Argument 1 getallenleer - proefhoofdstuk

3

Hoofdstuk

Gehele getallen optellen 1

Instap a

9

11

13

17

19

15 23

21

In de open vakjes van het rooster moet je de getallen 1,

3,

5,

7

zo plaatsen dat de som van de getallen in de aangeduide rijen en kolommen telkens gelijk is aan 40. b Op een getallenas Vul aan. +5

1

3

4

2

5

6

7

3

+5

+3

+3

+3

–17 +9

–32

+5

8

+3

–20

+5

+9

+9

+9

–23

c Om middernacht wijst de thermometer 1 °C aan. Tegen de middag is de temperatuur 8 °C gestegen. Hoeveel graden is het op de middag?

40

H oof dstu k

3

3

Vul nu de tabel aan. temperatuur om middernacht

– 1 °C

– 2 °C

– 3 °C

– 6 °C

– 7 °C

stijging van de temperatuur

7 °C

9 °C

3 °C

5 °C

4 °C

temperatuur op de middag d Wim en Kelly spelen kaart. Elk partijtje bestaat uit twee spellen.

Ziehier een overzicht van enkele partijtjes van Wim; winst wordt aangegeven door een positief getal, verlies door een negatief getal. Bepaal na elke partij de eindstand van Wim. 1ste partij

2de partij

3de partij

1ste spel:

+7

1ste spel:

–4

1ste spel:

+6

2de spel:

+2

2de spel:

–5

2de spel:

–4

eindstand:

eindstand:

eindstand:

4de partij

5de partij

6de partij

1ste spel:

–5

1ste spel:

–3

1ste spel:

–9

2de spel:

+2

2de spel:

+8

2de spel:

+5

eindstand:

eindstand:

eindstand:

7de partij

8ste partij

9de partij

1ste spel:

+8

1ste spel:

0

1ste spel:

+3

2de spel:

–8

2de spel:

–7

2de spel:

0

eindstand:

eindstand:

eindstand:

2 Benamingen Voorbeeld Sinds de basisschool weet je dat 3+5=8 Vul in: 8 is de 3 en 5 heten de termen van die som. het bewerkingsteken + wordt het

genoemd.

het bepalen van een som heet het de optelling l’addition the addition de som la somme the sum

of de

Algemeen de som van a en b a+b lees: a plus b a + b is de som; a en b heten de termen van de som.

Hoofdstu k

3

41

3 Som van twee gehele getallen a Bij de partijtjes kaart in nr. 1d is elke eindstand eigenlijk de som van twee gehele getallen, bv. beide getallen hebben hetzelfde toestandsteken

beide getallen hebben een verschillend toestandsteken

(+ 7) + (+ 2) =

(+ 6) + (– 4) =

(– 4) + (– 5) =

(– 5) + (+ 2) =

We plaatsen de gehele getallen waarmee we de bewerking uitvoeren voorlopig tussen haken en zetten het bewerkingsteken in het rood. Let op het onderscheid: de tekens binnen de haken zijn toestandstekens, het teken buiten de haken is een bewerkingsteken. b Je kunt de som van twee positieve gehele getallen bepalen met behulp van twee meetlatjes.

De figuur hieronder illustreert dat voor (+ 7) + (+ 2) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Werkwijze: 1 Zoek de merkstreep voor 7 op het bovenste latje.

2 Plaats de merkstreep voor 0 op het onderste latje daar precies onder.

3 Zoek nu de merkstreep voor 2 op het onderste latje.

4 Precies boven die merkstreep lees je op het bovenste latje de gezochte som af: c Met behulp van twee getallenassen kun je op die manier ook de som van een positief en een negatief getal bepalen, bv. (+ 6) + (– 4) –1

0

1

2

3

4

5

6

7

Je vindt: (+ 6) + (– 4) =

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

Of de som van twee negatieve gehele getallen, bv.

(– 4) + (– 5) –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Je vindt: (– 4) + (– 5) =

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

d Uit deel c volgt dat de som van twee gehele getallen opnieuw een geheel getal is. Omdat een geheel getal een toestandsteken en een absolute waarde heeft, zul je bij het bepalen van de som van twee gehele getallen dus telkens twee vragen moeten beantwoorden:  Wat wordt het toestandsteken?  Wat wordt de absolute waarde?

42

H oof dstu k

3

We definiëren: De som van twee gehele getallen is het geheel getal dat je als volgt vindt: 1 hebben beide getallen hetzelfde toestandsteken, behoud het teken en tel de absolute waarden op 2 hebben beide getallen een verschillend toestandteken, neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde en trek de kleinste absolute waarde af van de grootste absolute waarde.

Vragen & opdrachten 1 Bereken de sommen.

(– 8) + (– 2) =

(+ 4) + (– 4) =

(– 6) + (+ 3) =

(– 5) + (+ 9) =

(– 9) + (+ 9) =

(– 5) + (– 9) =

(– 7) + (– 6) =

(+ 5) + (– 9) =

(– 2) + (+ 5) =

(+ 9) + (– 3) =

(+ 7) + (+ 2) =

(– 4) + (– 7) =

(+ 3) + (– 2) =

(+ 4) + (– 7) =

(+ 6) + (+ 8) =

(– 3) + (+ 8) =

(– 6) + (+ 8) =

(– 1) + (+ 1) =

(+ 6) + (– 4) =

(– 1) + (– 1) =

2 Bereken de sommen.

(– 18) + (+ 5)

=

(– 76) + (– 98)

=

(– 5) + (– 17)

=

(– 27) + (+ 15)

=

(– 9) + (+ 12)

=

(– 80) + (+ 90)

=

(– 41) + (+ 41) =

(– 64) + (+ 43)

=

(– 18) + 0

=

(– 54) + (+ 45)

=

(– 15) + (– 10) =

(– 54) + (– 45)

=

(+ 80) + (– 90) =

(+ 54) + (– 45)

=

(+ 92) + (+ 87) =

(+ 10) + (– 28)

=

(+ 14) + (+ 28) =

(– 20) + (– 12)

=

(+ 17) + (– 16) =

(– 79) + (+ 72)

=

(– 76) + (– 32) =

(– 80) + (– 90)

=

(+ 91) + (+ 101) =

(+ 620) + (– 450) =

Hoofdstu k

3

43

3 Bepaal het toestandsteken van de sommen (je hoeft de absolute waarde niet te berekenen).

(– 792 836) + (– 35 679)

toestandsteken:

(+ 64 328) + (– 1 000 000)

toestandsteken:

(– 4 111 123) + (+ 35 237 987)

toestandsteken:

(+ 111 234) + (+ 23 784)

toestandsteken:

4 In de Tongatrog (– 9 055 m) in de buurt van Nieuw-Zeeland bevindt zich de hoogste zeeberg.

Hij is 8 690 m hoog (vergelijk met de hoogste berg op het land: de Everest, 8 848 m).

Op welke hoogte ligt de top van die zeeberg?

5 Bereken x = a + b voor de volgende waarden van a en b. a=+4

b=+8

x = (+ 4) + (+ 8) =

a = – 93

b = – 65

x=

a = – 130

b = + 120

x=

a = + 41

b = – 12

x=

a = + 11

b = – 30

x=

a = – 105

b = – 216

x=

=m so

4 Eigenschappen van de optelling van gehele getallen a Voor elk koppel gehele getallen bestaat er een geheel getal dat hun som is.

We zeggen: De optelling in ß is overal gedefinieerd. b De termen van plaats verwisselen Voorbeeld: (+ 7) + (– 5) = Dus:

en

(– 5) + (+ 7) =

(+ 7) + (– 5) = (– 5) + (+ 7)

Algemeen geldt: een som blijft gelijk als je de termen van plaats verwisselt.

Van het Latijn commutare = wisselen.

We zeggen: De optelling van gehele getallen is commutatief.

Met symbolen: ¡ a, b Ï ß : a + b = b + a Het symbool ¡ staat in de plaats van ‘voor alle’ en het symbool : staat in de plaats van ‘geldt’ (gelden = van kracht zijn, van toepassing zijn).

44

H oof dstu k

3

De symbolische vertolking wijst er dus op dat a+b=b+a waar is, welke twee gehele getallen a en b je ook neemt. c Haken Het plaatsen van haken geeft aan dat je de bewerking die tussen die haken staat eerst moet uitvoeren, m.a.w. dat ze voorrang moet krijgen bij het uitrekenen.

Voorbeeld: [(+ 2) + (– 5)] + (– 4)

(+ 2) + [(– 5) + (– 4)]

= (– 3) + (– 4)

= (+ 2) + (– 9)

=

=

Dus:

[(+ 2) + (– 5)] + (– 4) = (+ 2) + [(– 5) + (– 4)]

Algemeen geldt: een som waarvan een van de termen zelf een som is, blijft gelijk als je de haken van plaats verandert.

We zeggen: Van het Latijn ad = met betrekking tot en sociare = verbinden.

De optelling van gehele getallen is associatief.

Met symbolen: ¡ a, b, c Ï ß : (a + b) + c = a + (b + c) d De rol van 0 Voorbeeld: (– 6) + 0 = – 6 = 0 + (– 6) Algemeen geldt: de som van 0 en een tweede geheel getal is steeds gelijk aan dat tweede getal.

Omdat een term 0 dus als het ware geen invloed heeft op de som, zeggen we: 0 is het neutraal element voor de optelling van gehele getallen. e De som van een getal en zijn tegengestelde Voorbeeld: (+ 5) + (– 5) = 0 = (– 5) + (+ 5) Algemeen geldt: De som van twee tegengestelde getallen is 0.

Omdat de som van + 5 en – 5 gelijk is aan het neutraal element voor de optelling, noemen we – 5 het symmetrisch element van + 5 en + 5 het symmetrisch element van – 5 voor de optelling.

Omdat in ß elk getal een tegengesteld getal heeft, bestaat er in ß voor elk geheel getal een symmetrisch element voor de optelling.

Hoofdstu k

3

45

Vragen & opdrachten 6 Zeg telkens op welke eigenschap van de optelling van gehele getallen je steunt bij elk van de volgende overgangen. [(– 203) + (– 118)] + (+ 203) = [(– 118) + (– 203)] + (+ 203)

de optelling in ß is

= (– 118) + [(– 203) + (+ 203)]

de optelling in ß is

= (– 118) + 0

voor de optelling in ß is – 203 van + 203

= – 118

voor de optelling in ß is 0

7 Als je van drie gehele getallen de som van de eerste twee optelt bij het derde, dan kun je dat resultaat ook verkrijgen door het eerste getal op te tellen bij de som van de laatste twee.

Welke naam heeft die eigenschap?

8° Zeg telkens op welke eigenschap van de optelling van gehele getallen de onderstaande gelijkheden steunen (a en b stellen gehele getallen voor).

1 a + (– 4) = (– 4) + a

2 (a + b) + (+ 2) = a + [b + (+ 2)]

3 a + [b + (– 3)] = a + [(– 3) + b]

4 (– 3) + [(+ 3) + 0] = (– 3) + (+ 3)

5 [a + (+ 5)] + b = b + [a + (+ 5)]

6 a + [(+ 7) + (– 7)] = a + 0

7 [b + (– 3)] + (– 7) = b + [(– 3) + (– 7)]

9 Geef voor elk van de onderstaande gehele getallen het symmetrisch element voor de optelling.

– 45 :

;

+ 82:

;

0:

Voor extra oefeningen kun je surfen naar www.argument1.be

46

H oof dstu k

3

5 Eigenschappen van de optelling van natuurlijke getallen Heeft de optelling in ~ dezelfde eigenschappen als in Ă&#x;?

Onderzoek dus: a Kun je de som van twee natuurlijke getallen altijd vinden in ~? b Krijg je altijd dezelfde som als je de termen van plaats verwisselt?

Getallenvoorbeeld: c Krijg je altijd dezelfde som als je de haken van plaats verandert?

Getallenvoorbeeld:

d Is de som van 0 en een tweede natuurlijk getal altijd gelijk aan dat tweede getal?

Getallenvoorbeeld: e Kun je een natuurlijk getal vinden waarvoor de som met 7 nul is?

Onthoud: a b c d

De optelling in ~ is overal gedefinieerd.

De optelling van natuurlijke getallen is commutatief.

De optelling van natuurlijke getallen is associatief.

0 is het neutraal element voor de optelling van natuurlijke getallen.

Omdat we werken met natuurlijke getallen schrijven we het plusteken niet in het rood.

Vragen & opdrachten 10 Zeg telkens op welke eigenschap van de optelling van natuurlijke getallen je steunt bij elk van de volgende overgangen.

(17 + 8) + (13 + 0) = (17 + 8) + 13 = 17 + (8 + 13) = 17 + (13 + 8) = (17 + 13) + 8

11 Voor welke natuurlijke getallen bevat ~ het tegengestelde getal?

Hoofdstu k

3

47

6 Som van drie en meer gehele getallen Afspraak: in een uitdrukking waarbij geen bewerkingen tussen haken staan, worden de optellingen uitgevoerd zoals ze van links naar rechts voorkomen. (+ 2) + (– 5) + (– 4) = [(+ 2) + (– 5)] + (– 4)

Voorbeeld:

Volgens de associatieve eigenschap speelt de plaats van de haken geen rol, dus: [(+ 2) + (– 5)] + (– 4) = (+ 2) + [(– 5) + (– 4)] Je merkt: [(+ 2) + (– 5)] + (– 4) = (+ 2) + [(– 5) + (– 4)] = (+ 2) + (– 5) + (– 4) Besluit:

een som blijft gelijk als je haken invoert, verplaatst of weglaat.

Wegens de commutatieve eigenschap is het bovendien toegelaten om de termen van plaats te verwisselen.

Vragen & opdrachten 12 Bereken de sommen. (+ 6) + (+ 9) + (+ 4) = (– 5) + (– 8) + (– 3) = (+ 7) + (+ 1) + (– 9) = (– 6) + (– 5) + (+ 11) = (– 2) + (+ 3) + (+ 8) = (+ 42) + (– 53) + (– 64) = (+ 39) + (+ 54) + (– 93) = (– 8) + (+ 7) + (+ 3) + (– 12) = (– 15) + (– 7) + (+ 27) + (+ 8) = (– 7) + (+ 6) + (– 2) + (+ 4) + (– 3) = (+ 9) + (– 4) + (– 1) + (– 6) + (+ 11) =

13 Anaïs wil voor haar papa een geschenk van 17 € kopen. Omdat ze slechts 8 € in haar spaarpot heeft, mag ze het ontbrekende bedrag lenen bij haar mama. Bij het winkelen ziet ze echter een mooi boek voor zichzelf; het kost 6 €. Dat mag ze ook kopen met geld van haar mama. De volgende dag komt haar oma op bezoek en geeft Anaïs 12 € zakgeld.

Kan Anaïs haar schulden bij mama afbetalen of heeft ze daarvoor nog geld tekort?

Verklaar je antwoord door gebruik te maken van een som van gehele getallen:

48

H oof dstu k

3

7 Denkend rekenen Het samennemen van termen die een ‘gemakkelijke’ som hebben, vindt geregeld zijn toepassing bij het denkend rekenen.

Omdat we werken met natuurlijke getallen schrijven we het plusteken niet in het rood.

Twee voorbeelden in ~: 7 + 29 + 13 + 11 = (7 + 13) + (29 + 11) =

+

= 75 + 23 + 25 + 10 + 27 = (75 + 25) + (23 + 27) + 10 =

+

+ 10

= We kunnen ook termen splitsen om daarna ‘gemakkelijke’ sommen te kunnen invoeren.

Voorbeeld in ~: 762 + 238 = (700 + 62) + (200 + 38) = (700 + 200) + (62 + 38) =

+

=

Vragen & opdrachten 14 Een beetje hoofdrekenen in ~.

27 + 35 =

521 + 85 =

75 + 26 =

506 + 94 =

280 + 27 =

116 + 95 =

38 + 571 =

335 + 465 =

15 Nog meer denkend rekenen in ~.

14 + 7 + 6 + 13 =

+

37 + 49 + 13 + 11 = 24 + 8 + 6 + 32 = 17 + 25 + 45 + 23 =

= +

=

+

= +

=

18 + 19 + 20 + 21 + 22 =

+

19 + 85 + 35 + 101 =

+

220 + 190 + 80 + 70 =

+

= =

+

=

104 + 308 + 406 + 502 =

+

=

645 + 255 + 519 + 281 =

+

=

Hoofdstu k

3

49

8 Verklaring van de techniek van de optelling van natuurlijke getallen Voorbeeld: we willen de getallen 126 en 547 bij elkaar optellen.

Praktische schikking +

126 547 673

Werkwijze We stellen voor de eenvoud 100 = H, 10 = T en 1 = E.

We kunnen beide getallen schrijven als een som: 126 = 1H + 2T + 6E en 547 = 5H + 4T + 7E, zodat 126 + 547 = (1H + 2T + 6E) + (5H + 4T + 7E) = 1H + 2T + 6E + 5H + 4T + 7E = 1H + 5H + 2T + 4T + 6E + 7E = (1H + 5H) + (2T + 4T) + (6E + 7E) = 6H + 6T + 13E = 6H + 6T + (10E + 3E) = 6H + 6T + 1T + 3E = 6H + 7T + 3E = 673 De omzetting van 10E naar 1T gebeurt in de praktijk uit het hoofd: bij de optelling van 6 en 7 schrijf je onmiddellijk 3 en draag je 1 over naar de kolom links ernaast.

Proef We beginnen altijd met van onderen naar boven op te tellen. Om daarna een proef te nemen, tellen we op in omgekeerde zin, dus van boven naar onderen!

Vragen & opdrachten 16 Bereken.

512 387 + 686

50

H oof dstu k

3

299 837 + 685

2 924 3 697 + 6 578

7 876 5 998 + 3 689

2 7 8 + 4

428 921 651 793

17 De Ronde van Frankrijk bestond in 2007 uit de volgende ritten: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

London – London (tijdrit) London – Canterbury Dunkerque – Gent Waregem – Compiègne Villers-Cotterêts – Joigny Chablis – Autun Semur-en-Auxois – Bourg-en-Bresse Bourg-en-Bresse – Le Grand-Bornand Le Grand-Bornand – Tignes Val-d’Isère – Briançon Tallard – Marseille Marseille – Montpellier Montpellier – Castres Albi – Albi (tijdrit) Mazamet – Plateau-de-Beille Foix – Loudenvielle-Le Louron Orthez – Gourette-Col d’Aubisque Pau – Castelsarrasin Cahors – Angoulême Cognac – Angoulême (tijdrit) Marcoussis – Paris

8 km 203 km 169 km 236 km 193 km 183 km 199 km 198 km 165 km 159 km 229 km 183 km 178 km 54 km 197 km 196 km 219 km 189 km 211 km 55 km 146 km

a

Welke afstand werd in de tijdritten afgelegd?

b

Welke afstand werd in totaal afgelegd?

18 Bij elk van de volgende optellingen staan vier mogelijke uitkomsten.

Bepaal door schatten het correcte resultaat. Omcirkel het. a 5 217 + 8 314 + 24

(12 005, 13 005, 13 555, 21 555)

b 12 714 + 10 441 + 743

(23 098, 23 898, 30 598, 24 898)

c 17 841 + 42 035 + 9 716

(59 872, 60 592, 69 592, 79 872)

d 875 + 312 + 563 + 250

(2 000, 1 500, 2 003, 2 500)

9 Met een ZRM Ga na hoe je in je ZRM een negatief getal moet invoeren.

Opdracht 19 Bereken de volgende sommen met je ZRM. (– 467 983) + (+ 88 888) = (+ 777 777) + (– 6 666 666) = (– 1 999) + (+ 3 000 000) =

Hoofdstu k

3

51

Geschiedenis Je vraagt je misschien af hoe de Romeinen rekenden.

Zij gebruikten daarvoor een abacus (telraam). Die bestaat uit een plaat met een aantal gleuven.

M C X M C X I

De gleuven in de twee kolommen uiterst rechts dienen voor het rekenen met breuken; we laten die hier buiten beschouwing.

De andere, telkens een lange gleuf en een korte gleuf erboven, stellen van rechts naar links de eenheden (I), de tientallen (X), de honderdtallen (C), de duizendtallen (M), de tienduizendtallen (X), de honderdduizendtallen (C) en de miljoentallen (M) voor.

In de lange gleuf liggen telkens vier steentjes (door de Romeinen calculi genoemd; vandaar de oorsprong van het Engelse werkwoord to calculate voor ‘rekenen’) en in de korte ligt één steentje. Een steentje in de lange gleuf stelt 1 eenheid van de soort voor; het enige steentje in de korte gleuf stelt 5 eenheden van dezelfde soort voor. In totaal kon men dus 5 + 4 = 9 eenheden van elke soort weergeven.

Een getal wordt op de abacus voorgesteld door de nodige steentjes naar boven te schuiven.

Op de figuur rechts hierboven is het getal 371 aangeduid.

Een tweede getal kan bij het vorige opgeteld worden door de steentjes die daarvoor nodig zijn eveneens te verschuiven. Zo nodig, indien er te veel eenheden van eenzelfde soort zijn, moeten 10 steentjes omgezet worden in een eenheid van de onmiddellijk hogere soort, precies zoals wij dat doen.

52

H oof dstu k

3

Voor wie meer wil 20 Ivo schoot met zijn boog pijlen naar de roos en kwam in de volgende punten terecht: A (– 2 , – 3)

B (– 3 , 2)

C (1 , – 1)

D (2 , 4)

y

10 20 30

1

40 50

0

1

x

Bereken zijn score:

21 a Tel van – 35 tot + 10 in stappen van + 3. b Tel van – 13 tot – 41 in stappen van – 4.

22 Op elke steen moet je de som schrijven van de getallen die staan op de twee stenen waarop hij rust. Wie vindt het eerst het getal voor de bovenste steen?

11

–5

–8

3

–7

13

23 Schrijf in elk wit vakje de som van de getallen uit de aangrenzende gekleurde vakjes.

5

–7 –2

3

6 1

–6 –2

–8

0

3

–12

–2

–5

13 –8

–13 9

–11

–11 –6

6

4 –8

–2

4

9

9

–4 –6

17

24 Hoofdstu k

3

53

24 Bepaal het geheel getal x dat voldoet aan: x+4=3

x=

5+x=–1

x=

x + (– 1) = – 7

x=

(– 3) + x = 9

x=

25 Is | a + b | gelijk aan | a | + | b |?

naa

26 a Bepaal zes koppels gehele getallen waarvan de som van begin en einde gelijk is aan 4. b Teken de beeldpunten van die koppels in een geijkt vlak.

Wat merk je?

Voor meerkeuzevragen over de leerstof van dit hoofdstuk, surf naar www.argument1.be .

y

54

H oof dstu k

3

Speelse wiskunde Magische vierkanten Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant getallenschema waarin alle getallen verschillend zijn en zodanig geplaatst dat op alle horizontale en verticale rijen en op de beide diagonalen altijd dezelfde som ontstaat.

Het hieronder afgebeelde vierkant staat op de beroemde kopergravure Melancholia van Albrecht Dürer (Duits schilder en etser, 1471-1528). Op de onderste rij is tevens het jaartal van de gravure gevormd: 1514.

Zoek op het internet naar een afbeelding van die gravure.

16

3

2

13

5

10 11

8

9

6

7

12

4

15 14

1

De som is telkens 34; controleer even!

Zijn de onderstaande vierkanten magisch?

Vierkant 1 1

30 47 52

48 51

2

31 46 49 50

Vierkant 2

3

5

28 43 54

29 44 53

6

4

55 42

25

8

32 45 56 41 26

33 62 15 20

9

27

7

24 39 58

1

4

64 61

63 62

5

2

60 57

3

8

59 58 6

7

42 43 24 21 34 35 32 29 23 22 41 44 31 30 33 36 13 16 51 50

9

12 55 54

16 19 34 61 40 57 10 23

52 49 14 15 56 53 10 11

63 14 17 36 21 12 59 38

38 39 28 25 46 47 20 17

18 35 64 13 60 37 22 11

27 26 37 40 19 18 45 48

Een krantenjongen roept: ‘Grote oplichterij, 47 slachtoffers.’

‘Dat wil ik weten,’ zegt een man, ‘ik koop een krant.’

Waarna de krantenjongen roept: ‘Grote oplichterij, 48 slachtoffers.’

Hoofdstu k

3

55

W e

o n t h o u d e n

Gehele getallen optellen Benamingen het plusteken s (+ 5) + (– 7) = – 2 d d d de termen de som

Rekenregel De som van twee gehele getallen is het geheel getal dat je als volgt vindt: 1 hebben beide getallen hetzelfde toestandsteken, behoud dat teken en tel de absolute waarden op 2 hebben beide getallen een verschillend toestandsteken, neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde en trek de kleinste absolute waarde af van de grootste absolute waarde.

Eigenschappen van de optelling in ~

Eigenschappen van de optelling in ß

• De optelling in ~ is overal gedefinieerd.

• De optelling in ß is overal gedefinieerd.

• De som van twee natuurlijke getallen blijft gelijk als je de termen van plaats verwisselt.

M.a.w. de optelling van natuurlijke getallen is commutatief. ¡ a, b Ï ~ : a + b = b + a

• De som van twee gehele getallen blijft gelijk als je de termen van plaats verwisselt.

M.a.w. de optelling van gehele getallen is commutatief. ¡ a, b Ï ß : a + b = b + a

• De som van meer dan twee natuurlijke getallen blijft gelijk als je de haken van plaats verandert.

M.a.w. de optelling van natuurlijke getallen is associatief. ¡ a, b, c Ï ~ : (a + b) + c = a + (b + c) • De som van 0 en een tweede natuurlijk getal is altijd gelijk aan dat tweede getal.

M.a.w.

0 is het neutraal element voor de optelling van natuurlijke getallen.

De som van meer dan twee gehele getallen blijft gelijk als je de haken van plaats verandert.

M.a.w. de optelling van gehele getallen is associatief. ¡ a, b, c Ï ß : (a + b) + c = a + (b + c) • De som van 0 en een tweede geheel getal is altijd gelijk aan dat tweede getal.

M.a.w.

0 is het neutraal element voor de optelling van gehele getallen.

• De som van twee tegengestelde getallen is 0.

Er bestaat in ß voor elk geheel getal een symmetrisch element voor de optelling.

56

H oof dstu k

3

Toets jezelf 1 Bereken. (+ 2) + (– 3) + (+ 4) = (+ 5) + (+ 6) + (– 7) + (– 8) =

2 Welk getal moet je bij – 3 optellen om als som – 7 te verkrijgen?

3 Zeg telkens om welke eigenschap van de optelling in ~ het gaat. a (3 + 4) + 26 = 3 + (4 + 26)

b 48 + 32 = 32 + 48

c 12 + (9 + 0) = 12 + 9

4 Zeg telkens om welke eigenschap van de optelling in ß het gaat: a [(– 13) + (+ 7)] + (+ 14) = [(+ 7) + (– 13)] + (+ 14)

b [(– 4) + (+ 4)] + (– 3) = 0 + (– 3)

c [(– 20) + (– 5)] + (+ 42) = (+ 42) + [(– 20) + (– 5)]

5 Geef voor – 16 het symmetrisch element voor de optelling in ß.

6 Bereken uit het hoofd: 22 + 36 + 78 + 214 = 7 Een winkelbediende schrijft een rekening voor vier klanten.

Door de sommen te schatten merk je dadelijk dat een van de rekeningen niet klopt.

Welke rekening is het?

656 + 575 1 231

+

2 489 1 513 4 002

+

1 2 5 9

809 194 005 008

2 722 1 231 + 607 4 060

Hoofdstu k

3

57