1_9788490869475

ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Métodos analíticos y numéricos VOLUMEN I

S2(x)

S8(x)

π

π

−π

π

π

−π

−π

−π

S (x)

S (x)

16

40

π

π

−π

π −π

−π

π −π

Néstor Thome Coppo Depto. de Matemética Aplicada UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALENCIA

Copyright ® 2015 Todos los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación sin permiso escrito de los autores y del editor.

En caso de erratas y actualizaciones, la Editorial Tirant lo Blanch publicará la pertinente corrección en la página web www.tirant.com (www.tirant.com).

© TIRANT LO BLANCH EDITA: TIRANT LO BLANCH VALENCIA TELFS.: 96/361 00 48 - 50 Email: tlb@tirant.com www.tirant.com ISBN:978-84-9086-947-5 MAQUETA:

´

Si tiene alguna queja o sugerencia, envíenos un mail a: atencioncliente@tirant.com.

En caso de no ser atendida su sugerencia, por favor, lea nuestro Procedimiento de quejas en: www.tirant.net/index.php/empresa/politicas-de-empresa

´ ANALISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES M´etodos anal´ıticos y num´ericos Volumen I ´stor Thome Coppo Autor: Ne Departamento de Matem´ atica Aplicada Universitat Polit` ecnica de Val` encia

´ PROLOGO

Tras perfilar los resultados de un proceso de convergencia educativo a nivel europeo que tiene como objetivo facilitar un efectivo intercambio de titulados as´ı como adaptar el contenido de los estudios universitarios a las demandas sociales, actualmente est´an en marcha los planes de estudio correspondientes. La nueva definici´on de cr´editos a trav´es del Sistema de Transferencia de Cr´editos Europeos (European Credits Transfer System ECTS) creado por la Comisi´on Europea llev´o al autor a plantear un libro destinado a los alumnos de Matem´aticas III de la Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicaci´on de la Universitat Polit`ecnica de Val`encia.

Teniendo en cuenta la limitaci´on de cr´editos y la materia que debe ser incluida, se han debido abordar los temas de manera introductoria y muchas veces sin una justificaci´on exhaustiva sino m´as bien dar a conocer las t´ecnicas de resoluci´on b´asicas.

La metodolog´ıa consiste en guiar al alumno para la obtenci´on de los objetivos que debe alcanzar a lo largo de su carrera tomando este parte activa durante el proceso.

El libro contiene los resultados te´oricos b´asicos y una serie de ejercicios que conducen a la fijaci´on de cada concepto. Se proponen ejercicios en los que se integran diferentes conceptos, se los relaciona y se aumenta el grado de dificultad de manera

ii

progresiva. Tambi´en se dan las soluciones de los mismos y comentarios que conducen a su obtenci´on. Se da una amplia lista de problemas que permitir´an afianzar los conocimientos de la asignatura y prepararse para los temas propios de la carrera.

Algunos problemas son originales y otros han sido planteados usando como base los textos indicados en la bibliograf´ıa.

El temario aqu´ı tratado se imparte en la mayor´ıa de las carreras t´ecnicas de Ingenier´ıa, como as´ı tambi´en en las Licenciaturas en Matem´aticas y F´ısica, entre otras. Concretamente, los temas que se abordan son los siguientes: An´alisis de Fourier.

Ecuaciones Diferenciales Parciales.

M´etodos Num´ericos.

Para una mejor estructuraci´on del mismo, se ha dividido en tres vol´ umenes. El primero contiene An´alisis de Fourier y Ecuaciones Diferenciales Parciales, considerando el caso de dominios finitos. El segundo incluye la continuaci´on de Ecuaciones Diferenciales Parciales poniendo ´enfasis en el m´etodo de las transformadas integrales para la resoluci´on de las mismas y en la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda. El tercero trata M´etodos Num´ericos para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales Dobles repasando los casos de funciones de una variable.

Se pretende que los tres vol´ umenes sirvan para ser utilizados como complemento a las clases. Esto permitir´a utilizar metodolog´ıas activas, y poner en com´ un el proceso de elaboraci´on de las ideas que ayudar´an a la formaci´on del alumno y le proveer´a de una metodolog´ıa que podr´a aplicar en su futuro profesional.

Agradezco que cualquier sugerencia o errata sea enviada al correo electr´onico njthome@mat.upv.es.

El autor III

CAP´ITULO

1

Series de Fourier

1.1.

Series de Fourier

El objetivo de este tema es estudiar el an´alisis de Fourier de una funci´on que, b´asicamente, consiste en responder a dos cuestiones: dada una funci´on, c´omo encontrar su desarrollo en serie de Fourier y, dada una serie de Fourier, c´omo encontrar su funci´on suma. En ingenier´ıa, el primer proceso se llama an´alisis y el segundo s´ıntesis.

1.1.1.

Funciones continuas a trozos y peri´ odicas

Ser´an necesarios algunos conceptos de funciones de una variable que se introducen a continuaci´on.

Definici´ on 1.1 La funci´ on f : [a, b] → R se llama continua a trozos en [a, b] si: (a) [a, b] puede dividirse en un n´ umero finito de intervalos (abiertos) en los que f es continua,

1

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

(b) existen (finitos) los l´ımites laterales de f en cada punto de la partici´ on.

Es decir, existen a = x1 < x2 < . . . < xn = b tales que (a) f es continua en cada subintervalo ]xi , xi+1 [, i = 1, 2, . . . , n − 1, (b) existen f (xi +) = l´ım f (xi + h)

para cada i = 1, 2, . . . , n − 1,

h→0+

y f (xi −) = l´ım f (xi − h) h→0+

para cada i = 2, 3, . . . , n.

A continuaci´on se indican algunas propiedades de las funciones continuas a trozos.

Propiedad 1.1 El producto de dos funciones continuas a trozos es una funci´ on continua a trozos.

Propiedad 1.2 La composici´ on de dos funciones continuas a trozos es una funci´ on continua a trozos.

La siguiente propiedad muestra la relaci´on entre la continuadad a trozos y la integrabilidad de una funci´on.

Propiedad 1.3 Si f : [a, b] → R es continua a trozos en [a, b] entonces f es acotada e integrable en [a, b].

El an´alisis de series de Fourier que se desarrollar´a en este cap´ıtulo corresponder´a a funciones peri´odicas. Las funciones en general (no necesariamente peri´odicas) se estudiar´an m´as adelante mediante la (integral y la) transformada de Fourier.

Definici´ on 1.2 Una funci´ on f : R → R se llama p-peri´ odica si existe un n´ umero positivo p tal que f (x + p) = f (x), 2

∀x ∈ R.

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

El valor p se llama per´ıodo y el valor m´ as peque˜ no de p en esas condiciones se llama per´ıodo fundamental.

Algunas de sus propiedades son las siguientes.

Propiedad 1.4 (a) Si f : R → R es una funci´ on p-peri´ odica entonces f (x + np) = f (x),

∀x ∈ R,

∀n ∈ Z.

(b) Si f1 , . . . , fk son funciones p-peri´ odicas y c1 , . . . , ck ∈ R entonces c1 f1 +· · ·+ck fk es una funci´ on p-peri´ odica.

Las funciones mostradas en la Figura 1.1 son 2π-peri´odicas. sen(x)

sen(2 x)

sen(3 x)

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0

−0.5

−0.5

−0.5

−1

−1

−1 2π

0

2π

0

cos(x)

cos(2 x)

cos(3 x)

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0

−0.5

−0.5

−0.5

−1

−1 2π

0

2π

0

−1 2π

0

0

Figura 1.1: sen(2x) es π-peri´odica y cos(3x) es

2π

2π odica.

3 -peri´

Para integrar una funci´on p-peri´odica ser´a posible utilizar cualquier intervalo de longitud p.

Propiedad 1.5 Si f : R → R es una funci´ on continua a trozos y p-peri´ odica entonces

Z

α+p

f (x) dx = α

Z

p

f (x) dx = 0

3

Z

p 2

− p2

f (x) dx para todo α ∈ R .

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

Aplicaci´ on: Si f : R → R es una funci´on continua a trozos y 2L-peri´odica entonces

y

Z

2L

f (x) sen 0

Z

2L

f (x) cos 0

para todo n ∈ N.

1.1.2.

nπx L

nπx L

dx =

dx =

Z Z

f (x) sen

nπx

dx

f (x) cos

nπx

dx

L −L L −L

L

L

Conjuntos ortogonales

Tambi´en ser´an necesarias algunas propiedades de las funciones trigonom´etricas.

Propiedad 1.6 Sean m, n dos n´ umeros enteros no negativos. Entonces (a) si m 6= n se tiene que Z

π

cos(mx) cos(nx) dx = −π

(b)

Z

Z

π

sen(mx) sen(nx) dx = 0. −π

π

cos(mx) sen(nx) dx = 0. −π

(c) si n > 0 se tiene que Z

π

cos2 (nx) dx =

−π

Z

π

sen2 (nx) dx = π.

−π

Demostraci´ on. Para demostrar las propiedades indicadas pueden usarse las siguientes identidades trigonom´etricas: (a) 1 [cos(u + v) + cos(u − v)], ∀u, v ∈ R, 2 1 sen(u) sen(v) = [cos(u − v) − cos(u + v)], ∀u, v ∈ R, 2 cos(u) cos(v) =

4

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

(b) sen(u) cos(v) =

1 [sen(u + v) + sen(u − v)], ∀u, v ∈ R, 2

(c) 1 cos2 (u) = [1 + cos(2u)] 2

1 sen2 (u) = [1 − cos(2u)], ∀u ∈ R. 2

y

M´as propiedades de las funciones trigonom´etricas son las siguientes.

Propiedad 1.7 Se cumplen las siguientes identidades trigonom´etricas. (a) sen(u ± v) = sen(u) cos(v) ± cos(u) sen(v), ∀u, v ∈ R. (b) cos(u ± v) = cos(u) cos(v) ∓ sen(u) sen(v), ∀u, v ∈ R. Para todo n, k ∈ Z son v´ alidos los tres apartados siguientes: (c) sen(nπ) = 0 y cos(nπ) = (−1)n .    

0, n par 0, n par π (d) sen n 2 = . =  (−1) n+3  (−1)k+1 , n = 2k − 1 2 , n impar

π

(e) cos n 2

   (−1) n2 , n par  (−1)k , n = 2k . = =  0,  n impar 0, n impar

Al escribir un vector en un espacio eucl´ıdeo (por ejemplo R3 ) como combinaci´on lineal de los vectores de una base los escalares tienen una expresi´on sencilla si la base elegida es ortogonal. La misma idea se utilizar´a en este caso y por ello es necesario recordar el concepto de conjuntos ortogonales de funciones.

Definici´ on 1.3 Un conjunto de funciones integrables de valores reales {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . } 5

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

se llama ortogonal en el intervalo [a, b] si el producto interior de cada par de funciones distintas se anula, es decir, si hϕm , ϕn i =

Z

b

ϕm (x)ϕn (x) dx = 0,

para todo m 6= n.

a

Ejemplo 1.1 La sucesi´ on de funciones 1, cos(x), sen(x), cos(2x), sen(2x), . . . , cos(nx), sen(nx), . . . es un conjunto ortogonal en el intervalo [−π, π] y se llama sistema trigonom´etrico.

En la Figura 1.2 se puede apreciar la geometr´ıa de la ortogonalidad de funciones.

Al multiplicar punto a punto las funciones se obtiene otra funci´on y su a´rea entre la curva y el eje X (por encima y debajo) se debe compensar de modo que se anule.

1

1 es ortogonal a cos(x)

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1 −4 1

−2

0

2

−1 −4

4

sen(2x) es ortogonal a cos(2x)

1

0.5

−2

0

2

4

sen(2x) es ortogonal a cos(3x)

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1 −4

sen(x) es ortogonal a cos(x)

−2

0

2

−1 −4

4

−2

0

2

4

Figura 1.2: ϕi es ortogonal a ϕj . Su producto est´a pintado en azul.

As´ı como los vectores de R3 , por ejemplo, fueron normalizados dividi´endolos por su m´odulo, aqu´ı se proceder´a de la misma manera para obtener funciones de norma 1.

Definici´ on 1.4 La norma de los elementos del sistema de funciones integrables

6

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

{ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . } en el intervalo [a, b] se define mediante el n´ umero s Z b p kϕn k2 = hϕn , ϕn i = [ϕn (x)]2 dx. a

Ejemplo 1.2 La sucesi´ on de funciones 1 cos(x) sen(x) cos(2x) sen(2x) cos(nx) sen(nx) √ , √ , √ , √ , √ ,..., √ , √ ,... π π π π π π 2π es un conjunto ortonormal en el intervalo [−π, π]. Se trata del sistema trigonom´etrico normalizado.

Una observaci´on importante es que vectores ortogonales no nulos son siempre linealmente independientes.

1.2.

Series de Fourier - Convergencia en media cuadr´ atica

El pr´oximo objetivo es introducir el concepto de serie de Fourier en el intervalo [−π, π] para luego extenderlo a un intervalo gen´erico.

Una serie de Fourier es una serie trigonom´etrica del tipo α0 + α1 cos x + β1 sen x + α2 cos 2x + β2 sen 2x + . . .

2 con αn , βn ∈ R. Dada una funci´on f : R → R continua a trozos en [−π, π] y 2π-peri´odica, en la serie de Fourier asociada a f los coeficientes αn , βn estar´an especificados por unos an , bn concretos y la relaci´on entre la funci´on f y su serie de Fourier se escribir´a: f (x) ∼

∞

a0 X + (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1

Se observa que no se ha escrito una igualdad sino que el s´ımbolo ∼ indica que la funci´on f tiene asociada esa serie. M´as adelante, al estudiar la convergencia de la serie, se indicar´a si es posible escribir la igualdad o bien en qu´e puntos se puede hacer y en cu´ales no es posible.

7

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

1.2.1.

Definici´ on de serie de Fourier en [−π, π]

Definici´ on 1.5 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−π, π] y 2πperi´ odica. Los coeficientes de la serie de Fourier ∞

a0 X + (an cos nx + bn sen nx) SFf (x) = 2

(1.1)

n=1

de la funci´ on f en [−π, π] son Z 1 π an = f (x) cos nx dx, π −π 1 bn = π

Z

n = 0, 1, 2, 3, . . .

π

f (x) sen nx dx,

n = 1, 2, 3, . . .

−π

Las sucesiones dadas por an y bn se conocen como las f´ormulas de Euler para los coeficientes de Fourier. Es importante prestar atenci´on a que el sub´ındice empieza en n = 0 para los an y en n = 1 para los bn .

Nota 1.1 Cuando f se considera definida en [−π, π], podr´ıa no estarlo en un n´ umero finito de puntos de dicho intervalo.

Ejemplo 1.3 Se considera la funci´ on dada por   −π, si −π < x < 0, f (x) =  x, si 0 6 x 6 π,

con f (x + 2π) = f (x) en el resto. Su desarrollo en serie de Fourier es

+∞ π X (−1)n − 1 1 − 2(−1)n f (x) ∼ − + cos(nx) + sen(nx) 4 n2 π n n=1

donde la sucesi´ on de sumas parciales de dicha serie viene dada por

n π X (−1)k − 1 1 − 2(−1)k Sn (x) = − + cos(kx) + sen(kx) , 4 k2 π k k=1

para cada n ∈ {1, 2, 3, . . . }.

En la Figura 1.3 se representan gr´ aficamente la funci´ on f junto a las sumas parciales de los n primeros t´erminos de la serie (1.1) para diferentes valores de n.

8

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

S (x)

S (x)

π

π

2

8

−π

π

π

−π

−π

−π

S (x)

S (x)

16

40

π

π

−π

−π

π −π

π −π

Figura 1.3: Gr´aficas de S2 (x), S8 (x), S16 (x) y S40 (x).

Ejemplo 1.4 Se considera la funci´ on dada por   0, si −π 6 x < 0, f (x) =  π − x, si 0 6 x 6 π,

con f (x + 2π) = f (x) en el resto. Su desarrollo en serie de Fourier es:

+∞ π X 1 − (−1)n 1 f (x) ∼ + cos(nx) + sen(nx) .

4 n2 π n n=1

En la Figura 1.4 se representan gr´ aficamente la funci´ on f junto a las sumas parciales de los n primeros t´erminos de la serie (1.1) para diferentes valores de n.

1.2.2.

Cambio de escala

Si bien la serie de Fourier se introdujo para una funci´on 2π-peri´odica en el intervalo [−π, π], la idea es trabajar en el intervalo [−L, L] para que sea m´as c´omodo operar en lo que queda. Se realizar´a, por tanto, un cambio de escala (o cambio de variable) en la serie de Fourier de [−π, π] a [−L, L] para dar su representaci´on en [−L, L].

9

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

S (x)

S (x)

8

3

π

0

π

−π

0

π

0

−π

S (x)

π

S (x)

16

32

π

π

0

0

0

−π

0

π

0

−π

π

Figura 1.4: Gr´aficas de S3 (x), S8 (x), S16 (x) y S32 (x).

Teorema 1.1 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−L, L] (L > 0) y 2L-peri´ odica. La serie de Fourier de f en [−L, L] es nπx a0 X nπx an cos f (x) ∼ + + bn sen 2 L L ∞

n=1

donde an =

1 L

Z

y 1 bn = L

L

f (x) cos −L

Z

nπx dx, L

L

f (x) sen −L

nπx dx, L

n = 0, 1, 2, 3, . . .

n = 1, 2, 3, . . .

Nota 1.2 Cuando f se considera definida en [−L, L], podr´ıa no estarlo en un n´ umero finito de puntos de dicho intervalo.

1.2.3.

Error cuadr´ atico medio

Se observa en los ejemplos anteriores que a medida que n aumenta, la sucesi´on de funciones en senos y cosenos se acercan cada vez m´as a la propia funci´on en casi

10

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

todos sus puntos. Este acercamiento se llama convergencia en media cuadr´atica y a continuaci´on se indica de manera m´as precisa.

Teorema 1.2 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2Lperi´ odica y sea

n kπx kπx a0 X + + bk sen ak cos Sn (f )(x) = , 2 L L k=1

n∈N

la n-´esima suma parcial de la serie de Fourier de f en [−L, L]. Entonces l´ım kf − Sn (f )k2 = 0,

n→∞

es decir l´ım

Z

L

n→∞ −L

[f (x) − Sn (f )(x)]2 dx = 0 .

La expresi´on [f (x)−Sn (f )(x)]2 representa el (cuadrado del) a´rea que se genera entre cada t´ermino de la sucesi´on de funciones en senos y cosenos y la propia funci´on. A medida que n crece, esas a´reas tienden a cero. Sin embargo, no en todo punto se cumple que la sucesi´on de funciones se acerca cada vez m´as al valor de la funci´on en el propio punto. Pueden haber puntos en los que las diferencias anteriores permanecen mayores que un valor peque˜ no. M´as adelante se ver´a que esto ocurre en los puntos donde la funci´on tiene discontinuidades de salto (finito) y se conoce como fen´omeno de Gibbs.

La aproximaci´on analizada en el teorema anterior permite definir el error que se comete al aproximar la funci´on f dada por la suma parcial n-´esima. Para sumar todas las a´reas (en lugar de considerar a´reas con signo) se han elevado al cuadrado y para conseguir un error medio se divide por la longitud 2L del intervalo a estudiar.

Definici´ on 1.6 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2Lperi´ odica y sea

n kπx kπx a0 X + + bk sen ak cos , Sn (f )(x) = 2 L L k=1

11

n∈N

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

la n-´esima suma parcial de la serie de Fourier de f en [−L, L]. Se llama error cuadr´ atico medio En de la suma parcial Sn (f ) relativo a f a En2

1 = 2L

Z

L −L

[f (x) − Sn (f )(x)]2 dx .

La geometr´ıa del error cuadr´atico medio se aprecia en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5 Sea

  −π, f (x) =  x,

si x ∈] − π, 0[, si x ∈ [0, π],

con f (x + 2π) = f (x) en el resto. En la Figura 1.5 se observa en color azul el error cometido al aproximar la funci´ on f por la suma parcial de la serie de Fourier S 2 .

2

[f(x) − S2(x) ]

12 10 8

π

∫−π[f(x)−S2(x)]2 dx

6 4 2

f(x)

0 f(x)

−2 −4 −4

−3

−2

S2(x) −1

0

1

2

3

4

Figura 1.5: Geometr´ıa del error cuadr´atico.

1.2.4.

El problema de los m´ınimos cuadrados

A continuaci´on se plantea el conocido problema de los m´ınimos cuadrados para el caso de funciones.

Sea f : R → R continua a trozos en [−L, L] y 2L-peri´odica. De entre todos los

12

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

polinomios trigonom´etricos de orden n

n kπx kπx α0 X αk cos , + + βk sen Sn (αk , βk ) = 2 L L k=1

n∈N

se trata de hallar los coeficientes αk , βk del polinomio que tiene m´ınimo error medio cuadr´atico δn2

1 = 2L

Z

L −L

[f (x) − Sn (αk , βk )]2 dx .

Su soluci´on la da el polinomio trigonom´etrico cuyos coeficientes coinciden con los coeficientes de Fourier, es decir, αk = a k

1.2.5.

βk = bk ,

para todo k.

Identidad de Parseval y Lema de Riemann-Lebesgue

La igualdad o identidad de Parseval puede verse como una extensi´on del Teorema de Pit´agoras a un espacio de funciones.

Teorema 1.3 (Identidad de Parseval) Sea f : R → R es una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2L-peri´ odica con desarrollo de Fourier f (x) ∼

a0 X nπx nπx an cos . + + bn sen 2 L L ∞

n=1

Entonces ∞

a20 X 2 1 + (an + b2n ) = 2 L n=1

Z

L

[f (x)]2 dx .

−L

En series num´ericas se estudi´o que si una serie es convergente entonces su t´ermino general debe tender a cero. Del teorema anterior se deduce que las series de Fourier se comportan de la misma manera, es decir, los coeficientes an y bn deben tender a cero, en caso contrario, no es posible obtener convergencia.

Este hecho se expresa en el siguiente resultado que se conoce con el nombre de Lema de Riemann-Lebesgue.

13

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

Lema 1.1 (Lema de Riemann-Lebesgue) Sea f : R → R es una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2L-peri´ odica con desarrollo de Fourier nπx a0 X nπx an cos f (x) ∼ . + + bn sen 2 L L ∞

n=1

Entonces l´ım an = 0

y

n→∞

l´ım bn = 0 .

n→∞

Ejemplo 1.6 Sea   0, f (x) =  1,

si − 2 6 x < −1 o ´ 1 < x 6 2, si − 1 6 x 6 1,

con f (x + 4) = f (x) en el resto. El desarrollo en serie de Fourier es +∞ h 1 2 X (−1)k+1 π i f (x) ∼ + cos (2k − 1) x .

2 π 2k − 1 2 k=1

En este caso, en la Figura 1.6 se aprecia la gr´ afica de S3 como suma de los 3 primeros arm´ onicos, es decir S3 (x) = 1er arm´ onico + 2do arm´ onico + 3er arm´ onico.

En este ejemplo es f´ acil comprobar el Lema de Riemann-Lebesgue pues nπ 2 =0 sen n→+∞ nπ 2

l´ım an = l´ım

n→+∞

(por tratarse de una funci´ on acotada por otra que tiende a 0) y l´ım bn = l´ım 0 = 0.

n→+∞

n→+∞

Aplicando la identidad de Parseval se llega a +∞ X

n=1

1 π2 = .

2 (2n − 1) 8

En la Figura 1.7 se aprecian algunas sumas parciales de la serie de Fourier de f .

14

Cap´ıtulo 1. Series de Fourier

1 e r a r m o´ n i c o

2

S3(x)

1.2

1 1

0 −1 −2

−1

0 2 d o a r m o´ n i c o

1

2

−1

0 3 e r a r m o´ n i c o

1

2

0.5 0 −0.5 −2 0.2

0

0 −0.2 −2

−1

0

1

−0.2 −2

2

−1

0 x

1

2

Figura 1.6: Gr´afica de S3 (x).

1.2.6.

Serie de Fourier en senos y en cosenos

El hecho de que la funci´on coseno sea par y la funci´on seno sea impar, dar´a ciertas simetr´ıas a la serie de Fourier.

Se recuerda el concepto de paridad de una funci´on.

Definici´ on 1.7 Sea f : [−a, a] → R con a > 0 o infinito. La funci´ on f se llama par si f (−x) = f (x) para todo x ∈ [−a, a]. impar si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ [−a, a].

Las funciones pares tienen simetr´ıa con respecto al eje Y y las funciones impares tienen simetr´ıa respecto al origen de coordenadas.

Algunas propiedades de estas funciones que resultar´an u ´tiles a la hora de resolver integrales son las siguientes.

Propiedad 1.8 (a) El producto de dos funciones pares (impares) es par. (b) El producto de una funci´ on par por una impar es impar.

15