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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Métodos analíticos y numéricos VOLUMEN II

¿?

EDP en x y t

F

x

Transformada

w

Solución u(x, t)

F -1

(t parámetro)

Transformada inversa

EDO en t Resolver (w parámetro)

x

w

(t parámetro)

Solución û(w,t) de la EDO

Néstor Thome Coppo Depto. de Matemética Aplicada UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALENCIA

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´

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´ ANALISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES M´etodos anal´ıticos y num´ericos Volumen II ´stor Thome Coppo Autor: Ne Departamento de Matem´ atica Aplicada Universidad Polit´ ecnica de Valencia

´ PROLOGO

Tras perfilar los resultados de un proceso de convergencia educativo a nivel europeo que tiene como objetivo facilitar un efectivo intercambio de titulados as´ı como adaptar el contenido de los estudios universitarios a las demandas sociales, actualmente est´an en marcha los planes de estudio correspondientes. La nueva definici´on de cr´editos a trav´es del Sistema de Transferencia de Cr´editos Europeos (European Credits Transfer System ECTS) creado por la Comisi´on Europea llev´o al autor a plantear un libro destinado a los alumnos de Matem´aticas III de la Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicaci´on de la Universitat Polit`ecnica de Val`encia.

Teniendo en cuenta la limitaci´on de cr´editos y la materia que debe ser incluida, se han debido abordar los temas de manera introductoria y muchas veces sin una justificaci´on exhaustiva sino m´as bien dar a conocer las t´ecnicas de resoluci´on b´asicas.

La metodolog´ıa consiste en guiar al alumno para la obtenci´on de los objetivos que debe alcanzar a lo largo de su carrera tomando este parte activa durante el proceso.

El libro contiene los resultados te´oricos b´asicos y una serie de ejercicios que conducen a la fijaci´on de cada concepto. Se proponen ejercicios en los que se integran diferentes conceptos, se los relaciona y se aumenta el grado de dificultad de manera

ii

progresiva. Tambi´en se dan las soluciones de los mismos y comentarios que conducen a su obtenci´on. Se da una amplia lista de problemas que permitir´an afianzar los conocimientos de la asignatura y prepararse para los temas propios de la carrera.

Algunos problemas son originales y otros han sido planteados usando como base los textos indicados en la bibliograf´ıa.

El temario aqu´ı tratado se imparte en la mayor´ıa de las carreras t´ecnicas de Ingenier´ıa, como as´ı tambi´en en las Licenciaturas en Matem´aticas y F´ısica, entre otras. Concretamente, los temas que se abordan son los siguientes: An´alisis de Fourier.

Ecuaciones Diferenciales Parciales.

M´etodos Num´ericos.

Para una mejor estructuraci´on del mismo, se ha dividido en tres vol´ umenes. El primero contiene An´alisis de Fourier y Ecuaciones Diferenciales Parciales, considerando el caso de dominios finitos. El segundo incluye la continuaci´on de Ecuaciones Diferenciales Parciales poniendo ´enfasis en el m´etodo de las transformadas integrales para la resoluci´on de las mismas y en la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda. El tercero trata M´etodos Num´ericos para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales Dobles repasando los casos de funciones de una variable.

Se pretende que los tres vol´ umenes sirvan para ser utilizados como complemento a las clases. Esto permitir´a utilizar metodolog´ıas activas, y poner en com´ un el proceso de elaboraci´on de las ideas que ayudar´an a la formaci´on del alumno y le proveer´a de una metodolog´ıa que podr´a aplicar en su futuro profesional.

Agradezco que cualquier sugerencia o errata sea enviada al correo electr´onico njthome@mat.upv.es.

El autor III

CAP´ITULO

1

Ecuaci´on de onda: soluci´on de d’Alembert

1.1.

La cuerda de longitud infinita

El primer paso ser´a encontrar la soluci´on de d’Alembert para la ecuaci´on de onda de una cuerda de longitud infinita.

Es decir, se considera el problema de la cuerda ilimitada, en primer lugar se ver´a el caso homog´eneo: utt − c2 uxx = 0,

x ∈ R, t > 0

(c > 0)

Tras intentar resolver la EDP de primer orden:

∂ ∂ ∂u ∂u 2 0 = utt − c uxx = −c +c = rt − crx ∂t ∂x ∂t ∂x | {z } =:r

y

2

0 = utt − c uxx =

∂ ∂ +c ∂t ∂x

∂u ∂u −c = st + csx ∂t ∂x | {z } =:s

1

(1.1)

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

parece l´ogico plantearse el cambio de variables: r = x + ct,

s = x − ct .

Realizando el cambio de variables r = x + ct y s = x − ct en la soluci´on de la EDP se tiene que u(x, t) = u

r+s r−s , 2 2c

=: v(r, s)

y sustituyendo en (1.1) las derivadas ut = c(vr − vs ),

utt = c2 (vrr − 2vrs + vss )

ux = v r + v s ,

uxx = vrr + 2vrs + vss

resulta vrs (r, s) = 0.

Integrando esta u ´ltima EDP primero con respecto a s y luego con respecto a r se tiene: v(r, s) =

Z

ϕ(r) ˜ dr + ψ(s) = ϕ(r) + ψ(s)

para cualquier par de funciones ϕ(r) y ψ(s) suficientemente diferenciables.

RESUMEN: Soluci´on de d’Alembert.

La soluci´on general de la ecuaci´on de onda ilimitada utt − c2 uxx = 0,

x ∈ R, t > 0

(c > 0)

es u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct) , para ϕ y ψ arbitrarias y suficientemente diferenciables.

Interpretaci´ on f´ısica En este punto es f´acil realizar una interpretaci´on f´ısica de la ecuaci´on de onda.

Como la soluci´on general de d’Alembert de utt − c2 uxx = 0, x ∈ R, t > 0, es la 2

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

superposici´on de dos ondas u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct), la soluci´on u1 (x, t) = ϕ(x + ct) representa una onda que se propaga en el tiempo en el sentido negativo del eje X a una velocidad c y la soluci´on u2 (x, t) = ψ(x − ct) representa una onda que se propaga en el tiempo en el sentido positivo del eje X a una velocidad c.

1.2.

Problema de la cuerda ilimitada con condiciones iniciales

Es evidente que si se a˜ naden condiciones iniciales al problema de la cuerda ilimitada anterior se obtendr´a alguna relaci´on entre las funciones ϕ y ψ.

Se plantea entonces el problema:    u − c2 uxx = 0,   tt    

x ∈ R,

u(x, 0) = f (x),

x∈R

ut (x, 0) = g(x),

x ∈ R.

t>0

Derivando u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct) con respecto a t se tiene ut (x, t) = cϕ0 (x + ct) − cψ 0 (x − ct), donde ϕ0 =

dϕ dr

y ψ0 =

dψ ds

denotan las derivadas con respecto a r y s, respectiva-

mente. Luego, f (x) = u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x), 3

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

g(x) = ut (x, 0) = cϕ0 (x) − cψ 0 (x) = c[ϕ(x) − ψ(x)]0 .

Integrando en [x0 , x] la segunda igualdad se llega a Z x Z 1 x [ϕ(`) − ψ(`)]0 d` = ϕ(x) − ψ(x) − (ϕ(x0 ) − ψ(x0 )). g(`) d` = | {z } c x0 x0 =:k

Resolviendo el sistema lineal

ϕ(x) + ψ(x) = f (x) Z 1 x g(`) d` ϕ(x) − ψ(x) = k + c x0 en las inc´ognitas ϕ y ψ se tiene

1 ϕ(x) = f (x) + k + 2

1 ψ(x) = f (x) − k − 2

y as´ı

1 c 1 c

Z

x

g(`) d` , x0

Z

x x0

g(`) d` ,

u(x, t) = = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct)

Z Z 1 1 x+ct 1 x−ct 1 = f (x + ct) + k + f (x − ct) − k − g(`) d` + g(`) d` 2 c x0 2 c x0 Z 1 x+ct 1 g(`) d`. [f (x + ct) + f (x − ct)] + = 2 2c x−ct RESUMEN: Problema de la cuerda ilimitada (caso homog´eneo) con condiciones iniciales.

La soluci´on de d’Alembert del problema  2    utt − c uxx = 0,  es

   

x ∈ R,

u(x, 0) = f (x),

x∈R

ut (x, 0) = g(x),

x∈R

1 1 u(x, t) = [f (x + ct) + f (x − ct)] + 2 2c siempre que f ∈ C2 y g ∈ C1 .

4

t>0 (1.2)

Z

x+ct

g(`) d` x−ct

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

Nota 1.1 Cuando las condiciones acerca de la derivabilidad de f y g no se cumplen, a´ un se pueden buscar soluciones llamadas d´ebiles.

Ejemplo 1.1 (Problema de la cuerda ilimitada) Se trata de resolver el problema de valores iniciales:    u − c2 uxx = 0,   tt u(x, 0) = x,     ut (x, 0) = sen(x),

x ∈ R,

t>0

x∈R x∈R

La soluci´on de d’Alembert de este problema es Z 1 x+ct 1 [(x + ct) + (x − ct)] + sen(`) d` u(x, t) = 2 2c x−ct 11 [cos(x + ct) − cos(x − ct)] = x− c2 1 = x + sen(x) sen(ct). c Esta soluci´on se puede apreciar en la Figura 1.1 para c = 1. Es f´acil comprobar que la soluci´on encontrada satisface tanto la EDP como las condiciones iniciales. u(x,t) = x+sin(x) sin(t)

15 10 5 0 −5 −10 −15 40

35

30

25

10 5

20

15

10

0 5

−5 −10

0

t

x

Figura 1.1: Soluci´on de la ecuaci´on de onda de una cuerda ilimitada

5

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

Ejemplo 1.2 (Cuerda ilimitada y ondas viajeras) Al resolver el problema de valores iniciales:    u − c2 uxx = 0,   tt 1 u(x, 0) = 1+x 2,     ut (x, 0) = 0,

x ∈ R,

t>0

x∈R x ∈ R,

la soluci´on de d’Alembert para c = 1 es u(x, t) = =

Z 1 1 x+ct g(`) d` [f (x + ct) + f (x − ct)] + 2 2c x−ct

1 1 1 . + 2 1 + (x + t)2 1 + (x − t)2

¿Qu´e ocurre a medida que t aumenta? En las Figuras 1.2, 1.3 y 1.4 se observan los casos correspondientes a t = 0, t = 1 y t = 3, respectivamente. Si t = 0 se tiene la gr´afica de u(x, 0) = f (x). Si t = 1 se tiene la gr´afica de

2

u(x, 0)

t=0

1 0.5 0

−1 −6

−3

−1

0 x

1

3

Figura 1.2: t = 0

u(x, 1) =

1 1 1 1 + .

2 2 1 + (x + 1) 2 1 + (x − 1)2 | {z } | {z } u1 (x,1)

u2 (x,1)

Finalmente, para t = 3 se tiene la gr´afica de 6

6

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

2

u(x, 1)

t=1

1

u1 (x, 1)

0.5 0

u2 (x, 1) −1 −6

−3

−1

0 x

1

3

6

Figura 1.3: t = 1

u(x, 3) =

1 1 1 1 + .

2 1 + (x + 3)2 2 1 + (x − 3)2 | {z } | {z } u1 (x,3)

u2 (x,3)

Para diferentes valores de t de manera simult´anea

1 1 1 u(x, t) = + 2 1 + (x + t)2 1 + (x − t)2 su gr´afica se puede apreciar en la Figura 1.5.

1.3.

Problema de la cuerda ilimitada: caso no homog´ eneo

El problema de la cuerda ilimitada para una ecuaci´on de onda homog´enea con condiciones iniciales fue resuelto en (1.2). Ahora se aborda el caso de una EDP no homog´enea.

La soluci´on de d’Alembert del problema    u − c2 uxx = F (x, t),   tt    

x ∈ R,

u(x, 0) = f (x),

x∈R

ut (x, 0) = g(x),

x ∈ R.

7

t>0

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

2

t=3

u(x, 3) 1

u1 (x, 3)

0.5 0

u2 (x, 3) −1 −6

−3

−1

0 x

1

3

6

Figura 1.4: t = 3

es u(x, t) =

1 f (x + ct) + f (x − ct) + 2 2c

Z

x+ct

g(`) d` + x−ct

1 2c

Z tZ 0

x+c(t−τ )

F (`, τ ) d` dτ x−c(t−τ )

2 siempre que f ∈ C2 , g ∈ C1 y F, ∂F ∂x ∈ C(Ω), Ω = {(x, t) ∈ R : t > 0}.

Nota 1.2 Usando la regla de Leibniz se puede demostrar que el tercer t´ermino satisface el mismo problema para f = g ≡ 0. La linealidad y la soluci´ on del problema homog´eneo previamente encontrada dan la soluci´ on de este caso.

Ejemplo 1.3 (Problema no homog´ eneo de la cuerda ilimitada) Se trata de resolver el problema no homog´eneo de valores iniciales:    u − c2 uxx = 1, x ∈ R,   tt    

u(x, 0) = x,

t>0

x∈R

ut (x, 0) = sen(x),

x ∈ R.

La soluci´on de d’Alembert de este problema es Z Z Z 1 t x+(t−τ ) 1 1 x+t sen(s) ds + 1 ds dτ u(x, t) = [(x + t) + (x − t)] + 2 2 x−t 2 0 x−(t−τ ) 8

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

1.5 1 0.5 0 10 8 6 4 2 −8

0

t

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

Figura 1.5: Ondas viajeras

= x + sen(x) sen(t) +

t2 .

2

En la Figura 1.6 se aprecia este resultado.

1.4.

Ondas viajeras, dependencia e influencia de la soluci´ on

Dependencia e influencia de la soluci´ on en un punto Sean x0 ∈ R y t0 > 0. Conociendo el valor de: f en los puntos x0 + ct0 y x0 − ct0 , g en el intervalo [x0 − ct0 , x0 + ct0 ], F en el tri´angulo de v´ertices (x0 − ct0 , 0),(x0 + ct0 , 0) y (x0 , t0 ) se conoce la soluci´on u(x0 , t0 ) =

1 1 [f (x0 + ct0 ) + f (x0 − ct0 )] + 2 2c 9

Z

x0 +ct0

g(`) d` + x0 −ct0

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

2

x+sin(x) sin(t)+t /2

40 30 20 10 0 −10 −20 15

10

5

0

−5

−10

−15

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

Figura 1.6: Problema de onda no homog´eneo

1 + 2c

Z

t0 0

Z

x0 +c(t0 −τ )

F (`, τ ) d` dτ.

x0 −c(t0 −τ )

Esto lleva a la siguiente definici´on.

Definici´ on 1.1 (Dominio de dependencia) Se llama dominio de dependencia del punto (x0 , t0 ) al tri´ angulo determinado por el segmento [x0 − ct0 , x0 + ct0 ] sobre el eje X y las coordenadas caracter´ısticas por (x0 , t0 ) que son las dos rectas de ecuaci´ on x + ct = x0 + ct0 y x − ct = x0 − ct0 .

Por otro lado, el valor de: f en x0 interviene en el valor de la soluci´on sobre los puntos que est´an en las rectas x − ct = x0 y x + ct = x0 , g en x0 interviene en el valor de la soluci´on sobre los puntos que est´an en la regi´on x − ct < x0 < x + ct (llamada cono de luz).

Esta observaci´on conduce a la siguiente definici´on.

Definici´ on 1.2 (Regi´ on de influencia de (x0 , t0 )) Se dice que un punto (x, t) est´ a en la regi´ on de influencia del punto (x0 , t0 ) para t > t0 si y s´ olo si (x0 , t0 ) 10

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

est´ a en el dominio de dependencia de (x, t). Geom´etricamente, es el cono determinado por las dos caracter´ısticas por (x0 , t0 ) con t > t0 .

1.5.

La cuerda de longitud finita

Hasta ahora en este cap´ıtulo se ha estudiado la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda considerando una cuerda de longitud infinita. Ahora se considerar´a el caso de la cuerda finita.

Se plantea el problema   utt − c2 uxx        u(x, 0)   ut (x, 0)      u(0, t)      u(L, t)

= 0,

0 < x < L,

= f (x),

06x6L

= g(x),

06x6L

= 0,

t>0

= 0,

t > 0.

t>0

Se resolver´a mediante el m´etodo de las im´agenes que consiste en usar reflexiones

para expresar el problema dado en un dominio finito como el de una cuerda de longitud infinita cuya soluci´on es conocida. Se resuelve el problema de la cuerda infinita y luego se particulariza al caso del dominio finito.

Para ello, sean F y G las extensiones impares al intervalo [−L, L] y luego 2L-peri´odicas a R de las funciones f y g, respectivamente. Con esta condici´on se cumplir´a que u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0, para todo t > 0. Tambi´en, se debe recordar que al resolver el problema de la cuerda finita por el m´etodo de separaci´on de variables se obtuvieron funciones propias en senos.

Nota 1.3 Observar que f (0) = f (L), F es impar en x = L (es decir, F (L − x) = −F (L + x), para toda x) y G tambi´en es impar en x = L.

11

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

Ahora se debe resolver el problema  2    utt − c uxx = 0,     

x ∈ R,

u(x, 0) = F (x),

x∈R

ut (x, 0) = G(x),

x ∈ R.

t>0

que tiene soluci´on conocida 1 1 u(x, t) = [F (x + ct) + F (x − ct)] + 2 2c

Z

x+ct

G(`) d` x−ct

que tambi´en satisface las condiciones de frontera u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0 para t > 0 (por ser F y G impares en x = 0 y en x = L).

RESUMEN: Soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda homog´enea en un dominio finito.

es

La soluci´on de la ecuaci´on de onda para   utt − c2 uxx = 0,        u(x, 0) = f (x),   ut (x, 0) = g(x),      u(0, t) = 0,      u(L, t) = 0,

una cuerda finita 0 < x < L,

t>0

06x6L 06x6L t>0 t>0

1 1 u(x, t) = [F (x + ct) + F (x − ct)] + 2 2c

Z

x+ct

G(`) d` , x−ct

donde F y G son las extensiones impares a [−L, L] y 2L-peri´odicas a R de f y g, respectivamente.

Ejemplo 1.4 (Cuerda finita y ondas viajeras) Sean  3  0 6 x 6 13 10 x, , g(x) = 0, f (x) =  3 (1 − x), 1 6 x 6 1 20 3

c=

1 . π

En las siguientes gr´aficas se observan tres vistas diferentes de las caracter´ısticas x + ct = x0 + ct0 y x − ct = x0 − ct0 en el punto (x0 , t0 ) = ( 13 , 0) que son: x+

1 1 t= , π 3

x− 12

1 1 t= . π 3

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

En rojo se marca la trayectoria de las ondas desde su inicio hasta recorrer el primer rect´angulo. Observar c´omo se reflejan ambas al chocar con los bordes x = 0 y x = 1 y cambian de signo al continuar viajando. Su representaci´on se puede apreciar en las Figuras 1.7 y 1.8. u(x, t) 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 −0.08 −0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

6

5

4

3

2

1

0 1

x

10

9

8

7

t

Figura 1.7: Cuerda finita y ondas viajeras

u(x, t)

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04

1 0.8

−0.06

0.6

−0.08

0.4 −0.1

0.2 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

t

Figura 1.8: Cuerda finita y ondas viajeras

13

0

x

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

1.6.

EJERCICIOS PROPUESTOS

(1) Se tratar´an nuevamente los problemas P1 , P2 y P considerados en el ejercicio (3) de la p´agina 100 del Volumen 1. A partir de la soluci´on obtenida por el m´etodo de separaci´on de variables y usando identidades trigonom´etricas demostrar que (a) la soluci´on del problema P1 se puede escribir como u(x, t) =

1 [F (x + ct) + F (x − ct)] 2

donde F es la extensi´on impar 2L-peri´odica de f . (b) la soluci´on del problema P2 se puede escribir como 1 u(x, t) = 2c

Z

x+ct

G(s) ds x−ct

donde G es la extensi´on impar 2L-peri´odica de g.

Concluir que la soluci´on del problema P se puede escribir en forma cerrada como u(x, t) =

1 1 [F (x + ct) + F (x − ct)] + 2 2c

Z

x+ct

G(s) ds , x−ct

soluci´on debida a D’Alembert.

(2) Encontrar la soluci´on del problema de onda homog´eneo infinito siguiente:    u − uxx = 0, x ∈ R, t>0   tt    

u(x, 0) = ex ,

ut (x, 0) = sen(x),

(3) Encontrar la soluci´on del problema de onda    u − uxx = 4xt,   tt u(x, 0) = ex ,     u (x, 0) = sen(x), t

14

x∈R

x ∈ R.

no homog´eneo infinito siguiente: x ∈ R, x∈R x ∈ R.

t>0

Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert

(4) Hallar el valor de u( 34 , 2) aplicando la f´ormula de d’Alembert correspondiente al caso homog´eneo finito:   utt − c2 uxx        u(x, 0)   ut (x, 0)      u(0, t)      u(1, t)

= 0,

0 < x < 1,

= x(1 − x),

06x61

= x2 (1 − x),

06x61

= 0,

t>0

= 0,

t > 0.

15

t>0