Reken Maar! 5-6: rekenwijzer

Reken Rekenwijzer

aar!

5/6

Reken Maar! 5/6 Rekenwijzer Auteurs: Leen Bresseleers An Simons Ann Vanpaemel

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van die mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hun dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be. Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. © Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2018 De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Coverontwerp: Banananas Covertekening: Frieda Van Raevels Lay-outconcept: Michelangela, Utrecht Vormgeving en opmaak: PPMP Prepress Tekeningen: Jonas Van de Vyver Tekeningen bollobo’s: Frieda Van Raevels Eerste druk, derde bijdruk 2019 ISBN 978-90-306-8168-7 D/2018/0078/20 Art. 568898/04 NUR 192

Welkom in de Rekenwijzer!

Met deze Rekenwijzer kun je aan de slag: • als je oefeningen maakt – in je werkschrift of op Bingel, in de klas of thuis – en je daarbij wat hulp kunt gebruiken; • als je een stukje leerstof of een oplossingsweg wilt opzoeken waarvan je niet meer zeker bent; • als je bij een nieuw stukje leerstof even terug wilt gaan kijken naar wat je daarover al geleerd hebt; • als je leerstof herhaalt om je voor te bereiden op een toets; • ...

Misschien kun je thuis op wat hulp rekenen? Of ga je naar huiswerkbegeleiding?

Ook dan is deze Rekenwijzer handig om te tonen hoe jij iets in de klas hebt geleerd en dat op dezelfde manier samen te oefenen.

De Rekenwijzer is ingedeeld in vier delen: ‘Getallenkennis, Bewerkingen, Meten en metend rekenen en Meetkunde’, met elk hun eigen kleur, dezelfde als in je werkschrift.

De inhoud vind je op de volgende twee bladzijden. Maak daar handig gebruik van om de informatie die je zoekt snel terug te vinden.

Veel rekenplezier!

Klaar? Start!

3

INHOUD

Getallenkennis

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Getallen in de realiteit Natuurlijke getallen tot 1 000 000 000 Breuken Kommagetallen Afronden Delers en veelvouden Percent (procent) Verhoudingen Getalpatronen Tabellen, diagrammen en grafieken

6 8 10 16 20 21 24 27 29 30 Bewerkingen

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

4

Hoofdrekenen met natuurlijke getallen Hoofdrekenen met kommagetallen Hoofdrekenen met breuken Bewerkingen met haakjes Schattend rekenen en de beste manier van rekenen kiezen Cijferen: optellen Cijferen: aftrekken Cijferen: vermenigvuldigen Cijferen: delen Gemiddelde en mediaan De ongelijke verdeling Bruto, netto, tarra Kapitaal en interest Koopjes en kortingen Inkoopprijs en verkoopprijs, winst en verlies

32 38 45 48 48 50 51 53 55 58 59 60 60 61 62

INHOUD

Meten en metend rekenen

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Maat, maatgetal, maateenheid Lengte Inhoud Gewicht Omtrek Oppervlakte Landmaten Volume Soortelijk gewicht De datum en de kalender De klok aflezen De relatie tussen afstand, tijd en snelheid Geld Temperatuur Hoekgrootte Schaal

63 63 65 66 67 69 76 77 79 81 83 87 88 89 91 93 Meetkunde

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

Punten, lijnen en oppervlakken Hoeken Evenwijdig, snijdend en loodrecht Vlakke figuren Vierhoeken onderzoeken en tekenen De eigenschappen van vierhoeken Driehoeken onderzoeken en tekenen De cirkel Ruimtefiguren Vorm en grootte van figuren Spiegelingen en symmetrie Knipfiguren Omstructureren Draaien en verschuiven Patronen Kaartlezen: windroos, legenda, coรถrdinaten en routebeschrijving Kijklijnen Licht en schaduw Verschillende standpunten Blokkenbouwsels

94 95 96 98 99 101 104 106 107 110 111 112 112 113 113 114 115 116 118 119 5

1

Getallen in de realiteit a Functies van getallen Je kunt een getal op verschillende manieren gebruiken.

Een getal als verhouding

Een getal als hoeveelheid

Het getal is een breuk, een percent of staat voor een maateenheid, bv.

• Ik heb al 3/4 van mijn boek gelezen.

• 40 % korting!

• Buiten is het 4 °C.

Het getal is het antwoord op de vraag ‘hoeveel?’, bv.

• Acht atleten lopen op kop.

• Er waren 56 123 toeschouwers.

Mijn bankkaart heeft een pincode, maar die verklap ik niet!

Een getal als rangorde

Een getal als code

Het getal is het antwoord op de vraag ‘de hoeveelste?’, bv.

• Dit is de eerste keer!

• Ik sta op de 4e plaats.

Een getal kan ook een code aanduiden, bv.

• De code van mijn fietsslot: 2060.

• Mijn gsm-nummer: 0485 400 847.

b Negatieve getallen

−5 °C

20 15 10 5 0 –5 –10 –15 –20

6

°C

Een negatief getal is een getal kleiner dan nul.

Je herkent een negatief getal aan het minteken dat ervoor staat, bv. –15 m, –5 °C, verdieping –2, −€ 50 ...

Je zegt: • De duikboot vaart op min 15 meter of 15 meter onder de zeespiegel.

• Brr! Het is min 5 graden Celsius of 5 graden onder nul.

• De lift gaat naar verdieping min 2.

• Oei! Mijn rekening staat op min 50 euro.

• ...

c Romeinse cijfers Getallen in Romeinse cijfers worden gevormd met deze zeven symbolen: I

1

V

5

X

10

L

50

C

100

D

500

M

1 000 Daarbij gelden de volgende afspraken:

Ik Vervang Xaviers Lekkere Citroenen Door Mandarijnen

• De symbolen M, C, X en I worden ten hoogste drie keer na elkaar gebruikt in een getal.

• De symbolen D, L en V mogen maar één keer in een getal voorkomen.

• Een symbool met een lagere waarde achter een symbool met een hogere waarde wordt opgeteld. bv. LV = 50 + 5 = 55

MCL = 1 000 + 100 + 50 = 1 150 • Een symbool met een lagere waarde voor een symbool met een hogere waarde wordt afgetrokken.

Dat kan enkel met deze zes combinaties: IV = 4

IX = 9

XL = 40

XC = 90

CD = 400

CM = 900

Om Romeinse naar Arabische cijfers om te zetten of omgekeerd, hak je het getal het best in stukjes, bv.

CM LX IX 900 + 60 + 9 969

424 400 + 20 + 4 CDXXIV 7

2

Natuurlijke getallen tot 1 000 000 000 a Natuurlijke getallen lezen en schrijven Een getal bestaat uit cijfers. Die staan geordend in rangen. Elke rang heeft een andere waarde.

Md → 1 miljardtal = 1 000 000 000 HM → 1 honderdmiljoental = 100 000 000 TM → 1 tienmiljoental = 10 000 000 M → 1 miljoental = 1 000 000 HD → 1 honderdduizendtal = 100 000 TD → 1 tienduizendtal = 10 000 D → 1 duizendtal = 1 000 H → 1 honderdtal = 100 T → 1 tiental = 10 E → 1 eenheid = 1

Door groepjes van drie cijfers te scheiden, kun je grote getallen makkelijker lezen.

Een getal kun je in een positietabel noteren.

Zo wordt de waarde van elk cijfer duidelijk.

Md

HM 7

TM

M

HD

TD

D

H

T

E

2

1 3

3 0

2 1

9 8

4 5

5 0

6 4

1 329 456

Lees: é én miljoen driehonderdnegentwintigduizend vierhonderdzesenvijftig

Het getal bestaat uit: 1M + 3HD + 2TD + 9D + 4H + 5T + 6E of 1 000 000 + 300 000 + 20 000 + 9 000 + 400 + 50 + 6 723 018 504

Lees: zevenhonderddrieëntwintig miljoen achtienduizend vijfhonderdenvier

Het getal bestaat uit: 7HM + 2TM + 3M + (0HD) + 1TD + 8D + 5H + (0T) + 4E of 700 000 000 + 20 000 000 + 3 000 000 + 10 000 + 8 000 + 500 + 4 1 000 000 000 8

Lees: één miljard

b Natuurlijke getallen op een getallenas plaatsen Bepaal het verschil tussen twee getallen die al op de getallenas staan. Deel dat verschil door het aantal sprongen tussen die getallen. Zo weet je hoe groot de sprong tussen twee streepjes is.

8 000 − 7 000 = 1 000 en 1 000 : 4 = 250 + 1 000 + 250 7 250

7 000

7 500

7 750

8 000

155 000 − 125 000 = 30 000 en 30 000 : 3 = 10 000 + 30 000 + 10 000 125 000

135 000

145 000

155 000

c Natuurlijke getallen vergelijken en ordenen Twee natuurlijke getallen vergelijken doe je zo: 375 681 > 75 816 Het getal met de meeste rangen is het grootst.

75 816 > 48 269 Bij een gelijk aantal rangen kijk je eerst naar het cijfer in de hoogste rang.

7TD is meer dan 4TD. 70 000 is groter dan 40 000.

44 926 < 48 269 Is het cijfer in de hoogste rang gelijk, kijk dan naar het cijfer in de tweede rang.

4D is minder dan 8D. 4 000 is kleiner dan 8 000.

Zo kijk je bij gelijke rangen telkens een rang verder.

Om een reeks getallen te ordenen, ga je eerst op zoek naar het grootste of kleinste getal. Je vergelijkt het aantal rangen, bij een gelijk aantal rangen het cijfer van de hoogste rang enzovoort. Noteer dat getal op de juiste plaats in de ordening en zoek dan het op een na grootste of kleinste getal enzovoort.

Van groot naar klein: 375 681 > 75 816 > 48 269 > 44 926 9

3

Breuken a Breuken in de realiteit • De helft van de kandidaten was jonger dan 12 jaar.

1 2

• Ik heb al driekwart van mijn taak afgewerkt.

3 4

• Twee derde van de bezoekers was erg tevreden.

2 3

• 3 op de 5 leerlingen van onze school komen elke dag met de fiets.

3 5

b Breuken lezen, schrijven en voorstellen De teller zegt hoeveel delen je moet nemen.

De breukstreep geeft een verdeling in gelijke delen aan.

De noemer zegt in hoeveel gelijke delen het geheel verdeeld is.

c Een breuk nemen • Hoe groot is het geheel?

• In hoeveel gelijke delen moet ik verdelen?

Kijk naar de noemer.

• Hoe groot is één deel?

Deel het geheel door de noemer.

• Hoeveel delen moet ik nemen?

Kijk naar de teller.

• Hoeveel is dat samen?

Vermenigvuldig één deel met de teller.

10

Om een breuk te nemen van een grootheid, een hoeveelheid of een getal, stel en beantwoord je de breukvragen.

• Een breuk nemen van een vlakke figuur Kleur 3 van de rechthoek.

4 het geheel in 4 verdelen →

1 deel →

3 keer nemen →

• Een breuk nemen van een lijnstuk of strook Duid 4 van dit lijnstuk aan.

5

→ 10 cm : 5 = 2 cm → 4 × 2 cm = 8 cm 4 van 10 cm is 8 cm.

5

• Een breuk nemen van een hoeveelheid 3 van 20 = ?

4

→ 20 : 4 = 5 → 3 × 5 = 15 3 van 20 = 15 4

Herken je de breukvragen?

• Een breuk nemen van een getal 2 van 18 → 18 : 3 = 6 en 2 × 6 = 12 → 2 van 18 = 12 3 3 2 Dat mag je ook zo noteren: van 18 = (18 : 3) × 2 3 d Breuken groter dan 1 (gemengde getallen) Van breuk naar gemengd getal

4 = 1 geheel en 1 = 1 en 1 3 3 3

Van gemengd getal naar breuk

2 en 3 = 8 en 3 = 11 4 4 4 4

Een gemengd getal (bv. 1 en 1 ) bestaat uit een natuurlijk getal (1) en een breuk ( 1 ).

3 3 11

e Gelijkwaardige breuken / Breuken vereenvoudigen 1 1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 4

1 5

1 5

1 6

1 7

1 9

1 4

1 5

1 6

1 8

1 3

1 6

1 7

1 7

1 8 1 9

1 9

1 5 1 6

1 8 1 9

1 7 1 8

1 9

1 9

1 6 1 7

1 8

1 7

1 8 1 9

In een breukenmuurtje kun je op zoek gaan naar breuken die eenzelfde deel van het geheel aanduiden.

Die breuken zijn evenveel waard.

Het zijn gelijkwaardige breuken.

1 5 1 6

1 7

1 8

1 4

1 8

1 9

bv. 1 en 3 2 6

1 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Een breuk verandert niet van waarde ... ... als je teller en noemer ... als je teller en noemer door eenzelfde getal met eenzelfde getal deelt. vermenigvuldigt.

12

Ă&#x2014;2

:3

1=2 4 8 Ă&#x2014;2

6=2 9 3 :3

De eenvoudigste breuk vind je door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. (ggd: zie nr. 6a)

f Gelijknamige breuken / Breuken gelijknamig maken Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer, bv. 2 , 4 en 7 .

5 5 5 Ongelijknamige breuken kun je gelijknamig maken, bv. om ze te vergelijken. Je brengt ze dan op dezelfde noemer.

• Soms is de ene noemer een veelvoud van de andere en kun je de breuken op een van beide noemers brengen.

Vergeet niet om ook de teller aan te passen! :2 4 =2 10 5 :2

3 en 4 = 3 en 2 bv.

5 10 5 5 2 en 5 = 4 en 5 3 6 6 6 • Is dat niet het geval, zoek dan het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van beide noemers. (kgv: zie nr. 6b) bv. 2 en 3 = 8 en 9 3 4 12 12 g Breuken op een getallenas plaatsen 1 4

6 8

0

3 2 1

9 4 2

3

• Om te bepalen welke breuk bij het eerste streepje past, tel je in hoeveel stukjes de afstand tussen 0 en 1 verdeeld werd.

→ In 4 stukjes. Bij het eerste streepje past dus de breuk 1 .

4 Nu vind je makkelijk de plaats van alle breuken met noemer 4.

• Voor breuken met een andere noemer zoek je een gelijkwaardige breuk met noemer 4.

→ 6 = 3 en 3 = 6 8 4 2 4

• Een breuk groter dan 1 kun je eerst omzetten naar een gemengd getal om de plaats op de getallenas makkelijker te vinden.

→ 9 = 2 en 1 4 4 13

h Breuken vergelijken en ordenen 1<3<5<7 8 8 8 8

Van breuken met dezelfde noemer is de breuk met de grootste teller het grootst. â&#x2020;&#x2019; De delen zijn even groot. Hoe groter de teller, hoe meer delen je neemt.

1<1<1<1 6 5 4 3

2<2<2<2 6 5 4 3

Van breuken met dezelfde teller (dus ook stambreuken) is de breuk met de kleinste noemer het grootst.

14

i Een breuk als verhouding en als kans Karim maakte een toets van meetkunde.

Er waren 4 vragen, elk op evenveel punten.

Hij had 3 van de 4 antwoorden juist.

De punten voor meetkunde staan op het rapport op 20.

Karim wil graag weten hoeveel punten er op zijn rapport zullen staan.

Hij drukt zijn score uit in een breuk en zoekt een gelijkwaardige breuk op noemer 20. Ă&#x2014;5 3 van de 4 of 3 op 4 = 3 = 15 4 20 Ă&#x2014;5 Karim weet nu dat hij op zijn rapport 15 op 20 zal hebben.

Als je aan het rad draait, heb je 4 kansen op 12 dat het op een groen vak stopt.

Die kans kun je eenvoudiger uitdrukken als je ze als een breuk noteert en die vereenvoudigt. :4 4 op 12 = 4 = 1 = 1 op 3 12 3 :4

15

4

Kommagetallen a Kommagetallen in de realiteit Dit ijsje kost € 1,75.

De snelste rondetijd bedroeg 59,684 sec.

De thermometer geeft 38,4 °C aan.

b Kommagetallen lezen, schrijven en voorstellen Ook kommagetallen bestaan uit cijfers geordend in rangen die elk een andere waarde hebben.

Tussen E en t schrijf je een komma.

...

T E t h d

→ 1 tiental → 1 eenheid → 1 tiende → 1 honderdste → 1 duizendste

= 10 = 1 = 0,1 = 0,01 = 0,001

→ 1 = 0,1 = 1t 10 → 1 = 0,01 = 1h 100 1 geheel = 1E

16

→ 1 = 0,001 = 1d 1 000

Lees eerst hoeveel gehelen er in totaal zijn.

Lees dan de cijfers na de komma ook als één getal en benoem dat met de rang van het laatste cijfer.

In de positietabel schrijf je géén komma.

1,5 H

T

E

t

1

5

h

d

H

T

E

t

h

d

7

1

0

6

4

Dit is het getal 1 geheel 5 tienden.

Dit is het getal eenenzeventig gehelen vierenzestig duizendsten.

Het bestaat uit 1E + 5t of 1 + 0,5.

Het bestaat uit 7T + 1E (+ 0t) + 6h + 4d of 70 + 1 + 0,06 + 0,004.

1E

71,064

= 10t = 100h = 1 000d

De cijfers na de komma mag je aanvullen met nullen: 0,1 = 0,10 = 0,100 0,6 = 0,60 = 0,600

17

c Het verband tussen breuken en kommagetallen • Kommagetallen omzetten naar breuken 5 1 = 10 2 45 9 = 0,45 = 45 honderdsten = 100 20 250 1 = 0,250 = 250 duizendsten = 1 000 4

0,5 = 5 tienden =

Lees het kommagetal hardop.

Zo hoor je de breuk vanzelf!

Vereenvoudig de breuk nog als dat kan.

• Breuken omzetten naar kommagetallen 9 = 9 tienden = 0,9 10 3 = 3 honderdsten = 0,03 100 71 = 71 duizendsten = 0,071 1 000

Als je een breuk op noemer 10, 100 of 1 000 hardop leest, hoor je het kommagetal.

Van andere breuken zoek je eerst een gelijkwaardige breuk op noemer 10, 100 of 1 000.

Met je zakrekenmachine lukt het ook!

Deel de teller door de noemer.

1 = 1 : 2 = 0,5 2 1 = 1 : 4 = 0,25 4 1 = 1 : 8 = 0,125 8 1 = 1 : 50 = 0,02 50 18

2 4 = = 4 tienden = 0,4 5 10 13 65 = = 65 honderdsten = 0,65 20 100 1 125 = = 125 duizendsten = 0,125 8 1 000

Probeer ook eens 1 .

3

1 = 0,333 333 333... ≈ 0,33 3

d Kommagetallen op een getallenas plaatsen Het getal 3,225 bijvoorbeeld • ligt tussen 3 en 4; • ligt tussen 3,2 en 3,3; • ligt tussen 3,22 en 3,23.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

3,20

3,21

3,22

3,23

3,24

3,25

3,26

3,27

3,28

3,29

3,30

3,220 3,221 3,222 3,223 3,224 3,225 3,226 3,227 3,228 3,229 3,230

Als je zelf kommagetallen op een getallenas moet aanvullen, bepaal je eerst het verschil tussen twee getallen die al op de getallenas staan. Deel dat verschil door het aantal sprongen tussen die getallen. Zo weet je hoe groot de sprong tussen twee streepjes is.

13 − 12 = 1 en 1 : 5 = 0,2 +1 + 0,2 12

12,2

12,4

12,6

12,8

13 19

e Kommagetallen vergelijken en ordenen Twee kommagetallen vergelijken doe je zo: 3,1 > 2,29

1,3 > 1,08 1,30 > 1,08

Vergelijk eerst de gehelen.

Het getal met de meeste gehelen is het grootste getal.

Evenveel gehelen? Vergelijk de cijfers na de komma dan rang per rang, net zoals je dat bij natuurlijke getallen doet (nr. 2c).

Dat lukt het best als je beide getallen evenveel cijfers na de komma geeft door aan te vullen met nullen.

Om een reeks kommagetallen te ordenen, ga je eerst op zoek naar het grootste of kleinste getal. Je vergelijkt eerst de gehelen, bij evenveel gehelen de cijfers van de tienden enzovoort. Noteer dat getal op de juiste plaats in de ordening en zoek dan het op een na grootste of kleinste kommagetal enzovoort.

Van groot naar klein: 3,1 > 2,29 > 1,30 > 1,08

5

Afronden

≈ betekent ‘is ongeveer gelijk aan ...’

Getallen afronden is handig wanneer je: • de uitkomst van een bewerking wilt schatten; • iets ongeveer uit het hoofd wilt berekenen met ronde getallen, bv. om in de winkel te weten hoeveel je ongeveer zult moeten betalen.

± (plusminus) ook!

a Natuurlijke getallen afronden De situatie en de getallen bepalen op welke rang je afrondt.

tot op een T 1 632 12 453 125 853 20

Om te weten hoe je een getal op een rang afrondt, kijk je naar het cijfer van de net lagere rang: • 1, 2, 3 en 4 rond je naar beneden af; • 5, 6, 7, 8 en 9 rond je naar boven af. tot op een H

tot op een D

1 630 12 500 126 000

b Kommagetallen afronden tot op een E 32,456

tot op een t

tot op een h

32

2Â 453,53

2Â 453,5

298,389

6

298,39

Delers en veelvouden a Delers / gemeenschappelijke delers / de grootste gemeenschappelijke deler Een deler van een getal is een getal waardoor je het kunt delen zonder dat er een rest blijft.

Je kunt elk getal delen door 1 en door zichzelf.

7 is een deler van 28, want 28 : 7 = 4 en de rest is 0.

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee of meer getallen vind je in drie stappen.

1 Noteer alle delers van de getallen, bv. 12 en 28, in een T-schema.

2 Onderstreep de gemeenschappelijke delers: 1, 2 en 4.

12 1 2 3

28 12 6 4

1 2 4

28 14 7

3 Omkring de grootste deler die bij beide getallen voorkomt.

De ggd van 12 en 28 is 4.

De ggd kun je handig gebruiken om breuken te vereenvoudigen.

bv.

:4 12 = 3 28 7 :4

Getallen die enkel deelbaar zijn door 1 en door zichzelf, zijn priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ...

21

b Veelvouden Als je een getal vermenigvuldigt met een ander getal, krijg je een veelvoud van dat getal.

320 is een veelvoud van 8, want 40 × 8 = 320.

Een getal heeft oneindig veel veelvouden.

Het rijtje veelvouden gaat dus veel verder dan de maaltafel.

0 is een veelvoud van alle getallen (want vermenig­vuldigen met 0 geeft altijd 0 als product). bv.

• de veelvouden van 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70 ...

• de veelvouden van 200: 0, 200, 400, 600, 800, 1 000, 1 200, 1 400, 1 600, 1 800, 2 000, 2 200 ...

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee of meer getallen vind je in drie stappen.

Als kgv telt 0 niet mee!

1 Noteer een rijtje veelvouden van de getallen, bv. de veelvouden van 6 en 8 < 60 6 → 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 8 → 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 2 Onderstreep de gemeenschappelijke veelvouden: 0, 24, 48.

3 Omkring het kleinste veelvoud dat bij beide getallen voorkomt.

Het kgv van 6 en 8 is 24.

Je kunt het kgv handig gebruiken om breuken gelijknamig te maken!

22

bv. 1 en 3 = 4 en 9 6 8 24 24

c Deelbaar door 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, 50, 100 en 1 000 Een natuurlijk getal kun je delen ...

• door 2 als het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8. bv. 632, 4 918, 19 500 Die getallen noem je even of pare getallen.

Getallen die je niet kunt delen door 2 zijn oneven of onpaar.

Dit kun je handig gebruiken om de rest te bepalen zonder te rekenen!

• door 3 als je de som van de cijfers kunt delen door 3.

bv. 7 206 is deelbaar door 3 want de som van de cijfers (7 + 2 + 6 = 15) is deelbaar door 3. bv.

• door 4 als je het getal gevormd door de laatste twee cijfers kunt delen door 4. bv. 332, 2 060, 59 500 • door 5 als het eindigt op 0 of 5. bv. 605, 7 530, 100 000 • door 9 als je de som van de cijfers kunt delen door 9.

bv. 7 416 is deelbaar door 9 want de som van de cijfers (7 + 4 + 1 + 6 = 18) is deelbaar door 9.

• door 10 als het eindigt op 0. bv. 800, 4 230, 56 610 • door 25 als je het getal gevormd door de laatste twee cijfers kunt delen door 25. bv. 550, 7 275, 59 700 • door 50 als het eindigt op 00 of 50. bv. 300, 5 250, 6 400 • door 100 als het eindigt op 00. bv. 1 000, 8 900, 32 800 • door 1 000 als het eindigt op 000. bv. 4 000, 51 000

130 is deelbaar door 2, 5 en 10.

De rest is 0.

130 is niet deelbaar door 3, want de som van de cijfers (4) is geen veelvoud van 3.

Het veelvoud van 3 dat daar net voor komt is 3.

De rest is 4 − 3 = 1.

130 is niet deelbaar door 4, want 30 kun je niet delen door 4.

Het getal dat net kleiner is en wel deelbaar door 4 is 128.

De rest is 130 − 128 = 2.

130 is niet deelbaar door 25, want 30 kun je niet delen door 25.

Het getal dat net kleiner is en wel deelbaar door 25 is 125.

De rest is 130 − 125 = 5.

Enzovoort. Reken maar na!

23

7

Percent (procent) a Percenten in de realiteit • Op zijn toets van wiskunde haalde Bogdan 85 op 100 of 85 %.

• 79 % van de leerlingen komt te voet naar school.

Dat zijn 79 leerlingen per 100.

• Op boeken betaal je 6 % btw.

Dat is 6 euro op elke 100 euro.

25 percent = 25 % = 25 op 100 = 25 100 = ...

b Percenten lezen, schrijven en voorstellen Het vierkant is verdeeld in 10 × 10 = 100 vakjes.

1 van de 100 vakjes is blauw.

1 =1% 100

10 van de 100 vakjes zijn geel.

10 = 10 % 100

25 van de 100 vakjes zijn groen.

25 = 25 % 100

64 van de 100 vakjes blijven wit. 64 = 64 % 100 De cirkel is verdeeld in 5 gelijke delen.

Eén deel is 1 of 20 of 20 % van de cirkel.

5 100 3 of 60 of 60 % van de cirkel is gekleurd.

5 100 Zet een gewone breuk om naar een gelijkwaardige breuk op noemer 100 om het percent te vinden.

24

c Percent berekenen • Via de breuk op noemer 100: de 1 %-regel Een percent drukt een verhouding op 100 uit.

Je kunt een percent daarom altijd via de tussenstap van 1 of 1 % berekenen: 100 3 % van 400 = 3 van 400 100

Zo kan het ook: 400 100 %

↓ : 100 ↓ : 100 4 1 %

↓ × 3 ↓×3

12 3 %

(400 : 100) × 3 = 4 × 3 = 12

• Met de verhoudingstabel 3 % van 400 =

×4 3 100

12 400 ×4

3 verhoudt zich tot 100 zoals 12 zich verhoudt tot 400.

3 % van 400 = 12 • Soms lukt het handig via een eenvoudige breuk.

Handig om te onthouden!

bv. 25 % van 848 = 1 van 848 4 = 848 : 4 = 212

50 % = 50 = 1 100 2

12,5 % = 125 = 1 1 000 8

25 % = 25 = 1 100 4

75 % = 75 = 3 100 4

20 % = 20 = 1 100 5

80 % = 80 = 4 100 5

10 % = 10 = 1 100 10

30 % = 30 = 3 100 10

5%= 5 = 1 100 20

15 % = 15 = 3 100 20

bv. 75 % van 412 = 3 van 412 4 = (412 : 4) × 3 = 103 × 3 = 309 25

Doe maar mee!

• Moeilijke percenten bereken je met de ZRM. bv. 23 % van 879 = 23 van 879 100 = (879 : 100) × 23 = 202,17 Ik tik in:

879

:

100

×

23

=

Ik zie op het afleesscherm:

879

879

100

8.79

23

202.17

Je kunt ook de %-toets van je ZRM gebruiken.

Ik tik in:

879

×

23

%

Ik zie op het afleesscherm:

879

879

23

202.17

d Het verband tussen breuken, kommagetallen en percenten eenvoudige breuk

decimale breuk

kommagetal

percent

1 2

5 = 50 10 100

0,5

50 %

1 4

25 100

0,25

25 %

1 5

2 = 20 10 100

0,2

20 %

1 10

10 100

0,1

10 %

1 8

125 1 000

0,125

12,5 %

1 = 1 : 3 = 0,333... → ± 33 % 3 1 = 1 : 6 = 0,166... → ± 17 % 6 Met de ZRM kun je ook de andere breuken omzetten 26

1 = 1 : 7 = 0,142... → ± 14 % 7 1 = 1 : 9 = 0,111... → ± 11 % 9

e Percenten op de getallenas plaatsen Om percenten een plaatsje te geven op een getallenas, zet je ze eerst om in een breuk of een kommagetal en ga je verder als in nr. 3g en 4d. f Stijgingspercentage/groeipercentage

10%

PPMP +korting 50 % GRATIS

Dit verkeersbord staat bij een weg met een stijgingspercentage van 10 %. Dat betekent dat de weg per 100 m gemiddeld 10 meter stijgt, dat er per 100 m een hoogteverschil van 10 m is.

Als de weg bv. 360 meter lang is, zal er tussen het begin en het einde van de weg een hoogteverschil van 36 meter zijn.

Je kunt een stijgings- of groeipercentage ook voor andere dingen gebruiken. Als iets groter (of kleiner) wordt, wordt die groei vaak uitgedrukt in een percent.

Denk maar aan prijsstijgingen en promoties of aan de groei van de wereldbevolking.

Dit opschrift bv. geeft aan dat je 50 % of de helft meer krijgt dan wat normaal in de verpakking zit. Als dat normaal 400 g is, dan krijg je nu 400 g + 200 g of 600 g voor dezelfde prijs.

8

Verhoudingen a Verhoudingen vaststellen en vereenvoudigen

• De verhouding van de zwarte en blauwe kralen tot elkaar 1 zwarte kraal voor 3 blauwe kralen

= 1 op 3

=1:3

=1 3

3 blauwe kralen voor 1 zwarte kraal

= 3 op 1

=3:1

=3 1

• De verhouding van de zwarte en blauwe kralen tot het totale aantal kralen 4 van de 16 kralen zijn zwart.

= 4 op 16

= 1 op 4

=1:4

=1 4

12 van de 16 kralen zijn blauw.

= 12 op 16 = 3 op 4

=3:4

=3 4 27

b Verhoudingen omzetten in breuken en percenten

5 noem je ‘de evenredigheidsfactor’.

Jitte haalde 15 op 20 voor haar toets Frans.

Hoeveel percent is dat? ×5 15 20

75 100

= 75 %

15 = 75 = 75 % 20 100

×5 Jitte had 75 (of 3 ) van de vragen juist. Ze haalt 75 % op haar rapport.

100 4 c Verhoudingen vergelijken met de verhoudingstabel Stef haalt 34 voor Frans.

40

Joni haalt 24 voor Frans.

30

:2 34 40

:3 17 20

:2

24 30

×2 8 10

:3

Stef haalde 17 op 20 en Joni 16 op 20.

Stef scoorde dus naar verhouding beter voor Frans.

16 20 ×2

×6

d Recht en omgekeerd evenredig Hoe meer ijsjes je koopt, hoe meer je moet betalen.

De hoeveelheid ijs en de prijs stijgen recht evenredig.

×2 ijsjes

1

2

6

prijs

€3

€6

€ 18

×2 ×6 ×8 ×2 Hoe meer helpers, hoe minder tijd er nodig is om een werk uit te voeren.

Het aantal helpers en de tijd zijn omgekeerd evenredig.

helpers tijd

1

2

4 uur 2 uur 1/2 uur :2 :8

28

8

9

Getalpatronen Doe het stap voor stap.

• Bepaal de sprong tussen twee getallen.

Komt erbij of gaat eraf? Wordt er vermenigvuldigd of gedeeld?

• Noteer de sprongen met het juiste bewerkingsteken.

• Spring verder in je hoofd en vul de getallenrij aan.

• Controleer: blijft het patroon kloppen?

a Enkelvoudig patroon + 60 3 510

+ 60 3 570

×5 100

+ 60 3 690

3 630

×5 20

+ 60

×5

3 750

×5 2 500

500

+ 60 3 810

×5 12 500

62 500

b Samengesteld patroon – 1 000 9 200

+ 100 8 200

×2 250

– 1 000

500

7 300

8 300

:5

+ 100

×2 100

– 1 000 7 400

:5 200

6 400

×2 40

80

29

10

Tabellen, diagrammen en grafieken In een tabel en in een diagram of grafiek kun je gegevens op een ordelijke manier voorstellen.

Je kunt die gegevens er daarna handig van aflezen.

• Een enkelvoudige tabel

• Een kruistabel Aantal jarigen per seizoen in 5A

Aantal jarigen per seizoen in 5A

jongens

meisjes

lente

6

lente

4

2

zomer

5

zomer

2

3

herfst

2

herfst

0

2

winter

8

winter

3

5

totaal

21

totaal

9

12

Hoeveel jarigen zijn er in de herfst? → 2 jarigen.

Hoeveel meisjes zijn jarig in de winter? → 5 meisjes.

• Een staafdiagram 10

Aantal jarigen per seizoen in 5A

de legenda jongens meisjes

8 6 4 2

lente zomer herfst winter 30

6 5 4 3 2 1 0

Aantal jarigen per seizoen in 5A

lente zomer herfst winter

• Een lijngrafiek Gegevens waar een evolutie (voor- of achteruitgang) in zit, kun je ook weergeven in een lijngrafiek.

We starten de week met schitterende temperaturen.

In de loop van de week daalt de temperatuur geleidelijk, maar tegen het weekend wordt het opnieuw warmer!

De minimumtemperatuur schommelt de hele week rond 15 °C. 35 °C

temperatuur

30 °C 25 °C 20 °C

de legenda maximumtemperatuur minimumtemperatuur

15 °C 10 °C 5 °C 0 °C

ma

di

wo

do

vr

dagen • Een cirkeldiagram Instrumentkeuze van de 60 leerlingen van de muziekschool

de legenda piano gitaar

viool trompet

In één oogopslag zie je welk instrument het meest wordt gekozen.

Je kunt ook berekenen hoeveel leerlingen voor elk instrument kiezen.

De cirkel is verdeeld in 10. Elk deeltje stelt dus 1/10 of 10 % van het geheel voor. breuk

%

viool

1/10

10 %

piano

2/10

20 %

trompet

3/10

30 %

gitaar

4/10

40 %

10/10 100 %

aantal leerlingen 1 van 60 = 6 10 2 van 60 = 12 10 3 van 60 = 18 10 4 van 60 = 24 10 totaal = 60

31

11

Hoofdrekenen met natuurlijke getallen

‘Hoofdrekenen’ betekent: in je hoofd tussenstapjes bedenken, zodat je de opgave makkelijk kunt oplossen.

a Natuurlijke getallen optellen het plusteken de optelling

2 356 + 6 285 = 8 641

de som

de termen Bij een optelling mag je de termen van plaats wisselen.

• De standaardprocedure 25 356 + 2 780 = 25 356 + 2 000 + 700 + 80 = 27 356 + 700 + 80 = 28 056 + 80 = 28 136 • Handig optellen

Behoud de eerste term, splits de tweede en tel die er in stapjes bij.

Zo lukt het altijd!

Aanvullen 2 544 + 1 999 = (2 544 + 2 000) − 1 = 4 544 − 1 = 4 543

• 1 999 ligt dicht bij 2 000.

• Je telt er 2 000 bij. Dat is 1 te veel.

• Je moet er dus weer 1 aftrekken.

Bij één term een getal optellen en dat getal van de andere term aftrekken (of omgekeerd) om een rond getal te maken 6 498 + 217 = 6 500 + 215 ↓ ↓ = 6 715 + 2 − 2

54 502 + 438 = 54 500 + 440 ↓ ↓ = 54 940 − 2 +2

chakelen en van plaats wisselen S Je kijkt welke getallen je handig kunt samennemen.

150 + 270 + 130 = 150 + (270 + 130) = 150 + 400 = 550 32

275 + 150 + 25 = (275 + 25) + 150 = 300 + 150 = 450

b Natuurlijke getallen aftrekken

het minteken

de aftrekking

6 356 − 288 = 6 068

het verschil

het aftrektal de aftrekker

de termen

Bij een aftrekking moet het aftrektal altijd vooraan blijven staan.

• De standaardprocedure 18 356 − 2 408 = 18 356 − 2 000 − 400 − 8

Behoud het aftrektal, splits de aftrekker en trek die er in stapjes af. Zo lukt het altijd!

= 16 356 − 400 − 8 = 15 956 − 8 = 15 948 • Handig aftrekken Aanvullen 7 253 − 5 996 = (7 253 − 6 000) + 4 = 1 253 + 4 = 1 257

• 5 996 ligt dicht bij 6 000.

• Je trekt er 6 000 af. Dat is 4 te veel.

• Je moet er dus weer 4 bijtellen.

Bij beide termen hetzelfde getal optellen of van beide termen hetzelfde getal aftrekken om een rond getal te maken 67 432 − 293 = 67 439 − 300 ↓ ↓ = 67 139 + 7 +7

906 − 386 = 900 − 380 ↓ ↓ = 520 – 6 − 6

Aftrekkers van plaats wisselen en groeperen 3 817 − 525 − 117 = (3 817 − 117) − 525 = 3 700 − 525 = 3 175

17 912 − 1 214 − 486 = 17 912 − (1 214 + 486) = 17 912 − 1 700 = 16 212

Je kijkt welke term je het best eerst aftrekt of welke aftrekkers je bij elkaar kunt optellen tot een rond getal om van het aftrektal af te trekken.

33

c Natuurlijke getallen vermenigvuldigen de vermenigvuldiging

het maalteken 5 × 20 = 100

het product

de vermenigvuldiger het vermenigvuldigtal

de factoren

Bij een vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen.

• De standaardprocedure Splits één factor, vermenigvuldig elk deel apart en tel de producten bij elkaar op.

Zo lukt het altijd!

4 × 1 083 = (4 × 1 000) + (4 × 80) + (4 × 3) = 4 000 + 320 + 12 = 4 332

• Handig vermenigvuldigen Vermenigvuldigen zoals de maaltafels 6 × 7 = 42

↓ × 10 ↓ × 10 6 × 70 = 420

6 × 6 = 36

↓ × 100 ↓ × 100 6 × 600 = 3 600

8 × 9 = 72 ↓ × 10 ↓ × 10 ↓ × 100 80 × 90 = 7 200

Schakelen en van plaats wisselen Je kijkt welke factoren een rond getal als product geven.

Die vermenigvuldig je eerst.

13 × 6 × 50 = 13 × (6 × 50) = 13 × 300 = 3 900 34

4 × 9 × 25 × 3 = (4 × 25) × (9 × 3) = 100 × 27 = 2 700

Aanvullen 18 × 45 = (20 × 45) − (2 × 45) • 18 ligt dicht bij 20.

• Je vermenigvuldigt met 20. Dat is 2 te veel. = 900 − 90 • Je moet er dus 2 × 45 weer aftrekken. = 810 Een factor ontbinden 4 × 1 225 = 2 × (2 × 1 225)

= 2 × 2 450 2 × 2 = 4 900

2 250 × 8 = (2 250 × 2) × 2 × 2

= (4 500 × 2) × 2

2 × 2 × 2 = 9 000 × 2

= 18 000

Eén factor vermenigvuldigen met en de andere factor delen door hetzelfde getal 25 × 24 = ↓ × 4 ↓ : 4 100 × 6 = 600

45 × 18 = ↓ : 5 ↓×5 9 × 90 = 810

Vermenigvuldigen met 10, 100, 1 000 ...

684 × 10 = 6 840 684 × 100 = 68 400 684 × 1 000 = 684 000

× 10, × 100, × 1 000 ... betekent dat een getal 10, 100, 1 000 ... keer groter wordt.

Er komen één, twee, drie ... nullen bij.

Vermenigvuldigen met 5, 50 en 25 × 5 → eerst × 10, dan : 2 684 × 5 = (684 × 10) : 2 = 6 840 : 2 = 3 420 × 50 → eerst × 100, dan : 2 72 × 50 = (72 × 100) : 2 = 7 200 : 2 = 3 600

× 25 → eerst × 100, dan : 4 48 × 25 = (48 × 100) : 4 = 4 800 : 4 = 1 200

35

d Natuurlijke getallen delen

het deelteken

de deling

het quotiënt

150 : 3 = 50

het deeltal de deler

de factoren

Bij een deling moet het deeltal altijd vooraan blijven staan.

• De standaardprocedure 9 312 : 3 = (9 000 : 3) + (300 : 3) + (12 : 3) = 3 000 + 100 + 4 = 3 104

Splits het deeltal in getallen die je makkelijk kunt delen door de deler. Deel elk deel apart en tel de quotiënten bij elkaar.

Zo lukt het altijd!

18 162 : 9 = (18 000 : 9) + (90 : 9) + (72 : 9) = 2 000 + 10 + 8 = 2 018 • Handig delen Delen zoals de deeltafels

320 : 4 = 80 5 400 : 9 = 600 3 000 : 6 = 500 25 000 : 5 = 5 000 Als het deeltal 10, 100 ... keer groter wordt en de deler gelijk blijft, dan wordt het quotiënt ook 10, 100 ... keer groter.

320 : 40 = 8 5 400 : 900 = 6 30 000 : 60 = 500 250 000 : 5 000 = 50 Als ook de deler 10, 100 ... keer groter wordt, laat je in het deeltal en de deler hetzelfde aantal nullen weg voordat je de deling maakt zoals hiernaast.

Het deeltal aanvullen 17 820 : 90 = (18 000 : 90) − (180 : 90) • 17 820 ligt dicht bij 18 000.

• Je deelt 18 000. Dat is 180 te veel. = 200 − 2 • Je moet er dus 180 : 90 aftrekken. = 198

36

De deler ontbinden

Zo kan het ook:

2 040 : 8

2 × 2 × 2

= (2 040 : 2) : 2 : 2 = (1 020 : 2) : 2 = 510 : 2 = 255

2 040 : 8

4×2

= (2 040 : 4) : 2 = 510 : 2 = 255

6 600 : 12

3 × 4

= (6 600 : 3) : 4 = 2 200 : 4 = 550

6 600 : 12

6 × 2

= (6 600 : 6) : 2 = 1 100 : 2 = 550

Beide factoren vermenigvuldigen met of delen door hetzelfde getal 15 000 : 75 = ↓ × 2 ↓×2 30 000 : 150 = 200

Delen door 10, 100, 1 000 ...

4 860 000 : 10 = 486 000 4 860 000 : 100 = 48 600 4 860 000 : 1 000 = 4 860

7 200 : 12 = ↓ : 6 ↓:6 1 200 : 2 = 600

: 10, : 100, : 1 000 ... betekent dat een getal 10, 100, 1 000 ... keer kleiner wordt.

3 457 : 10 = 345,7 3 457 : 100 = 34,57 3 457 : 1 000 = 3,457

Delen door 5, 50 en 25 : 5 → eerst : 10, dan × 2 680 : 5 = (680 : 10) × 2 = 68 × 2 = 136 : 50 → eerst : 100, dan × 2 43 200 : 50 = (43 200 : 100) × 2 = 432 × 2 = 864

: 25 → eerst : 100, dan × 4 4 800 : 25 = (4 800 : 100) × 4 = 48 × 4 = 192 37

12

Hoofdrekenen met kommagetallen Alle handige rekenwijzen die je kent met natuurlijke getallen, kun je ook toepassen met kommagetallen.

a Kommagetallen optellen • De standaardprocedure 23,2 + 8,75 = 23,20 + 8 + 0,70 + 0,05 = 31,20 + 0,70 + 0,05 = 31,90 + 0,05 = 31,95

Behoud de eerste term, splits de tweede en tel die er in stapjes bij.

Je kunt de kommagetallen het best gelijk van rang maken door na de komma nullen aan te vullen.

• Handig optellen Aanvullen 42,17 + 1,98 = (42,17 + 2) − 0,02 = 44,17 − 0,02 = 44,15

• 1,98 ligt dicht bij 2.

• Je telt er 2 bij. Dat is 0,02 te veel.

• Je moet er dus 0,02 aftrekken.

Bij één term een getal optellen en dat getal van de andere term aftrekken (of omgekeerd) om een rond getal te maken 34,95 + 15,25 = 35 + 15,20 ↓ ↓ = 50,20 + 0,05 − 0,05

24,07 + 37,53 = 24 + 37,60 ↓ ↓ = 61,60 − 0,07 + 0,07

Schakelen en van plaats wisselen Je kijkt welke getallen je handig kunt samennemen.

15,85 + 27,3 + 13,15 + 2,7 = (15,85 + 13,15) + (27,3 + 2,7) = 29 + 30 = 59

38

b Kommagetallen aftrekken • De standaardprocedure 18,356 − 2,34 = 18,356 − 2 − 0,300 − 0,040 Behoud het aftrektal, splits de aftrekker en trek die er in stapjes af. = 16,356 − 0,300 − 0,040 Je kunt de kommagetallen het best gelijk van rang maken door = 16,056 − 0,040 na de komma nullen aan te vullen. = 16,016 • Handig aftrekken Aanvullen 17,5 − 3,85 = (17,5 − 4) + 0,15 = 13,50 + 0,15 = 13,65

• 3,85 ligt dicht bij 4.

• Je trekt er 4 af. Dat is 0,15 te veel.

• Je moet er dus weer 0,15 bijtellen.

Bij beide termen hetzelfde getal optellen of van beide getallen hetzelfde getal aftrekken om een rond getal te maken 6,24 − 2,89 = 6,35 − 3 ↓ ↓ = 3,35 + 0,11 + 0,11

9,06 − 3,86 = 9 − 3,80 ↓ ↓ = 5,20 − 0,06 − 0,06

Aftrekkers van plaats wisselen en groeperen 88,17 − 1,25 − 6,17 = (88,17 − 6,17) − 1,25 = 82 − 1,25 = 80,75

17,8 − 0,55 − 1,45 = 17,8 − (0,55 + 1,45) = 17,8 − 2 = 15,8

Je kijkt welke term je het best eerst aftrekt of welke aftrekkers je bij elkaar kunt optellen tot een rond getal om van het aftrektal af te trekken.

39

c Kommagetallen vermenigvuldigen • De standaardprocedure 3 × 2,83 = (3 × 2) + (3 × 0,80) + (3 × 0,03) = 6 + 2,40 + 0,09 = 8,49

Splits één factor, vermenigvuldig elk deel apart en tel de producten bij elkaar op.

4,7 × 0,8 = (4 × 0,8) + (0,7 × 0,8) = 3,20 + 0,56 = 3,76 • Handig vermenigvuldigen Vermenigvuldigen zoals de maaltafels 6 × 9 = 54

↓ : 10 ↓ : 10 6 × 0,9 = 5,4

8 × 6 = 48

↓ : 100 ↓ : 100 8 × 0,06 = 0,48

7 × 3 = 21 ↓ : 10 ↓ : 10 ↓ : 100 0,7 × 0,3 = 0,21

Schakelen en van plaats wisselen Je kijkt welke factoren een rond getal als product geven.

Die vermenigvuldig je eerst.

0,6 × 4 × 2,5 = 0,6 × (4 × 2,5) = 0,6 × 10 =6

0,2 × 0,25 × 6 × 8 = (0,2 × 6) × (0,25 × 8) = 1,2 × 2 = 2,4

Aanvullen 5 × 2,9 = (5 × 3) − (5 × 0,1) = 15 − 0,5 = 14,5

• 2,9 ligt dicht bij 3.

• Je vermenigvuldigt 3. Dat is 0,1 te veel.

• Je moet er dus 5 × 0,1 weer aftrekken.

Een factor ontbinden 6 × 12,5 = 3 × (2 × 12,5) = 3 × 25 = 75 3×2

40

15,75 × 8 = (15,75 × 2) × 2 × 2

= (31,5 × 2) × 2 2 × 2 × 2 = 63 × 2

= 126

Eén factor vermenigvuldigen met en de andere factor delen door hetzelfde getal 2,5 × 2,4 = ↓ × 4 ↓ : 4

10 × 0,6 = 6

45 × 1,8 = ↓ : 5 ↓ × 5 9 × 9 = 81

Vermenigvuldigen met 10, 100, 1 000 ...

0,325 × 10 = 3,25 0,325 × 100 = 32,5 0,325 × 1 000 = 325 0,325 × 10 000 = 3 250

× 10, × 100, × 1 000 ... betekent dat het kommagetal 10, 100, 1 000 ... keer groter wordt.

De komma schuift op naar rechts.

Als er geen cijfers meer na de komma staan, voeg je nullen toe.

Vermenigvuldigen met 0,1; 0,01; 0,001 325 × 0,1 = 325 : 10 = 32,5 325 × 0,01 = 325 : 100 = 3,25 325 × 0,001 = 325 : 1 000 = 0,325 32,5 × 0,1 = 32,5 : 10 = 3,25 32,5 × 0,01 = 32,5 : 100 = 0,325

× 0,1, × 0,01, × 0,001 betekent dat het (komma)getal 10, 100, 1 000 ... kleiner wordt.

Vermenigvuldigen met 0,1; 0,01; 0,001 is hetzelfde als delen door 10, 100, 1 000.

In een kommagetal schuift de komma op naar links.

Als er geen cijfers meer voor de komma staan, schrijf je een 0 bij de E.

Vermenigvuldigen met 0,5 × 0,5 is hetzelfde als : 2 0,5 × 124 = (1 × 124) : 2 = 124 : 2 = 62

0,5 is de helft van 1.

Vermenigvuldigen met 0,5 is dus hetzelfde als delen door 2.

41

Vermenigvuldigen met 5, 50 en 25 × 5 → eerst × 10, dan : 2 24,8 × 5 = (24,8 × 10) : 2 = 248 : 2 = 124

× 50 → eerst × 100, dan : 2 0,46 × 50 = (0,46 × 100) : 2 = 46 : 2 = 23

× 25 → eerst × 100, dan : 4 8,884 × 25 = (8,884 × 100) : 4 = 888,4 : 4 = 222,1

d Kommagetallen delen • De standaardprocedure Kommagetallen delen door natuurlijke getallen 32,64 : 8 = (32 : 8) + (0,64 : 8) = 4 + 0,08 = 4,08

Splits het deeltal in getallen die je makkelijk kunt delen door de deler.

Deel elk deel apart en tel de quotiënten bij elkaar.

23,4 : 9 = (18 : 9) + (5,4 : 9) = 2 + 0,6 = 2,6 Natuurlijke getallen of kommagetallen delen door kommagetallen 444 : 0,6 × 10 ↓ ↓ × 10 4 440 : 6 = (4 200 : 6) + (240 : 6) = 700 + 40 = 740

27,9 : 0,09 × 100 ↓ ↓ × 100 2 790 : 9 = (2 700 : 9) + (90 : 9) = 300 + 10 = 310

42

Werk de komma weg uit de deler door de deler en het deeltal 10, 100 of 1 000 keer groter te maken.

Het quotiënt blijft dan gelijk.

• Handig delen Delen zoals de deeltafels 32 : 4 = 8 ↓ : 10 ↓ : 10 3,2 : 4 = 0,8

Als het deeltal 10, 100 ... keer kleiner wordt en de deler hetzelfde blijft, wordt het quotiënt 10, 100 keer kleiner.

32 : 4 = 8

↓ : 10 ↓ × 10 32 : 0,4 = 80

Als het deeltal gelijk blijft en de deler 10, 100 ... keer kleiner wordt, dan wordt het quotiënt 10, 100 keer groter.

32 : 4 = 8 ↓ : 10 ↓ : 10 3,2 : 0,4 = 8

Als je deler en deeltal deelt door hetzelfde getal, blijft het quotiënt gelijk.

Het deeltal aanvullen 13,72 : 7 = (14 : 7) − (0,28 : 7) = 2 − 0,04 = 1,96

• 13,72 ligt dicht bij 14.

• Je deelt 14. Dat is 0,28 te veel.

• Je moet er dus 0,28 : 7 weer aftrekken.

De deler ontbinden 34,08 : 4

2 × 2

= (34,08 : 2) : 2 = 17,04 : 2 = 8,52

2 040 : 8

2 × 2 × 2

= (2 040 : 2) : 2 : 2 = (1 020 : 2) : 2 = 510 : 2 = 255

Beide factoren vermenigvuldigen met hetzelfde getal 7,5 : 0,03 = ↓ × 100 ↓ × 100 750 : 3 = 250

6,09 : 1,5 = ↓ × 2 ↓ × 2 12,18 : 3 = 4,06

43

Delen door 10, 100

48,6 : 10 = 4,86 48,6 : 100 = 0,486

: 10 en : 100 betekent dat het kommagetal 10, 100 keer kleiner wordt.

De komma schuift op naar links.

Als er geen cijfers meer voor de komma staan, schrijf je een 0 bij de E.

Delen door 0,1, 0,01, 0,001 258 : 0,1 = 258 × 10 = 2 580 258 : 0,01 = 258 × 100 = 25 800 258 : 0,001 = 258 × 1 000 = 258 000 2,58 : 0,1 = 2,58 × 10 = 25,8 2,58 : 0,01 = 2,58 × 100 = 258 2,58 : 0,001 = 2,58 × 1 000 = 2 580

Delen door 0,5 : 0,5 is hetzelfde als × 2 68 : 0,5 = (68 : 1) × 2 = 68 × 2 = 136

: 0,1 en : 0,01 en : 0,001 betekent dat het (komma)getal 10, 100, 1 000 keer groter wordt.

Het is hetzelfde als vermenigvuldigen met 10, 100 of 1 000.

In een kommagetal schuift de komma op naar rechts. Als er geen cijfers meer na de komma staan, voeg je nullen toe.

0,5 gaat 2 keer in 1. Delen door 0,5 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 2.

Delen door 5, 50 en 25 : 5 → eerst : 10, dan × 2 8,6 : 5 = (8,6 : 10) × 2 = 0,86 × 2 = 1,72 : 50 → eerst : 100, dan × 2 234 : 50 = (234 : 100) × 2 = 2,34 × 2 = 4,68 44

: 25 → eerst : 100, dan × 4 12,3 : 25 = (12,3 : 100) × 4 = 0,123 × 4 = 0,492

13

Hoofdrekenen met breuken Om breuken te kunnen optellen of aftrekken, moeten ze dezelfde noemer hebben. Ongelijknamige breuken moet je dus eerst gelijknamig maken.

Hoe je breuken gelijknamig maakt, vind je bij nr. 3f. a Breuken optellen Als je gelijknamige breuken optelt, maak je de som van de tellers.

De noemer verandert niet.

×2 1+3=4 5 5 5

1+ 7 = 2 + 7 = 9 5 10 10 10 10 ×2

b Breuken aftrekken Als je een breuk van een gelijknamige breuk aftrekt, zoek je het verschil van de tellers. De noemer verandert niet.

×2 4−2=2 5 5 5

4− 1 = 8 − 1 = 7 5 10 10 10 10 ×2

1− 4 = 5 − 4 = 1 5 5 5 5

Is de som groter dan 1 geheel?

Zet de breuk dan om naar een gemengd getal.

Hoe dat moet, vind je bij nr. 3d.

Vereenvoudig de som of het verschil als dat kan.

Hoe dat moet, vind je bij nr. 3e.

45

c Breuken vermenigvuldigen • Natuurlijk getallen vermenigvuldigen met breuken (of omgekeerd) Als je een breuk vermenigvuldigt met een natuurlijk getal, vermenigvuldig je alleen de teller met dat getal.

De noemer verandert niet.

Natuurlijk getal × breuk 3× 1 = 4

3× 2 = 7

1+1+1 4 4 4

2+2+2 7 7 7

= 3 keer 1 of 3 × 1 = 3 4 4 4

= 3 keer 2 of 3 × 2 = 6 7 7 7

Breuk × natuurlijk getal Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal is hetzelfde als die breuk nemen van een getal (zie nr. 3c).

1 × 16 is hetzelfde als 1 van 16 = 16 : 2 = 8.

2 2 3 × 280 is hetzelfde als 3 van 280 = (280 : 4) × 3 = 210.

4 4 • Breuken vermenigvuldigen met breuken 1×1= 3 2

↓

1 van 1 is hetzelfde als 1 × 1 = 1 3 2 3 2 6 46

Om twee breuken met elkaar te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers en de noemers met elkaar.

1×3= 2 8

↓

1 van 3 = 1 × 3 = 3 2 8 2 8 16 Om een breuk te delen door een natuurlijk getal, deel je de teller door dat getal en behoud je de noemer.

d Breuken delen • Breuken delen door natuurlijke getallen De teller is deelbaar

3 :3= 1 4 4 De teller is niet deelbaar

3 :6= 6 :6= 1 4 8 8

Als de teller geen veelvoud is van de deler, zoek je een gelijkwaardige breuk met een teller die je wel kunt delen.

Je kunt ook de teller behouden en de noemer vermenigvuldigen met de deler.

Dat geeft hetzelfde resultaat: 3 :6= 3 = 1 4 24 8

×

47

14

Bewerkingen met haakjes Let op de voorrangsregels.

Met of zonder haakjes kan een groot verschil maken!

Kijk maar naar deze voorbeelden.

• Als er enkel optellingen en aftrekkingen voorkomen, werken we van links naar rechts.

• Als er enkel vermenigvuldigingen en delingen voorkomen, werken we van links naar rechts.

• Als alle bewerkingen door elkaar voorkomen, gaan vermenigvuldigen en delen voor op optellen en aftrekken. bv.

14 + 10 × 2 = 14 + 20 = 34 120 + 80 : 4 = 120 + 20 = 140

81 − 27 : 9 = 81 − 3 = 78 340 − 8 × 2 = 340 − 16 = 324

Bewerkingen tussen haakjes hebben altijd voorrang! Die maak je altijd eerst.

(14 + 10) × 2 = 24 × 2 = 48 (120 + 80) × 2 = 200 × 2 = 400

15

(81 − 27) : 9 = 54 : 9 = 6 (340 − 8) × 2 = 332 × 2 = 664

Schattend rekenen en de beste manier van rekenen kiezen a Schattend rekenen Schattend rekenen met ronde getallen is handig wanneer je: • de uitkomst van een bewerking wilt schatten, bv. om het resultaat van een cijferoefening achteraf met de schatting te kunnen vergelijken.

• iets ongeveer uit het hoofd wilt berekenen. Daarbij kun je te groot of te klein schatten. Dat hangt af van de situatie.

– Als je in de supermarkt schat hoeveel je zult moeten betalen voor je boodschappen, kun je beter te groot schatten om zeker te zijn dat je genoeg geld bij je hebt.

– Als je schat hoeveel broodjes er nodig zijn voor een familielunch met kinderen en je rekent vier broodjes per persoon, mag je te klein schatten, want de kinderen zullen minder dan vier broodjes eten.

48

Je schat het nauwkeurigst als je: • bij optellen en vermenigvuldigen het ene getal naar boven afrondt en het andere naar beneden.

• bij aftrekken en delen beide getallen naar boven of naar beneden afrondt. bv.

bewerking

schatting

3 927 + 12 242

≈ 4 000 ↑+ 12 000 ↓

196,63 × 7,4

≈ 200 ↑ × 7 ↓

1 534 − 368

≈ 1 500 ↓ − 350 ↓

4 253 : 4,7

≈ 4 500 ↑ : 5 ↑

De afrondingsregels kunnen helpen.

Die vind je bij nr. 5.

Rond de getallen altijd zo af dat je er makkelijk uit het hoofd mee kunt rekenen.

b De beste manier van rekenen kiezen Er zijn verschillende manieren om bewerkingen op te lossen: • schattend, • uit het hoofd (volgens de standaardprocedure of ‘handig’), • cijferend, • met de zakrekenmachine.

Welke manier kies je? Dat hangt af van: • wat je wilt bereiken: een benaderend of een precies resultaat; • wat de juf of meester vraagt; • hoe moeilijk de opgave is; • wat jij het best kunt of het liefst doet.

Wat met de ZRM? • enkel met toestemming van je juf of meester of wanneer je het pictogram bij de oefening ziet; • bij moeilijke bewerkingen, moeilijke percenten, moeilijke breuken ...; • als controle bij cijferoefeningen.

49

16

Cijferen: optellen a Natuurlijke getallen cijferend optellen 5 160 + 247 + 3 756 = ≈ 5 200 + 200 + 3 800 = 9 200

+

1

1

1

5

1

6

0

2

4

7

3

7

5

6

9

1

6

3

• Maak altijd eerst een schatting.

Rond de termen zo af dat je er handig mee kunt rekenen.

• Schik de termen netjes onder elkaar, trek er een streep onder en plaats er het plusteken voor.

• Tel rang per rang op, van rechts naar links.

De ‘onthoudgetallen’ noteer je bovenaan.

b Kommagetallen cijferend optellen 2,69 + 9,064 + 12,2 = ≈ 3 + 10 + 10 = 23 1

+

1

2,

6

9

0

9,

0

6

4

1

2,

2

0

0

2

3,

9

5

4

• Let er bij kommagetallen op dat de komma’s mooi onder elkaar staan. Je kunt daarom de rangen na de komma het best gelijkmaken door aan te vullen met nullen, bv. 12,2 wordt 12,200.

• Kom je de komma tegen, plaats die dan ook in de som.

c Controlestrategieën bij cijferend optellen • Vergelijk de som met je schatting.

• Tik de optelling in op je zakrekenmachine en controleer het resultaat.

50

17

Cijferen: aftrekken a Natuurlijke getallen cijferend aftrekken 7 084 − 695 = ≈ 7 100 − 700 = 6 400

−

6

9 10

17

14

7

0

8

4

6

9

5

3

8

9

6

• Maak altijd eerst een schatting.

Rond de termen zo af dat je er handig mee kunt rekenen.

• Schik aftrektal en aftrekker netjes onder elkaar, trek er een streep onder en noteer er het minteken voor.

• Trek rang per rang af, van rechts naar links.

De ‘inwisselgetallen’ noteer je bovenaan.

b Kommagetallen cijferend aftrekken • Let er bij kommagetallen op dat de komma’s mooi onder elkaar staan. Maak de rangen na de komma gelijk door aan te vullen met nullen, bv. 153,4 wordt 153,40.

153, 4 − 29,48 = ≈ 150 − 30 = 120

1 −

1

4

12

13

10

5

3,

4

0

2

9,

4

8

2

3,

9

2

• Kom je de komma tegen, plaats die dan ook in het verschil.

51

c Controlestrategieën bij cijferend aftrekken • Vergelijk het verschil met je schatting • Tik de aftrekking in op je zakrekenmachine en controleer het resultaat.

• Maak de omgekeerde bewerking. Bij de aftrekking kun je het resultaat controleren door de aftrekker en het verschil op te tellen. De som moet dan gelijk zijn aan het aftrektal.

−

0

18

4

9 10

10

1

8,

5

0

0

9,

1

0

5

9,

3

9

5

1

= +

1

1

1

9,

1

0

5

9,

3

9

5

8,

5

0

0

Wijkt je resultaat bij een cijferoefening ver af van je schatting?

Klopt het resultaat op je ZRM niet met je eigen resultaat?

Zoek dan waar het misliep en verbeter je fout!

• Heb je de getallen correct overgeschreven?

• Heb je de rangen juist onder elkaar geschikt?

• Heb je geen fouten gemaakt bij het onthouden of het inwisselen?

• Heb je misschien een rekenfoutje gemaakt?

• Ben je de komma niet vergeten en staat ze op de goede plaats?

• ...

52

18

Cijferen: vermenigvuldigen a Natuurlijke getallen cijferend vermenigvuldigen met natuurlijke getallen 45 × 327 =

• Maak altijd eerst een schatting.

Rond de factoren zo af dat je er makkelijk mee kunt rekenen.

≈ 50 × 300 = 15 000 3 ×

+

2

7

4

5

1

6

3

5

3

1

1

3

0

8

0

2

1

1

4

7

1

5

• Schik de factoren netjes op de ruitjes: de factor met de meeste cijfers bovenaan, de andere factor er rechts onder.

• Trek er een streep onder en noteer er het maalteken voor.

• Teken een verticale streep rechts naast de opgave. Rechts daarvan komen de ‘onthoudgetallen’.

Als de vermenigvuldiger twee cijfers heeft, vermenigvuldig je eerst met de eenheden.

Daarna vermenigvuldig je met de tientallen. Je schrijft dan een 0 bij de eenheden.

Tot slot tel je beide producten samen.

b Natuurlijke getallen cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen 23 × 2,65 =

• Bij vermenigvuldigingen met kommagetallen vermenigvuldig je alsof er geen komma staat.

≈ 20 × 3 = 60 2,

6

5

2

3

7

9

5

1

1

5

3

0

0

1

1

6

0,

9

5

×

+

• Je plaatst de komma achteraf in het product. Dat telt evenveel cijfers na de komma als het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger samen.

• Om zeker te zijn over de plaats van de komma, controleer je die ook altijd met de schatting.

53

c Kommagetallen cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen Als de vermenigvuldiger drie cijfers telt, noteer je 0 bij de laatste rang van het tweede product, en 00 bij de laatste twee rangen van het derde product.

Tot slot tel je de drie producten op.

27,3 × 360,4 ≈ 30 × 300 = 9 000 3 ×

+

6

0,

4

2

7,

3

1

0

8

1

2

1

1

2

5

2

2

8

0

2

4

7

2

0

8

0

0

1

9

8

3

8,

9

2

d Controlestrategieën bij cijferend vermenigvuldigen • Vergelijk het product met je schatting.

• Tik de vermenigvuldiging in op je zakrekenmachine en controleer het resultaat.

• Maak de negenproef.

➊ Tel de cijfers van het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger op tot je een getal < 10 hebt. bv. het vermenigvuldigtal is 360,4 → 3 + 6 + 4 = 13 en 1 + 3 = 4. ➋ Vermenigvuldig die getallen met elkaar en tel de cijfers van dat product weer op tot je een getal < 10 hebt. ➌ Vergelijk dat getal met de som van de cijfers van de uitkomst.

Die twee getallen moeten gelijk zijn.

Vermenigvuldigtal ↓ 4 v × V → 3 = 3 ← product 3 ↑ vermenigvuldiger

54

19

Cijferen: delen a Natuurlijke getallen cijferend delen door natuurlijke getallen • Maak altijd eerst een schatting. Rond het deeltal zo af dat je het makkelijk kunt delen door de deler.

26 193 : 18 = ≈ 30 000 : 20 = 1 500

−

2

6

1

8

−

1

8

1

7

2

−

9

3

1

8

1

4

5

5

• Teken de deelstaart en schik het deeltal en de deler er netjes in.

• Maak de deling. Noteer het quotiënt en bepaal de rest.

9

9

9

0

−

9

3

9

0 3

q 1 455 r 3 b Kommagetallen cijferend delen door natuurlijke getallen • Schik de factoren netjes in de deelstaart.

53,8 : 13 =

• Deel zoals je dat gewoon bent.

≈ 50 : 10 = 5

−

5

3,

5

2

−

8

1

8

1

3

0,

5

1

3

4,

1

• Plaats de komma in het quotiënt wanneer je ze tegenkomt in het deeltal.

• Bepaal de waarde van de rest met behulp van de kommalijn. Schrijf 0, voor de kommalijn en vul (indien nodig) aan met nullen tot je bij de rest uitkomt.

q 4,1 r 0,5 55

Delen tot op een t, een h of een d nauwkeurig 782 : 22 = (tot op 0,01) ≈ 800 : 20 = 40

−

−

0

8

6

6

1

2

2

1

1

0

1

2

0

1

1

0

1

0

0

8

8

1

2

−

−

2,

0

7

0,

2

2

3

5,

5

4

q 35,54 r 0,12

• Delen tot op 0,1; 0,01; 0,001 nauwkeurig wil zeggen ‘doordelen tot het quotiënt één, twee of drie cijfers na de komma heeft’.

• Als het deeltal een natuurlijk getal is, voeg je er een komma en één, twee of drie nullen aan toe voordat je aan je deling begint.

Bij een kommagetal voeg je indien nodig nog één of twee nullen toe na de komma.

• Je maakt de deling zoals je dat gewoon bent. Je noteert het quotiënt en bepaalt de waarde van de rest met behulp van de kommalijn.

c Natuurlijke getallen cijferend delen door kommagetallen 3 830 : 2,5 = ≈ 4 200 : 3 = 1 400

−

−

3

8

2

5

1

3

3

1

2

5

−

3

0

8

0

7

5

−

0

5

1

5

3

2

3 830 : 2,5 = ↓ × 10 ↓ × 10 38 300 : 25

5

0

5

0 0

q 1 532 r 0 56

2

Bij delingen door een kommagetal werk je net als bij hoofdrekenen de komma weg uit de deler.

Dat doe je door deeltal en deler 10, 100 of 1 000 keer groter te maken. Het quotiënt verandert daardoor niet.

d Kommagetallen cijferend delen door kommagetallen e De waarde van de rest bij delen door een kommagetal

160,1 : 0,37 = ≈ 160 : 0,4 = 1 600 : 4 = 400

−

1

6

0

1

4

8

1

2

1

1

1

1

1

0

0

7

4

2

6

−

−

0,

1

0

3

7

4

3

2

q 432 r 0,26

Om de komma uit de deler weg te werken, heb je het deeltal 100 keer groter gemaakt.

Dat wil zeggen dat de rest die je in de deelstaart vindt ook 100 keer te groot is.

Je moet de rest dus weer 100 keer kleiner maken.

De rest is dus niet 26 maar 0,26.

Dat wordt duidelijk als je de omgekeerde bewerking maakt (zie hieronder).

f Controlestrategieën bij cijferend delen • Vergelijk het quotiënt met je schatting.

• Als de rest nul is, kun je de deling intikken op je zakrekenmachine en het resultaat controleren.

• Maak de omgekeerde bewerking. • Maak de negenproef.

Bij de deling kun je het resultaat ➊ Tel de cijfers van de deler en het controleren door het quotiënt quotiënt op tot je een getal > 10 hebt. met de deler te vermenigvuldigen ➋ Vermenigvuldig die getallen met en de eventuele rest daarbij op te elkaar en tel daar de rest bij. Tel de tellen. Het resultaat moet gelijk cijfers weer op tot een getal < 10. zijn aan het deeltal. ➌ Vergelijk dat getal met de som van de cijfers van het deeltal. Die twee q: 432 getallen moeten gelijk zijn. d: 0, 3 7 × deler

3024 ↓

12960 1 + d × q + r → 8 = 8 ← deeltal

1 5 9, 8 4 9

r: 0, 2 6 + ↑ D: 1 6 0, 1 0 quotiënt 57

20

Gemiddelde en mediaan a Het gemiddelde berekenen Om het gemiddelde van een reeks getallen te berekenen:

Ook een 0 telt mee als getal!

• tel je eerst alle getallen op; • deel je die som door het aantal getallen.

Malik maakte 3 toetsen van Frans en 4 toetsen van wiskunde.

Frans (op 10)

wiskunde (op 20)

7

14

6

16

8

17

• Het gemiddelde voor Frans: 7 + 6 + 8 = 21 21 : 3 = 7 • Het gemiddelde voor wiskunde: 14 + 16 + 17 + 13 = 60 60 : 4 = 15

13 Malik behaalde gemiddeld 7 op 10 voor Frans en 15 op 20 voor wiskunde. b De mediaan bepalen • Om de mediaan van een reeks getallen te vinden, orden je eerst alle getallen van klein naar groot of van groot naar klein.

• De mediaan is het middelste getal in die geordende reeks.

• Bij een even aantal getallen is er geen middelste getal. Dan neem je het gemiddelde van de middelste twee getallen.

58

bv. De mediaan van 7, 3, 4, 5, 6, 7, 5 • Geordend van klein naar groot: 3 4 5 5 6 7 7 → De mediaan is 5. bv. De mediaan van 4, 0, 4, 8, 9, 6 • Geordend van klein naar groot.

0 4 4 6 8 9 • 4 + 6 = 10 en 10 : 2 = 5 → De mediaan is 5.

21

De ongelijke verdeling a Je kent de som en het verschil (meer of minder).

Bie verdeelt 54 stickers onder haar broertjes.

Ton krijgt 4 stickers meer dan Jef. Hoeveel stickers krijgen ze elk?

54 stickers

⎧ Jef ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Ton

25 25

Jef krijgt 25 stickers.

4

Ton krijgt 25 + 4 = 29 stickers.

• Wat Ton meer krijgt, schrijf je eerst bij Ton en trek je af van het totale aantal: 54 − 4 = 50.

• Wat je overhoudt, verdeel je eerlijk onder twee → 50 : 2 = 25.

• Jef krijgt er 25, Ton krijgt er 25 + 4 = 29.

Je kunt ook zeggen dat Jef 4 stickers minder krijgt dan Ton. Ook dan schrijf je die 4 bij Ton en verdeel je wat er overblijft eerlijk onder hen twee.

Controle Het verschil klopt: Ton heeft 4 stickers meer dan Jef. De som klopt: samen hebben Jef en Ton 25 + 29 = 54 stickers. b Je kent de som en de verhouding.

Zaterdag gingen er 350 kinderen naar het Bollopopfestival.

In de grote tent zaten 4 keer zoveel kinderen als in de kleine tent.

Hoeveel zaten er in elke tent? ⎧ kleine tent ⎪ 350 ⎨ kinderen ⎪ ⎩ grote tent

70 70

70 kinderen 70

70

70

4 × 70 = 280 kinderen

• Kijk hoeveel delen er in de verhouding zijn.

4 delen in de grote tent, 1 deel in de kleine tent, samen 5 delen.

• Deel het aantal kinderen door dat aantal delen → 350 : 5 = 70.

• Verdeel de kinderen over de twee tenten volgens hun deel in de verhouding: 1 × 70 in de kleine tent, 4 × 70 in de grote tent.

Controle De verhouding klopt: in de grote tent zitten 4 keer zoveel kinderen als in de kleine, want 280 = 4 × 70.

De som klopt: samen zitten er 280 + 70 = 350 kinderen in de tenten.

59

Toepassingen De doelen bij een aantal toepassingen ‘logisch en wiskundig denken’ situeren zich deels binnen het domein Bewerkingen, deels binnen het domein Getallenkennis en deels binnen het domein Meten en Metend rekenen. Om ze in de Rekenwijzer onder te brengen, hebben we dus een keuze moeten maken.

Die keuze wordt duidelijk in de inhoudstafel.

22

Bruto, netto, tarra

doos met chocolaatjes

de chocolaatjes

de lege doos

bruto de inhoud + de verpakking het brutogewicht

netto de inhoud het nettogewicht

tarra de verpakking het tarragewicht

bruto netto

23

tarra

Kapitaal en interest



het bedrag dat je op je (spaar)rekening hebt staan

de (jaarlijkse) rente of interest



de vergoeding die je van de bank krijgt voor het bedrag op je (spaar)rekening

de rentevoet of interestvoet



het percentage waarmee de bank berekent hoe groot die vergoeding is

het kapitaal

60

bruto = netto + tara netto = bruto − tarra tarra = bruto − netto

bv. kapitaal interestvoet

interest na 1 jaar

nieuw kapitaal

€ 200

2%

(€ 200 : 100) × 2 = € 4

€ 200 + € 4 = € 204

€ 2 250

1,5 %

(€ 2 250 : 100) × 1,5 = € 33,75

€ 2 250 + € 33,75 = € 2 283,75

Moeilijke percenten reken je uit met je zakrekenmachine.

24

Koopjes en kortingen • Tijdens de koopjesperiode: alle zwemkleding voor de helft van de prijs!

Een zwemshort van € 25 kost dan nog € 25 : 2 = € 12,50 euro.

• Na de zomer kun je tuinmeubelen kopen voor 3/4 van de prijs.

Een tuinbank van € 360 kost dan nog (€ 360 : 4) × 3 = € 270.

• Vandaag twee bakjes aardbeien kopen, één gratis!

Voor drie bakjes van € 3,50 betaal je maar € 7 in plaats van € 10,50.

• Uitverkoop: alles − 25 %.

Je betaalt voor alles 25 % of een kwart minder dan de originele prijs.

Korting wordt vaak uitgedrukt in percent (%).

Veel percenten zijn makkelijk te berekenen als je ze omzet in een breuk.

Kijk nog eens bij nr. 7d.

Let op!

De nieuwe prijs is de oude prijs min de korting.

€ 24 steraanbied ing 25 % korting

Je berekent eerst de korting: 25 % = 1/4 → 1/4 van € 24 = € 24 : 4 = € 6 Om te weten hoeveel je nog moet betalen, trek je de korting af van de oude prijs.

Nieuwe prijs = € 24 − € 6 = € 18 Het T-shirt kost nog 18 euro.

61

25

Inkoopprijs en verkoopprijs, winst en verlies

inkoopprijs



de prijs die je betaalt, bv. aan een groothandel, voor de producten die je koopt

verkoopprijs



de prijs waaraan je die producten zelf verkoopt

Je maakt winst als je meer krijgt dan wat je zelf betaald hebt. verkoopprijs > inkoopprijs → winst Je lijdt verlies als je minder krijgt dan wat je zelf betaald hebt. verkoopprijs < inkoopprijs → verlies bv.

inkoopprijs

Jullie kopen snoepjes voor € 0,80 per 100 g om te verkopen voor een goed doel.

verkoopprijs

Jullie verkopen ze voor € 1,20 per 100 g.

winst

Jullie maken € 0,40 winst per 100 g.

inkoopprijs

Een boekhandelaar heeft strips gekocht voor € 4,50 per stuk.

Na een jaar verkoopt hij de verkoopprijs exemplaren die overblijven voor maar € 3 per stuk. verlies 62

De boekhandelaar lijdt € 1,50 verlies per strip.

inkoopprijs (IP) € 0,80

winst (W) € 0,40

verkoopprijs (VP) € 1,20 IP + W = VP € 0,80 + € 0,40 = € 1,20

verkoopprijs (VP) €3

verlies (V) € 1,50

inkoopprijs (IP) € 4,50 IP − V = VP € 4,50 − € 1,50 = € 3

26

Maat, maatgetal, maateenheid Om het resultaat van een meting uit te drukken, gebruik je een maatgetal en een maateenheid.

Het maatgetal en de maateenheid samen noemen we de maat. bv. De hoogste boom in onze tuin is 12 m hoog.

maatgetal maateenheid

maat

27

Lengte Lengte betekent: hoe lang, kort, breed, diep of hoog iets is.

Een lengte kun je meten.

Daarvoor kun je allerlei meetinstrumenten gebruiken.

Welk instrument je kiest, hangt af van wat je moet meten.

de lintmeter

de meetlat

de vouwmeter de rolmeter

het meetwiel

de bordlat 63

a De maateenheden van lengte de meter (m)

• de bordlat • de breedte van een deur • ...

de decimeter (dm)

de centimeter (cm)

• de lengte van • de lengte van een rekenblokje een rekenstaafje • de breedte • de lengte van van een een wijsvinger vingernagel • ...

• ...

de millimeter (mm)

• de dikte van een potloodlijntje • de afstand tussen twee streepjes op je lat • ...

de kilometer (km) • de afstand die je stapt in een kwartier • de afstand van school tot ...

• ...

b Het verband tussen de maateenheden km

100 m

10 m

m

dm

cm

1

0

0

1

0 1

64

0

0

0

1 m = 100 cm 1 m = 10 dm

0 1

1

mm

1 dm = 10 cm 0

1 cm = 10 mm 1 km = 1 000 m

28

Inhoud Inhoud betekent: hoeveel er in een verpakking of een voorwerp kan.

Een inhoud kun je meten. Daarvoor gebruik je een maatbeker.

Maatbekers zijn er in alle soorten.

Welke je het best gebruikt, hangt af van wat je moet meten.

a De maateenheden van inhoud de liter (l)

de deciliter (dl)

• een half • een groot brikje sap pak melk • een (glazen) fles • een flesje drinkyoghurt water • ...

• ...

de centiliter (cl)

de milliliter (ml)

• een inktbuisje • ongeveer 20 druppels • ...

• een eetlepel • een flesje nagellak • ...

b Het verband tussen de maateenheden l

dl

cl

1

0

0

1

0 1

ml 1 l = 100 cl 1 l = 10 dl

0 1

1 dl = 10 cl 0

1 cl = 10 ml 65

29

Gewicht Gewicht betekent: hoe zwaar of licht iets is, of hoeveel iets weegt.

Een gewicht kun je meten, of beter: wegen.

Daarvoor kun je allerlei weegschalen gebruiken.

Welke weegschaal je kiest, hangt af van wat je moet wegen.

de personenweegschaal de weegbrug de meethaak

de keukenweegschaal de balans

a De maateenheden van gewicht de ton

het kilogram (kg)

• ongeveer het gewicht van een kleine auto • ...

het gram (g)

• een pak suiker(klontjes) • ongeveer 2 paperclips • een punaise of • een pak bloem bordprikker • een liter water • een envelop • ...

• ...

b Het verband tussen de maateenheden ton

1 66

100 kg

0

10 kg

0

kg

100 g

10 g

g

1

0

0

0

0

1 kg = 1 000 g 1 ton = 1 000 kg

30

Omtrek a De omtrek van veelhoeken De omtrek is een lijn die je om een figuur kunt trekken.

Het is ook de lengte van die lijn.

vierhoek

3 cm

1 cm

De omtrek van een veelhoek kun je berekenen. Daarvoor maak je de som van de lengte van alle zijden.

4 cm

2 cm 3 cm + 4 cm + 2 cm + 1 cm = 10 cm

vierkant

ruit 3 cm 3 cm

3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 12 cm

3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 12 cm

of 4 × 3 cm = 12 cm

of 4 × 3 cm = 12 cm

rechthoek

parallellogram 4 cm

4 cm 2 cm

2,5 cm

4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm

4 cm + 2,5 cm + 4 cm + 2,5 cm = 13 cm

of 2 × (4 cm + 2 cm) = 12 cm

of 2 × (4 cm + 2,5 cm) = 13 cm

Denk aan de eigenschappen van de zijden.

Zo hoef je minder te meten en lukt het rekenwerk handiger!

67

gelijkzijdige driehoek

gelijkbenige driehoek

3 cm

3 cm

4 cm 3 cm + 3 cm + 3 cm = 9 cm

3 cm + 4 cm + 3 cm = 10 cm

of 3 × 3 cm = 9 cm

of (2 × 3 cm) + 4 cm = 10 cm

gelijkbenig trapezium

regelmatige achthoek

2 cm 2 cm 3 cm

4 cm

2 cm + 3 cm + 4 cm + 3 cm = 12 cm

2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 16 cm

of (2 × 3 cm) + 2 cm + 4 cm = 12 cm

of 8 × 2 cm = 16 cm

b De omtrek van niet-veelhoeken De omtrek van niet-veelhoeken kun je meten met een touwtje.

• Leg het touwtje mooi om de figuur.

• Knip het af wanneer je helemaal rond bent.

• Strek het touwtje naast je meetlat en meet het nauwkeurig.

68

c De omtrek van de cirkel De omtrek van een cirkel kun je meten met een touwtje, maar je kunt hem ook berekenen.

Als je de lengte van het touwtje (de omtrek van de cirkel) deelt door de lengte van de diameter, is het quotiënt altijd ongeveer gelijk aan 3,14.

Dat getal noemen we π (pi). ↓

omtrek cirkel : diameter = π Om de omtrek van een cirkel te vinden als je de diameter kent, moet je de diameter dus vermenigvuldigen met π.

Dat geeft als formule:

omtrek straal (r)

Als de diameter van een cirkel 4 cm meet, dan is de omtrek: 3,14 × 4 cm = 12,56 cm Als de straal van een cirkel 3 cm meet, dan is de diameter 2 × 3 cm of 6 cm en is de omtrek:

Omtrek cirkel = π × d of

π×2×r

31

diameter (d)

3,14 × 6 cm = 18,84 cm

Oppervlakte

² lees je als ‘vierkante’. dm² is dus vierkante decimeter.

a De maateenheden van oppervlakte

De oppervlakte is de grootte van een oppervlak.

Een oppervlakte kun je meten en uitdrukken in oppervlaktematen. km²

m²

dm²

1 km

cm²

1 cm

1m 1 dm • een vierkantevoor heel grote oppervlakken zoals metertuintje • een halve deur landen, zeeën, • ... meren ...

• het grootste vlak • een zijvlak van een rekenblokje van een plak • een vingernagel • een bierviltje • ...

• ...

69

b Het verband tussen de maateenheden km²

1

10 000 m²

0

1 m² = 100 dm² 1 m² = 10 000 cm²

0

100 m²

0

0

m²

0

dm²

cm²

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1 dm² = 100 cm²

1 km² = 1 000 000 m²

Bij oppervlakte houd je rekening met twee afmetingen: een basis en een hoogte.

Vandaar de ² in de maateenheden.

Bij oppervlaktematen is elke volgende maateenheid 10 × 10 of 100 keer groter dan de vorige.

Vandaar de twee kolommen per maateenheid in de tabel.

Opgelet! De eenheid in het maatgetal hoort bij de maateenheid.

m² 2

3

1

3

0

5

0

7

23 dm² = 2 300 cm² 1,3 m² = 130 dm² 15,07 m² = 1 507 dm²

70

1

dm²

cm² 0

0

c De oppervlakte van de rechthoek en het vierkant

5 cm

Je kunt de oppervlakte van deze rechthoek vinden door te tellen hoeveel vakjes er in de breedte en in de hoogte zijn en die aantallen met elkaar te vermenigvuldigen.

Dat zijn hier 3 × 5 of 15 vakjes van 1 cm².

De oppervlakte van de rechthoek is 15 cm².

Dat kun je ook vinden zonder vakjes te tellen.

Je meet dan de basis en de hoogte van de rechthoek en vermenigvuldigt ze met elkaar.

3 cm

Oppervlakte rechthoek = basis × hoogte = 3 cm × 5 cm = 15 cm² Formule: b × h Ook de oppervlakte van een vierkant kun je op die manier berekenen.

3 cm

3 cm

Oppervlakte vierkant = basis × hoogte = 3 cm × 3 cm = 9 cm² Formule: b × h

d De oppervlakte van het parallellogram Je kunt een parallellogram omvormen tot een rechthoek met een gelijke basis en een gelijke hoogte.

Je berekent de oppervlakte dan ook met dezelfde formule.

2 cm

4 cm

Oppervlakte parallellogram = basis × hoogte = 4 cm × 2 cm = 8 cm² Formule: b × h

71

e De oppervlakte van de driehoek Elke driehoek kun je zien als de helft van een rechthoek, vierkant of parallellogram met dezelfde basis en hoogte.

2 cm

Oppervlakte driehoek = (basis × hoogte) : 2 = (3 cm × 2 cm) : 2 = 6 cm² : 2 = 3 cm²

3 cm

Formule: (b × h) : 2 f De oppervlakte van de ruit

2 cm

Je kunt de oppervlakte van een ruit berekenen door ze om te structureren. Zo kun je de ruit verdubbelen tot een rechthoek met dezelfde basis als de grote diagonaal en dezelfde hoogte als de kleine diagonaal. De oppervlakte van de ruit is de helft van de oppervlakte van die rechthoek.

d

D

4 cm

Oppervlakte rechthoek = basis × hoogte = 4 cm × 2 cm = 8 cm² Oppervlakte ruit = (grote diagonaal × kleine diagonaal) : 2 = (4 cm × 2 cm) : 2 = 8 cm² : 2 = 4 cm² Formule: (D × d) : 2 g De oppervlakte van het trapezium Je kunt een trapezium verdelen in veelhoeken waarvan je de oppervlakte kunt berekenen. De oppervlakte van het trapezium is dan gelijk aan de som van de oppervlaktes van de delen.

Een trapezium verdelen kan op verschillende manieren.

Kies de manier die jij het handigst vindt.

2 driehoeken

rechthoek en 2 driehoeken

parallellogram en driehoek 2 cm

Oppervlakte parallellogram: 2 cm × 2 cm = 4 cm²

Oppervlakte driehoek: 2 cm (1 cm × 2 cm) : 2 = 1 cm² 2 cm 72

1 cm

Oppervlakte trapezium: 4 cm² + 1 cm² = 5 cm²

h De oppervlakte van willekeurige en regelmatige veelhoeken Je kunt de oppervlakte van willekeurige veelhoeken altijd berekenen door ze om te structureren naar veelhoeken waarvan je de oppervlakte kunt berekenen.

Deze voorbeelden tonen dat dat op verschillende manieren kan: e veelhoek opdelen, de oppervlaktes van de delen D berekenen en de som van die oppervlaktes maken.

1,5 cm

e oppervlakte van deze veelhoek is tweemaal de D oppervlakte van het parallellogram:

3 cm

2 × (3 cm × 1,5 cm) = 9 cm² De veelhoek omvormen tot een vierhoek door stukken van de veelhoek ‘af te knippen’ en op een andere plaats bij te ‘plakken’ en daarvan de oppervlakte berekenen.

3 cm × 3 cm = 9 cm²

1,5 cm²

0,75 cm²

1 cm 0,75 cm²

e veelhoek aanvullen tot een vierhoek, de D oppervlakte van die vierhoek berekenen en daar de oppervlaktes van de bijgevoegde driehoeken van aftrekken.

4 cm × 3 cm = 12 cm² 12 cm² − 1,5 cm² − 0,75 cm² − 0,75 cm² = 9 cm²

Een regelmatige veelhoek kun je altijd verdelen in gelijke driehoeken.

Bereken de oppervlakte van één driehoek en vermenigvuldig die met het aantal driehoekjes.

1,7 cm

2 cm

Oppervlakte driehoek: (1,7 cm × 2 cm) : 2 = 1,7 cm² Oppervlakte regelmatige achthoek: 8 × 1,7 cm² = 13,6 cm²

73

i De oppervlakte van niet-veelhoeken Kies een werkwijze die jij makkelijk vindt.

• Met een meetrooster: de hele en halve ruitjes van 1 cm² binnen de figuur verschillend kleuren en zo tellen hoeveel hele ruitjes van 1 cm² de figuur ongeveer bedekt.

• Een vierhoek binnen de figuur tekenen waarvan je de oppervlakte kunt berekenen. De hele en halve ruitjes tellen die buiten die vierhoek vallen en het totale aantal cm² bij de oppervlakte van de vierhoek tellen.

• Een vierhoek buiten en een vierhoek binnen de figuur tekenen.

Van beide de oppervlakte berekenen en daar het gemiddelde van nemen.

De oppervlakte van deze figuur is ± 42 cm².

1 cm² j De oppervlakte van de cirkel Je kunt de oppervlakte van een cirkel bij benadering bepalen met een meetrooster, maar je kunt die ook berekenen met een formule: Oppervlakte cirkel = π × r × r

diameter (d)

Als de straal van een cirkel 2 cm meet, dan is de oppervlakte: 3,14 × 2 cm × 2 cm = 12,56 cm²

straal (r)

Als de diameter van een cirkel 6 cm meet, dan is de straal 3 cm lang en is de oppervlakte: 3,14 × 3 cm × 3 cm = 28,26 cm²

74

k De oppervlakte van de kubus, de balk en de cilinder De oppervlakte van een ruimtefiguur is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de zijvlakken.

Om de oppervlakte van een ruimtefiguur te bepalen, moet je dus nogal wat rekenen.

Maar, als je de figuren goed bekijkt, kun je het rekenwerk soms beperken. kubus Een kubus heeft 6 gelijke vierkanten als zijvlak.

3 cm

Oppervlakte kubus = 6 × de oppervlakte van 1 zijvlak = 6 × (3 cm × 3 cm) = 6 × 9 cm² = 54 cm²

balk

Een balk heeft 6 rechthoeken als zijvlak.

Die zijn (minstens) twee aan twee gelijk.

Kijk naar de ontwikkeling: de zijvlakken met hetzelfde nummer zijn gelijk.

Oppervlakte balk = 2 × oppervlakte van zijvlak 1 = 2 × 4 cm × 1 cm = 8 cm² 4 cm

3 cm

1

1 cm

3

2

1

+ 2 × oppervlakte van zijvlak 2 = 2 × 3 cm × 1 cm = 6 cm² 3

2

+ 2 × oppervlakte van zijvlak 3 = 2 × 4 cm × 3 cm = 24 cm² Oppervlakte balk = 8 cm² + 6 cm² + 24 cm² = 38 cm² 75

cilinder 2 cm 5 cm

2 cm

Een cilinder heeft 2 gelijke cirkels als grond- en bovenvlak en een rechthoek als mantel.

De mantel past mooi rond het grond- en bovenvlak. De basis van de mantel is dus gelijk aan de omtrek van de cirkels.

Oppervlakte cilinder = 2 × oppervlakte cirkel + o ppervlakte rechthoek (= omtrek cirkel × h) 2 × oppervlakte cirkel = 2 × (π × 2 cm × 2 cm) = 2 × 3,14 × 4 cm² = 25,12 cm²

5 cm π × 4 cm

Oppervlakte rechthoek = π × 4 cm × 5 cm = 62,8 cm² Oppervlakte cilinder = 25,12 cm² + 62,8 cm² = 87,92 cm²

32

Landmaten a De maateenheden De oppervlakte van een bouwgrond, een akker, een weiland, een bos, een park ... wordt vaak uitgedrukt in landmaten. Er zijn maar drie landmaten. hectare (ha) • de oppervlakte van 2 voetbalvelden • ...

are (a) • de oppervlakte van 2 (kleine) klaslokalen • ...

centiare (ca) • de oppervlakte van een vierkantemeter­tuintje • ...

b Het verband tussen de landmaten en tussen land- en oppervlaktematen km²

1 76

ha 10 000 m²

0

1 1 0

a 100 m²

0 0

1 0 0

0

ca m² 1 0

0

0

dm²

cm²

Net als bij de oppervlaktematen is bij de landmaten elke volgende maateenheid 10 × 10 of 100 keer groter dan de vorige.

1 ca = 1 m² 1 a = 100 m² 1 ha = 10 000 m²

1 ha = 100 a 1 a = 100 ca 1 ha = 10 000 ca

1 km² = 100 ha

bv.

In landmaten schrijf je nooit een komma.

517 m² is in landmaten 5 a 17 ca.

40 300 m² is in landmaten 4 ha 3 a.

10 205 m² is in landmaten 1 ha 2 a 5 ca.

33

Volume Het volume van een voorwerp is de hoeveelheid plaats die dat voorwerp inneemt in de ruimte. Een volume kun je meten en uitdrukken in volumematen.

³ lees je als ‘kubieke’. dm³ is dus kubieke decimeter.

a De maateenheden van volume m³

dm³

cm³ of cc

1 cm 1 dm

1m b Het verband tussen de maateenheden m³

dm³

cm³

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1 m³ = 1 000 dm³ 1 m³ = 1 000 000 cm³

1 dm³ = 1 000 cm³

1 cm³ = 1 cc

77

Bij volume houd je rekening met drie afmetingen: een lengte, een breedte en een hoogte.

Vandaar de ³ in de maateenheden.

Bij volumematen is elke volgende maateenheid 10 × 10 × 10 of 1 000 keer groter dan de vorige.

Vandaar de 3 kolommen per maateenheid in de tabel.

Opgelet! De eenheid in het maatgetal hoort bij de maateenheid.

m³

dm³

23 dm³ = 23 000 cm³ 1,3 m³ = 1 300 dm³ 1

15,07 m³ = 15 070 dm³

2

3

1

3

0

0

5

0

7

0

cm³ 0

0

0

c Het volume van de kubus en de balk

3 cm 4 cm 5 cm

Volume kubus en balk = oppervlakte grondvlak × hoogte = lengte × breedte × hoogte Formule: l × b × h

78

Je kunt het volume van een kubus en een balk vinden door ze vol te leggen met gelijke blokjes en het aantal blokjes van de onderste laag te vermenigvuldigen met het aantal blokjes in de hoogte.

Dat zijn hier (5 × 4) × 3 = 60 blokjes van 1 cm³.

Het volume van deze balk is dus 60 cm³.

Dat kun je ook vinden zonder blokjes te tellen.

Je berekent eerst de oppervlakte van het grondvlak en vermenigvuldigt dat met de hoogte.

Het volume van deze balk is: (5 cm × 4 cm) × 3 cm = 60 cm³

d Het volume van de cilinder Om het volume van een cilinder te berekenen kun je op dezelfde manier te werk gaan als bij de balk en de kubus.

Opgelet! Het grondvlak van een cilinder is een cirkel.

Volume cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte = (π × r × r) × h

34

Soortelijk gewicht a Het verband tussen volume en inhoud

In 1 kubieke decimeter gaat precies 1 liter.

volume

m³

inhoud

1 000 l

dm³ 100 l

10 l

l

cm³ dl

cl

ml

1

5

0

1

5

0 4

2

1 dm³ = 1 l 1 m³ = 1 000 l 1 cm³ = 1 ml

5

7

bv. 150 cm³ = 150 ml = 0,15 l 4 257 l = 4,257 m³

b Het verband tussen volume en gewicht Omdat het gewicht van 1 dm³ verschilt naargelang van de soort stof waaruit die kubieke decimeter gemaakt is, noemt men dat gewicht het soortelijk gewicht.

Het soortelijk gewicht van een stof geeft dus aan hoeveel kg de stof weegt per dm³ (kg/dm³).

79

bv. 1 dm³ zuiver water weegt 1 kg, dus het soortelijk gewicht van water is 1 kg/dm³.

water

volume

1 m³

gewicht

1 ton

100 kg

10 kg

1 dm³

1 cm³

1 kg

1g

Omdat het soortelijk gewicht altijd het gewicht is van 1 dm³ van de stof en altijd gewogen wordt in kg, wordt het meestal zonder maateenheid aangeduid, bv. het soortelijk gewicht van water is gelijk aan 1.

Het soortelijk gewicht van andere stoffen vind je in tabellen zoals deze. aluminium

2,7

kurk

0,24

arduin

2,6

lood

11,35

baksteen

1,4

marmer

2,7

benzine

0,72

olie

0,9

beton

2,4

olijfolie

0,92

beukenhout

0,7

piepschuim

0,03

brons

8,3

rubber

0,93

diamant

3,5

staal

7,83

eikenhout

0,92

steenkool

1,32

gietijzer

7,21

wijn

0,99

glas

2,53

zand

1,6

goud

19,26

zeewater

1,03

ijs

0,93

zilver

10,47

koper

8,8

zink

2,56

c Zinken en drijven

80

Een stof met een soortelijk gewicht dat groter is dan dat van water, dus groter dan 1, zinkt in water.

Een stof met een soortelijk gewicht dat kleiner is dan dat van water, dus kleiner dan 1, drijft op water.

bv. beton

bv. piepschuim

35

De datum en de kalender a Het verband tussen de maateenheden 1 jaar telt 12 maanden

52 weken

365 of 366* dagen

* Een schrikkeljaar telt 366 dagen. In een schrikkeljaar heeft februari 29 dagen in plaats van 28.

Een periode van 100 jaar noemen we een eeuw.

Een trimester of een kwartaal is een periode van 3 maanden.

Een semester is een periode van 6 maanden.

Een maand telt 30 of 31 dagen.

Februari is een uitzondering: die maand heeft maar 28 dagen, of 29 in een schrikkeljaar.

Zo kun je vlug vinden welke maanden 31 dagen hebben: Hoeveel dagen in elke maand? januari

maart

mei

juli

augustus

oktober

december

31

31

31

31

31

31

31

februari

april

juni

28/29

30

30

Je kunt de datum languit of kort noteren. Daarvoor is het belangrijk dat je de volgorde van de maanden kent.

Elke maand heeft een eigen volgnummer. nr.

maand

nr.

maand

1

januari

7

juli

2

februari

8

augustus

3

maart

9

september

4

april

10

oktober

5

mei

11

november

6

juni

12

december

september november

30

30

Zo lees en noteer je de datum.

24 augustus 2050

24 . 08 . 2050 de dag de maand het jaar 81

b Tijdsduur in maanden en dagen berekenen

M

januari D W D V

M

mei D W D V

Z 1 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 29 31

Z 2 9 16 23 30

Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

M 5 12 19 26

september D W D V 1 2 6 7 8 9 13 14 15 16 20 21 22 23 27 28 29 30

Z

Z 3 10 17 24

Z 4 11 18 25

M

D 1 7 8 14 15 21 22 28

februari W D V 2 3 4 9 10 11 16 17 18 23 24 25

M

D W 1 6 7 8 13 14 15 20 21 22 27 28 29

M 3 10 17 24 31

juni D 2 9 16 23 30

V 3 10 17 24

oktober D W D V 4 11 18 25

5 12 19 26

6 13 20 27

7 14 21 28

Z 5 12 19 26

Z 6 13 20 27

Z 4 11 18 25

Z 5 12 19 26

Z 1 8 15 22 29

Z 2 9 16 23 30

×

Opa en oma gaan deze zomer naar Portugal. Ze vertrekken op 28 juni en komen terug op 5 september.

82

M

D 1 7 8 14 15 21 22 28 29

W 2 9 16 23 30

maart D V 3 4 10 11 17 18 24 25 31

juli D W D V 1 4 5 6 7 8 11 12 13 14 15 18 19 20 21 22 25 26 27 28 29 M

M 7 14 21 28

D 1 8 15 22 29

november W D V 2 3 4 9 10 11 16 17 18 23 24 25 30

Z 5 12 19 26

Z 6 13 20 27

april D W D V 1 4 5 6 7 8 11 12 13 14 15 18 19 20 21 22 25 26 27 28 29

Z 2 9 16 23 30

Z 3 10 17 24 31

M 1 8 15 22 29

Z 5 12 19 26

Z 6 13 20 27

M

M

5 12 19 26

D 2 9 16 23 30

augustus W D V 3 4 5 10 11 12 17 18 19 24 25 26 31

december D W D V 1 2 6 7 8 9 13 14 15 16 20 21 22 23 27 28 29 30

Z 2 9 16 23 30

Z 3 10 17 24

Z 6 13 20 27

Z 7 14 21 28

Z 3 10 17 24 31

Z 4 11 18 25

Vandaag is het 24 september.

Ik ben jarig op 1 oktober.

Hoeveel dagen en maanden zijn dat?

Hoeveel keer slapen nog tot mijn verjaardag?

Omkring beide data.

Omkring beide data.

Tel de start- en de einddatum mee.

• 3 ‘losse dagen’ in juni; • 2 volle maanden: juli en augustus; • nog 5 ‘losse dagen’ in september.

De startdatum tel je wél mee, de einddatum niet. (Op die dag hoef je niet eerst te slapen, voor je jarig bent.)

Zet er een kruis door.

Samen 2 maanden en 8 dagen.

Tel het aantal dagen: dat zijn er 7.

36

De klok aflezen a Het verband tussen de maateenheden de dag

het uur

het halfuur het kwartier

= 24 uur = 60 minuten (2 × 12 uur) een beetje langer dan de rekenles

de minuut

de seconde

= 30 minuten = 15 minuten = 60 seconden ongeveer de ongeveer ongeveer de ongeveer duur van het even lang als tijd om rustig één tel tot 60 te tv-journaal een korte tellen speeltijd

b Tijdstip en tijdsduur Tijd kun je meten. Welk meetinstrument je kiest, hangt af van wat je wilt meten: een tijdstip of een tijdsduur.

Tijdstip: Hoe laat is het?

Tijdsduur: Hoelang duurt het?

de wekker de timer

het horloge

de zandloper

de chronometer de smartphone de wandklok

de keukenwekker

83

c Een tijdstip aflezen op de wijzerklok voor

over uur

5 voor

10 voor

12

11

5 over

1 2

10

We verdelen de wijzerklok in twee helften: een zone voor het uur en een zone over het uur.

10 over

3 kwart over

kwart voor 9 20 voor 8

4

25 voor

7

6 half

5

20 over

25 over

De wijzerklok tot op 1 minuut nauwkeurig

11

12

• De grote wijzer staat in de zone over het uur.

• De kleine wijzer staat voorbij de 6: het is over 6 uur.

• De grote wijzer geeft 22 minuten over 6 uur aan.

1 2

10

3

9 8

Het is 22 minuten over 6, of korter: 22 over 6.

4 7

11

6

12

5

• De grote wijzer staat in de zone voor het uur.

• De kleine wijzer staat voor de 12: het is voor 12 uur.

• De grote wijzer geeft 18 minuten voor 12 uur aan.

1 2

10

3

9 8

Het is 18 minuten voor 12, of korter: 18 voor 12.

4 7

6

5

De wijzerklok tot op 1 seconde nauwkeurig

11

12

1 2

10

3

9 8

4 7

84

• De kleine wijzer staat voorbij 11 uur.

• De grote wijzer geeft aan dat er 53 minuten voorbij zijn sinds 11 uur.

• De secondewijzer duidt 16 seconden aan.

6

5

Het is 11 uur 53 minuten 16 seconden.

d Een tijdstip aflezen op de cijferklok of digitale klok Voor de uren na de middag komt er op de cijferklok 12 bij.

10 uur ’s avonds is 10 + 12 = 22 uur op de cijferklok.

16 uur op de cijferklok is 16 − 12 = 4 uur in de namiddag.

0

23 22

11

12

1 2

10

14

na de middag

+ 12

3 15

21 9 20

voor de middag

13

8

4 7

19

6

18

5

16

17

− 12

De digitale klok tot op 1 minuut nauwkeurig

Er zijn minder dan 30 minuten.

Er zijn 30 of meer minuten voorbij.

Je telt verder vanaf het uur dat voorbij is. Je telt af tot het volgende uur.

Er zijn 23 minuten voorbij sinds 6 uur. Het duurt nog (60 − 48 =) 12 minuten voordat het 19 uur of 7 uur ’s avonds is.

Het is 23 over 6 ’s morgens.

Het is 12 voor 7 ’s avonds.

De digitale klok tot op 1 seconde nauwkeurig

de uren de minuten de seconden Het is 8 uur 7 minuten 51 seconden.

85

e Van wijzerklok naar cijferklok Het is voor de middag.

11

12

Het is na de middag.

1

11 2

10

8 6

2 3

9 8

4 7

1

10 3

9

12

5

4 7

6

5

• 6 uur ’s avonds of 18 uur is voorbij.

• Er zijn 55 minuten voorbij sinds 18 uur.

• Het is 18 uur 55 of 5 voor 7 ’s avonds.

• 7 uur (’s ochtends) is voorbij.

• Er zijn 20 minuten voorbij sinds 7 uur.

• Het is 7 uur 20 of 20 over 7 ’s ochtends.

f Tijdsduur bepalen Een tijdsduur berekenen lukt bij de wijzerklok het best als je in gedachten de wijzers doordraait.

Je kunt tijdstippen op wijzerklokjes ook omzetten naar de digitale notatie, zoals op een cijferklokje. Dan zie je het verschil nog duidelijker.

11

12

1

11 2

10

8

4 7

6

5

1 2

10 3

9

12

3

9 8

4 7

6

5

3:00 7:00 + 15 min. + 4 uur + 15 min.

Tijdsduur: 4 uur en 30 minuten

86

Tel eerst de minuten tot het volgende uur.

Tel er dan de hele uren en de minuten die daarop volgen bij.

37

De relatie tussen afstand, tijd en snelheid ‘Snelheid’ geeft aan hoeveel afstand je aflegt in een bepaalde tijd. Snelheid wordt meestal uitgedrukt in kilometer per uur (km/uur). Grote snelheden worden ook wel uitgedrukt in meter per seconde (m/sec.). We spreken van een gemiddelde snelheid omdat je over een grotere afstand niet altijd even snel wandelt, loopt, rijdt ...

Afstand, tijd en snelheid kun je berekenen. Als je twee van hen kent, kun je de derde bepalen. Daarvoor kun je een verhoudingstabel gebruiken. In de verhoudingstabel krijgen afstand (A) en tijd (T) elk hun eigen plaats. ×2 Als een auto een gemiddelde snelheid van 80 km/uur haalt, legt hij in 2 uur tijd een afstand van 160 km af.

A

80 km

160 km

T

1 uur

2 uur ×2

Soms moet je een tussenstap nemen om tot de oplossing te komen. :4 Met een snelheid van 8 km/uur leg je een afstand van 10 km af in 75 minuten tijd.

Als je in 90 minuten tijd een afstand van 18 km fietst, haal je een gemiddelde snelheid van 12 km/uur.

Een atleet die 10 m per seconde loopt, haalt een gemiddelde snelheid van 36 km/uur.

×5

A

8 km

2 km

10 km

T

1 uur 60 min.

15 min.

75 min.

:4

×5

:3

×2

A

18 km

6 km

12 km

T

90 min.

30 min.

60 min.

:3

×2

× 60

× 60

A

10 m

600 m

36 000 m = 36 km

T

1 sec.

1 min.

1 uur

× 60

× 60 87

38

Geld a Betalen

Je zegt bv. 12 euro 50 cent.

Je schrijft 12,50 euro of € 12,50.

Je schrijft altijd twee cijfers na de komma als het een bedrag in euro en cent is.

Een bedrag betaal je het best ‘van groot naar klein’: eerst de euro’s en dan de centen.

Bijvoorbeeld: € 247,75 betalen met zo weinig mogelijk briefjes en munten: Eerst de euro’s.

Dan de centen.

Samen 247 euro en 75 cent.

b Teruggeven en wisselen • Teruggeven Je betaalt dit brood met

0

€ 1,4

88

Je kunt op twee manieren vinden hoeveel je moet terugkrijgen.

Teruggeven met doortellen

Teruggeven met aftrekken

Je vertrekt van het bedrag dat je moet betalen en telt door tot het bedrag waarmee je betaalt:

Je vertrekt van het bedrag waarmee je betaalt en je trekt er het bedrag dat je moet betalen in stapjes af:

1 euro 40 cent + 60 cent = 2 euro 2 euro + 3 euro = 5 euro Je krijgt 3 euro + 60 cent of 3 euro 60 cent terug.

5 euro − 1 euro = 4 euro 4 euro − 40 cent = 3 euro 60 cent

• Wisselen Je geeft precies evenveel, maar dan op een andere manier.

Wisselen lukt op verschillende manieren, bijvoorbeeld:

=

=

39

Temperatuur a Maateenheid en enkele referentiematen Een temperatuur vertelt je hoe warm of koud iets is.

We drukken temperatuur uit in graden Celsius. Het symbool is °C. Om een temperatuur te meten, gebruik je een thermometer.

Het vriespunt van water is 0 °C.

Het kookpunt van water is 100 °C.

In de klas is het ongeveer 20 °C.

Een gezonde lichaamstemperatuur is iets minder dan 37 °C. 89

b Temperatuur aanduiden en aflezen Negatieve temperaturen zijn temperaturen onder het vriespunt. bv. −5°C, −12 °C ...

Positieve temperaturen zijn temperaturen boven het vriespunt. bv. 28 °C, 1 °C ...

20

°C

20

15

15

10

10

5

5

0

0

–5

–5

–10

–10

Het is 2 °C.

°C

Het is −2 °C.

c Temperatuurverschil bepalen Het verschil tussen twee positieve temperaturen

Het verschil tussen twee negatieve temperaturen

Het temperatuurverschil tussen 17 °C en 4 °C is 13 graden. (want 17 − 4 = 13)

Het temperatuurverschil tussen −6 °C en −13 °C is 7 graden. (want 13 − 6 = 7) 10

Het verschil tussen een positieve en een negatieve temperatuur Het temperatuurverschil tussen −2 °C en 2 °C is 4 graden. (want 2 + 2 = 4)

5

2 graden 2 graden

0

–5

–10

90

°C

40

Hoekgrootte a Hoeken meten

Hoekgrootte druk je uit in graden en noteer je met het symbool °.

Om de grootte van een hoek te meten, gebruik je de graadboog van je geodriehoek.

de graadboog

de tekenzijde

de graadverdeling

het nulpunt

Zo meet je de hoekgrootte stap voor stap:

B

1 Bepaal of de hoek recht (90°), scherp (< 90°) of stomp (> 90°) is (zie nr. 43).

2 Leg de geodriehoek op de hoek: • met het nulpunt op het hoekpunt, • met één been gelijk aan de tekenzijde, • met het andere been onder de geodriehoek.

A

C

3 Noteer de hoekgrootte in graden: • Is het een rechte hoek? Die meet precies 90°.

• Is het een scherpe hoek (< 90°)?

Noteer dan het kleinste maatgetal dat het been onder de geodriehoek aangeeft.

• Is het een stompe hoek (> 90°)?

Noteer dan het grootste maatgetal dat het been onder de geodriehoek aangeeft.

• Noteer het zo: Hoek BÂC meet 75°.

91

b Hoeken tekenen Teken een hoek DÊFvan 120°.

Bepaal eerst of je een rechte, een scherpe of een stompe hoek moet tekenen.

Ik moet een hoek tekenen van 120°.

Een hoek groter dan 90° is een stompe hoek.

• Teken één been, benoem het hoekpunt E en plaats punt D op dat been.

• Leg de geodriehoek zo dat de tekenzijde samenvalt met het been en het nulpunt precies op hoekpunt E ligt.

• Zoek dan 120 op de graadboog.

Dat staat er twee keer op.

Ga na welk van beide een stompe hoek oplevert en zet daar een punt bij het streepje van 120°.

• Teken vanuit hoekpunt E een tweede been door dat punt.

• Duid een punt F aan op dat been, teken het boogje in de hoek en noteer er 120° bij.

92

F

120° E

D

41

Schaal De schaal drukt de verhouding uit tussen een afbeelding en de werkelijkheid.

De schaal bij een afbeelding of kaart geeft aan hoeveel keer de werkelijkheid verkleind of vergroot is op de afbeelding. a De breukschaal Schaal 1 / 4 of 1 : 4 (1 op 4) geeft aan dat de werkelijkheid 4 keer verkleind is. → 1 cm op de afbeelding is 4 cm in het echt.

Schaal 2 / 1 of 2 : 1 (2 op 1) geeft aan dat de werkelijkheid 2 keer vergroot is. → 2 cm op de afbeelding is 1 cm in het echt.

De werkelijke hoogte van deze vuurtoren bereken je zo: ×3 afbeelding

1 cm

3 cm

werkelijkheid

500 cm

1 500 cm of 15 m

3 cm

1 / 500

×3 De werkelijke hoogte van de vuurtoren is 15 m.

b De lijnschaal Bij kaarten en plattegronden vind je vaak een lijnschaal.

1 km

0

1

2

3

4 km

1 cm op de kaart is in werkelijkheid 1 km.

Meet je 8 cm op de kaart, dan is de werkelijke afstand 8 km.

Je kunt een lijnschaal omzetten naar een breukschaal en omgekeerd.

Lijnschaal: 0

20

40

60

80

100 m

1 cm op de plattegrond is 20 m of 2 000 cm in werkelijkheid. → breukschaal: 1 : 2 000

Breukschaal: 1 / 5 000 1 cm op de afbeelding is 5 000 cm of 50 m in werkelijkheid. → lijnschaal: 0

50

100

150

200

250 m 93

42

Punten, lijnen en oppervlakken Overal waar je kijkt, zie je lijnen.

Er zijn verschillende soorten lijnen.

• Soorten lijnen

een rechte lijn

een gebogen lijn (= kromme)

een gebroken lijn

een horizontale lijn

een verticale lijn

een schuine lijn

• Punt, rechte, lijnstuk

A

het punt A

b

de rechte b

• Oppervlak

een plat of vlak oppervlak 94

een gebogen oppervlak

C D

het lijnstuk [CD]

43

Hoeken Waar twee rechte lijnen samenkomen in een punt, ontstaat een hoek.

Hoe verder de benen uit elkaar staan, hoe groter de hoek.

de benen

het hoekpunt

een hoek

een scherpe hoek (< 90°)

<

een rechte hoek (= 90°)

<

een stompe hoek (> 90°)

Hoe je hoeken meet en tekent, vind je in deze Rekenwijzer bij nr. 40.

95

44

Evenwijdig, snijdend en loodrecht a Wat betekent ‘evenwijdig, snijdend en loodrecht’? d b

A

het snijpunt

b

a a en b zijn snijdende rechten.

Ze snijden elkaar in punt A.

Ook de rechten b en d zijn snijdende rechten.

(Ook al snijden ze elkaar nog niet.)

a // b

b // d

a c b

e

a en c zijn evenwijdige rechten.

Ze blijven even ver van elkaar.

Ze zullen elkaar nooit snijden.

b en e zijn loodrechte rechten.

Ze snijden elkaar op een bijzondere manier: ze staan mooi recht op elkaar en vormen zo een rechte hoek.

a // c

b⊥e

b Evenwijdigheid en loodrechte stand controleren Om te controleren of twee rechte lijnen evenwijdig zijn of loodrecht op elkaar staan, gebruik je een geodriehoek.

de evenwijdige hulplijnen

de tekenzijde 96

de loodlijn

het nulpunt

• Evenwijdigheid controleren a b

• Leg één rechte mooi gelijk met de tekenzijde.

• Controleer of de tweede rechte evenwijdig loopt met de evenwijdige hulplijnen.

• Loodrechte stand controleren b

• Leg één rechte mooi gelijk met de loodlijn.

• Leg het snijpunt gelijk met het nulpunt.

• Controleer of de tweede rechte mooi gelijk loopt met de tekenzijde.

a

c Evenwijdigen en loodlijnen tekenen • Een evenwijdige tekenen Teken de rechte b // a. b a

• Leg rechte a mooi gelijk met een van de evenwijdige hulplijnen van je geodriehoek.

• Teken dan een tweede rechte langs de tekenzijde en noem die b.

 • Een loodlijn tekenen Teken de rechte d ⊥ c door P. d

P 

c

• Leg rechte c mooi gelijk met de loodlijn van je geodriehoek.

• Zorg dat het punt P mooi langs de tekenzijde ligt.

• Teken een rechte langs de tekenzijde door P en noem die d.

97

45

Vlakke figuren a Veelhoeken en niet-veelhoeken vlakke figuren veelhoeken

niet-veelhoeken

Veelhoeken worden begrensd door enkel rechte lijnen.

Niet-veelhoeken worden (ook) begrensd door gebogen lijnen.

Je kunt de veelhoeken nog nauwkeuriger benoemen.

Daarvoor tel je het aantal hoeken of zijden: driehoek, vierhoek, vijfhoek ... b Regelmatige veelhoeken Als de zijden van een veelhoek allemaal gelijk zijn en de hoeken allemaal gelijk, dan noemen we de figuur een regelmatige veelhoek.

98

regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek)

regelmatige vierhoek (vierkant)

regelmatige vijfhoek

regelmatige zeshoek

46

Vierhoeken onderzoeken en tekenen a Hoeken en zijden onderzoeken hoeken

zijden

Met je

Met je

Met je

controleer je of de hoeken recht zijn en of er hoeken gelijk zijn.

onderzoek je of er zijden even lang zijn.

onderzoek je of de overstaande zijden evenwijdig zijn.







Rechte hoeken duid je aan met een L. Gelijke hoeken duid je aan met eenzelfde boogje.

Gelijke zijden duid je aan met eenzelfde teken.

Evenwijdige zijden geef je eenzelfde kleurtje.

bv.

bv.

bv.

b Diagonalen onderzoeken Een diagonaal in een veelhoek is een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten met elkaar verbindt. Een vierhoek heeft altijd twee diagonalen. diagonalen Met je

Met je

Met je

controleer je of de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

onderzoek je of de diagonalen even lang zijn.

onderzoek je of de diagonalen elkaar middendoor snijden.

99

c Vierhoeken tekenen met een geodriehoek Vierhoeken tekenen doe je stap voor stap.

• Welke vierhoek moet je tekenen?

Denk aan de eigenschappen van de hoeken en de zijden van die vierhoek (zie nr. 47).

Meet en teken heel nauwkeurig.

Gebruik een potlood met een scherpe punt.

• Lees aandachtig aan welke voorschriften je vierhoek moet voldoen: lengte van de basis, hoogte, hoekgrootte ...

• Zorg dat je je geodriehoek correct gebruikt om: – evenwijdigen en loodlijnen te tekenen (zie nr. 44c); – hoeken te tekenen (zie nr. 40b).

Voorbeeld: Teken een parallellogram ABCD met basis 5 cm, hoogte 2 cm en een hoek van 75°.

5 cm A

D B (2 cm)

A

D

B

A

100 100

D

• Teken een lijnstuk van 5 cm en noem de eindpunten A en D. Dat lijnstuk is de basis van je parallellogram.

• Teken vanuit hoekpunt A het tweede been van een hoek van 75°.

• Teken een loodlijn van 2 cm op de basis.

Teken die zo dat het eindpunt op het tweede been van de hoek ligt. Noem dat punt B. • Lijnstuk [AB] is de eerste schuine zijde van je parallellogram.

• Teken vanuit B een evenwijdige aan basis [AD] van 5 cm. Noem het eindpunt C. C • Verbind tot slot de eindpunten C en D. Je parallellogram is klaar.

• Controleer.

Kloppen de afmetingen?

Zijn de overstaande zijden gelijk en evenwijdig?

Zijn de overstaande hoeken even groot?

47

De eigenschappen van vierhoeken a Het vierkant Een vierkant is een vierhoek met: • 2 paar evenwijdige zijden, • 4 gelijke zijden, • 4 rechte hoeken.

De diagonalen van een vierkant: • zijn even lang; • snijden elkaar middendoor; • snijden elkaar loodrecht. b De rechthoek Een rechthoek is een vierhoek met: • 2 paar evenwijdige zijden, • gelijke overstaande zijden, • 4 rechte hoeken.

De diagonalen van een rechthoek (die geen vierkant is): • zijn even lang; • snijden elkaar middendoor; • snijden elkaar niet loodrecht. c De ruit Een ruit is een vierhoek met: • 2 paar evenwijdige zijden, • 4 gelijke zijden, • gelijke overstaande hoeken.

De diagonalen van een ruit (die geen vierkant is): • zijn niet even lang; • snijden elkaar middendoor; • snijden elkaar loodrecht.

101 101

d Het parallellogram Een parallellogram is een vierhoek met: • 2 paar evenwijdige zijden, • gelijke overstaande zijden, • gelijke overstaande hoeken.

De diagonalen van een parallellogram (dat geen rechthoek of ruit is): • zijn niet even lang; • snijden elkaar middendoor; • snijden elkaar niet loodrecht. e Het trapezium

Een trapezium is een vierhoek met minstens 1 paar evenwijdige zijden. rechthoekig trapezium De diagonalen van een trapezium (dat geen parallellogram is): • zijn soms even lang; • snijden elkaar niet middendoor; • snijden elkaar soms loodrecht. willekeurig trapezium

Bij dit trapezium zijn de diagonalen even lang.

Kijk maar!

gelijkbenig trapezium 102 102

Bij dit trapezium snijden de diagonalen elkaar loodrecht.

f Vierhoeken ordenen volgens de eigenschappen van zijden en hoeken

vierkant • 2 paar evenwijdige zijden • 4 gelijke zijden • 4 rechte hoeken

rechthoek

ruit • 2 paar evenwijdige zijden • 4 gelijke zijden • gelijke overstaande hoeken

• 2 paar evenwijdige zijden • gelijke overstaande zijden • 4 rechte hoeken

parallellogram • 2 paar evenwijdige zijden • gelijke overstaande zijden • gelijke overstaande hoeken

trapezium • minstens 1 paar evenwijdige zijden

vierhoek • 4 zijden, 4 hoeken

103 103

48

Driehoeken onderzoeken en tekenen Een driehoek is een vlakke figuur met 3 hoeken en 3 zijden.

Driehoeken kun je een naam geven volgens de hoeken, volgens de zijden en volgens hoeken en zijden samen.

a Driehoeken indelen volgens de hoeken

2 scherpe hoeken 1 stompe hoek

2 scherpe hoeken 1 rechte hoek

3 scherpe hoeken







stomphoekige driehoek rechthoekige driehoek scherphoekige driehoek

b Driehoeken indelen volgens de zijden

104 104

geen gelijke zijden

2 gelijke zijden

3 gelijke zijden







ongelijkbenige driehoek

gelijkbenige driehoek

gelijkzijdige driehoek

c Driehoeken ordenen volgens de hoeken en de zijden ongelijkbenig

gelijkbenig

gelijkzijdig

geen gelijke zijden

2 gelijke zijden

3 gelijke zijden

scherphoekig 3 scherpe hoeken

rechthoekig 1 rechte hoek 2 scherpe hoeken

stomphoekig 1 stompe hoek 2 scherpe hoeken

Je kunt elke driehoek dus twee namen geven.

Dit is een scherphoekige gelijkzijdige driehoek.

105 105

d Driehoeken tekenen • Teken een stomphoekige gelijkbenige driehoek.

• Teken een stompe hoek. Zo heb je al twee zijden van de stomphoekige driehoek.

• Zorg dat de benen van je hoek even lang zijn. Zo krijg je een gelijkbenige driehoek.

• Verbind de uiteinden van de benen.

Je driehoek is klaar.

• Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van 5 cm.

• Teken een lijnstuk van 5 cm als basis van de driehoek en duid er het midden op aan.

• Teken vanuit het midden een loodlijn op de basis.

• Meet vanaf het beginpunt van de basis een afstand van 5 cm en duid dat aan met een punt op de loodlijn. Verbind beide punten tot een zijde.

• Verbind het punt op de loodlijn ook met het eindpunt van de basis.

• Controleer of de drie zijden gelijk zijn.

5 cm

49

De cirkel C M

B

A

Een cirkel is een vlakke figuur waarvan alle punten van de omtrek op dezelfde afstand liggen van een punt in het midden van de cirkel.

• M is het middelpunt.

• [BC] is een diameter (d).

• [AM] is een straal (r).

De diameter is dubbel zo lang als de straal. →d=2×r De straal is half zo lang als de diameter. →r=d:2

106 106

Je tekent een cirkel met een passer.

50

Ruimtefiguren Ruimtefiguren kun je vastpakken. Ze nemen een plaats in de ruimte in.

Ze kunnen begrensd worden door meerdere veelhoeken of niet-veelhoeken. a Veelvlakken en niet-veelvlakken ruimtefiguren veelvlakken

niet-veelvlakken

balk

bol piramide

kubus

Een veelvlak is een ruimtefiguur die enkel begrensd wordt door veelhoeken.

cilinder

kegel

Een niet-veelvlak is een ruimtefiguur waarvan minstens één oppervlak gebogen is.

b De eigenschappen van veelvlakken bovenvlak zijvlak

ribbe grondvlak

hoekpunt

top

ribbe

zijvlak hoekpunt

grondvlak

Een kubus en een balk hebben 6 zijvlakken of grensvlakken.

Twee daarvan kun je grondvlak en bovenvlak noemen. Welke dat zijn, hangt af van hoe de kubus of balk staat.

Waar twee grensvlakken samenkomen, vormen ze een ribbe.

Waar ribben samenkomen, ontstaat een hoekpunt.

Een piramide heeft een veelhoek als grondvlak.

De driehoekige zijvlakken komen samen in een top.

107 107

c Omwentelingslichamen Sommige niet-veelvlakken hebben een speciale eigenschap: ze veranderen niet als je ze om een as wentelt. Die ruimtefiguren noemen we omwentelingslichamen.

Je kunt ook zeggen dat een omwentelingslichaam een ruimtefiguur is die ontstaat door een vlakke figuur om een as te laten draaien.

Een cilinder heeft een grond- en een bovenvlak (twee gelijke cirkels) en een gebogen mantel (rechthoek).

Een cilinder ontstaat door een rechthoek om een as te laten draaien.

Een kegel heeft een cirkel als grondvlak en een gebogen mantel met een top.

Een kegel ontstaat door een rechthoekige driehoek om een as te laten draaien.

Een bol heeft geen zijvlakken.

Een bol ontstaat door een halve cirkel om een as te laten draaien.

108 108

d De ontwikkeling van een balk, een kubus, een piramide en een cilinder De ontwikkeling van een balk bestaat uit zes rechthoeken (of vier rechthoeken en twee vierkanten) die minstens twee aan twee gelijk zijn.

De ontwikkeling van een kubus bestaat uit zes identieke vierkanten.

De ontwikkeling van een piramide bestaat uit een driehoek, vierhoek, vijfhoek ... als grondvlak en drie, vier, vijf ... driehoeken als zijvlakken.

De ontwikkeling van een cilinder bestaat uit twee identieke cirkels, elk aan één kant van een rechthoekige mantel die precies rond die cirkels past.

109 109

51

Vorm en grootte van figuren a Gelijkheid van vorm en grootte

Wij hebben dezelfde vorm ĂŠn dezelfde grootte.

Wij zijn gelijk!

b Gelijkvormigheid en vervorming Om een figuur gelijkvormig te vergroten of te verkleinen, moet je alle afmetingen van die figuur in dezelfde verhouding vergroten of verkleinen.

Gebeurt dat niet, dan krijg je een vervormde figuur.

Wij hebben dezelfde vorm, maar niet dezelfde grootte.

Wij zijn gelijkvormig.

... en ik ben v e r vo r m d!

110 110

52

Spiegelingen en symmetrie a Spiegelingen Een spiegelbeeld moet aan 5 eigenschappen voldoen: • Het heeft dezelfde vorm en dezelfde grootte als de gespiegelde figuur.

• Het staat op dezelfde afstand van de spiegelas als de gespiegelde figuur.

• Er wordt loodrecht gespiegeld op de spiegelas.

• De oriëntatie verandert: wat links is wordt rechts en omgekeerd.

Ik onthoud het zo: Vorm Oriëntatie Loodrecht Grootte Afstand

Een veelhoek spiegelen C

s

C’

D

D’ B

B’

A

A’

Spiegel de hoekpunten A, B, C en D loodrecht en op gelijke afstand van de spiegelas s.

Noem de gespiegelde hoekpunten A’, B’, C’ en D’. Verbind die hoekpunten.

Controleer het spiegelbeeld op de 5 eigenschappen.

b Symmetrie s

In symmetrische figuren kun je één of meer symmetrieassen tekenen.

Een symmetrieas verdeelt een figuur in twee delen die elkaars spiegelbeeld zijn.

de symmetrieas Een figuur is symmetrisch wanneer je ze kunt verdelen in delen die elkaars spiegelbeeld zijn.

111 111

53

Knipfiguren Uit een gevouwen blad wordt een stukje geknipt.

In 2 gevouwen:

Knipresultaat: De weggeknipte oppervlakte is 2 keer zo groot als de oppervlakte van het stukje dat werd weggeknipt.

In 4 gevouwen:

Knipresultaat: De weggeknipte oppervlakte is 4 keer zo groot als de oppervlakte van het stukje dat werd weggeknipt.

54

Omstructureren Een vlakke figuur kun je omstructureren, bv. om makkelijker de oppervlakte te berekenen (zie nr. 31h).

De figuur verdelen

112 112

Een stuk van de figuur ‘knippen’ en het er op een andere plaats ‘bijplakken’

De figuur aanvullen

55

Draaien en verschuiven

De tekening werd 9 vakjes naar rechts en 3 vakjes naar boven verschoven.

De tekening werd 90° of een kwartdraai naar links gedraaid.

56

Patronen Een patroon is iets wat steeds herhaald wordt.

Als het je lukt om het patroon te ontdekken, kun je het ook voortzetten.

...

Patronen komen voor in een rij, zoals hierboven, maar ook in een vlak, zoals hieronder.

Een patroon in een vlak noem je een tegelpatroon of mozaĂŻekpatroon.

113 113

57

Kaartlezen: windroos, legenda, coördinaten en routebeschrijving

N

Op een kaart staat vaak een windroos. Daarop vind je • de hoofdwindrichtingen: noord (N), oost (O), zuid (Z) en west (W).

• de tussenwindrichtingen: noordoost (NO), zuidoost (ZO), zuidwest (ZW), noordwest (NW).

W

NW

NO

ZW

ZO

O

Z de windroos

Staat er geen windroos op de kaart, weet dan dat je het noorden altijd bovenaan vindt. de legenda

Een kaart of plattegrond heeft ook meestal een legenda.

Daarin vind je allerlei pictogrammen met hun betekenis, bv.

postkantoor

moskee

kerk

zwembad

N

4

W

Ik vertrek bij de moskee en ga in oostelijke richting. Bij het zwembad ga ik rechtsaf.

Daarna neem ik de eerste straat links.

O Z

3

2

1 A

B

C

D

E

F

Coördinaten helpen om iets terug te vinden of aan te duiden op een kaart of plattegrond.

Ze bestaan uit een letter en een cijfer (zoals bij deze kaart) of uit twee cijfers (zoals op de roosters op de volgende bladzijde).

Je leest of noteert eerst de letter of het cijfer van de horizontale as, dan het cijfer van de verticale as. bv. Je vindt het postkantoor in vak (C, 2), of korter: C2.

114 114

Coördinaten kunnen een vak of een punt aangeven.

5 5

4

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4

5

6

De boot bevindt zich in het vak (3, 2).

De coördinaten van de bal zijn (5, 4).

58

1

2

3

4

5

6

Het kruisje bevindt zich op het punt (2, 3).

De coördinaten van het rondje zijn (5, 1).

Kijklijnen Kijklijnen zijn rechte lijnen die vertrekken vanuit de ogen en lopen in de richting waarin je kijkt.

Met behulp van kijklijnen kun je bepalen wat iemand wel of niet kan zien.

Dat komt soms handig van pas: in het verkeer bijvoorbeeld, of bij verstoppertje spelen.

Op een plattegrond kun je met kijklijnen aanduiden wat voor iemand zichtbaar is en wat niet.

Juf Amy (A) houdt toezicht op de speelplaats.

Alles binnen het groene gebied kan ze zien. Dat is haar blikveld.

Zelfs als ze zich omdraait, kan ze de ruziënde jongens niet zien.

Een hoge struik belemmert haar zicht.

115 115

59

Licht en schaduw Wanneer lichtstralen door iets of iemand worden tegengehouden, ontstaat er een schaduw. Waar die schaduw precies valt en hoe groot die is, hangt af van de plaats en de afstand van de lichtbron.

Zaklamp links? → Schaduw rechts.

Zaklamp rechts? → Schaduw links.

Zaklamp hoger? → Schaduw korter.

Zaklamp boven? → Schaduw onder.

Zaklamp lager? → Schaduw langer.

Waar de schaduw valt en hoe lang die is, kun je op een tekening aanduiden met een kijklijn die bij de lichtbron vertrekt.

116 116

• De vorming van de schaduw door de zon Schaduwen gevormd door een lamp vallen niet altijd naar dezelfde kant.

Als je de kijklijnen tekent zie je dat duidelijk.

Schaduwen gevormd door de zon wijzen altijd naar dezelfde kant.

De kijklijnen zijn dan altijd evenwijdig.

• Een hoogte bepalen door middel van een schaduw Aan de hand van de schaduw door de zon kun je de hoogte van een voorwerp bepalen.

?

1m 0,5 m

3m ×6

hoogte schaduw

1m

6m

0,5 m

3m

De boom is 6 meter hoog.

×6 117 117

60

Verschillende standpunten Afhankelijk van waar je staat, zie je de dingen anders!

Jeanne ziet eerst de brooddoos, dan (een stukje van) de appel, en daarachter Mo.

Mo ziet eerst de appel, dan (een stukje van) de brooddoos, en daarachter Jeanne.

Sadik staat dicht bij de fontein.

118 118

Selma staat ver van de fontein. Vanuit haar standpunt lijkt de fontein kleiner.

61

Blokkenbouwsels a Het grondplan met hoogtegetallen

Om een grondplan te maken ga je (in gedachten) met een potlood rond het hele blokkenbouwsel.

Op de plaats van elk torentje schrijf je hoeveel blokjes het telt.

Zo krijg je een grondplan met hoogtegetallen.

2

2

2

1

3

1

1

b Aanzichten Een blokkenbouwsel kun je van alle kanten bekijken. Wat je vanuit elk standpunt ziet, kun je inkleuren op een rooster. De pijl bij het bouwsel geeft aan wat de voorkant is.

vooraanzicht

achteraanzicht

zijaanzicht links

zijaanzicht rechts

119 119