Issuu

Pi enter REËLE FUNCTIES EN ALGEBRA

Ontdek beelden geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. 1 2 3 4

pl aa em

MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.

Stephan Wellecomme

Leerjaar 5 TSO

Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

Dirk Taecke

Leer zoals je bent

Etienne Goemaere

REËLE FUNCTIES EN ALGEBRA

Pi enter

Leerjaar 5 TSO

Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

5 6 7 8

ISBN 978-90-306-9201-0

590189

vanin.be

pl aa

ReÃ«le functies en algebra

jk ex

Leerjaar 5 TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? Hoofdstuk 1 Grafieken en tabellen Hoofdstuk 2 Verbanden tussen grootheden Hoofdstuk 3 Tweedegraadsvergelijkingen Hoofdstuk 4 Tweedegraadsfuncties

Hoofdstuk 5 Exponentiële functies

pl aa

Hoofdstuk 6 De sinusfunctie Hoofdstuk 7 Functies met meervoudig voorschrift

jk ex

Hoofdstuk 8 Hellingen en veranderingen

₄ ₅ ₂₇ ₈₅ ₁₀₉ ₁₆₉ ₁₈₃ ₁₈₅ ₁₈₇

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.

pl aa

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen. Er zijn drie reeksen oefeningen: eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

REEKS A

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

jk ex

Interessante weetjes of achtergrond herken je aan een kader met vraagteken.

Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken. Ook het contractwerk helpt je bij het studeren.

Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform

Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt. Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: â€˘ extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, â€˘ instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

1.1

Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren Stijgen en dalen in een interval

1.3

Periodieke verschijnselen

jk ex

pl aa

Studiewijzer

1.2

₆ ₉ ₂₁ ₂₇

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

1.1

Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren

1.1.1

Modeloefening 1 De tabel geeft de evolutie van het aantal werklozen in Vlaanderen tussen 2008 en 2018. aantal werklozen

2008

1 68 889

2009

202 806

20 10

208 242

20 1 1

1 95 009

20 1 2

204 439

20 1 3

22 1 903

20 1 4

233 349

20 1 5

232 927

20 1 6

224 780

20 1 7

2 1 3 506

20 1 8

1 98 357

verschil

pl aa

jaar

240

jk ex

aantal werklozen (× 1000)

Je ziet de grafiek die de evolutie weergeeft.

230 220 210 200 190

180 170

160

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

• In welke periode(n) steeg het aantal werklozen? 1 2 3 4 5

• In welke periode(n) daalde het aantal werklozen? • In welk jaar was er de grootste stijging ten opzichte van het vorige jaar? Hoe zie je dat op de grafiek? • In welk jaar was er de grootste daling ten opzichte van het vorige jaar? Hoe zie je dat op de grafiek?

• Hoeveel jaren waren er met meer dan 200 000 werklozen?

• In welk jaar was het aantal werklozen het hoogst?

• In welk jaar waren er minder dan 190 000 werklozen?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

2017

2018

jaartal

Tabellen grafisch voorstellen met de grafische rekenmachine • Voer de gegevens in 2 lijsten in.

Á Druk

(Bewerken)

stat

pl aa

list

Á Maak de werklijsten leeg met het TI84-programma WISLIJST.

jk ex

Á Voer de gegevens in onder L 1 (jaar) en L 2 (aantal werklozen)

• Kies de juiste statistische plot:

stat plot f1

Á Verwijder eventueel de functievoorschriften uit het menu (

Á Kies

stat plot f1

)

Á Druk

2nd

entry solve

Á Activeer Aan door op

enter

te drukken entry solve

Á Kies het tweede grafiektype en druk

enter L1

Á Zorg dat naast XList L 1 staat: L 1 selecteer je met

2nd L2

Á Zorg dat naast YList L 2 staat: L 2 selecteer je met format f3

Á Druk

zoom

2nd

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

1.1.2 Modeloefening 2

De Bel-20 is de leidende index voor Euronext Brussel (Beurs van Brussel). Hij bestaat uit maximaal 20 aandelen, die door de marktautoriteiten van Euronext gekozen worden op basis van een aantal criteria. De Bel-20 is opgericht op 18 maart 1991. De index wordt elk jaar op 1 maart aangepast, en er dient steeds een reservelijst voorradig te zijn om op elk moment een aandeel, dat bijvoorbeeld door een overname van de beurs verdwijnt, te kunnen vervangen. Opvallend is de grote aanwezigheid van de zogenaamde rentegevoelige aandelen in Brussel. De index telt veel bedrijven uit de sector van de financiële diensten en holdings en vertegenwoordigers uit de industrie. Bij de minste beweging van deze aandelen beweegt dus ook de Beurs van Brussel.

jk ex

pl aa

De grafiek geeft de waarde van de Bel-20 (uitgedrukt in ‘punten’) op 4 augustus.

• Wat lees je af op de verticale as?

• Wat was de maximale waarde van de Bel-20 op 4 augustus?

Om hoe laat werd die maximale waarde bereikt?

• Om hoe laat bereikte de Bel-20 zijn minimale waarde op 4 augustus? Hoeveel bedroeg die minimale waarde?

• Tussen welke waarden schommelde de Bel-20 op 4 augustus tussen 13 h en 16 h? 1 2 3

• Vanaf welk uur bleef de waarde van de Bel-20 op 4 augustus nagenoeg constant?

4 5 6

• Bereikte de Bel-20 die dag de waarde 3 080 punten? Hoe zie je dat op de grafiek?

7 8

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

1.2

Stijgen en dalen in een interval

1.2.1 Intervallen Definitie

Interval Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.

benaming en notatie

voorbeeld

betekenis

[−2, 6]

−2 ⭐ x ⭐ 6 alle reële getallen tussen −2 en 6, −2 en 6 inbegrepen

gesloten interval

[a, b]

]−∞, 5 关

x⬍5 alle reële getallen kleiner dan 5, 5 niet inbegrepen

pl aa

]4, 9[

4⬍x⬍9 alle reële getallen tussen 4 en 9, 4 en 9 niet inbegrepen

open interval

]a, b[

x ⬎ 11 alle reële getallen groter dan 11, 11 niet inbegrepen

jk ex

]11, +∞ 关

halfopen interval

]−5, 7]

−5 ⬍ x ⭐ 7 alle reële getallen tussen −5 en 7, −5 niet inbegrepen en 7 wel inbegrepen

[8, 10[

8 ⭐ x < 10 alle reële getallen tussen 8 en 10, 8 wel inbegrepen en 10 niet inbegrepen

]−∞, 9]

x⭐9 alle reële getallen kleiner dan 9, 9 wel inbegrepen

[−7, +∞[

x ⭓ −7 alle reële getallen groter dan −7, −7 wel inbegrepen

[a, b[

] a, b]

Opmerkingen • In een interval [a, b], [a, b [, ]a, b ] of ]a, b [ noem je a de ondergrens en b de bovengrens. De ondergrens is altijd kleiner dan de bovengrens. • −∞ is kleiner dan elk reëel getal. +∞ is groter dan elk reëel getal. • −∞ en +∞ zijn geen reële getallen, het zijn symbolen. −∞ en +∞ kunnen dus nooit tot een interval in R behoren. HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

1.2.2 Voorbeeld In de grafiek wordt de windsnelheid, in km/h, weergegeven in Ukkel op 1 november tussen 8 uur en 20 uur. windsnelheid Ukkel op 1 november 20 19

windsnelheid (km/h)

18 17 16 15 14 13

pl aa

11 10

tijdstip (h)

tijdstip

• Vul de tabel aan. 8

windsnelheid

jk ex

• In welke tijdsintervallen nam de windsnelheid toe? • In welke tijdsintervallen nam de windsnelheid af? • Wat was de maximale windsnelheid?

Op welke tijdstippen werd die maximale windsnelheid bereikt?

• Wat was de minimale windsnelheid? Op welke tijdstippen werd die minimale windsnelheid bereikt? Je kunt het verloop van de windsnelheid tussen 8 uur en 20 uur in tabelvorm weergeven: tijdstip

1 2

windsnelheid MAX

3 4

MIN

• Gedurende hoeveel uur lag de windsnelheid hoger dan 18 km/h?

5 6

• Tussen welke tijdstippen daalde de windsnelheid het snelst?

• Mag je uit deze grafiek afleiden dat om 21 uur de windsnelheid nog toegenomen was?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

Oefeningen REEKS A De tabel geeft de evolutie van het aantal faillissementen in BelgiĂŤ in de periode 2008-2017.

2008

8 476

2009

9 420

20 10

9 570

20 1 1

10 224

20 1 2

10 587

20 1 3

1 1 740

20 1 4

10 7 36

20 1 5

9 762

20 1 6

9 1 70

20 1 7

9 968

verschil

aantal faillissementen

pl aa

jaar

jk ex

a) Teken, met ICT, de evolutie van het aantal faillissementen tussen 2008 en 2017. b) In welk jaar waren er het meeste faillissementen? Hoeveel waren er dat?

c) In welk jaar waren er het minste faillissementen?

Hoeveel waren er dat?

d) In welk jaar was er de grootste stijging ten opzichte van het vorige jaar? e) In welk jaar was er de grootste daling ten opzichte van het vorige jaar? f) Hoe zie je op de grafiek dat de toename van het aantal faillissementen van 2009 naar 2010 het kleinst was?

g) Geef het verloop van het aantal faillissementen tussen 2008 en 2017. jaar aantal faillissementen

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

De tabel geeft het aantal huwelijken en echtscheidingen in BelgiĂŤ van 2000 tot en met 2016.

2000

45 1 23

27 002

200 1

42 1 10

29 3 1 4

2002

40 434

30 628

2003

41 777

3 1 355

2004

43 296

3 1 405

2005

43 1 4 1

30 840

2006

44 8 1 3

29 1 89

2007

45 56 1

30 08 1

2008

45 6 1 3

35 366

2009

43 303

32 606

20 10

42 1 59

28 903

20 1 1

4 1 00 1

20 1 2

42 1 98

20 1 3

37 854

20 1 4 20 1 5

b) In welk jaar was het aantal echtscheidingen het hoogst?

c) Met hoeveel is het aantal huwelijken gemiddeld per jaar afgenomen van 2008 tot en met 2013?

d) Omschrijf de evolutie van het aantal echtscheidingen.

27 522 26 1 45 24 87 2

39 879

24 3 10

45 005

24 667

44 7 25

23 583

20 1 6

a) In welk jaar was het aantal huwelijken het laagst?

aantal echtscheidingen

pl aa

aantal huwelijken

jaar

jk ex

e) Teken, met ICT, de evolutie van het aantal huwelijken en het aantal echtscheidingen tussen 2000 en 2016.

f) In welke jaren lag het aantal huwelijken hoger dan 45 000?

g) In hoeveel jaren lag het aantal echtscheidingen lager dan 28 000? 1 2 3 4

h) In welk jaar was er de grootste daling van het aantal echtscheidingen t.o.v. het vorige jaar?

5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

REEKS B Het waterpeil van een rivier is niet altijd hetzelfde. Het stijgt na regenval en daalt in periodes van droogte. Het debiet van een waterloop is de hoeveelheid water die per seconde passeert op een bepaald punt in een rivier. Het debiet wordt uitgedrukt in kubieke meter per seconde. Het debiet is afhankelijk van de seizoenen, maar ook van de oppervlakte van het stroombekken. Bovendien verschilt het debiet van een rivier ook nog eens van streek tot streek. De debietschommelingen van een waterloop tijdens het jaar noem je het regime.

De grafiek geeft het debiet weer van Maas en Schelde. debietwaarden Maas en Schelde

800

pl aa

debiet Maas

700

debiet Schelde

500 400 300

debiet (m3/s)

600

200 100

jk ex

maand

a) Wat is de gemiddelde waarde van het debiet van de Maas in januari?

b) In welke periode blijft het debiet van de Maas nagenoeg constant?

c) In welke maand bereikt het gemiddelde debiet van de Maas een minimale waarde? d) Maak een schatting van de waarde van het debiet van de Schelde in juni: e) In welke maand is de toename van het debiet van de Schelde het grootst? f) In de wintermaanden is het debiet van de rivieren groter dan in de zomer. Verklaar.

g) Waarom is het debiet van de Maas in elke periode van het jaar groter dan dat van de Schelde?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

De grafiek geeft het debiet weer van de IJzer tussen 6 november en 16 november. IJzer te Roesbrugge-Haringe(Q) (46810102) 20.00

m3/s

Uur 18.00

15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11

16.00 14.00

m3/s

12.00 10.00

3,33 3,26 3,18 3,10 3,05 3,00 2,97 2,96 2,94

gemiddelde dagwaarden

8.00 6.00 4.00 2.00

8/11 00:00

9/11 00:00

10/11 00:00

11/11 00:00

12/11 00:00

13/11 00:00

14/11 00:00

15/11 00:00

16/11 00:00

pl aa

7/11 00:00

6/11 7/11 8/11 9/11 10/11 11/11 12/11 13/11 14/11

0.00

6/11 00:00

14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00

1,98 2,03 1,95 1,97 2,05 8,92 15,57 8,30 5,29

a) Tussen welke tijdstippen steeg het debiet van de IJzer?

b) In de periode van 6 november 0 h tot 11 november 0 h bleef het debiet nagenoeg constant. Hoeveel bedroeg het debiet in die periode?

jk ex

c) Op welke tijdstippen, bij benadering, bedroeg het debiet 8 m 3/s?

d) Maak een schatting van de waarde van het debiet van de IJzer op 12 november om 12 h.

e) Gedurende welke tijd, bij benadering, bedroeg het debiet meer dan 6 m 3/s?

f) Op welk tijdstip bereikte het debiet zijn maximale waarde? 1 2

g) Duid op de grafiek de gemiddelde dagwaarde van het debiet aan voor 11 november. 3 4

h) Hoeveel bedroeg de gemiddelde debietwaarde op 15 november tussen 14 h en 22 h?

5 6 7

i) Om hoe laat was op 15 november het debiet 3 m 3/s?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

Noord-Noord-Oost

22º 30⬘

Noord-Oost

45º

Oost-Noord-Oost

67º 30⬘

Oost

90º

Oost-Zuid-Oost

112º 30⬘

Zuid-Oost

135º

Zuid-Zuid-Oost

157º 30⬘

Zuid

180º

Zuid-Zuid-West

202º 30⬘

Zuid-West

225º

West-Zuid-West

247º 30⬘

West

270º

West-Noord-West

292º 30⬘

Noord-West

315º

337º 30⬘

jk ex

Noord-Noord-West

pl aa

0º

Noord

Een windroos is een kruis dat de windrichtingen aanduidt. Een windroos kan teruggevonden worden op een kompas of onder een windhaan. De windrichting wordt weergegeven in graden of in windstreken. De gradenverdeling loopt van 0° tot 360°. De tabel geeft de relatie weer tussen de windstreken en het aantal graden op de windroos.

De grafiek geeft de windrichting gedurende 24 uur. 500 450 400 350

250 200

graden

300

150 100 50 0

18:00

21:00

23:00

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

tijd

a) Uit welke richting kwam de wind om 12 h? b) Uit welke richting kwam de wind om 23 h? c) Hoeveel graden draaide de wind tussen 6 h en 9 h? d) Hoe draaide de wind tussen 18 h en 23 h? e) Was er vandaag een zuidenwind waar te nemen? f) Kun je de windkracht aflezen op de grafiek?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

Armoede is volgens de definitie van de Verenigde Naties het niet kunnen voorzien in de eerste levensbehoeften. Zij ontstaat wanneer een persoon of een groep mensen onvoldoende betaalmiddelen heeft om in de primaire levensbehoeften te kunnen voorzien. De bestaansmiddelen hiervoor zijn wel aanwezig, maar ze kunnen als gevolg van schaarste onbetaalbaar worden. Primaire levensbehoeften omvatten zaken als schoon en drinkbaar water, voedsel, kleding, huisvesting en gezondheidszorg. Zij gelden als noodzakelijk om een menswaardig leven te kunnen leiden. De overgang tussen armoede en welstand wordt aangeduid door de armoedegrens. De eerste tabel geeft het overzicht van de Belgische bevolking die leefde onder de armoedegrens in 2016. De tweede tabel geeft de evolutie van het armoederisico weer in een aantal landen van de Europese Unie van 2010 tot en met 2015. % van de bevolking onder de armoedegrens (2016)

Armoederisico (in %)

Vrouwen

België

14,4 %

16,5 %

15,5 %

0-15 jaar

15,2 %

19,3 %

17,2 %

16-64 jaar

14,0 %

16,0 %

15,0 %

65 jaar en ouder

15,2 %

15,5 %

15,4 %

Actief-werkend

4,8 %

4,6 %

4,7 %

Niet-actief:

24,4 %

Werkloos

46,3 %

45,4 %

45,9 %

Gepensioneerd

14,2 %

12,5 %

13,3 %

Andere niet-actieven

31,8 %

32,2 %

32,0 %

Opleidingsniveau: laag

25,3 %

26,6 %

26,0 %

Opleidingsniveau: gemiddeld

12,4 %

15,9 %

14,1 %

6,7 %

6,8 %

2010

2012

2013

2014

2015

2016

16,5

16,8

16,7

17,2

17,3

−

België

14,6

15,3

15,1

15,5

14,9

15,5

Duitsland

15,6

16,1

16,7

−

Frankrijk

13,5

14,1

13,7

13,3

13,6

−

Luxemburg

14,5

15,1

15,9

16,4

15,3

−

Nederland

10,3

10,1

10,4

11,6

11,6 12,8 (p)

Verenigd Koninkrijk

17,1

15,9

16,8

16,7

Europese Unie

Opleidingsniveau: hoog

Totaal

pl aa

Mannen

jk ex

a) Hoeveel procent van de Belgische bevolking leeft in een huishouden dat over een inkomen beschikt dat lager is dan de armoedegrens? b) In welke groep is het aandeel dat leeft onder de armoedegrens het grootst, als we kijken naar de verdeling per geslacht?

c) Welke groep is de meest ‘kwetsbare’ groep?

d) Wat is de meest kwetsbare groep volgens het opleidingsniveau? Hoe groot is het aandeel van deze groep dat leeft onder de armoedegrens?

e) In welke groep is de kans het kleinst dat ze onder de armoedegrens leven? f) Hoe groot was het armoederisico in de Europese Unie in 2015?

1 2

g) In welk land was de toename van het armoederisico in 2015 procentueel het grootst in vergelijking met 2010?

3 4

h) Hoe groot was deze toename, op 0,01 % nauwkeurig?

5 6

i) In welk land is het armoederisico het kleinst?

j) In welke land(en) bleef het armoederisico in 2015 stabiel t.o.v. 2014?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

−

De diagrammen geven de klimatologische gemiddelden voor Antwerpen en Elsenborn, in een periode van 30 jaar. Elsenborn (België)

J F M A M J J A S O N D N in mm 62 49 48 49 60 70 80 80 73 71 67 67 T in °C 2,2 3,1 5,3 8,8 12,3 15,6 17,0 16,9 14,3 10,1 6,0 3,2

Jaar 776 9,6

Neerslag in mm

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

150 130 110 90 70 50 30 10 –10

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 –5

J F M A M J J A S O N D N in mm 140 112 103 91 98 103 106 101 96 110 124 142 T in °C –2,1 –1,2 1,0 4,8 8,8 12,0 13,6 13,4 10,9 6,8 2,0 –1,1

Temperatuur in °C

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Temperatuur in °C

Neerslag in mm

Antwerpen - Deurne (België)

Jaar 1326 5,7

pl aa

a) Omschrijf wat op beide diagrammen kan worden afgelezen.

b) Wat betekenen de jaarcijfers (776 en 9,6 voor Antwerpen; 1 326 en 5,7 voor Elsenborn)?

jk ex

Wat kun je daaruit besluiten?

c) In welke maand mag men het meeste regen verwachten? In Antwerpen:

In Elsenborn:

d) Welke maand is de warmste?

In Elsenborn:

In Antwerpen:

e) In welke maanden regent het in Antwerpen meer dan in Elsenborn?

f) In welke periode is de gemiddelde maandtemperatuur in Antwerpen hoger dan 10 ºC?

g) Zoek op het internet de gegevens op voor Antwerpen van het voorbije jaar en vergelijk.

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

De ouders van Thibaut hebben om de 2 jaar op zijn verjaardag zijn lengte gemeten. De resultaten zie je in de tabel. lengte (cm) 52

109

1 24

1 37

1 50

1 62

1 72

1 78

1 82

a) Maak, met ICT, een grafische voorstelling van het verband tussen de lengte en de leeftijd.

b) Thibaut groeide het snelst gedurende zijn eerste 2 levensjaren. In welke periode van 2 jaar heeft hij de op ĂŠĂŠn na grootste groei gekend?

namelijk

c) Hoeveel centimeter is hij gemiddeld gegroeid per jaar tussen zijn 2de en zijn 8ste verjaardag?

lengtetoename (cm)

leeftijd

pl aa

jk ex

d) In welke periode van 2 jaar groeide hij het traagst?

e) Bepaal grafisch hoe groot Thibaut was toen hij 9 jaar was.

f) Deel de lengte op zijn 18de door de lengte op zijn 8ste verjaardag.

Als de lengte op zijn 8ste verjaardag 100% is, dan is de lengte op zijn 18de verjaardag

In 10 jaar tijd is Thibaut dus met

% gegroeid.

g) Met hoeveel procent is hij gegroeid tussen zijn 4de en 14de verjaardag? 1 2 3 4 5

h) Vanaf welke leeftijd, op 0,5 jaar nauwkeurig, is hij groter dan 155 cm?

6 7 8

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

De tabel geeft een klimatologisch overzicht te Ukkel van 2010 tot en met 2017. 20 10

20 1 1

20 1 2

20 1 3

20 1 4

20 1 5

20 1 6

20 1 7

zonneschijnduur (in uren)

1 556

1 782

1 529

1 5 10

1 634

1 7 34

1 57 2

1 559

gemiddelde temperatuur (ºC)

9,7

1 1,6

10,6

10, 1

1 1,9

1 1,3

10,7

1 1,3

neerslagtotaal (mm)

914

815

97 7

8 16

784

743

942

749

aantal neerslagdagen

20 1

1 87

212

1 80

1 83

1 98

1 90

209

aantal hittedagen (⬎ 30ºC)

aantal vorstdagen (⬍ 0ºC)

pl aa

a) In welk jaar heeft de zon het minst geschenen?

b) Is de ‘opwarming van de aarde’ duidelijk uit deze tabel af te lezen? c) In welk jaar viel er het meeste neerslag?

d) In welk jaar viel er gemiddeld per neerslagdag het meeste neerslag?

e) In welk jaar viel er neerslag op minder dan de helft van de dagen?

jk ex

f) Tijdens welke zomers had je de meeste dagen met een temperatuur hoger dan 30 ºC?

Merk je dit ook aan de gemiddelde temperatuur?

g) Welke winter was de strengste?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

De tabel geeft weer hoeveel procent van de Vlaamse bevolking de bioscoop bezoekt. De rijen van de tabel geven de resultaten per leeftijdsklasse. De kolommen tonen hoeveel procent van de mensen • regelmatig de bioscoop bezoekt (meerdere keren per maand); • af en toe de bioscoop bezoekt (maximum 1 keer per maand); • nooit de bioscoop bezoekt. klassenmidden

regelmatig

af en toe

nooit

[5, 25[

22,2 %

74,6 %

3,2 %

[25, 35[

4,7 %

7 7,3 %

1 8,0 %

[35, 45[

1,7 %

70,7 %

27,6 %

[45, 55[

1,6 %

[55, 65[

[65, 7 5[

[7 5, 95]

leeftijdsklasse

43,9 %

2,5 %

33,5 %

64,0 %

0,5 %

1 7,9 %

8 1,6 %

0,0 %

9,7 %

90,3 %

pl aa

54,5 %

a) Hoeveel procent van de min 25-jarigen bezoekt regelmatig de bioscoop?

jk ex

b) Voor welke leeftijdsklasse is het percentage mensen dat af en toe de bioscoop bezoekt het grootst?

c) Bij de mensen die nooit de bioscoop bezoeken zie je een stijgende trend. Tussen welke leeftijdsklassen is de stijging het grootst?

d) Teken, met ICT, het verloop van de percentages voor de mensen die af en toe de bioscoop bezoeken door gebruik te maken van de klassenmiddens. e) Hoe zie je dat het percentage mensen van 35 jaar die regelmatig de bioscoop bezoeken, ongeveer gelijk is aan het aantal mensen van 50 die dit doen?

1 2 3 4

f) Eén op de tien mensen ouder dan 75 jaar bezoekt nog de bioscoop. Klopt deze bewering?

5 6

Waarom (niet)?

7 8

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

1.3

Periodieke verschijnselen Veel verschijnselen vertonen een terugkerend patroon. Dit zijn periodieke verschijnselen. Denk maar aan een staande klok, wisselstroom, eb- en vloedwerking, astronomische verschijnselen, de ademhaling van mens en dier, ... Voorbeeld: eb en vloed De tabel geeft de hoogte van het zeewater in Oostende.

laagwater h:min m (UTC) (TAW) 18:40 -0,01 NN 6:50 0,15 NN 19:10 0,22 NN 7:40 0,13 NN 19:50 0,47 NN 8:10 0,62 NN 20:40 0,79 NN 9:20 0,11 NN 21:40 0,21 NN 10:00 0,33 NN 22:10 1,19 NN

De Tweede Algemene Wateraanpassing (TAW) is de referentiehoogte waartegenover hoogtemetingen in België worden uitgedrukt. Een TAW-hoogte van 0 meter is gelijk aan het gemiddeld zeeniveau bij eb te Oostende.

datum 13 november 14 november 14 november 15 november 15 november 16 november 16 november 17 november 17 november 18 november 18 november

hoogwater h:min m (UTC) (TW) …:… …:… 0:30 4,58 12:40 4,81 1:00 4,72 13:30 4,89 1:50 4,98 14:10 5,28 2:30 4,68 15:20 4,57 3:30 4,24 16:20 5,14

De Tweede Algemene Wateraanpassing dateert uit 1947 en werd uitgevoerd door het Nationaal Geografisch Instituut.

pl aa

OPTOS-BCZ MODEL - GETIJDENTABEL OOSTENDE

In Nederland gebruikt men het Normaal Amsterdams Peil (NAP) dat 2,3 meter hoger ligt dan de TAW.

Het verband tussen de tijd, in h, en de hoogte, in m, van het zeewater is een periodiek verband. Als je een aantal keren na elkaar nagaat hoe laat het hoogwater en laagwater is, dan kom je tot de vaststelling dat er ongeveer 12 uur zit tussen 2 opeenvolgende hoogwaterstanden (of laagwaterstanden). Het getal 12 is de periode.

— Alarm

100

120

6 5 4 3 2 1 0 –1

HOOGTE VAN DE WATERSTAND (m TAW)

In 2

— Waarschuwing

— Zonder wind (m TAW)

In situ data (c) Meetnet Vlaamse Banken - afdeling KUST

BMM OPTOS-BCZ MODEL OOSTENDE VOORSTELLING — Waterstand (m TAW)

/1 10 6: 09 /1 00 11 8: 10 /1 00 10 6: 10 /1 00 11 8: 11 /1 00 10 6: 11 /1 00 11 8: 12 /1 00 10 6: 12 /1 00 11 8: 13 /1 00 10 6: 13 /1 00 11 8: 14 /1 00 10 6: 14 /1 00 11 8: 15 /1 00 10 6: 15 /1 00 11 8: 16 /1 00 10 6: 16 /1 00 11 8: 17 /1 00 10 6: 17 /1 00 11 8: 18 /1 00 10 6: 18 /1 00 11 8:0 0

jk ex

Bij natuurverschijnselen heb je soms te maken met afwijkingen ten opzichte van een zuiver periodiek verband. Links zie je het mathematisch model toegepast op de gegeven waarden. Hierbij neem je 14 november 00h00 op de x-as als beginwaarde. Rechts zie je het realistisch model.

–2

Definitie

Tijden in UTC (wintertijd: lokale tijd=UTC+1 : zomertijd: UTC+2)

Periodiek verband Een periodiek verband is een verband tussen 2 grootheden waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt. De periode is de lengte van een interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet.

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

Oefeningen REEKS A Bepaal de periode. a)

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

–5

periode:

y 5

x 1

–2 –3 –4 –5

jk ex

periode:

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

–5

periode:

1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

3 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

–5

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

periode:

–5

–4

–3

–2

ki In

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

periode:

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

periode:

–2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

periode:

pl aa

periode:

Bepaal de periode. y

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

–5

Duid de periode aan bij de wisselspanningen. a)

b) V

periode:

pl aa

periode:

x 1

jk ex

REEKS B

In een ziekenhuis toont een computerscherm het cardiogram van een patiënt. 0,25 seconden

a) Bepaal de periode.

b) Onder de ‘pols’ versta je het aantal hartslagen per minuut. Bepaal de ‘pols’ van de patiënt.

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

Bioritmen zijn 3 natuurlijke, regelmatige cycli in ons lichaam die ons lichamelijk, emotioneel en intellectueel beïnvloeden. De cycli van bioritmen beginnen bij de geboorte. Het intellectuele bioritme regelt het geheugen, het denkvermogen en het gezond verstand. In de positieve fase ben je goed geconcentreerd en kun je snel en effectief studeren. In de negatieve fase gaat dat allemaal minder goed. Het emotionele bioritme staat in verband met de ups en downs van je emoties en gevoelens. Het fysieke bioritme regelt lichamelijke kracht, energie, weerstand en herstel van ziekte. In de positieve fase is je conditie opperbest. In het negatieve deel van de cyclus ben je bevattelijker voor een verkoudheid of een griep.

Bepaal de periode voor elk van de bioritmen.

februari 3

februari

De periode is

dagen.

De periode is

dagen.

De periode is

dagen.

jk ex

• het emotionele bioritme

pl aa

• het intellectuele bioritme

• het fysieke bioritme

februari 2

3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

REEKS C

pl aa

De grafiek toont het verloop van de wisselspanning van 50 Hz. spanning (V)

400 300 200

100 0

Een wisselspanning is een spanning die wisselt van polariteit en dus periodiek positief en negatief is en dat in tegenstelling tot gelijkspanning die niet in de tijd varieert. Het lichtnet is een voorbeeld van wisselspanning. In Europa heeft het lichtnet een spanningsverloop met een effectieve spanning van 230 V en een frequentie van 50 Hz (dat betekent dat er per seconde 50 maal een maximum bereikt wordt). In de elektrotechniek verstaat men onder de effectieve waarde van een zuivere periodieke wisselspanning de waarde van een constante spanning die in een weerstand gemiddeld hetzelfde elektrisch vermogen ontwikkelt als het oorspronkelijk signaal. Om in de tijd veranderende en periodiek terugkerende verschijnselen, zoals wisselspanning, zichtbaar te maken, is de oscilloscoop een veelgebruikt instrument.

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025 0,03

0,035

0,04 tijd (s)

–100

jk ex

–200 –300 –400

a) Bepaal de periode.

b) Wat is het verband tussen de periode en de frequentie? maximale waarde

c) In de elektriciteitsleer wordt aangetoond: effectieve waarde =

Bereken de maximale waarde als de effectieve waarde 230 V is.

冪2

d) Duid de effectieve waarde van de wisselspanning aan op de figuur. Na hoeveel seconden wordt die effectieve waarde bereikt?

e) Na hoeveel seconden wordt een minimale spanning bereikt?

f) Na hoeveel seconden wordt een maximale spanning bereikt?

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

STUDIEWIJZER Grafieken en tabellen 1.1 Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren KUNNEN

Van een gegeven grafiek of vanuit een tabel of door samenvoegen van informatie uit beide de volgende karakteristieken aflezen en vaststellen: • de uitgezette grootheden en de gebruikte eenheden aflezen • een functiewaarde of origineel bepalen • stijgen en dalen in een interval bespreken • een maximum en/of minimum in een interval bepalen Vragen beantwoorden in aanvaardbare, realistische situaties, waarvoor het aflezen en interpreteren van een of ander aspect uit de grafiek en/of de tabel noodzakelijk is. Een grafiek manueel tekenen met behulp van gegevens uit een tabel. Een grafiek opmaken met ICT.

pl aa

1.2 Stijgen en dalen in een interval KENNEN

Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.

KUNNEN

Intervallen noteren en de betekenis ervan geven. Stijgen en dalen van een grafiek van een functie noteren met intervallen.

1.3 Periodieke verschijnselen

KENNEN

jk ex

Een periodiek verband is een verband tussen 2 grootheden waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt. De periode is de lengte van een interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet.

KUNNEN

De periodiciteit van een periodieke functie bepalen.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.1

Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules

2.2

Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies Het recht evenredig verband

2.4

Het lineair verband

2.5

Het omgekeerd evenredig verband

pl aa

2.3

2.6 Het kwadratisch evenredig verband 2.7

Het kwadratisch verband

2.8 Verbanden uitdrukken

met machtsfuncties

2.9 Het exponentieel verband

₃₆ ₄₅ ₄₆ ₅₀ ₅₁ ₅₂ ₅₅ ₇₀ ₈₁

jk ex

Studiewijzer

₂₈

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.1

Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules

2.1.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijken • De oppervlakte A van een kubus met ribbe z, bereken je met de formule A ⫽ 6 ⴢ z 2. Vul de tabel aan. ribbe (cm)

oppervlakte (cm 2)

1 2 3

De ribbe van een kubus is 4,3 cm. Bereken de oppervlakte van deze kubus.

pl aa

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is • een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid; • de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts 1 afhankelijke veranderlijke.

jk ex

Algemeen

De formule A = 6 ⴢ z 2 beschrijft het verband tussen de grootheden A (oppervlakte van de kubus) en z (ribbe van de kubus). Je kiest voor z een bepaalde waarde. Deze beïnvloedt de waarde van A. In de formule is z de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke.

In welke mate verandert de waarde van A als z in waarde verdubbelt? Verklaring:

• Uit een gegeven oppervlakte kun je de ribbe berekenen. A is dan de onafhankelijke veranderlijke en z de afhankelijke veranderlijke. A Als je de formule A = 6 ⴢ z 2 omvormt naar z 2, dan verkrijg je: z 2 = . 6 Hieruit volgt: z =

1 2

Vul de tabel aan. Bereken de ribbe op 0,01 cm nauwkeurig. oppervlakte (cm 2)

3 4 5 6 7 8

10 20 30 40 50

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

ribbe (cm)

Tabellen genereren met de grafische rekenmachine Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke wordt op de grafische rekenmachine als Y voorgesteld en de onafhankelijke veranderlijke als X.

De formule A = 6 ⴢ z 2 wordt dus ingevoerd als Y = 6 X 2. stat plot f1

pl aa

Dit verband kun je invoeren in de vergelijkingseditor door te selecteren.

Vervolgens bepaal je een aantal instellingen voor de tabel. tbl set f2

Daartoe druk je

2nd

window

[(TBLSET]).

De instellingen kies je zoals hieronder.

• De tabel begint voor een waarde 1 van de onafhankelijke veranderlijke.

jk ex

• De stapgrootte is het verschil tussen twee opeenvolgende waarden van de onafhankelijke veranderlijke. Hier kies je de stapgrootte gelijk aan 1.

table

Druk je vervolgens op 2nd graph ([TABLE]) dan verkrijg je een tabel die voor waarden van de onafhankelijke veranderlijke de corresponderende waarde van de afhankelijke veranderlijke geeft.

Opmerking Als je de onafhankelijke veranderlijke op Vraag zet, dan spelen de beginwaarden van TblStart en 䉭Tbl geen rol.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.1.2 Formules omvormen Je zet een kapitaal k uit op enkelvoudige intrest. Dit wil zeggen dat iedere periode de intrest opnieuw op het oorspronkelijke beginkapitaal wordt berekend. Er wordt dus geen rekening gehouden met vorige verworven intresten. Na n jaar verkrijg je dan een eindkapitaal K = k + k ⴢ i ⴢ n. Hierbij is i de rentevoet in decimale notatie. • De onafhankelijke veranderlijken in deze formule zijn

;

de afhankelijke veranderlijke is • Vul de tabel in. i

n (jaar)

600

0,008

525

0,90 %

3,5

1 230

0,0 1 2 5

4,5

pl aa

K (euro)

k (euro)

• Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat k de afhankelijke veranderlijke wordt.

Welk kapitaal moet je beleggen om na 3 jaar een eindkapitaal van 10 000 euro te verkrijgen, als de rentevoet 0,75 % per jaar is?

jk ex

• Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat n de afhankelijke veranderlijke wordt.

Je belegt 3 000 euro tegen 0,95 % per jaar. Hoelang zal het duren vooraleer het kapitaal is aangegroeid tot 3 150 euro?

• Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat i de afhankelijke veranderlijke wordt.

Een kapitaal van 200 euro is na 2,5 jaar aangegroeid tot 204,25 euro. Wat is de rentevoet van de belegging? 1 2 3 4

i= • Vul de tabel in. k (euro)

K (euro)

600

0,95 %

6 1 7, 10

9 maanden

8 000

8 066

0,0 1

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

7 maanden

30 1,7 5

Oefeningen REEKS A 1

Zet de uitspraken om in formulevorm. formule

a) x is 3 meer dan z. b) u is één derde van de som van s en t.

pl aa

d) Het kwadraat van a is gelijk aan de som van de kwadraten van b en c.

c) b is het drievoud van de vierkantswortel van a.

e) Het verschil van de derde machten van x en y is gelijk aan het kwadraat van t.

f) r is het omgekeerde van het viervoud van q.

Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke. a)

U=RⴢI

F A

jk ex

g) y is 5 minder dan de helft van x.

s = v0 ⴢ t +

1 ⴢ a ⴢ t2 2

V = ␲ ⴢ r2 ⴢ h

(b + B) ⴢh 2

pⴢV=nⴢRⴢT

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Geef de formule om de oppervlakte A van een cirkel te berekenen als de straal r gegeven is.

a) Wat is in deze formule de onafhankelijke veranderlijke? Wat is de afhankelijke veranderlijke? b) Met welke factor vergroot de oppervlakte als de straal 4 keer zo groot wordt?

pl aa

c) Vorm de formule om zodat de straal de afhankelijke veranderlijke wordt.

dâ´˘D . 2 Hierbij is d de kleine diagonaal en D de grote diagonaal van de ruit. De oppervlakte van een ruit bereken je met de formule A =

jk ex

d) Bereken, op 0,01 cm nauwkeurig, de straal van een cirkel waarvan de oppervlakte 58,1 cm 2 bedraagt.

a) Wat zijn in deze formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is de afhankelijke veranderlijke?

b) Als de kleine diagonaal verdubbelt, terwijl de grote diagonaal gelijk blijft, dan zal de oppervlakte

c) Hoe verandert de oppervlakte, als je de grote diagonaal verdrievoudigt en de kleine diagonaal gelijk blijft?

d) Vorm de oppervlakteformule om zodat de grote diagonaal de afhankelijke veranderlijke is.

2 3 4 5

e) Bereken de grote diagonaal van een ruit als de kleine diagonaal 10 cm is en de oppervlakte 120 cm 2.

6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

REEKS B 5

De inhoud V, in l, van een benzinetank van een auto wordt gegeven door de formule V = –0,06 s + 54. Hierbij is s de afgelegde weg in km. a) Wat is de inhoud van de benzinetank van de wagen?

b) Vul de tabel aan. s (km)

V (l)

100 250

300

pl aa

500 7 50

c) Vorm de formule om zodat s de afhankelijke veranderlijke wordt.

d) Hoeveel kilometer kun je rijden met een volle benzinetank?

Het verband tussen de geluidsintensiteit I, in W/m 2, en de afstand r, in m, tot de geluidsbron

wordt gegeven door de formule I =

jk ex

e) Hoeveel kilometer heb je gereden als er nog 32,4 l benzine in de tank zit?

25 . ␲⋅r2

a) Bereken de geluidsintensiteit op een afstand van 80 cm van de geluidsbron.

b) Vorm de formule om zodat r de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) Bereken de afstand, op 0,01 m nauwkeurig, tot de geluidsbron als de geluidsintensiteit 100 W/m 2 (pijndrempel) bedraagt.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

m De massadichtheid ␳ van een stof bereken je met de formule ␳ = . V 3 Hierbij is m de massa, in kg, en V het volume, in m . a) Wat zijn in deze formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is de afhankelijke veranderlijke? b) Vorm de formule om zodat de massa de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) Bereken de massa van een balk beukenhout met lengte 2 m, breedte 1 dm en dikte 8 cm. De massadichtheid van beukenhout is 700 kg/m 3.

pl aa

d) Vorm de formule om zodat het volume de afhankelijke veranderlijke wordt.

Een gewichtje met massa m aan een veer kan op en neer trillen. De trillingstijd T van zo’n massa/veersysteem is de tijd die nodig is om vanuit één van de twee uiterste standen 1 volledige beweging op en neer te maken. Het verband tussen de trillingstijd T, in s, en de massa m, in kg, wordt gegeven door de formule

jk ex

e) Wat is de lengte van een plank vurenhout met breedte 10 cm en dikte 2,5 cm? De massa van de balk is 1,8 kg. De massadichtheid van vurenhout is 800 kg/m 3.

T = 1,6 ⴢ 冪m.

a) Wat is de onafhankelijke veranderlijke? Wat is de afhankelijke veranderlijke?

b) Vorm de formule om zodat m de afhankelijke veranderlijke wordt.

1 2 3 4

c) Bereken de massa, op 0,001 kg nauwkeurig, die aan een veer hangt als de trillingstijd 0,45 s bedraagt.

5 6

d) Hoeveel maal groter moet de massa worden opdat de trillingstijd zou verdrievoudigen?

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

REEKS C 9

␲ ⴢ r2 ⴢ h . 3 De oppervlakte van een kegel met straal r, hoogte h en apothema a wordt gegeven door de formule A = ␲ ⋅a⋅ r + ␲ ⋅r 2. Het volume van een kegel met straal r en hoogte h bereken je met de formule V =

a) In welke mate vergroot het volume als je • de straal verdubbelt en de hoogte behoudt?

• de straal en de hoogte verdubbelt?

pl aa

• de straal behoudt en de hoogte verdubbelt?

Met behulp van een lens kun je een afbeelding maken. Er is slechts 1 plaats achter de lens waar een scherp beeld ontstaat. De plaats waar het beeld ontstaat, hangt af van: 1) de sterkte van de lens (de brandpuntsafstand f), 2) hoe ver het voorwerp voor de lens staat (voorwerpsafstand v). 1 1 1 Met de lenzenformule = + kun je de plaats van het beeld (beeldafstand b) berekenen. f v b

jk ex

b) Bereken de oppervlakte van een buxusplant met een hoogte van 65 cm en een volume van 109 dm 3.

a) Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt. v

b) Bereken de beeldafstand, op 0,01 cm nauwkeurig, als de brandpuntsafstand 10 cm en de voorwerpsafstand 18 cm is.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.2

Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies

2.2.1 Functie Voorbeeld Je ziet de grafische voorstelling van het verband x 2 + y 2 = 4 en van het verband y = x2 + y2 = 4

1 x − 2. 2

1 x−2 2

y 6

5 2

pl aa

x –3

–2

–1

–2 –1 –1

10 11

–2

–1

–3 –4

–2

–5 –6

–3

• Welke x-waarden hebben geen y-waarde?

• Welke x-waarden hebben één y-waarde?

• Hoeveel y-waarden hebben de andere

• Zijn er x-waarden die meer dan één y-waarde

jk ex

• Welke x-waarden hebben geen y-waarde?

x-waarden?

• Hoe zie je dat aan de grafiek?

• Vorm de formule om naar y.

hebben?

Definitie

Functie

Een verband tussen 2 grootheden is een functie als voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke, er hoogstens 1 waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat.

2 3 4 5 6 7

Notaties en benamingen 1 Het verband y = x − 2 bepaalt een functie f. 2 1 De vergelijking y = x − 2 is de functievergelijking. 2 1 1 Je kunt ook schrijven: f : x 哫 x − 2 of korter f(x) = x − 2. Dat is het functievoorschrift. 2 2 f(10) =

is het beeld of de functiewaarde van het argument 10 door de functie f.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.2.2 Domein en bereik Definitie

Domein en bereik Het domein van een functie f , dom f, is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat. Het bereik van een functie f , ber f, is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Voorbeelden • Bepaal het domein en het bereik van de functie f(x) =

1 . x−3

Oplossing: Á f (x) bestaat als de noemer niet gelijk is aan 0.

x – 3 = 0 als

pl aa

dom f =

Á Een breuk waarvan de teller gelijk is aan 1, kan nooit 0 worden. ber f =

Je ziet de grafiek van f. y

4 3

jk ex

2 1

–3

–2

–1

x 1

–1

–2 –3 –4

Hoe lees je het domein van de functie af uit de grafische voorstelling?

Hoe lees je het bereik van de functie af uit de grafische voorstelling?

• Teken, met ICT, de grafiek van de functie g(x) = x 2 – 5 en bepaal het domein en het bereik. Oplossing: Á dom g = Á ber g =

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.2.3 Praktisch domein en praktisch bereik Voorbeeld De inhoud van de tank van een auto wordt gegeven door de functie f met vergelijking y = 60 − 0,06x. Hierbij is y het aantal liter brandstof en x het aantal kilometer. • Wat is het domein van de functie als je geen rekening houdt met de fysische werkelijkheid? • Wat is het bereik van de functie als je geen rekening houdt met de fysische werkelijkheid? • Wat is de inhoud van de tank?

Definitie

pl aa

• Na hoeveel kilometer is de tank volledig leeg?

Praktisch domein en bereik

Het praktisch domein van een functie f, pdom f, is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Het praktisch bereik van een functie f, pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

• Bepaal het praktisch domein en bereik voor het voorbeeld van de brandstoftank. pdom f =

pber f =

jk ex

aantal liter

• Teken de grafiek van f rekening houdend met de fysische beperkingen.

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 2

• Om het domein van elk deel aan te duiden, druk je na e

het functievoorschrift

De symbolen < , ⭐ , > , ⭓ vind je in het menu [TEST].

Druk hiervoor

De operator ‘en’ vind je in het menu LOGISCH.

–:

test

1 100

aantal kilometer

1 000

Druk hiervoor

math

2nd

gevolgd door het domein tussen haakjes.

. table

Kies een gepaste vensterinstelling en druk op

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

graph

om de grafiek te tekenen.

2.2.4 Nulwaarden en tekenschema Voorbeeld Mia heeft een bedrijf dat bloemenruikers aan huis levert. De grafiek geeft de dagelijkse winst W(x) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte bloemenruikers x. • Bij welke verkoop maakt Mia verlies?

W 150 100 50 x 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

–50

• Bij welke verkoop maakt Mia winst?

–100 –150 –200

pl aa

–250

• Bij welke verkoop maakt Mia winst noch verlies?

Die x-waarden zijn de nulwaarden van de functie W.

W(x)

–

Nulwaarde

jk ex

Definitie

• Je kunt de winst en het verlies schematisch voorstellen in een tekenschema.

–

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f(a) gelijk is aan 0. Voorbeelden

de functie f (x) = 2x + 3

de functie g met de volgende grafiek

f (x) = 0 als 2x + 3 = 0

De enige nulwaarde van f is

y 3 2 1 x –4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

Teken, met ICT, de grafiek van f en geef de grafische betekenis van de nulwaarde.

Eigenschap

Lees de nulwaarden van de functie g af van de grafiek en geef de grafische betekenis:

Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.2.5 Verloop Voorbeeld De grafiek toont de snelheid v, km/h, van de Thalys op zijn traject tussen Brussel en Parijs, in functie van de tijd t in minuten. v 300 250 200 150 100 50

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 t

pl aa

foto Jarret Campbell

• In welke tijdsintervallen neemt de snelheid van de Thalys toe? • In welke tijdsintervallen neemt de snelheid van de Thalys af? Definitie

Relatief minimum

Definitie

Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Relatief maximum

Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

jk ex

• Na hoeveel tijd bereikt de Thalys een maximale snelheid? Wat is die maximale snelheid?

• Na hoeveel tijd bereikt de Thalys een minimale snelheid? Wat is die minimale snelheid?

Het verloop van de snelheid kun je samenvatten in een tabel. 0

& MAX

# MIN

Voorbeeld

Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie f . 1

tekenschema:

y 8

5 6 7

f 共x兲 x

–4 –3 –2

–1

–2 –4 –6 –8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

verloop: x f

& MAX

Oefeningen REEKS A 11

Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)

y 7 6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1 x –5 –4 –3

–2 –1 –1

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

pl aa

–2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

dom f =

ber f =

y 6 5 4 3 2

jk ex

1 –4 –3 –2 –1 –1

3 2 1 x –4

–3

–2

–1

–2

–3

dom f =

ber f =

dom f =

1 x

–3

–2

–1

x –3

–2

–1

–2

–3

dom f =

ber f =

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Bereken de nulwaarden van de functies. a) f(x) = −3x + 6

1 x−5 4

h) f(x) =

–3 x

pl aa

b) f(x) =

g) f(x) = −7x

1 2 x +4 2

j) f(x) = 冪2x − 1

jk ex

d) f(x) = −

i) f(x) = 2x 2 − 12

c) f(x) = x 2 − 9

k) f(x) =

x−2 x

f) f(x) = 9x + 12

l) f(x) =

2x + 5 3x

e) f(x) = −4x 2 − 3

1 2 3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

REEKS B 13

Teken, met ICT, de grafiek van de functies. Bepaal het tekenschema en het verloop. e) f(x) = x ⴢ (x − 3) ⴢ 共x + 2兲

a) f(x) = −x + 4 tekenschema:

tekenschema:

f (x)

f(x)

−

−2 −

3 −

verloop:

−1,12

1,79

4,06 MAX

−8,21 MIN

pl aa

verloop:

f) f(x) = −(x + 1) ⴢ (x − 2)

b) f(x) = 5x + 10 tekenschema:

tekenschema:

−2

f (x)

f(x)

−

verloop:

−1

−

jk ex

f c) f(x) = (x + 3)

tekenschema:

−3

f (x)

−

verloop:

−4 MIN

0 MAX

−

1 x+4 tekenschema:

g) f(x) = −

x f(x)

−4 +

−4

0 MIN

−3

d) f(x) = −0,5 ⴢ (x + 1) + 2

h) f(x) = 0,25x 3 − 2

tekenschema: x

tekenschema: −3

−

verloop:

f (x)

verloop:

1 +

verloop:

−

f(x)

2 −

verloop:

−1

2 MAX

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

REEKS C 1) Teken, met ICT, de grafische voorstelling zonder fysische beperkingen. 2) Bepaal het praktisch domein en bereik. 3) Teken, met ICT, de grafische voorstelling met fysische beperkingen. De afgelegde weg in functie van de tijd, van een fietser die maximaal 1 uur fietst: s(t) = 300 ⴢ t

(t in min, s in m)

pdom d =

pber s =

pber d =

De vraag naar een bepaald product, in functie van de prijs:

jk ex

pber q =

De hoogte van een vallend voorwerp in functie van de tijd:

(t in s, h in m)

100 t

pber v =

Het volume van een smeltend blok ijs in functie van de tijd: 4 3 V(t) = ␲ ⴢ (46 − t) (t in h, V in cm 3) 3

pdom V = pber V =

De diepte van een rivier in functie van de afstand tot de linkeroever: d(x) = 0,25x ⴢ (x − 8)

(x en d in m)

De geluidsintensiteit in functie van de afstand tot een geluidsbron met 50 W vermogen, als een persoon zich tussen 1 m en 10 m van de bron bevindt: 50 I(r) = (r in m, I in W/m 2) 2 4␲ ⴢ r

4 5

pdom d =

pdom I =

pber d =

pber I

6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

(t in h, v in km/h)

pdom v =

pdom h = pber h =

De gemiddelde snelheid van een voertuig dat 100 km moet afleggen in hoogstens 2 uur: v(t) =

h(t) = 120 − 4,9 ⴢ t 2

pdom q =

De kleine diameter van een ruit, met een oppervlakte van 100 cm 2, in functie van de grote diameter: 200 (d ⭐ D) d(D) = D

pdom s =

q(p) = 400 − 20 ⴢ p (p in euro, q in aantal eenheden)

pl aa

2.3

Het recht evenredig verband Een ventilator zorgt voor frisse lucht. De bladen draaien heel snel rond: 30 omwentelingen per seconde. Stel een tabel op die het aantal omwentelingen weergeeft. tijd t (s)

aantal omwentelingen n

pl aa

Het aantal omwentelingen n is afhankelijk van de tijd t: n = 30 ⴢ t Teken de grafiek in het assenstelsel. n 180

De grafiek is een

150

Bepaal het aantal omwentelingen na 1 uur.

120 90 60

jk ex

Na hoeveel tijd zal de ventilator 4 500 omwentelingen gemaakt hebben?

Het aantal omwentelingen n wordt bepaald door

• de constante verandering a per seconde van het aantal omwentelingen (a = 30); • de tijd t, in seconden.

Tussen het aantal omwentelingen van de ventilatorbladen en het aantal seconden dat een ventilator aanstaat, bestaat een recht evenredig verband. Je noemt n en t recht evenredige grootheden. De formule n = 30 ⴢ t kan ook geschreven worden als y = a ⴢ x.

Algemeen

Een recht evenredig verband wordt bepaald door • de formule: y = a ⴢ x De waarde a is de evenredigheidsfactor of richtingscoëfficiënt. • de grafiek: (een deel van) een rechte door de oorsprong. Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.4

Het lineair verband

2.4.1 Inleidend voorbeeld Om te bellen heb je niet noodzakelijk een abonnement nodig. Je kunt ook pre-paid telefoneren: je koopt dan vooraf een belkrediet. Het belkrediet k hangt af van het aantal belminuten t. Je koopt een herlaadkaart van 15,00 euro en elke minuut bellen kost 0,20 euro. Stel een tabel op die het belkrediet weergeeft. aantal belminuten t

pl aa

belkrediet k (euro)

De formule die de evolutie van het belkrediet weergeeft, is Teken de grafiek van dit verband in het assenstelsel.

De grafiek is een

Bepaal het belkrediet na 45 minuten bellen.

Na hoeveel tijd zal het belkrediet 2,40 euro bedragen?

jk ex

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Na hoeveel tijd zal het belkrediet op zijn?

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

De evolutie van het belkrediet k wordt bepaald door

• de begintoestand (‘beginwaarde’) b: bij aankoop van de herlaadkaart is k = 15,00 euro (b = 15); • de constante verandering a per minuut van het belkrediet (a = –0,20); • de tijd t in minuten.

Tussen het belkrediet k en het aantal belminuten t bestaat een lineair verband. De formule k = 15 − 0,20 ⴢ t kan ook geschreven worden als y = b + a ⴢ x.

2 3

Algemeen 4 5 6 7

Een lineair verband wordt bepaald door • de formule: y = b + a ⴢ x De waarde a is de richtingscoëfficiënt. De waarde b is de beginwaarde. • de grafiek: (een deel van) een rechte.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.4.2 Lineaire regressie Bij een laboratoriumproef onderzoekt men voor een afgesloten hoeveelheid gas het verband tussen de druk p en de temperatuur T. Hierbij wordt het volume van het gas constant gehouden. De meetresultaten staan in de tabel. temperatuur T (ºC)

100

druk p (bar)

1,20

1,26

1,32

1,38

1,44

1,50

Stel de gegevens voor met een spreidingsdiagram of puntenwolk. Je ziet een duidelijk stijgende trend die door een lineair verband kan worden weergegeven.

p 1,5 1,4

Om dit verband te vinden zoek je met ICT een trendlijn of regressielijn die zo goed mogelijk past bij de punten van het spreidingsdiagram.

1,3

1,2

pl aa

1,1 1

Hiervoor pas je lineaire regressie toe.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

• Voer de gegevens in in 2 lijsten:

Á Maak de werklijsten leeg met het TI84-programma WISLIJST Y

stat

Á Voer de gegevens in.

jk ex

• Maak een puntenwolk:

list

Á Druk

stat plot f1

Á Verwijder eventuele functievoorschriften uit stat plot f1

(

Á Druk

2nd

) en vervolgens

Á Selecteer met de pijltjestoetsen AAN en druk

y= L1

1 entry solve

enter

Á Kies het eerste grafiektype

Á Zorg dat naast XLijst L 1 ( L2

YLijst L 2 (

format f3

) en naast

) staat

zoom

Á Druk

2nd

• Voer een lineaire regressie uit door de getekende punten: list

Á Druk

stat

Á Kies voor BEREKENEN L4

Á Druk

Á Vul de wizard-velden in zoals hiernaast afgebeeld. table

• Druk je op graph dan zie je ook de rechte getekend door de punten.

De vergelijking van de regressierechte is

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.4.3 Interpolatie Definitie

Interpoleren Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden. De meest gebruikte vorm van interpolatie is de lineaire interpolatie. Herneem het voorbeeld van de vorige paragraaf. Wat is de druk als de temperatuur van het gas 60 ºC bedraagt? • Met de tabel

druk p (bar)

1,20

1,26

pl aa

temperatuur T (ºC)

+15

1,32

100

1,44

1,50

1,38

+0,06

Omdat er een lineair verband bestaat tussen de druk p en de temperatuur T kun je de regel van drie toepassen.

toename temperatuur

toename druk

15 ºC

0,06 bar

: 15

jk ex

1 ºC

ⴢ5

5 ºC

0,06 bar 15 0,06 ⴢ 5 bar 15

: 15 ⴢ5

冊

冉

0,06 ⴢ 5 bar = 1,34 bar 15 De druk van het gas bij 60 ºC bedraagt 1,34 bar.

Dus: x = 1,32 +

• Met de vergelijking van de regressierechte Als je in de vergelijking van de regressierechte x vervangt door 60, dan verkrijg je y = 0,004 ⴢ 60 + 1,1 = 1,34

• Grafisch 1 2 3

Á Je tekent de verticale T = 60 en bepaalt het snijpunt S met de getekende grafiek.

1,5 1,4 1,34 1,3

Á Je leest op de verticale as af dat p = 1,34 bar.

4 1,2

Opmerking

1,1

7 10

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

100

Vaak is exact aflezen onmogelijk. Het zal dus meestal een schatting zijn.

2.4.4 Extrapolatie Definitie

Extrapoleren Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt. Herneem het voorbeeld over het verband tussen temperatuur en druk. Neem aan dat het lineair verband zich verderzet. Wat is de druk als de temperatuur van het gas 125 ºC bedraagt? • Met de tabel

+15

+25

100

1 25

druk p (bar)

1,20

1,26

1,32

1,38

1,44

1,50

pl aa

temperatuur T (ºC)

+0,06

Omdat er een lineair verband bestaat tussen de druk p en de temperatuur T kun je de regel van drie toepassen.

toename druk

15 ºC

0,06 bar

: 15

toename temperatuur

1 ºC

jk ex

ⴢ 25

25 ºC

冉

0,06 bar 15 0,06 ⴢ 25 bar 15

: 15 ⴢ 25

冊

0,06 ⴢ 25 bar = 1,60 bar 15 De druk van het gas bij 125 ºC bedraagt 1,60 bar.

Dus: x = 1,50 +

• Met de vergelijking van de regressierechte Als je in de vergelijking van de regressierechte x vervangt door 125, dan verkrijg je

y = 0,004 ⴢ 125 + 1,1 = 1,60

• Grafisch

Á Je tekent de rechte door, voldoende ver voorbij het laatste gegeven punt.

p 1,9 1,8

Á Je tekent de verticale T = 125 en bepaalt het snijpunt S met de getekende grafiek.

1,7 1,6

Á Je leest op de verticale as af dat p = 1,60 bar.

1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1

T 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.5

Het omgekeerd evenredig verband Een dunne metaaldraad heeft een weerstand R, in ⍀ (ohm), waarvoor U de formule geldt: R = . I Hierbij is U de spanning, in V (volt), en I de stroomsterkte, in A (ampère). Vorm de formule om zodat de stroomsterkte de afhankelijke veranderlijke is. Bij een experiment worden dunne metaaldraden met verschillende weerstand R aangesloten op een batterij met constante spanning 1,2 V. Stel een tabel op die de stroomsterkte I weergeeft bij een gegeven weerstand R. 75

100

1 50

200

250

300

pl aa

weerstand R (⍀) stroomsterkte I (A)

De stroomsterkte I is afhankelijk van de weerstand R.

Als de weerstand 2 keer groter wordt, dan wordt de stroomsterkte

Als de weerstand 3 keer groter wordt, dan wordt de stroomsterkte Teken de grafiek in het assenstelsel.

0,025

0,02

0,015

Bepaal de stroomsterkte bij een weerstand van 120 ⍀.

Wat is de weerstand van een dunne metaaldraad die een stroomsterkte van 0,002 4 A levert?

0,01

De grafiek is (een deel van) een hyperbool.

jk ex

0,005

R 100

150

200

250

300

Tussen de stroomsterkte I en de weerstand R bestaat, voor een constante waarde van de spanning U, een omgekeerd evenredig verband. Je noemt I en R omgekeerd evenredige grootheden.

De formule I =

1,2 a kan ook geschreven worden als y = . R x

3 4 5 6 7 8

Algemeen

Een omgekeerd evenredig verband wordt bepaald door a • de formule: y = of x ⴢ y = a , waarbij a een constante is. x • de grafiek: (een deel van) een hyperbool. Als de ene grootheid met een getal, verschillend van 0, wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid door hetzelfde getal gedeeld.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.6

Het kwadratisch evenredig verband 1 ⴢ v 2 bereken je de remafstand r, in m, van een auto 16 die aan een snelheid v, in m/s, rijdt op het ogenblik dat de chauffeur begint Met de formule r =

te remmen op een droog wegdek. De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is Stel een tabel op die de remafstand r weergeeft bij een gegeven snelheid v.

snelheid v (km/h)

100

120

150

snelheid v (m/s)

pl aa

remafstand r (m)

De remafstand r is afhankelijk van de snelheid v.

Als de snelheid 2 keer groter wordt, dan wordt de remafstand

Als de snelheid 3 keer groter wordt, dan wordt de remafstand Teken de grafiek in het assenstelsel. r 110 100

80 70 60 50 40

De grafiek is (een deel van) een parabool.

jk ex

Bepaal de remafstand bij een snelheid van 75 km/h.

Welke snelheid had de auto als de remafstand 70 m is?

20 10

v 40

Tussen de remafstand r en de snelheid v bestaat een kwadratisch evenredig verband. Je noemt r en v kwadratisch evenredige grootheden. De formule r =

Algemeen

1 ⴢ v 2 kan ook geschreven worden als y = a ⴢ x 2. 16

Een kwadratisch evenredig verband wordt bepaald door • de formule: y = a ⴢ x 2, waarbij a een constante is. • de grafiek: (een deel van) een parabool. Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid met het kwadraat van hetzelfde getal vermenigvuldigd.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.7

Het kwadratisch verband

2.7.1 Inleidend voorbeeld In een pretpark is het optreden van de dolfijnen een leuke attractie. Ze zwemmen onder water en springen uit het water naar een bal die aan een koord boven het water hangt. De hoogte h van de dolfijn, in m, wordt gegeven door 1 2 ⴢ t + 5 ⴢ t − 6. 2 Hierbij is t de tijd in seconden.

de formule h = −

De onafhankelijke veranderlijke is

Stel een tabel op die de hoogte h weergeeft. tijd t (s)

pl aa

De afhankelijke veranderlijke is

hoogte h (m)

De hoogte h is afhankelijk van de tijd t. Teken de grafiek in het assenstelsel. h 6 5 4 3 2 1

De grafiek is (een deel van) een parabool. Op welke diepte bevindt de dolfijn zich als hij aan zijn sprong begint?

–1 –1

jk ex

9 10

–2 –3

Bepaal de hoogte van de dolfijn na 4,5 s.

–4 –5 –6

Tussen de hoogte h en de tijd t bestaat een kwadratisch verband. 1 De formule h = − ⴢ t 2 + 5 ⴢ t − 6 kan ook geschreven worden als y = a ⴢ x 2 + b ⴢ x + c. 2

2 3 4

Algemeen 5 6

Een kwadratisch verband wordt bepaald door • de formule: y = a ⴢ x 2 + b ⴢ x + c, waarbij a, b en c constanten zijn en a ≠ 0. • de grafiek: (een deel van) een parabool.

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.7.2 Kwadratische regressie Elk half uur wordt de concentratie, in mg/l, gemeten van een geneesmiddel toegediend in het bloed van een patiënt. De meetresultaten staan in de tabel. tijd t (h)

0,5

1,5

2,5

concentratie C (mg/l)

106

111

Stel de gegevens voor met een spreidingsdiagram. C 120

Je ziet dat de concentratie stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt tot 0.

110 100

90 80 60 50 40 30

pl aa

Om dit verband te vinden zoek je met ICT een trendlijn of regressielijn die zo goed mogelijk past bij de punten van het spreidingsdiagram.

Hiervoor pas je kwadratische regressie toe.

20 10

1,5

2,5

0,5

• Voer de gegevens in in 2 lijsten:

Á Maak de werklijsten leeg met het TI84-programma WISLIJST L1

list

Á Druk

stat

jk ex

Á Voer de gegevens in. • Maak een puntenwolk:

Á Verwijder eventuele functievoorschriften uit stat plot f1

(

2nd

Á Druk

) en vervolgens

Á Selecteer met de pijltjestoetsen AAN en druk

stat plot f1

y= L1

1 entry solve

enter

Á Kies het eerste grafiektype Á Zorg dat naast XLijst L 1 ( L2

YLijst L 2 (

Á Druk

) en naast

2nd

format f3 w

2nd

) staat

zoom

• Voer een kwadratische regressie uit door de getekende punten: list

Á Druk

stat

Á Kies voor BEREKENEN L5

Á Druk

Á Vul de wizard-velden in zoals hiernaast afgebeeld. • Druk op

table

graph

De vergelijking van de regressielijn is

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

• Wat is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed na 1 h 15 min? In het grafisch scherm kies je calc

CALC

(

2nd

trace

)

Á Kies 1: waarde entry solve

Á Vul bij X = 1.25 in en druk

enter

• Na hoeveel uren en minuten is de concentratie het hoogst? Bepaal die maximale concentratie. In het grafisch scherm kies je calc

trace ) Á CALC ( 2nd Á Kies 4: maximum Á Kies met behulp van de pijltjestoets een linkergrens

pl aa

entry solve

en druk

enter

entry solve

Á Druk

entry solve

en druk enter Á Kies met behulp van de pijtjestoets een rechtergrens

enter

calc

• Na hoeveel tijd, in uren en minuten, is het geneesmiddel volledig uitgewerkt? In het grafisch scherm kies je

jk ex

Á CALC ( 2nd trace ) Á Kies 2: nulpunt Á Kies met behulp van de pijltjestoets een linkergrens entry solve

en druk enter Á Kies met behulp van de pijtjestoets een rechtergrens entry solve

en druk

enter

entry solve

enter

Á Druk

• Na hoeveel tijd, in uren en minuten, is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed 90 mg/l? stat plot f1

Á Druk

Á Voer in: Y 2 = 90 table

Á Druk

1 2

graph

In het grafisch scherm zie je nu zowel de parabool als de horizontale rechte getekend die overeenkomt met een concentratie van 90 mg/l. calc

Á CALC ( 2nd trace ) Á Kies 5: snijden entry solve Á Kies 1 e kromme Y 1 en druk enter

Á Kies 2 e kromme Y 2 en druk

enter

Je verkrijgt nu het eerste snijpunt van de parabool met de rechte. Á Herhaal de werkwijze nu voor het tweede snijpunt.

enter

entry solve

Á Druk 6

entry solve

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.8

Verbanden uitdrukken met machtsfuncties

2.8.1 Inleidend voorbeeld 4 ␲ ⴢ r 3. 3 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, het volume V van een bol met gegeven straal r en vul de tabel verder aan. Het volume V van een bol met straal r wordt gegeven door V =

straal r (cm)

volume V (cm 3)

pl aa

Als de straal van de bol tweemaal zo groot wordt, hoe verandert dan het volume van de bol?

Als de straal van de bol driemaal zo groot wordt, hoe verandert dan het volume van de bol?

Tussen het volume V en de straal r bestaat een derdemachtsverband. 4 De formule V = ␲ ⴢ r 3 kan ook geschreven worden als y = a ⴢ x 3. 3

Teken de grafiek in het assenstelsel. v 35 000

• Bereken het volume van de bol als de straal 15 cm is.

25 000 20 000 15 000 10 000 5000

jk ex

30 000

• Maak grafisch een schatting van de straal van de bol met een volume van 6 000 cm 3.

• Bereken, met ICT, de straal van de bol met een volume van 6 000 cm 3. Oplossing:

4 ␲ ⴢ x 3 samen met 3 de rechte y = 6 000 in een gepast venster. Teken het verband y =

format f3

Ymin en Ymax laat je bepalen met ZoomFit ( Je bepaalt van beide grafieken de doorsnede calc

2nd

trace

zoom

catalog

[

Bijvoorbeeld: Xmin = 0 Xmax = 20 )

entry solve entry solve entry solve

enter

De straal van de bol is Algemeen

Een machtsfunctie wordt bepaald door de formule: y = a ⴢ x n, waarbij a en n reële getallen zijn verschillend van 0.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.8.2 Machtsregressie Je beschikt over een aantal massieve metalen kubusvormige blokken met verschillende lengtes van de ribbe. Als je elk blokje weegt, dan verkrijg je de resultaten uit de tabel. ribbe z (cm)

massa m (g)

90,72

306,18

1 417,5

3 889,62 8 266,86

Om het verband tussen de massa m en de ribbe z van de metalen kubussen te vinden pas je machtsregressie toe. • Voer de gegevens in in 2 lijsten:

Á Druk

stat

pl aa

list

Á Maak de werklijsten leeg met het TI84-programma WISLIJST

Á Voer de gegevens in.

• Maak een puntenwolk:

stat plot f1

Á Verwijder eventuele functievoorschriften uit

stat plot f1

Á Druk

(

2nd

) en vervolgens

entry solve

Á Selecteer met de pijltjestoetsen AAN en druk

enter

jk ex

Á Kies het eerste grafiektype

Á Zorg dat naast XLijst L 1 ( L2

YLijst L 2 (

format f3

Á Druk

zoom

) en naast

2nd

) staat

• Voer een machtsregressie uit door de getekende punten: list

Á Druk

stat

Á Kies met

voor BEREKENEN

Á Druk A: MchtReg Á Vul de wizard-velden in zoals hiernaast afgebeeld.

De vergelijking van de regressielijn is

2 3

Het verband tussen de massa m en het volume V wordt gegeven door de formule m = ␳ ⴢ V. De evenredigheidsconstante ␳ is de dichtheid van de stof.

4 5 6 7

Wat is het verband tussen het volume V en de ribbe z van een kubus? Wat is de waarde van de dichtheid van de stof? Zoek op het internet om welk metaal het gaat.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Oefeningen REEKS B Bij bouwwerken worden vaak ijzeren balken gebruikt om muren van een bovenverdieping te ondersteunen. Zoâ€™n balk mag niet te ver doorbuigen bij een grote belasting. In de tabel staat een serie metingen voor een ijzeren balk van 6 m lang. Hierbij is d de doorbuiging in cm en b de belasting in kg. b (kg)

10 000

20 000

30 000

50 000

80 000

d (cm)

0,50

1,00

1,50

2,50

4,00

pl aa

a) Toon aan dat het verband tussen de doorbuiging en de belasting recht evenredig is.

b) Geef de formule voor het verband:

c) Bereken de doorbuiging bij een belasting van 40 000 kg.

d) Bereken de doorbuiging bij een belasting van 100 000 kg.

Bij het uitrekken van een veer worden de kracht F, in N (Newton), en de uitrekking u, in cm, gemeten. De resultaten vind je in de tabel.

jk ex

e) Als de norm bij een gebouw maximaal 3 mm doorbuiging is, bepaal dan de maximale belasting op de ijzeren balk.

1,25

2,50

6,25

18,7 5

F (N)

u (cm)

a) Toon aan dat het verband tussen de kracht en de uitrekking recht evenredig is.

b) Geef de formule voor het verband: c) Welke eenheid hoort er bij de constante? d) Bepaal de kracht die op de veer moet werken opdat de uitrekking 5 cm zou bedragen.

e) Hoeveel zal de veer uitgerekt zijn als de kracht die erop werkt 6,5 N bedraagt?

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Onweer ontstaat meestal bij warm en vochtig weer. De opstijgende warme lucht koelt af en vormt een wolk. In deze wolk bevriezen sommige waterdruppels die daardoor dalen en botsen met stijgende warme waterdruppels. Hierdoor ontstaat elektrische lading. De lichtflits die je ziet bij onweer is het resultaat van een elektrische ontlading. Donder is het geluid dat ontstaat door de grote hitte van de bliksem.

Tijdens een onweer kun je bepalen hoe ver de bliksem verwijderd is van de plaats waar je je bevindt. De tabel toont het verband tussen de afstand s, in m, van de bliksem en de tijd t, in s, tussen de bliksemschicht en de donderslag. 2

s (m)

662

1 324

1 986

2 648

t (s)

pl aa

a) Toon aan dat het verband tussen de afstand en de tijd recht evenredig is. b) Geef de formule voor het verband:

c) Wat is de snelheid van het geluid?

d) Tussen het zien van de bliksem en het horen van de donder verlopen er 2,7 s. Hoe ver is het onweer van je verwijderd?

Om een zware ruit op te tillen gebruiken glaszetters grote zuignappen. Een zuignap werkt volgens het principe dat er aan 1 kant geen lucht zit zodat de lucht aan de andere kant de zuignap tegen het oppervlak duwt.

jk ex

e) Hoelang zal het duren vooraleer je de donder hoort als het onweer zich op 6 km bevindt?

De kracht die je nodig hebt om de zuignap los te maken is even groot als de kracht van de luchtdruk op de zuignap. De kracht F hangt af van de oppervlakte A van de zuignap en de luchtdruk p. Voor de druk p geldt: p =

F . A

a) Vorm de formule om zodat de kracht F de afhankelijke veranderlijke is: 1

b) Welk soort verband bestaat er tussen de kracht F en de oppervlakte A?

2 3 4 5

c) Als de kracht F in N en de oppervlakte A in m 2 worden uitgedrukt, wat is dan de eenheid van de luchtdruk in deze formule? d) Bereken de kracht die de lucht op de zuignap uitoefent als de luchtdruk 101 300 N/m 2 is en de glaszetter een zuignap met een oppervlakte van 130 cm 2 gebruikt.

6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Een dunne metalen draad wordt aangesloten op een spanningsbron. Men onderzoekt het verband tussen de spanning U en de stroomsterkte I. De resultaten staan in de grafiek. I (mA) 30 25 20 15 10 5 U(V) 10

pl aa

a) Welk soort verband bestaat er tussen de stroomsterkte en de spanning?

b) Stel een formule op voor de stroomsterkte in functie van de spanning. c) Welke eenheid heeft de evenredigheidsconstante?

d) Bereken met de formule de stroomsterkte bij 25 V.

e) Hoe groot moet de spanning zijn voor een stroomsterkte van 90 mA?

In de Verenigde Staten gebruiken ze graden Fahrenheit om de temperatuur te meten. Wij gebruiken graden Celsius. Het verband tussen beide temperatuurschalen is lineair. Je vindt voor 2 temperaturen in ºF de temperatuur in ºC.

jk ex

De Celsiusschaal is ontworpen door de Zweed Anders Celsius (1701-1774). In zijn schaal is 0 graden gelijk aan de temperatuur waarop water bevriest en 100 graden gelijk aan de temperatuur waarop water kookt. De Duitser Gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de, in die tijd, laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de menselijke lichaamstemperatuur.

a) Stel een formule op om x ºF om te zetten in y ºC.

4,4

21,1

b) In een verslag over de US Open in New York, zie je een temperatuur van 95ºF. Hoe warm is het in ºC? c) De president van de Verenigde Staten komt Brussel bezoeken. Het is er 10 ºC. De president wil weten hoeveel graden Fahrenheit dit is. Bereken dit voor hem.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

De dampkring van de aarde, de atmosfeer, bestaat uit verschillende lagen. De eerste laag, vanaf het aardoppervlak, is de troposfeer (tussen 0 en 15 km hoogte). In de troposfeer daalt de temperatuur met de hoogte. In de stratosfeer (15 tot 50 km) neemt de temperatuur toe doordat de ozonlaag het grootste gedeelte van de ultraviolette stralen absorbeert. Dan komt de mesosfeer (50 tot 90 km) die gekenmerkt wordt door een temperatuur die opnieuw daalt (−90 ºC gemiddeld). Tot slot kom je in de thermosfeer en vervolgens in de exosfeer, waar de temperatuur opnieuw stijgt.

h (m)

200

750

T (ºC)

13,8

10,5

Als er geen temperatuursinversie optreedt (dit wil zeggen dat een warme luchtlaag over een koudere laag schuift), neemt de temperatuur in de troposfeer af met de hoogte. Op een vochtige lentedag meet je de temperatuur op een hoogte van 200 m en een hoogte van 750 m.

pl aa

a) Bepaal het verband tussen de temperatuur T en de hoogte h.

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

jk ex

c) Welke temperatuur heerst er op zeeniveau?

d) Welke temperatuur heerst er op 350 m hoogte?

De tabel toont de evolutie van het wereldrecord op de 100 m sprint, het koninginnennummer van de atletiek, sinds 1991.

jaartal

1991

1994

1996

1999

2002

2005

2008

2009

tijd (s)

9,90

9,85

9,84

9,79

9,78

9,77

9,74

9,58

a) Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen de recordtijd (y) en het aantal jaren na 1991 (x).

1 2 3

b) Wanneer zal men, volgens het regressiemodel, voor het eerst onder 9,50 s lopen?

4 5 6

c) Schat, via lineaire extrapolatie van de laatste 2 gegevens, wanneer men voor het eerst onder 9,50 s zal lopen.

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Bij een vloeistofthermometer neemt de vloeistofhoogte h toe als de temperatuur T stijgt. In de tabel zie je de gemeten waarden van h en T.

T (ºC)

10,0

23,0

35,0

45,0

55,0

65,0

75,0

88,0

h (cm)

4,0

4,5

5,8

6,6

6,9

7,8

8,2

9,2

a) Laat met de resultaten van de tabel zien dat het verband tussen h en T niet recht evenredig is.

pl aa

b) Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen de hoogte en de temperatuur.

c) Wat is de betekenis van de richtingscoëfficiënt in de formule?

d) Bij welke temperatuur zal de vloeistofhoogte 8 cm bedragen?

jk ex

e) Wat zal de vloeistofhoogte zijn bij een temperatuur van 50 ºC?

De tabel toont de levensverwachting in jaren bij de vrouwen in België van 1970 tot 2016.

jaartal

levensverwachting in jaren

1970

1981

1989

1995

2000

2006

2012

2016

74,21

76,79

79,13

80,40

80,93

82,16

83,10

83,68

a) Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen de levensverwachting (y) en het aantal jaren na 1970 (x).

b) Wat is de betekenis van de richtingscoëfficiënt in de formule?

c) Voorspel de gemiddelde levensverwachting in 2030.

d) Vanaf welk jaar mag je verwachten dat vrouwen gemiddeld ouder worden dan 90 jaar?

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een bebouwde kom, waar een snelheidsbeperking van 50 km/h geldt, zijn er verkeersdrempels met verschillende hoogten. De politie heeft de volgende resultaten opgemeten voor het verband tussen de hoogte h, in cm, van de drempel en de gemiddelde snelheid v, in km/h, van de voorbijrijdende auto’s. h (cm)

v (km/h)

a) Toon aan dat het verband tussen de snelheid en de hoogte omgekeerd evenredig is.

pl aa

b) Geef de formule voor het verband:

c) Volgens de wet mogen verkeersdrempels niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal hieruit het praktisch domein en bereik voor de functie v. pber v =

pdom v =

jk ex

d) Hoe hoog, op 1 mm, moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

Een zwembad bevat 85 100 liter water. Vóór het winter wordt, wordt het zwembad leeggepompt. Met een kleine pomp gaat dit met een snelheid van 230 liter water per uur. De capaciteit C van de pomp is 230 liter per uur.

a) Hoelang duurt het vooraleer het zwembad leeg is?

b) Stel een formule op voor de tijd t, in h, die nodig is voor het leegpompen van het zwembad, 1

afhankelijk van de capaciteit C van de pomp:

2 3

c) Het jaar daarop wordt een grotere pomp gebruikt met een capaciteit van 50 liter per minuut. Hoeveel keer groter is de capaciteit van deze pomp vergeleken met de kleine pomp?

4 5 6

d) Lukt het om met deze pomp het zwembad leeg te pompen binnen de 24 uur?

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

De wet van Boyle-Mariotte luidt: ‘Van een afgesloten hoeveelheid gas is bij constante temperatuur het product van de druk en het volume constant: p ⴢ V = C waarbij C een constante is.’ Hierbij is V het volume, in l, en p de druk in bar. a) Welk soort verband bestaat er tussen de druk en het volume?

b) Wat is de waarde van C als het volume van het gas 6 l is en de druk 1,2 bar is?

c) Stel een formule op zodat V de afhankelijke veranderlijke wordt:

pl aa

d) Bereken hoe groot het volume wordt als je de druk verkleint tot 0,24 bar.

e) Stel een formule op zodat p de afhankelijke veranderlijke wordt:

f) Bereken hoe groot de druk wordt als je het gas samenperst tot 2 l.

g) Teken een grafiek van het verband waarbij p de onafhankelijke veranderlijke is. 8

jk ex

6 5 4 3

p 1

Bovenstaande oefening toont een bijzonder geval van de algemene gaswet. Deze wet beschrijft het verband tussen de druk, het volume en de temperatuur van een ideaal gas. Hierbij wordt verondersteld dat de gasmoleculen geen volume hebben en geen invloed op elkaar uitoefenen. Er geldt: p ⴢ V = n ⴢ R ⴢ T Hierbij is p de druk in Pa (N/m 2), V het volume in m 3, n de hoeveelheid gas in mol en T de temperatuur in Kelvin (0 K is het absolute nulpunt = −273,15 ºC). J (J is het aantal Joule of Nm). K ⴢ mol Uit de algemene gaswet kan naast de wet van Boyle-Mariotte ook nog de wet van Gay-Lussac

R is de gasconstante en is gelijk aan 8,314 472

afgeleid worden:

p = cte. Dit is een recht evenredig verband. T

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

In de Verenigde Staten heeft men bij basketspelers van de NBA een onderzoek gedaan naar het verband tussen de spronghoogte h, in cm, en de sprongtijd t, in s. De tabel geeft de gemiddelde resultaten. t (s)

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

h (cm)

19,5

30,5

43,9

59,8

78,1

a) Welk soort verband bestaat er tussen h en t?

b) Bepaal de formule voor het verband tussen h en t:

pl aa

c) Bereken de spronghoogte voor een speler met een sprongtijd van 0,95 s.

d) Darryl Griffith sprong 120 cm hoog. Bereken zijn sprongtijd.

Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht Fw , in N, gemeten bij verschillende snelheden v, in m/s. De resultaten vind je in de tabel.

jk ex

Een bewegend voertuig zoals een fiets, auto of vliegtuig ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig. Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan. Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht F w uitgeoefend die de beweging tegenwerkt. Hoe groter deze luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven. Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Deze wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.

v (m/s)

10,6

16,7

22,1

27,8

33,2

Fw (N)

60,67

150,60

263,74

417,33

595,21

a) Welk soort verband bestaat er tussen Fw en v?

2 3

b) Bepaal de formule voor het verband tussen Fw en v:

c) Welke luchtwrijvingskracht ondervindt het voertuig bij een snelheid van 72 km/h?

5 6

d) Aan welke snelheid bedraagt de luchtwrijvingskracht 500 N?

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

REEKS C 30

Fossiele brandstoffen (olie, steenkool, aardgas, ...) kunnen uitgeput raken en van kernenergie is niet iedereen even wild. Daarom is men al geruime tijd op zoek naar alternatieve energiebronnen, zoals zonne-energie en windenergie. De laatste jaren worden steeds meer windmolens geplaatst om elektriciteit op te wekken. Het vermogen P van een windmolen is voornamelijk afhankelijk van het type windmolen en de windsnelheid v. Er geldt: P = a â´˘ v 3 (P in kW, v in m/s).

De tabel toont het gemiddelde vermogen van 3 types windmolens bij een windsnelheid van 12 m/s.

P (kW)

600

1 200

III 2 500

pl aa

type

a) Bereken de parameter a, op 0,01 nauwkeurig, voor elk type windmolen.

b) Teken, met ICT, de grafieken van de 3 verbanden (P en v zijn positieve veranderlijken).

jk ex

c) Omschrijf hoe je de grafieken van type II en type III zou vinden vanuit de grafiek van type I.

d) Met welke factor wordt het vermogen vermenigvuldigd als het tweemaal harder waait? type I:

; type II:

; type III:

e) Op een bepaald moment levert een windmolen van type III een vermogen van 500 kW. Welk vermogen zou een molen van type II opleveren bij dezelfde windsnelheid?

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Bij het verbranden van stoffen komt energie vrij in de vorm van warmte. Omdat verbranden een chemisch proces is, noem je de energie die daarbij omgezet wordt chemische energie E c . Met de verbrandingswarmte r v bedoel je de hoeveelheid energie die vrijkomt per kg, per l of per m 3 van een stof. In de tabel vind je van enkele stoffen de verbrandingswarmte. De afkorting MJ staat voor megajoule (1 miljoen joule). rv

aardgas

32 MJ/m 3

benzine

33 MJ/l

butaangas

120 MJ/ m 3

diesel

36 MJ/l

droog hout

16 MJ/kg

spiritus

18 MJ/l

steenkool

29 MJ/kg

stookolie

40 MJ/l

waterstof

10,8 MJ/m 3

a) Hoeveel energie komt er vrij als je 8 kg droog hout verbrandt? b) Toon aan dat de energie E c recht evenredig is met de massa van het hout.

stof

c) Geef de formule voor het verband tussen E c , r v en m.

pl aa

d) Bij vloeistoffen wordt de verbrandingswarmte gegeven in MJ/l en bij gassen in MJ/m 3.

Geef de formule die in dit geval het verband tussen E c en r v weergeeft:

jk ex

e) Moderne autobussen rijden op waterstof in plaats van op diesel. De dieseltank van een normale autobus bevat 250 l. Bereken hoeveel m 3 waterstofgas nodig is om evenveel energie te leveren als een volle tank diesel.

f) Bij welke verbranding komt het meeste energie vrij? • 46 l stookolie • 15 000 dm 3 butaangas • 120 kg droog hout

1 2 3 4 5

g) Niet alleen bij het verbranden van stoffen als benzine en hout maar ook door het voedsel dat in je lichaam verbrand wordt, komt energie vrij. De verbrandingswarmte van frieten bedraagt 13 MJ/kg. Hoeveel energie komt er vrij bij het eten van een portie frieten van 200 g (zonder mayonaise!)

6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Albatrossen zijn uitstekende zwevers. In pure glijvlucht – dus zonder vleugelslagen en zonder steun van stijgende luchtstromen – kan een albatros 20 m horizontaal glijden op slechts 1 m daling. Duiven zie je ook vaak een stuk zweven. Hun prestaties zijn wel wat minder. a) Welk soort verband bestaat er tussen de zweefafstand en de daling?

b) Vul de tabel aan voor de albatros en de duif.

duif

albatros zweefafstand Z (m)

daling D (m)

zweefafstand Z (m)

pl aa

daling D (m)

220 520

180 250

z 100 80

jk ex

c) De verhouding van de zweefafstand tot de daling noem je de finesse F van de zwever. Hieronder zie je een grafiek met 3 rechten door de oorsprong die de zweefafstand Z weergeven in functie van de daling D.

D 3

zwever

sprinkhaan

1,5

vliegende eekhoorn

2,5

koolwitje

gierzwaluw

gier

albatros

zweefvliegtuig

Geef voor elk van de rechten de vergelijking in de vorm Z = F ⴢ D en zoek in de tabel bij welke zwever de grafiek hoort. grafiek 1

grafiek 2

grafiek 3

vergelijking zwever d) Welke grafiek hoort bij de beste zwever? e) Bereken de finesse van de duif.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Antropologen schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. Het bovenarmbeen (de humerus) is een been dat meestal nog intact is bij opgravingen naar resten van onze voorouders. De tabel geeft de lengte van de humerus en de totale lengte van 8 volwassen mannen. lengte humerus (cm)

28,5

30,9

32,0

33,3

35,1

36,8

38,2

41,0

totale lengte (cm)

153

160

163

167

172

177

181

189

a) Bepaal, met lineaire regressie, het verband tussen de totale lengte y, in cm, en de lengte x van het bovenarmbeen, in cm.

pl aa

De vergelijking van de regressierechte is

b) Geef de betekenis van de richtingscoĂŤfficiĂŤnt van het verband.

jk ex

c) Bij opgravingen wordt een humerus gevonden van 30,1 cm. Onderzoek van de rest van het skelet wijst uit dat het om een volwassen man gaat. Hoe groot was die man?

d) Robert Wadlow (1918-1940) is de grootste man die ooit geleefd heeft. Hij was 272 cm groot. Hoe lang was zijn bovenarmbeen?

e) Een volwassen man is nooit kleiner dan 75 cm. Wat is het praktisch domein van de functie?

1 2 3 4

Wat is het praktisch bereik van de functie?

5 6 7

f) Heeft de beginwaarde in de vergelijking een fysische betekenis? Waarom (niet)?

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

• De astronomische eenheid (AE, Engels: AU) is een afstandsmaat die gelijk is aan de gemiddelde afstand tussen de aarde en de zon: ongeveer 150 miljoen km. De meest recente metingen geven als precieze waarde 149 597 870 691 m. Deze maat wordt in de astronomie gebruikt om afstanden in de ruimte aan te duiden, waardoor deze worden vergeleken met de ‘straal’ van de baan van de aarde om de zon. • Pluto is een in 1930 ontdekt hemellichaam in ons zonnestelsel dat tot 24 augustus 2006 werd geclassificeerd als planeet en sindsdien als dwergplaneet.

5,203

4 330

Saturnus

9,539

Uranus

19,182

Neptunus

30,058

Ur an us

Jupiter

pi te r

687

1,524

Mars

us un pt Ne

10 800

Sa tu

365

1,000

Aarde

riu

225

rd e

0,732

Venus

0,387

er cu

Mercurius

T (in dagen)

pl aa

R (in AE)

Ve nu s

planeet

Johannes Kepler bestudeerde in de 17de eeuw de banen van de planeten om de zon. Hij vond een verband tussen de afstand R van de planeten tot de zon en de omlooptijd T. Het resultaat ligt vast in de derde wet van Kepler. In de tabel vind je van de planeten de afstand tot de zon, in astronomische eenheden (AE), en de omlooptijd T, in dagen.

Zo n

30 700

jk ex

60 200

a) Hoeveel kilometer bedraagt de afstand Mars-zon?

b) Hoeveel jaren heeft de planeet Saturnus nodig om 1 omwenteling rond de zon te maken?

c) Bepaal, met een machtsregressie, het verband tussen de omlooptijd T en de afstand R tot de zon.

d) Zoek op het internet de formulering van de derde wet van Kepler en ga na of het verband uit c) hieraan voldoet.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.9

Het exponentieel verband

2.9.1 Inleidend voorbeeld 1 Er heerst een rupsenplaag in onze tuin. Gedurende 1 week wordt het aantal rupsen geteld. In de tabel worden de resultaten gegeven. tijd t (dagen)

aantal rupsen N

200

232

269

312

362

420

487

565

quotiënt (op 0,01)

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, het quotiënt van de aantallen rupsen bij 2 opeenvolgende dagen.

pl aa

Wat stel je vast?

Het aantal rupsen na 1 dag verkrijg je door het beginaantal te vermenigvuldigen met de factor Die factor is de groeifactor per dag. De groeifactor per 2 dagen is De groeifactor per 3 dagen is

Algemeen: de groeifactor per t dagen is

Het aantal rupsen N na t dagen wordt gegeven door N = 200 ⴢ 1,16 t. De waarde 200 is de beginwaarde.

jk ex

Tussen het aantal rupsen N en de tijd t bestaat een exponentieel verband. De formule N = 200 ⴢ 1,16 t kan ook geschreven worden als y = b ⴢ a x. Teken de grafiek in het assenstelsel. N 900 800 700

• Maak grafisch een schatting na hoeveel dagen er meer dan 850 rupsen zijn.

600

• Bereken het aantal rupsen na 8 dagen.

500

400 300 200

• Bereken, met ICT, na hoeveel dagen er meer dan 850 rupsen zijn.

100

Oplossing: 2 3 4

Teken het verband y = 200 ⴢ 1,16 x samen met de rechte y = 850 in een gepast venster. Bijvoorbeeld: Xmin = 0 Xmax = 15 format f3

Ymin en Ymax laat je bepalen met ZoomFit ( Je bepaalt van beide grafieken de doorsnede:

zoom

5 6

calc

2nd

trace

entry solve entry solve entry solve

enter

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

enter

catalog

[

)

2.9.2 Inleidend voorbeeld 2 Het radioactieve Jodium-123 wordt gebruikt in de geneeskunde bij schildklieronderzoek. In een laboratorium wordt gedurende een periode regelmatig gemeten in welke mate de massa van een hoeveelheid Jodium-123 vermindert door radioactief verval. In de tabel worden de resultaten van de metingen gegeven. tijd t (h)

massa m (g)

47,500

45,125

42,869

40,725

quotiënt (op 0,01) Bereken, op 0,01 nauwkeurig, het quotiënt van de massa’s bij 2 opeenvolgende uren. Wat stel je vast? De massa na 1 uur verkrijg je door de massa na 0 uur te vermenigvuldigen met de factor Die factor is de groeifactor per uur.

De groeifactor per 2 uur is

pl aa

De groeifactor per 3 uur is Algemeen: de groeifactor per t uur is De massa m na t uur wordt gegeven door Teken de grafiek in het assenstelsel.

• Bereken de massa Jodium-123 na 1 dag.

55 50 45 40 35 30 25

jk ex

20 15 10 5

• De halveringstijd is de tijd waarna van de oorspronkelijke hoeveelheid nog de helft over is. Maak grafisch een schatting van de halveringstijd van Jodium-123.

• Bereken, met ICT, de halveringstijd van Jodium-123.

Oplossing:

calc

2nd

Algemeen

trace

[

Teken het verband y = 50 ⴢ 0,95 x samen met de rechte y = 25 in een gepast venster. Bijvoorbeeld: Xmin = 0 Xmax = 50 catalog format f3 Ymin en Ymax laat je bepalen met ZoomFit ( zoom 0 ) Je bepaalt van beide grafieken de doorsnede: entry solve entry solve entry solve

enter

Een exponentieel verband wordt bepaald door de formule: y = b ⴢ a x. • Een groei is exponentieel als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd. Deze factor is de groeifactor a. Á a ⬎ 1: exponentiële toename Á a ⬍ 1: exponentiële afname Á een groeifactor is altijd positief: a ⬍ 0 • De waarde b is de beginwaarde.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.9.3 Exponentiële regressie Om het verband te vinden bij het eerste inleidende voorbeeld kun je ook met ICT een trendlijn of regressielijn bepalen die zo goed mogelijk past bij de punten van het spreidingsdiagram. Hiervoor pas je exponentiële regressie toe. • Voer de gegevens in in 2 lijsten: Á Maak alle lijsten leeg: memo

(

druk

“

) en vervolgens

2nd

entry solve

enter

Á Maak alle standaardlijsten zichtbaar: L5

list

druk

stat

list

Á Druk

en vervolgens

U entry solve

enter

stat

pl aa

Á Voer de gegevens in. • Maak een puntenwolk:

stat plot f1

Á Verwijder eventuele functievoorschriften uit Á Druk

(

2nd

stat plot f1

) en vervolgens

entry solve

Á Selecteer met de pijltjestoetsen AAN en druk

Á Kies het eerste grafiektype

Á Zorg dat naast XLijst L 1 ( L2

YLijst L 2 (

2nd

format f3 w

) en naast

) staat

zoom

2nd

jk ex

Á Druk

enter

• Voer een exponentiële regressie uit door de getekende punten: list

Á Druk

stat

Á Kies met

voor BEREKENEN

Á Druk 0: ExpReg

Á Vul de wizard-velden in zoals hiernaast afgebeeld.

Á Merk op dat de grafische rekenmachine gebruik maakt van de notatie y = a ⴢ b x en niet van de notatie y = b ⴢ a x table

• Druk je op graph dan zie je ook de kromme getekend door de punten. Daarvoor zorgde het toevoegen van Y 1 aan het regressiecommando ExpReg L 1,L 2

1 2 3 4 5

De vergelijking van de regressielijn is

Bepaal, met ICT, de vergelijking van de regressielijn bij het tweede inleidende voorbeeld.

De vergelijking van de regressielijn is

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.9.4 Rekenen met procenten boven 100 % Formule

De groeifactor a bij een toename met p %, is gelijk aan a = 1 +

p . 100

• Je zet 500 euro op een spaarboekje en krijgt per jaar 1 % intrest. Wat is het eindkapitaal na 3 jaar? Oplossing: Á De groeifactor a = Á De beginwaarde b =

pl aa

Á Na 3 jaar verkrijg je een eindkapitaal gelijk aan

Á Het eindkapitaal na x jaar is y =

• De prijs van de bouwgrond in Vlaanderen stijgt ieder jaar met 3 %. Hoeveel kostte een m2 bouwgrond 5 jaar geleden als het nu 250 euro per m2 kost?

Á De groeifactor a =

Oplossing:

Á De huidige prijs per m 2 is y =

jk ex

Á De kostprijs 5 jaar geleden is b =

Bijzondere gevallen (x = 1)

• De prijs van een scooter, zonder btw, is 2 800 euro. Bereken de prijs inclusief 21 % btw. Oplossing:

Á De groeifactor a =

Á De beginwaarde b =

Á De prijs, inclusief btw, is gelijk aan y = b ⴢ a =

• Voor een nieuwe laptop betaal je 699 euro, inclusief 21 % btw. Bereken hoeveel btw je betaalt. Oplossing: Á De groeifactor a = Á De betaalde prijs is y = Á De prijs, exclusief btw, is y b= = a

Á De betaalde btw is y – b =

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.9.5 Rekenen met procenten onder 100 % Formule

De groeifactor a bij een afname met p %, is gelijk aan a = 1 −

p . 100

• De waarde van een auto neemt elk jaar met 20 % af. Jos heeft een nieuwe auto gekocht voor 24 500 euro. Hoeveel is de auto nog waard, op 100 euro nauwkeurig, over 4 jaar? Oplossing: Á De groeifactor a = Á De beginwaarde b =

pl aa

Á Na 4 jaar is de waarde van de auto

Á De waarde van de auto na x jaar is y =

• In een bos wordt ieder half jaar 5 % van de bomen gerooid. Dit jaar staan er nog 320 bomen in het bos. Hoeveel stonden er 8 jaar geleden?

Á De groeifactor a =

(per half jaar!)

Oplossing:

Á Het huidige aantal bomen is y =

jk ex

Á Het aantal bomen 8 jaar geleden is b =

Bijzondere gevallen (x = 1)

• Je koopt een nieuwe fiets van 485 euro. De handelaar geeft je 8 % korting. Hoeveel moet je betalen?

Oplossing:

Á De groeifactor a =

Á De beginwaarde b =

Á Het te betalen bedrag is gelijk aan y = b ⴢ a =

• Kirsten koopt een jurk in de solden voor 99 euro. Ze heeft 40 % korting gekregen. Hoeveel kostte de jurk vóór de solden? 1 2

Oplossing:

Á De groeifactor a =

Á De betaalde prijs is y =

Á De prijs, zonder korting, is y b= = a

6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.9.6 Omzetten van percentages • Voor een belegging ontvang je 0,10 % intrest per maand. Hoeveel procent is dat per jaar? Oplossing: Á De groeifactor per maand is 1 +

0,10 = 1,001 100

Á Als a de groeifactor per jaar is, dan geldt: a = 1,001 12 = 1,012 1 Á De rentevoet op jaarbasis is dus gelijk aan • De populatie van een diersoort neemt iedere 5 jaar af met 12 %. Hoeveel procent is dat per jaar? Oplossing:

pl aa

Á De groeifactor per 5 jaar a = Á Als a de groeifactor per jaar is, dan geldt:

Besluit

Á De procentuele afname per jaar is dus

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan a n.

jk ex

Voorbeelden

Het aantal inwoners van een stad stijgt per 3 jaar met 4 %. Bereken het stijgingspercentage per jaar.

Een luchtballon verliest elke 2 uren 1 % gas. Hoeveel procent is dat per dag?

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Oefeningen REEKS A 35

Los de problemen met procenten op. e) Je krijgt 25 % korting en daarbovenop nog eens 10 %. Hoeveel procent korting heb je in totaal gekregen?

pl aa

a) De prijs van een liter melk is 1,10 euro, zonder btw. Bereken de prijs met 6 % btw inbegrepen.

f) De prijs van een auto steeg vorig jaar met 4 % en dit jaar met 3 %. Hoeveel procent is dat op 2 jaar?

jk ex

b) Een kasbon levert een bruto-intrest van 90 euro. Bereken de netto-intrest na aftrek van 30 % roerende voorheffing.

g) Een kapitaal van 500 euro groeit in 1 jaar aan tot 504,50 euro. Bereken de jaarlijkse rentevoet.

c) Jan weegt nu 91 kg. Dat is 8 % meer dan vorig jaar. Hoeveel woog hij vorig jaar?

1 2

d) Een aandeel is vandaag 160,35 euro waard. Dat is 4 % minder dan gisteren. Hoeveel was het gisteren waard?

3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

h) Vorig jaar waren er in een stad 190 ongevallen, dit jaar waren er 178. Met hoeveel procent is het aantal ongevallen gedaald?

REEKS B 36

Stel dat je een groot stuk papier van 0,1 mm dik, 50 maal zou kunnen dubbelvouwen. Hoe dik zou het verkregen resultaat dan zijn?

pl aa

De E. Coli (Escherichia Coli) is een bacterie die voorkomt in je dikke darm en die je nodig hebt om je voedsel te verteren. Via de ontlasting komen per dag gemiddeld zo’n 10 2 (een biljoen) van deze bacteriën naar buiten. Daarom wordt, bij het onderzoek naar de vervuiling van water, altijd naar sporen van de E. Coli gezocht. Zolang deze bacterie niet op andere plaatsen van je lichaam komt dan de dikke darm, is ze onschadelijk. Anders kan ze voor levensgevaarlijke ontstekingen zorgen.

Eén enkele cel van de bacterie E. Coli deelt zich, onder ideale omstandigheden, iedere 20 minuten in twee. Hoeveel bacteriën zijn er na 1 dag?

Je laat een bal van op een hoogte van 1 m op de grond vallen. De bal botst na elke aanraking met de grond terug tot op een hoogte die 75 % van de vorige hoogte is. Tot op welke hoogte zal de bal terugbotsen na 10 keer de grond te hebben geraakt?

jk ex

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

In een stad wordt elk jaar meer afval geproduceerd. In de tabel staat de afvalproductie, in ton, voor die stad.

jaartal

2014

hoeveelheid afval (ton)

68 435

pl aa

2015

2016

2017

2018

71 857

75 450

79 222

83 183

a) Toon aan dat de hoeveelheid afval exponentieel groeit.

b) Wat is de groeifactor per jaar?

jk ex

c) Hoeveel ton afval werd er geproduceerd in 2012?

d) Met hoeveel procent groeit de hoeveelheid afval in 15 jaar?

e) Bepaal grafisch in welk jaar er voor het eerst meer dan 150 000 ton afval geproduceerd zal worden.

Mike heeft zijn auto van 38 000 euro verzekerd. De verzekeringsmaatschappij berekent de waarde van de auto zodat ze ieder jaar met 19 % vermindert ten opzichte van het jaar ervoor. a) Stel een formule op die het verband weergeeft tussen de waarde van de auto en het aantal jaren na aankoop van de auto.

2 3 4

b) Na 5,5 jaar wordt de auto total loss gereden. Welk bedrag keert de verzekering uit?

5 6

c) Met hoeveel procent is de waarde na 4 jaar afgenomen?

7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Een luchtballon met volume 100 000 m 3 verliest elk uur 4,5 % van zijn hoeveelheid gas. Als de helft van de hoeveelheid gas uit de luchtballon verdwenen is, zal de luchtballon neerstorten. a) Wat is de groeifactor per uur?

b) Stel een formule op die het verband weergeeft tussen het volume gas en de tijd in uren.

c) Bepaal grafisch na hoeveel uren de luchtballon zal neerstorten.

pl aa

d) Met hoeveel procent neemt de hoeveelheid gas af per dag?

In 2018 telde India ongeveer 1,358 miljard mensen. Men voorspelt een jaarlijkse groei van 1,2 %. Schat het aantal inwoners in 2030.

Door de hoge brandstofprijzen kent het begrip ‘autodelen’ in België een groot succes. In 2018 telde de carsharingmaatschappij Cambio ongeveer 27 000 leden. Ze voorspellen een jaarlijkse stijging met 11 %. Hoeveel klanten mogen ze verwachten in 2025?

De waarde van een auto neemt elk jaar met 20 % af. Jos heeft 4 jaar geleden een nieuwe auto gekocht die nu nog 11 264 euro waard is. Hoeveel heeft de auto gekost?

jk ex

Het aantal abonnees van een nieuw jeugdtijdschrift bedraagt 500. Iedere maand neemt het aantal met een tiende toe. Bereken het aantal abonnees 6 maanden geleden.

In een school waren er 550 leerlingen op 1 september vorig jaar. Op 1 september dit jaar waren er 3,6 % minder. Als die daling zich verderzet, voorspel dan het aantal leerlingen op 1 september binnen 6 jaar.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

Een vrouwenarts heeft gegevens verzameld van een zwangere vrouw. In tabel 1 staat de toename van het lichaamsgewicht G, in g, sinds het begin van de zwangerschap. De gewichtstoename van een zwangere vrouw wordt voor een deel veroorzaakt door het gewicht van de foetus. In tabel 2 is het gewicht F weergegeven van de foetus van de vrouw van wie de gewichtstoename in tabel 1 staat. Tabel 1 aantal weken zwanger

toename lichaamsgewicht G (g)

2 160

3 030

5 990

8 400

aantal weken zwanger

gewicht foetus F (g)

523

1 390

3 120

3 990

pl aa

Tabel 2

a) Toon aan dat het verband tussen de gewichtstoename G van de vrouw en het aantal weken zwangerschap vanaf de twintigste week bij benadering exponentieel is.

b) Bereken de groeifactor, op 0,01, per week.

jk ex

c) Geef de formule die het verband weergeeft tussen de gewichtstoename G van de vrouw en het aantal weken zwangerschap.

d) Toon aan dat het verband tussen het gewicht F van de foetus en de duur van de zwangerschap bij benadering lineair is.

e) Geef de formule die het verband weergeeft tussen het gewicht F van de foetus en het aantal weken zwangerschap.

f) Wat is de betekenis van de richtingscoĂŤfficiĂŤnt in deze vergelijking?

1 2 3 4

g) Aan het eind van de zwangerschap wordt er veel vocht opgeslagen. Ook neemt het gewicht van de vrouw toe door weefselvorming rond de foetus. Dan kunnen G en F wel 4 000 g tot 8 000 g verschillen. Bepaal, met ICT, op welke dag na het begin van de zwangerschap dit verschil voor het eerst meer dan 4 000 g bedraagt.

5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

STUDIEWIJZER Verbanden tussen grootheden 2.1 Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules KENNEN In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is • een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid; • de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts 1 afhankelijke veranderlijke.

KUNNEN

In een formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke herkennen. Een formule omvormen naar een opgegeven afhankelijke veranderlijke. Berekeningen maken met behulp van formules en waarden van de veranderlijken.

pl aa

2.2 Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies KENNEN

jk ex

Een verband tussen 2 grootheden is een functie als voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke, er hoogstens 1 waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat. Het domein van een functie f, dom f , is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat. Het bereik van een functie f , ber f , is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Het praktisch domein, pdom f , is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Het praktisch bereik, pber f , is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat. Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f (a) gelijk is aan 0. Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as. Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

KUNNEN

Herkennen of een verband een functie of geen functie is. Van een functie de volgende karakteristieken bepalen of bespreken: • het domein en het bereik; • de nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop. Met behulp van ICT • het praktisch domein en het praktisch bereik van een functie bepalen. • de grafiek van de functie tekenen rekening houdend met praktisch domein en bereik. • het tekenschema en het verloop van een functie bespreken.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.3 Het recht evenredig verband KENNEN Een recht evenredig verband wordt bepaald door • de formule: y = a ⴢ x De waarde a is de evenredigheidsfactor of richtingscoëfficiënt. • de grafiek: (een deel van) een rechte door de oorsprong. Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd.

KUNNEN

Een recht evenredig verband herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met recht evenredige verbanden; • recht evenredige verbanden opstellen.

pl aa

2.4 Het lineair verband

KENNEN

Een lineair verband wordt bepaald door • de formule: y = b + a ⴢ x De waarde a is de richtingscoëfficiënt. De waarde b is de beginwaarde. • de grafiek: (een deel van) een rechte. Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden. Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt.

KUNNEN

jk ex

Een lineair verband herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met lineaire verbanden; • lineaire verbanden opstellen; • lineaire regressie uitvoeren; • lineaire interpolatie toepassen; • lineaire extrapolatie toepassen.

2.5 Het omgekeerd evenredig verband

KENNEN

Een omgekeerd evenredig verband wordt bepaald door • de formule: y = a of x ⴢ y = a, waarbij a een constante is. x • de grafiek: (een deel van) een hyperbool. Als de ene grootheid met een getal, verschillend van 0, wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid door hetzelfde getal gedeeld.

2 3 4 5 6 7

KUNNEN Een omgekeerd evenredig verband herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met omgekeerd evenredige verbanden; • omgekeerd evenredige verbanden opstellen.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.6 Het kwadratisch evenredig verband KENNEN Een kwadratisch evenredig verband wordt bepaald door • de formule: y = a ⴢ x 2, waarbij a een constante is. • de grafiek: (een deel van) een parabool. Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid met het kwadraat van hetzelfde getal vermenigvuldigd.

KUNNEN

pl aa

2.7 Het kwadratisch verband

Een kwadratisch evenredig verband herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met kwadratisch evenredige verbanden; • kwadratisch evenredige verbanden opstellen.

KENNEN

Een kwadratisch verband wordt bepaald door • de formule: y = a ⴢ x 2 + b ⴢ x + c, waarbij a, b en c constanten zijn en a ≠ 0. • de grafiek: (een deel van) een parabool.

KUNNEN

jk ex

Een kwadratisch verband herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met kwadratische verbanden; • kwadratische verbanden opstellen; • kwadratische regressie uitvoeren.

2.8 Verbanden uitdrukken met machtsfuncties KENNEN

KUNNEN

Een machtsfunctie wordt bepaald door de formule: y = a ⴢ x n, waarbij a en n reële getallen zijn verschillend van 0.

Een verband uitgedrukt door een machtsfunctie herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met verbanden uitgedrukt door een machtsfunctie; • verbanden opstellen met behulp van een machtsfunctie; • machtsregressie uitvoeren.

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

2.9 Het exponentieel verband KENNEN Een exponentieel verband wordt bepaald door de formule: y = b ⴢ a x. • Een groei is exponentieel als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd. Deze factor is de groeifactor a. Á a ⬎ 1: exponentiële toename Á a ⬍ 1: exponentiële afname Á een groeifactor is altijd positief: a ⬎ 0 • De waarde b is de beginwaarde. De groeifactor a bij een toename met p %, is gelijk aan a = 1 + De groeifactor a bij een afname met p %, is gelijk aan a = 1 −

p . 100

jk ex

CONTRACTWERK

pl aa

KUNNEN Een exponentieel verband herkennen • in een voorschrift; • in een tabel; • in een grafiek. In vraagstukken • omgaan met exponentiële verbanden; • exponentiële verbanden opstellen; • exponentiële regressie uitvoeren; • de groeifactor bepalen uit een percentage; • een percentage omzetten naar een groeifactor; • berekeningen maken met een groeifactor.

1 2 3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.1

Vergelijkingen van de tweede graad

₈₆

in één onbekende 3.2

Oplossen van onvolledige

₈₉

tweedegraadsvergelijkingen

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen:

pl aa

3.3

algemeen 3.4

Vraagstukken

jk ex

Studiewijzer

₉₄ ₉₉ ₁₀₇

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.1

Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

3.1.1 Voorbeeld 1

x+3

Van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde 3 cm korter dan de andere. De schuine zijde is 3 cm langer dan de langste rechthoekszijde. Bereken de omtrek.

x–3

Oplossing

• Stelling van Pythagoras:

• Uitwerking van de vergelijking:

pl aa

• De andere zijden zijn dan gelijk aan

Stel: x is de lengte van de langste rechthoekszijde.

• Ontbinding in factoren van het linkerlid:

jk ex

Een product is nul als één van de factoren nul is:

De afmetingen van de driehoek:

1 2 3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

(de oplossing

is fysisch onmogelijk)

3.1.2 Voorbeeld 2

De breedte van een rechthoekig bloemperk is 11 m korter dan de lengte. De oppervlakte is 102 m 2. Bereken de afmetingen van het bloemperk.

Oplossing

Stel: x is de lengte van het perk.

pl aa

De breedte is dan Opstellen van de vergelijking:

Uitwerking van de vergelijking:

Je kunt de vergelijking oplossen met de Oplosser (

A catalog

math

• kies de startwaarden (meerdere oplossingen)

• voer de vergelijking in

test

[

jk ex

Deze vergelijking is met onze huidige kennis nog niet op te lossen. Je lost de vergelijking op met ICT.

a-lock

De oplossingen verkrijg je door

alpha

entry solve

enter

te drukken.

Slechts één van de verkregen oplossingen heeft betekenis voor het vraagstuk, namelijk

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen Definitie

Tweedegraadsvergelijking Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0. Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking. Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn. In dit geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking.

pl aa

Voorbeelden Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen. a) 2x 2 − 3x + 1 = 0

b) 4x − 6 = x + x 2 c) 8 + 6x − x 3 = x 2

jk ex

d) 3(1 − x)(2 + x) = 7 e) 2x(x − 2) = x + 2x 2

Geef van de tweedegraadsvergelijkingen telkens de coëfficiënten a, b en c.

1 2 3 4

E = mc 2

Los de vergelijking op naar c.

5 6 7 8

In het begin van de 20e eeuw schreef Albert Einstein deze vergelijking, die het verband weergeeft tussen energie (E), massa (m) en de lichtsnelheid (c). Het is wellicht de beroemdste vergelijking ooit.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

❒ ❒ ❒ ❒ ❒

3.2

Oplossen van onvolledige tweedegraadsvergelijkingen De tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 noem je onvolledig als b = 0 of c = 0 of b = c = 0.

b = 0 en c ≠ 0 Voorbeeld 2

3x 2 − 12 = 0

−2x 2 − 8 = 0

3x 2 = 12

−2x 2 = 8

x 2 = 4

x 2 = −4

x = 2 of x = −2

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

Voorbeeld 1

pl aa

c De vergelijking ax 2 + c = 0 los je op door deze te herleiden tot de vergelijking x 2 = − . a c • als − ⬎ 0 : er zijn twee tegengestelde oplossingen, namelijk a c • als − ⬍ 0 : er zijn geen reële oplossingen. a

冑

c − en − a

c − ; a

b ≠ 0 en c = 0

Let op!

Voorbeeld 2x 2 − 7x = 0

jk ex

Wat is er verkeerd aan de volgende methode?

x ⴢ (2x − 7) = 0

2x 2 − 7x = 0

Een product is nul als

één van de factoren nul is.

2x 2 = 7x

x = 0 of 2x − 7 = 0

x = 0 of x = 7 2

2x = 7 7 x = 2

De vergelijking ax 2 + bx = 0 los je op door de gemeenschappelijke factor x voorop te zetten. Je verkrijgt dan de vergelijking x ⴢ (ax + b) = 0. b Er zijn twee oplossingen, namelijk 0 en − . a b = 0 en c = 0 Voorbeeld −2x 2 = 0 x 2 = 0 x = 0 Er is één oplossing, namelijk 0.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

Oefeningen REEKS A Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 4x 2 – 16x = 0

g) −3x 2 = −9

b) 6x 2 – 24 = 0

h) 2x 2 = 5x

pl aa

i) −4 – 7x 2 = 0

jk ex

c) −3x 2 + 7x = 0

j) 4x = −10x 2

d) −25x 2 + 16 = 0

e) 3x 2 + 18 = 0

k) −36x 2 = 6

f) 12x 2 – 3x = 0

l) −25x 2 = 5x

1 2 3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

De lengte van een rechthoekig reclamebord is driemaal de breedte. De oppervlakte is 192 dm 2. Bereken de afmetingen van dit reclamebord.

Een projectiel wordt, van op de grond, verticaal omhoog geschoten. De hoogte h, in m, die het bereikt, wordt gegeven door de formule h = 90t â€“ 5t 2. Hierbij is t de tijd, in seconden. Na hoeveel seconden zal het projectiel terug op de grond vallen?

jk ex

pl aa

Schets:

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 147 m 2 groter. Bepaal de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

In 4

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

REEKS B 5

Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 3x 2 −

1 2 1 x + x=0 2 5

3 2 x = 12x 7

g) −

9 1 2 + x =0 4 8

3 2 6 x + x=0 2 7

d) −

1 2 x − 10 = 0 6

5 2 1 x = − x2 7 9

i) −

7 2 5 x = 5 14

j) −

11 2 1 x = x 2 4

jk ex

c) −

pl aa

1 =0 3

1 2

e) −

5 2 x =0 4

3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

REEKS C Los de tweedegraadsvergelijkingen op. c) −3x ⴢ (x + 5) = −15x − 9

a) x 2 + 12x = −2x 2

x2 − 3 x2 = 5 12

1 1 x ⴢ (x − 2) = x 6 4

Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

jk ex

pl aa

a) (x − 3) = 25

c) −5 ⴢ (x − 2) − 80 = 0

x − 3 = 5 of x − 3 = −5 of x = −2

x=8

b) 4 ⴢ (x + 6) − 36 = 0

d) −3 ⴢ (6x − 7) + 12 = 0

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.3

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen

3.3.1 Opstellen van de formules ax 2 + bx + c = 0 Je deelt beide leden door a (a ≠ 0).

c b x 2 + x + = 0 a a Je telt bij beide leden −

c op. a

c b x = − 2a a

冉x + 2ab 冊 = x + ab x + 4ab 2

pl aa

x 2 + 2 ⴢ

c b x 2 + x = − a a

2 Je vermeerdert beide leden met b 2 . 4a

b2 b c b2 x 2 + x + 2 = − + 2 a a 4a 4a

Je ontbindt het linkerlid als een volkomen kwadraat en

冉x + 2ab 冊 = 4aD 2

(1)

Stel b 2 − 4ac = D (de discriminant van de vergelijking).

jk ex

werkt het rechterlid uit .

冉x + 2ab 冊 = b − 4ac 4a 2

eerste geval: D ⬎ 0

tweede geval: D = 0

Vergelijking (1) wordt:

Je neemt de vierkantswortel van beide leden van vergelijking (1):

冑

b D of x + = − 2a 4a 2

b x + = 2a

b 冪D x + = 2a 2a

D 4a 2

冪D b of x + = − 2a 2a

冉

b x + 2a

冊 = 0 2

derde geval: D < 0 Vergelijking (1) heeft geen reële oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid strikt negatief.

b x + = 0 2a

1 2

−b +冪D

x =

−b −冪D of x = 2a

b x = − 2a

3 4 5 6

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je de wortels. De formules die je in staat stellen deze wortels te berekenen, noem je de wortelformules. Een andere naam is abc-formules.

7 8

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.3.2 Overzicht Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk: Bereken de discriminant D = b 2 − 4ac. D>0

D = 0

D<0

twee verschillende oplossingen:

één oplossing (of twee gelijke oplossingen):

geen reële oplossingen

−b − 冪D −b + 冪D en x 2 = x 1 = 2a 2a

x 1 = x 2 = −

b 2a

3.3.3 Voorbeelden Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

c) −6x 2 + 13x + 5 = 0

Controle:

b) 16x 2 − 24x + 9 = 0 a=

Controle:

jk ex

a) x 2 − 3x − 10 = 0

pl aa

Als je in de eerste formules voor het bepalen van de oplossingen, D door 0 vervangt, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat. Daarom spreek je van twee gelijke oplossingen als D = 0.

c= =

Controle:

d) −3x 2 + 5x − 8 = 0

c= =

a= D=

c= =

Controle:

De geschiedenis van het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen vind je op diddit. HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

Oefeningen REEKS A 8

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 − 8x + 16 = 0

pl aa

e) −x 2 + 9x − 22 = 0

f) x 2 + 9x + 14 = 0

jk ex

b) x 2 − 4x − 21 = 0

g) x 2 − 12x + 45 = 0

c) x 2 + x + 3 = 0

d) −x 2 − 2x + 35 = 0 1 2 3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

h) −x 2 − 7x + 8 = 0

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. e) 5x 2 − 6x + 2 = 0

b) −x 2 + 5x − 7 = 0

f) 8x 2 − 30x + 25 = 0

a) 9x 2 − 12x + 4 = 0

g) −3x 2 − 24x + 27 = 0

jk ex

c) 16x 2 + 72x + 81 = 0

pl aa

d) −3x 2 + 13x + 10 = 0

h) 11x 2 − 39x + 18 = 0

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. Benader de oplossingen voor x op 0,001 nauwkeurig. a) x 2 + x − 5 = 0

e) −5x 2 + 12x − 2 = 0

b) x 2 − 12x + 7 = 0

f) 196x 2 − 1 036x + 1 369 = 0

g) 78x 2 + 61x − 91 = 0

jk ex

c) 4x 2 + 17x − 9 = 0

pl aa

d) 3x 2 − 5x + 17 = 0

1 2 3 4 5 6 7

De oefeningen 11, 12 en 13 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

h) −39x 2 + 114x + 46 = 0

3.4

Vraagstukken

3.4.1 Voorbeeld 1

Het aantal tennispartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, waarbij elke speler tegen elke tegenstander speelt, is gelijk aan

n2 âˆ’ n . 2

pl aa

a) Leg uit hoe je aan de formule komt.

jk ex

b) Hoeveel partijen moeten er gespeeld worden in een competitie met 12 spelers?

c) Hoeveel spelers hebben aan een competitie meegedaan waarin 528 matchen gespeeld werden?

d) Is een competitie met 320 wedstrijden mogelijk? Verklaar je antwoord.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

3.4.2 Voorbeeld 2 x x 30 m

40 m

Een rechthoekig stuk grond is 30 m breed en 40 m lang. Een gedeelte ervan wordt opgeofferd om een pad te maken. Het pad moet de grond volledig omkaderen en moet overal even breed zijn. De oppervlakte van het gedeelte dat nog overblijft om te beplanten is de helft van de oorspronkelijke oppervlakte. Bereken de breedte van het pad.

Oplossing Stel: x is de breedte van het pad.

• Oorspronkelijke oppervlakte: • Opstellen van de vergelijking:

jk ex

• Uitwerking van de vergelijking:

• Vereenvoudigen van de vergelijking:

• De enige aanvaardbare oplossing is:

1 2

Controle

3 4 5 6 7 8

100

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

; breedte =

pl aa

lengte =

• De afmetingen van het te beplanten gedeelte zijn dan:

x1 = x2 =

Oefeningen REEKS A 14

Als een voorwerp vanaf een hoogte naar beneden gegooid wordt, 1 â´˘ g â´˘ t 2. 2 Hierbij is t de tijd, in s, en de g de valversnelling, gelijk aan 9,8 m/s 2. Na hoeveel tijd zal een voorwerp, dat van een hoogte van 200 m valt, de grond bereiken?

pl aa

dan wordt de afgelegde weg s, in m, gegeven door de formule s =

Controle:

De lengte van een rechthoekig stuk bouwgrond is 16 m langer dan de breedte. De oppervlakte is 897 m 2. Bereken de afmetingen van de bouwgrond.

jk ex

Controle:

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 2 523 m 2 groter. Bepaal de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

101

Het aantal diagonalen n van een veelhoek wordt bepaald door de formule n = Hierbij is k het aantal zijden van de veelhoek.

k 2 âˆ’ 3k . 2

a) Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek?

Van een rechthoekige weide is de omtrek 246 m. De oppervlakte is 3 440 m 2. Bereken de lengte en de breedte van de weide.

jk ex

Controle:

1 2 3 4 5 6 7

Controle:

102

pl aa

b) Een veelhoek heeft 54 diagonalen. Hoeveel zijden heeft deze veelhoek?

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

REEKS B 19

Bereken de omtrek, op 0,01 cm nauwkeurig, en de oppervlakte, op 0,000 1 cm 2 nauwkeurig, van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 6 cm korter is dan de andere en de schuine zijde 72 cm is.

Een stuk land bestaat uit 2 aaneengesloten vierkante stukken. De zijde van het kleinere vierkant is 3 m korter dan de helft van de zijde van het grotere vierkant. De totale oppervlakte is 2 088 m 2. Bereken de zijden van de vierkanten.

jk ex

Controle:

pl aa

Schets:

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

103

Een kader is 22 cm lang en 13 cm breed. Het zichtbare deel van de foto is 162 cm 2 groot. Bereken de breedte van de kaderrand.

pl aa

De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2␲ ⴢ r 2 + 2␲ ⴢ r ⴢ h. Hierbij is h de hoogte en r de straal van het grondvlak. Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de straal van het grondvlak als de hoogte 15 cm en de oppervlakte 986 cm 2 is.

jk ex

Controle:

2 3 4 5 6 7

Controle:

104

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

REEKS C Een sportvereniging bestelt een aantal ballen en betaalt hiervoor 1 330 euro. Bij aankomst blijken er 6 ballen meer te zijn dan ze besteld hebben. Daardoor is de prijs gedaald met 1,5 euro per stuk. Hoeveel ballen waren er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs per stuk?

In een fabriek moeten 2 100 balpennen in dozen worden ingepakt. Indien er in elke doos 10 balpennen meer zouden kunnen, zouden er 5 dozen minder nodig zijn. Bereken het aantal balpennen dat oorspronkelijk in 1 doos kan.

jk ex

Controle:

pl aa

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

105

Verdeel het lijnstuk [AB] in 2 deellijnstukken [AC] en [CB], zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk. A

C 1

pl aa

Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1.

jk ex

Controle:

1 2 3

Controle:

4 5 6 7

Een bijdrage over ‘de gulden snede’ vind je op diddit.

106

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen 3.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende KENNEN Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + b + c = 0, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0.

KUNNEN Een tweedegraadsvergelijking herkennen.

3.2 Oplossen van onvolledige tweedegraadsvergelijkingen KENNEN

pl aa

Een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 is onvolledig als b = 0 of c = 0 of b = c = 0. b = 0 en c ≠ 0 De vergelijking ax 2 + c = 0 los je op door deze te herleiden tot de vergelijking x 2 = − c . a Oplossingen: • als − c ⬎ 0: 2 tegengestelde oplossingen, namelijk − c en − −c, a a a c • als − ⬍ 0: geen reële oplossingen. a b ≠ 0 en c = 0 De vergelijking ax 2 + bx = 0 los je op door de gemeenschappelijke factor x voorop te zetten. Je verkrijgt dan de vergelijking x ⴢ (ax + b) = 0. Oplossingen: 2 oplossingen, 0 en − b . a b = 0 en c = 0

冑

jk ex

De vergelijking ax 2 = 0 heeft 2 gelijke oplossingen (1 oplossing), namelijk 0.

KUNNEN

Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen. Vraagstukken oplossen waarin onvolledige tweedegraadsvergelijkingen voorkomen.

3.3 Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen KENNEN

Om een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk:

Bereken de discriminant D = b 2 − 4ac. D⬎0

D=0

D⬍0

2 verschillende oplossingen

1 oplossing: (2 gelijke oplossingen)

geen reële oplossingen

x1 =

–b + 冪D en 2a

–b − 冪D x2 = 2a

x1 = x2 = − b 2a

KUNNEN De formules opstellen om een tweedegraadsvergelijking algemeen op te lossen. Een tweedegraadsvergelijking oplossen met de wortelformules.

3.4 Vraagstukken KUNNEN Vraagstukken oplossen waarin tweedegraadsvergelijkingen voorkomen.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

107

jk ex

pl aa

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8

108

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.1

Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

4.2

Functies met vergelijking y = a ⴢ (x – ␣) 2 + ␤ Functies met vergelijking

pl aa

y = ax 2 + bx + c

4.3

4.4 Verloop van tweedegraadsfuncties 4.5

Ongelijkheden oplossen met ICT

₁₁₂ ₁₃₉ ₁₄₈ ₁₅₉ ₁₆₆

jk ex

Studiewijzer

₁₁₀

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

109

4.1

Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

4.1.1 Doorsnede van een rivierbedding De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool. Peilingen stellen de wetenschappers in staat een model op te stellen voor de rivierbedding. Op die manier kun je schattingen doen over de breedte en de diepte van de rivier. Stel dat de diepte d, in m, van een rivier op x meter van de linkeroever, wordt gegeven door d(x) =

1 2 x − 2x. 8

pl aa

d(x)

Maak een grafische voorstelling van bovenstaande koppels en verbind ze met een vloeiende lijn.

y linkeroever –1

–1 –2 –3

x 11

jk ex

–4

–5 –6 –7 –8

–9

Je verkrijgt een deel van een kromme die je een parabool noemt.

1 2 x − 2x is de vergelijking van de parabool. 8

Hoe breed is de rivier? 1 2

Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Wat is die diepte?

3 4 5

Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever? De functie met voorschrift d(x) =

6 7 8

110

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1 2 x − 2x is een tweedegraadsfunctie of kwadratische functie. 8

4.1.2 Algemeen Definitie

Tweedegraadsfunctie Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f(x) = ax 2 + bx + c, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0. Voorbeelden Zet een vinkje bij de voorschriften/vergelijkingen die horen bij een tweedegraadsfunctie. y = 4x 2 − 3

y = −x 2 + x 3 − 4

f(x) = (6x − 3) ⴢ (2x − 1)

y = x ⴢ (x − 4) − x 2

❒

pl aa

4.1.3 Parabolen in het dagelijks leven

Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven.

Elke waterstraal volgt een parabolische baan.

jk ex

De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool. Dat is zo omdat evenwijdige elektromagnetische stralen in 1 punt weerkaatst worden.

De beroemde Spaanse architect Gaudi gebruikte paraboolvormige gewelven.

Paleis in Ctesiphon (Irak)

Wist je dat, om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, het toestel in een paraboolbaan vliegt?

Berliner bogen

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

111

4.2

Functies met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤

4.2.1 Grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 y

−3

−2

−1

−0,50

0,25

0,50

0,25

10 9 8 7

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

pl aa

1 x

• bereik f =

• domein f =

• Waarom is de grafiek symmetrisch ten opzichte van de y-as?

De grafiek is een parabool met

jk ex

Algemeen

• holle zijde naar boven (dalparabool) • symmetrieas: de y-as (x = 0)

• top: het punt (0, 0) (de top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas)

• gemeenschappelijk punt met de x-as: het punt (0, 0)

• gemeenschappelijk punt met de y-as: het punt (0, 0).

De rechtse grafiek hoort niet bij y = x 2. Wat is er verkeerd?

y 10 9 8

6 5

3 2

1 x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

7 8

112

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.2.2 Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ x 2 Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = 2 ⴢ x 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? x

−4

−3

−2

−1

2 ⴢ x2

y = 2 · x2

pl aa

(4,32)

28 24

y = x2

(4,16)

16 12

jk ex

–3

–2

x 1

–1

–4

Door te vermenigvuldigen met 2

rek je de grafiek met vergelijking y = x 2 verticaal uit met een factor 2. opening.

Hierdoor verkrijg je een grafiek met een De grafiek met vergelijking y = 2 ⴢ x 2 is een parabool met • holle zijde naar

(

• opening

die van y = x 2

parabool)

• symmetrieas: • top: • gemeenschappelijk punt met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

113

Voorbeeld 2 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y =

1 2 ⴢ x uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? 2

−4

−3

−2

−1

1 2 ⴢx 2

y = 1 · x2 2

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = x2

pl aa

(4,16)

–4

–5

–3

–2

–1

x 1

jk ex

–6

(4,8)

Door te vermenigvuldigen met

1 2

druk je de grafiek met vergelijking y = x 2 verticaal samen met een factor 2. opening.

Hierdoor verkrijg je een grafiek met een

De grafiek met vergelijking y =

1 2 ⴢ x is een parabool met 2

• holle zijde naar

(

• opening

die van y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk punt met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

5 6 7 8

114

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

parabool)

Voorbeeld 3 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = −

−

1 2 ⴢ x uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? 4

−4

−3

−2

−1

1 2 ⴢx 4

y 16

(4,16)

y = x2

pl aa

12 8

y = 1 · x2 4 (4,4)

–4

–3

–2

–1

–4

jk ex

(4,–4)

y = – 1 · x2 4

–8

Door te vermenigvuldigen met

1 4

druk je de grafiek met vergelijking y = x 2 samen met een factor 4. opening.

Hierdoor verkrijg je een grafiek met een

Door te vermenigvuldigen met −1

De grafiek met vergelijking y = −

1 2 ⴢ x is een parabool met 4

• holle zijde naar

(

• opening

die van y = x 2

parabool)

• symmetrieas: • top: • gemeenschappelijk punt met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

115

Besluit

Eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ x 2 • a ⬎ 0: dalparabool (holle zijde naar boven) a ⬍ 0: bergparabool (holle zijde naar beneden) • hoe groter 兩a兩, hoe smaller de opening • symmetrieas: x = 0 (y-as) • top: (0, 0) • gemeenschappelijk punt met de x-as: (0, 0) • gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, 0)

Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine

De invloed van a op de grafiek van y = a ⴢ x 2 angle

Hiervoor druk je

apps

pl aa

kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing. B

, selecteer je de Transfrm-toepassing

entry solve

enter

stat plot f1

Je drukt

en druk je

en vult naast Y 1 het functievoorschrift A ⴢ X in.

(Merk op dat het uitzicht van dit venster anders is dan voorheen: voor Y 1 staat een soort pijltje. In deze instelling is het ook niet

jk ex

mogelijk twee functies tegelijk te tekenen (Y 1 en Y 2 samen te selecteren)).

tbl set f2

Ook als je window drukt, heb je een aangepast display. tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt

Je drukt

en vult daar een startwaarde in voor A (bijvoorbeeld 1) en entry solve

een stapgrootte (bijvoorbeeld 0,5). Je bevestigt met

1 2

In een gepast grafisch venster kun je, door

en/of

te drukken, de waarde van A laten toenemen of afnemen.

3 4 5 6 7 8

116

enter

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.2.3 Grafiek van de functie met vergelijking y = (x − ␣) 2 Voorbeelden 2

Hoe ontstaan de grafieken met vergelijking y = (x − 2) en y = (x + 1) uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? x

−4

−3

−2

−1

(x − 2) (x + 1)

y = x2

pl aa

18 17 16 15 14 13 12

11 10 9 8 7

jk ex

y = (x + 1)2

–4

–3

–2

y = (x – 2)2

3 2 1

–1

x 1

–5

Door x te vervangen door x − 2 verschuif je de grafiek horizontaal over een afstand 2 naar rechts.

Door x te vervangen door x + 1 verschuif je de grafiek horizontaal over een afstand 1 naar links. De grafiek met vergelijking y = (x − 2) is een parabool met • holle zijde naar

(

De grafiek met vergelijking y = (x + 1) is een parabool met parabool)

• holle zijde naar

(

parabool)

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk punt met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

117

Besluit

Eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = (x − ␣) 2 • dalparabool met dezelfde opening als y = x 2 • symmetrieas: x = ␣ • top: (␣, 0) • gemeenschappelijk punt met de x-as: (␣, 0) • gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, ␣ 2)

Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine De invloed van ␣ op de grafiek van y = (x − ␣)

kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing. apps

, selecteer je de Transfrm-toepassing

angle

Hiervoor druk je entry solve

enter

pl aa

en druk je

stat plot f1

en vult naast Y 1 het functievoorschrift (X − A) in.

jk ex

Je drukt

tbl set f2

Ook als je window drukt, heb je een aangepast display. Je drukt

tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt

en vult daar een startwaarde in voor A (bijvoorbeeld 0) en entry solve

enter

een stapgrootte (bijvoorbeeld 1). Je bevestigt met

In een gepast grafisch venster kun je, door

en/of

te drukken, de waarde van A laten toenemen of afnemen. 1 2 3 4 5 6 7 8

118

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.2.4 Grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 + ␤ Voorbeelden Hoe ontstaan de grafieken met vergelijking y = x 2 + 1 en y = x 2 − 4 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? x

−4

−3

−2

−1

x2 + 1

x2 − 4

pl aa

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–4

y = x2 – 4

–5

–3

–2

–1

jk ex

–6

y = x2 + 1

–1 –2 –3 –4

y = x2 x 1

Door x 2 te vervangen door x 2 + 1 verschuif je de grafiek verticaal over een afstand 1 naar boven.

Door x 2 te vervangen door x 2 − 4 verschuif je de grafiek verticaal over een afstand 4 naar beneden. De grafiek met vergelijking y = x 2 + 1 is een parabool met • holle zijde naar

(

De grafiek met vergelijking y = x 2 − 4 is een parabool met parabool)

• holle zijde naar

(

parabool)

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

119

Besluit

Eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 + ␤ • dalparabool met dezelfde opening als y = x 2 • symmetrieas: x = 0 (y-as) • top: (0, ␤)

再

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• als ␤ ⬎ 0: geen • als ␤ ⬍ 0: (冪− ␤, 0) en (– 冪− ␤, 0)

• gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, ␤)

Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine

De invloed van ␤ op de grafiek van y = x 2 + ␤ kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing. apps

pl aa

angle

Hiervoor druk je

, selecteer je de Transfrm-toepassing

entry solve

en druk je

enter

stat plot f1

en vult naast Y 1 het functievoorschrift X + B in.

jk ex

Je drukt

tbl set f2

Ook als je window drukt, heb je een aangepast display. Je drukt

tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt

en vult daar een startwaarde in voor B (bijvoorbeeld 0) en entry solve

enter

een stapgrootte (bijvoorbeeld 1). Je bevestigt met

In een gepast grafisch venster kun je, door 1

te drukken, de waarde van B laten toenemen of afnemen.

2 3 4 5 6 7 8

120

en/of

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.2.5 Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ 共x − ␣兲 2 + ␤ Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y =

1 2 ⴢ (x + 2) − 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? 2

y = x2 ↓ y = (x + 2)

↓

1 2 ⴢ (x + 2) 2

pl aa

↓ y=

1 2 ⴢ (x + 2) − 2 2

y = (x + 2)2

jk ex

y = 1 · (x + 2)2 2

–6

–7

De grafiek met vergelijking y =

–5

–4

–3

–2

y = 1 · (x + 2)2 – 2 2

–1

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = x2 x 1

–1 –2 –3 –4

1 2 ⴢ (x + 2) − 2 is een parabool met 2

• holle zijde naar

(

• opening

die van y = x 2

parabool)

• symmetrieas: • top: • gemeenschappelijke punten met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

121

Voorbeeld 2 2

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = −(x − 2) − 3 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? y = x2 ↓ y = (x − 2)

↓ y = −(x − 2)

y = −(x − 2) − 3

y 9

y = (x – 2)2

y = x2

pl aa

↓

7 6 5 4 3

jk ex

2 1

–4

–3

–2

–1

x 1

–2 –3 –4

–5 –6

y = – (x – 2)2 – 3

–7 –8

y = – (x – 2)2

–9

De grafiek met vergelijking y = −(x − 2) − 3 is een parabool met 1 2 3 4

• holle zijde naar

(

• opening

die van y = x 2

• symmetrieas: • top:

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

7 8

122

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

parabool)

Algemeen

y = x 2 • 兩 a 兩 is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte. • a ⬎ 0: dalparabool (holle zijde naar boven); • a ⬍ 0: bergparabool (holle zijde naar beneden).

• verticale uitrekking (兩 a 兩 ⬎ 1) of samendrukking (兩 a 兩 ⬍ 1). • spiegeling om de x-as als a ⬍ 0.

y = a ⴢ x 2 • symmetrieas: de rechte met vergelijking x = ␣. • co(top) = (␣, 0)

pl aa

horizontale verschuiving over 兩 ␣ 兩 • naar rechts als ␣ ⬎ 0 • naar links als ␣ ⬍ 0.

y = a ⴢ (x − ␣) verticale verschuiving over 兩 ␤ 兩 • naar boven als ␤ ⬎ 0 • naar beneden als ␤ ⬍ 0.

• co(top) = (␣, ␤)

y = a ⴢ (x − ␣) + ␤

Besluit

jk ex

Kenmerken van de grafiek van de functie f(x) = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤ De grafiek van de functie f(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤ met a ≠ 0 is een parabool met de volgende kenmerken:

• a ⬎ 0: dalparabool (de holle zijde ligt naar boven); a ⬍ 0: bergparabool (de holle zijde ligt naar beneden).

• Hoe groter 兩 a 兩, hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩 a 兩, hoe breder de parabool. • De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = ␣.

• De top heeft als coördinaat (␣, ␤). • De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald door 2 het oplossen van de vergelijking a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0. Deze vergelijking kan zonder discriminant worden opgelost. De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie. • Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

123

Oefeningen REEKS A 1

Waarom stellen de grafieken geen tweedegraadsfunctie voor? a)

c) y

y 6

5 4 4 3

3 2

1 X

–1

–2

–1

pl aa

–2

–3

–1

jk ex

–2

y 6

–3

–2

1 –1

x –3

–2

–1 –1

–2

2 3 4 5

7 8

124

–1

1 x

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere/bredere/zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. 2

a) y = 7 ⴢ x 2

e) y = (x + 3) + 8 vorm:

opening:

symmetrie-as:

co (top) =

f) y = 4 ⴢ (x + 1) − 9

pl aa

b) y = (x − 3)

vorm:

opening:

symmetrie-as:

symmetrie-as: co (top) =

co (top) =

1 2 ⴢx +6 3

jk ex

c) y = −

g) y =

3 7 2 ⴢ (x − 5) + 2 2

vorm:

opening:

vorm:

symmetrie-as: co (top) =

冉 95冊

d) y = −4 ⴢ x +

symmetrie-as: co (top) =

冉 52冊 − 10 2

h) y = − x −

vorm:

opening:

symmetrie-as:

co (top) =

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

125

Hieronder vind je zes parabolen en zes vergelijkingen. Plaats de juiste parabool bij elke vergelijking. y 7 6 5 4 VI

III

2 1

–3

–2

–1

pl aa

–4

x –5

–1 –2 –3

–4

–5

–6

jk ex

a) y = (x + 1) − 4

1 2 d) y = − ⴢ (x + 1) + 1 2

b) y = x 2 − 4

1 2 e) y = − ⴢ (x + 1) 2

c) y = (x + 1) + 1

2 3 4 5 6 7 8

126

–7

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

f) y = 2 ⴢ (x + 1) − 4 2

4.2.6 Nulwaarden van de functie y = a ⴢ 共x − ␣兲 2 + ␤ De nulwaarden van de functie y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ vind je door de vergelijking a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0 op te lossen. 2

Voorbeeld 1 2

Bepaal de nulwaarden van de functie y = −2 ⴢ (x + 4) . 2

−2 ⴢ (x + 4) = 0

↓

deel beide leden door −2

↓

de vierkantswortel van 0 is gelijk aan 0

↓

tel bij beide leden −4 op

(x + 4) = 0 x+4=0

x = −4 2

pl aa

De functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x + 4) heeft één nulwaarde: −4. Dit houdt in dat de grafiek van de functie 2 y = −2 ⴢ (x + 4) één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–4, 0). De parabool raakt de x-as in (–4, 0).

–6

jk ex

–7

–5

–4

–3

y x

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

y = – 2 · ( x + 4)2

Voorbeeld 2

Bepaal de nulwaarden van de functie y = 3 ⴢ (x + 5) + 12. 2

3 ⴢ (x + 5) + 12 = 0

↓

tel bij beide leden −12 op

↓

deel beide leden door 3

↓

de vierkantswortel van −4 is geen reëel getal

3 ⴢ (x + 5) = −12 2

(x + 5) = −4

De vergelijking heeft geen oplossingen. 2 De functie met vergelijking y = 3 ⴢ (x + 5) + 12 heeft geen nulwaarden. Dit houdt in dat de grafiek van de functie 2 y = 3 ⴢ (x + 3) + 12 geen punten gemeenschappelijk heeft met de x-as.

y 25 20 15 10

y = 3 · ( x + 5)2 + 12

x –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

127

Voorbeeld 3 2

Bepaal de nulwaarden van de functie y = −2 ⴢ (x − 1) + 8. 2

−2 ⴢ (x − 1) + 8 = 0

↓

tel bij beide leden −8 op

↓

deel beide leden door −2

↓

4 heeft twee vierkantswortels, nl. −2 en 2

↓

tel bij beide leden 1 op

−2 ⴢ (x − 1) = −8 2

(x − 1) = 4 x − 1 = −2 of x − 1 = 2 x = −1

of x = 3 y

y = –2 · ( x – 1)2 + 8 2

pl aa

De functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x − 1) + 8 heeft twee nulwaarden: −1 en 3. Dit houdt in dat de grafiek van de functie y = −2 ⴢ (x − 1) 2 + 8 twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (−1, 0) en (3, 0). De parabool snijdt de x-as in (−1, 0) en (3, 0).

–1

Algemeen

x 2

Bepalen van de nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤

jk ex

a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0 2

a ⴢ (x − ␣) = − ␤

↓

tel bij beide leden −␤ op

↓

deel beide leden door a

(x − ␣) = −

␤ a

−

␤ heeft geen, één of twee vierkantswortels naargelang het teken a

␤ <0 a

−

␤ =0 a

geen oplossingen

1 oplossing (2 gelijke oplossingen) x=␣

5 6 7 8

128

␤ ⬎0 a

2 verschillende oplossingen

2 3

−

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

x1 = ␣ − x2 = ␣ +

冑冑

−

␤ a

−

␤ a

4.2.7 Voorbeelden 1 2 • Vul de kenmerken van de parabool met vergelijking y = ⴢ (x − 4) aan. 3 Á dalparabool/bergparabool Á bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2 Á symmetrieas: Á co(top) = Á gemeenschappelijke punten met de x-as:

pl aa

Á snijpunt y-as:

1 9 2 • Teken de grafiek van de functie f(x) = − ⴢ (x + 3) + 2 2 Á vorm van de parabool:

Á co(top) =

jk ex

Á gemeenschappelijke punten met de x-as:

Á symmetrieas:

Á snijpunt y-as:

Á grafiek:

f(x)

6 5 4 3

top

2 1

x –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

129

Oefeningen REEKS A 4

Bereken de nulwaarden. 2

e) f(x) = 4 ⴢ (x + 3) + 7

f) f(x) = −5 ⴢ (x + 2) + 20

jk ex

b) f(x) = (x − 4)

pl aa

a) f(x) = −3 ⴢ x 2

1 2 ⴢx +6 6

g) f(x) =

4 2 ⴢ (x − 7) + 2 3

c) f(x) = −

d) f(x) = −(x + 8) + 1 2 3 4 5 6 7 8

130

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1 9

h) f(x) = −

冉冊 +9

1 3 ⴢ x− 4 2

Teken de grafiek van de functie met vergelijking y = (x – 1) – 9. a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top):

pl aa

d) gemeenschappelijke punten met de x-as:

e) snijpunt met de y-as:

f) bijkomende punten:

top

x y

jk ex

g) grafiek:

–3

–2

–1

–4

x 2

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

131

Teken de grafiek van de tweedegraadsfuncties. 2

a) y = −(x + 4) − 3

b) y = −

1 2 9 ⴢx + 2 2

d) y =

1 2 ⴢ (x − 1) − 4 4

e) y =

1 2 ⴢ x+ 3 3

冉冊

冉 23冊

c) y = −3 ⴢ (x + 5) + 12

f) y = −2 ⴢ x +

+ 2

4 3 +

3 2

De invulpagina’s van deze oefeningen vind je op diddit.

Eén van de hoogste gebouwen ter wereld is de Burj Dubai. Voor filmopnames wordt een pop van op de top naar beneden gegooid. De hoogte h, in m, van de pop wordt gegeven door de functie h(t) = 818 – 5t 2. Hierbij is t de tijd in seconden.

pl aa

a) Hoe hoog is het gebouw?

jk ex

b) Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 s?

c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond?

d) Welke afstand heeft de pop afgelegd in de laatste 5 seconden? 1 2 3 4 5 6 7 8

132

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

De remweg van een voertuig is de afstand die het bewegende voertuig nodig heeft om tot stilstand te komen. De remweg is afhankelijk van de snelheid en de remvertraging. v2 Proefondervindelijk heeft men de volgende formule opgesteld: r = . a Hierbij is r de remweg, in m, v de snelheid, in m/s, en a de remvertraging, in m/s 2. Met de reactietijd is in deze formule geen rekening gehouden. Een goed onderhouden auto heeft op een droog wegdek een remvertraging van 10 m/s 2. Stel dat de remvertraging op een nat wegdek 8 m/s 2 bedraagt. Bereken hoeveel langer de remweg is op een nat wegdek dan op een droog wegdek, voor een auto die aan 90 km/h rijdt.

pl aa

• Omzetting snelheid naar m/s: • Remweg op een droog wegdek: • Remweg op een nat wegdek:

De Golden Gate bridge is een hangbrug die San Francisco met het Noorden verbindt. De kabels die tussen 2 van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen met vergelijking 2 y = 0,000 39 ⴢ (x – 640) + 2. Hierbij is x de afstand tot de linkerpijler en y de hoogte boven het wegdek, beide in meter.

jk ex

•

a) Op welke hoogte zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?

b) Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?

c) Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek? Hoe hoog hangen ze op dat punt?

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

133

4.2.8 Parabool waarvan de top en een punt gegeven zijn Voorbeeld 1 Van een parabool p zijn de top T(−2, 3) en een punt A(4, 21) gekend. Bepaal de vergelijking van de parabool. Oplossing: • p heeft als vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤. 2

• co (T ) = (␣, ␤) = (−2, 3) dus ␣ = −2, ␤ = 3. 2

De vergelijking is: y = a ⴢ (x + 2) + 3. 2

21 = a ⴢ (4 + 2) + 3 21 = 36a + 3

36a = 18

1 2 ⴢ (x + 2) + 3 2

⇔

1 a= . 2

pl aa

• De vergelijking van p is: y =

⇔

• A(4, 21) behoort tot p, dus:

Voorbeeld 2

jk ex

In 1963 startte in St-Louis (USA), onder leiding van de architect Eero Saarinen, de bouw van de Gateway Arch, een paraboolvormige boog over de Mississippi. Deze boog verbindt de staten Missouri en Illinois met elkaar. De boog was klaar in 1965. De afstand tussen de voetpunten van de boog, is 192 m (gerekend aan de buitenkant). De hoogte is eveneens 192 m.

• Bepaal de vergelijking van de paraboolvormige boog.

Oplossing:

Je kiest de oorsprong van het assenstelsel in de linkervoet van de boog. Á co(top) = Á het punt A(

) behoort eveneens tot de parabool.

1 2 3 4 5

De vergelijking van de parabool is dus: 6 7

• Hoe hoog is de boog op 50 m afstand van de linkervoet?

134

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Bepaal de vergelijking van de parabolen met top T, die het punt A bevatten. a) co (T ) = (0, 0)

co (A) = (1, 2)

b) co (T) = (0, 3)

co (A) = (1, 2)

e) co (T ) = (–3, –8)

co (A) = (3, 10)

pl aa

co (A) = (0, 7)

jk ex

f) co (T ) = (2, –5)

co (A) = (–1, 9)

g) co (T) = (–3, 3)

co (A) = (–6, 0)

h) co (T ) = (5, 18)

co (A) = (7, 34)

c) co (T ) = (–4, 0)

d) co (T) = (2, 5)

co (A) = (4, 1)

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

135

Bepaal de vergelijking van de parabolen. a)

c) y

y 3 2 1

4 3 2

–5 –4 –3 –2 –1

1 –2

–1

–2

x –3

x 1

–3

–4

–1

–5

–2

–6

–3

–7 –8

–4

pl aa

–9

jk ex

y 6

–5

–4

–3

–2

–6

1 2 3 4 5 6 7 8

136

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

–1

–2

2 1 x

–3 –4 –5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

–6

–4

REEKS B 12

De dwarse doorsnede van een rivierbedding heeft de vorm van een parabool. De rivier is 16 m breed en heeft een maximale diepte van 10 m. a) Bepaal de vergelijking van de parabool, waarbij x de afstand is tot de linkeroever en y de diepte, beide in meter.

pl aa

Schets:

jk ex

b) Hoe diep is de rivier op 2 m van de linkeroever?

Pieter trapt een bal van op de grond. De bal valt na 22 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 3 m. a) Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Pieter en y de hoogte, beide in meter.

Schets:

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich op een afstand van 9 m van Pieter?

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

137

In Ctesiphon, 30 km ten zuiden van Bagdad, vind je een site uit de derde eeuw na Christus. Bij het enige gebouw dat nog gedeeltelijk overeind staat, springt een ‘parabolisch gevormd’ tongewelf in het oog. De binnenafstand tussen beide muren bedraagt ongeveer 26 m. De totale hoogte aan de binnenkant van het gebouw is 30 m, waarvan 19 m bestaat uit verticale muren. y

pl aa

a) Bepaal de vergelijking van de dwarse doorsnede van het parabolisch deel.

jk ex

b) Teken, met ICT, de rechten met vergelijking x = 0 en x = 26 (voor y in [−19, 0]). Teken in hetzelfde assenstelsel de parabool met de gevonden vergelijking (voor x in [0, 26]). Op die manier verkrijg je een wiskundige benadering voor de dwarse doorsnede van het gebouw!

Als je een ketting aan 2 punten ophangt, dan gaat de ketting, onder invloed van zijn eigen gewicht, in een natuurlijke vorm hangen die je een kettinglijn noemt. Als je deze vorm ondersteboven draait, krijg je een boog die zeer stabiel is.

parabool

2 3 4 5 6

kettinglijn

7 8

138

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

De paraboolvorm van de kabels van een hangbrug is dus eigenlijk een kettinglijn, net zoals de paraboolgewelven ook omgekeerde kettinglijnen zijn. Vermits een kettinglijn veel moeilijker wiskundig te beschrijven is dan een parabool, wordt de parabool meestal als model gebruikt.

4.3

Functies met vergelijking y = ax 2 + bx + c

4.3.1 Grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c Je zet het functievoorschrift f (x) = ax 2 + bx + c in de vorm f(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤. 2

f (x) = ax 2 + bx + c c b x+ a a

冉冊冉冊册冋冋冉冊冉冊册冋冉冊册

f (x) = a ⴢ f (x) = a ⴢ

b 2a

b x+ 2a

b2 c − 2+ a 4a

b x+ 2a

b 2 − 4ac − 4a 2

b 2a

−

冋冉冊冋冉冊冉冊冉冊

−

D 4a 2

−

b 2a

c a

k 2 + 2kl + l 2 = (k + l) 2

c a

kwadraat van een quotiënt

册

breuken gelijknamig maken

册

b 2 − 4ac = D

f (x) = a ⴢ

b b ⴢx+ 2a 2a

pl aa

f (x) = a ⴢ x 2 + 2 ⴢ f (x) = a ⴢ

冊

factor a afzonderen

冉

f (x) = a ⴢ x 2 +

D −aⴢ 2 4a

b f (x) = a ⴢ x + 2a

D − 4a

distributiviteit

vereenvoudigen

jk ex

b f (x) = a ⴢ x + 2a

Deze vergelijking is van de vorm f(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤ met ␣ = Besluit

Kenmerken van de grafiek van de functie f(x) = ax 2 + bx + c • a ⬎ 0: dalparabool

en ␤ =

(a ≠ 0)

a ⬍ 0: bergparabool

• Hoe groter 兩a 兩 , hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩a 兩 , hoe breder de parabool. • De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = −

冉

• De top heeft als coördinaat −

冊

b . 2a

D b ,− . 2a 4a

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie. • Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c). Opmerkingen

冉 2ab 冊 te berekenen.

• De y-coördinaat van de top kun je ook bepalen door f −

• Als er twee nulwaarden zijn, dan is de x-coördinaat van de top het gemiddelde van deze nulwaarden. Dit betekent ook dat de top samenvalt met het raakpunt met de x-as als D = 0. HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

139

4.3.2 Overzicht van de verschillende gevallen −b − 冪D

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x 1 =

−b + 冪D

en x 2 =

a>0

. Stel: x 1 ⬍ x 2.

a<0 y

A x1 A

B x2

pl aa

B x2

De grafiek snijdt de x-as in de punten A(x 1, 0) en B(x 2, 0). b • D = 0: f heeft twee gelijke nulwaarden: x 1 = x 2 = − . 2a

a<0

a>0

jk ex

A x1

y x

A x1

De grafiek raakt de x-as in het punt A(x 1 , 0).

• D < 0: f heeft geen reële nulwaarden. a>0

a<0 y

1 2 3 4 x

5 6 7

De grafiek heeft geen gemeenschappelijke punten met de x-as.

140

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.3.3 Voorbeelden Voorbeeld 1 Vul de kenmerken van de 4 parabolen aan. a) y = x 2 − 2x − 8

c) y = 2x 2 + x − 1 • dalparabool / bergparabool

• opening t.o.v. y = x 2 :

• symmetrieas:

• co (top) =

pl aa

• dalparabool / bergparabool

jk ex

• snijpunt met de y-as:

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

b) y = −x 2 + 4x − 4

• snijpunt met de y-as:

d) y = −

1 2 x + 3x − 5 2

• dalparabool / bergparabool

• opening t.o.v. y = x 2 :

• dalparabool / bergparabool

• symmetrieas:

• co (top) =

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• snijpunt met de y-as:

• symmetrieas:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

141

Voorbeeld 2 Teken de grafiek van de functie met vergelijking y = −x 2 + 2x + 3. • vorm van de parabool: • symmetrieas: • co (top):

eerste manier: D = D = − 4a co (top) = tweede manier: f(

co (top) =

pl aa

• gemeenschappelijke punten met x-as:

• bijkomende punten:

top

• snijpunt y-as:

jk ex

–4

y 4

1 x –3

–2

–1

1 –1

–2 2

–3

3 4

–4

–5

6 7 8

142

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere/bredere/zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. a) y = −x 2 + 6x − 3

e) y = x 2 − x + 3

vorm:

opening:

symmetrieas:

co (top) =

pl aa

b) y = x 2 − 2x + 5

f) y = x 2 − 7x − 6 vorm:

symmetrieas:

jk ex

co (top) =

c) y = −2x 2 + 8x − 7

opening:

vorm: opening:

symmetrieas: co (top) =

g) y = −

2 2 x + 5x 3

vorm:

opening:

symmetrieas:

co (top) =

vorm:

d) y =

1 2 x − 3x 2

h) y =

7 2 1 x − x+3 4 2

vorm:

opening:

symmetrieas:

co (top) =

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

143

Bereken de nulwaarden. a) f(x) = −x 2 + 5x

e) f(x) = 12x 2 + 20x − 25

b) f(x) = x 2 − 5x + 10

f) f(x) = −3x 2 − 6x − 2

h) f(x) = −

1 2 6 x + x−9 25 5

d) f(x) = −3x 2 − x + 4

g) f(x) = 20x 2 + 27x − 14

1 2 x − 2x 3

jk ex

c) f(x) =

pl aa

1 2 3 4 5 6

• Het getal nul is nog maar 1 300 jaar oud. Het waren Indische wiskundigen die voor het eerst 0 gebruikten en daarvoor een symbool bedachten. Dankzij het gebruik van 0 is ons decimaal talstelsel kunnen ontstaan. • In België is 0 een getal dat zowel positief als negatief is. In Nederland is 0 positief noch negatief, zodat 0 daar niet als een natuurlijk getal wordt beschouwd.

7 8

144

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Plaats de juiste parabool bij elke vergelijking. y

III 4

IV –6

–5

–4

V –3

–2

II 1

–1

pl aa

–1

–2

–3

–4

jk ex

a) y = −x 2 − 3x − 4

b) y = −x 2 − 3x − 2

1 2 x − 3x − 4 2

d) y = −

1 2 x − 3x 2

e) y = x 2 − 4x

f) y = x 2 − 4x + 4

c) y = −

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

145

Teken de grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 − 6x − 7. a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top): d) gemeenschappelijke punten met x-as:

e) snijpunt y-as: top

pl aa

f) bijkomende punten: x y

g) grafiek:

jk ex

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–2

–4

–6

–8

–10 1

–12

2 3

–14 4

–16

5 6 7 8

146

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

x 1

Teken de grafiek van de tweedegraadsfuncties. 9 2 x − 6x + 4 4

y = −x 2 − 2x − 1

y = x2 − x − 2

y = −2x 2 + 5x − 4

y=−

1 2 x − 4x + 1 2

1 2 5 x −x− 3 6

jk ex

pl aa

De invulpagina’s van deze oefeningen vind je op diddit.

Als een vlak een (dubbele) kegel snijdt, dan zijn er 3 mogelijkheden voor de doorsnede:

• een parabool, • een ellips, met als bijzonder geval een cirkel, • een hyperbool. De figuren noem je daarom kegelsneden. Een kegel ontstaat door een rechte a te wentelen om een andere rechte b.

De ligging van het snijvlak ten opzichte van de kegel bepaalt het soort kegelsnede. • Een parabool is de snijlijn met een vlak dat evenwijdig is met de rechte a. • Een hyperbool is de snijlijn met een vlak dat evenwijdig is met de rechte b. • Een ellips is de snijlijn met een vlak dat de rechten a en b snijdt.

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

147

4.4

Verloop van tweedegraadsfuncties

4.4.1 Inleiding a>0

a<0

f (x) = x 2 − 2

1 g(x) = − ⴢ (x + 1) 2 + 3 2 y

y 5

1 x

–5

–4

–3

–2

x –2

–1

–2

–3

pl aa

–1

–4

–2

–5

–3

De top heeft als coördinaat (

De top heeft als coördinaat (0, −2).

daalt als x ⬍ 0 en stijgt als x ⬎ 0.

als x ⬍

als x ⬎

De functie g bereikt een

als x = 0. Deze minimale waarde is −2.

als x =

Schematisch kun je dit verloop als volgt weergeven:

jk ex

De functie f bereikt een minimale waarde

−2 MIN

waarde

. Deze

waarde is

De grafiek van g

De grafiek van f

–3

–1

1 –4

–1

Een rechte stijgt of daalt altijd gelijkmatig. De richtingscoëfficiënt is een maat voor de helling. Bij een parabool is de graad van stijgen of dalen in elk punt anders. Je bekijkt de volgende tabellen:

−3

−2

−1

f(x)

−1

−2

−1

g(x)

䉭 f (x)

−5

−3

−1

−4

−3

−2

−1

䉭g(x)

2 3 4 5

Hoe verder je van de top verwijderd bent,

hoe groter de helling van de grafiek.

Het verschil in de waarden van 䉭 f(x),

Het verschil in de waarden van 䉭g(x),

is wel constant; dit verschil is 2 = 2 ⴢ 1 = 2 ⴢ a.

is wel constant; dit verschil is

6 7

De coëfficiënt a van x 2 bepaalt de mate van kromming van de parabool y = ax 2 + bx + c.

148

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.4.2 Stijgen, dalen en extrema Je beschouwt de functie f met vergelijking y = ax 2 + bx + c. a>0

a<0

De grafiek is een dalparabool.

De grafiek is een bergparabool. y

( 2a)

b f – ––

x b – ––

b – –– 2a

( 2a)

b f – ––

b • Als x ⬍ − , stijgt de functie. 2a

jk ex

b • Als x ⬍ − , daalt de functie 2a (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).

pl aa

b • Als x ⬎ − , daalt de functie. 2a

• De functie f bereikt een minimale waarde

• De functie f bereikt een maximale waarde

b • Als x ⬎ − , stijgt de functie 2a (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).

b als x = − 2a

b als x = − . 2a

冉冊

Schematisch:

冉冊

b Deze waarde is f − . 2a

b − 2a

冉冊

b f − 2a MIN

b − 2a

冉冊

b f − 2a MAX

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

149

4.4.3 Voorbeelden Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. 1 c) f(x) = x 2 − 4x + 2 2

a) f (x) = −x 2 + 2

2 MAX

−6 MIN

5 2 d) f(x) = (x + 3) + 5 4

pl aa

1 6

b) f (x) = −3x 2 + x

1 12 MAX

−3

5 MIN

jk ex

4.4.4 Toepassing: extremumvraagstukken Modeloefening 1

Een firma vervaardigt machinaal schalen waarvan de dwarse doorsnede een parabool is.

2 4 Hiervoor gebruikt de firma de formule y = x 2 − x , 45 3 waarbij x de afstand, in cm, is tot de linkerboord en y de diepte, in cm, op x cm van de linkerboord. Je verwaarloost de dikte van de schaal.

a) Bepaal de maximale diepte van de schaal.

b) Hoe breed is de schaal?

1 2 3 4

−10 MIN

5 6 7 8

150

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Modeloefening 2 Pieter en zijn buurjongen Michael gooien beiden een bal vanuit het raam van hun slaapkamer. De bal van Pieter volgt een parabolische baan met voorschrift h(t) = âˆ’5t 2 + 9t + 5. Het voorschrift van de baan van de bal van Michael is h(t) = âˆ’5t 2 + 7t + 6. Hierbij is h de hoogte, in m, en t de tijd, in s, vanaf het moment dat de bal wordt losgelaten.

pl aa

jk ex

b) Welke bal blijft het langst in de lucht?

a) Van op welke hoogte worden beide ballen gegooid?

c) Welke bal bereikt de grootste hoogte? Na hoeveel seconden is dat?

0,90

0,70

9,05 MAX

8,45 MAX

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

151

Modeloefening 3 x cm

In een vierkant met zijde 10 cm wordt op iedere zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.

10 cm

Stelling van Pythagoras:

Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is. Bepaal deze oppervlakte.

z2 =

Uitwerking van het rechterlid: z 2 =

pl aa

Het verloop van f :

De top van de grafiek van f :

jk ex

1 2 3 4 5 6 7 8

152

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

5 50 MIN

= f(x)

Oefeningen REEKS A Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. a) f(x) = 2x 2 − 6

e) f(x) = −

冉冊

3 2 ⴢ x− 4 5

2 5

−6 MIN

0 MAX

pl aa f) f(x) = 4x 2 + 8x + 6

b) f(x) = − x 2 − 6x

−3

−1

9 MAX

2 MIN

jk ex

1 2 x +x−3 2

c) f(x) = −

1 5 2 MAX

−

d) f(x) = −3 ⴢ (x + 5) + 13

g) f(x) = x 2 − 7x + 2

7 2

41 4 MIN

h) f(x) =

−5

13 MAX

−

3 4 2 1 x + x+ 5 5 10

−

1 8

23 80 MIN

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

153

REEKS B 21

De dwarse doorsnede van een rivierbedding is paraboolvormig. De diepte d, in m, van de rivier kan worden benaderd door d(x) = x 2 − 8x. Hierbij is x de afstand tot de linkeroever, in m. Schets:

a) Hoe breed is de rivier?

pl aa

b) Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Hoe diep is dat?

−16 MIN

jk ex

De dwarse doorsnede van een heuvel kan benaderd worden door de parabool met voorschrift 1 2 1 h(x) = − x + x. 32 2 Hierbij is x de horizontale afstand, in hm, en h de hoogte, in hm.

a) Hoe hoog is de heuvel?

2 MAX

2 3 4

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage van de voet tot de top.

5 6 7 8

154

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Een bedrijf produceert computerspelletjes. De maandelijkse winst w, in euro, die het bedrijf maakt als het x spelletjes verkoopt, wordt gegeven door de functie w(x) = −0,15x 2 + 111x − 2 700. a) Wat is de betekenis van w(0)?

b) Wat is het praktisch domein van deze functie?

pl aa

c) Hoeveel computerspelletjes moet het bedrijf verkopen om een maximale winst te verkrijgen? Hoeveel bedraagt die winst dan?

370

17 835 MAX

Het aantal verkeersongevallen in België in een periode van 5 jaar wordt benaderd door de functie n(x) = 1,7x 2 − 175x + 5 535. Hierbij is n het aantal ongevallen in die periode en x is de leeftijd van de betrokkene (x > 18).

jk ex

d) Hoe komt het dat de winst begint te dalen vanaf een bepaalde productie?

Op welke leeftijd was het aantal ongevallen het laagst? Hoeveel ongevallen waren er met mensen van die leeftijd?

1 032 MIN

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

155

Bij een hangbrug staat er aan weerszijden van de brug een hoge stalen paal waartussen kabels hangen. Aan die kabels is de brug opgehangen. De kabels hangen in een vorm die benaderd wordt 1 2 7 door de parabool met voorschrift h(x) = x âˆ’ x + 72. 40 4 Hierbij is h de hoogte, in m, boven het wegdek en x de afstand, in m, tot de linkerpaal. a) Bereken op welke hoogte de kabels aan de palen vastgemaakt zijn.

pl aa

b) Bereken op hoeveel meter van de palen de kabels het laagst hangen.

c) Bereken de afstand tussen de beide palen.

Een rechthoek heeft een omtrek van 80 m. Bepaal de lengte en de breedte zo dat de oppervlakte maximaal is. Bereken deze oppervlakte.

jk ex

d) Bereken de kleinste afstand tussen het wegdek en de kabels.

1 2 3 4 5 6 7 8

156

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

400 MAX

Het aantal T-shirts q, van een bepaald merk, dat een kledingzaak per week verkoopt, wordt gegeven door de formule q = 100 − 2p. Hierbij is p de prijs per stuk in euro. a) Vanaf welke prijs verkopen ze geen T-shirts meer?

b) Stel de functie op die de wekelijkse opbrengst van de T-shirts geeft in functie van de prijs. O(p) = p ⴢ q =

pl aa

c) Welke prijs moeten ze vragen om een maximale opbrengst te verkrijgen? Hoeveel T-shirts verkopen ze dan per week?

1 250 MAX

Een projectiel wordt van op de grond, onder een hoek van 45º, afgevuurd met een beginsnelheid v O van 100 m/s. 1 De hoogte h, in m, die het projectiel bereikt, bereken je met h(t) = h 0 + v 0 ⴢ sin ␣ ⴢ t − ⴢ g ⴢ t 2. 2 Hierbij is t de tijd, in s, en g = 9,8 m/s 2.

jk ex

a) Na hoeveel seconden bereikt het projectiel zijn hoogste punt? Hoe hoog is dat?

h(t) =

7,22

255,097 MAX

b) Hoelang duurt het voor het projectiel de grond bereikt?

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

157

Een voetbalspeler staat op 10 m van het doel en wordt aangespeeld. Hij neemt de bal ‘in de vlucht’ (dit wil zeggen dat de bal de grond niet raakt) en schiet op doel. 1 De bal volgt een parabolische baan met voorschrift h(x) = − x 2 + x + 1. 12 Hierbij is h de hoogte, in m, van de bal op x meter van het vertrekpunt. a) Op welke hoogte neemt de speler de bal aan?

4 MAX

Julien heeft nog 60 m gaas liggen en wil daarmee achteraan in zijn tuin een kippenren en een ruimte voor konijnen maken. Hij heeft wel het geluk dat zijn tuin grenst aan een kanaal.

jk ex

c) Wat is de maximale hoogte van de bal?

pl aa

b) Een doel is 2,44 m hoog. Zal de bal in het doel verdwijnen, als de keeper er niet bij kan?

Bepaal de lengte en de breedte van het stuk dat hij kan afbakenen als hij de oppervlakte A zo groot mogelijk maakt.

300 MAX

2 3 4 5 6 7 8

158

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.5

Ongelijkheden oplossen met ICT

4.5.1 Inleidend voorbeeld Een familiebedrijfje produceert en verkoopt geitenkaasjes. De wekelijkse winst w, in euro, die ze maken als ze x kaasjes verkopen, wordt gegeven door de functie w(x) = 0,12x 2 + 4x − 100. Bereken w(0) en geef de betekenis.

• Als de grafiek onder de x-as ligt, dan maakt het bedrijf verlies. In dit geval is w(x) ⬍ 0.

600

• Als de grafiek boven de x-as ligt, dan maakt het bedrijf winst. In dit geval is w(x) ⬎ 0.

pl aa

500 400 300 200

100

jk ex

–100

• De overgang van verlies naar winst gebeurt in het snijpunt van de grafiek met de x-as. In dit geval is w(x) = 0. Bepaal deze nulwaarde.

Hoeveel kaasjes moet het bedrijf per week verkopen om meer dan 300 euro winst te hebben?

• Teken de grafiek van w en de rechte r met vergelijking y = 300.

• Bepaal het snijpunt van de grafiek van w en r, waarvan de x-coördinaat positief is. Dit snijpunt is (

• De grafiek van w ligt boven r als x ⬎ Het bedrijf maakt meer dan 300 euro winst als

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

159

Alternatieve manier Het familiebedrijf maakt meer dan 300 euro winst per week als de grafiek van de functie w boven de rechte met vergelijking y = 300 ligt.

y 600 500

Je noemt deze rechte een niveaulijn voor de grafiek van w.

400 300 200 100 x O

–100

Algemeen is elke horizontale rechte met vergelijking y = a een niveaulijn voor een willekeurige grafiek. De x-as is de niveaulijn met vergelijking y = 0.

y = f (x) y = a

pl aa

再

Om de snijpunten van de grafiek van een functie f met de niveaulijn y = a te bepalen, los je het stelsel op.

Hieruit volgt: f (x) = a ⇔ f(x) − a = 0. y

600

De grafiek van z verkrijg je door de grafiek van w verticaal naar beneden te verschuiven over een afstand 300.

500 400 300 200

–200 –300

Het bedrijf maakt meer dan 300 euro winst als z(x) ⬎ 0, met andere woorden als de grafiek van z boven de x-as ligt. Los op met ICT: z(x) ⬎ 0 ⇔ 0,12x 2 + 4x − 400 ⬎ 0

–400

jk ex

100 O –100

Stel: z(x) = w(x) − 300.

675

A 0

B A

Niveaulijnen worden ook buiten de wiskunde gebruikt.

Je treft ze dikwijls aan op detailkaarten om reliëfvormen weer te geven.

3 4 5

4.5.2 Tekenschema van een tweedegraadsfunctie vind je op diddit. 6 7 8

160

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

4.5.3 Oplossen van ongelijkheden van de tweede graad Voorbeeld 1

Voorbeeld 3

Los de ongelijkheid x 2 – 4 ⬍ 0 op.

Los de ongelijkheid 2x 2 – 3x + 6 ⬍ 5 op.

Teken de grafiek van de functie f(x) = x 2 – 4.

Teken, met ICT, de grafiek van de functie f(x) = 2x 2 – 3x + 6 en de niveaulijn y = 5.

De snijpunten van de grafiek en de niveaulijn zijn:

2 1

x –4

–3

–2

–1

–3 –4

De oplossingsverzameling is

De oplossingsverzameling is V=

jk ex

De grafiek van f ligt onder de niveaulijn y = 5 als

De grafiek van f ligt onder de x-as als

pl aa

–2

Voorbeeld 4

Los de ongelijkheid –5x 2 + 3x + 2 ⭐ 0 op.

Los de ongelijkheid 2x 2 – 3x + 6 ⬍ 4 op.

Voorbeeld 2

Teken, met ICT, de grafiek van de functie f(x) = 2x 2 – 3x + 6 en de niveaulijn y = 4.

De nulwaarden van f zijn

De snijpunten van de grafiek en de niveaulijn zijn:

De grafiek van f ligt onder de x-as als

De grafiek van f ligt onder de niveaulijn y = 4 als

De oplossingsverzameling is

Teken, met ICT, de grafiek van de functie f (x) = –5x 2 + 3x + 2.

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

161

Oefeningen REEKS A De oefeningen 31, 32 en 33 vind je op diddit. 34

Los grafisch op met behulp van ICT. a) –x 2 + 3x ⬍ 0

e) –3x 2 + 4x ⭐ 1

pl aa

jk ex

c) –4x 2 + 4 x – 1 ⭓ 0

f) 9x 2 – 24x + 10 ⬍ –6

b) 2x 2 – x – 1 ⭐ 0

V= h) 3x 2 + 2x + 1 ⬍ –1

d) 6x 2 + 3x – 2 ⬎ 0

g) –5x 2 + 8x ⬎ 2

1 2 3 4

Een bal wordt schuin omhoog gegooid. De hoogte h, in m, van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h(t) = –5t 2 + 9t + 1. Hoelang zal de bal zich op een hoogte van meer dan 3 m bevinden?

5 6 7 8

162

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

REEKS B 36

De jaarlijkse winst w, in euro, die een groot schrijnwerkersbedrijf maakt als het x deuren verkoopt, wordt gegeven door de functie w(x) = –x 2 + 812x – 9 600.

a) Hoeveel deuren moet het bedrijf verkopen om winst te maken?

Een rechthoek heeft een omtrek van 68 m. Bereken de lengte en de breedte zodat de oppervlakte minstens 208 m 2 zou zijn.

jk ex

pl aa

b) Hoeveel deuren moeten ze verkopen om minstens 100 000 euro winst te maken?

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

163

De oefeningen 38, 39 en 40 vind je op diddit. Los grafisch op met behulp van ICT. 2

a) −2 ⴢ (x + 4) + 8 ⬍ 0

d) −

冉冊

1 2 ⴢ (x + 5) ⬎ 0 3

e) 6 ⴢ x −

jk ex

5 2 4 x − x⭐ 2 6 9

De dwarse doorsnede van een rivierbedding wordt benaderd door de functie d(x) =

⭓ 54

1 2 1 x − x⭐0 2 4

1 3

pl aa

1 25 2 5 x + x⬍− 4 2 3

Hierbij is d de diepte, in m, op x meter van de linkeroever. a) Bepaal de maximale diepte van de rivier.

1 2 3

b) Een schip heeft een diepgang van 2,5 m. Hoe ver moet het schip minstens van de oever verwijderd blijven?

4 5 6 7 8

164

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

5 2 10 x − x. 18 3

Het aantal promille geboortes n bij vrouwen die x jaar oud zijn, wordt gegeven door de functie n(x) = â€“0,478x 2 + 25,387x â€“ 229,48.

pl aa

a) Op welke leeftijd worden er relatief het meeste kinderen geboren? Hoeveel promille?

jk ex

b) Tussen welke leeftijden worden er meer dan 85 kinderen geboren per 1 000 vrouwen?

Bereken de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 2 cm langer is dan de andere rechthoekszijde en de schuine zijde minstens 15 cm is.

Schets:

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

165

STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties 4.1 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties KENNEN Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f(x) = ax 2 + bx + c, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0.

KUNNEN Een tweedegraadsfunctie herkennen.

4.2 Functies met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤ KENNEN

• •

pl aa

•

y = x 2

verticale uitrekking (兩 a 兩 ⬎ 1) of samendrukking (兩 a 兩 ⬍ 1). spiegeling om de x-as als a ⬍ 0.

• •

兩 a 兩 is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte. a ⬎ 0: dalparabool (holle zijde naar boven); a ⬍ 0: bergparabool (holle zijde naar beneden).

y = a ⴢ x 2

•

jk ex

horizontale verschuiving over 兩 ␣ 兩 • naar rechts als ␣ ⬎ 0 • naar links als ␣ ⬍ 0.

y = a ⴢ (x − ␣)

•

co(top) = (␣, ␤)

verticale verschuiving over 兩 ␤ 兩 • naar boven als ␤ ⬎ 0 • naar beneden als ␤ ⬍ 0.

•

symmetrieas: de rechte met vergelijking x = ␣. co(top) = (␣, 0)

y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ 2

De grafiek van de functie f(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤ met a ≠ 0 is een parabool met de volgende kenmerken:

1 2

•

a ⬎ 0: dalparabool (de holle zijde ligt naar boven); a ⬍ 0: bergparabool (de holle zijde ligt naar beneden).

•

Hoe groter 兩 a 兩, hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩 a 兩, hoe breder de parabool.

•

De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = ␣.

•

De top heeft als coördinaat (␣, ␤).

•

De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald 2 door het oplossen van de vergelijking a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0. Deze vergelijking kan zonder discriminant worden opgelost. De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

•

Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

5 6 7 8

166

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

KENNEN 2

Het aantal nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤:

−

␤ ⬍0 a

−

␤ =0 a

−

2 verschillende oplossingen

1 oplossing (2 gelijke oplossingen)

geen oplossingen

␤ ⬎0 a

x1 = ␣ −

x=␣

x2 = ␣ +

冑冑

␤ en a ␤ − a

−

KUNNEN 2

pl aa

De eigenschappen van de functies met vergelijking y = x 2, y = a ⴢ x 2, y = (x − ␣) en y = x 2 + ␤ afleiden uit een functietabel en de grafiek van de functies. 2

De nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ berekenen. 2

De kenmerken van de grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ bepalen. 2

De grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ tekenen. De vergelijking van een parabool, waarvan de top en een punt gegeven zijn, bepalen. 2

Toepassingen op functies met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ maken.

4.3 Functies met vergelijking y = ax 2 + bx + c KENNEN

Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c • a ⬎ 0: dalparabool a ⬍ 0: bergparabool

•

jk ex

(a ≠ 0)

•

Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

• •

De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = − b . 2a D b De top heeft als coördinaat − ,− . 2a 4a

冉

冊

De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

•

Hoe groter 兩a 兩 , hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩a 兩 , hoe breder de parabool.

KUNNEN 2

De vergelijking y = ax + bx + c omzetten naar y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ en zo de eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c vinden. 2

De kenmerken van de grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c bepalen. De grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c tekenen. De vergelijking van een parabool, waarvan de top en een punt gegeven zijn, bepalen.

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

167

4.4 Verloop van tweedegraadsfuncties KENNEN Het verloop van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c : a⬎0 x f

a⬍0

− b 2a

冉冊

f − b 2a MIN

− b 2a

冉冊

f − b 2a MAX

KUNNEN

pl aa

4.5 Ongelijkheden oplossen met ICT

Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen. Vraagstukken, gebaseerd op het verloop van een tweedegraadsfunctie, oplossen.

KUNNEN

jk ex

CONTRACTWERK

Uit de grafiek van een tweedegraadsfunctie aflezen waar de functie positief, nul en negatief is. Een tekenschema opstellen voor een tweedegraadsfunctie. Een ongelijkheid van de tweede graad oplossen met behulp van een tekenschema. Vraagstukken, gebaseerd op ongelijkheden van de tweede graad, oplossen.

1 2 3 4 5 6 7 8

168

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

Definitie

₁₇₀

5.2

Grafiek van de functie met vergelijking y = a x

₁₇₁

5.3

Grafiek van de functie met vergelijking y = b ⴢ a x

₁₇₃ ₁₈₂

jk ex

pl aa

Studiewijzer

5.1

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

169

5.1

Definitie In hoofdstuk 2 maakte je kennis met verbanden van de vorm y = b ⴢ a x. Hierbij stelt b de beginwaarde voor (dit is de waarde die y aanneemt als x = 0) en a de groeifactor (a ⬎ 1 bij positieve groei en 0 ⬍ a ⬍ 1 bij negatieve groei).

Definitie

Exponentiële functie Een exponentiële functie met grondtal a en parameter b is een functie f(x) = b ⴢ a x. Hierbij is a een strikt positief getal verschillend van 1 en b een reëel getal verschillend van 0.

Waarom sluit je a = 1 als grondtal uit?

Voorbeelden

pl aa

Waarom sluit je de parameter b = 0 uit?

Vink de exponentiële functies aan. Geef van de exponentiële functies het grondtal en de parameter.

✓

grondtal

parameter

f (x) =

3 ⴢ 0,5 x

jk ex

2 ⴢ x3

−1,3 ⴢ 4 x

−5 ⴢ (–4)

冉冊 2 3

−x

In 5ⴢ

2x − 2 1 2

(x − 2)

3 4

−8 ⴢ 10 −x − 3

5 6 7

冉冊

3 1 ⴢ 5 6

170

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

5.2

Grafiek van de functie met vergelijking y = a x

5.2.1 Voorbeelden Teken de grafieken van de functies f(x) = 2 x en g 共x兲 = x

−3

−2

冉21 冊 . x

−1

f (x) = 2 x

冉21 冊

g(x) =

pl aa

jk ex

–4

–3

–2

–1

1 x 1

f (x) = 2 x

• domein =

g(x) =

冉21 冊

bereik =

• nulwaarden: • De x-as is een • (0,

) behoort tot de grafiek.

• (1,

) behoort tot de grafiek.

• De grafiek is stijgend / dalend.

• (1,

) behoort tot de grafiek.

• De grafiek is stijgend / dalend.

• De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v.

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

171

5.2.2 Algemeen: grafiek van de functie met vergelijking y = a x • domein =

bereik =

• nulwaarden:

, want

• De x-as is een

want • (0,

) behoort tot de grafiek, want

• (1,

) behoort tot de grafiek, want

• De grafiek is stijgend / dalend als a ⬎ 1 en stijgend / dalend als 0 ⬍ a ⬍ 1.

5.2.3 Voorbeelden

冉31 冊

Gegeven: de functies f(x) = 3 x en g(x) = a) domein =

b) snijpunt van de grafieken met de x-as:

jk ex

c) asymptoot:

pl aa

, want

t.o.v.

冉a1 冊 zijn elkaars spiegelbeeld

• De grafieken met vergelijking f(x) = a x en g(x) =

bereik = met de y-as:

d) de ligging van de grafieken t.o.v. elkaar: e) de grafieken

10 y

−3

−2

−1

5 4

3 2

2 3

2 x

–3

–2

6 7 8

172

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

f(x) = 3 x

g(x) =

冉31 冊

5.3

Grafiek van de functie met vergelijking y = b ⴢ a x

5.3.1 Invloed van de parameter b Teken met ICT de grafieken van de functies en vul de tabel aan.

兴 0, + ∞ 关

asymptoot

x-as

verloop

stijgend

snijpunt y-as

(0, 1)

beeld van 1

i(x) = −3 ⴢ 2 x

j(x) = −

1 x ⴢ2 4

bereik

1 x ⴢ2 4

h(x) =

De grafiek van de functie met vergelijking y = b ⴢ a x ontstaat uit de grafiek van de functie met vergelijking y = a x door • verticale uitrekking of samendrukking; • spiegeling om de x-as als b ⬍ 0.

jk ex

Besluit

domein

g(x) = 3 ⴢ 2 x

pl aa

f (x) = 2 x

Het domein en de asymptoot blijven ongewijzigd.

5.3.2 Voorbeelden

1 ⴢ 10 x 8

g(x) = 4 ⴢ

冉51 冊

h(x) = −6 ⴢ 5 x

i(x) = −

冉冊

3 2 ⴢ 2 3

f (x) =

bereik

verloop snijpunt y-as beeld van 1 verticale uitrekking of samendrukking spiegeling

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

173

5.3.3 Herkennen van grafieken Voorbeeld 1 De vergelijking is van de vorm y = b ⴢ a x.

• Bepaling van de parameter b: 1 snijpunt y-as: (0, b) = 0, 2 1 ⇒b= 2

冉冊

6 5 4

• Bepaling van het grondtal a:

1 x ⴢa 2

冉 23冊 behoort tot de grafiek:

1 1 3 ⴢa = 2 2

pl aa

–2

Het punt 1,

a=3

De grafiek heeft als vergelijking y =

1 2 9 ⴢ 3 = . Dit klopt op de figuur. 2 2

Controle: x = 2 ⇒ y =

jk ex

Voorbeeld 2

De vergelijking is van de vorm y = b ⴢ a x.

–2

1 x ⴢ3 2

–1

• Bepaling van de parameter b:

–1

–2 –3

–4

–5 –6 –7

1 2 3 4

De grafiek heeft als vergelijking 5 6

Controle:

7 8

174

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

• Bepaling van het grondtal a:

Voorbeeld 3 De vergelijking is van de vorm y = b ⴢ a x.

• Bepaling van de parameter b:

6 5 4 3 2 1 x –2

–1

pl aa

–3

• Bepaling van het grondtal a: het beeld van 1 is moeilijk af te lezen, daarom kies je het punt (−1, 3) om a te bepalen.

De grafiek heeft als vergelijking Controle:

jk ex

Voorbeeld 4

De vergelijking is van de vorm y = b ⴢ a x.

–3

–2

–1

x 5

• Bepaling van de parameter b:

–1

–2

–3 –4

• Bepaling van het grondtal a:

–5 –6

De grafiek heeft als vergelijking Controle:

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

175

Oefeningen REEKS A 1

Teken, in hetzelfde assenstelsel, de grafieken van de functies f(x) = 4 x en g(x) =

XC 1 4

f (x) = 4 x

冉41 冊

pl aa

g(x) =

8 7 6

5 4

jk ex

f (x) = 0,2 x

bereik 1 2

verloop

3 4

snijpunt y-as

5 6

beeld van 1

7 8

176

Vul de tabel aan.

–1

–2

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

g(x) = 6 ⴢ

冉23冊

h(x) = −

1 x ⴢ6 2

i(x) = 3 ⴢ 0,8 x

j(x) = −0,3 ⴢ

冉85 冊

Bepaal van de exponentiële functies de juiste grafiek. y 7 6 5 4 3

2 1

F –6

–5

–4

–3

–2

–1

2 –1

pl aa

–7

–2 –3 –4

冉31 冊

jk ex

a) f 1 (x) = 4 ⴢ

–5

b) f 4 (x) = 4 ⴢ 1,2 x

冉53冊

e) f 3 (x) = −3 ⴢ 0,8 x

f) f 6 (x) = 4 ⴢ 1,5 x

c) f 2 (x) = 4 ⴢ

d) f 5 (x) = −3 ⴢ 1,4 x

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

177

Inflatie is de waardedaling van het geld. De grafiek geeft ons een zicht, op basis van de inflatievoet van 2016, in welke mate de effectieve waarde van 100 euro daalt. Als referentie wordt de waarde van 100 euro eind 2016 genomen. waarde van 100 euro

100

pl aa

aantal jaren na eind 2016

jk ex

a) Bepaal de inflatievoet in 2017 op 0,1 % nauwkeurig.

b) Voorspel de effectieve waarde van 100 euro eind 2025.

c) Wanneer zal het geld nog slechts driekwart van de waarde van eind 2016 hebben? (ICT)

1 2 3 4

d) Met hoeveel procent vermindert de waarde van het geld per trimester?

5 6 7 8

178

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIĂ‹LE FUNCTIES

REEKS B 5

Bepaal de vergelijking van de grafieken. a) y

–1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–9

pl aa

–10

b) y

10 9 8 7 6

jk ex

5 4 3 2 1

–1

y 8 7 6 5 4 3 2 1 x

–5 –4 –3 –2 –1

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

179

Op een verlaten terrein wordt een hoeveelheid radioactief afval gevonden. Elke maand worden metingen uitgevoerd naar de uitgestraalde radioactiviteit in becquerel (bq). aantal becquerel

2 600 2 400 2 200 2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600

400

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 aantal maanden

jk ex

a) Bepaal het radioactief verval per maand.

pl aa

200

b) Bereken de hoeveelheid radioactieve straling na 22 maanden.

c) Hoeveel radioactieve straling was er 2 maanden vóór het afval gevonden werd?

Antoine Henri Becquerel (1852-1908) was een Franse natuurkundige. Bij een onderzoek naar de natuurlijke fosforescentie (het verschijnsel dat een stof na te zijn belicht in het donker nog een poos blijft nalichten) van uraniumzouten, ontdekte hij per toeval een soort straling die niet elektromagnetisch was. In 1908 kreeg hij, samen met Marie Curie, de Nobelprijs voor Fysica. De eenheid van radioactieve straling is naar hem genoemd.

2 3 4 5 6 7 8

180

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

Op een afgelegen eiland neemt de bevolking de laatste jaren heel snel toe. Er gaan steeds meer stemmen op dat de eigen voedselvoorziening onvoldoende zal zijn zodat er extra producten zullen moeten worden ingevoerd. De regering is er gerust in en zegt dat er de komende 20 jaar geen problemen zullen zijn, omdat de voedselvoorziening ook jaar per jaar zal toenemen. De grafieken geven de stijging weer van de bevolking en van het aantal mensen dat gevoed zal kunnen worden zonder import van nieuwe producten. Heeft de regering gelijk?

aantal mensen

voedselvoorziening

240 000 220 000

bevolking (10, 210 000)

200 000

180 000

pl aa

160 000 (0, 160 000) 140 000 120 000 100 000

(2, 110 250) (0, 100 000)

60 000 40 000 20 000

aantal jaren

jk ex

80 000

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIĂ‹LE FUNCTIES

181

STUDIEWIJZER Exponentiële functies 5.1 Definitie KENNEN Een exponentiële functie met grondtal a en parameter b is een functie f (x) = b ⴢ a x. Hierbij is a een strikt positief getal verschillend van 1 en b een reëel getal verschillend van 0.

KUNNEN Een exponentiële functie herkennen.

5.2 Grafiek van de functie met vergelijking y = a x

pl aa

KUNNEN Van functies met vergelijking y = a x • het domein en het bereik bepalen; • de snijpunten van de grafiek met de assen bepalen; • de betekenis van de asymptoot uitleggen; • de invloed van het grondtal begrijpen; • de grafiek tekenen zonder ICT.

5.3 Grafiek van de functie met vergelijking y = b ⴢ a x KENNEN

jk ex

KUNNEN

De invloed van de parameter b bij de grafiek van de functie met vergelijking y = b ⴢ a x gebruiken om grafieken te herkennen en er de vergelijking van te bepalen.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8

182

HOOFDSTUK 5 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

HOOFDSTUK 6 I DE SINUSFUNCTIE

jk ex

pl aa

Dit hoofdstuk en de bijbehorende oefeningen vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I DE SINUSFUNCTIE

183

pl aa

jk ex

HOOFDSTUK 7 I FUNCTIES MET MEERVOUDIG VOORSCHRIFT

jk ex

pl aa

Dit hoofdstuk en de bijbehorende oefeningen vind je op diddit.

HOOFDSTUK 7 I FUNCTIES MET MEERVOUDIG VOORSCHRIFT

185

pl aa

jk ex

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.1

Toenamediagrammen

8.2 Gemiddelde verandering 8.3 Ogenblikkelijke verandering

pl aa

8.5 Afgeleide functie

8.4 Afgeleide van een functie in een getal 8.6 Rekenregels voor afgeleiden 8.7

Vergelijking van een raaklijn

aan de grafiek van een functie

₂₁₉ ₂₂₆

jk ex

Studiewijzer

₁₈₈ ₁₉₁ ₂₀₂ ₂₀₆ ₂₁₃ ₂₁₅

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

187

8.1

Toenamediagrammen

8.1.1 Voorbeeld 1 In de schoolkrant van september 2018 stond een diagram over de evolutie van het aantal leerlingen in de 10 voorbije schooljaren. De tellingen gebeurden op 1 september.

toename 30 20 10 jaar 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 –10

–20

pl aa

–30

• Hoe kun je op het toenamediagram zien of er een stijging of een daling was tegenover het vorige schooljaar?

• In welk schooljaar was de toename het grootst?

Hoeveel leerlingen waren er dat jaar meer dan het jaar voordien? • In welk schooljaar was de afname het grootst?

jk ex

Hoeveel leerlingen waren er dat jaar minder dan het jaar ervoor? • In welk jaar waren er evenveel leerlingen dan het jaar voordien? Hoe zie je dat op het toenamediagram?

• In welke schooljaren waren er het meeste leerlingen op onze school?

• Stel het verloop van het aantal leerlingen schematisch voor. Je noteert telkens het beginjaar van het schooljaar. 2008

schooljaar leerlingen

2013

2016

822 MAX

758 MIN

2018

• Vul de tabel aan. 1 2

schooljaar 2008 2009 leerlingen

2010

2011

2012

2013

742

3 4

• Stel deze tabel met ICT grafisch voor door een lijndiagram.

5 6 7 8

188

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

2014

2015

2016

2017

2018

8.1.2 Voorbeeld 2 v (km/h)

Tijdens de 100 meter in de atletiek komt het erop aan zo snel mogelijk je topsnelheid te bereiken en die dan zo lang mogelijk vast te houden. De Jamaicaan Asafa Powell liep in 2008, tijdens een wedstrijd in eigen land, de 100 m in 9,89 s.

100 x (m)

pl aa

Dankzij het gebruik van supersnelle camera’s kon men het verloop van zijn snelheid bepalen. 110 000 ⴢ 冪x Het onderzoek leverde de volgende formule op: v(x) = . 2 (x + 90) Daarbij is v de snelheid, in km/h, en x de afgelegde weg, in m.

• Vul de tabel aan, op 0,1 nauwkeurig, en vervolledig het bijbehorende toenamediagram voor x = 20 tot x = 100. v

△v

䉭v

jk ex

x 10

100

–1

–2

80 90

100 De breedte van elk deelinterval (hier 10 m) is de stapgrootte van het toenamediagram. De staven van het diagram worden telkens op het einde van elk interval getekend. • Waarom teken je de waarde van 䉭v niet voor het interval [0, 10[?

• Op hoeveel meter na de start haalde Powell zijn topsnelheid? • Wanneer kende hij het grootste verval?

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

189

8.1.3 Algemeen Methode

Een toenamediagram toont veranderingen van de afhankelijke veranderlijke y in intervallen met gelijke breedte van de onafhankelijke veranderlijke x. • Kies een vaste stapgrootte 䉭x. • Bereken, in een tabel, voor elk deelinterval met breedte 䉭x de verandering 䉭y. • Teken een diagram waarbij verticale lijnen de verandering tonen bij elk intervaleinde. De lijnen worden boven de horizontale as getekend bij toename en onder de horizontale as bij afname.

8.1.4 Toenamediagrammen tekenen met ICT

jaar

1965

1970

1975

pl aa

De tabel toont de evolutie van het aantal verkeersongevallen in België in een periode van 50 jaar. Teken een toenamediagram met een stapgrootte van 5 jaar.

1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010

2015

aantal 73 277 76 928 60 376 60 758 54 826 62 446 50 744 49 064 49 313 45 918 40 303 ongevallen

jk ex

Oplossing

Om zelf een toenamediagram te tekenen met de grafische rekenmachine kun je het programma TOENAMED gebruiken. • Voer de gegevens in in de werklijsten L 1 en L 2 .

• Bereken in L 3 de verschillen tussen de opeenvolgende waarden uit L 2. Dat kan door in de cel van de lijstnaam L 3 䉭List(L 2) in te voeren.

• Voor 䉭List(L 2) druk je list

2nd

stat

2nd

L entry solve

}

)

enter

• Om de toename toe te wijzen aan een intervaleinde moet je naast het eerste jaartal een toename 0 toevoegen.

ins

Daarvoor druk je

2nd

del

2 3 4

• Na het uitvoeren van het programma TOENAMED krijg je het beeld hiernaast.

5 6 7 8

190

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.2

Gemiddelde verandering

8.2.1 Voorbeeld 1: gemiddelde toename van het gezinsbudget 13 % 2%

8% 3%

12 % 30 % 5% 6%

1978

1987

1995

totale consumptie (euro)

12 491

18 015

24 781

2005

2009

28 653

31 449

34 441

2012

2016

35 429

34 167

toename

2001

pl aa

jaar

gemiddelde toename per jaar

De FOD Economie verricht regelmatig een huishoudbudget-onderzoek. Daarvoor houden 3 700 gezinnen een jaar lang hun inkomsten en uitgaven bij. De resultaten worden daarna veralgemeend naar de ruim 4 miljoen Belgische huishoudens. Deze tabel toont het gemiddelde totale consumptiebudget in België per gezin in de periode 1978-2016.

voeding en niet-alcoholische dranken alcoholische dranken en tabak kleding en schoenen woning, water, elektriciteit, gas en andere brandstoffen meubelen, huishoudtoestellen en onderhoudsproducten gezondheid transport communicatie cultuur en vrije tijd opleiding restaurant en horeca persoonlijke verzorging en diensten

10 % 6%

jk ex

• Bereken voor elk jaartal de toename ten opzichte van het vorige jaartal. • Waarom heeft het geen zin een toenamediagram te tekenen om de stijging van het gezinsbudget weer te geven?

• Bereken voor elke periode de gemiddelde toename van het gezinsbudget per jaar.

• In welke periode was de groei het sterkst?

• Hoe zie je aan de grafiek hiernaast in welke periode de groei van het budget het sterkst was?

budget 34 000 32 000 30 000 28 000 26 000 24 000 22 000

• Wat is de grafische betekenis van de gemiddelde jaarlijkse toename van het budget?

20 000 18 000 16 000 14 000 1981 1984 1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014 jaartal

• Schat met lineaire interpolatie het gezinsbudget in 1983.

• Voorspel door extrapolatie van de laatste gegevens het gezinsbudget in 2025.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

191

8.2.2 Voorbeeld 2: gemiddelde snelheid van een vallende bal Snejana laat een bal vallen vanaf een toren van 75 meter. De hoogte h, in m, van de bal, na t seconden is gelijk aan h(t) = 75 − 4,9 ⴢ t 2.

pl aa

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal gedurende de eerste seconde van de val. h(1) − h(0) = 1−0

h 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 t

• Na hoeveel seconden valt de bal op de grond?

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal in het tijdsinterval [1, 3]. h(3) − h(1) = 3−1

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal gedurende de volledige valtijd.

jk ex

• Wat is de grafische betekenis van de berekende gemiddelde snelheden? Toon het antwoord op de figuur.

• Is het mogelijk, met de kennis die je nu hebt, de snelheid van de bal te bepalen op het ogenblik dat hij de grond raakt?

• Hoe zou je die snelheid zo goed mogelijk kunnen benaderen?

8.2.3 Differentiequotiënt

Definitie

Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is

f(b)

Het differentiequotiënt van een functie f in [a,b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a,b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f(b) − f(a) 䉭y = = de richtingscoëfficiënt van de koorde b−a 䉭x

4 △y

door de punten P(a, f(a)) en Q (b, f(b)) van de grafiek van f.

6 7 8

192

f(b) − f(a) . b−a

f(a)

P △x a

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

x b

8.2.4 Gemiddelde helling Voorbeeld 1 y 2

Neem de functie f(x) = x − 1.

• Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [0, 2].

4 3 2

Die gemiddelde helling is de van de A(

1 x –4

door de punten ,

) en B(

–3

–2

–1

) van de grafiek.

pl aa

• Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [−2, 1].

Voorbeeld 2

Je ziet het profiel van de Col du Tourmalet, een legendarische col uit de Ronde van Frankrijk.

ki In

LA MONGIE (1 730)

4,5

CAMPAN

2 660

2 680

2,5 700

2 725

3,5 745

5 780

4 875

2,5 915

10 8 8 8

+ 7 4 940

9 9

2 075

1 990

1 900

1 810

1 720

1 630

1 530

SAINTE MARIE DE CAMPAN

GRIPP

COL DU TOURMALET (2 115)

8,5

OOSTFLANK 23,4 km stijgen aan gemiddeld … %, maximum 10 %

jk ex

2 200 2 100 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600

COL DU TOURMALET (2115 m)

1 440

1 340

1 260

1 180

1 100

1 030

980

830

Naar ALTIGRAPH Edition

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Bereken, op 0,01 % nauwkeurig, het gemiddelde hellingspercentage: • van de volledige beklimming. • tijdens de eerste 10 km.

• tussen de 15e en 18e km.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

193

Oefeningen REEKS A Welk toenamediagram hoort bij welke grafiek? 1)

y 7 6 5 4 3 2 1

–4

x 2

–1 –2 –3 –4

–2

3 2 1

–2

x 1 2 3

–1

–3

jk ex

ki In

8 7 6 5 4 3 2 1

1 –2

–1,5

–1

–1,5

–1

–0,5 –1 –2 –3 –4

0,5

1,5

e) y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –4 –6 –8 –10

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5 –6

x 1

–12 –14 –16

7 6 5 4 3 2 1

4 5 6 7

–2

–1

x 2

–1 –2 –3 –4 –5

6 5 4 3 2 1

–4

–2

–3

–4 –3 –2 –1 –1

5 4 3 2 1

pl aa

–4 –3 –2 –1

1 x –3

–2

–1

–1 –2 –3

–0,5

0,5

1,5

y 1 4

x –3 –2 –1

–1

x 1

–2

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–3 x

–1,5

–1

–0,5

0,5

–4

1,5

5 6 7

grafiek diagram

194

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

Het vruchtbaarheidscijfer is het gemiddelde aantal kinderen per vrouw. Deze grafiek toont de evolutie van het vruchtbaarheidscijfer in Vlaanderen. evolutie van de vruchtbaarheid in Vlaanderen

kinderen per vrouw

3 2,5 2 1,5 1 0,5

1942 1947 1952 1957 1962 1967 1972 1977 1982 1987 1992 1997 2002 2007 2012 2017 jaartal

a) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 5 jaar.

pl aa

b) In welke periode was de stijging van het vruchtbaarheidscijfer het grootst?

c) Hoe verklaar je die grote toename?

d) In welke periode daalde het gemiddelde aantal kinderen per vrouw het snelst?

jk ex

e) Hoe zie je aan het toenamediagram in welk jaar het vruchtbaarheidscijfer maximaal was?

Het toenamediagram toont de evolutie van de bevolking in Europa, volgens een voorspelling van de Verenigde Naties (Population Prospects: The 2004 Revision). Hierbij gaan ze uit van een vruchtbaarheidscijfer van 1,5. 2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

2010

–2

aantal miljoenen

–4 –6 –8

–10 –12 –14

a) Hoe zie je aan het diagram dat we ons zorgen moeten maken in Europa?

b) Vul de tabel aan. jaartal

2005

bevolking in miljoenen

728

2010

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

195

Het percentage van de bevolking in Vlaanderen die in armoede leefde, van 2005 tot 2015, wordt benaderd door de functie p(x) = âˆ’0,03x 3 + 0,490 3x 2 âˆ’ 2,107x + 17. Hierbij is p het percentage en x het aantal jaren na 2005 (0 < x < 10). a) Teken, met ICT, een toenamediagram met stapgrootte 2 jaar. jaartal

2005

2007

2009

2011

2013

2015

percentage toename b) In welk jaar was het percentage maximaal? c) In welke periode van 2 jaar was de afname het grootst?

pl aa

d) Schat door extrapolatie het percentage in 2025.

In de grafiek is de voorspelling van het EIA (Energy Information Administration) voor de wereldwijde CO 2-uitstoot tot 2025 in miljarden ton weergegeven. 40 38

34 32

jk ex

Billion Metric Tons

World Carbon Dioxide Emissions 1990-2025

30 28 26 24 22

1990

2002

2010

2015

2025

a) Waarom kun je uit de grafiek geen betrouwbare besluiten trekken omtrent de stijging van de CO 2-uitstoot?

b) Bereken voor elke voorgestelde periode de gemiddelde stijging van de uitstoot per jaar. jaartal

1990

2002

1 2 3 4 5

stijging gemiddelde stijging per jaar c) Toon aan dat we vanaf 2010 op de goede weg zullen zijn.

6 7 8

196

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

2010

2015

2025

De tabel toont het aantal ingeschreven motorrijwielen (dat zijn alle motorfietsen en bromfietsen die minstens 40 km/h rijden) in België telkens op 1 augustus van het jaar. (bron: FOD Mobiliteit en Vervoer) jaartal

1930

aantal

52 856

1940

1950

1960

1980

1990

2000

2006

2008

2013

2017

32 529 139 932 229 699 113 057 139 174 277 838 359 764 388 280 450 793 673 336

verschil verschil per jaar a) Bereken voor elke periode het gemiddelde verschil per jaar.

b) In welke periode was de afname relatief het grootst?

pl aa

c) Schat het aantal motorrijwielen in 1970.

d) Voorspel het aantal motorrijwielen in 2025.

Een van de meest gevreesde beklimmingen voor renners is de Alto de El Angliru, in het noorden van Spanje. Je ziet het profiel van de helling.

1 800

jk ex

1 600

L’Angliru

Cueña les Cabres 23,5 % Les Piedrusines Aviru 20 % 1 570 Cobayos El21,5 % 21,5 % 1 536 1 554 Les Picones 1 401 Lagos 20 % 14,5 % 1 228 Via Les Cabanes 22 % 1 089 Pará Santa 970 Porció Eulalia 853 La Vega Grandiella 717 (Riosa) Dona 698 627 Xuenti El Cabornín 537 455 376 325

1 400 1 200 1 000 800 600 400 200

7,9 %

5,1 %

* *

6,2 7,1 % 1,9 % 13,6 % 11,7 % 11,9 % 13,9 % 17,3 % 13,5 % %

8,2 % 9,0 %

12,5

a) Wat staat er op de assen?

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage: • voor de eerste 6 km van de beklimming: • voor de rest van de beklimming: • voor de volledige beklimming: c) Hoe bepaalt men het stijgingspercentage van 22 % in Les Cabanes?

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

197

Bereken de gemiddelde helling van de grafieken in de gegeven intervallen. a)

Gemiddelde helling in [0, 4]:

y 2 1 –2

–1

x 1

–1

–2 –3 –4

Gemiddelde helling in [−2, 3]:

–5 –6 –7 –8

f(x) = – –32 x – 2

–9

Gemiddelde helling in [0, 2]:

y 2

–2

–1

pl aa

–1

–2 –3 –4 –5

Gemiddelde helling in [−1, 5]:

–6

–7 –8 –9

Gemiddelde helling in [0, 2]:

jk ex

f(x) = –x 2 + 4x – 3

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Gemiddelde helling in [1, 3]:

–1

d) –2

3 4 5 6

–1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11

7 8

198

Gemiddelde helling in [1, 3]:

y 2 1

1 2

f(x) = –2x 3 + 9x 2 – 12x + 4

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

x 1

Gemiddelde helling in [−1, 4]:

f(x) = x 3 – 4x 2

De tabel geeft het verband tussen de afgelegde weg s, in km, en de tijd t, in h, van een fietser die 60 km aflegt in 2 uren. t

0,25

0,5

0,75

1,25

1,5

1,75

22,5

45,5

a) Bereken de gemiddelde snelheid • het eerste uur: • het tweede uur: • over het hele traject:

pl aa

b) Bereken de gemiddelde snelheid na 1 h 15 min fietsen.

c) Betekent dit dat hij 1 h 15 min na zijn vertrek tegen exact die snelheid fietste?

d) In welk tijdsinterval van 15 minuten is de gemiddelde snelheid • het grootst?

jk ex

• het kleinst?

Raf rijdt anderhalf uur met zijn auto. Zijn afgelegde weg s, in km, na t uren wordt gegeven door de functie s(t) = 150t 2 − 50t 3 (0 < t < 1,5).

e) Is het mogelijk de snelheid op het tijdstip 1,5 h te berekenen met de gegevens?

Bereken zijn gemiddelde snelheid a) over de hele rit.

b) tijdens het eerste kwartier.

c) tijdens het laatste halfuur.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

199

REEKS B 11

Een koffiebranderij heeft laten berekenen dat haar maandelijkse winst W, in euro, gelijk is aan 7 71 17 x3 + x 2 − x − 800. W(x) = − 180 000 1 800 3 Hierbij is x het aantal kilogram koffie dat ze per maand verkoopt. a) Bereken de gemiddelde winst per kg als ze slechts 300 kg koffie per maand verkoopt.

b) Verklaar de uitkomst van vraag a.

pl aa

c) Bereken de gemiddelde extra winst per kg als hun verkoop stijgt van 300 kg naar 500 kg.

d) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 100 voor de functie W, met x ⬍ 700. e) Bij welke verkoop is het verlies maximaal?

4 3 Het volume V, in cm 3, van een smeltend blok ijs wordt gegeven door de functie V(t) = ␲ ⴢ (150 − t) . 3 Hierbij is t de tijd in uren.

jk ex

f) Hoeveel kilogram moeten ze verkopen om een maximale winst te hebben?

a) Bereken de gemiddelde volumevermindering per uur in het tijdsinterval [12, 24]. Rond het resultaat af op 0,001 cm 3.

b) Wat is de gemiddelde volumevermindering per uur tijdens de laatste 6 uren van het smeltproces? Rond het resultaat af op 0,001 cm 3.

1 2 3 4

c) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 10 uren. d) In welk tijdsinterval is de volumeafname het grootst?

5 6

e) Gedurende hoeveel uren is de gemiddelde volumevermindering meer dan 5 000 cm 3/h?

7 8

200

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

Bereken het differentiequotiënt in het gegeven interval. Geef telkens de fysische betekenis. a) De diepte d, in m, van een rivier is d(x) = 0,25x 2 − 2x. Hierbij is x de afstand, in m, tot de linkeroever. In [1, 3]:

b) Het vermogen P, in kW, van een windmolen is P = 0,35 ⴢ v 3. Hierbij is v de windsnelheid in m/s.

pl aa

In [10, 15]:

jk ex

In [100, 120]:

c) De leeftijd L waarop vrouwen gemiddeld voor het eerst huwen in de VS, is L(x) = 0,000 023 453x 3 − 0,002 636 3x 2 + 0,050 582x + 21,766. Hierbij is x het aantal jaren na 1890.

d) De trillingstijd T, in s, van een massaveersysteem is T = 1,4 ⴢ 冪m. Hierbij is m de massa in kg.

In [3, 7]:

e) De geluidsintensiteit I, in W/m 2, van een geluidsbron is I =

100 . 4 ␲ r2

Hierbij is r de afstand, in m, tot de geluidsbron. In [20, 50]:

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

201

8.3

Ogenblikkelijke verandering

8.3.1 Voorbeeld: snelheid van twee loopsters s 25

Om zich voor te bereiden op de marathon van Brussel, lopen Leen en Helena een trainingstocht van 2 uren. Op de grafiek zie je de afgelegde weg, in km, in functie van de tijd t, in h, van beide loopsters.

Leen

Helena 15

• Bereken de gemiddelde snelheid van beide dames.

10 5

t 1

1,5

0,5

pl aa

• Hoe weet je dat Leen het volledige traject met dezelfde snelheid loopt? De trainingsloop van Leen is een voorbeeld van een eenparige beweging. • Bepaal de vergelijking van het (s, t)-diagram van Leen.

• De constante snelheid van Leen is de

van de grafiek.

• Bepaal de vergelijking van het (s, t)-diagram van Helena. s(t) = a ⴢ t 2 en s(2) = a ⴢ 4 = 25 ⇒ a = Dus: s(t) =

jk ex

• Bereken de gemiddelde snelheid van Helena tijdens het eerste uur.

• Betekent dit dat Helena, exact 1 uur na het vertrek, met die snelheid loopt?

• Hoe zie je aan de grafiek dat Helena wandelend gestart is, maar daarna steeds sneller loopt?

• Bereken de ogenblikkelijke snelheid v(1) van Helena 1 uur na haar vertrek. Á Bereken de gemiddelde snelheid v gem =

s(1 + h) − s(1) h

in een interval [1, 1 + h].

0,25

0,1

0,01

0,001

tijdsinterval [1, 1 + h]

[1; 1,25]

[1; 1,1]

[1; 1,01]

[1; 1,001]

2 3

gemiddelde snelheid (km/h)

4 5 6 7

Á Als de toename h van de tijd kleiner en kleiner wordt, zal de gemiddelde snelheid in [1, 1 + h] een steeds betere benadering worden voor de gevraagde ogenblikkelijke snelheid. s(1 + h) − s(1) = Á Besluit: v(1) = lim v gem = lim h h→0 h→0

202

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

• Om het verband tussen de ogenblikkelijke snelheid v, in km/h, en de tijd t, in h, van Helena te bepalen, vul je de tabel in. Maak daarbij gebruik van ICT. t (h)

v (km/h)

0,25

0,5

1,5

Oplossing

pl aa

Á Om de methode ook bruikbaar te maken voor andere waarden dan 0,25, wijs je het getal 0,25 toe aan een variabele A.

Á Voer de functie in onder Y 1. Om de snelheid in 0,25 te bepalen, voer je in de werklijst L 1 een aantal getallen in die steeds dichter bij 0,25 komen te liggen, bijvoorbeeld 0,25 + 10 −1; 0,25 + 10 −2; . . . ; 0,25 + 10 −7; 0,25 + 10 −8.

Á Voer de rij getallen A + 10 −1; A + 10 −2; . . . ; A + 10 -7; A + 10 −8 in L 1 in: „ Ga in entry desolve cel van de lijstnaam L 1 staan. „ Druk enter . „ Voer tussen aanhalingstekens de formule seq(A + 10 −x,X,1,8) in.

jk ex

Á In de tweede werklijst bereken je telkens de gemiddelde snelheid in het interval [A A + 10 −X] door de formule (Y 1 (L 1) − Y 1 (A)) ÷ (L 1 − A) in te voeren tussen aanhalingstekens.

Á Om de ogenblikkelijke snelheid in een ander punt te bepalen, volstaat het om die waarde toe te wijzen aan de variabele A. Er kan ook veranderd worden van functie.

• Welk soort verband bestaat er tussen v en t? Geef het voorschrift van dit verband: v(t) = De trainingsloop van Helena is een voorbeeld van een eenparig versnelde beweging. • Als s共t兲 = a ⴢ t 2, dan v(t) =

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

203

8.3.2 Definitie Definitie

Ogenblikkelijke verandering De ogenblikkelijke verandering van een functie f in een getal a van het domein is f (a + h) − f(a) de waarde van het getal als h nadert naar 0. h Notatie f 共a ⫹ h兲 − f 共a兲 h h→0

Je leest dit als: de limiet van

lim

f 共a + h兲 − f 共a兲 als h nadert naar 0. h

De training van Helena

8.3.3 Grafische betekenis

pl aa

25 De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1, 2] is de richtingscoëfficiënt van de koorde door 20 de punten A(1, s(1)) en B(2, s(2)) (de blauwe rechte). Die rechte benadert de grafiek van s in [1, 2]. 15 De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1; 1,5] 10 is de richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten A(1, s(1)) en B⬘(1,5; s(1, 5)) (de groene rechte). 5 Die rechte benadert de grafiek van s in [1; 1,5].

B t1

B’

A t 0,5

1,5

jk ex

De groene rechte benadert de grafiek van s in het punt A(1, s(1)) beter dan de blauwe rechte. De benadering verbetert naarmate het tweede punt B(1 + h, s(1 + h)) dichter ligt bij A(1, s(1)), met andere woorden als h kleiner wordt. De beste benadering verkrijg je als B onbeperkt naar A kan naderen, zonder ermee samen te vallen (een rechte wordt bepaald door 2 verschillende punten), dus als h naar 0 nadert zonder 0 te bereiken. Die beste benadering is de raaklijn t 1 (de zwarte rechte) aan de grafiek van s in het punt A(1, s(1)). De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan lim

= v(1) =

h→0

s(1 + h) − s(1)

Algemeen

f(a + h)

f(a) A

B A

a+h

3 4

Besluit

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P (a, f (a))

5 6 7

is lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

Die richtingscoëfficiënt is een maatgetal voor de (ogenblikkelijke) helling van de grafiek in P.

204

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.3.4 Voorbeelden Voorbeeld 1 Bepaal de helling van de grafiek van de functie f(x) = −

1 3 x + 1 in het punt P(2, −3). 2

Oplossing:

De helling van de grafiek in P is

4 2

lim

h→0

f (a + h) − f(a) h

= lim

f (2 + h) − f(2) h

h→0

–10

–8

–6

–4

–2

2 –2

–4 –6

pl aa

–8

Voorbeeld 2

Oplossing: Á rc t − 1 = lim

• Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie f(x) = x 2 + 3x + 2 in het punt P(−1, 0).

f (−1 + h) − f (−1) h

4 3

2 1

–5

–4

–3

–2

P –1

–1

jk ex

h→0

y y = x 2 + 3x + 2

Á De raaklijn heeft als richtingscoëfficiënt

en bevat het punt P (−1, 0).

De vergelijking is dus:

• Teken de raaklijn op de figuur. • Controleer met ICT. Oplossing: Á Voer de functie in onder Y2. Á Laat de functie tekenen in een gepast venster.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

205

8.4

Afgeleide van een functie in een getal

8.4.1 Definitie en notatie Stel: f is een reële functie en a een getal van dom f.

Definitie

Afgeleide De afgeleide van f in a is het maatgetal voor de ogenblikkelijke helling van de grafiek van f in het punt P(a, f (a)).

Notatie f (a + h) − f(a) h h→0

pl aa

Df (a) = lim

y = f(x)

jk ex

+ Df(a)

f(a)

Df(a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t a aan de grafiek van f in het punt P (a, f(a)).

y 9

helling –0,636

8 7

(–3,18; 6,44)

4 3

2 1

x –6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

–4

7 8

206

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.4.2 Afgeleiden in de fysica Snelheid van een bewegende massa Snejana laat een bal vallen vanaf een toren van 75 m. De hoogte h van de bal, in m, na t seconden is gelijk aan h(t) = 75 − 4,9 ⴢ t 2 (zie 5.3.2).

• Bereken de ogenblikkelijke snelheid van de bal na 2 s. Oplossing

h(2 + 䉭t) − h(2) 䉭t

䉭t → 0

pl aa

= lim

v(2) = Dh(2)

Met de grafische rekenmachine kun je de afgeleide in het basisscherm berekenen met de functie nDeriv (numAfgeleide). test

math

Die functie bereik je via

• Met welke snelheid komt de bal op de grond terecht?

jk ex

Oplossing

De bal raakt de grond na 3,91 s. v(3,91) = Dh(3,91) = lim

h(3,91 + 䉭t) − h(3,91) 䉭t

䉭t → 0

Met de grafische rekenmachine kun je de afgeleide ook laten berekenen in het grafisch venster. calc

2nd

trace

θ i

: w

Q L1

Y L2

entry solve

enter

Daarvoor druk je

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

207

Versnelling van een bewegende massa

De Jamaicaan Asafa Powell liep in 2008 de 100 m in 9,89 s. Het verband tussen zijn snelheid v, in km/h, 110 000 ⴢ 冪x

pl aa

en de afgelegde weg x, in m, is v(x) =

(x + 90)

• a(10) = Dv(10) = lim

• F=

1 2 3 4 5 6 7 8

208

v(10 + 䉭x) − v(10) 䉭x

jk ex

䉭x → 0

Bereken de kracht, in N, die Powell ontwikkelde 10 m na de start, als je weet dat hij 87 kg zwaar is.

Oplossing

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

De versnelling a is de mate waarin de snelheid van een bewegend voorwerp verandert. a Het verband tussen de kracht F, in N, die op een voorwerp inwerkt F en de versnelling a, in m/s 2, wordt gegeven door de tweede wet m van Newton: F = m ⴢ a. Hierbij is m de massa van het voorwerp in kg. Het gewicht G van een voorwerp is de kracht die het voorwerp ondervindt door de gravitatie van de aarde. Dus: G = m ⴢ g (g is de valversnelling = 9,81 m/s 2). Het gewicht wordt dus uitgedrukt in Newton.

8.4.3 Afgeleiden in de economie Marginale functies Definitie

Marginale kostprijs De marginale kostprijs MK is de afgeleide van de totale kostprijs TK.

Definitie

Marginale opbrengst De marginale opbrengst MO is de afgeleide van de totale opbrengst TO. In symbolen: MK(q) = DTK(q) en MO(q) = DTO(q). Voorbeeld

pl aa

De firma Pienters & Co maakt bedrukte T-shirts. De totale opbrengst TO in euro is gelijk aan TO(x) = 24x − 0,012x 2. Daarbij is x het aantal verkochte eenheden. • Bereken de gemiddelde opbrengst per T-shirt als de firma 500 stuks verkoopt.

Oplossing:

• Bepaal MO(500) en TO(500) – TO(499). Vergelijk beide resultaten.

jk ex

Oplossing:

MO(500) = =

TO(500) – TO(499) =

Besluit:

Betekenis van marginale functies in de economie y

De afgeleide Df (a) van een functie f in een getal a is zowel een benadering voor f(a + 1) – f(a) als voor f(a) – f(a – 1). In de economie beschrijft men met marginale functies hoe een huidige situatie ontstaat uit een vorige situatie. Men gebruikt dus Df (a) als benadering voor f(a) – f(a – 1).

f f(a)

f(a+1)–f(a)

f(a) – f(a–1)

+Df(a)

x a–1

Besluit

MK(q) ≈ TK(q) – TK(q – 1)

a+1

MO(q) ≈ TO(q) – TO(q – 1)

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

209

Al sinds de tijd van de Grieken probeert men natuurwetten uit te drukken met getallen. De natuur is echter een dynamisch proces, zodat ook in de wiskunde veranderingen van grootheden beschreven moeten kunnen worden. Een eerste stap in de goede richting was de ontwikkeling van de analytische meetkunde door de Fransmannen René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665). René Descartes Door het begrip coördinaat in te voeren, kon men krommen met vergelijkingen beschrijven en was de link tussen meetkunde en algebra gelegd.

Om een juiste wiskundige beschrijving van de natuurwetten te geven, moesten 2 basisproblemen worden opgelost: het raaklijnenprobleem (om ogenblikkelijke verandering te beschrijven) en het probleem van oppervlakteberekening (de mate waarin de oppervlakte tussen een grafiek, de x-as en 2 verticalen verandert). Vele wiskundigen in de 17e eeuw hielden zich met die problemen bezig. Sommigen vonden gedeeltelijke oplossingen, maar niemand vond een allesomvattende theorie.

pl aa

Pierre de Fermat

jk ex

Algemeen wordt de ‘uitvinding’ van de wiskundige analyse (differentiaal- en integraalrekening) toegeschreven aan Isaac Newton en Gottfried Leibniz. Zij waren de eersten die, onafhankelijk van elkaar, een fundamentele theorie ontwikkelden om de gestelde problemen op te lossen. Newton gebruikte die nieuwe tak van de wiskunde om de beweging van planeten te verklaren en tal van andere fysische problemen op te lossen. Leibniz benaderde de analyse vanuit een puur wiskundig standpunt. Zijn opbouw en notaties waren dan ook veel consequenter dan die van Newton. De meeste notaties van Leibniz worden tot op de dag van vandaag gebruikt. Hoewel de analyse heel bruikbaar en succesvol bleek als hulpmiddel in de wetenschappen, miste de theorie een gefundeerde verantwoording. Men wist met andere woorden dat de analyse werkte, maar men wist niet waarom. Het duurde tot 1820 voor men erin slaagde de wiskundige analyse met een strikte logica te onderbouwen. Dat hebben we te danken aan de Franse wiskundige Augustin Cauchy, die in zijn werk gebruikmaakte van het begrip limiet. Nadien ontwikkelde de analyse zich verder tot een van de rijkste en meest toepasbare takken van de wiskunde.

1 2 3 4 5 6 7

Het Engelse genie Isaac Newton (1642-1727) wordt als een van de belangrijkste wetenschappers aller tijden beschouwd. Hij was bijzonder veelzijdig en deed heel zijn leven, slechts onderbroken door een periode van geestesziekte in 1693, onderzoek in de wiskunde, fysica, chemie, dynamica, optica, werktuigkunde, sterrenkunde en theologie. Newton was professor aan de universiteit van Cambridge, maar deed zijn belangrijkste ontdekkingen tussen 1664 en 1666, toen de universiteit gesloten was vanwege de heersende pest in Engeland.

Zijn bevindingen beschreef hij in zijn 2 belangrijkste werken: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) en Optics (1704). In het eerste boek openbaarde hij hoe zijn ‘nieuwe wiskunde’ de universele zwaartekracht en de beweging van lichamen op aarde, van planeten, kometen en andere hemellichamen kon beschrijven en verklaren. In Optics beschreef hij de samenstelling van wit licht en de theorie dat licht uit deeltjes bestaat.

210

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

Oefeningen REEKS A 14

Bereken de helling van de grafieken in het punt A.

y 5 4

Helling in A(1, 2):

3 A

2 1

x –2

–1

–2

–4 –5

f(x) = –2x + 4

f(x) = x2 – 4x – 4

pl aa

–3

2 1

Helling in A(3, −7):

–2

–1

–1 –2

jk ex

–3

–4 –5 –6

–7

–8

–2

f(x) = x3 – 4x2

2 1 –1

–1 –2 –3

x 1

Helling in A(1, −3):

–4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

211

REEKS B Raf rijdt anderhalf uur met zijn auto. Zijn afgelegde weg s, in km, na t uren wordt gegeven door de functie s(t) = 150t 2 − 50t 3 (0 < t < 1,5). Hij wordt een half uur na zijn vertrek geflitst. Bereken zijn ogenblikkelijke snelheid.

De dagelijkse winst W, in euro, van een klein bedrijfje dat x deuren per dag verkoopt, wordt gegeven door de functie W(x) = −x 2 + 980x 2 − 3 000. Bereken de marginale winst bij de verkoop van de 300e deur.

De totale maandelijkse opbrengst P, in euro, van een uitgeverij voor hun nieuwste uitgave, wordt gegeven door de functie P(x) = −20x 2 + 1 000x. Bereken DP(15) en geef de economische betekenis.

jk ex

pl aa

18 1

Het bevolkingsaantal in Afrika wordt benaderd door de functie a(x) = 0,02x 2 + 22,63x + 1 003. Hierbij is a het aantal mensen in miljoenen en x het aantal jaren na 2010. Bereken Da(20) en geef de demografische betekenis.

2 3 4 5 6 7 8

212

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.5

Afgeleide functie

8.5.1 Voorbeeld Neem de functie f (x) = x 2 − 4. Vul de tabel in. a

−3

y 11

−2

−1

9 8

Df (a)

+Df(3)

t–1

6 5

4 3

pl aa

–8 –7

• Voer de functie in.

–6 –5

–4

–3

–2

–1

–2 +1

–4 –5

x 5

+Df(–1)

jk ex

• In elk getal bereken je de afgeleide (bijvoorbeeld in het basisscherm met nDeriv).

Je ziet dat Df (a) =

geeft het verband weer tussen de afgeleide y en een getal x.

De vergelijking y =

Dat verband is zelf een functie en wordt de afgeleide functie van f genoemd. Je noteert die functie als Df.

Dus: Df (x) = Opmerking

Je kunt met de grafische rekenmachine ook een afgeleide functie invoeren. Daarvoor voer je nDeriv(Y 1 ,X,X) in de functie-editor in. distr

Y 1 verkrijg je met

vars

Y L1

Daarna kun je eenvoudig een lijst met functiewaarden van de afgeleide functie genereren.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

213

8.5.2 Definitie Definitie

Afgeleide functie De afgeleide functie van een functie f is de functie Df ⬊x 哫 Df (x).

Voorbeelden Maak gebruik van de grafische betekenis om van de functies de afgeleide functie te bepalen. afgeleide functie

f (x) = 2

Df (x) =

f (x) = −3x

Df(x) =

f (x) = x 2

Df (x) =

verklaring

jk ex

pl aa

functie

Het woord ‘afgeleide’ is een vertaling van het Franse woord ‘dérivé’, dat voor het eerst voorkomt in de geschriften van de Franse wiskundige Arbogast in 1800. Het is dan ook letterlijk een functie die ‘afgeleid’ is van een oorspronkelijke functie. Arbogast heeft zijn inspiratie wel gehaald bij de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die de notatie D x f 共x兲 eerder al gebruikte. Aan Euler hebben we de notatie f(x) voor een functie te danken. Het woord ‘functie’ komt van Descartes.

Newton gebruikte ‘fluent’ voor functies en ‘fluxion’ voor afgeleide. De afgeleide van een fluent x, afhankelijk van de tijd t, noteerde hij als x 共t兲 .

1 2 3

•

dy voor de verandering dx van de y-waarden als de x-waarden zeer kleine (‘infinitesimale’) veranderingen ondergaan. Die notatie wordt nog altijd veel gebruikt, vooral in de fysica.

Leibniz gebruikte dan weer de notatie

4 5

In veel boeken vind je ook de notatie f⬘(x), voor het eerst gebruikt door de Franse wiskundige Lagrange in 1797.

6 7 8

214

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

De rekenmachine van Leibniz

8.6

Rekenregels voor afgeleiden

8.6.1 Afgeleide van een constante functie y

De grafiek van een constante functie is In elk punt van deze grafiek is de raaklijn

y=c

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus altijd gelijk aan x

Rekenregel 1

Dc =

De grafiek van de functie f (x) = x is In elk punt van deze grafiek is de raaklijn

pl aa

8.6.2 Afgeleide van de functie f(x) = x

–3

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus altijd gelijk aan Rekenregel 2

Dx =

–2

y=x

2 1 ..........

–1

x 3

–1 –2

jk ex

8.6.3 Afgeleide van een functie f (x) = x n (n is een natuurlijk getal ⬎ 1) Afgeleide van de functie f(x) = x 2 • Vul de tabel in. −3

−2

−1

Df (x)

• Stel de puntenkoppels voor in een spreidingsdiagram en bepaal de vergelijking van de regressielijn.

• Besluit: Dx 2 =

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

215

Afgeleide van de functie f(x) = x 3 • Vul de tabel in. x

−3

−2

−1

Df (x)

pl aa

• Stel de puntenkoppels voor in een spreidingsdiagram en bepaal de vergelijking van de regressielijn.

• Besluit: Dx 3 =

jk ex

Afgeleide van de functie f(x) = x 4

De grafiek van de afgeleide functie van f(x) = x 4 doet je denken aan de grafiek

van de functie

Vermits Df (1) =

zal Dx 4 =

Overzicht

f (x) =

2 3

5 6 7

Rekenregel 3

Dx n =

216

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

Df (x) =

8.6.4 Afgeleide van een veelvoud Neem de functies

1 2 x . 2

f(x) = x 2, g(x) = 2x 2 en h(x) =

Vul de tabel in. Gebruik ICT voor Dg(x) en Dh(x).

−2

−1

Df (x)

Dg(x)

1 x 1

Dh(x)

pl aa

–1

Wat is het verband tussen Dg(x), Dh(x) en Df(x)? Rekenregel 4

D [r ⴢ f (x)] = Voorbeeld

Oplossing:

4 ␲ ⴢ r 3. Bereken DV(5) en geef de betekenis. 3

Het volume van een bol met straal r is V(r) =

⇒ DV(5) =

• DV(r) =

jk ex

• Betekenis:

8.6.5 Afgeleide van een som

Neem de functies f (x) = x 2, g(x) = 2x en f(x) + g(x) = x 2 + 2x. Dg(x) =

Df (x) =

•

• Vul de tabel in. Gebruik ICT voor D[f(x) + g(x)] . x

−2

−1

Df (x) Dg(x) D [f (x) + g(x)] • Wat is het verband tussen D[f(x) + g(x)] , Df (x) en Dg(x)? Rekenregel 5

D [f (x) + g(x)] =

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

217

8.6.6 Voorbeelden • Bereken de afgeleiden. D(7x + 8)

= D(7x) + D(8) = 7 ⴢ Dx + 0 =

D(4x 2 − 5x + 3)

= D(4x 2) − D(5x) + D3 = 4 ⴢ Dx 2 − 5 ⴢ Dx + 0

冉21 x

− 8x +

4 7

冊

pl aa

= =

jk ex

D(–10x 3 + 5x − 4) =

D(–x 3 + 9x 2 − 16) =

• Bepaal de helling van de grafiek 1 van f (x) = − x 2 + 3x − 4 in het punt P(5, f(5)). 2

Oplossing

y 1 x –2

–1

–1 –2 –3

–4 –5 –6

Á De helling in P is

• Diego en Isabella runnen een schoonheidssalon. Hun dagelijkse opbrengst TO, in euro, als ze x klanten over de vloer krijgen, is gelijk aan TO(x) = −0,005x 3 + 0,15x 2 + 30x − 150. Bereken de marginale opbrengst van de 30e klant.

2 3

Oplossing

5 6

Á MO(30) =

7 8

218

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.7

Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie

8.7.1 De vergelijking van een raaklijn opstellen y

+Df(a)

P f(a)

De vergelijking van een rechte door P(x 1, y 1) en met richtingscoëfficiënt m is y − y 1 = m ⴢ (x − x 1). Neem een functie f, afleidbaar in een getal a van dom f. De vergelijking van de raaklijn t a aan de grafiek van f in het punt P(a, f(a)) is

y − y1 = m ⴢ ( x − x1 ) ↓ ↓ ↓ f(a) Df (a) a

y − f(a) = Df(a) ⴢ (x − a)

De vergelijking van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P(a, f(a)) is y − f (a) = Df(a) ⴢ (x − a).

8.7.2 Voorbeeld

Formule

a+1

pl aa

y = f(x)

jk ex

1 1 • Teken de raaklijn aan de grafiek van de functie f(x) = − x 3 − x 2 + 2x + 2, 2 2 in het punt P(−2, 0). Oplossing

y 4

Á Df (x) =

Á Df (−2) =

2 1 x –4

–3

–2

–1

–1 –2

Á Vergelijking t −2 :

• Welke bijzondere ligging hebben de raaklijnen in de punten waar de functie een extreme waarde (maximum of minimum) vertoont?

• Aan welke voorwaarde moet de afgeleide van f in een getal a voldoen opdat f in a een extreme waarde zou hebben?

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

219

Oefeningen REEKS A Bepaal de afgeleide functie. a) f(x) = x 2 + 4x − 7

e) f(x) = −7x 3 + 5x 2 − 4x + 15

b) f(x) = 2x 2 − 5x + 3

f) f(x) =

2 3 5 2 x + x − 3x + 1 3 2

pl aa

c) f(x) = −5x 2 + 7x

1 3 8 2 x − x + 12x + 6 5 7

Bepaal de helling van de grafiek van de functies in het gegeven punt.

h) f(x) =

25 4 3 5 x − 12x 2 − x + 5 3 6

jk ex

d) f(x) = 6x 2 − 8x − 10

g) f(x) =

P(−1, f(−1))

c) f(x) = −

b) f(x) = 4x 2 + 3x − 5

P(3, f(3))

d) f(x) = 2x 3 − 3x 2 + 5x − 1

a) f(x) = −x 2 + 4x − 2

5 3 1 2 x + x − 6x 2 4

P(−2, f(−2))

1 2 3 4 5 6 7 8

220

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

冉21 , f 冉21 冊冊

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functies in het gegeven punt. a) f(x) = 5x − 7

P(2, f(2))

e) f(x) = −2x 2 − 4x + 9

b) f(x) = −2x 2 + 8x + 10

P(−1, f(−1))

f) f(x) =

3 2 x − 2x + 4 2

P(3, f(3))

冉21 , f 冉21 冊冊

P(0, f(0))

g) f(x) = −0,1x 3 + 3x 2 − 1,7x + 4,5 P(−2, f(−2))

P(1, f(1))

h) f(x) = 1,25x 3 − 5,65x 2 + 3,75x

jk ex

c) f(x) = 4x 2 − x + 1

pl aa

d) f(x) = −3x 3 − 7x + 2

P(−1, f(−1))

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

221

REEKS B 22

Als je op de planeet Mars een voorwerp laat vallen van een hoogte van 50 m, dan is de hoogte h, in m, van het voorwerp na t seconden gelijk aan h(t) = 50 âˆ’ 1,86t 2. a) Bepaal de snelheid v, in m/s, in functie van de tijd t, in s.

b) Bepaal de snelheid van het voorwerp na 3 s.

pl aa

c) Bepaal de afgeleide van de functie v.

d) Geef de fysische interpretatie van die afgeleide.

De afgelegde weg s, in km, van een motorrijder, t uren nadat hij ons huis is gepasseerd, wordt gegeven door de functie s(t) =

50 3 460 t âˆ’ 70t 2 + t. 3 3

jk ex

a) Bereken zijn gemiddelde snelheid in het derde uur van zijn rit.

b) Hoe snel rijdt hij 2 uur na zijn vertrek?

c) Bepaal zijn versnelling in km/h 2 na 1 uur. 1 2 3 4 5

d) Wat betekent dat resultaat?

6 7 8

222

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

Een bedrijf maakt externe harde schijven. Als het q harde schijven per uur produceert, dan is de kostprijs TK, in euro, gegeven door de functie TK(q) = 0,02q 3 − 1,5q 2 + 37,5q + 1 350. a) Bereken de marginale kostprijs om de 30e schijf te produceren.

b) Teken met ICT de grafiek van de functie TK.

pl aa

c) Bepaal met ICT de nulwaarden van de marginale kostenfunctie.

d) Wat is er bijzonder aan de grafiek van de totale kosten als MK = 0?

jk ex

e) Geef de economische betekenis van dat punt.

Een koffiebranderij heeft laten berekenen dat haar maandelijkse winst W, in euro, gelijk is aan 7 71 17 x3 + x 2 − x − 800. W(x) = − 180 000 1 800 3 Daarbij is x het aantal kilogram koffie dat ze per maand verkoopt.

a) Bereken de marginale winst MW bij de verkoop van de 500e kg.

b) Bepaal met ICT bij welke waarden van x de marginale winst gelijk is aan 0.

c) Teken met ICT de grafiek van de functie W. d) Geef de economische betekenis van de x-waarden waarvoor MW = 0.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

223

De concentratie C, in mg/l, van een medicijn in het bloed, t minuten nadat het is toegediend, wordt gegeven door de functie C(t) = −0,016t 2 + 2,32t. a) Bereken DC(100).

De lengte l, in cm, van een kind tijdens zijn eerste levensjaar wordt gegeven door de functie l(x) = −0,132 1x 2 + 3,593 8x + 50,7. Hierbij is x de leeftijd in maanden (0 < x < 12). Bereken, met afgeleiden, de groei van het kind tijdens de zevende maand.

jk ex

pl aa

b) Geef de betekenis van die afgeleide.

Het vermogen P, in kW, van een windmolen is P = 0,35 ⴢ v 3. Daarbij is v de windsnelheid in m/s. Bereken, met afgeleiden, de toename van het vermogen, als de windsnelheid toeneemt van 19 m/s naar 20 m/s.

1 2 3 4 5 6 7 8

224

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

Het percentage van de bevolking in Vlaanderen die in armoede leefde, van 2005 tot 2015, wordt benaderd door de functie p(x) = −0,03x 3 + 0,490 3x 2 − 2,107x + 17. Hierbij is p het percentage en x het aantal jaren na 2005 (0 < x < 10). a) Bereken Dp(7).

pl aa

b) Geef de demografische betekenis van de berekende afgeleide.

Het aantal faillissementen f in België wordt benaderd door de functie f (x) = −1,052x 4 + 28,833x 3 − 171,14x 2 + 447,46x + 7 289. Daarbij is x het aantal jaren na 2002.

a) Bereken Df (8).

Je slaat met een tennisracket een balletje verticaal omhoog. De hoogte h, in m, van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h(t) = −4,9t 2 + 25t + 1,25. Bereken, met afgeleiden, na hoeveel seconden de bal zijn hoogste punt bereikt.

jk ex

b) Geef de betekenis van dat resultaat.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

225

STUDIEWIJZER Hellingen en veranderingen 8.1 Toenamediagrammen KENNEN Een toenamediagram toont veranderingen van de afhankelijke veranderlijke y in intervallen met gelijke breedte van de onafhankelijke veranderlijke x. De lijnen worden boven de horizontale as getekend bij toename en onder de horizontale as bij afname.

KUNNEN Toenamediagrammen tekenen met ICT en interpreteren. In betekenisvolle situaties bij een gegeven tabel en/of grafiek een toenamediagram tekenen.

f (b) − f (a)

pl aa

KENNEN

8.2 Gemiddelde verandering

Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is

b−a

Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. b−a

䉭y 䉭x

is de richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten P 共a, f 共a兲兲 en Q 共b, f 共b 兲兲

van de grafiek van f.

f (b) − f (a)

KUNNEN

jk ex

In betekenisvolle situaties bij een gegeven tabel en/of grafiek de gemiddelde verandering van een functie over een interval berekenen en interpreteren. De grafische betekenis van gemiddelde verandering illustreren. Een probleem met behulp van gemiddelde verandering oplossen en de oplossing interpreteren.

8.3 Ogenblikkelijke verandering

KENNEN

De ogenblikkelijke verandering van een functie f in een getal a van het domein is de waarde f (a + h) − f(a) van het getal als h nadert naar 0. h

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P 共a, f 共a兲兲 is f (a + h) − f (a) lim . h h→0 Die richtingscoëfficiënt is een maatgetal voor de ogenblikkelijke helling van de grafiek in P.

KUNNEN 1 2

De ogenblikkelijke verandering in een bepaald punt van de grafiek benaderen met behulp van een tabel van differentiequotiënten.

3 4 5 6 7 8

226

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

8.4 Afgeleide van een functie in een getal KENNEN De afgeleide van f in a is het maatgetal voor de ogenblikkelijke helling van de grafiek van f in het punt P(a, f (a)). De marginale kostprijs MK is de afgeleide van de totale kostprijs TK. De marginale opbrengst MO is de afgeleide van de totale opbrengst TO. MK(q) ≈ TK(q) – TK(q – 1) MO(q) ≈ TO(q) – TO(q – 1)

KUNNEN De helling van de grafiek in een punt interpreteren met behulp van de afgeleide van de functie in dat punt. Een probleem met behulp van ogenblikkelijke verandering oplossen en de oplossing interpreteren.

8.5 Afgeleide functie

pl aa

KENNEN

De afgeleide functie van een functie f is de functie Df ⬊x 哫 Df 共x兲.

8.6 Rekenregels voor afgeleiden

KENNEN

Dx = 1 D[f (x) + g(x)] = Df (x) + Dg(x)

Dx n = n ⴢ x n − 1

Dc = 0 D [r ⴢ f(x)] = r ⴢ Df (x)

KUNNEN

jk ex

Met behulp van de rekenregels de afgeleide functie bepalen van een veeltermfunctie van graad hoogstens 3.

8.7 Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie KENNEN

De vergelijking van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P(a, f(a)) is y − f (a) = Df(a) ⴢ (x − a).

KUNNEN

De vergelijking van de raaklijn bepalen aan de grafiek van een veeltermfunctie van graad hoogstens 3 in een gegeven punt. De afgeleide van een functie interpreteren in vraagstukken.

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN

227

jk ex

pl aa

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8

228

HOOFDSTUK 8 I HELLINGEN EN VERANDERINGEN