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MANUAL DE LA ASIGNATURA

PENSAMIENTO CRÍTICO Y ARGUMENTACIÓN 3ª Edición Curso académico 2018-2019

Vicente Claramonte Sanz Universitat de València Departamento de Filosofía Unidad Docente de Lógica y Filosofía de la Ciencia

apuntes

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MANUAL DE LA ASIGNATURA PENSAMIENTO CRÍTICO Y ARGUMENTACIÓN Curso académico 2018-2019

Vicente Claramonte Sanz Universitat de València Departamento de Filosofía Unidad Docente de Lógica y Filosofía de la Ciencia

Nau Gran 2018-2019 Itinerario Filosofía y Humanidades 30665 - Pensamiento Crítico y Argumentación Manual de la asignatura Vicente Claramonte Sanz

TEMARIO

TEMA 1.

LA LÓGICA: BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 1.1 La Lógica durante la Antigüedad 1.2 Transición: la Lógica durante la Edad Media 1.3 La Lógica moderna

TEMA 2.

LENGUAJE Y PENSAMIENTO CRÍTICO 2.1 Noción de lenguaje en la asignatura 2.2 Principales funciones o usos del lenguaje 2.3 Las tres dimensiones del lenguaje 2.4 Concepciones básicas sobre el signo lingüístico 2.5 Lenguaje formal e informal: Lógica formal e informal

TEMA 3.

ELEMENTOS BÁSICOS DEL LENGUAJE FORMAL 3.1 Símbolos y reglas 3.2 Predicación 3.3 Principio de bivalencia: verdad y falsedad 3.4 Composición de enunciados. Conectores 3.5 Funciones veritativas y tablas de verdad 3.6 Cuantificación de enunciados. Cuantificadores

TEMA 4.

INFERENCIAS Y RAZONAMIENTOS 4.1 Inferencia y razonamiento. Concepto 4.2 Tipología de razonamientos: demostrativos y no demostrativos 4.3 Deducción 4.4 Inducción 4.5 Validez y verdad o falsedad del razonamiento

TEMA 5.

TIPOLOGÍA DE INFERENCIAS (I): INFERENCIAS INMEDIATAS 5.1 La proposición categórica 5.2 Tipología de inferencias: mediatas e inmediatas 5.3 Inferencias inmediatas: oposición, conversión y obversión

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TEMA 6.

TIPOLOGÍA DE INFERENCIAS (II): INFERENCIAS MEDIATAS 6.1 Inferencias mediatas: el silogismo categórico de forma típica y su estructura 6.2 Modo y figura: forma 6.3 Caracteres y reglas o axiomas 6.4 El silogismo compuesto

TEMA 7.

FALACIAS 7.1 Concepto 7.2 Tipología 7.3 Análisis de ciertos tipos de falacias

TEMA 8.

ARGUMENTACIÓN Y LITERATURA 8.1 El ensayo y su estructura argumentativa 8.2 Estrategias argumentativas en la literatura escrita 8.3 El diálogo platónico Critón

TEMA 9.

ARGUMENTACIÓN Y ÉTICA 9.1 Ética. Nociones y teorías básicas 9.2 Oraciones y enunciados 9.3 Enunciados descriptivos y enunciados normativos 9.4 La argumentación en Ética. La falacia naturalista

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BIBLIOGRAFÍA ANTÓN, A. y CASAÑ, P. (1998), Lógica matemática. Teoría y práctica. Valencia, NAU Llibres.

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GARRIDO, M. (2001), Lógica simbólica. Madrid, Tecnos.

LO CASCIO, V. (1998), Gramática de la argumentación: estrategias y estructuras. Madrid, Alianza.

HARE, R. (1999), Ordenando la ética. Una clasificación de las teorías éticas. Barcelona, Ariel.

MILL, J. (2001). Sobre la libertad. Madrid, Alianza.

NEBLETT, W. (1989), La lógica de Sherlock Holmes. Barcelona, La Magrana.

OLIVÉ, L. (1995), Racionalidad epistémica. Madrid, Trotta.

PERELMAN, CH. & OLBRECHTS-TYTECA, L. (1994), Tratado de la argumentación. Madrid, Gredos.

PIZARRO, F. (1997), Aprender a razonar. Madrid, Alambra Longman.

PLANTIN, C. (1998), La argumentación. Barcelona, Ariel.

PLATÓN (2011), Diálogos. Madrid, Gredos.

POPPER, K. (1992). La sociedad abierta y sus enemigos. Barcelona, Planeta-Agostini.

PRIOR, A. (1976), Historia de la Lógica. Madrid, Tecnos.

RUSSELL, B. (1996), Ensayos filosóficos. Madrid, Alianza.

VEGA, L. (2013), La fauna de las falacias. Madrid, Trotta.

WESTON, T. (1994), Las claves de la argumentación. Barcelona, Ariel.

WILLIAMS, B. (1982), Introducción a la Ética. Madrid, Cátedra.

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TEMA 1.

LA LÓGICA: BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

En la Historia de la Lógica de Occidente, la línea evolutiva principal comienza en la antigua Grecia, donde se establecen sus fundamentos. El legado lógico de la Grecia antigua es recogido y transmitido durante la Edad Media tanto por la cultura europea como por la árabe, en su época de máximo esplendor, así como por ciertos intelectuales aparecidos hacia finales del Renacimiento o en el Barroco.

Ahora bien, tanto en el período posterior al declive del Imperio romano como al final del medievo, muchas de las aportaciones de la Antigüedad se perdieron u olvidaron y tuvieron que ser reaprendidas después. Salvando ambos lapsos, la tradición lógica occidental mantiene la continuidad descrita hasta llegar a los ss. XIX y XX, en los cuales la Lógica sigue desarrollos en mayor o menor medida matemáticos.

En China y en la India, la Lógica se desarrolló de forma independiente entre sí y respecto de la cultura occidental. Actualmente puede considerarse un área de conocimiento globalmente internacional, por lo cual los mismos problemas lógicos son tratados en los cinco continentes.

1.1 LA LÓGICA DURANTE LA ANTIGÜEDAD a) Autores prearistotélicos Aunque la Lógica antigua comenzó con Aristóteles (384-322 a. C.), éste tuvo precursores entre ciertos filósofos, matemáticos y oradores precedentes. La contribución principal de estos precursores consistió en desarrollar una modalidad de discurso basado en el empleo de la inferencia y la demostración. Mientras los matemáticos intentaban demostrar nuevos teoremas, filósofos y oradores pretendían refutar las tesis esgrimidas en el foro por otros filósofos y oradores.

Ello requería analizar la validez de los argumentos empleados, análisis que progresivamente sugirió técnicas de retórica que facilitaban refutar y contrarrestar los argumentos del contrario, o al menos limitar seriamente su alcance. Por otra parte, las controversias forenses brindaron a oradores hábiles y expertos la posibilidad de emplear argumentos falaces con los cuales confundir al oponente. En los ss. V y IV a. C., el interés por los argumentos falaces y su refutación se desprende de obras como Eutidemo, de Platón (427-347 a. C.), o Refutaciones sofísticas, de Aristóteles. También Sócrates (470-399 a. C.), sin llegar a formular una teoría lógica definida, practicó el arte de la argumentación rigurosa, en cuyo seno empleó la inducción y la definición universal.

La escuela sofista integró a los principales precursores de Aristóteles en el análisis de la sintaxis y semántica del lenguaje. Protágoras (circa 490-421 a. C.) estudió el uso correcto de las palabras y distinguió los diferentes tipos de enunciados: súplica, pregunta, respuesta y mandato. Pródico (circa 460-399 a. C.) investigó en particular el uso de los sinónimos, y Alcidamas (s. IV a. C.) clasificó las proposiciones en afirmación, negación, pregunta y apelación, esta última correspondiente con la actual definición ostensiva.

La principal contribución de Platón consistió en distinguir con nitidez los nombres de los verbos. Precisó que el verbo indica una acción, mientras el nombre indica un agente, por lo cual observó que una proposición no puede estar constituida solo por nombre o solo por

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verbos, sino que hasta la proposición más simple requiere un nombre y un verbo. Por otra parte, destacó la importancia de distinguir las proposiciones verdaderas de las falsas, lo cual le condujo a establecer un criterio de adveración: una proposición verdadera establece los hechos tal y como son, mientras la falsa establece cosas distintas a los hechos. Con ello, se articula la teoría de la verdad como correspondencia entre el enunciado y un estado de hechos. b) Aristóteles Fue el creador del primer sistema lógico de la historia, conocido como silogística por la preeminencia del silogismo. Su teoría del silogismo constituye una parte elemental e importante de la lógica de términos o lógica de conjuntos no vacíos.

Sus tratados lógicos fueron compilados en el Organon o “instrumento”, pues la escuela peripatética consideraba a la Lógica como herramienta o instrumento de la Filosofía, y son los siguientes: Categorías, Sobre la interpretación, Primeros analíticos, Segundos analíticos, Tópicos y Refutaciones sofísticas. Por otra parte, también el libro cuarto de Metafísica trata sobre el principio de no contradicción.

Entre estos tratados, las contribuciones más importantes a la Lógica se hallan en Sobre la terpretatción y Primeros analíticos, pues entre otras contienen: 1. La teoría de la oposición, que determina las relaciones lógicas entre una afirmación simple y su correspondiente negación simple.

2. La teoría de la conversión, establecida en lenguaje metalógico e ilustrada con ejemplos estándar. A continuación, se enuncian sus principios en términos de variables.

3. La teoría del silogismo categórico. Un silogismo aristotélico es una proposición del tipo “si... entonces”, es decir, una implicación de la forma “si A y B, entonces C”, donde las letras sustituyen proposiciones categóricas con términos variables.

4. La teoría del silogismo hipotético, el cual comienza con una proposición condicional donde se establece que, si la condición se cumple le seguirá cierta consecuencia; después se enuncia un hecho que cumple o no cumple la condición; y de estas premisas se extrae la conclusión necesaria.

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c) Megáricos y Estóicos La escuela Megárica fue fundada por Euclides de Megara (430-360 a. C.), discípulo de Sócrates, y en ella destacaron Eubúlides de Mileto (s. IV a. C.), inventor de algunas paradojas célebres como la paradoja del mentiroso, y Filón de Mileto (s. IV a. C.), quien acertó con la definición veritativo-funcional de la implicación ―es falsa si su antecedente es V y su consecuente F, y veradera en los restantes casos―. No conservamos fuentes directas de los lógicos Megáricos, sus contribuciones han sido reconstruidas a partir de fuentes indirectas debidas a Sexto Empírico (ca. 160 - ca. 210), Diógenes Laercio (s. III) y Boecio (ca. 480-524 /525).

La escuela Estoica fue fundada por Zenón de Citio (circa 336-265 a. C.), aunque no fue un lógico especialmente creativo. Fue el segundo fundador de la Estoa, Crisipo de Soli (circa 279-206 a. C.), quien logró la fructificación de las ideas de los megáricos. No se han conservado los más de 700 escritos de Crisipo, pero las citas y referencias de las fuentes indirectas posteriores avalan su reputación como uno de los mayores lógicos griegos de la Antigüedad.

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A diferencia de la lógica de términos aristotélica, la lógica de Crisipo es de proposiciones y bivalente, en la cual es clave el principio de que toda proposición es verdadera o falsa.

De hecho, los estoicos definieron la proposición como aquello que es V o F, y dividieron las proposiciones en: a) Simples: a su vez se distinguían en simples afirmaciones y simples negaciones, de modo que la negación debía formarse colocando la partícula negativa delante de la proposición. La negación se concebía como una función de verdad, pues sostenían que una negación es V si la proposición negada era F y viceversa. b) No simples: resultaban de la combinación de dos ocurrencias de la misma proposición o de la combinación de diferentes proposiciones mediante las conectivas apropiadas. Entre ellas admitían la conjunción, la disyunción y la implicación, las cuales se definieron como funciones de verdad. La conjunción era V si ambas proposiciones conjuntadas eran V, y falsa en caso contrario; la disyunción excluyente era V si al menos una de sus proposiciones era V, y falsa en caso contrario; la disyunción incluyente solo era falsa si sus dos componentes eran F, y verdadera en caso contrario; y para la implicación siguieron el mismo criterio que los megáricos, es decir, es falsa si el antecedente es V y el consecuente es F, y verdadera en otro caso.

La otra gran aportación de la Estoa son los principios lógicos, generados por las conectivas incluidas en las proposiciones no simples. Los estoicos las representaban mediante inferencias paradigmáticas o esquemas de inferencia, llegando a considerar hasta 5 esquemas de inferencia verdaderos sin necesidad de demostración. En la formulación de Luckasiewicz: 1º 2º 3º 4º 5º

Si p, entonces q; Si p, entonces q; No a la vez p y q; O p o q; O p o q;

es así que p, es así que no q, es así que p, es así que p, es así que no p,

luego q luego no p luego no q luego no q luego q

1.2 TRANSICIÓN: LA LÓGICA DURANTE LA EDAD MEDIA Aunque la Lógica de las cultura árabe e india también florecieron durante la Edad Media, suele emplearse la expresión “lógica medieval” para designar las contribuciones desarrolladas en las escuelas y universidades de Europa occidental entre los ss. XI y XV. A finales de la Edad Media, la Lógica Formal logró un desarrollo comparable al de las contribuciones megárico-estóicas y aristotélicas, y no superado hasta el surgimiento de la lógica matemática durante el s. XIX. Una de las características clave de la lógica medieval fue su formulación metalingüística, gracias a una sistematización cuasiprescriptiva de la sintaxis y la semántica del lenguaje natural, y específicamente del latín escolástico. Durante esta etapa, los lógicos desarrollaron: 1 .Una teoría general de la referencia (suppositio terminorum), que fue aplicada al problema semántico de uso y mención de las expresiones y a la formulación de lo que actualmente denominamos teoría de la cuantificación.

2. Una teoría general de la implicación (consequentia), a partir de una lógica de proposiciones.

3. Una lógica de modalidades bien articulada.

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4. Ciertos planteamientos sofisticados sobre problemas de Filosofía de la Lógica y Filosofía del Lenguaje, como los involucrados en la paradoja del mentiroso.

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Cuando las invasiones bárbaras y las conquistas musulmanas aislaron el occidente latino de la cultura griega, las únicas obras lógicas de las que disponían las escuelas monásticas, aparte de ciertos manuales de escaso valor, fueron las de Boecio (ca. 480-524), incluyendo traducciones de las aristotélicas Categorías y Sobre la interpretación, y de la Isagoge o Introducción a las categorías del neoplatónico Porfirio (ca. 232-304). Esta herencia fue significativa para el posterior desarrollo de la lógica medieval en que, trasmitió, primero, solo aquellos elementos de lógica aristotélica que trataban la sintaxis y la semántica del lenguaje y las inferencias silogísticas, separando la teoría de la inferencia respecto de la doctrina aristotélica de la demostración científica, y segundo, partes de la doctrina de la implicación megáricoestoica y de la teoría de Teofrasto (ca. 371 - ca. 287 a. C.) sobre el silogismo hipotético. Además, resulta destacable otro hecho: en el currículo de las primeras escuelas medievales la Lógica integraba el “arte del lenguaje” en estrecho vínculo con la gramática y la retórica, porque se le consideraba útil para interpretar los textos bíblicos y patrísticos en cuanto facilitaba reconciliar las aparentes contradicciones presentes en los mismos. a) Abelardo (1079-1142). Fue el primer gran lógico medieval y su principal obra fue un tratado en 5 libros titulado Dialéctica, el cual se conserva íntegro excepto el inicio del libro I. Esta obra estudia sistemáticamente los constituyentes de las proposiciones, las proposiciones y silogismos categóricos, los argumentos tópicos, la noción de consecuencia lógica, los silogismos hipotéticos, la definición y la división. Respecto de la disputa sobre los universales, Abelardo fue pionero en la doctrina mentalista, según la cual la universalidad es una propiedad de las “concepciones comunes de la mente” expresadas por las palabras, y por ello rechazó toda doctrina realista, según la cual los términos generales significaban naturalezas comunes existentes fuera del pensamiento en los entes individuales. Y respecto a la inferencia, distinguió los argumentos válidos solo por su forma lógica de aquéllos cuya fuerza depende de contenidos o significados fácticos, y sostuvo que solo aquéllos constituyen argumentos perfectos o lógicamente concluyentes. Su preciso análisis sobre las funciones de la conjunción, de los prefijos cuantificacionales, del signo de negación ―que trató como una función de verdad― y de las conectivas proposicionales condicional y disyuntiva, sentaron las bases de muchos desarrollos lógicos que se explicitaron en los tratados del s. XIII sobre los syncategoremata y sobre las propiedades de los términos. b) La ars nova. Hacia finales del s. XII, gracias a traducciones del árabe y del griego, se dispuso en el medievo occidental de obras aristotélicas como los restantes libros del Organon, Metafísica, Física y De Anima, junto con obras de los filósofos árabes Avicena (ca. 980-1037) y Averroes (1126-1198). A la sección del Organon recién traducida se le denominó ars nova o nueva lógica, para distinguirla de la sección ya conocida, ars vetus o vieja lógica. En la ars nova destacó la atención prestada por los lógicos de la época a Refutaciones sofísticas, cuyo contenido no había sido recogido en los tratados de Boecio, porque la detección y refutación de las falacias guardaba cierta afinidad con el método escolástico de la disputatio, por entonces ya introducido en las escuelas medievales. En estas disputas, uno de los métodos predilectos para ejercitarse en la destreza dialéctica consistía en proponer tesis paradójicas conocidas como sofismas ―sophismata―, de las cuales parecían seguirse conclusiones con-

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tradictorias, para después resolverlas esclareciendo sus dificultades lógicas encubiertas. Así, poco a poco comenzaron a escribirse tratados sobre el arte de la discusión o tractatus de obligationibus, que establecían qué tipo de premisas introducidas por un disputante podrían ser rechazadas como inadmisibles por el otro y cuáles en cambio se vería obligado a admitir. c) La Lógica en las universidades. Cuando se constituyeron las universidades de Bolonia, Oxford y Paris, en principio la enseñanza de la Lógica se integró en el currículo de las facultades de artes menores. Pero dado que la obra de Aristóteles y de los filósofos árabes fueron consideradas peligrosas para la ortodoxia cristiana, su estudio se reservó después para las facultades de artes mayores, propias de la Teología. Por ello, el desarrollo de la Lógica siguió la línea formal y lingüística ya establecida en el s. XII, aunque enriquecida con materiales procedentes de las recientes traducciones de Primeros analíticos, Tópicos y Refutaciones sofísticas. Al parecer, el profesorado de las facultades de artes menores no prestó atención a Segundos analíticos, por considerarlos ajenos a la Lógica Formal. Pero más tarde los teólogos sí los estudiaron a fondo, y también el Organon completo, en el contexto de la metafísica y teoría del conocimiento de Aristóteles, por lo cual, empleando además las obras de Avicena y Averroes, elaboraron comentarios literales sobre los tratados aristotélicos, en un intento de recuperar al genuino Aristóteles “original”. A ese motivo responden los comentarios de Robert Grosseteste (1175-1253), Tomás de Aquino (1225-1274), Robert Kildwardby (?1279), Giles de Roma (ca. 1274-1316) y Alberto Magno (?-1280). Por ello, en el s. XIII el estudio de la Lógica derivó hacia un purismo aristotélico gracias a la actividad de los teólogos, aunque simultáneamente en las facultades de artes menores se desarrollaron nuevos métodos y problemas; el purismo aristotélico fue llamado logica antiqua y la lógica de las facultades de artes logica moderna. Sus obras más representativas se debieron a Guillermo de Sherwood (1200/1210-1266/1271) y Pedro Hispano ( ?- 1277).

1.3 LA LÓGICA MODERNA La lógica moderna, entendiendo por tal la llamada Lógica Matemática, comenzó de modo sistemático con Lógica formal de Augustus De Morgan (1806-1871) y Análisis matemático de la lógica de George Boole (1815-1864), ambas publicadas en 1847. Sin embargo, les precedieron determinados precursores que deben ser al menos citados. a) Precursores.

1. Gottfried Leibniz (1646-1716). El inventor del cálculo infinitesimal muy pronto estudió a fondo la silogística aristotélica, y obtuvo 24 silogismos estrictamente aristotélicos, 6 para cada una de las 4 figuras, los cuales organizó en una tabla que sugería ciertas relaciones deductivas. También elaboró por sí mismo los cálculos de Hospinianus (1515-1575) relativos a modos posibles y válidos de silogismos. Su método típico de prueba en este contexto era la reductio ad absurdum, aunque también reconoció la necesidad de la conversión. En teoría de las combinaciones, consideró el problema de calcular cuántos predicados pueden ser afirmados con verdad de un sujeto dado y cuántos sujetos pueden ser subsumidos bajo un predicado dado. En su Mathesis universalis, intenta desarrollar un lenguaje universal más perfecto que cualquier lenguaje natural, idea ya formulada antes por Renato Descartes (1596

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-1650) y John Wilkins (1614-1672). Distinguió ese lenguaje universal del cálculo lógico y pretendió basar su lenguaje en un minucioso análisis de la función comunicativa de las diversas partes del habla, tiempos, sufijos, etc., anticipándose a las teorías modernas de las categorías sintácticas. Al afirmar que los nombres expresan ideas y los verbos proposiciones, Leibniz alteró radicalmente la base aristotélica de la distinción y forjó el germen del concepto de función proposicional. Con ello, redactó un capítulo clave en la historia de las relaciones entre Lógica y Gramática.

2. Leonhard Euler (1707-1783). Matemático de formación, su principal contribución a la Lógica fueron sus ilustraciones geométricas de la silogística, conocidas como diagramas o círculos de Euler. Usó la inclusión propia para la proposición universal afirmativa, la exclusión para la universal negativa y la intersección para ambas particulares. Esta interpretación decide correctamente la validez o invalidez de todos los silogismos de tres términos en los que todos ellos sean distintos, aunque falla para las leyes de identidad y contradicción y para los silogismos degenerados que dependen de ellas.

3. Johann Lambert (1728-1777). Elaboró varios ensayos destinados a hacer un cálculo de la Lógica y lo concibió vinculado al árbol de Porfirio, el cual planteaba una clasificación lógica de la sustancia subordinando los conceptos más específicos a los más generales. También empleó la sustracción para obtener la eliminación de un concepto en un contexto deductivo. En silogística, no partió de las cuatro relaciones aristotélicas sino de las cinco que actualmente se atribuyen a Joseph Gergonne (1771-1859) y además experimentó, al igual que Leibniz, con conjuntos de líneas de trazos y puntos para ilustrar las relaciones de los términos silogísticos, en un intento de corregir ciertas deficiencias de los círculos de Euler.

Tal vez su aportación más prometedora consistió en la consideración del producto relativo, aunque no llegó a desarrollarla bajo ningún aspecto práctico.

4. Bernard Bolzano (1781-1848). Fue el lógico más importante de la primera mitad del siglo XIX y en ocasiones ha sido considerado como el pionero de la Lógica Matemática y de la semántica modernas, dado el carácter marcadamente moderno y adelantado a la época de sus planteamientos. Concibió la Lógica como la teoría de la ciencia, y llegó a emplear un lenguaje parcialmente formalizado ―a base de variables, constantes, alemán vulgar y ciertos términos técnicos― en la investigación científica. En su opinión, las entidades fundamentales con las que trata la Lógica son los términos y las proposiciones constituidas por ellos.

Distinguió con nitidez estas entidades abstractas de las correspondientes entidades lingüísticas y mentales; como una proposición simple puede expresarse de muchas maneras, comenzó por formalizar tales expresiones lingüísticas y reducirlas todas a formas canónicas antes de su tratamiento puramente formal. Pero su mayor innovación consistió en introducir la técnica de la variación en cuanto referida esencialmente a la lógica semántica del lenguaje, pese a desconocer la perspectiva semántica en sentido moderno. Así, comenzando por una proposición V o F, investigó su comportamiento respecto a la verdad o falsedad mediante la sustitución de cualquiera de sus términos que resultasen apropiados. Tras ampliar estas nociones a las clases proposicionales, logró definir gran cantidad de interesantes nociones metalógicas ―compatibilidad, dependencia, exclusión, contradicción, contrariedad, exclusividad, disyuntividad, etc.―, entre las cuales destaca la noción de derivabilidad con respecto a una clase dada de términos. Por último, también resultó sorprendentemente moderno su tratamiento sobre la probabilidad.

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b) El período booleano 1. Augustus De Morgan (1806-1871). Fue el principal crítico del sistema lógico ideado por su predecesor William Hamilton (1788-1856), conocido como cuantificación y planteado a partir de la cuantificación total del predicado. Para De Morgan, la base de la Lógica común radica en las relaciones de inclusión o exclusión, parcial o total, entre clases. Cuando se dispone de información sobre la mayoría de miembros de una clase o cuando, como en el silogismo numéricamente definido, se dan números concretos, afirmó y demostró que es posible sacar conclusiones válidas de un tipo no aristotélico; sin embargo, tales casos eran muy infrecuentes. Destaca su reconocimiento de que la cópula realiza su función en la inferencia, no como un signo de identidad, sino solo por su papel de relación transitiva y convertible. La generalización de la cópula le llevó a una investigación pionera de las relaciones en general, fundamento de todos los trabajos subsiguientes en la materia y destinada a probar que el silogismo, en su forma general, consiste en una serie de combinaciones de relaciones. Curiosamente, no inventó en realidad las reglas para la negación de conjunciones que llevan su nombre.

2. George Boole (1815-1864). Fue el primer lógico en idear un álgebra simbólica manejable, por lo cual se le considera ―junto con Leibniz― el padre de la Lógica moderna. Al efecto, comenzó la idea ―también planteada por De Morgan, entre otros― de que las leyes del álgebra pueden establecerse formalmente sin referencia a ninguna interpretación particular, por ejemplo en términos del sistema de números positivos reales. Esto le condujo a concebir un álgebra limitada que representara las operaciones necesarias del pensamiento, aunque sería más exacto describirla como un cálculo extensional de clases. A grandes rasgos, y teniendo en cuenta ciertas restricciones previas para lograr un sistema consistente, su procedimiento para manejar silogismos parte de reducir las 4 clases del canon aristotélico (A, E, I, O) a ecuaciones matemáticas, y después convertir las premisas en alguna de tales ecuaciones, con el término medio, y después combinándolas hasta eliminar algebráicamente ese término medio y hallar la solución para el sujeto. Al admitir, como De Morgan, los términos negativos, admite también varios tipos de silogismos ausentes en el canon aristotélico; sin embargo, su método para operar con ellos no resiste toda prueba por las restricciones necesarias para trabajar con alguno de sus símbolos, y sus ventajas solo se evidencian en problemas más complejos que los planteados por los propios silogismos.

3. John Venn (1834-1923). El mérito de su obra no está tanto en la originalidad como en la luz que proporcionó a la entonces oscura propuesta de Boole y en su acertada discusión de los puntos de vista opuestos. Se esforzó por encontrar la significación lógica de operaciones como la sustracción y la división, aunque admite que esta última merece la inclusión por razones de consistencia más que por cualquier uso realizado de ella en el razonamiento cotidiano. Venn parte de lo que llama perspectiva “compartimental” o “existencial” de la lógica, cuyo propósito es determinar las formas posibles en que las 4 clases designadas por x, y y sus negativas en combinación pueden tener vacíos uno o más de sus componentes.

Omitiendo el caso en que los cuatro componentes están desocupados, ello da lugar a 15 formas de proposición, en contraste con las 4 surgidas de la perspectiva tradicional o predicamental ―un atributo se afirma o se niega de una clase―, y con las 5 surgidas de la consideración diagramática ―según los modos en que dos clases no vacías pueden incluirse, excluirse o solaparse―. En su opinión, cada planteamiento tiene sus ventajas y desventajas, siendo en definitiva convencional la elección entre ellos. El resultado de su propuesta es

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una mejora del uso booleano de los símbolos indefinidos que después ha sido generalmente adoptado, aunque trae como consecuencia invalidar la subalternación y el rechazo del silogismo de conclusión debilitada dependiente de aquélla. Corolario de todo su planteamiento, surge su contribución lógica más conocida, los diagramas que llevan su apellido y constituyen representaciones gráficas de los procesos algebráicos introducidos por Boole e ilustrados mecánicamente en el alfabeto de William Jevons (1835-1882): la división de un universo en términos de combinaciones posibles de x e y, etc., y la eliminación de las subdivisiones inconsistentes con las premisas dadas. Para 2 términos, un par de círculos (x e y) que se cortan en un campo, dan 4 compartimentos ae + aē + āe + āē = 1 (figura 1); y 3 círculos entrelazados (figura 2) describen las 8 combinaciones de la tabla de Jevons. Una premisa universal indica que uno o más de los compartimentos está vacío, en cuyo caso se sombrea su área; una premisa particular indica que uno o más de sus compartimentos contiene elementos, en cuyo caso se muestra con una cruz, que puede caer ambiguamente en el límite entre 2 áreas.

La conclusión puede ser extraída de varias formas por inspección. Usando elipses, el mismo principio puede aplicarse hasta a cinco términos, aunque entonces resulta difícil de manejar y por ello suelen preferirse variantes mejoradas de autores posteriores. Con modificaciones apropiadas, este método puede ampliarse al cálculo de proposiciones; aunque Venn no desarrolló esta ampliación, esta compatibilidad le condujo a advertir el carácter veritativo-funcional de la relación de implicación material.

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c) La Matemática del siglo XX. Se caracterizó por una reorganización de toda el área, efectuada tanto desde el examen de los fundamentos, sea en conceptos básicos o en un enfoque axiomático, como por la generalización, que llevó a considerar ciertas subáreas, otrora consideradas independientes, como instancias especiales del mismo caso general. Por ello, el ambiente era propicio para una investigación explícitamente lógica, tanto de la Matemática en general como de sus ramas, incluyendo la Lógica Matemática. Pero además, el nacimiento del álgebra abstracta reavivó el ideal de Leibniz de matematizar la lógica deductiva, por lo cual los primeros lógicos matemáticos intentaron desarrollar esa nueva concepción del álgebra como una rama especializada de la Matemática. A finales del siglo XIX, esta lógica matemática logró un grado de perfeccionamiento que le confirió una notable diferencia respecto del álgebra tradicional, y en el siglo XX se desvinculó totalmente de sus orígenes algebraicos para establecer sus propias bases axiomáticas. Los autores que realizaron contribuciones sustanciales en este período son demasiados para desarrollarlos exhaustivamente en esta sede, por lo cual aludiremos solo a aquellos que resultan más ineludibles por la importancia de sus aportaciones.

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1. Gottlob Frege (1848-1925). La publicación de su Conceptografía (1879) suele considerarse el inicio de la Lógica moderna, por cuanto, al presentar el primer tratamiento comprehensivo de las ideas de generalidad y existencia, provee a la formalización de los juicios ―hasta entonces acoplados solo con la ayuda de complicadas teorías ad hoc― de una simbolización adecuada mediante el recurso a la cuantificación, cuyas reglas se sobreañaden en esta obra a la primera formalización del cálculo proposicional clásico. El resultado cumple el objetivo de Frege de codificar los principios lógicos utilizados en el razonamiento matemático y es muy similar a cualquier teoría formal axiomática moderna. En Los fundamentos de la aritmética (1884), analiza el concepto de número cardinal presentado en términos no técnicos y plantea que las dificultades halladas en los análisis del número se explican y resuelven con la tesis de que un enunciado de número contiene una aserción acerca de un concepto.

Apoyándose en esta idea y en sus subsiguientes desarrollos, descubrió que las nociones utilizadas son susceptibles de resolución en términos puramente lógicos; y a partir de ello afirmó la posibilidad de que las proposiciones de la Aritmética tuvieran un estatus analítico a priori, mientras Kant las había considerado sintéticas a priori y Mill generalizaciones inductivas.

En Los principios de la Aritmética (1893-1903), desarrolló y formalizó su teoría de números, además de estudiar la teoría de clases. Amplió esta última reemplazando ciertos axiomas por reglas de transformación, aunque su principal innovación es la extensión de los símbolos primitivos para representar clases, mediante la formulación de un axioma que permite el paso de un concepto a su extensión. Respecto a la teoría del número cardinal, intentó desarrollarla para el cardinal finito e infinito. Sin embargo, su tratamiento es incompleto, pero probablemente Frege no quiso culminarlo tras enterarse, cuando el volumen estaba en prensa, que Russell había descubierto una contradicción en el axioma que permitía transcurrir del concepto a la clase. Frege discutió esta paradoja de Russell en un apéndice y presentó una versión corregida del axioma, pero esta enmienda no resultó satisfactoria y Frege abandonó el programa de Los principios de la aritmética y sostuvo que era la Geometría, y no la Lógica, la disciplina que debía proporcionar una base para la teoría de los números.

2. Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred Whitehead (1861-1947). La obra clásica Principia Mathematica (1910-1913), escrita por ambos en 3 volúmenes, coincide en su materia bastante con Los principios de la aritmética de Frege, obra de la cual aquéllos reconocen ser deudores en cuanto a su análisis lógico. La principal diferencia estriba en que los Principia intentan evitar las contradicciones detectadas por Russell en el 5º axioma de la obra de Frege, el cual permitía precisamente transcurrir de un concepto a su extensión y viceversa. Dichas contradicciones surgen de un tipo de razonamiento que implica un círculo vicioso, establecido cuando se postula una colección de objetos constituida por miembros solo definibles mediante la colección de los mismos como un todo. Russell consideró tales clases como totalidades ilegítimas, que había que evitar observando su “principio del círculo vicioso”: “Todo aquello que implique la totalidad de una clase no puede ser un miembro de la clase”, y basándose en el mismo sostuvo que los valores de una función no pueden contener términos definibles solamente mediante la función. En su lugar, definió una jerarquía ascendente de tipos ―de ahí su nombre, enfoque constructivista―, que empieza por individuos y progresa a través de funciones de individuos, funciones de funciones de individuos, y así sucesivamente, de modo que los únicos argumentos significativamente asumibles por una función son los del tipo inmediatamente precedente. En particular, una clase no puede ser tomada

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significativamente como un argumento de la función que la define; con ello, la derivación de la paradoja de Russell queda obstruida mediante la exclusión, por mal formadas, de “x є y” y de su negación. Sin embargo, el principio del círculo vicioso en sí ―en las varias formas no equivalentes dadas por Russell―, puede impugnarse sobre la base de que adicionalmente excluye procedimientos circulares que no son viciosos en absoluto.

3. David Hilbert (1862-1943). Es el máximo exponente del enfoque formalista de la matemática y pionero en la corriente lógica conocida bajo el sobrenombre de teoría de la prueba o metamatemática. Destacaba la importancia del método axiomático y su superioridad sobre el enfoque genético, que va extendiendo los conceptos poco a poco y a medida que surge la necesidad. En cambio, una teoría axiomatizada invita a plantear ciertas cuestiones generales concernientes a las relaciones lógicas existentes entre sus proposiciones, para lo cual Hilbert consideró clave la cuestión de establecer la consistencia, o libertad de contradicción. Por ello, y en su intento de consolidar definitivamente los fundamentos de la Matemática, necesitaba idear pruebas de consistencia. El remedio para el inseguro tratamiento abstracto de los conceptos, en su opinión, estaba en interpretar la teoría de los números por relación al dominio observable de signos tales como 1, 11, 111, etc. Ello aseguraba una interpretación concreta para la teoría de los números, pero la posibilidad de dicha interpretación no se extiende a todas las ramas de la Matemática clásica, pues entidades tales como los cardinales transfinitos no permiten su representación como secuencias de palotes. Su solución a esta dificultad fue tratar a dichos números como elementos “ideales”. Así, sostenía que una condición previa para la aplicación de las leyes lógicas es disponer de un campo de objetos concretos extralógicos, dados en la percepción real, y capaces de ser observados de forma exhaustiva. Es decir, un infinito real no se da en la naturaleza; por tanto, mientras sí podía darse una base sensorialmente perceptible para los números finitos, los transfinitos tenían lugar en la Matemática solo como elementos ideales, semejantes a los factores ideales introducidos para conservar las simples leyes de la divisibilidad de los números enteros algebráicos. Además, había que mostrar que los infinitos de George Cantor (1845-1918), aunque aparentemente irreducibles, eran indispensables, y que los argumentos operativos por la vía del infinito debían reemplazarse por métodos finitos que consiguiesen la misma finalidad.

Y dado que el transfinito se introduce usando cuantificadores no restringidos, las proposiciones que los contuviesen tenían que considerarse proposiciones ideales. Con ello, esperaba justificar parcialmente la matemática clásica contra los embates de los intuicionistas, y de hecho sus discípulos más destacados lograron establecer ciertos resultados metamatemáticos de considerable significado. Pero sin llegar a completar el programa original de Hilbert, pues, aunque se logró probar la consistencia de sistemas de Aritmética cada vez más potentes, no se logró ninguna prueba para el sistema completo exigido por la teoría clásica de los números. Posteriormente, en 1931 el Teorema de incompletud de Gödel confirmó que es imposible una prueba de consistencia, dado que toda prueba debe apelar a principios más generales que los proporcionados por el sistema, y por tanto resultan todavía más cuestionables que los principios cuya consistencia se pretendía establecer.

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4. Luitzen Brouwer (1881-1976). Según su concepción intuicionista, la Matemática no es un sistema de fórmulas y reglas, sino una forma de actividad humana basada en la capacidad del ser humano de abstraer el concepto del “dos” a partir de fases sucesivas de la experiencia humana y de comprobar cómo esta operación puede repetirse indefinidamente hasta generar la secuencia infinita de los números naturales. En este planteamiento, el lenguaje sirve solo como ayuda para la memoria y la comunicación y no puede por sí mismo crear un nuevo sistema matemático; las palabras y fórmulas solo adquieren significado en cuanto se apoyan en una actividad mental esencialmente no-lingüística. En particular, la verbalización de un teorema es significativa solamente si indica la construcción elemental de alguna entidad matemática o muestra la imposibilidad de la entidad en cuestión. El concepto brouweriano de prueba como algo básicamente mental es útil como correctivo de una estrecha visión formalista que interpretase la prueba como prueba de un sistema formal dado. Pero el psicologismo de Brouwer es filosóficamente cuestionable, y de hecho la obra de Ludwig Wittgenstein (1889-1951) arroja serias dudas sobre la tesis de que el lenguaje es solo un acompañamiento incidental del pensamiento, requerido únicamente para fines de memoria y comunicación. Lo importante del intuicionismo no son tanto sus matices psicologistas como su énfasis en la constructibilidad y la forma de la Matemática determinada por el criterio intuicionista de significación.

5. Kurt Gödel (1906-1978). Es sobre todo célebre por su Teorema de incompletud y su prueba asociada sobre la imposibilidad de establecer la consistencia de las formulaciones usuales de Aritmética mediante medios formalizables dentro de los mismos sistemas. Como se indicó más arriba, el teorema demuestra la imposibilidad de probar la consistencia de toda la teoría clásica de los números, ya que toda prueba debe apelar a principios más generales que los proporcionados por el sistema, y por tanto son tan cuestionables como los principios cuya consistencia se pretendía establecer. Pero también realizó otras contribuciones. El cálculo proposicional intuicionista es concebido como un subsistema de la lógica clásica obtenido suprimiendo en ésta las tesis que son intuicionistamente inaceptables. Gödel indicó que este planteamiento podía ser invertido en cierto modo, pues es posible definir todas las funciones de verdad bivalentes por medio de las conectivas de negación y conjunción, y consiguió demostrar que cualquier fórmula que contiene solo estas conectivas es demostrable en la lógica intuicionista si es demostrable clásicamente. Mostró además que, interpretada adecuadamente, la teoría clásica de números podía considerarse incluida en la teoría intuicionista. Probó también que el cálculo proposicional intuicionista carece de matriz finita característica; es decir, aunque las tablas de verdad bivalentes de la lógica clásica sirven para verificar todas y solo aquellas tesis demostrables en dicha lógica, según él es imposible construir tablas de verdad para cualquier número finito de valores que cumplan la misma función en el sistema intuicionista.

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