1_9788490869512

ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Métodos analíticos y numéricos VOLUMEN III

ı

ĵ

ı

ı

ı

Ĩ

ı ė

ı

ĵ ĵ ĥ

ĵ ĵ ĵ

ď ĵ ĵ Néstor Thome Coppo Depto. de Matemética Aplicada UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALENCIA

Copyright ® 2015 Todos los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación sin permiso escrito de los autores y del editor.

En caso de erratas y actualizaciones, la Editorial Tirant lo Blanch publicará la pertinente corrección en la página web www.tirant.com (www.tirant.com).

© TIRANT LO BLANCH EDITA: TIRANT LO BLANCH VALENCIA TELFS.: 96/361 00 48 - 50 Email: tlb@tirant.com www.tirant.com ISBN:978-84-9086-951-2 MAQUETA:

´

Si tiene alguna queja o sugerencia, envíenos un mail a: atencioncliente@tirant.com.

En caso de no ser atendida su sugerencia, por favor, lea nuestro Procedimiento de quejas en: www.tirant.net/index.php/empresa/politicas-de-empresa

´ ANALISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES M´etodos anal´ıticos y num´ericos Volumen III ´stor Thome Coppo Autor: Ne Departamento de Matem´ atica Aplicada Universidad Polit´ ecnica de Valencia

´ PROLOGO

Tras perfilar los resultados de un proceso de convergencia educativo a nivel europeo que tiene como objetivo facilitar un efectivo intercambio de titulados as´ı como adaptar el contenido de los estudios universitarios a las demandas sociales, actualmente est´an en marcha los planes de estudio correspondientes. La nueva definici´on de cr´editos a trav´es del Sistema de Transferencia de Cr´editos Europeos (European Credits Transfer System ECTS) creado por la Comisi´on Europea llev´o al autor a plantear un libro destinado a los alumnos de Matem´aticas III de la Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicaci´on de la Universitat Polit`ecnica de Val`encia.

Teniendo en cuenta la limitaci´on de cr´editos y la materia que debe ser incluida, se han debido abordar los temas de manera introductoria y muchas veces sin una justificaci´on exhaustiva sino m´as bien dar a conocer las t´ecnicas de resoluci´on b´asicas.

La metodolog´ıa consiste en guiar al alumno para la obtenci´on de los objetivos que debe alcanzar a lo largo de su carrera tomando este parte activa durante el proceso.

El libro contiene los resultados te´oricos b´asicos y una serie de ejercicios que conducen a la fijaci´on de cada concepto. Se proponen ejercicios en los que se integran diferentes conceptos, se los relaciona y se aumenta el grado de dificultad de manera

ii

progresiva. Tambi´en se dan las soluciones de los mismos y comentarios que conducen a su obtenci´on. Se da una amplia lista de problemas que permitir´an afianzar los conocimientos de la asignatura y prepararse para los temas propios de la carrera.

Algunos problemas son originales y otros han sido planteados usando como base los textos indicados en la bibliograf´ıa.

El temario aqu´ı tratado se imparte en la mayor´ıa de las carreras t´ecnicas de Ingenier´ıa, como as´ı tambi´en en las Licenciaturas en Matem´aticas y F´ısica, entre otras. Concretamente, los temas que se abordan son los siguientes: An´alisis de Fourier.

Ecuaciones Diferenciales Parciales.

M´etodos Num´ericos.

Para una mejor estructuraci´on del mismo, se ha dividido en tres vol´ umenes. El primero contiene An´alisis de Fourier y Ecuaciones Diferenciales Parciales, considerando el caso de dominios finitos. El segundo incluye la continuaci´on de Ecuaciones Diferenciales Parciales poniendo ´enfasis en el m´etodo de las transformadas integrales para la resoluci´on de las mismas y en la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda. El tercero trata M´etodos Num´ericos para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales Dobles repasando los casos de funciones de una variable.

Se pretende que los tres vol´ umenes sirvan para ser utilizados como complemento a las clases. Esto permitir´a utilizar metodolog´ıas activas, y poner en com´ un el proceso de elaboraci´on de las ideas que ayudar´an a la formaci´on del alumno y le proveer´a de una metodolog´ıa que podr´a aplicar en su futuro profesional.

Agradezco que cualquier sugerencia o errata sea enviada al correo electr´onico njthome@mat.upv.es.

El autor III

CAP´ITULO

1

Derivaci´on e integraci´on num´erica de funciones de una variable

1.1.

Derivaci´ on num´ erica de funciones de una variable

Se supone al lector familiarizado con el tema de derivaci´on e integraci´on num´erica de funciones de una variable. En este cap´ıtulo se realiza un repaso porque ser´a de utilidad para abordar el tema en dos variables.

Sea f : R → R una funci´on con suficientes derivadas en un entorno del punto x.

1.1.1.

C´ alculo aproximado de f 0 (x)

Diferencia finita progresiva para f 0 (x): Si se desarrolla f alrededor de x mediante la f´ormula de Taylor de primer grado, para estimar f (x + h) se tiene: 1 f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + f 00 (c1 )h2 , 2 para cierto c1 . Si h ≈ 0 (h > 0), despejando f 0 (x) se tiene f 0 (x) =

f (x + h) − f (x) 1 00 − f (c1 )h, h 2 1

Cap´Ĺtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

donde

f (x+h)−f (x) h

se llama diferencia finita progresiva o hacia adelante y se

tiene la aproximaci´on f 0 (x) ≈

f (x + h) − f (x) h

La geometr´Ĺa de esta aproximaci´on puede apreciarse en la Figura 1.1. La pendiente de la recta pintada de rojo da la derivada exacta de la funci´on y la pintada de verde da la aproximada. Ĝ

ćĈĕČęĄćĄ ĈěĄĆėĄ

ÄŁ Äľ ÄĽ

ÄŁ Äľ

Äś ÄŁ Äľ

ĄēĕĒěČÄ?Ä„Ä†ÄŒĹśÄ‘

Äľ

Äľ ÄĽ

Äľ

ÄĽ

Figura 1.1: La derivada versus la diferencia finita progresiva

El error de truncamiento1 viene dado por:

0

f (x + h) − f (x)

1 00

Error de truncamiento = f (x) − = f (c1 )h

,

h 2

lo que se expresa diciendo que al aproximar num´ericamente f 0 (x) por la diferencia finita progresiva se comete un error de orden 1 (o bien que es O(h), es

decir que la diferencia tiende a cero de la misma manera que lo hace h).

Diferencia finita regresiva para f 0 (x): An´alogamente, si se desarrolla f alrededor de x mediante la f´ormula de Taylor de primer grado, para estimar f (x − h) 1

El error de truncamineto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto

0

f (x) y su aproximaci´ on por diferencia finita progresiva.

2

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

se tiene: 1 f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h + f 00 (c2 )h2 , 2 para cierto c2 . Si h ≈ 0 (h > 0), despejando f 0 (x) se tiene f 0 (x) = donde

f (x)−f (x−h) h

f (x) − f (x − h) 1 00 + f (c2 )h, h 2

se llama diferencia finita regresiva o hacia atr´as y se tiene

la aproximaci´on f 0 (x) ≈

f (x) − f (x − h) h

La geometr´ıa de esta aproximaci´on puede apreciarse en la Figura 1.2. Ķ

ćĈĕČęĄćĄ ĈěĄĆėĄ

ģ ĵ

Ķ ģ ĵ

ģ ĵ ĥ

ĄēĕĒěČĐĄĆČŶđ

ĵ

ĵ

ĵ ĥ ĥ

Figura 1.2: La derivada versus la diferencia finita regresiva

El error de truncamiento en este caso viene dado por:

0

1 00

f (x) − f (x − h)

= f (c2 )h .

Error de truncamiento =

f (x) −

h 2

Es decir, al aproximar num´ericamente f 0 (x) por la diferencia finita regresiva

tambi´en se comete un error de orden 1.

3

Cap´Ĺtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

Diferencia finita central para f 0 (x): Sumando miembro a miembro las f´ormulas de aproximaci´on progresiva y regresiva y despejando f 0 (x) se llega a: f 0 (x) ≈

f (x + h) − f (x − h) 2h

donde el segundo miembro se llama diferencia finita central o sim´etrica. La geometr´Ĺa de esta aproximaci´on puede apreciarse en la Figura 1.3. Ĝ

ćĈĕČęĄćĄ ĈěĄĆėĄ

ÄŁ Äľ ÄĽ

ÄŁ Äľ

Äś ÄŁ Äľ

ĄēĕĒěČÄ?Ä„Ä†ÄŒĹśÄ‘

ÄŁ Äľ ÄĽ

Äľ ÄĽ

Äľ

Äľ ÄĽ

Äľ

ÄĽ

Figura 1.3: La derivada versus la diferencia finita central

Usando la f´ormula de Taylor de segundo grado para desarrollar f alrededor de x, es posible estimar tanto f (x + h) como f (x − h): 1 1 f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + f 00 (x)h2 + f 000 (c3 )h3 , 2 6 y 1 1 f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h + f 00 (x)h2 − f 000 (c4 )h3 , 2 6 para ciertos c3 y c4 . Operando con ambas f´ormulas se llega a:

f (x + h) − f (x − h)

0

− f (x)

Error de truncamiento =

2h

1 000

000 2

= [f (c3 ) + f (c4 )]h , 6 4

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

lo que permite decir que al aproximar num´ericamente f 0 (x) por la diferencia finita central se comete un error de orden 2 (o bien que es O(h2 ), es decir que la diferencia tiende a cero de la misma manera que lo hace h2 ).

Significado del orden del error de truncamiento: Mientras que en las aproximaciones de orden 1, si por ejemplo se divide h a la mitad, el error aproximado tambi´en se divide por 2, en las aproximaciones de orden 2, al dividir h a la mitad, el error aproximado se dividir´a por 4, obteniendo mayor precisi´on.

1.1.2.

C´ alculo aproximado de f 00 (x)

Diferencia finita central para f 00 (x): Sumando miembro a miembro los desarrollos de Taylor 1 1 1 f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + f 00 (x)h2 + f 000 (x)h3 + f (iv) (c5 )h4 , 2 3!

4! y 1 1 1 f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h + f 00 (x)h2 − f 000 (x)h3 + f (iv) (c6 )h4 , 2 3!

4! para ciertos c5 y c6 , y despejando f 00 (x) se obtiene: f 00 (x) =

f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) 1 − [f (iv) (c5 ) + f (iv) (c6 )]h2 2 h 24

(1.1)

De (1.1) se obtiene la aproximaci´on: f 00 (x) ≈

f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) , h2

donde el segundo miembro se llama diferencia finita central o sim´etrica. Adem´as,

f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)

00

Error de truncamiento =

− f (x)

2 h

1 (iv)

=

[f (c5 ) + f (iv) (c6 )]h2

, 24

lo que permite decir que al aproximar num´ericamente f 00 (x) por la diferencia finita central se comete un error de orden 2 (o bien que es O(h2 )).

5

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

Tambi´en es posible obtener diferencias finitas progresiva y regresiva para f 00 (x), pero no se utilizar´an en este contexto.

1.1.3.

Resumen

Derivada

Aproximaci´on

Diferencia finita

Error de truncamiento

progresiva

O(h)

f 0 (x)

f (x+h)−f (x) h f (x)−f (x−h) ≈ h f (x+h)−f (x−h) ≈ 2h

regresiva

O(h)

central

O(h2 )

central

O(h2 )

≈

f 00 (x)

1.2.

≈

f (x+h)−2f (x)+f (x−h) h2

Integraci´ on num´ erica de funciones de una variable

Problema a resolver: Calcular un valor aproximado de la integral I=

Z

b

f (x) dx a

donde f : [a, b] → R es una funci´on integrable en [a, b].

Idea: Se aproximar´a la funci´on f (x) por un polinomio pn (x) de grado menor o igual que n, y por lo tanto, se tendr´a que Z

b a

f (x) dx ≈

Z

b

pn (x) dx. a

A continuaci´on se estudian los casos n = 1 y n = 2.

1.2.1.

Regla de los trapecios

Para esta regla se podr´a utilizar uno o varios polinomios de grado 1.

6

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

SIMPLE: Se aproxima f (x) por un solo polinomio de primer grado que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)). Es f´acil comprobar que el polinomio2 p1 (x) =

b−x x−a f (a) + f (b) b−a b−a

cumple que p1 (a) = f (a) y p1 (b) = f (b). No es m´as que la recta que pasa por esos dos puntos. El a´rea (con signo) entre esa recta y el eje X desde x = a hasta x = b dar´a la aproximaci´on al valor de I buscado como se aprecia en la Figura 1.4.

Figura 1.4: Interpretaci´on geom´etrica del m´etodo de los trapecios

Luego, Z b a

2

f (x) dx ≈

Z

b

p1 (x) dx

Z b x−a b−x f (a) + f (b) dx = b−a b−a a Z Z f (a) b f (b) b = (b − x) dx + (x − a) dx b−a a b−a a b

b

f (a) x2 f (b) x2 − ax = bx − + b−a 2 a b−a 2 a a

Este polinomio es conocido como polinomio de Lagrange que interpola esos dos puntos.

7

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

f (b) 2 f (a) 2 b − 2ba + a2 + b − 2ab + a2 2(b − a) 2(b − a)

f (a) f (b) 2 = (b − a) + 2(b − a) 2(b − a) b−a = [f (a) + f (b)] , 2 =

que evidentemente coincide con el a´rea del trapecio de la Figura 1.4. Es decir, la f´ormula de trapecios para un solo intervalo es: Z b b−a f (x) dx ≈ [f (a) + f (b)] 2 a COMPUESTA: Si se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos equiespaciados se tienen los nodos x1 = a, x2 = a + h, x3 = a + 2h, . . . , xn = a + (n − 1)h, xn+1 = b donde h =

b−a n .

Ahora se aplica la f´ormula encontrada a cada integral en los

intervalos [xi , xi+1 ] y se llega a Z xi+1 f (x) dx ≈ xi

=

xi+1 − xi [f (xi+1 ) + f (xi )] 2 h [f (xi ) + f (xi+1 )] 2

donde se ha utilizado que cada subintervalo tiene la misma longitud: xi+1 −xi = h para i = 1, . . . , n. Luego, Z b f (x) dx = a Z Z x3 Z x2 f (x) dx + · · · + f (x) dx + = x1

≈ =

x2

xn+1

f (x) dx xn

h h h [f (x1 ) + f (x2 )] + [f (x2 ) + f (x3 )] + · · · + [f (xn ) + f (xn+1 )] 2 2 2 h [f (x1 ) + 2f (x2 ) + 2f (x3 ) + · · · + 2f (xn ) + f (xn+1 )] .

2

Es decir, la f´ormula de los trapecios para n subintervalos es: Z b h f (x) dx ≈ [f (x1 ) + 2f (x2 ) + 2f (x3 ) + · · · + 2f (xn ) + f (xn+1 )] 2 a 8

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

o en notaci´on m´as compacta Z

b a

" # n X h f (x) dx ≈ f (x1 ) + 2 f (xi ) + f (xn+1 ) 2 i=2

Se observa que la f´ormula que aproxima a la integral es una suma de los valores de f evaluados en los nodos ponderados por ciertos pesos. Estos pesos son

h 2

en los nodos de los extremos y h en los nodos interiores.

El error que se comete al aproximar el valor exacto I con la f´ormula I T dada por la regla de los trapecios es: |I − IT | =

b − a 2 00 h |f (c)| , 12

para alg´ un valor c ∈ ]a, b[, es decir es O(h2 ).

1.2.2.

M´ etodo de Simpson

Para este m´etodo tambi´en se podr´a utilizar uno o varios polinomios de grado 2 para aproximar la funci´on f .

SIMPLE: Se aproxima f (x) por un solo polinomio de segundo grado que pasa por

a+b a+b ,f (a, f (a)), y (b, f (b)).

2 2 Es f´acil comprobar que el polinomio3 p2 (x) =

(x − b)(x − c) (x − a)(x − b) (x − a)(x − c) f (a) + f (c) + f (b) (a − b)(a − c) (c − a)(c − b) (b − a)(b − c)

cumple que p2 (a) = f (a), p2 (c) = f (c) y p2 (b) = f (b) donde se ha usado la notaci´on c =

a+b 2 .

No es m´as que la par´abola que pasa por esos tres puntos. El

a´rea (con signo) entre esa par´abola y el eje X desde x = a hasta x = b dar´a la aproximaci´on al valor de I buscado como se aprecia en la Figura 1.5. Luego, 3

De nuevo, se trata del conocido como polinomio de Lagrange que interpola esos tres puntos.

9

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

Figura 1.5: Interpretaci´on geom´etrica del m´etodo de Simpson

=

Z b a

Z

b a

f (x) dx ≈

Z

b

p2 (x) dx a

(x − a)(x − b) (x − a)(x − c) (x − b)(x − c) f (a) + f (c) + f (b) dx (a − b)(a − c) (c − a)(c − b) (b − a)(b − c)

Llamando h =

b−a 2

se tiene que los denominadores anteriores pueden escribirse

como: (a − b)(a − c) = (−2h)(−h) = 2h2 , (c − a)(c − b) = h(−h) = −h2 y

(b − a)(b − c) = 2hh = 2h2 . Entonces, haciendo el cambio de variable u = x − a en la primera integral queda Z

b a

(x − b)(x − c) dx = (a − b)(a − c) = = = = =

1 2h2

Z

b a

(x − b)(x − c) dx

Z 2h 1 (u + a − b)(u + a − c) du 2h2 0 Z 2h 1 (u − 2h)(u − h) du 2h2 0 Z 2h 1 (u2 − 3hu + 2h2 ) du 2h2 0

2h 1 u3 3h 2 2 − u + 2h u 2h2 3 2 0 1 h.

3 10

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

El mismo cambio de variable Z b (x − a)(x − b) dx = a (c − a)(c − b)

permite encontrar que Z b 4 (x − a)(x − c) 1 h y dx = h.

3 (c − a)(b − c) 3 a

Luego, la f´ormula de Simpson para un solo intervalo es: Z

b a

h a+b f (x) dx ≈ f (a) + 4f + f (b) 3 2

COMPUESTO: Si se elige el valor de n que debe ser un n´ umero natural par y se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos equiespaciados se tienen los nodos x1 = a, x2 = a + h, x3 = a + 2h, . . . , xn = a + (n − 1)h, xn+1 = b donde h =

b−a n .

Ahora se aplica la f´ormula encontrada a cada integral en

[xi , xi+2 ] y se llega a Z xi+2 f (x) dx ≈ xi

=

xi + xi+2 h f (xi ) + 4f + f (xi+2 ) 3 2 h [f (xi ) + 4f (xi+1 ) + f (xi+2 )] 3

donde se ha utilizado que cada subintervalo tiene la misma longitud: xi+1 −xi = h para i = 1, . . . , n. Luego, como cada integral y la consecutiva comparten el valor de f en el nodo que tienen en com´ un, operando se llega a Z xn+1 Z x5 Z x3 Z b f (x) dx f (x) dx + · · · + f (x) dx + f (x) dx = ≈

xn−1

x3

x1

a

h [f (x1 ) + 4f (x2 ) + 2f (x3 ) + 4f (x4 ) + 2f (x5 ) + · · · + 3 +2f (xn−1 ) + 4f (xn ) + f (xn+1 )]

Es decir, la f´ormula de Simpson para n subintervalos es: Z

b a

 h f (x) dx ≈ f (x1 ) + 4 3

n X

i=2, i par

11

f (xi ) + 2

n−1 X

i=3, i impar



f (xi ) + f (xn+1 )

Cap´ıtulo 1. Derivaci´ on e integraci´ on num´ erica

De nuevo, la f´ormula que aproxima a la integral es una suma de los valores de f evaluados en los nodos ponderados por ciertos pesos. Estos pesos son h 3

4 3h

en los nodos de los extremos,

en los nodos interiores correspondientes

a sub´ındices pares y 23 h en los nodos interiores correspondientes a sub´ındices impares.

El error que se comete al aproximar el valor exacto I con la f´ormula I S dada por la regla de Simpson es: |I − IS | =

b − a 4 (IV ) h |f (c)| , 180

para alg´ un valor c ∈ ]a, b[, es decir es O(h4 ).

Observaci´ on 1.1 Observar que tanto en la regla del trapecio como en el m´etodo de Simpson se ha obtenido una aproximaci´ on de I del tipo I=

Z

b a

f (x) dx ≈

n+1 X

ωi f (xi )

i=1

donde los valores de ωi representan el peso que tiene el valor de f en cada uno de los nodos xi . En general, dependiendo de cu´ ales sean estos valores de ωi , se habla de un m´etodo de cuadratura num´ erica o de otro. Para el m´etodo de cuadratura de los trapecios los pesos son ωi =

 

h 2,

i ∈ {1, n + 1}

 h, i = 2, . . . , n

y para la regla de Simpson (recordando que n debe ser par) son  h    3 , i ∈ {1, n + 1}  4 ωi = 3 h, i = 2, . . . , n, i par     2 h, i = 3, . . . , n − 1, i impar 3

12

CAP´ITULO

2

Integraci´on num´erica de funciones de dos variables

Problema a resolver: Calcular un valor aproximado de la integral doble ZZ I= f (x, y) dx dy D

donde D es una regi´on acotada en

R2

y

f :D→R es una funci´on integrable en D. Idea: Se aplicar´a el Teorema de Fubini y la f´ormula de Simpson para aproximar integrales de funciones de una variable.

2.1.

Regla de Simpson para funciones de dos variables

Sea f : D → R una funci´on integrable siendo D un subconjunto acotado del plano. Para aproximar I=

ZZ

f (x, y) dx dy D

13

Cap´ıtulo 2. Integraci´ on num´ erica de funciones de dos variables

se considerar´an tres situaciones: (a) D = [a, b] × [c, d], (b) D es una regi´on acotada

(de tipo I o tipo II) de R2 o bien (c) D es una regi´on plana f´acil de resolver en coordenadas polares. (a) D = [a, b] × [c, d]. Se eligen dos n´ umeros naturales pares n y m, se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos equiespaciados y el intervalo [c, d] en m subintervalos equiespaciados. Para ello, con h=

b−a n

y

k=

d−c m

se tienen los nodos x1 = a, x2 = a + h, x3 = a + 2h, . . . , xn = a + (n − 1)h, xn+1 = b, y1 = c, y2 = c + k, y3 = c + 2k, . . . , ym = c + (m − 1)k, ym+1 = d, y finalmente los puntos del rect´angulo (xi , yj ) para i = 1, . . . , n + 1, j = 1, . . . , m + 1. Se encuentra as´ı un mallado para el rect´angulo D = [a, b] × [c, d] como se aprecia en la Figura 2.1. Siguiendo los pasos del m´etodo para funciones

Figura 2.1: Mallado del rect´angulo D = [a, b] × [c, d] con n = 6 y m = 4 (¡ambos pares!)

14

Cap´ıtulo 2. Integraci´ on num´ erica de funciones de dos variables

de una variable, ahora se deber´an buscar los pesos que ponderan a cada uno los valores de f (xi , yj ) para i = 1, . . . , n + 1, j = 1, . . . , m + 1.

Suponiendo que para la funci´on f : [a, b] → R es aplicable el Teorema de Fubini, se tiene que la integral doble puede escribirse como la siguiente integral iterada1 : I=

ZZ

f (x, y) dx dy = D

Z b Z a

d c

f (x, y) dy dx,

donde primero se debe aproximar la integral interior y luego la exterior.

Suponiendo primero que x ∈ [a, b] es un par´ametro (fijo pero arbitrario), se aplica el m´etodo de Simpson para funciones de una variable a la integral interior y queda

Z

d c

f (x, y) dy ≈

m+1 X

ωk,j f (x, yj )

(2.1)

j=1

donde los pesos, en este caso, dependen del paso k y del sub´ındice j correspondiente al nodo yj (puesto que se est´a integrando con respecto a y):  k   , j ∈ {1, m + 1}   3 4 ωk,j = 3 k, j = 2, . . . , m, j par     2 k, j = 3, . . . , m − 1, j impar 3     1, j ∈ {1, m + 1} k = 4, j = 2, . . . , m, j par 3    2, j = 3, . . . , m − 1, j impar.

Integrando ahora la expresi´on (2.1) con respecto a x se tiene  

Z b m+1 Z b Z d X  f (x, y) dy dx ≈ ωk,j f (x, yj ) dx a

a

c

=

j=1

m+1 X

ωk,j

j=1

1

Notar que se podr´ıa aproximar tambi´en la integral

obteniendo el mismo resultado.

15

RR

Z

(2.2)

R d hR b

i f (x, y) dx dy

b

f (x, yj ) dx , a

f (x, y) dx dy = D

c

a