5 minute read
1.2 Werken met machten van 10
Sheldon Glashow heeft een slang getekend die in zijn eigen staart bijt. Hij suggereert dat de natuurkunde op grote schaal veel te maken heeft met de natuurkunde op kleine schaal en omgekeerd. In zijn tekening staan positieve en negatieve machten van tien. Wat betekent een negatieve macht van tien?
Figuur 1.3
Machten van 10, de wetenschappelijke notatie
In tabel 1.4 zie je zeven kolommen met getallen. In elke kolom staan uitdrukkingen die dezelfde waarde hebben. In kolom 1 bijvoorbeeld: 1000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 103 . Het getal 3 noem je de exponent van het getal 10.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4 Kolom 5 Kolom 6 Kolom 7 Rij 1 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Rij 2 1000 100 10 1 1 ___ 10 Rij 3 10 ∙ 10 ∙ 10 10 ∙ 10 10 1 1 ___ 10
Rij 4 103 102 101 1 1 ___ 101 1
___ 100 1
______ 10 ∙ 10 1
___ 102
Rij 5 103 102 101 100 10−1 10−2 1
____ 1000 1
__________ 10 ∙ 10 ∙ 10 1
___ 103
10−3
Tabel 1.4
Voor elke rij geldt dat er door 10 is gedeeld als je een kolom naar rechts opschuift. In rij 5 zie je dat dan de exponent steeds met 1 afneemt. Kolom 4 geeft aan dat je 1 kunt schrijven als 100 . Uit kolom 7 volgt 0,001= 1 ____ 1000 1 __________ 10 ∙ 10 ∙ 10 =
1 ___ 103 = 10−3 .
De negatieve exponent −3 geeft dus aan dat je moet delen door 10 tot de macht +3.
De manier waarop in rij 5 de getallen van rij 1 zijn genoteerd, is het meest overzichtelijk. Deze manier wordt in de natuurwetenschappen gebruikt.
5,1 ×0,01= 5,1 × 10−2 = 5,1∙10−2
De laatste vorm noem je de wetenschappelijke notatie. Deze notatie bestaat uit een getal met voor de komma slechts één cijfer ongelijk aan nul, gevolgd door een macht van 10. In plaats van het maalteken gebruik je een verhoogde punt.
Voorbeeld 1 Werken met machten van tien
a Schrijf in de wetenschappelijke notatie. 8312 0,0079 b Schrijf zonder macht van tien. 3,61∙102 1,81∙10−4
Uitwerking a 8312 = 8,312 × 1000 = 8,312 × 103 = 8,312∙103 0,0079= 7,9 ×0,001= 7,9 × 10−3 = 7,9∙10−3 b 3,61∙102 = 3,61 ×100 = 361 1,81∙10−4 = 1,81 × 0,0001 =0,000 181
Orde van grootte
Soms is het niet nodig of niet mogelijk de waarde van een grootheid met een grote nauwkeurigheid op te geven. Dan noteer je alleen de orde van grootte. De orde van grootte geef je aan met uitsluitend een macht van 10. Hierbij rond je het getal voor de komma af op de dichtstbijzijnde macht van 10.
Voorbeeld 2 Orde van grootte bepalen
Bepaal de orde van grootte van de volgende gegevens. a De afstand zon-aarde is 1,496∙1011 m. b De massa van een elektron is 9,1∙10−31 kg.
Uitwerking a 1,496∙1011 m is afgerond 1∙1011 m.
De orde van grootte is 1011 m. b 9,1∙10−31 kg is afgerond 10∙10−31 = 1∙10−30 kg.
De orde van grootte is 10−30 kg.
In BINAS tabel 6 staan allerlei gegevens uitgedrukt in machten van tien. Je kunt met tabel 6 eventueel controleren of de orde van grootte van een antwoord klopt met de werkelijkheid.
Rekenen met machten van 10
Bij het rekenen met machten van 10 gelden de volgende regels:
1
___ 10p = 10−p 10p × 10q = 10p+q
10p
___ 10q = 10p−q (10p)q = 10p×q
Voorbeeld 3 Rekenen met machten van tien
Bereken en schrijf in de wetenschappelijke notatie. Doe dit zowel algebraïsch als met je rekenmachine. a 2 ___ 102 d 3,2∙104 _______ 2,0∙106 b 20 ______ 5∙102 e 4,4∙10−4 _________ 0,80∙10−2
c 1,6∙102 ×4,0∙103 f (104)3
Uitwerking a 2 ___ 102 =2× 10−2 = 2∙10−2 b 20 ______ 5∙102 20 ___ 5 × 10−2 = 4∙10−2
c 1,6∙102 ×4,0∙103 = 1,6 ×4,0× 102 × 103 = 6,4 × 102+3 = 6,4∙105 d 3,2∙104 _______ 2,0∙106 3,2 ___ 2,0 × 104 ___ 106 = 1,6 × 104−6 = 1,6∙10−2 e 4,4∙10−4 _________ 0,80∙10−2
4,4 ____ 0,80 × 10−4 ____ 10−2 = 5,5 × 10–4–(–2) = 5,5∙10−2
f (104)3 = 104×3 = 1012
Je kunt in plaats van een macht van tien ook een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor gebruiken. In BINAS tabel 2 staat daarvan een overzicht met naam en symbool. Ook de volledige naam in het Nederlands vind je daar. Een gedeelte van het overzicht staat in tabel 1.5.
Factor Naam Symbool Nederlandse naam Factor Naam Symbool 103 kilo k duizend(ste) 10−3 milli m 106 mega M miljoen(ste) 10−6 micro µ 109 giga G miljard(ste) 10−9 nano n
Tabel 1.5
Voorbeeld 4 Macht van tien als voorvoegsel
Schrijf met voorvoegsel. a 3,5∙103 m b 0,0075 A
Uitwerking a 3,5∙103 m = 3,5 km b 0,0075 A = 7,5∙10−3 A = 7,5 mA c 6,1∙107 W = 61∙106 W = 61 MW c 6,1∙107 W
Voorbeeld 5 Voorvoegsel als macht van tien
Schrijf zonder voorvoegsel en noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie. a 5 µm b 15 ns c 500 GJ
Uitwerking a 5 µm = 5∙10−6 m b 15 ns = 15∙10−9 s = 1,5∙10−8 s c 500 GJ = 500∙109 joule = 5,00∙1011 joule
Opmerkingen 1 De eenheid van massa is de enige basiseenheid die een voorvoegsel heeft, namelijk de k van kilo. 2 Let bij de voorvoegsels op hoofdletters en kleine letters. Mega is M en betekent miljoen, milli is m en betekent duizendste. 3 In BINAS tabel 1 vind je de schrijfwijze en de naam van de letters van het Griekse alfabet. De afkorting van micro is de Griekse letter μ (mu).
In plaats van 5 micrometer mag je daarom ook 5 mu-meter zeggen.
Opgaven
6 Voer de onderstaande berekeningen uit en noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie als dat mogelijk is. a 102 × 104 = e 4,4∙105 × 2,5∙10−3 = b 102 × 10−4 = f 254 × 25,0 = c 104 ___ 107 = g 3,85∙102 ________ 250∙10−4 = d 2∙103 × 3∙104 = h (2∙104 )3 =
7 Herschrijf in de wetenschappelijke notatie. a 4506 m c 961∙103 m b 0,000 001 53 m d 0,075∙10−2 m
▶ hulpblad 8 Schrijf zonder voorvoegsel en noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie. a 2,5 km d 251 TJ b 0,51 MPa e 33 mbar c 18,5 µm f 25 nm
9 Herschrijf zonder macht van 10 door gebruik te maken van een voorvoegsel. a 9,4∙10−6 A c 1,85∙10−8 m b 6,11∙1012 s d 2,36∙107 W
10 Geef de orde van grootte van de meetwaarden aan. a 9,4∙10−6 A c 853 µm b 6,11∙1012 s d 23,6 MW
11 Figuur 1.4 is een foto gemaakt met een elektronenmicroscoop. Je ziet een stukje supergeleider (het groene staafje) dat met vijf platinadraadjes is vastgemaakt aan gouden micro-elektroden. Figuur 1.4 is op schaal. In de guur is de grootte van 5 µm aangegeven. a Schat de orde van grootte van de dikte van het linker platinadraadje. b Bepaal de lengte van het groene staafje.
