1_9788429143591

Mec谩nica Te贸rica

Mecánica Teórica Jaume Carot Jesús Ibáñez

Copyright © Jaume Carot y Jesús Ibáñez (Coord.)

Esta edición: Copyright © Editorial Reverté, S. A., 2010 Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 reverte@reverte.com http//:www.reverte.com

ISBN: 978-84-291-4359-1 Copyright © Ediciones UIB (Universitat de les Illes Balears) Carretera de Valldemosa, km 7,5 07122 Palma (Illes Balears) Tel: 971 17 33 57 http://edicions.uib.es

ISBN: 978-84-8384-122-8

Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

Impreso en España - Printed in Spain Depósito legal: B-34088-2010 Impresión y encuadernación: Liberdúplex, S.L.U.

t

xk t

x k t

Qθ = mga sen θ U (θ) = mga cos θ Qθ = mga sen θ =

d dt

∂(mga cos θ) ∂ θ˙

x1 , . . . , xn ,

= A

qα, qB ,

3

k=1

Ak ek .

−

∂(mga cos θ) . ∂θ

etc.

∂f = ∂k f = f,k = fk ∂xk

∂Ai ≡ Bki , ∂xk

∂Ai ≡ Bik . ∂xk

∂Bα ≡ Fαγ . ∂pγ

pγ ,

δ

δki ,

δik ,

δik =

δki

= δ

ik

δ ik ,

=

1 i=k 0 i= k

⎧ ⎨ ijk =

1 ijk permutaci´ on par de 123 −1 ijk permutaci´ on impar de 123 ⎩ 0 ijk ijk

ijk ijk =

3

m=1

δ im mjk ,

etc.

3

m=1

δ

im

mjk −→ δ

im

mjk ,

3

k=1

Rik xk −→ Rik xk ,

etc.

S

n R3

S

,

π

R3

x R3 y

v x v x + v = y x

x + 0 = x

(x + v ) + w = x + ( v + w)

v , w

R3

0 x

x x

x + v

x, y R3 v −→ v = − y−− x y

y = x + v x

y

x x y

−−−−→ −−−−→ d(x, y) = (y − x) · (y − x),

v · w =

v1 w1

· + v 2 w2 + v 3 w3

v =

x

x

B y

(v 1 , v 2 , v 3 )

A y A

R3 w = (w1 , w2 , w3 )

B A B

x y

R3

R3

R3

R

R4

S S = {o, { ei }3i=1 , T}, { e1 , e2 , e3 }

o R3

o o

ei · ek = δik

e1 × e2 = e3 T R3

0

o

S o

S { e1 , e2 , e3 } ei , i = 1, 2, 3

T S o

S ei

S S r(op)

p { e1 , e2 , e3 } p (x(p), y(p), z(p)) r(op) = x(p) e1 + y(p) e2 + z(p) e3

q j = q j (xk )

j = 1, 2, 3

xk (p), k = 1, 2, 3

q k (x, y, z)

det

∂q j ∂xk

=

∂q 1 ∂x ∂q 2 ∂x ∂q 3 ∂x

q k xi = xi (q k )

∂q 1 ∂y ∂q 2 ∂y ∂q 3 ∂y

∂q 1 ∂z ∂q 2 ∂z ∂q 3 ∂z

= 0.

i = 1, 2, 3

R3

R3

{r, θ, φ} r=

z y x2 + y 2 + z 2 , θ = arccos , φ = arctan .

2 2 x x +y (r2 sen θ)−1 z

R3 − {(0, 0, z)} x = r sen θ cos φ, y = r sen θ sen φ, z = r cos θ

{ρ, φ, z}

ρ=

y x2 + y 2 , φ = arctan , z = z. x

x2 + y 2 R3 − {oz}

x=y=0

oz

x = ρ cos φ, y = ρ sen φ, z = z.

R3

ρ = 0

S S o o ei ei t t

xk = x, y, z xk = x , y , z S

S

t = t = 0

v = v e1

o = o ei ei

t = t = 0

xk , t

i, i = 1, 2, 3

x k , t

v x = γ(x − vt), y = y, z = z, t = γ t − 2 x , c c

γ=

v2 1− 2 c

− 12 .

v>0

xk t

x k t

v

S

o=o

t = t = 0

t=t =0

r = r + (γ − 1)

( r · v ) v − γt v , v2

t = γt −

xk

r =

3

k

x ek ,

S

r =

3

i

x e , i

donde

γ ( r · v ). c2

xk

ek =

i =1

k=1

3

Rik ei ,

i =1

Rik = Ak ek = Ai ei A k i

Ai = k Rik Ak xi

=

3

k=1

t 3

k=1

=

Rik v k

Rik xk + (γ − 1)

3

3

k=1

k=1

( r · v ) i k R k v − γt Rik v k , 2 v

γ γt − 2 ( r · v ). c 3 3 k i v = ek = ei k=1 v i =1 v

vi =