1,50) ⴢ 4

❐ 4 ⴢ (7 + 2 + 1,50)

❐ 7 + (2 + 1,50) ⴢ 4

Bereken. a) 9 ⴢ (12 – 9) : 3

e) 20 – 5 ⴢ 3 + 6

b) 2 + 3 ⴢ 12 : 4

f) 4 ⴢ 6 : 3 + 2 − 10

c) 5 ⴢ 2 + 27 : 3

g) 20 ⴢ 5 ⴢ (8 : 2) + 200 ⴢ 3

d) [3 + (4 − 2)] ⴢ (6 + 2)

h) 6 ⴢ (8 : 2 + 4)

2 3 4 5 6 7 8 9

106

Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma. a) (32,93 – 18,9) ⴢ (207,38 + 15,36)

=

b) 32,93 + 18,9 ⴢ (207,38 + 15,36)

=

c) (32,93 − 18,9) ⴢ 207,38 + 15,36

=

10 11 12 13

194

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

R

107

Bereken. a) 4 ⴢ 12,5 + 2 ⴢ (6 : 0,2)

b)

108

c) (2,3 + 6,4 – 5,6) ⴢ 2

冉 冊

2 1 2 3 − ⴢ ⴢ 3 4 3 16

d)

冉 冊冉 冊 4 1 9 7 + − : 3 2 2 3

Bereken. a)

25 : 5 ⴢ 7 1 + 35 ⴢ 10 : 2 2

b)

38 + 2 ⴢ 8 2 ⴢ (5 + 4)

c)

48 − 3 ⴢ 8 1 − (18 − 9) ⴢ 6 6

REEKS C 109

Plaats voor, achter of tussen de getallen + , − , ⴢ of : om de berekening te laten kloppen.

Plaats enkel haakjes waar nodig. a)

2

3

6

4

=

10

b)

5

7

2

6

=

1

c)

6

6

6

6

6

d)

5

5

5

5

5

6 =

=

31

31

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

195

5.2.7 Machten Tijdens de vakantie poetst Tim quads om een centje bij te verdienen. Maandag poetst hij twee quads. Het gaat steeds beter en sneller: elke dag verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen.

Hoeveel quads poetst hij op vrijdag?

Boer Teun moet zijn vierkante weide opmeten.

Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m.

De oppervlakte van de weide bereken je door de zijde te vermenigvuldigen met zichzelf.

Hoeveel vierkante meter bedraagt de oppervlakte van de weide?

2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 = 32

48,5 ⴢ 48,5 = 2 352,25

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Decimale getallen

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭

Natuurlijke getallen

5 factoren

2 factoren 2

kun je kort schrijven als 48,5 = 2 352,25

5

kun je kort schrijven als 2 = 32 5

2

2 lees je als twee tot de vijfde (macht)

48,5 lees je als 48,5 tot de tweede (macht) of 48,5 kwadraat Nog enkele voorbeelden:

Nog enkele voorbeelden:

3

3

=

1,5

=

=

2

=

0,2 =

=

4 =4ⴢ4ⴢ4 3 =

4

Benamingen 6 3 = 216

6 noem je het grondtal 3 noem je de exponent 216 noem je de macht

Bijzondere machten

→

3

→

2

→

3

2

2

→

→

→

2

→

1

→

→

4 5

Voorbeeld:

17

De nulde macht van een getal is

Voorbeeld:

28 =

7 8

Opmerking

9

0 0 is niet te berekenen, want: 0 3 = 0

30 = 1

10

02 = 0

20 = 1

01 = 0

10 = 1

11

?

0

12 13

196

1

De eerste macht van een getal is

6

0 =0 0

?

≠

0

0 =1

Je verkrijgt een tegenspraak, dus 0 is niet te berekenen.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

2

0

=

4

=

2

=

→

=

2

5

=

2

=

1

= 0

REKENMACHINE 3

1) Bereken 67 =

2

2) Bereken 34,25 =

Breuken

Werkwijze

a)

冉冊

b)

冉冊

2

3 4

2 5

=

3 3 ⴢ 4 4

=

9 16

=

32 42

3

=

=

=

Een breuk tot een macht verheffen Om een breuk tot een macht te verheffen,

Opmerking Als je een breuk tot een macht wilt verheffen, moet je de volledige breuk tussen haakjes zetten en de exponent erbuiten plaatsen.

Als je geen haakjes gebruikt, slaat de exponent enkel op de teller van de breuk.

Voorbeelden a)

冉冊 7 8

2

=

7 2 49 = 8 2 64

b)

7 2 49 = 8 8

Volgens een oud verhaal wilde de Indiase koning Shirham de uitvinder van het schaakbord, Sissa ben Dahir, rijkelijk belonen voor zijn uitzonderlijke prestatie. Toen de koning hem vroeg welke beloning hij voor zijn uitvinding zou wensen, antwoordde de slimme Sissa: ‘Majesteit, geef me één graankorrel om op het eerste vakje te leggen, twee om op het tweede vakje te leggen, vier om op het derde vakje te leggen, acht om op het vierde vakje te leggen, en laat mij zo, o koning, elk van de vierenzestig vakjes van het schaakbord bedekken.’ De koning was verbaasd over zo’n bescheiden verzoek, niet meer dan een handvol graan voor zo’n geweldige uitvinding!

Stomverbaasd was hij toen de hofgeleerden hun berekeningen voorlegden ...

0 Op het eerste vakje ligt 1 korrel of 2 , 1 op het tweede vakje liggen 2 korrels of 2 , 2 op het derde vakje liggen 4 korrels of 2 , 3 op het vierde vakje liggen 8 korrels of 2 enzovoort.

63 Op het 64e en laatste vakje zouden dus 2 of 9 223 372 036 854 775 808 graankorrels moeten liggen.

Voor alle 64 vakjes samen komt dat op een totaal van 18 446 744 073 709 551 615 graankorrels.

Koning Shirham liet de dolgelukkige Sissa ben Dahir dan maar trouwen met zijn dochter, de prinses. En ze leefden nog lang en gelukkig ...

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

197

Oefeningen REEKS A 110

Bereken telkens het kwadraat. a) 0 b) 1

111

2

2

=

f) 5

2

=

k) 10

2

=

g) 6

2

=

l) 11

2

=

m) 12

2

=

=

2

=

c) 2

2

=

h) 7

d) 3

2

=

i) 8

2

=

n) 13

2

=

e) 4

2

=

j) 9

2

=

o) 14

2

=

3

=

e) 5,2

4

=

f) 0,1

=

k) 10

=

l) 456

=

m) 4

Bereken. a) 0,6

2

=

c) 2,5

b) 0,2

2

=

d) 1,3

3

=

5

=

REEKS B 112

1

Bereken. a) 48

0

=

f) 0

b) 26

1

=

g) 1

5

8

c) 5

2

=

h) 10

3

d) 2

3

=

i) 3

3

=

n) 1

e) 3

4

=

j) 2

4

=

o) 5

3

5

= 1

= =

4

=

3

=

2 3 4 5 6 7

113

Twee judoploegen van telkens zeven judoka’s moeten elkaar bekampen tijdens een toernooi.

Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van de ene ploeg tegen elke judoka van de andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening.

8 9 10 11 12

Antwoordzin:

13

198

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

114

Bereken. a) b)

115

116

2 3

2

=

c)

=

d)

3

冉冊 冉冊 1 5

7 9

冉冊 冉冊

3

=

e)

=

f)

1 2

2

2 5

5

= 2

=

Bereken links, bereken rechts. Vul in met <, > of =. a)

2

3

3

b)

8

0

0

c)

0,01

2

2

6

冉冊 1 10

d)

27

1

3

3

e)

4

2

2

4

f)

冉冊

3

1 5

2

0,5

2

Bereken. a)

b)

117

冉冊 冉冊 3 4

冉冊 冉冊 2 8

8 14

=

c)

冉冊

=

d)

82 4

3

2

4 6

4

=

e)

62 18

=

f)

冉冊 6 18

= 2

=

Bereken. Antwoord telkens met een getal en in woorden. a) 10 0

=

=

b) 10 1

= 10

= tien

c) 10 3

=

=

d) 10 6

=

=

e) 10 9

=

=

f) 10 12

=

=

REEKS C 118

Zoek een natuurlijk getal dat tussen 0 en 10 ligt en waarvan het dubbel de helft is van zijn kwadraat.

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

199

5.2.8 Vierkantswortels Natuurlijke getallen

Decimale getallen

Axel houdt van kampen bouwen.

Samen met enkele vrienden wil hij een vierkant kamp maken.

2 Het moet een oppervlakte hebben van 16 m .

Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn om die oppervlakte te verkrijgen?

Vader wil een nieuwe douchecabine installeren.

De vierkante douchebak heeft een oppervlakte 2 van 0,64 m .

Hoeveel meter bedraagt de zijde van de douchebak?

冪16 = 4

冪0,64 = 0,8 2

omdat 0,64 = 0,8

冪16 lees je als

冪0,64 lees je als

de vierkantswortel van 16

de vierkantswortel van 0,64

omdat 16 = 4

Nog enkele voorbeelden:

Nog enkele voorbeelden:

冪81 =

omdat 81 =

冪0,25 =

omdat 0,25 =

冪36 =

omdat 36 =

冪1,21

omdat 1,21 =

=

Benamingen 冪16 = 4

16 noem je het grondtal 冪 noem je het wortelteken 4 noem je de vierkantswortel

1 2

Bijzondere vierkantswortels

3

冪1 =

omdat 1 =

4 5

REKENMACHINE 6 7

Bereken 冪3 136 =

8 9 10

Bereken 冪349,69 =

11 12 13

200

2

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

en

冪0 =

omdat 0 =

Breuken

冑

9 3 = omdat 16 4

Werkwijze

冉冊 3 4

2

=

9 .

16

Dat is hetzelfde als

冑

9 冪9 3 = . = 16 冪16 4

Vierkantswortel van een breuk Om de vierkantswortel van een breuk te nemen,

Voorbeelden a)

冑

b)

冑

c)

冑

49 = 64 36 = 100 27 = 12

Opmerking Als je de vierkantswortel van een breuk wilt nemen, moet je de volledige breuk onder het wortelteken zetten. Als je dat niet doet, slaat het wortelteken enkel op de teller van de breuk.

Voorbeelden a)

冑

16 冪16 4 = = 25 冪25 5

b)

冪16

25

=

4 25

REKENMACHINE Bereken

Bereken

冑

169 = 64

冪169

64

=

Het symbool 冪 komt voor het eerst voor in 1525 in het wiskundeboek ‘Die Coss’ van Christoff Rudolff.

Volgens sommige geschiedkundigen heeft Rudolff het symbool 冪 aangenomen als wortelteken omdat het op de letter r gelijkt, de eerste letter van het Latijnse woord ‘radix’, dat ‘wortel’ betekent.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

201

Oefeningen REEKS A 119

120

Bereken. a) 冪81

=

d) 冪0

=

g) 冪100 =

b) 冪64

=

e) 冪144 =

h) 冪49 =

c) 冪9

=

f) 冪36 =

i) 冪4

Bereken. a) 冪134 689

=

c)

b) 冪2 992,09 =

d)

冑

=

1 296 = 5 184

冪1 024

16

=

REEKS B 121

Bereken.

a)

冑

=

c)

冑

=

e)

冑

b)

冑

=

d)

冑

=

f)

冑

144 = 169

d)

=

g)

=

h)

=

i)

4 25 81 64

16 49 16 81

49 = 100 36 = 121

1 2

122

Bereken.

3 4

a)

5 6 7

b)

8 9 10

c)

冑 冑

63 7

冑

=

e)

147 = 3

f)

11 12 13

202

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

冪81

36 冪225

225 18 冪64

冪25

49

冑

0 8

冪121

11

=

=

=

5.2.9 Volgorde van de bewerkingen Ook machten en vierkantswortels krijgen hun plaats in de volgorde van de bewerkingen.

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), []

2) Machten en vierkantswortels

a , 冪a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

ⴢ, :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

n

Voorbeelden a) 2 + 3

c) 2 3 : 冪16

3

=

=

=

=

b) 2 ⴢ (3 2 + 4 ⴢ 2 0)

d)

3 2 + 5 ⴢ (2 + 3) 22 − 4 : 2

=

=

=

=

=

=

=

= =

Opmerking Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat. 冪7 ⴢ 4 + 8

= = =

REKENMACHINE Bereken 2 3 + ( 冪36 − 4) =

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

203

Oefeningen REEKS A 123

Bereken. a) 2 2 ⴢ 5 2

2

b) 6 : 4

3

c) 2 − 2

d)

2

2

+

i) 冪36 + 3

f) (2 + 5) 2

j) 冪26 − 1

g) 25 : 5

冉冊 冉冊 1 2

e) 4 0 ⴢ 5 1

2 3

2

2

k) (27 : 9) 3

冑

h) 7 − 3

81 16

l) 3 ⴢ

REEKS B 124

1 2

Deze oefeningen zijn foutief opgelost. Duid de fouten aan.

Bereken daarna op de correcte manier. fout

correct

a) 6 + 3 ⴢ 8 =9ⴢ8 = 72

6+3ⴢ8 = =

3 4 5 6

b) 2 + 共3 + 4兲 2 = 2 + (3 + 16) = 2 + 19 = 21

9 10 11

c) 12 + 7 2 ⴢ 3 − 6 = 12 + 14 ⴢ 3 − 6 = 26 ⴢ 3 − 6 = 78 – 6 = 72

12

=

2

12 + 7 ⴢ 3 − 6 = = = =

13

204

=

=

7 8

2 + 共3 + 4兲 2

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

冑

16 9

R

125

Bereken. a) 4 : 8 + 8

f) 6 2 + 7 ⴢ 冪4

b) 6 ⴢ (20 − 2 3)

g) (3 2 + 2 2) 2

2

c) 4 : 2 ⴢ 4

h) 冪5 2 + 3 ⴢ 8

d) (2 + 3 ⴢ 1) 3

i) 冪2 ⴢ 3 + 5 ⴢ 6

e) (7 2 − 5) : 2

j) 2 4 : (2 3 : 4)

2

126

Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma. a) (0,5) 2 + 0,23 ⴢ (0,97 + 1,6) =

d) 1,6 2 + 1,3 2 ⴢ (0,3 + 2 3)

=

b) (12,72 ⴢ 0,4) 2 − 0,22

=

e) (2,5 − 1,03) 2 + 16,337

=

=

f) 16 3 − (2,4 ⴢ 3 2)

=

3

c) 3,6 : 0,38 – 5,4

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

205

127

Bereken. a)

冑

b)

冉 冊 冉 冊

16 1 − 25 3

12 36

3

+

5 1 − 9 3

c)

冉

冊

d)

冉 冑冊

10 17 冪 11 − ⴢ 64 + 3 6 4

4 − 3

1 4

2

REEKS C 128

1

Zoek tien verschillende bewerkingen met vier getallen. Gebruik in elke bewerking enkel het getal 4.

Zorg ervoor dat de uitkomst telkens een ander getal van 0 tot en met 9 is.

Het gebruik van haakjes is natuurlijk toegelaten.

0 =

2

1

3

2 =

(4 ⴢ 4) – (4 ⴢ 4)

=

4

3 = 5 6

4 =

7

5 =

8

6 =

9

7

=

10 11

8 =

12

9 =

13

206

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

5.3

Rekentechnieken

5.3.1 Wisselen De optelling en de aftrekking Vul in met = of ≠.

Besluit

+

+

4−3

3−4

2,5 + 0,7

0,7 + 2,5

2,5 − 0,7

0,7 − 2,5

1 1 + 2 3

1 1 + 3 2

1 1 − 2 3

1 1 − 3 2

a+b

b+a

a−b

b−a

Wisselen bij de optelling Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert.

In symbolen:

De vermenigvuldiging en de deling Vul in met = of ≠.

Besluit

8:2

2:8

4 ⴢ 0,5

0,5 ⴢ 4

0,1 : 10

10 : 0,1

3 1 ⴢ 4 2

1 3 ⴢ 2 4

3 1 : 4 2

1 3 : 2 4

aⴢb

bⴢa

a:b

b:a

Wisselen bij de vermenigvuldiging Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert.

In symbolen:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

207

5.3.2 Schakelen Je leerkracht verdeelt de klas in drie groepen. Elke groep berekent de voor hen bestemde opgaven. groep 1

Besluit

groep 2

groep 3

4+8+3 =

(4 + 8) + 3 =

4 + (8 + 3) =

8–4–2 =

(8 – 4) – 2 =

8 – (4 – 2) =

6,2 ⴢ 5 ⴢ 2 =

(6,2 ⴢ 5) ⴢ 2 =

6,2 ⴢ (5 ⴢ 2) =

24 : 6 : 2 =

(24 : 6) : 2 =

24 : (6 : 2) =

Schakelen Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen.

In symbolen:

Opmerking De eigenschappen ‘wisselen’ en ‘schakelen’ kun je handig gebruiken bij het hoofdrekenen.

1

• 428 + 143 = 400 + 20 + 8 + 100 + 40 + 3 = (400 + 100) + (20 + 40) + (8 + 3) = 500 + 60 + 11 = 571

2 3 4 5 6

• 25 ⴢ 24 = 25 ⴢ (4 ⴢ 6) = (25 ⴢ 4) ⴢ 6 = 100 ⴢ 6 = 600

7 8 9 10 11 12

• 16 + 35 + 14 = 16 + 14 + 35 = (16 + 14) + 35 = 30 + 35 = 65

13

208

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

5.3.3 Verdelen

campingweg

Op deze camping zijn de plaatsen netjes in twee groepen verdeeld, links en rechts van de campingweg.

3

+

4

2

Het aantal beschikbare plaatsen kun je op twee manieren berekenen. manier 1

manier 2

4 ⴢ (3 + 2) plaatsen = 4 ⴢ 5 plaatsen = 20 plaatsen

4 ⴢ 3 plaatsen + 4 ⴢ 2 plaatsen = 12 plaatsen + 8 plaatsen = 20 plaatsen

Je kunt dus besluiten dat 4 ⴢ (3 + 2) = 4 ⴢ 3 + 4 ⴢ 2. Die eigenschap heet verdelen.

Op dezelfde manier kun je afleiden dat 4 ⴢ (3 − 2) = 4 ⴢ 3 − 4 ⴢ 2

Besluit

Verdelen De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking).

In symbolen: a ⴢ (b + c) = a ⴢ (b – c) =

Opmerking Die eigenschap kun je handig gebruiken bij splitsen en verdelen bij hoofdrekenen.

17 ⴢ 12 = 17 ⴢ (10 + 2) = 17 ⴢ 10 + 17 ⴢ 2 = 170 + 34 = 204 25 ⴢ 19 =

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

209

Oefeningen REEKS A 129

130

Vink de toegepaste eigenschap aan. wisselen

schakelen

verdelen

a) 3 ⴢ 7 = 7 ⴢ 3

❒

❒

❒

b) 8 + (9 + 10) = (8 + 9) + 10

❒

❒

❒

c) 2 ⴢ (3 + 5) = 2 ⴢ 3 + 2 ⴢ 5

❒

❒

❒

d) (16 – 2) ⴢ 5 = 16 ⴢ 5 – 2 ⴢ 5

❒

❒

❒

e) 8 + 7 = 7 + 8

❒

❒

❒

f) 26 ⴢ 1 = 1 ⴢ 26

❒

❒

❒

g) (18 ⴢ 7) ⴢ 3 = 18 ⴢ (7 ⴢ 3)

❒

❒

❒

h) (6 + 5) ⴢ 7 = 6 ⴢ 7 + 5 ⴢ 7

❒

❒

❒

Gebruik de eigenschappen om de volgende oefeningen eenvoudig te berekenen. a) 2 ⴢ 7 ⴢ 5

=

b) 12 + 6 + 8 + 14

=

c) 13 ⴢ 7

=

d) 19 ⴢ 8

=

REEKS B 131

Toon met de getallen 15 en 7 aan dat je bij een aftrekking niet mag wisselen.

132

Toon met de getallen 16, 8 en 4 aan dat je bij een aftrekking niet mag schakelen.

133

Bereken 16 ⴢ (5 + 3) op twee verschillende manieren.

1 2 3 4 5 6 7

manier 1

8

manier 2

9 10 11

134

Toon met de getallen 8, 7 en 5 aan dat je de vermenigvuldiging mag verdelen over de aftrekking.

12 13

210

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

R

135

136

137

R

138

Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen. a) 50 + 37 + 23

= 50 + (37 + 23) = 50 + 60 = 110

b) 27 + 38 + 23

=

c) 18 + 67 + 12 + 33

=

d) 37 + 25 + 43 + 15

=

e) 5 ⴢ 21 ⴢ 2

= 21 ⴢ 5 ⴢ 2 = 21 ⴢ (5 ⴢ 2) = 21 ⴢ 10 = 210

f) 25 ⴢ 6 ⴢ 4 ⴢ 2

=

g) 8 ⴢ 56 ⴢ 125

=

h) 4 ⴢ 2 ⴢ 6 ⴢ 125

=

Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen. a) 5 ⴢ 12 ⴢ 9

= 5 ⴢ 2 ⴢ 6 ⴢ 9 = 10 ⴢ 54 = 540

b) 16 ⴢ 75

=

c) 32 ⴢ 125 ⴢ 2

=

d) 24 ⴢ 8 ⴢ 25

=

Vink de toegepaste eigenschap aan. wisselen

schakelen

verdelen

a) x + y = y + x

❒

❒

❒

b) m ⴢ (q ⴢ p) = (m ⴢ q) ⴢ p

❒

❒

❒

c) a ⴢ c + b ⴢ c = (a + b) ⴢ c

❒

❒

❒

d) r ⴢ (s – t) = r ⴢ s – r ⴢ t

❒

❒

❒

e) a ⴢ 7 = 7 ⴢ a

❒

❒

❒

Bereken met de verdeeleigenschap. a) 5 ⴢ (10 + 7)

=

b) (80 – 3) ⴢ 6

=

c) 3 ⴢ (70 + 5)

=

d) (20 − 3) ⴢ 4

=

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

211

R

139

Los op door splitsen en verdelen. a) 42 ⴢ 9

= 42 ⴢ (10 – 1) = 420 – 42 = 378

b) 45 ⴢ 11

=

c) 8 ⴢ 98

=

d) 199 ⴢ 7

=

e) 127 ⴢ 8

=

REEKS C 140

141

Los op door splitsen en verdelen. a) 17 ⴢ 2,99

= 17 ⴢ (3 − 0,01) =

b) 23 ⴢ 1,02

=

c) 32 ⴢ 3,98

=

d) 41 ⴢ 5,01

=

e) 27 ⴢ 3,03

=

Bereken met de verdeeleigenschap.

冉21 + 43 冊 = 2 3 b) 冉 + 冊 ⴢ 20 = 5 2 5 5 c) 12 ⴢ 冉 − 冊 = 4 6 7 d) 冉7 − 冊 ⴢ 9 = 3 a) 8 ⴢ

1 2 3 4 5

冉87 − 65 冊 ⴢ 48 = 2 5 f) 18 ⴢ 冉 + 冊 = 3 6 9 3 g) 冉 + 冊 ⴢ 56 = 14 4 6 2 h) 35 ⴢ 冉 − 冊 = 7 5 e)

6 7

142

Bereken met de verdeeleigenschap. De letters stellen positieve getallen voor.

8 9 10

a) 3 ⴢ (a + b)

=

d) (2f – 3) ⴢ 4

b) 6 ⴢ (k – 7)

=

e) 8 ⴢ (7a + 2b) =

c) (g + 13) ⴢ 5

=

f) (2x – 5y) ⴢ 9 =

=

11 12 13

212

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

STUDIEWIJZER Positieve rationale getallen voor de leerling

5.1 De positieve rationale getallen KENNEN

voor de leerkracht

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

−

+ −

+

Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is.

Gelijknamige breuken zijn breuken met eenzelfde noemer.

KUNNEN Breuken vereenvoudigen.

Breuken gelijknamig maken.

Procenten omzetten in onvereenvoudigbare breuken.

Een breuk omzetten naar de decimale schrijfwijze.

Een decimale schrijfwijze omzetten naar de breukvorm.

Getallen passend afronden.

De rekenmachine passend gebruiken.

5.2 Bewerkingen met positieve rationale getallen KENNEN De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes 2) Machten en vierkantswortels 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

( ), [ ] a n, 冪a ⴢ, : +, −

KUNNEN De gepaste benamingen (som, termen, factoren ...) hanteren.

Resultaten van bewerkingen schatten.

Bewerkingen met natuurlijke, decimale getallen en breuken uitvoeren.

Een rekenmachine passend gebruiken.

De volgorde van de bewerkingen toepassen.

Vraagstukken oplossen met behulp van de bewerkingen.

5.3 Rekentechnieken KENNEN Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. a+b=b+a Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. aⴢb=bⴢa Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) = a ⴢ b ⴢ c De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c

KUNNEN De eigenschappen wisselen, schakelen en verdelen gebruiken bij hoofdrekenen.

Pienter Rekenen HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

213

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal

filter

schets

patroon

schema/tabel

kennis

vereenvoudig

logisch nadenken

gok verstandig g

...

eide wer wil zijn w 1. Een landbou hij palen t oe rvoor m aa D . en n ei h om zelfde ij overal op de plaatsen die h kaar wil. afstand van el die hij ootste afstand a) Wat is de gr n ssen de pale ? kan nemen tu len b) Hoeveel pa

2. Een tuin is rechthoekig en meet 30 m op Als ik met een 12 m. grasmaaier va n 30 cm maaibreedte w erk, hoeveel m eter moet ik da meer aďŹ&#x201A;eggen n dan wanneer ik met een grasmaaier va n 40 cm zou w erken?

odig?

heeft hij dan n

42 m 24 m

18 m 66 m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ysteem ieuw kluisjess n n ee t er le al o l inst isjes voor 4. De schoo nummerde klu ge rd de on o h met zijn dicht. n. Alle kluisjes ge lin er le rd e spreken honde ingebruiknam n va g da te rs Op de ee lgende af: erlingen het vo de honderd le isjes openen. ling zal alle klu ud zijn De eerste leer die een veelvo s je is u kl de l De tweede za sluiten of wat n (wat open is le se is w om 2, van ).

3. In een ondo dicht is openen veelvoud zijn orzichtige doos uisjes die een kl le al l za zi e tt rd en vijf zwarte balle De de n en vijf witte len. Enzovoort. balleen n. van 3, omwisse eest zijn, a) Hoeveel ba gen langs gew llen moet ik er lin er le rd de blindelings uit Als alle hon en zijn? halen om min s zullen dan op je is u kl el st ve en n oe s twee ballen va h n dezelfde kleu r te hebben? b) Hoeveel ba llen moet ik er blindelings uit halen om min stens twee ballen va n een verschillende kleur te hebbe n?

12 13

214

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN