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Magnetismo Aplicado a la Ingeniería: Magnetismo Aplicado a la Ingeniería: Problemas Resueltos Problemas Resueltos

S a R

a

√3 a

T

Sergio Castiñeira Ibáñez Departamento de Ingeniería Electrónica Sergio Castiñeira Ibáñez ETSE, Universitat de València Constanza Rubio Michavila Departamento de Ingeniería Electrónica Departamento de Física Aplicada ETSE, Universitat deValència València ETSIAMN, Universitat Politècnica de AntonioConstanza Uris Martínez Rubio Michavila Departamento de Física Aplicada ETSIT, Universitat Politècnica de València Departamento de Física Aplicada

ETSIAMN, Universitat Politècnica de València Antonio Uris Marttínez Departamento de Física Aplicada ETSIT, Universitat Politècnica de València .

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El estudio y, en general, la bĂşsqueda de la verdad y la belleza es un campo en el que se nos permite ser niĂąos toda la vida.

Albert Einstein.

Este libro estĂĄ dedicado a nuestros padres, con mucho cariĂąo.

Capítulo 1 Introducción El magnetismo es una parte de la Física de gran importancia para el estudiante de Ingeniería, independientemente la especialidad que desarrolle. Para la comprensión de los conceptos que explican perfectamente los diferentes textos teóricos existentes, es de gran importancia el poder plasmar estos con ejemplo prácticos.

1.1

Introducción

Este libro presenta 25 problemas resueltos de magnetismo que son de gran importancia para entender los conceptos teóricos que en clase se desarrollan. Se ha intentado relacionar los ejemplos físicos con situaciones reales, además de introducir a modo de citas, algún concepto que se relaciona con otras asignaturas relacionadas con el electromagnetismo. Solamente se han propuesto problemas en el vacío, utilizando ~ , dejando a parte únicamente la densidad de flujo magnético o campo magnético B problemas de materiales magnéticos, donde se hace necesaria la utilización de la ~. excitación magnética H

1.2

Estructura del libro

El libro se estructura en dos capítulos y tres apéndices. En el capítulo 1 se introducen ejemplos de cálculo de campos magnéticos creados por corrientes filiformes. Primero por integración directa y posteriormente aplicando la Ley de Ampère. Una vez conocido cómo calcular el campo magnético se analizan ejemplos de cómo interaccionan entre ellos. Para ello, se han incorporado problemas de cálculo de fuerzas y momentos.

En el capítulo 2 se aborda el fenómeno de inducción electromagnética, fenómeno de gran importancia en la Física Aplicada. Se introduce así mismo, el fenómeno de carga de una autoinducción con la resolución de la ecuación diferencial correspondiente.

1. Introducción

Respecto a los apéndices, el primero amplia la relación entre coordenadas cartesianas, polares y cilíndricas, todas ellas muy utilizadas en las diferentes ramas de la Física. El segundo apéndice da una relación de las integrales que aparecen en el texto para facilitar la comprensión matemática de los problemas. Por último, el tercer apéndice, indica los nombres de las magnitudes físicas utilizadas y sus correspondientes unidades en el Sistema Internacional. Para que el lector pueda relacionar rápidamente los conceptos desarrollados, se han incorporado al final de cada capítulo, un listado con las fórmulas utilizadas en cada uno de los problemas resueltos.

Los autores esperan que sean de gran provecho y además abran al alumno la posibilidad de seguir ampliando sus conocimientos en magnetismo aplicado.

Capítulo 2 Campo magnético en el vacío 2.1

Obtención del campo magnético por integración directa: corrientes filiformes

Problema 1: Obtener el campo magnético en cualquier punto del espacio creado por un hilo finito conductor por el que circula un intensidad I , tal y como muestra la Figura (2.1).

z I

o

y

x Figura 2.1: Hilo Finito.

SOLUCION Para realizar el cálculo se utiliza la expresión que da el campo magnético elemental creado por un elemento Id~l de corriente, en un punto cualquiera del espacio ~: definido por el vector de posición R

~ = dB

~ µ0 Id~l ∧ R 4πR3

2. Campo magnético en el vacío

Esta expresión es conocida como la Ley de Amperère-Laplace e implica que el campo ~ es perpendicular, en todo punto del espacio, al plano definido por los magnético dB ~ , tal y como se muestra en la Figura (2.2). vectores d~l y R

Idl

R

dB

~ es perpendicular en todo punto del espacio al Figura 2.2: El campo magnético dB ~. plano definido por los vectores d~l y R Para los ejes de la Figura (2.3) y a una distancia r, perpendicularmente al hilo conductor, un diferencial de corriente crea un diferencial de campo magnético que se puede obtener resolviendo el producto vectorial según:

~ = IdzRsen θ + π ~uϕ = IdzR cos θ~uϕ Id~l ∧ R 2

z dl

I R

z o

r

θ

dB y

x Figura 2.3: Hilo Finito. siendo ~uϕ el vector unitario resultante del producto vectorial en coordenadas cilíndricas que observando la Figura (2.3) se corresponde con −~i en cartesianas (ver Apéndice (A). La expresión del diferencial de campo magnético queda pues:

~ = dB

µ0 IdzR cos θ µ0 Idz cos θ ~u = ~uϕ 3 4πR 4πR2

donde aparecen como variables θ, R y dz .

Para sumar todas las contribuciones de los diferenciales de hilo al punto campo se

2.1. Obtención del campo magnético por integración directa: corrientes filiformes

debe dejar únicamente una variable de integración. Para este tipo de geometrías es mejor trabajar con el ángulo θ. Para ello, se utiliza la siguiente relación trigonométrica:

tan θ =

z r

que al diferenciarla, se obtiene:

dz = r

dθ cos2 θ

que junto a la relación trigonométrica:

cos θ = resulta:

~ = dB

r R

µ0 Ir cosdθ2 θ cos θ 2 ~uϕ 4π cosr θ

Los límites de integración se pueden ver en la Figura (2.4), donde se asume que θ1 y θ2 tiene signo positivo cuando el ángulo medido desde el eje horizontal se recorre en sentido horario y negativo en antihorario:

~ = B

Z

θ2

θ1

µ0 I cos θ dθ~u = µ0 I 4πr 4πr

Z

θ2

cos θdθ~uϕ θ1

Integrando se obtiene el campo total:

z dl z o

I R θ2

θ r

θ1

dB y

x Figura 2.4: Límites de integración del hilo finito: desde θ1 a θ2 .

~ = µ0 I B 4πr

Z

θ2

cos θdθ~u = θ1

µ0 I µ0 I [senθ]θθ21 ~u = (senθ2 − senθ1 ) ~uϕ 4πr 4πr

Resultado que se puede utilizar para obtener campos magnéticos debidos a hilos rectos indefinidos, semi-indefinidos e incluso espiras, tal y como se verá en los siguientes problemas.

2. Campo magnético en el vacío

Problema 2: Obtener el campo magnético en cualquier punto del espacio creado por un hilo de longitud infinita que transporta una intensidad I .

SOLUCION A partir del resultado del problema anterior para el hilo finito:

~ = µ0 I (senθ2 − senθ1 )~u B 4πr y teniendo en cuenta que si el hilo es de longitud infinita los ángulos son:

θ1 = −

π 2

θ2 =

y

π 2

como se puede observar en la Figura (2.5), el campo resultante es:

~ = µ0 I (sen π − sen( −π ))~u = µ0 I ~u B 4πr 2 2 2πr que es válido para cualquier punto del espacio que diste r perpendicularmente al hilo, ya que al ser de longitud infinita, no importa la situación del punto campo respecto a los ejes cartesianos, ya que cualquier elección de origen sobre el hilo, sería el centro del mismo. z I z o

θ2=π/2

Punto campo x

r

y

θ1=-π/2

x

Muy largo

Figura 2.5: Hilo Indefinido: límites de integración desde θ1 =

−π 2

a θ2 =

π 2

2.1. Obtención del campo magnético por integración directa: corrientes filiformes

Problema 3: Obtener el campo magnético creado en el eje perpendicular por su centro de una espira circular de radio a por la que circula una intensidad I , tal y como muestra la Figura (2.6).

z

Punto campo

z

o

a

y

I x Figura 2.6: Espira circular.

SOLUCION Para obtener el campo magnético en el eje perpendicular de la espira circular por su centro, se utiliza la expresión general del campo magnético para corrientes filiformes:

~ = dB

~ µ0 Id~l ∧ R 4πR3

Como se puede observar ven la Figura (2.7), un elemento diferencial Id~l crea un ~ perpendicular al plano que definen el vector R ~ y diferencial de campo magnético dB el vector d~l.

2. Campo magnético en el vacío

z dB

θ

z

R

o φ

a

y

dφ dl

I x

Figura 2.7: Espira circular.

Como la espira está completa, siempre existen dos diferenciales de corriente Id~l diametralmente opuestos. Ambos diferenciales crean un diferencial de campo mag~ que se puede descomponer en una componente normal al eje z y otra nético dB paralela. La superposición de estos dos campos diferenciales en este punto del eje z da como resultado sólo, campo magnético en la dirección del eje z , según se puede observar en la Figura (2.8). Con estas consideraciones, se dice que dada la simetría sólo se deben sumar las contribuciones en eje z . Por lo tanto, solamente se tiene que integrar la contribución del diferencial de campo magnético creado por la espira en puntos del eje z , que viene dada por la expresión:

~ = dB

µ0 Idlsenθ ~ k 4πR2

Sumando todas las contribuciones, resulta:

~ = µ0 Iasenθ ~k B 4πR2

Z

2π

dϕ = 0

µ0 Iasenθ ~ k 2R2

Expresando el campo en función de z y del radio a, utilizando las relaciones trigonométricas:

senθ =

a R

y

R=

√ a2 + z 2

2.1. Obtención del campo magnético por integración directa: corrientes filiformes

z dB dB

θ

z o a

I

y

dφ dl

x Figura 2.8: Espira circular: contribución de dos diferenciales diametralmente opuestos. se obtiene el campo magnético en puntos del eje z :

~ = B

µ0 Ia2 3

2(a2 + z 2 ) 2

~k

2. Campo magnético en el vacío

Problema 4: Obtener el campo magnético creado en el eje perpendicular por su centro de un arco de espira circular de radio a por la que circula una intensidad I , tal y como muestra la Figura (2.9).

z

Punto campo

z

o

a

y

φ0

I x Figura 2.9: Arco circular.

SOLUCION En el supuesto de que la espira no esté completa, la simetría cambia, teniendo el campo magnético componentes en los tres ejes, tal y como se puede observar en la Figura (2.10).

En este caso, el campo se calculará como:

~ = dB

µ0 Idlsenθ ~ µ0 Idl cos θ k+ (cos ϕ~i + senϕ~j) 4πR2 4πR2

Para sumar todas las contribuciones, los límites de integración van entre ϕ = 0 y ϕ = ϕ0 :

~ = µ0 Ia [senθ B 4πR2

ϕ0

Z

Z ~ dϕk + cos θ(

0

ϕ0

cos ϕdϕ~i +

0

Z

ϕ0

senϕdϕ~j)]

0

que utilizando las relaciones trigonométricas:

senθ =

a R

cos θ =

z R

R=

√

a2 + R 2

y resolviendo las integrales inmediatas (ver (B)), resulta:

h i ~ = µ0 Ia a ϕ0~k + z (senϕ0~i + (1 − cos ϕ0 )~j) B 4πR2 R R

2.1. Obtención del campo magnético por integración directa: corrientes filiformes

z dB

θ R

z

o φ a

I

y

dφ dl

x ~ tiene tres componentes.

Figura 2.10: El vector dB que simplificando y ordenando, lleva al resultado final:

~ = B

µ0 Ia2

hz

3 4π(a2 + R2 ) 2 a

(senϕ0~i + (1 − cos ϕ0 )~j) + ϕ0~k

i

Este resultado incluye el caso de la espira completa, tal y como se puede observar al sustituir la variable angular con el valor: ϕ0 = 2π . Se observa que las componentes horizontales se anulan, quedando únicamente campo magnético en la dirección del eje z , como era de esperar.

2. Campo magnético en el vacío

2.2

Obtención del campo magnético por superposición

Problema 5: Obtener el campo magnético en el centro de una espira cuadrada de lado a, por la que circula una intensidad I , Figura (2.11).

a

a

o

I

Figura 2.11: Espira cuadrada.

SOLUCION Se puede suponer que la espira cuadrada crea un campo en su centro O, que es suma de cuatro contribuciones idénticas en módulo, dirección y sentido del campo magnético creado por un hilo conductor de longitud finita.

Basta con ajustar los valores de la ecuación para el caso del hilo finito:

~ = µ0 I (sen(θ2 ) − sen(θ1 ))~u B 4πr Según la regla de la mano derecha, las cuatro contribuciones crean un campo magnético perpendicular al plano de la espira y hacia dentro. Una de estas contribuciones se corresponde con ángulos:

θ1 = −

π 4

y

θ2 =

π 4

por lo que el campo resultante, según el Principio de Superposición aplicado en O, es:

~ = 4( µ0 I (sen( π ) − sen(− π )~u) = 4( µ0 I (2sen( π ))~u) = B 4πr 4 4 4πr 4

√

2µ0 I ~u πr

siendo ~u el vector unitario perpendicular al plano de la espira y sentido hacia dentro.

2.2. Obtención del campo magnético por superposición

Problema 6: Obtener el campo magnético en el centro de una espira rectangular, de lados a x b, por la que circula una intensidad I , Figura (2.12).

b

a

I

o

Figura 2.12: Espira rectangular.

SOLUCION Se puede suponer que la espira rectangular crea un campo en su centro O que es suma de cuatro contribuciones, dos idénticas en módulo, dirección y sentido debidas a los lados a y otras dos, idénticas en módulo, dirección y sentido debidas a los lados b. Estas se pueden obtener a partir del campo magnético creado por un hilo conductor de longitud finita:

~ = µ0 I (senθ2 − senθ1 )~u B 4πr Según la regla de la mano derecha, las cuatro contribuciones crean un campo magnético perpendicular al plano de la espira y hacia dentro. Para las dos contribuciones de lado a, se tienen unos ángulos, que se expresan mediante la función senθ como:

a/2 senθ1 = − p (a/2)2 + (b/2)2

y

a/2

senθ2 = p

(a/2)2 + (b/2)2

por lo que el campo resultante en O, debido a estos dos tramos resulta ser:

µ0 I a/2 −a/2 2µ0 Ia p B~1 = 2( (p −p ))~u = ~u 4πr (a/2)2 + (b/2)2 (a/2)2 + (b/2)2 4πr (a/2)2 + (b/2)2 siendo r = 2b , la distancia perpendicular del hilo al punto campo, quedando la expre~1 : sión de B

B~1 =

µ0 Ia p ~u πb (a/2)2 + (b/2)2

2. Campo magnético en el vacío

Para las dos contribuciones de lado b, se tienen unos ángulos, que se expresan mediante la función senθ como:

b/2

senθ1 = − p

(a/2)2 + (b/2)2

y

b/2

senθ2 = p

(a/2)2 + (b/2)2

por lo que el campo resultante en O, debido a estos dos tramos resulta ser:

b/2 µ0 I −b/2 2µ0 Ib p (p B~2 = 2( −p ))~u = ~u 4πr (a/2)2 + (b/2)2 (a/2)2 + (b/2)2 4πr (a/2)2 + (b/2)2 siendo r = a2 , la distancia perpendicular del hilo al punto campo, quedando la expre~2 : sión de B

B~2 =

µ0 Ib p ~u πa (a/2)2 + (b/2)2

Aplicando el Principio de Superposición, se obtiene el campo resultante en el punto O:

B~O = B~1 + B~2 =

µ0 Ia µ0 Ib p ~u + p ~u 2 2 πb (a/2) + (b/2) πa (a/2)2 + (b/2)2

que simplificando, resulta:

µ0 I a b B~O = p ( + )~u 2 2 π (a/2) + (b/2) b a y finalmente:

2µ0 I(a + b) √ B~O = ~u πab a2 + b2 el resultado también se puede expresar, racionalizando, como:

√ 2µ I a2 + b2 0 B~O = ~u πab

2.2. Obtención del campo magnético por superposición

Problema 7: Obtener el campo magnético en el centro de una espira triangular equilátera, de lados a, por la que circula una intensidad I , Figura (2.13).

I

o

a Figura 2.13: Espira triangular equilátera.

SOLUCION Se puede suponer que la espira triangular, crea un campo en su centro O que es suma de tres contribuciones 1 , idénticas en módulo, dirección y sentido. Cada una de estas contribuciones se pueden obtener a partir del campo magnético creado por un hilo conductor de longitud finita:

~ = µ0 I (sen(θ2 ) − sen(θ1 ))~u B 4πr Según la regla de la mano derecha, las tres contribuciones crean un campo magnético perpendicular al plano de la espira y hacia dentro.

Para cada una de las tres contribuciones de lado a, se tienen unos ángulos θ que se corresponden con:

θ1 = −

π 3

y

θ2 =

π 3

Con todo ello, basta aplicar el Principio de Superposición para obtener el campo resultante en el punto O:

√ µ0 I π π µ0 I π 3 3µ0 I ~ BO = 3( (sen( ) − sen(− )~u) = 3( (2sen( ))~u) = ~u 4πr 3 3 4πr 3 4πr

1

Esto es debido a que el triángulo es equilátero

2. Campo magnético en el vacío

donde el 3 que aparece en la expresión es debido, como se había indicado, al hecho de que los tres tramos crean igual campo en 0, siendo r la distancia perpendicular del hilo al punto campo, cuyo valor es:

a π r = tan( ) = 2 6

√

3a 2

Con esto, resulta la expresión del campo magnético en el centro O, B~O :

3µ0 I ~u B~O = 2πa