Pienter - 5 tso - Reële functies en algebra - Voorbeeldhoofdstuk

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.1

Vergelijkingen van de tweede graad

₈₆

in één onbekende 3.2

Oplossen van onvolledige

₈₉

tweedegraadsvergelijkingen 3.3

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen

3.4

Vraagstukken

Studiewijzer

₉₄ ₉₉ ₁₀₇

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

85

3.1

Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

3.1.1 Voorbeeld 1

x+3

x

Van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde 3 cm korter dan de andere.

De schuine zijde is 3 cm langer dan de langste rechthoekszijde.

Bereken de omtrek.

x–3

Oplossing Stel: x is de lengte van de langste rechthoekszijde.

• De andere zijden zijn dan gelijk aan

en

• Stelling van Pythagoras: • Uitwerking van de vergelijking:

• Ontbinding in factoren van het linkerlid: Een product is nul als één van de factoren nul is:

of

(de oplossing De afmetingen van de driehoek:

1 2 3 4 5 6 7 8

86

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

is fysisch onmogelijk)

3.1.2 Voorbeeld 2

De breedte van een rechthoekig bloemperk is 11 m korter dan de lengte. De oppervlakte is 102 m 2.

Bereken de afmetingen van het bloemperk.

Oplossing Stel: x is de lengte van het perk.

De breedte is dan Opstellen van de vergelijking: Uitwerking van de vergelijking:

test

Je kunt de vergelijking oplossen met de Oplosser ( • voer de vergelijking in

0

):

• kies de startwaarden (meerdere oplossingen)

a-lock

De oplossingen verkrijg je door

A catalog

math

[

Deze vergelijking is met onze huidige kennis nog niet op te lossen.

Je lost de vergelijking op met ICT.

alpha

entry solve

enter

te drukken.

Slechts één van de verkregen oplossingen heeft betekenis voor het vraagstuk, namelijk

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

87

3.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen Definitie

Tweedegraadsvergelijking Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0.

Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn.

In dit geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking.

Voorbeelden Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen. a) 2x 2 − 3x + 1 = 0

❒

b) 4x − 6 = x + x 2

❒

c) 8 + 6x − x 3 = x 2

❒

d) 3(1 − x)(2 + x) = 7

❒

e) 2x(x − 2) = x + 2x 2

❒

Geef van de tweedegraadsvergelijkingen telkens de coëfficiënten a, b en c.

1 2 3 4

E = mc 2

Los de vergelijking op naar c.

5 6 7 8

88

In het begin van de 20e eeuw schreef Albert Einstein deze vergelijking, die het verband weergeeft tussen energie (E), massa (m) en de lichtsnelheid (c). Het is wellicht de beroemdste vergelijking ooit.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.2

Oplossen van onvolledige tweedegraadsvergelijkingen De tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 noem je onvolledig als b = 0 of c = 0 of b = c = 0.

b = 0 en c ≠ 0 Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

3x 2 − 12 = 0

−2x 2 − 8 = 0

3x 2 = 12

−2x 2 = 8

x 2 = 4

x 2 = −4

x = 2 of x = −2

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

c De vergelijking ax 2 + c = 0 los je op door deze te herleiden tot de vergelijking x 2 = − . a c • als − ⬎ 0 : er zijn twee tegengestelde oplossingen, namelijk a c • als − ⬍ 0 : er zijn geen reële oplossingen. a

冑

冑

c − en − a

c − ; a

b ≠ 0 en c = 0 Voorbeeld

Let op!

2x 2 − 7x = 0

Wat is er verkeerd aan de volgende methode?

x ⴢ (2x − 7) = 0

2x 2 − 7x = 0 Een product is nul als

2x 2 = 7x

één van de factoren nul is.

x = 0 of 2x − 7 = 0

2x = 7

x = 0 of x = 7 2

7 x = 2

De vergelijking ax 2 + bx = 0 los je op door de gemeenschappelijke factor x voorop te zetten.

Je verkrijgt dan de vergelijking x ⴢ (ax + b) = 0. b Er zijn twee oplossingen, namelijk 0 en − . a b = 0 en c = 0 Voorbeeld −2x 2 = 0 x 2 = 0 x = 0 Er is één oplossing, namelijk 0.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

89

Oefeningen REEKS A 1

Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 4x 2 – 16x = 0

g) −3x 2 = −9

b) 6x 2 – 24 = 0

h) 2x 2 = 5x

c) −3x 2 + 7x = 0

i) −4 – 7x 2 = 0

d) −25x 2 + 16 = 0

j) 4x = −10x 2

e) 3x 2 + 18 = 0

k) −36x 2 = 6

f) 12x 2 – 3x = 0

l) −25x 2 = 5x

1 2 3 4 5 6 7 8

90

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

2

De lengte van een rechthoekig reclamebord is driemaal de breedte. De oppervlakte is 192 dm 2.

Bereken de afmetingen van dit reclamebord.

Schets:

3

Een projectiel wordt, van op de grond, verticaal omhoog geschoten.

De hoogte h, in m, die het bereikt, wordt gegeven door de formule h = 90t – 5t 2.

Hierbij is t de tijd, in seconden.

Na hoeveel seconden zal het projectiel terug op de grond vallen?

4

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 147 m 2 groter.

Bepaal de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

91

REEKS B 5

Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 3x 2 −

b)

1 =0 3

1 2 1 x + x=0 2 5

f)

3 2 x = 12x 7

g) −

9 1 2 + x =0 4 8

c) −

3 2 6 x + x=0 2 7

h)

d) −

1 2 x − 10 = 0 6

i) −

7 2 5 x = 5 14

e) −

5 2 x =0 4

j) −

11 2 1 x = x 2 4

5 2 1 x = − x2 7 9

1 2 3 4 5 6 7 8

92

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

REEKS C 6

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 + 12x = −2x 2

b)

7

x2 − 3 x2 = 5 12

c) −3x ⴢ (x + 5) = −15x − 9

d)

1 1 x ⴢ (x − 2) = x 6 4

Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

2

a) (x − 3) = 25

2

c) −5 ⴢ (x − 2) − 80 = 0

x − 3 = 5 of x − 3 = −5 x=8

of x = −2

2

b) 4 ⴢ (x + 6) − 36 = 0

2

d) −3 ⴢ (6x − 7) + 12 = 0

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

93

3.3

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen

3.3.1 Opstellen van de formules ax 2 + bx + c = 0 Je deelt beide leden door a (a ≠ 0).

c b x 2 + x + = 0 a a Je telt bij beide leden −

c op. a

c b x 2 + x = − a a x 2 + 2 ⴢ

c b x = − 2a a

冉x + 2ab 冊 = x + ab x + 4ab 2

2

2

2

2 Je vermeerdert beide leden met b 2 .

4a

b b2 c b2 x 2 + x + 2 = − + 2 a a 4a 4a Je ontbindt het linkerlid als een volkomen kwadraat en werkt het rechterlid uit .

冉x + 2ab 冊 = b − 4ac 4a 2

2

2

冉x + 2ab 冊 = 4aD

Stel b 2 − 4ac = D (de discriminant van de vergelijking).

2

2

(1)

eerste geval: D ⬎ 0

tweede geval: D = 0 Vergelijking (1) wordt:

Je neemt de vierkantswortel van beide leden van vergelijking (1): b x + = 2a

冑

D b of x + = − 2a 4a 2

冑

D 4a 2

b 冪D x + = 2a 2a

冪D b of x + = − 2a 2a

−b +冪D

x = 2a

−b −冪D of x = 2a

冉

b x + 2a

冊 = 0 2

derde geval: D < 0 Vergelijking (1) heeft geen reële oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid strikt negatief.

b x + = 0 2a

1 2

b x = − 2a

3 4 5 6

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je de wortels.

De formules die je in staat stellen deze wortels te berekenen, noem je de wortelformules.

Een andere naam is abc-formules.

7 8

94

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.3.2 Overzicht Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk: Bereken de discriminant D = b 2 − 4ac.

D>0

D = 0

D<0

twee verschillende oplossingen:

één oplossing (of twee gelijke oplossingen):

geen reële oplossingen

−b − 冪D −b + 冪D en x 2 = x 1 = 2a 2a

x 1 = x 2 = −

b 2a

Als je in de eerste formules voor het bepalen van de oplossingen, D door 0 vervangt, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat.

Daarom spreek je van twee gelijke oplossingen als D = 0.

3.3.3 Voorbeelden Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 − 3x − 10 = 0 a=

c) −6x 2 + 13x + 5 = 0 b=

D=

c= =

Controle:

c= =

Controle:

d) −3x 2 + 5x − 8 = 0

b) 16x 2 − 24x + 9 = 0

D=

b=

D=

Controle:

a=

a=

b=

c= =

b=

a= D=

c= =

Controle:

De geschiedenis van het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

95

Oefeningen REEKS A 8

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 − 8x + 16 = 0

e) −x 2 + 9x − 22 = 0

b) x 2 − 4x − 21 = 0

f) x 2 + 9x + 14 = 0

c) x 2 + x + 3 = 0

g) x 2 − 12x + 45 = 0

d) −x 2 − 2x + 35 = 0

h) −x 2 − 7x + 8 = 0

1 2 3 4 5 6 7 8

96

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

9

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) 9x 2 − 12x + 4 = 0

e) 5x 2 − 6x + 2 = 0

b) −x 2 + 5x − 7 = 0

f) 8x 2 − 30x + 25 = 0

c) 16x 2 + 72x + 81 = 0

g) −3x 2 − 24x + 27 = 0

d) −3x 2 + 13x + 10 = 0

h) 11x 2 − 39x + 18 = 0

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

97

10

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. Benader de oplossingen voor x op 0,001 nauwkeurig. a) x 2 + x − 5 = 0

e) −5x 2 + 12x − 2 = 0

b) x 2 − 12x + 7 = 0

f) 196x 2 − 1 036x + 1 369 = 0

c) 4x 2 + 17x − 9 = 0

g) 78x 2 + 61x − 91 = 0

d) 3x 2 − 5x + 17 = 0

h) −39x 2 + 114x + 46 = 0

1 2 3 4 5 6 7

De oefeningen 11, 12 en 13 vind je op diddit.

8

98

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.4

Vraagstukken

3.4.1 Voorbeeld 1

Het aantal tennispartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, waarbij elke speler tegen elke tegenstander speelt, is gelijk aan

n2 â&#x2C6;&#x2019; n .

2

a) Leg uit hoe je aan de formule komt.

b) Hoeveel partijen moeten er gespeeld worden in een competitie met 12 spelers?

c) Hoeveel spelers hebben aan een competitie meegedaan waarin 528 matchen gespeeld werden?

d) Is een competitie met 320 wedstrijden mogelijk? Verklaar je antwoord.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

99

3.4.2 Voorbeeld 2 x x 30 m

40 m

Een rechthoekig stuk grond is 30 m breed en 40 m lang.

Een gedeelte ervan wordt opgeofferd om een pad te maken.

Het pad moet de grond volledig omkaderen en moet overal even breed zijn.

De oppervlakte van het gedeelte dat nog overblijft om te beplanten is de helft van de oorspronkelijke oppervlakte.

Bereken de breedte van het pad.

Oplossing Stel: x is de breedte van het pad.

• De afmetingen van het te beplanten gedeelte zijn dan: lengte = • Oorspronkelijke oppervlakte: • Opstellen van de vergelijking: • Uitwerking van de vergelijking:

• Vereenvoudigen van de vergelijking: D=

x1 = x2 =

• De enige aanvaardbare oplossing is:

1 2

Controle

3 4 5 6 7 8

100

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

; breedte =

Oefeningen REEKS A 14

Als een voorwerp vanaf een hoogte naar beneden gegooid wordt, 1 â´˘ g â´˘ t 2.

2 Hierbij is t de tijd, in s, en de g de valversnelling, gelijk aan 9,8 m/s 2.

Na hoeveel tijd zal een voorwerp, dat van een hoogte van 200 m valt, de grond bereiken? dan wordt de afgelegde weg s, in m, gegeven door de formule s =

Controle:

15

De lengte van een rechthoekig stuk bouwgrond is 16 m langer dan de breedte.

De oppervlakte is 897 m 2. Bereken de afmetingen van de bouwgrond.

Controle:

16

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 2 523 m 2 groter.

Bepaal de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

101

17

Het aantal diagonalen n van een veelhoek wordt bepaald door de formule n = Hierbij is k het aantal zijden van de veelhoek. a) Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek?

b) Een veelhoek heeft 54 diagonalen. Hoeveel zijden heeft deze veelhoek?

Controle:

18

Van een rechthoekige weide is de omtrek 246 m. De oppervlakte is 3 440 m 2.

Bereken de lengte en de breedte van de weide.

1 2 3 4 5 6 7

Controle:

8

102

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

k 2 â&#x2C6;&#x2019; 3k .

2

REEKS B 19

Bereken de omtrek, op 0,01 cm nauwkeurig, en de oppervlakte, op 0,000 1 cm 2 nauwkeurig, van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 6 cm korter is dan de andere en de schuine zijde 72 cm is.

Schets:

Controle:

20

Een stuk land bestaat uit 2 aaneengesloten vierkante stukken.

De zijde van het kleinere vierkant is 3 m korter dan de helft van de zijde van het grotere vierkant.

De totale oppervlakte is 2 088 m 2. Bereken de zijden van de vierkanten.

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

103

21

Een kader is 22 cm lang en 13 cm breed. Het zichtbare deel van de foto is 162 cm 2 groot.

Bereken de breedte van de kaderrand.

Controle:

22

De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2␲ ⴢ r 2 + 2␲ ⴢ r ⴢ h.

Hierbij is h de hoogte en r de straal van het grondvlak.

Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de straal van het grondvlak als de hoogte 15 cm en de oppervlakte 986 cm 2 is.

h

1

r

2 3 4 5 6 7

Controle:

8

104

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

REEKS C 23

Een sportvereniging bestelt een aantal ballen en betaalt hiervoor 1 330 euro.

Bij aankomst blijken er 6 ballen meer te zijn dan ze besteld hebben.

Daardoor is de prijs gedaald met 1,5 euro per stuk.

Hoeveel ballen waren er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs per stuk?

Controle:

24

In een fabriek moeten 2 100 balpennen in dozen worden ingepakt.

Indien er in elke doos 10 balpennen meer zouden kunnen, zouden er 5 dozen minder nodig zijn.

Bereken het aantal balpennen dat oorspronkelijk in 1 doos kan.

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

105

25

Verdeel het lijnstuk [AB] in 2 deellijnstukken [AC] en [CB], zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk.

A

C x

B 1

Controle:

26

Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1.

1 2 3

Controle:

4 5 6 7

Een bijdrage over ‘de gulden snede’ vind je op diddit.

8

106

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen 3.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende KENNEN Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + b + c = 0, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0.

KUNNEN Een tweedegraadsvergelijking herkennen.

3.2 Oplossen van onvolledige tweedegraadsvergelijkingen KENNEN Een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 is onvolledig als b = 0 of c = 0 of b = c = 0. b = 0 en c ≠ 0 De vergelijking ax 2 + c = 0 los je op door deze te herleiden tot de vergelijking x 2 = − c . a Oplossingen: • als − c ⬎ 0: 2 tegengestelde oplossingen, namelijk − c en − −c, a a a c • als − ⬍ 0: geen reële oplossingen. a b ≠ 0 en c = 0 De vergelijking ax 2 + bx = 0 los je op door de gemeenschappelijke factor x voorop te zetten.

Je verkrijgt dan de vergelijking x ⴢ (ax + b) = 0.

Oplossingen: 2 oplossingen, 0 en − b . a b = 0 en c = 0

冑

冑

De vergelijking ax 2 = 0 heeft 2 gelijke oplossingen (1 oplossing), namelijk 0.

KUNNEN Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen.

Vraagstukken oplossen waarin onvolledige tweedegraadsvergelijkingen voorkomen.

3.3 Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen KENNEN Om een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk: Bereken de discriminant D = b 2 − 4ac.

D⬎0

D=0

D⬍0

2 verschillende oplossingen

1 oplossing: (2 gelijke oplossingen)

geen reële oplossingen

x1 =

–b + 冪D en 2a

–b − 冪D x2 = 2a

x1 = x2 = − b 2a

KUNNEN De formules opstellen om een tweedegraadsvergelijking algemeen op te lossen.

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met de wortelformules.

3.4 Vraagstukken KUNNEN Vraagstukken oplossen waarin tweedegraadsvergelijkingen voorkomen.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

107

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8

108

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN