Mec谩nica Te贸rica
Mecánica Teórica Jaume Carot Jesús Ibáñez
Copyright © Jaume Carot y Jesús Ibáñez (Coord.)
Esta edición: Copyright © Editorial Reverté, S. A., 2010 Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 reverte@reverte.com http//:www.reverte.com
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ISBN: 978-84-8384-122-8
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t
xk t
x k t
Qθ = mga sen θ U (θ) = mga cos θ Qθ = mga sen θ =
d dt
∂(mga cos θ) ∂ θ˙
x1 , . . . , xn ,
= A
qα, qB ,
3 k=1
Ak ek .
−
∂(mga cos θ) . ∂θ
etc.
∂f = ∂k f = f,k = fk ∂xk
∂Ai ≡ Bki , ∂xk
∂Ai ≡ Bik . ∂xk
∂Bα ≡ Fαγ . ∂pγ
pγ ,
δ δki ,
δik ,
δik =
δki
= δ
ik
δ ik ,
=
1 i=k 0 i= k
⎧ ⎨ ijk =
1 ijk permutaci´ on par de 123 −1 ijk permutaci´ on impar de 123 ⎩ 0 ijk ijk
ijk ijk =
3 m=1
δ im mjk ,
etc.
3 m=1
δ
im
mjk −→ δ
im
mjk ,
3 k=1
Rik xk −→ Rik xk ,
etc.
S
n R3
S
,
π
R3
x R3 y
v x v x + v = y x
x + 0 = x
(x + v ) + w = x + ( v + w) v , w
R3
0 x
x x
x + v
x, y R3 v −→ v = − y−− x y
y = x + v x
y
x x y −−−−→ −−−−→ d(x, y) = (y − x) · (y − x),
v · w =
v1 w1
· + v 2 w2 + v 3 w3
v =
x
x
B y
(v 1 , v 2 , v 3 )
A y A
R3 w = (w1 , w2 , w3 )
B A B
x y
R3
R3
R3
R
R4
S S = {o, { ei }3i=1 , T}, { e1 , e2 , e3 }
o R3
o o
ei · ek = δik
e1 × e2 = e3 T R3
0
o
S o
S { e1 , e2 , e3 } ei , i = 1, 2, 3
T S o
S ei
S S r(op)
p { e1 , e2 , e3 } p (x(p), y(p), z(p)) r(op) = x(p) e1 + y(p) e2 + z(p) e3
q j = q j (xk )
j = 1, 2, 3
xk (p), k = 1, 2, 3
q k (x, y, z)
det
∂q j ∂xk
=
∂q 1 ∂x ∂q 2 ∂x ∂q 3 ∂x
q k xi = xi (q k )
∂q 1 ∂y ∂q 2 ∂y ∂q 3 ∂y
∂q 1 ∂z ∂q 2 ∂z ∂q 3 ∂z
= 0.
i = 1, 2, 3
R3
R3
{r, θ, φ} r=
z y x2 + y 2 + z 2 , θ = arccos , φ = arctan . 2 2 x x +y (r2 sen θ)−1 z
R3 − {(0, 0, z)} x = r sen θ cos φ, y = r sen θ sen φ, z = r cos θ
{ρ, φ, z}
ρ=
y x2 + y 2 , φ = arctan , z = z. x
x2 + y 2 R3 − {oz}
x=y=0
oz
x = ρ cos φ, y = ρ sen φ, z = z.
R3
ρ = 0
S S o o ei ei t t xk = x, y, z xk = x , y , z S
S
t = t = 0
v = v e1
o = o ei ei
t = t = 0
xk , t
i, i = 1, 2, 3
x k , t
v x = γ(x − vt), y = y, z = z, t = γ t − 2 x , c c γ=
v2 1− 2 c
− 12 .
v>0
xk t
x k t
v
S
o=o
t = t = 0
t=t =0
r = r + (γ − 1)
( r · v ) v − γt v , v2
t = γt −
xk
r =
3
k
x ek ,
S
r =
3
i
x e , i
donde
γ ( r · v ). c2
xk
ek =
i =1
k=1
3
Rik ei ,
i =1
Rik = Ak ek = Ai ei A k i Ai = k Rik Ak xi
=
3 k=1
t 3
k=1
=
Rik v k
Rik xk + (γ − 1)
3
3
k=1
k=1
( r · v ) i k R k v − γt Rik v k , 2 v
γ γt − 2 ( r · v ). c 3 3 k i v = ek = ei k=1 v i =1 v
vi =