1_9788491191414

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: Cinemàtica

Antonio Sanchis Sabater Albert Marín Sanchis Professors Titulars de l’Universitat Politècnica de Valéncia Departament de Física Aplicada Escola Tècnica Superior d’Ingeniers Industrials

Copyright ® 2015 Todos los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación sin permiso escrito de los autores y del editor.

En caso de erratas y actualizaciones, la Editorial Tirant lo Blanch publicará la pertinente corrección en la página web www.tirant.com (www.tirant.com).

© TIRANT LO BLANCH EDITA: TIRANT LO BLANCH VALENCIA TELFS.: 96/361 00 48 - 50 Email: tlb@tirant.com www.tirant.com ISBN:978-84-9119-141-4 MAQUETA:

´

Si tiene alguna queja o sugerencia, envíenos un mail a: atencioncliente@tirant.com.

En caso de no ser atendida su sugerencia, por favor, lea nuestro Procedimiento de quejas en: www.tirant.net/index.php/empresa/politicas-de-empresa

Antonio Sanchis Sabater Albert Marín Sanchis

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: Cinemàtica

Professors Titulars de l’Universitat Politècnica de Valéncia Departament de Física Aplcada Escola Tècnica Superior d’Ingeniers Industrials

PRESENTACIÓ En este llibre es recopilen i resolen, els problemes que els seus autors han propost en els exàmens de l'assignatura Fonaments Físics de l'Ingenieria I, de la titulació d'Ingenier Industrial de l'Escola Tècnica Superior d'Ingeniers Industrials de Valéncia, durant els cursos 1998-99 al 2006-07.

Els problemes s’han classificat per capítuls, en funció de la seua temàtica, i alguns d’ells figuren en varis, segons lo que es demane en els seus apartats. Al principi de cada capítuls, s'expon una metodologia que intenta sistematisar la resolució de problemes del tema correspondent, i que serà l’amprada en el desenroll posterior, fugint aixina de l’idea feliç, i sense oblidar els conceptes teòrics sobre els que se sustenten.

Confiem, per fi, que el seu contingut siga útil als nostres alumnes, i a tot aquell que intente comprendre millor l’aplicació pràctica dels conceptes teòrics de la Física, que seran la base del desenroll posterior de moltes de les assignatures de les carreres d’Ingenieria. En eixa voluntat ho hem fet.

Valéncia, juliol 2007 Els Autors

AGRAÏMENT Els autors volem agrair molt especialment al nostre amic Joan Carles Micó Ruiz, professor del Departament de Matemàtica Aplicada, la seua desinteressada colaboració en la confecció d'este text.

TEMA 1 PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

Pautes a de seguir per a la resolució de problemes de cinemàtica dels sistemes indeformables Per a la resolució d'este tipo de problemes cal tindre en conte que tot sistema indeformable està somés a un conjunt de rotacions, per lo que, per alguns apartats es considerarà que és un problema de sistema de vectors velocitats angulars, resolent-los tal com s'ha indicat en el capítul corresponent a problemes de sistemes de vectors, sent la resultant la suma de les rotacions a qué està somés el sistema indeformable, que denominarem rotació instantànea, i el moment resultant en un punt, la velocitat d'eixe punt del sistema indeformable. Aixina els invariants del sistema de vectors en este cas seran la rotació instantànea; el producte escalar de la rotació instantànea per la velocitat d'un punt; i la velocitat mínima, que serà la component de la velocitat de qualsevol punt del sistema indeformable, en la direcció de la rotació instantànea. L'eix central del sistema de vectors, en este cas, serà l'eix instantaneu de rotació i mínima esvarada, que per a simplificar, se li denomina eix instantani de rotació (EIR).

Com a lleis físiques fonamentals de la cinemàtica dels sistemes indeformables es tindran tres que són les que s'utilisaran en tots els problemes, tantes vegades com siga necessari. La primera de les equacions és la del camp de velocitats, que com s'ha indicat és la que correspon al camp de moments, i és per això per lo que s'identifica com un sistema de vectors velocitats angulars.

Donats dos punts A i B del mateix sistema indeformable es té:

 V A  VB    BA La segona equació a tindre en conte és l’equació de Poisson, que nos indica el valor de la derivada respecte al temps d’un vector de mòdul constant:

   d nor a da     a 0 a: dt dt





Sent la tercera llei, la derivada de l’equació del camp de velocitats:

   a A  aB    BA      BA





que per a sistemes en moviment pla es pot utilisar de la forma:

   a A  aB    BA  .BA ..   2 .BA En això els passos que s'han de seguir per a la resolució de problemes serà:

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: CINEMÀTICA

1. Analisar el problema identificant el número de sistemes indeformables distints que cal tindre en conte 2. Observar quin dels sistemes indeformables estarà somés a un número més gran de velocitats angulars, i triar, si no se nos dona, la base de referència de treball 2.A. Per a triar la base es tindrà en conte les direccions dels vectors velocitat angular a qué està somés el sistema indeformable, definint la base de manera que estos vectors tinguen el menor número de components, és a dir si és possible, que la direcció dels vectors velocitat angular coincidixquen en la direcció dels eixos coordenats, o si no ho és per a tots, que la direcció de les velocitats angulars no paraleles als eixos coordenats, siguen paraleles a plans coordenats 2.B. Per a triar l'orige s'intentarà que estiga en un punt on es puguen relacionar els diferents punts dels qué es vol trobar la seua velocitat. Aixina i tot, no és important on situem l'orige, ya que les equacions indicades fan referència als vectors que unixen els punts i no als vectors posició dels mateixos 3. Determinar el torsor cinemàtic d'aquells sistemes indeformables en qué es demane la velocitat d'algun punt del mateix. Per a això: 3.A. S'obtindrà la rotació instantànea del sistema indeformable.

3.A.a. Generalment es coneixeran les distintes velocitats angulars a qué està somés el sistema, per lo qual la rotació instantànea serà la resultant, suma dels vectors, de conformitat en lo que s'ha indicat en el capítul dedicat als sistemes de vectors.

3.A.b. Si no es coneix la rotació s'obtindrà a partir de la velocitat de tres punts no alineats, aplicant per a dos parelles de punts l'equació del camp de velocitats i trobant el valor de la rotació instantànea de les dos equacions 3.B. S’obtindrà la velocitat d’un punt 3.B.a. S'estudiarà de l'enunciat en quins punts es coneix la velocitat, i si algun d'ells forma part del sistema indeformable; este serà el segon element del torsor en el punt 3.B.b. En cas de no conéixer-se la velocitat de cap punt es vorà de l'enunciat quin punt està lligat a un atre sistema indeformable, i s'obtindrà la seua velocitat com pertanyent a este atre sistema, de conformitat en lo que s'ha indicat en el punt 4 4. Determinació de la velocitat d'un punt del sistema indeformable

Per a determinar la velocitat s'aplicarà l'equació del camp de velocitats entre el punt i aquell punt on s'ha determinat el torsor del sistema indeformable 5. Determinar la derivada temporal del torsor cinemàtic d'aquells sistemes indeformables en qué es demane l'acceleració d'algun punt del mateix. Per això: 5.A. S'obtindrà l'acceleració angular instantànea del sistema indeformable 5.A.a. Si es coneixen les distintes velocitats angulars a qué està somés el sistema, l'acceleració angular s'obtindrà per derivació de la rotació instantànea, per això es tindrà en conte que la base de treball pot ser no fixa, i per tant la seua derivada serà no nula, i el seu valor estarà donat per l'equació de Poisson

TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

5.A.b. Si no es coneix la rotació en funció del temps, s'obtindrà a partir de l'acceleració de tres punts no alineats, aplicant per a dos parelles de punts l'equació de la llei d'acceleracions, trobant el valor de l'acceleració angular instantànea de les dos equacions.

5.B. S'obtindrà l'acceleració d'un punt 5.B.a. S'estudiarà de l'enunciat en quins punts es coneix l'acceleració i si algun d'ells forma part del sistema indeformable, esta serà la derivada del segon element del torsor en el punt 5.B.b. En cas de no conéixer-se l'acceleració de cap punt es vorà de l'enunciat que punt està lligat a un atre sistema indeformable, i s'obtindrà la seua acceleració com pertanyent a este atre sistema de conformitat en lo indicat en el punt 6 6. Determinació de l'acceleració d'un punt del sistema indeformable Per a determinar l'acceleració s'aplicarà l'equació de la llei d'acceleracions dels sistemes indeformables entre el punt i aquell punt on s'ha determinat la derivada temporal del torsor del sistema indeformable

TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

Problema 1 (problema d’examen de 25 de giner de 1999 propost per A. Marín). Un cilindre de radi r i altura 2 r, gira al voltant del seu propi eix en velocitat angular de mòdul constant 1. Al mateix temps el seu y punt central, G, realisa una trayectòria circular de radi R 2 en un pla horisontal, paralel sempre al seu eix, que es R manté en tot instant tangent a 2r la trayectòria, en velocitat O angular constant 2. 1 Calcular: G A a) Rotació instantànea del cilindre. x b) Acceleració angular r instantànea. c) Velocitat del punt més alt d’una de les seues bases, A. d) Acceleració d’eixe mateix punt. e) Velocitat mínima. a) Tenim un únic sistema indeformable interessant, que és tot l'espai que es mou solidari al cilindre, i que nomenarem sistema indeformable cilindre o S En primer lloc es tria la base de treball, que coincidix en la representada OXYZ, que gira respecte a l'eix OZ en velocitat angular constant 2.

La rotació instantànea del sistema serà la resultant de les velocitats angulars a qué està somés, és dir,

 S  1 . j   2 .k







b) Per a obtindre l'acceleració angular instantànea derivem respecte al temps la rotació instantànea, tenint en conte que en l'enunciat se nos indica que  1   2  0 i que l'eix OZ és fix:

      dj dj dk d  1 .   1 . j  1 .   2 .k   2 . S  dt dt dt dt 

Aplicant l’equació de Poisson, sabent que l’eix OY gira en velocitat 2,





    dj  S  1 .  1 .  2 .k  j  1 .  2 .i  dt    S  1. 2 .i 

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: CINEMÀTICA

c) Per a calcular el torsor en un punt nos fixem en el punt G (centre geomètric del cilindre), que té un moviment circular uniforme al voltant de O. Per a determinar la seua velocitat, considerem un sistema indeformable S' format, per lo manco, pels  punts O i G. Tal sistema tindrà com torsor en O la rotació  2 .k i velocitat nula, per lo qual, aplicant l'equació del camp de velocitats entre O i G, es té:    O, GS '  vG  vO   S '  OG   2 .k  R.i  R. 2 . j Conegut el torsor, apliquem l'equació del camp de velocitats entre els punts del sistema indeformable cilindre (S)



 

     A, G  S  v A  v G   S '  GA  R 2 j   1 . j   2 .k   r. j  r.k    v A  r. 1   2 .i  R. 2 . j







d) Per a calcular la derivada temporal del torsor en un punt nos fixem en el punt G:    O, G S '  aG  aO   S '  OG  S '  S '  OG  0  0  2 .k  R.2 . j   R.22 .i Coneguda la derivada temporal del torsor, apliquem l’equació de la llei d’acceleracions entre els punts del sistema indeformable cilindre (S)





 a A  aG   S  GA   S   S  GA   A, G S         2   R. 2 .i  1 . 2 .i  r  j  k   1 . j   2 .k  r. 1   2 .i





 

 

 





     a A  R. 22 .i  r.1. 2 . j  k  r.  22  1. 2 . j  1. 2  12 .k





   a A  R. 22 .i  r.  22  2.1. 2 . j  12 .k



e) La velocitat mínima és el tercer invariant que s’obté, multiplicant el vector resultant, és dir, la rotació instantànea, pel quocient entre el segon invariant i la norma del primer invariant vmín 







    R. .  S .vG  R. . . S  2 1 22  1 . j   2 .k  vmín  2 1 22 1 . j   2 .k 2 1   2 S 1   2



TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

Problema 2. Una trompa simulada pel con de la figura, de radi de la base r y alçària 2r, manté el seu eix OA inclinat un àngul constant    4 respecte al pla 2.r horisontal, i el seu vèrtiç fix en un punt O. La trompa gira al voltant del seu eix B Z 1 en una rotació de mòdul constant  1 r dirigida cap a la seua base, mentres que A tal eix està animat d’una rotació constant 2  2 al voltant de la recta vertical que  passa per O i sentit cap a dalt. Es O demana, expressant els resultats en el sistema de referència OXYZ, en el qual X Y l'eix de la trompa està sempre en el pla X=0: 1. Rotació instantànea i acceleració angular instantànea de la trompa.

2. Velocitat i acceleració del punt més alt de la trompa (punt B).

3. Descripció dels Axoides Fix i Mòvil 1) Com la base ve imposta per l'enunciat, no la triem, encara que si haguérem de triarla, l’ideal seria la mateixa.

La rotació instantànea del sistema serà la resultant de les velocitats angulars a qué està somés, és dir,





S  1  2  1. cos . j  sen .k  2 .k  1. cos . j  1.sen  2 .k 





Tenint en conte el valor de l’àngul:

S  











1 . 2. j  1 . 2  2. 2 .k 

2

Per a obtindre l’acceleració angular instantànea, derivem respecte al temps la rotació instantànea, tenint en conte que l’enunciat nos indica que  1   2  0 i que l’eix OZ es fix:       d dj dk dj S    1 . cos  . j  1 . cos  .   1 .sen   2 .k  1 .sen   2 .  1 . cos  . dt dt dt dt 

Tenint en conte l’equació de Poisson i que l’eix OY gira en velocitat 2,      dj  S  1 . cos  .  1 . cos  .  2 .k  j  1 . cos  .   2 .i dt  2 .1 . 2  .i S   2









RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: CINEMÀTICA

2) Conegut el torsor en O, apliquem l'equació del camp de velocitats entre els punts del sistema indeformable trompa (S)

O, B S  vB  vO   S  OB



 



Per a determinar el vector OB ho descomponem en dos     OB  OA  AB  2.r. cos  . j  sen .k  r.  sen . j  cos  .k    1 . 2 . j  1 . 2  2. 2 .k  O, B S  v B  vO   S  OB  0  2

v B  r.





3.1  1  2. 2  .i 2









 2  .r. j  3.k 2  2  .r. j  3.k 2





  2 . 2 .i v B  r. 1  2  



Coneguda la derivada temporal del torsor, apliquem l'equació de la llei d'acceleracions entre els punts del sistema indeformable cilindre (S) O, B  S 





aB  aO   S  OB  S  S  OB













    . 2. j   . 2  2. .k    2 2  2 1 1 2 .1.2 .i  r.  r. 1  . j  3.k  aB  0  .2 .i 2 2 2 2  

aA 



 

  r r.1 . 2 . 3. j  k  .

2 2



 



  2 .12  2 . 22  1 . 2 . j  1 . 2  2 .12 .k



  2 2  2 2   . 1  22  2.1.2 . j  aB  r. .1 .k  2  2     3) L’axoide Fix es una superfície cònica regular, l'eix de revolució de la qual és l'eix 1 cos OZ, i el seu àngul cònic és tg  , que és el que forma la direcció de la 1 sen   2 rotació instantànea en l'eix OZ. L'axoide Mòvil és una atra superfície cònica regular, l'eix de revolució de la qual és l'eix de la trompa, i el seu àngul cònic és  



    , que és el que forma la 2 direcció de la rotació instantànea en l'eix de la trompa.

TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

Problema 3. El mecanisme tridimensional de la figura està compost per un disc vertical (disc 1) de radi R i centre en A, que gira respecte a un eix fix horisontal perpendicular al disc i que passa per A,  en una velocitat angular  constant en B A sentit antihorari. D’un punt B de la perifèria, tal que la recta AB forma un àngul  en la horisontal, penja una D barra BC de llongitut 4R, que permaneix en tot moment vertical. En l’extrem C es troba un disc horisontal de radi 2R (disc  2) que gira respecte a la barra BC en C una velocitat angular constant  en sentit antihorari. Es demana determinar la velocitat i acceleració del punt D de la perifèria del disc 2, sent  l’àngul que forma la recta CD en el pla que conté al disc 1.

Aplicació numèrica    rad.s 1 ; R=3m;      rad ;   2. rad.s 1 4

La rotació instantànea del disc 1, que denominarem,  S 1 té de mòdul  , i direcció horisontal perpendicular a ell.

Per a trobar la rotació instantànea del disc 2, farem lo següent: si detenim la rotació  , deixant únicament  , veiem que el disc té un moviment de translació, per lo qual la rotació  , no li afecta, de manera que la seua rotació instantànea, que



denominarem,  S 2 tindrà de mòdul  , i direcció vertical.

Donades les direccions de les rotacions dels dos discs, es Z tria com a sistema de referència de treball el sistema fix B  representat, d'orige en el punt A, centre del disc 1. En A Y este sistema les velocitats angulars seran:   D  S1   .i i  S2  .k X  C Disposem a més d'un tercer sistema indeformable (S3), la barra BC en moviment de translació.

El punt D pertany al disc 2 (S2), del qual coneixem el primer invariant, faltant-nos la velocitat d'un punt per a conéixer el seu torsor cinemàtic. Per a això veem que el punt C és comú en el S3, per tant podem obtindre la seua velocitat com pertanyent a este sistema. Del S 3 coneixem que el primer invariant és nul, necessitem conéixer la velocitat d'un punt: el B, que és comú al S1, per lo qual obtindrem el torsor del S3 en B. Per a determinar la velocitat de B pertanyent al S1 necessitem conéixer el torsor del sistema en un punt i en efecte ho coneixem en A. Aixina, a partir d'esta senya obtenim els torsors.



RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: CINEMÀTICA







     B, A S1  v B  v A   S1  AB  0   .i  R. cos  . j  sen .k  R. .  sen . j  cos  .k



Com la barra BC té un moviment de translació, la velocitat del punt C serà la mateixa que la del punt B









    vC  v B   S3  BC  R. .  sen . j  cos  .k  0   4.R.k  B, C  S 3       R. .  sen . j  cos  .k      vC  v B   S3  BC  R. .  sen . j  cos  .k  0   4.R.k  B, C  S 3       R. .  sen . j  cos  .k 

























Conegut el torsor del S2 en C podem obtindre ya la velocitat de qualsevol punt del disc       v D  vC   S2  CD  R. .  sen . j  cos  .k  .k  2.R.  sen .i  cos  . j  D, C  S 2         R. .  sen . j  cos  .k  2.R.. cos  .i  sen . j 









Per a determinar l'acceleració del punt D, observem que els dos discs es mouen en velocitats angulars constants, tant en mòdul com direcció i sentit, per tant, les seues acceleracions angulars són nules. D'atra banda, com el sistema S3 té un moviment de translació, la seua acceleració angular també serà nula, i les acceleracions de tots els seus punts seran iguals, tal com ocorre en les velocitats.   B, AS1  a B  a A   S1  AB   S21 . AB  0  0   2 .R. cos  . j  sen .k   B, C S 3  aC  a B   S3  BC   S3   S3  BC   R. 2 . cos  . j  sen .k  0  0



i per últim:















  a D  aC   S  CD   S2 .CD   R. 2 . cos  . j  sen .k  2 2  D, C  S 2   0  2.R.  sen .i  cos  . j   2 .2.R.  sen .i  cos  . j       2 .sen .i  2. 2 . cos    2 . cos  . j   2 .sen .k .

2 .   R 



Aplicació numèrica:























     v D  R. .  sen . j  cos  .k  2.R.. cos  .i  sen . j              2 . j  2 .k   2.3.2. . 2 .i  2 . j    . 2 .  12 .i  15 . j  3.k m.s 1   v 3 . .

D   2  2 2 2  2    

vD 

. 2 2







   .  12 .i  15 . j  3.k m.s 1





TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES





 

    a D  R 2. 2 .sen .i  2. 2 . cos    2 . cos  . j   2 .sen .k     2   2 2   2   3. 2 . 2   2 2 2 2       a  i   j  k i j k 3 .

2 .

4 . . .

2 .

4 . . . . . .

8 .

9 .   D   2 2 2  2  2   

aD 





  3. 2 . 2  . 8.i  9. j  .k m.s 2 2



TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

Problema 4. La pala mecànica de la figura està composta per un braç AC, articulat en A que gira en velocitat angular constant respecte a la cabina, 1, de direcció perpendicular al pla ABD, i en el sentit mostrat. En B, distant “b” del punt A, es troba articulat el braç ED que conté la pala pròpiament dita, que gira respecte al braç AC en velocitat angular constant 2 en la mateixa direcció i sentit que 1, sent “c” la distància de B a D. A més la cabina gira respecte al seu eix vertical situat a una distància “a” del punt A, en velocitat angular de mòdul constant 3 en el sentit mostrat. Es demana en l'instant mostrat en la figura, per a un observador situat en terra a) Vector rotació instantànea i acceleració angular del braç ED b) Velocitat del punt D c) Acceleració del punt B  Aplicació numèrica: a=2 m, b=5m, c=4m,   45º ,   30 º , 1  rad .s 1 , 10   2  rad .s 1 ,  3   rad .s 1 8 20 a) Triem en primer lloc la base de treball. Com la velocitat angular  3 és sempre

vertical, i les atres dos 1 i  2 són sempre horisontals i paraleles entre si, d’acord en la figura es tria com a eix OY el vertical cap amunt, i com a eix OX el que junt a OY forma el pla que conté en tot moment els braços AC i ED Per a trobar la rotació instantànea del braç ED farem lo següent: si detenim cadascuna de les velocitats el braç tindrá diferent moviment, per tant les tres velocitats actúen sobre´l braç, per lo qual la seua rotació instantànea serà:

 S  3 . j  1   2 .k





2

Aplicació numèrica:

S  2

 40





  . 2. j  9.k rad .s 1

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: CINEMÀTICA

Per a obtindre l’acceleració angular intantànea derivem respecte al temps la rotaciò instantànea, tenint en conte que en l’enunciat se nos indica que els tres mòduls son constans i que el sistema de referència gira en velocitat  3 :

S

   dk dk dj d 1   2   d 3   1   2 .   .k  1   2 . . j  3.  dt dt dt dt dt dt dS2

2

Aplicant l’equació de Poisson:

S

2





    dk  1   2 .  1   2 .  3 . j  k  1   2 . 3 .i dt

Aplicació numèrica:

S  2

9. 2  .i rad .s  2 800

b) Necessitem conéixer el torsor del braç ED. Com que ya coneixem la seua rotació instantànea, hem de determinar la velocitat d'un punt. Agafem el B, que pertany tant al sistema indeformable 1 (braç AB) com al 2 (braç ED).

Per a determinar la seua velocitat necessitem el torsor del sistema 1, del qual no s'ha determinat la rotació instantànea. Determinen-la: Per a trobar la rotació instantànea del braç AB farem lo següent: si detenim cadascuna de les rotacions 1 i 3 el braç tindrá diferent moviment, mentres que si parem  2 , el braç se meneja igual, per tant la seua rotació instantànea serà:

 S   3 . j  1 .k 



1

Ademés hem de determinar la velocitat d'un punt, el A que pertany tant al sistema indeformable 3 (cabina) com al 1 (braç AB).

Per a determinar esta velocitat necessitem el torsor del sistema 3, del qual la rotació instantànea es  3 . i O es fix. Aixina:





    O, A  S3  vA  vO  S3  OA  3. j  a.i  hA . j  a.3.k

TEMA 1. PROBLEMES DE CINEMÀTICA DELS SISTEMES INDEFORMABLES

Conegut el torsor del S1 en A podem obtindre ya la velocitat de qualsevol punt del braç AB.

 



 





     v  v    AB   a. .k   . j   .k  b. cos  .i  sen . j  B A S1 3 3 1      A, B  S1     a.3 .k  b. 1.  sen .i  cos  . j  3 . cos  .k       cos . v  b   sen  i   j   a  b  k . . cos . . .

B 1 3 







Conegut el torsor del S2 en B podem obtindre ya la velocitat de qualsevol punt del braç ED.



 

 v D  v B   S2  AB          B, D  S 2    b1 .  sen .i  cos  . j   3 .a  b. cos  .k   3 . j  1   2 .k  c. cos  .i  sen . j         b .  sen .i  cos  . j   .a  b. cos  .k  c   . sen .i  cos  . j   .c. cos  .k 1 3 1 2 3 

 

 







   VD  c.1  2 .sen  b.1.sen .i  c.1  2 . cos   b.1. cos . j  3.a  b cos  c. cos  .k

Aplicació numèrica: VD 

 40



 

 



   . 18 . 2  10 i  18 2  10 . 3 . j  5. 3  4. 2  4 .k m.s  2

c) Per a determinar l'acceleració del punt B utilisarem les acceleracions dels punts on s'han obtingut les velocitats, pero nos falta determinar les acceleracions angulars dels dos sistemes.

Per a obtindre l’acceleració angular intantànea derivem respecte al temps la rotaciò instantànea, tenint en conte que en l’enunciat se nos indica que tots els mòduls son constans i que el sistema de referència gira en velocitat  3 :

1

d  S1

 d3  d1   j k  3   S1  3   S1  dt dt dt      3 j  3 j  1 k  1 3 i

S 







Per al sistemes indeformable 3, que té la seua rotació, tant en mòdul com en direcció, constant, es té:

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: CINEMÀTICA

S  3

d  S3 dt



d3   . j   3   S3  0 dt

Aplicant la llei d’acceleracions a cadascú dels sistemes indeformables tenim: per al sistema indeformable 3:









   O, A S3  aA  ao   S3  OA  S3  S3  OA  0  0  3. j   a.3.k  a.32 .i

per al sistema indeformable 1:



 

  









 a B  a A   S1  AB   S1   S1  AB            A, B  S1   a. 32 .i  1. 3 .i  b. cos  .i  sen . j   3 . j  1 .k  b. 1.  sen .i  cos  . j   3 . cos  .k          a. 32 .i  b.1 . 3 .sen .k  b.1. 3 .sen .k  b 32 . cos  .i  b.12 . cos  .i  sen . j 











   aB   12 .b.cos  32 .a  b.cos  .i  b.12 .sen . j  2.b.1.3.sen .k

Aplicació numèrica aB 

2 800



   . 25 . 3  4 .i  20 . j  20 .k m.s  2

