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VERDAD CONTROVERSIAS ABIERTAS

Jesús Padilla Gálvez

CONTROVERSIAS ABIERTAS

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Jesús Padilla Gálvez

Verdad se usa con frecuencia para expresar que una proposición se corresponde con los hechos, la realidad o es fiel a algo original. Muchas actividades humanas se sirven del concepto de “verdad” si bien se presupone su significado intuitivo. El concepto de verdad se debate en este libro principalmente desde tres tradiciones distintas: la teoría clásica, la propuesta semántica y la opción alternativa. Comúnmente, la verdad se ve como la correspondencia del lenguaje o el pensamiento con una realidad independiente. Por el contrario, una teoría semántica de la verdad es una teoría que sostiene que la verdad es una propiedad de las proposiciones. Este punto de vista ha recalcado en presentar una definición satisfactoria que sea materialmente adecuada y formalmente correcta del predicado verdadero. La concepción semántica de verdad se relaciona de diferentes maneras tanto con la correspondencia como con las concepciones deflacionistas. Sin embargo, una convención que satisfaga el predicado de verdad para ciertos enunciados de un lenguaje dado no se puede definir dentro de ese lenguaje. Mediante esta propuesta se intenta resolver la paradoja del mentiroso. Por el contrario, las propuestas alternativas consideran que la definición de semántica es artificiosa empobreciendo así la dimensión veritativa del lenguaje ordinario en el que los hablantes se expresan. Su propuesta pretende devolver al lenguaje natural su significatividad original de “verdad”. Kripke demuestra que un lenguaje puede contener consistentemente su propio predicado de la verdad, algo que Alfred Tarski consideraba imposible. El enfoque se asienta en definir “verdad” como propiedad parcialmente definida sobre el conjunto de enunciados gramaticalmente bien formados en el lenguaje. El libro irá abordando los temas afines y presentando las pruebas y refutaciones propuestas en cada alternativa.

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Jesús Padilla Gálvez estudió filosofía, historia y matemáticas en la Universidad de Colonia (Alemania) y terminó los estudios con el título de Magíster Artium en 1983 con un trabajo fin de carrera titulado “Ist eine konstruktive Ethik möglich?”. Obtuvo el título de Dr. phil. en filosofía en 1988 en la Universidad de Colonia con una tesis doctoral titulada “Referenz und Theorie der möglichen Welten”. Su campo de investigación es en lógica modal y deóntica, teorías referenciales, subjetividad, estudios sobre Wittgenstein, filosofía del Derecho y ámbitos afines tanto sistemáticos como históricos. Ha sido profesor en las Universidad de León, en la Universidad Johannes Kepler de Linz (Austria) y en la actualidad es profesor en la Universidad de Castilla-La Mancha en Toledo. Ha sido profesor visitante en las Universidades de ErlangenNürnberg (Alemania), Graz (Austria), Potsdam (Alemania), Cambridge (Reino Unido), Munich (Alemania) y Oxford (Reino Unido). Es becario Alexander von Humboldt de Alemania. Ha publicado una treintena de libros en español, alemán, inglés y portugués y numerosos artículos en revistas internacionales y nacionales.

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COMITÉ CIENTÍFICO DE LA EDITORIAL TIRANT HUMANIDADES Manuel Asensi Pérez

Catedrático de Teoría de la Literatura y de la Literatura Comparada Universitat de València

Ramón Cotarelo

Catedrático de Ciencia Política y de la Administración de la Facultad de Ciencias Políticas y Sociología de la Universidad Nacional de Educación a Distancia

Mª Teresa Echenique Elizondo Catedrática de Lengua Española Universitat de València

Juan Manuel Fernández Soria

Catedrático de Teoría e Historia de la Educación Universitat de València

Pablo Oñate Rubalcaba

Catedrático de Ciencia Política y de la Administración Universitat de València

Joan Romero

Catedrático de Geografía Humana Universitat de València

Juan José Tamayo

Director de la Cátedra de Teología y Ciencias de las Religiones Universidad Carlos III de Madrid

Procedimiento de selección de originales, ver página web: www.tirant.net/index.php/editorial/procedimiento-de-seleccion-de-originales

VERDAD CONTROVERSIAS ABIERTAS

JESÚS PADILLA GÁLVEZ

tirant humanidades Valencia, 2017

Copyright ® 2017 Todos los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación sin permiso escrito del autor y del editor. En caso de erratas y actualizaciones, la Editorial Tirant Humanidades publicará la pertinente corrección en la página web www.tirant.com.

© TIRANT HUMANIDADES EDITA: TIRANT HUMANIDADES C/ Artes Gráficas, 14 - 46010 - Valencia TELFS.: 96/361 00 48 - 50 FAX: 96/369 41 51 Email:tlb@tirant.com www.tirant.com Librería virtual: www.tirant.es ISBN: 978-84-17069-59-9 MAQUETA: Tink Factoría de Color Si tiene alguna queja o sugerencia, envíenos un mail a: atencioncliente@tirant.com. En caso de no ser atendida su sugerencia, por favor, lea en www.tirant.net/index.php/empresa/politicas-de-empresa nuestro Procedimiento de quejas. Responsabilidad Social Corporativa: http://www.tirant.net/Docs/RSCTirant.pdf

Índice INTRODUCCIÓN................................................................................................ 9

CAPÍTULO I ANÁLISIS SEMÁNTICO DE LA VERDAD INTRODUCCIÓN................................................................................................ 35 1. La verdad en la tradición....................................................................... 37 2. La ruptura de la tradición...................................................................... 57 3. Punto de partida..................................................................................... 69 4. Extensionalidad....................................................................................... 77 5. Acotaciones............................................................................................. 94 6. Ontología revisada.................................................................................. 101 7. El lenguaje, reconsiderado..................................................................... 105 8. Digresión acerca de las relaciones........................................................ 107

CAPÍTULO II TEORÍA DE LA VERDAD INTRODUCCIÓN................................................................................................ 113 1. La convención (T)................................................................................... 116 2. La función del entrecomillado.............................................................. 135 3. “Verdad-en-ℒ”........................................................................................ 165 4. Teoría de la verdad clásica..................................................................... 173 5. Semántica científica................................................................................ 176 6. Teoría de modelos................................................................................... 179 7. El modelo canónico para significado y verdad................................... 182 8. Una teoría de la verdad desde una teoría de modelos....................... 189

CAPÍTULO III LA PARADOJA DEL MENTIROSO INTRODUCCIÓN................................................................................................ 195 1. La paradoja del mentiroso..................................................................... 197 2. Contradicción y antinomía................................................................... 207 3. Algunas consideraciones formales....................................................... 210 4. Caligrafía formal de la paradoja del mentiroso.................................. 214 5. Propuestas no-standard......................................................................... 216 6. Supervaluación y el problema de la vaguedad.................................... 220

Índice

7. Representación formal........................................................................... 226 8. Fundamentación..................................................................................... 237 9. Exposición sucinta de las consecuencias lógicas................................ 245

CAPÍTULO IV SISTEMAS AUTORREFERENCIALES INTRODUCCIÓN................................................................................................ 253 1. Presupuestos informales de la autorreferencia................................... 256 2. Punto fijo................................................................................................. 259 3. Teoría de modelos para la lógica autorreferencial.............................. 265 4. Conversión de la convención-(T)......................................................... 269 5. Algunos resultados sobre la universalidad del lenguaje.................... 271 6. Διαλλάξαντα κελεύθους........................................................................ 280 7. Primeras consecuencias de la lógica autorreferencial........................ 282

CAPÍTULO V ALGUNAS CONSIDERACIONES ACERCA DE LOS PREDICADOS “VERDADERO” Y “DEMOSTRABLE” INTRODUCCIÓN................................................................................................ 285 1. Algunas observaciones filosóficas acerca de la demostración.......... 286 2. Demostración y verdad, dos caras de la misma moneda.................. 314 3. Callejón sin salida en el problema autorreferencial........................... 319 4. Correcciones sintáctico-formales en un sistema apto para demostración...................................................................................................... 322 5. Las correcciones formales, reconsideradas......................................... 336

CAPÍTULO VI PRESUPUESTOS EMPÍRICOS DE LA TEORÍA DE LA VERDAD INTRODUCCIÓN................................................................................................ 341 1. Presupuestos empíricos en la propuesta tarskiana............................. 342 2. Cuestiones empíricas en el problema de la verdad............................ 346 3. Problemas fisicalistas.............................................................................. 352 4. Múltiples puntos de vista fisicalistas.................................................... 357 CONCLUSIÓN...................................................................................................... 377 BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................... 379

INTRODUCCIÓN Verum tacere et falsum asserere paria sunt1

Sin lugar a dudas, los conceptos “verdad” y “verdadero” puntualizan el pensamiento occidental. El uso común de ambos términos hoy en día está íntimamente ligado al uso del lenguaje. Decimos que un enunciado o una proposición son verdaderos o falsos. Cuando un hablante profiere un enunciado se expresa un contenido. La oración “La nieve es blanca” expresa el mismo enunciado que “La nieve es blanca, ¿no?”, y el mismo que “¡La nieve es blanca!”. Sin embargo, no se requiere una estructura oracional para expresar algo —“¡Blanca como la nieve!”—, por lo que sólo se requiere una enunciación de algo (utterance). Por ello es conveniente distinguir entre enunciado y enunciación (proferencia). Cuando se analiza el significado, entonces nos centramos en el enunciado. Por el contrario, la proposición hace referencia al contenido de una oración. Si dos oraciones comparten el mismo significado y las mismas implicaciones lógicas, entonces decimos que expresan la misma proposición. Podemos referirnos a la verdad de un enunciado. También podemos decir que la verdad se expresa en un enunciado. Supongamos que cuando estoy escribiendo estas frases anoto: “Es de noche”. Si en efecto redacto ese enunciado a las once de la noche, entonces la proposición se considera verdadera. Por el contrario será falsa si lo escribo a las once de la mañana. Ahora bien, si veo el remo sumergido en el agua y describo mi percepción, apuntando: “el remo está quebrado”, por percibir un efecto óptico y al sacar el remo del agua veo que sigue estando íntegro, entonces advertiré que la proposición antes expresada era falsa. Las clases de los enunciados verdaderos y falsos ni se excluyen mutuamente, ni se consideran exhaustivas. Algunos enunciados son 1

Silenciar la verdad y afirmar algo falso son lo mismo.

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verdaderos y falsos, y algunos no son ni verdaderos ni falsos. Por ello merece la pena distinguir entre la verdad y verdadero. La verdad se usa como sustantivo para enfatizar su carácter universal, mientras que la expresión “…es verdadero” tiene carácter predicativo. Por esta razón cuando se examina el aspecto predicativo se pone especial énfasis en la investigación semántica de los enunciados. Su análisis se lleva a cabo mediante una esquematización de los mismos, teniendo especial atención en escrutar su estructura formal. En este apartado se pone especial cuidado en considerar las reglas semánticas ya que denotan ciertas combinaciones en los símbolos. Dichos enunciados semánticos son enunciados sobre el lenguaje formalizado como será detallado posteriormente. Seguidamente introduciremos algunas consideraciones de orden más genérico sobre el predicado “demostración”. Se entiende por demostración todo procedimiento deductivo que pueda aseverar y probar que una proposición se considera verdadera gracias a un procedimiento argumentativo. En la argumentación se usan generalmente ciertas afirmaciones previamente establecidas o bien afirmaciones iniciales y por un procedimiento aceptado llegamos a una conclusión asimismo aceptable. Mediante la demostración podemos inquirir hasta aquellas afirmaciones de las que partimos y reconocemos que deben ser universalmente aceptadas. La demostración permite deducir de ciertas premisas conocidas y consideradas como válidas una conclusión desconocida pero que consideraremos igualmente válida. Asimismo, podemos partir de una conclusión y acceder al planteamiento embrionario del que partía nuestra conclusión. Desde la Antigüedad se considera el razonamiento deductivo el paradigma de la demostración, por lo que se separan de argumentos tales como los inductivos o empíricos y los abductivos. Así pues, el paradigma de demostración parte de ciertas afirmaciones verdaderas conocidas de las que se obtiene otra verdadera hasta el momento desconocida. Ocasionalmente, se expone una lista de los casos concretos a los que se despliega una demostración y se exhibe que se valida en

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cada uno de los casos analizados. Dicho esto, debemos advertir que no se considerará como una demostración la mera enumeración de muchos casos confirmatorios. Mediante la demostración se despliega un procedimiento que permite probar si ciertos enunciados son verdaderos o no. Este recurso se emplea primariamente en los formalismos. Por lo general, el procedimiento hace uso del método axiomático como es empleado en las disciplinas matemáticas. Mediante el procedimiento deductivo podemos aportar ciertos criterios parciales de verdad que permitan aseverar o negar la verdad de tantos enunciados como sea posible en cualquier campo del saber. Tenemos que hacer una observación oportuna ya que el problema radica en que la definición clásica de verdad no proporciona ningún criterio del procedimiento arriba indicado. Desde la Antigüedad hasta nuestros días, ciertas propuestas suponen que la noción de verdad ha de ser considerada desde un punto de vista absoluto2. Sin embargo, como seguidamente notaremos, este punto de vista ha de ser reemplazado por un concepto más preciso y menos equívoco. La definición clásica partía de una combinación de enunciados que hacían referencia a una indudable clase de fenómenos u objetos que eran expresados mediante un incuestionable repertorio de términos que se aceptaban mediante un proceso mental concebidos en el entendimiento y que se les consideraba verdaderos. Así pues, se apreciaban como evidentes enunciados tales como: “El ser es”, “El ser humano es un animal”, “Todos los hombres son mortales”, “El Sol gira alrededor de la Tierra”, “Ningún héroe es cobarde”, etc. Lo primero que salta a la vista es que este agregado de enunciados no tiene ningún orden estructural. Todos estos enunciados estaban expresados mediante una estructura copulativa que era equívoca. 2

Aristóteles formula esta concepción absoluta mediante la expresión: “Pero el ser propiamente dicho es sobre todo lo verdadero; el no-ser, lo falso”, Aristóteles, Metafísica, 1045b. Tomás de Aquino indica que la verdad consiste en la adecuación o correspondencia del intelecto y la cosa, en sus propios términos: “veritas consistit in adaequatione intellectus et rei”. Tomás de Aquino, Summa theologiae I,q.21 a.2.

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El significado del término “ser” puede ser caracterizado del siguiente modo: Primero hace referencia a existencia como cuando se expresa el enunciado: “Es Sócrates”. Además, el verbo copulativo puede expresar una relación. La primera relación es la de identidad como cuando se aplica a una igualdad matemática, como por ejemplo: “Dos por dos es cuatro”. También se usa como descripción: “Aristóteles es el maestro de Alejandro” y definición: “La ontología es la ciencia del ser”. al mismo tiempo se predica algo de una propiedad: “Sócrates es mortal”. Puede emplearse en la clasificación: “Un elefante es un mamífero”. El verbo ser se usa asimismo cuando cuantificamos. Así pues, si consideramos la función proposicional: P(x) = x es menor que dos, podríamos expresarla de manera particular del siguiente modo: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”. En ambos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales. En el marco de la cuantificación se usa tanto en el ámbito existencial como en el universal. En el caso existencial se utiliza de la siguiente manera simbólicamente: $x∈R|x<2, es decir: “existe un ‘x’ que pertenece a los reales (R), tal que ‘x’ es menor que dos”. En la cuantificación universal se formaliza así: ∀x∈R|x<2, es decir: “para todo ‘x’ que pertenece a R (a los reales), se cumple que ‘x’ es menor que dos”. Otro ejemplo más cotidiano puede ser el siguiente: “Todos los alumnos son estudiosos”. Se formaliza: (∀x)(A(x)→E(x)), donde el predicado ‘A’ significa alumno; ‘E’, estudioso y ‘x’ es un elemento de un dominio general de las personas que estudian en el colegio. También se usa el predicado “ser” para denotar conjuntos como: un conjunto es una colección de elementos. “Los colores del arcoíris es:{rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}”. Por esta razón I. Kant sentenció: “Sein ist offenbar kein reales Prädikat”3, es decir que ser no puede ser considerado un predicado ya que el concepto de algo no se puede añadir al concepto de una cosa. De este modo 3

Kant, KdrV, A598/B626; Wittgenstein 2016, TLP, 3.223; Quine, 1959; Quine 1971; Quine, 1983, 134 ss.; Quine 1987, 89 ss.; Kripke 1976, 325 ss.

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Kant mostraba que el concepto absoluto hacía un uso equívoco del verbo copulativo. Un enunciado era aceptado como verdadero, o bien porque parecía intuitivamente evidente, o bien porque era presentado a partir de algunos enunciados intuitivamente evidentes4. De esta manera se exhibía, mediante un argumento intuitivamente seguro, que eran una consecuencia de estos otros enunciados. Tanto el criterio de evidencia intuitiva como el de certeza intuitiva se adecuaban sin ninguna reserva. Así pues, todo enunciado reconocido como verdadero y refrendado mediante un criterio evidente era automáticamente circunscrito en una de las disciplinas consideradas para el caso. Sin embargo, el criterio de evidencia intuitiva está lejos de ser infalible ya que carece de un carácter objetivo y genera serios errores a la hora de ser aplicado. Por un lado, un asunto analizado por dos o más pensadores no entraña un resultado universal. Por otro lado, el criterio de evidencia no tolera una comparación de resultados disímiles. Por estas razones el método deductivo puso serios límites al criterio de evidencia y restringió este recurso. Con el fin de delimitar el procedimiento intuitivo se propusieron demostrar tantos enunciados como fueran posibles, restringiendo, así, cualquier enunciado que tuviera que ser aceptado como verdadero meramente sobre la base de su evidencia intuitiva. Con ello se llevó a cabo un cambio de paradigma y se propuso que sólo sería aceptada toda proposición como verdadera si fuera demostrada como tal. Sin embargo, por razones que seguidamente expondremos, este planteamiento tampoco se pudo llevar a cabo de manera efectiva. En efecto, por lo general demostramos cualquier enunciado sobre la base de otros enunciados; así mismo, demostramos estos otros enunciados asentándonos en nuevos enunciados, y así consecutivamente. Ahora bien, el procedimiento debe detenerse en algún térmi4

El concepto de evidencia juega un papel fundamental en la propuesta absoluta. Un conocimiento se consideraba evidente si aparecía intuitivamente de modo que se afirmaba que su contenido era verdadero ya que era cierto.

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no ya que no podemos incurrir en un círculo vicioso o un regreso infinito. Estas dificultades hicieron que se postularan dos principios que se aplicaron principalmente en el ámbito de las matemáticas y que proponían generar un puente entre lo ideal y lo realizable. El primer principio planteaba que se comenzase fijando una lista de un número reducido de enunciados, denominados axiomas u enunciados primitivos, que debían ser considerados como verdaderos sin que se demandase justificación adicional. El segundo principio partía de la base de que ningún otro enunciado sería considerado verdadero si no se demostraba mediante los axiomas arriba introducidos y aquellos enunciados que habían sido previamente demostrados. La suma total de todos los enunciados que podían ser reconocidos como verdaderos en virtud de ambos principios fueron denominados “enunciados demostrados”. Además de estos dos principios había de tenerse en cuenta dos reglas análogas que se emplean en el uso de los términos. La primera regla comienza presentando una lista de términos primitivos que quedan sin definir y que son usados sin aclarar su significado. La segunda regla que se aplica indica que conviene no usar ningún término adicional a menos que se determine su significado mediante los términos primitivos u otros términos previamente definidos. En este procedimiento se asienta el método axiomático. Ciertamente, esta noción de demostración tiene un inconveniente ya que adolece de un fuerte carácter psicológico. Según el punto de vista psicologista, la demostración se considera una actividad intelectual cuya finalidad consiste en convencerse a sí mismo y a los demás interlocutores de que un enunciado es verdadero. Más concretamente, las demostraciones se usan, pues, para convencerse a sí mismo y a los demás de que el enunciado en cuestión ha de ser aceptado como verdadero una vez que hayan sido aceptados como tales algunos otros enunciados. En este caso, el psicologismo no restringe los argumentos desarrollados en los procedimientos y sólo exige que sean intuitivamente convincentes. Este planteamiento fue criticado por G. Frege, que planteó la necesidad de someter la noción de

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demostración a un análisis más profundo, de lo que resultaría una restricción del recurso a la intuición. Este nuevo planteamiento estaba relacionado con la introducción de la noción de demostración formal que resultó ser un sustituto apropiado y una mejora esencial del planteamiento psicológico. El primer paso para dotar a una teoría formal de la noción de demostración es la formalización del lenguaje. Este paso pone a disposición ciertas reglas sintácticas que permiten distinguir un enunciado de una expresión que no es una enunciado mediante el estudio de las formas de las expresiones. El siguiente paso consiste en formular unas determinadas reglas de inferencia. Mediante estas reglas, un enunciado se considera que es derivable de ciertos enunciados si su forma está relacionada de una manera establecida formalmente. En este paso, el número de reglas de inferencia se reduce a un mínimo siendo además su contenido muy simple. Igual que las reglas sintácticas, todas tienen un carácter formal, por lo que se refieren únicamente a la estructura formal de los enunciados involucrados. Todas las reglas de derivación aparecen como infalibles, en el sentido de que un enunciado que es directamente derivable de enunciados verdaderos mediante cualquiera de estas reglas debe ser considerado, a su vez, verdadero. La infalibilidad de las reglas de inferencia puede establecerse sobre la base de una definición adecuada de verdad. El ejemplo más conocido y más significativo de regla de inferencia es el modus ponendo ponens o regla de separación o eliminación de la implicación. De acuerdo con esta regla, una enunciado “Q” es directamente derivable de dos enunciados dados si uno de ellos es un enunciado condicional “si P, entonces Q”, mientras que el otro es “P”; se considera a “P” y “Q” abreviaturas de dos enunciados cualesquiera de nuestro lenguaje formalizado5. 5

Formalmente, el modus ponendo ponens se esquematiza del siguiente modo: P→Q, P Q Como podemos observar en la formalización, tanto la premisa P como la implicación (→) se disuelven, siendo el símbolo Q el único que se mantiene para

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Habiendo dado los pasos correspondientes, podemos ahora explicar en qué consiste la prueba formal de un enunciado dado. Primeramente se aplican las reglas de inferencia a los axiomas y se obtienen nuevos enunciados que son directamente derivables de los axiomas; a continuación, se aplican las mismas reglas a nuevos enunciados, o conjuntamente a nuevos enunciados y los axiomas correspondientes, y se obtienen más enunciados; continuándose este proceso. Si después de realizar un número finito de pasos obtenemos un enunciado dado, decimos que el enunciado ha sido demostrado. Este procedimientos puede expresarse de un modo más preciso de la siguiente manera: una demostración de un enunciado dado consiste en la construcción de una secuencia finita de enunciados tal que el primer enunciado de la secuencia sea un axioma y cada uno de las enunciados siguientes sea o bien un axioma, o bien directamente derivable de alguno de los enunciados que lo preceden en la secuencia en virtud de una de las reglas de inferencia, y el último enunciado de la secuencia sea, pues, el enunciado a demostrar. También podría expresarse del siguiente modo: una demostración de un enunciado es una secuencia finita de enunciados que contiene un axioma, es derivable de algún enunciado que lo precede y el último enunciado se considera demostrado. El método empleado en la exposición de una demostración es muy elemental. Primero se indican los axiomas; seguidamente se distinguen estos de cualquier otro enunciado mediante su forma. En este proceso no se involucra ningún proceso complejo de razonamiento y tampoco se requiere que estemos convencidos de este primer paso desde un punto de vista psicológico. Por tanto, tampoco se recurre a la evidencia intuitiva sino que se reduce todo el proceso a concisas proposiciones listadas como axiomas presumiendo que las reglas de inferencia que se usan en el procedimiento son infalibles.

su uso posterior en una deducción más compleja. Un ejemplo de modus ponendo ponens es: Si llueve, te espero en el restaurante. Llueve. Por lo tanto, te espero en el restaurante.

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El éxito del método formal trajo consigo el origen de un problema que sigue estando abierto. Como advertiremos más tarde, la misma naturalidad de la nueva noción resultó ser su talón de Aquiles. Para apreciar la noción de demostración, tenemos que clarificar su relación con la noción de verdad. Después de todo, toda demostración se considera un procedimiento destinado a alcanzar nuevos enunciados verdaderos. Tal procedimiento será adecuado sí, y sólo si, todos los enunciados obtenidos con su ayuda resultan ser verdaderos y todos los enunciados verdaderos pueden ser obtenidos con su ayuda. Es decir, presuponemos que de ciertas premisas verdaderas resultará una conclusión asimismo verdadera y viceversa. Por consiguiente, surge un inconveniente que se puede plantear mediante la siguiente pregunta: ¿realmente se puede considerar la demostración un procedimiento adecuado para determinar si un enunciado ha de considerarse verdadero? Expresado de otro modo: ¿coincide el conjunto de todos los enunciados demostrables con el conjunto de todos los enunciados verdaderos? Para expresar el problema de modo más afín se trae a colación la aritmética de los números naturales. Para ello construimos un lenguaje haciéndonos eco del vocabulario afín y las operaciones usuales. Todo este ámbito se denomina lenguaje objeto. A partir de dicho lenguaje erigimos un metalenguaje en el que se define adecuadamente el concepto de verdad en el que se enuncia que ciertas condiciones formuladas en el metalenguaje son satisfechas por todas los enunciados verdaderos. El metalenguaje define así mismo al conjunto de todos los enunciados demostrables. Por tanto, la definición de verdad y demostración se formula en el metalenguaje y su fin es el estudio de la aritmética y su lenguaje. En este ámbito se ha de resolver el problema antes planteado, es decir, deseamos saber si el conjunto de los enunciados demostrables coincide con el de los enunciados verdaderos. K. Gödel probó que la solución a este problema resulta ser negativa6. Como indicaremos posteriormente, el metalenguaje contiene todo el lenguaje objeto co6

K. Gödel, 1931: 173-198. [Traducción al castellano: Gödel 1980, pp. 11-50 y Gödel 1981, pp. 55-89]. Cf.: Padilla Gálvez, 1991a: 111 ss.; Padilla Gálvez, 1994a: 10-25; Padilla Gálvez, 1994b: 1-23; Padilla Gálvez, 1994c: 420-434;

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mo una parte suya y también contiene los términos necesarios para la discusión del lenguaje objeto y sus componentes. En el metalenguaje se puede hablar sobre expresiones y, en particular, de enunciados, de conjuntos de enunciados, de relaciones entre enunciados, etc. Por lo tanto, en dicho nivel superior se estudian las propiedades de estos tipos de objetos y podemos establecer conexiones entre ellos. En particular, resulta fácil disponer de todos los enunciados en una secuencia infinita y enumerarlos consecutivamente mediante la descripción de enunciados que proporcionan las reglas sintácticas del lenguaje objeto. Así pues, se correlaciona cada enunciado con un número natural, de tal manera que dos números ordenados mediante dos enunciados diferentes sean siempre distintos, se establece una correspondencia uno a uno entre enunciados y números. Esto, a su vez, regula una correspondencia entre conjuntos de enunciados y conjuntos de números, o relaciones entre enunciados y relaciones entre números7. Realizada dicha correlación, consideremos ahora el número de los enunciados demostrables y el número de los enunciados verdaderos. El problema que hay que resolver es el siguiente: ¿es idéntico el número de los enunciados demostrables al número de los enunciados verdaderos? ¿Coinciden ambos conjuntos? La respuesta es negativa. La demostración de dicha diferencia exhibe una propiedad que se aplica al conjunto de los enunciados demostrables pero no se emplea en el conjunto de los enunciados verdaderos. La propiedad que de hecho se exhibe es la siguiente: el significado de “demostración” se explica en términos de ciertas relaciones simples entre enunciados prescritos mediante unas escasas reglas de demostración como, por caso, la regla del modus ponens. Las correspondientes relaciones entre el número de enunciados son igualmente simples. Resulta pues que pueden ser caracterizadas en términos de las operaciones

Padilla Gálvez, 2009b: 39-63; Padilla Gálvez, 2010: 127-148; Padilla Gálvez, 2012b:129-149. Padilla Gálvez, 1994b: pp. 1-23; Padilla Gálvez, 1995b: 73-90; Padilla Gálvez, 1996c: 79-98; Padilla Gálvez, 1999: 167-182. Una reflexión crítica en: Padilla Gálvez, 2002: 67-78.

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y relaciones aritméticas simples, tales como la adición, la multiplicación y la igualdad. Por tanto, la definición de demostración puede ser traducida del metalenguaje al lenguaje-objeto. Por el contrario, la noción de verdad en los lenguajes naturales apunta a que no se puede obtener una traducción del mismo tipo que la anterior. Además, el lenguaje-objeto resultaría ser en un sentido semánticamente universal, y, además, sería inevitable la reaparición de la antinomia del mentiroso8. Dicha presunción se podría mostrar si el conjunto de los números verdaderos pudiera ser definido en el lenguaje de la aritmética y como consecuencia directa la antinomia del mentiroso podría ser reconstruida en este lenguaje. Dado que estamos operando con un lenguaje formalizado, la antinomia se expresaría de una forma más sofisticada. En particular, no aparecerían en la nueva formulación expresiones con un contenido empírico, tales como “el enunciado impreso en tal-y-tal-lugar”, que forman parte esencial de la formulación original de la antinomia. Para más detalle, el lector puede supervisar el capítulo que analiza este problema. Consecuentemente, el conjunto de los números demostrables no coincide con el conjunto de los números verdaderos, dado que el primero es definible en el lenguaje de la aritmética, mientras que el segundo no lo es. En efecto, el conjunto de los enunciados demostrables y el conjunto de los enunciados verdaderos tampoco coinciden. Por otra parte, usando la definición de verdad se puede mostrar que todos los axiomas de la aritmética son verdaderos y que todas las reglas de demostración son seguras. Por lo tanto, todos los enunciados demostrables son verdaderos; por el contrario, la opuesta no puede darse. Concluyendo, hay enunciados formulados en el lenguaje de la aritmética que son verdaderos pero que no pueden ser demostrados sobre la base de los axiomas y las reglas de demostración aceptados en aritmética.

Cf.: Padilla Gálvez, 1992, 197-208; Padilla Gálvez, 2001, 178-184.

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Se podría argumentar que esta conclusión depende esencialmente de ciertos axiomas y reglas de inferencia específica, elegidos para una determinada teoría aritmética, y que el resultado final de la discusión podría ser diferente si se enriqueciera de manera apropiada la teoría mediante nuevos axiomas o nuevas reglas de inferencia. Sin embargo, Gödel mostró que el argumento depende muy poco de las propiedades específicas de la teoría discutida y que se amplía a la mayoría de las teorías formalizadas. Suponiendo que una teoría incluya como una parte propia la aritmética de los números naturales, se reitera el argumento estándar sin prácticamente ningún cambio; por lo que, se concluye que el conjunto de los enunciados demostrables de la teoría es diferente del conjunto de sus enunciados verdaderos. Si, además, se demuestra que todos los axiomas de la teoría son verdaderos y que todas las reglas de inferencia son infalibles, se deduce que hay enunciados verdaderos de la teoría que no son demostrables. Con la excepción de determinadas teorías fragmentarias que contienen procedimientos restringidos de expresión, el supuesto sobre la relación de la teoría con la aritmética de los números naturales es generalmente satisfecho, y, por ende, las conclusiones expuestas por Gödel se reconocen universalmente. El papel destacado que asume la antinomia del mentiroso en todo el argumento ilustra su carácter destructor y su fuerza para proponer alternativas que hagan viables nuevas soluciones al problema vinculado a los términos tales como “demostración” y “verdad”. El hecho de que sus implicaciones filosóficas sean negativas recalca su significación. El resultado muestra que la noción de demostración no es un sustituto perfecto de la noción de verdad en ningún dominio. Lo que Gödel demuestra es que la creencia de que la demostración formal puede servir como instrumento adecuado para establecer la verdad de todos los enunciados no se justifica ni en las matemáticas. Por esta razón, A. Tarski propuso introducir la noción de verdad para teorías formalizadas mediante una definición precisa y adecuada y la usó sin restricción ni reserva