1_9788491191254

RESOLUCIÓ SISTEMÁTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: Sistemes de Vectors i Geometria de Masses

Antonio Sanchis Sabater Albert Marín Sanchis Professors Titulars de l’Universitat Politècnica de Valéncia Departament de Física Aplicada Escola Tècnica Superior d’Ingeniers Industrials

Antonio Sanchis Sabater Albert Marín Sanchis

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: Sistemes de Vectors i Geometria de Masses

Professors Titulars de l’Universitat Politècnica de Valéncia Departament de Física Aplcada Escola Tècnica Superior d’Ingeniers Industrials

PRESENTACIÓ En este llibre es recopilen i resolen, els problemes que els seus autors han propost en els exàmens de l'assignatura Fonaments Físics de l'Ingenieria I, de la titulació d'Ingenier Industrial de l'Escola Tècnica Superior d'Ingeniers Industrials de Valéncia, durant els cursos 1998-99 al 2006-07.

Els problemes s’han classificat per capítuls, en funció de la seua temàtica, i alguns d’ells figuren en varis, segons lo que es demane en els seus apartats. Al principi de cada capítuls, s'expon una metodologia que intenta sistematisar la resolució de problemes del tema correspondent, i que serà l’amprada en el desenroll posterior, fugint aixina de l’idea feliç, i sense oblidar els conceptes teòrics sobre els que se sustenten.

Confiem, per fi, que el seu contingut siga útil als nostres alumnes, i a tot aquell que intente comprendre millor l’aplicació pràctica dels conceptes teòrics de la Física, que seran la base del desenroll posterior de moltes de les assignatures de les carreres d’Ingenieria. En eixa voluntat ho hem fet.

Valéncia, juliol 2007 Els Autors

AGRAÏMENT Els autors volem agrair molt especialment al nostre amic Joan Carles Micó Ruiz, professor del Departament de Matemàtica Aplicada, la seua desinteressada colaboració en la confecció d'este text.

TEMA 1 PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

Pautes a seguir per a la resolució de problemes de sistemes de vectors Per a la resolució dels problemes de sistemes de vectors s’han de seguir els passos següents: 1. Obtenció del torsor en un punt És dir, obtenció de la Resultant i del Moment Resultant en tal punt. Si el problema no especifica el punt, es recomana que siga l'orige de coordenades, denominant-se en eixe cas al Moment, Moment Principal.

1.A. Si les senyes del problema faciliten les coordenades dels vectors, cadascuna de les components de la resultant serà el resultat de la suma de les components anàlogues de la totalitat dels vectors:  Vx i  Rx  i        V y i R  Vi ; R  Rx .i  R y . j  Rz .k ; R y  i i   Rx  Vz i  i

  



Esta suma serà una integral si els vectors són elements diferencials distribuïts de forma contínua en un cert lloc geomètric.



  R  dV ;

    R  Rx .i  R y . j  Rz .k ;

  

 Rx  dVx    R y  dVy   Rx  dVz

1.B. El Moment Principal s'obté sumant els moments que sobre l'orige produïx cadascú dels vectors del sistema. Si les senyes del problema faciliten les coordenades de punts Pi de les llínies d'acció dels vectors, cadascuna de les components del Moment Principal serà la suma de les components anàlogues de la totalitat dels moments dels vectors:     M O  L.i  M . j  N .k 

M V   0 i

i

i

 i

 j

 k

xi

yi

zi ;

Vx i Vy i Vz i

 L  M   N  

 y V   z V    z V   x V    x V   y V   i

z i

i

y i

i

x i

i

z i

i

y i

i

x i

i

i

i

7

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: SISTEMES VECTORS I GEOMETRIA MASSES

Esta suma serà una integral si els vectors són elements diferencials distribuïts de forma contínua en un cert lloc geomètric.

1.C. Si el torsor se solicita en un punt A, de coordenades (xA, yA, zA), diferent de l'orige, la resultant, al ser un invariant, s'obtindrà tal com s'ha indicat en el pas 1A, i per a obtindre el Moment podem seguir u d'estos dos camins, segons nos interesse.

1.C.a.  MA 

 i

M V   x  x A i

Vx i i

i

i

 j

yi  y A

V 

A

y i

 M A x   zi  z A ;  M A y  Vz i M   A z   k

  y  y V   z  z V    z  z V   x  x V    x  x V    y  y V   i

A

z i

i

A

y i

i

A

z i

i

A

y i

i

A

z i

i

A

y i

i

i

i

1.C.b. Obtenint el moment principal de conformitat en 1.B. i a continuació aplicar l'equació del camp de moments entre l'orige i el punt A  M   L  z A .Ry  y A .Rz    A x       M A  M O  AO  R  M O  x A .i  y A . j  z A .k  R; M A y  M  x A .Rz  z A .Rx  M   N  y .R  x .R A x A y  A z





2. Obtenció dels invariants 2.A.

El primer invariant és la Resultant, que s'obté d'acort en 1.A.

2.B. El segon invariant és el producte escalar dels dos elements del torsor en un punt, que, calculat el torsor en un punt A seguint lo indicat anteriorment, val:



  R.M A  Rx .M A x  Ry .M A y  Rz .M A z



2.C. El tercer invariant és el moment mínim que s'obté multiplicant el vector Resultant, pel quocient entre el segon invariant i la norma de la Resultant:





      R.M  Rx .M A x  R y .M A  y  Rz .M A z . Rx .i  R y . j  Rz .k M mín  2 .R  2 2 2 Rx  R y  Rz R



3. Determinació del moment en un punt quan ya s'ha calculat o es coneix el torsor en un atre punt 8

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

En este cas s’ha d’aplicar l'equació del camp de moments, tal com s'ha realisat en 1.C.b 4. Determinació de l'Eix Central del sistema de vectors.

L'estructura del camp de moments és tal que en qualsevol punt A, el moment resultant és la suma del moment mínim més el moment que en tal punt crea la resultant situada en l'Eix Central. Aixina sent E un punt de l'Eix Central de     coordenades genèriques rE  ( x.i  y. j  z.k ) :  M A x  M mín x  0.x  Rz . y  R y .z  z A .R y  y A .Rz   M A y  M mín y   Rz .x  0. y  Rx .z  x A .Rz  z A .Rx   M   M   R .x  R . y  0.z   y .R  x .R  y x A z mín z A x A y 

    M A  M mín  M A R  M A R  M A  M mín      i j k   M A R  x  xA y  y A z  z A   Rx Ry Rz 

Sistema de tres equacions de les quals dos són independents, que són les que definixen l'Eix Central.

5. Determinació del lloc geomètric de punts, en els quals el Moment Resultant té una     direcció donada pel seu versor u  cos  .i  cos  . j  cos  .k









    Siga P un punt del lloc geomètric buscat de coordenades rP  x.i  y. j  z.k , el     moment resultant en P serà: M P  . cos  .i  cos  . j  cos  .k i aplicant l'equació del camp de moments entre el punt on coneixem el torsor i el punt P es té:









     M P  . cos  .i  cos  . j  cos  .k          M P  M A  PA  R  M A  xA  x .i   y A  y . j  z A  z .k  R  

a l'igualar les dos equacions, component a component, s'obtindran tres equacions escalars independents:  . cos   M A x  z A .Ry  y A .Rz   0.x  Rz . y  Ry .z    . cos   M A y   x A .Rz  z A .Rx   Rz .x  0. y  Rx .z   . cos   M A z   y A .Rx  x A .Ry    Ry .x  Rx . y  0.z 

9

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: SISTEMES VECTORS I GEOMETRIA MASSES

5.A.

Si cos 0, llavors:



0.x  Rz . y  R y .z  M A x  y A .Rz  z A .Ry  cos 

i el lloc geomètric estarà donat per: cos  cos  cos  cos     .Ry .z  .Rz . y   Rx  . y A .Rz  z A .Ry   x A .Rz  z A .Rx   Rz .x  .M A x  M A y  cos cos  cos  cos       cos  cos  cos    cos  .R y . z  .Rz  Rx . y  . y A .Rz  z A .Ry    y A .Rx  x A .Ry    Ry .x   .M A x  M A z   cos  cos  cos    cos 

5.B.

Si cos = 0 però cos ≠ 0, llavors:



Rz .x  0. y  Rx .z  M A  y   z A .Rx  x A .Rz  cos 

i el lloc geomètric estarà donat per:

 M A x  z A .Ry  y A .Rz   0.x  Rz . y  Ry .z    cos   cos  cos  cos  .M A y  M A z  .z A .Rx  x A .Rz    y A .Rx  x A .Ry    .Rz  Ry .x  Rz . y  .Rx .z  cos  cos  cos   cos   

5.C.

Si cos  cos0, el lloc geomètric estarà donat per:  M A x  z A .Ry  y A .Rz   0.x  Rz . y  Ry .z   M A y  x A .Rz  z A .Rx   Rz .x  0. y  Rx .z  

6. Obtenció d'un sistema de dos vectors equivalent al donat.

Un sistema és equivalent a un atre si en un punt, abdos sistemes tenen el mateix torsor, aixina per a trobar el sistema equivalent es contarà en dos equacions vectorials, fruit d'igualar els torsors. Pero per a que el nou sistema quede definit, hem d’obtindre tant les coordenades dels dos vectors, com les seues llínies d'acció, que fan un total de dotze incògnites. Per tant, serà necessari establir una série de condicions per a que el número de solucions no siga infinit, i per això normalment en els problemes se sòl condicionar el sistema equivalent.

Aixina per a la resolució, primer hem de plantejar les equacions afegides per les condicions de l'enunciat i a continuació, afegir les sis equacions obtingudes a l'igualar 10

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

els dos vectors que formen el torsor. Estes últimes sis equacions s'obtenen de la forma següent:    Siguen v '1 i les components dels quals desconegudes són v'1  v1x .i  v1 y . j  v1z .k    i v'2  v2 x .i  v2 y . j  v2 z .k i siguen P'1 i P'2 respectivament, punts de les seues llínies d'acció, les coordenades incògnites del qual són P'1(x1, y1, z1) i P'2(x2, y2, z2).

Igualant el torsor, en el corresponent al nou sistema, obtenim les següents equacions   R  v'1  v'2        i j k i j k   M A  M A v1  M A v2  x1  x A y1  y A z1  z A  x2  x A y2  y A z 2  z A  v1x v1 y v1z v2 x v2 y v2 z   v1x  v2 x  Rx   v1 y  v2 y  R y   v1z  v2 z  Rz  y1  y A .v1z  z A  z1 .v1 y   y2  y A .v2 z  z A  z 2 .v2 y  M A x  z1  z A .v1x  x A  x1 .v1z  z 2  z A .v2 x  x A  x2 .v2 z  M A y  x1  x A .v1 y   y A  y1 .v1x  x2  x A .v2 y   y A  y2 .v2 x  M A z 

11

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

Problema 1 Pel punt A de coordenades (0, 5, 0) passa la llínia d'acció del vector (1, 6, 1), per B de coordenades (5, 0, 0) passa la llínia d'acció del vector (5, 1, -1), i per l'orige de coordenades passa la llínia d'acció del vector (-5, -7, 0). Es demana: a) Invariants i equació de l'eix central del sistema de vectors. b) Reduir el sistema a dos vectors: u contingut en el pla Z=0 la llínia d'acció del qual passa per l'orige de coordenades, i l'atre la llínia d'acció de la qual passa pel punt (0, 0, 1) Apartat a) En primer lloc, obtindrem el torsor del sistema de vectors, que com no nos ho demana en un punt concret, l’obtindrem per comoditat en l'orige de coordenades.

La resultant l'obtindrem com a suma dels tres vectors que componen el sistema R x  (VA ) x  (VB ) x  (VO ) x  1  5 - 5  1     R y  (VA ) y  (VB ) y  (VO ) y  6  1 - 7  0  R  i  R z  (VA ) z  (VB ) z  (VO ) z  1 - 1  0  0 

El moment resultant en O, denominat moment principal del sistema de vectors, l’obtindrem com a suma dels moments que, sobre O, produïx cadascú dels tres vectors, pero com el tercer vector passa per O, el seu moment respecte a O és nul, aixina només s’haurà de calcular el moment produït pels dos primers vectors.  i

  j k

M OV A  OA  V A  0 5

  0  5.i  5.k

1 6 1    i j k

M OVB  OB  VB  5 0

  0  5. j  5.k

5 1 1

M O x  (M O VA ) x  (M O VB ) x  (M O VO ) x  5  0  0  5     M O y  (M O VA ) y  (M O VB ) y  (M O VO ) y  0  5  0  5   M O  5.i  j  M O z  (M O VA ) z  (M O VB ) z  (M O VO ) z  - 5  5  0  0

13

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: SISTEMES VECTORS I GEOMETRIA MASSES

Primer invariant:   Com el primer invariant és el vector resultant R  i Segon invariant: Com el segon invariant és el producte escalar dels elements del torsor es té:  R.M O  1  5  0  5  0  0  5 Tercer invariant: El tercer invariant és el moment mínim, és dir, la component del moment en un punt en la direcció de la resultant, per això val:  R.M O 5 .R  .i  5.i M mín  2 1 R





Eix central del sistema de vectors. Segons lo vist en el punt 4 de les Pautes a seguir:       M O  M mín  M O R  M O R  M O  M mín  5. i  j  5.i  5. j         i j k i j k     MOR  x y z  x y z  z. j  y.k   Rx Ry Rz 1 0 0 

Igualant abdos equacions component a component es té: en x : 0  0   en y : 5  z  en z : 0   y  D'on s'obté que l'eix està contingut en el pla y=0 i en el pla z=5. L’intersecció dels dos plans és un eix paralel a l’OX, i a la resultant com era d'esperar, sent la seua equació: x0 y 0 z 5   1 0 0 Apartat b) Segons allò que s'ha indicat en el punt 6 de les Pautes a Seguir, este problema afig les condicions que el vector v'1 estiga contingut en el pla z=0 i la seua llínia d'acció passe per l'orige; i que la llínia d'acció del vector v'2 passe pel punt (0, 0, 1).

Aixina plantejarem en primer lloc les condicions impostes i afegirem les sis equacions d'igualar els dos vectors que formen el torsor.

De les condicions obtenim: 1a v'1 continguda en el pla z=0 14

V1z=0

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

2ª, 3ª i 4ª la llínia d'acció del vector v'1 passa per l'orige de coordenades x1=0 y1=0 z1=0 5ª, 6ª i 7ª la llínia d'acció del vector v'2 passa pel punt (0, 0, 1) x2=0 y2=0 z2=1 Afegim les sis equacions d'igualar els torsors   R  v'1  v'2  i     i j k i

 j

M O  M O v1  M O v2  x1

y1

z1  x2

y2

v1x

v1 y

v1z

v2 y

v2 x

     z 2  5. i  j   v2 z   k





Que es convertixen en 8ª, 9ª, 10ª, 11ª, 12ª i 13ª v1x  v2 x  1   v1 y  v2 y  0   v1z  v2 z  0  y1.v1z  z1.v1 y  y2 .v2 z  z2 .v2 y  5  z1.v1x  x1.v1z  z2 .v2 x  x2 .v2 z  5   x1.v1 y  y1.v1x  x2 .v2 y  y2 .v2 x  0 Es pot comprovar que només hi ha 12 equacions independents, per lo que es pot prescindir de l’última. Substituint les sèt primeres equacions en estes tenim: v1z  0; x1  0  y1  0; z1  0  x0 y0 z0  x2  0; y2  0  v'1  (4, 5, 0) en  4  5  0   x  0 y  0 z 1 z2  1; v1x  v2 x  1   v'2  (5, 5, 0) en   5 5 0 v1 y  v2 y  0; v2 z  0    v2 y  5; v2 x  5 

15

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

Problema 2 Sobre un cos pla vertical actüa un sistema de cinc forces, que actüen respectivament en les llínies que passen pels punts del pla denominats A, B, G, D, i E, de coordenades, expressades en metres: A(0, 0, 0), B(0, 0, 3), G(0, 1, 49/24), D(0, 2,    3), E(0, 2, 0). Els vectors força medits en kg són: FA  5.i , FB  3.i , FG  8.k ,    FD  3.i , FE  5.i , sent k vertical cap a dalt. Determinar: a) Invariants del sistema de vectors b) Eix central del sistema de vectors. c) Reduir el sistema a dos vectors: u de mòdul 16 kg paralel a l'eix OX i l'atre que passe pel punt G. Apartat a) En primer lloc obtindrem el torsor del sistema de vectors, que com no nos ho demana en un punt concret, l’obtindrem per comoditat en l'orige de coordenades.

La resultant l'obtindrem com a suma dels tres vectors que componen el sistema R x  (FA ) x  (FB ) x  (FG ) x  (FD ) x  (FE ) x  5  3  0 - 3 - 5  0     R y  (FA ) y  (FB ) y  (FG ) y  (FD ) y  (FE ) y  0  0  0  0  0  0  R  8.k kg R z  (FA ) z  (FB ) z  (FG ) z  (FD ) z  (FE ) z  0  0 - 8  0  0  8 

El moment resultant en O, denominat moment principal del sistema de vectors, l’obtindrem com a suma dels moments que, sobre O, produïx cadascú dels cinc vectors, pero com el punt A coincidix en l'orige, el moment respecte a O del primer  vector FA  5.i és nul; i només s’hauràn de calcular els moments produïts pels quatre següents vectors.

17

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: SISTEMES VECTORS I GEOMETRIA MASSES

 i

  j k

M O FB  OB  FB  0 0

 3  9. j kg.m

3 0 0   j k   8.i kg.m M O FG  OG  FG  0 1 49 24 0 0 8    i j k   M O FD  OD  FD  0 2 3   9. j  6.k kg.m  i



3 0 0    i j k

M O FE  OE  FE  0

2

5 0



 0  10 .k kg.m 0

M O x  (M O FA ) x  (M O FB ) x  (M O FG ) x  (M O FD ) x  (M O FE ) x  0  0  8  0  0  - 8    M O y  (M O FA ) y  (M O FB ) y  (M O FG ) y  (M O FD ) y  (M O FE ) y  0  9  0 - 9  0  0   M O   8.i  16.k  kg.m M O z  (M O FA ) z  (M O FB ) z  (M O FG ) z  (M O FD ) z  (M O FE ) z  0  0  0  6  10  16  Primer invariant:   Com el primer invariant és el vector resultant R  8.k kg

Segon invariant: Com el segon invariant és el producte escalar dels elements del torsor es té:  R.M O  0   8  0  0  8 16  128kg2 .m Tercer invariant: El tercer invariant és el moment mínim, és dir, la component del moment en un punt en la direcció de la resultant, per això val: M mín 

 

  R.M O  128 .

R .

8 k 16 . k kg.m    R2 64

Apartat b) Eix central del sistema de vectors. Segons lo vist en el punt 4 de les Pautes a Seguir:

18

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS





      M O  M mín  M O R  M O R  M O  M mín   8.i  16 k  16 .k  8.i         i j k i j k     MOR  x y z  x y z  8. y.i  8.x. j   Rx Ry Rz 0 0  8 

Igualant abdos equacions component a component es té: en x :  8  8. y   en y : 0  8. x  en z : 0  0  D'on s'obté que l'eix està contingut en el pla y=1 i en el pla x=0. L’intersecció dels dos plans és un eix paralel a l’OZ, i a la resultant com era d'esperar, sent la seua equació: x  0 y 1 z  0   0 0 1 Apartat c) Segons allò que s'ha indicat en el punt 6 de les Pautes a Seguir, este problema afig les condicions que el vector v'1 siga de mòdul 16 i la seua llínia d'acció siga paralela a l'eix OX; i que el vector v'2 passe pel punt G(0, 1, 49/24). Aixina plantejarem en primer lloc les condicions impostes i afegirem les sis equacions d'igualar els dos vectors que formen el torsor.

De les condicions s'obtenen les següents equacions 1ª i 2ª : v'1 paral·lel a l'eix OX V1y=0 V1z=0 3ª v'1 de mòdul 16

v12x  v12y  v12z  162 kg 2

4ª, 5ª i 6ª la llínia d'acció del vector v'2 passa pel punt G(0, 1, 49/24) x2=0 y2=1 z2=49/24

Ara afegim les sis equacions escalars a l'igualar els dos elements del torsor: 19

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: SISTEMES VECTORS I GEOMETRIA MASSES

      z 2   8.i  16 .k kg.m   v2 z 

  R  v'1  v'2  8.k kg       i j k i j k

M O  M O v1  M O v2  x1

y1

z1  x2

y2

v1x

v1 y

v1z

v2 y

v2 x





Que es convertixen en 7ª, 8ª, 9ª, 10ª, 11ª i 12ª v1x  v2 x  0

  v1 y  v2 y  0   v1z  v2 z  8  y1 .v1z  z1 .v1 y  y 2 .v2 z  z 2 .v2 y  8 z1 .v1x  x1 .v1z  z 2 .v2 z  x2 .v2 z  0   x1 .v1 y  y1 .v1x  x2 .v2 y  y 2 .v2 x  16 

Veem que en efecte només hi ha 12 equacions independents, substituint la primera, segona, quarta, quinta i sexta en la 3ª i les sis últimes tenim v1 y  0

v1z  0

  v1x  16 x2  0  49  y2  1 z2   24 v1x  v2 x  0 v2 y  0   49 v2 z  8 v2 z  .v2 y  8 24  49 z1 .v1x  .v2 x  0  y1 .v1x  v2 x  16   24

20

TEMA 1. PROBLEMES DE SISTEMES DE VECTORS

Tenim dos possibles solucions segons el signe de la component v1x: si v1x= 16 llavors v1 y  0

v1z  0

  49   z  x0 y 0  24   v'  (16,0, 0) en y2  1   1 1 0 0   49 16  v2 x  0  v2 x  16   z 24  v'  (16,0,8) en x  0  y  1   8  8 v2 z  8   2 2 0 1 49 49  0  z1   y1.16  16  16  y1  0 z1  24 24  v1x  16

x2  0 49 z2  24 v2 y  0

si v1x= -16 :

v1 y  0

v1x  16 y2  1

 16  v2 x  0  v2 x  16 v2 z  8 49 49  z1   0  z1  24 24

v1z  0

  49   z  v'  (16 ,0, 0) en x  0  y  2  24   1 1 0 0    49   z   0 1 x y 24   v'  (16 ,0,8) en  8  8     2 2 0 1 y1.16  16  16  y1  2  x2  0 49 z2  24 v2 y  0

21